Cap 8

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BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 
Estatística para Cursos de Engenharia e 
Informática 
Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia 
São Paulo: Atlas, 2004 
Cap. 8 – Testes de hipóteses 
APOIO: 
Fundação de Ciência e Tecnologia de Santa Catarina (FUNCITEC) 
Departamento de Informática e Estatística (INE/CTC/UFSC) 
 
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Teste de hipóteses 
População 
Conjectura (hipótese) sobre o 
comportamento de variáveis 
Amostra 
Resultados reais obtidos 
Decisão sobre a 
admissibilidade da 
hipótese 
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Hipóteses 
• Hipótese nula: Ho é a hipótese aceita como verdadeira até 
a estatística provar contrário. Formulada em termos de 
igualdade do parâmetro populacional. 
 
• Hipótese alternativa: H1 caso a hipótese nula seja falsa, 
aceita-se a hipótese alternativa. Formulada em termos de 
desigualdade do parâmetro populacional. 
 
 
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1. Hipóteses 
a) Substituindo o processador A pelo processador B, altera-se 
o tempo de resposta de um computador. 
b) Aumentando a dosagem de cimento, aumenta-se a 
resistência do concreto. 
c) Uma certa campanha publicitária produz efeito positivo 
nas vendas. 
d) A implementação de um programa de melhoria da 
qualidade em uma empresa prestadora de serviços 
melhora a satisfação de seus clientes. 
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Hipóteses em termos de parâmetros 
a) A média dos tempos de resposta do equipamento com o processador 
A é diferente da média dos tempos de resposta com o processador B. 
b) A média dos valores de resistência do concreto com a dosagem d2 de 
cimento é maior do que a média dos valores de resistência com a 
dosagem d1. 
c) A média das vendas depois da campanha publicitária é maior do que a 
média das vendas antes da campanha publicitária. 
d) A proporção de reclamações após a realização do programa de 
melhoria da qualidade é menor do que antes da realização do 
programa. 
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Hipótese nula e Hipótese alternativa 
•
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Hipótese nula e Hipótese alternativa 
c) H0: 2 = 1 e H1: 2 > 1 
 1 é o valor médio das vendas antes da campanha publicitária; 
 2 é o valor médio das vendas depois da campanha publicitária. 
 
d) H0: p2 = p1 e H1: p2 < p1 
 p1 é a proporção de reclamações antes do programa de melhoria da 
qualidade; 
 p2 é a proporção de reclamações depois do programa de melhoria da 
qualidade. 
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Hipótese alternativa: Quando os dados mostram evidência que a hipótese nula 
 é falsa, o teste rejeita-a, aceitando a hipótese alternativa. 
 
Formulada em termos de desiigualdade de parâmetros H0:  ≠ 5 (1 amostra) 
 H1: p ≠ 0.5 
 H1: A  B (2 amostras) 
 H1: 2 > 1 
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 2. Nível de Significância () e 
Valor crítico (z) 
• Representa a probabilidade tolerável de se rejeitar H0 quando esta 
for verdadeira. Erro tipo I 
 
• Os valores mais comuns para o nível de significância são 5%, 10% 
e 1%. 
 
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Tipos de erro num teste estatístico 
• Tipos de erro num teste estatístico 
 
decisão correta 
 (probab = 1 – ) 
erro tipo II 
 (probab = ) 
H0 falsa 
erro tipo I 
(probab = ) 
decisão correta 
 (probab = 1 – ) 
H0 verdadeira 
rejeita H0 aceita H0 
Decisão do teste Realidade 
(desconhecida) 
P(erro tipo I) = P(rejeitar H0 | H0 é verdadeira) = alfa 
 
P(erro tipo II) = P(aceitar H0 | H0 é falsa) = Beta 
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Tabela normal padrão : Valor crítico para alfa 20% 
•
0 z - z 
 2  2 
0 z 
0 - z 
α 
Se bilateral: Se unilateral à direita: 
Se unilateral à esquerda: 
α 
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Tabela normal padrão : Valor crítico para alfa 10% 
•
0 z - z 
 2  2 
0 z 
0 - z 
α 
Se bilateral: Se unilateral à direita: 
Se unilateral à esquerda: 
α 
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Tabela normal padrão : Valor crítico para alfa 5% 
•
0 z - z 
 2  2 
0 z 
0 - z 
α 
Se bilateral: Se unilateral à direita: 
Se unilateral à esquerda: 
α 
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Teste para proporção – abordagem clássica 
Nível de 
significância 
Obtenção do valor 
crítico zc pela 
tabela da normal 
 
