Exercícios de Teoria dos Números

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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Quarta Lista de Exerćıcios de Teoria dos Números
1. Resolva as seguintes congruências:
(a) 23x ≡ 7 (mod 19);
(b) 7x ≡ 5 (mod 36);
(c) 25x ≡ 15 (mod 120).
2. Mostre que 223 ≡ 1 (mod 47).
3. Encontre um SRR módulo 17 composto exclusivamente de múltiplos de 3.
4. Encontre um SRR módulo 9 composto somente de primos.
5. Mostre que para todo n ∈ Z tem-se que 5n3 + 7n5 ≡ 0 (mod 12).
6. Mostre que se n > 4 então 1! + 2! + 3! + · · ·+ n! ≡ 9 (mod 12).
7. Prove que 42 divide n7 − n para qualquer inteiro n.
8. Seja p um primo e {r1, · · · , rp−1} um SRR módulo p. Mostre que
r1 · r2 · · · rp−1 ≡ −1 (mod p).
9. Encontre o resto da divisão de 734 por 51.
10. Mostre que se p é primo ı́mpar então 2 · (p− 3)! ≡ −1 (mod p).
11. Encontre todos os valores de n ∈ N tais que φ(n) = 24.
12. Encontre todos os valores de n ∈ N tais que 3 - φ(n).
13. Mostre que
φ(2n) =
{
φ(n) se n é ı́mpar
2φ(n) se n é par
14. Mostre que existem infinitos números n ∈ N tais que 10/φ(n).
15. Mostre que 3n2 − 1 nunca é um quadrado para qualquer inteiro n.
16. Mostre que n9
9
+ 4 6≡ 0 (mod 37) para todo n ∈ N.
17. Seja d = mdc(2m + 1, 2n + 1). Mostre que se m,n são ı́mpares então 3/d, e dê exemplos
de valores pares de m,n s tais que d assuma valores diferentes, não divisiveis por 3.
18. Mostre que 42n+1 + 3n+2 ≡ 0 (mod 13) para todo n ∈ N.
19. Determine o último d́ıgito da representação decimal de 2400.
20. Seja p um primo. Mostre que[
(
p− 1
2
)!
]2
≡ −1 (mod p), se p ≡ 1 (mod 4)
[
(
p− 1
2
)!
]2
≡ 1 (mod p), se p ≡ 3 (mod 4)