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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...)
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica,
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional.
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y
principios de las Naciones Unidas.
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1. Toda persona tiene derecho a la libertad de reunión y de asociación pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país,
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios;
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad,
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales.
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita,
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de
la comunidad, a gozar de las artes y a participar en el progreso científico y
en los beneficios que de él resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y
materiales que le correspondan por razón de las producciones científicas,
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único
fin de asegurar el reconocimiento y el respeto de los derechos y libertades
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada en esta Declaración podrá interpretarse en el sentido de que confiere
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
3
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AritméticA
Matemática
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los principios de la Ley General de Educación.
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® matemátIca delta 3, secundaria
aritmética
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reservados y registrados conforme a ley
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leY de lucHa contra la pIraterÍa leY 28289
puBlIcada el 20 de JulIo de 2004
tÍtulo vII
delItos contra los derecHos Intelectuales
capÍtulo I
delItos contra los derecHos de autor
Y conexos
Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la
autorización del autor.
artículo 217.o.- será reprimido con pena privativa de libertad no
menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa,
el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística,
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias,
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior
importe cada uno.
MateMática Delta 3 - aritMética 3
PresentaciónPresentación
Estimado estudiante, nos alegramos que hayas concluido bien el ciclo anterior y que, al igual
que nosotros, estés entusiasmado en este nuevo año, con todas las ganas de aprender más y
conocer nuevos temas, teorías y personajes que hicieron de la Matemática una de las ciencias más
importantes que el hombre ha desarrollado.
Por ello, te presentamos este material didáctico para que te sirva de apoyo y puedas encontrar
en sus páginas todo lo que necesites para estar preparado ante las situaciones problemáticas que
encuentres en tu vida escolar.
El contenido teórico que te mostramos a continuación, permitirá que continúes fortaleciendo
tus capacidades y competencias matemáticas, y que estas sean, a su vez, aplicadas en tu vida
cotidiana; el uso de tu razonamiento lógico debe estar en constante dinamismo, esto te llevará a
un siguiente nivel.
La distribución de las asignaturas ya las conoces: Aritmética, Álgebra, Geometría, Trigonometría y
Razonamiento Matemático; en ellos encontrarás todo el contenido programado para este grado.
Asimismo, complementamos lo planteado con algunas preguntas que han sido tomadas de
exámenes de admisión, concursos de Matemática, preguntas tipo, etc., para que estés mejor
preparado.
Inicia el año escolar dispuesto a aprender nuevos temas y continúa durante todo el año con la
misma dedicación.
Delta Editores
Apertura
En esta sección
encontrarás
temas
novedosos que
propiciarán
sostener
una relación
cercana con la
Matemática.
se aborda el
desarrollo del
tema, donde
encontrarás las
definiciones
organizadas
siguiendo una
secuencia
didáctica.
Marco
teórico
Conoce tu libro
5k – 12
4k – 12
10
Tema 1
Se entiende por conjunto a la colección, agrupación o reunión de objetos reales o
abstractos que reciben el nombre de elementos del conjunto.
G
A
NS
F
Podemos observar que este concepto nos da la idea que un conjunto está formado
por varios elementos (pluralidad), lo cual no es absoluto, ya que existen conjuntos
formados por un solo elemento y conjuntos que no tienen elementos.
Ejemplos:
• El conjunto formado por el presidente del Perú.
• El conjunto de los números naturales mayores que 7 y menores que 8.
• El conjunto formado por los incas del Tahuantinsuyo.
• El conjunto formado por los números naturales menores que 100.
Los conjuntos se representan mediante letras mayúsculas y los elementos encerrados
mediante llaves «{ }»; si los elementos son letras se representan generalmente con
letras minúsculas separados por comas, y si son números separados por puntos y
comas.
Ejemplos:
Conjuntos I
A = {a, b, c, d, e}
Elementos del conjunto A
C = {Marisol, Ana, Cristina}
Elementos del conjunto C
B = {0; 1; 2; 3; 4; ... ; 100}
Notación
Los elementos de un
conjunto pueden ser
personas, números,
colores, letras, etc.
La teoría de
conjuntos se atribuye
a George Cantor,
matemático alemán
quien demostró que
el conjunto de los
números enteros
positivos tenía el
mismo número de
elementos que el
conjunto de los
números pares.
= {0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}
P = {2; 4; 6; 8; 10; ...}
Mucho más
sorprendente
todavía resultó el
descubrimiento de
que a pesar que los
números reales son
más grandes que los
enteros positivos,
Cantor descubrió
que el tamaño de los
enteros positivos es
infinito numerable y el
de los reales infinito
no numerable. Para
esta demostración,
Cantor recurrió al
famoso método
llamado «reducción al
absurdo».
¿Sa bía s qu e.. .?
D ={2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; ...}
Números primos
E = {1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; ...}
Números triangulares
F = {1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; ...}
Sucesión de FibonacciNúmeros naturales
menores que 101
Título del tema
Para una mejor
organización,
los temas están
numerados.
Comentarios
y/o lecturas
que
refuerzan el
desarrollo
del tema
4
Ejercicios
resueltos
se muestran
ejercicios que
están resueltos
didácticamente,
los mismos que
servirán para
el análisis del
estudiante.
Síntesis
Contenido
del tema, que
incluye teoremas,
postulados,
fórmulas,
propiedades,
leyes, etc.,
resumido en
organizadores
gráficos para tener
un panorama
general del
contenido.
Modela y
resuelve
Los problemas
con numeración
impar serán
resueltos por el
docente, mientras
que los pares
serán resueltos
por el estudiante
siguiendo la
secuencia
realizada.
65MateMática DELTA 3 - aritMética
Ejercicios resueltos
Dados los conjuntos:
A = {6; 8; 9} y B = {5; 6; 10}
Halla la suma de elementos del rango de la
relación R.
R = {(a ; b) ∈ A × B/ a > b}
Resolución:
Sea T = {x ∈ / 4 < x ≤ 8} y la relación binaria R
definida por:
R = {(x ; y) ∈ T2/ x < y}
Encuentra la suma de los elementos del Ran(R)
Resolución:
Sobre el conjunto N = {1; 4; 5}
Se define una relación R, tal como se muestra en
el diagrama cartesiano.
Si el gráfico representa una relación R, descubre
la condición o regla de correspondencia de R y
halla su rango.
Dados los conjuntos:
A = {2; 7; 8} y L = {1; 4; 5; 6; 9}
Determina la suma de elementos del rango de la
relación R.
R = {(a ; b) ∈ A × L/ a < b}
Resolución:
Sea P = {x ∈ / 1 ≤ x ≤ 6} y la relación binaria R
definida por:
R = {(x ; y) ∈ P2 / x + y = 5}
Calcula la suma de los elementos del Ran(R).
Resolución:
1 4 9 16
1
0
2
3
4
1 4 5
1
0
4
5
1 4
5
6
2
3
Rpta. 11
Rpta. 21
Rpta. 24
Rpta. R no es una relación de equivalencia.
Rpta. 10 Rpta. x = y2 ∧ Ran(R) = {1; 2; 3; 4}
¿Es R una relación de equivalencia?
Resolución:
Resolución:
Se obtiene la relación:
R = {(6 ; 5), (8 ; 5), (8 ; 6), (9 ; 5), (9 ; 6)}
El rango de R es:
Ran(R) = {5; 6}
La suma es 5 + 6 = 11
Los elementos de la relación son:
R = {(5 ; 6), (5 ; 7), (5 ; 8), (6 ; 7), (6 ; 8), (7 ; 8)}
El rango de R será:
Ran(R) = {6; 7; 8}
La suma de elementos:
6 + 7 + 8 = 21
Comprobamos si se cumple las propiedades
1. Reflexiva: (1 ; 1), (4 ; 4), (5 ; 5) ∈ R
⇒ R es reflexiva.
2. Simétrica: (1 ; 4) ∈ R ⇒ (4 ; 1) ∈ R
(5 ; 1) ∈ R ⇒ (1 ; 5) ∉ R
⇒ R no es simétrica.
R = {(2 ; 4), (2 ; 5), (2 ; 6), (2 ; 9), (7 ; 9), (8 ; 9)}
El rango de R es:
Ran(R) = {4; 5; 6; 9}
La suma es: 4 + 5 + 6 + 9 = 24
Los elementos de la relación son:
R = {(1 ; 4), (2 ; 3), (3 ; 2), (4 ; 1)}
Ran(R) = {1; 2; 3; 4}
La suma de los elementos del rango son:
1 + 2 + 3 + 4 = 10
x = y2 Ran(R) = {1; 2; 3; 4}
106
Síntesis
Proporción geométrica
Discreta
Sus cuatro términos
son diferentes.
Componer respecto al antecedente y
consecuente
d es la cuarta proporcional
de a, b y c.
c es la tercera proporcional.
b es la media proporcional.
Se lee:
a es a b como c es a d.
Además:
a y d → términos extremos
b y c → términos medios
a y c → antecedentes
b y d → consecuentes
Continua
Sus términos medios
son iguales.
Descomponer respecto al antecedente
y consecuente
Componer y descomponer a la vez
TiposEs la igualdad
de dos razones.
Teoremas
=
a
b
c
d
=
a
b
c
d
=
a
b
b
c
a + b
b
=
c + d
d
a + b
a
=
c + d
c
a – b
b
=
c – d
d
a – b
a
=
c – d
c
a + b
a – b =
c + d
c – d
y
respecto al
consecuente
respecto al
consecuente
respecto al
antecedente
respecto al
antecedente
y
y
b + a
b – a =
d + c
d – c
Siendo:
A = tercera proporcional de 9 y 12.
B = cuarta proporcional de 8; 32 y 2.
Halla el valor de A × B.
Siendo:
M = tercera proporcional de 5 y 15.
N = media proporcional de 9 y 25.
Halla el valor de M ‒ N.
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
Modela y resuelve
1 2
nombre de la
sección
Preguntas y/o
situaciones
problemáticas
reales o
simuladas,
planteadas de
acuerdo al tema.
algoritmo de
resolución
del problema
planteado.
Organizador
visual
Enunciado del
problema o de
la situación
planteada. Espacio para resolver
el problema.
nombre de la
sección
Nombre
de la sección
5MateMática Delta 3 - aritMética
Practica y
demuestra
se plantean
preguntas
que han sido
organizadas
por niveles de
complejidad y de
elección múltiple,
en las cuales
el estudiante
demostrará lo
aprendido durante
la sesión.
Test
Esta
evaluación
incluye
preguntas
del contenido
de los temas
desarrollados
en la unidad
y son de
elección
múltiple.
6
nombre de la
sección
número de test
Preguntas planteadas,
estas pueden ser
situaciones reales o
simuladas.
alternativas
Espacio para
realizar anotaciones
de resolución.
alternativas
Preguntas y/o
situaciones
problemáticas reales o
simuladas, planteadas
de acuerdo a la unidad.
152
Sabiendo que A es D.P. al cuadrado de B, calcula
el valor de (m + p) a partir del siguiente cuadro.
A 45 320 p
B 3 m 10
A es D.P. con B pero es I.P. con C2; si A = 10,
B = 25 y C = 4, halla A, cuando B = 64 y C = 8.
Siendo A D.P. al cuadrado de B pero I.P. al cubo
de C, encuentra el valor de (m + p) a partir del
siguiente cuadro.
A 12 125 p
B 4 m 8
C 5 3 2
La magnitud A es D.P. con B2; si cuando A = 25,
B = 20, determina el valor de A cuando B = 16.
Se sabe que (x + 2) es D.P. con (y – 3). Si x = 10,
entonces y = 19; descubre el valor de x, si y = 31.
La magnitud X es D.P. con Y, pero I.P. al cuadrado
de Z. Si X = 10, Y = 4 y Z = 14, calcula X cuando
Y = 16 y Z = 7.
Practica y demuestra
Nivel I
1
2
4
5
3 6
A 12 B 14 C 16
D 18 E 8
A 152 B 156 C 160
D 164 E 164
A 510 B 512 C 508
D 506 E 520
A 4 B 6 C 8
D 10 E 12
A 754 B 756 C 758
D 760 E 744
A 16 B 17 C 18
D 19 E 21
MateMática DELTA 3 - aritMética
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 2
9999MateMática DELTA 3 - aritMética
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
Sean los conjuntos A y B y la relación R.
A = {2; 4; 5} ∧ B = {2; 3; 9}
R = {(x ; y) ∈ A × B / (x + y) es un número primo}
Descubre el valor de n(R) + n(A × B).
5
C D
BA
100120
1064
C D
BA
2014
1921
C D
BA
23
54
C D
BA
3042
4038
Sea la igualdad de los pares ordenados:
(3x + y ; 5x – y) = (18 ; 14)
Calcula la suma de los elementos del par
ordenado (x3 ; y2)
Determina la suma de los elementos del dominio de
R1 con la suma de los elementos del rango de R2.
A = {3; 4; 5; 6; 7}
R1 = {(x ; y) ∈ A × A / x + y = 11}
R2 = {(x ; y) ∈ A × A / x + y = 9}
Sean los conjuntos C y D:
C = {x ∈ ; 2 < x < 5} D = {y ∈ ; 0 ≤ x < 3}
Se define la relación R.
R = {(x ; y) ∈ C × D / x ≥ y }
Halla cuántos elementos tiene el Dom(R).
3 6
Dados A = {2; 5; 7} y B = {3; 4}, determina la
relación definida por:
R = {(x ; y) ∈ A × B / x . y = número par}
Encuentra el producto de los elementos del
Ran(R).
4
C D
BA
117
1012
C D
BA
1415
1812
Sean los conjuntos A y B, tales que:
A = {x ∈ ; 2 < x < 8} B = {x ∈ ; 1 ≤ x < 6}
Se define la relación R.
R = {(x ; y) ∈ A × B / x + y = 8}
Halla la suma de elementos del Ran(R).
1
2
7MateMática Delta 3 - aritMética
1
3
2
4
R
es
ue
lv
e
pr
ob
le
m
as
d
e
ca
nt
id
ad
Traduce
cantidades a
expresiones
numéricas.
Conjuntos I 10
Notación
Determinación de conjuntos
Relación de pertenencia y cardinalidad de un conjunto
Conjuntos II 25
Clasificación de un conjunto
Conjuntos especiales
Relación entre conjuntos
Conjuntos III 39
Operaciones entre conjuntos
Complemento de un conjunto y diferencia simétrica
Diagramas para la resolución de problemas con conjuntos
Producto cartesiano y relaciones binarias 55
Par ordenado
Producto cartesiano
Propiedades de las relaciones binarias
Razones 85
Definición
Homogeneización de razones
Proporciones101
Teoremas de la proporción
Clasificación de las proporciones
Promedios 115
Medidas de tendencia central
Teoremas
Magnitudes proporcionales 139
Magnitud
Cantidad
Relación entre dos magnitudes
Regla de tres 156
Regla de tres simple
Regla de tres compuesta
unidad competencia y capacidades contenidos pedagógicos páginas
Comunica su
comprensión
sobre los
números y las
operaciones.
Usa estrategias
y procedimientos
de estimación y
cálculo.
argumenta
afirmaciones
sobre las
relaciones
numéricas y las
operaciones.
Índice
Leonhard Paul Euler fue un matemático, físico y astrónomo
suizo, nacido en Basilea el 15 de abril de 1707, hijo de Paul
Euler y Marguerite Brucker. Desde su infancia, mostró gran
capacidad y pasión por las matemáticas.
La familia de Euler tenía una buena amistad con la familia
Bernoulli, que eran un grupo de matemáticos y físicos
suizos; Johan Bernoulli, al ver la aptitud del pequeño
Leonhard, lo adiestró y se volvió su maestro.
Leonhard Euler
Euler ingresó a la Universidad de Basilea a los 13 años y durante su estancia en la universidad fue
comparado con Newton y Descartes. En 1726 Euler finalizó su Doctorado con una tesis sobre la
propagación del sonido, y al año siguiente obtuvo el segundo lugar en un concurso organizado
por la Academia de las Ciencias de Francia; el primer lugar lo obtuvo Pierre Bouger, padre de
la arquitectura naval.
Viajó a San Petersburgo tras aceptar una propuesta en la Academia de Ciencias de Rusia en el
puesto que anteriormente ocupaba su amigo Daniel Bernoulli en el departamento de medicina;
poco después, fue ascendido al de matemáticas. Aprendió el idioma ruso y decidió establecerse
ahí. En 1731, fue designado director del departamento de matemáticas y física en la Academia
de Ciencias de Rusia y en 1734 se casó con Katharina Gsell, con quien tuvo 13 hijos, pero solo 5
de ellos llegaron a la edad adulta.
En el año 1741, debido a los conflictos políticos que tenían lugar en Rusia, Euler y su familia
decidieron trasladarse a Alemania, en el cual acepta trabajar en el puesto de director de la
Academia de Berlín. En Berlín vivió 25 años y escribió más de 380 artículos. Publicó también
Introducción al análisis de los infinitos y Fundamentos del cálculo diferencial.
Gracias a que poseía gran conocimiento, fue solicitado para ser tutor de la princesa Anhalt-
Dessau, quien era sobrina del rey de Prusia, Federico II el Grande. Euler escribió cientos de cartas
dirigidas a la princesa, las mismas que tiempo después serían recopiladas en Cartas a una
princesa alemana.
Euler sufrió toda su vida de la vista; al principio quedó ciego del ojo derecho y le echó la culpa
a los trabajos hechos para la Academia de San Petersburgo; luego, perdió la visión del ojo
izquierdo, tan solo a pocas semanas de haber sido diagnosticado con cataratas.
Pero la productividad mental de Euler no se vio afectada debido a su enfermedad, sino que,
cuentan las anécdotas que había memorizado las fórmulas de trigonometría, las seis potencias
de los primeros cien números primos y La Eneida de Virgilio. ¡Tenía una memoria fotográfica!
La vida de otro
genio
matemático
8
Aportes a la Matemática
Introdujo el concepto de función matemática, la notación
moderna de las funciones trigonométricas, el número e, la letra
griega que representa el símbolo para sumatorias (Σ), la letra i para
los números imaginarios y la letra pi (π) para simbolizar el cociente
entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro. Unió
la naturaleza de la distribución de los números primos con sus ideas del
análisis matemático. Logró demostrar la divergencia de la suma de los inversos
de los números primos, y descubrió la conexión entre la función zeta de Riemann y
los números primos.
Leonhard Euler fue el primero en resolver el problema conocido como problema de los puentes
de Köningsberg, y su solución se considera el primer teorema de la teoría de grafos y de grafos
planares. Pudo realizar grandes avances en la mejora de las aproximaciones numéricas para
resolver integrales, hasta el punto de conocerse hoy en día como aproximaciones de Euler.
Aún con su discapacidad, Euler continuó con su trabajo;
le dictaba a su hijo mayor, haciendo que su prestigio y
reconocimiento de parte de la comunidad científica se
acrecentara.
Euler y su familia regresan a San Petersburgo en el año
1766, pero las cosas no le fueron tan bien; primero, su casa
se incendió y en segundo lugar, murió su esposa luego de
cuarenta años de casado. Sin embargo, vuelve a contraer
nupcias con Salomé Abigail Gsell, su cuñada.
El matemático falleció el 18 de septiembre de 1783 en
la ciudad de San Petersburgo a causa de un accidente
cerebrovascular.
Desempeños
• Establece relaciones entre datos y acciones de comparar e igualar cantidades. Las transforma a
expresiones matemáticas (modelos) que incluyen operaciones con conjuntos, razones y proporciones,
y regla de tres.
• Compara dos expresiones numéricas (modelos) y reconoce cuál de ellas representa todas las
condiciones del problema señalando posibles mejoras.
• Expresa con diversas representaciones y lenguaje matemático su comprensión sobre la teoría de
conjuntos, la proporcionalidad y regla de tres. Usa este entendimiento para interpretar las condiciones
de un problema en su contexto. Establece relaciones entre representaciones.
• Selecciona, emplea y combina estrategias, recursos, y procedimientos diversos para determinar la
solución en una situación con conjuntos y para determinar las medidas de tendencia central.
• Plantea afirmaciones sobre la teoría de conjuntos, el producto cartesiano, las relaciones binarias y las
relaciones de proporcionalidad. Justifica dichas afirmaciones usando ejemplos y comprueba la validez
de sus afirmaciones.
Fuentes:
personajeshistoricos.com, biografiasyvidas.com, euston96.com, britannica.com
9MateMática Delta 3 - aritMética
5k – 12
4k – 12
10
Tema 1
Se entiende por conjunto a la colección, agrupación o reunión de objetos reales o
abstractos que reciben el nombre de elementos del conjunto.
G
A
NS
F
Podemos observar que este concepto nos da la idea que un conjunto está formado
por varios elementos (pluralidad), lo cual no es absoluto, ya que existen conjuntos
formados por un solo elemento y conjuntos que no tienen elementos.
Ejemplos:
• El conjunto formado por el presidente del Perú.
• El conjunto de los números naturales mayores que 7 y menores que 8.
• El conjunto formado por los incas del Tahuantinsuyo.
• El conjunto formado por los números naturales menores que 100.
Los conjuntos se representan mediante letras mayúsculas y los elementos encerrados
mediante llaves «{ }»; si los elementos son letras se representan generalmente con
letras minúsculas separados por comas, y si son números separados por puntos y
comas.
Ejemplos:
Conjuntos I
A = {a, b, c, d, e}
Elementos del conjunto A
C = {Marisol, Ana, Cristina}
Elementos del conjunto C
B = {0; 1; 2; 3; 4; ... ; 100}
Notación
Los elementos de un
conjunto pueden ser
personas, números,
colores, letras, etc.
La teoría de
conjuntos se atribuye
a George Cantor,
matemático alemán
quien demostró que
el conjunto de los
números enteros
positivos tenía el
mismo número de
elementos que el
conjunto de los
números pares.
= {0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}
P = {2; 4; 6; 8; 10; ...}
Mucho más
sorprendente
todavía resultó el
descubrimiento de
que a pesar que los
números reales son
más grandes que los
enteros positivos,
Cantor descubrió
que el tamaño de los
enteros positivos es
infinito numerable y el
de los reales infinito
no numerable. Para
esta demostración,
Cantor recurrió al
famoso método
llamado «reducción al
absurdo».
¿Sa bía s qu e.. .?
D = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; ...}
Números primos
E = {1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; ...}
Números triangulares
F = {1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; ...}
Sucesión de FibonacciNúmeros naturales
menores que 101
11MateMáticaDelta 3 - aritMética 11
Un conjunto puede ser determinado por extensión o por comprensión.
Determinación por extensión
Un conjunto se determina por extensión, nombrando uno a uno a todos los elementos
que lo constituyen.
Ejemplo:
A = {2; 4; 6; 8; 10}
B = {12; 14; 16; ... ; 120}
C = {enero, febrero, marzo, ... , diciembre}
Determinación por comprensión
Un conjunto se determina por comprensión, enunciando o expresando cada elemento
con la característica, código o propiedad común que los identifica.
Ejemplo 1
M = {x / x es un postulante a medicina}
Se lee como:
El conjunto M está formado por todos los elementos x tal que x es un postulante a
medicina.
Ejemplo 2
Determina por extensión el conjunto D = {(x2 + 7) / x ; –4 < 3x < 23}.
Resolución:
• Los elementos del conjunto D son de la forma (x2 + 7).
• Las condiciones para la variable x son:
x ∧ – 4 < 3x < 23
x ∧ – 4
3
< x < 233
x ∧ – 1,3 < x < 7,7
Los valores que toma x son: –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
Entonces, reemplazando los valores de x en x2 + 7 tendremos:
Determinación de conjuntos
Cuando se expresa
un conjunto por
comprensión, se
utilizan variables
para indicar la forma
de sus elementos,
veamos:
{f(x) / x cumple p}
Donde:
• f(x) es la forma
que tiene cada
elemento.
• p es(son) la(s)
propiedad(es) o
condición(es) que
cumple la variable x.
Por ejemplo:
{x2 + 1 / x ; x < 4}
• (x2 + 1) es la forma
que tiene cada
elemento.
• p = x ; x < 4 son
las condiciones que
cumple la variable x.
Otro ejemplo:
{(3x − 1) / x ,
−3 < x < 6}
Donde:
• (3x − 1) es la forma
que tiene cada
elemento.
• p = x , −3 < x < 6
son las condiciones
que cumple la
variable x.
Recu e rda
(–1)2 + 7 = 8 (2)2 + 7 = 11 (5)2 + 7 = 32
(0)2 + 7 = 7 (3)2 + 7 = 16 (6)2 + 7 = 43
(1)2 + 7 = 8 (4)2 + 7 = 23 (7)2 + 7 = 56
Finalmente, el conjunto D es:
D = {7; 8; 11; 16; 23; 32; 43; 56}
12
Ejemplo 3
Halla los elementos de E = {(x3 – 5) / x ∈ ; –14 ˂ 2x + 5 ˂ 2}.
Resolución:
• Analizamos las condiciones y evaluamos los valores de la variable x.
x ∈ ∧ –14 < 2x + 5 < 2
x ∈ ∧ –19 < 2x < –3
x ∈ ∧ –192 < x < –
3
2
x ∈ ∧ –9,5 < x < –1,5
⇒ x = −9; −8; −7; −6; −5; −4; −3; −2
• Los elementos del conjunto E son de la forma x3 – 5 entonces:
(–9)3 – 5 = –734 (–5)3 – 5 = –130
(–8)3 – 5 = –517 (–4)3 – 5 = −69
(–7)3 – 5 = –348 (–3)3 – 5 = –32
(–6)3 – 5 = –221 (–2)3 – 5 = –13
Finalmente, el conjunto E será:
E = {–734; –517; –348; –221; –130; –69; –32; –13}
Relación de pertenencia
Decimos que un elemento pertenece a un conjunto, si forma parte de dicho conjunto.
En caso contrario diremos que no pertenece a tal conjunto.
Ejemplo:
Sea el conjunto A = {5; 3; {4}; 2; {5}}
Determinamos el valor de verdad de cada proposición.
• 5 ∈ A ⇒ 5 pertenece al conjunto A ... es verdadero
• 3 ∉ A ⇒ 3 no pertenece al conjunto A ... es falso
• {4} ∈ A ⇒ {4} pertenece al conjunto A ... es verdadero
• 2 ∉ A ⇒ 2 no pertenece al conjunto A ... es falso
• {5} ∉ A ⇒ {5} no pertenece al conjunto A ... es falso
Cardinal de un conjunto
El cardinal de un conjunto se refiere al número de elementos que tiene cuando estos
son sometidos a un proceso de conteo.
Ejemplo:
A = {5; 3; {4}; 2; {5}}
Este conjunto tiene 5 elementos, cinco objetos distintos. Por lo tanto, su número cardinal
es 5.
n(A) = 5; también # A = 5.
El cardinal de un
conjunto se simboliza
de las siguientes
formas:
n(A) o # A
x A se lee como:
• x pertenece al
conjunto A.
O también:
• x es elemento de A.
x A se lee como:
• x no pertenece
al conjunto A.
También como:
• x no es elemento
de A.
Algunos conjuntos
numéricos
importantes
Números naturales
= {0; 1; 2; 3; ...}
Números enteros
= {0; ±1; ±2; ±3; ...}
Números racionales
= { / a ∈ ; b ∈ ; b ≠ 0}
¿Sa bía s qu e.. .?
Re cu e rda
a
b
13MateMática Delta 3 - aritMética
Ejercicios resueltos
Se tiene el conjunto A, tal que:
A = {x3 – 1 / x ∈ ; 3 < x < 8}
Calcula la suma de los elementos de dicho
conjunto.
Resolución:
Rpta. 744
Determina por extensión, los elementos de cada
conjunto:
a) A = {x2/ x ∈ ; x es impar; 3 < x < 13}
x = 5; 7; 9; 11
Reemplazando en la condición:
A = {25; 49; 81; 121}
b) B = {x / x es letra de la palabra divisibilidad}
B = {d, i, v, s, b, l, a}
c) C = {x / x ∈ ; es primo menor que 30}
C = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 19; 23; 27}
d) D = {x / x es vocal de la palabra sábana}
D = {a}
Halla los elementos e indica el cardinal de cada
conjunto:
a) K = {x / x es vocal de la palabra estacionamiento}
K = {e, a, i, o}
⇒ n(K) = 4
b) J = {x / x ∈ ; x es D(40)}
J = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40}
⇒ n(J) = 8
c) L = {x / x es provincia del departamento de
Madre de Dios}
L = {Manu, Tahuamanu, Tambopata}
⇒ n(L) = 3
x = 4; 5; 6; 7
Reemplazando en la condición.
( )3 – 1
43 – 1 = 63
53 – 1 = 124
63 – 1 = 215
73 – 1 = 342
Ahora el conjunto A será:
A = {63; 124; 215; 342}
Sumando sus elementos:
63 + 124 + 215 + 342 = 744
1
2 4
Determina por comprensión, cada conjunto:
a) E = {sábado, domingo}
E = {x / x es día de la semana, cuyo nombre
termina en vocal}
b) F = {125; 216; 343; 512; 729}
F = {x3 / x ∈ ; 4 < x < 10}
c) G = {Pisco, Chincha, Ica, Palpa, Nasca}
G = {x / x es provincia del departamento de
Ica}
d) H = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
H = {x / x ∈ ; x es D(30)}
e) I = {60; 72; 84; 96; 108}
I = {12x / x ∈ ; 4 < x ≤ 9}
3
14
Síntesis
Conjuntos I
Notación
Los conjuntos se representan mediante letras
mayúsculas y los elementos encerrados
mediante llaves «{ }»; si los elementos son
desconocidos se representan generalmente
con letras minúsculas separados por comas,
y si son números, separados por puntos y
coma.
Determinación
• Por extensión
Un conjunto se determina por extensión,
nombrando uno a uno a todos los
elementos que lo constituyen.
Ejemplo:
M = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; ...}
• Por comprensión
Un conjunto se determina por comprensión,
enunciando o expresando cada elemento
con la característica, código o propiedad
común que los identifica.
Ejemplo:
M = {x / x es un número primo}
Representación gráfica
Diagrama de
Venn ‒ Euler
A B
Diagrama de
Lewis Carrol
B
A
M N
Se tiene el conjunto M, tal que: Se tiene el conjunto A, tal que:
M = {(3a + 5) / a ; 1 < a < 6}
Calcula la suma de los elementos de dicho
conjunto.
Resolución: Resolución:
A = {(7n + 3) / x ; –3 < n < 3}
Calcula la suma de los elementos de dicho
conjunto.
Rpta. Rpta.
Modela y resuelve
21
15MateMática Delta 3 - aritMética
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Se tiene el conjunto A, tal que:
A = {(x2 + 5) / x ; –4 < x < 3}
Determina la suma de los elementos de dicho
conjunto.
Se tiene el conjunto A, tal que:
A = {(x2 – 5) / x ; –5 < x < 2}
Determina la suma de los elementos de dicho
conjunto.
Se tiene el conjunto P, tal que:
P = {(x2 + 4) / x ; 5 < 2x + 1 < 13}
Halla la suma de los elementos de dicho conjunto.
Se tiene el conjunto C, tal que:
C = {(4x2 + 7) / x ; –7 < 3x – 2 < 8}
Halla la suma de los elementos de dicho conjunto.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
3 4
5 6
16
Se tiene el conjunto B, tal que:
B = {(3x2 + 1) / x ; 16 < 3x + 5 < 24}
Encuentra la suma de los elementos de dicho
conjunto.
Se tiene el conjunto D, tal que:
D = {(2x2 + 5) / x ; 16 < 6x + 5 < 30}
Encuentra la suma de los elementos de dicho
conjunto.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Se tiene el conjunto P, tal que:
P = {(x3 + 7) / x ; –5 < 4x + 3 < 21}
Descubre la suma de los elementos de dicho
conjunto.
Se tiene el conjunto E, tal que:
E = {(x3 + 7) / x ; –15 < 4x – 7 < –2}
Descubre la suma de los elementos de dicho
conjunto.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
7 8
9 10
17MateMática Delta 3 - aritMética
Sea el conjunto universal, calcula la suma de los
elementosque hay en cada uno de los conjuntos
A, B y C. Sabiendo que:
= {9; 10; 11; ... ; 27}
A = {x / x tiene suma de cifras igual a 5}
B = {x / x tiene producto de cifras igual a 6}
C = {x / x2 tiene como última cifra al 1}
Sea el conjunto universal, calcula la suma de los
elementos que hay en cada uno de los conjuntos
A, B y C. Sabiendo que:
= {9; 10; 11; ... ; 27}
A = {x / x tiene suma de cifras igual a 7}
B = {x / x tiene producto de cifras igual a 8}
C = {x / x2 tiene como última cifra al 9}
Rpta. Rpta.
Se tiene el conjunto B, tal que: Se tiene el conjunto A, tal que:
Rpta. Rpta.
B =
x + 1
x – 1
x ; 1 < x ≤ 5 A =
x – 2
x + 2
x ; –2 < x ≤ 2
Determina la suma de los elementos de dicho
conjunto.
Determina la suma de los elementos de dicho
conjunto.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
11 12
13 14
18
Se tiene el conjunto E, tal que: Se tiene el conjunto B, tal que:
E =
n2 – 16
n – 4
19 ≤ 5n + 8 ≤ 35; n ∈ B =
n2 – 9
n – 3
–18 ≤ 4n – 9 ≤ –1; n ∈
Halla la suma de los elementos que tiene dicho
conjunto.
Halla la suma de los elementos que tiene dicho
conjunto.
Rpta. Rpta.
Se tiene el conjunto B, tal que: Se tiene el conjunto F, tal que:
B = {(2x – x) / x ∈ ; –1 < x ≤ 4}
Encuentra la suma de de los elementos que tiene
dicho conjunto.
F = {(3x + x) / x ∈ ; –2 < x ≤ 3}
Encuentra la suma de de los elementos que tiene
dicho conjunto.
Rpta. Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
15 16
17 18
19MateMática Delta 3 - aritMética
Descubre el número de elementos que tiene el
conjunto A y la suma de elementos de B. Da como
respuesta la suma de ambos resultados, sabiendo
que los conjuntos A y B son:
A = {(x2 + 1) / x ∈ ; –4 < x < 6}
Descubre la suma de elementos que tienen los
conjuntos A y B. Da como respuesta la suma de
ambos resultados, sabiendo que los conjuntos
A y B son:
A = {(x2 – 1) / x ∈ ; –3 < x < 4}
Rpta. Rpta.
B =
x
2
∈ / x ∈ A B =
x + 1
2
∈ / x ∈ A
Resolución: Resolución:
19 20
20
Calcula la suma de elementos que tienen los
conjuntos A y B. Da como respuesta la suma de
ambos resultados, sabiendo que los conjuntos
A y B son:
A = {(x3 – x) / x ∈ ; –4 < x < 3}
Calcula la suma de elementos que tienen los
conjuntos A y B. Da como respuesta la suma de
ambos resultados, sabiendo que los conjuntos
A y B son:
A = {(x3 + x) / x ∈ ; –3 < x < 3}
Rpta. Rpta.
B =
x2 + 2
2
∈ / x ∈ A B =
x2 – 2
2
∈ / x ∈ A
Resolución: Resolución:
21 22
21MateMática Delta 3 - aritMética
Practica y demuestra
Nivel I
Sea el conjunto M, tal que:
M = {(3x + 7) / x ∈ ; 7 < 2x + 1 < 15}
Halla la suma de los elementos del conjunto M.
1
Sea el conjunto R, tal que:
R = {(x4 – 5x2 + 4) / x ∈ ; 0 ≤ x2 ≤ 9}
Encuentra la suma de sus elementos.
Sea el conjunto P, tal que:
P = {(3a + 5) / a ∈ ; 1 < a < 6}
Calcula la suma de elementos del conjunto P.
Sean los conjuntos A, B y C:
A = {(3x + 2) / x ∈ ; –2 < x < 5}
B = {(x2 + 3) / x ∈ ; –3 < x ≤ 4}
C = {(2x – 1) / x ∈ ; 2x < 6}
Determina la suma de los elementos que hay en
cada conjunto, da como respuesta la suma de
estos resultados.
Sea el conjunto A, tal que:
A = {(x2 – 5) / x ∈ ; 10 < 3x + 5 < 22}
Descubre la suma de sus elementos.
Sea el conjunto B, tal que:
B = {(3x + x) / x ∈ ; –1 < x ≤ 5}
Halla la suma de sus elementos.
2
3
6
5
4
A 84 B 85 C 86
D 87 E 88
A 60 B 62 C 64
D 65 E 66
A 379 B 380 C 381
D 382 E 384
A 60 B 68 C 62
D 64 E 66 A 42 B 46 C 38
D 40 E 44
A 32 B 33 C 34
D 35 E 36
22
Nivel II
Sea el conjunto A, tal que:
B = {x2 / x ∈ ; 20 < 3x + 3 < 34}
Encuentra la suma de sus elementos.
Sean los conjuntos A y B, tales que:
A = {2x / x ∈ ; 2 ≤ x < 7}
B =
x
2
∈ / x ∈ ; 1 < x ≤ 9
Descubre la suma de elementos de cada conjunto.
Sean los conjuntos A, B y C, tales que:
A = {x / x ∈ ; 6 < x < 12}
B = {x + 4 / x ∈ ; 5 < x < 10}
C = {x2 + 1 / x ∈ ; 3 < x < 8}
Calcula la suma de los elementos en cada
conjunto y da como respuesta la suma de estos
tres resultados.
9
10
12
Sean los conjuntos A y B, tales que:
A = {(4x – 1) / x ∈ ; 4 < x < 12}
B =
x
3
∈ / x ∈ A
Determina la suma de los elementos del conjunto
A y también del conjunto B. Da como respuesta la
suma de ambos resultados.
