ALGEBRA LINEAR Exercícios 2

Prévia do material em texto

<p>Apol 2</p><p>Questão 1/10 - Álgebra Linear</p><p>Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre matrizes de mudança de base e, as</p><p>bases</p><p>B={(1,0,1),(1,1,1),(1,1,2)} e B′={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}�={(1,0,1),(1,1,1),(1,1,2)} � �´={(1,0,0),(</p><p>0,1,0),(0,0,1)},</p><p>assinale a alternativa com a matriz de mudança da base B´�´ para B�, [I]BB´.[�]��´.</p><p>Nota: 10.0</p><p>A [I]BB´=⎡⎢⎣0−1111−2−111⎤⎥⎦[�]��´=[0−1111−2−111]</p><p>B [I]BB´=⎡⎢⎣1−2301−1−1−31⎤⎥⎦[�]��´=[1−2301−1−1−31]</p><p>C [I]BB´=⎡⎢⎣1−1011−1−101⎤⎥⎦[�]��´=[1−1011−1−101]</p><p>Você assinalou essa alternativa (C)</p><p>Você acertou!</p><p>Fazemos os vetores de B´ combinação linear dos vetores da base B.</p><p>Resolvemos os três sistemas de equações, simultaneamente:</p><p>⎡⎢⎣111|100011|010112|001⎤⎥⎦[111|100011|010112|001]</p><p>⎡⎢⎣100|1−1001011−1001|−101⎤⎥⎦[100|1−1001011−1001|−101]</p><p>[I]BB´=⎡⎢⎣1−1011−1−101⎤⎥⎦[�]��´=[1−1011−1−101]</p><p>(Livro-base p. 108-112).</p><p>D [I]BB´=⎡⎢⎣1−1221−2−203⎤⎥⎦[�]��´=[1−1221−2−203]</p><p>E [I]BB´=⎡⎢⎣1−2011−2−121⎤⎥⎦[�]��´=[1−2011−2−121]</p><p>Questão 2/10 - Álgebra Linear</p><p>Considere o conjunto formado pelos</p><p>vetores v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2).�1=(1,−3,4), �2=(3,2,1) e �3=(1,−1,2).</p><p>De acordo com este conjunto e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas com V</p><p>para verdadeira e F para falsa:</p><p>I.( )Os vetores v1, v2 e v3�1, �2 e �3 são linearmente independentes.</p><p>II.( )Os vetores v1, v2 e v3�1, �2 e �3 são linearmente dependentes.</p><p>III. ( ) O conjunto {v1,v2,v3}{�1,�2,�3} forma uma base para o R3.�3.</p><p>Agora, marque a sequência correta.</p><p>Nota: 10.0</p><p>A V-F-F</p><p>B V-V-F</p><p>C V-F-V</p><p>D F-V-F</p><p>Você assinalou essa alternativa (D)</p><p>Você acertou!</p><p>Observamos que det⎡⎢⎣131−32−1412⎤⎥⎦=0.det[131−32−1412]=0. Com isso, os vetores v1, v2 e v3�1, �2 e �3 são linearmente dependentes</p><p>(LD), logo não formam uma base (o determinante deve ser diferente de zero ou os vetores devem ser LI).</p><p>Primeira afirmativa é falsa, pois os vetores são LD e não LI.</p><p>Segunda afirmativa é verdadeira, pois o determinante dos vetores é igual a zero (LD).</p><p>Terceira afirmativa é falsa, pois como os vetores são LD, não formam uma base.</p><p>Logo, a sequência correta é F-V-F (livro-base p. 96-103).</p><p>E F-V-V</p><p>Questão 3/10 - Álgebra Linear</p><p>Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre mudança de base e coordenadas de um</p><p>vetor, e as bases</p><p>A={p1=4−3x,p2=3−2x} e B={q1=x+2,q2=2x+3}�={�1=4−3�,�2=3−2�} � �={�1=�+2,�2=</p><p>2�+3} do conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 1, assinale a alternativa com a matriz das</p><p>coordenadas do polinômio p=x−4�=�−4 em relação a base A.</p><p>Nota: 10.0</p><p>A [6 −5]t[6 −5]�</p><p>B [5−8]t[5−8]�</p><p>Você assinalou essa alternativa (B)</p><p>Você acertou!</p><p>Determine as coordenadas de p=x−4�=�−4 em relação a base A.</p><p>p=x−4=a(4−3x)+b(3−2x)[−3−2|143|−4].�=�−4=�(4−3�)+�(3−2�)[−3−2|143|−4].</p><p>As coordenadas são [5 −8]t[5 −8]�</p><p>(Livro-base p. 119-122)</p><p>C [8 −6]t[8 −6]�</p><p>D [7 −9]t[7 −9]�</p><p>E [3 −2]t[3 −2]�</p><p>Questão 4/10 - Álgebra Linear</p><p>Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre operações com matrizes e dada as</p><p>matrizes:</p><p>A=[x−w−z3y] , B=[z2yxw] e C=[−3−10−1−10]�=[�−�−�3�] , �=[�2���] � �=[−3−10−1</p><p>−10].</p><p>Dado que A+B=C�+�=�, assinale a alternativa com a solução correta da equação matricial:</p><p>Nota: 0.0Você não pontuou essa questão</p><p>A x=−3,z=−1,y=−2 e w=2.�=−3,�=−1,�=−2 � �=2.</p><p>Você assinalou essa alternativa (A)</p><p>B x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.�=−2,�=−1,�=−4 � �=2.