Matemática Discreta

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Augusto César Morgado 
Paulo Cezar Pinto Carvalho 
MATEMÁTICA DISCRETA 
Sociedade Brasileira de Matemática 
MATEMÁTICA DISCRETA 
Matemática Discreta 
Copyright © 2013 Augusto César Morgado e Paulo Cezar Pinto Carvalho 
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Capa 
Pablo Diego Regino 
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22460-320 Rio de Janeiro RJ 
Telefones: (21) 2529-5073 / 2529-5095 
http://www.sbm.org.br / email:lojavirtual@sbm.org.br 
ISBN 978-85-8337-015-4 
MORGADO, Augusto César. 
Matemática Discreta / Augusto César Morgado; Paulo Cezar Pinto 
Carvalho. Capa de Pablo Diego Regi no .-Rio de Janeiro: SBM, 2013. 
204 p. (Coleção PROFMAT; 12) 
ISBN: 978-85·8337·015-4 
1. Números Naturais. 2.Método de Indução. 
3. Progressões 4.Matemática Financeira. 1. Pinto Carvalho, Paulo Cezar 
li. Regino, Pablo. Ili. Titulo. 
Augusto César Morgado 
Paulo Cezar Pinto Carvalho 
MATEMÁTICA DISCRETA 
1ª edição 
Rio de Janeiro 
2014 
Sociedade Brasileira de Matemática 
•1seM 
COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMATICA 
Logaritmos - E. L. Lima 
Análise Combinatória e Probabilidade com as soluções dos exercícios - A. C. Morgado. J. B. Pitombelra, P. C. P. Carvalho e 
P. Fernandez 
Medida e Forma em Geomerria (Comprimento, Área, Volume e Semelhança) - E. L. Lima 
Meu Professor de Matemática e outras Histórias - E. L Lima 
' Coordenadas no Plano com as soluções dos exercfdos - E. L. Uma com a colaboração de P. C. P. Carvalho 
Trigonometria, Números Complexos - M. P. do Carmo, A. C. Morgado e E. Wagner, Notas Históricas de J. B. Pitombeira 
Coordenadas no Espaço - E. L Lima 
Progressões e Matemática Financeira - A. C. Morgado, E. Wagner e S. C. Zani 
Construções Geométr,cas - E. Wagner com a colaboração de J. P. Q. Carneiro 
Introdução à Geometria Espada/ - P. C. P. Carvalho 
Geometria Euclidiana Plana - J. L. M. Barbosa 
Isometrias - E. L. Lima 
A Matemática do Ensino Médio Vol. 1 - E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado 
A Matemática do Ensino Médio Vol. 2- E. L Uma, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado 
A Matemática do Ensino Médio Vol. 3 - E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado 
Matemaiica e Ensino - E. L. Lima 
Temas e Problemas - E. L Uma, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado 
Episódios da História Anriga da Matemática - A. Aaboe 
Exame de Textos: Análise de livros de Matemática - E. L. Lima 
A Matemática do Ensino Media Vol. 4 -Exerc,c,os e Soluções - E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado 
Construções Geométricas: Exercícios e Soluções - S. Lima Netto 
Um Convite à Matemática- D.C de Morais Rlho 
Tópicos de Matemática Elementar- Volume 1 - Números Reais - A. Caminha 
Tópicos de Macemática Elementar - Volume 2 - Geometria Euclidiana Plana - A. Caminha 
Tópicos de Matemática Elementar - Volume 3 - Introdução à Análise - A. Caminha 
Tópicos de Matemática Elementar - Volume 4 - Combinatoria - A. Caminha 
Tópicos de Matemática Elementar - Volume 5 - Teoria dos Números - A. Caminha 
Tópicos de Matemática Elementar- Volume 6 - Polinômios - A. Caminha 
Treze Viagens pelo Mundo da Matemática - C. Correia de Sa e J. Rocha (editores) 
Como Resolver Problemas Matemâticos -T. Tao 
Geometria em Sala de Aula - A. C. P. Hellmeister, coordenadora 
COLEÇÃO PROFMAT 
Introdução à Algebra Linear - A. Hefez e C.S. Fernandez 
Tópicos de Teoria dos Números -C. G. Moreira , F. E Brochero e N. C. Saldanha 
Polinómios e Equações Algébricas - A. Hefez. e M.L Vil lela 
Tópicos de Historia de Matemática -T. Roque e J. Bosco Pitombeira 
Recursos Computacionais no Ensino de Matemática - V. Giraldo, P. Caetano e F. Mattos 
Temas e Problemas Elementares- E. L Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado 
Números e Funções Reais - E. Lages Lima 
Aritmétíca - A. Hefez 
Geometr,a - A. Caminha 
Avaliação Educacional - M. Rabelo 
Prefácio 
1 Números N aturais 
1.1 Introc!U<;ão ... 
1.2 :\'úmeros Ordinais . 
1.3 Adição. m11ltiplicaçãn e orcleru 
Ex0rricios . . . . . . . . . . . 
1.-! :\' (1merm, :'faturais <' Cont agPm . 
Exerdc:ios . . . . . . . . . . . . 
2 O Método da Indução 
2.1 lnlroclução . ............. . 
2.2 Definições por i11duçào ou recorrência 
2.3 Dcmrmstramlo igualdacles 
2.-1 Deu1ouslra11clo desiguakladcs . 
2.5 ApliraçÕ<'f: cm Ari1.111é1 ica 
2.6 Resolvendo problemas colli o 1uétocio <ln indu<;ão . 
Exercídoi-:. . . . . . . . . . . . . . . . . 
2. 7 Outras forma:-- do Princípio da lud u<;ão 
Exercícios 
3 Progr essões 
3.1 Progressões Aritrn<"ticas 
3.2 Termo geral de wua Progres:são Arit111é>tiu1 
3.3 Soma dos Tenuos de lllllél Progrrc;são AritmétieH . 
;3.4 Proµ;re::;:sõcis .\ritrnétí<-a.s dí' Ordí'm S11µerior 
3.5 Souuu, Polinomiais 
Ex0rdcios . . . . . 
:3.5 Progre~.,:;Õe!:> Geométricas 
:1. 7 Tenno G<'ral de um Progressão Geomélrita 
3.b A Fórmula rlm:; Tax.l:ili EquiYalonte~ . . . . . 
3.D ./\ Soma do~ TPrtuus ele mua ProgrC's:-:ião Geomél rica 
V 
IX 
1 
2 
2 
8 
10 
13 
15 
L6 
16 
17 
1!) 
20 
21 
25 
27 
32 
35 
36 
3G 
39 
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-!:j 
18 
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St.\!.\HTO 
VIII 
Est ,c livro é hascíldo. prinripéllmcntc. nos capítulos csrritos por Augusto Crsar !\forgéldo para o 
\'ol1111H' 2 d0 A~ [at.<'rnálica elo Ensino Médio. publicado pela Coleção do Professor ck MatemâtiC'a. 
,la SB~l. O prinrip..il fl<'ré:;;C'imo foi a inrl11são dos rapít.ulos rC'lritivos no conjunto do:c, números 
uaturms <' ,10 Pri11cípin ela Indução Finirn, com o cluplo propósito dC' fornccc>r a bns<' tc•ónrn 
aproprir1d<1 parn o assunto C' atrnclC'r ..'1 ementa da disciplin,1 1\Ii\12 - ='-f;itcmfltira Disrrf'tH do 
Profmnt. 
!\<1 revi:..ào do 1m1lrrial ant crinrmcntc pnhlicaclo. a maior dúvida foi sohr<' como proceder c-ou1 
r<'laç,io ao capítulo ck' ~fatemática Fiuai1c<'ira. escrito <'lll uma é'poca cm qu<' o Brasil vivia uma 
n ·alidacle hem clifere11t e da al m1I. ern que Uixas de jmos anuais da ordrm <l<' 50% <'rmn c-om1111s. 
lmcwlmPntP. c·onsid<'r<'i n•0s,-rcwr o capítulo, suhst il uiudo os exemplos por situAÇÕC's mais atuais. 
Preferi. 110 t'Ilt auto. m, maior parle clo1:> casos. rrcserva1 a 111C'mória da ohrn inic-ial. q_nc rcAet e 
o bumor e' a pPrsoualicladc• dP 1\forga<lo, acr0scC'11tandn notas C'xplicativas sempre quC' n situação 
de:,,critc:1 uilo rnrrespoucl<1 il rea1i<lacle atual. 
Ao longo de' todo o liHo, foram HCT<'SC'C'utados 110,·os C'X<'ITícios. muitos <lelC's proYC'nicntcs de 
ex<Hne::, ele Acei;:,o e Qualifieaç~o elo Profn 1al. dC' aYal iaçÕ<'i-i ant C'riorC's da disciplina 1'f A 12 e de 
pronir-- da OBt I EP. Em pflrticular. o mpít11lo de Cornbiuat ória ganhou uma sC'ção d0 rC'visào. para 
permitir ao leitor se exercitar no ai:.suulo. sem que a técnica a !i<'l' m,ada seja sngrrida pC'lo tópiro 
<lC'ndo e<;tudado. Tambt'>m foi ac-rPsc·eutada. 1io capítulo sohr" Prohabilida<le. mm1 introdução ao 
c·ü11cei lo ele Yalor ei;peraclo. 
Gostaria de Pxpre<;sar meus ngTadc'c·imrutos a Slicila Zani, p0la permissão para usar e adaptar 
o material original elo Prof. ~lorgado. e a P<ltricia Fonteucllc. pelo m1xílio na rC'visào do capítulo 
sobre :\latemática Financc1rn. 
Paulo Cezar Pinto Carvalho 
lm;tituto d<-' ~J..,temM,irn Pmn <' Aplicada - Th fPA <' 
Escolrt d<' J\latC'1m\1 ic;i Aplkacla - EJ\IAp FGV 
LX 
Rio de .Janeiro.ja.nC'iro dr 2014 
PlU·.F.\( "!() 
X 
NÚMEROS NATURAIS 
C'APÍTl"I.O 1 Nl'i\ lEH.OS .:'\ATlºR.-\ IS 
1.1 Introdução 
A primeira experiênC'ia que a maior parte de nó:; tem rorn a l\Iatemáti<"a é por meio <lo processo 
de contagem. É importante obs<'rvar (tuc aprender a contar tem dnas et.apas he111 cListilltas. com 
graus de cmnpl<."xidadP também distintos: 
• Na prinwirn f'tnpa, c'l.prC'nd0mos a 0nunciar ama S<'<Juêncü-t de palavras ( 11rn. dois. três .... ). 
scw ai rilmir signifkaclo a elas: 
• Algnm tem pn depois. ;i prcndcmos a usar es1 a Sf'C[Uf'uc·i..i para co11tu r os elcU1e11tos <le UlU 
conj1111to. 011 seja, <'Stah0.lcr<'r urna rnrr<'spondén<"ir1 entn-' o:-. elouwutos <lo cu11jw1to e c::.la::. 
palttvTct.S q11c c·hanrnmos de númC'rm, .. ~\lgo notável. quE:' não C'llSt,ai11os a ub::;en·êu. é que. 
não import,1 f'OlllO façamos a corrcspondê>ncia. o núnH'ro final é sP111pn• o mesmo a ele, 
clenominarnos o núrncro clc rlcm<'ntos elo <'Onjnuto . 
.A nwsma l ar<>fa <'111 dr rns C'l apas clC'VC' S<'r C'lllpn'<'ll<licla ao se est ahelecer a limdawenlaçào 
matemMicn apropriada para os números rwturais . Ao olliar os númerm, 11at nntb como uma 
:-.irnples seq11rnda. estamos diélntr cio qrn' drn.11uuuos de' nú111eros ord111a1.,. exrun.i.uados a seguir. 
Pnquant.o SL'll uso comn instnuncntn de rontagc•m rcmc'tc• à noção <le 11:1ímcro (·nrdinal. Psi uclncla 
uo fim cle-Stt' rapíl 11 Jn. 
1. 2 N ún1eros Ordinais 
Como dcsrreYcr mM<'maticanwntC' a est rut.ura elo conjmllo dos u(uueros uat urni.,;. no semi<lo 
dC' uúmeros ordinais? Como cm outros ramot> <la ~Intcmátic-a. i:-;to (, fc>ito por nwio de uma fala 
< lc> propried::idrs rssc•ndais. rhamacla.-. ele' (l.riomns. que c:arac1.eriie111 a est ru lura da srquênda. sem 
ninbiguidadrs ou prop1iC'délCl<'S f--Upé'rfiuas. isto é. qu<::• J)OS8..Ull sn obt idas das <lc'lll,:Ü.s. Giuscppe 
Peano ( 18,:38-19;32) propôf> nma lista de' axiomas. baseado ua noc;ão de s11tPssor de um uúmero 
11ah1ral (int uitivam<'nt<'. o qu<' Ycm logo dC'pois dele na fo;ta dos númPros nrtturni::-i). A construçfiu 
ele Peano c·Mar1 critél o ronjunto dos números na h.trais N por mc>io dos sc>guint es -! a.xiou1as: 
1. Tnclo munC'ro natural tem 1U11 único sucessor. que t ambé111 é 11 m níw1ero 11al mal. 
2. K úuwro;:; nal urais diferente~ tem suce&som, difcreut ei:.. 
3. Exi:-;l.e 1m1 ú II ico número uai ural. debigua<lu por 1. que uào é suc:es~or de nenhum outro. 
4. Seja S um c:oujunto <lc uúmerot:. naturi1il, (islo é. X e N). Se 1 E X e ::.e. além di::,hO. o 
sucessor de ca<la elemenLo <le X aiu<la penence a X. então X = N. 
2 
i\(:\IEHOS ()f{l)l:'\.\IS C .\l'Í 11 · 1.o I 
A noção de sucessor de um número natural está intimamente relacionada à idéia de adição: tomar 
o ;:iutessor é cqu.irnleutr a sornar uma Lu1idade. corno discutido em mais dC'tallic na seção L.3 . Os 
axiomas de Peano podem ser reescritos como se segue. representando como n + 1 o sucessor de 
ll : 
1. Todo número nMma1 n. tem 11ru sucessor. reµreseutaclo por 11 + 1. 
2. Se m + l = n + 1. então m = ri. 
3. Existe um único número nat.ural. designado por 1. tal que ll + 1 =-J. 1, µara todo ·n E N. 
4. Seja X um coujm1Lo de númeroi:, naturai1:i (isto é. X e N). Se J E X e se. além disso, 
H + 1 E X. para cada n E X. emão X= N. 
OBSERVAÇÃO 1.1. 
O terceiro a.xioma estabelece 1 corno sendo o único número natural que não é o sucessor de 
nenhum ou tro e que. portanto. representa o ·-pon to de partida'' no conj unLo N = {1. 2. 3 .... } 
dos números natmais. É comW11. também, adotar-se O cowo ponlo de partida, levando a N = 
{O, 1. 2, 3, .. . } . A opção por Ull1a ou outra a lterna.tiva é uma questão de goslo ou de conveniência . 
Emhora todos os quatro axiomas sejam fundamentais para a caracterização dos 11 C11ueros 
na.turais, o último. chamado de A:i:iom.a da indução. se destaca. Ele fornece Lilll mecauismo para 
ganmrir qn<' nm d~<lo subconjunto X de N inclui , na ,·erdade. todos os elewent.os de N. Por esta 
rn.ú'io. é nm instrumento fundamcnLal para construir defiuiçõei, e clewoui,trar Leoremas relativos 
a nún1C'ros na hrrais ( as definições e provas por indução ou recorrência). 
Snponbamos q11<' desejemos provar que uma propriedade P(n) relaLiva ao número natural 
II seja v,Hida para todos o::, valores narma.is dc> N. Ou seja. desejamos provar que o conjunto 
X= {nlP(n)}. q11c é 11m s11l1C'onj11nto de N é. na verdade. igual ao próprio N. Pelo axioma da 
Lncl11ção basta mostrar que 1 E X e que o sucessor dc> cada clcmcmo de X rnmbém está em X. 
Em Lermo:) da proprjedade P(n). ist.o <Y1u ivalc n mostrar que: i) P(l) é válida; ii) Para lodo 
11 EN, a. validez de P('II) implica trn vaLidf'z de P(n + 1). Vc>rifica.dm, estes dois fatos, conclui-se 
n \'alic.lcz de P(n) para todos os valor<'s d~ 11. 
O axioma da Indução pode ser reescri to como ab:ú:xo. usando a LinguagE'm de propriedades 
(nesLa forma. ele costuma ser chamado de Princípio da lnrfoçrfo Vin-ita 011 rlFI. Tndnção Matemá­
tica): 
-!'. Sejn P(n) mna propriedade relativa ao número naLmal n. Suponhai1101:i que 
i) P(l) é válida. 
3 
C' .\l'Í' l l 1.< > 1 :\('.\11-:l{OS '.\' .\ 'ITHAIS 
li) Parn todo n EN. a u'tlidrz de P(11) implica ua validez de P(n + 1). 
E111 .ão. P(n) é Yálida para, to<lo n EN. 
EXE\lf'L', 1 
Con:-.idrrrmos o prob[c,wa de ohler uma expresf':âo para, a soma 1 + :3 + 0 + ... + (2n - 1). 
Cnlcnlando ;1 sOlllêl pnra o~ prinwirm, valores 11at urab c.le 11. oh lemos: 
1 = 1 
1 + :1 =-! 
1 + :l + ,) = n 
1 + :3 + 5 t- 7 = 16 
O cxilmc rl.ns iguHldac.lc:; acima sugN<' que a ::.uma :,eja sempre igual ao quadraclo cio níllll<'l'O 
dr pflrrrlm;, 011 srj,l. ffllC' n afirnrnti\·a P( n) : 1 + :3 + 5 + ... + (211 - 1) = n 2 
{- válida parn todo 
n E N. O Princípio da Iudução pcrmit e demonstrar este falo. O primeiro passo é: 
i) Ycrilicar a validez de> P(n) para ,z = 1. 
lsto já foi feito acinrn. quando ,·erilicamos que. para -r1 = l. awhos os lados d!'l igwtldadr 
qnr prc>t,<'ndPmo~ provar são ig,11ais a 1. 
A :,.cguir. devemo:-. : 
ij) verificar que a validez de P(n ), pm-a tml valor arbitrário ele 11. implica ua validez de ?(11+ 1 ). 
Ou ::.eja. aduüliuclo que 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n.2 parfl nm ce1to Yalor cll' 11, elevemos 
mostrar qu<' 1 + :3 + 5.- · · · + (2n - 1) ..1- (2(n + 1) - l) = (n + 1)2. 
Para tal. :-oman1u:- o novo lermo 2(n+ 1) - J a ambos o~ nwmhro:, de 1 +:1+5+· · ·+ '211.-l = 
n2
. Obtemos: 
l + :3 + 5 + ... + (211 - l) + (2(n + 1) - l) = n 2 + 2(11 + 1) - 1 = n2 + 2n + l = (n + 1)2. 
Portanto. a validez de P( n) para um valor arbitrário de TI implica Plll sna vfl 1 id0z p11rn n + 1. 
Logo. pelo Prindpio da Inclução. P(n ). ou sCjil. l + 3 + 5 + .. . + 2n - 1 = ,,:z. é válida parn Lodo 
II EN. 
O BSERVAÇÃO 1.2. 
A verificação de que P (l ) é válida costtwia ser chamada ele ca.so ba.se df' uma demonstntc;ão 
por indução. enquanto a <lemoustrai;ão de tlue a validcz de P(n) implica na validrz de P(n + 
l ) é cliama<la de JHU,~o de indução. O passo <le iucJuc;ão costuma gera r C'Onfusão no p1imeiro 
4 
:\ I>IC,' .\<>. !\ li' LT li 'LI<'.\<,'.\.(> E l >H 1 >E!\I (' \l'Íl t 1.() 1 
conlalo com tle.rn.01istrações por iu<lução. Pode parf'c-er. à primeira vista. que f'st amo::, u:,ando. na 
demonstração, exatat11eule aquilo yue <le!-ejru.uo!- provar (ou seja. P(n)). Na verdade>, o seglllldo 
passo requer a prova da iwplicação P(n) ::::} P(n + 1). Como oronE' na pron'I de qualquer 
impl icação. isto é Jeito ac.lm.itiudo a validcz elo aniccC'dentc-. ou hipótese (uc.qtc caso cLaurnda 
ele hipótese de md'Uçâo) P(1t) e lllostraudo que. rlaí. dec;orr<-' a validez do rons€'qn<"nte. on te::,e 
P(n + 1). Foi exatamente o que fizemos acima. 
[~E~IPLO '.L 
Cousi<leremos a ig11akladC' P (n) : 1 + :3 + ... + (2n - 1) = n 2 + L Supondo que P(n) é 
rnrclacleira para algum ,1. Lemos 1 +3 +5+ ... + 2n- l + 2(11 + 1) -1 = n2 + l + 2n + 1 = (n + 1)2
. 
Porrauto. a i..mplicação P(n) ::::::> P(n +])é verdadC'ira para todo 11 EN. embora P(n)scjn falsa 
para toe.lo 11 (já que, no exemplo anterior. mostramo::, qnc a soma é igual a n2 e não n.2 + 1). 
Isto ilustra o falo ele que no pa~so C'tn (JHC' provamos a implicação P(n) ~ P (n + 1) não estamos 
u::;unclo o rnsnllac.lo que de.sejamo::, dernoust.rar. _\Taturalmente, a prova por indução falha por não 
c:;0r possível mostrar o caso base (P(l ) é fal:-m). 
1.3 Adição , multiplicação e ordem 
~o exemplo acima. utilizamos as propricdüdcs conheciclm, ela adição e multiplicação COill 
uúwerm, natma.is. que são a base para a mauipn.lação das expressões que lá ocorreram. Tais 
prnprieclades podem ser dc'monstradas formalmente. usando o Princípio ela Inclução. Para i~to. 
110 entru.1to. é preciso c.lefiui.r apropriadamente a adiç .. fo e a nmll.iplicac;ão. Para isto, recorremos 
uovai.ueult• ao mecanismo da indução. Seja a(n) um an-ibuto rclnlivo eh.> n(w1cro natural 11. Se 
definimos a( l ) <' c:::,tabelecernos C'orno 0(11 + L) podr srr ohtido c1 partir de a(n), para n E N 
arbitrá rio, o Axioma da [ndução garnnt r que o atributo n(n.) estará definido para cada 11 E N. 
Definições con::,Lrnídas clcsta forma são drn.nrnclas de dE'finições por mduçào ou recorrência. 
Por ex<'mplo. H somR m + n d<' dois números natmais pode ser uefinida por rf'corrê>ncia <lo 
::-.eguinte modo: 
DEFINIÇÃO 1.3. 
i) m + 1 é definido. como fizemos antes. como o sucessor de 111. 
ii) m + (n + 1) {> definido romo o Sl tce8sor ele m. + n. ou seja. corno (m +TI ) + l. 
5 
.\(:\IEHOS l\.YI'LIH.\IS 
A ddiuic;ào Hcirna rorrrsponde à ideia wt1titiva d<:> que o valor <le 1t1+11 é ubli<lo acre1:.celila11do­
c;;(' 11 vc~es uma 11nicla<ll-- n 111. 
Pnra a mult ipfü·Hçàu, podemo1:, defi11 ir: 
DEFINlÇÃO 1.4. 
i) rn. l = m . 
ii) m.( 11 + 1) =HUI+ 111 . 
. \ parr ir d<'SSH.'- definições, podem ser dcmouslradas t"IB propriedade · usuai:- dc1 adição e wulti­
plicação. Ilm,t.nnuos c5le falo com a clcllloill!traçãu <la proµrie<la<le di::ilribuLirn da 111ult iplic:1-l(;ào 
C'lll r<'lação à adição. 
TEORE'MA 1.5. 
Para quaisqner números naturais m, n e p. vale (m + n ).p = m.11 + m.7). 
D EMOJ\STRAÇÃO. 
\·amo:,, utilizar indução <'lll p. 
i) A propriedade é válida µara µ = 1. já que ( Til + 11) · 1 = 111 + 11 e 111. l + 11.1 = 111 + 11. 
ii) Supouhawm, que a prnprif"dade i:,pja v.Hi<la pari'l 11m c·prlo 11. ou ::;E'jfl. (m+n).11 = 111.11..1..111.p. 
Tf'ums, prla definição indutiva da multip li cação: ( m + n). (JJ + 1) = ( m ~ n) .p + ( m + n) ~ las. 
pela hipól <'SC d<' indução. ( m + n).p = m .JJ + r, .p. Port.fü1l o. ( 111 + 11). (JJ+ l) = ( 111.p + 11 .JJ) + 
(ir,+ n) = m.p -i- 111 + n.p + n (aqui, usamos as propriC'dades comutativa C' associativa <la 
adição. qn<:> clC'V<'riru.u ler sido provada:-:. prc,·iarncnl e). ]\ las. pela der-inição <lP mnllipliC'clÇào. 
IPwos 1n.p+111 = 111.(p+l) e> n.p+n = n.(p+ 1). Logo. (17i+n).(p-l) = m.(p+l)+n.(p, 1). 
A::i:,im. êl alinualiva é válida l,Ulll>é'w para J) + 1. 
Port,Rnto. pelo Prwcípio da Indll(;iio. H proprirdadc (, válic.h1 parêl qunisqu0r m. 11 <.' p u,nurais. 
A i11lro<lnção da.'> opcrac;õc:, aritrnélic:as permite tornar precisa uma out.ra uoc;ão fuu<lamenlal 
para números natmrus: a <le ordem. 
DEFINIÇÃO 1.6. 
Sejam m e n números naturais. Dizemos que m < n quando existe um número mü1.u-al p tal 
quem+ p = n. 
6 
. \ i>I<,'.\l). >.ll"LTIPI.!C'.\(.\0 E ORDDI ('\l'Í'II Lll l 
Desta definição. podem ser obtidas as propriedades mma.is d<1 ordem. 
TEOREMA 1.7. 
a) Se m < 11 e, n < p, então m < p. 
li) Darlos m. n EN. \'file nma. e somentr unrn. dai; alternatiYas: m = 11, 111 < ·11 ou 11 < m. 
r) Se m < 11 então. para qualquer p EN. tem-se 111 + p < n + p e mp < 11p. 
Além dessai, µropriedadeb. a ordem 11os uínncros ual mai& 1 em 1m1R prnprieclc'lcle Cêu·art cr(stica, 
c-ouheci<la como a Pro7n"1edadr da Bon Ordrnação: 
TEORE!vlA 1.8. 
Todo suucoujU11to não yazio X C N possui um mC'nnr demento Isso significa qur exist<? mll 
elemento "u E X que é menor elo que todos os demais f'lernent os ele X. 
:\'ot,e que a Propricclaclc da Boa Ordeua,ão uão valE' parn a orcl0111 cl0fi11icfa E'lll outros conjuntos 
uuméricos; por cxclllplo. o coujunto dos números reais e o dos numeras r<'icÜS positivos são nfio 
,·aiim,, mab não pm,suem 1uu nH'llOr rlrmculo. 
A <lemow,trac;ão da Propricdauc da Boa Or<lcnação é feita por induçno. mas a adiamo~ para 
o próximo capílulo. juut.aweule cow a demorn,trnçào clP uma Yasiant e elo Priudpio da Indução. 
d.1aJ.llada <le Pnncípio da inclução Cow.plt to. 
7 
(' ,\l'ÍTl ' LO l 
Exercícios 
1.1. O diagrama ahai-xo. <'m que a sct.a wclica o sucessor de cada elememo. representa a estrnhrra 
dos números na htrais imposl.fl pe)oi., a.-x:iomas de Peano. 
~~~,,--.......~~ 
l 2 3 4 5 6 7 
Em cadé1 urn do::. diagramas a seguir. exatamente um dos a.xiomas de Peano é violado. Diga 
qual é ele. 
a) 
b) 
e) 
<l) 
1.2. Prove. por indução, que 
~~~~ 
1 2 3 J 5 G 7 
'--.__.,/ 
~~~ 
1 2 3 4 ~ 6 7 
"-...__/ "-...__/ ~ 
~ ,,---....,,~~~ 
l ? 3 4 5 G 7 
'-..__/ 
~~~+~~~-
1 2 3 4 5 6 7 
22 32 2 n(n + 1)(211 -1) 
l+ _,__ -t-···+n = 
6 
. 
1.3. Diga onde está o erro da seguinte demonstração d~ ~firmativa 
1,2+4+ + ... +2"=211+1
• 
A proprwdade é lr'ivialmente válida para n = 1. Suponhamo.,; que seja u6lida. para n, ou seja 
1+2+4+ + .. . +211 = 2n+l. Enlão 1+2+4+8+ ... +2n+2n+l = 2n+1+2n+I = 2.2n+l = 2'1+2 . 
8 
EXEB< 'Í< 'I< >S C'.\l'ÍTl '1.0 J 
Portanto, a propriedade tornbém é v6lida pnra n-L l. Logo. pelo Princípio da Indu.çtio Frn'ita. 
1 + 2 + 4 + + ... + :211 = 2n+i para. todo n E N. 
1.4. Gsaudo iJ1dução e a prop1icdadc associatiY<1 clc1 adição. demonstre a lei do corte: ºSe 111." 
e JJ são uúweros naturais tais quC' m + p = n-,- p. cnt.:io m = 11. [Sugestão: nse indução cm 
p, notando que o caso base da indução é o segundo a.xio11la de Peauo.l 
1.5. Demonstre a propriedade trausitiYa <la ordem: Sem. 11 e p sifo números T1ailmw, lrus que 
m < n e 11 < p. cmtno m < p. 
9 
C .\ l 'Í 'ITI.O l ~(' :\IEHOS t\XITH .-\IS 
1.4 Números Naturais e Contagen1 
A primeira lrnbilid,1d0 q11e dominamos no uso dos números uatlU·ai::, é a <le conlar, ou ~eja. a 
<le <lctenniuar o 11t'm1<"ro dr PlC'rnrntos d<' um conjunto. 
DEFINIÇÃO 1.9. 
Contar um conjunto X signilica estabelecer uma correspondência biunívoca eutre os element.os 
de X e os de um subconjunto de N da forwa Ín = {:r E N l.r. < n} = {1.2 ..... n}. Quando é 
possível estabelecer tal <.:orTesµondência biunívoca. dizemos que X é um conjunto finito e que n 
é o rnímero card1.nnl ou número de elenientos <le )(. 
OBSERVAÇÃO 1.10. 
Cma correspondência biunívoca entre dois conjuntos X e Y é uma função hijcl iva J : X ~ Y. 
ou seja. uma regTa que associa a cada elemento ele X um elemento de Y de modo q11e cada 
cleweuto de Y seja imagem de exatamente um elemento de X (isto equivale l'l clizrr que J é uma 
função siruulLaneamente injetiYa e sobrejetiva). 
A par! ir desta definiçiio podemos <lrmonsrrar as propricdadrs básicas da contagrm: 
TEOREMA 1.11. 
fl) O resultado da conlagen1 (ou seja. o número card:inal ele X) é sempre o mesmo, não im.­
porta11do a contagem que seJa Jeit.a. 
b) Todo .mbconjunlo }' de um cor1junto finito X é finito e 11() ·) ~ 11(.Y). Tem-sf' n(Y) = n(X) 
somente quando Y = X. 
A primeira propriedade ju!:,Lifica poclerlllos falar em número ele elt'mentos dP 1m1 ronj11nto 
finito: podemos contá-lo ele vários modos. ruas o resultado final é sempre o mesmo. A ~egun<la 
relaciona inclusão entre conj unLm, e desigrntlda<les rntre números çanlinais. A dPrnonstração dr 
ambas sr faz por indução. 
Um conjunto é inJiuito quando não é fi1úto. Por exemplo. N é infinito: dada qualquer fuução 
f: Iri -t N. não importa qual n se fixou. µurnus k = /(1) + /(2) + · · · + .f(n) e vemos que, parn 
todo J: E ! 11 , lem-se f(.r) < k. logo não exi~le .r E J,1 L.al qu<' .f (J') = k. Assim . .( não podt" !ler 
uma correspondência hiunívora . 
A princípio. pode parecer qU<.' a clasBificação ele <'onjuutos C'ornofuutm, 011 infiuilos termina a 
clisrnssão. t<.1as, no final do século XL'\.. Gcorg Caulur (1 -15-191 ) lllustrou colllo romparar a car­
dinalidade ele conjunLos infiuilos: um conjunLo pode ser 11 ma is intiu.it o"<lo que ouLro. Novrunente. 
a ferramenta fundamental é a de correspondência biuuívoca. 
10 
(' \l'Í ri 1.< > 1 
1 
DEFINIÇÃO 1.12. 
Dizemos que dois conjuuto::i X e Y têm a mesma cardinalidade quando é possíYel cst ahcleC'er 
uma correpondência biUllÍvoca entre X e Y (isto é. exisl,<' nma função bijeliva, f : X-,. Y). 
É clfü·o que a definição acima foz sentido p,m:l conjuntos finitos: conjuntos finitos de mesma 
cardinalidade são aqnele::i que lêm o mesmo número de elernenl.o~. ou seja. podem "ier postos 
rm correi;:;ponclência bi múvoca com o mC'smo 1,, = { l. 2 .... , n}. Ivia:, ola Lêllllbém se aplica a 
coujwllu::. i.u.finito::.. 
r,d :,.1Pr o ;3. 
Os coujuutos N dos números naturah, e P = {2n ln E N} dos níuneros pare5 têm a mesma 
cardinalidade. Neste caso. a bijeção já estã clacla ua definiç~o rle P: a fuução f : N ---+ P dofinida 
por f(n) = 2n é mnr1 bijeção de Nem P. 
O que pode s0r surpreendeute neste exemplo é a consta.lação de que. para conjuntos infinitos. 
é perfeitarueute possívd qu<' dois coujunLos leuha.111 a mesma cmdinalidadc. embora um deles 
(P neste cr1.,qo) seja um subconjunto próprio de ont-ro (N) (para conjuntos fuútos. isto uão pode 
ucurrer. pela segunda propriedade acima). 
A principal coulribuição de Cantor foi exibir casos em que não é possível obter uma bijc,ão 
entre dois conjuntos infinitos. 
EXDlPLO J 
Considere o conjunlo C <le lodru, fil> t)equênrias infinitas em que LO<los os lermos são iguais n 
O ou 1. Um exemplo <le elemento de C (, a S<.'quência (O, 1, O. l. ... ). que alterna Lermos O e l. A 
cnrclinalida.de de C é pelo menos a mesma cie N. já q11e é possível esl abclecer uma correspondénria 
binnívorR entre N e o subcou.iuuto D de C formado pelas Sf:'quências que possuem exatamente 
mn termo igual a l (podemos as::iociar o uai w-al 11 à sequência em que o 1 aparece na n-ésima 
posição). Isso não impe<le, em princípio. qm' possa lrnvcr urml bijeção entre N e C'. Canlor. no 
entanto, mostrou que não há tal bijeção. fazendo com qne C seja "mab iufu1iL0 11 clo que N. 
Seu Rrgmneuto foi o seguinte. Suponhamos qur fosse possível construir tun8 [unção .f : N -t C. 
cm que cada sequência. ele C aparecesse exatamente unrn \·ez como imagem. Vamos consl ruir mna 
sequência s formada por Os e ls ( ou seja: um Plrrncmo de C) do sc~guinte modo: se o primeiro 
termo da sequência, f ( l ) for O. o primeiro Lermo de s é- O: se11ão, é 1. Se o segundo termo da 
8l'C}U011cia f (2) for O. o segundo termo de s é O: senão. é 1. Pro~seguimos. sempre escolhendo o 
n ésimo termo como sendo o oposto do n ésimo t<'rmo chi sequência f (n). A sequência s assim 
construída difere pelo menos ua posição n de cada sequência f(n). Logo. não pertence ã imagem 
de f. }Ias nossa supo~ição era ele que todos os elementos de C aparecessem como imagem! 
11 
('. \ l 'ÍT l1 LO 1 N(:\IEROS ): .\1TH.\ 1S 
T<'mos. assim. urna romrndição. que 1110::.l ra a i.Jnpossibiliclac.le de construir mua bijeção ele _V em 
e. 
O c·onj11nto C é um exemplo dr c-011junLo infi11i1 0 nii.o e·11·11111<~rá11d. í.,w é. qm' uão po<le ser 
posto nm con-cspondência biunívoca com o conj1mto drn, ní1mcro:.; natmab. Outro::. exemplos 
cl<' c-ouj11ntos uão <:num0ráY0is são os co11j1111t os dos númerns reais e dos uúnwros irracionais. O 
conjnnto dos números nlciomús. porc>ru. é cnnmcrávcl (veja o exerddo 1.13). 
OBSERVAÇÃO 1.13. 
'Cma função de domínio igual a N é chamada de uma ,)equencia. É com·euienle peusar em 
uma sequência a : N ~ X como uma lista de valores (a(l ). a(2). a(3) .... ), que muitas vezes 
preferimos representar por (a ,.a2.a3 ... . ). 
Conjuntos infinitos e conjuntos enumeráveis podem ser caracterizados em termos das propri­
edades das sequências de elemenlos destes conjunlos. como ::;e segue: 
• Um coujunlo X é infinito se, e somente se. é possível coustruir uma sequência (a1 . a2 . n3 ... . ) 
Clll que os lermos são cleweulos distintos de X ( ou seja, quando há Wlia função injetiva 
de Nem X). 
• Um conjunto infiniLo X é enumerável se. e somente ::;e. ê pm,bíve1 construir uma ::;equên­
cia (a1, a2 , a3 •.. . ) incluindo todos os elementos de X (ou seja. quando há m11a função 
sobrejetiva de N em X). 
12 
EXEIH'Í< 'IOS C.\PÍTl ' LO l 
Exercícios 
1.6. ProvC', por indução. que se X é Ulll conjumo fuúto com n elE'men1 os, f'Sse elerueulos podem 
ser ordeuados de 11 ! modo:,. 
1. 7. Prove. por indução. que um c:onjtmlo com n elementos possui 211. subconjuntos. 
1.8. D.-1dos 3n objetos de peso::, iguais. exceto nm. mais pesado que o~ demais. 1110stre que é 
possível c.leLeTill.illal' este objcro com n pesagens em uma balança de pralos . ..\lostre também 
que este é o 11funero mínimo de pesagC'ns q11C' permitem. com certeza, determinar o objeto 
ruais pesado. 
1.9. Prove que, dado um couju11lo com n elewentos, é possível fa:t.er uma fila com sem, l>ULco11-
jiU1tos de tal modo que cada subc:onjm1t o da fila pode ser obtido a partir do aulerior µelo 
acrésC'i:rno ou pela supressão de Wll único elemento. !Sugestão: para passar de II para n + 1. 
liste primeiro os subconjuulm, que não t.êrn um dado clomcnto.] 
1.10. Diga onde está o erro na ::.eguinle demom,lnic;ão ela afirmativa "Todas as bolas dC' bili1ar 
têm a mc."8ma cor". 
St>ja P(n) a propriedade "todas as bolas cm um conjur,to com n bolas têm o nie.<ima cor". 
A propriedade é. t.r11,ialme11te verdadeira para n = l. Suponhamos agora que < la seja U(:;r­
dadcira para n e consideremos ·1m1 conJtmlu com n + l bolo.~ B = {b1 . b2 , •..• bn, bn+d· Os 
. 11bcon.1unlos { b1. b2, . ... bn,} e { b2 ....• bn. b1,+1} de B lfm n elementos carlo: logo, pela 
hipóle.se de indução, todas as bolas em c,1da um. deles têm o mesma cor. Mas os elemen­
tos b2 .. ... Úk são comuns a esses dois s11,bconJ11ntos. Daí, concluímos que todos os n ...1.. 1 
elementos de B têm a mesma cor, o que mostra qu<' a propí!C'dadc vale para 11, 1. Logo. 
pelo Prmcípio da Indução. em. uma coleção com n bolas todas têm a mesmo cor, para todo 
n EN. 
1.11. Diga se cada conjunto abaixo é Iinllo ou iufuúto, justificando: 
• o coujunto de todas as pessoas que já \·iveram na Terra. 
• o conjunto de todos os múltiplos de 7 cnja repre::,enlação decimal tc,rmina com 357 
• o conjunto de todos os números naturais cuja representação decimaJ tenha apenas 
algarismos diferentes de zero, cuja soma seja ineuor que 1000. 
• o coojw1to de todos os números racionais que podem s<>r escritos como fração com 
denominador meuor que 1000. 
• o coujunlo de todos os nÍlmeros primos. 
13 
C-\I'ít1 ·1.1> 1 :\(.\IEIH>S :\XI l H.\IS 
1.12. Sejam X e 1 · doü, conjuntos iufu.titos euumC'f{l\·eis. Isto '-ignilica que t•xistnn scqni>ncia~ 
(.r1 .. r2 .r: •.... ) <' (y1.Jh·Y:i···-) iuduindo tudo:-. O:, <'lc'mc1llo::, de Se}. rP::.pectiwml<'ntC'. 
Explique' c:omo construir 11111a sequênda iud11i11clo ro<los os elemt•utos de X U} ·. mostrnndo 
nssim que X } · 1 nmhérn é· <'Durucrá\'el. 
1.13. CousidPrP o rn11j1111ro N'.! de> rodos os par<'s onlC'nados d<' nítlllPru::, nalunrn,. Enrontn• mna 
sequencia qm• i11< lua todos o::, elcmeutos de N2• mostnmclo assiw que P-12 é c•numr.ní.vC'l. fato 
wo::,t1a que o c-onjnmo elos números raciouais também t,, <'nunwrúvel Po1 quê'? 
1.14. l\lostrc• que o <'Onjunto de wdos os :-.11bconJ1111los de N é' não enumerável. !Sugestão: associe 
cada subconjunto rle S e\ uma ::.equúucia en1 que os tC'l111os ::,ão i~uais a O 011 LI 
1..1 
O MÉTODO DA 
INDUÇÃO 
C'.·\l'Í.l l ' L O :2 O f\ l (:Tono D.\ 1:--IH"<.,'.\O 
2.1 Introdução 
Xo capítulo anü>rior. vimos como os axiomas ele Peano fornecem a base aµropria<la para 
estabele<:er as propriC'dadPs essenciais do C'Onjunto dos númC'ros narnrnis. Em particular. vimos a 
importância do 11ltimo m .. 'ionrn o A.-...ioma da Indução ncsütsdemorn;Lrações. já que ele fornece 
um mNo<lo pnrn de111onstrar qne nma C'C'rtA afirmatiYa P(n) (:, ,·álida para todo n natural (o 
ehamaclo rué>iodo dr1 ind11çiio nrnfemfltirn. 011 indução finita). 
Nestc> cnpítulo. examinamos cliven,as si1 uações que usam u método th~ imlnção. spja para 
RitnnçõrH t'X]m's~a.s cru li11guagem 111atcmática (como. por cxemplu. envuh·enJo igualdade:,; ou 
drsig11nldad<•s). seja µara 011! rn& de 1rnl ureza wais lúclka. expressas em urna linguagem não tão 
oh,·famc'ntc> rnnt,,ruútica. 
2.2 D efinições por indução ou recorrência 
O lllétodo da ind11,ão uào é somente mil método ele clC'rncmstração: elr {> lamhrm 11111 mrtodo 
pctra c:um,I rnir clefüúçõrn,. ~o 1 vimos. por exemplo. que podemo~ dcfiuir m, operações de adição 
e multiplicação 11saudo eR lP UlPC'atlismo. A i:;eguir, vPn'mos mais a lguns exernplns. 
C ma :,;c•quê11cia real é- 11111a fnnção .e; : N ~ R . Parn drfinir uma i:,cquênria, é> prrciHo dt'8Cre,·<'r 
cada termo s 11 , q11e (=, c-omo nonnahnrn1r rlrnotamos s(n). Em mnitas scqné>nc·ias dr i1ll('resse. 
isto é feito por uwio dC' urna expressão matemática qnr prrmirn calcular .e;,, a partir <lC' n. É <J 
caso. por exemplo. ela sequência ,e, (011 (.c; 11 )) drfinidn por ,c,,1 = n 2. rujos prinH'iros tc'nno!-. SRO 
.c:1 = 1, s 2 = -l. .<1a = 9. rtc. Há rasos, porhn. <'111 qu<' a formn natural dr drfinir uma srqurnria é 
por recorrência. 
EXE:\lPLU L 
O fatorial <lo número 11atural n é definido como o prod1uo 1.2 .... 11 dos u111nPros rn,tmais 
menores ou iguais a tt. ~aluralmeuLe. eulcrndemo:, u siguifirnclo das reticêucia::i ua clefiuiçâo 
acima. mas a dcfi.n.ic;ão po<le ser Lorna<la mai.s rigorosr1 usando o mecanismo dr indução. Basta 
cldi1úr: 
• 1! - l; 
• ( 11 + 1) ! = 11 ! 11. parn t o do II E N. 
Com 1;to. estamos <lcfu1indo. por rC'corrência. ct ::.equêneia <lefiui<la por sn = n!. pê:lra lodo n E R 
16 
lJEi\10:\STIL\:\ DO l< a ·.\LDADES ( '.\l'Í' l l ' LO :2 
E'.\L1\1J'L() 2. 
O método de ~e-,..1;011 JHlr::i ralcnlar a rnii q_m,drnda de 11111 número real posilirn a fornece 
;1proximr'tçõcs snce::isivas desta raiz. A pai-tir de um ,·alor inicial (por í'Xcmplo .. r1 = 1). a 
passagem de uma aproximaçiio (:r,.) para c1 próxinrn (.r,,.i. 1 ) se dtt por tueio da exprcshâo l'n.Ll = 
1 ( (1) . . ) -:) .r11 + - (veja o c.,xcrcíc.;10 2.3 . 
- :r.,, 
Isto P. R sec1uenria dr aproxim.:içõeR suc·essivas €> definida r<'cursivawPute por 
• ,l"J = 1: 
1 ( a) • :r,,T, =? l.'n + - . pa.ra lodo n EN. 
- .Tn 
Parn a = 2. os primeiros terwos da sequêm:ia são x 1 = L x2 = L 5 . . r3 = l, -l.1666 .... 
. r 1 = 1.-11-121568627-L .. Not e que .r-t <lá o valor correto ele ../2 com 5 casas decimais. 
Recorrêm:ia é também a forma apropriada para definir o somatório I:;~, a, = r, 1 +n2 + ... +o,, 
r o prod'Utórw IJ;'.=1 a.; = <1 1 · a2 · ... · a,,. onde ( ª") é uma S<'quC'nria real qua lqner. Fazeruos: 
DEFINIÇÃO 2.1. 
DElFJNIÇÃO 2.2. 
nn,t ITT" ) . , d 1M • lli=l a, = t=I G.i • ªn.+I· para to o Tl E 1'l . 
2.3 Den1onstrando igualdades 
Urna elas aplicações mais simplC's do método <la Lndução {, comproyar q11e a expressão para 
11m t.ouu-ttórjo ( ou produtório). muitas vozes sugerido pelo exame de alguns c-asos. está correta. 
rm exemplo é a soma 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) <loR primPiros n n11111Pros ímpares, qne ,imos 
110 Capítulo l. Examinando o valor da soma para valores pequenos de n. foi natural conjí'cturar 
qne da é sempre igual a 11 2 e o méwdo da indução nos permitiu provar que essa conjectura é 
verdadeira. 
17 
(' \l'Í' l l ' LO 2 () \ [ I~TODO D.\ l\:Dl"C,".\0 
O qn<' t onrn o uso Jr indução n('stcs ca1,os pnrticuhmuent e fácil é que a pa:;:-,a~e111 ele P( n) 
parn P(n + 1) é quase ..iuLoruátic·a: hflsta acrc•scC'utar o uovo tenuo <lo somaLório a cada lllC'mbro 
da ig11akli:1d<' e U1a1tiµttlar o lado direito do modo que' ele.• adquira a forma uetessária para verificar 
,1 v<'rn.cidadc ele P(11 + 1). 
r·>:nw1 n :~ 
., •) 2 11(11-;- 1)(211 + J) 
\lm,lrar c111e 1- + 2- + ... + 11 = -----­
(j 
- . ·) 
9
.> 2 11(11 + 1)(2n + l ) 
Soluçao. SPJa P(n): 1- + -- + ... + 11 = G · 
i) P(]) é verdc1dC'ira. já qne t.tl+l Jt.1+11 = l = 12. 
ii) Supo11l1ai110:-. qur P(11) sejr1 v1-~nlackira. parn a lgmn n EN. Isto sigui.fica que. µara este 
valor de n. temos 
., ., ., n(n, 1)(:211 + 1) 
1- + 2- + ... + n- = 
6 
. 
Sornando o próximo Lermo do somatório, ( 11 + 1 )2. r1 amhos os membros da igualdade. 
obtemos: 
. n(n + 1)(2n + 1) 
12 +22 + ... +n2 +(n+ 1)2 = G + (n+1)2. 
Tudo o que temos a íazer agora é manipular a exprcia;são no sC'gundo rncrnbro. de modo a 
torná-la igual a 
(n. + l}((H + l ) + l)l2(H + 1) + 1) 
6 
De' fato. ternos: 
(11 + l )(·11 + 2)(211 + 3) 
6 
n(n + 1)(2n + 1) + (n + l)2 = (n -1) [n(2n.,.. 1) + G(n + l)] = 
6 6 
(n+ 1)(2n2 -711+6) 
6 
Portanto. 
(r1 + 1)(11 + 2)(211 + 3) 
6 
j"l 22 - 2 ( l)2 _ (/1 + l}(r! + 2)(2·11 T 3) + +... H + ri+ -
6 
. 
o que mostra que P( 11 + 1) é vcrdadC'ira. 
Logo, provamos que se• P( n) é verdadeira parc1 n E N. então P( 11 + l) também {:, vcrdadC'ira. 
O Priucípio da luclução Fiuita permite. eulào. conrlnir que P(n) é verdéld<'irn para rodo n EN. 
18 
Ü E'.\J<l;";S rB .\:'\IH> IlESlc;1· .\LD.\DES C.\PÍTl ·1.0 :2 
2.4 Demonstrando desigualdades 
O emprego de iudução µara <lernoru;trar dcsigualdaclc~ nssori,1clc.1b a somalório::, uu produtórioi­
{, mais sutil. porque. e111 geral. a simples inclm,ão do rcrmo aclieiona I a tacla mernl>ru uão leva ele 
tuodo aulomál i<·o à forllla desejada da d.csigmtlcladC'. NornrnlmrntC' é nec.:es~ário clemunstrar mna 
desigualdade' adiciuual para completar a passagC'm. 
F'\ 1 \ J"I o ) 
D<'monstrnr a dC'sigualdacle dC' Bernoulli: (1 ..i.. h)'1 > l + 11h. parn todo 11 natural e Lodo 
li > -1. 
Solução. Seja P(n) : (1 + ht ~ l + nh. 
i) Como (1 + h)1 e l + 1.h são ambos iguais a 1 + li, P(l) é VC'Idfldeirn. 
ii) Suponliarnos que P(n) . pa.rn algum n EN. sC'ja vC'rda<leira. ou seja. (1 +h)'1 ~ 1 +n/1. Para 
qne a desigual<la<l<' adquirn a fomrn ueC'essária para cumprm·ar a ,·eracidnde de P(n. + l). 
é uat.nrHl nmlliplicar ambos os membros desta <lesigualdade por (1 + h) (isto f:> p<'mliticlo, 
porque l + li > O). obtf>ndo-se>: 
( 1 ..i.. fi)''..L. 1 ~ (1 + 11//)(l + h) = l + (11 + l)h + nh2• 
Observe que o membro da direita não se tornon automalic.:cuuente igual ao que gostaríamos 
de obter (1 + (n + l)h ). No C'utanto. não é preC'iso que isto ac-oHteça. Basta que mostremos 
que a expressão obtida acima é nlC'nor c1nc ou igual a 1 ..L (n + l)h. utilizaudo a s(•g1lir 
a L.rausitividade da ordem. Nesie caso. basu1 obse>rvar que 11/,2 ~ O. o que mosh·a que 
l + (11 + 1)'1 + nh2 2:: l + (n + 1 )h. 
Desta formFl, mosh·amos que (l+h)1!+1 2:: 1 + (n + 1)/,. 011 SPja. que P(n) implica P(n-1), 
pan1 todo ·11 E N. 
Portanto. pelo Princípio da Indnçiio Finit.-1. (1 + '1) 11 ~ 1 - 11/i, para todo n naLural e todo 
h > -1. 
E'\E~IPI O S 
"1' [ t .. l 3 Ú 2n-l < l d ~T n o:=; 1 ar que ., , 1. ·> _ 'F"""'i · para l,o o n E l~. 
