Resumo-matematica

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RESUMO MATÉRIA MATEMÁTICA 7º ANO 
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1. Números inteiros – adição e subtração 
 
 
1.1. Significado de número inteiro 
 
Conjunto dos números inteiros e seus subconjuntos 
 
• Números naturais 
⤷ N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} 
• Números inteiros 
⤷ Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} 
• Números inteiros positivos 
⤷ Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, …} 
• Números inteiros negativos 
⤷ Z– = {…, -5, -4, -3, -2, – 1} 
• Números inteiros não positivos 
⤷ Z0– = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0} 
• Números inteiros não negativos 
⤷ Z0+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} 
 
 
1.2. Reta numérica, valor absoluto e simétrico de um número 
 
Representação de números inteiros na reta numérica 
 
• Reta numérica 
⤷ cada ponto da reta corresponde a um só número (abcissa do ponto) 
⤷ a origem corresponde ao número zero 
⤷ o sentido é indicado pela seta 
⤷ na reta horizontal → sentido crescente da esquerda para a direita 
⤷ na reta vertical → sentido crescente da baixo para cima 
 
Valor absoluto e números simétricos 
 
• Valor absoluto (ou módulo) 
⤷ corresponde à distância do ponto que lhe corresponde na reta numérica à origem 
⤷ é sempre positivo (exceto o valor absoluto de zero) 
⤷ | 5 | = 5 
⤷ | -5 | = 5 
⤷ | 0 | = 0 
• Números simétricos 
⤷ têm o mesmo valor absoluto e sinais diferentes (exceto o zero que não tem sinal) 
⤷ o simétrico de 5 é -5 
⤷ o simétrico de -5 é 5 
⤷ o simétrico de 0 é 0 
 
 
 
 
 
 
 
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1.3. Adição algébrica 
 
 
Adição de números inteiros 
 
• Adição com sinais iguais 
⤷ fica com o mesmo sinal 
⤷ somam-se os valores absolutos das parcelas 
⤷ (+2) + (+4) = (+6) 
⤷ (-1) + (-3) = (-4) 
• Adição com sinais diferentes 
⤷ fica com o sinal da parcela de maior valor absoluto 
⤷ subtraem-se os valores absolutos das parcelas (o maior pelo menor) 
⤷ (-6) + (+4) = – (6 – 4) = (-2) 
⤷ (-3) + (+5) = + (5 – 3) = (+2) 
 
 
Propriedades da adição 
 
• Propriedades da adição 
⤷ comutativa 
⤷ 4 + 2 = 2 + 4 
⤷ associativa 
⤷ (4 + 2) + 5 = 2 + (4 + 5) 
⤷ elemento neutro 
⤷ 4 + 0 = 4 
⤷ elemento simétrico 
⤷ (+4) + (-4) = 0 
 
 
Subtração de números inteiros 
 
• Subtração 
⤷ adiciona-se ao aditivo o simétrico do subtrativo 
⤷ (+3) – (+5) = (+3) + (-5) 
⤷ (+3) – (-5) = (+3) + (+5) 
 
 
Expressões numéricas 
 
• Simplificação da escrita 
⤷ dois sinais seguidos iguais são substituídos por um só sinal de + 
⤷ 4 + (+3) = 4 + 3 
⤷ 4 – (-3) = 4 + 3 
⤷ dois sinais seguidos diferentes são substituídos por um só sinal de – 
⤷ 4 + (-3) = 4 – 3 
⤷ 4 – (+3) = 4 – 3 
• Simétrico da soma 
⤷ – (a + b) = (-a) + (-b) = -a – b 
⤷ – (2 + 4) = (-2) + (-4) = -2 – 4 
• Simétrico da diferença 
⤷ – (a – b) = (-a) – (-b) = -a + b 
⤷ – (2 – 4) = (-2) – (-4) = -2 + 4 
 
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• Expressão numérica 
⤷ conjunto de operações matemáticas 
⤷ 1 – [-4 – (5 – 8)] – |-2| = 
= 1 – (-4 -5 +8) – 2 = 
= 1 + 4 + 5 – 8 – 2 = 
= 5 + 5 – 8 – 2 = 
= 10 – 8 – 2 = 
= 2 – 2 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Números racionais – adição, subtração, percentagem e notação científica 
 