</p><p>A+B=C⇒�+�=�⇒ [x+z−w+2y−z+x3y+w]=[−3−10−1−10]x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.[�+�−�+2�−�+�3�+�]=[−3−10−1−10]�=−2,�=−1,�=−4 � �=2.</p><p>(Livro-base p. 40-51)</p><p>C x=−5,z=−6,y=3 e w=2.�=−5,�=−6,�=3 � �=2.</p><p>D x=−1,z=−2,y=3 e w=−2.�=−1,�=−2,�=3 � �=−2.</p><p>E x=4,z=−2,y=−4 e w=3.�=4,�=−2,�=−4 � �=3.</p><p>Questão 5/10 - Álgebra Linear</p><p>Leia as informações abaixo:</p><p>Na fabricação de três misturas de bolos, sabores chocolate, canela e baunilha, são usados três</p><p>ingredientes: farinha de trigo, leite em pó e gordura vegetal. A quantidade de ingredientes para cada</p><p>mistura, isto é, para cada embalagem, é dada pela tabela:</p><p>ChocolateCanelaBaunilhaFarinha(g)230250240Leite(ml)605040Gordura vegetal(g)302524�ℎ�</p><p>������������������ℎ������ℎ�(�)230250240�����(��)6050</p><p>40������� �������(�)302524</p><p>O número de misturas produzidas, de cada sabor, nos meses de maio e junho, é dado pela tabela:</p><p>MaioJunhoChocolate1000500Canela400200Baunillha600400�������ℎ��ℎ�����</p><p>��1000500������400200�������ℎ�600400</p><p>De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, sobre produto de</p><p>matrizes, assinale a alternativa que apresenta o total de cada ingrediente usado nos meses de maio e</p><p>junho:</p><p>Nota: 10.0</p><p>A ⎡⎢⎣640000161000204000560005440029600⎤⎥⎦[640000161000204000560005440029600]</p><p>B ⎡⎢⎣53000062100014000580003440026000⎤⎥⎦[53000062100014000580003440026000]</p><p>C ⎡⎢⎣474000261000104000560005440029600⎤⎥⎦[474000261000104000560005440029600]</p><p>Você assinalou essa alternativa (C)</p><p>Você acertou!</p><p>O problema se resume na multiplicação de matrizes:</p><p>⎡⎢⎣230250240605040302524⎤⎥⎦[230250240605040302524].⎡⎢⎣1000500400200600400⎤⎥⎦[1000500400200600400] = ⎡⎢⎣474000261000104000560005440029600⎤⎥⎦[474000261000104000560005440029600]</p><p>(Livro-base p. 36-39).</p><p>D ⎡⎢⎣2300001250000240005100001800010000⎤⎥⎦[2300001250000240005100001800010000]</p><p>E ⎡⎢⎣640000305000541000560001240039600⎤⎥⎦[640000305000541000560001240039600]</p><p>Questão 6/10 - Álgebra Linear</p><p>Seja o espaço vetorial V=R2�=�2 e W={(x,y)∈R2/y=3x}�={(�,�)∈�2/�=3�}.</p><p>De acordo com o espaço vetorial dado acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a</p><p>alternativa cuja afirmativa é correta com relação ao conjunto W�.</p><p>Nota: 0.0Você não pontuou essa questão</p><p>A (3x,x)∈W(3�,�)∈�</p><p>Você assinalou essa alternativa (A)</p><p>B Para todos vetores u,v∈W,�,�∈�, temos u+v∉W�+�∉�.</p><p>C Para todos vetores u,v∈W,�,�∈�, temos u.v∉W�.�∉�</p><p>D W� não é um subespaço vetorial de V.�.</p><p>E W� é um subespaço vetorial de V.�.</p><p>Considere os vetores u=(x1,y1)�=(�1,�1) e v=(x2,y2)�=(�2,�2) de V=R2.�=�2.</p><p>Deve-se verificar se são satisfeitas as seguintes condições:</p><p>1. Se u,v∈W�,�∈� então, u+v∈W�+�∈�.</p><p>u+v=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1,3x1)+(x2,3x2)==(x1+x2,3(x1+x2))∈W.�+�=(�1,�1)+(�2,�2)=(�1,3�1)+(�2,3�2)==(�1+�2,3(�1+�2))∈�.</p><p>2. Se u∈W,então,αu∈W,�∈�,���ã�,��∈�, para todo α∈R.�∈�.</p><p>αu=α(x1,y1)=(αx1,αy1)=(αx1,3αx1)∈W.��=�(�1,�1)=(��1,��1)=(��1,3��1)∈�.</p><p>Logo, pode-se afirmar que W� é um subespaço de V.�.</p><p>(Livro-base p. 82-88).</p><p>Questão 7/10 - Álgebra Linear</p><p>Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre transformações lineares,</p><p>e T:R2→R3�:�2→�3 uma transformação linear tal que</p><p>T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4),�(1,2)=(3,2,1) � �(3,4)=(6,5,4),</p><p>assinale a alternativa com as coordenadas do vetor u∈R2�∈�2, de modo</p><p>que T(u)=(3,2,1)�(�)=(3,2,1).</p><p>Nota: 0.0Você não pontuou essa questão</p><p>A u=(−4,2).�=(−4,2).</p><p>B u=(−3,3).�=(−3,3).</p><p>C u=(4,2).�=(4,2).</p><p>D u=(−1,2).�=(−1,2).</p><p>Você assinalou essa alternativa (D)</p><p>E u=(1,2).�=(1,2).</p><p>T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)=(3,2,1)32y=3⇒y=2x+12y=2⇒x=1u=(1,2).