Geometria plana

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<p>Autor - Lucas Octavio de Souza</p><p>(Jeca)</p><p>Geometria plana.</p><p>Resumo teórico e exercícios.</p><p>3º Colegial / Curso Extensivo.</p><p>Relação das aulas.</p><p>Aula 01 - Conceitos iniciais................................................................</p><p>Aula 02 - Pontos notáveis de um triângulo.........................................</p><p>Aula 03 - Congruência de triângulos..................................................</p><p>Aula 04 - Quadriláteros notáveis........................................................</p><p>Aula 05 - Polígonos convexos............................................................</p><p>Aula 06 - Ângulos na circunferência...................................................</p><p>Aula 07 - Segmentos proporcionais...................................................</p><p>Aula 08 - Semelhança de triângulos...................................................</p><p>Aula 09 - Relações métricas no triângulo retângulo...........................</p><p>Aula 10 - Relações métricas num triângulo qualquer.......................</p><p>Aula 11 - Circunferência e círculo.....................................................</p><p>Aula 12 - Inscrição e circunscrição de polígonos regulares.............</p><p>Aula 13 - Áreas das figuras planas...................................................</p><p>Autor - Lucas Octavio de Souza</p><p>(Jeca)</p><p>Jeca 01</p><p>02</p><p>17</p><p>27</p><p>36</p><p>45</p><p>58</p><p>70</p><p>80</p><p>94</p><p>107</p><p>121</p><p>131</p><p>141</p><p>Página</p><p>I) Reta, semirreta e segmento de reta.</p><p>A B</p><p>A B</p><p>A B</p><p>A B</p><p>reta AB</p><p>semirreta BA</p><p>segmento AB</p><p>semirreta AB</p><p>Definições.</p><p>a) Segmentos congruentes.</p><p>Dois segmentos são congruentes se têm a mesma medida.</p><p>b) Ponto médio de um segmento.</p><p>Um ponto P é ponto médio do segmento AB se pertence ao</p><p>segmento e divide AB em dois segmentos congruentes.</p><p>c) Mediatriz de um segmento.</p><p>É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médio</p><p>II) Ângulo.</p><p>A</p><p>O</p><p>B</p><p>a</p><p>OA - lado</p><p>OB - lado</p><p>O - vértice</p><p>ângulo AOB ou ângulo a</p><p>Definições.</p><p>a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas de</p><p>mesma origem.</p><p>b) Ângulos congruentes.</p><p>Dois ângulos são ditos congruentes se têm a mesma</p><p>medida.</p><p>c) Bissetriz de um ângulo.</p><p>É a semirreta de origem no vértice do ângulo que divide</p><p>esse ângulo em dois ângulos congruentes.</p><p>IIa) Unidades de medida de ângulo.</p><p>a) Grau.</p><p>A medida de uma volta completa é 360º.</p><p>1º = 60'</p><p>1' = 60"</p><p>b) Radiano.</p><p>A medida de uma volta completa é 2p radianos.</p><p>Um radiano é a medida do ângulo central de uma</p><p>circunferência cuja medida do arco correspondente é</p><p>igual à medida do raio da circunferência.</p><p>º - grau</p><p>' - minuto</p><p>" - segundo</p><p>IIb) Classificação dos ângulos.</p><p>= 0º - ângulo nulo.</p><p>0º</p><p>o)</p><p>52º</p><p>x</p><p>O O</p><p>O</p><p>O</p><p>O</p><p>O O</p><p>O</p><p>37º</p><p>x</p><p>O</p><p>37º</p><p>x x</p><p>88º</p><p>56º</p><p>x</p><p>33º</p><p>87º</p><p>x</p><p>11</p><p>8º</p><p>34</p><p>º</p><p>142º</p><p>34º</p><p>x</p><p>146º</p><p>x</p><p>x 54º</p><p>ta</p><p>ngen</p><p>te</p><p>165º</p><p>77º</p><p>x</p><p>Jeca 60</p><p>A</p><p>B</p><p>CD</p><p>E</p><p>F</p><p>G</p><p>H</p><p>70º</p><p>03) Na circunferência abaixo pode-se afirmar que:</p><p>a) as medidas dos arcos AHG e EDG são iguais.</p><p>b) a soma dos arcos AHG e ABC é 180º.</p><p>c) a soma dos arcos GFE e ABC é 140º.</p><p>d) o arco GFE é maior que o arco EDC.</p><p>e) a soma dos arcos GFE e ABC é 220º.</p><p>04) (J) Dada uma circunferência de diâmetro AB, seja</p><p>P um ponto da circunferência distinto de A e de B.</p><p>Pode-se afirmar que :</p><p>a) PA = PB</p><p>b) PA + PB = constante</p><p>c) PA > PB</p><p>2 2</p><p>d) (PA) + (PB) = constante</p><p>2 2</p><p>e) (PA) - (PB) = constante</p><p>CA</p><p>B</p><p>D</p><p>E F</p><p>05) Na figura abaixo, a circunferência de centro C</p><p>tangencia o triângulo DEF nos pontos A e B. Sabendo-</p><p>se que a medida do ângulo interno D é 40º e que a</p><p>medida do arco AGB é 75º, determinar a medida do</p><p>ângulo x.</p><p>G</p><p>x</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>O</p><p>118º</p><p>x</p><p>y</p><p>06) Na figura abaixo, os pontos A, B e C são pontos</p><p>da circunferência de centro O. O valor de x + y é :</p><p>a) 242º</p><p>b) 121º</p><p>c) 118º</p><p>d) 59º</p><p>e) 62º</p><p>A</p><p>B</p><p>P</p><p>R S</p><p>M</p><p>N</p><p>K</p><p>07) Na figura abaixo, as duas circunferências têm o</p><p>mesmo raio e centros nos pontos R e S. Os pontos A,</p><p>P, B e S estão na circunferência de centro R e os</p><p>pontos M, N, R e K estão na circunferência de centro</p><p>S. Se o arco APB mede 86º, então o ângulo MKN,</p><p>mede :</p><p>a) 23º</p><p>b) 21º 30’</p><p>c) 22º</p><p>d) 22º 30’</p><p>e) 43º</p><p>A B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>09) Na figura abaixo, AB é o diâmetro e C, D e E são</p><p>pontos da circunferência. Sabendo-se que o ângulo</p><p>DCE mede 38º, determine a medida do ângulo EFD.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>08) Dado um pentágono regular ABCDE, constói-se</p><p>uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma</p><p>que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência,</p><p>em B e em E, respectivamente. Determine a medida,</p><p>em graus, do menor arco BE dessa circunferência.</p><p>N</p><p>S</p><p>M</p><p>T</p><p>P</p><p>Q</p><p>10) (MACK-SP) Na figura a seguir, os arcos QMP e</p><p>MTQ medem,respectivamente, 170º e 130º. Então,</p><p>o arco MSN mede:</p><p>a) 60º b) 70º c) 80º d) 100º e) 110º</p><p>Jeca 61</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>G</p><p>HI</p><p>J</p><p>K</p><p>L</p><p>M</p><p>N</p><p>P</p><p>O</p><p>A B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>G</p><p>H</p><p>I</p><p>JKL</p><p>M</p><p>N</p><p>P</p><p>Q</p><p>R</p><p>S</p><p>T</p><p>U</p><p>O</p><p>11) No pentadecágono regular abaixo, determinar a</p><p>medida do ângulo agudo formado entre as diagonais</p><p>NE e BJ.</p><p>x y</p><p>z</p><p>12) No icoságono regular abaixo, BK, CN e HN são</p><p>diagonais. Determine as medidas dos ângulos x, y e</p><p>z.</p><p>A</p><p>AB</p><p>B</p><p>C</p><p>C</p><p>D</p><p>D</p><p>E</p><p>E</p><p>F</p><p>FG</p><p>G</p><p>H</p><p>H</p><p>I</p><p>I</p><p>J</p><p>J</p><p>K</p><p>K</p><p>L</p><p>L</p><p>O</p><p>O</p><p>x</p><p>yz</p><p>t</p><p>13) No dodecágono regular de centro O abaixo, deter-</p><p>minar as medidas dos ângulos x, y, z e t.</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>t</p><p>14) A figura abaixo representa um quadrilátero BEFK</p><p>inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determi-</p><p>nar as medidas dos ângulos x, y, z e t.</p><p>15) A figura abaixo representa um eneágono regular</p><p>ABCD … de centro O. Sendo OI a bissetriz do ângulo</p><p>AIH e OP a mediatriz do segmento FE, determinar as</p><p>medidas dos ângulos x, y, z e t. A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>EF</p><p>G</p><p>H</p><p>I</p><p>O</p><p>16) No eneágono regular ABCD … , determinar a</p><p>medida do ângulo x formado pelas retas IB e DE.</p><p>DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos</p><p>DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos</p><p>DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos</p><p>x</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>EF</p><p>G</p><p>H</p><p>I</p><p>O</p><p>P</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>t</p><p>Jeca 62</p><p>Respostas desta aula.</p><p>01)</p><p>a) 59º b) 82º c) 92º d) 39º e) 90º</p><p>f) 28º g) 28º h) 76º i) 87º</p><p>02)</p><p>a) 28º b) 22º 30' c) 110º d) 20º e) 40º</p><p>f) 38º g) 53º h) 53º i) 72º j) 120º</p><p>k) 42º l) 92º m) 107º n) 54º o) 59º</p><p>03) e</p><p>04) d</p><p>05) 35º</p><p>06) d</p><p>07) b</p><p>08) 144º</p><p>09) 108º</p><p>10) a</p><p>11) 84º</p><p>12) 45º, 99º e 36º</p><p>13) 75º, 30º, 45º e 60º</p><p>14) 60º, 90º, 120º e 90º</p><p>15) 140º, 140º, 70º e 140º</p><p>16) 40º</p><p>Importante para mim.</p><p>Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma</p><p>mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br</p><p>Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.</p><p>Obrigado.</p><p>Jeca</p><p>Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor</p><p>Jeca 63</p><p>Estudos sobre Geometria realizados</p><p>pelo prof. Jeca</p><p>(Lucas Octavio de Souza)</p><p>(São João da Boa Vista - SP)</p><p>Geometria plana</p><p>Ângulos na circunferência.</p><p>Exercícios complementares da aula 06.</p><p>O86º</p><p>x V</p><p>a)</p><p>24</p><p>6º</p><p>x</p><p>O</p><p>V</p><p>b)</p><p>76º</p><p>x</p><p>V</p><p>O</p><p>c)</p><p>O136ºx</p><p>d)</p><p>x</p><p>88º</p><p>O</p><p>e)</p><p>x</p><p>29º</p><p>O</p><p>f)</p><p>x 94º</p><p>70º</p><p>O O</p><p>g)</p><p>87º</p><p>23º</p><p>xh)</p><p>68</p><p>º</p><p>102º</p><p>O</p><p>x</p><p>i)</p><p>33º</p><p>x</p><p>O</p><p>j)</p><p>O</p><p>38</p><p>º</p><p>10</p><p>6º</p><p>x</p><p>l)</p><p>x</p><p>O</p><p>m)</p><p>O</p><p>n)</p><p>51º</p><p>x</p><p>O</p><p>56º</p><p>x</p><p>o)</p><p>x</p><p>O</p><p>196ºp)</p><p>01) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.</p><p>Jeca 64</p><p>O O O</p><p>O</p><p>O</p><p>O</p><p>OO</p><p>O</p><p>O</p><p>O</p><p>O</p><p>O</p><p>O</p><p>a)</p><p>x</p><p>2x</p><p>b) c)</p><p>d) e) f)</p><p>g) h) i)</p><p>j) l) m)</p><p>n) o) p)</p><p>98º</p><p>x</p><p>78º</p><p>x</p><p>57º</p><p>x 42º x</p><p>58º</p><p>88º</p><p>x</p><p>x</p><p>56º</p><p>14</p><p>0º 26º</p><p>x</p><p>94º</p><p>x</p><p>40º</p><p>36º</p><p>x</p><p>68º</p><p>82º</p><p>55º</p><p>120º</p><p>x</p><p>115º</p><p>10</p><p>0º</p><p>x</p><p>O</p><p>x</p><p>56º</p><p>x</p><p>44º</p><p>48º</p><p>x</p><p>02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.</p><p>Jeca 65</p><p>08) Na figura abaixo, AB = 12 cm é um diâmetro da cir-</p><p>cunferência de centro C. Sendo D um ponto da circun-</p><p>ferência diferente de A e de B, determine :</p><p>a) a medida do ângulo ADB.</p><p>b) o tipo do triângulo ADB.</p><p>c) o que é o segmento CD no triângulo ADB.</p><p>d) a medida do segmento CD.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>A</p><p>C</p><p>B</p><p>D</p><p>E</p><p>03) Na circunferência de centro C abaixo, AB é um</p><p>diâmetro e a medida do segmento DE é a metade da</p><p>medida de AB. Determine a medida dos ângulos ADB,</p><p>ECD e AFE.</p><p>F</p><p>A</p><p>P</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>04) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tangentes à</p><p>circunferência de centro C nos pontos A e B.</p><p>Sabendo-se que o ângulo APB mede 48º, determinar</p><p>a medida do arco ADB.</p><p>28º</p><p>72º</p><p>O</p><p>x</p><p>A</p><p>BC</p><p>D</p><p>E</p><p>05) Na figura abaixo, A, B, C e D são pontos da cir-</p><p>cunferência de diâmetro AD e centro O. Determine</p><p>a medida do ângulo AEB.</p><p>06) Sejam P, Q e R pontos de uma circunferência de</p><p>centro O, tais que P e Q estão do mesmo lado do</p><p>diâmetro que passa por R. Sabendo que ORP = 20º e</p><p>ROQ = 80º, calcule o ângulo PQO.</p><p>O</p><p>R</p><p>A B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>07) Na figura abaixo, AB é o diâmetro e C, D e E são</p><p>pontos da circunferência. Sabendo-se que o ângulo</p><p>DCE mede 35º, determine a medida do ângulo BFE.</p><p>Jeca 66</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>EF</p><p>G</p><p>H</p><p>I</p><p>09) A figura abaixo representa um eneágono regular</p><p>inscrito em uma circunferência de centro O. Determinar</p><p>a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais</p><p>GB e HD.</p><p>Ox</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>F</p><p>EG</p><p>H</p><p>I</p><p>J</p><p>10) A figura abaixo representa um decágono regular</p><p>inscrito em uma circunferência de centro O. Sendo OJ</p><p>e OC as bissetrizes dos ângulos AJI e BCD</p><p>respectivamente, determinar a medida do ângulo COJ.</p><p>O</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>DE</p><p>F</p><p>G</p><p>O</p><p>11) A figura abaixo representa um heptágono regular</p><p>inscrito numa circunferência de centro O. Determinar a</p><p>medida do ângulo BDG.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>G</p><p>HI</p><p>J</p><p>K</p><p>L</p><p>M</p><p>N</p><p>P</p><p>O</p><p>12) A figura abaixo representa um pentadecágono re-</p><p>gular inscrito numa circunferência de centro O. Deter-</p><p>minar o ângulo obtuso formado entre as diagonais MD</p><p>e BI.</p><p>DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos</p><p>DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos</p><p>Jeca 67</p><p>A</p><p>B CD</p><p>E</p><p>F</p><p>O</p><p>17) No triângulo ABC abaixo, AD, BE e CF são as alturas relativas aos vértices A, B e C. Sendo as medidas dos</p><p>ângulos ABC = 48º e ACB = 64º,determinar as medidas dos ângulos internos do triângulo DEF.</p><p>Desafio</p><p>13) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão</p><p>na circunferência de centro O. Se o arco APC mede</p><p>160º e o ângulo BAC mede 63º, qual é a medida do</p><p>ângulo ACB ?</p><p>a) 51º</p><p>b) 43º</p><p>c)</p><p>33º</p><p>d) 47º</p><p>e) 37º</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>PM</p><p>N</p><p>O</p><p>14) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão</p><p>na circunferência de centro O. Se o arco AMB mede</p><p>110º e o ângulo ABC mede 63º, qual é a medida do</p><p>ângulo BAC ?</p><p>a) 62º</p><p>b) 64º</p><p>c) 58º</p><p>d) 63º</p><p>e) 59º</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>PM</p><p>N</p><p>O</p><p>35ºA B</p><p>O</p><p>D</p><p>C</p><p>x</p><p>15) Na figura abaixo, AB é o diâmetro da circunferência</p><p>de centro O. Determinar a medida do ângulo ADC</p><p>sabendo que o ângulo BAC mede 35º.</p><p>16) (FUVEST-SP) A hipotenusa de um triângulo retân-</p><p>gulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20º.</p><p>a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa ?</p><p>b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana</p><p>e pela bissetriz do ângulo reto ?</p><p>Jeca 68</p><p>Respostas desta aula.</p><p>01)</p><p>a) 43º b) 123º c) 152º d) 136º e) 44º</p><p>f) 29º g) 16º h) 128º i) 95º j) 57º</p><p>l) 34º m) 90º n) 39º o) 124º p) 82º</p><p>02)</p><p>a) 60º b) 98º c) 204º d) 33º e) 48º</p><p>f) 156º g) 24º h) 42º i) 112º j) 96º</p><p>l) 65º m) 70º n) 112º o) 46º p) 48º</p><p>03) 90º, 60º e 60º</p><p>04) 228º</p><p>05) 22º</p><p>06) 60º</p><p>07) 55º</p><p>08) a) 90º b) triângulo retângulo</p><p>c) mediana d) 6 cm</p><p>09) 60º</p><p>10) 108º</p><p>11) 360º / 7</p><p>12) 108º</p><p>13) e</p><p>14) a</p><p>15) 125º</p><p>16) a) 10 cm b) 25º</p><p>Resolução do exercício 17) (Desafio)</p><p>O quadrilátero AFOE é inscrito numa circunferência, pois os os ângulos opostos AFO e AEO são</p><p>suplementares. Desenhando-se a circunferência percebe-se que os ângulos EAO e EFO são</p><p>congruentes pois estâo inscritos no mesmo arco da mesma circunferência. Análogamente provam-se os</p><p>demais ângulos.</p><p>A</p><p>B C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>O</p><p>DEF = 84º</p><p>DFE = 52º</p><p>EDF = 44º</p><p>64º</p><p>26º</p><p>26º</p><p>Importante para mim.</p><p>Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma</p><p>mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br</p><p>Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.</p><p>Obrigado.</p><p>Jeca</p><p>Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor</p><p>Jeca 69</p><p>II) Teorema da bissetriz interna.I) Teorema de Tales.</p><p>Em todo feixe de retas paralelas, cortado por uma</p><p>reta transversal, a razão entre dois segmento quais-</p><p>quer de uma transversal é igual à razão entre os seg-</p><p>mentos correspondentes da outra transversal.</p><p>Em todo triângulo, a bissetriz de um ângulo interno</p><p>divide internamente o lado oposto em dois segmentos</p><p>que são proporcionais aos lados adjacentes.</p><p>r</p><p>t</p><p>r // s // t</p><p>s</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>d</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>d=</p><p>aa</p><p>bissetriz</p><p>A</p><p>B C</p><p>bc</p><p>x y</p><p>x</p><p>c</p><p>y</p><p>b=</p><p>Teorema</p><p>de Tales</p><p>Teorema da</p><p>bissetriz interna</p><p>r</p><p>s</p><p>t</p><p>r // s // t r // s // t</p><p>r // s // t</p><p>x</p><p>65</p><p>8</p><p>r</p><p>s</p><p>t</p><p>x 8</p><p>18 24</p><p>r</p><p>s</p><p>t</p><p>x</p><p>12 10</p><p>18</p><p>r</p><p>s</p><p>r // s</p><p>5</p><p>4x</p><p>8</p><p>x1210</p><p>6</p><p>r</p><p>s</p><p>t</p><p>r // s // t</p><p>r</p><p>s</p><p>r // s</p><p>7</p><p>11</p><p>8</p><p>x</p><p>01) Determine o valor de x na figura abaixo. 02) Determine o valor de x na figura abaixo.</p><p>03) Determine o valor de x na figura abaixo. 04) Determine o valor de x na figura abaixo.</p><p>05) Determine o valor de x na figura abaixo. 06) Determine o valor de x na figura abaixo.</p><p>Exercícios.</p><p>Estudos sobre Geometria realizados</p><p>pelo prof. Jeca</p><p>(Lucas Octavio de Souza)</p><p>(São João da Boa Vista - SP)</p><p>Geometria plana</p><p>Aula 07</p><p>Segmentos proporcionais.</p><p>Jeca 70</p><p>07) (MAPOFEI 76) Três terrenos têm frente para a</p><p>Rua A e para a Rua B, como mostra a figura. As divisas</p><p>laterais são perpendiculares à Rua A. Qual a medida</p><p>de frente para a Rua B de cada lote, sabendo que a</p><p>frente total para essa rua é 180 m.</p><p>40 m 30 m 20 m</p><p>Rua B</p><p>Rua A</p><p>y</p><p>z</p><p>x</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>G</p><p>H</p><p>I</p><p>J</p><p>L</p><p>M</p><p>m</p><p>n</p><p>p</p><p>q</p><p>r</p><p>s</p><p>08) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são</p><p>paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v.</p><p>Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6,</p><p>EF = 7 e JL = 8, determine a medida de GJ e de HM.</p><p>u v</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>G</p><p>H</p><p>I</p><p>J</p><p>L</p><p>M</p><p>m</p><p>n</p><p>p</p><p>q</p><p>r</p><p>s</p><p>09) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são</p><p>paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v.</p><p>Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6,</p><p>EF = 7 e JM =15, determine as medidas de HL e GM.</p><p>u v</p><p>10) (UNICAMP) A figura a seguir mostra um segmen-</p><p>to AD dividido em três partes: AB = 2cm, BC = 3 cm</p><p>e CD = 5 cm. O segmento AD' mede 13 cm e as</p><p>retas BB' e CC' são paralelas a DD'. Determine os</p><p>comprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D' em</p><p>centímetros.</p><p>A B C D</p><p>B'</p><p>C'</p><p>D'</p><p>Jeca 71</p><p>11) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do</p><p>ângulo interno do vértice A, determine a medida do</p><p>segmento AC.</p><p>a a</p><p>12</p><p>c</p><p>m</p><p>6 cm 9 cm</p><p>A</p><p>B D C</p><p>12) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do</p><p>ângulo interno do vértice A, determine a medida do</p><p>segmento BD.</p><p>aa</p><p>A</p><p>C</p><p>D</p><p>B</p><p>20 cm</p><p>16 cm 10 cm</p><p>13) Na figura, AD é bissetriz interna do ângulo A.</p><p>Calcule a medida do segmento CD.</p><p>A</p><p>B C</p><p>30 cm</p><p>14 cm</p><p>16</p><p>c</p><p>m</p><p>D</p><p>14) Determinar o valor de x sabendo-se que na figura</p><p>abaixo AD é a bissetriz interna do ângulo A.</p><p>A</p><p>B CD</p><p>12 cm 9 cm</p><p>3x + 1 3x - 3</p><p>15) O quadrado ABCD da figura abaixo tem lado 4 cm.</p><p>Determine a medida do segmento DE.</p><p>a</p><p>3a</p><p>A B</p><p>CD</p><p>A</p><p>B CD</p><p>E</p><p>3 cm 5 cm</p><p>10 cm</p><p>16) Na figura abaixo, o ponto E é o incentro do triân-</p><p>gulo ABC. Sendo BD = 3 cm, CD = 5 cm e AC = 10 cm,</p><p>determine o valor da razão DE / AE.</p><p>E</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>d</p><p>17) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo</p><p>A, determine a em função de b, c e d.</p><p>a</p><p>a</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>18) Dado um triângulo ABC de lados AB = c, AC = b e</p><p>BC = a, sendo c</p><p>complementares da aula 07.</p><p>03) Na figura abaixo, determine z em função de y.</p><p>r</p><p>s</p><p>t</p><p>x</p><p>3x</p><p>y</p><p>z</p><p>r // s // t</p><p>r</p><p>s</p><p>t</p><p>2</p><p>3</p><p>x</p><p>y</p><p>r // s // t</p><p>04) Na figura abaixo, sendo x + y = 9, determinar o</p><p>valor de x e de y.</p><p>02) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x</p><p>e y.a</p><p>b</p><p>c</p><p>d</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>d</p><p>x</p><p>y 4</p><p>4</p><p>57</p><p>5 x</p><p>8 10</p><p>y 7</p><p>01) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x</p><p>e y.</p><p>08) Num triângulo ABC, o lado AC mede 32 cm e o lado</p><p>BC, 36 cm. Por um ponto M situado sobre AC, a 10 cm</p><p>do vértice C, traçamos a paralela ao lado AB, a qual</p><p>divide BC em dois segmentos BN e CN. Determine a</p><p>medida de CN.</p><p>r</p><p>s</p><p>t</p><p>u</p><p>v</p><p>r // s // t // u // v</p><p>7</p><p>3</p><p>11</p><p>z 2</p><p>9</p><p>y</p><p>x</p><p>05) Na figura abaixo, determinar x, y e z.</p><p>9 cm</p><p>6 cm</p><p>7 cm</p><p>x</p><p>06) Na figura abaixo, determine o valor de x.</p><p>r</p><p>s</p><p>r // s</p><p>a b</p><p>c x</p><p>07) Na figura abaixo, determine o valor de x em função</p><p>de a, b e c.</p><p>Jeca 75</p><p>x</p><p>y 4</p><p>5</p><p>09) Na figura abaixo, as retas r , s e t são paralelas</p><p>entre si. Se x + y = 12, então o valor que mais se</p><p>aproxima de x - y, é :</p><p>r</p><p>s</p><p>t</p><p>a) 1,03</p><p>b) 1,33</p><p>c) 1,57</p><p>d) 1,75</p><p>e) 2,00</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>3</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>t</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>d</p><p>e</p><p>f</p><p>10) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d, e e f são</p><p>paralelas entre si. Determine o valor da soma das me-</p><p>didas dos segmentos x, y, z e t.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>G</p><p>H</p><p>I</p><p>J</p><p>L</p><p>M</p><p>m</p><p>n</p><p>p</p><p>q</p><p>r</p><p>s</p><p>11) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são</p><p>paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v.</p><p>Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6,</p><p>EF = 7 e LM = 8, qual é a medida de HJ ?</p><p>u v</p><p>a) 83 / 9</p><p>b) 81 / 7</p><p>c) 93 / 9</p><p>d) 72 / 7</p><p>e) 89 / 8</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>G</p><p>H</p><p>I</p><p>J</p><p>L</p><p>M</p><p>m</p><p>n</p><p>p</p><p>q</p><p>r</p><p>s</p><p>12) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são</p><p>paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v.</p><p>Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6,</p><p>EF = 7 e HJ = 10, qual é a medida de HM ?</p><p>u v</p><p>a) 198 / 7</p><p>b) 223 / 9</p><p>c) 220 / 9</p><p>d) 241 / 10</p><p>e) 241 / 11</p><p>13) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC.</p><p>Determine a medida do segmento BD e o valor do pe-</p><p>rímetro do triângulo ABC.</p><p>a</p><p>a</p><p>8 cm</p><p>18 cm 12 cm</p><p>aa</p><p>20 cm</p><p>12 cm 16 cm</p><p>14) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC.</p><p>Determine a medida dos segmentos BD e CD.