02-Limite y Continuidad de Funciones Reales - Guia de Actividades N2-v4

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 Análisis Matemático I 
Unidad Temática: Límite y continuidad de funciones reales de variable real 
 
 
 
1. Explique el significado de 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = 4 y 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = 6 
En esta situación, ¿es posible que lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) exista? Justifique 
 
2. Si bien la función 𝑓(𝑥) =
sen(𝑥)
𝑥
 no se encuentra definida cuando 𝑥 = 0 conjeture, utilizando 
un graficador, el valor del 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
sen(𝑥)
𝑥
 (si este límite existe). 
 
3. Si bien la función 𝑓(𝑥) = sen (
𝜋
𝑥
) no se encuentra definida cuando 𝑥 = 0 conjeture, el valor 
del 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
sen (
𝜋
𝑥
) (si este límite existe). Para ello vamos a tender a 0 de diferentes maneras: 
a. Determine el valor de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
…, o sea para 𝑥 =
1
𝑛
, con 𝑛 ∈ ℤ y 𝑛 ≥ 1 
b. Determine ahora el valor de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 2,
2
5
,
2
9
,
2
13
…, o sea para 𝑥 =
2
4𝑛+1
, con 𝑛 ∈ ℤ y 
𝑛 ≥ 0 
c. Por último, determine el valor de 𝑓(𝑥) en 𝑥 =
2
3
,
2
7
,
2
11
…, o sea para 𝑥 =
2
4𝑛+3
, con 𝑛 ∈
ℤ 𝑦 𝑛 ≥ 0 
d. ¿Qué sucederá en las proximidades del punto 𝑥 = 0? 
……………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… 
e. Grafique la función y corrobore sus conclusiones 
4. Demuestre que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
|𝑥| = 0 y que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
|𝑥|
𝑥
 no existe. 
5. Grafique la siguiente función 
𝑓(𝑥) = {
2 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < −1
𝑥 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1
(𝑥 − 1)2 𝑠𝑖 𝑥 > 1
 
Determine los valores de a para los cuales existe el 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 
 
6. Considere la función 𝑓(𝑥) = {
𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −2
𝑎𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 − 2 < 𝑥 < 2 
2𝑥 − 5 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
 
Encuentre los valores de las constantes a y b para que existan 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
𝑓(𝑥) y 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑓(𝑥) 
 
 
7. Determine el valor del límite, si existe: 
 
GUIA DE ACTIVIDADES N°2 
 
 
2 
 
Sección 1: 
a. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
3𝑥2−4𝑥−11
2𝑥+1
 
b. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑥2−9
𝑥−5
 
c. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
√3𝑥3 + 5
3
 
d. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−8
𝑥− √𝑥
3
4𝑥−10
 
Respuestas: a) −
7
5
 b) 0 c) 2 d) 
1
7
 
Sección 2: 
e. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−3+
𝑥+2
𝑥+3
 
f. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4−
𝑒𝑥
(𝑥−4)3
 
g. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥+2
(𝑥−1)2
 
h. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3+
ln(𝑥2 − 9) 
i. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0−
𝑥3−8
𝑥4
 
j. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
(3𝑥4 + 2𝑥5) 
k. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥7 
l. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
2
𝑥
+1
𝑥2+3
 
