Matemática Econômica III-aula 3 1 (2)

Prévia do material em texto

Matemática Econômica III
Técnicas de Derivação
› Função constante: Para qualquer constante c
𝑑
𝑑𝑥
𝑐 = 0
› Em outras palavras, a derivada de qualquer constante
é nula
› Regra da Potência
› Para qualquer número real n, f(x) = 𝑥2
› 2𝑥2−1 = 2𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1 𝑜𝑢 𝑓′ 𝑥 = 𝑛𝑥𝑛−1
2
continuando
Regra da soma:
› Se 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) são duas funções deriváveis, a soma
𝑆(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) também é uma função derivável
𝑑
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥
𝑔 𝑥
𝑓 𝑥 = 2𝑥3 +2
𝑓′ 𝑥 = 6𝑥²
3
Continuando...
› Regra do produto
𝑑
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑔 𝑥 + 𝑔 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥
Ou 𝑓𝑔 ′ = 𝑓𝑔′ + 𝑔𝑓′
› a derivada do produto 𝑓𝑔 é igual 𝑓 vezes a derivada de 𝑔 mais
𝑔 vezes a derivada de 𝑓.
› Regra do quociente
›
𝑑
𝑑𝑥
=
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
=
𝑔 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑔 𝑥
𝑔2 𝑥
𝑠𝑒 𝑔 𝑥 ≠ 0
Ou
𝑓
𝑔
′
=
𝑔𝑓′−𝑓𝑔′
𝑔2
4
Continuando...
› Regra da cadeia
› função composta 𝑦 = 𝑓 𝑔 𝑥 é uma função derivável de 𝑥 cuja
derivada é dada pelo produto
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Ou
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓′ 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥
› Regra da potência generalizada
› Para qualquer número real n e qualquer função derivável h,
𝑑
𝑑𝑥
ℎ 𝑥 𝑛 = 𝑛 ℎ 𝑥 𝑛−1
𝑑
𝑑𝑥
ℎ 𝑥
5
Derivadas Parciais
› Em muitos problemas que envolvem funções de duas
variáveis, estamos interessados em calcular a taxa de
variação da função com uma das variáveis enquanto a
outra permanece constante, o que corresponde a derivar
a função em relação a uma das variáveis mantendo fixa a
outra variável.
› Esse processo é conhecido como derivação parcial.
6
Derivada Parcial
› Se 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) , a derivada parcial de 𝑓 em relação a 𝑥 é
representada por
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑜𝑢 𝑓𝑥𝑥, 𝑦
E é a função obtida derivando 𝑓 em relação a 𝑥 enquanto
𝑦 é tratada como constante. A derivada parcial de 𝑓 em
relação a 𝑦 é representada por
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑜𝑢 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦
E é a função obtida derivando 𝑓 em relação a 𝑦 enquanto
𝑥 é tratada como constante.
7
Derivadas Parciais
1. Calcular as derivadas parciais 𝑓𝑥 𝑒 𝑓𝑦 𝑑𝑒
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦2 +
2𝑦
3𝑥
Solução:
Para simplificar os cálculos, podemos escrever a função na forma
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦2 +
2𝑦𝑥−1
3
Para calcular 𝑓𝑥 derivamos a função termo a termo, considerando
𝑥 como variável e 𝑦 como
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 + 2 1 𝑦
2 +
2
3
𝑦 −1𝑥−2 = 2𝑥 + 2𝑦2 −
2𝑦
3𝑥2
Para calcular 𝑓𝑦 derivamos a função termo a termo, considerando
y como variável e 𝑥 como
𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 0 + 2𝑥2𝑦 +
2
3
1 𝑥−1 = 4𝑥𝑦 +
2
3𝑥 8
Derivadas parciais
2. Calcule as derivadas parciais 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
e 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
da função 
𝑧 = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 5
Solução:
2. Mantendo 𝑦 constante e usando a regra da cadeia para derivar 
𝑧 em relação a 𝑥, temos:
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 5 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 4
𝜕
𝜕𝑥
𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦
= 5 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 4 2𝑥 + 𝑦
2. Mantendo 𝑥 constante e usando a regra da cadeia para derivar 
𝑧 em relação a 𝑦, temos:
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 5 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 4
𝜕
𝜕𝑦
𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦
= 5 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 4 𝑥 + 1
9
Análise Marginal
› Em economia, o termo análise marginal se refere ao uso de
uma derivada para estimar a variação do valor de uma função
em consequência de uma mudança no valor de uma das
variáveis.
