lista calculo 2

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Notas de Aula para Cálculo II
João Carlos N. de Pádua
Universidade de Braśılia, Departamento de Matemática
Esclarecimento. Estas Notas de Aula apenas registram o material
apresentado aos alunos da turma 6 de Cálculo II, do segundo semestre
de 2024. Elas não pretendem substituir nenhum livro sobre sequências,
séries e equações diferenciais ordinárias.
Índice
Caṕıtulo 1. Sequências 1
1.1. Sequências convergentes 1
1.2. Toda sequência convergente é limitada 6
1.3. Teorema do confronto 7
1.4. Soma, produto e divisão de sequências 9
1.5. Função cont́ınua e sequência convergente 10
1.6. Sequências crescentes 14
1.7. Apêndice-Demonstrações 17
Caṕıtulo 2. Séries 21
2.1. Introdução 21
2.2. Série convergente e série divergente 23
As p-séries convergem quando p > 1 28
2.3. Propriedades de séries convergentes 30
2.4. Teste de comparação 33
2.5. Teste da integral 34
2.6. Teste da razão 36
2.7. Séries alternadas, Teste de Leibniz 39
2.8. Teste da raiz 41
2.9. Teste de Comparação no Limite 42
2.10. Convergência absoluta 44
2.11. Demonstração dos testes de convergência 47
Caṕıtulo 3. Séries de Potências e Fórmula de Taylor 55
vii
viii Índice
3.1. Séries de Potências 55
3.2. Derivação termo a termo de uma série de potências 62
3.3. Integração termo a termo de série de potências 67
3.4. Fórmula de Taylor 71
3.5. Apêndice: complementos e demonstrações 86
Índice Remissivo 93
Caṕıtulo 1
Sequências
1.1. Sequências convergentes
Em uma lista de números da forma
(1.1) 1,
1
2
,
1
3
, · · · , 1
n
, · · ·
encontramos a correspondência
n 7→ xn =
1
n
,
ou seja, a cada número natural n associamos um número real xn = 1/n.
Temos assim um exemplo de sequência de números reais.
Apresentamos a seguir mais três exemplos de sequências de números
reais:
(1.2)
1
2
,
2
3
,
3
4
, · · · , n
n+ 1
, · · · ;
(1.3) −1, 1,−1, · · · , (−1)n, · · · ;
(1.4) 1, 4, 9, · · · , n2, · · · .
De maneira mais geral, uma sequência de números reais é uma função
real cujo domı́nio é o conjunto dos números naturais. Em śımbolos,
n 7→ xn.
Para esse tipo de função, não se usa uma notação do tipo f(n), o hábito é
usar uma notação sem o f , tais como
{xn} ou x1, x2, . . . , xn, · · · .
1
2 1. Sequências
Dizemos que x1 é o primeiro termo da sequência {xn}, que x2 é o segundo
termo, e que xn é o enésimo termo dessa sequência.
Para o estudo das séries, é fundamental aprendermos a distinguir uma
sequência que converge (i.e., aquelas que tendem para um limite assim que
n cresce idefinidamente) das que divergem (i.e., daquelas que não tendem a
um limite).
Limite de uma sequência. Antes de apresentar a definição de limite de
uma sequência {xn}, vamos usar nossa intuição e analisar o comportamento
das sequências (1.1) e (1.2), procurando identificar uma propriedade que
caracterize o conceito de limite de uma sequência.
Exemplo 1.1. Verifique que o termo geral da sequência
1,
1
2
,
1
3
, · · · , 1
n
, · · ·
deve se aproximar de zero assim que n se tornar suficientemente grande. Em
śımbolos,
lim
n→∞
1
n
= 0.
É fácil ver que quanto maior for o n, menor será 1/n, visto que
n2 > n1 se e somente se
1
n2
 0, por menor que seja, sempre
vai existir um número n0 (esse número depende de ε) tal que
0 
1
ε
.
Logo, como podemos escolher um número n0 tal que n0 > (1/ε), obtemos
0 105 ou n > 105 − 1.
Ou seja, a partir de n = 100.000, todos os termos n/(n + 1) distam de 1
menos do que 10−5.
Esses mesmos cálculos podem ser feitos para uma distância “arbitrária”
ε > 0. Em outras palavras, sempre podemos calcular um número n0 (de-
pendendo de ε) tal que
1− n
n+ 1
=
1
n+ 1
1
ε
− 1,
visto que
1− n
n+ 1
=
1
n+ 1
≤ 1
n0 + 1
 0 sempre podemos encontrar um número n0 tal que
1
n
− 0 0, e que n/(n+ 1) 0 for posśıvel encontrar um número n0 = n0(ε)
tal que
|xn − x|1.21 que a sequência {sn} converge, ou seja, a série
∞
∑
n=1
an
2.11. Demonstração dos testes de convergência 49
Figura 2.6. área(R1) + área(R2) + · · ·+ área(Rn) >
∫
n+1
1
f(x) dx
converge.
Os mesmos argumentos usados no Exemplo 2.5 vão demonstrar a se-
gunda asserção do teorema. De fato, de acordo com a Figura 2.6, a soma
das áreas dos n retângulos R1, · · · , Rn é igual a sn, i.e.,
sn = f(1) + f(2) + f(3) + · · ·+ f(n)
= área(R1) + área(R2) + · · ·+ área(Rn),
e essa soma de áreas sn é maior do que a área da região delimitada acima
pelo gráfico de y = f(x), abaixo pelo eixo-x e ao lado pelas retas x = 1 e
x = n+ 1. Logo,
(2.20) sn >
∫ n+1
1
f(x) dx = bn+1.
Já sabemos que a sequência {bn} é crescente e, como a hipótese agora é que
a integral imprópria diverge, temos que bn+1 → ∞ quando n → ∞. Logo,
conclúımos que a sequência de somas parciais {sn} tende ao infinito assim
que n → ∞, ou seja, a série
∞
∑
n=1
an
diverge. �
Demonstração do Teorema 2.17. Como veremos a seguir, a hipótese do
Teste da Razão no caso em que L 0, existe n0 = n0(ε), tal que
L− ε 1, es-
colhemos r tal que 1 0, existe n1 = n1(ε) satisfazendo
an+1
an
> L− ε, para n ≥ n1;
visto que L− ε = L− (L− r) = r, temos
an+1 > ran, para n ≥ n1.
Substituindo n = n1 nessa desigualdade, depois n = n1 + 1, e assim suces-
sivamente, encontramos
an1+1 > ran1
,
an1+2 > ran1+1 > r2an1
,
· · · · · ·
an1+k > ran1+k−1 > · · · > rkan1
.
2.11. Demonstração dos testes de convergência 51
O terceiro item do limite (1.16) diz que rk → ∞ quando k → ∞; logo, como
an1+k > rkan1
, conclúımos que
(2.21) an1+k → ∞ quando k → ∞.
Portanto, como a sequência {an} não converge para zero, a série
∑
∞
n=0 an
diverge, pelo Corolário 2.8.
Finalmente, para ver que o Teste da Razão é inconclusivo quando L = 1,
basta lembrarmos que
lim
n→∞
1/(n + 1)
1/n
= 1 e lim
n→∞
1/(n + 1)2
1/n2
= 1,
e no entanto a série
∑
∞
n=1(1/n) diverge e a série
∑
∞
n=1(1/n
2) converge. Isso
completa a demonstração do Teste da Razão. �
Demonstração do Teorema 2.21. Precisamos mostrar que a sequência
de somas parciais {sn}, onde
sn = a1 − a2 + a3 − · · ·+ (−1)n+1an,
converge para um número s. Inicialmente verificaremos que a sequência de
somas parciais de ordem par, {s2k}, é crescente e limitada superiormente.
