Matemática e Raciocínio Lógico

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<p>Apostilas Aprendizado Urbano 1</p><p>MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO</p><p>Matemática: 1. Numeração; 2. Números naturais: múltiplos, divisores,divisibilidade e restos; 3. M.D.C. e</p><p>M.M.C.; 4. Números fracionários e Operações com frações; 5. Números Decimais e Dízimas Periódicas; 6.</p><p>Sistemas de Unidade, Notação Científica e Bases não Decimais; 7. Razões e Proporções; 8. Escalas; 9. Divisão</p><p>Proporcional; 10. Regra de Três Simples ou Composta; 11. Porcentagem; 12. Teoria dos Conjuntos:</p><p>Conjuntos Numéricos; Relações, Funções de Primeiro e Segundo Grau; 13. Noções de Probabilidade e</p><p>Estatística Descritiva; 14. Noções de Lógica; 15. Matemática Financeira; 16. Aplicações e Operações com</p><p>Inequações; 17. Sequências e Progressões Aritméticas e Geométricas; 18. Operações com Matrizes,</p><p>Logaritmos, Raízes e Radicais, Fatoração Algébrica.</p><p>Raciocínio Lógico: Estruturas lógicas, Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e</p><p>conclusões, Lógica sentencial (ou proposicional), Proposições simples e compostas, Tabelas-verdade,</p><p>Equivalências, Diagramas lógicos, Lógica de primeira ordem, Princípios de contagem e probabilidade,</p><p>Operações com conjuntos, Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 2</p><p>O conteúdo desta apostila é de uso exclusivo do aluno que efetuou a compra e o respectivo download no</p><p>site, cujo ID de cliente e dados de I.P. constam do texto apresentado em formato de código de barras, sendo</p><p>vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação e distribuição.</p><p>É vedado, também, o fornecimento de informações cadastrais inexatas ou incompletas – nome, endereço, e-</p><p>mail - no ato da compra, qualificando assim o ato de falsidade ideológica.</p><p>O descumprimento dessas vedações implicará na imediata ação por parte de nosso conselho jurídico.</p><p>O conteúdo desta apostila é de uso exclusivo de</p><p>sendo vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação e distribuição,</p><p>sujeitando-se os infratores à responsabilização civil e criminal.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 3</p><p>Numeração - Números naturais: múltiplos, divisores,divisibilidade e restos</p><p>Um sistema de numeração, (ou sistema numeral) é um sistema em que um conjunto de números são</p><p>representados por numerais de uma forma consistente. Pode ser visto como o contexto que permite ao</p><p>numeral "11" ser interpretado como o numeral romano para dois, o numeral binário para três ou o numeral</p><p>decimal para onze.</p><p>O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos</p><p>com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos.</p><p>A construção dos Números Naturais</p><p>1.Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado),</p><p>considerando também o zero.</p><p>Exemplos: Seja m um número natural.</p><p>(a) O sucessor de m é m+1.</p><p>(b) O sucessor de 0 é 1.</p><p>(c) O sucessor de 1 é 2.</p><p>(d) O sucessor de 19 é 20.</p><p>2.Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números</p><p>consecutivos.</p><p>Exemplos:</p><p>(a) 1 e 2 são números consecutivos.</p><p>(b) 5 e 6 são números consecutivos.</p><p>(c) 50 e 51 são números consecutivos.</p><p>3.Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do</p><p>primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.</p><p>Exemplos:</p><p>(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.</p><p>(b) 5, 6 e 7 são consecutivos.</p><p>(c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.</p><p>4.Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número</p><p>dado).</p><p>Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.</p><p>(a) O antecessor do número m é m-1.</p><p>(b) O antecessor de 2 é 1.</p><p>(c) O antecessor de 56 é 55.</p><p>(d) O antecessor de 10 é 9.</p><p>O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma seqüência real</p><p>seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 4</p><p>dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares:</p><p>P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}</p><p>O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamado,</p><p>a sequência dos números ímpares.</p><p>I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}</p><p>Igualdade e Desigualdades</p><p>Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A está contido no</p><p>conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A. Quando a condição acima for satisfeita,</p><p>escreveremos A=B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita denotaremos tal fato por:</p><p>(lê-se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de conjuntos, vemos que não é importante a ordem</p><p>dos elementos no conjunto.</p><p>Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos que os elementos do conjunto A são os</p><p>mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A=B.</p><p>Consideraremos agora uma situação em que os elementos dos conjuntos A e B serão distintos.</p><p>Sejam A={a,b,c,d} e B={1,2,3,d}. Nem todos os elementos do conjunto A estão no conjunto B e nem todos os</p><p>elementos do conjunto B estão no conjunto A. Também não podemos afirmar que um conjunto é maior do</p><p>que o outro conjunto. Neste caso, afirmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B.</p><p>Exercício: Há um espaço em branco entre dois números em cada linha. Qual é o sinal apropriado que deve</p><p>ser posto neste espaço: <, > ou =?</p><p>159 170</p><p>852 321</p><p>587 587</p><p>Operações com Números Naturais</p><p>Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais.</p><p>Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 5</p><p>A adição de números naturais</p><p>A primeira operação fundamental da Aritmética, tem por finalidade reunir em um só número, todas as</p><p>unidades de dois ou mais números.</p><p>Propriedades da Adição</p><p>1.Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma de dois números</p><p>naturais é ainda um número natural. O fato que a operação de adição é fechada em N é conhecido na</p><p>literatura do assunto como: A adição é uma lei de composição interna no conjunto N.</p><p>2.Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três ou</p><p>mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou</p><p>seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos</p><p>um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o</p><p>terceiro.</p><p>3.Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois</p><p>tomando um número natural qualquer e somando com</p><p>43</p><p>Os números percentuais possuem representações na forma de fração centesimal (denominador igual a 100)</p><p>e quando escritos de maneira formal devem aparecer na presença do símbolo de porcentagem (%). Também</p><p>podem ser escritos na forma de número decimal. Observe os números a seguir, eles serão demonstrados</p><p>através das três formas possíveis:</p><p>A melhor forma de assimilar os conteúdos inerentes à porcentagem é com a utilização de exemplos que</p><p>envolvem situações cotidianas. Acompanhe os exemplos a seguir:</p><p>Exemplo 1</p><p>Uma mercadoria é vendida em, no máximo, três prestações mensais e iguais, totalizando o valor de R$</p><p>900,00. Caso seja adquirida à vista, a loja oferece um desconto de 12% sobre o valor a prazo. Qual o preço da</p><p>mercadoria na compra à vista?</p><p>Podemos utilizar a razão centesimal ou o número decimal correspondente.</p><p>12% = 12/100 = 0,12</p><p>Utilizando razão centesimal</p><p>12/100 x 900 = 12x900/100 = 1080/100 = 10800/100 = 108 reais</p><p>900 – 108 = 792 reais</p><p>Utilizando número decimal</p><p>0,12 x 900 = 108 reais</p><p>900 – 108 = 792 reais</p><p>A utilização de qualquer procedimento fica a critério próprio, pois os dois métodos chegam ao resultado de</p><p>forma satisfatória e exata. No caso do exemplo 1, o desconto no pagamento à vista é de R$ 108,00, portanto</p><p>o preço é de R$ 792,00.</p><p>Exemplo 2</p><p>O FGTS (Fundo de Garantia por Tempo de Serviço) é um direito do trabalhador com carteira assinada, no</p><p>qual o empregador é obrigado por lei a depositar em uma conta na Caixa Econômica Federal o valor de 8%</p><p>do salário bruto do funcionário. Esse dinheiro deverá ser sacado pelo funcionário na ocorrência de demissão</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 44</p><p>sem justa causa. Determine o valor do depósito efetuado pelo empregador, calculado o FGTS sobre um</p><p>salário bruto de R$ 1.200,00.</p><p>8% = 8/100 = 0,08</p><p>Utilizando razão centesimal</p><p>8/100 x 1200 = 8x1200 / 100 = 9600 / 100 = 96 reais</p><p>Utilizando número decimal</p><p>0,08 x 1200 = 96 reais</p><p>O depósito efetuado será de R$ 96,00.</p><p>Teoria dos Conjuntos: Conjuntos Numéricos; Relações, Funções de Primeiro e Segundo Grau</p><p>O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos</p><p>com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos .</p><p>Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto</p><p>como:</p><p>N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}</p><p>Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos) indicam que</p><p>este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.</p><p>Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por:</p><p>N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}</p><p>A construção dos Números Naturais</p><p>1.Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado),</p><p>considerando também o zero.</p><p>Exemplos: Seja m um número natural.</p><p>(a) O sucessor de m é m+1.</p><p>(b) O sucessor de 0 é 1.</p><p>(c) O sucessor de 1 é 2.</p><p>(d) O sucessor de 19 é 20.</p><p>2.Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números</p><p>consecutivos.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 45</p><p>Exemplos:</p><p>(a) 1 e 2 são números consecutivos.</p><p>(b) 5 e 6 são números consecutivos.</p><p>(c) 50 e 51 são números consecutivos.</p><p>3.Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do</p><p>primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.</p><p>Exemplos:</p><p>(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.</p><p>(b) 5, 6 e 7 são consecutivos.</p><p>(c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.</p><p>4.Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número</p><p>dado).</p><p>Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.</p><p>(a) O antecessor do número m é m-1.</p><p>(b) O antecessor de 2 é 1.</p><p>(c) O antecessor de 56 é 55.</p><p>(d) O antecessor de 10 é 9.</p><p>O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma seqüência real</p><p>seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência</p><p>dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares:</p><p>P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}</p><p>O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamado,</p><p>a sequência dos números ímpares.</p><p>I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}</p><p>Igualdade e Desigualdades</p><p>Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A está contido no</p><p>conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A. Quando a condição acima for satisfeita,</p><p>escreveremos A=B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita denotaremos tal fato por:</p><p>(lê-se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de conjuntos, vemos que não é importante a ordem</p><p>dos elementos no conjunto.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 46</p><p>Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos que os elementos do conjunto A são os</p><p>mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A=B.</p><p>Consideraremos agora uma situação em que os elementos dos conjuntos A e B serão distintos.</p><p>Sejam A={a,b,c,d} e B={1,2,3,d}. Nem todos os elementos do conjunto A estão no conjunto B e nem todos os</p><p>elementos do conjunto B estão no conjunto A. Também não podemos afirmar que um conjunto é maior do</p><p>que o outro conjunto. Neste caso, afirmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B.</p><p>Exercício: Há um espaço em branco entre dois números em cada linha. Qual é o sinal apropriado que deve</p><p>ser posto neste espaço: <, > ou =?</p><p>159 170</p><p>852 321</p><p>587 587</p><p>Operações</p><p>Em um jogo de somar, as fichas são amarelas ou vermelhas.</p><p>Ao tirarmos uma ficha temos que adicionar o número tirado, se a ficha for amarela o número é positivo e se</p><p>a ficha for vermelha o número é negativo.</p><p>Ganha aquele jogador que conseguir ter maior quantidade de pontos.</p><p>Eduardo e Mônica começaram a jogar. Eduardo na primeira rodada ficou com +16 pontos, retirou nas</p><p>rodadas seguintes as fichas . Qual é a situação de Eduardo.</p><p>Vamos fazer os cálculos:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 47</p><p>Portanto, Eduardo ao final do jogo estava com – 97 pontos.</p><p>Com os cálculos acima podemos concluir que:</p><p>Na soma de dois números inteiros com sinais iguais, o valor absoluto será a soma das parcelas, e o sinal será</p><p>o mesmo das parcelas.</p><p>Exemplo: (+ 5) + (+ 4) = + 9</p><p>(- 5) + (- 4) = - 9</p><p>Na soma de dois números inteiros com sinais diferentes, o valor absoluto será a diferença das parcelas e o</p><p>sinal será o da parcela de maior valor absoluto.</p><p>Exemplo: (- 5) + (+ 4) = - 1</p><p>A Soma de dois números inteiros opostos é ZERO.</p><p>Exemplo: (+ 10) + (- 10) = 0</p><p>Simplificando a escrita:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 48</p><p>Propriedades da Adição:</p><p>Propriedade do fechamento►</p><p>(+15) + (+8) = +23</p><p>(-34) + (+20)</p><p>= -14</p><p>(-60) + (+60) = 0</p><p>A soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro.</p><p>Propriedade Comutativa►</p><p>(+20) + (-43) = -23</p><p>(-43) + (+20) = -23</p><p>(+20) + (-43) = (-43) + (+20)</p><p>A ordem das parcelas não altera a soma</p><p>Propriedade Associativa►</p><p>[(+10) + (-6)] + (-80) (+10) + [(-6) + (-80)] =</p><p>= (+4) + (-80) = -76 (+10) + (-86) = -76</p><p>Numa adição de três ou mais parcelas, podemos associar as parcelas de formas diferentes, que os resultados</p><p>serão iguais.</p><p>Elemento Neutro►</p><p>(-32) + 0 = 0 + (-32) = -32</p><p>(+250) + 0 = 0 + (+250) = +250</p><p>O zero é o elemento neutro da adição.</p><p>A subtração é uma operação básica da Matemática, sendo representada pelo sinal de –. O desenvolvimento</p><p>da subtração entre números Naturais é de certa forma bem simples. Observe os exemplos:</p><p>10 – 2 = 8</p><p>12 – 6 = 6</p><p>22 – 10 = 12</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 49</p><p>52 – 12 = 40</p><p>101 – 10 = 91</p><p>200 – 189 = 11</p><p>As operações de subtração envolvendo os números Inteiros requerem algumas situações teóricas que</p><p>relacionam os possíveis sinais operatórios. Para realizar a subtração entre os números inteiros precisamos</p><p>ter conhecimento sobre o módulo de um número. Módulo de um número inteiro é calculado obtendo o seu</p><p>valor real. Observe:</p><p>Módulo de +1: representado por |+1| = 1</p><p>| – 3| = 3</p><p>| – 7| = 7</p><p>Regras operatórias:</p><p>Sinais iguais: soma e conserva o sinal.</p><p>Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo.</p><p>Operações sem parênteses</p><p>+ 10 – 7 = + 3 (Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo)</p><p>– 3 – 3 = – 6 (Sinais iguais: soma e conserva o sinal)</p><p>+ 20 – 30 = – 10 (Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo)</p><p>– 12 + 3 = – 9 (Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo)</p><p>– 9 + 9 = 0 (operação entre números opostos, resultado sempre será 0)</p><p>– 25 + 24 = – 1 (Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo)</p><p>Operações com parênteses</p><p>Nesse caso, as operações de subtração podem ser resolvidas eliminando os parênteses, isso será feito</p><p>aplicando algumas regras que envolvem jogo de sinal, observe:</p><p>+ (+) = +</p><p>+ (–) = –</p><p>– (+) = –</p><p>– (–) = +</p><p>Eliminado os parênteses, passa a valer as regras operatórias:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 50</p><p>(+10) – (–23) = +10 + 23 = + 33</p><p>(+20) – (+12) = +20 – 12 = + 8</p><p>(–32) + (–5) = – 32 – 5 = – 37</p><p>(–27) – (–30) = –27 + 30 = + 3</p><p>O conjunto dos números inteiros é formado pelos números inteiros positivos e seus respectivos negativos,</p><p>denominado oposto ou simétrico. A multiplicação entre esses números deverá respeitar algumas regras</p><p>envolvendo jogo de sinais.</p><p>Produto de dois números inteiros com sinais diferentes.</p><p>Quando realizamos a multiplicação:</p><p>5 x 6 é o mesmo que 6 + 6 + 6 + 6+ 6. Então, para multiplicarmos dois números inteiros com sinais</p><p>diferentes, iremos utilizar a mesma ideia.</p><p>(+5) * (– 2)</p><p>(– 2) + (– 2) + (– 2) + (– 2) + (– 2) (Escrevendo uma adição de parcelas iguais)</p><p>– 2 – 2 – 2 – 2 – 2 = – 10 (Simplificando a escrita e calculando o resultado)</p><p>(+5) * (– 2) = –10</p><p>O produto de dois números inteiros, diferente de zero, e de sinais diferentes é um número inteiro de:</p><p>Valor absoluto igual ao produto dos valores absolutos dos fatores e sinal negativo (–).</p><p>Produto de dois números inteiros com sinais iguais.</p><p>Nesse caso há duas possibilidades: dos fatores serem positivos ou dos fatores serem negativos.</p><p>Vamos calcular o produto de (+ 8) * (+5) = + 40</p><p>Vamos calcular o produto de (– 6) * (– 15) = + 90</p><p>O produto de dois números inteiros diferentes de zero e de sinais iguais é um número inteiro de:</p><p>Valor absoluto igual ao produto dos valores absolutos dos fatores e sinal positivo (+).</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 51</p><p>Elemento Neutro</p><p>O elemento neutro da multiplicação é 1 ou + 1.</p><p>Pois qualquer número inteiro multiplicado por 1 (positivo) será ele mesmo.</p><p>Exemplo:</p><p>(– 4) * 1 = – 4</p><p>(+ 5) * (+ 1) = 5</p><p>(–10) * (+1) = – 10</p><p>(+ 9) * ( 1 ) = + 9</p><p>A multiplicação dos números inteiros é mais simples que a adição e subtração, pois basta multiplicarmos os</p><p>valores absolutos e o sinal fica conforme a regra:</p><p>( + ) * ( + ) = ( + )</p><p>( + ) * ( – ) = ( – )</p><p>( – ) * ( + ) = ( – )</p><p>( – ) * ( – ) = ( + )</p><p>Divisão significa “partir ou distinguir em diversas partes; separar as diversas partes de.</p><p>Na divisão utilizamos praticamente o mesmo método da multiplicação. Devemos, em primeiro lugar,</p><p>relembramos o jogo de sinais:</p><p>- Divisão de números com mesmo sinal = +</p><p>- Divisão de números com sinais diferentes = -</p><p>Numa divisão exata de dois números inteiros, o quociente é um número inteiro e o resto é igual a zero.</p><p>Quociente de dois números inteiros com sinais diferentes.►</p><p>(- 45) : (+ 5) = - 9</p><p>(+45) : ( -5) = -9</p><p>O quociente de uma divisão exata entre dois números inteiros, com divisor diferente de zero e sinais</p><p>diferentes é um número inteiro de:</p><p>Valor absoluto: igual ao quociente dos valores absolutos dos termos.</p><p>Sinal: negativo (-).</p><p>►Quociente de dois números inteiros com sinais iguais.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 52</p><p>(- 60) : (- 10) = + 6</p><p>(+ 60) : (+ 10) = + 6</p><p>O quociente de uma divisão exata entre dois números inteiros, com divisor diferente de zero e sinais</p><p>iguais é um número inteiro de:</p><p>Valor absoluto: igual ao quociente dos valores absolutos dos termos.</p><p>Sinal: positivo (+).</p><p>Acontece da mesma forma que na multiplicação, dividimos os valores absolutos e o sinal é conforme a</p><p>regra:</p><p>- : + = -</p><p>+ : + = +</p><p>- : - = +</p><p>Observações:</p><p>• Não existe divisão por zero. Exemplo: 15 : 0, pois não existe um número inteiro cujo produto por zero seja</p><p>15.</p><p>• Zero dividido por qualquer número é sempre zero.</p><p>Números Racionais</p><p>Um número racional é o que pode ser escrito na forma</p><p>m</p><p>n</p><p>onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser não nulo, isto é, n deve ser diferente de zero.</p><p>Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Quando não existe possibilidade de</p><p>divisão, simplesmente usamos uma letra como q para entender que este número é um número racional.</p><p>Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão (em Latim:</p><p>ratio=razão=divisão=quociente) entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os</p><p>números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:</p><p>Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero}</p><p>Quando há interesse, indicamos Q+ para entender o conjunto dos números racionais positivos e Q_ o</p><p>conjunto dos números racionais negativos. O número zero é também um número racional.</p><p>Dízima periódica</p><p>Uma dízima periódica é um número real da forma:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 53</p><p>m,npppp...</p><p>onde m, n e p são números inteiros, sendo que o número p se repete indefinidamente, razão pela qual</p><p>usamos os três pontos: ... após</p><p>o mesmo. A parte que se repete é denominada período.</p><p>Em alguns livros é comum o uso de uma barra sobre o período ou uma barra debaixo do período ou o</p><p>período dentro de parênteses, mas, para nossa facilidade de escrita na montagem desta apostila, usaremos o</p><p>período sublinhado.</p><p>Exemplos: Dízimas periódicas</p><p>1.0,3333333... = 0,3</p><p>2.1,6666666... = 1,6</p><p>3.12,121212... = 12,12</p><p>4.0,9999999... = 0,9</p><p>5.7,1333333... = 7,13</p><p>Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo período. Alguns exemplos são:</p><p>1.0,333333... = 0,(3) = 0,3</p><p>2.3,636363... = 3,(63) = 3,63</p><p>Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete entre a parte inteira e o período.</p><p>Por exemplo:</p><p>1.0,83333333... = 0,83</p><p>2.0,72535353... = 0,7253</p><p>Uma dízima periódica é uma soma infinita de números decimais. Alguns exemplos:</p><p>1.0,3333...= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...</p><p>2.0,8333...= 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...</p><p>3.4,7855...= 4,78 + 0,005 + 0,0005 + ...</p><p>A conexão entre números racionais e números reais</p><p>Um fato importante que relaciona os números racionais com os números reais é que todo número real que</p><p>pode ser escrito como uma dízima periódica é um número racional. Isto significa que podemos transformar</p><p>uma dízima periódica em uma fração.</p><p>A geratriz de uma dízima periódica</p><p>Dada uma dízima periódica, qual será a fração que dá origem a esta dízima? Esta fração é de fato um número</p><p>racional denominado a geratriz da dízima periódica. Para obter a geratriz de uma dízima periódica devemos</p><p>trabalhar com o número dado pensado como uma soma infinita de números decimais. Para mostrar como</p><p>funciona o método, utilizaremos diversos exemplos numéricos.</p><p>1.Seja S a dízima periódica 0,3333333..., isto é, S=0,3. Observe que o período tem apenas 1 algarismo.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 54</p><p>Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:</p><p>S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 +...</p><p>Multiplicando esta soma "infinita" por 101=10 (o período tem 1 algarismo), obteremos:</p><p>10 S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...</p><p>Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!</p><p>Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da última, obtemos:</p><p>10 S - S = 3</p><p>donde segue que</p><p>9 S = 3</p><p>Simplificando, obtemos:</p><p>S =</p><p>1</p><p>3</p><p>= 0,33333... = 0,3</p><p>Exercício: Usando o mesmo argumento que antes, você saberia mostrar que:</p><p>0,99999... = 0,9 = 1</p><p>2.Vamos tomar agora a dízima periódica T=0,313131..., isto é, T=0,31. Observe que o período tem</p><p>agora 2 algarismos. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da</p><p>forma:</p><p>T =0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...</p><p>Multiplicando esta soma "infinita" por 10²=100 (o período tem 2 algarismos), obteremos:</p><p>100 T = 31 + 0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...</p><p>Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha, assim:</p><p>100 T = 31 + T</p><p>de onde segue que</p><p>99 T = 31</p><p>e simplificando, temos que</p><p>T =</p><p>31</p><p>99</p><p>= 0,31313131... = 0,31</p><p>3.Um terceiro tipo de dízima periódica é T=7,1888..., isto é, T=7,18. Observe que existe um número</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 55</p><p>com 1 algarismo após a vírgula enquanto que o período tem também 1 algarismo. Escreveremos este</p><p>número como uma soma de infinitos números decimais da forma:</p><p>R = 7,1 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...</p><p>Manipule a soma "infinita" como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o</p><p>primeiro membro para obter:</p><p>R-7,1 = 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...</p><p>Multiplique agora a soma "infinita" por 101=10 (o período tem 1 algarismo), para obter:</p><p>10(R-7,1) = 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...</p><p>Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!</p><p>Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:</p><p>10(R-7,1) - (R-7,1) = 0,8</p><p>Assim:</p><p>10R - 71 - R + 7,1 = 0,8</p><p>Para evitar os números decimais, multiplicamos toda a expressão por 10 e simplificamos para obter:</p><p>90 R = 647</p><p>Obtemos então:</p><p>T =</p><p>647</p><p>90</p><p>= 7,1888... = 7,18</p><p>4.Um quarto tipo de dízima periódica é T=7,004004004..., isto é, U=7,004. Observe que o período</p><p>tem 3 algarismos, sendo que os dois primeiros são iguais a zero e apenas o terceiro é não nulo.</p><p>Decomporemos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:</p><p>U = 7 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...</p><p>Manipule a soma "infinita" como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o</p><p>primeiro membro para obter:</p><p>U-7 = 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...</p><p>Multiplique agora a soma "infinita" por 10³=1000 (o período tem 3 algarismos), para obter:</p><p>1000(U-7) = 4 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...</p><p>Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!</p><p>Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:</p><p>1000(U-7) - (U-7) = 4</p><p>Assim:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 56</p><p>1000U - 7000 - U + 7 = 4</p><p>Obtemos então</p><p>999 U = 6997</p><p>que pode ser escrita na forma:</p><p>T =</p><p>6997</p><p>999</p><p>= 7,004004... = 7,004</p><p>Números irracionais</p><p>Um número real é dito um número irracional se ele não pode ser escrito na forma de uma fração ou nem</p><p>mesmo pode ser escrito na forma de uma dízima periódica.</p><p>Exemplo: O número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima periódica:</p><p>x=0,10100100010000100000...</p><p>Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem infinitos números reais</p><p>que não são dízimas periódicas e dois números irracionais muito importantes, são:</p><p>e = 2,718281828459045...,</p><p>Pi = 3,141592653589793238462643...</p><p>que são utilizados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros de</p><p>gravidade, previsão populacional, etc...</p><p>Exercício: Determinar a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 1 metro. O resultado numérico</p><p>é um número irracional e pode ser obtido através da relação de Pitágoras. O resultado é a raiz quadrada de</p><p>2, denotada aqui por R[2] para simplificar as notações estranhas.</p><p>Representação, ordem e simetria dos racionais</p><p>Podemos representar geometricamente o conjunto Q dos números racionais através de uma reta numerada.</p><p>Consideramos o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar e tomamos a unidade de medida</p><p>como a distância entre 0 e 1 e por os números racionais da seguinte maneira:</p><p>Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números racionais obedecem é crescente da</p><p>esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada</p><p>por convenção, o que nos permite pensar em outras possibilidades.</p><p>Dizemos que um número racional r é menor do que outro número racional s se a diferença r-s é positiva.</p><p>Quando esta diferença r-s é negativa, dizemos que o número r é maior do que s. Para indicar que r é menor</p><p>do que s, escrevemos:</p><p>r < s</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 57</p><p>Do ponto de vista geométrico, um número que está à esquerda é menor do que um número que está à</p><p>direita na reta numerada.</p><p>Todo número racional q exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -q e ele é</p><p>caracterizado</p><p>pelo fato geométrico que tanto q como -q estão à mesma distância da origem do conjunto Q</p><p>que é 0. Como exemplo, temos que:</p><p>(a) O oposto de 3/4 é -3/4.</p><p>(b) O oposto de 5 é -5.</p><p>Do ponto de vista geométrico, o simétrico funciona como a imagem virtual de algo colocado na frente de</p><p>um espelho que está localizado na origem. A distância do ponto real q ao espelho é a mesma que a distância</p><p>do ponto virtual -q ao espelho.</p><p>Módulo de um número racional</p><p>O módulo ou valor absoluto de um número racional q é maior valor entre o número q e seu elemento</p><p>oposto -q, que é denotado pelo uso de duas barras verticais | |, por:</p><p>|q| = max{-q,q}</p><p>Exemplos: |0|=0, |2/7|=2/7 e |-6/7|=6/7.</p><p>Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número racional q é a distância comum do ponto q até a</p><p>origem (zero) que é a mesma distância do ponto -q à origem, na reta numérica racional.</p><p>A soma (adição) de números racionais</p><p>Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição</p><p>entre os números racionais a/b e c/d, da mesma forma que a soma de frações, através de:</p><p>a</p><p>b</p><p>+</p><p>c</p><p>d</p><p>=</p><p>ad+bc</p><p>bd</p><p>Propriedades da adição de números racionais</p><p>Fecho: O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é</p><p>um número racional.</p><p>Associativa: Para todos a, b, c em Q:</p><p>a + ( b + c ) = ( a + b ) + c</p><p>Comutativa: Para todos a, b em Q:</p><p>a + b = b + a</p><p>Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 58</p><p>q + 0 = q</p><p>Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que</p><p>q + (-q) = 0</p><p>Subtração de números racionais: A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição</p><p>do número p com o oposto de q, isto é:</p><p>p - q = p + (-q)</p><p>Na verdade, esta é uma operação desnecessária no conjunto dos números racionais.</p><p>A Multiplicação (produto) de números racionais</p><p>Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto</p><p>de dois números racionais a/b e c/d, da mesma forma que o produto de frações, através de:</p><p>a</p><p>b</p><p>×</p><p>c</p><p>d</p><p>=</p><p>ac</p><p>bd</p><p>O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem</p><p>nenhum sinal entre as letras.</p><p>Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em</p><p>toda a Matemática:</p><p>(+1) × (+1) = (+1)</p><p>(+1) × (-1) = (-1)</p><p>(-1) × (+1) = (-1)</p><p>(-1) × (-1) = (+1)</p><p>Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de</p><p>dois números com sinais diferentes é negativo.</p><p>Propriedades da multiplicação de números racionais</p><p>Fecho: O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um</p><p>número racional.</p><p>Associativa: Para todos a, b, c em Q:</p><p>a × ( b × c ) = ( a × b ) × c</p><p>Comutativa: Para todos a, b em Q:</p><p>a × b = b × a</p><p>Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:</p><p>q × 1 = q</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 59</p><p>Elemento inverso: Para todo q=a/b em Q, q diferente de zero, existe q-1=b/a em Q, tal que</p><p>q × q-1 = 1</p><p>Esta última propriedade pode ser escrita como:</p><p>a</p><p>b</p><p>×</p><p>b</p><p>a</p><p>= 1</p><p>Divisão de números racionais: A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de</p><p>multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é:</p><p>p ÷ q = p × q-1</p><p>Provavelmente você já deve ter sido questionado: Porque a divisão de uma fração da forma a/b por outra da</p><p>forma c/d é realizada como o produto da primeira pelo inverso da segunda?</p><p>A divisão de números racionais esclarece a questão:</p><p>a</p><p>b</p><p>÷</p><p>c</p><p>d</p><p>=</p><p>a</p><p>b</p><p>×</p><p>d</p><p>c</p><p>=</p><p>ad</p><p>bc</p><p>Na verdade, a divisão é um produto de um número racional pelo inverso do outro, assim esta operação é</p><p>também desnecessária no conjunto dos números racionais.</p><p>Propriedade distributiva (mista)</p><p>Distributiva: Para todos a, b, c em Q:</p><p>a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )</p><p>Potenciação de números racionais</p><p>A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o</p><p>número n é o expoente.</p><p>qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)</p><p>Exemplos:</p><p>(a) (2/5)³ =(2/5) (2/5)×(2/5) = 8/125</p><p>(b) (-1/2)³=(-1/2)×(-1/2)×(-1/2) = -1/8</p><p>(c) (-5)² =(-5)×(-5) = 25</p><p>(d) (+5)² =(+5)×(+5) = 25</p><p>Observação: Se o expoente é n=2, a potência q² pode ser lida como: q elevado ao quadrado e se o expoente é</p><p>n=3, a potência q³ pode ser lida como: q elevado ao cubo. Isto é proveniente do fato que área do quadrado</p><p>pode ser obtida por A=q² onde q é a medida do lado do quadrado e o volume do cubo pode ser obtido por</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 60</p><p>V=q³ onde q é a medida da aresta do cubo.</p><p>Reais</p><p>O conjunto dos números reais surge para designar a união do conjunto dos números racionais e o conjunto</p><p>dos números irracionais. É importante lembrar que o conjunto dos números racionais é formado pelos</p><p>seguintes conjuntos: Números Naturais e Números Inteiros. Vamos exemplificar os conjuntos que unidos</p><p>formam os números reais. Veja:</p><p>Números Naturais (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, ....</p><p>Números Inteiros (Z): ..., –8, –7, –6, –5, –4, –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, .....</p><p>Números Racionais (Q): 1/2, 3/4, 0,25, –5/4,</p><p>Números Irracionais (I): √2, √3, –√5, 1,32365498...., 3,141592....</p><p>Podemos concluir que o conjunto dos números reais é a união dos seguintes conjuntos:</p><p>N U Z U Q U I = R ou Q U I = R</p><p>Os números reais podem ser representados por qualquer número pertencente aos conjuntos da união acima.