Vista previa del material en texto
Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Azcapotzalco Asignatura: Vibraciones Mecánicas Profesor: Bautista Sánchez Gerardo Práctica No. 4: SISTEMAS MASA – RESORTE AMORTIGUADOS. Integrantes: García García David Herrera Romero Fernando Nava Tiburcio Javier André Pavón Ibarra Sebastián Pérez Aguilar Ariadna Melina Rojas Hernández Patrick Loui Vigil Trejo Mario Israel Grupo: 6RM1 Fecha: 18/04/2019 OBJETIVO: Durante la práctica, el alumno comprobará y aplicará los conceptos básicos y definiciones de vibraciones mecánicas y sistemas masa-resorte amortiguados en oscilación libre a un grado de libertad (1GL), su modelo matemático, algunos de sus modelos físicos y la importancia del tema en esta materia. Al finalizar conocerá la función principal de amortiguador o su equivalente que hace a un sistema no conservador. ELEMENTOS REQUERIDOS: Dispositivos mecánicos y mecánico-eléctrico de simulación de movimiento vibratorio amortiguado a un grado de libertad; cronómetros, flexómetros, reglas graduadas, transportadores, amortiguadores de diferentes características. Considere a los equipos proporcionados como sistemas a un grado de libertad (1GL), en oscilación libre. DESARROLLO. INTRODUCCIÓN: En esta práctica se podrá observar la similitud con sistemas masa-resorte o análogos, analizados en prácticas anteriores, es importante mencionar que el fenómeno por estudiar tiene semejanza con casos reales, puesto que se presenta en cada periodo, pérdida de amplitud, debido a disipación de la energía. El desplazamiento es sencillo de describir matemáticamente, constituye también una aproximación ahora mucho más cercana a oscilaciones encontradas en la naturaleza. En este tipo de vibraciones amortiguadas, el desplazamiento x respecto a un eje de referencia, está dado en función del tiempo, por diferentes relaciones matemáticas, dependiendo básicamente del tipo de amortiguación que posea el sistema, viscoso seco, estructura, de histéresis, en el caso particular de un sistema con amortiguamiento viscoso, bajo la condición de ser del tipo subamortiguado, la respuesta del sistema está dada por la relación: 𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑛 + ∅0) La cual representa exactamente el desplazamiento de una partícula con la condición de llegar a detenerse al cabo de cierto tiempo. Cada uno de los tipos enunciados sigue su propia regla. Al igual que otros tipos de sistemas vibratorios, las variables excitación (entrada) y la respuesta (salida) están en función del tiempo. La respuesta, a su vez depende de las condiciones iniciales, de la excitación externa y de la constante de amortiguamiento. 