Álgebra Linear - Steinbruch e Winterle

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áLGEIU
STEINBRUCH, Alfredo
Professor de Matemática da Universidade Federal 
do Rio Grande do Sul (de 1953 a 1980) e da 
Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul 
(de 1969 a 1978)
WINTERLE, Paulo
Professor de Matemática da Universidade Federal 
do Rio Grande do Sul e da
Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul
c Graw-Hill
ão Paulo
ua Tabapuã, 1.105, Itaim-Bibi 
CEP 04533
(011)881-8604 e (011)881-8528
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Álgebra Linear
Copyright © 1987 d Editora McGraw-Hill, Ltda.
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transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, seja este eletrônico, mecânico, de 
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Editor: Milton Mira de Assumpção Filho 
Coordenadora de Revisão: Daisy Pereira Daniel 
Capa: Lay out: Cyro Giordano
Arte final: Ademir Aparecido Alves 
Ilustrações: Valmir Balbinot
Dados de Catalogação na Publicação (CIP) Internacional 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
S835a
2.ed.
86-1651
Steinbruch, Alfredo.
Álgebra,linear / Steinbruch, Alfredo, Winterle, Paulo. - 2.ed. - São Paulo : 
McGraw-HiU, 1987.
1. Álgebra linear I. Winterle, Paulo. II. Título.
CDD-512.5
índices para catálogo sistemático:
1. Álgebra linear 512.5
Prefácio da 2̂ . edição
Capítulo 1 VETORES
V etores..................................................................................................................... 1
Operações com vetores.......................................................................................... 3
Vetores no ....................................................................................................... 5
Igualdade e operações............................................................................................. 6
Vetor definido por dois p o n to s .......................................................................... 8
Produto escalar........................................................................................................ 9
Ângulo de dois vetores.......................................................................................... 10
Paralelismo e ortogonalidade de dois vetores..................................................... 12
Vetores no IR ^ ....................................................................................................... 13
Capítulo 2 ESPAÇOS VETORIAIS
Introdução................................................................................................................ 15
Espaços vetoriais..................................................................................................... 18
Propriedades dos espaços vetoriais..................................................................... 24
Subespaços vetoriais................................................................................................ 25
Combinação linear.................................................................................................. 39
Espaços vetoriais fmitamente gerad os................................................................ 53
Dependência e independência lin e a r .................................................................. 53
Base e Dimensão....................... 66
Espaços vetoriais isomorfos.................................................................................. 86
Problemas
Capítulo 3 ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS
Produto interno em espaços vetoriais................................................................ 106
VI Álgebra linear
Espaço vetorial euclidiano..................................................................................... 111
Modulo de um vetor................................................................................................ 112
Ângulo de dois vetores.......................................................................................... 116
Vetores ortogonais................................................................................................... 119
Conjunto ortogonal de vetores............................................................................. 120
Conjuntos ortogonais............................................................................................. 130
Complemento ortogonal........................................................................................ 132
Problemas
Capítulo 4 TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Transformações lineares........................................................................................ 151
Niícleo de uma transformação linear....................................................................... 168
Imagem..................................................................................................................... 171
Matriz de uma transformação lin e a r .................................................................. 181
Operações com transformações lineares.................................................................. 192
Transformações lineares planas............................................................................. 195
Transformações lineares no esp aço ..................................................................... 206
Problemas
Capítulo 5 OPERADORES LINEARES
Operadores lineares................................................................................................ 230
Operadores inversíveis....................................................................... 230
Mudança de b ase ..................................................................................................... 234
Matrizes sem elhantes............................................................................................. 244
Operador ortogonal................................................................................................ 252
Operador sime'trico ............................................................................................... 261
Problemas
Capítulo 6 VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS
Vetor proprio e valor próprio de um operador lin e a r ..................................... 276
Determinação dos valores próprios e dos vetores próprios............................. 278
Propriedades dos vetores próprios e valores próprios........................................ 286
Diagonização de operadores............................................... 289
Diagonização de matrizes simétricas . ................................................................ 299
Problemas
Capítulo 7 FORMAS QUADRÂTICAS
Forma quadrática no plano................................................................................... 323
Cônicas..................................................................................................................... 328
Notas complementares........................................................................................... 347
Forma quadrática no espaço tridimensional..................................................... 353
Quádricas.......................................................................................................... .. . . 358
Problemas
Apêndice A MATRIZES/DETERMINANTES/SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
MATRIZES
Definição de matriz............................................................................................... 369
Matriz quadrada..................................................................................................... 371
Sumário VII
Matriz zero............................................................................................................... 374
Igualdade de matrizes...............................................................................374
Adição de m atrizes...................................................................... 374
Produto de uma matriz por um escalar....................................................... 375
Produto de uma matriz por outra....................................................................... 376
Matriz transposta..................................................................................................... 398
Matriz sim étrica..................................................................................................... 400
Matriz anti-simétrica............................................................................................. 401
Matriz ortogonal..................................................................................................... 402
Matriz triangular superior..................................................................................... 403
Matriz triangular inferior....................................................................................... 403
Potência de uma m atriz ....................................................................................... 404
DETERMINANTES
Classe de uma permutação............................................................................. . 420
Termo principal..................................................................................................... 421
Termo secundário.............................................................. 421
Determinante de uma matriz............................................................................... 421
Ordem de um determinante.................................................................................. 421
Representação de um determinante..................................................................... 421
Preliminares para o cálculo dos determinantes de 2 ̂e de 3? ordem. . . . 422
Cálculo do determinante de 2? ordem ........................................................... 423
Cálculo do determinante de 3 ̂ordem ............................................................... 426
Desenvolvimento de um determinante por uma linha ou por uma coluna 432
Propriedades dos determinantes.......................................................................... 433
Cálculo de um determinante de qualquer ordem ............................................. 446
INVERSÃO DE MATRIZES
Matriz inversa.......................................................................................................... 466
Matriz singular.................................................................................................... 466
Matriz não-singular............................................................................................... 467
Propriedades da matriz inversa............................................................................. 468
Operaçõea elementares.......................................................................................... 470
Equivalência de matrizes....................................................................................... 471
Inversão de uma matriz por meio de operações elementares.......................... 476
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Equação linear....................................................................................................... 505
Sistemas de equações lineares............................................................................... 505
Solução de um sistema linear............................................................................... 505
Sistema com patível............................................................................................... 506
Sistemas equivalentes............................................................................................. 507
Operações elementares e sistemas equivalentes............................................... 508
Sistema linear homogêneo..................................................................................... 510
Estudo e solução dos sistemas de equações lineares....................................... 510
Problemas
Este prefácio, embora relativamente curto, está dividido em duas partes:
Um livro de AIjGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA foi publicado pela primeira 
vez no início de 1971, em Edição do autor e, a partir de 1972, passou a ser publicado pela 
Editora McGraw-Hill, em sucessivas reimpressões, até o final de 1985. Nesses 15 anos, fui distin 
guido com a confiança de professores e estudantes, confiança que tem crescido nos últimos anos 
e que se traduz pelo aumento das aquisições do livro em todos Estados do País. Para retribuir a 
essa distinção e continuar merecendo essa confiança, resolvi, em comum acordo com a Editora 
McGraw-Hill, transformar o livro em dois outros - um de ÁLGEBRA LINEAR e outro de 
GEOMETRIA ANALÍTICA —, e fazer uma revisão geral nos conteúdos programáticos de modo 
a torná-los ainda mais acessíveis, embora mantendo a diretriz didática original. Para a realização 
dessa tarefa, convidei para colaborar comigo o Prof. Paulo Winterle, pela sua capacidade, compe 
tência e conhecimento das disciplinas.
ALFREDO STEINBRUCH
2? Com exceção do Apêndice, que foi revisto exclusivamente pelo autor de ÁLGEBRA
LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA, os autores, trabalhando em conjunto nesta edição 
de ÁLGEBRA LINEAR, procederam a uma revisão no sentido mais amplo da palavra: reformu­
laram conceitos, fizeram supressões e acréscimos e, sobretudo, enriqueceram o livro com 519 
problemas que o livro citado no início não continha.
Em suma, o texto se tornou mais prático e mais simples para atender ao objetivo maior 
que é o de ser útil no processo de ensino-aprendizagem.
O Apêndice, que se encontra no fim do volume, versa sobre Matrizes, Determinantes e 
Sistemas de Equações Lineares. Esses assuntos, que se constituem nos únicos pré-requisitos deste
IX
Álgebra linear
Curso de ÁLGEBRA LINEAR, poderão ser ministrados, a título de revisão, em poucas aulas, uma 
vez que o cálculo de determinantes, a inversão de matrizes e a resolução de sistemas de equações 
lineares passou a apresentar um tratamento uniforme e de fácil assimilação pelos estudantes.
O texto foi preparado para um Curso a ser ministrado em um semestre com uma carga de 
4 aulas por semana, podendo, eventualmente e em condições excepcionais, ser ministrado em 
3 aulas semanais.
Críticas, sugestões e informações sobre eventuais erros, enganos ou omissões, serão bem 
recebidas no endereço dos autores*.
ALFREDO STEINBRUCH 
PAULO WINTERLE
Rua Vieira de Castro, 275/601 
90040 - Porto Alegre - RS - BR
CAPÍTULO
1.1 VETORES
Este capítulo tem por finalidade precípua revisar resumidamente a noção de vetor no 
e no e suas propriedades, as quais já devem ser do conhecimento do leitor^.
Sabe-se que os vetores do plano ou do espaço são representados por segmentos orientados. 
Todos os segmentos orientados que têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo com­
primento são representantes de um mesmo vetor. Por exemplo, no paralelogramo da Figura 1.1a, 
os segmentos orientados AB e CD determinam o mesmo vetor v, e escreve-se
v= Ã B =CD
Figura 1. 1a
 ̂ O assunto pode ser visto em detalhes no livro Geometria Analítica, dos autores áest^ Álgebra Linear, 
Editora McGraw-Hill.
Álgebra linear
Quando escrevemos v = AB, estamos afirmando que o vetor é determinado pelo segmento 
orientado AB de origem A e extremidade B. Porém, qualquer outro segmento de mesmo com­
primento, mesma direção e mesmo sentido de AB representa também o mesmo vetor v. Assim 
sendo, cada ponto do espaço pode ser considerado como origem de um segmento orientado que 
é representante do vetor v.
O comprimento ou o módulo, a direção e o sentido de um vetor v é o módulo, a direção 
e o sentido de qualquer um de seus representantes. Indica-se o módulo de v por | v | .
Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero (ou vetor nulo), que é indicado 
por 0.
A cada vetor não-nulo v corresponde um vetor oposto-v, que tem o mesmo módulo, 
a mesma direção, porém sentido contrário ao de v (Figura 1.1b).
Um vetor v é unitário se | v | = 1.
Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção. Em outras palavras: u e v 
são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas 
paralelas (Figura 1.1c).
Se os vetores não-nulos u, v e w (o número de vetores não importa) possuem represen­
tantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano tt (Figura 1.1 d), diz-se que eles são 
coplanares.
Vetores
1.2 OPERAÇÕES COM VETORES
1.2.1 Adiçâb de Vetores
Sejam os vetores u e v representados pelos segmentos orientados AB e BC, respectiva­
mente (Figura 1.2a).
U + V
Figura 1.2a
Os pontos A e C determinam o vetor soma AC = u + v.
1.2.1.1 Propriedades da adição
I) Associativa: (u + v) + w = u + (v + w).
II) Comutativa: u + v = v + u.
III) Existe um só vetor nulo 0 tal que, para todo vetor v, se tem:
v + 0 = 0 + v = v
IV) Qualquer que seja o vetor v, existe um só vetor -v (vetor oposto de v) tal que:
V + (-v) = -V + V = 0
Álgebra linear
Observações
1) A diferença de dois vetores u e v quaisquer é o vetor u + (-v). Sejam os vetores u e v 
representados pelos segmentos orientados AB e AC, respectivamente. Construído o paralelogramo 
ABCD (Figura 1.2b), verifica-se que a soma u + v é representada pelo segmento orientado AD 
(uma das diagonais) e que a diferença u - v é representada pelo segmento orientado CB (a outra 
diagonal).
2) Quando os vetores u e v estão aplicados no mesmo ponto, verifica-se que:
a) a soma u + v (ou v + u) tem origem no referido ponto;
b) a diferença u - v tem origem na extremidade de v (e, por conseguinte, a diferença v - u 
tem origem na extremidade de u).
1.2.2 Multiplicação de um Número Real por um Vetor
Dado um vetor v=?^0 e um número real k ^ O , chama-se produto do número real k 
pelo vetor v o vetor p = kv, tal que:
a) módulo: Ipl = |kv| = | k l l v | ;
b) direção: a mesma de v;
c) sentido: o mesmo de v se k > 0 ; e contrário ao de v se k < 0 .
A Figura 1.2.2 mostra o vetor v e os correspondentes 2v e -3v.
Observações:
1) Se k = 0 ou v = 0, o vetor kv é o vetor 0;
2) Se k = - l , o vetor ( - l ) v é o oposto de v, isto é, ( - l ) v = - v .
Vetores
Figura 1.2.2
1.2.2.1 Propriedades da Multiplicação por um Número Real
Se u e V são vetores quaisquer e a e b números reais, temos:
I)a(bu) = (ab)u
II) (a + b) u = au + bu
III) a(u + v) = au + av
IV) lu = u
1.3 VETORES NO
O conjunto
= IR X IR = { (x, y) / X, y E IR }
é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano xOy.
Qualquer vetor AB considerado neste plano tem sempre um representante (segmento 
orientado OP) cuja origem e' a origem do sistema (Figura 13a).
Em nosso estudo consideraremos geralmente vetores representados por segmentos orien 
tados com origem na origem do sistema. Nessas condições, cada vetor do plano é determinado 
pelo ponto extremo do segmento. Assim, o ponto P(x, y) individualiza o vetor v = OP (Figura 
1.3b) e escreve-se:
v = (x ,y)
identificando-se as coordenadas de P com as componentes de v.
6 Álgebra linear
Fjgura 1.3b
A origem do sistema 0 (0 , 0) representa o vetor nulo. 
O vetor oposto de v = (x, y) é o vetor -v = (-x , -y).
1.4 IGUALDADE E OPERAÇÕES
1.4.1 Igualdade
Dois vetores u = ( x i , y i ) e v = (x2, y2 ) são iguais se, e somente se, Xi = X2 e y 1 = y2, e 
escreve-se u = v.
Vetores
Exemplos:
1) Os vetores u = (3,5) e v = (3 ,5) são iguais.
2) Se o vetor u = (x + 1,4) é igual ao vetor v = (5 ,2y - 6), de acordo com a definição de igual­
dade de vetores, x + l = 5 e 2 y - 6 = 4 ou x = 4 e y = 5. Assim,se u = v, então x = 4 
e y = 5.
1.4.2 Operações
Sejam os vetores u = ( x i , y i ) e v = (x2 , y 2) e a G R . Define-se:
a) u + v = (xi +X2,y i + y 2>
b) au = (axi, ay,)
Portanto, para somar dois vetores, somam-se suas componentes correspondentes e, para 
multiplicar um vetor por um número, multiplica-se cada componente do vetor por este número.
Por exemplo, se u = ( 4 , 1) e v = (2, 6), a Figura 1.4.2a mostra que: 
u + v = ( 4 , 1)+ (2 ,6) = ( 4 + 2 , 1 + 6) = (6 ,7) 
e a Figura 1.4.2b mostra que:
2u = 2 (4 ,1 ) = (2(4). 2 ( 0 ) = (8 , 2)
8 Álgebra linear
1.5 VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS
Ocorre, às vezes, o caso de um vetor ser representado por um segmento orientado que não 
parte da origem. Consideremos o vetor AB de origem no ponto A ( x i , y i ) e extremidade 
B (x2 , y i ) (Figura 1.5).
De acordo coyi o que foi visto no item 1.2.1.1 - (Observação 2), o vetor AB é a diferença 
entre os vetores OB e OA:
e, portanto:
AB = OB - OA
AB = (x 2 ,y2 ) - (x i ,y i )
ou:
AB = (x2 - X ,, yz - y i )
isto é, as componentes do vetor AB são obtidas pela diferença entre as coordenadas da extremi­
dade B e as da origem A.
Por exemplo, se A ( -1 ,3 ) e B ( 2 , -2), o vetor AB será:
A B = B - A = (2,-2)- ( - 1, 3) = (3, -5)
Vetores
1.6 PRODUTO ESCALAR
1.6.1 Definição
Chama-se produto escalar (ou produto interno usual) de dois vetores u = ( x i , y i ) e 
V = (x2, YiX e se representa por u . v, ao número real:
u .v = xiX2 + y i y 2
O produto escalar de u por v também é indicado por < u , v > e se lê “u escalar v”. 
Por exemplo, se u = ( 2 , 3) e v = ( 4 , -1), tem-se:
u.v = 2(4) + 3 ( - l ) = 8 - 3 = 5
1.6.2 Módulo de um Vetor
Módulo de um vetor v = (x ,y) , representado por | v | , é o número real não-negativo:
I v| = V V. V
ou, em coordenadas: 
ou, ainda:
lv |= V ( x , y ) . ( x .y )
| v | =
Por exemplo, se v = (3,-4) , então:
|v |= +(-4)* = V 9 + 16 = s/ l5 = 5
V
A partir de cada vetor v¥=0 é possível obter um vetor unitário u fazendo u = ;— ,.
Iv I
Por exemplo, é unitário o vetor:
(3,-4) (3,-4) _ (3,-4) _(3 ,-4 )_ (3 ,-4 )_ 3 4
1(3,-4)1 y/3^ +(-4)^ ^ 9 + 16 ^ 2 5 5 5 ’ 5
Observação: Dado um vetor AB com extremidades nos pontos A ( x i , y i ) e B(x2, y 2), o 
módulo desse vetor será:
| A B | = V(X2 -x , )^ +(y2 -y i ) ^
Assinale-se que a distância entre os pontos A e B é calculada pela mesma fórmula.
10 Álgebra linear
1.6.3 Propriedades do Produto Escalar
Dados os vetores u, v e w quaisquer e k G IR, tem-se:
l ) u . u > 0 e u . u = 0 se,e somente se, u = 0 = ( 0, 0)
II) u . V = V . u ( comutativa)
III) u . ( v + w) = u . v + u . w (distributiva em relação à adição de vetores)
IV) (mu) . V = m(u . v) = u . (mv)
V ) u . u = | u | "
Observações: Como conseqüência das propriedades do produto escalar, vem:
1) |u +v |^ = |u p + 2 u . V + lv|2 
Com efeito:
I u + V 1̂ = (u + v) . (u + v) = u . (u + v) + V. (u + v)
|u + vl^ = u . u + , u . v + v . u + v . v 
|u +v |^ = |ul^ + 2u . v+ |v|^
2) De modo análogo, mostra-se que:
| u - v | ^ = | u p - 2u . v+ |v|^
1.7 ÂNGULO DE DOIS VETORES
O ângulo de dois vetores u = OA e v = OB, não-nulos (Figura 1.7a), é o ângulo 0 for­
mado pelas semi-retas OA e OB (Figura 1.7b) e tal que 0 < 0 ^ tt.
Fígm 1.7a F^gina 1.7b
Vetores 11
1.7.1 Cálculo do Ângulo de Dois Vetores
Sejam os vetores u ^ O e v=i^0. O ângulo d formado por u e v pode ser calculado 
pela fórmula:
COS 0 = u . V
| u | | v |
B
Com efeito, aplicando a lei dos co-senos ao triângulo ABC da Figura 1.7.1, vem:
logo:
| u - v | ^ = |u|^ + |v|^ - 2 | u | | v l c o s 0 
Mas, de acordo com o item 1.6.3 (Observação 2), pode-se escrever: 
| u - v p = |u|^ - 2u. v+ |v|^
Comparando as igualdades (2) e (1):
| u | ^ - 2u . v + | v p = | u p + | v | ^ - 2 | u l | v | COS 6
U . V = I U I I V I COS 0
e:
COS d = u . V 
l u l l v l
( 1)
( 2)
(1.7.1)
Uma vez calculado o cos 6, o ângulo d é encontrado numa tabela de co-senos.
12 Álgebra linear
Por exemplo, se u = ( - 2 , -2) e v = (0 ,-2 ) , o ângulo 0 pode ser calculado por intermédio 
da Fórmula (1.7.1):
COS 0 =
u . V (-2 , - 2) . (0 , - 2)
l u i i v i X ^ 0 ̂ + ( - 2)^
COS B =
0 + 4
y 4 + r X y õ T 4 ^ X ^ 2 ^ 2 X 2
COS 6 =
1 , V T
vA I 2
V T
0 = a r c COS
0 = 45°
1.8 PARALELISMO E ORTOGONALIDADE DE DOISVETORES
a) Se dois vetores u = ( x i , y i ) e v = (x2 , y2) sâo paralelos (ou colineares), existe um número k 
tal que:
u = kv
ou:
o que implica:
( x i , y i ) = k(x2, y2>
= k
X2 X2
isto é, dois vetores u e v são paralelos quando suas componentes são proporcionais. Representa- 
se por u // V dois vetores u e v paralelos.
Por exemplo, os vetores u = (-2 , 3) e v = ( -4 ,6 ) são paralelos, pois:
-4 6
ou sqa:
U = - V
Vetores 13
b) Se dois vetores u = ( x i , y i ) e v = (x2, y 2) são ortogonais, o ângulo 6 por eles formado e' 
de 90°, e, portanto, cos 0 = cos 90° = 0, o que implica, pela Fórmula (1.7.1):
u .v = 0
ou:
X1X2 + y i y 2 = 0
isto é, dois vetores u e v são ortogonais quando o produto escalar deles é nulo. Representa-se 
por u 1 V dois vetores u e v ortogonais.
Por exemplo, os vetores u = (2 ,3) e v = ( -3 ,2) são ortogonais, pois:
u .v = 2 (-3 ) + 3(2) = -6 + 6 = 0
1.9 VETORES NO IR^
O conjunto
IR̂ = IR X IR X IR= { ( x , y , z) / x ,y , z G IR}
é interpretado geometricamente como sendo o espaço cartesiano tridimensional Oxyz.
Da mesma forma como fizemos para o plano, consideraremos geralmente vetores repre­
sentados por segmentos orientados com a origem na origem do sistema. Nessas condições, cada 
vetor do espaço é determinado pelo ponto extremo do segmento. Assim, o ponto P(x, y, z) 
individualiza o vetor v = OP (Figura 1.9) e escreve-se:
v = (x ,y ,z )
identificando-se as coordenadas de P com as componentes de v.
14 Álgebra linear
A origem do sistema 0 (0 ,0 ,0 ) representa o vetor nulo.
O vetor oposto de v = (x, y, z) é o vetor -v = (-x , -y , -z).
De forma análoga à que tivemos no plano, teremos no espaço:
I) Dois vetores u - ( x i , y i , Z i ) e v = Xx2, y 2 ,Z2) são iguais se, e somente se, Xi =X2, 
yi =X2 e zi =Z2.
II) Dados os vetOTes u = (x i ,y i , Z i) e v = (x2,y2,Z2) e aG IR, define-se: 
u + v = (xi +X2,yi +y2,Zi +Z2) 
au = (ax, ,ayi ,az,)
ni) Se A ( x i , y i , Z i ) e B(x2 , y 2 ,Z2) são dois pontos quaisquer no espaço, então: 
AB =(X2 - X i , y 2 - y i , Z 2 - z i )
IV) O produto escalar dos vetores u = (x i , y i , Zi) e v = (x2, >2 , Z2) é o número real: 
u . v = XiX2 + y i y 2 +Z1Z2
V) O módulo do vetor v = (x, y ,z ) é dado por:
I v| = \ / y? + y ̂ + ẑ
VI) se u e V são vetores não-nulos e 0 é o ângulo formado por eles, então: 
u . V
COS 0 =
| u | | v |
V II) Para u = ( x i , y i , Z i ) e v = (x2, y2, Z2), tem-se:
a) u / / V se, e somente se, — = — = — ;
X2 y2 Z2 ’
b) u 1 V se, e somente se, X1X2 + y iy 2 + Z1Z2 = 0 .
CAPÍTULO
2.1 INTRODUÇÃO
Sabe-se que o conjunto:
IR" = { ( x , y ) / x , y G IR}
é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano. Um par (x, y) pode ser 
encarado como um ponto (Figura 2.1a) e, nesse caso, x e y são coordenadas, ou pode ser 
encarado como um vetor (Figura 2.1b) e, nesse caso, x e y são componentes (ou coordenadas).
Essa mesma idéia, em relação ao plano, estende-se para o espaço tridimensional que é a 
interpretação geométrica do conjunto IR̂ . Embora se perca a visão geométrica de espaços com 
dimensão acima de 3, é possível estender essa idéia a espaços como IR"̂ , IR ,̂ ..., IR". Assim,
(x, y)
Figura 2.1a Figura 2. 1b
15
16 Álgebra linear
quádruplas de números (xi , X2, X3, X4) podem ser vistas como pontos ou vetores no espaço 
IR"* de quarta dimensão. A quíntupla ( 2 , - 1 , 3 , 5, 4) será interpretada como um ponto ou 
um vetor no espaço IR̂ de dimensão cinco. Então, o espaço de dimensão n (ou espaço 
n-dimensional) será constituído pelo conjunto de todas as n-duplas ordenadas e representado 
por IRn, istoé:
IR"= { ( x i ,X2, . . . , x„) ; x íG i r }
A maneira de se trabalhar nesses espaços é idêntica àquela vista em IR̂ e em IR .̂
Por exemplo, se:
u = ( x i , X2 ,..., Xn) e V = ( y i , y2 , . . . , yn) 
são vetores no IR" e a um escalar, define-se:
a) u = V se, e somente se, Xi = y i , X2 = y2,..., Xĵ = yĵ .
b) u + v = (xi + y i , X 2 + y 2, . . . ,x„ + yn).
c) au = ( a x i , a x 2 ,...,axj^).
d) u . V = x i y i +Xjy2 + ... + x„yn.
e) IuI = y / u , u = V x? + X2 + ... + x^ .
Desde já é bom observar que o vetor u = ( x i , X2 ,.. . , Xĵ ) aparecerá, às vezes, com a notação 
matricial (matriz-coluna n x 1):
u =
Xi
X2
e é fácil ver que u + v e au na notação matricial são os vetores:
u + V =
Xi " y i Xi + Y 1
X2
+
V2
=
Xj + Y 2
Xf! Yn X n + y n
Espaços vetoriais 17
au = a
OOÍi
OOÍ2
OíX„
Vamos agora transmitir uma idéia nova. Para tanto, consideremos dois conjuntos: o IR” e 
0 conjunto das matrizes reais de ordem m x n, representado por M(m,.n). Como nesses 
conjuntos estão definidas as operações de adição e multiplicação por escalar, constata-se a exis­
tência de uma série de propriedades comuns a seguir enumeradas.
Se u, V, w E IR*', se a , G IR e se A, B, C G M (m, n), podemos verificar que:
a) Em relação à adição vqlem as propriedades:
l') (u + v) + w = u + (v + w) e 
(A + B) + C = A + (B + C)
2) u + v= v + u e 
A + B = B + A
(associatividade da adição)
(comutatividade da adição)
3) Existe um só elemento em IR" e um só em M (m, n) 
indicado por 0 e tal que:
u+ 0 = u e 
A + 0 = A (existência do elemento neutro)
O elemento 0, nesse caso, será o vetor 0 = (0 , 0,. . . , 0) G IR", na primeira igualdade, e 
a matriz nula:
0 =
0 0 
0 0
G M(m, n)
na segunda igualdade.
18 Álgebra linear
4) Para cada vetor u G IR*' e para cada matriz A E M (m, n) existe um só vetor -u G IR” 
e uma só matriz -A G M (m, n) tais que
u + ( -u) = 0 e 
A + (-A) = 0 (existência do elemento simétrico)
Por exemplo, se tivermos u = (xj , X2, ...,Xn), então o vetor simétrico é 
-u = (-Xj, -X2, ...» -x^), e, caso semelhante, para a matriz A e sua correspondente simétrica - A.
b) Em relação à multiplicação por escalar valem as propriedades:
1 ) (o0) u = a(^u) e
(o0)A = a(0A)
2) (a + 0) u = au + 0u e 
(a + j3) A = aA + PA
3) a (u + v) = au + av e 
a ( A + B)=aA + aB
4) lu = u e 
1A= A
Conforme acabamos de ver, os conjuntos IR” e M(m, n), munidos desse par de operações, 
apresentam uma “estrutura” comum em relação a essas operações. Esse fato não só vale para 
esses dois conjuntos com essas operações mas para muitos outros, razão porque vamos estudá-los 
simultaneamente. Esses conjuntos serão chamados espaços vetoriais.
2.2 ESPAÇOS VETORIAIS
Seja um conjunto V, não-vazio, sobre o qual estão definidas as operações adição e multi­
plicação por escalar, isto é:
Vu, V G V, u + V G V 
VaG IR, VuG V, auG V
O conjunto V com essas duas operações é chamado espaço vetorialreal (ou espaço vetorial 
sobre IR) se forem verificados os seguintes axiomas:
Espaços vetoriais 19
A) Em relaçío à adiçíTo:
A l) (u + v) + w = u + (v + w), Vu, V, w G V 
A2) u + v = v + u, Vu, v G V 
A3) HOG V, Vu G V, u + 0 = u 
A4) .VuG V, 3 ( -u )G V, u + (-u) = 0
M) Em relaçío à multiplicação por escalar:
Ml) (a0) u = a(/3u)
M2) (oc + j3) u = 001 +j3u 
M3) a(u +v) = au + av 
M4) lu = u
para Vu, v G V e Voe, 0 G IR.
Observações
1) Os elementos do espaço vetorial V serão chamados vetores, independentemente de sua 
natureza. Pode parecer estranho, e à primeira vista não deixa de ser, o fato de se chamar de 
vetores os polinômios (quando V for constituído de polinômios), as matrizes (quando V for 
constituído por matrizes) os números (quando V for um conjunto numérico), e assim por diante. 
A justificativa está no fato de as operações de adição e multiplicação por escalar realizadas com esses 
elementos de natureza tão distinta se comportarem de forma idêntica, como se estivéssemos 
trabalhando com os próprios vetores do ou do R^. Assim, a familiaridade que temos com 
os vetores do R^ e do R^ terá continuidade nesses conjuntos, chamando seus elementos também 
de vetores.
2) Se na definição acima tivéssemos tomado para escalares o conjunto C dos números 
complexos, V seria um espaço vetorial complexo. Daqui por diante, salvo referência expressa 
em contrário, serão considerados somente espaços vetoriaisreais. Assim, quando se disser que V 
é um espaço vetorial, deve ficar subentendido que V é um espaço vetorial sobre o coiqunto IR, 
dos númçros reais.
20 Álgebra linear
Exemplos
1) 0 conjunto V= = {(x,y)/x, yG IR} é um espaço vetorial com as operações de 
adição e multiplicação por um número real assim defmidas:
(X l,y i) + (Xl,y2) = (x, +X2,y, +X2)
a(x ,y) = (ax,ay)
Essas são as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
Para verificarmos os oito axiomas de espaço vetorial, consideremos u = (x i, y i), v = (x^, yj) 
e w = (x3,y3). Tem-se:
A,) (u + v) + w = ((xi, y i) + (xj, yj)) + (xj, y3>
(u + v) + w = ((xi + X2, yi + yj)) + (xj, y j)
(u+ v) -t w = ((x, + Xj) + X3, (yi + Y i) + ys)
(u + v) + w = (x, + (X2 + X3), yi + (y2 + yj))
(u + v) + w = (x i, y i) + (X2 + x j, y2 + ys)
(u + v) + w = (x ,, y i ) + ((X2, y2> + (X3 , ya))
(u + v) + w = u + (v -t w)
A2) u + v = ( x ,,y i) + (x2,y2) 
u-tv = (xi +X2,yi +y2> 
u + V = (X2 + Xi, y2 + y i ) 
u + v = (x2,y2) + (x i,y i) 
u + V = V + u
A3) 30 = (0, 0) e IR^ V u e ]R^ u + 0 = ( x ,,y j) + (0, 0)
u -t 0 = (xi + 0, yi +0) 
u + 0 = (x i,y i) 
u-t 0 = u
A4) Vu = (xi,y,)G 1R^ 3 (-u) = (-X i,-y i)e IR^
u + (-u) = ( x i , y , ) + (-Xi, - y i ) 
u + (-u) = (x , - x i . y , - y i ) 
u+ ( -u ) = (0, 0) = 0
Espaços vetoriais 21
M,) (a/3) u = (a0) ( x , , y , ) = ((a^) x , , (a^) y , ) = (a( ^x , ), a ))
(a/J) u = a (0X| , /3y,) = a (/3(x,, y j ))
(aff) u = a (j3u)
Mz) (a + 0)u = (a + ^ ) ( x i , y i ) = ((a + ^ ) x , , ( a + j3)y,) = (ax i + 0 x , , a y , + 0 y i )
(a + ^)u = ( a x i , ay 1) + (^X|, ^ y , ) = a ( x i , y i ) + 0 ( x i , y i )
(a +j3)u = au + /3u
Mj) a ( u + v ) = a ( ( x , , y , ) + ( x 2, y 2)) = a (x i +X2,y i + y 2) = (a ( x i +X2) , a (y i + y 2» 
a(u + v) = (ax i + a x 2, ay i + a y 2) = (axi , a y , ) + ( a x 2, ay2) = 
a ( x i , y , ) + a ( x 2, y 2)
M4) l u = l ( x i , y , ) = ( l x i , l y i ) = ( x i , y i ) 
lu = u
2) Os conjuntos IR ,̂ IR" são espaços vetoriais com as operações de adição e
multiplicação por escalar usuais. Depois de verificados os oito axiomas de espaço vetorial para 
o IR ,̂ os mesmos ficam também evidentes nos conjuntos acima citados.
3) 0 conjimto R. Os vetores, nesse caso, são números reais, e sabe-se que a adição de 
números reais verifica as propriedades A i, A2, A3 e A4 da definição de espaço vetorial. Assim, 
também, o produto de reais é um número real, e a operação multiplicação satisfaz os axiomas 
Ml, M2, M3 e M4.
4) O conjunto M (m, n) das matrizes m x n com as operações adição e multiplicação por 
escalar usuais.
Em particular, o conjunto M(n, n) das matrizes quadradas, de ordem n, é um espaço 
vetorial relativamente às mesmas operações.
5) O conjunto
Pn = {ao + aiX + a2X̂ + ... + â x̂” ;a. G R }
dos polinômios com coeficientes reais de grau < n , mais o polinômio nulo, em relação às 
operações usuais de adição de polinômios e multiplicação por escalar.
Em particular, o conjunto
^ 2 ~ { ao + a i X + a 2 x ^ ; a- G R } 
é um espaço vetorial relativamente às mesmas operações.
22 Álgebra linear
6) O conjunto 
V = { f : IR— > IR}
das funções reais definidas em toda reta. Se f, gG V e a E R, define-se: 
f + g : IR— >JR
(f + g) (x) = f(x ) + g(x)
e:
af: R— > IR
X»— ► (af) (x) = af(x)
7) O conjunto
V= {(x,x")/xE IR}
com as operações definidas por:
( X l . x J ) 0 (X2 , X ^ ) = (Xi + X 2 , ( X , + X 2 f ) 
a O ( x , x ^ ) = ( a x , a ^ x ^ )
é um espaço vetorial sobre R.
Os símbolos @ e Q são utilizados para indicar que a adição e a multiplicação por escalar 
não são as usuais.
8) O conjunto
v= {(x, y)/x, y > 0 }
é um espaço vetorial com as operações adição e multiplicação por escalar definidas assim: 
( x i ,y i ) 0 (Xi,y2) = (xi X X2, y, X yj)
« O (x,y) = (x“ ,y “ )
Espaços vetoriais 23
O trabalho de testar os oito axiomas de espaço vetorial é um ótimo exercício para o 
leitor, o qual observará, por exemplo, que o elemento neutro da adição @ (axioma A3) é o 
vetor (1 ,1) e que o elemento simétrico (axioma A4) de cada vetor (x, y)G V é o vetor
)G V.
9) Seja o conjunto:
R^ = { (a ,b) /a ,bG R }
Vamos mostrar que o conjunto R^ não é um espaço vetorial em relação às operações 
assim definidas:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 
k(a, b) = (ka, b)
Ora, como a adição aqui definida é a usual, verificam-se os axiomas A i, A2, A3 e A4 de 
espaço vetorial, conforme vimos no exemplo 1. Logo, devem falhar algum ou alguns dos axiomas 
relativos à multiplicação. Vamos testá-los.
Consideremos:
u = ( x i , y i ) , v = (x2 , y 2) a , ^ e IR
Temos, então:
M,) (a0) u = (afi) (x , , y , ) = ((aP) Xi ,yi) = (a (Pxj), y i ) = a (0x,, y , )
(aP) u = a(P(x j ,y i ) ) = a(Pu)
(Este axioma se verifica.)
M2) (a + 0) u = (a + /3) ( x , , y i ) = ((a + 0) Xi, y , ) = (ax i + P x i , y , )
au + ^u = a ( x i , y , ) + /3(xi,yi) = ( ax | ,y i ) + (0xi ,yi) = (ax, +0x,, 2y,)
Como se vê:
(a-h 0) u¥=au + pu
e, portanto, não se verifica o axioma M2 , o que comprova nao ser um espaço vetorial o conjunto 
de que trata esse exemplo.
24 Álgebra linear
2.3 PROPRIEDADES DOS ESPAÇOS VETORIAIS
Da definição de espaço vetorial V decorrem as seguintes propriedades:
I) Existe um único vetor nulo em V (elemento neutro da adição).
II) Cada vetor u G V admite apenas um simétrico (-u) G V.
III) Para quaisquer u, v, w G V, se u + w = v + w, então u = v.
IV) Qualquer que seja vG V, tem-se:
-(-v) = V
isto é, o oposto de -v é v.
V) Quaisquer que sejam u, v G V, existe um e somente um x G V tal que:
u + x = V
Esse vetor x será representado por: 
x = v - u
VI) Qualquer que seja vG V, tem-se:
0v = 0
Naturalmente, o primeiro zero é o número real zero, e o segundo é o vetor 0 G V.
VII) Qualquer que seja \G IR, tem-se:
X0 = 0
VIII) Xv = 0 implica X = 0 ou v = 0.
IX) Qualquer que seja v G V, tem-se:
( - l ) v = -v
Espaços vetoriais 25
X) Quaisquer que sejam V E V e XG R, tem-se:
(-X )v=X (-v) = -(Xv)
2.4 SUBESPAÇOS VETOR lAIS
Sqam V um espaço vetorial e S um subconjunto não-vazio de V. O subconjunto S é 
um subespaço vetorial de V se S é um espaço vetorial em relação à adição e à multiplicação 
por escalar definidas em V.
Para mostrar que um subconjunto S é um subespaço vetorial de V, deveriamos testar 
os oito axiomas de espaço vetorial relativos à adição e à multiplicação por escalar. No entanto, 
como S é parte de V, que já se sabe ser um espaço vetorial, não há necessidade da verificação 
de certos axiomas em S. Por exemplo, o axioma A2 diz que u + v = v + u , V u ,v E V. Ora, se 
a comutatividade da adição é válida para todos os vetores de V, ela valerá, conseqüentemente, 
para todos os vetores de S. Existem outros axiomas de espaço vetorial merecedores de comen­
tário idêntico. O teorema seguinte estabelece as condições para que um subconjunto S de um 
espaço vetorial V seja um subespaço vetorial de V.
2.4.1 Teorema
Um subconjunto S, mo-vazio, de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V se 
estiverem satisfeitas as condições:
I) Para quaisquer u, v E S, tem-se: 
u + vE S
II) Para quaisquer a E IR, u E S, tem-se: 
a u E S
Vamos mostrar que sendo válidas essas duas condições em S, os oito axiomas de espaço 
vetorial também se verificam em S.
De fato:
Seja u um vetor qualquer de S. Pela condição II, a u E S para todo a E R . Fazendo 
a = 0, vem OuE S, ou seja, OE S (axioma A3). Fazendo a = - l , s e g u e ( - l ) u = - u E S 
(axioma A4).
26 Álgebra linear
Os demais axiomas A i, A2, M i, M2, Ma e M4 de espaço vetoríal são verificados em S pelo 
fato de ser S um subconjunto não-vazio de V.
Observação
Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços: o conjunto { 0 } , chamado 
subespaço zero ou subespaço nulo, e o próprio espaço vetorial V. Esses dois são os subespaços 
triviais de V. Os demais subespaços são denominados subespaços próprios de V.
Por exemplo, os subespaços triviais de V = 1R̂ são { ( 0 , 0 , 0 ) } (verificaras condições 
1 e II do teorema 2.4.1) e o próprio Os subespaços próprios do são as retas e os planos 
que passam pela origem.
Para V = R ^ , os subespaços triviais são: { ( 0 , 0 ) } e R^, enquanto os subespaços próprios 
são as retas que passam pela origem.
Exemplos 
1) Sqam V = R^ e S = { (x, y) G R ^/y = 2x} ou S = { (x, 2x); x G R } , isto é, S é o 
conjunto dos vetores do plano que tém a segunda componente igual ao dobro da primeira.
Evidentemente, S= (̂py po is (0 ,0)G S.
Verifiquemos as condições I e II.
Para u = ( x i , 2x i ) G S e v = (x2, 2x2)G S, tem-se:
I) u + v = (x i +X2, 2xi + 2x2) = (xi +X2, 2 (xi +X2))G S, pois a segunda componente 
de u + v é igual ao dobro da primeira.
II) au = 0£ (Xi, 2 x i ) = (ocxi» 2 ( a x i )) G S, pois a segunda componente de au é igual ao 
dobro da primeira.
Portanto, S é um subespaço vetorial de R^.
Esse subespaço S representa geometricamente uma reta que passa pela origem 
(Figura 2.4.1a).
Observemos que ao tomarmos dois vetores u e v da reta, o vetor soma u + v ainda 
é da reta. E se multiplicarmos um vetor u da reta por um número real a , o vetor au ainda 
estará na reta.
Espaços vetoriais 27
O mesmo não ocorre quando a reta não passa pela origem. Por exemplo, a reta:
S= { ( x , 4 - 2 x ) ; x e R }
não é um subespaço vetorial do R ^. Se escolhermos os vetores u = (1 ,2) e v = (2 ,0) de 
S, temos u + V = (3, 2) ^ S (Figura 2.4.1b).
28 Álgebra linear
Observemos ainda que a u í S, para a = ^ l.
O que afirmamos para esta reta que não passa pela origem vale para qualquer sub­
conjunto S de um espaço vetorial V. Assim, sempre que 0 í S, conclui-se que S não é 
subespaço de V. Aliás, esse fato é sempre útil para detectar, muitas vezes de imediato, que 
um subconjunto S não é subespaço vetorial. No entanto, não nos enganemos pensando 
que, se OE S, S é subespaço, pois podemos ter OE S sem que S seja subespaço. É o 
caso do subconjunto
S= { ( x ; | x | ) ; x e R } C ] R 2
Observemos que (0 ,0 ) E S e que, se tomarmos os vetores u = (3,3) e v = (-2, 2) 
de S, teremos u + v = ( l , 5 ) í S (Figura2.4.1c).
Observemos ainda que au í S, a < 0.
Observação
Nos exemplos trabalharemos somente com conjuntos não-vazios, ficando dispensada a 
necessidade de verificar se o conjunto é não-vazio.
