06 Números complejos

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Números 
complejos 
La
s m
ate
má
tic
as 
so
n 
fác
ile
s 
√ ⃗ 
 ̅ 
 
 
Álgebra 6 
 
Christiam Huertas 
Nivel UNI 
NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 
 
2 Christiam Huertas 
 
 
 
Índice 
 
1. Número complejo 03 
2. Representación geométrica 04 
3. Unidad imaginaria 05 
4. Módulo de un número complejo 10 
5. Forma polar o trigonométrica 12 
6. Teorema de De Moivre 15 
7. Exponencial compleja 17 
8. Radicación de números complejos 19 
9. Raíz enésima de la unidad 21 
10. Problemas resueltos 23 
11. Problemas propuestos 48 
12. Claves 52 
 
Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 Christiam Huertas 3 
 
Números complejos 
Históricamente los n úmeros complejos 
fueron introducidos para tratar ecuaciones 
polinomiales, tales como , que 
no tienen solución real. 
 
El camino hasta su descubrimiento no fue 
fácil, y su terminología se debe en parte a 
esto; se les ha denominado números 
"imposibles" e "imaginarios", y la palabra 
"complejo" da la impresión de que no son 
algo sencillo de entender. 
 
Afortunadamente, esa no es la situación 
actual: podemos introducirlos de manera 
relativamente elemental. 
 
 
Número complejo 
Un número complejo se define como el 
par ordenado de números reales ( ), es 
decir: 
 
 ( ) es un número 
complejo 
 
 
Ejemplo 1. 
Son números complejos: 
 ( ) 
 ( √ ) 
 ( 
 
 
) 
 ( ) 
 
OBS. 
Al conjunto de todos los números 
complejos se le denota como: , es decir: 
 
 { ( ) } 
 
 
 
Forma binómica de un 
número complejo 
Todo número complejo ( ) es 
posible expresarlo como , 
donde √ es la unidad imaginaria. 
Es decir, 
 
 ( ) 
 
 
Ejemplo 2. 
Son números complejos: 
 ( ) 
 ( √ ) √ 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Definiciones 
Para todo número complejo , 
se define: 
 
 : parte real de . Se denota, 
 ( ) 
 
 : parte imaginaria de . Se denota, 
 ( ) 
 
 
NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 
 
4 Christiam Huertas 
 
Ejemplo 3. 
 Dado el complejo , entonces 
 ( ) 
 ( ) 
 
 Dado el complejo √ , 
entonces 
 ( ) √ 
 ( ) 
 
 
Igualdad de números 
complejos 
Dos números complejos son iguales, si y 
solo si sus partes reales y sus partes 
imaginarias son iguale s respectivamente. 
Es decir; si 
 y 
entonces: 
 
 
 
 
Ejemplo 4. 
Dados los números complejos 
 y 
Halle el menor valor de si . 
 
Resolución. 
Por dato: 
 
 
Por definición de igualdad de complejos: 
 y 
De donde: 
 y ( ) 
Por lo tanto, el menor valor de . 
 
 
Representación geomé-
trica de un número com-
plejo (diagrama de Argand) 
La representación geométrica se realiza en 
un plano, al cual lo llamaremos Plano 
Complejo o Plano de Gauss . Donde al 
eje lo denominaremos eje real y al eje 
como el eje imaginario. 
 
Sea con y . 
 
 
 
Donde ⃗⃗⃗⃗ ⃗ es el radio vector del complejo 
 . 
 
Ejemplo 5. 
Represente geométricamente a los números 
complejos: 
 y 
 
Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 Christiam Huertas 5 
 
Resolución. 
Para : 
Ubicamos: 
 en el eje real y 
 en el eje imaginario 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para : 
Ubicamos: 
 en el eje real y 
 en el eje imaginario 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidad imaginaria 
La unidad imaginaria es el número √ 
y se designa por la letra . Es decir, 
 
√ 
 
 
Potencias de la unidad 
imaginaria 
Estudiaremos las potencias enteras del 
número , teniendo en cuenta las 
siguientes definiciones: 
 
 
 
Luego, 
 
 
 
 
 … 
 
OBS. 
Se observa que las potencias enteras de se 
repiten cada cuatro veces, y se obtiene solo 
uno de los cuatro valores: 
 ; ; ; 
 
 
 Propiedades 
1. 
 
 
 
 
En general: 
 
 ; 
 
 
2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 
 
6 Christiam Huertas 
 
 
 
 
En general: 
 
 ; 
 
3. La suma de cuatro potencias 
consecutivas es cero. Es decir, 
 
 ; 
 
 
Ejemplo 6. 
 , pues es múltiplo de . 
 , pues es múltiplo de . 
 
 ( ) 
 
Ejemplo 7. 
Calcule el valor de . 
 
 
Resolución. 
Nos piden calcular 
 ⏟ 
 
 
 ⏟
 
 (pues 2012 es múltiplo de 4) 
 
Por lo tanto, . 
 
 
 
Ejemplo 8. 
Dado el complejo 
 
calcule ( ) ( ). 
 
Resolución. 
Nos piden calcular 
 
Recuerde que: 
 
 
 
 ̇ (es múltiplo de ) 
 
 ̇ (es múltiplo de ) 
 
Es decir, ̇ (múltiplo de 4) a partir de 
 . 
 
Luego, 
 ̇ ̇ ̇⏟ 
 ⏟ 
 
 
 
 
Por lo tanto, 
 ( ) ( ) 
 
Ejemplo 9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 Christiam Huertas 7 
 
Tipos de números 
complejos 
 
1 Complejo real 
Es aquel complejo que carece de parte 
imaginaria; es decir, su parte imaginaria 
es cero. 
 
 ; 
 
 
2 
Complejo imaginario 
puro 
Es aquel complejo que carece de parte 
real; es decir, su parte real es cero. 
 
 ; { } 
 
 
3 Complejo nulo 
Es aquel complejo donde su parte real e 
imaginaria son ceros. 
 
 
 
 
Ejemplo 10. 
 
 √ 
 son complejos reales 
 
 
 
 
 
 son complejos imaginarios puros 
 
Ejemplo 11. 
Si el complejo ( ) es imaginario 
puro, halle el menor valor real de . 
 
Resolución. 
Se tiene el complejo 
 ( ) 
 
 ( ) 
Como es imaginario puro, entonces 
 ( ) ⏟ 
 
 
 o 
Por lo tanto, el menor valor de es . 
 
 
Relaciones entre 
números complejos 
Dado el complejo , se definen: 
 
1 
Conjugado de : 
 
 ̅ 
 
 
2 
Opuesto de : 
 
 
 
 
Ejemplo 12. 
Si , entonces 
{
 ̅ 
 
 
 
Si √ , entonces 
{
 ̅ √ 
 √ 
 
 
NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 
 
8 Christiam Huertas 
 
Representación geomé-
trica de: , ̅ y 
 
 
 
 
 Propiedades 
 ̅ 
 ̿ 
 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅ 
 ̅̅ ̅̅ ̅ ̅ 
 (
 
 
)
̅̅ ̅̅ ̅
 
 ̅ 
 ̅
 
 ̿ 
 ̅ ( ) 
 ̅ ( ) 
 ̅̅ ̅ ( ̅) 
 √ 
 ̅̅ ̅̅ √ ̅
 
 
 
 
 
 
Operaciones con 
números complejos 
Sean y dos 
números complejos, definimos: 
 
1 Adición 
 ( ) ( ) 
 
2 Sustracción 
 ( ) ( ) 
 
3 Multiplicación 
 ( )( ) 
 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
Es decir, 
 
 ( ) ( ) 
 
4 División 
Para dividir dosnúmeros complejos en 
forma práctica, multiplicamos al 
dividendo y al divisor por el conjugado 
del divisor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 Christiam Huertas 9 
 
 
( ) ( ) 
 
 
Es decir, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De donde: 
 
 (
 
 
) 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
Ejemplo 13. 
Dados los números complejos 
 y 
halle , , y . 
 