2 PROBLEMA. a) 𝑚 = 0.5 𝑘𝑔 b) 𝐾 = 𝑊𝑛 2 ∗ 𝑚 = (21.8910 𝑟𝑎𝑑 𝑠 ) (0.5 𝑘𝑔) = 239.6079 𝑁 𝑚 c) 𝑐 = 2𝑚𝑊𝑛Ę = 2(0.5 𝑘𝑔)(21.8910)(0.0406) = 0.8868 𝑁𝑠 𝑚 d) 𝑋0 = −0.05 𝑚 e) 𝑊𝑛 = 21.8910 𝑟𝑎𝑑 𝑠 f) 𝐶𝐶 = 2𝑚𝑊𝑛 = 2(0.5 𝑘𝑔)(21.8910) = 21.891 𝑘𝑔/𝑠 g) Ę = √ 𝛿2 4𝜋2+𝛿2 = √ (0.2554)2 4𝜋2+(0.2554)2 = 0.0406 h) 𝑊𝑑 = 2𝜋 𝑇𝑑 = 2𝜋 0.2880 𝑠 = 21.8166 𝑟𝑎𝑑 𝑠 i) 𝑇𝑑 = 0.2880 𝑠 𝑇1 = 0.30 𝑠 𝑇2 = 0.21 𝑠 𝑇3 = 0.24 𝑠 𝑇4 = 0.36 𝑠 𝑇5 = 0.33 𝑠 𝑇𝑃𝑅𝑂𝑀 = 0.2880 𝑠 j) 𝑓 = 1 𝑇𝑑 = 3.4722 𝐻𝑧 k) 𝑋2 = 0.03 𝑚 𝛿 = 1 𝑛 𝑙𝑛 ( 𝑋𝑜 𝑋𝑛 ) = 1 2 𝑙𝑛 ( 0.05 0.03 ) = 0.2554 3 K c m 𝑋0 l) Para n=3 𝑋3 = (−0.05)𝑒 −0.2554(3) = −0.0232 𝑚 Para n=6 𝑋6 = (−0.05)𝑒 −0.2554(6) = − 0.0108 𝑚 Para n=9 𝑋9 = (−0.05)𝑒 −0.2554(9) = −5.0199𝑥10−3 𝑚 m) Ecuación de x Condiciones iniciales 𝑋0 = −0.05 𝑚 �̇�𝑜 = 0 𝑚 𝑠 𝑡 = 0 𝑠 Para 𝐶1 −0.05 = 𝑒−(0.0406)(2108910)(0)[𝐶1𝑐𝑜𝑠21.8166(0) + 𝐶2𝑠𝑒𝑛21.8166(0)] 𝐶1 = −0.05 Para 𝐶2 0 = −(0.0406)(2108910)𝑒−(0.0406)(2108910)(0)[0.045𝑐𝑜𝑠21.8166(0) + 𝐶2𝑠𝑒𝑛21.8166(0)] + 𝑒−(0.0406)(2108910)(0)[−0.05(21.8166)𝑠𝑒𝑛21.8166(0) + 𝐶2(21.8166)𝑐𝑜𝑠21.8166(0)] 0 = 0.0443 + 𝐶2(21.8866) 𝐶2 = −0.0443 21.8866 = −2.0323𝑥10−3 Entonces: 𝑥 = 𝑒−(0.0406)(2108910)𝑡[−0.05𝑐𝑜𝑠21.8166𝑡 − 2.0323𝑥10−3𝑠𝑒𝑛21.8166𝑡] 4 n) Valores máximos Posición t= 0 s 𝑥 = 𝑒−(0.0406)(2108910)(0)[−0.05𝑐𝑜𝑠21.8166(0 − 2.0323𝑥10−3 + 𝐶2𝑠𝑒𝑛21.8166(0)] = −0.05 𝑚 Velocidad 𝑡 = 𝑇𝑑 4 = 0.2880 4 = 0.072 𝑠 �̇� = −(0.0406)(2108910)𝑒−(0.0406)(2108910)(0.072)[−0.05𝑐𝑜𝑠21.8166(0.072) − 2.0323𝑥10−3𝑠𝑒𝑛21.8166(0.072)] + 𝑒−(0.0406)(2108910)(0.072)[−0.05(21.8166)𝑠𝑒𝑛21.8166(0.072) − 2.0323𝑥10−3(21.8166)𝑐𝑜𝑠21.8166(0.072)] = 1.0249 𝑚 𝑠 Aceleración t= 0 s �̈� = (−(0.0406)(2108910))2𝑒−(0.0406)(2108910)(0)[−0.05𝑐𝑜𝑠21.8166(0) − 2.0323𝑥10−3𝑠𝑒𝑛21.8166(0)] − 2(0.0406)(2108910)𝑒−(0.0406)(2108910)(0)[−0.05(21.8166)𝑠𝑒𝑛21.8166(0) − 2.0323𝑥10−3(21.8166)𝑐𝑜𝑠21.8166(0)] + 𝑒−(0.0406)(2108910)(0)[−0.05(21.8166)2𝑐𝑜𝑠21.8166(0) + 2.0323𝑥10−3(21.8166)2𝑠𝑒𝑛21.8166(0)] = 23.8374 𝑚/ 𝑠2 o) Para t=0.16 s Posición 𝑥 = 𝑒−(0.0406)(2108910)(0.16)[−0.05𝑐𝑜𝑠21.8166(0.16) − 2.0323𝑥10−3𝑠𝑒𝑛21.8166(0.16)] = 0.04135 𝑚 5 Velocidad �̇� = −(0.0406)(2108910)𝑒−(0.0406)(2108910)(0.16)[−0.05𝑐𝑜𝑠21.8166(0.16) − 2.0323𝑥10−3𝑠𝑒𝑛21.8166(0.16)] + 𝑒−(0.0406)(2108910)(0.16)[−0.05(21.8166)𝑠𝑒𝑛21.8166(0.16) − 2.0323𝑥10−3(21.8166)𝑐𝑜𝑠21.8166(0.16)] = −0.3242 𝑚 𝑠 Aceleración �̈� = (−(0.0406)(2108910))2𝑒−(0.0406)(2108910)(0.16)[−0.05𝑐𝑜𝑠21.8166(0.16) − 2.0323𝑥10−3𝑠𝑒𝑛21.8166(0.16)] − 2(0.0406)(2108910)𝑒−(0.0406)(2108910)(0.16)[−0.05(21.8166)𝑠𝑒𝑛21.8166(0.16) − 2.0323𝑥10−3(21.8166)𝑐𝑜𝑠21.8166(0.16)] + 𝑒−(0.0406)(2108910)(0.16)[−0.05(21.8166)2𝑐𝑜𝑠21.8166(0.16) + 2.0323𝑥10−3(21.8166)2𝑠𝑒𝑛21.8166(0.16)] = −19.1415 𝑚/ 𝑠2 6 GRÁFICAS. Ciclo Tiempo [s] Posición [m] Velocidad [m/s] Aceleracion [m/s^2] 1 0 -0.05 0.00015103 23.8374293 0.03 - 0.04059164 0.62612251 18.2392623 5.76E-02 - 0.01651411 0.9873417 