_ Ingenieria electronica _ Regulación Automática _ TEMA 12 _

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Capítulo 12: Estabilidad en el 
dominio de la frecuencia 
 
carlos.platero@upm.es (C-305) 
mailto:carlos.platero@upm.es
Estabilidad relativa 
 Estabilidad 
 Absoluta: FDT del conjunto total. Tabla de Routh. 
 Relativa: Mide la estabilidad. Válida para estructuras de 
realimentación. 
 Criterio de Nyquist 
 Este criterio indica el número de polos de la cadena cerrada en 
el dominio complejo positivo de una estructura de 
realimentación negativa. Emplea como dato de partida la 
respuesta en frecuencia de la cadena abierta. 
 Su fundamento está basado en el principio del argumento de la 
teoría de la variable compleja. 
+
-
 sH
 sG
Criterio de Nyquist (1/4) 
+
-
 sH
 sG
 Los polos de F(s) coincidirán con los polos de la cadena abierta. Los ceros de 
F(s), sin determinar, serán las raíces del polinomio característico o también 
denominados los polos de la cadena cerrada. Estos últimos son los que definen 
la estabilidad del sistema. 
 Tómese una curva cerrada (s) sobre el dominio complejo y que abarque a 
todo el dominio complejo positivo. 
 El principio del argumento establece que el número de ceros de F(s), polos del 
sistema realimentado, contenidos dentro de la curva cerrada (s) vendrá dado 
por: 
     
 
 
 
 sD
sN
sD
sN
sHsGsF
2
2
1
1
11 
 
       
   sDsD
sNsNsDsD
sF
21
2121


Z= N + P 
Criterio de Nyquist (2/4) 
+
-
 sH
 sG
 donde Z es el número de ceros de F(s) en el dominio 
complejo positivo, N es el número de vueltas que recorre 
la imagen de la curva, *(s)=F((s)), al desplazar F(s) por la 
curva (s) y P es el número de polos de F(s) encerrados 
por la curva (s). Obviamente, para que el sistema sea 
estable Z debe ser cero. 
Z= N + P 
 
       
   sDsD
sNsNsDsD
sF
21
2121


Criterio de Nyquist (3/4) 
+
-
 sH
 sG
Los pasos a seguir para aplicar el criterio de estabilidad de Nyquist serán: 
1. Determinar el camino de Nyquist (s) a partir de la información de la 
cadena abierta. 
 
 
 
 
2. Obtener la imagen de la curva, *(s)=F((s)), al desplazar F(s) por el 
camino de Nyquist, (s), en un cierto sentido. Por ejemplo, en sentido 
horario, SMR. Pero podría haberse elegido en sentido contrario, SCMR. 


 j j
j j
Real
Real
Imag Imag

j
 j
Real
Imag
j
Re
j
Re
j
Re


 j j j j
jj jj
Real
Real
Imag Imag

jj
 j j
Real
Imag
j
Re
j
Re
j
Re
Diagrama de 
Nyquist 
Eje 
real 
-2 0 2 4 6 8 10 12 
-8 
-6 
-4 
-2 
0 
2 
4 
6 
8 
Criterio de Nyquist (4/4) 
+
-
 sH
 sG
1. Determinar el camino de Nyquist (s) 
2. Obtener la imagen de la curva, *(s)=F((s)), al desplazar F(s) por el camino de Nyquist, (s), 
en un cierto sentido. Por ejemplo, en sentido horario, SMR. 
3. Contabilizar el número de vueltas, N, que la imagen *(s) 
da alrededor del origen, siguiendo el sentido de las 
manecillas del reloj. 
4. El número de polos inestables de la cadena cerrada será 
Z=N+P. 
Curva polar
Eje real
E
je
 i
m
a
g
in
a
ri
o
-2 -1 0 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
0
1
2
3
Curva polar
Eje real
E
je
 i
m
a
g
in
a
ri
o
-2 -1 0 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
0
1
2
3
 Para conseguir fácilmente la curva-imagen en vez de 
emplear la función 1+G(s)H(s), se utilizará G(s)H(s). 
 La contabilidad del número de vueltas de la curva imagen 
no será el origen, 0+j0, se habrá desplazado hacia –1+j0. 
La imagen de la curva  y la curva polar 
Real
-1+j0
Imag
*(s) por G(s)H(s)
*(s) por 1+G(s)H(s)
Real
-1+j0
Imag
*(s) por G(s)H(s)
*(s) por 1+G(s)H(s)
Ejemplo 12.1 
Dado el equipo modelado por la figura adjunta, se pide si para 
k=1, el sistema es estable o no mediante el criterio de Nyquist. 
En segundo lugar, se desea saber que valor de k hace que el 
sistema sea críticamente estable. Empléese la tabla de Routh, el 
LDR y la curva polar. 
Ejemplo 12.1 
   
