Apostila Geometria Descritiva

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Notas de Aula de Geometria Descritiva - GGM - IME - UFF - 2011
 
 
Aula 01: O Ponto
O objetivo da Geometria Descritiva é representar no plano as figuras do espaço, possibilitando o 
estudo de suas propriedades e a resolução de problemas espaciais através da Geometria Plana.
 
Breve histórico:
● Euclides - 300 a.C.: regras de perspectiva.
● Vitrúvio - a.C.: cortes horizontais e verticais de edifícios.
● Leonardo da Vinci - século XV: estudos para a representação plana de objetos do espaço.
● Gaspard Monge - século XVIII: Geometria Descritiva.
1) Projeções
Notação: Utilizaremos letras maiúsculas para denotar pontos em Geometria Descritiva, por exemplo: 
 ou . As letras minúsculas serão utilizadas para denotar retas, por exemplo: ou . Analogamente 
as letras gregas denotarão planos, por exemplo: ou . As letras entre parênteses indicam que os 
objetos estão no espaço tridimensional e letras sem parênteses indicam projeções dos objetos.
 
Definição (Projeção): Dados um ponto , uma reta contendo e um plano que não contém 
, dizemos que a projeção de sobre , denotada por , é a interseção de e . A reta é 
chamada de projetante. A figura abaixo ilustra a projeção.
1.1) Tipos de projeção
As principais formas de projetar uma figura espacial sobre um plano são apresentadas a seguir.
● Projeção Cônica (lâmpada): neste caso, todas as projetantes partem de um ponto fixo chamado 
de centro ou foco de projeção.
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● Projeção Cilíndrica (sol): O centro de projeção é deslocado para o infinito, fazendo que com 
todas as projetantes sejam paralelas à uma direção fixada , chamada direção de projeção. Um 
caso particular e muito utilizado é a Projeção Cilíndrica Ortogonal, onde a direção de projeção é 
perpendicular ao plano .
2) Sistema Mongeano de Projeções
O sistema de projeção desenvolvido por Gaspard Monge e utilizado em Geometria Descritiva é a 
dupla projeção cilíndrica ortogonal. Este método utiliza dois planos de projeção perpendiculares entre si, que 
são o plano vertical, denotado por , e o plano horizontal, denotado por .
 
Definição (Linha de Terra): A linha de interseção entre os planos de projeção vertical e horizontal é 
chamada de Linha de Terra e denotada por , L.T., ou .
 
Os planos e dividem o espaço em quatro diedros (1º, 2º, 3º e 4º diedro). Os planos e 
 são divididos pela linha de terra em quatro semiplanos, denotados por:
● S.P.H.A. (Semiplano horizontal anterior);
● S.P.H.P. (Semiplano horizontal posterior) ;
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● S.P.V.S. (Semiplano vertical superior);
● S.P.V.I. (Semiplano vertical inferior) .
 
Para facilitar a compreensão deste sistema, vamos introduzir um observador sobre o plano de 
projeção horizontal como nas figuras abaixo. Na primeira figura dizemos que o observador possui uma vista 
perspectiva, e na segunda, uma vista de perfil. 
 
2.1) Representação do ponto
Um ponto do espaço é representado neste sistema por suas duas projeções e sobre os 
planos e , respectivamente. Ou seja:
● é a projeção do ponto sobre o plano vertical ;
● é a projeção do ponto sobre o plano vertical . 
 
Além disso, cada ponto no sistema mongeano é determinado por três coordenadas, como segue:
 
sendo: 
x é a Abcissa ou Abscissa: é positiva a direita do observador;
y é o Afastamento: quanto maior o afastamento mais distante o ponto está do plano vertical;
z é a Cota: quanto maior a cota mais “alto” o ponto se encontra.
 
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OBS.: Note que os pontos , e definem um plano no espaço que é perpendicular aos planos de 
projeção e .
2.2) A Épura
Uma representação em épura tem como objetivo representar objetos tridimensionais utilizando um 
único plano. Na épura mongeana (que chamaremos, por simplicidade, somente de épura) representamos 
os planos e em um único plano fazendo com que o plano vertical permaneça fixo, enquanto o 
plano horizontal é rotacionado em torno da linha de terra, até que o S.P.H.A. coincida com o S.P.V.I., e 
consequentemente o S.P.H.P. coincida com o S.P.V.S., como vemos na figura abaixo.
 
 
 
Definição (Linha de Chamada): A linha que une as projeções e de em épura é conhecida como 
linha de chamada do ponto Essa linha é sempre perpendicular a L.T. e será representada por uma linha 
pontilhada.
 
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Representação do ponto em Épura: acesse o link abaixo para ver o vídeo do assunto.
http://www.youtube.com/watch?v=v4vbb0-F_-U
3) As Posições do Ponto
O ponto pode ocupar nove diferentes posições no espaço: quatro posições gerais (1º, 2º, 3º ou 4º 
diedro) e cinco posições sobre os planos e (SPVA, SPVP, SPHS, SPHI e sobre a L.T.). As figuras 
abaixo mostram a representação em épura de pontos localizados nas quatro posições gerais:
 
1) Ponto situado no primeiro diedro.
 
 
 
2) Ponto situado no segundo diedro.
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3) Ponto situado no terceiro diedro.
 
4) Ponto situado no quarto diedro.
 
Vejamos agora a representação em épura de pontos localizados nas cinco posições sobre os planos 
 e .
 
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O quadro a seguir resume o que foi exposto acima:
 
posição 1d 2d 3d 4d LT SPHA SPHP SPVI SPVS
cota + + - - 0 0 0 - +
afastamento + - - + 0 + - 0 0
 
4) Quem foi GASPARD MONGE ?
Gaspard Monge (1746 a 1818) foi um sábio desenhista francês, 
figura política do final do século XVIII e início do século XIX, um dos 
fundadores da Escola Politécnica Francesa, criador da Geometria 
Descritiva e grande teórico da Geometria Analítica, ele pode ser 
considerado o pai da Geometria Diferencial de curvas e superfícies 
do espaço.
 
Monge foi professor da Escola Militar de Meziéres e da Escola 
Politécnica de Paris, onde teve como discípulos e seguidores de sua 
obra Jean Pierre Hachette, Barnabé Busson, Jean Victor Poncelet, 
Charles Dupin, Michel Chasles, Theodore Oliver, C.F. Leroy, Jules de 
La Gourmiere e Victor Amadeé Macleim, tendo este último exercido o 
magistério no último quartel do século XIX.
Ele ainda aprimorou uma técnica de representação gráfica já iniciada pelos egípcios que 
representavam apenas: a planta, a elevação e o perfil. Esse interesse em estudar essa técnica resultou de 
impulsos patrióticos que visavam tirar a França da dependência da indústria estrangeira.
 
Fonte: Wikipedia.
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Exercícios:
Exercício 01: Localize e represente em épura os seguintes pontos:
(A)[-3;-1;0], (B)[-1;2;-4], (C)[3;-2;-3], (D)[1;0;-2], (E)[2;0;1], (F)[0;3;1], (G)[-2;1;0], (I)[-1;-1;2], (J)[3;0;0], (K)[2;-
1;1], (L)[-1;-3;-3], (M)[1;2;-2], (N)[3;4;4].
 
Exercício 02: Identifique as coordenadas e posições dos seguintes pontos:
 
 
Exercício 03: (a) Identifique em épura pontos cujo afastamento é igual à sua cota. Seja o plano formado 
por todos os pontos do espaço com essa propriedade (afastamento = cota). Qual o ângulo que esse plano faz 
com o plano horizontal de projeção? Por quais diedros esse plano passa?
(b) Ídem para os pontos cujo afastamento é igual ao negativo da cota (ie: afastamento = - cota).
 