1. Exemplo: Estima-se que a produção semanal de uma fábrica
é dada pela função 𝑄 𝑥, 𝑦 = 1200𝑥 + 500𝑦 + 𝑥2𝑦 − 𝑥3 − 𝑦2
unidades, onde 𝑥 é o número de operários especializados e y
o número de operários não especializados no trabalho. No
momento, a mão de obra disponível é constituída por 30
operários especializados e 60 operários não especializados.
Use a análise marginal para estimar a variação da produção
se mais 1 operário especializado for contratado e o número
de operários não especializados permanecer constante.
10
Continuando...
› Solução:
› Taxa de variação da produção com o número de
operários especializados
𝑄𝑥(𝑥, 𝑦) = 1.200 + 2𝑥𝑦 − 3𝑥²
› Para quaisquer valores de 𝑥 e 𝑦, esta é uma
aproximação do número de unidades a mais que
serão produzidas por semana se o número de
operários especializados aumentar de 𝑥 para 𝑥 + 1 e o
número 𝑦 de operários não especializados
permanecer constante.
11
Continuando...
› Se o número de operários especializados aumentar de 30
para 31 e o número de operários não especializados
permanecer constante em 60, a variação de produção será
aproximadamente
› 𝑄𝑥(30,60) = 1.200 + 2(30)(60) – 3(30)² = 2.100 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠.
› Calculando a variação exata, 𝑄(31,60) – 𝑄(30,60).
› 𝑄(31,60) = 1.200.31 + 500.60 + 31². 60 − 31³ − 60² = 91.469
› 𝑄(30,60) = 1.200.30 + 500.60 + 30². 60 − 30³ − 60² = 89.400
› 𝑄(31,60) – 𝑄(30,60) = 91.469 – 89.400 = 2.069 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠.
12
Observação1
› Se 𝑄(𝐾, 𝐿) é o resultado de um processo de produção
que envolve o uso de 𝐾 unidades de capital
imobilizado e L unidades de mão de obra, a derivada
parcial 𝑄𝐾(𝐾, 𝐿) , conhecida como
𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒎𝒂𝒓𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍, é uma medida
da variação da produção com o capital imobilizado
quando o volume da mão de obra permanece
constante.
13
Observação2
› Analogamente, a derivada parcial 𝑄𝐿(𝐾, 𝐿) , conhecida
como 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒎𝒂𝒓𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒂𝒎ã𝒐 𝒅𝒆 𝒐𝒃𝒓𝒂 , é
uma medida da variação da produção com a mão de
obra quando o capital imobilizado permanece
constante.
14
Exemplo 2
› Um fabricante estima que a produção mensal de uma
fábrica é dada pela função 𝐶𝑜𝑏𝑏–𝐷𝑜𝑢𝑔𝑙𝑎𝑠
𝑄(𝐾, 𝐿) = 50 𝐾0,4𝐿0,6
› Onde 𝐾 é o capital imobilizado em milhares de reais e 𝐿 e
o volume de mão de obra em homens – horas.
a. Determine a produtividade marginal do capital, 𝑄𝐾 , e a
produtividade marginal de mão de obra, 𝑄𝐿, para um
capital imobilizado de 𝑅$750.000,00 e um volume de
mão de obra de 991 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠– ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠.
