Álgebra Lineal Mora (82)

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Capítulo 3. Espacios vectoriales
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Refi nería 1 Refi nería 2 Refi nería 3
Gasolina 20 21 19
Diesel 11 12 13
Aceite lubricante 9 8 8 Tabla 3.1. Representación de la 
producción de las refi nerías.
La segunda columna de la tabla contiene las cantidades de gasolina, diesel y aceite 
que produce la refi nería 1 por barril; de manera similar, la tercera y cuarta columnas re-
presentan la producción de las refi nerías 2 y 3 respectivamente. La producción de cada 
una de las refi nerías la podemos organizar en forma de vectores:
Producción de la refi nería 1: (20, 11, 9).
Producción de la refi nería 2: (21, 12, 8).
Producción de la refi nería 3: (19, 13, 8).
Al vector (20, 11, 9) le llamamos el vector de producción de la refi nería 1, por barril 
de crudo; entonces multiplicar este vector por un escalar x � 0, signifi ca que la refi ne-
ría 1 procesará x barriles de crudo y se tendrá un vector de producción x(20, 11, 9) � (20x, 
11x, 9x). Su interpretación geométrica la visualizamos como una semirrecta que tiene 
su origen en (0, 0, 0) y pasa por el punto (20, 11, 9). En términos económicos, el con-
junto {(20x, 11x, 9x) : x � 0} se llama actividad de producción de la refi nería 1. Para cada 
una de las refi nerías se puede hacer la misma formulación y obtener las correspon-
dientes actividades de producción. Combinando las actividades de producción de las 
tres refi nerías defi nimos el conjunto de producción de las tres como:
P := {x(20, 11, 9) 	 y(21, 12, 8) 	 z(19, 13, 8) : x, y, z � 0}
Una de las preguntas planteadas en la discusión fue: ¿cuántos barriles debe proce-
sar cada una de las refi nerías para tener una producción de 1 250 galones de gasolina, 
750 galones de diesel y 520 de aceite lubricante? En lenguaje puramente matemático 
la pregunta se puede formular diciendo: ¿cuáles son los valores no negativos de x, y y 
z que justifi can (1 250, 750, 520) ∈ P? En forma equivalente, ¿cuáles son los valores no 
negativos de x, y y z para que la ecuación:
 x(20, 11, 9) 	 y(2l, 12, 8) 	 z(19, 13, 8) � (1 250, 750, 520) (3.4)
tenga solución?
Haciendo las operaciones indicadas en la ecuación 3.4 e igualando coordenada a 
coordenada esta ecuación se transforma en el sistema:
 20x 	 21y 	 19z � 1 250
 11x + 12y 	 13z � 750
 9x 	 8y 	 8x � 520
De lo discutido en el primer capítulo, la solución de este sistema es: x �
 
1 430
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,
y �
 
1 480
69
 y z �
 
1 400
69
. Entonces se tiene:
1 430
69
(20, 11, 9) 	 
1 480
69
(21, 12, 8) 	 
1 400
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(19, 13, 8) � (1 250, 750, 520)
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