</p><p>Essas designações de conjuntos numéricos existem no intuito de criar condições de resolução de equações e</p><p>funções. As soluções devem ser dadas obedecendo padrões matemáticos e de acordo com a condição de</p><p>existência da incógnita na expressão.</p><p>Funções</p><p>Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei</p><p>da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0.</p><p>Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo</p><p>constante.</p><p>Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:</p><p>f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3</p><p>f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7</p><p>f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0</p><p>Gráfico</p><p>O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Oxe</p><p>Oy.</p><p>Exemplo:</p><p>Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 61</p><p>Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:</p><p>a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).</p><p>b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .</p><p>Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.</p><p>x y</p><p>0 -1</p><p>0</p><p>Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.</p><p>O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à</p><p>inclinação</p><p>da reta em relação ao eixo Ox.</p><p>O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o</p><p>coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.</p><p>Zero e Equação do 1º Grau</p><p>Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a 0, o número real x tal que f(x) = 0.</p><p>Temos:</p><p>f(x) = 0 ax + b = 0</p><p>Vejamos alguns exemplos:</p><p>1.Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:</p><p>f(x) = 0 2x - 5 = 0</p><p>2.Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:</p><p>g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2</p><p>3.Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas:</p><p>O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então:</p><p>h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5</p><p>Crescimento e decrescimento</p><p>Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que</p><p>ocorre com y:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 62</p><p>x -3 -2 -1 0 1 2 3</p><p>y -10 -7 -4 -1 2 5 8</p><p>Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes</p><p>valores de y também aumentam. Dizemos, então que a</p><p>função y = 3x - 1 é crescente.</p><p>Observamos novamente seu gráfico:</p><p>Regra geral:</p><p>a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);</p><p>a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);</p><p>Justificativa:</p><p>•para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).</p><p>•para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).</p><p>Sinal</p><p>Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de</p><p>x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.</p><p>Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se</p><p>anula pra raiz . Há dois casos possíveis:</p><p>1º) a > 0 (a função é crescente)</p><p>y > 0 ax + b > 0 x ></p><p>y < 0 ax + b < 0 x <</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 63</p><p>Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a</p><p>raiz</p><p>2º) a < 0 (a função é decrescente)</p><p>y > 0 ax + b > 0 x <</p><p>y < 0 ax + b < 0 x ></p><p>Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a</p><p>raiz.</p><p>Função Quadrática</p><p>Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma</p><p>lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.</p><p>Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 64</p><p>1.f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1</p><p>2.f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1</p><p>3.f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5</p><p>4.f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0</p><p>5.f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0</p><p>Gráfico</p><p>O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva</p><p>chamadaparábola.</p><p>Exemplo:</p><p>Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:</p><p>Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida,</p><p>ligamos os pontos assim obtidos.</p><p>x y</p><p>-3 6</p><p>-2 2</p><p>-1 0</p><p>0 0</p><p>1 2</p><p>2 6</p><p>Observação:</p><p>Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:</p><p>•se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;</p><p>•se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;</p><p>Zero e Equação do 2º Grau</p><p>Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x</p><p>tais que f(x) = 0.</p><p>Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais</p><p>são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:</p><p>Temos:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 65</p><p>Observação</p><p>A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o</p><p>radicando , chamado discriminante, a saber:</p><p>•quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;</p><p>•quando é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);</p><p>•quando é negativo, não há raiz real.</p><p>Coordenadas do vértice da parábola</p><p>Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a</p><p>parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.</p><p>Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 66</p><p>Imagem</p><p>O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir.</p><p>Há duas possibilidades:</p><p>1ª - quando a > 0,</p><p>a > 0</p><p>2ª quando a < 0,</p><p>a < 0</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 67</p><p>Parábola</p><p>É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo</p><p>apenas o roteiro de observação seguinte:</p><p>1.O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;</p><p>2.Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;</p><p>3.O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);</p><p>4.A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola;</p><p>5.Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos</p><p>y.</p><p>Sinal</p><p>Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais</p><p>y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.</p><p>Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:</p><p>1º - > 0</p><p>Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parábola intercepta o eixo Ox</p><p>em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 68</p><p>quando a > 0</p><p>y > 0 (x < x1 ou x > x2)</p><p>y < 0 x1 < x < x2</p><p>quando a < 0</p><p>y > 0 x1 < x < x2</p><p>y < 0 (x < x1 ou x > x2)</p><p>º - = 0</p><p>quando a > 0</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano</p><p>69</p><p>quando a < 0</p><p>Noções de Probabilidade e Estatística Descritiva</p><p>A estatística é uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para coleta, organização, descrição,</p><p>análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.</p><p>A coleta, a organização ,a descrição dos dados, o cálculo e a interpretação de coeficientes pertencem à</p><p>ESTATÍSTICA DESCRITIVA, enquanto a análise e a interpretação dos dados, associado a uma margem de</p><p>incerteza, ficam a cargo da ESTATÍSTICA INDUTIVA ou INFERENCIAL, também chamada como a</p><p>medida da incerteza ou métodos que se fundamentam na teoria da probabilidade.</p><p>Gráficos</p><p>São representações visuais dos dados estatísticos que devem corresponder, mas nunca substituir as tabelas</p><p>estatísticas.</p><p>Características:</p><p>Uso de escalas, sistema de coordenadas, simplicidade, clareza e veracidade.</p><p>Gráficos de informação: São gráficos destinados principalmente ao público em geral, objetivando</p><p>proporcionar uma visualização rápida e clara. São gráficos tipicamente expositivos, dispensando</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 70</p><p>comentários explicativos adicionais. As legendas podem ser omitidas, desde que as informações desejadas</p><p>estejam presentes.</p><p>Gráficos de análise: São gráficos que prestam-se melhor ao trabalho estatístico, fornecendo elementos úteis</p><p>à fase de análise dos dados, sem deixar de ser também informativos. Os gráficos de análise freqüentemente</p><p>vêm acompanhados de uma tabela estatística. Inclui-se, muitas vezes um texto explicativo, chamando a</p><p>atenção do leitor para os pontos principais revelados pelo gráfico.</p><p>Uso indevido de Gráficos: Podem trazer uma idéia falsa dos dados que estão sendo analisados, chegando</p><p>mesmo a confundir o leitor. Trata-se, na realidade, de um problema de construção de escalas.</p><p>.Classificação dos gráficos: Diagramas, Estereogramas, Pictogramas e Cartogramas.</p><p>.1 - Diagramas:</p><p>São gráficos geométricos dispostos em duas dimensões. São os mais usados na representação de séries</p><p>estatísticas. Eles podem ser :</p><p>Gráficos em barras horizontais.</p><p>Gráficos em barras verticais ( colunas ).</p><p>Quando as legendas não são breves usa-se de preferência os gráficos em barras horizontais. Nesses gráficos</p><p>os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos dados. A ordem a ser</p><p>observada é a cronológica, se a série for histórica, e a decrescente, se for geográfica ou categórica.</p><p>Gráficos em barras compostas.</p><p>Gráficos em colunas superpostas.</p><p>Eles diferem dos gráficos em barras ou colunas convencionais apenas pelo fato de apresentar cada barra ou</p><p>coluna segmentada em partes componentes. Servem para representar comparativamente dois ou mais</p><p>atributos.</p><p>Gráficos em linhas ou lineares.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 71</p><p>São freqüentemente usados para representação de séries cronológicas com um grande número de períodos</p><p>de tempo. As linhas são mais eficientes do que as colunas, quando existem intensas flutuações nas séries ou</p><p>quando há necessidade de se representarem várias séries em um mesmo gráfico.</p><p>Quando representamos, em um mesmo sistema de coordenadas, a variação de dois fenômenos, a parte</p><p>interna da figura formada pelos gráficos desses fenômeno é denominada de área de excesso.</p><p>Gráficos em setores.</p><p>Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar a</p><p>participação do dado no total. O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setores</p><p>quantas são as partes. Os setores são tais que suas áreas são respectivamente proporcionais aos dados da</p><p>série. O gráfico em setores só deve ser empregado quando há, no máximo, sete dados.</p><p>Obs: As séries temporais geralmente não são representadas por este tipo de gráfico.</p><p>.Estereogramas:</p><p>São gráficos geométricos dispostos em três dimensões, pois representam volume. São usados nas</p><p>representações gráficas das tabelas de dupla entrada. Em alguns casos este tipo de gráfico fica difícil de ser</p><p>interpretado dada a pequena precisão que oferecem.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 72</p><p>.</p><p>Pictogramas:</p><p>São construídos a partir de figuras representativas da intensidade do fenômeno. Este tipo de gráfico tem a</p><p>vantagem de despertar a atenção do público leigo, pois sua forma é atraente e sugestiva. Os símbolos devem</p><p>ser auto-explicativos. A desvantagem dos pictogramas é que apenas mostram uma visão geral do fenômeno,</p><p>e não de detalhes minuciosos. Veja o exemplo abaixo:</p><p>Cartogramas: São ilustrações relativas a cartas geográficas (mapas). O objetivo desse gráfico é o de figurar os</p><p>dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas.</p><p>Probabilidades: conceito, axiomas e distribuições (binominal, normal, poisson, qui-quadrado)</p><p>O cálculo das probabilidades pertence ao campo da Matemática, entretanto a maioria dos fenômenos de que</p><p>trata a Estatística são de natureza aleatória ou probabilística. O conhecimento dos aspectos fundamentais do</p><p>cálculo da probabilidades é uma necessidade essencial para o estudo da Estatística Indutiva ou Inferencial.</p><p>Conceito de Probabilidade</p><p>Chamamos de probabilidade de um evento A (sendo que A está contido no Espaço amostral) o número real</p><p>P(A) , tal que : número de casos favoráveis de A / número total de casos</p><p>OBS: Quando todos os elementos do Espaço amostral tem a mesma chance de acontecer, o espaço amostral</p><p>é chamado de conjunto equiprovável.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 73</p><p>Exemplos:</p><p>1- No lançamento de uma moeda qual a probabilidade de obter cara em um evento A ?</p><p>S = { ca, co } = 2 A = {ca} = 1 P(A) = 1/2 = 0,5 = 50%</p><p>2- No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número par em um evento A ?</p><p>S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 A = { 2,4,6 } = 3 P(A) = 3/6 = 0,5 = 50%</p><p>3- No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número menor ou igual a 6 em um evento</p><p>A ?</p><p>S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 A = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 P(A) = 6/6 = 1,0 = 100%</p><p>Obs: a probabilidade de todo evento certo = 1 ou 100%.</p><p>4- No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número maior que 6 em um evento A ?</p><p>S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 A = { } = 0 P(A) = 0/6 = 0 = 0%</p><p>Obs: a probabilidade de todo evento impossível = 0 ou 0%</p><p>Eventos Complementares</p><p>Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a</p><p>probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe sempre a relação:</p><p>p + q = 1</p><p>Obs:Numa distribuição de probabilidades o somatório das probabilidades atribuídas a cada evento</p><p>elementar é igual a 1 onde p1 + p2 + p3 + ... + pn = 1 .</p><p>Exemplos:</p><p>1-Sabemos que a probabilidade de tirar o nº 4 no lançamento de um dado é p = 1/6. logo, a probabilidade de</p><p>não tirar o nº 4 no lançamento de um dado : q = 1 - p ou q = 1 - 1/6 = 5/6.</p><p>2-Calcular a probabilidade de um piloto de automóveis vencer uma dada corrida, onde as suas "chances",</p><p>segundo os entendidos, são de "3 para 2". Calcule</p><p>também a probabilidade dele perder:</p><p>O termo "3 para 2" significa : De cada 5 corridas ele ganha 3 e perde 2. Então p = 3/5 (ganhar) e q =</p><p>2/5 (perder).</p><p>3-Uma dado foi fabricado de tal forma que num lançamento a probabilidade de ocorrer um número par é o</p><p>dobro da probabilidade de ocorrer número ímpar na face superior, sendo que os três números pares</p><p>ocorrem com igual probabilidade, bem como os três números ímpares. Determine a probabilidade de</p><p>ocorrência de cada evento elementar:</p><p>4-Seja S = {a,b,c,d} . Consideremos a seguinte distribuição de probabilidades: P(a) = 1/8 ; P(b) = 1/8 ; P(c) =</p><p>1/4 e P(d) = x . Calcule o valor de x :</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 74</p><p>5- As chances de um time de futebol T ganhar o campeonato que está disputando são de "5 para 2".</p><p>Determinar a probabilidade de T ganhar e a probabilidade de T perder :</p><p>6- Três cavalos C1,C2 e C3 disputam um páreo, onde só se premiará o vencedor. Um conhecedor dos 3</p><p>cavalos afirma que as "chances" de C1 vencer são o dobro das de C2,e que C2 tem o triplo das "chances" de</p><p>C3. Calcule as probabilidades de cada cavalo vencer o páreo:</p><p>Eventos Independentes</p><p>Quando a realização ou não realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e</p><p>vice-versa.</p><p>Exemplo: Quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no</p><p>outro. Então qual seria a probabilidade de obtermos, simultaneamente, o nº 4 no primeiro dado e o nº 3 no</p><p>segundo dado ?</p><p>Assim, sendo P1 a probabilidade de realização do primeiro evento e P2 a probabilidade de realização do</p><p>segundo evento, a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é dada pela fórmula:</p><p>P(1 n 2) = P(1 e 2) = P(1) x P(2)</p><p>P1 = P(4 dado1) = 1/6 P2 = P(3 dado2) = 1/6</p><p>P total = P (4 dado1) x P (3 dado2) = 1/6 x 1/6 = 1/36</p><p>Eventos Mutuamente Exclusivos</p><p>Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do(s)</p><p>outro(s). Assim, no lançamento de uma moeda, o evento "tirar cara" e o evento "tirar coroa" são</p><p>mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza.</p><p>Se dois eventos são mutuamente exclusivos , a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma</p><p>das probabilidades de que cada um deles se realize:</p><p>P(1 U 2) = P(1 ou 2) = P(1) + P(2)</p><p>Exemplo: No lançamento de um dado qual a probabilidade de se tirar o nº 3 ou o nº 4 ?</p><p>Os dois eventos são mutuamente exclusivos então: P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3</p><p>Obs: Na probabilidade da união de dois eventos A e B, quando há elementos comuns, devemos excluir as</p><p>probabilidades dos elementos comuns a A e B (elementos de A n B ) para não serem computadas duas vezes.</p><p>Assim P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A n B)</p><p>Exemplo: Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade da carta retirada ser ou</p><p>um ÁS ou uma carta de COPAS ?</p><p>P(ÁS U Copas) = P(ÁS) + P(Copas) - P(ÁS n Copas) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52</p><p>Os axiomas da probabilidade formam a base para a teoria da probabilidade matemática. O cálculo de</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 75</p><p>probabilidades pode ser frequentemente determinado pelo uso da análise combinatória ou pela aplicação</p><p>direta dos axiomas. As aplicações da probabilidade vão muito além da estatística, que é geralmente baseada</p><p>na ideia de distribuições de probabilidade e do teorema do limite central.</p><p>Para dar um significado matemático à probabilidade, considere um jogo de cara ou coroa. Intuitivamente, a</p><p>probabilidade de dar cara, qualquer que seja a moeda, é "obviamente 50%"; porém, esta afirmação por si só</p><p>deixa a desejar quanto ao rigor matemático - certamente, enquanto se pode esperar que, ao jogar essa moeda</p><p>10 vezes, teremos 5 caras e 5 coroas, não há garantiasde que isso ocorrerá; é possível, por exemplo,</p><p>conseguir 10 caras sucessivas. O que então o número "50%" significaria nesse contexto?</p><p>Uma proposta é usar a lei dos grandes números. Neste caso, assumimos que é exequível fazer qualquer</p><p>número de arremessos da moeda, com cada resultado sendo independente - isto é, o resultado de cada</p><p>jogada não é afetado pelas jogadas anteriores. Se executarmos N jogadas, e seja NH o número de vezes que a</p><p>moeda deu cara, então pode-se considerar, para qualquer N, a razão NH/N.</p><p>Quando N se tornar cada vez maior, pode-se esperar que, em nosso exemplo, a razão NH/N chegará cada</p><p>vez mais perto de 1/2. Isto nos permite "definir" a probabilidade Pr(H) das caras como o limite matemático,</p><p>com N tendendo ao infinito, desta sequência de quocientes:</p><p>Na prática, obviamente, não se pode arremessar uma moeda uma infinidade de vezes; por isso, em geral,</p><p>esta fórmula se aplica melhor a situações nas quais já se tem fixada uma probabilidadea priori para um</p><p>resultado particular (no nosso caso, nossa convenção é a de que a moeda é uma moeda "honesta"). A lei dos</p><p>grandes números diz que, dado Pr(H) e qualquer número arbitrariamente pequeno ε, existe um</p><p>número n tal que para todo N > n,</p><p>Em outras palavras, ao dizer que "a probabilidade de caras é 1/2", queremos dizer que, se jogarmos nossa</p><p>moeda tantas vezes o bastante, eventualmente o número de caras em relação ao número total de jogadas</p><p>tornar-se-á arbitrariamente próximo de 1/2; e permanecerá ao menos tão próximo de 1/2 enquanto se</p><p>continuar a arremessar a moeda.</p><p>Observe que uma definição apropriada requer a teoria da medida, que provê meios de cancelar aqueles</p><p>casos nos quais o limite superior não dá o resultado "certo", ou é indefinido pelo fato de terem uma medida</p><p>zero.</p><p>O aspecto a priori desta proposta à probabilidade é algumas vezes problemática quando aplicado a situações</p><p>do mundo real. Por exemplo, na peça Rosencrantz e Guildenstern estão mortos, deTom Stoppard, uma</p><p>personagem arremessa uma moeda que sempre dá caras, uma centena de vezes. Ele não pode decidir se isto</p><p>é apenas um evento aleatório - além do mais, é possível, porém improvável, que uma moeda honesta</p><p>pudesse dar tal resultado - ou se a hipótese de que a moeda é honesta seja falsa.</p><p>Distribuições (binominal, normal, poisson, qui-quadrado)</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 76</p><p>Distribuição Binomial</p><p>Vamos imaginar fenômenos cujos resultados só podem ser de dois tipos, um dos quais é considerado como</p><p>sucesso e o outro insucesso. Este fenômeno pode ser repetido tantas vezes quanto se queira (n vezes), nas</p><p>mesmas condições. As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar</p><p>os resultados das sucessivas. No decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabilidade de</p><p>q (q = 1 - p) do insucesso manter-se-ão constantes. Nessas condições X é uma variável aleatória discreta que</p><p>segue uma distribuição binomial.</p><p>P(x) =</p><p>P(x) = é a probabilidade de que o evento se realize x vezes em n provas.</p><p>p = é a probabilidade de que o evento se realize em uma só prova = sucesso.</p><p>q = é a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa prova = insucesso.</p><p>OBS: O nome binomial é devido à fórmula, pois representa o termo geral do desenvolvimento do binômio</p><p>de Newton.</p><p>Exemplos:</p><p>1- Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a probabilidade de serem obtidas 3 caras</p><p>nessas 5 provas.</p><p>n = 5 x = 3 p = 1/2 q = 1 - (1/2) =</p><p>1/2 P(x=3) = 5/16</p><p>2- Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade de o time A ganhar 4</p><p>jogos.</p><p>3- Determine a probabilidade de obtermos exatamente 3 caras em 6 lances de uma moeda.</p><p>4- Jogando-se um dado três vezes, determine a probabilidade de se obter um múltiplo de 3 duas vezes.</p><p>5- Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade de o time A :</p><p>a- ganhar dois ou três jogos;</p><p>b- ganhar pelo menos um jogo;</p><p>6- A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 2/3. Se ele atirar 5 vezes, qual a probabilidade de acertar</p><p>exatamente 2 tiros ?</p><p>7- Seis parafusos são escolhidos ao acaso da produção de certa máquina, que apresenta 10% de peças</p><p>defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos dois deles ?</p><p>DISTRIBUIÇÃO NORMAL</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 77</p><p>Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, uma das mais empregadas é a distribuição</p><p>Normal.</p><p>Muitas das variáveis analisadas na pesquisa sócio-econômica correspondem à distribuição normal ou dela se</p><p>aproximam.</p><p>Propriedades da distribuição normal :</p><p>1ª - A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real.</p><p>2ª - A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da</p><p>média, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss.</p><p>3ª - A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa área corresponde à</p><p>probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real.</p><p>4ª - A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente do</p><p>eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo.</p><p>5ª - Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor maior que a média é</p><p>igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 0,5</p><p>ou 50%. Cada metade da curva representa 50% de probabilidade.</p><p>Quando temos em mãos uma variável aleatória com distribuição normal, nosso principal interesse é obter a</p><p>probabilidade de essa variável aleatória assumir um valor em um determinado intervalo. Vejamos com</p><p>proceder, por meio de um exemplo concreto.</p><p>Exemplo: Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos por certa</p><p>máquina. Vamos supor que essa variável tenha distribuição normal com média = 2 cm e desvio padrão =</p><p>0,04 cm. Qual a probabilidade de um parafuso ter o diâmetro com valor entre 2 e 2,05 cm ?</p><p>P ( 2 < X < 2,05) = ?</p><p>Com o auxílio de uma distribuição normal reduzida, isto é, uma distribuição normal de média = 0 e desvio</p><p>padrão = 1. Resolveremos o problema através da variável z , onde z = (X - ) / S</p><p>Utilizaremos também uma tabela normal reduzida, que nos dá a probabilidade de z tomar qualquer valor</p><p>entre a média 0 e um dado valor z, isto é: P ( 0 < Z < z)</p><p>Temos, então, que se X é uma variável aleatória com distribuição normal de média e desvio padrão S,</p><p>podemos escrever: P( < X < x ) = P (0 < Z < z)</p><p>No nosso problema queremos calcular P(2 < X < 2,05). para obter essa probabilidade, precisamos, em</p><p>primeiro lugar, calcular o valor de z que corresponde a x = 2,05</p><p>z = (2,05 - 2) / 0,04 = 1,25</p><p>Utilização da Tabela Z</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 78</p><p>Procuremos, agora, na tabela Z o valor de z = 1,25</p><p>Na primeira coluna encontramos o valor até uma casa decimal = 1,2. Em seguida, encontramos, na primeira</p><p>linha, o valor 5, que corresponde ao último algarismo do número 1,25. Na intersecção da linha e coluna</p><p>correspondentes encontramos o valor 0,3944, o que nos permite escrever:</p><p>P (0 < Z < 1,25 ) = 0,3944 ou 39,44 %, assim a probabilidade de um certo parafuso apresentar um diâmetro</p><p>entre a média = 2cm e x = 2,05 cm é de 39,44 %.</p><p>Exercícios:</p><p>1- Determine as probabilidades:</p><p>a) P(-1,25 < Z < 0) =</p><p>b) P(-0,5 < Z < 1,48) =</p><p>c) P(0,8 < Z < 1,23) =</p><p>d) P(-1,25 < Z < -1,20) =</p><p>e) P( Z < 0,92) =</p><p>f) P(Z > 0,6) =</p><p>2- Os salários dos bancários são distribuídos normalmente, em torno da média R$ 10.000,00, com desvio</p><p>padrão de R$ 800,00. Calcule a probabilidade de um bancário ter o salário situado entre R$ 9.800,00 e R$</p><p>10.400,00.</p><p>Devemos inicialmente calcular os valores z1 e z2,</p><p>z1 = (9800 - 10000) / 800 = -0,25 e z2 = (10400 - 10000) / 800 = 0,5</p><p>P( 9800 < X < 10400) = P(-0,25 < Z < 0,5) =</p><p>P(-0,25 < Z < 0) + P(0 < Z < 0,5) = 0,0987 +0,1915 = 0,2902 ou 29,02 %</p><p>3- Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média = 100 e desvio padrão = 10.</p><p>Determine a probabilidade de um aluno submetido ao teste ter nota :</p><p>a) maior que 120</p><p>b)maior que 80</p><p>c)entre 85 e 115</p><p>d)maior que 100</p><p>Distribuição de Poisson</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 79</p><p>Considere as situações em que se avalia o número de ocorrências de um determinado evento por unidade de</p><p>tempo, de comprimento, de área ou de volume (genericamente denominados de área de oportunidade). Em</p><p>muitos casos, conhece-se o número de sucessos, mas às vezes é muito difícil ou até mesmo impossível</p><p>determinar o número de fracassos. Imagine o número de automóveis que passam por uma esquina: pode-se</p><p>anotar o número de veículos que passaram num determinado intervalo de tempo, mas não se pode</p><p>determinar quantos deixaram de passar.</p><p>A distribuição de Poisson é aplicada nos tipos de situações em que nos interessa o número de vezes em que</p><p>um evento pode ocorrer durante um intervalo de tempo ou em determinado ambiente físico (área de</p><p>oportunidade). Tomando como referência o número de ocorrências em determinado intervalo de tempo,</p><p>em um processo de Poisson podem ser observados eventos discretos num intervalo de tempo, de tal forma</p><p>que, reduzindo suficientemente este intervalo, tenhamos:</p><p>HIPÓTESES DO MODELO DE POISSON</p><p>1. A probabilidade de observar apenas um sucesso no intervalo é estável.</p><p>2. A probabilidade de observar mais que um sucesso no intervalo é zero.</p><p>3. A ocorrência de um sucesso em qualquer intervalo é independente da ocorrência de sucesso em qualquer</p><p>outro intervalo.</p><p>A distribuição de Poisson é caracterizada apenas pelo parâmetro λ, que representa o valor esperado ou</p><p>média, do número de sucessos por intervalo t. Em outras palavras, λ é a taxa de ocorrência dos eventos no</p><p>intervalo de tempo.</p><p>A função de probabilidade da distribuição de Poisson é :</p><p>onde:</p><p>e é uma constante (base do logarítmo neperiano) valendo aproximadamente 2,718...</p><p>λ é o número esperado de sucessos no intervalo considerado</p><p>x é o número de sucessos (x = 0, 1, 2, ...,∞.)</p><p>Distribuição Qui-Quadrado</p><p>É um modelo de distribuição contínua muito importante para a teoria da inferência estatística.</p><p>Considere x1, x2, x3 ...xp, “n” variáveis aleatórias independentes, normalmente distribuídas com média zero e</p><p>variância 1, ou seja, “n” variáveis tipo normal padrão.</p><p>Define-se a variável aleatória com distribuição Qui-Quadrado como:</p><p>n</p><p>2 = x1</p><p>2 + x2</p><p>2 + x3</p><p>2 + ... + xn</p><p>2 ou</p><p>onde “n” é um parâmetro da função densidade de probabilidade denominado grau de liberdade e</p><p>geralmente denotado pela letra grega  (lê-se fi), ou eventualmente por gl.</p><p>CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO QUI-QUADRADO</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano</p><p>80</p><p>x!</p><p>λe</p><p>x}P{X</p><p>xλ−</p><p>==</p><p>∑</p><p>=</p><p>=</p><p>n</p><p>1i</p><p>2</p><p>i</p><p>2</p><p>n zχ</p><p>1. n</p><p>2  0</p><p>2. Média = n</p><p>3. Variância = 2n</p><p>4. A função densidade de probabilidade está representada graficamente para alguns valores de n:</p><p>Observe que à medida que n cresce, a função de densidade de probabilidade tende à forma da FUNÇÃO</p><p>NORMAL.</p><p>TABELA QUI-QUADRADO</p><p>A tabela do Qui-Quadrado em função do grau de liberdade n, apresenta o valor numérico da VA que deixa</p><p>à sua direita determinada área α, ou seja α = P(X  x)</p><p>Para cálculo da probabilidade P(X  x), ou seja, área na cauda esquerda da distribuição, utiliza-se a</p><p>propriedade P(X  x) = 1 – P(X  x) = 1 – α, conforme ilustrado abaixo.</p><p>1. O valor à direita, chamado qui-quadrado superior,</p><p>é obtido na tabela com n =12 e α =0,025.</p><p>Logo, x2 = 23,34</p><p>2. O valor da abscissa à esquerda, chamado</p><p>qui-quadrado inferior, é obtido da tabela</p><p>com n =12 e α =1 - 0,025, portanto α =0,975.</p><p>Logo, x2 = 4,40</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 81</p><p>Inferência estatística</p><p>A Inferência Estatística consiste de procedimentos para fazer generalizações sobre as características de uma</p><p>população a partir da informação contida na amostra.</p><p>O que é? Quando se utiliza? Para que serve?</p><p>* É um processo de raciocínio indutivo, em que se procuram tirar conclusões indo do particular, para o</p><p>geral. É um tipo de raciocínio contrário ao tipo de raciocínio matemático, essencialmente dedutivo.</p><p>* Utiliza-se quando se pretende estudar uma população, estudando só alguns elementos dessa população, ou</p><p>seja, uma amostra.</p><p>* Serve para, a partir das propriedades verificadas na amostra, inferir propriedades para a população</p><p>Amostragem: amostras casuais e não casuais. Processos de amostragem, incluindo estimativas de</p><p>parâmetros. Intervalos de confiança.</p><p>Como podemos determinar quantas pessoas em uma população apresentam certa característica? Por</p><p>exemplo, quantos eleitores apoiam um candidato à presidência? Ou então, da população de determinado</p><p>estado, quantas pessoas são crianças, quantas vivem em centros urbanos, quantas estão desempregadas?</p><p>Uma forma de responder a essas questões consiste em entrevistar todas as pessoas. Mas este é um processo</p><p>demorado e caro.</p><p>Outro processo possível consiste então em consultar um grupo de pessoas, que constituem um amostra. Se</p><p>a amostra representa de fato toda a população, podemos utilizar as características dos seus elementos para</p><p>estimar as características de toda população.</p><p>Distinguiremos dois tipos de amostragem: a probabilística e a não-probabilística. A amostragem será</p><p>probabilística se todos os elementos da população tiverem probabilidade conhecida, e diferente de zero, de</p><p>pertencer à amostra. Caso contrário, a amostragem será não probabilística.</p><p>Segundo essa definição, a amostragem probabilística implica um sorteio com regras bem determinadas, cuja</p><p>realização só será possível se a população for finita e totalmente acessível.</p><p>Exemplo: Numa empresa deseja-se escolher 3 diretores entre seus chefes executivos. A escolha é aleatória</p><p>e não depende do prestígio, da capacidade, dos anos de serviço, etc. Temos uma amostragemprobabilística.</p><p>As técnicas da estatística pressupõem que as amostras utilizadas sejam probabilísticas, o que muitas</p><p>vezes não se pode conseguir. No entanto o bom senso irá indicar quando o processo de amostragem,</p><p>emboranão sendo probabilístico, pode ser, para efeitos práticos, considerado como tal. Isso amplia</p><p>consideravelmente as possibilidades de utilização do método estatístico em geral.</p><p>A utilização de uma amostragem probabilística é a melhor recomendação que se deve fazer no sentido de se</p><p>garantir a representatividade da amostra, pois o acaso será o único responsável por eventuais discrepâncias</p><p>entre população e amostra, o que é levado em consideração pelos métodos de análise da Estatística Indutiva.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 82</p><p>A amostra casual simples é composta por elementos retirados ao acaso da população. Então todo elemento</p><p>da população tem igual probabilidade de ser escolhido para a mostra. Um exemplo ajuda a entender essa</p><p>técnica de amostragem.</p><p>Imagine que um professor quer obter uma mostra casual simples dos alunos de sua escola. Para isso, pode</p><p>organizar um sorteio com fichas numeradas, de zero a nove. Para fazer o sorteio, o professor retira uma</p><p>ficha de uma urna e anota o número. Esse número será o primeiro dígito do número do aluno que será</p><p>sorteado para a amostra. Feito isso, o professor recoloca a ficha na urna, mistura, retira outra ficha e anota o</p><p>número, que será o segundo dígito do número do aluno que será sorteado para a amostra. Esse</p><p>procedimento deve ser repetido até que sejam retirados todos os dígitos do número do aluno sorteado.