8
Sean los conjuntos C y B, tales que:
C = {x2 – 1 / x ∈ B ; x ≤ 8}
B = {2x + 1 / x ∈ ; 1 ≤ x ≤ 5}
Halla la suma de los elementos del conjunto C.
11
Sea el conjunto P, tal que:
P = {3x / x ∈ ; 2x + 1 ∈ ; 2 < x ≤ 15}
Calcula la suma de sus elementos.
7
A 310 B 314 C 315
D 320 E 330
A 40 y 12 B 38 y 10
C 38 y 12 D 40 y 10
E 42 y 8
A 42 B 45 C 48
D 51 E 53
A 264 B 266 C 268
D 270 E 272
A 80 B 78 C 84
D 86 E 92
A 210 B 214 C 218
D 221 E 225
23MateMática Delta 3 - aritMética
13
Si A = {x ∈ / 36 < (x – 1)2 < 144}, determina el
número de los elementos de A.
Encuentra el cardinal de B.
B = {x / ( x + 1 − 1) ∈ ; x ≤ 15}
14
15
16
17
18
Descubre la suma de elementos del conjunto D.
D = {x3 / x ∈ ; –5 < x < 2}
Halla el cardinal de F.
F = {x / x es un departamento del Perú, cuyo
nombre inicia con «L»}
Sean los conjuntos:
A = {x / x ∈ ; 3 ≤ x < 8}
B = {x + 1 / x ∈ ; 0 ≤ x < 4}
Calcula el resultado de n(B) . n(A).
Sean los conjuntos:
C = {x / x es consonante de la palabra inecuación}
D = {x / x es vocal de la palabra ecuación}
Determina el resultado de n(C)n(D) + n(D)n(C).
A 22 B 19 C 21
D 18 E 20
A 4 B 5 C 12
D 8 E 10
A 2 B 4 C 5
D 3 E 1
A 6 B 2 C 5
D 4 E 3
A −150 B −99 C −76
D 125 E 134
A 56 B 57 C 24
D 48 E 58
24
Sean los conjuntos:
E = {x / x ∈ ; x es M(12), 156 < x ≤ 216}
F = {x / x ∈ ; x es D(51)}
Encuentra el resultado de:
n(F) . n(E) – [n(F) + n(E)]
Sean los conjuntos:
G = {x / x ∈ ; x es D(20)}
H = {x / x ∈ ; x es M(6), 215 < x < 241}
Determina n(G) . n(H) – [n(G) + n(H)].
Encuentra el cardinal de J.
J = {x / x es provincia del departamento de
Lambayeque}
Calcula el cardinal de K.
K = {x / x es un país de América cuyo nombre
inicia con «c»}
Sea el conjunto J, tal que:
J = {2x / x ∈ ; 3x – 2 ∈ ; 2 ≤ x < 15}
Halla la suma de sus elementos.
19
23
24
22
21
Descubre el cardinal de H.
H = { x + 3 –1 / x ∈ ; 6 ≤ x ≤ 22}
20
Nivel III
A 19 B 12 C 11
D 17 E 51
A 17 B 18 C 19
D 12 E 21
A 5 B 4 C 3
D 2 E 1
A 5 B 1 C 2
D 3 E 4
A 22 B 21 C 23
D 24 E 20
A 1 B 3 C 5
D 2 E 4
Tema
25MateMática Delta 3 - aritMética
2
De acuerdo al número de elementos que tienen, los conjuntos se pueden clasificar en
finitos o infinitos.
Conjunto finito
Es un conjunto formado por un número determinado de elementos.
Por lo tanto, se puede expresar por extensión y su proceso de
conteo tiene fin.
B = {x / x es un día de semana}
C = {primavera, verano, invierno, otoño}
D = {xx / x ∈ ; 3 ˂ 2x < 11}
E = {x / x es un número primo menor que 20}
Conjunto infinito
Conjunto formado por un número indeterminado de elementos.
Por lo tanto, no se puede expresar por extensión y su proceso
de conteo no tiene fin.
F = {x / x es una estrella de la Vía Láctea}
G = {x / x es un número primo}
H = {1; 3; 5; 7; 9; ...}
J = {(x + 3) / x > 6}
Dentro de los conjuntos infinitos, algunos de ellos tienen elementos que pueden ser
sometidos a un proceso de conteo pero nunca tendrá fin tal conteo. Otros conjuntos
tienen elementos que ni siquiera pueden ser contados porque no sabremos dónde
empezar ni tampoco dónde terminar.
De allí que podemos hablar de conjunto infinito numerable o de conjunto infinito no
numerable.
El conjunto de los números primos: 2; 3; 5; 7; 11; 13; ... es infinito y Euclides lo
demostró con un razonamiento muy elegante.
¿Es igual el # al # ?
Todo comienza cuando Cantor buscaba una formade comparar el tamaño de dos
conjuntos sin necesidad de contar los elementos que contienen. De esta forma llegó
a la conclusión de que dos conjuntos tienen el mismo cardinal, si podemos poner,
mediante cierta función, en correspondencia unívoca cada elemento de un conjunto
con un y solo uno de los elementos del otro. Por ejemplo, si tenemos un conjunto de
cuatro cucharas y otro de cuatro tenedores, podemos agrupar cada cuchara con cada
tenedor y como hemos encontrado una correspondencia afirmamos que el conjunto de
las cucharas y el de los tenedores tienen el mismo tamaño o cardinal.
Este teorema aparentemente trivial tiene la gracia de que en ningún momento se impone
que los conjuntos deban ser finitos. Así pues, es perfectamente válido si consideramos
conjuntos infinitos de objetos. Pensemos en el conjunto de los números enteros
positivos y el de los números pares. Los dos conjuntos son infinitos, pero podríamos
pensar que hay más números enteros positivos que números pares, ya que en este
último conjunto no se encuentran elementos que sí están en el conjunto de los enteros
positivos. Sin embargo, realicemos una sencilla correspondencia.
+: 1; 2; 3; 4; 5; ... ; n; ...
P: 2; 4; 6; 8; 10; ... ; 2n; ...
Como veremos, simplemente asociamos cada elemento de + con su doble que se
encuentra como elemento en P, de allí que hemos encontrado una correspondencia
válida para afirmar que ambos conjuntos tienen el mismo cardinal.
El h ot e l más
g ra n de de l
mu n do
Dos grandes
hoteleros que
querían construir el
hotel más grande
del mundo se
reunieron a dialogar
sobre el asunto
y comenzaron
por el primer y
más obvio tema a
discutir: cuántas
habitaciones tendría.
—¿Qué te parece
si construimos un
hotel con 1000
habitaciones? —No,
porque si alguien
construyera uno de
2000 habitaciones,
nuestro hotel ya no
sería tan grande.
Mejor hagámoslo
de 10 000. —Pero
podría ser que
alguien construyera
uno de 20 000
y volveríamos a
quedarnos con un
hotel pequeño.
Construyamos un
hotel con 1 000 000
de habitaciones,
ese sería un hotel
grande. —Y qué
tal si alguien
construyera uno
con... Como siempre
podría llegar a
haber un hotel más
grande, llegaron
a la conclusión de
que era necesario
hacer un hotel con
habitaciones infinitas
de manera que
ningún otro hotel
del mundo pudiera
superar su tamaño…
Conjuntos II
Clasificación de un conjunto
5k – 12
4k – 12
26
Conjuntos especiales
Conjunto vacío
Conjunto que no posee elemento alguno. Se representa por { } o ∅.
Ejemplos:
M = {x / x ∈ ; 7 ˂ x ˂ 8} = ∅
P = {x / x es un cuadrilátero de 5 lados} = { }
Conjunto unitario
Es el conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplos:
S = {x / x ∈ ; 7 ˂ x ˂ 9 } = {8}
P = {x / x es cifra par del número 35 479} = {4}
Conjunto universal
Es aquel conjunto que mínimamente está formado por todos los elementos motivo de
estudio, por lo tanto contiene a todos los conjuntos analizados. Se representa por el
símbolo .
Ejemplo:
= {x / x ∈ } = {0; 1; 2; 3; ...}
A = {1; 3; 5; 7; 9}
B = {0; 2; 4; 6; 8}
Relación entre conjuntos
Inclusión
Se dice que el conjunto A está incluido en el conjunto B, si todo elemento de A también
pertenece al conjunto B.
Definición matemática:
A ⊂ B ⇔ (∀ x ∈ A → x ∈ B)
El cual se lee como:
A está incluido en B, si y solo si, todo elemento x que pertenece al conjunto A también
pertenece al conjunto B.
Ejemplo:
A = {níquel, cromo, vanadio}
B = {oro, níquel, platino, cromo, plata, vanadio, sodio}
C = {oro, platino, vanadio}
Observamos que:
A ⊂ B y se lee como: A está incluido en B.A es subconjunto de B.
C ⊂ B y se lee como: C está incluido en B.C es subconjunto de B.
A ⊄ C y se lee como: A no está incluido en C.
A no es subconjunto de C.
Repa sa
∅ es una letra vocal
utilizada en las
lenguas danesa y
noruega.
Al conjunto vacío
también se le conoce
como conjunto nulo.
Antiguamente se
consideraba al
conjunto universal
como «El conjunto
de todas las cosas»;
sin embargo, está
demostrado que
dicho conjunto
no existe, porque
suponer la existencia
de dicho conjunto
conduce a la
paradoja de Rusell.
• 1 • 3
• 5 • 7
• 9
A
• 4 • 6
• 0 • 2
• 8
B
• Ni
• V
A
• Cr
• Na
• Au
• Pt
CB
27MateMática Delta 3 - aritMética
Si M ⊂ R y R ⊂ P ⇒ M ⊂ P
Además:
M = {verde, amarillo, negro}
R = {negro, azul, verde, amarillo, rojo}
P = {azul, amarillo, rojo, negro, blanco, verde, anaranjado, marrón}
Observamos que:
Conjuntos iguales
Un conjunto A es igual a otro conjunto B, si A está incluido en B y B también está
incluido en A.
Definición matemática:
A = B ⇔ (A ⊂ B ∧ B ⊂ A)
Ejemplo:
A = {2; 4; 6; 8; 10}
B = {10; 8; 6; 4; 2}
C = {x / x es par; x <12}
Vemos que:
Llamado también conjunto de partes de un conjunto. Es la relación que existe entre
el conjunto A y todos los subconjuntos que se pueden formar con sus elementos,
incluyendo el conjunto vacío.
Definición matemática:
P(A) = {x / x ⊂ A}
Ejemplo:
Sea el conjunto A = {5; 7; 9}
Los subconjuntos de A son:
∅, {5}; {7}; {9}; {5; 7}; {5; 9}; {7; 9}; A
son 8 subconjuntos de A
Entonces, el conjunto potencia de A se denota como P(A),
Luego:
P(A) = {∅; {5}; {7}; {9}; {5; 7}; {5; 9}; {7; 9}; A}
Además, el número de elementos de P(A) se calcula como 2n(A):
n[P( A)] = 2 n(A)
Conjunto potencia
Los términos
pertenencia o
inclusión son
diferentes, pero
muchas veces
se les confunde.
Por ejemplo, es
frecuente decir «yo
pertenezco a este
grupo» o «yo estoy
incluido en este
grupo» y en ambos
casos se entiende
lo mismo. Pero en la
teoría de conjuntos
estos son diferentes.
La relación de
pertenencia se da
entre elementos de
un conjunto y este.
No es correcto decir
que un elemento
está incluido en un
conjunto. Veamos:
Sea A = {5; 2; {6; 2}}
Entonces:
• 5 ∈ A
• {6; 2} ∈ A
• {6; 2} ⊄ A
La relación de
inclusión se da entre
conjuntos.
Import a nt e
Re cu e rda
• 2 • 4
• 8 • 6
• 10
A
• 10
• 4
• 8 • 6
• 2
• 10
• 4 • 8• 6• 2
B C
⇒ A = B = C
Si A ⊂ B y B ⊂ A ⇒ A = B
Si B ⊂ C y C ⊂ B ⇒ B = C
⇒ A = B = C
Se dice que B es
subconjunto propio
(partes propias) de A,
si B es subconjunto
de A pero B ≠ A.
Es correcto decir
que un subconjunto
está incluido en un
conjunto mayor.
28
Halla los elementos de cada conjunto e indica
cuántos son finitos.
• A = {x / x ∈ ; x es par}
• B = {x / x es letra de la palabra universidad}
• C = {x / x ∈ ; x < 5}
• D = {x / x ∈ ; x es M (5), 8 < x < 34}
• E = {x / x es letra de la palabra computación}
Resolución:
Se tiene los conjuntos unitarios P y Q, tales que
P = {2x + 3y; 39} y Q = {5x – 4y; 17}. Encuentra el
valor de x2 + y2.
Resolución:
Dados los conjuntos:
C = {x – 1 / x ∈ ; –3 < x < 3}
D = {2x + 3 / x ∈ ; –2 < x < 3}
Descubre el valor de n[P(C)] + n[P(D)].
Resolución:
Halla los elementos de cada conjunto e indica
cuántos son vacíos.
• A = {x / x es una cifra par del número 19 397}
• B = {x / x ∈ ; x es M(12), 26 < x < 35}
• C = {x / x es un país de América cuyo nombre
inicia con L}
Resolución:
Si los conjuntos A y B son iguales, calcula el valor
de mn.
A = {2m + 6; 15}; B = {10; nm – 10}; (n > 0)
Resolución:
Se tienen los conjuntos iguales y unitarios A y B,
tales que:
A = {2a – b; c}
B = {3c – 14; 3b – 8}
Determina el valor de a2 + b2 + c2.
Resolución:
1 4
5
6
2
3
Rpta. Hay 3 conjuntos finitos.
Rpta. 130
Rpta. 48Rpta. 32
Rpta. 110 Rpta. Todos
Hallamos los elementos:
A = {2; 4; 6; 8; ...}
B = {u, n, i, v, e, r, s, d, a}
C = {...; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4}
D = {10; 15; 20; 25; 30}
E = {c, o, m, p, u, t, a, c, i, n}
Hallando los elementos:
• C = {–3; –2; –1; 0; 1} ⇒ n(C) = 5
⇒ n[P(C)] = 25 = 32
• D = {1; 3; 5; 7} ⇒ n(D) = 4
⇒ n[P(D)] = 24 = 16
• Calculando n[P(C)] + n[P(D)]: 32 + 16 = 48
Hallando los elementos:
A = { }
B = ∅
C = { }
Todos son vacíos.
• Calculando mn
25 = 32
• Hallando n
n2 – 10 = 15
n = 5
• Hallando m
2m + 6 = 10
m = 2
• Hallandoc
3c – 14 = c
c = 7
• Calculando:
a2 + b2 + c2 = 62 + 52 + 72
= 36 + 25 + 49
= 110
• Hallando b
3b – 8 = 7
b = 5
• Hallando a
2a – 5 = 7
a = 6
Hallando los valores de x e y:
2x + 3y = 39 → (×4) → 8x + 12y = 156
5x – 4y = 17 → (×3) → 15x – 12y = 51
23x = 207
x = 9
y = 7
∴ Calculando x2 + y2:
92 + 72 = 81 + 49 = 130
Ejercicios resueltos
29MateMática Delta 3 - aritMética
Síntesis
Conjuntos II
Clases de conjuntos
• Finito
Es un conjunto formado por un número
determinado de elementos. Por lo tanto, se
puede expresar por extensión y su proceso de
conteo tiene fin.
• Infinito
Conjunto formado por un número indeterminado
de elementos. Por lo tanto, no se puede expresar
por extensión y su proceso de conteo no tiene fin.
Conjuntos especiales
• Vacío
Conjunto que no posee elemento alguno. Se
representa por { } o ∅.
• Unitario
Es el conjunto que tiene un solo elemento.
• Universal
Es aquel conjunto que mínimamente está formado
por todos los elementos motivo de estudio, por lo
tanto contiene a todos los conjuntos analizados.
Se representa por el símbolo .
Relaciones entre conjuntos
• Inclusión
Se dice que el conjunto A está incluido en el
conjunto B, si todo elemento de A también
pertenece al conjunto B.
• Conjuntos iguales
Un conjunto A es igual a otro conjunto B, si A está
incluido en B y B también está incluido en A.
• Conjuntos potencia
Llamado también conjunto de partes de un
conjunto. Es la relación que existe entre el
conjunto A y todos los subconjuntos que se
pueden formar con sus elementos, incluyendo el
conjunto vacío.
Dados los conjuntos:
A = {x + 5 / x ∈ ; −2 < x ≤ 4}
B = {3x − 1 / x ∈ ; −1 < x ≤ 3}
Calcula n[P(A)] − n[P(B)], si n(L) se lee cardinal
de L o número de elementos de L.
Resolución: Resolución:
Modela y resuelve
1 2 Dados los conjuntos:
M = {2x + 1 / x ∈ ; −2 ≤ x ≤ 1}
N = {x − 5 / x ∈ ; −2 < x ≤ 3}
Calcula n[P(M)] + n[P(N)], si n(L) se lee cardinal
de L o número de elementos de L.
Rpta. Rpta.
30
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Se tiene los conjuntos unitarios P y Q, tales que:
P = {3x + 5y; 43}
Q = {4x – 3y; 9}
Determina el valor de x2 + y2.
Se tiene los conjuntos unitarios A y B, tales que:
A = {5x + 7y; 117}
B = {9x – 13y; –71}
Determina el valor de x2 + y2.
Rpta. Rpta.
Se tienen los conjuntos iguales A y B, tales que:
A = {a2 + 1; 12}
B = {a – b; 17}
Halla todos los posibles valores de (a + b), siendo
a y b números enteros.
Se tienen los conjuntos iguales A y B, tales que:
A = {a2 – 1; 17}
B = {b – a; 35}
Halla todos los posibles valores de (a + b), siendo
a y b números enteros.
Rpta. Rpta.
3 4
5 6
31MateMática Delta 3 - aritMética
Sea el conjunto A de la forma:
A = {x2 + 1 / x ∈ ; 8 < 2x + 1 < 19}
Encuentra la suma de los elementos de A y el
número de subconjuntos que tiene.
Sea el conjunto B de la forma:
B = {x(x – 2) / x ∈ ; –5 < 5x + 3 < 10}
Descubre la suma de sus elementos con el
número de subconjuntos que tiene.
Sea el conjunto A de la forma:
A = {x2 – 3 / x ∈ ; ‒12 < 3x ‒ 7 < 0}
Encuentra la suma de los elementos de A y el
número de subconjuntos que tiene.
Sea el conjunto C de la forma:
C = {x(x + 2) / x ∈ ; –2 < 4x – 3 < 8}
Descubre la suma de sus elementos con el
número de subconjuntos que tiene.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
7 8
9 10
32
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Se tiene los conjuntos unitarios A y B, tales que:
A = {a2 + 1; 3a – 1}
B = {3x + y; x – y – 8}
Calcula el valor de a + x + y, sabiendo que a es
par.
Se tiene los conjuntos unitarios A y B, tales que:
A = { a + b ; 16}
B = { a – b ; 10}
Determina el valor de a2 – b2.
Se tiene los conjuntos unitarios A y B, tales que:
A = {a2 + 2; 8a – 10}
B = {3x – y; x + y + 10}
Calcula el valor de a + x – y, sabiendo que a es el
mayor posible.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Se tiene los conjuntos unitarios A y B, tales que:
A = { x + y ; 12}
B = { x – y ; 6}
Determina el valor de x2 – y2.
11 12
13 14
33MateMática Delta 3 - aritMética
15 16Sea el conjunto A, tal que:
A = {7; 8; 10}
Halla si las proposiciones son verdaderas (V) o
falsas (F).
I. {8} ∈ P(A) ( )
II. Ø ⊂ P(A) ( )
III. {10; 4} ∈ P(A) ( )
IV. {{8; 7}} ⊂ P(A) ( )
V. {10; 12} ∈ P(A) ( )
Sea el conjunto A, tal que:
A = {6; {8}; 9}
Halla si las proporciones son verdaderas (V) o
falsas (F).
I. {8} ∈ P(A) ( )
II. Ø ∈ P(A) ( )
III. {6; 9} ∈ P(A) ( )
IV. {{8}; 9} ⊂ P(A) ( )
V. {{8}; 6} ∈ P(A) ( )
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Se tiene los conjuntos iguales y unitarios A y B,
tales que:
A = {2a – b; c}
B = {3c – 12; 4b – 10}
Encuentra el valor de a2 + b2 + c2.
Se tiene los conjuntos iguales y unitarios A y B,
tales que:
A = {4a – b; 2c}
B = {5c – 21; 4b – 10}
Encuentra el valor de a2 + b2 + c2.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
17 18
34
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta. Rpta.
Conociendo el conjunto A, tal que:
A = {1; 2; {3}; 4; {5}}
Descubre la veracidad (V) o falsedad (F) de las
siguientes proposiciones.
I. {2} ⊂ A ( )
II. {2; 4} ⊂ A ( )
III. {4} ⊂ A ( )
IV. {{5}; 3} ⊂ A ( )
Se tienen los conjuntos iguales A, B y C, tales
que:
A = {3a + 5; 7}
B = – 2; 29
C = {5c + 14; d + 2}
Se tienen los conjuntos iguales A, B y C, tales
que:
A = {4a + 9; 6}
B = – 1; 21
C = {8c – 3; d + 4}
Si c; d ∈ , calcula el valor de a + b + c + d. Si c; d ∈ , calcula el valor de a + b + c + d.
Conociendo el conjunto A, tal que:
A = {6; 8; {4}; 6; {2}}
Descubre la veracidad (V) o falsedad (F) de las
siguientes proposiciones.
I. {8} ⊂ A ( )
II. {{2}; {4}} ⊂ A ( )
III. {4} ⊂ A ( )
IV. {{2}; 8} ⊂ A ( )
Rpta. Rpta.
b
3
b
4
19 20
21 22
35MateMática Delta 3 - aritMética
Practica y demuestra
Nivel I
Halla los elementos de cada conjunto e indica
cuántos son infinitos.
A = {x / x ∈ ; x es impar}
B = {x / x es letra del alfabeto con que se forma un
número romano}
C = {x / x ∈ ; x < –3}
D = {x / x es nombre de una persona que inicie
con a}
Sean los conjuntos A y B, tales que:
A = {2a + b; 13} B = {b + 2; 3a – b}
Si ambos conjuntos son unitarios, calcula el valor
de a × b.
1
2
Sean los conjuntos A y B, tales que:
A = {n2 + 1; –6}
B = {2 – m; 10}
Si ambos conjuntos son iguales, determina el
valor de (m + n).
3
Sea A un conjunto que tiene 4 elementos,
encuentra cuántos subconjuntos tiene.
Sea el conjunto A, tal que:
A = {x2 + 1 / x ∈ ; –3 ≤ x ≤ 4}
Descubre cuántos subconjuntos tiene.
Si el conjunto A tiene 16 subconjuntos, halla
cuántos elementos tiene el conjunto A.
4
5
6
A 11 B 8 C 5
D 11 o 5 E 10 o 6
A 12 B 15 C 20
D 24 E 18
A 2 B 3 C 4
D 5 E 6
A 1 B 3 C Solo 2
D 4 E 0
A 2 B 6 C 4
D 8 E 16
A 4 B 64 C 8
D 16 E 32
36
A 28 B 36 C 24
D 54 E 42
Calcula cuántos subconjuntos tienen A y B en
total.
A = {x2 / x ∈ ; –2 < x < 5}
B = {2x – x / x ∈ ; –1 < x < 3}
Determina cuántos subconjuntos tiene el conjunto
D, tal que: D = { 2x + 1 ∈ / x ∈ ; 2 < x < 15}
Sea el conjunto A, tal que:
A = {x2 + 1 / x ∈ ; –3 < x < 3}
Encuentra la suma de sus elementos con el
número de subconjuntos que tiene.
Nivel II
Sean los conjuntos:
A = {x / x es impar; x ≤ 13}
B = {x / x es impar; 3 < x ≤ 11}
C = {2x / x es primo menor que 17}
Halla qué proposiciones son ciertas.
I. A está incluido en B.
II. C no está incluido en B.
III. A no está incluido en C.
Calcula los elementos de cada conjunto e indica
cuántos son unitarios.
• A = {x / x ∈ ; x es cifra par de 36 754}• B = {x / x es país de América cuyo nombre
inicia con r}
• C = {x / x ∈ ; x es par, 3 < x < 4}
• D = {x / x es puerto chileno donde se encuentra
anclado el monitor «Huáscar»}
A Solo II B Solo III
C II y III D I y III
E Solo I
7
8
9
11
12
Descubre el valor de a . b . c, si A, B, C y D son
conjuntos iguales, tales que:
A = {a + 2; a + 1} B = {7 – a; 8 – a}
C = {b + 1; c + 1} D = {b + 2; 4}
10
A 40 B 14 C 28
D 20 E 38
A 2 B 4 C 8
D 16 E 32
A 12 B 14 C 16
D 18 E 20
A 1 B 3 C 2
D 4 E 0
37MateMática Delta 3 - aritMética
A 13 B 25 C 10
D 20 E 8
A 67 B 31 C 61
D 23 E 35
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
A –10 B 11 C 10
D –11 E 8
Dados los conjuntos A = {a; b} y B = {a; b; {b}},
determina el número de elementos de P(A ∩ B).
Si los conjuntos A y B son iguales, tales que:
A = {a2 + 2a; b3 – b} B = {2a; 15}
Encuentra el valor de a2 + b2; sabiendo que a y b
son enteros.
13 16
14
Si los conjuntos A y B son iguales, tales que:
A = {m + 2; n2 + 9} B = {10; –9}
Descubre el valor de m × n; sabiendo que m y n
son enteros.
15
Si los conjuntos A y B son iguales, tales que:
A = {2m + 6; 2} B = {10; p – 3}
Halla el valor de m2 + p2.
Si los conjuntos A y B son iguales, tales que:
A = {m2 – 1; 2} B = {18 – p2; 8}
Calcula el mayor valor de m3 + p; sabiendo que m
y p son enteros.
17
18 Si los conjuntos A y B son iguales, tales que:
A = {3x + 5; 12; 8x – 4} B = {3x + 6; 11}
Determina el cardinal del conjunto:
L = {x2; 2x; x + 2; 3x – 4}.
A 1 B 2 C 4
D 8 E 16
A 20 B 11 C 25
D 13 E 29
38
A 15 B 18 C –12
D 25 E 9
A 28 B 52 C 5
D 25 E 10
Si los conjuntos A y B son iguales, tales que:
A = {m2 + 1; 31} B = {26; n2 – 5}
Encuentra el mayor valor de m × n; sabiendo que
m y n son enteros.
Dados los conjuntos unitarios:
C = {x2 – y2; 45} y D = {x + y; 15}
Calcula el valor de x – y.
Si los conjuntos A y B son iguales, determina el
valor de x2 – y2.
A = {x + y; 8} y F = {16; x – y}
Si el conjunto A es unitario, encuentra el valor de
(a + b)2.
A = {a + 2b; 3b – a + 2; 11}
19
22
23
24
20
21
Si los conjuntos A y B son iguales, tales que:
A = {2a2 – 1; 13} B = {2a2 – 5; 3b + 2}
Descubre el mayor valor de a × b; sabiendo que
a y b son enteros.
Si los siguientes conjuntos son iguales:
A = {x3 + 2; 20} y B = {29; y5 – 4x}
Halla el valor de (x + y)2.
Nivel III
A –15 B 18 C –12
D 28 E 30
A 3 B 5 C 15
D 10 E 2
A 64 B 164 C 128
D 256 E 132
A 36 B 49 C 14
D 12 E 56
Tema
39MateMática Delta 3 - aritMética
3
Conjuntos III
Unión o reunión
Sean A y B dos conjuntos cualquiera, la unión de A y B se representa como A ∪ B y
será el conjunto formado por elementos que pertenecen al conjunto A, al conjunto B o
a ambos.
Definición matemática:
A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B}
A = {1; 2}
B = {2; 3}
1
A B
• 1 • 2 • 3
A ∪ B = {1; 2; 3}
A = {2; 4}
B = {1; 3}
2
A B
A ∪ B = {1; 2; 3; 4}
• 2
• 4
• 1
• 3
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
B = {1; 2}
3
A
• 1
• 2
• 5
• 3
• 4 • 6
B
A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6} = A
Intersección
Sean A y B dos conjuntos, la intersección de A y B se representa como A ∩ B, y será
el conjunto formado por los elementos que son comunes tanto al conjunto A como al
conjunto B.
Definición matemática:
A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B}
A = {a, b}
B = {b, c}
1
A B
• a • b • c
A ∩ B = {b}
A = {a, b, c, d}
B = {a}
3
A
• a
• b
• c • d
B
A ∩ B = {a} = B
A = {a, b, c}
B = {d, e, f}
2
A B
A ∩ B = ∅
• b
• a
• c
• e
• d
• f
• A ∪ A = A
• A ∪ B = B ∪ A
• A ∪ B ∪ C
= (A ∪ B) ∪ C
= A ∪ (B ∪ C)
= (A ∪ C) ∪ B
• A ∪ ∅ = A
• Si A ⊂ B
⇒ A ∪ B = B
Ade más
Cuando A ∩ B = ∅,
afirmaremos que A
y B son conjuntos
disjuntos.
Recu e rda
• A ∩ A = A
• A ∩ B = B ∩ A
• A ∩ B ∩ C
= (A ∩ B) ∩ C
= A ∩ (B ∩ C)
= (A ∩ C) ∩ B
• Si A ⊂ B
⇒ A ∩ B = A
Operaciones entre conjuntos
5k – 12
4k – 12
40
Diferencia
Sean A y B dos conjuntos, la diferencia de A menos B se representa como A – B,
y será el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A pero no
pertenecen al conjunto B.
Definición matemática:
Complemento de un conjunto
Sea A un conjunto, su complemento se representa como (AC ; A'; A) , y es el conjunto
formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal pero no pertenecen al
conjunto A.
Definición matemática:
AC = – A = {x / x ∈ ∧ x ∉ A}
Ejemplo:
= {I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X}
A = {I, II, III, V, VI}
B = {IV, III, VIII, X, VII}
El complemento de A = AC = {IV, VIII, VII, X, IX}
El complemento de B = BC = {I, II, V, VI, IX}
A – B = {x / x ∈ A ∧ x ∉ B}
• El conjunto A – B
no es lo mismo
que el conjunto
B – A, es decir:
A – B ≠ B – A
• Si A ⊂ B
⇒ A – B = ∅
¿Sa bía s qu e.. .?
Impo rt a nt e
Not a
A = {m, n, p}
B = {n, q}
1
A B
• m • n • q
A – B = {m, p}
B − A = {q}
• p
A = {3; 7}
B = {5; 8}
2
A B
A – B = A
B – A = B
• 3
• 7
• 8
• 5
A = {a, b, 2; 3}
B = {a, b}
3
A
B
A – B = {2; 3}
B – A = ∅
• 2
• 3
• a
• b
• I
• III
• IV
• VIII
• X
• VII
• IX
• II
• V
• VI
A B
• (AC)C = A
• C = ∅
• ∅C =
• A ∩ AC = ∅
• A ∪ AC =
Leyes de De Morgan
• (A ∪ B)C = AC ∩ BC
• (A ∩ B)C = AC ∪ BC
Si A ∩ B = ∅ además
AC = B, entonces
diremos que A y
B son conjuntos
complementarios.
41MateMática Delta 3 - aritMética
Ade más
¿Sa bía s qu e.. .?
Re cu e rda
Diferencia simétrica
Sean A y B dos conjuntos, la diferencia simétrica entre ellos se representa como A B, y
es el conjunto formado por la unión de A – B y B – A.
Definición matemática:
A B = {x / x ∈ (A – B) ∨ x ∈ (B – A)}
Ejemplos:
A = {1; 2; 3}
B = {3; 4; 5}
1
A B
•1
A B = {1; 2; 4; 5}
•2
•3
• 4
• 5
A = {1; 2; 3}
B = {4; 5}
2
A B
• 2
• 1
• 3
• 4
• 5
A B = {1; 2; 3; 4; 5}
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
B = {1; 2}
3
A
• 1• 3
• 4 • 6
B
• 2
• 5
A B = {3; 4; 5; 6}
Producto cartesiano
Sean A y B dos conjuntos no vacíos, su producto cartesiano se representa como A × B,
y es el conjunto formado por pares ordenados de la forma (x ; y) de tal modo que
(x ∈ A) y (y ∈ B).
Definición matemática:
A × B = {(x ; y) / x ∈ A ∧ y ∈ B}
Ejemplo:
Dados los conjuntos A = {1; 3} y B = {2; 4; 5; 6}.
El producto cartesiano:
A × B = {(1 ; 2), (1 ; 4), (1 ; 5), (1 ; 6), (3 ; 2), (3 ; 4), (3 ; 5), (3 ; 6)}
Para representar el producto cartesiano A × B, podemos utilizar diagramas sagitales (de
flechas) y diagramas cartesianos; así, por ejemplo:
Diagrama sagital del producto cartesiano A × B
• 1
• 3
• 2
• 4
• 5
• 6
A B
• A B
= (A – B) ∪ (B – A)
También
• A B
= (A ∪ B) – (A ∩ B)
• El conjunto A × B
no es igual al
conjunto B × A,
es decir:
A × B ≠ B × A
• El conjunto
producto
A × A también
se representa
como A2,
simbólicamente:
A × A = A2
• El cardinal se
halla:
#(A × B) = #A . #B
42
Diagramas para conjuntos
Diagrama de Venn - Euler
Son figuras geométricas planas cerradas como el círculo, el rectángulo, la elipse, etc.,
usadas para representar gráficamente a los conjuntos.
Diagrama de Lewis Carrol
Utilizado en representación de varios conjuntos disjuntos que al unirse dan el conjunto
universal.
Ejemplo:
Sean
• H = Conjunto de hombres
• M = Conjunto de mujeres
• C = Conjunto de personas casadas
• S = Conjunto de personas solteras
• F = Conjunto de personas que fuman
En (1) : Están los hombres solteros que no fuman
En (2) : Están los hombres casados que fuman
En (3) : Están las mujeres casadas que fuman
En 2 y 3 : Están las personas casadas que fuman
Diferencias DiferenciasSimilitudes
A B
4
1
5
6
2
7
3
8
personas que fuman (F)
hombres (H) mujeres (M)
casadas (C)
solteras (S)
43MateMática Delta 3- aritMética
Sean los conjuntos B y C, tales que:
C = {x2 + 1 / x ∈ ; x ≤ 6}
B = {2x – 1 / x ∈ ; 10 < 3x + 8 < 27}
Calcula la suma de los elementos de C ∩ B.
Resolución:
De un grupo de 120 personas, 70 son hombres,
60 usan anteojos, 15 mujeres no usan anteojos.
¿Cuántos hombres no usan anteojos?
Resolución:
Dados:
A = {2x + 3 / x ∈ ; 3 < x < 7} y
B = {x2 – 2 / x ∈ ; 3 < x < 6}
Determina la suma de los elementos de A Δ B.
Resolución:
1
De 120 alumnos se obtuvo lo siguiente: 45
aprobaron Comunicación, 46 Inglés y 38
Matemática; además, 7 aprobaron Comunicación
e Inglés, 8 Inglés y Matemática, 10 Matemática y
Comunicación y 4 aprobaron las tres asignaturas.
¿Cuántos no aprobaron ningún curso?
Resolución:
3
5
De un aula del Instituto Delta hay 15 ajedrecistas
de los cuales 10 son hombres, 15 hombres no
son ajedrecistas y 30 son mujeres. ¿Cuántos
estudiantes hay en dicha aula?
Resolución:
6
2
De un grupo de 47 alumnos, 29 juegan básquet,
27 juegan tenis y 5 prefieren otro deporte.
¿Cuántos prefieren básquet y tenis?
Resolución:
4
C = {1; 2; 5; 10; 17; 26; 37}
B = {1; 3; 5; 7; 9; 11}
C ∩ B = {1; 5}
Suma de elementos: 1 + 5 = 6
Hallando x
29 + 27 – x = 42
56 – 42 = x
14 = x
Entonces son 14 alumnos
que prefieren los dos
deportes
45 hombres no usan anteojos.
Total: 25 + 30 = 55 estudiantes
= 60
= 15
A = {11; 13; 15}
B = {7; 14; 23; 34}
A Δ B = {7; 11; 13; 14; 15; 23; 24}
Suma de elementos: 107
x = 120 – (45 + 35 + 4 + 24)
120 – 108
x = 12
Rpta. 6
Rpta. 107
Rpta. 12 Rpta. 55
Rpta. 45
Rpta. 14
(120) C(45) I(46)
M(38)
x
332
6 4
4
35
24
H
70
M
50
Anteojos
No
usa 45 15
Sí
usa 25 35
H
25
M
30
Ajedrecistas
Sí 10
No 15
Ejercicios resueltos
(47)
B(29) T(27)
x
27 – x
5
44
Síntesis
Unión
A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B}
Intersección
A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B}
Diferencia simétrica
A B = {x / x ∈ (A − B) ∨ x ∈ (B − A)}
Diferencia
A − B = {x / x ∈ A ∧ x ∉ B}
Complemento
AC = U − A = {x / x ∈ U ∧ x ∉ A}
Nota: Como consecuencia de la diferencia entre conjuntos
se obtiene el complemento de un conjunto.
Modela y resuelve
Sean los conjuntos: Sean los conjuntos:
A = {x + 5 / x ∈ ; 7 < x ≤ 13}
B = {2x + 3 / x ∈ ; 4 ≤ x < 10}
Halla n[(A ∪ B)] − n[(A ∩ B)].