- ... 1 -n v~n~i 
S 1 - S · P( ) . 1 3 5 2n-1 < 1 o uçao. CJa n . 2 • ..i • a · · · 2,. - v'2n+f' 
i) Como ~ = ~ < J? 1 
_ 1 . P(l) é verdadeira. 
v4 --1 
19 
('_\)'J'ffl.() "2 
ii) Suponhamo~ qu<' P(11 ). pcm-1 algum II EN. seja verdac!C'irn. on "t>.ia, ~ · 1 · ~ · · · 2~~
1 
:::; v2:,_1 . 
Parn qne 1-1 dC'sigualdadr adquira a forma desejada para P(n + 1). {:> nnt11rnl nrntiplica.r os 
<loi:, rncmbros pC'lo t<'rlllo seg, 1 int (-' <lo pro<lutório. ~::t~ . ol>l <'uclo-s<": 
1 • :J • 5 ••• 211 J • 211-I < 1 • 2n+1 
2 l IJ 211 211 +2 - , 1211 11 211+2 
A mauipulac;ão algébrica <ln expre~~ão no scgw,e.lo nwmbru não len1. c.lirctamcntc ao que 
é neC'essário qnC' lá apareça J 1 = ~ '{' >.las. uuvruucut.C', mio é prrriso qu<' isto 
2(11 .J. ! )+ l v.:.n-. 
oc:orra. Tu<lo que 1 l'lllOS c1u<"' nmst.ra.r (' qne a C'xpn'si,;ilo oh t ic.lc1 RCllliél (, muwr qu.e ou (qual 
1 
a v'2n...t.;{' 
L . b,+I < _1_ {:::> 
v'2n-+- l ~n 1 2 - ./211,-3 
J2n + l v2n + :3 ,:::; (2n + 2)~ 
( 2n + 1 )( 211 + 3) :::; ( 2 n + 2 )2 {:::> 
,Jn2 + 8n + 3 :::; 1n2 +- 811 + -1 .e 
As eqwvali-'nrias são ju"ltifkadas pt'lo foto ck rorlol'< os núinr10s f'Hvoldclm, sen.'m posili\·o:, 
e a última de.-;ip_ualclad<" d,·muneut<' é v,ílida parn todo n nat mal. 
PorUmto. - 1- · ~11+,1 < 1 nfü·a lu<lu 11 11alural. o <1ue comr>leta a nrow1 dr qnc' , 12u+l 211 + 2 - ,/211+:l t' l ' 
~ · ~ · · · 
2;n 1 · ~~=~:::; v'.l~-:i· Oll RC'j<L de qm• P(n + 1) {> VC'rdarlcin1. 
Atisim. 1110!:>lnuuos qut> P(n) i111plkc1 P(n + 1). 
Portanlu. 1wlo Pri11d11io da Tndll''fÍO Finita. 1 
· ~ · 
5 
· · · 
211
-
1 < 1 nara lo<lo II EN. "> 2 1 ti ln - ,/'.ln+ l · t' 
2.5 Aplicações em Aritn1ética 
O métocio dn inclução é úl il tarnbé111 p,u-a <lcn1011strar resultados ew ::trillllé'ticR. partknlar­
lll<'l1l e 0nvolvc>ndo <lhisihilidnde. 
r '\i-: , 11·1 u n. 
~Iotitrnr (lUC. para todu II EN. l" + 6n - l é divisível por 9. 
Solução. Seja P(n) a afirmativn J" ..L 6n - l é dil'isfrel Jwr 9. 
i) Como .Jl + 6.1 -1 = 9. P(l) é. de fa1o. vcr<lac.lei.ra. 
20 
íl I·:SOIXE:'-:DO PROíll.El\l.\S ('0\I o \t(:TOIH> I>\ 1:\1>1 ·<:\< > ('\('Íll"l.() :2 
ii) Supo11ha1110::. que P(11) ::.eja \'álida µara algum 11. 011 :-;cja. -1n -611 -1 é rliYisi\·C'l po1 9. Isto 
~iguilica q11f' existe um imeiro k tal que -l:11-611-l = 9k. ls t o(, <'qniYal<'nt<' a 4" = 91.--611+ 1. 
~l ull ipli('audo o::. dois membro:; da igualclaclc por -l. obtemos -111
-
1 = Dk - :2-ln + -1. Logo 
-!"+ l + fi( 11 r 1) - 1 = 9/, - 2111 - 4 + Ü( 17 + 1) - 1 = 91.- - 181l + 9 = 9{ k - 2H + l ) . 
Punaulo, J"T1 + G( 11 + l) - 1 é clhisíwl por !J. o c111<' proYfl que P( 11 + l ) é \"ercla<lC'i.ra. 
~u;sim. µruvarnos qtw P (n) implica c'm P(n T 1). pan1 todo II uatural 
Lugo. prlo Princípio da Indução Finita, P(n) r \'C'rdadeira para lodo II E .N. 
2.6 Resolvendo problemas com o n1étodo da indução 
Alé agora. ,·imu::. a ulilic.la<lc do m6t oclo ela inclução pêU"êl construir dcfiniçõ0~ C' dí'nlúnstrações. 
);1•sta seção, veremos como o nu·ioC'ú1io i11d11t1,·o pocl<' tmubrm ser i'tt il para resoh-rr problema.l:>. 
);e::,::.a::, t:irtmJ.SLàuc:ia::.. co:,;t 1mrn ~cr úl il raciocinllI· no cantinho ill\-crso. dl' n para trás. Este 
prncc<limculO costuma ser cha111r1.<lo <l<' rffu.rc;11 10. 
! T T > 
A Tm·rf' de Honm r um quebra-cabeça::. com Ullla base. ua qual são fixadas trê::. ha~tcs. 
Em mna destas hast('S são eu.fiado:-- um certo número de disros (5 na figura 2.1). d<' cümnNros 
difPrPnlC'~. de modo que um diBcu ::.emµre repou::,a ::;obre outro de diâmelro menor. QnaJ é o 
nmuero 111íJ1iD10 dC' woYiweulus µara transferir todos os cLisC'os parn uma outra ha.SL<'. r<'sprirnndo 
s1~mprc a restri<;ào ele que u111 <lisco uU11ca ::,eja colocado l)Obre um disco de diâmetro menor? 
Figma 2.1: A Ton-c de Tianoi. 
A idéia fuu<laruental é• de que mn problcnrn com n rlk,cos (n > 1) pndc S<'r rrduzido a um 
problerna com n - l discos. Isto e. se sabemos rnmsfcrir n - l discos ele> 1111rn ha!';l<' para out.ra. 
:-.r1hrmu::. Lambém transferir r, disco:-.. De faro. p,m1 transferir n discos da haste 1 pnra a ha.'>tC' :t 
:-.f'ní 1wcessário. em alg1u11 111ome11lo. trnnsforir o disco de maior diámet ro clR haste l parn a hast e 
3. A úuita forma em que isl u pode ser feito é pclil pré,io r<'moção dos 11 - 1 discos superiores 
21 
C .\l'i 11 · u ) '.2 () \l(:TO()O I>.\ f:\:()("(,' .\U 
para a haste 2. Ob8crvc> que, nesta trnnsfcrêncicL tudo se pnssn como se i.lpeum,, estes n - l tfo,co:,, 
estivc~cm µre:::eult:'s: C'O!llO o n-{>simo disco(> mnior íJUC' rodos os cl0mnis, ele não impõe q11alq11er 
restrição 110 prot·essu. Apó::-. n passagem do nrnior disco para a haste 3, rcst a apcuas i rnrn,ferir o::, 
H - 1 <li::;<:rn, da lrnstc" 2 para a 3 ( now1.ment<'. h1do se pafü·m como se o maior disc·o uão esl i,·esse 
lá). _\ liglu·a 2.2 ilustra rstos trf.s passos. 
Ji'I 1 
0 0 0 
1 
l n l 
0 Q D 1 
~ 
Figurn 2.2: Passando rl<' 11 - l para n. 
Em ronsf'<1n0ncia ela clisr11ssào arimn. S<' drsigrnumos por li II o ufüncro mínimo ele 1110Yilllenws 
para tn111sforir 11 discos d0 uma hru:.'te pc1ra ontrH. temo!-, h11 = h.1,_1 + l + h,,_ 1• ou seja. l,71 = 
2h,, 1 + 1 .pa.rn 1.odo n > 1. Equh·al<'nternenrt>. podemos trunhém ('SCT<'V<'r '1 11 _ 1 = 2/i,, + l. 
para todo II E N. Not 0 que estas igualdades, juntamente com o fato ele que h 1 = 1 ( basta tun 
1110YimP11lo para t rnnsfC'rir 11111 úniro diRco). clcfu1crn. por r<'rmTênria. a sequência (h,1 ). Pod<'wos 
rc>solwr o prohlema para n = 5 discos formando a sequência explicitamente, como lli-l to hcla 
abaixo. que mostra qne são n<'cessários 31 moYim<'ntOs para t.rnnsferir os .:; discos. 
uíunero de disco:::; ( n) 11úruero <le movimeulo::. (hn) 
l 1 l 
2 3 
:3 7 
.J 1 15 
5 1 
~I 
i\"o capítulo -l aprenderemos roma obt er tlill,l cxpressiio para o termo geral de tuna :.equência 
drfinicfa como acima, mas é> narnrnl ronjrctmar, a p<1rti.r da rahrla. qnr é> h,, = 2" - 1. Porl('rnos 
usar indução p,ua rlcmonstrn.r que. de fato. esta é a expressão correta. De faro. a CÀ'-pressào vale 
para n = l. já q11r 21 -1 = L = h 1• Suponhamos que. para algum n EN. trnhamos h11 = '2" -1. 
Entiio h 11+1 = 2h,, + l = 2(2n - 1) + l = 2"+ 1 -1. o que mostra qu0 a r,xprcssão também é válida 
parn n + 1. Logo. pelo Princípio eh, Indnçào Finitc1, h 11 = ir, - 1 parn todo n natural. 
22 
fü:sol.\'E:'\[)() PB<>BI.E\I \S ('O:\I <> \11·:l<>IH) 1)\ l:\l>l <:\<) (' \l'Í 11'1.< > :2 
lXE\11'1 <> ,-.:.. Pti'Z\ l>I· SrFl'-F.R 
Qual é o uÚlllero máximo de regiões cm qn<' o plano pode ser dividido por 11 retas? Equi­
rnlr111 cmcntc. qual é o número máximo dr pedaços em que mm, pizza po<le ser divicli<la por n 
cmtc& rctilíueor:;? 
O númrro de regiões é 111<1ximu quando cada reta intersecta toda5 m, demais em pontos 
dibl intos. É fáril conl.nr rliret..m1cnle o número de regiões para valores pc<Jueuos d0 n. A figura 
1.:{ ilustra as situações em qne o número ele cortes \·ru·ia <le 1 a .J. e a tabela a seguir relaciona o 
uÚIJ10.ro ele cor1.cs e o númf'ro de regiões gcrn<las. 
Figura 2.:3: Cortando a pizza. 
número <lc rorl 0s ( 11) nt'lmero c.lc- regiões ( r 11 ) regiões acrcsccnt,1c.las 
L 2 -
2 4 2 
3 7 3 
-1 11 4 
A observação da tabela sugere que o 11Úlllero ele regiões mrmenta de n unidades quando se faz 
o 11-ér:;imo corte e que, abSüu. o nÚlllero total ele regiões obtidas com n corics scjn 
2 + 2 + 3 + ... + 11 = 1 + l + 2 + 3 + ... + n = J + 11
l
1~+ 1
) = 112 
.... ~
11+2. 
O resultado final está rorreto. mas o argumento acima é falho. O fato crucial dc> que n regiões 
sr10 arrescentadas no n-ésimo passo foi obliclo por simples obserYação elo padrão aprer:;entado para 
pequenos ,·alares d<' n. Parn validar a dcruouslrac;ão. precisamos de Ulll argumento mais forte. 
que pode ser o dado a seguir. 
Supouhruuos que os primeiros n cortes tenham sido feitos de mo<lo a assrgurar o número 
rnÃximo r 11 de regiões. ou seja. de modo que cada corte intersecte todos os clC'mAis <'m pontos 
<listintos. O curte 11 + 1 também deve ser feito de modo a satisfazer esra condição. On seja. 
l'IP devC'rá intersectai· m, 'TI já exir:,tentes em n ponLos distintos. Estes n ponLos subdíviclcm fl 
reta concspou<le11te ao ( n + 1 )-ésimo corte em ri + l pMtcs ( n - 1 segmentos <' 2 semirrrt as). 
l'Olll<> ilustrado na figma 2.4. Cada uma destas partes subdivide uma região existente cm 2. 
aumenta.udo o uúmero de regiões em n + 1. 
23 
( ' .\l'Í 11 ·1.0 '2 o '.\l('J()J)() I>.\ l \:J>I'(,' .\() 
Fignrn :2.-L :\<T<'s<'<'utauclo lllll C'Ortt' 
Lo!?,o. ele falo. lelll<>h r,, ..... 1 = r,, + (11+ 1). pm·a tudo 11 ~ 1 ou. equivaleuterneule. l'n = rn 1 ...Ln 
para todo ,, > l. o qtw ndida a solução acima ... \1ternutivilllle1itc. Ulila vez ubtida u recurrêncic1 
r1 - 2 e r 11_ 1 = r,, _Ln+ l. para lodo" EN. podl'WOh 1110:,,trar por imluçào fuüta que u lenuu 
11 . l l ,,2~·Jn-' g"ra e <' 1·11 <' e ac n por r,, = · 2 - . 
24 
E~EHl ' Í< 'll >S 
Exercícios 
2.1. Demonstre. por indução, as seguinlebideuLicladc::,: 
·) ? _ t1 ( n + l) ( 11 + 2). 
(a) l._ i _.3 + ... + n.(11 + 1) -
3 
, 
2 13 ·)3 3 _ [11(11 + 1)] . +- + ... +n - 2 . 
(e) 1.2'1 + 2.21 + 0.22 + · · · + n.211
-
1 = 1 + (H -1)2n: 
( cl) ( 1) ( 1)2 ( 1 )n-1 11 11 - l 
l+-1 l+-2 ... l+t1-l - (11 -1)!' 
(e) 1.1! + 2.2! + 3.3! + · · · + 11.n! = (n + l)! - 1. 
2.2. Demousrre, por inclução. as seguintes desiguaklades: 
a) 2n > 11. on<le n é Ulll uúrnero ualural arbitrário; 
1 · 3 · 5 · · · ( 211 - 1 ) l 
b) < , para qualquer II E ~. 
2 · .J · 6 · · · 211 - J3n + 1 
C .\l'Í IT 1.<> '.! 
2.3. Considere a sequencia ( rn) rorrespon<lenr<' ao método de NC'"ion para calcular .Ji.. ou seja, 
a sequência. definida µor .1· 1 = 1. .rn+1 = ! (.r,. + .1...). 
- .Cu 
3 . • Ylmitrc que 1 ~ :r.11 ~ 2 . pma todo 11. 
• yfostre que , n+ t - J2. = ~" (.r,, - J2.{. p,:lra lodo ri. 
(Isto e..~1)lica porque o erro no cálculo de .J2 ,ai tão rapidamente no 1\Iéi.o<lo de ~c,vfon.) 
2.4. Prove que, para qualquer uÚlliero uat w·al 11: 
a) 113 T (11 + 1)3 + (n-.- 2) 3 é dhisivcl por O: 
b) 32"+2 + 811 - 9 é' diYisívd por 16: 
e) LI" T 1511 - 1 é dhisível por 9: 
cl) lF1
-
2 + 12211+1 é divisível po1· 133: 
e) 23" + l é dfrisível por :311+1 . 
2.5. Um plano est~ <li vi.elido em regiõec; por várias retas. PrOY(' que<' possível colorir essas regiões 
rom duas cores dC' modo quC' quaisquer duas regiões adjacente:,, tcnhnm cores <liferenle::, 
{di2emos que duas regiões são tu{Jar,•11f fs se elas tiverem pelo menos Ulll st'gmemo ele rela 
em comum). 
25 
C' .\PÍ'ITLO 2 Ü l\lI~TODO IH [ '.\:1)11(.'r\O 
2.6. (O queijo de Stcincr) Seja q11 o níunoro de regiões dctcrminé.lda.s no Cl:lpaço tridimensiona l 
por II plauos ( equivalentC'mcntc, o maior núruC'ro ele partes cm que um queijo pode ser 
divi<lido por n cortes planos). 
a) ExpliqnC' por quC' q11+1 = qn + Pn, p11ra todo n EN. ondC' 1711 é 0 número máximo de 
rcgiÕC's <'lll que 11 retas clividcm o plano. 
n3 + 511 + 6 
b) ~vlost rc que q11 = G . para todo n E N 
2. 7. Considere uma linha poligonal [onnacla por 2 se111irnt as e por n segmem os ele reta. A figura 
ilustra a sit nação para n = 2. Encontre uma fórnmla para o nfünero má.xi.mo de regiõc~ 
<lctcrrnilrndas pela Linlrn poligoual e demonstre que sua fórmula eRtá correta. 
2.8. Xo problema da Torre de Hanoi. suponha que se deseja passar n ruscos de uma baste 
mrtrcma para outra. mas que não seja permitido passar diretamente um disco de tllll e:\i;remo 
para o outro (isto é. todo mmiinent.o deve ter origem ou destino na haste central). Assim: 
por exemplo. para passar um único disco ::.ão necessários dois mm.imcntos ( o primeiro para 
l<'vR-lo iJ baste> renrrnl e o segundo pru-a levá-lo da haste ccnh·al ao onh·o extremo). 
a) Verifique que são necessários uo lllÍllÍlllO movin1eutos para transferir 2 cUscos. 
b) Sendo h 11 o número de mo,·irnentos necessários para 11 discos. expres~e h 11+1 cm teTmos 
ele hn. 
e) !\lost,e que o número nú11imo de mO\imenlos para transferir 11 discos é hTI = 3" - 1. 
parn todo n E N. 
26 
Ol TB .\S FOIDI.\S DO l'Rl:'\C'ÍPIO DA {:'\Dl 'Ç:\O C .\l'Í' l l ºL1> "2 
2.7 Outras for1nas do Princípio da Indução 
A partir do Priudpiu da lmlu~ão. po<lemrn:, obter vai-ianles que são úteis pMa construir dctcr-
11Úlladas dcwoustrac;ões ( elllbura ::ieja sempre.' possível m;ar a formnJa-Çào original). Começamos 
t:0111 wna variante que é útil para <lemol.llitrar propriedades que 8ão válidas para números naturais 
a µarLir de um c:e1tu ualural 110 ( o valor de no pode ser O. naqueles casos cm qur seja de interesse 
cou&iclerar O c:orno um uúmero u aL ural). 
TEOREMA 2.3. 
Seja P(n) uma propriedade relativa ao número natural 11 e seja n0 um número nal w·al. 
'uponharnos que 
i) P(110) é válida. 
ii) Para todo n ~ n0 • a vali<lez de P(n) implica na validez de P(n + l ). 
Então P( n) é válida para Lodo 11 ~ 110. 
O Princípio da lucluçâo é uru caso particular do acima, pan~ n0 = l. Para d~monstrar a 
n ~rsào mab geral. recon-eruo::;, como antes. ao Axioma da Indução. mas tomando X = { n E 
NIP(no + n - l)é válida}. Eutão, 1 E X. já que. por i ), P(n0 + 1 - 1) = ?(110 ) €> válida. Além 
clbso. por i i ) . :;e n. E X. então TI+ 1 E X. Logo, pelo Axioma da Indução. X= N. Isto significa 
que P(no+ 11 -1 ) é válida parn todo n EN. 0 11 seja. qne P(n) é n\lida para todo n. 2: n0 . 
EXEMPLO 9. 
l\Iostrar qur 2" > n 2 para t.odo 11aturnl n > 5. 
Solução.Ohscn-ando os valores ele 211 e ele 11 2. dados na tabela abaixo. observamos que não 
0 verdade qur 211 seja maior que u 2
, para todos os valores de n. mas a propriedade parece ser 
YNdadcira a partir cic n. = 5. 
n 172 211 
l 1 2 
2 4 .J 
3 g 8 
+ J6 16 
5 25 32 
6 36 6.J 
Se P (n) é a sentença 211 > n2 . temos que P (5) verdadeira.Suponllamos, agora. que P (11) 
seja verdadeira, ou seja, 211 > 11 2 , para algurn n > 5. Mu.lilplicando ambos os membros da 
27 
de~iP,ualcl,tcle por 2. oi>terno:, 211
-
1 > 211 1 . '.\fas 2111 
- ('li ..1.. 1 )2 = 11
2 
- '211 - 1 = (n - 1)2 
- 2. 
<,e 11 > .j. rm;-10 tn - l?- 2 2: (5- 1)2- :2 = 11 > íl. Dní. c-oncl11ímn:-. qur 211
-t-
1 > (11 + lf. 
ou :,eja. que P(11 + 1J é ver<huleira. Lugo. pehci geuPntliz.ac;ao éH'111111 cio Princípio d11 Indução. a 
c.le::.igualdadl' n1lr para todo 11 ~ 5. 
r 111;;1 0111 rn Yarifl 111 r do Prindpio ela lucluçiio ocorre quaudo e ·tmv0111. uo JJêl:-.so d1• incl 11çi1.o. 
con::;idPrar a valitlez mfo somrntc do 1rnt<'<·p::.::;ur clire1o. ums ele 2 <.>111uais aul.c'C'f'%orc•s 
EXE\ll'LO I O. 
C'nusid<'rn a srqncnria cm que n 1 = L 02 = 2 e a,..L'2 = 20,..q - a,,. para lodo nat11ra] n. A 
partir de "i e a2 . podrmos ohtC'f 0~1 - 2a2 -<1 1 = 3: a partir de <12 e o:i- ohirwos n-1 = 2a3-n2 = ...J. ; 
,1 partir dP O;j <' ,1~. podrmns obtrr a,=,= 2o ,-ai= 5: e &1::,irn por diault'. 01::, valore:, já c:alrulaclrn, 
:,ugerem que o t.rnuo gcrnl <lr (o,,) <'stfl he111 clefu.tido e é <lado por fln = 11. \'amos estfll)('l<'<'<'l' 
0s1r~ fatos por ii1dnçi'io. 
Se leuta.1110::. proceder C'OlllO nos c-asos antt•riorf's e l'Oli,.'>i<lcra.rno~ a ::.elll e11<;a P( 11) : 0,1 = rL 
o 111ec·a11L<=ano d<' indrn;no 11ãn funciona. :\"nu conseguimo:-. passar ele P(n) pr1r;i P(11 + 1). poi:, 
P( ll + 1) dt•1wude nilo ::.c1111e11rc> ele P( 11). mas raml,(,111 d<-' Pt,1 - l). Para fa:ter a prm·a. precisamos 
cuusidernr uma 'l<'ntenc;H qnn <'Stêlh<'lrça a vnJidrz da expn•ssiio do termo geral para clob Yalure1::, 
<:011::ieculivrn, ele> 11. Poclemo:, trnmn Q(n): P(11) l' I'(11+l). c>11 sPji:'1. (2(11): <Jn = 11 e C1nt1 = li T 1. 
Agora. temos qur Q( 1) (, ,·erclndc,irn .. já qu<' ambas P(l) : u 1 = 1 e P(2) : a2 = 2 ::.àu verclaclci.ras. 
Além dis:::;o. se' supomo~ qne Q(n) é Ycrdaclc•irn parê"I a!gmn 11, lellio:,, que P(11) : "n = ·11 e' 
P(11 ...1.. 1) : ªn-l = n + l sao v<'rdnd<'irn:=-. Daí: r1n+2 = 2o.,, _1 - o, = 2(n + 1) - n = 11 + '2. 
Assim P(11, 2). (1 11 +2 = 11 + 2 é \'rrcladcirn e. <'lll C"ouseq11ê11C'ia, Q(11 ,- 1): Pl11 + l)c P(11 -1- 2) 
truubém o é>. Logo. pelo Priucipio dn Indução, Q( n) r válid.-1 parn tndo II EN Em c:on::;equê11eia. 
P(ll): a,.= n é lamht>m ,·álicla p<'lrn todo n EN. 
P odemo~ gcueralizar o que fizcrno!:> acima e1111nc-iamlo '"' scg11intr forma do Priudpio ela ludn­
c;ão: 
TEOREMA 2.4. 
Seja P(n) uma sentença aberta rclalfra ao ualw·al 11. Suponhamos que: 
1) P(l).P(2) ..... P(k) são verdadeiras. 
ii) Para todo 11 E N, a \'aliclez <le P(u). P(n + 1), ... , P(n + I, - 1) implicam a Yalidez de 
P(n + k) 
Então, P(11) é válida para todo n E N. 
28 
()1 ·nns F<>IC\I.\S ()() P Hl:\CÍf'I() ll.\ l'.\Dl ·c,·.,u ('\ J'Ílll.<>:2 
I· .,1 ~ IPI/) 11 
Snpoulta que um C'a.-.,al clP nwlho:,, clcrnore dois ml'sC':-i parn procriar . .-\ partir daí. n cad~ mês 
procluz tllll um·o C'a::;al de u>Pllios. Cmuc>çan<lo no rnes l rom 11m único rai:;al, qnal é o número ele 
rusal de cocllim, no mês n ·7 
Solução. A sequê11dc1 (F11 ) que r<'spoude a e<;ta prrg11nt,1 é ronh0drla corno a ,r,,rquênc,n de 
F,bonur<:i. em hurucnagem ao apPlido<lc Lculléu<lo de PIBêl. Os rloi:-i primC'Íro:,, tc>rmos da sequência 
:-.ii.o F1 = 1 l' l 2 = 1. já que u ca::.al 01igiual uàü SC' reproduz até> o segrn1do més. O valor <l0 F2 é> 2, 
rorrPspundcntc ao casal original e an primeiro casal de Iilliotc:,, q11 c 0lr grr011. No terceiro mrs. o 
en • ..,al origiual g.('ra wai::. wu Iilbute, nrn:-, o primeirn <"asai d<• íilliotes aiuda não f'S1 á madnro para 
g<'rnr fillwh•s. Lugo. F 1 = 3. 
De 1110<10 gPraL l'lll nula wi>s 11 (u,111 11 2: 3). estarão prc>">e11lr5 os rr1sRiR já prrs<"nrf's no 
me', aut.rrior. rnnis mu uúrncru <lc 11uvos filhote~ currcspondcnl11s ,1os c·a.sH is macl11rns. ~fas estes 
~fü, os que já eslavaw presentes dois me::;es antes. Lugo, para lodo 11 ~ 3. F,, = F11 1 + F'.1 2· 
EcpliYalc•11tnne11tP, Fn+2 = Fn-l + Fn . .Junlê.-llllente com F1 = F'2 = l. i~tc, de>fi1w o \alor clr F,, 
pnrn todo 11 E N. pela forma geueraliza<la du Priudµio da lucluçau. clando orig<'lll ,'l seq11ênril'l 
( 1. l. 2. 3 .. 5. 8. 1:3, ... ). Ern algumab situaçõe1,. poJe ~er co11Ycn.icnle começ,:lf H srq11f>11C'i:i dr 
Fil>nnacri C'Olll 11 = O. defi11i11clo-a por meio <le F'i1 = O. F1 = 1 P F 11 = Fn-1 + F,, 2, pnra Iodo 
11 ~ :2 ( not(' C]lH' F2 = l. daudo origem à lilcsrna seque1wia ,mterior. acrescida do termo in icín I 
i~11nl n O). 
X o capítulo 4 vc•n•rno:-- c·orno r<'solvcr rccurrêw:ias de segunda ordem ( isto é. em qne 11rn 1 ermo 
1lPpcndc dos dois ru1t<'riores). Por enquanto. rncé pode ficar i;mpreso cm saber que fl. expressão 
I ln I C'rmo grrnl <l<' F,, (, 
c~2v'S) ll - (1 /5) n 
FII = ~---'----'-----
,/5 
r, q11P podP sPr Wffifir<1do por iudnçiio (vejfl o f'_xercíciu 2.14). 
C nrn outn-t variant f' elo Princípio da 1uclnçào é llltúLas vezeis l'harna<la de Pr-inrfp10 da !n.dução 
Complrta 011 da fod1.1ção Forte. i\'da. n hipóf e~e clP inclrn;ãu é a valic.lez da propriedade para todos 
os 11aturni::. 111<"nnrf''> q11C' ou igirnis a 1m1 natural n: 
TEORE~IA 2.5. 
SPJa P(n) llllia µrop1ic<lade relativa ao n(nncro rwlun1l n . SuponhFtmos que 
i) P(l) é Yálida. 
ii) Para todo 11 EN. r1 Yalidez dl' P(A ). para todo k < n. implica na valiclez de P(n + l ). 
E,utãu P(n) é ,'álida para todo n EN. 
29 
() ~ l r~TO()O I>.\ hI>l"<,'.\O 
DEMONSTRAÇÃO. 
Consideremos a scnl<'nçn aberta Q(n): P(k) é válida. para tOllo natnral k ~ 11. Como. por 
i), P(l) é válida. Q( 1) rnmhrm é'. Snponluuuos agora que Q(n) seja v;1lida. Isto quer d izer que 
P( k) é válid,1. p::irn todo k :S: 11. Mas. por ii}. isto implica a valiclez de P( n + 1). que por ~ma vez 
implka em q11<' P(k) sej;:i \'ilida parfl todo k :S: n + 1. Logo. Q(n + 1) rnrnhém é válida. Po1ianto, 
µela forma original do P rincípio ela Tncl uçào. Q( 11) é ,·álida para to elo n E N. de onde decorre a 
\·alidP.z d<' P( n) para t.orlo n E N. 
Naluralr11e11te. o rn<->canit->1110 da i11cl11<;ão C'Oruplf'ta pode ser a<lc1ptaclo parn demonstrar pro­
µriedadei; quf:> valem a pmtir Jt> urn número natural n 0 . Nc:sl.c casu. a hipôlcsc de incluc;ão é a 
vali<lez de P(k) para t.udo nat.ural k tal que 11 0 :S: k :S: n. 
F\T'.\ IPLO 12 n 
Se.ia Cln Wila sequeuda clciiui<la por au = 2 e a.n-l = Lk=u ;'k·, para cada nalural '11. Qual é o 
li .L . 
termo geral de u 11 ? 
Solução. Üb primeiros t.errnoi, da sequêU<:ic1 s~o: 
n1 = ~ = 1: 
_ 2,1 _ l· 
a2 - 3 - . 
ªª = 2- ~+l = 1. 
o que sugPrc que r1 11 = l. prirn todo n ~ 1. com n0 = 2. 
:\lostrar quf' a,1 está bem clefiuido. e{> dado pela expressão ac-illla. requer o uso ele Lnc.l11ção 
Compleb1, já que a defiuic.;ãu ele cada termo ô ba:,eada 110 ,·alor de toclo1, os i:Ulteces~ore::;. Como 
r, 1 = 1. P(11) : 0 11 = 1 é \'álicla para 11 = 1. Supou.haruos. agora. qi te P(k) i,ej<1 ,·álida (ii:,lo 
é. a.,... = k) para tudo k tal que 1 $ k :S: n. Csm1do este fato e o de que 110 = 2. c,btemos 
o = ~ = 2- 11
•
1 = 1. o c111e mostra c1ue P(n ...1... 1) é verdadeira. Lu0 u o Pri11c.:·í1>io da lmlur·ãu n 4- l n...-'2 r, - 2 o , " 
Completa assegura que P(n) : n11 = 1 é válida para todo n > 1. 
lº 1ua outra aplicação de i.udução c·orupkta é a prova da Propri<•chulC' da Boa Ordenação. qu<' 
alinna que todo subconjunto não Yazio de N tem um menor elemento. Vamos mostrar que um 
snb<:onjnnto .Y dC' N qnl' uão possua um m<:'nor clc•mento é nccc'ssariarnc•ntc• vazio, ou seja. qur 
seu complementar xr é o próprio N. 
DEMONSTRAÇÃO. 
Seja P(n) a propriec.la<le n E xc. Começamo:::, por mostrar que i) P(l) é válida. De falo. 
l (/: X. já que se 1 perteuc~se a .'( seria seu rneuor elerneul.o. Em c011sequéncia, l E _xc. Por 
outro lado. suponl1amoi, que P(k) seja \'álic.la. para Lodo k :S: n. lsLo quer dizer que todos os 
uaturais de 1 a 11. estão em x c. ou seja. que uão estão em X. l\las isto implica em que n + l não 
30 
Ol'TB .\S F<>H~I.\S 00 PBl:'s< ' Íl'IO D.\ [ :'-IW<,'.\O (' .\l'ÍllLl>l 
podr p<.>rteucer a, X. já qur. nrst<' ra.c:io. sPria scn menor elemento e, por hipótese, X não pos:,ui 
menor elemento. Logo. n, 1 E xr. o que moslra que P(n + 1) é válida. Portanto, mostramos que 
ii) sr P(k) é válida para, todo k $ n. então P(n + 1) é vé'ilida. Logo, pelo Princípio ela Indução 
Completa. P (n) é válida para todo n EN. islo é. xr = N e X= 0. 
ÜBSERVAÇ.Ã.O 2.6. 
Em lugar de usar o Princípio da fndução Complct a para dcwoushar a Propriedade da Boa 
Ordcnac;ão. como fizemos arima, poderíamos ter feito o caminho contrário. demonstrando o 
Propricdadr da Boa Ordenação a partir do Axiomn da Iudm;ão e. dai, <lernonstrnndo o Princípio 
<lR Induc;ifo Completa. 
31 
( '.\l' ÍTl ' LO:.? 
Exercícios 
2.9. Demom,lre. por L11clnção. as scg11inres dcsigualcladrs: 
a) 11! > 2n. para r1 ~ -!: 
h) n ! > 311 
• para 11 ~ 7: 
1 1 J 13 
e) -- + -- ..1.- .. • + - > -. para n > 2: 
n + 1 n + 2 211 2-1 -
d) 2" > 1 + n/2n-1 • para n 2:'.:_ 2. 
o i\lÉTO()O D.\ l ~m·~·.\o 
2.10. Dados n (n ~ 2) objetos de pesos distintos, prove que é possível determinar qual o mais 
leve e qual o maü, pesado fazendo 211 - 3 pe:;agern; em unrn balanc;1:1 dC' prFllos. :Vlostre. 
1.ambém, que este é o número mínimo de pesagem~ que pennitc•rn. com certeza. determinar 
o mais leve e u maü~ pe~ado. 
2.11. ~[ostrc que C'x:istern inteiros não negativos .r e y ta.is que 7..r + 8y = n par.:i lodo n ~ 12. 
ScriA possíYcl tomar um nínnero 111e11or qne -12 ua afirmativa acima'? 
2.12. Prove que. qualquer que ::.cja o número natural n maior do que ou igual a 3. existe um 
poUgono convexo com n lados e exatamente' 3 angulos Rgndos. rsngestão: ~Iodifiqu(• lllll 
elo::. ângulos agudo::. tle ttm polígono com n lados para produzir 11m ânguJo agudo e um 
obtuso.J 
2.13. A ~equência o1. a2 ..... Cln· ... <le uúruerrn, é tal que a1 = :3. ll2 = fi P fln+l = 3an - 2an-1 
para n > 2. ProYe que cin = 2n + J para todus os núme10::. naturais n. 
2.14. Mostre que o termo geral da sC'q11encia dr Fihonacci é 
(~)" - (~)" 
J5 
2.15. ~lostrc que a scquêucia <le Fibonacci saLisfaz. às 5egui11Les ideutidade5: 
(a) F1 - F2 + · · · + F,. = F11-t2 - 1. 
(e) F2 + F, - · · · + F211 = F2T1+1 - l. 
(d) F2 p2 1 p1 r, F, 1+ 1, ... + n=.cn n-1· 
32 
EX EIH'Ít' IOS C'.\l'ÍITU> 2 
2.16. Seja (Fn) a sequência de Fii>01rncci. l\ lostre qne Fi. ~ ( ~)"- 2
• para Lodo n EN. 
2. 17. t:se lll<luçâo completa para cJemoustrar o Tc,orf'1mt Fundamental <ltt ArjtméLica: loclo uú­
lllero natural ri 2: 2 é primo ou f:, um produto de u(uncros primos. 
2. 18. Em uma das versões <lo jogo de Xiw, clois jogadores se alternam. rC't iram.lo 1, 2 ou 3 palitos 
<le urn lllouLe de II palitos. O jogador qne remove o úlUmo palito perde. l\fost re que o 
primeiro a jogar tew. uma C'Stratégia vcucc•dorn SC', e i::omc1ltC' ~<'. o resw da clivisifo de II por 
-! é diferenle de 1. 
2.19. Cousidere um coujunto de 11 pontos. Conecta-se pares desses pontos por segmc11tos de reta, 
até que uão seja possível acresccma.r lll.Il novo segmento SC'tn formar um ciclo. isto é, Ulll 
Call1inho fechado percorrendo os segmentos de rct11 1 raç~clos. A figurn moslra dua5 possíveis 
situações ao final do proceRso,para n = 6. 
a) ldostre que, a-0 terminar o processo. cada par de pontos está ligatlo por um ú.ui.co 
caminho formado por segmrnt oR. 
b) ).lastre. por indução. que. ao Le1·llllllar o processo. terão ::;emprc sido trnçados n - 1 
sf'gmentos. 
2.20. Acbc o erro na ,:prü\·a·· do ~eguinte ·teorel.11.8.
00
: Todos os núme1·os naturais são iguais. 
T'amos provar o 1-esultado usando induçifo completa. 
(1) P(l) é claramente l'enla<leira. 
(11) Suponha que P(k) seJa 11P.rdadeirn.. pa.m todo k tal que 1 $ ri. EnUi.o n = 11 - l. 
Somando J a ambos os lodos dessa igualdade. obfrmos n = n + 1. Como 11 era ig·ual a. todos 
os n<tl-urais a11te·1wrf-S, segar q·11e P(n + 1) é 11rrrladP1ra. 
Portanto. P(n) é 11erdadeira para. todo 11 E S. 
33 
C ,\l' iTl · 1.0 2 
3-1 
PROGRESSÕES 
3 .1 Progressões Aritméticas 
São cornun.-; 11a vida rca1, grandezas qu<' sofrem variaçõ0s iguais cm i11t0rvalos de tempos 
iguais. Vejamos a lgmnas sit 11açõcs roncrct as. 
EXE.'.\ll 'l { > 1 . 
r ma fábrica <le automóveis pro<luz.iu 100 veículoi:; em ja11ei..ru e aumeuluu melL."aL.ueule sua 
produção <le 30 yeículu::,. Quauto::, ,·eículm, pru<lu~iu em ju.uLu? 
Solução. Os mlor<"s da produção mensal. a panir <l<' janeiro. são 100. -130, l90. ~20, -5-50 .... 
Em junho. a fábrica produziu 550 vcículm,. 
Pndc>rfamos t C'r C'\'itfldo e:::wr<'V<'r n pro<l nção m0s FI m<'s. rnciona ndo do mo<lo n srgnir. , <' a 
pro<l11çiio anm0ntn de ;10 vríe'11lm, por mrs. 0m .S mesrs ela n11m0nt.a .~ x 30 = 150 v0k11los. Em 
junho. a f'Ahrkfl produziu -t-00 + l .j() = :;r,o ,·rírnlos. 
ProgrPsi;õe~ aritmética.-. i;ãu sequeH<:ias lia:, qttais o i:iu111P1llu <le <:cHla Leruio para u seguiuLe é 
sempre u llleSl!Ju. 
A SE-'(]1tê11da (-100.430.460.490.520.550 .... ) é m11 exemplo de urna pro1:1;ressão aritrnéticc'I. 
O Hlllll('nto cou:;tantc• CT(' ca<la termo pma o scguint<' (, cbnmado de• ntzão OC' progrcsimo. A 
razão dn progressão acimn (• igrntl n 3U. 
Vmno::- A drfmiçi:io fomrnl. 
DEFINIÇ.~O 3.1. 
L'.ma progressão ari.lmétir.a (PA) é u111a sequência na qual a diferença emrc cada termo e 
o Lermo a nterior é constante. Es~m cliferença ronstant.e ê chamada de mzõ.o da progTcssão e 
represemada pela let.ra r. 
EXC\IT'l o :? 
A::i sequêucias (.5. ' . ll. 14, ... ) <' (1 . . 5. 3.1. ... ) são progi:rssõrs aritméticas cujas razões vR1cm 
rcspc•ctivauic•utc' :3 (' -2. 
3.2 Tern~o geral de uma Progressão Aritn1ética 
Ern urna progres8àu ariLruética (c, 1. (/ 2. r1 3 •.. • ). para avauc;ru: Ulll lermo, basta sornar a razão: 
pma an1t1çôr do~ lenurn,. basta somar dua::, ,·eze:. ci razão, e ct .. 'isim por diante,. Assim. pur 
e:.xcruplo. <113 = c15 + 8r. pois. ao passar de a5 para a 13, avauçamos termos: <1 12 = o7 + 5r. pois 
36 
TEB:\Jt) cam.\L ()Jo: l':\I.\ l'B<H:1rnss.\O .\HJT\II~TI<" .\ (' \l'(l l ' L() :{ 
.,,nrn;amu::. 5 lermos ao pas~ar ele {/ 1 pHrH 0 12 ; 0-1 = <1 17 - ]3r. poi5 rctroc·cclcmos 13 termos au 
1 ,1 .... sm- Je o 11 para o 1 C'. dC' n10clo gern L 
On = (11 + (11- l )r. 
pob. ao µa~!::iar de c11 pa.ra e,,.. anu1c,:filllos 11 - l Lc•rrnos. 
! XI \ll'l 11 ~ 
Em uma progTessào arit1uétic:a. u quiulo t ernw rnlc> 30 C' o , ·igésirno termo Yah~ 50. Quanto 
, n h u uit avo termo de:::;::;a µrugressão'? 
Solução. 020 = afi .- L5r. pois ao pu::; ·ar elo quiulo tenuo para o vigésuuo. avançamos 15 tC'rmos. 
l J 
l.11!!11. :iO = :30 + 157' <' r = -. Aunloga1110ntP, a~ = u=. + 3r = 30 + 3. - = 31. O oitavo termu vale " :3 ., 3 
.H. 
\r' IPl O l 
Qual é a raziio d.:t progrf'Ssãn aritméticfl qnc 5C obtC>m inscriudo 10 tt'rmos mtrc os núllleros 
·~ e• 'lS? 
Solução. Temos o1 = 3 e " 12 = 2!';. Corno 0 12 = o1 4- l l r. temos 2G = 3 + ll r. Daí, r = 2. 
Í \r,·p 1 () -, 
O c:0111ela Halley visita a TPrrn l'I cada 7ü anos. Sna última ra!',Sflg0m por aqui foi C'm J!) )6. 
Quauta:::, veze::, e le "isit cm a Terra dc~dc u uascimeulu de Cristo? Ern que ano foi sua primeira 
pai-;i,agern ua era c-rist~? 
Solução. Os anos de pa:::.sag<:>111 do c·onw1 a foram HJ86. 1910. 1S3J. .... e formam uma progressão 
aril rnélita <le razão - iü. O lermo de ordelll II dC'ssa progressão~ fl 11 = <t 1 + (n - l )r, isto é, 
20G2 
o,,= HJ 'G- 7(,(n - 1) = 2(JG2- 7G11. Trmos <t,, > O qmrndo n < TG = 27.1:3 .. . . Portamo. os 
tnrnos positivos dessa progTc~são sno 08 27 primeiros, ,, 1,02.11.a .... . 112,. Logo. ele nos Yisitou 27 
\1·zf':,, 11H c•ra cristã e :c,ua prirneirn pas .. sage111 ua era criRtã [oi 11<> ano r1 17 = 2061 - 76 x 27 = 10. 
PodPdruuoi:; Lamhéru t c1 resolvido o prohk·ma aprov0itando o foto dos termos dessa progressão 
"'PrPtu iuleiros. Eru u wa prngressào a.ri l mf't iccl df' tf'rmos i11l f'irm, <' razão uào nnl fl. t.ocios os t<'rrnos 
dàu o uiesmo resto qucU1do divididos pelo módulo da nizão. Corno 1986 diYidido por 76 dá resto 
10. t t)clos os anos em que o corut' I a ror aqui pas~uu diio resto 10 qna11clo di\'ididoi:; por 76. A 
primí'Ífél visiLa ocorreu eul rf' os auos 1 C' 76. iuch1siv0. Entre esses anos, o único que dividido por 
'i"Ci dá re!>t u 10 é o ano 10. Parn descobrir a ordem cles::.e termo, m,anrns 0 11 = <1 1 + ( n - l ) r. isto 
é·, lll = 1986 - 76 (11 -1). Daí. 
2062 
11 = 76 = 27. 
37 
(
0
\l'Íll l.C) :{ 
1 
(Na venh1dr, n primeira µassagcill do c:ometa liallc? ua era cristã oc:orrcu no êUlO 12 e 11ào 110 
auo 10. ;\ clifNrrn;n clpn•-sc ao fato de que o período entre duas µassagcus consecutivas não ser 
exat.a11w11tr O<' 76 anos e. 111-1 verdade. não ~er coustanle. varüuido ele 7-1 a 79 anos. Poruwto. a 
progTPssào aritmética ac:ima fornece um modelo apeuas aproximado da situação real.) 
:\hútru, vezc-•s é cunvenicute enumenu os termos de wna progressão aritmética a partir de zero. 
C'oufurrne rnm,tra o exemplo a i-.eguir. 
F,1 \11'1.U ô. 
O prec;o de illll c:arru LlOVO é ele ns 15 000.00 e di1t1ilmi ele ílS l OOOJJO a c·ada cUlO de uso. 
Qwd será o preçu cow t anos de uso? 
Solução. Chamando o preço com n anos d0 uso dr ª", trmos a 0 = J 5000 e quNrmos c:alcnlar 
" 1• Como a clcsvalori'liação anual é constante, (a 11 ) t nma progressão aritmética. Logo. a4 = 
r, 11 + -k = 15000 + -1 x (- 1()00) = 11000. O prrço srrá d<' R$ll 000.00. 
1''\F~ lf'LO , . 
Os lados de um triangulo rrtangulo formam unrn progressão aritmética cresceme. l\lostrc que 
a razão dc::;::;a progresi:,ão é igual ao raio elo círculo im,crilo. 
Solução. Chamemos os lados do Lriângnlo de .r - t . . r .. r + r. Esse é am bom truque para facilitar 
a.-, contfu,: ao representar uma progrC'ssi1o aritmrtica com 11111 número ímpar dr termos, começar 
pC'lo tC'rmo central. 
Como a progressão é rrescenlc. a wpolcnusa é o último lermo. Pelo Teorema ele P itágoras. 
(.r + r)2 = (i· - r)2 + .r2 . Dai . . r 2 = -lr.r e. já q11e .r =/: ü pois .ré uw elos calews . .1· = 4r. Os laclos 
S 6r2 
:são então 3r . .J.r e .Sr. O perímetro é 'l.p = 3r + 4-r + 5r = 12r e a árec1 é - = - = r·. 
p 6r 
D<'tcrm.inc -! números cm progr0ssã.o aritmética crnsc011tc. conhecendo sua soma 0 a soma 
de seus quadrados 36. 
Soluçã o . L"m 1>nrn lrn(JU<", pma r<"prescutar progressões a.rilutéti<:a:; c·o111 um número par ele 
trrn1(h. é rliamar os dois Lermos c:entrab de .r - !/ e .r ..1.. y. Isso faz com que a razão seja 
(.r + u) - (_r - y) = ly. 
A progressão é então . .r - 3.1./, .1.· - y, .r + ././, .r + 3y. 
38 
S<>:\L\ l><>s TE!nl<>S DE 1· :,..1.\ l'B<><;1n.ss.\<1 .\Bll .\1(: 11<'.\ ('\1•111 u, :1 
Temos: 
{ 
( .r - 3 y) + ( .r - y) + ( .r + y) + ( .r + :3 !! ) = 
(.r - 3y)2 + (.r - y)2 + (.r -r y)2 + (.r + 3y)2 = :36 
{ t ') )Q •) ')(j -1:.r- - :... y- = ,J 
{ r = ') 
y= ±1 
Como a progressão é crescente. !/ > O. Logo, .r = 2 e !J = l. Os uíuueros são -1. 1. 3. 5. 
Em uma progressão arilmétka. o termo geral é ch-tdo por um polinômio em n. a11 = r,. 1 + (11-
l )r = r. n + (a 1 - r). Se r =I O. ou seja, se a progrfüsão uã.o for eslaciouária (coustaute), esse' 
polinômio é de gra.u 1. Se r = O. isto é. se a progressão for estacionária. esse polinômio é de grnu 
1nrnor que l. 
Poresse motiYo, as progressÕ<'S aritméticas dr razão r =/: O são chamadas de progTessÕf•s 
Mitmé>tic-as d0 primeira or<l<'m. 
Reri procamente. se em uma seqnêncin o termo df' ordem n for d ado por nrn polinômio f'lll 11. 
dr gnm m<'nor qm' ou igual n 1, da será uma progrcs.<;ão mitmética. Com efeito. se .r,, = nn + h. 
(.r,, ) é> uma progressão aritmética na q11aJ n = r e b = a1 - r. 011 srja. r =ar n1 =a+ h. 
Como em uma progr<'ssâo ,ni tmétic.-1 o 11 = "º + 11r. ,, funçiio que associe, a cada mll nrnl II o 
nilnr dC' ri" é simplcsment.c a restrição aos müurnis d1:1 forn)í.o afim o(.r) = o(O) + r.r. 
Porl anta, pensando em urna progressão arirméricr1 como 11mt1, fm1çiio que RSl:iOC'Ía a c·;1<lc1 
ni'lmero natural n o \'alar a11 • o gráfico dessa função é formado por uma sequência de ponto~ 
,~o!iiwarcs no p lano. 
Em oulras pala\Tas. ( a 11 ) é Ulllc\ progrcs~ão a.ri lmétic:a se, e somente se, os pontos do plano 
que lêm coordenadas (1.c, 1). (:2.n2 ) . (3.,13 ) . etc. estão cm li.11.ha rela. 
3.3 Soma dos Tern1os de un1a Progressão Aritmética 
Baseados ua ideia de Gauss, usada pa.rn calcular a soma 1 + 2 + · · · + 100. podemos cal('ular 
,1 ::iourn dos n primeiros termos de uma progrcs~ão arit métic.:1 qualquer. 
TEOREMA 3.2. 
A soma dos n primeiros termos da progressão aritmética ( r1 t, a2• r,3 •... ) é 
S _ (at + a,,)r, 
n - 2 . 
39 
C' :\l'ÍI l "I.O ;3 
(I I 
(/ _j 
2 
Figma :3. l: Gráiko clt' lllUêl progn'ssflo 1-uit mr1 ica. 
DEMONSTR..r\ÇÃO. 
Tf'lUl)S Sn = 111 + (J'l + Cl;~ + ''' + (/11-l + n, C' . f'S(']'('\'('ll(lo êl S<1l1la clt' trús para. ITC'lH<' . .Sn 
"", o,._1 + o,,_2 + · · · + <12 + 01, Daí. 
2S,. = (01-,- a,.)+ (n'.! + u,, - 1) + (u·i + ll,,-2) - · · · + (", 1 + a3) + (0 11 +o,). 
Ohs0n-r· q110. ;io pa~sm clP urn pan'ul<'SP pan1 o se,g,uiute. a prllliLU-a parcela ann1e11t r\ de· r <' a 
::,cguuda parcela diminui der. o q1te não alten1 ô ::.oma. Portanto. Luclo:,; rn, parC'ntc:.;c•s sao iguais 
no pri111f'iro. (fl 1 -1-u 11 ) Corno si'io II pi'lrf'11teses. (e1JJos 
2,S,. = (o, + o" J . n e S, 
·,LO I 
(<11 + o, )11 
2 
Qual é o valor cl,1 :.oma cln~ 20 primc>iro:-; t1•rrno~ riu progrt•:,;sJo aritrnétirn 2. 6. 10 .... ? 
Solução. n'.!o = n1 ~ rn, = 2 + 10 x -1 = 7 . 
(:2 - , )20 
520 = 2 = ~00. 
EXL IPI r • I fl 
:\ snnrn do~ 11 pri111Pirrn, númerns inteiros P positivos é 
11 
n(o + 1) 
'°"' "-:=1+2+:3+···+11= . ~ '') 
bl -
Ob:,crve que S,,. no exemplo anl crinr. é>. 1m1 polinômio do segundo grau em 11. ~cru termo 
iw lependc>nte. 
40 
!' l<O< ;1n:SSOES .-\ BIT\11-:Tl<'.\S l>E O Hl>E\I SI l'Elrn IH ( '.\l'lll l.tl :{ 
r .. 1 \IT')LO 11 
A :,,0111c1 dos n primC'iros u(uueros úuparcs é 
(1 + :ln - l)n ., 
1+3+5 +· ·· +(2n- l)= 
2 
=11-. 