Resolución. 
 
 
 ( )
 
 
 ( )( ) 
 ⏟
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⏞
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Consecuencia 
Dado el numero complejo: 
 
 
 
 
Se cumplen: 
 
1. es un complejo real si: 
 
 
2. es un complejo imaginario puro si: 
 
 
 
Ejemplo 14. 
Halle el valor de si se sabe que el 
siguiente complejo es real. 
 
 
 
 
 
Resolución: 
Por dato: 
 
 
 
 
Aplicando la consecuencia 1: 
 
En nuestro caso: 
( )( ) ( )( ) 
 
 
 
 
 
 
 
NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 
 
10 Christiam Huertas 
 
Módulo de un número 
complejo 
Dado el complejo , su módulo 
o valor absoluto se denota y define 
como: 
 
| | √ 
 
 
 
Vemos que el módulo de , es un número 
real no negativo; es decir, | | , . 
 
Ejemplo 15. 
 Si : 
| | √ ( ) √ 
 
 Si : 
| | √ √ 
 
 Si : 
| | √( ) √ 
 
 
 Propiedades 
 | | 
 | | 
 | | | |̅ | | 
 | | ̅
 | | | || | 
 |
 
 
| 
 | | 
| |
 
 | | | | 
 | √ 
 
| √| |
 
 ( ) | | ( ) | | 
 | | | | | | 
 | | | | | | 
 || | | || | | 
 
Demostración de la desigualdad 
triangular: 
Partimos de la expresión | | : 
 
| | ( )( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 
 ( )( ̅ ̅) 
 ̅ ̅ ̅⏟ ̅ 
 | | ̅ ̅̅̅ ̅̅⏟ | | 
 | | ( ̅) | | 
 | | | ̅| | | 
 | | | || ̅| | | 
 | | | || | | | 
 (| | | |) 
Es decir, 
| | (| | | |) 
Tomamos √ : 
| | | | | | 
 
Ejemplo 16. 
Sea un número complejo tal que 
| | √ 
Halle el valor de √| |. 
 
Resolución 
Por dato: 
 
Desigualdad triangular 
 
Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 Christiam Huertas 11 
 
| | √ 
Como , entonces : 
√ √ 
Por igualdad de complejos se cumple que: 
√ y √ 
 √ ( √ )
 
 y √ 
 √ 
Elevamos al cuadrado: 
√ 
 
 ( ) 
 
 
Luego, 
 √ 
Por lo tanto, 
 √| | √√ ( √ )
 
 √ 
 
 √ 
 
Ejemplo 17. 
Dado el complejo: 
 
( ) √ 
 
(√ √ )
 
 √ 
 
 
Halle su módulo. 
 
Resolución: 
Nos piden hallar | |. Es decir, 
| | |
( ) √ 
 
(√ √ )
 
 √ 
 
| 
Aplicamos la propiedad 6: 
| | 
|( ) √ 
 
|
|(√ √ )
 
 √ 
 
|
 
Aplicamos la propiedad 5: 
| | 
|( ) | |√ 
 
|
|(√ √ )
 
| |√ 
 
|
 
Aplicamos la propiedad 7 y 8: 
| | 
| | √| |
 
|√ √ |
 
 √| |
 
 
 | | 
√ 
 
 √√ ( ) 
 
√√ 
 
 ( √ )
 
 
 √√ 
 
 
| | 
√ 
 
 √√ 
 
√ 
 
 √√ 
 
 
Simplificamos: 
 | | √ 
 
 
| | 
 
 
Resultados notables 
A continuación mostramos algunos 
resultados que se deben tener presentes , ya 
que se utilizan a menudo: 
 
( ) ( ) 
 
( ) ( ) 
 
( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
También: 
 
 
 
NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 
 
12 Christiam Huertas 
 
 
Ejemplo 18. 
Reduzca la expresión √ ( )√ 
 
Resolución. 
Tenga en cuenta que: 
 ( ) 
 
Luego, 
√ ( )√ √ ( )√( ) 
 √ ( )( ) 
 
 diferencia de cuadrados 
 √ ( ) 
 √ 
 √( ) 
 
 
Ejemplo 19. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución. Se tiene la expresión: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Forma polar o 
trigonométrica de un 
número complejo 
Consideremos el plano de Gauss y 
ubiquemos al complejo con 
 y . 
 
 
 
Del gráfico se obtiene: 
 | | 
 | | 
Lo reemplazamos en 
 
 | | | | 
 | |( ) 
 
Por lo tanto, 
 
 | |( ) 
 
Es la forma polar o trigonométrica del 
complejo , donde al ángulo se le 
denomina argumento de y se denota 
por 
 
 ( ) 
Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 Christiam Huertas 13 
 
Notamos que de la definición se deduce 
que el complejo tiene infinitos 
argumentos. 
 
Argumento principal 
El argumento medido en sentido 
antiorario y menor que una vuelta se 
denomina argumento principal de . Se 
denota: 
 
 ( ) 
 
Cualquier argumento de será: 
 ( ) 
 
Es decir, 
 ( ) ( ) 
 
 argumento principal 
 
Ejemplo 20. 
Represente en la forma polar los siguientes 
números complejos. 
 √ y 
 
Resolución. 
Para √ : 
 
 
 ( ) 
 
 
 
| | 
Luego, 
 ( 
 
 
 
 
 
) 
es la forma polar de . 
 
En general, puede ser expresado como: 
 [ (
 
 
 )
 (
 
 
 )] 
 
Resolución. 
Para : 
 
 
 ( ) 
 
 
 
| | √ 
Luego, 
 √ ( 
 
 
 
 
 
) 
es la forma polar de . 
 
OBS. 
Podemos también usar la siguiente 
notación: 
 
 ( ) 
 
Luego, 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 
 
14 Christiam Huertas 
 
Ejemplo 21. 
 ( 
 
 
 
 
 
) (
 
 
) 
 
 √ ( 
 
 
 
 
 
) √ (
 
 
) 
 
 
 Teoremas 
Dados los complejos: 
 | |( ) 
 | |( ) 
Entonces, 
 
 | || |( ( ) ( )) 
 
 
 
 
| |
| |
( ( ) ( )) 
 
 
Demostración (1er teorema): 
Como 
 | |( ) 
 | |( ) 
Entonces: 
 | |( ) 
| |( ) 
 
 | || |( )( 
 ) 
Multiplicamos: 
 | || |( 
 ) 
 
 | || |( 
 ) 
 
 | || | ( ⏟ 
 ( ) 
 ( )⏟ ) 
 ( ) 
 
Luego, 
 | || |( ( ) ( )) 
 
 
Demostración (2do teorema): 
Como 
 | |( ) 
 | |( ) 
Entonces: 
 
 
 
| |( )
| |( )
 
 
Multiplicamos por el conjugado del 
denominador arriba y abajo: 
 
 
| |( )( )
| | ( )( )⏟ 
 
 
 
 
| |( )( )
| |(( ) ( ) )
 
 
 
| |( )( )
| | ( )⏟ 
 
 
 
| |
| |
( )( ) 
 
Multiplicamos: 
 
 
| |
| |
( 
 ) 
 
Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 Christiam Huertas 15 
 
 
| |
| |
( 
 ) 
 
 ( ) 
 
| |
| |
( ⏞ 
 ( )⏟ )( ) 
Luego, 
 
 
 
| |
| |
( ( ) ( )) 
 
 
 Consecuencias 
Dados los complejos: 
 | |( ) 
 | |( ) 
Entonces, 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 (
 
 
) ( ) ( ) 
 
 
Ejemplo 22. 
Dados los complejos 
 ( 
 
 
 
 
 
) 
 ( 
 
 
 
 
 
) 
Halle y . 
 
