MATEMATICA 2

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APLICAÇÕES DOS
CONCEITOS BÁSICOS
Aula 1
CAPITAL DE GIRO - DESCONTO
BANCÁRIO
Capital de giro - desconto bancário
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá
aprender conteúdos importantes para a sua formação profissional. Vamos assisti-la?
Bons estudos!
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Ponto de Partida
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06/08/24, 10:20 Aplicações dos Conceitos Básicos
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Nesta aula, você aprenderá algumas aplicações de conceitos básicos da Matemática
Financeira como: capital de giro, desconto bancário e valor nominal, os quais podem ser
encontrados em aplicações do nosso cotidiano, como: antecipar recebimentos de títulos
para garantir capital de giro de uma empresa ou até mesmo antecipação de recebimento
do 13º salário, entre outros. 
Para melhor compreender sobre o assunto, considere a situação do Lindolfo que
trabalha numa empresa de telefonia; faltam três dias para ele receber a segunda parcela
do 13º salário e ele vai solicitar antecipação desse pagamento para quitar algumas
dívidas. O salário de Lindolfo é R$ 1.800,00. Diante deste contexto, sabendo que uma
instituição financeira lhe cobrará uma taxa nominal de 0,7% a.d., qual será o valor
resgatado por Lindolfo?
Se você estivesse no lugar do Lindolfo, como faria para resolver essa situação? Para
isso, vamos dar início ao nosso estudo!
Vamos Começar!
Capital de giro
No mercado de trabalho, muitas vezes, é o capital de giro que garante a saúde
financeira das empresas. De acordo com Padoveze (2004), o termo “giro” vem da ideia
de movimentação contínua dos principais elementos formadores das transações da
empresa, em que ela basicamente forma seus lucros. 
Em outras palavras, ainda para Pandoveze (2004), da movimentação dos capitais
aplicados no giro é que há a formação tradicional do lucro, ou seja, capital de giro é a
terminologia utilizada para designar os valores investidos no ativo circulante, conjunto de
bens e direitos que podem ser convertidos em dinheiro no considerado ano fiscal da
empresa.
Segundo Gonçalves (2007), a expressão giro refere-se aos recursos em curto prazo da
empresa, normalmente definidos como aqueles capazes de serem convertidos em
dinheiro no prazo máximo de um ano (ciclo operacional) e que o capital de giro
demonstra, em sentido amplo, o valor total dos recursos demandados pela empresa
para financiar seu ciclo operacional, que reúne as necessidades circulantes identificadas
desde a aquisição da matéria-prima até o recebimento das vendas.
Um exemplo de se obter o capital de giro e uma das formas de gerenciar esse capital é
a partir do desconto bancário, o qual refere-se à obtenção de capital por meio
antecipação de títulos, que podem ser boletos ou promissórias resultantes de vendas ou
serviços prestados a clientes que pagarão numa relação futura.
Desconto bancário
O desconto bancário refere-se à antecipação no período em dias do recebimento de um
título, seja por meio de promissória, boleto, entre outros, realizado por uma instituição
financeira. Nos dias atuais, trata-se de uma operação comum entre pessoas jurídicas,
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que são empresas de grande, médio e pequeno porte, assim como também pessoas
físicas. 
A pessoa jurídica, ou seja, instituição com responsabilidades jurídicas, empresas,
associações, companhias, entre outras, pode realizar antecipações de diversos títulos,
veja alguns exemplos:
Promissórias;
Duplicatas;
Boletos;
Cheques;
Faturas de cartão de crédito.
A pessoa física, ou seja, todo indivíduo, homem ou mulher, identificado por um CPF
(Cadastro de Pessoa Física), também pode fazer uso dessa operação financeira,
observe alguns exemplos:
13º salário – 1ª e 2ª parcela. 
Restituição de Imposto de Renda.
O recebimento antecipado de títulos não ocorre na sua totalidade, pois a instituição
financeira cobra uma taxa administrativa pela realização dessa operação. O desconto
bancário refere-se ao valor resultante da antecipação de um título, ou seja, é a quantia a
ser abatida do valor nominal (valor do título).
Figura 1 | Desconto bancário. Fonte: Freepik.
Siga em Frente...
Valor nominal
O valor nominal (N) é denominado como valor do título que será antecipado, e as
antecipações de títulos ocorrem geralmente a poucos dias do vencimento dos títulos,
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isso para que o valor resgatado (V_B ) seja o mais próximo do valor nominal (N), ou
seja, do valor do título.
A taxa nominal é uma taxa de juros simples, então se necessitarmos convertê-la de mês
para dia, ou de ano para dia, devemos usar o conceito de taxa equivalente em juros
simples.
Para calcularmos o valor do desconto que será aplicado na antecipação de um título, ou
seja, o desconto racional, é dado por:
D=N ·d ·n
Em que:
N é o valor nominal.
d corresponde a taxa de juros simples ao dia.
n é o período de antecipação.