</p><p>A</p><p>B CD</p><p>A</p><p>B C</p><p>D</p><p>Jeca 76</p><p>15) Num triângulo ABC, CD é a bissetriz do ângulo</p><p>interno ACB. Sabendo que AD = 7 cm, BD = 4 cm e</p><p>AC = 15 cm, determine a medida do lado BC.</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>d</p><p>x</p><p>x</p><p>16) Observe a figura abaixo. De acordo com essa figu-</p><p>ra, qual das relações abaixo é verdadeira.</p><p>a) a = b.d / c</p><p>b) a = b.c / d</p><p>c) a = c.d / b</p><p>d) a = c / (b.d)</p><p>e) a = b.c.d</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>17) No triângulo ABD abaixo, BC é a bissetriz do</p><p>ângulo ABD, AB = 18 cm e BD = 15 cm. Determine a</p><p>razão entre as medidas dos segmentos AC e CD.</p><p>ab</p><p>c</p><p>d</p><p>e</p><p>15º</p><p>15º 15º 15º</p><p>x</p><p>y</p><p>19) (J) Na figura abaixo, determinar x e y em função</p><p>de a, b, c, d e e.</p><p>a b c d</p><p>e</p><p>f x y z</p><p>a</p><p>a</p><p>a a</p><p>20) (J) Na figura abaixo, determinar x, y e z em</p><p>função de a, b, c, d, e e f.</p><p>A</p><p>B C</p><p>D E</p><p>18) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 12, AC = 8 e</p><p>BC = 10. Determinar a medida de AD, sabendo que</p><p>DE é paralelo a BC e BE é a bissetriz do ângulo</p><p>interno do vértice B.</p><p>Jeca 77</p><p>24) (J) Determine a medida de uma diagonal de um</p><p>pentágono regular de lado K.</p><p>d</p><p>K</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>d</p><p>e</p><p>5</p><p>6</p><p>10</p><p>x 9</p><p>11</p><p>7</p><p>y t</p><p>21) (J) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d e e são</p><p>paralelas entre si. Determine o valor da expressão</p><p>E = x . y + t.</p><p>R</p><p>S</p><p>T</p><p>D</p><p>A</p><p>B C</p><p>22) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e</p><p>BC = 8. Sabendo que D é o ponto de encontro das</p><p>três bissetrizes dos ângulos internos do triângulo</p><p>ABC, determine a razão entre CD e DT.</p><p>R</p><p>S</p><p>T</p><p>D</p><p>A</p><p>B CV</p><p>23) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e</p><p>BC = 8. Sabendo que D é o incentro do triângulo ABC</p><p>e que V é o ponto onde a circunferência de centro em</p><p>D tangencia o lado BC, determine a distância VR.</p><p>Jeca 78</p><p>Respostas desta aula.</p><p>01) 25 / 4 e 28 / 5</p><p>02) 28 / 5 e 20 / 7</p><p>03) 3y</p><p>04) 18 / 5 e 27 / 5</p><p>05) 63 / 11, 27 / 11 e 22 / 9</p><p>06) (21 / 2) cm</p><p>07) a.c / b</p><p>08) (45 / 4) cm</p><p>09) b</p><p>10) 27</p><p>11) d</p><p>12) c</p><p>13) 12 cm e 50 cm</p><p>14) (60 / 7) cm e (80 / 7) cm</p><p>15) (60 / 7) cm</p><p>16) a</p><p>17) 6 / 5</p><p>18) 72 / 11</p><p>19) a.c / b e a.c.d / b.e</p><p>20) b.e / a, c.f / b e e(c + d) / (a + b)</p><p>21) 887 / 18</p><p>22) 17 / 6</p><p>23) 7 / 10</p><p>24) K(1 + 5 ) / 2</p><p>Importante para mim.</p><p>Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma</p><p>mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br</p><p>Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.</p><p>Obrigado.</p><p>Jeca</p><p>Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor</p><p>Jeca 79</p><p>I) Semelhança de triângulos.</p><p>Definição.</p><p>Dois triângulos são semelhantes se</p><p>têm os ângulos dois a dois congruentes</p><p>e os lados correspondentes dois a dois</p><p>proporcionais.</p><p>Definição mais "popular".</p><p>Dois triângulos são semelhantes se</p><p>um deles é a redução ou a ampliação</p><p>do outro.</p><p>A</p><p>BC</p><p>D</p><p>EF</p><p>DABC DDEF ~ ></p><p>A D</p><p>B E</p><p>C F</p><p>e</p><p>AB AC BC</p><p>DE DF EF</p><p>k= =</p><p>K - razão da semelhança</p><p>ou</p><p>constante de proporcionalidade.</p><p>Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade se mantém constante para quaisquer</p><p>dois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferências inscritas, raios</p><p>das circunferências circunscritas, perímetros, etc.</p><p>II) Casos de semelhança. (Como reconhecer a semelhança de triângulos)</p><p>1) Caso AA (importantíssimo). 3) Caso LAL.2) Caso LLL.</p><p>Dois triângulos são semelhantes</p><p>se dois ângulos (AA) de um deles</p><p>são congruentes a dois ângulos do</p><p>outro.</p><p>Dois triângulos são semelhantes</p><p>se têm um ângulo congruente e os</p><p>dois lados de um triângulo adjacen-</p><p>tes ao ângulo são proporcionais</p><p>aos dois lados adjacentes ao ângu-</p><p>lo do outro triângulo.</p><p>Dois triângulos são semelhantes</p><p>se têm os três lados dois a dois or-</p><p>denadamente proporcionais.</p><p>a b</p><p>a b</p><p>a b</p><p>c</p><p>d e</p><p>f</p><p>a b c</p><p>d e f</p><p>k= = =</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>c</p><p>d</p><p>f</p><p>a c</p><p>d f</p><p>k= =</p><p>III) Como aplicar a semelhança de triângulos.</p><p>a) Reconhecer a semelhança através dos "casos de semelhança".</p><p>b) Desenhar os dois triângulos separados.</p><p>c) Chamar de a, b e g os três ângulos de cada triângulo.</p><p>d) Escolher um triângulo para ser o numerador da proporção.</p><p>e) Montar uma proporção entre segmentos correspondentes, mantendo sempre o mesmo triângulo no</p><p>numerador da proporção.</p><p>Exercício 01 - Utilizando a técnica de aplicação da semelhança de triângulos acima descrita, determine o</p><p>valor de x na figura abaixo.</p><p>A</p><p>B C</p><p>D</p><p>12</p><p>4</p><p>x</p><p>=</p><p>a</p><p>a</p><p>semelhante</p><p>Estudos sobre Geometria realizados</p><p>pelo prof. Jeca</p><p>(Lucas Octavio de Souza)</p><p>(São João da Boa Vista - SP)</p><p>Geometria plana</p><p>Aula 08</p><p>Semelhança de triângulos.</p><p>Jeca 80</p><p>A</p><p>B C</p><p>D E</p><p>02) Na figura abaixo o segmento DE é paralelo à</p><p>base BC, AB = 9 cm, AC = 13 cm, BC = 12 cm e a me-</p><p>dida de DE é 8 cm. Determine as medidas dos seg-</p><p>mentos AD e AE. A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>03) Na figura abaixo, AB = 7 cm, BC = 5 cm, ED = 6 cm</p><p>e BE mede 10 cm e é paralelo a CD. Determine a</p><p>medida dos segmentos AE e CD.</p><p>A</p><p>B C</p><p>D</p><p>E</p><p>04) Na figura, AB = 5 cm, BE = 3 cm e AE = 7 cm. De-</p><p>termine a medida dos segmentos AC e CD, sabendo</p><p>que BE é paralelo a CD e que o perímetro do triângu-</p><p>lo ACD mede 45 cm.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E</p><p>05) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm,</p><p>CD = 18 cm e altura 12 cm. As diagonais AC e BD</p><p>interceptam-se no ponto E. Determine a distância</p><p>entre o ponto E e a base CD.</p><p>d</p><p>A B</p><p>CD</p><p>06) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB</p><p>= 8 cm,</p><p>CD = 18 cm e altura 12 cm. Sendo E o ponto de inter-</p><p>secção dos prolongamentos dos lados AD e BC, de-</p><p>termine a altura relativa à base AB do triângulo ABE.</p><p>A</p><p>B C</p><p>D</p><p>E</p><p>07) Na figura, AB // DE, AB = 8 cm, DE = 4 cm e BD</p><p>mede 14 cm. Determine a medida do segmento CD.</p><p>Jeca 81</p><p>P</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>x</p><p>y</p><p>z50º</p><p>40º</p><p>45º</p><p>13) (ESPM) Um mastro vertical é mantido nessa posi-</p><p>ção por 3 cabos esticados que partem da extremidade</p><p>P e são fixados no chão nos pontos A, B e C, confor-</p><p>me a figura abaixo. Sendo x, y e z as distâncias</p><p>respectivas desses pontos ao pé do mastro, determine</p><p>o valor de z em função de x e y.</p><p>A</p><p>B C</p><p>DE</p><p>F</p><p>08) Na figura, AB = 8, BC = 12 e BFDE é um losango</p><p>inscrito no triângulo ABC. Determine a medida do lado</p><p>desse losango.</p><p>A</p><p>B C</p><p>D E</p><p>h</p><p>10) Na figura abaixo, o triângulo ADE tem base DE = x</p><p>e altura h. Sabendo-se que o triângulo ABC tem base</p><p>BC = y e as bases BC e DE são paralelas, determine a</p><p>medida da altura H do trapézio BCED em função de x,</p><p>y e h.</p><p>H</p><p>x</p><p>y</p><p>A</p><p>B CD E</p><p>FG</p><p>h</p><p>=</p><p>6</p><p>c</p><p>m</p><p>09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de base BC</p><p>mede 12 cm e a altura 6 cm. DEFG é um quadrado</p><p>com o lado DE sobre o segmento BC. Determine a</p><p>medida do lado desse quadrado.</p><p>11) Os quadrados representados na figura abaixo têm</p><p>lados 9 cm, 6 cm e x cm. Determinar a medida do</p><p>perímetro do menor quadrado.</p><p>9 cm 6 cm x</p><p>12) Na figura abaixo, AB = 8 cm, BD = 20 cm e</p><p>DE = 5 cm. Determine a medida de BC.</p><p>A</p><p>B C D</p><p>E</p><p>Jeca 82</p><p>IV) Potência de um ponto em relação a uma circunferência.</p><p>Dada uma circunferência l e um ponto P, P não pertencente a l,</p><p>se A e B são os pontos de intersecção entre l e a reta secante a l</p><p>por P, define-se potência de P em relação a l o produto PA x PB.</p><p>Propriedade.</p><p>Dados l e P, a potência de P em relação a l é constante,</p><p>qualquer que seja a reta AB secante a l por P.</p><p>A</p><p>B</p><p>P</p><p>l</p><p>Potência = PA x PB</p><p>1º caso: O ponto P é interior a l. 2º caso: O ponto P é exterior a l.</p><p>A</p><p>BP</p><p>l</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>G</p><p>H</p><p>PA x PB = PC x PD = PE x PF = PG x PH = cte</p><p>O</p><p>P</p><p>l</p><p>O</p><p>T</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>T é ponto de tangência</p><p>PA x PB = PC x PD = PT = cte( )2</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>P</p><p>O</p><p>14) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-</p><p>cem à circunferência l. Sabendo que PA = 6, PB = 8</p><p>e que PD = 12, determine a medida do segmento PC.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>P</p><p>O</p><p>15) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem</p><p>à circunferência l. Sabendo que PA = 4, AB = 12, de-</p><p>termine a medida do segmento PC.</p><p>l</p><p>l</p><p>A B</p><p>C</p><p>D</p><p>P</p><p>O l</p><p>16) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-</p><p>cem à circunferência l. Sabendo que PA = 6, AB = 8</p><p>e CD = 5, determine a medida do segmento PD.</p><p>A</p><p>B</p><p>P O</p><p>l</p><p>17) Na figura abaixo, os pontos A e B pertencem à</p><p>circunferência de centro O. Determine a medida do</p><p>raio da circunferência sabendo que PA = 6, PB = 10 e</p><p>PO = 4.</p><p>Jeca 83</p><p>A</p><p>B C</p><p>D</p><p>E</p><p>18) Na figura, AB = 5 cm, BC = 12 cm e DE = 3 cm.</p><p>Determine a medida do segmento EC.</p><p>20) Na figura abaixo, os segmentos AB, AC e BC</p><p>medem, respectivamente, 8 cm, 10 cm e 7 cm e AC é</p><p>a bissetriz do ângulo BCD. Determine a medida do</p><p>segmento CD.</p><p>a</p><p>a</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>21) No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o</p><p>lado BC foi prolongado, como mostra a figura, até o</p><p>ponto P, formando-se o triângulo PAB, semelhante ao</p><p>triângulo PCA. Determine o comprimento do segmen-</p><p>to PC.</p><p>A B</p><p>C</p><p>P</p><p>19) (UEL-PR) Após um tremor de terra, dois muros pa-</p><p>ralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramen-</p><p>te abalados. Os moradores se reuniram e decidiram</p><p>escorar os muros utilizando duas barras metálicas, co-</p><p>mo mostra a figura abaixo. Sabendo que os muros têm</p><p>alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do</p><p>nível do chão as duas barras se interceptam ?</p><p>Despreze as espessuras das barras.</p><p>h</p><p>3 m</p><p>9 m</p><p>Jeca 84</p><p>A B</p><p>P</p><p>Q</p><p>O</p><p>22) (Ibmec) Na figura, AB é o diâmetro da circunferên-</p><p>cia de raio 10 cm e a reta PA é tangente a essa</p><p>circunferência. Determine a medida do segmento BQ,</p><p>sabendo que o segmento PQ mede 3 cm.</p><p>A t</p><p>B</p><p>C</p><p>D E</p><p>24) (ITA-SP) Na figura, a reta t é tangente à</p><p>circunferência no ponto A e paralela ao segmento</p><p>DE. Se AD = 6, AE = 5 e CE = 7, a medida do</p><p>segmento BD será:</p><p>a) 2</p><p>b) 3</p><p>c) 4</p><p>d) 5</p><p>e) 6</p><p>25) (ITA-SP) Seja E um ponto externo a uma circunfe-</p><p>rência. Os segmentos EA e ED interceptam essa</p><p>circunferência nos pontos B e A, e, C e D respectiva-</p><p>mente. A corda AF da circunferência intercepta o</p><p>segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4,</p><p>GD = 3 e AG = 6, então GF vale:</p><p>a) 1</p><p>b) 2</p><p>c) 3</p><p>d) 4</p><p>e) 5</p><p>23) (FUVEST-SP) Na figura, o triângulo ABC é</p><p>retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o</p><p>ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao</p><p>catero BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal</p><p>forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2,</p><p>então a área do paralelogramo DECF vale</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>63</p><p>25</p><p>12</p><p>5</p><p>58</p><p>25</p><p>56</p><p>25</p><p>11</p><p>5</p><p>A</p><p>B C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>Jeca 85</p><p>Respostas desta aula.</p><p>01) 8</p><p>02) 6 cm e (26 / 3) cm</p><p>03) (42 / 5) cm e (120 / 7) cm</p><p>04) 15 cm e 9 cm</p><p>05) (108 / 13) cm</p><p>06) (48 / 5) cm</p><p>07) (14 / 3) cm</p><p>08) 24 / 5</p><p>09) 4 cm</p><p>10 ) h(y - x) / x</p><p>11) 4 cm</p><p>12) (10 - 2 15 ) cm</p><p>13) x . y</p><p>14) 16</p><p>15) 8</p><p>16) 7</p><p>17) 6 2</p><p>18) (39 / 5) cm</p><p>19) (9 / 4) m</p><p>20) (100 / 7) cm</p><p>21) 9</p><p>22) 5 cm</p><p>23) a</p><p>24) c</p><p>25) d</p><p>Importante para mim.</p><p>Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma</p><p>mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br</p><p>Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.</p><p>Obrigado.</p><p>Jeca</p><p>Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor</p><p>Jeca 86</p><p>01) Na figura abaixo, o segmento DE é paralelo ao segmento BC. Provar que os triângulos ABC e ADE são</p><p>semelhantes e calcular as medidas dos segmentos AD e AE.</p><p>A</p><p>B C</p><p>D E</p><p>12 cm</p><p>8 cm</p><p>x y</p><p>9</p><p>cm</p><p>11 cm</p><p>A</p><p>B</p><p>C D</p><p>E</p><p>02) Na figura abaixo, AB = 8 cm, DE = 5 cm, BC = 10 cm. Provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e</p><p>calcular as medidas dos segmentos AC, CD e CE.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E</p><p>8 cm</p><p>14 cm</p><p>d</p><p>6</p><p>cm</p><p>03) Na figura abaixo, o ponto E é o ponto de intersecção das diagonais do trapézio ABCD. Sendo AB = 8 cm,</p><p>CD = 14 cm e tendo o trapézio 6 cm de altura, provar que os triângulos ABE e CDE são semelhantes e</p><p>determinar a distância d entre o ponto E e a base maior CD.</p><p>3 cm</p><p>5 cm</p><p>x</p><p>4</p><p>cm</p><p>04) Na figura abaixo, determinar o valor de x.</p><p>Estudos sobre Geometria realizados</p><p>pelo prof. Jeca</p><p>(Lucas Octavio de Souza)</p><p>(São João da Boa Vista - SP)</p><p>Geometria plana</p><p>Semelhança de triângulos e</p><p>Potência de ponto.</p><p>Exercícios complementares da aula 08.</p><p>Jeca 87</p><p>05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo de lados AB = 4 cm e AD = 3 cm. Provar que os triângulos ABC, ABE</p><p>e BCE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos AE e BE.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E</p><p>3</p><p>cm</p><p>4 cm</p><p>A</p><p>B C</p><p>D</p><p>06) Na figura abaixo, AD = 10 cm e CD = 4 cm. Provar que os triângulos ABC e BCD são semelhantes e</p><p>determinar a medida do segmento BC.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E</p><p>P</p><p>07) Na figura abaixo, os pontos A, B, D e E pertencem à circunferência de centro C. Provar que os triângulos</p><p>ABP e DEP são semelhantes e que vale a relação AP x PE = DP x PB.</p><p>a</p><p>a</p><p>08) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de base BC = 16 cm e altura 8 cm. Provar que os triângulos ABC e AGF</p><p>são semelhantes e determinar a área do quadrado DEFG inscrito no triângulo ABC.</p><p>A</p><p>B CD E</p><p>FG</p><p>h</p><p>=</p><p>8</p><p>c</p><p>m</p><p>A</p><p>E</p><p>x</p><p>09) Na figura abaixo, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar uma expressão que</p><p>forneça t como função de x , y e z.</p><p>B C Dy z</p><p>t</p><p>Jeca 88</p><p>A</p><p>B C</p><p>D</p><p>E</p><p>10)</p><p>Na figura abaixo, AB = 12 cm, BC = 8 cm, AC = 9 cm e DE = 5 cm. Sabendo-se que os ângulos ACB e ADE são</p><p>congruentes, provar que os triângulos ABC e ADE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos</p><p>AE e CE.</p><p>A</p><p>B CD</p><p>E</p><p>11) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo cujos catetos AB e AC medem respectivamente 3 cm e 4 cm.</p><p>Sendo AE igual a 1 cm, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar a medida do</p><p>segmento DE.</p><p>12) Sabendo-se que BE = 5 cm e CF = 4 cm são duas alturas de um triângulo ABC de lado AB = 6 cm,</p><p>determinar a medida do lado AC desse triângulo.</p><p>13) O triângulo ABC da figura abaixo é eqüilátero de lado 10 cm e M é o ponto médio do lado AB. Sendo CD = 6</p><p>cm, determinar a medida do segmento CN.</p><p>A</p><p>B C D</p><p>N</p><p>M</p><p>14) Considere a circunferência circunscrita a um triângulo ABC. Seja AE um</p><p>diâmetro desta circunferência e AD altura do triângulo. Sendo AB = 6 cm,</p><p>AC = 10 cm e AE = 30 cm, calcule a altura AD.</p><p>h</p><p>A</p><p>B C</p><p>D</p><p>E</p><p>O</p><p>Jeca 89</p><p>15) Na figura abaixo, determinar o valor de x sabendo-se que os dois quadrados representados têm lados 5 cm</p><p>e 8 cm.</p><p>12 cm</p><p>8 cm</p><p>8 cm</p><p>5 cm</p><p>x</p><p>x</p><p>xt y</p><p>16) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados t e y. Determinar a medida de x em função de t e</p><p>de y.</p><p>17) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados 12 cm, 8 cm e x cm. Determinar a medida do</p><p>perímetro do menor quadrado.</p><p>A B</p><p>CD M</p><p>P</p><p>h</p><p>18) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo cujo lado BC mede 9 cm. Sendo M o ponto médio do lado CD,</p><p>provar que os triângulos ABP e MCP são semelhantes e determinar a altura h do triângulo MCP.</p><p>A M N B</p><p>PQ</p><p>C</p><p>4</p><p>cm</p><p>19) No triângulo acutângulo ABC, a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essa</p><p>base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem</p><p>ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q, ao lado AC. Determinar o perímetro desse</p><p>retângulo.</p><p>20) O trapézio ABCD abaixo tem base menor AB = 8 cm, base maior CD = 14 cm</p><p>e altura igual a 6 cm. Sendo P a intersecção dos prolongamentos dos lados não</p><p>paralelos do trapézio, determine a distância entre o ponto P e a base maior de</p><p>ABCD.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>Jeca 90</p><p>21) Considere as três circunferências da figura, de mesmo raio R, tangentes externamente. Calcular a medida da</p><p>corda BC em função de R, sabendo que a reta r é tangente à circunferência de centro O .3</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>O O O1 2 3</p><p>r</p><p>22) Na figura abaixo, determine o valor de x.</p><p>x12</p><p>c</p><p>m</p><p>14 cm</p><p>10 cm</p><p>15 cm</p><p>23) Na figura, ABCD é um retângulo tal que a base é o dobro da altura. Determine</p><p>a medida do perímetro desse retângulo.</p><p>12</p><p>c</p><p>m</p><p>16 cm</p><p>A B</p><p>CD</p><p>a</p><p>a</p><p>24) No triângulo ABC abaixo, sendo DE // BC, determine as medidas de AD e AE.</p><p>A</p><p>B C</p><p>D E</p><p>16 cm</p><p>5 cm</p><p>9</p><p>cm 11 cm</p><p>25) Na figura abaixo, determinar o valor de x.</p><p>x</p><p>6</p><p>cm</p><p>5 cm</p><p>7 cm</p><p>a</p><p>a</p><p>26) Na figura abaixo, sendo AB = 16 cm, AC = 9 cm, BC = 15 cm e DE = 7 cm, determinar AD e AE.</p><p>A</p><p>B C</p><p>D</p><p>E</p><p>x</p><p>x</p><p>Jeca 91</p><p>27) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sabendo-se que AP = 4 cm,</p><p>PC = 6 cm e PD = 8 cm, determine a medida do segmento BP e cite a propriedade utilizada na solução do</p><p>exercício.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>DP</p><p>O</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>M</p><p>O</p><p>28) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo M ponto médio do</p><p>segmento BD, AM = 9 cm e CM = 4 cm, determine a medida do segmento BD e cite a propriedade utilizada na</p><p>solução do exercício.</p><p>A</p><p>B C</p><p>D</p><p>P</p><p>O</p><p>29) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo PD = 5 cm, AD = 9 cm</p><p>e BC = 10 cm, determine a medida do segmento PC e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.</p><p>A</p><p>C</p><p>B</p><p>P</p><p>D</p><p>30) Os pontos A e B pertencem à circunferência de centro C e raio 6 cm. A reta PD é tangente à circunferência</p><p>no ponto D. Sendo PB = 5 cm, determine a medida de PD e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>31) Os pontos B, D, E e F pertencem à circunferência de centro C. Sendo AB = x, BD = y, AE = z e EF = t,</p><p>determine t em função de x, y e z.</p><p>Jeca 92</p><p>Respostas desta aula.</p><p>01) 6 cm e (22 / 3) cm</p><p>02) 2 41 cm, (25 / 4) cm e (5 41 / 4) cm</p><p>03) (42 / 11) cm</p><p>04) 6 cm</p><p>05) (16 / 5) cm e (12 / 5) cm</p><p>06) 2 14 cm</p><p>07) demonstração - Utilizando ângulos inscritos</p><p>prova-se que os triângulos são semelhantes.</p><p>2</p><p>08) (256 / 9) cm</p><p>09) y . z / x</p><p>10) (15 / 2) cm e (3 / 2) cm</p><p>11) (9 / 5) cm</p><p>12) (24 / 5) cm</p><p>13) (30 / 11) cm</p><p>14) 2 cm</p><p>15) (25 / 3) cm</p><p>2</p><p>16) y / (t - y)</p><p>17) (16 / 3) cm</p><p>18) 3 cm</p><p>19) 8 cm</p><p>20) 14 cm</p><p>21) 8R / 5</p><p>22) (15 / 2) cm</p><p>23) (144 / 5) cm</p><p>24) (45 / 11) cm e 5 cm</p><p>25) 4 cm</p><p>26) (21 / 5) cm e (112 / 15) cm</p><p>27) 3 cm - potência de ponto.</p><p>28) 12 cm - potência de ponto.</p><p>29) ( 95 - 5) cm - potência de ponto.</p><p>30) 85 cm - potência de ponto.</p><p>2</p><p>31) [x(x + y) - z ] / z</p><p>Importante para mim.</p><p>Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma</p><p>mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br</p><p>Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.</p><p>Obrigado.</p><p>Jeca</p><p>Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor</p><p>Jeca 93</p><p>I) Relações métricas no triângulo retângulo.</p><p>Teorema.</p><p>Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à</p><p>hipotenusa divide o triângulo original em dois</p><p>triângulos menores, que são semelhantes entre</p><p>si e semelhantes ao triângulo original.</p><p>A</p><p>B CH</p><p>b</p><p>c</p><p>a</p><p>m n</p><p>h</p><p>2 2 2</p><p>c = a . m b = a . n h = m . n a . h = b . c</p><p>II) Teorema de PItágoras.</p><p>Em todo triângulo retângulo, o quadrado da</p><p>hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos</p><p>catetos.</p><p>A</p><p>B C</p><p>bc</p><p>a</p><p>2 2 2</p><p>a = b + c</p><p>A</p><p>B CH</p><p>III) Exercícios.</p><p>01) Na figura abaixo, sabendo-se</p><p>que AB = 5 cm e AC = 9 cm, deter-</p><p>mine as medidas de BC, BH, HC</p><p>e AH.</p><p>A</p><p>B CH</p><p>02) Na figura abaixo, sabendo-se</p><p>que BH = 3 cm e HC = 9 cm, deter-</p><p>mine as medidas de BC, AC, AB e</p><p>AH.</p><p>A</p><p>B CH</p><p>03) Na figura abaixo, sabendo-se</p><p>que AH = 3 cm e AC = 5 cm, deter-</p><p>mine as medidas de HC, HB, AB</p><p>e BC.</p><p>Estudos sobre Geometria realizados</p><p>pelo prof. Jeca</p><p>(Lucas Octavio de Souza)</p><p>(São João da Boa Vista - SP)</p><p>Geometria plana</p><p>Aula 09</p><p>Relações métricas no triângulo retângulo.</p><p>Teorema de Pitágoras.</p><p>Jeca 94</p><p>06) No retângulo ABCD abaixo tem-se AB = 15 cm e</p><p>BC = 8 cm. Sobre o lado AB, marca-se um ponto P tal</p><p>que PB =12 cm e sobre o lado CD, marca-se um ponto</p><p>Q tal que DQ = 7 cm. Qual é, em cm, a distância entre</p><p>os pontos P e Q ?