Raciocínio Lógico e Matemática

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AT
ÉR
IA
sumário
Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos 
fictícios. Dedução de novas informações das relações fornecidas e avaliação das con-
dições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. Compreensão do pro-
cesso lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a 
conclusões determinadas. formação de conceitos; discriminação de elementos .......... 1
Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio verbal .... 18
Raciocínio matemático (que envolva, dentre outros, conjuntos numéricos – operações, 
propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e 
decimal, razão e proporção, regra de três simples e composta, unidades de medida, 
porcentagem) ................................................................................................................. 25
Raciocínio sequencial; Orientação espacial e temporal ................................................. 52
Questões ........................................................................................................................ 57
Gabarito .......................................................................................................................... 63
Ra
ci
oc
ín
io
 Ló
gi
co
 e 
Ma
te
má
tic
a
TJ-SP
Raciocínio Lógico e Matemática
1
Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos 
fictícios. Dedução de novas informações das relações fornecidas e avaliação das condi-
ções usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. Compreensão do processo 
lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões 
determinadas. formação de conceitos; discriminação de elementos
A habilidade de discernir e construir relações lógicas entre entidades diversas é uma competência funda-
mental no pensamento analítico. Ela permite que um indivíduo percorra informações e estabeleça conexões 
significativas, mesmo quando os elementos envolvidos são abstratos ou hipotéticos. Ao explorar este domínio, 
desenvolve-se a capacidade de extrair conclusões válidas e verificar a solidez das premissas subjacentes. Tal 
habilidade é crucial para a resolução de problemas complexos e para a tomada de decisões informadas em 
uma variedade de contextos
ESTRUTURAS LÓGICAS
Antes de tudo, é essencial compreender o conceito de proposições. Uma proposição é um conjunto de 
palavras ou símbolos que expressa um pensamento ou uma ideia completa, transmitindo um juízo sobre algo. 
Uma proposição afirma fatos ou ideias que podemos classificar como verdadeiros ou falsos. Esse é o ponto 
central do estudo lógico, onde analisamos e manipulamos proposições para extrair conclusões.
Valores Lógicos
Os valores lógicos possíveis para uma proposição são:
− Verdadeiro (V), caso a proposição seja verdadeira.
− Falso (F), caso a proposição seja falsa.
Os valores lógicos seguem dois axiomas fundamentais:
− Princípio da Não Contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
− Princípio do Terceiro Excluído: toda proposição é ou verdadeira ou falsa, não existindo um terceiro caso 
possível.
Ou seja: “Toda proposição tem um, e somente um, dos valores lógicos: V ou F.”
Classificação das Proposições
Para entender melhor as proposições, é útil classificá-las em dois tipos principais:
• Sentenças Abertas
São sentenças para as quais não se pode atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso, pois elas não expri-
mem um fato completo ou específico. São exemplos de sentenças abertas:
− Frases interrogativas: “Quando será a prova?”
− Frases exclamativas: “Que maravilhoso!”
− Frases imperativas: “Desligue a televisão.”
− Frases sem sentido lógico: “Esta frase é falsa.”
• Sentenças Fechadas
Quando a proposição admite um único valor lógico, verdadeiro ou falso, ela é chamada de sentença fecha-
da. Exemplos:
− Sentença fechada e verdadeira: “2 + 2 = 4”
− Sentença fechada e falsa: “O Brasil é uma ilha”
2
Proposições Simples e Compostas
As proposições podem ainda ser classificadas em simples e compostas, dependendo da estrutura e do nú-
mero de ideias que expressam:
• Proposições Simples (ou Atômicas)
São proposições que não contêm outras proposições como parte integrante de si mesmas. São representa-
das por letras minúsculas, como p, q, r, etc.
Exemplos:
p: “João é engenheiro.”
q: “Maria é professora.”
• Proposições Compostas (ou Moleculares)
Formadas pela combinação de duas ou mais proposições simples. São representadas por letras maiúscu-
las, como P, Q, R, etc., e usam conectivos lógicos para relacionar as proposições simples.
Exemplo:
P: “João é engenheiro e Maria é professora.”
Classificação de Frases
Ao classificarmos frases pela possibilidade de atribuir-lhes um valor lógico (verdadeiro ou falso), consegui-
mos distinguir entre aquelas que podem ser usadas em raciocínios lógicos e as que não podem. Vamos ver 
alguns exemplos e suas classificações.
“O céu é azul.” – Proposição lógica (podemos dizer se é verdadeiro ou falso).
“Quantos anos você tem?” – Sentença aberta (é uma pergunta, sem valor lógico).
“João é alto.” – Proposição lógica (podemos afirmar ou negar).
“Seja bem-vindo!” – Não é proposição lógica (é uma saudação, sem valor lógico).
“2 + 2 = 4.” – Sentença fechada (podemos atribuir valor lógico, é uma afirmação objetiva).
“Ele é muito bom.” – Sentença aberta (não se sabe quem é “ele” e o que significa “bom”).
“Choveu ontem.” – Proposição lógica (podemos dizer se é verdadeiro ou falso).
“Esta frase é falsa.” – Não é proposição lógica (é um paradoxo, sem valor lógico).
“Abra a janela, por favor.” – Não é proposição lógica (é uma instrução, sem valor lógico).
“O número x é maior que 10.” – Sentença aberta (não se sabe o valor de x)
Agora veremos um exemplo retirado de uma prova:
1. (CESPE/UNB) Na lista de frases apresentadas a seguir:
– “A frase dentro destas aspas é uma mentira.”
– A expressão x + y é positiva.
– O valor de √4 + 3 = 7.
– Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.
– O que é isto?
Há exatamente:
(A) uma proposição;
(B) duas proposições;
3
(C) três proposições;
(D) quatro proposições;
(E) todas são proposições.
Resolução:
Analisemos cada alternativa:
(A) A frase é um paradoxo, então não podemos dizer se é verdadeira ou falsa. Não é uma proposição lógica.
(B) Não sabemos os valores de x e y, então não podemos dizer se é verdadeira ou falsa. É uma sentença 
aberta e não é uma proposição lógica.
(C) Podemos verificar se é verdadeira ou falsa. É uma proposição lógica.
(D) Podemos verificar se é verdadeira ou falsa, independente do número exato. É uma proposição lógica.
(E) É uma pergunta, então não podemos dizer se é verdadeira ou falsa. Não é uma proposição lógica. 
Resposta: B.
Conectivos Lógicos
Para formar proposições compostas a partir de proposições simples, utilizamos conectivos lógicos. Esses 
conectivos estabelecem relações entre as proposições, criando novas sentenças com significados mais com-
plexos. São eles:
Operação Conectivo Estrutura 
Lógica
Exemplos
p q Resultado
Negação ~ ou ¬ Não p "Hoje é do-
mingo" - ~p: "Hoje não é domingo"
Conjunção ^ p e q "Estudei" "Passei na 
prova"
p ^ q: "Estudei e passei na pro-
va" 
Disjunção 
Inclusiva v p ou q "Vou ao cine-
ma"
"Vou ao tea-
tro"
p v q: "Vou ao cinema ou vou ao 
teatro" 
Disjunção 
Exclusiva ⊕ Ou p ou q "Ganhei na 
loteria"
"Recebi uma 
herança"
p ⊕ q: "Ou ganhei na loteria ou 
recebi uma herança" 
Condicio-
nal → Se p então q "Está cho-
vendo"
"Levarei o 
guarda-chuva"
p → q: "Se está chovendo, então 
levarei o guarda-chuva" 
Bicondicio-
nal ↔ p se e so-
mente se q
"O número é 
par"
"O número é 
divisível por 2"
p ↔ q: "O número é par se e 
somente se é divisível por 2" 
Exemplo: 
2. (VUNESP) Os conectivos ou operadores lógicos são palavras (da linguagem comum) ou símbolos (da lin-
guagem formal) utilizados para conectar proposições de acordo com regras formaisX=25
• Regra de três composta
Regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente 
proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão neces-
sários para descarregar 125m³?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, 
as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
HORAS CAMINHÕES VOLUME
8 ↑ ----- 20 ↓ ----- 160 ↑
5 ↑ ----- X ↓ ----- 125 ↑
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação 
é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é direta-
mente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o pro-
duto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
HORAS CAMINHÕES VOLUME
8 ↑ ----- 20 ↓ ----- 160 ↓
5 ↑ ----- X ↓ ----- 125 ↓
 
Obs.: Assim devemos inverter a primeira coluna ficando:
45
HORAS CAMINHÕES VOLUME
8 ----- 20 ----- 160 
5 ----- X ----- 125 
Logo, serão necessários 25 caminhões
PORCENTAGEM
O termo porcentagem se refere a uma fração cujo denominador é 100, representada pelo símbolo (%). Seu 
uso é tão comum que a encontramos em praticamente todos os aspectos do dia a dia: nos meios de comunica-
ção, em estatísticas, nas etiquetas de preços, nas máquinas de calcular, e muito mais.
A porcentagem facilita a compreensão de aumentos, reduções e taxas, o que auxilia na resolução de exer-
cícios e situações financeiras cotidianas.
Acréscimo
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor multipli-
cando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e 
assim por diante. Veja a tabela abaixo:
ACRÉSCIMO OU LUCRO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO
10% 1,10
15% 1,15
20% 1,20
47% 1,47
67% 1,67
Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 
10 × 1,10 = R$ 11,00
Desconto
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
DESCONTO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO
10% 0,90
25% 0,75
34% 0,66
60% 0,40
90% 0,10
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 
10 × 0,90 = R$ 9,00
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Desconto Composto
O desconto composto é aplicado de forma que a taxa de desconto incide sobre o valor já descontado no 
período anterior. Para calcular o novo valor após vários períodos de desconto, utilizamos a fórmula:
Vn = V0 × (1 - taxa)n
Onde:
• Vn é o valor após n períodos de desconto.
• V0 é o valor original.
• Taxa é a taxa de desconto por período em forma decimal.
• n é o número de períodos. 
DESCONTO FATOR DO 1º PERÍODO FATOR DO 2 º PERÍODO FATOR DO 3º PERÍODO
10% 0,90 0,81 0,729
25% 0,75 0,5625 0,4218
34% 0,66 0,4356 0,2872
60% 0,40 0,16 0,064
90% 0,10 0,01 0,001
Exemplo: Se aplicarmos um desconto composto de 10% ao valor de R$100,00 por dois períodos, teremos:
100 × 0,90 × 0,90 = R$ 81,00
Lucro
Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e 
o preço de custo.
Lucro = preço de venda - preço de custo
Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:
Exemplo
(DPE/RR – Analista de Sistemas – FCC/2015) Em sala de aula com 25 alunos e 20 alunas, 60% desse 
total está com gripe. Se x% das meninas dessa sala estão com gripe, o menor valor possível para x é igual a
(A) 8.
(B) 15.
(C) 10.
(D) 6.
(E) 12.
Resolução
45------100%
X-------60%
X=27
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O menor número de meninas possíveis para ter gripe é se todos os meninos estiverem gripados, assim 
apenas 2 meninas estão.
Resposta: C.
SISTEMA DE MEDIDAS
O sistema de medidas é um conjunto de unidades de quantificação padronizadas que são utilizadas para 
expressar a magnitude de grandezas físicas como comprimento, massa, volume, temperatura, entre outras. 
Essas unidades permitem que as pessoas comuniquem e compreendam quantidades de maneira clara e 
consistente em diferentes contextos e aplicações. 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) é o padrão mais amplamente adotado no mundo, que surgiu da 
necessidade de uniformizar as unidades que são utilizadas na maior parte dos países.
— Comprimento
No SI a unidade padrão de comprimento é o metro (m). Atualmente ele é definido como o comprimento da 
distância percorrida pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de um segundo.
UNIDADES DE COMPRIMENTO
km hm dam m dm cm mm
Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro
1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para peque-
nas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:
mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m
Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):
Ano-luz = 9,5 · 1012 km
Exemplos de Transformação
1m=10dm=100cm=1000mm=0,1dam=0,01hm=0,001km
1km=10hm=100dam=1000m
Ou seja, para transformar as unidades, quando “ andamos” para direita multiplica por 10 e para a esquerda 
divide por 10.
