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Disciplina: Teoria das Estruturas II
Aula 5: Método do Deslocamento (Método da
Deformação)
Apresentação
Na quarta aula, vimos como calcular uma estrutura hiperestática pelo Método da Deformação (método do deslocamento).
Nesta aula, continuaremos a compreender como calcular uma estrutura hiperestática pelo Método das Deformações,
usando apoio adicional.
Objetivos
Resolver estruturas hiperestáticas usando o método das deformações (apoio adicional);
Calcular uma estrutura hiperestática usando o método da deformação;
Traçar os diagramas solicitantes dessa estrutura hiperestática.
Método das Deformações (método do deslocamento ou método
da rigidez)
 Cálculos para engenharia (Fonte: Dragon Images / Shutterstock)
Explicaremos detalhadamente, pelos exercícios a seguir, como calcular uma estrutura hiperestática por esse método, com apoio
adicional.
Exercícios Resolvidos
Nestes exercícios (exemplos) a nomenclatura de Momento de Inércia será a letra J.
 Acesso a dados no notebook (Fonte: TADAphotographer / Shutterstock)
Exemplo 1
Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio do pórtico abaixo, conforme mostra a Figura 1.
Dados:
E J = 1
 Figura 1 – Pórtico hiperestática.
1º Passo: Sistema Principal (S.P.):
No sistema principal, temos que calcular o número total de deslocabilidades (di + de) para a estrutura hiperestática. Colocar os
nomes nas barras, nos apoios e numerar as placas e os apoios adicionais.
 Figura 2 – Sistema Principal (colocando as placas e o apoio adicional), nomes nas barras e nos apoios.
Nó A ➔ não precisa de placa (extremidade da estrutura o momento é zero), pois em apoio de 1º e 2º gênero não há
deslocabilidade interna. Há deslocamento horizontal nessa barra (AC).
Nó B ➔ precisa de placa para saber a rotação em B, e precisa de apoio adicional, pois há deslocamento horizontal nessa barra
(AC).
Nó C ➔ não precisa de placa (extremidade da estrutura o momento é zero), pois apoio de 1º e 2º gênero não há deslocabilidade
interna. Há deslocamento horizontal nessa barra (AC), basta colocar um apoio adicional na barra AC.
Nó D ➔ não precisa de placa, já é um engaste e não há deslocamento linear.
Colocar placa e apoio adicional:
d = 1 (apoio adicional)
d = 1 (placa)
d = d + d = 2
Logo o sistema será:
e
i
e i
β10  +  β11 Δ1  +  β12 Δ2  =  0
β20  +  β21 Δ1  +  β22 Δ2  =  0
Calcular o momento fletor em B, usando a tabela de Momento de engastamento perfeito (tabela 1).
Segunda coluna:
Carga distribuída de 40kN/m
=   + =   =  245kNmMB
(q )l2
8
40 x 72
8
Barra 3: engaste e engaste
Essa barra não tem carga, logo M = 0B
=  0kNmMB
Somando os momentos fletores:
Placa 1 ➔ 
Apoio adicional 2 ➔ 
  =   − 33, 75  +  240  +  0  =  211, 25kNmβ10
  =  0kNmβ20
, por que não tem carga horizontal e nem momento fletor para fazer deslocamento na viga (em C), para esta fase.
Logo, .
3º Passo: Estado 1 (rotação da placa ):
Rotacionando a placa 1, trabalho com as barras 1, 2 e 3.
  =  0b20
  =  0b20
1  =>  Δ1
Barra 1: apoio e engaste
Trabalhando com a rigidez relativa no nó:
=    = =  7, 5kNmKB
45
l
45
6
Barra 2: engaste e apoio
Trabalhando com a rigidez relativa no nó:
=    = =  6, 43kNmKB
45
l
45
7
Barra 2: engaste e engaste
Trabalhando com a rigidez relativa no nó:
=    = =  20kNmKB
60
l
60
3
=    = =  10kNmKD
30
l
30
3
Somando os momentos fletores:
Placa 1 ➔ 
Apoio adicional ➔ 
  =  7, 5  +  4, 43  +  20  =  33, 93kNmβ11
b   =  (20 + 10) / 3  =  10kN 21
4º Passo: Estado 2 (deslocamento do apoio adicional => Δ2):
Dando um deslocamento em Δ2 ao apoio 2, teremos o aparecimento de deslocamento ortogonal para a barra 3, permanecendo
horizontal as barras 1 e 2.