O hi:;el'TC' <111r 811 • no C'Xemplo m1t crior. (:, t aillbéw Uill polli1ôrnio do seguuJo grau cm n. sem 
wru10 independente. Tsto !;C g<•neraliza como segue. 
A sorna <los n primeiros termos de uma progi·e::.sào aril mélica é 
S 
(<1,1 + a,,)n [ct1 + a1 + (11 - l)r]n r :l ( r) 
n = 
2 
= 
2 
= 2'z + a1 - 2 n. 
()l,spnr0 que, se r f O. então S 11 6 1m1 poliuômio do segundo grau em ,z. clesproviclo de termo 
iuclc'pt>u<lt>nt.e. Ser= O. S,. é' um polinôtuio ele grau menor que 2, sem termo in<lependrntc. 
RcriproCêUucnle. todo polinômio do 5egw1<lo grau ew 11. desprovido df' termo indepen<lente. 
(· o valor da soma dos n prinwiros termos de algwna prngressão aritmética. Cmn efoito P( n) = 
,m2 + lm é a soma dos n primeiro~ tennm, da progressão c:U·ilruéliC'a nn qual ~ = n e n1 - ~ = li. 
rn1 Sf'jl'l, r = 2a e n 1 = n. +b. - -
3.4 Progressões Aritn1éticas de Orden1. Superior 
DEFINIÇÃO 3.3. 
Defu1e-se para scqueucias o oprrndor .6.. chamado clP opcra<lor difcrC'nça. por ..).an = ªn+ I -011 
Portanlo, da definição :,egue imecliatê:Uncntc que mna sequência (a,,) é uma progressão arit.­
u1ét.ita se. e s01ueute se. (.6.t1 11 ) = (an+l - on) é ronsr::mtr. 
O c>xcmplo a seg,1tir estabelect' o Teorema Funcia.mrntal da Somaçao, que é o auálogo di~-c-rcto 
do Teorema Flmdamcnf aJ do Cáku.lo. 
r'\E1'.IPLO 12 
" 
r- lo:,lre que L ~ a,..= a11+1 - ci1• conhecido como 
k-1 
41 
( ' \ I' 1 IT 1.0 : { 
Solução: 
71 
I: ~º~· = ~ a1 + 6 a1 + 6 aa + · · · + 6 011 - 1 + ~ tln. = 
k=l 
(u2 - 01) + (CIJ - a2) + (CL1 - a:i) + · · · - (an - Cln - 1) + (ll.ri+ l - fln) = 
De forma análoga ao Teorema Fun<lameutal <lo Cálculo. que estabelece que o cálc:ulo <le 
uma integral definida ./~' J(.r)d(.r) pode ser Jeito obtendo uma função F cuja derivada seja J e 
calculando a <liferença F (b) - F (a). o Fuu<larnen lal <la Somação torna irue<lialo o cálculo <la soma 
dos rermos de uma sequência. desde que se identifique esta sequôncia como sendo obtida pela 
aplicação do operador <liferença a uma outra sequência ( veja o exercício 3.-!J). 
DEFINIÇÃO 3.4. 
Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma sequência (a") na qual as diferenças 
6.a11 = a,1+1 - a,1. entre cada termo e o t ermo anterior. formam uma progressão aritmética 
não-estacionária. 
De modo mais gernl, uma progre.ssâo an tmética de ordem k (k > 2) é uma sequência na qual 
as diferenças entre cada termo e o termo anterior formam uma progressão aritmética de ordem 
k - 1. 
EXEr-lPLO 13. 
A 1:.equência (an) = (1. 3. 6. 10, 1,5. 21 1 •• • ) é wna progreshão aritmética de :,eguuda ordem 
porque a sequência das diferenças entre cada termo e o anterior. 
(b,.) = (~ Cln) = (an+ L - an) = (2.3.4.5. 6 .... ) 
é: urna progressão aritmética nào-cstadonária. 
EXEr-IPLO 1--1 . 
A tabela auaixo mostra uma sequência ( a n) = ( n3 
- n) e suas diferenças 
(.6.on) . (6._:.!o n) = (.6.6.ari), (.6.3an) = (.6..6.:.!n,1) etc ... 
42 
~ PIH>(:I{l-:s s (>ES ; \l{ ITi\11--~Tl('.\S m -: OHDE~I S1T1EH IOB C'.\l'ÍTl "L<> :~ 
n (111 .6.an .6.2an .6.3an 
o o o 6 6 
1 o 6 12 6 
2 6 18 18 6 
3 2-1 36 24 6 
'* 60 60 30 D 
5 120 90 D 
6 210 D 
7 D 
S<> (.1an), como paJ"ece. for const RJ1Lc. (.6.20 11 ) será uma progressão aritmét,ica. (.6.ar1 ) será 
mllii progres::.ão aritmética de ::.eguncla ordem e ( a11 ) :-,erá 1m1a progressão ari lmélica de lerceira 
ordem. Lc;so é vt>rdacle. pois 
an 113 - 11 
.1a,. 011+1 - On = (n. + lf3 
- (n + 1) - [nª - n] = 3'112 + 3n. 
ê:,'.lnn :3(n + 1)2 + :3(11 + 1) - [3112 + 3n] = 6n + 6. 
~ 3a11 - G(n+ l)+G- [Gn+G]= G 
l ~ =Ia 11 realmente é com,Lanle. 
Observe> que. nesse qna<lro. a sorna dc3 dois elementos lado a lado {:> igual ~o elemeuLo que 
C'St :í rmbai..xo <lo primeiro <lcssC's ck•mcntos. Isso nos permite' calcular os elementos qu<' estão 
,1ssinalados por D na tah<'la acima. Da direita parn a esquerda. eles são iguais a 6. 30 + 6 = 36. 
!)() + :3(i = 126 e 210 + 126 = 336. Portanto. a, = 336 e este foi o processo mais exótico que você 
jn vin pc1ra cakufar ai = 73 - 7. 
ÜBSERVAÇÃO 3.5 . 
• \. sequência cujo terwo de ordem ri é a soma Sn = a1 + a2 + ... +ª"dos n primeiros termos 
ele urna progressão aritmética de ordem p é mna progreSbão arillnética de ordem p + l. Bastfl 
observar que o operador diferença, aplicado fl (S11 ). fornece ü.S,, = S,t+1 - Sn = a,,+1 e defiuc, 
portanto, uma progressão aritmética de ordem p. 
O tC'orcma a seguir cstabcl0ce mna relação fnndamcntal entre progressões iu-itméticas de 
ordem p. onde pé um número na.tmal. e polinômios ele gran p. 
43 
TEORE~IA 3.6. 
Toda s0qnf•11( ia ua q11nl o t erlllu <l<' md<'m n (',, lllll poliuornio t•1n n. de gnrn p. é II wa progrC'Ssno 
aritm(•t ic a de ordt>m p P. rcciprül aweutt·. :-;e (n,.) < uma pregr("-;sao aritmética de ordem ,,. c>ntão 
lo 11 ) f' um poliuomio cl<> grau JJ l'lll n. 
Dt·1x11mo:-, a dt•llHHl:-l I HÇflO g.c•ral du rP:-.llhRdo pnrn a prôxirna :-.1•çJo. 111a:-., a :.q!,1tir. 11111:-.t rnu1n:-. 
:-.11.-1 Htl1clad0 parn progr<•s:--oPs mitméticr1s <lc =><'~undH ordl'm (bto (•. para JJ = 1) e ,·1•11111:-- um 
<'X1•mpl11 dt• sna apli<'ac;,io. 
DE:\10:'.\STRAÇÃO. PARA PROGRESSÕES ARinlÊTICAC. DE SEGUNDA ORDEM 
"'<' u,, = or?· -t- úri - e. c·o111 o 1- O. temo:--
.J.<L = "ri+ ' - "" = a(11 + l )2+ b(n + 1) - e - (fl1,-i-+ ln, - ,') = 'lari + (o - l>). 
!fll<' éi do prinwiru gnm <'Ili 11. Pt>lo (!lll' t·u111<>ula1uos ncimn. (.J.11 1,) (• u11w progn·ssão ant 1n(,1 in1 
IHH >-<''-1 n< íonárin . 
Po1 ontro ladu t,t> (0 11 ) (> 11111a progi·<'sscio ,1ril mê>tic-n eh i-.Pgtwdv onlt•m. b,, = .J.O,. = <1 11 .,i - o,, 
t'• 11111c1 progressao arit 111<'1 in1 com rn.úio c.liforeut l' d<' /<'ro <' 
/)J f- /)2 T h:t + •.' + /Jr,-2 + (1,, l = 
(a'..! - ni) + ( 0.1 - "'.!) + (a, - n:d + · · · - (11 11 - o,, t) + (,1,,+ 1 - u, ) = 
é um µulmôrnio do :,cgm1du gnrn 1'111 r,. Em <·011sl 1q11êucin. ",, t ambé>m é uw poli11ô111io do :-.1•g1mclo 
grau eu1 n. 
LXl·.~ 11 'I o l 5 
Ol>t ('l' urna <'Xpr<"-'-illl para n -.uwa 'i,, 
n 
L k(k+2). 
f -
Solução: Pc•lo teorema aC'ima. a sc•q11ê11<.:ia dPlinida por 0 11 = 11(11 + 2) {, uma progrc:,~ão 
arilwét H'cl de ordem :2. já que ~cu tr.n110 geral é um polinômio de grau :2 Lo~o. H <,orna 8 11 ele> 
!)P.ll~ 11 pri111ciros t<>rmus dP.tine uma progre::,:,ão arit mét 1c·a de ordc'lll 2 1 3. Portantn. n:;m1clo 
agora a rnlta no t Porcurn acUIU'I. o t<'rlllo g,Nal dl' S,, é cindo por um poli.11ôrnio ele grau ;3 <'lll 11. 
1-.tu é-. poc!C'mo:; <'~e-rever S,. = ,111 i, lm2 + cn, d. A.trilminclo n n os valore· 1. 2. :3 <' -1. nhrcmrn· 
é\!, l'(!llrl<;ÔP~ 
a+b-c-t d=:3 
(l -t- lÚ .l. 2< + rf = 11 
270 ..._ <Jú -t :k..;.. d= 26 
G.Ja + 1Gl, ..... :.!e 7 ri =- :;o. 
44 
1 
St )\I.\S 1 )( )1.1:\( )\li.\ IS 
l 3 7 
H<':,;olvendo. Pnc011lrn111os o=-. b = ?' r =-.d= O. Então. ;3 _ ü 
. l 3 ;3 2 7 2,,3 + On 2 
-1- 711 
Su = -11 + -11 + -
6
11 = 
;3 2 ) ü 
:3. 5 Somas Polinomiais 
11(11 + 1)(2n + 7) 
G 
(' \ I '1 1 1 J.() : l 
Pmn a clc>moust rr1çíto elo <:aso 11,<-'ral do t c•orc•111;1 <t11C' rC'larioua polinôn.l.Ío::,; e progn-'ssÕl•s arit­
wt'>licas dP ordl'IU supcrim. preu:,amos e:-. l uch, r somrn, rl o tipo I:~=J J.:P = 1 P + 2P + · · · _1- 11''. e. de 
modo mais gc'nll. elo l ipo L~=I P(J.. ). rnulP P(k) é nm polinomio <'lll k . 
• '\('')!" l(i 
A s01uc1 dm, q11adrndos elos 11 primeiros númc•rn:;- wteiros (' positiYos 6 
TI 
') ) ., ' ) 1 - + 2- + · · · + n- = ~ J,--
1.= l 
" 1,rnl<' Hl'r c:akulacla do modo H ':-it>guir: 
O~ rlms pri111ciros ::-uwatórios tõm n\riéls parc'<'ln.._ comu11:,. poi::, 
(' 
n 
L ( k + l f i = 2:J -r 33 + · · · -t 1? + ( n -'-- 1 f 
k-1 
li 
L /./• = fl + il + 3,1 _J__ • •• + 'IIJ. 
1,-1 
Simpli firando m, parcela::. comum, ao::,; clob 11ll"lllhros, obtC'mos 
,, Jt u 
(11 t- 1)3 = i:j + 3 L k2 + ;3 L k + L L 
k=J k=l ~-1 
Como 
li ( L ,.. = 1 + 2 ,.. . .. - 11 = 
11 {l/ 1) 
k=l -
r& 
I: 1 = 1 + 1 + ... + 1 = n. 
k= l 
45 
C'.\ l'Í"IT L<> ;3 
temos 
n ( ) • 11 n+l 
(11+1)3 =13 +3 L k2 +3 ? +·11. 
k=l -
Dai, 
"'Ç'"' ,.2 = 2n3 + 3n2 + n = n(n + 1)(2n + 1) 
L " 6 6 . 
k=l 
n 
Ohscrw q1w 12 , 22 + · · · + 11
2 = L 1.:2 é tllll polü1ômio do tercf'iro grau cm n. 
De modo geral: 
TEORfilv1A 3. 7. 
TI 
IP + 2P + 3P + · · · + nP = L kP é um polli1ômio de grau p + 1 em n . 
k=l 
D EMONSTRAÇf\O. 
Vamos proceder por induçi1.o sobre' p. P ara p = 1. o teorema já foi provado anteriormcntr. ,, 
Supouhamo.s agora que L J,·11 seja um polinômio de gTan p + 1 em 11, para 10<10 p E 
A·=J 
{ 1. 2 ..... s}, l\Josrran'mos que ~ssa afir1J11:1<;âo é verdadeira para p = s + 1. ist.o é, rnosLn-1.re-
n 
mos (lllC' L }.-' .... 1 é um polinômio de grau :, + 2 cm 1z. Obscrv<' qne 
k= l 
(k + 1r ~2 = k,;+'.l + (s + 2)ki,- ] + · · · . 
onde os tc'rrnos que não foram escritos explicitamente formam um polinômio ele grau s em k. 
Temos então, 
n n 
L (k + l)•>T2 = L h;-~+2 + (s + 2) L ks+1 + F(n). 
k= I k=l k= l 
onde F(n) é um polinômio ele grau b+ 1 em n, pela hipótese da indução. Simplificaudo os termos 
emmms ,ws dois prinrn,iros somatórios. obtemos 
Daí. 
n 
(n + 1r+2 = 1 + (.s + :2) L v+i +F(n). 
Ã=I 
t k"+I = (n + l )s+2 - 1 - F(n) 
s+2 
k=l 
que r um polinômio de gTau s + 2 em n. 
46 
Soi\l.\S PoLINOl\lL\IS C'Al'i l t "LO :1 
COROLÁRIO 3.8. 
li 
Se F 6 um polinôwio de grau p eutã.o L F( k) é um polinômio df' grau p + 1 em n. 
k=l 
Finalmente. demonstramos que (an) é Uilla progressão aritmética de ordem p. (p ~ 1) . se, e 
somente se a,1 é um polinômio de grau p em ri. 
DEMONSTRAÇÃO. 
Vamos proceder por indução sobre p. 
Para p = 1) o teorema decorre da arpressào do lermo geral de 1tnrn progressão arilméLic:a uão 
estacionária. 
Suponhamos que o teorema seja verdadeiro parn. todo p E {l. 2 ..... s}. Mostraremm, que essa 
afirmação é verdadeira para p = t; , 1. 
Se (an) é uma progressão aril.rnética de ordem s + 1. b,1 = 6.a11 = a11+1 - a,1 é uma progressão 
aritmética de ordem s e. pela hlpótese da indução, bn é um polinômio de grau s em n. Então 
11 
L b,.. = a11+1 - ci 1 é, pelo corolário do teorema anterior. um polinôutio de grau s + 1 em n. Se 
J.·=l 
n n é um polinômio de grau s + 1 em ·n . .6.~ é um polinômio de gTau s em 11. couforme yocê 
facilmente verificará. Pela hipótese da indução, (~ 011 ) é uma progressão arlllliél ic.:a de ordem s. 
ou seja, (an) é uma progTessão arit..lllética de ordem .s + l. 
47 
C.\l'Í'ITLO :~ 
Exercícios 
3.1. Foruwm-s<' n tria.ngulos com palitos. conformf:' a figura. Qual é o nfünero de palitos usados 
p1.ua ronstntir II triângulos'! 
n=l n=2 n=3 
3.2. Os ângulos internos de mn pemágouo c011Yexo t'Stào cm progr0ssiio arhmNira. Determine 
o ângulo mc~cliano. 
3.3. Se 3-.r. -.r. /9 .r, ... é uma progressão arilmétic:a. cleLcnninc .r e c-alcule o quinto termo. 
3.4. Calcule a s0111a dos Lennm, <la progressão aritméUca 2. 5. 8. 11. ... desde o 25º até o .. ,nu 
termo. iudusi ve. 
3.5. Calcule a soma <le todos os inteiros quC' divididos por 11 dão resto 7 e estão compreendidos 
cntTr 200 e -100. 
3.6. Quantos são os inLeiros. cornpreencli<los entre 100 e 500. que não :;;ão divisíveis nem por 2. 
nem por 3 e nem por 5? Quanto vale a soma desses inteiros? 
3.7. Quanto Yale o produto (a)(aq)(aq2 )(a.q3 ) .•• (oq"- 1 )'? 
3.8. Determine o maior valor que pode ler R r~ão de nma progres:são aritmética que admita os 
números 32, 227 e 0--12 como termos da progressão. 
3.9. De qul:llltos modos o número 100 pode ser rcprcscnrado como nma soma de dois ou rnais 
inleiro::, COI.lliecuUrns? E como soma <le dois ou mais naturais cons<'r11tivo:,? 
3.10. Um quadrado mágico de ordem 11 é urna matriz n x 11. cujos elemeulo::; são os inleiros 1. 2 . 
... . 1/. sclll rcpPtil' ucnhum. tal que todas as linhas e todas as colunas Leullam a lllCSllla 
soma. O valor ckssa soma é chamado ele consLa:ut e mágica. Por exemplo. o::. quadrados 
17 2-! 1 8 15 
e 5 
D (8 
1 
ª) 
23 .5 ' 1-± 16 
3 :3 5 7 e .J. 6 13 20 22 
7 .J 9 2 10 12 ]9 21 3 
11 l 25 2 9 
m h. 48 
C' .\l'ÍTI rui J 
:,ão mágicob, com co1i:,tanteb ruágit-as resped iv~mcnte igtwis a 15. 15 e 65 .. \Jiás. os <lois 
úhimos são hlpenuágicos. pois as linhas. colunas e també>m as diagonais têm a llle1:>llla 
bOllla. Calcule a consl ante mágica de um quadrado mágico de ordem n. 
3.11. Os inteiros de 1 a 1000 são csrril os ordenadamente em torno de um círculo. Pa1iindo de 
1, riscamos os números dc> 13 cm 1.'i isto é. riscamos 1. 16. 31.. .. O processo l'Onliuua alé 
::;e atingir um número já prevü1mc>oh:• risraclo. Quantos números sohram :,em 1iscus? 
3.12. Podem os números ./2. J3. J5 pertencer a mna mesma progres~ão aritmética'! 
3.13. Suprimindo um dos elementos do conjtmt0{ 1. 2 .. . .. n}. a média aritméti('a dos elementos 
rest.aules é 16.1. Oet,crll1ll1e o 'Wllor de n e qmll foi o eleruento suprimido. 
3.14. Um bC'm. cujo valor hoje é ele R$ 000,00. cle'5\'alori.za-se ele tal forma que seu valor daqui 
a 4 anos serA. de R$2 000.00. Snpondo constilllle a desvalorização anual. quaJ será o valo1 
do bem daqui a 3 anos? 
3.15. U rn bem. cujo valor hoje é de R$ 000,00. desvaloriza-se <le tal forma qu<' sen -ralor daqui 
a -l anos será rle R$2 000.00. Supondo que o valor do bem cai segundo uma linha reta. 
dC'termine o valor do bem daqui a 3 anos. 
3. 16. Calculea sorua de todas as frações irredutí,;eis, da forma p?. qne perteuçru.n ao interYalo 
7_ 
J-!.7]. 
3.17. Qnal a maior poté>nria de 7 que dfride 1000!'? 
3.18. Em q1tanto~ beros termina o número resultante do cálculo de 10001? 
3.19. c~1lcule o valor das somas dos n primeiros termos das sequências: 
a) 13. 23. 33 .... 
b)l .4. 3.7. 5.10. 7.13 .... 
3.20. Representando por LrJ a parte inteira do real .r, istu é. o maior número inteiro que é menor 
que ou igual a .r C' por {.r} o inteiro mais próximo elo real .l'. deLennine: 
a) L vTJ + l v2 J + L V3 J ~ · .. + L V n 2 
- 1 J 
b) L-Y2J+ Lif2J + l.WJ + · .. + L.Jn3 -1J 
1 1 l 1 
e) { Vl} + { Ji} + { v'ã} + ... + { v'fõõO} 
cl){ Vl} + { v'2} + { v'ã} + · · · + { JlOOO}. 
49 
(',\l'ÍTI ·r.o :3 1 -
PH< >G R ESS< >ES 
1 
3.21. Prove que a soma de todos os inteiros positivos de n dígitos, n > 2. é igual ao númer, 
49499 ... 95500 ... 0, no qual há n - 3 dígitos sublinhados que são iguais a 9 e n - 2 dígito 
sublinhados que são iguais a O. 
3.22. Detenuiue o pri.J.neiro termo e a razão da progressão ari1 mélica na qual a soma dos 1 
primeiros lermos é, para todo n: 
a) Sn = 2 n 2 
;- n b) 8 11 = n 2 + n + l 
3.23. (Profmat - l\1Al2 2012) Seja (a,1 ) uma progressão arümética e seja (bn) a sequência definidt 
por b,. = a11 + Un+l, para todo n ~ 1. 
a) Mostre que (b,i) também é uma progressão aritmética. 
b) Supouha que a soma dos n primeiros termos da sequência (ari) seja igual a 2n2 + 5n 
para Lodo natural n. Obtenha uma e}._rprei;são para a soma dos n primeiros termos d( 
(bn)· 
3.24. Determine no quadro ababco: 
l 
3 5 
7 9 11 
13 15 17 19 
21 23 25 27 29 
a) o primeiro elemento da 31 ª linha. 
b) a soma dos eleruentos da 31ª linha. 
3.25. (Profmal - Exame de Qualificação 2012) Considere a sequência definida como abaixo 
ª1 = 1 
n2 = 1 + 2 
a3 = 2 + 3+4 
CL.1 = 4 + 5 + 6 + 7 
a) O termo a10 é a soma de 10 inteiros consecutivos. Qnal é o menor e qHal é o maior 
desses inteiros? C'alcnlc a1o-
b) Forneça uma eÃ-pressão geral para o termo n,.. 
50 
( '.\l'Í 11 (,() :{ 
3.26. (Profma-i: - J\1Al2 2012) A figma abaixo mostra uma linha poligonal que parte da origeu 
r pm;sa uma ycz por cada ponto do plauo cujas coordenadas são números inleiros e nãc 
uegath-os. 
6 
5 
..J-
3 
2 
1 
J 
o 1 2 3 4 5 
a) O conjunto dos pflrc>$ de números inteiros e uão negati,·os reru a mesma cardinalidade 
que os números naturais? Por quê? 
b) :\Iostrc que o comprimento <la l.iuL.a poligonal da origem atê o ponto (n, n) é n.2 + n. 
para qualqner int-eiro não negativo 11. 
e) Qual é o comprimento da linha poligonal da orig<'m até o ponto (10. 13)'? 
3.27. Considere wn jogo entre duas pesboas com as seguintes rcgrns: 
i) ::\'a primeira jogada. o prirueirn jogador escolhe um número no conju11Lo A= {l. 2. 3, 4. 5. 6. 
e diz esse número. 
ii) As pessoas jogam alternadamente. 
iii) Cada pf'ssoa ao jogar. escolhe um elemento de A. soma-o ao número dito pela pessoa 
nnterior e diz a soma. 
h·) GtmJrn quem disser 63. 
Qual dos jogadores lem uma estratégia vencedora e qual é essa esLratégiat 
3.28. Refa,a o exercício anlerior para o <'~so do ,·encedor ser quem clisser 6-L 
3.29. Rcfa,a o exe..rcício 3.27 para o conjun~o {3.4. 5, 6}. 
3.30. 1-Iost rc que. no exercício 3.27. se o c:onjunto fosse A= {3. 3, G, 7}. o seguuuo jogador tem a 
estratégia que impede o primeiro jogador de ganhar. 
51 
C.\PÍ1TLO :~ PJ!<>GBESSÔES 
t31. Na primeirn fa.sc do campeonato brasileiro de futebol, que é disputado por 20 clubes. 
quaisquer dois times jog1:tm entre si uma única vez;. Quantos jogos há? 
J.32. Uma hobina ele papel tem raio interno 5cm. raio exLeruo lOc·w e a espessura do papel é:> 
O.Olcm. Qual é o comprimento da bobina descmola<la? 
J.33. Dividem-sem, números ualw·ais cm bloros do modo seguinLe: (1). (2. 3). ( 1. 5. 6). (7. 8. 9.10). 
(11. 12. 13.1--1) . . . Em seguida. suprimem-se os blocos que comêm Ulll número paT de cle­
rnenlos. formando-se o quadro: 
1 
4 5 6 
11 12 13 14 15 
Determine: 
a) o primeiro elemento da linha k. 
b) o elemento ceuLral da linha k. 
c) a sorna elos elementos da linha k. 
d) a soma <lo:, elementos das k primeiras linhas. 
3.34. Qual o número rnáx:imo ele regiões em que ·11 retas podem dividir o plano? 
3.35. Proi;-e: se Ori é wn polinômio ele grau p, então. ~0 11 é um poliuõuüo de grau p- 1. 
3.36. Quantos são os termos comuns progressões ~.ri t méticas 
(2.5.8.ll ..... 332) e (7.12.17.22 ..... 157)? 
3.37. Há dois tipos de anos bissex"tos: os qne são múltiplos de 4 mas não de 100 e os que são 
múltiplos de -100. 
a) Quantos são os anos bisse.xtos entre 1997 e 2-lOl? 
b) Se 1° dC' janeiro de 1997 foi quarta-feira. que cUa será 1° de janeiro de 2500? 
e) Escolliido um ano ao acaso, qual a prohabilidade dele ser bisseÀi.o'? 
3.38. Beujawin começou a colecionar calendários cm 1979. Hoje, sua coleção já tem algumas 
duplicalas - por exemplo. o calendário de 1985 é iguaJ ao de 1991 - mas ainda não está 
completa. 
a) Em que ano Benjamim completará sua coleção? 
b) Quando a coleção est.iver complcrn, quantos calendários difercutes nela Laverá? 
3 39 ,\ - l . . d d - . . 211 + 3 
• • 1· \_ ra.lao entre as somas e os n prune1ros termos e ua..c; progressoes anhlléticas é - --
-ln - l 
para todo valor de n. Quanto vale a razão entre seus Lermos de ordem "'? 
52 
I E:\EIWÍ< 'IOS ( '.\l'ÍTI ' L< > :l 
3.40. O 11Úlllero tiiangular Tn é definido como a soma dos 11 primeiros lermos da progressão 
aritmética 1. 2. 3. 4,. . . . O número quaclraugular Qn é de.liuido como a soma elos 1, pri­
uwiros termos da progressão aiitmética 1. 3, 4, 7, .... Analugamenle. são definidos uúrueros 
pentagonais. hexagonais. etc. A figw·a abaLxo justifica essa <lenoru.iuação. 
DeLenni:ne o número j-goual de ordem n. 
-
'~ 
3.41. ~Iostre que !:la,. = !ibk. então, ak· - bà é constante. 
3.42. S<' a=/= 1. determine ó.a,.. 
3.43. Se a =I= 1. determine ê:.-1a1, .. 
3.44. l;sc o teorema fundamental da. somação para calcular: 
n n n l 
a) '°' 3k: b) "°' k.k!: e) '°'--f=; 8 2i k(k+l)' 
53 
3. 6 Progressões Geométricas 
Um problema interessante. qne costuma deixar os aluuos intrigados e os profeBsores clei,coufia­
dos . é o problema a seguir. adapt11clo de um problema elo exame nacional da r.lAA (>.latlierna.Lical 
Associatiou o[ America). 
t>,E:-.IPLO 17. 
Cma pessoa) começando com R$ 64.00, fa% ::;eis aposta.-, consecut ivM;. cm cada uma <lru:, quai~ 
arrisca perder ou ga11 bar a metade do que possui ua ocasião. Se> ela ganlrn rr<'s <' p0rde trt's dessa~ 
apostas. pode-se afirmar que ela: 
A) Ganha dinheiro. 
B) Não ganha diuheiro uern perde dinl1C'iro. 
C) P erde R$ 27.00. 
D) Perde R$ 37 .00. 
E) Ganha ou perde <linheiro. dependendo da ordem em que o<:orreram suas vitória.e:. e derrotas. 
Comentário. Em geral os aluuos esc;olhem uma ordem para ver o que aconLeceu; aliás, C'ssa É 
até wua boa estratégia. Por exemplo, se ela vrnce a.e;; três priruC'irns apostas e perd<' l'IS últimru 
três, o seu capital evoluiu de acordo com o esquema: 64 ---t 96 ---t 1-W --t 21G ---t 10 --t 34 --t 27. 
Se ela começou com R$ 64.00 e Lerntiuou com R$ 27.00. ela perdeu R$ 37,00 . .Já houve un 
progresso. Sabemos agora qu<' a resposta só poderá ser (D ) ou (E). 
Em seguida os alunos C'ostumam C,"'Cpcrimentar Wlià outra ordem; por exemplo. gaulumdo I 
perdendo allernadameute. Obtêm-se: 6J ---t 96 --t 4 --t 72 --t 36 ---t -5-l: ---t 27. Kcssa ordem , 
pC'ssoa também perdeu R$ 37,00. 
Em seguida. ª'Perilncnt.arn ouh·a ordem. torceuclo para qtH" a pessoa não termine com R~ 
27.00. o que permitiria conchúr que a resposta é (E). lnfoliznwntc encontram que a pe~SOê 
novamente termina com R$ 27.00 e permanecem na dúvida. Alguns se dispõem a teurar Loda: 
as ordens possíveis. mas Jogo desiRtcm ao percC'bcr que há 20 orden~ possíveis. 
Solução. A melhor maneira de abordar problemas nos quais há uma grandeza variável. da qua 
é conhecida a ta,"<a (porccutagem) ele variação. é concentrar a aLeuc.;ão.não na t a.xa de' variaçã, 
da grandeza. e silll no valor da grandeza d<'pois da variação. 
l 
Neste problema, devemos pensar assim: Cada vez <1ue gauha. o capita.! anm<"nta - (on s<'jél 
2 
w 1 3 1 
501c) e passa a valer 1 +? = -
2 
do que rnlia : cada vez que perde. o capital <limiuui de - (ou seje 
- 2 
50%) e passa a valer 1 -1 = 1 do que valia. 
54 
( 
0
.\l'J l l l.l) :~ 
Pc,usan<lo assim, fica claro que s<' a pC'ssoa vence as três primeiras apostas e perde as três 
ultima~, a ernluc;ào de seu capital se dá de' acordo com o esquerua: 
3 3 3 3 3 3 3 
64 ~ 64 · - ~ 64 · - · - ~ 64 · - · - · - ~ 64 · -
2 2 2 2 2 2 2 
3 3 
-
2 
-
2 
~ 64 . ~ . ~ ~ 1 ! ~ 6.J . ~ ~ ~ 1 1 1 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 
1 
- ~ 
2 
3 3 3 1 1 1 
!'..ln t0rmi11a com 64 · 2 · 2 · 2 2 2 · 2 = 27 Reais. Além disso, fica claro também que se as 
vi t ôrias e derrotas tivessem ocorrido cm outra ordem, isso apenas mudaria a ordem dos fatores. 
sl 111 é1 li erar o pro<l ulo. e a pessoa também terminaria com R$ 27,00. 
Sr C'la começou com R$ 6-1,00 e terminou com R$ 27,00 ela perdeu R$ 37.00. A resposta é 
( l)). 
!"'(E.\ll'LO 18. 
,\nmcntaudo de 20% o raio da base de um cilindro e dimi11nindo de 30% sua altura. de quauto 
u1riMá sen volume? 
O volume é diretftmC'nte proporcional ao quadrado do raio e à altura. Porbrnto, V = kr2h. 
uudt> k é a constante de proporc-ioualidade. Sabemos que k = 1r. mas isso é irrelevante para o 
prol ,lema. 
Dcpoib da variação. m, uovm, valores der e de h serão r' = 1. 2r e h' = O. 7h. pois o aumento 
dt• :20o/i passa a valer 120% = 11 2 do que valia e o que diminui de 30% passa a valer 70% = O. 7 
Ju que valia. 
O novo Yolume será 
1'' = k(l,2r)20. 7h = l.008kr2 h = lOO. o/cV. 
O volume flumenta de O, %. 
O que deve ter ficado claro nesses exemplos é que se uma grandeza tem ta,-xa de crescimento 
i1:,'lml a i , cada valor da grandeza é igual 1:1 ( l + i) vezes o valor anterior. Progressões geométricas 
:;ãu :sequências na& quais a Laxa de crescimento Ide cada termo para o seguinte é seU1pre a mesma. 
EXF:\tPLO 19. 
A população de um país é hoje igual a P0 e rresce 2% ao ano. Qual será a população desse 
país daqui a n anos? 
55 
(' .\l ' ÍTI I(.(> :~ 
Se a população cre::;C'e 2% ao a.uo. em cada tlllo a popnlaçiio r. de 102<.Yc da popula~ão <lo auo 
,llliC'fior. Portnntn. a rnda ano qu0 pas:sa. a população sofr<' 1mw 1mlltiplkação ele 102% = 1.02. 
DC'poi!:. d<-> 11 1-H1os. a população :;erê\ Pr.1 x l. 0211
• 
L'\J' ll'LU :.w. 
:-\. lord<la de t:erlo dulH' é ho.i<' igual n .R, n d0crr·scP :;Yt ao aiw. Qual serú a torcida desse' 
duhr daqui a n anos? 
8<> a rorrida clccr<>sr·0 !jo/r ao .-um. P111 cada ano a torrida é> dt' 951./c, ria torc·ida ant<>rior. PorLauto, 
a cada ano q11f' pasim. él lordd1-1 ::;ufre urna multiplicação por 9.S% = O. 9,3. Depois ele> n <1,nu::,. 1:1, 
torri<fa srrá Pi_1 x O. 95 11
• 
LXL :\IPI L) ~l. 
A srquêucia (1. 2. J. . 16, 32 .... ) {:> mn <'X<'mpln eh" urna progr<->s:-,ão geomélrka. Aqui a taxa 
ele nescilu<>uto de ca<la lermo para o seguinte' r. rl<' 100%. o que> faz coru que eada t0nno sc>jt1 
igual a 200'/t do lermo antrrior. 
EXDIPLO 2'.2 
A seq110nria (1000. 00. G-tO. fJ12 .... ) é um f'~xen1plo de LUua progTessào geomrlrir·a. Aqui. cada 
termo é 80% do termo ant<'rior. A t-nxr1 de c:rcsc:imPnto dP eada termo para o s<'guintr é rle -20%. 
É claro então que numa progn•ssão geo1uéLrica cada !.ermo {.> ignl'll ,10 anterior mullipliea<lu 
por 1 + i. ornir z r a laxa de er< .. 'bcit11en lo do::, lermo~. Chamamos 1 + , ele razão chi progressão e 
represeutamo:-. FI rn.zão por q. 
Port ,mto. uma progrr;ssão gcomftnca é- 11nrn scq11rnC'ic1 ua qual é coustm1t<' o quociente da 
cU\'isão de c:a<la termo pelo t,errno i:rnterior. E::i::;e qnocienle é t hamaclo de razão da prngrPssiio e 
é rcprf'seutado pula lPtrn q. A razão q ri<' nma progressão geométrica é simplesmente o valor de 
1 + i. ou<le I é a la..xa eh~ crescimento coustauLe de c:ada lermo para o ocguintc. 
f"''\f'\lf'T O :n 
Ai:, sequênc-iclb (2. 6.18. 5-L ... ) <' (12 . 32, , 2 .... ) sao progressões geométricas rujas razões 
valrm, respPetivameutc. q1 = 3 e q2 = 1 · Snas taxa:; de cre::;cimeuto são rc~spectivamcnt c i 1 = 
2 = 200'/o e i2 = -1 = -75%, pois q = 1 + 1. 
56 
[ T ER:\10 GEH.\L DE 1·:\1 P Ro<;HESS.\O GEO:\IÉTHIC.\ C'.\I 'Í fl TO :~ 
3. 7 Termo Geral de um Progressão Geométrica 
Em Ullla progressão geométrica (n 1• o2 • n3 •.. . ). para avarn;ar um termo basta multiplicar pela 
raz~o: para avançar dois termos. hasta multiplicar duas vezes pela razão. e assim por diante. 
Por exemplo, c1 1:i = a 5q1'', pois avançamos termos ao passar de a 5 para a t3; a 12 = r1ciq5
, 
- 017 . 
pois avauçarnos o termus ao pr1ssnr cl<' o7 para a 12 : ci 1 = 13. pois ao pass::tr dr n1, para a1. 
CJ 
rl'lrocedcmos 13 lNmos: rl<' modo geral. Un = n1r]'' 1
• pois. ao pa:a;sar d<' a 1 paraª"· avançamo~ 
11 - l lermos. 
E111 wuitos c·asos é mais ua.Lural nlilllerar os termos a p::trtir dC' zero. tomo fui leito no~ 
Cxcmplus 3 e cl: nesse caso. a1, = ooqn, poi!:> avançamos 11 termos ao passar de flo para «n· 
1:: '\ 1~1\1 f'LO 21. 
Em urna progrci-são geométrica. o quinto lermo vale- 5 e o oitavo termo vale 135. Quaulo vale 
11 ::.él uno termo dessa progressão? 
Temos ns = a5q3 . pois ao passar do quinto termo parn o oitavo, avançamos 3 lermos. Logo, 
1:35 = 5q3 e q = 3. Analogameute. a7 = u5cJ2 = 5. 32 = -15. O sétimo tc>m10 vale -15. 
Corno em uma progressão geométrica a 11 = o0q". a funç1fo que associa a e-ada natural n u valor 
cll' <ln é simplesmente n rc>strição aos naturais da função exponencial a(.r) = a(O)qT. Porlauto, 
pcn.::,auclo cm uma progressão geométrica como urna função que associa a cada númcrn ualural n 
o valor Cln., o gráfico dC'RSíl função é formado por u11u1, scquf'>ucin d<' pontos perlencenle!:> ao gráfico 
de wua [unção exponencial. 
1 2 3 
Figura 3.2: Gráfico dC' uma prugTe ·são gcomé>trica. 
1 ·,c,1Pr o '.lf> 
Qual é a razão da progressão geométrica que se obtém iuscrindo 3 termos entre os números 
30 e i O'? 
57 
( ' .\l'Í ' l l I.!) :{ 
Temo~ a1 = 30 e "5 = 180. C'olllo fl7, = a 1q 1. -180 = 30r[', q1 = 16 e q = +3. 
Um resultado important<' é a fórmula que relaciona tHxHs de crescimento referidas a períodos 
de tempo diversos. É o qrn"' abnrclan"moia; na próxima 5<'Çào. 
3 .8 A Fórmula das Taxas Equivalentes 
LE~IA 3.9. 
Se 1 é a La'<a de crescimPnto de uma grandeza relafrnuncntc no período de tempo Te I é a 
taxa de crescimento relat iv::\menle at> período t. e se T = nt. então 1 + I = (l - i) 11 • 
D Eh10NSTRAÇ.ÂO. 
Seja Cu o valor iuicial da grandeza. Após um período <le tempo T. o valor da grandeza !->erá 
G11 ( 1 + 1) 1. Corno um período de tempo T <>qnivale a n períodos de tempo igm1is a l, o ,·alar Ja. 
grandeza será lawbéw igual a G0 (1 -r- 1t. Logo. GuO + 1) 1 = G0(1 + i) 1
' e 1 + 1 = ( l + i)11. 
EXF\IPI u 2G 
Se a população de uu1 paíia; <'resr0 2% ao ano. q uau to c-resccrá cm 2=l ano~'? 
Temos i = 2o/c = 0.02 e n = 25. Daí. 1 + 1 = {l + 1) 11 = (1 + 0.02)25 ~ 1.6-106 f' 
I ~ o. 6-106 = 6-l. 06o/c. 
F '\D,l l'Lü 21. 
Uma bom hfl de ,·ácuo retira. em cada sucção. 2o/c do gás existcnk cm certo re<'Í pi ente. Depois 
de 50 sucçõcs, quanto restará do gás inicialmente ex.ist eute'? 
T0mos i = - 291 = -0,02 e n = 50. Dru. l + I = (1 + i)n = (1 - 0,02)50 ~ 0.3642 
<' l ':::= -0. 63,j = -63. 58%. A quantidade de gás diminuirá d0 aproximadamenle 63. 5 o/c. 
R cst Mi1o aproximadamente 36. 42o/c do gás i.uicialruCllte existente. 
Outro resultado imporLaule é a fórmula q110 fornece a soma <lm, ri primeiros lermo~ de 11ma 
progressão geomN,rica. Isto é fornecido na seção scg1únLc. 
58 
1.\ SOi\l.\ J)OS TEIC\ IOS l>E l "i\l.\ J>uoc:tn:ss.\() c: Eo:-.11:: l"HIC '. \ ('\l'ÍIIL<> :~ 
3.9 A Soma dos Termos de uma Progressão Geométrica 
LEMA 3.10. 
_ \ sorua nos n primeiros termos de uma progressão geométrica ( ª") de razão q =/:- 1. é S 11 = 
1- q" 
a1 · 
1 - '1 
ÜEMO~STRAÇÃO.S,, = a, + a2 + a3 + · · · + a,._ 1 + ª"· Multiplicando por q. obtemos 
qS,. = a2 + a3 + a..i + · · · + 011 + ª11-1· 
1 -q" 
Snulraindo. temos S,.-qS,, = a 1-a11t1· isto é, Sn(l-q) = a1 -n1q" e. finalmrnte. Su = 01 ---
1 - q 
l: "XDIPLO :22'. 
Diz a lenda que o inventor do xadrez pediu corno recompensa 1 grão ele trigo pc>la primeirn 
c,t:,a. :2 grãos pela segm1da. -1 pela terceira e assim por diante, sempre dohrnndo a quantidade 
a l'ada casa nova. Como o tabuleiro de xadrez tem 64 casas. o número ele grãos p~di<los pelo 
1un.•ntor do jogo é a soma doi:, 6-! primeiros Lermos ela progressão geométrica 1. 2. -1 ..... O valor 
dcl:isa sorna é 
1 - q" 1 - 26 1 
6.J 
Sn = a 1 = 1 
2 
= 2 - l. 
1-q 1-
Calculando. ohtemos um estupendo n(unero de dígitos: 
1 446 74-1073 709 55161.S. 
~a.s progTe sões geométricas ern que i<JI < 1. a, soma dos n primeiros termos tem um limite 
fini to quamlu 11 ~ oo. Co1110 ncs~c caso lim qn = O, t.C'mos 
bto é. 
1t-x. 
1-0 
lüu Sn = ai--· 
n-.oc 1 - q 
li S ª1 m ---n- . 
,1~ oc 1- q 
59 
C' .\l'ÍTl ' LO :~ 
E XFtdPLO :N . 
O limite' da sowa O, :3 - O. 03 + O. 003 .- ... quando u número <le parcelas len<le a inilnito é 
al o. 3 l O 1 <l ' . . . . d . . i d igu a = - . resu ta o e 111tu1tl\'O pois ~oman o um numero 111111to grane<' e termos 
l - 0.1 3 
L 
da progressão enconrraremos aproxirna.dawcuce a dízima periódica O. ;33333 · · · = 3. 
r '\E ' 1 PI < 1 :rn 
Caknlr o limit.e da soma <la progressão geomHrirA 
l 
1. s q1 ? Temo~ que 1111 11 = -- = ---1 = l. 
n- Xl ] - q 1 - ? 
O n'snlta<lo admite 11111a inlere~t.aÜLe paráfrase. Snpouha <1ne Salvador cle\'a C'orrcr 1 km. 
IniciHlnwntP clf' t'OITf' meta<le dessa distancia . isto P, ~ h.·111: cm seguida ck• corre metade da 
dislâ11cic1 qne falta, isto é. i km: depois, 111et,~cle ela clist,âJ1da restaul<'. isto(, . i kru . e as:-,w1 por 
diante. 
Depois <le n etapa:,. Sal vaclor Lerá corrido 
1 1 1 1 -+- + -+· .. -t-km. 2 1 ) 2" 
S<.' n for grande. c~sa sorna será aproximadamente igu .. 1 l a 1 km. 
li 
O teorema da soruação. I:= D.ak = 0 11+ 1 - a 1, també111 nos pcrmitiriFI determinar o valor cfa 
k=l 
soma dos n primeiros termos dt' mnn progT<'Sfiào g<'Olllrtrka. Supondo q # 1 r ohsc>rvando qur 
~ c/- L = <l - qk- I = qk-1 (q - l). temos 
n n n 
~ ~ ~-- 1 º• ~ A k- 1 L. . ./1 k = L .... /' 1 fJ = ;-=-,- L., -.:.q 
k-=I k= l '} k=l 
n.1 _ 1 - q" 
--(qllT[ j - </1) = 0J . 
q-1 ]-q 
Para Saber Mais. A FóRMULA DE SOMAÇÃO POR PAIITES 
Enrrrrall.los esle capíhtlo com a cba111a<la fórmula de somação por partes. Temos 
60 
1 _.\ Sol\L\ nos T E1n1os l>E l ' l\l.\ P1mc;1n :ssAn G EO:\IÉTH IC.\ 
DHí resulta 
Somauclo. obremos a fónuula de sonrnção por ptutcs: 
" n 
L ªh1~bk = C.ln-1b,,+1 - a1b1 - L ªk~(t.1,. 
Á=l k=l 
11 
Exemplo: Calcule L k3k. 
k=l 
Ternos ~3J.· = 3k+l - 31.· = 3k(3 -1) = 2 x 3k_ Logo. 3k = ~ ~ 3k e 
2 
t k3A· = t t h ~3~·. 
k=l A-=1 
_.\ plicando a fórmula de somação por partes 
li l'I. 
L ªJ.-+1 ~ b,.. = ªn-lbn-1 - n1b1 - L b,..~a1,. 
k=l k=l 
com nk+J = k (logo, Uk = k- l !'.' 6.a1, = ª1.-1 -01, = 1) e bk = 3". temos 
~Ias 
n 1- 3n 3H-l 3 
z::= 3k = 3-1---3 - -2- - 2 
k-l 
Daí resulla 
n 3n- l 3 '), - 1 3 
L ,.3k - n 311+1 . - _n 3n.+1 " - - - - + - - + -. 
2 -! 4 4 --1 
k=l 
61 
C .\l ' ÍITI.<> :{ 
( ' .\l'ÍTl ºI.() :! 
Exercícios 
3.45. Aumentos sucessivos de 10% e 20% equh-alem a um aumento único de quanto? 
3.46. Descontos suces~ivos de 10% e 20% eqtti\·alem a wn desconLo único de quanto? 
3.47. Uw aumento de lOo/c seguido de um desconto de 20o/c equivale a uru desconto único de 
quanto? 
3.48. Anmentando sna velocidade cm 60%. <le quanto você diminui o tempo de viagem? 
3.49. Uru decrescimento mensal de 5% gera um decrescimento aimal de quanto? 
3.50. O período de um pêndulo simples é dfretameute proporcional à raiz quadrada do seu com­
primento. De quanto devemo~ aumentar o comprimento para. aumentar de 20% o período? 
3.51. Mantida constante a tc>mperatura, a pressão de um gás perfeito é inversamente proporcional 
a seu Yolumc. De quanto aumenta a pressão quando reduzimos de 20% o volume? 
3.52. Se a base de um retângulo aumenta de 10% e a altuni diminuj de 10%. de qnanlo aumenta 
a área? 
3.53. Um carro 110,·o custa R$18 000.00 e. com 4 anos de uso, \'ale R$12 000.00. Supondo que o 
valor decresça a uma taxa anual constante. determine o valor do carro colll l ano de uso. 
3.54. Os lados de um triângulo retângulo formam uma progressão geométrica cresceute. Deter­
mine a razão dessa progressão. 
3.55. Os lados de nm tiiânguJo estão em progressão geométrica. Entre que valores pode variar a 
razão? 
3.56. Qual o quarto lermo da progressão geométrica \1'2. ~. ~ .... ? 
3.57. Determine três números cm progressão geométrica, conhecendo sua soma 19 e a soma de 
seus quadrados 133. 
3.58. A soma de três números cm progressão geométrica é 19. Subtraindo-se 1 ao primeiro. eles 
passam a formar um progressão arj tmética. Calcule-os. 
3.59. Quatro números são Lais que os Lrês primeiros formam uma progressão aritmética dera­
z?í.o G. os três últimos uma progressão geométrica e o primeiro número é igual ao quarto. 
Determine-os. 
62 
l:::XEIH 'Í( ·ros C .\l'Í 'IT LO ;{ 
3 60. Kúmero perfeito é aquele que é igual à metade da soma dos seus divisores positivos. Por 
exemplo. 6 é pcrfeilo pois a soma dos seus diYisores é l + 2 + 3 + 6 = 12. Prove que, se 
2'1 
- 1 é um número primo. então, 2r-1 . (2P - 1) é um número perfeito. 
3.61. Calcule o valor da soma de 11 parcelas l + 11 + · · · + 111 ... l. 
3.62. !\fostre que o número 444 ... -1 ... 9. formado por n dígitos iguais a 4. n -1 dígitos iguais 
a 8 e um digito igual a 9. é um quadrado perfeito. Determine sua raiz quadrada. 
3.63. (Profmat - MA12 2012) Para todo número natural n ~ 2, considere o número N formado 
por n - 1 algarismos iguais a 1. 11 algarismos igurus a 2 e um algarismo igual a 5, uesla 
ordem. 
(a) ~lastre que ~V pode ser escrito ua forma 
A · 102
n -r B · 1011 
T e 
D 
onde A. B e C são constantes in<lepemlenLes de n. Indique os valores de A. B e C. 
(b) 11ostre que N é uru quadrado perfeito. 
(e) Quantos algarismos tem ,/Jii? Diga quais são esses algarismos. 
3.64. A espessura de uma folha de estanho é O.lmm. Forma-se uma pilha de folhas colocando-se 
uma folha na primeira vez e, cm cada uma das ver.6es seguinles. tantas quantas já houver 
sido colocadas anleriormente. Depois de 33 dessas operações, a altma da pilha serâ, apro­
ximadamente: 
a) a altura de um poste de luz. 
b) a altura de um prédio de 40 andares. 
e) o comprimento da praia de Copacabana. 
d) a distância Rio-São Paulo. 
e) o coiuprimento do equador terrestre. 
3.65. Um garrafão conlém p litros de vinho. Retira-se um litro de vinho <lo garrafão e acrescenta­
se um litro de água, obtendo-se wIJa mistura homogênea; retira-se. a seguir. nm litro da 
mislura e acrescenla-se um litro de água e assim por diante. Qual a quauti<lacle de vinho 
que restará no garrafão após n dessas operações? 
3.66. Calcule a soma dos divisores de 12.600 que seja: 
a) positivos. 
b) ímpares e positivos. 
63 
C',\l'ÍTt"LO 3 PB<><:HES:--<)ES 
3.67. (Profmal - 11Al2 2011) Seja (a,,) progrei:;são geométrica com lermo inicial a1 positi,·o e 
razão r > 1 e S 11 a soma dos n primeiros termos ela progres~R.o. prove. por indução finita, 
que S,l :::;, r~l a11 , para qualquer n > l. 
3.68. Determine as geratrues dab dízimas periódicas: 
a) 0.141414141 .. . 
b) O, 3-15-!5..t5.J5 .. . 
e) O. 999999999 .. . 
d) 1. 7]1111111. .. 
3.69. Determine os limites das soruru, abaixo: 
2 2 
a) 2 + 3 + 9 + ... 
1 2 1 2 1 2 
b) 7 + 12 + 73 + 1·1 + 75 + 76 + .. . 
1 3 5 7 9 
e) 2 + 4 + - + 16 + 32 + · · · 
• 2 3 d) 1 + 2.1 + 3.c + -il + . . . . -1 < X < l. 
1 1 1 1 
e) 1 - 2 - 4 + 8 - 16 - · · · 
3. 70. Larga-se uma bola de uma altura. <l<" 5cm. Após cada choque com o solo. ela recupera 
apenas 4 '9 da altura anterior. Determine: 
a) a distância torai percorrida pela bola. 
b) o tempogasto pela bola até parar. 
