Ayudanta 1

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Pontificia Universidad Católica de Chile Ayudantía de Cálculo I, MAT-1610 
Departamento de Matemática 1-2011 
Escuela de ingeniería Sección 3 
RAÚL ANTONIO SALINAS HERRADA 
RASALINA@UC.CL 
1
AYUDANTÍA 1: SUPREMOS, SUCESIONES Y LÍMITES 
DEFINICIÓN DE SUPREMO 
Sea el conjunto A⊂ ℝ , se dice que el número M es supremo de A si: 
,x M x A≤ ∀ ∈ M es cota superior del conjunto 
0 00, :x A M x Mε ε∀ > ∃ ∈ − < ≤ M es la menor de todas las cotas superiores, es decir, 
cualquier número menor a M es no es cota superior (existe 
un valor en A mayor a él) 
Cuando M∈A, se dice que M es el máximo de A 
Análogo a ello, se define el número m como el ínfimo de A: 
,m x x A≤ ∀ ∈ m es cota inferior del conjunto 
0 00, :x A m x mε ε∀ > ∃ ∈ ≤ < + m es la mayor de todas las cotas inferiores, es decir, 
cualquier número mayor a m es no es cota inferiores (existe 
un valor en A menor a él) 
AXIOMA DEL SUPREMO 
Se presume que cualquier conjunto no vacío acotado superiormente tiene supremo. 
PROBLEMA 1: ÁLGEBRA DE CONJUNTOS Y SUPREMOS 
Sean A, B conjuntos reales no vacíos acotados superiormente, C = A∪ B 
Demuestre que C tiene supremo y que { }sup max sup ,supC A B= . 
DEMOSTRACIÓN: 
 Sin pérdida de generalidad, supóngase sup supB A≤ 
Por definición sup a A a A≤ ∀ ∈ , para los elementos de B se tiene sup supb B A≤ ≤ 
Así sup c A c A B≤ ∀ ∈ ∪ , por lo que el supremo de A es cota superior. 
Ahora, como éste valor es supremo de A se tiene 0 00, : sup supa A A a Aε ε∀ > ∃ ∈ − ≤ < 
Como f A A B⊆ ∪ , 0a A B∈ ∪ . Por lo que el supremo de A es el supremo de A unión B 
 
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Ejercicios propuestos 
• Determine que f { }sup min sup ,supA B A B∩ = fff 
• { }
1..
1
sup max sup
n
i i
i n
i
A A
=
=
=∪ 
 
PROBLEMA 2: EL SUPREMO DEL MENOR Y EL ÍNFIMO DEL MAYOR 
Sean S,T ⊂ ℝ no vacíos, donde se cumple: 
, ,s t s S t T< ∀ ∈ ∀ ∈ 
Si S tiene extremo superior y T, inferior; entonces se tiene: 
sup infS T≤ . De un ejemplo donde sup infS T= 
DEMOSTRACIÓN: 
Supóngase qué sup infS T> y sea épsilon sup inf0
2
S Tε −< < , por la definición de supremo e 
ínfimo: 
0 0: inf inft T T t T ε∃ ∈ ≤ < + y, análogamente, 0 0: sup sups S S s Sε∃ ∈ − < ≤ 
Por definición se tiene 
0 0
sup inf sup inf
inf inf sup sup
2 2
S T S T
t T T S S sε ε− −< + < + = − < − < , lo que contradice 
, ,s t s S t T< ∀ ∈ ∀ ∈ . Si no lo tiene claro, vea la siguiente ilustración del problema 
 
Ejemplo: [ )1,0− y ( ]0,1 
 
 
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3
DEFINICIÓN DE LÍMITE DE SUCESIÓN 
Sea la sucesión real { }na , dice que es convergente si existe él numero l con la 
propiedad 
0 00, : nn n n a lε ε∀ > ∃ > ⇒ − < , se denota lim n
n
a l
→∞
= 
ÁLGEBRA DE LÍMITES 
Si las sucesiones { } { },n na b convergentes con límites a y b respectivamente, entonces los 
siguientes límites existen y valen: 
lim lim limn n n n
n n n
a b a b a b
→∞ →∞ →∞
± = ± = ± 
lim lim limn n n n
n n n
a b a b ab
→∞ →∞ →∞
= ⋅ = 
Si b≠ 0, lim lim : limn n n
n n n
n
a a
a b
b b→∞ →∞ →∞
= = . Cuando a=b=0, no se sabe 
SUCESIÓN ACOTADA 
La sucesión{ }na es acotada cuando existe M>0 tal que ,na M n≤ ∀ ∈ℕ 
PROBLEMA 3: LÍMITE CLÁSICO 
Calcular por definición el límite de 
2
2
2 1
2 1n
n
v
n
−=
+
 