Agora, para o cálculo do valor resgatado (V_B), que é o valor nominal menos o desconto
racional, fazemos uso da seguinte fórmula:
VB=N (1−dn )
Para melhor compreender, observe um exemplo:
Ana, gerente de uma loja de roupas, necessita efetuar um pagamento e para isso
antecipará o recebimento de uma duplicada no valor de R$ 1.100,00 vencendo em 7
dias. A instituição financeira que fará a antecipação da duplicata cobra uma taxa nominal
administrativa de 17,1% a.m. Qual valor Ana resgatará pela duplicata?
Primeiramente, temos que uma taxa nominal (d) de 17,1% a.m., mas trabalhamos com
taxa nominal ao dia. Logo, precisamos deixá-la equivalente, lembrando que a taxa
nominal é taxa de juros simples:
ieq=
0,171
30
=0,0057 a .d=0,57% a .d
Assim, temos:
d=0,57% a .d
N=R$ 1000,00
n=7 dias
Substituindo na fórmula do valor resgatado:
VB=N (1−dn )
VB= 1100 (1−0,0057.7)
VB= 1100 (1−0,0399)
VB= 1100 (0,9601)
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VB=1 056,11
Logo, o valor a ser resgatado por Ana é de R$ 1056,11.
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação do Lindolfo que
trabalha numa empresa de telefonia e faltam três dias para receber a segunda parcela
do 13º salário. O salário de Lindolfo é R$ 1.800,00 e ele vai antecipar o seu recebimento
para pagar algumas dívidas. Diante deste contexto, sabendo que a instituição financeira
lhe cobrará uma taxa nominal de 0,7% a.d., qual será o valor resgatado por Lindolfo? 
A segunda parcela do 13º salário, nesse caso, é título a ser antecipado, então:
N = R$ 1.800,00. 
A instituição cobra uma taxa nominal de 0,7% a.d. = d.
Lindolfo está a três dias de receber a segunda parcela do 13º salário e decide antecipar
o seu recebimento, então n = 3. Substituindo na fórmula do valor resgatado:
VB=N (1−dn )
VB=1800(1−0,007.3)
VB=1800(1−0,021)
VB=1800(0,979)
VB=1762,20
Portanto, pela antecipação do 13º salário em 3 dias, Lindolfo receberá R$ 1.762,20.
Saiba Mais
Para saber mais sobre capital de giro, leia o artigo Necessidade de capital de giro e sua
aplicabilidade prática de José Bonifácio de Mateus Benatti. 
Referências Bibliográficas
ARAÚJO JÚNIOR, J. B. Uma breve introdução à matemática financeira: juros simples.
Revista Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 29-38, 2020.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática financeira aplicada.
Rio de Janeiro: FGV, 2009.
GONÇALVES, D. C. Capital de Giro. Disponível em: http://www.esacam.edu.br/jornal.
Acesso em: 04 abr. 2024. 
PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistemade informação
contábil. 4 ed. São Paulo: Atlas, 2004.
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https://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/159054/000646253.pdf?sequence=1&isAllowed=y
https://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/159054/000646253.pdf?sequence=1&isAllowed=y
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Aula 2
DESCONTO BANCÁRIO COM IOF
Desconto bancário com IOF
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Ponto de Partida
Nesta aula, você aprofundará ainda mais seus estudos sobre as aplicações de conceitos
básicos da Matemática Financeira como: antecipações de títulos, Imposto sobre
Operações Financeiras (IOF) e títulos de alto porte, os quais podem ser utilizados em
antecipações de recebimentos de clientes. 
Para melhor compreender sobre o assunto, considere a situação do gerente Paulo, que
precisa trocar os equipamentos do setor da linha de produção de uma metalúrgica e
para isso fará a antecipação de um título de valore nominal:
Título: R$ 23.650,00
O título vencerá em 17 dias em uma instituição financeira que cobra pela transação uma
taxa nominal de 0,12% a.d. e IOF de 0,017% a.d. Qual será o valor resgatado por
Paulo?
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Se você estivesse no lugar do Paulo, como faria para resolver essa situação? Para isso,
vamos dar início ao nosso estudo!
Vamos Começar!
Antecipação de títulos
Nos dias atuais, a antecipação de títulos pode ser uma ferramenta útil para os gestores
de empresas dos mais diversos setores, uma vez que os desafios na gestão de uma
empresa são inúmeros, sejam eles, fatores internos ou externos, de modo que o
planejamento financeiro não ocorre da forma esperada.
A antecipação de títulos consiste em receber de forma antecipada valores de títulos de
crédito como duplicatas, notas promissórias, cheques, entre outros, com vencimentos
futuros, para que a empresa possa ter esse dinheiro em caixa para movimentações
financeiras. 
Em outras palavras, a antecipação de títulos permite que um valor a ser creditado no
futuro seja realocado para o presente. No caso de um negócio que realiza vendas a
prazo, a antecipação de títulos possibilita acesso aos recursos de maneira imediata, sem
ser necessário esperar o vencimento desses títulos.
Uma observação importante é que as antecipações de títulos ocorrem geralmente a
poucos dias do pagamento dos clientes, isso para que o valor resgatado seja o mais
próximo do valor nominal, ou seja, do valor do título.
