Conjuntos Numéricos e Operações

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MATEMÁTICA
Didatismo e Conhecimento 1
MATEMÁTICA
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS (OPERAÇÕES 
BÁSICAS, PROPRIEDADES, MÚLTIPLOS E 
DIVISORES, MÁXIMO DIVISOR COMUM, 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM E RADICAIS). 
Conjunto dos Números Naturais
São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É 
representado pela letra maiúscula N. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 
9, 10,…} O zero corresponde à ausência de unidades. A sucessão 
dos números naturais começa pelo zero e cada número é obtido 
acrescentando-se uma unidade ao anterior. Não existe o maior 
número natural, ou seja, a sucessão dos números naturais é infinita. 
Se excluirmos o zero teremos um novo conjunto: o conjunto dos 
números naturais não nulos, que se indica por N ∗ . N ∗ = {1, 2, 3, 
4, 5...}
Na sucessão de números naturais, dois ou mais números que 
se seguem são chamados consecutivos. Exemplo: 7 8 e 9 são 
números naturais consecutivos. Todo número natural tem um 
antecessor, com exceção do zero, que é o menor número natural. 
Todo número natural tem um sucessor. Ex: O sucessor de 8 é 9; o 
antecessor de 19 é 18.
O conjunto formado por 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12... é chamada 
conjunto dos números naturais pares. O conjunto formado por 1, 
3, 5, 7, 9, 11,... é chamada conjunto dos números naturais ímpares.
Operações fundamentais com números naturais
Adição
A primeira operação fundamental na Matemática é a adição. 
Esta operação nada mais é que o ato de adicionar algo. É reunir 
todos os valores ou totalidades de algo. A adição é chamada 
de operação. A soma dos números chamamos de resultado da 
operação.
Ex: 10 + 5 = 15
10 e 5 são as parcelas; 15 é a soma ou resultado da operação de 
adição. A operação realizada acima se denomina, então, ADIÇÃO.
A adição de dois ou mais números é indicada pelo sinal +.
Subtração
A subtração é o ato ou efeito de subtrair algo. É diminuir 
alguma coisa. O resultado desta operação de subtração denomina-
se diferença ou resto.
Exemplo: 9 – 5 = 4
Essa igualdade tem como resultado a subtração.
Os números 9 e 5 são os termos da diferença 9-5. Ao número 
9 dá-se o nome de minuendo e 5 é o subtraendo.
Multiplicação
É a ação de multiplicar. Denomina-se a operação matemática, 
que consiste em repetir um número, chamado multiplicando, tantas 
vezes quantas são as unidades de outro, chamado multiplicador, 
para achar um terceiro número que representa o produto dos dois.
Definindo ainda, multiplicação é a adição de parcelas iguais, 
onde o produto é o resultado da operação multiplicação; e os 
fatores são os números que participam da operação.
5. 8 = 40 onde 5 e 8 são os fatores e 40 é o produto.
Divisão
 
É o ato de dividir ou fragmentar algo. É a operação na 
matemática em que se procura achar quantas vezes um número 
contém em outro ou mesmo pode ser definido como parte de um 
todo que se dividiu. À divisão dá o nome de operação e o resultado 
é chamado de Quociente.
1) A divisão exata:
Veja: 8: 4 é igual a 2, onde 8 é o dividendo, 2 é o quociente, 4 
é o divisor, 0 é o resto.
A prova do resultado é: 2 x 4 + 0 = 8
2) A divisão não-exata: Observe este exemplo: 9: 4 é igual a 
resultado 2, com resto 1, onde 9 é dividendo, 4 é o divisor, 2 é o 
quociente e 1 é o resto.
A prova do resultado é: 2 x 4 + 1 = 9
Potenciação
É uma multiplicação de fatores iguais
Exemplo 1:
Base=2
Expoente = 4
Potência = 16 [Resultado da operação]
Lê-se: Dois elevado à quarta potência.
Exemplo 2: 
53 = 5.5.5= 125 (3 fatores iguais)
Base=5
Expoente = 3
Potência = 125 [Resultado da operação]
Lê-se: Cinco elevado à terceira potência.
Potências especiais:
1- O número um elevado a qualquer número é sempre igual 
a 1. 
Ex: 15= 1
2- Zero elevado a qualquer número é sempre igual a zero.
Ex: 06 = 0
3- Qualquer número (diferente de zero) elevado a zero é 
sempre igual a 1.
Ex: 50= 1
Didatismo e Conhecimento 2
MATEMÁTICA
4- Potências de base 10 é igual a 1 seguido de tantos zeros 
quanto estiver indicando no expoente.
Ex: 104= 10000 ( 4 zeros pois o expoente é 4)
5- Qualquer número elevado a 1 é igual a ele mesmo.
Ex: 81= 8
Propriedades da potenciação
1º) Multiplicação de potências de mesma base.
Ex: 
35 . 32 . 33 = 310
24 . 2. 23 . 22 . 2 = 211
Para escrever o produto de potências de mesma base, 
conservamos a base e somamos os expoentes.
2º ) Potência de potência.
(22)3 = 22. 22. 22 = 22+2+2= 26 = 64
(22)4 = 22. 22. 22. 22 = 22+2+2+2= 28 = 256
Para escrever a potência elevada a outro expoente, conserva-
se a base e multiplicam-se os expoentes.
3º) Divisão de potências de mesma base
128 : 126 = 128–6 =
122 25 : 23 = 25-3 = 22
Para escrever o quociente de potências de mesma base, 
conservamos a base e subtraímos os expoentes. 
Observação: Quociente significa o resultado de uma divisão.
Radiciação
Observe os termos da radiciação:
Onde:
n = representa o termo da radiciação chamado Radical. É o 
índice.
X = representa o termo da radiciação chamado de radicando.
Temos que radiciação de números naturais é a operação 
inversa da potenciação. Observe abaixo:
bn = a⇔ b = an (n > 0)
Em termos mais precisos, dado um número natural a 
denominado radicando e dado um número natural n denominado 
índice da raiz, é possível determinar outro número b, 
denominado raiz enésima de a, representada pelo símbolo an , 
tal que b elevado a n seja igual a a.
 Este é o símbolo de raiz ou sinal de raiz ou simplesmente 
radical.
Ex: 25 = 5 porque 52=5.5=25
 3 27 = 3 porque 33= 3.3.3=27
 5 32 = 2 porque 25= 2.2.2.2.2=32
Expressões numéricas
Para resolver uma expressão numérica efetuamos as operações 
obedecendo a seguinte ordem:
1º) Potenciação e radiciação na ordem em que aparecem
2º) Multiplicação e divisão na ordem em que aparecem
3º) Adição e subtração na ordem em que aparecem.
Há expressões em que aparecem os sinais de associação que 
devem ser eliminados na seguinte ordem:
1º) ( ) parênteses
2º) [ ] colchetes
3º) { } chaves
Ex: Resolver a expressão:
[(5² - 6.2²). 3 + (13 – 7)²: 3]: 5 =
= [(25 – 6.4). 3 + 6²: 3]: 5 =
= [(25 – 24). 3 + 36: 3]: 5 =
= [1.3 + 12]: 5 =
= [3 + 12]: 5 =
= 15: 5 = 3
Números Inteiros
É o conjunto formado pelos números inteiros positivos, zero 
e números inteiros negativos. O conjunto Z é uma ampliação do 
conjunto N.
Z= {...-3,-2,-1,0,1,2,3...}
Os subconjuntos de Z são:
Z*= {... -3, -2, -1, 1, 2, 3...} 
* = excluir o zero do conjunto.
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4...}
Z- = {... -3, -2, -1, 0}
Z*
+= {1, 2, 3, 4...}
Z*
-= {..., -3, -2, -1}
Relação de ordem nos números inteiros
Quando estabelecemos uma relação de ordem entre dois 
números, estamos identificando se eles são iguais, ou qual deles é 
o maior. Observe a reta numérica.
Dados dois números inteiros, o maior é o que estiver à direita.
Ex: -1 é maior que -3, 4 é maior que zero
Módulo ou valor absoluto
É o número sem considerar o seu sinal. Para indicar módulo 
escrevemos o número entre barras. 
Ex: 3− = 3 5+ = 5
Didatismo e Conhecimento 3
MATEMÁTICA
Números opostos ou simétricos 
São números com o mesmo valor absoluto e sinais contrários.
Ex: +4 e -4 são números opostos ou simétricos.
Adição e subtração de números inteiros
Para juntar números com sinais iguais, adicionamos os 
valores absolutos e conservamos o sinal. Quando o número tem 
sinais diferentes, subtraímos os valores absolutos e conservamos 
o sinal do maior.
Ex: 
+5+7 = +12
-5 -7 = -12
+5 –7 = -2
-5 +7 = +2
Multiplicação e divisão de números inteiros
Para multiplicar ou dividir números inteiros efetuamos a 
operação indicada e usamos a regra de sinais abaixo:
+ + = + Sinais iguais, resultado positivo.
- - = +
+ - = - Sinais diferentes, resultado negativo.
- + = -
Ex: (+4) . (+5) = +20 (+30) : (+6) = +5
 (-3) . (-6) = +18 (- 20) : (-5) = +4 (+8) . (-3) = -24
 (+18) : (-3) = -6 (-6) (+5) = -30 (- 15) : (+5) = -3
Potenciação e radiciação de números inteiros
Potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.
Ex: 23= 2.2.2=8
2 é a base, 3 é o expoente e 8 é a potência
Estamos trabalhandocom números inteiros, portanto pode 
aparecer base negativa e positiva.
Exemplo: (+3)2= (+3). (+3) = +9
(+2)3= (+2). (+2). (+2) = +8
(-2)2= (-2). (-2) = +4
(-2)3= (-2). (-2). (-2) = -8
Se a base é positiva o resultado é sempre positivo.
Se a base é negativa e o expoente é par o resultado é positivo.
Se a base é negativa e o expoente é impar o resultado é 
negativo
Importante: Todo número elevado a zero é sempre igual a 1.
Raiz quadrada de um número quadrado perfeito é um número 
positivo cujo quadrado é igual ao número dado.
Ex: 25 =5, pois 52=25
OBS:
1- Para multiplicar 3 ou mais números inteiros, multiplicamos 
os valores absolutos e todos os números e contamos os sinais 
negativos. Se o número de negativos for impar e resultado terá 
sinal negativo, se for par o resultado será positivo.
Ex: 
(-3). (-5). (+2). (-1) = -30 → 3 negativos(impar), resultado 
negativo. 
(-2). (-3). (+6). (-1).( -2) = +72 → 4 negativos(par), resultado 
positivo. 
2- Para eliminar parênteses usamos a mesma regra de sinais da 
multiplicação e da divisão.
Ex: 
-(+4) = -4
-(-5) = +5
Expressões Numéricas em Z
Para resolver uma expressão numérica devemos obedecer a 
seguinte ordem:
1º) Resolver as potenciações e radiciações na ordem em que 
aparecem
2º) Resolver as multiplicações e divisões na ordem em que 
elas aparecem
3º) Resolver as adições e subtrações na ordem em elas 
aparecem
Há expressões em que aparecem os sinais de associação que 
devem ser eliminados na seguinte ordem:
1º) ( ) parênteses
2º) [ ] colchetes
3º) { } chaves
Exercícios Resolvidos
1- Calcule as operações indicadas:
a) (+8) + (-6) – (-3) – (-2)
Resolução
+8 -6 +3 +2 = +13 - 6 = +7
b) -(-3). (-5) + (-4)
Resolução
+3. (-5)-4 = -15 – 4 = -19
c) (+55): (-5) + (-5). (-2) 
Resolução
-11+(+10) = -11+10 = -1
2- Quais são os números inteiros entre -2 e 1 incluindo esses 
dois?
Resolução:
-2,-1,0,1
3- Calcule as potências e resolva as operações:
(-5)1- [(-2)5: 4-7] + (-1)379. (-5)2R
Resolução: 
5-[-32:4-7]+(-1).(+25)
-5-[-8-7]+(-25)
5-[-15]-25
-5+15-25
+10 -25 -15 
Didatismo e Conhecimento 4
MATEMÁTICA
Números Racionais - Q
Um número racional é o que pode ser escrito na forma 
m
n
, onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser diferente 
de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de 
m por n. 
Como podemos observar, números racionais podem ser obti-
dos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual, o 
conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, 
é comum encontrarmos na literatura a notação:
Q = { 
m
n : m e n em Z, n diferente de zero}
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos:
- Q* = conjunto dos racionais não nulos;
- Q+ = conjunto dos racionais não negativos;
- Q*+ = conjunto dos racionais positivos;
- Q _ = conjunto dos racionais não positivos;
- Q*_ = conjunto dos racionais negativos.
Representação Decimal das Frações
Tomemos um número racional p
q
, tal que p não seja múltiplo 
de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do 
numerador pelo denominador. 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos:
1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um 
número finito de algarismos. Decimais Exatos:
2
5
 = 0,4
1
4
= 0,25
35
 4
= 8,75
153
 50
= 3,06
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos 
algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. 
Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:
1
3
 = 0,333... 
 1
22
 = 0,04545...
167
 66
 = 2,53030...
Representação Fracionária dos Números Decimais
Trata-se do problema inverso: estando o número racional 
escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de 
fração. Temos dois casos:
1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador 
é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto 
pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas 
decimais do número decimal dado:
0,9 = 9
10
5,7 = 57
10
0,76 = 76
100
3,48 = 348
100
0,005 = 5
1000
= 1
200
2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, 
vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos:
Exemplo 1 
Seja a dízima 0, 333... .
Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros 
por 10: 10x = 0,333 
Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da 
segunda:
10x – x = 3,333... – 0,333... ⇒ 9x = 3 ⇒ x = 3/9
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração 3
9
.
Exemplo 2
Seja a dízima 5, 1717...
Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... .
Subtraindo membro a membro, temos:
99x = 512 ⇒ x = 512/99
Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 512
 99
.
Exemplo 3
Seja a dízima 1, 23434...
Façamos x = 1,23434... 10x = 12,3434... 1000x = 1234,34... .
Subtraindo membro a membro, temos:
990x = 1234,34... – 12,34... ⇒ 990x = 1222 ⇒ x = 1222/990
Simplificando, obtemos x = 611
 495
, a fração geratriz da dízima 
1, 23434... 
Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que 
representa esse número ao ponto de abscissa zero.
Exemplo: Módulo de - 3
2
 é 3
2
. Indica-se 3
2
- = 3
2
Didatismo e Conhecimento 5
MATEMÁTICA
 Módulo de + 3
2
 é 3
2
. Indica-se 3
2
+ = 3
2
Números Opostos: Dizemos que – 3
2
e 3
2
 são números 
racionais opostos ou simétricos e cada um deles é o oposto do 
outro. As distâncias dos pontos – 3
2
 e 3
2
 ao ponto zero da reta 
são iguais.
Soma (Adição) de Números Racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito 
na forma de uma fração, definimos a adição entre os números 
racionais a
b
 e c
d
, da mesma forma que a soma de frações, 
através de:
a
b
 + c
d
 = ad + bc
 bd
Propriedades da Adição de Números Racionais
O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a 
soma de dois números racionais ainda é um número racional.
- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + 
b ) + c
- Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a
- Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em 
Q, proporciona o próprio q, isto é: q + 0 = q
- Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que 
q + (–q) = 0
Subtração de Números Racionais
A subtração de dois números racionais p e q é a própria 
operação de adição do número p com o oposto de q, isto é: 
p – q = p + (–q)
Multiplicação (Produto) de Números Racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito 
na forma de uma fração, definimos o produto de dois números 
racionais a
b
e c
d
, da mesma forma que o produto de frações, 
através de:
a
b x c
d
 = ac
bd
O produto dos números racionais a e b também pode ser 
indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre 
as letras.
Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos 
obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:
(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1) × (+1) = (-1)
(-1) × (-1) = (+1)
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o 
mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais 
diferentes é negativo.
Propriedades da Multiplicação de Números Racionais
O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto 
de dois números racionais ainda é um número racional.
- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × 
b ) × c
- Comutativa: Para todos a, b em Q: a × b = b × a
- Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo 
q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q × 1 = q
- Elemento inverso: Para todo q = a
b
 em Q, q diferente de 
zero, existe q-1 = 
 
b
a 
em Q: q × q-1 = 1 a
b 
x b
a
 = 1
- Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × 
b ) + ( a × c )
Divisão de Números Racionais
A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação 
de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q = 
p × q-1
Potenciação de Números Racionais
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores 
iguais. O número q é denominado a base e o númeron é o expoente.
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)
Exemplos:
a) 
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
= 2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
8
125
b) − 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = − 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ . −
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ . −
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = − 1
8
c) (–5)² = (–5) . ( –5) = 25
d) (+5)² = (+5) . (+5) = 25
Propriedades da Potenciação: Toda potência com expoente 
0 é igual a 1.
+ 2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
0
 = 1
- Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.
 
− 9
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
 = - 9
4
- Toda potência com expoente negativo de um número racional 
diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao 
inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente 
anterior.
− 3
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−2
. − 5
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
= 25
9
Didatismo e Conhecimento 6
MATEMÁTICA
- Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da 
base.
2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
= 2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
8
27
- Toda potência com expoente par é um número positivo.
− 1
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
= − 1
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ . −
1
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
1
25
- Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto 
de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a 
base e somamos os expoentes.
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
. 2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
= 2
5
.2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
5
.2
5
.2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2+3
= 2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
5
- Quociente de potências de mesma base. Para reduzir 
um quociente de potências de mesma base a uma só potência, 
conservamos a base e subtraímos os expoentes.
3
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
5
. 3
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
=
3
2
. 3
2
. 3
2
. 3
2
. 3
2
3
2
. 3
2
= 3
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
5−2
= 3
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
- Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência 
a uma potência de um só expoente, conservamos a base e 
multiplicamos os expoentes
1
2
2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3
= 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
. 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
. 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
= 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2+2+2
= 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3+2
= 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
6
Radiciação de Números Racionais
Se um número representa um produto de dois ou mais fatores 
iguais, então cada fator é chamado raiz do número. Vejamos alguns 
exemplos:
Exemplo 1
4 Representa o produto 2 . 2 ou 22. Logo, 2 é a raiz quadrada 
de 4. Indica-se √4= 2.
Exemplo 2
1
9
 Representa o produto 1
3
. 1
3 
ou 1
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
. Logo, 1
3 
é a raiz 
quadrada de 1
9
.Indica-se 1
9
= 1
3
Exemplo 3
0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 
é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 0,2163 = 0,6.
Assim, podemos construir o diagrama:
N Z Q
Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o 
número zero ou um número racional positivo. Logo, os números 
racionais negativos não têm raiz quadrada em Q.
O número -100
 9
 não tem raiz quadrada em Q, pois tanto 
-10
 3
 como +10
 3
, quando elevados ao quadrado, dão 100
 9
.
Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto 
dos números racionais se ele for um quadrado perfeito.
O número 2
3
 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe 
número racional que elevado ao quadrado dê 2
3
.
Exercícios
1. Calcule o valor das expressões numéricas:
a) 7
24
− 5
12
− 1
8
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − − 7
6
+ 3
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
b) + 3
16
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ : − 1
12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
5
2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
− 9
4
− 7
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2. Escreva o produto 
73
3
2.
3
2





+




+ como uma só potência. 
3. Escreva o quociente 
 
− 16
25
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
12
: − 16
25
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
4
como uma só 
potência. 
4. Qual é o valor da expressão −
13
24
− 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
: + 3
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ?
5. Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu com 
1
6
 das figurinhas, enquanto Cristina contribuiu com das figurinhas 
3
4
. Com que fração das figurinhas as duas juntas contribuíram?
6. Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu 1
4
 do livro e no 
dia seguinte leu 1
6
 do livro. Então calcule:
a) A fração do livro que ela já leu.
b) A fração do livro que falta para ela terminar a leitura.
7. Em um pacote há 4
5
 de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote 
há 1
3
. Quantos quilos de açúcar o primeiro pacote tem a mais que 
o segundo?
Didatismo e Conhecimento 7
MATEMÁTICA
8. A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os 5
9
 da rua 
já foram asfaltados. Que fração da rua ainda resta asfaltar?
9. No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, 1
3
 
desses apartamentos foi vendido e 1
6
 foi reservado. Assim:
a) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada?
b) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não 
foram vendidos ou reservados?
10. Transforme em fração:
a) 2,08
b) 1,4
c) 0,017
d) 32,17
Respostas
1) Solução
a) 
7
24
− 5
12
− 1
8
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − − 7
6
+ 3
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= 7
24
− 10 − 3
24
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
−14 + 9
12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
7
24
− 7
24
+ 5
12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
7
24
− 7 +10
24
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
7
24
− 17
24
= − 10
24
= − 5
12
b) + 3
16
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ : − 1
12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
5
2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
− 9
4
− 7
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
16
− 1
12
+ 5
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
− 9 −14
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
36
16
− 5
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − − 5
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− 9
4
+ 5
2
+ 5
4
= −9 +10 + 5
4
= 6
4
= 3
2
mmc:(4;2)=4
2) Solução:
+ 2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
10
3) Solução:
− 16
25
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
8
4) Solução:
− 13
24
− − 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
: + 3
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
13
24
− 1
8
: 3
4
− 13
24
+ 4
24
= −13+ 4
24
= − 9
24
= − 3
8
5) Resposta 11
12Solução: 
1
6
 + 3
4
 = 2
12
 + 9
12
 = 11
12
6) Solução:
a) 1
4
 + 1
6
 = 3
12
 + 2
12
 = 5
12
b) 1- 5
12
 = 12
12
 - 5
12
 = 7
12
7) Respostas 7
15Solução: 
4
5 - 1
3
 = 12
15
 - 5
15
 = 7
15
8) Resposta 4
9Solução:
1 - 
5
9 = 9
9
 - 5
9
 = 4
9
9) Solução:
a) 
1
3 + 1
6 = 2
6
 + 1
6 = 3
6 = 1
2
b) 1- 1
2
 = 2
2
 - 1
2
 = 1
2
10) Solução:
a) 2,08 → 
208
100
= 52
25
b) 1,4 → 
14
10
= 7
5
c) 0,017 → 
17
1000
d) 32,17 → 
3217
100
Números Irracionais
Os números racionais, aqueles que podem ser escritos na 
forma de uma fração a/b onde a e b são dois números inteiros, com 
a condição de que b seja diferente de zero, uma vez que sabemos 
da impossibilidade matemática da divisão por zero.
Vimos também, que todo número racional pode ser escrito na 
forma de um número decimal periódico, também conhecido como 
dízima periódica.
Didatismo e Conhecimento 8
MATEMÁTICA
Vejam os exemplos de números racionais a seguir:
3 / 4 = 0,75 = 0, 750000...
- 2 / 3 = - 0, 666666...
1 / 3 = 0, 333333...
2 / 1 = 2 = 2, 0000...
4 / 3 = 1, 333333...
- 3 / 2 = - 1,5 = - 1, 50000...
0 = 0, 000... 
Existe, entretanto, outra classe de números que não podem 
ser escritos na forma de fração a/b, conhecidos como números 
irracionais. 
Exemplo
O número real abaixo é um número irracional, embora pareça 
uma dízima periódica: x = 0,10100100010000100000...
Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta 
a cada passo. Existem infinitos números reais que não são dízimas 
periódicas e dois números irracionais muito importantes, são:
e = 2,718281828459045...,
Pi (π) = 3,141592653589793238462643...
Que são utilizados nas mais diversas aplicações práticas 
como: cálculos de áreas, volumes, centros de gravidade, previsão 
populacional, etc.
Classificação dos Números Irracionais
Existem dois tipos de números irracionais:
- Números reais algébricos irracionais: 
são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Todo número 
real que pode ser representado através de uma quantidade finita de 
somas, subtrações, multiplicações, divisões e raízes de grau inteiro 
a partir dos números inteiros é um número algébrico, por exemplo, 
. 
A recíproca não é verdadeira: existem números algébricos que 
não podem ser expressos através de radicais, conforme o teorema 
de Abel-Ruffini.
- Números reais transcendentes: não são raízes de polinômios 
com coeficientes inteiros. Várias constantes matemáticas são 
transcendentes, como pi ( ) e o número de Euler ( ). Pode-se 
dizer que existem mais números transcendentes do que números 
algébricos (a comparação entreconjuntos infinitos pode ser feita 
na teoria dos conjuntos).
A definição mais genérica de números algébricos e 
transcendentes é feita usando-se números complexos.
Identificação de números irracionais
Fundamentado nas explanações anteriores, podemos afirmar 
que:
- Todas as dízimas periódicas são números racionais.
- Todos os números inteiros são racionais.
- Todas as frações ordinárias são números racionais.
- Todas as dízimas não periódicas são números irracionais.
- Todas as raízes inexatas são números irracionais.
- A soma de um número racional com um número irracional é 
sempre um número irracional.
- A diferença de dois números irracionais, pode ser um número 
racional.
Exemplo: - = 0 e 0 é um número racional.
- O quociente de dois números irracionais, pode ser um 
número racional.
Exemplo: 8 : 2 = 4 = 2 e 2 é um número racional.
- O produto de dois números irracionais, pode ser um número 
racional.
Exemplo: . = = 5 e 5 é um número racional.
- A união do conjunto dos números irracionais com 
o conjunto dos números racionais, resulta num conjunto 
denominado conjunto R dos números reais.
- A interseção do conjunto dos números racionais com o 
conjunto dos números irracionais, não possui elementos comuns e, 
portanto, é igual ao conjunto vazio (∅).
Simbolicamente, teremos:
Q∪I = R
Q∩I =∅
MDC e MMC
MDC – O máximo divisor comum de dois ou mais números é 
o maior número que é divisor comum de todos os números dados. 
Consideremos:
- o número 18 e os seus divisores naturais:
D+ (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
- o número 24 e os seus divisores naturais:
D+ (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
Podemos descrever, agora, os divisores comuns a 18 e 24:
D+ (18) D+ (24) = {1, 2, 3, 6}.
Observando os divisores comuns, podemos identificar o maior 
divisor comum dos números 18 e 24, ou seja: MDC (18,24) = 6.
Outra técnica para o cálculo do MDC:
Decomposição em fatores primos
Para obtermos o mdc de dois ou mais números por esse 
processo, procedemos da seguinte maneira:
- Decompomos cada número dado em fatores primos.
- O mdc é o produto dos fatores comuns obtidos, cada um 
deles elevado ao seu menor expoente.
Exemplo
Achar o mdc entre 300 e 504.
Didatismo e Conhecimento 9
MATEMÁTICA
300 2 504 2 300 = 22 . 3 . 52
150 2 252 2 504 = 23 . 32 . 7
 75 3 126 2
 25 5 63 3 mdc (300, 504) = 22 . 3 = 4 . 3 = 12
 5 5 21 3
 1 7 7
 1
MMC
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números é o 
menor número positivo que é múltiplo comum de todos os números 
dados. Consideremos:
- O número 6 e os seus múltiplos positivos:
M*+ (6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ...}
- O número 8 e os seus múltiplos positivos:
M*+ (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, ...}
Podemos descrever, agora, os múltiplos positivos comuns:
M*+ (6) M*+ (8) = {24, 48, 72, ...}
Observando os múltiplos comuns, podemos identificar o 
mínimo múltiplo comum dos números 6 e 8, ou seja: MMC (6,8) 
= 24
Outra técnica para o cálculo do MMC:
Decomposição isolada em fatores primos
Para obter o mmc de dois ou mais números por esse processo, 
procedemos da seguinte maneira:
- Decompomos cada número dado em fatores primos.
- O mmc é o produto dos fatores comuns e não-comuns, cada 
um deles elevado ao seu maior expoente.
Exemplo
Achar o mmc entre 18 e 120.
18 2 120 2 18 = 2 . 32 
 9 3 60 2 120 = 23 . 3 . 5
 3 3 30 2
 1 15 3 mmc (18, 120) = 23 . 32 . 5 = 8 . 9 . 5 = 360
 5 5
 1 
2. POLINÔMIOS (OPERAÇÕES
 BÁSICAS: ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, 
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO).
Para polinômios podemos encontrar várias definições diferen-
tes como:
Polinômio é uma expressão algébrica com todos os termos 
semelhantes reduzidos. Polinômio é um ou mais monômios sepa-
rados por operações.
As duas podem ser aceitas, pois se pegarmos um polinômio 
encontraremos nele uma expressão algébrica e monômios separa-
dos por operações.
 
