Trabalho 1

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EXATAS – ÁREA DO CONHECIMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E ENGENHARIAS 
TRABALHO 1 – PESO: 1,0 PONTOS – DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO 
PROFA. VÂNIA M P SLAVIERO – vmpslavi@ucs.br 
ALUNO(S): ANDERSON PATRICIO E NÍCHOLAS JOSÉ RODRIGUES_________ DATA: 17/04/2018 
Orientações: só será feita a correção do trabalho que tem todas as questões feitas. A entrega deve ser feita na 
semana seguinte ao dia da prova, na pasta Webfólio, até o horário lá fixado. Trabalhos atrasados não serão 
aceitos e trabalhos que configurem como cópia, parcial inclusive, terão nota zero. Duas questões, sorteadas 
em aula no dia da entrega, serão corrigidas, com valor 0,5 cada uma. Em negrito, após cada enunciado, 
encontra-se o que é solicitado. Pode ser feito em duplas, devendo constar o(s) nome(s) na entrega. Use 
format long para as respostas e edite o documento, retirando linhas em branco e cálculos desnecessários. O 
número de páginas não pode exceder a 5, incluindo o enunciado. Salve em .pdf. Não há Fórum para este 
trabalho. 
 
 
Questão 1. (use format shorte) Uma fórmula recursiva para calcular uma aproximação do valor de √𝑛 é dada 
por: 
𝑥𝑘 =
1
2
(𝑥𝑘−1 +
𝑛
𝑥𝑘−1
). Ver exemplo 2.4 pág 35 
Usando esta fórmula o que se pretende calcular aqui é uma aproximação para o valor de √205. 
 
a) Escolha um valor inicializador x1, sem calcular o valor de √205. Mostre como foi feita a escolha. 
 
x1 =14,5 
 
Critério de escolha: Sabe-se que √196 = 14 e √225 = 15 então para um provável valor inicializador será 14,5. 
 
b) Monte uma tabela contendo: os valores de 𝑥𝑘 para k= 1, 2, ..., 10; as diferenças relativas (erro 
relativo entre duas aproximações consecutivas); os erros relativos (erro relativo entre o valor 
aproximado e o exato). 
 
Tabela: 
k xk Diferença relativa Erro relativo 
1 14.500000000000000 --------------- ---------- 
2 14.318965517241379 0.000079932132129 0.012642986152920 
3 14.317821109012019 0.000000003194317 0.000079928937556 
4 14.317821063276353 0 0.000000003194317 
5 14.317821063276353 0 0 
 
 
 
 
c) Qual é o valor da aproximação obtida para √205, considerando a tabela obtida em b)? Considerando 
a diferença relativa o que se pode afirmar quanto ao número de DSE? E considerando o erro relativo? 
 
 
Respostas: √205 = 14.317821063276353 
Levando em conta o DSE, dígitos significativos exatos, temos 16 que é o limite do software. E 
segundo o calculo do erro relativo este valor é exato. 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 2. Uma série para calcular ln(1 – x), se x está no intervalo aberto (-1, 1), é 
 
ln(1 – x) = ∑ (−
𝑥𝑛
𝑛
+∞
𝑛=1 ). 
 
a) Escreva uma function que recebe um valor de x e um valor de n, e retorna uma aproximação para o 
valor de ln(1 – x) usando os primeiros n termos da série 
Function: 
function [ln,Erel]=logaritmo(x,n) 
ln=0; 
v=log(1-x); 
for i=1:n 
ln=ln+(-1)*x^i/i; 
Erel=ErroRel(ln,v); 
end 
 
b) Use x = -0,6  (-1, 1) e calcule uma aproximação para ln(1 – x) para n = 10, 100, 1000. 
c) Determine o erro relativo entre o valor exato e os aproximados obtidos em b). 
Disponha os resultados de b) e c) na tabela: 
 
 n Ln Erro Relativo 
n = 10 0.469790647954286 -4.531481848166030e-04 
n = 100 0.470003629245736 1.181079204012582e-16 
n = 1000 0.470003629245736 1.181079204012582e-16 
 
 
Questão 3. A recolha de energia solar através da focagem de um campo plano de espelhos numa central de 
recolha foi estudada por Vant-Hull (1976). A equação para a concentração geométrica do fator C é dada por: 
 
em que A é o ângulo do campo, F é a cobertura da fracção do campo com espelhos, D é o diâmetro do 
coletor e h é o comprimento do coletor. Considerando h = 300, F = 0.8 e D = 14, calcule uma ótima 
aproximação do ângulo positivo A, inferior a π/25 rad, para o qual a concentração do fator C é 1200. Use um 
método que avalia a derivada da função em cada aproximação. 
Argumentos de entrada: 
format long 
h=300; 
F=0.8; 
D=14; 
C=1200; 
f=@(A) C-(pi*(h./cos(A)).^2*F)./(0.5*pi*D^2*(1+sin(A)-0.5*cos(A))); 
A=0:0.001:pi/25; 
plot(A,f(A)) 
grid on 
Linhas digitadas: 
%zero no intervalo é [0.1,0.12] 
x=0.1; 
tol=0.5e-10;kmax=20; 
[x,Erel,k]=ZeroNewton(f,x,tol,kmax) 
Resposta obtida: 
A= 0.117609059151578 
Erro relativo= -1.743227403751007e-11 
k=5 interações 
 