   
  















3
1
1
2
1
11
5.0
321
3



jjj
jjj
HG
j
 j
R e a l
Im a g
x
-1
x
-3
x
-2
j
Re
I
I I
I I I
Ejemplo 12.1 
 ¿Con qué K dejara de ser estable? 
 Mediante el LDR y la tabla de Routh 
 
 
 
 
 
 
 
 Con Nyquist 
 
 
   
 
ksss
sk
ksss
sk
sM
36116
33
3321
33
23






   
       
  3223
23
1116
3
6116
3
6116
3
321
3



jj
k
jj
k
jjj
K
jjj
K
HG









Diagrama de Nyquist 
Eje real 
-2 0 2 4 6 8 10 12 
-8 
-6 
-4 
-2 
0 
2 
4 
6 
8 
20
3
60

cr
k
 
 









s
rad
f
11
011011
0
23



   
 
 
20
3
60
3
1116
1
16
3
2






cr
cr
ff
k
k
HG


Ejemplo 12.2 
¿ Hay algún valor de k > 0 que haga al amplificador 
realimentado de la figura que sea inestable ? . Utilice 
técnicas del LDR y el criterio de Nyquist. 
Ejemplo 12.2 
 LDR 
 
 
 Nyquist j
 j
Real
Imag
I
II

j
Re
II
IV
x
-1
 je
j
 j
Real
Imag
I
III
jj
 j j
Real
Imag
I
II

j
Re
j
Re
II
IV
x
-1
 je
 je
jj
 j j
Real
Imag
I
III
-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Diagrama Nyquist
Real
Im
a
g
in
a
ri
o
-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Diagrama Nyquist
Real
Im
a
g
in
a
ri
o
    
  

 

jjj
jj
eee
eHeG





1
lim
1
1
limlim
000
Ejemplo 12.3 
1. Determinar la respuesta en frecuencia de la ganancia de 
tensión del cuadripolo LC. 
2. Dibujar el diagrama de Bode y la curva polar del apartado 
anterior. 
3. Si se realimenta unitariamente el cuadripolo LC según la 
figura. Dibujar el lugar de raíces. 
4. Para k = 3, analizar la estabilidad según el criterio de 
Nyquist. ¿ Cual sería la respuesta ante una entrada en 
escalón? ¿ Cuanto vale d ?. 
 
Ejemplo 12.3 
1. Determinar la respuesta en frecuencia de la ganancia de 
tensión del cuadripolo LC. 
2. Dibujar el diagrama de Bode y la curva polar del apartado 
anterior. 
 
  1
1
2


LCj
jA
V


Ejemplo 12.3 
3. Si se realimenta unitariamente el cuadripolo LC según la 
figura. Dibujar el lugar de raíces. 
 
Ejemplo 12.3 
4. Para k = 3, analizar la estabilidad según el criterio de Nyquist. 
¿ Cual sería la respuesta ante una entrada en escalón? 
¿Cuanto vale d ?. 
 
j
 j
R e a l
I
I I
j
Re
I I I
IV


j
d
ej 


V
V I
V II


j
d
ej 
j
 j
R e a l
I
I I
j
Re
I I I
IV


j
d
ej 




V
V I
V II


j
d
ej 
 
 sradk
kLCs
k
sM
d
/000.203
1
2





0 0.5 1 1.5 
x 10 -3 
0 
0.5 
1 
1.5 
Criterio de Nyquist en sistemas de fase mínima 
 Z = N 
 Sólo bastará con seguir en SMR la curva polar y observar si el 
punto –1+j0 queda al lado izquierdo o no. En el caso de que 
quedase el punto –1+j0 a la izquierda de la curva, el sistema 
realimentado es estable 
Curva polar
Eje real
E
je
 i
m
a
g
in
a
ri
o
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Curva polar
Eje real
E
je
 i
m
a
g
in
a
ri
o
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Curva polar
Eje real
E
je
 i
m
a
g
in
a
ri
o
-2 -1 0 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
0
1
2
3
Curva polar
Eje real
E
je
 i
m
a
g
in
a
ri
o
-2 -1 0 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
0
1
2
3
Estabilidad relativa de sistemas de fase mínima (1/3) 
 La forma de cuantificar la estabilidad relativa está en las 
medidas de distancia o separación entre la curva de 
Nyquist y el punto –1+j0. 
 Se emplean dos medidas: margen de fase y margen de 
ganancia. 
 Estas medidas utilizan las frecuencia de cruce de ganancia 
y fase: 
     1 0g gG H dB           180arg ff HG 
   