2) Sejam V = e
S = { (x, y , z)/ E IR̂ /ax + by + cz = 0 }
Espaços vetoriais 29
Nesse caso:
u = ( x i , y i , Zi) G S implica axi + byi + czi = 0
V = (x2, y2 , Z2) G S implica ax2 + by2 + CZ2 = 0
I) Somando essas igualdades, resulta:
a(xi + X2) + b(yi + y2) + c(zi + Z2) = 0
e essa igualdade mostra que:
u + v = ( x i + X2, y i + y 2, z i + 22) ^ S
pois as coordenadas de u + v satisfazem a equação
ax + by + cz = 0
II) Por outro lado,
au = ( a x i , a y i , a z i ) G S
pois, se:
axi + byi + czi = 0,
então:
a(axi + byi + czi) = aO
ou:
a( ax i ) + b ( a y i ) + c ( a z i ) = 0
o que vem mostrar que as coordenadas de au satisfazem a equação ax + by + cz = 0 . 
Logo, S é um subespaço vetorial de Esse subespaço S representa um plano 
qualquer passando pela origem no IR^.
30 Álgebra linear
3) Sejam V = IR'‘
S= { ( x , y , z , 0); x , y , z S R }
isto é, S é o conjunto dos vetores de que têm a quarta componente nula.
Verifiquemos as condições I e II de subespaço.
Para u = (xi , y i , Zi, 0) G S e v = (x2, y2, Z2, 0 ) G S, tem-se:
I) u + V = (xi + X2 , y 1 + y2, Zi + Z2,0 ) G S, pois a quarta componente de u + v é nula.
II) au = ( a x i , O í y i , a z i , 0 ) G S, pois a quarta componente de au é nula.
Logo, S é um subespaço vetorial de
4) Sejam
V = M(2, 2) =
a b
c d
; a, b, c, dG IR
S =
a b
0 0.
; a, b G IR
isto é, S é o conjunto das matrizes quadradas, de ordem 2, cujos elementos da segunda linha 
são nulos.
Para quaisquer
3i bi a2 b2
u = e s , V =
0 0 0 0
G S e Oí G IR
Espaços vetoriais 31
tem-se:
I) u + V G S
II) auG S
Logo, S é um subespaço vetorial de M(2 , 2).
Observação
É interessante observar que se tivéssemos considerado V = e 
S= { (a ,b ,0 , 0) ; a , b G IR},
0 raciocínio seria idêntico ao que foi feito para as matrizes acima.
5) Sejam V = M(n, n), B uma matriz fixa de V e
S = { AG M(n,n)/AB = 0}
isto é, S é o conjunto das matrizes que, multiplicadas à esquerda por B, têm como resultado 
a matriz nula.
Então:
Al G S implica Ai B = 0
A2 ^ S implica A2 B = 0
I) Somando essas igualdades, vem:
AiB +A2B = 0
ou:
(Al + A2)B = 0
e, portanto:
Al + A2 ^ S
32 Álgebra linear
II) Multiplicando por a real a primeira igualdade, vem: 
a (Al B) = aO
ou:
(aAi)B = 0 
e, portanto: 
aAi G S.
Logo, S é um subespaço vetorial de M(2, 2).
6) Sejam V = M(3, 1) e
S o conjunto-solução de um sistema linear homogêneo a três variáveis. 
Consideremos o sistema homogêneo
3x + 4y - 2z = 0 
2x+ y - z = 0 
X - y + 3z = 0
Fazendo:
A =
3 4 - 2 X 0
2 1 -1 , x = y e 0 = 0
1 -1 3 z 0
o sistema, em notação matricial, será dado por AX = 0, sendo X elemento do conjunto- 
solução S.
Se
Xl X2
u = Xi = Yi e V = X2 = Yi
Zi Z2
Espaços vetoriais 33
são soluções do sistema, então:
AXi = 0 e AX2 = 0
I) Somando essas igualdades, vem:
AXi + AX2 = 0
ou:
A(Xi +X2> = 0
o que implica
Xi + X2 G S
isto é, a soma de duas soluções é ainda uma solução do sistema.
II) Multiplicando por a real a primeira igualdade, vem:
a(AXi) = aO
ou:
A(aXi) = 0
0 que implica 
oXi G S
isto é, o produto de uma constante por uma solução é ainda uma solução.
Logo, o conjunto-solução S do sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial de 
M(3, l ) .
Observações
1) Esse conjunto-solução S pode também ser considerado subespaço de R^, pois um 
vetor (x, y, z)G IR̂ tem notação matricial:
X
y
z
34 Álgebra linear
2) Esse subespaço S é também chamado espaço-solução do sistema AX = 0.
3) Se tivermos um sistema homogêneo de m equações lineares com n variáveis, o 
espaço-solução será um subespaço de R^.
4) Se um sistema linear é não-homogêneo, o seu conjunto-solução S m o é um subespaço 
vetorial (verificação a cargo do leitor).
7) S q a m V = R 2
s= {(X,y); x > 0 }
isto é, S é o conjunto dos vetores de cuja primeira componente é positiva.
Sendo
u = ( x i , y i ) , X , > 0 , e 
V = (X2,y2), X2 > 0 
vetores quaisquer do S, temos:
I) u + V = (xi + X2, Yi + Y2) ^ S pois Xi + X2 > 0, isto é, a soma de dois vetores com a 
primeira componente positiva é um vetor cuja primeira componente é também positiva.
II) au = ( a x i , a y i ) ^ S quando a < 0, isto é, nem sempre o produto de um vetor com 
a primeira componente positiva por um número real a resulta um vetor cuja primeira 
componente é positiva. Por exemplo, u = (3 , - 4 ) G S e -2 ( 3 , - 4 ) = ( -6 , 8) ^ S.
Ijogo, S não é subespaço de R^.
Para chegar a essa conclusão poderiamos ter usado o fato de que ( 0 ,0) ^ S (imediata).
2.4.2 Interseção de dois Subespaços Vetoriais
Sejam Si e S2 dois subespaços vetoriais de V. A interseção S de Si e S2 , que se 
representa por S = Si 0 8 2 , é o conjunto de todos os vetores vG V tais que vG Si e vG S2.
Espaços vetoriais 35
2.4.2.1 Teorema
A interseção S de dois subespaços vetoriais Si e S2 de V é um subespaço vetorial de 
V. De fato:
I) se u, V E S i, então u + v E S i ; 
se u, V E S2, então u + vE S2.
Logo:
u + V E Si n S2 = S.
II) Para qualquer XE R:
se V E S i, então X v E S i ; 
se vE S2, então Xv E S2.
Logo:
X V E Si n S2 = s
Exemplos:
1) Seja V o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2:
V =
a b
c d
; a , b , c , d E R
Sqam Si e S2 subespaços vetoriais de V:
Si =
a b
0 0
; a , b E R
36 Álgebra linear
S. =
a 0
c 0
; a ,c G R
A interseção S = Si n S2 é nm subespaço vetorial de V:
S =
a 0
0 0
; aG R
2) Seja o espaço vetorial R^ = {(a, b, c); a, b , c G R } e os subespaços vetoriais
Si = {(a, b,0); a , b G R } e S2 = { ( 0 , 0 , c); c G R } . A interseção 8 1 0 8 2 é o
subespaço vetorial 8 = { ( 0 , 0 , 0) } = { 0 } .
2.4.3 Soma de dois Subespaços Vetoriais
Sejam Si e 82 dois subespaços vetoriais de V. Asoma 8 de Si e 82, que se repre­
senta por S = Si + 82, é o cx>njunto de todos os vetores u + v de V tais que uG Si e vG 82.
2.4.3.1 Teorema
fato:
A soma 8 de dois subespaços vetoriais Si »e 82 de V é um subespaço vetorial de V. De
I) se Ui, U2 G S i, então Ui + U2 G S j ; 
se v i , V2 G 82, então Vi + V2 G 82.
Por outro lado:
Ui + Vi G 8 
U2 + V2 G 8
logo:
(ui + Vi) + (u2 + V2) = (ui + U2) + (vi + V2)G Si + 82 = 8
Espaços vetoriais 37
n ) Para qualquer XG IR:
se Ui E Si, então Xui E S i ; 
se Vi E S2, então Xvi E S2.
Por outro lado:
Ui + Vi E S 
logo:
X(ui + Vj) = Xui + Xvi E Si + S2 = S
Exemplos
1) A soma S dos subespaços vetoriais Si e S2 referidos no exemplo 1 de 2.4.2.1 é um 
subespaço vetorial de V:
S -
a b
c 0
; a, b, c E R
2) Sejam os subespaços vetoriais Si = { (a ,b ,0) ; a , b E R } e S2 = {(0, 0, c); c E R } do 
espaço vetorial R^ = { (a, b, c); a, b, c E R } .
A soma Si + S2 é o subespaço vetorial S= {(a, b, c); a, b , c E R } , que, no caso, é 
o próprio R^.
2.4.4 Soma Direta de dois Subespaços Vetoriais
Sejam Si e S2 dois subespaços vetoriais de V. Diz-se que V é a soma direta de Si e 
S2, e se representa por V = Si 0 S2, se V = Si + S2 e Si n S2 = { 0 } .
38 Álgebra linear
2.4.4.1 Teorema
Se V é a soma direta de Si e S2, todo vetor vE V se escreve, de modo único, na
forma:
v= u + w
onde:
u E Si e w E S2
De fato, de V = S i @ S 2 , vem, para qualquer vE V:
V = u + w, onde u E Si e v E S2
Suponhamos que v pudesse exprimir-se também pela forma:
V = u' + w', onde u' E Si e w' E S2
As igualdades 2.4.4.1-1 e 2.4.4.1-11 permitem escrever:
(2.4.4.1-I)
(2.4.4.1-II)
u + w = u' + w'
ou:
onde:
u - u' E Si e w' - w E S2 
Tendo em vista que Si n S2 = { 0 } : 
u - u ' = w ' - w = 0
isto é:
u = u e w = w
Espaços vetoriais 39
Exemplo:
O espaço vetorial IR̂ = { (a, b, c); a, b, c G R } é á soma direta dos subespaços vetoriais:
= { (a ,b , 0) ; a ,b G R } e S2 = { (0 ,0 , c); c G R }
pois qualquer vetor (a, b, c) G R^ pode ser escrito como soma de um vetor de Si e um vetor 
de S2 de modo único:
(a,b,c) = (a, b ,0) + (0 , 0 ,c) 
e, portanto:
IR̂ = S , © S 2
2.5 COMBINAÇÃO LINEAR
Sejam OS vetores Vi,V2, v ̂ do espaço vetorial V e os escalares a i , a2, ...» a .̂ Qualquer 
vetor V e V da forma:
v = a i v i +a2V2 + ... + aĵ Vĵ
é uma combinação linear dos vetores Vi, V2, v̂ .
Exemplo
No espaço vetorial P2 dos polinômios de grau < 2 , o polinômio v= Ix? + l l x - 2 6 é 
uma combinação linear dos polinômios:
vi = 5x ̂ - 3x + 2 e V2 = -2x^ + 5x - 8
De fato:
V = 3 v i + 4 v2
isto é:
Ix} + l l x - 2 6 = 3(5x^ - 3 x + 2) + 4(-2x^ + 5 x - 8 ) 
7x ̂ + 1 Ix - 26 = 15x^ - 9x + 6 - 8x ̂ + 20x - 32 
7x ̂ + l l x - 2 6 = 7x ̂ + l l x - 2 6
40 Álgebra linear
2.5.1 Problemas Resolvidos
Para os problemas de 1 a 4, consideremos, no os seguintes vetores: Vi = ( 1 , - 3 , 2)
e V 2= (2 ,4 , -1 ) .
1) Escrever o vetor v = ( - 4 , -18 ,7) como combinação linear dos vetores Vj e Vj.
Solução
Pretende-se que:
v= aiVi + a2V2
sendo ai e a2 escalares a determinar. Então, devemos ter:
( . 4 , - 1 8 , 7 ) = a i ( l , - 3 , 2 ) + a2(2, 4 , -1)
ou:
(-4 , -18, 7) = ( a , , - 3 a , , 2a , ) + (2a2, 4aj , -á j)
ou:
(-4, -18, 7) — (aj + 2a2, -3aj + 4a2, 2aj - a2)
Pela condição de igualdade de dois vetores, resulta o sistema:
ai + 2a2 = -4 
-3ai +4a2 =-18 
2ai - a2 = 7
cuja solução é ai = 2 e a2 = -3.
Portanto,
V = 2 v i - 3 v2
Espaços vetoriais 41
Observação
Esse problema e outros deste Capítulo estão resolvidos no Apêndice A.
2) Mostrar que o vetor v = (4, 3 , -6) não é combinação linear dos vetores Vi e V2.
Solução
Deve-se mostrar que não existem escalares ai e a2 tais que:
v = aiVi +a2V2
Com procedimento análogo ao do problema anterior, temos:
( 4 , 3 , - 6 ) = a i ( l , - 3 , 2 ) + a 2 ( 2 , 4 , . l )
de onde resulta o sistema:
ai + 2a2 = 4 
-3ai + 4a2 = 3 
2ai - a2 ” “6
Observemos que esse sistema difere do anterior pelos termos independentes. Como é 
incompatível, o vetor v não pode ser escrito como combinação linear de Vj e V2.
3) Determinar o valor de k para que o vetor u = ( - l , k , -7) seja combinação linear de
vi e V2.
Solução
Devemos ter: 
u = ai Vi + a2 V2
ou:
( - l , k , - 7 ) = a , ( l , - 3 , 2 ) + a j ( 2 , 4 , - l )
42 Álgebra linear
de onde vem o sistema:
ai + 2a2 = -1 
-3ai + 4a2 ~ k 
2ai - a2 = -7
do qual resulta, como solução do problema proposto, k = 13 (ai = -3 e a2 = 1).
De fato:
( - 1 , 1 3 , - 7 ) = - 3 ( 1 , . 3 , 2 ) + 1 ( 2 , 4 , - 1 )
( - 1 , 1 3 , - 7 ) = ( -3 ,9 , ^ ) + ( 2 , 4 , - l )
( - l , 1 3 , - 7 ) = ( - l , 1 3 , - 7 ) .
4) Determinar a condição para x, y e z de modo que ( x ,y , z ) seja combinação linear dos 
vetores Vi e V2.
Solução
Devemos ter:
(x ,y , z) = a i ( l , -3, 2) + 32(2 ,4 , -1)
de onde vem o sistema:
ai + 2a2 = X
-3ai + 4a2 = y 
2ai - a2 = z
O vetor (x, y, z) somente será combinação linear de Vi e V2 se o sistema tiver solução, e 
isto somente ocone se:
X - y - 2z = 0
ou:
X = y + 2z
Espaços vetoriais 43
Assim, todos os vetores (x ,y , z) E IR ,̂ que são combinações lineares de Vj e V2 , tém 
a forma:
( y + 2z, y ,z ) 
com y, z E R .
Podemos fazer a interpretação geométrica desse resultado. Observemos que os vetores Vi e 
V2 não são colineares. O vetor aiVi tem a direção de Vi, e o vetor a2V2, a direção de V2 . 
Logo, todos os vetores (x, y, z) E do tipo
( x ,y ,z ) = aiVi + a2V2
formam um plano tt que passa pela origem. Esse plano tem equação x - y - 2z = 0, que estabelece 
a condição solicitada entre as componentes x, y e z, conforme se disse ao mencionar a solução 
do sistema.
► y
5) Mostrar que o vetor v = (3 , 4)E pode ser escrito de infinitas maneiras como combi­
nação linear dos vetores Vi = ( 1, 0), V2 = (0 , 1) e V3 = (2, - 1).
Solução
Tem-se:
(3,4) = a ( l ,0 ) + b(0, l) + c (2 ,- l)
44 Álgebra linear
donde:
ou:
a + 2c = 3 
b - c = 4
a = 3 - 2c 
b = 4 + c
e, portanto, para cada valor de c obtém-se um valor para a *e outro para b.
2.5.2 Subespaços Gerados
Seja V um espaço vetorial. Consideremos um subconjunto A = { Vj,V2 , v ^ } C V, 
A=^0.
O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de A é 
um subespaço vetorial de V.
De fato, se:
u = aiVi + ajv^ + ... + a„v^
v=biV, + b 2V2 + ••• + V n 
são dois vetores quaisquer de S, pode-se escrever:
u + v = (a, + b , ) v i +(32 + b 2>V2 + ... + (a^ + b^)v^ 
au = (aa, )V| + ( a a 2)v2 + - + («a„)v^
Tendo em vista que u + v E S e que a u E S, por serem combinações lineares de 
Vi, V2 , v^, conclui-se que S é um subespaço vetorial de V.
Simbolicamente, o subespaço S é:
S = { v e V/v = aiVi + . . .+ a„Vjj, a , , . . . ,a j j€ IR}
Espaços vetoriais 45
Observações
1) O subespaço S diz-se gerado pelos vetores Vi, V2, v ^ , ou gerado pelo conjunto A, e 
representa-se por:
s = K , V 2 , . . . , V ^ ] OU S = G(A)
Os vetores Vi, V2, ...»v̂ ̂ são chamados geradores do subespaço S, enquanto A é 
o conjunto gerador de S.
2) Para o caso particular de A = 0, define-se: [0] = { 0 } .
3) A C G(A), ousqa, { v i , C [vi, .
4) Todo conjunto A C V gera um subespaço vetorial de V, podendo ocorrer G(A) = V. 
Nesse caso, A é um conjunto gerador de V.
Exemplos
1) Os vetores i = ( l , 0 ) e j = ( 0 , l ) geram o espaço vetorial poisqualquer (x ,y )G 
é combinação linear de i e j :
(x, y) = xi + yj = x ( l , 0) + y (0,1) = (x , 0) + (0, y) = (x , y)
Então:
[ÍJ]=1R^
2) Os vetores i = ( 1 , 0 , 0 ) e j = ( 0 , 1 , 0 ) do IR* geram o subespaço 
S= { ( x , y , 0 ) e lR’ / x , y e IR}
pois:
(x, y, 0) = x ( l , 0 ,0 ) + y ( 0 , 1,0)
EntSo:
[i,j] = S é um subespaço próprio do e representa, geometricamente o plano xOy.
46 Álgebra linear
3) Os vetores ei = ( 1, 0, 0), C2 = (0 , 1 , 0 ) e 63 = (0, 0, 1) geram o espaço vetorial pois 
qualquer v = (x, y, z)G é combinação linear de e j , e 2 e
(x, y, z) = x ( l , 0 , 0) +y ( 0, 1, 0) + z ( 0 , 0 , 1) 
ou:
V = XCi + yC2 + ZC3
Então:
[®i> 62, 63] =
Observação
Antes de resolvermos alguns problemas e fornecermos certas interpretações geométricas, 
atentemos para um fato importante.
Dados n vetores Vi, v ̂ de um espaço vetorial V, se w G V é tal que
w = aiVi + ... + a„Vn
então:
(V i , . . . , V „ , w ] = [V i ,
pois todo vetor v que é combinação linear de V j , v „ , w é também combinação linear de
Espaços vetoriais 47
De fato:
Seja w = ai Vj + ... + anVn- 
Se
V E [v 1, . . . , Vn, w ] , então existem números reais b i , . . . , bn, b
tais que
v = b , v , + ... +b„v„ + bw 
ou
v = biv, + ... +bnVn +b(aiVi + ... + a n v j 
OU, ainda
V = (b, + a,b)v, + ... + (bn + anb)v„
e, portanto, v é combinação linear de Vi, . . . , Vn, istoé,
V e [vi, . . . , Vn]
A recíproca, ou seja,
se V G [vi, . . . , Vn], então v G [vj, . . . , Vn, w] 
é trivial, pois
se V = ai Vi + . . . + anVn, então v = aiVi + . . . + anVn + Ow.
Assim, sendo S um subespaço gerado por um conjunto A, ao acrescentarmos vetores 
de S a esse conjunto A, os novos conjuntos continuarão gerando o mesmo subespaço S. Esse 
fato faz entender que um determinado subespaço S pode ser gerado por uma infinidade de 
vetores, porém existe um número mínimo de vetores para gerá-lo.
2.5.2.1 Problemas Resolvidos
6) Seja V = IR .̂ Determinar o subespaço gerado pelo vetor Vi = ( 1 , 2 , 3).
Solução
Temos:
[Vi] = {(x, y, z) e lRV(x,y, z) = a ( l , 2 , 3), a € IR}
48 Álgebra linear
Da igualdade:
(x, y ,z ) = a ( l , 2 , 3)
vem:
X = a 
y = 2a 
z = 3a
donde
ou
y = 2x 
z = 3x
Logo,
[vi ] = { (x, y, z) € IRVy = 2x e z = 3x} 
[vi] = { (x ,2x , 3x); x € IR}
O subespaço gerado por um vetor Vi G IR ,̂ Vi ¥= 0, é uma refa que passa pela origem 
(Figura 2.5.2a). Se a esse vetor acrescentarmos V2, V3, t o d o s colineares entre si, o subespaço 
gerado por 2 ,3 , . . . vetores continuará sendo a mesma reta:
[Vi] = [vi ,Vj] = [v i .v j .V j] =.. . (Figura 2.5.2b)
Espaços vetoriais 49
7) Seja V = IR .̂ Determinar o subespaço gerado pelo conjunto A = {vi, V2}, sendo 
V i = ( l , - 2 , -1) e V2 = (2, 1, 1).
Solução
Temos:
[vi,V2] = {(x ,y ,z) G IRV(x,y, z) = a i ( l , - 2 ,- l ) + a2(2, 1, l ) ,a i ,a 2 G IR}
Da igualdade acima, vem:
aj + 2a2 = X
- 2ai + a2 = y
-ai + a2 = z
O vetor (x, y, z) E [vi, V2 ] se, e somente se, o sistema tem solução, e isto somente ocorre 
quando x + 3y - 5z = 0 (exercício a cargo do leitor).
Logo:
[vi , V2 ] = { (x, y, z) E IRVx + 3y - 5z = 0 }
O subespaço gerado pelos vetores Vi, V2 ^ não-colineares, é um plano n que passa 
pela origem (Figura 2.5.2c). Se a esses dois vetores acrescentarmos V3,V4, . . . , todos copbnares, 
o subespaço gerado por 3 ,4 , ... vetores continuará sendo o mesmo plano n:
[Vi, V2 ] = [vi , V2 , V3 ] = [vi, V2, V3, V4 ] = ... (Figura 2.5.2d)
50 Álgebra linear
8) Seja V=IR^. Determinar o subespaço gerado pelo conjunto A = {vj, V2, V3 } , sendo 
Vi = (1, 1, 1), V2 = (1, 1, 0) e V3 = (1, 0, 0).
Solução
Para todo vetor (x, y, z) G [vi,V2,V3], tem-se:
(X, y, z) = a i ( l , 1, 1) + a2( l , 1, 0) + a3( l , 0 ,0)
isto é:
ai + a2 + a3 = X
ai + 32 = y
ai = z
ou:
ai = z
32 = y - z
33 = X - y
Portanto:
( x ,y ,z ) = z ( l , 1, l ) + ( y - z ) ( l , l , 0) + ( x - y ) ( l , 0 , 0)
e, por conseguinte, os vetores Vj, V2 e V3 geram o , pois cada vetor do R^ é combinação 
linear dos vetores dados.
Logo:
[ V l ,V 2 , V 3 ] = R ^
o subespaço gerado por três vetores m ó-copbm res é o próprio R^ (Figura 2.5.2e). Se a 
esses trés vetores acrescentarmos V4, Vg,... quaisquer, o subespaço gerado pelos 4, 5, . . . vetores 
continuará sendo o próprio IR^:
[Vl , V 2 , V 3 ] = [ V i , V 2 , V 3 . V 4 ] = ...
Espaços vetoriais 51
Figura 2.5.2e
9) Mostrar que o conjunto A = { (3, 1), (5, 2 )} gera o IR̂
Solução
Vamos mostrar que todo vetor (x, y) E IR̂ é combinação linear dos vetores do conjunto 
A, isto é, sempre existem os números reais ai e a2 tais que;
(x, y) = ai(3, l) + a2(5, 2)
Daí vem o sistema:
3ai + 5a2 = X
ai + 2a2 = y 
que, resolvido em termos de x e y, fornece: 
ai = 2x - 5y e a2 = 3y - x 
Portanto:
(X, y) = (2x - 5 y ) ( 3 ,1) + (3y - x )(5 , 2) 
isto é:
G(A) = 1R*
52 Álgebra linear
-1 2 ‘ ’ 3 - l ‘
>
. - 2 3 . » .1 1.
10) Sejam V = M (2 ,2 ) e o subconjunto
A =
Determinai o subespaço G(A).
Solução
Para todo vetor
V =
X y
z t
G(A),
tem-se:
X y ”- l 2 ”3 - f
= a + b
z t -2 3 1 1
e daí o sistema:
- a + 3b = X 
2a - b = y 
-2a + b = z 
3a + b = t
que é compatível se:
z = -y e X = -2y + t 
Logo:
' “-2y + t y'
-y t
G(A) = ; y, t e IR
Espaços vetoriais 53
2.6 ESPAÇOS VETORIAIS FINITAMENTE GERADOS
Um espaço vetorial V é finitamente gerado se existe um conjunto finito A, A C V, tal 
que V = G(A).
Todos os exemplos de espaços vetoriais citados até aqui são finitamente gerados. Por 
exemplo, vimos que o IR̂ é gerado pelo conjunto finito de trés vetores
A = { ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 ,1 ,0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) } 
pois, para todo (x,y, z) G IR ,̂ tem-se:
(x, y ,z ) = x ( l , 0 , 0 ) + y(0, l , 0 ) + z(0, 0 ,1)
Em nosso estudo trataremos somente de espaços vetoriais finitamente gerados.
Um exemplo de espaço vetorial que não é finitamente gerado é o espaço P de todos os 
polinômios reais.
Na verdade, dado A = { p i , ..., p„ } CP, onde p̂ é um polinòmio de grau i e p^ o de 
mais alto grau, qualquer combinação linear
aipi +a2P2 + . . . + a„Pn
tem grau < n . Assim, o subespaço [pi, . . . , Pn] contém somente polinômios de grau menor 
ou igual ao grau de p„. Como P é formado por todos os polinômios, existem nele polinômios 
de grau maior que o de p,,. Logo, G(A) P para todo conjunto finito A C P.
2.7 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
No problema 8 de 2.5.2.1, chamamos a atenção para o fato de que o espaço vetorial R^pode 
ser gerado por três vetores, ou também por quatro, ou por cinco etc. Assim, três vetores cons­
tituem o número mfnimo necessário para gerar o IR .̂ No entanto, quatro, cinco ou mais 
vetores podem gerar o R^. Porém, nesse caso, sobram vetores no conjunto gerador. Em nosso 
estudo temos grande interesse no conjunto gerador que seja o menor possível. Para a determi­
nação do menor conjunto gerador de um espaço vetorial, precisamos ter a noção de dependência 
e independência linear.
54 Álgebra linear
2.7.1 Definição
Sqam V um espaço vetorial e 
A = C V
Consideremos a equação
aivi + ... + a^v„ = 0 (2.7)
Sabemos que essa equação admite pelo menos uma solução:
ai = 0 , 2í2 = 0 , = 0
chamada solução trivial.
O conjunto A diz-se linearmente independente (LI), ou os vetores Vi, . . . , Vn são LI, 
caso a equação (2.7) admita apenas a solução trivial
Se existirem soluções â =?̂ 0̂ diz-se que o conjunto A é linearmente dependente (LD), ou 
que os vetores Vi, ..., Vĵ são LD.
Exemplos
1) No espaço vetorial V = R ^ , os vetores V i = ( 2 , -1,3) , V 2= (- l ,0 , -2) e V3=(2,-3, 1) 
formam um conjunto linearmente dependente, pois
3vi + 4v2 - V3 = 0
ou seja:
3 ( 2, - 1, 3) + 4(-1, 0, - 2) - (2, -3, 1) = (0, 0 ,0)
2) No espaço vetorial V = 1R̂ osvetores Vj = ( 2 ,2 ,3 ,4 ) , V2 = ( 0 ,5 , -3 ,1 ) e V3 = (0 ,0 ,4 , -2 ) 
são linearmente independentes. De fato:
a(2, 2, 3, 4) + b(0, 5, -3, 1) + c(0, 0, 4, -2) = (0, 0, 0, 0)
(2a, 2a, 3a, 4a) + (0, 5b, - 3b, b) + (0, 0 , 4c, -2c) = (0,0, 0, 0)
(2a, 2a + 5b, 3a - 3b + 4c, 4a + b - 2c) = (0, 0, 0, 0)
Espaços vetoriais 55
isto é:
2a = 0
2a + 5b = 0
3a - 3b + 4c = 0
4a + b - 2c = 0
O sistema admite unicamente a solução: 
a = 0, b = 0 e c = 0
3) No espaço vetorial IR ,̂ o conjunto { c i , e2, ea } , tal que ei = ( 1 . 0 , 0 ) , ej = ( 0 , 1 , 0 ) e 
e j = (0 ,0 , 1) , é LI.
De fato, a equaçío:
aiCi + ajCj + asCs = 0
ou:
a , ( l , 0. 0) + a2(0, 1 ,0) + aj(0, 0, 1) = (0 ,0 , 0) 
transfonna-se em:
(a i , a 2 ,a j ) = (0, 0, 0)
e, portanto: 
ai ” aa = aa = 0 
Logo, o conjunto:
{ ( 1 , 0, 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , (0 ,0 , 1)}
é LI.
De forma análoga mostra-se que os vetores 
e , = (1 ,0 ,0 , . . . ,0 ) , ej =(0, 1, 0,.. . , 0), . . . , e„ = (0, 0, 0,.. . , 1) 
formam um conjunto linearmente independente no IR".
56 Álgebra linear
4) No espaço vetorial M(3, 1) das matrizes-colunas, de ordem 3 x 1, os vetores:
1 0 0
ei = 0 , «2 = 1 , 63 = 0
0 0 1
são LI (verificação a cargo do leitor).
5) No IR ,̂ os vetores ei = ( 1 , 0 ) e t 2 = ( 0 , 1 ) são LI. No entanto, os vetores e i ,C2 e 
V = (a, b) são LD. De fato:
x ( l , 0) + y ( 0, l ) + z(a, b) = (0 , 0)
(x, 0) + (0 , y) + (az, bz) = (0 , 0)
(x + az, y + bz) = (0 , 0)
istoé:
X + az = 0 
y + bz = 0
O sistema admite ao menos uma solução não-trivial. Por exemplo, fazendo z = 1, vem:
X = -a e y = -b 
Logo:
-aei - be2 + v = 0
6) No espaço vetorial M(2, 2), o conjunto
A =
-1 2 2 -3 3 -4
-3 1 » 3 0 > 3 1
é LD.
Espaços vetoriais 5 7
Examinemos a equação 
aiVi+a2V2 +a3V3 = 0
-1 2 2 -3 3 - 4 0 0
ai + a2 + a3 =
-3 1 3 0 3 1 0 0
2ai - 3a2 - 4a3 0 0
ai + a3 0 0
( 1)
ou, de modo equivalente:
- ai + 2a2 + 3a3
-3ai + 3a2 + 3a3
e daí o sistema:
- ai + 2a2 + 3a3 = 0 
2aj ~ 3a2 ~ 4a3 ~ 0 
-3ai + 3a2 + 3a3 = 0 
ai + a3 = 0
cuja solução é ai = -a3 e a2 = - 2a3.
Como existem soluções ai =;̂ 0 para a equação (1), o conjunto A é LD.
Observação
Vamos substituir a solução do sistema na equação (1):
-a3Vi - 2a3V2 + aaVa = 0
ou:
a3Vi + 2a3V2 - a3V3 = 0
para todo a3 G IR.
58 Álgebra linear
Dividindo ambos os membros dessa igualdade por aa 0, resulta;
Vi + 2v2 - V3 = 0
e daí, vem:
Vi =-2V2 + \ , (vi é combinação linear de vj e V3)
ou:
V2 = - - y V i + “yV3 (v2 é combinação linear de Vj e V3)
ou, ainda:
V3 = Vj + 2V2 (V3 é combinação linear de Vj e V2)
Como se observa, sendo A um conjunto LD, então um vetor de A é combinação linear 
dos outros. Esse fato e sua recíproca constituem o teorema seguinte.
2.7.2 Teorema
“Um conjunto A = { Vj,. . . , Vj,..., v„ } é LD se, e somente se, pelo menos um desses vetores 
é combinação linear dos outros.”
A demonstração é constituída de duas partes:
1?) Seja A linearmente dependente. Então, por definição, um dos coeficientes da igualdade: 
ajv, + ... + ajVj + ... + a„v„ = 0 
deve ser diferente de zero. Supondo que aj 0, vem:
ai Vi = - a iV i - ... - aj.iVi.1 - a j + i V i ^ i - ... - a^v^
ou:
Vi = - _ v i - ai-i V. , - V , - - — V
a. ^í+l *** fl. ai a.ai - aj
e, portanto, Vj é uma combinação linear dos outros vetores.
Espaços vetoriais 59
2?) Por outro lado, seja Vj uma combinação linear dos outros vetores:
Vj = b, V, + ... + + bi+iVj+1 + ... + b„v„
OU, ainda:
b ,v, + ... + bi_iVj_i - IVj + bj+ivj+i + ... + b„v„ = 0 
e, portanto, a equação
biVi + ... + bnVn = 0
se verifica para bj ^ 0. No caso, bj = -1.
Logo, A é LD.
Observações
1) Esse último teorema pode ser enunciado de forma equivalente:
“Um conjunto A = {v j , ...,Vj^} é LI se, e somente se, nenhum desses vetores for 
combinação linear dos outros.”
2) Para o caso particular de dois vetores, temos:
“Dois vetores Vi e V2 são LD se, e somente se, um vetor é múltiplo escalar do 
outro.”
Por exemplo, os vetores 
v , = ( l , - 2 , 3) e V2 = ( 2, -4, 6) 
são LD, pois
V, = y V,
ou:
vj = 2v,
60 Álgebra linear
enquanto:
V i = ( l , - 2 , 3 ) e V2 = ( 2 , 1 , 5 ) 
são LI, pois
Vi =>*̂ kv2
para todo k G IR.
3) Nos gráficos a seguir apresentamos uma interpretação geométrica da dependência linear 
de dois e três vetores no IR .̂
(vi e V2 estão representados na mesma reta 
que passa pela origem)
► y
y
(v i , V2 e V3 estão representados no mesmo 
plano que passa pela origem)
Espaços vetoriais 61
2.7.3 Problemas Resolvidos
11) Verificar se são LI ou LD os seguintes conjuntos:
a)
" 1 2 ' 3 6 ‘
.-4 - 3 . » - n -9 ^
CM (2, 2)
b) {(2,-1), (1,3)} CIR^
c) { ( . ! , .2 , 0 ,3 ) ,(2 ,-1 ,0 ,0 ) ,(1 ,0 ,0 ,0 )} C IR"
d) { 1 + 2x - , 2 - X + 3x^, 3 - 4x + 7x^ } C P2
Solução
a) Como o conjunto tem apenas dois vetores com um deles sendo múltiplo escalar do outro 
(o segundo vetor é o triplo do primeiro), o conjunto é LD, de acordo com a Observação 3 do 
Teorema 2.7.2.
b) Tendo em vista que um vetor não é múltiplo escalar do outro, o conjunto é LI. 
Mesmo que fôssemos examinar a igualdade: 
a ( 2 , - l ) + b ( l , 3 ) = (0 ,0 ) 
concluiriamos que o sistema
2a + b = 0 
- a + 3 b = 0
admite somente a solução trivial, o que vem confirmar ser o conjunto LI.
62 Álgebra linear
c) Consideremos a equação:
a ( - l , -2, 0, 3) + b(2, -1 , 0, 0) + c ( l , 0, 0, 0) = (0, 0, 0 ,0)
Portanto:
- a + 2 b + c= 0 
-2a - b = 0 
3a = 0
Como o sistema admite apenas a solução trivial:
a = b = c = 0,
o conjunto é LI.
d) Seja a equação:
a ( l + 2x - x^) + b(2 - X + 3x^) + c(3 - 4x + 7x^) = 0 
ou:
(a + 2b + 3c) + (2a - b - 4c) X + (-a + 3b + 7c) x̂ = 0 + Ox + Ox
Pfelo princípio da identidade de polinômios, vem: 
a + 2b + 3c = 0 
2a - b - 4c = 0 
-a + 3b + 7c = 0
Como esse sistema admite outras soluções além da trivial, o conjunto é LD.
Observação
O leitor deve ter notado que a variável x nos polinômios desse problema não desempenha 
nenhum papel no cálculo. Com o objetivo de simplificar, a cada polinômio do tipo ao + aix + a2 , 
associa-se a terna (ao, a i , a2).
Espaços vetoriais 63
Assim, a igualdade (1) desse problema poderia ter sido escrita assim: 
a( l , 2, -1) + b(2, ^1,3) + c(3, 7) = (0, 0, 0)
Simplificações análogas a essa podem ser feitas, por exemplo, associando: 
1) ao + aiX + a2X̂ + ajX^ G P3 com (ao, a j , a2 , aa)G
2) a b
c d
G M(2, 2) com (a, b, c, d) G R^
3) a + cx ̂ G P2 com (a, 0, c) G R^
e assim por diante.
12) Provar que se u e v são LI, então u + v e u - v também o são.
Solução
Consideremos a igualdade
a(u + v) + b(u - v) = 0
da qual resulta
(a + b) u + (a - b) u = 0
Como u e V são LI, nessa igualdade (3) deve-se ter:
(2)
(3)
a + b = 0 
a - b = 0
sistema que admite somente a solução a = b = 0. Logo, pela igualdade (2), u + v e u - v são Ll.
64 Álgebra linear
13) Determinar o valor de k para que o conjunto 
{ ( 1 , 0 , - 1 ) , (1 ,1 ,0 ) , (k, 1 , - 1 ) } 
seja LI.
Solução
O conjunto será LI se, e somente se, a equaçío 
a( l , 0, -1) + b( l , 1, 0) + c(k, 1, -1) = (0 ,0, 0) 
admitir apenas a soluçío a = b = c = 0. Dessa equação, vem:
a + b + kc = 0 
b+ c = 0 
-a -c = 0
Para que esse sistema admita apenas a solução trivial, deve-se ter k ^ 2.
Logo, o conjunto será LI se k 2.
2.7.4 Propriedades da Dependência e da Independência Linear
Seja V um espaço vetorial.
I ) S e A = { v } C V e v=5^0, então A é LI.
De fato:
Como V 0, a igualdade 
av = 0
só se verifica se a = 0.
Espaços vetoriais 65
Observação
Considera-se, por definição, que o conjunto vazio 0 é LI.
II) Se um conjunto A C V contém o vetor nulo, então A é LD.
De fato:
Seja o conjunto A = { Vi,..., 0,. . . , v„ } .
Então, a equação
O.vi + ... + a.O + ... + O.v̂ = 0 
se verifica para todo a =5*̂̂ 0. Portanto, A é LD.
III) Se uma parte de um conjunto A C V é LD, então A é também LD.
De fato:
Sejam A = { Vj,..., Vj.,..., v„ } e a parte 
Al = { v , , V j } C Á, Aj é LD.
Como Al é LD, existem a^^O que verificam a igualdade:
aiVi + ... + â Vj = 0
e esses mesmos aj 0 verificam também a igualdade
aiVi + ... + â Vj. + O.Vj.+i + ... + O.v̂ ̂= 0
Logo, A = { V, , V j , v „ } é LD.
IV) Se um conjunto A C V é LI, qualquer parte Ai de A é também LI.
De fato, se Ai fosse LD, pela propriedade anterior o conjunto A seria também LD, o 
que contradiz a hipótese.
66 Álgebra linear
Observação
Se todos os subconjuntos próprios de um conjunto finito de vetores são LI, o fato não 
significa que o conjunto seja LI. De fato, se considerarmos no IR̂ os vetores ei =(1 ,0) , 
e 2 = ( 0 , 1) e v = ( 4 , 5), verificaremos que cada um dos subconjuntos { e i , e 2 } , { e i , v } , 
{ c 2, v } , { e i ) , { e 2 } e { v } é LI, enquanto o conjunto { e i , C2, v} é LD.
V) Se A = { v i ,..., v^} C V é LI e B = { Vj , Vĵ , w } C V é LD, então w é 
combinação linear de Vi, ..., v„.
De fato:
Como B é LD, existem escalares a i , . . . , an, b, nem todos nulos, tais que: 
ai Vj + ... + â Vjj + bw = 0.
Ora, se b = 0, então algum dos â não é zero na igualdade: 
aivi + ... + a„v„ = 0
Porém esse fato contradiz a hipótese de que A é LI. Conseqüentemente, tem-se b=?í̂ 0, e, 
portanto:
bw = -aiv, - ... -a„v„
ou:
w =_ ai an
b
isto é, w é combinação linear de Vj , ..., Vĵ .
2.8 BASE E DIMENSÃO
2.8.1 Base de um Espaço Vetorial
Um conjunto B = {v i , . . . , v„} CV é uma base do espaço vetorial V se:
I) BéLI;
II) B gera V.
Espaços vetoriais 6 7
Exemplos:
B= {(1, 1 ) , ( -1 ,0 ) } é base de IR"
De fato:
I) Bé LI, pois a ( l , 1) + b ( - l , 0) = (0, 0) implica:
e daí:
a - b = 0 
a = 0
a = b = 0
II) B gera R", pois para todo (x ,y) G IR", tem-se:
(x, y) = y ( l , l) + ( y -x ) ( - l ,0 )
Realmente, a igualdade
(x, y) = a( l , l ) + b ( - l , 0 )
implica:
a - b = X
a = y
donde:
a = y e b = y - x
Os vetores da base B estão representados na Figura 2.8.1. Em 2.7.2 já havíamos visto que 
dois vetores não-colineares são LI. Sendo eles do IR", irão gerar o próprio IR". Na verdade, 
quaisquer dois vetores não-colineares do IR" formam uma base desse espaço.
68 Álgebra linear
2) B = { (1 ,0) , (0, 1)} é base de IR ,̂ denominada base canônica.
De fato:
I) B é LI, pois a ( l , 0) + b(0, 1) = (0, 0) implica a = b = 0;
II) B gera IR ,̂ pois todo vetor (x, y) E IR̂ é tal que:
(x ,y) = x ( l , 0 ) + y ( 0 , l )
3) Consideremos os vetores ei = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1,0, 0), ê = (0, 0 , 0 , 1 ) .
No exemplo 3 de 2.7.1 deixamos claro que o conjunto B= { Cj, e2, } é Liem IR*’. 
Tendo em vista que todo vetor v= (xi , X2, ..., Xĵ ) E IR” pode ser escrito como combi­
nação linear de Ci, e2, ..., e^, isto é:
v= x ie i +X2e2 + ... + Xnen
conclui-se que B gera o IR” . Portanto, B é uma base de IR”. Essa base é conhecida 
como base canônica do IR”.
Consequentemente:
{(1, 0, 0, 0), ( 0 ,1 ,0 , 0), (0, 0, 1,0), (0, 0 ,0 , 1)} é a base canônica de IR"̂ ;
{ (1 ,0 , 0), (0 ,1 ,0) , ( 0 , 0 , 1 ) } é a base canônica de 
{ (1, 0), (0 ,1) } é a base canônica de IR̂ ;
{ 1 } é a base canônica de IR.
Espaços vetoriais 69
4) B =
'l 0 ■ ' 0 1 ' 0 0 ■
0 0 . í _0 0 > 1 0 )
0 0 
0 1
é a base canônica de M (2, 2). 
De fato:
ou:
a b 0 0
c d 0 0
e daí:
a = b = c= d = 0 .
Portanto, B é LI.