Respuestas: e) −∞ f) −∞ g) +∞ h) −∞ i) −∞ j) −∞ k) +∞ l) 0 
 
Sección 3: 
m. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥2+𝑥−6
𝑥−2
 
n. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥2+𝑥−2
5𝑥−5
 
o. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
2𝑥2−8𝑥
𝑥2−3𝑥−4
 
p. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(4+𝑥)2−16
𝑥
 
q. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥+2
𝑥3+8
 
r. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−4
𝑥2+5𝑥+4
𝑥2+3𝑥−4
 
s. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥2−2𝑥+1
𝑥4−1
 
t. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→7
√𝑥+2−3
𝑥−7
 
u. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
√𝑥+5−3
(2−𝑥)2−4
 
v. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥2−3𝑥+2
√𝑥−1
 
w. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥−2
√6−𝑥−√𝑥+2
 
x. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
2𝑥−2
𝑥2−2𝑥+1
 
y. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1+
2𝑥2+2𝑥
𝑥3−3𝑥−2
 
z. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
2𝑥+2
𝑥−3
 
aa. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
4𝑥+1
5−2𝑥
 
bb. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
3𝑥3−2𝑥+1
−𝑥+2
 
cc. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑥2+2
𝑥3+𝑥2−3
 
dd. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑥+2
√9𝑥2+1
 
ee. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
2𝑥−5
√4𝑥2+1
 
ff. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
√𝑥2 + 4 − √𝑥2 − 1 
gg. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
√𝑥2 + 3𝑥 − 𝑥 
Respuestas: m) 5 n) 
3
5
 o) 
8
5
 p) 8 q) 
1
4
 r) 
3
5
 s) 0 t) 
1
6
 u) 
1
24
 v) −2 w) −2 
x) ∞ y) +∞ z) 2 aa) −2 bb) −∞ cc) 0 dd) 
1
3
 ee) −1 ff) 0 gg) 
3
2
 
 
8. Si 3𝑥 − 5 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑥2 − 3𝑥 + 4 para 𝑥 ≥ 0, encuentre el 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑓(𝑥). 
9. Realice a mano alzada un posible gráfico de una función f que satisfaga las 
condiciones dadas: 
a. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = +∞, 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = −∞, 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 1, 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 1. 
 
 
3 
 
b. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
𝑓(𝑥) = +∞, 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 3, 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = −3 
c. 𝑓(2) = 1, 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑓(𝑥) = −∞, 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑓(𝑥) = −1, 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = −∞ 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = −2, 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4−
𝑓(𝑥) = 2, 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4+
𝑓(𝑥) = −3 
 
10. Encuentre el límite, si existe. Si no existe, explique por qué: 
a. 𝑙𝑖𝑚
x→2
(3𝑥 + |𝑥 − 2|) b. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−4
|𝑥+4|
2𝑥+8
 c. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥2−4
|𝑥−2|
 
Respuestas: a) 6 b) 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 c) 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
11. En la teoría de la relatividad, la fórmula de la contracción de Lorenz 𝐿 =
 𝐿0√1 − 𝑣2/𝑐2 expresa la longitud L de un objeto como función de su velocidad v 
respecto a un observador, donde L0 es la longitud del objeto en reposo y c es la 
velocidad de la luz. Encuentre 𝑙𝑖𝑚
𝑣−>𝑐−
𝐿 e interprete el resultado. ¿Por qué se 
necesita el límite por izquierda? 
 
12. ¿Hay un número real a tal que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
3𝑥2+𝑎𝑥+𝑎+3
𝑥2+𝑥−2
 exista? Si es así encuentre los 
valores de a y del límite. 
 
13. Un depósito contiene 550 L de agua pura. Se bombea salmuera que contiene 30 g 
de sal por litro de agua al depósito a una velocidad de 25 L/min. Demuestre que la 
concentración de sal t minutos después (en gramos por litro) es 
𝐶(𝑡) =
30𝑡
22 + 𝑡
 
¿Qué sucede con la concentración cuando 𝑡 → +∞? 
 
14. Es posible demostrar que, según ciertas hipótesis, la velocidad v(t) de una gota de 
lluvia que cae, en el instante t, es 𝑣(𝑡) = 𝑣𝑇(1 − 𝑒
−𝑔𝑡/𝑣𝑇) donde g es la aceleración 
debida a la gravedad y 𝑣𝑇 es la velocidad terminal de la gota de lluvia. 
a. Encuentre 𝑙𝑖𝑚
𝑡→∞
𝑣(𝑡) 
b. Trace la gráfica de v(t) si 𝑣𝑇 = 1 m/s y g = 9,8 m/s2. ¿Cuánto tiempo 
transcurre para que la velocidad de la gota de agua alcance el 99% de su 
velocidad terminal? 
 
15. Encuentre las asíntotas horizontales y verticales de cada curva. 
a. 𝑦 =
2𝑥2−3𝑥+1
𝑥2+𝑥−2
 
b. 𝑦 =
2𝑒𝑥
𝑒𝑥−5
 
c. 𝑦 =
𝑥−2
√𝑥2−4
 
d. 𝑦 =
−𝑥+3
2𝑥2−8𝑥+6
 
e. 𝑦 =
𝑒𝑥+2−3
3𝑒𝑥+1
 
f. 𝑦 = ln (
𝑥+2
𝑥−2
) 
g. 𝑦 = 
3𝑥
√𝑥2+1−1
 
h. 𝑦 =
𝑥
√𝑥−1
 
Respuestas: a) 𝑦 = 2; 𝑥 = −2 b) 𝑦 = 2; 𝑦 = 0; 𝑥 = ln(5) 
 c) 𝑦 = 1; 𝑦 = −1; 𝑥 = −2 d) 𝑦 = 0; 𝑥 = 1 e) 𝑦 =
𝑒2
3
; 𝑦 = −3 
 