ff
g
HG
k

1
    gg HG  arg180 
Estabilidad relativade sistemas de fase mínima(2/3) 
     1 0g gG H dB           180arg ff HG 
   
ff
g
HG
k

1
    
gg
HG  arg180 
Estabilidad relativa de sistemas de fase mínima (3/3) 
 Los diagramas de Bode son ideales para obtener el margen de 
fase y de ganancia de sistemas de fase mínima. 
     1 0g gG H dB    
      180arg
ff
HG 
   
ff
g
HG
k

1
    
gg
HG  arg180 
Ejemplo 12.4 
Las fuentes conmutadas son equipos de la Electrónica de Potencia que se 
alimentan de corriente continua a un determinado nivel de tensión y entregan a la 
carga también corriente continua con otro nivel de tensión (cc/cc). El esquema 
que se presenta en la figura muestra un reductor, ya que la tensión de entrada, V1, 
es mayor que la salida. En este caso la entrada es a 20V y la salida es a 5V. El 
control sobre este sistema depende del ciclo de trabajo del interruptor, al que se 
le denomina d (duty cycle). Este valor es la relación entre el tiempo de encendido 
del interruptor y el periodo de trabajo de la fuente conmutada. La regulación del 
sistema se hace a través de la modulación por ancho del pulso (Pulse Width 
Modulation, PWM), que ataca al interruptor, garantizando que la tensión en la carga 
sea siempre constante. Aunque el sistema es altamente no lineal, se ha linealizado 
y se ha determinado su FDT a partir de la potencia nominal que se entrega a la 
carga, en este caso 50W: 
V 1
2 0 V D 1
L 1
5 5 u H
C 1
5 0 u F
R 1
7 5 m O h m
R c
1 2
kP W M
+
-
u
s (d e s e a d a )
u
s
V 1
2 0 V D 1
L 1
5 5 u H
C 1
5 0 u F
R 1
7 5 m O h m
R c
1 2
kP W M
+
-
u
s (d e s e a d a )
u
s
 
 
 
   
 296
6
2
1016.3108.1131
1075.31
20
11
1
1
1
111
111
1
ss
s
sCL
R
R
s
R
L
CR
sCR
V
sd
su
sG
CC
s
P 

































k P W M G
P
(s )
+
-
u
s (d e s e a d a )
d (s ) u s(s )
k P W M G
P
(s )
+
-
u
s (d e s e a d a )
d (s ) u s(s )
Ejemplo 12.4 
V 1
2 0 V D 1
L 1
5 5 u H
C 1
5 0 u F
R 1
7 5 m O h m
R c
1 2
kP W M
+
-
u
s (d e s e a d a )
u
s
V 1
2 0 V D 1
L 1
5 5 u H
C 1
5 0 u F
R 1
7 5 m O h m
R c
1 2
kP W M
+
-
u
s (d e s e a d a )
u
s
 Se pide: 
1. Obtener la ganancia estática, k, de manera que se cumpla la 
especificación del 5V1% de variación en la tensión de salida. 
2. Representar el diagrama de Bode de la cadena abierta con la 
ganancia estática del compensador, kGP(j). 
3. Calcular la frecuencia de cruce de ganancia y el margen de 
fase. 
 
 
 
 
 
6
6 9 2
1 3 .7 5 1 0
2 0
1 1 1 3 .8 1 0 3 .1 6 1 0
s
P
su s
G s
d s s s

 
 
 
   
k P W M G
P
(s )
+
-
u
s (d e s e a d a )
d (s ) u s(s )
k P W M G
P
(s )
+
-
u
s (d e s e a d a )
d (s ) u s(s )
Ejemplo 12.4 
1. Obtener la ganancia estática, k, de manera que se cumpla la 
especificación del 5V1% de variación en la tensión de salida. 
 