 
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Aula 02 - A Reta
1) Projeção de reta sobre o plano:
 No Sistema Mongeano estudamos a reta através de suas projeções nos planos de projeção e . 
 
Notação: Utilizaremos letras minúsculas para denotar retas, por exemplo ou . E ainda, retas 
determinadas por dois pontos e serão denotadas por . 
 
Definição(Projeção de reta): A projeção de uma reta sobre um plano é o conjunto das projeções de 
todos os pontos que pertencem a reta.
 
A projeção de uma reta sobre um plano é uma reta ou um ponto (se a reta for perpendicular ao plano).
 
Notação: A projeção horizontal de uma reta será denotada por e a vertical por .
 
Para determinar a projeção de uma reta, basta projetar dois de seus pontos, e uni-los.
 
2) Determinação de uma reta
De modo geral, a posição de uma reta fica bem determinada quando são conhecidas suas projeções sobre os 
planos e .
 
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Observação (Exceção da regra): Essa regra possui exceção quando se trata de um reta de perfil. Esse tipo 
de reta será estudada mais adiante.
 
Definição (Verdadeira Grandeza): Quando a projeção de uma reta e a própria reta têm o mesmo 
comprimento, dizemos que a reta está projetada em Verdadeira Grandeza (V.G.). 
3) Pertinência de ponto em reta
Regra geral: Um ponto pertence a uma reta quando as projeções do ponto estão sobre as projeções de 
mesma natureza da reta, isto é, a projeção horizontal do ponto sobre a projeção horizontal da reta e a 
projeção vertical do ponto sobre a projeção vertical da reta.
 
Exemplos:
1) Na épura abaixo, o ponto (A) pertence a reta em todos os casos, já que A' pertence à e A pertence à 
.
 
2) Nos casos mostrados a seguir, o ponto (A) não pertence à reta . Por quê?
Observação (Exceção da regra): Essa regra possui exceção quando se trata de um reta de perfil. Esse tipo 
de reta será estudada mais adiante.
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4) Posições da Reta
Classificamos as retas segundo a posição que elas ocupam em relação aos planos de projeção e 
. 
4.1) Reta Qualquer
É toda reta oblíqua aos planos de projeção e .
 
Propriedades:
● As projeções são obliquas em relação à L.T.;
● Todo segmento de reta não possui projeções em verdadeira grandeza (V.G.).
4.2) Reta Horizontal
É toda reta paralela ao plano de projeção horizontal e oblíqua ao plano de projeção vertical 
Propriedades:
● Projeção vertical paralela à L.T., ou seja, todos os pontos da reta possuem a mesma cota;
● Projeção horizontal oblíqua em relação à L.T.; 
● Qualquer segmento de reta horizontal tem projeção horizontal em V.G..
4.3) Reta Frontal
É toda reta paralela ao plano de projeção vertical e oblíqua ao plano de projeção horizontal 
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Propriedades:
● Projeção horizontal paralela à L.T., ou seja, todos os pontos possuem o mesmo afastamento;
● Projeção vertical oblíqua em relação à L.T.; 
● Qualquer segmento de reta frontal tem projeção vertical em V.G.
4.4) Reta Frontohorizontal ou paralela à L.T.
É toda reta paralela aos planos de projeção e, consequentemente, à L.T..
Propriedades:
● Ambas as projeções são paralelas à L.T.;
● Qualquer segmento de reta frontohorizontal possui ambas as projeções em V.G..
4.5) Reta Vertical 
É toda reta perpendicular ao plano de projeção horizontal 
Propriedades:
● Projeção horizontal é um ponto;
● Projeção vertical é uma reta perpendicular a L.T.;
● Qualquer segmento de reta vertical possui projeção vertical em V.G..
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4.6) Reta de Topo
É toda reta perpendicular ao plano de projeção vertical 
Propriedades:
● Projeção vertical é um ponto;
● Projeção horizontal é uma reta perpendicular a L.T.;
● Qualquer segmento de reta de topo possui projeção horizontal em V.G..
4.7) Reta de Perfil
É toda reta perpendicular a L.T., mas não é horizontal nem frontal.
Propriedades:
● Ambas as projeções são perpendiculares a L.T.;
● Qualquer segmento de reta de perfil não possui projeções em V.G..
4.8) Reta contida no plano
Como o próprio nome diz, são as retas contidas no plano de projeção horizontal 
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Propriedades:
● Projeção vertical coincide com a L.T.;
● , ou seja, a projeção horizontal em V.G..
4.9) Reta contida no plano
Mais uma vez, como o próprio nome diz, são as retas contidas no plano de projeção vertical .
Propriedades:
● Projeção horizontal coincide com a L.T.;
● , ou seja, projeção vertical está em V.G..
4.10) Reta coincidente com a L.T. 
Propriedades:
● Ambas as projeções coincidem com a L.T.;
● Ambas as projeções estão em V.G..
5) Posições Relativas de Duas Retas
Duas retas podem ocupar as seguintes posições relativas entre si:
● Paralelas: são coplanares e não se interceptam;
● Concorrentes: são coplanares e possuem um ponto em comum;
● Reversas: são não-coplanares (logo não possuem ponto em comum).
5.1) Retas Paralelas
Suas projeções de mesmo nome são paralelas ou uma delas é paralelas e a outra coincidente.
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Observação (Paralelismo de Retas Verticais, de Topo e Frontohorizontais)
● Todas as retas verticais são paralelas entre si.
● Todas as retas de topo são paralelas entre si.
● Todas as retas frontohorizontais são paralelas entre si.
5.2) Retas Concorrentes
As interseções das projeções das retas têm a mesma abcissa, isso é, as retas possuem ponto em comum. 
Uma das projeções pode coincidir ou não.
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5.3) Retas Reversas
 
6) Traços da Reta
Definição (Traços): Os traços de uma reta são os pontos onde a reta intercepta os planos de projeção 
e O ponto de interseção da reta com o plano é o traço vertical, denotado por se existir. E 
o ponto de interseção da reta com o plano é o traço horizontal, denotado por se existir.
 
OBS.: Se a reta for paralela a um dos planos de projeção, ela não possui traço nesse plano, como no 
exemplo dado abaixo.
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6.1) Determinação do Traço Horizontal 
Para determinar o traço horizontal (H)=H de uma reta dada por suas projeções:
1. Determine , a interseção de com a L.T..
2. O ponto é a interseção da linha de chamada em com .
6.2) Determinação do Traço Vertical
Para determinar o traço vertical (V)=V’ de uma reta dada por suas projeções:
1. Determine , a interseção de com a L.T..
2. O ponto é a interseção da linha de chamada em com .
 