Debería ser intuitivo que, si existe un límite, este debe ser 1. Por lo que probaremos con L=1. La 
idea principal a la hora de trabajar con límites por definición es, derechamente, “hacer 
trampa”: A partir de la condición buscada en el límite ( na l ε− < ) y jugando con la expresión 
buscar el n sub cero en función de nuestro épsilon arbitrario. Ya encontrado el n sub cero 
debe procederse “de atrás para adelante” para demostrar la desigualdad del límite. 
Procedamos para entender mejor: 
2
2
2 1
1
2 1
n
n
ε− − <
+
 Trampa inicial: Parto de la condición de límite. Ahora 
la gracia sería despejar el n. 
2
2
2 1n
ε<
+
 Fue sencillo sacar el valor absoluto, todos valores 
positivos 
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4
2
1
2
n ε
−
> Afortunadamente todos los pasos son reversibles, por 
lo que podemos tomar 0
2
1
2
n ε
 
− 
=  
 
  
 y podemos 
retroceder cómodamente (al lector) 
En resumen: 
• Intuir el límite y escribir la condición con un épsilon arbitrario 
• Despejar el n en función del épsilon y encontrar n0 
• Escribir a partir de n> n0 la condición de límite 
PROBLEMA 4: CUANDO B =0… 
Sean las sucesiones { } { },n na b donde lim 0n
n
b
→∞
= y 0,nb n≠ ∀ . 
Demostrar que si el límite de { }na existe y es distinto a 0, entonces n
n
a
b
 
 
 
no converge. 
DEMOSTRACION 
Supóngase lo contrario. Por álgebra de límites se tiene lim lim lim lim 0n nn n n
n n n n
n n
a a
a b b
b b→∞ →∞ →∞ →∞
= = ⋅ = 
contradicción. 
Nota: si el límite de la sucesión an es 0, podría converger a cualquier número o incluso divergir 
PROBLEMA 5: RELAJACIÓN DE DESIGUALDADES 
Sean { } { },n na b sucesiones reales convergentes dónde: 
 ,n na b n m m< ∀ > ∈ℝ . Considérese lim , limn n
n n
a bα β
→∞ →∞
= = 
Demostrar que lim limn n
n n
a b
→∞ →∞
≤ . 
DEMOSTRACIÓN 
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Supóngase que lim limn n
n n
a b
→∞ →∞
> , tómese 0
2
α βε −< < , por definición de límite 
:a a nn n n a α ε∃ > ⇒ − < , análogamente :b b nn n n b β ε∃ > ⇒ − < . A priori los na y nb no son 
iguales. Para reparar tal problema simplemente debe considerarse { }max , , ,a bp n n m p> ∈ℕ 
Por las desigualdades en la definición de los límites se tiene 
paα ε α ε− < < + 
pbβ ε β ε− < < + 
Ahora, la serie de desigualdades que resuelven el ejercicio 
pb β ε< + Por desigualdad en la definición de límite 
2p
b
α ββ ε β −< + < + Por cota del épsilon 
 
2 2
α β α ββ α− −+ = − Arreglo matemático pertinente 
2p
b
α ββ ε α α ε−< + < − < − Otra vez por cota del épsilon 
2p p
b a
α ββ ε α α ε−< + < − < − < Desigualdad en la definición de límite 
Contradicción con la hipótesis ,n na b n m m< ∀ > ∈ℝ . 
Dibujo ilustrativo 
 