Resolución. 
Aplicamos el teorema anterior: 
 ( (
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
 
)) 
 ( 
 
 
 
 
 
) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
( (
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
 
)) 
 ( 
 
 
 
 
 
) 
 (
√ 
 
 
 
 
 ) 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 Teorema 
Teorema de De Moivre 
Si | |( ), entonces 
 
 | | ( ) 
 
para todo . 
 
Demostración. 
La demostración lo haremos por el método 
de inducción matemática para : 
 
PRIMERO: 
Para : 
 | |( ) 
es correcto. 
 
SEGUNDO: 
Asumimos que el resultado es verdadero 
para : 
 | | ( ) 
NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 
 
16 Christiam Huertas 
 
TERCERO: 
Ahora consideremos el caso : 
 
 | | ( ) | |( 
 ) 
 
 | | ( ( ) ( )) 
 | | ( ( ) ( ) ) 
 
Deducimos que el resultado es verdadero 
para cuando es verdadero para 
 . 
 
Por el principio de la inducción matemática 
se desprende que el resultado es verdadero 
para todos los enteros positivos. 
 
De forma similar se demuestra para 
 
Ejemplo 23. 
 
 
 
 
√ 
 
 
halle . 
 
Resolución. 
 
 
 
 
√ 
 
 
Lo representamos en el plano de Gauss: 
 
 ( ) 
 
 
 
| | 
Luego, 
 ( 
 
 
 
 
 
) 
Aplicamos el teorema de De Moivre: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto, 
 
Ejemplo 24. 
Dado el complejo 
 
 
 
 
 
Resolución: 
Nos piden: 
 
Por dato: 
 
Elevamos a la : 
 ( ) 
Aplicamos el teorema de De Moivre: 
 ( ) 
De igual manera: 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
Sumamos ( ) con ( ): 
 
Por lo tanto, . 
Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 Christiam Huertas 17 
 
 
Exponencial compleja 
(Fórmula de Euler) 
Se define la exponencial compleja 
como: 
 
 
 
donde: 
 es la base del logaritmo neperiano. 
 es el argumento medido en radianes. 
 es la unidad imaginaria. 
 
Ejemplo 25. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
De aquí se obtiene la famosa identidad de 
Euler: 
 
Notable por relacionar cinco números muy 
utilizados en la historia de las matemáticas. 
 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
; 
 ; 
 
Forma exponencial de 
un número complejo 
Para todo número complejo , 
su forma polar esta dada por: 
 
 | | ( )⏟ 
 
Luego, 
 
 | | 
 
es la forma exponencial del complejo . 
 
Ejemplo 26. 
Exprese el complejo en su forma 
exponencial. 
 
Resolución. 
Para se tiene: 
| | √ ( ) 
 
 
 
Luego, 
 √ 
 
 
 
esta escrito en su forma exponencial. 
 
 
 Propiedades 
 
 
 ( )
 
 ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 
 
18 Christiam Huertas 
 
Si reemplazamos por el complejo , se 
tiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para los complejos 
 | | y | | se cumplen: 
 
 | || | ( ) 
 
 
 
 
| |
| |
 ( ) 
 
 
Ejemplo 27. 
Exprese en forma exponencial 
 ( ) ( 
 
 
 
 
 
) 
 
Resolución. 
Expresamos cada factor en su forma 
exponencial: 
 
Para : 
 √ ( 
 
 
 
 
 
) 
 √ 
 
 
 
 
Para 
 
 
 
 
 
: 
 
 
 
 
 
 
 
 [ ( 
 
 
) ( 
 
 
)] 
 
 
 
 
 
Luego, 
 ( ) ( 
 
 
 
 
 
) 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
está escrito en su forma exponencial. 
 
 
Definición 
Dado el número complejo . El 
número se define como: 
 
 ( ) 
 
Pues, 
 
 
 ( ) 
 
Ejemplo 28. 
 ( ) 
 
 √ ( √ √ ) 
 
 
 
 
 ( ( ) ( )) 
 
 
 Propiedades 
 
 | | (módulo de ) 
 ( ) (argumento de ) 
 
Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 Christiam Huertas 19 
 
Radicación de 
números complejos 
Una raíz enésima del número complejo 
 
 | |( ) 
 | | 
es el número complejo tal que . 
Es decir, 
√ 
 
 
 
donde y . 
 
 
 Teorema 
Dado el número complejo 
 
 | |( ) 
 | | 
entonces, 
 
√ 
 
⏟ √| |
 
( 
 
 
 
 
 
) 
 
donde ( ). 
 
Es decir, se obtienen raíces: 
 , , , …, 
 
Demostración. 
Sean 
 | |( ) 
 | |( ) 
Por definición de radicación: 
√ 
 
 
Es decir, 
 
[| |( )] 
 | |( ) 
 
| | ( ) 
 | |( ) 
 
| | ( ) 
 | |( ) 
 
| | | | 
| | | | 
 
Por igualdad de complejos: 
| | | | 
y 
| | | | 
De donde: 
| | | | 
| | √| |
 
 
 
 
 
Por lo tanto, 
√ 
 
 √| |
 
( 
 
 
 
 
 
) 
donde ( ) 
 
Ejemplo 29. 
Dado el complejo √ , halle √ 
 
Resolución. 
Para √ se tiene: 
| | ( ) 
 
 
 
Luego, 
 
NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 
 
20 Christiam Huertas 
 
 √ 
 
 √ ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
para . 
 
 √ ( 
 
 
 
 
 
) 
 √ (
 
 
 
√ 
 
 ) 
 
 √ ( 
 
 
 
 
 
) 
 √ ( 
 
 
 
√ 
 
 ) 
 
Dado el complejo , entonces 
 
√ (√
| | 
 
 ( )√
| | 
 
 ) 
 
donde ( ) es el signo de . 
 
Ejemplo 30. 
Halle las raíces cuadradas del complejo 
 . 
 
Resolución. 
Se tiene el complejo: 
 
donde: 
 ( ) 
 ( ) 
| | √( ) 
Utilizando la regla práctica, se sabe que: 
 √ (√
| | 
 
 ( )√
| | 
 
 ) 
√ (√
 
 
 ( )√
 ( )
 
 ) 
 √ (√ √ ) 
 √ ( ) 
Es decir, 
√ { 
 
 
 
 
Ejemplo 31. 
Dado el complejo √ , halle √ 
 
 
Resolución. 
Para √ se tiene: 
| | ( ) 
 
 
 
Luego, 
 √ 
 
 √ 
 
( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
 ( 
 
 
 
 
 
) 
para . 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
) 
 
Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 Christiam Huertas 21 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
) 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
) 
 
 
Raíz enésima de la 
unidad 
Sea el complejo 
 se puede expresar como: 
 
 
entonces, 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
donde ( ). 
 