Veja um exemplo: João vai receber a primeira parcela do seu 13º salário no dia 30 de
novembro, mas irá antecipar esse recebimento para o dia 10 de novembro, logo ele terá
um desconto do valor nominal devido aos 20 dias de antecipação.
IOF
O Imposto sobre Operações Financeiras (IOF) foi criado pela Lei nº 5.143, de 1966, com
intuito de substituir o imposto sobre transferência para o exterior. O IOF envolve
operações de câmbio, crédito, seguro ou relativas a títulos ou valores imobiliários.
Quando estamos trabalhando com desconto bancário, antecipação de títulos,
promissórias e duplicatas, o IOF se apresenta conforme a fórmula a seguir:
VB=N[1− (d+IOF)n]
Em que:
VB: valor descontado, valor resgatado, valor resultante da antecipação.
N: valor nominal, valor do título antecipado.
d: taxa nominal, taxa de juros simples, ao dia.
n: período de antecipação do título, geralmente em dias.
IOF: Imposto sobre Operações Financeiras, taxa de juros simples, ao dia.
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Importante ressaltar que a taxa nominal e o IOF são taxas de juros simples, então se
necessitarmos convertê-las de mês para dia, ou de ano para dia, usaremos o conceito
de Taxa Equivalente em Juros Simples.
Um exemplo de antecipação de títulos com incidência do IOF são títulos de alto porte,
que veremos a seguir.
Siga em Frente...
Títulos de alto porte
Os títulos que têm incidência do IOF são denominados como alto porte, identicamente à
taxa de desconto, este percentual é calculado sobre o valor nominal do título juntamente
com uma taxa nominal cobrada no ato da liberação dos recursos, de forma antecipada
(SANTOS, 2016).
De acordo com Santos (2016), as operações de desconto praticadas pelas instituições
financeiras costumam apresentar encargos financeiros, os quais são geralmente
cobrados sobre o valor nominal do título (valor de resgate) e pagos à vista (descontados
no momento da liberação dos recursos).
Vejamos um exemplo de como podemos aplicar o conceito de antecipação em títulos de
alto porte. 
Marina pretende antecipar um título de alto porte no valor de R$ 17.500,00 em 15 dias e
consultou que o valor do resgate seria de R$ 12.000,00. Sabendo que o IOF cobrado foi
de 0,05% a.d., qual a taxa nominal cobrada nessa antecipação?
Primeiramente, vamos utilizar a fórmula da antecipação de títulos com IOF.
VB=N[1− (d+IOF)n]
Na sequência, vamos extrair as informações do problema:
Vb=12000
N=17500
d=?
n=15 dias
𝐼𝑂𝐹 = 0, 05 % = 0, 0005 𝑎 . 𝑑 .
Depois, vamos substituir os seguintes valores:
𝑉𝐵 = 𝑁�1 - � 𝑑 + 𝐼𝑂𝐹 � 𝑛�
12 . 000 = 17 . 500[1 - ( 𝑑 + 0, 0005 ) 15]
12 . 000
17 . 500
= �1 - � 𝑑 + 0, 0005 � 15�
0, 7 = [1 - ( 𝑑 + 0, 0005 ) 15]
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0, 7 = [1 - ( 15𝑑 + 0, 0075 ) ]
0, 7 = [1 - 15𝑑 - 0, 0075]
0, 7 = 0, 9925 - 15𝑑
15𝑑 = 0, 9925 - 0, 7
15𝑑 = 0, 2925
15𝑑 = 0, 2925
𝑑 = 0, 2925
15
𝑑 = 0, 0188 𝑎 . 𝑑
𝑑 = 1, 88 % 𝑎 . 𝑑
Portanto, a taxa nominal cobrada nessa antecipação foi de 1,88% a.d.
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação do gerente Paulo, que
precisa trocar os equipamentos do setor da linha de produção de uma metalúrgica e
para isso fará a antecipação de um título de valor nominal R$ 23.650,00.
O título vencerá em 17 dias em uma instituição financeira que cobra pela transação uma
taxa nominal de 0,12% a.d. e IOF de 0,017% a.d. Qual será o valor resgatado por
Paulo?
Primeiramente, vamos extrair as informações do problema:
𝑉𝑏 = ?
𝑁 = 23650
𝑑 = 0, 12 % 𝑎 . 𝑑 = 0, 0012 𝑎 . 𝑑
𝑛 = 17 𝑑𝑖𝑎𝑠
𝐼𝑂𝐹 = 0, 017 % = 0, 00017 𝑎 . 𝑑 .
Substituindo os valores na fórmula:
𝑉𝐵 = 𝑁�1 - � 𝑑 + 𝐼𝑂𝐹 � 𝑛�
𝑉𝐵 = 23 . 650�1 - � 0, 0012 + 0, 00017 � 17�
𝑉𝐵 = 23 . 650�1 - � 0, 00137 � 17�
𝑉𝐵 = 23 . 650�1 - 0, 02329�
𝑉𝐵 = 23 . 650 . 0, 9767
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𝑉𝐵 = 23099, 19
Logo, o valor resgatado será de R$ 23.099,19. 