3.71. Na .figura abaixo. temos uma linha poligonal, ele lados ora perpendiculares a AB. ora 
perpendiculares a AC. Sendo a e b. respectivamente. os dois primeiros lados da poligonal. 
pede-se para determinar: 
a) o comprimento da linha poligonal. 
b) o comprimento do n-ésimo lado da poligonal. 
64 
I EXEHC'Íl 'IOS C.\l'íTn.u :~ 
3. 72. ~a figura abaixo. temos uma espiral formada por semicfrculos cujos centros perteucem ao 
eixo das abcissas. Se o raio do primeiro semicírculo é igual a 1 e o raio de cada semicírculo 
é igual à melade do raio do semicírculo anterior. determine: 
a) o comprimento da espiral. 
b) a abcissa do ponLo P, ponto assiuLótico da espiral. 
y 
1 2 X 
3.73. Ka figura abaixo. temos uma sequência de círculos tangentes a duas retas. O raio do 
primeiro circulo é 1 e o raio do segundo é r < l. cada círculo tangencia externamente o 
círculo anterior. Determine a soma dos raios dos n primeiros círculos. 
3. 7 4. Uma faculdade recebe todos os auos 300 alunos uovos no primeiro semestre e 200 alunos 
novos no segundo semehtre. 30% dos aJnnos são reprovados no primeiro perfodo e repetem 
o período no semestre seguinte. Sendo a,1 e bn, respectivamente. o número de alunos do 
primeiro período no primeiro e no segundo semestres do ano n, calcule lim ª" e lim b11 • 
3.75. Seja 511 a soma das áreas dos n primeirns quadrados obtidos a. partis de um quadrado Q1 
de lado 1 pelo seguinte processo: ·'os vértices do quadrado Qn+ 1 são os pont.os médios dos 
laclos de Q,,'". Determine quais das afirmações abaixo são verdadeiras: 
1) É possível escolher Sn de modo que Sn > 1. 9. 
2) É possível escolher 8 11 ele modo qLte Sn > 2. 
3) É possível escolher Sn ele modo que 8n > 2. 1. 
65 
C .\J>Í'ITLO ;~ l > IH l(; li ESS()ES 
4) É possível escolher S11 de modo que S,, = 2. 
5) É possível escolher S 11 de modo que Sn = 1. 75. 
~ 2n - 1 
3. 76. Calcule L.., 
3211 
• 
n= l 
3. 77. Sendo x e y positivos, calcule: 
3. 78. Começando com um segmento de tamanho l, dh-idimo-lo em três parles iguais e retiramos 
o interior da parte centraJ. obtendo dois segmentos de comprimento l 3. Repetimos agora 
essa operação com cada um desses segmemos e assirn por cüante. Sendo S,1 a soma dos 
comprimentos dos iutervalos que restaram depois de n dessas operações, cleLerruine: 
a) O valoi- de Sn. 
b) O valor de lim Sn-
c) Certo livro. muito ciLado em aulas de auálise de erros ele livros <lidáLic:os. afirma que, ao 
final, o conjunto dos pontos não retirados é vazio. Isso é verdade? 
3.79. Se (a11 ) é uma progTessão geométrica de termos posirivos, prove que (bn) definida por 
b11 = log a11 é uma progressão aritmética. 
3.80. Se (a,,) é uma progressão aritmétira, prove que (b0 ) definida por b,, = <'(1" ~ uma progressão 
geométrica. 
3.81. O rácüo-226 tern meia-vida (período de tempo em que metade da massa inicialmente pre­
sente se desmtegra) de 1600 anos. A t.axa ele variação da massa é constante. Em quant.o 
tempo a terça parte da massa inicialmente presente se desintegrará? 
3.82. Sejam a= 111 ... 1 (n dígitos iguais a 1) e b = 100 ... 05 (11 - 1 dígitos iguais a O). Prove 
que ab -1.. 1 é um quadrado perfeito e determine sua raiz quadrada. 
3.83. Seja A = [ ~ ! l · Determine A". 
3.84. A cmva de Kocb é obtida em estágios pelo processo seguinte: 
i) No estágio O. ela é um Lriângulo equilátero de lado 1: 
ü) O estágio r, + 1 é obtido a partir do estágio n, dividindo cada lado ein lrês partes iguais. 
66 
I EXEHCÍCIOS C'.\l'íTn.o :1 
co11sLru.iJ.1<lo exteruaruente sobre a parte central um triângulo equilátero e snp1imi.udo. en­
tão, a parte ceulral ( ver .figw-a a seguir). Sendo Pn e A 11 , respectivamente. o perímct ro e a 
área <lo rt-ési.lllo e~Lágio da curva de Koch. determine: 
a)Pn. ü) :171 • e) lilllPn · d) ÜillAn. 
3.85. Pitágoras1 • que estudou a geração dos sous, observou que duas cordas \·ibrantes, cujos 
compri.lllentos esLivessem 11;3 razão de 1 para 2. soariam em w1issono. Hoje. sabemo!> que 
a razão das frequências dos sons emitidos por essas cordas seria a rctzão inversa dos seus 
comprÍlll.entos. isto é. de 2 para 1 e que duas cordas vibram em u.uíssouo se. e ó e, a razão 
de seus com.priluentos é Ullla potência inteira de 2. 
A frequência da nota lá padrã.o ( o lá centTal do piano) é -WOHz e a frcquêuria elo lá seguinte, 
mais agudo. é 880Hz (Hz é a abreviahua de hertz, unidade de frequência. que significa ciclo 
por segundo). 
A escala muskal ocidental (de J.S.Bacb pra cá). dita cromática. dfri<le esse mterYalo ew 
doze sen:utons iguais. isto é. tais que a rnzão dc1s frequências de notas wnseculi\'M é com,­
tante. 
Sabendo que es::ias nolaõ são LÁ - LÁ-2- - SI - DÓ - DÓ""F'- - RÉ - RÉ- - ~II - FA - F.A.# -
SOL - SOL:ry: - LÁ, cleLe:rm.ine: 
a) a freqnência desse DÓ. primeiro DÓ segtúnte ao lá pa<lrâo. 
b) a Erequencia do sinal de d.iscar de um Lelefoue, que é o primeirn SOL aulcrior ao LA 
padrão. 
e) a uota cuja frequência é 186Hz. 
I Pitágoriu,, matemático de Sam os. cerca de cinco :século::. e meio antes de Cristo. 
67 
C .\l'iTl ' LO :i PnocBESSÓES 
3.86. A lei de \iYebet (Ernesl Ileiurich ,,·eher: 1795-1 7 : fisiologi::.ta alemão). para respm,LH elo 
sC'res hUlliauns a e"ltímnlos fís icos. d€'clara qne diferenças marcantes na resposta a wu estí­
nmlu ocorrew para Yariações de inlensida<le <lo estímulo proporciunab ao próprio estímulo. 
Por exemplo. nm homru1, que• sai de um ambicutr ihrnünado para oulro. só percebe tuna 
\'ariação da luminosiclacle ::.e esra for ::,uperior a 2%: i;ó di5lin~ue enLre ::.oluçõc::, :.atinas ::.e a 
Yariaçao <la saliuidadc for superior a 25% C'tc. 
3.87. 
Frclmer (Gustav Thcodor Fcc.:lmer: 1801-1887; físico e filósofo alrmão) propos urn método 
ele coustruçãu <le escalas baseado na lei ele \1\irbrr. Propôs que. C'nquaut o os estímulos 
vari,1sse111 cm progressão geométric-a. as mrdi<las das rcsposias variassem em progTcssão 
a.ri Llllél ica. 
a)f\fostr<' qu<' uunrn rscala de Fechner, as medidas da resposta .IJ e do estímulo .1· se relaci­
onam por y =a + blog.r. 
b)Uma elas mais couhedcla..., escalab de Fedmer é a que mede a sensação de núdo. Ela é 
definida por L = 120 + 10 log1n /, oudc L 0 a mC'dida da scnsaçfio de> rníclo em decibéic; ( dB) 
e I é a iule1.IBidacle &ouora. medida em n·/m2 • Duas bm1das de "heavy metal" provocam 11m 
ruí<lo quantos decibéis aciwa do ruído pro\'orado por uma banda? 
Deten11iue o \·alor de: 
"C k2 
a) I: ·)k: 
.l.=l - k - 1 
68 
I ExEncíc1os C'APíTt i to :i 
Na Sala de Aula. SOBRE o ENSINO DE P ROGRESSÕES 
1. Não encha a cabeça de seus alunos com casos particulares desnecessários. Isso só serve para 
ohscurec:cr as ideias gerais e acaba dificultando as coisas. Saber que, 11W11a progressão aritmética. 
c.:acla t ermo é a média aritmética entre seu antecedente e seu cooseq_uente não só não substituí. ou 
pelo menos não substitui de modo eficiente, o conhecimento de que tuua progressão aritmética é 
mua sequência na qual a diferença entre cada termo e o termo anterior é constante. como é uma 
rnnscquência imediata disso. Realmente, se :v, y 1 z, estão em progressão aritmética, y-x = z - JJ. 
. aJ 1 b x + z Da.L quem se mteressa.r em e cu ar y o terá ,1; = -
2
-. 
Do mesmo modo são conhecimentos desnecessários: 
Em uma progressão aritmética com um número ímpar de t,ermos. o termo central é a média 
n itmética dos extremos. 
Em uma progressão aritmética, a soma de dois termos equi<listanLes doi:. extremos é igual a 
orna dos extremos. 
Em uma progressão geométrica cada termo é a média geométrica entre seu antecedente e seu 
c·onsequcntc. (Seria isso verdadeiro para a progressão 1, -2, 4?) 
• Em urna progressão geométrica com wn número ímpar de Lermos. o termo central é a média 
gC'om0trica dos extremos (SeTia isso verdadeiro para a progressão 1, -2, 4?) 
• Em uma progressão geométrica. o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual 
no produto dos extremos. 
2. )Ia maioriados livros se encontram as fórmulas a.n = a1 +(rz-l)r. para progressões aritméticas 
e ª" = a1q"- 1• para progressões geométricas. Nada contra essas fórmulas. já que usualmente o 
« uc se conhece de uma progressão são o primeiro termo e a razão. 
Entretanto é bom lembrar que o conhecimento apenas dessas fórmulas costuma atrapalhar 
muitos alunos quando a progressão começa em a0 . É certamente mais eficiente saber que para 
avançar um termo basta somar r ou multiplicar por q, para avançar dois Lermos basta somar 2r 
•m multiplicar ,J2, etc ... Assim, facilmente se conclui que an = a0 + nr e an = a1 + (n - l)r, nas 
progressões aritméticas. e que a,~ = a0q" e an = a1q11
-
1. nas progressões geométricas. 
3. Em alguns liYTOS se encontram. além da fórmula a11 = a1 + (n - l )r. fórmulas como a. 1 -
( 1) an - a1 1 an - a1 f ili. ál ul D · 
11" - n - r, r = , n = + , supostamente para ac tar o c e o. epo1s nos 
n -l r 
queixamos que os alt1nos não sabem resoh-er equações do prime.iro grau! 
Mais ct><lo 011 mais tarde. aparecerá mn livro com uma fórmula para o cálculo do 1: 1 = 
a,i - 01 
11 - ---
r 
4. Alguns liYros chegam. ao cúmulo de trazerem duas versões da ( desnecessália) fórmula para o 
' l (ln-(11 an+2-01 _ . 
ca culo de t: r = e r = , a segunda para ser usada quando a progressao tiver 
n - l n + l 
69 
(' :\ l'ÍT l"l.O ;3 P ROGRESSÕES 
n + 2 Lermos. ist.o ~. dois teruws exlrcIBos e mais n termos entre eles, como no Exemplo -1 da 
Uuidade 5. 
5 . Alguns liHOS trazem uma fónuufa parn o cálculo do prodnto dos n primeiros termos de 11ma 
progre1,sâo geométrica, Pn = ( Ja1an. )". 
Ew primeiro lugar, essa fórmula está errada. Por ela, o produto dos três primeiros lermos da 
progreb1,âoJ. -2. -1 .... seria ( J'í'A_)3 = 23 = . 
Em segimdo lugar. ~e corrigirmos essa fórmula obteremos P; = (a 1an) 11 e. nas progressões 
cujos Lermos não são todos positivos. teremo5 algillll trn.balho em descobrir se Pn = (u1ar1t ou 
se P,i = -(atn.Jn. 
Em I erc:eiro lugar. não há o menor interesse. prático ou teórico. em determinar o produto dos 
termos <le uma progressão geométrica. 
Eru quarto lugar. é muito simples determinar o produto dos lermos ele uma progressão geo­
métrica. Com efeito. isso já foi icito uo Exercício 3 da Uui<la<le 5. 
6. l\Ioderaçâo nos problemas. Problelllas em que são dados a soma do 2-1º termo com o 47" e 
é pedi<la a diíerença enlre o 3Gº e o 11 ° não aparecem na vida real, não são interessantes e não 
desenvolvem o raciocínio. Uma pergunta que devemos sempre nos Jazer é a seguinte: ··Se meu 
professor de Matemática tivesse feito estes problemas. eu teria gostado de ~IatemáticaT 
7 . Tenha sempre ew mente que urua progressão geométrica é uma sequência na qual a taxa de 
crescirneuto <le ca<la lerwo para o seguiule é ~cmprc a mesma e esse instJ·umento matemático 
foi criado para descrever grandezas que n1.riaw com Laxa de crescimento constante. É absurdo, 
ruas i.ufelizrueute é co1uWll. euswar progressõ~ geolllélricas e 11ào Tclacioná-las à idéia de taxa 
<le crescimento. 
8. A melhor maneira de resoh ·er problemas com progressões colll um número pequeno ele termos 
é escrevê-las e esquecer cowpletaruente as fónnulas para. calcular termos e somas de Lermos 
conforme fizemos nos Exemplos 7 e da Unidade 5. 
Entretanto. ao contrário do que ocorria com as progressões aritruéticas. uào há nenhuma 
vantagew. ao escrever prog-ressões geométricas. em começar pelo termo central. Chamar três 
uÚllleros eru progTessão geolllétrica de ~ - J' .• rq em vez de charuá-los <le .r . .i:q. :ix/2-, só serve para 
q 
criar desueces1,ariamente denomiuadores e complicêu· as conLas. 
9. Calculadoras são wd.ispeusáveis para a, resolução de quase todos os problemas de progressões 
geométrica ela vida real. 
10. Se você <"nSinê1 exponenciais e logruilruos antes de progressões. não há grandes dificuldadf's 
em falar intuitivamente de> limiLe da soma dos Lermos de wna progressão geométrica pois. ao 
70 
EXEIH 'ÍCIOS ( •. \f'Í'I I I.<) :) 
foz<'r os grMkos rias funções C').1)0ncnciais e logarítmiC'ns, Yocê j11 dcvC' ter c-omc>nh1do quais os 
li mit.C's dP a.r qnando .r tende para + oo ou para -oo. Se a primeira noção de lintite aparece no 
limjtC' na soma rla progrcssfio gcom.ét rica. os Exemplos L3 e 1-l de progrc>ssÕC'B gcomét.ricas são 
muito bons. 
• 71 
1 
( 
1
:\PÍTlTLO 3 PHOGHESSÕES 
72 
RECORRÊNCIAS 
C' .\l'Í'I I .LO J 
4.1 Introdução 
~Iuita.::. ::,equências sJo definidas recursivamente (isto f>, por rcrorr<'llí'Íél), on seja. por intcrmé­
clio <le uwa regra que peruúLe calcular qualquer termo cru função clo(s) m1tece1>sor{e::.) imc<lialo(::.). 
[~LJ\IJ'L(J 1 
,\ S<'(]ll<'nria (.r11 ) dos nÚ111eros nHtnrni::. ímp.u·e::. 1. 3. 3. 7 . .. . pode ::;cr clcfiuida por .r,,+1 = .r11 + 2 
(n ~ 1), c-om :r1 = l. 
[· \:F' P LO 2 
Qualquer prugre:,;sàu aritmética (.rn) de razão ,. e priml'iro tC'rrno n podC' ~C'r dPfinfrla por 
.r,,_ 1 = .1'11 + r (11 ~ 1). com .r1 = a. 
E,1 ~11·1 1 > ·~ 
Qualquer µrogrE'88ão geornét.rica (.r11 ) dC' rflz~o <J e pnmetro Lermo o pode ::.er definida por 
.tn+I = q · .tn (11 ~ 1). com .c1 = a. 
f ,L\I PI O I 
A :,equência (F,,). dita d0 FibonaC'ci. rujos rcrrum; 8ào 1.1. 2. '.3. !5 •... e na qnal cacla rrrmo 
é a sorna cios dois imcdiaum1r111e anteriores. é dciinidH por Fn-'l = F,,+1 + F11 (n ~ O). com 
F1 = P2 = l. 
É fácil v0r que uma rcrorr0rn.:ia. por si só. mio definr a scqucnria. Por exC'mplo. a rerorrcucia 
do Exemplo l. .r11+1 = .t11 + 2, é ::.almfeita uão apenas pela ::,eqné'ncia dnf> 11ílll1eros Ílllp~u-Ps. 
nws por toda~ as progTcssões aritméticas de razão 2. Para qn<' a Rc<111f'11eia fiq11<' perfPitarueuLe 
clc>t<"rn1iuacla é ucccss;írio larnlJém o collilcdmenlo do(::,) primciro(s) rC'rmo(:.). 
Observe 4ut-'. 110:- Exemplos 1. 2 e 3 rclllos rcrorrcnria.c; rlC' primeira orclP111, isto P. uas quais 
c·ad<1 termo é expres::.o em ÚUJ<.;ào <lo antecessor imC'dü1 lo. C' q11C'. no Exemplo 1. temos uma rccor­
rrncía de ::.eguuda urdem. on seja. na qnal cada T,Nmo é rxprec:;so em Li.rnçào do1:. doib autt.•c-cssol'es 
i111ediato::.. 
r;.;r ,1 11 1 c1 >. 
Quaut as são as sequências ele 10 lermo:,, perl encentcs a {O. 1. 2}. que• não possuC'm dois tC'rmos 
consecutivos iguais a O? 
74 
hTHODl "('.\O C'.\l'Í l'I ").() 4 
Solução. Chamando .Lº 11 o núnwro clt• sequências com 11 tenno:::.. o valor de .z:n,2 será a soma da.<i 
:,t>h11ú111 <'b qm1J1t.idades: 
i) O 11 úmero de seq uêuc:icU:. de l l ...L 2 ter mui, q Lte turneçcUu por l e uão po:,;sucm clob zeros conse­
cu l ivos. Isso é precisameme igual a :l'n+L· pois se o primeiro rcrnw t' 1. para forwar a scquéncia 
ba.~ta delenuinar oi, Lenuoi, a partir do primeiro. u que poclc ser feito dE-' .r:11 ~ 1 modos. 
ii) O número de scquênciru:. de n + 2 tcnuos que começam por 2 e nã.o p08Suern dois Z<'ros 
< ousecutivos. Aualog,arnente. isso é ig11al a .l'n + I · 
ii i) O 1111mero de sequêncim, de n + 2 termos que começam por O e nüo possuem dois zeros 
<'Ollsecutivos. Se o primeiro tC'nuo e- zrro, t(;>rnos dois modos dP escolher o segimdo rNmo ( l ou 
2) e•. rn,colhido o segundo termo. temos .r.,, modos de escolher os demais. Há. pois. 2.r11 scquêncins 
< omeçaclas em O. 
Logo, .r,,+2 = 2x11 + 1 + 2.r11. É fflcil Yer que .r1 = 3 e qne :i·2 = . Daí obtemos .r:3 = 2.r2+2.r1 = 
22, .r-1 = 60, ... ..rw = 2~ 960. 
r., 1 ' IP ! O (i 
'cja Dn o u(Ullcro ele perurntac.;ões (·aótil'as de 1. 2, .... n. isto é. o número <le permutações 
-..iwples dC' 1.2, ... . 11. uas quais ueuLum elerneulo ocupa o seu lugar prilllÍlivo. ~lustre que 
D,, _2 = (n + l)(D,1+1 + D,.). ::.e n ~ l. 
Solução. Calculeruus Dn+2 , o número de permulaçõe::. simple::. de l. 2 ..... n + 2 nas quais 
ueulnllli eleruenlo ocupa o seu lugar prillliU\'o. A5 permutac;ões podew ser divididas em dois 
e,rupos: aquelas na::. quai::, o l ocupa o lugar do número C'..JlH.' ocupa o primeiro lugar e ctquelas nr1s 
q uais i.Bso uào ocorre. 
Parn formar unrn permutação elo primeiro grupo.clc>vewos escolher o número que• troc:a.rá de 
luga.r com o 1, o que pode ser feito ele 11 + l modos, e, ew seguida. devemos arrnmar os demais n 
elementos nos re:::JLi:lntes rz lugares. sem que nenhum desHes elementos ocupe o seu lugar primiti,·o, 
u que pocle ser feiLo ele D,. modos. Há. portanto. ('11 + 1) · Dr, permutações 110 primeiro grupo. 
Para fonn.-u uma pennut.1:1ção do segundo grupo. temos de escolher o lugar que será ocupado 
pelo ufünero l ( dtamemos esse lugar ele k). o que pode ser feito de n + 1 modos, e>, cm seguida 
, len'111os arnmrnr os restantes n + l elementos dos demais n + 1 lugan•s. sem que' o demento k 
ocupE-' o primeiro lugar E' sem que nenlmm dos demais element.os oenpe o seu lugar primitivo. o 
que podr ser feito de D 11+1 modos. Há. portanto. (n + 1) · Dn+l pennutaçÕC's no segundo grupo. 
Consequentemente. Dri+2 = (n + L)(D,,+1 +D,,). romo queríamos demonSh·ru-. 
75 
CAPÍTl' Lü J R E< 'OH H I~NCL\S 
Exercícios 
4.1. Determine ..t:5 na sequência definida por .r,l+2 = 2J'n+l + 1·n· J'o = .Ti = 1. 
4.2. Seja .tn o número máximo de regiões em qae n relas podem dividir o plano. Caracterize 
.i:11 recursivamcutc. 
4 .3. Prove que uma recorrência de primeira ordem: Xn-l 
.r1 = a.. iem serupre uma (' wna só solução. 
f ( .e n). rom uma condição i uic:ial 
4.4. Prove que uma recorrência rlc segunda orclelll .L'n-2 = /(.r.11+ 1 .. r,1 ), COlll condições iuic:iaü, 
.r1 = a e ..r:2 = b. tem sempre solução única. 
4.5. Deier.u.úne J_·11 , dada a sequência: 
b) X 1, .... J = ,l'n + 3 C X 1 = 2. 
4.6. Seja Xn o níuncro máximo tle regiões cm que n drrulos podem di\·iclir o plano. Caract.f'rize 
.r11 recursh·amente. 
4.7. Determine o número de permutações raótkas de 5 elemenlos. 
4 .8. Prove que o número de permutações célóticaR de n clememos é 
76 
íl E( 'OBH t·::'-:C'IAS Lt:'-:E.\HES DF. P B ! l\lEIB .\ 0HDE:\I ( ' .. \ l 'ÍTI 11.< > j 
4.2 Recorrências Lineares de Primeira Ordem 
Uma recorrência de primeira or<lE'ill expressa .r11+1 em função de .t'n. Ela ó dita linear se ( e 
:,omente se) essa função for do primeiro grau. 
EXEMPLO 7 
As recorrências .r11T1 = 2.t11 - n2 e x 11 _ 1 = n.T11 sÃo lineares e a recorrência .1:n+I = .r~ não é 
linear. As duas úJtimas são ditas homogêneas, por não possuírem termo indcpencleuie de .rn · 
Não h1:1 gTandes dificuldades 11a resolução de uma recorrência linear homogênea de primeira 
ordem. conforme mostram os exemplos a seguir. 
E.XE!\f PLO 8 
Resolva a recorrência i.· 11 +1 = 11.cr1 · .1:1 = l. 
Solução. Temos 
.r2 - l.r1 
X3 2.r2 
X1 3:r3 
(n - l )X11 - J, 
Daí. multiplicando. ol>Leruos .r 11 = (n - l )!x 1• Como :1· 1 = 1, temos ~r.
11 
= (n - 1) 1. 
t.XE:O.lPLO 9. 
Resolva a recorrência .T n+l = 2.t11 • 
Solução. Temos 
,r:2 
.e~ 
.C,1 
Xn 
2 XL 
2x2 
- 2x3 
2:tn- l· 
Daí. mulLipllcando. obtemos .r11 = 2·i- 1:r 1. & claro que como não foi prescrito o valor ele ;r1 , há 
uma iufinlclade de soluções para a. recorrência, .r,, = C · 2n- J, onde Cê uma constante arbitrária. 
77 
C .\l'ÍTI "LO --l 
As rccorrênciti.s liuefües nÃo-homogêneas de primeini ordem que> mais forilincutp i,;e rC'sol\'em 
são a.e: da forma .r,,-t 1 = .r,, + f(n ). 
Com 0friro. fomos 
:r2 
./"3 
./'-! 
. r" 
11-I 
Somnndo. ohtemo~ x,, = ,r1 ..L L f(k). 
k=l 
EXFYl'U> 111. 
,l'1 + f(l) 
- ,l'2 ..... ./'('2) 
:r :1 + /(3) 
.L'n - 1 + / (11 - 1 ) . 
Resolva a recorrência .r ,,+1 = .r,, + 2n . . r 1 = l. 
Solução. Temos 
'omaudo. resu.lti-l 
C\:E~!PLú J 1. 
R('solva .r"+1 = .r,. + n. J'1 = O. 
,C2 ,/'1 + 2 
.r3 I'· ...1.. 92 • l 1 -
,1'.J .r· - ?ª .j 1 -
+ ?li l 
.r11 - I -
.r., + (2 + 22 + il + .. . + 211-l) 
1 + 2 T 22 
T 23 
..L • • • - 211 
I 
?lt - 1 
1 -
2 - 1 
2n - l. 
78 
~ Rt·:<'<>l<IU.:~('I..\S Lt '.'11·:.-\BES DE l'Hl~IEIIL\ OBnEr-.1 C'.\l'ÍTl ' I.<> l 
Solttçào. Temos 
,1'2 - .l' t +l 
.l'3 - :r2 + 2 
,Ct - J'3 + 3 
,1'71 - .rn 1 + (n - 1). 
<4omando, resulta 
x 11 .r1 +1+2+3+ ... ..L(n -l) 
- 1 + 2 + 3 + · · · + (11 - 1) 
n(11 - 1) 
2 
O teorema a seguir lllO!:>tra que qualquer recorrência linear nào-homogênea de primeira ordem 
pode ser transformada em uma da forma Xn+t = Xn + f(n). 
TEOREtlA 4.1. 
Se ar, é urna soluc:ão não nula da recorrência .r11+1 = g(n).c11 • então a subsLiLLúçâo ,1;11 = CL11 .lJn 
t ransforma a recorrência Xu+1 = g(n ).1:,,..;.. h.(n) cm Yn+l = y 11 + h(n )lq(n) · a0 J-1 . 
D EMONSTRAÇÃO . 
. \ substituição .i:11 = anJJn lransforma 
.1'11~ 1 = g(n).r,, + h(H) em a,,+1Y11+ 1 = g(n)anYr, + h(n). 
~Ia~. a.11+1 = g(n)o. 11 • pois 0 71 é solução de Xn+l = g(n)xn· Portanto. a equação se transforma em 
g(n)an!Jn+t = g(n)anYn + h(n), 
ou seja, Yn+l = Yn + h(n )[g(n) · anJ- 1
. 
E"-E\f PLO 12. 
Resolva :r:n+1 = 2.rn + 1. :r1 = 2. 
79 
C.\PÍTl ·Lo I RECOR H Ê'.'\l.l:\S 
Solução . Uma solução uã.o uula ele .t.:n.J. l = 2.r,. é. por exemplo, :c71 = 211
-
1
, conforme' v1moR 
no Exemplo 7. Fazrndo a subsliLuiçào Tn = 211
-
1y11 , obtemo~ 2nYn+ J = 2".1)11 + 1. on SC'ja. 
Yn-l = .IJ11 + 2- n. Daí. se Lern 
Y2 Y1 + 2-1 
!)3 .l/'1 + 2- 2 
y.1 y:,, + 2-3 
Yn Yn - 1+2-("-I )_ 
ornando, resulta 
Y,1 - .1/1 + 2- 1 + 2- 2 + :2-:J + · · · + r ln- I J 
(2 - 1)11- 1_1 
- .l}l + 2-1 2- 1 - 1 
.111-21-11+1. 
Como ,Cn = 2"- 1,IJn e .T1 = 2. t emos .1./1 = 2 e .IJn = 3- 21
- H. Daí. .r" = 3 · 2n-l -1. 
f::XEMPLO t :3. 
Resoh·a .tn+i = 3xn + 311
, :r1 = 2. 
Solução. Urna solução uâo nula de .rn+l = 3.rn é. por exemplo, Xn = 3n- l (on qualquer outra 
progTessão geométrica de razào 3). Façamos a subslituiçào x11 = 3n- Ly11 • Obtemos 3"y,,+1 = 
311 y
11 
+ 311 • ou seja . .l/ii + I = Yn T 1. Daí. Yn é uma progressão aritmética de razão l. Logo. 
y,, = Yt + (n - 1)1. Como x1, = 3'1-
1 y" t> .1:J = 2. temos y 1 = 2 e y,1 = 1l + 1. Daí. x11 = (n + 1 )311
-
1
. 
80 
EXEH< 'Íl 'll )S <.'.\l'ÍlTI.O -l 
Exercícios 
4.9. (De volta a Pizza de Steiner) Enconne a solução da recorrência Pn+ I = Pn + n, cow p1 = 2. 
que expressa. o número máximo de regiões cm que n retru. podem dividir o plano. 
4.10. Quantas são as sequências de n termos. todos pertencentes a { O, 1}. que possuem em número 
ímpar de termos iguais a O? 
4.11. QuanLas são as sequências de n lermos. todos pertencentes a {O. 1. 2}. que possuem eru 
número ímpar de termos iguais a O? 
4.12. Sbeila e Helena disputam nma série de partidas. Cada partida é iniciada por quem venceu 
a partida ant.e.rior. Em cada parLida. quem iniciou Lem probabilidade 0,6 de ganhá-la e 
probabilidade 0.-1 de perdê-la. Se Helena iniciou a primeira partida, qual é a probabilidade 
de Sheila ganhar a ·11-él ima partida? 
4.13. Resoh·a as seguinles recorrências: 
a) :r11..1..1 = (n + l).i-,1 + n . . r1 = l: 
b) (n + l).1:,1+1 + n .. r11 = 2n - 3 . . r1 = 1; 
r) :Tn-l - n:rn = (n + l)!, ,f.J = l. 
4.14. Um círculo foi dividido em n (11 ~ 2) setores. De quantos modos podemos colori-los, cada 
setor com uma só cor. se dispomos de k (k > 2) cores diferentes e setores adjacentes não 
devem ter a mesma cor? 
4.15. A torcida rlo Fluminense tem hoje p0 membros. A taxa anual de natalidade é i, a mortali­
dade é j e, além disso, todo ano um número fi..xo de R torcedores desiste de vez. Se í > j, 
clet.ermiue o número de torcedores daqui a n anos. A torcida está condenada a CÀ'tinção? 
4.16. Ache o número máximo de regiões cm que n círculos podem dividir o plano, ou seja resol-v-a 
a recorrêncifl do Exercício 4..6 
4.17. (Profillat - ~IA12 2011) Considere o conjunto dos números escritos apenas com os algarismos 
l. 2 e 3. cm qu<' o ;-1 lga rismo 1 apar<'cc uma qnant id;ide par de vezes (por exemplo. 2322 e 
12123). Seja a 11 a quantidade desses núrueros contendo exatamente n algarismos. 
(a) Liste todos esses números para n = 1 e n = 2, indicando os valores de or e a,2, 
(b) Explique por que a11 sac;isfaz a equação de recorrência 
a11- 1 = (3" - an) + 2ci11 , para n > 1. 
81 
C'APÍ"JTLO -! íl ECORR É~CJ..\S 
(e) Resolva a equação de recorrência em (b). 
4.18. (Profwat - 11Al2 2011)Seja. (.rn) a sequência defiujda pela relação de recorrência rn~l = 
2.tri + L com terrno inicial .ro E .IR. 
{a) Euconlre .r0 Lal que a sequência seja cousta.nLe e igual a tuu nfü11ero real a. 
(b) Resolva a recorrência com a substihúçào .rn = Yn + a, em qnc rr é o valor eucont.rado 
cm (a). 
(e) Para que valore~ de .r0 a sequência é crescente? 
2 
HECORRÊ:'\C'L\S Ll'.':E.\RES l>E SEC;t ' NDA 0HDEJ\I 
I 
C .\í'ÍT!'I .O 1 
4 .3 Recorrências Lineares de Segunda Ordem 
lnlcialmente. trataremos das rcconências lineares de segunda ord<"rn homogêueas com coefi­
demes constantes. isto é. recorrências da forma 
Suµorelllos sempre q =f:. O. pois se q = O, a recorrência seria, na realidade. unia recorrência de 
primeira ordem. 
A cada recorrência linear de segunda ordem homogênea, com coeficientes constantes. da 
forma acima, associaremos urna equaçâo do segundo grnu, r2 + pr + q = O, chamada equação 
caracterísl'íca. A nossa suposição preliminar de que q =f:. O implica que O não é raiz da 0quação 
característica. 
EXEJ\IPLO 11. 
A recon-ência Xri-1 = .r11 _ 1 + .tn tem equação caracterísLica r2 = r + 1. As raízes da equação 
característica são 
l + v'5 1- v'5 
r 1 = ---
2 
e r2 = - - -
2 
O teorema a seguir mostra que se as raízes da equação caract.críst.ica sào ,·1 e r2• então qualquer 
-;eqnência da forma On = C1rj' + C2 r2 é solução da recorrência. quaisquer que sejam os valores 
da~ constantes C1 e C2• 
T EOREMA 4.2. 
Se as raízes de r 2 + pr + q = O são r 1 e r2 . então an = C 1 r1 + C2r2 é solução da recorrência 
.r,.+2 + PX11+1 + QXn = O, quaisquer que sejàm os valores das constantes C1 e C2. 
DEMONSTRAÇÃO. 
Substituindo riu. = C1rí' + C2r2 na rerorrência .r11+2 + JJXn+l + q,r11 = O, obtemos. agrupando 
rnnvenicntcmcntc os termos, 
83 
C'.\l'ÍTl'l.O --1 HECOHHE:-.:< 'L\S 
E XDIPLO l :; , 
t\ equação 1·11 _ 2 + 3J·,, .,.. 1 - -1.r,, = O tmu r2 + 3r - 1 = O como equac;ão caraclcríslica. A't> raízes 
<l<'I E'q11açiio ran1ctrríst.ica são l f' - -1-. De acor<lo c;o111 o Teorema l. l odas as <;rquê>ncias da forma 
ª" = C1111 + C2(--l)H ~ão :-iol11ções da recorrêuc;ia. 
O teorema a seguir 111ostrn q11e. sP r 1 i= r2. lodill:> as 'boluções da rec:onêucia Lêm a fonna 
c1pont.ada no Tron•rua 1. 
TEOREMA 4.3. 
Se as raízes de r 2 + pr + q = O são r 1 e r 2 • com r 1 # r2. eutão ~odas as soluções da recorrência 
.rr,+2 + pr n+l + q:r n = O são da forma ª" = C1 rf + C2r!], C\ e C2 cofilLanLes. 
D EMONSTRAÇÃO. 
Seja y11 uma 't>Olnção q11alcp1~r ele> 1:11+2 + p.T11 -r1 + q:r:,, = O. Determinemos constantes C1 e C2 que 
sej,illl soluções cio <Jistemas cl<> rq11<1ÇÔ<'S 
isto é. 
r~y1 - r2Y2 
C1 =---­
r1r2(r2 - r1) 
Isso é pos::.ívcl pois 1·1 =/:- 1'2 e 1'1 =/:- O e r2 I O. 
Afirmamo::; que y,11 = C1rf + C2r2 parn t odo n 1rntmal, o qnc prcm--m\ o teore1Ua. Com efeito. 
O primeiro parêutese é igual a ZC'ro porque Yn é solução de .rn+2+p.rn1-l +q.rn = O; os dois últ imos 
parênLet:.e::s ::são igu;:, it:. a Z<'rn porque r 1 e r2 ::,ào raízc:,, de r 2+ pr+q = O. EnLão z11+2 +pz11 _ 1 + qz11 = 
o. 
AJéru cli:;~o, cumo C'1 r1 + C2r2 = !JL e C1 rf + C:!'I'~ = J/2· temos z 1 = .:2 = O. !vlas. se 
.:n. - 2 - JJ.:11+1 + q:n = O e ::1 = ::2 = O. eul ão .:11 = O para todo 11. 
r,r ,n·Lo Hi 
Vamos <leten.11wai· a!> i:,uluções <la re<:orrência 
,Cn- 2 + 3J'n--r1 ·- 4.l'n = Ü. 
84 
C'.\l'ÍTl 'LO .J 
A equaçiío característica r2 + 3·r - .J = O, tclll núz<-'S l e --!. De acordo com os Teoremas 
(' 2. as f;O]uçõrs ela reC'orrênda são as sequências da forma ntl = C11 n + C2(--1r' isto {:,'. 
º" = C'1 + C2(-4t. onde C1 e C'2 :-.ão corn,Lantcs arbitrárias. 
E\:I· J\IPLP 1 T. 
(Fibo11acC'i revisitado.) Detern.1.illemos o númrro de Fibouacci F11 definido por 
Fn+2 = Fn -r i + F,,. com F1 = F'J. = 1. 
A equação cnractcrística é r 2 = r + 1 e as suas raízes são dadas por 
E11t.ão, 
1+ J5 
2 
1- J5 
2 
, ( 1 + Js) n ( l - Js) " F,1 = C1 
2 
+ C2 
2 
Para determinar C1 <' C2. podemos usar F1 = F2 = 1. lllél5 é mais conveniente usar F0 = O e 
l-1 = 1. 
Obtemos o sistema 
{ 
C1 + C2 = O 
C1 i + '-"5 + C, i- v's = 1 
2 - 2 
Hl'o;;olvenclo o sistema. eucontrnmos C1 = -C2 = J5. Daí: 
F = _1 ( l + v'5) n - ~ ( 1 - v'5) n 
" J5 2 J5 2 ' 
islu é. 
Fn = _l (1-L J5) 11 
_ ..2._(1- Js)" 
J5 2 J5 2 
Se as raízes da equação característica forem complexas. a solução an = C1r1 + C2r~, C1 e C2 
constantes arbitrárias pode ser escrita de modo a evitar cálculos com complexos. Pondo as raízes 
m1 forma trigonométrica. teremos: 
r1 = p(cos () + i sen B). r2 = p(cos fJ - i sen O) 
r? = pTI ( cos nB + i scn nO). r2 = pn(cos nfJ - i scn ne). 
85 âlB 
R E-:COH HÊNCI AS 
Logo. 
ª" = p11 [C~ cusnlJ+C'~t-ennB]. 
FXF\1111 e 1 l R. 
A n'correncia .r11+:? + .1·11+ 1 + .r11 = O t.c:'lll equação can1cteríst.ita r 2 + r + l = O. cujas raízes são 
r1 = ---
2 
1-iv'3 
2 
7r 
que são complexas de 111ó<lulo p = 1 e a rgm11eut.o µriu<.:ipal B = ±3. 
A solução é 
' l/7í //7í 
.r,, = p"[C1 c·os nO + C:2 seu nO] = C\ cos 3 + C2 seu 3 . 
O qne acoureceria se as raízes da equação característica fossem iguais'? 01' Leurclllas a seguir 
respouclem essa pc•rgauta. 
T EORE.MA 4.-:l. 
Se as raízes ele r2 
..1.. pr ...1.. q = O são iguais. r 1 = r2 = r. então. a11 = C1 r11 + C2 nr·11 é solução 
da recorrência .rn + 2 + p.r11+ 1 + qxn = O, quaisquer que sejam os valores da-s constantes C1 e C'2. 
D EMONSTRAÇÃO. 
' - • • • jl s 1 t• . ,.J e TI e n • . <' HS r aizcs :.;;ao 1gnrus. entao r = - 2. 11 )S Itumuo n,, = 1 r + -2nr 1rn rccorrrncrn 
obtemos. agrupando com·enic•11t.emC'nl <' os l <"rmos. 
T EOREMA 4.5. 
e, rn ( r2 
- pr + c1) + C211r" ( r 2 + pr + q) + C2r" r(2r + p) 
= C'ir"O + C2nr 11 0 + C2 r"r0 = o. 
Se as raízes de r 2 + pr + q = O são ig"llais. r, = r 2 = r. então todas as soluções da recorreucia 
.rn..,.2 + p.1;n+ i + q.r" = O são da forma C1rn + C2nrn. e, e C2 constantes. 
86 
B EC'ORHÉ:'\CL\S L IXE:\RES DE SEGl"XD.\ 0HDDI (' .\l'Ílll.(l I 
DEMONSTRAÇÃO. 
Seja Yn Ullla solução qual4uer de ..cn+l + p.z·n+l + (.JJ."11 = O. Determine constantes C1 e C2 que 
sejam soluções <lo SÜ:,leuia <le equações. 
1olo é. 
e e _ .l/2 - 1·y1 
'..! - '} • 
r-
Isso é possível poi~ r =/: O. 
Afirmamo8 que Yn = C1r"+C2nr11 para todo n natural. o que provará u teorema. Com cfeilu. 
seja :::n = J/n - C1 r" - C2 nr11
• 1losLraremos que z11 = O para todo 11. Temos 
:n~2 + /JZn + l + q-:;TI = (.tJn+2 + JJ.l/rr+I + qyn)-
- C1 r"(r2 + pr + q) - C2 nr"(r2 + pr + q) - C2 r"r(2r + p). 
O primeiro parêntcs0 6 igual o zero parque y 11 é solução de 1·11+2 + p.t11 +1 + q:r,, = O; o segundo e 
> terreiro parêuteses são iguais a zero porque ré raiz <le r 2 + pr + (J = O: o quar1o é igirnl a 1.ero 
porque 2r + p = O já que. quandu r 1 = r2 = ,. tmn-s0 r = -~- Então, ::11 +2 + p::11+1 + q:;,, = O. 
AJfim nisso, r.omo C 1r + C2 r = y1 <' C 1r2 + 2C2r2 = Y2- t0mos z1 = :;2 = O. Mas. se 
.:11 + 2 + J}Zn+ 1 + (J Z11 = Ü C' .:1 = .:2 = Ü. Cl11 ão Z11 = Ü para lodo 17. 
L'\..E\IPLO 19 
A rcconência .r,,-'-2 - -tr 11 _ 1 + 4.rn = O lem equação característica r2 - 4.r + 4 = O. As rafzes 
sno r 1 = r2 = 2 <' a solução da recorrência é> .r11 = C'12" - C2112". 
O teorC'ma a seg11ir mostra um processo para rC'solvcr algumas r0corrênrias não homogêneas. 
TEOREMA 4.6. 
Se a.11 é uma solução da equação 
.i:1,-2 + p.r,.+1 +- q.rn = .f ( n). 
Putão a substituição :rn = a11 + Yn transforma a equa<;ão em 
Yn+2 + PYn+l + qyr1 = Q. 
87 
C'.\PÍTlTLU l [{ U 'OIWÍ~:'\< ' I.\S 
D EMONSTRAÇ.~O. 
Substituimlo Ln por a11 + Y,i na rq11F1çào. obLewos 
~ l <'!B 0 11 -12 + TJíln+l + qa11 = /(11) . poi& ª" <' FI soh1ç~fo da ec1uac;ào original. Logo. t1 equação se 
lrans[ormou em 
U11+2 + P.IJ11+1 + 'l.lJn = O. 
D<' ac·ordo com o Teurewa 4.6, n solução df' urna rf'corrênda uão holllogênca é corn:;1 i I uícla <lc 
duas p<1rrelas: 1Uua :::iolução qnalqucr da niio homogf>nca e a solução homogênra. A soluc;ã.o ela 
bomogêuea. sabemos acllar. Crua soluçno da não homugêuea. procuraremos por tcnUüiva:-..Exu1 no :!O. 
A recorrência .r11 +2 - 6.rn·H + '.r11 = 11 + 3" telll equação caradC'rística r 2 - 6r + ' = O. cujas 
raízes :,ão r 1 = 2 e r2 = 4 . Portanto. a soluc;ão da homogênN1. isto f'. clP .1',,_1 - 6.r,.+1 + :1.í.
11 
= O 
é hn = C\ + C2-l11
• Tmtan'mos agora clescourir uma solução parlk1th1r. t1,. <la recorrem:ia 
,f11-2 - 6Xn+J + :r11 = li + 3". 
Ora, sr substituirmos tn em .rn+2 - 6.r,,+ 1 + .r11 de, ·emo::, encon t rar n + 3". Que> tipo ele função 
deve ser t,,? É bastante razoá,·el irnagiuar que I n seja a soma de um polinômio do priu1Piro grau 
com uma exponencial de base 3. Tcntrircmos t 1i = ,4n + B + C3n. Snbstiruindo em 
.L'n+2 - 6.tn+l + ;i;ll = n + 311
• 
obtemos 3An + 3B - 4A - c3n = n + 3n. t,, terá solução se 3A = 1 , 3B - -!A = O e -C' = 1. 
Logo. 
B =:! e e - = -1. g 
Daf. 
l -1. • n 
!,, = 3n+ 9-3. 
EXEtlPLO 21 
A recorrência x 11_2 - 6.x11 .,.. 1 + x1, = 1 +2n tem equação caracleríst ica r2-6r+8 = U. cujru; raíze;:, 
são r1 = 2 e r2 = 4. Portanto. a solução da equação homogênea. isto é, de x11+2 -6x
11
+1 +Bxn = O 
é h11 = C1 2n + C24n. Tenlaremos agora descobrir uma solução particular, t,, da recorrência 
.i:n+2- 6J:,, ... 1 + Xn = 1 + 2". Ora. se substituirmos ln em .r11 _2 - 6.r. 71+1 + .r,. dl'\'emos encou trar 
88 
íl ECl)fWE'.'-<'I.\S L J'.'-E.\BES l>E SEc;l':'\D.\ OHDE:\I C . .\l'I I l Lll ! 
l + 2". Que tipo de' função <leYc ser t/! (> bastaute razoávE'l imaginar quE' t,, seja 11 sorna de Wll 
polinômio c·onstautr c:om uma ex--ponential de base 2. Teut.aremos f n = A. + n2n. Substituindo 
C'1Jl 
obtc'rnos 3A = l + 2". Essa igualdade {> impossível. A recorrência não admite solução da forma 
t ,, = .4 + 82'1
• 
Parando para pensar no qu<' arontereu. verificamos que era óbvio que a nossa tPntativa não 
pudia dar certo. O espírito da nossa len1 alirn era t.rular lillla constante A parn qne ohtiv€>ssemrn, 
mua constante que igualaríamos a 1 e tcutar B2n para gerar urna exponencial que pudéssemos 
igualar a 2" . É claro que o Lermo B2" uão poderia tmnpri.r u seu papel. B2" é solução da 
homogênea (é a solução da homogêuea 4ue é ubti<la µomlu C1 = B e C1 = O) <'. snbstitwdo da 
equa<.;ão. daria zero e não tlllla exponencial que puclés::iernos igualar a 2". 
Vamos corrigir a UOS8a te11lativa para ln = A + B11211
• Sempre que na no::;sa teutali\'a ern algurn 
bloco uão cumprir o seu pa.µel, fazernoi:. a c:onec;ão "aumenLau<lo o grau ... isto é. ruulLiplit-an<lo o 
bloco por n. Agora. subst ituiuclo ua recorrência. obtemo:; 3A - B4B211 = l + 2". 
Se 3A = l e - LIB = 1, isto é, 
temob a solução 
A=~ 
3 
e 
l 
B =-­'-1. 
l n2,' 
111 =3 - 4 · 
A solução da recorrência é a sorna de hr, com tn . Portanto, 
l 2Y/ 
e' 211 C' ,, 'li .r = 1 + -,4 + - - - . 
n - 3 -+ 
ÜBSERVAÇÃO 4.7. 
O teorema ~L6 pode ser utilizado para resolver Ulml. recorrência linear não homogênea de qual­
quer gTau. to<la yez que se conheça a solução geral y,1 da recorrência homogênea C'Orrespoudeut.e C' 
uma solução particular a(n): a solução geral da equação não homogênea é dada por x 11 =a,,+ y,,. 
Ilustramos este fato resoh-eu<lo. de um outro modo. a recorrência linear de primeira ordem viRta 
no exemplo 13. 
EXE~IPLO 22. 
Resolva a recorrência :r n+l = 3.1::11 + 3", .r 1 = 2. usfllldo o método sugerido pelo teorema .J..6. 
89 
C.\l'ÍITI.<> 1 H E< ·e >HHE:'\CI.\S 
Solução: A equnçào homogênea c-orrespondcntc> é .r,. 1-1 = 3.rn, ruja solução geral é .!/n = C3n. 
Parn encontrar uma i-olução J)}"lrricular da recorréncia. poderia parcc<'r natural buscar urna solução 
cl,, fornrn (1 11 = k3''. :Vla.s. como uo exemplo anterior, isto não funciona. pois solu<.;Õeb deste 
tipo satisfazem a Pqnaçào homogênea. Buscamos. então, uma solução dn forma " " = kn3". 
Snbstit uindo ua rernrréncia. obtemo~ k( 11-1)3"+1 = :3kn:3" + 3". Daí. obtemo:'> 3kn+3k = 3kn....- l. 
o que leva a k = t. Logo: a solução geral da reC'orrência é :rri = C3" + ~n3". F'inaliueutc, usando 
a condição inicial .r 1 = 2. ohlc•mo~ 2 = 3C + 1. q11<' fornec<' C = 1 · Logo. a solução da rec:orrêucia 
é .r,, = }3'1 + 1n3" = (11 + 1):311
-
1
. coLuo encoutrn.cio anteriormente. 
90 
I EXERCÍCIOS 
Exercícios 
4.19. Resolva as rc,con-ências a seguir: 
b) ~rn+2 + 6.rn+t + 9Xn. = Ü. 
e) Xn-2 + 2.rn+l + 2.tn = O. 
d) 1·11 .,...2 - 5:r.11 ,1 + 6T11 = 77. 
e) Xn-2 - 5.rn+l + 6xn = 1 + 3 · 4". 
f) .1:n+ 2 - 5:t:n+ l + 6.r71 = 2". 
h) .r·n+2 - 6.rn+I + 9~fu = 11 - 3". 
i) .rn+2 + a·n = 1. 
4.20 . ResolYa as recorrêncic:lS a seguir: 
a.) X,1+ 2 + 5Xn+l + 6Xn = O; Xo = 3: ::r1 = -6. 
b).rn+2 + Xn..Ll - 6.cn = 6 - n; 
C)x 4, >· + •x - 2n-'-3. n+ 2 - ·<-n+l "i. n - , 
..r:o = 1: .r, = 4. 
:r0 = 3; :r1 = 6. 
C'Al'ÍTI ·1.0 --1 
4 .21. Quantas são as sequências de 11 termos, todos pertencente$ a {0.1, 2}. que não possuem 
dois Lermos consecutivos iguais a O? 
4 .22. Determine o número de modos de cobrir uru labuleiro 2 x n com dominós 2 x l iguais. 
4.23. Uma planta é tal que cada uma de suas semeuLes produz. Ulll ano após ter sido plantada, 
21 novas sementes e, a pa:rtiir daí. 44 novas semenles a cada ano. Se plantarmos hoje wna 
semente e se, toda vez que urua semente for produzida ela for imediatamente plantada. 
quantas sementes serão produzidas daqui a n anos? 
91 
C'APÍTlTLO .j H E( 'OHHÊ;'\JC l:\S 
4.24. O salário de Carmelino no mês n é S.I[ = a+ bn. Sua renda mensal é formada pelo salário e 
pelo::; juros de suas aplicaçõe..s financeiras. Ele poupa anualmente 1/ p de sua renda e investe 
sua poupauça a juros mensais de t,axa i. Determine a rC'uda de Carmclino uo mês n. 
4.25. Cinco times de igul'll força disputarão todo ano um torneio. Uma taça será ganha pelo 
primeiro time que vencer três vezes consecutivas. Qual a probabilidade da taça não ser 
ganha nos n primeiros t oruC'ios? 
4.26. Em um jogo, cm cada etapa OlaYO, pode fazer l ou 2 pontos. De quantos modos ele pode 
totalizar TI pontos? 
4.27. 1Iostre que 
2
v'5 + 1 
(1- vst + 2J5 - \1 + vsr 
2v'5 2/5 
é, para todo natural n, um número int<'iro. 