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7) Trajetória de uma Reta
Uma reta muda de diedro quando ela cruza um plano de projeção. Na épura, o estudo da trajetória de uma 
reta é feito determinando a posição de pontos imediatamente à esquerda e à direita dos traços horizontal e 
vertical. Vejamos os exemplos a seguir:
 
 
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8) Exercícios
Exercício 01: Sejam os pontos (A)[-3;-1;0], (B)[-1;-2;-4], (C)[3,0;3], (D)[1,0,-2], (E)[2,0,1], (F)[0,3,1], (G)
[-2,1,1], (I)[-1,1,2]. Desenhe a épura das retas definidas por (A)(B), (C)(D), (E)(F), (G)(I) e as classifique de 
acordo com sua posição.
Exercício 02: Desenhe a épura das retas definidas por (A)(B), (C)(D), (E)(F), (G)(I), (J)(K), (L)(M) e 
responda: quais pares de retas são paralelos? Quais pares de retas são concorrentes? Quais pares de retas 
são reversos?
(A)[-3;-1;0], (B)[-1;2;-4], (C)[1,-1;0], (D)[3,2,-4], (E)[0,1,2], (F)[3,1,1], (G)[-2,1,3], (I)[0,-1,3], (J)[3,0,0], (K)[2,-
1,1], (L)[2,-1,1], (M)[1,2,-2], (N)[-1;2;-4]
Exercício 03: Traçar a épura da reta (r) com um ponto (A) no (SPVI) e outro ponto (B) no segundo 
diedro. Por quais diedros essa reta passa?
Exercício 04: Traçar a épura da reta (r) com um ponto (A) no (SPHP) e outro ponto (B) no quarto diedro. 
Por quais diedros essa reta passa?
Exercício 05: Dado as retas (A)(B) e (C)(D) pede-se:a) Suas épuras.
b) Seus traços.
c) Os diedros que elas atravessam.
d) Seus tipos. 
(A)[0;-2;-1], (B)[4;2;2.5], (C)[0;1;-1], (D)[0;1;2]
Exercício 06: Dadas as seguintes retas:
(r) passa por (A)[2;2.9;0.8], (B)[6;1.3;2.2].
(s) passa por (C)[-2,1,1], (D)[2;1;3].
(t) passa por (E)[0,1,3], (F)[2;2;3].
(u) passa por (G)[-2,1,1], (I)[-2;1;3].
(v) passa por (K)[-4,1,1], (L)[-4;3;1].
Pede-se:
a) Suas projeções em épura.
b) Seus traços.
c) Os diedros que elas atravessam.
d) Os semiplanos elas atravessam.
e) Seu tipo.
Exercício 07: Qual o tipo de cada uma das seguintes retas? Quais das retas a seguir possuem projeção 
vertical em verdadeira grandeza? E quais possuem projeção horizontal em verdadeira grandeza? Em quais 
diedros elas passam ? Encontre os traços verticais e horizontais das retas.
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Exercício 08: Represente em épura as retas dadas pelas coordenadas de dois de seus pontos, em 
seguida determine seus traços, classifique as retas e descreva por quais diedros elas passam.
a) (A)[1;3;3] e (B) [3;-3;5]
b) (D)[2;2;-1] e (E) [5;5;?] sabendo que tem cota constante.
c) (G)[2;?;3] e (J) [4;3;5] sabendo que tem afastamento constante.
 
Exercício 09: Na reta dada pelas coordenadas de seus pontos (A) [2;4;5] e (B)[5;3;4] determine os 
pontos abaixo solicitados:
(M) [4;?;?] 
(N) [-1;?;?]
(S) [?;6;?]
 
Exercício 10: Verificar se o ponto (M) [6;3;1] pertence a reta dada pelas coordenadas de (A)[5;2;4] e 
(B)[5;4;2]. Determine também seus traços e classifique a reta.
 
Exercício 11: Represente as projeções da reta horizontal sabendo que e que p 
traço de é o ponto (V)[1;?;2].
 
Exercício 12: Conhecida a reta vertical de abcissa 3 e afastamento 4, represente as projeções da reta 
 horizontal que tem traço vertical (V)[6;0;2]. Sabe-se que a reta é concorrente com no ponto (A). 
Escreva também as coordenadas do ponto (A).
 
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Aula 03 - O Plano
Em Geometria Euclidiana Plana aprendemos que um plano fica determinado por:
● três pontos não colineares;
● duas retas paralelas;
● duas retas concorrentes;
● uma reta e um ponto não pertencente à ela.
Agora veremos como representar um plano em épura.
 
1) Representação do Plano em Épura
Definição (Traços do Plano): O Traço Horizontal de um plano é a reta de interseção entre os 
planos e , se existir. Analogamente, o Traço Vertical de um plano é a reta de interseção 
entre os planos e , se existir.
 
Os planos são representados em épura através de seus traços.
Exemplos:
1)
2)
2) Pertinência da Reta a um Plano
Regra Geral: Uma reta pertence a um plano quando seus traços estão sobre os traços correspondentes do 
plano.
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3) Classificação dos Planos
Classificamos os planos de acordo com sua posição em relação a e . Apresentamos a seguir tal 
classificação, dividindo-a em dois grupos: projetantes e não projetantes.
3.1) Planos Projetantes
São chamados projetantes os planos perpendiculares a um dos planos de projeção.
3.1.1) Plano Horizontal
É todo plano paralelo ao plano de projeção horizontal .
Exemplo:
 
Propriedades:
● O traço vertical é paralelo a L.T..
● Não possui traço horizontal 
● Toda figura contida neste plano é projetada horizontalmente em V.G.. 
 
Pertinência de ponto: Basta verificar se a projeção vertical do ponto está sobre .
 
Retas do plano horizontal: horizontal, frontohorizontal e de topo.
Exemplo:
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3.1.2) Plano Frontal
É todo plano paralelo ao plano de projeção vertical .
Exemplo:
 
Propriedades:
● O traço horizontal é paralelo a L.T..
● Não possui traço vertical 
● Toda figura contida neste plano é projetada verticalmente em V.G.. 
 
Pertinência de ponto: Basta verificar se a projeção horizontal do ponto está sobre .
 
Retas do plano frontal: frontal, vertical e frontohorizontal.
Exemplo:
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3.1.3) Plano de Topo
É todo plano perpendicular ao plano de projeção vertical e inclinado em relação ao plano de projeção 
horizontal .
Exemplo:
Propriedades:
● O traço horizontal é perpendicular à L.T..
● O traço vertical é inclinado em relação à L.T.. 
● Projeções de figuras contidas neste plano não estão em V.G.. 
 
Pertinência de ponto: Basta verificar se a projeção vertical do ponto está sobre .
 
Retas do plano de topo: frontal, vertical e frontohorizontal.
Exemplo:
 
3.1.4) Plano Vertical
É todo plano perpendicular ao plano de projeção horizontal e inclinado em relação ao plano de projeção 
vertical .
Exemplo:
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Propriedades:
● O traço vertical é perpendicular à L.T.;
● O traço horizontal é inclinado em relação à L.T.; 
● Projeções de figuras contidas neste plano não estão em V.G.. 
 
Pertinência de ponto: Basta verificar se a projeção horizontal do ponto está sobre .
 
Retas do plano vertical: qualquer, horizontal e vertical.
Exemplo:
3.1.5) Plano de Perfil
É todo plano perpendicular à L.T. e consequentemente perpendicular a e a .
 
Exemplo:
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Propriedades:
● O traço vertical e o horizontal são perpendiculares à L.T.;
● Projeções de figuras contidas neste plano não estão em V.G.. 
 
Pertinência de ponto: Basta verificar se a abcissa do ponto é a mesma do plano.
 
Retas do plano de perfil: de topo, vertical e de perfil.
 
Exemplos:
 
3.2) Planos não-projetantes
São chamados não-projetantes os planos não perpendiculares a nenhum dos planos de projeção.
3.2.1) Plano qualquer
É todo plano inclinado em relação aos dois planos de projeção e .
 
Exemplo:
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Propriedades:
● Ambos os traços são oblíquos em relação à L.T.;
● Projeções de figuras contidas neste plano não estão em V.G.. 
 
Pertinência de ponto: Para verificar se um dado ponto pertence ou não ao plano devemos verificar se ele 
pertence a alguma reta do plano.
 