Saiba Mais
Para saber mais sobre IOF, leia o artigo Imposto sobre operações financeiras, câmbio e
a novíssima Lei Nº 14.286 de 2021 de Luiz Henrique Nicolau. 
Referências Bibliográficas
ARAÚJO JÚNIOR, J. B. Uma breve introdução à matemática financeira: juros simples.
Revista Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 29-38, 2020.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática financeira aplicada.
Rio de Janeiro: FGV, 2009.
GONÇALVES, D. C. Capital de Giro. Disponível em: http://www.esacam.edu.br/jornal.
Acesso em: 04 abr. 2024.
PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação
contábil. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2004.
SANTOS, J. C. Matemática financeira. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional
S/A, 2016, 216 p. 
Aula 3
TAXA EFETIVA E NOMINAL
Taxa efetivae taxa nominal
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https://rtrib.abdt.org.br/index.php/rtfp/article/view/581
https://rtrib.abdt.org.br/index.php/rtfp/article/view/581
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Ponto de Partida
Nesta aula, você compreenderá sobre a importância da utilização de forma adequada
das taxas equivalentes nos regimes de capitalização de juros simples e juros compostos,
ou seja, a taxa efetiva e taxa nominal. 
Com intuito de aprofundar e aplicar os conceitos vistos, considere a situação de Lilian,
que precisa financiar a compra de um equipamento da linha de produção de uma
empresa e terá a seguinte condição de pagamento:
Pagar uma entrada e financiar o restante em parcelas mensais e iguais, sob a taxa
nominal de 13,2% a.a. em regime de juros compostos.
Considerando tal situação, agora, você deve apresentar de forma adequada a taxa de
juros da proposta de pagamento da Lilian. Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!
Vamos Começar!
Taxa equivalente
A taxa equivalente, seja no regime de capitalização de juros simples ou compostos, tem
como função adequar a taxa à relação temporal de trabalho. Para uma melhor
compreensão, observe um exemplo:
Se temos uma situação em que as parcelas são mensais, a taxa de juros também
precisa estar ao mês (a.m.). O mesmo ocorre se as parcelas estiverem ao ano (a.a.),
logo, é necessário converter a taxa de juros também ao ano, utilizando os conceitos de
taxas equivalentes para cada regime de capitalização.
Importante relembrar que no período comercial, temos o seguinte:
1 mês = 30 dias
1 ano = 12 meses 
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1 ano = 360 dias
1 bimestre = 2 meses
1 trimestre = 3 meses
semestre = 6 meses
Sendo assim, a taxa equivalente só altera a relação temporal, pois quando temos
alteração de regime de capitalização de juros simples para compostos, ou vice-versa,
trabalhamos com taxa efetiva ou nominal.
Figura 1 | Cálculo de taxas. Fonte: Freepik.
Siga em Frente...
Taxa efetiva
A taxa efetiva refere-se a uma taxa em que a unidade de tempo é igual à unidade de
tempo do período de capitalização específico para o regime de juros compostos. Para
converter uma taxa nominal em efetiva usa-se a seguinte fórmula:
𝑖𝑒𝑓 = 𝑑
𝑛
+ 1
𝑓
- 1
Em que:
n: período da taxa nominal, em dias.
f: período da taxa efetiva, em dias.
d: taxa nominal.
Observe um exemplo:
José vai realizar um financiamento em regime de juros compostos, o qual apresentou
taxa nominal de 32% a.a. Qual é a taxa de trabalho desse financiamento ao ano?
Como se trata de um financiamento em juros compostos, a taxa de trabalho não pode
ser a taxa nominal, pois ela é taxa de juros simples; então deveremos trabalhar com taxa
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efetiva. Extraindo informações da situação, temos:
n = 360 dias.
f = 360 dias.
d = 32% = 0,32
Substituindo na fórmula:
𝑖𝑒𝑓 = 𝑑
𝑛
+ 1
𝑓
- 1
𝑖𝑒𝑓 = 0,32
360
+ 1
360
- 1
𝑖𝑒𝑓 = 0,0009 + 1360 - 1
𝑖𝑒𝑓 = 1,3824 - 1
𝑖𝑒𝑓 = 0,3824 𝑎 . 𝑎 = 38,24% 𝑎 . 𝑎
Logo, a taxa efetiva para o financiamento é 38,24% a.a.
Taxa nominal
A taxa nominal refere-se a uma taxa em que a unidade de tempo é igual à unidade de
tempo do período de capitalização dos juros simples. Para converter uma taxa efetiva
em nominal usa-se a seguinte fórmula:
𝑑 = � � 𝑖𝑒𝑓 + 1 �
1
𝑓 - 1�𝑛
Em que:
n: período da taxa nominal, em dias.
f: período da taxa efetiva, em dias.
d: taxa nominal.
𝑖𝑒𝑓: taxa efetiva.
Para melhor compreender, observe um exemplo: 
Alana vai realizar um financiamento em regime de juros simples, mas como o
parcelamento é a curto prazo, apresentou taxa efetiva de 27% a.a. Qual é a taxa de
trabalho desse financiamento ao ano?