P = {x + 7 / x ∈ ; 5 ≤ x ≤ 11}
Q = {3x − 2 / x ∈ ; 4 ≤ x < 8}
Halla n[(P ∩ Q)] + n[(P − Q)].
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
1 2
Conjuntos III
A
A B A
B
A B A B A
B
A B
A B A
B
A B
A B A B A
B
45MateMática Delta 3 - aritMética
Un colegio cuenta con 476 estudiantes, de los
cuales se sabe que a 150 de ellos les gusta practicar
aritmética y a 170 les gusta practicar geometría. Si
los que no practican estos cursos son el cuádruple
de los que practican ambos cursos, calcula cuántos
estudiantes practican solo geometría.
Un colegio cuenta con 827 estudiantes, de los
cuales se sabe que a 480 de ellos les gusta practicar
álgebra y a 515 les gusta practicar trigonometría.
Si los que no practican estos cursos son la cuarta
parte de los que practican ambos cursos, calcula
cuántos estudiantes practican solo álgebra.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Durante todo el mes de agosto, Enrique salió a pasear
con Angélica y/o con Beatriz. Si el número de días
que paseó solo con Angélica y el número de días que
paseó solo con Beatriz se encuentran en relación de
5 a 9 respectivamente, determina cuántos días como
mínimo salió a pasear con las dos.
Durante todo el mes de enero, Arturo salió a pasear
con Carmen y/o con Delia. Si el número de días
que paseó solo con Carmen y el número de días
que paseó solo con Delia se encuentran en relación
de 4 a 7 respectivamente, determina cuántos días
como mínimo salió a pasear con ambas.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
3 4
5 6
46
Sean los conjuntos A y B, de los cuales se sabe
que A, B y (A ∩ B) tienen 128; 32 y 8 subconjuntos,
respectivamente. Encuentra cuántos elementos
tiene P(A ∪ B).
Rpta. Rpta.
Sean los conjuntos A y B, de los cuales se sabe que
A, B y (A ∩ B) tienen 256; 64 y 16 subconjuntos,
respectivamente. Encuentra cuántos elementos
tiene P(A ∪ B).
De cierta cantidad de personas, 150 hablan inglés
y 180 hablan francés. Si los que hablan solo inglés
y los que hablan solo francés están en relación de
4 a 5 respectivamente, y los que no hablan estos
idiomas son 20 menos de los que hablan solo
inglés; descubre cuántas personas son.
De cierta cantidad de personas, 232 hablan inglés
y 246 hablan alemán. Si los que hablan solo inglés
y los que hablan solo alemán están en relación de
5 a 7 respectivamente, y los que no hablan estos
idiomas son 37 menos de los que hablan solo
inglés; descubre cuántas personas son.
Rpta. Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
7 8
9 10
47MateMática Delta 3 - aritMética
Se realizaron tres pruebas de selección para cierto
colegio, al cual se presentaron 278 alumnos. De los
alumnos participantes se sabe que 170 aprobaron
la primera prueba, 150 la segunda y 130 la tercera;
también, 50 aprobaron la primera y la segunda
prueba, 70 la primera y tercera, y 80 la segunda
y tercera prueba. Si 10 alumnos no aprobaron
ninguna prueba, ¿cuántos alumnos fueron
admitidos, si basta con aprobar dos pruebas?
Se realizaron tres pruebas de selección para cierto
colegio, al cual se presentaron 305 alumnos. De los
alumnos participantes se sabe que 182 aprobaron
la primera prueba, 156 la segunda y 136 la tercera;
también, 45 aprobaron la primera y la segunda
prueba, 72 la primera y tercera, y 84 la segunda
y tercera prueba. Si 18 alumnos no aprobaron
ninguna prueba, ¿cuántos alumnos fueron
admitidos, si basta con aprobar dos pruebas?
Rpta. Rpta.
De un grupo de alumnos se sabe que a 22 de
ellos les gusta solo aritmética, 13 prefieren solo
geometría, los que prefieren aritmética son
el triple de los que gustan ambos cursos. Si el
número de alumnos que no gustan de los cursos
mencionados son cuatro más de los que gustan
geometría; halla cuántos alumnos son.
De un grupo de alumnos se sabe que a 36 de
ellos les gusta solo biología, 27 prefieren solo
física, los que prefieren biología son el cuádruple
de los que gustan ambos cursos. Si el número
de alumnos que no gustan de los cursos
mencionados son nueve menos de los que gusta
física; halla cuántos alumnos son.
Rpta. Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
11 12
13 14
48
En un salón de clase de una institución educativa
de secundaria, se tomó examen a 65 estudiantes.
El número de hombres es la mitad del número de
aprobados y el número de mujeres aprobadas
es el cuádruple del número de hombres
desaprobados. ¿Cuántos hombres aprobaron el
examen, si 2 mujeres desaprobaron?
En un salón de clase de una institución educativa
de secundaria, se tomó examen a 74 estudiantes.
El número de hombres es la tercera parte del
número de aprobados y el número de mujeres
aprobadas es el quíntuple del número de hombres
desaprobados. ¿Cuántos hombres aprobaron el
examen, si 4 mujeres desaprobaron?
De 64 personas que practican fútbol y/o tenis,
se sabe que el número de mujeres que practican
solo fútbol es menor en 14 que los hombres que
practican solo tenis, es también la mitad de las
mujeres que practican solo tenis, y es la cuarta
parte de las personas que practican ambos
deportes. Si los hombres que practican solo
fútbol son tantos como las mujeres que practican
solo tenis, calcula la cantidad de personas que
practican solo fútbol.
De 97 personas que practican básquet y/o vóley,
se sabe que el número de mujeres que practican
solo básquet es menor en 13 que los hombres
que practican solo vóley, es también la tercera
de las mujeres que practican solo vóley, y es
la cuarta parte de las personas que practican
ambos deportes. Si los hombres que practican
solo básquet son tantos como las mujeres que
practican solo vóley, calcula la cantidad de
personas que practican solo vóley.
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Resolución:Resolución:
Resolución:
Resolución:
15 16
17 18
49MateMática Delta 3 - aritMética
A 30 B 36 C 34
D 38 E 32
A 42 B 52 C 48
D 36 E 54
A FVV B FFV C FFF
D FVF E VFF
Practica y demuestra
Nivel I
Sean los conjuntos:
A = {1; 2; 3; 4; 5} B = {2; 5; 6; 8}
C = {1; 6; 3; 4; 5}
Halla la suma de los elementos de M y de P.
M = (A ∩ C) – (B ∩ C) P = (B – A) ∪ (C – B)
Da como respuesta la suma de ambos resultados.
1
En un salón de clases de la Universidad San
Marcos hay 65 alumnos, de ellos se observa que
30 son hombres, 40 ya cumplieron la mayoría de
edad y 12 mujeres son menores de edad; calcula la
diferencia entre el número de mujeres mayores de
edad y el número de hombres menores de edad.
2
Determina por extensión el conjunto (B ∩ C) ∪ A,
y da como respuesta la suma de sus elementos,
sabiendo que:
A = {3x ‒ 1 / x ∈ ; 2 ≤ x < 6}
B = {(x2 + 3) / x ∈ ; 1 < 2x – 3 < 11}
C = {(2x + 6) / x ∈ ; 2 ≤ x < 6}
3
De un grupo de 104 estudiantes de la universidad,
59 de ellos llevan el curso de Sociología y 57 no
siguen el curso de Filosofía. Si 24 alumnos no
siguen Filosofía ni Sociología, encuentra cuántos
alumnos llevan exactamente uno de tales cursos.
4
De un grupo de 200 deportistas se sabe que 140
son limeños y 150 hacen pesas. Si 28 deportistas
no hacen pesas y son limeños, descubre cuántos
deportistas que hacen pesas no son limeños.
5
Sean los conjuntos A, B y C, tales que:
A = {2; 3; 6; 5} B = {2; 5; 4; 7}
C = {2; 3; 4; 5}
Halla si las siguientes proposiciones son
verdaderas (V) o falsas (F):
• A ∩ B = C ∩ A
• n(C – B) + n(B – A) = 2
• (A ∪ B) – (B ∩ A) = C – (B ∩ A)
6
A 30 B 23 C 34
D 32 E 26
A 10 B 11 C 12
D 13 E 14
A 50 B 52 C 40
D 46 E 48
50
Dados los conjuntos :
A = {1; 2; 3; 4; 5}
B = {2; 6; 4; 8}
C = {1; 6; 3; 4; 5}
Calcula la verdad o falsedad en:
(A ∩ C) – (B – A) = {1; 3; 4; 6}
(B ∪ C) ∩ (A – B) = {1; 3; 5}
(B ∩ C) ∪ (C – A) = {4; 6}
7
8 Una muestra está conformada por 200 turistas, de
ellos se sabe lo siguiente: 64 eran norteamericanos,
86 eran europeos y 90 eran economistas; de estos
últimos 30 eran norteamericanos y 36 europeos,
¿cuántos de los que no eran europeos tampoco
eran norteamericanos ni economistas?
Sean los conjuntos:
A = {2x / x ∈ ; 2 ≤ x < 7}
B =
x
2
∈ / x ∈ ; 1 < x < 10
C = {1; 7; 8; 5}
Determina la suma de elementos que tiene
(B ∪ C) ∩ A.
En una peña criolla trabajan 46 artistas; de
estos, 21 bailan y 26 cantan. Si los artistas que
no realizan estas actividades son 1 menos de los
artistas que solo cantan, encuentra el número de
artistas que cantan y bailan.
De los 246 alumnos del colegio, se sabe que 150
practican geometría y 180 practican aritmética.
Si los que practican ambos cursos son el triple
de los que no practican los cursos mencionados,
halla cuántos practican un solo curso.
Sean los conjuntos A y B, de los cuales se sabe
que: n(A) = 13; n(B) = 15; además n(A ∪ B) = 23.
Descubre n(A ∩ B).
10
11
9
12
Nivel II
A 16 B 12 C 14
D 18 E 10
A 24 B 26 C 28
D 30 E 32
A FFV B FVF C FVV
D VVF E VFV
A 11 B 12 C 13
D 14 E 15
A 3 B 4 C 5
D 6 E 7
A 82 B 80 C 76
D 74 E 78
51MateMática Delta 3 - aritMética
A 16 B 14 C 17
D 18 E 19
Sean los conjuntos A y B, de los cuales se sabe
que: n(A ∪ B) = 23; n(A – B) = 7 y n(B – A) = 9.
Calcula n(A) + n(B)
Dos tercios de la facultad de una institución
educativa son mujeres. Doce de los hombres
de la facultad son solteros, mientras 35 de los
hombres están casados. Determina el número de
los miembros de la facultad de esa institución.
Sean los conjuntos A y B, de los cuales se sabe que:
n(AC) = 12; n(BC) = 17; n[(A ∪ B)C] = 5 y n(U) = 28.
Encuentra cuántos elementos tiene A B.
Se encuestó a 150 estudiantes de los cuales 60
son mujeres; 80 estudian Biología; 20 son mujeres
que no estudian Biología, ¿cuántos hombres no
estudian Biología?
Si n(A) = 30; n(B) = 18; además n[(A ∪ B)C] = 19,
descubre n[(A ∩ B)], si el universo tiene 56 elementos.
En un salón de clases el 60 % de alumnos trabaja,
el 32 % son mayores de edad y la quinta parte
de los que trabajan son mayores de edad. ¿Qué
porcentaje son menores de edad y no trabajan?
13 16
14
17
15
18
A 28 B 29 C 30
D 31 E 24
A 10 B 11 C 12
D 13 E 14
A 55 B 45 C 50
D 60 E 40
A 40 % B 15 % C 20 %
D 30 % E 18 %
A 80 B 84 C 60
D 90 E 96
52
Si los conjuntos:
A = {1; 2; 3; 4}
B = {2; 3; 5}
C = {1; 3; 5; 7}
Calcula la suma de los elementos de (A ∩ B) ∪ C.
En una fiesta había 120 personas, a 30 hombres no
les gustaba la música de la orquesta y 50 mujeres
gustaban de la orquesta. Si el número de hombres
que gustaban de la música de la orquesta es la
tercera parte de las mujeres que no gustan de esa
música. ¿A cuántos le gustaba la música de la
orquesta?
19
21
De un grupo de 212 deportistas se sabe que 130
son limeños y 140 hacen pesas. Si los que no son
limeños ni hacen pesas son el doble de los que son
limeños pero no hacen pesas, encuentra cuántos
deportistas que hacen pesas no son limeños.
23
En un grupo de 221 deportistas se sabe que
138 son limeños y 165 hacen pesas. Si los que
no son limeños ni hacen pesas son el triple
de los que son limeños pero no hacen pesas,
descubre cuántos deportistas que hacen pesas
no son limeños.
24
Nivel III En los conjuntos A y B, se tiene
n[(A B)] – n[(A ∩ B)] = 68; n[(A ∪ B)] = 86
Determina el valor de n[(A ∩ B)].
22
De un grupo de 52 veraneantes, 30 son mujeres;
12 hombres no usan sombreros. Si 30 personas
usan sombreros, entonces, halla el número de
mujeres que no usan sombreros.
20
A 80 B 50 C 56
D 60 E 54
A 7 B 8 C 9
D 10 E 6
A 8 B 10 C 12
D 14 E 16
A 15 B 14 C 19
D 21 E 18
A 34 B 38 C 36
D 32 E 40
A 37 B 43 C 39
D 45 E 41
MateMática Delta 3 - aritMética
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 1
53
Test n.° 1
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
Se tiene los conjuntos unitarios C y D, tales que:
C = { x + y ; 17} y D = { x – y ; 7}
Encuentra el valor de 2x – 9y.
4
Se tiene los conjuntos iguales y unitarios A y B,
tales que:
A = {2a – b; c} B = {4c – 27; 5b – 16}
Descubre el valor de a2 + b2 – 8c.
5
Sea el conjunto E, tal que:
E = {x2 + 2 / x ∈ ; –2 < x ≤ 2}
Calcula la suma de sus elementos con el número
de subconjuntos que tiene.
6
C D
BA
1817
1620
C D
BA
14472
2563
C D
BA
27
95
C D
BA
1020
1916
C D
BA
63
45
C D
BA
40 y 945 y 10
45 y 940 y 10
Sea el conjunto A, tal que:
A = {(4x – 5) / x ∈ ; 5 < 2x + 1 < 11}
Calcula la suma de los elementos del conjunto A.
Determina el cardinal de A.
A = {x / ( x + 2 – 1) ∈ ; x ≤ 23}
Sean los conjuntos A y B, tales que:
A = {3x / x ∈ ; 1 ≤ x < 6}
B = { x
3
∈ ; 2 < x ≤ 13}
Halla la suma de los elementos de cada conjunto.
1
2
3
54
En un grupo de 120 damas, 48 son rubias, 44
son morenas y el resto pelirrojas; 62 tienen ojos
azules, las otras ojos café. Existen 15 rubias
de ojos azules, 16 pelirrojas de ojos azules.
¿Cuántas morenas de ojos café hay en el grupo?
11
El universo tiene 83 elementos y se cumple que:
n(Ac) = 57; n(A – B) = 18; n(B) = 52, halla el valor
de n(A Δ B).
12De los 63 alumnos de 3.
er grado de secundaria
del colegio, se sabe que 37 practican Aritmética
y 42 practican Inglés. Si los que practican ambos
cursos son el triple de los que no practican los
cursos mencionados, descubre cuántos practican
un solo curso.
9
Si los conjuntos M y P son iguales, tales que:
M = {3x + 5; 17; 7x – 4} P = {3x + 8; 14}
Encuentra el cardinal del conjunto:
R = {x2; 4x – 3; 3x; 2x + 5}
8
C D
BA
1216
2420
C D
BA
2226
2412
C D
BA
12
43
C D
BA
3236
3127
C D
BA
6458
6062
C D
BA
1312
1531
Determina cuántos subconjuntos tienen F y G en
total.
F = {3x + 2 ∈ / x ∈ Z; –2 < x < 4}
G = {x2 – 1 ∈ / x ∈ Z; –2 ≤ x < 2}
7 En una reunión de 58 caballeros se observó quelos que usan corbata y anteojos representan la
tercera parte de los que usan corbata; los que
usan anteojos son el doble de los que usan
corbata y anteojos. Si 10 personas no usan
corbata, ni anteojos; ¿cuántos usan corbata pero
no anteojos?
10
55MateMática Delta 3 - aritMética
Tema
El ajedrez es un juego entre dos personas, cada una de las cuales dispone de 16
piezas móviles que se colocan sobre un tablero dividido en 64 escaques. En su versión
de competición está considerado como un deporte.
Producto cartesiano y relaciones
binarias
El tablero de ajedrez
El tablero de ajedrez es un cuadrado subdividido en 64 casillas o escaques iguales
(8 × 8), también cuadradas, alternadamente de color claro y de color oscuro. Cada
jugador se sitúa de cara al ajedrecista contrincante, colocando el tablero de manera
tal que cada jugador tenga una casilla blanca en su esquina derecha.
Los elementos básicos del tablero son:
Fila. Es cada una de las ocho líneas de ocho casillas que se forman alineando
estas horizontalmente respecto a los jugadores. Se nombran con números del 1 al
8, comenzando desde la primera fila con respecto al bando de las piezas blancas.
Columna. Es cada una de las ocho líneas de ocho casillas que se forman alineando
estas verticalmente respecto a los jugadores. Se nombran con letras minúsculas de
la «a» a la «h», comenzando desde la primera columna izquierda con respecto al
bando de las piezas blancas.
Esta notación se realiza con el fin de registrar el desarrollo de las partidas, que es la
notación oficial. Es frecuente en el mundo del ajedrez utilizar este sistema para poder
reproducir y comentar las partidas.
No se escribe la casilla de inicio de la pieza que se va a mover, solamente se
escribe el nombre de la pieza y la casilla de destino.
Las letras con que se nombran las piezas de ajedrez son siempre escritas con
mayúsculas y las letras de las coordenadas del tablero se escriben siempre con
minúsculas.
La letra «P» de peón nunca se usa y únicamente se anotan las coordenadas de la
fila e hilera final.
Por ejemplo
Los conceptos básicos de la notación son muy simples. Para anotar un movimiento,
simplemente apunte la abreviación de la pieza que se está moviendo, junto con el
cuadro a la que la pieza se está moviendo. Por ejemplo, mover el alfil al cuadro d7
se anota escribiendo Ad7. Los movimientos de los peones solo utilizan el nombre
del cuadro; mover un peón al casillero e4 se escribe simplemente como e4. Cuando
está escrito, los movimientos se enumeran en pares; 1. e4 Cc6 nos dice que es su
primer movimiento, el jugador blanco movió su peón a e4 y el jugador negro respondió
moviendo su caballo a c6. Un caballo que vaya hasta la casilla f3 se denotaría Cf3.
La reina domina 27
casillas desde el
centro del tablero
y 21 desde una
esquina.
¿Sa bía s qu e.. .?
La torre, domina 14
casillas.
El alfil, de acuerdo
a su posición en
el tablero, puede
dominar: 7; 9; 11 o 13
casillas.
4
5k – 12
4k – 12
56
¿Sa bía s qu e.. .?
Re cu e rda
En el juego de ajedrez es común usar algunas abreviaturas que simplifiquen los
registros. Por tanto, debido a las piezas usadas en este juego se llaman:
Nombre de la
pieza Abreviatura Pieza
Torre T
Caballo C
Alfil A
Dama D
Rey R
Peón
Sin embargo, si hay posibilidad
de confusión, debe especificarse
si son de torre rey (TR) o torre
dama (TD); caballo rey (CR) o
caballo dama (CD) y alfil rey
(AR) o alfil dama (AD).
Aquí tenemos una relación
de correspondencia entre dos
clases de conjuntos, a saber:
N será el conjunto con los
nombres de las piezas.
M será el conjunto de las
abreviaturas.
Realizando un gráfico con las correspondencias tendremos.
Estos dos
conjuntos son
coordinables.
MN
• Torre
• Caballo
• Alfil
• Dama
• Rey
• T
• C
• A
• D
• R
Así, los pares son:
(Torre , T), (Caballo , C), (Alfil , A), (Dama , D), (Rey , R)
Del mismo modo, si deseamos mover sobre el tablero alguna pieza del ajedrez usaremos
también la nomenclatura de pares pero esta vez ordenado.
Veamos: Cf3 representa al par ordenado (C , f3)
indicando que el caballo se traslada al casillero f3.
Ta5 representa al par ordenado (T , a5)
indicando que la torre se traslada al casillero a5.
Re2 representa al par ordenado (R , e2)
indicando que el rey se traslada al casillero e2.
En estos ejemplos veremos que esta clase de pares en los que necesariamente
hay un criterio de ordenamiento se denominan pares ordenados. En matemática es
indispensable considerar pares en los cuales exista un criterio de ordenamiento, pares
en los cuales se sepa cuál de ellos es necesariamente el primer componente y cuál es
el segundo componente, ello ocurre exclusivamente en el ejemplo del movimiento de
las piezas del ajedrez.
El caballo a diferencia
del alfil, su acción de
dominación es de 2 a
8 casillas.
Dos conjuntos
son coordinables,
cuando se puede
establecer una
correspondencia
entre sus elementos.
Esto da pie para
afirmar que estos
conjuntos tienen
el mismo número
cardinal.
El peón solo puede
dominar hasta 4
casillas, y esto solo
en su posición inicial.
Par ordenado
57MateMática Delta 3 - aritMética
Ejemplo 2
Calcula a2 + b × c , sabiendo que (ab ; 1c) = (7a + 7b ; a × b).
Resolución:
Usando el teorema fundamental de los pares ordenados tendremos:
ab = 7 × a + 7 × b ∧ 1c = a × b
10a + b = 7a + 7b ∧ 1c = a × b
3a = 6b ∧ 1c = a × b
a = 2b ∧ 1c = a × b
Tabulando valores para a y b tendremos:
Definición de par ordenado
Un par ordenado es una pareja de elementos matemáticos, en la que se distingue un
primer elemento y un segundo elemento. El par ordenado cuyo primer elemento es «a»
y cuyo segundo elemento es «b» se denota como:
(a ; b) es el par ordenado
• a: Primer componente del par ordenado.
• b: Segundo componente del par ordenado.
Teorema fundamental
Si (a ; b) = (c ; d) entonces a = c y b = d.
Ejemplo 1
Calcula x2 + y2, sabiendo que (3x + 4 ; 17) = (19 ; 2y – 1)
Resolución:
Por el teorema fundamental, se debe cumplir que:
3x + 4 = 19 ∧ 17 = 2y – 1
3x = 15 ∧ 18 = 2y
x = 5 ∧ y = 9
Luego: x2 + y2 = 52 + 92 = 25 + 81
Finalmente, x2 + y2 es igual a 106.
Para calcular el valor de «c», reemplazaremos los valores correspondientes de a y b en
la expresión 1c = a × b.
Como vemos en el cuadro, luego de reemplazar 1c = 18, solo se cumple cuando
b = 3 ∧ a = 6.
Entonces: a2 + b × c = 62 + 3 × 8
= 36 + 24
Finalmente, a2 + b × c es igual a 60.
Un par ordenado no
es conmutativo, es
decir:
(a ; b) ≠ (b ; a)
• Por ejemplo
(2 ; 5) ≠ (5 ; 2)
• En el ajedrez, Re2
representa al par
ordenado
(R , e2) indicando
que el rey se
traslada al casillero
e2. No podemos
decir que el
casillero e2 se
traslada donde está
el rey.
Recu e rda
{a; b} es un conjunto
que está definido
únicamente por
sus elementos,
mientras que en un
par ordenado (a ; b)
el orden de estos es
también parte de su
definición.
Por ejemplo:
Los conjuntos {1; 0} y
{0; 1} son iguales, pero
los pares ordenados
(1 ; 0) y (0 ; 1) son
distintos.
Import a nt e
Valores correspondientes
b 1 2 3 4
a 2 4 6 8
a × b 2 8 18 32
1c 02 08 18 32
5k – 12
4k – 12
58
Producto cartesiano
Expongamos algunas situaciones para tener una idea clara de lo que es el producto
cartesiano entre dos conjuntos.
Supongamos que un grupo de amigos A = {Manolo, Néstor} y un grupo de amigas
B = {Ana, Beatriz, Camila} se van a bailar. Determinemos cuáles y cuántas son todas
las parejas de baile que se pueden formar, considerando que el hombre debe solicitar
la pieza de baile a la mujer.
Podemos escribir el conjunto formado por todas las posibles parejas que son:
P = {(Manolo , Ana), (Manolo , Beatriz), (Manolo , Camila), (Néstor , Ana),
(Néstor , Beatriz), (Néstor , Camila)}
Gráficamente sería:
Observamos que el conjunto P cuenta con las siguientes características:
1. Sus elementosse presentan en pares.
2. El primer elemento de cada par pertenece al conjunto A.
3. El segundo elemento de cada par pertenece al conjunto B.
4. Cada elemento del conjunto A forma pares con todos y cada uno de los elementos
de B.
5. El número de elementos de P es igual al número de elementos de A multiplicado por
el número de elementos de B.
La anécdota de Descartes, la mosca y las coordenadas cartesianas
Debido a la precaria salud que padecía desde niño,
René Descartes tenía que pasar innumerables horas
en cama. Aprovechaba para pensar en filosofía,
matemática, divagar e incluso se permitía perder el
tiempo pensando en las musarañas.
Teniendo su vista perdida en el techo de la estancia
fue una mosca a cruzarse en su mirada, cosa que
hizo que la siguiera con la vista durante un buen
rato, mientras pensaba y se preguntaba si se podría
determinar a cada instante la posición que tendría
el insecto, por lo que pensó que si se conociese la
distancia a dos superficies perpendiculares, en este
caso la pared y el techo, se podría saber.
Mientras le daba vueltas a esto se levantó de la cama y agarrando un trozo de papel
dibujó sobre él dos rectas perpendiculares; cualquier punto de la hoja quedaba
determinado por su distancia a los dos ejes. A estas distancias las llamó coordenadas
del punto: acababan de nacer las coordenadas cartesianas, y con ellas, la Geometría
Analítica.
• Manolo
• Néstor
• Ana
• Beatriz
• Camila
A
Conjunto de partida Conjunto de llegada
B
¿64 = 65?
Construye un
cuadrado dividido en
64 cuadrados iguales,
tal como un tablero
de ajedrez.
Ahora divídelo en
dos triángulos y dos
trapecios, tal como
muestra la figura.
Enseguida separa
estas piezas y
júntalas conforme
se ve en la siguiente
figura.
Cuenta el número de
cuadrados pequeños
e iguales que tiene.
Qué dices,
¿64 = 65?
59MateMática Delta 3 - aritMética
Teorema
Para calcular el número de elementos del producto cartesiano utilizamos:
n[(A × B)] = n(A) × n(B)
Ejemplo:
Si A = {2; 3; 5} y B = {8; 9}, determina A × B, B × A, A × A su gráfico y sus respectivos
cardinales.
A × B = {(2 ; 8), (2 ; 9), (3 ; 8), (3 ; 9), (5 ; 8), (5 ; 9)} ⇒ n(A × B) = 3 × 2 = 6
Definición de producto cartesiano
El producto cartesiano A × B de dos conjuntos no vacíos A y B, es el conjunto formado
por todos los pares ordenados que se pueden formar con los elementos de dichos
conjuntos, tales que el primer elemento del par pertenezca al conjunto A y el segundo
elemento pertenece al conjunto B.
A × B = {(x ; y) / x ∈ A ∧ y ∈ B}
A × A = {(2 ; 2), (2 ; 3), (2 ; 5), (3 ; 2), (3 ; 3), (3 ; 5), (5 ; 2), (5 ; 3), (5 ; 5)}
⇒ n(A × A) = 3 × 3 = 9
B × A = {(8 ; 2), (8 ; 3), (8 ; 5), (9 ; 2), (9 ; 3), (9 ; 5)} ⇒ n(B × A) = 2 × 3 = 6
• 8
• 9
• 2
• 3
• 5
B A
• 2
• 3
• 5
• 8
• 9
A B
• 2
• 3
• 5
A A• 2
• 3
• 5
El producto
cartesiano es una
operación entre
dos conjuntos, cuyo
resultado será un
nuevo conjunto.
A × B ≠ B × A tienen
distintos elementos.
Pero:
n(A × B) = n(B × A)
Los cardinales en
ambos casos son
iguales.
Import a nt e
Obs e rva
René Descartes
Filósofo, científico y matemático francés. Usó su nombre latinizado:
Renatus Cartesius, esta es la causa de que el producto cartesiano haya
recibido su nombre.
Nota
5k – 12
4k – 12
60
Regla de correspondencia
Pensemos en lo siguiente, los ahorros de Ana, Berenice y Carlota son S/ 48; S/ 65 y
S/ 73, además los días que demoraron en conseguir estos ahorros son 7; 8 y 9, no
necesariamente en el orden mencionado. Determinemos el producto cartesiano A × B
donde el primer elemento del par ordenado sean los días que transcurrieron en conseguir
tales ahorros, y el segundo elemento los ahorros obtenidos.
Siendo A = {7; 8; 9} y B = {48; 65; 73} y entonces el producto A × B, será:
A × B = {(7 ; 48), (7 ; 65), (7 ; 73), (8 ; 48), (8 ; 65), (8 ; 73), (9 ; 48), (9 ; 65), (9 ; 73)}
A × B = {(x ; y) / x ∈ A ∧ y ∈ B}
Ahora, de tales pares ordenados seleccionaremos aquellos que cumplan la propiedad
o el siguiente criterio «el número de días elevado al cuadrado sea menor que el
número que representa el ahorro», con ello hemos establecido la siguiente regla de
correspondencia «y > x2». Gráficamente seleccionaremos:
Con estas restricciones hemos seleccionado una parte del producto A × B, esta parte
es un subconjunto del producto cartesiano A × B , el cual será llamado relación.
Relación binaria
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se denomina relación binaria «R» de A en B, a
un subconjunto propio del producto cartesiano A × B en la que los componentes de
sus pares ordenados guardan una correspondencia, conexión o cualidad común de
acuerdo a una condición dada.
Notación
R = {(x ; y) ∈ A × B / P (x ; y)}
R es una relación binaria formada por (x ; y) ∈ A × B, tal que se cumple la condición P
que los relaciona.
Si R ⊂ A × B, entonces ∀ (a ; b) ∈ R ⇒ (a ; b) ∈ A × B.
Donde (a ; b) ∈ R se leerá como:
• «a» está relacionado con «b» mediante R, escribiéndose también como aRb
• «b» es relación de «a» mediante R, escribiéndose también como b = R(a)
Representación
Toda relación binaria R se puede representar mediante un diagrama de Venn, por medio
de un plano cartesiano o una tabla de doble entrada.
Dominio: Dom(R) es
el conjunto formado
por todas las primeras
componentes de la
relación R.
Rango: Ran(R) es el
conjunto formado por
todas las segundas
componentes de R.
Nota
Import a nt e
En Matemática,
una relación es la
correspondencia que
se establece entre
los elementos de
un primer conjunto,
llamado «dominio»,
con los elementos de
un segundo conjunto,
llamado «recorrido o
rango», de manera
que a cada elemento
del dominio le
corresponde uno o
más elementos del
rango.
7
8
9
48
65
73
{(7 ; 65), (7 ; 73), (8 ; 65), (8 ; 73)}
A B
61MateMática Delta 3 - aritMética
7
6
5
4
3
a b d e
x 2y + 2
8
12
16
2(3) + 2
2(5) + 2
2(7) + 2
Ejemplo 3
Sean A = {8; 10; 12; 14; 16}, B = {3; 5; 7; 11} y la relación
R = {(x ; y) ∈ A × B / x = 2y + 2}
Calcula la suma de los elementos del dominio de R.
Resolución:
• Dado que la relación R tiene la condición: x = 2y + 2, x ∈ A, iniciaremos usando estos
datos y también graficaremos para un mejor entendimiento.
En x = 2y + 2 ensayamos valores del conjunto A que cumplan en B.
• Entonces:
R = {(8 ; 3), (12 ; 5), (16 ; 7)}
Los elementos del dominio son: 8; 12 y 16.
Finalmente, la suma de los elementos del dominio es 36.
Ejemplo 1
Sean los conjuntos
A = {a, b, d, e}, B = {3; 4; 5; 6; 7} y la relación:
R1 = {(x ; y) ∈ A × B / P (x ; y)}
P(x ; y) es la condición e indica que las vocales se relacionan hasta con dos números
primos consecutivos y las consonantes con un solo número par. Interpreta la relación.
Resolución:
Entonces R1 = {(a ; 3), (a ; 5), (e ; 5), (e ; 7), (b ; 6), (d ; 4)}
Dom(R1) = {a, b, d, e} y Ran(R1) = {3; 4; 5; 6; 7}
R1
• a
• b
• d
• e
• 3
• 4
• 5
• 7
• 6
A B
Ejemplo 2
Sean los conjuntos
A = {4; 6; 8}, B = {5; 6; 7} y la relación
R2 = {(x ; y) ∈ A × B / x ≤ y}. Interpreta la relación.
Resolución:
Entonces R2 = {(4 ; 5), (4 ; 6), (4 ; 7), (6 ; 6), (6 ; 7)}
Dom (R2) = {4; 6}
Ran (R2) = {5; 6; 7}
R2
• 4
• 6
• 8
• 5
• 6
• 7
A B
• 8
• 10
• 12
• 14
• 16
• 3
• 5
• 7
• 11
A B
R
La relación R1,
con la propiedad
P(x ; y), tiene más
de una solución,
para el caso solo
mostramos una de
aquellas soluciones.
Not a
significa que
algún(os) elemento(s)
de A se relaciona(n)
con uno o más
elementos del
conjunto B o también:
R: A → B
Import a nt e
A B
R
Para representar la
relación binaria R
entre los elementos
x e y, suele usarse
cualquiera de
las siguientes
expresiones:
x R y o R(x ; y) o
(x ; y)∈ R
Recu e rda
5k – 12
4k – 12
62
Ejemplo 4
Sea A = {2; 3; 5; 7; 9}, se define la relación R = {(x ; y) ∈ A × A / x + y < 8}. Calcula la
suma de los elementos del dominio de R.
Resolución:
• Dado que la relación R tiene la condición: x + y < 8,x ∈ A, y ∈ A iniciaremos usando
estos datos y también graficaremos para un mejor entendimiento.
En la regla de correspondencia x + y < 8 ensayamos valores que cumplan la
desigualdad.
x + y < 8
2 + 2 < 8
2 + 3 < 8
2 + 5 < 8
3 + 2 < 8
3 + 3 < 8
5 + 2 < 8
• Entonces:
R = {(2 ; 2), (2 ; 3), (2 ; 5), (3 ; 2), (3 ; 3), (5 ; 2)}
Los elementos del dominio son: 2; 3 y 5.
Finalmente, la suma de los elementos del dominio es 10.
• 2
• 3
• 5
• 7
• 9
• 2
• 3
• 5
• 7
• 9
Propiedades de las relaciones binarias en un solo conjunto
Una relación binaria puede tener ciertas propiedades, según los pares ordenados que
formen parte o no de dicha relación veamos algunas:
Reflexiva
Dado un conjunto A, una relación binaria R tiene la propiedad reflexiva si todo elemento
está relacionado consigo mismo, caso contrario se dice que la relación no es reflexiva.
∀ a ∈ A: (a ; a) ∈ R
Simétrica
Dado un conjunto A, una relación binaria R tiene la propiedad simétrica, si se cumple
que si un par ordenado (a ; b) pertenece a la relación, entonces el par (b ; a) también
pertenece a esa relación:
∀ a, b ∈ A: (a ; b) ∈ R → (b ; a) ∈ R
Transitiva
Dado un conjunto A, una relación binaria R tiene la propiedad transitiva cuando, dado
los elementos a, b, c del conjunto, si a está relacionado con b y b está relacionado con
c, entonces a está relacionado con c:
∀ a, b, c ∈ A: ((a ; b) ∈ R ∧ (b ; c) ∈ R) → (a ; c) ∈ R
R
Una relación
binaria entre dos
conjuntos se llama
homogénea si estos
dos conjuntos son
iguales.
Sea
R = {(x ; y) ∈ A × B/p}
Si A = B
R = {(x ; y) ∈ A × A/p}
R = {(x ; y) ∈ A2 /p}
Repa sa
Las relaciones
binarias se clasifican
en:
• Relación de
equivalencia
• Relación de orden
• Funciones
Not a
A A
63MateMática Delta 3 - aritMética
Ejemplo 1
Sea la relación binaria R definida en el conjunto C = {a, b, c, d} de la forma:
R = {(a , a), (b , b), (c , c), (d , d), (c , a), (c , d), (d , c)}
No cumple la propiedad simétrica pues el elemento «c» está relacionado con el
elemento «a», pero el elemento «a» no lo está con el elemento «c». Por el contrario,
esta relación sí cumple la propiedad reflexiva.
Ejemplo 2
En el conjunto C = {a, b, c, d} se considera la relación binaria definida por el siguiente
subconjunto:
R = {(a , b), (a , c), (b , c), (a , d)}
Esta relación R tiene la propiedad transitiva ya que el elemento «a» está relacionado
con el elemento «b», y el elemento «b» está relacionado con el elemento «c», y también
el elemento «a» está relacionado con el elemento «c».
Relación de equivalencia
Se dice que una relación binaria R es de equivalencia, si cumple las tres propiedades
siguientes: reflexiva, simétrica y transitiva.
