LISTA DE EXERCÍCIOS FT3

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Lista 1 – Fenômenos de Transporte III – Escoamento Externo, Arrasto e Sustentação
1 A figura abaixo mostra as pressões e as tensões de cisalhamento médias que atuam sobre as superfícies (1) e 
(2) de uma placa plana quadrada com 1,0 m de lado com um ângulo de ataque θ = 7°. Considere que nas outras 
superfícies p e τ são aproximadamente nulas. a) Calcule o arrasto e a sustentação na placa. b) Determine a 
sustentação e o arrasto admitindo que as forças de cisalhamento são nulas. Compare os dois conjuntos de 
respostas. Resp.: a) D = 559 N; L = 3457 N; b) D = 426 N; L = 3474 N.
2 (Exemplo 9.1, pág. 484, Munson, 4ª Ed.) Ar, no estado padrão, escoa sobre a placa plana mostrada na Figura 
abaixo. No caso (a), a placa está paralela ao escoamento ao longe e no caso (b) está posicionada 
perpendicularmente ao escoamento. Se a pressão e a tensão de cisalhamento sobre a superfície são as indicadas 
na Figura, determine as forças de sustentação e o arrasto na placa. Resp.: a) L = 0; D = 0,44 N; b) L = 0; D = 
247,6 N. 
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3 (Problema 9.1, pág. 548, Munson, 4ª Ed.) Água escoa em torno da barra mostrada na figura abaixo. A barra 
tem 0,61 m de comprimento e sua seção transversal é um triângulo equilátero de 30,5 mm de lado. O escoamento 
produz a distribuição simétrica de pressão indicada na figura. a) Determine a sustentação e o arrasto na barra. b) 
Calcule, também, os coeficientes de sustentação e arrasto correspondentes baseados na área frontal da barra. 
Despreze as forças de cisalhamento. Dado: ρ = 999 kg/m3. Resp.: a) D = 21,5 N; L = 0; b) CD = 1,00; CL = 0. 
4 Determine os coeficientes de sustentação e arrasto (baseados na área frontal) para o objeto bidimensional 
triangular mostrado na figura a seguir. A distribuição de pressão é simétrica. Despreze as forças de 
cisalhamento. Resp.: CD = 1,7; CL = 0. 
5 (Problema 9.2, pág. 548, Munson, 4ª Ed.) Um fluido escoa em torno da barra bidimensional mostrada na 
Figura abaixo. Observe que a figura também indica os valores da pressão nas superfícies frontal e posterior da 
barra e que a tensão de cisalhamento média na superfície superior e inferior da barra vale τmed. Note que a pressão 
nas paredes superior e inferior são nulas e a tensão de cisalhamento nas paredes frontal e posterior também são 
nulas em aproximação. a) Determine τmed em função da pressão dinâmica pdin = ρU2/2. b) Determine o coeficiente 
de arrasto deste objeto. Sugestão: admita que o arrasto devido a pressão Dp é igual aquele devido aos efeitos 
viscosos (atrito) DA. Resp.: a) τmed = 0,03ρU2; b) CD = 2,40. 
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Lista 2 – Fenômenos de Transporte III – Escoamento Externo, Camada Limite sobre
uma Placa Plana 
2 Se a velocidade ao longe do escoamento no problema anterior é U = 1,5 m/s, determine a viscosidade 
cinemática do fluido. Resp.: ν = 6,65 × 10-6 m2/s.
1 (Exercício 14.37, pág. 382, Moran, 5ª Ed.) Um fluido viscoso escoa sobre uma placa plana e a espessura de
camada limite é 12 mm a 1,3 m do bordo de ataque da placa. Determine a espessura da camada limite a 0,2; 2,0 
e 20 m do bordo de ataque. Admita que o escoamento é laminar. Resp.: δ = 4,7 mm; δ = 14,9 mm e δ = 47,1
mm. 
3 (Problema 9.13, pág. 574, Munson, 2ª Ed., Vol. 2) A espessura da camada limite num determinado ponto de 
uma placa plana é igual a 45 mm. Qual seria a espessura da camada limite se esta fosse definida como a distância 
da placa até o ponto onde a velocidade é igual a 97% do valor ao longe, em vez de 99%. Admita que o 
escoamento é laminar. Sugestão: use interpolação linear nos resultados numéricos da solução de Blasius. Resp.: 
δ = 38,7 mm.
4 (Problema 9.12, pág. 549, Munson, 4ª Ed.) Água escoa sobre uma placa plana com velocidade ao longe igual 
a 0,02 m/s. Determine a velocidade do escoamento u a 10 mm de altura da placa, admitindo que a distância ao 
bordo de ataque da placa é igual a a) 1,5 m e b) 15 m. Sugestão: use interpolação linear nos resultados numéricos 
da solução de Blasius. Dado: ν = 1,12 × 10-6 m2/s. Resp.: a) u = 7,17 x 10-3 m/s; b) u = 2,29 x 10-3 m/s. 
5 (Problema 9.16, pág. 549, Munson, 4ª Ed.) Uma placa plana lisa com comprimento l = 3,5 m e largura b =
2,5 m, é colocada num escoamento de água que apresenta velocidade ao longe U = 0,14 m/s. Determine a
espessura da camada limite e a tensão de cisalhamento na parede a) no centro e b) no bordo de fuga da placa.
Dados da água: ρ = 999 kg/m3 e viscosidade dinâmica μ = 1,12 × 10-3 N·s/m2. Resp.: a) δ = 18,7 mm e τ =
0,0139 N/m2; b) δ = 26,5 mm e τ = 0,0098 N/m2.
