Dimensionamento da longarina

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Concreto armado I
Prof. Rodrigo Nascimento Barros
rodrigo.barros@ceuma.br
ESTADOS LIMITES
ESTADO LIMITE ÚLTIMO
 Exemplo 01:
uma das vigas de uma edificação tem os seguintes carregamentos aplicados nela.
Determinar o momento fletor atuante na viga e o momento fletor de cálculo.
• Peso próprio: 𝑃1 = 1,0𝑘𝑁
• Vento de sobrepressão: 𝑃2 = 1,5𝑘𝑁
• Vento de sucção: 𝑃3 = −3,0𝑘𝑁
• Sobrecarga de cobertura: 𝑃4 = 0,5𝑘𝑁
Curso de Concreto Armado I
3
ESTADO LIMITE ÚLTIMO
 Exemplo 02:
uma das vigas de uma edificação tem os seguintes carregamentos aplicados nela.
Determinar o momento fletor atuante na viga e o momento fletor de cálculo.
• Peso próprio: 𝑃1 = 2,5 Τ𝑘𝑁 𝑚
• Vento de sobrepressão: 𝑃2 = 4,5 Τ𝑘𝑁 𝑚
• Vento de sucção: 𝑃3 = −6,0 Τ𝑘𝑁 𝑚
• Sobrecarga de cobertura: 𝑃4 = 1,25 Τ𝑘𝑁 𝑚
Curso de Concreto Armado I
4
ESTADO LIMITE ÚLTIMO
 Exemplo 03:
Refazer o exemplo 02, porém para uma viga em balanço com quatro metros de
comprimento.
Curso de Concreto Armado I
5
ESTADO LIMITE ÚLTIMO
 Exemplo 04:
uma das vigas de um edifício está submetida aos seguintes esforços. Determinar o
momento fletor de cálculo atuante na viga.
• Peso próprio: 𝑀1 = 10,0𝑘𝑁𝑚
• Vento de sobrepressão: 𝑀2 = −10,0𝑘𝑁𝑚
• Vento de sucção: 𝑀3 = 10,0𝑘𝑁𝑚
• Sobrecarga no piso: 𝑀4 = 20,0 𝑘𝑁𝑚
Curso de Concreto Armado I
6
ESTADO LIMITE ÚLTIMO
 Exemplo 05:
Seja um elemento de uma edificação submetida aos esforços descritos a seguir.
Determinar o momento fletor atuante na viga e o de cálculo. A viga é biapoiada. O
Vão é quatro metros.
• Peso próprio: 𝑃1 = 25,0 Τ𝑘𝑁 𝑚
• Pavimento: 𝑃2 = 1,8 Τ𝑘𝑁 𝑚
• Sobrecarga na longarina: 𝑃3 = 10,0 Τ𝑘𝑁 𝑚
• Variação de temperatura: 𝑃4,5 = ±6,0 Τ𝑘𝑁 𝑚
• Vento de sobrepressão: 𝑃6 = 10,0 Τ𝑘𝑁 𝑚
• Vento de sucção: 𝑃7 = −10,0 Τ𝑘𝑁 𝑚
Curso de Concreto Armado I
7
ESTADO LIMITE ÚLTIMO
 Exemplo 06:
Determinar o momento solicitante de projeto na viga, submetida aos seguintes esforços:
• Peso próprio: 𝑃1 = 4,0 Τ𝑘𝑁 𝑚
• Vento de sobrepressão: 𝑃2 = −10,0 Τ𝑘𝑁 𝑚
• Vento de sucção: 𝑃3 = 10,0 Τ𝑘𝑁 𝑚
• Sobrecarga: 𝑃4 = 20,0 Τ𝑘𝑁 𝑚
• Impacto de equipamento pesado: P = 15,0𝑘𝑁
• Peso próprio da alvenaria: 𝑃6 = 20,0 Τ𝑘𝑁 𝑚
Curso de Concreto Armado I
8
ESTADO LIMITE ÚLTIMO
 Exemplo 07:
Determinar o momento solicitante de projeto na viga, submetida aos seguintes esforços:
• Peso próprio: 𝑃1 = 4,0 Τ𝑘𝑁 𝑚
• Vento de sobrepressão: 𝑃2 = −10,0 Τ𝑘𝑁 𝑚
• Vento de sucção: 𝑃3 = 10,0 Τ𝑘𝑁 𝑚
• Sobrecarga: 𝑃4 = 20,0 Τ𝑘𝑁 𝑚
• Impacto de equipamento pesado: P = 15,0𝑘𝑁
• Peso próprio da alvenaria: 𝑃6 = 20,0 Τ𝑘𝑁 𝑚
Curso de Concreto Armado I
9
ESTADO LIMITE ÚLTIMO
 Exemplo 08:
Determinar o momento solicitante de projeto na viga com seção transversal retangular
30 × 40 cm, submetida aos seguintes esforços:
• Vento de sobrepressão: 𝑃2 = −12,0 Τ𝑘𝑁 𝑚
• Vento de sucção: 𝑃3 = 15,0 Τ𝑘𝑁 𝑚
• Sobrecarga: 𝑃4 = 10,0 Τ𝑘𝑁 𝑚
• Carga móvel: 𝑃5 = 45,0𝑘𝑁/𝑚
• Peso próprio da alvenaria: 𝑃6 = 18,0 Τ𝑘𝑁 𝑚
Curso de Concreto Armado I
10
ESTADO LIMITE ÚLTIMO
 Exemplo 09:
Determinar o momento solicitante de projeto na viga com seção “T”, submetida aos
seguintes esforços:
• Vento de sobrepressão: 𝑃2 = −12,0 Τ𝑘𝑁 𝑚
• Vento de sucção: 𝑃3 = 15,0 Τ𝑘𝑁 𝑚
• Sobrecarga: 𝑃4 = 10,0 Τ𝑘𝑁 𝑚
• Carga móvel: 𝑃5 = 45,0𝑘𝑁/𝑚
• Peso próprio do guarda-corpo: 𝑃6 = 18,0 Τ𝑘𝑁 𝑚
Curso de Concreto Armado I
11
Cálculo da armadura 
longitudinal em vigas sob 
flexão normal
Para concreto até C50
 Posição da linha neutra:
 Quanto menor for a relação Τ𝑥 𝑑, maior será a capacidade resistente
 Para proporcionar o comportamento dúctil em vigas e lajes, a posição da linha
neutra no ELU deve obedecer:
 A NBR 6118 permite o uso de apenas parte do domínio 3;
0,45
x
d