Ejemplo 32. 
Halle las raíces cúbicas de la unidad. 
 
Resolución. 
Nos piden hallar √ 
 . 
De la propiedad anterior, se sabe que 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
donde: .√ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
Luego, 
√ 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
OBS. 
Llamemos a 
 
 
 
 
√ 
 
 
entonces, 
 
 
 
 
√ 
 
 
Luego, las raíces cúbicas de la unidad son: 
 
 
Se cumple que 
 
 
 
 
Ejemplo 33. 
Si es la raíz cúbica no real de la unidad, 
calcule el valor de la siguiente expresión. 
√( )( )( ) 
 
 
 
 
Resolución. 
Como es la raíz cúbica no real de la 
unidad, se cumplen: 
 
NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 
 
22 Christiam Huertas 
 
Entonces: 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
Reemplazando: 
√
( )⏞ 
 
( ) ( )⏞ 
 
 
 
 
 
 
√ ( )( ) 
 
( ) 
 
 
√
 ⏞ 
 
 
 
( )⏟ 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
Interpretación 
geométrica de las raíces 
cúbicas de la unidad 
Las tres raíces cúbicas de la unidad: 
 , y 
tienen el mismo mó dulo, y por tanto sus 
afijos están sobre la circunferencia 
unitaria. 
 
 
 
 
En general: 
Si , entonces √ 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es decir, el índice nos indica la cantidad 
de raíces que se obtiene. 
 
Además, 
 
Es decir, la suma de todas las raíces 
siempre es cero. 
 
 | | | | | | | | |√ 
 
| 
Es decir, todas las raíces tienen el 
mismo módulo. 
 
Ejemplo 34. 
Si son las raíces de √ 
 , 
calcule | | | | | |. 
 
Resolución. Se sabe que: 
| | | | | | |√ 
 
| | √ 
 
| 
 √| | 
 | | | | | | 
 
Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 Christiam Huertas 23 
 
Problemas resueltos 
 
Problema 1. 
Calcule el valor de la expresión . 
 
 
A) 0 B) 1 C) 
D) E) 
 
Resolución 
Nos piden hallar 
 
Por propiedad de multiplicación de bases 
iguales (los exponentes se suman) 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 ̇ 
 
 
Por lo tanto, el valor de es . 
 Rpta: D 
 
Problema 2. 
Dado el polinomio 
 ( ) 
 
calcule el valor de ( ) donde √ . 
 
A) B) C) 
D) E) 
 
Resolución 
Evaluamos el polinomio 
 ( ) 
 
para : 
 ( ) 
 ⏟ 
 
Luego, 
 ( ) 
 
 
 
 ̇ 
 
Por lo tanto, ( ) 
 Rpta: A 
 
Problema 3. 
Sean e dos números reales de modo 
que ( ) ( ) 
Calcule el valor de . 
 
A) 1 B) 2 C) 4 
D) 9 E) 16 
 
Resolución 
Por dato 
( ) ( ) 
Operando se obtiene: 
 
Agrupamos la parte real y la parte 
imaginaria respectivamente: 
NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 
 
24 Christiam Huertas 
 
( ) ( ) 
Por igualdad de complejos se cumple que 
{
 
 
 
 
Restamos: 
 
De donde 
Por lo tanto, 
 Rpta: D 
 
Problema 4. 
Calcule el valor de si se sabe que el 
siguiente complejo es imaginario puro. 
 
 ( ) 
( ) 
 
 
A) B) C) 
D) E) 
 
Resolución 
Como el complejo es imaginario puro, 
entonces su parte real debe ser cero. 
 
Recuerde que: 
 
 
 
 ( ) 
 
Por dato: 
 
 ( ) 
( ) 
 
entonces 
 ( ) ( ) ( )( ) 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto el valor de es . 
 Rpta: B 
 
Problema 5. 
Calcule el valor de la siguiente expresión. 
 √ √ 
 
A) √ B) C) √ 
D) E) 
 
Resolución 
Nos piden calcular 
 √ √ 
Elevamos al cuadrado: 
 (√ √ )
 
 
 
 √ 
 
 √ √ 
 √ 
 
 
 
 √( )( ) 
 √ ( ) 
 √ 
 √ 
 
Por lo tanto, . 
 Rpta: D 
 
Problema 6. 
Halle el equivalente del complejo . 
 
 
Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 Christiam Huertas 25 
 
A) 0 B) C) 
D) E) 1 
 
Resolución 
Recuerde que: 
 
 
 
 
Nos piden hallar 
 ⏟ ⏟ ⏟ 
 
 
Vemos que la suma de dos términos 
consecutivos siempre es cero. 
Como 
 ( ) 
Entonces en hay en total sumandos. 
Luego: 
 
 
 
 
 
Por lo tanto, . 
 Rpta: D 
 
Problema 7. 
Dados los complejos 
 , 
 
 
 
 
Halle el valor de 
|
 ̅
 
 | 
 
 ) 
√ 
 
 ) 
√ 
 
 ) 
√ 
 
 
 ) ) 
 
Resolución 
Reemplazamos los valores de , , y 
 : 
 |
 ̅
 
 | 
 |
 ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
 
 
 
 
| 
 |
 ( )
 
 
 
 
| 
 |
 
 ( )
 
 
 
| 
 |
 
 
 
 
 
| 
 |
 
 
 
 
 
| 
 √(
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
 √
 
 
 
√ 
 
 
 Rpta: B 
 
Problema 8. 
Dados los números complejos y tales 
que | | | | . Halle el módulo de 
 
 ̅ 
 
 
A) 3 B) 1 C) 1/2 
NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 
 
26 Christiam Huertas 
 
D) 11 E) 2 
 
Resolución 
Nos piden calcular: 
|
 
 ̅
| √|
 
 ̅
|
 
 
 √
| | 
| ̅| 
 
 √
( )( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
( ̅)( ̅ )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
 
 √
( )( ̅ ̅)
( ̅ ) ( ⏟̿ ̅)
 
 
 √
 ̅ ̅ ̅ ̅
 ̅ ̅ ̅ ̅
 
 √
| | ̅ ̅ | | 
 ̅ ̅ | | | | 
 
Reemplazamos el dato | | | | : 
 √
 ̅ ̅ 
 ̅ ̅ 
 
 √ 
 |
 
 ̅
| 
 Rpta: B 
 
Problema 9. 
Halle el argumento principal del complejo 
( ( ) )( ( ) ) 
( ( ) ) 
Considere { } . 
 
A) B) C) 
D) E) 
 
Resolución 
Se tiene el complejo: 
 
( ( ) )( ( ) ) 
( ( ) ) 
 
Lo operamos para llevarlo a la forma 
 : 
 
( )( ) 
( ) 
 
Agrupamos convenientemente: 
 
( ( ) ( ))( ( ) ( )) 
( ( ) ( )) 
 
Factorizamos en cada paréntesis: 
 
 ( )( )( )( ) 
( )( ) 
 
Agrupamos convenientemente: 
 ( )( )⏟ ( )( )⏟ 
( )( )⏟ 
Aplicamos la diferencia de cuadrados: 
 ( )( )( ) 
 ( )( )( )⏟ 
 
Es decir, el complejo tiene la forma: 
 
Por lo tanto, 
 ( ) 
Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 Christiam Huertas 27 
 
 Rpta: C 
 
Problema 10. 
Dado el complejo √ 
 
 
 , halle el 
argumento de . 
 