Exemplo:
(CETRO - 2012 - TJ-RS - Oficial de Transportes) João tem 1,72m de altura e Marcos tem 1,89m. Dessa 
forma, é correto afirmar que Marcos tem
Alternativas
(A) 0,17cm a mais do que João.
(B) 0,17cm a menos do que João.
(C) 1,7cm a mais do que João.
(D) 17cm a mais do que João.
(E) 17cm a menos do que João.
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Resolução: Marcos = 1,89m = 189cm
João = 1,72m = 172cm
189-172=17cm
Resposta:D
— Superfície
A medida de superfície é sua área e a unidade fundamental é o metro quadrado(m²).
Para transformar de uma unidade para outra inferior, devemos observar que cada unidade é cem vezes 
maior que a unidade imediatamente inferior. Assim, multiplicamos por cem para cada deslocamento de uma 
unidade até a desejada. 
UNIDADES DE ÁREA
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Quilômetro
Quadrado
Hectômetro
Quadrado
Decâmetro
Quadrado
Metro
Quadrado
Decímetro
Quadrado
Centímetro
Quadrado
Milímetro
Quadrado
1000000m2 10000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2
Exemplos de Transformação
1m²=100dm²=10000cm²=1000000mm²
1km²=100hm²=10000dam²=1000000m²
Ou seja, para transformar as unidades, quando “ andamos” para direita multiplica por 100 e para a esquerda 
divide por 100.
Exemplo:
(CESGRANRIO - 2005 - INSS - Técnico - Previdenciário) Um terreno de 1 km2 será dividido em 5 lotes, 
todos com a mesma área. A área de cada lote, em m2 , será de:
Alternativas
(A) 1 000
(B) 2 000
(C) 20 000
(D) 100 000
(E) 200 000
Resolução: Para calcular a área de um quadrado, basta elevar ao quadrado a medida de um lado.
1 KM = 1000m
1km² = 1000m x 1000m = 1000000m²
Como sao 5 lotes, todos de mesma area
1.000.000/5 = 200.000m
Resposta:E
— Volume
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Os sólidos geométricos são objetos tridimensionais que ocupam lugar no espaço. Por isso, eles possuem 
volume. Podemos encontrar sólidos de inúmeras formas, retangulares, circulares, quadrangulares, entre ou-
tras, mas todos irão possuir volume e capacidade.
UNIDADES DE VOLUME
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Quilômetro
Cúbico
Hectômetro
Cúbico
Decâmetro
Cúbico
Metro
Cúbico
Decímetro
Cúbico
Centímetro
Cúbico
Milímetro
Cúbico
1000000000m3 1000000m3 1000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001m3
— Capacidade
Para medirmos a quantidade de leite, sucos, água, óleo, gasolina, álcool entre outros utilizamos o litro e 
seus múltiplos e submúltiplos, unidade de medidas de produtos líquidos. 
Se um recipiente tem 1L de capacidade, então seu volume interno é de 1dm³
1L=1dm³
UNIDADES DE CAPACIDADE
kl hl dal l dl cl ml
Quilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro
1000l 100l 10l 1l 0,1l0,01l 0,001l
Exemplo: 
(FCC - 2012 - SEE-MG - Assistente Técnico Educacional - Apoio Técnico) Uma forma de gelo tem 21 
compartimentos iguais com capacidade de 8 mL cada. Para encher totalmente com água três formas iguais a 
essa é necessário
Alternativas
(A) exatamente um litro.
(B) exatamente meio litro.
(C) mais de um litro.
(D) entre meio litro e um litro.
Resolução:
21 x 3 x 8 = 504 ml = 0,504 L (entre 0,5 e 1L)
Resposta:D
— Massa
No Sistema Internacional de unidades a medida de massa é o quilograma (kg). Um cilindro de platina e irídio 
é usado como o padrão universal do quilograma.
UNIDADES DE MASSA
kg hg dag g dg cg mg
Quilograma Hectograma Decagrama Grama Decigrama Centigrama Miligrama
1000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001
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Toda vez que andar 1 casa para direita, multiplica por 10 e quando anda para esquerda divide por 10.
E uma outra unidade de massa muito importante é a tonelada
1 tonelada=1000kg
Exemplo: 
(FUNCAB - 2014 - SEE-AC - Professor EJA I (1º Segmento)) Assinale a alternativa que contém a maior 
dentre as massas representadas a seguir.
25kg / 42.000g / 1.234,3 dg / 26.000 cg / 2.000 mg
Alternativas
(A) 25 kg
(B) 42.000 g
(C) 1.234,3 dg
(D) 26.000 cg
(E) 2.000mg
Resolução: Primeiramente você deve passar todas as medidas diferentes para a mesma unidade de medi-
das, pois só assim você conseguirá fazer a comparação de quem é maior
25 kg = 25000g
42.000g= 42000g
26.000 cg = 260g
2.000 mg = 2g
1.234,3 dg = 123,43g
Resposta:B
— Tempo
A unidade fundamental do tempo é o segundo(s).
É usual a medição do tempo em várias unidades, por exemplo: dias, horas, minutos
Transformação de unidades
Deve-se saber:
1 dia=24horas
1hora=60minutos
1 minuto=60segundos
1hora=3600s
Adição de tempo
Exemplo: Estela chegou ao ginásio às 15h 35minutos. Lá, bateu seu recorde de nado livre e fez 1 minuto e 
25 segundos. Demorou 30 minutos para chegar em casa. Que horas ela chegou?
15h 35 minutos
1 minutos 25 segundos
30 minutos
--------------------------------------------------
15h 66 minutos 25 segundos
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Não podemos ter 66 minutos, então temos que transferir para as horas, sempre que passamos de um para 
o outro tem que ser na mesma unidade, temos que passar 1 hora=60 minutos
Então fica: 16h6 minutos 25segundos
Vamos utilizar o mesmo exemplo para fazer a operação inversa.
Subtração
Vamos dizer que sabemos que ela chegou em casa as 16h6 minutos 25 segundos e saiu de casa às 15h 35 
minutos. Quanto tempo ficou fora?
11h 60 minutos
16h 6 minutos 25 segundos
-15h 35 min
--------------------------------------------------
Não podemos tirar 6 de 35, então emprestamos, da mesma forma que conta de subtração.
1hora=60 minutos
15h 66 minutos 25 segundos
15h 35 minutos
--------------------------------------------------
0h 31 minutos 25 segundos
Multiplicação
Pedro pensou em estudar durante 2h 40 minutos, mas demorou o dobro disso. Quanto tempo durou o es-
tudo?
2h 40 minutos
x2
----------------------------
4h 80 minutos 
OU
5h 20 minutos
Divisão
5h 20 minutos : 2
5h 20 minutos 2
1h 20 minutos 2h 40 minutos
80 minutos
0
1h 20 minutos, transformamos para minutos :60+20=80minutos
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Exemplo:
(CONESUL - 2008 - CMR-RO - Agente Administrativo) Um intervalo de tempo de 4,15 horas corresponde, 
em horas, minutos e segundos a
Alternativas
(A) 4 h 1 min 5 s.
(B) 4 h 15 min 0 s.
(C) 4h 9 min 0 s.
(D) 4 h 10 min 5 s.
(E) 4 h 5 min 1 s. Matemática
Resolução: Transformando 4,15h em minutos = 4,15x60 = 249 minutos.
249min = 4h + 9 minutos
Resposta:C
Raciocínio sequencial; Orientação espacial e temporal
A orientação espacial e temporal constitui um dos pilares fundamentais do nosso entendimento do mundo 
ao nosso redor. Este tópico aborda a capacidade de compreender e se situar no espaço físico, bem como de 
organizar e interpretar eventos no tempo. 
CALENDÁRIOS
Calendário é um sistema para contagem e agrupamento de dias que visa atender, principalmente, às neces-
sidades civis e religiosas de uma cultura. As unidades principais de agrupamento são o mês e o ano.
Divisão do Ano
– O ano padrão possui 365 dias, dividido em semanas de 7 dias.
Isto significa que um ano possui exatamente 52 semanas + 1 dia. Isto faz com que, se um determinado ano 
começa na segunda-feira, o ano seguinte inicia no dia da semana seguinte (terça-feira, neste caso), exceto 
para anos bissextos. Desta forma, se em um ano uma data (p.ex. 05/Fevereiro) cai em um dia da semana es-
pecífico (p.ex. na terça), no ano seguinte cairá no dia da semana seguinte (na quarta, neste caso), exceto em 
anos bissextos.
– Uma semana inicia-se no Domingo (primeiro dia da semana) e encerra-se no Sábado (sétimo dia da se-
mana). Desta forma, a semana é constituída por Domingo, Segunda, Terça, Quarta, Quinta, Sexta e Sábado.
O Ano é dividido em 12 meses com as seguintes quantidades de dias:
JANEIRO FEVEREIRO MARÇO ABRIL MAIO JUNHO JULHO AGOSTO SETEMBRO OUTUBRO NOVEMBRO DEZEMBRO
31 dias 28 dias 31 dias 30 dias 31 dias 30 dias 31 dias 31 dias 30 dias 31 dias 30 dias 31 dias
Ano bissexto
Chama-se de ano bissexto ao acréscimo de 1 dia ao ano, fazendo com que o ano possua 366 dias (52 
semanas + 2 dias). O ano bissexto é criado para ajustar nosso calendário ao ano natural. Como um ano não 
possui exatamente 365 dias, mas cerca de 365 dias e 6 horas, a cada 4 anos as horas excedentes totalizam 
um dia completo. “Excluir” estas horas adicionais faria com que, ao longo dos anos, as datas não caíssem nas 
mesmas épocas e estações naturais do ano. Se a cada ano perdêssemos 6 horas, em 720 anos dia 01/01 
cairia não no verão (no hemisfério sul) mas no inverno, por exemplo.
53
As regras de criação do ano bissexto são:
- De 4 em 4 anos é ano bissexto.
- De 100 em 100 anos não é ano bissexto.
- De 400 em 400 anos é ano bissexto.
- Prevalecem as últimas regras sobre as primeiras.
Calculando um dia específico da semana
Exemplos: 
Se considerarmos hoje como segunda-feira e contarmos 73 dias, qual dia da semana cairá?
Resolução:
– Em primeiro lugar, calcular as semanas completas entre a data inicial e a data final. Logicamente, calcu-
lando as semanas completas iremos para o dia da semana mais próximo que é igual àquele do dia inicial que 
estamos calculando. Se dividirmos 73 por 7 dias por semana, temos 10,48 ou 10 semanas completas. Assim, a 
segunda-feira mais próxima da data que desejamos é igual a 7×10= 70 dias.
– Na segunda etapa, subtraímos da quantidade de dias este valor e somamos ao dia da semana que alcan-
çamos. Assim, 73 -70 = 3 dias. Então a partir da segunda-feira, somamos + 3 dias, o que equivale a quinta-feira, 
que é nosso resultado final.
(PC/PI - Escrivão de Polícia Civil - UESPI) 
Se 01/01/2013 foi uma terça-feira, qual dia da semana foi 19/09/2013?
(A) Quarta-feira.
(B) Quinta-feira.
(C) Sexta-feira.
(D) Sábado.
(E) Domingo.
Resolução:
Se 01/01/2013 foi uma terça feira, podemos determinar o dia da semana em que cairá 19/09/2013.
Basta fazermos as seguintes operações:
– determinar o número de dias entre estas datas:
Janeiro faltam mais 30 dias para acabar o mês.
Fevereiro 28
Março: 31
Abril 30
Maio 31
Junho 30
Julho 31
Agosto 31
Setembro 19
54
Logo, teremos um total de 261 dias.
– Dividiremos este número por 7 e veremos quantas semanas inteiras teríamos neste intervalo de dias: 
262/7 = 37 semanas e 2 dias.