Curso de Concreto Armado I
13
Equações para concreto até C50
 A figura abaixo indica a situação de seção retangular, submetida à flexão simples,
com as deformações possíveis, sem considerar a ductilidade - Τ𝑥 𝑑 depende da
deformação específica de cálculo do aço 𝜀𝑦𝑑.
 A figura abaixo representa a mesma situação, porém no diagrama de deformações
possíveis 𝜀𝑦𝑑 foi substituído por 𝜀𝑙𝑖𝑚 ( Τ
𝑥
𝑑 = 0,45) para aumentar a ductilidade do
elemento.
Curso de Concreto Armado I
14
Equações para concreto até C50
 A figura abaixo indica a situação de seção retangular, submetida à flexão simples,
com as deformações possíveis e tensões para todas as classes de concreto; os
valores de 𝜀𝑙𝑖𝑚, 𝜀𝑐𝑢, 𝛼 e λ devem ser empregados em função da classe do concreto e
das condições de ductilidade.
Curso de Concreto Armado I
15
Equações para concreto até C50
 Equilíbrio das forças atuantes normais à seção transversal:
Como não há força externa, a força atuante no concreto deve ser igual à força
atuante na armadura.
 Equilíbrio dos momentos:
O momento das forças internas em relação a qualquer ponto deve ser igual ao
momento externo de calculo
 Posição da linha neutra:
Ao calcular a posição da LN, pode-se determinar o domínio, a resultante das tensões de 
compressão 𝐹𝑐 no concreto e o braço de alavanca (z).
0 0s c s cF F F F F= → − =  =
c
d d
s
F z
M M M
F z

= → = 


( )( )0,85 0,8c cd wF f b x= −
0,4z d x= −Curso de Concreto Armado I
16
Equações para concreto até C50
Substituindo 𝐹𝑐 e 𝑧 na equação do 𝑀𝑑 em função da resultante à compressão, temos
que:
Então, a posição da linha neutra é dada pela expressão:
Portanto, percebe-se que a posição da linha neutra não varia linearmente com o
esforço solicitante 𝑀𝑑, porém segue um polinômio do segundo grau.
( )( ) ( )
( )( )
( )2
0,85 0,8 0,4
0,68 0,4
0,68 0,272
d c
cd w
w cd
w cd
M F z
f b x d x
b f x d x
xd x b f
= 
= −  −  
= −
= −
( )
2
0,68 0,68 4 0,272
0,544
d
w cd
M
d d
b f
x
 