Esse comportamento da sequência {s2k} decorre facilmente das duas
representações de s2k a seguir:
s2k = (a1 − a2) + (a3 − a4) + · · ·+ (a2k−1 − a2k)
= a1 − (a2 − a3)− (a4 − a5)− · · · − (a2k−2 − a2k−1)− a2k.
Cada termo entre parênteses é não negativo, visto que a sequência {an} é
decrescente, por hipótese. Logo, a primeira maneira de escrever s2k mostra
que
s2 ≤ s4, s4 ≤ s6, · · · , s2k ≤ s2(k+1),
ou seja, {s2k} é uma sequência crescente.
A segunda maneira de representar s2k revela que s2k ≤ a1 para todo k,
pois cada parênteses é não negativo e a2k ≥ 0. Em outras palavras, {s2k} é
uma sequência limitada superiormente por a1. O Teorema 1.21 garante que
a sequência {s2k} converge para um número s.
Por outro lado,
s2k+1 = (a1 − a2 + a3 − a4 + · · · − a2k) + a2k+1
= s2k + a2k+1.
Segue da hipótese (b), e do fato que s2k → s quando k → ∞, que
lim
k→∞
s2k+1 = lim
k→∞
(
s2k + a2k+1
)
= s+ 0 = s.
52 2. Séries
Logo, a sequência {s2k+1} converge para s também, o mesmo limite da
sequência {s2k}. Portanto, a sequência de somas parciais {sn} converge
para s (veja exerćıcio 12 da Lista 1), ou seja, a série alternada converge,
com soma s. �
Demonstração da Proposição 2.24. Na demonstração do Teorema 2.21,
vimos que a sequência {s2k} é crescente e que converge para s; logo, s2k ≤ s
para todo k.
Agora mostraremos que as somas parciais da série alternada de ordem
impar formam uma sequência decrescente, e que s ≤ s2k−1 para todo k. De
fato,
s2(k+1)−1 = s2k−1 − a2k + a2k+1
= s2k−1 − (a2k − a2k+1) ≤ s2k−1,
visto que a2k ≥ a2k+1, por hipótese. Logo, como já foi mostrado que
lim
k→∞
s2k−1 = s,
e que a sequência {s2k−1} é decrescente, temos que a soma s da série alter-
nada satisfaz a desigualdade s ≤ s2k−1 para todo k.
Para verificar a estimativa (2.14) com ı́ndices pares, observamos que
s2k ≤ s e s ≤ s2k+1. Assim,
|s− s2k| = s− s2k ≤ s2k+1 − s2k = a2k+1.
Logo, a desigualdade (2.14) é verdadeira para os ı́ndices n pares.
Quando o ı́ndice n é o número ı́mpar 2k − 1, lembramos que s ≤ s2k−1,
s2k ≤ s e que s2k = s2k−1 − a2k; logo,
|s− s2k−1| = −(s− s2k−1) = s2k−1 − s
≤ s2k−1 − s2k
= a2k = a(2k−1)+1.
Ou seja, a estimativa (2.14) é válida também para ı́ndice n impar. Portanto
a desigualdade (2.14) é verdadeira para todo n, par ou impar. �
Demonstração do Teste da Raiz. A hipótese limn→∞
n
√
an = L 0, existe n0 = n0(ε) tal que
n
√
an 1, escolhemos r
tal que 1 0, que existe
n1 = n1(ε) satisfazendo
n
√
an > L− ε = r, para todo n ≥ n1,
pois L − ε = L − (L − r) = r. Logo, an > rn; como r > 1, sabemos que
rn → ∞ quando n → ∞, pelo terceiro item do limite (1.16). Portanto, a
série
∑
∞
n=0 an não converge, visto que {an} não tende a zero. �
Demonstração do Teste de comparação no limite. A hipótese para a
asserção (a) do teorema é que limn→∞(an/bn) = L, onde 0definição desse limite, para
M > 0 existe um n0 = n0(M) tal que
an
bn
≥ M, para todo n ≥ n0.
Logo, an ≥ Mbn se n ≥ n0; como a série com termo geral bn diverge, temos
que a série com termo geral an diverge também, pelo Teste de Comparação.
�
Demonstração do Teorema 2.31. Vamos escrever os termos an da série
∑
∞
n=0 an como uma diferença vn − wn, definidos por
vn =
{
an se an ≥ 0
0 se ando intervalo de convergência?
Como é uma série de potências, essa série converge no centro x0 = 2; de
fato, visto que
S1(x) =
1
3
(x− 2), S2(x) =
1
3
(x− 2) +
1
322
(x− 2)2,
e
Sn(x) =
1
3
(x− 2) +
1
322
(x− 2)2 + · · ·+ 1
3nn
(x− 2)n,
obtemos Sn(2) = 0, n = 1, 2, · · · , e
S(2) = lim
n→∞
Sn(2) = 0.
Ou seja, essa série converge no centro x0 = 2, e sua soma é S(2) = 0.
A seguir, usaremos o Teste da Razão para um x 6= 2, fixado, e cn =
∣
∣(x− 2)n/(3nn)
∣
∣:
cn+1
cn
=
∣
∣(x− 2)n+1/3n+1(n+ 1)
∣
∣
∣
∣(x− 2)n/(3nn)
∣
∣
=
n
3(n + 1)
|x− 2|,
onde efetuamos os cancelamentos das potências (x− 2)n e 3n.
Para calcular o limite na fração do lado direito, dividimos por n o nu-
merador e o denominador dessa fração; logo,
lim
n→∞
cn+1
cn
= lim
n→∞
1
3[1 + (1/n)]
|x− 2|
=
1
3
|x− 2|.
Pelo Teste da Razão, a série (3.6) converge absolutamente se |x− 2|/3 1. Ou seja, essa série converge absolutamente se
|x− 2| 3.
Sabemos que
|x− 2| 0, e diverge
em x x0 +R.
Para muitas séries de potências, o quociente
(3.7)
|an+1(x− x0)
n+1|
|an(x− x0)n|
=
|an+1|
|an|
|x− x0|
possui limite quando n tende ao infinito, como nas séries dos Exemplo 3.2 e
Exemplo 3.3. Nesse caso, o Teste da Razão garante que a série converge em
um dos três tipos de região citados.
Porém, mesmo quando o quociente (3.7) não possui limite, o teorema a
seguir confirma os três tipos de região de convergência da série.
Teorema 3.4. Para cada série de potências
(3.8)
∞
∑
n=0
an(x− x0)
n = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)
2 + · · ·
ocorre uma e somente uma das alternativas:
(a) a série (3.8) converge apenas em x = x0;
(b) a série (3.8) converge absolutamente em todo x real;
(c) existe um número R > 0 tal que a série (3.8) converge absoluta-
mente nos pontos do intervalo |x− x0| R. Veja Figura 3.1.
3.1. Séries de Potências 61
Figura 3.1. A região de convergência |x− x0| 1. Porém, quando x = ±1, temos as séries
∞
∑
n=1
1
n2
e
∞
∑
n=1
(−1)n
n2
,
62 3. Séries de Potências e Fórmula de Taylor
e ambas convergem (o módulo de (−1)n/n2 é 1/n2, e p-série, com p = 2,
converge). Portanto, a série (3.9) converge (absolutamente) no intervalo
fechado [0− 1, 1 + 0] = [−1, 1].
3.2. Derivação termo a termo de uma série de potências
Consideremos uma série de potências
∞
∑
n=0
an(x− x0)
n = a0 + a1(x− x0) + · · ·+ an(x− x0)
n + · · ·
convergente no intervalo (x0−R,x0+R), e com soma S(x). O próximo teo-
rema garante que S(x) é uma função derivável no intervalo de convergência
da série, e que a derivada S′(x) pode ser calculada por derivação termo a
termo da série, i.e.,
S′(x) = 0 + a1 + a2(x− x0) + · · ·+ nan(x− x0)
n−1 + · · · .