- 3xy é monômio, mas também considerado polinômio, assim 
podemos dividir os polinômios em monômios (apenas um monô-
mio), binômio (dois monômios) e trinômio (três monômios). 
- 3x + 5 é um polinômio e uma expressão algébrica. 
Como os monômios, os polinômios também possuem grau e 
é assim que eles são separados. Para identificar o seu grau, basta 
observar o grau do maior monômio, esse será o grau do polinômio. 
Com os polinômios podemos efetuar todas as operações: adi-
ção, subtração, divisão, multiplicação, potenciação.
O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios 
envolve técnicas de redução de termos semelhantes, jogo de sinal, 
operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. Observe os 
exemplos a seguir: 
Adição
Exemplo 1
Adicionar x2 – 3x – 1 com –3x2 + 8x – 6. 
(x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses 
através do jogo de sinal. 
+(–3x2) = –3x2 
+(+8x) = +8x 
+(–6) = –6 
x2 – 3x – 1 –3x2 + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes. 
x2 – 3x2 – 3x + 8x – 1 – 6 
–2x2 + 5x – 7 
Portanto: (x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) = –2x2 + 5x – 7 
Exemplo 2
Adicionando 4x2 – 10x – 5 e 6x + 12, teremos: 
(4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) → eliminar os parênteses utilizando 
o jogo de sinal. 
4x2 – 10x – 5 + 6x + 12 → reduzir os termos semelhantes. 
4x2 – 10x + 6x – 5 + 12 
4x2 – 4x + 7 
Portanto: (4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) = 4x2 – 4x + 7 
Subtração
Exemplo 1
Subtraindo –3x2 + 10x – 6 de 5x2 – 9x – 8. 
(5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) → eliminar os parênteses 
utilizando o jogo de sinal. 
– (–3x2) = +3x2 
– (+10x) = –10x 
– (–6) = +6 
5x2 – 9x – 8 + 3x2 –10x +6 → reduzir os termos semelhantes. 
5x2 + 3x2 – 9x –10x – 8 + 6 
8x2 – 19x – 2 
Portanto: (5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) = 8x2 – 19x – 2 
Didatismo e Conhecimento 10
MATEMÁTICA
Exemplo 2 
Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5 teremos: 
(2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) → eliminando os 
parênteses através do jogo de sinais. 
2x³ – 5x² – x + 21 – 2x³ – x² + 2x – 5 → redução de termos 
semelhantes. 
2x³ – 2x³ – 5x² – x² – x + 2x + 21 – 5 
0x³ – 6x² + x + 16 
– 6x² + x + 16 
Portanto: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = – 6x² + 
x + 16 
Exemplo 3 
Considerando os polinômios A = 6x³ + 5x² – 8x + 15, B = 2x³ 
– 6x² – 9x + 10 e C = x³ + 7x² + 9x + 20. Calcule: 
a) A + B + C 
(6x³ + 5x² – 8x + 15) + (2x³ – 6x² – 9x + 10) + (x³ + 7x² + 9x 
+ 20) 
6x³ + 5x² – 8x + 15 + 2x³ – 6x² – 9x + 10 + x³ + 7x² + 9x + 20 
6x³ + 2x³ + x³ + 5x² – 6x² + 7x² – 8x – 9x + 9x + 15 + 10 + 20 
9x³ + 6x² – 8x + 45 
A + B + C = 9x³ + 6x² – 8x + 45 
b) A – B – C 
(6x³ + 5x² – 8x + 15) – (2x³ – 6x² – 9x + 10) – (x³ + 7x² + 9x 
+ 20) 
6x³ + 5x² – 8x + 15 – 2x³ + 6x² + 9x – 10 – x³ – 7x² – 9x – 20 
6x³ – 2x³ – x³ + 5x² + 6x² – 7x² – 8x + 9x – 9x + 15 – 10 – 20 
6x³ – 3x³ + 11x² – 7x² – 17x + 9x + 15 – 30 
3x³ + 4x² – 8x – 15 
A – B – C = 3x³ + 4x² – 8x – 15
A multiplicação com polinômio (com dois ou mais monômios) 
pode ser realizada de três formas: 
Multiplicação de monômio com polinômio. 
Multiplicação de número natural com polinômio.
Multiplicação de polinômio com polinômio.
As multiplicações serão efetuadas utilizando as seguintes 
propriedades: 
- Propriedade da base igual e expoente diferente: an . am = a n + m 
- Monômio multiplicado por monômio é o mesmo que 
multiplicar parte literal com parte literal e coeficiente com 
coeficiente. 
Multiplicação de monômio com polinômio
 
- Se multiplicarmos 3x por (5x2 + 3x – 1), teremos: 
3x . (5x2 + 3x – 1) → aplicar a propriedade distributiva. 
3x . 5x2 + 3x . 3x + 3x . (-1) 
15x3 + 9x2 – 3x 
Portanto: 3x (5x2 + 3x – 1) = 15x3 + 9x2 – 3x 
- Se multiplicarmos -2x2 por (5x – 1), teremos: 
-2x2 (5x – 1) → aplicando a propriedade distributiva. 
-2x2 . 5x – 2x2 . (-1) 
- 10x3 + 2x2 
Portanto: -2x2(5x – 1) = - 10x3 + 2x2 
Multiplicação de número natural
- Se multiplicarmos 3 por (2x2 + x + 5), teremos: 
3 (2x2 + x + 5) → aplicar a propriedade distributiva. 
3 . 2x2 + 3 . x + 3 . 5 
6x2 + 3x + 15. 
Portanto: 3 (2x2 + x + 5) = 6x2 + 3x + 15. 
Multiplicação de polinômio com polinômio
 
- Se multiplicarmos (3x – 1) por (5x2 + 2) 
(3x – 1) . (5x2 + 2) → aplicar a propriedade distributiva. 
3x . 5x2 + 3x . 2 – 1 . 5x2 – 1 . 2 
15x3 + 6x – 5x2 – 2 
Portanto: (3x – 1) . (5x2 + 2) = 15x3 + 6x – 5x2 – 2
- Multiplicando (2x2 + x + 1) por (5x – 2), teremos:
(2x2 + x + 1) (5x – 2) → aplicar a propriedade distributiva. 
2x2 . (5x) + 2x2 . (-2) + x . 5x + x . (-2) + 1 . 5x + 1 . (-2) 
10x3 – 4x2 + 5x2 – 2x + 5x – 2 
10x3+ x2 + 3x – 2 
Portanto: (2x2 + x + 1) (5x – 2) = 10x3+ x2 + 3x – 2
Divisão
A compreensão de como funciona a divisão de polinômio por 
monômio irá depender de algumas definições e conhecimentos. 
Será preciso saber o que é um monômio, um polinômio e como 
resolver a divisão de monômio por monômio. Dessa forma, veja a 
seguir uma breve explicação sobre esses assuntos.
• Polinômio é uma expressão algébrica racional e inteira, por 
exemplo: 
x2y 
3x – 2y 
x + y5 + ab
• Monômio é um tipo de polinômio que possui apenas um 
termo, ou seja, que possui apenas coeficiente e parte literal. Por 
exemplo: 
a2 → 1 é o coeficiente e a2 parte literal. 
3x2y → 3 é o coeficiente e x2y parte literal. 
-5xy6 → -5 é o coeficiente e xy6 parte literal. 
• Divisão de monômio por monômio 
Ao resolvermos uma divisão onde o dividendo e o divisor 
são monômios devemos seguir a regra: dividimos coeficiente com 
coeficiente e parte literal com parte literal. Exemplos: 6x3 : 3x = 6 
. x3 = 2x2 3x2
 
Observação: ao dividirmos as partes literais temos que estar 
atentos à propriedade que diz que base igual na divisão, repete a 
base e subtrai os expoentes. 
Didatismo e Conhecimento 11
MATEMÁTICA
Depois de relembrar essas definições veja alguns exemplos de 
como resolver divisões de polinômio por monômio.
Exemplo: (10a3b3 + 8ab2) : (2ab2) 
O dividendo 10a3b3 + 8ab2 é formado por dois monômios. 
Dessa forma, o divisor 2ab2, que é um monômio, irá dividir cada 
um deles, veja: 
(10a3b3 + 8ab2) : (2ab2)
Assim, transformamos a divisão de polinômio por monômio 
em duas divisões de monômio por monômio. Portanto, para 
concluir essa divisão é preciso dividir coeficiente por coeficiente e 
parte literal por parte literal.
ou
Portanto, (10a3b3 + 8ab2) : (2ab2) = 5a2b + 4 
Exemplo: (9x2y3 – 6x3y2 – xy) : (3x2y) 
O dividendo 9x2y3 – 6x3y2 – xy é formado por três monômios. 
Dessa forma, o divisor 3x2y, que é um monômio irá dividir cada 
um deles, veja:
Assim, transformamos a divisão de polinômio por monômio 
em três divisões de monômio por monômio. Portanto, para concluir 
essa divisão é preciso dividir coeficiente por coeficiente e parte 
literal por parte literal.
Portanto,
 
Exercícios
1. Um Caderno custa y reais. Gláucia comprou 4 cadernos, 
Cristina comprou 6, e Karina comprou 3. Qual é o monômio que 
expressa a quantia que as três gastaram juntas?
2. Suponha que a medida do lado de um quadrado seja 
expressa por 6x², em que x representa um número real positivo. 
Qual o monômio que vai expressar a área desse quadrado?
3. Um caderno de 200 folhas custa x reais, e um caderno de 
100 folhas custa y reais. Se Noêmia comprar 7 cadernos de 200 
folhas e 3 cadernos de 100 folhas, qual é a expressão algébrica que 
irá expressar a quantia que ela irá gastar?
4. Escreve de forma reduzida o polinômio: 0,3x – 5xy + 1,8y 
+ 2x – y + 3,4xy. 
5. Calcule de dois modos (7x – 2xy – 5y) + (-2x + 4xy + y)
6. Determine P1 + P2 – P3, dados os Polinômios:
P1 = 3x² + x²y² - 7y²
P2 = 2x² + 8x²y² + 3y²
P3 = 5x² + 7x²y² - 9y²
7. Qual é o polinômio P que, adicionado ao polinômio 2y5 – 
3y4 + y² – 5y + 3, dá como resultado o polinômio 3y5 – 2y4 – 2y3 
+ 2y² – 4y + 1?
8. Qual é a forma mais simples de se escrever o polinômio 
expresso por: 2x(3a – 2x) + a(2x – a) – 3x(a + x)?
9. Qual a maneira para se calcular a multiplicação do seguinte 
polinômio: (2x + y)(3x – 2y)?
10. Calcule: (12a5b² – 20a4b³ + 48a³b4) (4ab).
Respostas
1) Resposta “13y reais”.
Solução: 4y + 6y + 3y =
= (4 + 6 + 3)y =
= 13y
Logo, as três juntas gastaram 13y reais.
2) Resposta “36x4”.
Solução:
Área: (6x²)² = (6)² . (x)² = 36x4
Logo, a área é expressa por 36x4.
3) Resposta “7x + 3y”.
Solução:
7 cadernos a x reais cada um: 7x reais
3 cadernos a y reais cada um: 3y reais.
Portanto, a quantia que Noêmia gastará na compra dos 
cadernos é expressa por:
7x + 3y → uma expressão algébrica que indica a adição de 
monômios. 
4) Resposta “2,3x – 1,65xy + 0,8y”.
Solução:
0,3x – 5xy + 1,8y + 2x – y + 3,4xy =
= 0,3x + 2x – 5xy + 3,4xy + 1,8y – y = → propriedade 
comutativa
Didatismo e Conhecimento 12
MATEMÁTICA
= 2,3x – 1,65xy + 0,8y → reduzindo os termos semelhantes
Então: 2,3x – 1,65xy + 0,8y é a forma reduzida do polinômio 
dado. 
5) Resposta “5x + 2xy – 4y”.
Solução: 1˚ Modo:
(7x – 2xy – 5y) + (–2x + 4xy + y) =
= 7x – 2xy – 5y – 2x + 4xy + y =
= 7x – 2x – 2xy + 4xy – 5y + y = 
= 5x + 2xy – 4y
2˚ Modo:
 7x – 2xy – 5y
– 2x + 4xy + y
-------------------------
5x + 2xy – 4y
6) Resposta “–3x² + 2x²y² + 5y²”.
Solução: 
(3x² + x²y² - 7y²) + (x² + 8x²y² + 3y²) – (5x² + 7x²y² - 9y²) = 
= 3x² + x²y² – 7y² – x² + 8x²y² + 3y² – 5x² – 7x²y² + 9y² =
= 3x² – x² – 5x² + x²y² + 8x²y² – 7x²y² – 7y² + 3y² + 9y² =
= –3x² + 2x²y² + 5y²
Logo, P1 + P2 – P3 = –3x² + 2x²y² + 5y².
7) Resposta “y5 + y4 – 2y3 + y² + y – 2”.
Solução:
P + (2y5 – 3y4 + y² – 5y + 3) = (3y5 – 2y4 – 2y3 + 2y² – 4y + 
1). Daí:
P = (3y5 – 2y4 – 2y3 + 2y² – 4y + 1) – (2y5 – 3y4 + y² – 5y + 3) = 
= 3y5 – 2y4 – 2y3 + 2y² – 4y + 1 – 2y5 + 3y4 – y² + 5y – 3 = 
= 3y5 – 2y5 – 2y4 + 3y4 – 2y3 + 2y² – y² – 4y + 5y + 1 – 3 = 
= y5 + y4 – 2y3 + y² + y – 2.
Logo, o polinômio P procurado é y5 + y4 – 2y3 + y² + y – 2. 
8)Resposta “5ax – 7x² – a²”.
Solução: 
2x(3a – 2x) + a(2x – a) – 3x(a + x) = 
= 6ax – 4x² + 2ax – a² – 3ax – 3x² =
= 6ax + 2ax – 3ax – 4x² – 3x² – a² =
= 5ax – 7x² – a² 
9) Resposta “6x² – xy – 2y²”.
Solução: Nesse caso podemos resolve de duas maneiras:
1˚ Maneira: (2x + y)(3x – 2y) =
= 2x . 3x – 2x . 2y + y . 3x – y . 2y =
= 6x² – 4xy + 3xy – 2y² =
= 6x² – xy – 2y² 
2˚ Maneira:
 3x – 2y
x 2x + y
-------------------
6x² – 4xy
 + 3xy – 2y²
---------------------
6x² – xy – 2y²
10) Resposta “3a4b – 5a³b² + 12a²b³”.
Solução: 
(12a5b² – 20a4b³ + 48a³b4) (4ab) =
= (12a5b² 4ab) – (20a4b³ 4ab) + (48a³b4 4ab) =
= 3a4b – 5a³b² + 12a²b³
3. PRODUTOS NOTÁVEIS.
Os produtos notáveis obedecem a leis especiais de formação e, 
por isso, não são efetuados pelas regras normais da multiplicação 
de polinômios. Apresentam-se em grande número e dão origem a 
um conjunto de identidades de grande aplicação.
Considere a e b, expressões em R, representando polinômios 
quaisquer, apresentamos a seguir os produtos notáveis.
Quadrado da Soma de Dois Termos
(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Quadrado da Diferença de Dois Termos
(a - b)2 = (a - b) (a - b) = a2 - 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos
(a + b) (a – b) = a2 – ab + ab - b2
(a + b)(a – b) = a2
Cubo da Soma de Dois Termos
(a + b)3 = (a + b) (a + b)2 = (a + b) (a2 + 2ab + b2)
(a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Cubo da Diferença de Dois Termos
(a - b)3 = (a - b) (a2 - 2ab + b2)
(a - b)3 = a3 + 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Exercícios
1. Desenvolva os seguintes produtos notáveis:
a) (3x+y)²
b) (()+x²)²
2. Desenvolva:
a) (()+4y³)²
b) (2x+3y)3
3. Resolva os seguintes termos:
a) (x4 + (1/x2))3 
b) ((2x/3) + (4y/5)) . ((2x/3) - (4y/5)
Didatismo e Conhecimento 13
MATEMÁTICA
4. Efetue as multiplicações:
a) (x-2) (x-3)
b) (x+5) (x-4)
5. Simplifique as expressões:
a) (x + y)2 – x2 – y2
b) (x + 2) (x - 7) + (x – 5) (x + 3)
6. Resolva tal expressão:
a) (a –3)²
b) (x – 3y)²
c) (2ª – 5)²
7. Desenvolva:
a) (x + 2) (x – 2)
b) (2x – 5y) (2x + 5y)
8. Resolva a expressão: (x/2 + y/3) (x/2 – y/3).
9. Calcule os seguintes termos:
a) (3 + 4)²
b) (5 + 4)²
10. Utilize a regra do produto notável para resolver os 
seguintes cálculos:
a) (x + 2)² 
b) (4x + 4)²
c) (a + 4b)²
Respostas
1) Solução:
a → (3x + y)2 = 
(3x)2 + 2 . 3x . y + y2 = 
9x2 + 6xy + y2
b → (()+x2)2 = 
()2 + 2.().x2 + (x2)2 = 
() + x2 + x4
2) Solução:
a → (() + 4y3)2 =
()2 – 2 .().4y3 + (4y3)2 = 
()x2 – ()xy3 + 16y6
b → (2x+3y)3 =
(2x)3 + 3 .(2x)2. 3y + 3 . 2x .(3y)2 + (3y)3 =
8x 3+ 36x2y + 54xy2 + 27y3
3) Solução:
a → (x4 + (1/x2))3 = 
(x4)3 + 3 . (x4)2 . (1/x2) + 3 . x4 . (1/x2)2 + (1/x2)3 = 
x12 + 3x6 + 3 + (1/x6) 
b → (2x/3) + (4y/5)) . ((2x/3) - (4y/5)) =
(2x/3)2 - (4y/5)2 = 
(4/9)x2 - (16/25)y2 
4) Solução:
a → (x-2) (x-3) =
x2 + ((-2) + (-3)) x + (-2) . (-3) =
x2 – 5x + 6
b → (x+5) (x-4) = 
x2 + (5 + (-4)) x + 5 . (-4) = 
x2 + x – 20 
5) Solução:
a → (x + y)2 – x2 – y2 = 
x2 + 2xy + y2 – x2 – y2 = 
2xy
b → (x + 2) (x – 7) + (x – 5) (x + 3) = 
x2 + (2 + (-7)) x + 2 . (-7) + x2 + (-5 + 3) x + 3 . (-5) = 
x2 – 5x – 14 + x2 – 2x – 15 = 
2x2 – 7x – 29
6) Solução:
a → a² - 2 . a . 3 + 3²
a² - 6ª + 9
b → (x)² - 2 . x . 3y + (3y)²
x² - 6xy + 9y²
c → (2ª) ² - 2 . 2ª . 5² - 5²
4ª ² - 4ª . 50 – 25
7) Solução:
a → (x + 2) (x – 2)
x² - 2² = 
x² – 4
b → (2x – 5y) (2x + 5y)
(2x) ² - (5y) ² = 
4x² - 25y²
8) Solução:
(x/2 + y/3) (x/2 – y/3)
(x/2)² - (y/3)²
x²/4 - y²/9
9) Solução: Nesse caso, podemos resolver de duas maneiras:
a → (3 + 4)² = 7² = 49
(3 + 4)² = 3² + 2 . 3 . 4 + 4² = 9 + 24 + 16 = 49
b → Podemos também resolver de duas maneiras:
(5 + 4)² = 9² = 81
(5 + 4)² = 5² + 2 . 5 . 4 + 4² = 25 + 40 + 16 = 81
10) Solução:
a → x² + 2 . x . 2 + 2²
 x² + 4x + 4
b → (4x)² + 2 . 4x . 4 + 4²
16x² + 32x + 16
c → (a)² + 2 . a . 4b + 4b²
a² + 2 . a . 8b + 16b²
Didatismo e Conhecimento 14
MATEMÁTICA
4. EQUAÇÕES DO 1º E 2º GRAUS.
Equação do 1º Grau
Veja estas equações, nas quais há apenas uma incógnita:
3x – 2 = 16 (equação de 1º grau)
2y3 – 5y = 11 (equação de 3º grau)
1 – 3x + 2
5
 = x + 1
2
 (equação de 1º grau)
 
O método que usamos para resolver a equação de 1º grau é 
isolando a incógnita, isto é, deixar a incógnita sozinha em um dos 
lados da igualdade. Para conseguir isso, há dois recursos:
- inverter operações;
- efetuar a mesma operação nos dois lados da igualdade.
Exemplo1
Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo operações.
Procedimento e justificativa: Se 3x – 2 dá 16, conclui-se que 
3x dá 16 + 2, isto é, 18 (invertemos a subtração). Se 3x é igual a 18, 
é claro que x é igual a 18 : 3, ou seja, 6 (invertemos a multiplicação 
por 3).
Registro
3x – 2 = 16
 3x = 16 + 2
 3x = 18
 x = 18
 3
 
 x = 6
Exemplo 2
Resolução da equação 1 – 3x + 2
5 = x + 1
2
, efetuando a 
mesma operação nos dois lados da igualdade.
Procedimento e justificativa: Multiplicamos os dois lados 
da equação por mmc (2;5) = 10. Dessa forma, são eliminados 
os denominadores. Fazemos as simplificações e os cálculos 
necessários e isolamos x, sempre efetuando a mesma operação nos 
dois lados da igualdade. No registro, as operações feitas nos dois 
lados da igualdade são indicadas com as setas curvas verticais.
Registro
1 – 3x + 2/5 = x + 1 /2
10 – 30x + 4 = 10x + 5
-30x - 10x = 5 - 10 - 4
-40x = +9(-1)
40x = 9
x = 9/40
x = 0,225
Há também um processo prático, bastante usado, que se baseia 
nessas ideias e na percepção de um padrão visual.
- Se a + b = c, conclui-se que a = c + b.
Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no lado 
esquerdo; na segunda, a parcela b aparece subtraindo no lado 
direito da igualdade.
- Se a . b = c, conclui-se que a = c + b, desde que b ≠ 0.
Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando no 
lado esquerdo; na segunda, ele aparece dividindo no lado direito 
da igualdade.
O processo prático pode ser formulado assim: 
- Para isolar a incógnita, coloque todos os termos com 
incógnita de um lado da igualdade e os demais termos do outro 
lado.
- Sempre que mudar um termo de lado, inverta a operação.
Exemplo
Resolução da equação 5(x+2)
 2 = (x+2) . (x-3)
 3 - x
2
 3
, usando o 
processo prático.
Procedimento e justificativa: Iniciamos da forma habitual, 
multiplicando os dois lados pelo mmc (2;3) = 6. A seguir, passamos 
a efetuar os cálculos indicados. Neste ponto, passamos a usar o 
processo prático, colocando termos com a incógnita à esquerda e 
números à direita, invertendo operações.
Registro
5(x+2)
 2
 - (x+2) . (x-3)
 3 = x
2
 3
6. 5(x+2)
 2
 - 6. (x+2) . (x-3)
 3
 = 6. x
2
 3
15(x + 2) – 2(x + 2)(x – 3) = – 2x2
15x + 30 – 2(x2 – 3x + 2x – 6) = – 2x2
15x + 30 – 2(x2 – x – 6) = – 2x2
15x + 30 – 2x2 + 2x + 12 = – 2x2
17x – 2x2 + 42 = – 2x2
17x – 2x2 + 2x2 = – 42
17x = – 42 
x = - 42
17
Note que, de início, essa última equação aparentava ser de 
2º grau por causa do termo - x2
 3
 no seu lado direito. Entretanto, 
depois das simplificações, vimos que foi reduzida a uma equação 
de 1º grau (17x = – 42).
Exercícios
1. Resolva a seguinte equação: x - 1
 2 - x + 3
 4
 = 2x - x - 4
 3
2. Resolva: x - 3
 5 - 2x + 3
 2
 - 5 = 
3x + 1
 2 - 4x + 2
 5
3. Calcule:
Didatismo e Conhecimento 15
MATEMÁTICA
a) -3x – 5 = 25
b) 2x - 1
 2
 = 3
c) 3x + 24 = -5x
4. Existem três números inteiros consecutivos com soma igual 
a 393. Que números são esses?
5. Determine um número real “a” para que as expressões (3a 
+ 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.
6. Determine o valor da incógnita x:
a) 2x – 8 = 10
b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9)
7. Verifique se três é raiz de 5x – 3 = 2x + 6.
8. Verifique se -2 é raiz de x² – 3x = x – 6.
9. Quando o número x na equação ( k – 3 ).x + ( 2k – 5 ).4 + 
4k = 0 vale 3, qual será o valor de K?
10. Resolva as equações a seguir:
a)18x - 43 = 65
b) 23x - 16 = 14 - 17x
c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20
Respostas
1) Resposta “ x = -31
 17 ”
Solução:
 x - 1
 2
 - x + 3
 4 = 2x - x - 4
 3
6(x - 1) - 3(x + 3) = 24x - 4(x - 4)
 12
6x – 6 – 3x – 9 = 24x – 4x + 16
6x – 3x – 24x + 4x = 16 + 9 + 6
10 x – 27x = 31
(-1) - 17x = 31
x = -31
 17
2) Resposta “ x = -32
 15
”
Solução:
x - 3
 5 - 2x + 3
 2
 - 5 = 3x - 1
 2 - 4x + 2
 5
2(x - 3) - 5(2x - 3) - 50 = 5(3x - 1) - 2(4x + 2)
 10
2x – 6 – 10x + 15 – 50 = 15x – 5 – 8x – 4
2x – 10x – 15x + 8x = -5 – 4 + 50 – 15 + 6
10x – 25x = 56 – 24
(-1) -15x = 32
x = 
-32
 15
3) Solução:
a) -3x – 5 = 25
-3x = 25 + 5
(-1) -3x = 30
3x = -30
x = - 30
 3
 = -10
b) 2x - 1
 2
 = 3
2(2x) - 1 = 6
 2
4x – 1 = 6
4x = 6 + 1
4x = 7
x = 7
 4
c) 3x + 24 = -5x
3x + 5x = -24
8x = -24
x = - 24
 8
 = -3
4) Resposta “130; 131 e 132”.
Solução:
x + (x + 1) + (x + 2) = 393
3x + 3 = 393
3x = 390
x = 130
Então, os números procurados são: 130, 131 e 132.
5) Resposta “22”.
Solução: 
(3a + 6) / 8 = (2a + 10) / 6
6 (3a + 6) = 8 (2a + 10)
18a + 36 = 16a + 80
2a = 44
a = 44/2 = 22
6) Solução:
a) 2x – 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 → V = {9}
b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9)
3 –7 + 14x = 5 – x – 9
14x + x = 5 – 9 – 3 + 7
15x= 0
x = 0 → V= {0}
Didatismo e Conhecimento 16
MATEMÁTICA
7) Resposta “Verdadeira”.
Solução: 
5x – 3 = 2x + 6
5.3 – 3 = 2.3 + 6
15 – 3 = 6 + 6
12 = 12 → verdadeira
Então 3 é raiz de 5x – 3 = 2x + 6
8) Resposta “Errada”.
Solução:
x2 – 3x = x – 6
(-2)2 – 3. (-2) = - 2 - 6
4 + 6 = - 2 – 6
10 = -8
Então, -2 não é raiz de x2 – 3x = x – 6
9) Resposta “ k = 29
 15 ”
Solução:
(k – 3).3 + (2k – 5).4 + 4k = 0
3k – 9 + 8k – 20 + 4k = 0
3k + 8k + 4k = 9 + 20
15k = 29
k = 29
 15
10) Resposta
a) 18x = 65 + 43
18x = 108
x = 108/18
x = 6
b) 23x = 14 - 17x + 16
23x + 17x = 30
40x = 30
x = 30/40 = ¾
c) 10y - 5 - 5y = 6y - 6 -20
5y - 6y = -26 + 5
-y = -21
y = 21
Equação do 2º Grau
Denomina-se equação do 2º grau na incógnitax toda equação 
da forma ax2 + bx + c = 0, em que a, b, c são números reais e a ≠ 0.
Nas equações de 2º grau com uma incógnita, os números reais 
expressos por a, b, c são chamados coeficientes da equação:
- a é sempre o coeficiente do termo em x2.
- b é sempre o coeficiente do termo em x.
- c é sempre o coeficiente ou termo independente.
Equação completa e incompleta:
- Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz completa.
Exemplos
5x2 – 8x + 3 = 0 é uma equação completa (a = 5, b = – 8, c = 3).
y2 + 12y + 20 = 0 é uma equação completa (a = 1, b = 12, c 
= 20).
- Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2º grau se 
diz incompleta.
Exemplos
x2 – 81 = 0 é uma equação incompleta (a = 1, b = 0 e c = – 81).
10t2 +2t = 0 é uma equação incompleta (a = 10, b = 2 e c = 0).
5y2 = 0 é uma equação incompleta (a = 5, b = 0 e c = 0).
Todas essas equações estão escritas na forma ax2 + bx + c 
= 0, que é denominada forma normal ou forma reduzida de uma 
equação do 2º grau com uma incógnita.
Há, porém, algumas equações do 2º grau que não estão escritas 
na forma ax2 + bx + c = 0; por meio de transformações convenientes, 
em que aplicamos o princípio aditivo e o multiplicativo, podemos 
reduzi-las a essa forma.
Exemplo: Pelo princípio aditivo.
2x2 – 7x + 4 = 1 – x2
2x2 – 7x + 4 – 1 + x2 = 0
2x2 + x2 – 7x + 4 – 1 = 0
3x2 – 7x + 3 = 0
Exemplo: Pelo princípio multiplicativo.
2
x
 - 1
2
 = x
x - 4
4.(x - 4) - x(x - 4)
 2x(x - 4) = 2x2
2x(x - 4)
4(x – 4) – x(x – 4) = 2x2
4x – 16 – x2 + 4x = 2x2
– x2 + 8x – 16 = 2x2
– x2 – 2x2 + 8x – 16 = 0
– 3x2 + 8x – 16 = 0
Resolução das equações incompletas do 2º grau com uma 
incógnita.
- A equação é da forma ax2 + bx = 0.
x2 + 9 = 0 ⇒ colocamos x em evidência
x . (x – 9) = 0
x = 0 ou x – 9 = 0
 x = 9
Logo, S = {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação.
- A equação é da forma ax2 + c = 0.
x2 – 16 = 0 ⇒ Fatoramos o primeiro membro, que é uma 
diferença de dois quadrados.
(x + 4) . (x – 4) = 0 
x + 4 = 0 x – 4 = 0
x = – 4 x = 4
Logo, S = {–4, 4}.
Fórmula de Bhaskara
Usando o processo de Bhaskara e partindo da equação escrita 
na sua forma normal, foi possível chegar a uma fórmula que vai 
nos permitir determinar o conjunto solução de qualquer equação 
do 2º grau de maneira mais simples.
Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou fórmula de 
Bhaskara. 
Didatismo e Conhecimento 17
MATEMÁTICA
x =-b +- √Δ
2.a
Nesta fórmula, o fato de x ser ou não número real vai depender 
do discriminante r; temos então, três casos a estudar.
1º caso: Δ é um número real positivo ( Δ > 0).
Neste caso, √Δ é um número real, e existem dois valores reais 
diferentes para a incógnita x, sendo costume representar esses 
valores por x’ e x”, que constituem as raízes da equação.
x =-b +- √Δ
2.a x’ = -b +√Δ
2.a
 x’’ =-b - √Δ
2.a
2º caso: Δ é zero ( Δ = 0).
Neste caso, √Δ é igual a zero e ocorre:
x =-b +- √Δ
2.a = x =-b +- √0
2.a = -b
+- √0
2.a = 
-b
 2a
Observamos, então, a existência de um único valor real para 
a incógnita x, embora seja costume dizer que a equação tem duas 
raízes reais e iguais, ou seja:
x’ = x” = -b 2a
3º caso: Δ é um número real negativo ( Δ < 0).
Neste caso, √Δ não é um número real, pois não há no conjunto 
dos números reais a raiz quadrada de um número negativo. 
Dizemos então, que não há valores reais para a incógnita x, ou 
seja, a equação não tem raízes reais.
A existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem 
duas ou uma única dependem, exclusivamente, do discriminante 
Δ= b2 – 4.a.c; daí o nome que se dá a essa expressão.
Na equação ax2 + bx + c = 0
- Δ = b2 – 4.a.c
- Quando Δ ≥ 0, a equação tem raízes reais.
- Quando Δ < 0, a equação não tem raízes reais.
- Δ > 0 (duas raízes diferentes).
- Δ = 0 (uma única raiz).
Exemplo: Resolver a equação x2 + 2x – 8 = 0 no conjunto R.
temos: a = 1, b = 2 e c = – 8
Δ= b2 – 4.a.c = (2)2 – 4 . (1) . (–8) = 4 + 32 = 36 > 0
Como Δ > 0, a equação tem duas raízes reais diferentes, dadas 
por:
 x =-b +- √Δ
2.a
 = 
-(2)+- √36
2.(1)
 = -2
+- 6
2
x’ = -2 + 6
2 = 4
2
 = 2 x” = -2
- 6
2 = -8
 2 = -4
Então: S = {-4, 2}.
Exercícios
1. Se x2 = – 4x, então:
a) x = 2 ou x = 1
b) x = 3 ou x = – 1
c) x = 0 ou x = 2
d) x = 0 ou x = – 4
e) x = 4 ou x = – 1
2. As raízes reais da equação 1,5x2 + 0,1x = 0,6 são:
a) 2
 5
 e 1
b) 3
 5
 e 2
 3
c) - 3
 5
 e - 2
 5
d) - 2
 5
 e 2
 3
e) 3
 5
 e - 2
 3
3. As raízes da equação x3 – 2x2 – 3x = 0 são:
a) –2, 0 e 1
b) –1, 2 e 3
c) – 3, 0 e 1
d) – 1, 0 e 3
e) – 3, 0 e 2
4. Verifique se o número 5 é raiz da equação x2 + 6x = 0.
5. Determine o valor de m na equação x2 + (m + 1)x – 12 = 0 
para que as raízes sejam simétricas.
6. Determine o valor de p na equação x2 – (2p + 5)x – 1 = 0 
para que as raízes sejam simétricas.
7. (U. Caxias do Sul-RS) Se uma das raízes da equação 2x2 – 
3px + 40 = 0 é 8, então o valor de p é:
a) 5
b) 13
 3
c) 7
d) –5
e) –7
8. O número de soluções reais da equação: -6x2 + 4x2
 2x2 - 3x
 = -4, 
com x ≠ 0 e x ≠ 
 