</p><p>Se a escola tem, por exemplo, 832 alunos, os números dos alunos têm três dígitos. Para sortear um aluno, é</p><p>preciso retirar três fichas da urna, uma de cada vez, sempre lembrando que a ficha retirada deve ser</p><p>recolocada na urna antes de nova retirada. O número de um dos alunos sorteados poderia ser, por exemplo,</p><p>377 assim obtido:</p><p>Primeira ficha: 3</p><p>Segunda ficha: 7</p><p>Terceira ficha: 7</p><p>É claro que devem ser desprezados números maiores do que 832 (se a escola tem 832 alunos, nenhum aluno</p><p>recebeu número maior do que 832), números que já foram sorteados e o número 000. O professor sorteia</p><p>tantos números quantos são os alunos que ele quer na amostra.</p><p>A amostra não-casual é a amostra não probabilística.</p><p>Processos de amostragem, incluindo estimativas de parâmetros</p><p> Amostragem por conglomerado</p><p>A população é dividida em diferentes conglomerados (grupos), extraindo-se uma amostra apenas dos</p><p>conglomerados selecionados, e não de toda a população. O ideal seria que cada conglomerado representasse</p><p>tanto quanto possível o total da população. Na prática, selecionam-se os conglomerados geograficamente.</p><p>Escolhem-se aleatoriamente algumas regiões, em seguida algumas sub-regiões e finalmente, alguns lares.</p><p>Esse processo possibilita ao pesquisador entrevistar apenas poucas pessoas.</p><p> Amostragem Estratificada</p><p>Se a população pode ser dividida em subgrupos que consistem, todos eles, em indivíduos bastante</p><p>semelhantes entre si, pode-se obter uma amostra aleatória de pessoas em cada grupo. Esse processo pode</p><p>gerar amostras bastante precisas, mas só é viável quando a população pode ser dividida em grupos</p><p>homogêneos.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 83</p><p> Amostragem Aleatória Simples</p><p>A amostragem aleatória simples é a maneira mais fácil para selecionarmos uma amostra probabilística de</p><p>um população. Comecemos introduzindo o conceito de AAS de uma população finita, para a qual temos</p><p>uma listagem de todas as unidades elementares. Podemos obter uma amostra nessas condições, escrevendo</p><p>cada elemento num cartão, misturando-os numa urna e sorteando tantos cartões quantos desejarmos na</p><p>amostra. Esse procedimento torna-se inviável quando a população é muito grande. Nesse caso, usa-se um</p><p>processo alternativo, no qual os elementos são numerados e em seguida sorteados por meio de uma tabela</p><p>de números aleatórios.</p><p>Utilizando-se um procedimento aleatório, sorteia-se um elemento da população, sendo que todos os</p><p>elementos têm a mesma probabilidade de ser selecionados. Repete-se o procedimento até que sejam</p><p>sorteadas as</p><p>unidades da amostra.</p><p>Podemos ter uma AAS com reposição, se for permitido que uma unidade possa ser sorteada mais de uma</p><p>vez, e sem reposição, se a unidade sorteada for removida da população.</p><p>Do ponto de vista da quantidade de informação contida na amostra, amostrar sem reposição é mais</p><p>adequado. Contudo, a amostragem com reposição conduz a um tratamento teórico mais simples, pois ela</p><p>implica que tenhamos independência entre as unidades selecionadas. Essa independência facilita o</p><p>desenvolvimento das propriedades dos estimadores que serão considerados.</p><p>Se a população for infinita então as retiradas com e sem reposição serão equivalentes, isto é, se a população</p><p>for infinita (ou então muito grande), o fato de se recolocar o elemento retirado de volta na população não</p><p>vai afetar em nada a probabilidade de extração do elemento seguinte.</p><p>Se, no entanto, a população for finita (e pequena) será necessário fazer uma distinção entre os dois</p><p>procedimentos, pois na extração com reposição as diversas retiradas serão independentes, mas no processo</p><p>sem reposição haverá dependência entre as retiradas, isto é, o fato de não recolocar o elemento retirado</p><p>afeta a probabilidade do elemento seguinte ser retirado. A amostragem sem reposição é mais eficiente que</p><p>aamostragem com reposição e reduz a variabilidade uma vez que não é possível retirar elementos extremos</p><p>mais do que uma vez.</p><p> Amostragem Sistemática</p><p>Quando os elementos da população se apresentam ordenados e a retirada dos elementos da amostra é feita</p><p>periodicamente, temos uma amostragem sistemática. Assim, por exemplo, em uma linha de produção,</p><p>podemos, a cada dez itens produzidos, retirar um para pertencer a uma amostra da produção diária.</p><p>Amostras não-probabilísticas são também, muitas vezes, empregados em trabalhos estatísticos, por</p><p>simplicidade ou por impossibilidade de se obterem amostras probabilísticas, como seria desejável. No</p><p>entantoprocessos não-probabilísticos de amostragem têm também sua importância. Sua utilização,</p><p>entretanto, deve ser feita com cuidado.</p><p>Apresentamos a seguir algumas técnicas de amostragem não-probabilística.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 84</p><p> Inacessibilidade a toda população</p><p>Esta situação ocorre com muita freqüência na prática. Por exemplo, seja a população que nos interessa</p><p>constituída de todas as peças produzidas por certa máquina. Ora, mesmo estando a máquina em</p><p>funcionamento normal, existe uma parte da população que é formada pelas peças que ainda vão ser</p><p>produzidas. Ou então se nos interessar a população de todos os portadores de febre tifóide, estaremos diante</p><p>de um caso semelhante. Deve-se notar que, em geral, estudos realizados com base nos elementos da</p><p>população amostrada terão, na verdade, seu interesse de aplicação voltado para os elementos restantes da</p><p>população.</p><p>Este caso de amostragem não-probabilística pode ocorrer também quando, embora se tenha a possibilidade</p><p>de atingir toda a população, retiramos a amostra de uma parte que seja prontamente acessível. Assim, se</p><p>fôssemos recolher uma amostra de um monte de minério, poderíamos por simplificação retirar a amostra de</p><p>uma camada próxima da superfície do monte, pois o acesso as porções interiores seria problemático.</p><p> Amostragem a esmo</p><p>É a amostragem em que o amostrador, para simplificar o processo, procura ser aleatório sem, no entanto,</p><p>realizar propriamente o sorteio usando algum dispositivo aleatório confiável. Por exemplo, se desejarmos</p><p>retirar uma amostra de 100 parafusos de uma caixa contendo 10.000, evidentemente não faremos uma AAS,</p><p>pois seria muito trabalhosa, mas retiramos simplesmente a esmo.</p><p>Os resultados da amostragem a esmo são, em geral, equivalentes aos da amostragem probabilística se a</p><p>população é homogênea e se não existe a possibilidade de o amostrador ser inconscientemente influenciado</p><p>por alguma característica dos elementos da população.</p><p> Amostragens intencionais</p><p>Enquadram-se aqui os diversos casos em que o amostrador deliberadamente escolhe certos elementos para</p><p>pertencer à amostra, por julgar tais elementos bem representativos. O perigo desse tipo de amostragemé</p><p>grande, pois o amostrador pode facilmente se enganar em seu pré-julgamento.</p><p> Amostragem por voluntários</p><p>Ocorre, por exemplo, no caso da aplicação experimental de uma nova droga em pacientes, quando a ética</p><p>obriga que haja concordância dos escolhidos.</p><p>Distribuições Amostrais</p><p>O conceito de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória será agora utilizado para caracterizar</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 85</p><p>a distribuição dos diversos valores de uma variável em uma população.</p><p>Ao retirar uma amostra aleatória de uma população estaremos considerando cada valor da amostra como</p><p>um valor de uma variável aleatória cuja distribuição de probabilidade é a mesma da população no instante</p><p>da retirada desse elemento para a amostra.</p><p>Em conseqüência do fato de os valores da amostra serem aleatórios, decorre que qualquer quantidade</p><p>calculada em função dos elementos da amostra também será uma variável aleatória.</p><p>Parâmetros – são valores teóricos correspondentes a população.</p><p>Estatísticas – são funções dos valores amostrais.</p><p>As estatísticas, sendo variáveis aleatórias, terão alguma distribuição de probabilidade, com uma média,</p><p>variância, etc. A distribuição de probabilidade de uma estatística chama-se comumente distribuição</p><p>amostral ou distribuição por amostragem.</p><p>Estimação</p><p>A inferência estatística tem por objetivo fazer generalizações sobre uma população, com base nos dados de</p><p>amostra. Um dos itens básicos nesse processo é a estimação de parâmetros. A estimação pode ser por ponto</p><p>ou por intervalo.</p><p> Estimativa por Ponto: é a estimativa de um parâmetro populacional por um único valor.</p><p> Estimativa por Intervalo: consiste em um intervalo em torno da estimativa por ponto de tal forma que</p><p>ele possua probabilidade conhecida (nível de confiança (1-)) de conter o verdadeiro valor do parâmetro.</p><p>Este intervalo é conhecido por intervalo de confiança (IC).</p><p>Intervalo de confiança para a média  de uma população</p><p>Os intervalos de confiança para a média são tipicamente construídos com o estimador no centro do</p><p>intervalo.</p><p>1- Quando  é conhecido:</p><p>Quando o uso da distribuição normal está garantido, o intervalo de confiança para a média é determinado</p><p>por:</p><p>IC = ( - z ; + z ) ou</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 86</p><p>IC = ( - z ; + z )</p><p>no caso de população finita de tamanho N e amostragem sem reposição.</p><p>Os intervalos de confiança mais freqüentemente utilizados são os de 90%, 95% e 99%.</p><p>z (1-)</p><p>1,65 0,90</p><p>1,96 0,95</p><p>2,58 0,99</p><p>Matemática Financeira</p><p>Juros</p><p>Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicação financeira, valor referente ao atraso no</p><p>pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital.</p><p>Existem dois tipos de juros:</p><p>Os Juros Simples - São acréscimos que são somados ao capital inicial no final da aplicação</p><p>Juros Compostos - São acréscimos que são somados ao capital, ao fim de cada período de aplicação,</p><p>formando com esta soma um novo capital.</p><p>Capital ou Valor Principal é o valor que é financiado, seja na compra de produtos</p><p>o elemento neutro (zero), o resultado será o</p><p>próprio número natural.</p><p>4.Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas</p><p>não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo</p><p>resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.</p><p>Curiosidade: Tabela de adição</p><p>Para somar dois números, com a tabela, um em uma linha e outro em uma coluna, basta fixar um número</p><p>na 1a. coluna e um segundo número na 1a. linha. Na interseção da linha e coluna fixadas, obtemos a soma</p><p>dos números.</p><p>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10</p><p>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 6</p><p>2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12</p><p>3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13</p><p>4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14</p><p>5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15</p><p>6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16</p><p>7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17</p><p>8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18</p><p>9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19</p><p>10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20</p><p>11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21</p><p>Por exemplo, se tomarmos o número 7 na linha horizontal e o número 6 na linha vertical, obteremos a</p><p>soma 13 que está no cruzamento da linha do 7 com a coluna do 6.</p><p>Multiplicação de Números Naturais</p><p>É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela,</p><p>tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominado multiplicador.</p><p>Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes:</p><p>4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36</p><p>O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o produto, são</p><p>chamados fatores. Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação.</p><p>Propriedades da multiplicação</p><p>1.Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois realizando o</p><p>produto de dois ou mais números naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de</p><p>multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A multiplicação é uma lei</p><p>de composição interna no conjunto N.</p><p>2.Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se</p><p>multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número</p><p>natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo</p><p>segundo.</p><p>(m.n).p = m.(n.p)</p><p>(3.4).5 = 3.(4.5) = 60</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 7</p><p>3.Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a</p><p>multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que:</p><p>1.n = n.1 = n</p><p>1.7 = 7.1 = 7</p><p>4.Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não</p><p>altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o</p><p>mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento.</p><p>m.n = n.m</p><p>3.4 = 4.3 = 12</p><p>Propriedade Distributiva</p><p>Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator,</p><p>por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.</p><p>m.(p+q) = m.p + m.q</p><p>6x(5+3) = 6x5 + 6x3 = 30 + 18 = 48</p><p>Divisão de Números Naturais</p><p>Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no</p><p>primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o</p><p>divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos</p><p>o dividendo.</p><p>No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número</p><p>natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.</p><p>Relações essenciais numa divisão de números naturais</p><p>1.Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.</p><p>35 : 7 = 5</p><p>2.Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente.</p><p>35 = 5 x 7</p><p>3.A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente</p><p>fosse q, então poderíamos escrever:</p><p>n ÷ 0 = q</p><p>e isto significaria que:</p><p>n = 0 x q = 0</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 8</p><p>o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.</p><p>Potenciação de Números Naturais</p><p>Para dois números naturais m e n, a expressão mn é um produto de n fatores iguais ao número m, ou seja:</p><p>mn = m . m . m ... m . m</p><p>m aparece n vezes</p><p>O número que se repete como fator é denominado base que neste caso é m. O número de vezes que a base</p><p>se repete é denominado expoente que neste caso é n. O resultado é denominado potência.</p><p>Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais, como por exemplo:</p><p>23 = 2 × 2 × 2 = 8</p><p>43 = 4 × 4 × 4 = 64</p><p>Propriedades da Potenciação</p><p>1.Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, denotada por 1n, será sempre igual a 1.</p><p>Exemplos:</p><p>a.1n = 1×1×...×1 (n vezes) = 1</p><p>b.13 = 1×1×1 = 1</p><p>c.17 = 1×1×1×1×1×1×1 = 1</p><p>2.Se n é um número natural não nulo, então temos que no=1. Por exemplo:</p><p>(a) nº = 1</p><p>(b) 5º = 1</p><p>(c) 49º = 1</p><p>3.A potência zero elevado a zero, denotada por 0o, é carente de sentido no contexto do Ensino.</p><p>4.Qualquer que seja a potência em que a base é o número natural n e o expoente é igual a 1,</p><p>denotada por n1, é igual ao próprio n. Por exemplo:</p><p>(a) n¹ = n</p><p>(b) 5¹ = 5</p><p>(c) 64¹ = 64</p><p>5.Toda potência 10n é o número formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros.</p><p>Exemplos:</p><p>a.103 = 1000</p><p>b.108 = 100.000.000</p><p>c.10o = 1</p><p>M.D.C. e M.M.C.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 9</p><p>Diz-se que um número natural a é múltiplo de outro natural b, se existe um número natural k tal que:</p><p>a = k × b</p><p>Exemplos:</p><p>(a) 15 é múltiplo de 5, pois 15=3×5.</p><p>(b) 24 é múltiplo de 4, pois 24=6×4.</p><p>(c) 24 é múltiplo de 6, pois 24=4×6.</p><p>(d) 27 é múltiplo de 9, pois 27=3×9.</p><p>Se a=k×b, então a é múltiplo de b, mas também, a é múltiplo de k, como é o caso do número 35 que é</p><p>múltiplo de 5 e de 7, pois:</p><p>35=7×5</p><p>Se a=k×b, então a é múltiplo de b e se conhecemos b e queremos obter todos os seus múltiplos, basta fazer k</p><p>assumir todos os números naturais possíveis. Para obter os múltiplos de 2, isto é, os números da forma</p><p>a=k×2 onde k é substituído por todos os números naturais possíveis. A tabela abaixo nos auxiliará:</p><p>0=0×2, 2=1×2, 4=2×2, 6=3×2, 8=4×2, 10=5×2, 12=6×2</p><p>O conjunto dos números naturais é infinito, assim existem infinitos múltiplos para qualquer número</p><p>natural. Se y é um número natural, o conjunto de todos os múltiplos de y, será denotado por M(y). Por</p><p>exemplo:</p><p>M(7)={ 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, ... }</p><p>M(11)={ 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, ... }</p><p>Observação: Como estamos considerando 0 como um número natural, então o zero será múltiplo de todo</p><p>número natural. Tomando k=0 em a=k.b obtemos a=0 para todo b natural. Por exemplo:</p><p>0=0×2, 0=0×5, 0=0×12, 0=0×15</p><p>Observação: Um número b é múltiplo dele mesmo.</p><p>a = 1 × b se, e somente se, a = b</p><p>Por exemplo, basta tomar o mesmo número multiplicado por 1 para obter um múltiplo dele próprio, como:</p><p>3=1x3, 5=1x5 e 15=1x15.</p><p>Divisores de números Naturais</p><p>A definição de divisor está relacionada com a de múltiplo. Um número natural</p><p>ou empréstimos em</p><p>dinheiro.</p><p>A grande diferença dos juros é que no final das contas quem financia por juros simples obtém um montante</p><p>(valor total a pagar) inferior ao que financia por juros compostos.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 87</p><p>Transformando toda esta definição em fórmula:</p><p>J = P.i.n</p><p>Onde:</p><p>J = Juros</p><p>P = Principal (capital)</p><p>I = Taxa de juros</p><p>N = Número de período</p><p>Exemplos de fixação Juros Simples</p><p>a) Um funcionário tem uma dívida de R$ 500,00 que de ser paga com juros de 6% a.m pelo sistema de juros</p><p>simples e este deve fazer o pagamento em 03 meses.</p><p>Aplicando a fórmula de juros simples</p><p>J = P.i.n</p><p>Substituindo valores :</p><p>J = 500 x 0,06 x 3 = R$ 90,00</p><p>O montante total será de R$ 590,00</p><p>Ou seja,</p><p>Montante = Principal + Juros</p><p>Montante = Principal + (Principal x Taxa de juros x Número de períodos)</p><p>Assim sendo, a fórmula do montante é :</p><p>M = P . ( 1 + ( i . n ) )</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 88</p><p>b) Calcule o montante resultante da aplicação de R$ 60.000,00 à taxa de 9,5% a.a durante 120 dias.</p><p>Aplicando a fórmula de montante</p><p>M = P . ( 1 + ( i . n ) )</p><p>Substituindo os valores:</p><p>M = 60.000 x [1 + (9,5/100).(120/360)] = R$ 61.896,00</p><p>Vale observar que é expresso a taxa “i” e o período “n”, na mesma unidade de tempo (anos). Por tanto é</p><p>preciso dividir 120/360, para se obter o valor equivalente em anos, levando-se em consideração que o ano</p><p>comercial são 360 dias</p><p>Exercícios de fixação</p><p>Nos exercícios anteriores vimos apenas exemplos práticos de uso das fórmulas, agora serão vistos exercícios</p><p>com as respectivas respostas e algumas ocasiões de aplicações.</p><p>1) Calcular os juros simples de R$ 1.500,00 a 13 % a.a. por 2 anos..</p><p>Escrevendo a fórmula</p><p>J = P.i.n</p><p>j = 1.500 x 0,13 x 2 = R$ 390,00</p><p>2) Calcular os juros simples produzidos por R$20.000,00, aplicados à taxa de 32% a.a., durante 155 dias.</p><p>Escrevendo a fórmula</p><p>J = P.i.n</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 89</p><p>Calculando o tempo da taxa = 32% a.a equivale a 32%/360 dias = 0,088 a.d</p><p>Desta forma como a taxa e o período estão convertidos à mesma unidade de tempo (dias), podemos usar a</p><p>fórmula e efetuar o cálculo diretamente:</p><p>J = 20.000 x 0,088 x 155 = R$ 2.728,00</p><p>3) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,5% a.m. rende R$2.600,00 de juros em 90 dias?</p><p>Escrevendo a fórmula</p><p>J = P.i.n</p><p>Temos imediatamente: J = P.i.n, ou seja: 2.600 = P.(1,5/100).(90/30)</p><p>Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses.</p><p>Assim:</p><p>2.600 = P. 0,015 . 3 = P . 0,045</p><p>Na sequência, temos:</p><p>P = 2.600 / 0,045 = R$ 57.777,77</p><p>4) Se a taxa de uma aplicação é de 130% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital</p><p>aplicado através de capitalização simples?</p><p>Escrevendo a fórmula de Juros para Fixação</p><p>J = P.i.n</p><p>(não será usada neste exercício)</p><p>Escrevendo a fórmula de Montante para Fixação</p><p>M = P (1 + i.n)</p><p>Objetivo final: M = 2.P</p><p>Dados do problema: i = 130/100 = 1,3</p><p>Resolução:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 90</p><p>2P = P (1 + 1,3 n)</p><p>2 = 1 + 1,3. n</p><p>n =0, 869, arredondado = 8 meses</p><p>Taxa Real: Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.</p><p>Taxa Efetiva: A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide</p><p>com aquele a que a taxa está referida.</p><p>Exemplos:</p><p>1.120% ao mês com capitalização mensal.</p><p>2.450% ao semestre com capitalização semestral.</p><p>3.1300% ao ano com capitalização anual.</p><p>Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: A taxa Real não é a diferença entre a taxa efetiva e a taxa</p><p>da inflação. Na realidade, existe uma ligação íntima entre as três taxas, dadas por:</p><p>1+iefetiva = (1+ireal) (1+iinflação)</p><p>Exemplo: Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e um valor aplicado no início do mês produziu um</p><p>rendimento global de 32,6% sobre o valor aplicado, então o resultado é igual a 1,326 sobre cada 1 unidade</p><p>monetária aplicada. Assim, a variação real no final deste mês, será definida por:</p><p>vreal = 1 + ireal</p><p>que pode ser calculada por:</p><p>vreal = resultado / (1 + iinflação)</p><p>isto é:</p><p>vreal = 1,326 / 1,3 = 1,02</p><p>o que significa que a taxa real no período, foi de:</p><p>ireal = 2%</p><p>Aplicação em caderneta de poupança: Se o governo anuncia que a Caderneta de Poupança proporciona um</p><p>rendimento real de 0,5% ao mês (=0,005), significa que o seu dinheiro deve ser corrigido pela taxa da</p><p>inflação iinflação, isto é, deve ser multiplicado por 1 + iinflação e depois multiplicado por 1+0,5%=1,005.</p><p>Exemplo: Se uma pessoa possuia numa caderneta de poupança o valor de CR$ 670.890,45 no dia 30/04/93 e</p><p>a taxa da inflação desde esta data até 30/05/93 foi de 35,64% entao ele terá em sua conta no dia 30/05/93, o</p><p>valor de:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 91</p><p>V = 670.890,45 x 1,3564 x 1,005 = 914.545,77</p><p>Taxas equivalentes</p><p>Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo,</p><p>através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final.</p><p>Exemplo: A aplicação de R$1.000,00 à taxa de 10% ao mês durante 3 meses equivale a uma única aplicação</p><p>com a taxa de 33,1% ao trimestre. Observemos o Fluxo de caixa da situação.</p><p>Tomando P=1.000,00; i1=0,1 ao mês e n1=3 meses, seguirá pela fórmula do Montante composto, que :</p><p>S1=P(1+i1)3=1000(1+0,1)3=1000.(1,1)3=1331,00</p><p>Tomando P=1.000,00; i2=33,1% ao trimestre e n2=1 trimestre e usando a fórmula do Montante composto,</p><p>teremos:</p><p>S2=C(1+i2)1=1000(1+0,331)=1331,00</p><p>Logo S1=S2 e a taxa de 33,1% ao trimestre é equivalente à taxa capitalizada de 10% ao mês no mesmo</p><p>trimestre.</p><p>Observação sobre taxas equivalentes: Ao afirmar que a taxa nominal de uma aplicação é de 300% ao ano</p><p>capitalizada mensalmente, estamos entendemos que a taxa é de 25% ao mês e que está sendo aplicada mês a</p><p>mês, porque:</p><p>i = 300/12 = 25</p><p>Analogamente, temos que a taxa nominal de 300% ao ano corresponde a uma taxa de 75% ao trimestre,</p><p>aplicada a cada trimestre, porque:</p><p>i = 300/4 = 75</p><p>É evidente que estas taxas não são taxas efetivas.</p><p>Cálculos de taxas equivalentes: Como vimos, taxas equivalentes são aquelas obtidas por diferentes processos</p><p>de capitalização de um mesmo Principal P para obter um mesmo montante S.</p><p>Consideraremos ia uma taxa ao ano e ip uma taxa ao período p, sendo que este período poderá ser: 1</p><p>semestre, 1 quadrimestre, 1 trimestre, 1 mês, 1 quinzena, 1 dia ou outro que se deseje. Deve ficar claro que</p><p>tomamos 1 ano como o período integral e que o número de vezes que cada período parcial ocorre em 1 ano</p><p>é indicado por Np.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano</p><p>92</p><p>Exemplo: 1 ano = 2 semestres = 3 quadrimestres = 4 trimestres = 12 meses = 24 quinzenas = 360 dias.</p><p>A fórmula básica que fornece a equivalência entre duas taxas é:</p><p>1 + ia = (1+ip)Np</p><p>onde</p><p>ia taxa anual</p><p>ip taxa ao período</p><p>Np número de vezes em 1 ano</p><p>Situações possíveis com taxas equivalentes</p><p>Fórmula Taxa Período Número de vezes</p><p>1+ia = (1+isem)2 isem semestre 2</p><p>1+ia = (1+iquad)3 iquad quadrimestre 3</p><p>1+ia = (1+itrim)4 itrim trimestre 4</p><p>1+ia = (1+imes)12 imes mês 12</p><p>1+ia = (1+iquinz)24 iquinz quinzena 24</p><p>1+ia = (1+isemana)24 isemana semana 52</p><p>1+ia = (1+idias)365 idias dia 365</p><p>Exemplo: Qual será a taxa efetiva que equivale à taxa de 12% ao ano capitalizada mês a mês?</p><p>Vamos entender a frase: "12% ao ano capitalizada mês a mês". Ela significa que devemos dividir 12% por 12</p><p>meses para obter a taxa que é aplicada a cada 1 mês. Se estivesse escrito "12% ao ano capitalizada</p><p>trimestralmente" deveriamos entender que a taxa ao trimestre seria igual a 12% dividido por 4 (número de</p><p>trimestres de 1 ano) que é 3%.</p><p>Vamos observar o fluxo de caixa da situação:</p><p>Solução: A taxa mensal é i1=12%/12=1%=0,01, assim a taxa efetiva pode ser obtida por</p><p>1+i2 = (1,01)12 = 1,1268247</p><p>logo</p><p>i2 = 0,1268247 = 12,68247%</p><p>Observação: Se iinflação=0, a taxa real equivale à taxa efetiva.</p><p>Exemplo: Qual é a taxa mensal efetiva que equivale à taxa de 12% ao ano? Neste caso, a fórmula a ser usada</p><p>é:</p><p>1+ia = (1 + imes)12</p><p>Como ia=12%=0,12 basta obter i(mes) com a substituição dos valores na fórmula acima para obter:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 93</p><p>1,12 = [1 + i(mes)]12</p><p>Existem outras maneiras para resolver esta equação exponencial mas aplicaremos o logaritmo na base 10 a</p><p>ambos os lados da igualdade para obter:</p><p>log(1,12) = 12 log[1+i(mes)]</p><p>log(1,12)/12 = log[1 + i(mes)]</p><p>0,04921802267018/12 = log[1 + i(mes)]</p><p>0,004101501889182 = log[1+i(mes)]</p><p>assim</p><p>100,004101501889182 = 10log[1+i(mes)]</p><p>Desenvolvendo a potência obtemos:</p><p>1,009488792934 = 1 + i(mes)</p><p>0,009488792934 = i(mes)</p><p>i(mes) = 0,9488792934%</p><p>Aplicações e Operações com Inequações</p><p>Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade.As inequações do 1º grau</p><p>com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas:</p><p>, , , , como a e b reais . Exemplos:</p><p>Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveis</p><p>Método prático</p><p>•Substituímos a desigualdade por uma igualdade.</p><p>•Traçamos a reta no plano cartesiano.</p><p>•Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo satisfaz ou</p><p>não a desigualdade inicial.</p><p>Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o pontoauxiliar.</p><p>Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto aquele ao qual pertence o</p><p>ponto auxiliar. Exemplos:</p><p>•Representamos graficamente a inequação</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 94</p><p>Tabela</p><p>x y (x, y)</p><p>0 4 (0, 4)</p><p>2 0 (2, 0)</p><p>Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação</p><p>Verificamos:</p><p>(Afirmativa positiva, o ponto auxiliar satisfaz a inequação)</p><p>A solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0).</p><p>As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de Bháskara. O resultado deve ser comparado</p><p>ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução.</p><p>Exemplo 1</p><p>Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0.</p><p>S = {x ? R / –7/3 < x < –1}</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 95</p><p>Exemplo 2</p><p>Determine a solução da inequação –2x² – x + 1 ≤ 0.</p><p>S = {x ? R / x ≤ –1 ou x ≥ 1/2}</p><p>Exemplo 3</p><p>Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0.</p><p>S = {x ? R / x ≤ 0 ou x ≥ 4}</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 96</p><p>Exemplo 4</p><p>Calcule a solução da inequação x² – 6x + 9 > 0.</p><p>S = {x ? R / x < 3 e x > 3}</p><p>Sequências e Progressões Aritméticas e Geométricas</p><p>Chamamos de progressão aritmética, ou simplesmente de PA, a toda seqüência em que cada número,</p><p>somado a um número fixo, resulta no próximo número da seqüência. O número fixo é chamado de razão da</p><p>progressão e os números da seqüência são chamados de termos da progressão.</p><p>Observe os exemplos:</p><p>50, 60, 70, 80 é uma PA de 4 termos, com razão 10.</p><p>3, 5, 7, 9, 11, 13 é uma PA de 6 termos, com razão 2.</p><p>-8, -5, -2, 1, 4 é uma PA de 5 termos, com razão 3.</p><p>156, 152, 148 é uma PA de 3 termos, com razão -4.</p><p>100, 80, 60, 40 é uma PA de 4 termos, com razão -20.</p><p>6, 6, 6, 6,..... é uma PA de infinitos termos, com razão 0.</p><p>Numa PA de 7 termos, o primeiro deles é 6, o segundo é 10. Escreva todos os termos dessa PA.</p><p>6, 10, 14, 18, 22, 26, 30</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 97</p><p>Numa PA de 5 termos, o último deles é 201 e o penúltimo é 187. Escreva todos os termos dessa PA.</p><p>145, 159, 173, 187, 201</p><p>Numa PA de 8 termos, o 3º termo é 26 e a razão é -3. Escreva todos os termos dessa PA.</p><p>32, 29, 26, 23, 20, 17, 14, 11</p><p>Numa PA, o 1º termo é 45 e o 2º termo é 80. Qual a razão dessa PA.</p><p>Numa PA, o 5º termo é -7 e o 6º termo é 15. Qual a razão dessa PA.</p><p>Símbolos usados nas progressões</p><p>Em qualquer seqüência, costumamos indicar o primeiro termo por a1, o segundo termo por a2, o terceiro</p><p>termo por a3, e assim por diante. Generalizando, o termo da seqüência que está na posição n é indicado por</p><p>an.</p><p>Veja alguns exemplos</p><p>Na PA 2, 12, 22, 32 temos: a1 = 2, a2 = 12, a3 = 22 e a4 = 32</p><p>Quando escrevemos que, numa seqüência, tem-se a5 = 7, por exemplo, observe que o índice 5 indica a</p><p>posição que o termo ocupa na seqüência. No caso, trata-se do 5º termo da seqüência. Já o símbolo a5 indica</p><p>o valor do termo que está na 5º posição. No caso o valor do quinto termo é 7.</p><p>A razão de uma PA é indicada por r, pois ela representa a diferença entre qualquer termo da PA e o termo</p><p>anterior.</p><p>Observe os exemplos:</p><p>Na PA 1856, 1863, 1870, 1877, 1884 a razão é r = 7, pois:</p><p>a2 – a1 = 1863 - 1856 = 7</p><p>a3 – a2 = 1870 – 1863 = 7</p><p>a4 – a3 = 1877 – 1870 = 7</p><p>a5 – a4 = 1884 – 1877 = 7</p><p>Na PA 20, 15, 10, 5 a razão é r = -5, pois:</p><p>a2 – a1 = 15 – 20 = -5</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 98</p><p>a3 – a2 = 10 – 15 = -5</p><p>a4 – a3 = 5 – 10 = -5</p><p>Classificação das progressões aritméticas</p><p>Uma PA é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede. Para que</p><p>isso aconteça é necessário e suficiente que a sua razão seja positiva.</p><p>Exemplo:</p><p>(7, 11, 15, 19,...) é uma PA crescente. Note que sua razão é positiva, r = 4</p><p>Uma PA é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede. Para</p><p>que isso aconteça é necessário e suficiente que</p><p>a sua razão seja negativa.</p><p>Exemplo:</p><p>(50, 40, 30, 20,...) é uma PA decrescente. Note que sua razão é negativa, r = -10</p><p>Uma PA é constante quando todos os seus termos são iguais. Para que isso aconteça é necessário e suficiente</p><p>que sua razão seja igual a zero.</p><p>Exemplo:</p><p>Determine x para que a seqüência (3+ x, 5x, 2x + 11) seja PA.</p><p>5x – ( 3 + x ) = 2x + 11 – 5x</p><p>5x – 3 – x = 2x +11 – 5x</p><p>5x – x – 2x + 5x = 11 + 3</p><p>7x = 14</p><p>x = 14/7 = 2</p><p>Fórmula do termo geral da PA</p><p>an = a1 + (n – 1).r</p><p>Determinar o 61º termo da PA (9, 13, 17, 21,...)</p><p>r = 4 a1 = 9 n = 61 a61 = ?</p><p>a61 = 9 + (61 – 1).4</p><p>a61 = 9 + 60.4 = 9 + 240 = 249</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 99</p><p>Determinar a razão da PA (a1, a2, a3,...) em que a1 = 2 e a8 = 3</p><p>an = a1 + ( n – 1 ).r</p><p>a8 = a1 + (8 – 1 ).r</p><p>a8 = a1 + 7r</p><p>3 = 2 + 7r</p><p>7r = 3 – 2</p><p>7r = 1</p><p>r = 1/7</p><p>Determinar o número de termos da PA (4,7,10,...,136)</p><p>a1 = 4 an = 136 r = 7 – 4 = 3</p><p>an = a1 + (n – 1).r</p><p>136 = 4 + (n – 1).3</p><p>136 = 4 + 3n – 3</p><p>3n = 136 – 4 + 3</p><p>3n = 135</p><p>n = 135/3 = 45 termos</p><p>Determinar a razão da PA tal que:</p><p>a1 + a4 = 12 e a3 + a5 = 18</p><p>a4 = a1 + (4 – 1).r a3 = a1 + (3 – 1).r a5 = a1 + 4r</p><p>a4 = a1 + 3r a3 = a1 + 2r</p><p>a1 + a1 + 3r = 12</p><p>a1 + 2r + a1 + 4r = 18</p><p>2a1 + 3r = 12</p><p>2a1 + 6r = 18</p><p>3r = 6</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 100</p><p>r = 6/3 = 2</p><p>Interpolar (inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem .</p><p>Interpolar (ou inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem, significa determinar a PA de</p><p>primeiro termo igual a 1 e último termo igual a 25.</p><p>(1,_,_,_,_,_,25)</p><p>a7 = a1 + 6r</p><p>25 = 1 + 6r</p><p>6r = 24</p><p>r = 24/6</p><p>r = 4</p><p>(1, 5, 9, 13, 17, 21, 25)</p><p>Representação genérica de uma PA</p><p>PA de três termos:</p><p>(x, x + r, x + 2r)</p><p>ou</p><p>(x – r, x , x + r), em que a razão é r</p><p>PA de quatro termos:</p><p>(x, x + r, x + 2r, x + 3r)</p><p>ou</p><p>(x – 3r, x – r, x + r, x + 3r), em que a razão é 2r</p><p>Cálculo da soma dos n primeiros termos de uma PA</p><p>Em uma pequena escola do principado de Braunschweig, Alemanha, em 1785, o professor Buttner propôs a</p><p>seus alunos que somassem os números naturais de 1 a 100. Apenas três minutos depois, um gurizote de oito</p><p>anos de idade aproximou-se da mesa do senhor Buttner e, mostrando-lhe sua prancheta, proclamou: “ taí “.