6 (Problema 9.17, pág. 550, Munson, 4ª Ed.) Uma camada limite atmosférica é formada quando o vento sopra 
sobre a superfície da Terra. Normalmente, estes perfis de velocidade podem ser aproximados pela lei de potência: 
u(y) = a·yn, onde as constantes a e n dependem da rugosidade do terreno. A Figura abaixo mostra que para áreas 
urbanas, n = 0,4, para a zona rural ou de subúrbio, n = 0,28 e, para grandes planícies, n = 0,16. a) Se a velocidade 
no convés de um barco (y = 1,22 m) for igual a 6,1 m/s, determine a velocidade na ponta do mastro (y = 9,14 m). 
b) Se a velocidade média no décimo andar de um edifício é 4,5 m/s, qual será a velocidade média no sexto andar
do edifício? Resp.: a) u = 8,42 m/s; b) u = 3,67 m/s. 
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7 (Problema 9.18, pág. 550, Munson, 4ª Ed.) Um edifício comercial com 30 andares (cada andar apresenta 
altura igual a 3,7 m) está localizado em um subúrbio industrial. Construa o gráfico da pressão dinâmica, pdin = 
ρu2/2, em função da altura y se a velocidade do vento no topo do edifício é 121 km/h (furacão). Utilize as 
informações sobre a camada limite atmosférica fornecida no problema anterior. Dado: ρAr = 1,23 kg/m3. Resp.: 
pdin = 49,71·y0,56. 
8 Ar a 0oC (massa específica de 1,29 kg/m3 e viscosidade cinemática de 1,34 x 10-5 m2/s) escoa sobre uma placa 
plana lisa com velocidade de 4,39 m/s. O comprimento da placa é 1,22 m na direção do escoamento. Calcule (a) 
a espessura da camada limite a 15 cm e 1,22 m do bordo de ataque e (b) o coeficiente de arrasto médio para a 
superfície da placa. Resp.: (a) δ = 3,38 mm; δ = 9,65 mm; (b) CD = 2,1 x 10-3 
9 (Problema 9.22, pág. 550, Munson, 4ª Ed.) Um avião voa a 322 km/h numa altitude de 3000 m. Se a camada 
limite sobre a superfície da asa do avião se comporta como aquela sobre uma placa plana, a) estime a extensão 
xCR da camada limite laminar da asa (onde o regime passa a ser turbulento). Admita que o número de Reynolds 
de transição é igual a 5 × 105. b) Determine a extensão da camada limite na asa do avião, admitindo que a 
velocidade ainda é igual a 322 km/h mas a altitude é nula (nível do mar). Explique porque os resultados das 
duas situações são diferentes. Dados: use as informações da Tabela C2. Resp.: a) xCR = 10,4 cm; b) xCR = 8,16 
cm. 
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10 (Problema 9.23, pág. 550, Munson, 4ª Ed.) Se a camada limite no capô do seu carro se comporta como 
aquela numa placa plana, a) estime a distância da borda inicial do capô até o ponto onde a camada limite se
torna turbulenta. b) Qual é a espessura da camada limite neste local? Admita a velocidade do carro igual a 80 
km/h. Resp.: a) xCR ≅ 32,86 cm; b) δ ≅ 2,33 mm.
11 (Exercício 14.38, pág. 382, Moran, 5ª Ed.) O arrasto líquido em um dos lados das duas placas (cada uma 
com lados iguais a l e l/2) mostradas na Figura (a) abaixo é Da. O escoamento ao longe é paralelo às placas. 
Determine o arrasto (em função de Db) nas mesmas placas, mas na situação mostrada na Figura (b). Admita que 
as camadas limites são laminares. Justifique fisicamente sua resposta. Resp.: Db ≅ 0,707Da . 
12 (Problema 9.23, pág. 551, Munson, 4ª Ed.) A figura abaixo mostra duas placas idênticas, de lados l e 4l, que 
estão orientadas paralelamente à velocidade ao longe do escoamento. Se os escoamentos nas camadas limites 
forem laminares, determinea razão entre o arrasto do caso (a) e aquele do caso (b). Justifique sua resposta. Resp.: 
𝑫𝒃
𝑫𝒂
= 𝟎, 𝟓. 
13 Uma camada limite laminar formada num lado de uma placa plana de comprimento l e largura b produz um 
arrasto D. Quanto a placa tem que ser encurtada para que o arrasto se torne igual a D/4? Admita que a 
velocidade e a densidade ao longe permaneçam constante. Justifique sua resposta. Resp.: l2 = l1/16. 
14 (Problema 9.30, pág. 551, Munson, 4ª Ed.) O arrasto num lado de uma placa plana paralela ao escoamento 
é D quando a velocidade ao longe é U. Qual será o arrasto se a velocidade for a) 2U ou b) U/2? Admita que o 
escoamento é laminar. Resp.: a) D2 ≅ 2,828 D1; b) D2 ≅ 0,354 D1. 
15 (Problema 9.34, pág. 552, Munson, 4ª Ed.) Água escoa sobre uma placa 
plana triangular (triângulo retângulo isósceles, de hipotenusa igual a 1 m) 
orientada paralelamente ao escoamento ao longe. Integre a tensão de 
cisalhamento sobre a placa e determine o arrasto por atrito em um dos lados 
da placa. Admita que o escoamento é laminar, ou seja, 𝜏𝑥 = 0,332 .𝜌. 𝑈2√ 
ν
U.𝑥
Dados: ν = 1,12 × 10-6 m2/s. Resp.: 𝑫 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟗𝟔 𝐍.
Lista 3 – Fenômenos de Transporte III – Camada Limite Turbulenta 
 