4.28. tv[ostrc que a parte inteira de (1 + V3)2n+I é sempre par. 
92 
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
C':\PÍTtrLO G l\L\TE~!J\TI< '.\ FIN.-\NC'EIR:\ 
5.1 Introdução 
A versão original dcsf e capítulo foi escrita em 1998. quaudo o Brasil apena~ começava a se 
recuperar. com a introduçáo do Plano Real. de trn1 longo período de ah.a iuflação e ele Laxas <le 
juros muito superiores às praticada~ at ualmcnle. \ r uit.os do~ cxemplo1-, e exercício~ refletem essa 
realidade. É importante'. porém observar que taxas similares ainda ocorrem em dcLernünados 
tipos <ic finn11ci;UllCnto no 13ra~il. como os relat ivo~ a de:,pm,1-1::. <·orn c:artõe:, de crédito. 
5.2 Juros Compostos 
Uma das impor! ,mies 1-lplieac;Õc>~ rle prngr~ssÕC':, g<'omc'>t riens <' a J\fatcmática Financeira. A 
op<~raç~io básic-;,1 ria mat<3m.Hic·a fina11tC'irn é> a opernção de C'mpréstimo. 
Alguém que dispõe Je um cctpital C (chamaclu ele pdncipal), cmprcsla-o a outrem por um 
certo perío<lo de lempo. e aµós esse perío<lo, recebe o seu capilaJ C e vollrl. acresc-ido dC' mua 
rcmuucração .J pelu empré:::.timo. Essa remuneração é chama<la dt:> juro. A sorna C -r- J é chamada 
rlc' rnontmdr· C' SC'rá r<'prC'SC'11t.adn por 1\J. J\ ra~ão i = f, que {, a rnxa dr crcsrinwnto do capital. 
será sempre referida ao pe>ríoclo chi operação e rharnada <lc ta.rn dr juros. 
EX:C\11 Lú 1. 
Lúcia tomou 1u11 empréstimo de R$ L00.00. Dois mrsrs 11pós. pi:igm1 R$ 1-1-0.00. ÜR juros 
pa,gos por Lúcia são ele R$ -10,00 1 e a taxa <lc> juros é de i~ = O. -W = -1-017< a.o bimrsirc. O 
principal. que é a clívi<la inicial de Lúcia. é igual a R$ 100.00: o monlanle. que é a e.lívida ua 
époc-a do pag,llilenlo. é:> de R$ 140.00. 
r,1 '.\!PI O 1. 
l\IanueJ tomou um emprésUmo de 100 reais. a jurm, de LcLXa 10% ao mês. Apó~ um mês. 
a dívida de :Vfanuel sPrâ acrescida de 0.10 x 100 reais de juros (pois J = iC). passando a 110 
reai&. Se \lanuel e seu credor concordarem em adiar a liquidação da dívidapor mais um mêb. 
mantida a mesma ta.xa de juros. o empréstimo será quitado. dois mcsei:: depois de contraído, por 
121 reais. pois os juros relati\·os ao segundo mês serão de O. 10 x 110 reais - 11 reai~. Esses 
jmos assim calculados são chamados de jnros c-omposlos. i\Iais prccisa.rnent e, no regime ele juros 
compostos. os juros em cada período são calculados. conforme é natural. sobre a dívida elo início 
desse período. 
1 Este é 11111 cxcwplu <le nrna l axa <le juros mui Lo aciwa <la registra<la aLualw_eillt' no Bra~il. was que era razoável 
para a época de alta inflação. 
94 
.l l ' ROS ('o~l l'OSTOS C'Al'ÍTl ' LO .'j 
As pessoas menos educadas rnaLernalicame11te Lêrn tendência a achar que jmos de 10% ao 
mê::, dão em <loi1::, rnese::, juro::. de 20%. Note que juros de 10% au mé::. c.lâu em dois meses de juros 
<le 21 o/t . 
TEOREMA 5. l. 
No regime de jmos compostos de taxai. um principal C0 transforma-se. depois de n períodos 
de tempo, em um montante C n = C0 (1 + i)"'. 
DEMONSTRAÇÃO. 
Bas( a observar que os valores do capital cres<:cm a urna Laxa <:OliSLaute i e. portant.o, fonnam 
uma progre::isãu geométrica de razão 1 + i . 
T>~F\IPU) :{ 
Pedro investe 150 reais a jmos de 12% ao mê5. Qual será o montanle de Pedro três mese::, 
clc>pois? 
:-Joluçiio. C3 = Co(l + i? = 150(1 + 0.12)3 = 210. 74 reais. 
É importante perceber que o valor de uma quauLia depeude da época à qual ela está referida. 
S<• cu cousigo fazer mm qn(' m0u diulwiro remia 10% ao ruês. llle é i11difer0ute pagar agora R$ 
100.00 ou pngar R$ 110.00 daqui a um mês. É mais nmtajoso pagar R$ 105.00 daqui a um mês 
cio qn <' pagar R$ 100.00 agora. É mai<; vantajoso pagar TI$ 100.00 agora do que pagar R$ 120.00 
dacpli a nrn mês. 
No fundo, só há 1.tm 11nico problema. de Matemática Financeira: deslocar quantias no tempo. 
Ou Lro mudo de ler o Teoreu1a l, C'n = C'0 (1 + i)" . & que urna quanl ia, uoje igual a C0 . 
t ransforlllar-be-á. depob de n períodos de lernpo. en1 1m1a q11antia igual a C0(1 - it. Isto é. 
nwa quantia, cujo valor aluai é .4.. equivalerá uo (ut mo. depois de II períodos de tempo, a 
F= A (l+ i)11. 
Essa é a fórnmla fuudR.lllental <la equivalêucia <le <:apitais: Parn obter o mlor Julu.ro, basf(L 
TTt'ultiplicar o atual por (1 + it. Para obter o valor atual. ba1:;ta di'Vidfr o fulur·o por (1 + it . 
O exemplo a seguir é, pode-se dizer. um resmuo de todos os problemas de t lateruática Fi­
nanceira. 
E.\L \ ll 'Ul -1. 
Pedro tolllOU um ernpré timo de 300 reais. a .imos de 15% ao mês. DoiR meses após. P edro 
95 
1 
C'APÍTtTI.O .-, >. L\TEl\1:\TI( ' :\ FI:>: .\:\i( 'EI H. \ 
p~gou 1,50 reais <-". um mês apó8 e::.se µaganw11to. Pc<lro liquidou seu rlé>hito. Qual o valor desse 
úlrimo paga111C'11to'! 
Solução. Os esquemru. de pagamento abaixo :,;<'i.o í'<Jnivalculc~. Logo. 300 reais. ua data O. trm 
u mesmo valor <le 1,50 reais dois mrsrs após, mais tllll pagawPulo igual a P, ua data 3. 
300 
O 150 I' 
, , r r 
O 1 2 3 
Figma 5.1: Esquemas de pagamc'nto. 
Igualando os valores. ua weswa éµuca (O. por exemplo). elos pagarne11lus nos doh; esquemas. 
obtC'mos 
300 = (1 + 0.15)2 
lSO p 
(1 - 0.15)3 . 
Daí. P = 2 3. 76. O úlrirno pagawelllo fui <le R$ 2 3,76. 
Ex1 :\ll'l o 0. 
Pedro tc'ru dm1s opçôes de pagau1eulo ua c:ornpra de um tC'IC'\i~or: 
i) três prestações rucui;ais de R$ 160.00 cada; 
ii) sete presta,~·ões 111eusaü, de R$ 70.00 cacfo. 
Ew ambos os casos. a primeira prc>stação é paga 110 ato ela compra.. Se o dinheiro valP 2% ao 
wês para Pedro. qual a melhor opção que Pedro pussui? 
Solução. Para comparar, <letcnni.trnr0mos o rnlor dos clois co11ju11los ele pagamentos na mcA1rn1 
época, por exemplo Ha época 2. Os Cclquemas d0 pagam0ntos ~ão: 
L60 160 l()(J 
l + + o 2 
TO 70 70 70 70 ,O 70 
l + + + r r r 
o 1 2 3 -1 i) 6 
Figura 5.2: Esque111as d0 pagamrnto. 
96 
( ' .\l'ÍTl'l.O ·> 
Para comparar. clclt>rntiu.1.remos o n1lor elos doí~ coujumos <lr pngameutm, ua n1c.S11M época. P01 
<'XC'mplo. na ép<H'a 2. lernos, 
a = GO(l -r- O. 02)2 + lGO( 1 + O. 02) + 160 - 189. GG 
b - 70(1+0.02)2+70(1 t-0.02)+70,l 
7i? 
+ ·º-
+ 
70 70 70 
( 1 + O. 02)2 + ( 1 + O. 02)3 -1- ( L + O. 02) 1 = ..tSO, 77· 
Pedro clcYe prC'forir o pagamento em SC'is prestações. É nm absurdo que' muitai-, pessoa~ razon­
w·lmcntc instruídas achl'lll que o primriro esquerna é rnclllor poh. o totHl pago é' de R!S l?0.00 ao 
passo que no SC'gundo esquema o total pago é dr R$ ~190.00. 
Para fixar. faremos mais alguns exernplos. 
1-'ü ' \ll'I o G. 
PC'clro lem tres opçõrs de pnga.meuto ua compra de ve::,tuário 
i) fl ,isu1. com 30o/( de desconto. 
ii) <'m dna...., preslaçõe::, lllCnsais ig11ai:-.. sem desconto. \·e11C<'udo a primeira um mês após a rornpra. 
iii) em três prestações mensais iguais. s0111 desronto, Yeuccudo a prin1Pira no aLo <la compra. 
qual n mC"lhor opção para Pedro. se o dinheiro vale. para ele. 25% ao mes?2 
Solução. Fi..,audo o preço do bern cm 30. temos os trci:1 e::.queruas da figura 5.3. 
21 
o 
15 15 
l 2 
iO 10 l O 
r r r 
O 1 2 
Figura 5.3: Comparando 3 e~qucrnas d0 pnganwnto. 
:.!Koi.. dias de hojP. tal truca dC' rC'torno para um invMtimcnto sC'ria iu1p<•11sán•l. 
97 
C' .-\l'Í'ITLO :') :\ L \TE;\L\TIC.\ F INAM 'EIH:\ 
Cornpmàlldo os valores. por exemplo. na época O. obtemos: 
(}, - 21 
] ,} 1-5 
9 + ( ? )2 = 21.G 1 , o. _5 1 + O, :..5 
b 
_ 10 10 -·) 
r - 10 + l + O. 25 + ( l + O. 25)2 - ~-±. -!. 
A melhor alleruatin, é a primeira e a pior é a em três µrl:'slações. 
['\DIPLO i'" 
l·ma loja ofPrece duas oµçõe::, <le pagamento: 
i) }1 vis1 A, com 30% de desconto. 
ii) e111 chrns presLa<;ê>es mensais iguais. sem desconto . a primeira prestação ::,endo paga no ato <la 
rompra. 
Qual a ta..xa mensal dos juros embut idos na::. vendas a prazo? 
Solução. Fixando o valor cio hem em 100. temos os e::,quemR::. de p,1gamcntos da figura 5.4. 
70 
o 
50 50 
o l 
Figura 5.-1: Comparando 2 esquemas ele pagamento. 
l~ualaudo os valores. por exemplo, na época O (a data usada nessas comparações é c.:hamada de 
50 
data focal). outemos 70 = 50 + 
1 
+ i' Daí. i = 1. 5 = 150%. A loja cohra L50o/c ao mês ua::. 
vendas a prazo. 
EXDIJ>LO 8. 
Ill\·estindo seu capital a juros mensais de %. em qnant,o tfü11po Yocê dourará o seu capital 
ini<.:ial? 
Solução. Terno::, Co( l + O. 08)n = 2C0 . DM. 
log2 
l. O '' = 2 e n = ::::: 9. 
log 1. O 
Eru aµroximadarnenre nove meses você dobrará o Ren capilal iui<.:ial. 
98 
1\ F<lHl\ll 'L\ I> . .\S T..\X .\S Eql'l\'ALE:":TES C'.\l'ÍTI · 1.0 :j 
5.3 A Fórmula das Trocas Equivalentes 
[ rn imporlanle resullaclo que já foi obtido na l!nidêldc 6 e será repetido é a 
Fór mula d as taxas equivalentes. Se a taxa d<-' juros rf'lativamente a um determinado período 
de tempo é igual a i. a ta"Xa de j ums relativarrwnt<' a 11 períodos de rcrnpo r l t ai qnr 1+ J = (l +i)". 
E'-E).!PLO <) 
A I axa a11nal de juros equivaleule a .J% ao ruês é I tal que l - I 
I:::::::: O. 60 = 60o/c ao ano. 
(l + 0.-:l) 12
. D aí, 
Um erro muito comum é achar g11<' juros de .J.'Yc ao mês f'q11ivalem a juros anuais de 12 x .J.% = 
-18% ao auo. Taxas como -1% ao mês e .J.8% ao ano são chamadas d0 taxas proporcionais. pois a 
razão entre elas é igual à razão dos períodos aos qnais elas sf' referem. 
Taxas proporcion ais não são equivalen tes. Um (péssimo) há.bito em ~1at0mát.irfl FinFincein1 
é o de ac1U11cüu taxas proporcionais como se fossem equ.ivétlent0s. L"ma frase como .. 4 % ao ano. 
culll capilalização meu::ial .. significa que a taxa w,a<la na operação não r a tFixa de 48% anunciada, 
e ,im a taJ(Jl mensal que Lhe é proporcional. Portanto. a trad11ção da expre::,são "4 o/c ao ano. 
com capitalização mensal'. é "-1% ao mê:;·. As pc~soas menos cclncadas m::if.C'mr1r.icament.e podem 
pensar que' os juros sejam realmente de 4 % ao ano, mas isso não é v0rdad<'. Como vimos no 
Exemplo 9. os juros são de 60% ao ano. 
A taxa ele 48% ao ano é' chamada de ta.xa nominal e a Laxa de J "o/c ao :mo é chamada detaxa 
efetiva. 
E~r :\ Ir I o 10. 
··2<-1% ao auo com capitalização semestral" significa "12% ao semest.r0": "l'tc ao mês com capi­
l a lização trimestnu·· significa "3o/t ao trimestre" e "6% uo ano C'om capitalização mensar· sign ifica 
"0,5o/c ao mês ... 
E"r;\IPLO 11 . 
Verônica inYeste seu c.linb.eiro a juros <le 6% ao ano com capitalização mensal. Qual a taxa 
anual de juros à qual esiâ investido o capital de V<'rônirn? 
Solução. O dinheiro de Vrrônica estêí investido a j11ros de taxa i = O. 5% ao mês. A taxa anu<'ll 
equivalente é I tal que 1 + l = (1 + i) 12
. Daí. l = O. 0617 = 6. t 7% ao ano. A taxa de 6% ao ano 
é nominal e a ta..,a dr 6.J 7'7<. ao ano é efetiva. 
99 
CAPÍTl"LO G i\ l ATE~l:\TICA F'INANCEIIL\ 
EXE\!PI < > 12 
A taxa pfrt iva sernest ral corn'spomlenl(' a :2--17{ ao sewe~l rf' co111 tapi Lalização meusal é 1 tal 
que l + I = (1 + O, Q.!)º. Daí, I = 2G. 5:3~ ao sc>westre. 
5.4 Séries uniformes 
l-m ronjtruto de> quantias (chamadas 11s11almcntr dP pagamrntos ou termos). referidas a épocas 
di versut>. é chamadc1 de série. ou d0 anu idade ( apesar du nornr•. nada H ver com ano) ou. ainda, 
rC'uda. SC' cssC's pagamentos forPm iguais P ignalmPnlE' es1x1ç<Hlos 1m tempo. a ':.iérie (:, dila uuifonne. 
TEOREMA 5.2. 
O va.lor de wua série u.nifon ne de n pagaruenlos iguab a P, wu tempo a ntes elo primcirn 
1 -(l+i)-n 
pagamento, é, sendo i a truca de juros. igual a A = P . 
1. 
D EMONSTRAÇÃO. 
p p p p 
1 t t t li t 
o 1 2 3 li 
Fig;ura 5.5: Série uniforme. 
O valor da sC-rie ua ('poca O é' 
p p p p 
A=-- + + +· .. + . 
l + i (1 + i)2 (1 + ip (1 + i) 11 
que f' a sollla de 11 termos <lc uma progressão geornét rica . temos 
( )
,, 
1 - _1_ 
p l-1 
A=--. i 
1 +1 1--1-t 
1 - (1 + i) 11 
=P . 
l 
O C'orolário scg11intr tnH<l, do ni.lor ele uma renda perpél ua. Reudas perpétuas aparecem 
em locaçõ<'s. Com rfc,ilo . quando se al uga um hcru, cede-~e a pos.se uo mesmo Clll troca de 
Lun alugu<'l. rligFi mos. mcusal. Entilo. o couj unto dos alnguéis c:ousli l ui uma rcu<la perpétua ou 
perpettúdadc. 
100 
Sl~HIES trNTFOHl\lES C'.\l'Í 11 ·1,0 _.-, 
COROLÁRIO 5.3. 
O valor de uma perpetuidade de Lerruos iguais a P, um tempo antes do primeiro pagamento. 
(, . sell(lO , a taxa de juros, igual a ~ . 
1 
Ü EMONSTRAÇ.Ã.O . 
Basta fazer n tender pa.n.t infinito no Tcor0ma. 2. 
EXF~IPLO t:3 
Um hem. cujo preço é R$ 120,00. é von<li<lo em 8 pre:, l ações mcnsa.is iguaü,. a primeira sendo 
pnga um mês após a compra. Se os juros são <le o/c ao wês. det.erruine o valor elas pTestações. 
Solução. Cm peq 11eno rom r.nt á rio : cssi:u-, prcstaçõm, são <li Las postccipaclas. pois a primeira 
prestação só é paga urn trmpo clepoii::; da compra. 
120 
o 
p p p p 
1 r r t li r 
o l 2 3 8 
Figura 5.6: Pagalllcnto em parcelas. 
Igualan<io os yaJores na época O ( essa é a csrolha naLnraJ da claLa de compara<;ão: um tempo 
filltf>s do primeiro trrmo ela sé-ric), obtemos: 
120 
p 
As prestações são de íl $ 20. 8. 
E XE:\ll' LO 11 
p 1- ( l + 0, 08)- 8 
0,0 
120 o. O - 8 = 20. 88. 
1 - 0. 0 
ü ru hem. cnjo preço à vista é R$ 120.00. é vendido ('m 6 prestações mensais igu ais, antecipadas 
(isto é, a p1imcira é paga no at o da compra). Se os jmos são de 10% ao mês, determine o Yalor 
das prest a<~Ões. 
101 
(' \l'Í"I t Lí 1 .-, .\l.\"i El\L\TH º. \ f1:,. .\:,.('EJH .\ 
120 
o 
p p p p p p 
r r r r r r 
o 1 2 3 5 
Figttra 5. 7: Caleulando o Yalor da presta,ão. 
Solução.Igualando os valores na é'poca -1 (essa escolha. qne pode parerer exótica. é muito 
conveniente pois dispomos de uma fórmula que cakuln cliretamcnt c o valor da sé>ric nessa época) . 
obtemos: 
120 =Pl-(l+0,1)- 0 
1 + 0.1 O, 1 
P ~ 2.5. 05. 
E'\F\lf'LO l:i. 
e o d.illlteiro rnle 17[ ao mês. por q11at11 o cle\"e ser alugado nm imóvel <1uc ,·alc 40 mil reais? 
Solução. Q uamlo você aluga um iruó\'eL vo<:ê çe<le c1 posse elo iwóvcl cru t.roC'a <le uma rernla 
perpétua cujos t.cn11os são iguais ao Yalor do êliUbrucl. Entàu. o valor do iwóvcl deve ser igual ao 
valor elo conjuuto ele a luguéib. Temos. ele ac·orc.lo c-om o Corolário 3. 
p p . . 
-10 = - = -
0
- = -10 x O. 01 = O.-! nul reais. 
i . 01 
E'(E~lPLO 16. 
Heleua tem dua." altc•ruativas panl ohtC'r uma copia<lorn: 
a) Alugá-la por 35 ao ano. ::-.Iesse caso. o locador se responsabiliza pelas despesas de manutenção. 
b) Comprá-la por 150. ~('SSC' C'R.'lO. já qne fl vicfa eronômirn dn copindorn é> de 5 a.nos, Helena 
venderá a copiadora após 5 anos. O valor residua l da copiadorfl após 5 anos é de 20. As despesas 
d<' ma.nut<'nçào são ele responsabilidade ele Helena e são de .-, por ano, nog dois primciroi=, anos r 
de por ano. nos anos segnintrs. 
Sr o dinheiro vale 7% ao ano, qual a melhor opção? 
Solução. Vamos tomar rCC(>Ítas como posi1·ivas e clE'spesas como neg.-üivas. 
O flmw de caixa de Helena na scgnnda alternativa é> r<"presc'ntacio na figura 5. 
Vru11os detn111i1rnr o Auxo uniforme equi\"almte. reprE'senté'lclo ua figi1rn 5.9. 
102 
-150 -:J -5 
r r t 
O 1 2 3 
- - :.W-12 
t t 
Figw·a 5. Flww de caLxa na segunda altematiYa. 
p p p p p 
1 r r r r r 
o l 2 3 1 5 
Figura 5.9: Fluxo uuifonue equivalenle. 
lguafauclu os valores ua época O. ohtmum, 
(' \l'Í 11 l.<J -) 
_ 1
50 
__ 5 ___ 5 _______ + _ 1_2_ = p_1 _-_1_, _o-_, -_
5 
1.07 1.072 1.073 1,074 L. Q7fi 0,07 
Daí. P = -39, 7 . Comprar a ropia<lora é cquivalemC' a tC'r um r usro anual dc> 39.7 . Como o 
aluguel corresponde a nm c11.sto nnur1.J d0 35. ft m0ll1or nl10.rna1.iva para Helena é alugar. 
103 
1 
( ' .\l'Í 11 ·Lo .-, \ l.\TE:\I. \TI< ·.\ f 1 '.\ . .\ '.\( 'EIH . \ 
Exercícios 
5.1. Invrstindo R$ -150.00 você retira. ti pós :i meses. H$ G00.00. A q11c f Hxa men::ial de juros 
rendeu SC'll investiruculo? 
5.2. Dc>tcnuiue a!> Laxas m<'nsais cquivHlenLes a 100o/t ao auo e a 39~ ao l.rimestrc. 
5.3. Determineª" taxas anuai::, equival<'ntcs H Go/c ao mês e a 12í{ no trimestre. 
5.4. Dei rnuiuc ru; taxas cfrt h-as anuab equi,·aleure a: 
a) :30% ao a.uo. com capitalização mfilLSal. 
b) 30'7c ao ano. colli capitalização rrimE>. trai. 
e) i ao ano. capitalizados k ,·ezes ao ano. 
5.5. Qunl o limite. quando k trndf' para infinito. da resposta no item e) do problcurn anterior? 
\"este caso diz-se que os juros rstão seu<lo capitalizados continuamente e i é chamado ele 
taxa instantanea de juros. 
5.6. l:se a resposta do problema auterior para dar uma definição financeira do número e. 
5.7. DrtNminc: 
a) a ra.xa efet irn trime::itral eqniYalcnte a 12% ao trimestr<' rom capit alizaçã-0 contínua: 
b) a taxa iustantãnea an 11al eq ui \'êllcnt<' à I nxa efC't i v,1 anual de 60%; 
e) a taxa inst.uitânca sC'mcstral <'quiYaleme à taxa cfeth-a anual de 60%. 
5.8. A ~lcsbla3. em vários natais. ofcrcrcu a seus clieute5 duas altcrnath-a::, <le pagamento: 
a) pagameuto de uma só vez. Wll mês após a compra. 
h) pagallienlo cm trt\s prestações meru:;ais iguais. Y<'nc·C"ndo a primeira 110 ato da compra. 
Se você fosse cliente da ~fesbla. qual seria a sua opção'? 
:i A 1[c>sbla cr-a wua cadeia de lojas de departamento:; brasileira que iniciou suas atividades cm 1912. como filial 
de uma firma francesa. e teve sua falência dC'C'retada em 1999. 
ll!A 104 
1 
1 
EXEIWÍ('IOS C'.\l'ÍTI ·1,0 :-, 
5.9. O Foto Stuclio Sonora c-omidou. em dezembro de 1992, os seus clientes a liquidarem sw1~ 
prestações mensais vinccndas. oferC'cen<lo-lhes em troca um desconto. O ue::,couto seria 
dado aos que pagassem. dr wna só Yez, 1 odas as prestações a Yei1cer em mais ele 30 clias. e 
seiia de 30o/c. 40% ou 50%. conforme fossPm pagas uma. duas ou três prestações. Supondo 
que o dinheiro valiFt 27% ao mês. a oferta era vantajosa? 
5.10. Lúcia comprou um exaustor. pag<1ndo R$ 1 0,00, um mês após a compra e R$ 200.00. dois 
meses após a compra. Se os juros são de 25o/c sobre' o saldo devedor. qual é o preço à vista? 
5.11. Uma geladeira custa R$ l 000,00 à vista e pode ser paga 0m três prestações mensais iguais. 
Se são cobradosjuros dr 6% ao mês sobre o saldo deYedor. dPtermine o Yalor da prestação. 
supondo que a primeira. prestação é paga: 
a) no aLo da compra: 
b) um mês após a com pra: 
e) dois meses após a compra. 
5.12. Ângela tomou tllll empréstimo de R$ -100,00. por dez meses. Os juros foram de 3% ao mês 
durante os quatro primeiros meses, de 5% ao m?>s durante os cinco mcsC's seguintes e de 9% 
ao mês no último mês. Calcule: 
a) a Laxa lllédia ele juros. 
h) o montante pago. 
5.13. Leigb investiu 30% do seu capital a juros de 10% ao mês e os 70o/t restantes a 1 % ao mês. 
Qual a taxa ruédia de jlli'OS obtidas? 
5.14. Lama quer comprar um Yiolão em uma loja que oferece um desconto de 3097< nas compras 
à vista ou pagamento em três prestações mensais. sem juros e sem dcsconLo. Determiue a 
taxa mensal de juros embutida nas vendas a prazo. supondo o primeiro pagamento: 
a) no ato da compra. 
h) 1un mês fl,pós ~ compra. 
c) dois meses após a compra. 
5.15. Regina Lern duru, opções de pagamenlo: 
a) à , ista. com x% de desconto. 
105 
CAl'ÍTl i LO :":> ~ L-\TEl\lt\TI( 'A F l:'-i :\NC'EIIL\ 
b) em d11as prestações mensais iguais, sem juros. venrendo a primeira um mês após a 
compra. 
Se o dinheiro vale 5% ao mês. para que valores d<' x ela preferirá a segunda alternativa? 
5.16. Um bUJJ.c.:o efetua descontos à taxa de Go/c ao mês. Qual a taxa ruensal de jmob cobrada 
pelo banro nas operações: 
a) de um mês? 
b) de dois meses? 
c) de três meses? 
5.17. Um banco cfetna descontos à taxa de G% ao mês. mas exige que 20% cio valor efetivamente 
liberado sejam aplicados no próprio banco. a juros de 2% ao mês. Essa é a chamada 
reciprocidade. Qual a ta.xa mensal de juros paga pelos tomadores ele empréstimo por dois 
meses? 
5.18. No cálculo de jmos. considera-se selllpre o ano comercial de 3GO dias, ou seja, 12 meses de 
30 dias. Essa é a chamada ,·regra dos banqueiros''. Os jnros assim calculados são chamados 
de ordinários, ao passo que os juros calculados com o ano de 365 ( ou 366) clias são chamados 
de exatos e não são usados eru I ugar nenhum. 
a) 1.-lostre que, dados o principal e a taxa anual. os j11ros ordinários produzidos em / clias 
são maiores que os exatos. 
b) Para um pTincipaJ de R$ 1 000.00 e juros de L2% no ano. <leterm..inc os jw·os simples. 
ordinários e exatos. produzidos em 16 dias. 
c) Refaça o item (b) para juros compostos. 
5.19. "G'ma conta rle R$ 700.00 vencia no clia 25 de• outubro de 1996 e foi paga em 5 de novembro 
de 1996. Quais os juros pagos, se os juros ele mora são de 12% ao mês? 
5.20. Determine a melhor e a pior alternativa para tomar um empréstimo por lrês meses: 
a) juros simples de 16% ao mês. 
b) juros compostos de 15% ao mês. 
e) desconto bancário com taxa de desconto de 12% ao mês. 
106 
EXEIH 'ÍC IUS C'.\PÍTl ' LO !") 
5.21. Henrique vai eruprest ar dinheiro a Má.ri.o. por qual ro meses e pretende receher juros com­
postos dC' 12o/c ao més. Como MáTio só preieude pagar jmos simples. qual a ra.xa mensal 
de juros simples que Henrique deve cobrar? 
5.22. Quando uma operação é pactuada por Wll n(U11ero inteiro de períodos de tempo. hã h·ês 
modos de calcular os jmos relativos a frações <le p("ríodos: 
a) Só são pagos jmos nos períodos inteiros de lempo. 
b) São pagos juros compost,o& durante todo o período. Essa é a chamada convenção expo­
nencial. 
e) São pagoi:, juros compostos no::. períorlos int eiros e juros simples uc1s frações <le período!> 
de tempo. Essa é a chamada com.1enção linear. 
fa;id(•ntemente o processo (a) se aµlica quaudo os bancos pagam e, o processo (c-). (111ando 
recebem. 
Em 5 de janeiro de 1!)96 foi feiro um im·estirnento de 300 reais, a juros ele 15% ao mês. 
Determine. pelos 1rês processos, o montante em 12 de abril de 1996. 
5 .23. (Profmat - ~IA.12 2013) .João precisa comprar uma pe,a pru·a seu carro. c:om o qual ele 
espera ficar por mais 3 anos. Ele pode cowprnL por R$1 L00,00. uma peça original. que vai 
durar todo este período. ou. por R$500.00. LUna peça alLernaliva. que dma apeuai:. 1 ano. 
Suponha que o valor do dinheiro seja de 10% ao ano. 
a) :\Iostre que. apesar do desembolso total com a peça alternativa ser maior, ela é a mais 
vantajosa para João. 
b) João acha que po<le c.;onseguir U1ll desco11to ua peça original. A partir de que valor 
vale a pena ele optar por ela? 
107 
C':\l'ÍT l ' LO G .\L\TEi\L\T JC':\ FINANC'EIHA 
5.5 Sistemas de Amortização 
Quando um banco 0111prC'sta dinb0iro ( crédüo µesi:,oal ou clescouto cfr, cl uplica tas), o t ornador 
do empr('stimo C'lllilr. llllHl 11ola promü,:,ória. que é urn papel no qunl o romad11r SC' f'omprow<'le 
n pagar ao banco, 0111 urna data fixada. urna cena quamia. q11c' é- chamada dc> rnlor de fac·p da 
promissórin. 
O baucu emãu destont.a a prouus~ória para o cliente. isl o é. recebe a promissória de Yalor dC' 
face F e elllrega ao c:liente twM quantia_ \ (nH'nor qur F. natL1rnhueute). _•\ diferença F- .\ t, 
chrunada de <lesc:onto. 
Os hnnros C'fPtuam o descoutu de RC'ordo com a fórnmJa . \ = F ( l - ri . I). oude ti é tJiua taxa 
fi_,::ada pelo hanC'o e c:luu.na<la ele la....:a <le desconto bancário ( 011 t ax;:i dC' desconto ::,imµle:::; por fora) 
e fé o prazo da opcra,àu. wedido na unidade dr rempo a qnr R0 rc>f Prr a Laxa. 
EXE\ll'LO 17 
Pedro <les('onta umfl promissória clP valor 100. colll ,·euciruenlo em 60 dias. C'm 11111 h;mco c:uja 
la.xa ele desconto é de 12CX an mês. 
a) Quanto Pedro rc•ceberá? 
b) Qual a ta.xa mc11sal ele juros que PC'<lrn e~tá pagando? 
Solução. Ora. , 1 = F ( l - dt) = 100(1 - 0.12. 2) = 76. 
Logo. Pedro rereherá agora 7G. para pagar 100 em 60 e.lias. 
Se i é a ta.,xa mensal de jmos à qual crcsrc a dívidft de• Prdro. temos 100 = 7G(l ...L i)~. Dar. 
1 = O. 1--171 = 1-!. TI %. 
Observe que anunciar a ta..xa de desconto e não a taxa eh~ juros é um ruodu sutil de fazer crer 
aos mais ingÊ'nuos Pslareiu ele~ pagando juros menores q11C' os que realmente lhes estão s<•ndo 
cobrados. 
Quando se paga partela<lam_eute um rléhito. ca<la pagameuto e fetuado tmu dupla finalidade'. 
1!mfl parte do pagamento quita os juros e outrn parte amort.faa (abau~) a dívida. 
EXE~ll'LO l ~. 
Pedro tomou um emprrstimo de 100. a jurm, mensais ele taxa 10%. Quil ou-o em lrês meses, 
pagando a cada mês os juros de\'iclus e amortizando 30% cln dívid,1 110 primeiro u1ês e 30% e 40% 
nos dois meses seg11im0s. 
Na phmilha abaixo . . 4-k, ,h. P1; e D,. são. respcct iwunellle. a parcela de arnor1 ização, a parcela 
ele juros. a presLação e o estado da dívida (isto é. o valor da dhida, após o pagamc11to da prestação) 
m1 época k. 
108 
SISTE.t,.t.\S DE AMOHTIZ.\<,'1'.0 
k pk Ak Jk Dk 
o 100 
1 .JU JO 10 70 
2 37 30 ( .JO 
3 4-l -10 4 
Para faci]it.ar a compreensão. olhe cada Unha na ordem .4.1,- . D,. .. J,.. e Pk. 
Os sistemas usuais de amurLitaçào são o sisLellla de amor-Lizaçãu c:oru;Lante (SAC') e o sistema 
[rauc:fü, de aruurüza.ção, Lambém chamac.lo ele Tabela Price (Richard Prke foi Wll economista 
inglês). O sibLema francês é caracterizado por prest.açõe::. constantes. 
E\.Ehl l'I.O 19 . 
Cma dívida de 100 é paga, C'Olll juros de 15% ao mês, em 5 rnrses. pelo SAC. Faça n p lanillia 
de fülJOrtizaçã.o. 
1 
Solução. Corno as amortizações são iguais. cada amortização será ele :: da dí,·ida inicial. 
,) 
A planilha é. portanto: 
k p,._ A,.. J,.. D1; 
o 100 
1 35 20 15 80 
2 32 20 12 60 
3 29 20 9 40 
4 26 20 6 20 
5 23 20 3 
Para faciliLar a compreensão. olhe cada Unha na ordem Ak· Dk. Jk e Pk. 
TEOREMA 5.4. 
No SAC. sendo n o núlllero ele pagament.os e i a Laxa de juros. Lemos 
Do A.,..= - . 
n 
DEMONSTRAÇÃO. 
Se a dívida Da é amortizada em n quotas iguais. rada quota é igual a 
109 
C'.\PÍTl1 LO ;_, :\L\TEt\1:-\TH 'A F l~ .\M 'EIIL\ 
O e~t ti elo dfl cihida. após k amortizações. é 
Dk = Do - kDri = 11
- kDo. 
11 li 
As dua::; últimas fórm11la:; são óln-ia:,. 
E~F.\IPLU 20. 
limo dhida d0 150 é> paga. em 4 meses. pelo sistenrn fn,ncê::;. rolll jurosde o/t ao mês. Faça 
fl planillrn dr amorlização. 
No sistrma frauccs. as prestações são coustant<'s. P E>lo T(:'orerna 4. ca<la prestação vale 
P=D 
I - o.o 
= 1;,0 = .J5. 29. 0 1 - (1 + n)-n 1 - l. 08- ..J 
k A .4.,.. ,h D,, 
o 150.00 
l -15.29 33.29 L2,00 116. 71 
2 -!5.29 3,5. !)5 D.'.34 O. 76 
3 -15.29 3 . 3 G. -Jü 41. 93 
! -!5. 29 41. !)3 :3.35 
Pan:1 mais fácil cowpreeusào. oll1E' c-acla linha 11A ordem Pk. Jk. A k e D,.. . 
TEOREMA 5.5. 
No ::.istema francês de amortização. sendo 11 o oúmero de pagamentos e 'i a truca ele juros. 
ternos 
D E~ IONSTRAÇÃO. 
n D i 
.ík - º1 - (1 + n-11 
] _ (1 + i)-(n- 1: ) 
Dk - Do l _ (l + i)- n . 
,h iD,..- 1, A= P1r-J1,;. 
A prirueini fórmula é simplcsm0ntr o Trorcwa .J e as <luas última.e; fórmulas sã.o óbdas. QuanLo 
à srg1.111cla fórmula. obserYC qne D1.: é a dívida que será liqui<lacia. posi ecipadameute, por n - k 
pagamento::; ::.uc:essivos a PJ.:. P ortanto, nova.111e11te pelo TeorcmFt 4. l,emos 
1 - (l + n -(n-k) 
Dk = P,. . . 
1 
110 
SISTE'.\f..\S 1 >E . \ !\I< >llTIZ. \(,'t',<> 
( 
1
.\[ 'Í'J 1. LI> :-1 
Substillw1clo o valor de P,,., ohtcrrmos a .;;cgumla fórmula. 
EXE~lPLO 21 
Em um mê-s cuja inflação foi cle 25%, Paulo Jorge invcst in seu capital a juros de> 30o/c ao 
mês. EvidcntcmentP, isso uãu siguifica que Paulo .Jorge tenl1a <1m11entado seu poder de compra 
rm 30o/r, pois. embora a quauti<lacle de reais ele Paulo .Jorg0 t.0nha crescido :30%. o valor do real 
sofreu uma redução. Dizeu1os uesse caso qnc 30'7< ao mes é r1 taxa 1101.uiual <le jmos mensais de 
Paulo Jorge. 
Suponlrnmos que. 110 iukio do referido mês, o rapil.al C de Pau.lo Jorge puclcsse comprar 1· 
artigos de preç·o tlllÍt ário igual a /J. Xo fim do mês. o ra.pita l passou a ser 1. 3C e o preço unitário 
passou a ser 1, 25p. Logo. Paulo Jorge pocicrá agora C'Ompra.r 
l.3C . 
~ = l. 04.r artigos. 
1. -GJJ 
O poder <le compra de Paulo .Torg0 aumentou d<-' 1% nesse m ês. 
Essa ta..xa de 4% ao mrs, à q11al cresrell o poder <le compra de Paulo Jorge. é chamada de 
ta.ca real de juros. 
EXE~IPLO 22. 
Em algum<1s situações (prazos peque11os, juros <le mora) são usadob jmos si.mplc::. e não juros 
compostos. ;'fo regime de juros simples, os juros cm cada é'poc<1 sã.o calculados sobre o principal e 
não sobre o montante ela época auterior. Por exemplo. um principal igual a 100, a juros simples 
de 10% ao mês evolui de acordo com a tabda A.baixo: 
n O 1 2 3 -1 
Cn 100 110 120 130 1-10 
\"ão há dificuldade cm calcular juros i-implc;:; pois a la..-xa incide S<'mprc sohre o c·apitaJ inicial. 
:\o uosso exemplo, os juros são sempre de 10% de 100. ou ~eja. 10. 
É cl..u·o então que. C'.,-, = C0 +niC01 o que faz com que os valor0s de C'11 formem tuna progressão 
aritmética. 
Olhando para os gráficos de evolução ele Wll mesmo principal C0 a juros df' t,axa i. a juros 
simples e a juros compostos. observawrn, que o montante a juros compostos é superior ao montante 
a juros simples. cxc0to se' o prazo for menor que 1. É por isso que jmos simples só são utilizados 
em cobranças de juros em prazos iuferiore::. ao prazo ao qual se rcfC're a taxa de juros cnmhinada. 
111 
C:\PÍTll L() :-, I\I.\TEl\1.\TIC.\ FI~ .. \~CEIH,\ 
montante 
juros compostos 
jlLI'os :simple~ 
C'o 
o 
Figura 5.10: Comparando juros. 
112 
EXEHC'ÍC ' IOS C' .\l'ÍTl "I,() :) 
Exercícios 
5.24. Cw Lelevisor. cujo preço ã vis1 a é de R$ 400.00. é vendido em dez prestações meusais iguais. 
Se :-,ão pagos juros cic 6% ao mês sobre o saldo devedor, determine o valor das prestaçõ~s. 
supondo a primeira prestação paga: 
a) no aLo da compra. 
b) um mês após a compra. 
e) dois meses após a compra. 
5.25. Se a taxa corrente de juros é de 0.6% ao mês. por quanto se aluga um imóvel cujo preço a 
\·ista é R$ 50 000.00, supondo: 
a) o aluguel mensal pago venci<.lo? 
L) u aluguel mensal pago adiantadamente? 
5.26. Supondo jw·os de 0,5% ao mês, quanto você deve inYestir mensalmente. durante 30 anos, 
para obter ao fim desse prazo, por 30 anos. uma renda mensal de R$ 100,00? 
5.27 . Supondo juros de 0.5% ao mês. quanto você deve inveslir mensalmente. durante 35 anos. 
para obter, ao fuo desse prazo, uma renda perpétua de R$ 100,00. 
5 .28. Faça as planilhas de amortização de uma dívida de R$ 3 000,00, em 8 pagamentos mensais. 
com juros de 10% ao mês: 
a) pela tabela Price. 
b) pelo SAC. 
5.29. Considere a amortização de Uilla divida de R$ 35 000,00, em 180 meses. com juros de 1 % 
ao mês. pelo sistema francês. Delermille: 
a) o valor da centésima prestação. 
b) o esi.ado da dívida nessa época. 
5.30. Refaça o problema anterior pelo SAC. 
113 
C'..\l' ÍT l .LO 5 I\ l ATEl\l:\TIC'.·\ F l ~A:\'CEIRA 
5.31. Cousidere c1 amortização de uma dívida em 150 meses, com juros de 1 % ao mês. pelo sistema 
francês. 
a) De quaulo SC' reduzirá a prestação. dobra11do-s0 o prazo? 
b) Que fração cht dívida já terá ::;ido amortiLada ua época elo 75° pagamento? 
5.32. Considere a amorüzação de uma dívida em 150 meses. colll juros de l~ ao mês. pelo SAC. 
a) Dc> quanto S<' reduzirá a prci-tação inicial. dobrando-se o prazo? 
b) Que fração da dívida já terá sido amortizada na époc:a do 75º pagamento? 
5.33. L"ma lanterna de Gol. original. rusta RSi 280.00 e tem vida útil ele 5 anos. Urna lanterna 
alternativa custa R$ 70.00 e tem vida útil de 1 ano. Gilrnar prC'cisa trocar a lanterna de 
seu Gol. Considere que o dinheiro vale 12% ao ano. que lanterna ele deve preferir? 
5.34. "Cm equipamento pode ser alugado por R$ 75,00 wcusais 011 cowprado por R$ 2 000.00. 
A vicia útil do equipamento é de 30 meses e o valor residual ao fim desse período é de R$ 
300.00. Se o equipamento for comprado. há wu custo mensal de RS 5.00 de manutenção. 
Considere o \'alor do dinheiro de l % ao mês. qual deve ser a decisão: comprar ou alugar? 
5.35. As cadernetas de poupança renderam l -!1 6o/c cm um ano cuja inflação foi de 1 109%. Qual 
a rentabilidade real? 
5.36. (Profmat - l\IA12 2011) l'ma venda imobiliária envolve o pagamento de 12 prestações 
mensais iguais a R$ 10.000100. a primeira no ato da venda. acrescidas de uma parcela final 
de R$ 100.000.00, 12 meses após a venda. Suponha que o valor do dinheiro seja de 2% ao 
mês. 
a) Se o comprador preferir efetuar o pagamento da parcela final j1mto com a última 
prestação. de quanto deverá ser o pagamento dessa parcela? 
b) Se o comprador preferir efetuar o pagamento à vista. qual deverá ser o valor desse 
pagamcul o Cuüco? 
5.37. (Profuiat - MA12 2013) Paulo economizou durante muitos anos e tem. hoje, R$ 500.000,00 
aplicados em um investimento que rende juros de l % ao mês. A partir do próximo mês. ele 
pretende fazer uma r<'tirada mensal de R$ 1.000.00. 
a) Seja Sn o saldo que resta da aplicação, após fazer a n-ésima retirada. Ex.-prima s11+ 1 
em termos eles,,. Dê também a condição inicial da recorrência obtida. 
114 
EXERCÍCIOS C' .\l'ÍTl. 1.0 --> 
b) Obtenha urua e.'<'.pressão para s 11 em função ele n. 
e) Qnal é a retirada mensal máxima que Paulo pode fazer de mo<lo que o saldo ela 
aplicação nunca se torne negativo? 
115 
( '.\l'Í"ITI.O 0 \ l .\Tl-:1\1..\TH '.\ Fl:'\ .-\:'\( ·EtH..\ 
116 
ANÁLISE 
COMBINATÓRIA 
C'.\l'Í'I \"l.( l (j ;\~ALISE C'O:\lBIN:\TÚltl:-\ 
6.1 O Princípio Fundamental da Contagem 
O princípio fundamental da. contagem diz que sr há .t modos de tomar 1w1a decisão D, e. 
lomada a derisão D1• há .lJ modos de tomar a decisão D2 , então o número de modos de lomar 
Rucessiva.mcutc as decisões D 1 e D2 é> :ry. 
Exn.11•Lo l. 
Com f, homC'ns c 5 mnll1eres. ele quantos mo<los se pode formar wu casart 
Solução. Fornrnr um ra::;::ll <'qtúvale a tomar as dcc:isõe~: 
D1 : Escolha <lo b.omelll ( 5 modo::,). 
D2 : Escolha. clfl nmlllcr (5 modos). 
Tiá 5 x 5 = 25 modos de formar c;asal 
L'XF'. J\ IPLO 2 
Uma bandc,ira (> formada por 7 listra~ que devem ::,er colorida::, m:,r'l 11do i:lpena::, c1::, cores vcrdP. 
~ui e• ciuza. Se c-adfl listrn dew' t <'r ê1 penas umacor e uão sr pode usar cores i.e;ua.is ew Listras 
acljac·entes, de quantos modos se pode colorir a bandeira? 
Solução. Colorir a hnncleirn cquivfl lc a escolher a cor ele cada lisLra. Há 3 u10dos de escolher a 
cor da ptimeira listra e. a partir daí. 2 moclm, de escolher a. cor de ca<la. tlllla das oulrn.s (3 li:-tras. 
A resposta é :3 x 26 = 1 !)2. 
E'\ Et,. lPLO :~ 
Quantos são os 11úmrros <l<' trôs dígitos distintos? 
Solução. O primefro dígito pode ser escolhido de 9 mudos. pob ele> uão pode ser iguaJ a O. O 
~cgundo dígito pod0 sl'r m,colbido ele D modos. pois não poclc> ser igual ao primeiro dígito. O 
terceiro dígito pode ser escolhido de modos. pob mio po<le ser igua I uem ao primeiro uen1 ao 
segundo digi t.o. 
A resposta é 9 x 9 x = 6-l8. 
VoC'ê dcYC tc'r percebido nesses ex0mplos qual é a rstraté'gia para resolver _µroblemas ele Corn­
l>iuatória: 
l) Pos/.u.rn. Dennnos sempre nos colocar no papel <la prnsoa. quc de,·e fazer c1 aç~o soli<:it ada 
J)f'lo probleuia e ,·er que clcch;õeb devemos tomar. :'\o Exemplo 3. uós nos e-alocamos no papel ua 
pessoa 4ue deveria escrever o número de três dígitos: no Exemplo 2. nós nos colocamos no papel 
118 
O PRINCÍPIO Fl .>JDAl\lENTAL D:-\ CoNT.\CEi\l C'\l'ÍJl'L() (i 
1 
da pessoa que cle,·ena colorir a h~ncleirn: no Exemplo 1. 116~ nos C'olocamos 110 papel da pessoa 
que de,·eria formar o casal. 
1) Divisão. Devemos. sempre que possível. d.i\-iclir as c.lecisÕet, a serem t.owadas em decisões 
maig simples. Formar nm ca""al foi <lh·idido em escolher o bumem e escolher ,1 mulher; colorir a 
bandeira fo i dividido cm colorir <'ada listra: fonmu· um ufunero de três dígitos foi dividido em 
C'scolher ca.da um do::< t1w; dígitos. 
Vaillot. rnltar ao exemplo anterior - Qnantos sã.o os números de três dígitos distintos? -
para ver como algumas pf's1'oas r01u:.eg1.10m . por erros de cstratégfa. tonrnr colllplicadas as coisas 
maü> ::,i1uple::,. 
Começando a escolha <los dígilos pelo úll imo cUgi to. há 10 modos <l<' escolh<'r o último digito. 
Em seguida. há 9 moclos de escolher o dígilo cenLral. poi::, uào pocle1Uos repetir o digito já usado. 
Agora 1,emos um impasse: de quamus mudo podemos escolher o primeiro <lígito? A rrsposta é 
.. depende'·. Se não t ivermm, m,adu o O. haYerá 7 rnodos dC' escolher o primeiro <lígito. pois não 
podewmos usar nem o O uem os dois <lígiLos .iá usados na.e:; dC'mais casm,: s(' já t i vNmos usado o 
O. havcHí 8 modos c.l e ei·icollier o µrirueiro dígito. 
Um p,1sso imporrRilt(> na estratégia p<1ra resolver problemas <le Cuu1bi11atÕl·ia é: 
3) Nü.o adiar chfic·uldades. Pcquenfls difiruldades adiadas cost tumuu se tn.u1sfurmar em imeILsas 
clificuldadcs. Se nnrn das cler.ii:;õcs a scrC'rn tomada.o;.; for ma.is restrita que as demais, e::,sa é i:t 
dec:i:3ào que deve ser tomada cm primeiro lugar. No Exemplo 3. a csc:ollia <lu primeiro dígito 
era uma decisão nrnis n'St rita do qnc as outras. pois o prinwiro dibrito não pode ser igual a O. 
Essa é porLanLo a decü,ão que deve ser tomada em prinH'iro lugar e. couforrne acabamos <le ver. 
postergá-la só serve parn causar prohlenrns. 
E,L\11'1.0 1. 
O código >. Iorsc usa duas leLras. µuulo e traço, e as palanas têm d0 1 a. .J letras. Q uantas 
são as palavras <lo código ~lorse? 
Solução. Ilá 2 palavras de Ulila letra. Há 2 x 2 = .J palavras de duas letras. pois !Já dois 
modos de escolher a primeira letra e dois 111odm, ele esco lher a segt111da lrh·fl; flnalogrunente, há 
2 x 2 x 2 = palavra.-; de três l<'tras e 2 x 2 x 2 x 2 = lG paliwras de> -1 lr-tras. O número total 
de palavras é 2 + 4 + 8 + 16 = 30. 
EXCT\lJ>LO 5. 
Quaulos divisor e.c:; inteiios e positivos pm,sui o uúrucro :360? Quantos divisore.'> são pares? 
Quaulos são ímparet.? Quantos são quadrados perfeitos? 
119 
l'.\PÍTL.LO (i .-\~.\Ll~E CO'.\IBl:'\ .\T()HJ..\ 
Solução . a) 360 = tt x 32 x ,3 . Os clivic:;ore:- imei.ruc., e po8iL.ivm, <lc JGO são os núnH'ros ela fo1111a 
2(l x 3'1 x 51 . com 
n E {O. 1. :2. :1} . d E {O. 1. :2} e -, E { 0. 1}. 
Há ~ x :1 = 24 maneira.'- de e~l'olher o:, cxpoentf's n. J r ; . TI~ 24 l divi<.;ore..,. 
b) Parn o rliviflor sC'r par. n não prnk' sei O. Há :J x 3 x 2 - 18 dhison's par<'1>. 
e) Para o divisor ser Ílllpar. n drn'r Sf'I O. riá 1 x ;3 x 2 = G di\'h,urc:, hnparc.:~. C1nro q11e 
pucleríamo:-, ler êldrndo essa r0spnsta :-;uhtraindu (a)-(b). 
<l) Par1:1, o divisor :,cr 4uach-ado 1wrfr,ito, os C'Xpo<'rn es n: .-J C:" 1 dc·VC'u1 sP.r l.>cm.'s. llá 2 x 2 x 1 - -! 
cliYisore~ que são quadrados perfcitos. 
Ex1 ,11'11) ti. 
Quauto::, :,ão o::, 11úlllero::, pares de trfü, dígito:-, di:-itinto;? 
Soluçã o. Há .5 modos de esrolhcr o último clígilo. l\<>1e que <'otue,amus pdo últ irno dígito. qne 
é o uw i:, reslrit o: o úl limo dígito ::.ó porlC' :-,('!' O. 2. ~L G ou . 