Como se trata de um financiamento em juros simples, a taxa de trabalho não pode ser a
taxa efetiva, pois ela é taxa de juros compostos; então deveremos trabalhar com taxa
nominal.
n = 360 dias
f = 360 dias
 𝑖𝑒𝑓 = 27% = 0,27
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Substituindo na fórmula, temos:
𝑑 = � � 𝑖𝑒𝑓 + 1 �
1
𝑓 - 1�𝑛
𝑑 = [ ( 0,27 + 1 )
1
360 - 1�360
𝑑 = [ ( 1,27 ) 0,0028 - 1�360
𝑑 = [1,0007 - 1]360
𝑑 = [1,0007 - 1]360
𝑑 = 0,0007.360
𝑑 = 0,252 𝑎 . 𝑎
𝑑 = 25,2% 𝑎 . 𝑎
 
Portanto, a taxa de trabalho, que é a taxa nominal é de 25,2% a.a.
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação de Lilian, que precisa
financiar a compra de um equipamento da linha de produção de uma empresa e terá a
seguinte condição de pagamento:
Pagar uma entrada e financiar o restante em parcelas mensais e iguais, sob a taxa
nominal de 13,2% a.a. em regime de juros compostos.
Considerando tal situação, agora, você deve apresentar de forma adequada a taxa de
juros da proposta de pagamento da Lilian.
Como a proposta trata de um financiamento em parcelas mensais e iguais em regime de
juros compostos, não calcularemos as parcelas com a taxa nominal, pois ela é uma taxa
de juros simples, por isso vamos converter a taxa dada em taxa efetiva ao mês.
n = 360 dias
f = 30 dias
d = 13,2% = 0,132
Substituindo na fórmula, temos: 
𝑖𝑒𝑓 = 𝑑
𝑛
+ 1
𝑓
- 1
𝑖𝑒𝑓 = 0,132
360
+ 1
30
- 1
𝑖𝑒𝑓 = 0,132
360
+ 1
30
- 1
06/08/24, 10:20 Aplicações dos Conceitos Básicos
https://alexandria-html-published.platosedu.io/1c79431e-22fb-4520-bce2-411545ee7d82/v1/index.html 14/24
𝑖𝑒𝑓 = 0,0004 + 130 - 1
𝑖𝑒𝑓 = 1,0121 - 1
𝑖𝑒𝑓 = 0,0121 𝑎 . 𝑚 = 1,21% 𝑎 . 𝑚
Portanto, a taxa de que iremos usar para calcular as parcelas mensais e iguais da
proposta, que é a taxa efetiva, será de 1,21% a.m.
Saiba Mais
Para saber mais sobre taxas, acesse o livro Matemática financeira de Ernesto Coutinho
Puccini.
Referências Bibliográficas
ARAÚJO JÚNIOR, J. B. Uma breve introdução à matemática financeira: juros simples.
Revista Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 29-38, 2020.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática financeira aplicada.
Rio de Janeiro: FGV, 2009.
PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação
contábil. 4 ed. São Paulo: Atlas, 2004.
PUCCINI, A. L. Matemática financeira. Projeto universidade aberta, 2007.
Aula 4
NEGOCIAÇÃO COM JUROS
SIMPLES E COMPOSTOS
Negociação de juros simples e compostos
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá
aprender conteúdos importantes para a sua formação profissional. Vamos assisti-la?
Bons estudos!
Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.
06/08/24, 10:20 Aplicações dos Conceitos Básicos
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https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/643232/2/Matem%C3%A1tica%20Financeira%20e%20An%C3%A1lise%20de%20Investimentos.pdf
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u2a4_mat_fin_1p.pdf
Ponto de Partida
Nesta aula, você aprenderá sobre negociação em regime de juros simples e compostos,
bem como analisar propostas e contrapropostas, aplicando conceitos de séries de
ambos os regimes de capitalização. 
Para melhor compreender sobre o assunto, considere a situação de Kátia, que pretende
comprar um carro e ofereceu a seguinte proposta de pagamento: uma entrada de R$
25.670,40a uma taxa de juros efetiva de 1,21% a.m., mais três parcelas mensais e
iguais. A loja fez uma contraproposta de três parcelas iguais a R$ 22.000,00 com
vencimento a cada 10 dias, sob a taxa de juros simples de 4% a.d. Considerando isso,
qual é o valor de cada parcela da proposta de Kátia?
Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!
Vamos Começar!
Negociação em juros simples
O ato de negociar faz parte de nossas vidas, pois a partir disso é que adquirimos bens
de consumo dentro de nossas reais possibilidades, sem depreciar o valor real do bem. A
negociação tem como princípio um fundamento básico: o capital numa situação A deve
ser o mesmo numa situação B, ou seja, o capital do anúncio tem que ser o mesmo do
proposto, independentemente da forma de pagamento e regime de juros.