 3
 2 
é:
Didatismo e Conhecimento 18
MATEMÁTICA
a) 0
b) 1
c) -2
d) 3
e) 4
9. O(s) valor(es) de B na equação x2 – Bx + 4 = 0 para que o 
discriminante seja igual a 65 é(são):
a) 0
b) 9
c) –9
d) –9 ou 9
e) 16
10. Um valor de b, para que a equação 2x2 + bx + 2 = 0 tenha 
duas raízes reais e iguais é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Respostas
1. Resposta “D”.
Solução:
x2 = – 4x
x2 + 4x = 0
x (x + 4) = 0
x = 0 x + 4 = 0
x = -4
2) Resposta “E”.
Solução:
1,5x2 + 0,1x = 0,6
1,5x2 + 0,1x - 0,6 = 0 (x10)
15x2 +1x - 6 = 0
Δ = b2 – 4.a.c
Δ = 12 – 4 . 15 . – 6
Δ = 1 + 360
Δ = 361
x= 
-1 +- √361
2.15 = 
-1 +- 19
30 = 18
30 = 3 5 ou -20
30 = - 2
 3
3) Resposta “D”.
Solução
x3 – 2x2 – 3x = 0
x (x2 – 2x – 3) = 0
x = 0 x2 – 2x – 3 = 0
Δ = b2 – 4.a.c
Δ = -22 – 4 . 1 . – 3
Δ = 4 + 12
Δ = 16
x= 
-(-2) +-√16
2.1
= 
 2 +- 4
 2 = 6 2 = 3 ou -2 2 = -1
4) Resposta “Não”.
Solução:
S= -b a = -6 1 = -6
 
P= c
 a
 = 0 1 = 0 
Raízes: {-6,0}
Ou x2 + 6x = 0
 x (x + 6) = 0
 x=0 ou x+6=0
 x=-6
5) Resposta “-1”.
Solução:
S = -b
 a
 = -(m + 1)
 1 = - m - 1 P = c
 a
= -12
 1 = -12
- m - 1 = 0 
m = -1
6) Resposta “ -5/2”.
Solução:
x2 – (2p + 5)x – 1 = 0 (-1)
-x2 +(2p + 5)x + 1 = 0
S= -b
 a
 = -(2p + 5)
 -1 = 2p + 5 P= c a = 1
 -1
 = -1
2p + 5 = 0
2p = -5
p = - 5/2
7) Resposta “C”
Solução:
2x2 – 3px + 40 = 0
282 – 3p8 + 40 = 0
2.64 – 24p + 40 = 0
128 – 24p + 40 = 0
-24p = - 168 (-1)
p = 168/24
p = 7
8) Resposta “C”.
Solução:
-6x2 + 4x3
 2x2 - 3x
 = x(-6x + 4x2)
 x(2x - 3) = -4
-8x + 12 = -6x + 4x2
4x2 + 2x - 12 = 0
Δ = b2 – 4.a.c
Δ = 22 – 4 . 4 . -12
Δ = 4 + 192
Didatismo e Conhecimento 19
MATEMÁTICA
Δ = 196
x= 
 -2 +-√196
2.4 = 
 -2 +- 14
 8
 12
 8 = 3 2 ou -16
 8 = -2
9) Resposta “D”.
Solução:
x2 – Bx + 4 = 0
b2 – 4.a.c
b2 – 4 . 1 . 4
b2 – 16 = 65
b2= 65 + 16
b = √81
b = 9
b = -B
B = ±9
10) Resposta “C”.
Solução:
2x2 + Bx + 2 = 0
b2 – 4.a.c
b2 – 4 . 2 . 2
b2 - 16
b2 = 16
b = √16
b = 4
5. INEQUAÇÕES DO 1º E 2º GRAUS.
Inequação do 1º Grau
Inequação é toda sentença aberta expressa por uma 
desigualdade.
As inequações x + 5 > 12 e 2x – 4 ≤ x + 2 são do 1º grau, isto 
é, aquelas em que a variável x aparece com expoente 1.
A expressão à esquerda do sinal de desigualdade chama-se 
primeiro membro da inequação. A expressão à direita do sinal de 
desigualdade chama-se segundo membro da inequação.
Na inequação x + 5 > 12, por exemplo, observamos que:
A variável é x;
O primeiro membro é x + 5;
O segundo membro é 12.
Na inequação 2x – 4 ≤ x + 2:
A variável é x;
O primeiro membro é 2x – 4;
O segundo membro é x + 2.
Propriedades da desigualdade
Propriedade Aditiva:
 Mesmo sentido
Exemplo: Se 8 > 3, então8 + 2 > 3 + 2, isto é: 10 > 5.
 
 Somamos +2 aos dois membros da desigualdade
	
  
	
  
Uma desigualdade não muda de sentido quando adicionamos 
ou subtraímos um mesmo número aos seus dois membros.
Propriedade Multiplicativa:
 Mesmo sentido
Exemplo: Se 8 > 3, então 8 . 2 > 3 . 2, isto é: 16 > 6.
 Multiplicamos os dois membros por 2
	
  
	
  
Uma desigualdade não muda de sentido quando multiplicamos 
ou dividimos seus dois membros por um mesmo número positivo.
 Mudou de sentido
Exemplo: Se 8 > 3, então 8 . (–2) < 3 . (–2), isto é: –16 < –6
 Multiplicamos os dois membros por –2
	
  
	
  
Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou 
dividimos seus dois membros por um mesmo número negativo.
Resolver uma inequação é determinar o seu conjunto verdade 
a partir de um conjunto universo dado.
Vejamos, através do exemplo, a resolução de inequações do 1º grau.
a) x < 5, sendo U = N
Os números naturais que tornam a desigualdade verdadeira 
são: 0, 1, 2, 3 ou 4. Então V = {0, 1, 2, 3, 4}.
b) x < 5, sendo U = Z
Todo número inteiro menor que 5 satisfaz a desigualdade. 
Logo, V = {..., –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}.
c) x < 5, sendo U = Q
Todo número racional menor que 5 é solução da inequação 
dada. Como não é possível representar os infinitos números 
racionais menores que 5 nomeando seus elementos, nós o faremos 
por meio da propriedade que caracteriza seus elementos. Assim:
Didatismo e Conhecimento 20
MATEMÁTICA
V = {x ∊ Q / x <5}
Resolução prática de inequações do 1º grau:
A resolução de inequações do 1º grau é feita procedendo 
de maneira semelhante à resolução de equações, ou seja, 
transformando cada inequação em outra inequação equivalente 
mais simples, até se obter o conjunto verdade.
Exemplo
Resolver a inequação 4(x – 2) ≤ 2 (3x + 1) + 5, sendo U = Q.
4(x – 2) ≤ 2 (3x + 1) + 5
4x – 8 ≤ 6x + 2 + 5 aplicamos a propriedade distributiva
4x – 6x ≤ 2 + 5 + 8 aplicamos a propriedade aditiva
–2x ≤ 15 reduzimos os termos semelhantes
Multiplicando os dois membros por –1, devemos mudar o 
sentido da desigualdade.
2x ≥ –15
Dividindo os dois membros por 2, obtemos: 2x
2
≥ −15
2
⇒ x ≥ −15
2
Logo, V = x ∈Q | x ≥ −15
2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
Vamos determinar o conjunto verdade caso tivéssemos U = Z.
Sendo −15
2
= −7,5 , vamos indicá-lo na reta numerada:
Logo, V = {–7, –6, –5, –4, ...} ou V = {x ∊ Z| x ≥ –7}.
Exercícios
1. Resolver a inequação 7x + 6 > 4x + 7, sendo U = Q.
2. Resolver a inequação x
2
≤ 1
4
− 2x − 3x
5
, sendo U = Q.
3. Verificar se os números racionais −9 e 6 fazem parte do 
conjunto solução da inequação 5x − 3 . (x + 6) > x – 14.
4. Resolva as seguintes inequações, em R.
a) 2x + 1 ≤ x + 6
b) 2 - 3x ≥ x + 14
5. Calcule as seguintes inequações, em R.
a) 2(x + 3) > 3 (1 - x)
b) 3(1 - 2x) < 2(x + 1) + x - 7
c) x/3 - (x+1)/2 < (1 - x) / 4
6. Resolva as seguintes inequações, em R.
a) (x + 3) > (-x-1)
b) [1 - 2*(x-1)] < 2
c) 6x + 3 < 3x + 18
7. Calcule as seguintes inequações, em R.
a) 8(x + 3) > 12 (1 - x)
b) (x + 10) > (-x +6)
8. Resolva a inequação: 2 – 4x ≥ x + 17
9. Calcule a inequação 3(x + 4) < 4(2 –x).
10. Quais os valores de x que tornam a inequação 
-2x +4 > 0 verdadeira?
Respostas
1) Resposta “S= x ∈Q / x > 1
3
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
”.
Solução:
7x + 6 > 4x + 7
7x – 4x > 7 – 6
3x > 1
x > 1
3
Da inequação x > 1
3
, podemos dizer que todos os números 
racionais maiores que 1
3
 formam o conjunto solução de inequação 
dada, que é representada por: 
S= x ∈Q / x > 1
3
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
2) Resposta “S = x ∈Q / x > 3
2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
”.
Solução:
x
2
≥ 1
4
− 2x − 3x
5
→ 10x
20
≤ 5 − 4.(2 + 3x)
20
=
10x ≤ 5 – 4 .(2 – 3x) 
10x ≤ 5 – 8 + 12x
10x – 12 x ≤ -3
-2x ≤ -3 (-1)
2x ≥ 3
x ≥ 3
2
Todo número racional maior ou igual 3
2
 a faz parte do 
conjunto solução da inequação dada, ou seja:
S= x ∈Q / x > 3
2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
3) Resposta “6 faz parte; -9 não faz parte”.
Solução: 
5x − 3 . (x + 6) > x – 14
5x – 3x – 18 > x – 14
2x – x > -18 + 14
x > 4
Fazendo agora a verificação: 
- Para o número −9, temos: x > 4 → − 9 > 4 (sentença falsa) 
- Para o número 6, temos: x > 4 → 6 > 4 (sentença verdadeira) 
Então, o número 6 faz parte do conjunto solução da inequação, 
enquanto o número −9 não faz parte desse conjunto.
Didatismo e Conhecimento 21
MATEMÁTICA
4) Solução:
a) 2x - x + 1 ≤ x - x + 6
x + 1 ≤ 6
x ≤ 5
b) 2 - 3x - x ≥ x - x + 14
2 - 4x ≥ 14
-4x ≥ 12
- x ≥ 3
x ≤ -3
5) Solução:
a) 2x + 6 > 3 - 3x
2x - 2x + 6 > 3 - 3x - 2x
6 - 3 > -5x
3 > - 5x
-x < 3/5
x > -3/5 
b) 3 - 6x < 2x + 2 + x - 7
-6x - 3x < -8
-9x < -8
9x > 8
x > 8/9
c) Primeiro devemos achar um mesmo denominador.
4x
12
− 6.(x +1)
12
< 3.(1− x)
12
4x − 6x − 6
12
− < 3− 3x
12
-2x - 6 < 3 - 3x
x < 9
6) Solução:
a) x + 3 > -x - 1
2x > -4
x > -4/2
x > -2
b) 1 - 2x + 2 < 2
- 2x < 2 - 1 - 2
- 2x < -1
2x > 1
x > 1/2
c) 6x - 3x < 18 - 3
3x < 15
x < 15/3
x < 5
7) Solução:
a) 8x + 24 > 12 - 12x
20x > 12 - 24
20x > -12
x > -12/20
x > -3/5
b) x + x > 6 - 10
2x > -4
x > -4/2
x > -2
8) Resposta “x ≤ -3”.
Solução:
2 – 4x – x ≥ x – x + 17
2 – 5x ≥ 17
-5x ≥ 17 – 2 
-5x ≥ 15
5x ≤ -15
x ≤ -3
9) Resposta “x > -7/4”.
Solução:
3x + 12 < 8 – 4x
3x – 3x + 12 < 8 – 4x – 3x
12 < 8 – 7x
12 – 8 < – 7x
4 < – 7x
-x > 7/4
x > -7/4
10) Solução:
-2x > -4
-2x > -4 (-1)
2x < 4
x< 2 
O número 2 não é a solução da inequação dada, mais sim qual-
quer valor menor que 2.
Verifique a solução:
Para x = 1
-2x +4 > 0
-2.(1) +4 > 0
-2 + 4 > 0
2 > 0 (verdadeiro)
Observe, então, que o valor de x menor que 2 é a solução para 
inequação.
Inequação do 2º Grau
Chamamos inequação do 2º grau às sentenças:
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c ≥ 0
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c ≤ 0
Onde a, b, c, são números reais conhecidos, a ≠ 0, e x é a 
incógnita.
Estudo da variação de sinal da função do 2º grau:
- Não é necessário que tenhamos a posição exata do vértice, 
basta que ele esteja do lado certo do eixo x;
- Não é preciso estabelecer o ponto de intersecção do gráfico 
da função com o eixo y e considerando que as imagens acima do 
eixo x são positivas e abaixo do eixo negativas, podemos dispensar 
a colocação do eixo y.
Didatismo e Conhecimento 22
MATEMÁTICA
Para estabelecer a variação de sinal de uma função do 2º grau, 
basta conhecer a posição da concavidade da parábola, voltada para 
cima ou para baixo, e a existência e quantidade de raízes que ela 
apresenta.
Consideremos a função f(x) = ax2 + bx + c com a ≠ 0.
Finalmente, tomamos como solução para inequação as regiões 
do eixo x que atenderem às exigências da desigualdade.
Exemplo
Resolver a inequação x2 – 6x + 8 ≥ 0.
- Fazemos y = x2 – 6x + 8. 
- Estudamos a variação de sinal da função y.
- Tomamos, como solução da inequação, os valores de x para 
os quais y > 0:
S = {x ∈ R| x < 2 ou x > 4}
Observação: Quando o universo para as soluções não é 
fornecido, fazemos com que ele seja o conjunto R dos reais.
Exercícios
1. Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela 
é completa ou não:
a) 5x2 - 3x - 2 = 0
b) 3x2 + 55 = 0
2. Dentre os números -2, 0, 1, 4, quais deles são raízes da 
equação x2-2x-8= 0?
3. O número -3 é a raíz da equação x2 - 7x - 2c = 0. Nessas 
condições, determine o valor do coeficiente c:
4. Resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0.
5. Determine a solução da inequação –2x² – x + 1 ≤ 0.
6. Calcule a solução da inequação x² – 6x + 9 > 0.
7. Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0.
8. Resolva a inequação -x² + 4 ≥ 0.
9. Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela 
é completa ou não:
a) x2 - 6x = 0
b) x2 - 10x + 25 = 0
10. Para que os valores de x a expressão x² – 2x é maior 
que –15? 
Respostas
1) Solução:
a) a = 5; b = -3; c = -2
Equação completa
b) a = 3; b = 0; c = 55
Equação incompleta
2) Solução: Sabemos que são duas as raízes, agora basta 
testarmos.(-2)2 – 2.(-2) - 8 = 0 (-2)2 + 4 - 8 4 + 4 - 8 = 0 (achamos 
uma das raízes)
02 – 2.0 - 8 = 0 0 - 0 - 8 0
12 – 2.1 - 8 = 0 1 - 2 - 8 0
42 – 2.4 - 8 = 0 16 - 8 - 8 = 0 (achamos a outra raiz)
3) Solução: 
(-3)² - 7.(-3) - 2c = 0
9 +21 - 2c = 0
30 = 2c
c = 15
4) Resposta “S = {x Є R / –7/3 < x < –1}”.
Solução: 
S = {x Є R / –7/3 < x < –1} 
Didatismo e Conhecimento 23
MATEMÁTICA
5) Resposta “S = {x Є R / x < –1 ou x > 1/2} ”.
Solução: 
S = {x Є R / x < –1 ou x > 1/2} 
6) Resposta “S = {x Є R / x < 3 e x > 3}”.
Solução:
 
S = {x Є R / x < 3 e x > 3} 
7) Resposta “S = {x Є R / x ≤ 0 ou x ≥ 4}”.
Solução:
 
S = {x Є R / x ≤ 0 ou x ≥ 4}
8) Resposta “S = {x Є R/ -2 ≤ x ≤ 2}”.
Solução:
-x² + 4 = 0.
x² – 4 = 0.
x1 = 2
x2 = -2
S = {x Є R/ -2 ≤ x ≤ 2}
9) Solução:
a) a = 1; b = -6; c = 0
Equação incompleta
b) a = 1; b = -10; c = 25
Equação completa
10) Solução:
x² – 2x > 15
x² – 2x – 15 > 0
Calculamos o Zero:
x² – 2x – 15 = 0
x = -3 ou x = +5
6. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º E 2º 
GRAUS.
Definição
Observe o raciocínio: João e José são colegas. Ao passarem por 
uma livraria, João resolveu comprar 2 cadernos e 3 livros e pagou por 
eles R$ 15,40, no total dos produtos. José gastou R$ 9,20 na compra 
de 2 livros e 1 caderno. Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa.
No dia seguinte, encontram um outro colega e falaram sobre 
suas compras, porém não se lembrava do preço unitário de dos 
livros. Sabiam, apenas que todos os livros, como todos os cadernos, 
tinham o mesmo preço.
Bom, diante deste problema, será que existe algum modo de 
descobrir o preço de cada livro ou caderno com as informações 
que temos ? Será visto mais à frente.
Um sistema de equação do primeiro grau com duas incógnitas 
x e y, pode ser definido como um conjunto formado por duas 
equações do primeiro grau. Lembrando que equação do primeiro 
grau é aquela que em todas as incógnitas estão elevadas à potência 
1.
Didatismo e Conhecimento 24
MATEMÁTICA
Observações gerais
Em tutoriais anteriores, já estudamos sobre equações do 
primeiro grau com duas incógnitas, como exemplo: X + y = 7 x – y 
= 30 x + 2y = 9 x – 3y = 15
Foi visto também que as equações do 1º grau com duas 
variáveis admitem infinitas soluções:
x + y = 6 x – y = 7
x y x y
0 6 0 -7
1 5 1 -6
2 4 2 -5
3 3 3 -4
4 2 4 -3
5 1 5 -2
6 0 6 -1
... ...
Vendo a tabela acima de soluções das duas equações, é 
possível checar que o par (4;2), isto é, x = 4 e y = 2, é a solução 
para as duas equações.
Assim, é possível dizer que as equações
X + y = 6
X – y = 7
Formam um sistema de equações do 1º grau.
Exemplos de sistemas:
x + y = 4
x − y = 7
⎧
⎨
⎩
2x + 3y + 2z = 10
4x − 5y + z = 15
⎧
⎨
⎩
2x + y = 10
5x − 2y = 22
⎧
⎨
⎩
∑ Observe este símbolo. A matemática convencionou 
neste caso para indicar que duas ou mais equações formam um 
sistema.
Resolução de sistemas
Resolver um sistema significa encontrar um par de valores das 
incógnitas X e Y que faça verdadeira as equações que fazem parte 
do sistema.
Exemplos:
a) O par (4,3 ) pode ser a solução do sistema
x – y = 2
x + y = 6
Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta 
substituir os valores em ambas as equações:
x - y = 2 x + y = 6
4 – 3 = 1 4 + 3 = 7
1 ≠ 2 (falso) 7 ≠ 6 (falso)
A resposta então é falsa. O par (4,3) não é a solução do sistema 
de equações acima.
b) O par (5,3 ) pode ser a solução do sistema
x – y = 2
x + y = 8
Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta 
substituir os valores em ambas as equações:
x - y = 2 x + y = 8
5 – 3 = 2 5 + 3 = 8
2 = 2 (verdadeiro 8 = 8 (verdadeiro)
A resposta então é verdadeira. O par (5,3) é a solução do 
sistema de equações acima.
Métodos para solução de sistemas do 1º grau.
- Método de substituição
Esse método de resolução de um sistema de 1º grau estabelece 
que “extrair” o valor de uma incógnita é substituir esse valor na 
outra equação.
Observe:
x – y = 2
x + y = 4
Vamos escolher uma das equações para “extrair” o valor de 
uma das incógnitas, ou seja, estabelecer o valor de acordo com a 
outra incógnita, desta forma:
x – y = 2 ---> x = 2 + y
Agora iremos substituir o “X” encontrado acima, na “X” da 
segunda equação do sistema:
x + y = 4
(2 + y ) + y = 4
2 + 2y = 4 ----> 2y = 4 -2 -----> 2y = 2 ----> y = 1
Temos que: x = 2 + y, então
x = 2 + 1
x = 3
Assim, o par (3,1) torna-se a solução verdadeira do sistema.
- Método da adição
Este método de resolução de sistema do 1º grau consiste 
apenas em somas os termos das equações fornecidas.
Observe:
x – y = -2
3x + y = 5
Didatismo e Conhecimento 25
MATEMÁTICA
Neste caso de resolução, somam-se as equações dadas:
x – y = -2
3x + y = 5 +
4x = 3
x = 3/4
Veja nos cálculos que quando somamos as duas equações o 
termo “Y” se anula. Isto tem que ocorrer para que possamos achar 
o valor de “X”.
Agora, e quando ocorrer de somarmos as equações e os valores 
de “x” ou “y” não se anularem para ficar somente uma incógnita ?
Neste caso, é possível usar uma técnica de cálculo de 
multiplicação pelo valor excludente negativo.
Ex.:
3x + 2y = 4
2x + 3y = 1
Ao somarmos os termos acima, temos:
5x + 5y = 5, então para anularmos o “x” e encontramos o valor 
de “y”, fazemos o seguinte:
» multiplica-se a 1ª equação por +2
» multiplica-se a 2ª equação por – 3
Vamos calcular então:
3x + 2y = 4 ( x +2)
2x + 3y = 1 ( x -3)
6x +4y = 8
-6x - 9y = -3 +
-5y = 5
y = -1
Substituindo:
2x + 3y = 1
2x + 3.(-1) = 1
2x = 1 + 3
x = 2
Verificando:
3x + 2y = 4 ---> 3.(2) + 2(-1) = 4 -----> 6 – 2 = 4
2x + 3y = 1 ---> 2.(2) + 3(-1) = 1 ------> 4 – 3 = 1
7. SISTEMA LEGAL DE UNIDADE DE 
MEDIDA.
Um sistema de medidas é um conjunto de unidades de medida 
que mantém algumas relações entre si. O sistema métrico decimal 
é hoje o mais conhecido e usado no mundo todo. Na tabela 
seguinte, listamos as unidades de medida de comprimento do 
sistema métrico. A unidade fundamental é o metro, porque dele 
derivam as demais.
Unidades de Comprimento
km hm dam m dm cm mm
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Há, de fato, unidades quase sem uso prático, mas elas têm uma 
função. Servem para que o sistema tenha um padrão: cada unidade 
vale sempre 10 vezes a unidade menor seguinte.
Por isso, o sistema é chamado decimal.
E há mais um detalhe: embora o decímetro não seja útil na 
prática, o decímetro cúbico é muito usado com o nome popular 
de litro.
As unidades de área do sistema métrico correspondem às 
unidades de comprimento da tabela anterior. 
São elas: quilômetro quadrado (km2), hectômetro quadrado 
(hm2), etc. As mais usadas, na prática, são o quilômetro quadrado, 
o metro quadrado e o hectômetro quadrado, este muito importante 
nas atividades rurais com o nome de hectare (ha): 1 hm2 = 1 ha.
No caso das unidades de área, o padrão muda: uma 
unidade é 100 vezes a menor seguinte e não 10 vezes, como nos 
comprimentos. Entretanto, consideramos que o sistema continua 
decimal, porque 100 = 102.
Unidades de Área
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
quilômetro
quadrado
hectômetro
quadrado
decâmetro
quadrado
metro
quadrado
decímetro
quadrado
centímetro
quadrado
milímetro
quadrado
10000m 1000m 100m 1m 0,01m 0,001m 0,0001m
Agora, vejamos as unidades de volume. De novo, temos a 
lista: quilômetro cúbico (km3), hectômetro cúbico (hm3), etc. Na 
prática, são muitos usados o metro cúbico e o centímetro cúbico.
Nas unidades de volume, há um novo padrão: cada unidade 
vale 1000 vezes a unidade menor seguinte. Como 1000 = 103, o 
sistema continua sendo decimal.
Unidades de Volume
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
quilômetro
cúbico
hectômetro
cúbico
decâmetro
cúbico
metro
cúbico
decímetro
cúbico
centímetro
cúbico
milímetro
cúbico
100000m 10000m 1000m 1m 0,001m 0,0001m 0,00001m
A noção de capacidade relaciona-se com a de volume. Se o 
volume da água que enche um tanque é de 7 000 litros, dizemos 
que essa é a capacidade do tanque. A unidade fundamental para 
medir capacidade é o litro (l); 1l equivale a 1 dm3.
Cada unidade vale 10 vezesa unidade menor seguinte.
Unidades de Capacidade
kl hl dal l dl cl ml
quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centímetro mililitro
1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l
O sistema métrico decimal inclui ainda unidades de medidas 
de massa. A unidade fundamental é o grama.
Unidades de Massa
kg hg dag g dg cg mg
quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama
1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Didatismo e Conhecimento 26
MATEMÁTICA
Dessas unidades, só têm uso prático o quilograma, o grama e o 
miligrama. No dia-a-dia, usa-se ainda a tonelada (t): 1t = 1000 kg.
Não Decimais
Desse grupo, o sistema hora – minuto – segundo, que mede 
intervalos de tempo, é o mais conhecido.
2h = 2 . 60min = 120 min = 120 . 60s = 7 200s
Para passar de uma unidade para a menor seguinte, multiplica-
se por 60.
0,3h não indica 30 minutos nem 3 minutos; como 1 décimo de 
hora corresponde a 6 minutos, conclui-se que 0,3h = 18min.
Para medir ângulos, também temos um sistema não decimal. 
Nesse caso, a unidade básica é o grau. Na astronomia, na cartografia 
e na navegação são necessárias medidas inferiores a 1º. Temos, 
então:
1 grau equivale a 60 minutos (1º = 60’)
1 minuto equivale a 60 segundos (1’ = 60”)
Os minutos e os segundos dos ângulos não são, é claro, os 
mesmos do sistema hora – minuto – segundo. Há uma coincidência 
de nomes, mas até os símbolos que os indicam são diferentes:
1h32min24s é um intervalo de tempo ou um instante do dia.
1º 32’ 24” é a medida de um ângulo.
Por motivos óbvios, cálculos no sistema hora – minuto 
– segundo são similares a cálculos no sistema grau – minuto – 
segundo, embora esses sistemas correspondam a grandezas 
distintas.
Há ainda um sistema não-decimal, criado há algumas 
décadas, que vem se tornando conhecido. Ele é usado para 
medir a informação armazenada em memória de computadores, 
disquetes, discos compacto, etc. As unidades de medida são bytes 
(b), kilobytes (kb), megabytes (Mb), etc. Apesar de se usarem os 
prefixos “kilo” e “mega”, essas unidades não formam um sistema 
decimal.
Um kilobyte equivale a 210 bytes e 1 megabyte equivale a 210 
kilobytes.
Exercícios
1. Raquel saiu de casa às 13h 45min, caminhando até o 
curso de inglês que fica a 15 minutos de sua casa, e chegou na 
hora da aula cuja duração é de uma hora e meia. A que horas 
terminará a aula de inglês?
a) 14h
b) 14h 30min
c) 15h 15min
d) 15h 30min
e) 15h 45min
2. 348 mm3 equivalem a quantos decilitros?
3. Quantos decalitros equivalem a 1 m3?
4. Passe 50 dm2 para hectômetros quadrados.
5. Quantos quilômetros cúbicos equivalem a 14 mm3?
6. Quantos centilitros equivalem a 15 hl?
7. Passe 5.200 gramas para quilogramas.
8. Converta 2,5 metros em centímetros.
9. Quantos minutos equivalem a 5h05min?
10. Quantos minutos se passaram das 9h50min até as 
10h35min?
Respostas
1) Resposta “D”.
Solução: Basta somarmos todos os valores mencionados no 
enunciado do teste, ou seja:
13h 45min + 15 min + 1h 30 min = 15h 30min
Logo, a questão correta é a letra D. 
2) Resposta “0, 00348 dl”.
Solução: Como 1 cm3 equivale a 1 ml, é melhor dividir-
mos 348 mm3 por mil, para obtermos o seu equivalente em centí-
metros cúbicos: 0,348 cm3. 
Logo 348 mm3 equivalem a 0, 348 ml, já que cm3 e ml se equi-
valem.
Neste ponto já convertemos de uma unidade de medida de 
volume, para uma unidade de medida de capacidade.
Falta-nos passarmos de mililitros para decilitros, quando en-
tão passaremos dois níveis à esquerda. Dividiremos então por 10 
duas vezes:
0,348 :10 :10 0,00348ml dl⇒
Logo, 348 mm³ equivalem a 0, 00348 dl.
3) Resposta “100 dal”.
Solução: Sabemos que 1 m3 equivale a 1.000 l, portanto para 
convertermos de litros a decalitros, passaremos um nível à esquer-
da.
Dividiremos então 1.000 por 10 apenas uma vez:
1000 :10l dal⇒
Isto equivale a passar a vírgula uma casa para a esquerda.
Poderíamos também raciocinar da seguinte forma:
Como 1 m3 equivale a 1 kl, basta fazermos a conversão de 1 
kl para decalitros, quando então passaremos dois níveis à direita. 
Multiplicaremos então 1 por 10 duas vezes:
1 .10.10 100kl dal⇒
Logo, 100 dal equivalem a 1 m³.
Didatismo e Conhecimento 27
MATEMÁTICA
4) Resposta “0, 00005 hm²”.
Solução: Para passarmos de decímetros quadrados para hectô-
metros quadrados, passaremos três níveis à esquerda. 
Dividiremos então por 100 três vezes:
2 250 :100 :100 :100 0,00005dm hm⇒
Isto equivale a passar a vírgula seis casas para a esquerda.
Portanto, 50 dm² é igual a 0, 00005 hm².
5) Resposta“0,000000000000000014 km3, ou a 1,4 x 10-
17 km3”. 
Solução: Para passarmos de milímetros cúbicos para quilôme-
tros cúbicos, passaremos seis níveis à esquerda. Dividiremos então 
14 por 1000 seis vezes:
3
18 3 18
17 3 3
14 :1000 :1000 :1000 :1000 :1000 :1000
14 :10 14.10
1,4.10 0.000000000000000
mm
km km
km km
−
−
⇒ ⇒
⇒ ⇒
Portanto, 0, 000000000000000014 km3, ou a 1,4 x 10-17 km3 se 
expresso em notação científica equivalem a 14 mm3.
6) Resposta “150.000 cl”.
Solução: Para irmos de hectolitros a centilitros, passaremos 
quatro níveis à direita.
Multiplicaremos então 15 por 10 quatro vezes:
15 .10.10.10.10 150.000hl cl⇒
Isto equivale a passar a vírgula quatro casas para a direita.
Logo, 150.000 cl equivalem a 15 hl.
7) Resposta “5,2 kg”.
Solução: Para passarmos 5.200 gramas para quilogramas, 
devemos dividir (porque na tabela grama está à direita de qui-
lograma) 5.200 por 10 três vezes, pois para passarmos de gra-
mas para quilogramas saltamos três níveis à esquerda.
Primeiro passamos de grama para decagrama, depois de de-
cagrama para hectograma e finalmente de hectograma para qui-
lograma:
5200 :10 :10 :10 5,2g kg⇒
Isto equivale a passar a vírgula três casas para a esquerda.
Portanto, 5.200 g são iguais a 5,2 kg. 
8) Resposta “250 cm”.
Solução: Para convertermos 2,5 metros em centímetros, de-
vemos multiplicar (porque na tabela metro está à esquerda de 
centímetro) 2,5 por 10 duas vezes, pois para passarmos de me-
tros para centímetros saltamos dois níveis à direita.
Primeiro passamos de metros para decímetros e depois de de-
címetros para centímetros:
2,5 .10.10 250m cm⇒
Isto equivale a passar a vírgula duas casas para a direita.
Logo, 2,5 m é igual a 250 cm.
9) Resposta “305min”.
Solução: 
(5 . 60) + 5 = 305 min.
10) Resposta “45 min”.
Solução: 45 min
8. RAZÕES E PROPORÇÕES.
Razão
Sejam dois números reais a e b, com b ≠ 0. Chama-se razão 
entre a e b (nessa ordem) o quociente a b, ou .
A razão é representada por um número racional, mas é lida de 
modo diferente.
Exemplos
a) A fração 
5
3 lê-se: “três quintos”.
b) A razão 
5
3 lê-se: “3 para 5”.
Os termos da razão recebem nomes especiais.
 O número 3 é numerador
a) Na fração 5
3
 O número 5 é denominador
 O número 3 é antecedente
a) Na razão 
5
3
 O número 5 é consequente
 