Fórmulas para camada limite sobre placa plana lisa paralelamente a um escoamento: 
Propriedade Laminar Turbulenta 
Perfil de velocidade Tabela da solução de Blasius 
𝑢
𝑈
= (𝑦
𝛿
)17 
Espessura 
𝛿
𝑥
= 5,0
�𝑅𝑒𝑥
 
𝛿
𝑥
= 0,370(𝑅𝑒𝑥)15 
Tensão de cisalhamento na 
parede 𝜏𝑝 = 0,332 𝜌𝑈2�𝑅𝑒𝑥 𝜏𝑝 = 0,0288 𝜌𝑈2(𝑅𝑒𝑥)15 
Coeficiente médio de arrasto, 
por atrito 
(𝑅𝑒𝐿 ≤ 5.105) 
 
𝐶𝐷 = 1,328
�𝑅𝑒𝐿
 
(5.105 < 𝑅𝑒𝐿 < 107) 
 
𝐶𝐷 = 0,072(𝑅𝑒𝐿)15 (107 < 𝑅𝑒𝐿 < 109) 
 
𝐶𝐷 = 0,455(log𝑅𝑒𝐿)2,58 
 
Quando necessário, utilize: 
 
 
Exercícios 
1. Ar move-se sobre uma placa plana lisa com velocidade uniforme na corrente livre 
igual a 40 m/s. A 45 cm da aresta frontal da placa, qual é a espessura da camada l imite e 
qual é a tensão de cisalhamento na superfície da placa? Respostas: δ = 10,14 mm; 𝝉 = 3,37 N/m2 
 
2. Um veículo está viajando a 90 km/h por uma estrada. Se a camada limite no capô do seu carro 
se comporta como aquela numa placa plana, estime a espessura da camada limite nos seguintes pontos: 
a) 20 cm; b) 50 cm e c) 80 cm. Respostas: a) δ = 1,7 mm; b) δ = 12,1 mm; c) δ = 17,7 mm 
 
3. O dispositivo mostrado na figura pode ser utilizado para obter a tensão de cisalhamento na 
parede de uma placa imersa num escoamento de ar que apresenta velocidade ao longe igual a U. Note 
que o valor de τp pode ser obtido a partir da medição do momento, M, na base do suporte. O suporte é 
rigidamente conectado ao pequeno elemento de superfície que não entra em contato com a superfície 
da placa. Determine M quando U = 3,5 m/s e L = 3,0 m. Resposta: 8,97.10-9 N.m 
 
 Massa específica Viscosidade cinemática 
Água 1000 kg/m3 1,16 . 10-6 m2/s 
Ar 1,2 kg/m3 1,51 . 10-5 m2/s 
4. Repita o problema anterior considerando que e água que escoa sobre a placa. 
Resposta: 4,48.10-6 N.m 
 
5. Um painel publicitário fino e liso foi colocado na lateral da carreta de um caminhão. Estime o 
arrasto por atrito no painel quando a velocidade do caminhão for igual a 68,4 km/h. Resposta: 4,66 N 
 
 
6. Um grupo de torcedores colou uma bandeira do seu time de futebol (6 m x 4 m) no 
topo de uma parede de um prédio. Num dia de forte ventania, a bandeira foi arrancada pelo 
vento, que alcançou, no topo do prédio, a velocidade de 50 km/h. Estime a força do vento na 
bandeira na condição mencionada e de acordo com a figura ao lado, considerando a parede 
do prédio como uma placa plana lisa. Resposta: 8,47 N 
 
 
 
 
 
 
 
7. A hélice com três pás de um helicóptero gira a 200 rpm. Se cada pá apresenta comprimento e 
largura iguais a 3,66 e 0,46 m, estime o torque necessário para vencer o atrito nas pás. Admita que as 
pás se comportam como placas planas. Resposta: 131 Nm. 
 
8. Um ventilador de teto com cinco pás gira a 100 rpm. Se cada pá apresenta comprimento e 
largura iguais a 0,80 e 0,10 m, estime o torque necessário para vencer o atrito nas pás. Considere que 
uma extremidade de cada pá tangencia o centro de rotação. Admita que as pás se comportam como 
placas planas. Resposta: 0,0434 Nm. 
 
 
 
9. Estime a espessura máxima da camada limite e a força de arrasto em um lado de um barco que 
mede 40 m de comprimento com uma profundidade submersa de 8 m, admitindo que o lado do barco é 
aproximadamente uma placa plana. O barco navega a 10 m/s. Calcule ainda a potência necessária para 
vencer o arrasto por atrito. Resposta: 0,290 m; 28,8 kN; 288 kW 
 
10. Um superpetroleiro, com 360 m de comprimento, tem um través de 70 m e um calado de 25 m. 
Estime a força e a potência necessários para vencer o arrasto devido ao atrito superficial para uma 
velocidade de cruzeiro de 7 nós (1 nó = 1,852 km/h) em água do mar a 10 °C (𝜌𝑀𝑎𝑟 = 1030 𝑘𝑔/𝑚3 e 
𝜈𝑀𝑎𝑟=1,36×10−6 m2/s). Sugestão: considere apenas as duas laterais do casco e o seu fundo Resposta: 
455 kN; 1,64 MW. 
 
