PÊNDULO SIMPLES - Determinação da Aceleração Local da Gravidade

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<p>UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA</p><p>CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA</p><p>DEPARTAMENTO DE QUÍMICA</p><p>Química Analítica Qualitativa Experimental – 1105168</p><p>PÊNDULO SIMPLES - Determinação da Aceleração Local da Gravidade</p><p>INTEGRANTES: Mª EDUARDA LOURENÇO DE AMORIM (20220028810) - turma 7</p><p>PEDRO WILLIAM SANTOS DA SILVA (20220078966)</p><p>CAIO ESTANDISLAU LIMA LINS (20200111769)</p><p>FILIPE NASCIMENTO DE LIMA (20190056030)</p><p>PROFESSORA: KAROLINE OLIVEIRA MOURA</p><p>TURMA: 07 - Mª Eduarda L. de Amorim</p><p>TURMA: 09 - Demais integrantes</p><p>João Pessoa, 01 de novembro de 2023</p><p>SUMÁRIO</p><p>1. OBJETIVOS......................................................................................................................... 2</p><p>2. MATERIAIS UTILIZADOS....................................................................................................2</p><p>3. DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO...................................................................................... 2</p><p>4. DADOS OBTIDOS EXPERIMENTALMENTE...................................................................... 3</p><p>5. RESULTADOS..................................................................................................................... 3</p><p>6. DISCUSSÕES......................................................................................................................8</p><p>7. CONCLUSÃO……………………………………………………………………………………..11</p><p>8. REFERÊNCIAS…………………………………………………………………………………..12</p><p>1</p><p>1. OBJETIVOS</p><p>Este experimento tem o objetivo de determinar o valor da aceleração da</p><p>gravidade - em função dos dados a serem obtidos -, e analisar a relação entre o</p><p>período e o comprimento do pêndulo utilizado.</p><p>2. MATERIAIS UTILIZADOS</p><p>Para realização do experimento foram utilizados:</p><p>- 1 régua</p><p>- 1 fita métrica ou trena</p><p>- 1 cronômetro</p><p>- 1 pêndulo simples</p><p>- 1 peso</p><p>Figura 1: Pêndulo simples, peso, trena e cronômetro.</p><p>3. DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO</p><p>Para iniciar o experimento do pêndulo, determine o comprimento do pêndulo</p><p>L. Após a medição do comprimento, desloque o pêndulo de sua posição de</p><p>equilíbrio, com um pequeno ângulo de cerca de 10 graus, e solte-o. No entanto,</p><p>será necessário aguardar até que as oscilações atinjam uma amplitude pequena e</p><p>pareçam estáveis. Quando o pêndulo mostrar que está estável, pode-se medir o</p><p>tempo necessário para que ele complete um ciclo de 10 oscilações, com a ajuda do</p><p>cronômetro. Serão, no total, cinco ciclos para cada L. Agora pode calcular o valor</p><p>médio do tempo t e sua incerteza Δt. Em seguida, para obtenção de novos valores</p><p>de t e sua incerteza Δt, aumente o comprimento do pêndulo e mantenha a mesma</p><p>amplitude anterior. Para cada ciclo, é necessário fazer um novo cálculo do tempo t e</p><p>2</p><p>a incerteza Δt. No fim, pode ser calculado o período T e seu ΔT a partir de uma</p><p>fórmula específica que será apresentada no relatório em questão.</p><p>4. DADOS OBTIDOS EXPERIMENTALMENTE</p><p>Inicialmente, para cada comprimento L (comprimento do pêndulo), foram</p><p>realizadas cinco medidas do tempo total t referente à dez oscilações consecutivas</p><p>do pêndulo. Com isso, foram obtidos os valores expostos na tabela 1.</p><p>Tabela 1: Cinco medidas do tempo total t para dez oscilações do pêndulo, referente</p><p>à cada comprimento L.</p><p>L (cm) t1 (s) t2 (s) t3 (s) t4 (s) t5 (s)</p><p>44,90 ± 0,05 11,91 ± 0,01 13,51 ± 0,01 12,32 ± 0,01 12,74 ± 0,01 12,46 ± 0,01</p><p>58,90 ± 0,05 14,33 ± 0,01 13,92 ± 0,01 14,23 ± 0,01 14,15 ± 0,01 13,87 ± 0,01</p><p>70,90 ± 0,05 15,87 ± 0,01 15,38 ± 0,01 15,42 ± 0,01 15,44 ± 0,01 15,21 ± 0,01</p><p>88,90 ± 0,05 17,35 ± 0,01 17,27 ± 0,01 17,22 ± 0,01 17,91 ± 0,01 17,35 ± 0,01</p><p>111,90 ± 0,05 19,09 ± 0,01 19,05 ± 0,01 19,42 ± 0,01 19,01 ± 0,01 18,97 ± 0,01</p><p>A partir desses valores, calculamos os valores médios dos tempos t em cada</p><p>comprimento de L. Observe esses valores na tabela 2 abaixo.