 −   
 
=
Curso de Concreto Armado I
17
Equações para concreto até C50
 Área de aço necessária
A força na armadura 𝐹𝑠 vem do produto da área de aço pela tensão atuante no aço.
Tem-se:
Simplificando as duas equações, temos que 𝐴𝑠 será:
Admitindo que a viga está trabalhando nos domínios 2 e 3, para um melhor
aproveitamento da armadura (𝜀𝑠 ≥ 𝜀𝑦𝑑), resultando a tensão de escoamento para a
armadura (𝑓𝑠 ≥ 𝑓𝑦𝑑). A equação anterior fica:
d s
s s s
M F z
F f A
= 

= 
d
s
s
M
A
z f
=

d
s
yd
M
A
z f
=

Curso de Concreto Armado I
18
Equações para concreto até C50
 Verificação do domínio:
▪ Inicio do domínio 2 - 𝜀𝑐 = 0;
▪ Final do domínio 4 - 𝜀𝑠 = 0;
▪ O ideal é trabalhar no domínio 3, porém a NBR 6118 (ABNT, 2014) considera aceitável
trabalhar no domínio 2;
▪ A mesma norma recomenda evitar trabalhar no domínio 4;
▪ Como as seções permanecem planas após as deformações, é possível obter a relação
entre a posição da LN e altura útil
c
c c s c s
x d x
d

    
= → =
+ +
Curso de Concreto Armado I
19
Equações para concreto até C50
▪ Para o domínio 2 e em todo domínio 3, a deformação específica do concreto é
𝜀𝑐 = 3,5‰. Substituindo na equação anterior, tem-se:
▪ Com as novas especificações da norma, não é mais possível usar os valores do
domínio 3 que sejam superiores a 𝑥 = 0,45𝑑. Não cabe mais o estudo do limite
entre os domínios 3 e 4.
0,0035
0,0035 s
x
d 
=
+
( )
34
34
23
AÇO CA25 1,04
0,0035
0,7709
0,0035 0,00104
0,7709 limite entre os domínios 3 e 4;
0,259 limite entre os domínios 2 e 3;
para 0,259 d
‰, no l
,
imite ent
omínio 2;
ore os d mín
 
ios 3
para
 
0
e 4yd
x
d
x d
x d
x d
 =
= =
+
= →
= →
 →
259 0,7709 domínio 3;d x d  →
( )
34
34
23
AÇO CA50 2,07
0,0035
0,6283
0,0035 0,00207
0,6283 limite entre os domínios 3 e 4;
0,259 limite entre os domínios 2 e 3;
para 0,259 d
‰, no l
,
imite ent
omínio 2;
ore os d mín
 
ios 3
para
 
0
e 4yd
x
d
x d
x d
x d
 =
= =
+
= →
= →
 →
259 0,6283 domínio 3;d x d  →
Curso de ConcretoArmado I
20
Equações para concreto até C50
 Exemplo 10:
Para uma seção retangular de concreto armado com 𝑏𝑤 = 0,12 𝑚 e 𝑑 = 0,29 𝑚 sob a
ação de um momento fletor 𝑀 = 12,2 𝑘𝑁𝑚, determinar a quantidade de armadura
longitudinal necessária. Utilize 𝑓𝑐𝑘 = 20 𝑀𝑃𝑎 e aço CA-50.
RESOLUÇÃO:
2
212,2 10 1,4 1,46
50
27,0
1,15
d
s
yd
M
A cm
z f
 
= = =
  
 
 
0,4 0,29 0,4 0,055 0,27z d x m= − = −  =( )
( )
2
2
0,68 0,68 4 0,272
0,544
1,4 12,2
0,68 0,29 0,68 0,29 4 0,272
20000
0,12
1,4
0,544
0,67
0,055
d
w cd
M
d d
b f
x
m
m
 