 
2.1. Significado de número racional 
 
 
Conjunto dos números racionais 
 
• Número racional 
⤷ número que é possível ser representado na forma de fração 
⤷ Q: conjunto dos números racionais 
⤷ Q+: conjunto dos números racionais positivos 
⤷ Q–: conjunto dos números racionais negativos 
⤷ Q0+: conjunto dos números racionais não negativos 
⤷ Q0–: conjunto dos números racionais não positivos 
• Relação com os números naturais e números inteiros 
⤷ todos os números naturais e números inteiros são racionais 
⤷ N ⊂ Z ⊂ Q 
 
 
Representação de números racionais na reta numérica 
 
• Fração na reta numérica 
⤷ o denominador indica em quantas partes está dividida cada unidade 
⤷ o numerador indica quantas partes se andaram desde a origem à abcissa do ponto 
correspondente à fração 
 
 
2.2. Adição e subtração de números racionais 
 
 
Adição de números racionais 
 
Aplicam-se as mesmas regras da adição de números inteiros. 
 
Exemplo: 
(+4/2)+(−3/5)=(+20/10)+(−6/10)=+(20/10−6/10)=+14/10 
=+7/5 
 
2.3. Percentagem 
 
Conceito de percentagem 
 
• Percentagem 
⤷ quociente em que o divisor é 100 
⤷ 25% = 25 : 100 = 25100 
⤷ 25 → parte 
⤷ 100 → todo 
 
Cálculos com percentagens 
 
• Descobrir a parte 
⤷ percentagem × todo 
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⤷ 35% de 200 
⤷ 35/100 × 200 = 0,35 × 200 = 70 
• Descobrir o todo 
⤷ 100 × parte/percentagem 
⤷ 8 corresponde a 20% 
⤷ 100 × 8/20=800/20=40 
 
 
 
2.4. Notação científica 
 
Representação de um número em notação científica 
 
• Número positivo em notação científica 
⤷ a × 10n , em que 1 ≤ a 2,15 × 103 
• Números em notação científica com potências de base 10 diferentes 
⤷ é maior o que tiver a potência de maior expoente 
⤷ 2,5 × 103 > 2,15 × 107 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Figuras planas – ângulos, quadriláteros e áreas 
 
 
3.1. Ângulos 
 
Classificação de ângulos 
 
• Ângulos quanto à amplitude 
⤷ agudo → entre 0º e 90º 
⤷ reto → 90º 
⤷ obtuso → entre 90º e 180º 
⤷ raso → 180º 
⤷ giro → 360º 
• Pares de ângulos 
⤷ complementares → cuja soma é 90º 
⤷ suplementares → cuja soma é 180º 
⤷ alterno internos/externos → formados por uma secante em duas retas, em lados opostos (se as 
duas retas forem paralelas os ângulos têm a mesma amplitude) 
⤷ verticalmente opostos → têm o mesmo vértice e os lados de um estão no prolongamento dos 
lados do outro (têm sempre a mesma amplitude) 
 
 
Ângulos de um polígono convexo 
 
• Soma dos ângulos internos 
⤷ Si = (n – 2) × 180º 
• Soma dos ângulos externos 
⤷ Se = 360º 
• Ângulo interno de um polígono regular (com lados e ângulos iguais) 
⤷ ai = (n–2)×180ºn 
• Ângulo externo de um polígono regular 
⤷ ae = 360ºn 
• Relação entre ângulo interno e ângulo externo adjacente 
⤷ ai + ae = 180º 
 
 
Ângulos de triângulos 
 
• Propriedades de ângulos em triângulos 
⤷ ao lado maior opõe-se o ângulo de maior amplitude 
⤷ a amplitude de um ângulo externo é igual à soma das amplitudes dos ângulos internos não 
adjacentes 
⤷ ae = ai1+ ai2 
• Acontecimento composto 
⤷ constituído por dois ou mais elementos do conjunto de casos possíveis 
⤷ probabilidade igual à soma das probabilidades dos acontecimentos elementares que o 
compõem 
 