Por outro lado, B gera o espaço M(2,2), pois qualquer 
a b
c d
pode ser escrito assim:
e M(2, 2)
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
a +b + c + d =
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
a b
c d
= a
1 0 
0 0
+b
0 1 
0 0
+ c
0 0
1 0
+ d
0 0 
0 1
Logo, B é base de M(2,2).
70 Álgebra linear
5) 0 conjunto B = { 1, x, x ^ , x " } é uma base do espaço vetorial
De fato:
aol + a ix + a2X ̂ + ... + a^̂ x*'= 0
implica ao = ai = a2 = ... = aĵ = 0 pela condição de identidade de polinômios. Portanto, B é LI.
Por outro lado, B gera o espaço vetorial Pjj, pois qualquer polinômio p ^ P„ pode ser 
escrito assim:
p = ao + ajx + a2X ̂ + ... + a^x*'
que é uma combinação linear de 1, x, x^, ..., x .
Logo, B é uma base de P„. Essa é a base canônica de P„ e tem n + 1 vetores.
6) B = { (1 ,2) , ( 2 ,4 ) } não é base de IR ,̂ pois B é LD (exercício a cargo do leitor).
7) B = { (1, 0), (0, 1), (3, 4) } não é base de IR ,̂ pois B é LD (exercício a cargo do leitor).
8) B = { ( 2 , - 1 ) } não é base de IR .̂ B é LI, mas não gera tòdo IR ,̂ istoé, [(2,-1)] =5»̂ IR̂ .
Esse conjunto gera uma reta que passa pela origem.
9) B = { ( 1 , 2 , 1), ( - 1 , - 3 , 0 ) } nãoébasede IR .̂ B é LI, mas não gera todo IR .̂
Observação
'Todo conjunto LI de um espaço vetorial V é base do subespaço por ele gerado,” 
Por exemplo, o conjunto B = { ( 1 , 2 , ! ) , ( - ! , - 3 , 0 ) } C IR̂ é LI e gera o subespaço 
S = {(x, y, z) E I R ^ / 3 x - y - z = 0 }
Então, B é base de S, pois B é LI e gera S.
Espaços vetoriais 71
2.8.2 Teorema
Se B = { Vi, Vj , ..., v„} for uma base de um espaço vetorial V, então todo conjunto 
com mais de n vetores será linearmente dependente.
De fato:
Sqa B '= { wi, Wj , . . . .Wjj,} um conjunto qualquer de m vetores de V, com m > n . 
Pretende-se mostrar que B’ é LD. Para tanto, basta mostrar que existem escalares Xt, X2, ..., x„ 
não todos nulos tais que
XiWi +X2W2 + ... + x „ w „ = 0 ( 1)
Como B é uma base de V, cada vetor Wj pertencente a B' é uma combinação linear dos 
vetores de B, isto é, existem números Oj, , ôj tais que:
wi = a i v , + ajVj + ... + OnV„
W2 = ^ iv , + 02 V2 + ... + 0n''n
W m = « i V i + 0 2 V2 + . . . + 6 n V „
Substituindo as relações (2) em (1), obtemos:
x i ( a , v i + « 2V2 + . . . + a „ v „ ) +
+ X2 ( 0 iV , + 02V2 + . . . + 0 „ v „ ) +
+ x „( 5 i V i + Ô2V2 +.. . + ô„Vn) = 0 
OU ordenando os termos convenientemente:
(a ,x , + 0iX2 + ... + SiXm) Vi + 
+ (a2X, + 02^2 + ... + Ô2X„)V2 +
( 2)
+ K X l + /J„X2 + ... + Ô„x„,) V„ = 0
72 Álgebra linear
Tendo em vista que Vi, V2, V j ^ são LI, os coeficientes dessa combinação linear são
nulos:
" aiXi + ^1X2 + ... + ô i x „ = 0 
a j x , +02^2 + . . .+ 52X„ = 0
o:„x, + 0„X2 + ... + 6„x^ = 0
Esse sistema linear homogêneo possui m variáveis Xi,X2, . . . , x ^ e n equações. Como 
m > n , existem soluções não-triviais, isto é, existe Xj =?̂ 0. Logo, B' = { w i , W2, } é LD.
2.8.3 Corolário
Duas bases quaisquer de um espaço vetorial têm o mesmo número de vetores.
De fato:
Sejam A = { Vi, Vĵ } e B = { Wi, } duas bases de um espaço vetorial V.
Como A é base e B é LI, pelo teorema anterior, n ^ m. Por outro lado, como B é base 
e A é LI, tem-se n < m. Portanto, n = m.
Exemplos
1) A base canônica do IR̂ tem três vetores. Logo, qualquer outra base do IR̂ terá também 
três vetores.
2) A base canônica de M(2,2) tem quatro vetores. Portanto, toda base de M(2, 2) terá 
quatro vetores.
2.8.4 Dimensão de um Espaço Vetorial
Seja V um espaço vetorial.
Espaços vetoriais 73
Se V possui uma base com n vetores, então V tem dimensão n e anota-se dimV = n. 
Se V não possui base, dim V = 0.
Se V tem uma base com infinitos vetores, então a dimensão de V é infinita e anota-se 
dim V = oo.
Exemplos
1 ) dim IR̂ = 2 , pois toda base do IR̂ tem dois vetores.
2) dim IR*' = n.
3) dim M (2, 2) = 4.
4) dim M (m, n) = m x n.
5) dim = n + 1.
6) dim { 0 } = 0.
Observações
1) Seja V um espaço vetorial tal que dim V = n.
Se S é um subespaço de V, então dim S < n. No caso de dim S = n, tem-se 
S = V.
Para permitir uma interpretação geométrica, consideremos o espaço tridimensional 
IR" (dim IR" = 3).
A dimensão de qualquer subespaço S do R" só poderá ser 0 , 1 , 2 ou 3. Portanto, 
temos os seguintes casos:
I) dim S = 0, então S = { 0 } é a origem.
II) dim S = 1, então S é uma reta que passa pela origem.
74 Álgebra linear
III) dim S = 2, entío S é um plano que passa pela origem.
IV) dimS = 3, então S é o próprio IR̂ .
2) Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Então, qualquer subconjxmto de V com mais 
de n vetores é LD.
3) Sabemos que um conjunto B é base de um espaço vetorial V se B for LI e se B gera 
V. No entanto, se soubermos que dim V = n, para obtermos uma base de V basta que 
apenas uma das condições de base esteja satisfeita. A outra condição ocorre automatica­
mente. Assim:
I) Se dim V = n, qualquer subconjunto de V com n vetores LI é uma base de V.
II) Se dim V = n, qualquer subconjunto de V com n vetores geradores de W é uma 
base de V.
Exemplo
O conjunto B = {(2, 1), ( - 1 , 3 ) } é uma base do IR .̂
De fato, como dim JR̂ = 2 e os dois vetores dados são LI (pois nenhum vetor é múltiplo 
escalar do outro), eles formam uma base do JR̂ .
2.8.5 Teorema
Seja V um espaço vetórial de dimensão n.
Qualquer conjunto de vetores LI em V é parte de uma base, isto é, pode ser completado 
até formar uma base de V.
A demonstração está baseada no Teorema 2.7.2 e no conceito de dimensão.
Deixaremos dedemonstrar o teorema e daremos apenas um exemplo a título de ilustração.
Espaços vetoriais 75
Exemplo
Sejam os vetores Vi = (1, - 1 , 1 , 2 ) e V2 = ( -1 ,1 , -1,0) .
Completar o conjunto { Vj, V2 } de modo a formar uma base do IR .̂
Solução
Como dim IR̂ = 4, uma base terá quatro vetores LI. Portanto, faltam dois. Escolhemos um 
vetor V3 G IR"̂ tal que V3 não seja uma combinação linear de Vi e V2, istoé, V3 ^a iVi + a 2V2 
para todo a i, a2 ^ IR. Dentre os infinitos vetores existentes, um deles é o vetor V3 = ( 1, 1,0, 0), 
e o conjunto { Vj, V2, V3 } é LI (se V3 fosse combinação linear de Vj e V2 esse conjunto seria 
LD de acordo com o Teorema 2.7.2).
Para completar, escolhemos um vetor V4 que não seja uma combinação linear de v^, V2 e 
V3. Um deles é o vetor V4 = (1 ,0 , 0, 0), e o conjunto { Vi, V2, V3, V4 } é LI. Logo,
{ ( 1, - 1, 1, 2), (-1, 1, - 1, 0) ,(1, 1,0 ,0) ,(1, 0 ,0, 0)}
é uma base de IR"̂ .
2.8.6 Teorema
Seja B = { v i , V2, ..., v ̂} uma base de um espaço vetorial V. Então, todo vetor vG V 
se exprime de maneira única como combinação linear dos vetores de B.
De fato:
Tendo em vista que B é uma base de V, para v G V pode-se escrever:
v = aiVi +a2V2 + ... + a„Vn ( 1)
Supondo que o vetor v pudesse ser expresso como outra combinação linear dos vetores 
da base, ter-se-ia:
v = b i v i +b2V2 + . . .+ b„Vn (2)
76 Álgebra linear
Subtraindo, membro a membro, a igualdade (2) da igualdade (1), vem: 
0 = (a, - b , ) v , +(a2 - b j ) v 2 +. . . + (a„ - b„) v„
Tendo em vista que os vetores da base são Ll:
a, - bi = 0, aj - bi = 0, . . . . a„ - b„ = 0
istoé:
1̂ 1» *2 b2,...,aj^ bĵ
Os números a i, a2, a „ são, pois, univocamente determinados pelo vetor v e pela base
{ v i , V2, ...,Vn).
2.8.7 Componentes de um Vetor
Seja B = { Vi, V2, V j ^ } uma base de V. Tomemos vE V sendo: 
v=aiVi + a 2V2 + ... + a„v„
Os números a j , a 2, são chamados componentes ou coordenadas de v em relação à 
base B e se representa por:
VB = (ai ,a2 , . . . ,an)
ou, com a notação matricial:
' a f
a2
Vn =
Espaços vetoriais 77
A n-upla(ai, 32, a„) é chamada vetor-coordemda de v em relação àbase B, eovetor-
coluna
é chamado matriz-coordemda de v em relação à base B.
Exemplo
No IR ,̂ consideremos as bases
A = { (1 ,0 ) , ( 0 , 1 ) } . B = ( ( 2 , 0 ) , ( Í , 3 ) } e C = { ( 1, -3 ) , ( 2 , - 4 ) }
Dado 0 vetor v = (8 , 6), tem-se:
(8, 6) = 8 ( 1,0) + 6 (0 , 1)
(8, 6) = 3 ( 2 , 0 ) + 2 ( 1 , 3 )
(8 , 6) = 2 ( 1 , - 3 ) + 3 ( 2 , 4)
Com a notação acima, escrevemos:
V g= (3 ,2 ) Vç = (2,3)
O gráfico da página seguinte mostra a representação do vetor v = (8 ,6) em relação às bases
A eB.
Observação
No decorrer do estudo de Álgebra Linear temos, às vezes, a necessidade de identificar 
rapidamente a dimensão de um espaço vetorial. E, uma vez conhecida a dimensão, obtém-se 
facilmente uma base desse espaço.
78 Álgebra linear
Uma forma prática para determinar a dimensão de um espaço vetorial é verificar o número 
de variáveis livres de seu vetor genérico. Esse número é a dimensão do espaço.
Exemplo
Determinar a dimensão e uma base do espaço vetorial 
S= {(x, y, z)G IR^/2x + y + z = 0 }
Solução
Isolando z (poderiamos também isolar x ou y) na equação de definição, tem-se: 
z= - 2x - y
onde X e y são as variáveis livres.
Qualquer vetor (x, y, z) E S tem a forma:
( x , y , - 2x - y )
e, portanto, podemos escrever:
(x, y, 2) = (x, y, -2x - y)
Espaços vetoriais 79
ou:
( x , y, Z) = (x, 0 ,-2 x ) + (0, y , - y )
ou:
( x ,y , z ) = x ( l , 0 , - 2) + y ( 0 , 1, - 1) ( 1)
isto é, todo vetor de S é combinação linear dos vetores ( 1 , 0 , - 2 ) e (0 ,1 , - 1) . Como esses dois 
vetores geradores de S são LI, o conjunto { ( l , 0 , - 2 ) , ( 0 , 1 , - 1 ) } é uma base de S e, conse­
quentemente, dim S = 2.
Por outro lado, tendo em vista que a cada variável livre corresponde um vetor da base na 
igualdade ( 1), o número de variáveis livres é a dimensão do espaço.
Na prática podemos adotar uma maior simplificação para determinar uma base de um. 
espaço. Para esse mesmo espaço vetorial S, onde z = - 2x - y , temos:
fazendo x = 1 e y = l , vem z = - 2 ( l ) - l = - 3 V i = ( l , l , - 3 )
fazendo x = - l e y = 2, vem z = - 2 ( - l ) - 2 = 0 V2 = ( - 1 , 2 , 0 )
e o conjunto
{ ( 1 , 1 , - 3 ) , (-1,2, 0 ) }
é outra base de S. Na verdade, esse espaço S tem infinitas bases, porém todas elas com dois 
vetores.
2.8.8 Problemas Resolvidos
14) Sejam os vetores Vi = ( 1 , 2 , 3), Vj = (0 , 1 , 2 ) e V3 = (0, 0, 1).
Mostrar que o conjimto B = {v^, V2 , V3 } é uma base do IR̂ .
Solução
Para provarjque B é LI, deve-se mostrar que
aiVi + a2V2 + 33 V3 = 0
80 Álgebra linear
admite somente a solução ai = a2 = aa = 0.
Com efeito,
ai (1,2 , 3) + a2 (0, 1,2) + a3 (0,0,1) = (0,0,0)
equivale ao sistema:
ai = 0
2a 1 + a2 ~ 0 
3ai + 2a2 + aa = 0
cuja única solução é a trivial:
ai ” 32 ~ a3 ~ 0
Logo, B é Ll.
Para mostrar que B gera o IR ,̂ deve-se mostrar que qualquer vetor v = (x, y, z) E IR̂ 
pode ser eicpresso como uma combinação linear dos vetores de B:
v= aiVi + 32 V2 + aaVa
Em termos de componentes, tem-se
( x ,y ,z ) = a i ( l , 2 , 3) + a2(0 , l , 2 ) + a3(0 , 0 , 1)
ou:
ai = X
2ai + 3 2 = y
3ai + 232 + 33 = z
sistema esse que admite solução para quaisquer valores de x, y, z, ou seja, todo vetor v = (x, y, z) 
é combinação linear dos vetores de B. Resolvendo o sistema encontramos:
3i = X, 32 = -2x + y, 33 = X - 2y + z
Espaços vetoriais 81
isto é:
(x, y, z) = x ( l , 2, 3) + (-2x + y ) (0, 1,2) + (x - 2y + z ) ( 0 , 0 , 1 )
Satisfeitas as duas condições de base, mostramos que B é base do IR .̂
15) No problema anterior mostramos que:
B= {(1,2, 3 ) , ( 0 , 1 , 2 ) , ( 0 , 0 , 1 ) } 
é uma base do IR .̂
a) Determinar o vetor-coordenada e a matriz-coordenada de v = (5, 4, 2) em relaçâfo a B.
b) Determinar o vetor vG IR̂ cujo vetor-coordenada em relação a B é Vg = ( 2 , -3,4) .
Solução
a) Devemos encontrar escalares a i , a2, a3 tais que: 
(5, 4, 2) = ai (1,2, 3) + 8 (̂0, 1,2) + aa(0, 0, 1)
ou:
ai = 5
2ai + a2 = 4 
3a 1 + 2a2 + a3 — 2
\
Resolvendo o sistema, obtém-se 
ai = 5 , a2 = -6 e a3 = -1 
Portanto:
Vr = ( 5 , - 6 , - 1 ) e v„ =
5
-6
- l
82 Álgebra linear
Se tivéssemos aproveitado o resultado do problema anterior, onde: 
(x, y, z) = x ( l , 2 ,3 ) + ( - 2x + y ) ( 0 , 1, 2) + (x - 2y + z )(0 , 0 , 1)
teríamos imediatamente:
(5, 4 ,2 ) = 5(1, 2, 3 ) - 6 ( 0 , 1 , 2 ) - 1 ( 0 , 0, 1) 
pois, nesse caso:
x = 5
-2 x + y = - 2 ( 5 ) + 4 = -6 
x - 2 y + z = 5 - 2(4) + 2 = - l
b) Por definição de vetor-coordenada Vg = (2, -3 , 4), obtém-se: 
v = 2 ( l , 2 , 3 ) - 3 ( 0 , 1,2) + 4 ( 0 , 0 , 1 ) = (2 ,1 ,4 )
Observemos que em relação à base canônica 
A = { ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) } 
tem-se:
v= V .
pois:
v = (2, 1,4) = 2 ( 1 , 0 , 0 ) + 1 ( 0 , 1 ,0 ) + 4 (0 , 0 ,1)
16) Consideremos os seguintes subespaços do IR"̂ :
51 = { (a, b, c, d)/a + b + c = 0 } e
52 = {(a, b,c, d ) / a - 2b = 0 e c = 3 d } 
Determinar:
Espaços vetoriais 83
a) dim Si e iima base de S i .
b) dim S2 e uma base de S2.
Solução
a) A condiçffo:
a + b + c = 0
é equivalente a: 
a = -b - c
Portanto, as variáveis livres sáo b, c e d. Logo, dim Sj = 3, e qualquer subconjunto de Si com 
três vetores LI forma uma base de S i . Façamos
( 1) b= 1, c = 0 , d = 0
(2) b = 0 , c = l , d = 0
(3) b = 0, c = 0, d= 1
para obter os vetores:
vi = ( - l , 1 ,0 ,0 ) , V2 = ( - 1 , 0 , 1,0), V 3 = ( 0 , 0 , 0 , l )
O conjimto { Vi, V2, V3 } é uma base de S i .
b) Um vetor (a, b,c, d) G S2 se a = 2b e c = 3d. As variáveis livres são b e d. Logo, 
dim S2 = 2, e qualquer subconjunto de S2 com dois vetores LI forma uma base desse espaço. 
Façamos:
( 1) b = l , d = 0 e
(2) b = 0, d = l
para obter os vetores
v i = ( 2 , 1 , 0 , 0 ) e V2 = ( 0 ,0 , 3 ,1 )
O conjunto { Vj, V2 } é uma base de S2 .
84 Álgebra linear
17) Seja S o subespaçode P2 = {at^ + bt + c/a, b, c G IR } gerado pelos vetores Vi = - 2t + 1,
V2 = t + 2 e V3 = - 3t - 1.
Determinar:
a) Uma base de S e dim S.
b) Uma base de P2 com a presença de Vi e V2.
Solução
a) Para facilitar a notaçfo, observemos que os vetores Vj, V2 e V3 em relação à base 
canônica A = { t^ , t , 1} de P2 são:
(vi')a = ( 1 , - 2 , 1) , ( v2)^ = ( 0 , 1 , 2 ) e (v3)^ = ( 1 , - 3 , - 1 )
Vejamos se esses vetores são LI ou LD. Para tanto, examinemos a igualdade
aiVi + a2V2 + a3V3 = 0
ou:
ai ( l , -2, 1) + a2(0 , 1,2) + a3( l , -3, -1) = ( 0 ,0 ,0 )
ou, ainda:
ai + a3 = 0
-2ai + a2 - 3a3 = 0 
 ̂ ai + 2a2 - a3 = 0
sistema que admite soluções â ^ 0 .
Logo, os vetores Vi,V2 e V3 são LD e, portanto, o conjunto {v i , V 2,V3 } não é base de S. 
istoé, dimS=?^3.
Observando que o conjunto {vj , V2 } é LI (pois nenhum vetor é múltiplo escalar dc 
outro), ele constitui uma base de S. Logo, dim S = 2.
Espaços vetoriais 85
b) Tendo em vista que dimP2 = 3, precisamos acrescentar um vetor v ao conjunto 
{ vi , V2 } de modo que v aiVj + a2V2. Um deles é o vetor v=t^ ou (v)^ = (1 ,0 ,0) . 
(verificação a cargo do leitor).
Logo, o conjunto:
{t^ - 2 t + 1, t+ 2, t̂ }
é uma base de P2.
18) Determinar uma base e a dimensão do espaço-solução do sistema homogêneo
X + 2y - 4z + 3t = 0 
X + 2y - 2z + 2t = 0 
2x + 4y - 2z + 3t = 0
Solução
O conjunto-solução do sistema é:
S = { (x, y, z, t)/t = 2z e x = - 2 y - 2 z } 
que é um subespaço vetorial do .
Tendo em vista serem duas as variáveis livres (y e z), conclui-se que dimS = 2. Logo, 
qualquer subconjunto de S com dois vetores LI forma uma base de S. Façamos
(1) y = 1, z= 0
(2) y = 0, z = 1
para obter os vetores
vi = ( - 2 , 1 , 0 , 0 ) e V2 = ( -2 , 0 , 1,2)
O conjunto { v^, V2 } é uma base de S.
86 Álgebra linear
2.9 ESPAÇOS VETORIAIS ISOMORFOS
Consideremos o espaço vetorial
V = P3 = { at ̂ + bt ̂ + ct + d/a, b, c, d G IR}
e seja B = { Vi, V2, V3, V4 } uma base de P3. Fixada uma base, para cada vetor vG P3, existe 
uma só quádrupla (a i , a2, a3, a4) G IR̂ tal que:
v = a i V i + a 2 V 2 + a 3 V 3 + a 4 V 4
Reciprocamente, dada uma quádrupla (a^, a2, a3, a4), existe um só vetor em P3 da 
forma:
aiVi + ... + a4V4
Assim sendo, a base B= {v i , . . . ,V4 } determina uma correspondência biunivoca entre 
os vetores de P3 e as quádruplas (ai , . . . , a4) em JR̂ .
Observemos ainda que:
a) Se V = aiVi + ... + a4V4 G P3 corresponde a (a i , ..., a4) G IR'* e w = biVj + ... + b4V4 G P3 
corresponde a (bi, ..., b4) ^ IR"̂ então:
v + w = (ai + b i ) v i + ... +(a4 + b 4)v4 G P3 
corresponde a
(ai + b i ,..., a4 + b4) G IR'*
b) Para k G IR,
kv = (kai)vi + . . . +(ka4)v4 G P3 
corresponde a
(kai , . . . ,ka4)G IR̂
Espaços vetoriais 87
Assim, quando os vetores de P3 são representados como combinação linear dos vetores da 
base B = { Vi, V2, V3, V4 } , a adição de vetores e a multiplicação por escalar se “comportam” 
exatamente da mesma forma como se fossem quádruplas do .
Em outras palavras diriamos que a correspondência biunívoca entre P3 e IR̂ preserva as 
operações de adição de vetores e multiplicação por escalar, isto é:
(v + w)g = Vg + Wg e (kv)g = k (Vg)
e, nesse caso, dizemos que os espaços P3 e IR"̂ são isomorfos.
Observemos ainda que o espaço vetorial M(2, 2) é também isomorfo ao IR"*.
De forma análoga, prova-se que:
P2 é isomorfo a IR̂
M ( 3 , 1) é isomorfo a IR̂
M(2 , 1) é isomorfo a IR̂
e assim por diante*.
De um modQ geral, tem-se:
“Se V é um espaço vetorial sobre IR e dim V = n, então V e IR" são isomorfos. ”
2.10 PROBLEMAS PROPOSTOS
Nos problemas 1 a 7 apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação 
por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são 
espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.
1) IR^ (x,y, z) + (x', y', z ) = (x + x', y + y', z + z )
k ( x , y , z ) = ( 0 , 0 , 0)
2) {(x, 2x, 3x); x G IR} com as operaçOes usuais -
3) IR ,̂ (a, b) + (c, d) = (a, b) e a(a, b) = (aa, ab)
88 Álgebra linear
4) 1R ^ (x ,y ) + ( x , y') = (x + x ',y + y') e a (x ,y ) = (a^x,a^y)
5) m ?, (x, y) + (x', y') = (x + x', y + y') e a (x , y) = (ax, 0)
6) A = { (x, y) € IR̂ /y = 5x } com as operações usuais
7)
A =
0 a
b 0
—
€ M (2,2)/a ,b G IR com as operações usuais
Nos problemas 8 a 13 são apresentados subconjtmtos de IR .̂ Verificar quais deles são 
subespaços vetoriais do IR̂ relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar 
usuais.
8) S= { ( x ,y ) /y = - x }
9) S = {(x ,x ^ ); X e IR}
10) S = { (x, y)/x + 3y = 0 }
11) S= {(y,y); y € IR}
12) S = { (x ,y ) /y = x + 1}
13) S = { ( x ,y ) / x > 0 }
Nos problemas 14 a 25 são apresentados subconjuntos de IR .̂ Verificar quais são seus 
subespaços em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais ̂Para os que são 
subespaços, mostrar que as duas condições estão satisfeitas. Caso contrário, citar um con- 
tra-exemplo.
14) S - { (x, y, z)/x = 4y e z = 0 }
15) S = { (x ,y , z)/z = 2x - y }
16) S = { (x , y, z)/x = ẑ }
17) S = { (x ,y ,z ) /y = x + 2 e z = 0 >
Espaços vetoriais 89
18) S = {(x , X, x );x E IR}
19) S = { (x, X, 0)/x G IR}
20) S = {(x , y, z ) /x y = 0 }
21) S = {(x , y, z)/x = 0 e y = I z I }
22) S = { ( x , - 3 x ,4 x ) ;x € IR}
23) S = { ( x ,y ,z ) /x > 0 >
24) S = { (x ,y ,z ) /x + y + z = 0 )
25) S = {(4 t, 2 t , - t ) ; t e IR}
26) Verificar se os subconjuntos abaixo sffo subespaços de M(2, 2):
a) S = ; c = a + b e d = 0
b) S = ; a, b, c G IR (matrizes triangulares superiores)
c) S = ; a, b, c G IR (matrizes simétricas)
d) S =
a a + b 
a - b b
; a, b G IR
90 Álgebra linear
e) S =
0 S =
; a ,b E lR
a b
.
'
a b
; ad - bc ^ 0
c d
(conjunto de matrizes inversíveis)
27) Sejam os vetores u = ( 2 , -3 ,2 ) e v = ( - l , 2 , 4) em IR .̂
a) Escrever o vetor w = (7, -11, 2) como combinação linear de u e v.
b) Para que valor de k o vetor ( -8, 14, k) é combinação linear de u e v?
c) Determinar uma condição entre a, b e c para que o vetor (a, b, c) seja uma combi­
nação linear de u e v.
28) Consideremos no espaço P2 = { at̂ + bt + c/a, b, c E IR} os vetores pi = t̂ - 2t + 1, 
P2 = t + 2 e p3 = 2 t̂ - t.
a) Escrever o vetor p = 5t ̂ - 5t + 7 como combinação linear de P i, P2 e P3.
b) Escrever o vetor p = 5t ̂ - 5t + 7 como combinação linear de Pi e p2.
c) Determinar uma condição para a, b e c de. modo que o vetor at ̂ + bt + c seja 
combinação linear de P2 e P3.
d) É possível escrever pi como combinação linear de P2 e P3?
29) Seja o espaço vetorial M(2, 2) e os vetores
Vi =
1 0 -1 2 0 -1
, V2 = e V3 =
1 1 0 1 2 1
Espaços vetoriais 91
Escrever o vetor 
1 8 
0 5
como combinaçaío linear dos vetores Vi,V2 e V3.
30) Escrever o vetor 0 E IR̂ como combinação linear dos vetores
a ) v, = ( 1 , 3 ) e V2 = ( 2, 6)
b ) v, = ( 1 , 3 ) e v j = ( 2 , 5 )
31) Sejam os vetores Vj = ( - 1 ,2 ,1 ) , V2 = ( 1 , 0 , 2 ) e V3 = (-2 , -1 , 0). Expressar cada um dos 
vetores u = ( -8 ,4 ,1 ) , v = ( 0 ,2 ,3 ) e w = (0 , 0 , 0) como combinação linear de Vi,V2 e V3.
32) Expressar o vetor u = ( - l , 4 , -4 , 6) 6 IR̂ como combinação linear dos vetores 
vi = ( 3 , - 3 , 1 , 0 ) , V2 = ( 0 , 1 , - 1, 2) e V3 = ( 1 , - 1 , 0 , 0 ) .
33) Seja S osubespaçodo IR"* definido por:
S = { (x, y, z, t) e lR‘*/x + 2y - z = 0 e t = 0 }
Pergunta-se:
a) ( -1 ,2, 3, 0) € S?
b) ( 3 , 1 , 4 , 0 ) e S?
c) ( - 1 , 1 , 1 , ! ) e S?
34) Seja S osubespaçode M(2, 2):
S =
a - b 2a
a + b -b
; a, b G IR
92 Álgebra linear
Pergunta-se:
5 6
1 2
G S?
b) Qual deve ser o valor de k para que o vetor
-4 k
2 -3
pertença a S?
35) Determinar os subespaços do IR* gerados pelos seguintes conjuntos:
a) A = { ( 2 , - 1 , 3 ) }
b) A = { ( - 1 , 3 , 2), ( 2 , - 2 , 1 ) }
c) A = { ( 1 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1 , 1 ) , ( - 1 , 1 , 0 ) }
d) A = { ( - l , l , 0 ) , ( 0 , l , - 2 ) , ( - 2 , 3 , l ) }e) A = { (1, 2, -1), ( -1 ,1 , 0), ( - 3 , 0 , 1 ) , (-2 , - 1 , 1 ) } .
f) A = { (1 , 2, -1), ( -1 ,1 ,0 ) , (0, 0, 2), (-2 , 1, 0 )}
36) Seja o conjunto A = {v,, Vj } , sendo v, = (-1, 3, -1) e Vj = (1, -2 , 4). 
Determinar:
a) Osubespaço G(A).
b) O valor de k para que o vetor v = (5, k, 11) pertença a G(A).
37) Sejam os vetores Vi =(1,1,1), V2 =(1 ,2 ,0 ) e V 3 = ( l , 3 , - 1 ) . Se ( 3 , - l , k ) G [ v i , V 2 , V 3 ] , 
qual o valor de k?
Espaços vetoriais 93
38) Determinar os subespaços de P2 (espaço vetorial dos polinòmios de grau < 2 ) gerados 
pelos seguintes vetores:
a) pi = 2x + 2, P2 = -x^ + X + 3 e pa = x ̂ + 2x
b) Pl = x ^ P2 =x^ + x
c) Pl = 1, P2 =X, Ps =x^
39) Determinar o subespaço G(A) para A = { (1 , -2 ) , (-2, 4 )} . O que representa geometrica- 
camente esse subespaço?
40) Mostrar que os vetores Vj = (2 ,1) e V2 = (1, 1) geram o
41) Mostrar que os vetores Vj = ( 1, 1, 1), V2 = (0 , 1 , 1 ) e V3 = (0, 0, 1) geram o IR .̂
42) Seja o espaço vetorial M (2, 2). Determinar seus subespaços gerados pelos vetores
-1 2 2 1
a) V, =
1 0
e V2 =
-1 -1
-1 0^ 1 -1
b) V, =
0 1
, V2 =
0 0
e V3 =
0 1 
1 0
43) Determinar o subespaço de P3 (espaço dos polinòmios de grau < 3) gerado pelos vetores 
Pl = x ̂ + 2x^ - X + 3 e P2 = -2x^ - x ̂ + 3x + 2.
44) Determinar o subespaço de IR̂ gerado pelos vetores u = (2, - 1 ,1 ,4 ) , v = (3, 3, -3, 6) e 
w = (0, 4 , - 4 ,0 ) .
45) Verificar se o vetor v = ( - 1 , - 3 , 2 , 0 ) pertence ao subespaço do IR"̂ gerado pelos vetores 
vi = ( 2, - 1,3 ,0 ) , V2 = ( 1, 0 , 1, 0) e V3 = (0 , 1, - 1, 0).
46) Classificar os seguintes subconjuntos do IR̂ e m U o u L D :
a) { ( 1 , 3 ) }
94 Álgebra linear
b) {(1,3), (2, 6)}
c) {(2,-1), (3,5)}
d) {(1,0), (-1,1), (3,5)}
47) Qassificai os seguintes subconjuntos do IR̂ em LI ou LD:
a) {(2,-1,3).}
b) { ( 1 ,- 1 ,! ) ,( - ! , 1 , 1)}
c) {(2,-1,0 ), (-1,3,0), (3,5,0)}
d) {(2 ,1 ,3 ),(0 ,0 ,0 ),(1,5 ,2 )}
e) {(1 ,2 ,-1), (2, 4,-2), (1,3 ,0 )}
f) { ( 1 ,- 1 ,-2), (2,1, !) ,( - ! , 0,3)}
g) { (1,2, -1), (1,0,0), (0 ,1,2), (3, -1 ,2 )}
48) Quais dos seguintes conjuntos de vetores pertencentes ao Pj são LD?
a) 2 + X - , -4 - X + 4x^, x + 2x*
b) 1 - X + 2x^, X - x^, x̂
c) 1 + 3x + x^, 2 -X -x ^ , 1 + 2x -3x^ , -2 + x + 3x^
d ) x ̂ - x + l,x^ + 2x
49) Quais dos seguintes conjuntos de vetores do IR"* são LD?
a) (2 , 1, 0 , 0), ( 1, 0 , 2 , 1), ( - 1, 2 , 0 , - 1)
b) (0 ,1 ,0 , - 1 ) , ( 1 , 1,1, ! ) , ( - ! , 2 , 0 , 1), (1 ,2,1 , 0)
c) ( 1, - 1, 0 , 0), (0 , 1, 0 , 0 ), (0 , 0 , 1, - 1), ( 1, 2 , 1, - 2)
d) ( 1 , 1 . 2 , 4 ) , (1, -1, - 4 , 2 ) , (0, -1, -3,. 1), ( 2 , 1 , 1 , 5 )
Espaços vetoriais 95
50) Sendo V o espaço vetorial das matrizes 2 x 3 , verificar se {A , B, C} é LI ou LD, 
sendo
A =
-1 2 1 0 - 1 2 "-1 0 5
, B = e C =
3 - 2 4 -2 1 0 - 1 0 3
51) Determinar o valor de k para que seja LI o conjunto 
{ ( - l , 0 , 2) , ( l , l , l ) , ( k , - 2 , 0) }
52) Determinar k para que
1 0 1 1 2 -1
1 0 » 0 0 » k 0
seja LD.
53) Mostrar que sfo LD os vetores Vi,V2 e V3, com Vi e V2 vetores arbitrários de um 
espaço vetorial V e V3 = 2vi - V2 .
54) Mostrar que se u, v e w são LI, então u + v, u + w e v + w são também LI.
55) Sendo Vi = ( 1 , 2 ) G IR ,̂ determinar V2 G IR̂ tal que {v j ,V2 } seja base de IR .̂
56) Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do IR^:
a) { (1,2 , ) , ( . 1 , 3 ) } c) { (0 ,0 ) , (2, 3)}
b) { ( 3 , - 6), ( A 8) } d) { (3 , -1 ) , (2, 3)}
57) Para que valores de k o conjunto p= { ( 1, k), (k, 4) } é base do IR̂ ?
58) O conjunto p = { ( 2 , - 1 ) , ( - 3 , 2 ) } é uma base do IR .̂ Escrever o vetor genérico do 
IR̂ como combinação linear de P.
96 Álgebra linear
59) Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do IR̂ ?
a) (1 ,1 , -1 ) , ( 2 , -1 ,0 ) , ( 3 , 2 , 0 )
b) (1 ,0 , 1) , (0 , -1 ,2 ) , ( - 2 , 1 , - 4 )
c ) (2 , l , - ! ) , ( - ! , 0 , 1), (0 , 0 , 1)
d) (1 ,2 ,3 ) , ( 4 , 1 , 2 )
e) (0, -1 ,2) , (2 ,1 ,3 ) , ( - 1 , 0 , 1), (4, - 1, -2)
60) Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base de P2 ?
a) 2t^ + t -4 , t̂ - 3t+ 1
b) l , t ,
c) 2, 1 - X , 1 +
d) 1 + X + x^, X + x^, x^
e) 1 + X , X - x^, 1 + 2x -x^
61) Mostrar que o conjunto
2 3 1 -1 -3 -2 3 -7
-1 0 > 0 -2 > 1 -1 J -2 5
é uma base de M(2 , 2).
62) Mostrar que o conjunto
{ ( 1 , 1 , 0 , 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0,0 , 3), (0, 0 ,0 , 5) } 
é base do IR"*.
Espaços vetoriais 97
63) O conjunto
A = 2t ̂ - t + 3, - 3t ̂ + 4t - 1 }
é base de P3? Justificar.
64) Mostrar que os vetores Vj = ( 1 , 1 , 1 ) , V2 = (1, 2, 3), V3 = (3, 0, 2) e V4 = (2, -1, 1) geram 
o IR̂ e encontrar uma base dentre os vetores Vi,V2,V3 e V4.
65) Mostrar que os polinômios p 1 = 1 + 2x - 3x^, p2 = 1 - 3x + 2x ̂ e p3 = 2 - x + 5x^ formam 
uma base do espaço dos polinômios de grau < 2 e calcular o vetor-coordenada de 
p = 2 - 9x - 13x^ na base /3 = { p i, p2, P s) •
66) Determinar uma base do subespaço do gerado pelos vetores Vi = ( 1, - 1 ,0 ,0 ) ,
V2 = ( - 2, 2, 2, 1), V3 = ( - 1, 1, 2, 1) e V4 = ( 0 , 0,4 , 2).
67) Seja V = IR̂ e o conjunto
B = { ( 0 , 1, 1), ( 1, 1, 0), ( 1, 2, 1) } C R 3
a) Mostrar que B não é base do IR .̂
b) Determinar uma base do IR̂ que possua dois elementos de B.
68) Determinar o vetor coordenada de v = (6 , 2) em relação às seguintes bases:
ĉ = { ( 3 , 0 ) , ( 0 , 2 ) } 7 = { (1 ,0 ) , ( 0 , 1 ) }
0 = { ( 1, 2), (2, 1) } 6 = { ( 0 , 1), ( 1, 0) }
69) No espaço vetorial IR ,̂ consideremos a seguinte base: B = { ( 1 , 0 , 0 ) , (0 ,1 ,0 ) , (1, -1 ,1) } . 
Determinar o vetor coordenada de v G IR̂ em relação à base B se:
a) v = ( 2 , - 3 ,4 ) , b) v = ( 3 ,5 ,6 ) , c) v = ( l , - l , l )
70) Seja A = { 3, 2x, -x^ } uma base de P2. Determinar o vetor-coordenada de v = 6 - 4x + 3x ̂
em relação à base A.
98 Álgebra linear
71) Sqam OS vetores V i = ( l , 0 , - 1 ) , V2 = ( 1 , 2 , 1 ) e V3 = ( 0 , - l , 0) do IR .̂
a) Mostrar que B = { Vi, V2, V3 } é base do IR^.
b) Escrever ei = ( 1, 0 ,0) , e2 = (0 ,1 ,0 ) , e3 = ( 0 , 0 , 1 ) como combinação linear dos 
vetores da base B.
72) Determinar a dimensão e uma b^e para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
a) { ( x , y , z ) G IRVy = 3x}
b) { ( x , y , z ) € lRVy = 5x e z = 0 }
c) { ( x , y ) G IRVx + y = 0 }
<0 { ( x , y , z ) G R='/x = 3y e z = -y }
e) { ( x , y , z ) G IR®/2x-y + 3z = 0 }
0 { ( x , y , z ) G IR3/z = 0 }
73) Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de 
M(2 , 2):
a)
—
a b
c d
; b = a + c e d = c
b)
a b
c d
; b= a + c
a b
c)
c d
; c = a - 3 b e d = 0
Espaços vetoriais 99
a b
d)
c d
; a + d= b + c
74) Seja o subespaço S de M(2, 2):
S =
a b
c d
/ c = a + d e d=;
a) Qual a dimensafo de S?
b) O c»njunto
1 - 1 2 1 
0 1 , 3 4
é uma base de S? Justificar.
75) Encontrar uma base e a dimensão do espaço-soluç^o dos sistemas:
b)
c)
X + 2y - 2z - t = 0
2x + 4 y + z + t = 0
X + 2y + 3z + 2t = 0
X + 2y - Z 4•3t = 0
2x - y + Z - t = 0
4x + 3 y - Z 4•5t = 0
X - 2y - Z == 0
2x + y + 3z == 0
X + 3y + 4z == 0
100 Álgebra linear
d)
2x + 2y - 3z = 0 
X - y - z = 0 
3x + 2y + z = 0
x + y - 2z + t = 0 
2x + 2y - 4z + 2t = 0
2.10.1 Respostas de Problemas Propostos
1. Nâfo é espaço vetoríal. Falha o axioma M4
2. O conjimto é um espaço vetorial
3. N3Ò é espaço vetorial. Falham os axiomas A2,Aa e A4
4. Não é espaço vetorial. Falha o axioma M2
5. Não é espaço vetorial. Falha o axioma M4
6. O conjunto é um espaço vetorial
7. O conjunto é um espaço vetorial
8. S é subespaço
9. S não é subespaço
10. É
11. É
12. Nãoé
13. Nãoé
14. É
15. É
16. Nãoé
Espaços vetoriais 101
17. Nãoé
18. É
19. É
20. Não é
21. Nãoé
22. É
23. Não é
24. É
25. É
26. São subespaços: a), b), c), d)
27. a ) w = 3u - V
b) k = 12
c) 16a + 10b - c = 0
28. a) p = 3pi + 2p2 + P3
b) impossível
c) a + 2b - c = 0
d) não é possível
29. V= 4vi + 3v2 - 2v3
30. a) 0 = -2vi + V2
b) 0 = Ovj + 0v2
31. u = 3vi - V2 + 2va
V = Vi + V2 
W = O Vi + 0V 2 + O V 3
102 Álgebra linear
32. V = -Vi + 3 v2 + 2va
33. a) sim
34. a) sim
b) não 
b) k = -2
c) não
35. a) {(x, y, z) G IR^/x = -2y e z = -3y}
b) { (x , y, z) G IR^/7x + 5 y - 4 z = 0 }
c) { ( x ,y , z) € lR®/x + y - z = 0 }
d) IR̂
e) { (x, y, z) e R^/x + y + 3z = 0 }
0 IR̂
36. a) G(A)= { ( x , y , z ) e 1R ^/I0 x+3 y- z = 0 } 
b ) k = -13
37. k = 7
38. a) { ax ̂ + bx + c/b = 2a + c } 
b) { ax ̂ + bx/a, b S IR}
C)
39. { ( x , y ) € IR V y = - 2 x }
Representa uma reta que passa pela origem.