 −   
 
=
 
 
   −   
  
 
=

= 

verificação do domínio (limite do domínio 2):
0,259 0,259 0,29 0,075x d m= =  = Curso de Concreto Armado I
21
Equações para concreto até C50
 Exemplo 11:
Para uma seção retangular de concreto armado com 𝑏𝑤 = 0,30 𝑚 e 𝑑 = 0,375 𝑚 sob a
ação de um momento fletor 𝑀𝑑 = 20,1 𝑘𝑁𝑚, determinar a quantidade de armadura
longitudinal necessária. Utilize 𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑃𝑎 e aço CA-50.
Curso de Concreto Armado I
22
Equações para concreto até C50
 Momento máximo resistente da seção:
O máximo momento resistente, antes da imposição de ductilidade mínima
imposta pela norma, era determinado para 𝜀𝑠 = 𝜀𝑦𝑑 e 𝜀𝑐 = 𝜀𝑐𝑢 (limite entre o
domínio 3 e4). Com a atualização da norma, o momento máximo, para
concreto até C50, é calculado quando Τ𝑥 𝑑 = 0,45.
Curso de Concreto Armado I
23
Equações para concreto até C50
 Exemplo 12:
Para uma viga de seção retangular de concreto armado, com largura 𝑏𝑤 =
0,12 𝑚 e altura útil de 17,65 cm, determinar o momento resistente da seção e o
valor da área de aço necessária correspondente a esse momento. Utilize 𝑓𝑐𝑘 =
20 𝑀𝑃𝑎, aço CA-50 e 𝜀𝑦𝑑 = 2,07‰. compare com o resultado obtido ao aplicar
o limite da relação Τ𝑥 𝑑 = 0,45.
Curso de Concreto Armado I
24
34
posição da LN (no limite entre os domínios 3 e 4)
0,0035
0,1765 0,1109
0,0035 0,00207
c
c s
x d m

 
= = =
+ +
( )( )
( )
34 34
Momento fletor solicitante
0,85 0,8 0,4
20000
0,85 0,12 0,8 0,1109 0,1765 0,4 0,1109
1,4
17,08 
d c
cd w
M F z
f b x d x
kNm
= 
=     −
 
=     −  
 
=
Momento fletor resistente
1,4
1,4
17,08
12,2 
1,4
d
d
M M
M
M
kNm
= 
=
= =
( )
2
217,08 10 2,97 
50
17,65 0,4 11,09
1,15
d
s
yd
M
A
z f
cm
=