E111 seguida. \'rtmos ao prrnH'iro rligi 1 o. Dr q 11,m to:-. woclrn, :--.t> po<lt:• t'8<'ollwr o primt>iro dígito? 
A re:,posla é "depende··: 8C não tfrNmo:--. 11s1Hlo o O. llaverá ci n,o<lo~ de mwnllH'r o priuH'iro <lígirn. 
pois uão poderemos nsar nc'111 o O nrrn o dígito Ilhado na i'Llliwa c:m,a: se tiwnum; usarlo o O. 
haverá 9 woclo:, de escolher o primeiro cügito, pu~ apena...., u O uãu puden1 f.cr 11'-iarlo 1rn primeira 
Céllia. 
Esse tipo de impass<' é com1m1 na n'soluçào <lP problemas e há dois UH'torlos ele \'C'ncc-lu. 
O primeiro mrto<lo consis1P c111 voltar atrás e> c·oular scparada111e111f'. C'ontftr<'mo:, scparatla­
rneutc o:, 11ú111crm, q11c tC'l'mi11am cm O e os que não terllllllcllil 0rn O. 
Para os qnc rcrruimwt <-'111 O. há !) wudu!> <le estollier o prirneiro dígito e 8 moei.o::. tle e...,culJwr 
o clígilo ccutrnl lüí I x 9 x 8 = 72 núrnc->roi, yue tcrlliÍl1clll1 nu O. 
Para os qnc' não t <'l'llÜuau1 c.'ill U, ltá -1 mudo::, <le escolher o último dígito. 8 modos de C)S('olher 
o primeiro e 8 modos dr <':-.mlhcr o cügito ceutral. Uá 4 x · x "= 2:;(i númC'ro,;, c1uC:" nau lC1r111iuaw 
cm O. 
A resposta é 72 + 2.56 = 328. 
O sc>gundo rné>r.oclo cousi-,le Clli ignorar tillla dN> rep<'tiçõc•::, do problema. u q11P 110!'> fará rnntar 
crn dcma:-;ia. D0pois d0~wontaremo:-, o que houver sido contndo indc>Yiclanwu1 c. 
Pri.meinitnC'IH<' fazt"mos UC' c·o11t.a que o O pode ::,er usado na primeira ca:,;a do nlhnero. Pro­
cedendo assim. há 5 modos de e~C'ulhe1 o último cügito (só pode SC'r O. :2, -L G uu ). 9 lllodus de 
escolhrr o primeiro digito ( não pu<lemm, repetir o digito u:,;aclo 11a última c.:ru,a: nule que estamos 
permit in<lo o nso do O na primeira. ca::,a) e 8 modos <lC' C'scollwr o clígit.o <'<:>nlral. Há 3 x 9 x = 360 
números, flí inclusos os que comec;a.111 por O. 
120 
O P H L\ CÍPIO F l' :\ l H '.\ 1 F.:\ f .-\ L O.\ ( 't ):\T. \CD! C'.\l'Í'I l ' LO (i 
Agora vamos clelermiuar qrnmtos desses números cuweçam por 7,ero: são C'sscR OR números 
que foram couta.dos 111cle,idanlC'nt<'. Há l wodo de esculhcr o prim~iro dígito (t0m q11<' ser O) . 
.J. mudos de escolher o último dígito (só pode ser 2. -1. G ou ' - IE'rnhrC'-RC' qu0 os dígitm, são 
clislintos) e 8 modos de csrolhcr o dígito central (não podemos rcpc>tir os rlígilos jn 11sR<los). Há 
1 x 1 x 8 = 32 11ím1crm, começados por O. 
A re1:>pusLa é: :.360 - 32 = 32 . 
É claro que este problema poderia ler sido resolvido <.:0111 lill1 Lruqne. P;trn clel.ermi1rnr qrnm­
tos são os uúmeros pares dt=> três dígitos distiutos. poderíamos fazer os ni'1m0rot-. d0 rrrs clígil.os 
distintos menos rn, números ímpares de Lrês clígit.os <l..i::;tinlm,. 
Para os uúrueros de três wgi t OR clistiuLos. há 9 mudos de escullicr o primeiro digito. 9 mn<los 
de escolher o seg1mllo e 8 modos de cscolber o último. Há 9 x 9 x = G4 números d(' tTes dígitos 
<list inL os. 
Para. os números ímpare~ de três dígitos distintos. llá 5 111odo8 de rscolhcr o úlLimo dígito. 8 
modos <lt' esC'Ollier o primeiro e modos <lC' es<"ollier o dígito e-entrai. Hã 5 x x = 320 números 
ímpares de três dígito::. clist.i11tm,. 
A resposta é : 64 - 320 = 32 , . 
121 
C' .\l'ÍTl "LO (j..--\:\'.\LISE C'O'.\IBl:\' .\T()H!:\ 
Exercícios 
6.1. Quau!os são os gabaritos possívC'b de Lilll t <'&lc do lO questõ<•:-- ele 111últ ipla-escolhH. corn 5 
allcrm1t ivru, por qucstao? 
6.2. Quantos subronjnntoi, possui Lllll C'onjunto qur te1u II elemeutos? 
6.3. D<• quantos 111odos 3 pessoas pod<'m c:;e "iPllt ar em 3 < adeiras rm fila? 
6.4. DC' q11anlo!:> moe.los 5 homens <' ,5 1milliere::. podem S<' c::;eutar cm 5 bauco~ de 2 lugarei. se• 
c111 <'ada banco dew hm·<'r um homem e uma mulher? 
6.5. De quauLos mo<los pnclrrnos rolol!ar 2 reis clifrrenl <'S eru Cru:i~ uão-acljaccnles ele um Lê! bu­
leiro x "? E -;e os rPis fossem ip,uai::,"! "-
6.6. De• qmmtos modos podemos colocar torrrs iguais em Lllli Lalrnl0iro 8 x ,. de modo que nl'io 
haja duas torre'::. na weswa liuha ou na lll<':-.ma coluna'? E se• as torrei-; fos::,em diforentes? 
6. 7. 0 0 mn baralho comum de 52 rart FtS. saC'am-se sucessivamente e sem reposição duas cartas. 
DC' quantos 111o<los il:>!)o pode ser f Pito ::.e a prillleira cmrn <lew s0r de copas e a scguuda não 
dC'V<' l',Cr urn rei? 
6.8. a) De quantoi:, modm; o número 720 pode ser decomposto eru tun produto de dois iuleiros 
positivos? . \qui ronsid<'nllllOb. 11at uralmeut<'. x 90 c-omo ::,cudo o mC'smo quC' 90 x . 
b) E o número 1--14'? 
6.9. Em um corredor há 900 armários. uumcrndos dC' l a 900, inicialmente todos fechados. 900 
ppssoas. muucra<las d<' 1 a 900. at rave~êUll o corrC'dor. A pessoa de uúmcro k re,·erce o 
e::,lac.lo ele lodo:, os armários cujos números são múltiplos de k. Por exemplo. a pes:5oa de 
n(unC'ro 4 mt'xe nos armários de números t . J 2 ..... abrindo os q1w C'l1ronl rn ÍC'd1a<lo~ e 
fechando os que cnrnntra abertos. Ao final. quais rirntários fkmão abertos? 
6 .10. Dil:ipomos dc 5 cores clistiutas. De quanl os modo:, pu<leillos c·olorir os qual ro quadrantes dc 
um c·írculo. cada qua<lranle com urna só cor. se quadrantes ruja fronteira é urna linha não 
podem receh<'r a mesma cor"? 
6 .11. De quantos mudos podemos formar uma palavra ele 5 letra:, ele um all"abeto d<' 2G letras, 
se a letra A <leve figurar na paltwra ma..'> não pode scr a primcira letra da palavra.? E se a 
palana devesse ter letras distintas'? 
122 
E XEIWÍC' IOS ( ':\PÍTl ·L o 6 
6.12. As placa" dos veículos são forwadas por três letras (de um alfabeto d<' 26) seguidas por 4 
algarismoi::.. Quanlas placas poderão ser formada.:,? 
6.13. Um vagão do metrô tem 10 bancos indh'i<luais. ::.eudo 5 de frenLe e 5 ele costas. De 10 
passageiros, -1 preferem sentar de frente, 3 preferern senlar de cosLas e os demais não têm 
preferência. De quantoi:. modos eles podew se &enlar. respeitada::. as preferências? 
6.14. Escrevem-se os inteiro& de 1 aLé 2 222. Quanta& veze~ o algarismo O é escrito? 
6.15. Quantos silo os inf eiros positivos de 4 dígitos no::. quai:,, o algarismo 5 figura? 
6.16. Em uma banca há 5 exemplares iguais da ·'Veja'\ (j exe111µlru·es iguais da "Época·' e .J 
exemplarec, ignais da ··Isto éº'. Quantas coleçõe::, não vazias de revistas <lesba banca podem 
ser formadas? 
6 .17. "C'ma turma lem aulas as segundas. quartas e sextas. de 13h às 14h e de 1411 às 1511. _tv, 
matérias são ~Iatemática. Física e Química. cada uma com duas aulas i:;eina11aib. em días 
difercu1 es. D<' q 11autos modos pode ser feito o horário dessa turma? 
6.18. O problema do Exemplo 1 da Unidade 11 - Com 5 howens e 5 mulheres. de quaut.os ruodos 
se pode formar um casal?- foi resolvído por nm alw10 do modo a seguir: '·A primeira pcsso,1 
do casal pode ser escolhida de 10 modos, pois ela pode ser homem ou wullier. Escolhida 
a p1imeira pessoa. a segunda pessoa :,ó poderá :,er escolhida de 5 modos. pois dern ser de 
sexo diferente da primeira pessoa. Há portanto 10 x 5 = 50 modos de formar um casar. 
Onde está o erro? 
6.19. Escrevem-se números ele 5 dígito~. inclllbive us começados cm O, cm cartões. Cowo O, l e 
não se allerarn ele cabe<;a para baixo e como 6. Je cabeça para baixo. se tra.01:>forma em 9 e 
,·íce-versa, um mesmo cartão pode representar dois números (por exemplo. 06198 e 6190). 
Qual é o número núuimo de cartões para representar todob os números de 5 digitos? 
6.20. Qual a so1Ua dos divisores posíLívos <le 360? 
123 
CAl'Í 11 ·1.o G .\:\.\l.l~I·: ( '< l'.\IBL\ .\TÚHI.\ 
6.2 Pcr1nutações e Co1nbinações 
[lá alg1111s (plHl<:Us) prohlc>11H\s d1· Con1hinatónr1 que. L'l11bora st•jnm aplic·ac;ões do priucípio 
lifo,ku. apnrecc111 t 0111 muita fn•qnênrin. Para Ps:--0.s proi>le111tts. \'ai<- ,l pc>nR saht>r de <'<>r fü:, 8Uêlli 
n"-,post rt!--. O pritut>i ru tlt·ss< ·s pro hl<•mas <' o: 
l'mli/t ,na da,; JU r1111doçm,.... ,1111pl< .'i: DP quautos uwdos pockrnos urcleuar em fila II ohjc•tos 
dbt iulrn:,'! 
.\ Ps<'oll1r1 do o1,jC't o q11e m·11pará u prinwiro lngnr pnclP SC'J fcit a de II rnodos: n C'c:;c·ol11a cio 
objeto que ocuparfl o sc•guudo lugar pode SC'J' f1•1tn dr n - 1 modo::,: a e::;c·olha elo ohj<•t o que· 
u1·11pará o 11'1-rriro l11gM pode sPr feitu dt> n - :2 modos. C'II' ... : a <>S<'ollm do ohjrto qnc> nn1parú o 
último lugar podr s<'r fc•ita ele• 1 111odu . 
.-\ rt>sposta (• n\n - 1)(11 - 2) · · · l = 11!. 
Cada urdc•w qnc' s<' dá fins oh<-'.i t m, é c_·bamacla ele mua pc-rrn11h1çfü.1 shuples <los obj<'to:-;. Assi 111 , 
por exemplo. a.-, pennutaçõrs simplC', da!:- letra!- o. b e r "ªº (olw). (<wl>). (bac), (brn). (('(Jb) r (dm). 
Porta11t11. u u(mwru de p<•nrnttnc;rn·s simplP .... clt' 11 objC'los distmtos <' P11 ~ 11!. 
,·,r,· lf «, -
Quaut.rn, :-.ão os ;111agra11 ta!'i <la pala vrn ··ralrn "? Quru.11 o!-. co111cc;a111 C'Orn ro11soru1t e:,? 
Solução. e nda a11r1gnW1a c·une:.pondl' a uma ordc·m ele rnlucaçãu des:-;a." :i lrt ras. O 11í1111ero de 
auay;rama:-. <' ?,.,., -= G! = 120 
Para formar nm anagrauw 1·omt•<_ado por <'onson11tr> dC'vrrnm, priuteiranwntr esrolht-•r a c:011-
-;oante (:3 modos) ~ dc>pms. antuuru a~ quatro lc>t rns re:-;ta11le::. em :,C'gtúda à ronsoantc (·!! = 21 
rno<los) . llá 3 x 2-1 - ,'2 mrngra1I11:b com<'çado::- por ronsoa11 te. 
l:Xf\!J'IU S, 
De qnnntos modos pu<leu10s annmnr P.111 tila [> li\Tm, diferente:, clC' ~falcrnática. 3 liHos ciifr­
n•utc's de fü,tatbliC'a l' 2 Ih rm, cfüer<'IllC''- ciC' Física. de modo qtt<' li nos <le Ullla lllt'!:>llta matéria 
J)t'I'llUUlC'ÇlllU j1rnt o:-.'! 
Solução. Podemm, e::icolhcr a onl<'m dn:s nrnlP-rias d<' 3! modos. Feito isso, liá 5! modos de 
<'olocar os li\Tos d<.' >.lawurntica nm, l11gare::i que llic foram rlc>st ir1t1dos. 3! rnodos para os d<' 
E::,tatísti<'a e 2! modo:, para os de Físil'a . 
. .\ re::iposra é 3!j1J!2! = G x 120 x 6 x 2 = G 10 
., ~ 12-1 
PERl\llT\Ç'ÔES E C'Ol\1131:\'.\~'ÕES (\\l'ÍTlºLO (j 
E,r,11 ·1,, 11 
Quantos sàu os nnagrm11fü; ela pala, rn "BOTA.FOGO'.? 
Solução. Se a:-. lt>I rns foss0m clifr•rentP:- a n'~pusta S<'ria ~l. Como as l re:-. !Pt 1 as O são ig11ais, 
quando a..., t rocaI11os P.lllr<' s1 oht<'mos o UH'~u10 auagrarna e uão 11m ,magranrn cfü,tinto. o que' 
ac·o11l<'c·nia ::ie lrn,~wrn <liJ<'rPnt0s Ts:-.o faz 1·0111 que un nossn C'Oorng0111 dP '! 1eul1au1rn, c·o11tadn 
o m0s111u a11agTai11u várias \'PZC'S. :1! n•zc·:-. pre<:i::.ame11le. poi::i hJ :1! n1oclo::, dl' troc-aJ w; lPtras O 
f'Ull'!' :,Í. 
'\! 
.\ re::.pot-i!ê-l <' :-, - 6 720. 
:1. 
l)p rnu<lo geral. o ním1Pro d(' pP1111tlléH,'lH'::, de 11 objt'tos. do:-. quais n ::ià, 1 iguais u A , .3 são 
TI! 
igm1 IS H lJ. ", sJu ig uai~ a (', <'t C' . [' P,',' 1,- •. 
E,i:'lPl o 10. 
D<' qunntos morlus pucleillos dividir ' obJ<'I os <'lll uw ~ru pu de• 5 ol>jel o:; < um de 3 ubjetoh'? 
Solução. l" 111 prnc·c•sso <le fazer a <lfrisão {:, C'olo<'i-11· o:-. ohjPtus l'lli fila: os :'> prm10iros fonwuu u 
gr11po d0 5 P os :3 tilt irnu:::; formam o grnpo dC' :t 
TTá 8! llloclm, d<' <'olocar o:, ohJetrn; cm filn. . 
EntiPtnnto. uote que filas como al)('dr 1 .(9/, <' lH,rl<'< l yl,f são filai, clilerPntcs e geram a um,ma 
divisão <lP grupo:,. Ca<la cU,·ibão em grnpns foi e-untada urna YCZ para nH1fl ordr111 dos ubjelo:, 
ci011trn<le caria grupo Há 5!3! nwdos cif' nrrum..u· os objetos em cada grnpo. Cachl cli, ü,ão ew 
gr11prn, foi t·oula<la 5!3! vezci,. 
8! 
A rC'sposta é --i---
3
, = 5ü. 
5 .. 
O segundo prnblPma irnµortLUll(' é o: 
Pmbh mo ela~ tombiriaçôf's s1111plt:s: De c111i-t11I u:, rno<lo::i poclc•rno:-, sC'lC'<'iouar p objPtos ilistimos 
c'1llr<> n objetos diF-l iutos dados? 
Cada sC'lN;fin de• p ob.i<'L"s é chaurnda de uma C'ombinaçao simplt=>s de clê.u;He JJ dos II ohjC'tos. 
s\ssim. por C'XC'rnp1o. ê-l'> 1·0111biuações sirn plei, ele clo.l-i!'>C 3 dus objetos u..b.c.d <' são {(J,b.c}. 
{a.lJ.d}. {n.h., }. {a.r, d}. {u.c,e}, {a.d.r}.{b.r.d}. {b.r·.r }. {b.d.c} t' {c.<i.P}. Rrprrscntnmo:-. 
o númf'ro dr rn111biuações sirnpleh de dru,se JJ d<' n elemento:, por C!: ou G). Assim. CJ = (~) = 10. 
Para re>solver o proh]Pma das t·ornhiirnço<'s .:iimpl<'s ha ..... l a notar qul' .seledonnr 11 0111 rr os n 
ohjf'tos <'qnivale a. dividir rn, 11 objeto~ c•m um grupo de JJ objetos. quc> 8ào srl~riona<los. e um 
grupo d1' 11 - p objetos. que são o~ não sc'lcC'imrndm,. 
Essr. r o problc.,rna <lt' Exemplo -! e a resposta é 
('P = n! 
,, p! (n - p)! . 
125 
C.\PÍTllLO (j A~.\LlSE C'W,IBl~.\T()HI.\ 
Ü BSEHVAÇÃO 6. 1. 
As notações C~ e C11 .p para denotar o mÍillero de combinações 5imples ele 11 elemenlo:; f.omados 
p a p são mais comuns elU livros para o Ensino ~Iéclio no Drnsil. Em Lextos mais avançados. a 
notação mais usual é (;) . 
EX!:.. li' LO 1 L. 
Cnm .5 homPns e 4 llltillien•s. quautac; collllssões de 5 pessoas. com ~x,1tnn1cmr 3 homens, 
podem sf'r formaclru, t 
Solução. Para fonnar a comissão <le,·eruos escolher 3 elos homens e 2 das rnulberes. Há CJ · C1 = 
1 O x 6 = GO C:Ollllf:>SÕP:,. 
E'\Ull'L<> 12 
Com .5 homem; e -1 mulheres. quantas romic;sõrs dr J 1><'ssoas. rorn pelu menos 3 lmweus. 
po<lern ser formadas? 
Soluçã o. Há comissões com: 3 liouwns <' 2 mnlhrr<>s. -l homem, e l 111ullier. 5 lwrneus. A resposta 
é 
cr e.~ + CJ · e] + CJ = lO x G + 5 x -1 + 1 = 81. 
FXF\tr'I u 1 :) 
Tem-se 5 µonlos sobre uma reta R e 8 pontos sobre uma rela R' pH.ralehl a R. Quill.ltos 
triâng-ulos e quantos quadriláteros ronYcxos rom vfrt icc>.s nesses pontos Pxist.e111'? 
Solução . Para fonuar uru t.rifuig11lo 011 você toma um ponto cm R e doib ponto::. em R'. ou í oma 
um ponto cm R' e dois poutos em R. O númrro de rriãnguJos é 3 · Ci + · CJ = 140 + O= 220. 
Talllbérn se poderia peusa.r rm tomar 3 dob l 3 pmJtos e cxcl 11ir dessa coutagcrn as <'scolhas 
de pontos colineares. o que daria 
cr3 - cJ - cJ = 286 - 56 - 10 = 220. 
Para. formar 1nn quadrilátero c.;om·exo. clewmos tomar dois pontos em R e dois ponto::; ern R'. 
o que pode ser feit.o de Cj · C; = 10 · 28 = 280 modos. 
126 
EXEHC'ÍC'IOS CAPÍTULO G 
1 
Exercícios 
6.21. Qua11tos são os allagraruas <la palavra ·'CAPITULO ... 
a) possíveis? 
b) que começam e lcnuinam por ,·ogal? 
e) que têm as vogais e as consoantes intercaladas'! 
d) que têm as letras e, a. p jU11t.as nessa ordem? 
e) que lêm a& letras e. a. p juntas ern qualqner ordem? 
f) que lêm a letra p em primeiro lugar e a letra a cm segU11do? 
g) que têm a letra p em primeiro lagar ou a letra a em segundo? 
h) que têm p em primeiro lngar ou a em segundo ou e em terceiro? 
i) nos quais a letra a é uma das letras à esquerda de p e a letra e é uma das letras à 
direita de p? 
6.22. De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em fila de modo que duas dessas pessoas. 
Vera e Paulo, uão fiquem juntas? 
6.23. De quantos modm, é possível colocar 8 pessoas em fila ele modo que duas dessas pessoas. 
Vera e Paulo. não fiquem jumas e duas outras, Helena e Pedro, permalleçam juntas? 
6 .24. Quanfas são as permutações simples dos números 
1. 2, 3 ..... 10. 
nas quai::; o elemento que ocupa o lugar de ordem k. da esquerda para a direi! a. é sempre 
maior que k - 3? 
6.25. De quantos modos é possível diYidir 15 alletas em três times de 5 atletas. denominados 
Esporte. Tupi e ~linas? 
6.26. De quantos modos é possível dividir 15 atletas em três Limes de 5 atletas? 
6.27. De quantos modos é possível dividir 20 objetos em 4 grupos de 3 ou 2 grupos de 4? 
6.28. Um campeonato é disputados por 12 clubes em rodadas de 6 jogos cada. De quantos modos 
é possível selecionar os jogos da primeira roda-da? 
127 
C'.\PÍTl"I .O (j :\:X..\LISE C'Ol\IBI:--:ATÓBJ..\ 
6.29. Permntarn-se clC' todas as formas possívC'is os algarismof> l. 2, 4, G, 7 e escrevern-'>e os 
números A.<;sim formados cm ordem crescente'. Det<'rminn: 
fl) que lngar ocupa 62-117. 
u) que uÚillcro que ocupa o 66° lugm. 
e) qual o 166° algarismo escrito. 
d) a soma do:; númC'ros nssim formados. 
6.30. DC' quantos modos é possível colocar .,. tapazes e 111 moças ew fila de modo que as moças 
permaneçam juntas? 
6.31. Quanto~ daclob <lifereute~ é possível formar gravando númcr<% de 1 n 6 sobre as faces de 
um cubo? 
a) Suponha uma face de cada cor. 
I>) Suponha faces iguais. 
e) Suponha qne as faces $âO iguais e que a soma dos pontos de faces opostru; deva ser 
igual a 7. 
6.32. Rc:::.olva o problema anterior. nu caso b ). para os outros 4 poliedros rcgularC's. 
li 
6.33. Determine n p~rFI que L k! seja um quadrado perfeito. 
k=l 
6.34. Quantos são os anagramas da palavra ,cESTRELAD.r\"'? 
6.35. O couj w1Lo A_ possui n elementos. Quantos são os seus snhconjtU1Los com p elemcutos? 
6.36. Uma faculdade realiza seu Yest ibular em dois dias de provas, colll ...! rualériru:. em cada 
dia . Este o.no a dhisão foi: Matemática. Pmi uguês, Biologia e Iuglés no pTimeiro dia e 
Geografia, Ilistória. Física e Química no segundo dia. De quauLos lllo<los pode ser feito o 
calendário de provas? 
6.37. Qual é o erro na solução do problema abai,"'(o? 
Com 5 homens e~ mulhcr<'s, quantas comissões ele 5 pessoas, com pelo menos 3 homens. 
poderu ser formadas'? 
"Solução: P rimeiramente vamos escolher 3 homens para a comissão, o que pode ser feito 
de cg = 10 modos. Agorfl devemos escolher mais duas pessoas para a comissão. homens 
128 
EXERCÍC IOS C'APÍTl ' I.U (i 
ou mulheres. entre as 6 pessoru, restantes. o que pode ser feito de Cg = 15. A respost-a é 
10 X 15 = 150.'' 
6.38. Quantas diagonais possui: 
a) um octaedro regular? 
b) um icosaeclro regular? 
e) um dodecaedro regular? 
d) um cubo'? 
e) um prisma hexagonal regular? 
6.39. Quantos são os números nahlrais de 7 dígitos nos qnais o dígito .J figura exatamente 3 vezes 
e o dígito exatawcutc 2 vezes? 
6.40. Quantos são os subcoujunlos de {a1.a2 ..... a,i}. coru p elementos. uos quais: 
a) a1 figura: 
b) a1 não figura; 
e) a1 e a2 figuram; 
d) pelo menos um dos elementos a1 . a2 figma: 
e) exatamente um dos elementos 01 e a2 figura. 
6.41. De um baralho de pôquer (7. 8. 9. 10. valete. dama. rei e ás. cada um desses grupos 
apareceu do em -t naipes: copas, amos, paus, espadas). sacam-l'lc simultaneamente 5 cartas. 
a) Quantas são as extrações possíveis? 
Quantas são as extrações nas quais se forma: 
b) um par ( duas cartas em um mesmo grupo e as outras três em lrês outros gTupo::. 
diferentes)? 
e) dois par<C'S (duas cartas em um grupo. duas em outro grupo e uma em um le:rceiro 
grupo)? 
d) uma trinca (três cartas em um grupo e as outras duas em dois outros grupos diferen­
tes)? 
e) um "four1
' (quatro cartas cm um grupo e uma em outro grupo)? 
f) um ªfull handn ( três cartas em um grupo e duas em outro grupo)? 
129 
1 
CA!'ÍTULO G ANALISE C'O!\I BINATÓRI:\ 
g) wnn sequência (5 cartas de grupos consecutivos. uão sendo Lodas do mesmo naipe)? 
L) Ulli ''flush'º (5 cartas <lo mesmo naipe. não sendo C'la.c; de 5 grupos consecutivos)? 
i) um "straigbt fütsh" (5 cartas de grupos consecuLivos, Lodas do mesmo naipe)? 
.i ) um ··royal straight :fiush·· (10. valete. clama, rei e ás de um mesmo naipe)? 
6.42. Considere um conjunto C' de 20 ponto:, <lo espaço que tem wn subconj1wto C 1 formado por 
pontos cop1anares. Sabe-se que toda vez que 4- ponLos de C são coplanares, eutào eles 
são ponl.os de CL. Quantossão os plano:, que couLêm pelo menos três pontos de C? 
6.43. Uma fila de cadeiras no cinema tem 10 poltron;:is. De quantos modos 3 casais podem se 
sentar nessas poltronas de modo que nenhum marido se sént.e separado de sua mulher? 
6.44. Quantos são os anagrawas da palavra ··PARAGUAIO .. que não possuem consoantes adja­
centes? 
6.45. De quantos modos podamos selecionar p elementos, sew selecionar dois nfuneros consecu-
. . {1" }? l.lVOS, llO COilJUiltO . :. .... , TI • 
6.46. Ouze cieutislas Lral>all1am num projeto sigiloso. Por questões de segurança. os planos são 
guardados em um cofre protegido por muitos cadeados de modo que só é possível abri-los 
t,odos se houver pelo menos 5 cieutistas presentes. 
a) Qual é o número mínimo possfvel de cadeados? 
b) Na situação do item a) . quantas chaves cada cientista deve ter? 
6.47. Depois de ter dado um cnrso. um professor resolve se despedir de seus 7 alunos oferecendo, 
dw·anle 7 dias consecutivos. 7 jantare. para 3 alunos cada. De quantos modos efo pode 
fazer os convites se ele não deseja que um mesmo par de alunos compareça a mais de mn 
jantar? 
6.48. Formam-se as combinações simples de classe 5 dos clcmcutos a1 . a2, ...• a12 , as quais são 
escritas com os elemeuLos em ordem crescente de índices. QuanLas são as combinaçôes nas 
quais o elemento a. ocupa o 3° lugar? 
6.49. De quantos modos é possível colocar elll fila h homens e m mulheres, todos de alturas 
diferentes, de modo que os homens euLre si e as mulheres entre si fiquem cm ordem crescente 
de alturas? 
130 
EXERCÍCIOS C':\l'Í"I I '(,() (j 
6.50. Em uma escola. x professores se distribuem em bancas examinadoras de modo que ca<la 
professor part icipa de exatamente duas bancas e cada duas bancas têm exatamentf' uru 
professor em comum. 
a) Calcule x. 
b) Determine quantos professores há em cada banca. 
6.51. A partir de um conjunto de a atletas formam-se t times de k atletas cada. Todos os atletas 
participam de um mesmo número de times e cada par de atletas fica junto no mesmo time 
um mesmo número de vezes. Determine: 
a) de quantos times cada atleta participa: 
h) em quantos times cada par de atletas fica junto. 
131 
( 
1 .\l'iTt ·1,0 (i J\N:\LISE C'u?\IB IX.-\TÚH I.\ 
1 
6 .3 Outras fórmulas combinatórias 
O u::.o elo Princípio Fun<l,unenlal da Contagem, rom o apoio da.s l'XprE'ssões para o n(nnero de 
perwuLa<;ões e tolllbimt<,:Ões bil.11ples. penuit.r n 'solYcr n maior part,f' dos problema~ de cu1llagern 
cpw aparecellJ nu Ensino ..\Iédit>. É conYL'Inrntc. no rntanto, q1w o repertório dr téc:nic-as <lo 
professor seja ampliado (:UW a resolução de problrma.c; ro1110 os Hbordados nc>sta sec;ão. 
F,F\II'Ll> 1 1. 
De qufilllül:i rno<los 5 <·riR11ças poclc•lll formar 11ma rod<1 de cinrnda? 
A E 
B E D 
e B e 
Fig ma 6.1: PerruntaçoC's rirei ililres. 
Soluç..ão. A µr i111eira vista parnr<' qu<' para formar 1mrn rorla c·orn <lS rinro criaw;as basLa escolher 
uma ordew para elas. o que poderia ser feito de 5! = 120 modrn-,. Enlrctautu, .-1s roufü, AJ3CDE e 
EAJ3CD são ig"ltais. pois na rodfl o que importa é a posiçÃ-o rPlaüva da.-; niauças eulrc si e a roda 
AilCDE pode ::.er ··viracla·, 11a roda EABCD. Como radH. roda pode :,er '\·iraua .. ele ciuco modm,, 
a nossa cuulagelll de.• 120 rodas rournn rR.Cla ro<la 5 n ~z0s e a rrsµost.a é 120/5 = 2.J. 
DP wo<lo geral. o número de modos de colocM II objr.tos cm círcu lo. de modo que disposições 
qur possam coincidir por rol ação S<'jam consicleradm; iguais, il>LO é. o nÚlllcro ele permut açÕ<-'s 
n! 
circularrs dr ·n objdos r (PC) 11 = - = (11 - l)!. 
ri 
O exemplo a seguir woslra um l ipo de raeíorínio qnc. apesar c.le inesperado. pode ser 1111út u 
cficicute. 
EXE\!PI o 10. 
Quai1tos são o:. ;-magrarn~ da p..ilmTa "l3ULGARO': quP não possurm duas vogais adjacenws·t 
Soluçã o . Vamos primeirarnente arrumar as consoA11tes e. c.lepok. vamo!:> enlremcar r1.s vogais. 
O número ele modot:> <le cllTLllllé-U- em fila as conBomltrr-; 8, L, G. R (:, P~ = -!! = 2.J. Arnunadas 
as ronsoan(es, por exemplo na ordem BLGR. clr,·emm, colocar a:, vogaii:. U. A. O no:; 5 cspê1ços 
132 
Ül"TR:\S FÓR11L"L\S CO~!Bl~:\TÓRIAS C.\PÍ'ITLO (i 
da figura. Coruu 11ãu po<lcruu~ l'Ulocar duas vogais no 111esmo e~paçu. três dos espaços sC'rão 
ocn1>aclrn,. cada 1 llil com Ullla rngal e c.loü; dos espaço~ fitarão vazios. TPwos Cl = 10 modos de 
t•scolhl1r os três cspa<;us quP scrãu ocupadu~ e P1 = 3! = 6 modos Je culocar as vogais nos espaços 
escolllidos. 
B L G R 
A resposta {, 2-1- x 10 x G = 1-1.JO. 
E XE.\lP LO Ui. 
Quéllitas :são as solw1õc::. inleir~ e não-negativas da equaçã.o .r1 + ,r1 -1- · • • + .1·11 = p? 
Solução. A re~po:lta <leste problema é represe11Lcida p01 CRfi. que é o uúmero de com&inações 
completa:-; o·u com repetição elos n oujelm, tomadm, p a p .. 
Parc1 detern1illar o Yalor ele CRf,. \'éllllOh reµrescutar cada solU<;ào da equa~ão por urna fila de 
sinnis + e 1 . Por exemplo. pa.ra a equação .e + y + .:: = 5. fü, soluçõe!:i (2.2,1) e (5.0.0) seriam 
representada5 por -+ I ...L+I+ e ..L + +...L +11 - respect ivaweute. ~ossa represcntac;ão, as bàrras são 
m;adas parn SC'pál·,u as i11C'ógnitas e> H quant idade dP s iuaü; + indic:a o valor de e;ada íne;ógniLa. 
Pnra a rqua<;Ã.o .r1 + .r2 + · · · + .rn = p. C'acla solução seria representada por Luua fila coru 
n - 1 barras (as banas são parn separar as incógnitas: para separar 11 incógnitas. usamos ri - 1 
barras) r p sinais + . Orn. pnra formar uma fila rom n - l barras<' p sinais+. basta esrolher elos 
n + p - l lugarc::- da fila oi:- p lugarrn, ondC' scriio colocados os sinais +, o que pode ser frito de 
e,, ..J r ·t t CR11 - c·11 
ri+p-t mo\10s. 01 an o, 11 - ri+p- l · 
F \:l• \ t l'I ( 1 17 
De quanlos modos podemos comprar 3 sorvetes cm um bar qne os oferece cm 6 ,;;;abores 
cli:::;Liulus? 
Solução. A resposla uão é Ci = 20 ( CJ seria o númE'ro de modo de comprar três sorvrteB 
diforcnlc.:i). Chamaudo de .rk o número ele sorvete::, do k-ésimu :sabor que vamos comprar, devemm, 
determinar valores inteiros e uão-uegaLivos para.rk, k = 1, 2,3 . .J.5.G. Laisque.r·1+.c2+·· ·+.r6 = 
3. l:;::,o pode ser feito de CRi =e~= 56 rno<lrn;. 
133 
C .\PÍTL.LO G . .\:'\.\USE C'0:\1131:'\.\TÓHI.\ 
Exercícios 
6.52. De quautos modos podemos formar uma mesa de buraco colil .J jogadores? 
6.53. De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda C'Om 5 meninos e 5 meninas de 
modo que pessoas de mesmo sexo não fiquem junlas? 
6.54. De quanto~ modos podemos formar uma roda de ciranda com 6 crianças. ele modo que duas 
delas, Vem e Lsadora1 nã.o fiquem juntas? 
6.55. Quantas são as soluções iuteira e posiliYas de .r + y + z = 7? 
6 .56. Quantas são as soluções inteiras f' não-negativas de .r + JJ + z ~ 6? 
6.57. (;ma indústria fabrica 5 tipos de balas que são vendidas em cai.'\'..as de 20 balas. de nm só 
tipo ou so1i idas. Quautos tipos dC' caixas podem ser rnoutados? 
134 
O TRl..\~GlºLU AHlT:\IÉTJCn C°\l'i11·Lu (i 
6.4 O Triângulo Arit1nético 
Chamamos de triângulo aritmético de Tartaglin 1-Pa~c:-if\ ou simplcsment0 TI·iângulu de Pas­
c·aL ao quadro c1hf'lixo, forrnacio <'Om os diversos valon's de C';,. 
Cº !l l 
Cº 1 Cl 1 1 
Cº 2 CJ (''1. 
2 l 2 1 
Cº J CJ c2 
:1 Cª 1 1 3 3 1 
e~ C} Cf cn 
1 (' t l 
"' 
G .J l 
C!l 
/) 
C1 
;) 
c2 
li 
C:.I , CJ , e~ 
') 
1 5 10 10 .J 1 
Observe que. cmuncrando é1.b linh~ e colwia~ a parlir c.le zero. C{: aparece na linha n e coluna p. 
A propriedade que penu.itl' <.:Ollillrui.r rapi<la1uellle o triâ11g;nlo é a rrlação dr Slife13. que <liz 
que' ~ornando dois elementos lado a lado no triângulo oblé1t1-se o elemento :>it11ado embaixo do 
da du·0it,a. Assim. " próxima linlia <lo t1iângulo seria 
1. L + :; = G, .5 + 10 = 15, 10 + 10 = 20. 10 + 5 = 15, 5 + l = 6. 1. 
TEOREMA 6.2. RELAÇÃO DE STIFEL 
C'' + c p-r1 = e"+ l 11 11 11+ L· 
D EMONST RAÇÃO. 
Cou:,idPn.> Llili conjllllto .-l dC" n + l elPmf'ntos. um clus quais é .r. O número de subconjuntos deA 
cmu p + l elellleut os t c::t ! . Es::.e níunero i> ignaJ à sorna do nímiern d<3 s11bronj11nt os nos quais 
:r uão fig-um. Cfi 11 . c·orn o u(uuero de subconjunto:- nos quais .r figura. Cfi. 
Outra relação imµurta11le é dada pelo: 
TEOREMA 6.3. TEOR.EMA DAS LINHAS 
e~ + e~ + e~ + ... + e~ = 2·•. 
D EMONSTRAÇÃO. 
l3ast.a observar que os dois membros são iguais ,H) nímicro de ~ubconjuutos dC" w11 conjunto com 
n elementos. 
1 Tartaglia, :-Jirolo Forn aun ( 1G0fl-l 5J7) . matemático italiano. 
2Past·al. Dlai::;c (1623-1662}. rnatcmó.Lico, filósofo e físico francês. 
ªStifcl. 1lichacl (1487?-1567). a lgebrista alemão. 
135 
C'Al'ÍTI ·1.0 (> :\'.'i . .\LISE C'U~ll3IN:\TÓHI:\ 
EXE\ IPLo J '-1. 
(Tru pnlácio rC"m 7 rmr1 r1s. De qua utrn; lllodos po<le ser abc-'rto o palácio? 
Solução. Ilá C'{ modo:-. rl<' Hbrír o palácio abrindu twia só portn. C} modos de al>riJ· o JJaládo 
abrindo duas porrns. Nr. A rrRpost a {> 
r 1
1 -+- e~+ ... + ex= 27 
- e~= 12 - 1 = 127. 
r ' • 
l?inâlinmitc, ternos a rdação qur d<,darn que. rm cada linha. c lewt'nro~ rq11 iclistaut<-'s dos 
c>xl remos são ignaü,. 
TEOREMA 6.4. 
CP= c•11 - fJ 
n n • 
D EMONSTRAÇÃO. 
Bnsta observar que o número de 1uodos de' rsrolhC'r. c>lll n' 11 objetol::i. p objetos para nsar é igual 
RO ele escollif'f 11 - p objetos pi-tra uklo m,ar. 
6 .5 O Binômio de Newton 
A fórmula do IJinfüuio <le :'\ ewton.J é c1 fórm11 la <111E' cllí o clescm·oh·irneuto de (.r ...1.. a) 11
• Para 
obtê-la bfts t a multiplicar 
('r +a) · (.r + a) · · · · · (.r +a). 
O termo g0nérico do µroduto e obtido rorn1U1do rm ]) dos falares. p = O. L 2 ..... 11. c1 ::,egnncla 
parc<'lfl f' tomando um, rebtaute:::. n - µ fatore:::. 1-1 prim<'irn pcuccla. Como isso pode fü'r frito dr 
e~ modos. 0 t<'fl110 gcuérit:o do produto é c::a'1.r"- l1 C 
(.e+ ur 
P .XE\If'LU L!J . 
li 
~ CP oP 1.n-p .L.,,, li ; -
)l=ll 
Cu(lul.n + ci ai r"-1 -!.. c2 2 . . 11 
- n . " • nu :J. 
Dc"'termine o cuefidcut e de .r3 no d0senvoh·imeut o ele 
(r-1 -f) 7 
•
1 ~cwton . l sar1c ( l M2-l 727). marnmáLico e físko u1gl€>~. 
136 
2 - ... + cnrlltrº n <• • • 
O B I'.\0:>. 11 0 DE l'iE\\T<>'.': ( ' .\l'Í 11 1 u (, 
Solução. O Len110 genériC'o do cl<>srnvolvirnrnto (1 
o termo <~m ./'~ é ubtiuo se 2 ) - 5p = 3. 01 1 :-,('j::l. :,(' J> = 5. 
O termo procmado é Cf (- 1)5.r3 = -:21.r:i . O ç·o<'ficiC'nr<' <' -21. 
EXE\IPl.ú 20 
Dr tenuinr o tC'nno lllflximo do dcscuvuhimeni11 de 
( 1)50 
1+-
3 
Solução. O lC'm10 g<'nériro do dc1se11vohime11to é 
f = CT' oi' rn-11 = C" (!) i• 
71 11 • liO 3 
Vamos des<:obrir para quC' valores de p os termos creseem. Para i~o. cakularnos 
t C!' (~) i• - C!'-1 (!) p-1 
IP - p-1 = "º 3 'lo 3 
50! 50! 
p!(50 - p)!311 (µ - l)!(;jl - p)!:3P-1 
50! ( 1 1 ) 
(µ - l )!(GO - p)!3P 1 3p 51 - p 
50! ( 51 - -!p ) 
(J, - 1 )!(JO - p)!3I1 1 3p(,31 - p) . 
Temos t 1, -lp-l posí livo. isto é. t/1 > lp- l qnamlo 51--lp > O e temo::; t,, < f p-1 quando 31-.Jp < O. 
Portanto. lp > lp- l quando p:::;;; L2 r f1, < t 1,- 1 quandu p ~ 1:J. Logo. l.u < t1 < · · · < / 11 < 
f12 > f1:, > t11 > · · · > / 50 . O lermo máximo é 
c12 
l 50 
l2 = ~312 . 
137 
C'APÍTl"I.O 6 
Exercícios 
6.58. Com 7 Yitaminas diferentes. quantos coquetéis de duas ou mais vitaminas podemos formar? 
6 .59. Determiue p para que seja máximo: 
a) Cf'o b) c~1 
6.60. Gtilize a Relação de Stifel para demonstrnr, por indução finita. o Teorema das Linhas. 
6.61. Prove o Teorema das Cohmas: cg + Ct+J + C~2 + ... + Ct = c::f. 
6 62 P rn d D. . c° C 1 e·) QP CrP ... l . . rove o J eorema cu, 1.a_qonais: ,. + n+J + ;;+2 + ... + 11 ..,..
1
, = n-t-p+l · 
6.63. Determine o termo independente de x no desenvolvimento de 
6.64. Determine o coeficiente de a· 11 no desenvoh-imento de (1 - .r)2 · (.i- + 2)". 
6.65. Determine o valor da soma Cº + 3C'1 + 32C2 + ... + 311C 11 
n n n n · 
6.66. Se (J + 1· + x2 )11 = Au + A1.r + A2:r2 + · · · + A21.:r2n. determiue o valor de: 
a) Ao+ Ai + A2 + · · · + A.2,, 
b) Ao + A2 + A.1 + · · · + A2n· 
6.67. Determine o termo máximo do desenvolvimento de 
6.68. Prove que 1015º > 995º + 10050 . 
(- 1) 100 
1 + -
2 
6.69. Conte o número de modos de escolher 5 elementos do conjunto com elementos {l, 2, .... } 
de duas manofras diferentes: 
a) diretamente: 
b) escolhendo primeiro o elemento ceutral e depois os 2 elementos à sua esquerda e os 2 
à sua ri ireita. 
Obtenha da( a identidade combinatória: 
(:) = (;) (~) + G) (~) + (;) (~) + (~) (;). 
Generalize para a e colha de 2k + 1 elementos de um conjunto com n elemenLos. 
138 
1 
n F.\ ' IS..\O 
1 
6 .6 R evisão 
C'.\l'ÍTI ·1,0 (i 
~ rIB seçõei, aut eTion''>, vimos as priuci pais l<"cuic·as <lc co11t.agcUJ uLilizac.las no Em,i110 ~lé<lio. 
ju11tamente com exercício~ ilu~Lranclo a aplicação <lcst~ técuicas. Esta seção traz uma coletânea 
de prohleu rns, proposi Lada.uu?ul r drbon lr11ado~. Prn qm' o lrit or clev<->rá selPciouar a técui<.:a c.k 
contagem rnai::; ac.lequach·L. 
O exemplo a seguir ilUBLra u fato <le que problemas <:Orn euuucia<lo:, sernelliantes µodern 
rc4.uercr wétodo~ de contagem bai:,tautc diferente::,. 
Exn11•u1 11 
Considere os conjmltos .1 = { 1. 2 ..... 111} e B = {l. 2 .... . 11 }. Qu:rnt,ru, são: 
a) ru, [uuções de A ew B '! 
b) as funções injetivas de .l cm B? 
t) as funções hij ct i n1s ele A CUJ B'? 
d) as funçõe::. sobrejetivas ele A em B? 
C') as funçõc•s cr~sccnt(-'S de A <'Ill B? 
f) as funções não clccr<."sce11l.cs dP A cm B? 
Solução: 
a) Para formar uma [miçâo de A em B. é preciso escolher o elemento de B assoriado a ra<la 
C'lenH'nto de A. Como n.ío há rcst rições sobre a. fonção R sN forma.<la. há n possihUiclndC's 
para c:ada escolha e o número lota) de possibilidades é n x n · · · n = mn. 
b) Para que exista função i11jetiva de A cm B, deve-se ter 11 ~ m. Para escolher o valor de 
f(l). l1á ·11 possibilidades: para o valor ele f(2). há 11 - 1 possibilidades. já que o valor 
escolhido uão pode ser igual a f(l): para o valor de f(3), há n - 3 possibilidades, e assim 
por diante. até que para /(m) restam 11 - (ni - 1) = TI - 111 + 1 possfüilidades. O uúrnero 
total de' possibilidades é 11 · (11 - 1) · · · (n - m + 1). 
e:) Para que exista Iuu,ão bijetin1. de .·l em B. deve-s<." ter 111 = n. Xeste caso. uma frn:u,;ão de 
A em B é bijet iva se e someute se é injetiva. Logo, o número de funções bijetiVBs. no caso 
elll que m = ·11. é dado pelo resnltaclo do ilern lJ) e é igual a 11 • (n - l) · · · 1 = 11! {ou seja, 
é igual ao número de permutações dos elemeutos de r l). 
139 
C'Al'ÍT\ ' LO (i 
d) Parn que 0xi~h1 funçfü, sohrr,jrtiva dr . l c•m B. drvc'-sc t<'r m ~ n. SurprrcndcwPut e, n pro­
hlP111a grrnl clP rrn11ar o 1111111Prn dP fn11</>f':-. :-.ulm--jf'tiva:-. d(-' .4 em B €> nmito maib <ºOlliplkado 
qur os a nt0rion's (podP-sf' dr111onstrnr qnP Pstf' número é igual a I::~'._u (- l )'1 (,,~J ( 11 - , ) "'). 
111as f' 11111 0x<>rdr·io acrssívf'l um, ca:-.os partirnlar<-'s r111 CJllt' 111 é igual a 11 + 1 ou 11, :2 (v<'.ia 
o <'XC'rckio 6. 83). 
o) Para qu0 rxistn mna função 0stritame11tc> <TP'-C'P11lr d<' .l Pm B. <lPve-se tf'r n ~ m. Para 
drt<'rmi1rn.r 11nrn função clrRt<' tipo. l>n::.t a escol11t'r os 111 elemento::, da imagem. já que uma 
v0z 0srolhi<los <'SI C'S C'l0111rn tos, f ( l) dev<-' sf'r o 111c'11or c!Pks. f ( 2) o segundo menor. <' assim 
por diant<'. Logo. n níllllC'n> de fiu1ções c-rescente::. é igual a C,~1
• 
f) Para d<'finir uma !'11nçào 11ãn dccrcsrcnlc de .-1 cm B. ba:::.la tk:lermiuar quantas \'ezes cada 
dC'nwnto d0 B é> mmclo como imc1grm. ~o 1otfll. <'SIC' n1111wro d<' usos dC'\·e ser i6>1.1al a 111. 
o númrrn de rl0mcnlo:-, de . L Se o menor elemento de B usado como imagem é mmclo 
k vrz<'s. rlC' dC'vcn1 SPr o ,·;-1 lor de .f ( 1) . .ft 2) .... , .f ( k). o mesmo ororrenclo C'Olll os valores 
snhsrqllcnlcs. Po1 tanto. o número de funções não dec:restenle::1 é igual ao rnilucro cl<' :;olrn;Õel::> 
int0irn.'- niio 1wgat iYEt~ dr .r1 + .r1 -J- ... -J- .rn = m. uude .l'4represem a o 11íW1ero ele veze::i que i 
é mm<lo como imagem. Purtanlu. o número de [unçõe::. não decre~c·c>nLP:-. é C u:~i = c::i+n-i · 
140 
EXERC ÍCIOS C'A l'ÍTl ·1,0 G 
Exercícios 
6.70. (OBl\fEP 2012) Vítor tem 2-1: c·artões. sendo oito azuis, oito brancos f' oito verde::.. Para 
cada cor, ele numerou os cartões de 1 a 8. 
a) De quantas maneiras Vítor poci(' CSC'oll1er 2 cartõc>s aznis de modo que a soma ele seus 
números seja igual a 9? 
b) De quantas rnaneirm. Vítor potle esC'ollier 2 cartões de modo que a soma de sous 
números seja igual a 9? 
e) De quantas maneiras Vílor pu<le es('olher 3 cartões de modo que a soma de seus 
números ::;eja igual a 9? 
6. 71. (Profmat - 1\.1Al2 2011) Uma senha de banco é formada por 4 <ligiLos <le O a 9. 
a) Quantêls são as 8enhas em que aparecem exatamente três dígitos diferentes'? 
b) Quantas são as senhas em CJllE' não há clígitof> consecutiYos iguais? 
6.72. (Profmat - \fA12 2012) Kum porta-CDs. cabem 10 CDs colorados um sobre o outrn, 
formando mna pilha Ycrtical. Tenho 3 CDs de l\ lPB. 5 ele rock e 2 de música clássica. 
a) De qu.mtos modos diferentes posso empilhá-los de modo que todos os CDs de rock 
fiquem juntos'! 
b) De quamos rno<los posso escolher -1 CDs para levar em Ullla viagem. de modo que eu 
leYe pelo menos wn CD de cada lipo de música'! 
6. 73. (Profmat - Exame de .Acesso 2011) 1,; llla equipe esportiva composLa pm 6 jogadoras está 
rlif:,pn t anel.o nma pa 11 ida ele 2 1 em p0::.. No intervalo do pr imeiro para o :::.cgun<lo tempo 
podem ser feitas até 3 substimições e, para isto. o Lécuico dispõe de -1 jogadoras uo banco. 
QUêmLas formaçõe::. distinta:::. podem iniciar o segundo tempo? 
6. 74. (OB1IEP 2012) Seis amigos, emre eles Alice e Bernardo, vão jautar em uma mesa Lriangu.lru·, 
cujos lado::. têm 2. 3 e 4 l11gm-es. De quantas maneírab esses amigo& podem senlar-se à 1I1csa 
de modo que Alice e Beruardo fiquem juntos e ew Wll mesmo lado <la mesa? 
6.75. (OBi\IEP 2006- adapLado) De quantos modos pode-se preencher um quadrado-lx4 de modo 
que em cada linha, cada coluna e cada quadrado 2 x 2 destacado apareça exal.amenre wna 
vez cada um dos números de 1 a 4? A figura abaixo mostra um exemplo de preenchimento 
Yálido. 