Logo, 19/09/2013 cairá numa quinta-feira.
Resposta: B.
ORDEM TEMPORAL
A ordem temporal é um conceito importante para a compreensão de como os eventos se desenrolam e se 
inter-relacionam ao longo do tempo. Ela é essencial para que os indivíduos possam se situar sobre aconteci-
mentos passados, presentes e futuros em uma sequência lógica e coerente.
Importância da Ordem Temporal
– Contextualização: A ordem temporal ajuda a situar eventos dentro de um contexto mais amplo, permitindo 
uma compreensão mais profunda das causas e consequências.
– Planejamento: É fundamental para o planejamento de ações e projetos, pois permite prever etapase 
organizar atividades de forma sequencial.
– Memória: Auxilia na retenção e recuperação de informações, pois a memória humana tende a organizar 
as lembranças em uma sequência cronológica.
Estratégias
• Criação de Linhas do Tempo: Desenvolver linhas do tempo para visualizar a sequência de eventos histó-
ricos, literários ou científicos.
• Uso de Cronogramas: Utilizar cronogramas para planejar e acompanhar projetos, destacando inícios, 
durações e términos de cada fase.
• Exercícios de Sequenciamento: Realizar atividades que envolvam a ordenação de eventos ou etapas de 
um processo.
Exemplo:
Linha do Tempo da Revolução Industrial
– Século XVIII: Invenção da máquina a vapor (1712).
– Século XIX: Desenvolvimento do telégrafo (1837), início da produção em massa (Fordismo, início do 
século XX).
– Século XX: Avanço da automação e da informática.
RACIOCÍNIO SEQUENCIAL
As sequências podem ser compostas por números, letras, pessoas, figuras e assim por diante. Há várias 
maneiras de estabelecer uma sequência, mas o importante é que haja pelo menos três elementos que 
caracterizem a lógica de sua formação. No entanto, algumas séries exigem mais elementos para definir sua 
lógica. Ter um bom conhecimento em Progressões Aritméticas (PA) e Progressões Geométricas (PG) torna a 
dedução das sequências simples e sem complicações. É crucial estar atento a vários detalhes oferecidos por 
elas, como nos exemplos abaixo:
55
Progressão Aritmética: soma-se constantemente um mesmo número.
Progressão Geométrica: multiplica-se constantemente um mesmo número.
Sequência de Figuras: esse tipo de sequência pode seguir o mesmo padrão observado na sequência de 
pessoas ou simplesmente sofrer rotações, como nos exemplos a seguir:
1. Analise a sequência a seguir:
Admitindo-se que a regra de formação das figuras seguintes permaneça a mesma, pode-se afirmar que a 
figura que ocuparia a 277ª posição dessa sequência é:
Resolução:
A sequência das figuras completa-se na 5ª figura. Assim, continua-se a sequência de 5 em 5 elementos. A 
figura de número 277 ocupa, então, a mesma posição das figuras que representam número 5n + 2, com n N. 
Ou seja, a 277ª figura corresponde à 2ª figura, que é representada pela letra “B”.
Resposta: B
2. (Câmara de Aracruz/ES - Agente Administrativo e Legislativo - IDECAN) A sequência formada pelas 
figuras representa as posições, a cada 12 segundos, de uma das rodas de um carro que mantém velocidade 
constante. Analise-a.
56
Após 25 minutos e 48 segundos, tempo no qual o carro permanece nessa mesma condição, a posição da 
roda será:
Resolução:
A roda se mexe a cada 12 segundos. Percebe-se que ela volta ao seu estado inicial após 48 segundos.
O examinador quer saber, após 25 minutos e 48 segundos qual será a posição da roda. Vamos transformar 
tudo para segundos:
25 minutos = 1500 segundos (60x25)
1500 + 48 (25m e 48s) = 1548 
Agora é só dividir por 48 segundos (que é o tempo que levou para roda voltar à posição inicial)
1548 / 48 = vai ter o resto “12”. 
Portanto, após 25 minutos e 48 segundos, a roda vai estar na posição dos 12 segundos.
Resposta: B
3. (Pref. Petrópolis/RJ) A figura que completa o sentido da frase, é:
57
Resolução: 
O círculo está para a figura do círculo mais esticada (elipse), assim como o quadrado está para o quadrado 
mais esticado (retângulo).
Resposta: A
Questões
1. VUNESP - 2020
Considere falsidade a seguinte afirmação:
Se Carlos é advogado, então Amanda é juíza.
Com base nas informações apresentadas, é verdade que
(A) Carlos é advogado.
(B) se Amanda não é juíza, então Carlos não é advogado.
(C) Amanda é juíza.
(D) Amanda é juíza se, e somente se, Carlos é advogado.
(E) Carlos não é advogado.
2. VUNESP - 2020
A negação de uma afirmação é uma ferramenta importante em várias áreas.
Vamos supor que seja necessário fazer a negação lógica da seguinte afirmação:
Todos os envolvidos são culpados e devem ser punidos.
Uma das possibilidades está contida na alternativa:
(A) Existe envolvido inocente e que não deve ser punido.
(B) Nenhum dos envolvidos é culpado ou deve ser punido.
(C) Existe envolvido que não é culpado ou que não deve ser punido.
(D) Todos os envolvidos não são culpados e não devem ser punidos.
(E) Nenhum dos envolvidos não é culpado ou não deve ser punido.
3. VUNESP - 2020
Em determinado município, alguns engenheiros são professores e todo professor é concursado. Sendo 
assim, nesse município, é verdade que
(A) todo concursado é engenheiro.
(B) todo engenheiro é concursado.
(C) todo concursado é professor.
(D) não existe professor que é engenheiro.
(E) existe concursado que é engenheiro.
58
4. VUNESP - 2020
João, Carlos e Paulo moram em estados distintos, sendo eles São Paulo, Santa Catarina e Rio de Janeiro, 
não necessariamente nessa ordem. Eles se comunicaram ou com sua tia, ou com sua irmã, ou com sua mãe, 
utilizando apenas um meio: telefone, carta ou e-mail, também não necessariamente nessa ordem. Sabe-se 
que: Carlos mora em Santa Catarina e se comunicou por telefone; A mãe e o pai de Paulo são filhos únicos; 
João não conhece a sua mãe e nunca foi adotado; Quem mora em São Paulo se comunicou com sua mãe. 
Sendo assim, quem se comunicou com a tia, por carta, foi
(A) Carlos, e ele mora em Santa Catarina.
(B) João, e ele mora em São Paulo.
(C) João, e ele mora no Rio de Janeiro.
(D) Paulo, e ele mora em São Paulo.
(E) Paulo, e ele mora no Rio de Janeiro.
5. VUNESP - 2020
Os carregadores trouxeram o armário e o instalador não chegou. A negação lógica dessa afirmação é:
(A) se os carregadores não trouxeram o armário, então o instalador chegou.
(B) os carregadores não trouxeram o armário e o instalador chegou.
(C) se o instalador não chegou, então os carregadores não trouxeram o armário.
(D) os carregadores não trouxeram o armário ou o instalador chegou.
(E) os carregadores trouxeram o armário ou o instalador não chegou.
6. VUNESP - 2023
Se a fiscalização é feita corretamente e as auditorias são consistentes, então os munícipes estão satisfeitos. 
Sabendo-se que os munícipes não estão satisfeitos, conclui-se corretamente que
(A) a fiscalização foi feita corretamente ou as auditorias foram consistentes.
(B) a fiscalização foi feita corretamente, mas as auditorias não foram consistentes.
(C) a fiscalização não foi feita corretamente, mas as auditorias foram consistentes.
(D) a fiscalização não foi feita corretamente e as auditorias não foram consistentes.
(E) a fiscalização não foi feita corretamente ou as auditorias não foram consistentes.
7. VUNESP - 2023
Uma negação lógica para a afirmação “Sou feliz se, e somente se, você é feliz” está contida na alternativa:
(A) Não sou feliz se, e somente se, você não é feliz.
(B) Se eu não sou feliz, então você não é feliz.
(C) Se você não é feliz, então eu não sou feliz.
(D) Sou feliz e você não é feliz.
(E) Ou eu sou feliz, ou você é feliz.
59
8. VUNESP - 2023
Considere falsa a afirmação I e verdadeira a afirmação II:
I. Camila é auditora de controle externo em Ciências Atuariais e Jorge é auditor de controle externo em 
Ciências Jurídicas. 
II. Se Camila é auditora de controle externo em Ciências Atuariais, então Jorge é auditor de controle externo 
em Ciências Jurídicas.
Nessas condições, é necessariamente
(A) verdade que Jorge é auditor de controle externo em Ciências Jurídicas.
(B) falsidade que Jorge é auditor de controle externo em Ciências Jurídicas.
(C) verdade que Camila é auditora de controle externo em Ciências Atuariais.
(D) falsidade que Camila é auditora de controle externo em Ciências Atuariais.
(E) verdade que Camila e Jorge não são auditores de controle externo.
9. VUNESP - 2023
Um grupo de seis pessoas passou por uma bateria de testes para verificação se eram ou não eram qualifi-
cadas para exercer determinada função em uma empresa. Algumas informações sobre os resultados dos testes 
são dadas a seguir e expressas da seguinte forma: ‘é’, que significará ser qualificada ou qualificado ouna forma 
‘não é’ que significará não ser qualificada ou não ser qualificado.
Considere que as seguintes afirmações são verdadeiras:
I. Se André é, então Bruna é. 
II. Cleusa é ou Davi é. 
III. Ou Elton é ou Fabiana não é. 
IV. Bruna não é. 
V. Cleusa não é. 
VI. Fabiana é.
A partir dessas informações é logicamente verdadeiro afirmar que:
(A) Se Elton é, então Cleusa é.
(B) Bruna não é e Davi não é.
(C) Se Fabiana é, então André é.
(D) Davi não é ou André é.
(E) André não é ou Elton não é.
10. VUNESP - 2024
A respeito de as pessoas serem naturais de uma determinada cidade, seguem algumas afirmações, com 
a respectiva valoração lógica: 
I. Antônio é ou Bernadete é. VERDADE. 
II. Camila é e Francisco é. FALSIDADE. 
III. Geraldo é e Heloísa é. FALSIDADE. 
IV. Antônio é ou Dora é. FALSIDADE. 
V. Geraldo é e Elói é. VERDADE. 
60
VI. Francisco é ou Heloísa é. VERDADE.
A partir dessas afirmações, é logicamente correto concluir que, dentre essas pessoas, o total daquelas que 
são naturais dessa cidade é: 
(A) 3
(B) 7
(C) 4
(D) 6
(E) 5
11. VUNESP - 2020
Uma professora tem um pacote contendo provas que devem ser corrigidas. Do número total de provas 
desse pacote, 3/10 são de alunos de uma classe do 7° ano, 5/7 das restantes são de alunos de duas classes 
do 8° ano, e as demais 24 provas são de alunos de uma classe do 9° ano. Admita que a professora corrija, em 
média, 8 provas a cada 25 minutos. Nessas condições, o tempo necessário para corrigir todas as provas desse 
pacote será de
(A) 5 horas e 30 minutos.
(B) 5 horas e 45 minutos.
(C) 6 horas e 15 minutos.
(D) 6 horas e 25 minutos.
(E) 6 horas e 30 minutos.
12. VUNESP - 2020
Uma escola tem aulas nos períodos matutino e vespertino. Nessa escola, estudam 400 alunos, sendo o 
número de alunos do período vespertino igual a 2/3 do número de alunos do período matutino. A razão entre o 
número de alunos do período vespertino e o número total de alunos dessa escola é
(A) 1/4
(B) 1/3
(C) 2/5
(D) 3/5
(E) 2/3
13. VUNESP - 2020
O dentista receitou para Luísa fazer bochechos com um medicamento 3 vezes ao dia, utilizando 20 mL cada 
vez. Ela verificou que esse medicamento é vendido em frascos de 400 mL. Para fazer esses bochechos por 20 
dias, a quantidade de frascos desse medicamento que Luísa precisará comprar é
(A) 2.