 
 
 
 
 
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3.2. Quadriláteros 
 
Paralelogramos e papagaio 
 
• Paralelogramo 
⤷ quadrilátero 
⤷ lados opostos paralelos e iguais 
⤷ ângulos opostos iguais 
⤷ dois ângulos consecutivos suplementares 
• Losango 
⤷ quadrilátero paralelogramo 
⤷ lados todos iguais 
• Retângulo 
⤷ quadrilátero paralelogramo 
⤷ ângulos todos iguais (retos) 
• Quadrado 
⤷ quadrilátero paralelogramo 
⤷ lados todos iguais 
⤷ ângulos todos iguais (retos) 
• Papagaio 
⤷ quadrilátero (paralelogramo sefor losango) 
⤷ dois pares de lados consecutivos iguais 
 
 
Propriedades das diagonais dos quadriláteros 
 
• Diagonais do paralelogramo 
⤷ bissetam-se (cruzam-se no ponto médio de cada uma) 
• Diagonais do losango 
⤷ bissetam-se e são perpendiculares 
• Diagonais do retângulo 
⤷ bissetam-se e são iguais 
• Diagonais do quadrado 
⤷ bissetam-se, são perpendiculares e iguais 
• Diagonais do papagaio 
⤷ são perpendiculares 
 
 
Trapézios e não trapézios 
 
• Trapézio 
⤷ quadrilátero com pelo menos dois lados paralelos 
⤷ trapézios propriamente ditos → só têm dois lados paralelos 
⤷ trapézio isósceles → lados que não são bases iguais 
⤷ trapézio escaleno → lados que não são bases diferentes 
⤷ trapézio reto → um dos lados perpendicular à base 
⤷ paralelogramos → têm lados opostos paralelos (2 a 2) 
⤷ losango 
⤷ retângulo 
⤷ quadrado 
⤷ paralelogramo obliquângulo (não retângulo não losango) 
• Não trapézio 
⤷ quadriláteros sem lados paralelos 
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3.3. Áreas de figuras planas 
 
 
Áreas de polígonos e do círculo 
 
• Área do triângulo 
⤷ A = (base×altura)/2 
 
• Área do quadrado 
⤷ A = lado × lado 
 
• Área do retângulo 
⤷ A = comprimento × largura 
 
• Área do paralelogramo 
⤷ A = base × altura 
 
• Área do losango e do papagaio 
⤷ A = (Diagonal maior×diagonal menor)/2 
 
• Área do trapézio 
⤷ A = [(Base maior+base menor)/2] × altura 
 
• Área de um polígono regular 
⤷ A = (Perímetro/2) × apótema 
 
• Área do círculo 
⤷ A = π × (raio)² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. Figuras no espaço – poliedros regulares, prismas e pirâmides 
 
 
4.1. Sólidos geométricos – poliedros 
 
Poliedros 
 
• Poliedro 
⤷ sólido apenas com faces planas 
• Poliedro regular (platónico) 
⤷ sólido cujas faces são polígonos regulares iguais e cada vértice é comum ao mesmo número de 
faces 
⤷ tetraedro → 4 faces triangulares 
⤷ cubo → 6 faces quadrangulares 
⤷ octaedro → 8 faces triangulares 
⤷ dodecaedro → 12 faces pentagonais 
⤷ icosaedro → 20 faces triangulares 
 
 
Faces, arestas e vértices nos primas e nas pirâmides 
 
• Num prisma com base n lados 
⤷ nº vértices = 2n 
⤷ nº arestas = 3n 
⤷ nº faces = n + 2 
 
• Numa pirâmide com base n lados 
⤷ nº vértices = n + 1 
⤷ nº arestas = 3n 
⤷ nº faces = n + 1 
 
 
Faces, arestas e vértices em qualquer poliedro convexo 
 
• Fórmula de Euler 
⤷ V + F = A + 2 
 
V= Vertices 
F= Faces 
A= Arestas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Áreas das figuras planas 
 
Triângulo 
O triângulo é um polígono de três lados, que pode ser classificado de acordo com os lados e de 
acordo com os ângulos. 
 