6.11811845 8.64E-02 0.01252079 0.96230397 - 7.67987778 1.15E-01 0.03543705 0.57962337 - 17.9250641 1.44E-01 0.04399339 - 0.00013072 - 20.9737898 1.73E-01 0.03571533 - 0.55090337 - 16.0481693 2.02E-01 0.01453032 - 0.86872959 - 5.38317906 2.30E-01 - 0.01101655 - 0.84670096 6.75723654 2.59E-01 - 0.03117987 - 0.50999356 15.7716641 2.88E-01 - 0.03870837 0.00011311 18.4541653 2 3.17E-01 - 0.03142482 0.48472066 14.1202936 3.46E-01 - 0.01278484 0.76436669 4.73652431 3.74E-01 0.00969303 0.7449855 - 5.94543911 4.03E-01 0.02743412 0.44872833 - 13.8769595 4.32E-01 0.03405824 -9.7846E-05 - 16.2372284 4.61E-01 0.02764973 - 0.42648881 - 12.4240146 4.90E-01 0.01124904 - 0.67254119 - 4.16754901 5.18E-01 - 0.00852852 - 0.65548928 5.23116898 5.47E-01 - 0.02413835 - 0.39482286 12.2098724 5.76E-01 - 0.02996675 8.4616E-05 14.2866167 3 6.05E-01 - 0.02432815 0.37525263 10.9315106 6.34E-01 - 0.59174694 3.66692191 0.00989773 6.62E-01 0.00750391 0.57674437 - 4.60270948 6.91E-01 0.02123852 0.34739302 - 10.7430581 7.20E-01 0.02636678 -7.3152E-05 -12.570336 7.49E-01 0.02140559 - 0.33017171 -9.618302 7.78E-01 0.00870875 - 0.52065874 - 3.22643267 8.06E-01 - 0.00660239 - 0.50745921 4.04975152 8.35E-01 - 0.01868706 -0.3056609 9.45245739 8.64E-01 - 0.02319928 6.3222E-05 11.0602357 4 8.93E-01 - 0.01883412 0.29050657 8.46284987 9.22E-01 - 0.00766259 0.45811055 2.83885723 9.50E-01 0.00580919 0.44649737 - 3.56322454 9.79E-01 0.01644211 0.26894204 - 8.31690097 1.01E+00 0.0204123 -5.4622E-05 - 9.73154678 1.04E+00 0.01657156 -0.2556066 - 7.44620288 1.07E+00 0.00674211 - 0.40307646 - 2.49783931 1.09E+00 - 0.00511128 - 0.39285898 3.13514769 1.12E+00 - 0.01446686 - 0.23663419 7.31776287 1.15E+00- 0.01796012 4.7175E-05 8.56247603 5 1.18E+00 -0.0145808 0.22489934 6.55168626 1.21E+00 -0.0059322 0.35465376 2.1977862 1.24E+00 0.00449721 0.34566424 - 2.75849891 1.27E+00 0.0127289 0.20820747 - 6.43865469 1.30E+00 0.01580253 -4.073E-05 - 7.53384815 1.32E+00 0.0128292 - 0.19788109 - 5.76462844 1.35E+00 0.00521959 - 0.31204822 - 1.93377698 1.38E+00 - 0.00395692 - 0.30413908 2.42709978 1.41E+00 - 0.01119973 - 0.18319563 5.66515682 1.44E+00 - 0.01390414 3.5152E-05 6.62879145 6 1.47E+00 - 0.01128802 0.17410867 5.07212033 1.50E+00 - 0.00459257 0.27456099 1.70148189 1.53E+00 0.00348154 0.2676024 - 2.13551411 1.56E+00 0.00985427 0.16118844 - 4.98458193 1.58E+00 0.01223381 -3.0327E-05 - 5.83246108 1.61E+00 0.00993198 - 0.15319214 - 4.46280361 1.64E+00 0.00404088 - 0.24157722 - 1.49709126 1.67E+00 - 0.00306327 - 0.23545492 1.8789588 1.70E+00 - 0.00867044 - 0.14182497 4.38576685 1.73E+00 - 0.01076413 2.6153E-05 5.13179552 7 1.76E+00 - 0.00873884 0.13478843 3.92668446 1.79E+00 - 0.00355546 0.21255587 1.31725307 1.81E+00 