A) B) C) 
D) E) 
 
Resolución 
Se tiene el complejo:√ 
 
 
 
Lo elevamos al cuadrado: 
 (√ 
 
 
 )
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
Aplicando la fórmula de Euler: 
 ( 
 
 
 
 
 
) 
Sumamos : 
 ( 
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analizamos el triángulo isósceles: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Del gráfico se cumple que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 Rpta: C 
 
Universidad Nacional 
del Callao (UNAC) 
 
Problema 11. 
Si , 
determine . 
 
A) B) 0 C) 
D) E) 
UNAC 2007 – II 
 
Resolución 
Se tiene el complejo 
 
Elevamos a la : 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 
 
28 Christiam Huertas 
 
Aplicamos el teorema de De Moivre: 
 ( ) ( ) 
 
 
 
Por lo tanto, . 
 Rpta: C 
 
Problema 12. 
Si y son enteros positivos y el número 
complejo ( ) también es 
entero, el menor valor de es 
 
A) 8 B) 4 C) 6 
D) 5 E) 7 
UNAC 2008 – I 
 
Resolución 
Desarrollemos ( ) por la identidad 
de Cauchy: 
( ) ( ) ( ) 
 
 ( ) 
Luego, 
( ) 
 ( ) 
 
Pero por dato; ( ) es entero 
(es decir, es un complejo real), entonces 
su parte imaginaria es cero. Luego, 
 
 
 ( ) 
 
Por comparación se obtiene: 
 y 
 
 
Por lo tanto, el menor valor de es 
 . 
 Rpta: D 
 
Problema 13. 
Si 
donde , entonces es igual a 
 
A) B) C) 
D) E) 
UNAC 2010 – II 
 
Resolución 
Nos piden hallar 
 
Agregamos y quitamos conveniente-
mente: 
 ⏟ 
 
Luego, 
 ⏟ 
 
 
ya que es múltiplo de . 
 Rpta: E 
 
Problema 14. 
Si , el número complejo 
 
 
 
 
Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 Christiam Huertas 29 
 
 
A) un número real. 
B) un número de módulo 1. 
C) un número de módulo √ 
D) de la forma con . 
E) un imaginario puro. 
UNAC 2011 – II 
 
Resolución 
Reduzcamos el complejo : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
Multiplicamos por arriba y abajo: 
 
 ( )
( )( )
 
 
 
 
 
 
Es decir, 
Luego, | | √( ) √ 
 Rpta: C 
 
Problema 15. 
Si el número complejo , con y 
 números reales, cumple | | 
y | | √ , entonces | | es 
igual a 
 
A) 68 B) 208 C) 169 
D) 100 E) 289 
UNAC 2012 – I 
 
Resolución 
Por dato: 
 | | 
Reemplazamos : 
 √ 
Ordenamos: 
( √ ) 
Por igualdad de complejos se cumple que: 
 √ y 
 √ 
Elevamos al cuadrado: 
√ 
 
 ( ) 
 
 
 
Nos piden: 
| | √ 
 
 
 Rpta: E 
 
Universidad Nacional 
de Ingeniería (UNI) 
 
Problema 16. 
El número complejo satisface la 
 
 
 
 
 
 
 
determine el valor de ( ) donde 
NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 
 
30 Christiam Huertas 
 
 ( ) 
 . 
 
A) B) C) 
D) √ E) 
UNI 2000 – II 
 
Resolución 
En la ecuación: 
 
 
 
 
 
 
Sumamos 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ⏞ 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
Cancelamos ( ) en ambos lados: 
 
 
 
De donde 
 
Lo reemplazamos en ( ) 
 : 
 ( ) ( ) 
 ( ) ⏟ ( ) 
 
 
Por lo tanto, ( ) . 
 Rpta: E 
 
Problema 17. 
El valor de la expresión 
( 
 
 
 
 
 
)
 
 
 
A) 1 B) C) – 
D) E) 
UNI 2001 – I 
 
Resolución 
Se quiere hallar el valor de 
( 
 
 
 
 
 
)
 
 
Pero se sabe que: 
 
 
 
 
 
 
 
Reemplazamos: 
( ) 
 
 ̇ 
 
 
Por lo tanto, 
( 
 
 
 
 
 
)
 
 
 Rpta: D 
Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 Christiam Huertas 31 
 
 
Problema 18. 
Si y son las raíces cuadradas del 
número complejo , entonces el valor 
de ( )
 es 
 
A) B) C) 0 
D) 1 E) 
UNI 2002 – I 
 
Resolución 
Recuerde que: 
Para todo número complejo 
 , ; se cumple que: 
√ 
{
 
 
 
 
 √
| | 
 
 √
| | 
 
 
 √
| | 
 
 √
| | 
 
 
 
Es decir, una raíz es el opuesto de la 
otra. 
 
Por dato, y son las raíces del 
complejo , entonces, por la propiedad 
anterior: 
 
Por lo tanto, 
( )
 
 Rpta: C 
 
Problema 19. 
Al resolver, en el conjunto de los números 
complejos, el sistema 
 
{
( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
UNI 2002 – II 
 
Resolución 
Se tiene el sistema: 
{
( ) ( ) ( )
 ( ) ( )
 
 
Multiplicamos ( ) por ( ): 
( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 
( ) ( ): 
( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
Reemplazamos en ( ): 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicamos por : 
NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 
 
32 Christiam Huertas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nos piden calcular: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⏞
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Rpta: C 
 
Problema 20. 
Halle el módulo del complejo 
 
 
 
 
 
 
 
donde y 〈 
 
 
〉 
 
A) B) 
C) 
D) E) 
UNI 2002 – II 
 
Resolución 
Se tiene el complejo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) ⏞ 
 
 
( )( )⏟ 
 
 
 
 (( ) )
( ) 
 
 
 ( )
 
 
 
 ( )
 ( )
 
 
 ( )
 
 
Reemplazamos : 
 
 ( ( ) )
 ( ) 
 
 
 ( ( ))
 
 
 
Recuerde que: 
 
 
En el problema: 
 
 ( )Cancelamos : 
 
 ( )
 
 
 
 ( )
 ( )
 
 
 ( )
 
 
Tomamos módulo: 
Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 Christiam Huertas 33 
 
| | |
 ( )
 
| 
 
| || |
| |
 
 
 | | 
 
 
 
 〈 
 
 
〉 
 
Recuerde que: 
| | √ ( ) 
 √ 
 
Similarmente: 
| | 
 
Por lo tanto, | | 
 Rpta: C 
 
Problema 21. 
 | ̅ | [ ( )] 
 
 
 
entonces el número complejo en su 
forma polar es 
 
 ) ( 
 
 
 
 
 
) 
 ) ( 
 
 
 
 
 
) 
 ) ( 
 
 
 
 
 
) 
 ) ( 
 
 
 
 
 
) 
 ) ( 
 
 
 
 
 
) 
UNI 2003 – I 
 
Resolución 
Nos piden el complejo en su forma 
polar. 
Por dato: 
 | ̅ | 
| ̅|| | 
| | 
 | | 
También 
 
 [ ( )] 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 ( ) ( )⏟ 
 
 
 
 
 
 
 
De donde 
 ( ) 
 
 
 
Se sabe que un complejo en su forma 
polar está dado por: 
 | |( ) 
Por lo tanto, 
 ( 
 
 
 
 
 
) 
 Rpta: A 
 
Problema 22. 
Indique gráficamente todos los puntos del 
plano que verifican las relaciones 
| | y | | 
donde 
 
NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 
 
34 Christiam Huertas 
 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
UNI 2003 – II 
 
Resolución 
Por dato: 
| | y | | 
Reemplazamos : 
| | y | | 
 | | ⏟ y √ 
 ⏟ y 
 y 
 y 
 
Gráfica de la relación : 
 
 
 
 
 
 
Gráfica de la relación : 
 
 
 
 
 
 
Intersectando ambas regiones se obtiene: 
 
 
 
 
 
 Rpta: D 
 
 
 
 
Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 Christiam Huertas 35 
 
Problema 23. 
Halle la suma de números complejos. 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 
A) ( ) B) ( ) 
C) 
D) ( ) E) ( ) 
UNI 2004 – I 
 
Resolución 
Nos piden calcular 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
Agrupamos convenientemente: 
 ( ) 
( ) 
Donde: 
 
 ( )
 
 
 
 
Recuerde que: 
 
 
Por lo tanto, 
 
 ( )
 
 
 ( ) 
 Rpta: B 
 
 
 
 
Problema 24. 
El número complejo 
 
( ) 
 
 
es igual a 
 
A) B) (
 
 
) 
C) 
D) E) 
UNI 2004 – II 
 
Resolución 
Se tiene el complejo 
 
( ) 
 
 
Lo expresamos en función de senos y 
cosenos: 
 
( 
 
 
)
 
 
 
 
(
 
 
)
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
Aplicamos la fórmula de De Moivre: 
 
 
 
 
 
Simplificando se obtiene: 
 
 
 
 
Por lo tanto, . 
 Rpta: E 
 
NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 
 
36 Christiam Huertas 
 
Problema 25. 
Dada la región 
 
{ | | | | } 
Halle y en tal que | | sea el 
valor máximo. De como respuesta . 
 
A) B) C) 
D) E) 
UNI 2005 – I 
 
Resolución 
Por dato se tiene las relaciones: 
| | | | 
| ( )| | ( )| 
 
 | ( )| : 
Representa un disco cuya frontera es 
la circunferencia de centro 
y radio . 
 
 | ( )| : 
Representa un disco cuya frontera es 
la circunferencia de centro 
 y radio . 
 
Al unir las dos regiones se obtiene: 
 
 
 
Nos piden calcular el máximo valor de 
| |. Pero | | es por definición 
la distancia entre los complejos y . 
 
Del gráfico, la mayor distancia entre y 
 se da cuando y son los extremos 
del segmento de recta ̅̅ ̅̅ que pasa por los 
centros. Es decir; 
 y 
Por lo tanto, 
 ( )( ) 
 Rpta: B 
 
Problema 26. 
Determine la representación geométrica de 
todos los puntos del plano complejo que 
satisfacen la condición: 
| | | | 
 
A) 
 
B) 
 
Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 Christiam Huertas 37 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
UNI 2006 – I 
 
Resolución 
Por dato, se tiene la relación 
| | | | 
donde . 
Es decir, 
| | | | 
|( ) |⏟ |( ) |⏟ 
√( ) √( ) 
Elevamos al cuadrado: 
√( ) 
 
 ( √( ) )
 
 
( ) √ ( ) 
 
 √ ( ) ( ) ⏟ 
 √( ) 
Sacamos cuarta: 
 √( ) 
Elevamos al cuadrado: 
( √( ) )
 
 ( ) 
 (( ) )⏟ 
 
 
Dividimos entre : 
 
 
 
 
 
 
Le damos forma: 
 
 
 
 
√ 
 
 
Vemos que la frontera de la región es la 
elipse 
 
 
 
 
√ 
 
de ejes: y √ √ 
luego, la relación: 
 
 
 
 
√ 
 
está representada por la siguiente región: 
 
NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 
 
38 Christiam Huertas 
 
 Rpta: B 
 
Problema 27. 
Si , grafique todos los puntos en 
el plano cartesiano que representa el 
conjunto 
{ |
 
 
| } 
 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
UNI 2006 – II 
 
Resolución 
Por dato, se tiene la relación 
|
 
 
| 
donde . 
Es decir, 
|
 
 
| 
 |( ) | 
|( ) |
 
√( ) 
√( ) 
 
Elevamos al cuadrado: 
 
 ( ) 
( ) 
 
 
 
 
 
 
Dividimos entre : 
 
 
 
 
Completamos el cuadrado, para eso 
sumamos 
 
 
 en ambos lados: 
Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 Christiam Huertas 39 
 
 
 
 
 
 
 ⏟ 
 
 
 
 
( 
 
 
)
 
 
 
 
 
Vemos que la frontera de la región es la 
circunferencia de ecuación: 
( 
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
cuyo centro y radio respectivamente es: 
 ( 
 
 
 ) 
 
 
 
luego, la relación 
( 
 
 
)
 
 
 
 
 
está representada por la siguiente región, 
donde no se considera a la frontera por ser 
una desigualdad estricta: 
 
 
 Rpta: A 
 
Problema 28. 
Halle el argumento de un número complejo 
que equidista de los complejos: 
 √ ( 
 
 
 
 
 
) 
 
A) B) C) 
D) E) 
UNI 2006 – II 
 
Resolución 
Se tiene los complejos: 
 
 
 √ ( 
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
Vemos que el complejo que equidista de 
 , y se ubica en el centro de la 
circunferencia; en el grá fico anterior, el 
centro se encuentra en la bisectriz del 
triángulo formado por los afijos de , 
y . Luego, el argumento del complejo es 
 . 
 Rpta: C 
 
Problema 29. 
Si y , calcule el valor de . 
 (
 
√ 
 
 
√ 
 )
 
 ( 
 
√ 
 
 
√ 
 )
 
 
 
A) 0 B) 1 C) 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 
 
40 Christiam Huertas 
 
D) 3 E) 4 
UNI 2007 – I 
 
Resolución 
Nos piden calcular 
 (
 
√ 
 
 
√ 
 )
 
 ( 
 
√ 
 
 
√ 
 )
 
 
donde y . Entonces 
 (
 
√ 
 
 
√ 
 )
 
 ( 
 
√ 
 
 
√ 
 )
 
 
Acomodamos convenientemente: 
 (
 
√ 
( ))
 
 (
 
√ 
( ))
 
 
 
 [(
 
√ 
( ))
 
]
 
 [(
 
√ 
( ))
 
]
 
 
 
 [
 
 
( ) ][
 
 
( ) ]
 
 
 [
 
 
( )]
 
 [
 
 
( )]
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
Por lo tanto, 
 Rpta: C 
 
Problema 30. 
El número ( )
 
 para y 
puede representarse como 
 
 ) 
 
 ( 
( ) 
 
 
( ) 
 
) 
 ) 
 
 ( 
( ) 
 
 
( ) 
 
) 
 ) 
 
 ( 
( ) 
 
 
( ) 
 
) 
 ) 
 
 ( 
( ) 
 
 
( ) 
 
) 
 ) 
 
 ( 
( ) 
 
 
( ) 
 
) 
UNI 2008 – II 
 
Resolución 
Se pide hallar el complejo 
 ( )
 
 
en su forma polar. 
 