(B) 3.
(C) 4.
(D) 5.
(E) 6.
61
14. VUNESP - 2020
Gisele comprou um frasco de amaciante concentrado de 500 mL. Ela colocou todo esse amaciante concen-
trado em um frasco de 2 L e completou com água. Neste caso, a razão de amaciante concentrado em relação 
à água que Gisele colocou é de
(A) 1 / 2
(B) 1 / 3
(C) 1 / 4
(D) 1 / 5
(E) 1 / 6
15. VUNESP - 2020
Em um concurso para determinado cargo, a quarta parte do número total de candidatos que fizeram a pri-
meira fase foi aprovada e fez a segunda fase. Destes, metade foi aprovada, o que correspondeu a 80 candida-
tos. O número de candidatos reprovados na primeira fase desse concurso foi
(A) 480.
(B) 490
(C) 500.
(D) 510.
(E) 520.
16. VUNESP - 2020
Sobre os 1430 candidatos que prestaram a última fase de um concurso, sabe-se que a razão entre o nú-
mero de aprovados e o número de não aprovados é 4/7 . O número de candidatos aprovados nessa fase do 
concurso é
(A) 520.
(B) 530.
(C) 540.
(D) 550.
(E) 560.
17. VUNESP - 2020
Três ripas de madeira têm largura uniforme e comprimentos iguais a 2,4 m, 3,2 m e 6,4 m, respectivamente. 
Para a obtenção de molduras para cartazes, as três ripas deverão ser totalmente divididas em pedaços de com-
primentos iguais, sendo esse comprimento o maior possível. Se cada cartaz utilizar 4 pedaços, então o número 
máximo de cartazes que podem ser formados com os pedaços obtidos será igual a
(A) 3.
(B) 4.
(C) 5.
(D) 6.
(E) 8.
62
18. VUNESP - 2020
Um lote de um mesmo livro será impresso em uma gráfica que possui várias máquinas impressoras iguais, 
de mesmo rendimento. Pelos cálculos efetuados, 6 dessas máquinas, trabalhando simultaneamente durante 
todo o expediente diário, poderão imprimir todo o lote em 12 dias. Entretanto, para imprimir todo o lote em 8 
dias, nas mesmas condições operacionais, será necessário utilizar, das mesmas máquinas, mais
(A) 2 unidades.
(B) 3 unidades.
(C) 4 unidades.
(D) 5 unidades.
(E) 6 unidades.
19. VUNESP - 2020
Seu José cria 36 galinhas em seu sítio. Se todas as galinhas botarem 1 ovo por dia, em uma semana, o total 
de ovos que as galinhas terão botado é
(A) 15 dúzias.
(B) 18 dúzias.
(C) 21 dúzias.
(D) 24 dúzias.
(E) 30 dúzias.
20. VUNESP - 2020
Do número total de candidatos inscritos em um processo seletivo, apenas 30 não compareceram para a re-
alização da prova. Se o número de candidatos que fizeram a prova representa 88% do total de inscritos, então 
o número de candidatos que realizaram essa prova é
(A) 320.
(B) 300.
(C) 250.
(D) 220.
(E) 200.
63
Gabarito
1 A
2 C
3 E
4 C
5 D
6 E
7 E
8 D
9 E
10 C
11 C
12 C
13 B
14 B
15 A
16 A
17 A
18 B
19 C
20 Dpreestabelecidas. Assinale 
a alternativa que apresenta exemplos de conjunção, negação e implicação, respectivamente.
(A) ¬ p, p v q, p ^ q
(B) p ^ q, ¬ p, p → q
(C) p → q, p v q, ¬ p
(D) p v p, p → q, ¬ q
(E) p v q, ¬ q, p v q
4
Resolução:
Precisamos identificar cada conectivo solicitado na ordem correta. A conjunção é o conectivo ^, como em p 
^ q. A negação é representada pelo símbolo ¬, como em ¬p. A implicação é representada pelo símbolo →, como 
em p → q. 
Resposta: B.
Tabela Verdade
A tabela verdade é uma ferramenta para analisar o valor lógico de proposições compostas. O número de 
linhas em uma tabela depende da quantidade de proposições simples (n):
Número de Linhas = 2n
Vamos agora ver as tabelas verdade para cada conectivo lógico: 
p q ~p p ^ q p v q p ⊕ q p → q p ↔ q
V V F V V F V V
V F F F V V F F
F V V F V V V F
F F V F F F V V
Exemplo:
3. (CESPE/UNB) Se “A”, “B”, “C” e “D” forem proposições simples e distintas, então o número de linhas da 
tabela-verdade da proposição (A → B) ↔ (C → D) será igual a:
(A) 2;
(B) 4;
(C) 8;
(D) 16;
(E) 32.
Resolução:
Temos 4 proposições simples (A, B, C e D), então aplicamos na fórmula 2n, onde n é o número de proposi-
ções. Assim, 24 = 16 linhas.
Resposta D.
Tautologia, Contradição e Contingência
As proposições compostas podem ser classificadas de acordo com o seu valor lógico final, considerando 
todas as possíveis combinações de valores lógicos das proposições simples que as compõem. Essa classifica-
ção é fundamental para entender a validade de argumentos lógicos:
− Tautologia
Uma tautologia é uma proposição composta cujo valor lógico final é sempre verdadeiro, independentemente 
dos valores das proposições simples que a compõem. Em outras palavras, não importa se as proposições sim-
ples são verdadeiras ou falsas; a proposição composta será sempre verdadeira. Tautologias ajudam a validar 
raciocínios. Se uma proposição complexa é tautológica, então o argumento que a utiliza é logicamente consis-
tente e sempre válido.
5
Exemplo: A proposição “p ou não-p” (ou p v ~p) é uma tautologia porque, seja qual for o valor de p (verdadeiro 
ou falso), a proposição composta sempre terá um resultado verdadeiro. Isso reflete o Princípio do Terceiro Ex-
cluído, onde algo deve ser verdadeiro ou falso, sem meio-termo.
− Contradição
Uma contradição é uma proposição composta que tem seu valor lógico final sempre falso, independente-
mente dos valores lógicos das proposições que a compõem. Assim, qualquer que seja o valor das proposições 
simples, o resultado será falso. Identificar contradições em um argumento é essencial para determinar incon-
sistências lógicas. Quando uma proposição leva a uma contradição, isso significa que o argumento em questão 
não pode ser verdadeiro.
Exemplo: A proposição “p e não-p” (ou p ^ ~p) é uma contradição, pois uma proposição não pode ser verdadei-
ra e falsa ao mesmo tempo. Esse exemplo reflete o Princípio da Não Contradição, que diz que uma proposição 
não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa.
− Contingência
Uma contingência é uma proposição composta cujo valor lógico final pode ser tanto verdadeiro quanto falso, 
dependendo dos valores das proposições simples que a compõem. Diferentemente das tautologias e contra-
dições, que são invariavelmente verdadeiras ou falsas, as contingências refletem casos em que o valor lógico 
não é absoluto e depende das circunstâncias. Identificar contradições em um argumento é essencial para deter-
minar inconsistências lógicas. Quando uma proposição leva a uma contradição, isso significa que o argumento 
em questão não pode ser verdadeiro.
Exemplo: A proposição “se p então q” (ou p → q) é uma contingência, pois pode ser verdadeira ou falsa de-
pendendo dos valores de p e q. Caso p seja verdadeiro e q seja falso, a proposição composta será falsa. Em 
qualquer outra combinação, a proposição será verdadeira.
Exemplo: 
4. (CESPE) Um estudante de direito, com o objetivo de sistematizar o seu estudo, criou sua própria legenda, 
na qual identificava, por letras, algumas afirmações relevantes quanto à disciplina estudada e as vinculava por 
meio de sentenças (proposições). No seu vocabulário particular constava, por exemplo:
P: Cometeu o crime A.
Q: Cometeu o crime B.
R: Será punido, obrigatoriamente, com a pena de reclusão no regime fechado.
S: Poderá optar pelo pagamento de fiança.
Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar qual era o crime B, lembrou que ele era ina-
fiançável.Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o item que se segue.
A sentença (P→Q)↔((~Q)→(~P)) será sempre verdadeira, independentemente das valorações de P e Q 
como verdadeiras ou falsas.
( ) CERTO
( ) ERRADO
Resolução:
Considerando P e Q como V.
(V→V) ↔ ((F)→(F))
(V) ↔ (V) = V
Considerando P e Q como F
(F→F) ↔ ((V)→(V))
(V) ↔ (V) = V
6
Então concluímos que a afirmação é verdadeira.
Resposta: Certo.
Equivalências
Quando duas proposições lógicas possuem a mesma tabela verdade, diremos que elas tratam de 
equivalências lógicas.
Para resolver questões envolvendo estas equivalência, basta construirmos as tabelas verdades para ambas 
as proposições. Se elas forem iguais, são equivalentes. Caso contrário, não são.
Simples? Em parte sim, mas devemos nos atentar, para que de maneira clara possamos observar as 
relações que podemos estabelecer entre nossas proposições. Vamos ver um apanhado destas a seguir.
Tabela-verdade geral
p q p ∧ q p ∨ q p q p ó q p q
V V V V V V F
V F F V F F V
F V F V V F V
F F F F V V F
Exemplo:
Observe as proposições a seguir, elas são equivalentes?
1) p ∨ (p ∧ q) = p
2) p ∧ (p ∨ q) = p
Vamos resolver por partes cada uma. Na primeira sentença, temos que (p∧q) possui tabela verdade VFFF. 
Vamos chamar (p∧q) = r para facilitar nossa visão. Assim, agora temos que ver p ∨ r. 
Montando a tabela temos:
P r = p ∧ q
V V
V F
F F
F F
Agora basta resolvê-la:
p r = p ∧ q p ∨ r
V V V
V F V
F F F
F F F
Tente fazer a mesma coisa para na segunda sentença. Verá que dará a mesma sequência final na tabela.
Dessa forma, se trata de uma equivalência lógica.
7
Essas equivalências lógicas são úteis não apenas para exercícios específicos, mas também na manipulação 
com a tabela verdade em diversos outros temas. Construir tabelas verdade demandam tempo e atenção. 
Iremos mostrar algumas equivalências lógicas a seguir, mas sugerimos fortemente que construa as tabelas 
verdades e confira se elas tratam de equivalência.
p q = ¬q ¬p
p q = ¬(p ∨ q)
p ∧ q = ¬p ∨ ¬q
p ∨ q = ¬p ∧ ¬q
p q = p ∧ ¬q
p ó q = p q
Implicação lógica
A proposição P(p,q,r,...) implica logicamente a proposição Q(p,q,r,...) quando Q é verdadeira todas as vezes 
que P é verdadeira. Representamos a implicação com o símbolo “⇒”, simbolicamente temos:
P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...).
ATENÇÃO: Os símbolos “→” e “⇒” são completamente distintos. O primeiro (“→”) representa a con-
dicional, que é um conectivo. O segundo (“⇒”) representa a relação de implicação lógica que pode ou 
não existir entre duas proposições. 
Exemplo:
Observe: 
- Toda proposição implica uma Tautologia: 
- Somente uma contradição implica uma contradição: 
8
Propriedades 
• Reflexiva: 
– P(p,q,r,...) ⇒ P(p,q,r,...)
– Uma proposição complexa implica ela mesma.
• Transitiva: 
– Se P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...) e
 Q(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...), então
 P(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...)
– Se P ⇒ Q e Q ⇒ R, então P ⇒ R
Regras de Inferência
• Inferência é o ato ou processo de derivar conclusões lógicas de proposições conhecidas ou decididamen-
te verdadeiras. Em outras palavras: é a obtenção de novas proposições a partir de proposições verdadeiras já 
existentes.
Regras de Inferência obtidas da implicação lógica
• Silogismo Disjuntivo
• Modus Ponens
• Modus Tollens
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Tautologias e Implicação Lógica
• Teorema
P(p,q,r,..) ⇒ Q(p,q,r,...) se e somente se P(p,q,r,...) → Q(p,q,r,...)