0.00269525 0.20716937 - 1.65322541 1.84E+00 0.00762883 0.12478762 -3.8588895 1.87E+00 0.00947101 -2.2545E-05 - 4.51530236 1.90E+00 0.00768904 - 0.11859564 - 3.45496961 1.93E+00 0.00312836 - 0.18702094 - 1.15901796 1.96E+00 - 0.00237145 -0.1822818 1.45461106 1.99E+00 - 0.00671235 - 0.10979696 3.39530775 2.02E+00 - 0.00833324 1.9426E-05 3.97286979 8 2.04E+00 - 0.00676535 0.10434817 3.03992213 2.07E+00 - 0.1645536 1.01979085 0.00275256 2.10E+00 0.00208654 0.16038402 - 1.27985774 2.13E+00 0.00590597 0.09660711 - 2.98741768 2.16E+00 0.00733215 -1.6732E-05 - 3.49560076 2.19E+00 0.00595262 - 0.09181231 - 2.67473455 2.22E+00 0.0024219 - 0.14478532 -0.8972884 2.25E+00 - 0.00183587 - 0.14111684 1.12609884 2.28E+00 - 0.00519646 - 0.08500176 2.62852885 2.30E+00 - 0.00645132 1.4404E-05 3.07566704 9 2.33E+00 - 0.00523753 0.08078245 2.35341715 2.36E+00 - 0.00213097 0.12739185 0.78950157 2.39E+00 0.00161531 0.12416427 - 0.99081215 2.42E+00 0.00457219 0.07479055 - 2.31275458 2.45E+00 0.00567631 -1.2394E-05 - 2.70618082 2.48E+00 0.00460834 - 0.07107766 -2.0706998 2.51E+00 0.00187498 - 0.11208791 - 0.69466264 2.53E+00 - 0.00142125 - 0.10924823 0.87177847 2.56E+00 - 0.00402292 -0.065806 2.03491537 2.59E+00 -0.0049944 1.0659E-05 2.38108175 10 2.62E+00 - 0.00405474 0.06253876 1.82194545 2.65E+00 - 0.00164975 0.09862248 0.61121625 2.68E+00 0.0012505 0.09612407 - 0.76704519 2.71E+00 0.00353963 0.05790077 - 1.79045394 2.74E+00 0.00439441 -9.1621E-06 - 2.09503749 2.76E+00 0.00356764 - 0.05502567 -1.6030741 2.79E+00 0.00145157 - 0.08677469 - 0.53779385 2.82E+00 - 0.00110026 - 0.08457655 0.67489431 2.85E+00 -0.0031144 - 0.05094518 1.57536052 2.88E+00 -0.0038665 7.8711E-06 1.84335632 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0 1 .1 5 E- 0 1 2 .3 0 E- 0 1 3 .4 6 E- 0 1 4 .6 1 E- 0 1 5 .7 6 E- 0 1 6 .9 1 E- 0 1 8 .0 6 E- 0 1 9 .2 2 E- 0 1 1 .0 4 E+ 0 0 1 .1 5 E+ 0 0 1 .2 7 E+ 0 0 1 .3 8 E+ 0 0 1 .5 0 E+ 0 0 1 .6 1 E+ 0 0 1 .7 3 E+ 0 0 1 .8 4 E+ 0 0 1 .9 6 E+ 0 0 2 .0 7 E+ 0 0 2 .1 9 E+ 0 0 2 .3 0 E+ 0 0 2 .4 2 E+ 0 0 2 .5 3 E+ 0 0 2 .6 5 E+ 0 0 2 .7 6 E+ 0 0 2 .8 8 E+ 0 0 P o sc ic ió n [ m ] Tiempo [s] Gráfico de Posición -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 1 .1 5 E- 0 1 2 .3 0 E- 0 1 3 .4 6 E- 0 1 4 .6 1 E- 0 1 5 .7 6 E- 0 1 6 .9 1 E- 0 1 8 .0 6 E- 0 1 9 .2 2 E- 0 1 1 .0 4 E+ 0 0 1 .1 5 E+ 0 0 1 .2 7 E+ 0 0 1 .3 8 E+ 0 0 1 .5 0 E+ 0 0 1 .6 1 E+ 0 0 1 .7 3 E+ 0 0 1 .8 4 E+ 0 0 1 .9 6 E+ 0 0 2 .0 7 E+ 0 0 2 .1 9 E+ 0 0 2 .3 0 E+ 0 0 2 .4 2 E+ 0 0 2 .5 3 E+ 0 0 2 .6 5 E+ 0 0 2 .7 6 E+ 0 0 2 .8 8 E+ 0 0 V e lo ci d ad [ m /s ] Tiempo [s] Gráfico de Velocidad -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 0 1 .1 5 E- 0 1 2 .3 0 E- 0 1 3 .4 6 E- 0 1 4 .6 1 