 
 
 
Exemplo 1
A razão entre 20 e 50 é 20
50
= 2
5
; já a razão entre 50 e 20 é 
50
20
= 5
2
.
Exemplo 2
Numa classe de 42 alunos há 18 rapazes e 24 moças. A razão 
entre o número de rapazes e o número de moças é 18
24
= 3
4
, o que 
significa que para “cada 3 rapazes há 4 moças”. Por outro lado, 
Didatismo e Conhecimento 28
MATEMÁTICA
a razão entre o número de rapazes e o total de alunos é dada por 
18
42
= 3
7
, o que equivale a dizer que “de cada 7 alunos na classe, 
3 são rapazes”.
Razão entre grandezas de mesma espécie
A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente 
dos números que expressam as medidas dessas grandezas numa 
mesma unidade.
Exemplo
Uma sala tem 18 m2. Um tapete que ocupar o centro dessa 
sala mede 384 dm2. Vamos calcular a razão entre a área do tapete 
e a área da sala.
Primeiro, devemos transformar as duas grandezas em uma 
mesma unidade:
Área da sala: 18 m2 = 1 800 dm2
Área do tapete: 384 dm2
Estando as duas áreas na mesma unidade, podemos escrever 
a razão:
384dm2
1800dm2=
384
1800
= 16
75
Razão entre grandezas de espécies diferentes
Exemplo 1
Considere um carro que às 9 horas passa pelo quilômetro 30 
de uma estrada e, às 11 horas, pelo quilômetro 170.
Distância percorrida: 170 km – 30 km = 140 km
Tempo gasto: 11h – 9h = 2h
Calculamos a razão entre a distância percorrida e o tempo 
gasto para isso:
140km
2h
= 70km / h
A esse tipo de razão dá-se o nome de velocidade média.
Observe que: 
- as grandezas “quilômetro e hora” são de naturezas diferentes;
- a notação km/h (lê-se: “quilômetros por hora”) deve 
acompanhar a razão.
Exemplo 2
A Região Sudeste (Espírito Santo, Minas Gerais, Rio de 
Janeiro e São Paulo) tem uma área aproximada de 927 286 km2 
e uma população de 66 288 000 habitantes, aproximadamente, 
segundo estimativas projetadas pelo Instituto Brasileiro de 
Geografia e Estatística (IBGE) para o ano de 1995.
Dividindo-se o número de habitantes pela área, obteremos o 
número de habitantes por km2 (hab./km2):
6628000
927286
≅ 71,5hab. / km2
A esse tipo de razão dá-se o nome de densidade demográfica.
A notação hab./km2 (lê-se: ”habitantes por quilômetro 
quadrado”) deve acompanhar a razão.
Exemplo 3
Um carro percorreu, na cidade, 83,76 km com 8 L de gasolina. 
Dividindo-se o número de quilômetros percorridos pelo número 
de litros de combustível consumidos, teremos o número de 
quilômetros que esse carro percorre com um litro de gasolina:
83,76km
8l
≅ 10,47km / l
A esse tipo de razão dá-se o nome de consumo médio.
A notação km/l (lê-se: “quilômetro por litro”) deve 
acompanhar a razão.
Exemplo 4
Uma sala tem 8 m de comprimento. Esse comprimento é 
representado num desenho por 20 cm. Qual é a escala do desenho?
Escala = comprimento i no i desenho
comprimento i real
= 20cm
8m
= 20cm
800cm
= 1
40
ou1: 40
A razão entre um comprimento no desenho e o correspondente 
comprimento real, chama-se Escala.
Proporção
A igualdade entre duas razões recebe o nome de proporção.
Na proporção 3
5
= 6
10
 (lê-se: “3 está para 5 assim como 6 
está para 10”), os números 3 e 10 são chamados extremos, e os 
números 5 e 6 são chamados meios.
Observemos que o produto 3 x 10 = 30 é igual ao produto 5 x 6 
= 30, o que caracteriza a propriedade fundamental das proporções:
“Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos”.
Exemplo 1
Na proporção 
9
6
3
2
= , temos 2 x 9 = 3 x 6 = 18;
e em 1
4
= 4
16
, temos 4 x 4 = 1 x 16 = 16.
Exemplo 2
Na bula de um remédio pediátrico recomenda-se a seguinte 
dosagem: 5 gotas para cada 2 kg do “peso” da criança.
Se uma criança tem 12 kg, a dosagem correta x é dada por:
Didatismo e Conhecimento 29
MATEMÁTICA
5gotas
2kg
= x
12kg
→ x = 30gotas
Por outro lado, se soubermos que foram corretamente 
ministradas 20 gotas a uma criança, podemos concluir que seu 
“peso” é 8 kg, pois:
5gotas
2kg
= 20gotas / p→ p = 8kg
(nota: o procedimento utilizado nesse exemplo é comumente 
chamado de regra de três simples.)
Propriedades da Proporção
O produto dos extremos é igual ao produto dos meios: essa 
propriedade possibilita reconhecer quando duas razões formam ou 
não uma proporção.
4
3
e12
9 formam uma proporção, pois
Produtos dos extremos ← 4.9
36
 = 3.12
36
→ Produtos dos meios.
A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou 
para o segundo termo) assim como a soma dos dois últimos está 
para o terceiro (ou para o quarto termo).
5
2
= 10
4
⇒ 5 + 2
5
⎧
⎨
⎩
= 10 + 4
10
⇒ 7
5
= 14
10
ou
5
2
= 10
4
⇒ 5 + 2
2
⎧
⎨
⎩
= 10 + 4
4
⇒ 7
2
= 14
4
A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro 
(ou para o segundo termo) assim como a diferença entre os dois 
últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo).
8
2
4
1
8
68
4
34
6
8
3
4
=⇒
−
=


 −
⇒=
ou
6
2
3
1
6
68
3
34
6
8
3
4
=⇒
−
=


 −
⇒=
A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes 
assim como cada antecedente está para o seu consequente.
12
8
= 3
2
⇒ 12 + 3
8 + 2
⎧
⎨
⎩
= 12
8
⇒ 15
10
= 12
8
ou
12
8
= 3
2
⇒ 12 + 3
8 + 2
⎧
⎨
⎩
= 3
2
⇒ 15
10
= 3
2
A diferença dos antecedentes está para a diferença dos 
consequentes assim como cada antecedente está para o seu 
consequente.
3
15
= 1
5
⇒ 3−1
15 − 5
⎧
⎨
⎩
= 3
15
⇒ 2
10
= 3
15
ou
3
15
= 1
5
⇒ 3−1
15 − 5
⎧
⎨
⎩
= 1
5
⇒ 2
10
= 1
5
Exercícios
1. Em um mapa verifica-se que a escala é 1 : 22 000 000. Duas 
cidades estão distantes de São Paulo, respectivamente, 4 e 6 cm. Se 
fosse feita uma estrada ligando as três cidades, qual seria o mínimo 
de extensão que ela teria?
2. Em um mapa, a distância em linha reta entre Brasília e 
Palmas, no Tocantins é de 10 cm. Sabendo que a distância real 
entre as duas cidades é de 700 km, qual a escala utilizada na 
confecção do mapa?
3. Uma estátua de bronze tem 140 kg de massa e seu volume 
é de 16 dm³. Qual é a sua densidade?
4. Um trem percorreu 453 km em 6 horas. Qual a velocidade 
média do trem nesse percurso?
5. O estado de Tocantins ocupada uma área aproximada de 
278 500 km². De acordo com o Censo/2000 o Tocantins tinha uma 
população de aproximadamente 1 156 000 habitantes. Qual é a 
densidade demográfica do estado de Tocantins?
6. A diferença entre a idade de Ângela e a idade de Vera é 12 
anos. Sabendo-se que suas idades estão uma para a outra assim 
como 
2
5 , determine a idade de cada uma.
7. Um segmento de 78 cm de comprimento é dividido em duas 
partes na razão de 4
9
 . Determine o comprimento de cada uma das 
partes.
8. Sabe-se que as casas do braço de um violão diminuem de 
largura seguindo uma mesma proporção. Se a primeira casa do 
braço de um violão tem 4 cm de largura e a segunda casa, 3 cm, 
calcule a largura da quarta casa.
9. Água e tinta estão misturadas na razão de 9 para 5. Sabendo-
se que há 81 litros de água na mistura, o volume total em litros é 
de:
a) 45
b) 81
c) 85
d) 181
e) 126
10. A diferença entre dois números é 65. Sabe-se que o 
primeiro está para 9 assim como o segundo está para 4. Calcule 
esses números.
Didatismo e Conhecimento 30
MATEMÁTICA
Respostas
1) Resposta “1320 km”.
Solução: 1cm (no mapa) = 22.000.000cm (na realidade)
*SP ---------------------- cidade A ------------------------ cidade B
 4cm 6cm
O mínimo de extensão será a da cidade mais longe (6cm)
22.000.000 x 6 = 132.000.000 cm = 1320 km.
Logo, o mínimo de extensão que ela teria corresponde à 1320 km.
2) Resposta “1: 7 000 000”.
Solução: Dados:
Comprimento do desenho: 10 cm
Comprimento no real: 700 km = (700 . 100 000) cm = 70 000 
000 cm
Escala = comprimentododesenho
comprimentoreal
= 10
70000000
= 1
7000000
ou1: 7000000
A escala de 1: 7 000 000 significa que:
- 1 cm no desenho corresponde a 7 000 000 cm no real;
- 1 cm no desenho corresponde a 70 000 m no real;
- 1 cm no desenho corresponde a 70 km no real.
3) Resposta “8,75 kg/dm³”.
Solução: De acordo com os dados do problema, temos:
densidade = 140kg
16dm3 = 8,75kg / dm
3
Logo, a densidade da estátua é de 8,75 kg/dm³, que lemos 
como: 8,75 quilogramas por decímetro cúbico.
4) Resposta “75,5 km/h”.
Solução: De acordo com que o enunciado nos oferece, temos:
velocidademédia = 453km
6h
= 75,5km / h
Logo, a velocidade média do trem, nesse percurso, foi de 75,5 
km/h, que lemos: 75,5 quilômetros por hora.
5) Resposta “4,15 hab./km²
Solução: O problema nos oferece os seguintes dados:
Densidadedemográfica = 1156000hab.
278500km2 = 4,15hab. / km2
6) Resposta “Ângela 20; Vera 8”.
Solução:
A – V = 12 anos
A = 12 + V
A
V
= 5
2
→ 12 +V
V
= 5
2
2 (12+V) = 5V
24 + 2V = 5V
5V – 2V = 24
3V = 24
V = 24
3
V (Vera) = 8
A – 8 = 12
A = 12 + 8
A (Ângela) = 20
7) Resposta “24 cm; 54 cm”.
Solução:
x + y = 78 cm
x = 78 - y
x
y
= 4
9
→ 78 − y
y
= 4
9
9 (78 - y) = 4y
702 – 9y = 4y
702 = 4y + 9y
13y = 702
y = 702
13
y = 54cm
x + 54 = 78
x = 78 - 54
x = 24 cm
8) Resposta “ 27
16
cm ”.
Solução: Caso a proporção entre a 2ª e a 1ª casa se mantenha 
constante nas demais, é só determinar qual é esta proporção 
existente entre elas:no caso, = 0,75, ou seja, a largura da 2ª casa 
é 75% a largura da 1ª; Portanto a largura da 3ª casa é (3 . 0,75) = 
2,25 cm.
Logo, a largura da 4ª casa é de (2,25 . 0,75) = 1,69 cm. 
Portanto a sequência seria: (4...3... ... ...) e assim por diante.
 
Onde a razão de proporção é ... e pode ser representada pela 
expressão:
Ti . P elevado à (n - 1)
Onde:
Ti = termo inicial, neste caso: 4
P = proporção entre Ti e o seguinte (razão), neste caso: 
n = número sequencial do termo que se busca, neste caso: 4
Teremos:
(Ti = 4; P = ; n – 1 = 3)
Didatismo e Conhecimento 31
MATEMÁTICA
4 . = 
9) Resposta “E”.
Solução:
A = 81 litros
A
T
= 9
5
→ 81
T
= 9
5
9T = 405
T = 
T = 45
A + T = ?
81 + 45 = 126 litros
10) Resposta “117 e 52”.
Solução:
x – y = 65
x = 65 + y
x
y
= 9
4
→ 65 + y
y
= 9
4
9y = 4 (65 + y)
9y = 260 + 4y
9y – 4y = 260
5y = 260
y = 
y = 52
x – 52 = 65
x = 65 + 52
x = 117
9. GRANDEZAS DIRETAS E 
INVERSAMENTE PROPORCIONAIS.
Números diretamente proporcionais
Considere a seguinte situação:
Joana gosta de queijadinha e por isso resolveu aprender 
a fazê-las. Adquiriu a receita de uma amiga. Nessa receita, os 
ingredientes necessários são:
3 ovos
1 lata de leite condensado
1 xícara de leite
2 colheres das de sopa de farinha de trigo
1 colher das de sobremesa de fermento em pó
1 pacote de coco ralado
1 xícara de queijo ralado
1 colher das de sopa de manteiga
Veja que:
- Para se fazerem 2 receitas seriam usados 6 ovos para 4 
colheres de farinha;
- Para se fazerem 3 receitas seriam usados 9 ovos para 6 
colheres de farinha;
- Para se fazerem 4 receitas seriam usados 12 ovos para 8 
colheres de farinha;
- Observe agora as duas sucessões de números:
Sucessão do número de ovos: 6 9 12
Sucessão do número de colheres de farinha: 4 6 8
Nessas sucessões as razões entre os termos correspondentes 
são iguais:
6
4
= 3
2
 9
6
= 3
2
 12
8
= 3
2
Assim: 6
4
= 9
6
= 12
8
= 3
2
 
Dizemos, então, que:
- os números da sucessão 6, 9, 12 são diretamente proporcio-
nais aos da sucessão 4, 6, 8;
- o número 2
3
, que é a razão entre dois termos corresponden-
tes, é chamado fator de proporcionalidade.
Duas sucessões de números não-nulos são diretamente pro-
porcionais quando as razões entre cada termo da primeira sucessão 
e o termo correspondente da segunda sucessão são iguais.
Exemplo1: Vamos determinar x e y, de modo que as sucessões 
sejam diretamente proporcionais:
2 8 y
3 x 21
Como as sucessões são diretamente proporcionais, as razões 
são iguais, isto é:
2
3
= 8
x
= y
21 
3
2 = 
x
8
 
3
2
= 
21
y
2x = 3 . 8 3y = 2 . 21
2x = 24 3y = 42
x=
24
2 y=
42
3
x=12 y=14
Logo, x = 12 e y = 14
Didatismo e Conhecimento 32
MATEMÁTICA
Exemplo 2: Para montar uma pequena empresa, Júlio, César 
e Toni formaram uma sociedade. Júlio entrou com R$ 24.000,00, 
César com R$ 27.000,00 e Toni com R$ 30.000,00. Depois de 6 
meses houve um lucro de R$ 32.400,00 que foi repartido entre eles 
em partes diretamente proporcionais à quantia investida. Calcular 
a parte que coube a cada um.
Solução:
Representando a parte de Júlio por x, a de César por y, e a de 
Toni por z, podemos escrever:








==
=++
300002700024000
32400
zyx
zyx
x
24000
= y
27000
= z
30000
= x + y + z
32400 
24000 + 27000 + 30000
81000
  
Resolvendo as proporções:
x
24000
= 32400
4
8100010
10x = 96 000
x = 9 600 
y
27000
= 4
10
10y = 108 000
y = 10 800
z
3000
= 4
10
10z = 120 000
z = 12 000
Logo, Júlio recebeu R$ 9.600,00, César recebeu R$ 10.800,00 
e Toni, R$ 12.000,00.
Números Inversamente Proporcionais
Considere os seguintes dados, referentes à produção de sorvete 
por uma máquina da marca x-5:
1 máquina x-5 produz 32 litros de sorvete em 120 min.
2 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 60 min.
4 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 30 min.
6 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 20 min.
Observe agora as duas sucessões de números:
Sucessão do número de máquinas: 1 2 4 6
Sucessão do número de minutos: 120 60 30 20
Nessas sucessões as razões entre cada termo da primeira 
sucessão e o inverso do termo correspondente da segunda são 
iguais:
1
1
120
= 2
1
60
= 4
1
30
= 6
1
20
= 120
Dizemos, então, que:
- os números da sucessão 1, 2, 4, 6 são inversamente propor-
cionais aos da sucessão 120, 60, 30, 20;
- o número 120, que é a razão entre cada termo da primeira 
sucessão e o inverso do seu correspondente na segunda, é chamado 
fator de proporcionalidade.
Observando que
1
1
20
 é o mesmo que 1.120=120 4
1
30
 é mesmo que 4.30=120
2
1
60
 é o mesmo que 2.60=120 6
1
20
 é o mesmo que 6.20= 120
Podemos dizer que: Duas sucessões de números não-nulos são 
inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da 
primeira sucessão pelo termo correspondente da segunda sucessão 
são iguais.
Exemplo 1: Vamos determinar x e y, de modo que as sucessões 
sejam inversamente proporcionais:
4 x 8
20 16 y
Para que as sucessões sejam inversamente proporcionais, os 
produtos dos termos correspondentes deverão ser iguais. Então 
devemos ter:
4 . 20 = 16 . x = 8 . y
16 . x = 4 . 20 8 . y = 4 . 20
 16x = 80 8y = 80
 x = 80/16 y = 80/8
 x = 5 y = 10
Logo, x = 5 e y = 10.
Exemplo 2: Vamos dividir o número 104 em partes 
inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4.
Representamos os números procurados por x, y e z. E como as 
sucessões (x, y, z) e (2, 3, 4) devem ser inversamente proporcionais, 
escrevemos:
4
1
3
1
2
1
zyx
== 
4
1
3
1
2
1
zyx
== =
4
1
3
1
2
1
104
++
++

zyx
 
Como, vem
Didatismo e Conhecimento 33
MATEMÁTICA
Logo, os números procurados são 48, 32 e 24.
Grandezas Diretamente Proporcionais
Considere uma usina de açúcar cuja produção, nos cinco 
primeiros dias da safra de 2005, foi a seguinte:
Dias Sacos de açúcar
1 5 000
2 10 000
3 15 000
4 20 000
5 25 000
Com base na tabela apresentada observamos que:
- duplicando o número de dias, duplicou a produção de 
açúcar;
- triplicando o número de dias, triplicou a produção de 
açúcar, e assim por diante.
Nesse caso dizemos que as grandezas tempo e produção são 
diretamente proporcionais.
Observe também que, duas a duas, as razões entre o número de 
dias e o número de sacos de açúcar são iguais:
Isso nos leva a estabelecer que: Duas grandezas são diretamente 
proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual 
à razão entre os valores da segunda.
Tomemos agora outro exemplo.
Com 1 tonelada de cana-de-açúcar, uma usina produz 70l de 
álcool.
De acordo com esses dados podemos supor que:
- com o dobro do número de toneladas de cana, a usina produza 
o dobro do número de litros de álcool, isto é, 140l;
- com o triplo do número de toneladas de cana, a usina produza 
o triplo do número de litros de álcool, isto é, 210l.
Então concluímos que as grandezas quantidade de cana-de-
açúcar e número de litros de álcool são diretamente proporcionais.
Grandezas Inversamente Proporcionais
Considere uma moto cuja velocidade média e o tempo gasto 
para percorrer determinada distância encontram-se na tabela:
Velocidade Tempo
30 km/h 12 h
60 km/h 6 h
90 km/h 4 h
120 km/h 3 h
Com base na tabela apresentada observamos que:
- duplicando a velocidade da moto, o número de horas fica 
reduzido à metade;
- triplicando a velocidade, o númerode horas fica reduzido à 
terça parte, e assim por diante.
Nesse caso dizemos que as grandezas velocidade e tempo são 
inversamente proporcionais.
Observe que, duas a duas, as razões entre os números que 
indicam a velocidade são iguais ao inverso das razões que indicam 
o tempo:
30
60
 6
12
= inverso da razão 12
 6
30
90
 4
12
= inverso da razão 12
 4
30
120
 3
12
= inverso da razão 12
 3
60
90
 4
 6
= inverso da razão 6
 4
60
120
 3
 6
= inverso da razão 6
 3
90
120
 3
 6
= inverso da razão 4
 3
Podemos, então, estabelecer que: Duas grandezas são 
inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da 
primeira é igual ao inverso da razão entre os valores da segunda.
Acompanhe o exemplo a seguir:
Cinco máquinas iguais realizam um trabalho em 36 dias. De 
acordo com esses dados, podemos supor que:
- o dobro do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na 
metade do tempo, isto é, 18 dias;
- o triplo do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na 
terça parte do tempo, isto é, 12 dias.
Então concluímos que as grandezas quantidade de máquinas 
e tempo são inversamente proporcionais.
Didatismo e Conhecimento 34
MATEMÁTICA
Exercícios
1- Calcule x e y nas sucessões diretamente proporcionais:
a) 1 x 7
 5 15 y
b) 5 10 y
 x 8 24
c) x y 21
 14 35 49
d) 8 12 20
 x y 35
2- Calcule x e y nas sucessões inversamente proporcionais:
a) 4 x y 
 25 20 10
b) 30 15 10
 x 8 y
c) 2 10 y
 x 9 15
d) x y 2
 12 4 6
3- Divida 132 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 8.
4- Reparta 91 em partes inversamente proporcionais a 
6
1
4
1,
3
1 e .
5- Divida 215 em partes diretamente proporcionais a 
3
1
2
5,
4
3 e .
6- Marcelo repartiu entre seus filhos Rafael (15 anos) e Ma-
theus (12 anos) 162 cabeças de gado em partes diretamente pro-
porcionais à idade de cada um. Qual a parte que coube a Rafael?
7- Evandro, Sandro e José Antônio resolveram montar um 
pequeno negócio, e para isso formaram uma sociedade. Evandro 
entrou com R$ 24.000,00, Sandro com R$ 30.000,00, José Antônio 
com R$ 36.000,00. Depois de 4 meses tiveram um lucro de R$ 
60.000,00, que foi repartido entre eles. Quanto recebeu cada um? 
(Nota: A divisão do lucro é diretamente proporcional à quantia que 
cada um empregou.)
8- Leopoldo e Wilson jogam juntos na Sena e acertam os 
seis números, recebendo um prêmio de R$ 750.000,00. Como 
Leopoldo participou com R$ 80,00 e Wilson com R$ 70,00, o 
prêmio foi dividido entre eles em partes diretamente proporcionais 
à participação de cada um. Qual a parte que coube a Wilson?
9- O proprietário de uma chácara distribuiu 300 laranjas a três 
famílias em partes diretamente proporcionais ao número de filhos. 
Sabendo-se que as famílias A, B e C têm respectivamente 2, 3 e 5 
filhos, quantas laranjas recebeu cada família?
10- (UFAC) João, Paulo e Roberto formam uma sociedade 
comercial e combinam que o lucro advindo da sociedade será 
dividido em partes diretamente proporcionais às quantias que cada 
um dispôs para formarem a sociedade. Se as quantias empregadas 
por João, Paulo e Roberto foram, nesta ordem, R$ 1.500.000,00, 
R$ 1.000.000,00 e R$ 800.000,00, e o lucro foi de R$ 1.650.000,00, 
que parte do lucro caberá a cada um?
Respostas
1- a) x = 3 y = 35 b) x = 4 y = 30 c) x = 6 y = 15 d) x = 14 
y = 21
2- a) x = 5 y = 10 b) x = 4 y = 12 c) x = 45 y = 6 d) x = 1 y = 3
3- 80, 32, 20 
4- 21, 28, 43
5- 45, 150, 20
6- 90
7- Evandro R$16.000,00 Sandro R$20.000,00 José Antônio 
R$24.000,00
8- R$350.000,00
9- 60, 90, 150
10- João R$750.000,00 Paulo R$500.000,00 Roberto 
R$400.000,00
Resolução 04
x+y+z
--------- = x/3 ou y/4 ou z/6 (as frações foram invertidas porque 
3+4+6 as partes são inversas)
91/13=x/3
13x=273
x=21
91/13=y/4
13y=364
y=28
91/13=z/6
13z=546
z=42
Resolução 05
x/(3/4) = y/(5/2) = z/(1/3) = k (constante)
x + y + z = 215
3k/4 + 5k/2 + k/3 = 215
(18k + 60k + 8k)/24 = 215 → k = 60 
x = 60.(3/4) = 45
y = 60.(5/2) = 150
z = 60/3 = 20 
(x, y, z) → partes diretamente proporcionais
Didatismo e Conhecimento 35
MATEMÁTICA
Resolução 06
x = Rafael
y = Mateus
x/15 + y /12 = 160/27 (dividindo 160 por 27 (dá 6), e fazendo 
proporções, só calcular)
x/15=6
x=90 
y/12=6
y=72
10. REGRA DE TRÊS SIMPLES E 
COMPOSTA.
Regra de Três Simples
Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou 
inversamente proporcionais podem ser resolvidos através de um 
processo prático, chamado regra de três simples.
Exemplo 1: Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos 
litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 210 km?
Solução:
O problema envolve duas grandezas: distância e litros de 
álcool.
Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido.
Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma 
coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem 
em uma mesma linha:
 Distância (km) Litros de álcool
 180 15
 210 x
Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”), 
vamos colocar uma flecha:
 Distância (km) Litros de álcool
 180 15	
  