Retas do plano qualquer: qualquer, horizontal, frontal e de perfil.
Exemplo 1:
 
 
Exemplo 2: Vejamos como determinar se o ponto (A) pertence ao plano .
Na figura abaixo à esquerda utilizamos uma reta horizontal e seguimos os seguintes passos:
● Traçamos uma reta horizontal que pertence ao plano utilizando a projeção vertical do ponto;
● Verificamos se o ponto pertence à reta horizontal (note que a projeção horizontal da reta horizontal é 
paralela à )
Na figura abaixo à direita utilizamos uma reta frontal e seguimos os seguintes passos:
● Traçamos uma reta frontal que pertence ao plano utilizando a projeção horizontal do ponto;
● Verificamos se o ponto pertence à reta frontal (note que a projeção vertical da reta frontal é paralela à 
)
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3.2.2) Plano paralelo a L.T. 
Como o próprio nome diz, é todo plano paralelo à L.T..
 
Propriedades:
● Ambos os traços são paralelos à L.T.;
● Projeções de figuras contidas neste plano não estão em V.G.. 
 
Pertinência de ponto: Para verificar se um dado ponto pertence ou não ao plano devemos verificar se ele 
pertence a alguma reta do plano. 
 
Retas do plano paralelo à L.T.: qualquer, frontohorizontal e de perfil.
Exemplos:
 
3.2.3) Plano que passa pela L.T. e por um ponto 
Mais uma vez seu nome o define: é todo plano que passa pela L.T. e por um dado ponto
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Propriedades:
● Ambos os traços coincidem com a L.T.;
● Projeções de figuras contidas neste planonão estão em V.G.. 
 
Pertinência de ponto: Para verificar se um dado ponto pertence ou não ao plano devemos verificar se ele 
pertence a alguma reta do plano.
 
Retas do plano que passa pela L.T.: qualquer, frontohorizontal, coincidente com a L.T. e de perfil.
4) Obtenção dos Traços do Plano
4.1) Encontrar os traços do plano conhecendo duas de suas retas.
Podemos encontrar os traços de um plano se conhecemos duas de suas retas pois os traços das retas 
pertencem aos respectivos traços do plano.
 
Exemplo: Vejamos o passo-a-passo para encontrar os traços do plano que contém as retas ( e ( .
 
1) Encontrar os traços de ( e ( .
2) Unindo os traços verticais das duas retas encontramos o traço vertical de .
3) Unindo os traços horizontais das duas retas, encontramos o traço horizontal de .
 
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4.2) Encontrar traços do plano conhecendo um de seus pontos e uma de suas 
retas.
Podemos encontrar os traços de um plano se conhecermos um de seus pontos e uma de suas retas, já que 
os traços das retas devem estar sobre os traços de mesmo nome do plano assim como as projeções do 
ponto.
 
Exemplo: Vejamos o passo-a-passo para encontrar os traços do plano que contém a reta ( e o ponto 
(A).
 
1) Escolhemos um ponto auxiliar sobre a reta ( .
2) Desenhamos uma reta auxiliar ( que passa por . A reta ( também pertence ao plano.
Agora temos duas retas do plano ( e ( , com isso encontramos os traços do plano através dos traços 
dessas retas, da mesma forma que foi feito no problema anterior.
3) Encontramos os traços de ( e ( .
4) Unindo os traços horizontais das duas retas, encontramos o traço horizontal de .
5) Unindo os traços verticais das duas retas, encontramos o traço vertical de .
 
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4.3) Encontrar traços do plano que passa por 3 pontos.
Podemos encontrar os traços de um plano se conhecermos três de seus pontos não colineares utilizando a 
idéia dos itens anteriores.
 
Exemplo: Vejamos o passo-a-passo para encontrar os traços do plano determinado pelos pontos não 
colineares , e .
 
1) Desenhamos duas retas auxiliares:
● que passa por 
● que passa por 
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2) Agora temos duas retas do plano ( e ( que estão contidas no plano e devemos encontrar seus 
traços.
3) Unindo os traços verticais das duas retas, encontramos o traço vertical de . Unindo os traços 
horizontais das duas retas, encontramos o traço horizontal de .
 
 
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5) Exercícios
Exercício 01
Classifique os seguintes planos dados por seus traços:
Exercício 02
Desenhe uma reta de cada um dos seguintes planos:
Exercício 03
Encontre os traços do plano que passa pelos pontos (A),(B),(C).
(A)[2;2.9;0.8], (B)[6;1.3;2.2],(C)[2;0.7;3.4].
Exercício 04
Encontre os traços do plano que passa pelos pontos (A),(B),(C).
(A)[2;2.9;0.8], (B)[2;1.3;2.2], (C)(1,1,1).
Exercício 05
Trace duas retas distintas do plano que passem pelo ponto (A).
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Exercício 06
Trace dois pontos, (A) e (B) que pertençam ao plano e dois pontos (C) e (D) que não pertençam ao plano 
. 
 
Exercício 07
Quais dos planos a seguir são projetantes? Quais são perpendiculares a ? E quais são perpendiculares a 
. Quais são paralelos a ? Quais são paralelos a ?
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Exercício 08
Determinar os traços dos planos definidos pelas seguintes retas:
a) reta : (A)[2;5;1] e (B)[4;3;4] ; reta :(B) e (C)[5;2;2].
b) reta : (A)[2;-2;-2] e (B)[4;2;0] ; reta :(B) e (C)[4;2;4].
c) reta : (A)[2;-1;4] e (B)[5;-4;-2] ; reta :(C)[2;0;4] e (D)[5;-2;?].
d) reta : (A)[2;-1;2] e (B)[6;-1;2] ; reta :(C)[5;2;2] e (D)[5;-1;?].
e) reta : (A)[2;2;0] e (B)[2;2;5] ; reta :(C)[4;1;-2]] e (D)[4;1;5].
e) reta : (A)[4;2;3] e (B)[4;4;0] ; reta :(A) e (C)[4;4;1].
 
Exercício 09
No plano de topo construir, pelo ponto a reta horizontal e a reta frontal do plano, 
sabendo-se que faz 30º graus a direita com a LT. 
 
Exercício 10
Provar que uma reta frontal pode pertencer à um plano qualquer.
 
Exercício 11
Determine os traços do plano de topo , sabendo que e que possui abcissa +3. 
 
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Exercício 12
Determinar os traços do plano que passa pelo segmento (A)(B) e pelo ponto (D). Sabe-se: (A)[2;1;5], (B)
[5;2;1] e (D)[4;0;4].
 
Exercício 13
Determinar os traços do plano que passa pelas concorrentes: (A)(B) e (C)(D). 
Sabe-se: (A)[3;4;1], (B)[6;1;3] e (C)[4;1;4] e (D)[5;?;1].
 
Exercício 14
Determinar os traços do plano que passa pela reta de perfil (A)(B) e pelo ponto (C). Sabe-se: (A)[8;-2;5], 
(B)[?;4;3] e (C)[4;2;1].
 
Exercício 15
Verificar se o ponto (P) pertence ao triângulo (A)(B)(C).
Sabe-se: (A)[1;1;2], (B)[3;4;5], (C)[5;0;3] e (P)[3;2;3].
 
Exercício 16
Determinar os traços do plano que passa pela reta frontal (A)(B) e pelo horizontal (A)(C). Sabe-se: (A)
[5;?;?], (B)[2;4;2] e (C)[1;-1;6].
 
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Aula 04 - Interseções e Perpendicula- 
ridade
1) Interseção de Planos
Quando dois planos não são paralelos, são chamados secantes. Nesse caso, a interseção 
entre eles é uma reta.
 
Estamos interessados em representar em épura a reta de interseção entre dois planos 
secantes. É preciso lembrar que para representar uma reta em épura, é necessário 
conhecer as projeções de dois de seus pontos, que neste caso serão seus traços vertical e 
horizontal. Vejamos os seguintes casos:
1.1) Planos dados por seus Traços:
Neste primeiro caso, para representar a reta (s) de interseção entre dois planos secantes 
 e ( , encontraremos as projeções de seus traços. Veja o exemplo a seguir.
 