Ou seja, a maneira de calcular S′(x) é a mesma que usamos para derivar
uma soma finita de funções deriváveis.
Teorema 3.6. Seja
(3.10)
∞
∑
n=0
an(x− x0)
n = a0 + a1(x− x0) + · · ·+ an(x− x0)
n + · · ·
uma série de potências convergente no intervalo |x − x0|converge no centro x0 = 0, e sua soma S(0) é zero,
Para confirmar que a série (3.14) converge em um x 6= 0 fixado, usaremos
o Teste da Razão com
cn =
∣
∣
x2n+1
(2n + 1)!
∣
∣;
assim,
cn+1
cn
=
∣
∣x2(n+1)+1/[2(n + 1) + 1]!
∣
∣
∣
∣x(2n+1)/(2n + 1)!
∣
∣
=
|x|2
(2n + 3)(2n + 2)
;
a última fração decorre do cancelamento das potências x2n+1 e de (2n+1)!,
onde usamos que
[2(n + 1) + 1]! = (2n+ 3)(2n + 2)(2n + 1)!.
Logo,
lim
n→∞
cn+1
cn
= lim
n→∞
|x|2
(2n + 3)(2n + 2)
= 0,
e, como 0de funções que não pos-
suem primitivas em termos elementares; são exemplos dessas funções as
seguintes:
e−x2
,
senx
x
,
1
lnx
.
As primitivas dessas funções são funções especiais, com valores dados em
tabelas:
erf(x) =
2√
π
∫ x
0
e−t2 dt, Si(x) =
∫ x
0
sen t
t
dt,
e
Li(x) =
∫ x
2
1
ln t
dt,
conhecidas, respectivamente, por “função erro”, “função seno integral” e
“integral logaŕıtmica”.
No exemplo a seguir vamos usar Teorema 3.11 para apresentar uma
primitiva em termos de série de potências.
Exemplo 3.13. Verifique que
∫ x
0
e−t2 dt = x− x3
3 · 1! +
x5
5 · 2! − · · · + (−1)n
x2n+1
(2n + 1) · n! + · · · .
A série de potências desse exemplo representa uma primitiva F (x) para
e−x2
, ou seja, F ′(x) = e−x2
. Essa série pode ser usada para calcular os
valores da integral quando x é pequeno.
Substituindo x = −t2 na representação (3.13) da função ex, obtemos
e−t2 = 1 + (−t2) +
(−t2)2
2!
+
(−t2)3
3!
+ · · ·+ (−t2)n
n!
+ · · · .
Como essa série de potências converge em todo t real, podemos usar o Teo-
rema 3.11 para integrar essa série de 0 a x, obtendo assim a série de potências
do Exemplo 3.13:
(3.20)
∫ x
0
e−t2 dt = x− x3
3 · 1! +
x5
5 · 2! − · · ·+ (−1)n
x2n+1
(2n+ 1) · n! + · · · .
70 3. Séries de Potências e Fórmula de Taylor
Exemplo 3.14. Calcule uma aproximação acurada até a terceira casa dec-
imal para a integral
∫ 1/2
0
e−t2 dt.
Lembramos que uma aproximação A de um valor I é acurada até a
terceira casa decimal quando |I −A|1.3:
Proposição 1.4. Um número x é um limite da sequência {xn} se e
somente se para cada ε > 0 existir um n0 = n0(ε) tal que
(1.6) xn ∈ (x− ε, x+ ε), para todo n ≥ n0.
Segue da Proposição 1.4 que um número x é um limite da sequência
{xn} se, para cada ε > 0, o intervalo (x− ε, x+ ε) contiver todos os termos
xn, com a posśıvel exceção de um número finito de termos (no máximo,
ficam de fora do referido intervalo os termos x1, x2, · · · , xn0−1, no caso em
que n0 > 1).
Portanto, quando existir um ε0 > 0 tal que o intervalo (x − ε0, x + ε0)
deixa infinitos termos da sequência de fora dele, temos a garantia de que x
não pode ser um limite dessa sequência.
Vamos usar essa observação no próximo exemplo.
Exemplo 1.5. Verifique que as sequências (1.3) e (1.4) não convergem.
Os termos xn = (−1)n da sequência (1.3) correspondem ao número -1,
quando n é ı́mpar, e ao número 1, quando n é par. A diferença 1− (−1) = 2
é a distância entre −1 e 1. Para justificar que -1 não é um limite dessa
6 1. Sequências
sequência, escolhemos um ε0 > 0 tal que 0 −1; é claro que esse x pode ser o 1. Nesse
caso, escolhemos um ε1 > 0 tal que 0 −1 pode ser um limite da sequência (1.3), pela Proposição 1.4.
Isso completa a verificação de que a sequência (1.3) não converge.
Para ver que a sequência (1.4) não converge, podemos usar a conclusão
da Proposição 1.6 (à página 7). De fato, dado qualquer valor M > 0, sempre
existe um número n0 tal que
n2 > M para todo n ≥ n0.
Ou seja, os termos xn = n2 crescem indefinadamente, assim que n cresce.
Portanto, a sequência {n2} não converge, porque ela não é limitada.
1.2. Toda sequência convergente é limitada
Vamos verificar que se uma sequência {xn} converge para x, então existe
uma constante M tal que
(1.7) |xn| ≤ M para todo n.
Dizemos nesse caso que a sequência {xn} é limitada.
De fato, se uma sequência {xn} converge para x, então para ε = 1 existe
um n0 tal que
(1.8) |xn − x| 1, esssa desigual-
dade (1.10) pode não ser válida para os termos x1, · · · , xn0−1. Como esses
termos são em número finito, definimos
M = max{|x1|, · · · , |xn0−1|, 1 + |x|}.
Segue de (1.10) e dessa escolha de M que |xn| ≤ M para todo n.
Apresentamos essas informações na proposição seguinte
Proposição 1.6. Se uma sequência {xn} converge, então existe uma
constante M > 0 tal que
(1.11) |xn| ≤ M para todo n.
Essa desigualdade define o conceito de sequência limitada.
A rećıproca da afirmação contida na Proposição 1.6, em geral, é falsa.
A limitação de uma sequência é apenas uma condição necessária para a sua
convergência, como pode ser confirmado no próximo exemplo.
Exemplo 1.7. A sequência
−1, 1,−1, · · · , (−1)n, · · ·
não converge, mas é limitada.
Vimos no Exemplo 1.5 que essa sequência não converge. Porém, ela é
limitada:
|(−1)n| = 1, para todo n.
Ou seja, a constante M em (1.11) pode ser 1, ou qualquer número maior do
que 1.
1.3. Teorema do confronto
Essa observação, às vezes chamada também de “Teorema do sandúıche”,
permite calcular alguns limites de sequências, usando outras sequências com
limites já calculados.
Teorema 1.8. Sejam {an} e {bn} sequências convergentes tais que
lim
n→∞
an = lim
n→∞
bn.
Se an ≤ cn ≤ bn, então a sequência {cn} converge e
lim
n→∞
an = lim
n→∞
cn = lim
n→∞
bn.
A demonstração desse teorema é bem simples, e está apresentada à
página 17.
8 1. Sequências
Exemplo 1.9. Use a Teorema 1.8 para mostrar que
(a) limn→∞
cosn
n
= 0;
(b) limn→∞ e−n = 0.
Sabemos que −1 ≤ cos x ≤ 1 para todo x, logo
− 1
n
≤ cosn
n
≤ 1
n
.