</p><p>A B</p><p>CD</p><p>a) 83</p><p>b) 80</p><p>c) 78</p><p>d) 76</p><p>e) 89</p><p>05) Qual é o perímetro, em cm, de um losango cujas</p><p>diagonais medem 12 cm e 6 cm ?</p><p>a) 4 39</p><p>b) 4 45</p><p>c) 4 48</p><p>d) 4 52</p><p>e) 4 56</p><p>07) No retângulo ABCD abaixo tem-se AB = 15 cm e</p><p>BC = 8 cm. Sobre o lado BC, marca-se um ponto P tal</p><p>que PB = 1 cm e sobre o lado AD, marca-se um ponto</p><p>Q tal que DQ = 2 cm. Qual é, em cm, a distância entre</p><p>os pontos P e Q ?</p><p>A B</p><p>CD</p><p>a) 274</p><p>b) 269</p><p>c) 224</p><p>d) 250</p><p>e) 246</p><p>08) Qual é o raio de uma circunferência, se uma reta</p><p>secante que dista 5 cm do centro da mesma,</p><p>determina nessa circunferência uma corda de</p><p>comprimento 24 cm ?</p><p>a) 8 cm</p><p>b) 13 cm</p><p>c) 15 cm</p><p>d) 17 cm</p><p>e) 19 cm</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>d</p><p>09) Na figura abaixo, medida de a, em função de b,</p><p>c, e d, é :</p><p>2 2 2a) a = b + c + d</p><p>2 2 2b) a = b + c - d</p><p>2 2 2c) a = b - c - d</p><p>2 2 2d) a = d - b - c</p><p>2 2 2 e) a = d - b + c</p><p>x13 cm</p><p>10 cm</p><p>04) Determine o valor de x no triângulo retângulo abai-</p><p>xo.</p><p>Jeca 95</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E</p><p>F</p><p>G</p><p>H</p><p>P1</p><p>11) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, o quadrado</p><p>EFGH</p><p>tem lado a, e é obtido através de uma rotação de 45º</p><p>do quadrado ABCD em torno do centro O. Se EP = 1,</p><p>então a mede:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>2</p><p>2 - 1</p><p>2</p><p>3 - 1</p><p>2</p><p>2 - 1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>10) (FUVEST-SP) Um triângulo retângulo tem cate-</p><p>tos AB = 3 e AC = 4. No cateto AB toma-se um pon-</p><p>to P equidistante do ponto A e da reta BC. Qual é a</p><p>distância AP ?</p><p>13) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, M é o ponto</p><p>médio da corda PQ da circunferência e PQ = 8. O</p><p>segmento RM é perpendicular a PQ e RM</p><p>Calcule:</p><p>a) o raio da circunferência;</p><p>b) a medida do ângulo POQ, onde O é o centro da</p><p>circunferência.</p><p>4 3=</p><p>3</p><p>.</p><p>P</p><p>Q</p><p>R</p><p>M</p><p>O</p><p>A B</p><p>CD</p><p>d</p><p>d d</p><p>12) Na figura, o quadrado ABCD tem lado 16 cm. De-</p><p>termine a distância d entre P e A sabendo que o</p><p>ponto P é equidistante de A, de B e da reta CD.</p><p>P</p><p>8 cm</p><p>x</p><p>24 cm</p><p>presilha</p><p>parede</p><p>tubo</p><p>parafuso</p><p>15) (ESPM-MG) Um tubo de aço foi fixado a uma pare-</p><p>de por meio de uma presilha retangular, como mostra a</p><p>figura abaixo. A distância x, da presilha até a parede,</p><p>vale:</p><p>a) 16 cm</p><p>b) 17 cm</p><p>c) 18 cm</p><p>d) 19 cm</p><p>e) 20 cm</p><p>A</p><p>B</p><p>C D</p><p>E</p><p>12</p><p>c</p><p>m</p><p>16 cm</p><p>14) A figura abaixo representa um retângulo e três cir-</p><p>cunferências, sendo duas idênticas maiores e uma</p><p>menor destacada. Determine o raio da circunferência</p><p>menor, sabendo que A, B, C, D e E são pontos de</p><p>tangência.</p><p>Jeca 96</p><p>16) (FUVEST-SP) Um lenhador empilhou 3 troncos de</p><p>madeira num caminhão de largura 2,5 m, conforme a</p><p>figura abaixo. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio</p><p>da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros é:</p><p>h</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>1 + 7</p><p>7</p><p>2</p><p>3</p><p>1 +</p><p>1 + 7</p><p>3</p><p>1 + 7</p><p>4</p><p>7</p><p>4</p><p>1 +</p><p>2,5</p><p>C</p><p>A D E</p><p>B</p><p>O</p><p>17) Na figura abaixo, determine o raio da circunferência</p><p>sabendo que AC e AD tangenciam a circunferência</p><p>nos pontos C e D, respectivamente, e que BE = 2 cm, e</p><p>AE = 9 cm.</p><p>A</p><p>B C</p><p>O</p><p>18) Na figura, o triângulo isósceles ABC está inscrito</p><p>na circunferência de centro O. A base BC mede 6 cm</p><p>e AB = 3 10 cm. Determine o raio da circunferência.</p><p>O</p><p>P</p><p>T</p><p>A</p><p>19) Na figura, a reta PT tangencia a circunferência de</p><p>centro O, os pontos P, A e O estão alinhados e as</p><p>distâncias PT e PA valem, respectivamente 15 cm</p><p>e 9 cm. Determine a medida do raio da circunferência.</p><p>Jeca 97</p><p>A</p><p>B CH</p><p>D</p><p>E</p><p>20) O triângulo ABC abaixo é retângulo em A, tem</p><p>catetos AB = 12 cm, AC = 16 cm. O arco DHE tem</p><p>centro no vértice A e tangencia a hipotenusa BC no</p><p>ponto H. Determine a área da região sombreada na</p><p>figura. A</p><p>B CD</p><p>21) O triângulo ABC abaixo tem lados AB, AC e BC</p><p>que medem, respectivamente, 5 cm, 7 cm e 10 cm.</p><p>Determine a medida da altura AD do triângulo ABC.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E</p><p>22) A figura abaixo representa um quadrado de lado</p><p>16 cm, um arco de circunferência com centro em A e</p><p>raio AB e uma circunferência de centro em E, que</p><p>tangencia o arco e os lados do quadrado. Determine a</p><p>medida do raio da circunferência.</p><p>O</p><p>A</p><p>B</p><p>C D</p><p>E</p><p>23) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem</p><p>à circunferência de centro O. Os pontos A, O, C e D</p><p>estão alinhados. Determine a medida do raio da cir-</p><p>cunferência, sabendo que ED = 9 cm, AB = 8 cm e</p><p>AE = 15 cm.</p><p>Jeca 98</p><p>Respostas desta aula.</p><p>01)</p><p>106 cm, (25 106 / 106) cm, (81 106 / 106) cm</p><p>e (45 106 / 106) cm</p><p>02)</p><p>12 cm, 6 3 cm, 6 cm e 3 3 cm</p><p>03)</p><p>4 cm, (9 / 4) cm, (15 / 4) cm e (25 / 4) cm</p><p>04) 69 cm</p><p>05) b</p><p>06) b</p><p>07) d</p><p>08) b</p><p>09) d</p><p>10) 4 / 3</p><p>11) e</p><p>12) 10 cm</p><p>13)</p><p>a) 8 3 / 3</p><p>b) 120º</p><p>14) (8 / 3) cm</p><p>15) c</p><p>16) e</p><p>17) 5 cm</p><p>18) 5 cm</p><p>19) 8 cm</p><p>2</p><p>20) (108 - (576p / 25)) cm</p><p>21) (2 66 / 5) cm</p><p>22) 16(3 - 2 2 ) cm</p><p>23) 5 cm</p><p>Importante para mim.</p><p>Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma</p><p>mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br</p><p>Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.</p><p>Obrigado.</p><p>Jeca</p><p>Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor</p><p>Jeca 99</p><p>01) No triângulo retângulo ABC abaixo, determine a , m , n e h.</p><p>h</p><p>m n</p><p>6</p><p>cm</p><p>8 cm</p><p>a</p><p>A</p><p>B C</p><p>02) No triângulo retângulo abaixo, determine o valor de x, y, z e t.</p><p>x</p><p>y zt</p><p>3 cm9 cm</p><p>03) Na figura, ABC é um triângulo retângulo em A. Sendo AB = 9 cm e AC = 12 cm, determine x, y, z e t.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>x</p><p>y</p><p>zt</p><p>04) Determine o valor de x nos triângulos retângulos abaixo.</p><p>a)</p><p>x</p><p>7</p><p>c</p><p>m</p><p>9 cm</p><p>13 cm</p><p>12 cm</p><p>x</p><p>x12 cm</p><p>9 cm</p><p>b) c)</p><p>Estudos sobre Geometria realizados</p><p>pelo prof. Jeca</p><p>(Lucas Octavio de Souza)</p><p>(São João da Boa Vista - SP)</p><p>Geometria plana</p><p>Relações métricas num triângulo retângulo.</p><p>Teorema de Pitágoras.</p><p>Exercícios complementares da aula 09.</p><p>Jeca 100</p><p>05) No triângulo retângulo abaixo, determinar x em função de y e z.</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>06) Determinar a medida da diagonal de um quadrado de lado a.</p><p>d</p><p>a a</p><p>a</p><p>a</p><p>07) Determinar a altura de um triângulo eqüilátero de lado a.</p><p>a</p><p>a a</p><p>h</p><p>08) Determine x, y e z na figura abaixo.</p><p>1</p><p>cm</p><p>1 cm</p><p>1 cm</p><p>1</p><p>cmx</p><p>y</p><p>z</p><p>09)( ESAN) Na figura abaixo, determine o valor de x e y.</p><p>x</p><p>y 10</p><p>14</p><p>6</p><p>10) (FUVEST-GV) Queremos desenhar no interior de um retângulo ABCD, um losango AICJ com vértice I sobre</p><p>o lado AB do retângulo e vértice J sobre o lado CD. Se as dimensões dos lados do retângulo são AB = 25 cm e</p><p>BC = 15 cm, calcule a medida do lado do losango.</p><p>Jeca 101</p><p>11) (COVEST-PE) Na figura abaixo, o triângulo ABC é</p><p>eqüilátero e cada um dos seus lados mede 8 cm. Se</p><p>AD é uma altura do triângulo ABC e M é o ponto médio</p><p>de AD, calcule a medida de CM em centímetros.</p><p>A</p><p>B CD</p><p>M</p><p>13) (Fuvest) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, E</p><p>é um ponto sobre o lado AD tal que o ângulo ABE me-</p><p>de 60º e os ângulos EBC e BCD são retos. Sabe-se</p><p>também que AB = CD = 3 e BC = 1. Determine a</p><p>medida de AD.</p><p>A</p><p>B C</p><p>D</p><p>E</p><p>60º</p><p>3</p><p>3</p><p>1</p><p>14) (Jeca) Na figura ao lado, A, B, C e D são os pontos</p><p>médios dos lados de um quadrado de perímetro 4.</p><p>Determine o raio da circunferência inscrita no</p><p>quadrado ABCD.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>16) A figura abaixo representa um quadrado de lado k</p><p>e duas circunferências interiores tangentes entre si e</p><p>tangentes ao quadrado. Determine o raio da circun-</p><p>ferência menor em função de k.</p><p>15) No trapézio retângulo ABCD da figura abaixo,</p><p>determine a medida da diagonal AC sabendo-se que</p><p>AB = 10 cm, BC = 5 cm e CD = 6 cm.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>A</p><p>BC D</p><p>12) Na figura abaixo, o ponto A é o ponto de tangência</p><p>da reta AB com a circunferência de centro C. Sendo</p><p>AB e BD iguais a 10 cm e 6 cm, respectivamente,</p><p>determine a medida do raio da circunferência.</p><p>Jeca 102</p><p>17) As bases de um trapézio isósceles circunscrito a</p><p>um círculo medem 8 cm e 2 cm. Calcular a altura desse</p><p>trapézio.</p><p>8 cm</p><p>2 cm</p><p>h</p><p>18) Os raios das circunferências de centros A e B</p><p>medem, respectivamente, 8 cm e 3 cm e a distância</p><p>entre os centros, 13 cm. Calcule a medida de PQ,</p><p>sendo P e Q pontos de tangência.</p><p>A</p><p>A</p><p>B</p><p>B</p><p>P</p><p>P</p><p>Q</p><p>Q</p><p>19) Os raios das circunferências de centros A e B</p><p>medem 5 cm e 2 cm, respectivamente e a distância</p><p>entre seus centros, 9 cm. Sendo P e Q pontos de</p><p>tangência, calcule a distância PQ.</p><p>20) Na figura abaixo, o lado do quadrado mede 8 cm.</p><p>Calcule o raio da circunferência da figura, sendo T</p><p>ponto de tangência.</p><p>O</p><p>T</p><p>22) Na figura abaixo, as quatro circunferências são</p><p>tangentes entre si. Sendo C o centro da circunferência</p><p>maior, A, B e D os centros das demais e AC = BC = 2,</p><p>determine o raio da circunferência menor.</p><p>A BC</p><p>D</p><p>21) Na figura abaixo, determine o valor de x.</p><p>x</p><p>6</p><p>8</p><p>12</p><p>Jeca 103</p><p>10 cm</p><p>3 cm 3 cm</p><p>A</p><p>B</p><p>D</p><p>C</p><p>23) Na figura abaixo, determine AB e AD.</p><p>20 cm</p><p>24) (Jeca) Na figura, estão representados dois</p><p>círculos de raios 5 cm e 8 cm, tangentes entre si</p><p>e</p><p>tangentes aos lados do retângulo ABCD. Determine a</p><p>medida do lado AD do retângulo.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>27) Uma circunferência de raio 3 cm é inscrita num</p><p>triângulo isósceles. Sabendo-se que a altura do</p><p>triângulo é 8 cm, determinar as medidas dos lados</p><p>desse triângulo e o seu perímetro.</p><p>25) Duas circunferências de raios 6 cm e 8 cm são</p><p>tangentes externamente. Determine a medida de um</p><p>segmento AB, sendo A e B os pontos de tangência da</p><p>reta AB com as circunferências. 8 cm</p><p>y</p><p>7</p><p>cm</p><p>x</p><p>26) Na figura abaixo, determine o valor de x, y e h.</p><p>A B</p><p>8</p><p>6</p><p>x</p><p>A B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>6 6</p><p>2</p><p>28) Na circunferência de centro C, AD = DB = 6 cm e</p><p>ED = 2 cm. Determine a medida do segmento CD.</p><p>h</p><p>A</p><p>B C</p><p>Jeca 104</p><p>30) A figura abaixo representa 4 circunferências de</p><p>raio 8 cm, tangentes duas a duas e uma circunferência</p><p>menor tangente às quatro maiores. Determinar o raio</p><p>da circunferência menor.</p><p>29) No triângulo ABC abaixo, determine a altura h.</p><p>h</p><p>A</p><p>B C</p><p>5</p><p>cm</p><p>2 13 cm</p><p>9 cm</p><p>A B</p><p>CD E</p><p>F</p><p>31) O retângulo ABCD da figura abaixo tem lados AB =</p><p>40 cm e BC = 30 cm. Sendo CE = 10 cm, determinar a</p><p>medida do segmento BF.</p><p>33) Na figura abaixo, as circunferências têm raio 10</p><p>cm, tangenciam a reta AB nos pontos A e B, são</p><p>tangentes entre si e tangentes ao quadrado que tem</p><p>base na reta AB. Determine a medida do lado desse</p><p>A B</p><p>34) (FUVEST) Uma folha retangular de papel com</p><p>dimensões 6 x 8 é dobrada de modo que dois vértices</p><p>diagonalmente opostos coincidam. Determine o</p><p>comprimento do vinco (dobra).</p><p>6</p><p>8</p><p>32) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de</p><p>um quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus</p><p>vértices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-a</p><p>de maneira que o vértice D fique sobre o “lado” AB (figu-</p><p>ra 2). Seja D’ esta nova posição do vértice D e x a dis-</p><p>tância de A a D’.</p><p>figura 1 figura 2</p><p>A B</p><p>CD</p><p>A BD’x</p><p>Determine a função que expressa a área do triângulo</p><p>sombreado em função de x.</p><p>(Fazer a resolução em outro espaço)</p><p>Jeca 105</p><p>Respostas desta aula.</p><p>01) a = 10 m = 3,6 n = 6,4 h = 4,8</p><p>02) x = 12 y = 3 3 z = 6 t = 6 3</p><p>03) x = 15 y = 27 / 5 z = 48 / 5 t = 36 / 5</p><p>04) a) x = 130 b) x = 5 c) x = 63</p><p>2 2</p><p>05) x = y - z</p><p>06) d = a 2</p><p>07) h</p><p>08) x = 2 y = 3 z = 2</p><p>09) x = 3 3 y = 3</p><p>10) x = 17</p><p>11) CM = 2 7</p><p>12) r = 16 / 3</p><p>13) AD = 7</p><p>14) r = 2 / 4</p><p>15) x = 3 5</p><p>16) r</p><p>17) h = 4</p><p>18) d = 12</p><p>19) d = 4 2</p><p>20) R = 5</p><p>a 3</p><p>2=</p><p>=</p><p>k(3 - 2 2 )</p><p>2</p><p>31) BF = 200 / 7</p><p>32) A</p><p>33) x = 4</p><p>34) d = 15 / 2</p><p>=</p><p>3</p><p>-x + 441x</p><p>84</p><p>21) x = 11 / 4</p><p>22) r = 4 / 3</p><p>23) AB = 8 AD = 73</p><p>24) AD = (13 + 2 30 )</p><p>25) AB = 8 3</p><p>26) x = 49 113 / 113 y = 64 113 / 113</p><p>27) AB = AC = 10 BC = 12</p><p>28) CD = 8</p><p>29) h = 4</p><p>30) r = 8( 2 - 1 )</p><p>Importante para mim.</p><p>Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma</p><p>mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br</p><p>Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.</p><p>Obrigado.</p><p>Jeca</p><p>Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor</p><p>Jeca 106</p><p>I) Lei dos senos. II) Lei dos cossenos.</p><p>Em todo triângulo, a razão entre a medida de um</p><p>lado e o seno do ângulo oposto é constante e vale o</p><p>dobro do raio da circunferência circunscrita ao</p><p>triângulo.</p><p>Em todo triângulo, a medida de qualquer lado</p><p>depende das medidas dos outros dois lados e do</p><p>ângulo entre eles.</p><p>a</p><p>sen A</p><p>=</p><p>b</p><p>sen B</p><p>c</p><p>sen C</p><p>2R=</p><p>A</p><p>B C</p><p>RO</p><p>Lei dos senos</p><p>= 2 2 2 x = a + b - 2.a.b.cos a</p><p>Lei dos cossenos</p><p>xa</p><p>b</p><p>a</p><p>III) Propriedades dos triângulos.</p><p>1) Em todo triângulo, ao maior lado</p><p>opõe-se o maior ângulo e ao menor</p><p>lado opõe-se o menor ângulo.</p><p>2) Condição de existência de um</p><p>triângulo.</p><p>Em todo triângulo, a medida de</p><p>qualquer lado é menor que a soma</p><p>e maior que a diferença das medi-</p><p>das dos outros dois lados.</p><p>3) Natureza de um triângulo.</p><p>Quanto à natureza um triângulo</p><p>pode ser:</p><p>a) triângulo retângulo;</p><p>b) triângulo obtusângulo;</p><p>c) triângulo acutângulo.</p><p>Reconhecimento da natureza de</p><p>um triângulo.</p><p>Seja a o maior lado de um triân-</p><p>gulo de lados a, b e c.</p><p>2 2 2</p><p>- Se a = b + c triângulo</p><p>retângulo.</p><p>2 2 2</p><p>- Se a > b + c triângulo</p><p>obtusângulo.</p><p>2 2 2</p><p>- Se a</p><p>14) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm,</p><p>determine o valor do seno do maior ângulo interno</p><p>desse triângulo.</p><p>Jeca 110</p><p>15) Na figura, o triângulo ABC tem lados AB, AC e</p><p>BC que medem, respectivamente, 5 cm, 10 cm e 9 cm.</p><p>Determine a medida da mediana relativa ao lado AC.</p><p>A</p><p>B C</p><p>16) Determine o raio da circunferência circunscrita ao</p><p>triângulo de lados que medem 4 cm, 5 cm e 6 cm.</p><p>17) Utilizando a lei dos cossenos, determine a natu-</p><p>reza de um triângulo de lados 10 cm, 12 cm e 16 cm.</p><p>18) (Fuvest) As páginas de um livro medem 1 dm de</p><p>base e 1 + 3 dm de altura. O livro é parcialmente</p><p>aberto, de tal forma que o ângulo entre duas páginas é</p><p>60º. Determinar o ângulo formado pelas diagonais das</p><p>duas páginas.</p><p>a</p><p>60º</p><p>Jeca 111</p><p>19) Dado um triângulo de lados 4 cm, 5 cm e 6 cm,</p><p>determine a altura desse triângulo relativa ao maior</p><p>lado.</p><p>20) Em um triângulo acutângulo de lados AB = 5 cm e</p><p>AC = 7 cm, a projeção ortogonal do lado AC sobre o</p><p>lado AB mede 1 cm. Determine a medida do lado</p><p>BC desse triângulo.</p><p>21) Um navio, deslocando-se em linha reta, visa um</p><p>farol e obtém a leitura de 30º para o ângulo formado</p><p>entre a sua trajetória e a linha de visada do farol.</p><p>Após navegar 20 milhas, através de uma nova visada</p><p>ao farol, obtém a leitura de 75º. Determine a</p><p>distância entre o farol e o navio no instante em que fez</p><p>a 2ª leitura.</p><p>22) Para medir a distância entre dois pontos, A e B,</p><p>em margens distintas de um precipício, um engenhei-</p><p>ro, que estava na mesma margem que o ponto A,</p><p>adotou um segmento AC = 300 m. Através de um</p><p>teodolito, obteve os ângulos BAC = 58º e BCA = 67º.</p><p>Com uma calculadora científica obteve os valores de</p><p>sen 67º = 0,9205 e sen 55º = 0,8192. Com base</p><p>nesses valores, determine a distância AB, calculada</p><p>pelo engenheiro.</p><p>precipício</p><p>margem B</p><p>margem A</p><p>B</p><p>A</p><p>C300 m</p><p>58º 67º</p><p>Jeca 112</p><p>Respostas desta aula.</p><p>01) existe e é obtusângulo</p><p>02)</p><p>a) triângulo retângulo</p><p>b) triângulo acutângulo</p><p>c) triângulo acutângulo</p><p>d) não existe o triângulo</p><p>e) não existe o triângulo</p><p>f) triângulo acutângulo</p><p>g) triângulo obtusângulo</p><p>h) triângulo acutângulo</p><p>03) S = {c c R I 2</p><p>CF e BD sejam, respectiva-</p><p>mente, as bissetrizes dos ângulos BCE e CBG.</p><p>a) Determine a medida do segmento BE.</p><p>b) Calcule sen 75º (Sugestão: 75º = 45º + 30º)</p><p>c) Determine a medida do segmento BF.</p><p>32) Dado um triângulo de lados 4, 5 e 6, com</p><p>ângulos internos a, b e c, prove que a = 2b.</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>a</p><p>bc</p><p>34) (ITA-SP) No quadrilátero ABCD da figura abai-</p><p>xo, temos BC = CD. Então podemos garantir que:</p><p>a</p><p>b</p><p>g</p><p>q</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>a)</p><p>b) g . b = a . q</p><p>c) tg a = tg g</p><p>2</p><p>d) (BC) = AD . BD</p><p>e) tg a . tg b = tg g . tg q</p><p>sen b =</p><p>sen a</p><p>sen q</p><p>sen g</p><p>Jeca 119</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>31) (FUVEST-SP) Na figura abaixo,</p><p>AB = BC = CD = DE = 2 e ABC = BCD = 2p / 3 e</p><p>CDE = p / 2. Calcule a distância entre os pontos A e E.</p><p>Respostas desta aula.</p><p>01)</p><p>a) triângulo retângulo</p><p>b) triângulo acutângulo</p><p>c) triângulo obtusângulo</p><p>d) não existe</p><p>e) triângulo obtusângulo</p><p>f) triângulo retângulo</p><p>g) não existe</p><p>h) triângulo acutângulo</p><p>2) 2 41 - 20 3 cm</p><p>3) 145 - 72 2 cm</p><p>4) 151 cm</p><p>5) 117 cm</p><p>6) 171 cm</p><p>7) 2 41 + 20 2 cm</p><p>8) 8 2 + 3 cm</p><p>9) 7 / 32</p><p>10) cos a = 61 / 100 cos b = -11 / 80</p><p>11) 7 cm</p><p>12) cos a = -11 / 24 sen a = tg a =</p><p>13)</p><p>a) -11 / 40</p><p>b) 310</p><p>14)</p><p>a) 61 / 100</p><p>b) 610 cm</p><p>455</p><p>24</p><p>455</p><p>11</p><p>2</p><p>5</p><p>15) (2 3 - 3 / 3) cm</p><p>16) 6 cm</p><p>17) 3 cm ou 7 cm</p><p>18) 8 2 cm</p><p>19) 4 6 cm</p><p>20) 8 6 cm</p><p>21) 8 2 cm</p><p>22) 60º ou 120º</p><p>23) 15º ou 105º</p><p>24) 4 2 cm</p><p>25) 4 3 cm</p><p>26) 12 cm</p><p>27) 18 2 cm</p><p>28) 10 2 cm</p><p>29) 11,36 cm</p><p>30) x = 2 10 cm y = 109 cm z cm</p><p>31) 2 5 - 2 3</p><p>32) demonstração abaixo</p><p>33)</p><p>a) 6</p><p>b) ( 2 + 6 ) / 4</p><p>c) 6 - 2</p><p>34) a</p><p>=</p><p>218</p><p>2</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>a</p><p>bc</p><p>Lei dos cossenos</p><p>2 2 2</p><p>x = a + b - 2 a b cos a</p><p>2 2 2</p><p>6 = 4 + 5 - 2 . 4 . 5 . cos a cos a = 1</p><p>8></p><p>2 2 2</p><p>4 = 5 + 6 - 2 . 5 . 6 . cos b cos b = 3</p><p>4</p><p>2 2sen b + cos b = 1 sen b = 7</p><p>4</p><p>2 2cos 2b = cos b - sen b = 9</p><p>16</p><p>7 2 1</p><p>8=</p><p>cos a = cos 2b =</p><p>Resolução.</p><p>32)</p><p>></p><p>></p><p>16 16 =</p><p>1</p><p>8 Portanto a = 2b</p><p>Jeca 120</p><p>Estudos sobre Geometria realizados</p><p>pelo prof. Jeca</p><p>(Lucas Octavio de Souza)</p><p>(São João da Boa Vista - SP)</p><p>Geometria plana</p><p>Aula 11</p><p>Circunferência e círculo.</p><p>I) Elementos da circunferência.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>r</p><p>r</p><p>r</p><p>a</p><p>P</p><p>C - centro da circunferência</p><p>AC = r - raio da circunferência</p><p>AB = 2r - diâmetro da circunferência</p><p>ACD = a - ângulo central</p><p>APD - arco da circunferência</p><p>AD - corda da circunferência</p><p>Dados sobre a circunferência (ou sobre o círculo)</p><p>c = 2pr - perímetro ou comprimento da circunferência.</p><p>2</p><p>S = p r - área do círculo.</p><p>360º - abertura, em graus, de uma volta completa na circunferência.</p><p>2p rad - abertura, em radianos, de uma volta completa na circunferência.</p><p>II) Exercícios.</p><p>01) Determinar o perímetro e a área de um círculo de</p><p>raio 7 m.</p><p>02) Determinar o diâmetro e a área de um círculo cujo</p><p>perímetro mede 36p cm.</p><p>03) A roda de um automóvel tem um diâmetro que</p><p>mede 50 cm. Determine a distância percorrida por</p><p>esse veículo após uma de suas rodas completar 1750</p><p>voltas. Adotar p = 3,14 e supor que a roda não</p><p>deslize durante a rolagem.</p><p>04) Determine quantas voltas por segundo deve dar</p><p>cada roda de um automóvel na velocidade linear</p><p>constante de 31,4 m/s, sabendo que o raio de cada</p><p>roda é 25 cm e que a roda não desliza durante a</p><p>rolagem. (adotar p = 3,14)</p><p>Jeca 121</p><p>06) (UNIFESP-SP) A figura mostra duas roldanas cir-</p><p>culares ligadas por uma correia. A roldana maior,</p><p>com raio de 12 cm, gira fazendo 100 rotações por</p><p>minuto, e a função da correia é fazer a roldana menor</p><p>girar. Admita que a correia não escorregue.</p><p>Para que a roldana menor faça 150 rotações por</p><p>minuto, seu raio, em centímetros, deve ser:</p><p>a) 8</p><p>b) 7</p><p>c) 6</p><p>d) 5</p><p>e) 4</p><p>07) (VUNESP-SP) Em um jogo eletrônico, o</p><p>"monstro" tem a forma de um setor circular com raio de</p><p>1 cm, como mostra a figura.</p><p>1 rad</p><p>1 cm</p><p>"monstro"</p><p>A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e</p><p>o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do</p><p>"monstro", em cm, é:</p><p>a) p - 1</p><p>b) p + 1</p><p>c) 2p - 1</p><p>d) 2p</p><p>e) 2p + 1</p><p>05) (UFRJ-RJ) Precorrendo uma distância de 450 m,</p><p>as rodas de um automóvel dão 250 voltas. Calcule o</p><p>raio das rodas.