40. (x ,y) = ( x - y ) ( 2, l ) + ( -x + 2 y ) ( l , l )
41. ( x ,y .z ) = x v , + ( y - x ) v 2 + ( z - y ) v j
42.
a)
a b
c d
; b = - 2a - 5d e c = -a - d
Espaços vetoriais 103
b)
a b
c d
; a + b - c + d =0
43. { ax ̂ + bx ̂ + cx + d/b = 5a + 3c e d = l l a + 8c}
44. { (x, y, z, t)/2x - t= 0 e y + z= 0 }
45. Pertence.
46. a) LI b) LD c) LI d) LD
47. a) U b) LI c) LD d) LD
e) LD f) LI g) ld
48. a, c
49. b, d
50. LI
51. k=^-3
52. k = 3
55. V2 =?tkvi, Vk G IR
56. a, d
57. k # ± 2
58. (x, y) = (2x + 3y) (2 , -1) + (x + 2y )(-3 , 2)
59. a),c)
60. b) ,c ),d)
104 Álgebra linear
63. Nâo. G (A )# 1 R ^
64. Base: { v i . v j . v j }
65. p^ = ( l , 5 , - 4 )
66. Uma base: { Vi, V2 } .
67. { ( 0 ,1 , 1), (1 ,1 ,0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) }
68. v^ = (2 , l ) , v̂ = ( - | . : ^ )
v.y = (6 , 2), v j = ( 2, 6)
69. a) Vg = ( - 2 , 1 , 4 )
b ) v g = ( - 3 , l l , 6 )
c) Vg=(0, 0, 1)
70. = ( 2 , - 2 , - 3 )
71. a) B é LI e V(x, y, z) e IR*
( x ,y ,z ) = ^ v , + ^ ^ V 2 + ( x - y + z ) v j
b) e, =-^v, + j v j + vj
C2 = -Va
1 . .1 . u
« 3 = - Y ' ' » + " 2 V2 + Va
72. a) dim:2
b) dim: 1
c) dim: 1
d) dim: 1
e) dim: 2
f) dim: 2
As bases ficarão a cargo do leitor.
Espaços vetoriais 105
73. a) dm; 2 c) dm: 2
b) dm: 3 d) dm: 3
.\s bases fIcarSo a cargo do leitor.
74. a) 2
b) N ío, porque
2 1 
3 4
S
75. a) d m :2
uma base: { ( 1 ,0 , 3, -5), (0, 1 ,6, -10) }
b) d m :2
uma base: {(0 , - 2 , - 1 , 1 ) , ( 1 , - 3 , -5 , 0 )}
c) dim: 1
uma base: { ( 1, 1, - 1) }
d) dim: zero
n9o existe base
e) dim: 3
uma base: { ( - 1, 0 , 0 , 1), ( - 1, 1, 0 , 0), (2 , 0 , 1, 0) }
CAPÍTULO
ESPAÇOS VETORIAIS 
EUCLIDIANOS
a i PRODUTO INTERNO EM ESPAÇOS VETORIAIS
No Capítulo 1, foi definido o produto escalar ou produto interno usual de dois vetores 
no IR̂ e no IR̂ e foram estabelecidas, por meio desse produto, algumas propriedades geomé­
tricas daqueles vetores. Agora pretende-se generalizar o conceito de produto interno e, a partir 
dessa generalização, definir as noções de comprimento, distância e ângulo em espaços vetoriais 
mais genéricos.
Chama-se produto interno no espaço vetorial V uma função de V x V em IR que a 
todo par de vetores (u, v) E V x V associa um número real, indicado por u . v ou < u, v > , 
tal que os seguintes axiomas sejam verificados:
P i) u . V = V . u
P2) u . ( v + w) = u . v + u . w
P3) ( a u ) . V = para todo real a (u . v)
P4) u . u > 0 e u .u = 0 se,e somente se, u = 0
Observações
a) O número real u . v é chamado produto interno dos vetores u e v.
b) Dos quatro axiomas da definição acima decorrem as propriedades:
106
Espaços vetoriais euclidianos 107
I) 0 . u = u . 0 = 0, Vu E V 
n ) (u + v) . w = u . w + V . w
III) u . (av) = a ( u . v)
IV) U . (Vj + V2 + ... + Vj^) = U. Vj + U . Vj + ... + u .
Fica a cargo do leitor a demonstraçã^o dessas propriedades.
Exemplos
1) No espaço vetorial V = R ^ , a função que associa a cada par de vetores u = ( x i , y i ) ® 
V = (x2, X2 ) o número real
u . v= 3x iX2 + 4y iy 2
é um produto interno.
De fato:
P i) u . v = 3x iX2 + 4y iy 2 
u . v = 3x2X1 + 4y2yi 
u . v = V . u
P2) Se w = (x3,y3), então:
u .(v + w) = (x,^yi ) . (x2 +X3, y 2 + y3)
u . ( v + w ) = 3x i(x2 +X3) + 4yi(y2+ya) 
u . ( v + w) = (3x iX2 +4yiy2) + (3xiX3 +4yiy3) 
u . ( v + w) = u . v + u . w
P3) (au) . V = (ax i , a y i ) . (x2, y2)
(otu). v = 3(axi)x2 +4(ayi)y2 
(au). v = a(3xiX2 +4yiy2)
(au ) . V = a ( u . v)
P4) u . u = 3xiXi + 4yiyi = 3x ] + 4y ] > 0 e
u . u = 3xJ + 4yj = 0 se, e somente se, Xi = yi = 0 ,
isto é, se u = (0,0) = 0.
108 Álgebra linear
Observação
O produto interno que acabamos de apresentar é diferente do produto interno usual no 
IR .̂ Este seria definido por:
u . v = XiX2 +y i Y 2
donde se depreende ser possível a existência de mais de um produto interno num mesmo espaço 
vetorial.
2) Se u = ( x i , y i , Z i ) e v = (x2, y 2,Z2) sâò vetores quaisquer do IR ,̂ o número real
u . v = XjX2 + y i y 2 + zjZ2
define o produto interno usual no IR .̂
De forma análoga
u .v = x i y i +X2y2 + + x„yn
com u = (x i , X 2, x ^ ) e v= (yi , y2, y n ) i define o produto interno usual no IR"
3) Sqam V = P2, p= a2X^+aiX + ao e q = b2X̂ + b iX+bo vetores quaisquer de P2. 
A fórmula
p . q = a2b2 + ai bi + aobo
define um produto interno em P2.
Pôr exemplo, se:
p = 3 x ^ - 4 x + 2 e q=2x^ + 3 x - l , 
então:
p . q = 3 ( 2 ) - 4 ( 3 ) + 2 ( - l ) = - 8
Observemos que 
p . q ~ a2b2 2ib i
não define, sobre V, um produto interno. Nesse caso, falha o axioma P4, pois existem 
polinômios p E V tais que p . p = 0, sem que p = 0. Por exemplo, p = Ox̂ + Ox + 3.
Espaços ve tonais euclidianos 109
4) Seja V o espaço das funções reais contínuas no intervalo [a, b ].
Se f e g pertencem a V,
f . g = ^ f ( x ) g ( x ) d x
define sobre V um produto interno. (A verificação dos quatro axiomas fica a cargo do 
leitor.)
5) O número
u . v = 2x , x j + y \ y \
sendo u = ( x i , y i ) e v = (x2, y 2), não define no IR̂ um produto interno.
Nesse caso não se verificam os axiomas P2 e P3. Considerando o axioma P3, tem-se:
(ou) . V = ( o x , , oy 1) . ( X j , y j ) = 2 o x ,X 2 + a ^ y \y \
enquanto:
a ( u . v ) = o ( 2x,X2 + y ? y 2) = 20X1X2 + o y , y 2 
e, portanto:
(o£u) . v ^ a ( u . v)
3.1.1 Problemas Resolvidos
1) Em relação ao produto interno usual do IR ,̂ calcular u . v sendo dados:
a ) u = ( - 3 , 4) e v = (5 , - 2)
b ) u = (6, - l ) e v = ( y , -4)
c ) u = (2, 3) e v = (0 ,0)
110 Álgebra linear
Solução
a) u , v = -3(5) + 4 (-2 ) = - 1 5 - 8 = -23
b) u . V = 6 ( “ ) - 1 (-4) = 3 + 4 = 7
c) u . v = 2 ( 0 ) + 3(0) = 0 + 0 = 0
2) Para os mesmos vetores do exercício anterior, calcular u . v em relação ao produto interno 
do exemplo 1:
u . v = 3x iX2 + 4y iy 2
Solução
. a) u . V = 3 (-3) (5) + 4 (4 )(-2 ) = -45 - 32 = -77
b) u . v= 3(6) ( y ) + 4 (- l) ( -4 ) = 9 + 16 = 25
c) u . v = 3 ( 2 ) ( 0 ) + 4 (3 )(0 ) = 0 + 0 = 0
3) Consideremos o IR̂ munido do produto interno usual.
Sendo Vi = ( 1 , 2 , -3), V2 = (3, -1, - 1) e V3 = (2, -2, 0) de IR ,̂ determinar 0 
vetor u tal que u . Vj = 4, u . V2 = 6 e u . V3 = 2.
Solução
Seja u = (x, y, z)
Então:
( x , y , z ) . ( l , 2 , -3) = 4 
( x , y , z ) . ( 3 , - l , - l ) = 6 
(X, y , z ) . ( 2 , - 2 , 0 ) = 2
Espaços vetoriais eu clidianos 111
Efetuando os produtos internos indicados, resulta o sistema:
X + 2y - 3z = 4 
3x - y - z = 6 
2x - 2y = 2
cuja solução é x = 3, y = 2 e z = l .
Logo, o vetor procurado é u = (3 ,2 ,1) .
4) Seja V = {f: [0,1] IR; f é contínua} o espaço vetorial munido do produto interno: 
f . g = / V t ) g ( t ) d t
Jo
Determinar hi . I12 e hi . h i , tais que h i , l i 2 G V e h i ( t ) = t e li2( t)= t .̂
Solução
a)h,.h,= rhut)h2(t)dt= í\.t^dt=
Jo Jo Jo
b) h, ,h i (t)h,(t)dt =
3.2 ESPAÇO VETORIAL EUCLIDIANO
Um espaço vetorial real, de dimensão finita, no qual está definido um produto interno, é 
um espaço vetorial euclidiano. Neste capítulo serão considerados somente espaços vetoriais 
euclidianos.
112 Álgebra linear
3.3 MODULO DE UM VETOR
Dado um vetor v de um espaço vetorial euclidiano V, chama-se módulo, norma ou 
comprimento de v o número real não-negativo, indicado por l v | , definido por:
I V I = V V . V
Observemos quese u = ( x i , y i , Z i ) for um vetor do IR̂ com produto interno usual, 
tem-se:
|u I = V ( x i , y i , z , ) . ( x i , y i , Z i ) = V x f + y f + z f (3.3)
3.3.1 Distância entre dois vetores
Chama-se distância entre dois vetores (ou pontos) u e v o número real representado 
por d(u, v) e definido por:
d(u, v) = | u - v |
Sendo u = ( x i , y i , Z i ) e v = ( x 2, y 2 ,Z2) vetores do IR̂ com produto interno usual, 
tem-se:
d(u, v) = l u - v | = |(xi -X 2, yi - y 2, Zi -Z 2) |
ou:
d(u, v) = v /(x i -xj )^ + (y , - Y i f +(zi (3.3.1)
Observações
1) Se I v| = 1, isto é, V . V = 1, o vetor v é chamado vetor unitário. Diz-se, nesse 
caso, que v está normalizado.
2) Todo vetor não-nulo vG V pode ser normaltado^ fazendo:
u = *
|v |
Espaços vetoriais euclidianos 113
Observemos que:
V V _ V. V _ I V | ^ _ 
| v | | v | |v |^ lv |^
e, portanto, -----é unitário.
|v I
Exemplo
Consideremos o espaço V = IR̂ com o produto interno Vj . V2 = 3xiX2 + 2yiy2 + Z1Z2, 
sendo Vi = (xi , yj , Zi) e V2 = (x2, y2, Z2). Dado o vetor v = (-2 , 1,2) E IR ,̂ em relação a 
esse produto interno tem-se:
IV I = y / { - 2 , 1 , 2 ) . ( - 2 , 1 , 2 ) = V3(-2)^ + 2(1)^ +2^ = n/ i 2 + 2 + 4 = 
e normalizando v, resulta:
V - (-2, 1 , 2 ) _^ 2^ 1
| v | v T s ’ nAÍ8 ’ \ ^
).
e:
Observemos que, relativamente ao produto interno usual, tem-se:
|v | = V ( - 2 , 1 ,2 ) . ( - 2 , 1 , 2 ) = V (-2)" + 1" +2^ = V 4 + 1 + 4 = 3
V - (-2, 1 , 2 ) _ 1 J_ i . .
| v | 3 '^"3 ’ 3 ’ 3^
É importante observar que o módulo depende do produto interno utilizado. Se o produto 
interno muda, o módulo também se modifica.
V
Assim, fíca claro que os dois vetores — acima, obtidos a partir de v, são unitários, cada um 
em relação ao respectivo produto interno.
3.3.2 Propriedades do Módulo de um Vetor
Seja V um espaço vetorial euclidiano.
I) I V I > 0, Vv G V e I V I = 0, se, e somente se, v = 0.
114 Álgebra linear
Essa propriedade é uma conseqüéncia de P4.
II) | a v | = | a | | v | , Vtf G V, Va G IR
De fato:
I av I = V ( a v ) . (av) = \ / a ^ ( v . v) = | a | yj v . v = | a | | v |
III) | u . v | < | u | | v | , Vu, V G V
Se u = 0 ou V = 0, vale a igualdade | u . v | = | u | | v | = 0.
Se nem u nèm v são nulos, para qualquer a G IR vale a desigualdade:
(u + av) . (u + av) > 0 
pelo axioma P4.
Efetuando o produto interno, vem:
u.u +u. (av) + (av . u) + (v . v) > 0 
ou:
|v |^a ^ + 2 ( u . v ) a + | u | ^ > 0
Obtivemos assim um trinòmio do 29 grau em a (pois I v|^ 9̂ 0), que deve ser positivo 
para qualquer valor de a . Como o coeficiente de a ̂ é sempre positivo, o discriminante desse 
trinòmio deve ser negativo ou nulo:
(2u . v ) ^ - 4 | v | ^ | u | ^ < 0
4 ( u . v)2 - 4 |u |v [2 < 0
(u.v)'' < |u l'' |v I'
Considerando a raiz quadrada positiva de ambos os membros dessa desigualdade, vem:
l u . v K l u l l v
Espaços vetoriais euclidianos 115
Essa desigualdade é conhecida com o nome de Desigualdade de Schwarz ou Inequação 
de Cauchy-Schwarz,
IV) |u + v | < l u | + | v | , Vu, V G V 
De fato:
I u + V I = V (u + v) . (u + v)
mas:
logo:
ou:
I u + V I = \ / u * u + 2 ( u . v ) + v . v 
| u + v | ^ = 1 u 1̂ + 2( u . v) + I V 1̂
u . v < | u . v | < l u | | v |
u + v | ^ < | u | ^ + 2 | u | | v | + | v |
| u + v | ^ < ( l u | + |v | )2 
ou, ainda:
|u + v | < | u | + | v |
116 À Igebra linear
Essa desigualdade, denominada desigualdade triangular, vista no IR̂ ou no IR̂ confirma 
a propriedade geométrica de que, num triângulo, a soma dos comprimentos de dois lados é maior 
que o comprimento do terceiro lado (Figura 3.3.2)
A igualdade somente ocorre quando os dois vetores u e v são colineares
3.4 ÂNGULO DE DOIS VETORES
Sejam u e v vetores não-nulos de um espaço vetorial euclidiano V. 
A desigualdade de Schwarz
| u . v | < | u | | v |
pode ser escrita assim: 
|u . v|
ou:
l u l l v l
U . V
l u l l v l
< 1
< 1
o que implica:
u . V
-1 < ---------- < 1
l u l l v l
Por esse motivo, pode-se dizer que a fração
u . V
l u l l v l
é igual ao co-seno de um ângulo 6, denominado ângulo dos vetores u e v:
COS 6 = ̂ ^— , 0 < ^ < 7T
l u l l v l
Observemos que essa fórmula coincide com a (1.7.1) para o cálculo do ângulo de dois 
vetores no IR̂ (ou com a fórmula VI do item 1.9 do IR )̂, considerando o produto interno 
usual.
Espaços vetoriais euclidianos 117
3.4.1 Problemas Resolvidos
5) Consideremos o IR̂ com o produto interno usual. Determinar a componente c do vetor
V = (6, -3, c) tal que | v | = 7.
Solução
I V I = ^ /e - +(-3)^ +c* = 7 
36 + 9 + = 49
= 4
c = ± 2
6) Seja o produto interno usual no IR̂ e no IR"*. Determinar o ângulo entre os seguintes 
pares de vetores :
a) u = (2, 1 , -5) e v = (5 ,0 ,2 )
b ) u = ( l , - l , 2 , 3) e v = (2,0, 1 , -2)
Solução
a) 1 u I = v/2" + 1̂ +(-5)^ =
I V |= v /5 ^ +2^ = s / l s 
u .v = 2(5) + 1 ( 0 ) -5 (2 ) = 0
Daí:
COS 0 u . V
|u I |v I >/3Õ y /2 9
= 0 ■■■ » = !
b) I u I = V 1 + 1 + 4 + 9 =
|v | = V 4 + l + 4 =3
u .v = 1 (2 ) - 1(0) + 2(1) +3 (-2) = -2
118 Álgebra linear
Daí:
cosO = -2
y/TS x3
0 = arc COS ( - ------ —
3 \Í T 5
7) Seja V um espaço vetorial euclidiano e u, v E V. Determinar o co-seno do ângulo entre 
os vetores u e v, sabendo que | v | = 3, | v | = 7 e | u + v | = 4 v T
Solução
I U + V I = V (u + v) . (u + v)
ou:
e:
I u + V 1̂ = I u 1̂ + 2u . V + 1 V 1̂
(4 \ / 5 ) ̂ = 3 ̂ + 2u . V + 7 ̂
80 = 9 + 2u . V + 49 
2u. v = 8 0 - 5 8 
2u. v = 22 
u. v = 11
logo:
COS 6 =
u . V 11 11
I u I 1 V I 3 x 7 21
8) Consideremos, no IR ,̂ o produto interno definido por Vi . =3xiX2 + y i y 2, sendo 
Vi = (xi , y i ) e V2 = (x 2, y2)- Eni relação a esse produto interno, determinar um vetor v 
tal que:
|v | = 4, v . u = 1 0 e u = ( l , - 2 )
Espaços vetoriais euclidianos 119
Solução
e:
Seja V = (x, y). Então:
I V I = y j 3x^ + = 4 3x ̂ + y ̂ = 16
V . u = 3x - 2y = 10 
Resolvendo o sistema
3x^ + y ̂ = 16 
3x - 2y = 10 
obteremos:
x = 2 e y = -2 ou x = — e y-
26_
1
logo:
v = (2 ,-2 ) o u v = ( - | - , - ^ )
3.5 VETORES ORTOGONAIS
Seja V um espaço vetorial euclidiano.
Diz-se que dois vetores u e v de V são ortogomis, e se representa por u 1 v, se, e 
somente se, u . v = 0.
Exemplo
Seja V = IR̂ urn espaço vetorial euclidiano em relação ao produto interno 
(xi, y i ) . (X2, y2) = X1X2 +2yiy2 . Em relação a este produto interno, os vetores u = ( - 3 , 2) 
e V = (4, 3) são ortogonais, pois:
u .v = -3 (4 )+ 2 ( 2 ) ( 3 ) = 0
120 Álgebra linear
Observações
1) 0 vetor 0 G V é ortogonal a qualquer v G V:
0 . V = 0
De fato:
0 . V = (Ov) . V = 0(v . v) = 0
2) Se u i V, então au 1 v para todo a G IR.
3) Se Ui 1 V e U2 1 v, então (ui +U2)1 v.
3.6 CONJUNTO ORTOGONAL DE VETORES
Seja V um espaço vetorial euclidiano.
Diz-se que um conjunto de vetores { Vj, V2, Vĵ } CV é ortogonal se dois vetores 
quaisquer, distintos, são ortogonais, isto é, Vj. Vj = 0 para i=?̂ j.
Exemplo
No IR ,̂ o conjunto 
{ (1 ,2 , -3), (3, 0 ,1 ), ( 1 ,- 5 ,- 3 ) } 
é ortogonal em relação ao produto interno usual, pois;
( l ,2 , - 3 ) . ( 3 ,0 , 1) = 0
(1 ,2 , -3 ) . ( 1 , - 5 , - 3) = 0
(3 ,0 , 1 ). ( 1 ,-5 ,-3 ) =0
Espaços vetoriais euclidianos 121
3.6.1 Teorema
Um conjunto ortogonal de vetores não-nulos A = { Vi, V2, } é linearmente inde­
pendente (LI).
De fato:
Consideremos a igualdade
aiVi + a 2V2 + . . .+ anVn=0
e façamos o produto interno de ambos os membros da igualdade por v̂ :
(aiVi + a2V2 + ... + a^Vj )̂. Vj = 0 .
ou:
a i(v i. Vi) + ... + aj(Vj. Vj) + ... + â Cv̂ . v̂ ) = 0
Como A é ortogonal, Vj. v̂ = 0 para \ e v^. v̂ 0, pois v̂ ^ 0. Então,
ai(Vi. V|) = 0 implica aj = 0 para i = 1, 2 ,..., n. Logo, A = { Vi, V2, ..., Vĵ } é LI.
3.6.2 Base Ortogonal
Diz-se que uma base { Vi,..., Vĵ } de V é ortogonal se os seus vetores são dois a dois 
ortogonais.
Assim, levando em conta o teorema anterior, se dim V = n, qualquer conjunto de nvetores 
não-nulos e dois a dois ortogohajs, constitui uma base ortogonal. Por exemplo, o conjunto apre­
sentado no exemplo anterior
{ (1 , 2 , -3), (3, 0,1) , ( 1 , - 5 , - 3 ) }
é uma base ortogonal do IR .̂
122 Álgebra linear
3.6.2.1 Base Ortonormal
Uma base B = { Vi, V2, . . . » } de um espaço vetorial euclidiano V é ortonormal se B é 
ortogonal e todos os seus vetores são unitários, isto é:
Vi-Vj
0 para i ^ j
1 para i - j
Exemplos
Em relação ao produto interno usual, o conjimto:
1) B = {(1, 0), (0, 1)} é uma base ortonormal do (é a base canônica);
2) B= (" y » é também base ortonormal do (verificar!);
3) B = { (1, 0, 0), (0, 1,0), (0 ,0 , 1)} é uma base ortonormal do R^ (é a base canônica);
4) B= { u i , U 2,U3 >, sendo Uj =
/ 2 1 1 , /n 1 1 ^
' "■ ‘“ ' - T f
é também base ortonormal do R^, pois:
Ui . U2 = Uj . U3 = U2 . U3 = 0
e:
Ui . Uj = U2 . U2 = U3 . U3 = 1
As bases ortonormais são particularmente importantes, como ainda veremos.
Espaços vetoriais euclidianos 123
Observação
Já vimos que se v é um vetor não-nulo, o vetor — é unitário. Diz-se, nesse caso, que v
v l ' '
está normalizado, O processo que transforma v em chama-se normalização de v.
Assim, uma base ortonormal sempre pode ser obtida de uma base ortogonal normalizando 
cada vetor.
Por exemplo, a base B= {vi,V2,V3 }, sendo Vi =(1,1,1), V2 =(-2,*l, 1) e V3 = ( 0 , -1,1) , 
é ortogonal em relação ao produto interno usual. Normalizando cada vetor, obtemos:
_ Vi _ . __1_ __1__ __ l_ .
" i v . r v r r m ^
„ - V2 - (-2 , 1. 1) ^ J ____ 1_^
 ̂ |V,| V 4 + 1 + 1
u - V3 - (O.-I.I) =(0 _ _ L _ !_ )
" IV3I Vo + 1 + 1 ̂ ’ sH.'sTi
e B' = { Ui, U2, U3 } é uma base ortonormal do IR .̂
3.6.3 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt
Dado um espaço vetoríal euclidiano V e uma base qualquer B= {v j , V2, • desse
espaço, é possível, a partir dessa base, determinar uma base ortonormal de V.
De fato, supondo que Vi, V2, Vĵ não são ortogonais, considere-se
Wi = Vi
e determine-se o valor de a de modo que o vetor W2 = V2 - aw i seja ortogonal a Wi:
(v2 - a w i ) . Wi = 0 
V2 . Wi - a(wi . Wi) = 0
w, . Wi
124 Álgebra linear
isto é:
/ V2 . Wi .
W2 =V2 - ( —■=----- - )Wi ̂Wi . Wi
Assim, os vetores Wi e W2 sao ortogonais.
Considere-se o vetor:
W3 =V3 - a2W2 - ajWi
e determine-se os valores de a2 e ai de maneira que o vetor W3 seja ortogonal aos vetores 
Wi e W2 :
(V3 - a2W2 - a i W i ) . wi = 0 
(vj -a jW j - a , w , ) . W 2 = 0
V3 . w i -a2(w2 . w , ) - a i ( w , . Wi) = 0 
vj . W2 - a2(w2 . wj) - ai(w, . W2) = 0
Tendo em vista que Wi . W2 = 0, vem:
( V3 . wi - ai(wi . w i ) = 0 
V3 . W2 - a2(w2 . W2) = 0
e:
_ _ V3 . W i _ V3 . W2
Wi . Wi W2 . W2
isto é:
/ V3 . W2 . / V3 . Wi .
W3 = V3 — )W2 - ( ... ) WiW2 . W2 Wj . Wi
Assim, os vetores Wi, W2 e W3 são ortogonais.
Espaços vetoriais euclidianos 125
Pode-se concluir o teorema por indução, admitindo que, por esse processo, tenham sido 
obtidos ( n - 1 ) vetores Wi, W2 , ..., ̂ e considerar o vetor:
sendo a j, a2 , ..., a^_j tais que o referido vetor seja ortogonal aos vetores Wi, W2 , ...»
Os valores de a i , a2 , ...» â ̂ ̂ que aparecem em são:
_ v „ . w i _ V „ . W2 _ _ v „ . W 3 _ V n . w „ . i
a. = — , a. - — . a, - — ..... a„_, -
Wi . Wi W2 . W2 W3 . W3
Assim, a partir de B = { Vi, V2 , Vĵ } , obtivemos a base ortogonal { Wi, W2 , Wjj} .
O processo que permite a determinação de uma base ortogonal a partir de uma base 
qualquer chama-se processo de Gram-Schmidt.
Wi
Para se obter uma base ortonormal, basta normalizar cada W:. Fazendo U: = -----,
I Wjl
obtemos a base
B'= {u,,U 2,.... Ujj}
que é uma base ortonormal obtida a partir da base 
B= {v, . V2 , .... Vn)
Observação
Tendo em vista que:
Wi Wi Wi 1 1
---------- = V ------------ ---- V • --------- X ------- = (V . Ui ) ---------
w , . w , n W i . W , " | w , | ^ " | W i I | W , | " | W i |
^n -w ,
a, = -------- = V
V„ . W2 W2
32 = ------------ = V _ -------------- --- V
W2 W2 1 1
= V .------ X ------.= (V .U2 )
W2 .W2 n W2 .W2 " |W2 l̂ " IW2 I IW2 I " IW2 I
126 Álgebra linear
Ha -
Vn*W3
W3 . W3 = ... = (v„ . U3)
IW3I
OS vetores Wi, W2, podem ser expressos do seguinte modo: 
I) W, = Vi
WiII) W2 = Vj - a i W , = Vj - (V2 . U i ) --------
I W,|
W j = V2 - ( V 2 . U , ) U i
III) W3 = V3 - 32 W2 - a i W i
W 3 = V3 - ( V 3 , U 2 ) - ^ - ( V 3 . U , ) - ^
I W2 I I Wi I
W3 = V3 - ( V 3 . U 2 ) U 2 - ( V 3 . U i ) u ,
wn = \ • “n -l) V l - ••• - • “2 ) “2 ' (% • « i )
Exemplo
Sejam Vj= (1,1,1,) V2 =(0,1,1) e V3 =(0,0,1) vetores do Esses vetores
constituem uma base B= { v i , V 2,V3 } não-ortogonal em relaçâfo ao produto interno usual. 
Pretendemos obter, a partir de B, uma base B' = { Ui, U2, U3 } que seja ortonormal.
Solução
Wi = Vl = (1, 1, 1)
Espaços vetoriais euclidianos 127
- Wi _ (1,1,1) _ ( 1 , 1 , 1)_ , 1 _1_ J _ .
‘ |w , | V l * +1^+1^ s/3 ̂y/ 3 ’ s/ 3 ’ y/ 1 ^
W j = Vj - ( V 2 . U i ) u ,
V 2 . U , ^
W2 = (0, l , l ) - ( | - , | - , | - )
- ̂ 2 1 K
W2 ( " 3 > 3 > 3 )
U2
. 2 1 1 ( - 1 1 1 )
_ W2 <^~T’T ’T ^ _ ̂ 3 ’ 3 ’ 3^ ^ ̂ __2. _ 1 __
' V” r-r » /-? » /-r /
I W21 y 1 + 1 + 1 \ / 6
^ 9 9 9 —
V 6 ’ V 6 ’
W3 = V3 - (Vj . U2 ) U2 - (V3 . U | ) Ui
. 2 1 1 . .1 1 1 ,
W3 ( 0 > 6 > 6 > 6 ) - ( 3 > 3 » 3 )
W3 = ( 0 , - y , y )
(0 -1 ± ) (0 -1 1 )^ W3 2 ’ 2 ^ _1 ’ 2 ’ 2^ ^ _ J ____ 1_
 ̂ I W3 I ̂ ^ 4 4 y/2 y / 2 y / 2
V 4 4 ~ T
128 Álgebra linear
A base B' = { U i, U2, U3 } é uma base ortonormal, pois:
Ui . U2 = Ui . U3 = U2 . U3 = 0
e:
1 Vj 1 = IV2 I = 1V3 1 = 1
3.6.4 Componentes de um Vetor numa Base Ortogonal
Seja V um espaço vetorial euclidiano e B = { V j , } uma base ortogonal de V. Para 
um vetor w € V, tem-se:
w = aiVi +... + aiVi +... + â Vn
Efetuando o produto interno de ambos os membros da igualdade por Vj, vem:
W . Vi = a , ( v , . V i ) + . . . + a j ( v j . Vj) + ... + a „ ( v „ . Vj)
ou:
w . Vj = aj(Vi. V|) pois Vj. Vj = 0 para j ^ i
logo:
W . V:
aí = (3.6.4)
é a expressão da i-ésima coordenada de w em relação à base B.
Exemplo
Seja V = com o produto interno usual e a base ortogonal
B = { ( 2, 1), ( - 1, 2) }
Calculemos as coordenadas do vetor w = (4, 7) em relação a essa base B, na qual 
Vj = ( 2, 1) e V2 = ( - 1, 2). Pretende-se calcular ai e a2 tais que:
w = ai Vi + a2V2
Espaços vetoriais euclidianos 129
Utilizando a fórmula (3.6.4), vem:
_ w .V i _ (4, 7 ) . (2, 1 ) _ 8 + 7 _ 15 _
V, .V, ( 2 , 1 ) . (2,1) 4 + 1 5 ^
_ w . V2 _ (4, 7) . (-1, 2) _ -4 + 14 _ 10 _
v j . v j ( - 1, 2) . ( - 1, 2) 1+4 5 ^
logo:
w = 3vi + 2v2
ou:
w = (3 ,2) ^
Como se viu, as coordenadas de w, na base canônica, são 4 e 7, enquanto na base B são
3 e 2.
Observação
No caso particular de B = {v i , ser uma base ortonormal de V, os coeficientes
do vetor w = ai Vj +... + aĵ Vĵ , pela fórmula (3.6.4), são dados por:
pois Vj . Vj = 1.
Assim,
W = ( W . V , ) V i + ( W . V 2 ) V 2 +... + ( w . v „ ) v „
Exemplo
3 ^ 4 3
A base B = í ( y » y ) » é uma base ortornormal do ¥ ? em relação ao produto
interno usual. Dado v = (5,2) , para encontrar ai e a2 tal que
( 5 , 2 ) = ai ( | , y ) + a 2 ( - y , y )
130 Álgebra linear
basta fazer:
- /c ,3_ 4 ,_ . . 8 ^ 23 ai (5, 2) . ( ̂ , )̂ 3 + ̂ j
4 3 6 14aj= ( 5 , 2 ) . ( - j , j ) = - 4 + - = - -
logo;
_ .23 14 .
Observemos que se tivéssemos a base canônica: 
B = {(1,0), (0,1)},
a, = (5, 2). (1,0)= 5
aj= (5, 2). (0,1)= 2
e, portanto:
Vb = (5 ,2 )
isto é:
(5,2)= 5(1,0)+ 2(0,1)
3.7 CONJUNTOS ORTOGONAIS
Se Si e S2 são subconjuntos não-vazios de um espaço vetorial euclidiano V, diz-se que 
Si é ortogonal a S2, e se representa por Si 1 S2 , se qualquer vetor Vi E Si é ortogonal 
a qualquer vetor V2 E S2.
Espaços vetoriais euclidianos 131
Exemplo
Os conjuntos
S i= {(0, 1 ,2) , (0,2,4)} e = {(1,-2, 1), (2,-2, 1), (4, 6,-3)} 
são ortogonais relativamente aoproduto interno usual no (verificar!).
3.7.1 Teorema
Seja V um espaço vetorial euclidiano e B = { v i , V p } uma base de um subespaço S 
de V, gerado por B.
Se um vetor u E V é ortogonal a todos os vetores da base B, então u é ortogonal a 
qualquer vetor do subespaço S gerado por B.
Diz-se, nesse caso, que u é ortogonal a S e se representa por u 1 S.
De fato:
Qualquer vetor v E S pode ser expresso por:
v = aivi + a 2V2 + ... +apVp
e:
u . V = u . (aiVj + a2V2 + ... + apVp)
u . V = ai (u . v i) + a2(u . V2) + ... + ap(u . Vp)
Mas, por hipótese, u . Vj = 0 , i = 1,..., p.
Portanto:
u . V = 0
lo g o :
u 1 V ou u 1 S
132 Álgebra linear
3.8 COMPLEMENTO ORTOGONAL
Seja V um espaço vetorial euclidiano e S um subespaço vetorial de V. Consideremos o 
subconjunto de V formado pelos vetores que são ortogonais a S:
= {vG V / v l S}
Esse subconjunto S'*̂ de V é chamado complemento ortogonal de S,
Vamos considerar duas propriedades:
I) é subespaço de V 
De fato:
a) Se Vi,V2 E S ̂ , para qualquer uG S, tem-se:
Vi 1 u e V2 1 u
isto é :
V j . u = 0 e V 2 . u = 0
Então:
Vi . u + V2 . u = 0 (vi + V2) . u = 0 implica (vj + V2) G
b) Analogamente, se verifica que para qualquer a G IR, avj G S-̂ .
II) Se S é subespaço vetorial de V, então
V = s 0
isto é, V é a soma direta de S e S-*-.
De fato:
Se S = { 0 } , então S-*̂ = V e a demonstração é imediata.
Espaços vetoriais euclidianos 133
Se S =5̂ { 0 } , para qualquer v G S n S-*- tem-se:
V . V = 0
isto é :
v = 0
o que mostra que
s n s-̂ = { 0 }
Por outro lado, como S é um subespaço vetorial de V, S pode ser considerado um espaço 
vetorial euclidiano tal como V. Nessas condições, sejam B= { e i , e2 , . ep } uma base orto- 
normal de S e v um vetor qualquer de V.
O vetor
Vi = ( v . e i ) e , +(v . 62)62 +... + ( v . 6p ) 6p 
p6rt6nce a S, e o vetor
Vj = V - Vi
éortogonala S, isto é,p6rt6nc6 a pors6rortogonalatodososv6tor6sdabas6 B = { c i , 62, . . . . 6p}:
V2 . 6i = ( v - V i ) . 6 , = V. 6, - Vi .61
V2 . 6i = V . 6i - [(v. 61)61 + (v . 62)62 +... + ( v . 6p ) 6p] .61 
V2 . 61= V . 6i - [(V. 6i ) 6i ] . 61 + 0 + . . . + 0 
V2 . 6i = V. 6i - V. 6i 
V2 . 6i = 0
Do mesmo modo:
V2 . 62 = 0 , V2 . 63 = 0, ..., V2 . 6p = 0
134 Álgebra linear
Assim, V = Vi + V2, com Vj € S e Vj € S-*̂ . 
Logo;
V= s 0 s-̂
Exemplos
1) Seja V = com o produto interno usual e 
S = { (0, 0, c)/c € F } (eixo dos z)
Então:
S-*̂ = {(a, b, 0) /a,b F } (plano xOz)
2) Seja V = F^ com o produto interno usual e S = { (x, -x)/x e F } . 
Então:
S^ = { ( x , x ) / x € F ) 
uma vez que (x, - x ) . (x, x) = x ̂ - x̂ = 0
Espaços vetoriais euclidianos 135
3.9 PROBLEMAS RESOLVIDOS
9) Determinar o valor de m para que os vetores u = (2, m , -3) e v = ( m - 1 ,2 ,4 ) sqam 
ortogonais em relação ao produto interno usual do .
Solução
Os vetores são ortogonais se u .v = 0. Então: 
(2, m , - 3 ) . ( m - l , 2 , 4 ) = 0 
2 ( m - l ) + m ( 2 ) - 3 ( 4 ) = 0 
2m -2 + 2 m - 12 = 0
4m = 14
7
m =“
10) Seja V = R^ e o produto interno
( X i , y i , z , ) . ( x 2 , y 2 , Z 2 ) = 2 x , X 2 +3y,y2 +ZjZ2
Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores u = ( l , 2 , 1) 
e v = ( l , 1, 1).
136 Álgebra linear
Solução
Seja w = (x, y, z), tal que w l u e w l v. Entío:
w . u = 0 
w . V = 0
ou
(x,y,z). (1,2,1) =0
(x,y,z).(l, 1, 1) =0
Com o produto interno dado, obtemos o sistema:
2x + 6y + z = 0 
2x + 3y + z = 0
que tem por solução: 
y = 0 e z = - 2x
Logo, w = (x, 0, -2x) = X (1, 0, -2), para x E IR.
Portanto, existem infinitos vetores ortogonais simultaneamente a u e v, porém todos 
múltiplos de (1 ,0 , -2) . Para x = l , obtém-se W i = ( l , 0 , -2), que, normalizado, resulta:
Wl _ (1,0,-2) ^ ( l , 0 , - 2 ) _ _ L 0
|wil V 2(1)^ +0^ +(-2)^ \ /6 V ^ ’ ’
11) Construir, a partir do vetor Vi = (1, -2 , 1), uma base ortogonal do IR̂ relativamente ao 
produto interno usual e obter, a partir dela, uma base ortonormal.
Solução
Seja B = { Vi, V2, V3 } a base ortogonal a ser determinada. 
Seja V2 = (x, y, z). Como V2 1 Vi, tem-se:
V2 . Vi = 0
Espaços vetoriais euclidianos 137
( x , y , z ) . ( l , - 2, 1) = 0
X - 2y + z = 0
X = 2y - z
Existem, portanto, infinitos vetores ortogonais a Vi da forma 
(2y - z, y, z), y, z G IR
Fazendo y = 0 e z = l , obtém-se um vetor particular:
V2 = ( -1,0 , 1)
Assim, o conjunto { Vi, V2 } é ortogonal, pois Vi . V2 = 0.
Para obtermos uma base ortogonal, necessitamos de mais um vetor. 
Seja V3 = (a, b, c), tal que V3 1 Vj e V3 1 V2. Então:
V3 . vi = 0 
V3 . V2 = 0
ou:
(a, b, c ) . ( l , - 2, 1) = 0 
(a, b , c ) . ( - l , 0 , 1) = 0
ou, ainda:
a - 2b + c = 0 
-a + c = 0
sistema de solução a = c e b = c.
138 Álgebra linear
Portanto, os vetores ortogonais a Vj e V2 são do tipo
(c, c, c), c e IR
Fazendo c = 1, obtém-se um vetor particular:
V3 = ( 1, 1, 1)
logo:
B = {(1, -2, 1), (-1, 0, 1), (1,1, 1)} é uma base ortogonal do com a presença do 
vetor Vi = (1, -2, 1).
Para se obter, a partir de B, uma base ortonormal, basta normalizar cada vetor de B. 
Assim:
Ui = vi - (1,"2,1) 1 2 1
|Vil V 1 +4 + 1 > /6 ’ y j~6 '\ f6:)
U - V2 , (-1,0,1) J _ o _ L .
U3 = V3 - (1 . 1 , 1 ) = r— 1 ^ -L 
Ivjl V I + 1 + 1 ^ > / 3 ’ V 3 ’ v ^
■)
e:
B'= { U i , U 2 , U3 } é uma base òrtonormal do .
Esse problema, como é fácil observar, tem infinitas soluções.
12) O conjunto B= { (1,-1), (2, b) } é uma base ortogonal do R^ em relação ao produto 
interno:
( x i , y i ) . (x2,Y2) = 2x 1X2 + y iY 2
Calcular o valor de b e determinar, a partir de B, uma base ortonormal.
Espaços vetoriais euclidianos 139
Solução
Sendo B ortogonal, tem-se:
( l , - l ) . ( 2 , b ) = 0 
2 ( l ) ( 2 ) - l ( b ) = 0 
b = 4
Portanto:
B = { (1 , -1 ) , (2, 4 )} 
é ortogonal.
Normalizando cada vetor de B segundo esse produto interno, vem:
(1 , -1) - ( i . - i ) - , 1 1 ^
V 2 ( l)^+(- l)^ V 3 ’ s H
(2, 4)
e:
V 2(2)^ + 4̂
é uma base ortonormal do IR̂ relativamente ao produto dado.
13) Em relação ao produto interno usual, determinar uma base ortonormal do seguinte 
subespaço vetorial do :
S = {(x, y, z)G R^/x + y - z = 0
Solução
Basta considerar uma base de S e, posteriormente, aplicar nela o processo de Gram- 
Schmidt com a normalização de cada vetor.
140 Álgebra linear
Observemos que dim S = 2 e, portanto, uma base de S tem dois vetores. Isolando x na 
igualdade acima, vem:
X = -y + z
Se fizermos:
(1) y = 0 e z = 1
(2) y = 1 e z = 0
obteremos os vetores Vi = (1, 0, 1) e V2 = (-1, 1, 0), sendo B = { Vj, V2 } uma base de S, pois 
vi e V2 são LI. Procuremos uma base B' = { U i, U2 } que seja ortonormal.
b ) Wj = V2 - ( V j . U i ) U i = ( - 1 , l , 0 ) - ( - 
W, = ( - l , l , 0 ) ( - y , 0 , - y ) =
( - — 1 —)^ ̂ 2 ’ ’ 2 ^ _ _1____2____\
Iw^l V 6 ^ ' V 6 ’ vA6’ V 6 ^
logo:
B '= { ( — é uma base ortonormal de S.
\ / 2 y / 2 v 6 V 6 V 6
Observação — O processo de ortogonalização de Gram-Schmidt teria sido evitado caso 
tivéssemos escolhido uma base B já ortogonal.
14) Seja o produto interno usual no IR"* e o subespaço, de dimensão 2,
S= [ ( 1 , 1 , 0 , - 1 ) , (1, -2, 1,0)] .
Determinar e uma base ortonormal de S^.
Espaços vetoriais euclidianos 141
Solução
e:
Um vetor v = (x, y, z, t) E S-*- se:
( x , y , z , t ) . ( l , 1 , 0 , - 1 ) = 0
(x, y, z, t ) . (1, -2, 1 , 0 ) = 0 
Daí vem o sistema:
X + y - t =0 
X - 2y + z= 0
cuja solução é :
t = X + y e z = -X + 2y.
Logo:
= { ( x , y , - x + 2 y ,x + y ) / x , y e IR}
Uma base de S-*- é:
B = { ( 1 , 0 , - 1 , 1 ) , ( 0 , 1,2, 1)}
na qual Vj = (1, 0, -1 , 1) e V2 = (0, 1, 2, 1). Apliquemos o processo de Gram-Schmidt à base B 
para encontrar a base ortonormal B' = { Ui, U2 } :
|v , l V 3 V 3 y /3
b) W2 = V2 -(V2 .U , ) U i = (0, 1,2, l ) - ( — l ) ( - L , o , ----
v 3 \ Í 3 y /3
W2 = ( 0 , l , 2 , l ) - ( - l , 0 , j , - | ) = ( | , 1 , ^ , | )
( - 1 - - )y ^ _W2. ^ ^ 3 ’ ’ 3 ’ 3^1 _ 3 _____ 5_____ 4_
I W21 2/H ̂ ’ \ ^ 1 ’ ^
142 Álgebra linear
Logo:
B'= {u i .U j} 
é uma base ortonormal de S-*-.