 210 x
Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de 
álcool também duplica. Então, as grandezas distância e litros de 
álcool são diretamente proporcionais. No esquema que estamos 
montando, indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna 
“distância” no mesmo sentido da flecha da coluna “litros de 
álcool”:
 Distância (km) Litros de álcool
 180 15
 210 x
 
 
 mesmo sentido
 
 
Armando a proporção pela orientação das flechas, temos:
x
15
210
180
7
6
=
 
 6x = 7 . 15 6x = 105 x = 
6
105 x = 17,5
Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool.
Exemplo 2: Viajando de automóvel, à velocidade de 60 km/h, 
eu gastaria 4 h para fazer certo percurso. Aumentando a velocidade 
para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso?
Solução: Indicando por x o número de horas e colocando as 
grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas 
de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha, 
temos:
Velocidade (km/h) Tempo (h)
 60 4
 80 x
Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos 
colocar uma flecha:
Velocidade (km/h) Tempo (h)
 60 4 
 80 x
Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica 
reduzido à metade. Isso significa que as grandezas velocidade e 
tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse 
fato é indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha 
em sentido contrário ao da flecha da coluna “tempo”:
 
 
Velocidade (km/h) Tempo (h)
 60 4
 80 x 
 sentidos contrários
Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das 
flechas. Assim, temos:
3
4
60
804
=
x 4x = 4 . 3 4x = 12 x = 
4
12 x = 3
 
Resposta: Farei esse percurso em 3 h.
Exemplo 3: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um 
competidor, imprimindo velocidade média de 200 km/h, faz opercurso em 18 segundos. Se sua velocidade fosse de 240 km/h, 
qual o tempo que ele teria gasto no percurso?
Vamos representar pela letra x o tempo procurado.
Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade 
(200 km/h e 240 km/h) com dois valores da grandeza tempo (18 
s e x s).
Queremos determinar um desses valores, conhecidos os 
outros três.
Didatismo e Conhecimento 36
MATEMÁTICA
Velocidade Tempo gasto para 
fazer o percurso
200 km/h 18 s
240 km/h x
Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto 
para fazer o percurso cairá para a metade; logo, as grandezas são 
inversamente proporcionais. Assim, os números 200 e 240 são 
inversamente proporcionais aos números 18 e x.
Daí temos:
200 . 18 = 240 . x
 3 600 = 240x
 240x = 3 600
 x = 
240
3600
 x = 15
O corredor teria gasto 15 segundos no percurso.
Regra de Três Composta
O processo usado para resolver problemas que envolvem mais 
de duas grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais, é 
chamado regra de três composta.
Exemplo 1: Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças. 
Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras produziriam 300 
dessas peças?
Solução: Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as 
grandezas de mesma espécie em uma só coluna e as grandezas de 
espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha. Na 
coluna em que aparece a variável x (“dias”), coloquemos uma flecha: 
Máquinas Peças Dias
 8 160 4	
  
 6 300 x
Comparemos cada grandeza com aquela em que está o x.
As grandezas peças e dias são diretamente proporcionais. No 
nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna “peças” 
uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “dias”:
 
 
Máquinas Peças Dias
 8 160 4
 6 300 x
 Mesmo sentido
As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais 
(duplicando o número de máquinas, o número de dias fica reduzido 
à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na 
coluna (máquinas) uma flecha no sentido contrário ao da flecha da 
coluna “dias”:
Máquinas Peças Dias
 8 160 4
 6 300 x
 Sentidos contrários
 
 
Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que 
contém o x, que é x
4
, com o produto das outras razões, obtidas 
segundo a orientação das flechas 





300
160.
8
6 :
5
1
15
8
1
2
300
160.
8
64
=
x
5
24
=
x => 2x = 4 . 5 a x = 1
2
2
5.4
 => x = 10
Resposta: Em 10 dias.
Exercícios
1. Completamente abertas, 2 torneiras enchem um tanque em 
75 min. Em quantos minutos 5 torneiras completamente abertas 
encheriam esse mesmo tanque?
2. Um trem percorre certa distância em 6 h 30 min, à velocidade 
média de 42 km/h. Que velocidade deverá ser desenvolvida para o 
trem fazer o mesmo percurso em 5 h 15 min?
3. Usando seu palmo, Samanta mediu o comprimento e 
a largura de uma mesa retangular. Encontrou 12 palmos de 
comprimento e 5 palmos na largura. 
Depois, usando palitos de fósforo, mediu novamente o 
comprimento do tampo da mesa e encontrou 48 palitos. Qual 
estratégia Samanta usou para obter largura do tampo da mesa em 
palitos de fósforo?
4. Ao participar de um treino de fórmula Indy, um competidor, 
imprimindo a velocidade média de 180 km/h, faz o percurso em 20 
segundos. Se a sua velocidade fosse de 200 km/h, que tempo teria 
gasto no percurso?
5. Com 3 pacotes de pães de fôrma, Helena faz 63 sanduíches. 
Quantos pacotes de pães de fôrma ela vai usar para fazer 105 
sanduíches?
6. Uma empreiteira contratou 210 pessoas para pavimentar 
uma estrada de 300 km em 1 ano. Após 4 meses de serviço, apenas 
75 km estavam pavimentados. Quantos empregados ainda devem 
ser contratados para que a obra seja concluída no tempo previsto?
a) 315
b) 2 2520
c) 840
d) 105
e) 1 260
7. Numa gráfica, 7 máquinas de mesmo rendimento imprimem 
50 000 cartazes iguais em 2 horas de funcionamento. Se duas 
dessas máquinas não estiverem funcionando, as 5 máquinas 
restantes farão o mesmo serviço em:
a) 3 horas e 10 minutos
Didatismo e Conhecimento 37
MATEMÁTICA
b) 3 horas
c) 2 horas e 55 minutos
d) 2 horas e 50 minutos
e) 2 horas e 48 minutos
8. Funcionando 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças 
de uma mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria são 
produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se funcionarem 9 
dias?
9. Um motociclista rodando 4 horas por dia, percorre em 
média 200 km em 2 dias. Em quantos dias esse motociclista vai 
percorrer 500 km, se rodar 5 horas por dia?
10. Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 
2420 kgs de ração. Se mais 02 bois são comprados, quantos quilos 
de ração serão necessários para alimentá-los durante 12 dias. 
Respostas
1) Resposta “30min”. 
Solução:
Como aumentar as torneiras diminui o tempo, então a regra 
de três é inversa:
5 tor. ------ 75min
2 tor. ------ x
5x = 2 . 75 = 
5x = 150 =
x = 
2) Resposta “52 km/h”.
Solução:
Como diminuir o tempo aumentaria a velocidade, então a 
regra de três é inversa:
6h30min = 390min
5h15min = 315min
315min ------ 42km/h
390min ------ x
315x = 390 . 42 = 
315x = 16380 = 
X = km/h.
3) Resposta “20 palitos de fósforo”.
Solução: Levando os dados dado no enunciado temos:
Palmos: 12 palmos de comprimento e 5 palmos de largura.
Palitos de Fósforo: 48 palitos de comprimento e x palitos de 
largura.
Portanto temos:
Comprimento Largura
12 palmos 5 palmos
48 palitos X palitos
Observe que o comprimento da mesa aumentou 4 vezes 
quando passamos de “palmo” para “palito”. O que ocorre da 
mesma forma na largura.
As grandezas são diretamente proporcionais. Daí podemos 
fazer:
Logo, concluímos que o tampo da mesa tem 20 palitos de 
fósforo de largura.
4) Resposta “18 segundos”.
Solução: Levando em consideração os dados:
Velocidade média: 180 km/h → tempo do percurso: 20s
Velocidade média: 200 km/h → tempo do percurso: ?
Vamos representar o tempo procurado pela letra x. Estamos 
relacionando dois valores de grandeza “velocidade” (180 km/h e 
200 km/h) com dois valores de grandeza “tempo” ( 20s e xs).
Conhecido os 3 valores, queremos agora determinar um 
quarto valor. Para isso, organizamos os dados na tabela:
Velocidade km/h Tempo (s)
180 20
200 x
Observe que, se duplicarmos a velocidade inicial, o tempo 
gasto para percorrer o percurso vai cair para a metade. Logo, as 
grandezas são “inversamente proporcionais”. Então temos:
180 . 20 = 200 . x → 200x = 3600 → 
Conclui-se, então, que se o competidor tivesse andando em 
200 km/h, teria gasto 18 segundos para realizar o percurso.
5) Resposta “5 pacotes”.
Solução: Analisando os dados dado no enunciado temos:
Pacotes de Pães: 3 pacotes → Sanduíches: 63.
Pacotes de Pães: x pacotes → Sanduíches: 105.
Pacotes de Pães Sanduíches
3 63
x 105
Basta fazermos apenas isso:
63 . x = 3 . 105 → 63x = 315 → 
Concluímos que ela precisará de 5 pacotes de pães de forma.
6) Resposta “D”.
Solução: Em de ano foi pavimentada de estrada
Didatismo e Conhecimento 38
MATEMÁTICA
Pessoas estrada tempo
 210 75 4
 X 225 8
 = 
 = 
= 
x = 
x = 315 pessoas para o término
315 210 que já trabalham = 105 pessoas.
7) Resposta “E”.
Solução: Primeiro descobrimos quanto cada máquina produz 
por minuto. Para isso temos que dividir:
 
Agora multiplicamos por 5 e descobrimos quanto as 5 
máquinas juntas produzem (min)
5 . 59,524 = 297, 62.
Portanto temos:
1 min --------------------- 297,62
x min --------------------- 50000
Fazendo a regra de 3 teremos:
297,62 . x = 50000 . 1 → 297,62x = 50000 → 
168 min. o que equivale a 2 horas e 48 minutos.
8) Resposta “840 peças”.
Solução: Dados:
5 máquinas em 6 dias produzem400 peças
7 máquinas em 9 dias produzem x peças.
Organizando os dados no quadro temos:
N˚ de Máquinas 
(A)
N˚ de Máquinas 
(B)
Número de Peças 
(C)
5 6 400
7 9 x
Fixando a grandeza A, podemos relacionar as grandezas B e 
C. Se dobrarmos o número de dias, o número de peças também 
dobrará, Logo, as grandezas B e C são “diretamente proporcionais”.
Fixando a grandeza B, podemos relacionar as grandezas A 
e C. Se dobrarmos o número de máquinas, o número de peças 
também dobrará, Logo, as grandezas A e C são “diretamente 
proporcionais”.
Quando uma grandeza é “diretamente proporcional” a duas 
outras, a variação da primeira é diferentemente proporcional ao 
produto da variação das outras duas.
De acordo com o quadro, temos:
Resolvendo a proporção:
30 . x = 63 . 400 → 30x = 25200 → 
Logo, se as máquinas funcionarem 9 dias, serão produzidas 
840 peças.
9) Resposta “4 dias”.
Solução: Dados:
4 horas por dia, 200 km em 2 dias
5 horas por dia, 500 km em x dias
Organizando um quadro temos:
N˚ km (A) N˚ horas/dias (B) Número de dias (C)
200 4 2
500 5 x
Fixando a grandeza A, podemos relacionar as grandezas B e 
C. Se dobrarmos o número de horas que o motociclista roda por 
dia, o número de dias que ele leva para percorrer a mesma distância 
cairá para a metade. Logo, as grandezas B e C são “inversamente 
proporcionais”.
Fixando a grandeza B, podemos relacionar as grandezas 
A e C. Se dobrarmos o número de quilômetros percorridos, o 
número de dias dobrará, considerando que o motociclista rode o 
mesmo número de horas por dia. Logo, as grandezas A e C são 
“diretamente proporcionais”.
Assim a grandeza C é diretamente proporcional à grandeza A 
e inversamente proporcional à grandeza B. Para que a variação da 
grandeza C seja diretamente proporcional ao produto da variação 
das duas outras, escrevemos a razão inversa dos valores que 
expressam a grandeza B.
A razão inversa de 
Daí, temos:
1000 . x = 2000 . 2 → 1000x = 4000 → .
Didatismo e Conhecimento 39
MATEMÁTICA
10) Resposta “7260 kgs”.
Solução:
Ração Dias Bois
2420 8 2
x 12 4
11. FUNÇÕES. 
Função do 1˚ Grau
Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, função é uma relação 
binária de A em B de tal maneira que todo elemento x, pertencente 
ao conjunto A, tem para si um único correspondente y, pertencente 
ao conjunto B, que é chamado de imagem de x.
Notemos que, para uma relação binária dos conjuntos A e B, 
nesta ordem, representarem uma função é preciso que:
- Todo elemento do conjunto A tenha algum correspondente 
(imagem) no conjunto B;
- Para cada elemento do conjunto A exista um único 
correspondente (imagem) no conjunto B.
Assim como em relação, usamos para as funções, que são 
relações especiais, a seguinte linguagem:
Domínio: Conjunto dos elementos que possuem imagem. 
Portanto, todo o conjunto A, ou seja, D = A.
Contradomínio: Conjunto dos elementos que se colocam 
à disposição para serem ou não imagem dos elementos de A. 
Portanto, todo conjunto B, ou seja, CD = B.
Conjunto Imagem: Subconjunto do conjunto B formado por 
todos os elementos que são imagens dos elementos do conjunto A, 
ou seja, no exemplo anterior: Im = {a, b, c}.
Exemplo
Consideremos os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 5} e B = {0, 1, 2, 
3, 4, 5, 6, 7, 8}. 
Vamos definir a função f de A em B com f(x) = x + 1.
 Tomamos um elemento do conjunto A, representado por 
x, substituímos este elemento na sentença f(x), efetuamos as 
operações indicadas e o resultado será a imagem do elemento x, 
representada por y.
f: A → B
y = f(x) = x + 1
Tipos de Função
Injetora: Quando para ela elementos distintos do domínio 
apresentam imagens também distintas no contradomínio.
Reconhecemos, graficamente, uma função injetora quando, 
uma reta horizontal, qualquer que seja interceptar o gráfico da 
função, uma única vez.
f(x) é injetora g(x) não é injetora
(interceptou o gráfico mais 
de uma vez)
Sobrejetora: Quando todos os elementos do contradomínio 
forem imagens de pelo menos um elemento do domínio.
Didatismo e Conhecimento 40
MATEMÁTICA
Reconhecemos, graficamente, uma função sobrejetora 
quando, qualquer que seja a reta horizontal que interceptar o eixo 
no contradomínio, interceptar, também, pelo menos uma vez o 
gráfico da função.
f(x) é sobrejetora g(x) não é sobrejetora 
(não interceptou o gráfico)
Bijetora: Quando apresentar as características de função 
injetora e ao mesmo tempo, de sobrejetora, ou seja, elementos 
distintos têm sempre imagens distintas e todos os elementos 
do contradomínio são imagens de pelo menos um elemento do 
domínio.
Função crescente: A função f(x), num determinado intervalo, 
é crescente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes a este intervalo, 
com x1<x2, tivermos f(x1)<f(x2).
x1<x2 → f(x1)<f(x2)
Função decrescente: Função f(x), num determinado intervalo, 
é decrescente se, para quaisquer x1 e x2 pertencente a este intervalo, 
com x1 < x2, tivermos f(x1)>f(x2).
x1<x2 → f(x1)>f(x2)
Função constante: A função f(x), num determinado intervalo, 
é constante se, para quaisquer x1 < x2, tivermos f(x1) = f(x2).
Gráficos de uma Função
A apresentação de uma função por meio de seu gráfico é muito 
importante, não só na Matemática como nos diversos ramos dos 
estudos científicos.
Exemplo
Consideremos a função real f(x) = 2x – 1. Vamos construir 
uma tabela fornecendo valores para x e, por meio da sentença f(x), 
obteremos as imagens y correspondentes.
x y = 2x – 1
–2 –5
–1 –3
0 –1
1 1
2 3
3 5
Transportados os pares ordenados para o plano cartesiano, 
vamos obter o gráfico correspondente à função f(x). 
Didatismo e Conhecimento 41
MATEMÁTICA
Exemplo para a > 0
Consideremos f(x) = 2x – 1.
x f(x)
-1 -3
0 -1
1 1
2 3
Exemplo para a < 0
Consideremos f(x) = –x + 1.
x f(x)
-1 2
0 1
1 0
2 -1
Consideremos a função f(x) = ax + b com a ≠ 0, em que x0 é a 
raiz da função f(x).
a>0 a<0
x>x0⇒f(x)>0 x>x0⇒f(x)<0
x=x0⇒f(x)=0 x=x0⇒f(x)=0
x<x0⇒f(x)<0 x<x0⇒f(x)>0
Conclusão: O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta 
crescente para a > 0 e uma reta decrescente para a < 0.
Zeros da Função do 1º grau:
Chama-se zero ou raiz da função do 1º grau y = ax + b o valor 
de x que anula a função, isto é, o valor de x para que y seja igual 
à zero.
Assim, para achar o zero da função y = ax + b, basta resolver 
a equação ax + b = 0.
Exemplo
Determinar o zero da função:
y = 2x – 4.
2x – 4 = 0
2x = 4
x = 4
2
x = 2
O zero da função y = 2x – 4 é 2.
No plano cartesiano, o zero da função do 1º grau é representado 
pela abscissa do ponto onde a reta corta o eixo x.
x y (x,y)
1 -2 (1, -2)
3 2 (3,2)
Observe que a reta y = 2x – 4 intercepta o eixo x no ponto 
(2,0), ou seja, no ponto de abscissa 2, que é o zero da função.
Conhecido o zero de uma função do 1º grau e lembrando 
a inclinação que a reta pode ter, podemos esboçar o gráfico da 
função.
Didatismo e Conhecimento 42
MATEMÁTICA
Estudo do sinal da função do 1º grau:
Estudar o sinal da função do 1º grau y = ax + b é determinar os 
valores reais de x para que:
- A função se anule (y = 0);
- A função seja positiva (y > 0);
- A função seja negativa (y < 0).
Exemplo
Estudar o sinal da função y = 2x – 4 (a = 2 > 0).
a) Qual o valor de x que anula a função?
y = 0
2x – 4 = 0
2x = 4
x = 4
2
x = 2
A função se anula para x = 2.
b) Quais valores de x tornam positiva a função?
y > 0
2x – 4 > 0
2x > 4
x > 4
2
x > 2
A função é positiva para todo x real maior que 2.
c) Quais valores de x tornam negativa a função?
y < 0
2x – 4 < 0
2x < 4
x < 4
2
x < 2
A função é negativa para todo x real menor que 2.
Podemos também estudar o sinal da função por meio de seu 
gráfico:
- Para x = 2 temos y = 0;
- Para x > 2 temos y > 0;
- Para x < 2 temos y < 0.
Relação Binária
Par Ordenado
Quando representamos o conjunto (a, b) ou (b, a) estamos, 
na verdade, representando o mesmo conjunto. Porém, em alguns 
casos, é conveniente distinguir a ordem dos elementos.
Para isso, usamos a idéia de par ordenado. A princípio, 
trataremos o par ordenado como um conceito primitivo e vamos 
utilizar um exemplopara melhor entendê-lo. Consideremos 
um campeonato de futebol e que desejamos apresentar, de cada 
equipe, o total de pontos ganhos e o saldo de gols. Assim, para uma 
equipe com 12 pontos ganhos e saldo de gols igual a 18, podemos 
fazer a indicação (12, 18), já tendo combinado, previamente, que 
o primeiro número se refere ao número de pontos ganhos, e o 
segundo número, ao saldo de gols.
Portanto, quando tivermos para outra equipe a informação de 
que a sua situação é (2, -8) entenderemos, que esta equipe apresenta 
2 pontos ganhos e saldo de gols -8. Note que é importante a ordem 
em que se apresenta este par de números, pois a situação (3, 5) 
é totalmente diferente da situação (5,3). Fica, assim, estabelecida 
a idéia de par ordenado: um par de valores cuja ordem de 
apresentação é importante.
Observações: (a, b) = (c, d) se, e somente se, a = c e b = d
(a, b) = (b, a) se, o somente se, a = b
Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de produto cartesiano 
A x B ao conjunto de todos os possíveis pares ordenados, de tal 
maneira que o 1º elemento pertença ao 1º conjunto (A) e o 2º 
elemento pertença ao 2º conjunto (B).
A x B= {(x,y) / x ∈ A e y ∈ B}
Quando o produto cartesiano for efetuado entre o conjunto 
A e o conjunto A, podemos representar A x A = A2. Vejamos, por 
meio de o exemplo a seguir, as formas de apresentação do produto 
cartesiano.
Exemplo
Sejam A = {1, 4, 9} e B = {2, 3}. Podemos efetuar o produto 
cartesiano A x B, também chamado A cartesiano B, e apresentá-lo 
de várias formas.
a) Listagem dos elementos
Apresentamos o produto cartesiano por meio da listagem, 
quando escrevemos todos os pares ordenados que constituam o 
conjunto. Assim, no exemplo dado, teremos:
A e B = {(1, 2),(1, 3),(4, 2),(4, 3),(9, 2),(9, 3)}
Didatismo e Conhecimento 43
MATEMÁTICA
Vamos aproveitar os mesmo conjuntos A e B e efetuar o 
produto B e A (B cartesiano A): B x A = {(2, 1),(2, 4),(2, 9),(3, 
1),(3, 4),(3, 9)}.
Observando A x B e B x A, podemos notar que o produto 
cartesiano não tem o privilégio da propriedade comutativa, ou seja, 
A x B é diferente de B x A. Só teremos a igualdade A x B = B x A 
quando A e B forem conjuntos iguais.
Observação: Considerando que para cada elemento do 
conjunto A o número de pares ordenados obtidos é igual ao número 
de elementos do conjunto B, teremos: n(A x B) = n(A) x n(B).
b) Diagrama de flechas
Apresentamos o produto cartesiano por meio do diagrama 
de flechas, quando representamos cada um dos conjuntos no 
diagrama de Euler-Venn, e os pares ordenados por “flechas” que 
partem do 1º elemento do par ordenado (no 1º conjunto) e chegam 
ao 2º elemento do par ordenado (no 2º conjunto).
Considerando os conjuntos A e B do nosso exemplo, o produto 
cartesiano A x B fica assim representado no diagrama de flechas:
c) Plano cartesiano
Apresentamos o produto cartesiano, no plano cartesiano, 
quando representamos o 1º conjunto num eixo horizontal, e o 
2º conjunto num eixo vertical de mesma origem e, por meio de 
pontos, marcamos os elementos desses conjuntos. Em cada um dos 
pontos que representam os elementos passamos retas (horizontais 
ou verticais). Nos cruzamentos dessas retas, teremos pontos que 
estarão representando, no plano cartesiano, cada um dos pares 
ordenados do conjunto A cartesiano B (B x A).
Domínio de uma Função Real
Para uma função de R em R, ou seja, com elementos no 
conjunto dos números reais e imagens também no conjunto dos 
números reais, será necessária, apenas, a apresentação da sentença 
que faz a “ligação” entre o elemento e a sua imagem.
Porém, para algumas sentenças, alguns valores reais não 
apresentam imagem real.
Por exemplo, na função f(x) = √(x-1) , o número real 0 não 
apresenta imagem real e, portanto, f(x) características de função, 
precisamos limitar o conjunto de partida, eliminando do conjunto 
dos números reais os elementos que, para essa sentença, não 
apresentam imagem. Nesse caso, bastaria estabelecermos como 
domínio da função f(x) o conjunto D = {x∈R/x ≥ 1}.
Para determinarmos o domínio de uma função, portanto, basta 
garantirmos que as operações indicadas na sentença são possíveis 
de serem executadas. Dessa forma, apenas algumas situações nos 
causam preocupação e elas serão estudadas a seguir.
1ª y= √f(x)
2n
 f(x)≥(n∈N*)
2ª y= 1
f(x(
 ⇒ f(x)≠0
Vejamos alguns exemplos de determinação de domínio de 
uma função real.
Exemplos
Determine o domínio das seguintes funções reais.
- f(x)=3x2 + 7x – 8
D = R
- f(x)=√x+7
x – 7 ≥ 0→ x ≥ 7
D = {x∈R/x ≥ 7}
- f(x)= √x+13
D = R
Observação: Devemos notar que, para raiz de índice impar, 
o radicando pode assumir qualquer valor real, inclusive o valor 
negativo.
- f(x)= 
√x+8
3
x + 8 > 0 → x > -8
D = {x∈R/x > -8}
- f(x)= √x+5
x-8
x – 5 ≥ 0 → x ≥ 5
x – 8 ≥ 0 → x ≠ 8
D = {x∈R/x ≥ 5 e x ≠ 8}
Exercícios
1. Determine o domínio das funções reais apresentadas 
abaixo.
Didatismo e Conhecimento 44
MATEMÁTICA
a) f(x) = 3x2 + 7x – 8
b) f(x)= 3
3x-6
c) f(x)= √x+2
d) f(x)= √2x+13
e) f(x)= 4x
√7x+5
2. Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse 
número?
3. Considere a função f, de domínio N, definida por f(1) = 4 
e f(x+1) = 3f(x)-2. O valor de f(0) é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
4. Sejam f e g funções definidas em R por f(x)=2x-1 e 
g(x)=x-3. O valor de g(f(3)) é:
a) -1
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
5. Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 
reais. Além disso, ele recebe de comissão 50 reais por produto 
vendido.
a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y 
desse vendedor, em função do número x de produto vendido.
b) Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 pro-
dutos?
c) Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 
1000 reais?
6. Considere a função dada pela equação y = x + 1, deter-
mine a raiz desta função.
7. Determine a raiz da função y = - x + 1 e esboce o gráfico.
8. Determine o intervalo das seguintes funções para que 
f(x) > 0 e f(x) < 0.
a) y = f(x) = x + 1
b) y = f(x) = -x + 1
9. Determine o conjunto imagem da função:
D(f) = {1, 2, 3}
y = f(x) = x + 1
10. Determine o conjunto imagem da função:
D(f) = {1, 3, 5}
y = f(x) = x²
Respostas
1) Solução:
a) D = R
b) 3x – 6 ≠ 0
x ≠ 2
D = R –{2}
c) x + 2 ≥ 0
x ≥ -2
D = {x ∈ R/ x ≥ -2}
d) D = R
Devemos observar que o radicando deve ser maior ou igual a 
zero para raízes de índice par.
e) Temos uma raiz de índice par no denominado, assim:
7x + 5 > 0
x > - 7/5
D = {x ∈ R/ x > -5/7}.
2) Resposta “100”.
Solução:
n + n/2 = 150
2n/2 + n/2 = 300/2
2n + n = 300
3n = 300
n = 300/3
n = 100.
3. Resposta “C”.
Solução : Com a função dada f(x + 1) = 3f(x) – 2 substituímos 
o valor de x por x = 0:
f(0 + 1) = 3f (0) – 2 
f(1) = 3f(0) - 2
É dito que f(1) = 4, portanto:
4 = 3f(0) - 2
Isolando f(0):
4+2 = 3f(0)
6 = 3f(0)
f(0) = 6/3 = 2.
4) Resposta “E”.
Solução: Começamos encontrando f(3):
f(3) = 2.(3) + 1, ou seja, f(3) = 7
Se está pedindo g[f(3)] então está pedindo g(7):
g(7) = 7 - 3 = 4
Logo, a resposta certa, letra “E”.
5) Solução
a) y = salário fixo + comissão
y = 500 + 50x
b) y = 500 + 50x , onde x = 4
y = 500 + 50 . 4 = 500 + 200 = 700
Didatismo e Conhecimento 45
MATEMÁTICA
c) y = 500 + 50x , onde y = 1000
1000 = 500 + 50x 
50x = 1000 – 500
50x = 500
x = 10.
6) Solução: Basta determinar o valor de x para termos y = 0
x + 1 = 0
x = -1
Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função.
 Note que o gráfico da função y = x + 1, interceptará (cortará) 
o eixo x em -1, que é a raiz da função.
7) Solução: Fazendo y = 0, temos:
0 = -x + 1
x = 1
Gráfico:
Note que o gráfico da função y = -x + 1, interceptará (cortará) 
o eixo x em 1, que é a raiz da função.
8) Solução:
a) y = f(x) = x + 1
 x + 1 > 0
x > -1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x > -1
x + 1 < 0
x < -1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x < -1
b) y = f(x) = -x + 1
* -x + 1 > 0
-x > -1
x < 1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x < 1
-x + 1 < 0
-x < -1
x > 1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x > 1
(*ao multiplicar por -1, inverte-se o sinalda desigualdade).
9) Solução:
f(1) = 1 + 1 = 2
f(2) = 2 + 1 = 3
f(3) = 3 + 1 = 4
Logo: Im(f) = {2, 3, 4}.
10) Solução: 
f(1) = 1² = 1
f(3) = 3² = 9
f(5) = 5² = 25
Logo: Im(f) = {1, 9, 25}
Função do 2º Grau
Chama-se função do 2º grau ou função quadrática toda função 
f de R em R definida por um polinômio do 2º grau da forma f(x) = 
ax2 + bx + c ou y = ax2 + bx + c , com a, b e c reais e a ≠ 0.
Exemplo
- y = x2 – 5x + 4, sendo a = 1, b = –5 e c = 4
- y = x2 – 9, sendo a = 1, b = 0 e c = –9
- y = x2, sendo a = 1, b = 0 e c = 0
Representação gráfica da Função do 2º grau
Exemplo
Se a função f de R em R definida pela equação y = x2 – 2x 
– 3. Atribuindo à variável x qualquer valor real, obteremos em 
correspondência os valores de y:
Para x = –2 temos y = (–2)2 – 2(–2) –3 = 4 + 4 – 3 = 5
Para x = –1 temos y = (–1)2 – 2(–1) –3 = 1 + 2 – 3 = 0
Para x = 0 temos y = (0)2 – 2(0) –3 = – 3 
Para x = 1 temos y = (1)2 – 2(1) –3 = 1 – 2 – 3 = –4
Para x = 2 temos y = (2)2 – 2(2) –3 = 4 – 4 – 3 = –3
Para x = 3 temos y = (3)2 – 2(3) –3 = 9 – 6 – 3 = 0
Para x = 4 temos y = (4)2 – 2(4) –3 = 16 – 8 – 3 = 5
Didatismo e Conhecimento 46
MATEMÁTICA
x y (x,y)
–2 5 (–2,5)
–1 0 (–1,0)
0 –3 (0, –3)
1 –4 (1, –4)
2 –3 (2, –3)
3 0 (3,0)
4 5 (4,5)
O gráfico da função de 2º grau é uma curva aberta chamada 
parábola.
O ponto V indicado na figura chama-se vértice da parábola.
Concavidade da Parábola
No caso das funções do 2º grau, a parábola pode ter sua 
concavidade voltada para cima (a > 0) ou voltada para baixo (a 
< 0).
a>0 a<0
Podemos por meio do gráfico de uma função, reconhecer o 
seu domínio e o conjunto imagem.
Consideremos a função f(x) definida por A = [a, b] em R.
Domínio: Projeção ortogonal do gráfico da função no eixo x. 
Assim, D = [a, b] = A
Conjunto Imagem: Projeção ortogonal do gráfico da função 
no eixo y. Assim, Im = [c, d].
Zeros da Função do 2º grau
As raízes ou zeros da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são 
os valores de x reais tais que f(x) = 0 e, portanto, as soluções da 
equação do 2º grau.
ax2 + bx + c = 0
A resolução de uma equação do 2º grau é feita com o auxílio 
da chamada “fórmula de Bhaskara”.
x =-b +- √Δ
2.a Onde Δ = b2 – 4.a.c
As raízes (quando são reais), o vértice e a intersecção com o 
eixo y são fundamentais para traçarmos um esboço do gráfico de 
uma função do 2º grau.
Didatismo e Conhecimento 47
MATEMÁTICA
f(x) = ax2 + bx + c com a ≠ 0
Δ>0 Δ=0 Δ<0
a>0
a<0
Coordenadas do vértice da parábola
A parábola que representa graficamente a função do 2º grau 
apresenta como eixo de simetria uma reta vertical que intercepta o 
gráfico num ponto chamado de vértice.
As coordenadas do vértice são:
xv = -b
2a
 e xv = -Δ
4a
	