𝐶𝐴 = 𝐶𝐵
𝐶𝐴 = capital numa situação “A”
𝐶𝐵 = capital numa situação “B”
Podemos ter situações que envolvem o pagamento de entrada, daí temos a seguinte
situação:
06/08/24, 10:20 Aplicações dos Conceitos Básicos
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AV𝐴 = AV𝐵
𝐴𝑉𝐴 = valor à vista na situação “A”
𝐴𝑉𝐵 = valor à vista na situação “B”
Observe um exemplo: uma loja de departamento masculina está anunciando um terno
por duas parcelas iguais de R$ 300,00 a cada sete dias, sob regime e taxa de juros
simples de 0,035% a.d. Ricardo tem muito interesse pelo terno e apresentou uma
proposta de pagar em três parcelas iguais, vencendo a cada dez dias, sob a mesma
taxa e o mesmo regime imposto pela loja. Qual é o valor das parcelas propostas pelo
Ricardo?
Vamos substituir na fórmula a condição anunciada e a condição proposta: 
𝐴𝑉𝐴𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 = 𝐴𝑉𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
∑𝑗 = 1
𝑗 𝑀𝑗𝐴𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎
1 + 𝑖𝐴𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎𝑛𝑗𝐴𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜
= ∑𝑗 = 1
𝑗 𝑀𝑗𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎
1 + 𝑖𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑗𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎
300
� 1 + 0,00035.7 �
+ 300
� 1 + 0,00035.14 �
= 𝑀
� 1 + 0,00035.10 �
+ 𝑀
� 1 + 0,00035.20 �
+ 𝑀
� 1 + 0,00035.30 �
597,81 = 2,9791𝑀
597,81
2,9791
= 𝑀
𝑀 = 200,67
Logo, o valor de cada parcela proposta por Carlos é R$ 415,91.
Siga em Frente...
Negociação em juros compostos
Assim como vimos na negociação de juros simples, podemos utilizar os mesmos
conceitos para os juros compostos, com a diferença da utilização da série de juros
compostos. 
Exemplo: um aparelho celular está sendo anunciado por duas parcelas mensais e iguais
a R$ 600,00, sob o regime de juros compostos de 1,8% a.m. Carlos pretende comprar o
aparelho celular, mas ofereceu a seguinte condição: 3 parcelas iguais vencendo em 2, 3
e 5 meses, sob taxa e regime de juros compostos de 2,0% a.m. Qual é o valor das
parcelas propostas por Carlos?
Vamos substituir na fórmula a condição anunciada e a condição proposta. 
𝐴𝑉𝐴𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 = 𝐴𝑉𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
∑𝑗 = 1
𝑗 𝑀𝑗𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎
1 + 𝑖𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎
𝑛𝑗𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 = ∑𝑗 = 1
𝑗 𝑀𝑗𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎
1 + 𝑖𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎
𝑛𝑗𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎
600
1 + 0,0181 + 600
1 + 0,0182 = 𝑀
1 + 0,022 + 𝑀
1 + 0,023 + 𝑀
1 + 0,025
06/08/24, 10:20 Aplicações dos Conceitos Básicos
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600
1,018
+ 600
1,0363
= 𝑀
1,0404
+ 𝑀
1,0612
+ 𝑀
1,1041
589,39 + 578,98 = 1
1,0404
+ 1
1,0612
+ 1
1,1041
𝑀
1168,37 = 0,9612 + 0,9423 + 0,9057𝑀
1168,37 = 2,8092𝑀
1168,37
2,8092
= 𝑀
𝑀 = 415,91
Logo, o valor de cada parcela proposta por Carlos é R$ 415,91.
 
Negociação em juros simples e compostos
Podemos ter também numa mesma negociação ambos os regimes de capitalização,
juros simples e juros compostos. Veja o exemplo:
Renata está vendendo um aparelho eletrônico por duas parcelas de R$ 150,00 a cada
12 dias, sob regime e taxa de juros simples de 0,043% a.d. Joana quer pagar em duas
parcelas mensais e iguais sob regime e taxa de juros compostos de 1,32% a.m. Qual é o
valor das parcelas que Joana está disposta a pagar?
𝐴𝑉𝐴𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 = 𝐴𝑉𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
∑𝑗 = 1
𝑗 𝑀𝑗𝐴𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎
1 + 𝑖𝐴𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎𝑛𝑗𝐴𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜
= ∑𝑗 = 1
𝑗 𝑀𝑗𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎
1 + 𝑖𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎
𝑛𝑗𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎
150
1 + 0,0043 · 12
+ 150
1 + 0,0043 · 24
= 𝑀
1 + 0,01321 + 𝑀
1 + 0,01322
 297,70 = 1,9611𝑀
𝑀 = 297,70
1,9611
𝑀 = 𝑅$151,80
Portanto, o valor das parcelas propostas por Joana é de R$ 151,80. 
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação de Kátia, que pretende
comprar um carro e ofereceu a seguinte proposta de pagamento: uma entrada de R$
25.670,40 a uma taxa de juros efetiva de 1,21% a.m., mais três parcelas mensais e
iguais. Mas a loja fez uma contraproposta de três parcelas iguais a R$ 22.000,00 com
vencimento a cada 10 dias, sob a taxa de juros simples de 4% a.d. Considerando isso,
qual valor de cada parcela da proposta de Kátia?