</p><p>Tabela 2: Valores t médio para cada comprimento L.</p><p>L (cm) 44,90 ± 0,05 58,90 ± 0,05 70,90 ± 0,05 88,90 ± 0,05 111,90 ± 0,05</p><p>tmédio (s) 12,58 ± 0,01 14,10 ± 0,01 15,46 ± 0,01 17,42 ± 0,01 19,11 ± 0,01</p><p>Esses valores serão bastante úteis para a obtenção dos resultados, os quais</p><p>serão discutidos no tópico 5.</p><p>5. RESULTADOS</p><p>A física por trás do pêndulo simples envolve princípios como a lei da</p><p>conservação da energia mecânica e a segunda lei de Newton para movimento</p><p>angular. A frequência das oscilações do pêndulo é influenciada pelo comprimento da</p><p>haste e pela aceleração devido à gravidade. Além disso, a amplitude das</p><p>3</p><p>oscilações, isto é, a extensão máxima do movimento de ida e volta, também</p><p>desempenha um papel importante.</p><p>A equação de movimento para um pêndulo simples é uma equação</p><p>diferencial que descreve o comportamento da posição angular θ em relação ao</p><p>tempo. Essa equação é uma aproximação válida para pequenos ângulos de</p><p>oscilação e é dada por:</p><p>(1)</p><p>Observe que, ainda na equação (1), 𝜔0 representa a frequência angular e é</p><p>equivalente à:</p><p>(2)</p><p>Outra equação de extrema importância para a obtenção dos resultados é a</p><p>fórmula do período (T), a qual relaciona o período do pêndulo (o tempo que leva</p><p>para realizar um ciclo completo de oscilação) ao comprimento do fio e à aceleração</p><p>da gravidade. O período é independente da massa da esfera ou material pendurado,</p><p>assim como pode ser observado na equação (3).</p><p>(3)</p><p>Por fim, para calcular a aceleração da gravidade, é utilizada uma equação</p><p>oriunda da (3), apenas isolando o g, o qual representa a aceleração gravitacional.</p><p>(4)</p><p>5.1 TRATAMENTO DE DADOS OBTIDOS</p><p>Visando alcançar os objetivos do experimento, a análise dos resultados</p><p>obtidos e o tratamento destes dados foi de extrema importância.</p><p>A princípio, para analisar a relação entre o período e o comprimento de um</p><p>pêndulo simples, foi preciso primeiramente compreender a fórmula por completo.</p><p>Diante disso, observou-se que, na equação (3):</p><p>4</p><p>I. O período (T) é diretamente proporcional à raiz quadrada do comprimento</p><p>(L). Isso significa que, se o comprimento do pêndulo for aumentado, o</p><p>período também aumentará, e se o comprimento for reduzido, o período</p><p>diminuirá. O período não depende da massa do objeto pendurado no</p><p>pêndulo.</p><p>II. A aceleração devido à gravidade (g) também afeta o período, mas esse efeito</p><p>é constante na superfície da Terra. Portanto, a variação na aceleração da</p><p>gravidade em diferentes locais da Terra não terá um impacto significativo na</p><p>relação entre o período e o comprimento do pêndulo.</p><p>Em resumo, o período de um pêndulo simples é diretamente proporcional à</p><p>raiz quadrada do comprimento, conforme descrito pela fórmula. Essa relação é</p><p>uma das bases da física das oscilações e é uma demonstração do</p><p>comportamento periódico de sistemas oscilantes.</p><p>Colocando em prova as observações que foram feitas, a seguir serão</p><p>apresentados, respectivamente, os cálculos referentes ao primeiro comprimento</p><p>do pêndulo (o menor) e ao último comprimento (o maior) desse experimento.</p><p>Ambos os cálculos utilizam o valor da aceleração da gravidade g da Terra (9,78 ±</p><p>0,01 m/s²).</p><p>Além disso, a tabela 3 apresenta os valores dos períodos (T) obtidos a partir</p><p>dos dados da tabela 1 e da equação (3) para todos os cinco comprimentos (L) do</p><p>experimento.</p><p>Tabela 3: Valores dos períodos (T) para cada comprimento (L)</p><p>5</p><p>L (cm) T (s) Tmédio (S) Tmédio² (S²)</p><p>44,90 ± 0,05 13,45 ± 0,01 1,258 ± 0,001 1,582 ± 0,002</p><p>58,90 ± 0,05 15,41 ± 0,01 1,410 ± 0,001 1,988 ± 0,002</p><p>70,90 ± 0,05 16,90 ± 0,01 1,546 ± 0,001 2,390 ± 0,003</p><p>88,90 ± 0,05 18,93 ± 0,01 1,742 ± 0,001 3,034 ± 0,003</p><p>111,90 ± 0,05 21,24 ± 0,01 1,910 ± 0,001 3,648 ± 0,003</p><p>As incertezas dos períodos (T) apresentados na tabela 3 foram calculados a</p><p>partir da derivada parcial da equação (3).