</p><p>08) (UFJF-MG) Testes efetuados em um pneu de</p><p>corrida constataram que, a partir de 185 600 voltas,</p><p>ele passa a se deteriorar, podendo causar riscos à</p><p>segurança do piloto. Sabendo que o diâmetro do pneu</p><p>é de 0,5 m, ele poderá percorrer, sem riscos para o</p><p>piloto, aproximadamente:</p><p>a) 93 km</p><p>b) 196 km</p><p>c) 366 km</p><p>d) 592 km</p><p>e) 291 km</p><p>10) (Mack-SP) O ponteiro dos minutos de um relógio</p><p>mede 4 cm. Supondo p = 3, a distância, em centíme-</p><p>tros, que a extremidade desse ponteiro percorre em</p><p>25 minutos é:</p><p>a) 15</p><p>b) 12</p><p>c) 20</p><p>d) 25</p><p>e) 10</p><p>O</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>a</p><p>09) (J) A figura abaixo representa um setor circular de</p><p>centro O e ângulo central a. Os arcos AC e BD</p><p>têm comprimentos 4p e 4,8p , respectivamente.</p><p>Sendo os segmentos AB e CD congruentes e iguais a</p><p>2 cm, determine a medida do segmento OB.</p><p>Jeca 122</p><p>12) (UFLa-MG) Os raios das rodas traseiras de um</p><p>trator medem 75 cm e dão 30 voltas, ao mesmo</p><p>tempo em que as rodas dianteiras dão 90 voltas. O</p><p>raio de cada uma das rodas dianteiras é:</p><p>a) 20 cm</p><p>b) 30 cm</p><p>c) 25 cm</p><p>d) 15 cm</p><p>e) 22 cm.</p><p>11) (Fatec-SP) Em um motor há duas polias ligadas</p><p>por uma correia, de acordo com o esquema abaixo.</p><p>Se cada polia tem raio de 10 cm e a distância entre</p><p>seus centros é de 30 cm, qual das medidas abaixo</p><p>mais se aproxima do comprimento da correia ?</p><p>a) 122,8 cm</p><p>b) 102,4 cm</p><p>c) 92,8 cm</p><p>d) 50 cm</p><p>e) 32,4 cm</p><p>13) (Unisa-SP) Um hexágono regular de lado 3 cm</p><p>está inscrito numa circunferência. Nessa circunfe-</p><p>rência, um arco de medida 100º, em centímetros,</p><p>tem comprimento:</p><p>a) 3p / 5</p><p>b) 5p / 6</p><p>c) p</p><p>d) 5p / 3</p><p>e) 10p / 3</p><p>14) (UFPI-PI) Numa circunferência na qual está</p><p>inscrito um quadrado de lado 10 cm, o comprimento,</p><p>em cm, de um arco dessa circunferência, medindo</p><p>120º é:</p><p>a) 10 2 p / 3</p><p>b) 5 p / 3</p><p>c) 5 7 p / 3</p><p>d) 10 3 p / 2</p><p>e) 5 2 p / 3</p><p>15) (UEG-GO) Na figura abaixo, os segmentos AB e</p><p>BC correspondem, respectivamente, aos lados de</p><p>um hexágono regular e de um quadrado, ambos</p><p>inscritos na circunferência que tem raio 6 cm. Deter-</p><p>mine o comprimento do arco ABC.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>16) (Unifesp-SP) Um inseto vai se deslocar sobre</p><p>uma superfície esférica de raio 50 cm, desde um pon-</p><p>to A até um ponto B, diametralmente opostos, con-</p><p>forme a figura abaixo. O menor trajeto possível que o</p><p>inseto pode percorrer tem comprimento, em metros,</p><p>igual a:</p><p>a) p / 2</p><p>b) p</p><p>c) 3p / 2</p><p>d) 2p</p><p>e) 3p</p><p>A</p><p>B</p><p>Jeca 123</p><p>17) (UFSCAR-SP) A sequência de figuras mostra um</p><p>único giro do ponto A, marcado em uma roda circular,</p><p>quando ela rola, no plano, sobre a rampa formada</p><p>pelos segmentos RQ e QP.</p><p>120º</p><p>R Q</p><p>P</p><p>A</p><p>R Q</p><p>P</p><p>A</p><p>120º</p><p>R Q</p><p>P</p><p>A</p><p>figura 1 figura 2</p><p>figura 3</p><p>Além do que indicam as figuras, sabe-se que o raio</p><p>da roda mede 3 m e que ela gira sobre a rampa sem</p><p>deslizar em falso. Sendo assim, o comprimento da</p><p>rampa RQ + QP, em cm, é igual a:</p><p>a) 5p + 2 3</p><p>b) 4p + 3 5</p><p>c) 6p + 3</p><p>d) 7p - 3</p><p>e) 8p - 3 5</p><p>50 cm</p><p>18) (J) Três polias de raio 10 cm têm os seus centros</p><p>equidistantes 50 cm, como representado na figura</p><p>abaixo. Adotando p = 3, determine o comprimento da</p><p>correia que envolve as três polias.</p><p>correia</p><p>polia</p><p>correia</p><p>20) (FUVEST-SP) A figura representa duas polias cir-</p><p>culares C e C de raios R = 4 cm e R = 1 cm, 1 2 1 2</p><p>apoiadas em uma superfície plana em P e P , 1 2</p><p>respectivamente. Uma correia envolve as polias, sem</p><p>folga. Sabendo-se que a distância entre os pontos P 1</p><p>e P é 3 3 cm, determine o comprimento da correia.2</p><p>P1 P23 3 cm</p><p>A B</p><p>C</p><p>19) (J) Uma pista de automobilismo tem comprimento</p><p>de 1 milha (1640 m) e é composta por uma semicir-</p><p>cunferência</p><p>maior e três semicircunferências menores</p><p>congruentes. Determinar os raios das semicircunfe-</p><p>rências sabendo que B, C e D são os centros das</p><p>semicircunferências e os pontos A, B, C, D e E são</p><p>colineares. (Adotar p = 3,14)</p><p>D E</p><p>Jeca 124</p><p>Respostas desta aula.</p><p>201) 14p m e 49p m</p><p>202) 36 cm e 324p cm</p><p>03) 2747,5 m</p><p>04) 20 voltas</p><p>05) (0,90 / p) m</p><p>06) 8 cm</p><p>07) e</p><p>08) e</p><p>09) 12 cm</p><p>10) e</p><p>11) a</p><p>12) c</p><p>13) d</p><p>14) a</p><p>15) 5p cm</p><p>16) a</p><p>17) a</p><p>18) 210 cm</p><p>19) 87,05 cm e 261,15 cm</p><p>20) 6( 3 + p) cm</p><p>Importante para mim.</p><p>Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma</p><p>mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br</p><p>Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.</p><p>Obrigado.</p><p>Jeca</p><p>Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor</p><p>Jeca 125</p><p>Estudos sobre Geometria realizados</p><p>pelo prof. Jeca</p><p>(Lucas Octavio de Souza)</p><p>(São João da Boa Vista - SP)</p><p>Geometria plana</p><p>Circunferência e círculo.</p><p>Exercícios complementares da aula 11.</p><p>01) (UEPB-PB) Um ciclista de uma prova de resistên-</p><p>cia deve percorrer 502,4 km sobre uma pista circular</p><p>de raio 200m. Considerando p = 3,14, o número de</p><p>voltas que ele deve dar é:</p><p>a) 500</p><p>b) 350</p><p>c) 450</p><p>d) 400</p><p>e) 300</p><p>02) (UCS-RS) A razão entre os comprimentos da</p><p>Linha do Equador e do diâmetro da Terra é igual à</p><p>razão entre os comprimentos de uma circunferência</p><p>qualquer e de seu diâmetro. Essa afirmação é:</p><p>a) verdadeira, e a razão referida vale p / 2.</p><p>b) verdadeira, e a razão referida vale p.</p><p>c) verdadeira, e a razão referida vale 3p / 2.</p><p>d) verdadeira, e a razão referida vale 2p.</p><p>e) falsa.</p><p>O</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>a</p><p>04) (J) A figura abaixo representa um setor circular de</p><p>centro O e ângulo central a. Os arcos AC e BD</p><p>têm comprimentos 4p e 4,8p , respectivamente.</p><p>Sendo os segmentos AB e CD congruentes e iguais a</p><p>2 cm, determine a medida do ângulo a.</p><p>06) (J) Uma pessoa dispõe de uma corda com 46p m</p><p>de comprimento e pretende fazer duas circunferên-</p><p>cias concêntricas com ela; uma circunferência menor</p><p>de raio 10 m e outra maior, conforme a figura abaixo.</p><p>Determine a distância d entre as circunferências.</p><p>d</p><p>03) (UFRJ-RJ) Uma roda de 10 cm de diâmetro gira</p><p>em linha reta, sem escorregar, sobre uma superfície</p><p>lisa e horizontal. Determine o menor número de voltas</p><p>completas para a roda percorrer uma distância maior</p><p>que 10 m.</p><p>A</p><p>B</p><p>05) (J) Na figura abaixo, A e B são os pontos médios</p><p>de dois lados de um pentágono regular de perímetro</p><p>60 m. Sendo C um vértice do pentágono e o centro do</p><p>setor circular, determine o perímetro da região som-</p><p>breada. (Adote p = 3)</p><p>C</p><p>Jeca 126</p><p>07) (J) Uma mesa circular deve acomodar 8 pessoas,</p><p>de tal forma que cada pessoa tenha disponível um</p><p>arco de circunferência de comprimento 60 cm.</p><p>Adotando p = 3, determine o raio da mesa.</p><p>60ºO</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>08) (J) Na figura abaixo, o arco ABC é 1 cm mais</p><p>comprido que a corda AC. Determine a medida do</p><p>raio da circunferência.</p><p>09) Uma circunferência tem raio R. Aumentando-se o</p><p>raio para R + d, determine:</p><p>a) o comprimento da circunferência original;</p><p>b) o comprimento da circunferência após o raio ter sido</p><p>aumentado;</p><p>c) o aumento do comprimento da segunda circunferên-</p><p>cia em relação à circunferência original.</p><p>10) (J) A figura abaixo representa duas polias de raios</p><p>30 cm e 20 cm. Um motor aclopado à polia maior</p><p>trabalha com 1750 rotações por minuto. Supondo que</p><p>a correia que une as polias não escorregue, determine</p><p>o nº de rotações por minuto da polia menor.</p><p>11) Calcule o comprimento de um arco de 2 radianos</p><p>numa circunferência de raio 40 cm.</p><p>12) Calcule o raio de uma circunferência, sabendo que</p><p>um arco de 3p / 2 radianos mede 50 cm.</p><p>Jeca 127</p><p>13) (UFSCar-SP) Uma pizza circular será fatiada, a</p><p>partir do centro, em setores circulares. Se o arco de</p><p>cada setor medir 0,8 radiano, obtém-se um número</p><p>máximo de N fatias idênticas, sobrando, no final,</p><p>uma fatia menor que é indicada na figura por fatia</p><p>N + 1.</p><p>Considerando p = 3,14, o arco da fatia N + 1, em</p><p>radiano, é</p><p>a) 0,74</p><p>b) 0,72</p><p>c) 0,68</p><p>d) 0,56</p><p>e) 0,34</p><p>fatia 1</p><p>fatia 2</p><p>fatia 3</p><p>fatia N</p><p>fatia N + 1 d</p><p>d/2</p><p>d/2</p><p>d d</p><p>A</p><p>E</p><p>C</p><p>D</p><p>F</p><p>14) (FGV-SP) Na figura estão representados dois</p><p>quadrados de lado d e dois setores circulares de 90º</p><p>e raio d. Sabendo que os pontos A, E e C estão</p><p>alinhados, a soma dos comprimentos do segmento</p><p>CF e do arco de circunferência AD, em função de d,</p><p>é igual a</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>(2 3 + p)</p><p>6</p><p>(3 + p)</p><p>d</p><p>6</p><p>(4 3 + p)</p><p>12</p><p>d</p><p>d(12 + p)</p><p>24</p><p>(2 3 + p)</p><p>12</p><p>d</p><p>d</p><p>15) (UESB-BA) O setor de 60º destacado na figura</p><p>abaixo, corresponde à superfície de um canteiro</p><p>circular plano, no qual pretende-se plantar duas</p><p>roseiras por metro quadrado. Se o canteiro tem 42 m</p><p>de diâmetro, quantas roseiras deverão ser plantadas ?</p><p>(Use p = 22/7)</p><p>a) 22</p><p>b) 88</p><p>c) 231</p><p>d) 462</p><p>e) 924</p><p>60º</p><p>16) (J) A figura abaixo representa duas polias que têm</p><p>raios 58 cm e 18 cm e a distância entre os seus</p><p>centros é de 80 cm.</p><p>a) Determine o comprimento da correia que envolve as</p><p>duas polias. (p = 3)</p><p>b) Determine o nº de voltas da polia menor quando a</p><p>polia maior dá uma volta.</p><p>correia</p><p>Jeca 128</p><p>17) (UFLa-MG) Amarre um barbante, bem ajustado,</p><p>em volta de uma bola de futebol. Agora amarre um</p><p>barbante, bem ajustado, em volta de uma bola de</p><p>gude. Se você aumentar 1 m no comprimento de</p><p>cada um dos dois barbantes e fizer uma</p><p>circunferência com cada um deles, haverá uma folga</p><p>d entre a bola de futebol e o primeiro barbante e uma 1</p><p>folga d entre a bola de gude e o segundo barbante.2</p><p>Assinale a alternativa correta.</p><p>a) d > d1 2</p><p>b) d</p><p>Jeca</p><p>Respostas desta aula.</p><p>01)</p><p>a) 176º 19' 21" b) 124º 05' 04"</p><p>c) 28º 45' 16" d) 46º 47' 48"</p><p>e) 273º 35' 36" f) 214º 11' 36"</p><p>g) 31º 24' 56" h) 39º 24' 57"</p><p>i) 25º 02' 34" j) 06º 55' 23"</p><p>02) 60º</p><p>03) 117º</p><p>04) 72º</p><p>05) 60º e 120º</p><p>06) 17º e 107º</p><p>07) 225º / 7</p><p>08)</p><p>a) 41º b) 64º c) 14º d) 14º e) 47º</p><p>f) 36º g) 62º h) 33º i ) 75º j) 34º</p><p>k) 113º l) 53º</p><p>09) 270º</p><p>10) 240º</p><p>11) 210º</p><p>12) 180º</p><p>13) 2m</p><p>14) c</p><p>15) 70º, 80º e 30º</p><p>16) 25º</p><p>Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor</p><p>Jeca 07</p><p>01) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.</p><p>r</p><p>s</p><p>r //s</p><p>43º</p><p>x</p><p>a) b)</p><p>r</p><p>s</p><p>r // s</p><p>57º</p><p>x</p><p>d)c)</p><p>rr</p><p>ss</p><p>r // sr // s</p><p>45º45º</p><p>62º62º</p><p>xx</p><p>(Resolver de forma diferente da letra c))</p><p>(Resolver de forma diferente da letra g))</p><p>rr</p><p>ss</p><p>r // sr // s</p><p>140º140º</p><p>65º65º</p><p>xx</p><p>150º150º</p><p>h)g)</p><p>e)</p><p>r</p><p>s</p><p>r // s</p><p>147º</p><p>82º</p><p>x</p><p>x</p><p>126º</p><p>80º</p><p>r</p><p>s</p><p>r // s</p><p>f)</p><p>r</p><p>s</p><p>r // s</p><p>i)</p><p>42º</p><p>5x - 1</p><p>2º</p><p>r</p><p>s</p><p>r // s</p><p>j)</p><p>48º</p><p>40º</p><p>x</p><p>43º</p><p>k)</p><p>x</p><p>55º</p><p>l)</p><p>r</p><p>s</p><p>r // s</p><p>135º x</p><p>85º</p><p>Estudos sobre Geometria realizados</p><p>pelo prof. Jeca</p><p>(Lucas Octavio de Souza)</p><p>(São João da Boa Vista - SP)</p><p>Geometria plana</p><p>Conceitos iniciais de Geometria Plana.</p><p>Exercícios complementares da aula 01.</p><p>Jeca 08</p><p>m)</p><p>43º</p><p>x</p><p>r</p><p>s</p><p>t</p><p>u</p><p>r // s</p><p>t // u</p><p>r // s</p><p>t // u</p><p>n)</p><p>58º</p><p>x</p><p>r</p><p>s</p><p>t</p><p>u</p><p>o)</p><p>62º</p><p>79º x</p><p>p)</p><p>52º</p><p>67ºx</p><p>q)</p><p>52º</p><p>81º</p><p>x</p><p>15x18x</p><p>21x</p><p>r)</p><p>s)</p><p>A</p><p>B C</p><p>38º</p><p>x</p><p>AB = AC AB = AC</p><p>(Triângulo isósceles) (Triângulo isósceles)</p><p>A</p><p>B C</p><p>138º</p><p>x</p><p>t)</p><p>A</p><p>B C</p><p>AB = AC</p><p>152º</p><p>x</p><p>u) v)</p><p>62º 98º x</p><p>x)</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>AB = BC = CD</p><p>98º</p><p>x</p><p>z)</p><p>A B C</p><p>D</p><p>E</p><p>AB = BD = DE</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>y y</p><p>Jeca 09</p><p>02) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.</p><p>a)</p><p>37º</p><p>31º</p><p>116º</p><p>x</p><p>b)</p><p>x</p><p>73º</p><p>148º</p><p>24º</p><p>d)</p><p>f)</p><p>h)</p><p>j)</p><p>l)</p><p>c)</p><p>x</p><p>34º</p><p>38º</p><p>101º</p><p>bissetriz</p><p>x</p><p>128º</p><p>36º</p><p>42º</p><p>x</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>AD e BD são bissetrizes.</p><p>72</p><p>º</p><p>40º</p><p>xD</p><p>e) D é o ponto de encontro das 3 bissetrizes.</p><p>g)</p><p>r</p><p>s</p><p>r // s</p><p>68º</p><p>5y</p><p>3y</p><p>x 60º</p><p>x + 30º</p><p>2x</p><p>i)</p><p>6x</p><p>9x</p><p>12x</p><p>43º</p><p>62º</p><p>60º</p><p>x</p><p>k)</p><p>x</p><p>A B</p><p>CD</p><p>ABCD é um quadrado.</p><p>30º</p><p>118º</p><p>x</p><p>Jeca 10</p><p>m) n)</p><p>o) p)</p><p>q) r)</p><p>s) t)</p><p>u) v)</p><p>x) z)</p><p>A</p><p>B C D</p><p>AC = CD</p><p>38ºx</p><p>A</p><p>C</p><p>B</p><p>D</p><p>E</p><p>AB = BC = CD = DE e AD = AE</p><p>x</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>x</p><p>AB = BC = CD = DE = EF e AE = AF</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>44º</p><p>x</p><p>AB = AC , BD = BE e CE = CF.</p><p>A</p><p>B CD E</p><p>FG</p><p>x</p><p>ABC é um triângulo equilátero</p><p>e DEFG é um quadrado.</p><p>A B</p><p>C</p><p>DE</p><p>x</p><p>BCD é um triângulo equilátero</p><p>e ABDE é um quadrado.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>Ex</p><p>CDE é um triângulo equilátero</p><p>e ABCD é um quadrado.</p><p>x</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>EF</p><p>G</p><p>BFE é um triângulo equilátero, ABFG e BCDE são</p><p>quadrados.</p><p>A B C</p><p>DEF</p><p>x</p><p>ACE e BDF são triângulos</p><p>equiláteros.</p><p>A</p><p>B CE F</p><p>x</p><p>65º</p><p>70º</p><p>D</p><p>AB = AC e DE = DF.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>x</p><p>AB = AD = BD = DC e AC = BC.</p><p>A</p><p>B CDE</p><p>x 38º</p><p>AB = AC</p><p>AD é bissetriz de BÂC</p><p>AE é bissetriz de BÂD.</p><p>Jeca 11</p><p>03) Na figura abaixo, determine x, y e z.</p><p>37º</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>04) Na figura abaixo, determinar x, y e z.</p><p>x</p><p>4x</p><p>z</p><p>2y</p><p>05) Na figura abaixo, determinar x, y, z e t.</p><p>t z</p><p>2x</p><p>y4x</p><p>40º</p><p>06) Na figura abaixo, sendo BD a bissetriz do ângulo</p><p>CBE, determinar x + y.</p><p>A B C</p><p>DE</p><p>x</p><p>y</p><p>4x</p><p>57ºx</p><p>07) Na figura abaixo, determinar o valor de x.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>O</p><p>x 28º</p><p>08) Na figura abaixo, determinar o valor do ângulo x,</p><p>sabendo-se que OD é bissetriz de AOE, OC é bissetriz</p><p>de AOD e OB é bissetriz de AOC.</p><p>09) Na figura abaixo, determine os valores de x, y e</p><p>z.</p><p>2x y</p><p>z + 26º</p><p>2z - 84º</p><p>10) Determinar os valores de x, y e z, sabendo que os</p><p>mesmos formam uma progressão aritmética de razão</p><p>10º.</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>Jeca 12</p><p>140º</p><p>120º</p><p>x</p><p>t</p><p>s</p><p>t // s</p><p>11) (FUVEST) Na figura abaixo, determine o valor de x.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E</p><p>F</p><p>x</p><p>y z</p><p>t</p><p>u</p><p>v</p><p>A</p><p>B C D</p><p>x</p><p>B C D E</p><p>x</p><p>2x</p><p>13) Na figura abaixo, AB = AC = BC = CD. Determi-</p><p>ne o valor de x.</p><p>12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma</p><p>x + y + z + t + u + v, sabendo-se que CEF é um triângulo</p><p>inscrito no quadrado ABCD.</p><p>14) Na figura abaixo, AD = AC = BC e AC é a bis-</p><p>setriz do ângulo BAD. Determine o valor de x.</p><p>15) Na figura abaixo, determine a medida do ângulo x</p><p>em função de y.</p><p>xy 2y</p><p>5y</p><p>16) (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Determine y</p><p>em função de x.</p><p>A B C</p><p>D</p><p>y</p><p>x</p><p>18) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles</p><p>mede 100º. Determinar a medida do ângulo agudo</p><p>formado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos</p><p>internos.</p><p>17) Na figura abaixo mostre que vale a relação :</p><p>a + b = c + d. r</p><p>s</p><p>r // s</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>d</p><p>19) Mostre que a soma das medidas dos ângulos</p><p>externos de um triângulo é 360º.</p><p>e1</p><p>e2</p><p>e3</p><p>20) Na figura abaixo, determinar x em função de y e de</p><p>z.</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>r</p><p>s</p><p>r // s</p><p>A</p><p>Jeca 13</p><p>22) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das</p><p>medidas dos ângulos x, y, z, t e u.</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>t</p><p>u</p><p>23) Na figura abaixo, calcule o ângulo x, sendo y o triplo</p><p>de z e t o sêxtuplo de z.</p><p>80º</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>t</p><p>A</p><p>B D C</p><p>25) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo Â,</p><p>demonstre que vale a relação z - y = x - t.</p><p>x y z</p><p>t</p><p>A B</p><p>C</p><p>DE</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>27) Na figura abaixo, sendo AB // DE, determinar a</p><p>soma das medidas dos ângulos x, y e z.</p><p>A</p><p>B C D</p><p>E</p><p>x</p><p>28) Determinar a medida do ângulo x, sabendo-se que</p><p>os triângulos ABE e CDE são isósceles e que o</p><p>triângulo BCE é equilátero.</p><p>Jeca 14</p><p>40º</p><p>x</p><p>y</p><p>24) (FUVEST-SP) No retângulo abaixo, qual o valor</p><p>em graus de x + y ?</p><p>x</p><p>y</p><p>r</p><p>s A B</p><p>CD</p><p>21) Na figura abaixo, o quadrado ABCD é cortado por</p><p>duas retas paralelas, r e s. Com relação aos ângulos</p><p>x e y podemos afirmar que :</p><p>a) x = y</p><p>b) x = -y</p><p>c) x + y = 90º</p><p>d) x - y = 90º</p><p>e) x + y = 180º</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E F</p><p>26) Na figura abaixo, o ângulo EAB mede 38º, ABCD</p><p>é um retângulo e AB é congruente a AE. A medida do</p><p>ângulo CBF é :</p><p>a) 38º</p><p>b) 27º</p><p>c) 18º</p><p>d) 19º</p><p>e) 71º</p><p>29) Na figura abaixo, determine a soma das medidas</p><p>dos ângulos x, y, z, t, u e v.</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>t</p><p>u</p><p>v</p><p>30) Na figura abaixo, determine a soma das medidas</p><p>dos ângulos x, y, z e t.</p><p>r</p><p>s</p><p>r // s</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>t</p><p>31) Na figura abaixo, determine a soma das medidas</p><p>dos ângulos x, y, z e t.</p><p>32) Um retângulo de papel é dobrado de forma que o</p><p>vértice D pertença ao lado BC, conforme a figura.</p><p>Sendo EF a dobra feita, calcule a medida do ângulo x,</p><p>conhecendo a medida de 140º do ângulo assinalado.</p><p>140º</p><p>x</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E</p><p>F</p><p>A’</p><p>D’</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>t</p><p>33) Na figura, AM = AN, x > y e as reta MN e BC</p><p>interceptam-se em P. Mostre que o ângulo MPB é</p><p>igual a</p><p>34) Na figura abaixo, os ângulos ABC, ACB e CAB’</p><p>medem respectivamente 30º, 80º e 30º. Sendo AD uma</p><p>dobra de tal forma que o lado AB’ é simétrico do lado AB</p><p>em relação a AD, determine a medida do ângulo ADB.</p><p>35) Na figura, sendo AB congruente a AC, AE</p><p>congruente a AD, calcule a medida do ângulo CDE,</p><p>sabendo-se que BAD = 48º.</p><p>A</p><p>B CD</p><p>E</p><p>A</p><p>B C</p><p>M</p><p>N</p><p>P x y</p><p>x - y</p><p>2 A</p><p>B CD</p><p>B’</p><p>.</p><p>Jeca 15</p><p>Respostas desta aula.</p><p>01)</p><p>a) 43º b) 123º c) 107º d) 107º e) 49º</p><p>f) 46º g) 55º h) 55º i) 30º j) 49º</p><p>k) 55º l) 130º m) 43º n) 122º o) 39º</p><p>p) 119º q) 133º r) 10º/3 s) 71º t) 96º</p><p>u) 104º v) 46º x) 123º z) 108º</p><p>02)</p><p>a) 48º b) 51º c) 29º d) 112º e) 18º</p><p>f) 111º g) 42º h) 70º i) 40º/3 j) 45º</p><p>k) 90º l) 43º m) 14º n) 180º/7 o) 20º</p><p>p) 68º q) 30º r) 15º s) 75º t) 60º</p><p>u) 120º v) 60º x) 150º z) 116º</p><p>03) 143º, 37º e 143º</p><p>04) 36º, 18º e 144º</p><p>05) 20º, 60º, 80º e 60º</p><p>06) 100º</p><p>07) 33º</p><p>08) 19º</p><p>09) 22º, 44º e 110º</p><p>10) 50º, 60º e 70º</p><p>11) 70º</p><p>12) 270º</p><p>13) 10º</p><p>14) 36º</p><p>15) x = 8y</p><p>16) y = 3x</p><p>17) demonstração</p><p>18) 40º</p><p>19) demonstração</p><p>20) x = y - z</p><p>21) c</p><p>22) 540º</p><p>23) 50º</p><p>24) 130º</p><p>25) demonstração</p><p>26) d</p><p>27) 360º</p><p>28) 45º</p><p>29) 360º</p><p>30) 180º</p><p>31) 540º</p><p>32) 65º</p><p>33) demonstração</p><p>34)</p><p>entre si.</p><p>3 lados - triângulo equilátero</p><p>4 lados - quadrado</p><p>5 lados - pentágono regular</p><p>6 lados - hexágono regular</p><p>etc</p><p>Classificação dos polígonos regulares</p><p>Medida de cada ângulo interno de um polígono regular.</p><p>Medida de cada ângulo externo de um polígono regular.</p><p>i =</p><p>Si</p><p>n ></p><p>180 (n - 2)</p><p>i = n</p><p>e =</p><p>Se</p><p>n ></p><p>360e = n</p><p>(importante)</p><p>Observação - Todo polígono regular pode ser inscrito e</p><p>circunscrito numa circunferência.</p><p>ângulo</p><p>central</p><p>C</p><p>II) Principais polígonos regulares.</p><p>1) Triângulo equilátero. 3) Hexágono regular.2) Quadrado.</p><p>60º</p><p>Todo hexágono regular pode ser</p><p>dividido em seis triângulos equiláte-</p><p>ros.</p><p>l</p><p>l</p><p>l</p><p>l</p><p>l</p><p>l</p><p>l</p><p>l</p><p>l l</p><p>l</p><p>l</p><p>R</p><p>=</p><p>l</p><p>r</p><p>l 3</p><p>2</p><p>=r R = l</p><p>l 3</p><p>6</p><p>=r R = l</p><p>2</p><p>=r R =l 3</p><p>3</p><p>l 2</p><p>2</p><p>r</p><p>30º</p><p>R</p><p>BICO</p><p>Em todo triângulo equilátero os</p><p>quatro pontos notáveis (BICO) coin-</p><p>cidem num mesmo ponto.</p><p>R</p><p>r</p><p>45º</p><p>III) Apótema de um polígono regular.</p><p>O apótema de um polígono regular é a distância entre o centro do polígono e o ponto médio de qualquer lado.</p><p>O apótema é o raio da circunferência inscrita no polígono.</p><p>Exercício 01 - Determinar o raio da circunferência inscrita e o raio da circunferência circunscrita em um</p><p>quadrado de lado 12 cm. 12 cm</p><p>l - lado do polígono regular</p><p>Estudos sobre Geometria realizados</p><p>pelo prof. Jeca</p><p>(Lucas Octavio de Souza)</p><p>(São João da Boa Vista - SP)</p><p>Geometria plana</p><p>Aula 12</p><p>Inscrição e circunscrição de</p><p>polígonos regulares.