 
 
 
 
 
6
6 9 2
1 3 .7 5 1 0
2 0
1 1 1 3 .8 1 0 3 .1 6 1 0
s
P
su s
G s
d s s s

 
 
 
   
k P W M G
P
(s )
+
-
u
s (d e s e a d a )
d (s ) u s(s )
k P W M G
P
(s )
+
-
u
s (d e s e a d a )
d (s ) u s(s )
   5110001.0
1
1
lim
0




kVksGkkk
k
e
P
s
pp
P
P
2. Representar el diagrama de Bode de la cadena abierta con la 
ganancia estática del compensador, kGP(j). 
 
266.666 [rad/s] y por un polo de segundo 
orden, cuya frecuencia natural, n,p ,es de 
17.789 [rad/s] y un factor de 
amortiguamiento, , de alrededor de 1. 
Ejemplo 12.4 
 
 
 
 
 
6
6 9 2
1 3 .7 5 1 0
2 0
1 1 1 3 .8 1 0 3 .1 6 1 0
s
P
su s
G s
d s s s

 
 
 
   
k P W M G
P
(s )
+
-
u
s (d e s e a d a )
d (s ) u s(s )
k P W M G
P
(s )
+
-
u
s (d e s e a d a )
d (s ) u s(s )
3. Calcular la frecuencia de cruce y el margen de fase. 
 
   
09999104695.110985.9
108.1131016.31
1075.31205
1
27418
2
6
2
29
2
6







gg
gg
g



     º12.47
1016.31
108.113
1075.3180arg180
29
6
6















g
g
ggP
arctgarctgjkG



la frecuencia de cruce es de 199.620[rad/s] 
Problema 3 
Para la colonización de la luna, la Agencia Europea del Espacio (ESA), trabaja en la 
teleoperación de robots. Suponiendo que el tiempo de retraso en la transmisión 
de una señal de comunicación, entre la Tierra y la Luna, es de 1.28 seg. Se pide: 
1. Diagrama de Bode y curva polar de la cadena abierta para un valor de k igual 
a 1.2. 
2. Determinar la ganancia k de forma que el sistema tenga un margen de fase de 
aproximadamente de 50º. 
 
Problema 3 
 
1. Diagrama de Bode y curva polar de la cadena abierta para un valor de k 
a 1.2. 
 
 
 
 
 
 
   
1
1
2.1
56.2



s
esHsG
s
Problema 3 
2. Determinar la ganancia k de forma que el sistema tenga un margen de 
fase de aproximadamente de 50º. 
 
 
 
18.11
63.01
2


k
k
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
System: g1
Gain Margin (dB): 8.89
At frequency (rad/sec): 3.19
Closed Loop Stable? Yes
System: g1
Gain Margin (dB): 1.14
At frequency (rad/sec): 0.934
Closed Loop Stable? Yes
M
a
g
n
itu
d
e
 (
d
B
)
10
-2
10
-1
10
0
-720
-630
-540
-450
-360
-270
-180
-90
0
System: g1
Phase Margin (deg): 49.1
Delay Margin (sec): 1.29
At frequency (rad/sec): 0.663
Closed Loop Stable? Yes
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
    sradTTarctg
ggdggdg
/63.0
º180
º130
2
180
218050  


Problema 4 
 Se desea analizar el sistema de control de espesor de un tren de laminación. La acción 
de control se realiza por medio de la regulación de la fuerza que ejercen los rodillos 
sobre la plancha de acero saliente, de forma que la acción de control regule el espesor 
del acero. Para poder realimentar el espesor logrado se dispone de un sensor laser que 
aguas abajo obtiene una señal proporcional al grosor. El valor medido es necesario 
filtrarlo para eliminar la componente de alta frecuencia debido a las imperfecciones 
superficiales de la lámina saliente. Finalmente, la señal obtenida se compara con una 
referencia y el error se utiliza para actuar según una acción proporcional (K=0.25) sobre 
el tren de laminado. En las figuras siguientes se muestran el esquema del sistema y el 
diagrama de bloques correspondiente. 
 Puesto que el sensor está situado a cierta distancia d respecto de la salida del tren de 
laminación, existe un retardo debido al transporte que dependerá de la distancia, puesto 
que la velocidad de salida de la plancha se considerará constante e igual a 1 metro por 
segundo en las condiciones nominales. 
Problema 4 
 Se pide: 
1.- Calcular los errores de posición, velocidad y aceleración del sistema. 
2.- Pintar la respuesta en frecuencia del sistema en cadena abierta considerando la distancia 
de medida nula y por tanto que no hay retardo en la medida. Trazar el diagrama de bode 
asintótico y el diagrama polar. 
3.- Obtener el Margen de fase y el Margen de ganancia para las condiciones anteriores. 
Demostrar que la frecuencia de cruce de ganancia es de 0.035 Hz y que la frecuencia de 
cruce de fase es de 0.16 Hz. 
4.- Para evitar oscilaciones excesivas se quiere asegurar que el margen de fase no supere 
los 50º. ¿Cuál es la distancia máxima admisible a la que puede situarse el sensor?. ¿A qué 
distancia se vuelve inestable el sistema?. 
Problema 4 
 Se pide: 
1.- Calcular los errores de posición, velocidad y aceleración del sistema. 
2.- Pintar la respuesta en frecuencia del sistema en cadena abierta considerando la distancia 
de medida nula y por tanto que no hay retardo en la medida. Trazar el diagrama de bode 
asintótico y el diagrama polar. 
  