Observe que:
→ indica uma operação lógica entre as proposições. Ex.: das proposições p eq, dá-se a nova proposição 
p → q.
⇒ indica uma relação. Ex.: estabelece que a condicional P → Q é tautológica.
Inferências
• Regra do Silogismo Hipotético
Princípio da inconsistência
– Como “p ^ ~p → q” é tautológica, subsiste a implicação lógica p ^ ~p ⇒ q
– Assim, de uma contradição p ^ ~p se deduz qualquer proposição q.
A proposição “(p ↔ q) ^ p” implica a proposição “q”, pois a condicional “(p ↔ q) ^ p → q” é tautológica.
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO
Um argumento refere-se à declaração de que um conjunto de proposições iniciais leva a outra proposição 
final, que é uma consequência das primeiras. Em outras palavras, um argumento é a relação que conecta um 
conjunto de proposições, denotadas como P1, P2,... Pn, conhecidas como premissas do argumento, a uma 
proposição Q, que é chamada de conclusão do argumento.
10
Exemplo:
P1: Todos os cientistas são loucos.
P2: Martiniano é louco.
Q: Martiniano é um cientista.
O exemplo fornecido pode ser denominado de Silogismo, que é um argumento formado por duas premissas 
e uma conclusão.
Quando se trata de argumentos lógicos, nosso interesse reside em determinar se eles são válidos ou 
inválidos. Portanto, vamos entender o que significa um argumento válido e um argumento inválido.
Argumentos Válidos
Um argumento é considerado válido, ou legítimo, quando a conclusão decorre necessariamente das 
propostas apresentadas. 
Exemplo de silogismo: 
P1: Todos os homens são pássaros. 
P2: Nenhum pássaro é animal. 
C: Logo, nenhum homem é animal.
Este exemplo demonstra um argumento logicamente estruturado e, por isso, válido. Entretanto, isso não 
implica na verdade das premissas ou da conclusão.
Importante enfatizar que a classificação de avaliação de um argumento é a sua estrutura lógica, e não o 
teor de suas propostas ou conclusões. Se a estrutura for formulada corretamente, o argumento é considerado 
válido, independentemente da veracidade das propostas ou das conclusões.
Como determinar se um argumento é válido?
A validade de um argumento pode ser verificada por meio de diagramas de Venn, uma ferramenta 
extremamente útil para essa finalidade, frequentemente usada para analisar a lógica de argumentos. Vamos 
ilustrar esse método com o exemplo mencionado acima. Ao afirmar na afirmação P1 que “todos os homens são 
pássaros”, podemos representar esta afirmação da seguinte forma:
Note-se que todos os elementos do conjunto menor (homens) estão contidos no conjunto maior (pássaros), 
diminuindo que todos os elementos do primeiro grupo pertencem também ao segundo. Esta é a forma padrão 
de representar graficamente a afirmação “Todo A é B”: dois círculos, com o menor dentro do maior, onde o 
círculo menor representa o grupo classificado após a expressão “Todo”.
11
Quanto à afirmação “Nenhum pássaro é animal”, a palavra-chave aqui é “Nenhum”, que transmite a ideia de 
completa separação entre os dois conjuntos incluídos.
A representação gráfica da afirmação “Nenhum A é B” sempre consistirá em dois conjuntos distintos, sem 
sobreposição alguma entre eles.
Ao combinar as representações gráficas das duas indicações mencionadas acima e analisá-las, obteremos:
Ao analisar a conclusão de nosso argumento, que afirma “Nenhum homem é animal”, e compará-la com 
as representações gráficas das metas, questionamos: essa conclusão decorre logicamente das metas? 
Definitivamente, sim!
Percebemos que o conjunto dos homens está completamente separado do conjunto dos animais, diminuindo 
uma dissociação total entre os dois. Portanto, concluímos que este argumento é válido.
Argumentos Inválidos
Um argumento é considerado inválido, também chamado de ilegítimo, mal formulado, falacioso ou sofisma, 
quando as propostas apresentadas não são capazes de garantir a verdade da conclusão.
Por exemplo: 
P1: Todas as crianças gostam de chocolate. 
P2: Patrícia não é criança. 
C: Logo, Patrícia não gosta de chocolate.
Este exemplo ilustra um argumento inválido ou falacioso, pois as premissas não estabelecem de maneira 
conclusiva a veracidade da conclusão. É possível que Patrícia aprecie chocolate, mesmo não sendo criança, 
uma vez que a proposta inicial não limite o gosto por chocolate exclusivamente para crianças.
12
Para demonstrar a invalidez do argumento supracitado, utilizaremos diagramas de conjuntos, tal como foi 
feito para provar a validade de um argumento válido. Iniciaremos com as primeiras metas: “Todas as crianças 
gostam de chocolate”.
Examinemos a segunda premissa: “Patrícia não é criança”. Para obrigar, precisamos referenciar o diagrama 
criado a partir da primeira localização e determinar a localização possível de Patrícia, levando em consideração 
o que a segunda localização estabelece.
Fica claro que Patrícia não pode estar dentro do círculo que representa as crianças. Essa é a única restrição 
imposta pela segunda colocação. Assim, podemos deduzir que existem duas posições possíveis para Patrícia 
no diagrama:
1º) Fora do círculo que representa o conjunto maior;
2º) Dentro do conjunto maior, mas fora do círculo das crianças. Vamos analisar:
Finalmente, passemos à análise da conclusão: “Patrícia não gosta de chocolate”. Ora, o que nos resta para 
sabermos se este argumento é válido ou não, é justamente confirmar se esse resultado (se esta conclusão) é 
necessariamente verdadeiro!
– É necessariamente verdadeiro que Patrícia não gosta de chocolate? Olhando para o desenho acima, 
respondemos que não! Pode ser que ela não goste de chocolate (caso esteja fora do círculo), mas também 
pode ser que goste (caso esteja dentro do círculo)! Enfim, o argumento é inválido, pois as premissas não 
garantiram a veracidade da conclusão!
Métodos para validação de um argumento
Vamos explorar alguns métodos que nos ajudarão a determinar a validade de um argumento:
1º) Diagramas de conjuntos: ideal para argumentos que contenham as palavras “todo”, “algum” e “nenhum” 
ou suas convenções como “cada”, “existe um”, etc. referências nas indicações.
2º) Tabela-verdade: recomendada quando o uso de diagramas de conjuntos não se aplica, especialmente 
em argumentos que envolvem conectores lógicos como “ou”, “e”, “→” (implica) e “↔” (se e somente se) . O 
processo inclui a criação de uma tabela que destaca uma coluna para cada premissa e outra para a conclusão. 
O principal desafio deste método é o aumento da complexidade com o acréscimo de proposições simples.
13
3º) Operações lógicas com conectivos, assumindo posições verdadeiras: aqui, partimos do princípio 
de que as premissas são verdadeiras e, através de operações lógicas com conectivos, buscamos determinar 
a veracidade da conclusão. Esse método oferece um caminho rápido para demonstrar a validade de um 
argumento, mas é considerado uma alternativa secundária à primeira opção.
4º) Operações lógicas considerando propostas verdadeiras e conclusões falsas: este método é útil 
quando o anterior não fornece uma maneira direta de avaliar o valor lógico da conclusão, solicitando, em vez 
disso, uma análise mais profunda e, possivelmente, mais complexa.
Em síntese, temos:
Deve ser usado quando: Não deve ser usado 
quando:
1o método
Utilização dos Dia-
gramas (circunferên-
cias).
O argumento apresentar as pala-
vras todo, nenhum, ou algum
O argumento não apre-
sentar tais palavras.
2o método Construção das tabe-
las-verdade.
Em qualquer caso, mas preferen-
cialmente quando o argumento 
tiver no máximo duas proposições 
simples.
O argumento não apre-
sentar três ou mais prop-
osições simples.
3o método
Considerando as 
premissas verdadei-
ras e testando a con-
clusão verdadeira.
O 1o método não puder ser empre-
gado, e houver uma premissa que 
seja uma proposição simples; ou
que esteja na forma de uma con-
junção (e).
Nenhuma premissa for 
uma proposição simples 
ou uma conjunção.
4o método
Verificar a existência 
de conclusão falsa e 
premissas verdadei-
ras.
0 1o método ser empregado, e a 
conclusão tiver a forma de uma 
proposição simples; ou estiver na 
forma de uma condicional (se...então...).
A conclusão não for uma 
proposição simples, nem 
uma desjunção, nem 
uma condicional.
Exemplo: diga se o argumento abaixo é válido ou inválido:
(p ∧ q) → r
_____~r_______
~p ∨ ~q
Resolução:
1ª Pergunta: o argumento inclui as expressões “todo”, “algum”, ou “nenhum”? Se uma resposta negativa, 
isso exclui a aplicação do primeiro método, levando-nos a considerar outras opções.
2ª Pergunta: o argumento é composto por, no máximo, duas proposições simples? Caso a resposta seja 
negativa, o segundo método também é descartado da análise.
3ª Pergunta: alguma das propostas consiste em uma proposição simples ou em uma conjunção? Se 
afirmativo, como no caso da segunda proposição ser (~r), podemos proceder com o terceiro método. Se 
desejarmos explorar mais opções, temos obrigações com outra pergunta.
4ª Pergunta: a conclusão é formulada como uma proposição simples, uma disjunção, ou uma condicional? 
Se a resposta for positiva, e a conclusão para uma disjunção, por exemplo, temos a opção de aplicar o método 
quarto, se assim escolhermos.
Vamos seguir os dois caminhos: resolveremos a questão pelo 3º e pelo 4º método.
Analise usando o Terceiro Método a partir do princípio de que as premissas são verdadeiras e avalie a 
veracidade da conclusão, dessa forma, será obtido:
2ª Premissa: Se ~r é verdade, isso implica que r é falso.
14
1ª Premissa: se (p ∧ q) → r é verdade, e já estabelecemos que r é falso, isso nos leva a concluir que (p ∧ 
q) também deve ser falso. Uma conjunção é falsa quando pelo menos uma das proposições é falsa ou ambas 
são. Portanto, não conseguimos determinar os valores específicos de p e q com esta abordagem. Apesar da 
aparência inicial de adequação, o terceiro método não nos permite concluir definitivamente sobre a validade do 
argumento.
Analise usando o Quarto Método considerando a conclusão como falsa e as premissas como verdadeiras, 
chegaremos a:
Conclusão: Se ~pv ~q é falso, então tanto p quanto q são verdadeiros. Procedemos ao teste das propostas 
sob a suposição de sua verdade:
1ª Premissa: Se (p∧q) → r é considerado verdadeiro, e p e q são verdadeiros, a situação condicional 
também é verdadeira, o que nos leva a concluir que r deve ser verdadeiro.
2ª Premissa) Com r sendo verdadeiro, encontramos um conflito, pois isso tornaria ~r falso. Contudo, nesta 
análise, o objetivo é verificar a coexistência de posições verdadeiras com uma conclusão falsa. A ausência 
dessa coexistência indica que o argumento é válido. Portanto, concluímos que o argumento é válido sob o 
método quarto.
DIAGRAMAS LÓGICOS
Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários problemas. É uma ferramenta para resolvermos 
problemas que envolvam argumentos dedutivos, as quais as premissas deste argumento podem ser formadas 
por proposições categóricas. 
ATENÇÃO: É bom ter um conhecimento sobre conjuntos para conseguir resolver questões que en-
volvam os diagramas lógicos.
Vejamos a tabela abaixo as proposições categóricas:
TIPO PREPOSIÇÃO DIAGRAMAS
A TODO 
A é B
Se um elemento pertence ao conjunto A, então pertence também 
a B.
E NENHUM
A é B
Existe pelo menos um elemento que pertence a A, então não per-
tence a B, e vice-versa.
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I ALGUM 
A é B
Existe pelo menos um elemento comum aos conjuntos A e B.