</p><p>Jeca 131</p><p>02) Determine o raio da circunferência inscrita num tri-</p><p>ângulo equilátero de lado 4 cm.</p><p>03) Determine o raio da circunferência circunscrita num</p><p>triângulo equilátero de lado 8 cm.</p><p>04) Determine o raio da circunferência circunscrita</p><p>num quadrado de lado 14 cm.</p><p>05) Determine o lado de um hexágono regular circuns-</p><p>crito em uma circunferência de raio 3 cm.</p><p>06) Determine o lado de um quadrado inscrito num cír-</p><p>culo de raio k.</p><p>07) Determine o raio de um círculo inscrito num hexá-</p><p>gono regular de lado 2k.</p><p>Jeca 132</p><p>R</p><p>r</p><p>h</p><p>08) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero</p><p>é 8 cm, determine:</p><p>a) a altura do triângulo;</p><p>b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;</p><p>c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.</p><p>8 cm</p><p>8</p><p>cm</p><p>8 cm</p><p>09) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero</p><p>é 12 cm, determine:</p><p>a) o lado do triângulo;</p><p>b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;</p><p>c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.</p><p>R</p><p>r</p><p>h</p><p>10) Determine a medida do lado de um triângulo equi-</p><p>látero inscrito numa circunferência de raio 5 cm.</p><p>11) Determine o raio da circunferência inscrita num</p><p>hexágono regular inscrito numa circunferência de raio</p><p>7 cm.</p><p>Jeca 133</p><p>12) Qual é a razão entre o lado de um triângulo equilá-</p><p>tero e o lado de um quadrado circunscritos à mesma</p><p>circunferência ?</p><p>13) Qual é a razão entre o lado de um hexágono regu-</p><p>lar e o lado de um quadrado circunscritos à mesma</p><p>circunferência ?</p><p>14) Qual é a razão entre o perímetro do hexágono re-</p><p>gular circunscrito e o perímetro do triângulo equilátero</p><p>inscrito numa mesma circunferência ?</p><p>15) Qual é a razão entre o lado do hexágono regular</p><p>circunscrito e o perímetro do quadrado inscrito numa</p><p>mesma circunferência ?</p><p>Jeca 134</p><p>Respostas desta aula.</p><p>01) 6 cm e 6 2 cm</p><p>02) (2 3 / 3) cm</p><p>03) (8 3 / 3) cm</p><p>04) 7 2 cm</p><p>05) 2 3 cm</p><p>06) k 2 / 2</p><p>07) k 3</p><p>08)</p><p>a) 4 3 cm</p><p>b) (4 3 / 3) cm</p><p>c) (8 3 / 3) cm</p><p>09)</p><p>a) 8 3 cm</p><p>b) 4 cm</p><p>c) 8 cm</p><p>10) 5 3 cm</p><p>11) (7 3 / 2) cm</p><p>12) 3</p><p>13) 3 / 3</p><p>14) 4 / 3</p><p>15) 6 / 12</p><p>Importante para mim.</p><p>Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma</p><p>mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br</p><p>Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.</p><p>Obrigado.</p><p>Jeca</p><p>Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor</p><p>Jeca 135</p><p>1) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :</p><p>a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.</p><p>b) o apótema do triângulo.</p><p>c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.</p><p>d) o lado do triângulo.</p><p>R</p><p>R</p><p>r</p><p>r</p><p>h</p><p>h</p><p>l l</p><p>l</p><p>2) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 5k, determinar em função de k :</p><p>a) a altura do triângulo.</p><p>b) o raio da circunferência inscrita e o apótema.</p><p>c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.</p><p>5k 5k</p><p>5k</p><p>3) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita a um quadrado é 8 cm, determinar :</p><p>a) o apótema e o raio da inscrita.</p><p>b) o lado do quadrado.</p><p>c) o perímetro do quadrado.</p><p>rR</p><p>l</p><p>l</p><p>l</p><p>l</p><p>Estudos sobre Geometria realizados</p><p>pelo prof. Jeca</p><p>(Lucas Octavio de Souza)</p><p>(São João da Boa Vista - SP)</p><p>Geometria plana</p><p>Inscrição e circunscrição de polígonos</p><p>regulares.</p><p>Exercícios complementares da aula 12.</p><p>Jeca 136</p><p>4) Sabendo-se que um quadrado tem lado k, determinar em função de k :</p><p>a) o perímetro do quadrado.</p><p>b) o apótema e o raio da circunferência inscrita no triângulo.</p><p>c) a diagonal do quadrado e o raio da circunscrita. rR</p><p>k</p><p>k</p><p>k</p><p>k</p><p>5) Sabendo-se que um hexágono regular tem lado 7 cm, determinar :</p><p>a) o raio da circunferência circunscrita ao hexágono.</p><p>b) o apótema e o raio da circunferência inscrita no hexágono.</p><p>c) o perímetro do hexágono.</p><p>6) Sabendo-se que o apótema de um hexágono regular é 3k, determinar em função de k :</p><p>a) o raio da circunferência inscrita no hexágono.</p><p>b) o raio da circunferência circunscrita no hexágono.</p><p>c) o lado e o perímetro do hexágono.</p><p>Jeca 137</p><p>7) Determinar a razão entre o perímetro de um triângulo equilátero e o perímetro de um hexágono regular inscritos</p><p>numa mesma circunferência.</p><p>8) Na figura abaixo, o quadrado e o triângulo equilátero estão inscritos numa mesma circunferência. Determinar a</p><p>razão entre o raio da circunferência inscrita no quadrado e o raio da circunferência inscrita no triângulo.</p><p>9) Um quadrado e um hexágono regular são circunscritos a uma mesma circunferência. Determinar a razão entre</p><p>o raio da circunferência circunscrita ao hexágono e o raio da circunferência circunscrita ao quadrado.</p><p>Jeca 138</p><p>10) Um octógono regular está inscrito numa circunferência de raio 12 cm. Determinar :</p><p>a) o lado e o perímetro desse octógono.</p><p>b) o raio da circunferência inscrita nesse octógono.</p><p>11) Um dodecágono regular está inscrito numa circunferência de raio 7 cm. Determinar :</p><p>a) o lado e o perímetro desse dodecágono.</p><p>b) o raio da circunferência inscrita nesse dodecágono.</p><p>Jeca 139</p><p>Respostas desta aula.</p><p>Importante para mim.</p><p>Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma</p><p>mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br</p><p>Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.</p><p>Obrigado.</p><p>Jeca</p><p>Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor</p><p>01)</p><p>a) 1 cm</p><p>b) 1 cm</p><p>c) 2 cm</p><p>d) 2 3 cm</p><p>02)</p><p>a) 5k 3 / 2</p><p>b) 5k 3 / 6</p><p>c) 5k 3 / 3</p><p>03)</p><p>a) 4 2 cm</p><p>b) 8 2 cm</p><p>c) 32 2 cm</p><p>04)</p><p>a) 4k</p><p>b) k / 2</p><p>c) k 2</p><p>d) k 2 / 2</p><p>05)</p><p>a) 7 cm</p><p>b) (7 3 / 2) cm</p><p>c) 42 cm</p><p>06)</p><p>a) 3k</p><p>b) 2k 3</p><p>c) 2k 3</p><p>d) 12k 3</p><p>07) 3 / 2</p><p>08) 2</p><p>09) 6 / 2</p><p>10)</p><p>a) 12 2 - 2 cm e 96 2 - 2 cm</p><p>b) 6 2 + 2 cm</p><p>11)</p><p>a) 7 2 - 3 cm e 84 2 - 3 cm</p><p>b) (7 2 + 3 / 2) cm</p><p>Jeca 140</p><p>I) Áreas das figuras planas.</p><p>Área é a medida de superfície.</p><p>II) Áreas das figuras poligonais.</p><p>1) Área do retângulo. 2) Área do quadrado. 3) Área do paralelogramo.</p><p>4) Área do trapézio. 5) Área do losango. 6) Área do triângulo.</p><p>S = b . h</p><p>b</p><p>h</p><p>2</p><p>S = l</p><p>l</p><p>l S = b . hb</p><p>h</p><p>b</p><p>B</p><p>h</p><p>S= b + B h</p><p>2</p><p>.( )</p><p>d</p><p>D</p><p>S = d . D</p><p>2 b</p><p>h</p><p>S = b . h</p><p>2</p><p>III) Outras fórmulas para o cálculo da área de um triângulo.</p><p>IV) Áreas das figuras circulares.</p><p>2) Em função dos 3 lados (Fórmula de Hierão)1) Em função de dois lados e do ângulo entre eles.</p><p>3) Em função do raio da circunferência inscrita. 4) Em função do raio da circunferência circunscrita.</p><p>a</p><p>a</p><p>b</p><p>a . b. sen a1</p><p>2</p><p>S =</p><p>(Importantíssima)</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>p.(p - a)(p - b)(p - c)S =</p><p>p - semiperímetro</p><p>a + b + c</p><p>2</p><p>p =</p><p>r</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>S = p . r</p><p>p - semiperímetro</p><p>a + b + c</p><p>2</p><p>p =</p><p>R</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>S = a . b . c</p><p>4 R</p><p>1) Área do círculo. 1) Área da coroa circular.</p><p>Área do círculo</p><p>Perímetro do círculo</p><p>S =</p><p>2</p><p>p r</p><p>c = 2 p r</p><p>r</p><p>r - raio do círculo.</p><p>R</p><p>r</p><p>S =</p><p>2 2</p><p>p R - p r</p><p>R - raio do círculo maior</p><p>r - raio do círculo menor</p><p>Estudos sobre Geometria realizados</p><p>pelo prof. Jeca</p><p>(Lucas Octavio de Souza)</p><p>(São João da Boa Vista - SP)</p><p>Geometria plana</p><p>Aula 13</p><p>Áreas das figuras planas.</p><p>Jeca 141</p><p>3) Área do setor circular. 4) Área do segmento circular.</p><p>r - raio do círculo.</p><p>a</p><p>r</p><p>r</p><p>C</p><p>r</p><p>r</p><p>C</p><p>a</p><p>Regra de três</p><p>2</p><p>360º p r</p><p>a Ssetor</p><p>Ssetor = a</p><p>360</p><p>2</p><p>p r. S = S - Ssegmento circular setor triângulo</p><p>Lembrar que a área</p><p>do triângulo é dada por</p><p>a . b. sen a1</p><p>2</p><p>Striângulo =</p><p>V) Áreas das figura semelhantes.</p><p>Duas figuras planas são</p><p>ditas semelhantes se uma</p><p>delas é a redução ou a</p><p>ampliação da outra. l1</p><p>l2</p><p>S1</p><p>S2 l1S1</p><p>S2</p><p>=</p><p>l2</p><p>( )</p><p>2</p><p>Se duas figuras planas</p><p>são semelhantes, então vale</p><p>a relação:</p><p>- comprimento</p><p>S - área</p><p>l</p><p>Exercício 01 - A figura abaixo é um quadriculado onde cada quadradinho tem lado 1 cm. Todos os pontos, A,</p><p>B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O e P estão exatamente sobre os cruzamentos das linhas que</p><p>compõem o quadriculado. Com base no desenho e nestas informações, calcule a área de cada polígono (S , S , 1 2</p><p>S , S , S , S , S e S ). Faça os cálculos dentro do próprio desenho.3 4 5 6 7 8</p><p>A B</p><p>C D E F G H</p><p>I J K</p><p>L M</p><p>O</p><p>N</p><p>P</p><p>S6 S7</p><p>S8</p><p>S4</p><p>S5</p><p>S1</p><p>S2 S3</p><p>1 cm</p><p>Jeca 142</p><p>02) Determinar a área de um triângulo equilátero de</p><p>lado 16 cm.</p><p>03) Determinar a área de um hexágono regular de lado</p><p>4 cm.</p><p>04) Determinar a área de um dodecágono regular ins-</p><p>crito numa circunferência de raio 8 cm.</p><p>05) Determinar a área de um triângulo de lados 5 cm,</p><p>6 cm e 7 cm.</p><p>06) Dado um triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm,</p><p>determinar o raio da circunferência inscrita no triângulo</p><p>e a altura relativa ao lado que mede 6 cm.</p><p>07) Dado um triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm,</p><p>determinar o raio da circunferência circunscrita nesse</p><p>triângulo.</p><p>08) Determinar a área do paralelogramo abaixo.</p><p>120º</p><p>6</p><p>cm</p><p>15 cm</p><p>09) Determinar a área do trapézio abaixo.</p><p>12 cm</p><p>15 cm</p><p>5 cm</p><p>Jeca 143</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E</p><p>F</p><p>10) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido</p><p>em 16 quadradinhos de lado 2 cm. Sendo E e F os</p><p>centros dos dois semicírculos e B o centro do setor</p><p>circular e sabendo que as figuras circulares</p><p>tangenciam os lados dos quadradinhos, determine a</p><p>área da região sombreada. (deixar em função de p)</p><p>2 cm</p><p>11) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido</p><p>em 36 quadradinhos de lado 2 cm. Sendo E o centro</p><p>do semicírculo, F o centro do círculo e B o centro do</p><p>setor circular e sabendo que as figuras circulares</p><p>tangenciam os lados dos quadradinhos, determine a</p><p>área da região sombreada. (deixar em função de p)</p><p>A</p><p>B C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>2 cm</p><p>12) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido</p><p>em 36 quadradinhos de lado 3 cm. Sendo E o centro</p><p>do semicírculo e B e C os centros dos setores circular</p><p>e sabendo que as figuras circulares tangenciam os</p><p>lados dos quadradinhos, determine a área da região</p><p>sombreada. (deixar em função de p)</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E</p><p>3 cm</p><p>A B</p><p>CO</p><p>60º</p><p>13) Na figura abaixo, A, B e C são pontos de tangência e</p><p>o círculo está inscrito no setor circular de centro O, raio</p><p>3 cm e ângulo central 60º. Determinar a área do círculo.</p><p>14) Um trapézio tem base maior 5k, base menor 2k</p><p>e altura 4k. A área do trapézio, em função de k, é :</p><p>3 2 2 2</p><p>a) 7k b) 11k c) 7k d) 14k e) 12k</p><p>a</p><p>b</p><p>k</p><p>A B</p><p>CD</p><p>P</p><p>15) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado k.</p><p>Sendo P um ponto que dista a de BC e b de CD, a</p><p>área do quadrilátero ABPD, em função de k, de a e</p><p>de b, é :</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>k(k )a</p><p>2</p><p>b</p><p>2</p><p>k(k )a</p><p>2</p><p>b</p><p>2+</p><p>k(k )a</p><p>2</p><p>b</p><p>2+ +</p><p>k(k )a</p><p>2</p><p>b</p><p>2+</p><p>2</p><p>k ( )a</p><p>2</p><p>b</p><p>2+</p><p>Jeca 144</p><p>17) Na figura abaixo, estão representados quatro</p><p>círculos congruentes tangentes entre si e um quadrado</p><p>de lado 5 cm, cujos vértices são os centros dos quatro</p><p>2</p><p>círculos. A área da região sombreada, em cm , é :</p><p>a) 100p - 100</p><p>b) 100p - 25</p><p>c) 75p / 2</p><p>d) 50p / 3</p><p>e) 75p / 4</p><p>O</p><p>a</p><p>b</p><p>16) (UFV-MG) As circunferências da figura abaixo são</p><p>concêntricas e têm raios de 1 cm e 2 cm. Determine a</p><p>área da região hachurada.</p><p>6 2 cm</p><p>3 2 cm</p><p>C</p><p>18) A figura abaixo representa uma semi-circunferência</p><p>de centro C , onde existe um retângulo inscrito. Deter-</p><p>minar a área da região sombreada.</p><p>19) Determinar a área da coroa circular abaixo,</p><p>sabendo-se que AB mede 10 cm e tangencia o círculo</p><p>interno. A</p><p>B</p><p>21) Na figura abaixo estão representados dois</p><p>octógonos regulares. A medida do lado do maior é 8 cm</p><p>e o octógono menor tem os seus lados apoiados sobre</p><p>as diagonais do maior. Determine a área da região</p><p>sombreada.</p><p>20) Na figura abaixo, o diâmetro AB coincide com a</p><p>altura do triângulo equilátero de lado 12 cm. Sendo C o</p><p>centro da circunferência, determine a área da região</p><p>externa ao triângulo e interna à circunferência.</p><p>C</p><p>B</p><p>A</p><p>Jeca 145</p><p>A</p><p>B</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>G</p><p>23) Na figura abaixo, o triângulo ADF tem área K.</p><p>Sabendo-se que DF // BC e que AD = DE = EB e que</p><p>AF = FG = GC, pode-se afirmar que a área do triângulo</p><p>ABC vale :</p><p>a) 9K</p><p>2</p><p>b) 9K</p><p>c) 3K</p><p>2</p><p>d) 3K</p><p>e) 6K</p><p>25) (Unifesp) Você tem dois pedaços de arame de</p><p>mesmo comprimento e pequena espessura. Um deles</p><p>você usa para formar o círculo da figura 1, e o outro</p><p>você corta em 3 partes iguais para formar os três</p><p>círculos da figura 2.</p><p>Se S é a área do círculo maior e s é a área de um</p><p>dos círculos menores, a relação entre S e s é dada</p><p>por:</p><p>a) S = 3s b) S = 4s c) S = 6s d) S = 8s e) S = 9s</p><p>figura 1</p><p>figura 2</p><p>22) (Fuvest-SP) Na figura, BC é paralelo a DE, AB =</p><p>4 e BD = 5. Determine a razão entre as áreas do triân-</p><p>gulo ABC e do trapézio BCDE.</p><p>A</p><p>B C</p><p>DE</p><p>h</p><p>x</p><p>A</p><p>B C</p><p>D E</p><p>26) Na figura abaixo, o triângulo ABC tem altura</p><p>h = 12 cm. Sabendo-se que DE é paralelo a BC,</p><p>determinar o valor de x para que a área do triângulo</p><p>ADE seja o dobro da área do trapézio BCED.</p><p>h</p><p>x</p><p>A</p><p>B C</p><p>D E</p><p>27) Na figura abaixo, o triângulo ABC tem altura</p><p>h = 12 cm. Sabendo-se que DE é paralelo a BC,</p><p>determinar o valor de x para que a área do triângulo</p><p>ADE seja um terço da área do trapézio BCED.</p><p>A B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>24) (Fuvest-SP) No papel quadriculado da figura abai-</p><p>xo, adota-se como unidade de comprimento o lado do</p><p>quadrado sombreado. DE é paralelo a BC. Determinar</p><p>a medida de AD na unidade adotada para que a área do</p><p>triângulo ADE seja a metade da área do triângulo ABC.</p><p>C</p><p>Jeca 146</p><p>Respostas desta aula.</p><p>2 2 201) S = 56 cm S = 140 cm S = (91/2) cm1 2 3</p><p>2 2 2 S = 72 cm S = 121 cm S = 182 cm4 5 6</p><p>2 2 S = 72 cm S = 70 cm7 8</p><p>202) 64 3 cm</p><p>203) 24 3 cm</p><p>204) 192 cm</p><p>205) 6 6 cm</p><p>206) 2 6 cm</p><p>207) (35 6 / 24) cm</p><p>208) 45 3 cm</p><p>209) 54 cm</p><p>210) 2(32 - 7p) cm</p><p>211) 4(36 - 7p) cm</p><p>212) 9(36 - 31p / 4) cm</p><p>213) p cm</p><p>14) d</p><p>15) a</p><p>216) (2( 3 + 1) - p) cm</p><p>17) e</p><p>218) 18(p - 2) cm</p><p>219) 25p cm</p><p>220) 18(p - 3 3 / 4) cm</p><p>221) 128(2 - 2 ) cm</p><p>22) 16 / 65</p><p>23) a</p><p>24) 4 2 uc</p><p>25) e</p><p>26) 4 6 cm</p><p>27) 6 cm</p><p>Importante para mim.</p><p>Se você, resolvendo esta</p><p>lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma</p><p>mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br</p><p>Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.</p><p>Obrigado.</p><p>Jeca</p><p>Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor</p><p>Jeca 147</p><p>01) Determinar a área de cada figura abaixo.</p><p>12 cm</p><p>7</p><p>cm</p><p>8 cm</p><p>8</p><p>cm</p><p>7</p><p>cm</p><p>11 cm</p><p>A B</p><p>CD AB//CD</p><p>AD//BC</p><p>16 cm</p><p>7</p><p>cm</p><p>6 cm11 cm</p><p>10 cm</p><p>8</p><p>cm</p><p>10 cm</p><p>15 cm</p><p>12</p><p>c</p><p>m</p><p>12 cm20 cm</p><p>14</p><p>c</p><p>m</p><p>14 cm</p><p>6</p><p>cm</p><p>8</p><p>cm</p><p>8 cm</p><p>8 cm</p><p>13 cm</p><p>8 cm</p><p>120º</p><p>30º</p><p>10 cm</p><p>12 cm</p><p>a) b) c)</p><p>d) e) f)</p><p>g) h) i)</p><p>j) k) l)</p><p>Estudos sobre Geometria realizados</p><p>pelo prof. Jeca</p><p>(Lucas Octavio de Souza)</p><p>(São João da Boa Vista - SP)</p><p>Geometria plana</p><p>Áreas das figuras planas.</p><p>Exercícios complementares da aula 13.</p><p>Jeca 148</p><p>02) Determinar a área e o perímetro de um círculo de</p><p>raio 13 cm.</p><p>03) Determinar a área e o raio de um círculo de períme-</p><p>tro c = 14p cm.</p><p>04) Determinar o raio e o perímetro de um círculo de</p><p>2</p><p>área A = 64p cm .</p><p>05) Determinar a área da coroa circular abaixo.</p><p>r</p><p>R</p><p>R = 11 cm</p><p>r = 9 cm</p><p>06) Determinar a área da coroa circular abaixo,</p><p>sabendo-se que AB mede 10 cm e tangencia o círculo</p><p>interno.</p><p>A</p><p>B</p><p>07) Determinar o perímetro do círculo maior da coroa</p><p>2</p><p>circular de área 39p cm , sabendo-se que a diferença</p><p>entre os raios é igual a 3 cm.</p><p>08) Determinar a área do setor circular de raio 9 cm e</p><p>ângulo central igual a 135º.</p><p>09) Determinar a área do setor circular de raio 8 cm e</p><p>ângulo central 2 radianos.</p><p>C C</p><p>10) Determinar a área de um setor circular de raio 12 cm</p><p>cujo arco correspondente tem comprimento c = 30 cm.</p><p>c = 30 cm</p><p>C</p><p>11) Determinar a área da região sombreada.</p><p>r = 7 cm</p><p>Jeca 149</p><p>12) Determinar a área do segmento circular de raio 9 cm e ângulo central 120º</p><p>13) Na figura abaixo, o hexágono é regular e tem lado 4 cm. Determinar a área da região hachurada.</p><p>15) Determinar a área de um dodecágono regular inscrito numa circunferência de raio 7 cm.</p><p>A B C D E</p><p>G</p><p>17) Sendo S a área do retângulo AEFJ, AB = BC = CD = DE e AJ // BI // CH // DG // EF, determinar a área do</p><p>triângulo BCF em função de S.</p><p>C</p><p>14) Determinar a área de um octógono regular inscrito numa circunferência de raio 14 cm.</p><p>16) Determinar a área de um polígono regular com 40 lados inscrito numa circunferência de raio 7 cm.</p><p>(Dado sen 9º = 0,1564)</p><p>HIJ F</p><p>Jeca 150</p><p>18) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo de lados k e 2k onde as regiões circulares tangenciam os lados de</p><p>ABCD. Determinar a área das regiões sombreadas em função de k.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>19) Na figura abaixo, as partes circulares tangenciam os lados do quadrado de perímetro 16 cm. Determinar a</p><p>área da região sombreada.</p><p>A B C D</p><p>20) Na figura abaixo, B e C são os centros dos semi-círculos. Sendo AB = BC = CD = 8 cm, determinar a área da</p><p>região sombreada.</p><p>21) Os três semi-círculos abaixo têm centros B, C e E. Sendo BC = CD = DE = EF = 2 cm e AB = 4 cm, determinar</p><p>a área da região sombreada.</p><p>22) O triângulo abaixo é equilátero de lado 16 cm e está inscrito em um círculo. Determinar a área da região</p><p>sombreada.</p><p>23) O triângulo abaixo é equilátero de lado k e DE é um arco de circunferência tangente ao lado BC do triângulo.</p><p>Determinar a área da região sombreada.</p><p>A</p><p>B C</p><p>D E</p><p>E</p><p>F</p><p>A B C D E F</p><p>Jeca 151</p><p>24) (MACKENZIE - SP 2000) Determinar a área do</p><p>setor assinalado no círculo de raio 1 e centro O.</p><p>110º</p><p>O</p><p>25) (Fuvest - SP 2000) Na figura seguinte, estão</p><p>representados um quadrado de lado 4, uma de suas</p><p>diagonais e uma semi-circunferência de raio 2. Deter-</p><p>minar a área da região hachurada.</p><p>26) (Unicamp - SP) No canto A de uma casa de forma</p><p>quadrada ABCD, de 4 metros de lado, prende-se uma</p><p>corda flexível e inextensível, em cuja extremidade livre</p><p>é amarrada uma pequena estaca que serve para riscar</p><p>o chão, o qual se supõe que seja plano. A corda tem 6</p><p>metros de comprimento, do ponto em que está presa</p><p>até sua extremidade livre. Mantendo-se a corda sem-</p><p>pre esticada de tal forma que inicialmente sua</p><p>extremidade livre esteja encostada à parede BC, risca-</p><p>se um contorno no chão, em volta da casa, até que a</p><p>extremidade livre toque a parede CD.</p><p>a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.</p><p>b) Calcule a área da região exterior à casa, delimitada</p><p>pelo traçado da estaca.</p><p>27) (Cesgranrio - RJ) Na figura, os três círculos são</p><p>concêntricos e as áreas das duas regiões hachuradas</p><p>são iguais. Determinar o raio do círculo intermediário</p><p>sabendo-se que o raio do círculo menor é 5 m e o do</p><p>maior é 13 m.</p><p>28) (Vunesp - SP) O ângulo central AÔB referente ao</p><p>círculo da figura adiante, mede 60º e OX é sua</p><p>bissetriz. Se M é o ponto médio do raio OC que mede</p><p>5 cm, calcular a área da figura hachurada.</p><p>O</p><p>A</p><p>B</p><p>M xC</p><p>29) Calcular a área da região hachurada.</p><p>2a</p><p>2a</p><p>Jeca 152</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>30) A bandeira retangular representada na figura mede</p><p>4 m de comprimento por 3 m de largura. A faixa escura</p><p>cobre 50% da superfície da bandeira. Determinar a</p><p>medida de x.</p><p>32) (Fuvest-SP) Um losango está circunscrito a uma</p><p>circunferência de 2 cm de raio. Calcule a área desse</p><p>losango, sabendo que um de seus ângulos mede 60º.</p><p>31) (Fuvest-SP) Um trapézio isósceles está</p><p>circunscrito a uma circunferência de raio 2 cm e tem</p><p>um ângulo interno de 60º. Determinar a área desse</p><p>trapézio.</p><p>34) (Fuvest-SP) Cortando-se os cantos de um quadra-</p><p>do, como mostra a figura, obtém-se um octógono regu-</p><p>lar de lados iguais a 10 cm.</p><p>a) Qual a área total dos quatro triângulos cortados ?</p><p>b) Calcule a área do octógono.</p><p>r = 2 cm</p><p>70º</p><p>40º</p><p>35) Determinar a área da região sombreada.</p><p>33) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, a reta r é para-</p><p>lela ao segmento AC, sendo E o ponto de inter-</p><p>secção de r com a reta determinada por D e C.