</p><p>O professor, assombrado, constatou que o resultado estava correto. Aquele gurizote viria a ser um dos</p><p>maiores matemáticos de todos os tempos: Karl Friedrich Gauss (1777-1855). O cálculo efetuado por ele foi</p><p>simples e elegante: o menino percebeu que a soma do primeiro número, 1, com o último, 100, é igual a 101;</p><p>a soma do segundo número, 2 , com o penúltimo, 99 , é igual a 101; também a soma do terceiro número, 3 ,</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 101</p><p>com o antepenúltimo, 98 , é igual a 101; e assim por diante, a soma de dois termos eqüidistantes dos</p><p>extremos é igual a soma dos extremos.</p><p>1 2 3 4..................................97 98 99 100</p><p>4 + 97 = 101</p><p>3 + 98 = 101</p><p>2 + 99 = 101</p><p>1 + 100 = 101</p><p>Como são possíveis cinqüenta somas iguais a 101, Gauss concluiu que:</p><p>1 + 2 + 3 + 4 + .......................... + 97 + 98 + 99 + 100 = 50.101 = 5050</p><p>Esse raciocínio pode ser estendido para o cálculo da soma dos n primeiros termos de uma progressão</p><p>aritmética qualquer:</p><p>Calcular a soma dos trinta primeiros termos da PA (4, 9, 14, 19,...).</p><p>a30 = a1 + (30 – 1).r</p><p>a30 = a1 + 29r</p><p>a30 = 4 + 29.5 = 149</p><p>Calcular a soma dos n primeiros termos da PA (2, 10, 18, 26,...).</p><p>an = 2 + (n – 1).8</p><p>an = 2 + 8n – 8</p><p>an = 8n – 6</p><p>Determine a soma dos termos da PA (6, 10, 14,..., 134).</p><p>Calcule a soma dos múltiplos de 7 compreendidos entre 100 e 300.</p><p>Múltiplos de 7 (0, 7, 14, 21, 28,...).</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 102</p><p>O primeiro múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 é o 105.</p><p>O último múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 é o 294.</p><p>294 = 105 + (n – 1).7</p><p>294 = 105 + 7n – 7</p><p>7n = 294 – 105 + 7</p><p>7n = 196</p><p>n = 196/7 = 28</p><p>Progressão geométrica</p><p>Denominamos de progressão geométrica, ou simplesmente PG, a toda seqüência de números não nulos em</p><p>que cada um deles, multiplicado por um número fixo, resulta no próximo número da seqüência. Esse</p><p>número fixo é chamado de razão da progressão e os números da seqüência recebem o nome de termos da</p><p>progressão.</p><p>Observe estes exemplos:</p><p>8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 é uma PG de 8 termos, com razão 2.</p><p>5, 15, 45,135 é uma PG de 4 termos, com razão 3.</p><p>3000, 300, 30, 3 é uma PG de 4 termos, com razão 1/10</p><p>Numa PG de 5 termos o 1º termo é 2 e o 2º termo é 12. Escreva os termos dessa PG.</p><p>2, 12, 72, 432, 2592</p><p>Numa PG de 4 termos, o último termo é 500 e o penúltimo é 100. Escreva os termos dessa PG.</p><p>4,20,100,500</p><p>Numa PG de 6 termos, o 1º termo é 3 e a razão é 10. Qual o 6º termo dessa PG.</p><p>3,30,300,3000,30000,300000</p><p>a6 = 300000</p><p>Numa PG de 5 termos, o 3º termo é -810 e a razão é -3. Escreva os termos dessa PG.</p><p>-90,270,-810,2430,-7290</p><p>Numa PG, o 9º termo é 180 e o 10º termo é 30. Qual a razão dessa PG.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 103</p><p>q = 30/180 = 3/18 = 1/6</p><p>A razão é 1/6</p><p>Fórmula do termo geral de uma progressão geométrica.</p><p>Determinar o 15º termo da progressão geométrica (256, 128, 64,...).</p><p>Determinar a razão da PG tal que:</p><p>Determinar o número de termos da PG (128, 64, 32,......, 1/256).</p><p>Determinar a razão da PG tal que:</p><p>Representação genérica de uma PG:</p><p>a) PG de três termos, (x, xq, xq²) em que a razão é q;</p><p>(x/q, x, xq), com razão q, se q ≠ 0.</p><p>b) PG de quatro termos, (x, xq, xq², xq³), com razão q;</p><p>(x/q³, x/q, xq, xq³), com razão q², se q ≠ 0.</p><p>Determinar a PG de três termos, sabendo que o produto desses termos é 8 e que a soma do segundo com o</p><p>terceiro termo é 10.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 104</p><p>Soma dos n primeiros termos de uma PG:</p><p>Sendo Sn a soma dos n primeiros termos da PG (a1,a2, a3,...an,...) de razão q, temos:</p><p>Se q = 1, então Sn = n.a1</p><p>Calcular a soma dos dez primeiros termos da PG (3, 6, 12,....).</p><p>Operações com Matrizes, Logaritmos, Raízes e Radicais, Fatoração Algébrica.</p><p>Aqui tomaremos o conjunto N dos números naturais, como:</p><p>N={1,2,3,4,5,6,7,...}</p><p>O produto cartesiano N×N indicará o conjunto de todos os pares ordenados da forma (a,b), onde a e b são</p><p>números naturais, isto é:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano</p><p>105</p><p>N×N={(a,b): a e b são números naturais }</p><p>Uma relação importante em N×N é:</p><p>Smn={(i,j): 1<i<m, 1<j<n}</p><p>Definição de matriz</p><p>Uma matriz real (ou complexa) é uma função que a cada par ordenado (i,j) no conjunto Smn associa um</p><p>número real (ou complexo).</p><p>Uma forma comum e prática para representar uma matriz definida na forma acima é através de uma tabela</p><p>contendo m×n números reais (ou complexos). Identificaremos a matriz abaixo com a letra A.</p><p>a(1,1) a(1,2) ... a(1,n)</p><p>a(2,1) a(2,2) ... a(2,n)</p><p>... ... ... ...</p><p>a(m,1) a(m,2) ... a(m,n)</p><p>Definições básicas sobre matrizes</p><p>1.Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m×n.</p><p>2.Posição de um elemento: Na tabela acima a posição de cada elemento aij=a(i,j) é indicada pelo par</p><p>ordenado (i,j).</p><p>3.Notação para a matriz: Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma: A=[a(i,j)].</p><p>4.Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde</p><p>i=j.</p><p>5.Matriz quadrada é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas, i.e., m=n.</p><p>6.A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos:</p><p>a(1,n), a(2,n-1), a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), ..., a(n-1,2), a(n,1)</p><p>7.Matriz diagonal é a que tem elementos nulos fora da diagonal principal.</p><p>8.Matriz real é aquela que tem números reais como elementos.</p><p>9.Matriz complexa é aquela que tem números complexos como elementos.</p><p>10.Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais a zero.</p><p>11.Matriz identidade, denotada por Id, tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora</p><p>da diagonal principal.</p><p>12.Matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos nulos fora da diagonal principal. Alguns</p><p>elementos da diagonal principal podem ser nulos.</p><p>Exemplos de matrizes</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 106</p><p>Matriz 4x4 de números reais:</p><p>12 -6 7 18</p><p>-23 -24 0 0</p><p>0 0 5 0</p><p>0 0 0 9</p><p>Matriz 4x4 de números complexos:</p><p>12 -6+i 7 i</p><p>-i -24 0 0</p><p>0 0 5+i 5-i</p><p>0 0 0 9</p><p>Matriz nula com duas linhas e duas colunas:</p><p>0 0</p><p>0 0</p><p>Matriz nula com três linhas e duas colunas:</p><p>0 0</p><p>0 0</p><p>0 0</p><p>Matriz identidade com três linhas e três colunas:</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>Matriz diagonal com quatro linhas e quatro colunas:</p><p>23 0 0 0</p><p>0 -56 0 0</p><p>0 0 0 0</p><p>0 0 0 100</p><p>Matrizes iguais</p><p>Duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)], de mesma ordem m×n, são iguais se todos os seus correspondentes</p><p>elementos são iguais, isto é:</p><p>a(i,j) = b(i,j)</p><p>para todo par ordenado (i,j) em Smn.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 107</p><p>Exercício: Determinar os valores de x e y para que sejam iguais as matrizes abaixo, isto é:</p><p>1 2</p><p>3 4</p><p>=</p><p>x-1 y-1</p><p>x+y x2</p><p>Soma de matrizes e suas propriedades</p><p>A soma (adição) de duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)] de mesma ordem m×n, é uma outra matriz C=[c(i,j)],</p><p>definida por:</p><p>c(i,j) = a(i,j) + b(i,j)</p><p>para todo par ordenado (i,j) em Smn.</p><p>Exemplo: A soma das matrizes A e B é a terceira matriz indicada abaixo.</p><p>-23 10</p><p>7 9</p><p>+</p><p>10 5</p><p>8 9</p><p>=</p><p>-13 15</p><p>15 18</p><p>Propriedades da soma de matrizes</p><p>A1: Associativa: Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:</p><p>(A + B) + C = A + (B + C)</p><p>A2: Comutativa: Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:</p><p>A + B = B + A</p><p>A3: Elemento neutro: Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A de mesma ordem,</p><p>fornecerá a própria matriz A, isto é:</p><p>0 + A = A</p><p>A4: Elemento oposto: Para cada matriz A, existe uma matriz -A, denominada a oposta de A, cuja soma entre</p><p>ambas fornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é:</p><p>A + (-A) = 0</p><p>Multiplicação de escalar por matriz e suas propriedades</p><p>Seja k um escalar e A=[a(i,j)] uma matriz. Definimos a multiplicação do escalar k pela matriz A, como uma</p><p>outra matriz C=k.A, definida por:</p><p>c(i,j) = k. a(i,j)</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 108</p><p>para todo par ordenado (i,j) em Smn.</p><p>Exemplo: A multiplicação do escalar -4 pela matriz A, definida por:</p><p>-4</p><p>-2 10</p><p>7 9</p><p>=</p><p>-8 -40</p><p>28 36</p><p>Propriedades da multiplicação de escalar por matriz</p><p>E1: Multiplicação pelo escalar 1: A multiplicação do escalar 1 por qualquer matriz A, fornecerá a própria</p><p>matriz A, isto é:</p><p>1.A = A</p><p>E2: Multiplicação pelo escalar zero: A multiplicação do escalar 0 por qualquer matriz A, fornecerá a matriz</p><p>nula, isto é:</p><p>0.A = 0</p><p>E3: Distributividade das matrizes: Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k,</p><p>tem-se:</p><p>k (A+B) = k A + k B</p><p>E4: Distributividade dos escalares: Para qualquer matriz A e para quaisquer escalares p e q, tem-se:</p><p>(p + q) A = p A + q A</p><p>Multiplicação de matrizes</p><p>Seja a matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n e a matriz B=(b(k,l)) de ordem nxr. Definimos o produto das matrizes</p><p>A e B como uma outra matriz C=A.B, definida por:</p><p>c(u,v) = a(u,1) b(1,v) + a(u,2) b(2,v) + ... + a(u,m) b(m,v)</p><p>para todo par (u,v) em Smr.</p><p>Para obter o elemento da 2a. linha e 3a. coluna da matriz produto C=A.B, isto é, o elemento c(2,3),</p><p>devemos:</p><p>1.multiplicar os primeiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;</p><p>2.multiplicar os segundos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;</p><p>3.multiplicar os terceiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;</p><p>4.multiplicar os quartos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;</p><p>5.somar os quatro produtos obtidos anteriomente.</p><p>Assim:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 109</p><p>c23 = a21 b13 + a22 b23 + a23 b33 + a24 b43</p><p>Podemos visualizar esta operação através das matrizes seguintes. Basta observar a linha em azul na primeira</p><p>matriz, a coluna em azul na segunda matriz e o elemento em azul na terceira matriz.</p><p>a11 a12 a13 a14</p><p>a21 a22 a23 a24</p><p>a31 a32 a33 a34</p><p>a41 a42 a43 a44</p><p>×</p><p>b11 b12 b13 b14</p><p>b21 b22 b23 b24</p><p>b31 b32 b33 b34</p><p>b41 b42 b43 b44</p><p>=</p><p>c11 c12 c13 c14</p><p>c21 c22 c23 c24</p><p>c31 c32 c33 c34</p><p>c41 c42 c43 c44</p><p>Observação: Somente podemos multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao</p><p>número de linhas da segunda.</p><p>Propriedades da multiplicação de matrizes</p><p>Para todas as matrizes A, B e C que podem ser multiplicadas, temos algumas propriedades:</p><p>M1: Nem sempre vale a comutatividade: Em geral, A×B é diferente de B×A, como é o caso do produto que</p><p>segue, onde A está cor vermelha e B em cor preta:</p><p>1 2 3</p><p>2 4 6</p><p>3 6 9</p><p>×</p><p>1 2</p><p>3 5</p><p>7 9</p><p>M2: Distributividade da soma à direita</p><p>A (B+C) = A B + A C</p><p>M3: Distributividade da soma à esquerda</p><p>(A + B) C = A C + B C</p><p>M4: Associatividade</p><p>A (B C) = (A B) C</p><p>M5: Nulidade do produto: Pode acontecer que o produto de duas matrizes seja a matriz nula, isto é: AB=0,</p><p>embora nem A nem B sejam matrizes nulas, como é o caso do produto:</p><p>0 1</p><p>0 0</p><p>×</p><p>0 2</p><p>0 0</p><p>=</p><p>0 0</p><p>0 0</p><p>M6: Nem sempre vale o cancelamento: Se ocorrer a igualdade AC=BC, então nem sempre será verdadeiro</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 110</p><p>que A=B, pois existem exemplos de matrizes como as apresentadas abaixo, tal que:</p><p>0 1</p><p>0 0</p><p>×</p><p>0 5</p><p>0 0</p><p>=</p><p>0 2</p><p>0 0</p><p>×</p><p>0 5</p><p>0 0</p><p>mas as matrizes A e B são diferentes.</p><p>Matrizes com propriedades especiais</p><p>1.Uma matriz A é nilpotente de índice k natural, se:</p><p>Ak = 0</p><p>2.Uma matriz A é periódica de índice k natural, se:</p><p>Ak+1= A</p><p>3.Uma matriz A é idempotente, se:</p><p>A2 = A</p><p>4.As matrizes A e B são comutativas, se:</p><p>A B = B A</p><p>5.As matrizes A e B são anti-comutativas, se:</p><p>A B = - B A</p><p>6.A matriz identidade Id multiplicada por toda matriz A, fornecerá a própria matriz A, quando o</p><p>produto fizer sentido.</p><p>Id A = A</p><p>7.A matriz A será a inversa da matriz B, se:</p><p>A B = Id e B A = Id</p><p>A transposta de uma matriz e suas propriedades</p><p>Dada uma matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n, definimos a transposta da matriz A como a matriz</p><p>At = [a(j,i)]</p><p>e segue que as linhas de A se transformam nas colunas de At.</p><p>Propriedades das matrizes transpostas</p><p>T1: A transposta da transposta da matriz é a própria matriz.</p><p>(At)t = A</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 111</p><p>T2: A transposta da multiplicação de um escalar por uma matriz é igual ao próprio escalar multiplicado pela</p><p>transposta da matriz.</p><p>(kA)t = k (At)</p><p>T3: A transposta da soma de duas matrizes é a soma das transpostas dessas matrizes.</p><p>(A + B)t = At + Bt</p><p>T4: A transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas das matrizes na</p><p>ordem trocada.</p><p>(A B)t = Bt At</p><p>Matrizes simétricas e anti-simétricas e suas propriedades</p><p>Uma matriz A é simétrica se é uma matriz quadrada tal que:</p><p>At = A</p><p>Uma matriz A é anti-simétrica se é uma matriz quadrada tal que:</p><p>At = -A</p><p>Propriedades das matrizes simétricas e anti-simétricas</p><p>S1: Se A é uma matriz simétrica de ordem n, então para todo escalar k, a matriz k.A é simétrica.</p><p>S2: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B=A+At é simétrica.</p><p>S3: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B=A-At é anti-simétrica.</p><p>S4: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então A sempre pode ser decomposta como a soma de uma</p><p>matriz simétrica S com uma matriz anti-simétrica T, isto é, A=S+T, e neste caso:</p><p>S =(1/2)(A + At) e T =(1/2)(A - At)</p><p>Logaritmos</p><p>Considerando a e b dois números reais e positivos, sempre com a diferente de 0 , define-</p><p>se logaritmo de b(logaritmando) na base a, qual número deve-se incluir no expoente de a afim de</p><p>termos b como resultado.</p><p>Assim: ax = b , então temos que</p><p>Com as condições de .</p><p>I) , sendo que 3 é o logaritmo, 2 é a base e 8 é o logaritmando.</p><p>pois temos que 23 = 8.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 112</p><p>II) , sendo que –3 é o logaritmo, 3 é a base e 1/27 é o logaritmando.</p><p>pois temos que 3-3 = 1/27 .</p><p>→ Antilogarítimo é definido como sendo:</p><p>Exemplo:</p><p>I)</p><p>Propriedades zero ( que são conseqüência direta da definição)</p><p>1º Propriedade (propriedade do produto).</p><p>2º Propriedade (propriedade do quociente).</p><p>3º Propriedade (propriedade da potência).</p><p>Conseqüência da 3º propriedade :</p><p>4º Propriedade (propriedade da mudança de base).</p><p>→ Colog, definição:</p><p>Em muitos casos na resolução de operações envolvendo logaritmos, é viável e se faz necessário a utilização</p><p>de técnicascapazes de nos fornecer de forma precisa e direta o conjunto solução de uma questão, uma dessas</p><p>“técnicas” é conhecido como mudança de base de um logaritmo, na qual veremos a seguir.</p><p>Vejamos:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 113</p><p>Observe que inicialmente temos um logaritmo qualquer representado por uma base “b” e o logaritmando</p><p>“a” , fazendo a mudança de base , vamos transformar esse logaritmo em um quociente de um logaritmo</p><p>formado por um base “c” .Podemos perceber que tanto “a” quanto “b” passam a ser o logaritmando formado</p><p>pela base “c”.</p><p>Para facilitar o entendimento da mudança de base, iremos aqui resolver alguns exercícios. Lembrando</p><p>sempre que para que um logaritmo exista, sua base tem que ser maior que 0 e diferente de 1 (b>0 e b=/=1) e</p><p>também é importante lembrar que seu logaritmando tem que ser maior que 0(a>0).</p><p>1) Calcule pela mudança de base o valor de Log464 .</p><p>Podemos escrever que;</p><p>Log464 = log2 64 / log2 4</p><p>Calculando separadamente, temos;</p><p>Log264 = 2x = 26; x=6</p><p>Log 24 = 2x = 22; x=2</p><p>Portanto, x =6/2 = 3</p><p>Para provarmos essa técnica poderíamos conferir a resposta pela definição do logaritmo, sendo 64 um</p><p>múltiplo de 4, sua forma fatorada é 64= 43</p><p>Portanto Log464 = x ; 4x=43, x=3</p><p>2) Sabendo-se que log10 2 =0,301 e log10 3=0,477 , pede-se. Calcule o valor de Log9512</p><p>Podemos escrever que;</p><p>Log9512= log10512/log109</p><p>Calculando separadamente, temos;</p><p>Log 10512= Log 1029= 9 x log102 =9x0, 301=2,709</p><p>Log109= Log1032= 2xlog103=2x0, 477=0, 954</p><p>Reescrevendo (Efetuando o quociente);</p><p>Log9512= 2,709/0,954 =2,839(Resultado aproximado).</p><p>Radiciação</p><p>Quando estudamos a potenciação, vimos que 23 é igual a 2 . 2 . 2 que é igual a 8. Partimos do número 2 e</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 114</p><p>http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2011/11/mudanca-base-logaritmo.jpg</p><p>através de uma multiplicação de 3 fatores iguais a 2, chegamos ao número 8. Agora temos o caminho</p><p>inverso, araiz cúbica de oito é a operação que nos aponta qual é número que elevado a 3 é igual a 8, ou seja,</p><p>é a operação inversa da potenciação.</p><p>Raízes de Radicando Real com Índice Não Nulo</p><p>A raiz enésima de a é igual a b, se e somente se b elevado a enésima potência for igual a a:</p><p>Não Existe a Raiz de um Radicando Negativo e Índice Par</p><p>Por quê?</p><p>Vamos tomar como exemplo a raiz quadrada de menos 16 expressa por . Segundo a definição temos:</p><p>Qual é o valor numérico que b deve assumir para que multiplicado por ele mesmo seja igual a -16?</p><p>Como sabemos na multiplicação de números reais ao multiplicarmos dois números, diferentes de zero, com</p><p>o mesmo sinal, o resultado sempre será positivo, então não existe um número no conjunto dos números</p><p>reais que multiplicado por ele mesmo dará um valor negativo, pois o sinal é o mesmo em ambos os fatores</p><p>da multiplicação.</p><p>A Raiz de um Radicando Negativo e Índice Ímpar é Negativa</p><p>Em uma multiplicação se todos os sinais forem positivos, obviamente o produto final também será positivo,</p><p>já se tivermos fatores negativos, se estes forem em quantidade par o resultado será positivo, se forem em</p><p>quantidade ímpar o resultado será negativo. É evidente que nenhum dos fatores pode ser igual a zero. Então</p><p>a raiz enésima de a, um número real negativo será negativa se o índice for ímpar. Se for par como vimos</p><p>acima, não existirá.</p><p>Vamos analisar a raiz quinta de menos 32 que se expressa como :</p><p>Como o expoente de b é ímpar, ou seja, o número de fatores que representa a potência é impar, para que o</p><p>resultado seja -32, é preciso que b seja negativo. Então a raiz de um número negativo e índice ímpar sempre</p><p>será um número negativo.</p><p>Neste exemplo -2 é o número negativo que elevado a 5 resulta em -32, logo:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 115</p><p>Note que na potência colocamos o -2 entre</p><p>parênteses, pois se não o fizéssemos, apenas o 2 estaria elevado à</p><p>quinta potência. Como o expoente é ímpar, não faria diferença no resultado se não os tivéssemos utilizado,</p><p>mas isto seria imprescindível se o expoente fosse um número par, para que não houvesse erro de sinal no</p><p>resultado da potenciação.</p><p>A Raiz de um Radicando Positivo também é Positiva</p><p>Não importa se o índice é par ou impar, em não sendo nulo, a raiz de um radicando positivo também será</p><p>positiva.</p><p>Vamos analisar a , que se lê raiz quadrada de nove:</p><p>Logo 3 é o número que elevado ao quadrado dá 9.</p><p>Mas você pode também se perguntar:</p><p>E se for -3? Se elevarmos -3 ao quadrado também iremos obter nove!</p><p>Correto, mas lembra-se da definição da raiz para um radicando positivo?</p><p>Tanto o radicando quanto a raiz devem ser positivos, é por isto que não podemos considerar o -3.</p><p>A Raiz de um Radicando Nulo também é Nula</p><p>Isto é verdade desde que o índice não seja nulo também.</p><p>Exemplo:</p><p>, pois .</p><p>Propriedades da Radiciação</p><p>As propriedades que vamos estudar agora são consideradas no conjunto dos números reais positivos ou</p><p>nulos, podendo não se verificar caso o radicando seja negativo, pois como sabemos, não existe raiz real de</p><p>um número negativo.</p><p>A Raiz de uma Potência é uma Potência com Expoente Fracionário</p><p>Assim como de uma potenciação podemos chegar a uma radiciação, desta podemos chegar a</p><p>uma potenciação:</p><p>Exemplo:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 116</p><p>Já que n não pode ser zero, a partir desta propriedade concluímos que não existe raiz de índice zero.</p><p>Se n fosse zero, o denominador da fração do expoente seria zero, que sabemos não ser permitido.</p><p>Mudança de Índice pela sua Multiplicação/Divisão e do Expoente do Radicando por um Mesmo número</p><p>Não Nulo</p><p>Se multiplicarmos ou dividirmos tanto o índice do radical, quanto o expoente do radicando por um mesmo</p><p>número diferente de zero, o valor do radical continuará o mesmo:</p><p>Exemplos:</p><p>Raiz de uma Potência</p><p>A raiz n de uma potência de a elevado a m, é a potência m da raiz n de a:</p><p>Exemplo:</p><p>Produto de Radicais de Mesmo Índice</p><p>O produto de dois radicais de mesmo índice é igual à raiz deste índice do produto dos dois radicandos:</p><p>Exemplo:</p><p>Vamos verificar:</p><p>Divisão de Radicais de Mesmo Índice</p><p>O quociente de dois radicais de mesmo índice é igual a raiz deste índice do quociente dos dois radicandos:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 117</p><p>Exemplo:</p><p>Verificando:</p><p>Simplificação de Radicais Através da Fatoração</p><p>Podemos simplificar e em alguns casos até mesmo eliminar radicais, através da decomposição do radicando</p><p>em fatores primos. O raciocínio é simples, decompomos o radicando em fatores primos por fatoração e</p><p>depois simplificamos os expoentes que são divisíveis pelo índice do radicando.</p><p>Vamos simplificar decompondo 91125 em fatores primos:</p><p>Como 91125 = 36 . 53 podemos dizer que:</p><p>Repare que tanto o expoente do fator 36, quanto o expoente do fator 53 são múltiplos do índice do</p><p>radicando que é igual a 3. Vamos então simplificá-los:</p><p>Perceba que através da fatoração de 91125 e da simplificação dos expoentes dos fatores pelo índice do</p><p>radicando, extraímos a sua raiz cúbica eliminando assim o radical.</p><p>Vejamos agora o caso do radical :</p><p>Logo 2205 = 32 . 5 . 72, então:</p><p>Como os expoentes dos fatores 32 e 72 são divisíveis pelo índice 2, vamos simplificá-los retirando-os assim</p><p>do radical:</p><p>Neste caso o expoente do fator 5 não é divisível pelo índice 2 do radicando, por isto após a simplificação não</p><p>conseguimos eliminar o radical.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 118</p><p>Agora vamos analisar o número :</p><p>Note que 729 = 36, então:</p><p>Neste caso o expoente de 36 não é divisível pelo índice 5, mas é maior, então podemos escrever:</p><p>Repare que agora o expoente do fator 35 é divisível pelo índice 5, podemos então retirá-lo do radical:</p><p>Agora vamos pensar um pouco. Após a fatoração tínhamos o radical . O expoente 6 não é divisível por 5,</p><p>pois ao realizarmos a divisão, obtemos um quociente de 1 e um resto também de 1. Pois bem, o 1 do</p><p>quociente será o expoente da base 3 ao sair o radical. A parte que ainda ficou no radical terá como expoente</p><p>o 1 do resto. Vamos a alguns exemplos para melhor entendermos a questão:</p><p>Simplifique .</p><p>Dividindo 18 por 7 obtemos um quociente de 2 é um resto de 4, logo fora do radical a base 5 terá o</p><p>expoente 2do quociente e a base dentro do radical terá o expoente 4 que é o resto da divisão:</p><p>Logo:</p><p>A fatoração mais comum é a fatoração de números. Por isso, veja a fatoração do número 144:</p><p>Para fatorar 144 deve-se dividi-lo por fatores primos (números que dividem por um e por ele mesmo), veja:</p><p>144 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 3 = 24 . 32</p><p>Fatores Primos</p><p>Pode-se fatorar não só números, mas também expressões algébricas. A fatoração é uma forma diferente de</p><p>representar um número ou uma expressão algébrica:</p><p>►50 = 2 . 5 . 5 = 2 . 52 → forma fatorada do número 50.</p><p>►x2 - 1 = (x + 1) (x - 1) forma fatorada da expressão algébrica x2→ – 1.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 119</p><p>Raciocínio Lógico</p><p>A Lógica procura apurar se as coisas que sabemos ou em que acreditamos, de fato constituem uma razão</p><p>para acreditar em uma tese obtida, ou seja, se está adequadamente justificada em vista das informações que</p><p>são dadas. Já o Raciocínio é um processo mental.</p><p>Existem muitas definições para a palavra “lógica”, porém no caso do nosso estudo não é relevante um</p><p>aprofundamento nesse ponto.</p><p>Alguns autores definem lógica como sendo a “Ciência das leis do pensamento”, e neste caso existem</p><p>divergências com essa definição, pois o pensamento é matéria estudada na Psicologia, que é uma ciência</p><p>distinta da lógica (ciência).</p><p>Segundo Irving Copi, uma definição mais adequada é: “A lógica é uma ciência do raciocínio” , pois a sua</p><p>ideia está ligada ao processo de raciocínio correto e incorreto que depende da estrutura dos argumentos</p><p>envolvidos nele.</p><p>Assim concluímos que a lógica estuda as formas ou estruturas do pensamento, isto é, sua destinação é</p><p>estudar e estabelecer propriedades das relações formais entre as proposições.</p><p>Estruturas lógicas.</p><p>Entende-se por estruturas lógicas as que são formadas pela presença de proposições ou sentenças lógicas (são</p><p>aquelas frases que apresentam sentido completo, como por exemplo: Madalena é culpada).</p><p>Observe que a estrutura lógica pode ligar relações arbitrárias e, neste caso, nada deverá ser levado para a</p><p>prova a não ser os conhecimentos de Lógica propriamente dita, os concursandos muitas vezes caem em</p><p>erros como:</p><p>Se Luiza foi à praia então Rui foi pescar, ora eu sou muito amigo de uma Luiza e de um Rui e ambos</p><p>detestam ir à praia ou mesmo pescar, auto induzindo respostas absurdas.</p><p>Dessa forma, as relações são arbitrárias, ou seja, não importa se você conhece Luiza, Madalena ou Rui.</p><p>Vamos aos conhecimentos básicos de estruturas lógicas.</p><p>PROPOSIÇÕES OU SENTENÇA</p><p>Chamamos de proposição ou sentença, todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um</p><p>pensamento de sentido completo. É todo encadeamento de termos, palavras ou símbolos que expressa um</p><p>pensamento de sentido</p><p>completo cabível de ser julgado, valorado, em verdadeiro ou falso. Esta valoração</p><p>também é chamada de valor lógico ou valor verdade. Dentro deste conceito, toda afirmação é uma</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 120</p><p>proposição.</p><p>Sendo assim, vejamos os exemplos:</p><p>a) O Instituto do Coração fica em São Paulo.</p><p>b) O Brasil é um País da América do Sul.</p><p>c) A Polícia Federal pertence ao poder judiciário.</p><p>Você já deve ter notado que as proposições podem assumir os valores falsos ou verdadeiros, pois elas</p><p>expressam a descrição de uma realidade, e também observamos que uma proposição representa uma</p><p>informação enunciada por uma oração, e, portanto, pode ser expressa por distintas orações, tais como:</p><p>“Pedro é maior que Carlos”, ou podemos expressar também por “Carlos é menor que Pedro”.</p><p>Temos vários tipos de sentenças:</p><p>· Declarativas</p><p>· Interrogativas</p><p>· Exclamativas</p><p>· Imperativas</p><p>Leis do Pensamento</p><p>Vejamos algumas leis do pensamento para que possamos desenvolver corretamente o nosso pensar.</p><p>· Princípio da Identidade. Se qualquer proposição é verdadeira, então, ela é verdadeira.</p><p>· Princípio de Não-Contradição. Uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.</p><p>· Princípio do Terceiro Excluído. Uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa , não havendooutra</p><p>alternativa.</p><p>· Sentenças Abertas. Quando substituímos numa proposição alguns componentes por variáveis, teremos</p><p>uma sentença aberta.</p><p>VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES</p><p>Valor lógico é a classificação da proposição em verdadeiro (V) ou falso (F), pelos princípios da não-</p><p>contradição e do terceiro excluído. Sendo assim, a classificação é única, ou seja, a proposição só pode ser</p><p>verdadeira ou falsa.</p><p>Exemplos de valores lógicos:</p><p>r: O número 2 é primo. (Verdadeiro)</p><p>s: Marte é o planeta vermelho. (Verdadeiro)</p><p>t: No Brasil, fala-se espanhol. (Falso)</p><p>u: Toda ave voa. (Falso)</p><p>v: O número 3 é par. (Falso)</p><p>x: O número 7 é primo. (Verdadeiro)</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 121</p><p>z: O número 7 é ímpar. (Verdadeiro)</p><p>Somente às sentenças declarativas pode-se atribuir valores de verdadeiro ou falso, o que ocorre quando a</p><p>sentença é, respectivamente, confirmada ou negada. De fato, não se pode atribuir um valor de verdadeiro</p><p>ou falso às demais formas de sentenças como as interrogativas, as exclamativas e outras, embora elas</p><p>também expressem juízos.</p><p>São exemplos de proposições as seguintes sentenças declarativas:</p><p>O número 6 é par.</p><p>O número 15 não é primo.</p><p>Todos os homens são mortais.</p><p>Nenhum porco espinho sabe ler.</p><p>Alguns canários não sabem cantar.</p><p>Se você estudar bastante, então aprenderá tudo.</p><p>Eu falo inglês e francês.</p><p>Marlene quer um sapatinho novo ou uma boneca.</p><p>Não são proposições:</p><p>Qual é o seu nome?</p><p>Preste atenção ao sinal.</p><p>Caramba!</p><p>TAUTOLOGIA</p><p>Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma tautologia se ela for sempre</p><p>verdadeira, independente da verdade de seus termos.</p><p>Resumindo: para saber se uma proposição composta é uma Tautologia, construiremos a sua tabela-verdade!</p><p>Daí, se a última coluna da tabela-verdade só apresentar verdadeiro (e nenhum falso), então estaremos</p><p>diante de uma Tautologia.</p><p>Simples!</p><p>Exemplo:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 122</p><p>A proposição é uma tautologia.</p><p>CONTRADIÇÕES</p><p>A contradição é uma relação de incompatibilidade entre duas proposições que não podem ser</p><p>simultaneamente verdadeiras nem simultaneamente falsas, por apresentarem o mesmo sujeito e o mesmo</p><p>predicado, mas diferirem ao mesmo tempo em quantidade e qualidade.</p><p>Exemplo: Todos os homens são mortais e alguns homens não são mortais.</p><p>Há uma relação de incompatibilidade entre dois termos em que a afirmação de um implica a negação do</p><p>outro e reciprocamente.</p><p>Uma proposição composta P (p, q, r, ...) é uma contradição se P (p, q, r, ... ) tem valor lógico F quaisquer que</p><p>os valores lógicos das proposições componentes p, q, r, ..., , ou seja, uma contradição conterá apenas F na</p><p>última coluna da sua tabela-verdade.</p><p>Como uma tautologia é sempre verdadeira e uma contradição sempre falsa, tem-se que: a negação de uma</p><p>tautologia é sempre uma contradição enquanto a negação de uma contradição é sempre uma tautologia.</p><p>CONTINGÊNCIA</p><p>Há uma contingência quando não temos nem uma tautologia nem uma contradição, ou seja, quando a</p><p>tabela-verdade apresenta alguns verdadeiros e alguns falsos, a depender do valor das proposições que dão</p><p>origem à sentença em análise.</p><p>Exemplo: p q↔</p><p>O bicondicional pode ser tanto verdadeiro (quando suas duas parcelas são ou ambas verdadeiras ou ambas</p><p>falsas) quanto falso (quando uma parcela é verdadeira e a outra é falsa).</p><p>Com isso, o “se, e somente se” não é nem uma tautologia, nem uma contradição. É uma contingência.</p><p>Resumidamente temos:</p><p>· Tautologia contendo apenas V na última coluna da sua tabela-verdade;</p><p>· Contradição contendo apenas F na última coluna da sua tabela-verdade;</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 123</p><p>· Contingência contendo apenas V e F na última coluna da sua tabela-verdade.</p><p>Em concursos, a contingência é a situação mais comum de ocorrer. Ela é a regra geral. A tautologia e a</p><p>contradição são exceções.</p><p>EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS</p><p>Duas proposições compostas são equivalentes quando apresentam sempre o mesmo valor lógico,</p><p>independentemente dos valores lógicos das proposições simples que as compõem.</p><p>Quando duas proposições p, q são equivalentes escrevemos p ⇔ q .</p><p>É possível construirmos inúmeras equivalências lógicas. Para concursos, eu creio que 4 delas</p><p>são especialmente importantes:</p><p>· ~(p ∧ q) ⇔ (~p) ∨ (~q)</p><p>· ~(p ∨ q) ⇔ (~p) ∧ (~q)</p><p>· p → q ⇔ (~p) ∨ q</p><p>· p → q ⇔ (~q) → (~p)</p><p>Vejamos a primeira delas: ~(p ∧ q) ⇔ (~p) ∨ (~q)</p><p>Para negar um “e” lógico, nós temos que fazer um “ou” da negação de cada parcela.</p><p>Ou ainda: para negar um “e”, nós negamos cada parcela e trocamos o “e” por um “ou”.</p><p>Exemplo: A negação de “Pedro é alto e Júlio é rico” é “Pedro não é alto ou Júlio não é rico”.</p><p>Para a verificação da equivalência, vamos montar as tabelas-verdade.</p><p>Primeiro vamos fazer a tabela de “~(p ∧ q)”. Para tanto, começamos com o “e” que está entre parênteses.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 124</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 125</p><p>Na sequência, realizamos a negação deste resultado. Com isso, teremos o lado esquerdo da igualdade:</p><p>Pronto, o lado esquerdo da igualdade está feito. Vamos para o lado direito: “(~p) ∨ (~q)”.</p><p>Neste caso, primeiro fazemos as negações e depois o “ou”.</p><p>Depois da negação feita, realizamos o “ou” entre as negações.</p><p>Pronto. Agora temos os dois lados da igualdade para comparar.