 25.05.2
)5.05.2(
)(lim)(1
)(
lim
23
2
00 sss
sss
ssXsMK
KsX
se
s
H
H
s
rp
0
25.05.2
)5.05.2(1
lim
23
2
0









 sss
sss
s
se
s
p 2
25.05.2
)5.05.2(1
lim
23
2
2
0









 sss
sss
s
se
s
v 








 25.05.2
)5.05.2(1
lim
23
2
3
0 sss
sss
s
se
s
a
-150
-100
-50
0
50
M
a
g
n
itu
d
e
 (
d
B
)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-270
-225
-180
-135
-90
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Nyquist Diagram
Real Axis
Im
a
g
in
a
ry
 A
x
is
Problema 4 
 Se pide: 
3.- Obtener el Margen de fase y el Margen de ganancia para las condiciones anteriores. 
Demostrar que la frecuencia de cruce de ganancia es de 0.035 Hz y que la frecuencia de 
cruce de fase es de 0.16 Hz. 
4.- Para evitar oscilaciones excesivas se quiere asegurar que el margen de fase no supere 
los 50º. ¿Cuál es la distancia máxima admisible a la que puede situarse el sensor?. ¿A qué 
distancia se vuelve inestable el sistema?. 
222.05.022.022.0
25.0
1)()(


jjj
jHjG
gg

2
1
5.0
1
90180)()( atnatnjHjG
ff
 
dB
jHjG
K
jHjG
ff
g
gg
2010
)()(
1
º60)()(180




seg
rad
f
Hz 116.0 
seg
rad
g
Hz 22.0035.0 
.79.0.79.022.0
180
10
º10 metrosdistanciasegTTT
g



.75.4.75.422.0
180
60
º60 metrosdistanciasegTTT
g



∝ 
∝ 
Problema 6 
El esquema de la figura muestra el sistema elevación de un avión. Bajo ciertas 
simplificaciones, la FDT entre el timón de cola y la elevación de la aeronave es: 
 
Se pide: 
1. Dibujar el diagrama de bode. 
2. Representar la curva polar. 
3. Si se realimenta unitariamente, calcular las frecuencias de cruce de ganancia 
y fase, junto a los márgenes de fase y ganancia. 
 
 
 
3 2
1 .1 5 1 0 .1 7 7 5
0 .7 3 9 0 .9 2 1
s s
s s s s




 
Bode 
 Normalización de la FDT 
 
 
 
 La frecuencia del cero está a 0.154 [rad/s] y la frecuencia natural del polo esta a 
0.96 [rad/s]. 
 
 
 
3 2 2
0 .1 7 7 5 1 6 .4 8 4 51 .1 5 1 0 .1 7 7 5
0 .7 3 9 0 .9 2 1
0 .9 2 1 2 0 .3 8 5 1
0 .9 5 9 7 0 .9 5 9 7
j
j j
j
  
      

 
 
      
        
    
-80
-60
-40
-20
0
20
40
M
a
g
n
itu
d
e
 (
d
B
)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-180
-135
-90
-45
0
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Curva polar 
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Nyquist Diagram
Real Axis
Im
a
g
in
a
ry
 A
x
is
Estabilidad 
 Frecuencia de cruce de ganancia y margen de fase 
 
2
22
0 .1 7 7 5 1 6 .4 8 4 5
1 1 .2 7[ / ]
0 .9 2 1 1 2 0 .3 8 5
0 .9 5 9 7 0 .9 5 9 7
g
g
g g
g
ra d s


 

 
  
      
        
 
     
     2
0 .8
1 8 0 a rg 1 8 0 9 0 6 .4 8 4 6 .9 º
1 1 .0 8
g
g g
g
G a rc tg a rc tg

  

 
        
  
 