MATERIAL - REGRA DE TRÊS - TEORIA E EXERCICIOS

Prévia do material em texto

Professor Uendel; Instagran (@coliseucentrodeestudos); WhatsApp (62) 98272 5051 Página | 1 
 
CONCURSO TRT SÃO PAULO. 
 
Professor Uendel 
 
MATERIAL 04 
 
(Edital) 
 
1- Regra de três simples e 
composta: Problemas 
 
REGRA DE TRÊS 
 
Chamamos de regra de três ao 
processo de cálculo utilizado para 
resolver problemas que envolvam duas 
ou mais grandezas direta ou 
inversamente proporcionais. 
Quando o problema envolve somente 
duas grandezas é costume denominá-lo 
de problema de regra de três simples. 
Quando o problema envolve mais de 
duas grandezas é costume denominá-lo 
de problema de regra de três composta. 
 
Exemplos: 
 
1º- Se um bilhete de cinema custa R$ 
8,00, então, quanto custará 12 bilhetes? 
 
As grandezas são: o “número de 
bilhetes” e “preço dos bilhetes”. 
 
2º- Um automóvel percorre 120 km em 2 
horas. Quantos quilômetros ele 
percorrerá em 5 horas? 
 
As grandezas são: “distância 
percorrida” e “tempo necessário”. 
 
3º- Se 5 homens trabalhando durante 6 
dias constroem 300m de uma cerca, 
quantos homens serão necessários para 
construir mais 600m desta mesma cerca 
em 8 dias? 
 
As grandezas são: “número de 
homens”, “duração do trabalho” e 
“comprimento da parte construída”. 
 
Observação: 
 
 Para resolver um problema de regra 
de três devemos inicialmente determinar 
que tipo de relação de proporção existe 
entre a grandeza cujo valor pretendemos 
determinar e as demais grandezas. 
 
Relação de proporção direta 
 
Duas grandezas variáveis mantêm 
relação de proporção direta quando 
aumentando uma delas para duas, três, 
quatro, etc. vezes o seu valor, a outra 
também aumenta respectivamente para 
duas, três, quatro, etc. vezes o seu valor. 
 
Exemplo: 
 
 
 
Professor Uendel; Instagran (@coliseucentrodeestudos); WhatsApp (62) 98272 5051 Página | 2 
 Considere as duas grandezas 
variáveis: 
 
00484
00363
00242
00121
,....R$..........tam..............cus....................metro.....
,....R$..........tam..............cus....................metro.....
,....R$..........tam..............cus....................metro.....
,......R$..........ta...............cus....................metro.....
peça)davendade(preçotecido)umdeto(comprimen
 
 
 Observamos que quando o 
comprimento do tecido tornou-se o 
dobro, o triplo etc., o preço de venda da 
peça também aumentou na mesma 
proporção. Portanto as grandezas 
“comprimento de tecido” e “preço de 
venda da peça” são diretamente 
proporcionais. 
 
Relação de proporção inversa 
 
Duas grandezas variáveis mantêm 
relação de proporção inversa quando 
aumentando uma delas para duas, três, 
quatro, etc. vezes o seu valor, a outra 
diminuir respectivamente para metade, 
um terço, um quatro, etc. do seu valor. 
 
Exemplo: 
 
 Considere as duas grandezas 
variáveis: 
 
horas.......................duraviagema.....................hkmA
horas.......................duraviagema.....................hkmA
horas.......................duraviagema.....................hkmA
viagem)daduraçãode(Tempoautomóvelumdee(Velocidad
2/60
3/40
6/20
)
 
 
 Observamos que quando a 
velocidade tornou-se o dobro, o triplo do 
que era, o tempo de duração da viagem 
tornou-se correspondente a metade, a 
terça parte do que era. Portanto as 
grandezas “velocidade” e “tempo de 
duração da viagem” são inversamente 
proporcionais. 
 
Observação: 
 
 Não basta observar que o aumento 
de uma das grandezas implique no 
aumento da outra. É preciso que exista 
proporção. 
 Por exemplo, aumentando o lado 
de um quadrado, a área do mesmo 
também aumenta. Mas não há 
proporção, pois ao dobrarmos a medida 
do lado, a área não dobra e sim 
quadruplica! 
 