= =
−  
Equações para concreto até C50
 Exemplo 13:
Para uma viga de seção retangular de concreto armado, com largura 𝑏𝑤 =
0,15 𝑚 e altura útil de 22,5 cm, determinar o momento resistente da seção e o
valor da área de aço necessária correspondente a esse momento. Utilize 𝑓𝑐𝑘 =
20 𝑀𝑃𝑎, aço CA-25 e 𝜀𝑦𝑑 = 1,04‰. compare com o resultado obtido ao aplicar
o limite da relação Τ𝑥 𝑑 = 0,45.
Curso de Concreto Armado I
25
Equações para concreto até C50
 Momento máximo resistente, conhecida a armadura longitudinal:
▪ São conhecidas a largura e altura útil da seção, o 𝑓𝑐𝑘 e o 𝑓𝑦𝑘, área da seção
transversal da armadura longitudinal (𝐴𝑠);
▪ Posição da linha neutra não pode ser maior que 𝑥 = 0,45𝑑;
▪ A solução é considerar inicialmente que a seção poderá trabalhar entre o início
do domínio 2 até o limite 𝑥 = 0,45𝑑 do domínio 3. Nestes dois domínios, o aço
tracionado estará escoando (𝜀𝑠 ≥ 𝜀𝑦𝑑 e 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦𝑑);
▪ A força na armadura será:
▪ A força no concreto, que depende da posição da LN, serve para obter o valor
de 𝑥, por meio de equilíbrio das resultantes 𝐹𝑠 e v 𝐹𝑐:
s s ydF A f=
( )( )0,85 0,8c cd w
c s
F f b x
F F
=
 = ( )
então
0,68
s yd
w cd
A f
x
b f
=
Curso de Concreto Armado I
26
Equações para concreto até C50
 Momento máximo resistente, conhecida a armadura longitudinal:
▪ Depois de determinar o valor de 𝑥, precisa-se verificar se ele é inferior ao limite
(𝑥 = 0,45𝑑). O máximo momento resistido pela seção é obtido pelo produto da
força na armadura ou concreto pelo braço de alavanca (𝑧 = 𝑑 − 0,4𝑥):
Caso não seja atendida a necessidade da posição da LN de estar até 𝑥 = 0,45𝑑,
deve-se aumentar altura útil da viga ou utilizar uma armadura de compressão – viga
com armadura dupla.
( )
( )( )
0,4
0,4
d s
s
s yd
M F z
F d x
A f d x
=
= −
= −
Curso de Concreto Armado I
27
Equações para concreto até C50
 Exemplo 14:
Determinar o momento resistente de uma viga de seção retangular de
concreto armado (𝑓𝑐𝑘 = 20 𝑀𝑃𝑎), com largura de 12 cm e altura útil de 17,65
cm, para as situações:
a) 𝐴𝑠 = 0,5 𝑐𝑚
2;
b) 𝐴𝑠 = 2,0 𝑐𝑚
2;
c) 𝐴𝑠 = 10 𝑐𝑚
2.
Curso de Concreto Armado I
28
Equações para concreto até C50
 Altura mínima de uma seção com armadura simples
▪ Menor altura necessária para a seção resistir a um momento fletor;
▪ Neste caso, o momento atuante é igual ao momento resistente máximo da viga;
▪ Para o limite 𝑥 = 0,45𝑑, imposto por norma para concreto até C50, pode-se obter
a menor altura possível para viga resistir ao momento atuante de cálculo 𝑀𝑑:
Aplicando a imposição da norma, tem-se ξ = 0,45, tem-se que:
( )min 20,68 0,272
d
w cd
M
d
b f  
=
−
min 2,0
d
w cd
M
d
b f
=
Curso de Concreto Armado I
29
Equações para concreto até C50
 Exemplo 15:
Para a seção retangular de concreto armado do exemplo 11, determinar a altura útil
mínima e a quantidade de armadura longitudinal.
Curso de Concreto Armado I
30
Equações para concreto até C50
 Exemplo 16:
Considere um momento solicitante de cálculo 120 𝑘𝑁𝑚 atuando sobre uma viga
biapoiada. A seção transversal da viga possui as seguintes características: 𝑏𝑤 = 150 𝑚𝑚,
mm, h= 560 𝑚𝑚, 𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑃𝑎 e aço CA50. Calcular a armadura longitudinal de tração,
As .
Curso de Concreto Armado I
31
Equações para concreto até C50
 Exemplo 17:
Calcular a armadura longitudinal de tração de uma viga para resistir a um momento de
cálculo de 80 𝑘𝑁𝑚. Utilize 𝑏𝑤 = 180 𝑚𝑚, 𝑓𝑐𝑘 = 30𝑀𝑃𝑎 e :
a) Aço CA-50;
b) Aço CA-60;
c) Aço CA-25.
Curso de Concreto Armado I
32
Equações para concreto até C50
 Formular adimensionais para dimensionamento de seções retangulares:
▪ KMD é deduzido ao divido os dois lados da equação do 𝑀𝑑 por 𝑏𝑤𝑑
2𝑓𝑐𝑑 , então:
Dividindo os dois lado por 𝑏𝑤𝑑
2𝑓𝑐𝑑 , tem-se:
Chamando 𝐾𝑋 = Τ𝑥 𝑑, tem-se:
( )20,68 0,272d c w cdM F z xd x b f= = −
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2
0,68 0,272
0,68 0,272
KMD
w cdd
w cd w cd
d
w cd
xd x b fM x x
d db d f b d f
M
KMD
b d f
−  
= = −  
 
=
( )
2
2
0,68 0,272d
w cd
M
KMD KX KX
b d f
= = −
0 início do domínio 2 0 0
fim do domínio 4 1 0,408
x KX x d KMD
x d KX x d KMD
= →  = =  =
= →  = =  =
Curso de Concreto Armado I
33
Equações para concreto até C50
 Expressão que fornece o braço de alavanca 𝑧 = 𝑑 − 0,4𝑥:
Dividindo os dois termos por 𝑑, tem-se:
Lembrando que 𝐾𝑋 = Τ𝑥 𝑑 e chamando 𝐾𝑍 = Τ
𝑧
𝑑, tem-se:
 Armadura, em função das equações adimensionais:
Sabendo que 𝑧 = (𝐾𝑍) × 𝑑, tem-se :
0,4
1 0,4
z d x x
d d d
−
= = −
1 0,4KZ KX= −
( )
d
s
s
M
A
KZ d f
=
 