 
11. Um trem moderno tem 110 m de comprimento, 2,75 de largura e tem lados cuja altura é 
2,75 m. Admitindo que o coeficiente de arrasto nos lados e no topo do trem é igual ao de uma 
superfície de uma placa plana lisa de 110 m de comprimento e 8,25 m de largura, calcule a 
potência necessária para vencer o arrasto quando o trem se move a 160 km/h? Qual é a extensão 
da camada limite laminar? Resposta: P = 86,7 kW; xc = 0,1699 m 
 
12. Um navio tem 125 m de comprimento e área molhada de 3500 m2. Seus propulsores podem 
fornecer uma potência máxima de 1,1 MW a água do mar. Se todo o arrasto é devido ao atrito, calcule 
a velocidade máxima do navio. Considere que a camada limite esteja turbulenta. Resposta: 7,3 m/s. 
 
 
 
 
Lista 4 – Fenômenos de Transporte III – Arrasto e Sustentação
1. Uma bola de golfe bem tacada (diâmetro = 42,9 mm e peso = 0,44 N) deixa o taco com
velocidade de 61,0 m/s. Determine o arrasto a) numa bola de golfe padrão (CD = 0,25) e b)
numa bola de golfe lisa (CD = 0,51), para as condições dadas. Determine, também, a
desaceleração em cada bola para as condições fornecidas no problema. ( Utilize o gráfico CD x
Re ) Respostas: (a) 0,807 N; 18,0 m/s2; (b) 1,65 N; 36,7 m/s2.
2. Uma bola de tênis de mesa bem rebatida (diâmetro = 38,1 mm e peso = 0,0245 N) deixa a
raquete com velocidade de 18,3 m/s. Determine o arrasto e a desaceleração da bola nesta bola
de tênis. ( Utilize o gráfico CD x Re ) Respostas: 0,115 N; 45,8 m/s2
3. Determine o momento na base do mastro de uma bandeira (30 m de altura e 0,12 m de diâmetro)
necessário para equilibrá-lo quando a velocidade do vento é igual a 20 m/s. ( Utilize o gráfico CD
x Re ) Resposta: 15,6 kN.m.
4. Compare a velocidade de subida de uma bolha de ar (diâmetro = 3,2 mm) na água com a
velocidade de queda de uma gota de água, de mesmo diâmetro, no ar. Admita que as gotas
se comportam como esferas rígidas. Resposta: 0,289 m/s; 9,3 m/s.
5. Repita o problema anterior para o caso da gota de água caindo no ar, porém, considerando que o
ar está na condição padrão referente à altitude de 5000 m (pesquisar os dados do ar nesta
altitude!). Resposta: 11,9 m/s
6. Uma esfera de ping-pong (diâmetro = 38,1 mm e peso = 0,0245 N) é solta do fundo de uma
piscina. Qual é a velocidade de ascensão da bolinha na piscina? Admita que esta já tenha
atingido sua velocidade terminal. Resposta: 1,07 m/s.
7. Um cubo (peso = 500 N e construído com um material que apresenta
densidade relativa = 1,8) cai num vaso cheio de água com velocidade
constante U. Determine U para os casos do cubo cair orientado
conforme (a) e (b). Resposta: 2,06 m/s; 2,13 m/s.
8. A potência necessária para vencer o arrastoaerodinâmico de um veículo é 14,92 kW quando a
velocidade é igual a 89 km/h. Estime a potência necessária para que o veículo atinja 105
km/h. Resposta: 24,5 kW.
9. Um meteoro com diâmetro e massa específica iguais a 0,5 m e 7650 kg/m3 se desloca a 1800m/s
na atmosfera quando está numa altitude de 20 km. Considere que nesta altitude a massa
específica do ar é igual a 9.10-2 kg/m3. Determine a desaceleração sofrida pelo meteoro, se o
coeficiente de arrasto nesta condição (número de Mach alto) é 0,95. Resposta: 54,3 m/s2.
10. Um papagaio que pesa 5,34 N e apresenta área igual a 0,557 m2 é empinado num vento de 6,1
m/s. A linha do papagaio faz um ângulo de 55o com a horizontal. Se a tensão na linha é 6,67
N, determine os coeficientes de sustentação e de arrasto, baseados na área do papagaio. Resposta:
0,868; 0,308.
11. Com uma aerodinâmica apropriada, o coeficiente de arrasto para um avião pode ser reduzido em
12% enquanto a área frontal permanece a mesma. Admitindo que a potência de acionamento
do avião é constante, determine a porcentagem do aumento da velocidade de voo provocada
pelas alterações aerodinâmicas. Resposta: 4,0%.
12. Um dirigível tem comprimento e diâmetro máximo, respectivamente, iguais a 239 e 40,2 m.
Estime a potência necessária para que o dirigível mantenha uma velocidade de 135 km/h.
Admita que o coeficiente de arrasto baseado na área frontal é igual a 0,06. Resposta: 2,41 kW.
13. Um pequeno avião tem peso bruto igual a 7,794 kN, velocidade de cruzeiro de 185 km/h e 16,62
m2 de área de asa. Determine, nestas condições, o coeficiente de sustentação para este
avião. Resposta: 0,296.
14. A área da asa de um pequeno avião, que pesa 6,22 kN, é 10,2 m2. (a) Se a velocidade de cruzeiro
do avião for 210 km/h, determine o coeficiente de sustentação da asa. (b) Se o motor fornece
150 kW na operação de cruzeiro e se 60% desta potência são perdidas no sistema de
propulsão e na resistência do escoamento em torno do corpo do avião, determine o coeficiente
de arrasto da asa deste avião. Resposta: (a) 0,299; (b) 0,0494.
15. Considere um avião. Compare a potência necessária para manter um voo a 1500 m de altitude
(massa específica = 1,060 kg/m3 e viscosidade dinâmica = 1,742.10-5 N.s/m2) com aquela referente
a um voo a 9150 m (massa específica = 0,4671 kg/m3 e viscosidade dinâmica = 1,493.10-5 
N.s/m2) e à mesma velocidade. Admita que o coeficiente de arrasto do avião permanece constante.
Resposta: 2,27 vezes maior.
16. Um avião Boeing 747 pesa 2,58.106 N quando carregado com combustível e 100 passageiros.
Nesta condição, a velocidade para a decolagem é 225 km/h. Com a mesma configuração (isto
é, ângulo de ataque, posicionamento de flapes, etc), qual é a velocidade de decolagem do
avião carregado com 327 passageiros? Admita que cada passageiro com bagagem pesa 890 N.
Resposta: 234 km/h.
17. Um poste suporta uma placa de indicação de velocidade máxima que apresenta largura e altura 
iguais a 560 e 865 mm. O diâmetro do poste e a distância entre a parte inferior da placa e o chão 
são iguais a 76 mm e 1,52 m. Considerando o CD do poste igual a 1,6 e o CD da placa igual a 1,9, 
estime o maior momento na base do poste possível para um vento de 13,4 m/s incidindo na placa. 
Resposta: 211,6 N.m
18. Os trechos do suporte da placa elíptica mostrados na figura abaixo cilíndricos. Suponha que um
vento, com velocidade ao longe constante e igual a 81 km/h, incide sobre a placa. Nestas
condições, estime a força aplicada no conjunto composto pela placa e o suporte pelo vento.
Utilize: 1 ft = 0,3048 m; Área da elipse = π.D1.D2/4 e o gráfico de CD x Re. Resposta: 1,7 kN
 