Podemos ainda representar das seguintes formas:
O ALGUM 
A NÃO é B
Perceba-se que, nesta sentença, a atenção está sobre o(s) ele-
mento (s) de A que não são B (enquanto que, no “Algum A é B”, 
a atenção estava sobre os que eram B, ou seja, na intercessão).
Temos também no segundo caso, a diferença entre conjuntos, que 
forma o conjunto A - B
Exemplo: 
(GDF–ANALISTA DE ATIVIDADES CULTURAIS ADMINISTRAÇÃO – IADES) Considere as proposições: 
“todo cinema é uma casa de cultura”, “existem teatros que não são cinemas” e “algum teatro é casa de cultura”. 
Logo, é correto afirmar que 
(A) existem cinemas que não são teatros. 
(B) existe teatro que não é casa de cultura. 
(C) alguma casa de cultura que não é cinema é teatro. 
(D) existe casa de cultura que não é cinema. 
(E) todo teatro que não é casa de cultura não é cinema.
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Resolução:
Vamos chamar de:
Cinema = C
Casa de Cultura = CC
Teatro = T
Analisando as proposições temos:
- Todo cinema é uma casa de cultura 
- Existem teatros que não são cinemas
- Algum teatro é casa de cultura
Visto que na primeira chegamos à conclusão que C = CC
Segundo as afirmativas temos:
(A) existem cinemas que não são teatros- Observando o último diagrama vimos que não é uma verdade, 
pois temos que existe pelo menos um dos cinemas é considerado teatro.
(B) existe teatro que não é casa de cultura. – Errado, pelo mesmo princípio acima. 
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(C) alguma casa de cultura que não é cinema é teatro. – Errado, a primeira proposição já nos afirma o con-
trário. O diagrama nos afirma isso
(D) existe casa de cultura que não é cinema. – Errado, a justificativa é observada no diagrama da alternativa 
anterior.
(E) todo teatro que não é casa de cultura não é cinema. – Correta, que podemos observar no diagrama 
abaixo, uma vez que todo cinema é casa de cultura. Se o teatro não é casa de cultura também não é cinema.
Resposta: E
PRINCÍPIO DA REGRESSÃO OU REVERSÃO
Princípio da regressão é uma abordagem que visa encontrar um valor inicial requerido pelo problema com 
base em um valor final fornecido. Em outras palavras, é um método utilizado para resolver problemas de 
primeiro grau, ou seja, problemas que podem ser expressos por equações lineares, trabalhando de forma 
inversa, ou “de trás para frente”.
Esteja atento:
Você precisa saber transformar algumas operações:
– Soma – a regressão é feita pela subtração.
– Subtração – a regressão é feita pela soma.
– Multiplicação – a regressão é feita pela divisão.
– Divisão – a regressão é feita pela multiplicação
Exemplo:
1. SENAI
O sr. Altair deu muita sorte em um programa de capitalização bancário. Inicialmente, ele apresentava um 
saldo devedor X no banco, mas resolveu depositar 500 reais, o que cobriu sua dívida e ainda lhe sobrou uma 
certa quantia A. Essa quantia A, ele resolveu aplicar no programa e ganhou quatro vezes mais do que tinha, 
ficando então com uma quantia B. Uma segunda vez, o sr. Altair resolveu aplicar no programa, agora a quantia 
B que possuía, e novamente saiu contente, ganhou três vezes o valor investido. Ao final, ele passou de devedor 
para credor de um valor de R$ 3 600,00 no banco. Qual era o saldo inicial X do sr. Altair?
(A) -R$ 350,00.
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(B) -R$ 300,00.
(C) -R$ 200,00.
(D) -R$ 150,00.
(E) -R$ 100,00.
Resolução:
Devemos partir da última aplicação. Sabemos que a última aplicação é 3B, logo:
3B = 3600 → B = 3600/3 → B = 1200
A 1º aplicação resultou em B e era 4A: B = 4A → 1200 = 4A → A = 1200/4 → A = 300
A é o saldo que sobrou do pagamento da dívida X com os 500 reais: A = 500 – X → 300 = 500 – X →
-X = 300 – 500 → -X = -200. (-1) → X = 200.
Como o valor de X representa uma dívida representamos com o sinal negativo: a dívida era de R$ -200,00.
Resposta: C.
Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio verbal
Raciocínio verbal avalia a capacidade de interpretar informações escritas e deduzir conclusões lógicas. É 
um aspecto fundamental da cognição e inteligência geral, envolvendo a compreensão, organização e aplicação 
do conhecimento por meio da linguagem.
Em testes de raciocínio verbal, os participantes são apresentados a um texto contendo informações e são 
solicitados a avaliar um conjunto de afirmações, escolhendo uma das possíveis respostas:
A - Verdadeiro: a afirmação é uma conclusão lógica das informações ou opiniões contidas no texto.
B - Falso: a afirmação é logicamente contraditória com as informações ou opiniões apresentadas no texto.
C - Impossível dizer: não é possível determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa com base apenas nas 
informações fornecidas no texto; informações adicionais seriam necessárias para fazer uma conclusão.
Aqui, exploraremos exercícios que relacionam elementos,pessoas e objetos fictícios, baseados em 
informações apresentadas. Vejamos o passo a passo:
01. Três homens, Luís, Carlos e Paulo, são casados com Lúcia, Patrícia e Maria, mas não sabemos quem 
ê casado com quem. Eles trabalham com Engenharia, Advocacia e Medicina, mas também não sabemos quem 
faz o quê. Com base nas dicas abaixo, tente descobrir o nome de cada marido, a profissão de cada um e o 
nome de suas esposas.
a) O médico é casado com Maria.
b) Paulo é advogado.
c) Patrícia não é casada com Paulo.
d) Carlos não é médico.
Vamos montar o passo a passo para que você possa compreender como chegar a conclusão da questão.
19
1º passo – Vamos criar uma tabela para simplificar o entendimento da solução, organizando as informações 
do enunciado em três categorias: homens, esposas e profissões.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos
Luís
Paulo
Lúcia
Patrícia
Maria
Também criamos abaixo do nome dos homens, o nome das esposas.
2º passo – Elaborar a tabela-resposta.
Esta tabela não apenas funcionará como um gabarito, mas também será essencial para revelar detalhes que 
podem não estar imediatamente visíveis na tabela principal. Uma tabela complementa a outra, possibilitando a 
identificação de relações e características específicas entre os grupos e elementos envolvidos.
Homens Profissões Esposas
Carlos
Luís
Paulo
3º passo - Preencheremos nossa tabela inicialmente com os dados mais claros e diretos do problema, 
aqueles que são inequívocos. No exemplo fornecido:
– O médico é casado com Maria: insira um “S” na interseção entre “Médico” e “Maria” na tabela principal, e 
um “N” nas outras células relacionadas a esse “S”.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos
Luís
Paulo
Lúcia N
Patrícia N
Maria S N N
Importante: se o médico está casado com Maria, isso exclui a possibilidade de ele estar casado com Lúcia 
ou Patrícia, portanto, devemos marcar “N” nas intersecções de Médico com esses nomes. Além disso, se Maria 
é esposa do médico, ela não pode ser casada com o engenheiro ou o advogado, então “N” deve ser colocado 
nas intersecções do nome de Maria com essas profissões.
– Paulo é advogado: isso será anotado em ambas as tabelas (a tabela-resposta e a tabela principal).
– Patrícia não é casada com Paulo: um “N” será marcado na tabela principal para refletir essa informação.
20
– Carlos não é médico: um “N” será inserido na tabela principal onde Carlos cruza com a profissão “Médico”.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos N N
Luís S N N
Paulo N N S N
Lúcia N
Patrícia N
Maria S N N
Observamos que Luís deve ser o médico, já que essa é a opção que resta sem marcação. Assim, podemos 
preencher adequadamente a tabela-resposta.
Identificamos também que a interseção de Carlos com a Engenharia está vazia. Portanto, assinalamos um 
“S” nessa célula e atualizamos a tabela-resposta correspondente.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos N S N
Luís S N N
Paulo N N S N
Lúcia N
Patrícia N
Maria S N N
Homens Profissões Esposas
Carlos Engenheiro
Luís Médico
Paulo Advogado
4º passo – Com base nas anotações realizadas tanto na tabela principal quanto na tabela-resposta, 
buscaremos por pistas que nos levem a novos entendimentos, os quais serão registrados nas tabelas.
Notamos que Maria é a esposa de Luís, que identificamos ser o médico, uma informação que poderia ser 
adicionada na tabela-resposta. No entanto, optaremos por não o fazer imediatamente, já que essa dedução 
surgiu de um problema relativamente simples. Continuaremos nosso processo de análise antes de fazer essas 
marcações. Adicionalmente, entendemos que Patrícia não é casada com Paulo.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos N S N
Luís S N N
Paulo N N S N
Lúcia N
Patrícia N N
Maria S N N
21
Verificamos, na tabela acima, que Patrícia tem de ser casada com o engenheiro, e Lúcia tem de ser casada 
com o advogado.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos N S N
Luís S N N
Paulo N N S N
Lúcia N N S
Patrícia N S N
Maria S N N
Concluímos, então, que Lúcia é casada com o advogado (que é Paulo), Patrícia é casada com o engenheiro 
(que e Carlos) e Maria é casada com o médico (que é Luís).
Preenchendo a tabela-gabarito, vemos que o problema está resolvido:
Homens Profissões Esposas
Carlos Engenheiro Patrícia
Luís Médico Maria
Paulo Advogado Lúcia
Exemplo: (TRT-9ª REGIÃO/PR – Técnico Judiciário – Área Administrativa – FCC) Luiz, Arnaldo, Mariana 
e Paulo viajaram em janeiro, todos para diferentes cidades, que foram Fortaleza, Goiânia, Curitiba e Salvador. 
Com relação às cidades para onde eles viajaram, sabe-se que:
− Luiz e Arnaldo não viajaram para Salvador;
− Mariana viajou para Curitiba;
− Paulo não viajou para Goiânia;
− Luiz não viajou para Fortaleza.
É correto concluir que, em janeiro,
(A) Paulo viajou para Fortaleza.
(B) Luiz viajou para Goiânia.
(C) Arnaldo viajou para Goiânia.
(D) Mariana viajou para Salvador.
(E) Luiz viajou para Curitiba.
Resolução:
Vamos preencher a tabela:
− Luiz e Arnaldo não viajaram para Salvador
Fortaleza Goiânia Curitiba Salvador
Luiz N
Arnaldo N
Mariana
Paulo
− Mariana viajou para Curitiba
22
Fortaleza Goiânia Curitiba Salvador
Luiz N N
Arnaldo N N
Mariana N N S N
Paulo N
− Paulo não viajou para Goiânia
Fortaleza Goiânia Curitiba Salvador
Luiz N N
Arnaldo N N
Mariana N N S N
Paulo N N
− Luiz não viajou para Fortaleza.
Fortaleza Goiânia Curitiba Salvador
Luiz N N N
Arnaldo N N
Mariana N N S N
Paulo N N
Agora, completando o restante:
Paulo viajou para Salvador, pois a nenhum dos três viajou. Então, Arnaldo viajou para Fortaleza e Luiz para 
Goiânia
Fortaleza Goiânia Curitiba Salvador
Luiz N S N N
Arnaldo S N N N
Mariana N N S N
Paulo N N N S
Resposta: B.
Quantificadores
Quantificador é um conceito empregado para quantificar uma expressão. Na lógica, os quantificadores são 
utilizados para transformar uma sentença aberta ou proposição aberta em uma proposição lógica. Eles indicam 
a extensão ou o escopo de uma afirmação em relação a um conjunto específico de elementos. Os dois principais 
quantificadores utilizados são o quantificador universal (∀), que indica que uma proposição é verdadeira para 
todos os elementos de um conjunto, e o quantificador existencial (∃), que indica que pelo menos um elemento 
de um conjunto satisfaz a proposição.
23
Tipos de quantificadores:
Quantificador universal (∀)
O símbolo ∀ pode ser lido das seguintes formas: 
Exemplo: Todo homem é mortal.
