Cap 29 - Poliedros

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Capítulo 29: Poliedros 
 
Resposta da questão 01: [B] 
 
Pela imagem, vemos que o poliedro possui 12 faces 
pentagonais, e de cada uma delas partem 5 lados de 
polígonos. Unindo-os dois a dois, temos o total de 
arestas do poliedro: 
𝐴 =
12 ⋅ 5
2 
𝐴 = 30	 
 
Pela Relação de Euler, descobrimos o total de vértices 
do poliedro: 
𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2	 
𝑉 + 12 = 30 + 2	 
𝑉 = 20	 
 
Resposta da questão 02: [D] 
 
Resolução em Vídeo: 
https://youtu.be/YX2QN4mAWn8 
 
Resposta da questão 03: [A] 
 
Cada uma das 20 faces triangulares possui 3 lados de 
polígonos, unindo-os dois a dois obtemos a quantidade 
de arestas do icosaedro correspondente: 
𝐴 =
20 ⋅ 3
2 
𝐴 = 30	 
 
Como há uma espícula em cada vértice, então o total 
de espículas é igual ao total de vértices, que pode ser 
encontrado pela Relação de Euler: 
𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2	 
𝑉 + 20 = 30 + 2	 
𝑉 = 12	 
 
Resposta da questão 04: [D] 
 
 
O sólido resultante da divisão proposta pelo problema 
será formado por 4 faces hexagonais e 4 faces 
triangulares. 
Sabendo que cada aresta mede 2 cm e o número de 
arestas será dado por: 
 
𝐴 =
4 ∙ 6 + 4 ∙ 3
2 = 18 
temos que a soma das medidas de todas as arestas 
será: 18	 × 	2	 = 	36	𝑐𝑚 
Resposta da questão 05: [E] 
 
O único desenho que pode ser reproduzido em um 
modelo tridimensional real é o octaedro regular da 
alternativa (E). 
 
Resposta da questão 06: [E] 
 
Como a questão diz que a área do cubo é 
numericamente igual ao seu volume, podemos 
descobrir o valor da aresta do cubo inicial: 
𝐴!"#$ = 𝑉!"#$ 
6 ⋅ 𝑎% = 𝑎& 
𝑎 = 6	 
 
Pela sequência de cortes, percebemos que o yangma 
possui um terço do volume do lifang, uma vez que 
possui a mesma base e a mesma altura (𝑎), e, como o 
yangma é dividido em dois bienuam iguais, então o 
volume de cada bienuam é metade do volume do 
yangma, sendo assim, descobrimos o volume do 
bienuam: 
𝑉# =
1
2 ⋅
1
3 ⋅ 𝑉!"#$ 
𝑉# =
1
2 ⋅
1
3 ⋅ 6
& 
𝑉# = 36 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 
 
Resposta da questão 07: [C] 
 
Sabendo que o poliedro possui 32 vértices, tem-se 𝑉	 =
	32. Por conseguinte, sendo F e A, respectivamente, o 
número de faces e o número de arestas, pelo Teorema 
de Euler, vem 
𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2 → 32 + 𝐹 = 𝐴 + 2 
𝐹 = 𝐴 − 30.	 
 
Daí, como o poliedro possui apenas faces triangulares, 
temos 3𝐹	 = 	2𝐴	e, portanto, 
3(𝐴	 − 	30) = 2𝐴 → 𝐴 = 90.	 
 
Resposta da questão 08: [A] 
 
O sólido da figura é um icosaedro. Portanto, só pode 
ser a alternativa [A]. 
 
Resposta da questão 09: [D] 
 
Para o dodecaedro regular, temos: 12 faces 
pentagonais. 
12 ∙ 5
2 = 30	𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 
 
Utilizando a relação de Euler, temos: 
	𝑉 − 𝐴 + 𝐹 = 2 → 2 + 30 − 12 → 𝑉 = 20	(𝑣�́�𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠)	 
 
Portanto, o poliedro formado terá: 
12	 + 	12	 − 	2	 = 	22	𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠	(𝐹	 = 	22)	
30	 + 	30	 − 	5	 = 	55	𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠	(𝐴	 = 	55) 
20	 + 	20	 − 	5	 = 	35	𝑣�́�𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠	(𝑉	 = 	35)	 
A soma pedida será dada por: 
𝑉	 + 	𝐹	 + 	𝐴	 = 	35	 + 	22	 + 	55	 = 	112.	 
 