Curso de Concreto Armado I
34
Equações para concreto até C50
 Exemplo 18:
Para seção retangular do exemplo 01, determine a área de aço longitudinal
através das formulas adimensionais para a situação:
a) Conhecendo a altura útil de 0,29 metro;
b) Não é conhecida a altura util.
Curso de Concreto Armado I
35
Equações para concreto até C50
 Exemplo 19:
Utilizando as fórmulas adimensionais e a tabela para dimensionamento,
calcule a armadura longitudinal de tração de uma viga para uma altura útil
conhecida de 560 mm e, em seguida, para uma altura desconhecida.
Considere o momento característico 𝑀 = 200 𝑘𝑁𝑚 atuando na seção e 𝑏𝑤 =
150 𝑚𝑚, 𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑃𝑎 e aço CA50.
Curso de Concreto Armado I
36
Equações para concreto até C50
 Viga “T”
▪ Pavimentos onde tem viga e laje maciça, elas trabalham em conjunto;
▪ A viga sofre deformação e parte da laje também.
Curso de Concreto Armado I
37
Equações para concreto até C50 Viga “T”: Considerações importantes
▪ O trecho vertical é denominado alma e a horizontal mesa.
▪ só deve ser considerado viga “T” se a mesa e parte da alma estiverem
comprimindo; caso contrário, a viga é calculada como retangular.
Curso de Concreto Armado I
38
Equações para concreto até C50
 Viga “T”: Considerações importantes
▪ Os trechos de momentos negativos juntos aos apoios (vigas contínuas),
provavelmente a seção será retangular - apenas parte da alma está
comprimida;
▪ Nos trechos de momentos positivos, só será viga “T” se a linha neutra estiver
passando pela alma; caso contrário, a região de concreto comprimida será
retangular, com largura 𝑏𝑓, e não haverá colaboração da alma e parte da
mesa (região tracionada).
Curso de Concreto Armado I
39
Equações para concreto até C50
 Viga “T”: Considerações importantes
▪ Quando a linha neutra passar pela alma, a área de aço pode ser calculada
pela expressão:
Curso de Concreto Armado I
40
( )
1 2
2
s
ydf yd
M M
A
KZ d fd h f
= +
  − 
 
( )1
2 1 2
onde
0,85 momento absorvido pelas abas;
2
momento absorvido pela alma.
2
f
cd f f w
d c
h
M f h b b d
y
M M M F d
 
=   − − → 
 
 
= − = − → 
 
Equações para concreto até C50
 Viga “T”: Considerações importantes
▪ A distribuição das tensões de compressão na laje não é uniforme. A largura
colaborativa da laje é determinada ao integrar a distribuição das tensões
na altura ℎ e até onde as tensões tendem a zero, depois, o resultado é
igualado com uma outra obtida por distribuição uniforme de tensões igual a
0,85 × 𝑓𝑐𝑑, atuando na altura ℎ𝑓 e largura 𝑏𝑓.
Curso de Concreto Armado I
41
0,85c f f cdF b h f=   
Equações para concreto até C50
 Viga “T”: Considerações importantes
▪ A NBR 6118 (ABNT, 2014) propõe uma simplificação a favor da segurança da
equação anterior. A largura colaborante será a largura da viga acrescida
de no máximo 10% da distância 𝑎 entre os apoios de momento fletor nulo,
para cada lado da viga em que houver laje colaborante. a distancia 𝑎 será:
Curso de Concreto Armado I
42
viga simplesmente apoiada;
0,75 tramo com momento em uma só extremidade;
0,6 tramo com momento nas duas extremidades;
2 tramo em balanço.
a
→

 →
= 
 →
  →
l
l
l
l
2
1
0,5
0,1
b
b
a

 

4
3
0,1
b
b
a

 