Nota:
El concepto de relación de equivalencia está implícitamente ligado a todo el
desarrollo de la matemática, pues es fundamental en cualquier proceso de
abstracción. La igualdad, las congruencias en el conjunto de los números
enteros, el paralelismo de rectas o planos son relaciones de equivalencia.
Ejemplo:
Sea el conjunto A = {1; 2; 3; 4} y la siguiente relación:
R = {(1 ; 1), (1 ; 2), (2 ; 1), (2 ; 2), (3 ; 4), (4 ; 3), (3 ; 3), (4 ; 4)}
Determina si R es de equivalencia.
1.º Reflexiva:
En efecto,
(1 ; 1) ∈ R, (2 ; 2) ∈ R, (3 ; 3) ∈ R y (4 ; 4) ∈ R
Luego,
∀ x(x ∈ A ⇒ xRx). Es decir, R es reflexiva.
2.º Simétrica:
En efecto,
(1 ; 2) ∈ R y (2 ; 1) ∈ R
(3 ; 4) ∈ R y (4 ; 3) ∈ R
Luego, ∀ x, y ∈ A [(x , y) ∈ R ⇒ (y , x) ∈ R]. Es decir, la relación propuesta es
simétrica.
La relación de
igualdad es
una relación de
equivalencia pues
tiene las tres
propiedades sobre
cualquier conjunto:
• Todo número «a»
es igual a sí mismo
(reflexiva).
• Si «a» es igual
a «b», entonces
«b» es igual a «a»
(simétrica).
• Si «a» es igual a
«b» y «b» es igual
a «c», entonces
«a» es igual a «c»
(transitiva).
Repa sa
64
3.º Transitiva:
En efecto,
(1 ; 1) ∈ R y (1 ; 2) ∈ R ⇒ (1 ; 2) ∈ R
(1 ; 2) ∈ R y (2 ; 1) ∈ R ⇒ (1 ; 1) ∈ R
(1 ; 2) ∈ R y (2 ; 2) ∈ R ⇒ (1 ; 2) ∈ R
(2 ; 1) ∈ R y (1 ; 1) ∈ R ⇒ (2 ; 1) ∈ R
(2 ; 1) ∈ R y (1 ; 2) ∈ R ⇒ (2 ; 2) ∈ R
(2 ; 2) ∈ R y (2 ; 1) ∈ R ⇒ (2 ; 1) ∈ R
(3 ; 4) ∈ R y (4 ; 4) ∈ R ⇒ (3 ; 4) ∈ R
(3 ; 3) ∈ R y (3 ; 4) ∈ R ⇒ (3 ; 4) ∈ R
(4 ; 3) ∈ R y (3 ; 3) ∈ R ⇒ (4 ; 3) ∈ R
(4 ; 4) ∈ R y (4 ; 3) ∈ R ⇒ (4 ; 3) ∈ R
Luego,
∀ x, y, z ∈ A [(x , y) ∈ R ∧ (y , z) ∈ R ⇒ (x , z) ∈ R]. La relación es, por tanto,
transitiva.
Como se cumplen estas tres propiedades, diremos que R es una relación de
equivalencia.
Ejemplo:
En el conjunto de las rectas del plano C se considera la relación R «ser paralela a...».
1.º Reflexiva:
Cualquier recta del plano es paralela a sí misma; luego se cumple la propiedad
reflexiva, que dice:
∀ r ∈ C ⇒ (r , r) ∈ R
2.º Simétrica:
Además, si una recta r1 es paralela a otra r2, necesariamente r2 es paralela a r1,
luego se cumple la propiedad simétrica:
∀ r1 ; r2 ∈ C [(r1 , r2) ∈ R ⇒ (r2 , r1) ∈ R]
3.º Transitiva:
Por último, si una recta del plano r1 es paralela a otra r2 y esta última es paralela
a una tercera r3, entonces necesariamente r1 es paralela a r3, luego se cumple la
propiedad transitiva:
∀ r1, r2, r3 ∈ C [(r1 , r2) ∈ R ∧ (r2 , r3) ∈ R ⇒ (r1 , r3) ∈ R]
Como se cumplen estas tres propiedades, diremos que la relación R «ser paralela
a...» es una relación de equivalencia.
La sustracción de
números enteros
es una relación de
equivalencia
{(x , y) ∈ Z × Z:
x − y = d, con d ∈ Z}
Comprobemos las
propiedades
• Reflexiva. ∀ a ∈ Z;
aRa
a − a = 0, 0 ∈ Z
Es reflexiva
• Simétrica. ∀ a, b ∈
Z; aRb ⇔ bRa
a − b = d, d ∈ Z
b − a = −d, −d ∈ Z
Es simétrica
• Transitiva. ∀ a,
b, c ∈ Z; (aRb) ∧
(bRc) ⇒ (aRc)
a − b = d, d ∈ Z
b − c = e, e ∈ Z
Sumando tenemos
a – b + b − c
= a − c ∈ Z
Es transitiva
Luego, la sustracción
de números enteros
es una relación de
equivalencia.
Recu e rda
65MateMática Delta 3 - aritMética
Ejercicios resueltos
Dados los conjuntos:
A = {6; 8; 9} y B = {5; 6; 10}
Halla la suma de elementos del rango de la
relación R.
R = {(a ; b) ∈ A × B/ a > b}
Resolución:
Sea T = {x ∈ / 4 < x ≤ 8} y la relación binaria R
definida por:
R = {(x ; y) ∈ T2/ x < y}
Encuentra la suma de los elementos del Ran(R)
Resolución:
Sobre el conjunto N = {1; 4; 5}
Se define una relación R, tal como se muestra en
el diagrama cartesiano.
Si el gráfico representa una relación R, descubre
la condición o regla de correspondencia de R y
halla su rango.
Dados los conjuntos:
A = {2; 7; 8} y L = {1; 4; 5; 6; 9}
Determina la suma de elementos del rango de la
relación R.
R = {(a ; b) ∈ A × L/ a < b}
Resolución:
Sea P = {x ∈ / 1 ≤ x ≤ 6} y la relación binaria R
definida por:
R = {(x ; y) ∈ P2 / x + y = 5}
Calcula la suma de los elementos del Ran(R).
Resolución:
1 4 9 16
1
0
2
3
4
1 4 5
1
0
4
5
1 4
5
6
2
3
Rpta. 11
Rpta. 21
Rpta. 24
Rpta. R no es una relación de equivalencia.
Rpta. 10 Rpta. x = y2 ∧ Ran(R) = {1; 2; 3; 4}
¿Es R una relación de equivalencia?
Resolución:
Resolución:
Se obtiene la relación:
R = {(6 ; 5), (8 ; 5), (8 ; 6), (9 ; 5), (9 ; 6)}
El rango de R es:
Ran(R) = {5; 6}
La suma es 5 + 6 = 11
Los elementos de la relación son:
R = {(5 ; 6), (5 ; 7), (5 ; 8), (6 ; 7), (6 ; 8), (7 ; 8)}
El rango de R será:
Ran(R) = {6; 7; 8}
La suma de elementos:
6 + 7 + 8 = 21
Comprobamos si se cumple las propiedades
1. Reflexiva: (1 ; 1), (4 ; 4), (5 ; 5) ∈ R
⇒ R es reflexiva.
2. Simétrica: (1 ; 4) ∈ R ⇒ (4 ; 1) ∈ R
(5 ; 1) ∈ R ⇒ (1 ; 5) ∉ R
⇒ R no es simétrica.
R = {(2 ; 4), (2 ; 5), (2 ; 6), (2 ; 9), (7 ; 9), (8 ; 9)}
El rango de R es:
Ran(R) = {4; 5; 6; 9}
La suma es: 4 + 5 + 6 + 9 = 24
Los elementos de la relación son:
R = {(1 ; 4), (2 ; 3), (3 ; 2), (4 ; 1)}
Ran(R) = {1; 2; 3; 4}
La suma de los elementos del rango son:
1 + 2 + 3 + 4 = 10
x = y2 Ran(R) = {1; 2; 3; 4}
66
Par ordenado Producto cartesiano Relación binaria
Sean los conjuntos A y B, tales que:
A = {x2/ x ∈ ; – 3 < x < 2}
B = {x2 – x / x ∈ ; – 3 < x ≤ 2}
Halla el producto cartesiano B × A.
Sean los conjuntos A y B, tales que:
A = {x / x ∈ ; 2 < x < 5}
B = {x / x ∈ ; – 1 < x ≤ 5}
Halla el producto cartesiano A × B .
1
Producto cartesiano y relaciones binarias
1. Si (a ; b) = (c ; d),
se cumple:
a = c ∧ b = d
2. Ejemplo:
Si (x ‒ 1 ; y + 1) = (4 ; 6)
x ‒ 1 = 4 y + 1 = 6
x = 5 y = 5
1. A × B
2. n(A × B) = n(A) × n(B)
3. Ejemplo:
A = {1; 4; 5} B = {2; 6}
n(A) = 3 n(B) = 2
⇒ n(A × B) = 6
1. Reflexiva
∀ a ∈ A: (a ; a) ∈ R
2. Simétrica
∀ (a ; b) ∈ R: (b ; a) ∈ R
3. Transitiva
Si (a ; b) ∈ R ∧ (b ; c) ∈ R
⇒ (a ; c) ∈ R
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
Modela y resuelve
Síntesis
1 2
67MateMática Delta 3 - aritMética
Dados los siguientes conjuntos:
A = {x ∈ / 3 < x ≤ 8}
D = {y ∈ / 4 ≤ y ≤ 7}
Se define la relación R = {(x ; y) ∈ A × D / x + y = 10}.
Representa mediante un diagrama cartesiano,
luego calcula el dominio y el rango.
Dados los siguientes conjuntos:
A = {x ∈ / 2 < x ≤ 7}
D = {y ∈ / 4 ≤ y ≤ 8}
Se define la relación R = {(x ; y) ∈ A × D / x + y = 9}
Representa mediante un diagrama cartesiano,
luego calcula el dominio y el rango.
3
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Rpta. Rpta.
Dado el conjunto A = {1; 4; 5}
Se define la relación:
R = {(a ; b) ∈ A × A / a < b}
Grafica y calcula el dominio de R.
Dado el conjunto B = {3; 4; 8}
Se define la relación:
R = {(a ; b) ∈ B × B / a > b}
Grafica y calcula el dominio de R.
Rpta. Rpta.
3 4
5 6
68
Dado el conjunto:
M = {3; 4; 5}
Considere las relaciones definidas en M:
R = {(a ; b) ∈ M × M / a × b = número impar}
S = {(a ; b) ∈ M × M / a × b = número par}
Encuentra el cardinal de R ∪ S.
Dados los siguientes conjuntos:
M = {3; 5; 7; 9}
N = {1; 2; 3; 8}
Descubre la suma de elementos del dominio de
la relación R.
R = {(a ; b) ∈ M × N / a < b}
Dado el conjunto:
N = {1; 2; 3}
Considera las relaciones definidas en N:
R = {(a ; b) ∈ N × N / a × b = número par}
S = {(a ; b) ∈ N × N / a × b = número impar}
Descubre el cardinal de R ∪ S.
Resolución:
Resolución:Resolución:
Rpta.
Rpta.Rpta.
Dados los siguientes conjuntos:
A = {4; 5; 7}
B = {2; 5; 6}
Encuentra la suma de elementos del rango de la
relación R.
R = {(a ; b) ∈ A × B / a < b}
Resolución:
Rpta.
7
9
8
10
Sean la igualdad de pares ordenados:
(6x – y ; 16) = (23 ; 2y + 2)
Calcula la suma de los elementos del par
ordenado (4x ; xy).
Rpta.
12Sean la igualdad de pares ordenados:
(4x + 2y ; 25) = (24 ; 4y + 1)
Calcula la suma de los elementos del par
ordenado (2x ; xy).
Resolución:Resolución:
Rpta.
11
69MateMática Delta 3 - aritMética
Dados los siguientes conjuntos:
A = {x ∈ / 6 ≤ x ≤ 10}
B = {y ∈ / 5 ≤ y ≤ 12}
Se define la relación R = {(x ; y) ∈ A × B / x + y > 20}
Grafica en forma cartesiana y determina el rango.
Dados los siguientes conjuntos:
A = {x ∈ / 8 ≤ x ≤ 12}
B = {y ∈ / 10 ≤ y ≤ 12}
Se define la relación R = {(x ; y) ∈ A × B / x + y ≥ 21}
Grafica en forma cartesiana y determina el rango.
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
Resolución:
Si la gráfica representa a una relación R, escribe
la condición o regla de correspondencia de R y
halla su dominio.
Si la gráfica representa a una relación R, escribe
la condición o regla de correspondencia de R y
halla su dominio.
Rpta. Rpta.
Resolución:
1
3
4
A
3
4
9
12
BR
1
2
3
5
A 1
2
4
6
10
BR
13
15
14
16
70
Encuentra por extensión y comprensión la
relación R del conjunto B sobre sí mismo, según
el siguiente gráfico.
Encuentra por extensión y comprensión la
relación R del conjunto A sobre sí mismo, según
el siguiente gráfico.
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
4 11
9 5
B 5 22
16 7
A
Sea M = {x ∈ / 2 ≤ x ≤ 7} y la relación binaria R
definida por:
R = {(x ; y) ∈ M2 / x + y = 7}
Descubre la suma de los elementos del Dom(R).
Sea M = {x ∈ / 5 < x ≤ 12} y la relación binaria
R definida por:
R = {(x ; y) ∈ M2 / x = y}
Descubre la suma de los elementos del Dom(R).
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
19 20
17 18
Sobre el conjunto P = {2; 4; 6; 8} se define una
relación R, tal como se muestra en el diagrama
cartesiano.
¿Es R una relación de equivalencia?
Si el gráfico representa a una relación R, determina
la condición o regla de correspondencia de R y
calcula su rango.
2
2 4 6 8
4
6
8
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
1
5
3 6 9 12 15
2
3
4
B
A
21 22
71MateMática Delta 3 - aritMética
Sean los pares ordenados:
(2x + 3y ; 43) = (‒3 ; 3x ‒ 5y), determina la suma de
los cuadrados de los elementos del par ordenado
(x + y ; x ‒ y).
Resolución:
Rpta.
23 Sean los pares ordenados:
(2x + y ; 3x – 2y) = (9 ; 3), determina la suma de
los elementos del par ordenado (xy ; x + y).
Resolución:
Rpta.
24
Sean los conjuntos A y B, tales que:
A = {x ∈ / x es impar; x ∈ 1 ; 8 }
B = {x ∈ / x es par; x ∈ [4 ; 10]}
Halla el rango de la relación siguiente:
R = {(a ; b) ∈ A × B / a + b < 12}.
Resolución:
Rpta.
25 Sean los conjuntos A y B, tales que:
A = {x ∈ / x es primo; x ∈ 1 ; 8 }
B = {x ∈ / x es impar; x ∈ [3 ; 10 }
Halla el rango de la relación siguiente:
R = {(a ; b) ∈ B × A / a × b < 12}.
Resolución:
Rpta.
26
72
Sea el conjunto A = {1; 2; 3; 4} y la relación
R = (a ; b) ∈ A2 / a + b
2
, encuentra si dicha
relación es reflexiva, simétrica o transitiva.
Sea el conjunto A = {1; 2; 3; 4} y la relación
R = (a ; b) ∈ A2 / b = a , encuentra si dicha
relación es reflexiva, simétrica o transitiva.
°
Descubre el dominio de la siguiente relación
definida en R.
R(x) = x ‒ 2 x + 5
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Rpta. Rpta.
Descubre el dominio de la siguiente relación
definida en R.
R(x) = x – 4
Rpta. Rpta.
27 28
29 30
73MateMática Delta 3 - aritMética
Rpta. Rpta.
Calcula el dominio y rango de la siguiente relación
definida en .
Calcula el dominio y rango de la siguiente relación
definida en .
Resolución: Resolución:
R(x) = 3x – 8
x – 5R(x) =
5x – 8
2x – 9
Sea la relación R, tal que:
R = {(2 ; a), (m ; 3b), (n ; 6), (a ; b + 1)}
Determina el valor de m2 + n3 , para que la
relación R sea simétrica en todos sus elementos.
Sea la relación R, tal que:
R = {(a ; 3b ‒ 1), (6m ; 4b + 3), (5 ; a), (3n ‒ 7 ; n + 18)}
Determina el valor de m3 + n2 , para que la
relación R sea simétrica en todos sus elementos.
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
31 32
33 34
74
Sean los conjuntos A y B, tales que:
A = {x / x ∈ ; –1 ≤ x < 5}
B = {x / x ∈ ; 2 ≤ x ≤ 4}
Sean también las relaciones:
R1 = {(x ; y) ∈ A × B / x < y}
R2 = {(x ; y) ∈ A × B / x + y = 3}
Halla el valor de n[Dom(R1) ∩ Ran(R2)].
Sean los conjuntos A y B, tales que:
A = {x / x ∈ ; –2 ≤ x < 6}
B = {x / x ∈ ; x2 ≤ 5}
Sean también las relaciones:
R1 = {(x ; y) ∈ A × B / 0 < xy < 3}
R2 = {(x ; y) ∈ A × B /
x + y
2
∈ }
Halla el valor de n(R1) × n(R2).
Resolución: Resolución:
Sean la igualdad de pares ordenados:
(x + 3 ; 9) = (7 ; y + 4)
Encuentra la suma de los cuadrados de los
elementos del par ordenado (x + y ; x – y).
Sean la igualdad de pares ordenados:
(7x + 5y ; 23) = (10 ; 2y + 5)
Encuentra la suma de los elementos del par
ordenado (x2 ; xy).
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta.Rpta.
35 36
37 38
75MateMática Delta 3 - aritMética
Sea R una relación en el conjunto A, tal que:
A = {1; 2; 3; 4}
Sean también las relaciones sobre el conjunto A:
R1 = {(1 ; 2), (3 ; 4), (4 ; 3), (2 ; 1), (3 ; 3)}
R2 = {(x ; y) ∈ A × A / x > y}
R3 = {(x ; y) ∈ A × A / x + y = 4}
R4 = {(x ; y) ∈ A × A / x es divisible por y}
R5 = {(x ; y) ∈ A × A / y = 2x}
R6 = {(x ; y) ∈ A × A / (x + y) es par}
Descubre cuáles de las relaciones son reflexivas,
simétricas o transitivas.
Sea R una relación en el conjunto A, tal que:
A = {1; 2; 3; 4}
Sean también las relaciones sobre el conjunto A:
R1 = {(1 ; 3), (2 ; 2), (2 ; 4), (4 ;2), (2 ; 3), (2 ; 1), (4 ; 4)}
R2 = {(x ; y) ∈ A × A / x ≤ y}
R3 = {(x ; y) ∈ A × A /
x + y
2
∈ }
R4 = {(x ; y) ∈ A × A / (x + y) es impar}
R5 = {(x ; y) ∈ A × A / y + 1 = 2x}
Descubre cuáles de las relaciones son reflexivas,
simétricas o transitivas.
Resolución:
Resolución:
Rpta. Rpta.
39 40
76
Dados los conjuntos A y B:
A = {x ∈ / x es impar; x ∈ [2 ; 7〉}
B = {y ∈ / y es par; y ∈ [4 ; 6] }
Se define la relación R.
R1 = {(x ; y) ∈ A × B / x + y < 10}
Grafica en forma cartesiana y calcula cuántos
elementos tiene R.
Dados los conjuntos A y B:
A = {x ∈ / x ∈ 1 ; 5 }
B = {y ∈ / y ∈ [2 ; 6] }
Se define la relación R.
R = {(x ; y) ∈ A × B / x + y < 8}
Grafica en forma cartesiana y calcula cuántos
elementos tiene R.
Resolución: Resolución:
Dado el conjunto A = {2; 3; 4} y la relación R
definida del siguiente modo:
R = {(2 ; 3a – 10), (b + 2 ; 3), (3c + 1 ; 4)}
Si R es reflexiva, determina el valor de a + b + c.
Dado el conjunto B = {1; 3; 6} y la relación R
definida del siguiente modo:
R = {(1 ; 4a – 7), (b + 2 ; 3), (6 ; 2c – 8)}
Si R es reflexiva, determina el valor de a + b + c.
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta.Rpta.
41 42
43 44
77MateMática Delta 3 - aritMética
Sean los conjuntos A y B, tales que:
A = {x / x ∈ ; 0 < x < 5}
B = {x / x ∈ ; 0 ≤ x < 6}
Se define la relación R.
R = {(x ; y) ∈ A × B / x + y = 4}
Halla la suma de elementos del Ran(R).
Sean los conjuntos A y B, tales que:
A = {x / x ∈ ; 1 < x ≤ 4}
B = {x / x ∈ ; 2 ≤ x ≤ 7}
Se define la relación R.
R = {(x ; y) ∈ A × B / x + y = 6}
Halla la suma de elementos del Ran(R).
Resolución: Resolución:
Sea la igualdad de los pares ordenados:
(2x + y ; 4x – y) = (11 ; 7)
Encuentra la suma de los elementos del par
ordenado (x2 ; y3).
Sea la igualdad de los pares ordenados:
(2x – y ; 4x + y) = (12 ; 36)
Encuentra la suma de los elementos del par
ordenado (x2 ; y2).
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta.Rpta.
45
47
46
48
78
49 Sea R una relación en el conjunto A, tal que:
A = {1; 2; 3; 4}
R = {(2 ; 3), (1 ; 4), (3 ; 2), (4 ; 3)}
Descubre qué elementos le faltan para que la
relación sea transitiva.
Sea R una relación en cierto conjunto tal que:
R = {(1 ; 2), (2 ; 2), (3 ; 3), (2 ; 4)}
Calcula qué elementos faltan para que la relación
sea reflexiva y simétrica.
Sea R una relación en el conjunto A, tal que:
A = {1; 2; 3; 4}
R = {(2 ; 1), (1 ; 3), (3 ; 2), (3 ; 4)}
Descubre cuántos elementos le faltan para que la
relación sea transitiva.
Sea R una relación en cierto conjunto tal que:
R = {(1 ; 1), (2 ; 3), (1 ; 3), (4 ; 3)}
Calcula qué elementos faltan para que la relación
sea reflexiva y simétrica.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
50
51 52
79MateMática Delta 3 - aritMética
Sean los conjuntos A = {2; 3; 6} y B = {2; 3; 5}, se
define la siguiente relación:
R = {(a ; b) ∈ A × B / a × b < 12}
Determina n(A × B) + n(R).
Sean los conjuntos A = {5; 3; 6; 2} y B = {8; 3; 5; 7},
se define la siguiente relación:
R = {(x ; y) ∈ B × A / x ⋅ y ≥ 20}
Determina n(B × A) + n(R).
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Sean los conjuntos A = {13; 3; 5} y B = {4; 6; 8; 2},
se definen las siguientes relaciones:
R1 = (x ; y) ∈ B × A /
x
2 + 1 = y
R2 = (x ; y) ∈ A × B /
y
2 + 1 = x
R3 = {(x ; y) ∈ A × B / 2y + 1 = x}
Halla n(R1) ⋅ n(R2) ⋅ n(R3)
Sean los conjuntos A = {13; 3; 7} y B = {4; 27; 8; 15},
se definen las siguientes relaciones:
R1 = {(x ; y) ∈ B × A / 3x + 1 = y}
R2 = {(x ; y) ∈ A × B / y + 1 = 3x}
R3 = {(x ; y) ∈ A × B / 2x + 1 = y}
Halla n(R1) ⋅ n(R2) ⋅ n(R3)
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
53
55
54
56
80
57
59
58
60
Sea el conjunto: A = {2n + 1 / n ∈ +; 1 ˂ n ˂ 6},
además R es una relación reflexiva y simétrica en
A × A tal que:
R = {(a ; a), (b ; b), (c ; a), (9 ; c), (d ; d), (c + b – 1 ; 11)}
Encuentra el valor de a + b + c.
Sea el conjunto: A = {3n + 1 / n ∈ +; 1 ˂ n ˂ 6},
además R es una relación reflexiva y simétrica en
A × A tal que:
R = {(a ; a), (b ; b), (c ; a), (13 ; c), (d ; d), (c + b – 1 ; 16)}
Encuentra el valor de a + b + c.
Resolución: Resolución:
Sea el conjunto A = {2; 4; 9}, además se define la
relación R simétrica en A × A tal que:
R = {(2 ; ab + 1), (4 ; 4), (9 ; 2), (2 ; 2), (b + c ; 4),
(a2 ; a + c + 2)}
Sea el conjunto A = {3; 9; 16}, además se define la
relación R simétrica en A × A tal que:
R = {(3 ; ab + 1), (9 ; 9), (16 ; 3), (3 ; 3), (b + c ; 9),
(a2 ; a + c + 2)}
Descubre el valor de a + b + c, además c ˃ 5.
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Descubre el valor de a
2 + 2b + 3c
3
, si c ˃ 3.
81MateMática Delta 3 - aritMética
A 13 B 18 C 20
D 16 E 15
A 5 B 6 C 7
D 8 E 9
Practica y demuestra
Nivel I 4 Encuentra la suma de los elementos del dominio
de R1 con la suma de los elementos del rango
de R2.
A = {1; 2; 3; 4; 5}
R1 = {(x ; y) ∈ A × A / x + y = 7}
R2 = {(x ; y) ∈ A × A / x + y ≤ 4}
Dado el conjunto B y sus relaciones R1, R2 y R3.
B = {1; 2; 3; 4}
R1 = {(x ; y) ∈ B × B / x = y}
R2 = {(x ; y) ∈ B × B / y < x}
R3 = {(x ; y) ∈ B × B / x < y}
Descubre n(R3) + n(R2) – n(R1).
5
Sean los conjuntos:
A = {x ∈ / 1 ≤ x ≤ 5}
B = {3; 4; 5}
Se define R ⊂ A × B, mediante (x ; y) ∈ R ⇔ x < y.
Halla R y da como respuesta la suma de los
elementos de su dominio con su rango.
1
Sea el conjunto A y la relación R definida en A.
A = {–2; –1; 1; 2}
R = {(x ; y) ∈ A2 / x = –y}
Calcula el Dom(R).
2
Se definen las relaciones en:
R = {(2 ; 3), (4 ; 6), (9 ; 3), (5 ; 13), (8 ; 9)}
S = {(2 ; 4), (4 ; 6), (8 ; 9), (6 ; 4), (5 ; 12)}
Determina cuántas de las siguientes afirmaciones
son verdaderas.
3
I. (2 ; 3) ∈ R S
II. (4 ; 6) ∈ R S
III. (5 ; 13) ∈ R – S
IV. S ⊂ (R S)
Sea la relación R definida en , tal que:
R = {(x ; y) ∈ × / x + y = 6}
Halla el número de elementos del rango de la
relación R.
6
A 1 B 2 C 3
D 4 E Ninguna
A A B {–1; 2} C { }
D {0} E {–2; –1; 1; 2}
A 10 B 4 C 6
D 12 E 8
A 18 B 12 C 15
D 27 E 22
82
Sea la relación R definida en , tal que:
R = {(x ; y) ∈ × / x + y = 7}
Descubre la suma de los elementos que tiene el
Ran(R).
10
Sea la relación R definida en , tal que:
R = {(x ; y) ∈ × / x + y = 5}
Determina la suma de los elementos del Dom(R).
8
Sea la relación R definida en , tal que:
R = {(x ; y) ∈ × / x + y = 12}
Encuentra la suma de los elementos del Dom(R).
9
Sea el conjunto A y la relación R definida en A.
A = {x ∈ / 2 < x ≤ 5}
R = {(x ; y) ∈ A2 / x = y}
Calcula el valor de n(R).
Nivel II
12
Dados los siguientes conjuntos:
A = {1; 2; 3; 4; 5}
B = {1; 4; 6; 16}
C = {2; 3; 8; 10}
y las relaciones R ⊂ A × B; S ⊂ B × C, definidas por:
(x , y) ∈ R ⇔ y = x2
(y , z) ∈ S ⇔ z = y2
Halla la suma de los elementos de los dominios
de ambas relaciones.
11
Sea el conjunto A y las relaciones R, S y T, tal que:
A = {x ∈ / 0 < x ≤ 9} R = {(x ; y) ∈ A2 / y = x2}
S = {(x ; y) ∈ A2 / y = 2x} T = {(x ; y) ∈ A2 / x = y}
Calcula el valor de n(R) + n(S) + n(T).
7
A 13 B 15 C 16
D 19 E 21
A 70 B 71 C 22
D 28 E 0
A 9 B 15 C 10
D 5 E 12
A 27 B 68 C 18
D 91 E 78
A 5 B 4 C 3
D 6 E 7
A 28 B 33 C 35
D 26 E 30
83MateMática Delta 3 - aritMética
A 2 B 9 C 1
D 3 E 12
A FFV B FVV C FFF
D VFV E FVF
Sean las siguientes relaciones en B.
B = {1; 2; 3; 4}
R1 = {(x ; y) ∈ B × B / x = y }
R2 = {(x ; y) ∈ B × B / y < x }
R3 = {(x ; y) ∈ B × B / y > x }
Determina n(R3) + n(R2) + n(R1).
13
14 Sean los conjuntos A y B tal que:
A = {x ∈ / – 4 ≤ x < 3}
B = {y ∈ / – 2 ≤ y < 2}
Se define la relación R siguiente:
R = {(x ; y) ∈ A × B / x > y}
Encuentra la suma de elementos de Ran(R).
Sean las siguientes relaciones en el conjunto T.
T = {2; 3; 4}
R1 = {(x ; y) T × T / y ≤ x }
R2 = {(x ; y) ∈ T × T / y = x }
R3 = {(x ; y) ∈ T × T / y – x – 1 = 0 }
Descubre el valor de n(R1) + n(R2) + n(R3).
15
Sean los conjuntos: A = {x ∈ / 2 ≤ x ≤ 8} y
B = {3; 4; 5}
Se defineR ⊂ A × B mediante:
(x ; y) ∈ R ⇔ x + y = 7. Halla cuántos elementos
tendrá R.
16
Sea el conjunto A.
A = {–3; –2; –1; 0}
Calcula si las relaciones son reflexivas.
R = {(–1 ; –3), (–2 ; 0), (0 ; 0), (–1 ; –1), (–3 ; –1)}
S = {(2 ; 2), (2 ; 1), (3 ; 3), (1 ; 1), (3 ; 2), (0 ; 0), (1 ; 2),
(3 ; 1)}
T = {(–2 ; –2), (0 ; 0), (–3 ; –3), (0 ; –1), (–1 ; –1)}
17
Sea el conjunto A.
A = {1; 2; 3; 4}
Se definen las relaciones:
R1 = {(1 ; 1), (1 ; 2), (4 ; 3), (2 ; 2), (3 ; 1), (3 ; 2), (4 ; 1), (4 ; 2)}
R2 = {(1 ; 1), (2 ; 1), (2 ; 2), (3 ; 3), (1 ; 2), (1 ; 3)}
R3 = {(2 ; 1), (1 ; 1), (2 ; 4), (1 ; 2), (1 ; 3)}
Establece si son transitivas en A.
18
A NO, NO, NO B SÍ, SÍ, NO
C SÍ, NO, NO D SÍ, NO, SÍ
E SÍ, SÍ, SÍ
A 11 B 9 C 8
D 12 E 10
A 10 B 9 C 13
D 11 E –2
A 8 B 16 C 15
D 17 E 7
84
Nivel III
19 Se definen las relaciones:
R1 = {(x ; y) ∈ 2/ x2 – 2x = y ∧ 0 < x < 5}
Se afirma que p es la suma de los elementos del
dominio de R1, y q es la suma de los elementos
del rango de R1. Determina la suma de p + q.
20 Sea el conjunto A tal que A = {1; 2; 3; 4}, y las
siguientes relaciones:
R1 = {(x ; y) ∈ A2 / y – x – 2 = 0}
R2 = {(x ; y) ∈ A2 / y – x2 = 0}
Encuentra la suma de todos los elementos de los
pares ordenados R1 y R2.
21 Sean los conjuntos A y B y la relación R.
A = {2; 4; 5} ∧ B = {2; 3; 9}
R = {(x ; y) A × B / (x + y) es un número primo}
Descubre el valor de n(R) + n(A B).
22 Se define el conjunto A y la relación R.
A = {x / x ∈ A; 5 < x ≤ 8}
R = {(x ; y) ∈ A × A / x < y}
Halla la suma de los elementos del Dom(R) con la
suma de los elementos del Ran(R).
23 Observa la igualdad de pares ordenados y calcula
la suma de elementos del par ordenado (x3 ; 3y).
(8x + y ; 5x – 5y) = (34 ; 10)
24 Dados A = {2; 5; 7} y B = {3; 4}, determina la
relación definida por:
R = {(x ; y) ∈ A × B / x . y = número par}
Determina el producto de los elementos del
Ran(R).
A 20 B 10 C 15
D 785 E
120
7
A 19 B 20 C 21
D 22 E 14
A 8 B 9 C 10
D 11 E 12
A 6 B 0 C 3
D 4 E 5
A 18 B 25 C 56
D 70 E 81
A 46 B 45 C 44
D 43 E 28
85MateMática Delta 3 - aritMética
Tema
Una razón es la relación que existe entre dos cantidades por medio de una comparación
por división (razón geométrica) o por sustracción (razón aritmética).
Razones
Razones
• Relación entre a y b
• Razón entre a y b
• Razón geométrica entre a y b
a
b
Donde:
«a» es el antecedente
«b» es el consecuente
Ejemplo:
En un salón de clases hay 21 mujeres (M) y 39 hombres (H). Determina la relación que
existe entre el número de mujeres y el número de hombres.
Resolución:
1.° Cuando nos hablan de relación entre dos cantidades sabemos que nos están
hablando de una comparación entre estas dos cantidades. Por lo tanto, expresamos
la relación como una división indicada, así:
M
H
2.° Esta relación se representará como una razón usando los valores conocidos para
cada cantidad, que será como sigue:
Se lee como:
La relación entre estas dos cantidades es de «a» a «b».
La razón entre a y b es a/b.
La razón geométrica entre a y b es a/b.
M
H
=
21
39
La relación entre el número de mujeres y el número de
hombres es de «21 a 39» y la razón es 21/39.
Es denominada relación entre M y H.
3.° La relación suele expresarse con números simplificados, con el fin de agilizar los
cálculos.
M
H
=
21
39
7
13
⇒ M
H
=
7
13
También M = 7k
H = 13k
Se lee:
• La relación entre la cantidad de mujeres y el de hombres es de «7 a 13»,
respectivamente.
• La razón entre la cantidad de mujeres y hombres es 7/13.
• Por cada 7 mujeres se observan también 13 hombres.
En una razón, el
antecedente es
la cantidad que
se compara, y el
consecuente la
cantidad con el
cual se realiza la
comparación.
Recu e rda
En la gastronomía,
el cocinero sabe que
para obtener el arroz
graneado necesita
por cada 2 medidas
de arroz, 3 medidas
de agua.
Cuando no se
especifica qué tipo
de razón o relación
es, se asume que es
razón geométrica.
Dato cu rio s o
Not a
5
5k – 12
4k – 12
86
Resolución:
Ejemplo:
Si hay 33 vehículos entre automóviles y camionetas y la razón entre ellos es 4
7
, calcula
cuántos automóviles y camionetas hay.
En este caso se está comparando la cantidad de automóviles con la de camionetas.
Para conocer la cantidad de automóviles que hay podemos seguir los siguientes pasos:
1.° La relación que hay entre la cantidad de automóviles (A) y de camionetas (C) se
expresará como
A
C
.
2.° Como la razón es 4
7
, entonces escribiremos: A
C
=
4
7
También
A = 4k
C = 7k
3.° Como hay 33 vehículos, reemplazamos.
A + C = 33
4k + 7k = 33
k = 3, entonces A = 4(3) = 12
C = 7(3) = 21
Finalmente, el número de automóviles es 12 y el de camionetas es 21.
Gráficamente sería así:
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
33 vehículos
4 × 3 = 12
automóviles
7 × 3 = 21
camionetas
Homogeneización de razones
Cuando se tienen dos razones con términos que tienen un nexo común, se acostumbra
a homogeneizar.
Ejemplo:
a
b
=
7
8
Si
b
c
=
6
13
y
Se observa que entre estas dos razones existe el nexo común que es el término «b».
Entonces para homogeneizar ambas razones se debe proceder del modo siguiente:
1.° Observaremos que el término «b» se cuenta de 8 en 8 (en la primera razón) y también
de 6 en 6 (en la segunda razón). Entonces calculamos un número que contenga a
ambos; hay muchos, pero uno de tales números se encuentra calculando el mínimo
común múltiplo de 8 y 6.
Como MCM(8; 6) = 24, ahora «b» se contará de 24 en 24.
2.° La homogeneización se consigue haciendo que en la primera razón los números a
los cuales son proporcionales los términos se tripliquen, y en la segunda razón se
cuadrupliquen.
a
b
=
7(3)
8(3)
y
b
c
=
6(4)
13(4)
a
b
=
21
24
y
b
c
=
24
52
Finalmente, a = 21k, b = 24k, c = 52k
; entonces:
Algunas personas
buscando «métodos
prácticos» realizan la
homogeneización del
modo siguiente.
Import a nt e
a
bsi =
7
8 ∧
b
c =
6
13
Identifican el término
común (b), la cual
se agrupa de 8 en
8 y de 6 en 6, e
intercambian valores,
así:
a
b =
7 × (6)
8 × (6)∧
b
c =
6 × (8)
13 × (8)
Obteniendo:
a = 42k
b = 48k
c =104k
Lo cual también es
correcto pero no
resulta muy práctico.
87MateMática Delta 3 - aritMética
2.° Se incorporan 2 mujeres y retiran 9 varones, motivo por el cual la relación
original se invierte.