3.10 PROBLEMAS PROPOSTOS
1) Sqam u = ( x i , y i ) e v = (x2,y j ) . Mostrar que cada operaçSo a seguir define um produto 
interno no R * :
a) u . v = X1X2 + y i y 2
b) u . v = 2x 1X2 + 5yiy2
c) u . v = X1X2 +X iy2 +X2yi + 2y j y 2
2) Calcular o produto interno dos vetores u = ( l , l ) e v= ( -3 ,2 ) segundo cada produto 
do exercício anterior.
3) Sejam os vetores v, = ( x i , y i ) e V2= (X2 , y 2) de V = R^.
Verificar quais das funções f:V x V -♦R, definidas abaixo, são produtos internos 
em V:
a) f (v i , V2 >= 2 x ,X2 +3yiy2
b ) f (vi ,V2>= x,X2 - y i y 2
c) f (vi , V2>= \]\2 + y i y 2
d) f(Vi, V2)= 4x,X2
e) f (v i , V2>= X1X2 + y i y 2 + 1
f) f (v i ,V2) = 3 x ,X2 - X , y 2 - X2y i + 3 y i y 2
g) f(vi ,V2 )= 4x ,X2 +X,y2 +X2 yi +y , y 2
h ) f (v , ,V 2) = x,y2 + x j y i
Espaços vetoriais euclidianos 143
4) Sejam V = IR̂ e os vetores u = ( x i , y i , Z i ) e v = (x2, 72, 22).
Verifícar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o . (Para aquelas 
que não são produtos internos, citar os axiomas que não se verificam.)
a) u . v = X1X2 + 3y iy 2
b) u . v = 3x i X2 + 5y i y 2 + 2z,Z2
c) u . V = 2x^y^ + 3x^y^ + z\z^
d) u. v = X1X2 +y i72 - z , Z 2
e) u . v = x ,X2 +y i7 2 +z,Z2 - X 2yi - x , y 2
5) Consideremos o seguinte produto interno em P2 : p . q = a2b2 + aibj + aobo, sendo 
p = a2X* +ajX + ao e q = b2X2 +biX +bo- Dados os vetores pi = x ̂ - 2 x + 3, 
P2 = 3x -4 e Ps = 1 - x^, calcular:
a) pi . p2
b) Ipi l e Ipsl
c) I Pi + P2 I 
Pi
d)
IP2I
e) co-seno do ângulo entre p2 e ps
6) Se
»1 bi 2í 2 ^2
u = e v =
c, dl C2 CÍ2
são matrizes quaisquer de M(2 , 2), a seguinte fórmula define um produto interno nesse 
espaço:
u . v = aia2 +bib2 +C1C2 +dids
144 Álgebra linear
Dados os vetores
1 2 0 2
u =
-1 1
e v =
1 1
determinar:
a) I u + V I
b) o ângulo entre u e v.
7) No espaço V = P2 consideremos o produto interno f (t) 
f ( t ) . g ( t ) e | f ( t ) | para f ( t ) = t* - 2t e g(t) = t + 3.
f ( 0 g ( 0 d t . Calcular
8) Verificar a desigualdade de Cauchy quando se tem:
a) u = (2 , -1) e V = (-2, -4 ) e o produto interno do problema Ib.
b) u = -x^ + X -3 e V = 3x ̂ - x + 1 e o produto interno do problema 5.
9) Seja a função
f: X r 2- M(l, 1)
1 1 X2
1 2 V2
( ( X i , y 1), (X2 , X2 ))l------- ► [x, y 1 ]
Mostiar que f é um produto interno em R* e calcular:
a) A norma do vetor (1,3);
b) Um vetor unitário a partir de (1,3);
c) Um vetor ortogonal a (1, 3).
Espaços vetoriais euclidianos 145
10) Provar que se u e v são vetores de um espaço vetorial euclidiano, então:
a) u 1 V implica | u + v | ̂ = 1 u + 1 v
(Intepretar geometricamente esse fato no IR̂ e no IR .̂)
b) (u + v) 1 (u - v) implica | u | = | v |
11) Consideremos, no o produto interno usual. Para que valores de m os vetores u e v 
são ortogonais?
a) u = (3m, 2, -m)
b) u = (0, m - 1,4)
v= ( - 4 , 1 , 5 ) 
v= ( 5 , m - 1, -1)
12) Consideremos, no R^, o seguinte produto interno:
( x i , y i , Z i ) . ( x 2 , y 2 ,Z2 )= 2 xiX2 +y i y 2 +4ziZ2
Determinar, em relação a esse produto interno, um vetor unitário simultaneamente 
ortogonal aos vetores u = ( 1, - 1, 2) e v = (2 , 1, 0).
13) Seja V = R^ com o produto interno usual. Determinar um vetor uG R^ ortogonal
aos vetores Vi = (1, 1, 2), V2 = (5, 1, 3) e V3 = (2, -2, -3).
14) Determinar os vetores (a, b, c) para que o conjunto B = { ( 1, -3, 2), (2, 2, 2), (a, b, c)}
seja uma base ortogonal do R^ em relação ao produto interno usual. Construir a partir
de B uma base ortonormal.
15) Seja V = M(2, 2) munido do produto interno definido no problema 6. Determinar x de 
modo que
1 -2 3 2
e
5 X 1 -1
sejam ortogonais.
146 Álgebra linear
16) Seja Pi o espaço vetorial dos polinômios de grau < 1. Definimos o produto interno entre 
dois vetores p e q de Pi como segue:
p . q = 2ac + ad + bc + 2bd, sendo
a) Calcular o ângulo entre t - 1 e 3t.
p (t) = at + b 
q (t) = ct + d
b) Encontrar um vetor r (t) ortogonal ao vetor t - 1.
17) Sejam V = IR̂ munido do produto interno usual e A = { ( 1 , - 1 , - 2 ) } C V. Encontrar 
uma base ortogonal B de V tal que A C B.
18) Sendo V = munido do produto interno usual, determinar um vetor não-nulo vE 
que seja ortogonal a vi = (1, 1, 1,-1), V2 = (1, 2, 0, 1) e V3 = (-4, 1, 5, 2).
19) Consideremos o seguinte produto interno no R^ :
( x i , y i ) . ( x 2 , y 2 ) = X1X2 +2xiy2 +2x2yi +5yiy2
Mostrar que, relativamente a esse produto interno, o conjunto 
A = { (1, 0), (2, -1 )} é base ortonormal do R^.
20) O conjunto B = {(2, -1), (k, 1)} é uma base ortogonal do R^ em relação ao produto 
interno
( x i , y i ) . ( x 2 , y 2 ) = 2 x 1 X2 + x i y 2 + X 2 y i + y i y 2
Determinar o valor de k e obter, a partir de B, uma base ortonormal.
21) Consideremos as seguintes bases do R^ e do R^ : 
a ) B = {(3, 4), ( 1 ,2 ) }
Espaços vetoriais euclidianos 147
b ) B = { ( 1, 0, 0) , (0 , 1, 1) , ( 0, 1, 2) }
c) B = { ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 0 , - 1 ) , ( 0 , 3 , 4 ) }
Ortonormalizar essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno 
usual de cada espaço.
22) O conjunto B = { ^ ), (- )} é uma base ortonormal do com o
y j 2 y / 2 \ j 2 2
produto interno usual. Determinar o vetor coordenada de v = (2, 4) em relação à base B. 
Utilizar o processo apresentado em 3.6.4.
23) Em relação ao produto interno usual, determinar uma base ortonormal dos seguintes subes- 
paços vetoriais do :
a) S = { ( x , y , z ) e I R V y - 2 z = 0 }
b) S = { (x, y, z) S IR̂ /x + y + z = 0 }
24) Determinar, em relação ao produto interno usual, uma base ortonormal para o subespaço do 
R"' gerado pelos vetores vi = ( 1, 0, - 1, 1), V2 = (0, 1, 0, 1) e V3 = ( 1, 1, - 1, 2).
25) Seja S = { ( x , y , z , - 2 x + 4y + 5z)/x ,y ,z E R } subespaço de R"̂ com o produto 
interno usual.
Seja A = { ( 1 , 2 , - 1 , 1 ) , (2 , - 1 ,2 , 2)} CS.
a) Ortonormalizar o conjunto A.
b) Completar o conjunto A de modo a transformá-lo numa base ortogonal de S.
26) Seja V = R^ munido do produto interno usual e B = { (1,2 , -3), (2, -4, 2) } . Determinar:
a) O subespaço S gerado por B.
b) O subespaço S**-.
148 Álgebra linear
27) Seja V = munido do produto interno usual. Dados os subespaços:
Si = { (x, y, z) G R^/x - 2y + 3z = 0 } e
Sj= { t (2 , l , - l ) / t e R} 
determinar S / e S2'*'.
28) Consideremos o subespaço S = { (x, y, z)/x, y E R } C R^ com o produto interno: 
(x, y, z) . (x , y', z ) = 2xx + 3yy' + 4zz'
Determinar e uma base de S^.
3.10,1 Respostas de Problemas Propostos
2. a) -1 b) 4 c) 0 3. a), 0 , g)
4. a) Não é produto interno. Falha o axioma P4.
b) É produto interno.
c) Não é produto interno. Falham os axiomas P2 e P3.
d) Não é produto interno. Falha o axioma P4.
e) É produto interno.
5. a) -18
b ) V l4 e V r
c) V3
4
e ) cosO - - ’v/2
Espaços vetoriais euclidianos 149
6. a)
b) = arc COS -%=.
V32
29
12 15
a) 5
b ) ( | . | )
c) t ( - 7 , 4 )
11. b ) 3 o u - l
12 ( ^ - - ^ - 1 )I 9 . 9 . 5 I
13. u = a ( l , 7 , - 4 ) , a € R
14. t (-5, 1,4), t 9 t 0
. 4 - ) }V R ’ V R ’ V R V3 ’ V3 ’ V 4 2 ’ V52 ’ v/52
15. x = 4
16. a) 0 = arccos -j-
b) t + 1 (é uma das soluções).
17. { ( 1 , - 1 , - 2 ) , ( 1 , 1,0), (-1, 1, -1) } é uma delas.
18. Uma solução é (9 , -8 , 6, 7).
120. k = - -
{(— — í-\ (__L — )}
^ V 5 ’ x/5^’ ̂ V 5 ’ V5
150 Álgebra linear
21. .) ( - f . f ) )
22. V g = ( 3 v / I , V 5 )
23. a) { ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , - ; ^ , ; ^ ) }
^ ^ V 2 ’ ‘ v 5 ’ °^’ ‘̂ V 6 ’ ’ v/ 6 ’V6^^
24. Existem infinitas bases ortonormais.
Uma delas:
{ (— 0 - ------^ ) (- — ^ )}
’ V 3 ’ V 3 ^ ’ ̂ VT5’ V I 5 ’ V Í 5 ’VÍ5^^
9S a W í_ L A _L _ L w ^ _ 1____ 2 2 ,
■ ^ V 7 ’V7’ "v/7’V7^’^ V n ’“V n ’VÍ3’VÍ3^^
b) Uma delas:
{(1, 2, -1, 1), (2 , -1, 2, 2), (44, 4, 5 , - 4 7 ) }
26. a) S = { (x, y, z) e R^/x + y+ z = 0 } 
b) S-̂ = {(x, y, z)G R ^ x = y = z}
27. S\ = { (x , -2x , 3x)/xG R )
Sj = {(x, y, z )G R^/2x + y - z = 0 }
28. = { ( - 2 z ,0 ,z ) / z G R }
Uma base: { (-2, 0, 1) } .
CAPÍTULO
TRANSFORMAÇÕES
LINEARES
4.1 TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Neste capítulo estudaremos um tipo especial de função (ou aplicação), onde o domínio e 
0 contradomínio são espaços vetoriais reais. Assim, tanto a variável independente como a variável 
dependente são vetores, razão pela qual essas funções são chamadas vetoriais. Estamos particular­
mente interessados nas funções vetoriais lineares, que serão denominadas transformações lineares.
Para dizer que T é uma transformação do espaço vetorial V no espaço vetorial W, escre- 
ve-se T :V — ►W. Sendo T uma função, cada vetor vG V tem um só vetor imagem wG W, 
que será indicado por w = T (v).
Vamos exemplificar, considerando V = IR̂ e W = .
Uma transformação T : R ^ ----- > R^ associa vetores v = (x, y) G R^ com vetores
w = (x, y, z) G R^. Se a lei que define a transformação T for
T (x, y) = (3x, -2y, x - y)
0 diagrama da página seguinte apresenta três vetores particulares v e suas correspondentes 
imagens w.
Deve ficar bem claro que, para calcular, por exemplo, T (2, 1), tem-se: x - 2 e y - 1,
e daí:
T(2, l ) = ( 3 x 2 , - 2 x 1 , 2 - 1 ) = ( 6 , - 2 ,1 )
151
152 Álgebra linear
4.1.1 Definição
Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T: V — ► W é chamada transformação 
linear de V em W se:
1) T(u + v) = T(u) + T(v)
II) T(au) = aT(u)
para Vu, vG V e VaG IR.
Observação
Uma transformação linear de V em V (é o caso de V = W) é chamada operador 
linear sobre V.
Exemplos
1) T: IR^------► IR ,̂ T (x, y) = (3x, -2y, x - y) é linear.
De fato:
I) Sejam u = ( x i ,y i ) e v = (x2, y 2) vetores genéricos de IR̂ . 
Então:
T(u + v) = T (x, +X2, Vi + y 2>
Transformações lineares 153
T(u + v) = (3 (x , +X2), -2 (y j + y 2) ,(x , +X2> - (y i + y 2))
T (u + v) = (3xi + 3X2, -2yj - 2y2, x , + X2 - yi - y2>
T(u + v) = ( 3 x , , - 2 y , ,x , - y i ) + (3 x 2 ,-2y2 , X2 - y 2>
T(u + v) = T(u) + T(v)
II) Para todo a e IR e para qualquer u = ( x i , y i ) € R*, tem-se:
T (au) = T (a x i,a y O
T (au) = (3aX |, -2 a y i , ax j - a y , )
T (au) = a (3 x ,, -2y 1, X,» - y , )
T (au) = aT (u)
2) T .IR----- ^IR
X I----- *■ 3x ou T (x) = 3x é linear
De fato:
I) Sejam u = x , e v = X2 vetores quaisquer de IR (os vetores, nèsse caso, são 
números reais). Então:
T(u + v) = T (x , + X2)
T(u + v) = 3 (x , +X2)
T(u-t v) = 3x, + 3x2
T (u -tv ) = T(u) + T(v)
II) Para V a € IR, Vu = x , € IR, tem-se:
T (au) = T (a x ,)
154 Álgebra linear
T(au) = 3axi 
T (au) = o (3 x ,) 
T (au) = aT (u)
Observação
Essa transformação linear representa uma reta que passa pela origem (Figura 4.1.1a). 
£ fácil ver que, se uma transformação representar uma reta que não passa pela origem, ela 
não é linear. Por exemplo:
IR, T(x) = 3x+ 1T: IR —
não é linear.
De fato:
Se u = Xi e V = X2 são vetores quaisquer de IR, tem- 
T(u +v) = T (xi +X2)
T (u + v) = 3 (xi + X2) + 1 
T (u + v) = 3xi + 3x2 + 1 = (3xi + 1) + 3x2 
T(u + v )^ T (u ) + T(v) = (3xi + 1 ) + (3x2 + 1)
Seria bem mais fácil constatar que T noõ é//near, se soubéssemos que:
“Em toda transformação linear T :V ------ >W, a imagem do vetor 0 G V é o vetor
0 G W, isto é T(0) = 0.”
Essa propriedade decorre da condição (II) da definição, para a = 0:
T(0) = T (0 . v ) = 0 .T ( v ) = 0
Nos exemplos 1) e 2), de transfornjações lineares, tivemos:
T (0 ,0 ) = (0 ,0 ,0 ) e T(0) = 0
Transformações lineares 155
Nesse último exemplo, de transformação não-linear, verifica-se que: T(0)=^0, pois 
T (0)= 1.
Assim, também não é linear a transformação
T:IR^-------- ►1R ̂ T (x ,y ,z ) = ( 3 x + 2 ,2 y - z )
pois T (0 ,0 ,0 ) = (2 ,0 )= it(0 ,0 ).
Insistindo: se T: V------ ► W é linear, entãoT(0) = 0. No entanto, a recíproca dessa proprie­
dade não é verdadeira, pois existe transformação com T (0) = 0 e T não é linear. É o caso da 
transformação
T: M - T (x ,y ) = (x ^ 3 y )
De fato:
Se u = ( x i ,y i ) e v = (x2, y 2) são vetores quaisquer de R^, tem-se:
T(u + v) = T (xi +X2, yi + y 2) = ((xi + X 2 )^ 3 (y l + y 2)) = (x? + 2xiXj +x^,3y^ +3y2>
enquanto:
T(u) + T(v) = ( x |, 3 y ,) + (x i, 3y2) = (x? + x ^ 3 y i + 3y2>
isto é :
T ( u + v)=5*í: T ( u) + T (v)
3) A transformação identidade
I: V
V H
De fato:
V ou I (v) = V é linear
I) I (u + v) = u + V = I (u) + I (v) 
II) I(au) = 0£U = a l(u )
156 Álgebra linear
4) A transformação nula (ou zero)
W
T: V
V
W
0 ou T(v) = 0 é linear
De fato:
I) T(u + v) = 0 = 0 + 0 = T(u) + T(v)
II) T (au) = 0 = a x 0 = aTu
5) A simetria em relação à origem O (Figura 4.1.1b) no
T:R^
V h
R^
- V é linear
De fato:
I) T(u + v) = - (u + v ) = - u - v = T(u) + T(v) 
II) T (au) = -a u = a (-u ) = OíT(u)
Transformações lineares 157
6) A projeção ortogonal do IR̂ sobre o plano xy (Figura 4.1.1 c)
IR"T: IR^-------
(x , y , z) I-------
é linear (verificar!).
(x, y, 0) ou T (x, y, z) = (x, y, 0)
7) A projeção no eixo dos x
T: F" ---------- ► F", T(x, y, z) = (x, 0, 0)
é linear (verificar!).
8) Seja o espaço vetorial V = Pn dos polinômios de grau < n. A aplicação derivada 
D :P n------ ►Pn, l®va f ^ Pn em sua derivada f', isto é, D (f) = f', é linear.
De fato:
Pelas regras da derivação, sabe-se que:
D (f+ g ) = D (f) + D(g) 
e
D (a f) = a D (f)
158 Álgebra linear
9) Sejam os espaços vetoriais V = Pn e W = R. A transformação T: Pn------ ► F definida
por T (u) = J udt (a, b G F ), que a cada polinômio u G V associa sua integral
definida T (u) G F , é linear.
De fato:
Por meio de teoremas do Cálculo, sabe-se que:
T (u + v) = (u + v) dt = udt + vdt = T (u) + T (v)
T ( a u ) = y ^ (a u )d t = a J \ i X = a l { \ x )
10) Seja a matriz A =
1 2 
-2 3
0 4
Essa matriz determina a transformação:
Ta : F ^ ---------► F^
V I-------- ► Av ou Ta (v) = Av
que é linear.
De fato :
Ta (u + v) = A ( u + v ) = Au + Av = Ta (u) + Ta (v)
Ta (« u) = A (au) = a(Au) =aTA(u)
Transformações lineares 159
Efetuando Av, onde v = (x, z)G IR̂ é um vetor coluna de ordem 2 x 1 , resulta:
1
-2
0
X + 2y 
-2x + 3y 
4y
e, portanto, é definida por:
Ta (x, y) = ( x 2y, -2x + 3y, 4y)
Observações
a) Uma matriz A (m x n) sempre determina üma transformação linear
Ta : R " ---------" R""
onde a imagem Ta (v) = Av é o produto da matriz A pelo vetor vE R ” considerado como 
uma matriz de ordem n x 1. Uma transformação linear desse tipo chama-se multiplicação 
por A.
b) Em 4.4 veremos o inverso, isto é, que uma transformação linear T: R ” — ► R*” sempre 
pode ser representada por uma matriz m x n.
Para que possamos dar uma interpretação geométrica do significado de uma transformação
linear, consideremos uma transformação linear no plano. Seja o operador linear T : R ^ -------► R^
definido por:
T(x, y) = ( -3 x + y , 2x + 3y)
e consideremos os vetores u = (-1, 1) e v = (0, 1). Portanto, T(u) = (4, 1) e T(v) = (1, 3).
A Figura 4.1.1 d mostra que sendo u + v a diagonal do paralelogramo determinado por 
u e V, sua imagem T (u + v) representa a diagonal do paralelogramo determinado por T (u) 
e T(v), istoé, T(u +v) = T(u) + T(v).
Diz-se, nesse caso, que T preserva a adição de vetores.
160 Álgebra linear
A Figura 4.1.1e mostra que, ao multiplicarmos o vetor u por 2, sua imagem T(u) fica 
também multiplicada por 2. E esse fato vale para qualquer a real, isto é, T(av) = aT(v). 
Diz-se, nesse caso, que T preserva a multiplicação por um escalar.
Figura 4.1.le
4.1.2 Propriedade
Se T: V ------- ► W for uma transformação linear, então
T (a ,v , + a 2V2) = a ,T (v ,)> a 2T(v2)
para Vvj, V2 G V e Vai, 2̂ ^ IR-
Transformações lineares 161
De forma análoga, tem-se:
T(aiV, + 32 V2 + ... + a„v„) = a |T (v ,) + a2T(v2> + ... + a„T(Vn)
para Vvj E V e Vaj G R , i = l , 2 , isto é, a imagem de uma combinação linear de vetores 
é a mesma combinação linear das imagens desses vetores, com os mesmoscoeficientes.
Suponhamos que { Vj, V2, ... , Vĵ } seja uma base do domínio V e que se saiba quais são 
as imagens dos vetores desta base:
T(vi), T(v2), ..., T(v„)
Sempre é possível obter a imagem T (v) de qualquer v G V, pois v é combinação linear 
dos vetores da base, ou seja:
v = a i V i + a 2 V 2 + . . . + a^Vn
e, pela relação acima, vem:
T (v) = a, T (v i) + a2T(v2) + ... + a„T (v„)
Assim, uma transformação linear T: V W fica completamente definida desde
que se conheçam as imagens dos vetores de uma base de V.
Exemplo
R^ uma transformação linear e B = { v i ,V 2,V3 } uma base doSeja T: R ^ -
R^, sendo Vj = (0 ,1 ,0 ) , V 2 = (l,0 , 1) e V3 = (1 ,1 ,0 ) . Determinar T ( 5 ,3 ,-2 ) , sabendo 
que T (v 0 = ( l , - 2 ) , T(v2) = ( 3 , l ) e T(v2) = (0 ,2 ).
Solução
Expressemos v = (5, 3, -2) como combinação linear dos vetores da base:
(5, 3, -2) = ai(0, 1, 0) + a2(l, 0, 1) + a3(l, 1, 0)
162 Álgebra linear
o u :
a2 + 3̂ — 5 
2̂ “ “2
sistema cuja solução é :
ai = -4, a2 = -2 e aa = 7
Então:
(5, 3, -2)=-4vi - 2v2 + 7v3
logo:
T (5, 3, -2) = -4T ( V , ) - 2T(va) + 7T (vj)
T (5, 3, -2) = -4 (1 , -2) - 2 (3, 1) + 7 (0, 2)
T(5, 3, -2) = (-10, 20)
4.1.3 Problemas Resolvidos
Nos exercícios 1 a 4 sSo dadas transformações. Verificar quais delas são lineares. 
1) T: ------- » R ^ T(x, y) = ( x - y, 2x + y, 0)
Solução
I) Para quaisquer vetores u = ( x , , y i ) e v = (x a ,y 2) de R^, tem-se:
T(u + v) = T (x , + xa, yj + ya)
T(u + v) = ((x, + X a ) - (y , + ya), 2 (x , + X a ) + (y, + ya), 0)
Transformações lineares 163
T(u + v) = (x , + xj - Vi - y j, 2x, + 2xj + yi + X2, 0) 
T(u + v) = (xi - y i , 2 x i + y i ,0 ) + (x2 -y 2 ,2 x 2 + y 2 ,0 ) 
T (u + v) = T (u) + T (v)
II) T(au) = T ( a x , ,a y ,)
T (au) = (ax i - a y , , 2ax , + a y , , 0)
T (au) = a (x , - y , , 2x, + y , , 0)
T (au) = aT(u)
Logo, T é linear.
2) T: ► R M ( x , y ) = ( x + 2 , y + 3 )
Solução
Sabe-se que em toda transformação linear T: V--------deve-se ter T(0) = 0. Como
T (0, 0) = (2, 3) (0, 0), T não é uma transformação linear.
Essa aplicação T é um exemplo de translação no plano.
3) T: R, T(x, y) = I X I
Solução
Sejam u = ( x i ,y i ) e v = (x2, y 2) vetores quaisquer de 
T(u + v) = T (x ,+ X 2, y , + y 2) = | x , + X 2 I e 
T(u) + T(v) = | x , | + | x 2 l
Como, em geral, | x, + X21 # I x, | + | X21, conclui-se que T não é linear.
164 Álgebra linear
4) H: V V, H (v)= Xv, XG IR, X fixado.
Solução
Se u, vE V:
I) H(u + v) = X(u + v) = Xu + Xv = H(u) + H(v)
II) H(otu) = X(au) =a(X u) =aH (u)
Logo, H é um operador linear em V. Esse operador chama-se homotetia de V determinada 
pelo escalar X.
Os exemplos 2 , 3 e 5 do item 4.1.1 são casos particulares de homotetia em que X= 3, 
X=1 e X = - l , respectivamente.
5) Seja o espaço vetorial V = M(n, n) e B uma matriz fixa em V.
Seja a aplicação T : V -------► V definida por T (A) = AB + BA, com A E V.
Mostrar que T é linear.
Solução
I) Para quaisquer V:
T(A, + A2>=(Ai + A2)B + B(A, +A2)
T(Ai + A2) = A,B + A2B+BA, +BA2 
T(A, + A2)=(A,B+BAi) + (A2B+BA2)
T(A, +A2)=T(A,) + T(A2)
II) T(aA,) = (aA,)B + B(aAi) = oi(AiB) + a(BA,) 
T(ttAi)=a(A,'B + BA,)
T(aA,) = aT(A,)
Transformações lineares 165
6) S ejaT iV - W linear. Mostrar que:
a) T (- v) = - T ( v)
b) T (u -v ) = T (u )-T (v )
Solução
a) T(-v) = T (( - l)v ) = - lT (v )= .T (v )
b) T(u - v) = T(u + (-1) v) = T(u) + ( - l)T (v ) = T(u) - T(v)
7) Consideremos o operador linear T : IR̂ ' IR̂ definido por
T (x, y, z) = (x + 2y + 2z, X + 2y - z, -X + y + 4z).
a) Determinar o vetor u E IR̂ tal que T(u) = (-1, 8 ,-11).
b) Determinar o vetor v E IR̂ tal que T (v) = v.
Solução
a) Sendo T(u) = (-1, 8 ,-11 ), ou seja:
(x + 2y + 2z, x + 2 y - z , - x + y + 4z) = (~1, 8 ,-11 ),
vem:
X + 2y + 2z = - 1 
X + 2y - z = 8
-X + y + 4z = -11
sistema cuja solução é x = l , y = 2 e z = -3.
Logo: u = (1, 2, -3)
166 ÀIgebra linear
b) Seja V = (x, y, z). Então, T(v) = v ou T(x, y, z) = (x, y, z) ou, ainda: 
(x + 2y + 2z, X + 2y - z, -X + y + 4z) = (x, y, z)
donde:
X + 2y + 2z = X 
X + 2y - z = y 
- X + y + 4z = z
o u :
O sistema é indeterminado e sua solução é: x = 2z e y = -z. 
Assim, existem infinitos vetores v G tais que
T (v) = V e t o d o s d a f o r m a :
V = (2z, -z, z)
v = z ( 2 ,-1, 1), VzG R
8) Sabendo que T: R^ R^ é uma transformação linear e que
T ( l , - l ) = (3 ,2 ,-2 ) e T ( - l ,2 ) = ( l , - l , 3 ) ,
determina» T (x, y).
Solução
Observando, inicialmente, que { (1 ,-1 ) , ( -1 ,2 ) } é uma base de R^, apliquemos a 
propriedade 4.1.2 expressando o vetor (x, y)G R^ como combinação linear dos vetores 
dessa base:
(x, y) = a ( l , - l ) + b ( - l ,2 )
Transformações lineares 167
ou:
a - b = X 
-a + 2b = y
sistema do qual vem:
a = 2 x + y e ,b = x + y 
Portanto:
T (x ,y ) = a T ( l , - l ) + b T (- l ,2 )
T(x, y) = (2x + y) (3, 2, -2) + (x + y) (1, -1 , 3)
T (x, y) = (6x + 3y, 4x + 2y, -4x - 2y) + (x + y, -x - y, 3x + 3y) 
T (x, y) = (7x + 4y, 3x + y, -x + y)
9) Um operador linear T : IR̂ IR̂ é tal que:
T ( l ,0 ) = ( 3 , - 2 ) e T(0, l ) = ( l , 4 )
Determinar T (x, y).
Solução
Observemos que {(1 ,0), (0, 1) } é a base canônica de . 
Um vetor (x, y) S R^ é tal que:
(x ,y ) = x ( l ,0 ) + y(0, 1)
e, portanto:
T (x ,y ) = x T ( l ,0 ) + yT(0, 1)
T(x, y) = x(3 , - 2 ) + y ( l ,4 )
T (x, y) = (3x + y, -2x + 4y)
168 Álgebra linear
4.2 NÜCLEO DE UMA TRANSFORMAÇAO LINEAR
Definição
Chama-se núcleo de uma transformação linear T: V ------- ̂W ao conjunto de todos
os vetores v E V que são transformados em 0 E W. Indica-se esse conjunto por N(T) ou 
ker(T);
N (T )= { v e V /T (v )- 0 }
Observemos que N (T )C V e N (T )^ 0 , pois O e N(T), tendo em vista que
T(0) ^ 0.
Exemplos
1) O núcleo da transformação linear
T; ------ *■ , T (x, y) = (x + y, 2x - y)
é o conjunto:
N (T) = { (x, y) e R^ /T (x, y) = (0, 0 )}
O que implica;
(x + y, 2x - y) = (0, 0)
ou:
X + y = 0 
2x - y = 0
Transformações lineares 169
sistema cuja soluçío é:
X = 0 e y = 0
lo g o :
N ( T ) = { ( 0 ,0 ) }
2) Seja T: IR̂ ------ ► IR̂ a transformação linear dada por:
T (x, y, z) = (x - y + 4z, 3x + y + 8z)
Nesse caso, temos:
N (T )= { (x , y, z)G lR ^T(x, y, z) = (0 ,0 )} 
isto é, um vetor (x, y, z) E N(T) se, e somente se:
(x - y + 4z, 3x + y + 8) = (0, 0)
X - y + 4z = 0 
3x + y + 8z = 0
sistema homogêneo de solução x = -3z e y = z.
Logo:
N(T)= {(-3z, z, z)/zG ]R}
o u :
o u :
N(T)={z(-3, 1, l)/ze R}
ou, ainda:
N (T )= [(-3 , 1, 1)]
170 Álgebra linear
Observemos que esse conjunto representa uma reta no que passa pela origem e tal 
que todos os seus pontos tém por imagem a origem do R^ (Figura 4.2).
Figura 4.2
4.2.1 Propriedades do Núcleo
1) O núcleo de uma transformação linear T: V ------ ► W é um subespaço vetorial de V.
De fato:
Sejam Vi e vetores pertencentes ao N(T) e a um número real qualquer. Então, 
T (v i) = 0 e T (v2) = 0. Assim:
I) T(vi+V2)= T (vi) + T (v2) = 0 + 0 = 0
isto é:
V, + VJ & N(T)
II) T (a v i) = a T (v i)= a 0 = 0
isto é :
av, e N(T)
Transformações lineares 171
2) Uma transformação linear T: V ----é injetora se, e somente se, N(T) = { 0 } .
Lembremos que uma aplicação T: V -------é injetora se Vvj, V2 ^ V, T (vj) = T(v2)
implica Vj = V2 ou, de modo equivalente, se Vvi,V2 G V, Vi ^ V2 implica T (v i)^ T (v 2).
A demonstração dessa propriedade tem duas partes:
a) Vamos mostrar que se T é injetora, então N (T) = { 0 } .
De fato:
Seja vG N(T), isto é, T(v) = 0. Por oiitro lado, sabe-se que T(0) = 0. Logo, 
T (v) = T (0). Como T é injetora por hipótese, v = 0. Portanto, o vetor zero é o único elemento 
do núcleo, isto é, N (T) = { 0 } .
b) Vamos mostrar que se N (T) = { 0 } , então T é injetora.
De fato:
Sejam Vi ,V2 G V tais que T (vj) = T(v2). Então, T (v i) - T(v2) = 0 ou T ( v i - V2) = 0 
e, portanto, Vj - V2 ^ N(T). Mas, por hipótese, o único elemento do núcleo é o vetor 0, e,portanto, Vi - V2 = 0, isto é, Vi =V2 . Como T (v i) = T(v2) implica Vj =V2, T é injetora.
4.3 IMAGEM
Definição
Chama-se imagem de uma transformação linear T: V • W ao conjunto dos vetores
w G W que são imagens de pelo menos um vetor v G V. Indica-se esse conjunto por Im(T) 
ou T(V):
Im(T) = {w G W/T(v) = w para algum vG V }
Observemos que Im(T) C W e Im(T) 0, pois 0 = T (0) G Im(T). Se Im(T) = W, 
T diz-se sobrefetora, isto é, para todo wG W existe pelo menos um vG V tal que T(v) = w.
172 Álgebra linear
Exemplos
1) Seja T: IR̂ -
xy. A imagem de T é o próprio plano xy:
Im(T) = { ( X , y, 0) G IRVx,yG IR}
IR'̂ , T (x, y, z) = (x, y, 0) a projeção ortogonal do sobre o plano
Observemos que o núcleo de T é o eixo dos z: 
N (T)= { (0 ,0 ,z ) /z G IR} 
pois T (0, 0, z) = (0, 0, 0) para todo z G IR.
Transformações lineares 173
2) A imagem da transformação linear identidade I: V ----- ►V definida por I(v) = v,
VvG V, é todo espaço V. O núcleo, neste caso, é N(I) = { 0 } .
3) A imagem da transformação nula T: V ----- ►W definida por T(v) = 0, VvE V, é o
conjunto Im(T) = { 0 } . O núcleo, nesse caso, é todo o espaço V.
4.3.1 Propriedade da I magem
“A imagem de uma transformação T: V -----►W é um subespaço de W.”
De fato:
Sejam Wi e W2 vetores pertencentes a Im(T) e a um número real qualquer. Devemos 
mostrar que Wi + W2 ^ Ini(T) e «Wj G lm(T), isto é, devemos mostrar que existem vetores 
V e u pertencentes a V tais que T(v) = wi +W2 e T(u) = a wi .
Como Wi , w2 G Im(T), existem vetores Vj,V2 G V tais que T (v i)= Wj e T(v2) = W2. 
Fazendo v = Vj + V2 e u = ocwi, tem-se:
T(v)=T(Vi + V2) = T(Vi ) + T(V2> = Wi +W2
e:
T(u) = T (avi) = ocT(vi) = aw i
e, portanto, Im(T) é um subespaço vetorial de W.
4.3.2. Teorema da Dimensão
“Seja V um espaço de dimensão finita e T: V ----- ► W uma transformação linear. Então,
dim N(T) + dim Im(T) = dim V.”
Deixaremos de demonstrar o teorema e faremos algumas comprovações por meio dos exem­
plos e de problemas resolvidos logo a seguir.
No exemplo 1 de 4.3, o núcleo (eixo dos z) da projeção ortogonal T tem dimensão 1 e a 
imagem (plano xy) tem dimensão 2, enquanto o domínio tem dimensão 3.
174 Álgebra linear
No exemplo 2 da transformação identidade, temos d im N (T)= 0. Conseqüentemente, 
dim Im(T) = dim V pois Im(T) = V.
No exemplo 3 da transformação nula, temos dim Im(T) = 0. Portanto, dim N(T) = dim V. 
pois N(T) = V.
4.3.3 Problemas Resolvidos
10) Determinar o núcleo e a imagem do operador linear
T : IR^-------► IR ,̂ T (x, y, z) = (x + 2y - z, y + 2z, x + 3y + z)
Solução
a) N(T) = { (x, y, z) £ IR^T (x, y, z) = ( 0 ,0 ,0) }
De:
(x + 2y - z, y + 2z, X + 3y + z) = (0, 0, 0)
vem o sistema:
X + 2y - z = 0 
y + 2z = 0 
X + 3y + z = 0
cuja solução geral é (5z, -2z, z), z E IR.
Logo:
N (T)= { (5 z ,-2 z , z)/zE IR} = { z ( 5 , -2, l)/z E IR} = [(5 ,-2 , 1)]
b) Im(T) = { (a, b, c) E IR^/T(x, y, z) = (a, b, c) } , isto é, (a, b, c) E Im(T) se existe 
(x, y, z) E IR̂ tal que:
(x + 2y - z, y + 2z, X + 3y + z) = (a, b, c)
Transformações lineares 175
e o sistema:
X + 2y - z = a 
y + 2z = b 
X + 3y + z = c
somente terá solução se a + b - c = 0.
Logo:
Im(T)= { (a ,b , c)G IRVa + b - c = 0 }
Notemos que:
dim N(T) + dim Im(T) = 1 + 2 = 3, que é a dimensão do domínio IR .̂
Observação
ou:
O vetor imagem T(x, y, z) pode ser expresso da seguinte forma:
(x + 2y - z, y + 2z, X + 3y + z) = (x, 0, x) + (2y, y, 3y) + (-z, 2z, z)
(x + 2 y - z, y + 2z, x + 3y + z) = x ( l , 0, 1)+ y(2, 1, 3) + z ( - l , 2, 1)
Logo, qualquer vetor do conjunto imagem é combinação linear dos vetores (1 ,0 , 1), (2 ,1 , 3) 
e (-1, 2, 1) e, portanto:
Im (T )= [( l ,0 , 1),(2, 1 ,3), (-1 ,2 , 1)]
Observando que:
T (1 ,0 ,0 ) = (1 ,0 , 1),T(0, 1 ,0 )= (2, 1, 3) e T(0, 0, !) = ( - ! , 2, 1)
176 Álgebra linear
conclui-se que:
Im(T) = [T (l, 0, 0), T(0, 1, 0), T(0, 0, 1)]
isto é, a imagem dessa transformação é o subespaço gerado pelas imagens dos vetores da base 
canônica do domínio IR^.
Este fato vale de modo geral: T: V
gera a ImCT)” .
De fato:
•W é linear e { v i , . . . , v^} gera V, então
Seja wG Im(T). Então, T(v) = w para algum vG V. Como { v i , . . . , v„} gera V, 
existem escalares a i,...,a n tais que:
v = aiVi + ... + BnVn
e:
w = T(v) = T (a, Vi + ... + a„v„) = a iT (v i) + ... + a„T (v„)
Portanto:
Im (T )= [T (v ,), ...,T (v„)] (4.3.3)
11) Seja T: ------ >• IR̂ a transformação linear tal que T (e i) = ( l , 2), T(c2) = (0, 1) e
T(c3) = (-1, 3), sendo { e i , e 2, e 3 } a base canônica de R?
a) Determinar o N(T) e uma de suas bases. T é injetora?
b) Determinar a Im(T) e uma de suas bases. T é sobrejetora?
Solução
Lembremos que
(x, y, z) = xei + yej + ze3
Transformações lineares 177
implica:
e:
ou:
T (x, y, z) = xT ( e , ) + yT (e^ ) + zT (63)
T(x, y, z) = x ( l , 2) + y (0 , l) + z ( - l ,3 )
T (x, y, z) = (x - z, 2x + y + 3z) 
fórmula que define T.
a) N(T) = { (x, y, z) G IR̂ /(x - z, 2x + y + 3z) = (0, 0) }
O sistema:
X - z = 0 
2x + y + 3z = 0
admite a solução geral (z, - 5z, z), z G R.
Logo:
N (T )= { (z ,-5 z , z)/zG R }
A Única variável livre é z. Portanto, d im N (T )= l.
Fazendo z = l , obtém-se (1 ,-5 , 1) e { (1 ,-5 , 1)} é uma base do N(T). Ainda: T não 
é injetora, pois N(T) { (0, 0, 0)}.
b) Pela igualdade (4.3.3) vem:
Im(T) = [T (l, 0, 0), T (0, 1, 0), T(0, 0, 1)]
ou:
I m (T )= [( l ,2 ) ,(0 , ! ) , ( - ! , 3)]
178 Álgebra linear
Considerando o Teorema da Dimensão, vem: 
dim Im(T) = dim IR̂ - dim N(T) = 3 - 1 = 2.
Logo, Im (T)=R^ e qualquer base de JR? é base de Im(T). Uma delas é {(1, 2), (0, 1) }. 
Ainda: T é sobrejetora, pois Im(T) = IR̂ que é o contradomínio.
12) Verificar se o vetor (5, 3) pertence ao conjunto Im(T), sendo 
T: E" ------- ► E ^ T ( x ,y ) - ( x - 2 y ,2 x + 3 y )
Solução
Devemos verificar se existe (x, y) E E^ tal que:
T (x, y) = (x - 2y, 2x + 3y) = (5, 3) 
isto é, precisamos verificar se o sistema:
X - 2y = 5 
2x + 3y = 3
tem solução. Como a solução do sistema é x = 3 e y = 1, conclui-se que (5, 3) E Im(T).
13) Determinar uma transformação linear T : E ^ ------► E"*
tal que N(T) = { (x, y, z) E E ?/z = x - y }
Solução
O problema será resolvido com a utilização da propriedade 4.1.2. Fazendo, por exemplo, 
x = l , y = 0 e x = 0, y = l , o conjunto { (1 ,0 ,1 ) , (0 ,1 ,-1 )} é uma base do núcleo e, com o acrés­
cimo do vetor (0 ,0 , l),oconjunto { (1 ,0 ,1 ), (0 ,1 ,-1 ) , (0 ,0 ,1 )} forma uma base do E^ (verificar!). 
Como (1 ,0 ,1 ) e (0 ,1 ,-1 ) são vetores do núcleo, T (1 ,0 ,1) = (0, 0, 0, 0) e T(0, 1, -1) = (0 ,0 , 0, 0).
Transformações lineares 179
Façamos arbitrariamente, T(0, 0, 1) = (1, 0, -1, 0). Pela propriedade 4.1.2, a transformação está 
definida, e o núcleo é gerado por (1, 0, 1) e (0, 1, -1). Portanto, T tem a condição requerida. 
Pretendemos calcular T(x, y, z). Comecemos escrevendo (x, y, z) na base considerada de 
Tendo em vista que
(x, y, z) = x ( l ,0 , l) + y(0 , 1 ,-1 ) + (-x + y + z)(0, 0, 1)
vem:
T(x, y, z) = x T (l, 0, 1) + y(0, 1, -1) + (-x + y + z) T(0, 0, 1)
T(x, y, z) = x(0 , 0, 0, 0) + y(0, 0, 0, 0) + (-x + y + z ) ( l , 0, -1 ,0 )
T (x, y, z) = ( -X + y + z, 0, X - y - z, 0)
Esse problema admite infinitas soluçoes.