Segue do Exemplo 1.1 que
lim
n→∞
1
n
= 0.
Para ver que
lim
n→∞
− 1
n
= 0,
basta notar que a distância de −1/n a zero é a mesma do que 1/n a zero,
visto que
| − 1
n
− 0| = | 1
n
− 0| = 1
n
.
Logo, podemos usar o Teorema 1.8 com as sequências an = −1/n e bn = 1/n,
para concluir que
lim
n→∞
cosn
n
= 0.
Para o limite em (b), lembre que ex > x para todo x; logo,
0cont́ınua em x0 = a, então
(1.13) lim
n→∞
g(an) = g( lim
n→∞
an) = g(a).
A demonstração dessa proposição está na Subseção 1.7.3, página 20.
Usando essa proposição, fica fácil determinar o limite das seguintes
sequências:
Exemplo 1.14. Calcule o limite das sequências
(a) {cos(e−n)}
(b) { n
√
a}, a > 0
Como e−n → 0 quando n → ∞, pelo Exemplo 1.9, e g(x) = cosx é
cont́ınua em x0 = 0, segue da Proposição 1.13 que
lim
n→∞
cos(e−n) = cos( lim
n→∞
e−n) = cos(0) = 1.
1.5. Função cont́ınua e sequência convergente 11
Para o item (b), lembramos que 1/n → 0 quando n → ∞ e que g(x) = ax
é cont́ınua em x0 = 0. Segue da Proposição 1.13 que
lim
n→∞
n
√
a = lim
n→∞
a1/n = a0 = 1.
Limite da sequência { n
√
n}. Podemos combinar a Proposição 1.13 com a
regra de L’Hôpital para calcular alguns limites, como mostramos no próximo
exemplo, onde analisamos a convergência da sequência
1,
√
2,
3
√
3, · · · , n
√
n, · · · .
Note que n
√
n ≥ 1 para todo n. Substituindo n igual aos valores 10, 100,
1.000 e 10.000 em n
√
n, obtemos
1, 25893; 1, 04713; 1, 00693; 1, 00092.
Assim, é natural esperar que o limite a seguir seja 1.
Exemplo 1.15. Verifique que
lim
n→∞
n
√
n = 1.
Inicialmente, reescrevemos a raiz enésima de n como
n
√
n = n1/n = (elnn)1/n = e(lnn)/n.
Para usar a regra de L’Hôpital, consideramos as funções de variável real x
lnx
x
,
e precisamos verificar se as funções do numerador e do denominador são
deriváveis, se é limite do tipo 0/0 ou ±∞/ ±∞, e se o limite do quociente
de derivadas existe (temos de checar essas hipóteses, em cada uso da regra).
Nesse caso, podemos usar a regra de L’Hôpital:
lim
x→∞
lnx
x
= lim
x→∞
1/x
1
= 0.
É claro que esse limite é válido com n em lugar de x e, como a função
g(x) = ex é cont́ınua em x0 = 0, segue da Proposição 1.13 que
lim
n→∞
e(lnn)/n = e0 = 1.
Assim, fica verificado que n
√
n → 1 quando n → ∞.
O seguinte exemplo é uma consequência imediata da Proposição 1.13,
visto que a função g(x) = |x| é cont́ınua em todo x real.
Exemplo 1.16. Verifique que se
lim
n→∞
yn = y,
então
lim
n→∞
|yn| = |y|.
12 1. Sequências
Use a sequência {(−1)n} para mostrar que a rećıproca da afirmação anterior
pode não ser verdadeira.
Como a função g(x) = |x| é cont́ınua em qualquer x, segue da Proposição 1.13,
e da hipótese sobre {yn}, que
lim
n→∞
g(yn) = g( lim
n→∞
yn) = g(y),
ou
lim
n→∞
|yn| = |y|.
A rećıproca da afirmação anterior nem sempre é verdadeira. De fato, a
sequência {|(−1)n|} converge, por ser constante (esse módulo é sempre 1),
mas a sequência {(−1)n} não converge, como mostramos no Exemplo 1.5.
Desigualdade de Bernoulli. Para r > 0, a seguinte desigualdade
(1.14) (1 + r)n ≥ 1 + nr,
válida para todo número natural n, é conhecida como desigualdade de
Bernoulli. Ela será usada no próximo exemplo.
Vamos usar o teorema do binômio para verificar (1.14) (outra alternatica
é usar indução finita sobre n). De fato, como r > 0, temos
(1 + r)n = 1 + nr +
n(n− 1)
2
r2 + · · ·+ nrn−1 + rn
≥ 1 + nr.
Uma versão mais forte da desigualdade (1.14) pode ser obtida quando
n ≥ 2. Basta escolher o terceiro termo do lado direito no desenvolvimento
do binômio, e abandonar os demais:
(1.15) (1 + r)n ≥ n(n− 1)r2
2
, se n = 2, 3, · · · .
Note que agora a cota inferior
n(n− 1)r2
2
cresce como n2.
Dois limites que serão usados com frequência. O primeiro exemplo
analisa a convergência das sequências {xn}
x, x2, x3, · · · , xn, · · ·
e o comportamento do limite
lim
n→∞
xn,
onde x é um número real.
1.5. Função cont́ınua e sequência convergente 13
O segundo exemplo se refere à sequência
x, 2x2, 3x3, · · · , nxn, · · ·
e ao limite
lim
n→∞
nxn.
Exemplo 1.17. Seja x um número real. Então
(1.16) lim
n→∞
xn =





0, se −1 1.
A hipótese no primeiro item desse limite é −1 0; a desigualdade (1.14) implica
que
|xn − 0| = |x|n =
1
(1 + r)n
≤ 1
1 + nr
.
Como 1 + nr → ∞ quando n → ∞, a sequência do lado direito converge
para zero, e |xn − 0| ≥ 0; logo, pela Observação 1.10, temos que
lim
n→∞
|xn − 0| = 0,
ou seja, xn → 0 quando n → ∞. Fica verificado o primeiro item do limite
(1.16).
Quando x = 1, é claro que xn → 1 assim que n → ∞ (é uma sequência
constante).
No terceiro item do limite (1.16), a hipótese é x > 1; então existe r > 0
tal que x = 1+ r; agora usamos novamente a desigualdade (1.14) para obter
xn = (1 + r)n ≥ 1 + nr;
como 1 + nr → ∞ quando n → ∞, a sequência {xn} também tende ao
infinito quando n → ∞.
No próximo limite temos de usar a desigualdade (1.15).
Exemplo 1.18. Seja x um número real. Então
lim
n→∞
nxn = 0 se −1 0; em virtude da desigualdade (1.15),
obtemos
|nxn − 0| = |nxn| = n|x|n =
n
(1 + r)n
≤ 2
(n− 1)r2
.
14 1. Sequências
A sequência do lado direito tende a zero quando n → ∞, e |nxn − 0| ≥ 0.
Logo, pela Observação 1.10,
lim
n→∞
|nxn − 0| = 0 se −1 
1
n+ 1
.
A sequência
−1, 1,−1, · · · , (−1)n, · · ·
não cresce, nem decresce, ela “oscila” entre os valores -1 e 1.
Várias demonstrações sobre convergência, tanto de sequências quanto de
séries, são baseadas no seguinte teorema (veja Figura 1.2).
Teorema 1.21. Suponha que uma sequência {xn} de números reais
satisfaça as condições
(a) x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn ≤ xn+1 ≤ · · · ;
(b) existe constante M tal que xn ≤ M , para todo n.
Então existe número real x tal que
lim
n→∞
xn = x.
Ou seja, toda sequência crescente e limitada superiormente converge.