</p><p>Veja que as duas tabelas apresentam as mesmas respostas para todos os valores de “p” e “q”:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 126</p><p>Isso significa que as proposições apresentadas são, de fato, equivalentes em termos lógicos.</p><p>ARGUMENTOS</p><p>Denomina-se argumento a relação que associa um conjunto de proposições P1, P2, ... Pn , chamadas</p><p>premissas do argumento, a uma proposição C a qual chamamos de conclusão do argumento.</p><p>No lugar dos termos premissa e conclusão podem ser usados os correspondentes hipótese e tese,</p><p>respectivamente.</p><p>Os argumentos que têm somente duas premissas são denominados silogismos.</p><p>Assim, são exemplos de silogismos os seguintes argumentos:</p><p>I - P1: Todos os artistas são apaixonados.</p><p>P2: Todos os apaixonados gostam de flores.</p><p>C: Todos os artistas gostam de flores.</p><p>II - P1: Todos os apaixonados gostam de flores.</p><p>P2: Miriam gosta de flores.</p><p>C: Miriam é uma apaixonada.</p><p>Outro exemplo de um argumento (forma típica):</p><p>Quem nasce no Brasil e tem pais brasileiros possui nacionalidade brasileira.</p><p>Roberto nasceu no Brasil e seus pais são brasileiros.</p><p>Roberto tem nacionalidade brasileira.</p><p>Exemplos de diferentes maneiras de expressar o mesmo argumento (na cor verde, indicadores de premissa</p><p>ou de conclusão):</p><p>Roberto tem nacionalidade brasileira, pois Roberto nasceu no Brasil e seus pais são brasileiros, e quem nasce</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 127</p><p>no Brasil e tem pais brasileiros possui nacionalidade brasileira.</p><p>Quem nasce no Brasil e tem pais brasileiros possui nacionalidade brasileira. Portanto, Roberto tem</p><p>nacionalidade brasileira, uma vez que Roberto nasceu no Brasil e seus pais são brasileiros.</p><p>Roberto nasceu no Brasil e seus pais são brasileiros. Ora, quem nasce no Brasil e tem pais brasileiros possui</p><p>nacionalidade brasileira. Logo, Roberto tem nacionalidade brasileira.</p><p>Roberto é brasileiro, porque nasceu no Brasil e seus pais são brasileiros.</p><p>[Pressupostos:</p><p>(a) Quem nasce no Brasil e tem pais brasileiros possui nacionalidade brasileira;</p><p>(b) "brasileiro" significa "ter nacionalidade brasileira".]</p><p>Quem nasce no Brasil e tem pais brasileiros possui nacionalidade brasileira. Por isso, Roberto é brasileiro.</p><p>[Pressupostos:</p><p>(a) Roberto nasceu no Brasil e seus pais são brasileiros;</p><p>(b) "brasileiro" significa "ter nacionalidade brasileira".]</p><p>Não são argumentos (embora possam parecer):</p><p>Condicionais, isto é, hipóteses. Nesse caso, o que se está propriamente afirmando é apenas o condicional</p><p>como um todo - a proposição composta que estabelece o nexo entre duas proposições componentes, o</p><p>antecedente e o conseqüente. Quando digo que se fizer sol neste fim de semana, eu irei à praia, não estou</p><p>fazendo previsão do tempo, afirmando que fará sol neste fim de semana, nem estou pura e simplesmente me</p><p>comprometendo a ir à praia. A única coisa que estou fazendo é afirmar a conexão entre duas proposições,</p><p>dizendo que a eventual verdade da primeira acarreta a verdade da segunda. Sendo assim, apenas uma</p><p>proposição é afirmada; logo, não temos um argumento.</p><p>Ligações não-proposicionais, isto é, conexões de frases em que pelo menos uma delas não é uma proposição.</p><p>Se pelo menos uma das frases ligadas não for uma proposição (for, por exemplo, um imperativo ou um</p><p>pedido), não caberá a afirmação da verdade de algo com base na verdade de outra coisa. Não se terá,</p><p>conseqüentemente, um argumento.</p><p>Veremos mais sobre argumentos na sequência, no segundo tópico cobrado no edital, lógica de</p><p>argumentação.</p><p>Questões de Concursos</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 128</p><p>1 - ESPP - 2012 - BANPARÁ - Técnico Bancário</p><p>André, Paulo e Marcos fazem aniversário no mesmo mês, porém não têm as mesmas idades, pois, nasceram</p><p>em anos consecutivos. Um deles é professor, o mais velho é advogado e outro é dentista. Paulo é o mais</p><p>velho e tem 27 anos. Marcos é o mais novo e não é dentista. Podemos dizer que</p><p>a) Marcos tem 26 anos.</p><p>b) André tem 25 anos e é dentista.</p><p>c) Marcos é professor e tem 26 anos.</p><p>d) Paulo é dentista.</p><p>e) André tem 26 anos.</p><p>2 - ESAF - 2012 - Receita Federal - Auditor Fiscal da Receita Federal</p><p>A afirmação “A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro” tem como sentença logicamente equivalente:</p><p>a) se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis.</p><p>b) se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro.</p><p>c) se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro.</p><p>d) não é verdade que se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro.</p><p>e) não é verdade que se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis.</p><p>3 - ESAF - 2012 - Receita Federal - Auditor Fiscal da Receita Federal</p><p>Se Anamara é médica, então Angélica é médica. Se Anamara é arquiteta, então Angélica ou Andrea são</p><p>médicas. Se Andrea é arquiteta, então Angélica é arquiteta. Se Andrea é médica, então Anamara é médica.</p><p>Considerando que as afirmações são verdadeiras, segue- se, portanto, que:</p><p>a) Anamara, Angélica e Andrea são arquitetas.</p><p>b) Anamara é médica, mas Angélica e Andrea são arquitetas.</p><p>c) Anamara, Angélica e Andrea são médicas.</p><p>d) Anamara e Angélica são arquitetas, mas Andrea é médica.</p><p>e) Anamara e Andrea são médicas, mas Angélica é arquiteta.</p><p>4 - ESAF - 2012 - Receita Federal - Auditor Fiscal da Receita Federal</p><p>Se Ana é pianista, então Beatriz é violinista. Se Ana é violinista, então Beatriz é pianista. Se Ana é pianista,</p><p>Denise é violinista. Se Ana é violinista, então Denise é pianista. Se Beatriz é violinista, então Denise é</p><p>pianista. Sabendo-se que nenhuma delas toca mais de um instrumento, então Ana, Beatriz e Denise tocam,</p><p>respectivamente:</p><p>a) piano, piano, piano.</p><p>b) violino, piano, piano.</p><p>c) violino, piano, violino.</p><p>d) violino, violino, piano.</p><p>e) piano, piano, violino.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 129</p><p>5 - ESAF - 2012 - Receita Federal - Auditor Fiscal da Receita Federal</p><p>Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou não caso. Vou morar em Pasárgada ou não compro uma bicicleta.</p><p>Ora, não vou morar em Pasárgada. Assim,</p><p>a) não viajo e caso.</p><p>b) viajo e caso.</p><p>c) não vou morar em Pasárgada e não viajo.</p><p>d) compro uma bicicleta e não viajo.</p><p>e) compro uma bicicleta e viajo.</p><p>6 - ESAF - 2012 - Receita Federal - Analista Tributário da Receita Federal</p><p>A negação da proposição “se Paulo estuda, então Marta é atleta” é logicamente equivalente à proposição</p><p>a) Paulo não estuda e Marta não é atleta.</p><p>b) Paulo estuda e Marta não é atleta.</p><p>c) Paulo estuda ou Marta não é atleta.</p><p>d) se Paulo não estuda, então Marta não é atleta.</p><p>e) Paulo não estuda ou Marta não é atleta.</p><p>7 - ESAF - 2012 - Receita Federal - Analista Tributário da Receita Federal</p><p>Se Paulo é irmão de Ana, então Natália é prima de Carlos. Se Natália é prima de Carlos, então Marta não é</p><p>mãe de Rodrigo. Se Marta não é mãe de Rodrigo, então Leila é tia de Maria. Ora, Leila não é tia de Maria.</p><p>Logo</p><p>a) Marta não é mãe de Rodrigo e Paulo é irmão de Ana.</p><p>b) Marta é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos.</p><p>c) Marta não é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos.</p><p>d) Marta é mãe de Rodrigo e Paulo não é irmão de Ana.</p><p>e) Natália não é prima de Carlos e Marta não é mãe de Rodrigo.</p><p>GABARITO</p><p>1 - E 2 - C 3 - C 4 - B 5 - B 6 - B 7 - D</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 130</p><p>Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões.</p><p>Se raciocinar é passar do desconhecido ao conhecido, é partir do que se sabe em direção àquilo que não se</p><p>sabe, a analogia (aná = segundo, de acordo + lógon = razão) é um dos caminhos mais comuns para que isso</p><p>aconteça.</p><p>No raciocínio analógico, compara-se uma situação já conhecida com uma situação desconhecida ou</p><p>parcialmente conhecida, aplicando a elas as informações previamente obtidas quando da vivência direta ou</p><p>indireta da situação-referência.</p><p>Normalmente, aquilo que é familiar é usado como ponto de apoio na formação do conhecimento, por isso, a</p><p>analogia é um dos meios mais comuns de inferência.</p><p>Se, por um lado, é fonte de conhecimentos do dia-a-dia, por outro, também tem servido de inspiração para</p><p>muitos gênios das ciências e das artes, como nos casos de Arquimedes na banheira (lei do empuxo), de</p><p>Galileu na</p><p>catedral de Pisa (lei do pêndulo) ou de Newton sob a macieira (lei da gravitação universal). No entanto,</p><p>também é uma forma de raciocínio em que se cometem muitos erros. Tal acontece porque é difícil</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 131</p><p>estabelecer-lhe regras rígidas. A distância entre a genialidade e a falha grosseira é muito pequena.</p><p>A força de uma analogia depende, basicamente, de três aspectos:</p><p>a) os elementos comparados devem ser verdadeiros e importantes;</p><p>b) o número de elementos semelhantes entre uma situação e outra deve ser significativo;</p><p>c) não devem existir divergências marcantes na comparação.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 132</p><p>No raciocínio analógico, comparam-se duas situações, casos, objetos etc. semelhantes e tiram-se as</p><p>conclusões adequadas. Na ilustração, tal como a carroça, o carro a motor é um meio de transporte que</p><p>necessita de um condutor. Este, tanto num caso quanto no outro, precisa ser dotado de bom senso e de boa</p><p>técnica para desempenhar adequadamente seu papel.</p><p>Aplicação das regras acima a exemplos:</p><p>a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e relevantes, não imaginários ou insignificantes.</p><p>Analogia forte - Ana Maria sempre teve bom gosto ao comprar suas roupas, logo, terá bom gosto ao comprar</p><p>as roupas de sua filha.</p><p>Analogia fraca - João usa terno, sapato de cromo e perfume francês e é um bom advogado; Antônio usa</p><p>terno, sapato de cromo e perfume francês; logo, deve ser um bom advogado.</p><p>b) O número de aspectos semelhantes entre uma situação e outra deve ser significativo.</p><p>Analogia forte - A Terra é um planeta com atmosfera, com clima ameno e tem água; em Marte, tal como na</p><p>Terra, houve atmosfera, clima ameno e água; na Terra existe vida, logo, tal como na Terra, em Marte deve</p><p>ter havido algum tipo de vida.</p><p>Analogia fraca - T. Edison dormia entre 3 e 4 horas por noite e foi um gênio inventor; eu dormirei durante</p><p>3 1/2 horas por noite e, por isso, também serei um gênio inventor.</p><p>c) Não devem existir divergências marcantes na comparação.</p><p>Analogia forte - A pescaria em rios não é proveitosa por ocasião de tormentas e tempestades; a pescaria</p><p>marinha não está tendo sucesso porque troveja muito.</p><p>Analogia fraca - Os operários suíços que recebem o salário mínimo vivem bem; a maioria dos operários</p><p>brasileiros, tal como os operários suíços, também recebe um salário mínimo; logo, a maioria dos operários</p><p>brasileiros também vive bem, como os suíços.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 133</p><p>Pode-se notar que, no caso da analogia, não basta considerar a forma de raciocínio, é muito importante que</p><p>se avalie o seu conteúdo. Por isso, esse tipo de raciocínio não é admitido pela lógica formal. Se as premissas</p><p>forem verdadeiras, a conclusão não o será necessariamente, mas possivelmente, isto caso cumpram-se as</p><p>exigências acima.</p><p>Tal ocorre porque, apesar de existir uma estrutura geral do raciocínio analógico, não existem regras claras e</p><p>precisas que, uma vez observadas, levariam a uma conclusão necessariamente válida.</p><p>O esquema básico do raciocínio analógico é:</p><p>A é N, L, Y, X;</p><p>B, tal como A, é N, L, Y, X;</p><p>A é, também, Z</p><p>logo, B, tal como A, é também Z.</p><p>Argumento Válido</p><p>Dizemos que um argumento é válido ou ainda que ele é legítimo ou bem construído quando a sua conclusão</p><p>é uma conseqüência obrigatória do seu conjunto de premissas. Posto de outra forma: quando um argumento</p><p>é válido, a verdade das premissas deve garantir a verdade da conclusão do argumento. Isto significa que</p><p>jamais poderemos chegar a uma conclusão falsa quando as premissas forem verdadeiras e o argumento for</p><p>válido.</p><p>É importante observar que ao discutir a validade de um argumento é irrelevante o valor de verdade de cada</p><p>uma das premissas. Em Lógica, o estudo dos argumentos não leva em conta a verdade ou falsidade das</p><p>proposições que compõem os argumentos, mas tão-somente a validade destes.</p><p>Exemplo:</p><p>O silogismo:</p><p>“Todos os pardais adoram jogar xadrez.</p><p>Nenhum enxadrista gosta de óperas.</p><p>Portanto, nenhum pardal gosta de óperas.”</p><p>está perfeitamente bem construído (veja o diagrama abaixo), sendo, portanto, um argumento válido, muito</p><p>embora a verdade das premissas seja questionável.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 134</p><p>Op = Conjunto dos que gostam de óperas</p><p>X = Conjunto dos que adoram jogar xadrez</p><p>P = Conjunto dos pardais</p><p>Pelo diagrama pode-se perceber que nenhum elemento do conjunto P (pardais) pode pertencer ao</p><p>conjunto Op (os que gostam de óperas).</p><p>Argumento Inválido</p><p>Dizemos que um argumento é inválido, também denominado ilegítimo, mal construído ou falacioso,</p><p>quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão.</p><p>Exemplo:</p><p>O silogismo:</p><p>“Todos os alunos do curso passaram.</p><p>Maria não é aluna do curso.</p><p>Portanto, Maria não passou.”</p><p>é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as premissas não garantem (não obrigam) a</p><p>verdade da conclusão (veja o diagrama abaixo). Maria pode Ter passado mesmo sem ser aluna do curso, pois</p><p>a primeira premissa não afirmou que somente os alunos do curso haviam passado.</p><p>P = Conjunto das pessoas que passaram.</p><p>C = Conjunto dos alunos do curso.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 135</p><p>Na tabela abaixo, podemos ver um resumo das situações possíveis para um argumento:</p><p>Inferência</p><p>Umas vez que haja concordância sobre as premissas, o argumento procede passo a passo através do processo</p><p>chamado inferência.</p><p>Na inferência, parte-se de uma ou mais proposições aceitas (premissas) para chegar a outras novas. Se a</p><p>inferência for válida, a nova proposição também deve ser aceita. Posteriormente</p><p>essa proposição poderá ser</p><p>empregada em novas inferências.</p><p>Assim, inicialmente, apenas podemos inferir algo a partir das premissas do argumento; ao longo da</p><p>argumentação, entretanto, o número de afirmações que podem ser utilizadas aumenta.</p><p>Há vários tipos de inferência válidos, mas também alguns inválidos, os quais serão analisados neste</p><p>documento. O processo de inferência é comumente identificado pelas frases "conseqüentemente..." ou "isso</p><p>implica que...".</p><p>Dedução</p><p>A dedução é um tipo de raciocínio que parte de uma proposição geral (referente a todos os elementos de um</p><p>conjunto) e conclui com uma proposição particular (referente a parte dos elementos de um conjunto), que</p><p>se apresenta como necessária, ou seja, que deriva logicamente das premissas. Veja dois exemplos:</p><p>•Todo metal é dilatado pelo calor. (Premissa maior)</p><p>Ora, a prata é um metal. (Premissa menor)</p><p>Logo, a prata é dilatada pelo calor. (Conclusão)</p><p>•Todo brasileiro é sul-americano. (Premissa maior)</p><p>Ora, todo paulista é brasileiro. (Premissa menor)</p><p>Logo, todo paulista é sul-americano. (Conclusão)</p><p>Assim, a dedução organiza e especifica o conhecimento que já temos. Ela tem como ponto de partida o</p><p>plano do inteligível, ou seja, da verdade geral, já estabelecida.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 136</p><p>Sofismas ou falácias</p><p>Existem também os raciocínios ou argumentos que são incorretos, e que visam induzir ao erro. Chamam-</p><p>se falácia ou sofisma, e, em geral, contêm falhas no âmbito formal ou material. Eis um exemplo que tem</p><p>circulado pela Internet, com outros de igual calibre, para fazer graça:</p><p>Toda regra tem exceção.</p><p>Isto é uma regra e, portanto, tem exceção.</p><p>Logo, nem toda regra tem exceção.</p><p>Observe que a premissa maior é um dito popular, baseado no senso comum, cujo caráter verdadeiro é</p><p>discutível. É isso o que possibilita extrair a conclusão paradoxal ou absurda.</p><p>Também é um sofisma ou falácia a generalização indevida, isto é, algo que é correto para um grupo restrito</p><p>de elementos é generalizado para toda a espécie. Considere ainda a seguinte proposição: "Todo criminoso</p><p>merece a ir para a cadeia". Neste caso, temos uma falácia de falsa premissa, a partir do momento em que</p><p>existem penas alternativas, em que se deve verificar a natureza e a gravidade do crime, etc.</p><p>Conclusão</p><p>Finalmente se chegará a uma proposição que consiste na conclusão, ou seja, no que se está tentando provar.</p><p>Ela é o resultado final do processo de inferência, e só pode ser classificada como conclusão no contexto de</p><p>um argumento em particular.</p><p>A conclusão se respalda nas premissas e é inferida a partir delas. Esse é um processo sutil que merece</p><p>explicação mais aprofundada.</p><p>• Se as premissas são falsas e a inferência é válida, a conclusão pode ser verdadeira ou falsa. (Linhas 1</p><p>e 2.)</p><p>• Se as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, a inferência deve ser inválida. (Linha 3.)</p><p>• Se as premissas são verdadeiras e a inferência é válida, a conclusão deve ser verdadeira. (Linha 4.)</p><p>Então o fato que um argumento é válido não necessariamente significa que sua conclusão suporta - pode</p><p>ter começado de premissas falsas.</p><p>Se um argumento é válido, e além disso começou de premissas verdadeiras, então é chamado de um</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 137</p><p>argumento sensato. Um argumento sensato deve chegar à uma conclusão verdadeira.</p><p>Exemplo de argumento</p><p>A seguir exemplificamos um argumento válido, mas que pode ou não ser "consistente".</p><p>1 - Premissa: Todo evento tem uma causa.</p><p>2 - Premissa: O Universo teve um começo.</p><p>3 - Premissa: Começar envolve um evento.</p><p>4 - Inferência: Isso implica que o começo do Universo envolveu um evento.</p><p>5 - Inferência: Logo, o começo do Universo teve uma causa.</p><p>6 - Conclusão: O Universo teve uma causa.</p><p>A proposição da linha 4 foi inferida das linhas 2 e 3.</p><p>A linha 1, então, é usada em conjunto com proposição 4, para inferir uma nova proposição (linha 5).</p><p>O resultado dessa inferência é reafirmado (numa forma levemente simplificada) como sendo a conclusão.</p><p>Questões de Concursos</p><p>1 - ESAF - 2012 - MF - Assistente Técnico - Administrativo</p><p>Se Marta é estudante, então Pedro não é professor. Se Pedro não é professor, então Murilo trabalha. Se</p><p>Murilo trabalha, então hoje não é domingo. Ora, hoje é domingo. Logo,</p><p>a) Marta não é estudante e Murilo trabalha.</p><p>b) Marta não é estudante e Murilo não trabalha.</p><p>c) Marta é estudante ou Murilo trabalha.</p><p>d) Marta é estudante e Pedro é professor.</p><p>e) Murilo trabalha e Pedro é professor.</p><p>2 - ESAF - 2012 - MF - Assistente Técnico - Administrativo</p><p>Em uma cidade as seguintes premissas são verdadeiras: Nenhum professor é rico. Alguns políticos são ricos.</p><p>Então, pode-se afirmar que:</p><p>a) Nenhum professor é político.</p><p>b) Alguns professores são políticos.</p><p>c) Alguns políticos são professores.</p><p>d) Alguns políticos não são professores.</p><p>e) Nenhum político é professor.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 138</p><p>3 - CESPE - 2013 - TRE-MS - Técnico Judiciário - Programação de Sistemas</p><p>As proposições a seguir são as premissas de um argumento.</p><p>Se uma companhia tem grande porte e numerosas ramificações, sua falência teria um custo intolerável para</p><p>a sociedade.</p><p>Se a falência de uma companhia tem um custo intolerável para a sociedade, o governo protegê-las-á na</p><p>iminência ou durante de uma crise séria.</p><p>Se o governo protege uma companhia durante uma crise séria, recursos públicos são usados em benefício de</p><p>um ente privado.</p><p>Assinale a opção correspondente à conclusão que, juntamente com as premissas acima, constituem um</p><p>argumento válido.</p><p>a) Se uma companhia tem grande porte e numerosas ramificações, então recursos públicos são usados em</p><p>benefício de um ente privado.</p><p>b) Se a falência de uma companhia tem um custo intolerável para a sociedade, então recursos públicos são</p><p>usados em benefício de um entre privado.</p><p>c) Se uma companhia entrar em falência, então a sociedade arcará com um custo intolerável.</p><p>d) Se o governo protege uma companhia na iminência de uma crise séria, então recursos públicos são usados</p><p>em benefício de um ente privado.</p><p>e) Se ocorre uma crise séria em uma companhia, então recursos públicos são usados em benefício de um</p><p>ente privado.</p><p>GABARITO</p><p>1 - B 2 - D 3 - A</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 139</p><p>Lógica sentencial (ou proposicional). Proposições simples e compostas. Tabelas-verdade. Equivalências.</p><p>Leis de De Morgan. Diagramas lógicos.</p><p>Proposição Simples</p><p>Uma proposição é dita proposição simples ou proposição atômica quando não contém qualquer outra</p><p>proposição como sua componente. Isso significa que não é possível encontrar como parte de uma</p><p>proposição simples alguma outra proposição diferente dela. Não se pode subdividi-la em partes menores tais</p><p>que alguma delas seja uma nova proposição.</p><p>Exemplo:</p><p>A sentença “Carla é irmã de Marcelo” é uma proposição simples, pois não é possível identificar como parte</p><p>dela qualquer outra proposição diferente. Se tentarmos separá-la em duas ou mais partes menores nenhuma</p><p>delas será uma proposição nova.</p><p>Proposição Composta</p><p>Uma proposição que contenha qualquer outra como sua parte</p><p>b é divisor do número</p><p>natural a, se a é múltiplo de b.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 10</p><p>Exemplo: 3 é divisor de 15, pois 15=3×5, logo 15 é múltiplo de 3 e também é múltiplo de 5.</p><p>Um número natural tem uma quantidade finita de divisores. Por exemplo, o número 6 poderá ter no</p><p>máximo 6 divisores, pois trabalhando no conjunto dos números naturais não podemos dividir 6 por um</p><p>número maior do que ele.</p><p>Os divisores de um número y também formam um conjunto finito, aqui denotado por D(y).</p><p>Exemplos:</p><p>(a) Divisores de 6: D(6)={1,2,3,6}</p><p>(b) Divisores de 18: D(18)={1,2,3,6,9,18}</p><p>(c) Divisores de 15: D(15)={1,3,5,15}</p><p>Observação: O número zero é múltiplo de todo número natural e além disso, zero não divide qualquer</p><p>número natural, exceto ele próprio.</p><p>Se aceitarmos que 6÷0=b, então teremos que admitir que:</p><p>6 = 0 x b</p><p>mas não existe um número b que multiplicado por 0 (zero) seja igual a 6, portanto a divisão de 6 por 0</p><p>é impossível.</p><p>A divisão de 0/0 (zero por zero) é indeterminada, o que significa que pode existir uma situação que ela passe</p><p>a ter significado, no sentido seguinte:</p><p>Se aceitarmos que 0÷0=X, então poderemos escrever que:</p><p>0 ÷ 0 = X ÷ 1</p><p>Como temos uma igualdade de frações, gerando uma proporção, deveremos aceitar que o produto dos meios</p><p>é igual ao produto dos extremos nesta proporção e assim:</p><p>0 × 1 = 0 × X = 0</p><p>que não é contraditório e isto pode ser realizado para todo X real, razão pela qual a expressão da forma 0÷0 é</p><p>dita indeterminada.</p><p>Mínimo Múltiplo Comum</p><p>Diz-se que um número m é múltiplo comum dos número a e b se m é múltiplo de a e também é múltiplo de</p><p>b, ou seja.</p><p>m = k × a e m = w × b</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 11</p><p>onde k e w números naturais.</p><p>Exemplos: Múltiplos comuns</p><p>(a) 24 é múltiplo comum de 6 e 8.</p><p>(b) 15 é múltiplo comum de 3 e 5.</p><p>Determinaremos agora todos os números que tem 18 como múltiplo comum, o que é o mesmo que obter</p><p>todos os divisores naturais de 18.</p><p>18 é múltiplo comum de 1 e 18 pois 18=1x18</p><p>18 é múltiplo comum de 2 e 9 pois 18=2x9</p><p>18 é múltiplo comum de 3 e 6 pois 18=3x6</p><p>O número 18 é múltiplo comum de todos os seus divisores, logo:</p><p>D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9,18 }</p><p>Agora obteremos os múltiplos comuns dos números a e b. Para isso denotaremos por M(a) o conjunto dos</p><p>múltiplos de a, por M(b) o conjunto dos múltiplos de b e tomaremos a interseção entre os conjuntos M(a) e</p><p>M(b).</p><p>Exemplo: Múltiplos comuns de 3 e 5.</p><p>M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...}</p><p>M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,...}</p><p>M(3) M(5)={0,15,30,45,...}</p><p>Como estamos considerando 0 (zero) como número natural, ele irá fazer parte dos conjuntos de todos os</p><p>múltiplos de números naturais e será sempre o menor múltiplo comum, mas por definição, o Mínimo</p><p>Múltiplo Comum (MMC) de dois ou mais números naturais é o menor múltiplo comum a esses números</p><p>que é diferente de zero. Logo, no conjunto:</p><p>M(3) M(5)={0, 15, 30, 45, ...}</p><p>o Mínimo Múltiplo Comum entre 3 e 5 é igual a 15.</p><p>Ao trabalhar com dois números a e b, utilizamos a notação MMC(a,b) para representar o Mínimo Múltiplo</p><p>Comum entre os números naturais a e b, lembrando sempre que o menor múltiplo comum deve ser</p><p>diferente de zero. Por exemplo:</p><p>M(4)={0,4,8,12,16,20,24,...}</p><p>M(6)={ 0, 6, 12, 18, 24, ...}</p><p>MMC(4,6)=min {12,24,36,...}=12</p><p>O conjunto dos múltiplos do MMC(a,b) é igual ao conjunto dos múltiplos comuns de a e b. Por exemplo, se</p><p>a=3 e b=5:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 12</p><p>M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,...}</p><p>M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,...}</p><p>M(3) M(5)={0,15,30,45,...}</p><p>M(15)={0,15,30,45,60,...}</p><p>Observe que M(15)=M(3) M(5)</p><p>Método prático para obter o MMC</p><p>Do ponto de vista didático, o processo acima é excelente para mostrar o significado do MMC mas existe um</p><p>método prático para realizar tal tarefa sem trabalhar com conjuntos.</p><p>1.Em um papel faça um traço vertical, de forma que sobre espaço livre tanto à direita como à</p><p>esquerda do traço.</p><p>|</p><p>|</p><p>|</p><p>2.À esquerda do traço escreva os números naturais como uma lista, separados por vírgulas, para obter</p><p>o MMC(a,b,c,...). Por exemplo, tomaremos 12, 22 e 28 do lado esquerdo do traço vertical e do lado</p><p>direito do traço poremos o menor número primo que divide algum dos números da lista que está à</p><p>esquerda. Aqui usamos o 2.</p><p>12 22 28 | 2</p><p>|</p><p>|</p><p>3.Dividimos todos os números da lista da esquerda, que são múltiplos do número primo que está à</p><p>direita do traço, criando uma nova lista debaixo da lista anterior com os valores resultantes das</p><p>divisões (possíveis) e com os números que não foram divididos.</p><p>12 22 28 | 2</p><p>6 11 14 |</p><p>|</p><p>|</p><p>4.Repetimos a partir do passo 3 até que os valores da lista que está do lado esquerdo do traço se</p><p>tornem todos iguais a um.</p><p>12 22 28 | 2</p><p>6 11 14 | 2</p><p>3 11 7 | 3</p><p>1 11 7 | 7</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 13</p><p>1 11 1 | 11</p><p>1 1 1 | 924</p><p>5.O MMC é o produto dos números primos que colocamos do lado direito do traço e neste caso:</p><p>MMC(12,22,28)=924.</p><p>Exemplo: Obtemos o MMC dos números 12 e 15, com a tabela:</p><p>12 15 |</p><p>|</p><p>|</p><p>e depois dividimos todos os números da lista da esquerda pelos números primos (quando a divisão for</p><p>possível), criando novas listas sob as listas anteriores. O MMC(12,15)=60 é o produto de todos os números</p><p>primos que colocamos do lado direito do traço.</p><p>12 15 | 2</p><p>6 15 | 2</p><p>3 15 | 3</p><p>1 5 | 5</p><p>1 1 | 60</p><p>Máximo Divisor Comum</p><p>Para obter o Máximo Divisor Comum devemos introduzir o conceito de divisor comum a vários números</p><p>naturais. Um número d é divisor comum de outros dois números naturais a e b se, d divide a e d divide b</p><p>simultaneamente. Isto significa que devem existir k1 e k2 naturais tal que:</p><p>a = k1 × d e b = k2 × d</p><p>Exemplos: Divisores comuns.</p><p>(a) 8 divide 24 e 56, pois 24=3x8 e 56=7x8.</p><p>(b) 3 divide 15 e 36, pois 15=5x3 e 36=12x3.</p><p>Observação: Um número d é divisor de todos os seus múltiplos. O conjunto dos divisores comuns de dois</p><p>números é finito, pois o conjunto dos divisores de um número é finito. O conjunto dos divisores de um</p><p>número natural y, será denotado por D(y).</p><p>Obteremos agora os divisores comuns aos números 16 e 24, isto é, obteremos a interseção entre os conjunto</p><p>D(16) e D(24).</p><p>D(16)={ 1, 2, 4, 8, 16 }</p><p>D(24)={ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }</p><p>D(16) D(24)={1, 2, 4, 8}</p><p>Ocorre que o menor divisor comum entre os números 16 e 24, é 1, assim não interessa o menor divisor</p><p>comum mas sim o maior divisor que pertence simultaneamente aos dois conjuntos de divisores.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 14</p><p>Denotaremos por MDC(a,b), o Máximo Divisor Comum entre os números naturais a e b. Por exemplo,</p><p>tomemos os conjuntos de divisores D(16)={1,2,4,8,16} e D(24)={1,2,3,4,6,8,12,24}, então:</p><p>MDC(16,24)=max( D(16) D(24))=8</p><p>Método prático para obter o MDC</p><p>De forma similar ao cálculo do MMC(a,b), temos também um procedimento</p><p>componente é dita proposição composta ou</p><p>proposição molecular. Isso quer dizer que uma proposição é composta quando se pode extrair como parte</p><p>dela, uma nova proposição.</p><p>Tabelas-verdade.</p><p>A tabela-verdade é usada para determinar o valor lógico de uma proposição composta, sendo que os valores</p><p>das proposições simples já são conhecidos. Pois o valor lógico da proposição composta depende do valor</p><p>lógico da proposição simples.</p><p>A seguir vamos compreender como se constrói essas tabelas-verdade partindo da árvore das</p><p>possibilidadesdos valores lógicos das preposições simples, e mais adiante veremos como determinar o valor</p><p>lógico de uma proposição composta.</p><p>Proposição composta do tipo P(p, q)</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 140</p><p>Proposição composta do tipo P(p, q, r)</p><p>Proposição composta do tipo P(p, q, r, s)</p><p>A tabela-verdade possui 24 = 16 linhas e é formada igualmente as anteriores.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 141</p><p>Tabelas das principais operações do cálculo proposicional</p><p>Negação</p><p>A ~A</p><p>V F</p><p>F V</p><p>A negação da proposição "A" é a proposição "~A", de maneira que se "A" é verdade então "~A" é falsa, e</p><p>vice-versa.</p><p>Conjunção (E)</p><p>A conjunção é verdadeira se e somente se os operandos são verdadeiros.</p><p>A B A^B</p><p>V V V</p><p>F V F</p><p>F F F</p><p>V F F</p><p>Disjunção (OU)</p><p>A disjunção é falsa se, e somente se ambos os operandos forem falsos.</p><p>A B AvB</p><p>V V V</p><p>V F V</p><p>F V V</p><p>F F F</p><p>Condicional (se... então) [implicação]</p><p>A conjunção é falsa se, e somente se, o primeiro operando é verdadeiro e o segundo operando é falso.</p><p>A B A→B</p><p>V V V</p><p>V F F</p><p>F V V</p><p>F F V</p><p>Bicondicional (se e somente se) [equivalência]</p><p>A conjunção é verdadeira se, e somente se, ambos operandos forem falsos ou ambos verdadeiros.</p><p>A B A↔B</p><p>V V V</p><p>V F F</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 142</p><p>F V F</p><p>F F V</p><p>Disjunção exclusiva (Ou... ou XOR)</p><p>A conjunção é verdadeira se, e somente se, apenas um dos operandos for verdadeiro.</p><p>A B A∨B</p><p>V V F</p><p>V F V</p><p>F V V</p><p>F F F</p><p>Adaga de Quine (NOR)</p><p>A conjunção é verdadeira se e somente se os operandos são falsos.</p><p>A B A B∨</p><p>A↓</p><p>B</p><p>V V V F</p><p>V F V F</p><p>F V V F</p><p>F F F V</p><p>Como usar tabelas para verificar a validade de argumentos</p><p>Verifique se a conclusão nunca é falsa quando as premissas são verdadeiros. Em caso positivo, o argumento</p><p>é válido. Em caso negativo, é inválido.</p><p>Alguns argumentos válidos</p><p>•Modus ponens</p><p>A B A→B</p><p>V V V</p><p>V F F</p><p>F V V</p><p>F F V</p><p>•Modus tollens</p><p>A B ¬A ¬B A→B</p><p>V V F F V</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 143</p><p>V F F V F</p><p>F V V F V</p><p>F F V V V</p><p>•Silogismo hipotético</p><p>A B C A→B B→C A→C</p><p>V V V V V V</p><p>V V F V F F</p><p>V F V F V V</p><p>V F F F V F</p><p>F V V V V V</p><p>F V F V F V</p><p>F F V V V V</p><p>F F F V V V</p><p>Algumas falácias</p><p>•Afirmação do consequente</p><p>Se A, então B. (A B)→</p><p>B.</p><p>Logo, A.</p><p>A B A→B</p><p>V V V</p><p>V F F</p><p>F V V</p><p>F F V</p><p>•Comutação dos condicionais</p><p>A implica B. (A B)→</p><p>Logo, B implica A. (B A)→</p><p>A B A→B B→A</p><p>V V V V</p><p>V F F V</p><p>F V V F</p><p>F F V V</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 144</p><p>Como usar tabelas para verificar a equivalência de fórmulas</p><p>(A B) ¬(B ¬A) ¬(¬A ¬B) (¬A ¬B)∧ ≡ → ≡ ∨ ≡ ↓</p><p>A B ¬A ¬B A B∧ B ¬A→ ¬(B ¬A)→ (¬A ¬B)↓</p><p>V V F F V F V V</p><p>V F F V F V F F</p><p>F V V F F V F F</p><p>F F V V F V F F</p><p>(A B) ¬(¬A B) (¬A B) ¬(¬A B)→ ≡ ∧ ≡ ∨ ≡ ↓</p><p>A B ¬A ¬B A→B A ¬B∧ ¬(¬A B)∧ ¬A B∨</p><p>V V F F V F V V</p><p>V F F V F V F F</p><p>F V V F V F V V</p><p>F F V V V F V V</p><p>(A B) ¬(¬A ¬B) (¬A B) ¬(A B)∨ ≡ ∧ ≡ → ≡ ↓</p><p>A B ¬A ¬B A B∨ ¬A ¬B∧ ¬(¬A ¬B)∧ ¬A B→</p><p>V V F F V F V V</p><p>V F F V V F V V</p><p>F V V F V F V V</p><p>F F V V F V F F</p><p>Equivalências.</p><p>Há equivalência entre as proposições P e Q somente quando a bicondicional P ↔ Q for uma tautologia ou</p><p>quando P e Q tiverem a mesma tabela-verdade. P Q⇔ (P é equivalente a Q) é o símbolo que representa a</p><p>equivalência lógica.