Exercícios Resolvidos

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Estatística Aplicada à Biologia - EAD
Carlos Ap. dos Santos
DES - Universidade Estadual de Maringá
Maio - 2019
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Web aula
Exercício 1
Informação sobre os salários, expresso como fração do salário mínimo,de 36
empregados da seção de orçamento da Companhia MB.
4.00 4.56 5.25 5.73 6.26 6.66 6.86 7.39 7.59
7.44 8.12 8.46 8.74 8.95 9.13 9.35 9.77 9.80
10.53 10.76 11.06 11.59 12.00 12.79 13.23 13.60 13.85
14.69 14.71 15.99 16.22 16.61 17.26 18.75 19.40 23.30
Faça uma tabela de frequências apropriada. Calcule o Q1,Q2 e Q3.
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Exercício 2
Os dados a seguir, representam as vendas semanais de vendedores de gêneros
alimentícios
Vendas semanais No de vendedores
30 ` 35 2
35 ` 40 10
40 ` 45 18
45 ` 50 50
50 ` 55 70
55 ` 60 30
60 ` 65 18
65 ` 70 2
Total 200
Calcule a média, moda, desvio-padrão e coeficiente de variação. É a média
"representativa"para esses dados?
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Exercício 3
Fale sobre as 4 técnicas de amostragem estudadas no curso.
Exercício 4
Numa indústria sabe-se que 25% dos itens produzidos apresentam algum tipo de
defeito. Três itens são escolhidas ao acaso. Seja X a v.a. definida como o número
de itens defeituosos que aparecem na amostra. Estabeleça a distribuição de
probabilidade de X , identificando o espaço amostral do experimento. Faça ainda a
função de distribuição acumulada.
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Exercício 5
O escore em um teste internacional de proficiência na língua inglesa varia de 0 a
700 pontos, com mais pontos indicando um melhor desempenho. Informações,
coletadas durante vários anos, permitem estabelecer o seguinte modelo para o
desempenho no teste
Pts [0, 200) [200, 300) [300, 400) [400, 500) [500, 600) [600, 700)
pi 0.06 0.15 0.16 0.25 0.28 0.10
Várias universidades americanas, exigem um escore mínimo de 600 pontos para
aceitar candidatos de países de língua não-inglesa. De um grande grupo de
estudantes brasileiros que prestaram o último exame, escolhemos ao acaso 20
deles. Qual a probabilidade de no máximo 3 atenderem ao requisito mínimo
mencionado?
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Exercício 6
Uma corretora negocia títulos na Bolsa de Valores e utiliza um modelo
probabilístico para avaliar seus lucros. Suas aplicações financeiras de compra e
venda atingem três áreas: agricultura, indústria a comércio. Admita que o
seguinte modelo representa o comportamento do lucro diário da corretora (em
milhares de reais)
L = 2LA + 5LI + 3LC
com LA, LI e LC representando, respectivamente, os lucros diários nos setores de
agricultura, indústria e comércio. As distribuições de probabilidade dessas
variáveis aleatórias são LA ∼ N(3; 4), LI ∼ N(6; 9) e LC ∼ N(4; 16). Supondo
independência entre os três setores, qual será a probabilidade de um lucro diário
acima de 50 mil?
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Exercício 7
Deseja-se investigar se uma certa moléstia que ataca o rim altera o consumo de
oxigênio desse órgão. Para indivíduos sadios, admite-se que esse consumo tem
distribuição Normal com média 12cm3/min. Os valores medidos em cinco
pacientes com a moléstia foram: 14.4; 12.9; 15.0; 13.7 e 13.5.
(a) Qual seria a conclusão, ao nível de 5% de significância?
(b) Como seria o intervalo com 96% de confiança se a variância populacional
fosse σ=0.94?