M + 2
H – 9
=
4
3
⇒
3k + 2
4k – 9
=
4
3
⇒ (3k + 2)3 = (4k – 9)4
9k + 6 = 16k – 36
42 = 7k
⇒
M = 3(6) = 18
H = 4(6) = 24
k = 6
Luego, el número de participantes que están ahora en la competencia son:
Las mujeres 18 + 2 = 20, los hombres 24 – 9 =15
Rpta. El total de participantes es de 35.
En una reunión se observa que el número
de varones y el de mujeres se encuentran en
relación de 7 a 9, respectivamente. Calcula
cuántas parejas de enamorados se retiraron de
la reunión, si ahora se afirma que por cada 15
mujeres quedan 11 varones; sabiendo además
que la cantidad de mujeres que había al inicio
excede en 28 a la cantidad de varones que hay
al final.
Resolución:
Sean
• M la cantidad de mujeres
• H la cantidad de hombres
1.° Varones y mujeres se encuentran en relación de 7 a 9.
H
M
=
7
9
También
H = 7k
M = 9k
La relación entre la
forma de su cuerpo
y el tamaño diminuto
de sus alas, hace que
el vuelo de las abejas
sea todo un prodigio,
ya que la naturaleza
no les ha dado una
buena aerodinámica.
A diferencia de otros
insectos voladores
cuyas batidas de alas
están entre los 145 y
165 grados, la batida
de las abejas es muy
corta, de menos de
90 grados; pero su
aleteo se realiza a
mucha velocidad,
concretamente a 230
aleteos por segundo.
El vuelo de las
abejas
El vuelo de las abejas
ha sido hasta hace
poco un misterio para
los expertos. Desde
hace muchos años
se viene diciendo
que, desde el punto
de vista teórico, las
abejas no deberían
poder volar, pues
según la relación
entre el tamaño de
sus alas, el peso
de sus cuerpos y
laaerodinámica
conocida, los cálculos
dicen que su vuelo no
es posible. Según los
cálculos, el problema
fundamental radica
en que sus alas
son tan pequeñas
que no deberían
producir suficiente
sustentación durante
el vuelo. Pero es
evidente que vuelan.
Resolución:
Sean
• M la cantidad de mujeres
• H la cantidad de hombres
1.° La razón de mujeres y hombres es
3
4
.
M
H
=
3
4
⇒
M = 3k
H = 4k
La razón que hay entre las cantidades de mujeres y el de hombres participantes
en un concurso de glotones es de
3
4
. Pero por decisión del juez se reinicia el
juego, incorporándose a 2 mujeres y retirándose a 9 varones, motivo por el cual
se observa que la relación original se invierte. Calcula cuántos participantes están
en esta justa.
1
2
Ejercicios resueltos
5k – 12
4k – 12
88
2.° Se retiran «x» parejas, quedan 15 mujeres por cada 11 varones.
H – x
M – x
= 11
15
⇒ 7k – x
9k – x
= 11
15
⇒ (7k – x) 15 = (9k – x) 11
105k – 15x = 99k – 11x
6k = 4x
3k
2
x =
3.° La cantidad de mujeres que había al inicio excede en 28 a la cantidad de
varones que hay al final.
M – (H – x) = 28
⇒ M – H + x = 28
9k – 7k + 3k
2
= 28
k = 8 ⇒ x =
3(8)
2
= 12
7k
2
= 28
Rpta. Se retiraron 12 parejas.
En una fábrica embotelladora, se tienen tres máquinas: A, B y C. Se sabe que
por cada 7 botellas que produce la máquina A, la máquina B produce 5 y, por
cada 3 botellas que produce la máquina B, la máquina C produce 2. Cierto día, la
máquina A produjo 4400 botellas más que la máquina C. Calcula cuántas botellas
se produjeron en total ese día.
Resolución:
Sean A, B y C las respectivas producciones de las máquinas este cierto día.
1.° Por cada 7 que produce A, B produce 5; y por cada 3 que produce B, C produce 2.
A
B
=
7
5
y
B
C
=
3
2
2.° Calculamos el MCM(5; 3) = 15 y homogeneizamos el valor de B en ambas
razones.
A
B
=
7 × (3)
5 × (3)
y
B
C
=
3 × (5)
2 × (5)
⇒
A
B
=
21
15
y
B
C
=
15
10
⇒ A = 21k; B = 15k; C = 10k
3.° A produjo 4400 botellas más que C.
A = C + 4400
21k = 10k + 4400
A = 21 (400)
B = 15 (400)
C = 10 (400)
A + B + C = 46 (400)
k = 400
Rpta. La producción de ese día es 18 400 botellas.
En nuestra vida
cotidiana, vemos
como los eventos
transcurren en el
tiempo: La caída
de las hojas, el
movimiento de los
carros, el movimiento
de las manecillas
del reloj, etc. Todos
estos fenómenos
implican movimiento
y para que este
movimiento se realice
es necesario que
transcurra un tiempo
determinado.
El concepto de
cambio, ya sea en
la posición, o en
estado de algo, está
íntimamente ligado al
tiempo.
Se define entonces la
RAZÓN DE CAMBIO
de una cantidad
cualquiera como la
división del cambio
de esta cantidad
sobre el tiempo
transcurrido en
realizar dicho cambio.
¿Sa bía s qu e.. .?
3
89MateMática Delta 3 - aritMética
En un teatro infantil, 4 de cada 11 personas
son padres de familia. Si en total hay 84 niños,
¿cuántas personas hay en el teatro infantil?
Resolución:
Resolución:
En una competencia deportiva, se observa que 7
de cada doce personas son mujeres. Además la
diferencia entre el número de mujeres y hombres
asistentes es de 98. Calcula cuántas personas
asistieron a dicha competencia.
Rpta. Rpta.
Razón Homogeneización de razones
Comparación entre dos cantidades.
Razón aritmética
Por sustracción.
A − B = k
Razón geométrica
Por división.
A
B
= k
donde
A: antecedente
B: consecuente
k: valor de la razón
Cuando se tienen dos razones con
términos que poseen un nexo común, se
acostumbra a homogeneizar.
Ejemplo:
Identificamos el término común «b».
obteniendo:
a = 42k
b= 48k
c = 104k
a
b =
7
8Si
b
c =
6
13y
Síntesis
Modela y resuelve
1 2
a
b =
7 × (6)
8 × (6)
b
c =
6 × (8)
13 × (8)y
90
En una conferencia regional, la relación inicial
entre la cantidad de mujeres y de hombres es de
dos a tres respectivamente. En un momento dado
se retiran ocho mujeres y llegan cuatro hombres,
con lo que la relación es ahora de tres a cinco.
Determina cuántas mujeres deben llegar para
que la relación sea de uno a uno.
La relación que hay entre el número de pasajeros
de dos microbuses es de 7 a 4; si bajan 9 pasajeros
de uno de ellos y se suben al otro, entonces se
iguala el número de pasajeros en ambos. Calcula
cuántos pasajeros llevan entre ambos.
En una conferencia regional, la relación inicial
entre la cantidad de mujeres y de hombres es de
6 a 11 respectivamente. En un momento dado
llegan nueve mujeres y se retiran seis hombres,
con lo que la relación es ahora de 5 a 9. Determina
cuántas mujeres deben llegar para que
la relación sea de uno a uno.
La relación que hay entre el número de monedas
de oro que hay en dos cajones es de 13 a 8; si
extraemos 15 monedas de uno de los cajones
y se depositan en el otro, entonces se iguala el
número de monedas en ambos cajones. Calcula
cuántas monedas hay entre ambos cajones.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
3 4
5 6
91MateMática Delta 3 - aritMética
En una bolsa hay 165 monedas. Si por cada 5
monedas de S/ 2 hay 8 monedas de S/ 5 y por
cada 2 monedas de S/ 5 hay 5 monedas de S/ 1,
halla el número de monedas de S/ 5.
En una bolsa hay S/ 830 en monedas de tres
denominaciones. Si por cada 7 monedas de S/ 2
hay 6 monedas de S/ 5 y por cada 8 monedas de
S/ 2 hay 9 monedas de S/ 1, halla el número total
de monedas que hay en la bolsa.
La relación entre las edades de dos hermanas es
de 3 a 2. Se sabe que dentro de 8 años dicha
relación será de 5 a 4. Determina cuál es la edad
actual de la hermana menor.
La relación entre las edades de dos hermanas es
de 9 a 7. Si sabe que dentro de 15 años dicha
relación será de 6 a 5, determina cuál es la edad
actual de la hermana mayor.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
7 8
9 10
92
En una fábrica que produce botellas de vidrio,
se tienen 3 máquinas (A, B y C). Se sabe que
por cada 7 botellas que produce la máquina A, la
máquina B produce 5 y, por cada 3 botellas que
produce la máquina B, la máquina C produce 2.
En un día, la máquina A produjo 4587 botellas
más que C. Calcula cuántas botellas producirá la
máquina B en una semana de trabajo.
En una escuela se han repartido 851 panes entre
todos los estudiantes. Se observó que cada varón
recibió 3 panes, y cada mujer 2 panes. Si se
sabe que en el colegio por cada 5 varones hay 4
mujeres, calcula el total de estudiantes.
En una fábrica que produce botellas de vidrio, se
tienen 3 máquinas (A, B y C). Se sabe que por
cada 7 botellas que produce la máquina A, la
máquina B produce 12 y, por cada 18 botellas
que produce la máquina B, la máquina C produce
13. En un día, la máquina A produjo 5485 botellas
menos que C. Calcula cuántas botellas producirá
la máquina B en una semana de trabajo.
En una escuela se han repartido 837 panes entre
todos los estudiantes. Se observó que cada
varón recibió 3 panes, y cada mujer 2 panes. Si
se sabe que en el colegio por cada 7 varones
hay 5 mujeres, calcula el total de estudiantes.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
11 12
13 14
93MateMática Delta 3 - aritMética
En una reunión el número de hombres es al número
de mujeres como 4 es a 7 respectivamente. Si
se retiran un quinto del número de hombres y
un tercio del número de mujeres, entonces el
número de personas que hay ahora en la reunión
es de 354. Calcula la diferencia entre el número
de hombres y mujeres que estaban presentes al
inicio de la reunión.
En una reunión el número de hombres
es al número de mujeres como 6 es a 7
respectivamente. Si se retiran un cuarto del
número de hombres y un quinto del número de
mujeres, entonces el número de personas que
hay ahora en la reunión es de 707. Calcula la
diferencia entre el número de hombres y mujeres
que estaban presentes al inicio de la reunión.
En unsalón de clase el número de varones y el
número de mujeres se encuentran en relación de
4 a 9 respectivamente. Si luego llegan el profesor,
el director y se retiran 3 alumnas, entonces la
nueva relación será de 7 a 12. Calcula cuántas
alumnas están en el salón.
En un salón de clase el número de varones y el
número de mujeres se encuentran en relación de
4 a 7 respectivamente. Si luego llega el profesor y
se retira una alumna, entonces la nueva relación
será de 3 a 5. Calcula cuántas alumnas están en
el salón.
Rpta. Rpta.
Rpta.Rpta.
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
15
17
16
18
94
En un examen los problemas contestados y
los no contestados están en relación de 5 a 7
respectivamente. Dentro del número de problemas
contestados, el número de problemas resueltos
correctamente y los que no están en relación de
5 a 3 respectivamente. Si la suma del número de
problemas contestados correctamente y lo que
no fueron contestados suman 162, calcula de
cuántas preguntas consta el examen.
En un examen los problemas contestados y
los no contestados están en relación de 5 a 8
respectivamente. De los problemas contestados,
el número de problemas resueltos correctamente
y los que no están en relación de 5 a 4
respectivamente. Si la suma del número de
problemas contestados correctamente y lo que
no fueron contestados suman 97, calcula de
cuántas preguntas consta el examen.
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Dos números se encuentran en la relación de 7 a
13. Si al menor número se le suma 140 unidades,
entonces el valor del otro número debe multiplicarse
por 5 para que el valor de la razón no se altere. Halla
la suma de cifras del mayor de los dos números.
Dos números se encuentran en la relación de 8 a
7. Si al mayor número se le suma 160 unidades,
entonces el valor del otro número debe multiplicarse
por 6 para que el valor de la razón no se altere. Halla
la suma de cifras del menor de los dos números.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
19 20
21 22
95MateMática Delta 3 - aritMética
Se tiene 3 números enteros A, B y C tales que
A y B están relación de 5 a 6 respectivamente,
mientras que B y C se encuentran en relación de
8 a 11. Si la diferencia entre C y A es 910, calcula
el valor del mayor de estos tres números.
Se desea repartir S/ 20 895,75 entre Benito,
Camilo y Danilo, de modo que las partes que
reciben Benito y Camilo estén en la relación de 4
a 7; y las partes de Camilo y Danilo en la relación
de 5 a 8. Calcula cuánto recibirá Benito.
Las edades actuales de Juan y Rocío están en
relación de 7 a 10 respectivamente. Si dentro de
16 años estarán en la relación de 5 a 6, determina
hace cuántos años estaban en relación 3 a 5.
La cantidad del dinero que tiene Aurora y Brenda
están en relación de 5 a 3 respectivamente; además
por cada S/ 2 que tiene Brenda, Claudia tiene
S/ 3. Sabiendo que Aurora y Claudia tienen juntos
S/ 467,40 calcula cuánto dinero tienen en total.
El sueldo de Santiago y el de Catherine están
en la relación de 3 a 5 respectivamente; pero si
Santiago ganase S/ 440 más entonces la relación
se invertiría. Calcula cuánto más gana Catherine
que Santiago.
Nivel I
1
4
5
6
Practica y demuestra
En la fabricación de la pólvora, el carbón y el salitre
están en la razón de 165 , y el salitre con el azufre
en la razón de 103 . ¿Cuántos kilogramos más de
carbón que de salitre se usan para fabricar 5940
kilogramos de pólvora?
2
3
A 2904 B 2970 C 2816
D 3013 E 3120
A 6 B 4 C 8
D 5 E 9
A S/ 615 B S/ 650 C S/ 675
D S/ 635 E S/ 610
A S/ 168 B S/ 167 C S/ 165
D S/ 158 E S/ 171
A 1680 B 2310 C 1960
D 2450 E 2030
A 3680 B 3370 C 3765
D 4450 E 4035
96
La razón entre los pesos de dos niños es 4/5
y la suma de los cuadrados de sus pesos es
1108,64 kg2. Calcula la suma de los pesos.
Pedro lleva 1064 soles en monedas de 1 y 5 soles,
observando que el número de monedas de 5 soles
y las monedas de 1 sol se encuentran en relación
de 7 a 3 respectivamente. Calcula la cantidad de
dinero que le quedaría, si gastara las tres cuartas
partes de sus monedas de 5 soles.
La edad de Carlos y la de Dora se encuentran en
relación de 8 a 5. Calcula dentro de cuántos años
las edades estarán en la relación de 4 a 3; si se
sabe además que la suma de sus edades es de
78 años.
En una fiesta la cantidad de hombres y
mujeres asistentes están en relación de 3 a 1
respectivamente. Después de transcurridas seis
horas se retiran 10 parejas, observándose que
por cada mujer hay 5 hombres. Calcula cuántas
personas asistieron inicialmente a esta fiesta.
7 10
11
12
Al quitar 18 a cada uno de dos números la razón
entre los mismos sería 5/ 7. Si la relación inicial de
los mismos era de 7 a 9, halla el número mayor.
8
9
Nivel II
La suma de los términos de una razón, cuyo valor
es menor que 1, es 137. Si al mayor se le resta
29 y al menor se le suma 29, la relación inicial
se invierte. Calcula el producto de las cifras del
menor de los términos de tal razón.
A 90 B 63 C 81
D 54 E 108 A 20 B 24 C 28
D 26 E 32
A 43,2 B 45,9 C 81
D 46,8 E 49,5
A 72 B 76 C 80
D 68 E 86
A 24 B 18 C 30
D 28 E 20
A S/ 344 B S/ 329 C S/ 399
D S/ 349 E S/ 299
97MateMática Delta 3 - aritMética
13 16
17
17
14
15
A una reunión asistieron 450 personas,
observándose que por cada 2 hombres ingresaron
7 mujeres. Luego se retiran un cierto número de
hombres con doble cantidad de mujeres, al final
del cual la relación de hombres y mujeres es de 2
a 9. Calcula cuántas personas se retiraron.
En una universidad se realizó un campeonato de
fulbito entre facultades. El equipo de la facultad
de contabilidad ha observado que luego de 24
encuentros, su cantidad de partidos ganados y la
de partidos perdidos están en relación de 3 a 2
respectivamente. Calcula cuántos partidos empató,
si en la tabla de posiciones obtuvo 36 puntos.
(considerar PG: 3 pts, PE: +1 pt y PP: 0 pts.)
Un comerciante observa que la cantidad de vasos
de vidrio con los de plástico que tiene para vender se
encuentran en la relación de 5 a 3 respectivamente.
Si luego recibe un cargamento de vasos de vidrio y
plástico en relación de 3 a 7 también respectivamente,
y observa ahora que la relación inicial se invierte,
calcula entonces cuántos vasos de plástico tenía, si
en el cargamento recibió 960 vasos.
Un recipiente contiene 65 litros entre alcohol y agua,
cuyos volúmenes están en la relación de 2 a 3
respectivamente. Si se extrae 20 litros de la mezcla,
calcula cuántos litros de agua debe adicionarse a la
mezcla que aún queda, para que al final la relación
entre el alcohol y agua sea de 3 a 5.
En un recipiente que contiene 28 litros de vino se
adiciona cierta cantidad de agua, observándose
luego que de cada 9 litros de mezcla hay 5 litros
de agua. Calcula el valor de la diferencia entre los
volúmenes del vino y agua que se tienen ahora.
En una reunión se observó que por cada 3 mujeres,
había 7 hombres. Además el número de hombres
excede al de las mujeres en 68. Calcula cuál es
la relación de mujeres a hombres, si se retiran 9
parejas y 2 hombres solos.
A 100 B 120 C 110
D 28 E 20
A 2 litros B 3 litros C 6 litros
D 8 litros E 9 litros
A 12 B 9 C 7
D 14 E 16A 5 B 7 C 8
D 9 E 10
A 180 B 252 C 144
D 216 E 108
A 5 a 12 B 3 a 11 C 5 a 13
D 1 a 9 E 7 a 18
9898
19
22
23
24
La relación entre las edades de dos hermanas es
de 5 a 3. Si se sabe que dentro de 12 años dicha
relación será de 7 a 5, determina cuál es la edad
actual de la hermana menor.
20
21
Nivel III
Un perro persigue a una liebre, la cual lleva 200
saltos de ventaja; por cada dos saltos que da el
perro la liebre da cinco, pero el perro en 3 saltos
avanza tanto como la liebre en 8. ¿Cuántos saltos
debe dar el perro para alcanzar a la liebre?
Dos cirios de igual calidad y diámetro difieren en
12 cm de longitud. Se encienden al mismotiempo
y se observa que en un momento determinado la
longitud de uno y del otro se encuentra en relación
de 3 a 8 y media hora después se termina el más
pequeño. Si el mayor estuvo encendido 4 horas,
calcula cuál era la longitud del cirio de menor altura.
En una reunión hay 112 personas. Por cada 4
hombres hay 3 mujeres; además por cada 10
personas que bailan, 3 mujeres no bailan. Calcula
la cantidad de hombres que no bailan.
La suma de las longitudes de tres de los cuatro
lados de una tabla rectangular es 2010 cm. La
suma de la longitud del cuarto lado y la longitud
de la diagonal del rectángulo es también 2010.
Calcula la razón entre la longitud del lado mayor
y el menor de este rectángulo.
En un circo, cierto día asistieron 516 personas y se
observó que cada varón adulto ingresó con 2 niños
y cada mujer adulta con 3 niñas; si la relación entre
la cantidad de varones adultos y mujeres adultas
fue de 5 a 7 respectivamente. Calcula el número
de niños que asistieron al circo.
A 57,6 cm B 52,8 cm C 49,8 cm
D 45,6 cm E 40,8 cm
A 600 B 500 C 1200
D 1000 E 800
A 3/2 B 2 C 2
D 3 E 4/3
A 465 B 496 C 403
D 403 E 372
A 15 B 17 C 18
D 20 E 21
A 36 B 40 C 32
D 34 E 38
MateMática Delta 3 - aritMética
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 2
9999
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
Sean los conjuntos A y B y la relación R.
A = {2; 4; 5} ∧ B = {2; 3; 9}
R = {(x ; y) ∈ A × B / (x + y) es un número primo}
Descubre el valor de n(R) + n(A × B).
5
C D
BA
100120
1064
C D
BA
2014
1921
C D
BA
23
54
C D
BA
3042
4038
Sea la igualdad de los pares ordenados:
(3x + y ; 5x – y) = (18 ; 14)
Calcula la suma de los elementos del par
ordenado (x3 ; y2)
Determina la suma de los elementos del dominio de
R1 con la suma de los elementos del rango de R2.
A = {3; 4; 5; 6; 7}
R1 = {(x ; y) ∈ A × A / x + y = 11}
R2 = {(x ; y) ∈ A × A / x + y = 9}
Sean los conjuntos C y D:
C = {x ∈ ; 2 < x < 5} D = {y ∈ ; 0 ≤ x < 3}
Se define la relación R.
R = {(x ; y) ∈ C × D / x ≥ y }
Halla cuántos elementos tiene el Dom(R).
3 6
Dados A = {2; 5; 7} y B = {3; 4}, determina la
relación definida por:
R = {(x ; y) ∈ A × B / x . y = número par}
Encuentra el producto de los elementos del
Ran(R).
4
C D
BA
117
1012
C D
BA
1415
1812
Sean los conjuntos A y B, tales que:
A = {x ∈ ; 2 < x < 8} B = {x ∈ ; 1 ≤ x < 6}
Se define la relación R.
R = {(x ; y) ∈ A × B / x + y = 8}
Halla la suma de elementos del Ran(R).
1
2
100
C D
BA
318428
418408
C D
BA
585230
115675
C D
BA
3252
5448
C D
BA
280340
420360
C D
BA
220210
205215
En una competencia deportiva, se observa que
7 de cada 11 personas son mujeres. Además la
diferencia entre el número de mujeres y hombres
asistentes es de 114. Calcula cuántas personas
asistieron a dicha competencia.
7
La relación que hay entre el número de pasajeros
de dos microbuses es de 8 a 5; si bajan 6
pasajeros de uno de ellos y se suben al otro,
entonces se iguala el número de pasajeros en
ambos. Determina cuántos pasajeros llevan
entre ambos.
8
Una granja tiene 1365 animales entre conejos,
gallinas y patos. Si el número de gallinas y el
número de conejos están en relación de 2
a 5, respectivamente, y por cada 7 patos se
observan 3 gallinas; encuentra cuántos conejos
hay en la granja.
9
En una escuela se han repartido 912 panes entre
todos los estudiantes. Se observó que cada
varón recibió 3 panes y cada mujer 2 panes. Si
se sabe que en el colegio por cada 8 varones hay
7 mujeres, descubre el total de estudiantes.
10
En una reunión, el número de mujeres es al total
de asistentes como 7 es a 11. Si la diferencia
entre mujeres y varones es 21, ¿cuál es la razón
de mujeres a varones si se retiran 13 mujeres?
11
El sueldo de Fernando y el de Daniel están
en relación de 3 a 5, respectivamente; pero
si Fernando ganase S/ 560 más entonces la
relación se invertiría. Halla cuánto más gana
Daniel que Fernando.
12
C D
BA
8
5
9
8
5
4
9
7
Tema
101MateMática Delta 3 - aritMética
6
Una proporción es una igualdad entre dos razones.
Si las razones son a
b
y c
d
tienen igual valor de su razón, entonces se forma una
proporción, luego se escribe esta proporción como:
Proporciones
a
b
=
c
d También a : b :: c : d
Que se lee:
«a es a b como c es a d»
Donde:
• a y d se les llama extremos
• b y c se les llama medios
• d se denomina cuarta proporcional de a, b y c
Además, en una proporción se cumple siempre que el producto de los términos
extremos es igual al producto de los términos medios.
a
b
= c
d
⇒ a × d = b × c
Ejemplo:
Halla la cuarta proporcional de 24; 56 y 27.
Resolución:
Si consideramos a «n» como la cuarta proporcional de 24; 56 y 27. Entonces se
cumplirá:
⇒ 24 × n = 56 × 27 ⇒ n = 63
a
b
= b
d
⇒ a × d = b × b
Que se lee:
«a es a b como b es a d»
Donde:
• a y d son los extremos
• b es llamada media proporcional de a y d
• d es la tercera proporcional de a y b
Ejemplo:
Calcula la tercera proporcional de 48 y 36.
Resolución:
Para resolverlo diremos que «n» será la tercera proporcional de 48 y 36. Entonces se
cumplirá:
⇒ 48 × n = 36 × 36 ⇒ n = 27
Si en una proporción, los términos medios son iguales, entonces la proporción se
denomina proporción continua. La cual será de la forma:
24
56
48
36
=
=
27
n
36
n
Simetría y
proporción
Por simetría se
entiende que
no debe haber
desequilibrios entre
la parte izquierda
y derecha de
un cuerpo, pero
en nuestro caso
ocurre que el brazo
dominante es más
grande que el otro
brazo.
Por proporción se
entiende que las
diferentes partes
del cuerpo deben
estar en armonía
entre ellas: por
ejemplo, las piernas
deben tener un
cierto tamaño en
comparación con los
brazos.
¿Sa bía s qu e.. .?
Una proporción
cuyos cuatro
términos son
diferentes recibe
el nombre de
proporción discreta.
Not a
5k – 12
4k – 12
102
Recu e rda
En la proporción:
a
b =
c
d
• a es el primer
término.
• b es el segundo
término.
• c es el tercer
término.
• d es el cuarto
término.
También
• a y c son los
antecedentes.
• b y d son los
consecuentes.
En la proporción:
Not a
a
b
=
c
d
Sumando 1 en
ambos miembros.
a
b
+ 1 =
c
d
+ 1
a + b
b
=
c + d
d
Restando 1 en
ambos miembros.
a
b
– 1 =
c
d
– 1
a – b
b
=
c – d
d
Propiedades de la proporción
Se tiene la proporción a
b
= c
d
, entonces:
Componer respecto al antecedente y consecuente
a + b
b
=
c + d
d
a + b
a
=
c + d
c
Descomponer respecto al antecedente y consecuente
a – b
b
=
c – d
d
a – b
a
=
c – d
c
Componer y descomponer a la vez
a + b
a – b =
c + d
c – d
Ejemplo:
Sea la proporción 36
48
=
15
20
, comprobemos los teoremas:
Propiedad 1
36
48
= 15
20
36 + 48
48
=
Propiedad 2
36
48
=
15
20
48 – 36
36
=
20 – 15
15
Propiedad 3
36
48
=
15
20
48 + 36
48 – 36
=
20 + 15
20 – 15
Cuando aplicamos proporciones a la solución de problemas observamos que la
relación entre dos cantidades variables producen una de dos tipos de proporciones:
directa o inversa.
y
respecto al consecuente respecto al antecedente
y
respecto al consecuente respecto al antecedente
y
b + a
b – a =
d + c
d – c
15 + 20
20
y 36 + 48
36
= 15 + 20
15
⇒
84
48
=
35
20
y
84
36
=
35
15
y
48 – 36
48
=
20 – 15
20
⇒
12
36
=
5
15
y
12
48
=
5
20
84
12
=
35
5
103MateMática Delta 3 - aritMética 103
Clasificación de las proporciones
Proporción directa
Una proporción se considera directa, o directamente proporcional cuando en la cuaterna
a mayor cantidad de un antecedente, mayor cantidad será el de su consecuente, lo que
es equivalente a menor cantidad de un antecedente, menor será la cantidad de su
consecuente.
Si en la cuaterna (a; b; c; d) es una proporción directa, entonces .
Ejemplos:
• Sean los antecedentes la cantidad de panes que compró y los consecuentes el
dineroque se pagará por ellos. Entonces:
Mientras más pan compro, más dinero pago.
• Sean los antecedentes la velocidad que se utiliza para viajar de un lugar a otro.
Entonces:
Mientras menos velocidad utilizo para desplazarme, menos distancia recorro.
Una cuaterna tal
como (a; b; c; d)
implica que hay un
orden establecido en
la presentación de
sus términos.
Por ejemplo, los
elementos de una
proporción forman la
cuaterna (a; b; c; d),
entonces:
Luego:
Not a
(a; b; c ; d)
antecedentes
consecuentes
(a; b; c ; d)
medios
extremos
a
b
=
c
d
Sin embargo, hay situaciones que no guardan una proporción directa. Por ejemplo, en
un centro de reproducción fotostática a mayor número de fotocopiadoras menor será el
tiempo que tomará para fotocopiar, o en una construcción es de esperar que a menor
número de trabajadores mayor será el tiempo que tomará en completarla. Este tipo de
relación entre variables establece una proporción inversa.
Proporción inversa
Una proporción se considera inversa, o inversamente proporcional cuando en la cuaterna
a mayor cantidad de un antecedente, menor cantidad será el de su consecuente, lo que
es equivalente a menor cantidad de un antecedente, mayor será la cantidad de su
consecuente.
Si la cuaterna (a; b; c; d) es una proporción inversa, entonces a1
b
= c1
d
⇒ a × b = c × d
Las proporciones inversas se caracterizan porque al disminuir una cantidad, la otra
correspondiente aumenta.
Ejemplos:
• Sean los antecedentes la velocidad utilizada para recorrer cierta distancia y los
consecuentes el tiempo comprometido. Entonces:
Mientras más rápido viajo, menos tiempo me demoro.
• Sean los antecedentes la presión ejercida sobre un globo con aire y los consecuentes
el volumen generado. Entonces:
Mientras menos presión ejercemos sobre el globo mayor será el volumen que ocupa
el aire al interior del globo.
a
b =
c
d
5k – 12
4k – 12
104
En una proporción continua, la diferencia entre el primer término y la tercera
proporcional es 280. Si la suma de todos los términos es 700, calcula el valor de
la suma de los antecedentes de tal proporción.
Resolución:
Sea la proporción continua a
b =
c
d
1.° La diferencia del primer término y la tercera proporcional es 280; la suma de
todos los términos es 700.
a – d = 280 ∧ a + b + b + d = 700
2.° Sumando miembro a miembro ambas igualdades, se tendrá:
2a + 2b = 280 + 700
2a + 2b = 980
a + b = 490
Rpta. La suma de los antecedentes es 490.
En una proporción se cumple que la suma de las raíces cuadradas del producto
de los términos de cada razón es 20, y la semisuma de los antecedentes es 2.
Determina el valor de la razón de tal proporción.
Resolución:
Sea la proporción ab =
c
d = k, siendo k la razón ⇒
a = bk
c = dk
1.° La suma de las raíces cuadradas del producto de los términos de cada razón
es 20.
a × b + c × d = 20
Reemplazando:
(bk) × b + (dk) × d = 20
b k + d k = 20
k (b + d) = 20
2.° La semisuma de los antecedentes es 2.
a + c
2 = 2 ⇒ a + c = 4
Reemplazando: bk + dk = 4
k(b + d) = 4
b + d = 4k
3.° Pero: k (b + d) = 20
⇒ k (b + d) = 20 ⇒ k ×
4
k = 20
4/k
k
k = 20 ⇒ k =
1
25
Ley de las
proporciones
definidas
Plantea que cuando
dos o más elementos
se combinan
para formar un
determinado
compuesto, lo hacen
en una proporción de
peso invariable.
Por ejemplo, para
obtener sulfato de
hierro, debemos
combinar el
hierro y el azufre
en la siguiente
proporción: 7 partes
de hierro, por 4
partes de azufre.
Así obtendremos 11
partes de sulfato de
hierro.
Combinando 9 g de
hierro con 4 g de
azufre, solo
conseguimos 11 g
de sulfato de hierro,
pero sobran 2 g de
hierro; esto porque
ambas sustancias
reaccionan siempre
en la proporción de
7 a 4.
¿Sa bía s qu e.. .?
1
2
Ejercicios resueltos
Rpta.
1
25
105MateMática Delta 3 - aritMética
(16; 3; 192; x) forman
una proporción
directa, entonces:
16
3
=
192
x
Recorrido en km 16 192
Consumo de gas (L) 3 x
Se cumple que 16 km3 litros =
192 km
x ⇒ 16x = 3 ∙ 192 ⇒ x = 36 litros
Rpta. En un viaje de 192 kilómetros el vehículo consumirá 36 litros de gas natural.
Un vehículo tiene en carretera un rendimiento de 16 km por cada 3 litros de gas
natural utilizado. Encuentra cuántos litros de gas natural consumirá en un viaje de
192 km.
Resolución:
Como estas cantidades se relacionan en forma directa (ya que más kilometraje
implica que se gastará más gas natural), entonces:
En una proporción de razón igual a 3, la suma de los términos de la primera razón
excede a la suma de los términos de la segunda razón en 56. Halla la diferencia
de los antecedentes.
Resolución:
Sea la proporción ab =
c
d = 3, siendo 3 la razón ⇒
a = 3b
c = 3d
1.° La suma de los términos de la primera razón excede a la suma de los términos
de la segunda razón en 56.
(a + b) – (c + d) = 56
Reemplazando:
(3b + b) – (3d + d) = 56
4b 4d
b – d = 14
2.° Halla la diferencia de los antecedentes.
x = a – c
= 3b – 3d
= 3(b – d)
= 3(14)
Rpta. La diferencia de los antecedentes es 42.
Toda proporción
Import a nt e
a
b
=
c
d
tiene cuatro términos;
y si es continua
a
b
=
b
d
también tiene cuatro
términos.
3
4
Recu e rda
106
Síntesis
Proporción geométrica
Discreta
Sus cuatro términos
son diferentes.
Componer respecto al antecedente y
consecuente
d es la cuarta proporcional
de a, b y c.
c es la tercera proporcional.
b es la media proporcional.
Se lee:
a es a b como c es a d.
Además:
a y d → términos extremos
b y c → términos medios
a y c → antecedentes
b y d → consecuentes
Continua
Sus términos medios
son iguales.
Descomponer respecto al antecedente
y consecuente
Componer y descomponer a la vez
TiposEs la igualdad
de dos razones.
Propiedades
=
a
b
c
d
=
a
b
c
d
=
a
b
b
c
a + b
b
=
c + d
d
a + b
a
=
c + d
c
a – b
b
=
c – d
d
a – b
a
=
c – d
c
a + b
a – b =
c + d
c – d
y
respecto al
consecuente
respecto al
consecuente
respecto al
antecedente
respecto al
antecedente
y
y
b + a
b – a =
d + c
d – c
Siendo:
A = tercera proporcional de 9 y 12.
B = cuarta proporcional de 8; 32 y 2.
Halla el valor de A × B.
Siendo:
M = tercera proporcional de 5 y 15.
N = media proporcional de 9 y 25.
Halla el valor de M ‒ N.
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
Modela y resuelve
1 2
107MateMática Delta 3 - aritMética
Resolución:
Resolución:
En una proporción, el producto de los antecedentes
es 120 y el producto de los consecuentes es 270.
Si la suma de los dos términos de la primera razón
es 25, determina cuál es la suma de los términos
de la segunda razón.
En una proporción, el producto de los antecedentes
es 405 y el producto de los consecuentes es 720.
Si la suma de los dos términos de la primera razón
es 63, determina cuál es la suma de los términos
de la segunda razón.
En una proporción geométrica se sabe que el
producto de extremos es 600. Si los términos
medios son consecutivos, calcula la suma de los
términos medios.
En una proporción geométrica con términos enteros
de dos cifras, se sabe que el producto de los medios
es 506. Si los términos extremos son consecutivos,
calcula la suma de todos los términos.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
3 4
5 6
Resolución:
Resolución:
108
En una proporción, la suma de los extremos es 29
y la suma de los cuadrados de los cuatro términos
es 1066. Descubre la suma de mayor extremo y
el mayor medio de esta proporción, si la suma de
sus términos es 54.
En una proporción, la suma de los extremos es 23
y la suma de los cuadrados de los cuatro términos
es 650. Descubre la suma de mayor extremo y el
mayor medio de esta proporción, si la suma de
sus términos es 42.
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
En una proporción geométrica continua, la suma
de sus términos diferentes es 62. Encuentra el
valor de la media proporcional, si la constante de
proporcionalidades un número entero.
En una proporción geométrica continua, la suma
de sus términos diferentes es 63. Encuentra el
valor de la media proporcional, si la constante de
proporcionalidad es un número entero.
7 8
9 10
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
109MateMática Delta 3 - aritMética
Se tiene una proporción geométrica, de términos
enteros positivos, en la cual el producto de sus
términos es 2601. Calcula la suma de los términos
medios, si la diferencia de los mismos es 14.
Se tiene una proporción geométrica, de términos
enteros positivos, en la cual el producto de sus
términos es 4225. Calcula la suma de los términos
medios, si la diferencia de los mismos es 8.
En una proporción continua se cumple que la
suma de sus términos es 225 y la diferencia de
los términos extremos es 45; halla el valor de la
media proporcional en dicha proporción.
En una proporción continua se cumple que la
suma de sus términos es 245 y la diferencia de
los términos extremos es 35; halla el valor de la
media proporcional en dicha proporción.
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Resolución: Resolución:
Resolución:Resolución:
11
13
12
14
110
Resolución: Resolución:
Sabiendo que 10 es la cuarta proporcional de a, 8
y b; además a es la cuarta proporcional de b, 36 y
80. Determina el valor de a2 + b2.
Sabiendo que 8 es la cuarta proporcional de a, 6
y b; además a es la cuarta proporcional de b, 16 y
48. Determina el valor de a2 + b2.
En una proporción cuya razón es un número
entero y positivo, el primer consecuente es igual
al doble del segundo antecedente. Si la diferencia
de los extremos es 136, encuentra la suma de
todos sus términos.
