Lógica Matemática

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<p>FACULDADE PRÁTICA PEDAGÓGICA INTERDISCIPLINAR: LÓGICA MATEMÁTICA Profa. Me. Eliane Alves de Jesus prominas</p><p>PRÁTICA PEDAGÓGICA INTERDISCIPLINAR: LÓGICA MATEMÁTICA ME. ELIANE ALVES DE JESUS FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>EDITORIAL Diretor Geral: Prof. Esp. Valdir Henrique Valerio Diretor Executivo: Prof. Dr. William José Ferreira Ger. do Núcleo de Educação a Distância: Esp. Lelis dos Santos Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: Esp. Imperatriz da Penha Matos Revisão Gramatical e Ortográfica: Naiana Leme Camoleze Revisão técnica: Vanessa Luz Clarice Virgilio Gomes Prof. Esp. Guilherme Prado Lorena Oliveira Silva Portugal Design: Bárbara Carla Amorim O. Silva Daniel Guadalupe Reis Élen Cristina Teixeira Oliveira Maria Eliza P. Campos 2023, Faculdade Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autoriza- ção escrita do Editor. Ficha catalográfica elaborada pela Melina Lacerda Vaz CRB - FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>PRÁTICA PEDAGÓGICA INTERDISCIPLINAR: LÓGICA MATEMÁTICA 1° edição Ipatinga, MG Faculdade Única 2023 FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>5 ELIANE ALVES DE JESUS Possui mestrado em tica pela Universidade Federal de São João del-Rei (UFSJ-MG) (2016), graduação no Programa Especial de Formação Pedagógica de Docen- tes pela Universidade de Franca-SP (2017) e bacharelado em Matemáti- ca pela Universidade Federal de Mi- nas Gerais (UFMG) (2008). Professora de Matemática, com 12 anos de ex- periência, atuando tanto nos ensinos médio e técnico, quanto no ensino superior. Suas últimas experiências profissionais foram no COLTEC-UFMG, na PUC-Minas, na UFV e no Colégio Educare. Para saber mais sobre a autora desta obra e suas qua- lificações, acesse seu Curriculo Lattes pelo link : Ou aponte uma câmera para o QRCODE ao lado. FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>LEGENDA DE Com intuito de facilitar seu estudo e uma melhor compreensão do conteúdo aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar ícones ao lado dos textos. Eles são para chamar a sua atenção para determinado trecho do conteúdo, cada um com uma função específica, mostradas a seguir: FIQUE ATENTO ! Trata-se dos conceitos, definições e informações importantes nas quais você precisa ficar atento. BUSQUE POR MAIS a São opções de links de vídeos, artigos, sites ou livros da biblioteca virtual, relacionados ao conteúdo apresentado no livro. VAMOS PENSAR? Espaço para reflexão sobre questões citadas em cada unidade, associando-os a suas ações. Atividades de multipla escolha para ajudar na fixação dos conteúdos abordados no livro. GLOSSÁRIO Apresentação dos significados de um determinado termo ou palavras mostradas no decorrer do livro. FACULDADE prominas unica</p><p>SUMÁRIO UNIDADE 1 LÓGICA PROPOSICIONAL 1.1 Introdução 1.2 Proposições 11 1.2.1 Sentenças Abertas e Sentenças Fechadas 12 1.3 As Três Leis Fundamentais do Pensamento Lógico 13 1.3.1 Proposição Simples 14 1.3.2 Proposição Composta 14 1.4 Conectivos Lógicos 14 1.4.1 Conjunção: p e q 15 1.4.2 Disjunção: p ou q 15 1.4.3 Disjunção exclusiva: ou q 16 1.4.4 Condicional: Se p então q 17 1.4.5 Bicondicional: p se e somente se q 18 FIXANDO CONTEÚDO 20 UNIDADE 2 OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES E CONSTRUÇÃO DE TABELAS-VERDADE 2.1 Introdução 24 2.2 Valor Lógico De Uma Proposição Simples 24 2.2.1 Negação de uma Proposição Simples 24 Valor Lógico de uma Proposição Simples 25 2.3.1 Valor Lógico da Conjunção 25 2.3.2 Valor Lógico da Disjunção 26 2.3.3 Valor Lógico da Disjunção Exclusiva 26 2.3.4 Valor Lógico da Condicional 27 2.3.5 Valor Lógico da Bicondicional 30 FIXANDO CONTEÚDO 32 UNIDADE 3 CONSTRUÇÃO DE TABELAS-VERDADE DE OUTRAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 3.1 Tabelas Verdade de Outras Proposições Compostas 36 3.2 Tautologia 39 Contradição 39 Contingência 40 FIXANDO CONTEÚDO 42 UNIDADE 4 EQUIVALÊNCIA LÓGICA E IMPLICAÇÃO LÓGICA 4.1 Introdução 45 4.2 Proposições Logicamente Equivalentes 45 Quantificadores 46 Negação de Proposições Compostas 47 4.5 Implicação Lógica 48 4.5.1 Propriedades da Implicação Lógica 49 FIXANDO CONTEÚDO 51 FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>8 UNIDADE 5 ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES 5.1 Introdução 54 5.2 das Proposições 54 5.2.1 Propriedades da Conjunção 54 5.2.2 Propriedades da Disjunção 54 5.2.3 Propriedades da Conjunção e Disjunção 54 5.2.4 Regras de de Morgan 55 5.2.5 Negação da Condicional 55 5.2.6 Negação Bicondicional 55 Argumentação Lógica 55 5.3.1 Argumento Válido 56 5.3.2 Argumento Inválido 57 FIXANDO CONTEÚDO 59 UNIDADE 6 TIPOS DE DEMONSTRAÇÃO 6.1 Introdução 62 6.2 Principais Elementos da Estrutura Matemática 62 Tipos de Demonstração 63 FIXANDO 68 RESPOSTAS DO FIXANDO CONTEÚDO 71 REFERÊNCIAS 72 FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>9 UNIDADE 1 A unidade explora os conceitos inicias necessários para estudo da lógica, tais como a definição de proposição, suas classificações em simples e composta, bem como a apresentação dos conectivos lógicos. UNIDADE 2 A unidade 2 introduz o conceito de valor lógico de uma proposição simples ou composta através do uso da tabela verdade. NO UNIDADE 3 A unidade 3 propõe a construção de tabelas-verdade que combinam um número maior de proposições. Além disso, são abordados os conceitos de tautologia, contradição e contingência. UNIDADE 4 A unidade 4 explora o conceito de equivalência de proposições compostas, no qual se inclui, também, a negação das mesmas. Além disso, a unidade apresenta o conteúdo de implicação lógica e suas propriedades. UNIDADE 5 A unidade 5 trabalha, inicialmente, a álgebra das proposições e mostra as propriedades existentes entre elas, glém de reforçar a negação das proposições compostas. Num segundo momento, a unidade traz luz a um importante conteúdo do raciocínio lógico: o argumento lógico. UNIDADE 6 A unidade 6 mostra como o conteúdo visto nos capítulos anteriores pode ser usado na composição da estrutura da Matemática. Nele vamos entender o significado de axiomas, definições, conjecturas e teoremas e alguns tipos de demonstração. FACULDADE prominas unica</p><p>LÓGICA PROPOSICIONAL</p><p>11 1.1 INTRODUÇÃO Costumamos chamar momento atual de Era da Informação, pois diariamente são produzidas e transmitidas informações sobre diversos assuntos. Como é possível avaliar essas informações? Como produzir argumentos que validem ou revoguem outros argumentos apresentados? A lógica matemática apresenta uma estrutura que serve de suporte para determinar se num dado contexto um argumento pode ser considerado válido, inválido ou se não é possível obter uma conclusão exata sobre ele. Apesar de ser usada principalmente na matemática, essa estrutura pode ser aplicada às mais diversas áreas de atuação. Por exemplo, um advogado precisa construir argumentos válidos a favor de seus clientes, um programador computacional precisa construir programas que obedeçam a uma estrutura que usa conceitos de lógica matemática e, em geral, as pessoas procuram determinar soluções que possam ser justificadas por argumentos considerados lógicos. Em resumo, a lógica matemática é importante para construir a estrutura do raciocínio matemático e para dar suporte ao raciocínio lógico, no seu sentido mais amplo possível, em outros segmentos do conhecimento. 