</p><p>Diferenciação dos símbolos ↔ e ⇔</p><p>O símbolo ↔ representa uma operação entre as proposições P e Q, que tem como resultado uma nova</p><p>proposição P ↔ Q com valor lógico V ou F.</p><p>O símbolo ⇔ representa a não ocorrência de VF e de FV na tabela-verdade P ↔ Q, ou ainda que o valor</p><p>lógico de P ↔ Q é sempre V, ou então P ↔ Q é uma tautologia.</p><p>Exemplo</p><p>A tabela da bicondicional (p q) (~q ~p) será:→ ↔ →</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 145</p><p>Portanto, p → q é equivalente a ~q → ~p, pois estas proposições possuem a mesma tabela-verdade ou a</p><p>bicondicional (p q) (~q ~p) é uma tautologia.→ ↔ →</p><p>Veja a representação:</p><p>(p → q) (~q⇔ → ~p)</p><p>Leis de De Morgan.</p><p>Duas equivalências fundamentais são as denominadas Leis de De Morgan: ¬(AÚB), significando ¬AÙ¬B, e</p><p>¬(AÙB), significando ¬AÚ¬B.</p><p>Tendo como referência as informações acima, julgue os itens que se seguem.</p><p>45 Nas sentenças abaixo, apenas A e D são proposições.</p><p>A: 12 é menor que 6.</p><p>B: Para qual time você torce?</p><p>C: x + 3 > 10.</p><p>D: Existe vida após a morte.</p><p>Diagramas lógicos</p><p>Existem argumentos que apresentam proposições com quantificadores. Nestes casos, para a análise do</p><p>argumento a gente utiliza os chamados diagramas lógicos.</p><p>Uma sentença aberta é uma sentença que possui pelo menos uma variável.</p><p>Exemplo:</p><p>x + 3 > 5</p><p>Acima temos uma sentença aberta. Ela possui a variável x. Cada valor de x dá origem a uma proposição, que</p><p>pode ser julgada em V ou F. Isso é o que caracteriza uma sentença aberta. É o fato de ela poder dar origem a</p><p>diversas proposições, conforme o valor assumido pela variável. Em outras palavras, a sentença x + 3 > 5 , por</p><p>si só, não é uma proposição. Ela não pode, de imediato, ser julgada em V ou F. Cada valor de x vai dar</p><p>origem a uma proposição que, aí sim, poderá ser julgada.</p><p>Pois bem, é muito comum que, a partir de uma sentença aberta, sejam formuladas proposições por meio de</p><p>quantificadores. Quando um quantificador incide sobre uma variável, aí temos uma proposição, que pode</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 146</p><p>ser julgada em V ou F.</p><p>A partir do exemplo acima, vamos criar uma outra frase:</p><p>Existe valor de x tal que x + 3 > 5 .</p><p>Ah, agora mudou tudo. A palavra “existe” é um quantificador. Podemos pensar que ela é sinônimo de</p><p>“algum”. Ou seja, afirma-se que algum x obedece a “ x + 3 > 5 ”. Ou seja, afirma-se que existe pelo menos</p><p>um valor de x que satisfaz x + 3 > 5 .</p><p>Essa segunda sentença é uma proposição. Apesar de apresentar uma variável, ela já pode ser julgada de</p><p>imediato. No caso, sabemos que é verdadeira.</p><p>Os quantificadores são geralmente indicados por palavras como: todo, algum, nenhum etc.</p><p>Argumentos que envolvem proposições deste tipo são mais</p><p>facilmente estudados por meio de diagramas,</p><p>que representam os diversos conjuntos de possibilidades.</p><p>Exemplo de frases:</p><p>“Todo cachorro tem quatro patas”</p><p>“Algum cavalo é marrom”</p><p>“Nenhum triângulo tem 5 lados”</p><p>“Todos os homens têm olhos azuis”</p><p>Como montar os diagramas?</p><p>A técnica é bastante simples.</p><p>Vamos começar com o caso do todo.</p><p>Exemplo:</p><p>“Todo cachorro late”</p><p>Significa que o conjunto dos cachorros está dentro (está contido) do conjunto das coisas que latem. Deste</p><p>modo:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 147</p><p>A ideia é sempre essa. Sempre que nos disseram que “Todo X é Y” significa que o conjunto dos X está</p><p>contido no conjunto dos Y.</p><p>Dizendo de forma um pouco diferente: o conjunto dos cachorros é um subconjunto do conjunto das coisas</p><p>que latem.</p><p>Reparem que este quantificador nos traz algumas certezas e algumas incertezas.</p><p>Para melhor entendimento, mudemos de frase.</p><p>Todo dragão é um animal com mais de 15 metros de altura.</p><p>Isso nos dá certeza de que não há dragões fora do conjunto dos animais com mais de 15 metros de altura.</p><p>Agora, simplesmente dizer que “todo dragão é um animal com mais de 15 metros de altura” não nos dá</p><p>certeza de que existem dragões, nem de que há animais com mais de 15 metros de altura. São as “regiões de</p><p>incerteza”, destacadas em amarelo na figura acima.</p><p>Ou seja, nas regiões em amarelo, não sabemos se há ou não elementos.</p><p>Esta proposição em especial foi dada porque, no mundo real, de fato, não há dragões.</p><p>Também não há animais com mais de 15 metros de altura.</p><p>Apesar disso, é correto dizer que “todo dragão é um animal com mais de 15 metros de altura”.</p><p>Ora, se existem zero dragões, então, de fato, todos estes “zero” dragões têm mais de 15 metros de altura.</p><p>Agora vamos para o caso do algum.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 148</p><p>“Algum brasileiro fala espanhol”</p><p>Este quantificador também nos traz algumas incertezas. Vejam como fica o desenho:</p><p>Quando dizemos que alguns brasileiros falam espanhol, nós temos a certeza que os dois conjuntos se tocam.</p><p>E mais que isso: na intersecção, há pelo menos um elemento.</p><p>Ou seja, existe pelo menos uma pessoa que é brasileira e, além disso, fala espanhol.</p><p>Isso nos dá a certeza de que, na região marcada com um (X) na figura abaixo, existe pelo menos uma pessoa:</p><p>Quanto às demais regiões do diagrama, não sabemos se correspondem a algum indivíduo. São “regiões de</p><p>incerteza”, representadas em amarelo:</p><p>Não sabemos se há brasileiros que não falam espanhol (região 1 da figura). Também não sabemos se há</p><p>pessoas que falam espanhol e não são brasileiras (região 2 da figura).</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 149</p><p>Situação semelhante acontece com a seguinte proposição:</p><p>Alguns brasileiros não falam espanhol.</p><p>O diagrama é o mesmo. A única coisa que muda é a “região de incerteza”.</p><p>Agora, temos certeza de que existem brasileiros que não falam espanhol. É a região marcada com um (X) ma</p><p>figura abaixo:</p><p>Não temos certeza se há pessoas que são brasileiras e falam espanhol (região 1). Também não sabemos se há</p><p>pessoas que não são brasileiras e falam espanhol (região 2).</p><p>Vamos para o caso do nenhum.</p><p>“Nenhum dragão é dinossauro”</p><p>Neste caso, estamos afirmando que o conjunto dos dragões não apresenta intersecção com o conjunto dos</p><p>dinossauros.</p><p>Assim:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 150</p><p>Novamente: dizemos que não há intersecção entre os dois conjuntos.</p><p>Assim como nos casos anteriores, temos algumas incertezas.</p><p>A única certeza que temos é que não há intersecção entre os conjuntos. É a região cinza da figura acima.</p><p>Pintamos de cinza par indicar ausência de elementos.</p><p>Contudo, simplesmente dizer que “nenhum dragão é dinossauro” não garante qualquer coisa sobre a</p><p>existência de elementos dentro do conjunto dos dragões (região 1 da figura), ou dentro do conjunto dos</p><p>dinossauros (região 2).</p><p>Não temos certeza se existem dragões. Nem se existem dinossauros. Apenas temos certeza de que não há</p><p>dragões que também sejam dinossauros.</p><p>Esta proposição em especial foi utilizada porque, no mundo real, atualmente, não existem dinossauros.</p><p>Também não existem dragões. Deste modo, realmente é correto dizer que nenhum dragão é dinossauro.</p><p>Com isso não estamos afirmando a existência de qualquer um destes dois tipos de criatura.</p><p>Lógica de primeira ordem.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 151</p><p>A lógica de primeira ordem (LPO), conhecida também como cálculo de predicados de primeira</p><p>ordem (CPPO), é um sistema lógico que estende a lógica proposicional (lógica sentencial) e que é estendida</p><p>pela lógica de segunda ordem.</p><p>Um cálculo de predicados consiste em:</p><p>•regras de formação (definições recursivas para dar origem a fórmulas bem-formadas ou FBFs).</p><p>•regras de transformação (regras de inferência para derivar teoremas).</p><p>•axiomas.</p><p>Os axiomas considerados aqui são os axiomas lógicos que fazem parte do cálculo de predicados. Além disso,</p><p>os axiomas não-lógicos são adicionados em teorias de primeira ordem específicas: estes não são considerados</p><p>como verdades da lógica, mas como verdades da teoria particular sob consideração.</p><p>Quando o conjunto dos axiomas é infinito, requer-se que haja um algoritmo que possa decidir para uma</p><p>fórmula bem formada dada, se ela é um axioma ou não. Deve também haver um algoritmo que possa decidir</p><p>se uma aplicação dada de uma regra de inferência está correta ou não.</p><p>É importante notar que o cálculo de predicados pode ser formalizado de muitas maneiras equivalentes; não</p><p>há nada canônico sobre os axiomas e as regras de inferência propostos aqui, mas toda a formalização dará</p><p>origem aos mesmos teoremas da lógica (e deduzirá os mesmos teoremas a partir de um conjunto qualquer de</p><p>axiomas não-lógicos).</p><p>A linguagem da lógica proposicional não é adequada para representar relações entre objetos.</p><p>Por exemplo, se fôssemos usar uma linguagem proposicional para representar "João é pai de Maria e José é</p><p>pai de João" usaríamos duas letras sentenciais diferentes para expressar idéias semelhantes (por exemplo, P</p><p>para simbolizar "João é pai de Maria "e Q para simbolizar "José é pai de João" ) e não estaríamos captando</p><p>com esta representação o fato de que as duas frases falam sobre a mesma relação de parentesco entre João e</p><p>Maria e entre José e João.</p><p>Outro exemplo do limite do poder de expressão da linguagem proposicional, é sua incapacidade de</p><p>representar instâncias de um propriedade geral.</p><p>Por exemplo, se quiséssemos representar em linguagem proposicional "Qualquer objeto é igual a si mesmo "</p><p>e "3 é igual a 3", usaríamos letras sentenciais distintas para representar cada uma das frases, sem captar que a</p><p>segunda frase é uma instância particular da primeira.</p><p>Da mesma forma, se por algum processo de dedução chegássemos à conclusão que um indivíduo arbitrário</p><p>de um universo tem uma certa propriedade, seria razoável querermos concluir que esta</p><p>propriedade vale</p><p>para qualquer indivíduo do universo. Porém, usando uma linguagem proposicional para expressar "um</p><p>indivíduo arbitrário de um universo tem uma certa propriedade " e "esta propriedade vale para qualquer</p><p>indivíduo do universo" usaríamos dois símbolos proposicionais distintos e não teríamos como concluir o</p><p>segundo do primeiro.</p><p>A linguagem de primeira ordem vai captar relações entre indivíduos de um mesmo universo de discurso e a</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 152</p><p>lógica de primeira ordem vai permitir concluir particularizações de uma propriedade geral dos indivíduos</p><p>de um universo de discurso, assim como derivar generalizações a partir de fatos que valem para um</p><p>indivíduo arbitrário do universo de discurso. Para ter tal poder de expressão, a linguagem de primeira</p><p>ordem vai usar um arsenal de símbolos mais sofisticado do que o da linguagem proposicional.</p><p>Considere a sentença "Todo objeto é igual a si mesmo ".</p><p>Esta sentença fala de uma propriedade (a de ser igual a si mesmo) que vale para todos os indivíduos de um</p><p>universo de discurso, sem identificar os objetos deste universo.</p><p>Considere agora a sentença "Existem números naturais que são pares".</p><p>Esta sentença fala de um propriedade (a de ser par) que vale para alguns (pelo menos um dos) indivíduos do</p><p>universo dos números naturais, sem, no entanto, falar no número" 0" ou "2" ou "4",etc em particular.</p><p>Para expressar propriedades gerais (que valem para todos os indivíduos) ou existenciais (que valem para</p><p>alguns indivíduos) de um universo são utilizados os quantificadores  (universal) e  (existencial),</p><p>respectivamente. Estes quantificadores virão sempre seguidos de um símbolo de variável, captando, desta</p><p>forma, a idéia de estarem simbolizando as palavras "para qualquer" e "para algum".</p><p>Considere as sentenças:</p><p>- "Sócrates é homem"</p><p>- "Todo aluno do departamento de Ciência da Computação estuda lógica"</p><p>A primeira frase fala de uma propriedade (ser homem) de um indivíduo distinguido ("Sócrates") de um</p><p>domínio de discurso. A segunda frase fala sobre objetos distiguidos "departamento de Ciência da</p><p>Computação" e "lógica". Tais objetos poderão ser representados usando os símbolos , soc para "Sócrates", cc</p><p>para "departamento de Ciência da Computação", lg para "lógica".Tais símbolos são chamados de símbolos de</p><p>constantes.</p><p>As propriedades "ser aluno de ", "estuda" relacionam objetos do universo de discurso considerado, isto é,</p><p>"ser aluno de " relaciona os indivíduos de uma universidade com os seus departamentos, "estuda" relaciona</p><p>os indivíduos de uma universidade com as matérias. Para representar tais relações serão usados símbolos de</p><p>predicados (ou relações). Nos exemplos citados podemos usar Estuda e Aluno que são símbolos de relação</p><p>binária. As relações unárias expressam propriedades dos indivíduos do universo ( por exemplo "ser par","ser</p><p>homem").</p><p>A relação "ser igual a" é tratada de forma especial, sendo representada pelo símbolo de igualdade .</p><p>Desta forma podemos simbolizar as sentenças consideradas nos exemplos da seguinte forma:</p><p>- "Todo mundo é igual a si mesmo " por x xx;</p><p>- "Existem números naturais que são pares" por xPar(x);</p><p>- "Sócrates é homem" por Homem(soc);</p><p>- "Todo aluno do departamento de Ciência da Computação estuda lógica" porx(Aluno(x,cc) Estuda (x,lg)).</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 153</p><p>As constantes, sinais funcionais e sinais predicativos constituem a coleção de sinais ditos símbolos não</p><p>lógicos.</p><p>Há diversas variações menores listadas abaixo:</p><p>•O conjunto de símbolos primitivos (operadores e quantificadores) varia frequentemente. Alguns símbolos</p><p>primitivos podem ser omitidos, substituindo-os com abreviaturas adequadas; por exemplo (P Q) é uma↔</p><p>abreviatura para (P → Q) (∧ Q → P). No sentido contrário, é possível incluir outros operadores como</p><p>símbolos primitivos, como as constantes de verdade para "verdadeiro" e o para "falso" (estes são⊤ ⊥</p><p>operadores do aridade 0). O número mínimo dos símbolos primitivos necessários é um, mas se nós nos</p><p>restringirmos aos operadores listados acima, seria necessário três; por exemplo, o ¬, o , e o bastariam.∧ ∀</p><p>•Alguns livros mais velhos usam a notação φ ψ para φ ψ, ~φ para ¬φ, φ & ψ para φ ψ, e uma⊃ → ∧</p><p>variedade de notações para os quantificadores; por exemplo, xφ pode ser escrito como (x)φ.∀</p><p>•A igualdade é às vezes considerada como parte da lógica de primeira ordem; Neste caso, o símbolo da</p><p>igualdade será incluído no alfabeto, e comportar-se-á sintaticamente como um predicado binário. Assim a</p><p>LPO será chamada de lógica de primeira ordem com igualdade.</p><p>•As constantes são na verdade funções de aridade 0, assim seria possível e conveniente omitir constantes e</p><p>usar as funções que tenham qualquer aridade. Mas é comum usar o termo "função" somente para funções de</p><p>aridade 1.</p><p>•Na definição acima, as relações devem ter pelo menos aridade 1. É possível permitir relações de aridade 0;</p><p>estas seriam consideradas variáveis proposicionais.</p><p>•Há muitas convenções diferentes sobre onde pôr parênteses; por exemplo, se pode escrever x ou ( x).∀ ∀</p><p>Às vezes se usa dois pontos ou ponto final ao invés dos parênteses para criar fórmulas não ambíguas. Uma</p><p>convenção interessante, mas incomum, é a "notação polonesa", onde se omite todos os parênteses, e</p><p>escreve-se o , , e assim por diante na frente de seus argumentos. A notação polonesa é compacta e∧ ∨</p><p>elegante, mas rara e de leitura complexa.</p><p>•Uma observação técnica é que se houver um símbolo de função de aridade 2 que representa um par</p><p>ordenado (ou símbolos de predicados de aridade 2 que representam as relações de projeção de um par</p><p>ordenado) então se pode dispensar inteiramente as funções ou predicados de aridade > 2. Naturalmente o</p><p>par ou as projeções necessitam satisfazer aos axiomas naturais.</p><p>•</p><p>Os conjuntos das constantes, das funções, e das relações compõem a assinatura e são geralmente</p><p>considerados para dar forma a uma linguagem, enquanto as variáveis, os operadores lógicos, e os</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 154</p><p>quantificadores são geralmente considerados para pertencer à lógica. Uma estrutura dá o significado</p><p>semântico de cada símbolo da assinatura. Por exemplo, a linguagem da teoria dos grupos consiste de uma</p><p>constante (elemento da identidade), de uma função de aridade 1 (inverso), de uma função de aridade 2</p><p>(produto), e de uma relação de aridade 2 (igualdade), que seria omitida pelos autores que incluem a</p><p>igualdade na lógica subjacente.</p><p>Regras de formação</p><p>As regras de formação definem os termos, fórmulas, e as variáveis livres como segue. O conjunto</p><p>dos termos é definido recursivamente pelas seguintes regras:</p><p>1.Qualquer constante é um termo (sem variáveis livres).</p><p>2.Qualquer variável é um termo (cuja única variável livre é ela mesma).</p><p>3.Toda expressão f (t1,…, tn) de n ≥ 1 argumentos (onde cada argumento ti é um termo e f é um símbolo de</p><p>função de aridade n) é um termo. Suas variáveis livres são as variáveis livres de cada um dos termos ti.</p><p>4.Cláusula de fechamento: Nada mais é um termo.</p><p>O conjunto das fórmulas bem-formadas (chamadas geralmente FBFs ou apenas fórmulas) é definido</p><p>recursivamente pelas seguintes regras:</p><p>1.Predicados simples e complexos: se P for uma relação de aridade n ≥ 1 e os ai são os termos então P (a1,</p><p>…,an)</p><p>é bem formada. Suas variáveis livres são as variáveis livres de quaisquer termos ai. Se a igualdade for</p><p>considerada parte da lógica, então (a1 = a2) é bem formada. Tais fórmulas são ditas atômicas.</p><p>2.Cláusula indutiva I: Se φ for uma FBF, então ¬φ é uma FBF. Suas variáveis livres são as variáveis livres de</p><p>φ.</p><p>3.Cláusula indutiva II: Se φ e ψ são FBFs, então (ψ φ), (ψ∧ φ), (ψ φ), (ψ φ) são→ ↔ FBFs. Suas variáveis</p><p>livres são as variáveis livres de φ e de ψ.</p><p>4.Cláusula indutiva III: Se φ for uma FBF e x for um variável, então ∀xφ e ∃xφ são FBFs, cujas variáveis</p><p>livres são as variáveis livres de φ com exceção de x. Ocorrências de x são ditasligadas ou mudas (por</p><p>oposição a livre) em ∀xφ e ∃xφ.</p><p>5.Cláusula de fechamento: Nada mais é uma FBF.</p><p>Na prática, se P for uma relação de aridade 2, nós escrevemos frequentemente "a P b" em vez de "P a b"; por</p><p>exemplo, nós escrevemos 1 < 2 em vez de < (1 2). Similarmente se f for uma função de aridade 2, nós</p><p>escrevemos às vezes "a f b" em vez de "f (a b)"; por exemplo, nós escrevemos 1 + 2 em vez de + (1 2). É</p><p>também comum omitir alguns parênteses se isto não conduzir à ambigüidade. Às vezes é útil dizer que</p><p>"P (x) vale para exatamente um x", o que costuma ser denotado por !∃ xP(x). Isto também pode ser expresso</p><p>por ∃x (P (x) ∀y (P (y) (→ x = y))).</p><p>Exemplos: A linguagem dos grupos abelianos ordenados tem uma constante 0, uma função unária −,</p><p>uma função binária +, e uma relação binária ≤. Assim:</p><p>•0, x, y são termos atômicos</p><p>•+ (x, y), + (x, + (y, − (z))) são termos, escritos geralmente como x + y, x + (y + (−z))</p><p>•= (+ (x, y), 0), ≤ (+ (x, + (y, − (z))), + (x, y)) são fórmulas atômicas, escritas geralmente como x + y =</p><p>0, x + y - z ≤ x + y,</p><p>•(∀x ∃y ≤ (+ (x, y), z)) (∧ ∃x = (+ (x, y), 0)) é uma fórmula, escrita geralmente como (∀x ∃y (x + y ≤ z))</p><p>(∧ ∃x (x + y = 0)).</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 155</p><p>Substituição</p><p>Se t é um termo e φ(x) é uma fórmula que contém possivelmente x como uma variável livre, então φ(t) se</p><p>definido como o resultado da substituição de todas as instâncias livres de x por t, desde que nenhuma</p><p>variável livre de t se torne ligada neste processo. Se alguma variável livre de t se tornar ligada, então para</p><p>substituir t por x é primeiramente necessário mudar os nomes das variáveis ligadas de φ para algo diferente</p><p>das variáveis livres de t. Para ver porque esta condição é necessária, considere a fórmula φ(x) dada por</p><p>∀y y≤x ("x é máximal"). Se t for um termo sem ycomo variável livre, então φ(t) diz apenas que t é maximal.</p><p>Entretanto se t é y, a fórmula φ(y) é ∀y y≤y que não diz que y é máximal.O problema de que a variável</p><p>livre y de t (=y) se transformou em ligada quando nós substituímos y por x em φ(x). Assim, para construir</p><p>φ(y) nós devemos primeiramente mudar a variável ligada y de φ para qualquer outra coisa, por exemplo a</p><p>variável z, de modo que o φ(y) seja então ∀z z≤ y. Esquecer desta condição é uma causa notória de erros.</p><p>Igualdade</p><p>Há diversas convenções diferentes para se usar a igualdade (ou a identidade) na lógica de primeira ordem.</p><p>Esta seção resume as principais. Todas as convenções resultam mais ou menos no mesmo com mais ou</p><p>menos a mesma quantidade de trabalho, e diferem principalmente na terminologia.</p><p>•A convenção mais comum para a igualdade é incluir o símbolo da igualdade como um símbolo lógico</p><p>primitivo, e adicionar os axiomas da igualdade aos axiomas da lógica de primeira ordem. Os axiomas de</p><p>igualdade são</p><p>•A próxima convenção mais comum é incluir o símbolo da igualdade como uma das relações de uma teoria,</p><p>e adicionar os axiomas da igualdade aos axiomas da teoria. Na prática isto é quase idêntico à da convenção</p><p>precedente, exceto no exemplo incomum de teorias com nenhuma noção de igualdade. Os axiomas são os</p><p>mesmos, e a única diferença é se eles serão chamados de axiomas lógicos ou de axiomas de teoria.</p><p>•Nas teorias sem funções e com um número finito de relações, é possível definir a igualdade em termos de</p><p>relações, definindo os dois termos s e t como iguais se qualquer relação continuar inalterada ao se</p><p>substituir s por t em qualquer argumento. Por exemplo, em teoria dos conjuntos com uma relação , nós∈</p><p>definiríamos s = t como uma abreviatura para ∀x (s ∈ x ↔ t ∈ x) ∧∀x (x ∈ s ↔ x ∈ t). Esta definição de</p><p>igualdade satisfaz automaticamente os axiomas da igualdade.</p><p>•Em algumas teorias é possível dar definições de igualdade ad hoc. Por exemplo, em uma teoria de ordens</p><p>parciais com uma relação ≤ nós poderíamos definir s = t como uma abreviatura paras ≤ t ∧ t ≤ s.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 156</p><p>Limitações</p><p>Apesar da Lógica de Primeira Ordem ser suficiente para formalizar uma grande parte da matemática, e</p><p>também ser comumente usada em Ciência da Computação e outras áreas, ela tem as suas limitações. Suas</p><p>limitações incluem limitações em sua expressividade e limitações com relação aos fragmentos das línguas</p><p>naturais que pode descrever.</p><p>Expressividade</p><p>O teorema de Löwenheim–Skolem mostra que se uma teoria de primeira ordem tem um modelo infinito,</p><p>então a teoria também tem modelos de todas as cardinalidades infinitas. Em particular, nenhuma teoria de</p><p>primeira ordem com um modelo infinito pode ser categórica. Assim, não há uma teoria de primeira ordem</p><p>cujo único modelo tem o conjunto dos números naturais como domínio, ou cujo único modelo tem o</p><p>conjunto dos números reais como domínio. Várias extensões da Lógica de Primeira-Ordem, incluindo a</p><p>Lógica de Ordem Superior e a Lógica Infinitária, são mais expressivas no sentido de que elas admitem</p><p>axiomatizações categóricas dos números naturais ou reais. Essa expressividade tem um custo em relação às</p><p>propriedades meta-lógicas; de acordo com o Teorema de Lindström, qualquer lógica que seja mais forte que</p><p>a lógica de primeira ordem falhará em validar o teorema da compacidade ou em validar o teorema de</p><p>Löwenheim–Skolem.</p><p>Formalizando as Línguas Naturais</p><p>A lógica de primeira ordem é capaz de formalizar vários quantificadores na lingua natural, como “todas as</p><p>pessoas que moram em Paris, moram na França”. Mas existem várias características que não podem ser</p><p>expressas na lógica de primeira ordem. “Qualquer sistema lógico que é apropriado para analisar línguas</p><p>naturais, precisa de uma estrutura muito mais rica que a lógica de primeira ordem" (Gamut 1991, p 75).</p><p>Tipo Exemplo Comentário</p><p>Quantificadores</p><p>sobre as</p><p>propriedades</p><p>Se Rafael for satisfeito consigo</p><p>mesmo, então ele tem pelo</p><p>menos uma coisa em comum</p><p>com Roberta</p><p>Requer quantificadores sobre os predicados, os</p><p>quais não podem ser implementados com a lógica</p><p>de primeira ordem (unicamente ordenada): Zj→</p><p>X(Xj Xp)∃ ∧</p><p>Quantificadores</p><p>sobre as</p><p>Papai Noel tem todos os atributos</p><p>de um sadista</p><p>Requer quantificadores sobre os predicados, os</p><p>quais não podem ser implementados com a lógica</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 157</p><p>propriedades</p><p>de primeira ordem (unicamente ordenada):</p><p>X( x(Sx Xx) Xs)∀ ∀ → →</p><p>Predicado adverbial Luiz está andando rápido</p><p>Não pode ser analisado como Wj Qj;∧</p><p>predicados adverbiais não são a mesma coisa que</p><p>predicados de segunda ordem , como cores</p><p>Adjetivo Relativo Jumbo é um elefante pequeno</p><p>Não podem ser analisados como Sj Ej;∧</p><p>predicados adjetivados não são a mesma coisa que</p><p>predicados de segunda ordem , como cores</p><p>Modificador do</p><p>predicado adverbial</p><p>Anderson está andando muito</p><p>rápido</p><p>-</p><p>Modificador do</p><p>adjetivo relativo</p><p>Roberta é extremamente</p><p>pequena</p><p>Uma expressão como "extremamente" , quando</p><p>usado com um adjetivo relativo "pequena", resulta</p><p>em um novo adjetivo relativo: "extremamente</p><p>pequena"</p><p>Preposições</p><p>Alberto está sentado ao lado de</p><p>Danilo</p><p>A preposição "ao lado de" quando aplicada a Luiz,</p><p>resulta em um predicado adverbial "ao lado de</p><p>Luiz"</p><p>Axiomas e regras</p><p>Os cinco axiomas lógicos mais as duas regras de inferência seguintes caracterizam a lógica de primeira</p><p>ordem:</p><p>Axiomas:</p><p>Regras de Inferência:</p><p>•Modus Ponens:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 158</p><p>•Generalização Universal:</p><p>Estes axiomas são na realidade esquemas de axiomas. Cada letra grega pode ser uniformemente substituída,</p><p>em cada um dos axiomas acima, por uma FBF qualquer, e uma expressão do tipo denota o</p><p>resultado da substituição de x por t na fórmula .</p><p>Cálculo de predicados</p><p>O cálculo de predicado é uma extensão da lógica proposicional que define quais sentenças da lógica de</p><p>primeira ordem são demonstráveis. É um sistema formal usado para descrever as teorias matemáticas. Se o</p><p>cálculo proposicional for definido por um conjunto adequado de axiomas e a única regra de</p><p>inferência modus ponens (isto pode ser feito de muitas maneiras diferentes, uma delas já ilustrada na seção</p><p>anterior), então o cálculo de predicados pode ser definido adicionando-se alguns axiomas e uma regra de</p><p>inferência "generalização universal" (como, por exemplo, na seção anterior). Mais precisamente, como</p><p>axiomas para o cálculo de predicado, teremos:</p><p>•Os axiomas circunstanciais do cálculo proposicional (A1, A2 e A3 na seção anterior);</p><p>•Os axiomas dos quantificadores (A4 e A5);</p><p>•Os axiomas para a igualdade propostos em seção anterior, se a igualdade for considerada como um conceito</p><p>lógico.</p><p>Uma sentença será definida como demonstrável na lógica de primeira ordem se puder ser obtida</p><p>começando com os axiomas do cálculo de predicados e aplicando-se repetidamente as regras de inferência</p><p>"modus ponens" e "generalização universal". Se nós tivermos uma teoria T (um conjunto de sentenças, às</p><p>vezes chamadas axiomas) então uma sentença φ se define como demonstrável na teoria T se a ∧ b … ∧ →</p><p>φ é demonstrável na lógica de primeira ordem (relação de consequência formal), para algum conjunto finito</p><p>de axiomas a, b,… da teoria T. Um problema aparente com esta definição de "demonstrabilidade" é que ela</p><p>parece um tanto ad hoc: nós tomamos uma coleção aparentemente aleatória de axiomas e de regras de</p><p>inferência, e não é óbvio que não tenhamos acidentalmente deixado de fora algum axioma ou regra</p><p>fundamental. O teorema da completude de Gödel nos assegura de que este não é realmente um problema: o</p><p>teorema diz que toda sentença verdadeira em todos os modelos é demonstrável na lógica de primeira</p><p>ordem. Em particular, toda definição razoável de "demonstrável" na lógica de primeira ordem deve ser</p><p>equivalente à definição acima (embora seja possível que os comprimentos das derivações difira bastante</p><p>para diferentes definições de demonstrabilidade). Há muitas maneiras diferentes (mas equivalentes) de</p><p>definir provabilidade. A definição acima é um exemplo típico do cálculo no estilo de Hilbert, que tem</p><p>muitos axiomas diferentes, mas poucas regras de inferência. As definições de demonstrabilidade para a</p><p>lógica de primeira ordem nos estilos de Gentzen (dedução natural e cálculo de sequentes) são baseadas em</p><p>poucos ou nenhum axiomas, mas muitas regras de inferência.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 159</p><p>Regressão ou reversão</p><p>Regressão é uma técnica que permite explorar e inferir a relação de uma variável dependente (variável de</p><p>resposta) com variáveis independentes específicas (variáveis explicatórias).</p><p>Regressão designa uma equação matemática que descreva a relação entre duas ou mais variáveis.</p><p>Para resolvermos tais problemas, basta “montar” uma equação algébrica.</p><p>Veremos mais sobre o tema adiante.</p><p>Princípios de contagem e probabilidade.</p><p>Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou</p><p>ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem.</p><p>Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557),</p><p>conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-</p><p>1662).</p><p>A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o</p><p>número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.</p><p>Fatorial</p><p>Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) como sendo:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 160</p><p>n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n  2.</p><p>Para n = 0 , teremos : 0! = 1.</p><p>Para n = 1 , teremos : 1! = 1</p><p>Exemplos:</p><p>a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720</p><p>b) 4! = 4.3.2.1 = 24</p><p>c) observe que 6! = 6.5.4!</p><p>d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1</p><p>e) 10! = 10.9.8.7.6.5!</p><p>f ) 10! = 10.9.8!</p><p>Princípio fundamental da contagem - PFC</p><p>Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1</p><p>maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente , então o número total T</p><p>de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:</p><p>T = k1. k2 . k3 . ... . kn</p><p>Exemplo:</p><p>O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4</p><p>algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?</p><p>Solução:</p><p>Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.</p><p>Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos</p><p>concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também</p><p>teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para</p><p>cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 161</p><p>será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem</p><p>175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam</p><p>números suficientes para codificar todos os veículos.</p><p>Agora é por sua conta!</p><p>1) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se,</p><p>portanto, necessariamente que</p><p>a) todo C é B</p><p>b) todo C é A</p><p>c) algum A é C</p><p>d) nada que não seja C é A</p><p>e) algum A não é C</p><p>2) Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Z e P são conjuntos não vazios):</p><p>Premissa 1: "X está contido em Y e em Z, ou X está contido em P"</p><p>Premissa 2: "X não está contido em P"</p><p>Pode-se, então, concluir que, necessariamente</p><p>a) Y está contido em Z</p><p>b) X está contido em Z</p><p>c) Y está contido em Z ou em P</p><p>d) X não está contido nem em P nem em Y</p><p>e) X não está contido nem em Y e nem em Z</p><p>3) Três rapazes</p><p>e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na</p><p>mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas</p><p>moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a</p><p>a) 2</p><p>b) 4</p><p>c) 24</p><p>d) 48</p><p>e) 120</p><p>4) De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não estão</p><p>matriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A</p><p>probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas (isto</p><p>é, em Inglês ou em Francês) é igual a</p><p>a) 30/200</p><p>b) 130/200</p><p>c) 150/200</p><p>d) 160/200</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 162</p><p>e) 190/200</p><p>5) Uma herança constituída de barras de ouro foi totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e</p><p>Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana ter</p><p>recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante</p><p>da herança, igual a uma barra e meia. Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeu foi:</p><p>a) 1</p><p>b) 2</p><p>c) 3</p><p>d) 4</p><p>e) 5</p><p>6) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da</p><p>verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é:</p><p>a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo</p><p>b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo</p><p>c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo</p><p>d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo</p><p>e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo</p><p>7) Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição</p><p>suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e</p><p>suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre,</p><p>a) D ocorre e B não ocorre</p><p>b) D não ocorre ou A não ocorre</p><p>c) B e A ocorrem</p><p>d) nem B nem D ocorrem</p><p>e) B não ocorre ou A não ocorre</p><p>8) Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é</p><p>espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é</p><p>italiana. Logo:</p><p>a) Pedro é português e Frederico é francês</p><p>b) Pedro é português e Alberto é alemão</p><p>c) Pedro não é português e Alberto é alemão</p><p>d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês</p><p>e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês</p><p>9) Se Luís estuda História, então Pedro estuda Matemática. Se Helena estuda Filosofia, então Jorge estuda</p><p>Medicina. Ora, Luís estuda História ou Helena estuda Filosofia. Logo, segue-se necessariamente que:</p><p>a) Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina</p><p>b) Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina</p><p>c) Se Luís não estuda História, então Jorge não estuda Medicina</p><p>d) Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemática</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 163</p><p>e) Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia</p><p>10) Maria tem três carros:</p><p>um Gol, um Corsa e um Fiesta.</p><p>Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul.</p><p>Sabe-se que:</p><p>1) ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco,</p><p>2) ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul,</p><p>3) ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul,</p><p>4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são,</p><p>respectivamente,</p><p>a) branco, preto, azul</p><p>b) preto, azul, branco</p><p>c) azul, branco, preto</p><p>d) preto, branco, azul</p><p>e) branco, azul, preto</p><p>GABARITO</p><p>1) C</p><p>2) B</p><p>3) D</p><p>4) D</p><p>5) E</p><p>6) A</p><p>7) C</p><p>8) B</p><p>9) A</p><p>10) E</p><p>Mais uma questão comentada!</p><p>Em uma circunferência com raio de 5 cm, são marcados n pontos, igualmente espaçados. A respeito dessa</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 164</p><p>situação, julgue os próximos itens.</p><p>(1) Se n = 4, então a área do polígono convexo que tem vértices nesses pontos é igual a 60 cm2.</p><p>(2) Se n = 6, então o polígono convexo que tem vértices nesses pontos em perímetro inferior a 32 cm.</p><p>Questãozinha de geometria (não tinha falado de geometria, né?) Precisamos saber que:</p><p>(1) quando você tem um quadrado (n=4, ok?) inscrito à (ou dentro da) circunferência, o lado desse quadrado</p><p>será o raio x raiz de 2. Ou seja,</p><p>Lado = Raio x Raiz (2)</p><p>Lado = 5 x Raiz (2)</p><p>Logo,</p><p>Área = Lado ao quadrado = 5 x Raiz (2) ao quadrado = 25 x 2 = 50</p><p>Item errado.</p><p>(2) em um hexágono inscrito à circunferência, o Lado será igual ao Raio.</p><p>Assim,</p><p>Perímetro = 6 x Lado = 6 x 5 = 30 (inferior a 32).</p><p>Item correto.</p><p>Agora, parta para ação novamente:</p><p>01. O economista José Júlio Senna estima que em 1998 o déficit em conta corrente do país será de US$ 40</p><p>bilhões, mas, no próximo ano, devido à redução das importações, esse déficit diminuirá em US$ 12 bilhões.</p><p>No entanto, em 1999, o país deverá pagar US$ 29 bilhões em amortizações. Nessas condições, mesmo</p><p>supondo que entrem US$ 17 bilhões em investimentos diretos e US$ 15 bilhões para fi-nanciar as</p><p>importações, ainda faltarão para o país equilibrar suas contas uma quantia em dólares igual a</p><p>• 1 bilhão</p><p>• 13 bilhões</p><p>• 25 bilhões</p><p>• 29 bilhões</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 165</p><p>• 32 bilhões</p><p>02. Numa sala estão 100 pessoas, todas elas com menos de 80 anos de idade. É FALSO afirmar que pelo</p><p>menos duas dessas pessoas</p><p>• nasceram num mesmo ano.</p><p>• nasceram num mesmo mês.</p><p>• nasceram num mesmo dia da semana.</p><p>• nasceram numa mesma hora do dia.</p><p>• têm 50 anos de idade.</p><p>03. Com 1.260 kg de matéria prima uma fábrica pode produzir 1.200 unidades diárias de certo artigo</p><p>durante 7 dias. Nessas condições, com 3.780 kg de matéria prima, por quantos dias será possível sustentar</p><p>uma produção de 1.800 unidades diárias desse artigo?</p><p>• 14</p><p>• 12</p><p>• 10</p><p>• 9</p><p>• 7</p><p>04. Alberto recebeu R$ 3.600,00, mas desse dinheiro deve pagar comissões a Bruno e a Carlos. Bruno deve</p><p>receber 50% do que restar após ser descontada a parte de Carlos e este deve receber 20% do que restar após</p><p>ser descontada a parte de Bruno. Nessas condições, Bruno e Carlos devem receber, respectivamente,</p><p>• 1.800 e 720 reais.</p><p>• 1.800 e 360 reais.</p><p>• 1.600 e 400 reais.</p><p>• 1.440 e 720 reais.</p><p>• 1.440 e 288 reais.</p><p>05. Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por</p><p>meio de uma senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o número</p><p>máximo de tentativas para abrir os cadeados é</p><p>• 518.400</p><p>• 1.440</p><p>• 720</p><p>• 120</p><p>• 54</p><p>06. Somando-se parcelas iguais a 5 ou a 8 é possível obter como resultado quase todos os números inteiros</p><p>positivos. Exemplos: 32 = 8 + 8 + 8 + 8; 33 = (5 + 8) + (5 + 5 + 5 + 5).</p><p>O maior número que NÃO pode ser obtido dessa maneira é</p><p>1. 130</p><p>2. 96</p><p>3. 29</p><p>4. 27</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 166</p><p>5. 22</p><p>07. São lançadas 4 moedas distintas e não viciadas. Qual é a probabilidade de resultar exatamente 2 caras e 2</p><p>coroas?</p><p>• 25%</p><p>• 37,5%</p><p>• 42%</p><p>• 44,5%</p><p>• 50%</p><p>08. Numa loja de roupas, um terno tinha um preço tão alto que ninguém</p><p>se interessava em comprá-lo. O</p><p>gerente da loja anunciou um des-conto de 10% no preço, mas sem resultado. Por isso, ofereceu novo</p><p>desconto de 10%, o que baixou o preço para R$ 648,00. O preço inicial desse terno era superior ao preço</p><p>final em</p><p>• R$ 162,00</p><p>• R$ 152,00</p><p>• R$ 132,45</p><p>• R$ 71,28</p><p>• R$ 64,00</p><p>09. Numa ilha há apenas dois tipos de pessoas: as que sempre falam a verdade e as que sempre mentem. Um</p><p>explorador contrata um ilhéu chamado X para servir-lhe de intérprete. Ambos encontram outro ilhéu,</p><p>chamado Y, e o explorador lhe pergunta se ele fala a verdade. Ele responde na sua língua e o intérprete diz -</p><p>Ele disse que sim, mas ele pertence ao grupo dos mentirosos. Dessa situação é correto concluir que</p><p>• Y fala a verdade.</p><p>• a resposta de Y foi NÃO.</p><p>• ambos falam a verdade.</p><p>• ambos mentem.</p><p>• X fala a verdade.</p><p>10. Se 1 hectare corresponde à área de um quadrado com 100 m de lado, então expressando-se a área de 3,6</p><p>hectares em quilômetros quadrados obtém-se</p><p>a) 3.600</p><p>b) 36</p><p>c) 0,36</p><p>d) 0,036</p><p>e) 0,0036</p><p>11. Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto,</p><p>necessariamente que</p><p>• todo C é B</p><p>• todo C é A</p><p>• algum A é C</p><p>• nada que não seja C é A</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 167</p><p>• algum A não é C</p><p>12. Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Z e P são conjuntos não vazios):</p><p>Premissa 1: ''X está contido em Y e em Z, ou X está contido em P''</p><p>Premissa 2: ''X não está contido em P''</p><p>Pode-se, então, concluir que, necessariamente</p><p>a) Y está contido em Z</p><p>b) X está contido em Z</p><p>c) Y está contido em Z ou em P</p><p>d) X não está contido nem em P nem em Y</p><p>e) X não está contido nem em Y e nem em Z</p><p>13. Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o</p><p>passarinho canta. Logo:</p><p>• jardim é florido e o gato mia</p><p>• jardim é florido e o gato não mia</p><p>• jardim não é florido e o gato mia</p><p>• jardim não é florido e o gato não mia</p><p>• se o passarinho canta, então o gato não mia</p><p>14. Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso,</p><p>Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu:</p><p>Armando: ''Sou inocente''</p><p>Celso: ''Edu é o culpado''</p><p>Edu: ''Tarso é o culpado''</p><p>Juarez: ''Armando disse a verdade''</p><p>Tarso: ''Celso mentiu''</p><p>Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir</p><p>que o culpado é:</p><p>• Armando</p><p>• Celso</p><p>• Edu</p><p>• Juarez</p><p>• Tarso</p><p>15. Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O</p><p>número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem</p><p>juntas, uma ao lado da outra, é igual a</p><p>• 2</p><p>• 4</p><p>• 24</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 168</p><p>• 48</p><p>• 120</p><p>16. De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não estão</p><p>matriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A</p><p>probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas (isto</p><p>é, em Inglês ou em Francês) é igual a</p><p>• 30/200</p><p>• 130/200</p><p>• 150/200</p><p>• 160/200</p><p>• 190/200</p><p>17. Uma herança constituída de barras de ouro foi totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e</p><p>Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana ter</p><p>recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante</p><p>da herança, igual a uma barra e meia. Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeu foi:</p><p>• 1</p><p>• 2</p><p>• 3</p><p>• 4</p><p>• 5</p><p>18. Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos</p><p>termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é:</p><p>a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo</p><p>b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo</p><p>c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo</p><p>d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo</p><p>e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo</p><p>19. Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição suficiente para a</p><p>ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente para a</p><p>ocorrência de A. Assim, quando C ocorre,</p><p>a) D ocorre e B não ocorre</p><p>b) D não ocorre ou A não ocorre</p><p>c) B e A ocorrem</p><p>d) nem B nem D ocorrem</p><p>e) B não ocorre ou A não ocorre</p><p>20. Dizer que ''Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista'' é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer</p><p>que:</p><p>• se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista</p><p>• se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 169</p><p>• se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista</p><p>• se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista</p><p>• se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista</p><p>GABARITO</p><p>01-C</p><p>02-E</p><p>03-A</p><p>04-C</p><p>05-B</p><p>06-D</p><p>07-B</p><p>08-B</p><p>09-E</p><p>10-D</p><p>11-C</p><p>12-B</p><p>13-C</p><p>14-E</p><p>15-D</p><p>16-D</p><p>17-E</p><p>18-A</p><p>19-C</p><p>20-A</p><p>Questões de Concursos</p><p>Matrizes</p><p>1 - ESAF - 2013 - DNIT - Técnico Administrativo</p><p>Os elementos de uma matriz A3X2 , isto é, com três linhas e duas colunas, são dados por:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 170</p><p>Em que j i a representa o elemento da matriz A3X2</p><p>localizado na linha i e coluna j. Então, a soma dos elementos da primeira coluna de A3X2 é igual a:</p><p>• a) 17</p><p>• b) 15</p><p>• c) 12</p><p>• d) 19</p><p>• e) 13</p><p>2 - ESAF - 2013 - DNIT - Técnico de Suporte em Infraestrutura de Transportes</p><p>Os elementos de uma matriz A3X2 , isto é, com três linhas e duas colunas, são dados por:</p><p>Em que j i a representa o elemento da matriz A3X2 localizado na linha i e coluna j. Então, a soma dos</p><p>elementos da primeira coluna de A3X2 é igual a:</p><p>• a) 17</p><p>• b) 15</p><p>• c) 12</p><p>• d) 19</p><p>• e) 13</p><p>3 - ESAF - 2012 - MF - Assistente Técnico - Administrativo</p><p>Dadas as matrizes</p><p>calcule o determinante do produto A.B</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 171</p><p>• a) 8</p><p>• b) 12</p><p>• c) 9</p><p>• d) 15</p><p>• e) 6</p><p>4 - ESAF - 2012 - CGU - Analista de Finanças e Controle</p><p>Calcule o determinante da matriz:</p><p>• a) 1</p><p>• b) 0</p><p>• c) cos 2x</p><p>• d) sen 2x</p><p>• e) sen x⁄2</p><p>5 - ESAF - 2008 - MPOG - Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental</p><p>Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B é obtida multiplicando-se todos</p><p>os elementos da matriz X por 10. Desse modo, o determinante da matriz B é igual a:</p><p>• a) 10-6</p><p>• b) 105</p><p>• c) 1010</p><p>• d) 106</p><p>• e) 103</p><p>GABARITO</p><p>1 - D 2 - D 3 - E 4 - C 5 - D</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 172</p><p>Mais algumas questões:</p><p>01. Com a promulgação de</p><p>uma nova lei, um determinado concurso deixou de ser realizado por meio de</p><p>provas, passando a análise curricular a ser o único material para aprovação dos candidatos. Neste caso, todos</p><p>os candidatos seriam aceitos, caso preenchessem e entregas-sem a ficha de inscrição e tivessem curso</p><p>superior, a não ser que não tivessem nascido no Brasil e/ou tivessem idade superior a 35 anos.</p><p>José preencheu e entregou a ficha de inscrição e possuía curso superior, mas não passou no concurso.</p><p>Considerando o texto acima e suas restrições, qual das alternativas abaixo, caso verdadeira, criaria uma</p><p>contradição com a desclassificação de José ?</p><p>• José tem menos de 35 anos e preencheu a ficha de inscrição corretamente.</p><p>• José tem mais de 35 anos, mas nasceu no Brasil.</p><p>• José tem menos de 35 anos e curso superior completo.</p><p>• José tem menos de 35 anos e nasceu no Brasil.</p><p>02. Uma rede de concessionárias vende somente carros com motor 1.0 e 2.0. Todas as lojas da rede vendem</p><p>carros com a opção dos dois motores, oferecendo, também, uma ampla gama de opcionais. Quando</p><p>comprados na loja matriz, carros com motor 1.0 possuem somente ar-condicionado, e carros com motor 2.0</p><p>têm sempre ar-condicionado e direção hidráulica. O Sr. Asdrubal comprou um carro com ar-condicionado e</p><p>direção hidráulica em uma loja da rede.</p><p>Considerando-se verdadeiras as condições do texto acima, qual das alternativas abaixo precisa ser</p><p>verdadeira quanto ao carro comprado pelo Sr. Asdrubal?</p><p>• Caso seja um carro com motor 2.0, a compra não foi realizada na loja matriz da rede.</p><p>• Caso tenha sido comprado na loja matriz, é um carro com motor 2.0.</p><p>• É um carro com motor 2.0 e o Sr. Asdrubal não o comprou na loja matriz.</p><p>• Sr. Antônio comprou, com certeza, um carro com motor 2.0.</p><p>03. Em uma viagem de automóvel, dois amigos partem com seus carros de um mesmo ponto na cidade de</p><p>São Paulo. O destino final é Maceió, em Alagoas, e o trajeto a ser percorrido também é o mesmo para os</p><p>dois. Durante a viagem eles fazem dez paradas em postos de gasolina para reabastecimento dos tanques de</p><p>gasolina. Na décima parada, ou seja, a última antes de atingirem o objetivo comum, a média de consumo dos</p><p>dois carros é exatamente a mesma. Considerando que amanhã os dois sairão ao mesmo tempo e percorrerão</p><p>o último trecho da viagem até o mesmo ponto na cidade de Maceió, podemos afirmar que:</p><p>I - Um poderá chegar antes do outro e, mesmo assim manterão a mesma média de consumo.</p><p>II - Os dois poderão chegar ao mesmo tempo e, mesmo assim manterão a mesma média de consumo.</p><p>III - O tempo de viagem e o consumo de combustível entre a paradas pode ter sido diferente para os dois</p><p>carros.</p><p>a) Somente a hipótese (I) está correta.</p><p>b) Somente a hipótese (II) está correta.</p><p>c) Somente a hipótese (III) está correta.</p><p>d) As hipóteses (I), (II) e (III) estão corretas.</p><p>04. Vislumbrando uma oportunidade na empresa em que trabalha, o Sr. Joaquim convidou seu chefe para</p><p>jantar em sua casa. Ele preparou, junto com sua esposa, o jantar perfeito que seria servido em uma mesa</p><p>retangular de seis lugares - dois lugares de cada um dos lados opostos da mesa e as duas cabeceiras, as quais</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 173</p><p>ficariam vazias. No dia do jantar, o Sr. Joaquim é surpreendido pela presença da filha de seu chefe junto</p><p>com ele e a esposa, sendo que a mesa que havia preparado esperava apenas quatro pessoas. Rapidamente a</p><p>esposa do Sr. Joaquim reorganizou o arranjo e acomodou mais um prato à mesa e, ao sentarem, ao em vez de</p><p>as duas cabeceiras ficarem vazias, uma foi ocupada pelo Sr. Joaquim e a outra pelo seu chefe. Considerando-</p><p>se que o lugar vago não ficou perto do Sr. Joaquim, perto de quem, com certeza, estava o lugar vago?</p><p>• Perto do chefe do Sr. Joaquim.</p><p>• Perto da esposa do chefe do Sr. Joaquim.</p><p>• Perto da filha do chefe do Sr. Joaquim.</p><p>• Perto da esposa do Sr. Joaquim.</p><p>05. Uma companhia de ônibus realiza viagens entre as cidades de Corumbá e Bonito. Dois ônibus saem</p><p>simultaneamente, um de cada cidade, para percorrerem o mesmo trajeto em sentido oposto. O ônibus 165</p><p>sai de Corumbá e percorre o trajeto a uma velocidade de 120 km/h. Enquanto isso, o 175 sai de Bonito e faz</p><p>a sua viagem a 90 km/h. Considerando que nenhum dos dois realizou nenhuma parada no trajeto, podemos</p><p>afirmar que:</p><p>I - Quando os dois se cruzarem na estrada, o ônibus 175 estará mais perto de Bonito do que o 165.</p><p>II - Quando os dois se cruzarem na estrada, o ônibus 165 terá andado mais tempo do que o 175.</p><p>a) Somente a hipótese (I) está errada.</p><p>b) Somente a hipótese (II) está errada.</p><p>c) Ambas as hipóteses estão erradas.</p><p>d) Nenhuma das hipóteses está errada.</p><p>06. Stanislaw Ponte Preta disse que ''a prosperidade de alguns homens públicos do Brasil é uma prova</p><p>evidente de que eles vêm lutando pelo progresso do nosso subdesenvolvimento.''. Considerando que a</p><p>prosperidade em questão está associada à corrupção, podemos afirmar que esta declaração está intimamente</p><p>ligada a todas as alternativas abaixo, EXCETO:</p><p>• nível de corrupção de alguns homens públicos pode ser medido pelo padrão de vida que levam.</p><p>• A luta pelo progresso do subdesenvolvimento do Brasil está indiretamente relacionada à corrupção</p><p>dos políticos em questão.</p><p>• A luta pelo progresso do subdesenvolvimento do Brasil está diretamente relacionada à corrupção dos</p><p>políticos em questão.</p><p>• progresso de nosso subdesenvolvimento pode ser muito bom para alguns políticos.</p><p>07. Em uma empresa, o cargo de chefia só pode ser preenchido por uma pessoa que seja pós-graduada em</p><p>administração de empresas. José ocupa um cargo de chefia, mas João não. Partindo desse princípio, podemos</p><p>afirmar que:</p><p>• José é pós-graduado em administração de empresas e João também pode ser.</p><p>• José é pós-graduado em administração de empresas, mas João, não.</p><p>• José é pós-graduado em administração de empresas e João também.</p><p>• José pode ser pós-graduado em administração de empresas, mas João, não.</p><p>08. Três amigos - Antônio, Benedito e Caetano - adoram passear juntos. O problema é que eles nunca se</p><p>entendem quanto ao caminho que deve ser seguido. Sempre que Antônio quer ir para a esquerda, Benedito</p><p>diz que prefere a direita. Já entre Antônio e Caetano, um sempre quer ir para a esquerda, mas nunca os dois</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 174</p><p>juntos. Fica ainda mais complicado, pois Benedito e Caetano também nunca querem ir para a direita ao</p><p>mesmo tempo. Se considerarmos um passeio com várias bifurcações, o(s) único(s) que pode(m) ter votado</p><p>esquerda e direita respectivamente, nas duas últimas bifurcações, é ou são:</p><p>• Antônio.</p><p>• Benedito.</p><p>• Caetano.</p><p>• Antônio e Caetano.</p><p>09. Em um concurso para fiscal de rendas, dentre os 50 candidatos de uma sala de provas, 42 são casados.</p><p>Levando em consideração que as únicas respostas à pergunta ''estado civil'' são ''casado'' ou ''solteiro'', qual o</p><p>número mínimo de candidatos dessa sala a que deveríamos fazer essa pergunta para obtermos, com certeza,</p><p>dois representantes do grupo de solteiros ou do grupo de casados?</p><p>a) 03</p><p>b) 09</p><p>c) 21</p><p>d) 26</p><p>10. Em uma viagem ecológica foram realizadas três caminhadas. Todos aqueles que participaram das três</p><p>caminhadas tinham um espírito realmente ecológico, assim como todos os que tinham um espírito</p><p>realmente ecológico participaram das três caminhadas. Nesse sentido, podemos concluir que:</p><p>• Carlos participou de duas das três caminhadas, mas pode ter um espírito realmente ecológico.</p><p>• Como Pedro não participou de nenhuma das três caminhadas ele, é antiecológico.</p><p>• Aqueles que não participaram das três caminhadas não têm um espírito</p><p>realmente ecológico.</p><p>• Apesar de ter participado das três caminhadas, Renata tem um espírito realmente ecológico.</p><p>GABARITO</p><p>01-D</p><p>02-B</p><p>03-D</p><p>04-A</p><p>05-C</p><p>06-B</p><p>07-A</p><p>08-B</p><p>09-A</p><p>10-C</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 175</p><p>Questões de Concursos</p><p>Geométricos</p><p>1 - IESES - 2011 - PM-SC - Soldado da Polícia Militar</p><p>Se o raio de uma circunferência tiver um acréscimo de 50% então o acréscimo percentual em seu</p><p>comprimento será igual a:</p><p>• a) 25%</p><p>• b) 50%</p><p>• c) 100%</p><p>• d) 150%</p><p>2 - FCC - 2012 - TST - Técnico Judiciário - Área Administrativa</p><p>Sobre uma prateleira retangular de 42 cm por 18 cm serão acomodadas embalagens de leite, que têm a</p><p>forma de caixas retangulares de dimensões 6 cm, 9 cm e 15 cm. Todas as embalagens deverão ter uma de</p><p>suas faces totalmente apoiada na prateleira. Nessas condições, o número máximo de embalagens que</p><p>poderão ser acomodadas é</p><p>• a) 11.</p><p>• b) 12.</p><p>• c) 13</p><p>• d) 14.</p><p>• e) 15.</p><p>3 - FCC - 2012 - TST - Técnico Judiciário - Segurança Judiciária</p><p>Pequenas caixas cúbicas de arestas medindo 20 cm serão guardadas em um caixote maior, também com a</p><p>forma de cubo, cujas arestas medem 60 cm. Considerando que o caixote deverá ser tampado, o número</p><p>máximo de caixas que poderá ser ali armazenado é igual a</p><p>• a) 3.</p><p>• b) 6.</p><p>• c) 9.</p><p>• d) 18.</p><p>• e) 27.</p><p>4 - CEPERJ - 2012 - PROCON-RJ - Analista de Proteção e Defesa do Consumidor</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 176</p><p>No plano cartesiano da figura abaixo, cada quadradinho tem 1cm de lado. Uma linha poligonal começa no</p><p>ponto A = (0, 0), mantém o padrão que a figura mostra, e termina no ponto B = (167, 56).</p><p>O comprimento da linha poligonal AB é de:</p><p>• a) 327cm</p><p>• b) 329cm</p><p>• c) 331cm</p><p>• d) 333cm</p><p>• e) 335cm</p><p>5 - CEPERJ - 2012 - PROCON-RJ - Agente de Proteção e Defesa do Consumidor</p><p>Um cubo de prata maciça com 4cm de aresta vale hoje R$1600,00 no mercado de metais. Então um cubo de</p><p>prata maciça com 5cm de aresta valerá:</p><p>• a) R$2000,00</p><p>• b) R$2500,00</p><p>• c) R$2875,00</p><p>• d) R$3125,00</p><p>• e) R$3465,00</p><p>6 - CEPERJ - 2012 - PROCON-RJ - Agente de Proteção e Defesa do Consumidor</p><p>Em um jardim, um canteiro é formado por 9 quadrados juntos, como na figura a seguir:</p><p>Sabendo que o perímetro do canteiro é de 120m, então a área do canteiro em metros quadrados é igual a:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 177</p><p>• a) 252</p><p>• b) 300</p><p>• c) 324</p><p>• d) 360</p><p>• e) 396</p><p>GABARITO</p><p>1 - B 2 - D 3 - E 4 - D 5 - D 6 - C</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 178</p><p>Interpretação de Frações</p><p>       Amostragem Aleatória Simples</p><p>IC = ( - z ; + z ) ou</p><p>IC = ( - z ; + z )</p><p>no caso de população  finita de tamanho N e amostragem sem reposição.</p><p>Raízes de Radicando Real com Índice Não Nulo</p><p>Não Existe a Raiz de um Radicando Negativo e Índice Par</p><p>A Raiz de um Radicando Negativo e Índice Ímpar é Negativa</p><p>A Raiz de um Radicando Positivo também é Positiva</p><p>A Raiz de um Radicando Nulo também é Nula</p><p>Propriedades da Radiciação</p><p>A Raiz de uma Potência é uma Potência com Expoente Fracionário</p><p>Mudança de Índice pela sua Multiplicação/Divisão e do Expoente do Radicando por um Mesmo número Não Nulo</p><p>Raiz de uma Potência</p><p>Produto de Radicais de Mesmo Índice</p><p>Divisão de Radicais de Mesmo Índice</p><p>Simplificação de Radicais Através da Fatoração</p><p>Tabelas das principais operações do cálculo proposicional</p><p>Negação</p><p>Conjunção (E)</p><p>Disjunção (OU)</p><p>Condicional (se... então) [implicação]</p><p>Bicondicional (se e somente se) [equivalência]</p><p>Disjunção exclusiva (Ou... ou XOR)</p><p>Adaga de Quine (NOR)</p><p>Como usar tabelas para verificar a validade de argumentos</p><p>Alguns argumentos válidos</p><p>Algumas falácias</p><p>Como usar tabelas para verificar a equivalência de fórmulas</p><p>Regras de formação</p><p>Substituição</p><p>Igualdade</p><p>Limitações</p><p>Expressividade</p><p>Formalizando as Línguas Naturais</p><p>Axiomas e regras</p><p>Cálculo de predicados</p><p>prático para determinar o</p><p>MDC(a,b) entre dois números naturais, pois encontrar conjuntos de divisores para cada número pode ser</p><p>trabalhoso. Para introduzir este método, determinaremos o MDC entre os números 30 e 72, a título de</p><p>exemplo.</p><p>1.Construímos uma grade com 3 linhas e algumas colunas, pondo os números dados na linha do</p><p>meio. Na primeira coluna coloque o maior deles e na segunda coluna o menor.</p><p>72 30</p><p>2.Realizamos a divisão do maior pelo menor colocando o quociente no espaço sobre o número</p><p>menor na primeira linha e o resto da divisão no espaço logo abaixo do maior número na terceira</p><p>linha.</p><p>2</p><p>72 30</p><p>12</p><p>3.Passamos o resto da divisão para o espaço localizado à direita do menor número na linha central.</p><p>2</p><p>72 30 12</p><p>12</p><p>4.Realizamos agora a divisão do número 30, pelo resto obtido anteriormente que é 12. Novamente, o</p><p>quociente será colocado sobre o número 12 e o resto da divisão ficará localizado abaixo do número</p><p>30.</p><p>2 2</p><p>72 30 12</p><p>12 6</p><p>5.Realizamos agora a (última!) divisão do número 12, pelo resto obtido anteriormente que é 6. De</p><p>novo, o quociente será posto sobre o número 6 e o resto da divisão ficará localizado abaixo do</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 15</p><p>número 12.</p><p>2 2 2</p><p>72 30 12 6</p><p>12 6 0</p><p>6.Como o resto da última divisão é 0 (zero), o último quociente obtido representa o MDC entre 30 e</p><p>72, logo denotamos tal fato por:</p><p>MDC(30,72) = 6</p><p>Relação entre o MMC e MDC</p><p>Uma relação importante e bastante útil entre o MMC e o MDC é o fato que o MDC(a,b) multiplicado pelo</p><p>MMC(a,b) é igual ao produto de a por b, isto é:</p><p>MDC(a,b) × MMC(a,b) = a × b</p><p>MDC(12,15) × MMC(12,15)=12 × 15</p><p>Esta relação é útil quando precisamos obter o MMC e o MDC de dois números, basta encontrar um deles e</p><p>usar a relação acima.</p><p>Exemplo: Para obter o MMC(15,20) e o MDC(15,20), o primeiro passo é obter o que for possível. Se</p><p>MDC(15,20)=5 e 15 x 20=300, basta lembrar que MDC(15,20)×MMC(15,20)=15×20 e fazer:</p><p>5 × MMC(15,20) = 300</p><p>de onde se obtém que MMC(15,20)=60.</p><p>Exercício: Se a soma de dois números é 320 e o mínimo múltiplo comum entre eles é 600, quais são esses</p><p>números? Qual é o máximo divisor comum entre eles?</p><p>Solução: Se X e Y são os números procurados, eles devem ser divisores de 600, logo devem pertencer ao</p><p>conjunto D(600):</p><p>{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,25,30,75,100,120,150,200,300,600}</p><p>Pares de números deste conjunto que somam 320, são: 300 e 20 ou 200 e 120. O primeiro par não serve pois</p><p>MMC(300,20)=300. Os números que servem são X=200 e Y=120 pois MMC(200,120)=600 e</p><p>MDC(200,120)=40.</p><p>Primos entre si</p><p>Dois números naturais são primos entre si quando o MDC entre eles é igual a 1. Por exemplo, 16 não é um</p><p>número primo, 21 também não é um número primo mas 16 e 21 são primos entre si pois MDC(16,21)=1.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 16</p><p>Radiciação de números naturais</p><p>Radiciação de ordem n é o processo pelo qual dado um número natural a devemos determinar um número</p><p>natural b tal que:</p><p>bn = a</p><p>onde n é um número natural. É o processo inverso da potenciação.</p><p>Neste trabalho, representaremos a operação de radiciação por</p><p>Rn[a], a1/n, pot(a,1/n), pow(a,1/n),</p><p>que se lê: raiz n-ésima de a. Uma notação simples e muito comum no meio científico é aquela que usa o</p><p>acento circunflexo: a^(1/n).</p><p>Raiz quadrada: A raiz quadrada de um número não negativo (não somente natural) é um outro número não</p><p>negativo b tal que:</p><p>b2 = a</p><p>A raiz quadrada de um número a>0 pode ser denotada por a1/2.</p><p>Exemplo: Para obter a raiz quadrada de 36 deve-se obter o valor numérico de b de forma que:</p><p>b2 = b × b = 36</p><p>Neste trabalho, usaremos o processo de tentativa, para dividir 36 por seus divisores até que o divisor seja</p><p>igual ao quociente</p><p>36÷2=18, 36÷3=12, 36÷4=9, 36÷6=6</p><p>Portanto 6 é a raiz quadrada de 36.</p><p>Raiz cúbica: A raiz cúbica de um número (não somente natural) a é um número b tal que:</p><p>b3 = b . b . b = a</p><p>A raiz cúbica de um número a pode ser denotada por a1/3.</p><p>Exemplo: Para determinar a raiz cúbica de 64, deve-se obter um número b de forma a obter</p><p>b3=b×b×b=64</p><p>Por tentativa, temos:</p><p>1×1×1=1, 2×2×2=8, 3×3×3=27, 4×4×4=64</p><p>Portanto 4 é raiz cúbica de 64.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 17</p><p>Números fracionários e Operações com frações</p><p>Fração é a representação da parte de um todo (de um ou mais inteiros), assim, podemos considerá-la como</p><p>sendo mais uma representação de quantidade, ou seja, uma representação numérica, com ela podemos</p><p>efetuar todas as operações como: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação.</p><p>Dessa forma, toda fração pode ser representada em uma reta numerada, por exemplo, 1/2 (um meio)</p><p>significa que de um inteiro foi considerada apenas a sua metade, portanto, podemos dizer que em uma reta</p><p>numerada a fração 1/2 estará entre os números inteiros 0 e 1.</p><p>Por ser uma forma diferente de representação numérica, a fração irá possui uma nomenclatura específica e</p><p>poderá ser escrita em forma de porcentagem, números decimais (números com vírgula) e números mistos.</p><p>Como é que você representaria a quantidade referente ao número 1 que foi dividida em 8 partes iguais?</p><p>Simplesmente através da seguinte fração:</p><p>Generalizando, a fração é a representação genérica do valor a que é dividido por b partes iguais,</p><p>sendo b ≠ 0.</p><p>Em toda fração, o termo superior é chamado de numerador e o termo inferior chamamos de denominador.</p><p>Em nossa fração genérica temos que o termo a é o numerador e o termo b é o seu denominador.</p><p>Apesar de matematicamente a forma correta de representação de uma fração ser , por motivos</p><p>técnicos em função das limitações da linguagem de marcação de hipertexto, geralmente utilizaremos a</p><p>representação a/b.</p><p>Interpretação de Frações</p><p>Veja a figura abaixo, que foi divida em 16 partes iguais, 4 partes em laranja e 12 partes em amarelo. Em</p><p>termos de fração, podemos dizer que o 4 corresponde ao numerador da fração e que o 16 corresponde ao seu</p><p>denominador.</p><p>Podemos então representar a seguinte fração: 4/16</p><p>Mas o que significa isto?</p><p>A fração 4/16 pode significar que das 16 partes que compõe a figura, estamos considerando apenas 4 delas,</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 18</p><p>ou seja, estamos considerando apenas quatro dezesseis avos da figura.</p><p>Agora veja a figura seguinte:</p><p>Temos 12 das 16 partes em laranja, que podemos então representar por 12/16.</p><p>Neste caso estamos considerando doze dezesseis avos da figura.</p><p>E se ao invés das 4 ou 12 partes, tivéssemos considerado todas?</p><p>A figura abaixo nos representa esta hipótese:</p><p>Nela temos 16 das 16 partes em laranja, que podemos então representar por 16/16.</p><p>Se você estiver atento, já percebeu que 16/16 equivale a 1, ou seja, a figura toda em laranja.</p><p>Outra coisa que podemos perceber, é que a fração referente à terceira figura (16/16), é exatamente igual a</p><p>soma das frações referentes às duas figuras anteriores (4/16 + 12/16). Isto ocorre porque soma de frações</p><p>com o mesmo denominador, é realizada somando-se os numeradores e mantedo-se o denominador em</p><p>comum.</p><p>Tipos de frações</p><p>A representação gráfica</p><p>mostra a fração 3/4 que é uma fração cujo numerador é um número natural menor</p><p>do que o denominador.</p><p>1/4 1/4</p><p>1/4 1/4</p><p>A fração cujo numerador é menor que o denominador, isto é, a parte é tomada dentro do inteiro, é</p><p>chamada fração própria. A fração cujo numerador é maior do que o denominador, isto é, representa mais do</p><p>que um inteiro dividido em partes iguais é chamada fração imprópria.</p><p>3/3</p><p>1/3</p><p>1/3</p><p>1/3</p><p>+</p><p>2/3</p><p>1/3</p><p>1/3</p><p>1/3</p><p>=</p><p>5/3=1+2/3</p><p>1</p><p>1/3</p><p>1/3</p><p>1/3</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 19</p><p>Fração aparente: é aquela cujo numerador é um múltiplo do denominador e aparenta ser uma fração mas</p><p>não é, pois representa um número inteiro. Como um caso particular, o zero é múltiplo de todo número</p><p>inteiro, assim as frações 0/3, 0/8, 0/15 são aparentes, pois representam o número inteiro zero.</p><p>Frações Equivalentes: São as que representam a mesma parte do inteiro. Se multiplicarmos os termos</p><p>(numerador e denominador) de uma fração sucessivamente pelos números naturais, teremos um conjunto</p><p>infinito de frações que constitui um conjunto que é conhecido como a classe de equivalência da fração dada.