Exercício 8
Um relatório de uma companhia afirma que 40% de toda a água obtida, através
de poços artesianos no Nordeste, é salobra. Há muitas controvérsias sobre essa
informação, alguns dizem que a proporção é maior, outros que é menor. Para
dirimir as dúvidas, 400 poços foram sorteados e observou-se, em 120 deles, água
salobra. Qual seria a conclusão, ao nível de 3%? Como ficaria um intervalo de
confiança neste mesmo nível?
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Resoluções
1-) Número de classes: k =
√
n =
√
36 = 6
AT = Vmax − Vmin = 23.30− 4.00 = 19.30
Tamanho dos intervalos: h = AT/k = 19.30/6 = 3.21667 ' 3.22
Tabela : Distribuição de Frequências
Classes fi fri Fi Fri
4.00 ` 7.22 7 0.194 7 0.194
7.22 ` 10.44 11 0.306 18 0.500
10.44 ` 13.66 8 0.222 26 0.722
13.66 ` 16.88 6 0.167 32 0.889
16.88 ` 20.10 3 0.083 35 0.972
20.10 ` 23.32 1 0.028 36 1.000
Total 36 1.000 – –
Posição do quantil Q1: P = n · p = 36× 0.25 = 9
Portanto
Q1 = q(25%) = x(p) = x(9) = 7.59
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Posição do quantil Q2: P = n · p = 36× 0.50 = 18
Portanto
Q1 = q(50%) = x(p) = x(18) = 9.80
Posição do quantil Q3: P = n · p = 36× 0.75 = 27
Portanto
Q1 = q(75%) = x(p) = x(27) = 13.85
à à à à à à à à à à à à à à à à à à
2-) Tabela para os cálculos
Classes fi PMi xi × fi (xi − X̄ )2 (xi − X̄ )2 × fi
30 ` 35 2 32.5 65 349.69 699.38
35 ` 40 10 37.5 375 187.69 1876.90
40 ` 45 18 42.5 765 75.69 1362.42
45 ` 50 50 47.5 2375 13.69 684.50
50 ` 55 70 52.5 3675 1.69 118.30
55 ` 60 30 57.5 1725 39.69 1190.70
60 ` 65 18 62.5 1125 127.69 2298.42
65 ` 70 2 67.5 135 265.69 531.38
Total 200 – 10240 – 8762
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Portanto
X̄ =
n∑
i=1
xi
n =
10240
200 = 51.2
Var(X ) =
n∑
i=1
(xi − X̄ )2 × fi
n − 1 =
8762
199 = 44.03 =⇒ s = DP(X ) =
√
44.03 = 6.636
CV = s
X̄
=
6.636
51.2 = 0.1296
Como o coeficiente de variação foi baixo (12.96%) podemos dizer que a média foi
representativa para esse conjunto de dados.
à à à à à à à à à à à à à à à à à à
3-) As 4 técnicas de amostragem estudadas.
Amostragem Aleatória Simples: os elementos da população têm igual
probabilidade de pertencer à amostra e todas as possíveis amostras têm igual
probabilidade de ocorrerem.
Amostragem Sistemática: os elementos da amostra são escolhidos segundo
um fator de repetição (intervalo fixo); onde cada elemento pode ser
identificado pela sua posição ordenada (uma lista, uma fila).
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Amostragem Estratificada: utilizada no caso de uma população
heterogênea, que pode ser subdividida em sub-populações aproximadamente
homogêneas (estratos). Retira-se uma amostra proporcional de cada estrato
(usando a técnica aleatória simples ou sistemática).
Amostragem por Conglomerado: a população que apresenta uma
subdivisão em subpopulações (conglomerados) distintas (quarteirões,
residências, famílias, bairros, etc). Consiste em sortear segundo a AAS, um
número suficiente de conglomerados, cujos elementos constituirão a amostra.