15
Continuando...
b. O fabricante deve aumentar o capital imobilizado ou o
volume de mão de obra para aumentar rapidamente a
produção? 𝑄(𝐾, 𝐿) = 50 𝐾0,4𝐿0,6
› Solução:
a. 𝑄𝐾 𝐾, 𝐿 = 50 0,4𝐾
−0,6 𝐿0,6 = 20𝐾−0,6𝐿0,6
› 𝑄𝐿 𝐾, 𝐿 = 50𝐾
0,4 0,6𝐾−0,4 = 30𝐾0,4𝐿−0,4
› Para K = 750 𝑒 𝐿 = 991
› 𝑄𝐾 750,991 = 20 750
−0,6 991 0,6 ≈ 23,64
› 𝑄𝐿 750,991 = 30 750
0,4 991 −0,4 ≈ 26,84
16
Corrigir
Continuando...
b. De acordo com o resultado do item (𝑎) , um aumento de
uma unidade no capital imobilizado (𝑅$1.000,00 ) resulta
em um aumento da produção de 23,64 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 , que é
menor que o aumento de 26,84 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 resultante de um
aumento da uma unidade no volume de mão de obra.
Assim, o fabricante deve aumentar o volume de mão de
obra para aumentar rapidamente a produção.
17
Exercício proposto
› Calcule todas as derivadas parciais de primeira ordem da
função dada.
1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 7𝑥 + 10𝑦
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 7
𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 10
1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1/𝑥² + 3/𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 = 1. 𝑥−2 + 3𝑦−1
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 1.−2𝑥
−2−1= −2𝑥−3 = −
2
𝑥3
𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 3.−1𝑦
−1−1 = −3𝑦−2 = −
3
𝑦2
18
Continuar...
1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥² + 3𝑦²
2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥(𝑦 – 3𝑥) – 4𝑦
3. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦⁵ + 3𝑥²𝑦 + 𝑥²
4. 𝑧 = 5𝑥²𝑦 + 2𝑥𝑦³ + 3𝑦²
5. 𝑧 = (3𝑥 + 2𝑦)⁵
6. 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦)³
7. 𝑓(𝑠, 𝑡) = 3𝑡/2𝑠
19
Exercício proposto
1. Considere a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥² + 3𝑦² . Usando a definição
de derivada parcial, calcule 𝑓𝑥 (3,2) 𝑒 𝑓𝑦(3,2).
2. Considere a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 3y. Calcule 𝑥. 𝑓𝑥 + 𝑦. 𝑓𝑦.
3. Considere a seguinte função de produção 𝑃(𝑥, 𝑦) =
2𝑥½. 𝑦½, em que 𝑃 é a quantidade colhida de um produto
(em toneladas), 𝑥 é o número de homens–hora empregados
(em milhares) e 𝑦 é o número de hectares plantados.
Calcule:
a) A produtividade marginal do trabalho 𝜕𝑃/𝜕𝑥.
b) A produtividade marginal da terra 𝜕𝑃/𝜕𝑦.
c) 𝜕𝑃/𝜕𝑥(1,4) 𝑒 𝜕𝑃/𝜕𝑦(1,4). Interprete o resultado.
20
empregados (em milhares) e 𝑦 é o número de 
hectares plantados.
𝜕𝑃/𝜕𝑥(1,4) 𝑒 𝜕𝑃/𝜕𝑦(1,4). Interprete o resultado.
1. 𝑃(𝑥, 𝑦) = 2𝑥0,5𝑦0,5
a)
𝜕𝑝
𝜕𝑥
=2.0,5𝑥0,5−1. 𝑦0,5 = 𝑥−0,5𝑦0,5
b)
𝜕𝑝
𝜕𝑦
= 2. 𝑥0,5. 0,5𝑦0,5−1 = 𝑥0,5𝑦−0,5 4−0,5 =
1
40,5
=
1
4
=
1
2
c)
𝜕𝑝
𝜕𝑥
1,4 = 𝑥−0,5𝑦0,5 = 1−0,540,5 = 2
d)
𝜕𝑝
𝜕𝑦
1,4 = 𝑥0,5𝑦−0,5 = 10,54−0,5 =
1
2
21
Produtos Substitutos e Complementares
› Dois produtos são chamados de produtos substitutos se o
aumento da demanda de um resulta na diminuição da
demanda do outro. Produtos substitutos são competitivos,
como 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑖𝑔𝑎 𝑒 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑎𝑟𝑖𝑛𝑎.