Si se toman las sucesiones { } 2
1
na n
 =  
 
y{ } 1nb n
 =  
 
 se cumple lim limn n
n n
a b
→∞ →∞
=
 
 
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PROBLEMA 6: SI ES CONVERGENTE, ES ACOTADA 
Demostrar que toda sucesión convergente es acotada. 
Sea lim n
n
a l
→∞
= por definición del mismo límite existe N tal que 1nn N a l> ⇒ − < ahora, si se 
hacen las manipulaciones pertinentes queda 
1 1nl a l− < < + y ( ) ( )1 1nl a l− + < − < − − , así que { }max 1 , 1n Nn N a l l M> ⇒ < + − = Ahora 
tenemos cota para infinitos términos de la sucesión a partir de N, para corregir los valores 
finitos restantes simplemente basta considerar 
{ }
1..
max ,i N
i N
M a M
=
= Máximo que existe dado que se toman finitos términos 
PROBLEMA 7: CALENTANDO MOTORES 
Calcule: 
I. 0 0 0
0
lim , 0,
m
j
j
j
mn
j
j
j
p n
p q m
q n
=
→∞
=
∧ ≠ ∈
∑
∑
ℕ 
1 1
0 0
0 0 0
1 1
0 0
0 0 0
1
lim lim lim
1
m m m
j m j j m
j j j
m
j j j
m m mn n n
j m j j m
mj j j
j j j
p n p n p n p p n
n
q nq n q n q q n
n
− −
−
= = =
− −
→∞ →∞ →∞
−
= = =
+ +
= =
+ +
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
, como 0 1.. 1j m j m− < ∀ = −
1 1
0 0
lim lim 0
m m
j m j m
j j
n n
j j
p n q n
− −
− −
→∞ →∞
= =
= =∑ ∑ , por tanto 
0 0
0
0
lim
m
j
j
j
mn
j
j
j
p n
p
q
q n
=
→∞
=
=
∑
∑
 
II. “Sacando para afuera” :
2 3
lim ,
2 3
n p n p
n nn
p
+ +
→∞
+ ∈
+
ℕ 
Pareciera que el 2 molesta en ambos casos, sin embargo los primeros sumandos no 
afectan en la suma, por lo que deberían cancelarse. 
2
2 3
2 3 3 3
lim lim 3
2 3 3 2
1
3
n
p p
n p n p n
p
nn n nn n
+ +
→∞ →∞
  + +  = =
+   + 
 
 Claramente el 3 hace al 2 “despreciable”. 
III. Completando: 3 3lim 1
n
n n
→∞
+ − 
Basta con racionalizar adecuadamente 
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7
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
3 33
3 3
2 2 2 2
3 3 3 33 3
1 1 1
1
1 1 1 1
n n n n
n n
n n n n n n n n
+ + + +
+ − =
+ + + + + + + +
 
 
PROBLEMA 8: MANIPULANDO EL BINOMIO 
Calcule 
1
1
1 1
lim ,
1
1 1
k
kn
n
k
n
+
→∞
 − + 
  ∈
 − + 
 
ℕ
 
Interrogación 2009-1, pregunta 1.a generalizada 
SOLUCIÓN 
Primero se manipula la división 
( )( )
( )( )
( )
( )( )
1 1
11 11
1
1 1 11 1 1 1 1
11 1 111 1 1
k k
kk kk
k
k k kkkk
k
n
n n n nn n n
n n n nn n
nn n
+ +
++ +++
+   − + − − +    − +   = = =
+    − +− +− + −   
   
 
 Se aplica el binomio de newton a ambas potencias (no le haría mal estudiarlo…)
1 1 1
1 1 1 1 1 1
0 1 1
1 1 1 1 1 1
0 1 1
1 1 1k k kk k j k k k j k j
j j j
k k k
k k j k k k j k j
j j j
k k k
n n n n n n
j j j
k k k
n n n n n n
j j j
+ + +
+ + − + + + − + −
= = =
+ + − + + + − + −
= = =
+ + +     
− − −     
     = =
     
− − −     
     
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
 
Se ha llevado el problema a la resolución de un límite con una potencia a uno de la forma 
racional 
( )
( )
p n
q n
. Como ambos polinomios tienen igual grado, se tiene
1 1
1
1
1
1
1 11
1 1
1 1
lim lim
1
1 1
1
k k
k j
j
k kn n
k j
j
k k
n
j kn
k k k
n
jn
+ +
+ −
=
→∞ →∞
+ −
=
+ +    − +      +     = = =
    − +     
     
∑
∑