Do Teorema da Dimensão (4.3.2):
dim N(T) + dim Im(T) = dim V
seguem algumas conclusões importantes.
4.3.4. Corolários
Seja T: V ----- ► W uma transformação linear.
1) Se dim V = dimW, então T é injetora se, e somente se, é sobrejetora. 
De fato:
T é injetora =► N(T) = { 0 } (propriedade 2 de 4.2.1)
=> 0 + dim Im(T) = dim V (Teorenta da Dimensão)
=> dim Im(T) = dim W (hipótese)
=> Im(T) = W 
T é sobrejetora
180 Álgebra linear
Reciprocamente: 
T é sobrejetora Im(T) = W
dim Im(T) = dim W
dim Im(T) = dim V (hipótese)
dim N(T) = 0 (Teorema da Dimensão)
N(T) = { 0 }
T é injetora (propriedade 2 de 4.2.1)
Assim, numa transformação linear na qual dim V = dim W, se T é injetora (ou sobre­
jetora), então T é tambémbijetora (injetora e sobrejetora ao mesmo tempo).
2) Se dimV = dimW e T é injetora, então T transforma base em base, isto é, se 
B = { Vi,..., } é base de V, então T(B) = { T (v i), ..., T (Vj )̂} é base de W.
De fato :
Como dim V = dim W = n, basta mostrar que T(B) é LI. Para tanto, consideremos a 
igualdade:
a iT (v i) + ...+ a„T(v„) = 0 
OU, pela linearidade de T :
T (a ,v , + . . .+ a„Vn) = 0
Como T é injetora, vem:
a ,v , + ... + a„v„=0
Sendo B uma base, B é LI e, portanto:
a, = ... =a„ = 0
Logo, T(B) é uma base de W.
Transformações lineares 181
4.3.5 Isomorfismo
Chama-se isomorfismo do espaço vetorial V no espaço vetorial W a uma transformação
linear T :V ----- ► W, que é bijetora. Nesse caso, os espaços vetoriais V e W são ditos iso-
morfos. No Capítulo 2 fizemos referência a espaços vetoriais isomorfos e ressaltamos que todo 
espaço vetorial V de dimensão n é isomorfo a R ” . Assim, dois espaços vetoriais de dimensão 
finita são isomorfos se tiverem a mesma dimensão.
Veremos mais adiante que a todo isomorfismo T: V- 
inverso T'^ : W------V, que também é linear.
W corresponde um isomorfísmo
Exemplos
1) O operador linear
T :R 2 — ^R2, T (x ,y ) = (2x + y ,3 x + 2 y )
é um isomorfismo no R ^ . Como dim V = dim W = 2, basta mostrar que T é injetora 
(Corolário 1 de 4.3.4). De fato: N (T) = {(0 , 0 )} , o que implica T ser injetora.
2) A transformação linear
T :P2 ----- ^ R ^ T(at2 + bt + c) = (a, a + b, b - c)
é também um isomorfismo (verificar!).
3) O espaço vetorial R^ é isomorfo ao subespaço W= {(x , y , z ) E R^/z = 0 } do R^ (W 
representa o plano xy de R^).
De fato, a aplicação linear T :R ^ ----->*W, tal que T (x, y) = (x, y, 0), é bijetora: a
cada vetor (x, y) de corresponde um só vetor (x, y, 0) de W e, reciprocamente.
Logo, R^ e W são isomorfos.
4.4 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Sejam T: V — ►W uma transformação linear, A uma base de V e B uma base de W. 
Sem prejuízo da generalização, consideremos o caso em que dimV = 2 e dimW = 3.
182 Álgebra linear
Sejam A = { Vi, Vj } e B = { Wi, W2 , W3 } bases de V e W, respectivamente. 
Um vetor v G V pode ser expresso por:
V = X i V , + X 2 V 2 O U V ^ = ( X i , X 2 >
e a imagem T(v) por:
T(v) = y , W , + Y 2 W 2 + y 3 W3
ou:
(1)
T(v)g = (y , ,y 2 ,y 3 )
Por outro lado:
T(v) = T(x,V , +X2V2) = Xi T (v, ) + X2T(V2) (2)
Sendo T (v i) e T(v2) vetores de W, eles são combinações lineares dos vetores de B:
T ( v i ) = a i i W i + a2i W2 + 3 3 1 W3 ( 3)
T ( V 2 ) = a i 2 W i + 322 W2 + 332 W3 (4)
Substituindo esses vetores em (2), vem:
T(v) = Xi(aiiWi + 32i W2 + a 3iW3) + X2(ai2Wi + 322W2 + 332W3) 
ou:
T(v) = (anXi + a i2X2)w i + (a2iXi + a 22X2)w 2 + (a3iXi +a32X2>W3 
Comparando essa igualdade com (1), conclui-se:
yi =auXi +a i 2X2 
Y i ~ a2 i*Xi + 322X2 
Ya “ a3iXi + 332X2
Transformações lineares 183
OU, na forma matricial:
Y i ^11 a 12
Y2 = ^21 ^22
Y3 ^31 ^32
Xi
X2
OU, simbolicamente:
(T(v)l,= [Tlí [»U
sendo a matriz [T] _ denominada matriz de T em relação às bases A e B. B
Observações
1) A matriz [T] ^ é de ordem 3 x 2 quando dim V = 2 e dim W = 3.B
2) As colunas da matriz [T]^ são as componentes das imagens dos vetores da base A emB
relação à base B, conforme se pode ver em (3) e (4):
an ai2 
2̂1 2̂2 
3̂1 3̂2
t t
T(v i )b T(v2)g
De um modo geral, para T: V — ► W linear, se dim V = n e dim W = m, A = {vi,V2, v ^ } 
e B = { Wi, W2 , } são bases de V e W, respectivamente, teremos que [T] ^ é uma matriz
184 Álgebra linear
de ordem m x n, onde cada coluna é formada pelas componentes das imagens dos vetores de 
A em relação à base B:
[T]'^ = 
 ̂ ̂ B
a n a 12 • • • a in
a2i a22 • • • a2n
ami am2 amn
t t t
T(vi)b T(V2)b T(vn)B
3) Como se vé, a matriz [T] depende das bases A e B consideradas, isto é, a cada dupla 
de bases corresponde uma particular matriz. Assim, uma transformação linear poderá ter uma 
infmidade de matrizes para representá-la. No entanto, fixadas as bases, a matriz é única.
4.4.1 Problemas Resolvidos
14) Seja T: ----->■ R ^, T (x, y, z) = (2x - y + z, 3x + y - 2z), linear.
Consideremos as bases A = {vj ,V2 ,V3 } , com Vi =(1 ,1 ,1 ) , Vj =(0,1,1), 
V3 = (0,0,1) e B = { w , , W 2 }, sendo Wi = (2, 1) e W2=(5,3).
a) Determinar [T]_-
D
b) Se V = (3 ,-4 , 2) (coordenadas em relação à base canônica do IR^), calcular T (v)_
D
Utilizando a matriz encontrada.
Solução
a) A matriz é de ordem 2 x 3 :
aii 3i2 ai3
321 a 22 323
t t t
T(v. ) b T(V2)b T(vj)j
Transformações lineares 185
T (v ,) = T (1, 1, 1) = (2, 2) = a „ ( 2 ,1) + 32,(5,-3)-
2âii + 5s2i “ 2
an + 3a2i - 2 a2i — 2
aii = -4
T(V2> = T(0, 1, 1) = (0, - 1) = 3,2(2, 1) + 322(5, 3)
2ai2 + 5a22 - 0 aj2 ~ 5
2i2 3a22 — 1 H22 “ “2
T(v3) = T(0, 0, 1) = (1, -2) = ai3(2, 1) + a23(5, 3)
2ai3 + 5a23 - 1
aj3 + 3a23 — 2
ai3 = 13
a 23 — 5
Logo:
13
2 -2 -5
b) Sabe-se que:
[T(v) ] b =[T ]^ [v]^
Como V está expresso com componentes na base canônica, isto é, 
v = (3 ,-4 ,2 ) = 3 ( l , 0 , 0 ) - 4 ( 0 , l , 0 ) + 2 ( 0 ,0 , 1), 
teremos que, primeiramente, expressá-lo na base A. Seja = (a, b, c), isto é: 
(3, -4 , 2) = a ( l , 1, 1) + b ( 0 , 1, 1) + c ( 0 , 0, 1)
186 Álgebra linear
ou:
a =3
a +b = - 4 
a +b +c = 2
sistema cuja solução é a = 3, b = -7 e c = 6 , ou seja, = (3, -7, 6). 
Portanto:
-4 5 13 3
[T(v) ] b = -7
2 -2 -5 6
[T(v)]„ =
31
-10
O vetor coordenada de T (v) na base canônica é:
T(v) = 31(2, 1 ) - 10(5 ,3)
T(v) = ( 1 2 , l )
Naturalmente T(v) = ( 1 2 , 1) também seria obtido por meio da lei que define a trans­
formação T, considerando v = (3 ,-4 ,2 ) , como se pode ver nos problemas 15 e 16.
15) Consideremos a mesma transformação linear do exercício anterior. Sejam as bases 
A = { ( 1 , 1 , 1 ) , ( 0 , 1 , 1 ) , ( 0 , 0 , 1)} e (amesma) e B = {(1 ,0), (0 ,1 )} canônica.
a) Determinar [T] .
b) Se V = (3 , -4 , 2), calcular T(v)g utilizando a matriz encontrada.
Transformações lineares 187
Solução
a) T ( l , 1, 1) = (2,2) = 2 ( 1 , 0 ) + 2 ( 0 , 1 ) 
T ( 0 , 1 , 1 ) = (0 , -1) = 0 ( 1 , 0 ) - 1 ( 0 , 1) 
T ( 0 , 0 , l ) = ( l , - 2 ) = l ( l , 0 ) - 2 ( 0 , 1)
Então;
K -
2 0 1 
2 -1 -2
b) Como V , = (3, -7 ,6) , temos;
[t (v)1b =
2 0 1 
2 -1 -2
3
-7
6
e;
[T(v)]„ =
12
1
16) Seja ainda a mesma transformação linear do exercício anterior. Sejam as bases canômcas 
do R3 e R^•
A = { ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1)} e B= { ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1)}
a) Determinar [T] .B
b) Se V = (3 , - 4 ,2 ) , calcular T(v)^ utilizando a matriz encontrada.
188 Álgebra linear
Solução
a ) T ( l , 0 , 0 ) = (2,3) = 2 ( 1 , 0 ) + 3 (0 ,1 ) 
T ( 0 , 1,0) = ( -1 ,1) = - 1 ( 1 , 0 ) + 1 ( 0 , 1 ) 
T ( 0 , 0 , l ) = ( l , - 2 ) = 1 ( 1 , 0 ) - 2 ( 0 , 1 )
Então:
K -
2 -1 1 
3 1 -2
e:
b) Como V = (3, -4 , 2), pois A é base canônica, temos;
[T(v)],
-1 1 
1 -2
[ T (v ) ] .=
12
1
3
-4
2
Obser\/ações
1) No caso de serem A e B bases canônicas, representa-se a matriz simplesmente por 
[T] , que é chamada matriz canônica de T. Então, tem-se:
[T(v)] = [T] [v]
A matriz do problema 16 é a matriz canônica de T.
Transformações lineares 189
2) Observemos, pelo problema 16, que calcular T (v) pela matriz [T] é o mesmo que 
fazé-lo pela fórmula que define a T :
T (3, -4, 2) = (2 (3) - 1 (-4) + 1 (2), 3 (3) + 1 (-4) - 2 (2)) = (12,1)
3) Ficou claro que, dada uma transformação linear T, a cada dupla de bases A e B cor­
responde uma matriz [T]" .̂ Reciprocamente, dadas a matriz e uma dupla de bases A e B,
B
podemos encontrar a lei que define T, o que será feito no problema 17.
Em se tratando da matriz canônica, essa poderá ser escrita diretamente, como mostram 
os exemplos:
1) T :F '! -----^1R3,
3 -2
[T] = 4 1
1 0
t t
T(1 ,0 ) T ( 0 , 1)
2) T: ---- »• , T (x, y) = (x, -y)
[T]
1 0 
0 -1
3)T:R^ ---- >-F, T ( x , y , z ) = 4 x - y
[T] = [4 -1 0]
Por outro lado, quando é dada uma matriz de uma transformação linear T sem que haja 
referência às bases, essa deveser entendida como a matriz canônica da T. Por exemplo, a 
matriz:
2 3 4
1 -2 0
190 Álgebra linear
defíne a transformação linear
T:R^ — T( x, y, z ) = (2x + 3y + 4 z , x - 2 y ) .
4) Já vimos que se V é um espaço vetorial, um operador linear sobre V é uma transformação
linear T: V ---- ►V (é o caso particular de V = W). Nesse caso, para a representação matricial é
comum fazer A = B, e a matriz resultante é denominada matriz de 1 em relação à base A e 
indicada por [T ]^ ou [T]^.
Por exemplo, seja T: R ^ ---- ► R^ o operador linear definido por T (x, y) = (2x - y , x + y).
Determinemos a matriz de T em relação à base A = { (1, -2), ( - 1 ,3 ) } .
vem:
Calculando as componentes das imagens dos vetores da base A em relação à própria base,
T ( l , - 2 ) = ( 4 , - l ) = l l ( l , . 2 ) + 7 ( - l , 3 )
T ( - l , 3 ) = ( - 5 , 2 ) = - 1 3 ( l , - 2 ) . 8 ( - l , 3 )
(Exercício a cargo do leitor.)
Logo, a matriz de T relativa à base A é:
[t 1 a =
11 -13
7 -8
Pelo significado da matriz, podemos escrever: 
[ T ( v ) ] A = t T ] A M A
Observemos que a matriz canônica desse operador linear é:
T =
2 -1
1 1
No Capítulo 5 veremos que essas matrizes que representam o mesmo operador linear, porém 
em bases distintas, são chamadas matrizes semelhantes e terão especial importância.
Transformações lineares 191
17) Dadas as bases A = { (1, 1 ) , (1 ,0 ) } do IR" e B = { ( 1 , 2 , 0 ) , (1 ,0 , - 1 ) , ( 1 , - 1 , 3 ) } do 
determinar a transformação linear T:R^------ >̂ R̂ cuja matriz é:
[T]^ =
2 0
1 -2
-1 3
Solução
Sabe-se que o significado de cada coluna dessa matriz é:
2 0
[T (1 .1 )]b = 1 e [T (l,0 )]g = -2
-1 3
logo:
T ( l , l ) = 2 ( 1 , 2 , 0 ) + 1 ( 1 , 0 , - 1 ) - 1 ( 1 , - 1 , 3 ) = ( 2 , 5 , - 4 )
T(1 ,0 ) = 0 ( 1 , 2 , 0 ) - 2 ( 1 , 0 , - 1 ) + 3 ( 1 , - 1 , 3 ) = (1 , -3 ,1 1 )
Assim, obtivemos as imagens dos vetores da base A do IR .̂
Pela propriedade 4.1.2 esse fato é suficiente para a determinação da transformação T. Como 
buscamos T (x, y), precisamos primeiramente escrever (x, y) em relação à base A:
(x,y) = y(i, i) + ( x - y ) (1,0)
e, pela propriedade acima referida, segue:
T (x , y ) = y T ( l , l ) + ( x - y ) T ( l , 0 )
T ( x ,y ) = y(2, 5 , - 4 ) + (x - y) (1 , -3 , 11)
T (x, y) = (x + y, -3x + 8y, 1 Ix - 15y)
192 Álgebra linear
Observação
A matriz canônica T é:
[T] =
1 1 
8 -3 
-15 11
4 5 OPERAÇOES c o m TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
4.5.1 Adição
Sqam T i : V — e l 2 :V — >̂ W transformações lineares. Chania-se sorm das trans­
formações lineares Ti e T2 à transformação linear
T, + T2 : V W
(T, + T 2) ( v) = T ,( v) + T2(v), Vv G V
Se A e B são bases de V e W, respectivamente, demonstra-se que:
[ T , + T 2] g = [ T i ] ^ + [T2]g
4.5.2 Multiplicaçâfo por Escalar
Sqam T:V — uma transformação linear e a E R. Chama-se produto de T pelo 
escalar a à transformação linear
aT: V W
(aT)(v) = aT (v), VvE V
Se A e B são bases de V e W, respectivamente, demonstra-se que:
[ a T ] ^ = a [ T ] ^
Transformações lineares 193
4.5.3 Composição
Sejam T i i V -----W e T2 :W — ►U transformações lineares. Chama-se aplicação
composta de Ti com T2, e se representa por T2 0 T1, à transformação linear:
T2 o T i : V -----> U
(T2 0 T i ) ( v) = T2(Ti (v)), Vv G V
'T̂ oT,
Se A, B e C sao bases de V,W e U, respectivamente, demonstra-se que:
[T2 0 T , ] ç =[T,]® X [T.]g
4.5.4 Problemas Resolvidos.
18) Sqam Ti:IR^ ---- e T2; R ^ --------------- >-R̂ transformações lineares definidas por
Ti (x ,y ) = (x + 2y, 2 x - y , x ) e T2( x ,y ) = ( - x , y , x + y ) . Determinar:
a) T, + T2
b ) 3T, - 2T2
c) a matriz canônica de 3Ti - 2X2 e mostrar que:
[31, - 2X2] =3 [X,] - 2 [X2]
194 Álgebra linear
Solução
a) (Ti + T^Kx, y) = T, (x, y) + T j(x, y)
(T, + T j X x , y) = ( x + 2y, 2x - y, x) + (-x , y, x + y)
(T, + T 2) (x ,y) = ( 2 y , 2 x , 2 x + y )
b) (3Ti - 2T2KX, y) = (3T, )(x , y) - (2T2)(x, y)
(3Ti - 2T i)(x , y) = (3T i(x, y) - 2T2(x, y)
(3Ti - 2T2KX, y) = 3 (x + 2y, 2x - y, x) - 2 (-x , y, x + y) 
(3Ti - 2T j)(x, y) = (5x + 6y, 6x - 5y, x - 2y)
c) 5 6 1 2 -1 0
[3T, - 2X2] = 6 -5 = 3 2 -1 -2 0 1
1 -2 1 0 1 1
= 3 [ T , ] - 2 [ T 2 ]
19) Sejam S e T operadores lineares no definidos por S (x, y) = (2x, y) e T(x, y) = (x,x 
Determinar:
a) S o T
b ) T o S
c) S o S
d) T o T
Solução
a) ( S 0 T)(x ,y) = S(T(x ,y) ) = S ( x , x - y ) = ( 2 x , x - y )
Transformações lineares 195
Observemos que:
[S oT]
2 0 2 0 1 0
1 -1 0 1 1 -1
= [S] [T]
b) (T o S) (x, y) = T ( ^ x , y)) = T (2x, y) = (2x, 2x - y)
Observemos que:
SoT=?í=ToS
e esse fato geralmente ocorre.
c) (S o S) (x, y) = S (S (x, y)) = S (2x, y) = (4x, y)
d) (T o T) (x, y) = T (T (x, y)) = T (x, x - y) = (x, y)
As transformações S o S e T o T são também representadas por e .
4.6 TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS
Entende-se por transformações lineares planas as .transformações de IR̂ em IR .̂ Veremos 
algumas de especial importância e suas correspondentes interpretações geométricas.
4.6.1 Reflexões
a) Reflexão em torno do eixo dos x
Essa transformação linear leva cada ponto (x, y) para sua imagem (x, -y), simétrica em 
relação ao eixo dos x.
Demonstra-se que as reflexões são transformações lineares.
196 Álgebra linear
y
f (X,y) 
1
iT
1
1
0 1
1
^ (X , -y>
1
( - X , y) T (x, y)
0 X
Esta particular transformação é
T:R2 ---- ► IR̂
(x, y) I— »• (x, -y) ou
T (x, y) = (x, -y)
sendo
1 0 
0 -1
sua matriz canônica, isto é:
X 1 0 X
-y 0 - 1 y
b) Reflexão em torno do eixo dos y
T;R^
(x, y)
IR̂
(-X, y)
ou:
-X -1 0 X
y 0 1 y
c) Reflexão na origem 
T:R^ — >■
(x,y) '— >-(-x,-y)
Transformações lineares 197
ou:
-X -1 0 X
-y 0 -1 y
d) Reflexão em torno da reta y = x
ou:
T; IR^---- >• IR*
(x, y) I----»■ (y, x)
X y 0 1 X
1— ► =
y X 1 0 y
e) Reflexão em tom o da reta y = -x
T: IR*-----»• IR*
(x ,y) I— >• ( - y , - x )
ou:
0 
-1
► X
198 Álgebra linear
4.6.2 Dilatações e Contrações
a) Düatação ou contração na direção do vetor 
T:R2 -----►
(x,y) ‘— ►a(x,y), a E R
ou:
ax
ay
a
0
Observemos que:
se | a | > 1, T dilata o vetor;
se | a | < 1, T contrai o vetor;
se a = 1, T é a identidade I;
se a < 0, T troca o sentido do vetor.
A transformação T :R ^ -----►R^, T (x, y) = ^ (x, y) é um exemplo de contração.
b) Dilatação ou contração na direção do eixo dos x
ou:
T:R2
(x,y)
R"
(ax,y) , a > 0
ax a 0
0 1
Observemos que:
se a > 1, T dilata o vetor; 
se 0 < a < 1, T contrai o vetor.
Transformações lineares 199
Essa transformação é também chamada dilatação ou contração na direção Ox (ou hori­
zontal) de um fator a .
A figura da página anterior sugere uma dilatação de fator a = 2 e uma contração de 
fator a = 1/2.
c) Dilatação ou contração na direção do eixo dos y
T:IR"
(x,y)
IR''
(x ,ay) , a > 0 (Ver figura acima.)
Observação
Se, nesse caso, fizéssemos a = 0, teríamos:
(x ,y) i ------- ̂ (x,0)
e T seria a projeção ortogonal do plano sobre o eixo dos x, conforme a figura.
Para a = 0, no caso b), T seria a projeção ortogonal do plano sobre o eixo dos y.
200 Álgebra linear
4.6.3 Cisalhamentos
a) Cisalhamento na direção do eixo dos x
T; — *• R^
(x ,y ) '— >• (x + a y ,y )
ou:
X + ay
y
1 a
0 1
O efeito do cisalhamento é transformar o retângulo OAPB no paralelogramo 0AP'B', de 
mesma base e mesma altura. Observemos que, por esse cisalhamento, cada ponto (x, y) se desloca 
paralelamente ao eixo dos x até chegar em (x + ay , y), com exceção dos pontos do próprio eixo 
dos X, que permanecem em sua posição, pois para eles y = 0. Com isso está explicado por que 
o retângulo e o paralelogramo da figura tém a mesma base OA.
Esse cisalhamento é também chamado cisalhamento horizontal de fator a. 
b) Cisalhamento na direção do eixo dos y 
T:WC — ► 1R2
(x ,y) I— » ( x , y + ax)
A matriz canônica desse cisalhamento é:
1 0
a 1
Transformações lineares 201
Por exemplo, a matriz
1 0
2 1
representa um cisalhamento vertical de fator2.
4.6.4 Rotação
A rotação do plano em torno da origem (Figura 4.6.4a), que faz cada ponto descrever um 
ângulo 6, determina uma transformação linear cuja matriz canônica é:
[T0] =
COS 6 - s e n 6
se n 6 COS 6
As imagens dos vetores ei = (1,0) e e2 = (0, 1) (Figura 4.6.4b) são: 
T(ei) = (cos 0, sen 6)
T(c2)= (-sen 6, cosd)
202, Álgebra linear
isto é:
T (c i ) = (cos 6 ) Cl + (sen d) C2
T(c2) = (-sen 6 ) t i + (cos d ) c2
Por conseguinte, a matriz da transformação é:
IT ^ I -
cos 6 -sen 6
sen 6 cos 6
Essa matriz chama-se matriz de rotação de um ângulo 6, O < 0 < 2 7 r , e é a matriz 
canônica da transformação linear ---- ► IR ,̂ T^(x,y) = (xcos6 - ysen 6, xsenS + ycos0).
Se, por exemplo, desejarmos a imagem do vetor v = (4, 2) pela rotação de 0 = tt/2, basta
fazer:
[T(4,2)1 =
co stt / 2 - s e n 7 r / 2
s e n 7 r / 2 c o s 7t/ 2
0 -1 4 -2
[T(4,2)] = ou [T(4,2)] =
1 0 2 4
Transformações lineares 203
4.6.5 Problemas Resolvidos
20) Os pontos A (2, -1), B (6, 1) e C (x,y) são vértices de um triângulo eqüilátero. Determinar 
o vértice C, utilizando a matriz de rotação.
Solução
Pela figura vemos que se pode considerar o vetor AC como imagem do vetor AB pela 
rotação de 60° em torno de A (o triângulo sendo eqüilátero implica AB e AC terem compri­
mentos iguais):
[AC] = [T^qo] [AB]
Mas:
à C = C - A = ( x - 2 , y + l )
ÃB = B - A = (4 ,2)
COS 60° -sen 60°
[Téoo] =
sen 60° cos 60°
204 Álgebra linear
logo:
X - 2
y + 1
1/2 - V 3 / 2
y/3j2 1/2
ou:
X - 2 2 — ->/3
y + 1 2V3 + 1
Pela condição de igualdade de matrizes, resulta: 
X - 2 = 2 - V 3
OU
y + 1 = 2 ^ 3 + 1
X = 4 - y / 3 
y = 2>/3
logo:
C ( 4 - V 3 , 2 y / 3 )
O problema tem outra solução que seria obtida fazendo d = -60° (a cargo do leitor).
21) Determinar a matriz da transformação linear de em R^ que representa um cisalha- 
mento por um fator 2 na direção horizorital seguida de uma reflexão em torno do eixo 
dos y.
Solução
O cisalhamento transforma o vetor (x ,y) no vetor (x' ,y') dado por
( 1)
' x ' ‘ 1 2 X
t
y 0 1 y
Transformações lineares 205
A reflexão transforma O vetor (x ',y ') no vetor (x '',y '') dado por
’ x" ' -1 0 ;X
n
y 0 1 /
_ y
(2)
Substituindo (1) em (2), temos:
x" -1 0 1 2 X
_y"_ 0 1 0 1 ■y
ou:
nX -1 -2 X
_y"_ 0 1 y
Portanto, a matriz
-1 -2
0 1
representa a transformação composta do cisalhamento com a reflexão.
Observemos que, de acordo com o que estudamos sobre transformação composta, a matriz 
resultante é obtida pelo produto das matrizes que representam as transformações, porém tomadas 
em ordem inversa. Esse fato continua válido no caso de termos mais de duas transformações.
22) O plano sofre uma rotação de um ângulo 0, A seguir experimenta uma dilatação de» fator 4 
na direção Ox e, posteriormente, uma reflexão em torno da reta y = x. Qual a matriz que 
representa a única transformação linear e que tem o mesmo efeito do conjunto das trés 
transformações citadas?
206 Álgebra linear
Solução
Sabe-se que a matriz da rotação é:
Al =
COS 6 -sen d
sen 6 COS 6
a da dilatação é:
A2 —
e a da reflexão é :
A3 =
0 1
1 0
Portanto, a matriz que representa a composta das transformações dadas é:
A3A2A 1 —
0 1 4 0 COS 6 -sen 6 sen $ COS 6
1 0 0 1 sen d COS 6 4cos d -4sen d
4.7 TRANSFORMAÇÕES LINEARES NO ESPAÇO
Entende-se por transformações lineares no espaço as transformações de em R ^. Dentre 
as diversas transformações lineares em R ^ , examinaremos as reflexões e as rotações.
Transformações lineares 207
4.7.1 Reflexões
a) Reflexões em relação aos planos coordenados
A reflexão em relação ao plaflo xOy é a transformação linear que leva cada ponto (x, y, z) 
na sua imagem (x, y, -z), simétrica em relação ao plano xOy. Assim, essa transformação é 
definida por:
T (x, y, z) = (x, y, -z) 
e sua matriz canônica é :
1 0 0
0 1 0
0 0 -1
As reflexões em relação aos planos xOz e yOz tém matrizes canônicas:
1 0 0 -1 0 0
0 -1 0 e 0 1 0
0 0 1 0 0 1
respectivamente.
b) Reflexões em relação aos eixos coordenados
A reflexão em torno do eixo dos x é o operador linear 
T: -----► IR ,̂ T (x, y , z) = (x, - y , -z ), cuja matriz canônica é :
1 0 0
0 -1 0
0 0 -1
208 Álgebra linear
De forma análoga, T (x, y, z) = (-x , y, -z) e T (x, y, z) = (-x, -y, z) definem as reflexões 
em relação aos eixos Oy e Oz, respectivamente.
c) Reflexão na origem
T:1r 3 ------ ̂ ]r 3
(x ,y ,z ) (-X ,-y , -z )
4 .7 2 Rotações
Dentre as rotações do espaço ressaltamos a rotação do espaço em torno do eixo dos z 
(Figura 4.7.2), que faz cada ponto descrever um ângulo 6. Esse operador linear T: — ► R ̂ é
definido por
T (x, y , z) = (xcos 6 - ysen 6 , xsen 6 + ycos 0, z).
Transformações lineares 209
e sua matriz canônica é:
[T] =
COS B -sen B 0
sen B COS B 0
0 0 1
Para “conferir” se T representa a rotação de um ângulo B em torno do eixo dos z, 
observemos o seguinte:
a) T gira d e ^ , em torno da origem 0 , os pontos do plano z = 0 (plano xOy), pois: 
T (x, y , 0) = (xcos B - ysen B, xsen B + ycos B, 0)
e:
b) T não altera os pontos do eixo dos z, pois: 
T(0,0 , z) = (0 ,0 ,z )
210 À Igebra linear
Observação
0 ângulo 6 corresponde ao ângulo central cujos lados interceptam, na circunferência de 
centro em 0 \ um arco de medida 6. Esse ângulo 6 não é o ângulo a formado pelos vetores 
V e T(v).
4.7.3 Problema Resolvido
Calcular o ângulo a formado pelos vetores v e T(v) quando o espaço gira em torno do 
eixo dos z de um ângulo 6, nos seguintes casos:
1 ) 0 = 180° e v = ( 3 ,0 ,3 )
2 ) 6 = 90° e v =
2 s / 2 4 2
Solução
1)
[T] =
COS 180° -sen 180° 0
sen 180° cos 180° 0
0 0 1
~-l 0 0 3 -3
[T(v) ]= 0 - 1 0 0 = 0
0 0 1 3 3
v.T(v) _ (3,0,3).(-3,0,3) _ - 9 + 0 + 9 _ ^ 
I V I I T (v) I V 9 + 9 V 9 + 9 18
a = 90°
Transformações lineares 211
2)
COS 90° -sen 90° 0
[T] = sen 90° COS 90° 0
0 0 1
0 -1 0 ~ V3
2 s / 2
~ v / 2
4
[T(v)] = 1 0 0 V 2
4 =
V 3
2s / 2
0 0 1 ^/2
2
v/2
2
COS a = - V. T(v) ( v i
2s/2
V 2
’ 4 ’ # > ■ -^^4 ’ 2
v | | T ( v )
2 ̂ _
/ i + 1 + 1
8 8 2 n/ 8 8 2
' 8 8 2 __j_
1 x 1 2
a = 60°
4.8 PROBLEMAS PROPOSTOS
1) Consideremos a transformação linear T: definida por T(x,y) = (3x - 2y, x + 4y).
Utilizar os vetores u = (1, 2) e v = (3, -1) para mostrar que T(3u + 4v) = 3T(u) + 4T (v).
2) Dada a transformação linear T:V 
função de u e v:
a) T (u + v)
b ) T(3v)
c) T (4u - 5v)
 ̂W, tal que T (u) = 3u e T (v) = u - v, calcular em
212 Álgebra linear
3) Dentre as transformações T :R ^ -----► definidas pelas seguintes leis, verificar quais são
lineares:
a) T (x, y) = (x - 3y, 2x + 5y)
b ) T(x ,y ) = (y,x)
c ) T(x ,y ) = (x^y^ )
d ) T(x ,y ) = ( x + l , y )
e) T(x ,y ) = ( y - x , 0 )
0 T (x , y ) = ( | x | , 2 y )
g) T (x, y) = (senx, y)
h ) T(x ,y ) = ( x y , x - y )
i) T (x , y) = (3y ,-2x )
4) Seja V = . Fazer um gráfico de um vetor gene'rico v = (x, y) do domínio e de sua
imagem T (v) sob a transformação linear T : ----->• R^ dada por:
a) T (x, y) = (2x, 0)
b ) T (x , y ) = (2x,y)
c ) T (x , y ) = (-2x ,2y )
d) T (x, y) = (3x, -2y)
e) T( x ,y) = -2 ( x ,y )
f) T (x ,y ) = (x ,-y )
5) Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
a) T: R " --------- ̂ IR®; T (x, y) = (x - y, 3x, -2y)
b ) T :R ^ ------ *■ R ^ T ( x , y , z ) = (x + y , x - y , 0 )
c) T: R ^ --------->■ R ^ , T(x, y) = (x ̂ + y^, x)
Transformações lineares 213
d ) T:lR
e) T:
0 T:R^
g ) T:R^-
h) T; R^ ■
i) T:R^
j) T:R^
k ) T : M ( 2 ,2 )
1) T:M(2,2)
m) T: R3
R ^ T ( x ) = ( x , 2 )
R, T (x, y, z) = -3x + 2y - z 
R ^ T ( x , y ) = ( | x | , y )
R , T ( x , y ) = x 
R, T ( x , y ) = x y
R"*, T ( x , y ) = ( y , x , y , x )
2y 3x
M(2,2) , T(x , y ) =
R ^ T
-y X + 2y
(x, y, z) •
R , T
R^
2 1 3
-1 0 -2
a b
j = (a - c, b + c)
c d /
a b
= det
a b
c d c d
6) Seja a aplicação T; R^ — >■ R^
( x , y ) — >• (x + ky ,x + k ,y)
Verificar em que caso(s) T é linear:
a) k = X
b) k = 1
c) k = 0
214 Álgebralinear
7) a) Determinar a transformação linear T :R ^ -----► tal que T ( - l , 1) = (3, 2 ,1) e
T (0 ,1 ) = (1 ,1 ,0) .
b) Encontrar v G R^ tal que T (v) = ( -2 ,1 , -3).
8) a) Determinar a transformação linear T: R^ — > R^ tal que T (1, -1 ,0 ) = (1,1)
T ( 0 , l , l ) = (2 ,2) e T ( 0 , 0 , l ) = (3,3).
b) Achar T ( 1 , 0 , 0 ) e T ( 0 , 1,0).
9) Seja T:R^ — ► R^ uma transformação linear definida por T ( l , 1, 1) = ( 1 , 2), 
T ( l , l , 0 ) = (2 ,3) e T ( l , 0 , 0 ) = (3,4).
a) Determinar T (x, y, z).
b) Determinar v G R^ tal que T(v) = ( -3, -2) .
c) Determinar v G R^ tal que T (v) = (0, 0).
10) Seja T o operador linear no R^ tal que T ( 1 , 0 , 0 ) = (0, 2, 0), T ( 0 , 1 , 0 ) = ( 0 , 0 , - 2 ) e 
T ( 0 , 0 , 1) = ( -1 ,0 , 3). Determinar T(x, y ,z ) e o vetor vG R^ tal que T(v)= (5 ,4 , -9) .
11) Determinar a transformação linear T:P2 -----►P2 tal que T(l) = x, T ( x ) = l - x ^ e
T(x^) = x + 2x^
12) Seja o operador linear
T :R "--------- ̂ R ^ T(x ,y) = (2x + y, 4x + 2y).
Quais dos seguintes vetores pertencem a N(T)?
a) (1 , -2) b) (2 ,-3) c) ( . 3 , 6)
13) Para o mesmo operador linear do exercício anterior, verificar quais dos vetores pertencem 
a Im(T).
1a) (2 ,4) b) ( - y , - l ) c) ( -1 ,3)
Nos problemas 14 a 21 são apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas:
Transformações lineares 215
a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora? 
Justificar.
b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobrqetora? 
Justificar.
14) T:1R^--------->■
15) T:1R ̂ ---------^ R^
16) T:1R* ----------^ R"
17) T:1R* ---------^ R^
18) T:1R ̂ ---------»• R^
19) T:R3 --------->■R^
20) T:Pi ---------^ R3
21) T : M ( 2 , 2 ) — *• R' = (a - b, a + b)
tal que T (-2, 3) = ( - 1 , 0 , 1 )22) Seja a transformação linear T:R^ — 
e T ( l , - 2 ) = ( 0 , - l , 0 ) .
a) Determinar T(x, y).
b) Determinar N(T) e Im(T).
c) T é injetora? E sobrejetora?
23) Seja TiR" ̂ -----R^ a transformação linear tal que T(ei ) = ( 1 , -2 ,1 ) , T(e2) = ( - 1 ,0 , -1 ) ,
T(e3) = ( 0 , -1, 2) e T(e4) = (1 , - 3 ,1 ) , sendo { e i , e2 , e s , e4 } a base canônica do R"̂ .
a) Determinar o núcleo e a imagem de T.
b) Determinar bases para o núcleo e para a imagem.
c) Verificar o Teorema da Dimensão.
216 ÀIgebra linear
24) Encontrar um operador linear T:1R ̂ -----► IR̂ cujo núcleo é gerado por (1 ,2 ,-1 ) e
(1 ,-1 ,0 ) .
25) Encontrar uma transformação linear T:1R^
26) Encontrar uma transformação linear T:
e ( 2 ,0 ,1 ,-1 ) .
R" tal que N(T) = [ (1 ,0 ,-1 )] .
► R"̂ cuja imagem é gçrada por (1, 3, -1 , 2)
27) Consideremos a transformação linear T : R ^ -----► definida por
T(x, y, z) = (2x + y - z, X + 2y) e as bases A = {(1 , 0, 0), (2, -1 , 0), (0, 1, 1)} do R^ e 
B = { (-1, 1), (0, 1)} do R^. Determinar a matriz [T ]^ .D
28) Seja a transformação linear T:R^ 'R ^ , T(x, y) = (2x - y, X + 3 y ,-2y ) e as bases
A = { (-1 , 1 ,),2 , 1)} e B = { ( 0 ,0 ,1 ) , ( 0 ,1 , - 1 ) , ( 1 ,1 ,0 ) } . Determinar [T]^. Qual
A ̂ ^a matriz [T ]^ , onde C é a base canônica do R^?
29) Sabendo que a matriz de uma transformação linear T:R^ -----^R^ nas bases
A = { ( - 1 ,1 , ( 1 ,0 ) } doR 2 e B = { ( 1 ,1 , - 1 ) , ( 2 ,1 ,0 ) , ( 3 ,0 ,1 ) } é:
[T]^ =
1 -1
encontrar a expressão de T (x, y ) e a matriz [ T ].
30) Seja
[T] =
1 -2
2 0
-1 3
a matriz canônica de uma transformação linear T:R^ — ► R ^ . Se T(v) = (2, 4 ,-2 ) , 
calcular v.
Transformações lineares 217
31) Seja T: R^ uma transformação linear com matriz
[T]® =
1 -1
0 1
-2 3
para B = { e i , e 2 ) , base canônica do R^, e B '= { ( 1 ,0 ,1 ) , ( - 2 ,0 , 1 ) ,(0 ,1 ,0 ) } , base 
do R^. Qual a imagem do vetor (2 ,-3 ) pela T?
32) Seja T:R^ — ► R^ tal que
1 0 -1
-1 1 1
sendo Bj = { ( 0 , 1 , 1 ) , ( 1 ,0 ,0 ) , ( 1 ,0 ,1)} e Bj = { ( - 1 ,0 ) , ( 0 , - 1 ) } bases do R^ e do 
R^, respectivamente.
a) Encontrar a expressão de T (x, y, z).
b) Determinar Im(T) e uma base para esse subespaço.
c) Determinar N(T) e uma base para esse subespaço.
d) T é injetora? T é sobrejetora? Justificar.
33) Consideremos o operador linear
T :R 2---------► R^
(x , y) I----- ̂ (x + 2y, X - y)
eas bases A = { ( - 1 , 1 ) ,(1 ,0 )} , B = { (2 ,-1 ) , ( -1 ,1 ) } e C canônica.
Determinar [T ] ^ , [T] g , [T] .
218 Álgebra linear
34) A matriz de T:R^ -----► relativa à base B = { v i ,V 2 } , sendo V i = ( l , l ) e
V2 = (3 ,2 ) , é:
2 1
-1 -3
a) Determinar T (vi )g e T (v2 )g .
b) Determinar T (v i) e T(v2).
c) Calcular T(x, y).
35) Mostrar que a matriz do operador linear identidade
I:lRn -----^
V I-------► V
em uma base qualquer, é a matriz identidade n x n.
36) Seja T:1R ̂ ---- definida por:
[T] =
1 3
-1 5
Determinar os vetores u, v e w tais que:
a) T (u) = u.
b) T (v) = 2v.
c) T (w) = (4, 4).
Transformações lineares 219
37) Seja T o operador linear dado pela matriz:
1 2 -1
2 0 1
1 - 2 2
a) Calcular N(T) e dim N(T).
b) Calcular Im(T) e dim lm(T).
38) Seja o espaço vetorial V = M (2, 2) e a transformação linear
T:V ----->■ IR^
a b
c d
= (a + b, c - d, 2a)
a) Mostrar que T é linear.
b) Determinar [T] sendo A e B as bases canônicas de M (2 ,2 )e respectivamente. 
B
c) Calcular v G V tal que T(v) = (3, -2 , 4).
d) Determinar N(T).
39) Sejam F:R^ ----->-M(2,2) uma transformação linear e a e j3 as bases canônicas de
JR̂ e M(2, 2), respectivamente. Sabendo que
=
1 0
2 1
3 -2
-1 2
220 Álgebra linear
determinar:
a) F (1 ,0 )
b) F ( 0 ,1)
c) F(2, 3)
d ) F (x .y )
e) (a ,b ) tal que:
F (a,b) =
1 -2
3 4
40) Sqam as transformações lineares
Ti:R^ ---->• T(x,y) = (x-y, 2x + y,-2x)
e
Tj :R̂ — »■ R^, Tiíx, y) = (2x - y, x - 3y, y).
Determinar as seguintes transformações lineares de R ̂ em R * :
a ) T, - T j .
b) 3T, - 2 T2 .
3 241) Consideremos as transformações lineares S e T de R em R defínidas por 
S (x ,y , z) = ( 2 x - y , 3 x - 2 y + z) e T (x ,y ,z ) = (x + y - z , y - 2 z ) .
a) Determinar 0 núcleo da transformação linear S + T.
b) Encontrar a matriz canônica de 3S - 4T.
Transformações lineares 221
42) Sejam S e T operadores lineares de definidos por S (x, y) = (x - 2y, y) e 
T(x, y) = (2x, -y). Determinar:
a) S + T
b ) T - S
c) 2S + 4T
d) S o T
e) T o S
f) S o S
43) Seja a transformação linear:
S :R ^ ---------► S(x, y ,z ) = ( x + y ,z , x « y , y + z)
a) Calcular (S o T) (x, y) se 
T: -----> R^
(x ,y ) (2x + y, X - y, x - 3y)
b) Determinar a matriz de S o T e mostrar que ela é o produto da matriz de S pela 
matriz de T.