Lista 5 – Fenômenos de Transporte III – Revisão de Termodinâmica e Cone de Mach 
 
 
Quando necessário, utilize: 
• Temperatura ambiente = 20 ºC 
• Pressão atmosférica = 1,01x105 Pa 
 
REVISÃO DE TERMODINÂMICA 
 
1. Ar escoa em regime permanente entre as seções (1) e (2) de um tubo que apresenta diâmetro igual 
a 102 mm. As distribuições de pressão e de temperatura nas seções (1) e (2) são uniformes. Sabendo 
que T1 = 300 K, p1 = 6,90 bar (abs), T2 = 252 K e p2 = 1,27 bar (abs); determine as variações da 
energia interna específica, da entalpia específica, da massa específica e da entropia específica entre 
as seções (1) e (2). Resposta: -34,5 kJ/kg; -48,2 kJ/kg; -6,26 kg/m3; 311 J/(kg.K). 
 
2. Hélio [R = 2,077 kJ/(kg.K); k = 1,66] é comprimido isotermicamente de 121 kPa (abs) a 301 kPa 
(abs) num processo. Determine a variação de entropia associada a este processo. 
Resposta: -1,89 kJ/(kg.K). 
 
3. Ar atmosférico [21 ºC e 1,013 bar (abs)] é comprimido adiabaticamente num compressor 
centrífugo e a pressão do ar na seção de descarga do compressor é 4,14 bar (abs). Qual é 
temperatura mínima do ar na seção de descarga do compressor? Justifique sua resposta. 
Resposta: 167oC, processo isentrópico. 
 
4. Metano [R = 518 J/(kg.K); k = 1,31], a 25 ºC e 100 kPa (abs), é comprimido adiabaticamente 
num compressor centrífugo e a pressão do metano na seção de descarga do compressor é 200 kPa 
(abs). Qual é temperatura mínima do metano na seção de descarga do compressor? Justifique sua 
resposta. Resposta: 78oC, processo isentrópico. 
 
5. Ar expande adiabaticamente numa turbina. A pressão e a temperatura na seção de alimentação da 
turbina são iguais a 5,5 bar (abs) e 890 K e a pressão na seção de descarga da turbina é 1,0 bar 
(abs). Se a queda de temperatura real do escoamento de ar é igual a 85% da queda de temperatura 
ideal, determine a temperatura do ar na seção de descarga da turbina e as variações reais de entalpia 
e entropia específicas associadas ao escoamento de ar na turbina. 
Resposta: 598 K; -294 kJ/kg; 89,6 J/(kg.K). 
VELOCIDADE DO SOM 
6. Determine o número de Mach associado ao movimento de um automóvel que se desloca na 
atmosfera padrão (T = 20oC) a (a) 40 km/h, (b) 90 km/h e (c) 160 km/h. Resposta: 0,032; 0,073; 
0,13. 
 
7. Um avião moderno voa a Mach 3 numa altitude de 24000 m (T = -56oC). Qual o valor da 
velocidade do avião em km/h? Resposta: 3,19x103 km/h. 
 
8. Determine a velocidade do som no (a) ar, (b) dióxido de carbono [R = 189 J/(kg.K); k = 1,29], 
(c) hélio [R = 2,077 kJ/(kg.K); k = 1,66], (d) hidrogênio [R = 4,124 kJ/(kg.K); k = 1,41] e 
(e) metano [R = 518 J/(kg.K); k = 1,31]. Admita que a temperatura é igual a 20 ºC e que os fluidos 
se comportam como gases perfeitos. Resposta: 343 m/s; 267 m/s; 1005 m/s; 1305 m/s; 446 m/s. 
 