Grandezas proporcionais a várias 
outras 
 
Uma grandeza variável é proporcional 
a várias outras se for diretamente ou 
inversamente proporcional a cada uma 
dessas outras, quando as demais não 
variam. 
 
Exemplo: 
 
 O tempo necessário para construir 
certo trecho de uma ferrovia é 
diretamente proporcional ao 
comprimento do trecho considerado e 
inversamente proporcional ao número de 
operários que nele trabalham. 
 
Observação: 
 
 
Professor Uendel; Instagran (@coliseucentrodeestudos); WhatsApp (62) 98272 5051 Página | 3 
 
1º- Vamos fixar o comprimento do 
trecho feito. 
Em 30 dias, 10 operários fazem 6 km. 
Em 15 dias, 20 operários também fazem 
6 km. 
Em 10 dias, 30 operários também fazem 
6 km. 
 
 Aqui, observa-se que o tempo é 
inversamente proporcional ao número de 
operários. 
 
2º- Agora vamos fixar o número de 
operários 
30 operários, em 10 dias, fazem 6 km 
30 operários, em 20 dias, farão 12 km 
30 operários, em 30 dias, farão 18 km 
 
 Agora, vemos que o tempo é 
diretamente proporcional ao 
comprimento do trecho feito. 
 
Propriedade 
 
 Se uma grandeza for diretamente 
proporcional a algumas grandezas e 
inversamente proporcional a outras, 
então, a razão entre dois dos seus valores 
será igual: 
 Ao produto das razões dos valores 
correspondentes das grandezas 
diretamente proporcionais a ela (...) 
multiplicando pelo produto das razões 
inversas dos valores correspondentes das 
grandezas inversamente proporcionais a 
ela. 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
Definição: 
 
Sendo a e b dois valores da grandeza 
A e, c e d os valores correspondentes da 
grandeza B, chama-se de regra de três 
simples ao processo prático para 
determinar um desses quatro valores, 
sendo conhecido os outros três. 
 
Técnica operatória 
 
 
1º- Se A e B forem grandezas 
diretamente proporcionais, então: 
 
cbda
d
c
b
a
d
b
c
a

 
 
2º- Se A e B forem grandezas 
inversamente proporcionais, então: 
 
c
d
b
a
bdac 
 
 
Exemplos resolvidos: 
 
1º- Uma gravura de forma retangular, 
medindo 20 cm de largura por 35 cm de 
comprimento, deve ser ampliada para 
1,2 m de largura. Qual deverá ser o 
comprimento correspondente em 
metros? 
 
 
 
Professor Uendel; Instagran (@coliseucentrodeestudos); WhatsApp (62) 98272 5051 Página | 4 
Resolução 
 
 
Como as grandezas são 
diretamente proporcionais, então: 
 
mcmx
x
1,2210
120
2035

. 
 
Portanto, o comprimento deverá ser de 
2,1 m. 
 
2º- A ração existente em um quartel de 
cavalaria é suficiente para alimentarem 
30 cavalos durante 30 dias. Quantos dias 
durariam a ração se existissem apenas 20 
cavalos? 
 
Resolução: 
 
Como as grandezas são 
inversamente proporcionais, então: 
 
45
30
2030
 x
x
. 
 
Portanto a ração duraria 45 dias. 
 
EXERCÍCIOS 
 
01- Determine, em cada caso, se a 
relação entre as grandezas é de 
proporção direta (D) ou inversa (I). 
a) O número de máquinas funcionando e 
a quantidade de peças que elas produzem 
durante um mês. 
b) O número de operários trabalhando e 
o tempo que levam para construir uma 
estrada de 10 km. 
c) A velocidade de um ônibus e a 
distância percorrida por ele em duas 
horas. 
d) A quantidade de ração e o número de 
animais que podem ser alimentados com 
ela durante uma semana. 
e) O tamanho de um tanque e o tempo 
necessário para enchê-lo. 
f) O número de linhas por página e o 
total de páginas de um livro. 
 