 
Questão 4. Uma das soluções para os resíduos de material nuclear é colocá-los em barris especiais que serão 
mais tarde depositados no fundo do oceano. Se os recipientes permanecerem intactos, a contaminação do 
ambiente circundante é mínima. Resolvendo as equações de movimento para os barris à medida que eles 
descem na água, chega-se à seguinte relação entre a velocidade de impacto, v, e a profundidade da água, D: 
 
em que W é o peso dos barris, B é a sua flutuabilidade, g é a constante gravitacional 
e k é o coeficiente de atrito. A flutuabilidade dos barris pode ser determinada 
através do seu volume, sendo igual a 470. O coeficiente de atrito é determinado experimentalmente e é dado 
por k = 0.08. A constante gravitacional é g = 32 e o peso dos barris W = 527. 
a) Determine uma aproximação ótima, pelo método da Bisseção, para a velocidade de impacto v, 
quando os barris são lançados numa zona cuja profundidade é D = −300. 
b) Através de experiências, mostrou-se que os barris se danificam se a velocidade de impacto com o 
fundo do oceano for superior a 40. Na situação da alínea anterior, haverá risco de contaminação? 
 
Argumentos de entrada: 
format long 
k=0.08; 
g=32; 
W=527; 
B=470; 
D=-300; 
f=@(v) D-(1/(k^2*g))*(W*(W-B)*log(1+(k.*v/(W-B)))-W.*k*v); 
v=0:0.01:100; 
plot(v,f(v)) 
grid on 
Linhas digitadas: 
%pelo gráfico observamos que o zero esta entre [45,50] 
a=45;b=50; 
tol=0.5e-10; 
kmax=40; 
[x,Erel,k]=ZeroBissecao(f,a,b,tol,kmax) 
Respostas: a) Aproximação obtida: v=46.547060055891052 
 
Complete: a aproximação obtida é ótima porque o erro relativo é baixo 2.501024161078056e-11. 
 
b) Sim haverá risco de contaminação, pois a velocidade sera de aproximadamente 46,55 m/s superior a 
40 m/s. 
 
 
 
 
Questão 5. a) Escreva uma function na linguagem do MATLAB, de nome “ZeroMetodos”, que calcula o 
zero de uma função f num intervalo [a, b] pelo método de Newton-Raphson, usando como estimativa inicial 
a aproximação obtida na terceira iteração do método da Bissecção. Fixe como dados de entrada f, a, b, tol, 
kmax, e como dados de saída a aproximação x, a diferença relativa Erel e o número de iterações realizadas k. 
O critério de parada deve ser um dos dois, tol e kmax, o que acontecer primeiro. Não chame funções 
externas, construa todas as saídas no próprio programa. 
b) Usando um intervalo de comprimento 0,5, encontre o menor zero positivo da função f(x) = x
3
 – sin(x), 
com tol = 0,5×10
-6
, pelo método de Newton-Raphson e pelo método proposto no iem a). Qual o mais rápido? 
E o mais preciso? Obs: lembre que para comparar os métodos os argumentos iniciais devem ser 
compatíveis. 
 
 
 
a) Function 
 
function [x2,Erel,k]=ZeroMetodos(f,a,b,tol,kmax) 
% entrada: 
% f,função anonima 
% a,b extremos do intervalo que contem um zero 
% tol,tolerancia para o erro relativo(diferença) 
% kmax, numero maximo da interação 
% saida: 
% x,uma aproximação do zero procurado 
% ereal erro relativoentre a ultima e a penultima aproximação 
% k, numero de interações realizadas 
 
k=1; 
syms t 
df=matlabFunction(diff(f(t))); 
Erel=+inf; 
x1=(a+b)/2; 
for i=1:2 
 k=k+1; 
 if f(a)*f(x1)<0 
 b=x1; 
 else 
 a=x1; 
 end 
end 
x2=(a+b)/2; 
Erel=(x1-x2)/x2; 
while k<kmax && abs(Erel)>tol 
 u=x2; 
 x2=x2-f(x2)/df(x2); 
 k=k+1; 
 Erel=(u-x2)/x2;end 
 
 
b) Argumentos de entrada por Newton-Raphson: 
kmax=50; 
a=0.9;b=0.95;% definidos pelo grafico 
tol=0.5e-6; 
kmax=50; 
 
Argumentos de entrada por ZeroMetodos: 
tol=0.5e-6; 
kmax=50; 
x=(0.9+0.95)/2;% definido pelo grafico 
 
 
Respostas: (valores e erros pelos dois métodos) 
Métodos x Erro relativo k 
Newton-Raphson 0.928626308731734 7.807029484312064e-10 4 
ZeroMetodos 0.928626308731735 2.629090257985341e-08 6 
 
Comparação: 
Através dos dados expostos na tabela acima, conclui-se que o método com menos iterações e, portanto, mais 
rápido é o Newton-Raphson. Porém, além da diferença no número de iterações percebe-se diferença também no 
erro relativo, pelo fato de que enquanto o método Newton-Raphson inicializa-se com um valor específico o 
método ZeroMetodos parte de um intervalo.