1.2 PROPOSIÇÕES Denomina-se proposição a toda sentença, expressa em palavras ou símbolos, que exprima um sentido completo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um dos dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso. Somente às sentenças declarativas, ou seja, às afirmações, pode-se atribuir valores de verdadeiro (v) ou falso (F), que ocorre quando a sentença é, respectivamente, confirmada ou negada. De fato, não se pode atribuir um valor verdadeiro ou falso às demais formas de sentenças como as interrogativas, as exclamativas e outras, embora elas também expressem informações completas. Exemplo 1: São exemplos de proposições as seguintes sentenças declarativas: número 2 é par. O número 25 não é primo. Todos os homens são mortais. Nenhum porco espinho sabe ler. Alguns brasileiros são poliglotas. Se você estudar bastante, então aprenderá tudo. Sempre que chove, esfria. Não são proposições as sentenças: Qual é seu nome? Preste atenção ao sinal! Deus me ajude! Proteja-se! FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>12 A fim de simplificar a representação das proposições é comum denotá-las por letras que poderão substituí-las em uma citação posterior. Exemplo 2: Considere as proposições: p: número 4 é par. q: Madona foi presidente dos Estados Unidos da América. Nos casos acima as letras p e q poderão ser usadas no lugar das sentenças que representam. Podemos, por exemplo, dizer que a proposição p é verdadeira e que q é falsa. 1.2.1 Sentenças Abertas e Sentenças Fechadas A seguir veremos que nem toda declaração pode ser classificado como proposição. Acompanhe exemplo. Exemplo 3: Considere as seguintes sentenças: p: 2+3=5 q: x+3=5 Observe que podemos afirmar que p é uma sentença verdadeira, uma vez que os resultados à direita e à esquerda da igualdade são, de fato, iguais. Uma sentença dessa natureza é denominada sentença fechada. Por outro lado, não podemos atribuir valor lógico à sentença q, pois a mesma contém uma variável e não existe nenhum contexto que nos permita conhecer valor dessa variável. Se soubéssemos que x=2 teríamos x+3=2+3=5, portanto, x+3=5 seria uma sentença verdadeira. Se soubéssemos que x=7 teríamos x+3=7+3=10, portanto, x+3=5 seria uma sentença falsa. Como não sabemos valor de X não podemos afirmar se a igualdade é verdadeira ou falsa. Logo q não é uma proposição. Uma sentença dessa natureza é denominada sentença aberta. Algumas sentenças abertas podem ser transformadas em sentenças fechadas se atribuirmos valores às variáveis, ou pelo uso de quantificadores os quais abordaremos em capítulos posteriores. Podemos conceituar da seguinte forma: Sentença aberta: É aquela sentença que não pode ser classificada como verdadeira ou falsa, pois nela existe uma variável, cujo valor não está definido. Sentença fechada: É aquela sentença em que todas as informações se apresentam de forma clara e à qual pode-se atribuir um único dos valores lógicos: verdadeiro ou falso. FIQUE ATENTO Interrogações, exclamações, comandos e pedidos não são proposições. Sentenças abertas não são proposições. Uma sentença fechada é uma proposição, pois pode ser classificada como verdadei- ra ou falsa. FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>13 Para atribuir valor lógico a uma proposição é importante ter em mente os três princípios fundamentais do pensamento lógico, conforme descreveremos a seguir. 1.3 AS TRÊS LEIS FUNDAMENTAIS DO PENSAMENTO LÓGICO Princípio da Identidade: Se um enunciado qualquer é verdadeiro, então ele é verdadeiro. Se um enunciado é falso então ele é falso. Princípio da Não Contradição: Nenhum enunciado poder ser verdadeiro e também falso. Princípio do Terceiro Excluído: Um enunciado ou é verdadeiro ou é falso. Os conceitos acima parecem simples ou até estranhos, mas são úteis para a identificação de paradoxos, como veremos nos exemplos a seguir: BUSQUE POR MAIS O que é paradoxo? Descubra em: Acesso em: 23 jan. 2021 Veremos nos exercícios resolvidos a seguir como esse conteúdo costuma ser cobrado pelas bancas de concurso: Exercício resolvido 1. (CESP- TRE/ES 2011-Modificada) Classifique como CERTA ou ERRADA a seguinte afirmação: Segundo os princípios da não contradição e do terceiro excluído, a uma proposição pode ser atribuído um, e somente um, valor lógico. Resposta: CERTA. Solução: Uma proposição pode sempre receber um valor lógico e esse valor é único: ou verdadeiro ou falso. Exercício resolvido 2. (CESP Banco do Brasil 2007- Modificada) Considere as seguintes frases: I. "A frase dentro destas aspas é uma mentira." II. A expressão x+y é positiva. III. valor de é igual a 7. IV. Pelé marcou 10 gols para a seleção brasileira. V. que é isto? Podemos classificar como proposições as frases presentes em: a) e b) II, III e IV c) III e IV d) III, IV e V e) III FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>14 Resposta: C Solução: Vamos analisar cada uma das alternativas. I. Não podemos atribuir um valor lógico a essa sentença. Se tentarmos classificar a frase como verdadeira, a frase dentro as aspas precisaria ser uma mentira, ou seja, a mesma afirmação seria falsa. Se tentarmos classificá-la como falsa, seria preciso negar que está escrito na própria frase, que garantiria que a frase é verdadeira. Em ambos os casos a frase seria, simultaneamente, verdadeira e falsa. Mas princípio da não contradição não permite que uma proposição seja, simultaneamente, verdadeira e falsa. Portanto, essa não é uma proposição. II. Essa frase é uma sentença aberta, pois não conhecemos os valores de X e de y. Logo, não é uma proposição. III. Observe que conhecemos o valor de cada termo dessa sequência, logo, podemos lhe atribuir um valor lógico. No caso, ela é falsa. Portanto, é uma proposição. IV. É uma proposição pois, certamente, pode receber um valor lógico: verdadeiro ou falso. V. Essa é uma pergunta. Portanto, não é uma proposição. 1.3.1 Proposição Simples Uma proposição simples é aquela que não contém qualquer outra proposição como sua componente. Ou seja, não é possível encontrar como parte de uma proposição simples alguma outra proposição diferente dela. Também não se pode subdividi-la em partes menores tal que alguma delas seja uma nova proposição. Exemplo 4: Considere as proposições p: Camila é professora de Pedro. q: Camila é professora de Pedro e de Ana. A proposição p é uma proposição simples. Já a proposição q não é uma proposição simples, pois dela é possível retirar duas proposições que são: "Camila é professora de Pedro" e "Camila é professora de Ana.". Dizemos que q é uma proposição composta. 