En una proporción cuya razón es un número
entero y positivo, el primer consecuente es igual
al triple del segundo antecedente. Si la diferencia
de los extremos es 88, encuentra la suma de
todos sus términos.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución: Resolución:
15 16
17 18
111MateMática Delta 3 - aritMética
Practica y demuestra
Nivel I
Halla la cuarta proporcional de:
A: 16; 28 y 20
B: 14; 42 y 36
Da como respuesta la suma de ambos resultados.
1
En una proporción de términos enteros, la suma
de los consecuentes es 15. Si los consecuentes
se encuentran en la relación de 3 a 2, calcula el
valor del mayor consecuente.
Sabiendo que a es la tercera proporcional de 10 y
20, además n es la media proporcional de 8 y 18;
determina la suma del valor de a + n.
2
3
La suma y la diferencia de dos números están
en la misma relación que los números 10 y 4,
respectivamente. Encuentra cuál será el menor
valor impar, de dos cifras, del mayor de los
números.
La razón entre la suma y la diferencia de dos
números positivos es 7
4
. Descubre cuál será la
suma de dichos números, si su producto es 132.
En una proporción discreta, la suma de los
términos extremos es 16 y el producto de los
términos medios es 60. Halla la diferencia de los
términos extremos.
4
5
6
A 153 B 143 C 163
D 173 E 147
A 13 B 17 C 15
D 25 E 21
A 28 B 22 C 33
D 11 E 20
A 4 B 2 C 1
D 3 E 5
A 11 B 7 C 9
D 12 E 8
A 48 B 52 C 54
D 44 E 50
112
En una proporción continua, la suma de los
términos extremos es 20 y la diferencia de
los mismos es 16. Calcula el valor de la media
proporcional en tal proporción.
7
El producto de los cuatro términos de una
proporción continua es 2401. Determina el valor
de la media proporcional.
8
En una proporción continua, la suma de los
extremos es 34 y su diferencia es 16. Encuentra
el valor de la media proporcional.
9
11 La suma de los cuatro términos de una proporción
es 369 y cada uno de los tres últimos términos
es los 5/4 del término anterior. Halla el valor del
menor de los términos medios.
10 La media proporcional de dos números es 15.
Si la proporción continua que se forma tiene por
razón a 3
5
, descubre la diferencia de los términos
extremos.
Si 15 es la media proporcional de a y 75; y también
2 es la tercera proporcional de 8 y b, entonces
calcula la cuarta proporcional de a, b y 15.
12
A 4 B 6 C 8
D 7 E 5
A 6 B 9 C 8
D 7 E 11
A 20 B 9 C 19
D 16 E 18
A 65 B 60 C 50
D 80 E 64
A 15 B 25 C 18
D 50 E 9
A 20 B 30 C 35
D 40 E 45
Nivel II
113MateMática Delta 3 - aritMética
Si 8 es la cuarta proporcional de a; 6 y b; además
c es la cuarta proporcional de b; 16 y 48, entonces
determina el valor de b + a + c, si a + b = 56.
13
El producto de los cuatro términos de una
proporción geométrica continua es 1296. Si
el cuarto término es igual a la tercera parte del
segundo término, encuentra el valor del primer
término.
14
Descubre la suma de la media proporcional de 25
y 16 con la cuarta proporcional de los números
18; 12 y 6.
15
16 En una proporción geométrica, la suma de los
términos medios es 16 y la diferencia de los
mismos es 4. Halla el producto de los extremos.
18 En una proporción continua, el cuarto término es
16 veces el primer término. Determina el término
medio de dicha proporción, sabiendo que la suma
de las raíces cuadradas de los extremos es 10.
17 El producto de los cuatro términos de una
proporción continua es 1296 y la suma de los
cuadrados de los extremos es 97. Calcula la
suma de los extremos.
A 22 B 24 C 26
D 28 E 32
A 16 B 18 C 24
D 36 E 28
A 16 B 13 C 8
D 15 E 10
A 12 B 14 C 16
D 18 E 20
A 84 B 92 C 72
D 76 E 80
A 54 B 72 C 56
D 76 E 60
114
19 La suma de los cuatro términos de una proporción
continua es 25. Si el producto de dichos términos
es 1296, encuentra el valor del mayor de los
términos extremos.
Nivel III
20
21
En una proporción continua, los términos extremos
son entre sí como 1 es a 25. Descubre el valor del
término medio de dicha proporción, sabiendo que
la suma de los términos diferentes es 217.
La suma de los cuadrados de los términos de
una proporción continua es 400. Halla el término
medio, si los extremos se diferencian en 12.
23
22
24
Si a es la tercera proporcional de 8 y 18; y además
b es la cuarta proporcional de 16, a y 36, entonces
calcula la media proporcional de a y b.
En una proporción la suma de los dos primeros
términos es 20 y la suma de los dos últimos términos
es 25. Determina la diferencia de los términos
medios, si la suma de los consecuentes es 27.
En una proporción continua, la media proporcional
es igual a 16 y la diferencia de los extremos es 24.
Encuentra la suma de los extremos.
A 6 B 9 C 8
D 4 E 7
A 6 B 8 C 10
D 12 E 14
A 36 B 40 C 42
D 48 E 52
A 25 B 30 C 35
D 40 E 45
A 18 B 20 C 24
D 28 E 30
A 2 B 3 C 4
D 5 E 6
Tema
115MateMática Delta 3 - aritMética
7
Se tiene el siguiente reporte de las unidades que se producen cada día en una estación
de producción. Calculemos el promedio de la producción.
Promedios
día unidadesproducidas
1 52
2 48
3 53
4 55
5 51
6 51
7 50
8 53
9 55
10 50
11 49
12 53
13 52
14 51
15 50
Suma: 773
Procedimiento
1. Sumamos todos los valores de producción reportados:
773.
2. Contamos cuántos datos hay en la suma:
15 datos.
3. Dividimos la suma de las producciones diarias entre la
cantidad de días:
773
15
= 51,5
4. El promedio de producción según este reporte es de
51,5 unidades diarias.
El promedio no puede decir qué valor se producirá
cada día; su utilidad es para pronosticar un total que
probablemente será real, cuando se hayan acumulado
los registros reales de la semana. Es una especie de
número «equilibrante» que puede representarlos a todos
en la lista sin alterar la suma del grupo de registros reales.
Tiende a buscar un centro de equilibrio de un grupo, por
eso a los diferentes tipos de promedio se les conoce
también como «medidas de tendencia central».
Un gráfico nos ayudará a visualizar lo que significa el promedio aritmético.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
día
56
54
52
50
48
46
44
U
ni
da
de
s
pr
od
uc
id
as
unidades producidaspromedio diario
Los números
y las letras
parecen enemigas
irreconciliables.
Veamos por
qué, a menudo
encontramos con
obsesiva frecuencia
frases como «al
promediar las 6:00
de la mañana»,
«al promediar las
10:30 de la noche»,
«al promediar el
mediodía» que
son ubicaciones
temporales tan
precisas que no
permiten hallarles
ningún promedio.
Pueden encontrarse
multitud de
ejemplos similares.
Matemáticamente
hablando todas
estas expresiones
son absurdas, lo
que constituye un
error, se convierte
en cambio cuando
la mayoría de los
hablantes lo aceptan
y lo usan, y alcanza
a la norma de un
espacio lingüístico.
Import a nt e
5k – 12
4k – 12
116
Medidas de tendencia central
Al describir grupos con diferentes observaciones o datos, con frecuencia es conveniente
resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse
hacia el centro de la distribución de datos se denomina promedio o medida de tendencia
central.
Entre las medidas de tendencia central tenemos:
• Media aritmética o promedio aritmético o media
• Media geométrica o promedio geométrico
• Media armónica o promedio armónico
• Mediana
• Moda
Si los datos u observaciones ordenados fueran todos reales positivos tales que:
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an
Siendo «p» el promedio de ellos, entonces para la existencia del promedio se debe
cumplir:
a1 ≤ p ≤ an
Utilizamos el promedio para describir un conjunto
entero de observaciones con un solo valor que
representa el centro de los datos. Muchos análisis
estadísticos utilizan como primer recurso a la media
como un punto de referencia estándar.
Por ejemplo, si registramos los pesos, en kilogramos, de un grupo de adolescentes y
estos fueran los resultados:
58; 62; 75; 67; 75; 59; 54; 63; 65; 62; 70; 67; 58; 60; 74; 67
Entonces podemos asegurar que:
54 kg < peso promedio < 75 kg
Siendo 54 kg el menor peso observado y 75 kg el mayor. A la luz de estos datos ninguna
persona podría decir que el promedio de los pesos será menor de 54 kg o mayor de
75 kg.
La media aritmética (x)
La media aritmética es el valor obtenido por la suma de todos los datos u observaciones
dividida entre el número de valores sumados.
La media aritmética es, probablemente, uno de los parámetros estadísticos más
extendidos, gracias a su uso masivo y sencillo, se le llama también promedio o
simplemente media.
Suponga que
determinado
estudiante obtiene
35 puntos en
una prueba de
matemática. Este
puntaje por sí
mismo tiene poco
significado a menos
que conozcamos
hacia qué valor se
concentran el grueso
de los puntajes,
es decir el puntaje
promedio.
Digamos que la
calificación promedio
fue de 20 puntos;
con este dato
podemos decir
que el puntaje del
estudiante refleja un
rendimiento notable
sobre el grueso del
estudiante. Pero
si la calificación
promedio fuese de
65 puntos, entonces
diremos que el
estudiante alcanzó
un rendimiento muy
pobre.
¿Sa bía s qu e.. . ?
117MateMática Delta 3 - aritMética
Definición matemática
Dado un conjunto numérico de datos u observaciones: a1 ; a2 ; a3, ...; an todos números
reales y positivos.
Se define su media aritmética como:
a1 + a2 + a3 + ... + an
nx =
También:
a1 + a2 + a3 + ... + an = (x) . (n)
= a1 + a2 + a3 + ... + an = (x) . (n)
Propiedades de la media
1. Si a todos los datos de la variable se le suma una misma cantidad, la media aritmética
queda aumentada en dicha cantidad.
Ejemplo:
Sean datos, las calificaciones obtenidas en los cuatro bimestres del año escolar: 16;
12; 14 y 14.
Su promedio de notas será:
16 + 12 + 14 + 14
4x = = 14
Sin embargo, si cada calificación hubiera aumentado en 2 puntos, el nuevo promedio
sería:
(16 + 2) + (12 + 2) + (14 + 2) + (14 + 2)
4
x = = 14 + 2
2. Si todos los datos de la variable se multiplican por una misma constante la media
aritmética queda multiplicada por dicha constante.
Ejemplo:
Sean los datos, las propinas obtenidas durante cuatro semanas por un adolescente:
S/ 12; S/ 15; S/ 20 y S/ 14.
Si el promedio de propinas semanal será
12 + 15 + 20 + 14
4x = = 15,25
Sin embargo, si cada semana le hubiera triplicado su propina, el nuevo promedio
sería:
3 × 12 + 3 × 15 + 3 × 20 + 3 × 14
4x =
= 3 × 15,23
ai = a1 + a2 + a3
3
1
ai = a1 + a2 + ... + a10
10
1
ai =
10
1
ai + a10
9
1
Si el tiempo de
espera (en minutos)
de cinco clientes de
un banco es 6; 4; 8;
2 y 4. Entonces la
media en tiempo de
espera es:
En promedio, un
cliente espera 4,8
minutos para ser
atendido en el banco.
Repa sa
6 + 4 + 8 + 2 + 4
5
= 4,8
ai
n
1
5k – 12
4k – 12
118
La media aritmética ponderada
Aunque en realidad todos los promedios aritméticos son ponderados (cada dato
con peso 1), a algunas personas les resulta útil otorgar pesos o valores a los datos
dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede
utilizar la media, denominándole media ponderada.
Si a1 ; a2 ; a3 ; ... ; an son nuestros datos y p1; p2 ; p3 ;... ; pn son sus «pesos»
respectivos, la media ponderada se define de la siguiente forma:
p1 × a1 + p2 × a2 + p3 × a3 + ... + pn × an
p1 + p2 + p3 + ... + pn
x =
Ejemplo:
En un determinado bimestre para conseguir la nota bimestral se considera las
calificaciones siguientes: el examen bimestral (con peso 3), el examen parcial (peso 2)
y la revisión de cuadernos y tareas (peso 1). Si Luis obtuvo 08 en el bimestral, 16 en el
parcial y 14 en revisión de cuaderno, ¿cuál será su promedio?
Resolución:
Para este caso y teniendo en cuenta la importancia de cada uno, el promedio se calcula
como:
Ítems Notas Pesos
Ex. Bimestral 08 3
Ex. Parcial 16 2
Cuaderno y tareas 14 1
08(3) + 16(2) + 14(1)
3 + 2 + 1
x = = 11,7
Finalmente, el promedio de Luis es 11,7.
Si no se hubiera considerado pesos diferenciados, entonces el promedio sería:
08 + 16 + 14
3
x = = 12,7
La media geométrica (G)
Se define como la raíz de índice igual al número total de observaciones o valores, cuyo
radicando es el producto de los valores observados.
Suele usarse para valores que siguen una progresión geométrica. También para
promediar porcentajes, tasas, números índices, etc.
Definición matemática
Dado un conjunto numérico de datos u observaciones:
a1; a2 ; a3; ... ; an
Todos números reales y positivos, entonces se define su media geométrica como:
G =
n
a1 × a2 + a3 × ... × an
Los sistemas de
calificaciones
de los centros
estudiantiles se
valen del concepto
de ponderación para
asignar un peso
particular a cada
grupo de exámenes,
lo cual influye en la
calificación final.
Este valor determina
de antemano cuán
importante es cada
prueba a la hora de
sopesar el nivel de
un estudiante para
acceder a un curso o
carrera.
Por ejemplo:
Un profesor dice a
sus alumnos que el
examen final valdrá
por tres; si las notas
fueran 12; 14 y 10
su promedio se
obtendría realizando
¿Sa bía s qu e.. . ?
12+14+10+10+10
5
= 11,2
La última nota se
toma en cuenta tres
veces.
119MateMática Delta 3 - aritMética
Ejemplo:
Calcula un valor representativo para los siguientes números: 2; 4 y 8.
Obsérvese que entre ellos existe una razón o proporción constante, cada uno de
ellos es el doble del anterior, por tanto el promedio adecuado a utilizar es la media
geométrica, de la siguiente manera:
G =
3
2 × 4 × 8 = 4
Rpta. La media geométrica de los datos es 4.
La media armónica, será representada
como «H». Si se tiene un conjunto de
observaciones tales como:
a1; a2; a3; ... ; an
Todos números reales positivos, entonces
la media armónica, denotada por «H», se
define como el recíproco de la suma de
los valores inversos de las observaciones
divididos entre el número total de
observaciones realizadas. Se utiliza
para promediar velocidades, tiempos,
rendimiento, etc.
Definición matemática
Dado un conjunto numérico de datos u observaciones:
a1; a2; a3; ...; an
Todos los números reales y positivos, se define su media armónica como:
1
H
=1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+ ... +
1
an
n
Ejemplo:
Un automóvil que hace viajes de ida y vuelta entre las ciudades A y B, realiza el viaje
desde A hasta B a razón de 80 km por hora y el viaje de regreso por el mismo camino a
120 km por hora. La velocidad promedio del viaje de ida y vuelta será de
1
H
=
1
80
+
1
120
2
=
1
H
=
240 × 2
3 + 2
⇒ H = 96 km/h
Moda
La moda es el valor que ocurre con más frecuencia en un conjunto de observaciones,
el dato más repetido de la encuesta, también es el valor de la variable con mayor
frecuencia absoluta. En cierto sentido la definición matemática se corresponde con
la siguiente frase: «estar de moda», esto es, ser lo que más se lleva. Su cálculo es
extremadamente sencillo.
60
50
40
30
20
10
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
x1 = 120 km
x2 = 60 km
Vm = 30 km/h
t (h)
V (km/h)
La media armónica (H)
En el ejemplo de la
velocidad promedio,
se calcula la media
armónica de las
velocidades, porque
las distancias
recorridas (ida y
vuelta) son las
mismas.
Si las distancias
recorridas hubieran
sido distintas
entonces la velocidad
promedio «Vp» se
calcula como:
¿Sa bía s qu e.. . ?
Vp =
etotal
ttotal
etotal: distancia total
recorrida
ttotal: tiempo total
empleado
5k – 12
4k – 12
120
Ejemplo:
El número de personas que están en distintos vehículos en una carretera son:
5; 7; 4; 6; 9; 5; 6; 1; 5; 3; y 7.
El número que más se repite es 5, entonces la moda es 5. Podemos decir que en
promedio cada vehículo lleva 5 personas.
Cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia
máxima entonces diremos que el conjunto de datos es bimodal. Cuando en una
distribución de datos se encuentran tres o más modas, entonces es multimodal. Por
último, si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.
Cuando tratamos con datos agrupados en intervalos, antes de calcular la moda, se ha
de definir el intervalo modal. El intervalo modal es el de mayor frecuencia.
Mediana
La mediana es un valor que divide a las observaciones o datos en dos grupos igualmente
numerosos, una vez que estos están ordenados de menor a mayor.
Ejemplo:
La mediana del número de hijos de un conjunto de trece familias, cuyos respectivos
números de hijos son: 3; 4; 2; 3; 2; 1; 1; 2; 1; 1; 2; 1 y 1, es 2 hijos por familia, puesto
que, una vez ordenados los datos: 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 4, el dato que ocupa
la posición central es 2:
1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 4
Mitad inferior
6 datos
Mitad superior
6 datos
Mediana
De manera que podemos decir que cada familia tiene 2 hijos en promedio.
Ejemplo:
En caso de un número par de datos, la mediana no correspondería a ningún valor de
la variable, por lo que se conviene en tomar como mediana el valor intermedio entre
los dos valores centrales. Por ejemplo, si los datos ordenados sobre las edades de 10
adolescentes fueran:
11; 11; 12; 12; 13; 14; 14; 16; 17; 18
Luego de ordenar los datos de forma creciente, se toma como mediana a
13,5 = 13 + 14
2
Para estos datos ordenados, la mediana es 13,5. Es decir, el 50 % de los valores es
menor que o igual a 13,5 y el 50 % de los valores es mayor que o igual a 13,5.
Teorema 1
Para dos números a y b, se cumple que el producto de su media aritmética (x) por su
media armónica (H) es igual al producto de dichos números a y b.
x × H = a × b
¿La media o la
mediana?
Imagina una empresa
con 100 trabajadores
en la que 60 de ellos
cobran un sueldo de
S/ 900, 20 de ellos
cobran S/ 1100, 15
cobran S/ 1400, 4
cobran S/ 2500 y el
que queda, el dueño
cobra S/ 20 000.
Bien, la mediana
de los salarios de
los miembros de la
empresa es S/ 900
mientras que la media
S/ 1270, ¿cuál de
estos datos representa
de forma más realista
la situación de los
sueldos de esta
empresa? claramente
la mediana ¿verdad?
Si queremos dar
un dato que de
información real
sobre lo que cobra un
peruano intermedio
debemos dar el salario
mediano, ya que
si damos la media
estaremos dando
un dato alejado a la
realidad.
¿Sa bía s qu e.. .?
121MateMática Delta 3 - aritMética
Demostración
Calculamos la media aritmética y armónica:
a + b
2
x = y H = 1
a +
1
b
2 = 2aba + b
Multiplicamos ambos promedios:
x × H = a + b
2
× 2ab
a + b
⇒ x × H = a × b
Ejemplo:
Sean los datos 20 y 24, entonces:
x =
20 + 24
2 = 22 y H = = =1
20 +
1
24
2 2(20) (24)
20 + 24
240
11
Luego: x × H = a × b ⇒ 22 × 24011 = 20 × 24
⇒ 480 = 480
Teorema 2
Desigualdad de las medias
En todo conjunto de datos reales positivos, se cumple que el mayor promedio es la
media (x) y el menor promedio es la media armónica (H) y entre estos se encuentra la
media geométrica (G).
x < G < H
Los tres promedios solo serán iguales cuando todos los datos sean del mismo valor.
Ejemplo:
Sean los datos 20; 24 y 28, entonces:
x = 20 + 24 + 28
3
= 24
H =
1
20
+ 124 +
1
28
3
= 23,55
G = 20 × 24 × 28
3 = 23,78
Luego x > G > H
24 23,78 23,55
Para dos números
a y b.
¿Sa bía s qu e.. .?
1
H =
1
a
1
b+
2
1
H = 2ab
a + b
a + b
2ab
Para tres números a;
b y c.
1
H =
1
a +
1
b +
1
c
3
1
H =
ab + ac + bc
3abc
H =
3abc
ab + ac + bc
Sean los datos 15; 15 y 15 las edades
de tres adolescentes, entonces:
x = 15 + 15 + 15
3
= 15
H =
1
15
+ 115 +
1
15
3 = 15
G = 15 × 15 × 15
3 = 15
Luego x = G = H
122
De todos los estudiantes de una institución
educativa la estatura promedio es de 1,62 m;
además por cada 3 mujeres hay 8 hombres. Si
la estatura promedio de todas las mujeres es
de 1,54 m, calcula cuál es el promedio de las
estaturas de los varones.
Resolución:
La edad promedio de 4 personas es de 65 años. Si
ninguno de ellos es mayor de 70 años, calcula cuál
será la edad mínima que puede tener uno de ellos.
Resolución:
Gerardo se dedica al alquiler de películas en video.
En el 2015, Gerardo alquiló varias películas: de
enero hasta abril, él alquiló un promedio de «m»
películas por mes; y desde mayo a diciembre él
alquiló un promedio de «n» películas por mes.
Calcula cuál fue el número promedio de películas
que él alquiló cada mes en el 2015.
Resolución:
1 3
42
Ejercicios resueltos
Sean:
• H el total de hombres
• M el total de mujeres
1.° Por cada 3 mujeres hay 8 hombres
3
8=
M
H
⇒ M = 3kH = 8k
2.° El total tiene promedio 1,62 m; las mujeres
tienen promedio 1,54 m.
Organizaremos estos datos en un cuadro.
n.° de personas Promedio de estaturas Suma de edades
M = 3k 1,54 1,54(3k) = 4,62k
H = 8k x
Total = 11k 1,62 1,62(11k) = 17,82k
Del cuadro mostrado se cumplirá que:
17,82k – 4,62k
8kx = x = 1,65
Finalmente la estatura promedio de los varones
es de 1,65 m.
Organizaremos estos datos en un cuadro.
n° de
meses
Promedio de películas
alquiladas por mes
Total de películas
alquiladas
Ene-Abr: 4 m m(4)
May-Dic: 8 n n(8)
Total = 12 x
Del cuadro mostrado se cumplirá que:
x = =4m + 8n
12
m + 2n
3
Finalmente vemos que el promedio de películas
alquiladas por mes, durante el año 2015, es de
m + 2n
3
.
Rpta. 1,65 m
Rpta. m + 2n
3
Sean
n1; n2; n3; n4, las edades de las personas.
1.° La edad promedio es de 65 años.
⇒ n1 + n2 + n3 + n4 = 65(4)
n1 + n2 + n3 + n4
4 = 65
2.° Como ninguno es mayor de 70 años, ello
indica que la máxima edad que puede(n)
tener alguno(s) de ellos es de 70 años. En el
análisis matemático, específicamente en una
sumatoria conocida la suma, si deseamos que
uno de los sumandos tome su mínimo valor
entonces los otros sumandos deben tomar su
máximo valor. Es decir:
n1 + n2 + n3 + n4 = 260
valores máximos mín
n4 = 50
Finalmente la mínima edad que puede tener uno
de ellos es de 50 años.
El promedio de los pesos de 8 sacos de papa es
de 72,5 kg. Si los pesos forman una progresión
aritmética de razón 2 kg, calcula el promedio de
los dos mayores pesos.
Resolución:
1.° Sean (n + 2); (n + 4); (n + 6); ...; (n + 16); los
pesos de los sacos, cuyo promedio es 72,5 kg
entonces:
(n + 2) + (n + 4) +(n + 6) + ... + (n + 16)
8 = 72,5
(n + 2) + (n + 4) + (n + 6) + ... + (n + 16) = 72,5(8)
8n + (2 + 4 + 6 +... + 16) = 580
8n + 72 = 580
n = 63,5
2.° Ahora los dos mayores pesos son:
(63,5 + 16) = 79,5 y (63,5 + 14) = 77,5.
Cuyo promedio es: 79,5 + 77,52
= 78,5
Finalmente el promedio de los dos mayores pesos
es de 78,5 kg.
⇒ 70 + 70 + 70 + n4 = 260
Rpta. 50 años
Rpta. 78,5 kg
123MateMática Delta 3 - aritMética
La estatura promedio de todos los estudiantes
en un salón del quinto grado es de 1,50 m. Si la
estatura promedio de los varones, que son en
total 12, es de 1,55 m y la estatura promedio de
todas las mujeres es 1,40 m, calcula el número
de estudiantes que hay en este salón.
Resolución:
El promedio aritmético de los gastos diarios que
realizan 50 personas es de S/ 16 cada una. Si
20 de estas personas añaden a su gasto diario
S/ 7 cada una y los restantes lo disminuyen
en S/ 3 a cada una, calcula el valor del nuevo
promedio de los gastos diarios.
Resolución:
5 7
6
8
De los resultados hechos en cierta ciudad, se
observó que las 180 casas encuestadas tienen
un promedio de 5 habitantes por casa, y en otra
ciudad las 300 casas encuestadas tienen un
promedio de 4 habitantes por casa. ¿Cuál es
el promedio de habitantes por casa al juntar la
población de ambas ciudades?
Resolución:
El promedio geométrico de 4 números enteros y
diferentes entre sí es de 2 2 . Calcula la suma
de la media y la mediana de dichos números.
Resolución:
Rpta. 18 estudiantes
Rpta. 4,375
Rpta. S/ 17
Rpta. 6,75
Sean
• M el número de mujeres
• (12 + M) el número total de estudiantes
• Recordemos que son 12 varones
1.° El total tiene promedio 1,50 m de estatura; las
mujeres tiene promedio 1,40 m; la estatura
promedio de los varones 1,55 m.
Organizaremos estos datos en un cuadro:
n.° de
personas
Promedio de
estaturas Suma de estaturas
M 1,40 1,40(M) = 1,4M
H = 12 1,55 1,55(12) = 18,6
Total = 12 + M 1,50 1,50(12 + M) = 18 + 1,5M
Finalmente el total de estudiantes que hay en el
salón es de 18.
1,4M + 18,6 = 18 + 1,5M
0,6 = 0,1M
M = 6
Del cuadro mostrado se cumplirá que:
1.° Ciudad 1: promedio de 5 habitantes por casa.
Ciudad 2: promedio de 4 habitantes por casa.
Organizaremos estos datos en un cuadro.
n.° de casas
por ciudad
Promedio de
habitantes por casa
Suma de
habitantes
ciudad 1: 180 5 5(180) = 900
ciudad 2: 300 4 4(300) = 1200
Total: 480 x
Del cuadro mostrado se cumplirá que:
x = 900 + 1200480
⇒ x = 4,375
2.° Finalmente vemos que el promedio de
habitantes por cada casa, al juntar ambas
ciudades, es de 4,375.
1.° 50 personas gastan en promedio S/ 16 al día
cada una.
Sean los números buscados a; b; c; y d.
1.° La media geométrica es 2 2 .
2.° Los 4 números son enteros y diferentes.
⇒ a × b × c × d = 64
1 2 4 8
Luego de ensayar valores vemos que:
a = 1; b = 2; c = 4; d = 8
3.° Calculamos la media y la mediana.
Finalmente la suma de la media y la mediana
es 6,75.
n° de
personas
Promedio de gasto
diario por persona
Suma de gastos
diarios
50 S/ 16 16(50) = 800
2.° Vemos que el gasto total es de S/ 800.
• Como 20 personas aumentan su gasto
diario en S/ 7 cada una, entonces el gasto
total aumentará en: 20(S/ 7) = S/ 140
• Como las otras 30 personas disminuyen su
gasto diario en S/ 3 cada una, entonces el
gasto total disminuirá en: 30(S/ 3) = S/ 90
3.° Con las condiciones anteriores, el nuevo
gasto total será:
S/ 800 + S/ 140 – S/ 90 = S/ 850
4.° Calculando el nuevo promedio tendremos:
S/ 850 diario
50 personas = S/ 17
diario
persona
Finalmente el nuevo promedio de gasto diario
será de S/ 17 por persona.
a × b × c × d4 22 ⇒ a × b × c × d = ( )4
⇒ a × b × c × d = 64
22=
Me = = 3 2 + 42
1 + 2 + 4 + 8
4x =
⇒ x = 3,75
124
Halla x si el promedio geométrico de los números
5x, 25x, 125x es 625.
Resolución:
Sean a y b dos números enteros. Si el producto
de la media aritmética con su media armónica es
igual al doble de su media geométrica, encuentra
el menor valor de a + b.
Resolución:
La edad promedio de 10 personas es 63 años y
ninguno de ellos es mayor de 65 años. ¿Cuál es
la edad mínima que puede tener uno de ellos?
Resolución:
9 11
12
10
Rpta. 2
Rpta. 4
Rpta. 13Rpta. 45
Halla n si la media geométrica de 3; 32; 33; ...; 3n
es 2187.
Resolución:
G = 5x ⋅ 25x ⋅ 125x3 = 625
Entonces:
5x ⋅ 52x ⋅ 53x3 = 54
5
6x
3 = 54
6x 3 = 4
x = 2
Sean las personas x1; x2; x3; ...; x9; x10
Del dato:
x1 + x2 + x3 + ...+ x9 + x10
10
= 63
Para que uno tenga la edad mínima, los otros 9
deben tener la edad máxima.
«Ninguno es mayor de 65» significa que pueden
tener 65 o menos.
(Edad máxima: 65)
Entonces:
x1 + x2 + x3 + ...+ x9 + x10 = 63 . 10
65 cada uno MÍNIMO
9 ⋅ 65 + x10 = 630
x10 = 630 – 585
x10 = 45
x . H = 2G
(a + b)
2
. 2ab(a + b) = 2
. ab
ab = 2 ab
ab = 2
a b = 4
1 4 1 + 4 = 5 Valores
2 2 2 + 2 = 4
La menor suma es 4.
n
3 × 32 × 33 × .... × 3n = 2187
n
3
n(n + 1)
2 = 37
3
n(n + 1)
2n = 37
Entonces:
n(n + 1)
2n
= 7
n + 1 = 14
n = 13
125MateMática Delta 3 - aritMética
Síntesis
Modela y resuelve
2
Medidas de tendencia central Teoremas
Media aritmética, promedio aritmético o media
Media geométrica o promedio geométrico
Media armónica o promedio armónico
Mediana
El dato que divide en dos grupos igualmente numerosos.
Moda
El dato que más se repite.
1
H
1
a1
1
a2
1
a3
1
an
=
+ + + ... +
x =
x =
x × H = a × b
x < G < H
Observación:
Media aritmética ponderada
G =
n
a1 + a2 + a3 + ... + an
n
p1 × a1 + p2 × a2 + p3 × a3 + ... + pn × an
p1 + p2 + p3 + ... + pn
a1 × a2 × a3 × ... × an
n
1
2
1 El promedio de las seis calificaciones en
matemáticas de Juanito es 15. Si afortunadamente
para Juanito su profesor eliminó su peor nota y
el promedio de Juanito subió a 17, determina cuál
era la nota eliminada a Juanito.
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
El promedio de las seis calificaciones en
matemáticas de Pepito es 14. Si afortunadamente
para Pepito su profesor eliminó su peor nota y el
promedio de Pepito subió a 16, determina cuál
era la nota eliminada a Pepito.
126
En el curso de Cálculo I, el promedio de notas de
30 alumnos de la facultad de Ingeniería Industrial
es 15, el promedio de 25 alumnos de la facultad
de Ingeniería Civil es 16, y el promedio de 35
alumnos de Arquitectura es 11. Calcula la media
de notas del total de alumnos mencionados.
En el curso de Matemática I, el promedio de notas de
40 alumnos de la facultad de Ingeniería Electrónica
es 14, el promedio de 25 alumnos de la facultad
de Ingeniería Mecánica es 16, y el promedio de 30
alumnos de Arquitectura es 12. Calcula la media de
notas del total de alumnos mencionados.
Resolución: Resolución:
El promedio de los pesos de 20 bolsas con
cemento para cerámica es de 25,6 kg. Si se
agrega una bolsa más, entonces el peso promedio
aumenta en 0,2 kg. Determina cuál es el peso de
la bolsa que se agregó.
El promedio de los pesos de 24 bolsas con
cemento para cerámica es de 24,8 kg. Si se
agrega una bolsa más, entonces el peso promedio
aumenta en 0,3 kg. Determina cuál es el peso de
la bolsa que se agregó.
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
3 4
5 6
127MateMática Delta 3 - aritMética
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
El promedio de las edades del 40 % de los
asistentes a una reunión es de 40 años y el
promedio del 25 % del resto es de 28 años.
Calcula cuál debe ser el promedio de las edades
del tercer grupo de personas, si todos los
asistentes en promedio tienen 31 años.
El promedio de las edades del 60 % de los
asistentes a una reunión es de 45 años,el
promedio del 25 % del resto es de 32 años. Calcula
cuál debe ser el promedio de las edades del
tercer grupo de personas, si todos los asistentes
en promedio tienen 35 años.
Resolución: Resolución:
En una semana, el promedio de los ahorros de
50 jóvenes es de S/ 62,1. Si se retiran cinco
jóvenes cuyo promedio de ahorros es de S/ 18,
determina en cuánto varía el promedio.
En una semana, el promedio de los ahorros de
60 jóvenes es de S/ 52,4. Si se retiran quince
jóvenes cuyo promedio de ahorros es de S/ 36.
Determina en cuánto varía el promedio.
Resolución: Resolución:
7 8
9 10
128
Resolución:
Resolución:
De todos los estudiantes de una institución
educativa la estatura promedio es de 1,68 m;
además por cada 5 mujeres hay 7 hombres. Si
la estatura promedio de todas las mujeres es
de 1,53 m, calcula cuál es el promedio de las
estaturas de los varones.
La edad promedio de 6 personas es de 58 años.
Si ninguno de ellos es mayor de 64 años, calcula
cuál será la edad mínima que puede tener uno
de ellos.
Renzo se dedica al alquiler de películas en video.
En el 2016, Renzo alquiló varias películas: de
enero hasta marzo, alquiló un promedio de «m ‒ n»
películas por mes; y de abril a diciembre él alquiló
un promedio de «m + n» películas por mes. Calcula
cuál fue el número promedio de películas que alquiló
cada mes en el 2016.
El promedio de los pesos de 10 sacos de papa es
de 68,5 kg. Si los pesos forman una progresión
aritmética de razón 2 kg, calcula el promedio de
los dos mayores pesos.
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
11 12
13 14
Resolución:
Resolución:
129MateMática Delta 3 - aritMética
15 La estatura promedio de todos los estudiantes
en un salón del tercer grado es de 1 metro. Si
la estatura promedio de los varones, que son en
total 10, es de 1,15 m y la estatura promedio de
todas las mujeres es 0,90 m, calcula el número de
estudiantes que hay en este salón.
Resolución:
De los resultados hechos en cierta ciudad, se
observó que las 100 casas encuestadas tienen
un promedio de 5 habitantes por casa, y en otra
ciudad las 300 casas encuestadas tienen un
promedio de 3 habitantes por casa. ¿Cuál es
el promedio de habitantes por casa al juntar la
población de ambas ciudades?
Resolución:
Rpta.
Rpta.
17
El promedio aritmético de los gastos diarios que
realizan 40 personas es de S/ 28 cada una. Si 15
de estas personas añaden a su gasto diario S/ 12
cada una y los restantes lo disminuyen en S/ 8 a
cada una, calcula el valor del nuevo promedio de
los gastos diarios.
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
El promedio geométrico de 4 números enteros y
diferentes entre sí es de 3 3. Calcula la suma de
la media y la mediana de dichos números.
18
16
130
En una universidad el sueldo promedio de
los trabajadores varones es S/ 840 y el sueldo
promedio de las trabajadoras mujeres es de
S/ 750. Si el salario promedio de todos los
trabajadores es de S/ 800, calcula el porcentaje
de varones que trabajan en la universidad.
En una universidad el sueldo promedio de los
trabajadores varones es S/ 1240 y el sueldo
promedio de las trabajadores mujeres es de
S/ 940. Si el salario promedio de todos los
trabajadores es de S/ 1100, calcula el porcentaje
de varones que trabajan en la universidad.
Resolución: Resolución:
Las notas obtenidas por un grupo de 10
estudiantes en un examen de recuperación de
matemáticas son: 07; 08; 08; 11; 12; 12; 15; 15;
15 y 18. El profesor les indica que un estudiante
aprueba el curso. Si su nota es mayor que la media
y la mediana, calcula cuál es el porcentaje de
aprobados en esta evaluación.
Las notas obtenidas por un grupo de 10
estudiantes en un examen de recuperación de
matemáticas son: 08; 10; 10; 10; 12; 12; 12; 16;
16 y 18. El profesor les indica que un estudiante
aprueba el curso. Si su nota es mayor que la media
y la mediana, calcula cuál es el porcentaje de
aprobados en esta evaluación.