  
 
	
  
Vértice (V)
O Conjunto Imagem de uma função do 2º grau está associado 
ao seu ponto extremo, ou seja, à ordenada do vértice (yv).
Exemplo
Vamos determinar as coordenadas do vértice da parábola da 
seguinte função quadrática: y = x2 – 8x + 15.
Cálculo da abscissa do vértice:
xv= -b
2a
 = -(-8)
 2(1)
 = 8
2
 = 4
Cálculo da ordenada do vértice:
Substituindo x por 4 na função dada:
yV = (4)2 – 8(4) + 15 = 16 – 32 + 15 = –1
Logo, o ponto V, vértice dessa parábola, é dado por V (4, –1).
Valor máximo e valor mínimo da função do 2º grau
- Se a > 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada 
mínima. Nesse caso, o vértice é chamado ponto de mínimo e a 
ordenada do vértice é chamada valor mínimo da função;
- Se a < 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada 
máxima. Nesse caso, o vértice é ponto de máximo e a ordenada do 
vértice é chamada valor máximo da função.
Construção do gráfico da função do 2º grau
- Determinamos as coordenadas do vértice;
- Atribuímos a x valores menores e maiores que xv e calculamos 
os correspondentes valores de y;
- Construímos assim uma tabela de valores;
- Marcamos os pontos obtidos no sistema cartesiano;
- Traçamos a curva.
Exemplo
y = x2 – 4x + 3
Coordenadas do vértice:
xv = -b
2a
 = -(-4)
2(1) = 4
2
 = 2 V (2, –1)
yV = (2)2 – 4(2) + 3 = 4 – 8 + 3 = –1
Tabela:
Para x = 0 temos y = (0)2 – 4(0) + 3 = 0 – 0 + 3 = 3
Para x = 1 temos y = (1)2 – 4(1) + 3 = 1 – 4 + 3 = 0
Para x = 3 temos y = (3)2 – 4(3) + 3 = 9 – 12 + 3 = 0
Para x = 4 temos y = (4)2 – 4(4) + 3 = 16 – 16 + 3 = 3
x y (x,y)
0 3 (0,3)
1 0 (1,0)
2 –1 (2,–1)Vértice
3 0 (3,0)
4 3 (4,3)
Didatismo e Conhecimento 48
MATEMÁTICA
Gráfico:
Estudos do sinal da função do 2º grau
Estudar o sinal de uma função quadrática é determinar os 
valores reais de x que tornam a função positiva, negativa ou nula.
Exemplo
y = x2 – 6x + 8
Zeros da função: Esboço do Gráfico
y = x2 – 6x + 8
Δ = (–6)2 – 4(1)(8)
Δ = 36 – 32 = 4
√Δ= √4 = 2
 
Estudo do Sinal:
 4
2
8
2
26
==
+ Para x < 2 ou x > 4 temos y > 0
2
26 ±
=x Para x = 2 ou x = 4 temos y = 0
 2
2
4
2
26
==
− Para 2 < x < 4 temos y < 0
 
 
Exercícios
1. O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual a 
63 menos 12 vezes o número de filhos. Quantos filhos Pedro tem?
2. Uma tela retangular com área de 9600cm2 tem de largura 
uma vez e meia a sua altura. Quais são as dimensões desta tela?
3. O quadrado da minha idade menos a idade que eu tinha 20 
anos atrás e igual a 2000. Quantos anos eu tenho agora?
4. Comprei 4 lanches a um certo valor unitário. De outro tipo 
de lanche, com o mesmo preço unitário, a quantidade comprada 
foi igual ao valor unitário de cada lanche. Paguei com duas notas 
de cem reais e recebi R$ 8,00 de troco. Qual o preço unitário de 
cada produto?
5. O produto da idade de Pedro pela idade de Paulo é igual a 
374. Pedro é 5 anos mais velho que Paulo. Quantos anos tem cada 
um deles?
6. Há dois números cujo triplo do quadrado é a igual 15 vezes 
estes números. Quais números são estes?
7. Quais são as raízes da equação x2 - 14x + 48 = 0?
8. O dobro do quadrado da nota final de Pedrinho é zero. Qual 
é a sua nota final?
9. Solucione a equação biquadrada: -x4 + 113x2 - 3136 = 0.
10. Encontre as raízes da equação biquadrada: x4 - 20x2 - 576 
= 0.
Respostas
1) Resposta “3”.
Solução: Sendo x o número de filhos de Pedro, temos que 
3x2 equivale ao triplo do quadrado do número de filhos e que 
63 - 12x equivale a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Mon-
tando a sentença matemática temos:
3x2 = 63 - 12x
Que pode ser expressa como:
3x2 + 12x - 63 = 0
Temos agora uma sentença matemática reduzida à for-
ma ax2 + bx + c = 0, que é denominada equação do 2° grau. Vamos 
então encontrar as raízes da equação, que será a solução do nosso 
problema:
Primeiramente calculemos o valor de Δ:
Δ = b2 - 4.a.c = 122 - 4 . 3 .(-63) = 144 + 756 = 900
Como Δ é maior que zero, de antemão sabemos que a equação 
possui duas raízes reais distintas. Vamos calculá-las:
3x2 + 12 - 63 = 0 ⇒ x = -12 ± √Δ
 2 . 3
 ⇒
x1 = -12 + √900
 6 ⇒x1 = -12 ± 30
 6
 ⇒ x1 = 18
 6
 ⇒ x1 = 3
x2 = -12 - √900
 6 ⇒x1 = -12 - 30
 6
 ⇒ x2 = -42
 6
 ⇒ x2 = -7
A raízes encontradas são 3 e -7, mas como o número de filhos de 
uma pessoa não pode ser negativo, descartamos então a raiz -7.
Portanto, Pedro tem 3 filhos.
2) Resposta “80cm; 120 cm”.
Solução: Se chamarmos de x altura da tela, temos que 1,5x será 
a sua largura. Sabemos que a área de uma figura geométrica retan-
gular 
é calculada multiplicando-se a medida da sua largura, pela 
medida da sua altura. Escrevendo o enunciado na forma de uma 
sentença matemática temos:
x . 1,5x = 9600
Que pode ser expressa como:
1,5x2 - 9600 = 0
Note que temos uma equação do 2° grau incompleta, que 
como já vimos terá duas raízes reais opostas, situação que ocorre 
sempre que o coeficiente b é igual a zero. Vamos aos cálculos:
1,5x2 - 9600 = 0 ⇒ 1,5x2 = 9600 ⇒ x2 = 9600
 1,5
⇒ x = ±√6400 ⇒ x = ±80
Didatismo e Conhecimento 49
MATEMÁTICA
As raízes reais encontradas são -80 e 80, no entanto comouma 
tela não pode ter dimensões negativas, devemos desconsiderar a 
raiz -80.
Como 1,5x representa a largura da tela, temos então que ela 
será de 1,5 . 80 = 120.
Portanto, esta tela tem as dimensões de 80cm de altura, por 
120cm de largura.
3) Resposta “45”.
Solução: Denominando x a minha idade atual, a partir do 
enunciado podemos montar a seguinte equação:
x2 - (x - 20) = 2000
Ou ainda:
x2 - (x - 20) = 2000 ⇒ x2 - x + 20 = 2000 ⇒ x2 - x - 1980 =0
A solução desta equação do 2° grau completa nós dará a res-
posta deste problema. Vejamos:
x2 - x - 1980 = ⇒ x = -(-1) ± √(-1)2 - 4 . 1 . (-1980)
 2.1
⇒ x = 1 ± √7921
 2
⇒ x = 1 ± 89
 2 ⇒ 
x1 = 1 + 89
 2
 ⇒ x1 = 45
x2 = 1 - 89
 2
 ⇒ x2 = -44
As raízes reais da equação são -44 e 45. Como eu não posso 
ter -44 anos, é óbvio que só posso ter 45 anos. 
Logo, agora eu tenho 45 anos.
4) Resposta “12”.
Solução: O enunciado nos diz que os dois tipos de lanche têm 
o mesmo valor unitário. Vamos denominá-lo então de x.
Ainda segundo o enunciado, de um dos produtos eu com-
prei 4 unidades e do outro eu comprei x unidades.
Sabendo-se que recebi R$ 8,00 de troco ao pa-
gar R$ 200,00 pela mercadoria, temos as informações necessárias 
para montarmos a seguinte equação:
4 . x + x . x + 8 = 200
Ou então:
4.x + x . x + 8 = 200 ⇒ 4x + x2 + 8 = 200 ⇒ x2 + 4x - 192=0
Como x representa o valor unitário de cada lanche, vamos so-
lucionar a equação para descobrimos que valor é este:
x2 + 4x - 192 = 0 ⇒ x = 
-4 ± √42 - 4 . 1 . (-192)
 2.1
⇒ x = -4 ± √784
 2
⇒ x = -4 ± 28
 2 ⇒ 
x1 = -4 + 28
 2
 ⇒ x1 = 12
x2 = -4 - 89
 2
 ⇒ x2 = -16
As raízes reais da equação são -16 e 12. Como o preço não 
pode ser negativo, a raiz igual -16 deve ser descartada. 
Assim, o preço unitário de cada produto é de R$ 12,00.
5) Resposta “22; 17”.
Solução: Se chamarmos de x a idade de Pedro, teremos que x 
- 5 será a idade de Paulo. Como o produto das idades é igual a 374, 
temos que x . (x - 5) = 374.
Esta sentença matemática também pode ser expressa como:
x.(x - 5) = 374 ⇒ x2 - 5x = 374 ⇒ x2 - 5x - 374 = 0
Primeiramente para obtermos a idade de Pedro, vamos solu-
cionar a equação:
x2 - 5x - 374 = 0 ⇒ 
-(-5) ± √(-5)2 - 4 . 1 . (-374)
 2.1
⇒ x = 5 ± √1521
 2
⇒ x = 5 ± 39
 2 ⇒ 
x1 = 5 + 39
 2
 ⇒ x1 = 22
x2 = 5 - 39
 2
 ⇒ x2 = -17
As raízes reais encontradas são -17 e 22, por ser negativa, a 
raiz -17 deve ser descartada. 
Logo a idade de Pedro é de 22 anos.
Como Pedro é 5 anos mais velho que Paulo, Paulo tem en-
tão 17 anos. 
Logo, Pedro tem 22 anos e Paulo tem 17 anos.
6) Resposta “0; 5”.
Solução: Em notação matemática, definindo a incógnita 
como x, podemos escrever esta sentença da seguinte forma:
3x2 = 15x
Ou ainda como:
3x2 - 15x = 0
A fórmula geral de resolução ou fórmula de Bhaskara pode 
ser utilizada na resolução desta equação, mas por se tratar de uma 
equação incompleta, podemos solucioná-la de outra forma.
Como apenas o coeficiente c é igual a zero, sabemos que esta 
equação possui duas raízes reais. Uma é igual azero e a outra é 
dada pelo oposto do coeficiente b dividido pelo coeficiente a. Re-
sumindo podemos dizer que:
ax2 + bx = 0 ⇒ 
x1 = 0
x2 = - b
a
Temos então:
x = - b
a
 ⇒ x = -15
 3
 ⇒ x = 5
7) Resposta “6; 8”.
Solução: Podemos resolver esta equação simplesmente res-
pondendo esta pergunta:
Quais são os dois números que somados totalizam 14 e que 
multiplicados resultam em 48?
Didatismo e Conhecimento 50
MATEMÁTICA
Sem qualquer esforço chegamos a 6 e 8, pois 6 + 8 = 14 e 6 
. 8 = 48.
Segundo as relações de Albert Girard, que você encontra em 
detalhes em outra página deste site, estas são as raízes da referida 
equação.
Para simples conferência, vamos solucioná-la também através 
da fórmula de Bhaskara:
x2 - 14x + 48 = 0 ⇒ x = -(-14) ± √(-14)2 - 4 . 1 . 48
 2.1
⇒ x = 14 ± √4
 2
⇒ x = 14 ± 2
 2
⇒ 
x1 = 14 + 2
 2
 ⇒ x1 = 8
x2 = 14 - 2
 2
 ⇒ x2 = 6
8) Resposta “0”.
Solução: Sendo x a nota final, matematicamente temos:
2x2 = 0
Podemos identificar esta sentença matemática como sen-
do uma equação do segundo grau incompleta, cujos coeficien-
tes b e c são iguais a zero.
Conforme já estudamos este tipo de equação sempre terá 
como raiz real o número zero. Apenas para verificação vejamos:
2x2 = 0 ⇒ x2 = 0
2
 ⇒ x2 = 0 ⇒ x ±√0 ⇒ x =0
9) Resposta “-8; -7; 7 e 8”.
Solução: Substituindo na equação x4 por y2 e também x2 e y te-
mos:
-y2 + 113y - 3136 = 0
Resolvendo teremos:
-y2 + 113y - 3136 = 0 ⇒ y = −113± 1132 − 4.(−1).(−3136)
2 + (−1)
⇒ 
y1 = −113+ 225
−2
 ⇒ y1 = -113 + 15
 -2
y2 = 
−113− 225
−2 ⇒ y2 = -113 - 15
 -2
⇒ 
y1 = -98
 -2
 ⇒ y1 = 49
y2 = -128
 -2
 ⇒ y2 = 64
Substituindo os valores de y na expressão x2 = y temos:
Para y1 temos:
x2 = 49 ⇒ x ±√49 ⇒ 
x1 = √49 ⇒ x1 = 7
x2 = - √49 ⇒ x2 = -7
Para y2 temos: 
x2 = 64 ⇒ x ±√64 ⇒ 
x3 = √64 ⇒ x3 = 8
x4 = - √64 ⇒ x4 = -8
Assim sendo, as raízes da equação biquadrada -x4 + 113x2 - 
3136 = 0 são: -8, -7, 7 e 8.
10) Resposta “-6; 6”.
Solução: Iremos substituir x4 por y2 e x2 e y, obtendo uma equa-
ção do segundo grau:
y2 - 20y - 576 = 0
Ao resolvermos a mesma temos:
y2 - 20y - 576 = 0 ⇒ −20 ± (−20)2 − 4.1.(−576)
2.3
y1= 
20 + 2704
2 ⇒y1=
20 + 52
2 ⇒y1=
72
2
⇒y1=36
y2= 20 − 2704
2
⇒y2=
20 − 52
2
⇒y2=
−32
2 ⇒y2=-16
Substituindo os valores de y na expressão x2 = y obtemos as 
raízes da equação biquadrada:
Para y1 temos:
x2 = 36 ⇒ x = ±√36 ⇒
x1 = √36 ⇒ x1= 6
x2 = -√36 ⇒ x2= -6
Para y2, como não existe raiz quadrada real de um número 
negativo, o valor de -16 não será considerado.
Desta forma, as raízes da equação biquadrada x4 - 20x2 - 576 = 
0 são somente: -6 e 6.
12. FUNÇÃO EXPONENCIAL.
Uma função é uma maneira de associar a cada valor do ar-
gumento x um único valor da função f(x). Isto pode ser feito es-
pecificando através de uma fórmula um relacionamento gráfico 
entre diagramas representando os dois conjuntos, e/ou uma regra 
de associação, mesmo uma tabela de correspondência pode ser 
Didatismo e Conhecimento 51
MATEMÁTICA
construída; entre conjuntos numéricos é comum representarmos 
funções por seus gráficos, cada par de elementos relacionados pela 
função determina um ponto nesta representação, a restrição de uni-
cidade da imagem implica em um único ponto da função em cada 
linha de chamada do valor independente x.
Como um termo matemático, “função” foi introduzido por 
Leibniz em 1694, para descrever quantidades relacionadas a uma 
curva; tais como a inclinação da curva ou um ponto específico da 
dita curva. Funções relacionadas à curvas são atualmente chama-
das funções diferenciáveis e são ainda o tipo de funções mais en-
contrado por não-matemáticos. Para este tipo de funções, pode-se 
falar em limites e derivadas; ambos sendo medida da mudança nos 
valores de saída associados à variação dos valores de entrada, for-
mando a base do cálculo infinitesimal.
A palavra função foi posteriormente usada por Euler em mea-
dos do século XVIII para descrever uma expressão envolvendo 
vários argumentos; i.e:y = F(x). Ampliando a definição de fun-
ções, os matemáticos foram capazes de estudar “estranhos” ob-
jetos matemáticos tais como funções que não são diferenciáveis 
em qualquer de seus pontos. Tais funções, inicialmente tidas como 
puramente imaginárias e chamadas genericamente de “monstros”, 
foram já no final do século XX, identificadas como importantes 
para a construção de modelos físicos de fenômenos tais como o 
movimento Browniano.
Durante o Século XIX, os matemáticos começaram a formali-
zar todos os diferentes ramos da matemática. Weierstrass defendia 
que se construisse o cálculo infinitesimal sobre a Aritmética ao 
invés de sobre a Geometria, o que favorecia a definição de Euler 
em relação à de Leibniz (veja aritmetização da análise). Mais para 
o final do século, os matemáticos começaram a tentar formalizar 
toda a Matemática usandoTeoria dos conjuntos, e eles consegui-
ram obter definições de todos os objetos matemáticos em termos 
do conceito de conjunto. Foi Dirichlet quem criou a definição “for-
mal” de função moderna.
Função Exponencial
Conta a lenda que um rei solicitou aos seus súditos que lhe in-
ventassem um novo jogo, a fim de diminuir o seu tédio. O melhor 
jogo teria direito a realizar qualquer desejo. Um dos seus súditos 
inventou, então, o jogo de xadrez. O Rei ficou maravilhado com o 
jogo e viu-se obrigado a cumprir a sua promessa. Chamou, então, 
o inventor do jogo e disse que ele poderia pedir o que desejasse. 
O astuto inventor pediu então que as 64 casas do tabuleiro do jogo 
de xadrez fossem preenchidas com moedas de ouro, seguindo a 
seguinte condição: na primeira casa seria colocada uma moeda e 
em cada casa seguinte seria colocado o dobro de moedas que havia 
na casa anterior. O Rei considerou o pedido fácil de ser atendido 
e ordenou que providenciassem o pagamento. Tal foi sua surpresa 
quando os tesoureiros do reino lhe apresentaram a suposta conta, 
pois apenas na última casa o total de moedas era de 263, o que 
corresponde a aproximadamente 9 223 300 000 000 000 000 = 
9,2233.1018. Não se pode esquecer ainda que o valor entregue ao 
inventor seria a soma de todas as moedas contidas em todas as 
casas. O rei estava falido!
A lenda nos apresenta uma aplicação de funções exponen-
ciais, especialmente da função y = 2x.
As funções exponenciais são aquelas que crescem ou decres-
cem muito rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais 
na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, 
Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicolo-
gia e outras.
Definição
A função exponencial é a definida como sendo a inversa da 
função logarítmica natural, isto é:
logab = x ⇔ ax = b
Podemos concluir, então, que a função exponencial é definida por:
y= ax , com 1 ≠ a > 0
Gráficos da Função Exponencial
Propriedades da Função Exponencial 
Se a, x e y são dois números reais quaisquer e k é um número 
racional, então:
- ax ay= ax + y 
- ax / ay= ax - y 
- (ax) y= ax.y 
- (a b)x = ax bx 
- (a / b)x = ax / bx 
- a-x = 1 / ax 
Estas relações também são válidas para exponenciais de base 
e (e = número de Euller = 2,718...)
- y = ex se, e somente se, x = ln(y)
- ln(ex) =x 
- ex+y= ex.ey 
- ex-y = ex/ey 
- ex.k = (ex)k 
Didatismo e Conhecimento 52
MATEMÁTICA
A Constante de Euler 
Existe uma importantíssima constante matemática definida por 
e = exp(1)
O número e é um número irracional e positivo e em função da 
definição da função exponencial, temos que: 
Ln(e) = 1
Este número é denotado por e em homenagem ao matemático 
suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as 
propriedades desse número. 
O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é: 
e = 2,718281828459045235360287471352662497757 
Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser 
escrita como a potência de base e com expoente x, isto é: 
ex = exp(x)
13. PROBABILIDADE.
Os cálculos hebreus sobre a posição dos astros, realizados Ben 
Ezra no século XII com a finalidade de fazer previsões astrológicas 
podem ser considerados como os primeiros passos rumo à teoria 
das probabilidades. O Livros dos jogos de azar, de Girolamo 
Cardano (1501-1576) publicado em torno de 1550 é o primeiro 
manual organizado que traz algumas noções de probabilidade. 
Nesse livro, Cardano, que era um jogador, além de matemático, 
astrólogo e médico desenvolve cálculos de expectativas acerca de 
jogos dados e também dá conselhos sobre como trapacear no jogo.
No entanto o estudo sistemático das probabilidades começou 
realmente em 1654 quando um jogador francês, o Chevalier 
de Méré escreveu a Blaise Pascal (1623-1662) fazendo várias 
perguntas sobre o jogo de dados ou de azar. Uma das perguntas 
era: Dois jogadores igualmente hábeis querem interromper sua 
partida. Sabendo-se que o montante das apostas e situação do jogo 
(quantas partidas cada um ganhou), como deverá ser repartido o 
dinheiro?
Pascal extremamente religioso não era jogador escreveu a outro 
matemático francês Pierre Fermat (1601-1665) sobre as perguntas 
feitas por Chevalier de Méré. A partir dessa correspondência, Pascal 
e Fermat aprofundaram estudos conjuntos sobre probabilidade e 
apesar de não terem publicado seus estudos chegaram a definir 
conceitos como expectativa, chance e média, além de estabelecer 
técnicas de contagem e estatísticas de incidência de casos num 
dado fenômeno. Também no século XVII, mas precisamente em 
1657, o holandês Christian Hiygens (1629 – 1695) publicou seu 
livro O raciocínio nos jogos de dados, onde apresentou importantes 
contribuições ao estudo das probabilidades.
O suíço Jacques Bernouilli (1654 – 1705) na mesma época 
deu uma grande contribuição aos estudos das probabilidades ao 
propor um teorema onde afirmava que a probabilidade de um 
evento ocorrer tente a um valor constante quando o número de 
ensaios desse evento tende ao infinito.
Depois de Bernouilli, Abraham De Moivre (1667 – 1751) 
publicou o livro A doutrina do azar onde também faz análise dos 
jogos que contribuíram para o estudo das probabilidades.
Foi em 1812 que Pierre Laplace (1749 – 1827) deu forma 
a uma estrutura de raciocínio e a um conjunto de definições no 
seu livro Teoria analítica da probabilidade. A teoria moderna das 
probabilidades hoje constitui a base de um dos ramos de maior 
aplicação nas ciências, a Estatística.
Experimentos Aleatórios
Os experimentos cujos resultados podem ser previsto, isto 
é, podem ser determinados antes mesmo de sua realização, são 
chamados experimentos determinísticos. 
Por exemplo, é possível prever a temperatura em que a água 
entrará em ebulição desde que conhecidas as condições em que o 
experimento se realiza.
Alguns experimentos, contudo, não são assim previsíveis. 
Por mais que sejam mantidas as mesmas condições, não podemos 
prever qual será o resultado ao lançarmos uma moeda. Esses são 
chamados experimentos aleatórios (em latim alea = sorte).
Experimentos aleatórios: São aqueles, que repetidos em 
condições idênticas, não produzem sem o mesmo resultado.
A teoria das probabilidades estuda a forma de estabelecermos 
as possibilidades de ocorrência num experimento aleatório.
Espaço Amostral e Eventos
Vamos estudar experimentos aleatórios com resultados 
equiprováveis (mesma chance de ocorrência) e em número 
determinado, isto é, finito. Desta forma definimos:
Espaço amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis 
de um experimento aleatório. Indicaremos o espaço amostral por 
U.
Evento: É qualquer subconjunto do espaço amostral.
Exemplo
Lançaremos três moedas e observamos as faces que ficaram 
voltadas para cima. Representar:
a) O espaço amostral do experimento;
b) O evento A: chances de sair faces iguais;
c) O evento B: sair exatamente uma face “cara”;
d) O evento C: chances de sair, pelo menos, uma face “cara”.
Resolução
a) U = {(Ca, Ca, Ca), (Ca, Ca, Co), (Ca, Co, Ca), (Ca, Co, Co), 
(Co, Ca, Ca), (Co, Ca, Co), (Co, Co, Ca), (Co, Co, Co)}
b) A = {(Ca, Ca, Ca), (Co, Co, Co)}
c) B = {(Ca, Co, Co), (Co, Ca, Co), (Co, Co, Ca)}
d) C = {(Ca, Ca, Ca), (Ca, Ca, Co), (Ca, Co, Ca), (Co, Ca, Ca), 
(Ca, Co, Co), (Co, Ca, Co), (Co, Co, Ca)}
Observação: Os números de elementos do espaço amostral e 
dos eventos de um experimento aleatório são calculados com a 
análise combinatória.
Tipos de Eventos
Consideremos o experimento aleatório: lançamento de um 
dado comum e observação do número representado na face voltada 
para cima.
Didatismo e Conhecimento 53
MATEMÁTICA
O espaço amostral será:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Analisemos os diversos tipos de eventos que podemos definir 
neste experimento.
Evento Elementar: Qualquer subconjunto unitário de U.
Exemplo
Ocorrência de um número múltiplo de 5.
A = {5}
Evento Certo: É o próprio espaço amostral U.
Exemplo
Ocorrência de um divisor de 60.
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento Impossível: É o conjunto vazio (∅).
ExemploOcorrência de múltiplo de 8.
C = { } = ∅
Evento União: É a reunião de dois eventos.
Exemplo
Evento A: Ocorrência de um número primo
A = {2, 3, 5}
Evento B: Ocorrência de um número ímpar
B = {1, 3, 5}
Evento A 
∩
 B: Ocorrência de um número primo ou ímpar
A 
∩
 B = {1, 2, 3, 5}
Evento Intersecção: É a intersecção de dois eventos.
Exemplo
Evento A: Ocorrência de um número primo
A = {2, 3, 5}
Evento B: Ocorrência de um número ímpar
B = {1, 3, 5}
Evento A ∩ B: Ocorrência de um número primo ou ímpar
A ∩ B = {3, 5}
Evento Mutuamente Exclusivo: Dois eventos E1 e E2 de um 
espaço amostral U são chamados mutuamente exclusivos quando 
E1 ∩ E2 = ∅
Exemplo
Evento A: Ocorrência de um número par
A = {2, 4, 6}
Evento B: Ocorrência de um número ímpar
B = {1, 3, 5}
A e B são eventos mutuamente exclusivos, pois A ∩ B = ∅
Evento Complementar: É o evento Ē = U – E.
Exemplo
Evento A: Ocorrência de um número primo
A = {2, 3, 5}
Evento Ā: Ocorrência de um numero não primo
Ā = U – A = {1, 4,6}
Observação: No caso do exemplo, podemos dizer que o evento 
Ā é a não-ocorrência de um número primo.
Probabilidade Estatística e Probabilidade Teórica
Imaginamos a seguinte situação: em uma turma do segundo 
colegial, existem 25 garotas e 10 garotos e um brinde foi sorteado 
para um dos membros da turma. Temos que adivinhar o sexo do 
contemplado.
Intuitivamente, “sabemos” que é “mais fácil” ter sido sorteada 
uma garota que um garoto, no entanto não podemos afirmar com 
certeza o sexo do contemplado. A “chance” de uma garota ter 
sido sorteada pode ser traduzida por um numero que chamamos 
probabilidade.
Uma observação que pode ser feita é que a teoria das 
probabilidades é uma maneira matemática de lidar com a incerteza.
O cálculo da probabilidade de um evento acontecer, muitas 
vezes, é feito experimentalmente, e essa probabilidade é chamada 
de experimental ou estatística.
Exemplo
A probabilidade de uma pessoa morrer aos 25 anos é obtida 
através do levantamento e do tratamento adequado de um grande 
número de casos.
No entanto, para calcularmos a probabilidade de ao jogarmos 
dois dados obtermos, nas faces voltadas para cima, dois números 
iguais, não precisamos realizar o experimento, ela pode ser 
conseguida a partir de uma analise teórica do espaço amostral e do 
evento, e neste caso chamamos de probabilidade teórica.
No 2º grau, não desenvolvemos estudos da probabilidade 
estatística, que será estudada na maioria dos cursos de 3º grau.
Probabilidade Teórica de um Evento
Se num fenômeno aleatório, o número de elementos do espaço 
amostral é n(U) e o número de elementos do evento A é n(A), então 
a probabilidade de ocorrer o evento A é o número P(A) tal que:
P(A) = n(A)
n(U)
Outra forma de definir a probabilidade de ocorrer o evento 
A é:
P(A) = Número de casos favoráveis a A
Número de casos possíveis
Didatismo e Conhecimento 54
MATEMÁTICA
Exemplos
- Retirando-se uma carta de um baralho normal de 52 cartas, 
qual é a probabilidade de que a carta retirada seja um rei?
Resolução
P(E) = Número de resultados favoráveis
Número de resultados possíveis
P(E) =
4
=
1
52 13
- Em um lançamento de dois dados, um preto e outro branco, 
qual é a probabilidade de que os dois números obtidos sejam 
iguais?
Resolução
U = {(1,1), (1,2), (1,3), ..., (6,4), (6,5), (6,6)}
n(U) = 6 . 6 = 36
U = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
n(E) = 6
Assim, P(E) = n(E) = 6 = 1
n(U) 36 6
- Dentre as seis permutações dos números 1, 2, e 3, uma é 
escolhida ao acaso. Considerando o número de três algarismos 
assim escolhido, determine a probabilidade de ele:
a) Ser par;
b) Ser múltiplo de três;
c) Ser múltiplo de cinco.
Resolução
O espaço amostral é:
U = {123, 132, 213, 231, 312, 321}
a) Evento A: ocorrer número par.
A = {132, 312}
P(A) =
n(A)
=
2
=
1
n(U) 6 3
b) Evento B: ocorrer número múltiplo de três.
B = {123, 132, 213, 231, 312, 321}
P(B) =
n(B)
=
6
1
n(U) 6
(evento certo)
c) Evento C: ocorrer número múltiplo de cinco.
C = { }
P(C) =
n(C)
=
0
0
n(U) 6
(evento impossível)
Observação: Através da teoria determinamos que, em um 
lançamento de um dado “não viciado”, a probabilidade de que 
se obtenha o número 3 é 1/6, isto não significa que, sempre que 
forem feitos seis lançamentos de um dado, certamente ocorrerá em 
um deles, e apenas um, resultado 2. Na prática, o que se verifica 
é que, considerado um grande número de lançamentos, a razão 
entre o número de vezes que ocorre o resultado 2 e o número de 
lançamentos efetuados se aproxima de 1/6.
Propriedade das Probabilidades
P1) A probabilidade do evento impossível é 0. (P(∅)= 0) 
P(∅)=
n(∅)
=
0
= 0
n(U) n(U)
P2) A probabilidade do evento certo é 1. (P(U ∅)= 1) 
P(U) = n(U) = 1n(U)
P3) Sendo A um evento de um espaço amostral U, a 
probabilidade de A é um número racional entre 0 e 1, inclusive. 
(0≤ P(A) ≤ 1).
0≤ n(A) 0≤ n(U) => 0 ≤ n(A) ≤ n(U)
n(U) n(U) n(U)
Como P(A) = n(A) temos:n(U)
0≤ P(A) ≤ 1
P4) Sendo A um evento e Ā seu complementar, então P(A) + 
P(Ā) = 1.
Didatismo e Conhecimento 55
MATEMÁTICA
U
Ā
A
n(U) = n(A) + n(Ā)
n(U) = n(A) + n(Ā)
n(U) n(U) n(U)
Assim, P(A) + P(Ā) = 1
Observação: É comum expressarmos a probabilidade de um 
evento na forma de porcentagem. Assim, se P(A) = 0,82, por 
exemplo, podemos dizer que P(A) = 82%.
Exemplo
Os 900 números de três algarismos estão colocados em 
900 envelopes iguais. Um dos envelopes é sorteado. Qual a 
probabilidade de ele conter um número que tenha, pelo menos, 
dois algarismos iguais?
Resolução
Sendo A o evento: ocorrer um número com pelo menos dois 
algarismos iguais. É mais fácil calcular P(Ā), a probabilidade do 
evento complementar de A. Assim,
U
Ā
A
Números com
algarismos distintos
Números com
pelo menos dois
algarismos repetidos
Propriedade do Evento União
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral U, dizemos 
que ocorrer o evento A 
∩
 (evento união) é ocorrer pelo menos um 
dos eventos A ou B.
n(A
∩
B) = n(A) + n(B) – n(A
∩
B)
Assim:
n(A∩ B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
n(U) n(U) n(U) n(U)
Ou seja: P (A
∩
B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Podemos enunciar essa conclusão assim: A probabilidade 
de ocorrer o evento A ou o evento B é dada pela soma da 
probabilidade de ocorrer A com a probabilidade de ocorrer B, 
menos a probabilidade de ocorrer os dois eventos (A e B).
Caso particular: se os eventos A e B são mutuamente 
exclusivos, isto é, A ∩ B = ∅, P(A ∩ B) = 0 a formula acima se 
reduz a: P(A 
∩
 B) = PA + PB
Exemplo
De um baralho comum de 52 cartas, uma carta é retirada 
aleatoriamente. Qual a probabilidade de sair um valete ou uma 
carta de paus.
Resolução
Sendo: 
Evento A: “a carta e um valete”
P(A) = 4
52
Evento B: “a carta de paus”
P(B) = 13
52
Evento A ∩ B: “a carta é um valete de paus”
P(A∩B) = 1
52
Evento A 
∩
B: “a carta é um valete ou é de paus”
P( A 
∩
B) = P(A) +P(B) – P(A ∩ B) 
P(A ∩ B) =
4 + 13 - 1 = 16 = 4
52 52 52 52 13
Didatismo e Conhecimento 56
MATEMÁTICA
Probabilidades num Espaço Amostral não Equiprovável
No espaço amostral equiprovável todos os resultados possíveis 
têm a mesma chance de ocorrência e por isso que nos problemas 
com dados e moedas estudados anteriormente sempre tomamos o 
cuidado de especificar que os dados e moedas eram “honestos” ou 
“não viciados”.
Como estudar as probabilidades com dados ou moedas 
“viciados”?
A fórmula que usamos até agora 
P(E) = Número de resultados favoráveis de E
Número de resultados possíveis
Não é válida, pois não importa apenas a quantidade de resul-
tados favoráveis já que esses resultados não têm necessariamente a 
mesma “chance” de ocorrência.
Consideramos um experimento, com espaço amostral U = {a1, 
a2..., a n}. Chamando de p(a1), p(a2),..., p(an) as probabilidades de 
ocorrência dos resultados a1, a2,..., na, respectivamente temos que:
- p(a1) + p(a2) +...+ p (an) =1 
- 0 ≤ p(a1) ≤ 1, para i = 1, 2, ..., n 
Desta forma para calcularmos a probabilidade do evento A = 
{a1, a2,..., am}(m≤n), fazemos:
P(A) = p(a1) + p(a2) +...+ p(am) 
ExemploConsideramos um experimento com espaço amostral U = {a, 
b, c} sendo p(a), p(b), p(c) as possibilidades dos resultados a, b e 
c de modo que
p(a) = 1 ep(b) = 1
3 2
calcule :
a) p(c) 
b) a probabilidade do evento A ={a,c}
Resolução
a) p(a) + p(b) + p(c) = 1
1 + 1 +p(c) = 13 2
p(c) = 1 -
1
-
1
=
6–2 – 3
=
1
3 2 6 6
b) P(A) = p(a) + p(c)
P(A) =
1
+
1
=
2+1
=
3
3 6 6 6
Assim,P(A) =
1
2
Probabilidade Condicional
Consideremos num experimento aleatório de espaço amostral 
U os eventos A e B, com A ∩ B ≠ ∅, conforme o diagrama abaixo:
Na medida em que conhecemos a informação de que ocorreu 
o evento B, este passa a ser o espaço amostral do experimento, 
pois todos os resultados agora possíveis pertencem a A. assim, 
a probabilidade de ocorrer o evento A, dado que o evento B já 
ocorreu, será:
P(A/B) = n(A ∩ B)
n(B)
Exemplo
Numa turma de 50 alunos do colégio, 15 são homens e 35 são 
mulheres.
Sabe-se que 10 homens e 15 mulheres foram aprovados num 
exame de seleção. Uma pessoa é sorteada ao acaso.
Qual a probabilidade de:
a) Ela ser do sexo feminino se foi aprovada no exame?
b) Ela ter sido aprovada no exame se é do sexo masculino?
Resolução
O quando abaixo resume os dados do problema:
Foi
Aprovado
Não foi
Aprovado Total
Homem 10 5 15
Mulher 15 20 35
Total 25 25 50
a) Sendo:
Evento A: “a pessoa sorteada foi aprovada”.
Evento B: “a pessoa sorteada é mulher”.
P(B/A) =
n (A ∩ B)
=
15
=
3
n (A) 25 5
b) Sendo:
Evento A: “a pessoa sorteada foi aprovada”.
Evento B: “a pessoa sorteada é homem”.
P(A/C) =
n (A ∩C)
=
10
=
2
n (C) 15 3
Didatismo e Conhecimento 57
MATEMÁTICA
Probabilidade do Evento Intersecção
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral U, dizemos 
que ocorrer o evento A ∩ B (evento intersecção) é ocorrer 
simultaneamente os eventos A e B.
Para calcular a probabilidade de ocorrer A ∩ B, vamos utilizar 
a fórmula da probabilidade condicional.
P(A/B) =
n (A ∩B) , 
n (B)
Dividido por n(U), temos:
P(A/B) =
n (A ∩B)
=
P (A ∩ B)n (U)
n (B) P (B)n (U)
Assim: P(A∩B) = P (B) . P (A/B) (I)
Podemos também usar a fórmula de P (B/A), assim:
P(B/A) =
n (A ∩B)
=
n (A ∩B)
=
P (A ∩ B)
n (U)
n (A)
n (A)
P (A)
n (U)
Então: P(A∩B) = P (A) . P (B/A) (II)
A partir das fórmulas (I) e (II), citadas anteriormente, 
concluímos:
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral U, a 
probabilidade de eles ocorrerem simultaneamente é dada pelo 
produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, 
dado que ocorreu o primeiro.
Exemplo
Consideremos uma urna contendo 5 bolas numeradas de 1 a 5. 
qual a probabilidade de retirarmos a bola 1 e, sem sua reposição, 
a bola 2?
Resolução
A probabilidade de sair a bola 1 na primeira retirada é P (A) 
= 1/5
Restando 4 bolas na urna, a probabilidade de ocorrer a bola 
na segunda, tendo ocorrido a bola 1 na primeira é: P (A/B) = 1/4 
Como devem ocorrer os dois eventos, temos:
P (A ∩ B) =P (A) . P(B/A) =
1
=
1
=
1
5 4 20
Eventos Independentes
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral U, dizemos 
que eles são independentes se a ocorrência de um deles não 
modificar a probabilidade de ocorrência do outro.
A e B independentes <=> P (B/A) = P(B) e P (A/B) = PA
Quando A e B são eventos independentes.
P (A ∩ B) = P(A) . P(B)
Então se P (A ∩ B) ≠ P(A) . P(B), dizemos que os eventos 
são dependentes.
Exemplos de Eventos Independentes
- No lançamento simultâneo de dois dados, o resultado de um 
deles não influi no resultado do outro.
- No lançamento sucessivo de dois dados, o resultado de um 
deles não influi no resultado do outro.
- Na extração de duas cartas de um baralho se antes de extrair 
a segunda carta for feita a reposição da primeira, o resultado da 
primeira não influi no resultado da segunda.
Exemplo de Eventos Dependentes
Na extração de duas cartas de um baralho se antes de extrair a 
segunda carta não for feita a reposição da segunda, o resultado da 
primeira influencia o resultado da segunda, pois o espaço amostral 
passa a ter 51 elementos.
Exemplo
Sejam A e B dois eventos independentes tais que:
P(A) = 1
eP(A ∩ B)=
1
4 3
Calcule P (B).
Resolução
P(A 
∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 
Como A e B são independentes
P (A Ç B) = P(A) . P(B)
:. P(A 
∩ B) = P(A) + P(B) – P(A) . P(B)
ou seja: 
1
=
1
+P(B -
1
P (B)
3 4 4
4 = 3 + 12 P (B) – 3 P (B)
9 P (B) = 1 => P (B) =
1
9
14. MATEMÁTICA FINANCEIRA.
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de 
algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens 
de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos 
para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.
Capital: é o valor aplicado através de alguma operação finan-
ceira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Pre-
sente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado 
pela tecla PV nas calculadoras financeiras).
Didatismo e Conhecimento 58
MATEMÁTICA
Juros: representam a remuneração do Capital empregado em 
alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados se-
gundo dois regimes: simples ou compostos.
Juros (Capitalização) Simples: o juro de cada intervalo de 
tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou 
aplicado. 
Juros (Capitalização) Compostos: o juro de cada intervalo 
de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente 
intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado 
ao capital inicial e passa a render juros também.
O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele 
existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, 
e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for 
capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu 
desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a 
alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta absti-
nência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O 
tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado 
para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais 
conhecida como taxa de juros.
Quando usamos juros simples e juros compostos?
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros 
compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, com-
pras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações 
financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em 
fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regi-
me de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e 
do processo de desconto simples de duplicatas.
Taxa de juros: indica qual remuneração será paga ao dinheiro 
emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente 
expressa da forma percentual, em seguida da especificação do pe-
ríodo de tempo a que se refere: 
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que 
é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:
 