› Dois produtos são chamados de produtos
complementares se o aumento de demanda de um resulta
no aumento da demanda do outro. É o caso,
𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜, 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑎𝑠.
Continuando...
› As derivadas parciais podem ser usadas para verificar se dois
produtos são substitutos ou complementares.
› Suponha que 𝐷₁(𝑝₁, 𝑝₂) unidades de um produto e
𝐷₂(𝑝₁, 𝑝₂) unidades de um segundo produto sejam vendidas quando
os preços unitários dos dois produtos são 𝑝₁ 𝑒 𝑝₂ . É razoável
esperar que as demandas diminuam quando os preços aumentam,
de modo que
𝜕𝐷1
𝜕𝑝1
< 0 𝑒
𝜕𝐷2
𝜕𝑝2
< 0
Continuando...
› No caso de produtos substitutos, a demanda de um produto aumenta
quando o preço do outro aumenta e, portanto,
𝜕𝐷1
𝜕𝑝2
> 0 𝑒
𝜕𝐷2
𝜕𝑝1
> 0
› No caso de produtos complementares, por outro lado, a demanda de um
produto diminui quando o preço do outro aumenta e, portanto
𝜕𝐷1
𝜕𝑝2
< 0 𝑒
𝜕𝐷2
𝜕𝑝1
< 0
Exemplo
› A demanda de farinha de trigo em uma certa cidade é dada por
𝐷₁(𝑝₁, 𝑝₂) = 500 + 10/(𝑝₁ + 2) − 5𝑝₂
› Enquanto a demanda do pão é dada por
𝐷₂(𝑝₁, 𝑝₂) = 400 − 2𝑝₁ + 7/(𝑝₂ + 3)
› Onde 𝑝₁ é o preço do quilo de farinha de trigo e 𝑝₂ é o preço do pão
francês de 50 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 . Verifique se o pão e a farinha de trigo são
produtos substitutos ou complementares.
› Solução:
› Calculando as derivadas parciais relevantes, temos:
𝜕𝐷1
𝜕𝑝2
= −5 < 0 𝑒
𝜕𝐷2
𝜕𝑝1
= −2 < 0
Como as duas derivadas parciais são sempre negativas, chegamos à
conclusão de que o pão e a farinha de trigo (como era de se esperar) são
produtos complementares.
Derivadas Parciais de Segunda Ordem
› As derivadas parciais podem ser novamente derivadas: as funções
resultantes recebem o nome de derivadas parciais de segunda ordem
de uma função de duas variáveis.
• Se 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), a derivada parcial de 𝑓, em relação a 𝑥 é
𝑓𝑥𝑥 = 𝑓𝑥 𝑥 𝑜𝑢
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
=
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑥
A derivada parcial de fₓ em relação a y é
𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑥 𝑦 𝑜𝑢
𝜕2𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥
=
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
A derivada parcial de fy em relação a x é
𝑓𝑦𝑥 = 𝑓𝑦 𝑥
𝑜𝑢
𝜕2𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑦
A derivada parcial de fy em relação a y é
𝑓𝑦𝑦 = 𝑓𝑦 𝑦
𝑜𝑢
𝜕2𝑧
𝜕𝑦
2 =
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
Exemplo
› Calcule as quatro derivadas parciais de segunda ordem
da função
a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦3 + 5𝑥𝑦2 + 2𝑥 + 1
› 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑦³ + 5𝑦² + 2
› 𝒇𝒙𝒙(𝒙, 𝒚) = 0
› 𝒇𝒙𝒚(𝑥, 𝑦) = 3𝑦² + 10𝑦
a) 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 3𝑥𝑦
2 + 10𝑥𝑦
› 𝑓𝑦𝑦(𝑥, 𝑦) = 6𝑥𝑦 + 10𝑥
› 𝑓𝑦𝑥(𝑥, 𝑦) = 3𝑦
2 + 10𝑦
Continuar...