Exemplo:
 
1. Marque , que é a interseção entre e . Em seguida marque sobre 
a linha de terra.
2. Marque , que é a interseção entre e . Em seguida marque sobre a 
linha de terra.
3. Marque ligando e .
4. Marque ligando e .
1.2) Planos com Traços Paralelos:
Neste caso, existe o cruzamento de um tipo de traço (horizontal ou vertical) e paralelismo 
do outro, o que implica que a reta é paralela à eles. 
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Exemplos:
 
1) Repare que neste exemplo temos os traços horizontais dos planos paralelos entre si. 
Devemos seguir os seguintes passos para determinar as projeções da reta (s) de interseção 
entre os planos secantes.
 
1. Marque , que é a interseção entre e . Em seguida marque sobre 
a linha de terra.
2. Marque paralela à L.T. e passando por .
3. Marque paralela à (e ) e passando por .
 
 
2) Este exemplo é análogo ao anterior, mas agora (s) é perpendicular a . 
1.3) Planos com apenas um Traço:
Neste caso, considere um dos planos secantes paralelo à um dos planos de projeção, o que 
implica que este terá apenas um traço. Vejamos os exemplos a seguir.
 
Exemplos:
 
1) O plano é um plano horizontal e portanto possui apenas o traço vertical . O 
plano é um plano de topo e possui traço horizontal perpendicular à L.T.. A reta (s) de 
interseção entre e é uma reta de topo. Vejamos como encontrar suas projeções:
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1. Marque que é a interseção entre e . Em seguida marque sobre 
a linha de terra.
2. Marque .
3. Marque paralela à (e perpendicular à L.T.) e passando por .
 
 
 
2) Este exemplo é análogo ao anterior, mas agora é um plano qualquer. Vejamos como 
prosseguir neste caso.
 
1. Marque que é a interseção entree . Em seguida marque sobre a 
linha de terra.
2. Marque a partir de paralela à .
3. Marque a partir de paralela à .
 
2) Reta Perpendicular a um Plano
Dizemos que uma reta e um plano são perpendiculares quando o ângulo formada por eles é 
de 90º.
Se uma reta é perpendicular à um plano, então suas projeções são perpendiculares aos 
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traços do plano de mesmo nome, isto é, uma reta é perpendicular a um plano se 
 e .
 
Exemplos:
1) A reta é perpendicular ao plano . 
2) A reta não é perpendicular ao plano .
 
3) Interseção de Reta com Plano
Um reta pode ocupar três posições em relação à um plano: ela pode pertencer ao plano, 
pode ser paralela à ele ou pode interceptá-lo. Estudaremos agora como determinar a 
interseção de uma reta com um plano projetante ou um plano qualquer.
3.1) Plano Projetante
No caso do plano ser projetante, basta encontrar o ponto de interseção da projeção da reta 
com o traço de mesmo nome do plano. Vejamos alguns exemplos:
 
1) Plano Horizontal e Plano Frontal:
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2) Plano de Topo ou Plano Vertical:
3) Plano de Perfil:
3.2) Plano Qualquer
Para determinar a interseção de uma reta com um plano qualquer executamos os 
seguintes passos:
1. Determine um plano auxiliar que contenha a reta 
2. Determine a reta de interseção entre os planos e .
3. Marque o ponto de interseção da reta com a reta .
O ponto é a interseção da reta com o plano .
Exemplo:
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1) A reta e o plano são dados na figura 1 abaixo.
2) Traçamos um plano auxiliar que contenha a reta Nesse caso optamos por um 
plano de topo, poderia ser também um plano vertical.
3) Determinamos a reta de interseção entre os planos e . 
4) Encontramos o ponto de interseção da reta com a reta . 
OBS.: Este método só pode ser utilizado no caso de a reta e o plano não serem paralelos.
 
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6) Exercícios
Exercício 01
Desenhe uma reta perpendicular a cada um dos seguintes planos:
Exercício 02
Encontre os traços do plano que passa pelos pontos (A)(B)(C).
Em seguida trace a perpendicular ao plano que passa pelo ponto D.
(A)[2;2.9;0.8], (B)[6;1.3;2.2],(C)[2;0.7;3.4], (D)(1,1,1).
Exercício 03
Encontre os traços do plano que passa pelos pontos (A)(B)(C).
Em seguida trace a perpendicular ao plano que passa pelo ponto D.
(A)[2;2.9;0.8], (B)[2;1.3;2.2],(C)[2;0.7;3.4], (D)(2,1,1).
Exercício 04
Encontre a reta de interseção dos seguintes planos.
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Exercício 05
Trace a reta perpendicular ao plano e que passa pelo ponto (A).
 
 
 
Exercício 06
Encontre o ponto (I) de interseção da reta (r) com o plano , se possível.
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Exercício 07
Encontre o ponto (I) de interseção da reta (r) com o plano , em seguida trace por (I) a 
perpendicular ao plano .
Exercício 08
Desenhe a reta frontal (r) que está num plano frontal a 2cm da L.T. de modo que (r) faça 
com o plano um ângulo de 45 graus.
Exercício 09
Trace a perpendicular ao plano passando por (A).
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Exercício 10
a) Encontre o ponto (I) de interseção da reta (r) com o plano , 
b) Por (I) desenhe um plano frontal . 
c) Por (I) desenhe um plano vertical . 
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Aula 05 - Reta de Perfil 
Como vimos anteriormente, uma reta de perfil é perpendicular à L.T., mas não é horizontal nem frontal. Agora 
estudaremos detalhadamente este tipo especial de reta.
1) Representação da Reta de Perfil
Problema: Todas as retas de perfil com mesma abcissa possuem as mesmas projeções, como vemos na 
figura abaixo. Para que uma reta de perfil fique bem definida em épura representamos não só suas projeções, 
mas também dois pontos da reta de perfil.
 
2) Vista de Perfil
Para trabalhar com retas de perfil utilizamos a chamada vista de perfil ou V.G. da reta. A idéia da vista de 
perfil é rotacionar o plano de perfil onde a reta está contida até que ele coincida com o plano Observe o 
esquema abaixo.
 
 
Como podemos representar a vista de perfil em épura? Isto será mostrado na figura abaixo: 
 
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1) Uma reta de perfil dada pelos pontos e 
2) Encontramos os pontos e .
3) Encontramos os pontos e usando as cotas de e e os pontos e .
3) Pertinência de Ponto em Reta de Perfil
Para verificar se um ponto pertence à reta de perfil encontramos sua posição na vista de perfil.
 
Exemplos:
 
1) Na figura abaixo , pois .
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2) Na figura abaixo , pois .
4) Traços da Reta de Perfil
Para determinar os traços da reta de perfil seguimos os seguintes passos:
1) Colocamos a reta na vista de perfil.
2) Estendemos a reta determinada por e até interceptar as projeções da reta.
3) O traço vertical é a interseção da projeção da reta de perfil com a reta 
4) é a interseção com a L.T..
5) “Alçamos” para determinar .
6) Agora basta marcar na interseção da projeção da reta com a L.T..
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5) Posições Relativas de Retas de Perfil
Para verificar a posição relativa de duas retas de perfil basta colocá-las em vista de perfil. Neste caso, como 
as retas estão em V.G., podemos verificar se as mesmas são concorrentes ou paralelas.
 
Exemplos:
 
1) Na épura dada abaixo, verificamos que as retas são paralelas, já que as suas V.G.’s são paralelas.
 
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2) Já neste caso, é claro que as retas são concorrentes, já que suas V.G.’s são concorrentes.
 