Juros Simples
O regime de juros será simples quando o percentual de juros 
incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a 
cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou sim-
plesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes 
de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos: J = P . 
i . n
Onde:
J = juros
P = principal (capital)
i = taxa de juros
n = número de períodos
Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga 
com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos 
pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + (Principal x Taxa de juros x Número 
de períodos)
M = P . ( 1 + ( i . n ) )
 
Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de 
R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.
Solução: 
M = P . ( 1 + (i.n) )
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42
Observe que expressamosa taxa i e o período n, na mesma 
unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, 
para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial 
possui 360 dias.
Exercícios sobre juros simples:
1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 
meses e 15 dias.
0.13 / 6 = 0.02167
logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195
j = 1200 x 0.195 = 234 
2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, 
aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
Temos: J = P.i.n
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma uni-
dade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: J = 
40000.0,001.125 = R$5000,00
3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. 
rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?
Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).
(75/30)
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à 
mesma unidade de tempo, ou seja, meses. 
Logo, 3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; 
Daí, vem: P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67
4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos 
meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através 
de capitalização simples?
Didatismo e Conhecimento 59
MATEMÁTICA
Objetivo: M = 2.P
Dados: i = 150/100 = 1,5
Fórmula: M = P (1 + i.n)
Desenvolvimento:
2P = P (1 + 1,5 n)
2 = 1 + 1,5 n
n = 2/3 ano = 8 meses
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre) 
Juros Compostos
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema 
financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do 
dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao 
principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Chamamos 
de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao 
principal. 
 
Após três meses de capitalização, temos:
1º mês: M =P.(1 + i)
2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = 
P x (1 + i) x (1 + i)
3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = 
P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
Simplificando, obtemos a fórmula: M = P . (1 + i)n
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de 
tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. Para calcu-
larmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao 
final do período: J = M - P
Exemplo: Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, 
aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês. 
(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)
Resolução:
P = R$6.000,00
t = 1 ano = 12 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035
M = ?
Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos: 
M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12
Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:
log x = log 1,03512 → log x = 12 log 1,035 → log x = 0,1788 
→ x = 1,509
Então M = 6000.1,509 = 9054.
Portanto o montante é R$9.054,00
Exercícios
1) Comprei um novo computador, mas como não tinha o di-
nheiro todo, fiz um empréstimo para pagá-lo. Ao final do emprés-
timo terei pago R$ 4.300,00. Só de juros pagarei R$ 1.800,00. A 
taxa foi de 3% a.m. Por quantos anos pagarei pelo empréstimo? 
Qual o preço do computador sem os juros? 
Primeiramente iremos calcular o valor do capital. 
A diferença entre o montante (R$ 4.300,00) e o valor total do 
juro (R$ 1.800,00), nos dá o valor do capital: 
Veja que neste caso a taxa de juros e o período não estão na 
mesma unidade de tempo. Neste caso, devemos converter uma das 
unidades. 
Montando uma regra de três simples direta, temos: 
Resolvendo: 
Identificando-se os termos disponíveis, temos: 
Para calcularmos o período de tempo utilizaremos a fórmula: 
Substituindo o valor dos termos temos: 
Logo: 
Portanto: O valor do computador sem os juros era de 
R$ 2.500,00 e o prazo de pagamento foi de 2 anos. 
Sem utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo re-
sultado, pelo seguinte raciocínio: 
Ao multiplicarmos o valor do capital pela taxa de juros, ire-
mos obter o juro referente a cada período: 
Neste caso, basta-nos dividir o valor de R$ 1.800,00, referente 
ao valor total do juro, por R$ 900,00 correspondente ao valor do 
juro em cada período, obtendo assim o período de tempo procu-
rado: 
Primeiramente iremos calcular o valor do capital. A di-
ferença entre o montante (R$ 4.300,00) e o valor total do juro 
(R$ 1.800,00), nos dá o valor do capital:
M= R$4.300,00
j= R$ 1.800,00 
C = M – j → C = 4.300,00 – 1.800,00 → C = 2.500,00
Didatismo e Conhecimento 60
MATEMÁTICA
Veja que neste caso a taxa de juros e o período não estão na 
mesma unidade de tempo. Neste caso, devemos converter uma das 
unidades. Montando uma regra de três simples direta, temos: 
↓ 3% ------------- ½ ano (1 mês)
 i % ------------ 1ano
Resolvendo: 
1
0,03 0,03.1 12 3612 0,03.1. 0,36 36% . .
11 1 100
12
i i i i i a a
i
 
 
 = → = → = → = → = → =
 
 
 
Identificando-se os termos disponíveis, temos: 
C= R$ 2.500,00
i= 3% a.m.→ 36% a.a. → a.a. → 0,36 a.a.
j= R$ 1.800,00
Para calcularmos o período de tempo utilizaremos a fórmula:
 n = 
.
j
C i
Substituindo o valor dos termos temos: n = 
1.800,00
2.500,00,36Logo: n = 2 anos
Portanto: o valor do computador sem os juros era de 
R$ 2.500,00 e o prazo de pagamento foi de 2 anos. Sem utili-
zarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo resultado, pelo 
seguinte raciocínio: Ao multiplicarmos o valor do capital pela taxa 
de juros, iremos obter o juro referente a cada período: 2.500,00 . 
0,36 → 900,00
Neste caso, basta-nos dividir o valor de R$ 1.800,00, referente 
ao valor total do juro, por R$ 900,00 correspondente ao valor do 
juro em cada período, obtendo assim o período de tempo procu-
rado: 
1.800,00 2
900,00
→
2) Comprei o material para a reforma da minha casa, pelo 
qual pagarei um total de R$ 38.664,00. O seu valor à vista era de 
R$ 27.000,00 e a taxa de juros é de 2,4% a.m. Por quantos anos eu 
pagarei por este material? 
Em primeiro lugar, devemos calcular o valor do juro total. 
Obtemos o valor do juro total ao subtrairmos do montante 
(R$ 38.664,00), o valor do capital (R$ 27.000,00): 
M= R$38.664,00
C= R$ 27.000,00 
j = M – C → j = 38.664,00 – 27.000,00 → j = 11.664,00
Observe que neste caso a taxa de juros e o período não estão 
na mesma unidade de tempo. Nestas condições, devemos conver-
ter uma das unidades. 
Montando uma regra de três simples direta, temos: 
↓ 2,4% ------------- ½ ano (1 mês) ↓
 i % ------------ 1ano
Resolvendo: 
1
0,024 0,024.1 12 28,812 0,024.1. 0,288 28,8% . .
11 1 100
12
i i i i i a a
i
= → = → = → = → = → =
Identificando-se as variáveis disponíveis, temos: 
C= R$ 27.000,00
i= 2,4% a.m.→ 28,8% a.a. → 28,8/100 a.a. → 0,288 a.a.
j= R$ 11.664,00
Para calcularmos o período de tempo utilizaremos a fórmula: 
Substituindo o valor dos termos temos: 
Logo: 
Portanto: Eu ficarei pagando pelo material da reforma por 
1,5 anos. 
Sem utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo re-
sultado, pelo seguinte raciocínio: 
Ao multiplicarmos o valor do capital pela taxa de juros, ire-
mos obter o juro referente a cada período: 27.000,00 . 0,288 → 
7.776,00
Desta forma, basta-nos dividir o valor de R$ 11.664,00, re-
ferente ao valor total do juro, por R$ 7.776,00 correspondente ao 
valor do juro em cada período, obtendo assim o período de tempo 
procurado: 
3) Aninha retirou de uma aplicação o total R$ 74.932,00, 
após decorridos 3,5 semestres. O valor dos juros obtidos foi de 
R$ 22.932,00. Qual a taxa de juros a.b.? 
Inicialmente o valor do capital será obtido subtraindo-se do 
montante (R$ 74.932,00), o valor total do juro (R$ 22.932,00): 
M= R$74.932,00
j= R$ 22.932,00 
C = M – j → C = 74.932,00 – 22.932,00 → C = 52.000,00
Veja bem que neste caso a taxa de juros e o período não es-
tão na mesma unidade de tempo. Sendo assim, devemos converter 
uma das unidades. 
Montando uma regra de três simples direta, temos: 
↓ 3 bimestres ------------- 1 semestre ↓
 n bimestres ------------ 3,5 semestresDidatismo e Conhecimento 61
MATEMÁTICA
Resolvendo: 
3 1 3.3,5 10,5
3,5 1
n n bimestres
n
= → = → =
Identificando-se os termos disponíveis, temos: 
C= R$ 52.000,00
j= R$ 22.932,00
n= 3,5 semestres → 10,5 bimestres
Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula: 
Substituindo o valor dos termos temos: 
Logo: 
Portanto: 4,2% a.b. é a taxa de juros da aplicação na qual Ani-
nha investiu. Alternativamente poderíamos dividir o valor total 
dos juros, R$ 22.932,00, pelo valor do principal, R$ 52.000,00, de 
sorte a encontrar a taxa de juros total do período: 
Dividindo-se então, esta taxa de 0,441 pelo período de tempo, 
10,5, obteríamos a taxa desejada: 
4) O valor principal de uma aplicação é de R$ 2.000,00. Res-
gatou-se um total de R$ 2.450,00 após 1 mês. Qual o valor da 
taxa de juros a.d.?
Para começar, devemos calcular o valor do juro total subtrain-
do-se do montante (R$ 2.450,00), o valor do capital (R$ 2.000,00): 
Esteja atento que neste caso a taxa de juros e o período não 
estão na mesma unidade de tempo. Quando isto acontece, devemos 
converter uma das unidades. 
Identificando-se as variáveis disponíveis, temos: 
M= R$ 2.450,00
C= R$ 2.000,00 
j = M – C → j = 2.450,00 – 2.000,00 → j = 450,00
Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula: 
Substituindo o valor dos termos temos: 
Logo: 
Portanto: A taxa de juros da aplicação resgatada é de 0,75% a.d. 
Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos juros, 
R$ 450,00, pelo valor do principal, R$ 2.000,00, de forma a encon-
trar a taxa de juros total do período: 
Dividindo-se então, esta taxa de 0,225 pelo período de tempo, 
30, obteríamos a taxa desejada: 
5) Timóteo pagou mensalmente, pelo período de 1 ano, por 
um curso que à vista custava R$ 1.800,00. Por não ter o dinheiro, 
financiou-o a uma taxa de juros simples de 1,3% a.m. Qual o valor 
total pago pelo curso? Qual o valor dos juros?
Veja que neste caso a taxa de juros e o período não estão na 
mesma unidade de tempo. Neste caso, devemos converter uma das 
unidades. Identificando-se os termos disponíveis, temos: 
C= R$ 1.800,00
i= 1,3% a.m. → 1,3/100 a.m. → 0,013 a.m.
n = 1 ano → 12 meses
Para calcularmos o juro utilizaremos a fórmula: j = C . i . n
Substituindo o valor dos termos temos: j = 1.800,00. 0,013 . 
12
Logo: j = 280,80
O montante é obtido somando-se ao valor do capital, o valor 
total dos juros. Tal como na fórmula: M = C+ j
Ao substituirmos o valor dos termos temos: M = 1.800,00 + 
280,80 → M= 2.080,80
Portanto: o valor dos juros foi de R$ 280,80, que acrescentado 
ao preço do curso de R$ 1.800,00, totalizou R$ 2.080,80. Ao invés 
de utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo resultado, 
apenas pela aplicação de alguns conceitos. Como sabemos, o juro 
referente a cada período é calculado multiplicando-se o valor do 
capital pela taxa de juros. Então o valor do juro por período seria: 
1.800,00 . 0,013 → 23,40
Ora, sendo o valor do juro em cada período correspondente a 
R$ 23,40, resta-nos multiplicar este valor por 12, correspondente 
ao período de tempo, para termos o valor procurado: 23,40 . 12 → 
280,80
Didatismo e Conhecimento 62
MATEMÁTICA
O valor do montante será encontrado, simplesmente soman-
do-se ao valor do principal, o valor total dos juros: 1.800,00 + 
280,80 → 2.080,80
6) Um aplicador investiu R$ 35.000,00 por 1 semestre, à taxa 
de juros simples de 24,72% a.a. Em quanto o capital foi aumentado 
por este investimento? 
Observe que neste caso a taxa de juros e o período não estão 
na mesma unidade de tempo. Nestas condições, devemos conver-
ter uma das unidades. 
Montando uma regra de três simples direta, temos: 
↓ 24,72% ------------- 2 semestres (1 ano) ↓
 i % ------------ 1 semestre
Resolvendo: 
0,2472 2 0,2472.1 12,360,1236 12,36% . .
2 100
i i i i a s
i i
= → = → = → = → =
Identificando-se as variáveis disponíveis, temos: 
C= R$ 35.000,00
i= 24,72% a.a. → 12,36% a.s. → 12,36/100 a.s → 0,1236 a.s.
n = 1 semestre
Para calcularmos o juro utilizaremos a fórmula: 
Substituindo o valor dos termos temos: 
Logo: 
Portanto: Com investimento o capital aumentou R$ 4.326,00. 
Ao invés de utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mes-
mo resultado, apenas pela aplicação de alguns conceitos. Como sa-
bemos, o juro referente a cada período é calculado multiplicando-
-se o valor do capital pela taxa de juros. Então o valor do juro por 
período seria: 35.000,00 . 0,1236 → 4.326,00
Ora, sendo o valor do juro em cada período correspondente a 
R$ 4.326,00, resta-nos multiplicar este valor por 1, correspondente 
ao período de tempo, para termos o valor procurado: 4.326,00 . 1 
→ 4.326,00
7) Em uma aplicação recebi de juros R$ 141,75. O dinheiro 
ficou aplicado por 45 dias. Eu tinha aplicado R$ 3.500,00. Qual foi 
a taxa de juros a.a. da aplicação? 
Identificando-se os termos disponíveis, temos: 
C= R$ 3.500,00
j= R$ 141,75
n = 45 dias
Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula: 
Substituindo o valor dos termos temos: 
No entanto, como a unidade de tempo da taxa solicitada está 
em anos (‘a.a.’) e o cálculo foi realizado na unidade do período de 
tempo que está em ‘dias’, devemos converter a unidade de tempo 
da taxa calculada de a.d. (‘dias’) para a.a. (‘anos’). 
Logo: 
↓ i ------------- 360 dias (1 ano) ↓
 0,0009 ------------ 1 dia
Resolvendo: 
360 32,40,324 32,4% . .
0,0009 1 100
i i i i a a= → = → = → =
Portanto: 32,4% a.a. foi a taxa de juros simples da aplicação. 
Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos juros, 
R$ 141,75, pelo valor do principal, R$ 3.500,00, de forma a encon-
trar a taxa de juros total do período: 
Dividindo-se então, esta taxa de 0,0405 pelo período de tem-
po, 45, obteríamos a taxa desejada: 
Resta ainda converter a taxa de juros para a unidade de tempo 
solicitada, o que pode ser feito se realizando o procedimento de 
conversão conforme efetuado acima. 
8) Maria realizou uma aplicação por um período de 1 bi-
mestre. Em tal período o capital de R$ 18.000,00 rendeu a ela 
R$ 1.116,00 de juros. Qual foi a taxa de juros a.a. utilizada? 
Identificando-se as variáveis disponíveis, temos: 
C= R$ 18.000,00
j= R$ 1.116,00
n = 1 bimestre
Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula: 
Substituindo o valor dos termos temos: 
Didatismo e Conhecimento 63
MATEMÁTICA
No entanto, como a unidade de tempo da taxa solicitada está 
em anos (‘a.a.’) e o cálculo foi realizado na unidade do período 
de tempo que está em ‘bimestres’, devemos converter a unidade 
de tempo da taxa calculada de a.b. (‘bimestres’) para a.a. (‘anos’). 
Logo: 
↓ i ------------- 6 bimestres (1 ano) ↓
 0,062 ------------ 1 bimestre
Resolvendo: 
6 0,062.6 37,20,372 37,2% .
0,062 1 1 100
i i i i i a a= → = → = → = → =
Portanto: A aplicação de Maria Gorgonzola foi realizada à 
uma taxa de juros simples de 37,2% a.a. Alternativamente pode-
ríamos dividir o valor total dos juros, R$ 1.116,00, pelo valor do 
principal, R$ 18.000,00, de maneira a encontrar a taxa de juros 
total do período: 
Dividindo-se então, esta taxa de 0,062 pelo período de tempo, 
1, obteríamos a taxa desejada: 
Resta ainda converter a taxa de juros para a unidade de tempo 
solicitada, o que pode ser feito se realizando o procedimento de 
conversão conforme efetuado acima. 
9) Maria recebeu R$ 5.000,00 de juros, por um empréstimo 
de 1 mês. A taxa de juros aplicada foi de 37,5% a.a. Quanto Maria 
havia emprestado?
Veja que neste caso a taxa de juros e o período não estão na 
mesma unidade de tempo. Neste caso, devemos converter uma das 
unidades. Montando uma regra de três simples direta, temos: 
↓ 37,5% ------------- 12 meses (1 ano) ↓
 i% ------------ 1 mês
Resolvendo: 
0,375 12 0,375.1 3,1250,03125 3,125% .
1 12 100
i i i i a m
i
= → = → = → = → =
Identificando-se os termos disponíveis, temos: 
i= 37,5% a.a. → 3,125% a.m. → 3,125/100 a.m. → 0,03125 
a.m.
j= R$ 5.000,00
n = 1 mês
Para calcularmos o capital vamos utilizara fórmula: 
C = 
.
j
i n
Substituindo o valor dos termos temos: 
C = 5.000,00/(0,03125 .1)
Logo: C = 160.000,00
Portanto: Maria havia emprestado R$ 160.000,00, pelo qual 
recebeu R$ 5.000,00 de juros, à taxa de 37,5% a.a. pelo período 
de 1 mês. Poderíamos chegar à mesma conclusão pela seguinte 
forma: Se dividirmos o valor total dos juros pelo período de tempo, 
iremos obter o valor do juro por período: 
5.000,00 5.000,00
1
→
Portanto, ao dividirmos o valor do juro por período, 
R$ 5.000,00, pela taxa de juros de 3,125%, iremos obter o valor 
do capital: 
5.000,00 160.000,00
0,03125
→
10) Ambrózio recebeu R$ 1.049,60 de juros ao aplicar 
R$ 8.200,00 à taxa de 19,2% a.s. Qual foi o prazo da aplicação 
em meses? 
Observe que neste caso a taxa de juros e o período não estão 
na mesma unidade de tempo. Nestas condições, devemos conver-
ter uma das unidades. Montando uma regra de três simples direta, 
temos: 
↓ 19,2% ------------- 6 meses (1 semestre) ↓
 i% ------------ 1 mês
Resolvendo: 
0,192 6 0,192.1 3,20,032 3,2% .
1 6 100
i i i i a m
i
= → = → = → = → =
Identificando-se as variáveis disponíveis, temos: 
C = R$ 8.200,00
i= 19,2% a.s. → 3,2% a.m. → 3,2/100 a.m. → 0,032 a.m.
j= R$ 1.049,60
Para calcularmos o período de tempo utilizaremos a fórmula: 
Substituindo o valor dos termos temos: 
Logo: n = 4 meses
Didatismo e Conhecimento 64
MATEMÁTICA
Portanto: O prazo da aplicação foi de 4 meses. Aplicação 
esta que rendeu a Ambrózio R$ 1.049,60 de juros ao investir 
R$ 8.200,00 à taxa de 19,2% a.s. Sem utilizarmos fórmulas, po-
deríamos chegar ao mesmo resultado, pelo seguinte raciocínio: Ao 
multiplicarmos o valor do capital pela taxa de juros, iremos obter o 
juro referente a cada período: 8.200,00 . 0,032 → 262,40
Neste caso, basta-nos dividir o valor de R$ 1.049,60, referente 
ao valor total do juro, por R$ 262,40 correspondente ao valor do 
juro em cada período, obtendo assim o período de tempo procu-
rado: 
11) Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juro com-
posto de 1,7% a.m., quanto receberei de volta após um ano de 
aplicação? Qual o juro obtido neste período? 
Primeiramente vamos identificar cada uma das variáveis for-
necidas pelo enunciado do problema:
C = R$ 15.000,00
i= 1,7% a.m. → 1,7/100 a.m. → 0,017 a.m.
n= 1 ano → 12 meses
Como a taxa de juros está em meses, também iremos trabalhar 
com o período de tempo em meses e não em anos como está no 
enunciado do problema.
Pelo enunciado identificamos que foram solicitados o mon-
tante e o juro, utilizaremos, portanto a fórmula abaixo que nos dá 
o montante: M = C . (1+ i)n
Ao substituirmos cada uma das variáveis pelo seu respectivo 
valor teremos: M = 15.000,00 . (1 + 0,017)12
Podemos então realizar os cálculos para encontramos o valor 
do montante:
M = 15.000,00 . (1 + 0,017)12 →
M = 15.000,00 . 1,01712 →
M = 15.000,00 . 1,224197 →
M = 18362,96
Logo o montante a receber será de R$ 18.362,96. Sabemos 
que a diferença entre o montante e o capital aplicado nos dará os 
juros do período. Temos então:
j = M – C →
j = 18362,96 – 15.000,00 →
j = 3362,96
Portanto: Após um ano de aplicação receberei de volta um to-
tal de R$ 18.362,96, dos quais R$ 3.362,96 serão recebidos a título 
de juros.
12) Paguei de juros um total R$ 2.447,22 por um emprésti-
mo de 8 meses a uma taxa de juro composto de 1,4% a.m. Qual 
foi o capital tomado emprestado? Calculando o valor da entrada 
para financiar a compra do seu carro a partir do valor da prestação 
Em primeiro lugar vamos identificar as variáveis fornecidas 
pelo enunciado:
j = R$ 2.447,22
n = 8 meses
i= 1,4% a.m. → 1,4/100 a.m. → 0,014 a.m.
Como sabemos a fórmula básica para o cálculo do juro com-
posto é: M = C . (1+ i)n
Mas como estamos interessados em calcular o capital, é me-
lhor que isolemos a variável C como a seguir:
.(1 )
(1 )
n MM C i C
i n
= + → =
+
Note que a variável M não consta no enunciado, mas ao in-
vés disto temos a variável j, no entanto sabemos que o valor do 
montante é igual à soma do valor principal com o juro do período, 
então temos: M = C + j
Podemos então substituir M por C + j na expressão anterior:
(1 )n
C jC
i
+
=
+
Vamos então novamente isolar a variável C:
(1 )n
C jC
i
+
=
+
C . (1 + i)n = C + j →
C . (1 + i)n - C = j →
C . [(1 + i)n – 1] = j →
Finalmente podemos substituir as variáveis da fórmula pelos 
valores obtidos do enunciado:
8
8
(1 ) 1
2447,22
(1 0,0014) 1
2447,22
1,014 1
2447,22
1,117644 1
2447,22
0,117644
20801,91
n
jC
i
C
C
C
C
C
= →
+ −
= →
+ −
= →
−
= →
−
= →
=
Logo: O capital tomado emprestado foi de R$ 20.801,96.
13) Planejo emprestar R$ 18.000,00 por um período de 
18 meses ao final do qual pretendo receber de volta um total 
de R$ 26.866,57. Qual deve ser o percentual da taxa de juro 
composto para que eu venha a conseguir este montante? 
Didatismo e Conhecimento 65
MATEMÁTICA
Do enunciado identificamos as seguintes variáveis:
C = R$ 18.000,00
n = 18 meses
M = R$ 26.866,57
A partir da fórmula básica para o cálculo do juro composto 
iremos isolar a variável i, que se refere à taxa de juros que estamos 
em busca: M = C . (1+ i)n
Como já vimos na parte teórica, esta variável pode ser isolada 
com os seguintes passos:
.(1 )
(1 )
(1 )
1
1
n
n
nnn
n
n
M C i
M i
C
M i
C
M i
C
Mi
C
= + →
= + →
= + →
= + →
= = −
Por fim substituiremos as variáveis da fórmula pelos valores 
obtidos do enunciado:
18
18
1
268866,57 1
18000
1,492587 1
1,0225 1
0,0225 1
n
Mi
C
i
i
i
i
= = − →
= = − →
= = − →
= − →
= −
O valor decimal 0,0225 corresponde ao valor percentual de 
2,25%.
14) Preciso aplicar R$ 100.000,00 por um período de quantos 
meses, a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., para que ao 
final da aplicação eu obtenha o dobro deste capital? 
Do enunciado identificamos as seguintes variáveis:
C = R$ 100.000,00
i = 1,7% a.m. → 1,7/100 a.m. → 0,017 a.m.
M = R$ 200.000,00
Tendo por base a fórmula básica para o cálculo do juro com-
posto isolemos a variável n, que se refere ao período de tempo que 
estamos a procura:
.(1 )
(1 )
log(1 ) log
log
log(1 )
n
n
n
M C i
Mi
C
Mi
C
M
Cn
i
= + →
+ = →
 + = → 
 