A sequência
xn =
n
n+ 1
serve para ilustrar a afirmação do teorema anterior. Sabemos que ela con-
verge para o número 1, como vimos no Exemplo 1.2. Ela é crescente e
limitada superiormente por qualquer número M ≥ 1. A menor das cotas
superiores é o 1, justamente o limite da sequência.
16 1. Sequências
Aideia principal do demonstração do Teorema 1.21 está contida na frase
“A menor das cotas superiores é o 1, justamente o limite da sequência”. Para
essa sequência particular, verificamos facilmente que o 1 é a menor das cotas
superiores, logo essa menor cota superior existe; mas, para uma sequência
limitada qualquer de números reais, temos de usar o chamado “axioma do
supremo” para ter a garantia de que existe uma menor cota superior para
todos os termos da sequência.
Na Subseção 1.7.4, página 20, apresentamos a demonstração do Teo-
rema 1.21, supondo que a “menor cota superior” existe para toda sequência
limitada superiormente.
Observação 1.22. No Teorema 1.21, se trocarmos as hipóteses “sequência
crescente” por “sequência decrescente”, e “limitada superiormente” por “lim-
itada inferiormente”, a sequência será convergente também. Basta notar
que se uma sequência {xn} é decrescente (xn ≥ xn+1), então a sequência
{−xn} é crescente (−xn ≤ −xn+1); além disso, se xn ≥ K para todo n,
então −xn ≤ −K, para todo n; assim, o Teorema 1.21 aplicado à sequência
{−xn} garante que existe um número a tal que limn→∞(−xn) = a. Logo,
lim
n→∞
xn = −a.
É usual incluir os dois teoremas, o de sequência crescente e o de sequência
decrescente, em um único teorema, o chamado de “Teorema da Convergência
Monótona”, basta colocar como hipóteses “sequência monótona” e “limi-
tada”.
Sequências que tendem a +∞ quando n tende ao infinito. Em virtude
da Proposição 1.6, podemos afirmar que as sequências
(1.17) xn = n2, xn = en, e xn =
n3 + 1
n
não convergem, pois todas elas são ilimitadas. De maneira mais precisa,
{xn} tende a +∞ quando n tende ao infinito, de acordo com a definição a
seguir.
Definição 1.23. Dizemos que {xn} tende a +∞ quando n tende ao
infinito se para cada M > 0 existir em correspondência um número
n0 = n0(M) satisfazendo
xn ≥ M sempre que n ≥ n0.
Para essas sequências, usamos a notação
lim
n→∞
xn = +∞.
As três sequências de (1.17) satisfazem essa definição, como mostramos no
exemplo seguinte.
1.7. Apêndice-Demonstrações 17
Exemplo 1.24. Verifique que
lim
n→∞
n2 = +∞, lim
n→∞
en = +∞ e lim
n→∞
n3 + 1
n
= +∞.
Seja M > 0. Para o primeiro limite, a desigualdade xn ≥ M corresponde
a
n2 ≥ M ou n ≥
√
M.
Basta então escolhermos um n0 tal que n0 ≥
√
M para termos
n2 ≥ M sempre que n ≥ n0.
Pela Definição 1.23, fica assim verificado o primeiro limite.
Para o segundo limite,
en ≥ M ou n ≥ lnM.
Agora escolhemos n1 tal que n1 ≥ lnM . Logo,
en ≥ M sempre que n ≥ n1.
Para o terceiro limite, é mais fácil considerar a seguinte desigualdade
n3 + 1
n
= n2 +
1
n
> n2 ≥ M
e calcular o n0 a partir da desigualdade n2 ≥ M , ou seja, n ≥
√
M . Assim,
podemos usar o mesmo n0 do primeiro limite:
n3 + 1
n
≥ M sempre que n ≥ n0.
1.7. Apêndice-Demonstrações
1.7.1. Demonstração do Teorema 1.8. Seja ε > 0. Suponha que
lim
n→∞
an = lim
n→∞
bn = α.
Segue da Proposição 1.4 que existem n1 e n2 tais que
an ∈ (α− ε, α+ ε) para todo n ≥ n1
e
bn ∈ (α− ε, α + ε) para todo n ≥ n2.
Para todo n ≥ n0 = max{n1, n2}, segue das duas condições anteriores que
α− ε 0 para todo n ≥ n0.
Demonstração. Visto que y 6= 0, segue da Proposição 1.4, com ε = |y|/2,
que existe n0 tal que
(1.22) y − ε 0, usamos a primeira desigualdade de (1.22) e |y| = y
em
yn > y − ε
= |y| − |y|/2
= |y|/2 > 0, para todo n ≥ n0.
Logo, yn > 0 se n ≥ n0, e então |yn| = yn > |y|/2 se n ≥ n0.
Quando y |y|/2 se n ≥ n0. Portanto, |yn| = −yn > |y|/2 se
n ≥ n0. �
20 1. Sequências
1.7.3. Demonstração da Proposição 1.13. Como g é cont́ınua em a,
sabemos que
lim
x→a
g(x) = g(a).
Pela definição desse limite, para ε > 0, existe um número δ > 0 satisfazendo
(1.23) |g(x) − g(a)|ponto
M tenha deslizado para a esquerda, mas sem perder o papel de limitante
superior para todos os xn, até atingir o seu valor mı́nimo (essa possibilidade
existe em virtude do chamado “axioma do supremo”, válido para os números
reais); denotemos essa cota superior mı́nima por M0. Agora considere um
intervalo (M0 − ε,M0 + ε), onde ε > 0. Existe um xm > M0 − ε, pois M0 é
a menor cota superior para todos os termos da sequência {xn}; além disso,
como xm+1 ≥ xm, temos que xm+1 > M0 − ε também; o mesmo racioćınio
vale para xm+2, xm+3, · · · . Portanto,
xn ∈ (M0 − ε,M0 + ε) para todo n ≥ m.
Ou seja, pela Proposição 1.4, a sequência {xn} converge para M0.
Caṕıtulo 2
Séries
2.1. Introdução
Frequentemente, precisamos “somar” os termos de uma expressão do tipo
(2.1) 1 +
1
2
+
1
4
+ · · ·+ 1
2n
+ · · · ,
conhecida como uma série de números reais.
É claro que necessitamos de uma definição adequada de soma para uma
série, não é a soma usual como no caso de um número finito termos; os três
pontinhos em (2.1) indicam que o número de termos cresce indefinidamente,
logo não tem como chegar a um resultado se adotássemos a mesma definição
usada para soma de um número finito de parcelas.
Para orientar a definição de soma da expressão (2.1), consideremos a
sequência de somas parciais
s0 = 1,
s1 = 1 +
1
2
,
s2 = 1 +
1
2
+
1
4
,
· · · · · ·
sn = 1 +
1
2
+
1
4
+ · · ·+ 1
2n
.
Note que sn é a soma dos primeiros n + 1 termos da série (2.1). Podemos
visualizar essa sequência como uma soma de comprimentos de subintervalos
do intervalo [0, 2] (veja Figura 2.1). De fato, s0 pode ser interpretado como
o comprimento da primeira metade de [0, 2], i.e., comprimento do intervalo
[0, 1]; o s1 pode ser olhado como a soma de s0 com o comprimento da
21
22 2. Séries
Figura 2.1. Somas parciais da série (2.1)
primeira metade de [1, 2]; o s2 é a soma de s1 com o comprimento da primeira
metade de [3/2, 2]; ou seja, para passar de sk para sk+1, adicionamos a sk o
comprimento da primeira metade do intervalo [sk, 2].
A expressão de sn é a soma dos n+1 primeiros termos de uma progressão
geométrica de razão 1/2. A fórmula para obtermos essa soma é
(2.2)
sn =
1− (1/2)n+1
1− (1/2)
= 2− 1
2n
.