6) Traçar a Paralela de uma Reta de Perfil passando por um 
Ponto
Dada uma reta de perfil e um ponto qualquer , queremos encontrar a reta de perfil que 
passa por e é paralela a . Para isto executamos os seguintes passos:
1) Transladamos segundo o vetor e obtemos 
2) Transladamos segundo o vetor e obtemos 
A reta é paralela a e é claro que passa por .
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OBS.: Repare que os triângulos abaixo são congruentes, o que justifica o fato de e serem 
paralelas.
 
 
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7) Exercícios
Exercício 01
Determine se as retas (r) definida por (A)(B) e (s), definida por (C)(D) são paralelas, concorrentes ou 
reversas.
Exercício 02
Determine se o ponto (A) pertence a reta (r).
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Exercício 03
Encontre os traços das retas:
Exercício 04
Encontre a interseção (I) entre as retas (r) e (s) . Traçe por (I) uma paralela à reta (B)(C). 
 
Exercício 05
Sabendo ser uma reta de perfil e que , obtenha três pontos que pertençam à e 
obtenha três pontos que não pertençam à .
dados: (A)[3;6;4] (B)[?;3;6].
 
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Aula 06 - Rotação
Métodos descritivos:
1. Rotação
2. Mudança de Plano 
3. Rebatimento
1) Rotação 
Consiste em girar um objeto em torno de um eixo por um determinado ângulo, mantendo-se constante sua 
distância ao eixo.
 
Exemplo:
 
Notação: As projeções de um ponto rotacionado será denotado por ou . As projeções de uma reta 
 rotacionada será denotada por ou .
 
Observação: A rotação será sempre executada no sentido anti-horário (positivo), salvo mençãocontrária.
1.1) Rotação de um Ponto em torno de um Eixo Vertical
O primeiro caso de rotação que estudaremos é de um ponto em torno de um eixo vertical. Neste caso, o 
ponto rotacionado permanece com a mesma cota, mas seu afastamento é modificado. Observe o exemplo a 
seguir.
 
Exemplo: Rotacionar um ponto em torno de um eixo vertical , segundo um ângulo .
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Figura 1) São dados: eixo , ponto e ângulo .
Figura 2) Desenhamos a projeção horizontal da trajetória de rotação do ponto pelo ângulo em torno 
do eixo , ou seja, determinamos .
Figura 3) Por traçamos uma linha paralela à L.T. e uma linha de chamada por , sendo o ponto de 
encontro entre tais linhas.
 
1.2) Rotação de um Ponto em torno de um Eixo de Topo
Agora, a rotação de um ponto será em torno de um eixo de topo. Ao contrário do caso anterior, agora o ponto 
rotacionado permanece com o mesmo afastamento, mas sua cota é alterada. Vejamos o exemplo.
 
Exemplo: Rotacionar um ponto em torno de um eixo de topo , segundo um ângulo . O método é 
análogo ao anterior.
 
2) Rotação de Retas
Para rotacionar um segmento de reta basta rotacionar dois de seus pontos.
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2.1) Rotação de um Segmento em torno de um Eixo Vertical
Exemplo: Rotacionar um segmento em torno de um eixo vertical por um ângulo
Fig 1) São dados: segmento , eixo vertical e ângulo .
Fig 2 e 3) Rotacionamos os pontos e e encontramos e .
Fig 4) Ligamos os pontos e , e os pontos e para encontrar as projeções do segmento 
rotacionado.
 
OBS.: Os pontos de interseção entre o segmento a ser rotacionado e o eixo, se existirem, permanecerão fixos 
durante a rotação. Nesse caso, basta aplicar a rotação a um único ponto não pertencente ao eixo para obter 
a rotação de todo o segmento. Veja figura abaixo.
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2.2) Rotação de um Segmento em torno de um Eixo de Topo
É um caso análogo ao anterior.
3) Aplicações da Rotação
Estudaremos agora algumas aplicações do método de rotação. 
3.1) Rotacionar a Reta até que ela se torne Frontal.
Exemplos:
1) Eixo intercepta a reta:
 Fig 1) Seja uma reta qualquer. 
 Fig 2) Queremos transformar em uma reta frontal utilizando uma rotação em torno de um eixo vertical 
, que posicionamos interceptando a reta . (Por quê ??)
 Fig 3) Como e então . Rotacionamos o ponto , escolhido sobre a 
reta , de maneira que o segmento seja paralelo à L.T., ou seja, e possuem o mesmo 
afastamento, e com isso obtemos . Agora basta unir as projeções dos pontos e para encontrar 
as projeções de . A reta é frontal.
 
 
 
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2) Eixo não intercepta a reta:
 Fig 1) Seja uma reta qualquer e o eixo vertical posicionado arbitrariamente.
 Fig 2) Marque o ponto auxiliar , de forma que .
 Fig 3) Rotacione até que ele tenha a mesma abcissa do eixo para encontrar . 
 Fig 4) passa por e é perpendicular a . Marque um ponto auxiliar arbitrariamente sobre a reta .
 Fig 5) Marque rotacionando até que ele toque a reta .
 Fig 6) Ligue a para determinar . A reta é frontal.
 
3.2) Rotacionar a Reta até que ela se torne Horizontal.
Exemplos:
1) Eixo intercepta a reta:
 Fig 1) Seja uma reta qualquer. 
 Fig 2) Queremos transformar em uma reta horizontal utilizando uma rotação em torno de um eixo de 
topo , que posicionamos interceptando a reta . (Por quê ??)
 Fig 3) Seja a interseção de e . Como e então . Rotacionamos o 
ponto , ponto qualquer escolhido sobre a reta , de maneira que o segmento seja paralelo à L.T., 
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ou seja, e possuem a mesma cota, e com isso obtemos . Agora basta unir as projeções dos 
pontos e para encontrar as projeções de . A reta é horizontal.
 
 
2) Eixo não intercepta a reta: 
O procedimento é análogo ao exemplo 2 da seção (3.1), sendo que o eixo deve ser de topo. Veja o esquema 
da figura abaixo:
3.3) Rotacionar a Reta até que ela se torne de Perfil.
Devemos escolher um eixo vertical ou de topo que seja concorrente com a reta.
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4) Exercícios
Exercício 01
Rotacione os pontos (A)(B)(C) em torno do eixo (e) segundo o ângulo dado.
 
Exercício 02
Rotacione a reta (r), definida por (A)(B) até que ela se torne uma reta de perfil, em seguida coloque a reta em 
vista de perfil, e finalmente determine a distância entre (A) e (B).
 
Exercício 03
Rotacione a reta (r), definida por (A)(B) até que ela se torne uma reta horizontal. Chame a nova reta de (s) e 
encontre os traços de (s).
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Exercício 04
Rotacione a reta (r), definida por (A)(B) até que (A) possua afastamento 0. Chame a nova reta de (s) e 
encontre os traços de (s).
 
Exercício 05
Rotacione a reta (r), definida por (A)(B) até que (A) possua a menor cota possível. 
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Exercício 06
Rotacione a reta (r), definida por (A)(B) até que (A) e (B) possuam a mesma cota. 
Exercício 07
Rotacione a reta (r), definida por (A)(B) até que ela intercepte a reta (s). 
Em seguida transfira o ângulo utilizado durante a rotação para o segmento CD. 
 
 
 
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Aula 07 - Mudança de Plano
Métodos Descritivos:
1. Rotação
2. Mudança de Plano
3. Rebatimento
1) Mudança de Plano 
 Este método consiste em modificar a posição de um dos planos de projeção, permanecendo fixo o outro. 
Quando mudamos os dois planos, um após o outro, dizemos que houve dupla mudança de planos.
 No primeiro método descritivo estudado anteriormente, para atingir determinado objetivo, o objeto era 
modificado através de uma rotação dele mesmo. Agora, neste caso, o objeto permanece inalterado e um 
novo sistema de projeção é criado.
 