</p><p>Se as áreas dos triângulos ACE e ADC são 4 e</p><p>10, respectivamente, e a área do quadrilátero ABED</p><p>é 21, então a área do triângulo BCE é:</p><p>a) 6</p><p>b) 7</p><p>c) 8</p><p>d) 9</p><p>e) 10</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>r</p><p>Jeca 153</p><p>D</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>E</p><p>q</p><p>36) (FUVEST-SP) Na figura seguinte, E é o ponto de</p><p>intersecção das diagonais do quadrilátero ABCD e q</p><p>é o ângulo agudo BÊC. Se EA = 1, EB = 4, EC = 3 e</p><p>ED = 2, então a área do quadrilátero ABCD será :</p><p>a) 12sen q b) 8sen q c) 6sen q d) 10cos q e) 8cos q</p><p>A</p><p>B C</p><p>D</p><p>38) (UEL-PR) Na figura, ABCD é um quadrado cujo</p><p>lado mede k. Um dos arcos está contido na circunfe-</p><p>rência de centro C e raio k, e o outro é uma</p><p>semicircunferência de centro no ponto médio de BC e</p><p>de diâmetro k. Determinar a área da região hachurada.</p><p>39) (UEL-PR) Na figura abaixo, o quadrado está inscri-</p><p>to na circunferência. Sabendo que a medida do lado</p><p>do quadrado é 4 m, determinar a área da parte sombre-</p><p>ada.</p><p>C</p><p>37) (FUVEST-SP) Os quadrados da figura têm lados</p><p>medindo 10 cm e 20 cm, respectivamente. Se C é o</p><p>centro do quadrado de menor lado, qual o valor da área</p><p>hachurada ?</p><p>40) (FUVEST-SP) Considere o triângulo representado</p><p>na malha pontilhada com quadrados de lados iguais a</p><p>1 cm. Determine a área desse triângulo.</p><p>y</p><p>x</p><p>A(x , y)B</p><p>C DO</p><p>41) (FUVEST-SP) Considere o quadrado ABCD ins-</p><p>crito na semi-circunferência de centro na origem. Se</p><p>(x , y) são as coordenadas do ponto A, determinar a</p><p>área da região exterior ao quadrado e interior à semi-</p><p>circunferência em função de x e y.</p><p>Jeca 154</p><p>B</p><p>C</p><p>N</p><p>M</p><p>AO</p><p>42) (Fuvest) A circunferência dada pela figura abaixo</p><p>tem centro em C, raio igual a 2 cm e é tangente aos</p><p>eixos coordenados x e y nos pontos A e B. Determi-</p><p>nar a área da região hachurada.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>A BD’</p><p>C’</p><p>E</p><p>x</p><p>44) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de</p><p>um quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus</p><p>vértices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-a</p><p>de maneira que o vértice D fique sobre o lado</p><p>AB (figura</p><p>2). Seja D’ esta nova posição do vértice D e x a distân-</p><p>de A a D’. Determinar a função que expressa a área do</p><p>triângulo retângulo sombreado, em função de x.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E</p><p>45) (Fuvest) Na figura, ABCD é um quadrado de lado</p><p>1, DEB e CEA são arcos de circunferências de raio 1,</p><p>centrados em A e D, respectivamente. Determinar a</p><p>área da região hachurada.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>M</p><p>N</p><p>P</p><p>46) (FUVEST) O trapézio ABCD abaixo é tal que AB =</p><p>10, M é médio de AD, BN = 2NC e as áreas dos</p><p>quadriláteros ABNM e CDMN são iguais. Determinar</p><p>a medida de CD.</p><p>47) (Jeca) Na figura abaixo, a coroa circular tem a</p><p>mesma área que o círculo menor. Determinar o raio do</p><p>círculo menor, sabendo-se que o raio do círculo maior é</p><p>R. (Figuras semelhantes)</p><p>1 cm</p><p>2 cm</p><p>1 cm</p><p>43) (UFSCAR-SP) Considere a região R sombreada,</p><p>exibida a seguir, construída no interior de um quadrado</p><p>de lado medindo 4 cm. Sabendo-se que os arcos de cir-</p><p>cunferência que aparecem nos cantos do quadrado</p><p>têm seus centros nos vértices do quadrado e que cada</p><p>raio mede 1 cm, pedem-se :</p><p>a) a área não sombreada do quadrado;</p><p>b) a área da região sombreada R.</p><p>Jeca 155</p><p>Respostas desta aula.</p><p>Importante para mim.</p><p>Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma</p><p>mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br</p><p>Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.</p><p>Obrigado.</p><p>Jeca</p><p>Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor</p><p>01)</p><p>2</p><p>a) 84 cm</p><p>2</p><p>b) 64 cm</p><p>2</p><p>c) 77 cm</p><p>2</p><p>d) 100 cm</p><p>2</p><p>e) 112 cm</p><p>2</p><p>f) 56 cm</p><p>2</p><p>g) 120 cm</p><p>2</p><p>h) 84 cm</p><p>2</p><p>i) 42 cm</p><p>2</p><p>j) 30 cm</p><p>2</p><p>k) 26 3 cm</p><p>2</p><p>l) 16 3 cm</p><p>202) 169p cm e 26p cm</p><p>203) 49p cm e 7 cm</p><p>04) 8 cm e 16p cm</p><p>205) 40p cm</p><p>206) 25p cm</p><p>07) 16p cm</p><p>208) (243p / 8) cm</p><p>209) 64 cm</p><p>210) 180 cm</p><p>211) (49p / 4) cm</p><p>212) (27(4p - 3 3 ) / 4 ) cm</p><p>213) 8(2p - 3 3 ) cm</p><p>214) 392 2 cm</p><p>215) 147 cm</p><p>216) 153,27 cm</p><p>17) S / 8</p><p>218) k (4 - p) / 2</p><p>219) 8(p - 2) cm</p><p>220) (16(4p - 3 3 ) / 3) cm</p><p>221) 8p cm</p><p>222) (64(4p - 3 3 ) / 3) cm</p><p>2</p><p>23) k (2 3 - p) / 8</p><p>24) 7p / 18</p><p>25) 2 + p</p><p>26)</p><p>a) desenho</p><p>2b) 29p m</p><p>27) 12 m</p><p>228) (5(2p - 3) / 12) cm</p><p>229) 2a</p><p>30) 1 m</p><p>231) (32 3 / 3) cm</p><p>232) (32 3 / 3) cm</p><p>33) b</p><p>34)</p><p>2a) 100 cm</p><p>2b) 200( 2 + 1) cm</p><p>235) (4p / 9) cm</p><p>36) a</p><p>237) 25 cm</p><p>238) pk / 8</p><p>239) 2(p + 2) m</p><p>240) 2 cm</p><p>2 2</p><p>41) (p(x + y ) / 2) - 2xy</p><p>242) (p + 2) cm</p><p>43)</p><p>2a) (p + 8) cm</p><p>2b) (8 - p) cm</p><p>3 244) (441x - x ) / 84) cm</p><p>45) 1 - ( 3 / 4) - (p / 6)</p><p>46) 20</p><p>47) R 2 / 2A</p><p>Jeca 156</p><p>Fim</p><p>Página 1</p><p>Página 2</p><p>Página 3</p><p>Página 4</p><p>Página 5</p><p>Página 6</p><p>Página 7</p><p>Página 8</p><p>Página 9</p><p>Página 10</p><p>Página 11</p><p>Página 12</p><p>Página 13</p><p>Página 14</p><p>Página 15</p><p>Página 16</p><p>Página 17</p><p>Página 18</p><p>Página 19</p><p>Página 20</p><p>Página 21</p><p>Página 22</p><p>Página 23</p><p>Página 24</p><p>Página 25</p><p>Página 26</p><p>Página 27</p><p>Página 28</p><p>Página 29</p><p>Página 30</p><p>Página 31</p><p>Página 32</p><p>Página 33</p><p>Página 34</p><p>Página 35</p><p>Página 36</p><p>Página 37</p><p>Página 38</p><p>Página 39</p><p>Página 40</p><p>Página 41</p><p>Página 42</p><p>Página 43</p><p>Página 44</p><p>Página 45</p><p>Página 46</p><p>Página 47</p><p>Página 48</p><p>Página 49</p><p>Página 50</p><p>Página 51</p><p>Página 52</p><p>Página 53</p><p>Página 54</p><p>Página 55</p><p>Página 56</p><p>Página 57</p><p>Página 58</p><p>Página 59</p><p>Página 60</p><p>Página 61</p><p>Página 62</p><p>Página 63</p><p>Página 64</p><p>Página 65</p><p>Página 66</p><p>Página 67</p><p>Página 68</p><p>Página 69</p><p>Página 70</p><p>Página 71</p><p>Página 72</p><p>Página 73</p><p>Página 74</p><p>Página 75</p><p>Página 76</p><p>Página 77</p><p>Página 78</p><p>Página 79</p><p>Página 80</p><p>Página 81</p><p>Página 82</p><p>Página 83</p><p>Página 84</p><p>Página 85</p><p>Página 86</p><p>Página 87</p><p>Página 88</p><p>Página 89</p><p>Página 90</p><p>Página 91</p><p>Página 92</p><p>Página 93</p><p>Página 94</p><p>Página 95</p><p>Página 96</p><p>Página 97</p><p>Página 98</p><p>Página 99</p><p>Página 100</p><p>Página 101</p><p>Página 102</p><p>Página 103</p><p>Página 104</p><p>Página 105</p><p>Página 106</p><p>Página 107</p><p>Página 108</p><p>Página 109</p><p>Página 110</p><p>Página 111</p><p>Página 112</p><p>Página 113</p><p>Página 114</p><p>Página 115</p><p>Página 116</p><p>Página 117</p><p>Página 118</p><p>Página 119</p><p>Página 120</p><p>Página 121</p><p>Página 122</p><p>Página 123</p><p>Página 124</p><p>Página 125</p><p>Página 126</p><p>Página 127</p><p>Página 128</p><p>Página 129</p><p>Página 130</p><p>Página 131</p><p>Página 132</p><p>Página 133</p><p>Página 134</p><p>Página 135</p><p>Página 136</p><p>Página 137</p><p>Página 138</p><p>Página 139</p><p>Página 140</p><p>Página 141</p><p>Página 142</p><p>Página 143</p><p>Página 144</p><p>Página 145</p><p>Página 146</p><p>Página 147</p><p>Página 148</p><p>Página 149</p><p>Página 150</p><p>Página 151</p><p>Página 152</p><p>Página 153</p><p>Página 154</p><p>Página 155</p><p>Página 156</p><p>Página 157</p><p>Página 158</p><p>130º</p><p>35) 24º</p><p>Importante para mim.</p><p>Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma</p><p>mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br</p><p>Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.</p><p>Obrigado.</p><p>Jeca</p><p>Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor</p><p>Jeca 16</p><p>mediana</p><p>mediatriz</p><p>bissetriz</p><p>altura</p><p>M</p><p>ponto médio</p><p>Mediana - É o segmento que une o vértice ao ponto</p><p>médio do lado oposto.</p><p>Mediatriz - É a reta perpendicular ao lado do triângulo</p><p>pelo seu ponto médio.</p><p>Bissetriz - É a semi-reta de origem no vértice que</p><p>divide o ângulo em dois ângulos congruentes.</p><p>Altura - É a distância entre o vértice e a reta suporte</p><p>do lado oposto.</p><p>Todo triângulo tem:</p><p>3 medianas</p><p>3 mediatrizes</p><p>3 bissetrizes</p><p>3 alturas</p><p>Pontos notáveis do triângulo</p><p>B</p><p>I</p><p>C</p><p>O</p><p>- baricentro</p><p>- incentro</p><p>- circuncentro</p><p>- ortocentro</p><p>Segmentos notáveis do triângulo.</p><p>A</p><p>B M C</p><p>NP</p><p>G</p><p>Baricentro (G).</p><p>É o ponto de encontro das 3 medianas do triângulo.</p><p>Propriedade.</p><p>O baricentro divide cada mediana em 2 segmentos.</p><p>O segmento que contém o vértice é o dobro do segmen-</p><p>to que contém o ponto médio do lado oposto.</p><p>(razão 2 : 1)</p><p>Observação - As três medianas dividem o triângulo</p><p>original em seis triângulos de mesma área.</p><p>SS</p><p>S</p><p>S S</p><p>S</p><p>S</p><p>2x</p><p>x</p><p>AG = 2.GM</p><p>BG = 2.GN</p><p>CG = 2.GP</p><p>Incentro (I).</p><p>É o ponto de encontro das 3 bissetrizes do triângulo.</p><p>Propriedade.</p><p>O incentro é o centro da circunferência inscrita (inter-</p><p>na) no triângulo.</p><p>O incentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3</p><p>lados do triângulo.</p><p>I</p><p>a</p><p>a</p><p>b</p><p>b</p><p>g</p><p>g</p><p>r</p><p>r - raio da circunferência inscrita.</p><p>Circuncentro (C).</p><p>É o ponto de encontro das 3 mediatrizes do triângulo.</p><p>Propriedade.</p><p>O circuncentro é o centro da circunferência circuns-</p><p>crita (externa) ao triângulo.</p><p>O circuncentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3</p><p>vértices do triângulo.</p><p>C</p><p>R</p><p>mediatriz</p><p>ponto médio</p><p>R - raio da circunferência</p><p>circunscrita.</p><p>Ortocentro (O).</p><p>É o ponto de encontro das 3 alturas do triângulo.</p><p>Propriedade.</p><p>Não tem.</p><p>hA</p><p>h B</p><p>h C</p><p>B</p><p>C</p><p>A</p><p>O</p><p>ortocentro</p><p>A</p><p>A</p><p>B</p><p>B</p><p>C</p><p>C</p><p>hA</p><p>h B</p><p>h</p><p>CO</p><p>hA</p><p>h B</p><p>hC</p><p>O</p><p>Área de cada triângulo</p><p>Estudos sobre Geometria realizados</p><p>pelo prof. Jeca</p><p>(Lucas Octavio de Souza)</p><p>(São João da Boa Vista - SP)</p><p>Geometria plana</p><p>Aula 02</p><p>Pontos notáveis de um triângulo.</p><p>Jeca 17</p><p>Observações.</p><p>1) O baricentro e o incentro sempre</p><p>estão localizados no interior do</p><p>triângulo.</p><p>2) O circuncentro e o ortocentro</p><p>podem estar localizados no exterior</p><p>do triângulo.</p><p>3) Num triângulo isósceles, os quatro</p><p>ponto notáveis (BICO: baricentro, in-</p><p>centro, circuncentro e ortocentro) es-</p><p>tão alinhados.</p><p>4) No triângulo retângulo, o ortocen-</p><p>tro é o vértice do ângulo reto e o cir-</p><p>cuncentro é o ponto médio da hipo-</p><p>tenusa.</p><p>I</p><p>O</p><p>G</p><p>C</p><p>mediana</p><p>mediatriz</p><p>bissetriz</p><p>altura</p><p>mediatriz</p><p>mediana</p><p>bissetriz</p><p>altura</p><p>R C R</p><p>hipotenusa</p><p>ortocentro</p><p>circuncentro</p><p>R</p><p>r</p><p>hl l</p><p>l</p><p>Triângulo eqüilátero.</p><p>(importante)</p><p>Em todo triângulo eqüilátero, os</p><p>quatro pontos notáveis (baricentro,</p><p>incentro, circuncentro e ortocentro)</p><p>estão localizados num único ponto.</p><p>- lado do triângulo eqüilátero.</p><p>- raio da circunferência inscrita.</p><p>- raio da circunferência circunscrita.</p><p>- altura do triângulo.</p><p>r</p><p>R</p><p>h</p><p>l</p><p>BICO</p><p>R = 2r</p><p>e</p><p>h = 3r</p><p>r</p><p>r</p><p>r</p><p>01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 10 cm, determinar :</p><p>a) a altura do triângulo.</p><p>b) o raio da circunferência inscrita no triângulo.</p><p>c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.</p><p>d) o que o ponto O é do triângulo.</p><p>R</p><p>r</p><p>hl l</p><p>l</p><p>O</p><p>A</p><p>B C</p><p>O</p><p>02) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está</p><p>inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BAO</p><p>mede 33º e que o ângulo ABC mede 56º, deter-</p><p>mine a medida do ângulo AOC.</p><p>A</p><p>B C</p><p>O</p><p>03) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está</p><p>inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BOC</p><p>mede 126º , encontre a medida do ângulo BAC.</p><p>Jeca 18</p><p>04) Na figura abaixo, o ponto I é o incentro do triângulo. Utilizando o quadriculado, traçar as três medianas, as</p><p>três mediatrizes, as três bissetrizes e as três alturas e determinar o baricentro, o circuncentro e o ortocentro do</p><p>triângulo.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>I</p><p>05) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :</p><p>a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.</p><p>b) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.</p><p>c) o lado do triângulo. R</p><p>r</p><p>hl l</p><p>l</p><p>A</p><p>B C</p><p>D</p><p>EF</p><p>G</p><p>06) Na figura abaixo, os pontos E, F e G são os pontos</p><p>médios dos lados do triângulo ABC. Se AB = 2x,</p><p>AC = 2y, BC = 2z, AG = 3w, BE = 3k e FC = 3n,</p><p>determine o perímetro do triângulo BDG, em função de</p><p>x, y, z, w, k e n.</p><p>A</p><p>B CD</p><p>E</p><p>F</p><p>07) Na figura abaixo, F é o ortocentro do triângulo ABC.</p><p>Determine a medida do ângulo DFE sabendo que os</p><p>ângulos BAC e BCA medem, respectivamente, 58º</p><p>e 70º.</p><p>Jeca 19</p><p>A B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>08) Na figura abaixo, E é o ortocentro do triângulo</p><p>equilátero ABC. Sabendo que CD = k, determine, em</p><p>função de k, as medidas dos segmentos CE, ED e</p><p>AE.</p><p>Peroba</p><p>Jatobá</p><p>Sibipiruna</p><p>09) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e o</p><p>mapa da localização faz menção a três grandes árvores</p><p>do local. O tesouro foi enterrado no terceiro vértice de</p><p>um triângulo, onde o jatobá é o primeiro, a sibipiruna é o</p><p>segundo e a peroba é o ortocentro do triângulo. Como é</p><p>possível localizar o tesouro no local ?</p><p>A</p><p>B CD E</p><p>G</p><p>F</p><p>2</p><p>10) O triângulo ABC da figura tem área 120 cm .</p><p>Sendo BD = DE = EC e AF = FG = GE, avalie se as</p><p>afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F).</p><p>( ) G é o baricentro do triângulo ABC.</p><p>2</p><p>( ) A área do triângulo AEC é 40 cm .</p><p>2</p><p>( ) A área do triângulo BFG é 40 cm .</p><p>A</p><p>B CD</p><p>EF</p><p>G</p><p>11) No triângulo ABC abaixo, F, D e E são os pontos</p><p>médios dos respectivos lados. Sendo 30º a medida do</p><p>ângulo BCA, BC = 14 cm e AC = 12 cm, determine:</p><p>a) a área do triângulo ABC;</p><p>b) a área do triângulo AFG;</p><p>c) a área do quadrilátero BCAG.</p><p>12) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivas</p><p>casas, sendo que as casa não são colineares e estão</p><p>localizadas na mesma fazenda. Eles desejam abrir um</p><p>poço de modo que ele fique à mesma distância das</p><p>três casas. Supondo que a fazenda é “plana”, com</p><p>seus conhecimentos de geometria, que sugestão</p><p>poderia das a eles ? Justifique o seu raciocínio.</p><p>13) A prefeitura de uma cidade mandou colocar, na</p><p>praça central, uma estátua em homenagem a Tiraden-</p><p>tes. Descubra, na planta a seguir, em que local essa</p><p>estátua deve ser colocada, sabendo que ela deverá</p><p>ficar a uma mesma distância das três ruas que</p><p>determinam a praça.</p><p>Rua 2</p><p>Rua 1</p><p>R</p><p>ua</p><p>3</p><p>Jeca 20</p><p>Respostas desta aula.</p><p>01)</p><p>a) (5 3 / 2) cm</p><p>b) (5 3 / 6) cm</p><p>c) (5 3 / 3) cm</p><p>d) Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro.</p><p>02) 118º</p><p>03) 72º</p><p>04) Desenho ao lado.</p><p>05)</p><p>a) 1 cm</p><p>b) 2 cm</p><p>c) 2 3 cm</p><p>06) 2k + w + z</p><p>07) 128º</p><p>08) 2k / 3 , k / 3 e 2k / 3</p><p>09) Desenho ao lado.</p><p>10) F , V e F</p><p>11)</p><p>2a) 42 cm</p><p>2b) 7 cm</p><p>2c) 28 cm</p><p>12) O poço deve localizar-se no circuncentro do</p><p>triângulo cujos vértices são as três casas.</p><p>13) A estátua deve ser colocada no incentro do</p><p>triângulo formado pelas três ruas.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>G CI</p><p>O</p><p>04)</p><p>Peroba</p><p>Jatobá</p><p>Sibipiruna</p><p>tesouro</p><p>O</p><p>09)</p><p>Importante para mim.</p><p>Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma</p><p>mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br</p><p>Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.</p><p>Obrigado.</p><p>Jeca</p><p>Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor</p><p>Jeca 21</p><p>02) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita de um triângulo</p><p>eqüilátero mede 5 cm, determinar :</p><p>a) o raio da circunferência inscrita no triângulo;</p><p>b) a altura do triângulo;</p><p>c) o lado do triângulo;</p><p>d) o perímetro do triângulo;</p><p>e) o que o ponto O é do triângulo.</p><p>R</p><p>r</p><p>hl l</p><p>l</p><p>O</p><p>Estudos sobre Geometria realizados</p><p>pelo prof. Jeca</p><p>(Lucas Octavio de Souza)</p><p>(São João da Boa Vista - SP)</p><p>Geometria plana</p><p>Pontos notáveis de um triângulo.</p><p>Exercícios complementares da aula 02.</p><p>01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é k, determinar :</p><p>a) a altura do triângulo;</p><p>b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;</p><p>c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo;</p><p>d) o que o ponto O é do triângulo.</p><p>R</p><p>r</p><p>h</p><p>O</p><p>k</p><p>kk</p><p>A</p><p>BC</p><p>D</p><p>E</p><p>FG</p><p>R</p><p>S</p><p>P</p><p>Q</p><p>03) Na figura, AG e AF, dividem o ângulo BAC em três</p><p>ângulos congruentes. Da mesma forma, CD e CE, divi-</p><p>dem o ângulo ACB em três ângulos congruentes.</p><p>Assinale a alternativa correta.</p><p>a) P é incentro de algum triângulo construído na figura.</p><p>b) Q é incentro de algum triângulo construído na figura.</p><p>c) R é incentro de algum triângulo construído na figura.</p><p>d) S é incentro de algum triângulo construído na figura.</p><p>e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.</p><p>T1</p><p>T2</p><p>O</p><p>R</p><p>04) (Unifesp) Numa circunferência de raio R > 0 e</p><p>centro O consideram-se, como na figura, os triângulos</p><p>equiláteros T , inscrito, e T , circunscrito. Determine 1 2</p><p>a razão entre a altura de T e a altura de T .2 1</p><p>Jeca 22</p><p>05) Na figura abaixo, os pontos M, N e P são médios</p><p>dos lados a que pertencem. Provar que G é o baricentro</p><p>do triângulo ABC e que BG = 2.GN.</p><p>A</p><p>B C</p><p>M N</p><p>P</p><p>G</p><p>06) Na figura abaixo, o ponto I é o centro da circunfe-</p><p>rência inscrita no triângulo ABC. Sendo DE paralelo a</p><p>BC, AB = 8 cm e AC = 11 cm, determinar o perímetro do</p><p>triângulo ADE.</p><p>A</p><p>B C</p><p>D E</p><p>I</p><p>A</p><p>B C</p><p>D</p><p>E</p><p>M</p><p>07) No triângulo ABC da figura, BC = 10 cm e M é o</p><p>ponto médio de BC. Sabendo que D e E são os pés</p><p>das alturas BD e CE, determine o valor de EM + DM.</p><p>RESOLUÇÃO - Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em</p><p>uma semi-circunferência.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>08) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em C, os</p><p>segmentos AD e DB são congruentes e o ângulo CAD</p><p>mede 65º. Determine a medida do ângulo BDC.</p><p>A</p><p>B C</p><p>O</p><p>09) No triângulo ABC abaixo, ABC = 70º e ACB = 40º.</p><p>Determine a medida do ângulo BOC, sabendo-se que o</p><p>ponto O é o ortocentro do triângulo ABC.</p><p>A</p><p>B C</p><p>D</p><p>E F</p><p>40º</p><p>10) No triângulo ABC abaixo, D é ponto médio do la-</p><p>do AC e CE é a bissetriz do ângulo ACB. Determine</p><p>a medida do ângulo BFC.</p><p>A</p><p>B C</p><p>D</p><p>11) Na figura abaixo, D é o centro da circunferência</p><p>inscrita no triângulo retângulo ABC. Determine a me-</p><p>dida do ângulo ADC.</p><p>12) (Fuvest) Um triângulo ABC, tem ângulos A = 40º</p><p>e B = 50º. Qual é a medida do ângulo formado pelas</p><p>alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo ?</p><p>a) 30º</p><p>b) 45º</p><p>c) 60º</p><p>d) 90º</p><p>e) 120º</p><p>Jeca 23</p><p>A</p><p>B C</p><p>E</p><p>D</p><p>F</p><p>13) Considere o triângulo ABC da figura e assinale a</p><p>afirmativa falsa.</p><p>a) F é o ortocentro do DABC.</p><p>b) A é o ortocentro do DFBC.</p><p>c) Os circuncentros do DBDC e do DBEC coincidem.</p><p>d) BF = 2.FE.</p><p>e) O DABC é acutângulo.</p><p>A</p><p>B CD</p><p>E</p><p>14) No triângulo ABC da figura abaixo, as medianas</p><p>AD e BE são perpendiculares entre si. Sabendo que</p><p>BC = 6 e AC = 8, determine a medida de AB.</p><p>130º</p><p>12</p><p>0º</p><p>110º</p><p>D</p><p>A</p><p>B C</p><p>16) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no</p><p>triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o incentro do</p><p>triângulo.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>15) Na figura abaixo, o círculo inscrito no triângulo</p><p>ABC tem área S e os ângulos A e B medem 50º e</p><p>70º, respectivamente. Determine as áreas dos setores</p><p>circulares S , S e S , em função de S.1 2 3</p><p>S1</p><p>S2</p><p>S3</p><p>17) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no</p><p>triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o circuncen-</p><p>tro do triângulo.</p><p>D</p><p>A</p><p>B C</p><p>110º</p><p>12</p><p>0º</p><p>130º A</p><p>B</p><p>C</p><p>O</p><p>18) Na figura, a circunferência de centro O está</p><p>inscrita no setor circular de centro A, raio AB = 15 cm e</p><p>ângulo central BAC = 60º. Determine o raio da circun-</p><p>ferência.</p><p>A</p><p>B C</p><p>D</p><p>19) O triângulo ABC da figura é retângulo em A e os</p><p>triângulos ABD, BCD e ACD são equivalentes (têm a</p><p>mesma área). Sendo BC = 18 cm, determine a medida</p><p>do segmento AD.</p><p>A</p><p>B C</p><p>P</p><p>20) No triângulo ABC da figura, BAC = 50º. Se P for</p><p>o incentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPC</p><p>é x; no entanto, se P for o ortocentro do triângulo</p><p>ABC, a medida do ângulo BPC é y. Determine a</p><p>razão entre x e y.</p><p>A</p><p>B C</p><p>P</p><p>Jeca 24</p><p>A</p><p>B C</p><p>DM</p><p>P</p><p>21) Na figura, ABCD é um retângulo, M é ponto mé-</p><p>dio de AD e o triângulo BMC é equilátero. Determine</p><p>a medida do segmento PM, sabendo que BC = 12 cm.</p><p>22) (UFMG) Na figura abaixo, AD = BD, ACD = 60º e</p><p>o ângulo DAC é o dobro do ângulo DBA. Determine a</p><p>razão AC / BC.</p><p>A</p><p>B D C</p><p>A</p><p>B C</p><p>R</p><p>M N</p><p>P</p><p>23) No triângulo ABC ao lado, sendo M, N e P pontos</p><p>médios dos respectivos lados e MR = 7 cm, NR = 6 cm</p><p>e AR = 10 cm, determinar :</p><p>a) O que são os segmentos AP, BN e CM para o</p><p>triângulo ABC.</p><p>b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R.</p><p>c) Quais as medidas dos segmentos CR, BR e PR.</p><p>A</p><p>B C</p><p>O</p><p>q</p><p>b</p><p>g</p><p>a</p><p>24) Na figura ao lado, O é o centro da circunferência</p><p>inscrita no triângulo ABC que é retângulo em B. Sendo</p><p>m(ACB) = 30º, determinar as medidas dos ângulos a,</p><p>b, g e q e dizer o que a semirreta CO significa para o</p><p>ângulo ACB.