1.3.2 Proposição Composta Uma proposição composta é aquela que contém outra proposição como parte componente. Ou seja, uma proposição é composta quando se pode subdividi-la em outras proposições simples. Exemplo 5: A proposição "Todo brasileiro gosta de axé ou dança muito bem." é composta, pois dela pode se extrair as sentenças: "Todo brasileiro gosta de axé" e "todo brasileiro dança muito bem." 1.4 CONECTIVOS LÓGICOS Para construir uma proposição composta é necessário utilizar um ou mais conectivos lógicos, dependendo do número de proposições usadas na composição. Nos FACULDADE prominas unica</p><p>15 exemplos anteriores os conectivos utilizados foram as expressões "e" e "ou". Veremos a seguir quais são os conectivos lógicos utilizados para construir proposições compostas. 1.4.1 Conjunção: peq Uma conjunção é uma proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo A conjunção p e q pode ser representada simbolicamente como: Exemplo 6: Considere as proposições simples: p: Elisabeth é mãe de Charlotte. q: Elisabeth é mãe de Douglas. A conjunção p e q pode ser escrita como: p ^q: Elisabeth é mãe de Charlotte e de Douglas. Considere que a proposição p e a proposição q sejam representadas, respectivamente, pelos conjuntos P e Q, através de um diagrama, a conjunção "p ^q" corresponderá à interseção do conjunto P com o conjunto Q, ou seja, PnQ. U P Figura 1: PnQ Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 1.4.2 Disjunção: pouq Uma disjunção é uma proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo A disjunção p ou q pode ser representada, simbolicamente, como pvq Exemplo 7: Dadas as proposições simples: p: Érika fala mandarim. q: Érika viajou para a Espanha. FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>16 A disjunção "p ou q" pode ser escrita como: p vq: Érika fala mandarim ou viajou para a Espanha. Considere que a proposição p e a proposição q sejam representadas, respectivamente, pelos conjuntos P e Q através de um diagrama, a disjunção "p vq" corresponderá à união do conjunto P com o conjunto Q, ou seja, P UQ. U P Q Figura 2: P UQ Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 1.4.3 Disjunção exclusiva: ou pouq Uma disjunção exclusiva é uma proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo "Ou ...ou". A disjunção exclusiva ou p ou q pode ser representada, simbolicamente, como: pvq Exemplo 8: Considere as proposições: p: Vou para a França. q: Vou para Portugal. A disjunção exclusiva ou p ou pode ser escrita como: . pvq: Ou vou para a França ou vou para Portugal. Considere que a proposição p e a proposição q sejam representadas, respectivamente, pelos conjuntos P e Q através de um diagrama, a disjunção exclusiva pvq corresponderá à parte que pertence somente a p ou somente a q, ou seja, não pertence à interseção. FACULDADE prominas unica</p><p>17 U P Figura 3: ou P ou Q Fonte: Elaborado pela Autora (2021) VAMOS PENSAR? No nosso cotidiano, quando falamos "vou comprar um sapato ou uma camisa", O sentido geral da expressão é inclusivo ou exclusivo? É mesmo sentido usado na lógica matemá- tica? 1.4.4 Condicional: Se então q Uma condicional é uma proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo "Se. então" ou por uma de suas expressões equivalentes. A proposição condicional "Se p então q" pode ser representada simbolicamente como: p-q Exemplo 9: Dadas as proposições simples: p: José é alagoano. q: José é brasileiro. A condicional "Se p então q" pode ser escrita como: Se José é alagoano, então José é brasileiro. Na proposição condicional "Se p, então q" a proposição p, que é precedida pela palavra "se", é denominada condição ou antecedente, enquanto a proposição q precedida pela palavra "então" é denominada conclusão ou consequente. As seguintes expressões são equivalentes à proposição "Se p, então q": Se p, q. q, se p. Todo p é q. p implica q. FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>18 p somente se q. p é suficiente para q. q é necessário para p. Considere que a proposição p e a proposição q sejam representadas, respectivamente, pelos conjuntos P e Q através de um diagrama, a proposição condicional "Se p, então q" corresponderá à inclusão do conjunto P no conjunto Q, ou seja, PcQ. U Q P Figura 4: PcQ Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 1.4.5 Bicondicional: p se e somente se q Uma bicondicional é uma proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo "se e somente se" ou por uma de suas expressões equivalentes. A proposição bicondicional "p se e somente se q" pode ser representada simbolicamente como: p-q Exemplo 10: Dadas as proposições simples: p: Maurício é meu tio. q: Maurício é irmão de um de meus pais. A proposição bicondicional "p se e somente se q" pode ser escrita como: Maurício é meu tio se e somente se Maurício é irmão de um de meus pais. Observe que nome e símbolo da proposição bicondicional "p se e somente se q" sugerem que esta proposição é equivalente à proposição composta "se p então q e se q então p". As seguintes expressões são equivalentes à proposição "p se e somente se q": p se e só se q. Todo p é q e todo q é p. Todo p é q e reciprocamente. FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>19 Se p então q e reciprocamente. p somente se q e q somente se p. p é suficiente para q e q é suficiente para p. q é necessário para pep é necessário para q. p é suficiente e necessário para q. Considere que a proposição p e a proposição q sejam representadas, respectivamente, pelos conjuntos P e Q através de um diagrama. A proposição bicondicional "p se e somente se q"corresponderá à igualdade dos conjuntos P e Q, ou seja, P=Q. U P= Q Figura 5: P=Q Fonte: Elaborado pela Autora (2021) BUSQUE POR MAIS Acesse livro "Introdução à Lógica Matemática" (2011) de Carlos Alberto Ferreira Bispo e Luiz Batista Castanheira disponível em: https://bit.ly/3tkZApD. Acesso em: 23 jan. 2021. FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>20 FIXANDO CONTEÚDO 1. Das sentenças a seguir, a única que pode ser como proposição é: a) Camila, você vai à escola hoje? b) Não se preocupe, ele chegará em breve. c) d) Os gatos voam. e) Já chega! 2. (CESP - SEPLAG/DF 2009 Adaptada) Considere as seguintes sentenças. I. Apresente ao diretor da escola, em tempo hábil, todos os documentos que ainda não foram assinados. II. Carlos, como secretário escolar, coordena e executa as tarefas decorrentes dos encargos da Secretaria. III. Organize e mantenha em dia as cópias de leis, regulamentos, diretrizes, portarias e todos os outros documentos. É correto afirmar que, entre as sentenças apresentadas, a) Apenas a (i) é uma proposição. b) Apenas a (ii) é uma proposição. c) Apenas a (iii) é uma proposição. d) Apenas a (i) e (ii) são proposições. e) Nenhuma é proposição 3. Sobre a proposição "Se ele a ama então podemos afirmar que: a) ele a amar é condição necessária para ele vir. b) ele vir é condição suficiente para ele a amar. c) ele a amar é condição necessária e suficiente para ele vir. d) ele a amar é condição suficiente para ele vir. e) ele vir é condição necessária e suficiente para ele a amar. 4. Considere a representação das proposições A, B e C por diagramas de conjuntos U A B FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>21 Podemos afirmar que a área hachurada na figura representa qual proposição composta? a) b) c) d) e) 5. Considere a proposição: "Se chove então faz frio. " Podemos que a) chover é condição necessária para fazer frio. b) fazer frio é condição suficiente para chover. c) chover é condição necessária e suficiente para fazer frio. d) chover é condição suficiente para fazer frio. e) fazer frio é condição necessária e suficiente para chover. 