Logo, os termos da sequência {sn} são
1,
3
2
,
7
4
, · · · , 2− 1
2n
, · · · .
É claro que sn 1, mas é mais simples observar que
para esses valores de a, temos que
|an − 0| = |a|n ≥ 1, para todo n.
Logo, o termo geral an da série geométrica não converge para zero, quando
n tende ao infinito. Portanto, pelo Corolário 2.8 (à página 31), a série
geométrica não converge quando |a| ≥ 1.
Séries telescópicas. Dentre as poucas séries que conseguimos uma ex-
pressão para a soma dos termos da soma parcial sn, temos as que podem
ser escritas na forma
(2.5)
∞
∑
n=1
(bn − bn+1),
e que são conhecidas como “séries telescópicas”. Para essa classe de séries,
é fácil obter a soma dos termos de sn, basta cancelar os termos iguais e de
sinais opostos:
sn = (b1 − b2) + (b2 − b3) + (b3 − b4) + · · ·+ (bn − bn+1)
= b1 − bn+1.
É claro que a sequência {sn}converge (i.e., a série (2.5) converge) se e
somente se a sequência {bn} for convergente.
Segue um exemplo dessa classe de séries.
Exemplo 2.4. Determine a soma da série telescópica
(2.6)
1
1 · 2 +
1
2 · 3 +
1
3 · 4 + · · ·+ 1
n(n+ 1)
+ · · · .
Para ver que essa série é da forma (2.5), usamos uma decomposição em
frações parciais
1
n(n+ 1)
=
1
n
− 1
n+ 1
.
2.2. Série convergente e série divergente 27
Repetindo o procedimento anterior para obtermos a soma parcial sn, temos
sn =
1
1 · 2 +
1
2 · 3 +
1
3 · 4 + · · ·+ 1
n(n+ 1)
= (
1
1
− 1
2
) + (
1
2
− 1
3
) + (
1
3
− 1
4
) + · · ·+ (
1
n
− 1
n+ 1
)
= 1− 1
n+ 1
.
Fazendo n tender ao infinito na última fração, vemos que limn→∞ sn = 1.
Logo, a série (2.6) converge, a sua soma é 1, e escrevemos
∞
∑
n=1
1
n(n+ 1)
= 1.
Série harmônica. A série
1 +
1
2
+
1
3
+ · · ·+ 1
n
+ · · ·
é conhecida como série harmônica. Mostraremos no exemplo a seguir que ela
não converge, visto que a sua soma soma parcial sn satisfaz a desigualdade
sn ≥ ln(n+ 1)
e, como sabemos,
lim
n→∞
ln(n+ 1) = ∞.
Exemplo 2.5. A série harmônica
∞
∑
n=1
1
n
= 1 +
1
2
+
1
3
+ · · ·
diverge.
Para ver que as somas parciais
sn = 1 +
1
2
+
1
3
+ · · ·+ 1
n
da série harmônica tendem ao infinito quando n tende ao infinito, usaremos
uma comparação de áreas baseada na Figura 2.2, onde foi traçado o gráfico
da função f(x) = 1/x, x > 0.
A soma das áreas dos n retângulos R1, · · · , Rn é igual a sn, i.e.,
sn = área(R1) + área(R2) + · · ·+ área(Rn).
Em seguida, note que essa soma de áreas sn é maior do que a área da região
delimitada acima pela hipérbole y = 1/x, abaixo pelo eixo-x e ao lado pelas
retas x = 1 e x = n+ 1. Logo,
sn >
∫ n+1
1
1
x
dx = ln(n + 1);
28 2. Séries
Figura 2.2. área(R1) + área(R2) + · · ·+ área(Rn) >
∫
n+1
1
1
x
dx
como ln(n+ 1) → ∞ quando n → ∞, conclúımos que a sequência de somas
parciais {sn} tende ao infinito, ou seja, a série harmônica diverge.
As p-séries convergem quando p > 1
No exemplo seguinte, mostraremos que as p-séries convergem quando p > 1.
Como não temos uma expressão para a soma parcial sn dessa classe de séries,
de onde poderia ser deduzida a convergência da sequência {sn}, usaremos o
Teorema 1.21 para mostrar que a sequência {sn} converge.
Exemplo 2.6. A p-série
∞
∑
n=1
1
np
= 1 +
1
2p
+
1
3p
+ · · ·
converge quando p > 1. Essa série diverge se 0 1.
A sequência {sn} é crescente, pois
sn+1 = sn +
1
(n+ 1)p
> sn.
Para ver que essa sequência é limitada superiormente quando p > 1,
usaremos uma comparação de áreas baseada na Figura 2.3, na qual temos o
esboço do gráfico da função f(x) = 1/xp, x > 0 e p > 1.
As p-séries convergem quando p > 1 29
Figura 2.3. área(Q1) + área(Q2) + · · ·+ área(Qn−1) 1, o penúltimo termo do lado direito é negativo; abandonando
esse termo (o único que depende de n), encontramos uma cota superior para
sn:
(2.8) sn 1.
Quando p = 1, a 1-série é a série harmônica, e já vimos no Exemplo 2.5
que ela diverge. Resta o caso 0 1 +
1
2
+
1
3
+ · · ·+ 1
n
= sn.
30 2. Séries
Assim, a sequência {tn} diverge, visto que sn → ∞ quando n → ∞. Por-
tanto, as p-séries com 0n→∞
tn
= A+B.
Isso demonstra a asserção (a).
Para asserção (b), basta observar que
σn = ca0 + ca1 + · · ·+ can = c(a0 + a1 + · · ·+ an)
= csn
é a soma parcial da série
∑
∞
n=0 can. Como, por hipótese, {sn} converge para
A, temos que {σn} converge para cA. Isso demonstra o item (b). �
A seguir mostramos que remover ou acrescentar um número finito de
termos a uma série, não altera a sua propriedade de ser convergente ou
divergente.
Proposição 2.11. Para cada número natural k fixado, ou as duas séries
(2.10)
∞
∑
n=1
an e
∞
∑
n=k+1
an
convergem, ou essas duas séries divergem.
2.4. Teste de comparação 33
Demonstração. Denotemos por Sn e sm, respectivamente, as somas par-
ciais das séries de (2.10). Ou seja,
Sn = a1 + a2 + · · ·+ an
e
sm = ak+1 + ak+2 + · · · + ak+m.
Então, para n > k, temos a seguinte relação entre Sn e sm:
Sn = (a1 + a2 + · · ·+ ak) + (ak+1 + ak+2 + · · ·+ ak+n−k)
= (a1 + · · ·+ ak) + sn−k.
Logo, como k está fixado, temos que n tende ao infinito se e somente se
m = n − k também tender ao infinito; assim, a sequência {Sn} converge se
e somente se a sequência {sm} for convergente. Portanto, ou as duas séries
de (2.10) convergem, ou essas séries divergem. �
2.4. Teste de comparação
Nesta e nas próximas seções vamos apresentar sete testes de convergência
de séries. Em geral, não conhecemos uma expressão para a soma parcial
sn da série, logo só podemos decidir se a sequência {sn} converge ou não,
baseando-se em algum teorema de existência de limite.
A demonstração desses testes dependem essencialmente do Teorema 1.21,
seja diretamente, ou via o Teste de Comparação, o qual depende do referido
teorema. Todas as demonstrações estão na Seção 2.11, página 47.
Teorema 2.12 (Teste de comparação). Suponha que
0 ≤ an ≤ bn, n = 0, 1, · · · .
(a) Se a série
∑
∞
n=0 bn converge, então a série
∑
∞
n=0 an converge.