 
2 
Resposta da questão 10: [C] 
 
A molécula possui um total de 32 faces. Cada uma das 
12 faces pentagonais possui 5 lados, e cada uma das 
20 faces hexagonais possui 6 lados, unindo os lados 
de polígono dois a dois, obtemos o total de arestas da 
molécula: 
𝐴 =
12 ⋅ 5 + 20 ⋅ 6
2 
𝐴 =
60 + 120
2 
𝐴 = 90	 
 
Como cada vértice representa um átomo de carbono, o 
total de átomos é igual ao total de vértices, que pode 
ser descoberto pela Relação de Euler: 
𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2	 
𝑉 + 32 = 90 + 2	 
𝑉 = 60	 
 
Resposta da questão 11: [A] 
 
Número de arestas: ((%×*)
%
	= 	30. 
Número de arestas visíveis: 20.	 
Número de arestas não visíveis: 30	– 	20	 = 	10. 
 
Resposta da questão 12: [C] 
 
O octaedro possui 6 vértices. Ao retirarmos uma 
pirâmide regular de base quadrangular de cada vértice 
do octaedro, obtemos um octaedro truncado com 
6	 × 	4	 = 	24 vértices. 
Portanto, a resposta é 360° × (24 − 2) = 7920°. 
 
Resposta da questão 13: [B] 
 
Dada a desigualdade 𝐴 + 6 ≤ 3𝑉 ≤ 2𝐴	 e usando 𝐴 =
25	, resolvemos separadamente as inequações para 
achar os valores mínimo e máximo para a quantidade 
de vértices da geodésica em questão: 
I) 𝐴 + 6 ≤ 3𝑉	 
25 + 6 ≤ 3𝑉	 
31 ≤ 3𝑉	 
𝑉 ≥ 10,333… 	 
Logo, como o número de vértices precisa ser inteiro, a 
quantidade mínima é 11. 
II) 3𝑉 ≤ 2𝐴	 
3𝑉 ≤ 2 ⋅ 25	 
3𝑉 ≤ 50	 
𝑉 ≤ 16,666… 	 
Logo, como o número de vértices precisa ser inteiro, a 
quantidade máxima é 16. 
 
Resposta da questão 14: [E] 
 
𝐴 =
8.3
2 = 12	𝑒	𝐹 = 8		
𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝑉–𝐴 + 𝐹 = 2	 
𝑉	– 	12	 + 	8	 = 	2	 
𝑉 = 6		
Resposta da questão 15: [C] 
 
F: número de faces 
A: número de arestas 
V: número de vértices 
𝐴	 =
	20	 × 	6	 + 	12	 × 	5
2 	= 	90	 
𝐹	 = 	32	𝑉 = 2 + 𝐴–𝐹	
𝑉	 = 	2	 + 	90	– 	32	𝑉	 = 	60.	
 
Resposta da questão 16: [D] 
 
Do enunciado, o número máximo de imagens distintas 
do botão, que podem ser vistas por João é dado por: 
 
𝑁 =
360°
60° − 1 = 5 
 
Resposta da questão 17: [D] 
 
Total de faces: 𝐹	 = 	32 
(12 pentagonais e 20 hexagonais) 
Total de Arestas: 
𝐴 =
12 ∙ 5 + 20 ∙ 6
2 = 90 
 
Total de vértices (V): 
𝑉 − 𝐴 + 𝐹 = 2	 
𝑉	 − 	90	 + 	32	 = 	2	 
𝑉	 = 	60	 
 
Portanto, 90 arestas e 60 vértices. 
 
Resposta da questão 18: [E] 
 
Resolução em Vídeo: 
https://youtu.be/NBSgvMObvLQ 
 
Resposta da questão 19: [A] 
 
A única alternativa que apresenta a propriedade dos 
poliedros regulares que justifica o fato de a cavidade 
no interior da esfera ser octaédrica é a alternativa [A]. 
As alternativas [C] e [D] apresentam assertivas 
corretas, porém não justificam o fato supra. 
 
Resposta da questão 20: [E] 
 
Cada face triangular possui 3 lados, e como cada lado 
é contado duas vezes quando se forma o poliedro, o 
total de Arestas é dado por 𝐴 = &⋅-
%
 . 
Substituindo essa equação na relação de Euler, temos: 
 
𝑉  +  𝐹  =  𝐴  +  2	 
20  +  𝐹  =  
3𝐹
2   +  2 
𝐹
2 = 18 
𝐹 = 36 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠	 
 
 
 
 
3 
Resposta da questão 21: [B] 
 
 
O icosaedro possui 20 faces triangulares, que se 
dividem em 4 triângulos equiláteros depois de inflado, 
resultando na geodésica com 4 × 20	 = 	80 faces 
triangulares. 
 
