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Creado por RGCG
Medidas de tendencia central a partir de datos No agrupados
Media Poblacional:
𝜇 =
∑ 𝑥𝑖
𝑁
𝑖=1
𝑁
Dónde:
• N: Es el número de
individuos en la población.
• X: Representa cualquier
valor particular
Media Muestral:
�̅� =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
Dónde:
• �̅�: Representa la media
muestral
• 𝑛: Número de individuos en
la muestra
Posición de la mediana
Mediana=
𝑛+1
2
Moda:
Valor de las observaciones
que aparece con más
frecuencia
Varianza poblacional y
desviación estándar
𝜎2 =
∑(𝑥 − 𝜇)2
𝑁
Dónde
• 𝜎2: Es la varianza
poblacional
• 𝑥: Valor de una
observación de la
población
• 𝜇: Media aritmética
de la población
• 𝑁: número de
observaciones de la
población
Desviación Estándar
𝜎 = √
∑(𝑥 − 𝜇)2
𝑁
Varianza Muestral
𝑠2 =
∑(𝑥−�̅�)2
𝑛−1
𝑠2 =
∑𝑥2−
(∑𝑥)2
𝑛
𝑛−1
Dónde
• 𝑠2: Varianza muestral
• 𝑥: Valor de cada una de las observaciones
de la muestra
• �̅�: Media muestral
• 𝑛: Número de observaciones en la muestra
𝑠 =
√∑𝑥
2 −
(∑𝑥)2
𝑛
𝑛 − 1
Dónde
• s: Desviación estándar
Medidas de tendencia central a partir de datos Agrupados
Media
�̅� =
∑𝑓𝑥
𝑛
Dónde:
• �̅�: Es la media aritmética
• 𝑥: Valor medio o punto
medio de clase
• 𝑓: Frecuencia de cada clase
Mediana
Mediana=𝐿 + (
𝑛
2
−𝑐𝑓
𝑓
)(𝑖)
Dónde:
• L: límite inferior de la clase
que contiene a la mediana
• n: Frecuencia de clase
• cf: Número de frecuencia
acumuladas en la clase que
preceden a la clase que
contiene la mediana
• i: Amplitud de la clase
donde está la mediana
Moda:
Moda=𝐿 + (
𝐷𝑎
𝐷𝑏+𝐷𝑎
)(𝑖)
Dónde
• L: límite inferior de la
clase que contiene a
la moda
• Da: La diferencia
entre la frecuencia de
la clase modal y la
clase que la antecede
• Db: La diferencia
entre la frecuencia de
Varianza y Desviación Estándar
𝑠 =
√∑𝑓𝑥
2 −
(∑𝑓𝑥)2
𝑛
𝑛 − 1
Dónde
• s: Desviación estándar muestral
• x: Punto medio de clase
• f: Frecuencia de clase
• n: Número de observaciones en la muestra
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la clase modal y la
clase que le sigue
• I: Amplitud
Técnicas de conteo
Permutaciones
𝑝𝑟 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑟)!𝑛
Dónde
• p: Permutación
• n: Número de objetos
• r: Número de objetos que se
usaran a la vez
Permutación en un arreglo circular
(𝑛 − 1)!
Permutación con elementos
repetidos
𝑛!
𝑛1! 𝑛2! … 𝑛𝑘!
Combinaciones
𝐶𝑘 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑘)! 𝑘!𝑛
Coeficiente de Sesgo: 𝑆𝑘 =
3(𝜇−𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎)
𝜎
𝑆𝑘 =
�̅�−𝑀𝑜𝑑𝑎
𝑆
Distribuciones de Probabilidad de Variables Aleatorias Discretas
Probabilidad total:
𝑝(𝐴) = ∑ 𝑝(𝐴|𝐵𝑖)𝑝(𝐵𝑖)
𝑛
𝑖=1
Teorema de Bayes:
𝑝(𝐵𝑗|𝐴) =
𝑝(𝐴|𝐵𝑗)𝑝(𝐵𝑗)
∑ 𝑝(𝐴|𝐵𝑖)𝑝(𝐵𝑖)
𝑛
𝑖=1
Valor esperado de v.a.d:
𝜇 = 𝐸(𝑥) = ∑ 𝑥𝑓(𝑥)
𝑥
Varianza de v.a.d:
𝜎2 = 𝑉(𝑥) = 𝐸[(𝑥 − 𝜇)2 = ∑(𝑥 − 𝜇)2𝑓(𝑥)
𝑥
𝜎2 = 𝑉(𝑥) = 𝐸[(𝑥 − 𝜇)2 = 𝐸(𝑥2) − 𝜇2
Momentos alrededor del origen
𝜇𝑟
′ = 𝐸(𝑥𝑟) = ∑ 𝑥𝑟𝑓(𝑥)
𝑥
Momentos alrededor de la media
𝜇𝑟 = 𝐸[(𝑥 − 𝜇)
𝑟] = ∑(𝑥 − 𝜇)𝑟𝑓(𝑥)
𝑥
Función generadora de momentos
𝑚(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑥) = ∑ 𝑒𝑡𝑥𝑓(𝑥)
𝑥
Obtención de momentos alrededor del origen
𝑚𝑟
′ =
𝑑𝑟
𝑑𝑡𝑟
𝜇(𝑡)|𝑡=0
Coeficientes
Distribución Discreta Uniforme
𝑓(𝑥) = {
1
𝑛
𝑥 = 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛
0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑥
Media: 𝜇 = 𝐸(𝑥) =
1
𝑛
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
Varianza 𝜎2 =
1
𝑛
∑ (𝑥𝑖 − 𝜇)
2𝑛
𝑖=1
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Variación:
𝜎
𝜇
Asimetría:
𝜇3
(𝜇2)
3
2
Curtosis:
𝜇4
(𝜇2)2
Equivalencia entre momentos
𝜇2 = 𝐸[(𝑥 − 𝜇)
2] = 𝐸(𝑥2) − 𝜇2 = 𝜇2
′ − 𝜇2
𝜇3 = 𝐸[(𝑥 − 𝜇)
3] = 𝜇3
′ − 3𝜇𝜇2
′ + 2𝜇3
𝜇4 = 𝐸[(𝑥 − 𝜇)
4] = 𝜇4
′ − 4𝜇𝜇3
′ + 6𝜇2𝜇2
′ − 3𝜇4
Distribución de Poisson
𝑓(𝑥) =
𝑒−𝜆𝜆𝑥
𝑥!