�(�)=(32�,�+12�,2�−12�)=(3,2,1)32�=3⇒�=2�+12�=2⇒�=1�=(1,2).</p><p>(Livro-base p. 119-122)</p><p>Questão 8/10 - Álgebra Linear</p><p>Sejam os vetores u=(1,2,3),v=(0,1,1) e w=(0,0,1)�=(1,2,3),�=(0,1,1) � �=(0,0,1), tais que eles</p><p>formam uma base do espaço vetorial R3�3.</p><p>De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa</p><p>com as coordenadas do vetor (1,1,0)∈R3(1,1,0)∈�3 com relação à base formada pelos</p><p>vetores u,v e w.�,� � �.</p><p>Nota: 10.0</p><p>A ⎡⎢⎣1−1−2⎤⎥⎦[1−1−2]</p><p>Você assinalou essa alternativa (A)</p><p>Você acertou!</p><p>Para que os vetores u,v e w�,� � � formem uma base do R3�3, é necessário que existam os reais a, b e c tais</p><p>que au+bv+cw=(0,0,0)��+��+��=(0,0,0) e que sejam</p><p>todos nulos. Assim, tem-se o sistema linear:</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩a=02a+b=03a+b+c=0{�=02�+�=03�+�+�=0</p><p>Esse sistema tem solução única, a=b=c=00. Logo, formam uma base do R3�3.</p><p>Para determinar as coordenadas do vetor (1,1,0)(1,1,0) em relação à base{u,v,w}{�,�,�} , digamos β� deve-se resolver o sistema:</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩x=12x+y=13x+y+z=0{�=12�+�=13�+�+�=0</p><p>A solução do sistema é z=−2,y=−1 e x=1�=−2,�=−1 � �=1 e as coordenadas do vetor são</p><p>⎡⎢⎣1−1−2⎤⎥⎦β[1−1−2]� (livro-base p. 96-99).</p><p>B ⎡⎢⎣21−2⎤⎥⎦[21−2]</p><p>C ⎡⎢⎣1−22⎤⎥⎦[1−22]</p><p>D ⎡⎢⎣2−4−2⎤⎥⎦[2−4−2]</p><p>E ⎡⎢⎣2−2−2⎤⎥⎦[2−2−2]</p><p>Questão 9/10 - Álgebra Linear</p><p>Seja T:R2→R2�:�2→�2 a transformação linear dada por T(x,y)=(x+2y,y).�(�,�)=(�+2�,�).</p><p>De acordo com a transformação linear dada e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a</p><p>alternativa que contém a matriz de T� com relação à base canônica do R2�2:</p><p>Nota: 10.0</p><p>A [1201].[1201].</p><p>Você assinalou essa alternativa (A)</p><p>Você acertou!</p><p>Observamos que</p><p>T(1,0)=(1,0)=1(1,0)+0(0,1) e T(0,1)=(2,1)=2(1,0)+1(0,1).�(1,0)=(1,0)=1(1,0)+0(0,1) e �(0,1)=(2,1)=2(1,0)+1(0,1).</p><p>Logo, a matriz de T� com relação à base canônica é [1201][1201] (livro-base p. 130-139)</p><p>B [1021].[1021].</p><p>C [1210].[1210].</p><p>D [2110].[2110].</p><p>E [1012].[1012].</p><p>Questão 10/10 - Álgebra Linear</p><p>Considere a transformação T:R3→R3�:�3→�3 definida por T(x,y,z)=(x,y,0).�(�,�,�)=(�,�,0).</p><p>De acordo com a transformação dada e com os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, coloque V</p><p>quando a afirmativa for verdadeira e F quando for falsa:</p><p>I. ( ) T� é uma transformação linear.</p><p>II. ( ) O núcleo de T� é N(T)={(0,0,z); z∈R}�(�)={(0,0,�); �∈�}.</p><p>III. ( ) O conjunto imagem de T� satisfaz dim(Im(T))=2.���(��(�))=2.</p><p>Agora, marque a sequência correta:</p><p>Nota: 10.0</p><p>A V - V - V</p><p>Você assinalou essa alternativa (A)</p><p>Você acertou!</p><p>Dados u,v∈R3 e λ∈R�,�∈�3 e �∈�, observamos que T� satisfaz</p><p>T(u+v)=T(u)+T(v) e T(λu)=λT(u).�(�+�)=�(�)+�(�) e �(��)=��(�).</p><p>Assim, T� é uma transformação linear e a afirmativa I é verdadeira. Além</p><p>disso, T(x,y,z)=(0,0,0)⟺(x,y,0)=(0,0,0)⟺x=0 e y=0,�(�,�,�)=(0,0,0)⟺(�,�,0)=(0,0,0)⟺�=0 e �=0,</p><p>o que mostra que z� pode ser tomado qualquer. Desse modo, N(T)={(0,0,z), z∈R}�(�)={(0,0,�), �∈�} e a afirmativa II é verdadeira. Segue do Teorema do Núcleo e da</p><p>Imagem que</p><p>dim(N(T))+dim(Im(T))=dim(R3)⇒1+dim(Im(T))=3⇒dim(Im(T))=2.���(�(�))+���(��(�))=���(�3)⇒1+���(��(�))=3⇒���(��(�))=2.</p><p>Portanto, a afirmativa III também é verdadeira (livro-base p. 124-130).</p><p>B V - F - V</p><p>C V - V - F</p><p>D V - F - F</p><p>E F - V - V</p><p>Questão 1/10 - Álgebra Linear</p><p>Seja o espaço vetorial V=R2�=�2 e W={(x,y)∈R2/y=3x}�={(�,�)∈�2/�=3�}.</p><p>De acordo com o espaço vetorial dado acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a</p><p>alternativa cuja afirmativa é correta com relação ao conjunto W�.