02- Se, em uma fábrica de automóveis, 
12 robôs idênticos fazem uma montagem 
em 21 horas, em quantas horas 9 desses 
robôs realizam a mesmatarefa? 
a) 23 horas 
b) 24 horas 
c) 25 horas 
d) 26 horas 
e) 28 horas 
 
03- (FCC - SP) O preço de um 
determinado produto vendido a granel é 
R$ 20,00 o quilograma. Se a pesagem do 
produto for feita sem descontar a massa 
de 50 gramas da embalagem descartável, 
um consumidor só irá levar um 
quilograma do produto se pagar 
a) R$ 20,40 
b) R$ 20,50 
c) R$ 21,00 
d) R$ 21,40 
 
 
Professor Uendel; Instagran (@coliseucentrodeestudos); WhatsApp (62) 98272 5051 Página | 5 
e) R$ 21,50 
 
04- (FCC) Sabe-se que 100 gramas de 
arroz cozido e 100 gramas de feijão 
cozido contêm, respectivamente, 2,5 
gramas e 20 gramas de proteínas. Assim 
sendo, quando uma pessoa consome 50 
gramas de proteínas em uma refeição 
composta exclusivamente de feijão com 
arroz, se a quantidade de arroz ingerido 
for igual a 180 gramas, a de feijão, em 
gramas, será igual a 
a) 238,5 
b) 230,25 
c) 227,5 
d) 225,75 
e) 216,25 
 
05- Em 180 dias 24 operários constroem 
uma casa. Quantos operários serão 
necessários para fazer uma casa igual em 
120 dias? 
 
06- (FCC) Uma empresa que trabalha 
com enormes quantidades de 
documentos confidenciais adquiriu 11 
máquinas fragmentadoras de papel, 
dividindo-as entre suas duas filiais. 
Todas as máquinas são capazes de 
triturar a mesma quantidade de papel por 
hora. Na filial de São Paulo, operando 
com a máxima capacidade, as máquinas 
lá entregues trituraram 1.400 kg de papel 
em 4 horas. Já as máquinas da filial do 
Rio de Janeiro, também operando com a 
máxima capacidade, trituraram 500 kg 
de papel em 2 horas e meia. A 
quantidade de máquinas que foram 
enviadas para a filial de São Paulo é 
igual a 
(A) 5 
(B) 6 
(C) 7 
(D) 8 
(E) 9 
 
07- (CESGRANRIO) No Brasil, quase 
toda a produção de latas de alumínio é 
reciclada. As empresas de reciclagem 
pagam R$ 320,00 por 100 kg de latas 
usadas, sendo que um quilograma 
corresponde a 74 latas. De acordo com 
essas informações, quantos reais 
receberá um catador ao vender 703 latas 
de alumínio? 
a) 23,15 
b) 23,98 
c) 28,80 
d) 28,96 
e) 30,40 
 
08- (CESGRANRIO) Em certa receita 
de biscoitos, são necessários 200 g de 
manteiga para o preparo de 600 g de 
biscoitos. Seguindo-se essa receita, 
quantos gramas de manteiga são 
necessários para preparar 900 g de 
biscoitos? 
a) 250 
b) 300 
c) 350 
d) 400 
e) 450 
 
09- Um automóvel com a velocidade de 
60 km/h faz o percurso entre as cidades 
 
 
Professor Uendel; Instagran (@coliseucentrodeestudos); WhatsApp (62) 98272 5051 Página | 6 
A e B, em 2 horas. Quanto tempo levará 
se fizer o mesmo percurso a uma 
velocidade de 80 km/h? 
 
10- (CESPE). Julgue o item a seguir 
( ) Em um supermercado, o doce de 
pêssego é vendido em embalagens de 
diversos pesos e o preço é diretamente 
proporcional ao peso estampado na 
embalagem. Nessa situação, se uma lata 
de 200 g de doce de pêssego custa R$ 
3,40, então uma lata de 470 g desse 
mesmo doce custa mais de R$ 8,00. 
 
11- Considere que 25 g de leite em pó 
diluídos em água produzem 200 ml de 
leite reconstituído. Quantas latas de leite 
em pó de 400 g serão necessárias para 
reconstituir 48 litros de leite? 
a) 12 
b) 13 
c) 14 
d) 15 
e) 16 
 
12- (FCC) Se um trem leva 2 minutos 
para percorrer o trajeto entre duas 
estações, o esperado é que outro trem, 
cuja velocidade média é 80% da 
velocidade do primeiro, percorra o 
mesmo trajeto em 
a) 2 minutos e 40 segundos. 
b) 2 minutos e 30 segundos. 
c) 2 minutos e 20 segundos. 
d) 2 minutos e 15 segundos. 
e) 2 minutos e 5 segundos. 
 