44) As transformações S:R ^ -----►R̂ e T:R^ — ►R̂ são tais que S(x, y) = (y, x - y,2x + 2y>
e T (x, y, z) = (x, y).
a) Sendo B = { (1 ,0 ,- 1 ) , (1 ,1 ,1 ) , (1 ,0 , 0 )} uma base do R^, determinar a matriz 
[S o T lg .
b) Determinar [ToSJg^ e [T o S ]g » s sendo B '= {(1 , 1), (0 ,-1 ) } e B" a base 
çanônica.
45) Sendo S e T operadores lineares do R^ definidos por S(x, y, z) = (x, 2y, x - y) e 
T(x, y, z) = ( x - z , y, z), determinar:
a) [S o T ] .
b) [T o S ] .
222 Àlgebra linear 
46) Os pontos A(2,-l) e B(-1,4) são vértices de um quadrado. Calcular os outros dois 
vértices, utilizando a matriz-rotação. 
47) Os pontos A(-1, -1), 8(4, 1) e C(a, b) são vértices de um triângulo retângulo isósceles, reto 
em A. Determinar o vértice C fazendo uso da matriz-rotação. 
48) Em um triângulo ABC, os ângulos B e C medem 75° cada. Sendo A(l, 1) e B(-1, 5), 
determinar o vértice c. 
49) Determinar, em cada caso, a matriz da transformação linear de R 2 em IR.2 que representa 
a seqüência de transformações dadas: 
a) Reflexão em torno do eixo dos y, seguida de um cisalhamento de fator 5 na direção 
horizontal. 
b) Rotação de 30° no sentido horário, seguida de urna duplicação dos módulos e inversão 
dos sentidos. 
c) Rotação de 60º, seguida de uma reflexão em relação ao eixo dos y. 
d) Rotação de um ângulo (), seguida de urna reflexão na origem. 
e) Reflexão em torno da reta y = -x, seguidade uma dilatação de fator 2 na direção Ox e, 
finalmente, um cisalhamento de fator 3 na direção vertical. 
50) O vetor v = (3, 2) experimenta seqüencialmente: 
1) Uma reflexão em torno da reta y = x; 
2) Um cisalhamento horizontal de fator 2; 
3) Uma contração na direção Oy de fator ~· ; 
4) Uma rotação de 90° no sentido anti-horário. 
a) Calcular o vetor resultante dessa seqüência de operações. 
b) Encontrar a expressão da transformação linear T:R2 ___.. R 2 que representa a com. 
posta das quatro operações. 
c) Determinar a matriz canônica da composta das operações. 
Transformações lineares 223
51) Determinar O ângulo a formado pelos vetores v e T(v) quando o espaço gira em torno do 
eixo dos z de um ângulo d, nos seguintes casos:
a) v = ( ^ , ^ . l ) e « = 180=
b ) v = ( ^ . ^ . ^ ) e « = 180=
4.8.1 Respostas de Problemas Propostos
2) a ) 4u - V
b) 3u - 3v
c) 7u + 5v
3) São lineares: a), b), e), i)
4) a)
b)
c), d), e) e f) a cargo do leitor.
224 Álgebra linear
5) São lineares: a), b), e), g), i), j), k), m),
6) c) é linear
7) a) T (x, y) = (-2x + y, -x + y, -x) 
b ) V = ( 3 , 4 )
8) a) T (x, y, z) = (-y + 3z, -y + 3z) 
b ) T ( l ,0 ,0 ) = (0 ,0 ) e T ( 0 ,1 ,0) = ( -1 ,-1 )
9) a) T (x, y, z) = (3x - y - z, 4x - y - z)
b) v = ( l , 6 - z , z )
c) V = (0, -z, z)
10) T (x, y , z) = ( - Z , 2x, -2y + 3z)
V = (2 ,-3 ,-5 )
11) T(a + bx + cx^) = b + (a + c)x + (-b + 2c )x^
12) a), c)
13) a), b)
14) a) N(T) = { (x, 3x)/x e IR } ; dim N(T) = 1
T nfo é injetora, porque N(T) # { ( 0 ,0 ) } . 
b) Im(T) = { (-y , y)/y e IR} ; dim Im(T) = 1
T não é sobrejetora, porque Im(T) ^ IR*.
15) a) N (T)= { ( 0 ,0 ) } ; dimN(T) = 0.
T é injetora, porque N (T)= { 0 } .
Transformações lineares 225
b) Im(T) = { (x, y, z) € ]R/2x - 2y - z = 0 }
dim Im(T) = 2. T-nâo é sobrejetora, porque Im(T) # IR .̂
16) a) N(T) = { ( 0 , 0 ) } ; dim N(T) = 0
T é injetora.
b) Im(T) = IR^; dim Im(T) = 2; T é sobrejetora.
17) a) N(T) = { (x, -3x, -5x)/x € IR } 
b) Im(T) = IR̂
18) a) N(T) = { (3z, z, z)/z e IR }
b) Im(T) = { (x, y , z) £ IR® /2x + y - z = 0 }
19) a) N(T)= { (3x, X, 3x)/x £ IR)
b) Im(T)= { ( x ,y , z ) £ IR^/y = -z }
20) a ) N ( T ) = { 0 }
b) Im(T) = { (a, 2a, c)/a, c £ IR}
21) a )N (T ) = / c, d £ IR
c d 
b) Im(T) = lR̂
22) a) T (x, y) = (2x + y, 3x + 2y, -2x - y)
b) N (T)= { ( 0 ,0 ) }
Im(T)= { ( x ,y ,-x ) /x ,y £ IR}
c) T é injetora, mas nfo sobrejetora.
226 Álgebra linear
23) a) N(T) = { (3y , y, 0, -2y)/y € IR }
Im(T) = lR^
b) e c) a cargo do leitor.
24) Um deles é T (x , y, z) = (0 ,0 , x + y + 3z).
25) Uma delas é T (x, y, z) = (x + z, y).
26) Uma delas é T (x, y, z) = (x + 2y, 3x, -x + y, 2x - y).
27)
28)
-2 -3 0
3 3 2
3 0
5 2
-3 3
-3
2
-2
8 18
6 11
-2 -4
29) T (x, y) = (8x + 18y, 6x + 1 l y , -2x - 4y)
[T] =
30) v = (2 ,0 )
31) (1 1 ,-1 3 ,2 )
32) a) T (x , y, z) = (-2y + z, -x + y)
b) Im(T) = IR̂ ; (base a cargo do leitor)
c) N(T) = {(x , X , 2x)/x € IR } ; (base a cargo do leitor)
Transformações lineares 227
d) T não é injetora. 
T é sobrcjetora.
-2 1 3 -1 1 2
. m , = e [T]c=[T] =
-1 2 6 -3 1 -1
33) [T]^ =
34) a) T (v, )g = (2, -1), T (v^)b = (1, -3)
b ) T (v ,) = ( - l ,0 ) . T (v2) = (-8 ,-5 )
c) T (x, y) = (-6x + 5y, -5x + 5y)
36) a) (0 ,0 )
b) y ( 3 , 1)
c) (1, 1)
37) a) N(T) = { z (2 , -3 , -4)/z e R } , dim N(T) = 1
b) Im(T) = { (x, y, z) e R^/x - y + z = 0 } , dim Im(T) = 2
1 1 0 0
38) b) [T l^ = 0 0 1 -1
2 0 0 0
c) V =
d) N(T) =
2 1 
d - 2 d
0 0 
d d
;d e R
; dG R
228 Álgebra linear
1 2 0 1 2 7
39) a) b) c)
3 -1 -2 2 0 4
d)
3x - 2y
2x + y 
-X + 2y
e) não existe (a, b).
40) a) T, (x, y) = ( -X , X + 4y, -2x - y)
b ) T j Í x , y) = (-X - y, 4x + 9y, -6x - 2y)
41) a) { (x, 0 , 3x)/x E IR 
b)
2 - 7 4
9 -10 11
42) a) (S + T )(x ,y ) = (3x - 2 y ,0 )
b ) ( T - S ) ( x ,y ) = (x + 2 y ,-2 y )
c) (2S + 4T) (x, y) = ( lOx - 4y, -2y)
d) (S o T) (x, y) = (2x + 2y, -y)
e) (T o S) (x, y) = (2x - 4y, - y)
f) (S o S )(x ,y ) = ( x - 4 y ,y )
43) a) (S o T)(x, y) = (3x, x - 3y, x + 2y, 2x - 4y) 
b) a cargo do leitor
-1 -4 -1
1 .1 0 1
44) a) 1 0 1 b)
1 -2
e
1 -1
0 5 0
Transformações lineares 229
1 0 -1 0 1 0
45) a) 0 2 0 b) 0 2 0
1 -1 -1 1 -1 0
46) Duas soluçOes: (4 ,7 ) e (7 ,2 ) ou (-6 ,1 ) e ( -3 ,-4 ) .
47) C (-3 ,4 ) ou C ( l ,- 6 )
48) C ( - l - v / 3 , 2 v /3 ) ou C ( 3 - V I , 2 + 2 > /T )
49) a)
d)
.1 5 - V 3 -1 1 V 5 
"2 2
b) c)
0 1 1 -V 3 _L
2 2
-COS d .sen0 0 -2
e)
-send -COS 6 -1 -6
50) a) ( -1 ,8 )
b) T (x ,y ) = ( - j x , 2x + y)
c) [T] =
- J 0
51) a ) a = 90<»
b ) o = 90»
c) aSE 41® 24'
CAPÍTULO
OPERADORES
LINEARES
5.1 OPERADORES LINEARES
No capítulo anterior dissemos que as transformações lineares T de um espaço vetorial V 
em si mesmo, isto é, T: V -----► V, são chamadas operadores lineares sobre V.
As propriedades gerais das transformações lineares de V em W e das correspondentes 
matrizes retangulares são válidas para os operadores lineares. Estes e as correspondentes matrizes 
quadradas possuem, entretanto, propriedades particulares, que serão estudadas neste Capítulo.
Tendo em vista aplicações em questões de Geometria Analítica, serão estudados, de 
preferência, operadores lineares em e em R ^ .
5.2 OPERADORES INVERSfVEIS
Um operador T:V — ►¥ associa a cada vetor vE V um vetor T (v)E V. Se por 
meio de outro operador S for possível inverter essa correspondência, de tal modo que a cada 
vetor transformado T (v) se associe o vetor de partida v, diz-se que S é operador inverso 
de T, e se indica por T"^.
Observação
Quando o operador linear T admite a inversa T " \ diz-se que T é inversivel, invertivel, 
regular ou não-singular.
230
Operadores lineares 231
5.2.1 Propriedades dos Operadores Inversíveis
Seja T:V — ^ V um operador linear,
I) Se T éinversívele T" ̂ é a sua inversa, então:
T o T'^ = T" ̂o T = I (identidade)
II) T é inversível se, e somente se, N(T) = { 0 } (Corolário 1 de 4.3.4).
III) Se T é inversível, T transforma base em base, isto é, se B é uma base de V, T(B) 
também é base de V.
IV) Se T éinversívele B uma base de V, então T '^:V — ►V é linear e:
[T -‘ ] b = ( [T ]3 ) - ‘
isto é, a matriz do operador linear inverso numa certa base B é a inversa da matriz 
do operador T nessa mesma base.
Na prática, a base B será normalmente considerada como canônica. Logo, de forma mais 
simples:
[T -i] = [T ]- ‘ 
e, portanto:
[T] [T -‘ ] = [T o T - ‘ ] = [I]
Como conseqttência temos: T é inversível se, e somente se, det [T] ¥= 0.
232 Álgebra linear
5 2 .2 Problemas Resolvidos
1) Seja o operador linear em definido por 
T (x, y) = (4x - 3y, -2x + 2y)
a) Mostrar que T é inversível.
b) Encontrar uma regra para T" ̂ como a que define T.
Solução
a) A matriz canônica de T é [T] =
4 -3
-2 2
Como det [T] = 2 ^ 0, T é inversível.
4 -3
b )[T -^ ] = [T]-^ = 
logo:
-2 2
-1
> f
1 2
x
1
3 X ^ 3
(T -‘ (x ,y )] = [T -‘ ] = 2 =
x + y y
J 2_ X + 2y
ou:
T"‘ (x ,y ) = (x + y y , x + 2y)
Observação
Devemos entender que se T leva um vetor (x, y) ao vetor 
(x ',y ') , istoé:
’ x' X
= [T]
/y y
Operadores lineares 233
o operador T ̂ traz de volta o vetor (x', y') para a posição inicial (x, y), ou seja:
X ’ x ‘
= [T ]- ‘
y ty
É bom que o leitor faça o teste com um vetor de livre escolha, valendo-se de T e do 
exercício realizado.
2) Verificar se o operador linear T:R^ ---definido por T ( l , 1 ,1 ) = ( 1 ,0, 0),
T (-2, 1 ,0 ) = (0 ,-1 ,0 ) e T ( - l , -3 ,-2 ) = ( 0 ,1 ,-1 ) é inversível e, em caso afirmativo, determinar 
T -'(x ,y ,z ) .
Solução
Observemos inicialmente que { (1 ,1 ,1 ) , ( -2 ,1 ,0 ) , (-1 , -3 , -2) } é uma base de e T 
está bem definido, pois são conhecidas as imagens dos vetores dessa base. Portanto, basta calcular 
T (x, y, z) e proceder como no exercício anterior. Pensamos, no entanto, ser mais fácil proceder 
da maneira como se segue.
Por definição de , temos T -‘(1 ,0 ,0 ) = ( 1 , 1 ,1 ), T - ‘ ( 0 , - l , 0 ) = ( - 2 ,1 ,0 ) e 
T’ '(0 , l , - l ) = ( - l , - 3 , - 2 ) . Observando que { ( 1 ,0 ,0 ) , ( 0 , - 1 ,0 ) , ( 0 ,1 ,-1 )} é também uma 
base de R* (verificar!) e que as imagens desses vetores são conhecidas, o operador T'* está 
definido. Ora, existindo a , T é inversível. Pretendemos calcular T"*(x, y ,z ).
Para tanto, expressemos (x, y ,z ) em relação a essa base:
(x ,y ,z ) = x ( l , 0 ,0 ) + (-y - z ) ( 0 , - l , 0 ) + ( - z ) ( 0 ,1 ,-1 )
logo:
T -' (x, y, z) = x T -‘ (1 ,0 ,0 ) + (-y - z )T '* (0, -1 ,0 ) + (-z)T '* (0, 1 ,-1 ) 
T ‘ * (x ,y ,z ) = x ( l , 1, l) + ( - y - z ) ( - 2 , l , 0 ) + ( - z ) ( - l , - 3 , - 2 )
T -‘ (x, y, z) = (x, X, x) + (2y + 2z, -y - z, 0) + (z, 3z, 2z)
T "'(x, y, z) = (x + 2y + 3z, x - y + 2z, x + 2z)
234 Álgebra linear
5.3 MUDANÇA DE BASE
Sejam A e B bases de um espaço vetorial V. Pretende-se relacionar as coordenadas de 
um vetor v em relação à base A com as coordenadas do mesmo vetor v em relação à base B.
Para simplificar, consideremos o caso em que dim V = 3. 0 problema para os espaços de 
dimensão n é análogo. Sejam as bases A = { v i , V2 , V3 } e B = { w i , W2 , W3 } .
Dado um vetor v G V, este será combinação linear dos vetpres das bases A e B:
V=XiVi +X2V2 +X3V3 ( 1)
ou:
V. =(Xj,X2,Xj)
e:
v = y ,w j +y2Wj +ysW3 (2)
ou:
VB = ( y i . y 2 , y 3 )
Por sua vez, os vetores da base A podem ser escritos em relação à base B, isto é:
V, =aiiW, + 321W2 + 331W3
V2 = ai2Wi + 322W2 232W3 (3)
V3 = ai3Wi + 323 W2 + 833 W3
Substituindo (3) em (1), temos:
V = Xi(anWi + 3 2 1 W2 + a 3 iW 3 ) + X 2 (a i2 W i + a22W 2 + 332 W3) + X3 ( a ^ Wi + a 2 3 W2 + a33W 3)
ou:
V = (a,iXi +812X2 +ai3X3)Wi +(821X1 + 822X2 + a23X3)W2 + (331X1 + 832X2 + a33X3>W3 (4)
Operadores lineares 235
Comparando (4) com (2), vem:
yi =an X i +ai2X2 + 313X3 
Yi =a2iXi +a22X2 + 323X3 
ya “ 3̂1 Xi + 332X2 + 333X3
ou, na forma matricial:
y i 3 i l 3 i 2 a i 3 X i
V2 = 321 322 ^23 X 2
V 3 3 3 1 ^ 3 2 3 3 3 X 3
ou, mais simplesmente, pela equação: 
[v] =[1]'^ [vl
sendo a matriz:
(5.3)
[I]'^ = 
 ̂ ̂ B
^11 3 i 2 3 i 3
321 322 ^23
^31 332 333
chamada matriz de mudança de base de A para B.
Notemos que o papel dessa matriz é transformar as componentes de um vetor v na base A 
em componentes do mesmo v na base B.
Observações
1) Comparando a matriz [I] com (3), observamos que cada coluna, pela ordem, é
B
formada pelas componentes dos vetores da base A em relação à base B, istoé:
3 l l 3 i 2 3 i 3
[ ' ' i ] b = ^21 322 e [v 3 ] b = 323
331 332 333
236 Álgebra linear
2) A matriz [I] é também conhecida como matriz de transição de A para B.B
3) A matriz [I] é, na verdade, a matriz do operador linear identidadeB
I: V
V
V
V
considerado nas bases A e B. Esse fato fica bem evidente no problema resolvido número 3.
4) A matriz [I] , por transformar os vetores linearmente independentes da base A nosB
vetores linearmente independentes da base B, é inversível. Por conseguinte, da equação
M b = [‘ i ; [ v] a (5)
pode-se obter:
[ v ] . = ( m ^ i v ] , ( 6)
donde se conclui que
( u i y =
isto é, a inversa da matriz-mudança de base de A para B é a matriz-mudança de base B para A.
5.3.1 Problema Resolvido
3) Sejam as bases A = { Vj, Vj } e B = { W i, W2 } do , onde
y, = (2, -1), vj = ( -1 ,1) e w, = (1,0) , Wj = (2,1)
a) Determinar a matriz-mudança de base de A para B.
Operadores lineares 237
b) Utilizar a matriz [I] para calcular [v ]_ , sabendo que 
B B
[V]^ =
Solução:
a) Pretendemos calcular:
an a 12
a2i 322
t t
[Vi Ib [Vílj
ou:
Expressemos os vetores da base A em relação à base B: 
Vi = ( 2 , - l ) = a , i ( l , 0 ) + a2 i ( 2 ,1)
aii + 2aii = 2 
Í2l ~
sistema cujas raízes são:
aii =4 e = - l , istoé, K ]g =
V2 = ( - l , l ) = a n ( l , 0 ) +a2a(2 , l )
ou:
a ,i + 2aj2 = -1
a» = 1 
sistema sujas raízes são:
ai2 = -3 e 322 = 1, isto é, [v2]_ =
-3
1
238 Álgebra linear
logo:
K -
4 -3
-1 1
b) Sabendo-se que:
4
3
obtemos:
[v] =
4
-1
-3 4
3
[v] =
7
-1
Caso o leitor queira conhecer o vetor v na base canônica, basta fazer:
v = 4 ( 2 , - l ) + 3 ( . l , l ) = ( 5 , - l )
ou:
v = 7 ( l , 0 ) . l ( 2 , 1) = (5 , -1)
Observação
Se o problema consistisse apenas em calcular v a partir de v , sem utilizar a matrizA D A
[ i i : , bastaria determinar o vetor v na base canônica, isto é, v = ( 5 , - l ) e, posteriormente. B
resolver a equação
Operadores lineares 239
(5 , -1) = a , ( 1 , 0 ) + 32(2,1) 
para encontrar ai = 7 e a2 = -1.
A utilização da matriz-mudança de base ainda será vista em outros assuntos deste livro.
5.3.2 Outra forma de Determinação da Matriz-Mudança de Base
A matriz-mudança de base [I] pode ser determinada de uma forma diferente.
B
Valendo-se das bases A e B do problema anterior e sendo C = { (1 ,0 ) , ( 0 , 1 ) } a base 
canônica, vem:
2 -1
-1 1
t t
Vl V2
pois:
( 2 , - l ) = 2 ( l , 0 ) - l ( 0 , l ) 
( -1 ,1) = - 1 ( 1 , 0 ) + 1 ( 0 , 1 ) 
e,de forma análoga:
[ I ] ^
1
0
t
Wi W2
Assim, a matriz-mudança de base de uma base qualquer para a canônica é a matriz que $e 
obtém daquela base dispondo seus vetores em colunas. Façamos [I]^ = A e [I]® = B.
240 Álgebra linear
Lembrando o que foi visto em 4.5.3 sobre composta de transformações lineares e levando 
em conta a Observação 4 ) de 5.3, podemos escrever:
[ I ] j = [ I o I ] g = [ I ] 3 = [ I ] ç = B - ‘ A
Então, para as bases A e B dadas, temos:
= A =
1 2
-1
2 -1 1 - 2 2 -1
0 1 -1 1 0 1 -1 1
4 -3
-1 1
5.3.3 Aplicações da Matriz-Rotação
Vimos que a matriz-rotação do plano de um ângulo 0 é:
COS 6 -sen 6
SGtiS COS 6
Observemos que as imagens de (1,0) e de (0,1) , pela rotação 0, são:
e:
COS 6 -sen 6 1 COS 6
sen 6 COS 6 0 sen 6
COS 6 -sen 6 0 -sen 6
sen 6 COS 6 1 COS 8
respectivamente.
Operadores lineares 241
Portanto, a base P = { Uj, U2 } , sendo Uj = (cos 6, sen 6) e U2 = (-sen d, cos $), é 
obtida da base canônica C= { e i , e 2 } , sendo ej = (1 ,0 ) e e2 = ( 0 , 1), pela rotação de um 
ângulo 6. Assim, como a base canônica C determina o sistema de coordenadas retangulares 
xOy, a base P determina também um sistema de coordenadas retangulares xOy ' que provém 
do sistema xOy por meio da rotação de um ângulo d, Conseqüentemente, cada ponto R ou 
cada vetor v do plano possui coordenadas (x, y) em relação ao sistema xOy e (x ',y ') cm 
relação ao sistema x'Oy'.
A matriz-rotação pode ser encarada como matriz-mudança de base de P para C,
isto é:
[ i ] ^
cos d -sen 6
sen 6 cos $
pois:
(cos0 , sen0) = cos0 ( l ,O) + sen0 (0,1)
(-sen 0, cos 6) = -sen 0 ( 1 ,0 ) + cos d (0, 1)
242 Álgebra linear
Por exemplo, para B = 90°, tem-se a base:
P = {(cos 90®, sen 90°), (-sen 90®, COS 90°)} = { ( 0 , 1 ) ,(-1 ,0 )> 
e, portanto:
0 - ]
1 0
Considerando = (4, 2), o vetor v na base canônica é:
t v ] c = m , [ v ] p =
0 -1 4 -2
1 0 2 4
As figuras mostram que o vetor v que tem componentes 4 e 2 na base: 
P = { ( 0 , 1 ) , ( - 1 , 0 ) } 
tem componentes -2 e 4 na base:
C= { ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) }
Operadores lineares 243
No caso de mudança de base de C para P, já vimos que:
m p = ( ( i ] c ) - ‘
COS B -sen B 
sen B COS B
OU seja:
[ i i í =
COS B sen B 
-senB cosB
Por exemplo, para uma rotação de B =45° no sistema xOy, o vetor v = (x, y) = (4 ,2 ) 
íia base canônica será \^ = ( x \ y') = (3 \ / 2 , - y/2 ) na base P.
De fato:
[V]p =
COS 45° sen 45° 4
-sen 45° cos 45° 2
[V]p =
V2 y/2 4
2 2
y / l y/2
~_2 2 _ 2
[v]p =
3y/2
-V2
244 Álgebra linear
5.4 MATRIZES SEMELHANTES
Seja T : V -----► V um operador linear. Se A e B são bases de. V e [T ]^ e [T]
matrizes que representam o operador T nas bases A e B , respectivamente, então:
as
(5.4)
sendo [ i j : a matriz-mudança de base B para A.A
De fato:
Pelo conceito de matriz de uma transformação linear (4.4) podemos escrever: 
[T(v)1a = [ T ] ^ [ v]^ ( 1)
e:
[T(v)]^ = [ T ] b M 3 (2)
Sendo [I]^a matriz-mudança de base de B para A, tem-se: 
[ v ] A = m ® M B e [T(v)]^ = [I]® [T(v)]g
Operadores lineares 245
Substituindo [v] e [T(v)] ̂ em (1), resulta: 
A A
Como a matriz [I] é inversível (Observação (4)de 5.3), vem: 
A
( T ( v ) i , - ( [ i i ' ) - ‘ [ i u n i ! i » i .
Comparando essa igualdade com a (2), conclui-se:
m , = ( ( i i ^ - (t I a Iu '
que é a relação apresentada (5.4).
Fazendo [I] ̂ = M, a relação acima fica: 
A
[T] b =M-> [T]^ M (5.4a)
não se podendo esquecer que M é a matriz-mudança de base de B (2? base dada) para 
A (1? base dada).
As matrizes [T]^ e [T]g são chamadas semelhantes.
Por conseguinte, duas matrizes [T] ^ ® [T] g são semelhantes quando definem em V um 
mesmo operador linear T. Mais precisamente, duas matrizes [T] ^ ® b semelhantes se 
existe uma matriz inversível M tal que
[T]b = M-» [T ]^M
O esquema a seguir mostra que existem duas maneiras de se obter T(v)g a partir de v^:
ITIa _
Va ---------------------------------- ► tM a
M-
f
Vb
i t ib
M-*
► -T(v)b
246 Álgebra linear
5.4.1 Propriedade
As matrizes semelhantes [T] ^ e [T] g possuem o mesmo determinante. 
De fato:
De
[ T ] g = M - ‘ [T]^M
vem:
M[T]b = [ T ] a M
e:
det M . det [T] g = det [T] ^ . det M
ou:
det [T]g = det [T]^
5.4.2 Problemas Resolvidos
4) Sejam T: IR̂ -----IR̂ um operador linear e as bases
A = { ( 3 , 4 ) , ( 5 , 7 ) } e B = { ( 1 , 1 ) , ( - 1 , 1)}
e seja:
-2 4
2 -1
a matriz de T na base A. Calculemos [T] pela relação:
B
[ T ] g = M - ‘ [T]^M
Operadores lineares 247
na qual M é a matriz-mudança de base de B para A. Necessitamos da matriz M que será 
calculada pela relação apresentada em 5.3.2:
M= [I]® = A-* B A
isto é:
M =
3 5
-1
1 -1 7 -5 1 -1 2 -12
4 7 1 1 -4 3 1 1 -1 7
e;
M -‘ =
2_
2
2
logo;
[t 1b =
" 7 6 “ r , -1
2 -2 4 2 -12
1 2 -1 -1 7
2 1 -
[T]b =
5 8
1 1
2 -12
■1 7
[T]b =
2 -4
1 -5
248 Álgebra linear
Observação
Pode-se verificar, através do exemplo, que realmente as matrizes [T]^ e [T]g são 
semelhantes, isto é, que na transformação linear definida em por essas matrizes, em bases
diferentes, um vetor v G tem a mesma imagem T (v). 
Seja o vetor v^ = (2, -1).
I) Cálculo de T(v)^ por meio de [T]^:
[T(v)l = [ T ] , [v]^
(T(v)] =
-2 4 2 -8
2 -1 -1 5
II) Cálculo de Vg por meio de partindo de v^: 
M b = M -‘ [v]^
I ó' 2 1
2
1 12 -1 0
III) Cálculo de T (v)g por meio de M ̂ partindo de T (v)^: 
[T(v)1b = M -' [T(v) ] ^
[T (v ) ] ,=
7
2
6 -8 2
1
2 1 5 1
Operadores lineares 249
IV) Cálculo de T(v)g por meio de [T ]g: 
[T (v) ] b = [t ] b M b
[T(v) ] b =
2 -4 1 2
1 -5 0 1
Assim, o vetor v tem a mesma imagem T(v) por meio do operador linear T, definido em 
pelas matrizes [T]^ e [T ]g, em bases diferentes.
V) Por outro lado, as matrizes semelhantes tém o mesmo determinante:
det [T ]. =
-2 4
2 -1
= 2 - 8 = -6
det [T]b =
2 -4 
1 -5
= -10 + 4 = -6
5) Seja o operador linear T;1R^------definido por:
T (x ,y ) = (2x + 9 y ,x + 2y)
Determinar [T ], matriz canônica de T, e a seguir utilizar a relação: 
[T]b = M -‘ [T] M
para transformá-la na matriz de T na base:
B = { ( 3 , l ) , ( - 3 , 1)}
250 Álgebra linear
Solução
É imediato que:
[T] =
2 9
1 2
A matriz M de mudança de base de B para a canônica A é dada por: 
M = A -‘ B
ou:
M =
mas:
1 0 -1 3 -3
0 1 1 1
1 0 -1 1 0
0 1 0 1
logo;
M =
1 0 3 -3 3 -3
0 1 1 1 1 1
e:
M -‘ =
1 1
6 2
1 1
6 2
Operadores lineares 251
Portanto:
m „ =
2 9 3 -3
6 2
1 1
6 2
1 2 1 1
[T ]b =
5 5
6 2 ~3 -3
1 1 1 1
6 “ 2
[TIb =
0
-1
Observação
A matriz diagonal
5 0
0 -1
que representa T na base B, é mais simples, no sentido de “estrutura” que a matriz canônica 
de T:
Já no problema resolvido n9 4 esse fato não ocorreu. A simplificação da matriz do operador 
T está ligada à escolha adequada de uma base, pois é a matriz de mudança de base M que atua
252 Álgebra linear
sobre a matriz de um operador linear para transformá-la em outra matriz do mesmo operador. A 
escolha da base “certa”, que torna a matriz do operador T o mais simples possível, é objeto de 
estudo no próximo Capítulo.
5.5 OPERADOR ORTOGONAL
Seja V um espaço vetorial euclidiano. Um operador linear T:V 
preserva o módulo de cada vetor, isto é, se para qualquer v G V
W é ortogonal se
|T (v ) | = | v |
Observações
1) Tendo em vista que o módulo de um vetor é calculado por meio de um produto interno 
( I V I = V v . V), os operadores ortogonais são definidos nos espaços vetoriais euclidianos.
2) Nos operadores ortogonais, serão consideradas somente bases ortonormais em V e, 
particularmente, a base canônica.
Exemplos
1) No com o produto interno usual, o operador linear definido por:
T (x ,y ) = ( - |x + ^ y , - | x - - j y )
é ortogonal.
De fato:
 ̂ \2 1 / ̂ ^ \2 - j y r + ( j X - y y ) ^
/ 16 2 X 24 ^ 9 2 ^ 9 2 24 ^ 16
V 2 5 * ^ 2 5 * y -^ 2 5 * 25
/ 25 j X 25 2
y l 5 * ^ 2 5 ^
_
Operadores lineares 253
ou:
|T ( x ,y ) |= v/x^+y^ = | (x, y) | , V (x , y) G IR̂
2) Consideremos o com o produto interno usual. A rotação do plano de um ângulo 
6 dada por:
T (x, y) = (xcos d - ysen 6,xsen 6 + ycos 6) 
é ortogonal. (A verificação fica a cargo do leitor.)
3) No R ^, com o produto interno usual, o operador linear dado por:
T(x, y, z) = (-y, x, -z)
é ortogonal.
De fato:
I T (x, y , z) I = \/(-y )^ + x ̂ + (-z)^ = %/x̂ + y ̂ + ẑ = | (x, y, z) |
Observação
O produto interno de dois vetores u = ( ai , â )̂ e v = ( b i ,..., bj )̂, em relação a uma 
base ortonormal, é dado por:
u . V = aj bi + ... + (verificação a cargo do leitor)
Se esses vetores forem expressos na forma matricial:
ai ' b , '
[u] = e [v] =
254 Álgebra linear
conclui-se que:
[u . v] = [u]* [v]
onde [u] ̂ indica a matriz transposta de [ u ] .
Observação
No Apêndice, a matriz transposta de A, por exemplo, é representada por A^; aqui, a 
transposta será representada por  , uma vez que T está sendo utilizado para representar um 
operador linear.
5.5.1 Propriedades
I) Seja T:V — ►V um operador ortogonal sobre o espaço euclidiano V. Então, a 
inversa da matriz de T coincide com a sua transposta, isto é:
[T ] - ‘ = [T]‘
De fato:
| v | = |T ( v ) |
isto é:
v .v = T (v).T (v)
ou:
[v .v ] = [T(v).T (v)]
OU ainda:
[v]‘ [v] = [T(v)]‘ [T(v)]
mas:
[T(v)]‘ [T(v)l = ([T ] [v])‘ [T] [v] = [v]‘ [T]‘ [T] [v]
Operadores lineares 255
logo:
[ V ] ' [V] = [v]‘ [T]‘ [T] [v]
e, finalmente:
m * [T] = i
ou:
[T]* = [T]
A matriz [T ], tal que [T]^ = [T] ~ \ é chamada matriz ortogonal. Portanto, uma 
matriz ortogonal define um operador ortogonal.
A matriz canônica do exemplo 1), item 5.5.
[T] =
é ortogonal, pois:
[T]^ = = [T]-
A matriz-rotação:
[T] =
COS S -sen 0
sen d COS 6
256 Álgebra linear
do exemplo 2), item 5.5 é também ortogonal, pois:
m ‘ =
cosO sen 6
-sen 6 COS d
= [T]
II) o determinante de uma matriz ortogonal é +1 ou - 1. 
De fato:
Como [T] é ortogonal, [T]^ [T] =1.
Logo:
det([T]^ [T]) = det I
ou:
det [T]^ det [T] = 1
Como det [T] = det [T]*, vem:
(det[T])^ = l 
OU seja:
det [T] = +1 ou det [T] = -1
Por meio dessa propriedade conclui-se que todo operador linear ortogonal é inversível.
III) Todo operador linear T:V — ► V preserva o produto interno de vetores, isto é, 
para quaisquer vetores u, vG V, tem-se:
u .v = T (u ).T (v )
De fato :
[T(u) ,T(v)] = [T(u)]‘ [T(v)l = ([T] [u])‘ [T] [v] = [u]‘ [T]‘ [T] [v]
Operadores lineares 257
mas:
[T]‘ [T ]= I
logo;
[T (u).T (v)] = [u]‘ [v] = [u .v ]
e:
u . v = T(u) . T(v)
Decorre dessa propriedade que todo operador ortogonal T : V — ► V preserva o ângulo 
de dois vetores, isto é, o ângulo entre dois vetores u e v é igual ao ângulo entre T(u) e T(v).
Esse fato e a definição de operador ortogonal permitem concluir: T transforma bases 
ortonormais em bases ortonormais, isto é, se { v i , . . . ,v ^ } é base ortonormal de V, então 
{ T ( v i ) ,T ( v n ) } é também base ortonormal de V. Essa propriedade, como ainda veremos, é 
de grande importânciana construção de novas bases ortonormais { U i, U2 } do , a partir 
da base canônica { e i , 62 } , e na criação de um novo sistema de coordenadas retangulares 
x'Oy\ a partir do sistema xOy, conforme sugere a Figura 5.5.1a.
Essa transformação, no plano, da base canônica para outra base ortonormal por meio de um 
operador ortogonal T:R^ — ► R^ pode ser vista de duas maneiras:
a) A base { U i, U2 } provém da base canônica { e i , e 2 } por uma rotação, conforme 
a Figura 5.5.1a, e, nesse caso, det [T] = + l.
258 Álgebra linear
Reciprocamente, se det [T] = + l , o operador T é uma rotação.
b) A base { u i ,U 2 } provém da base canônica { e i ,C 2 } por uma rotação seguida de 
uma reflexão na origem de apenas um dos vetores (Figura 5.5.1b) ou vice-versa. Nesse caso, 
tem-se:
det [T] = -1
Figura 5.5.1b
Assim, por exemplo, o operador ortogonal, representado pela matriz
2
2
2
2
é uma rotação, pois
2
2
2
2
= 1
O que dissemos para o IR̂ é válido para o
Operadores lineares 259
Por exemplo, o operador ortogonal no representado pela matriz
A =
COS 6 -sen d 0
sen 6 COS 6 0
0 0 1
é uma rotação, pois det A = 1 para qualquer valor de 6.
IV) A composta de duas transformações ortogonais é uma transformação ortogonal 
ou, equivalentemente, o produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal.
V) As colunas (ou linhas) de uma matriz ortogonal são vetores ortonormais.
De fato:
Sejam A = { c i , e 2 , ...,6^ } uma base ortonormal do espaço vetorial euclidiano V e 
T: V -----► V um operador linear ortogonal representado pela matriz:
au ai2 ain
a2i 7̂2 ^2n
_am an2 ann
Tendo em vista que:
| e i l = 1 ej 1 = ... = len
ej.e j == 0,
260 Álgebra linear
e que
T ( e i ) = a n e i +a2 ie2 + . . . + aniCn 
T(e2 ) = ai2 Cl + a22 ^2 ^n2
T(ejj) = ainCí + a2n®2 ■** ••• ^nn®n
pode-se escrever:
I T (e i) I ̂ = T (e i) .T (e i) = aíi + a ii + . . .+ aài = 1 
I T(e2) I ̂ = T(e2) . T(e2) = a?2 + A 2 + ... + aà2 = 1
I Tíê ) I ̂ = T(e„) . T(en) = aJn + \̂n ... n̂n ~ ^
e:
T(e.) . T(ej) = aijaij + a2ia2j + ... + n̂ianj = 0
É imediato que as colunas (ou linhas) de uma matriz ortogonal formam uma base orto- 
normal do espaço V.
Exemplo:
Seja a matriz:
A =
1 1
‘V 2 s/2
0 0
1 1
V2 V2
Operadores lineares 261
Os vetores-colunas de A são:
Em relação ao produto interno usual, tem-se:
I Ui I = I U2 I = I U3 I = 1
e:
Ui .U2 =Ui . U3 =U2 .U3 =0 
logo, o conjunto:
{ u 1.u 2 .u 3 }
é uma base ortonormal do .
Além disso, como det A = 1 (verificar!), a matriz A representa uma rotação do espaço.
5.6 OPERADOR SIMÉTRICO
Diz-se que um operador linear T:V 
nuífia base ortonormal é simétrica, isto é, se:
[T]‘ = [T]
W é simétrico se a matriz que o representa
Observações
1) Demonstra-se que a matriz do operador simétrico é sempre simétrica, independente da 
base ortonormal do espaço. Em nosso estudo, trabalharemos somente com bases canônicas.
2) O operador simétrico é também chamado operador auto-adjunto.
262 Álgebra linear
Exemplos
1) 0 operador linear
T:R2 -----► T (x ,y ) = (2x + 4y, 4 x « y )
é simétrico, pois a matriz canônica de T
[T] =
2 4
4 -1
é simétrica, isto é, [T] ̂ = [T ].
2) No o operador T definido por:
T (x, y, z) = (x - y, - x + 3y - 2z -2y)
■ I
é simétrico e sua matriz canônica é:
[T] =
1 -1 0 
-1 3 -2
0 - 2 0
5.6.1 Propriedade
Seja V um espaço vetorial euclidiano. Se T:V — é um operador simétrico, então 
para quaisquer vetores u, v € V, tem-se;
T (u ) .v = u .T (v )
De fato;
[T(u) .V ] = [T(u)]‘ [v] = ([T ] [ u ] / [v] = [u]‘ [T]* [v] = [u ] \[T ] [v ])= [u .T (v)]
logo;
T(u) . V = u . T(v)
Operadores lineares 263
Exemplo
Seja o operador simétrico, no , definido por:
T (x ,y ) = (x + 3 y ,3 x -4 y )
Consideremos os vetores u = (2 ,3 ) e v = ( 4 ,2) e calculemos T(u) e T(v):
T(u) = T (2 ,3 ) = ( l l , - 6 )
T(v) = T (4 ,2 ) = (10 ,4 )
mas:
T(u) . V = (11, -6) . (4, 2) = 44 - 12 = 32
u . T(v) = (2, 3) . (1 0 ,4 ) = 20 + 12 = 32
Como se vê:
T (u) . V = u . T (v).
5.7 PROBLEMAS PROPOSTOS
1) A seguir são dados operadores lineares T em eem R^. Verificar quais são inversíveis 
e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T”' .
a) T: ̂ R ^ T (x, y) = (3x - 4y, -x + 2y)
b ) T:R^ — ̂R ^ T (x ,y ) = ( x - 2 y , - 2 x + 3y)
c) T: >• R ^ T (x, y) = (2x - y, -4x + 2y)
d) T: R^ -----► R ^, T (x, y) = (5x + 2y, -4x - 2y)
e ) T:R^ R ^ T (x ,y ) = (x ,-y )
0 T: R^ ---*■ R ^ , T (x, y, z) = (x - y + 2z, y - z, 2y - 3z)
264 Álgebra linear
g) T: IR3
h) T: IR̂
i) T:1R^
j) T:IR^
IR ,̂ T (x, y, z) = (x + y - z, X + 2y, z)
1R^ T (x ,y ,z ) = ( x , x - z , x - y - z )
IR’ , T (x, y, z) = (x - y + 2z, y - z, -2x + y - 3z) 
R ’ , T (x ,y ,z ) = (x + z , x - z , y )
2) Seja 0 operador linear T :R ’ -----►R’ definido pela matriz:
1 0 1
2 -1 1
0 0 -1
a) Mostrar que T é um isomorfismo.
b) Determinar a lei que define o operador T"‘ .
c) Utilizar a matriz de T ou de T"‘ para obter o vetor vG R ’ tal que T(v) = ( 2 ,-3 ,0).
3) Mostrar que o operador linear, no R ’ , definido pela matriz
1 2 3
2 3 4
3 5 7
não é inversívei. Determinar vG R ’ tal que T(v) = (6, 9 ,15).
4) Verificar se o operador linear T :R ’ -----►R’ definido por T ( l , 0 ,0 ) = (2 ,-1 , 0).
T (0 ,-1 ,0 ) = ( -1 ,-1 ,-1 ) e T (0 ,3 ,-1 ) = ( 0 , 1, 1) é inversível e, em caso afirmativo, 
determinar (x, y, z).
Operadores lineares 263
5) No plano uma rotação de y radianos é seguida de uma reflexão em torno do eixo dos y.
a) Mostrar que a transformação é um isomorfísmo.
b) Determinar a inversa da transformação definida.
6) Seja T:1R ̂ -----o operador linear que transforma u em T(u) e v em T(v),
conforme a figura.
a) Dar a lei do operador T.
b) Determinar a transformação linear que transforma T(u) em u e T(v) emv.
7) Utilizar a inversão de matrizes 2 x 2 para mostrar que:
a) A transformação linear inversa de uma reflexão em torno do eixo dos x é uma reflexão 
em torno desse eixo.
b) A transformação inversa de uma dilatação ao longo de um eixo é uma contração ao longo 
désse eixo.
c) A inversa de uma rotação do plano de um ângulo 0 é a rotação do plano do ângulo
266 Álgebra linear
8) Consideremos as seguintes bases do : A = { (1 ,1 ) , (0, -1) } e B = { (2, -3), (-3 , 5) } .
A.
a) Determinar a matriz-mudança de base [I] .
b) Utilizar a matriz obtida no item a) para calcular Vg, sendo = (2, 3).
c) Determinar a matriz-mudança de base de B para A.
9) Repetir o problema 8 para as bases A = { (3 , -1), (1 ,-2 )} e B = {*(3, 2), (2, 2 )} , sendo 
Va = (4, 3).