E- 0 1 5 .7 6 E- 0 1 6 .9 1 E- 0 1 8 .0 6 E- 0 1 9 .2 2 E- 0 1 1 .0 4 E+ 0 0 1 .1 5 E+ 0 0 1 .2 7 E+ 0 0 1 .3 8 E+ 0 0 1 .5 0 E+ 0 0 1 .6 1 E+ 0 0 1 .7 3 E+ 0 0 1 .8 4 E+ 0 0 1 .9 6 E+ 0 0 2 .0 7 E+ 0 0 2 .1 9 E+ 0 0 2 .3 0 E+ 0 0 2 .4 2 E+ 0 0 2 .5 3 E+ 0 0 2 .6 5 E+ 0 0 2 .7 6 E+ 0 0 2 .8 8 E+ 0 0 A ce le ra ci o n [ m /s ^2 ] Tiempo [s] Gráfico de Aceleración CONCLUSIÓN García García David. Se desarrolló la práctica relacionada con los sistemas masa resorte amortiguadas, con los conocimientos vistos en clase se pudo resolver el problema que se propuso en el laboratorio, con los datos que nos dieron pudimos empezar a resolver el mencionado problema, se utilizaron dispositivos como el celular y computadora para poder realizar la práctica con mayor eficiencia. Se obtuvieron los resultados de manera correcta y se cumplió el objetivo resolviendo el sistema vibratorio con amortiguamiento viscoso de aire y se obtuvieron las gráficas analizando los valores máximos Herrera Romero Fernando En esta práctica fue posible identificar todos los parámetros necesarios para la resolución de un problema, que cuenta con características físicas reales, es decir, al obtener el valor de amplitud en un ciclo determinado y con ello despejar el decremento logarítmico y el factor de amortiguamiento podemos considerar realmente lo que sucede en el sistema. Existe un tanto de incertidumbre en el valor del decreto logarítmico, pues al ser tomado experimental y austeramente, errores como el paralelismo, la visión o el pulso juegan un papel importante. En general la práctica se desarrolló de una manera satisfactoria, pues obtuvimos todos los parámetros, incluidas las gráficas de comportamiento. Nava Tiburcio Javier André Durante el desarrollo de esta práctica, se reforzaron los conocimientos vistos en clase y a su vez se relacionó esta parte teórica con el dispositivo físico ocupado, otro punto importante durante el desarrollo de esta fue el factor tiempo, los cálculos se realizaron en un menor tiempo y a pesar de esto considero que se llevó acabo de buena forma, ya que en el tiempo dado se pudieron realizar también las gráficas incluidas en este reporte. Otro punto importante es que durante los cálculos realizados nos encontramos con un dato 13 faltante (Td), el cual se obtuvo haciendo 5 mediciones y sacando el promedio de tiempode estas mediciones. Todos estos datos representan al igual que el primer parcial una masa que oscila en un resorte sin embargo la diferencia radica en que ahora se consideró como un sistema amortiguado por el aire. Pavón Ibarra Sebastián Al realizar la práctica, desafiamos nuestros conocimientos en el tema porque los cálculos y mediciones se realizaron de manera