 
 
 =
+
Substituindo o valor das variáveis na fórmula:
log
log(1 )
log(2)
log(1,017)
0,301030
0,007321
41,12
M
Cn
i
n
n
n
 
 
 = →
+
= →
= →
=
Assim sendo: Para que eu consiga dobrar o valor do meu ca-
pital precisarei de 41,12 meses de aplicação.
15) Se um certo capital for aplicado por um único período 
a uma determinada taxa de juros, em qual das modalidades de 
juros, simples ou composta, se obterá o maior rendimento? Na 
modalidade de juros simples, temos que o montante pode ser 
obtido através da seguinte fórmula: M = C + j
Mas como já sabemos, o juro é obtido através da fórmula: j = 
C . i . n
Logo substituindo j na fórmula do montante, chegamos à 
seguinte expressão: M = C + C . i . n
Que após colocarmos C em evidência teremos: M = C . (1 + 
i + n)
Como o enunciado diz se tratar de apenas um período de 
aplicação, ao substituirmos n por 1 e realizarmos a multiplicação, 
a fórmula ficará apenas como:
M = C . (1 + i)
Já na modalidade de juros compostos, o montante é obtido 
através da fórmula:
M = C . (1 + i)n
Com a substituição de n por 1, segundo o enunciado, 
chegaremos à expressão:
Didatismo e Conhecimento 66
MATEMÁTICA
M = C . (1 + i)
Como já era de se esperar, em ambas as modalidades chegamos 
à mesma fórmula. Por quê?
Como sabemos, o que difere uma modalidade da outra é que 
no caso dos juros simples o juro não é integrado ao capital ao final 
de cada período, assim como acontece na modalidade de juros 
compostos. Como há apenas um período, não há distinção entre 
uma modalidade e outra, já que após a integração do juro ao valor 
principal, não haverá um outro cálculo para um próximo período, 
por se tratar de apenas um período de aplicação.
Temos então que: Em qualquer uma das modalidades o 
rendimento será o mesmo.
Taxa Nominal
A taxa nominal de juros relativa auma operação financeira, 
pode ser calculada pela expressão: 
Taxa nominal = Juros pagos / Valor nominal do empréstimo
Assim, por exemplo, se um empréstimo de $100.000,00, 
deve ser quitado ao final de um ano, pelo valor monetário de 
$150.000,00, a taxa de juros nominal será dada por: 
Juros pagos = Jp = $150.000 – $100.000 = $50.000,00
Taxa nominal = in = $50.000 / $100.000 = 0,50 = 50%
Sem dúvida, se tem um assunto que gera muita confusão na 
Matemática Financeira são os conceitos de taxa nominal, taxa efe-
tiva e taxa equivalente. Até na esfera judicial esses assuntos geram 
muitas dúvidas nos cálculos de empréstimos, financiamentos, con-
sórcios e etc. 
Hoje vamos tentar esclarecer esses conceitos, que na maioria 
das vezes nos livros e apostilas disponíveis no mercado, não são 
apresentados de um maneira clara. 
Temos a chamada taxa de juros nominal, quando esta não 
é realmente a taxa utilizada para o cálculo dos juros (é uma taxa 
“sem efeito”). A capitalização (o prazo de formação e incorpora-
ção de juros ao capital inicial) será dada através de uma outra taxa, 
numa unidade de tempo diferente, taxa efetiva.
 Como calcular a taxa que realmente vai ser utilizada; isto é, 
a taxa efetiva?
Vamos acompanhar através do exemplo:
Calcular o montante de um capital de R$ 1.000,00 aplicados 
durante 18 meses, capitalizados mensalmente, a uma taxa de 
12% a.a. Explicando o que é taxa Nominal, efetiva mensal e equi-
valente mensal: 
 
Respostas e soluções:
 
1) A taxa Nominal é 12% a.a; pois o capital não vai ser capita-
lizado com a taxa anual.
2) A taxa efetiva mensal a ser utilizada depende de duas con-
venções: taxa proporcional mensal ou taxa equivalente mensal.
a) Taxa proporcional mensal (divide-se a taxa anual por 12): 
12%/12 = 1% a.m.
b) Taxa equivalente mensal (é aquela que aplicado aos R$ 
1.000,00, rende os mesmos juros que a taxa anual aplicada nesse 
mesmo capital). 
 
Cálculo da taxa equivalente mensal:
i q= (1+ it )
q
t −1
onde:
iq : taxa equivalente para o prazo que eu quero
it : taxa para o prazo que eu tenho
q : prazo que eu quero
t : prazo que eu tenho
 i q= (1+ 0,12)
1
12 −1 = (1,12)0,083333 – 1 
iq = 0,009489 a.m ou iq = 0,949 % a.m.
3) Cálculo do montante pedido, utilizando a taxa efetiva mensal
a) pela convenção da taxa proporcional:
M = c (1 + i)n
M = 1000 (1 + 0,01) 18 = 1.000 x 1,196147
M = 1.196,15
 
b) pela convenção da taxa equivalente:
M = c (1 + i)n
M = 1000 (1 + 0,009489) 18 = 1.000 x 1,185296
M = 1.185,29
NOTA: Para comprovar que a taxa de 0,948% a.m é equiva-
lente a taxa de 12% a.a, basta calcular o montante utilizando a taxa 
anual, neste caso teremos que transformar 18 meses em anos para 
fazer o cálculo, ou seja : 18: 12 = 1,5 ano. Assim:
M = c (1 + i)n
M = 1000 (1 + 0,12) 1,5 = 1.000 x 1,185297
M = 1.185,29
Conclusões:
- A taxa nominal é 12% a.a, pois não foi aplicada no cálculo 
do montante. Normalmente a taxa nominal vem sempre ao ano!
- A taxa efetiva mensal, como o próprio nome diz, é aque-
la que foi utilizado para cálculo do montante. Pode ser uma taxa 
proporcional mensal (1 % a.m.) ou uma taxa equivalente mensal 
(0,949 % a.m.).
- Qual a taxa efetiva mensal que devemos utilizar? Em se tra-
tando de concursos públicos a grande maioria das bancas exami-
nadores utilizam a convenção da taxa proporcional. Em se tratando 
do mercado financeiro, utiliza-se a convenção de taxa equivalente.
Resolva as questões abaixo para você verificar se entendeu os 
conceitos acima.
 
1) Um banco paga juros compostos de 30% ao ano, com capi-
talização semestral. Qual a taxa anual efetiva?
a) 27,75 %
b) 29,50%
c) 30 %
d) 32,25 %
e) 35 %
Didatismo e Conhecimento 67
MATEMÁTICA
2) Um empresa solicita um empréstimo ao Banco no regime 
de capitalização composta à base de 44% ao bimestre. A taxa equi-
valente composta ao mês de:
a) 12%
b) 20%
c) 22%
d) 24%
 
Respostas: 1) d 2) b
Taxas Equivalentes e Capitais Equivalentes
A equivalência de capitais é uma das ferramentas mais pode-
rosas da matemática financeira e tem sido constantemente pedida 
nas provas de concursos públicos.
Aprendemos a calcular o Montante, em uma Data Fatura, de 
um capital que se encontrava na data presente. Relativo a descon-
tos, aprendemos a calcular o Valor Atual, em uma Data Presente, 
de um valor nominal que se encontrava em uma data futura.
Gostaríamos que você notasse que, ao calcular o montante, 
estávamos movendo o capital inicial a favor do eixo dos tempos ou 
capitalizando-o, enquanto que, ao calcularmos o valor atual, está-
vamos movendo o valor nominal (que também é um capital) contra 
o eixo dos tempos ou descapitalizando-o, conforme se encontra 
ilustrado nos esquemas a seguir.
Conceito de Equivalência
Dois ou mais capitais que se encontram em datas diferentes, 
são chamados de equivalentes quando, levados para uma mesma 
data, nas mesmas condições, apresentam o mesmo VALOR nessa 
data.
Para você entender melhor esse conceito, vamos lhe propor 
um problema. Vamos fazer de conta que você ganhou um prêmio 
em dinheiro no valor de R$ 100,00, que se encontra aplicado, em 
um banco, à taxa de juros simples de 10% a.m. O banco lhe oferece 
três opções para retirar o dinheiro:
1a) você retira R$ 100,00 hoje;
2a) você deixa o dinheiro aplicado e retira R$ 140,00 dentro 
de 4 meses;
3a) você deixa o dinheiro aplicado e retira R$ 190,00 em 9 
meses.
Qual delas é a mais vantajosa para você?
Para sabermos a resposta, precisamos encontrar um jeito de 
comparar os capitais R$ 100,00, R$ 140,00, e R$ 190,00, que se 
encontram em datas diferentes. Vamos determinar, então, o valor 
dos três capitais numa mesma data ou seja, vamos atualizar os seus 
valores. Escolheremos a data de hoje. A Data Comum, também 
chamada de Data de Comparação ou Data Focal, portanto, vai ser 
hoje (= data zero).
O capital da primeira opção (R$ 100,00) já se encontra na data 
de hoje; portanto, já se encontra atualizado.
Calculemos, pois, os valores atuais Va1 e Va2 dos capitais fu-
turos R$ 140,00 e R$ 190,00 na data de hoje (data zero). Esquema-
tizando, a situação seria esta:
Podemos fazer este cálculo usando desconto comercial sim-
ples ou desconto racional simples. Vamos, arbitrariamente, esco-
lher a fórmula do valor atual racional simples:
Vars = N/1 + in
Vars1 = 140,00/(1 + 0,10 . 4) = 100,00
Vars2 = 190,00/(1 + 0,10 . 9) = 100,00
Verificamos que os três capitais têm valores atuais idênticos 
na data focal considerada (data zero). Podemos, portanto, dizer 
que eles são Equivalentes: tanto faz receber R$ 100,00 hoje, ou R$ 
140,00 daqui a 4 meses ou R$ 190,00 daqui a nove meses, se a taxa 
de juros for de 10% ao mês e o desconto racional simples.
Vejamos o que acontece se utilizarmos o critério do desconto 
comercial, em vez do desconto racional, para calcular os valores 
atuais dos capitais R$ 140,00 e R$ 190,00:
Vacs = N (1 – in)
Vacs1 = 140 ( 1 – 0,10 . 4) = 140 (0,6) = 84
Vacd2 = 190 (1 – 0,10 . 9) = 190 (0,1) = 19
Mudando-se a modalidade de desconto, portanto, os três capi-
tais deixam de ser equivalentes.
E se mudarmos a data de comparação, ou data focal, para o 
mês 2, por exemplo, continuando a utilizar o desconto racional 
simples?
Acontecerá o seguinte:
O capital R$ 140,00, resgatável na data 4, será antecipado de 2 
meses, ficando com o seguinte valor atual racional simples:
Vars1 = 140,00/(1 + 0,10 . 2) = 116,67
O capital R$ 190,00, resgatável na data 9, será antecipado de 7 
meses, ficando com o seguinte valor atual racional simples: 
Vars2 = 190,00/(1 + 0,10 . 7) = 111,76
Ao capital R$ 100,00 (resgatável na data zero) acrescentar-se-
-ão dois meses de juros, conforme segue:
Vars3 = C (1 + in) = 100 (1 + 0,10 . 2) = 120
No mês dois, portanto, temos que os capitais nominais R$ 
140,00; R$ 190,00 e R$ 100,00 estarão valendo, respectivamente, 
R$ 116,67; R$ 111,76 e R$ 120,00. Na data focal 2, portanto, eles 
não serão mais equivalentes.
No regime de capitalização Simples a equivalência ocorre em 
apenas uma única data, para uma determinadataxa e modalidade 
de desconto. Ao mudarmos a Data Focal, capitais que antes eram 
equivalentes podem deixar sê-lo. É bom você saber desde já que, 
no regime de capitalização Composta, isto não acontece: na capi-
talização composta, para a mesma taxa, capitais equivalentes para 
uma determinada data o são para qualquer outra data.
Podemos então concluir que:
Para juros simples, a equivalência entre dois ou mais capitais 
somente se verifica para uma determinada taxa, para uma determi-
nada data focal e para uma determinada modalidade de desconto.
Podemos, agora, definir equivalência de dois capitais de uma 
mesma maneira mais rigorosa da seguinte forma:
Dois capitais C1 e C2, localizados nas datas n1 e n2, medidas 
a partir da mesma origem, são ditos equivalentes com relação a 
uma data focal F, quando os seus respectivos valores atuais, Va1 e 
Va2 , calculados para uma determinada taxa de juros e modalidade 
de desconto nessa data focal F, forem iguais.
Didatismo e Conhecimento 68
MATEMÁTICA
A equivalência de capitais é bastante utilizada na renegocia-
ção de dívidas, quando há necessidade de substituir um conjunto 
de títulos por um outro conjunto, equivalente ao original (isto por-
que o conceito de equivalência é aplicado não só para dois capitais, 
mas também para grupos de capitais).
Às vezes um cliente faz um empréstimo num banco e se com-
promete e quitá-lo segundo um determinado plano de pagamento. 
Todavia, devido a contigências nos seus negócios, ele percebe que 
não terá dinheiro em caixa para pagar as parcelas do financiamento 
nas datas convencionadas. Então, propõe ao gerente do banco um 
outro esquema de pagamento, alterando as datas de pagamento e 
os respectivos valores nominais de forma que consiga honrá-los, 
mas de tal sorte que o novo esquema seja EQUIVALENTE ao pla-
no original.
No cálculo do novo esquema de pagamento, a visualização 
do problema fica bastante facilitada com a construção de um dia-
grama de fluxo de caixa no qual representa-se a dívida original na 
parte superior, e a proposta alternativa de pagamento na parte de 
baixo, conforme se vê nos problemas a seguir.
Equação de Valor
Em síntese, para que um conjunto de títulos de valores nomi-
nais N1, N2, N3 …, exigíveis nas datas n1, n2, n3 …, seja equivalente 
a um outro conjunto de títulos Na , Nb , Nc …, exigíveis nas datas 
na , nb , nc …, basta impormos que a soma dos respectivos valores 
atuais Va1 , Va2 , Va3 … dos títulos do primeiro conjunto, calculados 
na data focal considerada, seja igual à soma dos valores atuais Vaa 
, Vab , Vac … dos títulos do segundo conjunto, calculados para essa 
mesma data, isto é:
Va1 + Va2 + Va3 + … = Vaa + Vab + Vac + …
A equação acima é chamada de Equação de Valor.
Roteiro para Resolução de Problemas de Equivalência
Ao começar a resolução de problemas que envolvem equiva-
lência de capitais utilize o seguinte roteiro:
1. leia o problema todo;
2. construa, a partir do enunciado do problema, um diagrama 
de fluxo de caixa esquemático, colocando na parte de cima o plano 
original de pagamento e na parte de baixo o plano alternativo pro-
posto, indicando todos os valores envolvidos, as datas respectivas 
e as incógnitas a serem descobertas – esse diagrama é importante 
porque permite visualizar os grupos de capitais equivalentes e esta-
belecer facilmente a equação de valor para resolução do problema;
3. observe se os prazos de vencimento dos títulos e compro-
missos estão na mesma unidade de medida de tempo periodicidade 
da taxa; se não estiverem, faça as transformações necessárias (ou 
você expressa a taxa na unidade de tempo do prazo ou expressa o 
prazo na unidade de tempo da taxa – escolha a transformação que 
torne os cálculos mais simples);
4. leve todos os valores para a data escolhida para a nego-
ciação (data focal), lembrando sempre que capitais exigíveis an-
tes da data focal deverão ser capitalizados através da fórmula do 
montante M = C (1 + in), dependendo da modalidade de desconto 
utilizada;
5. tendo transportado todos os capitais para a data focal e com 
base no diagrama de fluxo de caixa que você esquematizou, monte 
a EQUAÇÃO DE VALOR, impondo que a soma dos valores dos 
títulos (transportados para a data focal) da parte de cima do dia-
grama de fluxo de caixa seja igual à soma dos valores dos títulos 
(transportados para a data focal) da parte de baixo do diagrama de 
fluxo de caixa;
6. resolva a equação de valor;
7. releia a PERGUNTA do problema e verifique se o valor que 
você encontrou corresponde ao que o problema está pedindo (às 
vezes, devido à pressa, o candidato se perde nos cálculos, encontra 
um resultado intermediário e assinala a alternativa que o contém, 
colocada ali para induzi-lo em erro, quando seria necessário ainda 
uma passo a mais para chegar ao resultado final correto).
Desconto e Equivalência
Por fim, gostaríamos de dar uma dica para ajudá-lo a perceber 
quando um problema é de desconto e quando é de equivalência. 
Em linhas gerais, nos problemas de Desconto, alguém quer vender 
papéis (duplicatas, promissórias, letras de câmbio, etc.), enquanto 
que nos problemas de Equivalência, alguém quer financiar ou re-
financiar uma dívida.
Rendas Uniformes
Matéria com o mesmo objetivo da Equivalência de Capitais, 
mas com títulos apresentando os mesmos valores e com vencimen-
tos consecutivos - tornando assim sua solução mais rápida, através 
de um método alternativo.
Há dois casos: o cálculo do valor atual dos pagamentos iguais 
e sucessivos (que seria igual ao valor do financiamento obtido por 
uma empresa ou o valor do empréstimo contraído); e o cálculo do 
montante, do valor que a empresa obterá se aplicar os pagamentos 
dos clientes em uma data futura às datas dos pagamentos.
1º Caso: Cálculo do Valor Atual
a) Renda Certa Postecipada (Imediata): aquela onde o primei-
ro pagamento acontecerá em UM período após contrair o emprés-
timo ou financiamento.
Para calcular o valor atual dessa renda certa, a fórmula é a 
seguinte:
A = P . a[n,i], onde:
A = valor atual da renda certa;
P = valor de cada pagamento da renda certa;
n = número de prestações;
i = taxa empregada.
O fator a[n,i] é normalmente dado nas provas.
b) Renda Certa Antecipada: aquela onde o primeiro pagamen-
to acontecerá no ato do empréstimo ou financiamento.
Para calcular o valor atual dessa renda certa, a fórmula é a 
seguinte:
A = P . a[n-1,i] + P, onde:
A = valor atual da renda certa;
P = valor de cada pagamento da renda certa;
n = número de prestações;
Didatismo e Conhecimento 69
MATEMÁTICA
i = taxa empregada.
c) Renda Certa Diferida: aquela onde o primeiro pagamento 
acontecerá vários períodos após ser feito o empréstimo ou finan-
ciamento.
Para calcular o valor atual dessa renda certa, a fórmula é a 
seguinte:
A = P . ( a[n+x,i] - a[x,i] ), onde:
A = valor atual da renda certa;
P = valor de cada pagamento da renda certa;
n = número de prestações;
x = número de prestações acrescentadas;
i = taxa empregada.
2º Caso: Cálculo do Montante
a) Quando o montante é calculado no momento da data do 
último pagamento:
Para calcular o valor do montante nesse caso, a fórmula é a 
seguinte:
M = P . s[n,i], onde:
M = valor do montante;
P = valor de cada pagamento da renda certa;
n = número de prestações;
i = taxa empregada.
O fator s[n,i] é normalmente dado nas provas.
b) Quando o montante é calculado em um momento que não 
coincide com a data do último pagamento:
Para calcular o valor do montante nesse caso, a fórmula é a 
seguinte:
M = P . (s[n+x,i] - s[x,i]), onde:
M = valor do montante;
P = valor de cada pagamento da renda certa;
n = número de prestações;
x = número de prestações acrescentadas;
i = taxa empregada.
Rendas Variáveis
Ativos de renda variável são aqueles cuja remuneração ou re-
torno de capital não pode ser dimensionado no momento da apli-
cação, podendo variar positivamente ou negativamente, de acor-
do com as expectativas do mercado. Os mais comuns são: ações, 
fundos de renda variável (fundo de ação, multimercadoe outros), 
quotas ou quinhões de capital, Commodities (ouro, moeda e ou-
tros) e os derivativos (contratos negociados nas Bolsas de Valores, 
de mercadorias, de futuros e assemelhadas).
 ANOTAÇÕES
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Didatismo e Conhecimento 70
MATEMÁTICA
 ANOTAÇÕES
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