Além disso,
∞
∑
n=0
an ≤
∞
∑
n=0
bn.
(b) Se a série
∑
∞
n=0 an diverge, então a série
∑
∞
n=0 bn diverge.
O exemplo a seguir usa o Teste de comparação.
Exemplo 2.13. Decida se as seguintes séries convergem:
(i)
∞
∑
n=1
1 + e−n
n2 + 1
(ii)
∞
∑
n=1
4
2n− 1
.
Visto que e−n 1), logo
podemos usar o item (a) do Teorema 2.12 para concluir que a primeira série
converge.
Já para série do item (ii), usamos o item (b) do Teorema 2.12. De fato,
4
2n− 1
≥ 4
2n
=
2
n
e a série harmônica
∑
∞
n=1 1/n diverge (veja Exemplo 2.5).
2.5. Teste da integral
Este teste é uma generalização do fato que as p-séries convergem quando
p > 1, e divergem no caso 0 1 e
f(n) =
1
n lnn
= an;
além disso, f(x) é decrescente quando x > 1, pois
f ′(x) =
( 1
x lnx
)
′
= − lnx+ 1
(x lnx)2
 1.
2.5. Teste da integral 35
Para calcular a integral (2.11), fazemos a substituição u = lnx; assim,
du = (1/x)dx. Logo,
∫
∞
2
1
x lnx
dx = lim
M→∞
∫ M
2
1
x lnx
dx
= lim
M→∞
∫ lnM
ln 2
1
u
du
= lim
M→∞
[ln(lnM)− ln(ln 2)] = +∞;
nesse último cálculo foi usado que ln t → ∞ quando t → ∞. Essa integral
imprópria diverge, logo a série do item (i) diverge, pela segunda asserção do
Teorema 2.14.
No item (ii), usamos a função f(x) = 1/(x ln2 x), x > 1; ela é positiva e
notamos que é decrescente, visto que
f ′(x) =
−1
(x ln2 x)2
(
ln2 x+ 2x ln x
1
x
)
= − lnx+ 2
x2 ln3 x
 1; em seguida, usamos a mudança de variáveis u = lnx na integral
∫
∞
2
1
x ln2 x
dx = lim
M→∞
∫ M
2
1
x ln2 x
dx
= lim
M→∞
∫ lnM
ln 2
1
u2
du
= lim
M→∞
[− 1
lnM
+
1
ln 2
] =
1
ln 2
.
Agora, a convergência da integal imprópria garante que a série de (ii) con-
verge, pela a primeira asserção do Teorema 2.14.
Exemplo 2.16. Verifique que a seguinte série
∞
∑
n=1
earctan(n)
1 + n2
converge.
Podeŕıamos aplicar o Teorema 2.14 com a função
f(x) =
earctan x
1 + x2
,
visto que ela satisfaz todas as hipóteses desse teorema. Mas, para essa série
é mais simples usar o Teste de Comparação.
36 2. Séries
Figura 2.4. Gráfico da função y = arctan x
Com efeito, arctan(n) 0 e que
lim
n→∞
an+1
an
= L.
Então a série
∞
∑
n=0
an
converge se L 1. Quando L = 1, esse teste não é
conclusivo.
2.6. Teste da razão 37
Exemplo 2.18. Use o Teste da Razão para mostrar que a série
∞
∑
n=0
1
n!
= 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+ · · ·+ 1
n!
+ · · ·
converge (convenção: 0! = 1, 1! = 1). Estime o erro que se comete ao
aproximar a soma dessa série por s4.
Nesse caso an = 1/n!. Logo, visto que (n+ 1)! = (n+ 1)n!, obtemos
an+1
an
=
1/(n + 1)!
1/n!
=
n!
(n+ 1)n!
=
1
n+ 1
→ 0 quando n → ∞.
Como L = 0n = 1, 2, 3, · · · . Ou seja, a sequência
{bn} é crescente; como, b1 = 1, temos
bn ≥ 1.
Em particular, a sequência {bn} não converge para zero, e então a série do
item (ii) não converge, pelo Corolário 2.8.
Observação 2.20. Outra maneira de concluir que a série de (ii) não con-
verge, é imitar o que foi feito no Exemplo 1.15, e mostrar (os detalhes serão
apresentados em sala de aula) que
lim
n→∞
bn+1
bn
= lim
n→∞
(
1 +
1
n
)n
= e,
onde e ≥ 2. Portanto, como L = e > 1, o Teorema 2.17 garante que a série
do item (ii) não converge.
2.7. Séries alternadas, Teste de Leibniz 39
2.7. Séries alternadas, Teste de Leibniz
Agora vamos apresentar um teste de convergência para a classe de séries
∞
∑
n=1
(−1)n+1an = a1 − a2 + a3 − a4 + · · ·+ (−1)n+1an + · · · ,
onde cada an ≥ 0. Note que os sinais dos termos adjacentes se alternam.
De acordo com o Teorema 2.7, uma condição necessária para essa série
convergir é
lim
n→∞
(−1)n+1an = 0 ou lim
n→∞
an = 0,
pois
|(−1)n+1an − 0| = |(−1)n+1||an|
= |an − 0|.
Como será demonstrado na página 51, se adicionarmos a condição
a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ · · · ≥ an ≥ · · · ≥ 0,
temos o seguinte teste de convergência.
Teorema 2.21 (Teste de Leibniz). Suponha que an satisfaça as condições:
(a) a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ · · · ≥ an ≥ · · · ≥ 0;
(b) an → 0 quando n → ∞.
Então a série alternada
∞
∑
n=1
(−1)n+1an = a1 − a2 + a3 − a4 + · · · + (−1)n+1an + · · ·
converge.
O modelo mais simples para esse teorema é a série harmônica alternada,
analisada no próximo exemplo.
Exemplo 2.22. Verifique que a série harmônica alternada
∞
∑
n=1
(−1)n+1 1
n
= 1− 1
2
+
1
3
− · · ·+ (−1)n+1 1
n
+ · · ·
converge.
Nesse exemplo, an = 1/n. A sequência {an} satisfaz as hipóteses (a) do
Teorema 2.21, visto que
1 >
1
2
>
1
3
> · · · > 1
n
>
1
n+ 1
> · · · > 0.
A hipótese e (b) também está satisfeita, pois
lim
n→∞
an = lim
n→∞
1
n
= 0.
40 2. Séries
Logo, o Teste de Leibniz garante que a série harmônica alternada converge
para um número s. Posteriormente, no Caṕıtulo 3, mostraremos que s =
ln 2, aproximadamente 0, 693.
O próximo exemplo é uma pequena variação do anterior.
Exemplo 2.23. Use o teste da Leibniz para mostrar que a série
(2.12)
∞
∑
n=2
(−1)n
lnn
n
=
ln 2
2
− ln 3
3
+
ln 4
4
− · · ·+ (−1)n
lnn
n
+ · · ·
converge.
Seja an = (lnn)/n; note que an > 0 se n ≥ 2. Para mostrarmos que
an ≥ an+1, i.e., que a sequência {an} é decrescente, lembramos que a função
f(x) = lnx é crescente se x > 0. Assim, como g(x) = x é crescente também,
n lnn 
1
(n+ 1) ln(n+ 1)
.
Resta verificarmos a hipótese (b) do Teorema 2.21. A regra de L’Hôpital
mostra que (seu uso é permitido, pois é limite do tipo ∞/∞, e tanto f(x) =
lnx como g(x) = x são deriváveis)
(2.13) lim
x→∞
lnx
x
= lim
x→∞
1/x
1
= 0.
Em particular, an = (lnn)/n → 0 quando n → ∞.
Portanto, podemos usar o Teste de Leibniz (Teorema 2.21) para concluir
que a série
∞
∑
n=2
(−1)n
lnn
n
converge.