</p><p>B C</p><p>D</p><p>A</p><p>EF</p><p>G</p><p>25) Na figura abaixo, as retas FD, ED e GD encon-</p><p>tram-se no ponto D, e os pontos E, F e G são os</p><p>pontos médios dos lados do triângulo ABC. Para o</p><p>triângulo ABC, dizer como se denomina o ponto D e o</p><p>que é a reta FD.</p><p>26) (UEM-PR) Em um plano a, a mediatriz de um</p><p>segmeno de reta AB é a reta r que passa pelo ponto</p><p>médio do segmento de reta AB e é perpendicular a</p><p>esse segmento. Assinale a alternativa incorreta.</p><p>a) Tomando um ponto P qualquer em r, a distância</p><p>de P ao ponto A é igual à distância de P ao ponto</p><p>B.</p><p>b) A intersecção das mediatrizes de dois lados de um</p><p>triângulo qualquer em a é o circuncentro do triângu-</p><p>lo.</p><p>c) Qualquer ponto do plano a que não pertença à</p><p>reta r não equidista dos extremos do segmento AB.</p><p>d) As mediatrizes dos lados de um triângulo podem</p><p>se interceptar em três pontos distintos.</p><p>e) A reta r é a única mediatriz do segmento de reta</p><p>AB em a.</p><p>Jeca 25</p><p>Respostas desta aula.</p><p>01)</p><p>a) k 3 / 2</p><p>b) k 3 / 6</p><p>c) k 3 / 3</p><p>d) BICO</p><p>02)</p><p>a) (5 / 2) cm</p><p>b) (15 / 2) cm</p><p>c) 5 3 cm</p><p>d) 15 3 cm</p><p>e) BICO</p><p>03) d</p><p>04) 2</p><p>05)</p><p>06) 19 cm</p><p>07) 10 cm</p><p>08) 130º</p><p>09) 110º</p><p>10) 105º</p><p>11) 135º</p><p>12) d</p><p>13) d</p><p>14) 2 5</p><p>15) 23 S / 72</p><p>16) 80º, 40º e 60º</p><p>A</p><p>B C</p><p>M N</p><p>P</p><p>G</p><p>S R</p><p>S é ponto médio de BG</p><p>R é ponto médio de CG</p><p>MNRS é um paralelogramo</p><p>Portando, SG = GN = BS</p><p>Razão 2 : 1</p><p>17) 55º, 65º e 60º</p><p>18) 5 cm</p><p>19) 6 cm</p><p>20) 23 / 26</p><p>21) 4 cm</p><p>22) 1 / 2</p><p>23)</p><p>a) medianas</p><p>b) baricentro</p><p>c) 14 cm, 12 cm e 5 cm</p><p>24) 15º, 45º, 120º, 30º e bissetriz</p><p>25) circuncentro e mediatriz</p><p>26) d</p><p>Importante para mim.</p><p>Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma</p><p>mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br</p><p>Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.</p><p>Obrigado.</p><p>Jeca</p><p>Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor</p><p>Jeca 26</p><p>A</p><p>B C E F</p><p>D Dois triângulos são congruentes se têm os lados</p><p>dois a dois ordenadamente congruentes e os ângu-</p><p>los dois a dois ordenadamente congruentes.</p><p>DABC DDEF</p><p>A</p><p>D</p><p>B E</p><p>C F</p><p>AB DE</p><p>AC DF</p><p>BC EF</p><p>Casos de congruência.</p><p>1) L.A.L.</p><p>2) A.L.A.</p><p>3)L.L.L.</p><p>4) L.A.AO</p><p>5) Caso especial (CE)</p><p>Onde:</p><p>L - lado.</p><p>A - ângulo junto ao lado.</p><p>A - ângulo oposto ao lado.O</p><p>Caso especial (CE).</p><p>Dois triângulos retângulos são</p><p>congruentes se têm as hipotenusas</p><p>congruentes e um cateto de um</p><p>triângulo é congruente a um cateto</p><p>do outro triângulo</p><p>Observação.</p><p>A posição de cada elemento do</p><p>triângulo (lado ou ângulo) no dese-</p><p>nho é muito importante na caracteri-</p><p>zação do caso de congruência.</p><p>L.A.L. - dois lados e o ângulo entre</p><p>eles.</p><p>A.L.A. - dois ângulos e o lado entre</p><p>eles.</p><p>01) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e os segmentos AD e CD</p><p>são congruentes. Prove que os triângulos ABD e CBD são congruentes.</p><p>02) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e BD é a bissetriz do ângu-</p><p>lo ABC. Prove que os ângulos ABD e CBD são congruentes.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>03) Na figura ao lado, os segmentos AB e BC são congruentes e os segmen-</p><p>tos AD e CD também. Prove que os ângulos A e C são congruentes.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>Estudos sobre Geometria realizados</p><p>pelo prof. Jeca</p><p>(Lucas Octavio de Souza)</p><p>(São João da Boa Vista - SP)</p><p>Geometria plana</p><p>Aula 03</p><p>Congruência de triângulos.</p><p>Jeca 27</p><p>r</p><p>s</p><p>O</p><p>M P</p><p>07) Dadas as retas r e s, e os pontos O, M e P, tal que M seja ponto médio do segmento OP, determine os</p><p>pontos A pertencente a r e B pertencente a s, de modo que o ponto M também seja ponto médio do</p><p>segmento AB.</p><p>C A</p><p>B</p><p>D</p><p>04) (importante) Na figura abaixo, AB é uma corda da circunferência de centro C. Provar que se o raio CD é</p><p>perpendicular à corda AB, então E é ponto médio de AB.</p><p>06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio,</p><p>provar que qualquer ponto da mediatriz é eqüidistante das extremidades A e B do segmento.</p><p>A B</p><p>M</p><p>P</p><p>mediatriz</p><p>E</p><p>05) (Importante) Provar que em todo triângulo isósceles a altura relativa à base também é bissetriz, mediana e</p><p>mediatriz.</p><p>A</p><p>B CH</p><p>Jeca 28</p><p>A</p><p>B C</p><p>D</p><p>E</p><p>08) Na figura abaixo, os segmentos AE e DE são</p><p>congruentes. Sabendo-se que o triângulo BCE é</p><p>isósceles de base BC, prove que os segmentos AB e</p><p>DC são congruentes.</p><p>09) (UFMG) Observe a figura:</p><p>A</p><p>B</p><p>P</p><p>O</p><p>C</p><p>R</p><p>r</p><p>s</p><p>q</p><p>Nessa figura, os segmentos AB e BC são perpen-</p><p>diculares, respectivamente, às retas r e s. Além</p><p>disso, AP = PB, BR = CR e a medida do ângulo POR</p><p>é q. Determine, em função de q, a medida do ângulo</p><p>interno AOC do quadrilátero AOCB.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E</p><p>F</p><p>10) Na figura, ABCD é um paralelogramo e os</p><p>segmentos AE e CF são congruentes. Prove que os</p><p>segmentos DE e FB são congruentes e paralelos</p><p>entre si.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E</p><p>F</p><p>G</p><p>H</p><p>11) Na figura abaixo, o quadrado EFGH está inscrito</p><p>no quadrado ABCD. Prove que os triângulos AEH,</p><p>BFE, CGF e GDH são congruentes entre si.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E</p><p>F</p><p>12) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e os</p><p>segmentos AE e CF são perpendiculares ao</p><p>segmento BD. Prove que os segmentos DE e BF</p><p>são congruentes entre si.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E</p><p>13) Provar que se ABCD é um paralelogramo e AC e</p><p>BD são as diagonais, então o ponto de intersecção das</p><p>diagonais é o ponto médio da diagonal AC.</p><p>Jeca 29</p><p>Teorema do ponto exterior.</p><p>Dada uma circunferência l e um ponto P, P</p><p>exterior a l, se A e B são os pontos de tangência</p><p>das retas tangentes a l por P, então PA = PB.</p><p>A</p><p>B</p><p>Pl</p><p>PA = PB</p><p>Consequência do Teorema do ponto exterior.</p><p>Em todo quadrilátero circunscrito numa circunferên-</p><p>cia a soma das medidas dos lados opostos é</p><p>constante.</p><p>l</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>AB + CD = AD + BC</p><p>14) Prove o Teorema do ponto exterior.</p><p>A</p><p>B</p><p>Pl</p><p>A</p><p>B C</p><p>R</p><p>S</p><p>T</p><p>15) Na figura abaixo, a circunferência está inscrita no</p><p>triângulo ABC, AB = 10, AC = 12 e BC = 14. Deter-</p><p>mine a medida do segmento CT.</p><p>A</p><p>B</p><p>Pl</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>16) Na figura abaixo, A, B e D são pontos de tangên-</p><p>cia. Determinar o perímetro do triângulo CEP, sabendo</p><p>que a distância PB mede 17 cm.</p><p>18) Determinar a medida da base média de um trapé-</p><p>zio isósceles sabendo-se que os lados não paralelos</p><p>desse trapézio medem 15 cm cada.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>17) Determine o valor de x na figura abaixo, sabendo-</p><p>se que AB = 2x + 2, CD = 4x - 3, AD = 3x - 2 e</p><p>BC = 3x + 1.</p><p>19) Determine a medida do raio da circunferência ins-</p><p>crita no triângulo retângulo cujos lados medem 8 cm,</p><p>15 cm e 17 cm.</p><p>Jeca 30</p><p>Respostas desta aula.</p><p>Observação - Dependendo dos dados, um exercício</p><p>pode ser provado por mais de um caso de</p><p>congruência. Levando em conta essa possibilidade</p><p>nas respostas aqui registradas, em cada caso, foi</p><p>considerado o caso de congruência mais evidente.</p><p>01) Caso especial (CE)</p><p>02) L.A.A .O</p><p>03) L.L.L.</p><p>04) Caso especial</p><p>05) É possível provar por vários casos.</p><p>06) L.A.L.</p><p>07) Demonstração ao lado.</p><p>08) L.A.L.</p><p>09) Pelo caso L.A.L. prova-se que os triângulos</p><p>APO e BPO são congruentes.</p><p>Pelo mesmo caso, prova-se que os triângulos</p><p>BRO e CRO também são congruentes.</p><p>AOP = BOP = a e COR = BOR = b</p><p>Portanto AOC = 2q</p><p>10) L.A.L.</p><p>11) A.L.A.</p><p>12) L.A.A .O</p><p>13) L.A.A .O</p><p>14) Caso especial (Una o ponto P ao centro)</p><p>15) 8</p><p>16) 34 cm</p><p>17) S = { x R x > 3 / 4 }</p><p>18) 15 cm</p><p>19) 3 cm</p><p>r</p><p>s</p><p>O M P</p><p>Resolução</p><p>A</p><p>B</p><p>Seja BP // OA</p><p>OM = MP (L) - por hipótese</p><p>OMA = PMB (A) - OPV</p><p>AOM = BPM (A) - alternos</p><p>internos</p><p>Pelo caso A.L.A., temos</p><p>DOAM = DPBM</p><p>Portanto AM = MB</p><p>CQD</p><p>07)</p><p>A</p><p>Importante para mim.</p><p>Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma</p><p>mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br</p><p>Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.</p><p>Obrigado.</p><p>Jeca</p><p>Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor</p><p>Jeca 31</p><p>01) Na figura abaixo, M é ponto médio de AC e de BD. Provar que o triângulo ABM é congruente ao triângulo CDM.</p><p>A</p><p>B</p><p>M</p><p>C</p><p>D</p><p>02) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento AC e os ângulos A e C são congruentes. Provar que M</p><p>também é ponto médio do segmento BD.</p><p>03) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento BD e os ângulos A e C são congruentes. Provar que os</p><p>segmentos AB e CD são congruentes.</p><p>04) Na figura abaixo, M é ponto médio dos segmentos AC e BD. Provar que as retas AB e CD são paralelas.</p><p>A</p><p>B</p><p>M</p><p>C</p><p>D</p><p>A</p><p>B</p><p>M</p><p>C</p><p>D</p><p>A</p><p>B</p><p>M</p><p>C</p><p>D</p><p>Estudos sobre Geometria realizados</p><p>pelo prof. Jeca</p><p>(Lucas Octavio de Souza)</p><p>(São João da Boa Vista - SP)</p><p>Geometria plana</p><p>Congruência de triângulos.</p><p>Exercícios complementares da aula 03.</p><p>A B</p><p>C</p><p>D</p><p>05) Na figura abaixo, AB é bissetriz do ângulo CAD e os ângulos ACB e ADB são congruentes. Provar que os</p><p>segmentos AC e AD são congruentes.</p><p>Jeca 32</p><p>A</p><p>B CD E</p><p>F</p><p>G</p><p>06) Na figura abaixo, AC FD e BD CE. Provar que o triângulo DCG é isósceles.</p><p>A</p><p>B CD E</p><p>07) Na figura abaixo, ADE é um triângulo isósceles de base DE. Sabendo-se que BD CE, provar que ABC</p><p>também é um triângulo isósceles.</p><p>09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo eqüilátero e os pontos D, E e F pertencem aos lados AB, BC e AC,</p><p>respectivamente. Sabendo-se que os segmentos AF, BD e CE são congruentes, provar que o triângulo DEF é</p><p>eqüilátero.</p><p>A</p><p>B C</p><p>F</p><p>D</p><p>E</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>08) Na figura abaixo, DAC BAE, ADE ABC e AD AB. Provar que os triângulos ABC e ADE são congruen-</p><p>tes.</p><p>Jeca 33</p><p>12) Provar que em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado</p><p>e vale a metade desse terceiro lado.</p><p>A</p><p>B C</p><p>D E</p><p>13) Provar que em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos é paralelo às</p><p>bases e vale a semi-soma dessas bases.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E F</p><p>10) Provar que em todo losango as diagonais são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos</p><p>desse losango.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>M</p><p>k k</p><p>k k</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E</p><p>F</p><p>G</p><p>H</p><p>J</p><p>K</p><p>L</p><p>M</p><p>11) Na figura, ABCD e EFGH são quadrados. O centro do quadrado ABCD localiza-se no vértice E do</p><p>outro quadrado. Prove que os triângulos EJL e EKM são congruentes.</p><p>Jeca 34</p><p>Respostas desta aula.</p><p>Observação - Dependendo dos dados, um</p><p>exercício pode ser provado por mais de um caso de</p><p>congruência. Levando em conta essa possibilidade</p><p>nas respostas aqui registradas, em cada caso, foi</p><p>considerado o caso de congruência mais evidente.</p><p>01) LAL</p><p>02) ALA</p><p>03) LAA O</p><p>04) LAL</p><p>05) LAA O</p><p>06) Caso especial</p><p>07) LAL</p><p>08) ALA</p><p>09) LAL</p><p>10) LLL</p><p>11) ALA</p><p>A</p><p>B C</p><p>D E</p><p>Demonstração do exercício nº 12.</p><p>A</p><p>B C</p><p>D E F</p><p>Seja CF // AB (por construção) ></p><p>DAE FCE (alternos internos)</p><p>AE CE (E é ponto médio)</p><p>AED CEF (opostos pelo vértice)</p><p>Pelo caso ALA, temos: DADE DCFE CF AD</p><p>Mas D é ponto médio de AB CF AD DB</p><p>Se BD //CF e BD CF BCFD é um paralelogramo</p><p>DF // BC e DF BC</p><p>Mas DE EF DE e DE // BC (CQD)</p><p>></p><p>></p><p>> ></p><p>> = BC</p><p>2</p><p>></p><p>></p><p>Demonstração do exercício nº 13.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E F</p><p>A B</p><p>D</p><p>E</p><p>C</p><p>F</p><p>G</p><p>></p><p>A</p><p>CD</p><p>E F</p><p>DG = DC + CG = DC + AB</p><p>Pelo teorema demonstrado no exercício 12, temos:</p><p>EF // AB // CD e EF</p><p>(CQD)</p><p>= AB + CD</p><p>2</p><p>G</p><p>Importante para mim.</p><p>Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma</p><p>mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br</p><p>Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.</p><p>Obrigado.</p><p>Jeca</p><p>Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor</p><p>Jeca 35</p><p>AFB CFG (A) (opostos pelo vértice)</p><p>BF FC (L) (F é ponto médio de BC)</p><p>BAF CGF (A) (alternos internos)</p><p>Pelo caso LAA , temos: DABF DCGF AF FG O</p><p>e AB CG</p><p>Considerando apenas o triângulo ADG, temos:</p><p>I) Trapézio.</p><p>É o quadrilátero que tem</p><p>dois lados paralelos.</p><p>Trapézio</p><p>retângulo</p><p>Trapézio</p><p>isósceles</p><p>Trapézio</p><p>escaleno</p><p>a</p><p>b</p><p>a a</p><p>b b b</p><p>a</p><p>A altura de um trapézio é</p><p>a distância entre as retas</p><p>suporte de suas bases.</p><p>h</p><p>base menor</p><p>base maior</p><p>a + b = 180º</p><p>II) Paralelogramo.</p><p>É o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>AB // CD</p><p>e</p><p>AD //BC</p><p>III) Retângulo.</p><p>É o quadrilátero que tem todos os ângulos internos</p><p>congruentes e iguais a 90º.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>b</p><p>h</p><p>b</p><p>h</p><p>IV) Losango.</p><p>É o quadrilátero que tem os lados congruentes.</p><p>V) Quadrado.</p><p>É o quadrilátero que tem</p><p>os lados congruentes e</p><p>todos os ângulos internos</p><p>congruentes (90º).</p><p>a</p><p>b</p><p>b</p><p>aA</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>AB // CD</p><p>e</p><p>AD // BC</p><p>45º</p><p>Propriedades dos quadriláteros notáveis.</p><p>1) Em todo paralelogramo as diagonais cortam-se nos</p><p>respectivos pontos médios.</p><p>2) Em todo losango as diagonais são:</p><p>a) perpendiculares entre si;</p><p>b) bissetrizes dos ângulos internos.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>M</p><p>M é ponto médio de AC</p><p>e</p><p>M é ponto médio de BD.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>y y</p><p>y</p><p>x</p><p>x</p><p>3) Base média de trapézio.</p><p>Em todo trapézio, o segmento que une os pontos</p><p>médios dos dois lados não paralelos, é paralelo às</p><p>bases e vale a média aritmética dessas bases.</p><p>4) Base média de triângulo.</p><p>Em todo triângulo, o segmento que une os pontos</p><p>médios de dois lados é paralelo ao 3º lado e vale a</p><p>metade desse 3º lado.</p><p>A B</p><p>N</p><p>CD</p><p>M</p><p>base média</p><p>MN // AB // CD</p><p>e</p><p>MN AB + CD</p><p>2</p><p>=</p><p>A</p><p>B C</p><p>M N</p><p>base média</p><p>MN // BC</p><p>e</p><p>MN =</p><p>BC</p><p>2</p><p>Estudos sobre Geometria realizados</p><p>pelo prof. Jeca</p><p>(Lucas Octavio de Souza)</p><p>(São João da Boa Vista - SP)</p><p>Geometria plana</p><p>Aula 04</p><p>Quadriláteros notáveis.</p><p>Jeca 36</p><p>7 cm</p><p>7 cm12 cm</p><p>2x</p><p>x + 5</p><p>2x + 1</p><p>k</p><p>k</p><p>04) No losango ABCD abaixo, conhecendo-se a</p><p>medida do ângulo BDC, determinar as medidas dos</p><p>ângulos a, b, c e d.</p><p>58º</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>A B</p><p>CD</p><p>3y</p><p>12 cmx - 4</p><p>7 cm</p><p>01) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x</p><p>e a medida da diagonal BD.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>02) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x</p><p>e a medida da diagonal BD.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>03) No paralelogramo ABCD abaixo, determinar o</p><p>valor de x, o valor de y, a medida da diagonal AC e</p><p>a medida da diagonal BD.</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>d</p><p>08) (UERJ) Se um polígono tem todos os lados com</p><p>medidas iguais, então todos os seus ângulos internos</p><p>têm medidas iguais.</p><p>Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se</p><p>usar como exemplo a figura denominada:</p><p>a) triângulo equilátero;</p><p>b) losango;</p><p>c) trapézio;</p><p>d) retângulo;</p><p>e) quadrado.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>L</p><p>M N</p><p>P</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>L</p><p>M N</p><p>P</p><p>05) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon-</p><p>tos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero</p><p>ABCD. Determinar o perímetro do quadrilátero LMNP</p><p>sabendo-se que AC = 6 cm e BD = 10 cm.</p><p>06) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon-</p><p>tos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero</p><p>ABCD. Provar que LMNP é um paralelogramo.</p><p>07) (Unifesp) Determine a medida do menor ângulo</p><p>interno de um paralelogramo sabendo-se que dois</p><p>ângulos internos consecutivos desse paralelogramo</p><p>estão na razão 1 : 3.</p><p>Jeca 37</p><p>A</p><p>B C</p><p>D E</p><p>09) No triângulo ABC abaixo, AB = 8 cm, AC = 12 cm e</p><p>BC = 10 cm. Sendo D e E pontos médios dos lados</p><p>AB e AC, respectivamente, determine a medida do pe-</p><p>rímetro do trapézio BCED.</p><p>A</p><p>B C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>10) No triângulo ABC abaixo, AB = 16 cm, AC = 14 cm</p><p>e BC = 18 cm. Sendo D, E e F os pontosmédios dos</p><p>lados AB, BC e AC, respectivamente, determinar as</p><p>medidas dos segmentos DE, DF e EF.</p><p>A</p><p>B C</p><p>D E</p><p>F</p><p>11) No triângulo ABC abaixo, AB = x, AC = y e BC = z.</p><p>Sendo D, E e F os pontos médios dos lados AB, AC e</p><p>BC, respectivamente, determinar o perímetro do qua-</p><p>drilátero BDEF.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E F</p><p>12) No trapézio ABCD abaixo, a base menor AB mede</p><p>8 cm, a base maior CD mede 20 cm e os pontos E e F</p><p>são os pontos médios dos lados AD e BC, respectiva-</p><p>mente. Determine a medida da base média EF.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E F</p><p>13) No trapézio retângulo ABCD abaixo, a base menor</p><p>AB mede 12 cm e a base maior CD mede 18 cm. Sendo</p><p>BC = 10 cm, E e F os pontos médios dos lados AD e BC,</p><p>respectivamente, determinar os perímetros dos trapé-</p><p>zios ABFE e CDEF.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E F</p><p>14) No trapézio ABCD abaixo, a base média EF mede</p><p>17 cm e a base maior CD mede 22 cm. Determine a</p><p>medida da base menor AB.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E F</p><p>G H</p><p>15) No trapézio ABCD abaixo, EF = 8 cm e GH = 11 cm.</p><p>Sendo AE = EG = GD e BF = FH = HC, determine as</p><p>medidas da base menor AB e da base maior CD.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E</p><p>F G</p><p>H</p><p>16) No trapézio ABCD abaixo, AB = 12 cm, CD = 26 cm</p><p>e os pontos E e H são pontos médios dos lados AD e</p><p>BC, respectivamente. Determinar as medidas dos seg-</p><p>mentos EH, EF, GH e FG.</p><p>Jeca 38</p><p>M</p><p>N L</p><p>P</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>17) Na figura, MNLP é um quadrilátero, C, D, E e F são</p><p>os pontos médios dos lados MN, NL, LP e PM. Deter-</p><p>mine o perímetro do quadrilátero CDEF sabendo-se</p><p>que ML = 14 cm e NP = 8 cm.</p><p>18) Determine as medidas dos ângulos internos de um</p><p>paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos</p><p>opostos medem 3x - 18º e 2x + 27º.</p><p>A</p><p>B C</p><p>D E</p><p>F</p><p>19) No triângulo ABC abaixo, D e E são os pontos</p><p>médios dos respectivos lados. Sendo o perímetro do</p><p>triângulo DEF igual a 23 cm, determinar :</p><p>a) o que é o ponto F para o triângulo ABC.</p><p>b) a medida do perímetro do triângulo BCF.</p><p>20) No triângulo ABC abaixo, sendo F o baricentro,</p><p>AC = x, AB = y, BC = z, CF = t e DF = w, determinar o</p><p>perímetro do quadrilátero AEFD.</p><p>A</p><p>B C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>21) No triângulo</p><p>ABC abaixo, E e G são os pontos</p><p>médios dos respectivos lados. Sendo AB = x, BC = y,</p><p>AC = z e GD = k, determinar o perímetro do triângulo</p><p>GEC e dizer o que o ponto D é do triângulo ABC.</p><p>A</p><p>GE</p><p>D</p><p>BFC</p><p>23) (Fuvest) Em um trapézio isósceles, a medida da altura é igual à da base média. Determine o ângulo que a</p><p>diagonal do trapézio forma com uma das bases do trapézio.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>22) Demosntre que o ângulo formado pelas bissetri-</p><p>zes de dois ângulos internos consecutivos de um</p><p>paralelogramo é um ângulo reto.</p><p>Jeca 39</p><p>Respostas desta aula.</p><p>01) 6 cm</p><p>02) 4</p><p>03) 11 cm e 4 cm</p><p>04) 32º, 64º, 90º e 116º</p><p>05) 16 cm</p><p>06) Propriedade da base média do triângulo.</p><p>BD // LP // MN e AC // LM // PN</p><p>Portanto LMNP é um paralelogramo.</p><p>07) 45º</p><p>08) b</p><p>09) 25 cm</p><p>10) 7 cm, 9 cm, e 8 cm</p><p>11) x + z</p><p>12) 14 cm</p><p>13) 36 cm e 42 cm</p><p>14) 12 cm</p><p>15) 5 cm e 14 cm</p><p>16) 19 cm, 6 cm, 6 cm e 7 cm</p><p>17) 22 cm</p><p>18) 117º e 63º</p><p>19) Baricentro e 46 cm</p><p>20) (x + y + 2w + t) / 2</p><p>21) (y + z + 6k) / 2 e baricentro</p><p>22) 2a + 2b = 180 (alternos internos)</p><p>Portanto a + b = 90º</p><p>23) 45º</p><p>Importante para mim.</p><p>Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma</p><p>mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br</p><p>Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.</p><p>Obrigado.</p><p>Jeca</p><p>Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor</p><p>Jeca 40</p><p>01) Dado o losango ABCD abaixo e o ângulo de 58º,</p><p>determine as medidas dos ângulos assinalados.</p><p>58º</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>Estudos sobre Geometria realizados</p><p>pelo prof. Jeca</p><p>(Lucas Octavio de Souza)</p><p>(São João da Boa Vista - SP)</p><p>Geometria plana</p><p>Quadriláteros notáveis.</p><p>Exercícios complementares da aula 04.</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>t</p><p>02) (UERJ-RJ) Se um polígono tem todos os lados</p><p>com medidas iguais, então todos os seus ângulos</p><p>internos têm medidas iguais.