Teremos os seguintes momentos de engastamento perfeito devido a esse deslocamento:
=   =      =   =  100 kNmMD MB
900
l2
900
32
Somando os momentos fletores:
Placa 1 ➔ 
Apoio adicional ➔ 
β   =  0  +  100  +  0  =  100kNm 12
β   =  (100 + 100) / 3  =  66, 67kN 22
5º Passo: Sistema
β10  + β11 Δ1  +  β12 Δ2  =  0
β20  +  β21 Δ1  +  β22 Δ2  =  0
211, 25  +  33, 93 Δ1  +  100 Δ2  =  0
0  +  10 Δ1  +  66, 67 Δ2  =  0
Δ1  =   − 11, 1591
Δ2  =  1, 6738
6º Passo: Superposição
M   =  M0  +  M1 Δ1  +  M2 Δ2
=   − 33, 75 + 7, 5 x(−11, 1591) + 0 x (1, 6738) =   − 117, 25kNmMB
1
=  245 + 6, 43 x(−11, 1591) + 0 x (1, 6738) =  173, 25kNmMB
2
=  0 + 20 x(−11, 1591) + 100 x (1, 6738) =   − 55, 80kNmMB
3
 Figura 3 – Pórtico com os valores da reação de apoio e diagramas de momento fletores.
 Figura 4 – Diagrama de esforços normais (kN)..
Saiba mais
Você encontrará a obtenção de diagrama de momento fletor e as reações de apoio do pórtico abaixo e do diagrama de momento
fletor do pórtico abaixo em Exercícios resolvidos (exemplos) . Dessa forma, você dará
continuidade aos seus estudos sobre o assunto e ampliará seu conhecimento.
Atividade
1. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, e desenhar os diagramas de esforços internos.
Dados: EI = 1
2. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, desenhar os diagramas de esforços internos.
Dados: EI = 1.
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula5/anexo/doc01.pdf
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula5/anexo/doc01.pdf
3. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, desenhar os diagramas de esforços internos.
Dados: EI = 1
4. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, e desenhar os diagramas de esforços internos.
Dados: EI = 1
5. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, e desenhar os diagramas de esforços internos.
Dados: EI = 1
6. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, e desenhar os diagramas de esforços internos.
Dados: EI = 1.
7. Calcular os exercícios da aula do Método das Forças pelo Método da Deformação.
Notas
Deformação1
É a alteração da forma de uma estrutura devido ao seu carregamento.
Calcular deslocamentos2
Seja calcular determinado deslocamento Δ, por exemplo, o deslocamento vertical no ponto C, em uma estrutura isostática sujeita
a um sistema de cargas qualquer. (Fonte: //cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
 )
Notas
Referências
MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas. cap. 10. Rio de Janeiro: Elsevier, s/d.
McCORMAC, Jack C. Análise estrutural. cap. 11 a 13. Rio de Janeiro: LTC, s/d.
SUSSEKIND, J. C. Curso de análise estrutural. v. 3. cap. 1. Rio de Janeiro: Globo, s/d.
Próxima aula
https://cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
https://cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
Calcular as reações de apoio em estruturas hiperestáticas;
Traçar os diagramas solicitantes em estruturas hiperestáticas.
Explore mais
Para saber mais acesse:
ENGENHARIA fácil. Método dos deslocamentos .
https://www.youtube.com/watch?v=JKjcc6MrUQk
https://www.youtube.com/watch?v=JKjcc6MrUQk