</p><p>Nota: 0.0Você não pontuou essa questão</p><p>A (3x,x)∈W(3�,�)∈�</p><p>B Para todos vetores u,v∈W,�,�∈�, temos u+v∉W�+�∉�.</p><p>C Para todos vetores u,v∈W,�,�∈�, temos u.v∉W�.�∉�</p><p>D W� não é um subespaço vetorial de V.�.</p><p>E W� é um subespaço vetorial de V.�.</p><p>Considere os vetores u=(x1,y1)�=(�1,�1) e v=(x2,y2)�=(�2,�2) de V=R2.�=�2.</p><p>Deve-se verificar se são satisfeitas as seguintes condições:</p><p>1. Se u,v∈W�,�∈� então, u+v∈W�+�∈�.</p><p>u+v=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1,3x1)+(x2,3x2)==(x1+x2,3(x1+x2))∈W.�+�=(�1,�1)+(�2,�2)=(�1,3�1)+(�2,3�2)==(�1+�2,3(�1+�2))∈�.</p><p>2. Se u∈W,então,αu∈W,�∈�,���ã�,��∈�, para todo α∈R.�∈�.</p><p>αu=α(x1,y1)=(αx1,αy1)=(αx1,3αx1)∈W.��=�(�1,�1)=(��1,��1)=(��1,3��1)∈�.</p><p>Logo, pode-se afirmar que W� é um subespaço de V.�.</p><p>(Livro-base p. 82-88).</p><p>Questão 2/10 - Álgebra Linear</p><p>Leia o texto a seguir:</p><p>"Dizemos que uma matriz An×n��×� é diagonizável se seu operador</p><p>associado TA:Rn→Rn��:��→�� for diagonalizável, ou seja, A � é diagonalizável</p><p>se A� admitir n� autovetores LI."</p><p>Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1986.</p><p>Considerando o trecho de texto apresentado, os conteúdos do livro-base Cálculo NuméricoCálculo</p><p>Numérico sobre diagonalização, dada a matriz A=[110a]�=[110�]uma transformação linear</p><p>do R2,�2, assinale a alternativa com o valor de a� para a qual a matriz A� é diagonalizável:</p><p>Nota: 10.0</p><p>A a≠−2�≠−2</p><p>B a≠−1�≠−1</p><p>C a≠1�≠1</p><p>Você assinalou essa alternativa (C)</p><p>Você acertou!</p><p>Comentário: Para que a seja diagonalizável, deve ter 2 autovetores LI ou seja, dois autovalores distintos. Então,</p><p>det(A−λI)=[1−λ10a−λ]=0���(�−��)=[1−�10�−�]=0</p><p>Logo, a≠1.�≠1.</p><p>(livro-base p. 163-169)</p><p>D a≠2�≠2</p><p>E a≠0�≠0</p><p>Questão 3/10 - Álgebra Linear</p><p>Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre sistemas de equações lineares, resolva o</p><p>problema:</p><p>Usando escalonamento, assinale a alternativa com valor de k� de modo que o sistema linear:</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=35x−3y=22x−2y=k{�+2�=35�−3�=22�−2�=�</p><p>admita solução única.</p><p>Nota: 10.0</p><p>A k=1�=1</p><p>B k=−1�=−1</p><p>C k=0�=0</p><p>Você assinalou essa alternativa (C)</p><p>Você acertou!</p><p>Faça os escalonamentos:</p><p>−5L1+L2→L2−2L1+L3→L3−5�1+�2→�2−2�1+�3→�3</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=35x−3y=22x−2y=k{�+2�=35�−3�=22�−2�=�</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=3−13y=−13−6y=k−6{�+2�=3−13�=−13−6�=�−6</p><p>k−6=−6k=0�−6=−6�=0</p><p>(Livro-base p. 96)</p><p>D k=−2�=−2</p><p>E k=2�=2</p><p>Questão 4/10 - Álgebra Linear</p><p>Considere o operador linear T, dado por</p><p>T:R2→R2, com T(x,y,z)=(3x+y,2x+2y)�:�2→�2, ��� �(�,�,�)=(3�+�,2�+2�).</p><p>De acordo com as informações acima e com os conteúdos estudados na Videoaula da Aula 5 -</p><p>Operadores, autovetores e autovalores, assinale a alternativa cujos valores são os autovalores de T�:</p><p>Nota: 0.0Você não pontuou essa questão</p><p>A λ1=2 e λ2=3�1=2 � �2=3</p><p>B λ1=3 e λ2=1�1=3 � �2=1</p><p>C λ1=4 e λ2=1�1=4 � �2=1</p><p>Temos que a matriz T é dada por:</p><p>T=[3122]�=[3122]</p><p>Os autovetores são dados por:</p><p>T=∣∣∣3−λ122−λ∣∣∣=0λ1=4 e λ2=1�=|3−�122−�|=0�1=4 � �2=1</p><p>(Videoaula da Aula 5, tempo: 27'00")</p><p>D λ1=−2 e λ2=2�1=−2 � �2=2</p><p>E λ1=5 e λ2=2�1=5 � �2=2</p><p>Questão 5/10 - Álgebra Linear</p><p>Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Álgebra LinearÁlgebra</p><p>Linear sobre base de autovetores, considere a transformação T:R2→R2�:�2→�2 , definido</p><p>por T(x,y)=(−3x+4y,−x+2y)�(�,�)=(−3�+4�,−�+2�), cujos autovalores da matriz de</p><p>transformação [T][�] são λ1=1 e λ2=−2.