 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807 valor crítico (zc): 
 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0025 teste unilateral, : 
 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0.005 teste bilateral, : 
Valores usuais de zc, obtidos da distribuição normal padrão: 
... 
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Teste para proporção 
3. Estatística teste (valor calculado) 
• Sejam: n
y
p ˆ
y’ = y – 0,5 se y > n.p0 ou 
y’ = y + 0,5 se y < n.p0 (correção de continuidade) 
• Cálculo da estatística do teste: 
)1.(.
.
00
0
ppn
pny
zcalc



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4. Conclusão do teste – abordagem clássica 
• Bilateral: Se Zcalc >+Ztab ou Zcalc <-Ztab rejeita-se Ho 
• Unilateral à direita: Se Zcalc > Ztab rejeita-se Ho 
• Unilateral à esquerda: Se Zcalc < -Ztab rejeita-se Ho 
 
 
0 z - z 
 2  2 
0 z 
0 - z 
α 
Se bilateral: Se unilateral à direita: 
Se unilateral à esquerda: 
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Teste para proporção – abordagem do valor p 
 
1) Formulação das hipóteses ( Ho e H1) 
2) Adota o nível de significância (alfa) 
3) Estatística teste (Zcalculado) 
 Encontra o p-valor. 
4) Conclusão: Regra de decisão. Aceita-se ou rejeita-se Ho 
 
 
 Regra de decisão: 
 
Valor p >  aceita H0 
Valor p   rejeita H0 
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Regra de decisão 
• Valor p  
 
 
• Valor p > 
 
• Rejeita H0 (prova-se 
estatisticamente H1) 
 
• Aceita H0 (os dados 
não mostram 
evidência para afirmar 
H1) 
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Teste para proporção – abordagem do valor p 
)1.(.
.
00
0
ppn
pny
z



Amostra 
 
Cálculo de zObtenção de p 
pela tabela da 
normal 
0 z - z 
p 
 2 
p 
 2 
0 z 
0 - z 
p 
Se bilateral: 
Se unilateral à direita: 
Se unilateral à esquerda: 
p 
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 Atividade - Teste para proporção – abordagem do valor p 
 
1) Unicaudal à esquerda: Z=-2.23 (0.4871) 
 p-valor = 0.5-0.4871 = 0.0129 
 
2) Bicaudal: Z=±2.14 (0.4838) 
 p-valor = 2*(0.5-0.4838) = 2*0.0162= 0.0324 
 
3) Unicaudal à direita: Z=+2.16 ( 0.4846) 
 p-valor = 0.5-0.4846 = 0.0154 
0 z - z 
p 
 2 
p 
 2 
0 z 
0 - z 
p 
Se bilateral: 
Se unilateral à direita: 
Se unilateral à esquerda: 
p 
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Etapas para o teste de hipótese 
Abordagem clássica 
1) Formulação das hipóteses ( Ho e H1) 
2) Adota o nível de significância (alfa) e 
 Estabelecer valores críticos 
3) Estatística teste (valor calculado) 
4) Conclusão: Comparar variável teste calculada com valor crítico. 
 Aceita-se ou rejeita-se Ho 
 
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Atividade - Teste para proporção – pg215 
Abordagem clássica 
 
1. Hipóteses H0: p = 0,015 e H1: p > 0,015. (unilateral a direita) 
2.  = 0,05. Valor crítico ( Z tab=1.64) 
3. Estatística teste Zcalc = 0.37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 zt = 1.64 
 = 0,05 
(tabela) 
aceita H0 rejeita H0 
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Teste para proporção – 
3. Estatística teste Zcalc 
• Amostra: y = 9 em n = 500. 
 7.5 9 pois 8.5 y'
) 500.(0.015 9 pois 0.5-9 y'
n.p y se 0,5– y y’
018,0
500
9
ˆ
0



p
37,0
718,2
1
)015,01).(015,0).(500(
)015,0).(500(5,8
)1.(.
.
00
0 






ppn
pny
z
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Teste para proporção 
• 4. Conclusão: 
37,0
)1.(.
.
00
0 



ppn
pny
zcalc
Da amostra: 
 
0 zt =1.64 
1.6426 
 = 0,05 
(tabela) 
aceita H0 
rejeita H0 
Conclusão: Aceita H0, 
 não há evidência estatística que a verdadeira proporção de 
peças defeituosas supere 1.5%, com níve de significância de 5% 
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Teste para proporção - Abordagem p-valor 
 
1. H0: p = 0,015 e H1: p > 0,015. (unilateral à direita) 
2.  = 0,05. 
3. Estatística teste Zcalc = 0.37 
 p-valor = 0.5 - 0.1443= 0.3557 
 
4. Conclusão: Aceita-se H0, não há evidência de que a verdadeira 
proporção de peças defeituosas superou 1.5%, com nível de significância 
de 5%. 
 