Equações para concreto até C50
 Exemplo 20:
Calcular a armadura para a viga simplesmente apoiada, de vão igual a 30
metros, cuja seção é dada pela figura abaixo. Calcular a área de aço para as
seguintes situações:
a)𝑀𝑑 = 6.770𝑘𝑁𝑚;
b) 𝑀𝑑 = 10.000𝑘𝑁𝑚.
Considerar aço CA-50
e 𝑓𝑐𝑘 = 30𝑀𝑃𝑎.
Curso de Concreto Armado I
43
Equações para concreto até C50
 Exemplo 21:
Calcular a armadura para a viga simplesmente apoiada, de vão igual a 30
metros, cuja seção é dada pela figura abaixo. Calcular a área de aço para as
seguintes situações:
a)𝑀𝑑 = 6.770𝑘𝑁𝑚;
b) 𝑀𝑑 = 10.000𝑘𝑁𝑚.
Considerar aço CA-50
e 𝑓𝑐𝑘 = 30𝑀𝑃𝑎.
Curso de Concreto Armado I
44
Equações para concreto até C50
 Exemplo 22:
Calcular a armadura para a viga simplesmente apoiada, de vão igual a seis
metros, cuja seção transversal é dada pela figura abaixo. Calcular a área de
aço para as seguintes situações:
a)𝑀 = 910𝑘𝑁𝑚;
b) 𝑀 = 2500𝑘𝑁𝑚.
Considerar aço CA-50
e 𝑓𝑐𝑘 = 30𝑀𝑃𝑎.
Curso de Concreto Armado I
45
Equações para concreto até C50
 Armadura dupla:
▪ Quando a altura da viga for menor que a altura mínima exigida pelo
momento fletor atuante de cálculo 𝑀𝑑;
▪ Determina-se o momento que a seção consegue resistir com a sua altura
real 𝑀𝑙𝑖𝑚 e a armadura apenas tracionada 𝐴𝑠1, trabalhando no limite 𝑥 =
0,45𝑑;
▪ 𝑀2 = 𝑀𝑑 −𝑀𝑙𝑖𝑚 será resistida por uma armadura de compressão;
▪ A armadura de compressão 𝐴𝑠
′ será calculada usando 𝑀2 , além da
armadura 𝐴𝑠2;
▪ Há a necessidade de verificar se 𝐴𝑠
′ atingiu a deformação de escoamento
ou não, pois nesta região as deformações específicas são menores que a
tracionada (3,5‰, concreto).
Curso de Concreto Armado I
46
Equações para concreto até C50
 Armadura dupla:
▪ 𝑀𝑙𝑖𝑚 é dado pela resultante a compressão com o braço de alavanca 𝑧:
▪ A armadura 𝐴𝑠1 é dada pela equação:
▪ A armadura 𝐴𝑠1 é dada pelo equilíbrio da resultante 𝐹𝑠2:
▪ Armadura tracionada total 𝐴𝑠:
▪ Realizando o equilíbrio dos momentos em relação ao CG da armadura
tracionada na seção com 𝑀2, a armadura de compressão será:
Curso de Concreto Armado I
47
( )( ) 2lim lim lim lim0,85 0,8 0,4 0,251c cd w cd wM F z f b x d x f b d=  =    −  =   
( ) ( )( )
lim lim lim
1
lim lim lim
0,4 1 0,4
s
yd yd yd
M M M
A
z f d x f KX d f
= = =
 −  −  
( ) ( )
lim2
2 ' '
d
s
yd yd
M MM
A
d d f d d f
−
= =
−  − 
( )( ) ( )
limlim
1 2 '
lim
1 0,4
d
s s s
yd yd
M MM
A A A
KX d f d d f
−
= + = +
−   − 
( ) ( )
' lim2
' ' ' '
d
s
s s
M MM
A
d d f d d f
−
= =
−  − 
Equações para concreto até C50
 Armadura dupla:
▪ A deformação específica da armadura comprimida 𝜀𝑠
′ para encontrar a
tensão na armadura comprimida 𝑓𝑠
′ será:
Curso de Concreto Armado I
48
( )
( )'' lim'
'
lim limlim
0,350,35 s
s
x d
x xx d


− 
=  =
−
( )
'
'
'
'
onde
distância entre o CG da armadura comprimida até a borda superior;
braço de alavanca da seção com as armaduras tracionadas e comprimidas;
deformação específica;
tensão na armadura espe
s
s
d
d d
f

→
− →
→
→
lim
cífica;
klinha neutra para atender a condição de ductilidade 0,45 para concreto até 50 MPa.x x d =
Equações para concreto até C50
 Exemplo 23:
para um momento de 45𝑘𝑁𝑚, calcular a armadura necessária de uma seção
retangular com largura de 12 cm e altura útil de 29 cm, com aço CA-50 e 𝑓𝑐𝑘 =
20𝑀𝑃𝑎 . Considera-se estribo de 6 mm de diâmetro, barras longitudinais
(comprimidas e tracionadas) de 10 mm de diâmetro e cobrimento de 25 mm.
Curso de Concreto Armado I
49
Detalhamento da 
armadura longitudinal
Detalhamento da armadura longitudinal
 Seção transversal:
▪ Determinar quantidade de barras longitudinais a serem adotadas:
Curso de Concreto Armado I
51
Detalhamento da armadura longitudinal
 Seção transversal:
▪ A quantidade e posição devem atender a todas as prescrições na NBR 6118
(ABNT, 2014);
▪ Armadura mínima – evitar rupturas bruscas da seção e absorver carregamentos
não considerados em projeto:
Curso de Concreto Armado I
52
, 0 ,sup0,8d mín ctkM W f=  
0
,sup ,
2
3
,
onde
módulo de elasticidade da seção transversal bruta de concreto relativo à fibra mais tracionada;
1,3 resistência característica superior do concreto à tração;
0,3 valor 
ctk ct m
ct m ck
W
f f
f f
→
=  →
=  → médio da resistência à tração na flexão.
( )
,
,
s mín
mín
c
s mín mín c
mín w
A
A
A A
b h