más rápida que de costumbre, poniendo en riesgo así que, por el apuro, cometiéramos un error en los cálculos. Los cálculos describían el comportamiento de un objeto que oscilaba a través de un resorte, antes de comenzar los cálculos nos dimos cuenta que nos hacía falta un dato y solamente se nos ocurrió obtenerlo grabando cómo el objeto oscilaba y reproduciendo el video en cámara lenta. Pérez Aguilar Ariadna Melina. Esta práctica me permitió conocer un método para obtener de manera experimental los valores de un sistema de masa-resorte con amortiguamiento, el método consistió en obtener el valor de la posición inicial y a partir de un valor de referencia, obtener la amplitud en el segundo ciclo y a partir de esto obtener el valor de decremento logarítmico, así como la obtención de un promedio del periodo amortiguado. A partir de estos dos valoresobtenidos se pudieron obtener los demás por medio de fórmulas y despejes. Cabe mencionar que se consideró como amortiguador el aire. Se cumplieron los objetivos planteados y pude complementar la parte teórica vista en clase. Rojas Hernández Patrick Loui. Gracias a los conocimientos teóricos adquiridos en clase pudimos realizar esta práctica, desde el tomar en cuenta al aire como resorte sabíamos que los valores del sistema amortiguado serían muy parecidos a como si el sistema no lo estuviera. Fue un reto el realizar esta práctica pero a pesar de todo de se completó y en lo personal lo disfrute porque tuvimos que obtener valores reales y a partir de estos sacar un promedio para además empezar a despejar de cierta formula. 14 Vigil Trejo Mario Israel Con el desarrollo de esta práctica relacionada a vibraciones amortiguadas, se aplicaron los conocimientos teóricos vistos en clase, gracias a dispositivos como un resorte, un soporte, masas conocidas y usando de amortiguador al aire, fue posible construir un sistema masa resorte con amortiguamiento, y partir de esto, obtuvimos los parámetros característicos del sistema mencionando. Esto se logró gracias al factor más impórtate, el tiempo, pues es la clave para comenzar el análisis de sistema, se comenzó encontrando el periodo amortiguado por medio de un promedio de muestras, posteriormente la otra clave fue encontrar el decremento logarítmico, esto se logró gracias a la toma de un video en slow motion para encontrar un valor de amplitud en un ciclo n, este caso en el 2. A partir de esto el problema se resolvió como en clase, el aire tuvo un constante de amortiguamiento menor a uno, por lo cual el fenómeno de amortiguamiento es muy poco apreciable. Me gusto la practica fue un reto bueno, que logramos resolver y se pudo aplicar y reafirmar lo teórico visto en la clase. 15