</p><p>Observe que, inicialmente, a derivada parcial de T em relação a L ( ) pode</p><p>ser calculada da seguinte forma:</p><p>Em seguida, a derivada parcial de T em relação a g:</p><p>Agora, para calcular a incerteza no período (ΔT) considerando as incertezas</p><p>em L (ΔL) e g (Δg), usamos a propagação de erros, cuja fórmula é:</p><p>Substituindo os valores:</p><p>Com base na fórmula final da propagação de erros, foi obtido o valor da</p><p>incerteza de T, o qual pode ser encontrado na tabela</p><p>3.</p><p>Os valores referente à Tmédio (s), na tabela 3, equivalem à soma dos tempos de</p><p>oscilações para cada comprimento de L, depois divide esse valor por cinco (pois é a</p><p>quantidade de medições que foram realizadas), obtendo então o tempo de 10</p><p>oscilações médio e, só então, esse valor é dividido por dez e obteve-se o período de</p><p>cada oscilação médio (Tmédio (s)) para cada L. Quanto à sua incerteza, ela foi</p><p>calculada através da razão entre a incerteza do tempo de oscilação por 10</p><p>6</p><p>. Já a incerteza do Tmédio² (s) foi calculada a partir da seguinte</p><p>fórmula: .</p><p>5.2 CÁLCULO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE</p><p>Para realizar o cálculo da aceleração da gravidade, e atingir o outro objetivo</p><p>do experimento, foi necessário utilizar o método dos mínimos quadrados para</p><p>encontrar o coeficiente angular utilizando os valores de Tmédio².</p><p>Transformando a equação (3), pode-se observar que:</p><p>Seguindo nessa lógica, há uma dependência linear entre T² e L, e o</p><p>coeficiente angular a corresponde a T² em relação a L, observe que ,</p><p>portanto, ao isolar g foi obtido a seguinte fórmula:</p><p>Então, utilizando os valores de L e T² como sendo X e Y, respectivamente, o</p><p>método dos mínimos quadrados foi organizado tal como pode ser observado na</p><p>tabela 4 e nos cálculos abaixo.</p><p>Tabela 4: Método dos mínimos quadrados</p><p>X (cm) Y (s²) XY X²</p><p>44,90 ± 0,05 1,582 ± 0,002 71,0318 2.016,01</p><p>58,90 ± 0,05 1,988 ± 0,002 117,0932 3.469,21</p><p>70,90 ± 0,05 2,390 ± 0,003 169,4510 5.026,81</p><p>88,90 ± 0,05 3,034 ± 0,003 269,7226 7.903,21</p><p>111,90 ± 0,05 3,648 ± 0,003 408,2112 12.521,61</p><p>∑x = 375,5 ∑y =12,642 ∑xy = 1.035,5098 ∑x² = 30.936,85</p><p>7</p><p>Para obter o coeficiente angular, foi necessário antes calcular o valor de β,</p><p>através da equação a seguir:</p><p>Então, após a obtenção do valor de β, foi realizado o cálculo do coeficiente</p><p>angular a e seu respectivo Δa.</p><p>Por fim, utilizando a equação da aceleração da gravidade com o coeficiente a</p><p>correspondente a T² em relação a L, o valor obtido experimentalmente foi de:</p><p>Entretanto, no Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade da</p><p>aceleração gravitacional é m/s², logo, ao transformar de centímetros para metros, a</p><p>aceleração gravitacional encontrada é de aproximadamente 12,54 ± 0,002 m/s².</p><p>Para calcular a sua incerteza foi utilizada a equação de propagação de erros, já</p><p>apresentada nesse relatório em questão, e foi obtido o valor de 0,0019 ≅ 0,002.</p><p>6. DISCUSSÕES</p><p>Um dos principais pontos a serem discutidos é a linearização dos gráficos de</p><p>T (y) em função de L (x). A priori, a linearização é um processo que visa transformar</p><p>uma curva não linear em uma reta, o que requer o estabelecimento de uma relação</p><p>funcional entre as duas variáveis para que se ajuste à forma da equação de uma</p><p>8</p><p>reta. Em essência, a linearização envolve a determinação dos coeficientes angular e</p><p>linear que melhor descrevem a relação entre as variáveis, permitindo uma</p><p>representação mais simples e direta dos dados.</p><p>Ao plotar um gráfico com os valores de Tmédio (s) em função de L, o</p><p>resultado foi um gráfico não linear, assim como pode ser visualizado na figura 2.</p><p>Figura 2: Gráfico de Tmédio (s) em função de L.</p><p>Fonte: Dados obtidos experimentalmente, 2023.