Media 𝐸(𝑥) = 𝜆
Varianza 𝑣(𝑥) = 𝜆
f.g.m 𝑚(𝑡) = 𝑒−𝜆𝑒𝑒
𝑡𝜆
coeficientes:
Variación: 𝜆−
1
2 Asimetría: 3 + 𝜆−1
Distribución de Bernoulli
𝑓(𝑥) = {𝑝
𝑥(1 − 𝑝)1−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 = 0,1
0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Media 𝐸(𝑥) = 𝑝
Varianza 𝑉(𝑥) = 𝑝(1 − 𝑝)
f.g.m 𝑚(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑥) = 1 − 𝑝 + 𝑝𝑒𝑡
Distribución Binomial
𝑓(𝑥) = (
𝑛
𝑥
) 𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥, 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑛
Media 𝐸(𝑥) = 𝑛𝑝
Varianza 𝑉(𝑥) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)
f.g.m 𝑚(𝑡) = (𝑞 + 𝑒𝑡𝑝)𝑛
coeficientes:
Asimetría:
𝑞−𝑝
√𝑛𝑝𝑞
Curtosis:
1−6𝑝𝑞
𝑛𝑝𝑞
Distribución Geométrica
𝑓(𝑥) = 𝑝(1 − 𝑝)𝑥−1, 𝑥 = 1,2,3, …
Media 𝐸(𝑥) =
1
𝑝
Varianza 𝑣(𝑥) =
1
𝑝
(
1
𝑝
− 1)
𝑚(𝑡) =
𝑝
1−(1−𝑝)𝑒𝑡
para |t|<-ln(1-p)
Coeficientes:
Asimetría:
1+𝑞
√𝑞
Curtosis:
𝑝2+6𝑞
𝑞
Distribución Binomial Negativa
𝑓(𝑥) = (
𝑥 − 1
𝑘 − 1
) 𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑥−𝑘 ,
𝑥 = 𝑘, 𝑘 + 1, 𝑘 + 2, …
Media 𝐸(𝑥) =
𝑘
𝑝
Varianza 𝑣(𝑥) =
𝑘
𝑝
(
1
𝑝
− 1)
f.g.m: 𝑚(𝑡) = (
𝑝
1−(1−𝑝)𝑒𝑡
)
𝑘
para |t|<-ln(1-p)
Coeficientes:
Distribución Hipergeométrica
𝑓(𝑥) =
(𝑘
𝑥
)(𝑁−𝑘
𝑛−𝑥
)
(𝑁
𝑛
)
, 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑛
N: Cantidad de elementos del conjunto del que se toma la
muestra.
k: Cantidad de elementos existentes que se consideran “Éxitos”.
n: Tamaño de la muestra.
X: v.a.d (Cantidad de resultados considerados “éxitos” de la
muestra.
x= 0,1,2,…,n
Media 𝐸(𝑥) = 𝑛
𝑘
𝑁
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Creado por RGCG
Asimetría:
2−𝑝
√𝑘(1−𝑝)
curtosis:
6
𝑘
+
𝑝2
𝑘(1−𝑝)
Varianza 𝑣(𝑥) =
𝑛𝑘
𝑁
(1 −
𝑘
𝑁
)(
𝑁−𝑛
𝑁−1
)
Coeficientes:
Asimetría:
(𝑁−2𝑘)(𝑁−1)1/2 (𝑁−2𝑛)
[𝑛𝑘(𝑁−𝑘)(𝑁−𝑛)]
1
2(𝑁−2)
Curtosis:
[
𝑁2(𝑁−1)
𝑛(𝑁−2)(𝑁−3)(𝑁−𝑛)
] [
𝑁(𝑁+1)−6𝑁(𝑁−𝑛)
𝑘(𝑁−𝑘)
+
3𝑛(𝑁−𝑛)(𝑁+6)
𝑁2
− 6]
Propiedades de probabilidad
• 𝑃(∅) = 0
• 𝑃(𝐴𝑐) = 1 − 𝑃(𝐴)
• 𝑠𝑖 𝐴 ⊂ 𝐵 ⟹ 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵)
• ∅ ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1
• 𝑃(𝐴 − 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Regla aditiva de la probabilidad para dos eventos
• 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Leyes de D’morgan
• (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝑐
• (𝐴 ∪ 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐
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