CAPACIDADE 
 
13- Dois carregadores levam caixas de 
um depósito para uma loja. Um deles, o 
mais fraco e mais rápido, leva 3 caixas 
por vez e demora 2 minutos em cada 
viagem. O outro, mais forte e mais 
vagaroso, leva 7 caixas por vez e demora 
5 minutos na viagem. Enquanto o mais 
fraco leva 180 caixas, quantas caixas 
levam o outro? 
 
14- (FCC) Para avaliar as condições 
ambientais de trabalho e emitir parecer 
técnico para subsidiar a adoção de 
medidas de prevenção de acidentes de 
trabalho em uma unidade da Companhia, 
dispõe-se de dois técnicos (I e II) em 
segurança de trabalho. Considere que, se 
I trabalhasse sozinho, a tarefa estaria 
concluída em 24 dias, enquanto que II, 
sozinho, levaria 40 dias para executá-la. 
Assim sendo, em quantos dias os dois, 
juntos, fariam o trabalho? 
a) 22 
b) 21 
c) 19 
d) 17 
e) 15 
 
15- José limpa o vestiário de um clube de 
futebol em 30 minutos, enquanto seu 
irmão, Jair, limpa o mesmo vestiário em 
45 minutos. Quanto tempo levará os dois 
para limpar o vestiário junto? 
a) 15 minutos e 30 segundos 
b) 18 minutos 
c) 20 minutos 
d) 36 minutos 
 
 
Professor Uendel; Instagran (@coliseucentrodeestudos); WhatsApp (62) 98272 5051 Página | 7 
e) 37 minutos e 30 segundos. 
 
16- Uma torneira enche um tanque em 5 
horas. O ralo do tanque pode esvaziá-lo 
em 3 horas. Estando o tanque cheio, 
abrimos simultaneamente a torneira e o 
ralo. Logo, podemos afirmar que: 
a) o tanque esvazia em 7h 30 mim; 
b) o tanque esvazia em 8h; 
c) o tanque esvazia em 15h; 
d) o tanque transborda; 
e) o tanque esvazia em 8h 30 mim. 
 
17- (FUNRIO) Quatro torneiras de 
mesma vazão enchem um tanque em três 
horas e um ralo, sozinho, o esvazia em 
12 horas. Cinco torneiras, funcionando 
conjuntamente com o ralo, enchem o 
tanque em: 
a) 2h 42 min. 
b) 2h 48 min. 
c) 2h 54 min. 
d) 3h 
e) 3h 06 min. 
 
18- (FUNRIO) Cada torneira enche um 
tanque em 3 horas e um ralo leva 4 horas 
para esvaziá-lo. Estando o tanque 
inicialmente vazio e duas torneiras e o 
ralo abertos, em quanto tempo o tanque 
ficará cheio? 
a) 2h 
b) 2h 12min 
c) 2h 36min 
d) 2h 24min 
e) 2h 48min 
 
19- Duas torneiras jogam água em um 
reservatório, uma na razão de 1 m3 por 
hora e a outra na razão de 1 m3 a cada 6 
horas. Se o reservatório tem 14 m3, em 
quantas horas ele estará cheio? 
a) 8 
b) 10 
c) 12 
d) 14 
e) 16 
 
20- Em uma indústria há uma máquina 
capaz de produzir 200 peças de certo tipo 
em 15 minutos de funcionamento 
ininterrupto. O proprietário dessa 
indústria comprou uma outra máquina 
para que, funcionando com a primeira, 
produzissem juntas a mesma quantidade 
daquelas peças em 6 minutos. Nessas 
condições, quanto tempo a nova 
máquina gasta para, sozinha, produzir as 
mesmas 200 peças? 
a) 8 minutos. 
b) 8 minutos e 30 segundos. 
c) 9 minutos. 
d) 9 minutos e 30 segundos. 
e) 10 minutos. 
 