6. Considere as proposições: p: Meu irmão vai à festa. q: Minha mãe vai à festa. r: Vou assistir TV até tarde. Uma representação correta para a proposição composta "Se meu irmão e minha mãe forem à festa, então vou assistir TV até tarde" é a) (pvq) r b) r c) (pvq) r d) (pvq) r e) r 7. Considere as proposições: p: Uma representação correta para a proposição composta se e somente se é: a) b) p-q FACULDADE FACULDADE unica</p><p>22 8. Marque a segunda coluna de acordo com a primeira. (1) Princípio da Não Contradição (2) Princípio do Terceiro Excluído (3) Proposição Simples (4) Proposição Composta Um enunciado ou é verdadeiro ou é falso. É a proposição que pode ser extraída como parte dela uma outra proposição. Nenhum enunciado poder ser verdadeiro e também falso. É a proposição que não contém qualquer outra proposição como sua componente. a) 1,2,3 e 4. b) 2, 4, 1 e 3. c) 1, 4, 2 e 3. d) 2, 3, 1 e 4. e) 4, 3, 2 e 1. FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>02 OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES E CONSTRUÇÃO DE TABELAS-VERDADE</p><p>24 2.1 INTRODUÇÃO De maneira semelhante às operações lógicas entre números, também é possível realizar operações lógicas sobre proposições. Para as operações entre números temos os sinais dentre outros. Para as operações entre proposições lógicas, geralmente, usamos os conectivos lógicos, vistos no capítulo 01 e a negação que veremos adiante. Dessa forma, o valor lógico de uma proposição composta dependerá do valor das proposições simples que a Além disso, para realizar tais operações faz-se uso de um recurso denominado tabela-verdade, conforme veremos a seguir. 2.2 VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES Conforme o Princípio do Terceiro Excluído, considerando-se uma proposição qualquer, p, esta é verdadeira ou é falsa. Em outras palavras, ela tem um dos valores lógicos, V ou F, e esse valor é único. Podemos simbolizar isso em uma tabela que será denominada p V F Figura 6: Tabela-verdade 1 Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 2.2.1 Negação de uma Proposição Simples Exemplo 11: Considere a seguinte proposição: p: leite está quente. A negação dessa proposição é simbolizada por ~p e pode ser escrita como. ~p: leite não está quente. VAMOS PENSAR? A negação de uma proposição deve englobar todas as possibilidades contrárias aquela afirmada pela proposição. No exemplo acima, a negação da proposição não pode ser. O leite está frio, pois sabemos que essa afirmação não engloba todas as outras possibilidades em que leite não esteja quente. Outra possibilidade para leite não estar quente seria leite estar morno. Dessa forma, acréscimo da palavra não é uma forma simples de negar muitas das proposições. Os valores lógicos possíveis para uma proposição e sua negação estão representados na seguinte tabela-verdade: FACULDADE prominas unica</p><p>25 p ~p V F F V Figura 7: Tabela-verdade 2 Fonte: Elaborado pela Autora (2021) Podemos concluir que, se uma proposição é verdadeira, então sua negação será falsa. Por outro lado, se a proposição for falsa, sua negação será verdadeira. Vale salientar que a negação da negação de uma proposição é a própria proposição. Representamos esse fato como: ~(~p)=p. 2.3 VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES 2.3.1 Valor Lógico da Conjunção Considere a proposição p e a proposição q. Diremos que a conjunção "p e q" é verdadeira somente quando ambas as proposições que a compõem forem verdadeiras, ou seja, quando p é verdadeira e q também é verdadeira. Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da conjunção e q" para cada um dos valores que p e que q pode assumir: p p ^ q V V V V F F F V F F F F Figura 6: Tabela-verdade 1 Fonte: Elaborado pela Autora (2021) Exercício resolvido: Considere que Zaqueu fez a seguinte afirmação à sua esposa: "Nas nossas próximas férias iremos à Europa e à Dubai" Analise as seguintes possibilidades. Nas próximas férias, Zaqueu e sua esposa: Foram à Europa e não foram à Dubai. II) Não foram à Europa e foram à Dubai. III) Não foram à Europa e não foram à Dubai. IV) Foram à Europa e foram à Dubai. A proposição proferida por Bartolomeu foi verdadeira em qual (quais) das situações: a) III b) c) IV FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>26 d) II, IV e) I, II, IV Solução: Devemos nos lembrar que uma conjunção só é verdadeira quando ambas as proposições que a compõem também forem. Isso só ocorre na situação descrita em IV: Foram à Europa e foram à Dubai. Resposta: C 2.3.2 Valor Lógico da Disjunção Considere a proposição p e a proposição q. Diremos que a disjunção "p ou q ", é falsa somente quando ambas as proposições que a compõem forem falsas, ou seja, quando p é falsa e q também é falsa. Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da disjunção "p ou q" para cada um dos valores que p e que q pode assumir: p q p V q V V V V F V F V V F F F Figura 9: Tabela-verdade 4 Fonte: Elaborado pela Autora (2021) Exercício resolvido: Considere a proposição: Dois mais dois é igual a quatro ou na próxima Copa Brasil será campeão. Sobre a disjunção acima podemos afirmar: a) Ela é inconclusiva, pois não sabemos, antecipadamente, resultado da próxima Copa. b) Ela é falsa, pois não sabemos, antecipadamente, o resultado da próxima Copa. c) Ela é verdadeira pois, independente do resultado da próxima Copa, dois mais dois é igual a quatro. d) Ela é verdadeira, pois Brasil tem grande chance de ganhar a próxima Copa. Solução: Devemos nos lembrar que uma disjunção será verdadeira sempre que, pelo menos uma das proposições que a compõem for verdadeira. Como a proposição "dois mais dois é igual a quatro" é verdadeira, então a disjunção "Dois mais dois é igual a quatro ou na próxima Copa Brasil será campeão" também é verdadeira. Resposta: c) 2.3.3 Valor Lógico da Disjunção Exclusiva Considere a proposição p e a proposição q. A proposição exclusiva "ou p ou q" será FACULDADE prominas unica</p><p>27 verdadeira se apenas uma das proposições componentes for verdadeira. Se ambas forem verdadeiras ou se ambas forem falsas a disjunção exclusiva será falsa. A tabela-verdade da disjunção exclusiva tem a seguinte forma: p q p V q V V F V F V F V V F F F Figura 10: Tabela-verdade 5 Fonte: Elaborado pela Autora (2021) Exercício resolvido: Observe as proposições: p: João compra um bolo. q: João compra uma empada de frango. A disjunção exclusiva, ou p ou q pode ser escrita como: João ou compra um bolo ou compra uma empada de frango. Agora considere as seguintes situações possíveis: I. João compra um bolo e não compra uma empada. II. João não compra um bolo e compra uma empada. III. João não compra um bolo e não compra uma empada. IV. João compra um bolo e compra uma empada. A proposição ou p ou q é verdadeira se forem verdadeiras as proposições presentes em: a) b) III, IV c) I, II, III d) I, III, IV Solução: Lembramos que uma disjunção exclusiva é verdadeira se apenas uma das proposições que a compõem for verdadeira. Logo, podemos afirmar que a disjunção exclusiva é verdadeira se for verdade, ou o que se expressa na proposição I, ou que se expressa na proposição II. Resposta: a) I, II 2.3.4 Valor Lógico da Condicional Considere a proposição p e a proposição q. Uma condicional "Se p então q" é falsa somente quando a condição p é verdadeira e a conclusão q é falsa, sendo verdadeira em todos os outros casos. Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da FACULDADE prominas unica</p><p>28 proposição condicional "Se p então q" para cada um dos valores que p e q podem assumir. p q p V V V V F F F V V F F V Figura 11: Tabela-verdade 6 Fonte: Elaborado pela Autora (2021) Alguns dos resultados da tabela anterior podem parecer absurdos à primeira vista. A fim de esclarecer significado de cada um dos resultados possíveis numa sentença condicional, considere seguinte exemplo: Exemplo 12: Considere que gerente de uma empresa tenha prometido a seu funcionário que, se ele fizer curso de qualificação, então, receberá um aumento. Observe que essa é uma proposição condicional envolvendo as seguintes proposições simples: p: funcionário faz curso de qualificação. q: funcionário recebe aumento. Agora vamos pensar um pouco: Qual é a situação em que podemos concluir que a promessa feita pelo gerente foi falsa? Em outras palavras, em que situação podemos afirmar que não houve cumprimento da promessa? Suponha que funcionário faz curso de qualificação e recebe aumento. Essa situação corresponde à primeira linha da tabela em que p é verdadeira e q também. Claramente, a promessa foi cumprida, ou seja, a condicional, p-> q, é verdadeira. Agora imagine que funcionário faz curso de qualificação e não recebe aumento. Essa situação corresponde à segunda linha da tabela em que p é verdadeira e q é falsa. Nessa situação a condicional, q, foi falsa, ou seja, a promessa foi falsa. funcionário cumpriu a condição, mas não recebeu o que lhe era devido. Suponha agora que funcionário não faz curso de qualificação e recebe aumento. Essa situação corresponde à terceira linha da tabela em que p é falsa e q é verdadeira. Observe que aqui a promessa não foi quebrada. Em nenhum momento foi dito que a única forma de receber aumento era fazer curso de qualificação. Inclusive aumento pode ser devido a outra motivação qualquer. Nesse caso, a condicional, q é verdadeira. Por fim, suponha que funcionário não faz o curso de qualificação e não recebe aumento. Aqui também a promessa foi mantida. Uma vez que o funcionário não fez curso de qualificação, não existe compromisso de se dar aumento ao funcionário. Aqui a condicional, q também é Reiteramos, através do exemplo, que a condicional p-> q só é falsa se p for verdadeira e q falsa. FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>29 FIQUE ATENTO Uma proposição condicional da forma "se p então q" só é falsa se p é verdadeira e q é falsa. Nos demais casos ela será verdadeira Outra observação importante a se fazer sobre uma proposição condicional é que não precisa haver nenhuma relação entre p e q para que se construa uma proposição condicional "se p então q" e que se avalie seus possíveis valores lógicos. Por exemplo, a proposição "se 2 é par então 7 é primo" é verdadeira e corresponde à primeira linha da tabela-verdade das proposições condicionais. p q p-q V V V Figura 12: Tabela-verdade 7 Fonte: Elaborado pela Autora (2021) Pode parecer ainda mais estranho, mas a proposição "se os peixes voam então os homens são imortais" também é verdadeira. Ela corresponde à última linha da tabela- verdade das proposições condicionais. p q p q F F V Figura 13: Tabela-verdade 8 Fonte: Elaborado pela Autora (2021) Exercício resolvido: Considere as proposições: p: número 8 é par. q: número 8 é divisível por 5. r: Os números pares terminam em 1, 3 ou 5. Considerando a tabela-verdade da proposição condicional podemos afirmar que, das proposições abaixo a única falsa é: a) p-q d)r-p Solução: Lembramos que para conhecer valor lógico de uma proposição condicional FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>30 basta conhecer os valores lógicos das proposições que a compõem e a tabela-verdade da condicional. Observe que a proposição p é verdadeira mas, q é falsa (a divisão de 8 por 5 deixa resto) e r também é falsa (os números pares terminam em algarismos pares). Pela tabela-verdade vemos que a condicional só é falsa quando a antecedente for verdadeira e a consequente for falsa e isso só acontece no item a). Resposta: a) 2.3.5 Valor Lógico da Bicondicional Considere a proposição p e a proposição q. Uma bicondicional "p somente se,q" é verdadeira quando a condição p e a conclusão q forem ou ambas verdadeiras ou ambas falsas. Se os valores de p e q forem opostos então a bicondicional será falsa. Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da proposição bicondicional "p somente para cada um dos valores que p e que q podem assumir. p q p q V V V V F F F V F F F V Figura 14: Tabela-verdade 9 Fonte: Elaborado pela Autora (2021) VAMOS PENSAR? A proposição p q equivale à conjunção Exercício resolvido: Considere as seguintes proposições: I. Hoje é 7 de setembro se, e somente se, hoje é o Dia da Independência do Brasil. II. Fevereiro tem 30 dias se, e somente se, 4 é um número par. III. Os gatos voam se, e somente se, as nuvens são vermelhas. De acordo com a tabela-verdade da bicondicional, podemos afirmar que são verdadeiras as proposições presentes em: a) I e b) I e III c) I, e III d) II, III e) Nenhuma Solução: FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>31 Para saber valor lógico de uma proposição bicondicional precisamos conhecer valor das proposições que a compõem. Se forem ambas verdadeiras, ou ambas falsas, a proposição bicondicional será verdadeira, conforme vemos na tabela. p q p V V V V F F F V F F F V Figura 15: Tabela-verdade 10 Fonte: Elaborado pela Autora (2021) Vamos observar cada caso: I. Hoje é 7 de setembro se, e somente se, hoje é Dia da Independência do Brasil. Se for verdade que hoje é 7 de setembro, será verdade que hoje é Dia da Independência do Brasil, que corresponde à primeira linha da tabela, cujo resultado é verdadeiro. Se for falso que hoje é 7 de setembro, então será falso que hoje é Dia da Independência do Brasil, que corresponde à última linha da tabela, cujo resultado também é verdadeiro. Dessa forma, a proposição em "I" é sempre verdadeira. II. Fevereiro tem 30 dias se, e somente se, 4 é um número par. "Fevereiro tem 30 dias" é uma proposição falsa, enquanto que "4 é um número par" é verdadeira. Pela terceira linha da tabela, a proposição presente em "II" é falsa. III. Os gatos voam se, e somente se, as nuvens são vermelhas. "Os gatos voam" é uma proposição falsa e "as nuvens são vermelhas" também é falsa. Pela última linha da tabela, a proposição presente em "III" é verdadeira. Resposta: b) BUSQUE