A conclusão dessa afirmação é: se você é homem, então será mortal.
Na representação do diagrama lógico, seria:
Atenção: todo homem é mortal, mas nem todo mortal é homem.
Importante:
A frase “todo homem é mortal” implica nas seguintes conclusões:
1ª) Algum ser mortal é homem ou algum ser humano é mortal.
2ª) Se José é um homem, então José é mortal.
A expressão “Todo A é B” pode ser representada na forma “Se A então B”.
A forma simbólica da expressão “Todo A é B” é (∀x)(A(x) → B).
Observe que a palavra “todo” denota uma relação de inclusão de conjuntos, portanto está relacionada ao 
operador da condicional.
Aplicando temos:
Ao escrevermos da forma ∀ (x) ∈ N / x + 2 = 5 (lê-se: “para todo x pertencente a N, temos x + 2 = 5”), 
atribuindo qualquer valor a x, a sentença não será necessariamente verdadeira. Isso ocorre porque, após 
adicionar o quantificador, a frase passa a ter um sujeito e predicado definidos, e podemos avaliá-la logicamente. 
Portanto, trata-se de uma proposição lógica, e nem todas as atribuições de valores a x resultarão em uma 
sentença verdadeira.
Quantificador existencial (∃)
O símbolo ∃ pode ser lido das seguintes formas:
24
Exemplo:
“Algum matemático é filósofo.” O diagrama lógico dessa frase é:
O quantificador existencial tem a função de expressar a existência de pelo menos um elemento com 
determinada característica. A palavra “algum”, do ponto de vista lógico, representa a presença de termos 
comuns. Portanto, a frase “Algum Aé B” possui a seguinte forma simbólica: (∃ (x)) (A (x) ∧ B).
Aplicando esse conceito, considere a sentença aberta x + 2 = 5. Escrevendo-a na forma (∃ x) ∈ N / x + 2 = 
5 (lê-se: “existe pelo menos um x pertencente a N tal que x + 2 = 5”), questionamos se existe algum valor que, 
ao ser substituído por x, torne a sentença verdadeira.
A resposta é SIM. Após a adição do quantificador, a frase adquire sujeito e predicado definidos, permitindo 
que seja julgada como uma proposição lógica. Dessa forma, existe pelo menos um valor para x que torna a 
sentença verdadeira.
Esteja atento às seguintes observações:
– A palavra “todo” não permite a inversão dos termos: “Todo A é B” é diferente de “Todo B é A”.
– A palavra “algum” permite a inversão dos termos: “Algum A é B” é equivalente a “Algum B é A”.
Forma simbólica dos quantificadores
Todo A é B = (∀ (x) (A (x) → B).
Algum A é B = (∃ (x)) (A (x) ∧ B).
Nenhum A é B = (~ ∃ (x)) (A (x) ∧ B).
Algum A não é B= (∃ (x)) (A (x) ∧ ~ B).
Exemplo:
1) Todo cavalo é um animal. Logo,
(A) Toda cabeça de animal é cabeça de cavalo.
(B) Toda cabeça de cavalo é cabeça de animal.
(C) Todo animal é cavalo.
(D) Nenhum animal é cavalo.
Resolução:
A frase “Todo cavalo é um animal” possui as seguintes conclusões:
– Algum animal é cavalo ou Algum cavalo é um animal.
– Se é cavalo, então é um animal.
Nesse caso, nossa resposta é toda cabeça de cavalo é cabeça de animal, pois mantém a relação de “está 
contido” (segunda forma de conclusão).
Resposta: B.
25
raciocínio matemático (que envolva, dentre outros, conjuntos numéricos – operações, 
propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e 
decimal, razão e proporção, regra de três simples e composta, unidades de medida, 
porcentagem)
Raciocínio matemático é a base para resolver problemas e entender padrões em números e operações. 
É uma habilidade essencial que nos ajuda a lidar com questões do dia a dia e a tomar decisões lógicas. Com 
ele, podemos analisar situações, fazer previsões e encontrar soluções eficazes para diversos tipos de desa-
fios.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
O agrupamento de termos ou elementos que associam características semelhantes é denominado conjunto. 
Quando aplicamos essa ideia à matemática, se os elementos com características semelhantes são números, 
referimo-nos a esses agrupamentos como conjuntos numéricos.
Em geral, os conjuntos numéricos podem ser representados graficamente ou de maneira extensiva, sendo 
esta última a forma mais comum ao lidar com operações matemáticas. Na representação extensiva, os números 
são listados entre chaves {}. Caso o conjunto seja infinito, ou seja, contenha uma quantidade incontável de 
números, utilizamos reticências após listar alguns exemplos. Exemplo: N = {0, 1, 2, 3, 4, …}.
Existem cinco conjuntos considerados essenciais, pois são os mais utilizados em problemas e questões 
durante o estudo da Matemática. Esses conjuntos são os Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais.
— Conjunto dos Números Naturais (N)
O conjunto dos números naturais é simbolizado pela letra N e compreende os números utilizados para 
contar e ordenar. Esse conjunto inclui o zero e todos os números positivos, formando uma sequência infinita.
Em termos matemáticos, os números naturais podem ser definidos como N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
O conjunto dos números naturais pode ser dividido em subconjuntos:
N* = {1, 2, 3, 4…} ou N* = N – {0}: conjunto dos números naturais não nulos, ou sem o zero.
Np = {0, 2, 4, 6…}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares.
Ni = {1, 3, 5, 7..}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares.
P = {2, 3, 5, 7..}: conjunto dos números naturais primos.
Operações com Números Naturais 
Praticamente, toda a Matemática é edificada sobre essas duas operações fundamentais: adição e 
multiplicação.
Adição de Números Naturais
A primeira operação essencial da Aritmética tem como objetivo reunir em um único número todas as unidades 
de dois ou mais números.
Exemplo: 6 + 4 = 10, onde 6 e 4 são as parcelas e 10 é a soma ou o total.
26
Subtração de Números Naturais
É utilizada quando precisamos retirar uma quantidade de outra; é a operação inversa da adição. A subtração 
é válida apenas nos números naturais quando subtraímos o maior número do menor, ou seja, quando quando 
a-b tal que a ≥ b.
Exemplo: 200 – 193 = 7, onde 200 é o Minuendo, o 193 Subtraendo e 7 a diferença.
Obs.: o minuendo também é conhecido como aditivo e o subtraendo como subtrativo.
Multiplicação de Números Naturais
É a operação que visa adicionar o primeiro número, denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes 
quantas são as unidades do segundo número, chamado multiplicador.
Exemplo: 3 x 5 = 15, onde 3 e 5 são os fatores e o 15 produto.
- 3 vezes 5 é somar o número 3 cinco vezes: 3 x 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15. Podemos no lugar do “x” (vezes) 
utilizar o ponto “. “, para indicar a multiplicação).
Divisão de Números Naturais
Dados dois números naturais, às vezes precisamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. 
O primeiro número, que é o maior, é chamado de dividendo, e o outro número, que é menor, é o divisor. O 
resultado da divisão é chamado de quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente e somarmos o resto, 
obtemos o dividendo.
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número 
natural por outro número natural de forma exata. Quando a divisão não é exata, temos um resto diferente de 
zero.
Princípios fundamentais em uma divisão de números naturais
– Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo. 45 : 9 = 5
– Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente. 45 = 5 x 9
– A divisão de um número natural n por zero não é possível, pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, 
então poderíamos escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto! Assim, a divisão 
de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Naturais
Para todo a, b e c em N
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b + a 
3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a
4) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c)
5) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a
6) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a
27
7) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac
8) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab – ac
9) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, 
continua como resultado um número natural.
Exemplos:
1) Em uma gráfica, a máquina utilizada para imprimir certo tipo de calendário está com defeito, e, após 
imprimir 5 calendários perfeitos (P), o próximo sai com defeito (D), conforme mostra o esquema.
Considerando que, ao se imprimir um lote com 5 000 calendários, os cinco primeiros saíram perfeitos e o 
sexto saiu com defeito e que essa mesma sequência se manteve durante toda a impressão do lote, é correto 
dizer que o número de calendários perfeitos desse lote foi
(A) 3 642.
(B) 3 828.
(C) 4 093.
(D) 4 167.
(E) 4 256.
Solução: Resposta: D.
Vamos dividir 5000 pela sequência repetida (6):
5000 / 6 = 833 + resto 2.
Isto significa que saíram 833. 5 = 4165 calendários perfeitos, mais 2 calendários perfeitos que restaram na 
conta de divisão.
Assim, são 4167 calendários perfeitos.
2) João e Maria disputaram a prefeitura de uma determinada cidade que possui apenas duas zonas eleitorais. 
Ao final da sua apuração o Tribunal Regional Eleitoral divulgou a seguinte tabela com os resultados da eleição. 
A quantidade de eleitores desta cidade é:
1ª Zona Eleitoral 2ª Zona Eleitoral
João 1750 2245
Maria 850 2320
Nulos 150 217
Brancos 18 25
Abstenções 183 175
(A) 3995
(B) 7165
(C) 7532
(D) 7575
(E) 7933
Solução: Resposta: E.
Vamossomar a 1ª Zona: 1750 + 850 + 150 + 18 + 183 = 2951
2ª Zona: 2245 + 2320 + 217 + 25 + 175 = 4982
Somando os dois: 2951 + 4982 = 7933
28
— Conjunto dos Números Inteiros (Z)
O conjunto dos números inteiros é denotado pela letra maiúscula Z e compreende os números inteiros 
negativos, positivos e o zero. 
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…}
O conjunto dos números inteiros também possui alguns subconjuntos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos.
Z- = {…-4, -3, -2, -1, 0}: conjunto dos números inteiros não positivos.
Z*
+ = {1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos e não nulos, ou seja, sem o zero.
Z*
- = {… -4, -3, -2, -1}: conjunto dos números inteiros não positivos e não nulos.
Módulo
O módulo de um número inteiro é a distância ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica 
inteira. Ele é representado pelo símbolo | |.
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0
O módulo de +6 é 6 e indica-se |+6| = 6
O módulo de –3 é 3 e indica-se |–3| = 3
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo.
Números Opostos
Dois números inteiros são considerados opostos quando sua soma resulta em zero; dessa forma, os pontos 
que os representam na reta numérica estão equidistantes da origem.
Exemplo: o oposto do número 4 é -4, e o oposto de -4 é 4, pois 4 + (-4) = (-4) + 4 = 0. Em termos gerais, o 
oposto, ou simétrico, de “a” é “-a”, e vice-versa; notavelmente, o oposto de zero é o próprio zero.
Operações com Números Inteiros
Adição de Números Inteiros
Para facilitar a compreensão dessa operação, associamos a ideia de ganhar aos números inteiros positivos 
e a ideia de perder aos números inteiros negativos.
Ganhar 3 + ganhar 5 = ganhar 8 (3 + 5 = 8)
29
Perder 4 + perder 3 = perder 7 (-4 + (-3) = -7)
Ganhar 5 + perder 3 = ganhar 2 (5 + (-3) = 2)
Perder 5 + ganhar 3 = perder 2 (-5 + 3 = -2)
Observação: O sinal (+) antes do número positivo pode ser omitido, mas o sinal (–) antes do número 
negativo nunca pode ser dispensado.
Subtração de Números Inteiros
A subtração é utilizada nos seguintes casos:
– Ao retirarmos uma quantidade de outra quantidade;
– Quando temos duas quantidades e queremos saber a diferença entre elas;
– Quando temos duas quantidades e desejamos saber quanto falta para que uma delas atinja a outra.
A subtração é a operação inversa da adição. Concluímos que subtrair dois números inteiros é equivalente a 
adicionar o primeiro com o oposto do segundo.
Observação: todos os parênteses, colchetes, chaves, números, etc., precedidos de sinal negativo têm seu 
sinal invertido, ou seja, representam o seu oposto.
Multiplicação de Números Inteiros
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de adição quando os números são repetidos. 