 
 
 
 
9. O cone de Mach encontrado no escoamento sobre uma bala apresenta ângulo igual a 28º. Qual é 
a velocidade desta bala? Resposta: 2,63x103 km/h. 
 
10. Um avião voa numa altitude 1000 m acima do plano onde está localizado um 
observador. Determine o intervalo de tempo decorrido entre o avião passar sobre o observador e ele 
ouvir o som do avião sabendo que o avião voa com número de Mach igual a 1,5 e que a 
temperatura na atmosfera é uniforme e igual a 20 ºC. Resposta: 2,17 s. 
 
11. Um avião F-16 faz uma passagem de alta velocidade sobre um aeroporto num dia em que T = 
35oC. O avião voa a M = 1,4 e a 200 m de altitude. Calcule a velocidade do avião. Quanto tempo 
após a sua passagem diretamente sobre o ponto A no solo, o seu cone de Mach passa sobre o 
ponto A? Resposta: 492,5 m/s; 0,398 s. 
 
12. Um avião voa num plano localizado a 3050 m acima da sua cabeça. Você só escuta o ruído do 
avião após 8 s dele ter passado sobre sua cabeça. Admitindo que a temperatura da atmosfera é 
constante e igual a 4 ºC, determine o número de Mach e a velocidade do avião. Resposta: 2,07; 
2,48x103 km/h. 
 
 
Lista 6 – Fenômenos de Transporte III – Escoamento isentrópico em bocais 
 
Quando necessário, utilize: 
• Temperatura ambiente = 20 ºC 
• Pressão atmosférica = 1,01x105 Pa 
 
1. Ar escoa em regime permanente e de modo isentrópico num duto convergente. O ar é sugado da 
atmosfera e é descarregadonum duto receptor. A área da seção transversal da garganta do duto 
convergente é igual a 4,65 ×10−4 m2. Determine a vazão em massa no duto convergente se a pressão 
no duto receptor for igual a (a) 69,0 kPa (abs) e (b) 34,5 kPa (abs). Construa um diagrama T − s 
para cada um dos escoamentos. Resposta: 0,106 kg/s; 0,112 kg/s. 
 
2. Hélio [R = 2,077 kJ/(kg.K); k = 1,66] escoa em regime permanente e de modo isentrópico num 
bocal convergente. O hélio é retirado de um tanque muito grande (T = 20 ºC e p = 1,0 bar (abs)) e é 
descarregado num duto receptor. A área da seção transversal da garganta do bocal convergente é 
igual a 4,65 ×10−4 m2. Determine a vazão em massa no duto convergente se a pressão no duto 
receptor for igual a (a) 69,0 kPa (abs) e (b) 34,5 kPa (abs). Construa um diagrama T − s para cada 
um dos escoamentos. Resposta: 0,0396 kg/s; 0,0432 kg/s. 
 
3. Qual é a razão entre a pressão estática e a de estagnação associada as seguintes situações: (a) um 
corredor se deslocando a 32 km/h, (b) um ciclista correndo a 64 km/h, (c) um automóvel se 
deslocando a 105 km/h e (d) um avião voando a 800 km/h. Considere que o ar na atmosfera sempre 
se encontra na condição padrão. Resposta: (a) 1,00; (b) 0,998; (c) 0,995; (d) 0,754. 
 
4. Um tubo de Pitot revela que a razão entre a pressão estática e a de estagnação num certo ponto 
do campo de escoamento de um gás perfeito é 0,6. A temperatura de estagnação do gás é 20 ºC. 
Determine a velocidade e o número de Mach neste local se o gás é (a) ar, (b) dióxido de carbono 
[R = 189 J/(kg.K); k = 1,29] e (c) hidrogênio [R = 4,124 kJ/(kg.K); k = 1,41]. 
Resposta: (a) 283 m/s; 0,886; (b) 231 m/s; 0,916; (c) 1,07x103 m/s; 0,884. 
 
5. A pressão e a temperatura de estagnação do escoamento de ar em torno de uma sonda são iguais 
a 120 kPa (abs) e 100 ºC. A pressão no ar é 80 kPa (abs). Determine a velocidade do escoamento e o 
número de Mach considerando que o escoamento é (a) incompressível e (b) compressível. 
Resposta: (a) 267 m/s; (b) 286 m/s. 
 
6. Um grande tanque contém um gás perfeito a 15ºC e 1,72 bar (abs). O gás deve ser expandido 
isentropicamente num bocal até a pressão atmosférica. Descreva as características do bocal que 
deve ser utilizado nesta aplicação e determine a área da seção de descarga do bocal se a vazão em 
massa desejada no dispositivo for igual a 0,45 kg/s. Admita que o tanque contém (a) ar, (b) dióxido 
de carbono [R = 189 J/(kg.K); k = 1,29] e (c) hélio [R = 2,077 kJ/(kg.K); k = 1,66]. Resposta: 
(a) bocal convergente, 11,1 cm2; (b) bocal convergente, 9,22 cm2; (c) bocal convergente, 28,5 cm2. 
 