�1=1 � �2=−2. Assinale a alternativa com a base de</p><p>autovetores da matriz de transformação de [T][�]:</p><p>Nota: 0.0Você não pontuou essa questão</p><p>A {(1,−1),(4;0,25)}{(1,−1),(4;0,25)}</p><p>B {(−1,1),(2,1)}{(−1,1),(2,1)}</p><p>C {(1,−1),(1,1)}{(1,−1),(1,1)}</p><p>D {(1,0),(4,−1)}{(1,0),(4,−1)}</p><p>E {(1,1),(4,1)}{(1,1),(4,1)}</p><p>Comentário:</p><p>A matriz de transformação é dada por:</p><p>[T]=A=[−34−12][�]=�=[−34−12]</p><p>Devemos determinar os autovetores</p><p>[−34���12][xy]=1[xy](1,1)[−34−12][xy]=−2[xy](4,1){(1,1).(4,1)}[−34−12][��]=1[��](1,1)[−34−12][��]=−2[��](4,1){(1,1).(4,1)}</p><p>(livro-base p. 164-165)</p><p>Questão 6/10 - Álgebra Linear</p><p>Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre base ortogonal e a</p><p>base B={v=(1,2),u=(x,y)}�={�=(1,2),�=(�,�)} ortogonal do espaço vetorial V=R2�=�2 em</p><p>relação ao produto interno usual, assinale a alternativa com as coordenadas do vetor u:�:</p><p>Nota: 0.0Você não pontuou essa questão</p><p>A u=(−2,1)�=(−2,1)</p><p>Comentário: Como B é uma base ortogonal do R2�2, implica que a dim(B) =2 e que (x,y)=0 ==> x=-2y. Logo, u=(-2,1).</p><p>(livro-base p. 143-149)</p><p>B u=(0,0)�=(0,0)</p><p>C u=(3,2)�=(3,2)</p><p>D u=(1,−2)�=(1,−2)</p><p>E u=(−2,2)�=(−2,2)</p><p>Questão 7/10 - Álgebra Linear</p><p>Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear sobre autovetores, dada a matriz de</p><p>transformação de T:R3→R3�:�3→�3, [T]=⎡⎢⎣100023032⎤⎥⎦[�]=[100023032], assinale a</p><p>alternativa com os autovalores de [T]:</p><p>Nota: 0.0Você</p><p>não pontuou essa questão</p><p>A λ1=0,λ2=2,λ3=2�1=0,�2=2,�3=2</p><p>B λ1=−2λ2=2,λ3=2�1=−2�2=2,�3=2</p><p>C λ1=1,λ2=5,λ3=1�1=1,�2=5,�3=1</p><p>det(A−λI)=∣∣</p><p>∣∣1−λ0002−λ3032−λ∣∣</p><p>∣∣=0���(�−��)=|1−�0002−�3032−�|=0</p><p>Resolvendo o determinante temos que:</p><p>λ1=1,λ2=5,λ3=1�1=1,�2=5,�3=1</p><p>(livro-base p. 165-170)</p><p>D λ1=3,λ2=2,λ3=1�1=3,�2=2,�3=1</p><p>E λ1=−2,λ2=2,λ3=1�1=−2,�2=2,�3=1</p><p>Questão 8/10 - Álgebra Linear</p><p>Considere a seguinte equação ∣∣</p><p>∣∣x+123x1531−2∣∣</p><p>∣∣|�+123�1531−2|= ∣∣∣41x−2∣∣∣|41�−2| .</p><p>De acordo com a equação acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa com</p><p>o valor de x:</p><p>Nota: 0.0Você não pontuou essa questão</p><p>A x=−32�=−32</p><p>B x=−18�=−18</p><p>C x=−25�=−25</p><p>D x=−22�=−22</p><p>Resolvendo os determinantes à direita e à esquerda, temos:</p><p>−2(x+1)+3x+30−9−5(x+1)+4x=−8−x−2x−2+3x+30−9−5x−5+4x=−8−x−2x+3x−5x+4x−2+30−9−5=−8−x14=−8−x14+8=−x22=−x−22=x−2(�+1)+3�+30−9−5(�+1)+4�=−8−�−2�−2+3�+30−9−5�−5+4�=−8−�−2�+3�−5�+4�−2+30−9−5=−8−�14=−8−�14+8=−�22=−�−22=�</p><p>(Livro-base p. 39-42).</p><p>E x=−20�=−20</p><p>Questão 9/10 - Álgebra Linear</p><p>Leia as informações abaixo:</p><p>O setor de controle de estoque de um grupo comercial tem acompanhado a circulação de 4 produtos em 3</p><p>filiais. O estoque no início de um dia foi registrado e é dado pela matriz:</p><p>Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 110523Filial 287106Filial 396612������� 1</p><p>������� 2������� 3������� 4������ 110523������ 287106</p><p>������ 396612</p><p>No final do dia, foi registrado o total de vendas dos 4 produtos nas 3 filiais, que é dada pela matriz abaixo:</p><p>Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 16322Filial 24385Filial 382310������� 1�</p><p>������ 2������� 3������� 4������ 16322������ 24385��</p><p>���� 382310</p><p>De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear e se o valor de cada</p><p>produto é dado pela</p><p>tabelaProdutoPreço14,0025,0033,0042,00����������ç�14,0025,0033,0042,00,</p><p>assinale a alternativa cuja matriz é o valor do estoque atualizado para cada filial:</p><p>Nota: 0.0Você não pontuou essa questão</p><p>A ⎡⎢⎣Filial1=28Filial2=44Filial3=37⎤⎥⎦[������1=28������2=44������3=37]</p><p>a) Basta fazer a subtração das duas matrizes:</p><p>⎡⎢⎣105238710696612⎤⎥⎦[105238710696612]- ⎡⎢⎣6322438582310⎤⎥⎦[6322438582310]= ⎡⎢⎣420144211432⎤⎥⎦[420144211432]</p><p>b) Basta multiplicar a matriz atualizada pela matriz de valores:</p><p>⎡⎢⎣420144211432⎤⎥⎦[420144211432].⎡⎢</p><p>⎢</p><p>⎢⎣4532⎤⎥</p><p>⎥</p><p>⎥⎦[4532]= ⎡⎢⎣284437⎤⎥⎦[284437]</p><p>(Livro-base p. 36-41).</p><p>B ⎡⎢⎣Filial1=21Filial2=42Filial3=38⎤⎥⎦[������1=21������2=42������3=38]</p><p>C ⎡⎢⎣Filial1=24Filial2=39Filial3=38⎤⎥⎦[������1=24������2=39������3=38]</p><p>D ⎡⎢⎣Filial1=26Filial2=38Filial3=44⎤⎥⎦[������1=26������2=38������3=44]</p><p>E ⎡⎢⎣Filial1=32Filial2=46Filial3=38⎤⎥⎦[������1=32������2=46������3=38]</p><p>Questão 10/10 - Álgebra Linear</p><p>Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre base de um espaço vetorial e os vetores:</p><p>u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(k,0,3)�=(1,−1,−2),�=(2,1,1) � �=(�,0,3).</p><p>Assinale a alternativa com o valor de k� para que os vetores u,v e w�,� � � formem uma base</p><p>do R3.�3.</p><p>Nota: 0.0Você não pontuou essa questão</p><p>A k≠8�≠8</p><p>B k≠−7�≠−7</p><p>C k≠5�≠5</p><p>D k≠−9�≠−9</p><p>Determine o valor de k� para que os vetores u,v e w�,� � � formem uma base do R3.�3.</p><p>Montamos o sistema linear</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+kc=0−a+b=0−2a+b+3c=0{�+2�+��=0−�+�=0−2�+�+3�=0</p><p>Efetuamos o escalonamento</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+kc=03b+kc=05b+(2k+3)c=0⎧⎪</p><p>⎪⎨⎪</p><p>⎪⎩a+2b+kc=03b+kc=0(k+9)3c=0k≠−9{�+2�+��=03�+��=05�+(2�+3)�=0{�+2�+��=03�+��=0(�+9)3�=0�≠−9</p><p>(Livro-base p. 95-100)</p><p>E k≠6�≠6</p><p>Questão 1/10 - Álgebra Linear</p><p>Seja o espaço vetorial V=R2�=�2 e W={(x,y)∈R2/y=3x}�={(�,�)∈�2/�=3�}.</p><p>De acordo com o espaço vetorial dado acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a</p><p>alternativa cuja afirmativa é correta com relação ao conjunto W�.</p><p>Nota: 0.0Você não pontuou essa questão</p><p>A (3x,x)∈W(3�,�)∈�</p><p>B Para todos vetores u,v∈W,�,�∈�, temos u+v∉W�+�∉�.</p><p>C Para todos vetores u,v∈W,�,�∈�, temos u.v∉W�.�∉�</p><p>D W� não é um subespaço vetorial de V.�.</p><p>E W� é um subespaço vetorial de V.�.</p><p>Considere os vetores u=(x1,y1)�=(�1,�1) e v=(x2,y2)�=(�2,�2) de V=R2.�=�2.</p><p>Deve-se verificar se são satisfeitas as seguintes condições:</p><p>1. Se u,v∈W�,�∈� então, u+v∈W�+�∈�.</p><p>u+v=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1,3x1)+(x2,3x2)==(x1+x2,3(x1+x2))∈W.�+�=(�1,�1)+(�2,�2)=(�1,3�1)+(�2,3�2)==(�1+�2,3(�1+�2))∈�.</p><p>2. Se u∈W,então,αu∈W,�∈�,���ã�,��∈�, para todo α∈R.�∈�.</p><p>αu=α(x1,y1)=(αx1,αy1)=(αx1,3αx1)∈W.��=�(�1,�1)=(��1,��1)=(��1,3��1)∈�.</p><p>Logo, pode-se afirmar que W� é um subespaço de V.�.</p><p>(Livro-base p. 82-88).</p><p>Questão 2/10 - Álgebra Linear</p><p>Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre operações com matrizes e dada as</p><p>matrizes:</p><p>A=[x−w−z3y] , B=[z2yxw] e C=[−3−10−1−10]�=[�−�−�3�] , �=[�2���] � �=[−3−10−1</p><p>−10].</p><p>Dado que A+B=C�+�=�, assinale a alternativa com a solução correta da equação matricial:</p><p>Nota: 0.0Você não pontuou essa questão</p><p>A x=−3,z=−1,y=−2 e w=2.�=−3,�=−1,�=−2 � �=2.</p><p>B x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.�=−2,�=−1,�=−4 � �=2.</p><p>A+B=C⇒�+�=�⇒ [x+z−w+2y−z+x3y+w]=[−3−10−1−10]x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.[�+�−�+2�−�+�3�+�]=[−3−10−1−10]�=−2,�=−1,�=−4 � �=2.</p><p>(Livro-base p. 40-51)</p><p>C x=−5,z=−6,y=3 e w=2.�=−5,�=−6,�=3 � �=2.</p><p>D x=−1,z=−2,y=3 e w=−2.�=−1,�=−2,�=3 � �=−2.</p><p>E x=4,z=−2,y=−4 e w=3.�=4,�=−2,�=−4 � �=3.</p><p>Questão 3/10 - Álgebra Linear</p><p>Considere o operador linear T, dado por</p><p>T:R2→R2, com T(x,y,z)=(3x+y,2x+2y)�:�2→�2, ��� �(�,�,�)=(3�+�,2�+2�).</p><p>De acordo com as informações acima e com os conteúdos estudados na Videoaula da Aula 5 -</p><p>Operadores, autovetores e autovalores, assinale a alternativa cujos valores são os autovalores de T�:</p><p>Nota: 0.0Você não pontuou essa questão</p><p>A λ1=2 e λ2=3�1=2 � �2=3</p><p>B λ1=3 e λ2=1�1=3 � �2=1</p><p>C λ1=4 e λ2=1�1=4 � �2=1</p><p>Temos que a matriz T é dada por:</p><p>T=[3122]�=[3122]</p><p>Os autovetores são dados por:</p><p>T=∣∣∣3−λ122−λ∣∣∣=0λ1=4 e λ2=1�=|3−�122−�|=0�1=4 � �2=1</p><p>(Videoaula da Aula 5, tempo: 27'00")</p><p>D λ1=−2 e λ2=2�1=−2 � �2=2</p><p>E λ1=5 e λ2=2�1=5 � �2=2</p><p>Questão 4/10 - Álgebra Linear</p><p>Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre sistemas de equações lineares, resolva o</p><p>problema:</p><p>Usando escalonamento, assinale a alternativa com valor de k� de modo que o sistema linear:</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=35x−3y=22x−2y=k{�+2�=35�−3�=22�−2�=�</p><p>admita solução única.</p><p>Nota: 0.0Você não pontuou essa questão</p><p>A k=1�=1</p><p>B k=−1�=−1</p><p>C k=0�=0</p><p>Faça os escalonamentos:</p><p>−5L1+L2→L2−2L1+L3→L3−5�1+�2→�2−2�1+�3→�3</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=35x−3y=22x−2y=k{�+2�=35�−3�=22�−2�=�</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=3−13y=−13−6y=k−6{�+2�=3−13�=−13−6�=�−6</p><p>k−6=−6k=0�−6=−6�=0</p><p>(Livro-base p. 96)</p><p>D k=−2�=−2</p><p>E k=2�=2</p><p>Questão 5/10 - Álgebra Linear</p><p>Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear sobre autovetores, dada a matriz de</p><p>transformação de T:R3→R3�:�3→�3, [T]=⎡⎢⎣100023032⎤⎥⎦[�]=[100023032], assinale a</p><p>alternativa com os autovalores de [T]:</p><p>Nota: 0.0Você não pontuou essa questão</p><p>A λ1=0,λ2=2,λ3=2�1=0,�2=2,�3=2</p><p>B λ1=−2λ2=2,λ3=2�1=−2�2=2,�3=2</p><p>C λ1=1,λ2=5,λ3=1�1=1,�2=5,�3=1</p><p>det(A−λI)=∣∣</p><p>∣∣1−λ0002−λ3032−λ∣∣</p><p>∣∣=0���(�−��)=|1−�0002−�3032−�|=0</p><p>Resolvendo o determinante temos que:</p><p>λ1=1,λ2=5,λ3=1�1=1,�2=5,�3=1</p><p>(livro-base p. 165-170)</p><p>D λ1=3,λ2=2,λ3=1�1=3,�2=2,�3=1</p><p>E λ1=−2,λ2=2,λ3=1�1=−2,�2=2,�3=1</p><p>Questão 6/10 - Álgebra Linear</p><p>Considere a forma bilinear B, dada por:</p><p>B:R2×R2→R, com B((x1,y1),(x2,y2))=−x1x2+2y1x2+5y1y2�:�2×�2→�, ��� �((�1,�1),(�2,</p><p>�2))=−�1�2+2�1�2+5�1�2</p><p>De acordo com as informações acima e com os conteúdos estudados na Videoaula da Aula 6 - Formas</p><p>bilineares e quádricas, assinale a alternativa com a forma matricial de</p><p>B:�:</p><p>Nota: 0.0Você não pontuou essa questão</p><p>A B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[0−152].[x2y2]�((�1,�1),(�2,�2))=[�1�1].[0−152].[�2�2]</p><p>B B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−2125].[x2y2]�((�1,�1),(�2,�2))=[�1�1].[−2125].[�2�2]</p><p>C B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−1025].[x2y2]�((�1,�1),(�2,�2))=[�1�1].[−1025].[�2�2]</p><p>Comentário: Como a matriz de B é</p><p>[−1025][−1025]</p><p>Então</p><p>B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−1025].[x2y2]�((�1,�1),(�2,�2))=[�1�1].[−1025].[�2�2]</p><p>(Videoaula da Aula 6, tempo: 28')</p><p>D B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−322−5].[x2y2]�((�1,�1),(�2,�2))=[�1�1].[−322−5].[�2�2]</p><p>E B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−10−52].[x2y2]�((�1,�1),(�2,�2))=[�1�1].[−10−52].[�2�2]</p><p>Questão 7/10 - Álgebra Linear</p><p>Leia as informações abaixo:</p><p>O setor de controle de estoque de um grupo comercial tem acompanhado a circulação de 4 produtos em 3</p><p>filiais. O estoque no início de um dia foi registrado e é dado pela matriz:</p><p>Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 110523Filial 287106Filial 396612������� 1</p><p>������� 2������� 3������� 4������ 110523������ 287106</p><p>������ 396612</p><p>No final do dia, foi registrado o total de vendas dos 4 produtos nas 3 filiais, que é dada pela matriz abaixo:</p><p>Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 16322Filial 24385Filial 382310������� 1�</p><p>������ 2������� 3������� 4������ 16322������ 24385��</p><p>���� 382310</p><p>De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear e se o valor de cada</p><p>produto é dado pela</p><p>tabelaProdutoPreço14,0025,0033,0042,00����������ç�14,0025,0033,0042,00,</p><p>assinale a alternativa cuja matriz é o valor do estoque atualizado para cada filial:</p><p>Nota: 0.0Você não pontuou essa questão</p><p>A ⎡⎢⎣Filial1=28Filial2=44Filial3=37⎤⎥⎦[������1=28������2=44������3=37]</p><p>a) Basta fazer a subtração das duas matrizes:</p><p>⎡⎢⎣105238710696612⎤⎥⎦[105238710696612]- ⎡⎢⎣6322438582310⎤⎥⎦[6322438582310]= ⎡⎢⎣420144211432⎤⎥⎦[420144211432]</p><p>b) Basta multiplicar a matriz atualizada pela matriz de valores:</p><p>⎡⎢⎣420144211432⎤⎥⎦[420144211432].⎡⎢</p><p>⎢</p><p>⎢⎣4532⎤⎥</p><p>⎥</p><p>⎥⎦[4532]= ⎡⎢⎣284437⎤⎥⎦[284437]</p><p>(Livro-base p. 36-41).</p><p>B ⎡⎢⎣Filial1=21Filial2=42Filial3=38⎤⎥⎦[������1=21������2=42������3=38]</p><p>C ⎡⎢⎣Filial1=24Filial2=39Filial3=38⎤⎥⎦[������1=24������2=39������3=38]</p><p>D ⎡⎢⎣Filial1=26Filial2=38Filial3=44⎤⎥⎦[������1=26������2=38������3=44]</p><p>E ⎡⎢⎣Filial1=32Filial2=46Filial3=38⎤⎥⎦[������1=32������2=46������3=38]</p><p>Questão 8/10 - Álgebra Linear</p><p>Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Álgebra LinearÁlgebra</p><p>Linear sobre base de autovetores, considere a transformação T:R2→R2�:�2→�2 , definido</p><p>por T(x,y)=(−3x+4y,−x+2y)�(�,�)=(−3�+4�,−�+2�), cujos autovalores da matriz de</p><p>transformação [T][�] são λ1=1 e λ2=−2.�1=1 � �2=−2. Assinale a alternativa com a base de</p><p>autovetores da matriz de transformação de [T][�]:</p><p>Nota: 0.0Você não pontuou essa questão</p><p>A {(1,−1),(4;0,25)}{(1,−1),(4;0,25)}</p><p>B {(−1,1),(2,1)}{(−1,1),(2,1)}</p><p>C {(1,−1),(1,1)}{(1,−1),(1,1)}</p><p>D {(1,0),(4,−1)}{(1,0),(4,−1)}</p><p>E {(1,1),(4,1)}{(1,1),(4,1)}</p><p>Comentário:</p><p>A matriz de transformação é dada por:</p><p>[T]=A=[−34−12][�]=�=[−34−12]</p><p>Devemos determinar os autovetores</p><p>[−34−12][xy]=1[xy](1,1)[−34−12][xy]=−2[xy](4,1){(1,1).(4,1)}[−34−12][��]=1[��](1,1)[−34−12][��]=−2[��](4,1){(1,1).(4,1)}</p><p>(livro-base p. 164-165)</p><p>Questão 9/10 - Álgebra Linear</p><p>Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre base de um espaço vetorial e os vetores:</p><p>u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(k,0,3)�=(1,−1,−2),�=(2,1,1) � �=(�,0,3).</p><p>Assinale a alternativa com o valor de k� para que os vetores u,v e w�,� � � formem uma base</p><p>do R3.�3.</p><p>Nota: 0.0Você não pontuou essa questão</p><p>A k≠8�≠8</p><p>B k≠−7�≠−7</p><p>C k≠5�≠5</p><p>D k≠−9�≠−9</p><p>Determine o valor de k� para que os vetores u,v e w�,� � � formem uma base do R3.�3.</p><p>Montamos o sistema linear</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+kc=0−a+b=0−2a+b+3c=0{�+2�+��=0−�+�=0−2�+�+3�=0</p><p>Efetuamos o escalonamento</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+kc=03b+kc=05b+(2k+3)c=0⎧⎪</p><p>⎪⎨⎪</p><p>⎪⎩a+2b+kc=03b+kc=0(k+9)3c=0k≠−9{�+2�+��=03�+��=05�+(2�+3)�=0{�+2�+��=03�+��=0(�+9)3�=0�≠−9</p><p>(Livro-base p. 95-100)</p><p>E k≠6�≠6</p><p>Questão 10/10 - Álgebra Linear</p><p>Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre base ortogonal e a</p><p>base B={(1,2),(−2,1)}�={(1,2),(−2,1)} ortogonal do espaço vetorial V=R2�=�2 em relação ao</p><p>produto interno usual, assinale a alternativa com a base ortonormal a base B�:</p><p>Nota: 0.0Você não pontuou essa questão</p><p>A B′=1√5{(1,2),(−2,1)}�′=15{(1,2),(−2,1)}</p><p>Comentário:</p><p>Temos que</p><p>u=u|u|=(1,2)√12+22=(1,2)√5v=v|v|=(−2,1)√(−2)2+12=(−2,1)√5�=�|�|=(1,2)12+22=(1,2)5�=�|�|=(−2,1)(−2)2+12=(−2,1)5</p><p>B′=1√5{(1,2),(−2,1)}�′=15{(1,2),(−2,1)}</p><p>(Livro-base p. 150-152)</p><p>B B′=1√5{(1,0),(0,1)}�′=15{(1,0),(0,1)}</p><p>C B′={(1,2),(1,0)}�′={(1,2),(1,0)}</p><p>D B′={(−2,2),(0,2)}�′={(−2,2),(0,2)}</p><p>E B′={1√5(−1,−2),13(−2,−1)}�′={15(−1,−2),13(−2,−1)}</p>