141 
C' .-\l'Í1T LO 6 .-\ :\.\LISE C'O:\IB l :\ .\Tl>RL\ 
4 2 1 3 
1 3 2 -J 
3 1 -1 2 
2 -J 3 1 
6. 76. (Profmat - Rxame de Acesso 2013) A..;;; placas de automóveis têm 3 lctrnR do alfabeto (ele 26 
letras) e .J números (de O a 9). Elas roraru inseridas nmn banco d(' dados usando a ordem 
alfabética pam as letras e a onlern habitual para os números. Começando com AAAOOOO. 
beguem, em Ol'<lem crebcenle dm, uúmcrob. as placas que iniciam com AAA para. em seguida. 
aparecer a placa AABOOOO. Depois <la placa AAZ9999 seguirão: ABAOOOO. ABAOOOl, etc. 
Qual é a iru;crição <la placa que ocupa a po:-:,ição 20.290.75-!? 
6. 77. (Profmat - Exame ele Acesso 2013) Cada uma das c:inco regiões <la figura <leve ser pintada 
com nma só cor. escolhida rutre verde. runarrlo, azul e branco. De quanta~ maneiras 
distintas podemos colorir a figura, de modo qne regiões adjacentes não fiquem com a rnesma 
cor? 
6.78. (Profmal - Exame ti.e Acesso :2011) O número 256 possui dígicos em ordem crescente. Os 
números 5667 e 3769 não possuem dígitos cm ornem cres<'cmtC'. Quantos são os números 
naturais entre 1000 e 9999 que possuem seus dígitos ew ordem crescente? 
6.79. (Profmat - Exame de Acesso 2012) Um engenheiro fará uma passarela de 10 metros de 
comprimento, ligando a porta da casa ao portão da rua. A pa. .. sa.rnla terá 1 metro ele 
largura e ele. para rPvesti-1a, dispõe dr 10 prdrns quadradas de lado 1 lllCUO e 5 pedras 
retangulares de 1 metro por 2 metros. Todas as pedras são da mesma cor. ru, pedra& ele 
mesmo tamanho são indistinguíveis umas elas outras e o rejunte ficará aparente. embora 
com espessura desprezível. De quantas maneiras ele pode revestir a passarela? 
6.80. (Profmat - Exame de Acesso 2013) Cristina e Pedro ,'ão com antros seis amigo:-:,, Lrês moças 
e três rapazes. para uma excmsão. No ônibus que vai fazer a viagem sobraram apenas 
quatro bancos vagos. cada um deles com dois assent.os, lodos numerados. Ficou acertado 
que cada hanco vago será ocupado por uma moça e um rapaz. e que Cristina e Pedro se 
142 
EXERC'ÍC'IOS C.-\PÍlTLO (i 
seni arão jnntos. Respeitando-se esse acerto, de quantas maneiras o grupo <le amigos pode 
se sentar nos assentos vagos do ô:uiuUb? JusLillque sua resposla. 
6.81. (ProfmaL - ~IA12 2013) Penélope quer distribuir G presentes entre seus sobrinhos Alfredo. 
Bruno. Carlos e Daniel. de modo que cada um receba pelo menos um preseutc. Todos os 
presentes devem ser distribuídos. 
a) Supondo que lo<lo1:, os presenleb sejam iguais. ele quantos 1110dos ela pode cili,tribuir os 
presentes? 
b) Resolva novamente o item a,). supondo agora que todos os presentes sejam diforc,ntes. 
6.82. (Profmat - Exame de Qualific-açã.o 2012) }daria tem 10 anéis e quer distribw-los pelos 10 
dedos de suas mãos. Suponha qne sc--ja possível colocar todos os anéis em qualquer um dos 
dc'dos. 
a) Suponha que oi; auéis sejam idrnticos. De quantas manf'irn.s diferente-; ela pode 
distribui-los em seus dedos? 
b) Suponha agora que os 10 anéis sejam Lodos disLiuLos. De quantas maneiras Maria pode 
distribui-los em seus dedos? Admita que a ordem do~ anéis nos dedos é relevante. 
6 .83. O conjunto. t possuiµ eleu1enlos e o coujwüo B possui n elementos. Determine o nÚillero 
de funções f : .4 ~ B sobrejetivas para: 
a)p=n; b)p=n,-l; c)p=n+2. 
6.84. t;m estacionament o, inicialmente vazio. possui n vagas adjacentes. Ao longo do dia, o 
estacionamento é orupado por carros, de modo que cada cano. exceto o primeiro, sempre 
estaciona ao lado de um carro jâ estacionado. De quantos modos diferentes as vagru:, podem 
ser ocupadas? Em outras palavras quantas são as permutações dos illtei.ros de 1 a n em que 
cada termo (exceto o primeiro) é LUll número adjacente a um termo anterior? Por exemplo. 
para n = 5, a permutação 43521 é válida, mas 2351..J. não, já que 5 não é adjacente a nenhum 
dos termos anteriores. [Sugestão: olhe a permutação <lo fim para o inícioj. 
143 
C'APÍTI iLO 6 :\N:\LISE C'OJI.IBIN:\TÚHIA 
1 
Na Sala de Aula. SonRE o ENSINO DE Cor.mrN \Tó1uA 
1. Não faça fórmulas demais ou casos P<1ft,iruln.rcs demais. Isso oh~rurrce as ideias gerais e torna. 
as coisa::; mais complicadas. Quem i roca o princípio básico da contagem por fórmulas de arranjos, 
pennutações e combinações tcUJ <lilicuJ<ladc clC' rf'i:;olver até mesrno o nosso segundo excwplo (o 
das bandeiras). 
2. Aprenda e façél com que os alunos aprendam com os Prros. É imporlanie. <liaL1le de urna 
solução errada. analisar porque ela está errada. 
3. Vocé quer mosrrar (lll<" é o bom ou quer que seus aJunos apremJam? Se Yocê prefere a seguuda 
alternativa. resista à tentação de em cada problema buscar suluc;ãu ruais elegante. O que deve 
ser procurado €> 1un método riue permita resolver muitos problelllas e não Wll truque que resolva 
marmilhosamcntc mo problema. Sendo mais csµecífico: uo exelllplo 6. da seção de princfpios 
básicos. foram apresentados dois métodos e Wll lrnque. Não se deve mostrar o truque antes de 
mostrar os métodos. A bc!E>-za de alguns tn1ques só pu<le ser apreciada por quem tem domínio 
dos métodos. Combinatória não é dificil: impossível é apreu<ler algwna coi:sa apenas com truques 
om ,·cz de métodos. 
4. Não d~ prefcrêucia a ral'iueiuius destrutivos. raciocínios do tipo contar a mais e depois dc>s­
conta:r o que não servia e foi conla<lo indevidarnC11te. Os raciocíuios que rcsoh·cm a mnior pl'lrte 
dos problemas de Corubwalória são essencialm<'nte construtivos. Embora cm certos casos seja 
melhor usar llW raciocínio deslruLivo. seus alnnos só se sentirão seguros q_mrnrlo domin<H·cm os 
raciocínios construtivos. Por exemplo, no exc•mplo 7 da parte de combinações, a primeira solução 
apresentada é melhor do que a segunda para educaro raciocínio do al11110. 
5 . l 1
111 proce~so seguro de tornar as coisas complicach1s é com0,in assim: esse é um problema de 
a1-raL1jus ou de combinações? Como se resolveriam . por exemplo, os problemas dos exemplos 2. 
3 e 5 da Unidade J 1 e os problemas propostos mímeros 1. .5. 8 e 10 dé.l próxima unidade? Aliás, 
µara que serrnm a.rranjos'? 
1.JA 
PROBABILIDADE 
C .\l'Í'l l . LO i" PR<)BABILll).\DE 
7.1 Conceitos Básicos 
Experiências CJUe repeticl<1~ sob as mesmas roncüções p roduzem geralmente resulLa<los dife­
rentes são chamad as de afrotôn.cu,. Por exemplo, retira-se' uma carht de um harnlho e verifica-se 
se ela é ou uão nm curinga: compra-se 11ma lâmpada <' vcrif:ka-se se ela queima ou 11ão antes de 
lOOh de uso: joga-se um dado até se obter um seis <' conta-se o número d0 kmçameutos. 
DEF'lNI ÇÂO 7.1. 
Cuamarew os <le espaço amostral o conjunto de todos os resultados possíveis de uma e:>..1)Cd­
ência aleatória. R epresenl aremos o espaço amostral por S e só vamos considerar aqui o caso de 
S ser fiuilo ou iu.fiuilo euUlllcrável. Os subconj untos de S serão chamados de eventos. Diremos 
que um e,·ei1Lo ocorre quando o resultado ela experiênda pertence ao evento. 
E '\f'\fPT n 1 
Lança-se urna moed;i e observa-s<." a face que rai ,·oltada para cima. O espaço am ostral é 
S = { cara, coroa} e há -! eventos: 
0. A= {cara }. B = {coroR} t> S. 
0 é um C\'Cn lo que não ocorre nunca e é d rn.mFi clo de 0vcmto impossível. O evento A ocorre 
se. e someut.e se. o lançameuL.o resulta em cnra. S ocorre i:;empre e é chamado de c>Yento certo. 
E XEi\ !PLU 2 . 
Lança-se 1m1 dado e obscn 'a-~r a face' qnC' cai voltada para cima. O espaço am ostral é 
S = {1, 2. 3 . ..J:. 5. 6} e há 6-1: eventos. Alguns desses eyentos são: 0 , que não ocorre nunca: S , que 
ocorre sempre; .A = {2. -1. 6}. q110 ocorr0 s0. e somr ntr se' . o rci-ultado do lauça111ento for par. Se 
o resultado do lançamcnlo for seis, ocorrem os c, ·entos {6} . {.5. 6}. {2. -!. 6}. et.c. 
EXE\ JPLU 3. 
S(' A <' B são eYeilt os em um mesmo espaço amostral S . A U B é o evcuto q uc ocorre se. e 
somcnt0 sC', ocorr<' o C'Yento A ou ocorre o evento B. is to ó, oe;orrc pelo menos um dos cvcu tos .4. 
<' ll: A n B é o cYento que ocorre se f' some111 E' se ocorrew a rubos os e,·enlo~ .A e B : .4 \ B é o 
evento quC' oc01Tr s0, e somente s0. ocorre o c:.vcnto A mas não ocorre o evento B : A. chamado 
de cv0nt.o opost o a A. é o <'vcut.o qur OC'orre se. e somente Sf'. o even t.o A uâo ocorre. 
Assoriarc>mos a cada evento um número. que' cbaman,mos de prnbabilidade do evento e que 
lraduzirá nossa confiança na cap acidade do evento ocon cr. 
146 
('( )N( ' EITC )S B ,\S(( ·os C':\l'ÍTl ' LO I 
DEFINIÇÃO 7.2. 
Ullla probabilidade é tuna hwção que associa a cada evento .4 um número P (A) de fol'ma 
qne: 
i) P ara todo cvenlo .4, O ::;; P(A) ~ 1: 
ii) P(S) = l: 
iii) Se A e B são eventos mutuamente excludentes. isto é, eventos que não podem ocorrer 
simulta.neamenr.e {isto é . A n B = 0) então 
P(A U B) = P(A) + P(B). 
E ~ I:. '.\1PLO 1 
Lança-s<' urna moC'da r ohsrrva-sC' a fa.cr qur cai voltada para rima. O C'Rpaço amostrnl é 
S = {rara.coroa} e há~ eventos: 0. A= {rara}. B = {coroa}. S. t:ma probabilidade que pode 
ser definida é 
Verifique que as três condições ela definição de probabilidade ::ião satisfeitas. 
Outra proha.bilidade que pode ser definidê1 ê 
Verifique q11<:> a.<; rrês condições da definição de probabi lida<lc i:;ão sa t isfeitaR. 
É claro que se rl:cscjamos q11r a prohahiüdadc traduza noss;.1 confiança na capacidade do evento 
ocorrer. ? 1 const.i111i uni modelo adeqnado quando acrecLitarnos 'ler o result,ado cara tão provável 
qmrnt.o o rnRulr.ado coroa. P2 . por sua, vez seria mais adequado se tivéssemos lançado a moeda 
nrn número grn.ndl" de vezes e obtido o rcsuJLado cara em 30o/c elos lançarueutos. 
Enccrranclo o exemplo. um breve corncmtâriu a respeito de notação. Deveríamos ter escrito 
P( {rara}) e não P {cara}. Entretaut,o. quaudo não liouver risco <le coniusão <lru·elllos preferência 
à notação mais simples. 
Os modelot-) probabilísticos que usamos mais frequentemente são cxatarucute os apresentados 
no exemplo ru1terior. 
Um é o modelo equiprobabilístico. Se ternos n clcwcutos no C'spaço amostral r queremos 
que todos os event.os unitários tenhfilll a mesma probabilidade, dcYemos atribuir a cada eYento 
147 
(' .\l'Íll 1.() 7 
1 
uuitárjo a probabiliclacle - . Xão poderia ::.er de outra forma. pois :-ir. S = {.r 1 •• r1 ..... ,1",,} e 
n 
P(.ri) = P {.r2 ) = · · · = P(.r,,) = k, ternos. por iii), 
l - P(S) = P{.r1 . . T-1 . .... . r,J = P( {.ri} U {.i·2} U · · · U {-rn}) 
P( {.r1}) + P( {.r2}) + · · · + P( {.c11 }) 
l 
k + k + · · · + h: = 11 k e k = - . 
11 
AualugarnenLe. é fác:il ver que. rn•ss<' modelo. 6e um evento X é formado por j 1'"'l0mc•1üos. 
então P(X) = :!..... Ou seja. a prohahilidadr. d<' nm <'V<'uhi é a razão cnLrc u número de c~os 
n 
favonh·eis ao cvC'nto <' o u1m1No total dr rasos pm,síveic;. Foi esse o ruo<lf'lo aclota<lo por ,·á.rius 
malemát.icos c:omo Cmdirno1. Pasral <' LaplM:<'2 r.nt r P 0 11tro:,,. nu c:,, Lu<lu <los jugo!'> de azar. 
Outro é o mod01o fr<'q11c1.1dal. Sr r<'pr1 i rnos .-1 r:,...1Jc>ri€>rn:ia 11 ,·czrs r o f'vento A o<:urreu em j 
<let:;i,ru, experiência:~. adotamos parn P(A) ,1 fr~q11Prwi,c1 relalint <lu cn .,utu A. k.to é. o núrucro de 
,·ezcs qnC' o cvf'n to . 1 ocorreu dividido pelo u1rn1Prn total de• rc•pf'lic;õe:, <la experiêucia. ou s<.'ja.. 
P(.l) = :L. 
n 
O Lcorema a seguir cuut ém a:-i propriedade~ dai, probauilidnde:-;. 
TEOREMA 7.3. 
Se A e B são eventos. en tão: 
i) P(A_) = 1 - P (A). 
ü) P(0) = O. 
üi) P (A \ B) = P (11) - P (., l n B ). 
iv) P (A U B ) = P(A) + P(B) - P(. l n B ). 
v) Se 11 :::> B rnt ão P(A) ~ P ( B). 
D EMONSTRAÇÃO. 
i) 1 = P(S) = P (A u A) = P(A) + P(I). DaL P(A) = 1 - P(A). 
ü) P( S') = P(S u 0) = P(S) + !'(0), pois S P 0 ~ào mutuameulc excluc.leule::.. Daí. P (0) = O. 
iii) P(A) = P[(A \ B) U (A nB)] = P(A \ B) + P(.ln B ) poii> . l \ B e :-l n B são mutuamente 
c>xdudcntcs. Dai, P(A \ B) = P(A) - P(A n B). 
iY ) P(A U B) = P[lA \ B) U B] = P(.-l \ B) + P(B) pois A \ B <' 13 são mntmuuente exduclcules. 
Como P(. l \ B ) = P(_,l ) - P(A n B) , resulta P(. l U ll ) = P (.'l) + P(B) - P(A n B). 
1C'nnhwo, .frrõni1110 (J!50l- l.57ti), ruatenuítico italiano. 
1 Laplac·c, Pkrrc Simon (17-l!J- I '27). mitcemático frances. 
148 
( ·o~CEITOS BAsrcos C'.\l'Í l'l'LO , 
v) Como P(A \ B) = P (_l ) - P(A n B) , se A e B re:ml La P(A \ B) = P(A ) - P(B)- Como 
P(A \ B) ~ O. temos P(A) ~ P(B). 
L'üMPLO S 
Em um gn1po de r pessoa~. q11al é a probabilidade ele haver pelo menos dml5 pessoas que 
fa<;a.Ill aniversário 110 mesmo dia'! 
Solução. Vamos determiuar a probabilülacle disso não aC'outec:er. O u(uuero de c:asos possíveis 
para os aniversários da~ r pC'ssoa.s {:, 35:5r. O número de casos farnráveis a que todas ani vcrsariem 
cm dfas difor('nt('S é 365 x 36.1 x · · · x ( 366 - ,. ) . havE>n<lo r fatores nesse prorl uto. Portanto. a 
prohabili<la<lC' <lc> nno havC'r pdo mc'nos <lua.<.; pessoa.e. que' façam auiversário uo mesmo dia é de' 
36,5 X 36J X · · · X (366 - r ) 
36.Sr 
e a de lia ver pelo w euos d na& pessoa.'> que l eliham o 111C's1110 dia ele aniversár io é de 
l- 365 X :35-t. X· ·· X (:366 - r)_ 
36-Y 
A tabela abaixo <lú. para alguns valores de r. a probabilidade' de' haver coinc:idênria de cu1i­
VC'rsários. 
r Probabilidade 
5 0,03 
10 o. 12 
15 0.25 -20 0.-11 
23 0,51 
25 0. 57 
30 o. 71 
-10 0.89 
45 0.94 
50 0.97 
O result ado é surpreendente. Em um grupo de 23 pessoa~. é mai::i provável haver duas pessoas 
com o mesmo aniversário do qn<' todas aniversariarem em clias diferentes. 
ltXF\IPI O G 
Em nrna loteri<1 ele lV números há um só prêmio. Salvador compra n (1 < n < 1V ) bilhetes 
para urna só extração C' Sílvio compra ri billwtcs. um para cada uma de n extrações. Qual dos 
149 
('\l'lll l.<) 7 
dois jogadoreslem nrnis cha.uce ele ganhar algtm1 prêmio? 
Solução. A probabilidade d<' Salvador ganhar algllili prêmio é' 
A prouabilidacle de Sílvio não gauhar nenhum prêmio é 
Logo, a probabilicla<le de Síh·io ganhar algWll prênúo é 
(N -1) 11 
l -----
1V11 
PB< Hl.-\llll.lf)_-\J)E 
Afirnrnmos que Salvador Lem mais chance c.le ser premiado. i::.to é. a.firmamos que 
li (!V - l)" 
->] - ----
N N 11 
ou. eqtúvaleutemeuLe. afirmamo::; que 
(N - 1) 11 n. 
---- > 1--. 
Nn N 
A prova dessa afirmação faz-se por indução. 
Pnra. n = 2. tC'll10fi 
(N - l )li 
JVn 
(N - 1)2 2 1 2 n 
---=l--+->l-- = l --
~·2 N N 2 1\" N. 
Suponhamos que a dPsigualdade valha para n ~ 2, 011 seja. qne 
(./\- - 1) 11 n 
> 1 - 1v· J'f11 
l\lultiplicando a.mhos os la<lo. por N -
1
. ohtemoi:, 
N 
(N - 1)'1-
1 n 1 n. n + 1 
N 11- 1 > 1 - N - N + N2 > 1 - -y:;--. 
Logo. a desigualdade t.amhrm é válida para 11 + l. P ortaulo. por iuclução. é váLicla µara todo 
n > 2. 
150 
l'.\PÍT I l.l > 7 
DEFINIÇÃO 7.4. 
O valor esperado de um resultado aleatório UW.llérico é definido como sendo a wéclia ponderada 
de seus po:::;síveib valor~ em que os pesos sã.o as respectiva:, probahiliclades. Isto é. se os possíveis 
para o resultado são .t1 . .1>2, •..• .tn. cow probabilidades Pi. J)2 •...• Pn· seu valoi: esperado é p1.t1 + 
P2-t2 + ... .- Pn·rn (note que a soma de lodos os pesos é igual a l ). 
Em um modelo prohabilístiro adequado. a probnbilidndC' dC' radn rC'sultado dcvC' aproximar 
a freqnrnria (após mn grande númrro dr rraliznçõrs do C'xperimcnto alc•atório) com que ra<la 
resultado é obsrrva<lo. Deste modo, o valor esperado rC'prcsrnta a médin a1itmérica. a }ougo 
prazo. elos rcs1111 a dos ohscrv11dos. 
f , I 1\IPL<l 7 
Em urn jugo muito popular 110 Brasil. escolhe-se uuia deulre 25 possibili<ladc::, para. apo:,Lar. 
Caso a escolha seja comernplada, o apostador recebe 1 ' veze::. a qwmtia apostada. Qual é o 
gauho esperado de quem apo:,La R$ 10.00'? 
Solução. O gaul10 é a diferença emre o valor recebido e o aposlado. As possibilida.des são 
gauhar 180 - 18 = 162 reais ou µercler os 18 reais aposLaclo:,. u que corre:,poude a urn ganho ele 
O - 10 = -10. As prol>abili<laclcs <lesses <lois resulLa<los são. respeci.ivawemc, }5 e ~~. Logo, o 
valor cspc~rado do ganh o é 2~ 162 - ;~ 10 = -R$2. 80. ü;to é. quem faz bcgui<létiucute esta aposta. 
em média perde R$ 2, ~a por vc>z em que a aposta é rPalizada (não é surprceudcnle <1ne o ganho 
esperado seja nega.tiva: est.a é a ba.se mal emát.ica de q11ern explora tal tipo clP rn~góc-io ). 
151 
C .-\PÍTl ' LO , PrmBABILIDADE 
Exercícios 
7 .1 . Lançam-se dois dados não tendenciosos. Qual a probabilidade da soma dos pomos ser igual 
a 7? 
7.2. 24 times são divididos em dois grupos de 12 times C'ada. Qual é a probabilidade de dois 
desses times ficarem uo mesmo grupo? 
7 .3 . :\Iostre que 
P(A U B U C') = P(A) + P(B) + P(C)-
P(A n B) - P(A. n C) - P(B n C) + P(A. n B n C). 
2 4 
7.4. Se P (A) = -
3 
e P (B) = -. mostre que: 
9 
2 
a) P( .4 U B) ~ ·f 
2 - 5 
b) 9 ~ P(A n B) ~ f 
1 -l 
e) g ~ P(AnB) ~ 9. 
7.5. Cinco dados são jogados simullanerunente. Determine a probabilidade de se obter: 
a) um par: 
u) dois pares: 
e) uma trinca: 
d) uma quadra; 
e) uma quina: 
f) uma sequência: 
g) um "full handi'. isto é: uma trinca e um pm. 
7.6. Gru polígono regular de 2·11 + 1 lados está inscrito em lWl cfrculo. Escolhem-se três dos 
seus vértices, formando um triângulo. Determine a probabilidade do centro do circulo ser 
interior ao Lriãngulo. 
7.7. Doze pessoas são dhididas em três grupos de 4. Qual é a probabilidade de duas delermi­
nadas dessas pessoas ficarem 110 rnesruo grupo? 
152 
EXEHC:Ít'IOS ( ' _\pj·11 ·1.l > 7 
7.8. Em um grupo de ..J. pesson:,. <11rnl é :-i probabilidade de haver alguma coi11ciclência de signos 
zodiacais'? 
7.9. Ew um armário há 5 pares ele sapatos. Escolliem-sC'-1 pé's de sapal os. Qual é a probabilidade 
de se formar exatamente' um par de sapatos? 
7.10. Dlstribuiudo ao acaso 5 sorveteR <l<' creme e 5 de chocolate n 10 pcs:-,oas. das quais 3 prnfermn 
treme. 2 preferem cl.iocola.le e as <lenrnis não têm prcff'rência. qual É' a proha.hili<lade de 
todas saírem sati~feitas? 
7.11. Escolhem-se ao acaso duas peças de nm dominó romnm. Qual (• a probabilidade delas 
possuirem um númern commu? 
7.12. 1\0 jogo da quina concorrem 80 dezenas e são sortC'adm; 5 dezenas. Clara apostou em 8 
dezenas. Qual a probabilidade de Clara acertar: 
a) 3 dez011as? 
h) -1 dezenas'? 
e) 5 dezenas? 
7.13. Em uma roda são colocadas 11 pc.<;::-oas. Qual é a prohn,bilidade ele duru. dessêlb pe~~oru; 
fü.:a.rem juntas? 
7.14. Uma pe::;soa tem um molho <le n chaves. das ciuai::; apenas mua abre a porta. Se ela 
vai experi.meuraudo as chaves até a,cc,rtar. determine a probabilidade dela só acertar na 
tentativa ele ordem k. supondo: 
a) que a cada tentativa frustrada ela toma a sábia providência de desC'artar a c-have (]\lf' 
não scrvin. 
b) supondo que ela não age c.:omo no item a). 
7 .15. Ilá 8 carros estacionados ew 12 \·agas em fila. Determine a probabilidade: 
a) das vagas vazias serem consecutivas. 
b) de não haver duas vagas vaziru, acljacenl es. 
7.16. SP P(A) = o. 4. P(B) = o. 5. P(C) = P(A n B) = o. 3. P(A n C) = O e P(B n C) = o. 1. 
determine: 
a) P(A.U B U C). 
h) P[rl- (B u C)]. 
153 
C':\PÍTl ºLO 7 
e) P [A n (B u C)J. 
d) P[(A n B) U G]. 
P JH>B:\BI LIDADE 
7 .17. Em certa escola a probahili<la<le de um aluno ser torcedor do Flameugo é 0,60
1 
dC' assistir 
novela é O. 70 e de gostar de prafa é O, O. EnLre que ,·alares está corupreendida a probabi­
lidade de um aluno dessa escola, simulLaneamente: a) assistis novela e gostar dr praia. b) 
torcer pelo Flamengo. 
7 .18. Laura e Telma reliram cada uma um biillete numerado de uma uma que contém bilhetes 
numerados de 1 a 100. Determine a probabilidade do número de Lama ser maior que o de 
Telma, upondo a eA1Tação: 
a) sem reposição. 
b) com reposição. 
7.19. Eru uma gaveta há 10 pilhas. dM quais dut1S estão descarregadas. Testando-se as pilhas 
wna a uma até serem identificadas as <luas descarregadas. determine a probabilidade de 
serem fei Los: 
a) cinco tes1 es. 
b) mais de cinco testes. 
e) menos de cinco testes. 
7 .20. (P rofmat - MA12 2011) Os professores de seis disciplinas (entre as quais Português e l\[ate­
mática) devem escolher um dia. de segunda a sexta. de nma única semana para a realização 
da prova de sua disciplina. Suponha que cada professor escolha o seu dia de prova ao acaso. 
sem combinar com os demais professores. 
(a) Qual é a probabilidade de que as provas de Port11guês e Matemática sejam realizadas 
no mesmo dia? 
(b) Qual é a probabilidade de que os alunos façam provas em lodos os clias da semana? 
7.21. (Profmat- Exame de Qualificação 2012) Uma moeda honesta é lançada sucessivas vezes. 
(a) Se a moeda for lançada 4 vezes. qual é a probabilidade de que o número obserYado de 
caras seja únpar? E se a moeda for lançada 5 vezes? 
(b) Observando o resultado do iLClll (a). formule uma conjectura sobre a probabilidade ele 
se obseTvar um número impar de caras em n lançamentos da. moeda. 
(e) Demonstre, utilizando indução finita, a conjectura do item (b). 
154 
EXE IH 'ÍCIOS C'.-\l ' ÍTI ILO I 
1 
7 .22. (ODl\IEP 2011) Em uma caixa liá 10 bolas idênticas , uuruPraclas de 1 a 10. O número de 
cada bola correspo11de a tun dos poulos da figura. os quais diYidem a c-ircunferência em 10 
µart.es iguais . Nos itens a scg11ir, considere que as bolas são retiradas ao acaso, uma a uma 
e sem reposição. 
1 2 
10 
9 4 
5 
7 6 
a) Se forem retiradas duas bolas, qual é a probabilidade de que> o segmento detC'rminado 
pelos pontos corregpondentes seja um diâmetTO da circunferência? 
b) Se forem retirados três bolas. qual é a probabilidade de quú os pontos correspondentes 
sejam vértices de um triângulo retângulo? 
e) Se forem retiradas quatro bolas, qual é a probabilidade de que os pontos conespon­dentes sejam Yértices de um reLângulo? 
7.23. (OBMEP 2013) Homero segura um número impar de barbantes idê11Licos e pede para Sofia 
amarrar pares de ponlas ao acaso. de cada lado de sua mão. atê que sobre somente uma 
ponta de cada lado. A figma ilustra o procedimento para três barbantes. 
j"A)u--~ 
., '+J ',jT'd 
lf-Y ""'., ........ \t:A. ~ ""' "º .. ,..~ 
. 
(a) Com lrês barbant.es. qual é a probabilidade de que todos os barbantes fiquem unidos 
em um único fio? 
(b) Com cinco barbantes, qual é a probabilidade de que um dos pedaços originais de 
barbante fique separado dos demais? 
(e) Com ciuco barba11tes. qual é a probabilidade de que um dos pedaços originais de 
barbante fique separado dos demais? 
155 
C'.\l'Í1'l'LO 7 PHOU:\UILI ü,\DE 
7.24. Gma rifa, com 100 bilhetes. sorteará um prêmio de R$ 1000.00 e cinco de RS 100,00. Se 
Pedro comprou um único bilhete. qual é o valor esperado do prêmio que ele receberá? 
7.25. (Profmat - Exame de ,\cesso 2014) Em um cofre há seis moedas: duru; moedas ele l real e 
quatro moedas de 50 C'entavos. Retiram-se. simultaneamente c ao acaso, duas moedas elo 
cofre. Qual é o valor esperado <la média aritmética dos valores ela::. dua::, moedas retiradas 
elo cofre? 
7.26. ~o tradicional jogo da rolet,a. ao se apos1,ar uma det enniuada quru1l ia no "vermelho". 
rccche-s<' o rlobro rlo valor apo::itarlo se n bolinha termina cm ,una rc1sa ,·crmelli~L sendo 
que, das 38 possíveis posiçõf'S finais para a bolinha, l s;io vermellrn.s. 
a) Se Pedro aposta RSl0.00 na roleta, é mais proYável qu<" ele saia com luc-ro ou com 
prejuízo? Qual ó o seu ganho esperado'? 
b) Suponha que Pedro adule a i;eguinle eslralégia. lniciahuenle. ele apu::,ta R$10.00. Se 
ele ganhar, ele sai do jogo, com seu lucro de R$ 10.00. Se ele perder, ele faz uma 
apo::.la de R$20,00, saindo <lo jogo qualquer que seja o rmmltado. É ma.is pro,·ável que 
ele saia com lucro ou com prejuízo? Qual é o seu ganho esperado? 
156 
PHOl3:\Bl LID..\DE C'O.'\L>I< '10:X .\L 
7. 2 Pro habilidade Condicional 
EXEJ\IPLO , 
Consideremos n experiência que C'ousiste em jogar lllll <lado não ,·iciado e observar a face 
3 
dr cima. ConsidcTrmos o <'w·11to B = {o w•snltado é' par}. Trmos P(ll) = G = O. 5. Essa 
é> a probabilidade de B a. priori. isto 0. nntcs qnr a experiência SC' n~alizr. Suponhamos qu<'. 
realizadR a exp<'riênria, Rlgu<"m nos informe' qnr o rc's1utado 11ão foi o número 1. is to é. qnc 
A = { n r0su1t a<lo é- difrrent0 de J } oc01TC'U. 
Nossa opiniiio sohr<' a ororrênria <l<' B 5<' modifica com essa infornrnçâo pois passamos a ter 
apeua.c:; .5 casos possíveis. dos quais :3 são favoráveis à ocorrêncin de B. Essa opinião é quantificada 
c-0111 A int rod 11çã.o de uma probahilidad<' o posirrio1'i. 011 probabilidade de B nn certeza de A. 
3 
P(BIA.) =-:- = o. G. 
·J 
Xolc que os ca:.::.os possívl'i:... mfo :...ifo nrn is tn<los os 0.lcm0nto:... do espaço nmostral 8 e sim os 
clemenloh de :1 e qne os casos fayonívf'is ft ocorrencif1 ele B não são nrnis t odos os cl<'mcutos <le 
B e sin1 os elemento::. de .....-1 n B pois só o:-. r l cm<'ntos qut' prn-1 C'lH'<'m ~ _ l pod0m ocorrer. 
EXEJ\ll'L<J !l 
A tabela abai.'(O dá a Cillltribuição do:; al uno:; de uma l unua. por sexo e por carreira pretendida. 
masculillo fcm111.ino total 
científica 15 5 20 
huruallistica 3 7 10 
total 1 l 12 30 
Escolhe-se ao acas11 um aluno. Scj,un ::\I. F. C e H os <'ventos. o ,,Jnno sC'lPcionado é- do 
sexo masculino. é do sexo feUllllino. pretende mrn, carrf'ira C'Íent.ínca e prC'ternlC' urna ca.rrc>ira 
humaníst ica. respectivamente. Temo:-. 
10 1 
P (H ) = 30 = f 
3 ] 
P(HIAI) = P = G: 
{ 
P(H IF) = ?: 
L 
, 
P(F IH ) = 
10
. 
157 
C' :\l'ÍTt ·1,0 7 Pl<l >BAf11L[D,\ DE 
EXE\lPLO 12 
EscolhC'-sc rnna entre 1 rês moeda~. Duru, <le&Sfü:, moedas são 11ão-vicí~1das e a outra rcm duas 
C'ara.". A moeda ~clccionada é lançada <' é> ohtida uma cara. Qual é a probabilidade de tPr sido 
selccionnda a moP<la de cluas caras? 
virin<ln 1 
< (\ .) cara (e) 
1/ 2 rarFt ( r·) 
G/ 10 não-viciada ----( e·) 
----- coroa (e) 1/ 2 
Figma 7.2: !\Ioe<la ele <luas caras. 
P(1.IC) = P(\. n C). 
P(C) 
P(l' n C') = ~ · l = ~. 
3 3 
1 2 1 2 
P(C) = 3 · l + 3. 2 = f 
P( \ ·1c) = ~ + ~ = ~. 
3 3 2 
O exemplo a seguir mostra lUll dos maL<, poderosos rnétodos de e&t.imação em Estatíst.ica. o 
mét.oclo da wáxima verossimilhança. 
E.\.El\IPLO l:t 
Em cNta cidade: os táx:is são 11tU11erados de 1 a 1V. Para c'stimar o n(unero K de rt.áxü, da 
cidade. um turista anotou os número~ de todo::. o~ táxis que pegou: -1-7, 12, 33 e 25. Determine 
a probabilidade do h1risla ler tomado os táxis que Lêm esses números e determine o valor de N 
para o qual essa probabilidade é máxima. 
Solução. Sejam A = { o primf'iro táxi tem m'uuero -17}. B { o segundo táxi tem número 12}. 
etc. A probabilidade pedida é 
P(AnBnCnD) 
P(.-1). P(BIA). P[Cl(A n B)] . P [D l(A n B n C)] 
1 1 l 1 J 
- ·-·-·-· = - · 
N N N N ~y1 
160 
PH<>B . .\BI LI I>.\ ,rn ('o~ Dll'lü:\'.\L CAr·in ·1.0 , 
Essa prolmbilidad0 ele urnncr o que' <'fr,rivnrnPnte ocorn·tt é c:lta111acla de vcrossimilliança. ~o 
('aso. cl.-"l é máxima quamlu S ó míuimo. Ora. <·orno JV ~ IT. u valor de N (]llC' torna máxiwa a 
VC'rossi111ilhança {:, 17 . 
. \ c•stimativa ele máxima \'C!rossimillrnnçn dC' N é -17. 
[~[ [\ Jl ' l () l 1. 
Algmnas pPsq1üsas <'St.fltístiras podc'lll (.'élttsar conslrangimcntos aos cnlre,·bladu:::. com per­
g1 wla!:> e.lo Lipo ··você usa rlrogas:·· P corn•w u risco <lE' não ohrf'r respostas sincera~ ou uào obter 
n•spustas <lc espécie nlgnma. Para estÍlllar a µroporçào p <lc usnários de drogas 0111 certa conrn­
nklade. pede-se ao cntrc\.istado que. !auge da.s vi.<,ta.8 do <'Iltr<'vistador, joguc 1uua wocda: se o 
re. uJLado for cara, r<'sponda a ··você usa drogas?"" e, se o r<'tmltado for coroa. r&:iponda a ·"f.,na 
idade é Ulll número pitr?". Assim. caso u eulrevistado ctiga sim. o C'utrevist a<lor 11ào saberá SE' ele 
é lllil nsuário d<.' drogas 011 SP c1penas Lew i<la<le par. 
Se ,.; é a probnhilidadC' dP um culrevista<lo responder sim. ·'- é facilrueute esLima<lo pela pro­
porção ele rcspostFts sim oh tidas na~ enlre,iblru;. A relação r.nt r0 :-1 P p pod1" t>er determinada pda 
árvore abai.~o. 
Sllll 
não 
sim 
nao 
Fignra 7.3: l\lét odo LuclireLo ele entrevista. 
,.; = P(sim) = O. 5p + O, ,5 · O. 5. 
Daí. 7J = 2tJ - O. 5. 
Por exemplo. se 30% dos eutrcvistados re!:>1)onclem sim. você µode estimar cm 10% a proporção 
de usuário:-. ele clrogas. 
161 
C' .-\l'ÍTtrLO I P HOR.\BILID:\ DE 
Exercícios 
7.27. Joga-se 11rn dado não-vicia.cio dum, vezes. Dcteruüue a probabilidade contUcional ele obter 
3 na primeira jogada. sabendo que a soma dos resultados foi 7. 
7.28. Um estudante resolve um teste de múltipla escolha de 10 questões. com 5 alternativas por 
questão. Ele sabe 60% da matéria do teste. Quando ele sabe uma questão, ele acerta. 
e. quando não sabe. escolhe a resposta ao acaso. Se ele acerta nma (JUestão. qual é a 
probabilidade de que lenha sido por acaso? 
7.29. (Profmat - Exame de Qualificação 2012) Em uma caixa há três dados aparenleruente idên­
ticos. Enh·etanto. apenas dois deles são normais. enqnanlo o lerceiro tem três faces 1 e 
três faces 6. Um dado é retirado ao acaso da caixa e lançado duas vezes. Se a soma dos 
resultados obtidos for igual a 7, qual é n probabilidade condicional de que o dado sorteado 
tenha sido 11m dos dados norma.is? 
7.30. Por definição. dois evenlos A e B são independeutcs. quando ocorre P(AnB) = P(A) ·P(B). 
Três eventos .ri, B e C são independentes, por definição, quando P (A n B ) = P (A.) · P(B). 
P(B n C) = P (B). P(C). P (A n C) = P(A). P(C) e P(A n B n C) = P(A). P(B). P(C). 
Jogue um dado <luas vezes. Considere os cvcutos A = { o resultado do primeiro lançamento 
é par}, B = { o resultado do segundo lançamento é par} e C - { a soma dos resultados é 
par}. 
a) A e B são independentes? 
b) A e C são independentes? 
e)B e C são independentes? 
cl) A, B e C ::;ão independentes? 
7.31. (Profmat - J\.JA12 2012) Uma moeda. com probabilidade ! de <lar cara, é lançada 40 vezes. 
(a) Explique por que a probabilidade Pk de se obter /.,; caras nos 40 lançamentos é dada 
por 
(
1 )k (2) 40-k 
Pk = C.io.k 3 3 
para k = O, 1. 2 ..... -10. 
{b) CalcuJe para que valores de k te111-se Pk+t > Pk· 
(e) Utilize (b) para obter o valor de k para o qual a probabilidade de se obter k caras é 
mâxim.a. 
162 
EXEH< ' Í< ' IOS 
7 .32. D<'t <'rminC' a probabilid;1<l<' de oht <'r ao ruc•uu::> 
a) U1ll seis em 4 lançamc.•ntos de Ulll <lado: 
h) 11 m duplo M'is em 21 lcU1çm11C"'ntos de' \Wl par <lc dados. 
C.\PÍlT I.O ' 
7.33. Cm cxanw de laboralóriu tem C'fki{>nC'ia d(' 95o/c' para cleteC'tar uma doença quando <'la 
d<' fato existe'. E11treta11Lo o teste' aponta nm resultado falso-posi tivo para 1~ das pessoas 
:;adias t<·~tada ..... Se O. 5c;. da população tem a <loell(;a. qual é a probabilidade de uma pessoa 
rcr a doença. dado que u ~eu exame foi po:.il ivo? 
7 .34. Quantas ,·ezes. 110 mínimo. se deve lançar um <lado para que a probahilidacle de obler algum 
seis :-.cja superior a 0.9'! 
7.35. Em uma cidud<:• com 11+ 1 habilanlC"'s. uma JH'ssoa co11la tllll boalo para 0111 ra pcs::,oa. a qual. 
por sua ,·ez. ronta o boato para uma U?rc-f'irn pessott. e assim por diante. E,identemeutr 
uingué>m é distraído a ponto d<' rontar o hoalo para quem lhe havia contado o boato. 
Dct<'rmiue a probabili<laclr do honto ser c-ontado k vezes: 
a) ':>em retornar ao im·rut or do hoalu. 
b) srm repelir ueul1Lu11a pessoa. 
1 
7 .36. Em Ullla ddê1<l<'. as 1ws~oas faJam a verclaclr com prnbabilida<le 3. Suponha qnc A faz uma 
afüwação e qne D diz que C diz que B diz que . 1 fo lou a verdade. Qual a probabilidade 
c.lc . l ter falado a Yerdadc'? 
7.37. Uru prisioneiro possui :;o holas brancas, 50 holas prf'1as e duru, urnas iguais. O prisioneiro 
<le,·c colocar do modo que preferir <lb bola!', nas urnas. desde que uenJnuua urna fique vazia. 
A.b mnas sem.o <'lnbarnlbadas e o prisioneiro devent de olho::. fechados. escolhei uma urna 
e. 11est a urna. escolher mna bola. Se a bola for bra11ca. ele será libertado <', se for preta. será 
co11deuado. Como deve agir o prisioneiro para maximizar a probabilidade de sf'r Libertado'? 
7.38. 211 jogadores de igual habilidade clisputélin 11111 tornrio. Ele::. ::,ão dh·ididos cm grupos de 2, 
ao aca~o. e jogadores c.le um lllc-.rno grupo jogam entre si. Os perdedores são eliminado::. e 
os vencedor<>.:. são dfriclidm, nOYéU11eute cm grupo::. de '.l e a.s::.im por dimlf<' até> restar apenas 
um jogador q11r. é prodarnado carnpcão. Quru é a probabiliclacle de dois jogaclorc::. A e B 
se cnfr<'marcm durélllte o tmneio. Qual é a probabilidade <lo jogador 1 jogar exatamente 
"- partidas? 
7.39. Em um torn<'io C'OlilO o descrito no cxcrrírio anterior. os 16 jogadores têm habilidades 
clifcr('ntcs e não há surpresas 110~ resu1tados (s<" . l é melhor que B . . l vrnrc B). 
163 
( ':\PÍTl ' LO i P BOB.-\B! L ID.-\DE 
a) Qual é a probabilidade' do s<'gundo melhor jogador ser vic<'-campcão do torneio? 
u) Qual é a proba bitidade do qnarto rncUlor jogador ser vice-campeão do torneio? 
e) Qual é o número máximo dC' partidas que o <lé>cimo mdhor jogador consE-'gl.1<' disputar? 
Qual ê a probabilidade dele disputar esse nínn<:'ro má.xi.mo de partidas? 
7.40. Em um programa da tele\isão italiaua. os candidatos devem escolher uma entre três portas. 
Alrás de uma clessa5 portas há lilll prêmio e atrás de cada uma das outras duas portas há 
um bode. Escolhida uma porta pelo candidato. o aprC'sem.ador. que sabe onde estão os 
bodei;. abre tuua das oulra5 portru,. atrá5 da qual se encontra um bode, e pcrgunt,a ao 
candidato e el<' quer ficar com a porta que' escolheu ou se prefere nocá-lA pela outra porfa 
que aiuda está fechada. AdmiLindo que. quando o can<lidal.o esC'olhe a porta em que está o 
prêmio. o apresentador escolha ao acaso uma porta para abrir. você acha que o candidato 
<leve Lrocar. não deve Lrocar ou que lanlo faz? 
7.41. Qual é a probabilidade de serem obtidas exatameute 5 raras C'lll 10 lançamentos de uma 
moeda uão-Lendendosa? 
7.42. l.;rua uma comém-! bolas brancac; e 6 bola"' pretas. Sacam-se succssivawcut<' bolas dessa 
ttrua ele acordo com o seguinte processo: cada Yez que tuna bola é sacada. ela é devolvida à 
urua e são acrescema<las majs duas bolas da mesma cor que ela. Oc>terrninc a probabilidade 
de: 
a) a :-1cgnnda bola ~acada ser branca. 
h) a primeira bola ~acacla ter sido branca ua certeza de que a segunda bola sacada foi preta. 
7.43. Um jtúz ele futebol meio lrapalhão Lem 110 bolso um cartào amarnlo. um cartão vermelho e 
mn carUio com nma face amarela e mua face vermelha. Depois de LUllél jogada ,iolenla, o 
juiz ruostra tun carlào. rclirado do bolso ao acaso. para um atleta. Se a face que o jogador 
vê é amarela .. q1ml é a probabilidade da face voltada para o juiz ser vermelha? 
7.44 . .4 e B disputam uma série de partidas. Ganha wn prêutlo quem primeiro completar 10 
,i.tórias. A é mais habilidoso do que B . sendo de O,fi a probabilidade ele .A. ganhar uma 
partida <.' de 0.-! a probabilidade de B ganba.r uma partida. No lllomenlo o placar está 7 x ..!: 
a. favor de B. Qual é a probê1bilid,Klc <le A ganhar o prêmio? 
7.45. Três jogadores. A.. B e C, disputam um torneio. Os lTês tem probabili<la<les iguais de 
ganhclr o torneio: têm também probabilidades iguais de tirarem o segundo lugar e têm 
probabilidades iguais ele t-irarem o úhiruo lugar. É uecessariameute verdadeiro q_ue cada 
164 
EXEBC'ÍC'IOS C' .-\PÍTPLO I 
Ltma das seis ordens possíveis de classificação dos três jogadore::; tem probabilidade ! de 
6 
ocorrer? Justifique. 
7.46. (0131'.·fEP 200 ) Xo brinquedo ilustrado na figura. bolinhas são colocadas nas enlradas A , 
B ou C e movem-se sempre para baixo. terminando cm uma das caixas 1. 2 ou 3. Ao 
atingir um dos pontos marcados com um triângulo. as bolinhas têm chances iguais de ir 
para cada um dos dois lados. 
a) Se uma bolinha for colocada em C. em quais caixas ela pode parar? E se ela for 
colocada em B? 
b) Se uma bolinha for colocada em A. quaJ é a probabiJiclacle de que ela vá parar na caixa 
2? E se ela for depositada em B, qual é essa probabilidade? 
c) Se colocarmos uma bolinha em cada entrada (uma de cada vez), qual é a probabilidade 
de que, no final. haja uma bolinha em cada caixa? 
165 
C'.-\I'ÍTI ' LO I PHUB.\BILI l>:\l>E 
7.3 Espaço a1nostral infinito 
Até este monlC"nto. somente consideramos si! ua,õcs cw que o espa,u arnuslral do experimento 
aleatório de interesse fosse Iiuito. ~las o fcrnuueutal desem•olvi<lo po<le ser aplita<lo la111bérn a 
situações em que o espaço awoslraJ {, illfiuitu e. wesmu, uàu euurnerável. O exelllplu a seguir é> 
um iuleressa1tt e cxcwplo de probabilidade geou tétrica. Quaudo selec.:iouarno~ um pouLo ao acê:llio 
em uma parte do pla110 é razoávC'l suµur que a probabilidade do µouto selecionado pertencer R 
w11a rcrta região sc•ja proporcio11al à área desi,a região. 
J->;:Fl\ ll'LO I í 
Selccionnm-s0 .ao af'aso dois pontos cm um segmento de tamanho 1. dividindo-o eu1 lrês partes. 
DPtC'rmi ne a prol>ê'll >iliclacle ele que se possn formar um triângulo coill cssa..'> três part.es. 
Solução. Sejam .r E (O. 1] e y E [O, l] os pontos escolhidos . . e~ .IJ· 
o .1' !} 
Figura 7...!: Escolh<.'ndo dois pomos cm 1m1 srgnl<.'11(0. 
Escolher :r f' y pertenrentcR a [O. l], com .r ~ .IJ. equh-ale a ei:;c:ulhcr Lllll pouto (.r. y) 110 
triâugulo T da figura abaixo. 
O 1/ 2 
F igura T.5: Como rn,colhcr o~ pontos .r e y. 
Para que ex:i:;t a um triângulo <lc la<los :r, .IJ - .r <' l - y dc,vrmo:-- ter .r < y - .r + 1 - y e 
.11 - .r < .r + l - .lJ e 1 - /./ < J· - .11- .t. o que dá .r < O. 5 e y < .r +O.-> <' y > O. G. Em sunrn. o 
triângulo ex.ist i.rá se. e ~omentc se, o ponto (.r. y) for sekrionado na partP sombreada do triângulo 
T. 
Sí'ndo.1 o evento "as três partes formam um triângulo'' e seudo S o evento certo. ternos que 
166 
ESP.\(O .\:\ IOSTIL\L l.'\Fl.'\ ITU C' .\Ph l 1.( > 1 
P(A.) é proporcioual A fu·rfl da parte so111breadc1 e P(S) = l é proporcional à árcn de T. Logo. 
P( 
4
) = P(A) = faea sombreada. 
· P( S) árra O(' T 
EXE\lPT o J G. 
1 
-l 
A. e B lru1çaru snc·c>ssi,·<u11enl e Uill µar ele dados até' que urn dC'lrs ohTC'ulrn Súllléi <le ponto::. 7. 
caso em que é:l disputa termina e o vencedor é o jogador que obtC'V<' soma 7. Se A P o primeiro a 
jogar. qual 6 fl proha bitidade d<• . l ser o ,·encrclor'! 
Solução. A proba hilidadc de obter ::.orna 7 é 
G 1 
-3G G 
(• a d0 não ser soma 7 é 
1 5 
1 - - = -· 
6 6 
Para A gmiliar, ou A ga.u.ha ua primeira mão. ou na segunda, 011 na terceira. etc. A pruba-
1 
bitidade de .4 gauJrnr na primC'ira mão é êj· Para A gauhar na segunda mão, .- l não pocle obtN 
soma 7 na primC'in1 mão e B não pode obter sorna 7 na primPira mão e _..\ df'\'<' ohtC'r soma 7 ua 
segunda 111ão. o qnC' ororre rom probabilida<l<' 
1 
6 
Parn A gauhar na terceira mão, A não pode oht cr soma 7 nru, cluru, primeira.':! mãos e B não pode 
obter soma 7 uas <luas priw.eiras 111ão!> e .4. eleve obt('r soma 7 na t crceira mão. o que oc:urre com 
rrolrn bi lidad<' 
eLc:. 
A probabilidade de A ganhar ç, 
iJ+G)'·~+G)'·~ +···~ 
1-
l G 
G - -
( & ) ' - Ll 
Uma solução mais el<."gant,e pod<' ser obt.ida ignorando a."> mão::- sem vencedorcR. A prohabili-
1 
dacle de A gauha.r uma mão é de r <l<"' B ganhar uma mão é de 
,J l 5 
6. 6 = 36. 
167 
C.\l'ÍTI 'LO , PIH>IHUILIO.\DE 
pois: para B ganhar , A não pode obter soma 7 e B deve ohtf'r soma 7: a ele ninguém gaul1ar ê de 
5 5 25 
G 6 36. 
pois, para que ninguém ganhe, fl 11ão pode obter soma 7 r B não pode ohl.er soma 7. 
A probabilidade A gauhar é a probabilidade A ganl1ar em uma mão em que houve vencedor. 
isto é. 
P(AJA B) = P [A n (.4 U B)] P (A) 
U P(AUB) - P (AU 13) 
Como, analogamcute, 
P(B) 
P(AJA u B) = P(A U B ) 
1 
êi 
1 _ 26 
3{i 
6 
11 
observe que a razão entre P(AIA U B ) e P(BIA U B) é igual à razão enlre P (A.) e P(B). pois 
P(A U B ) é simplificado. Esse é o princípio de preservação das d.iauces relaüvas. Eru um jogo C'm 
que pode haver erupaLes, e é repetido até que alguém vença. a razão entre as probabilidades dr 
vitória dos dois jogadores é ig1.1al à razão de snas probabilidades de ,·iLória em uma únka partidn. 