21- Um tanque tem três torneiras. As 
duas primeiras o enchem, sozinhas, 
respectivamente em 4 horas e 6 horas. A 
terceira o esvazia em 3 horas. Quantas 
horas serão necessárias para enchê-lo se 
as três torneiras ficarem abertas e o 
tanque já estiver ocupado com 
4
3
 de sua 
capacidade? 
a) 2 h 
 
 
Professor Uendel; Instagran (@coliseucentrodeestudos); WhatsApp (62) 98272 5051 Página | 8 
b) 3 h 
c) 4 h 
d) 5 h 
e) 6 h 30 min 
 
22- (FCC) Um escritório dispõe de duas 
copiadoras A e B, tais que: operando 
sozinha, A é capaz de tirar n cópias de 
um texto em 8 horas de trabalho 
ininterrupto e B tem 80% da capacidade 
operacional de A. Essas máquinas foram 
acionadas simultaneamente num mesmo 
instante, a fim de tirar as n cópias de tal 
texto e, após funcionarem juntas e 
ininterruptamente por 4 horas, foram 
desligadas. É correto afirmar que, ao 
serem desligadas,a) o trabalho estava concluído. 
b) haviam sido tiradas 
5
4
 das n cópias. 
c) 20% das n cópias ainda deveriam ser 
tiradas para que o trabalho fosse 
concluído. 
d) haviam sido tiradas 
8
3
 das n cópias. 
e) 10% das n cópias ainda deveriam ser 
tiradas para 
que o trabalho fosse concluído. 
 
23- (FCC – TRT) Duas máquinas, A e 
B, foram usadas para tirar X cópias de 
um texto. Sabe-se que: inicialmente, A e 
B operaram juntas e, assim, em 2 horas 
foram tiradas 40% das X cópias 
solicitadas; a seguir, B foi desligada e, 
então, operando sozinha, A tirou 25% 
das X cópias solicitadas em 2 horas. 
Nessas condições, se apenas B foi 
acionada para tirar as cópias que 
faltavam, o tempo que ela gastou para tal 
foi de 
a) 9 horas e 20 minutos 
b) 9 horas 
c) 8 horas e 20 minutos 
d) 8 horas 
e) 7 horas e 20 minutos 
 
GABARITO 
 
01- a) direta b) inversa c) direta d) 
direta e) direta f) inversa 
02- E 
03- C 
04- C 
05- 36 operários 
06- C 
07- E 
08- B 
09- 1 hora e 30 minutos 
10- Errado 
11- D 
12- B 
13- 168 caixas 
14- E 
15- B 
16- A 
17- C 
18- D 
19- C 
20- E 
21- B 
22- E 
23- B 
 
 
 
 
 
Professor Uendel; Instagran (@coliseucentrodeestudos); WhatsApp (62) 98272 5051 Página | 9 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
Definição: 
Chama-se regra de três composta 
ao método prático empregado para 
resolver problema análogo ao da regra de 
três simples, só que envolvendo mais de 
duas grandezas proporcionais. 
 
Propriedade: 
Considere uma grandeza 
 ...,, 21 aaA
 diretamente 
proporcional a uma grandeza 
 ...,, 21 bbB
 e a uma grandeza 
 ...,, 21 ccC
, então: 
c
c
b
b
a
a
2
1
2
1
2
1 
. 
 
Técnica operatória: 
Tomemos o seguinte exemplo: 
Com 16 máquinas de costura 
aprontaram-se 720 uniformes em 3 dias 
de trabalho. Quantas máquinas serão 
necessárias para confeccionar 2160 
uniformes em 24 dias. 
 
A grandeza número de máquinas, 
onde está a incógnita deve ser 
comparada com as grandezas números 
de uniformes e número de dias. Assim: 
Número de máquinas e número de 
uniformes são grandezas diretamente 
proporcionais, pois, para o mesmo 
número de dias, quanto maior o número 
de máquinas maior será o número de 
uniformes. 
Número de máquinas e número de dias 
são grandezas inversamente 
proporcionais, pois, para o mesmo 
número de uniformes, quanto maior o 
número de máquinas menor será o 
número de dias gastos. Assim: 
 
6
3
24
2160
72016
 x
x
. 
 