</p><p>Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se</p><p>usar como exemplo a figura denominada:</p><p>a) losango</p><p>b) trapézio</p><p>c) retângulo</p><p>d) quadrado</p><p>e) paralelogramo</p><p>32º</p><p>x</p><p>y</p><p>A B</p><p>CD</p><p>03) No retângulo ABCD abaixo, AC e BD são as</p><p>diagonais. Determine as medidas dos ângulos x e y.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>q</p><p>2q</p><p>04) (PUCCamp-SP) Na figura a seguir, tem-se repre-</p><p>sentado o losango ABCD, cuja diagonal menor mede</p><p>4 cm. Determine a medida da diagonal maior e do lado</p><p>desse losango.</p><p>A B</p><p>CD</p><p>E</p><p>F</p><p>05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e DCE é</p><p>um triângulo equilátero, onde o ponto E pertence ao</p><p>lado AB do retângulo. Sendo DB a diagonal do re-</p><p>tângulo, F o ponto de intersecção entre a diagonal e o</p><p>lado do triângulo e CD = 9 cm, determine a medida do</p><p>segmento FC.</p><p>06) (VUNESP-SP) Considere as seguintes proposi-</p><p>ções.</p><p>I. Todo quadrado é um losango.</p><p>II. Todo quadrado é um retângulo.</p><p>III. Todo retângulo é um paralelogramo.</p><p>IV. Todo triângulo equilátero é isósceles.</p><p>Pde-se afirmar que:</p><p>a) só uma é verdadeira.</p><p>b) todas são verdadeiras.</p><p>c) só uma é falsa.</p><p>d) duas são verdadeiras e duas são falsas.</p><p>e) todas são falsas.</p><p>Jeca 41</p><p>07) (PUC-SP) Sendo:</p><p>A = {x / x é quadrilátero}</p><p>B = {x / x é quadrado}</p><p>C = {x / x é retângulo}</p><p>D = {x / x é losango}</p><p>E = {x / x é trapézio}</p><p>F = {x / x é paralelogramo}</p><p>Então vale a relação:</p><p>a) A D E</p><p>b) A F D B</p><p>c) F D A</p><p>d) A F B C</p><p>e) B D A E</p><p>08) (UFOP-MG) Assinale a alternativa incorreta:</p><p>a) Em todo paralelogramo não retângulo, a diagonal</p><p>oposta aos ângulos agudos é menor do que a outra.</p><p>b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois</p><p>ângulos consecutivos de um paralelogramo.</p><p>c) As bissetrizes de dois ângulos opostos de um para-</p><p>lelogramo são paralelas entre si.</p><p>d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um tri-</p><p>ângulo, este fica decomposto em quatro triângulos</p><p>congruentes.</p><p>e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas.</p><p>E</p><p>A</p><p>BC</p><p>D</p><p>F</p><p>G</p><p>H I</p><p>09)(UECE) Na figura, o retângulo DGHI, o triângulo e-</p><p>quilátero DEF e o quadrado ABCI, têm todos, períme-</p><p>tro igual a 24 cm. Se D é o ponto médio de CI, o perí-</p><p>metro da figura fechada ABCDEFGHIA é igual a:</p><p>a) 48 m</p><p>b) 49 m</p><p>c) 50 m</p><p>d) 51 m</p><p>e) 52 m</p><p>10) Determine as medidas dos ângulos internos de um</p><p>paralelogramo sabendo que a diferença entre as</p><p>medidas de dois ângulos internos consecutivos é 52º.</p><p>11) (FGV-SP) A diagonal menor de um losango de-</p><p>compõe esse losango em dois triângulos congruentes.</p><p>Se cada ângulo obtuso do losango mede 130º, quais</p><p>são as medidas dos três ângulos de cada um dos dois</p><p>triângulos considerados ?</p><p>12) (ITA-SP) Dadas as afirmações:</p><p>I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadriláte-</p><p>ro são suplementares.</p><p>II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um para-</p><p>lelogramo são suplementares.</p><p>III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpen-</p><p>diculares entre si e se cruzam em seu ponto médio,</p><p>então esse paralelogramo é um losango.</p><p>a) Todas são verdadeiras.</p><p>b) Apenas I e II são verdadeiras.</p><p>c) Apenas II e III são verdadeiras.</p><p>d) Apenas II é verdadeira.</p><p>e) Apenas III é verdadeira.</p><p>Jeca 42</p><p>13) (UFV-MG) Num trapézio isósceles de bases dife-</p><p>rentes, uma diagonal é também bissetriz de um ângu-</p><p>lo adjacente à base maior. Isso significa que:</p><p>a) a base menor tem medida igual à dos lados</p><p>oblíquos.</p><p>b) os ângulos adjacentes à base menor não são</p><p>congruentes.</p><p>c) a base maior tem medida igual à dos lados</p><p>oblíquos.</p><p>d) as duas diagonais se interceptam no seu ponto</p><p>médio.</p><p>e) as diagonais se interceptam, formando ângulo</p><p>reto.</p><p>14) (FUVEST-SP) No quadrilátero ABCD, temos</p><p>AD = BC = 2 e os prolongamentos desses lados</p><p>formam um ângulo de 60º.</p><p>a) Indicando por a, b, g e q, respectivamente, as</p><p>medidas dos ângulos internos dos vértices A, B, C e D,</p><p>calcule a + b + g + q.</p><p>b) Sejam J o ponto médio de DC, M o ponto médio de</p><p>AC e N o ponto médio de BD. Calcule JM e JN.</p><p>c) Calcule a medida do ângulo MJN.</p><p>A</p><p>D C</p><p>B</p><p>A</p><p>B C</p><p>D E</p><p>F</p><p>G H</p><p>I</p><p>15) Na figura, BC = 24 cm, D é ponto médio de AB, F</p><p>é ponto médio de BD, E é ponto médio de AC e I é</p><p>ponto médio de CE. Determine as medidas dos</p><p>segmentos FG e GH.</p><p>16) (ITA-SP) Considere um quadrilátero ABCD cujas</p><p>diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cm</p><p>e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos</p><p>lados do quadrilátero dado, então o perímetro do</p><p>quadrilátero RSTU vale:</p><p>a) 22 cm</p><p>b) 5,5 cm</p><p>c) 8,5 cm</p><p>d) 11 cm</p><p>e) 12 cm</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>G</p><p>H</p><p>I</p><p>J</p><p>17) No trapézio AEJF abaixo, BG = x e DI = y. Se</p><p>AB = BC = CD = DE e FG = GH = HI = IJ, determine</p><p>AF e EJ em função de x e de y.</p><p>A</p><p>B C</p><p>D E</p><p>F</p><p>18) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em</p><p>B, o ponto D é ponto médio do lado AB e o segmento</p><p>DE é paralelo ao cateto BC. Sendo AC = 24 cm, de-</p><p>termine a medida do segmento EF.</p><p>Jeca 43</p><p>Respostas desta aula.</p><p>01) x = 32º, y = 116º, z = 64º, t = 90º</p><p>02) a</p><p>03) x = 64º, y = 116º</p><p>04) AC = 4 3 cm, AB = 4 cm</p><p>05) 6 cm</p><p>06) b</p><p>07) b</p><p>08) e</p><p>09) c</p><p>10) 64º e 116º</p><p>11) 50º, 65º e 65º</p><p>12) c</p><p>13) a</p><p>14)</p><p>a) 360º</p><p>b) 1 e 1</p><p>c) 60º</p><p>15) FG = 6 cm e GH = 6 cm</p><p>16) d</p><p>17) AF EJ</p><p>18) 4cm</p><p>=</p><p>3x - y</p><p>2</p><p>=</p><p>3y - x</p><p>2</p><p>Importante para mim.</p><p>Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma</p><p>mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br</p><p>Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.</p><p>Obrigado.</p><p>Jeca</p><p>Proibida</p><p>a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor</p><p>Jeca 44</p><p>I) Polígonos convexos.</p><p>i</p><p>e</p><p>d</p><p>d - diagonal</p><p>i - ângulo interno</p><p>e - ângulo externo</p><p>Classificação dos polígonos (quanto ao nº de lados).</p><p>3 lados - triângulo</p><p>4 lados - quadrilátero</p><p>5 lados - pentágono</p><p>6 lados - hexágono</p><p>7 lados - heptágono</p><p>8 lados - octógono</p><p>9 lados - eneágono</p><p>10 lados - decágono</p><p>11 lados - undecágono</p><p>12 lados - dodecágono</p><p>13 lados - tridecágono</p><p>14 lados - quadridecágono</p><p>15 lados - pentadecágono</p><p>16 lados - hexadecágono</p><p>17 lados - heptadecágono</p><p>18 lados - octodecágono</p><p>19 lados - eneadecágono</p><p>20 lados - icoságonoi + e = 180º</p><p>II) Soma das medidas dos ângulos</p><p>internos de um polígono convexo.</p><p>(S )i</p><p>III) Soma das medidas dos ângulos</p><p>externos de um polígono convexo.</p><p>(S )e</p><p>IV) Número de diagonais de um polí-</p><p>gono convexo.</p><p>(d)</p><p>i1</p><p>i2</p><p>i3</p><p>i4</p><p>in</p><p>S = i + i + i + ... + ii 1 2 3 n</p><p>S = 180 (n - 2)i</p><p>n - nº de lados do polígono</p><p>e1</p><p>e2</p><p>e3</p><p>e4</p><p>en</p><p>S = e + e + e + ... + ee 1 2 3 n</p><p>S = 360ºe</p><p>Para qualquer polígono convexo</p><p>Diagonal é o segmento que une</p><p>dois vértices não consecutivos.</p><p>d n (n - 3)</p><p>2</p><p>=</p><p>n - nº de lados do polígono</p><p>vértice</p><p>lado</p><p>V) Polígono regular.</p><p>e</p><p>e</p><p>e</p><p>e</p><p>e</p><p>i</p><p>i</p><p>i</p><p>ii</p><p>a</p><p>Um polígono é regular se tem:</p><p>a) todos os lados congruentes entre si;</p><p>b) todos os ângulos internos congruentes entre si;</p><p>c) todos os ângulos externos congruentes entre si.</p><p>3 lados - triângulo equilátero</p><p>4 lados - quadrado</p><p>5 lados - pentágono regular</p><p>6 lados - hexágono regular</p><p>etc</p><p>Classificação dos polígonos regulares</p><p>Medida de cada ângulo interno de um polígono regular.</p><p>Medida de cada ângulo externo de um polígono regular.</p><p>i =</p><p>Si</p><p>n ></p><p>180 (n - 2)</p><p>i = n</p><p>e =</p><p>Se</p><p>n ></p><p>360e = n</p><p>(importante)</p><p>Observação - Todo polígono regular pode ser inscrito e</p><p>circunscrito numa circunferência.</p><p>ângulo</p><p>central</p><p>C</p><p>Estudos sobre Geometria realizados</p><p>pelo prof. Jeca</p><p>(Lucas Octavio de Souza)</p><p>(São João da Boa Vista - SP)</p><p>Geometria plana</p><p>Aula 05</p><p>Polígonos convexos.</p><p>Jeca 45</p><p>01) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter-</p><p>nos e o número de diagonais de um pentadecágono</p><p>convexo.</p><p>02) Determinar a soma das medidas dos ângulos exter-</p><p>nos e o número de diagonais de um octodecágono</p><p>convexo.</p><p>03) Determinar a medida de cada ângulo interno e de</p><p>cada ângulo externo de um eneágono regular.</p><p>04) Determinar a medida de cada ângulo interno e o nº</p><p>de diagonais de um octógono regular.</p><p>05) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter-</p><p>nos de um polígono convexo que tem 65 diagonais.</p><p>06) Determinar o nº de diagonais de um polígono regu-</p><p>lar cuja medida de cada ângulo externo é 30º.</p><p>07) Determinar o nº de diagonais de um polígono regu-</p><p>lar sabendo-se que a medida de um ângulo interno</p><p>excede a medida do ângulo externo em 132º.</p><p>08) Determinar a medida do ângulo externo de um</p><p>polígono regular que tem 14 diagonais.</p><p>Jeca 46</p><p>09) Dados dois polígonos convexos, A e B, sabe-se</p><p>que B tem 4 lados e 30 diagonais a mais do que A.</p><p>Determine quais são os polígonos A e B.</p><p>10) Dados dois polígonos regulares, A e B, sabe-se</p><p>que B tem 6 lados a mais do que A e a diferença</p><p>das medidas de seus ângulos externos é 16º. Deter-</p><p>mine quais são esses polígonos.</p><p>11) Determine a medida do ângulo agudo formado</p><p>entre a diagonal AF e lado AB de um dodecágono</p><p>regular ABC.... KL.</p><p>12) Determine a medida do ângulo agudo formado</p><p>pelos prolongamentos das diagonais AC e DG de</p><p>um dodecágono regular ABC...KL.</p><p>Jeca 47</p><p>q</p><p>13) (UNIFESP-SP) Pentágonos regulares congruen-</p><p>tes podem ser conectados, lado a lado, formando uma</p><p>estrela de cinco pontas, conforme destacado na figu-</p><p>ra. Nestas condições, o ângulo q mede:</p><p>a) 108º b) 72º c) 54º d) 36º e) 18º</p><p>14) (FUVEST-SP) Dois ângulos internos de um polí-</p><p>gono convexo medem 130º cada um e os demais</p><p>ângulos internos medem 128º cada um. O nº de</p><p>lados desse polígono é:</p><p>a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17</p><p>15) (CESGRANRIO-RJ) No quadrilátero ABCD da</p><p>figura abaixo, são traçadas as bissetrizes CM e BN,</p><p>que formam entre si o ângulo a. A soma dos ângulos</p><p>internos A e D desse quadrilátero corresponde a:</p><p>a) a/4 b) a/2 c) a d) 2a e) 3a</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>M</p><p>N</p><p>a</p><p>16) (MACK-SP) Os lados de um polígono regular de</p><p>n lados, n > 4, são prolongados para formar uma</p><p>estrela. A medida, em graus, de cada vértice da</p><p>estrela é:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>360º</p><p>n</p><p>(n - 4) . 180º</p><p>n</p><p>(n - 2) . 180º</p><p>n</p><p>180º _ 90º</p><p>n</p><p>180º</p><p>n</p><p>Jeca 48</p><p>Respostas desta aula.</p><p>01) 2340º e 90 diagonais</p><p>02) 360º e 135 diagonais</p><p>03) 140º e 40º</p><p>04) 135º e 20 diagonais</p><p>05) 1980º</p><p>06) 54 diagonais</p><p>07) 90 diagonais</p><p>08) 360º / 7</p><p>09) Heptágono e undecágono</p><p>10) Eneágono e pentadecágono</p><p>11) 60º</p><p>12) 75º</p><p>13) d</p><p>14) b</p><p>15) d</p><p>16) b</p><p>Importante para mim.</p><p>Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma</p><p>mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br</p><p>Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.</p><p>Obrigado.</p><p>Jeca</p><p>Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor</p><p>Jeca 49</p><p>01) Dado um polígono convexo de 17 lados, determinar:</p><p>a) a soma das medidas dos ângulos</p><p>internos.</p><p>b) a soma das medidas dos ângulos</p><p>externos.</p><p>c) o número de diagonais desse polí-</p><p>gono.</p><p>03) Determinar o número de lados e o número de diagonais de um polígono convexo cuja soma das medidas dos</p><p>ângulos internos é 2160º.</p><p>04) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 44 diagonais.</p><p>02) Dado um undecágono convexo, determinar:</p><p>a) a soma das medidas dos ângulos</p><p>internos.</p><p>b) a soma das medidas dos ângulos</p><p>externos.</p><p>c) o número de diagonais desse polí-</p><p>gono.</p><p>Estudos sobre Geometria realizados</p><p>pelo prof. Jeca</p><p>(Lucas Octavio de Souza)</p><p>(São João da Boa Vista - SP)</p><p>Geometria plana</p><p>Polígonos convexos.</p><p>Exercícios complementares da aula 05.</p><p>Jeca 50</p><p>05) No pentágono ao lado, AB // DE. Determinar a soma das medidas</p><p>dos ângulos internos assinalados. A B</p><p>C</p><p>E D</p><p>06) Determinar os polígonos convexos A e B, sabendo-se que A tem 2 lados e 23 diagonais a mais que o</p><p>polígono B.</p><p>07) Dado um eneágono regular, determinar :</p><p>a) o número de lados do eneágono. b) a soma das medidas dos ângulos</p><p>internos.</p><p>c) a medida de cada ângulo interno.</p><p>d) a soma das medidas dos ângulos</p><p>externos.</p><p>e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do eneágo-</p><p>no.</p><p>08) Determinar qual é o polígono regular cuja medida de um ângulo externo é igual a 2/7 da medida de um ângulo</p><p>interno.</p><p>Jeca 51</p><p>09) Dado um pentadecágono regular, determinar :</p><p>a) o número de lados do pentadecá-</p><p>gono.</p><p>b) a soma das medidas dos ângulos</p><p>internos.</p><p>c) a medida de cada ângulo interno.</p><p>d) a soma das medidas dos ângulos</p><p>externos.</p><p>e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do penta-</p><p>decágono.</p><p>10) Determinar dois polígonos regulares, A e B, sabendo-se que A tem 3 lados a mais que B e que a diferença</p><p>entre as medidas dos seus ângulos externos é 6º.</p><p>11) Dado um decágono regular ABCDE … , determinar a medida do ângulo agudo compreendido entre o lado AB</p><p>e a diagonal AC.</p><p>12) Dado um dodecágono regular ABCDE … , sendo O o centro do dodecágono,</p><p>determinar a medida do ângulo AOE.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>G</p><p>H</p><p>I</p><p>J</p><p>K</p><p>L</p><p>O</p><p>Jeca 52</p><p>13) Dado um decágono regular ABCDE … , sendo O o centro do polígono, determinar :</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>EG</p><p>H</p><p>I</p><p>J</p><p>O</p><p>b) a medida de cada ângulo externo.</p><p>d) a medida de cada ângulo interno. e) a medida do ângulo obtuso forma-</p><p>do pelos prolongamentos dos lados</p><p>BC e DE.</p><p>f) a medida do ângulo agudo forma-</p><p>do pelos prolongamentos</p><p>dos lados</p><p>BC e EF.</p><p>g) a medida do ângulo agudo forma-</p><p>do entre as diagonais BI e AG.</p><p>h) a medida do ângulo EOG.</p><p>a) a soma das medidas dos ângulos</p><p>externos do decágono.</p><p>c) a soma das medidas dos ângulos</p><p>internos do decágono.</p><p>F</p><p>i) a medida do ângulo EBC.</p><p>Jeca 53</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>G</p><p>HI</p><p>J</p><p>K</p><p>L</p><p>M</p><p>N</p><p>P</p><p>O</p><p>A B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>G</p><p>H</p><p>I</p><p>JKL</p><p>M</p><p>N</p><p>P</p><p>Q</p><p>R</p><p>S</p><p>T</p><p>U</p><p>O</p><p>14) No pentadecágono regular abaixo, determinar a</p><p>medida do ângulo agudo formado entre as diagonais</p><p>ND e BJ.</p><p>x y</p><p>z</p><p>15) No icoságono regular abaixo, determinar as medi-</p><p>das dos ângulos x, y e z.</p><p>A</p><p>AB</p><p>B</p><p>C</p><p>C</p><p>D</p><p>D</p><p>E</p><p>E</p><p>F</p><p>FG</p><p>G</p><p>H</p><p>H</p><p>I</p><p>I</p><p>J</p><p>J</p><p>K</p><p>K</p><p>L</p><p>L</p><p>O</p><p>O</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>t</p><p>16) No dodecágono regular de centro O abaixo, deter-</p><p>minar as medidas dos ângulos x, y, z e t.</p><p>x</p><p>y</p><p>zt</p><p>17) A figura abaixo representa um quadrilátero BEIK</p><p>inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determi-</p><p>nar as medidas dos ângulos x, y, z e t.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>G</p><p>H</p><p>O</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>t</p><p>18) A figura abaixo representa um octógono regular</p><p>ABCD … de centro O. Sendo OH a bissetriz do ângulo</p><p>AHG e OB a mediatriz do segmento BC, determinar as</p><p>medidas dos ângulos x, y, z e t. A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>EF</p><p>G</p><p>H</p><p>I</p><p>O</p><p>x</p><p>19) No eneágono regular ABCD … , determinar a</p><p>medida do ângulo x formado pelas retas AG e DF.</p><p>DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos</p><p>DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos</p><p>DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos</p><p>Jeca 54</p><p>20) Na figura ao lado, determinar o valor de x + y.</p><p>x</p><p>y</p><p>105º</p><p>88º</p><p>93º</p><p>21) Dado um polígono convexo ABCD... com n lados,</p><p>n > 3, o número de diagonais do polígono que não</p><p>passam pelo vértice A é dado por:</p><p>a) 5n - 4</p><p>2</p><p>c) n - 5n + 6</p><p>2</p><p>2</p><p>b) n - 11n</p><p>d) n(n-3)</p><p>2</p><p>2</p><p>e) 2n - 4</p><p>22) Se a soma dos ângulos internos de um polígono</p><p>regular é 1620º, sendo x a medida de cada ângulo</p><p>externo então:</p><p>a) x = 18º</p><p>b) 30º 4, são prolongados para formar uma estrela.</p><p>Dar a expressão que fornece a medida de cada um</p><p>dos ân-</p><p>29) (FEI) O menor ângulo interno de um polígono con-</p><p>vexo mede 139º, e os outros ângulos formam com o</p><p>primeiro uma progressão aritmética de razão 2. De-</p><p>termine o número de lados do polígono.</p><p>Jeca 56</p><p>Respostas desta aula</p><p>01)</p><p>a) 2700º b) 360º c) 119</p><p>02)</p><p>a) 1620º b) 360º c) 44</p><p>03) 14 lados e 77 diagonais</p><p>04) 1620º</p><p>05) 360º</p><p>06) Quadridecágono e dodecágono</p><p>07)</p><p>a) 9 b) 1260º c) 140º d) 360º</p><p>e) 40º f) 27</p><p>08) Eneágono</p><p>09)</p><p>a) 15 b) 2340º c) 156º d) 360º</p><p>e) 24º f) 90</p><p>10) Pentadecágono e dodecágono</p><p>11) 18º</p><p>12) 120º</p><p>13)</p><p>a) 360º b) 36º c) 1440º d) 144º</p><p>e) 108º f) 72º g) 54º h) 72º</p><p>i) 36º</p><p>14) 72º</p><p>15) x = 27º, y = 108º e z = 45º</p><p>16) x = 75º, y = 45º, z = 30º e t = 120º</p><p>17) x = 105º, y = 90º, z = 75º e t = 90º</p><p>18) x = 135º, y = 135º, z = 67,5º e t = 112,5º</p><p>19) 40º</p><p>20) 74º</p><p>21) c</p><p>22) b</p><p>23) heptágono</p><p>24) 24º e 48º</p><p>25) 60º</p><p>26) 180 (n - 4)</p><p>27) d</p><p>28) a</p><p>29) 12</p><p>n</p><p>Importante para mim.</p><p>Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma</p><p>mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br</p><p>Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.</p><p>Obrigado.</p><p>Jeca</p><p>Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor</p><p>Jeca 57</p><p>I) Elementos da circunferência.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>r</p><p>r</p><p>r</p><p>a</p><p>P</p><p>C - centro da circunferência</p><p>AC = r - raio da circunferência</p><p>AB = 2r - diâmetro da circunferência</p><p>ACD = a - ângulo central</p><p>APD - arco da circunferência</p><p>AD - corda da circunferência</p><p>II) Posições relativas entre ponto</p><p>e circunferência.</p><p>III) Posições relativas entre reta</p><p>e circunferência.</p><p>reta tangente</p><p>reta secante</p><p>reta exterior</p><p>ponto de tangência</p><p>A</p><p>B</p><p>D</p><p>C</p><p>A - ponto</p><p>exterior</p><p>B - ponto da</p><p>circunferência</p><p>D - ponto</p><p>interior</p><p>C - centro da</p><p>circunferência</p><p>IV) Propriedades da circunferência.</p><p>1) Em toda circunferência, a medida</p><p>do ângulo central é igual à medida</p><p>do arco correspondente.</p><p>2) Em toda circunferência, o raio é</p><p>perpendicular à reta tangente no</p><p>ponto de tangência.</p><p>3) Em toda circunferência, o raio,</p><p>quando perpendicular à corda, divi-</p><p>de essa corda ao meio.</p><p>C</p><p>A</p><p>P</p><p>B</p><p>a</p><p>APB = a</p><p>C C</p><p>A</p><p>B</p><p>M</p><p>AM = MB</p><p>V) Ângulos na circunferência.</p><p>a) Ângulo inscrito na circunferência. b) Ângulo de segmento.</p><p>É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circun-</p><p>ferência e os dois lados secantes a essa</p><p>circunferência.</p><p>Propriedade - O ângulo inscrito vale a metade do</p><p>ângulo central ou a metade do arco correspondente.</p><p>É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circunfe-</p><p>rência, um lado secante e um lado tangente a essa</p><p>circunferência.</p><p>Propriedade - O ângulo de segmento vale a metade</p><p>do ângulo central ou a metade do arco correspondente.</p><p>b</p><p>a</p><p>vértice</p><p>a - ângulo central</p><p>b - ângulo inscrito</p><p>b = a</p><p>2</p><p>b</p><p>a</p><p>vértice</p><p>se</p><p>ca</p><p>nt</p><p>e</p><p>tangente</p><p>a - ângulo central</p><p>b - ângulo de segmento</p><p>b = a</p><p>2</p><p>Estudos sobre Geometria realizados</p><p>pelo prof. Jeca</p><p>(Lucas Octavio de Souza)</p><p>(São João da Boa Vista - SP)</p><p>Geometria plana</p><p>Aula 06</p><p>Ângulos na circunferência.</p><p>Jeca 58</p><p>IV) Consequências do ângulo inscrito.</p><p>1) Todo triângulo retângulo pode ser</p><p>inscrito numa semicircunferência</p><p>onde a hipotenusa coincide com o</p><p>diâmetro.</p><p>2) Em todo triângulo retângulo, a</p><p>mediana relativa à hipotenusa vale</p><p>a metade dessa hipotenusa.</p><p>3) Todos os ângulos de uma circun-</p><p>ferência inscritos no mesmo arco</p><p>são congruentes.</p><p>4) Em todo quadrilátero inscrito nu-</p><p>ma circunferência os ângulos inter-</p><p>nos opostos são suplementares.</p><p>5) Ângulo excêntrico de vértice</p><p>interno.</p><p>6) Ângulo excêntrico de vértice</p><p>externo.</p><p>hipotenusa</p><p>e diâmetro</p><p>ângulo</p><p>inscrito</p><p>hipotenusa</p><p>mediana</p><p>relativa à</p><p>hipotenusa</p><p>RR</p><p>R</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>arco de</p><p>medida</p><p>2b</p><p>a</p><p>b</p><p>g</p><p>q</p><p>a + b = 180º</p><p>e</p><p>g + q = 180º</p><p>C</p><p>a</p><p>b</p><p>x</p><p>x = a + b</p><p>2</p><p>x = a - b</p><p>2</p><p>xa b</p><p>vértice</p><p>vértice</p><p>Exercícios - 01) Nas circunferências abaixo, sendo O o centro, determine a medida do ângulo ou do arco x.</p><p>a) b) c)</p><p>d) e) f)</p><p>g) h) i)</p><p>O</p><p>O O</p><p>O O</p><p>O</p><p>x</p><p>118º</p><p>41º</p><p>x</p><p>x</p><p>46º</p><p>39º</p><p>x</p><p>x</p><p>O x62º</p><p>O</p><p>x</p><p>62º</p><p>104º</p><p>x O</p><p>x</p><p>87º</p><p>Jeca 59</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>O</p><p>124º</p><p>x</p><p>D</p><p>x</p><p>3x</p><p>x 55º</p><p>x</p><p>35º x</p><p>50º</p><p>02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.</p><p>O O</p><p>O O O</p><p>a) b) c)</p><p>d) e) f)</p><p>g) h) Tente fazer por outro método. i)</p><p>j) k) l)</p><p>m) n)</p>