</p><p>1/2</p><p>1/2</p><p>1/2</p><p>2/4</p><p>1/4 1/4</p><p>1/4 1/4</p><p>3/6</p><p>1/6 1/6 1/6</p><p>1/6 1/6 1/6</p><p>4/8</p><p>1/8 1/8 1/8 1/8</p><p>1/8 1/8 1/8 1/8</p><p>Propriedades fundamentais</p><p>(1) Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração por um mesmo número natural,</p><p>obteremos uma fração equivalente à fração dada:</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p>1×2</p><p>2×2</p><p>=</p><p>2</p><p>4</p><p>(2) Se é possível dividir os termos (numerador e denominador) de uma fração por um mesmo número</p><p>natural, obteremos uma fração equivalente à fração dada:</p><p>12</p><p>16</p><p>=</p><p>12÷2</p><p>16÷2</p><p>=</p><p>6</p><p>8</p><p>=</p><p>6÷2</p><p>8÷2</p><p>=</p><p>3</p><p>4</p><p>A fração como uma classe de equivalência</p><p>A classe de equivalência de uma fração é o conjunto de todas as frações equivalentes à fração dada. Ao invés</p><p>de trabalhar com todos os elementos deste conjunto infinito, simplesmente poderemos tomar a fração mais</p><p>simples deste conjunto que será a representante desta classe. Esta fração será denominada um número</p><p>racional. Aplicando a propriedade fundamental, podemos escrever o conjunto das frações equivalentes a</p><p>1/3, como:</p><p>C(1/3) = { 1/3, 2/6, 3/9, 4/12, 5/15, 6/18, ... }</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 20</p><p>http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fracoes/racionais.htm</p><p>http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fracoes/racionais.htm</p><p>Número Misto</p><p>Quando o numerador de uma fração é maior que o denominador, podemos realizar uma operação de</p><p>decomposição desta fração em uma parte inteira e uma parte fracionária e o resultado é denominado</p><p>número misto.</p><p>Transformação de uma fração imprópria em um número misto</p><p>17</p><p>4</p><p>=</p><p>16+1</p><p>4</p><p>=</p><p>16</p><p>4</p><p>+</p><p>1</p><p>4</p><p>= 4+</p><p>1</p><p>4</p><p>= 4</p><p>1</p><p>4</p><p>Transformação de um número misto em uma fração imprópria</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>= 4+</p><p>1</p><p>4</p><p>=</p><p>16</p><p>4</p><p>+</p><p>1</p><p>4</p><p>=</p><p>17</p><p>4</p><p>Simplificação de Frações</p><p>Simplificar frações é o mesmo que escrevê-la em uma forma mais simples, para que a mesma se torne mais</p><p>fácil de ser manipulada.</p><p>O objetivo de simplificar uma fração é torná-la uma fração irredutível, isto é, uma fração para a qual o</p><p>Máximo Divisor Comum entre o Numerador e o Denominador seja 1, ou seja, o Numerador e o</p><p>Denominador devem ser primos entre si. Essa simplificação pode ser feita através dos processos de divisão</p><p>sucessiva e pela fatoração.</p><p>A divisão sucessiva corresponde a dividir os dois termos da fração por um mesmo número (fator comum )</p><p>até que ela se torne irredutível.</p><p>36</p><p>60</p><p>=</p><p>36÷2</p><p>60÷2</p><p>=</p><p>18</p><p>30</p><p>=</p><p>18÷2</p><p>30÷2</p><p>=</p><p>9</p><p>15</p><p>=</p><p>9÷3</p><p>15÷3</p><p>=</p><p>3</p><p>5</p><p>Respectivamente, dividimos os termos das frações por 2, 2 e 3.</p><p>Observação: Outra maneira de divisão das frações é obter o Máximo Divisor Comum entre o Numerador e o</p><p>Denominador e simplificar a fração diretamente por esse valor.</p><p>Exemplo: Simplificaremos a fração 54/72, usando o Máximo Divisor Comum. Como MDC(54,72)=18, então</p><p>54:18=3 e 72:18=4, logo:</p><p>54 = 54÷18 = 3</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 21</p><p>72 72÷18 4</p><p>Comparação de duas frações</p><p>(1) Por redução ao mesmo denominador</p><p>Se duas frações possuem denominadores iguais, a maior fração é a que possui maior numerador. Por</p><p>exemplo:</p><p>3</p><p>5</p><p><</p><p>4</p><p>5</p><p>(2) Tanto os numeradores como os denominadores das duas frações são diferentes</p><p>Devemos reduzir ambas as frações a um denominador comum e o processo depende do cálculo do Mínimo</p><p>Múltiplo Comum entre os dois denominadores e este será o denominador comum às duas frações. Na</p><p>seqüência, divide-se o denominador comum pelo denominador de cada fração e multiplica-se o resultado</p><p>obtido pelo respectivo numerador.</p><p>Exemplo: Vamos comparar as frações 2/3 e 3/5. Como os denominadores são 3 e 5, temos que MMC(3,5)=15.</p><p>Reduzindo ambas as frações ao mesmo denominador comum 15, aplica-se a regra de dividir o denominador</p><p>comum pelo denominador de cada fração e na seqüência multiplica-se esse respectivo número pelo</p><p>numerador.</p><p>2</p><p>3</p><p>?</p><p>3</p><p>5</p><p>Multiplicando os termos da primeira fração por 5 e multiplicando os termos da segunda fração por 3,</p><p>obteremos:</p><p>2</p><p>3</p><p>=</p><p>2×5</p><p>3×5</p><p>?</p><p>3×3</p><p>5×3</p><p>=</p><p>3</p><p>5</p><p>Temos então os mesmos denominadores, logo:</p><p>2</p><p>3</p><p>=</p><p>10</p><p>15</p><p>?</p><p>9</p><p>15</p><p>=</p><p>3</p><p>5</p><p>e podemos garantir que</p><p>2</p><p>3</p><p>=</p><p>10</p><p>15</p><p>></p><p>9</p><p>15</p><p>=</p><p>3</p><p>5</p><p>(3) As frações possuem um mesmo numerador</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 22</p><p>Se os numeradores de duas frações forem iguais, será maior a fração cujo denominador for menor.</p><p>Exemplo: Uma representação gráfica para a desigualdade</p><p>3</p><p>4</p><p>></p><p>3</p><p>8</p><p>pode ser dada geometricamente por:</p><p>3/4=6/8</p><p>1/8 1/8 1/8 1/8</p><p>1/8 1/8 1/8 1/8</p><p>3/8</p><p>1/8 1/8 1/8 1/8</p><p>1/8 1/8 1/8 1/8</p><p>Observe que a área amarelada é maior na primeira figura.</p><p>Divisão de frações</p><p>Consideremos inicialmente uma divisão D de duas frações, denotada por:</p><p>D =</p><p>1</p><p>2</p><p>÷</p><p>2</p><p>3</p><p>Um modo fácil para explicar esta divisão é tomar as duas frações com o mesmo denominador e realizar a</p><p>divisão do primeiro numerador pelo segundo numerador, isto é:</p><p>D =</p><p>1</p><p>2</p><p>÷</p><p>2</p><p>3</p><p>=</p><p>3</p><p>6</p><p>÷</p><p>4</p><p>6</p><p>pois 1/2 é equivalente a 3/6 e 2/3 é equivalente a 4/6. O desenho abaixo mostra as frações 1/2 e 2/3, através</p><p>de suas respectivas frações equivalentes: 3/6 e 4/6.</p><p>3/6</p><p>1/6 1/6 1/6</p><p>1/6 1/6 1/6</p><p>4/6</p><p>1/6 1/6 1/6</p><p>1/6 1/6 1/6</p><p>Realizar a divisão entre dois números fracionários ou não A e B, é o mesmo que procurar saber quantas</p><p>partes de B estão ocupadas por A. Quantas partes da fração 4/6 estão ocupadas pela fração 3/6?</p><p>No desenho, os numeradores das frações estão em cor amarela. Como temos 3 partes em amarelo na</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 23</p><p>primeira fração e 4 partes em amarelo na segunda fração, a divisão corresponde à fração 3/4, ou seja, em</p><p>cada 4 partes amarelas, 3 estão ocupadas.</p><p>Este argumento justifica a divisão de duas frações pela multiplicação da primeira fração pelo inverso da</p><p>segunda fração e observamos que de fato isto funciona neste caso:</p><p>D =</p><p>1</p><p>2</p><p>÷</p><p>2</p><p>3</p><p>=</p><p>3</p><p>6</p><p>×</p><p>6</p><p>4</p><p>=</p><p>18</p><p>24</p><p>=</p><p>3</p><p>4</p><p>Na verdade, há um tratamento mais geral que o deste caso particular. A divisão de um número real a/b pelo</p><p>número real c/d é, por definição, a multiplicação do número a/b pelo inverso de c/d. Acontece que o</p><p>inverso de c/d é a fração d/c, assim:</p><p>a</p><p>b</p><p>÷</p><p>c</p><p>d</p><p>=</p><p>a</p><p>b</p><p>×</p><p>d</p><p>c</p><p>=</p><p>a.d</p><p>b.c</p><p>Números Decimais e Dízimas Periódicas</p><p>Há frações que não possuem representações decimal exata. Por exemplo:</p><p>Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome</p><p>de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.</p><p>Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o período</p><p>dessa dízima.</p><p>As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. Exemplos:</p><p>(período: 5) (período: 3) (período: 12)</p><p>São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.</p><p>Período: 2</p><p>Parte não periódica: 0</p><p>Período: 4</p><p>Período não periódica: 15</p><p>Período: 23</p><p>Parte não periódica: 1</p><p>São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica.</p><p>Observações:</p><p>Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período. Excluímos</p><p>portanto da parte não periódica o inteiro.</p><p>Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 24</p><p>Geratriz de uma dízima periódica</p><p>É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos</p><p>esta fração de geratriz da dízima periódica.</p><p>Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima:</p><p>Dízima simples</p><p>A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador</p><p>tantos noves quantos forem os algarismos do período.</p><p>Exemplos:</p><p>Dízima Composta:</p><p>A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , onde</p><p>n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica.</p><p>d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos</p><p>forem os algarismos da parte não periódica.</p><p>Exemplos:</p><p>Sistemas de Unidade, Notação Científica e Bases não Decimais</p><p>O método que conhecemos para escrever os números utiliza um sistema de</p><p>numeração posicional. Isso significa que a posição ocupada por cada</p><p>algarismo em um número altera seu valor.</p><p>Por exemplo; Em nosso sistema usual de numeração - sistema decimal ,</p><p>utilizamos um total de 10 algarismos, a saber : 0 ,1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 e 9,</p><p>por isso, afirmamos que trabalhamos na base 10 de numeração, pois</p><p>utilizamos um total de 10 algarismos.</p><p>Quando escrevemos o número 374, sabemos que o algarismo 3 representa</p><p>300 unidades, 30 dezenas ou 3 x 102 unidades, o algarismo 7 representa</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 25</p><p>70 unidades, 7 dezenas ou 7 x 101 unidades e o 4 representa 4 unidades</p><p>ou 4 x 100 unidades.</p><p>Assim, podemos escrever :</p><p>374 = 3 x 102 + 7 x 101 + 4x100</p><p>Base de um Sistema de Numeração</p><p>A base de um sistema de numeração é a quantidade de algarismos utilizados para</p><p>a escrita de todos os números. O sistema de base 10 é usualmente empregado em</p><p>nosso dia-a-dia, embora não seja a única base de numeração utilizada.</p><p>Quando adquirimos uma dúzia de laranjas, duas dúzias de rosas, cinco dúzias de</p><p>bananas ou uma grosa ( doze dúzias ) de parafusos estaremos trabalhando na</p><p>base duodecimal (base 12) de numeração.</p><p>Quando marcamos o tempo em dias, horas, minutos e segundos estamos</p><p>trabalhando com a base 60 de numeração, ou na base sexagesimal.</p><p>Os computadores utilizam a base 2 ( sistema binário ) e os programadores, por</p><p>facilidade, usam em geral uma base que seja uma potência de 2, tal como 64</p><p>(base 16 ou sistema hexadecimal) também a base 8 = 23 sistema octal ou</p><p>octagenário</p><p>Explicação Gráfica de um Sistema de Numeração</p><p>No quadro abaixo, temos 43 unidades. Vamos contá-las em alguns sistemas de</p><p>numeração.</p><p>Sistema Decimal</p><p>No Sistema Decimal contamos de dez em dez e sabemos que cada 10 unidades de</p><p>1ª ordem equivalem a 1 unidade de 2ª ordem. Cada 10 unidades de 2ª ordem</p><p>equivalem a 1 unidade de 3ª ordem. Cada 10 unidades de 3ª ordem equivalem a</p><p>1 unidade de 4ª ordem, e assim sucessivamente</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 26</p><p>No sistema decimal contamos de 10 em 10. Com isso formamos 4 grupos de 10 e</p><p>mais 3 unidades. E dessa forma 43 unidades será representada como: 4 grupos</p><p>de 10 ( dezenas ) + 3 unidades = 43(10)</p><p>Sistema de Base 2 ( Sistema Binário )</p><p>No Sistema Binário contamos de dois em dois e sabemos que cada 2 unidades de</p><p>1ª ordem equivalem a 1 unidade de 2ª ordem. Cada 2 unidades de 2ª ordem</p><p>equivalem a 1 unidade de 3ª ordem. Cada 2 unidades de 3ª ordem equivalem a</p><p>1 unidade de 4ª ordem, e assim sucessivamente.</p><p>No sistema binário contamos de 2 em 2. Com isso formamos 21 grupos de 2 e mais</p><p>1 unidade. Como cada dois grupos desses 21 grupos formam uma unidade de ordem</p><p>superior, teremos 21 : 2 = 10 unidades de terceira ordem e uma unidade de segunda</p><p>ordem de resto. Como cada dois grupos desses 10 grupos formam uma unidade de</p><p>ordem superior, teremos 10 : 2 = 5 unidades de quarta ordem e zero unidades de</p><p>terceira ordem. Como cada dois grupos desses 5 grupos formam uma unidade de</p><p>ordem superior, teremos 5 : 2 = 2 unidades de quinta ordem e uma unidade de</p><p>quarta ordem. Como cada dois grupos desses 2 grupos formam uma unidade de</p><p>ordem superior, teremos 2 : 2 = 1 unidade de sexta ordem e zero unidades de</p><p>quinta ordem.</p><p>Dessa forma : 43(10) = 101011(2)</p><p>Sistema de Base 3 ( Sistema Ternário )</p><p>No Sistema Ternário contamos de três em três e sabemos que cada 3 unidades de</p><p>1ª ordem equivalem a 1 unidade de 2ª ordem. Cada 3 unidades de 2ª ordem</p><p>equivalem a 1 unidade de 3ª ordem. Cada 3 unidades de 3ª ordem equivalem a</p><p>1 unidade de 4ª ordem, e assim sucessivamente.</p><p>(10) = 1121(3)</p><p>Sistema de Base 4 ( Sistema quaternário )</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 27</p><p>No Sistema Quaternário contamos de quatro em quatro e sabemos que cada</p><p>4 unidades de 1ª ordem equivalem a 1 unidade de 2ª ordem. Cada 4 unidades de</p><p>2ª ordem equivalem a 1 unidade de 3ª ordem. Cada 4 unidades de 3ª ordem</p><p>equivalem a 1 unidade de 4ª ordem, e assim sucessivamente.</p><p>No sistema quaternário contamos de 4 em 4. Com isso formamos 10 grupos de 4 e</p><p>mais 3 unidades. Como cada 4 grupos desses 10 grupos formam uma unidade de</p><p>ordem superior, teremos 10 : 4 = 2 unidades de terceira ordem e 2 unidades de</p><p>segunda ordem de resto. Como cada 3 grupos desses 4 grupos formam uma</p><p>unidade de ordem superior, teremos 4 : 3 = 1 unidades de quarta ordem e uma</p><p>unidade de terceira ordem.</p><p>Dessa forma : 43(10) = 223(4)</p><p>Sistema de Base 8 ( Sistema octal ou octagenário)</p><p>No Sistema de base oito contamos de oito em oito e sabemos que cada 8 unidades</p><p>de 1ª ordem equivalem a 1 unidade de 2ª ordem. Cada 8 unidades de 2ª ordem</p><p>equivalem a 1 unidade de 3ª ordem. Cada 8 unidades de 3ª ordem equivalem a 1</p><p>unidade de 4ª ordem, e assim sucessivamente.</p><p>No sistema</p><p>octal contamos de 8 em 8. Com isso formamos 5 grupos de 8 e mais</p><p>3 unidades. Como a quantidade 5 grupos é inferior a 8, já concluímos a</p><p>transformação solicitada.</p><p>Dessa forma : 43(10) = 53(8)</p><p>Notação</p><p>Quando escrevemos numa base diferente da decimal, grifamos o número com um</p><p>índice que determina a sua base de numeração. Sempre que um número for</p><p>apresentado sem índice que indique sua base de numeração, entenderemos que</p><p>a base é dez. Sempre que outra base for utilizada, essa base terá de ser,</p><p>obrigatoriamente, indicada.</p><p>Se o número ABC estiver escrito na base n, escreveremos : ABC(n) ou ABCn ou (ABC)n</p><p>Na base 10, dispomos de 10 algarismos para a representação do número:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 28</p><p>0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.</p><p>Na base 2 utilizamos apenas 2 algarismos: 0 e 1.</p><p>Exemplo: 1001(2) ; 100010101(2)</p><p>Na base 4 utilizamos apenas os 4 primeiros algarismos: 0, 1, 2 e 3.</p><p>Exemplo: 3201(4) ; 22031(4)</p><p>Na base 7 utilizamos os 7 primeiros algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6.</p><p>Exemplo: 562(7) ; 3405(7)</p><p>Na base 8, seriam os 8 primeiros os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.</p><p>Exemplo: 753(8) ; 6714(8)</p><p>Na base 16, seriam os 10 algarismos usados na base 10 e mais os símbolos</p><p>A, B, C, D, E e F, representando respectivamente 10, 11, 12, 13, 14 e 15 unidades.</p><p>Exemplo: 9AE0(16) ; 84CD(16)</p><p>De um modo geral, temos que uma base b qualquer utilizará b algarismos, onde b</p><p>varia entre 0 e b - 1.</p><p>Mudança de Base</p><p>Mudança da Base Decimal para uma Base Qualquer</p><p>Para transformarmos da base decimal para uma base qualquer devemos dividir</p><p>sucessivamente o número e a seguir os quocientes obtidos pelo algarismo</p><p>representativo dessa base até que a divisão não seja mais possível.</p><p>Só um exemplo tornará mais clara essa definição.</p><p>Exemplo 01 - Transforme para a base 5 o número 269. Como a base 5 trabalha em</p><p>grupos de 5, devemos dividir, sucessivamente, essas 269 unidades por 5.</p><p>ou dessa forma, mais prática</p><p>E lendo o número de trás para frente, e considerando, apenas o último quociente</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 29</p><p>e os demais restos, teremos a nossa solução:</p><p>269 = 2034(5)</p><p>Esse número não pode ser lido como dois mil e trinta e quatro na base cinco, já que</p><p>essa leitura é específica da base decimal. O correto será: dois, zero, três, quatro na</p><p>base cinco.</p><p>Exemplo 02 - Transforme para a base 8 o número 531. Como a base 8 trabalha em grupos de 8, devemos</p><p>dividir, sucessivamente, essas</p><p>531 unidades por 8.</p><p>ou dessa forma, mais prática</p><p>E lendo o número de trás para frente, e considerando, apenas o último quociente e os demais restos,</p><p>teremos a nossa solução:</p><p>531 = 1023(8)</p><p>Esse número não pode ser lido como mil e vinte e três na base oito, já que essa leitura é específica da base</p><p>decimal. O correto será:</p><p>um, zero, dois, três na base cinco.</p><p>Exemplo 03 - Transforme para a base 2 o número 97. Como a base 2 trabalha em grupos de 2, devemos</p><p>dividir, sucessivamente, essas</p><p>97 unidades por 2.</p><p>E lendo o número de trás para frente, e considerando, apenas o último quociente e os demais restos,</p><p>teremos a nossa solução:</p><p>97 = 1000011(2)</p><p>Como já sabemos, esse número deverá ser lido como: um, zero, zero, zero, zero, um, um na base dois.</p><p>Exemplo 04 - Transforme para a base 12 o número 1579, considerando A = 10 e B = 11. Como a base 12</p><p>trabalha em grupos de 12,</p><p>devemos dividir, sucessivamente, essas 1579 unidades por 12.</p><p>E lendo o número de trás para frente, e considerando, apenas o último quociente e os demais restos, e,</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 30</p><p>também, lembrando que</p><p>A = 10 e B = 11, teremos a nossa solução: 1579 = AB7(12)</p><p>Mudança de uma Base Qualquer para a Base Decimal</p><p>1° Método: Para transformarmos o número, de n algarismos, ABC...YZ escrito numa base b para a base</p><p>decimal, teremos:</p><p>A . b(n - 1) + B . b(n - 2) + C . b(n - 3) + D .b(n - 3) + ....... + X . b2 + Y . b1 + Z . b0</p><p>Só um exemplo tornará mais clara essa transformação.</p><p>Exemplo 05 - Transforme para a base decimal o número 1246(7).</p><p>Se o número possui 4 algarismos, a primeira potência de 7 terá o expoente 4 - 1 = 3, assim :</p><p>1 . 7(4 - 1) + 2 . 7(4 - 2) + 4 . 7(4 - 3) + 6 . 7(4 - 4) = 1 . 73 + 2 . 72 + 4 . 71 + 6 . 70 = 343 + 98 + 28 + 6 = 475</p><p>Exemplo 06 - Transforme para a base decimal o número 302(4).</p><p>Se o número possui 3 algarismos, a primeira potência de 4 terá o expoente 3 - 1 = 2, assim :</p><p>3 . 4(3 - 1) + 2 . 4(3 - 2) + 2 . 4(3 - 3)= 3 . 42 + 2 . 41 + 2 = 3 . 16 + 2 . 4 + 2 = 48 + 8 + 2 = 58</p><p>2° Método: Para transformarmos um número escrito numa base b para a base decimal, podemos aplicar o</p><p>método Prático:</p><p>"Desce multiplicando e sobe somando". Apliquemos esse método:</p><p>Exemplo 07 - Transforme para a base decimal o número 652(8)</p><p>Sempre começamos pelo algarismo da esquerda. Ele desce multiplicando pela base 8 ==> 6 x 8 = 48 e sobe</p><p>somando pelo próximo</p><p>algarismo: 48 + 5 = 53 e o processo continua: o resultado 53 desce multiplicando pela base 8 ==> 53 x 8 =</p><p>424 e sobe somando com</p><p>o próximo e último algarismo: 424 + 2 = 426.</p><p>Assim 652(8) = 426(10)</p><p>Exemplo 08 - Transforme para a base decimal o número 10212(3)</p><p>Sempre começamos pelo algarismo da esquerda. Ele desce multiplicando pela base 3 ==> 1 x 3 = 3 e sobe</p><p>somando pelo próximo</p><p>algarismo: 3 + 0 = 3 e o processo continua: o resultado 3 desce multiplicando pela base 3 ==> 3 x 3 = 90 e</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 31</p><p>sobe somando com o</p><p>próximo 2 ==> 9 + 2 = 11 e e sobe somando pelo próximo algarismo: 11 x 3 = 33 + 1 = 34 ...... 34 x 3 = 102 + 2</p><p>= 104</p><p>Assim 10212(3) = 104(10)</p><p>3° Método: Para transformarmos um número escrito numa base b para a base decimal, podemos</p><p>aplicar um segundo método Prático: Método das sucessivas divisões. Esse algoritmo é a aplicação contrária</p><p>do método para a</p><p>transformação da base decimal para uma base qualquer. Apliquemos esse método:</p><p>Exemplo 09 - Transforme para a base decimal o número 7182(9)</p><p>Se o número possui quatro algarismos, faremos três divisões sucessivas com o divisor 9 e escreveremos o</p><p>número 7182 de baixo para</p><p>cima, o algarismo 7 será o último quociente e os demais algarismos serão os restos. Assim :</p><p>Com isso , teremos que : 7182(9) = 5.258(10) = 5.258</p><p>Exemplo 10 - Transforme para a base decimal o número 345(6)</p><p>Se o número possui três algarismos, faremos duas divisões sucessivas com o divisor 6 e escreveremos o</p><p>número 345 de baixo para</p><p>cima, o algarismo 3 será o último quociente e os demais algarismos serão os restos. Assim :</p><p>Com isso , teremos que : 345(6) = 137(10) = 137</p><p>Exemplo 11 - Transforme para a base decimal o número AB3G8(16)</p><p>Se o número possui cinco algarismos, faremos quatro divisões sucessivas com o divisor 16 e escreveremos o</p><p>número AB3E8 de baixo</p><p>para cima, o algarismo A será o último quociente e os demais algarismos serão os restos. Não podemos</p><p>esquecer que na base 16,</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano</p><p>32</p><p>temos : A = 10 ; B = 11 ; C = 12 ; D = 13 ; E = 14 e F = 15. Assim :</p><p>Com isso , teremos que : AB3G8(16) = 701 416(10) = 701.416</p><p>Observação Importante: Quando transformamos um número na base decimal para uma base menor que 10,</p><p>o número, se lido na base</p><p>decimal será sempre maior que o correspondente decimal.</p><p>Exemplo : 345(6) = 137(10) 345(10) > 137(10)</p><p>Mudança de uma Base não-decimal para uma Base não-decimal.</p><p>Nesse caso transformamos o número inicial para a base decimal e transformamos dessa para a base não</p><p>decimal solicitada</p><p>Exemplo 11 - Transforme para a base 8 o número 4312(5).</p><p>1ª Etapa: Vamos transformar 4312(5) para a base decimal.</p><p>Se o número possui 4 algarismos, a primeira potência de 5 terá o expoente 4 - 1 = 3, assim :</p><p>4 . 5(4 - 1) + 3 . 5(4 - 2) + 1 . 5(4 - 3) + 2 . 5(4 - 4) = 4 . 53 + 3 . 52 + 1 . 51 + 2 . 50 = 500 + 75 + 5 + 2 = 582</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 33</p><p>2ª Etapa:Vamos transformar 582(10) para a base 8.</p><p>E lendo o número de trás para frente, e considerando, apenas o último quociente e os demais restos,</p><p>teremos a nossa solução:</p><p>582 = 1106(8) e 4312(5) = 1106(8)</p><p>Exemplo 12 - Transforme para a base 7 o número 10010(2).</p><p>1ª Etapa: Vamos transformar 10010(2) para a base decimal.</p><p>Se o número possui 5 algarismos, a primeira potência de 2 terá o expoente 5 - 1 = 4, assim :</p><p>1 . 2(5 - 1) + 0 . 2(5 - 2) + 0 . 2(5 - 3) + 1 . 2(5 - 4) + 0 . 2(5 - 5) = 1 . 16 + 0+ 0 + 2 + 0 = 18</p><p>2ª Etapa: Vamos transformar 18(10) para a base 7.</p><p>E lendo o número de trás para frente, e considerando, apenas o último quociente e o único resto, teremos a</p><p>nossa solução:</p><p>18 = 24(7) e 10010(2) = 24(7)</p><p>Razões e Proporções</p><p>Razão é uma forma de se realizar a comparação de duas grandezas, no entanto, para isto é necessário que as</p><p>duas estejam na mesma unidade de medida.</p><p>A razão entre dois números a e b é obtida dividindo-se a por b. Obviamente b deve ser diferente de zero.</p><p>Na razão, o número a é chamado de antecedente e o b tem o nome de consequente.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 34</p><p>A</p><p>B</p><p>Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque:</p><p>12</p><p>3</p><p>= 4</p><p>e a razão entre 3 e 6 é 0,5 pois:</p><p>3</p><p>6</p><p>= 0,5</p><p>A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema de medidas.</p><p>Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A litros de suco</p><p>concentrado com B litros de água. A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é</p><p>um número real expresso como uma fração ou razão (que não tem unidade), é a razão:</p><p>A</p><p>B</p><p>= A/B</p><p>Exemplo: Tomemos a situação apresentada na tabela abaixo.</p><p>Líquido Situação1 Situação2 Situação3 Situação4</p><p>Suco puro 3 6 8 30</p><p>Água 8 16 32 80</p><p>Suco pronto 11 22 40 110</p><p>Na Situação1, para cada 3 litros de suco puro coloca-se 8 litros de água, perfazendo o total de 11 litros de</p><p>suco pronto.</p><p>Na Situação2, para cada 6 litros de suco puro coloca-se 16 litros de água, perfazendo o total de 24 litros de</p><p>suco pronto.</p><p>Exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10.</p><p>Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos que ele acertou pelo</p><p>total de arremessos, o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois arremessos, o que também pode</p><p>ser pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 35</p><p>10 : 20 = 1 : 2 = 0,5</p><p>Proporção nada mais é que a igualdade entre razões.</p><p>Digamos que em determinada escola, na sala A temos três meninos para cada quatro meninas, ou seja,</p><p>temos a razão de 3 para 4, cuja divisão de 3 por 4 é igual 0,75. Suponhamos que na sala B, tenhamos seis</p><p>meninos para cada oito meninas, então a razão é 6 para 8, que também é igual 0,75. Neste caso a igualdade</p><p>entre estas duas razões vem a ser o que chamamos de proporção, já que ambas as razões são iguais a 0,75.</p><p>A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:</p><p>A</p><p>B</p><p>=</p><p>C</p><p>D</p><p>Numa proporção:</p><p>A</p><p>B</p><p>=</p><p>C</p><p>D</p><p>os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade:</p><p>o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:</p><p>A · D = B · C</p><p>Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:</p><p>3</p><p>4</p><p>=</p><p>6</p><p>8</p><p>Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6.</p><p>Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:</p><p>x</p><p>3</p><p>=</p><p>4</p><p>6</p><p>Para obter X=2.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 36</p><p>Escalas</p><p>Definimos escala como sendo a rezão entre o comprimento do projetp e o comprimento real</p><p>correspondente, sempre medidos na mesma unidades.</p><p>Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos, planta de uma casa ou em</p><p>mapas, cidades e maquetes.</p><p>- Escala numérica: É representada em forma de fração 1/10.000 ou razão 1:10.000, isso significa que o valor</p><p>do numerador é o do mapa e o denominador é o valor referente ao espaço real.</p><p>Ex: 1:10.000, cada 1 cm no papel (mapa) corresponde a 10.000 cm no espaço real.</p><p>- Escala Gráfica: Representa de forma gráfica a escala numérica.</p><p>Cada unidade da escala, ou seja, 1 cm representa 50 km no espaço real.</p><p>Assim como os mapas servem para localização e orientação, existem outros instrumentos, vamos analisar</p><p>especificamente a Rosa dos ventos, conhecida como Pontos cardeais, colaterais, subcolaterais e</p><p>intermediários.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 37</p><p>Pontos cardeais</p><p>Norte (N)</p><p>Sul (S)</p><p>Leste (L)</p><p>Oeste (O)</p><p>Pontos Colaterais</p><p>Noroeste (NO)</p><p>Nordeste (NE)</p><p>Sudoeste (SO)</p><p>Sudeste (SE)</p><p>Pontos Subcolaterais</p><p>Norte-Nordeste (NNE)</p><p>Norte-Noroeste (NNO)</p><p>Leste-Nordeste (LNE)</p><p>Leste-Sudeste (LSE)</p><p>Sul-Sudeste (SSE)</p><p>Sul-Sudoeste (SSO)</p><p>Oeste-Sudoeste (OSO)</p><p>Oeste-Noroeste (ONO)</p><p>Pontos intermediários: Sem notação específica, é o ponto intermediário entre S (Sul) e SSO (Sul-Sudoeste),</p><p>por exemplo.</p><p>Divisão Proporcional</p><p>A divisão proporcional é muito usada em situações relacionadas à Matemática Financeira, Contabilidade,</p><p>Administração, na divisão de lucros e prejuízos proporcionais aos valores investidos pelos sócios de uma</p><p>determinada empresa, por grupos de investidores em bancos de ações e contas bancárias.</p><p>Quando realizamos uma divisão diretamente proporcional estamos dividindo um número de maneira</p><p>proporcional a uma sequência de outros números. Por exemplo, vamos dividir o número 396 em partes</p><p>diretamente proporcionais a 2, 4 e 6.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 38</p><p>Ao somarmos as partes após a divisão temos que obter o número original correspondente a 396. Observe:</p><p>66 + 132 + 198 = 396</p><p>Veja mais um exemplo:</p><p>Devemos dividir entre João, Pedro</p><p>e Lucas 46 chocolates de forma diretamente proporcional às suas idades</p><p>que são: 4, 7 e 12 anos, respectivamente.</p><p>João, Pedro e Lucas receberão respectivamente 8, 14 e 24 chocolates.</p><p>Veja outro exemplo:</p><p>O prêmio de um concurso no valor de R$ 490.000,00 deverá ser divido de forma diretamente proporcional</p><p>aos pontos obtidos pelos candidatos das três primeiras colocações. Considerando que o primeiro colocado</p><p>fez 220, o segundo 150 e o terceiro 120 pontos, determine a parte do prêmio relativa a cada participante.</p><p>Os candidatos receberão R$ 176.000,00, R$ 120.000,00 e R$ 96.000,00, de acordo com a pontuação</p><p>assinalada.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 39</p><p>Regra de Três Simples ou Composta</p><p>Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais</p><p>conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.</p><p>Passos utilizados numa regra de três simples:</p><p>1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma</p><p>linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.</p><p>2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.</p><p>3º) Montar a proporção e resolver a equação.</p><p>Exemplos:</p><p>1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar</p><p>consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia</p><p>produzida?</p><p>Solução: montando a tabela:</p><p>Área (m2) Energia (Wh)</p><p>1,2 400</p><p>1,5 x</p><p>Identificação do tipo de relação:</p><p>Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).</p><p>Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.</p><p>Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas</p><p>são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª</p><p>coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:</p><p>Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.</p><p>2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3</p><p>horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?</p><p>Solução: montando a tabela:</p><p>Velocidade (Km/h) Tempo (h)</p><p>400 3</p><p>480 x</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 40</p><p>Identificação do tipo de relação:</p><p>Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).</p><p>Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.</p><p>Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas</p><p>são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima)</p><p>na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:</p><p>Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.</p><p>3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do</p><p>mesmo tipo e preço?</p><p>Solução: montando a tabela:</p><p>Camisetas Preço (R$)</p><p>3 120</p><p>5 x</p><p>Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.</p><p>Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas</p><p>são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:</p><p>Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.</p><p>4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o</p><p>número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?</p><p>Solução: montando a tabela:</p><p>Horas por dia Prazo para término (dias)</p><p>8 20</p><p>5 x</p><p>Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.</p><p>Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas</p><p>são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 41</p><p>A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente</p><p>proporcionais.</p><p>Exemplos:</p><p>1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão</p><p>necessários para descarregar 125m3?</p><p>Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada</p><p>linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:</p><p>Horas Caminhões Volume</p><p>8 20 160</p><p>5 x 125</p><p>Identificação dos tipos de relação:</p><p>Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).</p><p>A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.</p><p>Observe que:</p><p>Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a</p><p>relação éinversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).</p><p>Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação</p><p>é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo</p><p>x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.</p><p>Montando a proporção e resolvendo a equação temos:</p><p>Logo, serão necessários 25 caminhões.</p><p>2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão</p><p>montados por 4 homens em 16 dias?</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano 42</p><p>Solução: montando a tabela:</p><p>Homens Carrinhos Dias</p><p>8 20 5</p><p>4 x 16</p><p>Observe que:</p><p>Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação</p><p>é diretamente proporcional(não precisamos inverter a razão).</p><p>Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também</p><p>é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo</p><p>x com o produto das outras razões.</p><p>Montando a proporção e resolvendo a equação temos:</p><p>Logo, serão montados 32 carrinhos.</p><p>3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e</p><p>aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?</p><p>Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se</p><p>flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para</p><p>as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:</p><p>Montando a proporção e resolvendo a equação temos:</p><p>Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.</p><p>Porcentagem</p><p>A porcentagem é de grande utilidade no mercado financeiro, pois é utilizada para capitalizar empréstimos e</p><p>aplicações, expressar índices inflacionários e deflacionários, descontos, aumentos, taxas de juros, entre</p><p>outros. No campo da Estatística possui participação ativa na apresentação de dados comparativos e</p><p>organizacionais.</p><p>Apostilas Aprendizado Urbano</p>