</p><p>Como pode ser observado, o gráfico da figura 2 apresenta uma leve</p><p>curvatura devido à falta de uma relação funcional entre as duas variáveis. Contudo,</p><p>foi possível encontrar uma dependência linear entre o Tmédio² (s²) em função de L,</p><p>e o modelo teórico prevê essa dependência.</p><p>Analisando a equação do modelo teórico juntamente com a equação (3) do</p><p>período levemente modificada, nota-se que há uma relação entre as variáveis</p><p>Tmédio² (s²) e L.</p><p>9</p><p>Portanto, devido à essa dependência linear, o gráfico plotado entre Tmédio²</p><p>(s²) e L apresenta linearidade, assim como pode ser observado na figura 3.</p><p>Figura 3: Gráfico Tmédio² (s²) em relação a L.</p><p>Fonte: Dados obtidos experimentalmente, 2023.</p><p>A linearização desempenha um papel fundamental na simplificação da</p><p>análise de dados experimentais. Converter uma relação não linear em uma relação</p><p>linear torna a interpretação dos resultados mais direta e simplificada.</p><p>Essa técnica é valiosa porque permite uma compreensão mais fácil das leis</p><p>físicas subjacentes ao experimento, simplificando a análise matemática e facilitando</p><p>a identificação de tendências e comportamentos significativos nos dados coletados.</p><p>Em essência, a linearização é uma ferramenta essencial para desvendar as</p><p>relações físicas subjacentes a um conjunto de dados complexos.</p><p>Por fim, quanto ao cálculo da aceleração da gravidade, o valor geral obtido a</p><p>partir do coeficiente angular foi de 12,54 ± 0,002 m/s². Como é sabido, o valor</p><p>esperado seria de 9,78 ± 0,01 m/s², o qual é relativamente menor que o obtido</p><p>experimentalmente. Essa divergência se dá devido a erros pessoais e instrumentais</p><p>durante o experimento, afetado diretamente pela medição do tempo dos ciclos, dos</p><p>comprimentos L, entre outros.</p><p>10</p><p>7. CONCLUSÃO</p><p>Na conclusão deste experimento de pêndulo simples, foi possível observar e</p><p>aplicar conceitos fundamentais da mecânica e análise de dados experimentais. O</p><p>objetivo principal do experimento era determinar a aceleração da gravidade na</p><p>superfície da Terra (g) usando a relação entre o período (T) e o comprimento (L)</p><p>do pêndulo. Com base nos dados coletados e na análise realizada, as seguintes</p><p>conclusões podem ser destacadas:</p><p>I. A relação entre o período e o comprimento do pêndulo, como previsto pela</p><p>teoria, foi confirmada experimentalmente. A análise do gráfico período ao</p><p>quadrado (Tmédio²) em função do comprimento (L) mostrou uma relação</p><p>linear aproximada, o que permitiu a aplicação da regressão linear para</p><p>determinar o coeficiente angular (a) do gráfico.</p><p>II. A linearização dos dados facilitou a determinação da aceleração da</p><p>gravidade (g) a partir do coeficiente angular (a) da reta. O valor de g pôde ser</p><p>calculado com base nos dados experimentais e no coeficiente angular.</p><p>III. A incerteza na medição de (g) pôde ser calculada usando técnicas de</p><p>propagação de erros, levando em consideração as incertezas nas medições</p><p>de a.</p><p>IV. O valor experimental de g obtido foi comparado com o valor padrão da</p><p>aceleração da gravidade (cerca de 9,78 ± 0,01 m/s²), e a concordância entre</p><p>os dois valores foi avaliada. Qualquer diferença pode ser atribuída a erros</p><p>experimentais e incertezas nas medições.</p><p>O experimento de pêndulo simples demonstrou a utilidade da técnica de</p><p>linearização na análise de dados não lineares, enfatizando a importância de</p><p>simplificar a interpretação dos resultados e identificar as leis físicas subjacentes.</p><p>Em resumo, o experimento forneceu uma oportunidade para aplicar conceitos</p><p>teóricos de física, práticas de medição e análise de dados. Além disso, destacou</p><p>a importância da precisão e da propagação de erros na obtenção de resultados</p><p>confiáveis em experimentos científicos.</p><p>11</p><p>8. REFERÊNCIAS</p><p>HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K. S. Fundamentos de Física. 9. ed., Rio</p><p>de Janeiro: LTC, 2014, v. 1.</p><p>12</p>