=
= 
= 
Detalhamento da armadura longitudinal
 Seção transversal:
▪ Armadura concentrada: admite-se sendo concentrada no seu centro de
gravidade, a NBR 6118(ABNT, 2014), apresenta que a distância 𝑎 desse CG até o
ponto da seção da armadura mais afastada da LN deve ser menor que 10% da
altura da peça.
➢ Quando a armadura longitudinal estiver em mais de uma camada, deve-se considerar
a deformação específica do aço em cada camada;
➢ Se a deformação da armadura mais próxima da LN for igual ou maior que a 𝜀𝑦𝑑, as
equações até aqui são válidas para determinar 𝐴𝑠;
➢ Se a deformação da camada mais afastada do CG e da LN sejam menor que 1%; caso
contrario, deve-se calcular a armadura para cada camada.
Curso de Concreto Armado I
53
Detalhamento da armadura longitudinal
 Seção transversal:
▪ Armadura de pele: função principal é minimizar os problemas decorrentes da
fissuração, retração e variação de temperatura;
➢ A NBR 6118 (ABNT, 2014) recomenda que seja colocada em cada face da alma da viga, com área,
em cada face, onde 𝐴𝑐,𝑎𝑙𝑚𝑎 é a área de concreto na alma da viga, não menor que:
➢ Deve ser composta por barras de açoCA50 ou CA60, não sendo necessária armadura maior que
5 Τ𝑐𝑚2 𝑐𝑚 por face;
➢ O espaçamento entre as barras não pode ultrapassar 20 cm ou Τ𝑑 3. Na zona tracionada, é
conveniente que o espaçamento, na zona tracionada da viga, seja menor ou igual a 15ϕ;
➢ Em vigas com altura igual ou menor que 60 cm, não há necessidade de colocar armadura de pele.
Curso de Concreto Armado I
54
, ,0,001s pele c almaA A= 
20
3
15
cm
d
t




 


Detalhamento da armadura longitudinal
 Seção transversal:
▪ Armadura máxima: a soma das armaduras de tração e compressão deve ter
valor maior que 4% da área de concreto da seção, calculada em região fora da
zona de emendas:
▪ Espaçamento entre barras: deve garantir que as barras cumpram suas funções
estruturais, como aderência, manutenção e altura útil; além de permitir o
lançamento adequado do concreto.
▪ Os espaços devem possibilitar a introdução de vibradores;
▪ O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras, tanto horizontais quanto verticais, serão os
maiores valores entre:
Curso de Concreto Armado I
55
( )' 4% 0,04s s c cA A A A+  = 
,
20
1,2
diâmetro da barra, do feixe ou da luva
h máx agregado
mm
a d


 


,
20
0,5
diâmetro da barra, do feixe ou da luva
v máx agregado
mm
a d


 


0,04barra  = +
, diâmetro máximo do agregado.máx agregadod →
Detalhamento da armadura longitudinal
 Seção transversal:
▪ Cobrimento: o objetivo é proteger as barras tanto da corrosão quanto do fogo.
➢ O cobrimento nominal é dado por:
➢ Para obras de concreto armado, o cobrimento nominal deve ser maior que o diâmetro da barra. Em
casos de feixes, maior que o diâmetro equivalente (𝐶𝑛𝑜𝑚 ≥ ϕ𝑓𝑒𝑖𝑥𝑒 = ϕ𝑛 = ϕ 𝑛);
➢ A dimensão máxima do agregado graúdo não pode ser maior que 20% da espessura nominal do
cobrimento (𝑑𝑚á𝑥,𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜 = 1,2𝐶𝑛𝑜𝑚) ;
➢ De acordo com a agressividade do meio, o cobrimento nominal, sugerido por norma, é dado por:
Curso de Concreto Armado I
56
nom mínC C C= + 
onde
cobrimento mínimo, sugerido pela NBR 6118 (ABNT, 2014);
C 10mm tolerância de execução.
mínC →
  →