Notação: ou será a projeção do ponto no segundo sistema. ou será a projeção do ponto 
 no terceiro sistema e etc. Para denotar retas em um novo sistema, utilizaremos índices de maneira 
análoga à notação do ponto. 
1.1) Mudança de Plano Vertical 
 Neste caso, queremos construir um novo sistema mongeano onde o plano horizontal será comum aos dois 
sistemas. Para isto, devemos inserir um novo plano vertical, que deve ser perpendicular ao plano horizontal.
 
Exemplo: 
 Na Fig 1 inserimos um novo plano perpendicular à . A projeção do ponto neste novo plano é o 
ponto .
 Na Fig 2 representamos esta mudança de plano vertical em épura. Para isto devemos observar o 
seguinte:
● Uma nova L.T. deve ser desenhada (cuidado com a orientação !);
● Sempre que possível tentaremos manter o diedro do primeiro sistema ao longo do processo de 
mudanças de plano.
● Como houve uma mudança de plano vertical, teremos uma nova projeção vertical do ponto , 
enquanto a projeção horizontal permanece inalterada;
● Para a nova projeção vertical devemos notar que a cota é a mesma do sistema original;
● A linha de chamada deve ser perpendicular às L.T.’s dos dois sistemas.
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1.2) Mudança de Plano Horizontal
 Agora pretendemos construir um novo sistema mongeano criando um novo plano horizontal de projeção 
(perpendicular ao plano vertical de projeção). Sendo assim, o plano vertical será comum aos dois sistemas. 
 
Exemplo: 
 Na Fig 1 inserimos um novo plano perpendicular à . A projeção do ponto neste novoplano é o 
ponto .
 Na Fig 2 representamos esta mudança de plano horizontal em épura. Análogo ao que foi ressaltado 
anteriormente:
● uma nova L.T. deve ser desenhada (cuidado com a orientação ! );
● como houve uma mudança de plano horizontal, teremos uma nova projeção horizontal do ponto 
, enquanto a projeção vertical permanece inalterada;
● para a nova projeção horizontal devemos notar que o afastamento é o mesmo do sistema original;
● linha de chamada deve ser perpendicular às L.T.’s dos dois sistemas.
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2) Mudança de Plano para Retas
 Estudaremos agora como representar uma reta em épura depois de haver uma mudança de planos de 
projeção. Para isto, devemos projetar dois de seus pontos no novo sistema. Vejamos alguns exemplos:
 
Exemplos:
 
1) Neste exemplo faremos uma mudança de plano vertical. Para isto um novo plano perpendicular a 
deverá ser criado.
 Na Fig 1 dada abaixo, temos as projeções de uma reta no primeiro sistema mongeano de projeção. 
Além disso, inserimos uma nova L.T. para o novo sistema. 
 Na Fig 2 encontramos as novas projeções verticais e dos pontos e escolhidos 
aleatoriamente sobre a reta , utilizando o método citado anteriormente. Agora, basta ligar e para 
encontrar .
 
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2) Agora representaremos uma reta em um novo sistema mongeano, onde houve uma mudança de plano 
horizontal. Para isto um novo plano perpendicular a deve ser criado.
 Na Fig 1 dada abaixo, temos as projeções de uma reta no primeiro sistema mongeano de projeção. 
Além disso, inserimos uma nova L.T. para o novo sistema. 
 Na Fig 2 encontramos as novas projeções horizontais e dos pontos e escolhidos 
aleatoriamente sobre a reta , utilizando o método citado anteriormente. Agora, basta ligar e para 
encontrar .
 
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2.1) Aplicações
2.1.1) Transformar uma Reta Qualquer em Reta Horizontal
Podemos transformar uma reta qualquer em uma reta horizontal através de uma mudança de plano 
horizontal, para assim obter sua V.G.. Para isso, é necessário que a nova L.T. seja paralela à .
 
Exemplo: 
 
Notas de Aula de Geometria Descritiva - GGM - IME - UFF - 2011
 
 
2.1.2) Transformar uma Reta Qualquer em Reta Frontal
Podemos transformar uma reta qualquer em uma reta frontal através de uma mudança de plano vertical, 
para assim obter sua V.G.. Para isso, é necessário que a nova L.T. seja paralela à .
 
Exemplo: 
2.1.3) Transformar uma Reta Horizontal em Reta Frontohorizontal
Podemos transformar uma reta horizontal em uma reta frontohorizontal através de uma mudança de plano 
vertical. Para isso, basta posicionar a nova L.T. paralela à projeção oblíqua da reta.
 
Exemplo: 
Notas de Aula de Geometria Descritiva - GGM - IME - UFF - 2011
 
 
2.1.4) Transformar uma Reta Frontal em uma Reta Frontohorizontal
Podemos também transformar uma reta frontal em uma reta frontohorizontal através de uma mudança de 
plano horizontal. Para isso, basta posicionar a nova L.T. paralela à projeção oblíqua da reta.
 
Exemplo: 
2.1.5) Transformar uma Reta Frontohorizontal em uma Reta de Topo
Agora nosso objetivo é transformar uma reta frontohorizontal em uma reta de topo. Para isso faremos 
uma mudança de plano vertical posicionando a nova L.T. perpendicular à projeção horizontal da reta.
 
Exemplo:
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2.1.6) Transformar uma Reta Frontohorizontal em Reta Vertical
Vamos agora transformar uma reta frontohorizontal em uma reta vertical. Para isso faremos uma 
mudança de plano horizontal posicionando a nova L.T. perpendicular à projeção vertical da reta.
 
Exemplo: 
2.1.7) Transformar uma Reta Qualquer em uma Reta de Topo ou Vertical
Para transformar uma reta qualquer em um reta de topo ou vertical basta fazer sucessivas transformações. 
Vejamos as transformações que devem ser feitas:
● Qualquer Horizontal Frontohorizontal Topo;
● Qualquer Frontal Frontohorizontal Vertical.
3) Mudança de Plano para Planos
 Nesta seção veremos como representar em épura um plano ao criar um novo sistema de projeção. No 
caso de uma mudança de plano vertical, por exemplo, um plano fica representado pelo novo traço 
vertical, denominado , enquanto que o traço horizontal permanece o mesmo. Já para uma mudança de 
plano horizontal, um plano é determinado pelo novo traço horizontal, chamado , e o traço vertical 
permanece inalterado.
 Vejamos agora como utilizar estas mudanças de planos: 
3.1) Transformar um Plano Qualquer em um Plano de Topo
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Vejamos através da figura a seguir como utilizar uma mudança de plano vertical para transformar um plano 
qualquer em um plano de topo.
 
Exemplo: 
 Fig 1) Seja um plano qualquer.
 Fig 2) Para obter um plano de topo no segundo sistema de projeção, deve ser perpendicular à nova 
L.T., como vemos na figura.
 Fig 3) Para determinar o novo traço , marcamos um ponto auxiliar sobre o traço . Em seguida, 
fazemos a mudança do ponto para o novo sistema determinando .
 Fig 4) Note que passa por , que deve se encontrar com o traço na nova L.T..
 
 
 
3.2) Transformar um Plano Qualquer em um Plano Vertical
Este caso é análogo ao anterior: fazemos uma mudança de plano horizontal, de forma que no segundo 
sistema é perpendicular à nova L.T.. 
3.3) Transformar um Plano Paralelo à L.T. em um Plano de Topo 
Agora transformaremos um plano paralelo à L.T. em um plano de topo utilizando uma mudança de plano 
vertical. 
 