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4-) Indústria com item defeituoso. Pr(D) = 0.25 e Pr(D) = 0.75
Ω X Pr(X = x)
(D,D,D) 3 Pr(X = 3) = 0.253 = 0.016
(D,D,D) 2 Pr(X = 2) = 0.252 × 0.75 = 0.047
(D,D,D) 2 Pr(X = 2) = 0.252 × 0.75 = 0.047
(D,D,D) 2 Pr(X = 2) = 0.252 × 0.75 = 0.047
(D,D,D) 1 Pr(X = 1) = 0.25× 0.752 = 0.141
(D,D,D) 1 Pr(X = 1) = 0.25× 0.752 = 0.141
(D,D,D) 1 Pr(X = 1) = 0.25× 0.752 = 0.141
(D,D,D) 0 Pr(X = 0) = 0.753 = 0.422
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Logo a função de probabilidade (ou distribuição de probabilidade) é dada por
X 0 1 2 3
∑n
i=1 Pr(X = x)
Pr(X = x) 0.422 0.423 0.141 0.016 1.00
Função de distribuição acumulada
F (x) =

0 se x < 0,
0.422 se 0 ≤ x < 1,
0.845 se 1 ≤ x < 2,
0.986 se 2 ≤ x < 3,
1 se x ≥ 3.
à à à à à à à à à à à à à à à à à à
5-) Temos que X ∼ Bin(20; 0.10), onde Pr(apto) = 0.10 e Pr(no − apto) = 0.90
Pr(X ≤ 3) =
3∑
k=0
(
20
k
)
0.1k0.920−k
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=
(
20
0
)
0.100 ·0.9020 +
(
20
1
)
0.10 ·0.9019 +
(
20
2
)
0.102 ·0.9018 +
(
20
3
)
0.103 ·0.9018
= 0.122 + 0.270 + 0.285 + 0.190 = 0.867
à à à à à àà à à à à à à à à à à à
6-) A variável L é uma combinação linear de Normais independentes, ié
µL = (2× 3) + (5× 6) + (3× 4) = 48
σ2L = (22 × 4) + (52 × 9) + (32 × 16) = 385
Então L ∼ N(48; 385), portanto
Pr(L > 50) = Pr
(
Z > 50− 48√
385
)
= Pr(Z > 0.10) = 0.4602
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7-) (a) Passo 1: Enunciar as hipóteses{
H0 : µ = 12
H1 : µ 6= 12
Passo 2: Como não conhecemos a variância populacional, utilizamos distribuição t
de Student com α = 0.05 e (n − 1) = 4 g.l.
Passo 3: A região crítica é dada pelos valores menores que −t0 < −2.7765 ou t0 >
2.7765
Passo 4: Cálculo da estatística do teste
tcalc =
X − µ0
s/
√
n
=
13.90− 12
0.82/
√
5
= 5.18
Passo 5: Conclusão: Como tcalc > t0 (5.18 > 2.7765) rejeitamos H0, ou seja,
com 95% de confiança há evidência amostral de que a moléstia tem influência no
consumo renal médio de oxigênio.
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(b) Intervalo de confiança
IC(µ; 96%) = X±zα/2
σ√
n
= 13.90±2.050.969√
5
= 13.90±0.888 = (13.012; 14.788)
à à à à à à à à à à à à à à à à à à
8-) Passo 1: Enunciar as hipóteses{
H0 : p = 0.40
H1 : p 6= 0.40
Passo 2: O nível de confiança especificado é dado por default γ = 0.97, onde
p̂ = 120/400 = 0.30
Passo 3: A região crítica é dada pelos valores menores que −z0 < −2.17 ou z0 >
2.17
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Passo 4: Cálculo da estatística do teste
zcalc =
p̂ − p0√ p0q0
n
=
0.30− 0.40√
0.40×0.60
400
= −4.08
Passo 5: Conclusão: Como −zcalc < −z0 (−4.08 < −2.17) rejeitamos H0, ou
seja, com 97% de confiança há evidência amostral de que o relatório da companhia
não está correto.
O intervalo de confiança
IC(p; 97%) = p̂ ± zα/2
√
p̂(1− p̂)
n = 0.30± 2.17×
√
0.30× 0.70
400
= 0.30± 0.0497 = [0.2503; 0.3497]
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