Portanto, serão necessárias 6 máquinas. 
 
EXERCÍCIOS 
 
01- Se 6 pessoas, trabalhando 4 horas 
por dia, realizam um trabalho em 15 dias, 
8 pessoas, trabalhando 6 horas por dia, 
farão o mesmo trabalho em 
a) 42 horas 
b) 45 horas 
c) 48 horas 
d) 50 horas 
e) 52 horas 
 
02- (FCC) Sabe-se que três máquinas de 
terraplanagem, todas com a mesma 
capacidade operacional, nivelaram 
7
6
 da 
superfície de um terreno, funcionando 
juntas por um período ininterrupto de 5 
horas. Se apenas uma dessas máquinas 
será usada para completar o nivelamento 
 
 
Professor Uendel; Instagran (@coliseucentrodeestudos); WhatsApp (62) 98272 5051 Página | 10 
do terreno, ela deverá funcionar 
ininterruptamente por um período de 
a) 30 minutos 
b) 1 hora e 30 minutos 
c) 2 horas 
d) 2 horas e 30 minutos 
e) 3 horas 
 
03- (FCC) Considere que em uma 
indústria todos os seus operários 
trabalham com desempenhos iguais e 
constantes. Sabese que 24 desses 
operários, trabalhando 6 horas por dia, 
durante 10 dias, conseguem realizar 75% 
de uma determinada tarefa. O número de 
operários que conseguirão realizar toda a 
tarefa em 15 dias, trabalhando 8 horas 
por dia, é igual a 
(A) 12 
(B) 15 
(C) 16 
(D) 18 
(E) 20 
 
04- Para alimentar 15 vacas leiteiras 
durante 11 dias são necessários 2200 kg 
de milho. Retirando-se 7 vacas, em 
quanto tempo serão consumidos 1280 kg 
de milho? 
 
05- (FCC) Hoje, Filomena gastou 3 
horas de trabalho ininterrupto para 
digitar 
5
3
 do total de páginas de um texto 
e, amanhã, Gertrudes deverá digitar as 
páginas restantes. Considerando que a 
capacidade operacional de Gertrudes é 
80% da capacidade de Filomena, então, 
o esperado é que Gertrudes digite a sua 
parte em 
a) 2 horas. 
b) 2 horas e 30 minutos. 
c) 3 horas. 
d) 3 horas e 30 minutos. 
e) 4 horas. 
 
06- (ESAF) Com 50 trabalhadores, com 
a mesma produtividade, trabalhando 8 
horas por dia, uma obra ficaria pronta em 
24 dias. Com 40 trabalhadores, 
trabalhando 10 horas por dia, com ma 
produtividade 20% menor que os 
primeiros, em quantos dias a mesma 
obra ficaria pronta? 
a) 24 
b) 16 
c) 30 
d) 15 
e) 20 
 
07- (CESPE) Considere que uma equipe 
de digitadores tenha sido destacada para 
a digitação de certo material. Sabendo 
que 
5
3
 da equipe, em 4 horas de trabalho, 
digitariam 30% do material e 
considerando que os elementos da 
equipe trabalham com a mesma 
eficiência, julgue os itens a seguintes. 
1º- ( ) Em 8 horas de trabalho, 
4
3
 
da equipe digitariam mais de 80% do 
material. 
2º- ( ) Metade do material seria 
digitado por 
3
2
 da equipe em menos de 7 
horas. 
 
 
Professor Uendel; Instagran (@coliseucentrodeestudos); WhatsApp (62) 98272 5051 Página | 11 
3º- ( ) Em 10 horas de trabalho, 
para digitar todo o material, seria 
necessário utilizar 80% da equipe 
 
08- 24 operários fazem 
5
2
 de 
determinado serviço em 10 dias, 
trabalhando 7 horas por dia. Em quantos 
dias a obra estará terminada, sabendo-se 
que foram dispensados 4 operários e o 
regime de trabalho diminuído de uma 
hora por dia? 
a) 8 
b) 11 
c) 12 
d) 21 
e) 18 
 
GABARITO 
01- B 
02- D 
03- C 
04- 
dias12
 
05- B 
06- C 
07- Errado, Certo, Certo 
08- D