Se sabe que: 
 √ ( 
 
 
 
 
 
) 
 √ 
 
 
 
Lo reemplazamos en : 
 (√ 
 
 
 )
 
 
 
 (√ )
 
 ( 
 
 
 )
 
 
 
 ( 
 
 )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
 ( 
( ) 
 
 
( ) 
 
) 
Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 Christiam Huertas 41 
 
 Rpta: C 
 
Problema 31. 
Sea el número complejo 
 
[ ] [√ ( )]
 
[ ] [ ]
 
la forma polar de es 
 
A) √ 
 
 B) √ 
 
 
C) √ 
 
 
D) √ 
 
 E) √ 
 
 
UNI 2008 – II 
 
Resolución 
Se tiene el complejo 
 
 
[ ] [√ ( )]
 
[ ] [ ]⏟ 
 
 
 
Recuerde que: 
Fórmula de De Moivre: 
( ) 
 
Luego, en : 
 
 
( )√ 
 
( )
( )( )
 
 
Recuerde que: 
( )( ) ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
Lo aplicamos en : 
 
√ 
 
( )
 
 
 √ 
 
√ ( ) 
 √ ( 
 
 
 
 
 
) 
 √ 
 
 
 
 Rpta: E 
 
Problema 32. 
La raíz cúbica del número complejo 
 de mayor argumento principal, es 
también raíz 18 -ésima de otro complejo 
 con y números reales. 
Determine el valor de . 
 
A) (√ ) B) 
C) (√ ) 
D) E) 
UNI 2009 – II 
 
Resolución 
Recuerde que: 
√ 
 
 
{
 
 
 
 √| |
 
( 
 
 
 
 
 
) 
 √| |
 
( 
 
 
 
 
 
)
 √| |
 
( 
 
 
 
 
 
)
 
 
donde es el argumento principal de . 
 
NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 
 
42 Christiam Huertas 
 
En este caso, ; entonces, 
| | y 
Reemplazamos: 
√ 
 
 
{
 
 
 
 √ 
 
( 
 
 
 
 
 
) 
 √ 
 
( 
 
 
 
 
 
)
 √ 
 
( 
 
 
 
 
 
)
 
 
Luego, la raíz cúbica de de mayor 
argumento principal es 
 
 √ 
 
( 
 
 
 
 
 
) 
 
Por dato, debe ser igual a √ 
 ; es 
decir 
√ 
 
( 
 
 
 
 
 
) √ 
 
 
Elevamos a la : 
√ 
 
( 
 
 
 
 
 
)
 
⏟ 
 √ 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
De donde, 
 y 
Por lo tanto, 
 Rpta: D 
 
 
 
 
Problema 33. 
Dadas las siguientes proposiciones: 
 
I. Las raíces de pertenecen a 
un polígono regular de lados, 
 . 
 
II. Si y 〈
 
 
 
 
 
〉, entonces 
 〈 
√ 
 
 
√ 
 
〉 〈
√ 
 
 〉 
 
III. Dados 〈 〉 tales que ; 
si ( ) ( ), entonces 
 ( ) . 
 
Indique cuales son correctas. 
 
A) Solo I B) Solo II C) Solo III 
D) I y II E) II y III 
UNI 2010 – I 
 
Resolución 
Al analizar cada proposición se obtiene: 
 
I. Falso 
Se tiene la ecuación 
 
 ⏟ 
 
Por simple comparación: 
 , 
Es decir, 
 
 
Vemos que las soluciones de la 
ecuación no forman un polígono 
convexo. 
Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 Christiam Huertas 43 
 
 
II. Falso 
Veamos un contraejemplo: 
 〈
 
 
 
 
 
〉 
 
 
 
Reemplazando en 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De donde, 
 〈
√ 
 
 〉 
 
III. Verdadero 
Como 〈 〉 y 
Además, ( ) ( ), entonces 
 
 
de donde 
 ( ) 
 
Por lo tanto, solo III es correcto. 
 Rpta: D 
 
Problema 34. 
Sean los números complejos 
y √ , y los conjuntos 
 { | ̅ | } 
 { √ | | } 
¿Cuál de las siguientes gráficas representa 
a ? 
 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 
 
44 Christiam Huertas 
 
E) 
No hay clave 
UNI 2010 – II 
 
Resolución 
Hallemos las regiones determinadas por 
cada conjunto: 
 { | ̅ | } 
De aquí: 
 | ̅ | 
Reemplazamos : 
 | ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ | 
 | | 
 | ( ) | 
 √ ( ) 
Elevamos al cuadrado: 
 ( ) 
Relación que gener a una corona circular 
de centro ( ), radios y 
 . 
 
 
Ahora en el conjunto : 
 { √ | | } 
donde . 
Como | | es verdadero para 
todo , entonces es el semiplano de 
puntos ( ) tal que , como se 
muestra en la figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al intersectar los las regiones y se 
obtiene: 
 
 
 No hay alternativa correcta 
 
 
 
 
Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 Christiam Huertas 45 
 
Problema 35. 
Al resolver el sistema 
{
| | 
 
 
donde es un número complejo; 
la suma de las ordenadas de los puntos 
solución es: 
 
A) 9 B) 8 C) 7 
D) 6 E) 5 
UNI 2011 – II 
 
Resolución 
Se tiene el sistema 
{
| | 
 
 
 
En la 1era ecuación: 
| | 
Reemplazamos : 
| | 
| ( ) | 
√ ( ) 
Al cuadrado: 
 ( ) … (*) 
 
De la 2da ecuación: 
 
 … (**) 
 
Lo remplazamos en (*): 
 ( ) 
 
 
Factorizando por aspa simple: 
( )( ) 
De donde 
 
Reemplazamos en (**): 
 
Si : 
 
 
Luego, una solución es: ( ) 
 
Si : 
 
 √ √ 
Se obtienen dos soluciones más: 
(√ ) y ( √ ) 
Por lo tanto, la suma de las ordenadas de 
las soluciones es: 
 
 Rpta: A 
 
Problema 36. 
Sea 
 
( ) ( 
√ 
 
 
√ 
 
 ) (√ )
(
√ 
 
 
√ 
 
 )(
√ 
 
 
√ 
 
 )
 
Indique cuál de las siguientes 
proposiciones es verdadera. 
 
 ( ) 
 √ 
 
 
 ( ) 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
 
NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 
 
46 Christiam Huertas 
 
 
A) solo I B) solo II 
C) solo III 
D) I y III E) I, II y III 
UNI 2011 – II 
 
Resolución 
Se tiene la expresión 
 
√ √ 
 
 
√ √ 
 
 
 
( ) ( 
√ 
 
 
√ 
 
 ) (√ )
⏞ 
(
√ 
 
 
√ 
 
 ) (
√ 
 
 
√ 
 
 )
⏟ 
 
 (
√ 
 
)
 
 (
√ 
 
 )
 
 
Operamos: 
 
( )( √ )
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 √ √ 
 
 
 
( √ ) ( √ ) 
 
 
 
( √ ) ( √ ) 
 
 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
Entonces 
 ( ) 
 √ 
 
 
 ( ) 
 √ 
 
 
Expresemos ( ) en su forma polar: 
 
( )( √ )
 
 
 
Tenga en cuenta que: 
 √ 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
Reemplazamos en : 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
(
 
 
 
 
 
 ) 
 √ 
 
 
 
 
Luego, en las proposiciones: 
I. Verdadero 
II. Falso 
III. Verdadero 
 Rpta: D 
 
Problema 37. 
Al determinar la forma compleja de la 
ecuación ( ) ( ) 
obtenemosA) ̅ ( ) ( ) ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 
B) ̅ ( ) ( ) ̅ 
C) ̅ ( ) ( ) ̅ 
D) ̅ ( ) ( ) ̅ 
E) ̅ ( ) ( ) ̅ 
UNI 2012 – II 
 
Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 Christiam Huertas 47 
 
Resolución 
Recuerde que la ecuación de la 
circunferencia con centro en el origen está 
dado por: 
 
se puede expresar como 
| | 
donde . 
 