Cada face triangular possui 3 lados, logo, unindo-as 
duas a duas, a quantidade de arestas da geodésica 
será 
𝐴  =  
3 ⋅ 80
2 → 𝐴  =  120 
 
Resposta da questão 22: [A] 
 
Vamos denominar por “q” a quantidade de faces 
quadrangulares do poliedro. Sabendo que a soma dos 
ângulos internos de cada quadrado é 360º e que a 
soma dos ângulos internos de cada um dos quatro 
triângulos é 180º, temos a seguinte relação: 
 
360 ⋅ 𝑞  +  180 ⋅ 4  =  12 ⋅ 90 	 
𝑞  =  1	. 
 
Agora, tendo uma face quadrangular e quatro faces 
triangulares e sabendo que o número de arestas é 
dado pela metade da quantidade total de lados de 
polígonos, temos: 
𝐴  =
1 ⋅ 4 + 4 ⋅ 3
2 
𝐴  = 8	. 
 
Resposta da questão 23: [E] 
 
Cada uma das duas pentagonais possui 5 lados de 
polígono, e cada uma das cinco faces quadrangulares 
possui 4 lados de polígono. Unindo-as duas a duas, 
temos a quantidade de arestas do poliedro: 
 
𝐴  =
2 ⋅ 5 + 5 ⋅ 4
2 
𝐴  =
10 + 20
2 
𝐴  = 15	 
 
Agora, sabendo que o poliedro tem 15 arestas e 7 faces 
no total, usamos a relação de Euler para descobrir a 
quantidade de vértices: 
 
𝑉  +  𝐹  =  𝐴  +  2	 
𝑉  +  7  =  15  +  2	 
𝑉  = 10	 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 24: [E] 
 
Pela relação de Euler, descobrimos a quantidade total 
de faces do poliedro (triangulares e quadrangulares): 
𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2	 
10 + 𝐹 = 20 + 2	 
𝐹 = 12	 
Sabe-se que o total de faces é dado pela soma das 
faces quadrangulares com as triangulares, logo: 
𝑞 + 𝑡 = 12	 
𝑞 = 12 − 𝑡		(∗) 
 
Cada uma das q faces quadrangulares possui 4 lados, 
e cada uma das t faces triangulares possui 3 lados. 
Unindo-as duas a duas, temos a equação que dá o total 
de arestas: 
20 =
4𝑞 + 3𝑡
2 
4𝑞 + 3𝑡 = 40	(∗∗) 
 
Substituindo a equação	(∗) em (∗∗), temos: 
4(12 − 𝑡) + 3𝑡 = 40 
48 − 4𝑡 + 3𝑡 = 40	 
𝑡 = 8	 
 
Resposta da questão 25: [B] 
 
Cada umadas 12 pirâmides retiradas deixa uma face 
pentagonal no poliedro, e as 20 antigas faces 
triangulares dão lugar a faces hexagonais, então, o 
novo poliedro passa a ter um total de 32 faces, sendo 
12 pentagonais e 20 hexagonais. 
Cada face pentagonal possui 5 lados de polígono, e 
cada face hexagonal possui 6 lados de polígono, 
unindo-as duas a duas, temos a quantidade de arestas 
do poliedro: 
𝐴 =
12 ⋅ 5 + 20 ⋅ 6
2 
𝐴 =
60 + 120
2 
𝐴 = 90	 
 
Para cada aresta, o artesão usa 7cm de linha, então, 
para 90 arestas, o artesão usou 90 ⋅ 7 = 630 𝑐𝑚  =
 6,3𝑚	 
 
Resposta da questão 26: [C] 
 
Sabendo-se que de cada vértice parte um lado de 
polígono, unindo-os dois a dois temos o total de arestas 
do poliedro: 
𝐴 =
1 ⋅ 6 + (𝑉 − 1) ⋅ 3
2 
2𝐴 = 6 + 3𝑉 − 3	 
𝑉 =
2𝐴 − 3
3 
Substituindo essa equação na Relação de Euler, 
temos: 
𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2	 
2𝐴 − 3
3 + 7 = 𝐴 + 2 
2𝐴 − 3 = 3 ⋅ (𝐴 − 5) 
𝐴 = 12	 
 