0 zc = 0,37 
Valor p = 0,3557 
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Teste para proporção – Abordagem p-valor 
4. Conclusão 
• Como zcalc = 0.37 (0.1443) 
• P-valor = 0.5 - 0.1443 = 0.3557 
• Decisão: Aceita H0 pois p-valor > alfa (0.05) 
0 z = 0,37 
Valor p = 0,3557 
 (tabela) 
Amostra 
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B - Teste para proporção – bilateral pg215 
1. H0: p = 0,015 e H1: p ≠ 0,015. (bilateral) 
2.  = 0,05. Valor crítico ( Z tab=1.96) 
3. Estatística teste Zcalc = 0.37 
 
 
 
 
 
 
 
 rejeita H0 
4. Conclusão: Aceita-se H0, não há evidência de que a verdadeira proporção de 
 peças defeituosas superou 1.5%, com nível de significância de 5%. 
 
 
0 zc = 1.96 
/2 = 0,025 
-Zc = -1.96 
/2 = 0,025 
 aceita H0 rejeita H0 
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Teste para proporção - Abordagem p-valor - BILATERAL 
 
1. H0: p = 0,015 e H1: p ≠ 0,015. (bilateral) 
2.  = 0,05. 
3. Estatística teste Zcalc = 0.37 
 p-valor = 2 * 0.3557 = 0.7114 
 
4. Conclusão: Como p-valor > alfa; aceita-se H0, não há evidência de 
que a verdadeira proporção de peças defeituosas superou 1.5%, com 
nível de significância de 5%. 
 
0 z = 0,37 
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Teste para média – caso 1 (variância populacional conhecida) 
• H0:  = 0 e H1:   0 (bilateral) 
 
• No caso de teste unilateral, a hipótese alternativa seria 
 H1’:  > 0 (unilateral à direita) 
 H1’’:  < 0 (unilateral à esquerda). 
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Teste para média – Caso de variância conhecida 
 

 nx
z

 0
onde: 0 é o valor da média segundo H0; 
 n é tamanho da amostra; 
  é o desvio padrão populacional; e 
 é a média da amostra. 
x
• Cálculo da estatística do teste: 
O teste é feito com a distribuição normal, análogo ao da proporção. 
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 Teste para Média (variância conhecida) 
Abordagem clássica – pg219 
1. H0:  = 53 MPa e H1:   53 MPa 
2.  = 0,05 . Valor crítico (Ztab= 1.96) 
3. Estatística teste 
 
 
 
 
 
 
 
4. Conclusão: Rejeita-se H0, há evidência de redução na resistência média da 
massa cerâmica, com nível de significância de 5%. 
 
 
90.2
16
15)5350(0 



 
 nx
zcalc
 
0 zc = 1.96 
/2 = 0,025 
-Zc = -1.96 
/2 = 0,025 
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 Teste para Média (variância conhecida) 
Abordagem p-valor – pg219 
1. H0:  = 53 MPa e H1:   53 MPa (bilateral) 
2.  = 0,05 
3. Estatística teste: zcalc= -2.90 
 
 
 
0.4981 
 z = -2.90 
Como p=0.0038 ou p≤0.05 
4. Conclusão: Rejeita-se H0, há evidência de redução na resistência média da 
massa cerâmica, com nível de significância de 5%. 
 
0 z = 2.90 
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Teste para média – Caso de variância desconhecida 
onde: 0 é o valor da média segundo H0; 
 n é tamanho da amostra; 
 s é o desvio padrão da amostra; e 
 é a média da amostra. 
x
• Cálculo da estatística do teste: 
Uso da distribuição t com gl = n – 1 
(supondo população com distribuição normal) 
 
s
nx
t

 0

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Teste para média – Caso de variância desconhecida. 
Ativ 7B – ex7 pg220 
 
•
   
33,3
551,0
104,782,60 




s
nx
t

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Teste para média – Caso de variância desconhecida 
Ex11. Abordagem do valor p: 
• Uso da tabela t para obter o valor p: 
 0,0025 < valor p < 0,005  valor p < 0,01 
ou 0,0025 ≤ valor p ≤ 0,005 
 Teste rejeita H0. 
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Teste para variância – pg222 
Caso para 1 amostra 
 
2
0
2
2 1

sn
q


BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004Valores Críticos da Tabela Qui- Quadrado 
• Bilateral 
 
 
• Unilateral à direita 
 
 
• Unilateral à esquerda 
 
 
 
 
)
2
1,1(;)
2
,1(
2
inf
2
sup
  nn
),1(
2
sup  n
)1,1(
2
inf  n
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Teste para variância – Ex14. pg222 
Caso para 1 amostra 
 
10.2
3.1
304.01102 

calcq
70.2%)5.97,9(
0.19%)5.2,9(
2
inf
2
sup