POR MAIS Veja O artigo escrito pelo Professor Silvio Seno Chibeni da UNICAMP sobre proposições condicionais. Disponível em: Acesso em: 23 jan. 2021. Acesse também O livro "Introdução à Lógica Matemática" (2011) de Carlos Alberto Ferreira Bispo e Luiz Batista Castanheira. Disponível em: https://bit. Acesso em: 23 jan. 2021. Outra boa sugestão é a obra "Lógica Matématica" (2020) de Guilherme Au- gusto Pianezzer. Disponível em: Acesso em: 23 jan. 2021. FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>32 FIXANDO CONTEÚDO 1. (FCC - BACEN 2005). Sejam as proposições: p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central q: fazer frente ao fluxo positivo Se p implica em q, então: a) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição necessária para fazer frente ao fluxo positivo. b) fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. c) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo. d) fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. e) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é condição suficiente e nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo. 2. (FCC - TRT/1° - 2013). Um vereador afirmou que, no último ano, compareceu a todas as sessões da Câmara Municipal e não empregou parentes em seu gabinete. Para que essa afirmação seja falsa, é necessário que, no último ano, esse vereador a) tenha faltado em todas as sessões da Câmara Municipal ou tenha empregado todos os seus parentes em seu gabinete. b) tenha faltado em pelo menos uma sessão da Câmara Municipal e tenha empregado todos os seus parentes em seu gabinete. c) tenha faltado em pelo menos uma sessão da Câmara Municipal ou tenha empregado um parente em seu gabinete. d) tenha faltado em todas as sessões da Câmara Municipal e tenha empregado um parente em seu gabinete. e) tenha faltado em mais da metade das sessões da Câmara Municipal ou tenha empregado pelo menos um parente em seu gabinete. 3. Considere a proposição: Alice irá ao País das Maravilhas quando imaginar ou perder medo. Assumindo que essa proposição é verdadeira podemos afirmar que: Se Alice perder medo, então a) Alice não irá ao País das Maravilhas, pois não vai imaginar. b) Alice irá ao País das Maravilhas. c) Alice vai necessariamente imaginar. d) Alice não irá, também, imaginar. FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>33 e) Alice não vai imaginar. 4. (FCC - TRT/11a 2012). Uma senhora afirmou que todos os novelos de guardados numa gaveta são coloridos e nenhum deles foi usado. Mais tarde, ela percebeu que havia se enganado em relação à sua afirmação, o que permite concluir que a) existem novelos de brancos na gaveta e eles já foram usados. b) pelo menos um novelo de da gaveta não é colorido ou algum deles foi usado. c) pelo menos um novelo de da gaveta não é colorido ou todos eles foram usados. d) os novelos de da gaveta não são coloridos e já foram usados. e) os novelos de da gaveta não são coloridos e algum deles já foi usado. 5. (FCC SEFAZ/SP 2010- Modificada). Considere as seguintes proposições: p: Estudar é fundamental para crescer profissionalmente. q: trabalho enobrece. A afirmação "Se o trabalho não enobrece, então estudar não é fundamental para crescer profissionalmente" é, com certeza, FALSA quando: a) p é falsa e q é falsa. b) p é verdadeira e q é verdadeira. c) p é falsa e q é verdadeira. d) p é verdadeira e q é falsa. e) p é falsa ou q é falsa. 6. (FCC - SEFAZ/SP - 2009). Uma empresa mantém a seguinte regra em relação a seus funcionários: Se um funcionário tem mais de 45 anos de idade, então ele deverá, todo ano, realizar pelo menos um exame médico e tomar a vacina contra a gripe. Considerando que essa regra seja sempre cumprida, é correto concluir que, necessariamente, se um funcionário dessa empresa: a) nualmente realiza um exame médico e toma a vacina contra a gripe, então ele tem mais de 45 anos de idade. b) tem 40 anos de idade, então ele não realiza exames médicos anualmente ou não toma a vacina contra a gripe. c) não realizou nenhum exame médico nos últimos dois anos, então ele não tem 50 ou mais anos de idade. d) tem entre 55 e 60 anos de idade, então ele realiza um único exame médico por ano, de tomar a vacina contra a gripe. e) tomou a vacina contra a gripe ou realizou exames médicos nos últimos dois anos, então ele tem pelo menos 47 anos de idade. 7. Se chover, Paulo compra um guarda-chuva Podemos dizer que essa preposição será falsa se: FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>34 a) não chover e Paulo não comprar o guarda-chuva. b) chover e Paulo não comprar o guarda-chuva. c) não chover e Paulo comprar o guarda-chuva. d) chover e Paulo comprar o guarda-chuva. e) Nenhuma das alternativas acima. 8. Dadas duas proposições p e q, qual (ou quais) conectivo(s) associado(s) a ele terá (ou terão) uma tabela-verdade com apenas um valor lógico falso: a) Disjunção e Conjunção. b) Conjunção e Disjunção exclusiva. c) Conjunção e Condicional. d) Condicional e Disjunção. e) Conjunção. FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>03 CONSTRUÇÃO DE TABELAS- -VERDADE DE OUTRAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS</p><p>36 3.1 TABELAS-VERDADE DE OUTRAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Já vimos que se considerarmos algumas proposições simples, que denotaremos por podemos construir composições compostas usando operações elementares entre as proposições simples como a negação, denotada por ou os conectivos lógicos , Nesse capítulo vamos construir proposições compostas fazendo combinações entre as proposições simples usando mais de um conectivo lógico como, por exemplo: Além disso, vamos determinar o valor dessas proposições compostas a partir do valor lógico das proposições componentes. Para tanto, vamos começar definindo como preencher essa tabela. A primeira tarefa importante é definir o tamanho da tabela. Para isso é necessário contar número n de proposições simples que constitui a proposição composta, cuja tabela será construída, e fazer 2 elevado a esse número n para definir o número de linhas da tabela. Vamos discutir um exemplo para ilustrar melhor a primeira tarefa da construção da tabela: Exercício resolvido 1: Considere as proposições p, q e r. Vamos determinar a configuração inicial da tabela-verdade da proposição Como essa proposição é constituída por três proposições simples, p, conforme dito, anteriormente, serão necessárias 2^3 linhas, ou seja, precisaremos de 8 linhas. Inicialmente, construa uma tabela com 8 linhas e 3 colunas, uma coluna para cada proposição simples. Veja a figura abaixo: p q r Figura 16: Tabela-verdade 11 Fonte: Elaborado pela Autora (2021) Agora preencha estas três colunas iniciais, referentes às proposições simples começando pela coluna à esquerda. Divida a quantidade de linhas por 2, ou seja, FACULDADE prominas unica</p><p>37 faça 8/2 = 4 e, em seguida, preencha, na coluna, 4 linhas com V e 4 linhas com F. Preencha a coluna da seguinte forma: tome 4, determinado no cálculo anterior, e divida por 2, ou seja, faça Então, preencha, na coluna, 2 linhas com V e 2 linhas com F, 2 linhas seguintes