2.7.1. Estimativa para o erro |s − sn|. A proposição seguinte dá uma
estimativa para o erro que se comete quando aproximamos a soma s de uma
série alternada por sua soma parcial sn. A demonstração pode ser vista na
página 52.
Proposição 2.24. Suponha que a sequência {an} satisfaça as hipóteses
do Teorema 2.21. Se s e sn denotam, respectivamente, a soma e a soma
parcial de ordem n da série alternada
∞
∑
n=1
(−1)n+1an = a1 − a2 + a3 − · · · + (−1)n+1an + · · · ,
então
(2.14) |s− sn| ≤ an+1 para todo n.
2.8. Teste da raiz 41
Na demonstração da estimativa (2.14), fica claro que se todos os an são
estritamente positivos, então vale uma desigualdade estrita:
(2.15) |s− sn| 0 e que
lim
n→∞
n
√
an = L.
Então a série
∞
∑
n=0
an
converge se L 1. Quando L = 1, esse teste não é
conclusivo.
Exemplo 2.27. Use o teste da raiz para mostrar que a série
∞
∑
n=2
(
n
√
n− 1
)n
converge.
42 2. Séries
Vamos tomar a raiz enésima do termo geral an =
(
n
√
n− 1
)n
:
lim
n→∞
n
√
(
n
√
n− 1
)n
= lim
n→∞
(
n
√
n− 1
)
= 0,
em virtude do Exemplo 1.15. Como L = 0 0,
bn > 0 e que
lim
n→∞
an
bn
= L.
(a) Se 0− 1), para n grande,
é essencialmente 1/n2; para a simplificar o quociente, escreva n3 − 1 =
n3[1− (1/n3)], e cancele o n2:
lim
n→∞
(lnn+ 2)/(n3 − 1)
1/n2
= lim
n→∞
( lnn+ 2
n
1
1− 1/n3
)
= 0 · 1 = 0,
44 2. Séries
onde foi usada a regra de L’Hôpital no limite [veja o limite (2.13)]
lim
n→∞
lnn+ 2
n
= lim
n→∞
lnn
n
+ lim
n→∞
2
n
= 0.
O item (b) do Teorema 2.28 garante que a série do item (i) converge, pois a
série
∑
∞
n=1(1/n
2) converge.
Não podemos usar bn = 1/n2 para a série do item (ii), pois teŕıamos
lim
n→∞
(lnn+ 2)/(n2 − 1)
1/n2
= lim
n→∞
lnn+ 2
1− 1/n2
= +∞,
e o item (c) do Teorema 2.28 não é aplicável, já que a série de termo geral
1/n2 converge.
Nesse caso, lembramos que lnn ≤ √
n, se n ≥ 2; assim lnn+2 ≤ √
n+2
e então a fração da série de (ii) é, essencialmente, 1/n3/2, para n grande.
Logo, escolhemos bn = 1/n3/2; essa série converge, por ser uma p-série com
p > 1. Em seguida, escrevemos n2 − 1 = n2(1 − 1/n2) e cancelamos o n3/2
na fração a seguir:
lim
n→∞
(lnn+ 2)/(n2 − 1)
1/n3/2
= lim
n→∞
((ln n+ 2)√
n
1
1− (1/n2)
)
= 0 · 1 = 0,
onde usamos regra de L’Hôpital para mostrar que
lim
x→∞
lnx+ 2√
x
= 0.
Portanto, visto que o limite de an/bn é zero e que a série
∑
∞
n=2 bn converge,
segue do Teorema 2.28, item (b), que a série de (ii) converge.
2.10. Convergência absoluta
Com exceção do Teste de Leibniz, para séries alternadas, todos os outros
cinco testes de convergência apresentados anteriormente são para as séries
com termo geral positivo. Porém, quando a série contém infinitos termos
negativos, e infinitos termos positivos, é muito útil saber se a série dos
valores absolutos, i.e.,
(2.16)
∞
∑
n=0
|an| = |a0|+ |a1|+ · · ·+ |an|+ · · · ,
converge. A convergência da série (2.16) implica a convergência da série
sem o módulo. Essa é a conclusão do Teorema 2.31 enunciado a seguir, e
demonstrado na página 54.
O próximo teorema é um teste de convergência, e sua hipótese pode ser
verificada com qualquer um dos testes de convergência já abordados, exceto
o Teste de Leibniz.
2.10. Convergência absoluta 45
Teorema 2.31. Se a série
∑
∞
n=0 |an| converge, então a série
∞
∑
n=0
an
também converge.
Exemplo 2.32. Explique por que a série
(2.17)
∞
∑
n=1
cosn
n3
converge.
O termo geral da série (2.17) muda de sinal com n, mas ela não é uma
série alternada, visto que cos 1 > 0, cosn 0, etc.
Porém, como
∣
∣
cosn
n3
∣
∣ ≤ 1
n3
,
e a série
∞
∑
n=1
1
n3
converge, por ser uma p-série com p = 3 (Exemplo 2.6), o Teste de Com-
paração implica a convergência da série
∞
∑
n=1
∣
∣
cosn
n3
∣
∣.
Portanto, podemos usar o Teorema 2.31 para concluir que série (2.17) con-
verge.
Definição 2.33. Dizemos que a série
∑
∞
n=0 an converge absolutamente
quando a série
∑
∞
n=0 |an| for convergente.
Mesmo sendo repetitivo, vamos enfatizar o significado dessa definição.
Associamos à série (2.16) a sequência de somas parciais {σn}, onde
σ0 = |a0|,
σ1 = |a0|+ |a1|,
σ2 = |a0|+ |a1|+ |a2|,
· · · · · ·
σn = |a0|+ |a1|+ · · ·+ |an|.
Dizemos que a série
∑
∞
n=0 an converge absolutamente quando a sequência
de somas parciais {σn} convergir para um número real σ; esse número σ é,
por definição, a soma da série (2.16).
46 2. Séries
Por outro lado, se a sequência de somas parciais {σn} não convergir,
dizemos que a série
∑
∞
n=0 an não converge absolutamente. Porém, nesse
caso, a série
∑
∞
n=0 an ainda pode convergir, como mostra o próximo exemplo.
Exemplo 2.34. A série harmônica alternada
∞
∑
n=1
(−1)n+1 1
n
= 1− 1
2
+
1
3
− · · ·+ (−1)n+1 1
n
+ · · ·
converge, mas não converge absolutamente.
De fato, vimos no Exemplo 2.22 que a série harmônica alternada con-
verge pelo Teste de Leibniz. Por outro lado, a série dos módulos
∞
∑
n=1
∣
∣(−1)n+1 1
n
∣
∣ =
∞
∑
n=1
1
n
não converge, por ser uma p-série com p = 1 (é a série harmônica, veja o
Exemplo 2.5). Nesse caso dizemos que a convergência é condicional.
Definição 2.35. Dizemos que a série
∑
∞
n=0 an converge condicional-
mente quando
∑
∞
n=0 an converge e
∞
∑
n=0
|an| não converge.
A série do Exemplo 2.23 converge condicionalmente também (por quê?).
Convergência absoluta da série geométrica. Mostramos no Exemplo 2.3
que a série geométrica de razão a converge se e somente se −1 0 e os intervalos de integração [1, n] crescem com n. Assim, a
sequência {bn} é crescente. Além disso, ela é limitada superiormente, pois
a integral imprópria de f(x) no intervalo [1,∞) converge, logo
bn =
∫ n
1
f(x) dx ≤ lim
n→∞
∫ n
1
f(x) dx = B, n = 2, 3, · · · .
Dessa desigualdade e de (2.19), obtemos
sn 0.
Segue do Teorema