Resolución: Resolución:
19 20
21 22
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
131MateMática Delta 3 - aritMética
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
23
De un grupo de seis estudiantes universitarios, sus
edades tienen como media a 23,5 años; además
la moda y la mediana son iguales a 20. Calcula
cuál sería la máxima edad que podría tener una de
ellas si ninguno es menor de 15 años.
25 De un grupo de seis estudiantes universitarios,
sus edades tienen como media a 23 años; además
la moda y la mediana son iguales a 21. Calcula
cuál sería la máxima edad que podría tener una
de ellas si ninguno es menor de 14 años.
26
24El promedio geométrico de 30 números es 9. Si
cada uno de los números lo multiplicamos por 4,
¿cuál es el valor del nuevo promedio?
El promedio geométrico de 25 números es 12. Si
cada uno de los números lo multiplicamos por 6,
¿cuál es el valor del nuevo promedio?
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
132
Halla a si el promedio geométrico de los números
3a, 9a, 27a, 81a, 243a es 729.
Resolución:
Resolución:
La edad promedio de 6 personas es 40. Si ninguna
de ellas es menor de 36 años, ¿cuál es la máxima
edad que puede tener una de ellas?
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
27
29 Halla n si la media geométrica de 2; 22; 23; ...; 2n
es 1024.
Resolución:
Si el producto de la media aritmética de dos
números enteros positivos con la media armónica
de dichos números es igual a 4 veces el valor de
su media geométrica, encuentra el menor valor
de la suma de dichos números.
Resolución:
28
30
133MateMática Delta 3 - aritMética
Practica y demuestra
Nivel I
El promedio de las notas de los 30 alumnos del
salón “A” es de 16, mientras que del salón “B”,
que tiene 40 alumnos, es 14. Si del salón C, que
tiene 50 alumnos, su promedio de notas es de 12,
calcula el promedio de notas de los tres salones.
En una partida de póquer se encuentran 5 personas
cuyo promedio de edades es de 32 años.
Si ninguno de ellos tiene menos de 24 años, calcula
la máxima edad que puede tener uno de ellos.
El promedio aritmético de seis números pares
consecutivos es 97. Calcula el promedio
de los números impares que se encuentran
comprendidos entre ellos.
1
4
5
2 En una clase que tiene 40 alumnos, la estatura
promedio de los 25 hombres es 1,68 m y el
promedio de estaturas de las mujeres es 1,62 m.
Calcula el promedio de estatura de dicho salón.
El promedio de las edades de un grupo de 6 alumnos
es de 16 años. Si ninguno de ellos tiene menos de
14 años, calcula la máxima edad que puede tener
uno de ellos.
3 El promedio de 8 números consecutivos es de
40,5. Calcula el promedio de los números pares
que hay en esta lista.
6
A 13,65 B 13,67 C 13,62
D 13,69 E 13,58
A 1,64 B 1,61 C 1,63
D 1,63 E 1,66
A 24 B 25 C 26
D 27 E 29
A 40,6 B 40,8 C 41,0
D 41,4 E 40,4
A 97 B 101 C 95
D 93 E 99
A 60 años B 62 años
C 58 años D 64 años
E 66 años
134
Luego de dar un examen, los 60 alumnos
obtuvieron como nota promedio 13. Si el
promedio de notas de los 15 mejores alumnos es
de 16, calcula el promedio de notas del resto de
alumnos.
7
8
9
El promedio de los ahorros semanales de
20 estudiantes es de S/ 40. Si agregamos 5
estudiantes, cuyo promedio de ahorros semanales
es de S/ 20, calcula cuál será el promedio ahora.
En una oficina trabajan 12 personas cuyo
promedio de edades es 26 años. Si el número de
hombres es 8 y su edad promedio de 28 años,
calcula la edad promedio de las mujeres.
Nivel II
El promedio aritmético de los pesos de 50
alumnos es de 55,6 kg. Si de ellos se sabe que el
promedio de pesos de 18 alumnos es 46 kg y de
otros 24 alumnos es 64 kg, calcula el promedio de
los pesos de los alumnos restantes.
El promedio de las edades de 28 personas es de
32 años. Si agregamos 5 personas cuyo promedio
de edades es de 24 años, calcula cuál será el
nuevo promedio de las edades.
El promedio aritmético de los ahorros de
18 alumnos del quinto grado es de S/ 46, de otros
24 alumnos del cuarto grado es de S/ 64 y de
otros 8 alumnosdel tercer grado es de S/ 52.
Calcula el promedio de los ahorros de todo este
grupo.
10
11
12
A 30,79 años B 31,24 años
C 30,65 años D 30,82 años
E 31,14 años
A 11 B 14 C 10
D 12 E 13
A 52,6 kg B 52,4 kg C 52,0 kg
D 52,8 kg E 53,2 kg
A S/ 32 B S/ 38 C S/ 40
D S/ 34 E S/ 36
A 22 años B 23 años C 21 años
D 20 años E 24 años
A S/ 55,2 B S/ 55,8
C S/ 55,4 D S/ 55,6
E S/ 55,0
135MateMática Delta 3 - aritMética
En un salón de clase se ha observado que por cada
3 hombres hay 5 mujeres, y que el promedio de las
edades de los hombres es 17 años, mientras que
el promedio de las mujeres es de 15 años. Calcula
el promedio de las edades del salón.
13
A 15,45 años B 15,25 años
C 15,65 años D 15,75 años
E 15,15 años
En un salón de 14 estudiantes, luego de evaluar
a 12 de ellos se observó que el promedio de
sus notas fue de 15; al día siguiente se evaluó
a los 2 alumnos que faltaron logrando con ello
que el promedio del salón sea igual al anterior
aumentado en 0,5 unidades. Calcula la menor
nota alcanzada por uno de los evaluados de
forma extemporánea.
Nota: Las notas extemporáneas no pueden ser
20.
14
A 16 B 17 C 18
D 19 E 20
La edad promedio de 9 personas es 45 años y
ninguno de ellos es mayor de 48 años. ¿Cuál es
la edad mínima que puede tener uno de ellos?
16
A 20 años B 21 años
C 19 años D 28 años
E 25 años
El promedio de los ahorros de 50 personas es de
S/ 627,90. Si agregamos a tres personas cuyos
ahorros son de S/ 150; S/ 120 y S/ n, entonces el
promedio de los ahorros es de S/ 600. Calcula el
valor de n.
15
A 128 B 132 C 140
D 142 E 135
De los resultados hechos en cierta ciudad, se
observó que las 100 casas encuestadas tienen
un promedio de 6 habitantes por casa, y en otra
ciudad las 350 casas encuestadas tienen un
promedio de 3 habitantes por casa. ¿Cuál es
el promedio de habitantes por casa al juntar la
población de ambas ciudades?
18
A 4,5 B 5 C 5,5
D 6,5 E 4
Jorge diariamente viaja desde su casa rumbo a
su trabajo por las mañanas con una velocidad
de 60 km/h y regresa por la misma ruta a una
velocidad de 30 km/h, por la congestión en el
tránsito. Calcula la rapidez promedio en su
recorrido de ida y vuelta.
17
A 45 km/h B 42 km/h
C 40 km/h D 48 km/h
E 50 km/h
136
Nivel III
Si el producto de la media aritmética de dos
números enteros positivos con la media armónica
de dichos números es igual a 8 veces el valor de
su media geométrica, encuentra el menor valor
de la suma de dichos números.
El promedio aritmético de los gastos diarios que
realizan 60 personas es de S/ 24 cada una. Si 10
de estas personas añaden a su gasto diario S/ 6
cada una y los restantes lo disminuyen en S/ 6 a
cada una, calcula el valor del nuevo promedio de
los gastos diarios.
20
21
Para obtener el promedio de sus notas en el
área de matemática, se evalúan dos aspectos:
examen mensual y las tareas resueltas en clase.
Luego de ser evaluado, un alumno calcula su
promedio y obtiene 12, sin embargo al calcular su
promedio usando el promedio armónico obtiene
11,25. Calcula la mayor de sus notas obtenidas
en los aspectos evaluados.
19
A S/ 18 B S/ 21 C S/ 20
D S/ 25 E S/ 16
El promedio aritmético de las edades de 50
personas es de 56 años. Si el promedio de 16
de estas personas es de 45 años y de otras 26
personas es de 64 años, calcula el promedio de las
edades de las personas aún no consideradas.
24
A 48 años B 50 años
C 52 años D 54 años
E 51 años
A 16 B 15 C 17
D 18 E 19
A 14 B 18 C 20
D 16 E 12
El promedio geométrico de 40 números es 12. Si
cada uno de los números lo multiplicamos por 5,
¿cuál es el valor del nuevo promedio?
22
A 50 B 70 C 64
D 58 E 60
Luego de ser evaluado dos veces, un alumno
calcula su promedio y obtiene 12,5; sin embargo
el coordinador, quien utilizó el promedio armónico,
le dice que su promedio es 10,88. Calcula la
diferencia de sus notas obtenidas.
23
A 6 B 8 C 7
D 5 E 9
MateMática Delta 3 - aritMética
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 3
137
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
C D
BA
5453
5251
C D
BA
2016
2418
C D
BA
6472
7680
C D
BA
7278
7680
C D
BA
464
168
C D
BA
4846
5442
En una proporción geométrica se sabe que el
producto de los extremos es 702. Si los términos
medios son consecutivos, calcula la suma de los
términos medios.
En una proporción geométrica continua, la suma
de sus términos diferentes es 105. Determina el
valor de la media proporcional, si la constante de
proporcionalidad es un número entero.
Sabiendo que 10 es la cuarta proporcional de a,
9 y b; además a es la cuarta proporcional de b,
10 y 144. Halla el valor de a + b.
1
2
3
Encuentra la cuarta proporcional de:
A: 15; 21 y 10 B: 12; 32 y 34
Da como respuesta la suma de ambos resultados.
El producto de los cuatro términos de una
proporción continua es 4096. Descubre el valor
de la media proporcional.
Si 20 es la media proporcional de a y 100; y
también 3 es la tercera proporcional de 48 y b;
calcula la cuarta proporcional de a, b y 16.
4
5
6
138
C D
BA
48,6 kg48,8 kg
49,8 kg47,8 kg
C D
BA
S/ 5,8S/ 6,2
S/ 5,6S/ 4,8
C D
BA
24 años22 años
21 años20 años
C D
BA
66,8 kg68,4 kg
64,6 kg66,4 kg
C D
BA
160170
150140
C D
BA
17,73 años16,73 años
16,63 años17,63 años
El promedio de los pesos de 20 bolsas con
cemento para construcción es de 42,5 kg. Si se
agrega una bolsa más, entonces el peso promedio
aumenta en 0,3 kg. Determina cuál es el peso de
la bolsa que se agregó.
En una oficina trabajan 15 personas cuyo
promedio de edades es 24 años. Si el número de
hombres es 9 y su edad promedio de 26 años,
encuentra la edad promedio de las mujeres.
El promedio aritmético de los pesos de 50
alumnos es de 58,4 kg. Si de ellos se sabe que el
promedio de pesos de 14 alumnos es 46 kg y de
otros 26 alumnos es 62 kg, descubre el promedio
de los pesos de los alumnos restantes.
El promedio de los ahorros de 40 personas es de
S/ 546,5. Si agregamos a tres personas cuyos
ahorros son de S/ 180; S/ 160 y S/ n, entonces el
promedio de los ahorros es de S/ 520. Calcula el
valor de n.
En un salón de clases se ha observado que por
cada 4 hombres hay 7 mujeres, y que el promedio
de las edades de los hombres es de 18 años,
mientras que el promedio de las mujeres es de
16 años. Determina el promedio de las edades
del salón.
7
8
9
10
11
12
En una semana, el promedio de ahorros de 40
jóvenes es de S/ 32,5. Si se retiran diez jóvenes
cuyo promedio de ahorros es de S/ 15, halla en
cuánto varía el promedio.
Tema
139MateMática Delta 3 - aritMética
Magnitudes proporcionales
Magnitud
Es todo aquello susceptible de ser medido y que puede ser percibido por algún medio.
Una característica de las magnitudes es el poder aumentar o disminuir su valor.
Cantidad
Es el resultado de medir el cambio o variación que experimenta la magnitud.
Magnitud Cantidad
longitud 2 km
tiempo 7 horas
n.º de personas 12 obreros
Relación entre dos magnitudes
Dos magnitudes son proporcionales cuando al variar el valor de una de ellas, el valor
correspondiente de la otra magnitud cambia en igual proporción. Estas se pueden
relacionar de dos modos distintos: de forma directa o de forma inversa.
Magnitudes directamente proporcionales (D.P.)
Ejemplo:
Si compramos libros, cada uno a S/ 24 (precio constante), al analizar cómo varía el
valor del pago total cuando el número de libros a comprar varía, se tendrá:
n.º de libros 1 2 3 4
Pago total 24 48 72 96
Vemos que a medida que compramos el doble de la cantidad de libros, realizamos
doble pago; a triple cantidad de libros comprados, realizamos triple pago; y así
sucesivamente. Entonces las magnitudes n.º de libros y pago total están en proporción
directa, cumpliéndose que:
pago total
n.º de libros
=
24
1
=
48
2
=
72
3
=
96
4
= k
En general:
Decimos quedos magnitudes A y B son directamente proporcionales, si el cociente de
dividir sus valores correspondientes es un valor constante; y se reconocen porque al
aumentar o disminuir los valores de la magnitud A entonces el valor correspondiente de
la magnitud B también aumenta o disminuye en igual proporción directa; escribiéndose
como: A D.P. B
Luego, si A y B representan dos magnitudes directamente proporcionales, se tendrá:
A D.P. B ⇒
valor de A
valor de B
= k
La proporcionalidad
aparece
estrechamente
vinculado a nuestra
vida diaria.
¿Has observado a
un albañil cuando
prepara la mezcla
de cemento,
arena y agua para
levantar una pared?
¿Para una bolsa
de cemento, qué
cantidad de arena y
agua necesita?
Este tipo de
situaciones pueden
resolverse usando
la proporcionalidad.
Analiza la siguiente
situación: «Si Colón
tardó tres meses
en llegar a América
con tres carabelas,
¿cuánto habría
tardado con seis
carabelas?».
Para utilizar la
proporcionalidad
primero debes
demostrar que existe
una relación directa
o inversa entre las
magnitudes que
estás utilizando.
Por lo tanto, Colón
con 3 o con 6
carabelas llega en
el mismo tiempo, ya
que este no depende
del número de
carabelas.
¿Sa bía s qu e.. .?
8
140
A I.P. B ⇒ (valor de A) . (valor de B) = k
Magnitudes inversamente proporcionales (I.P.)
Ejemplo:
Para pintar 60 habitaciones idénticas de un edificio, se requieren cierta cantidad de
trabajadores. Si el ingeniero a cargo sabe que un trabajador es capaz de pintar una
habitación en 8 horas, analizamos cómo varía el tiempo a medida que cambia la
cantidad de trabajadores para pintar una sola habitación; se tendrá:
n.º de trabajadores 1 2 3 4
tiempo (minutos) 480 240 160 120
Vemos (respecto de un solo trabajador) que a medida que empleamos doble cantidad
de trabajadores, utilizamos la mitad del tiempo; a triple cantidad de trabajadores,
utilizamos la tercera parte del tiempo; y así sucesivamente. Entonces las magnitudes
n.° de trabajadores y tiempo están en proporción inversa, cumpliéndose que:
(n.º de trabajadores) × (tiempo) = (1) × (480) = (2) × (240) = (3) × (160) = (4) × (120) = k
En general:
Decimos que dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales, si el producto de
multiplicar sus valores correspondientes es un valor constante; y se reconocen porque
al aumentar o disminuir los valores de la magnitud A entonces el valor correspondiente
de la magnitud B disminuye o aumenta respectivamente en igual proporción inversa;
escribiéndose como: A I.P. B
Luego, si A y B representan dos magnitudes inversamente proporcionales, se tendrá:
Cuando A D.P. B
entonces:
¿Sa bía s qu e.. .?
¿Sa bía s qu e.. .?
Valor de A
Valor de B
= k
«k» se conoce como
la constante de
proporcionalidad.
El Papiro de Ahmes,
conocido también
como «Papiro
Rhind» es un papiro
egipcio escrito por
el escriba Ahmes a
mediados del siglo
XVI a. C.; y mide
unos 6 metros de
longitud por 32 cm
de ancho.
El papiro contiene
87 problemas
matemáticos
con cuestiones
aritméticas básicas,
fracciones,
cálculos de áreas,
volúmenes,
progresiones,
repartos
proporcionales,
reglas de tres,
ecuaciones lineales
y trigonometría
básica.
Ejercicios resueltos
La magnitud A es directamente proporcional a la magnitud C, y B2 es directamente
proporcional a la magnitud A. Se sabe que cuando A = 35, B = 5, entonces se
cumple que C = 16. Calcula el valor correspondiente de A cuando B = 8 y C = 5.
Resolución:
• Prepara un cuadro de valores.
• Reemplazamos los valores correspondientes.
1
Rpta. El valor de A es 28
35
16 . (5)2
n
5 . (8)2
= 35
. 5 . 64
16 . 25
= n ⇒ 28 = n ⇒
Valores
Magnitud A 35 n
Magnitud B 5 8
Magnitud C 16 5
• Sabemos que:
A D.P. C
A D.P. B2 = k
A
C . B2
141MateMática Delta 3 - aritMética
4
5
3
La magnitud A es directamente proporcional a la
magnitud C, y B2 es directamente proporcional
a la magnitud A. Se sabe que cuando A = 28,
B = 6; entonces se cumple que C = 15. Halla
el valor correspondiente de A cuando B = 9 y
C = 5.
Prepara un cuadro de valores.
Valores correspondientes
Magnitud A 28 n
Magnitud B 6 9
Magnitud C 15 5
1.° Sabemos que:
2.° Reemplaza los valores correspondientes.
A D.P. C
A D.P. B2 ⇒
A
C × B2
= k
⇒ 28
15 × (6)2
n
5 × (9)2
=
⇒ n = 21
Rpta. 21
Resolución:
2
La magnitud A es directamente proporcional al
cubo de B, pero inversamente proporcional al
cuadrado de la magnitud C. Si A = 90, B = 28 y
C = 48, determina el valor correspondiente de A
cuando B = 35 y C = 15.
Prepara un cuadro de valores.
Valores correspondientes
Magnitud A 90 n
Magnitud B 28 35
Magnitud C 48 15
1.° Sabemos que:
2.° Reemplaza los valores.
A D.P. B3
A I.P. C2
⇒
⇒ A × C
2
B3
= k
90 × (48)2
(28)3
n × (15)2
(35)3
=
⇒ n = 1800
Rpta. 1800
Resolución:
Sean las magnitudes A y B, tales que cuando
B < 30, la magnitud A es I.P. al cuadrado de la
magnitud B; pero cuando B ≥ 30, A es D.P. al
cuadrado de la magnitud B. Si A = 6, B = 20,
encuentra el valor de A cuando B = 60.
1.° Sabemos que: A I.P. B2; B < 30 ⇒ A × B2 = k
2.° Sabemos que: A D.P. B2; B ≥ 30 ⇒
Prepara un cuadro de valores.
⇒ n = 323
Rpta.
32
3
(6) × (20)2 = (a) × (30)2 ⇒ a = ⇒ 83
Valores correspondientes
Magnitud A 6 n a
Magnitud B 20 60 30
A
B2
= k
= = ⇒ ⇒
8
3a
302
n
602
n
3600900
Resolución:
Se sabe que la magnitud A3 es directamente
proporcional al cuadrado de la magnitud B, pero
inversamente proporcional al cuadrado de la
magnitud C. Si A = 15 y B = 30 entonces se cumple
que C = 45. Descubre el valor de A cuando B = 48
y C = 72.
Prepara un cuadro de valores.
Valores correspondientes
Magnitud A 15 n
Magnitud B 30 48
Magnitud C 45 72
1.° Sabemos que:
2.° Reemplaza los valores.
A3 D.P. B2
A3 I.P. C2
⇒
⇒
A3 × C2
B2
= k
153 × (45)2
(30)2
n3 × (72)2
(48)2
=
⇒ n = 15
Rpta. 15
Resolución:
142
9
8
7
El valor de un diamante es directamente
proporcional al cuadrado de su peso. Si un
diamante que tiene un valor de $ 24 400 se parte
en dos pedazos, uno de triple peso que el otro.
Calcula cuánto se obtendría al venderlo en partes.
Identifica el diamante entero y luego las partes.
Identifica las magnitudes y prepara un cuadro de
valores.
Peso
4N
Peso
N
= +
Peso
3N
Valores correspondientes
Valor ($): V $ 24 400 $ A $ B
Peso: P 4N N 3N
1.° Sabemos: (Valor) D.P. (Peso)2 ⇒
(Valor)
(Peso)2
= k
2.° Reemplaza los valores:
24 400
(4N)2
=
A
(N)2
=
B
(3N)2
3.° Al venderlo partido se obtendría:
1525 + 13 725 = 15 250
⇒
24 400
16
=
A
1
=
B
9
⇒ 1525 =
A
1
=
B
9
⇒ A = $ 1525 ∧ B = $ 13 725
Rpta. $ 15 250
Resolución:
Resolución:
Dos comensales descubren que el peso de una
pizza es directamente proporcional al cuadrado
de su radio y al espesor. Si compraron dos pizzas
cuyos pesos están en relación de 2 a 3 y sus
radios en relación de 4 a 3 respectivamente, halla
en qué relación se encuentran los espesores de
dichas pizzas.
Identifica las magnitudes y prepara un cuadro de
valores.
Rpta. Se encuentran en relación de 3 a 8.
Valores correspondientes
Peso: P 2k 3k
Radio: R 4n 3n
Espesor: E a b
1.° Sabemos:
P D.P. R2
P D.P. E
⇒ P
R2 × E
= k
2.° Reemplaza los valores.
⇒ (2k)
(4n)2 × a
(3k)
(3n)2 × b
= ⇒ a
b
3
8=
El valor de un diamante es D.P. al cuadrado de su
peso. Un diamante se parte en tres pedazos, cuyos
pesos se encuentran en relación de 3; 4 y 5. Si el
diamante se vende en partes, se obtiene por ellas
$ 18 300; determina entonces cuánto se hubiera
obtenido al venderlo entero.
Identifica el diamante entero y luego las partes.
1.° Sabemos: (Valor) D.P. (Peso)2 ⇒ (Valor)
(Peso)2
= k
3.° Al venderlo en partes se obtiene $ 18 300:
A + B + C = 18 300 ⇒ 9n + 16n + 25n = 18 300
50n = 18 300
n = 366
4.° Al venderlo entero se obtendría:
P = 144(366) = 52704
Rpta. $ 52 704
Identifica las magnitudes y prepara un cuadro
de valores.
Peso
12N
Peso
3N
= + +
Peso
4N
Peso
5N
Valores correspondientes
Valor ($): V P $ A $ B $ C
Peso: P 12N 3N 4N 5N
2.° Reemplaza los valores:
P
(12N)2
= n
A = 9n
B = 16n
C = 25n
P = 144n
A
(3N)2
B
(4N)2
C
(5N)2
= = =
Resolución:
El costo de un departamento es D.P. al cuadrado
del número de habitaciones que tiene e I.P.
al cuadrado del piso que se encuentra en el
edificio. Si un departamento del tercer piso tiene
un valor de $ 72 000, encuentra el valor de otro
departamento de la mitad de habitaciones y
construido en el cuarto piso.
Identifica las magnitudes y prepara un cuadro de
valores.
Rpta. $ 10 125
Valores correspondientes
Costo: C $ 72 000 n
Habitaciones: H 2a a
Piso: P 3 4
1.° Sabemos:
C D.P. H2
C I.P. P2
⇒ C × P
2
H2
= k
2.° Reemplaza los valores.
⇒ (72 000)(3)
2
(2a)2
(n)(4)2
(a)2
= ⇒ n = 10 125
Resolución:
6
143MateMática Delta 3 - aritMética
Se sabe que A2 es inversamente proporcional a
la magnitud B. Si A = 51 y B = 3, calcula el valor
correspondiente de B para A = 34.
Se sabe que A es directamente proporcional a
la magnitud B. Si A = 51, B = 3, calcula el valor
correspondiente de B para A = 34.
Rpta. Rpta.
Magnitudes
proporcionales
Magnitudes directamente
proporcionales (D.P.)
Magnitudes inversamente
proporcionales (I.P.)
Dos magnitudes son D.P. si al
aumentar o disminuir una de
ellas la otra también aumenta o
disminuye, respectivamente, en la
misma proporción.
Gráficamente:
Gráficamente:
A D.P. B
A I.P. B
A
A
B
B
A D.P. B ⇒
A I.P. B ⇒ (Valor A)(Valor B) = k
= k
Valor de A
Valor de B
Dos magnitudes son I.P. si al
aumentar o disminuir una la
otra disminuye o aumenta,
respectivamente, en la misma
proporción.
Resolución: Resolución:
Síntesis
Modela y resuelve
1 2
144
Valores correspondientes
Magnitud A 16 9 4 m
Magnitud B 9 12 n 3
Valores correspondientes
Magnitud A 72 338 98 m
Magnitud B 6 13 n 4
Sea la magnitud A directamente proporcional a
la raíz cuadrada de la magnitud B, se sabe que
cuando A = 6, entonces B = 16. Halla el valor
correspondiente de B para A = 36.
Sea la magnitud A inversamente proporcional
a la magnitud B, se sabe que cuando A = 6,
entonces B = 16. Halla el valor correspondiente
de B para A = 4.
Si la magnitud A guarda cierta relación de
proporcionalidad con la magnitud B, según el
cuadro de valores, determina el valor de m + n.
Si la magnitud A guarda cierta relación de
proporcionalidad con la magnitud B, según el
cuadro de valores, determina el valor de m + n.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
3 4
5 6
145MateMática Delta 3 - aritMética
La magnitud A es D.P. a la raíz cuadrada de la
magnitud B, pero I.P. al cuadrado de la magnitud
C. Si A = 6, B = 16 y C = 12, encuentra el valor
correspondiente de B cuando A = 36 y C = 18.
Si se sabe que A es D.P. al cuadrado de la
magnitud B, pero I.P. a la raíz cuadrada de
la magnitud C. Si A = 4, B = 15 y C = 32,
descubre el valor correspondiente de A para
B = 20 y C = 162.
La magnitud A es D.P. a la raíz cúbica de la
magnitud B, pero I.P. a la raíz cuadrada de la
magnitud C. Si A = 8, B = 54 y C = 48, encuentra
el valor correspondiente de A cuando B = 128 y
C = 147.
Si se sabe que la magnitud A es I.P. al cubo
de la magnitud B, pero D.P. a la raíz cuadrada
de la magnitud C. Si A = 4, B = 9 y C = 16,
descubre el valor correspondiente de A para
B = 3 y C = 4.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:Resolución:
7 8
9 10
146
Sean las magnitudes A y B. Tales que cuando
B < 40, A es I.P. a la raíz cuadrada de B y cuando
B ≥ 40, A es D.P. al cuadrado de la magnitud
B. Si A = 18, B = 20, calcula el valor de A
cuando B = 60.
La magnitud A2 es directamente proporcional al
cuadrado de la magnitud B, pero inversamente
proporcional al cubo de la magnitud C; además,
cuando A = 10 y B = 20 entonces se cumple que
C = 15. Halla el valor de A cuando B = 64 y C = 40.
Rpta.
Resolución: Resolución:
Rpta.
Resolución:
11 La magnitud A es directamente proporcional a la
magnitud C, y B2 es inversamente proporcional
a la magnitud A. Se sabe que cuando A = 36,
B = 24 entonces se cumple que C = 48. Calcula
el valor de A cuando B = 27 y C = 15.
Rpta.
12
13 La magnitud A es directamente proporcional al
cuadrado de la magnitud B, pero inversamente
proporcional a la magnitud C. Si A = 80, B = 10
y C = 16, halla el valor correspondiente de A
cuando B = 35 y C = 28.
Rpta.
Resolución:
14
147MateMática Delta 3 - aritMética
Rpta. Rpta.
El siguiente gráfico muestra la relación que existe
entre dos magnitudes. Determina el valor de x + a.
Sean las magnitudes A y B, tales que el cuadrado
de la magnitud A es inversamente proporcional
a la raíz cuadrada de la magnitud B. Si A = 28,
B = 72, encuentra el valor correspondiente de A
cuando B = 98.
El siguiente gráfico muestra la relación que existe
entre dos magnitudes. Determina el valor de x2 + y2.
Sean las magnitudes A y B, tales que el cuadrado
de la magnitud A es inversamente proporcional
a la magnitud B elevada al cubo. Si A = 108,
B = 12, encuentra el valor correspondiente de A
cuando B = 18.
Rpta. Rpta.
4
a
x
240
12 15
B
A
x
2
3
6
3 y
B
A
Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
15 16
17 18
148
El tiempo de vida útil de una máquina es
directamente proporcional al cuadrado del número
de mantenimientos anuales pero inversamente
proporcional al número de productos fabricados
al año. Si una máquina produce, en un año,
48 000 artículos y tiene 4 mantenimientos,
entonces su tiempo de vida útil será de 15 años.
Descubre cuál será el tiempo de vida útil de una
máquina que produce 54 000 artículos anuales y
tiene 3 mantenimientos al año.
En una ciudad, el precio del petróleo varía de
forma directamente proporcional al precio de la
gasolina y en forma inversamente proporcional
al cuadrado del precio del gas natural. Calcula
en qué porcentaje aumenta o disminuye el precio
del petróleo, cuando el precio de la gasolina baja
en 20 % y el precio del gas natural sube en 25 %.
La energía que tiene un puntero láser
es directamente proporcional al área de
influencia pero inversamente proporcional a su
temperatura en °C. Si con una temperatura de
12 °C y una energía de 3 joule se abarca un
área de 9 mm2, descubre qué energía libera
dicho dispositivo cuya área de influencia es de
12 mm2 a una temperatura de 16 °C.
En una ciudad, el precio del café varía de forma
directamente proporcional al precio del azúcar y en
forma inversamente proporcional al precio del té.
Calcula en qué porcentaje aumenta o disminuye el
precio del café, cuando el precio del azúcar baja
en 10 % y el precio del té sube en 20 %.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
19 20
21 22
149MateMática Delta 3 - aritMética
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
La eficiencia de una persona es directamente
proporcional a su edad hasta los 35 años de edad,
y desde los 35 hasta los 40 años su eficiencia es
inversamente proporcional a su edad. Halla cuál
será la eficiencia de esta persona a los 40 años de
edad, si a los 25 años tenía una eficiencia del 100 %.
La distancia que recorre un avión al atacar, en
el último minuto, es directamente proporcional al
cuadrado del tiempo transcurrido desde que se
lanzó al ataque. Si en el tercer minuto recorre
72 km, determina qué distancia recorrerá en el
octavo minuto.
La eficiencia de una persona es directamente
proporcional a su edad hasta los 30 años de edad,
y desde los 30 hasta los 40 años su eficiencia es
inversamente proporcional a su edad. Halla cuál
será la eficiencia de esta persona a los 40 años de
edad, si a los 25 años tenía una eficiencia del 80 %.
La distancia que recorre un avión al atacar, en
el último minuto, es directamente proporcional al
cuadrado del tiempo transcurrido desde quese
lanzó al ataque. Si en el quinto minuto recorre
200 km, determina qué distancia recorrió en los
dos primeros minutos.
Resolución:Resolución:
Resolución: Resolución:
23 24
25 26
150
El valor de un diamante es directamente
proporcional al cubo de su peso. Si un diamante
que tiene un valor de $ 18 500 se parte en dos
pedazos, cuyos pesos están en relación de 2
a 3. Encuentra cuánto se obtendría al venderlo
en partes.
Rpta.
Resolución:
27
Dos comensales descubren que el peso de una
pizza es D.P. al cuadrado de su radio y D.P. al
espesor. Si compraron dos pizzas cuyos espesores
están en relación de 4 a 5 y sus radios en relación
de 3 a 4 respectivamente, descubre en qué relación
se encuentran los pesos de dichas pizzas.
Rpta.
Resolución:
29
El valor de un diamante es D.P. al cuadrado de
su peso. Un diamante se parte en tres pedazos,
cuyos pesos se encuentran en relación de 2; 3 y
4. Si el diamante se vende en partes, se obtiene
por ellas $ 15 080; encuentra entonces cuánto se
hubiera obtenido al venderlo entero.
Rpta.
Resolución:
28
El costo de un terreno es D.P. a su área e I.P. al
cuadrado de su distancia a la ciudad. Si un terreno
tiene un valor de $ 18 000, descubre el valor de
otro terreno de doble área y cuya distancia a la
ciudad es 3 veces mayor que el anterior.
Rpta.
Resolución:
30
151MateMática Delta 3 - aritMética
El salario de un obrero es D.P. al número de días
trabajados pero I.P. a la raíz cuadrada del número
de tardanzas. Si cuando se trabajó 28 días y se
tuvo 4 tardanzas se recibió $ 840, calcula el salario
si se trabajó 24 días y se tuvo 9 tardanzas.
La duración de un viaje por ferrocarril es D.P. a
la distancia que recorre pero I.P. a su velocidad;
a su vez, la velocidad es D.P. a la cantidad de
carbón consumido por kilómetro e I.P. al número
de vagones del tren. Si para recorrer 40 km en
media hora y llevando 18 vagones se requiere
560 kg de carbón, halla cuánto de carbón se
habrá consumido en un viaje de 30 km hecho en
20 minutos y llevando 16 vagones.
El salario de un obrero es D.P. al número de días
trabajados pero I.P. al cuadrado del número de
tardanzas. Si cuando se trabajó 28 días y se tuvo
2 tardanzas se recibió $ 910, calcula su salario si
se trabajó 24 días y se tuvo 3 tardanzas.
La duración de un viaje por ferrocarril es D.P. a
la distancia que recorre pero I.P. a su velocidad;
a su vez, la velocidad es D.P. a la cantidad de
carbón consumido por kilómetro e I.P. al número
de vagones del tren. Si para recorrer 48 km en
media hora y llevando 16 vagones se requiere
640 kg de carbón, halla cuánto de carbón se
habrá consumido en un viaje de 52 km hecho en
20 minutos y llevando 24 vagones.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
31 32
33 34
152
Sabiendo que A es D.P. al cuadrado de B, calcula
el valor de (m + p) a partir del siguiente cuadro.
A 45 320 p
B 3 m 10
A es D.P. con B pero es I.P. con C2; si A = 10,
B = 25 y C = 4, halla A, cuando B = 64 y C = 8.
Siendo A D.P. al cuadrado de B pero I.P. al cubo
de C, encuentra el valor de (m + p) a partir del
siguiente cuadro.
A 12 125 p
B 4 m 8
C 5 3 2
La magnitud A es D.P. con B2; si cuando A = 25,
B = 20, determina el valor de A cuando B = 16.
Se sabe que (x + 2) es D.P. con (y – 3). Si x = 10,
entonces y = 19; descubre el valor de x, si y = 31.
La magnitud X es D.P. con Y, pero I.P. al cuadrado
de Z. Si X = 10, Y = 4 y Z = 14, calcula X cuando
Y = 16 y Z = 7.
Practica y demuestra
Nivel I
1
2
4
5
3 6
A 12 B 14 C 16
D 18 E 8
A 152 B 156 C 160
D 164 E 164
A 510 B 512 C 508
D 506 E 520
A 4 B 6 C 8
D 10 E 12
A 754 B 756 C 758
D 760 E 744
A 16 B 17 C 18
D 19 E 21
153MateMática Delta 3 - aritMética
Si A es D.P. con B pero I.P. con C3 . Se sabe
que A = 14, B = 64 y C = B; halla A cuando B = 4
y C sea el doble de B.
Se tienen tres magnitudes A, B y C, tales que A
es D.P. a C pero I.P. a B. Sabiendo que cuando
A = 10, B = 144 y C = 15, determina A cuando
B = 4 y C = 2.
7
Nivel II
8
La magnitud de A es D.P. con B2. Sabiendo
que cuando A = 16, entonces B = 16; encuentra
el valor de A cuando B = 20.
9
La magnitud A es D.P. al cuadrado de B pero
I.P. con C; si B = 30, C = 15 y A = 18, descubre el
valor de B cuando A = 40 y C = 27.
10
La magnitud de A es D.P. con B2; sabiendo que
cuando A = 25 entonces, B = 20; calcula el valor
de A cuando B = 16.
La magnitud A es D.P. al cuadrado de B pero I.P.
con C; además, cuando B = 60, C = 27 y A = 40.
Halla B cuando A = 18 y C = 15.
11
12
A 6 B 7 C 8
D 9 E 12
A 4 B 6 C 8
D 10 E 12
A 25 B 15 C 18
D 20 E 35
A 16 B 15 C 14
D 18 E 24
A 45 B 24 C 48
D 30 E 36
A 48 B 52 C 56
D 60 E 64
154
La raíz cuadrada de la magnitud A es D.P. a
la magnitud B pero I.P. con la raíz cuadrada
de C; además, cuando B = 30, C = 15 y
A = 18. Determina el valor de B cuando A = 40 y
C = 27.
El precio de un televisor varía de forma D.P. al
cuadrado de su tamaño pero I.P. a la raíz cuadrada
de la energía que consume. Si un televisor
consume 12 watts de energía y su precio es de
$ 360, encuentra cuánto costará otro televisor
cuyo tamaño es al del anterior como 3 es a 2, y
consume la cuarta parte de energía.
La potencia del motor de un automóvil es D.P.
a su capacidad pero I.P. a los años de uso. Si
un motor de 4 litros de capacidad y tres años de
uso tiene una potencia de 80 caballos de fuerza,
¿cuántos años de uso tiene otro motor de 6 litros
de capacidad y 90 caballos de fuerza?
El gasto de una persona es D.P. a su sueldo,
siendo el resto ahorrado. Un señor cuyo sueldo
es de S/ 900 ahorra S/ 90. Descubre cuál será su
sueldo cuando su gasto sea S/ 1260.
13
14
15
16
En una empresa, la eficiencia del trabajador
se mide en puntos y es D.P. a los años de
experiencia, e I.P. a la raíz cuadrada de la edad.
Si un trabajador con 25 años de edad tiene un año
de experiencia y 2 puntos de eficiencia, calcula
cuál será su eficiencia a los 36 años de edad.
17
El precio de venta de una piedra preciosa es D.P.
al cubo de su peso. Una de estas piedras, cuyo
precio de venta es de S/ 375, accidentalmente
se parte en dos pedazos, uno de los cuales pesa
cuatro veces el otro. Halla a cuánto se venderá
luego de haberse partido.
18
A 60 B 56 C 48
D 64 E 36
A 2 años B 3 años C 4 años
D 6 años E 5 años
A S/ 192 B S/ 196 C S/ 195
D S/ 194 E S/ 225
A $ 1620 B $ 1640 C $ 1660
D $ 1600 E $ 1260
A S/ 1600 B S/ 1400 C S/ 1440
D S/ 1620 E S/ 1520
A 18 B 20 C 22
D 24 E 21
155MateMática Delta 3 - aritMética
Nivel III
La magnitud A guarda relación D.P. con B, pero
inversa con C. Si en un determinado momento
A = 720, encuentra qué valor tomará A, si B
aumenta en un 80 % y C disminuye en un 36 %.
El peso de un disco varía D.P. a su espesor y
también al cuadrado de su radio. Si dos discos
tienen sus espesores en relación de 9 a 32
respectivamente, y el peso del primero es el doble
del segundo, determina la relación de sus radios.
19
20
El salario de un obrero es D.P. al número de días
trabajados, pero I.P. a la raíz cuadrada del número
de tardanzas. Si cuando se trabajó 25 días y se
tuvo 9 tardanzas se recibió S/ 1200, descubre el
salario si se trabajó 20 días y se tuvo 4 tardanzas.
21
El costo de un terreno es D.P. a su área e I.P. al
cuadrado de su distancia a la ciudad. Si un terreno
tiene un valor de $ 32 000, calcula el valor de otro
terreno que tiene el triple del área del primero y
cuya distancia a la ciudad es 4 veces mayor que
el anterior.
22
La distancia que recorre un avión al atacar, en
el último minuto, es D.P. al cuadrado del tiempo
transcurrido desde que se lanzó al ataque. Si
en el sexto minuto recorre 252 km, halla qué
distancia recorrió en los dos primeros minutos.
Dos comensales descubren que el peso de
una pizza es D.P. al cuadrado desu radio y
D.P. al espesor. Si compraron dos pizzas cuyos
espesores están en relación de 7 a 8 y sus
radios en relación de 6 a 7, respectivamente;
determina cuál es la relación de los pesos de
dichas pizzas.
23
24
A 2025 B 2125 C 2250
D 2500 E 2100
A $ 5000 B $ 7000 C $ 6600
D $ 600 E $ 6000
A 28 km B 36 km C 35 km
D 42 km E 32 km
A 3 a 5 B 3 a 7 C 8 a 3
D 4 a 5 E 4 a 6
A 9 a 12 B 9 a 14 C 10 a 14
D 8 a 14 E 9 a 13
A S/ 1420 B S/ 1404 C S/ 1540
D S/ 1440 E S/ 1044
5k – 12
4k – 12
156
Tema
Es una operación que tiene por objeto determinar el valor de una magnitud mediante la
comparación de dos o más magnitudes proporcionales.
Regla de tres simple
La regla de tres simple tiene por objeto, dadas tres cantidades conocidas y una incógnita
pertenecientes a dos magnitudes diferentes, determinar el valor de la incógnita.
La regla de tres simple, a su vez, puede ser: directa o inversa, según la relación que
exista entre las magnitudes que intervienen.
Métodos de solución de problemas de regla de tres simple
Para resolver problemas de regla de tres simple directa o inversa se pueden utilizar los
siguientes métodos:
a) Método de la proporción
b) Por definición de magnitudes
Regla de tres compuesta
Es también una aplicación de las magnitudes proporcionales y sirve para resolver
problemas en los que intervienen más de dos magnitudes.
Estas cantidades al relacionarse entre sí, unos estarán en proporción directa y otros en
proporción inversa.
¿Cómo se resuelve?
Procedimiento para resolver regla de tres compuesta
Se aplica la definición de las magnitudes proporcionales, cuyo procedimiento será el
siguiente:
1.° Se identifican las magnitudes que participan.
2.° Se prepara un cuadro con los valores correspondientes de las magnitudes.
3.° Se elige una magnitud, la cual se comparará con las otras para establecer la relación
que existe (directa o inversa) entre la magnitud elegida con las otras magnitudes.
4.° Si son directamente proporcionales se dividirán los valores correspondientes, y si
son inversamente proporcionales se multiplicarán.
Regla de tres
9
157MateMática Delta 3 - aritMética
1
2
Not a
Por el método de la
proporción diremos:
12 lapiceros es a
51 soles como 8
lapiceros es a x.
Por eso:
⇒ x = 34
Comprar 12 lapiceros implica pagar 51 soles. ¿Cuánto pagaremos por comprar
8 lapiceros?
Resolución:
Se trata de una regla de tres simple directa, pues a doble cantidad de lapiceros
comprados, doble será el pago a realizar.
Por el método de la proporción:
Como es una proporción directa, tendremos:
12 lapiceros
S/ 51
= 8 lapiceros
x
12(x) = 8(51) ⇒ x = S/ 34
Por definición de magnitudes:
Como es una relación directa, tendremos:
n.º de lapiceros 12 8
pago (S/ ) 51 x
(n.º de lapiceros) D.P. (Pago) ⇒ (n.º de lapiceros)
(Pago)
= k 12
51
=
8
x
⇒ x = 34
8
x
12
51
=
Por 100 artículos se
paga S/ 10, mientras
que por 142 artículos
se paga S/ 45.
Calcula cuánto se
pagará al comprar
115 artículos.
De safío
Por el método de la proporción:
Como es una proporción inversa, tendremos:
20 personas
1
12
días
=
30 personas
1
x
⇒ 20(12) = 30(x)
⇒ x = 8 días
Si 20 obreros hacen una obra en 12 días, ¿en cuántos días harían la misma obra
30 obreros?
Resolución:
Las magnitudes que intervienen «n.º de personas» y «tiempo» están en relación
inversamente proporcional; pues a mayor cantidad de personas trabajando,
menor será el tiempo que se trabajará.
Ejercicios resueltos
Rpta. Pagaremos S/ 34.
5k – 12
4k – 12
158
Cinco obreros trabajando 8 horas diarias han pintado 700 m2 de un edificio en
6 días. ¿Cuántos días necesitarán 8 hombres trabajando 6 horas diarias para
pintar 500 m2 del mismo edificio?
Resolución:
1.° Las magnitudes que participan son:
• n.° de personas
• Tiempo en horas
• Trabajo a realizar
2.° Preparamos el cuadro con valores correspondientes
n.º de personas 5 8
tiempo (horas) 6(8h) x(6h)
trabajo (m2) 700 500
Rpta. Necesitarán 3
4
7 días.
4.° Reemplazamos:
5(48)
(700)
=
8(6x)
(500)
x = 3
4
7 días
Tres números con
nombre
Hay tres números de
gran importancia en
matemática y que
paradójicamente
nombramos con una
letra. Estos números
son:
• El número (pi)
designado con la
letra
p = 3,14159...
que relaciona
la longitud de la
circunferencia con
su diámetro.
• El número
e = 2,71828 inicial
del apellido de
su descubridor
Leonhard Euler y
que aparece como
límite de sucesión
de término general
1 + 1n
n
• El número (fi)
designado con la
letra griega
φ = 1,61803...
llamado número
de oro y que es la
inicial del escultor
griego Fidias que
tuvo presente en
sus obras.
¿Sa bía s qu e.. .?
3.° Establecemos la relación de proporcionalidad entre las magnitudes:
• El número de personas es I.P. al tiempo
• El número de personas es D.P. al trabajo
(n.º de personas) (tiempo)
(trabajo) = k
Por definición de magnitudes:
Como es una relación inversa, tendremos:
n.º de personas 20 30
tiempo (días) 12 x
(n.º de personas) I.P. (tiempo) ⇒ (n.º de personas)(tiempo) = k
⇒ 20(12) = 30(x)
8 = x
3
Rpta. La harían en 8 días.
159MateMática Delta 3 - aritMética
Si 8 carpinteros hacen 8 mesas en 8 días
trabajando 3 horas diarias, ¿cuántos carpinteros
harán el doble de mesas en la mitad de los días,
si trabajan 6 horas diarias?
Resolución:
Un propietario de un edificio ha cobrado S/ 10 780
por alquilar 22 cuartos durante 7 meses. ¿Cuánto
cobrará por alquilar 14 cuartos durante 15 meses?
Resolución:
Con nueve máquinas trabajando 10 horas
diarias durante 6 días se pueden empaquetar
900 artículos. Si solo trabajan 4 de estas
máquinas, 2 horas diarias más durante 8 días,
calcula cuántos artículos se podrían empaquetar.
Resolución:
Si un excursionista recorre en 7 días 140 km,
caminando 7 horas diarias, ¿qué distancia
recorrerá en 21 días a 3 horas diarias?
Resolución:
4
5
6
7
Rpta. 16 carpinteros.
Rpta. S/ 14 700
Rpta. 640 artículos
Rpta. 180 km
1.° Identificamos las magnitudes y preparamos el
cuadro de valores correspondientes.
1.° Identificamos las magnitudes.
2.° Establecemos la relación de proporcionalidad.
1.° Identificamos las magnitudes.
2.° Establecemos la relación de proporcionalidad.
3.° Reemplazamos:
1.° Identificando las magnitudes.
2.° Establecemos la relación de proporcionalidad
entre las magnitudes.
2.° Establecemos la relación de proporcionalidad.
3.° Reemplazamos:3.° Reemplazamos:
C n.° de carpinteros 8 x
T tiempo (días y H/D) 8(3) 4(6)
M n.° de mesas 8 16
M máquinas 9 4
T días (H/D) 6(10) 8(12)
P productos 900 x
C I.P. T
C D.P. M
C . T
M
= k
D D.P. C
D D.P. T
D
C . T
P D.P. M
P D.P. T
P
M . T
= k
900
9 . 6 . 10
=
140
7 . 7
= x
21 . 3
8 . 8(3)
8
= x
. 4(6)
16
x
4 . 8 . 12
8 . 8(3) . 16
8 . 4(6)
= x
1 2 1
1 1 2
16 carpinteros = x = 640 artículosx
= 900
. 4 . 8 . 12
9 . 6 . 10
x
10 2
1 1
=x = 14 700 x 180 km
D dinero 10 780 x
C cuartos 22 14
T tiempo 7 15
T días (H/D) 7(7) 21(3)
D distancia 140 x
3.° Reemplazamos:
10 780
22 . 7
= x
14 . 15
11
= 10 780
. 14 . 15
22 . 7
x
980 2
1
1
1
⇒
= 140
. 21 . 3
7 . 7
x
20 3
1 1
⇒
D D.P. T D
T
⇒
160
Una cuadrilla de 15 obreros, trabajando 6 horas
diarias, termina una obra en 38 días. ¿Cuántos
días tardarían para hacer la misma obra 19
obreros, trabajando 3 horas diarias más que los
anteriores?
Resolución:
Si 36 albañiles realizan 148 m2 de una obra en
54 días, ¿cuántos días necesitarán 81 albañiles
para realizar en condiciones similares una obra
de 2997 m2?
Resolución:
Si diez campesinos se demoran 12 días de 8 horas
de trabajo en sembrar un terreno rectangular de
90 m de largo y 40 m de ancho, determina cuántos
días de 10 horas de trabajo se demorarán 12
campesinos doblemente hábiles en sembrar un
terreno cuadrado que tiene 60 m de lado.
Resolución:
Si una empresa constructora puede pavimentar
1200 m de carreteraen 48 días de 8 horas diarias
y con 30 obreros, halla cuántos días empleará la
empresa para pavimentar 1800 m de carretera,
trabajando 1 hora diaria más y con 10 obreros más.
Resolución:
8
9
10
11
Rpta. 20 días
Rpta. 4 días
Rpta. 486 días Rpta. 48 días
1.° Identificamos las magnitudes.
1.° Identificamos las magnitudes.
1.° Identificamos las magnitudes.
1.° Identificamos las magnitudes.
2.° Establecemos la relación de proporcionalidad.
2.° Establecemos la relación de proporcionalidad.
2.° Establecemos la relación de proporcionalidad.
2.° Establecemos la relación de proporcionalidad.
3.° Reemplazamos:
3.° Reemplazamos:
3.° Reemplazamos:3.° Reemplazamos:
O I.P. T ⇒ O . T
T I.P. C
T D.P. A
T I.P. H
T D.P. C
T I.P. O
T I.P. A
T D.P. O
54 . 36
148 =
x . 81
2997
38 . 15 . 6 = x . 9 . 19
x =
x = 20 días
38 . 15 . 6
19 . 9
2 5 2
1 1
O n.° de obreros 15 19
T tiempo (días) H/D 38(6) x(9)
C n.° de campesinos 10 12
T n.° de días (H/D) 12(8) x(10)
A área de terreno (l.a) 90(40) 60(60)
H habilidad 1 2
C carretera (m) 1200 1800
T n.° de días (H/D) 48(8) x(9)
O n.° de obreros 30 40
A n.° de albañiles 36 81
O tamaño de obra (m2) 148 2997
T n.° de días 54 x
37
81
=
54 . 36 . 2997
148 . 81
x
9
1
1
1
⇒
=
x . 9 . 40
1800
48 . 8 . 30
1200
=
48 . 8 . 30 . 1800
1200 . 9 . 40
x⇒
T . A
O
T . C . H
A
T . O
C
12 . 8 . 10 . 1
90 . 40
x⇒ = x⇒ = 4 días
x = 48 días
= x
. 10 . 12 . 2
60 . 60
12 . 8 . 10 . 60 . 60
90 . 40 . 10 . 12 . 2
x = 486 días
161MateMática Delta 3 - aritMética
Regla de tres
Se aplica cuando 2
cantidades son D.P.
Se aplica cuando 2
cantidades son I.P.
Síntesis
Modela y resuelve
Es una combinación de
comparaciones de 3 o más
magnitudes que pueden ser
directas o inversas.
Simple directa Simple inversa Compuesta
Dieciocho obreros han planeado terminar un
trabajo en 20 días. Si después de 8 días de
trabajar juntos se retiran 6 obreros, encuentra con
cuántos días de retraso se entregará el trabajo.
Veintiocho obreros han planeado terminar un
trabajo en 24 días. Si después de 8 días de trabajar
juntos se retiran 12 obreros, encuentra con cuántos
días de retraso se entregará el trabajo.
Rpta. Rpta.
Resolución: Resolución:
1 2
162
Los 240 hombres de un barco tienen víveres
para 8 meses. Si luego de 3 meses de travesía
llegan a un puerto donde suben 60 hombres más,
descubre cuántos días menos de lo planeado
durarán los víveres.
Los 320 hombres de un barco tienen víveres
para 180 días. Si luego de 60 días de travesía
llegan a un puerto donde se quedan 80 hombres,
descubre cuántos días más de lo planeado
durarán los víveres.
Rpta. Rpta.
Resolución: Resolución:
5 6
Rpta. Rpta.
Cinco obreros hacen una obra en 30 días. ¿En
cuántos días 10 hombres harán una obra similar?
Cierta cantidad de obreros se comprometen
a realizar un trabajo en 15 días. Si se quiere
terminar 3 días antes de lo planeado, se deben
agregar 2 obreros. Halla con cuántos obreros
planearon trabajar.
Resolución:
Resolución:
3 4
163MateMática Delta 3 - aritMética
Rpta. Rpta.
Isabel escribe 35 de su reporte en 3,2 horas. A la
misma velocidad de escritura, calcula cuántos
minutos más necesitará para terminar su reporte.
Jaime resuelve 80 problemas en 3 horas. ¿En
cuántas horas resolverá 240 problemas?
Resolución:
Resolución:
7 8
Para realizar un trabajo se ha planeado trabajar
con 24 personas durante 18 días, trabajando
8 horas diarias. Si luego de trabajar 6 días se
retiraron 4 personas, halla cuántas horas diarias
se deben trabajar a partir de ese momento para
culminar el trabajo en el plazo previsto.
Para realizar un trabajo se ha planeado trabajar
con 33 personas durante 20 días, trabajando
8 horas diarias. Si luego de trabajar 8 días se
retiraron 3 personas, halla cuántas horas diarias
se deben trabajar a partir de ese momento para
culminar el trabajo en el plazo previsto.
Rpta. Rpta.
Resolución: Resolución:
9 10
164
Para realizar un trabajo se ha planeado trabajar
con 63 personas durante 18 días, trabajando
9 horas diarias. Luego de trabajar 4 días se
les une cierto número de obreros de modo que
terminaron 5 días antes de lo previsto, calcula
cuántos obreros se unieron.
Una cuadrilla de 54 obreros puede realizar un
trabajo en 24 días, trabajando 9 horas diarias.
Luego de trabajar 6 días se retiran 14 obreros de
modo que para terminar a tiempo se contrataron
cierta cantidad de obreros y trabajaron todos
3 horas diarias menos. Calcula cuántos obreros
se unieron.
Rpta. Rpta.
Resolución:
Resolución:
13 14
Rpta. Rpta.
Una oveja atada a un poste con una soga de
4 metros de largo demora 8 días en comerse la
hierba que se encuentra a su alcance. Determina
cuánto tardará si la soga tuviera 2 metros.
Un buey atado a una cuerda de 4 metros de largo
tarda 5 días en comerse la hierba que se encuentra
a su alcance. Determina cuánto tardará si la cuerda
tuviera 2 metros más.
Resolución: Resolución:
11 12
165MateMática Delta 3 - aritMética
Una cuadrilla de 18 obreros planea terminar un
trabajo en 15 días, trabajando 10 horas diarias.
Si luego de 7 días de trabajo se retiran 5 de los
obreros, y 3 días más tarde se comunica al
contratista que debe entregar el trabajo en la fecha
prevista, determina cuántos obreros adicionales
deberán contratarse para cumplir con lo solicitado.
Para realizar un trabajo se ha planeado trabajar
con 34 personas durante 20 días, trabajando
8 horas diarias. Si luego de trabajar 8 días se
retiraron 4 personas, determina cuántas horas
diarias se deben trabajar a partir de ese momento
para culminar el trabajo en el plazo previsto.
30 obreros trabajando al 84 % de su eficiencia
planean terminar un trabajo en 28 días trabajando
9 horas diarias; sin embargo, luego de analizar
la propuesta, se les pide que terminen 4 días
antes del plazo previsto. Si se contrató cierta
cantidad adicional de obreros y trabajarán
7 horas diarias aumentando su eficiencia en
6 puntos porcentuales, encuentra cuántos obreros
contrataron adicionalmente.
28 obreros trabajando al 91 % de su eficiencia
planean terminar un trabajo en 30 días trabajando
8 horas diarias. Al analizar la propuesta, se les
pide que terminen 6 días antes del plazo previsto,
retirando cierta cantidad de obreros; por ello
trabajarán 10 horas diarias aumentando su
eficiencia en 7 puntos porcentuales. Encuentra
cuántos obreros fueron retirados.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
15 16
17 18
166
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Si 10 obreros trabajando 9 horas diarias pueden
hacer 60 metros de una zanja en 5 días, ¿cuántos
días necesitarán 5 obreros trabajando 5 horas
diarias para hacer 80 metros de la misma zanja?
Una cuadrilla de 21 obreros realizó en 12 días de
8 horas de labor diaria «m» metros de una carretera.
Otro grupo de 48 obreros ha realizado «n» metros
de la misma carretera en 7 días trabajando 10 horas
al día. Descubre la relación que hay entre n y m.
Para hacer 36 m de una obra, 30 obreros
deben trabajar 24 días a razón de 10 horas por
día. ¿Cuántos obreros se necesitan para que
trabajando 8 horas diarias durante 125 días
realicen 160 m de la misma obra?
Si se sabe que 30 artesanos pueden hacer
65 adornos de la misma calidad en 24 días,
trabajando 10 horas diarias, halla cuántos días
emplearán 48 artesanos para hacer 520 de estos
adornos trabajando 12 horas diarias.
Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
19 20
21 22
167MateMática Delta 3 - aritMética
Un grupo de obreros ha realizado los 25 de una
obra en 12 días trabajando 8 horas diarias. Si a
partir de ese momento se retiran 5 obreros y se
culmina la obra con 2 días de retraso, determina
cuántos obreros trabajaron en la primera parte.
Un grupo de obreros han realizado los 37 de una
obra en 15 días trabajando 10 horas diarias. Si a
partir de ese momento se retiran 6 obreros y se
culmina la obra con4 días de retraso, determina
cuántos obreros trabajaron en la segunda parte.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Al cabo de 27 días de trabajo, 35 obreros que
trabajaron 8 horas diarias se percataron de
que falta para terminar la obra los 47 de lo que
ya está hecho. A 12 días para terminar la obra,
contrataron cierta cantidad adicional de obreros y
todos trabajaron una hora más por día. Encuentra
cuántos obreros se contrataron adicionalmente.
Al cabo de 36 días de trabajo, 28 obreros que
trabajaron 10 horas diarias se percataron de
que falta para terminar la obra los 35 de lo que
ya está hecho. A 14 días para terminar la obra,
contrataron cierta cantidad adicional de obreros y
todos trabajaron dos horas más por día. Encuentra
cuántos obreros se contrataron adicionalmente.
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
23 24
25 26
168
Veinte obreros han realizado parte de una obra
en 18 días, trabajando 6 horas diarias. Para
terminar dentro de 6 días se han contratado
10 obreros adicionales y trabajarán todos dos
horas más por día. Descubre qué parte de la
obra se hizo en los primeros 18 días.
30 obreros realizaron parte de una obra en
21 días, trabajando 8 horas diarias. Para
terminar dentro de 7 días se han contratado
10 obreros adicionales que trabajarán dos
horas menos por día. Descubre qué parte de
la obra se hizo en los primeros 21 días.
Rpta. Rpta.
Para construir 180 metros de una carretera,
15 obreros han utilizado 12 días, trabajando
10 horas diarias. Halla cuántos días tardarán
20 obreros para hacer 600 metros de la misma
carretera trabajando 12 horas diarias.
Para construir 360 metros de una carretera,
25 obreros han utilizado 18 días, trabajando
8 horas diarias. Halla cuántos días tardarán
30 obreros para hacer 540 metros de la
misma carretera trabajando 12 horas diarias.
Rpta. Rpta.
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
27 28
29 30
169MateMática Delta 3 - aritMética
Una cuadrilla de 40 obreros hizo 400 metros de una
carretera durante cierto número de días trabajando
8 horas diarias. Otra cuadrilla de 60 hombres hizo
675 metros de la misma obra trabajando 6 horas
diarias. Si el tiempo que demoran las cuadrillas en
hacer sus obras, suman 25 días, calcula cuánto
tiempo emplea cada cuadrilla en hacer su obra.
Si 500 obreros del ferrocarril trabajando 10 horas
diarias colocaron 2300 metros de vía en 28 días,
¿cuántos metros de vía colocarán en 42 días,
425 obreros trabajando 8 horas diarias?
Rpta. Rpta.
Un muro de 50 m de largo, 30 cm de espesor y
4 m de alto fue construido en 18 días por 6 hombres
que trabajaron 8 horas diarias. Determina cuántos
días se utilizarán para construir otra pared de 5 m
de alto, 70 m de largo y 45 cm de espesor que
deberá ser construida por 3 hombres a razón de
12 horas diarias.
Un muro de 28 m de largo, 30 cm de espesor y 4 m
de alto fue construido en 24 días por 16 hombres
que trabajaron 9 horas diarias. Determina cuántos
días se utilizarán para construir otra pared de
5 m de alto, 42 m de largo y 45 cm de espesor que
deberá ser construida por 15 hombres a razón de
12 horas diarias.
Rpta. Rpta.
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
31 32
33 34
170
Si se necesitan 120 kg de heno para mantener
12 caballos durante 20 días, ¿qué cantidad de
heno se necesitará para mantener 7 caballos
durante 36 días?
Trabajando 10 horas diarias durante 15 días;
5 hornos consumen 50 toneladas de carbón.
¿Cuántas toneladas serán necesarias para
mantener trabajando 9 horas diarias durante
85 días 3 hornos?
Rpta. Rpta.
Si un reservorio de 8 m de radio y 12 m de altura
abastece de agua a 75 personas durante 20 días,
¿cuál debe ser el radio de un reservorio de 6 m de
altura que debe abastecer a 50 personas durante
2 meses?
Un pozo de 8 m de diámetro y 18 m de profundidad
fue excavado por 30 obreros en 28 días. Si se
requiere excavar otro pozo de 6 m de radio y 12 m
de profundidad, y la excavación será realizada por
14 obreros, ¿qué tiempo demorarán?
Rpta. Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
35 36
37 38
171MateMática Delta 3 - aritMética
Practica y demuestra
Si para pintar un cubo que tiene 10 cm de arista
se paga S/ 40, determina cuánto se pagará para
pintar otro cubo que tiene 12 cm de arista.
Cuatro hombres se comprometen a pintar una
pared en 15 días. Si después de 5 días de trabajo
llega un obrero más, halla en cuántos días antes
de lo planeado se terminaría de pintar la pared.
Si 48 metros de zanja se pueden hacer en 36 días,
¿cuántos días se emplearán para hacer 32 m de
zanja?
Si media docena de mercadería cuesta S/ 32,
encuentra cuánto costarán 18 unidades.
Cien obreros pueden hacer una obra en 15 días.
Con 75 obreros menos, descubre en cuántos días
más acabarán la obra.
En una plaza hay 1500 hombres provistos de
víveres para 6 meses. Calcula cuántos hombres
habrá que retirar para que los víveres duren 60
días más.
Nivel I
1
2
5
3
6
4
A 1 día B 2 días C 3 días
D 4 días E 5 días
A 40 días B 45 días C 50 días
D 25 días E 60 días
A 300 B 325 C 375
D 400 E 350
A S/ 56,6 B S/ 57,8 C S/ 56,8
D S/ 57,6 E S/ 50,0
A 18 días B 20 días C 22 días
D 24 días E 15 días
A S/ 64 B S/ 72 C S/ 84
D S/ 96 E S/ 90
172
Seis caballos tienen alimento para 15 días. Si se
aumenta 3 caballos más, calcula para cuántos
días menos de lo planeado alcanzará el alimento.
Para pintar una pared rectangular de 180 m2 de
área se necesitan 4 galones de pintura. Determina
cuántos galones más de pintura se requiere para
pintar otra pared rectangular de 100 m de largo y
9 m de alto.
Si con «a» obreros se puede terminar un trabajo
en 15 días, pero con 4 obreros adicionales se
terminaría el mismo trabajo en 12 días, halla el
valor de «a».
Con cierta cantidad de máquinas se puede hacer
un trabajo en 24 días; con 4 máquinas más del
mismo tipo, el mismo trabajo se haría en 8 días
menos. Encuentra el número de máquinas que
había al inicio.
Se realizará una excursión al desierto y se
inscribieron 500 personas, las cuales llevan
víveres para 72 días. Descubre cuántas personas
no podrán viajar si se desea que la excursión dure
18 días más.
Se calcula que con «n» obreros se puede
terminar un trabajo en 40 días; pero como
llegaron 4 obreros más lograron terminar el
trabajo en 30 días. Calcula cuántos obreros
trabajaron al final.
7 10
8
9
11
12
Nivel II
A 8 días B 4 días C 5 días
D 6 días E 10 días
A 12 B 14 C 16
D 18 E 15
A 120 B 140 C 100
D 110 E 80
A 14 B 15 C 16
D 18 E 12
A 16 B 15 C 18
D 20 E 24
A 6 B 8 C 10
D 12 E 14
173MateMática Delta 3 - aritMética
Doce obreros pueden hacer una obra en
29 días. Si después de 8 días de trabajo se retiran
5 obreros, determina con cuántos días de retraso
se entregará la obra.
Con 45 obreros se puede hacer un trabajo en
30 días. Si luego de 6 días de trabajo se les pide
que terminen lo que falta del trabajo en 18 días,
halla con cuántos obreros deben reforzarse a
partir del sétimo día.
Una fábrica tiene petróleo suficiente para 20 días,
consumiendo 13 barriles diarios. Encuentra cuántos
barriles menos se debe consumir diariamente para
que el petróleo alcance para 26 días.
Con 21 obreros se puede hacer un trabajo en
10 días. Descubre cuántos obreros se retiraron si
el trabajo se hizo en 15 días.
Una obra puede ser hecha por 20 obreros en
14 días. Calcula cuántos obreros hay que añadir
para que la obra se termine en 8 días.
Trabajando 10 horas diarias, una cuadrilla de
obreros demoran 18 días para terminar un trabajo.
Si trabajan 6 horas diarias, determina en cuántos
días más terminarán el mismo trabajo.
13 16
14
17
15
18
A 5 B 7 C 6
D 8 E 9
A 14 B 15 C 18
D 12 E 20
A 10 B 12 C 15
D 18 E 20
A 2 B 3 C 4
D 5 E 6
A 12 B 15 C 18
D 20 E 24
A 10 días B 12 días C 18días
D 15 días E 20 días
174
Se sabe que «h» hombres tienen víveres para
«d» días. Si estos víveres deben alcanzar para
«4d». ¿Cuántos hombres deben retirarse?
Con cierta cantidad de máquinas, se puede
hacer una obra en 30 días; con 4 máquinas más
del mismo tipo, la misma se haría en 10 días
menos. Halla el número de máquinas que había
al inicio.
Un burro atado a una cuerda de 3 metros de
longitud tarda 5 días en comer todo el pasto que
está a su alcance. Cierto día, su dueño lo amarra
a una cuerda más grande y se demora 20 días en
comer el pasto que está a su alcance. Encuentra
la longitud de la nueva cuerda.
Si para cosechar un campo cuadrado de 18 m
de lado se necesitan 12 días, ¿cuántos días se
necesitan para cosechar otro campo cuadrado de
27 m de lado?
Doce hombres se comprometen a terminar una
obra en 8 días. Si luego de trabajar 3 días juntos,
se retiran 3 hombres, ¿con cuántos días de
retraso terminan la obra?
Un sastre pensó hacer un terno en una semana;
pero tardó 4 días más por trabajar 4 horas menos
cada día. ¿Cuántas horas trabajó diariamente?
Nivel III
19
22
20 23
21
24
A 6 B 10 C 8
D 9 E 12
A 4 m B 5 m C 6 m
D 12 m E 18 m
A h3 B
h
4 C
2h
5
D 3h5 E
3h
4
A 114 días B 1
1
3 días C 1
2
3 días
D 1 día E 2 días
A 11 h B 7 h C 8 h
D 14 h E 22 h
A 18 días B 20 días C 22 días
D 27 días E 30 días
MateMática Delta 3 - aritMética
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 4
175
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
Se sabe que A es directamente proporcional a
la magnitud B. Si A = 38, B = 2, calcula el valor
correspondiente de B para A = 57.
El costo de un terreno es D.P. a su área e I.P.
al cuadrado de su distancia a la ciudad. Si un
terreno tiene un valor de $ 48 000, determina
el valor de otro terreno del triple de área y cuya
distancia a la ciudad es 4 veces mayor que el
anterior.
La magnitud de A es directamente proporcional
con B2, sabiendo que cuando A = 45 entonces
B = 27; halla el valor de A cuando B = 18.
1
2
3
Sea la magnitud A inversamente proporcional a la
magnitud B, se sabe que cuando A = 14, entonces
B = 35. Encuentra el valor correspondiente de B
para A = 7.
Se tienen tres magnitudes A, B y C, tales que A
es directamente proporcional con C pero inversa
con B. Sabiendo que cuando A = 36, B = 196 y
C = 18, descubre el valor de A cuando B = 49 y
C = 3.
La magnitud de A es directamente proporcional
con B2; si cuando A = 27, B = 36, calcula el valor
de A cuando B = 60
4
5
6
C D
BA
35
42
C D
BA
$ 8000$ 12 000
$ 9000$ 4000
C D
BA
1918
2220
C D
BA
6370
7760
C D
BA
1215
1014
C D
BA
7680
7572
176
C D
BA
10 días12 días
6 días8 días
C D
BA
S/ 1600S/ 1640
S/ 1560S/ 1500
C D
BA
20 días15 días
16 días18 días
C D
BA
8 h5 h
9 h6 h
C D
BA
9 días10 días
12 días20 días
Si 40 carpinteros fabrican 16 puertas en 9 días.
¿Cuántos días tardarían 45 carpinteros para
hacer 12 puertas iguales?
Por 8 días de trabajo, 12 obreros han cobrado
S/ 640. ¿Cuánto ganarán por 16 días 15 obreros
con los mismos jornales?
20 obreros, en 14 días de 8 horas, han realizado
un trabajo de 120 m de largo. ¿Cuántos días de
7 horas emplearán 24 obreros por hacer 90 m del
mismo trabajo?
Para construir 180 metros de carretera,
15 obreros han tardado 12 días, trabajando
a razón de 10 horas diarias. ¿Cuántos días
tardarán 40 obreros para hacer 600 metros del
mismo trabajo, si trabaja 10 horas diarias?
Si 8 secretarias tardan 3 horas para digitar
72 páginas, ¿cuánto tardarán 6 secretarias para
digitar 90 páginas?
Un pastor tiene alimento suficiente para 80 ovejas
durante un mes y diez días. Si comprara 20 ovejas
más, ¿cuánto tiempo le duraría el alimento?
7
8
9
10
11
12
C D
BA
100 días64 días
200 días32 días
EL ACUERDO NACIONAL
El 22 de julio de 2002, los representantes de las
organizaciones políticas, religiosas, del Gobierno y de la
sociedad civil, firmaron el compromiso de trabajar, todos,
para conseguir el bienestar y desarrollo del país. Este
compromiso es el Acuerdo Nacional.
El Acuerdo persigue cuatro objetivos fundamentales.
Para alcanzarlos, todos los peruanos de buena voluntad
tenemos, desde el lugar que ocupemos o el rol que
desempeñemos, el deber y la responsabilidad de decidir,
ejecutar, vigilar o defender los compromisos asumidos.
Estos son tan importantes que serán respetados como
políticas permanentes para el futuro.
Por esta razón, como niños, niñas, adolescentes o
adultos, ya sea como estudiantes o trabajadores,
debemos promover y fortalecer acciones que garanticen
el cumplimiento de esos cuatro objetivos que son los
siguientes:
1. Democracia y Estado de Derecho
La justicia, la paz y el desarrollo que necesitamos los
peruanos solo se pueden dar si conseguimos una
verdadera democracia. El compromiso del Acuerdo
Nacional es garantizar una sociedad en la que los
derechos son respetados y los ciudadanos vivan
seguros y expresen con libertad sus opiniones a partir
del diálogo abierto y enriquecedor; decidiendo lo mejor
para el país.
2. Equidad y justicia social
Para poder construir nuestra democracia, es necesario
que cada una de las personas que conformamos esta
sociedad, nos sintamos parte de ella. Con este fin, el
Acuerdo promoverá el acceso a las oportunidades
económicas, sociales, culturales y políticas. Todos los
peruanos tenemos derecho a un empleo digno, a una
educación de calidad, a una salud integral, a un lugar
para vivir. Así, alcanzaremos el desarrollo pleno.
3. Competitividad del país
Para afianzar la economía, el Acuerdo se compromete
a fomentar el espíritu de competitividad en las
empresas, es decir, mejorar la calidad de los productos
y servicios, asegurar el acceso a la formalización de las
pequeñas empresas y sumar esfuerzos para fomentar
la colocación de nuestros productos en los mercados
internacionales.
4. Estado eficiente, transparente y descentralizado
Es de vital importancia que el Estado cumpla con sus
obligaciones de manera eficiente y transparente para
ponerse al servicio de todos los peruanos. El Acuerdo
se compromete a modernizar la administración pública,
desarrollar instrumentos que eliminen la corrupción o
el uso indebido del poder. Asimismo, descentralizar
el poder y la economía para asegurar que el Estado
sirva a todos los peruanos sin excepción.
Mediante el Acuerdo Nacional nos comprometemos a
desarrollar maneras de controlar el cumplimiento de
estas políticas de Estado, a brindar apoyo y difundir
constantemente sus acciones a la sociedad en general.
LEY DEL 25-02-1825 LEY DEL 25-02-1825
LOS SÍMBOLOS DE LA PATRIA
BANDERA NACIONAL ESCUDO NACIONAL
D
el
ta
e
di
to
re
s®
3
Secundaria
A
R
IT
M
É
T
IC
AResuelve problemas de cantidad
La serie Matemática responde a los estándares educativos nacionales
e internacionales. Cumple con los indicadores pedagógicos actuales
establecidos por el Ministerio de Educación.
La estructura de sus contenidos posibilita el desarrollo del pensamiento
abstracto en los estudiantes del nivel secundario.
El texto responde al enfoque centrado en la Resolución de problemas,
el cual promueve y facilita que los estudiantes logren las siguientes
competencias:
Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre
Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio
ARITMÉTICA
Matemática
Delta