Si el centro es el punto ( ), la 
ecuación es: 
( )
 ( )
 
se puede expresar como 
| | 
Donde: 
 y . 
 
Por dato se tiene la ecuación 
( ) ( ) 
se puede expresar como: 
| | 
Donde 
 y 
es decir, 
| ( )| 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elevamos al cuadrado: 
 | ( )| ⏟ 
 ( )( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) 
( ( ))( ̅ ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) 
( ( ))( ̅ ( )) 
Multiplicamos: 
 ̅ ( ) ( ) ̅ 
 ( )( ) 
 
 ̅ ( ) ( ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) ̅ 
 
 ̅ ( ) ( ) ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ( ) 
 ̅ ( ) ( ) ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 
 
Por lo tanto, la forma compleja de la 
ecuación ( ) ( ) es: 
 
 ̅ ( ) ( ) ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 
 Rpta: A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 
 
48 Christiam Huertas 
 
Problemas propuestos 
 
Problema 1. 
Efectúe la siguiente expresión. 
√ √ √ √ 
 
 
A) B) C) 
 ) √ ) 
 
 
 
 
Problema 2. 
Determine el valor de ( ) ( ) si 
se sabe que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) B) C) 0 
D) 6 E) 
 
Problema 3. 
Determine el valor de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) B) C) 
D) E) 
 
Problema 4. 
Calcule 
 
(
 √ 
 
)
 
 (
 √ 
 
)
 
 
A) 3 B) 4 C) 5 
D) 1 E) 2 
 
Problema 5. 
Efectúe 
( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
 
A) B) C) 
D) E) 
 
Problema 6. 
A partir de la igualdad de números 
complejos 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
determine el valor de . 
 
A) 80 B) 60 C) 70 
D) 50 E) 90 
 
Problema 7. 
Sean con | | | | tal que 
(
 
 
) (
 
 
) 
calcule ( )( ). 
 
A) B) C) 
D) E) 
 
 
 
Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 Christiam Huertas 49 
 
Problema 8. 
Sean y dos números complejos 
definidos por 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
Si es un complejo real, entonces ¿cuál 
es el valor de ? 
 
A) B) C) 
D) E) 2 
 
Problema 9. 
Dada la igualdad de complejos 
( ) 
 ( ) 
 ( √ )
 
 ( √ )
 
 
halle el mayor número de tres cifras que 
cumple con esta condición. 
 
A) 999 B) 994 C) 998 
D) 997 E) 996 
 
Problema 10. 
Si se cumple que 
∑ 
 
 
 ( ) 
donde ; , calcule . 
 
A) 64 B) 128 C) 32 
D) 8 E) 16 
 
 
 
Problema 11. 
En , halle los valores de e que 
satisfacen la siguiente ecuación. 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 ) 
 ) 
 ) 
 ) 
 
Problema 12. 
Dado el polinomio 
 ( ) 
 √ √ 
calcule el valor de 
|
 ( )
 ( )
| |
 ( )
 ( )
| 
 
A) 2 B) 4 C) 7 
D) √ E) √ 
 
Problema 13. 
Para que valores de e los números 
complejos: 
 
 
 
I. Son iguales. 
II. Son conjugados. 
III. Son opuestos. 
 
Indique el valor de en cada caso 
respectivamente. 
NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 
 
50 Christiam Huertas 
 
A) 3; 2; 5 B) 2; 6; 0 
C) 2; 3; 
D) ; 3; 0 E) 4; 3; 
 
Problema 14. 
Determine el valor positivo de si se sabe 
que 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
A) √ B) C) √ 
D) √ E) 
 
Problema 15. 
Si la gráfica del número complejo 
 
 
 
 
es el que se muestra en la figura 
 
 
 
halle el valor de . 
 
A) 4 B) C) 1 
D) E) 2 
 
Problema 16. 
Sean y dos números reales de modo 
que: 
 [( ) ] √ 
calcule el módulo del complejo ( ). 
A) √ B) 11 C) 5 
D) √ E) 13 
 
Problema 17. 
Sea un número complejo de modo que 
| | √ 
Entonces, ¿cuál es el valor de √| |? 
 
A) B) 1 C) 4 
D) 2 E) 9 
 
Problema 18. 
Si ( ̅) donde 
Calcule el valor de | | | | . 
 
A) 1 B) 7 C) 28 
D) 30 E) 49 
 
Problema 19. 
Halle todos los números complejos que 
verifican la ecuación ̅ . 
 
A) { } B) { } 
C) { } 
D) { } E) { } 
 
Problema 20. 
Halle el valor de la expresión . 
 (
 √ 
 √ 
)
 
 
 
A) 1 B) √ C) 
D) √ E) 
 
Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 Christiam Huertas 51 
 
Problema 21. 
Indique el argumento principal de cada 
complejo: 
 
 
 √ √ 
 √ 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 )
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 22. 
Determine el valor reducido de 
 ( ) ( ) ( ) 
en radianes. 
 
 ) ⁄ ) ⁄ ) ⁄ 
 ) ⁄ ) ⁄ 
 
Problema 23. 
Indique verdadero (V) o falso (F) según 
corresponda, tal que 
 
I. ( ) ( ) 
II. (
 
 
) ( ) ( ) 
 ( ), . 
III. ( ) ( ) 
IV. ( ) ( ̅) 
 
 ) ) ) 
 ) ) 
 
Problema 24. 
Al representar a √ en su forma 
polar se obtiene que 
 ( ) tal que 
( ); determine el conjugado 
de ( ( ) ) 
 
 ) ) ) 
 ) ) 
 
Problema 25. 
Reduzca la expresión siguiente. 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 ) )( ) ) 
 ) ) 
 
Problema 26. 
Sean los complejos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
determine la parte real de 
 
 
 ) ) ) 
 ) ) 
 
 
Problema 27. 
Si se tiene que 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 
 
52 Christiam Huertas 
 
Entonces calcule el valor de 
( )( ) 
 
 ) ) ) 
 ) ) 
 
Problema 28. 
Halle el área de la región delimitada porlos conjuntos 
 { | | } 
 { ( ) ( ) } 
 
 ) ( 
 
 
) ) 
 
 
( ) 
 ) 
 
 
( ) 
 ) 
 
 
( ) ) ( ) 
 
Problema 29. 
Determine la verdad (V) o falsedad (F) de 
las siguientes afirmaciones con respecto a 
la ecuación 
 
 
I. Tres raíces están en el segundo 
cuadrante. 
 
II. Si , , …, son las raíces, 
entonces . 
 
 
III. Si , , …, son las raíces, 
entonces | | | | | | 
 
A) FVF B) VVV C) FFF 
D) VVF E) FFV 
 
Problema 30. 
Si , y son las raíces cúbicas de la 
unidad, calcule 
 ((( ) 
 
)
 
 
)
 
 
 
A) B) C) 
D) E) 
 
 
Claves 
 
01 A 11 B 21 D 
02 B 12 A 22 C 
03 C 13 B 23 A 
04 D 14 A 24 E 
05 B 15 C 25 A 
06 A 16 E 26 C 
07 D 17 D 27 A 
08 C 18 C 28 C 
09 E 19 A 29 A 
10 B 20 A 30 E 
 
 
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