Primeiramente, temos o valor anunciado e valor proposto:
𝐴𝑉𝐴𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 = 𝐴𝑉𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
06/08/24, 10:20 Aplicações dos Conceitos Básicos
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∑𝑗 = 1
𝑗 𝑀𝑗𝐴𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎
1 + 𝑖𝐴𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎𝑛𝑗𝐴𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜
= 𝐸𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 + ∑𝑗 = 1
𝑗 𝑀𝑗𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎
1 + 𝑖𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎
𝑛𝑗𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎
22.000
1 + 0,0004 · 10
+ 22.000
1 + 0,0004 · 20
+ 22.000
1 + 0,0004 · 30
=
= 25.670,40 + 𝑀
1 + 0,01211 + 𝑀
1 + 0,01212 + 𝑀
1 + 0,01213
65.476,88 = 25.670,40 + 𝑀 1
1,0121
+ 1
1,0243
+ 1
1,0367
65.476,88 - 25.670,40 = 𝑀 ( 0,9880 + 0,9763 + 0,9646 )
39.806,48 = 2,9289𝑀
𝑀 = 39.806,48
2,9289
𝑀 = 𝑅$13.590,93
Portanto, o valor das parcelas propostas é de R$ 13.590,93. 
Saiba Mais
Para saber mais sobre negociação, leia o livro Matemática financeira de Fernando
Guerra e Inder Jeet Taneja.
Referências Bibliográficas
ARAÚJO JÚNIOR, J. B. Uma breve introdução à matemática financeira: juros simples.
Revista Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 29-38, 2020.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática financeira aplicada.
Rio de Janeiro: FGV, 2009.
GUERRA, F.; TANEJA, I. J. Matemática Financeira. Curso de graduação em
Administração a Distância, v. 1, 2014.
PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação
contábil. 4 ed. São Paulo: Atlas, 2004.
Encerramento da Unidade
APLICAÇÕES DOS CONCEITOS
BÁSICOS
06/08/24, 10:20 Aplicações dos Conceitos Básicos
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https://cesad.ufs.br/ORBI/public/uploadCatalago/17372616022012Matematica_Financeira_Aula_1.pdf
Videoaula de Encerramento
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Ponto de Chegada
Para desenvolver a competência desta unidade, que é compreender os conceitos
relacionados a descontos e à taxa efetiva e nominal a fim de utilizá-los na resolução de
problemas que envolvam negociações financeiras, é necessário elencar os
conhecimentos a seguir.
Quando trabalhamos com desconto bancário, nos referimos à antecipação do
recebimento de títulos no período em dias, seja por meio de promissória, boleto, entre
outros, realizado por uma instituição financeira.
Para calcularmos o valor do desconto que será aplicado na antecipação de um título, ou
seja, o desconto racional, utilizamos a seguinte fórmula:
𝐷 = 𝑁 · 𝑑 · 𝑛
Em que:
N: valor nominal.
d: corresponde a taxa de juros simples ao dia.
n: período de antecipação.
Agora, para o cálculo do valor resgatado (𝑉𝐵), utilizamos a seguinte fórmula:
𝑉𝐵 = 𝑁 � 1 - 𝑑𝑛 �
06/08/24, 10:20 Aplicações dos Conceitos Básicos
https://alexandria-html-published.platosedu.io/1c79431e-22fb-4520-bce2-411545ee7d82/v1/index.html 20/24
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u2enc_mat_fin_1p.pdfTambém podemos trabalhar com desconto bancário de títulos de alto porte, ou seja, com
IOF, a partir da seguinte fórmula:
𝑉𝐵 = 𝑁�1 - 𝑑 + 𝐼𝑂𝐹𝑛�
Em que:
𝑉𝐵: valor descontado, valor resgatado, valor resultante da antecipação.
N: valor nominal, valor do título antecipado.
d: taxa nominal, taxa de juros simples, ao dia.
n: período de antecipação do título, geralmente em dias.
IOF: Imposto sobre Operações Financeiras, taxa de juros simples, ao dia.
Outro tema importante para área refere-se às conversões das taxas equivalentes, em
que a taxa de juros e o período precisam estar na mesma unidade tempo. Para o regime
de juros compostos utilizamos a taxa efetiva e para sua conversão usa-se a seguinte
fórmula:
𝑖𝑒𝑓 = 𝑑
𝑛
+ 1
𝑓
- 1
Em que:
n: período da taxa nominal, em dias.
f: período da taxa efetiva, em dias
d: taxa nominal
A taxa nominal refere-se a uma taxa no regime de capitalização dos juros simples. Para
converter uma taxa efetiva em nominal usa-se a seguinte fórmula:
𝑑 = � � 𝑖𝑒𝑓 + 1 �
1
𝑓 - 1�𝑛
Em que:
n: período da taxa nominal, em dias.
f: período da taxa efetiva, em dias
d: taxa nominal 
𝑖𝑒𝑓: taxa efetiva
Por fim, temos que a negociação tem como princípio um fundamento básico: o capital
numa situação A deve ser o mesmo numa situação B, ou seja, o capital do anúncio tem
que ser o mesmo do proposto, independentemente da forma de pagamento e regime de
juros.
