Lista de Exercícios de FMC

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3a LISTA DE FMC
01. Mostre as seguintes proposições:
a) Na divisão de dois inteiros positivos, o quociente é 16 e o resto é o maior
possível. Achar os dois inteiros, sabendo que a sua soma é 341.
b) Sabendo que o resto da divisão de um inteiro b por 7 é 5, calcular o resto
da divisão por 7 dos seguintes números:
i)� b ii)2b iii)3b+ 7 iv)10b+ 1 v)b2 + b+ 1
c) Sendo n um inteiro qualquer, calcular o mdc(n,n+1):
d) Demonstrar que o mdc(n+k,k)=1 se, e somente se, o mdc(n,k)=1:
02. Achar inteiros x e y que veri�quem cada uma das seguintes igualdades:
a)78x+ 32y = 2 b)31x+ 19y = 7
c)104x+ 91y = 13 d)42x+ 26y = 16
03. Determinar todas as soluções inteiras e positivas das seguintes equações
diofantinas lineares:
a)5x� 11y = 29 b)32x+ 55y = 771
c)58x� 87y = 290 d)62x+ 11y = 788
04. Mostrar que:
a)1110 � 1 (mod 100) b)220 � 1 (mod 41)
c)244 � 1 (mod 89) d)248 � 1 (mod 97)
05. Resolver as seguintes congruências lineares:
a)2x � 1 (mod 17) b)3x � 6 (mod 18)
c)5x � 2 (mod 26) d)34x � 60 (mod 98)
1
06. Resolver os seguintes sistemas de congruências lineares:
a)
8>>>>>>:
x � 3 (mod 5)
x � 5 (mod 7)
x � 7 (mod 11)
d)
8>>>>>>>:
x � 1 (mod 3)
x � 2 (mod 5)
x � 3 (mod 7)
07. Veri�que que:
a)186 � 1 (mod 49) b)186 � 1 (mod 343)
c)2561 � 2 (mod 561) d)3561 � 3 (mod 561)
08. Prove as seguintes proposições:
a) Sabendo que o mdc(a; p2) = p e o mdc(b; p3) = p2, onde p é primo, calcule
o mdc(ab; p4) e o mdc(a+ b; p4).
b) Sabendo que o mdc(a; b) = p, onde p é primo, calcule o mdc(a3; b) e o
mdc(a2; b3).
c) Sejam a; b 2 Z. Se a � b (mod m1) e a � c (mod m2), então b � c
(mod m) onde m = mdc(m1;m2).
d) Sejam a; b 2 Z, p primo. Mostre que:
(a+ b)p � ap + bp (mod p)
e) Mostre que 7j(n6 + 6) se 7 - n 8n 2 Z.
f) Mostre que o resto da divisão de 5101 por 24 é 5.
g) Mostre que 3j(n8 � 1) se 3 - n 8n 2 Z.
h) Mostre que o resto da divisão de 3102 por 101 é 9.
09. Determine todas as soluções inteiras e positivas das seguintes equações
diofantinas lineares:
a) 15x� 51y = 42 b) 9x+ 15y = 141
2
c) 93x� 81y = 3 d) 43x+ 128y = 1
10. Resolva as seguintes congruências lineares:
a) 6x � 21 (mod 51) b) 131x � 21 (mod 77)
c) 7x � 5 (mod 18) d) 5x � 3 (mod 24)
11. Resolva o seguinte sistema de congruências lineares:
a)
8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:
2x � 1 (mod 5)
x � 3 (mod 2)
4x � 1 (mod 7)
5x � 9 (mod 11)
b)
8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:
3x � 1 (mod 5)
2x � 5 (mod 7)
5x � 4 (mod 11)
8x � 3 (mod 13)
12. Calcule o resto da divisão das seguintes sentenças:
a)19138 por 17 b)941000 por 13
c)(4103 + 2(5104))122 por 13 d)(19411963 + 19631991) por 7
e)11104 por 17 f)8900 por 29
g)(53103 + 10353) por 39 h)(22225555 + 55552222) por 7
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