 
4 
 
Resposta da questão 27: [D] 
 
De cada um dos quatro ângulos triédricos partem 3 
lados de polígono, e de cada um dos cinco ângulos 
tetraédricos partem 4 lados de polígono, unindo-os dois 
a dois temos o total de arestas do poliedro: 
𝐴 =
4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 4
2 
𝐴 =
12 + 20
2 
𝐴 = 16	 
Pela Relação de Euler, descobrimos o total de faces do 
poliedro: 
𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2	 
9 + 𝐹 = 16 + 2	 
𝐹 = 9	 
 
Resposta da questão 28: [B] 
 
Sejam 𝐹, 𝑉 e 𝐴 o número de faces, vértices e arestas 
do rombicosidodecaedro, respectivamente. Como tal 
sólido geométrico possui 20 faces triangulares, 30 
faces quadrangulares e 12 faces pentagonais, temos 
que 
𝐹 = 20 + 30 + 12 = 62. 
Além disso, 
𝐴 =
3 ⋅ 20 + 4 ⋅ 30 + 5 ⋅ 12
2 =
60 + 120 + 60
2 =
240
2
= 120. 
Desse modo, pela relação de Euler, 
𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2		 ⟹ 		𝑉 + 62 = 120 + 2		 ⟹ 		𝑉 = 60. 
Uma vez que cada aresta deve possuir 20 cm de 
comprimento, serão necessários para a confecção da 
escultura 20 ⋅ 𝐴 = 20 ⋅ 120 = 2400 cm de tubo. Tendo 
em vista que 6	 metros de tubo custam 150 reais, 
podemos concluir que o gasto que o artista deverá ter 
para adquirir os tubos é de %.//
0//
⋅ 150 = 4 ⋅ 150 =
𝑅$	600. Por outro lado, como a quantidade de esferas 
que o escultor precisará comprar corresponde à 
quantidade de vértices do rombicosidodecaedro, e a 
caixa contendo 12	esferas é vendida a 22 reais, o custo 
de aquisição das esferas deverá ser de 0/
(%
⋅ 22 = 5 ⋅
22 = 𝑅$	110. Logo, o artista deverá gastar 600 + 110 =
𝑅$	710 com a compra dos materiais. 
 
Resposta da questão 29: [A] 
 
Analisando a figura, conta-se 14 faces totais, sendo 8 
triangulares e 6 quadradas. De cada uma das 8 faces 
triangulares partem 3 lados de polígono, e de cada uma 
das 6 faces quadradas partem 4 lados de polígono, 
unindo-os dois a dois temos o total de arestas do 
poliedro: 
𝐴 =
8 ⋅ 3 + 6 ⋅ 4
2 
𝐴 = 24	 
Pela Relação de Euler, descobrimos o total de vértices 
do poliedro: 
𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2	 
𝑉 + 14 = 24 + 2	 
𝑉 = 12	 
 
Resposta da questão 30: [B] 
 
Um cubo possui 8 vértices, 6 faces e 12 arestas. Cada 
vértice do cubo da imagem passa a dar lugar a uma 
face triangular, e cada face quadrada do cubo passa a 
dar lugar a uma face quadrada do poliedro. Portanto, 
temos 8 faces triangulares e 6 faces quadradas para 
esse poliedro formado. 
 
Resposta da questão 31: [D] 
 
Faces: EAD, EAB, EBC, ECD, FAB, FBC, FCD e FAD. 
 
 
Resposta da questão 32: [E] 
 
 
Na camada inferior, há 4 cubos que podem ter todas as 
suas faces verdes. Dois deles possuem uma de suas 
faces visíveis e dois deles estão completamente 
escondidos. Na camada intermediária há somente um 
cubo que pode ter suas faces todas verdes. O 
cubo do topo não pode ter todas as suas faces verdes. 
Logo, há 5 cubos que podem ter todas as suas faces 
verdes. 
 
Podemos também descontar dos 14 cubos os 9 que 
mostram ao menos uma face branca (14 – 9 = 5). 
 
Resposta da questão 33: [B] 
 
O prisma hexagonal regular possui 12 vértices e oito 
faces. Acrescentando-se uma nova face em cada 
vértice, teremos um total 8 + 12 = 20	de faces.