Classificação quanto aos lados: 
 
Triângulo equilátero: os três lados são do mesmo tamanho; 
Triângulo isósceles: apenas dois lados são do mesmo tamanho; 
Triângulo escaleno: os três lados são de tamanhos diferentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Retângulo 
O retângulo é um polígono de quatro lados, em que os lados opostos são paralelos. Possui quatro 
ângulos internos retos, ou seja, ângulos de 90º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quadrado 
O quadrado é um polígono de quatro lados, em que os lados opostos são paralelos e todos os lados 
têm o mesmo tamanho, são congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Trapézio 
O trapézio é um polígono de quatro lados. Dois desses lados, chamados de base maior e base 
menor, são paralelos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Losango 
O losango é um polígono de quatro lados, em que os lados opostos são paralelos e todos os lados 
têm o mesmo tamanho, são congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A diferença entre um losango e um quadrado, é que no losango os ângulos internos não são ângulos 
retos como no quadrado. 
 
 
Círculo 
O círculo é uma figura fechada, limitada por uma circunferência de raio r. O raio é a distância do 
centro do círculo até a circunferência. Multiplicando essa distância por dois, obtemos o diâmetro do 
círculo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Semelhança de triângulos 
 
 
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, seus três ângulos são congruentes (na mesma 
ordem) e seus lados homólogos são proporcionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O símbolo ∼ significa “semelhante”. 
 
Cada um dos lados homólogos está em um triângulo e ambos são opostos a ângulos congruentes. 
 
 
Razão de semelhança 
A razão entre dois lados homólogos ou entre dois triângulos semelhantes (k) é chamada de razão 
de semelhança. 
 
 
 
 
Exemplo: 
Por exemplo, os triângulos abaixo são semelhantes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os ângulos são congruentes (iguais) e os lados homólogos são proporcionais. 
 
 
 
 
A razão de semelhança será k = 2. Podemos dizer que o triângulo ABC é 2 vezes maior que DEF 
ou que DEF é duas vezes menor que ABC. 
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Propriedades 
Da definição de triângulos semelhantes decorrem as seguintes propriedades: 
 
1. reflexiva: um triângulo é semelhante a ele mesmo. 
△ABC∼△ABC 
 
2. simétrica: se △ABC o é semelhante ao △DEF , então o △DEF é semelhante ao △ABC . 
△ABC∼△ABC⟺△DEF∼△ABC 
 
3. transitiva: se o △ABC é semelhante ao △DEF, e △DEF é semelhante a outro △JKL, então o 
△ABC é semelhante ao △JKL. 
 
 
 
 
 
Teorema fundamental 
Se houver uma reta paralela a um dos lados de um triângulo e ela intercepta os outros dois lados 
em pontos distintos, dois triângulos serão formados e eles serão semelhantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Casos de semelhança 
Para se verificar que dois triângulos são semelhantes, não é necessário conferir se todos os lados 
homólogos são proporcionais e que todos os ângulos são congruentes. Há alguns casos em que a 
detecção da semelhança é facilitada. 
 
Caso AA (Ângulo, Ângulo) 
Sejam dois triângulos ABC e DEF. Eles serão semelhantes se, e somente se, dois de seus ângulos 
forem congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Caso LAL (Lado, Ângulo, Lado) 
Dois triângulos serão semelhantes se, e somente se, eles tiverem dois lados respectivamente 
proporcionais e se os ângulos formados por esses lados forem congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso LLL (Lado, Lado, Lado) 
Dois triângulos serão semelhantes se, e somente se, eles tiverem os três lados respectivamente 
proporcionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Razão entre áreas 
A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é dada pelo quadrado da razão de 
semelhança entre eles. 
 
Observe a pequena demonstração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Congruência de triângulos 
Dois triângulos são congruentes de a razão de semelhança for k = 1. Esses triângulos possuem os 
ângulos e os lados homólogos ambos congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo: 
 
1. As figuras abaixo nos mostram pares de triângulos semelhantes, dessa forma calcule os valores 
de e x e y: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observando os lados e os ângulos, os lados homólogos são: AB e DE, AC e DF, BC e EF. Assim, 
para encontrar y fazemos: