1 - Cinemática

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Jorge Oliveira
Medidas e conceitos iniciais; 4
Velocidade escalar; 18
Movimento uniforme (MU); 34
Movimento uniformemente variado (MUV); 46
Movimento vertical no vácuo; 63
Vetores; 72
Cinemática vetorial; 79
Lançamentos não verticais; 91
Cinemática angular; 101
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Desde a Antiguidade, o ser humano preocupa –se em explicar os
fenômenos que ocorrem na natureza, e o movimento dos corpos foi o alvo
das primeiras atenções.
Mecânica é a parte da Física que estuda o movimento e o repouso dos
corpos. Assim, a Mecânica estuda, por exemplo, o movimento de um
avião, mas não trata do movimento de agitação de seus átomos e
moléculas.
As partes da Mecânica - Por conveniência didática, o estudo da
Mecânica é dividido em três partes: Cinemática; Dinâmica; Estática.
Cinemática é a parte da Mecânica que trata do repouso e do movimento
apenas descrevendo -os, isto é, sem preocupar -se com as causas que
determinam o estado de repouso ou as características do estado de
movimento. As grandezas físicas fundamentais de que a Cinemática se
vale são o comprimento e o tempo. O curso de Cinemática apresentará
dois enfoques distintos: cinemática escalar e cinemática vetorial.
Cinemática escalar: em que os movimentos nos preocupamos
basicamente em descrever e mediar a intensidade de algumas
grandezas( posição, velocidade e aceleração).
Cinemática vetorial: em que os movimentos são descritos com as
grandezas citadas na cinemática e escalar, adicionando-se orientação
(direção e sentido).
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Muitas leis da Física são apresentadas por meio de equações envolvendo
grandezas tais como velocidade, força, energia, etc. Portanto, o processo
de medida das grandezas é muito importante. Vejamos as unidades de
algumas grandezas.
Comprimento
A unidade de comprimento que mais
tarde seria chamada metro (m) foi
escolhida como sendo a décima
milionésima parte de um quarto do
meridiano terrestre que passa por
Paris.
Massa
A unidade de massa é dada pela
quantidade de água pura, a 4 ºC,
contida em 1 dm³. chamada de
quilograma (símbolo kg).
Foi construído um cilindro de platina
iridiada cuja massa é igual à massa de
água (a 4 °C) condida no cubo. Esse
cilindro tornou-se o padrão de massa,
o quilograma-padrão.
1 metro = x/10 000 000
ou x = 10000000 m
1dm3 
1dm3 
1dm3 
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Em 1971, as principais unidades de base passaram a ser as mesmas
em quase todo o mundo. São elas: o metro, o ampère, o kelvin, etc.
Usaremos apenas as três primeiras unidades; as outras serão
estudadas nos próximos volumes. As demais unidades são derivadas
das unidades de base.
Atualmente, a adesão ao SI é praticamente total. Entre os países
ocidentais, apenas os Estados Unidos ainda usam o antigo Sistema
Britânico, embora utilizem o SI em trabalhos e publicações
científicas.
Grandeza
Unidade
Nome Símbolo
comprimento metro m
massa quilograma kg
tempo segundo s
corrente elétrica ampère A
temperatura kelvin K
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x∙10n (em que 1 x 10)
N = x ∙10y(em que y ℤ)
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Na Física a maioria das grandezas tem suas unidades expressas em função
das unidades básicas (m, s, kg, ...); por isso, essas unidades são chamadas
unidades derivadas.
Quando temos uma grandeza mecânica G qualquer, é costume apresentar
sua equação dimensional usando-se sempre as três dimensões básicas:
primeiramente L, depois M e em seguida T. Assim, em geral, a equação da
grandeza G terá a forma:
sendo que, eventualmente, um ou mais dos expoentes pode ser nulo.
Exemplo: a grandeza comprimento, pode ser medida em metro, centímetro,
polegada... Porém, seja qual for a unidade usada, para área temos:
grandeza área = (grandeza comprimento)2
Dizemos, então, que:
A área (A) tem a dimensão de comprimento ao quadrado
[A] = L2 ou [A] = L2.M0.T0
[G] = Lx∙Mz.Tx
As grandezas correspondentes às
unidades básicas são:
comprimento, massa, tempo.
Essas grandezas são chamadas
grandezas básicas ou dimensões.
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Nome Símbolo
comprimento L
massa M
tempo T
Do mesmo modo, a unidade de velocidade no Si é m/s ou m. s-1,
A velocidade (V) tem a dimensão de (comprimento)∙(tempo)–1 
[V] = L∙T-1 ou [V] = L∙M0T-1
(equação dimensional da velocidade)
Grandezas adimensionais
A densidade relativa não tem unidade, pois é obtida pela divisão de
duas grandezas que têm a mesma unidade e, portanto, há
cancelamento das unidades. Nesse caso, dizemos que a densidade
relativa é uma grandeza adimensional. Representando-se a densidade
relativa por dr, sua equação dimensional é:
[dr] = L0M0T0 (adimensional)
Os números também são adimensionais. Portanto, quando
multiplicamos uma grandeza por um número diferente de zero, a
dimensão da grandeza não é alterada.
Homogeneidade dimensional
Encontraremos equações envolvendo grandezas, de modo que em um
dos membros (ou nos dois) há uma soma de termos. Nesse caso, todos
os termos, nos dois membros da equação, devem ter a mesma
dimensão. Não podemos somar (ou subtrair) nem igualar termos de
dimensões diferentes.
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Em alguns casos a posição do ponto é determinada com apenas dois
eixos: abscissa e ordenada, x e y. Em outros casos somos obrigados a
lançar mão de um sistema de três eixos (x, y, z) dando-nos uma ideia
espacial da posição do ponto.
Quando um ponto estiver se movimentando sobre um dos eixos do
sistema, dizemos que o seu movimento é unidimensional. Quando o
movimento se der sobre um plano cartesiano (x, y), dizemos que o
movimento é bidimensional e quando o movimento for espacial, sistema
(x, y, z), dizemos que ele é um movimento tridimensional.
Se, as três coordenadas (x, y, z) se mantiverem invariáveis com o
tempo, dizemos que um ponto está em repouso.
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5
2
1 4 x
y
P(1, 5)
Q(4, 2)
S (5, 2, 4)
2
4
5
x
y
zExemplos: 
bidimensional tridimensional
Algarismos
significativos
São todos os números que
importam numa medida. Por
definição são os algarismos certos
mais o primeiro duvidoso. O
algarismo duvidoso será sempre o
último algarismo significativo.
Exemplo 
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Atenção
 o zero não é significativo quando
serve apenas para localizar a
vírgula decimal. Por exemplo, na
medida 0,00045090 m,
Arredondamento 
AA
xA = 4,7 cm
xA tem 2 algarismos
significativos 
Analisando a estimativa do comprimento
utilizando duas réguas diferentes A e B.
(régua B)
(régua A)
xB = 4,75 cm
xB tem 3 algarismos 
significativos 
0,00045090 
não significativos significativos 
 Em operações com AS, resultado
deve manter a precisão do
operando de menor precisão.
12,56 + 0,1236 = 12,6836 = 12,68
Em física as vezes é necessário
considerar uma aproximação da
medida de um número menor de
algarismos significativos; esse
processo em matemática chama-se
arredondamento. Veja por exemplo:
4,73 ≅ 4,7 ou 4,73 ≅ 5
6,28 ≅ 6,3 ou 6,28 ≅ 6
A unidade de vazão é m3/s = m3·s–1 (SI)
Todo corpo de massa m e volume V
apresenta densidade, e é definida por
dada por:
Se o corpo for maciço e homogêneo a
densidade pode ser chamada de massa
específica (μ) do material de que é
feito o corpo.
Dados dois materiais (ou corpos), A e
B. Denomina-se densidade de A em
relação a B (dAB) o quociente:
A densidade relativa é adimensional,
não tem unidade, pois é o quociente
entre duas grandezas idênticas.
Um líquido ao escoar por um cano
cilíndrico de seção reta S, define-se
vazão do líquido através de S, a razão
entre o volume V do líquido que passa
por S num intervalo de tempo Δt.
Vazão (ϕ)
ϕ = v 
∆tS
Densidade (d) 
d = m 
V
 V é o volume total do corpo,
incluindo eventuais espaços ocos
em seu interior.
 1 g/cm3 = 1 kg/L = 103 kg/m3
unidade
kg/m3 (SI)
Massa específica (μ) Densidade relativa 
μ = m 
V
unidade
kg/m3 (SI)
μ água = 1,00 ·103 kg/m3 (a 4 °C)
importante
dAB = dA 
dB
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Importante
Conversão de Unidades
Km hm dam m dm cm mm
×10 ×10 ×10 ×10 ×10 ×10
÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10
Km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
×102 ×102 ×102 ×102 ×102 ×102
÷102 ÷102 ÷102 ÷102 ÷102 ÷102
Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
×103 ×103 ×103 ×103×103 ×103
÷103 ÷103 ÷103 ÷103 ÷103 ÷103
Kg hg dag g dg cg mg
×10 ×10 ×10 ×10 ×10 ×10
÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10
Kl hl dal l dl cl ml
×10 ×10 ×10 ×10 ×10 ×10
÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10
importante
1 cm3 = 1ml e 1 dcm3 = 1l
1 m3 = 1000l e 1 ton. = 1000kg
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quilo → K = 103
hecto → h = 102
deca → da = 10
deci → d = 10-1
centi → c = 10-2
mili → m = 10-3
múltiplos submúltiplos 
1 h = 60min e 1 min = 60s
1 h = 3600s e 1 dia = 24h
tempo 
usaremos muito 
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Questão 1. Passe para a notação científica:
a) 529
b) 7843
c) 5971432
d) 73
e) 0,7
f) 0,52
g) 0,278
h) 0,5697
i) 749·107
j) 59,47·10–9
k) 0,38·104
l) 0,7159·10–12
Questão 2. A seguir temos múltiplos e submúltiplos do litro (L) usando
prefixos do SI. Apresente os valores correspondentes usando
potências de 10.
a) 5 pL
b) 6 nL
c) 7 μL
d) 8 mL
e) 9 cL
f) 4 dL
g) 3 hL
h) 2 kL
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Questão 4. Supondo que cada pessoa beba 2 litros de água por dia,
qual é a ordem de grandeza do número de litros de água utilizada para
beber, pela população brasileira, em um ano?
Questão 5. Calcule a ordem de grandeza do número de batidas do
coração de um ser humano ao longo de sua vida.
Questão 6. Considere um relógio de ponteiros. Em um mês, qual o
número aproximado de voltas executadas pelo ponteiro dos minutos?
Questão 7. Em uma prova de corrida, que começou às 9 h 43 min 32 s, o
atleta vencedor atingiu a linha de chegada às 12 h 27 min 13 s. Calcule o
intervalo de tempo correspondente ao percurso desse atleta.
Questão 8. No Sistema Internacional de Unidades, um intervalo de
tempo de 2,4 min equivale a:
a) 24 s b) 124 s c) 144 s d) 164 s e) 240 s
Resposta: 1011
Resposta: 109
Resposta: 720 voltas 
Resposta: 2 h 43 min 41 s
Resposta: c
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Questão 9. Pegue um conta-gotas do tipo usado em remédios de nariz.
Usando uma seringa de injeção, verifique quantas gotas de água cabem em
1 cm3. Em seguida calcule:
a) o valor aproximado, em cm3, do volume de cada gota.
b) a ordem de grandeza do número de gotas de água que cabem em um
tanque cilíndrico cujo diâmetro da base é D = 4 m e cuja altura é H = 6 m.
H = 6m 
D = 4m 
Questão 10. Uma mangueira que despeja água à razão de 900 litros a
cada 3,0 minutos é usada para encher um tanque cuja capacidade é 45 m3.
a) Calcule a vazão em L/min, L/s e m3/s.
b) Em quanto tempo o tanque ficará cheio?
a) 5 · 10–2 cm3 b) 105
a) 300 L/min = 5 L/s = 5 . 10–3 m3/s b) 2h 30min
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Questão 10. Um aquário de vidro, com a forma de um cubo, tem
capacidade para 27l de água. Qual é a área, em centímetros quadrados,
das cinco placas de vidro que compõem esse aquário?
a) 4 000
b) 4 500
c) 5 000
d) 5 500
e) 6 000
Questão 11. (Enem-MEC) Com o objetivo de trabalhar com seus alunos o
conceito de volume de sólidos, um professor fez o seguinte experimento:
pegou uma caixa de polietileno, na forma de um cubo com um metro de
lado, e colocou nela 600 litros de água. Em seguida, colocou, dentro da
caixa com água, um sólido que ficou completamente submerso.
Considerando que, ao colocar o sólido dentro da caixa, a altura do nível da
água passou a ser 80 cm, qual era o volume do sólido?
a) 0,2 m3
b) 0,48 m3
c) 4,8 m3
d) 20 m3
e) 48 m3
Resposta: b 
Resposta: a 
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Movimento e repouso
O conceito de movimento e de
repouso é relativo. Dizer que um
determinado objeto está em
movimento ou em repouso depende
de onde ele está sendo observado.
Esse local é chamado referencial.
Se alguém observa o objeto, esse
alguém é chamado observador.
Veja o exemplo abaixo.
Referencial inercial
Todo referencial que se encontra
em repouso ou em MRU é chamado
de referencial inercial. Um
referencial que não está em repouso
nem em MRU é chamado
de referencial não inercial.
Nos problemas adotados
utilizaremos sempre referenciais
inerciais.
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Conclusões 
 Para o observador B, o caminhão
está em movimento, logo, a pedra
que ele carrega está em
movimento.
 Para o observado A, a pedra está
em repouso.
Concluímos que a pedra pode estar
em movimento ou em repouso,
dependendo do referencial escolhido
Movimento e repouso
A
A
B
A
velocidade
instantânea
é velocidade escalar instantânea,
como o nome indica, é a velocidade
escalar do móvel num dado
instante. Não existe nenhuma
regra que relacione as velocidades
instantâneas com a velocidade
média.
deslocamento
escalar
é uma grandeza que informa quanto
a partícula efetivamente percorreu
entre dois instantes.
velocidade
a velocidade está relacionada
ao tempo que se leva para
percorrer determinado espaço. É
também a qualidade do que é veloz
e designa a rapidez de um
movimento ou a celeridade de um
processo. Para a Física, a
velocidade é a relação entre uma
determinada distância percorrida
e o tempo gasto no percurso.
aceleração
é a grandeza que exprime a taxa
de variação da velocidade de um
objeto em relação ao tempo.
deslocamento
é uma grandeza que informa
quanto a partícula efetivamente
percorreu entre dois instantes,
devendo ser calculada sempre em
valor absoluto.
 Não depende do tipo de trajetória
 Não depende do tipo de movimento
unidades
m 
s 
Km 
h3,6
3,6
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S
t
Vm
O que é?
Vm
distância
tempo
S
t
Vm
 S
tO So S(t)
∆S
Velocidade escalar média entre dois
instantes é a variação de espaço
ocorrida ΔS, em média, por unidade
de tempo Δt.
d d
Um móvel de tamanho desprezível (ponto material) percorre o trecho
retilíneo XY da figura, dividido em 2 segmentos idênticos, de
comprimentos iguais a d:
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Questão 1. A luz propaga-se no vácuo a uma velocidade escalar
constante, de módulo extraordinariamente elevado: 300.000km/s. Qual o
valor da aceleração escalar da luz nessa propagação?
Questão 2. Uma pequena esfera, bastante densa, abandonada nas
proximidades da superfície da Terra cai de encontro ao solo com
aceleração praticamente constante de módulo aproximadamente igual a
10 m/s2. Isso significa que, durante a queda:
a) a velocidade escalar da bolinha é constante e seu módulo é igual a 10
m/s.
b) a bolinha percorre sempre 10 metros em cada segundo.
c) a bolinha percorre, em cada segundo que passa, distâncias cada vez
menores.
d) a bolinha demora 10 segundos para chegar ao solo.
e) a velocidade escalar da bolinha, tomada em módulo, cresce 10 m/s em
cada segundo.
Resposta: Para que a aceleração escalar seja diferente de zero, e
preciso que a velocidade escalar varie. Assim, mesmo que a velocidade
escalar tenha um valor muito grande, que, no caso da luz no vácuo, e o
limite de velocidade 2, a aceleração escalar será nula se ela não variar.
Resposta: a aceleração exprime o quanto a velocidade varia por unidade
de tempo. Neste caso o valo dado é de 10m/s2. Isso indica a que
velocidade aumenta 10m/s a cada 1s. Letra e)
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Questão 3. Com relação ao movimento variado, são feitas as seguintes
afirmações:
01. No movimento acelerado, a velocidade escalar instantânea é sempre
crescente com o tempo.
02. No movimento acelerado, o módulo da velocidade escalar instantânea
é sempre crescente com o tempo.
04. No movimento retardado, a velocidade escalar instantânea é sempre
decrescente com o tempo.
08. No movimento retardado, o módulo da velocidade escalar instantânea
é sempre decrescente com o tempo.
16. Um movimento uniforme pode ter aceleração escalar diferente de
zero.
Dê como resposta a soma dos números associados às afirmações corretas.
Solução: A velocidade pode ser positiva ou negativa, porém seu valor
pode ser decrescente e seu módulo crescente. Do mesmo modo, ela pode
ser crescente e seu módulo, decrescente.
Resposta: 10
Questão 4. Em um teste automobilístico, a velocidade escala instantânea
do veículo variou de 0 a 108 km/h em um intervalo de tempo de 10 s.
Calcule a aceleração escalar média do automóvel em m/s2.
Solução: Dv = 108 km/h = 30 m/s ⇒ am = 
∆v
∆t =
30
10 = 3m/s2
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Questão 5. Imagine que um automóvel aproxima-se de um paredão, como.
Analise e julgue qual item é incorreto:
a) o automóvelestá em movimento em relação ao paredão.
b) o paredão está em movimento em relação ao automóvel.
c) o paredão está em repouso em relação ao solo.
d) o motorista está em repouso em relação ao automóvel, mas em
movimento em relação à superfície da Terra.
e) o paredão está em repouso em relação ao automóvel.
Solução: O caráter relativo e simétrico dos conceitos de movimento e
repouso, concluímos que a única afirmação incorreta está na alternativa e.
Resposta: e
Questão 6. Em certo instante, um automóvel encontra-se no km 120 de
uma rodovia.
a) o automóvel já percorreu 120 km certamente.
b) o automóvel está em movimento no referido instante, no sentido da
trajetória.
c) o automóvel, nesse instante, está em repouso.
d) o automóvel encontra-se a 120 km do km 0, medidos ao longo da
trajetória.
e) a distância do local em que o automóvel está até o km 0, medida em
linha reta, é 120 km necessariamente.
Resposta: d
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Questão 7. Um caminhão parte do km 30 de uma rodovia, leva uma carga
até o km 145 dessa mesma estrada e volta, em seguida, para o km 65.
Determine:
a) a variação de espaço do caminhão entre o início e o final do percurso;
b) a distância percorrida pelo caminhão nesse percurso.
Solução: a) ∆s = 65 km - 30 km = 35 km
b) d = dida + dvolta = |∆ sida| + |∆ svolta|
d = |145km - 30 km | + | 65 km - 145 km | = 195 km
Respostas: a) 35 km; b) 195 km
Questão 8. Com relação ao movimento de um ponto material numa
trajetória orientada, são feitas três afirmações:
I. Se o movimento se dá no sentido da trajetória, a variação de espaço é
positiva.
II. Se o movimento se dá em sentido oposto ao da trajetória, a variação
de espaço é negativa.
III. No Sistema Internacional (SI), o espaço é medido em quilômetros.
a) Se apenas as afirmações I e II forem corretas.
b) Se apenas as afirmações I e III forem corretas.
c) Se apenas as afirmações II e III forem corretas.
d) Se as três afirmações forem corretas.
e) Se as três afirmações forem incorretas.
Resposta: a
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Questão 9. A velocidade escalar média de um ônibus que se moveu
sempre no mesmo sentido foi de 10 m/s, em certo intervalo de tempo.
Isso significa que:
a) o ônibus percorreu necessariamente 10 metros em cada segundo.
b) o ônibus iniciou o movimento no espaço 10 m.
c) é possível que o ônibus tenha percorrido 10 metros em cada segundo.
d) certamente, o ônibus nunca parou durante o intervalo de tempo
considerado.
e) o ônibus não pode ter percorrido 15 metros em algum segundo.
Resposta: c
Questão 10. Dois automóveis, A e B, partem num mesmo instante de
uma cidade X com destino a outra cidade Y, distante 420 km de X. O
automóvel A faz o percurso em 5 horas e o B, em 6 horas. Pode-se
afirmar que:
a) o automóvel B percorreu uma distância maior que a percorrida por A.
b) a velocidade escalar média de B é maior que a de A.
c) é possível que, em algum momento, B tenha sido mais veloz que A.
d) A esteve sempre na frente de B.
e) A e B não pararam nenhuma vez durante a viagem.
Resposta: c
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Questão 11. (PUC-MG) Numa avenida longa, os sinais de tráfego são
sincronizados de tal forma que os carros, trafegando a determinada
velocidade, encontram sempre os sinais abertos (onda verde).
Considerando-se que a distância entre sinais sucessivos é de 175 m e que
o intervalo de tempo entre a abertura de um sinal e a abertura do sinal
seguinte é de 9,0 s, a velocidade média com que os veículos devem
trafegar nessa avenida para encontrar os sinais sempre abertos é:
a) 60 km/h. b) 50 km/h. c) 70 km/h. d) 40 km/h.
Resposta: Vm =
∆s
∆t = 175m
9s = 175
9 . 3,6 km/h = 70km/h 
Questão 12. Uma estrada recém-asfaltada entre duas cidades é
percorrida de carro, durante uma hora e meia, sem parada. A extensão
do percurso entre as cidades é de, aproximadamente:
a) 103 m. b) 104 m. c) 105 m. d) 106 m. e) 107 m
Resposta: Vm = ∆s
∆t → 100 = ∆s
1,5 → ∆s = 150km = 1,5.105 m
A potência de dez que melhor se aproxima do resultado é 105 m 
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Questão 13. Em uma pista de boliche de comprimento L igual a 17,0 m,
um jogador lançou a bola e 4,30 s após o lançamento ouviu o som emitido
na colisão entre ela e os pinos. Considerando a velocidade do som no ar
igual a 340 m/s, calcule o módulo da velocidade média da bola, entre o
instante do lançamento e o instante em que colidiu com os pinos.
Resposta: ∆t = 4,3 s e sendo ∆t = ∆tbola + ∆tsom, temos:
Vsom = ∆s
∆t = L
∆tsom
⇒ 340 = 17
∆tsom
⇒ ∆tsom = 0,05s
4,3 = ∆tbola + 0,05 ⇒ ∆tbola = 4,25s, finalmente:
Vbola = L
4,25 =4,0 m/s
Questão 14. Um professor, ao aplicar uma prova a seus 40 alunos, passou
uma lista de presença. A distância média entre cada dois alunos é de 1,2
m e a lista gastou cerca de 13 minutos para ser assinada por todos. Qual
foi a velocidade média dessa lista de presença?
Resposta: a lista percorre s = 39.1,2m = 39.120 cm 
e sendo t = 13.60 s , temos:
Vm =
∆s
∆t → Vm = 39.120 cm
13.60 s = 6cm/s
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Questão 15. Em uma pista de boliche de comprimento L igual a 17,0 m,
um jogador lançou a bola e 4,30 s após o lançamento ouviu o som emitido
na colisão entre ela e os pinos. Considerando a velocidade do som no ar
igual a 340 m/s, calcule o módulo da velocidade média da bola, entre o
instante do lançamento e o instante em que colidiu com os pinos.
Resposta: ∆t = 4,3 s e sendo ∆t = ∆tbola + ∆tsom, temos:
Vsom = ∆s
∆t = L
∆tsom
⇒ 340 = 17
∆tsom
⇒ ∆tsom = 0,05s
4,3 = ∆tbola + 0,05 ⇒ ∆tbola = 4,25s, finalmente:
Vbola = L
4,25 =4,0 m/s
Questão 16. Um professor, ao aplicar uma prova a seus 40 alunos, passou
uma lista de presença. A distância média entre cada dois alunos é de 1,2
m e a lista gastou cerca de 13 minutos para ser assinada por todos. Qual
foi a velocidade média dessa lista de presença?
Resposta: a lista percorre s = 39.1,2m = 39.120 cm 
e sendo t = 13.60 s , temos:
Vm =
∆s
∆t → Vm = 39.120 cm
13.60 s = 6cm/s
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Questão 17. Um caminhão com 20m de comprimento e velocidade escalar
constante de 54 km/h inicia a travessia de uma ponte de 45 m de
extensão. Determine o tempo de travessia.
Resposta: Para atravessar a ponte o caminhão deverá percorrer uma
distância equivalente à soma do seu comprimento mais o da ponte; basta
acompanhar o percurso do ponto P fixado no para-choque do caminhão.
Questão 18. Próximo de uma montanha uma pessoa dá um grito e quer
ouvir o seu eco. Sabe-se que no local o som tem uma velocidade constante
de 340 m/s. O menor intervalo de tempo para que ela distinga os dois
sons é de 0,10 s. Determine a menor distância entre a pessoa e a
montanha.
Resposta: Devemos usar apenas metade do tempo dado, pois 0,05 s será 
o tempo de ida e 0,05 s será o tempo de volta:
d = vsom · Δt ⇒ d = 340 ·0,05 (m) ⇒ d = 17 m
Assim, a menor distância do obstáculo para ouvirmos o nosso próprio eco 
é de 17 m.
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Podemos então escrever:
d = 45 m + 20 m ⇒ d = 65 m
v = 54km/h = 15m/s
15 = d
∆t ⇒ 15 = 65
∆t ⇒ ∆t = 4,33s
Desafio 19. Há um bom tempo, para multar motoristas com velocidade
superior a 90 km/h, um guarda rodoviário acionava seu cronômetro
quando avistava o automóvel passando pelo marco A e fazia a leitura no
cronômetro quando via o veículo passar pelo marco B, situado a 1 500 m
de A. Um motorista passou por A a 144 km/h e manteve essa velocidade
durante 10 segundos, quando percebeu a presença do guarda. Que
velocidade média ele teve de manter em seguida para não ser multado?
Solução: 144km/h = 40m/s 
400m 1100m
1500m
BA
A Velocidade média do trecho para não ser multado deverá ser no
máximo de 90 km/h = 25m/s, ou seja Vm < 25 m/s. Daí temos:
Vm =
∆s
∆t = 1500
∆t ≤ 25m/s ⇒ 25.∆t ≤ 1500 ⇒ ∆t ≥ 60s.
Gastando 10s em um percurso de 400 m, restam 1100 m para serem
percorridos em 50s ou mais para atender a condição (∆t ≥ 60s).
Vmax = ∆s
∆t = 1100
50 = 22m/s = 79km/h (valor máximo da Vm no trecho 2) 
Vm < 79,2 km/h
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Desafio 20. Um corpo desloca-se numa trajetória orientada, sempre num
mesmo sentido. Durante certo intervalo de tempo, o corpo vai de um
ponto M até um pontoN com velocidade escalar média v1. Durante um
novo intervalo de tempo, igual ao anterior, ele vai do ponto N até um
ponto Q com velocidade escalar média v2. Determine, em função de v1 e
v2, a velocidade escalar média do corpo no percurso de M a Q.
Solução:
DsMN = v1. Dt e DsNQ = v2Dt, Assim: DsMQ = (v1 + v2).Dt e DtMQ = 2Dt, então 
VmMQ =
∆sMQ
∆tMQ
=
(v1 + v2).Dt
2Dt =
(v1 + v2)
2
Desafio 21. Um automóvel é dirigido ao longo de uma estrada
caracterizada por zonas alternadas de velocidades permitidas de 40
km/h e 60 km/h. Se o motorista mantém rigorosamente essas
velocidades nas respectivas zonas, e se todas as zonas têm o mesmo
comprimento, qual a velocidade média, em km/h, em um trecho
correspondente a um número par de zonas?
Solução: Usando o resultado do já conhecido temos, para duas zonas 
consecutivas e sendo, v1 = 40 km/h e v2 = 60 km/h, temos
vm = 2v1.v2 
v1 + v2
= 2.40.60 
40 + 60 = 48km/h
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O que é?
É todo movimento retilíneo em que
a velocidade é constante.
exemplo:
Função horária
O So S
3m/s 3m/s
∆S
Velocidade 
v = s 
t
Atenção 
unidades
v
movimento retrógrado -
movimento progressivo+
s = so + v.t
O So(t = 0) S(t)
v v
 m 
 s 
 Km 
h
×3,6
÷3,6
 Velocidade é constante (v ≠ 0)
 Aceleração é nula 
 Posição S(t) é do 1º grau
 Velocidade relativa:
a = 0 v é constante
importante
vrel =
|v1| - |v2| (mesmos sentidos)
|v1| + |v2| (sentidos opostos)
v = ∆s
∆t ⇒ v = s − so
t − 0 ⇒ s - so = vt
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O que é?
É a velocidade de afastamento ou
de aproximação entre dois móveis
em MRU, que percorrem uma
mesma trajetória retilínea.
2º caso
O
5m/s 3m/s
VrAB = 5 – 3 = 2m/s
 No exemplo, tudo se passa como
se o objeto da frente estivesse
em repouso e o de trás com
velocidade de 2m/s.
 As aplicações do conceito de
velocidade relativa no MRU, são
de grande utilidade na resolução
de problemas.
importante
A B
1º caso
O
vA vB
BA
(mesmos sentidos)
VrAB = |VA| – |VB|
VrAB = |VB| – |VA|
(se vA > vB)
(se vA < vB)
O
vA vB
BA
(sentidos opostos)
VrAB = |VA| + |VB|
(sempre)
O eco é um fenômeno que ocorre
devido à reflexão do som emitido
contra um obstáculo, o qual é
refletido e volta para o local de
emissão.
O sonar é um aparelho utilizado no
casco do navio para medir a
profundidade das águas. Ele emite
um som e através de um receptor
captura o som refletido. Com o
tempo medido entre a emissão e a
recepção do som, será possível
calcular a profundidade local.
É necessário existir um obstáculo
que esteja a mais do que 17 m (34
÷ 2) de distância da pessoa que
emite o som. O ser humano detecta
dois sons que estejam separados
por 0,1 segundos, ou seja, para a
velocidade do som no ar (340 m/s),
temos:
O que ? importante
Sonar 
Alguns amimais emitem uma onda
sonora que rebate em um objeto,
produzindo um eco que fornece
informações sobre a distância e o
tamanho desse objeto, morcegos
e golfinhos são alguns deles.
Animais 
v = ∆s
∆t
340 = 2d 
0,1 d = 17m 
d
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Posição x Tempo
MRU
regressivo (v < 0)
MRU
progressivo (v > 0)
s
so
t
s
so
t
𝜃
𝜃
S = Área
Velocidade x Tempo
v
v
t
v
v
tÁrea Área
A área do gráfico v x t é igual ao
deslocamento Δs (numericamente).
(v < 0)
(v > 0)
 De acordo com a função horária do
MRU (s = so + vt, do primeiro grau
em t) sua representação gráfica é
um segmento de reta inclinado em
relação aos eixos cartesianos.
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importante
 Como a principal característica do
MRU é apresentar velocidade,
constante, o gráfico v x t é um
segmento de reta paralelo ao eixo
do tempo.
 A área do gráfico é dada por:
área = b.h = v.Δt = Δs 
importante
 A inclinação do gráfico sxt do MRU,
indica o valor numérico da velocidade.
tg = ∆s
∆t = v
N
Questão 1. A equação horária de um móvel é s = 8 – 2t, para s e t em
unidades do SI.
a) Determine a posição inicial so e a velocidade escalar v do movimento.
b) Classifique o movimento em progressivo ou retrógrado.
c) Determine a posição do móvel no instante t = 3 s.
d) Em que instante o móvel passa pela origem da trajetória?
e) O que se pode dizer a respeito da trajetória do móvel?
Solução: a) Comparando s = 8 – 2t com s = s0 + v · t, concluímos que:
s0 = 8 m e v = –2 m/s.
b) O movimento é retrógrado, pois v < 0.
c) Para t = 3 s, vem: s = 8 – 2 · 3 ⇒ s = 2 m
d) Quando o móvel passa pela origem da trajetória, temos s = 0:
0 = 8 – 2t ⇒ 2t = 8 ⇒ t = 4 s
e) O movimento é uniforme e sobre sua trajetória, nada podemos dizer. 
Questão 2. A função horária da posição de um móvel é s = 50 - 10t (SI).
a) Determine o instante em que o móvel passa pela origem dos espaços.
b) Supondo que a trajetória seja retilínea, esboce-a, mostrando as
posições do móvel nos instantes 0 e 6 s.
Solução: a) s = 0: 0 = 50 - 10t ⇒ t = 5 s
b) t = 0: s0 = 50 m. Em t = 6 s temos: s = 50 – 10.6 ⇒ s = -10 m
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Questão 3. Um estudante realizou uma experiência de cinemática
utilizando um tubo comprido, transparente e cheio de óleo, dentro do qual
uma gota de água descia verticalmente, como indica a figura. A tabela
relaciona os dados de posição em função do tempo, obtidos quando a gota
passou a descrever um movimento retilíneo uniforme. A partir desses
dados, determine a velocidade, em cm/s, e escreva a função horária da
posição da gota.
Solução: Como a gota descreve MRU podemos escrever,
v = ∆s
∆t = 30 − 120
6 − 0 = −90 cm
6 s = -15 cm/s
A função horaria da posição da gota e do tipo s = so + vt onde so = 120 cm.
Para construir a função basta substituir a posição inicial e velocidade
escalar que devem estar em unidades correspondentes (cm e cm/s neste
caso).
s = so + vt ⇒ s = 120 – 15t
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Posição (cm) Tempo (s)
120 0
90 2
60 4
30 6
Tubo 
transparente 
com óleo
Questão 4. Dois móveis, A e B, percorrem a mesma trajetória, e suas
abscissas são medidas a partir da mesma origem escolhida na trajetória.
Suas equações horárias são: sA = 10 + 60t e sB = 80 – 10t, para t em horas
e sA e sB em quilômetros. Determine o instante e a posição do encontro.
Solução: No instante do encontro, as abscissas dos móveis devem ser 
iguais:
sA = sB ⇒ 10 + 60t = 80 – 10t ⇒ t = 1,0 h (instante do encontro)
Para determinarmos a posição do encontro, basta substituirmos t = 1,0 h 
nas equações horárias de A ou de B:
sA = 10 + 60 · t ⇒ sA = 10 + 60 · 1,0 ⇒ sA = 70 km (posição do encontro)
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Questão 5. A figura representa as posições de dois móveis, A e B, no
instante t = 0. Os móveis A e B possuem movimentos uniformes cujas
velocidades escalares têm valores absolutos 15 m/s e 10 m/s,
respectivamente. Depois de quanto tempo A e B vão se encontrar?
Solução: uma forma de resolver a questão é utilizar ao conceito de
velocidade relativa.
vrel = ∆s
∆t = |vA|+ |vB| ⇒ 15 + 10 = 250
∆t ⇒ 25. ∆t = 250 ⇒ ∆t = 10s.
Questão 6. Uma moto de tamanho desprezível está com velocidade
escalar de 116 km/h e vai ultrapassar um caminhão com 30m de
comprimento e velocidade de 80 km/h, trafegando no mesmo sentido que
ela. Quanto tempo dura a ultrapassagem?
Solução: podemos resolver o problema usando conceito de velocidade 
relativa.
vrel = ∆s
∆t = |vmoto| - |vcami| ⇒ 116 – 80 = 0,03
∆t
36.∆t = 0,03 ⇒ ∆t = 0,03
36 h , convertendo para segundos temos:
∆t = 0,03
36 x 3600s = 3s.
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Questão 7. Dois trens de comprimentos L, iguais, percorrem linhas
paralelas e retilíneas em movimento uniforme e sentidos opostos. Num
dado instante passam um ao lado do outro. Sendo v o valor absoluto de
suas velocidades, determine quanto tempo dura o cruzamento.
Solução: uma forma de resolver a questão é utilizar ao conceito de
velocidade relativa.
vrel = ∆s
∆t = |vA|+ |vB| ⇒ v + v = 2L
∆t ⇒ 2v. ∆t = 2L ⇒ ∆t = L
 v 
Questão 8. Dado o gráfico posição × tempo de um móvel, determine a
equação horária.
Solução: Trata-se de um movimento uniforme. Portanto, a função horária 
é s = s0 + v · t.
v = ∆s
∆t = 20 − 10
5 − 0 = 2 m/s, logo temos s = 10 + 2t (SI).
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Questão 9. O gráfico representa a posição (s) de um atletaem função do
tempo (t) de trajeto.
Solução: alternativa correta d), pois a velocidade vale 2m/s em todo
movimento, v = 20/10 = 2m/s.
s(m)
10
t
20
5 (s)
s(m)
10
t
30
10 (s)
Assinale a opção correta:
a) A trajetória descrita pelo atleta é retilínea.
b) A velocidade escalar do atleta é crescente.
c) O atleta partiu da origem das ordenadas.
d) A velocidade escalar do atleta, no instante t =
5s, vale 2 m/s.
e) A distância percorrida pelo atleta, no intervalo
de 0 a 10 s, vale 30 m.
Questão 10. Um ponto material tem movimento uniforme e o diagrama
horário das posições é dado na figura a seguir.
Solução: a) Trata-se de um movimento uniforme, e podemos escrever:
v = ∆s
∆t = 3 − 9
3 − 0 = -2 m/s (retrógrado)
b) temos que s = so + vt ⇒ s = 9 -2t
Para t = 2s ⇒ s1 = 9 – 2.2 = 5m e para t = 5s ⇒ s2 = 9 – 2.5 = -1m, daí:
∆s = -1m -5m = -6m.
Outra maneira de resolver é usando a propriedade do gráfico vxt.
∆s = área = b.h = -2.3 = -6m
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s(m)
t
3
(s)3
9
a) Calcule a velocidade e esboce o gráfico
velocidade × tempo.
b) Determine o deslocamento escalar entre os
instantes 2,0 s e 5,0 s.
c) Classifique o movimento em retrógrado ou
progressivo.
v(m/s)
-2
t(s)Área 
3
Questão 11. Dois móveis, A e B, deslocam-se sobre uma mesma
trajetória retilínea. Suas posições são dadas pelo gráfico que se segue. O
instante de encontro dos dois ocorreu em t = 4,0 s. A velocidade de A em
relação a B tem módulo igual a:
Solução: analisando o gráfico em t = 4s, percebemos que ocorre o
encontro entre A e B, daí temos:
sA = sB (encontro)
12 + vA.4 = 20 + vB.4
4vB – 4vA = 8
4.(vA – vB) = 8 
lembre que vA – vB é a velocidade relativa entre A e B
vrelAB = 8
4 = 2m/s 
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a) 1,0 m/s
b) 2,0 m/s
c) 3,0 m/s
d) 4,0 m/s
e) 5,0 m/s
s(m)
t
4
(s)
20
12
0
A
B
Movimento 
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Uniformemente
Variado
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se
a e v tem mesmos sinais
movimento acelerado
Atenção
Equações horárias 
v = vo + atS = So + vot + at2
2
Posição Velocidade Torricelli 
v2 = vo
2 + 2a S vm = vo + v
2 = ∆s 
∆t
Velocidade média
a
movimento retardado (v > 0) -
movimento acelerado (v > 0)+
Variado
É todo movimento que tem
aceleração constante e não nula.
a ≠ 0 v varia uniformemente
O So S
vo v
 Velocidade varia uniformemente
 Posição S(t) é do 2º grau
 Velocidade v(t) é do 1º grau
 A queda livre é um MUV acelerado
 O lançamento para cima é um MUV
retardado
Características 
Outras equações
O So S(t)
vo v(t)
a e v tem sinais opostos
movimento retardadoa = ∆v 
∆t
unidade (SI)
m/s2
∆s
Velocidade x Tempo
MUV
acelerado 
v
vo
t
v
vo
t
𝜃
𝜃
MUV
retardado 
S = Área
posição x tempo
So
t2 t2
So
t1t1
a > 0 a < 0
 Em t1 há inversão do movimento
 a e v têm sinais opostos antes de t1.
 a e v mesmos sinais após t1.
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 De acordo com a função horaria da
posição (2º grau), sua representação
gráfica é um arco de parábola..
 Inversão do movimento:
em t1 ocorre inversão do movimento e
neste momento v = 0.
Tipos de MUV
de 0 → t1 movimento retardado.
a partir de t1 movimento acelerado.
importante
 De acordo com a função horária do
MUV (v = vo + at, do primeiro grau
em t) sua representação gráfica é
um segmento de reta inclinado.
importante
 A inclinação do gráfico v x t, do
MUV, indica o valor numérico da
aceleração e sua área nos fornece o
deslocamento.
tg = ∆v
∆t =aa e v têm 
mesmos sinais
a e v têm 
sinais opostos
SS
t t
v
N
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Posição 
s = so + vot + at2
2
v2 = vo
2 + 2a S
∆s = A = vo + v
2 .t
∆s = vo + vo + at
2 .t
∆s = vot + vot + at2
2
∆s = 2vot + at2 
2 
s − so = vot + at2
2
O So S(t)
Vo V(t)
∆S
 Vo= Velocidade inicial
 v = Velocidade final
 a = aceleração do movimento
 S = deslocamento
VelocidadeEquações do MUV 
Dedução das equações do MUV.
v = vo + at
 a = ∆v
∆t a = v − vo
t v - vo = at
Em todo movimento a área do
gráfico vxt fornece o deslocamento.
Equação de Torricelli 
 ∆s = vot + at2
2 e t = v − vo
a
∆s= vo
 v − vo
a + 
 a v − vo
a 2
2 , daí
A
t
vo
v
v
t
Questão 1. Um carro numa estrada estava com uma velocidade escalar de
72 km/h e necessitava ultrapassar um caminhão. Pisando no acelerador, o
motorista alcançou, num intervalo de tempo de 2,5 s, a velocidade escalar
de 90 km/h. Podemos afirmar que a aceleração escalar média nesse
intervalo de tempo foi de:
Solução: sendo 72km/h = 20m/s e 90km/h = 25m/s, a aceleração média
num determinado intervalo de tempo é dada por:
am = ∆v
∆t = v − vo
∆t = 25 − 20
2,5 = 2,0 m/s2
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a) 1,0 m/s2 b) 2,0 m/s2 c) 3,0 m/s2 d) 4,0 m/s2 e) 5,0 m/s2
Questão 2. A velocidade escalar de uma partícula era de 12 m/s e ela foi
acelerada durante um intervalo de tempo de 4,0 s, tendo obtido uma
aceleração escalar média de 1,5 m/s2. Sua velocidade escalar final foi de:
a) 10,0 m/s b) 12,0 m/s c) 14,0 m/s d) 18,0 m/s e) 25,0 m/s
Solução: podemos escrever,
am = ∆v
∆t ⇒ 1,5 = v − 12
4
v - 12 = 6 ⇒ v = 18m/s. 
Questão 3. Uma partícula tem movimento que obedece à seguinte equação
horária de velocidade: v = 6 – 3t (SI). Determine:
a) a velocidade escalar inicial (para t = 0) e a aceleração escalar
instantânea;
b) o valor da velocidade escalar nos instantes t1 = 1 s e t2 = 3 s;
c) o instante de inversão de sentido do movimento.
Solução: a) no MUV a equação horária da velocidade é do 1º grau em t e
do tipo: v = v0 + αt.
v = 6 – 3t ⇒ v0 = 6 m/s e α = –3 m/s2
b) Temos: v = 6 – 3t (SI)
Em t1 = 1 s ⇒ v1 = 6 – 3·1 ⇒ v1 = 3 m/s
Em t2 = 3 s ⇒ v2 = 6 – 3·3 ⇒ v2 = –3 m/s
Observemos que no instante t1 = 1 s o movimento era progressivo e que no
instante t2 = 3 s ele tornou-se retrógrado, o que mostra que houve
inversão de sentido do movimento.
c) A inversão de sentido ocorre para v = 0. Sendo v = 6 – 3t, temos:
0 = 6 – 3t ⇒ 3t = 6 ⇒ t = 2 s
A inversão de sentido ocorreu no instante t = 2 s.
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Questão 4. Um ciclista, partindo da origem das abscissas de uma ciclovia,
onde estava em repouso, segue em movimento acelerado pela pista. Sua
aceleração escalar tem módulo de 1,0 m/s2 (constante). Determine:
a) a sua posição em 5,0 s de movimento;
b) a velocidade escalar atingida em 4,0 s de movimento e a sua posição na
trajetória neste instante.
Solução: a) no MUV a equação horária da posição é do 2º grau em t e do 
tipo: s = s0 + v0t + αt2 
2 .
Tendo partido da origem das abscissas no instante t = 0, temos: s0 = 0. 
Como ele saiu do repouso, temos ainda: v0 = 0.
A equação fica: s = t
2 
2 .
Substituindo t = 5,0 s, temos s = 12,5 m. 
b) Cálculo da velocidade escalar para t = 4,0 s:
v = v0 + αt ⇒ v = 0 + 1,0 · 4,0 v = 4,0 m/s
Determinação da posição para t = 4,0 s:
s = t
2 
2 ⇒ s = 4
2 
2 ⇒ s = 8,0 m
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Questão 5. Um movimento uniformemente variado obedece à equação
horária de velocidade escalar: v = 12 + 3,0t (SI).
a) Determine a velocidade escalar inicial e a aceleração escalar do
movimento.
b) Determine a velocidade escalar no instante t = 3,0 s.
c) Construa o gráfico da velocidade em função do tempo, indicando: a
velocidade escalar inicial e a velocidade no instante anterior.
Solução: a) a equação dada é da velocidade no MUV, dai temos.
v = 12 + 3,0t ⇒v0 = 12 m/s e α = 3,0 m/s2
b) Para o tempo t = 3,0 s, temos:
v = 12 + 3,0·3,0 ⇒ v = 12 + 9,0 ⇒ v = 21 m/s
c) O gráfico da velocidade é uma reta oblíqua ao eixo do tempo,
obedecendo à equação de velocidade: v = 12 + 3,0t. Para determinação da
reta, basta localizar e unir o dois pontos (0, 12) e (3, 21).
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v(m/s)
12
t(s)
21
3
Questão 6. Uma partícula sai do repouso, no ponto A, no instante t = 0,
percorre em movimento uniformemente acelerado, com aceleração α = 1,0
m/s2, a trajetória retilínea da figura, passando por B no instante t1 = 10 s.
Solução: a) do enunciado da questão temos a = 1,0 m/s2 e vo = 0.
vB = 0 + 1·10 ⇒ vB = 10 m/s
A distancia d será dada pela equação de Torricell1.
vB
2 = vA
2 + 2a∆s
102 = 02 + 2.1.d
d = 50m
b) Podemos utilizar a equação de Torricelli v2 = vo
2 + 2a∆s
vc
2 = vB
2 + 2a∆s
vc
2 = 102 +2.1.15
vc
2 = 100 + 30 ⇒ vc = 130 ≅ 11,4 m/s
@superaulasbr
A B C
d 15m
Determine:
a) a distância percorrida d entre os pontos A e B;
b) a velocidade escalar ao passar pelo ponto C.
Questão 7. A partir do repouso, um corpo inicia movimento com
aceleração escalar constante de 1,0 m/s2, na direção de um eixo x. Entre
os instantes 3,0 s e 5,0 s, o corpo terá percorrido, em metros:
a) 10,0 b) 8,0 c) 6,0 d) 4,0 e) 2,0
Solução:
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t = 3s t = 5s
∆s
t = 0
vA vB
Devemos ter cuidado ao resolver esse tipo de questão. O ponto inicial e
final para cálculo do ∆s, serão os pontos A e B respectivamente. Temos
que v = vo + at, daí:
para t = 3s ⇒ vA = 0 + 1.3 ⇒ v1 = 3 m/s 
para t = 5s ⇒ vB = 0 + 1.5 ⇒ v2 = 5 m/s 
Usando a equação de Torricelli temos: (A → B)
vB
2 = vA
2 + 2a∆s
52 = 32 + 2.1.∆s
2. ∆s = 25 – 9
∆s = 8,0 m
A B
Questão 8. (OBF-Brasil) Considere um plano inclinado de 10,0 m de
comprimento, como mostra a figura.
Solução: utilizando a função de Torricelli podemos determinar a a
velocidade final do bloco.
v2 = vo
2 + 2a∆s ⇒ v2 = 02 + 2.5.10 ⇒ v = 10 m/s
O tempo de percurso será dado por v = vo + at.
10 = 0 + 5.t ⇒ t = 2 s.
a) t = 2s.
b) v = 10 m/s 
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De seu extremo superior abandona-se, a partir do repouso, um corpo que
adquire uma aceleração escalar de 5,0 m/s2.
a) Quanto tempo o corpo gasta para chegar ao extremo inferior do plano?
b) Qual a sua velocidade escalar nesse instante?
𝜃
Questão 9. Uma partícula partiu do repouso do ponto A e atingiu um
ponto B com velocidade escalar v, mantendo constante a sua aceleração
escalar α.
Solução: a) no MUV a velocidade média pode ser calculada por:
vm = v + vo
2 = v + 0
2 = v2
b) Podemos utilizar a função de Torricelli para determinar ∆sxy
vx
2 = vy
2 + 2a∆sxy
v2 = 02 + 2a∆sxy ⇒ ∆sxy = v
2
2a
c) Pela função horaria da velocidade temos:
v = vo + at ⇒ v = 0 + at ⇒ t = va
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Determine:
a) a velocidade escalar média entre X e Y;
b) a distância percorrida entre X e Y;
c) o tempo de percurso entre X e Y.
Dê as respostas em função de v e α.
A B
Questão 10. Uma partícula desloca-se em movimento retilíneo e
uniformemente acelerado, de um ponto A para um ponto B, num intervalo
de tempo de 8,0 s. Sabemos que ela passou por A com velocidade escalar
40 m/s e por B com 44 m/s. Determine:
a) a distância entre A e B;
b) a aceleração escalar da partícula.
Solução: a) no MUV a velocidade média pode ser calculada por:
vm = v + vo
2 ⇒
44 + 40
2 = ∆s
∆t
42 = ∆s
8
∆s = 336 m.
b) Podemos utilizar a função da velocidade.
v = vo + at
44 = 40 + a8
a = 48 = 0,5 m/s2.
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A B
Questão 11. Na rampa da figura, um carrinho foi lançado, a partir do
ponto A, com velocidade escalar inicial de módulo 12 m/s. Adquiriu
movimento retilíneo uniformemente variado cuja aceleração escalar tinha
módulo igual a 6,0 m/s². Ao atingir o ponto B, inverteu o sentido,
retornando para o ponto A. Despreze qualquer tempo perdido na inversão
de sentido e determine:
a) o tempo de subida e o tempo de descida.
b) o módulo da velocidade quando o carrinho retornou para o ponto A.
c) a distância D entre os pontos A e B.
d) se o movimento de subida e o de descida são acelerados ou retardados.
Solução: a) Podemos utilizar a função da velocidade v = vo + at
0 = 12 – 6t ⇒ t = 2s.
b) a velocidade de retorno é mesma velocidade inicial de lançamento.
c) vm = v + vo
2 ⇒
0 + 12
2 = D2 ⇒ D = 12m.
d) O movimento de subida é retardado e o de descida é acelerado.
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𝜃 A
B
Questão 12. Considere uma partícula em MUV, cujo gráfico da posição
pelo tempo está mostrado na figura.
Solução: a) o movimento inverte em t = 2,0 s, v = 0 e s = 9m.
b) Δs = s – so = 9 -4 = 5m.
c) vm = Δs
Δt ⇒
5
2 = 2,5 m/s.
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9,0
4,0
4,02,0
t(s)
s(m)
0
Determine:
a) o instante em que a partícula inverte o
sentido de movimento, bem como a velocidade
escalar e a posição nesse instante;
b) o deslocamento escalar Δs entre o instante
inicial (t = 0) e o instante em que a partícula
inverte o sentido de movimento;
c) a velocidade escalar média no intervalo de
tempo mencionado no item b.
Questão 13. Uma partícula executa um movimento, em trajetória
retilínea, obedecendo à função horária s = 16 – 40t + 25t2, em que s é o
espaço medido em metros e t é o tempo medido em segundos.
a) Qual a velocidade escalar média entre os instantes t1 = 2 s e t2 = 6 s?
b) O instante em que a partícula inverte o sentido de seu movimento.
Respostas: a) vm = 160 m/s b) t = 0,8 s
Questão 14. Considere uma partícula em MUV, cujo gráfico da posição
pelo tempo está mostrado na figura.
Solução: a) Observemos o lado esquerdo da parábola: o movimento é
retardado e a velocidade escalar no instante t1 = 2,0 s vale zero. O ponto
de inversão de sentido do movimento é o vértice da parábola. Temos,
t = 0 ⇒ s0 = 6,0 m ⇒ v0 (desconhecida)
t1 = 2,0 s ⇒ s1 = 18 m ⇒ v1 = 0 (vértice)
Δt = 2,0 – 0 = 2,0 s e Δs = 18 – 6,0 = 12 m
Sendo a velocidade escalar média calculada por:
vm = Δs 
 Δt = v + vo 
2 ⇒
12
 2 = 0 + vo 
2 ⇒ vo = 12 m/s
b) Usemos a equação da velocidade para determinar a aceleração escalar:
v = v0 + αt ⇒ 0 = 12 + α.2 
2α = –12 ⇒ α = –6,0 m/s2
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18,0
6,0
2,0
t(s)
s(m)
0
Determine:
a) a velocidade escalar inicial;
b) a aceleração escalar do movimento..
Questão 15. Uma partícula partiu do repouso da posição A e adquiriu um
movimento retilíneo de aceleração escalar constante desde A até X, aonde
chegou com velocidade escalar v. Em X iniciou uma frenagem, , mas se
manteve em movimento uniformemente retardado, parando na posição B.
Solução: a) Observemos o lado esquerdo da parábola: o movimento é
retardado e a velocidade escalar no instante t1 = 2,0 s vale zero. O ponto
de inversão de sentido do movimento é o vértice da parábola. Temos,
t = 0 ⇒ s0 = 6,0 m ⇒ v0 (desconhecida)
t1 = 2,0 s ⇒ s1 = 18 m ⇒ v1 = 0 (vértice)
Δt = 2,0 – 0 = 2,0 s e Δs = 18 – 6,0 = 12 m
Sendo a velocidade escalar média calculada por:
vm = Δs 
 Δt = v + vo 
2 ⇒
12
 2 = 0 + vo 
2 ⇒ vo = 12 m/s
b) Usemos a equação da velocidade para determinar a aceleração escalar:
v = v0 + αt ⇒ 0 = 12 + α.2 
2α = –12 ⇒ α = –6,0 m/s2
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Determine:
a) o tempo de percurso entre A e X;
b) o tempo de percurso entre X e B;
c) a velocidade média entre A e B.
Dê suas respostas em função de v e d. A X B
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O que é? Experimento de Galileu
O movimento de queda de um corpo,
atraído pela força gravitacional da
terra, com aceleração “constante”, é
chamado de queda livre. Neste caso
são desprezadas as resistências do
ar entre outros.
 Aceleração a = g ≅ 9,81 m/s2
 Um corpo cai com aceleração
constante, independentemente de
seu peso.
O corpos A e B abandonados da
mesma altura, chegam juntos solo
A B
Vácuo 
Equacionamento 
g
h
(vo = 0)
(vf ≠ 0)
(solo)
Tempo de queda:
h = vot + gt2/2 ⇒ h = 0 + gt2/2 
Principais 
tqueda = 2h/g 
Velocidade final.
v2= vo
2 + 2gh ⇒ v2= 0 + 2gh 
vfinal = 2gh
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tA = tB
Vertical para cima 
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g hmax
(Vo = 0)
(solo)
Vo
O movimento de subida é retardado
e o de descida acelerado.
O tempo de subida é igual ao tempo
de descida.
 A altura máxima atingida depende da
velocidade inicial de lançamento
O tempo de voo é o tempo total.
importante 
Pela função da velocidade, temos:
v = vo + at (a = -g)
0 = vo – gts
gts = vo
Tempo de subida 
Utilizando a função de Torricelli temos:
v2 = vo
2 + 2a∆S (a = -g)
0 = vo
2 - 2ghmax
2ghmax = vo
2
hmax = vo
 
2g
Altura máxima
tS = vo 
g
ts = td
td = 2h
gou
tvoo = ts + td
ts = td
Questão 1. Um corpo é abandonado em queda livre e em 3 s atinge o solo.
No local, a aceleração da gravidade é constante e tem módulo g = 10 m/s².
Determine:
a) a altura inicial de onde foi abandonado o corpo;
b) a velocidade com que ele atingiu o solo.
Resposta: a) h = 45 m b) v = 30 m/s
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Questão 2. Um helicóptero desce verticalmente em movimento uniforme
com velocidade de módulo 36 km/h. Quando se encontrava a uma alturah
do solo, escapou de sua “lataria” uma porca de aço. Em 6,0 s ela chegou ao
solo. Sendo g = 10 m/s² e sendo desprezível a resistência do ar, determine
a altura h.
Resposta: h = 240 m (solo)
h
g
Questão 3. Um garoto, de cima de uma ponte, por brincadeira, deixa cair
um pedregulho bem no instante em que a proa do barco aponta por baixo
da ponte, na vertical que passa pela sua mão. O barco está em movimento
retilíneo uniforme, numa trajetória ortogonal ao beiral da ponte. A altura
da ponte é de 20 m acima da proa do barco, e o pedregulho caiu dentro do
barco a 180 cm do ponto visado. Sendo g = 10 m/s², determine a
velocidade do barco.
Resposta: v = 0,9 m/s
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Questão 4. Uma partícula está em queda livre vertical. Num dado
instante t1 sua velocidade tem módulo v1 = 6,0 m/s e num instante t2 o
módulo é v2, tendo percorrido nesse intervalo de tempo uma distância de
5,4 m. Sendo g = 10 m/s², determine v2.
Resposta: v2 = 12 m/s
Questão 5. Uma esfera de aço de 300 g e uma esfera de plástico de 60
g de mesmo diâmetro são abandonadas, simultaneamente, do alto de uma
torre de 60 m de altura. Qual a razão entre os tempos que levarão as
esferas até atingirem o solo? (Despreze a resistência do ar.)
a) 5,0
b) 3,0 
c) 1,0 
d) 0,5 
e) 0,2
Resposta: c)
Questão 6. Uma bolinha de aço é abandonada em queda livre na boca de
um poço por um físico que pretende determinar a sua profundidade. Entre
o início do movimento da bolinha e o retorno do som decorreu um intervalo
de tempo de 9,0 s. Sendo conhecidos o módulo da aceleração da gravidade
(g = 10 m/s²) e a velocidade do som no ar (320 m/s), determine a
profundidade do poço..
Resposta: h = 320 m
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Questão 7. Uma pequena esfera de aço é abandonada, a partir do
repouso, da altura de 180 m, caindo livremente sob a ação da gravidade,
com aceleração de módulo 10 m/s². A distância percorrida pela esfera na
segunda metade do tempo de queda é, em metros:
a) 45 b) 90 c) 120 d) 135 e) 150
Resposta: d)
Questão 8. Um jogador de futebol chuta uma bola verticalmente para 
cima com velocidade inicial de 36 km/h. Admita que o atrito com o ar 
seja desprezível e que o movimento tenha sido vertical. Dado g = 10 
m/s², considere desprezível a altura inicial e determine:
a) o tempo de subida e o tempo total do movimento,
b) a máxima altura atingida.
Resposta: a) tsub = 1 s e tvoo = 2 s b) h = 5 m
Questão 9. Próximo da superfície terrestre e no vácuo, lançamos
verticalmente para cima um corpo com velocidade escalar de módulo 30
m/s. A aceleração da gravidade é constante e vale g = 10 m/s².
Considerando que o corpo tenha sido lançado do solo, determine:
a) o tempo de subida (tsub);
b) a máxima altura (h).
Resposta: a) tsub = 3 s b) h = 45m
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Questão 10. Uma bolinha de aço é lançada verticalmente para cima no
interior de um tubo cilíndrico oco, vertical, de altura ilimitada. No seu
interior se fez o vácuo. O módulo da velocidade inicial de lançamento é v0
e a aceleração da gravidade no laboratório tem módulo g. A bolinha subiu
até uma altura h e retornou ao ponto de lançamento, tendo demorado um
tempo t. Um segundo experimento foi realizado, porém dobrando-se o
módulo da velocidade inicial de lançamento. Determine:
a) o novo tempo total em função de t;
b) a nova altura máxima em função de h.
Resposta: a) t’ = 2t b) h’ = 4h
Questão 11. Uma bolinha de aço é atirada verticalmente para cima com
velocidade de módulo 10 m/s, a partir de uma altura inicial de 75 m do
solo. A bolinha adquire um movimento retilíneo com aceleração constante
e de módulo g = 10 m/s² e no seu retorno chega até o solo.
Determine, a contar do instante de lançamento:
a) o instante em que a bolinha passa pelo ponto inicial de lançamento;
b) o instante em que a bolinha atinge o solo;
c) a altura máxima atingida em relação ao solo.
Resposta: a) tsub = 2 s b) h = 5 s c) hmax = 80 m
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Questão 12. Uma pessoa atira uma pedra verticalmente para cima, com
velocidade inicial de módulo 5,0 m/s, da beira de um penhasco.
Considerando-se que o módulo da aceleração da gravidade é de 10 m/s²,
em quanto tempo a pedra irá passar por um ponto situado a 30 m abaixo
do ponto de onde foi lançada? Despreze a resistência do ar.
a) 0,5 s b) 1,0 s c) 2,0 s d) 3,0 s e) 3,5 s
Resposta: d)
Questão 13. Em um local onde a resistência do ar é desprezível e a
aceleração da gravidade tem módulo g = 10 m/s², uma pequena pedra é
lançada verticalmente para cima por uma pessoa. A pedra adquire um
movimento retilíneo vertical e, em seguida, retorna às mãos do lançador.
O gráfico ordenadas (h) × tempo (t) está representado na figura.
Respostas: a) v0 = 10 m/s b) hmax = 5,0 m
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Determine:
a) a velocidade escalar inicial;
b) a altura máxima atingida pela pedra.
1,0 2,0
hmax
h(m)
t(s)
Questão 14. Um corpo é abandonado do repouso de uma altura h acima
do solo. No mesmo instante, um outro é lançado para cima, a partir do
solo, segundo a mesma vertical, com velocidade v. Sabendo que os corpos
se encontram na metade da altura da descida do primeiro, pode-se
afirmar que h vale:
a) v/g b) (v/g)1/2 c) v2/g d) (v/g)2 d) v/g2 
Respostas: a) c
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Definição
Soma de Vetores
é um ente matemático utilizado em
Física para representar grandezas
ditas vetoriais.
módulo (AB)
sentido (A para B)
direção (reta r)
v
r
b
a
t = a + b
módulo
t 2 = a 2 + |b 2
oblíquos 
b
a
u = a + b
módulo
u 2 = a 2 + |b 2 + 
2. a .|b .cos
Soma de Vetores
caraterísticas 
Decomposição 
vx = v.cos
vy = v.sen
vvy
vx
v
Um vetor v pode ser decomposto em
componentes ortogonais vx e vy.
perpendiculares 
a b
s a + b
módulo
s = a + |b
mesmos sentidos
d a + (- b)
- ba
módulo
d = a - |b
sentidos opostos
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𝜃
𝜃
A
B
componentes 
Questão 1. Para os vetores a e b representados na figura, temos |a | =
10 e |b| = 4. Seja s o vetor soma de a e b.
a) Determine |s |.
b) Determine o ângulo que s forma com a (utilize a lei dos senos).
Resposta: a) |s | = 2 19 ≅ 8,17 b) ≈ 23°
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a b
a
b
Resposta: |x| = 4 7
Questão 2. Seja x a resultante da soma dos vetores a e b representados
na figura. Determine |x|. Dados: |a| = 4 e | b| = 8.
Questão 3. Consideremos dois vetores, a e b, formando ângulo de 120º,
tais que |a| = |b|. Sendo s a resultante de a e b, mostre que |s| = |a| =
|b|.
@superaulasbr
a
b
Resposta: a) 5 b) zero
Questão 4. Em cada caso, determine o módulo da resultante dos vetores
dados.
120°
.
a
bd
c
a) |a| = 7; |b| = 6; |c| = 3; |d| = 9 b)
120°
120°120°
|a| = |b| = |c| = 5
a b
c
Questão 5. Para os vetores a e b representados na figura, temos |a | = 8
e |b| = 6. Determine o vetor d tal que d = b - a
@superaulasbr
a b
Resposta: d)
Resposta: a) |x| = 2 37
Questão 6. Dado um vetor a, não nulo, e um número real k, assinale a
alternativa com a afirmação incorreta:
a) Se k > 0, o vetor b, dado por b = k . a, tem o mesmo sentido de a.
b) Se k < 0, o vetor c, dado por c = k . a, tem sentido oposto ao de a.
c) A direção do vetor d, dado por d = k . a, é a mesma direção de a,
qualquer que seja k ≠ 0.
d) Sendo k ≠ 0, a direção do vetor x, dado por x = k . a, pode ser
diferente da direção de a.
Questão 7. Um bloco é puxado pela força F , como ilustra a figura, sendo
|F | = 50 unidades.
@superaulasbr
Resposta: a) 30
Questão 8. Em cada caso, determine as componentes de cada vetor nas
direções dos eixos 0x e 0y:
Respostas: a) ax = 10; ay = 10 3 b) ax ≅ –24; ay = 18
30°
F 
Sabendo que sen θ = 0,80 e cos θ = 0,60, a componente de F na direção
do movimento vale:
a) 30 u b) 37,5 u c) 40 u d) 48 u e) 50 u
y
a) |a| = 20 b) |b| = 30 
x0
60°
x0
37°
ya
b
Questão 9. Para os vetores a, b e c representados na figura, determine
o vetor s tal que s = a + b + c em função de i e j (vetores unitários
ortogonais) e seu módulo.
@superaulasbr
Resposta: 2 e 4
Resposta: s = j + 3.i⃗ e |s| = 10 
Questão 10. A resultante de dois vetores perpendiculares entre si tem
módulo igual a 20 . Sabendo que o módulode um dos vetores é o dobro
do outro, calcule os módulos dos dois vetores.
j 
i 
a b 
c 
Questão 11. O vetor representativo de uma certa grandeza física
possui módulo igual a 2. As componentes ortogonais desse vetor medem 3
e 1. Qual o ângulo que o vetor forma com a sua componente de maior
intensidade?
Resposta: 30°
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Retilíneo retardado
 at e v discordam
 |v| diminui, |v2| < |v1|
 ac = 0 (em toda trajetória reta)
 a = at + ac ⇒ a = at (resultante)
v1 v2
@superaulasbr
Retilíneo acelerado
v1 v2
 at e v concordam
 |v| aumenta, |v2| > |v1|
 ac = 0 (em toda trajetória reta)
 a = at + ac ⇒ a = at (resultante)
at at
at at
|ac| = v2
R
at é responsável pela variação do 
modulo da velocidade
|at| = ∆v
∆t
importanteRetilíneo uniforme
v v
 v é constante
 ac = 0 e ac = 0
 a = at + ac ⇒ a = 0 (resultante)
ac é responsável pela variação do 
da direção da velocidade
cálculo 
perceba que em toda trajetória 
retilínea ac = 0
Circular acelerado
a
at
ac
R
v
 at e v concordam
 |v| aumenta
 ac ≠ 0 (em toda trajetória curva)
 a = at + ac (resultante)
Circular retardado
a
at
ac
R
v
 at e v discordam
 |v| diminui
 ac ≠ 0 e at ≠ 0 a = at + ac 
@superaulasbr
|ac| = v2
R
a|2 = at|2+|ac|2
|at| = ∆v
∆t
aceleração resultante
Circular uniforme
 at = 0
 |v| constante
 ac ≠ 0 (em toda trajetória curva)
 a = at + ac ⇒ a = ac (resultante)
importante
perceba que em toda 
trajetória curva existe ac
at e ac são ortogonais
ac
v
No instante em que o carrinho deixou completamente o trecho AB, o
homem atingiu a outra extremidade do carrinho.
Um carrinho de 20 m de comprimento percorre em trilho retilíneo com
velocidade escalar constante de 25 m/s. No exato instante em que o
carrinho penetra no trecho AB, um homem na ponta esquerda se põe em
movimento sobre ele, como mostra a figura a seguir:
Importante:
Os eventos ocorrem simultaneamente, de forma independente um do
outro, mas cujos tempos estão associados a ambos os movimentos.
@superaulasbr
25 m/s
5 m/s
A B
O barco “sobe o rio”O barco “desce o rio”
Barco perpendicular à correnteza
 Neste caso cada um dos
movimentos componentes ocorre
como se os demais não existissem.
Consequentemente, o intervalo de
tempo de travessia é independente
do movimento de arrastamento.
O arrastamento D é dado por:
(navega a favor da correnteza)
vr = vc + vb
correntezavr
vc
v b
(navega contra a correnteza)
vr = vb - vc
correnteza
vc
v b
vr
vr = vc + vb
correnteza
vr
vc
vb
D
D = vc t
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Questão 1. Uma partícula move-se sobre uma superfície plana
horizontal. Ela parte de um ponto A, move-se 3,0 m para o norte, em
trajetória retilínea, e, em seguida, move-se 4,0 m para o leste, também
em trajetória retilínea, gastando 10 segundos nessa viagem. Calcule os
módulos:
a) da distância percorrida;
b) do vetor deslocamento;
c) da velocidade escalar média;
d) da velocidade vetorial média.
@superaulasbr
Respostas:
a) A partícula sai do ponto A (veja a
representação) e move-se 3,0 m para o
norte, atingindo o ponto B. A seguir move-
se 4,0 m para o leste, atingindo o ponto C.
|Δs| = 3,0 + 4,0 = 7,0 m
v1
.
4 m
3 m
d
A
B C
b) d2 = (3,0)2 + (4,0)2 = 25
c) |vm| = Δs/Δt = 7,0/10 = 0,70 m/s
d) |vm| = |d|/Δt = 5,0/10 = 0,50 m/s
Questão 2. Uma pedra é lançada verticalmente para cima, a partir do
solo, com velocidade inicial 40 m/s, num local onde g = 10 m/s2. Calcule o
módulo da velocidade vetorial média da pedra para o intervalo de tempo
que vai do instante de lançamento até o retorno da pedra ao solo.
@superaulasbr
Respostas: zero
Respostas: a) |Δv | = 10. 2 m/s b) |am| = 5. 2 m/s2
Questão 3. Consideremos uma partícula em movimento circular uniforme
de velocidade escalar 10 m/s, dando uma volta a cada 8,0 segundos.
Como a velocidade escalar é constante, a aceleração escalar é nula; no
entanto, dependendo do intervalo de tempo considerado, a aceleração
vetorial média pode ser não nula. Para 1/4 de volta determine:
a) Determinemos a seguir a variação da velocidade vetorial ( Δv )
b) Aceleração vetorial média ( am )
Questão 4. Uma partícula move-se em trajetória circular de raio R = 2,0 
m com velocidade escalar constante igual a 6,0 m/s. Calcule:
a) o módulo da aceleração tangencial;
b) o módulo da aceleração centrípeta;
c) o módulo da aceleração vetorial instantânea.
Respostas: a) at = 0 b) ac = 18 m/s2 c) a = 18 m/s2
Questão 5. Uma partícula move-se em trajetória circular de raio R = 24
m, em movimento uniformemente acelerado, de aceleração escalar α =
3,0 m/s2. Sabendo que no instante t = 0 a velocidade escalar da partícula
é 6,0 m/s, calcule no instante t = 2,0 s os módulos da:
a) aceleração tangencial;
b) aceleração normal;
c) aceleração.
@superaulasbr
Questão 6. Um automóvel executa uma volta completa em uma pista
circular, em dois minutos, mantendo constante a indicação do
velocímetro. Em um dos pontos da trajetória, a aceleração vetorial do
automóvel tem módulo igual a 4 m/s2. O raio da pista é aproximadamente
igual a:
a) zero 
b) 500 m 
c) 1 000 m
d) 1 500 m
e) 3 000 m
Respostas: a) at = 3m/s2 b) ac = 6 m/s2 c) a = 3. 5 m/s2
Resposta: d)
Questão 7. Um vagão ferroviário move-se sobre trilhos retilíneos, com
velocidade v0 em relação ao solo, cujo módulo é |v0| = 6,0 m/s. Um
homem anda sobre o vagão, na mesma direção de v0, com velocidade v1
em relação ao vagão, tal que | v1 | = 4,0 m/s. Calcule o módulo da
velocidade do homem em relação ao solo, nos seguintes casos:
a) v1 e v0 têm o mesmo sentido;
b) v1 e v0 têm sentidos opostos.
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Questão 8. Um ônibus tem movimento retilíneo e uniforme em relação ao
solo, sendo v0 sua velocidade em relação ao solo. Dentro do ônibus, um
passageiro anda com velocidade v1 em relação ao ônibus, de modo que v1 e
v0 têm a mesma direção e sentidos opostos. Sabendo que |v0 | = |v1| = 5,0
m/s, calcule o módulo da velocidade do passageiro em relação ao solo.
Respostas: a) 10m/s b) 2 m/s
Resposta: zero
Questão 9. Um avião tem velocidade de 750 km/h em relação ao ar. Esse
avião deve sair de uma cidade A e dirigir-se a uma cidade B, situada 1
600 km ao norte de A. Calcule quanto tempo demorará essa viagem,
sabendo que sopra um vento de sul para norte, com velocidade de 50
km/h em relação ao solo.
Resposta: 2h
Questão 10. As águas de um rio retilíneo movimentam-se com
velocidade 3,0 m/s em relação às margens. Sobre o rio há duas pontes
distanciadas 80 m uma da outra. Um barco, cuja velocidade em relação à
água é 5,0 m/s, parte de um ponto situado abaixo de uma das pontes,
sobe o rio até a outra ponte e volta para a primeira ponte, determine:
a) o intervalo de tempo no qual o barco sobe o rio, de uma ponte à outra.
b) o intervalo de tempo no qual o barco desce o rio, de uma ponte à
outra.
c) o intervalo de tempo total de ida e volta? (Despreze o intervalo de
tempo gasto pelo barco para virar.)
d) Se o rio estivesse parado em relação às margens, qual seria o
intervalo de tempo total de ida e volta?
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Respostas: a) Δt1 = 40 s b) Δt2 = 10 s c) Δt' = 16 s e Δt" = 32 s
Questão 11. Um barco, navegando a favor da correnteza de um rio, tem
velocidade de 6 m/s e, contra a correnteza, sua velocidade é 2 m/s,
ambas em relação à Terra. Podemos afirmar corretamente que a
velocidade da correnteza, em relação à Terra, e a velocidade do barco,
em relação à correnteza, são, respectivamente:
a) 4 m/s e 2 m/s 
b) 2 m/s e 4 m/s 
c) 1 m/s e 2 m/s
d) 2 m/s e 1 m/s
e) 6 m/s e 4 m/s
Resposta: b)
Questão 12. As águas de um rio correm com velocidade v0 em relação às
margens, sendo |v0| = 6,0 m/s. As margens do rio são paralelas e
separadas por uma distância de 24 m. Uma lancha sai de uma das
margens em direção à outra, com velocidade v1 em relação à água, de
modo que seu eixo fique perpendicular à correnteza. Sabendo que | v1 
| =
8,0 m/s, calcule:
a) o módulo da velocidade da lancha em relação às margens;
b) o intervalo de tempo de travessia;
c) o deslocamento rio abaixo;
d) o deslocamentoem relação às margens.
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Respostas: a) 10 m/s b) Δt = 3,0 s c) d = 18 m d) 30 m
Questão 13. correnteza de um rio retilíneo com margens paralelas tem
velocidade 6,0 m/s em relação às margens. Um barco sai de uma das
margens em direção à outra, com velocidade de módulo 10 m/s em
relação à água, de modo que a direção de seu movimento é perpendicular
à correnteza, para um observador fixo na margem. Sabendo-se que a
distância entre as margens é 40 m, pede-se:
a) a velocidade do barco em relação às margens;
b) o ângulo que o eixo do barco deve fazer com
a direção normal às margens;
c) o intervalo de tempo de travessia.
Resposta: a) 8,0 m/s b) θ ≅ 37° c) Δt = 5,0 s
Questão 14. Um observador fixo na Terra nota que está chovendo e que
as gotas de chuva caem verticalmente, com velocidade constante vc , tal
que |vc 
| = 6,0 m/s. Um indivíduo dirige um automóvel, com velocidade
constante vA em relação à Terra, tal que |vA| = 8 m/s. Determine o
módulo da velocidade das gotas de chuva para o indivíduo dentro do
automóvel.
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Respostas: as gotas de chuva, ao caírem nas
janelas laterais do automóvel, deixarão
trajetórias que têm a direção de inclinada em
relação à horizontal, sua velocidade é de 10
m/s.
Questão 15. Consideremos um rio de margens paralelas, sendo a
distância entre elas igual a 120 m. A velocidade da água em relação às
margens é de 10 m/s. Um barco cuja velocidade em relação à água é 8,0
m/s atravessa o rio de uma margem à outra no menor tempo possível.
Quanto tempo demorou a travessia?
Resposta: 15s
vC
-vA
vCA
Questão 16. Um barco leva 10 horas para subir e 4 horas para descer um
mesmo trecho do rio Amazonas, mantendo constante o módulo de sua
velocidade em relação à água. Quanto tempo o barco leva para descer
esse trecho com os motores desligados?
Resposta: 13 horas e 20 minutos.
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 São realizados dois movimentos
simultâneos, horizontal e vertical.
 A componente horizontal da
velocidade realiza MRU.
O alcance horizontal é dado por:
Δs = v.Δt ⇒ A = vo.tq
sendo Δt = tq
Movimentos
A = vo.tq
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tq = 2h
g
horizontal 
h
A
 h – Altura do lançamento 
A – Alcance horizontal
Vo
Vo
Vo
g
x
y
Vy(solo)
Vy
Utilizando a função de Torricelli temos:
v2 = vo
2 + 2a∆S (a = g)
vy
2 = 02 + 2gh ⇒
 A componente vertical da velocidade,
realiza MUV (queda livre).
vy = 2gh
Velocidade vertical Tempo de Queda
Utilizando a função horária do MUV,
s = vot + at2
2 (a = g)
h = 0t + gt2
2 gt2 = 2h
O módulo da velocidade relutante no
solo é dado pelo teorema de Pitágoras:
vr
2 = vy
2 + vo
2
Trajetória 
é um arco de parábola, e temos que:
Alcance
O deslocamento horizontal é dado por
A = vx.t, sendo tvoo = 2vo.sen
g , dái: 
A = vx.
2vo.sen
g e vx = vo.cos𝜃
A = vo.cos𝜃. 2vo.sen
g
A = vo
g 2sen𝜃.cos 𝜃
Altura máxima
A altura máxima em ou é dada por:
v = vo + 2a∆s
vy = voy – 2ah
0 = voy – 2.g.hmax
hmax = voy
2g
ou
hmax = vo sen
2gvo
vox = vo.cos𝜃 [MRU]
voy = vo.sen𝜃 [MRUV, a = -g]
voy
vox
vy
vox
vox
vox
vy = 0
−vy
vox
voy
Tempo de voo
Tempo de subida:
vy = voy – gt ⇒ 0 = vo.sen𝜃 – gtsub
O tempo de voo tvoo = 2.tsub.
 Para os pontos inicial e final estão no 
mesmo nível temos:
- alcance será máximo para 𝜃 = 45°
- para ângulos complementares os 
lllllllalcances são iguais;
tsub = vo.sen 
g
θ
hmax
A
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vo
Questão 1. No instante t = 0, uma partícula é lançada horizontalmente,
com velocidade vo, cujo módulo é 40 m/s, de um ponto situado a 180 m
acima do solo (suposto horizontal), numa região onde a aceleração da
gravidade tem intensidade g = 10 m/s2. Despreze os efeitos do ar e
adote um sistema de coordenadas de origem O, como mostra a figura.
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Respostas: a) vy = 10t; b) |v| = 50 m/s c) t = 6,0 s; d) A = 240 m
e) y = (1/320).x2
Determine:
a) a equação horária da componente vertical da velocidade da partícula;
b) o módulo da velocidade da partícula no instante t = 3,0 s;
c) o instante em que a partícula toca o solo;
d) o alcance horizontal A;
e) a equação da trajetória.
A
180m
(solo)
Questão 2. Uma partícula é lançada com velocidade horizontal vo, cujo
módulo é v0 = 25 m/s, de um ponto situado a 120 m acima do solo, numa
região onde a aceleração da gravidade tem módulo g = 10 m/s2. A
partícula atinge um muro vertical situado a 100 m da vertical do
lançamento. Determine a altura h do ponto onde a partícula atinge o
muro. (Despreze os efeitos do ar.)
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Respostas: 40 m
100m
120m
(solo)
h
vo
Questão 3. De um ponto O situado a uma altura h em relação ao solo,
lança-se horizontalmente uma partícula A com velocidade vo. No mesmo
instante, de um ponto O', situado à mesma altura h, abandona-se outra
partícula, B (veja a figura). Desprezam-se os efeitos do ar. É possível que
as partículas se choquem antes de atingir o solo?
Respostas: Sim, desde que h seja suficientemente grande para que o
choque ocorra antes de atingirem o solo.
Questão 4. Uma partícula A é lançada horizontalmente com velocidade
vo 
de um ponto situado a uma altura h em relação ao solo. No mesmo
instante, uma outra partícula, B, é abandonada de um outro ponto
situado à mesma altura h, como mostra a figura. A aceleração da
gravidade tem módulo g = 10 m/s2 e |vo 
| = 20 m/s. Para que valores de h
as duas partículas chocam-se antes de atingir o solo?
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Respostas: h > 45 m
60m
h
(solo)
A
vo
B
Questão 5. A figura representa a
fotografia estroboscópica de uma
bola lançada horizontalmente nas
proximidades da Terra. Sendo a = 1
m e c = 4 m, calcule b e d.
Respostas: Movimento uniforme na
horizontal: d = c = 4 m
Queda livre: b = 3a ⇒ b = 3 m c d
a
b
Questão 6. Uma partícula foi lançada com velocidade vo formando um
ângulo de 30° com a direção horizontal, numa região onde g = 10 m/s2.
Calcule |vo 
|, sabendo que a partícula atinge o vértice de sua trajetória
8,0 segundos após o lançamento. (Despreze os efeitos do ar.)
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Respostas: 160 m/s
Questão 8. Um projétil é lançado obliquamente no ar, com velocidade
inicial v0 = 20 m/s, a partir do solo. No ponto mais alto de sua trajetória,
verifica-se que ele tem velocidade igual a metade de sua velocidade
inicial. Qual a altura máxima, em metros, atingida pelo projétil?
(Despreze a resistência do ar.)
Respostas: 15 m
Questão 7. Numa região onde g = 10 m/s2, uma partícula é lançada com
velocidade vo cujo módulo é 125 m/s. Determine o ângulo de tiro sabendo
que a partícula atinge o vértice da trajetória 5,0 segundos após o
lançamento. (Despreze a resistência do ar.)
Respostas: ≅ 24°
Questão 9. Um vagão hermeticamente fechado e à prova de som
encerra em seu interior um homem e trafega em um trecho reto de
estrada. O homem lança uma moeda verticalmente para cima (em relação
a ele) deixando-a cair em seguida. A partir dessa experiência considere
as sentenças:
I. O homem não tem condições de descobrir se o trem está parado ou
em movimento retilíneo uniforme porque, em ambas as hipóteses, a
moeda descreve trajetória retilínea em relação ao vagão.
II. O sentido do movimento do vagão não pode ser determinado pelo
homem, caso o vagão se mova com velocidade constante.
III. O homem tem condições de descobrir se o trem está acelerado.
Quais são as sentenças verdadeiras?
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Resposta: todas
Questão 10. Um garoto sentado no chão lança uma bolinha de gude na
direção de um buraco situado a 2 m de distância, em um terreno
horizontal. A bolinha parte do solo em uma direção que faz um ângulo de
45° acima da horizontal. Despreze a resistência do ar. Para que a bolinha
caia dentro do buraco, o módulo da velocidade inicial de lançamento, em
m/s, deve ser: (Dado: g = 10 m/s2.)
a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50
Resposta: b
Questão 11. Uma partícula é lançada no instante t = 0 de um ponto A
situado a 100 m acima do solo, com velocidade inicial vo formando ângulo
θ com a direção horizontal. A partícula atinge o solo no ponto B. São
dados: g = 10 m/s2, |v0| = 50 m/s, sen θ = 0,80 e cos θ =0,60.
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Respostas: a) 4,0 s b) 180 m c) 10 s d) 300 m e) 30 5 m/s
Desprezando os efeitos do ar, determine:
a) o instante em que a partícula atinge a altura máxima;
b) o valor da altura máxima;
c) o instante em que a partícula atinge o solo;
d) o alcance horizontal A;
e) o módulo da velocidade da partícula quando atinge o solo.
100m
A
B
vo
Questão 12. Uma bola é lançada no vácuo, numa direção que faz um
ângulo de 45° com a horizontal, conforme a figura.
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Resposta: d
Questão 13. Um atleta olímpico consegue lançar o peso com uma
velocidade inicial cujo módulo é aproximadamente v0 = 14 m/s. Suponha
que ao sair da mão do atleta a altura da bola seja h = 2,0 m e que g = 9,8
m/s2. Desprezando a resistência do ar, calcule:
a) o alcance máximo do lançamento; (use A = (v0.v)/g] quando os pontos
inicial e final não estão no mesmo nível)
b) o ângulo θ para o qual ocorre o alcance máximo; (use v0/v)
c) o tempo de voo na condição de alcance máximo. (use (gt)2 = v0
2 + v2)
h
A
A relação entre A e h vale:
a) A = 2
2 h b) A = 2.h c) A = 6.h d) A = 4.h e) A = 2.h
Resposta: a) ≅ 21,9 m b) ≅ 42,5° c) ≅ 2,1 s
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O que é?
∆φ
∆S
r
É o movimento que ocorre em
trajetória circular com velocidade
escalar constante, em que:
 ∆S - deslocamento linear
 ∆φ – deslocamento angular
= 
 ∆φ
∆t
, sendo ∆φ = ∆S
r
, temos:
Velocidade Angular ( )
Período (T) de um MCU é o intervalo
de tempo decorrido durante uma
volta de uma dada partícula.
Frequência (𝑓) do MCU é o número
de voltas que essa partícula efetua
por unidade de tempo.
= 
 1 
T
𝑓 = n 
∆t , se fizermos ∆t =T, temos:
𝜔 = 2 
 T 
Frequência e Período
𝜔 = 2π𝑓ou
Para uma volta temos: ∆φ = 2π e ∆t =T.
O M.C.U. tem aceleração
centrípeta dada por ac = v2/r.
 Em acoplamento com polias (1 e 2)
e rodas dentadas, os pontos
periféricos possuem a mesma
velocidade linear de modo que.
 Em acoplamento com eixo comum,
apresentam mesma frequência e
velocidade angular.
importante
hz RPM
×60
÷60
ω = 
∆s/r
∆t = ∆s
r.∆t ⇒ = 
 V 
r (rad/s)
f1.r1 = f2.r2
A
B
A
B
 Os pontos periféricos de a e B
têm a mesma velocidade da
correia, ou seja VA = VB.
importante
No caso1 a transmissão é feita por
uma correia ou corrente. Já no caso2
não há correntes ou correias, e o
movimento é transmitido por rodas
dentadas. Em ambos os casos temos:
(caso1)
(caso2)
 c = B → fC = fB (eixo comum)
 M = A → fM = fA (eixo comum)
Tomando - se dois pontos (E e D), em
C, eles têm velocidades lineares
diferentes, de modo que:
Ou seja quanto mais distante do centro
maior a velocidade linear.
Do esquema ao lado podemos escrever:
C
D
E
VC 
 rC
=
VB
 rB
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rE > rD → VE > VD
fA.rA = fB.rB 𝝎A > 𝝎B → fA > fB
rA
rB
rA
rB
Questão 1. Uma partícula move-se sobre uma circunferência
descrevendo um arco AB, que corresponde a um ângulo central Δθ =
120°, em um intervalo de tempo Δt = 2s. Calcule a velocidade angular
média da partícula nesse intervalo de tempo, em rad/s.
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Resposta: π/3 rad/s
Resposta: 5π rad/s; 1,25π m/s
B A
∆s
∆𝜃
Questão 2. Calcule o valor aproximado da velocidade angular da Terra,
em rad/s.
Resposta: ≅ 7,27 · 10–5 rad/s
Questão 3. Uma roda com 0,50 m de diâmetro gira em torno do seu
eixo em movimento de rotação uniforme, completando 5,0 voltas em 2,0
s. Determine a velocidade angular da roda e a velocidade escalar de um
ponto de sua periferia.
Questão 4. Duas partículas percorreram a mesma trajetória em
movimentos circulares uniformes, uma em sentido horário e a outra em
sentido anti-horário. A primeira efetua 13 rpm e a segunda 14 rpm.
Sabendo que partiram do mesmo ponto, em uma hora encontrar-se-ão:
a) 45 vezes.
b) 35 vezes.
c) 25 vezes.
d) 15 vezes.
e) 7 vezes.
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Resposta: b
Resposta: b
Questão 5. Dois atletas estão correndo numa pista de atletismo com
velocidades constantes, mas diferentes. O primeiro atleta locomove-se
com velocidade v e percorre a faixa mais interna da pista, que na parte
circular tem raio R. O segundo atleta percorre a faixa mais externa, que
tem raio 3R/2. Num mesmo instante, os dois atletas entram no trecho
circular da pista, completando-o depois de algum tempo. Se ambos
deixam esse trecho simultaneamente, podemos afirmar que a velocidade
do segundo atleta é:
a) 3v b) 3v/2 c) v d) 2v/3 e) v/3
Questão 6. Uma partícula tem movimento circular uniforme sobre uma
circunferência de raio 2,0 metros. Sabendo que a partícula efetua 900
revoluções em 3,0 minutos, calcule:
a) a frequência em Hz;
b) o período em segundos;
c) a velocidade angular em rad/s;
d) a velocidade linear em m/s.
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Respostas: a) 5,0 Hz b) 0,20 s c) 10π rad/s d) 20π m/s
Resposta: d
Questão 7. Segundo o modelo simplificado de Bohr, o elétron do átomo
de hidrogênio executa um movimento circular uniforme, de raio igual a
5,0 · 10–11 m, em torno do próton, com período igual a 2,0 · 10–15 s. Com o
mesmo valor da velocidade orbital no átomo, a distância, em quilômetros,
que esse elétron percorreria no espaço livre, em linha reta, durante 10
minutos, seria da ordem de: (Adote π = 3)
a) 102 b) 103 c) 104 d) 105 e) 106
Questão 8. Um satélite geoestacionário orbita em torno da Terra, de
modo que sua trajetória permanece no plano do Equador terrestre, e sua
posição aparente para um observador na Terra não muda. Qual deve ser a
velocidade linear km/h, deste satélite cuja órbita circular tem raio de
4,3 · 104 km? Adote π = 3.
Resposta: 1,075 · 103 km/h
Questão 9. Um automóvel cujas rodas têm diâmetro de 50 cm tem
movimento retilíneo uniforme, de modo que a frequência de rotação de
suas rodas é 1200 rpm. Qual é o módulo da velocidade do automóvel?
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Respostas: ≅ 31,4 m/s
Resposta: a
Questão 10. A velocidade de um automóvel pode ser medida facilmente
através de um dispositivo que registra o número de rotações efetuadas
por uma de suas rodas, desde que se conheça seu diâmetro. Considere,
por exemplo, um pneu cujo diâmetro é de 0,50 m. Se o pneu executa 480
rotações em cada minuto, pode-se afirmar que a velocidade do
automóvel, em m/s, é:
a) 4π
b) 8π
c) 12π
d) 16π
e) 20π
Questão 11. Dois móveis, A e B, percorrem a mesma pista circular com
movimentos uniformes, partindo do mesmo ponto e caminhando no mesmo
sentido. Calcule as velocidades angulares desses móveis sabendo que, 0,50
s após a partida, eles se alinham pela primeira vez com o centro da pista e
que a velocidade angular de B é o triplo da velocidade angular de A.
Resposta: π rad/s; 3π rad/s
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Ci
n
em
át
ic
a
Escalar
Vetorial
MRU
MUV
MRU
MUV
MCU
S = So +VT
v = ∆s 
∆t
v = vo + at
S = So + Vot + at2
2
v2 = vo
2 + 2a∆S
a 0
a 0
at ≠ 0
at 
≠ 0
ac ≠ 0
ac = 0
|ac| =
 v2
R
|at| = a
Vetores 
R
atac
ac + at = a |ac| +|at| =|a|
Vm = vo + v
2 
No M.U.V.
a = ∆v 
∆t
la
n
ça
m
en
to
s
Vertical 
oblíquo
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No M.C.U.
= ∆ 
∆t 𝜃 = 𝜃o + 𝜔t f.T = 1
horizontal
at = 0
ac = 0
a
tqueda = 2h/g vfinal = 2ghqueda livre 
para cima hmax = vo
2 /2g tS = vo
2 /2g
A = vo.tqalcance
vr
2 = vy
2 + vo
2velocidade final
hmax = voy /2galtura máxima
tsub = 2.vo.sen𝜃 
galcance A = vo2
g .2sen𝜃.cos 𝜃
tempo de voo 
Juntos somos mais fortes
Plante o bem, e o resto vem...
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coleção 
Matemática
Matemática Fundamental – Vol. 1 
Álgebra para o Ensino Médio – Vol. 2
Geometria Plana – Vol. 3
Geometria Espacial – Vol. 4
Geometria Analítica – Vol. 5
Matemática Financeira e Estatística– Vol. 6
Física
Mecânica (A –Cinemática; B Dinâmica ) 
Termologia
Óptica Geométrica
Ondulatória 
Eletricidade 
Cálculo diferencial e integral
Pré - Cálculo – Vol.1
Limites e Derivadas –Vol. 2
Integrais – Vol. 3
informações acesse:
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