com V e 2 com F. Por fim, na coluna tome 2, encontrado no cálculo anterior, e divida por 2, ou seja, faça assim, a coluna será preenchida com 1 linha com V seguida de uma linha com F e, assim, sucessivamente, até o final das linhas. Seguindo os passos descritos, a tabela ficará da seguinte forma: p q r V V V VVF VFV FVV FVF F F V FFF Figura 17: Tabela-verdade 12 Fonte: Elaborado pela Autora (2021) A determinação do valor lógico da proposição será feita no Exercício resolvido 3. Agora vamos construir a tabela-verdade de uma proposição composta por apenas duas proposições simples. Exercício resolvido 2: Considerando as proposições p e q construa a tabela-verdade da proposição ~ ~(p ^~q). Primeiramente, vamos construir duas colunas correspondentes a todos os valores lógicos possíveis para as proposições p e q, respectivamente. p q V V VF V F F Figura 18: Tabela-verdade 13 Fonte: Elaborado pela Autora (2021) Na próxima etapa vamos preencher os valores lógicos de ~q. FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>38 p q ~q VVF V FVF F F V Figura 19: Tabela-verdade 14 Fonte: Elaborado pela Autora (2021) Vamos preencher a seguir os valores lógicos de p^~q. Observe que isso será feito porque os parêntesis definem essa prioridade nas operações. p q F VFV V F F V F Figura 20: Tabela-verdade 15 Fonte: Elaborado pela Autora (2021) Por fim, preencheremos ao valores lógicos da proposição ~ ~(p^~q). p q ~q p^~q ~(p^~q) V V F V V Figura 21: Tabela-verdade 16 Fonte: Elaborado pela Autora (2021) ! FIQUE ATENTO A construção da tabela-verdade é de fundamental importância para O estudo do Ra- ciocínio Lógico. Através dela podemos classificar uma proposição como tautologia, con- tradição e contingência, conforme será visto no fim deste capítulo. Não obstante, ela é fundamental para avaliarmos a equivalência entre proposições. Exercício resolvido 3: Considerando as proposições p, q e r construa a tabela-verdade da proposição Já iniciamos a construção da tabela no Exercício resolvido 1. Sugerimos que o leitor completa a construção da tabela passo a passo, preenchendo cada coluna da esquerda FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>39 para a direita. Colocamos abaixo resultado final dessa construção. p q r ~q pv~q V V V F V V V V V F F V F F V F V V V F F V F F V V F F F V V F F V V F V F F F F V F F Figura 22: Tabela-verdade 17 Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 3.2 TAUTOLOGIA Dizemos que uma proposição composta, formada por duas ou mais proposições p, q, r, é uma tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições componentes Exercício resolvido 4: A proposição "Se (peq) então (pouq)" é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos de p e de q. Podemos confirmar essa afirmação construindo a tabela-verdade dessa proposição: p q (pvq) V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V Figura 23: Tabela-verdade 18 Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 3.3 CONTRADIÇÃO Dizemos que uma proposição composta, formada por duas ou mais proposições p, q, r, é uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições componentes p, q, r, Exercício resolvido 5: A proposição "(não (p ou q)) e é uma contradição, pois é sempre falsa, independentemente dos valores lógicos de pe de q, como se pode observar na tabela- verdade abaixo: FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>40 p q (pvq) ~(pvq) V V V F V F V F V F F F F V V F F F F F F V F F Figura 24: Tabela-verdade 19 Fonte: Elaborado pela Autora (2021) VAMOS PENSAR? A proposição p ~p é uma contradição, pois os valores lógicos de são sempre opostos e uma bicondicional só é verdadeira quando as proposições que a compõem têm O mesmo valor lógico. 3.4 Dizemos que uma proposição composta, formada por duas ou mais proposições é uma contingência se ela não for, nem uma tautologia, nem uma contradição. Em outras palavras, uma proposição, cuja última coluna da tabela-verdade tenha no mínimo um valor verdadeiro e um valor falso, é uma contingência. Exercício resolvido 6: A proposição (pvq) é uma contingência. Isso é facilmente observado porque a última coluna da tabela-verdade apresenta tanto valores verdadeiros, quanto valores falsos. p q (pvq) V V V V V F V F V F F F F V V F F F F F F F V F Figura 25: Tabela-verdade 20 Fonte: Elaborado pela Autora (2021) ! FIQUE ATENTO Como uma tautologia é sempre verdadeira e uma contradição sempre falsa, tem-se que: A negação de uma tautologia é sempre uma contradição. Enquanto que: A negação de uma contradição é sempre uma tautologia FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>41 BUSQUE POR MAIS Leia mais sobre Tautologia, Contradição e Contingência no livro Lógica Mate- mática, do IFCE do Ceará. Disponível em: Acesso em: 23 jan. 2021. Acesse também O cap. 1 "Cálculo Proposicional" do livro "Introdução à Lógica Matemática" (2011) de Carlos Alberto Ferreira Bispo e Luiz Batista Castanheira. Disponível em: Acesso em: 23 jan. 2021. Como sugerido na unidade anterior, outra boa sugestão é a obra "Lógica Matématica" (2020) de Guilherme Augusto Pianezzer. Disponível em: https:// Acesso em: 23 jan. 2021. FACULDADE prominas unica</p><p>42 FIXANDO CONTEÚDO 1. Construindo a tabela verdade da expressão (p temos como resultado final a seguinte sequência: a) F-V-F-V. b) F-V-V-F. c) V-V-V-F. d) e) V-V-V-V. 2. Construindo a tabela verdade da expressão temos como resultado final a seguinte sequência: a) b) V-F-F-V-V-V-V-F. c) V-V-F-F-F-V-V-F. d) F-V-F-V-V-F-V-V. e) F-V-F-V-V-V-V-F. 3. (FT_98) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é: a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo. b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo. c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo. d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo. e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo. 4. A proposição se caracteriza como: a) um silogismo. b) uma tautologia. c) uma equivalência. d) uma contingência. e) uma contradição. 5. A proposição se caracteriza como: a) um silogismo. b) uma tautologia. c) uma equivalência. d) uma contingência. FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>43 e) uma contradição. 6. A proposição caracteriza como: a) um silogismo. b) uma tautologia. c) uma equivalência. d) uma contingência. e) uma contradição. 7. Considere as afirmações: I. Se diretor é forte, então o secretário é fraco ou diretor é forte. II. João é alto ou Paulo é gordo e João não é alto e Paulo não é gordo. III. Carlos não é tímido e, se Pedro é expansivo, então Carlos é tímido. Na ordem em que estão expressas as afirmações são, respectivamente, a) tautologia, contradição e contingência. b) contingência, contradição e tautologia. c) contradição, tautologia e contingência. d) contingência, tautologia e contradição. e) tautologia, contingência e contradição. 