Podemos entender essa situação como ganhar repetidamente uma determinada quantidade. Por exemplo, 
ganhar 1 objeto 15 vezes consecutivas significa ganhar 15 objetos, e essa repetição pode ser indicada pelo 
símbolo “x”, ou seja: 1+ 1 +1 + ... + 1 = 15 x 1 = 15.
Se substituirmos o número 1 pelo número 2, obtemos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 15 x 2 = 30
Na multiplicação, o produto dos números “a” e “b” pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum 
sinal entre as letras.
Divisão de Números Inteiros
Considere o cálculo: - 15/3 = q à 3q = - 15 à q = -5
No exemplo dado, podemos concluir que, para realizar a divisão exata de um número inteiro por outro 
número inteiro (diferente de zero), dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor.
No conjunto dos números inteiros Z, a divisão não é comutativa, não é associativa, e não possui a propriedade 
da existência do elemento neutro. Além disso, não é possível realizar a divisão por zero. Quando dividimos zero 
por qualquer número inteiro (diferente de zero), o resultado é sempre zero, pois o produto de qualquer número 
inteiro por zero é igual a zero.
Regra de sinais
30
Potenciação de Números Inteiros
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado 
a base e o número n é o expoente.
an = a x a x a x a x ... x a , ou seja, a é multiplicado por a n vezes.
– Qualquer potência com uma base positiva resulta em um número inteiro positivo.
– Se a base da potência é negativa e o expoente é par, então o resultado é um número inteiro positivo.
– Se a base da potência é negativa e o expoente é ímpar, então o resultado é um número inteiro negativo.
31
Radiciação de Números Inteiros
A radiciação de números inteiros envolve a obtenção da raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro 
a. Esse processo resulta em outro número inteiro não negativo, representado por b, que, quando elevado à 
potência n, reproduz o número original a. O índice da raiz é representado por n, e o número a é conhecido como 
radicando, posicionado sob o sinal do radical.
A raiz quadrada, de ordem 2, é um exemplo comum. Ela produz um número inteiro não negativo cujo 
quadrado é igual ao número original a.
Importante observação: não é possível calcular a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto 
dos números inteiros.
É importante notar que não há um número inteiro não negativo cujo produto consigo mesmo resulte em um 
número negativo.
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que gera outro número inteiro. Esse número, 
quando elevado ao cubo, é igual ao número original a. É crucial observar que, ao contrário da raiz quadrada, 
não restringimos nossos cálculos apenas a números não negativos.
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Inteiros
Para todo a, b e c em Z
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b +a 
32
3) Elemento neutro da adição : a + 0 = a
4) Elemento oposto da adição: a + (-a) = 0
5) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c)
6) Comutativa da multiplicação : a.b = b.a
7) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a
8) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac
9) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac
10) Elemento inverso da multiplicação: para todo inteiro a ≠ 0, existe um inverso a–1 = 1/a em Z, tal que, a 
. a–1 = a . (1/a) = 1
11) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, 
continua como resultado um número natural.
Exemplos: 
1) Para zelar pelos jovens internados e orientá-los a respeito do uso adequado dos materiais em geral e 
dos recursos utilizados em atividades educativas, bem como da preservação predial, realizou-se uma dinâmica 
elencando “atitudes positivas” e “atitudes negativas”, no entendimento dos elementos do grupo. Solicitou-se que 
cada um classificasse suas atitudes como positiva ou negativa, atribuindo (+4) pontos a cada atitude positiva e 
(-1) a cada atitude negativa. Se um jovem classificou como positiva apenas 20 das 50 atitudes anotadas, o total 
de pontos atribuídos foi
(A) 50.
(B) 45.
(C) 42.
(D) 36.
(E) 32.
Solução: Resposta: A.
50-20=30 atitudes negativas
20.4=80
30.(-1)=-30
80-30=50
2) Ruth tem somente R$ 2.200,00 e deseja gastar a maior quantidade possível, sem ficar devendo na loja. 
Verificou o preço de alguns produtos: 
TV: R$ 562,00 
DVD: R$ 399,00 
Micro-ondas: R$ 429,00 
Geladeira: R$ 1.213,00 
Na aquisição dos produtos, conforme as condições mencionadas, e pagando a compra em dinheiro, o troco 
recebido será de: 
(A) R$ 84,00 
(B) R$ 74,00 
(C) R$ 36,00 
(D) R$ 26,00 
33
(E) R$ 16,00 
Solução: Resposta: D.
Geladeira + Micro-ondas + DVD = 1213 + 429 + 399 = 2041
Geladeira + Micro-ondas + TV = 1213 + 429 + 562 = 2204, extrapola o orçamento
Geladeira + TV + DVD = 1213 + 562 + 399 = 2174, é a maior quantidade gasta possível dentro do orçamento.
Troco:2200 – 2174 = 26 reais
— Conjunto dos Números Racionais (Q)
Os números racionais são aqueles que podem ser expressos na forma de fração. Nessa representação, tanto 
o numerador quanto o denominadorpertencem ao conjunto dos números inteiros, e é fundamental observar 
que o denominador não pode ser zero, pois a divisão por zero não está definida.
O conjunto dos números racionais é simbolizado por Q. Vale ressaltar que os conjuntos dos números naturais 
e inteiros são subconjuntos dos números racionais, uma vez que todos os números naturais e inteiros podem 
ser representados por frações. Além desses, os números decimais e as dízimas periódicas também fazem parte 
do conjunto dos números racionais. 
Representação na reta:
Também temos subconjuntos dos números racionais:
Q* = subconjunto dos números racionais não nulos, formado pelos números racionais sem o zero.
Q+ = subconjunto dos números racionais não negativos, formado pelos números racionais positivos.
Q*
+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos e não nulos.
Q- = subconjunto dos números racionais não positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero.
Q*
- = subconjunto dos números racionais negativos, formado pelos números racionais negativos e não nulos.
34
Representação Decimal das Frações
Tomemos um número racional a/b, tal que a não seja múltiplo de b. Para escrevê-lo na forma decimal, basta 
efetuar a divisão do numerador pelo denominador. 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos:
1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos:
2/5 = 0,4
1/4 = 0,25
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se 
periodicamente Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:
1/3 = 0,333... 
167/66 = 2,53030...
Existem frações muito simples que são representadas por formas decimais infinitas, com uma característica 
especial: existe um período.
Para converter uma dízima periódica simples em fração, é suficiente utilizar o dígito 9 no denominador para 
cada quantidade de dígitos que compõe o período da dízima.
Exemplos: 
1) Seja a dízima 0, 333....
Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 3), então vamos colocar um 9 no denominador 
e repetir no numerador o período.
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração
9
3 .
2) Seja a dízima 1, 2343434...
O número 234 é formado pela combinação do ante período com o período. Trata-se de uma dízima periódica 
composta, onde há uma parte não repetitiva (ante período) e outra que se repete (período). No exemplo dado, 
o ante período é representado pelo número 2, enquanto o período é representado por 34.
Para converter esse número em fração, podemos realizar a seguinte operação: subtrair o ante período do 
número original (234 - 2) para obter o numerador, que é 232. O denominador é formado por tantos dígitos 9 
quanto o período (dois noves, neste caso) e um dígito 0 para cada dígito no ante período (um zero, neste caso).
35
Assim, a fração equivalente ao número 234 é 232/990
Simplificando por 2, obtemos x = 
495
611 , a fração geratriz da dízima 1, 23434... 
Módulo ou valor absoluto
Refere-se à distância do ponto que representa esse número até o ponto de abscissa zero.
Inverso de um Número Racional 
— Operações com números Racionais
Soma (Adição) de Números Racionais
Como cada número racional pode ser expresso como uma fração, ou seja, na forma de a/b, onde “a” e “b” 
são números inteiros e “b” não é zero, podemos definir a adição entre números racionais da seguinte forma: 
b
a
e 
d
c , da mesma forma que a soma de frações, através de:
36
Subtração de Números Racionais
A subtração de dois números racionais, representados por a e b, é equivalente à operação de adição do 
número p com o oposto de q. Em outras palavras, a – b = a + (-b)
b
a - 
d
c = 
bd
bcad −
Multiplicação (produto) de Números Racionais
O produto de dois números racionais é definido considerando que todo número racional pode ser expresso 
na forma de uma fração. Dessa forma, o produto de dois números racionais, representados por a e b é obtido 
multiplicando-se seus numeradores e denominadores, respectivamente. A expressão geral para o produto de 
dois números racionais é a.b. O produto dos números racionais a/b e c/d também pode ser indicado por a/b × 
c/d, a/b.c/d. Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais 
que vale em toda a Matemática:
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de 
dois números com sinais diferentes é negativo.
Divisão (Quociente) de Números Racionais
A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso 
de q, isto é: p ÷ q = p × q-1
Potenciação de Números Racionais
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o 
número n é o expoente. Vale as mesmas propriedades que usamos no conjunto dos Números Inteiros.
qn = q × q × q × q × ... × q, ou seja, q aparece n vezes.
Radiciação de Números Racionais
Se um número é representado como o produto de dois ou mais fatores iguais, cada um desses fatores é 
denominado raiz do número. Vale as mesmas propriedades que usamos no conjunto dos Números Inteiros.
Propriedades da Adição e Multiplicação de Números Racionais
1) Fechamento: o conjunto Q é fechado para a operação de adição e multiplicação, isto é, a soma e a 
multiplicação de dois números racionais ainda é um número racional.
2) Associativa da adição: para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
3) Comutativa da adição: para todos a, b em Q: a + b = b + a
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4) Elemento neutro da adição: existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto 
é: q + 0 = q
5) Elemento oposto: para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + (–q) = 0
6) Associativa da multiplicação: para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
7) Comutativa da multiplicação: para todos a, b em Q: a × b = b × a
8) Elemento neutro da multiplicação: existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio 
q, isto é: q × 1 = q
9) Elemento inverso da multiplicação: Para todo q = 
b
a em Q, q diferente de zero, existe :
q-1 = 
a
b em Q: q × q-1 = 1 
b
a x 
a
b = 1
10) Distributiva da multiplicação: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )
Exemplos:
1) Na escola onde estudo, 1/4 dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina favorita, 9/20 têm a 
matemática como favorita e os demais têm ciências como favorita. Sendo assim, qual fração representa os 
alunos que têm ciências como disciplina favorita? 
(A) 1/4
(B) 3/10
(C) 2/9
(D) 4/5
(E) 3/2
Solução: Resposta: B.
Somando português e matemática:
O que resta gosta de ciências:
2) Simplificando a expressão abaixo
Obtém-se :
(A) ½
(B) 1
(C) 3/2
(D) 2
(E) 3
Solução: Resposta: B.
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1,3333...= 12/9 = 4/3
1,5 = 15/10 = 3/2
— Conjunto dos Números Reais (R)
O conjunto dos números reais, representado por R, é a fusão do conjunto dos números racionais com o 
conjunto dos números irracionais. Vale ressaltar que o conjunto dos números racionais é a combinação dos 
conjuntos dos números naturais e inteiros. Podemos afirmar que entre quaisquer dois números reais há uma 
infinidade de outros números. 
R = Q ∪ I, sendo Q ∩ I = Ø ( Se um número real é racional, não irracional, e vice-versa).
Lembrando que N ⊂ Z ⊂ Q, podemos construir o diagrama abaixo:
Entre os conjuntos números reais, temos:
R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.
R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.
R*
+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.
R- = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.
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R*
- = {x ∈ R│xpositivos são maiores que zero, enquanto os negativos são menores. Expressamos a relação de ordem 
da seguinte maneira: Dados dois números reais, a e b, 
a ≤ b ↔ b – a ≥ 0
Operações com números Reais
Operando com as aproximações, obtemos uma sequência de intervalos fixos que determinam um número 
real. Assim, vamos abordar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. 
Intervalos reais
O conjunto dos números reais possui subconjuntos chamados intervalos, determinados por meio de 
desigualdades. Dados os números a e b, com a ;