Exemplo: 
 Seja um plano qualquer. Para obter um plano de topo criamos um segundo sistema de projeção de 
forma que seja perpendicular à nova L.T., como vemos na figura. Em seguida utilizamos um ponto auxiliar 
, escolhido sobre o traço , e fazemos sua mudança de plano, criando o ponto . Agora basta traçar 
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 por , que deve encontrar o traço sobre a nova L.T..
4) Exercícios
Exercício 1: Resolva os seguintes ítens utilizando o método de mudança de plano:
 (a) Transforme uma reta qualquer em uma reta horizontal.
 (b) Transforme uma reta qualquer em uma reta frontohorizontal.
 (c) Transforme uma reta qualquer em uma reta vertical.
 (d) Transforme um plano qualquer em um plano vertical.
 
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Aula 08 - Rebatimento
Métodos descritivos:
1. Rotação
2. Mudança de Plano
3. Rebatimento
1) Rebatimento
Sejam e dois plano secantes. Rebater sobre é girar em torno de sua interseção com 
, até que ele coincida com . O eixo dado pela interseção de e recebe o nome de charneira ou 
eixo de rebatimento.
Só é possível rebater planos, mas usaremos expressões como rebater um ponto ou rebater uma reta quando 
desejarmos obter a posição do ponto após o rebatimento do plano que o contém.
 
Notação: Um ponto rebatido será denotado por , assim como uma reta será denotada por 
e um plano por .
 
Vejamos no esquema a seguir como rebater um ponto sobre um plano 
1.1) Rebatimento sobre 
 Vejamos como rebater um ponto sobre o plano de projeção horizontal através da figura abaixo:
 
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Figura 1) Sejam um ponto a ser rebatido e o eixo de rebatimento. Esse eixo deve pertencer a já 
que estamos rebatendo sobre 
Figura 2) Traçamos a perpendicular a que passa por (pé do rebatimento). E marcamos a paralela a que 
passa por (suporte para o triângulo de rebatimento).
Figura 3) Determinamos o comprimento do cateto do triângulo de rebatimento utilizandoa cota do ponto .
Figura 4) Determinamos a hipotenusa do triângulo de rebatimento.
Figura 5) Com o compasso marcamos a trajetória do ponto. O ponto está na interseção da trajetória 
com o pé do rebatimento.
1.2) Rebatimento sobre 
 Análogo ao que foi feito anteriormente, podemos rebater o ponto sobre o plano de projeção vertical 
. Veja a figura abaixo onde determinamos .
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1.3) Rebatimento quando o Eixo passa sobre a Projeção do Ponto
 Suponhamos agora que o eixo de rebatimento contém uma das projeções do ponto. Neste caso não 
é necessário desenhar o triângulo de rebatimento, marque apenas o pé de rebatimento e transfira o 
afastamento se rebater sobre (ou a cota se sobre ). Na figura abaixo ilustramos esse procedimento, 
que é explicado em maiores detalhes na próxima seção, sobre rebatimento de retas.
2) Rebatimento de Retas
Rebater uma reta sobre um plano consiste em girá-la em torno de um eixo contido em um plano 
até que ela coincida com o plano. Para isto, basta rebater dois de seus pontos e uni-los. A reta rebatida 
representa a V.G. da reta original. Veja o esquema da figura abaixo:
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OBS.: Note que o eixo de rebatimento deve coincidir com a projeção da reta sobre o plano, pois do contrário 
a reta não “aterriza” no plano.
2.1) Rebatimento de uma Reta sobre 
 Para rebater uma reta sobre é necessário que o eixo de rebatimento satisfaça as seguintes 
propriedades:
● ;
● coincidente com a L.T..
 Além disso, dois pontos de devem ser escolhidos e rebatidos, para ao serem ligados gerarem .
 Vamos estudar este caso na figura a seguir:
2.2) Rebatimento de uma Reta sobre 
 Agora, como o rebatimento de será sobre , o eixo de rebatimento deve satisfazer as seguintes 
propriedades:
● ;
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● coincidente com a L.T..
 Mais uma vez, rebatemos dois pontos de para determinar , como na figura a seguir.
3) Rebatimento de Planos
Rebatemos um plano sobre um plano de projeção rebatendo o traço de que não pertence ao 
plano de projeção sobre ele, mantendo o ângulo entre os traços constante.
 Os planos horizontais e frontais não necessitam de um rebatimento pois apresentam projeção em 
V.G. de figuras neles contidas.
 No estudo de rebatimento de plano é importante discutir dois ítens: o encontro dos traços do plano 
após o rebatimento e onde um ponto qualquer do plano foi rebatido.
3.1) Rebatimento de um Plano de Topo sobre 
 Note que os traços de um plano de topo fazem um ângulo de entre si (no espaço). Rebatendo 
sobre , o novo traço vertical também deve fazer um ângulo de com , que não é alterado. 
Logo deverá coincidir com a L.T.. Veja a figura abaixo:
3.2) Rebatimento de um Plano de Topo sobre 
 Como anteriomente, o ângulo entre os traços do plano de topo deve permanecer ao ser rebatido. Neste 
caso, basta representar o traço horizontal rebatido fazendo com o traço vertical , que não é 
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alterado. 
 Veja a figura abaixo:
3.3) Rebatimento de um Plano Vertical sobre 
 Agora vamos rebater um plano vertical sobre . Mais uma vez temos um plano cujos traços formam um 
ângulo de , o que implica que ao ser rebatido este ângulo não poderá ser alterado.
 Como o rebatimento será feito sobre , o traço vertical permance inalterado, enquanto o traço 
horizontal deverá ser rebatido para encontrar , que deverá coincidir com a L.T..
 Veja a figura abaixo:
 
3.4) Rebatimento de um Plano Vertical sobre 
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 Agora vamos rebater um plano vertical sobre . Para isto, o novo traço horizontal e o traço vertical 
, que permanece inalterado, deverão formar um ângulo de . 
 Veja a figura abaixo:
3.5) Rebatimento de um Plano Qualquer sobre 
 O rebatimento de um plano qualquer sobre é feito tomando um ponto sobre seu traço vertical e 
rebatendo-o sobre . Neste caso, será a projeção horizontal do eixo de rebatimento , enquanto sua 
projeção vertical coincidirá com a L.T..
 Vejamos a figura abaixo:
 
Fig 1) Seja um plano qualquer. Tomamos um ponto pertencente ao plano situado sobre seu traço 
vertical.
Fig 2) Agora rebatemos o ponto sobre o plano para encontrar .
Fig 3) Encontramos ligando o ponto de interseção do traço vertical com a L.T. e .
3.6) Rebatimento de um Plano Qualquer sobre 
 O rebatimento de um plano qualquer sobre é feito tomando um ponto sobre seu traço horizontal e 
rebatendo-o sobre . Neste caso, será a projeção vertical do eixo de rebatimento , enquanto sua 
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projeção horizontal coincidirá com a L.T..
 Vejamos a figura abaixo:
 
Fig 1) Seja um plano qualquer. Tomamos um ponto pertencente ao plano situado sobre seu traço 
horizontal.
Fig 2) Agora rebatemos o ponto sobre o plano para encontrar .
Fig 3) Para encontrar basta ligar o ponto de interseção do traço horizontal com a L.T. e .
 
4) Exercícios
Exercício 1. Desenhe um plano de topo e marque três pontos (A),(B),(C) não colineares sobre ele. Faça 
um rebatimento no plano horizontal para obter a VG do triângulo (A)(B)(C).
 
Exercício 2. Desenhe em épura duas retas quaisquer concorrentes e que possuam traço horizontal. 
Obtenha o ângulo entre essas retas.
 
Exercício 3. Desenhe uma reta qualquer em épura mongeana. Marque dois pontos quaisquer (A) e 
(B) sobre essa reta. Obtenha a distância entre (A) e (B) pelo método da rotação, por mudança de plano e 
também com um rebatimento.