7. Ar pode escoar de um grande reservatório através de um bocal convergente com uma área de 
saída de 50 cm2. O reservatório é grande o suficiente para que sejam desprezíveis as variações na 
pressão e na temperatura que ocorrem quando o fluido escoa através do bocal. Admita escoamento 
em regime permanente e isentrópico. A pressão (abs) e a temperatura no reservatório são 500 kPa e 
500 K. Determine a vazão mássica do ar se a pressão a jusante do bocal for (a) 0; (b) 125 kPa; 
(c) 250 kPa e (d) 375 kPa. Resposta: (a), (b), e (c) 4,52 kg/s; (d) 3,99 kg/s. 
 
 
 
Lista 7 – Fenômenos de Transporte III – Bocal Convergente-Divergente 
 
Quando necessário, utilize: 
• Temperatura ambiente = 20 ºC 
• Pressão atmosférica = 1,01x105 Pa 
1. Deseja-se expandir ar de po = 200 kPa (abs) e To = 500 K através de um bocal convergente- 
divergente para um número de Mach de 2,5. Deseja-se que a vazão seja de 3 kg/s. Admitindo 
escoamento isentrópico, determine: (a) a área da garganta. Na saída do bocal, determine: (b) a 
pressão, (c) a temperatura, (d) a velocidade e (e) a área da seção. Resposta: (a) 83,0 cm2; (b) 11,7 
kPa; (c) 222 K; (d) 747 m/s; (e) 219 cm2. 
 
2. Um bocal convergente-divergente é projetado para operar isentropicamente com um número de 
Mach de saída de 1,5. O bocal é alimentado por um reservatório de ar no qual a pressão é 500 kPa 
(abs) e a temperatura, 500 K. A garganta do bocal tem área de 5 cm2. Determine: (a) a razão entre as 
áreas da seção de saída e da garganta; e (b) a vazão mássica para uma pressão a jusante do bocal 
de 0 kPa. Resposta: (a) 1,18; (b) 0,452 kg/s. 
 
3. Um gás perfeito escoa isoentropicamente num duto convergente − divergente. Uma seção 
transversal, localizada na região convergente do duto, apresenta A1 = 0,1 m2, p1 = 600 kPa (abs), T1 
= 20 ºC e M1 = 0,6. O número de Mach numa seção transversal localizada na região divergente do 
duto (seção 2) apresenta número de Mach igual a 3,0. Determine os valores de A2 , p2 e T2 
considerando que o gás que escoa no duto é (a) ar e (b) hélio. Resposta: (a) A2 = 0,356 m2; 
p2 = 20,8 kPa; T2 = 112 K; (b) A2 = 0,257 m2; p2 = 24,8 kPa; T2 = 82,6 K. 
 
4. O escoamento isentrópico numa seção a montante da garganta de um duto 
convergente−divergente apresenta V1 = 150 m/s, p1 = 100 kPa (abs) e T1 = 20 ºC. A área da seção 
transversal da garganta é igual a 0,1 m2. Se o escoamento na seção de descarga do duto é 
supersônico, determine a vazão em massa de gás no duto. Considere que o gás que escoa no 
duto é (a) ar, e (b) metano [R = 518 J/(kg.K); k = 1,31]. Resposta: (a) 26,4 kg/s; (b) 18,3 kg/s. 
 
5. A blocagem do escoamento associada com o uso de uma sonda intrusiva pode ser importante. 
Determine o aumento percentual da velocidade provocado por uma redução de 0,5% na área da 
seção de escoamento. Admita que a área "limpa" de escoamento é igual a 1,0 m2 e que a 
temperatura de estagnação do escoamento é 20 ºC. Considere que os números de Mach na área 
"limpa" do escoamento são iguais a (a) M = 0,2, (b) M = 0,8, (c) M = 1,5 e (d) M = 30. Resposta: 
(a) 0,50%; (b) 1,39%; (c) -0,4%; (d) -0,00056%. 
 
6. Ar é descarregado de um grande tanque através de um bocal convergente-divergente com uma 
garganta de 5,1 cm de diâmetro. Dentro do tanque, a pressão absoluta é 345 kPa e a temperatura é 
300 K, enquanto que, fora dele, a pressão absoluta é 93 kPa. O escoamento é supersônico na parte 
divergente do bocal com a pressão absoluta de 93 kPa na sua saída. Determine o diâmetro da seção 
de saída do bocal. Determine a vazão mássica e as velocidades e temperaturas na garganta e na 
seção de saída. Resposta: 5,54 cm; 1,65 kg/s; 317 m/s; 250 K; 434 m/s; 206 K. 
 