 
4 
 
 f) 𝑦 = 0; 𝑥 = −2; 𝑥 = 2 g) 𝑦 = −3; 𝑦 = 3; 𝑥 = 0 h) 𝑥 = 1 
 
16. Grafique una función que tenga una discontinuidad por salto finito en 𝑥 = 2, una 
discontinuidad evitable en 𝑥 = 4 y que sea continua en todos los demás puntos. 
 
17. Si f y g son funciones continuas con 𝑓(3) = 5 y 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
[2𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = 4, encuentre 
𝑔(3). 
 
18. Explique por qué la función es discontinua en 𝑥 = 𝑎. 
a. 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛|𝑥 − 2| 𝑎 = 2 
b. 𝑓(𝑥) = {
1
𝑥−1
 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 1
2 𝑠𝑖 𝑥 = 1
 𝑎 = 1 
c. 𝑓(𝑥) = {
𝑒𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
 𝑎 = 0 
 
19. Analice si existe el 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) para: 
a. 𝑓(𝑥) =
|𝑥−3|
6−2𝑥
 𝑎 = 3 
b. 𝑓(𝑥) = {
𝑥3 + 4 𝑠𝑖 𝑥 < −1
5 𝑠𝑖 𝑥 = −1
−𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 > −1
 𝑎 = −1 
Para cada una de las funciones anteriores analice la continuidad en 𝑥 = 𝑎 y, en caso de 
que haya una discontinuidad, clasifíquela. 
 
20. Encuentre los valores de x en que la función es discontinua. 
a. 𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑒𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
2 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 1
 
 
b. 𝑓(𝑥) = {
5𝑥2−10𝑥−15
𝑥2−𝑥−6
 𝑠𝑖 𝑥 < 3
𝑒2𝑥−6 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3
 
c. 𝑓(𝑥) = {
3𝑥2+2𝑥
𝑥3+𝑥
 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1
ln(𝑥 − 1) 𝑠𝑖 1 < 𝑥 < 2
(𝑥 − 2)2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
 
d. 𝑓(𝑥) = {
𝑥−8
3−√𝑥+1
 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 8
3 𝑠𝑖 𝑥 = 8
 
 
 
21. La fuerza gravitacional ejercida por la Tierra sobre una masa unitaria a una 
distancia r del centro del planeta es 
𝐹(𝑟) = {
𝐺𝑀𝑟
𝑅3
 𝑠𝑖 𝑟 < 𝑅
𝐺𝑀
𝑟2
 𝑠𝑖 𝑟 ≥ 𝑅
 
Donde M es la masa de la Tierra, R su radio y G es la constante gravitacional. ¿F es 
una función continua? 
 
22. ¿Para qué valor de la constante c la función f es continua en ℝ?5 
 
a. 𝑓(𝑥) = {𝑐𝑥
2 + 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 2
𝑥3 − 𝑐𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
 
b. 𝑓(𝑥) = {
3𝑥 − 𝑐 𝑠𝑖 𝑥 < 1
𝑥2 + 𝑐𝑥 − 8 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
 
c. 𝑓(𝑥) = {
√−1+𝑥−1
𝑥−2
 𝑠𝑖 𝑥 > 2
𝑐𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2
 
 
 
23. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10. sen(𝑥), demuestre que hay un número 𝑐 tal que 𝑓(𝑐) = 1000. 
 
24. Use el Teorema de Bolzano para demostrar que hay una raíz de la ecuación dada 
en el intervalo especificado. 
a. 𝑥4 + 𝑥 − 3 = 0 en (1, 2) 
b. 𝑒𝑥 = 3 − 2𝑥 en (0, 1) 
 
25. Demuestre que las siguientes ecuaciones tienen al menos una raíz real y luego use 
su calculadora para hallar un intervalo de longitud 0,01 que contenga una raíz. 
a. cos(𝑥) = 𝑥3 
b. ln (𝑥) = 3 − 2𝑥 
 
26. Demuestre que la ecuación 100. 𝑒− 
𝑥
100 = 0,01𝑥2 tiene al menos una raíz real y 
luego utilice un graficador para hallar la raíz correcta a tres posiciones decimales.