› 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5𝑥⁴𝑦³ + 2𝑥𝑦
› 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 20 𝑥³𝑦
3 + 2𝑦
› 𝒇𝒙𝒙(𝒙, 𝒚) = 𝟔𝟎𝒙
𝟐𝒚𝟑
› 𝒇𝒙𝒚(𝑥, 𝑦) = 𝟔𝟎 𝒙³𝒚
𝟐 + 𝟐
a) 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 15𝑥
4𝑦² + 2𝑥
b) 𝑓𝑦𝑦(𝑥, 𝑦) = 30𝑥
4𝑦
c) 𝑓𝑦𝑥(𝑥, 𝑦) = 60𝑥
3𝑦 + 2
28
Função Composta – Regra da Cadeia
› Regra da Cadeia para funções de duas variáveis: Suponha
que 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) seja uma função diferenciável de 𝑥 e 𝑦,
onde 𝑥 = 𝑔(𝑡) e 𝑦 = ℎ(𝑡) são funções difereciáveis de 𝑡.
Então 𝑧 é uma função diferenciável de 𝑡 e
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
..


+


=
constante x para t com z de variaçãode taxaa é .
constantey para t com z de variaçãode taxaa é .
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z




A taxa de 
variação total 
de 𝑧 com 𝑡 é a 
soma das duas 
taxas de 
variação 
“parciais”.
Exemplo
› Uma loja de produtos naturais vende dois tipos de cápsulas vitamínicas, da
marca 𝐴 e da marca 𝐵 . As pesquisas de mercado mostram que se um vidro da
marca 𝐴 for vendido por 𝑥 reais e um vidro da marca 𝐵 for vendido por 𝑦 reais,
a demanda da marca 𝐴 será
𝑄 𝑥, 𝑦 = 300– 20𝑥2 + 30𝑦 vidros por mês
𝑄𝑥 𝑥, 𝑦 = −40𝑥
𝑄𝑦 𝑥, 𝑦 = 30
Estima-se que daqui a 𝑡meses o preço de um vidro da marca 𝐴 será
𝑥 = 2 + 0,05𝑡 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 0,05
E o preço de um vidro da marca 𝐵 será
𝑦 = 2 + 0,1 𝑡 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 = 2 + 0,1𝑡
1
2
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0,1.0,5𝑡0,5−1 = 0,05𝑡−0.5
Qual será a taxa de variação com o tempo da demanda da marca 𝐴 daqui a
4meses?
Continuando...
› Solução:
› Estamos interessados em calcular 𝑑𝑄/𝑑𝑡 para 𝑡 = 4. Usando
a regra da cadeia, obtemos
›
𝑑𝑄
𝑑𝑡
=
𝜕𝑄
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑄
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −40𝑥 0,05 + 30(0,05𝑡−
1
2)
› Para 𝑡 = 4
𝑥 = 2 + 0,05 4 = 2,2
E, portanto
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= −40 2,2 0,05 + 30 0,05 0,5 = −3,65
Assim, daqui a 4 meses a demanda da marca 𝐴 estará
diminuindo à taxa de 3,65 vidros por mês.
31
Bibliografia
› Básica:
› Pedro A. MORETTIN, Samuel HAZZAN, Wilton de O. BUSSAB.
Cálculo: funções de uma e várias variáveis – 3ª ed. São Paulo:
Saraiva, 2016.
› HOFFMANN, Laurence. D. Cálculo: um curso moderno e suas
aplicações. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1984.
› Complementar:
› MACHADO, Nilson José. Cálculo, Funções de duas variáveis. 2ª
Ed. São Paulo: Guanabara Dois, 1982.
› WEBER, Jean E. Matemática para Economia e Administração. 3ª
Ed. São Paulo HARBRA, 1977.
32