8. a alternativa que apresenta um exemplo de tautologia: a) A prova está fácil. b) A prova está difícil. c) João estudou para a prova e Maria ficou feliz. d) João é alto ou João não é alto. e) Se Pedro estudou, então passou no concurso. FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>04 EQUIVALÊNCIA IMPLICAÇÃO LÓGICA</p><p>45 4.1 INTRODUÇÃO E possível que duas proposições estejam escritas de modos distintos, mas tenham exatamente o mesmo significado. É de extrema importância saber identificar essas proposições pois, às vezes, é mais fácil trabalhar com outra versão da mesma proposição que seja mais simples ou de mais fácil entendimento. Essa identificação também é essencial para a identificação das tautologias. 4.2 PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes ou simplesmente equivalentes se elas forem compostas pelas mesmas proposições simples e se os resultados de suas tabelas-verdades forem exatamente os mesmos. Em outras palavras, ao substituir uma dada proposição por qualquer outra equivalente a ela, estamos dizendo a mesma proposição de outra forma. A equivalência lógica entre duas proposições, p e q pode ser representada simbolicamente como: p q Exemplo 13: As proposições p-q e q são equivalentes, ou seja, V q. Vamos verificar a equivalência construindo a tabela-verdade: p q ~p p-q ~pvq V V F V V V F F F F F V V V V F F V V V F F V V V Figura 26: Tabela-verdade 21 Fonte: Elaborado pela Autora (2021) Assim como as operações algébricas possuem algumas propriedades, as operações entre proposições possuem propriedades semelhantes que geram proposições equivalentes Leis associativas: Leis distributivas: Lei da dupla negação: FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>46 p p Equivalências da Condicional: ~ p 4.3 QUANTIFICADORES Os quantificadores são elementos usados para estabelecer uma relação entre sujeito e predicado de uma proposição. Os quantificadores podem ser universais ou particulares, cada um deles podendo ser classificado como afirmativo ou negativo. Veja quadro seguinte: Afirmativa Negativa Universal Todo p é q. Nenhum p é q. Particular Algum p é q. Algum p não é q. Figura 27: Tabela-verdade 22 Fonte: Elaborado pelo Autora (2021) Podemos utilizar a linguagem de conjunto para ilustrar a relação estabelecida pelos quantificadores: Todo P é Q. Significa que todo elemento de P também é elemento de Q. Logo, o conjunto P deve estar contido em Q. U Q P Figura 28: PcQ Fonte: Elaborado pela Autora (2021) Podemos utilizar a linguagem de conjunto para ilustrar a relação estabelecida pelos quantificadores: Todo P é Q. Significa que todo elemento de P também é elemento de Q. Logo, conjunto P deve estar contido em Q. FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>47 Nenhum P é Q. Significa que os conjuntos P e Q não têm elementos em comum. Logo, os conjuntos P e Q devem ser disjuntos. U P Q Figura 29: PnQ=0 Fonte: Elaborado pela Autora (2021) Algum P é Q. Significa que os conjuntos P e Q têm pelo menos um elemento em comum. Logo, a interseção entre os conjuntos P e Q é não vazia. U P Figura 30: Fonte: Elaborado pela Autora (2021) Algum P não é Q. Significa que existe pelo menos um elemento em P que não pertence a Q. Logo, a parte hachurada da figura abaixo é não vazia. U P Figura 31: Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 4.4 NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Considerando-se uma proposição, muitas vezes se faz necessário encontrar a proposição equivalente à negação da proposição dada. Para negar uma proposição FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>48 simples basta apresentar o sentido contrário desta. Já para negar proposições compostas as vezes é útil usar algumas estratégias. A negação de uma proposição deve ter sempre valor lógico oposto ao da proposição dada, ou seja, se uma proposição p for verdadeira, a sua negação não p deve ser falsa e se p for falsa, não p deve ser verdadeira. Dizemos que a negação de uma proposição é a contraditória da proposição dada. quadro abaixo abaixo mostra as equivalências mais comuns para as negações de algumas proposições compostas: Proposição Negação direta Equivalente da negação peq Não (peq) Não p ou não q Não (pouq) q Se pentão q Não (se p então q) p se e somente se q Não (p se e somente se q) [(p e não q) ou e não p)] Todo p é q Não (todo Algum p não é q Algum p é q Não Nenhum péq Quadro 1: Equivalências mais comuns Fonte: Elaborado pela Autora (2021) FIQUE ATENTO Uma observação importante sobre a negação dos quantificadores é que, para negar um quantificador universal usa-se um quantificador particular. Por exemplo, a negação da proposição "Todas as pessoas gostam de chocolate" é "Pelo menos uma pessoa não gosta de chocolate". De fato, basta que uma pessoa não goste de chocolate para que a proposição dada seja negada. 4.5 IMPLICAÇÃO LÓGICA Considere uma proposição r e uma proposição S. Dizemos que r implica logicamente S quando S é verdadeira todas as vezes que r é verdadeira. Em outras palavras, r implica S se a verdade de r garante a verdade de S. A implicação lógica "r implica pode ser representada simbolicamente como: r S Exemplo 14: Considere as proposições: r: número n é divisível por 6. S: número n é divisível por 3. Podemos afirmar que r implica S, pois como 6 é múltiplo de 3, todo múltiplo de 6 também é múltiplo de 3. Para analisar melhor a definição de implicação lógica vamos considerar proposições compostas e suas tabelas verdades. Exemplo 15: FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>49 Dadas duas proposições compostas e s=pvq vamos observar na tabela- verdade que nunca ocorre de a proposição r ser verdadeira e a proposição S falsa. Por isso podemos afirmar que r implica S, ou seja, p q (pvq) V V V V VF F V F V F V F F F F Figura 32: Tabela-verdade Fonte: Elaborado pela Autora (2021) Concluímos que para quaisquer proposições p e q temos Dito de outra forma, uma proposição r implica logicamente uma proposição S se numa mesma linha da tabela-verdade não aparece V na coluna de r seguido de F na coluna de S. 4.5.1 Propriedades da Implicação Lógica Lembramos que a relação de igualdade entre números é reflexiva, isso é, dado um número real a, temos que a=a e também é transitiva, ou seja, dados os números a, b e C, se a=b e b=c então a=c. De maneira semelhante, a implicação lógica entre as proposições possui as seguintes propriedades transitiva e reflexiva, ou seja: (reflexiva) r = t (transitiva) Da mesma forma que verificamos a implicação pelo uso da tabela- verdade, vamos demonstrar a propriedade 5, listada abaixo, analisando também sua tabela-verdade. A verificação das demais propriedades ficarão a cargo do leitor. Exemplo 16: Propriedade: p q (pvq) ~q V V V F F V F V V V F V V F F F F F V F Figura 33: Tabela-verdade Fonte: Elaborado pela Autora (2021) FACULDADE FACULDADE prominas unica</p><p>50 Observe que numa mesma linha não aparece V na coluna de seguido de F na coluna de p. Demais propriedades: 1. p=pvq e também q=pvq 2. e também 3. 4. p-q=q-p 5. e também 6. BUSQUE POR MAIS Veja mais em: "Introdução à Lógica Matemática" (2011) de Carlos Alberto Ferreira Bispo e Luiz Batista Castanheira. Disponível em: Acesso em: 23 jan. 2021. "Lógica Matématica" (2020) de Guilherme Augusto Pianezzer. Disponível em: Acesso em: 23 jan. 2021. FACULDADE FACULDADE prominas unica</p>