7. Ar é descarregado de um grande tanque através de um bocal convergente-divergente, com uma 
garganta de 20 mm de diâmetro, para a atmosfera. A pressão relativa e a temperatura no tanque são 
705 kPa e42oC; a pressão barométrica é 99,5 kPa. Determine o diâmetro da seção de saída do bocal 
para que a pressão nessa seção seja igual à atmosférica. Nesse caso, quais são a velocidade e o 
número de Mach na saída do bocal? Resposta: 2,62 cm; 534 m/s; 2,02. 
MAPA RELACIONAL DAS PRIMEIRAS EXPRESSÕES DA TERMODINÂMICA
Trabalho em proc. politrópico
i. n=0 : p=constante
w=p .Δ v
ii. n=1: p .v=constante
w=p1v1 ln(
v2
v1
)
iii. n≠0 e n≠1 : p .vn=constante
w=
p2 v2− p1 v1
n−1
1a Lei da Termo para sistemas fechados
Δ u+Δ( V
2
2
)+Δ(g z )=q−w
ou Δ u+Δec+Δe p=q−w
1a Lei da Termo para volumes de controle
dE
dt
=Q˙−W˙ vc+∑ m˙e(he+
V e
2
2
+g ze )−∑ m˙s(hs+
V s
2
2
+g z s)
se regime permanente e corrente única de entrada e saida
Q˙
m˙
−
W˙ vc
m˙
=Δ h+Δ( V
2
2
)+Δ(g z )
2a Lei da Termo
ds⩾δq
T
1a e 2a Leis da Termo
combinadas
( proc. reversível)
T ds=du+ pdv
T ds=dh−v dp
Trabalho devido ao
movimento da fronteira
w=∫ p dv
Processo politrópico
p .vn=constante
Entalpia
h=u+ pv
Entropia
ds=δq
T
Modelo do Gás Perfeito
p v=RT ou p=ρ RT
cv=
du
dT
;c p=
dh
dT
c p−cv=R ; k=
c p
cv
c p=
kR
k−1
; cv=
R
k−1
Equaçãoda continuidade
ρ1 A1V 1=ρ2 A2V 2
1a Lei daTermodinâmica
( proc. adiabático)
h1+
V 1
2
2
=h2+
V 2
22
1a e 2a Leis da Termo
combinadas
( proc. reversível)
T ds=du+ pdv
T ds=dh−v dp
Onda acústica
c=√kRT
M=V
c
dA
A
=
dp
ρV 2
(1−M 2)
dV
V
=−
dA
A
1
(1−M 2)
Temperatura de estagnação
T 0
T
=1+( k−12 )M 2
Proc. isoentrópico
Δ s= 0
Propriedades deestagnação
p0
p
=[1+( k−12 )M 2]
k
k−1
ρ0
ρ =[1+( k−12 )M 2]
1
k−1
Na condiçãocrítica (M=1)
T 0
T '
= k+1
2
p0
p '
=( k+12 )
k
k−1
ρ0
ρ'
=( k+12 )
1
k−1
V '=c'=√ 2kk+1 RT 0
MAPA RELACIONAL DAS
EXPRESSÕES DO
ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL
ISOENTRÓPICO
DE UM GÁS PERFEITO
Δ s=cv ln
T 2
T 1
+R ln
v2
v1
Δ s=c p ln
T 2
T 1
−R ln
p2
p1
T 2
T 1
=(p2p1 )
k−1
k
T 2
T 1
=(ρ2ρ1 )
k−1
p2
p1
=(ρ2ρ1 )
k
Área da seção sônica
A
A'
=
1
M [ 2k+1 (1+k−12 M 2)]
k+1
2(k−1 )
ModelodoGás Perfeito
p=ρ RT
cv=
du
dT
;c p=
dh
dT
c p−cv=R ; k=
c p
cv
c p=
kR
k−1
; cv=
R
k−1
(a )
(a )
(a )
Equaçãoda quantidade demovimento
p1 A1− p2 A2=m˙(V 1−V 2)
Equaçãoda continuidade
ρ1 A1V 1=ρ2 A2V 2
1a Lei daTermodinâmica
( proc. adiabático)
h1+
V 1
2
2
=h2+
V 2
2
2
Onda acústica
c=√401,8 T
M=V
c
dA
A
=
dp
ρV 2
(1−M 2)
dV
V
=−
dA
A
1
(1−M 2)
Temperatura de estagnação
T 0
T
=1+0,2M 2
Propriedades deestagnação
p0
p
=(1+0,2M 2)
7
2
ρ0
ρ =(1+0,2M
2)
5
2
Na condiçãocrítica (M=1)
T 0
T '
=1,2
p0
p '
=1,893
ρ0
ρ'
=1,577
V '=c '=√334,8T 0
MAPA RELACIONAL DAS
EXPRESSÕES DO
ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL
ISOENTRÓPICO
DE UM GÁS PERFEITO
.−.−.−.−.−.−.−.−.−.−.−.−.
EXPRESSÕES PARA
O AR ATMOSFÉRICO
(UNIDADES NO SI )
.−.−.−.−.−.−.−.−.−.−.−.−.
k=1,4
R=287 J /(kg.K )
cv=718 J /(kg.K )
c p=1005 J /(kg.K )
1a e 2a Leis da Termo
combinadas
( proc. reversível)
T ds=du+ pdv
T ds=dh−v dp
Proc. isoentrópico
Δ s= 0
Δ s=718 ln
T 2
T 1
+287 ln
v2
v1
Δ s=1005 ln
T 2
T 1
−287 ln
p2
p1
T 2
T 1
=(p2p1 )
2
7
T 2
T 1
=(ρ2ρ1 )
2
5
p2
p1
=(ρ2ρ1 )
1,4
Área da seção sônica
A
A'
= 1
M
(1+0,2M 2)3
1,728
ModelodoGás Perfeito
p=ρ RT
cv=
du
dT
;c p=
dh
dT
c p−cv=R ; k=
c p
cv
c p=
kR
k−1
; cv=
R
k−1
(a )
(a )
(a )
Equaçãoda quantidade demovimento
p1 A1− p2 A2=m˙(V 1−V 2)
	LISTA_FT3
	Listas_FT3_Parte1
	Lista-1-FTIII
	Lista-2-FTIII
	Lista-3-FTIII
	Listas_FT3_Parte2
	Lista-4-FTIII
	Lista-5-FTIII
	Lista-6-FTIII
	Listas-5_6_7-FTIII_com_formulas
	Listas-5_6_7-FTIII
	Lista-7-FTIII
	termo_all_formulas
	Slide 1
	Slide 2
	Slide 3