Conliccendo o princípio. poderíamos ter resolvido o problema <lo modo Sf:~guint.c': 
Em uma mão, as probabilidades de vitória de A e de B são. respectivarnenle. <l<' 
l 
G 
e de 
5 
A razão dessas prohabilirlarlP.s é de~- A razão dru; probabilidades de vitória de A<' dr B no jogo 
.:) 
6 
é também de - e, como Wll dos dois ganha o jogo. a soma dessas probabilidades é 1. Então. 
5 
b 1 il'<l l - . . 6 5 . essas pro a J 1 ac e::; sao lguai.s a 
11 
e 
11 
. rcsped1vamcnte. 
168 
EXEIH 'Í( 'IOS (. \l'Í li l.\l -; 
Exercícios 
7.47. ScJeciouam-:..c• ao aca~o dois ponto::; em uma circtmfc•rêucia. Qual a prnlmhilida<lr dFI corda 
determinada por essr1-. ponto::; ter compri111rnto maior do que o lado do lriangulo rqnilá1rro 
inscrito na cirrnnfori>ntia'? 
7.48. Seleciona-se_, no aca.-.o mn ponto X cm um ditunetro .lB de mua rirc·1111ferêndn. Qui,J a 
probahilidaclP ela corda que co11lé111 X e e perprn<lic ular a AB ter comprimento maior do 
que u lado do triàngulo c•quilútcro im,crito na circ1111fcrêucial 
7.49. Um 11(unero <' escolhido ao aca:su no intervalo jO. lj. Calcule a prnlml,ilidad<' de• que. ua 
expum;ão <leeimal d<'stc• núllleru: 
a) o primeiro algarismo (apó::. a vírgula) <;C'ja O: 
h) o ::;eguudo algai bmo (após fl vírgula) seja ímpar: 
e) apareça o Algaris1110 1. 
7.50. Dob uúU1ero:-. .1 e y 1'ào '>Orta<lo::.. ao acaso e mciC'p<.'11Clc•ntcmeut P. no i11l!•n'fl_lo !O. l j e <·alcula­
:;e a s11a sorna 11 = .T + .11 A ::;e~11 ir. cada 11m dest<-'S n(uueros (, mTeclm1clAc-lo para o inteiro 
mab próximo. obtendo-se os uúmeros imeirns i. y <' .s. C'ê,kule a prnhnhilid,1dc de que .; 
seja igual a .i· + y. 
7.51. Cristina e y.fmia. que• uào são pes:..o& muito pontuab. marcaram mn <'tH·ontro ,\.s l(j horas 
Se c;;1da uma delas f'lH'garâ ao enc:onlru Plll nm mstantc qualquer Pntrr 16 e 17 horru:, e 
se dispõe a. <'Spcrar no rnáxilllo 10 minutos p<'ln cmtra. qual é a prob..thilidacl<' <lc•las s<.' 
encontrarem ? 
7 .52. Doh, jogadores IAnçflm suceSBivameut.e mna 111oedu houesta. Gallha o prim<'iro quP ohti\'Cl' 
tllll resultado igual ao obtido ua jogada auterior. Qual é a probal,ilidad<• ele q11r. o primeiro 
a h-lll\clT a mcwda :::,C'jn o ganhador? 
7 .53 . . \ rliuclo tew 1 real e Il<'rrnu-do 1c•111 2. Eles C'o111binmu .ipostar 1 real em surcs:;;ivas dispustas 
de cara e coroa. até qu<' um deles perca I uclo o S<'U <linheiro Qual é a probabilidad<' de que 
Arliuclo seja o ganhador? 
7 .54. l:m dado é lançado srguidameutc. Qual é u número e.perado ele law.;amentos nti> quC' se 
ohhPrve a µrimejra ororrrncia de wn G? 
169 
(' \l'Í (TI.O 7 l '1« IB.\IHLll>.\l>E 
170 
MÉDIAS E PRINCÍPIO 
DAS GAVETAS 
CAl'ÍTl ºLO 8 l\lÉDI.\S E PBl:'\l'ÍJ'IO IHS C:An.;.:r.-\S 
8.1 M édias 
Unia ideia bastanle importante é a icleia de média. Urna wédia <le uma !iota de números é! mn 
va.lor que pode substit nir todos os C'l<'mC'ntos <la lista scru alterar uma certa caradcrí.stica dc1 
lista. Se essa c.:araderí:::.tica é a soma dos elementos da lista. obt clllos a mais simple:, de t.odas as 
médias. a lllé<lia aritmética. A mfdrn antmétira (simples) da lista de n. números .r1 .. i:2, .... .1.·n é 
Wll \"alor .J" t.al qne .r1 +.r2 + · · · + .r11 = .r+J·,· · ·+.r = 11.1·. Portauto. Lemo:, a :,eguinl<:> dPliuiçào: 
DEFINIÇÃO 8.1. 
A média aritmética {simples) ela lista de n números J'1 . x2 •.... .cn é definida por 
_ .Cj + .1;2 + · · · + x,, 
.r = - - --- ---
n 
Por exemplo, a média a.rilmétic::i elos números 3. 36 e 54 é 
3 + 36 + 5-! = 31. 
;3 
S<-' a c:c1r11tt<-'r.í.btic:a a ::,er turn,idc>rada for o produto dos elementos dn lista. oh1 l-'re1110~ a média 
geométrica. A lllédw 9eor11élricu. (si.wplcs) cios 11 núrnC'ros posit ivos .r 1 .. r2 •..• • :r11 é> um valor 
posit ivo g tal que x 1.r2 • • · l"n = g · g · · · g = g". PorLa.nto. temos a seguinte dcfini<;ão: 
D EFl~lÇÃO 8.2. 
A média geométrica (simples) dos n números posit ivos .r 1. r 2 . ••• • r n é definida por 
Obs<3rve qu<' só definimos a rufrlia. geométrica para números positivos. Assiu1 evitamos a 
possibilida<l<' di:1 mrdifl, não existir (por exemplo. qual seria a média geométrica entre 2 e -2?). 
Por exemplo. f\, m&dia geomérrira elos números 3, 36 e 5-1 é ,ç/3 · 36 · .54 = 1 . 
Se a característ iC'lt for ll sorna elos inversos dos elcmenlos da lista. obteremos a rnéc.lia liarmô­
uka. A 111,;dia lwrmóntca (simpl<'s) dos n números positivos .r1 •• r 2 , ••. , .r,, (, um valor li la! 
que 
1 1 l 1 1 1 11 - + - + ... + - = - + - + ... + - = -. 
:r1 .r2 :1·11 h h h l, 
Portanto, temos a seguinte' defiu ição: 
DEFINIÇÃO 8.3. 
A média harmônica (simples) dos n números positivos x 1. x2 • •.• , Xn é definida por 
rz 
h = 1 1 1 . -+- + ··· +-
.l"j X!! .1!" 
172 
l\ f Élll.\S C .\PÍlTLO ;,, 
A méclia haru1óuita é. pob. o inYerso da wédia cu·itruétka dos wversrn:, dos uúmerrn:,. 
Por exernµlo, a média harn1ôuica dos u(WlPrus :3, 3G e 3-1 <'• 
3 3 3 X 10 32-+ "' _ 
1 1 1 = 36-,.:.1+2 = = - = I. 9. 
3 + ::16 + 54 ----riIB -ll -ll 
Ohs<'n·c que só definimos a médja harmônica para números positivos. Assim evitamos a 
possibilidade <la média não existir (por exemplo. qual seria a média harmõniea e11lrc 2 e -2?). 
EXE~1PU) 1 
Tima empresa prodnzi11. ch1rnntc' o primeiro frimestrr do ano passado. 500, 200 e 200 uni­
dades. cm janeiro. fevereiro e março. respectivamente. Qucll foi '-' produção média m<'Il.Sill nesse 
trimestre? 
Comentário. Resista à lenlaçào de tirar rapi<lamente a médi;:i aritmélira e ponto final. Você 
sernµre rnrre o ris<.;o de um alLmo perguntar porquenão pu<lia Ler lira<lo a média geométrica. 
Solução. Que mérlia é essa qnc queremos? Qneremos 11ma mé'rlin J/ tal que. se a produção 
rneusal foss<' seU1prc igual a J\l, a produção trimestral sPria a mesma. A produção trimestral foi 
ele 500 + 200 + 200. Se em todos os meses a prod11ção fosse ignal a A!. 11 prodnçào trimestral 
seria ig11al a :3.\1. Logo, :31H = 500 + 200 + 200 <' 
.\! = 500 + 2~0 + 200 = 300. 
A média <leseja<la era a média arilu1ética. 
Resposta: 300. 
EXEl\lPLO '2 
Uma empresa aumeutou ~ua produção thmu1le o primeiro bimestre do auu passado. E111 
j aneiro e eru fevereiro. as taxas de aurnenro for31ll <le 21% e )o/c, respecLi,,fillleule. Qual foi a taxa 
média de amnenLo mem,al ne:::;se bimestre'? 
Comentário. A resposta não é (21 % + %) -:- 2 = 14. 5%. 
Solução. Que média queremos? Queremos uma taxa mé<lia i tal que. se em Lodos os weses a 
taxa de aumento fosse igual a i. o élumcnto himcstrnl seria o 11rnsmo. O aumento bimestral foi 
dC' 30,68o/c, conforme mostra o esquema 
lOO f---t 100 · 1. 21 f---t 100 · 1, 21 · 1, 08 = 130, 68. 
Se cm todos os meses tivésst'm.os um amncnto de taxa i. t erfanws 
100 f---t 100(1 + i) f---t 100(1 + if. 
173 
(°.\l'ÍTtrLO K :\ [ (DIAS E P HL\CÍl'IO DAS C.\\'ET.-\S 
Eutão, 
100(l+i)2 - lOO·J.21·1.08 
(l+i)2 l.2l·LO 
1 + i J1. 21 · 1. O "'1, 1-1-32 
'.:::: o. l ..J.32 = 14. 32%. 
A rué<lia procurada era urna rné<lia gcuu10t rira. l\ laib prC'c-isamc'IÜC': a taxn média. aumentaria 
ele mua wli<lade. é a mé<lia geollléLrica dru, La.xru, mensais atlllH"lll <1das d<" uma unidade. 
E"ü 'll'Ln ·~ 
Um concurso anual <listribui igwtlrueutf' t>utrc os Y0ncedort>s um pr€>mio total dr. R$ 1 00.00. 
No::. último::. três anos ltouw 2. 1 e :3 premiados. n'sp<'ctframentf'. Qnal foi o prf'>mio m<"dio dE'SS<'fi 
ganhadores'! 
Comentário. Embora o uúmero 111é<liu <le gaulic1dorcs tenha sido igual a 2, o prêmio mfalio niio 
foi de R$ 1800. 00 72 = R$ 900. 00. 
Solução. Qucrewm; wua rnédia tal que. se todos os prPllliOS fossem iguais a esf.<1 uiédia. o 
rotai dL<;tribtúdo seria o mesmo. Essa é precisameute a média aritmética. Os prêuüos foram de 
180072 = 900. 1 00-;-l = 1 00 e 1 007 3 = 600. O prêmio médio foi <le (900+1 00 + 600)73 = 
1100 reais. 
Observe que a média aritmética dos rateies é igual a 
e que 
1800 X t + 1800 X f + 1800 X * 
3 
i+l+.! 
2 1 3 
é a wédia uanuôuic:a dos números <le gaultatlores. 
O raleio médio é o rateio que cone:;pon<leria a uma quantidade de ganl1adorcs igual à média 
banuôuica dos uúrnero::; de ganhadores. 
OuLra wé<lia imponame é a média quadráLica. 
174 
.\1 ÉDl.\S C'. \ l'Í.l l l i.() ;,.-
DEFI ' IÇÂO 8.4. 
A média quadrática dos números .z; 1 •• r 2 ••• •. :r11 6 definida por 
:i-2 ~ x2 + ... + ·r2 
1 2 ' " q= 
Tl 
isto é. a média quadrática é a raiz quadrada ela média arilmél icêl dos quadrados dos números. 
Por exemplo. a m(,din quadráti<'a dos núuwros L e 7 é 
J12; 12 = .J. 
CXE\IPLO -l 
A qmüid,1de ele uma aproxüuaçãu é wcdida pelo sc'n erro. qHC' r a diferença cmre o valor 
<la aproximação e o valor real <la grandeza. Por exemplo. 4 é uma aproximação d<> 3.8 com 
erro de 0.2 ( Lambém se diz uma aproximação de 1,8 por CX('C'f:SO. rom erro dC' 0.2) e 5.5 é uwa 
,iproximação ele 5,7 cow erro ele -0. 2 (ou uma aproximação ele 5.7 por falLa. com erro de 0.2). 
E\idcuLcmcute. quanto mais próximo dC' z<'ro c~tiv<'r o erro, tanta mellior será a aproXÍlliação. 
Assim. por exemplo. 39 é wm1 a_µroximaçào de -!O ( erro igual a -1) que é melhor do que a 
aproximação 42 (erro igual a 2). 
11c<lE:'-~e a quafülade de nma lisLa de aproxjmaçõcb pela 1t1éilia quadrátic.:a dos sem, <'ITos. 
Também se usa o Prro rnfdio q11adráf1ro. que é o quadra.cio de%a mé<lia quadrática. 011 seja. é a 
mC•dia aritmética dos qnadrndos dos erros. Abaixo lemos duas liblab de aproxilllações do núm0ro 
4: 
S1 : 3: -!. 5: 3. 6 S2 : 3. 2: 4. 8. 
Os erros médios qmtdráticos são respectivamente iguais a 
12 + o. 52 + o. 12 
- o 82 + o 82 
3 
-:t = O . .J r e . 
2 
. = O. 6-!-. 
S, é 11ma. fü,t a df' aproximaçõeb ele .J que é melhor do que S2 . 
Uma i.J.uportante propriedade da mécfü, n ri t m6t.iC'.a, é: 
TEOREMA 8.5. 
Se a média aritmética dos números .r 1, x2 , . ... Xn é igual a .f, pelo wcnos um dos números 
x1, x2 .... , .'1:n é maior que ou igual a .f'. 
175 
C'Al'ÍTI ·1,0 ~ ~ll~I>L.\S E PRl:'\C'ÍPIO D.\S G . .\\"ET.-\S 
DEMONSTRAÇÃO. 
Com efeito. se fosse .t1 < :;-, .r2 < I'. · · · . . r 11 < .T'. Leríamos 
,l"1 + .f2 + · · · + .l'n 
:r1 + .l:2 + · · · + .l'n < n:r, < .r . . 1· < J;, 
11 
o que é~ absmdo. 
EXE\ll'LO ô. 
tdostrc qu<'. cm nm grupo de !)0 pessoas, há oempre pc>lo menos 3 que nasceram no mesmo 
mês. 
Solução. O número médio de pessoas por mêo é 50 "T 12 = 4. l.. .. Logo. cm algum mês o 
número ele nascidos nf'ssc mês ( que é uw inteiro) é u1aiur q 11e ou igual a -!1 l.. .1 ou sC'ja, r maior 
que ou igual a 5. 
Cma c·o11f-cqu0ncia imediata do teorema 8.5 é o Prindp io das Gavetas de Dirichlet1
: 
TEOREMA 8.6. 
Se 11 + 1 ou mais objetos são colocados em n ou menos gavetas, então pelo meuos uma gaveta 
rcc<>b<' mais de um objeLo. 
D EMOr,:STRAÇÃO. n+l 
O número médio ele objetos por gaveta é maior que ou igual a -- que é maior que 1. 
n 
Logo. ern algtillla gavC'l a liavert1 1m1 número de objetos maior que l. 
EXDIPLO 6 
~Iostrc que todo inLeiro poi:;itivo II Lern um wúlliplo que se escrew apenas rom os algarismos 
O e 1. 
Solução. Considere os 11 + 1 primeiros 11Úllleros da sequência l. 11. 111.. ... Divida-os por n e 
ronsider<' OR restos dessas divisões. Esses restos só µudew ser iguais O. 1. 2 .... . n - l. 
Pr.nsan<lo nos números como objelm, e nos re::,tos colllo gavetM, temos 111ais objetos do qne 
g,wetas. O Princípio das Gavetas assegura que alguma gaveta receberá mais de um ohjcto, isto 
é>. há dois números na sequência que dão o mesmo resto quando divididos por n, clig<"Unos 11 ... 
1 (p algarismos) e L1 ... 1 (q algarismos), p < q. A difereuça desses nÚlllcros é um múltiplo de n 
<" s<' csrrc>vf' 11 ... 10 ... O. com p algarismos O e q - p algarismos 1. 
1 Pel.C'r Gu.c::1av Lejc1rnc Dirichi<'l ( 1805-1859). matemático alemão. 
176 
1 
l\ lÉDI.-\S C' .\l'ÍTl ·1,0 ~ 
1 
FXEW'L<> 7' 
C'inro pontos são tornados sobre a superfície <le uu1 quadrado de lado 2. l\lostrc quC' uá dois 
dcsi:,cs pontos tais que a dü,tâucia entre dei:, é rneuor que ou igual a ./2. 
Solução. Divida o quadrado rle lado 2 cm quatro quadrados de lado 1, ligaudo os poutos wécüus 
dos lados opostos. Pcrn,a11do nos ponto::, como objctoi:, e uoi:, qua<lnido::, c:orno gavetafi. ternos mais 
ohjc-tos do cpH' gavetas. O Princípio das Ga\'etas asscgma que alg-urna gaveta rf't·clicrâ wais <le 
um objeto. isto é. haYcrá dois pomo::, no mesmo quadrado ele lado 1. A dbtfu1cia e1ün' esses 
pomos é• no máximo igual ao comprimento da diagonal do quadrado, que é J2. 
L~Cl\lPLn "I 
Um cuxa<lrista, cluramc 11 sPnrnrn1.s. joga pelos mcnos nma partida por dia mas uão joga 
111ai:,, ele 1:2 pmtidab por semana. J\.Jo::,lrc que é possível achar um conjunto de dias consecutivos 
<lurauLe os q11ais clP jogou cx,11 arnente 20 partidas. 
Solução. E111 11 semanas lemos 77 dias. Chamemos de S,... k = 1. 2 ..... 77. o número de 
part.i<las jogadas drsclr o primeiro até o k-é>sirno dia. inc1usivc. Como C'l<' jogn pelo meuos urna 
parli<la por dia. t emm, l ~ S 1 < S2 < · · · < S,7 . Além disso. Sn ~ 132 pois ele não joga mais 
de 12 partidas por sewaua. 
Dcfuündo S0 = O. a quéluti<lade de parLiclas jogadas do dia p ao dia q. inclusive. é iguaJ a 
S9 - Sµ-l· Quercruos lliOsLrar que é possível drtc.rminar p e q de modo ()11<' Sq - S11 _ 1 = 20. 
Considere os 15-111ú1UNOS 
S1. S2 ..... Sn. S1 + 20. S2 + 20 ..... S17 + 20. 
Ele~ perleuc:em a { 1. 2 .... , 152}. O Princípio das Gavetas assegurn qu<' <loiR desses números 
são iguais. Corno S 1 < S2 < · · · < S,7 . os números iguais dc,·cm estar cm metades diferentes 
dessa lista de 154 uúmeros. Eutã.o existeHJ m e 11 taisque S,,, = Sll + 20. O enxadrista jogFI 20 
partidas entre os cUas n + 1 e n1, iudL1sivr. 
FinalrnC'ntC'. definimos média.e:: ponderadas. 
DEFINIÇÃO 8. 7. 
A média aritmética ponderada dos números xi, x 2 , .... x 11 com pesos respectivamente iguais a 
Pi. P2, .. .. Pn é definida por 
Pi + P2 + · · · + Vn 
Embora a ideia primitiva seja que a média m·itmétic.:a ponderada é wua mé<li<'I ari l mética 
177 
C.\l'Í 11 ·1.o x \ ( 1::l>I.\S E f'Hl~('Íf'IO D.\S G.\\' ET.\S 
c::irnplc•s clP Ullla li...,la <le 11Útn<'ros dos quaü, µ1 -.,ão iguais i'l .r· 1. p2 '-ii10 iguais a .r2 , .. .. [)11 sao igmiis 
a .r,,. nào há prolil<'Llrn <'111 ronsiderflr pesos uãu int<'irn::-.. 
Aliás. é bn~taule i'1t il t rnhnllwr com pfüm, relativo~ e ro11Rickrnr a média aritlllélica poodC'racla 
dos número::; .r1 .. r2 . . .... r,1 • rom p0sos iguah; a 11 1.p1 .... ,p,,. r1:spcctivnme11te. c:urnu seudo 
/11 
--------.L'1 
Pt + /J2 ~ · · · - µ,, 
P2 + .r-, 
JJ1 + P2 + · · · - J>n ~ 
/Jn +· .. ...L .l"n-
/Ji +- JJ-1 + · · · ,- Pn 
A~siin. nmfl média arinu(•tica poudC'rnda doi:: númc'roi- .r1 •• r2 ..... . r,, é tLllli:1 e:-q)r0ssão <la forma 
À1,T1 + À:z.1'2 + · · · ...!... À,,.C,r. 011<le 
,,\1 + ,,\:i + ... .,.. À11 = 1. 
E Xr\ ff'I n 1J 
Em um grupo de pessoas. 70% das pessoas são aduh os e :30'Yi são criauçru,. O peso médio dos 
ac.lultos é TOkg e o p0so médio da::-. crianças é de .J.Okg. Qual o peso médio <lo grupo? 
Solução. Ê a média aritmétira pouderada dos dois fmbgrnpos, roru peso~ relativos de 0,7 e 0.3. 
A resposli:i é> o. T x 70 + o. 3 x ..to = Glkg. 
178 
EXEB('Íl'IOS C'APÍTl 'LO ~ 
Exercícios 
8.1. t; LO carro percorre mela<le de certa distância d com velocidade 111 r. pcrmne a outra metade 
cou1 velocidade v2. Qual a sua velocidade média? 
8.2. Um carro tem velocidadr u1 durante metade do tempo t de percurso e tem velocidade v 2 
duranLe a outra metade do tempo. Qual a sna Yelocidade média'? 
8.3. A popuJaç::io de um país cresceu 4-1% em urua década e cresceu 21% na década seguiuLe. 
Qual é. aprnxirnadamcnff'. a taxa média decenal de crescimento nesses 20 anos? 
8.4. No prohlema anterior. qual a taxa média anual de crescimento nesses 20 nnos? 
8.5. A valorização mensal das ações de cert.a empresa nos quatro primeiros meses do ano foi de 
+25%. +25%. - 25% e -25o/c. Qual a valorização total e qual a valorização média mensal 
nesse quadrimesLre? 
8.6. Em uma cela há três túneis. Um conduz à liberdade em 3 bOTas: outro. em 5 Lloras. e 
o último conduz ao ponto de partida depois de 9 horas. Qual o tewµu mécliu que os 
prisioneiros que descobrem os túneis gastam para escapar? 
8. 7 . Suponha que, no problema anterior, os prisioneiros que emram pelo terceiro túnel. quando 
voltam ao ponto de partida. não se lemhram de qual foi o ll'.:mcl em que entraram e. portanto, 
escolhem para a próxima tenLativa um elltre os Lrês Lúneis. 
8.8. Prove que a média aritmética x de uma lista de números satisfaz m ~ x ~ 11!, onde m e 
~\1 são. respectivamenle. o menor e o maior dos números. 
8.9. Prove que a média geométrica g de uma Lista de n números positivos satisfaz m ~ g ~ .U. 
onde m e 1'1. são, respectivamente. o menor e o maior dos números. 
8.10. Prove que a média harmônic;i h de uma lista de n números positivos satisfaz m ~ h ~ J\l, 
onde m. e'/\!. são, respectivamente1 o menor e o maior dos números. 
8.11. Em um concurso. havia apenas provas ele Português e ~Iatemática. O resulta.do <lo concurso 
está no quadi·o abaixo. 
Canclida1o Porl. .\iat . Classifie;ação 
João 5 7 1 2º 
Pedro 6 4 1º 
José 2 5 4º 
Paulo 4 1 3º 
179 
C'.\PÍTl ' LO S l\ll~J)l.\S E PHl;\;CÍl'IO D:\ S G ,\\"ETAS 
João achou que havia erro ua dãbsific<1çâo porque fizera mais pontos que Pedro e classifica.ra­
se atrás dele. Houve uecessariameule erro ua classificação? 
8.12. Pneus novos duram 40 000 km. quau<lo usados nas ro<las dianteiras, e duram GO 000 km. 
quando usados nas rodêlS traseiras . 
a) Com 4 pu<.>us uovos <' fazeudo um rodízjo adequado cntr<' eles . quantos quilômetros 
um carro pode rodar? Como? 
h) E com 5 pneus noYos'? Como? 
e) A resposta do ileru a) é Ullla lllédia enLrc -10 000 km e 60 000 km. Qual? 
8.13. A média aritmética de 50 números é 40. Se dois desses números, 125 e 75. forem supriruidos. 
qual será a média aritmética dos números restantes? 
8.14. Qnal a carac1crística conservada pela média quadrática? 
8.15. Prove que a média quadrática CJ de W11a lisLa de 11 números posiliYos satisfaz m :::;; q :::;; J1!. 
oude fll, e !\f são, resµectivaruenle, o meuor e o maior dos números. 
8.16. Prove que. para dois números posüivos :,;1 e .r:2. suas médias ariLmética A. geométrica G. 
harmônica H e quadrática Q. satisfazem H :::;; G :::;; A ~ Q. Prove também que <luas 
quaisquer dessas médias são iguais se, e somente se. 1· 1 = .r2. 
8.17. Qual seria o problemc1 de se medir a qualidade de uma lista de apro:dmações pela média 
aritmética dos erros? 
8.18. Para determinar uma grandeza desconbecida .r, foraru feitas várias medições. Os resulta­
dos obtidos foram ; ·1. cr2 ... •• Xn· Determine a estimaf-iva de :r para a qual o erro mêdio 
quadráLic:o é wíuüno. 
8.19. Para determinar uma grandeza desconhecida :r. foram feitas várias medições. Os resultados 
ol>t i<los foraw .r1 .• r2 , ... , .r11 tais que .:r 1 :::;; :t2 :::;; · • • :::;; ·'n· Dcterrniue a estimativa de .1: para 
a qual a média dos Yalores absolutos dos erros é mínima. 
8.20. Mostre que> <'m qualquer r.onjunto de 8 inteiro::; há sempre dois deles cuja diferença é um 
múltiplo de 7. 
8.21. Em Ull1a festa há 20 criauçru, 5enlada5 em Loruo de urua me5a circular. {;m garçom coloca 
c.lianle <le c:a<la c:ria11ça. sem pergunlar qual a sua. preferência, urna taça de sorvete. Alguns 
desses sorvete5 são de creme e os outros i:.ão de 1loco5. 10 das criauçai:, preferem creme e 
180 
EXERCÍCIOS ( 
1
:\PÍTFLO K 
10 preferem fiocob. J\Iostre que. bem mexer ncIB crianças e fazendo apenru:, uma rolação da 
mesa. é possível fazer com que pelo menos 10 crianças tenham suas prcfercncias respeitadas. 
8.22. J\Iostre que em toda reunião de n pessoas há t.erupre duas pesso,ls com o mesmo númC'ro 
de couhecidos. 
8.23. J\ lostrc quc> existe um múltiplo de 1997 cujos dígitos são todos iguais a l. 
8.24. Qual é o número mínimo de pessoas que dcvc> ha.Yer em um grupo para que po~samos 
garantir que nele há pelo menos 7 pessoas Ufü:,Ciclas no mesmo mês? 
8.25. São dados, no plano, cinco pontos ele coordenadas inteiras. ~Iostte que, entre os dez 
segmentos determinados por esses pontos. pelo menos um Lcm como ponto médio um ponto 
de coordeua.das inteiras. 
8.26. Prove que se N k + l objetos são colocados em JY gavetas. pelo menos urna gaveta recebe 
mais de k objetos. 
8.27. 40100 cauclidatos estão [a.lendo uma prova de 20 questões <le rnúll,ipla escolha. com 5 
alternativas por questão. Suponha que nenhum candidato deixe de responder a ncnhilllla 
queslào. Considere a afirmação: ··Pelo menos k caucli<lalos respouderão de modo idêntico 
às ..t primeiras questões da prnva'·. Detenninc o maior valor de k para o qual a afirmação é 
certamente verdadeira. 
8.28. 40100 candidatos estão fazendo uma prova de 20 questões de múltipla escolha. com 5 
alternativas por questã.o. Suponha q11e nenhum candidato deixe de responder a nenhuma 
qnestão. Considere a afümação: ·'Pelo menos 4 ca11dida tos responderão de modo idêmico 
às k primeiras questões da prova". Determine o maior valor de k para o qual a afirmaçã.o 
é certamente verdadeira. 
8.29. (Profmat - ~[Al2 2011) Uma prova de roncurso é formada por questões de múltipla esco­
lha. com -! alternativas por questão. Admita que nenhum candidato deixe questões sem 
responder. 
(a) Qual é o número mínimo de candidatos parn que seja possível garantir que pelo menos 
3 deles darão exatamente as mesmas respostas nas 5 primeiras questões? 
(b) Qual é o valor máximo de n para o qual é possível garantir que, em um concurso com 
1000 candidatos. pelo menos2 darão as mesiuas respostas nas primeiras n questões? 
8.30. Os pontos de uma reta são coloridos com 11 cores. 1'.lostre que é possível achar dois pontos 
com a mesma cor t.a I que a distância entre eles é um número inteiro. 
181 
]\ {ÉDI:\S 8 PRINCÍ PIO D:\S G ,\VET:\S 
8.31. Ew uru campeonalo cad,1 dois times jogam entre si mna única YCZ. :\f ostre que' cm qualquer 
momento há sempre cloi::, limes que clisputarru11 o mesmo número de partidas. 
8.32. Sele pontos ~ão selecionados dC'n1 ro de nm retângulo :J x 4. ProYc que há dois desses ponto& 
!,ais que a <liRt,,rncia cnt.rc eles é no máximo igual a v'5. 
8.33. Selecionam-se oito núm<>ros distintos no conjunto {1. 2, .... 15}. ~lostre que bá pelo menos 
três pares de números sc>lecionados com a mesma diferença entre o maior e o menor número 
do par. 
8 .34. Sejam .1· 1 e :i-2 números reais .. r 1 < :r2 . 
a) l\lostre que os números reais :r tais que .1· 1 < x < .t2 podem ser escritos ua forma 
:r = ,\1.-r1 + .,\2;r.2 com ,\ 1 + À2 = 1. ,\ 1 C' .,\2 positivos, isto é. são wédias aritméticas 
pondera.das. com pesos positivos, de .r1 e x2 • Essa representaçâ.o é única? 
b) I\loslre que os números reaib :.i· <la fonua .r = ,\1.r1 + À2.r2 com ,\1 + À2 = 1. >-1 e .\i 
positivos. pertencem a (.r1 . .1:2). 
e) Onde estão os ponto~ .r = À 1.:r, 1 +>.2.r2. com ,\1 +>.2 = 1 e À 1 > l? 
d) E com À1 + À2 = l e À1 < O? 
8.35. Sejam X1- .r2 •. • . . x" uúmeros reais . .t1 < .r2 < · · · < .ru. ·11 > 2. 
a) 1\Iost re q11e os números reais .z: tais que .r1 < .r < .r11 podem ser escritos na forma 
~- = À1.r1 + À2.r2 + · · · + Àn.1'n com 
Essa representação é (mica? 
b) ~lastre que os uúmeros reais .r da forma 
com À1 + À2 + · · · + Àu = 1. À1.1\2 ..... Àn positivos. pertencem a (.r1, :rn)-
8.36. Em um grupo ele pessoas há 30 homens e 10 mulheres. Os homens têm aJlma média de 
L75ru e. as mulheres. de l,67m. Qual a altm·fl média do grnpo? 
182 
A Ü~SJ(;I T:\LD:\DE DAS i\lÉDI.\S C'.\l'Í'JTLO X 
8.2 A Desigualdade das Médias 
A <lesigualcla<le <las médias afuma qu<> a mérlia aritmé>tiC'a de n númC'ros positivos & maior que ou 
igual a sua média geométrica e só é igual ::.em, uú111ero:,, forem todos igu~ú:,,. I::.to é. se .t1 • • r2 ••••• :r,. 
são números positivos . então 
,ft + .r2 + · · · + .rr, ~---­
------- ~ 1.1·1.1·2 ... ,1',i 
71 
AJérn disso. 
.r1 - .r2 + · · · + :r11 
n 
S<'. C' S0111<'11tC' RC', ,f1 = J'2 = ··· = J',,. 
Várias e intcrcssa11te:,, demonstraçõc:,, dei,sa de:;igualclade são enconlraclas em ·'l\Icu Profc:,,sor 
dC' :Vfr1temát ica" dC' Elon Lages Lima. Aq11i fm<'mos apC'm1:c; 1m1 esbo,o ela dernomnraçào q1w foi 
f cila por Cauch.-·2. 
P rovaremos primeiramente a clC'sigual<ladC' 110 C'aso 11 = 2. SC'u<lo. l(J·1 •. r2 ) a wéclia aritméLi<:a 
do:,, números positiYos .r1 e .r2 e sendo G(.1·1 . . r2 ) s11a média geo111étrit:a. temo::. 
.r1 + J . .'·> 
2 - - V ·TtX'.! 
.t1+.1·2-2~ 
2 
( 2 ../rI - J:G) --------- ~ o. 
? 
e A.(:i.·1 .. r2) - G (.r1 . . C·1 ) só é igual a O quando .i-1 = .r2 . u que prova c1, desigualdade no caso 11 = 2. 
Para. prO\·~-la 11 0 caso n = 4. aplicamos o resultado anterior aos uÚillcros 
obtendo 
OU SC'ja . 
J'1 + 1>1 
2 
.r.1 + .r2 + .r3 + .r1 -------~ 
-1 
a igualdade só sendo obtida quandu 
2Ca.uchy. L01ús (1789-1857). matemático francê:.. 
(' 
e 
1 3 
l';j + .r.1 
2 
J'3 + 1·1 
2 
C.\l'Í 'JTLO K , :\ ( lt l> IAS E PrH~C'ÍPIO DAS GA\'ETAS 
furem ig11aü,. Aplir.-1n<lo agora duas \'C~es a d('sigualdack no caso n = 2, priwc.'ÍnW1eule para J:1 
e .r 2 • e µostcrionncntc para .r:i t' .r 1. oblemo::, 
a igm1 ldftclc sendo obtida apena!:i quando .r1 = .r2 E' .r3 = .r 1• 
Portc11110. 
.r. 1 + .r2 + .r~1 + .r 1 1 • 
-------- ~ 0f.r1.r1.r·1,? 1, 
4, 
a iguult.lade só sendo oht ida qnando .r 1 = .r2 e .ra = .r..i e 
,T;l + .T'j 
-
2 
isto é. quando .rJ = .1' ·2 = :r3 = .r~. 
É daro quP, repet inclo C'SS<' argumento. provaríawos c1 d<"sigual<lanc da~ médias para 8. 16. 
32 .... números positivos. 
Esi;;e arg1illlcu1.o pC'rmi te prm·ar, por indução, a <lesig11aldadt· par .. , n = 21.. nfllllCl'O:, po::.itivo:::L 
Provaremos agora a clr.1'ligualdade para trêb números pm,ilivo::,. 
Sejam .1·1 . . r 2 e .r3 11úmProR positivos e SC'jrun A sua média aritmÉ'tica e G sua média gcomé>t.ric:a. 
É claro que 
.r1 + :r2 + J::i ,- _A_ = 3A + .:1 = --1. 
.t -! . . 
Aplicando a dcRigu alclade das mrdias no tcl!:iO n = -1 elo:. números .r 1 •• r 2 .. r:i e . .:\.. obtemo~ 
A--1 ~ .T 1.r2.r3A, .-13 ~ .c1.L·2.r:$· _11 ~ ,Y.r1.r2.ra = G a igualdade ::ió :;e verilicautlo qnanclo .r1 = .r1 = 
.r3 = .--1.. isto é. quautlo .r1 = .r2 = .r3 . Se drsC'já.',SE'mos provar a desigualdade para cinco númr·ros 
positivos .r 1 •• r 2 , .r;1 • ..r 1 e x 5 , aplicaríamos ,1, rlcsigitakladc aob 8 11ú111cro::, .i·1 .. r2 .• r3. ,1'1 e .r5 .• ...\ . .4 
e .4. onde• A é a méilia ariLméLka dos núm<'ros .r1 . .1·2 •. r 3 .. r ,1 e .r5. 
O mc•smo raciocínio pode rno~trar que. ~e A rlcsigimlda.dc é verdadeira para 11 = k . rutão ela 
é larnbém vc•rdacleira para t.odo n < k. 
E"E~!Pl o UI. 
1Ioslrc que. rutre todo~ os rctâugulos dP perímetro 21,. o qnadrado é o de maior área. 
Solução. 8<' os lacios do retângulo são .r e y. temos .r + !) = p. isto é. a média aritmética .r e .lJ é 
. p 
igual a 2. A árN1 do retângulo é A= X.lJ. Ternos 
184 
Portanto. 
))2 
A~­
"" -1 
C':\PÍTl ·1.0 K 
e a igual<ladE' só é obtida qrnrndo :r = y. Porl aut.o. o rel.a11gnlo d<' 1unior área (, o qua<lrndo dC' 
área p2 /--b. 
Ext \II'l n 11. 
.\lostrc que, euu·e Luc.los os retângulos <le área A. o quatln'ldo é o de menor pt"rímetro. 
Solução. Se 01, lado1, do retângulo t,àO .r e ,11. tcrnm, .(IJ = A, isto é, a média !!,eométric.:a de .r e ,11 
é igual a .JA. O perírneLru e.lo retàugulo é 2(.r -t- y). Tclllos 
.r + 1/ 
2{;r + y) = 42 ~ 4J.ry = -iJA. 
Porlanlo. 2(.c + .11) ~ -1-/.4 e a igualclade só é obtida quando .t = .IJ. Portanto. o retângulo ele 
menor perímetro é o quadrado de perímetro .J.v.4. 
A desigualdade das Uléc.lias pude ser generalizada corno segue: 
Se J:1 . .1·2 . .... :1,·n ::;ão números po::;itiro::; e Q. A. G e H são stlli:; médias qtuulrcílirn. milntél.ica. 
geométrica e harmôn·ica. respccl.ivarnenl.e. enlüo Q ~ A ~ G ~ H. Além disso. duas qums<rucr 
de.-;sn.,; médfos são iguais se. e ::;omenle se .. i: 1 = .L'2 = · · · = .rn. 
185 
C'APÍTl'LO ~ '.\lr.: DI.\S E P Hl:'\C'ÍPIO DAS C ,\\ 'ET:\S 
Exercícios 
8.37. Prove que o produto d<' <lois números de ~oma const.aute é máximo qnaudo essC's números 
são iguais. 
8.38. Prove <111e a soma de dois 1.1úllleros positi\'os de produto co1u;lautc é mínima quuudo e::,::,e::, 
11Úllleros são iguais. 
8.39. Prove que a média hanuouic:a ele n número:,; positivo::, 
X1, ,l:2 ..... X,1 
é sempre meuor que ou igual a ~;ua méclia gcométrira e só é igual quando todos os números 
são igltais. 
8.40. PrO\·e que a média qna<lrática de 11 númC'ros positivos 
.r1 . . r2, ..... rn 
é sempre maior qur ou igual a sua méclia ;tritmética e ::,6 é igual quando todos os números 
são iguais. 
8.41. Prove q11e se a 1. a2 •.... Ctn são níuneros positivos e 
b1.b2 ..... b, 
, d - d - b1 b2 b,1 e uma rcor c•naçao e u1. a2, ... , a,, cnl no - + - + · · · + - ~ 11. 
ª' ª2 ª" 
8.42. ProvC' que> r.2 + y2 + ::.2 ~ J'Y ...- y::. + ::;x. para quab;quer .r. y e ::; reais. 
8.43. Prove que se u1• a2 , a3 ~i'io positivos. então 
8.44. :-.lost r<' que se a equação x3 - a.r2 
- b.r - r = O. na qual a. b e e 5ào números positi\'OS 
possuir três raízes reais então a6 ~ 27b3 ~ 729r2. 
8.45. Um mãgico i:;e apresenta usando um paletó cintilame e uma calça colorida e não repele em 
suas apresentações o mes1no conjunto de calça e paletó. Para poder se apresentar em 300 
espetáculos. qual o ruenor número de peças ele roupa que pode ter seu guarda-roupa? 
8.46. Prove que enlre lodos os triângulos de perúnetro constante. o cquilãtero é o de maior área. 
1 6 
EXEHC'ÍCIOS (' :\ PÍTLTLO X 
8.47. (Profmal - l\1A12 2011) Uma cabca retangular sem tampatem arestas medindo .r. y e z. 
8.48. 
8.49. 
(n) Exprima a área e o volume da caixa em função de :r. y e :;, 
(b) Use a desigualdade Jas médias para ruost,rar que. se o volume da caixa é igual a 32. 
enLâo sua área é maior ou igual a 48. 
(e) Determine as meclidas das arestas da caixa de área mínima com volurue igual a 32. 
1 
a) Prove que. se x é positivo, eutào .r. + - ~ :2. 
:r 
4 
b) Qual o valor mínimo dex + - , .t positivo'? 
;,: 
( 1) 11 
Prove que a sequência de termo geral On = 1 +; é estritarucnte crescente, isto é, prove 
que. para Lodo n inteiro e positivo 1 + - < 1 + --( 
1 ) n ( 1 ) 
11
+1 
11 n + 1 
8.50. Prove que. se :.r, .t/ e z são positivos. eulão 
1 1 l 9 
-+-+- ~ ---­
J.: .l/ z :r+y+z 
8.51. Prnve que, se x, y e z são positivos. então 
8 .52. Se .r. y e z são números positivos Lais que 1 ~ xy + yz + zx ~ 3. qmü é o conj1mto de 
valores de xyz? E de .e + y + z'? 
8.53. Se .r. y e z são números positivos lais que xy + y;; + ;;x ~ 3. qual é o conjunto de valores 
de :ryz? E de x + y + ;;? 
8.54. Se .r. y e z são números positivos tais que xy + y::: + zx ::::;; 1, qual é o coujUllto <le valores 
de xyz? E de x + y + z? 
8.55. Se x, y e z são números positivos tais que 1 ~ x + y + z ~ 3, qual é o conjunto de valores 
de ·:,:yz? E de :ry + yz + zx? 
8.56. Se :r, y e z são uÚllleros positivos tais que 1 ::;,;; xyz ~ 3. qual é o conjunto de valores de 
xy + yz + zx? E de .r + y + z? 
8.57. Se x . y e z são números positivos tais que :r.yz 
xy + yz + zx? E de x + y + z? 
8, qual é o conjunto de valores de 
8.58. Prove que. se a desigualdade das rnéruas é válida param números positivos. m > 2. então 
ela é válida também para m - 1 números positivos. 
187 
C'.-\PÍTlTLO ~ l\ 11:: rn AS E PHI NCÍPIO D.\ S G .\\ ' ETAS 
1 8 
f l] Carvalho. Paulo C. P. Métodos de Contugern e Probab1lidadc. Publicação da Colrção de 
luic:iação Cienl ífka da O Bl\lEP. Rio ele Janeiro ( 2006). 
121 Graliarn. Roualcl. L: l~uut h. Doual<l E.: Pala::.lu1ik. Oren. Matemática Concreta: Fundamen­
tos para u Ciência ela Computação. LTC Editora, Rio de .Janeiro (1995). 
[:3] Hefez, Abramo. Elem.cnto.ç de Aritmética. EcLitora SBl\l, ílio de .Janeiro (2005). 
141 Hefez: Abramo. Indução Malemâlica. Publica<;ào ela Coleção de rniciaçào Científica d;:i OB­
:MEP. Rio de Janeiro (2006). 
[5] Lima. Elon L: Carvalho. Paulo C. P: l\lorgadu. Augusto C.; ·wagncr. Eduardo. A Afoternática 
do En.1wno Médio, volume 1. Editora SBl\l, Rio <le Janeiro (1996). 
[Gf Lima. Elon L; Carvalho. Paulo C. P: Morgado. Augw,to C.: Wagner. E<luar<lo. A. Matemát-ica 
do Ensino Médio, volume 2. Editora SB~l. Riu de Jaueiro (199 ). 
171 Lovas'6. Laslo: Pelikan . .Jozsef: Vczrrrgomhi. K atalin. Matemática. Discreta. Editora SB\-1. 
Rio de Janeiro { 2003). 
18[ ). forgado. Augusto C.: Carvalho, João B. P.: Carvall10. Pa11lo C. P.; Fernautlez. Pedro. 
Análise Combinatória e Probobíhdade. Editora SBl\1. Rio de Jaueiro (199:2). 
ID] ~forgRdo. Augusto C'.: \·Vagner, Eduardo: Zani. Sltcila. Progressões e Matemática Fmanceira. 
Edil orn SB:\,I. Rio d<' .J aneiro (1993). 
189 
fl tBLIOGH.\FIA 
190 
Axioma da Indução. 3 
Axiomas de Pc•ano. :3 
Biuôrniu de Newtou. 136 
Cardinalidade. 10 
Com bi1rnc;ões 
com rPpetiçào. 133 
rornpleta.::,. 133 
~imples. 125 
Conjuntos 
Pnmnerávcis, 12 
füútos. 10 
Def:inic;õrs por indução. 16 
Drrnonstn1ções por indução, 17 
Desigualdade das 111édias. 183 
Eusiuo 
de Combinatória. 14-! 
de Progressões. 69 
Equação caracterist.ira. 3 
Equivalência de capitais. 95 
Espaço amostral. l-16 
Indução compleLa. 29 
.Juros compostos. 9-1 
~fédia 
aritmética. l 72 
geométrica, 172 
harmónica. l 73 
quadrática, 175 
~ úmeros naLurais. 2 
operações. 5 
ordem. 6 
Permirt ações 
circulares. 132 
com rC'pC'l ição. 12:; 
simples. 12.:l 
Pizza dr StE'iner. 23 
Principio da Indução Finita, 3 
Princípio c.lw;; Gavetas. 176 
Principio fundctmental da conlagcw. 118 
Probabilidadf:'. 1-16 
condicional, 15 
modelos equipron1\'eis. 1-!8 
propriedades. l.J 
Proclutório. 17 
Progressões aritruét icas. 36 
de mdern sltperior . .J.l 
soma dos t l'rwos, 39 
termo geral. 37 
Progressões geométricas, 55 
lirni l e ela soma dos Lermos. 59 
suwa <los lermos. 59 
lermo geral. 57 
Proµrie<lade <la 13oa Ordenação. 7. 30 
Recorrências. 7 4 
d<' primeira ordem. 77 
ele segunda ordem. 83 
homogê>neas, 77, ~3 
li1ieares. 77 
nfio homogêneas, 7 . 87 
Relação ele S ti fel. 135 
RC'nd.:i perpétua, 100 
Séries uniformes. 100 
191 
Í:'\ 1 )ICE H E~I ISSJ\ 'O 
equê'nri~. lG 
dr FibonacC'i. 29. 5 
. ist<'lll,lh de a111ort izrtçrto. l 0,-
mumtizê'.lc,àu constant<'. 109 
t ,d><'la Prin•. 100 
SonuH;ào pur parte!:>. GO 
Somas poli11u111iais. -lfi 
Somarúrio. 17 
efetiva:,. 9!) 
PquivalPn l <'s. 58. 9f) 
proporcionai~. 99 
Teorcrna d&- Linha:-.. 1 :J!J 
Teorema FuucJamc->ntal <la Sonrnçào. 11 
Torre tlc Hauui. 21 
Triâugulo ele Pai;caL 1 :1., 
\'alor e':tpernclo. 1:;1 
192 
.!SBM 
(continuação dos títulos publicados} 
Matemática Discreta - A. Morgado e P.C.P. Carvalho 
COLEÇÃO INICIAÇÃO CIENTÍFICA 
Números Irracionais e Transcendentes - O. G. de Flgueiredo 
Números Racionais e Irracionais - 1. Niven 
Tópicos Especiais em Algebra - J. F. S. Andrade 
COLEÇÃO TEXTOS UNIVERSITARIOS 
lnrroduçóo à Computação Algébrica com o Maple - L. N. de Andrade 
Elementos de Aritmético - A. Hefez 
Métodos Matemáticos paro o Engenharia - E. C. de Oliveira e M. Tygel 
Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies - M. P. do Carmo 
Matemático Discreto - L. Lovász. J. Pelikán e K. Vesztergombl 
Algebra Linear: Um segundo Curso · H. P. Bueno 
Introdução às Funções de uma Variável Complexa - C. S. Fernandez e N. C. Bernardes Jr. 
Elementos de Topologia Geral - E. L. Uma 
A Construção dos Números - J. Ferreira 
Introdução à Geometria Projetiva - A. Barros e P. Andrade 
Análise Vetorial Clássica - F. Acker 
Funções, Limites e Continuidade - P. Ribenboim 
Teoria dos Números Transcendentes - D. Marques 
Introdução à Geometria Hiperbólica • O modelo de Poincaré - P. Andrade 
COLEÇÃO MATEMÃTICA APLICADA 
Introdução à Inferência Estotfstica - H. Bolfarine e M. Sandoval 
Discretízação de Equações Diferenciais Parciais - J. Cuminato e M. Meneguette 
COLEÇÃO OLIMPÍADAS DE MATEMATICA 
Olimpíadas Brasileiros de Matemática, 1 o o Ba · E. Mega e R. Watanabe 
Olimpíadas Broslleiros de Matemático, 9o a 160 - C. Moreira e E. Motta, E. Tengan, L Amâncio, N. C. Saldanha e P. 
Rodrigues 
21 Aulas de Matemático 0/fmpica - C. Y. Sh 
iniciação à Matemático: Um curso com problemas e soluções - K. 1. M. Oliveira e A. J. C. Fernández 
DRll 
Gráfica 
Ed itora 
Impresso l!m Fevereiro de 20 l 4 por 
DRQ GRÁFICA E EDITORA LTDA. 
Rua São Januário. 438 - CEP 2092 1-003 - RJ 
Augusto César de Oliveira 
Morgado é carioca, 
botafoguense, foi professor da 
Escola Naval e da Escola 
Nacional de Ciências 
Estatísticas do IBGE. 
Atualmente trabalha na 
--Fundação Getúlio Vargas, 
lecionando Estatística e 
Matemática Financeira. 
Também tem participado em 
cursos de atualização para 
professores de Ensino Médio, 
no Brasil e no Peru. Autor de 
vários livros da Coleção do 
Professor de Matemática. 
Paulo Cezar Pinto Carvalho 
é Engenheiro Civil (1975) pelo 
Instituto Militar de Engenharia 
(IME), Mestre em Estatística 
(1980) pelo Instituto de 
Matemática Pura e Aplicada 
(IMPA) e Ph.D. em Pesquisa 
Operacional (1984) pela 
Universidade de Cornell. 
É Pesquisador Associado do 
IMPA, estando nessa instituição 
desde 1979. Ele foi professor 
visitante na Universidade de 
Cornell de 1988 a 1989. Ele é 
um consultor do TecGraf (at 
PUC-Rio), da Fundação 
Cesgranrio e doColégio 
Bahiense. 
Tem estado envolvido em 
diversas atividades 
relacionadas com a melhoria 
do ensino de Matemática no 
Brasil. Tem organizado e 
atuado em cursos para 
professores secundários e tem 
publicado diversos livros para 
esse segmento. Ele é também 
membro da Comissão de 
Olimpíadas daSBM. 
Esta coleção oferece textos didáticos relevantes para a formação do 
professor da Escola Básica, em todos os temas da Matemática, sua 
prática de ensino, sua história e suas aplicações. Em particular, inclui as 
referências bibliográficas do Mestrado Profissional em Matemática em 
Rede Nacional. PROfMAT 
ISBN 978·85-8337·015-4 
1 
9 788583 370154 > 
	CAPA
	ORELHA DA CAPA
	FOLHA DE ANTEROSTO
	FICHA CATALOGRÁFICA
	FOLHA DE ROSTO
	SUMÁRIO
	PREFÁCIO
	CAPÍTULO 1. NÚMEROS NATURAIS
	CAPÍTULO 2. O MÉTODO DA INDUÇÃO
	CAPÍTULO 3. PROGRESSÕES
	CAPÍTULO 4. RECORRÊNCIAS
	CAPÍTULO 5. MATEMÁTICA FINANCEIRA
	CAPÍTULO 6. ANÁLISE COMBINATÓRIA
	CAPÍTULO 7. PROBABILIDADE
	CAPÍTULO 8. MÉDIAS E PRINCÍPIO DAS GAVETAS
	BIBLIOGRAFIA
	ÍNDICE REMISSIVO
	COLOFÃO
	ORELHA DA CONTRACAPA
	CONTRACAPA