𝐴𝑉𝐴𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 = 𝐴𝑉𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
Para negociação com anúncio e proposta em juros simples usa-se a fórmula:
∑𝑗 = 1
𝑗 𝑀𝑗𝐴𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎
1 + 𝑖𝐴𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎𝑛𝑗𝐴𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜
= ∑𝑗 = 1
𝑗 𝑀𝑗𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎
1 + 𝑖𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑗𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎
06/08/24, 10:20 Aplicações dos Conceitos Básicos
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Para negociação com anúncio e proposta em juros compostos usa-se a fórmula:
∑𝑗 = 1
𝑗 𝑀𝑗𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎
1 + 𝑖𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎
𝑛𝑗𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 = ∑𝑗 = 1
𝑗 𝑀𝑗𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎
1 + 𝑖𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎
𝑛𝑗𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎
Para negociação com anúncio em juros simples e proposta em juros compostos usa-se
a fórmula:
∑𝑗 = 1
𝑗 𝑀𝑗𝐴𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎
1 + 𝑖𝐴𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎𝑛𝑗𝐴𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜
= ∑𝑗 = 1
𝑗 𝑀𝑗𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎
1 + 𝑖𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎
𝑛𝑗𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎
Importante ressaltar que podemos ter anúncio em juros compostos e proposta em juros
simples também. Tais conceitos vistos nesta unidade além de contribuir para o avanço
dos conteúdos da disciplina também visam contribuir para resolução de problemas do
nosso dia a dia.
É Hora de Praticar!
Agora, você colocará em prática os conceitos vistos nesta unidade. Vamos lá!
Dona Maria alugou um forno para sua padaria e vai pagar duas parcelas mensais e
iguais a R$ 650,00 sob regime de juros compostos e taxa efetiva de 4% a.m. Senhor
José, dono da padaria ao lado, também tem interesse em alugar a mesma máquina,
mas tem condição para pagar em três vezes mensais e iguais sob regime de juros
compostos e taxa efetiva de 4% a.m. 
Sendo assim, qual o valor de cada parcela Seu José vai pagar?
Reflita
Após o estudo, reflita sobre as seguintes perguntas:
Você consegue identificar qual fórmula utilizar em cada situação-problema?
Você extrai as informações de forma correta dos problemas?
Você consegue identificar situações do seu dia a dia em nossa disciplina e como
ela pode te ajudar?
 
Dê o Play!
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Resolução do estudo de caso
Primeiramente temos que: 
Situação A (Anúncio): duas parcelas mensais e iguais a R$ 650,00 sob regime de
juros compostos e taxa efetiva de 4% a.m.
Situação B (Proposta): três vezes mensais e iguais sob regime de juros compostos
e taxa efetiva de 4% a.m. 
06/08/24, 10:20 Aplicações dos Conceitos Básicos
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Observe que não será necessário converter as taxas, pois temos taxa efetiva no regime
de juros compostos. Neste caso, temos tanto o anúncio quanto a proposta em regime de
juros compostos, então vamos utilizar a seguinte fórmula:
∑𝑗 = 1
𝑗 𝑀𝑗𝐴
1 + 𝑖𝐴
𝑛𝑗𝐴
= ∑𝑗 = 1
𝑗 𝑀𝑗𝐵
1 + 𝑖𝐵
𝑛𝑗𝐵
Substituindo os valores, temos:
650
1 + 0,041 + 650
1 + 0,042 = 𝑀
1 + 0,041 + 𝑀
1 + 0,042 + 𝑀
1 + 0,043
650
1,04
+ 650
1,0816
= 𝑀
1,04
+ 𝑀
1,0816
+ 𝑀
1,1249
625 + 600,96 = 𝑀 1
1,04
+ 1
1,0816
+ 1
1,1249
1.225,96 = 𝑀0,9615 + 0,9246 + 0,8890
1.225,96 = 2,7751𝑀
𝑀 = 1.225,96
2,7751
𝑀 = 441,77
Logo, o valor de cada parcela da proposta do sr. José é R$ 441,77.
Dê o play!
Assimile
06/08/24, 10:20 Aplicações dos Conceitos Básicos
https://alexandria-html-published.platosedu.io/1c79431e-22fb-4520-bce2-411545ee7d82/v1/index.html 23/24
Figura 1 | Mapa mental dos cálculos de juros e parcelamentos (desconto bancário e taxa efetiva)
Referências
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática financeira aplicada.
Rio de Janeiro: FGV, 2009.
MOREIRA, F. R. et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia Biosfera, v. 6, n. 9,
2010.
OLIVEIRA, W. Sistema de juros compostos. Revista Processus Multidisciplinar, v. 1,
n. 1, p. 11-22, 2020.
06/08/24, 10:20 Aplicações dos Conceitos Básicos
https://alexandria-html-published.platosedu.io/1c79431e-22fb-4520-bce2-411545ee7d82/v1/index.html 24/24