10) Sqam B = { (1 , 0 ), (0, 1)} , B, = { (1 , 1), (-1 , 0 )} , B, = { ( -1 . 1), (2, -3 )} e 
B, = { (2 , 1), (-5 , - 1) } .
a) Determinar as matrizes-mudança de base:
l l ] l \ [I]® , [I]®^ [I]® e [I]®^
D D I D l>2 " 2
b) Determinar o vetor — coordenada de v = (-3, 4) em relação às bases B, B i, B2 e B3.
11) Sabendo que:
-1 4
4 -11
e B= { ( 3 ,5 ) , ( 1 ,2 ) } ,
determinar a base A.
12) Sabendo que:
m i =
-7 6
-11 8
e A = { ( 1 .3 ) , ( 2 , - 4 ) } ,
determinar a base B.
Operadores lineares 26 7
13) A base B é obtida da base canônica A do IR̂ pela rotação de-^rad. Calcular:
o
a) [I]
b) [I]
14) Consideremos as seguintes bases do
A = { ( 1 ,0 ,0 ) , ( 0 ,1 ,0 ) , ( 0 ,0 ,1 ) } e B= { ( 1 ,0 , - 1 ) , ( 0 ,1 , - 1 ) , ( - 1 ,1 ,1 ) }
.Aa) Determinar a matriz [I]
B
b) Utilizar a matriz obtida no item a) para calcular Vg, sendo = (1 ,2 , 3).
c) Determinar a matriz [I]
A
15) Se
'■ ‘ B
0 1 0 
1 1 0 
1 1 1
determinar [v ]* , sabendo que:
[v]« =
3
-2
0
16) Mostrar que para qualquer base A de um espaço vetorial, a matriz-mudança de base
[11 ^ é a matriz identidade.
A
17) Em relação aos operadores dados, determinar primeiramente a matriz de T na base A e ,a 
seguir, utilizar a relação entre matrizes semelhantes para calcular a matriz de T na 
base B.
268 Álgebra linear
a) T: IR̂ — ► IR ,̂ T (x, y) = (x + 2y, - x + y)
A = { ( - 1 ,1 ) , ( 1 ,2 ) } e B = { ( l , - 3 ) , ( 0 ,2 )}
b ) T:lR^ — >1R ^ T (x ,y ) = ( 2 x - 3 y ,x + y)
A = { ( 1 ,0 ) , ( 0 ,1 ) } e B = { ( 3 ,0 ) ,( - 2 ,- 1 ) }
c) T: IR̂ — * IR ,̂ T (x, y) = (7x - 4y, -4x + y)
A é a base canônica e B = { ( -2 ,1 ) , (1 ,2 ) }
d) T: IR3 — »■ 1R3 , T (x, y, z) = (x - 2y - 2z, y, 2y + 3z)
A é canônica e B = { ( 0 ,1 , - 1 ) , ( 1 ,0 ,0 ) , ( - l , 0 , 1)}
18) Seja T:1R ̂ — >̂ 1R̂ um operador linear. Consideremos as bases A canônica e 
B = { (4 ,1 ) , ( - 1 1 ,- 3 ) } . Sabendo que
m n =
3 5
1 2
determinar [T] ,̂ utilizando a relação entre matrizes semelhantes.
19) Seja o operador linear T; — ► R *, T (x, y) = (x + y, x - y).
a) Determinar [T]g, sendo B = {(1,2),(0,-1)} .
b) Utilizar a matriz encontrada em a) para calcular T (v)g, sabendo que v = (4,2).
20) Encontrar três matrizes semelhantes à matriz:
1 1
-1 2
Operadores lineares 269
21) Seja o IR̂ com o produto interno usual. Quais dos seguintes operadores são ortogonais?
a) T: R2
b) T:
c) T: IR̂
( ^ X - J - y , ^ X + n/^V)
IR^ T (x, y) = (-y ,-x )
1R^ T (x ,y ) = (x + y , x - y )
22) Consideremos o IR̂ com o produto interno usual. Dentre os seguintes operadores lineares, 
verificar quais são ortogonais;
a) T; JR̂
b) T: IR̂
c) T: 1R3
d) T: IR̂
1R^ T (x, y, z) = (z, X,-y)
IR ,̂ T (x, y, z) = (x, y, z)
1R^ T (x ,y ,z ) = (x ,0 ,0 )
IR ,̂ T (x, y , z) = (x, ycos d + zsen 6 , -ysen 6 + zcos 6)
23) Verificar quais das seguintes matrizes são ortogonais e, dentre estas, determinar as que 
representam rotações:
a) 3 4 b) 3 4 c) 1 2
5 5 5 5 V5 V5
4 3 3 4 2 1
5 5 5 5 V5 ’ n/5
d) 1 3 "" e) 1 0 -1 0 1 2 2
Víõ Víõ
1 1 0
3 3 3
3 1 2 2 1
Víõ -1 1 0 3 ~ 3 3
270 Álgebra linear
g) 1 1 1 h ) 1 1 1 0 COS0 0 -sen 6
V 3 n/3 y/3 V 3 ' V 6 ■ n/ 2
0 1 0
n 2 1 1 1 1
u
■ n/ 2 ' V 3 V 6 ' n/ 2 sen 6 0 COS0
2 1 1 1 2
v / 6 ■ V 6 ■ V 6 v / 3 V 6
U
24) Construir, em relação ao produto interno usual, uma matriz ortogonal cuja primeira coluna 
seja:
b)
25) Mostrar que se A e B são matrizes ortogonais, então AB também é ortogonal.
26) Mostrar, por meio da multiplicação de matrizes, que uma rotação de 30® seguida de uma 
rotação de 60® resulta em luna rotação de 90®.
27) Determinar a e b para que os seguintes operadores no IR̂ sejam simétricos:
a) T: IR̂ -----► IR ,̂ T (x, y , z) = (3x - 2y , ax + y - 3z, by + z)
b) T: IR̂ -----► IR^, T(x, y, z) = (x + 2z, ax + 4y + bz, 2x - 3y + z)
5.7.1 Respostas de Problemas Propostos
1) a) T ‘ ‘ (x, y) = (x + 2 y ,^ x + y y )
b) T*‘ (x, y) = (-3x - 2 y ,- 2 x - y)
c) T não é inversível.
Operadores lineares 271
d) T"‘ (x, y) = (x + y, -2x - y y )
e) T-* (x ,y ) = (x ,-y )
0 T ‘ ' (x, y, z) = (x - y + z, 3y - z, 2y - z)
g) T - ‘ (x ,y ,z ) = ( 2 x - y + 2 z ,-x + y - z , z )
h ) T -‘ (x ,y ,z ) = ( x , y - z , x - y )
i) T não é inversível.
j) T -‘ (x ,y ,z ) = ( ^ x + ^ y , z , ^ x - y y )
2) b) T‘ ‘ (x ,y ,z ) = (x + z , 2 x - y + z ,-z ) 
c) V = (2 ,7 ,0 )
3) V = (z, 3 - 2z, z), z E R
4) T ̂ (x, y, z) = (-y + z, -2x - 4y + 7z, x + 2y - 3z)
5) b) T '‘ (x, y) = i - j X y , ^ x + -jy )
6) a) T (x, y) = (2x - y, x + y)
b )T -* (x ,y ) = ( ^ . f , - f . f )
8) a)
K -
8 -3
5 -2
b) v_ = (7 ,4 )
272 Álgebra linear
c)
< ■
9) a)
c)
2 -3
5 -8
4 3
9 -42
-30)
8 6
5 5
9 8
"5 "5
10) a)
1 -1
1 0
0
-1
m
Bl _ -1 2 
1 -3
[I]
-3 -2
-1 -1
-8 17
■3 6
23 11b)Vg = (-3,4), Vg^=(4,7), Vg^=(l,-1), vb3 = ( ^ , - ^ ) 
11) A = {(1,3),(1,-2)}
Operadores lineares 273
12) B= { ( 3 , - 2), ( -2 ,1 ) }
13) a)
—
1 v i '
2 2
V3- 1
-
2 2
b) 1 V T '
2> 2
V3- 1
2 2
14) a) 2 1 1
-1 0 -1
1 1 1
b) Vg; = (7 ,-4 . 6)
c) 1 0 -1
0 1 1
-1 -1 1
15) -5
3
2
274 Álgebra linear
17) a) 0 -3 - 5 4
-
1 2 [T ]b = 19
~ 2 7
b)
c)
m ,
[T] =
2 -3 0 5
[TIb = 3
1 1 -3 3
7 -4
[TJb =
9 0
-4 1 0 -1
d) 1 -2 -2 1 0 0
[T] = 0 1 0 [TIb = 0 1 0
0 2 3 » 0 0 3
18)
19) a)
[T],
m « =
1 -3
-1 4
3 -1
7 -3
b )T (v )3 = (6 , 10)
21) São ortogonais a) e b)
22) São ortogonais a), b) e d)
23) São ortogonais: a), c), d), 0 , g), h), i)
São rotações: a), d), f)» 0
Operadores lineares 275
24) a)
b)
2 1
V5 V5
1 2
V5 v/5
1 2
3 .3
2 1
3 3
2 2
■ 3 3
27) a) a = -2 e b = -3 
b) a = 0 e b = -3
CAPÍTULO
VETORES PRÓPRIOS 
E
VALORES PRÓPRIOS
6.1 VETOR PRÓPRIO E VALOR PROPRIO DE UM OPERADOR LINEAR
Seja T:V ---- ►V um operador lineai. Um vetor vG V, v.9^0, é vetor próprio do
operador. T se existe X G IR tal que
T (v) = Xv
O número real X tal que T(v) = Xv é denominado valor próprio de T associado ao 
vetor próprio v.
Observações
a) Como se vé pela definição, um vetor é vetor próprio se a imagem T(v) for um
múltiplo escalar de v. No IR̂ e no diriamos que v e T(v) tém a mesma direção. Assim,
dependendo do valor de X, o operador T dilata v, contrai v, inverte o sentido de v ou o
anula no caso de X = 0.
Na Figura 6.1a, o vetor vG é um vetor próprio de um operador T que dilata v, 
porque X > 1. A Figura 6.1b mostra um vetor v que não é vetor próprio de um operador T.
b) Os vetores próprios são também denominados vetores característicos ou autovetores.
c) Os valores próprios são também denominados valores característicos ou autovalores.
276
Vetores próprios e valores próprios 211
Figiua 6.1a Figura 6.1b
Exemplos
1) O vetor V = (5, 2) é vetor próprio do operador lineai
T:R" ----- ̂ IR^ T (x ,y ) = (4x + 5y ,2x + y)
associado ao valor próprio X = 6, pois:
T(v) = T (5 ,2) = (30, 12) = 6(5, 2) = 6v
Já o vetor v = (2 ,1 ) não é vetor próprio deste operador T, pois:
T (2 ,1 ) = (1 3 ,5 )^ X (2 , 1) 
para todo XG IR.
2) Na simetria definida no IR̂ por T (v) = -v, qualquer vetor v ^ 0 é vetor próprio associado 
ao valor próprio X = -1.
Observação
Tendo em vista aplicações em questões de Geometria Analítica, serão estudados, neste 
Capítulo, somente vetores próprios e valores próprios de operadores lineares em IR̂ e em .
2 78 Álgebra linear
6.2 DETERMINAÇÃO DOS VALORES PRÕPRIOS E DOS 
VETORES PROPRIOS
1) Determinação dos valores próprios
Seja o operador linear T : , cuja matriz canônica é:
au aj2 ai3
A = a2i a22 a23
aai 332 a33
istoé, A == [T].
Se V e X são, respectivamente, vetor próprio 
dor T, tem-se:
A . V » Xv (v é matriz-coluna 3 x 1 )
ou:
A v- Xv = 0
ou:
Tendo em vista que v = Iv (I é a matriz-identidade), pode-se escrever: 
Av ̂XIv = 0
(A -X I)v = 0
Para que esse sistema homogêneo admita soluções não-nulas, isto é:
(6 .2 a )
X 0
V = y 0
z _0_
deve-se ter:
det(A -X I) = 0
Vetores próprios e valores próprios 279
ou:
f 1̂1 aj2 ai3 X 0 0 \
det 2̂1 2̂2 2̂3 0 X 0
3̂1 as2 3̂3 0 0 X
/
= 0
ou, ainda:
det
aii-X a 12 ai3
a2i a22“X a23 = 0 (6.2b)
a3i a32 333-X
A equação det (A - XI) = 0 é denominada equação característica do operador T ou da ma­
triz A, e suas raízes são os valores próprios do operador T ou da matriz A. O determinante 
det (A-XI) é um polinômio em X denominado polinômio característico.
2) Determinação dos vetores próprios.
A substituição de X pelos seus valores no sistema homogêneo de equações lineares 6.2a 
permite determinar os vetores próprios associados.
6.2.1 Problemas Resolvidos
1) Determinar os valores próprios e os vetores próprios do operador linear 
T: IR̂ ---- ► IR^, T (x, y , z) = (3x - y + z, -X + 5y - z, X - y + 3z)
Solução
I) A matriz canônica do operador T é:
A =
3 -1 1
-1 5 -1
1 -1 3
280 Álgebra linear
A equação característica do operador T é:
det (A-XI) =
3 -X -1 1
-1 5 -X -1
1 -1 3 - X
= 0
isto é, desenvolvendo o determinante pela 1? linha e observando a alternância dos sinais que 
precedem os produtos, vem:
= 0
5 -X -1 -1 -1 -1 5 -X
( 3 - X ) - ( - 1) + 1
-1 3 - X 1 3 - X 1 -1
ou:
(3 - X ) ( 1 5 -8X + X̂ - 1 ) + K - 3 + X+ 1)+ 1 ( 1 - 5 + X) = 0 
45 - 24X + 3X̂ - 3 - 15X + 8X̂ - X̂ + X - 3 + X + 1 + 1 - 5 + X = 0 
-X* + IIX^ -36X + 36 = 0
X̂ - 1IX̂ + 36X - 36 = 0
As soluções inteiras, caso existam, são divisoras do termo independente -36. Com as 
devidas substituições na equaçãoacima, constata-se que X = 2 é uma delas. Conseqüentemente, 
X - 2 é um fator do polinômio característico X̂ - 1IX̂ + 36X r 36. Se dividirmos esse 
polinômio por X - 2, a equação poderá ser apresentada como:
(X-2)(X^ -9 X + 18) = 0
e, portanto, as demais raízes são soluções da equação:
X̂ -9X + 18 = 0
Logo, os valores próprios do operador T são:
X, =2 
Xj =3 
Xs=6
Vetores próprios e valores próprios 281
II) 0 sistema homogêneo de equações lineares que permite a determinação dos vetores 
próprios associados é:
(A-XI)v = 0
Considerando
X
V = y 
z
o sistema fica:
3 -X -1 1 X 0
-1 5 -X -1 y = 0
1 -1 3 -X z 0
(6.2c)
i) Substituindo X por 2 no sistema (6.2c), obtém-se os vetores próprios associados
Xi =2:
1 -1 1 X 0
-1 3 -1 y = 0
1 -1 1 z 0
isto é:
Ix - ly + Iz = 0
-Ix + 3y - Iz = 0
Ix - ly + Iz = 0
O sistema admite uma infinidade de sibluções próprias:
z = - X
y = 0
282 Álgebra linear
Assim, os vetores do tipo Vi = (x, 0, -x) ou Vj = x ( l , 0, -1), x 0, são vetores próprios 
associados a Xi = 2 .
ii) Substituindo X por 3 no sistema (6.2c) obtém-se os vetores próprios associados a 
Xj = 3:
0 - 1 1 X 0
- 1 2 - 1 y = 0
1 - 1 0 z 0
isto é:
-y + z = 0 
-X + 2y - z = 0 
X - y = 0
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias: 
y = X 
z = X
Assim, os vetores do tipo V2 = (x, x, x) ou V2 = x ( l , 1, 1), x 0, são os vetores próprios 
associados a X2 = 3.
iii) Substituindo X por 6 no sistema (6.20), obtém-se os vetores próprios associados a
Xa = 6 :
- 3 - 1 1 X
“ - 
0
- 1 - 1 - 1 y = 0
1 - 1 - 3 z 0
isto é:
-3x - y + z = 0 
- x - y - z = 0 
X - y - 3z = 0
Vetores próprios e valores próprios 283
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias; 
y = - 2x
z = X
Assim, os vetores do tipo V3 = (x, -2x, x) ou V3 = x ( l , - 2 , 1), x=^0, são os vetores 
próprios associados a X3 = 6 .
2) Determinar os valores próprios e os vetores próprios da matriz
A =
4 5
2 1
Solução
I) A equação característica de A é:
det (A - M) =
4 - X 5
2 1 -X
= 0
isto é:
( 4 - X ) ( l - X ) - 1 0 = 0
ou:
4 - 4 X - X + X2 - 1 0 = 0 
. 5 X - 6 = 0
As raízes dessa equação são:
Xi = 6 
X2 = -1
que são os valores próprios da matriz A.
284 Álgebra linear
II) 0 sistema homogêneo de equações lineares que permite a determinação dos vetores 
próprios associados é:
( A - M ) v = 0 
Considerando:
V =
o sistema fica:
4 - X 5 X 0
2 1 - X y 0
(6.2d)
i) Substituindo X por 6 no sistema (6.2d), obtém-se os vetores próprios associados ao 
valor próprio Xi = 6:
-2 5 X 0
2 -5 y 0
isto é:
-2x + 5y = 0 
2x - 5y = 0
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias:
2y = y x
2 2Assim, os vetores do tipo Vi = ( x — x) ou Vi = x ( l , — ), x=?^0, ou, ainda, Vi = x ( 5 , 2 ) 
são vetores próprios associados ao valor próprio Xi = 6.
Vetores próprios e valores próprios 285
ii) Substituindo X por -1 no sistema (6.2d), obtém-se os vetores próprios associados ao 
valor próprio X2 = -1:
5 5 X 0
2 2 _ y _ 0
isto é:
5x + 5y = 0 
2x + 2y = 0
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias: 
y = - X
Assim, os vetores V2 - (x, -x) - x (1, -1), x 0, são os vetores próprios associados ao valor 
próprio X2 = -1.
3) Determinar os valores próprios e os vetores próprios da matriz
A =
-16 10
-16 8
I) A equação característica de A é:
det (A - XI) =
- 1 6 - X 10 
-16 8 - X
= 0
isto é:
( - 1 6 -X ) ( 8 - X ) + 160 = 0
286 Álgebra linear
ou:
-128+ 16X-8X + X̂ + 160 = 0
X* + 8X+32 = 0
As raizes dessa equação são;
-8 ± V 8 ^ - 4 X 32
A — ~z '
X =
X =
-8 + V 6 4 - 1 2 8 
2
-8 ± 8i
X, = - 4 + 4i
X, = - 4 - 4 i
e, por conseguinte, a matriz A não possui valores próprios nem vetores próprios.
Observação
Se na definição de valor próprio de um operador linear T se admitisse X qualquer, real 
ou complexo, poder-se-ia dizer que a matriz A possui valores próprios complexos e, em 
conseqüência, vetores próprios de componentes complexas. Neste texto consideraremos apenas 
valores próprios reais.
6.3 PROPRIEDADES DOS VETORES PROPRIOS
E VALORES PROPRIOS
1) Se V é vetor próprio associado ao valor próprio X de um operador linear T, o 
vetor ttv, para qualquer real a # 0, é também vetor próprio de T.
De fato;
T(v) = Xv
Vetores próprios e valores próprios 287
e:
T (ofv) = aT(v) = QL (Xv) 
ou:
T(av)= X(av)
o que prova que o vetor av é vetor próprio associado ao valor próprio X.
Aliás, os problemas resolvidos 1 e 2 servem para ilustrar essa propriedade.
Observação
Tendo em vista que av é vetor próprio associado ao valor próprio X, fazendo
OL =
|v |
pode-se obter sempre um vetor próprio unitário associado a qualquer valor próprio.
II) Se X é um valor próprio de um operador linear T : V ---- ► V, o conjunto de
todos os vetores vE V, inclusive o vetor nulo, associados a um vetor próprio X, é um 
subespaço vetorial de V.
De fato, se Vj, V2 E
T(vi + V2> = T(vi ) + T ( v2) = Xvi +Xvj =X(vi +V2)
e, portanto, Vj + V2 E S^.
Analogamente, se verifica que a v E para todo ocE IR.
0 subespaço
{ v E V/T(v) = Xv}
é denominado subespaço associado ao valor próprio X ou espaço característico de T 
correspondente a X ou auto-espaço associado a X.
288 Álgebra linear
Por exemplo, no problema resolvido n9 2 vimos que ao valor próprio X = 6 correspondem 
os vetores próprios do tipo v = x ( 5 , 2 ) . Assim, o auto-espaço associado a 6 é:
S e= { x ( 5 , 2 ) / x E IR} = [(5,2)]
que representa uma reta que passa pela origem.
III) Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico e, por isso, os mesmos 
valores próprios.
De fato:
Sejam T: V— um operador linear e A e B bases de V. Sabe-se que a relação 
entre matrizes semelhantes é [T]g = M” ̂ [T];^ M, sendo M a matriz-mudança de base de B 
para A. Então:
d et([T ]0 -XI) = det(M-' [ T ] - XI) = det(M“* [ T ] - XM"' I M) 
det([T]g -XI)= det(M-' ([T ]^ -XI)M) = detM"' det ( [T] ^ - XI)det M 
det([T]g - X I )= d e tM - ' detMdet( [T]^ - XI) = det(M"'M) det([T ]^ -XI)
det([T ]3 - X I ) = d e t ( [ T ] ^ - X I )
Vetores próprios e valores próprios 289
6.4 DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES
Sabe-se que, dado um operador linear T:V — ►V, a cada base B de V corresponde uma 
matriz [T] ̂ que representa T na base B. Nosso propósito é obter uma base do espaço de 
modo que a matriz de T nessa base seja a mais simples representante de T. Veremos que essa 
matriz é Uma matriz diagonal.
6.4.1 Propriedade
Vetores próprios associados a valores próprios distintos de um operador T:V -----► V são
linearmente independentes.
Faremos a demonstração para o caso de Xi e X2 distintos. A prova para o caso de n 
valores próprios distintos é análoga.
Sejam T(vi ) = XiVi e T(v2) = X2V2, com Xi ^ X 2 -
Consideremos a igualdade:
aiVi + a2V2 = 0 ( 1)
Pela linearidade de T, tem-se:
a iT( v , ) + aiT(v2) = 0
ou:
a i X i Vi + a2X2V2 = 0 (2)
Multiplicando ambos OS membros da igualdade de (1) por Xi, vem:
a^X^Vj a2XjV2 “ 0 
Subtraindo (3) de (2):
(3)
aiíXj -Xi )v2 = 0
Mas:
X2 — Xj ^ 0 e V2 ^ 0
290 Álgebra linear
lo g o :
0
Substituindo a2 por seu valor em (1), tendo em vista que Vj vem:
ai = 0
Logo, o conjunto { Vj, Vj } é LI.
Corolário
Sempre que tivermos um operador T:F^ -----com Xi =^\2, o conjunto { v i , V2 } ,
formado pelos vetores próprios associados, será uma base do . Este fato vale em geral, isto é,
se T:V -----►V é linear, dimV = n e T possui n valores próprios distintos, o conjunto
{ Vi, V2 , v„ } , formado pelos correspondentes vetores próprios, é uma base de V.
Exemplo
Seja o operador linear
T:1R* ----- ̂ 1R^ T(x ,y) = ( - 3 x - 5 y , 2 y )
A matriz canônica de T é:
A =
-3 -5
0 2
A equaçSò característica de T é:
d e t ( A - M ) =
-3 - X -5 
0 2 - X
= 0
Vetores próprios e valores próprios 291
ou:
( - 3 - X ) ( 2 - X ) = 0
X̂ + X - 6 = 0
e, portanto, Xi = 2 e X2 = -3 sío os valores próprios de T. Como Xj 9̂ X2 , os correspondentes 
vetores próprios formam uma base de JR .̂
Calculandoos vetores próprios por meio do sistema homogêneo
- 3 - X -5 X 0
0 2 - X _y_ 0
obteremos:
• para Xi = 2 os vetores Vj = x ( l , - l ) ;
• para X2 = -3 os vetores V2 = x ( - l , 0 ) .
Logo, o conjunto
{ ( 1 , - 1 ) , ( - 1 , 0 ) }
é uma base de IR^.
Por outro lado, sempre que tivermos uma base de um espaço formada por vetores próprios 
e conhecermos os valores próprios associados, poderemos determinar o respectivo operador nesse 
espaço. É o que faremos no próximo problema.
6.4.2 Problema Resolvido
4) Os valores próprios de um operador linear T:IR ̂ -----►IR̂ são Xi = 2 e X2 = - 3 , sendo
Vj = ( 1 , - 1 ) e V2 = ( -1 ,0) respectivos vetores associados. Determinar T(x, y).
Solução
Expressemos, inicialmente, (x, y) em relação à base { (1 , -1 ) , ( - 1 ,0 ) } 
(x ,y) = a ( l , - l ) + b ( - l , 0 )
292 Álgebra linear
ou:
a - b = X
-a = y
donde:
mas;
logo:
ou:
a = -y e b = - x - y 
Logo:
(x, y) = -y (1, -1) + (-X -y) ( -1 ,0) 
Aplicando o operador T, vem:
T (x, y) = -yT (1, -1) + (-x -y) T (-1 ,0)
T ( l , - l ) = 2 ( l , - l ) = (2 ,-2)
T ( - l , 0 ) = - 3 ( - l , 0 ) = (3, 0)
T ( x , y ) = - y ( 2 , - 2 ) + ( - x - y ) ( 3 , 0 )
T(x, y) = ( - 3 x - 5y, 2y)
Observação
Chamando de B a base acima, isto é:
B= { ( 1 , - 1 ) , ( - 1 . 0 ) }
Vetores próprios e valores próprios 293
e observando que:
T ( l , - l ) = 2 ( l , - l ) = 2 ( l , - l ) + 0 ( - l , 0) 
T ( - l , 0 ) = - 3 ( - l , 0 ) = 0 ( l , - l ) - 3 ( - l , 0 )
concluímos que a matriz
[ T ] b =
2 0
0 -3
representa o operador 
são Xi e X2*
T
6.4.3 Propriedade
Consideremos um operador linear T em IR̂ que admite valores próprios X i, \2 e X3 
distintos, associados a v j , V2 e V3 , respectivamente. O corolário da propriedade anterior nos 
assegura que o conjunto P = { Vi, V2 , V3 } é uma base do IR®:
Tendo em vista que
T ( v i ) = XiV, = X iV , +OV2 +OV3 
T ( V 2 > = X2V2 = 0V i + X2V2 + O V 3 
T ( V 3 ) = X s V 3 =0v, +OV2 + X 3 V3,
o operador T é representado na base P dos vetores próprios pela matriz diagonal;
D =
X , 0 0
0 X 2 0
0 0 X 3
constituída de valores próprios na diagonal principal.
294 Álgebra linear
Sendo A a matriz canônica do operador T, as matrizes A e D são semelhantes por 
representarem o mesmo operador T em bases diferentes. Logo, a relação entre matrizes 
semelhantes (5.4) permite escrever:
D = M-^AM
sendo M a matriz-mudança de base P para a canônica C= { e i , e 2 , e 3 } , onde ei = ( 1 , 0 , 0 ) , 
62 = ( 0 , 1, 0) e ea = ( 0 , 0 , 1).
Como;
M= [ I ] ç = C-^ P = I ' P = P 
a relação anterior escreve-se:
D = P-^AP (6.4.3)
sendo P a matriz cujas colunas são os vetores próprios do operador I (estamos designando 
por P tanto a base dos vetores próprios quanto a matriz acima descrita; no contexto identifica-se 
quando é uma e quando é outra).
A relação (6.4.3) motiva a definição a seguir:
A matriz quadrada A é diagonalizável se existe uma matriz inversível P tal que P"̂ AP 
seja diagonal
Diz-se, nesse caso, que a matriz P diagonaliza A, ou que P é a matriz diagonalizadora.
A definição acima pode ser expressa de modo equivalente: Um operador linear T: V '-----► V
é diagonalizável se existe uma base de V formada por vetores próprios de T.
6.4.4 Problemas Resolvidos
5) Determinar uma matriz P que diagonaliza:
A =
3 -1 1
-1 5 -1
1 -1 3
e calcular P“^AP.
Vetores próprios e valores próprios 295
Solução
No problema resolvido de número 1 já calculamos os valores próprios e os vetores próprios 
de A e encontramos Xj = 2 e Vi = ( 1 ,0 , -1), X2 = 3 e V2 = (1, 1, 1), X3 = 6 e V3 = (1, -2, 1).
Como os \ sío distintos, o conjunto P= { v i , V 2 ,V3 } forma base do e, portanto, 
a matriz
P =
1 1 1
0 1 - 2
- 1 1 1
diagonaliza A. 
Calculemos:
1 n 1
2 U ‘ 2
P-‘AP = 1 1 1
3 3 3
1 1 1
6 " 3 6
1
2 0 1
" 2
P-*AP = 1 1 1
3 3 3
1 1 1
6 ■ 3 6
2 0 0
P-'AP = 0 3 0
0 0 6
3 -1
1 5
1 -1
= D
-1
1 1 1
0 1 -2
-1 1 1
2 3 6
0 3 -12
-2 3 6
296 Álgebra linear
6) Seja T: IR̂ ---- ► IR̂ um operador linear dado por:
T (x , y) = (4x + 5y, 2x + y)
Encontrar uma base de IR̂ em relação à qual a matriz de T é diagonal.
Solução
A matriz canônica do operador T é:
A =
Pelo problema resolvido de número 2, os valores próprios são Xi = 6 e X2 = -1 , e os 
respectivos vetores próprios são Vi = x ( 5 , 2 ) e V2 = x ( l , - l ) .
A base em relação à qual a matriz de T é diagonal é P= { (5 ,2) , ( 1 , - 1 ) } , base dos 
vetores próprios.
Pôr conseguinte, a matriz:
P =
5 1
2 -1
é a matriz que diagonaliza A, isto é:
P - ‘AP =
4 5 5 1 6 0
2 1 2 -1 0 -1
= D
Vetores próprios e valores próprios 297
Observação
Se na matriz P trocarmos a ordem dos vetores-coluna, isto é, tomarmos
P =
1 5
- 1 2
a matriz diagonal D = P ̂AP será:
D =
-1 0
0 6
7) Determinar uma matriz P que diagonaliza
A =
2 1 0
0 1 -1
0 2 4
Solução
I) A equaçáo característica de A é:
det (A-XI) =
2 - X 1 0
0 1 -X -1
0 2 4 - X
= 0
298 Álgebra linear
isto é, desenvolvendo o determinante pela linha e observando a alternância dos sinais que 
precedem os produtos, vem:
= 0
1 - X -1 0 -1 0 1 -X
( 2 - X ) -1 + 0
2 4 - X 0 4 - X 0 2
( 2 - X ) [(1 - X ) ( 4 - X ) + 2] - 0 + 0 = 0
(2 - X) (4 - 5X + X " + 2) = (2 - X ) (X^ - 5X + 6) = (2 - X ) (2 - X ) (3 - X ) = 0 
e daí:
Xi = 2 e X2 “ 3
(o número 2 é uma raiz dupla da equação).
II) Calculando os vetores próprios por meio do sistema homogêneo:
2 - X -1 0 X 0
0 1 -X -1 y = 0
0 2 4 - X z 0
obteremos:
• para Xi = 2 um só vetor próprio LI, Vj = ( 1 , 0 , 0 ) ;
• para X2 = 3 um só vetor próprio LI, V í = ( 1 . 1 , - 2 ) .
III) Como só existem dois vetores LI de nío existe uma base P constituída de 
vetores próprios. I^ogo, a matriz A não é diagonalizável
Observação
O problema resolvido número 9 mostrará um exemplo de matriz A que também, como 
esta, só possui dois valores próprios, porém, em correspondência, existe uma base P de vetores 
próprios e,conseqüentemente, A é diagonalizável.
Passaremos a estudar um caso particular muito importante de diagonalizaçâo.
Vetores próprios e valores próprios 299
6.5 DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES SIMÉTRICAS
6.5.1 Propriedades
I) A equação característica de uma matriz simétrica tem apenas raízes reais.
Faremos apenas a demonstração para o caso de uma matriz simétrica A de ordem 2. 
De fato: seja a matriz
A =
A equação característica de A é: 
p - X r
det (A -X I) =
r q - X
= 0
isto é:
ou:
( p - X ) ( q - X ) - r 2 = 0
pq - Xp - Xq + X̂ - r̂ = 0 
X̂ - ( p + q ) X + ( p q - r ^ ) = 0
O discriminante dessa equação do 29 grau em X é:
(P - ^(P9 - = P̂ ̂ 2pq + q̂ - 4pq + 4r ̂ = (p - q) ̂ + 4r^
Tendo em vista que esse discriminante é uma soma de quadrados (não-negativa), as raízes 
da equação característica são reais e, por conseguinte, a matriz A possui dois valores próprios.
II) Se T:V--------► V é um operador linear simétrico com valores próprios distintos, então
os vetores próprios são ortogonais.
300 Álgebra linear
De fato:
Sejam Xi e X2 dois valores próprios do operador simétrico T e Xi X2 . Sejam ainda 
T(vi ) = XiVi e T(v2) = X2V2 . Pretendemos mostrar que
Vj .V2 = 0
ou:
Sendo T um operador simétrico, pela propriedade 5.6.1, vem:
T(Vi ).V2 =V, .T(V2)
XiV, .Vj = v , .X2V2
ou:
Xl(Vi .V2)-X2(Vi .V2)=0
ou, ainda:
(Xl - X 2 KV, .V2 ) = 0
Mas,
Xi - X2 0 implica v̂ . V2 = 0, ou seja:
Vl IV2
III) Em 6.4.3 vimos que uma matriz A é diagonalizada pela matriz P dos vetores próprios 
através de:
D = P-'AP (6.5.11
No caso particular de A ser simétrica e P uma base, pela propriedade anterior, P será 
base ortogonal. Conseqüentemente, dessa base obtém-se uma base ortonormal, considerando 0 
vetor unitário de cada vetor.
Vetores próprios e valores próprios 301
Assim, de acordo com a propriedade V de 5.5.1, os vetores próprios unitários formarão 
uma matriz ortogonal. E, sendo P uma matriz ortogonal, pela propriedade I de 5.5.1, tem-se 
p -i _ pt Portanto a relação(6.5.1) fica:
D = P̂ AP
e, nesse caso, diz-se que P diagonaliza A ortogonalmente,
6.5.2 Problemas Resolvidos
8) Determinar uma matriz ortogonal P que diagonaliza a matriz simétrica:
A =
7 -2
-2 6
0 -2
Solução
I) A equação característica de A é:
d e t ( A - M ) =
7 - X -2 0
-2 6 - X -2
0 -2 5 - X
= 0
isto é, desenvolvendo o determinante pela 1? linha e observando a alternância dos sinais que 
precedem os produtos, vem:
( 7 - \ )
6 - X -2 -2 -2 -2 6 - X
-(-2) + 0
-2 5 - X 0 5 -X 0 -2
= 0
( 7 - X ) [ ( 6 - \ ) ( 5 - \ ) - 4 ] + 2 [ - 2 ( 5 - \ ) + 0] + 0 = 0 
(7 - \ ) ( 6 - X)(5 - X) - 28 + 4X - 4 ( 5 -X) = 0
302 Álgebra linear
( 7 - X ) ( 6 - X ) ( 5 - X ) - 2 8 + 4 \ - 2 0 + 4X = 0 
(7 - \) (6 - X)(5 - X) - 4 8 + 8X = 0 
( 7 - X ) ( 6 - X ) ( 5 - X ) - 8 (6 -X) = 0 
( 6 - X ) [ ( 7 - X ) ( 5 - X ) - 8 ] = 0 
( 6 - X ) ( 3 5 - 1 2 X + X * - 8) = 0 
(6 -X)(X^ - 1 2 X + 2 7 ) = 0 
( 6 - X ) ( X - 3 ) ( X - 9 ) = 0
As raízes dessa equação são Xi = 3, X2 = 6 e X3 = 9 e, por conseguinte, são valores pró­
prios da matriz A.
II) O sistema homogêneo de equações lineares que permite a determinação dos vetores 
próprios associados é:
(A -X I) v = 0
i
Considerando
V =
0 sistema fica:
7 - X _2 0 X 0
-2 6 -X -2 y = 0
0 -2 5 - X z 0
(6.5.2a)
i) Substituindo X por 3 no sistema (6.5.2a), obtém-se os vetores próprios associados 
a Xj “ 3:
Vetores próprios e valores próprios 303
4 - 2 0 X 0
- 2 3 - 2 y = 0
0 - 2 2 z 0
isto é:
4x - 2y + Oz = 0 
-2x + 3y - 2z = 0 
Ox - 2y + 2z = 0
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias:
y = 2x 
z = 2x
Assim, os vetores Vi = (x, 2x, 2x) = x ( l , 2, 2) são os vetores próprios associados ao 
valor próprio Xi = 3. Fazendo:
X =
1 1
+2^ + 2 ̂ 3
1 2 2obtém-se o vetor próprio unitário Uj associado a X i = 3 .
ii) Substituindo .X por 6 no sistema (6.5.2a), obtém-se os vetores próprios associados a
X2 =6:
1 - 2 0 X 0
- 2 0 - 2 y = 0
0 - 2 - 1 z 0
isto é:
Ix - 2y = 0 
-2x - 2z = 0
- 2y - z = 0
304 Álgebra linear
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias:
1y
Z = - X
Assim, os vetores V2 - ( x , y x , - x ) = -1) são os vetores próprios associados ao valor
próprio X2 = 6 . Fazendo
X =
+ 1
2 1 2
obtém-se o vetor próprio unitário U2 = associado a X2 = 6 .
iii) Substituindo X por 9 no sistema (6.5.2a), obtém-se os vetores próprios associados 
a X3 = 9 :
-2 -2 0 X 0
-2 -3 -2 y 0
0 -2 -4 z 0
isto é :
- 2x - 2y = 0 
- 2x - 3y - 2z = 0 
- 2y - 4z = 0
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias:
y = -x
1 X
Assim, os vetores V3 = (x, -x ,-y x ) = x ( l , -1»“^ ) são os vetores próprios associados ao valor
próprio X3 = 9.
Vetores próprios e valores próprios 305
Fazendo
1_ ^ 2 ^ 
9 3
2 2 1obtém-se o vetor próprio unitário U3 = (“3 associado a X3 = 9 .
III) A matriz P, cujas colunas são as componentes dos vetores próprios unitários U i, U2 e 
U3 associados aos valores próprios X i, \2 e X3 éortogonal:
P =
1 2 2
3 3 3
2 1 2
3 3 ■ 3
2 2 1
3 ■ 3 3
t t t
Ul «2 U3
De fato:
Ui .U, ( 3 . 3 . 3 ) ( 3 - 3 >3 ) 9 ■'■9■ '■ 9 *
- í l L 2l\ - ± + L + ± - 1
U2 .U2 '^3 >3 ’ " 3 - ' * - 3 ’ 3 >~3 ̂ 9 9 9
-rl. 2l1\ í l . 2 l s _ 4 ^ 4 M _ ,U3 .U3 9 + 9 + 9 - í
1 2 2 2 1 2 . 2 4
^ 3 ’ 3 ’ 3 ^ ' ^ 3 ’ 3 ’” '3̂ o ^ q ” o ®9 9 9
1 2 2 , . 2 2 K _ 2 4 ^ 2 _ _
Ui .U3 ( 3 . 3 . 3) (3 3 . 3 ) 9 " 9'’’9 °
_ . 2 1 2 . 1 L \ - ± 1 2__„
^ ’ 3 ’ " 3 ^ ‘ ^ 3 ’ ’ 3 ’ 3^ 9 9 9 ^
306 Álgebra linear
A matriz P é a matriz diagonalizadora. De fato: 
D = P * AP = P* AP
isto é:
D =
D =
D =
1 2 2
3 3 3
2 1 2
3 3 " 3
2 2 1
3 “ 3 3
1 2- 2
3 3 3
2 1 2
3 3 ' 3
2 2 1
3 ' 3 3
3 0 0
0 6 0
0 0 9
7 -2
-2 6
0 - 2
-2
1 4 6
2 -6
2 - 4 3
2^
3
3
3
9) Seja o operador linear simétrico T : IR̂ IR̂ definido pela matriz:
A =
1 0 -2
0 0 0
-2 0 4
Determinar uma matriz ortogonal P que diagonaliza A.
Vetores próprios e valores próprios 307
Solução
I) A equação característica de A é:
1 -X 0 -2
det(A-XI) = 0 -X 0
-2 0 4 - X
= 0
isto é, desenvolvendo o determinante pela 1? linha e observando a alternância dos sinais que 
precedem os produtos, vem:
= 0
-X 0 0 0 0 -X
( 1 -X ) - 0 + (-2)
0 4 - X -2 4 - X -2 0
ou:
(1 - X) (-X) (4 - X) - 0 - 2 (-2X) = 0 
(1 -X ) ( -X ) (4- X ) + 4X = 0
- X ^ + 5X^=0 X"(5-X) = 0
As raízes dessa última equação são Xi = 0, X2 = 0 e X3 = 5 e, por conseguinte, são va­
lores próprios do operador linear simétrico T.
II) O sistema homogêneo de equações lineares que permite a determinação dos vetores 
próprios associados é:
(A-X I)v = 0
Considerando
V =
X
y
z
308 Álgebra linear
o sistema fica:
1 - X 0 -2 x 0
0 - X O y = 0
-2 0 4 - X z 0
(6.5.2b)
i) Substituindo X por 0 no sistema (6.5.2b), obtém-se os vetores próprios associados a 
Xj = 0 e X2 “ 0:
1 0 -2 X 0
0 0 0 y = 0
-2 0 4 z 0
isto é:
X - 2z = 0 
-2x + 4z = 0
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias:
z = —X e y qualquer
Assimim, os vetores v = (x, x) são os vetores próprios associados a Xi = 0 e X2 = 0.
Fazendo x = 2 e y = 0, por exemplo, obtém-se um vetor Vj = (2 ,0 ,1) ; fazendo x = 0 
e y = l , por exemplo, obtém-se outro vetor V2 = ( 0 , 1 , 0 ) . Os vetores próprios v̂ e V2 , 
linearmente independentes, são associados ao mesmo valor próprio X = 0.
Os vetores próprios unitários, associados a Xi = 0 e X2 = 0, são:
1 r 2 . 1 ,
Uj = ;---- ; V2 = ( 0 , 1 , 0 )
I V2 I
Vetores próprios e valores próprios 309
ii) Substituindo X por 5 no sistema 6.5.2b, obtém-se os vetores próprios associados
a X3 = 5:
-4 0 -2 X 0
0 -5 0 y = 0
-2 0 -1 z 0
isto é:
-4x - 2z = 0
-5y = 0
-2x - z = 0
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias:
z = - 2x 
y = 0
Assim, os vetores V3 = (x, 0, -2x) = x ( l , 0, -2) são os vetores próprios associados a X3 = 5. 
Fazendo
X = 1 1
v/l + 0 + 4 v̂ 5
1 2obtém-se o vetor próprio unitário U3 = (—̂ , 0 , -"7 =) associado a X3 = 5.
V5 v 5
III) A matriz P, cujas colunas são as componentes dos vetores próprios unitários 
U i, U2 e U3, associados aos valores próprios X i, X2 e X3, é ortogonal:
P =
2 n 1
V5
u
V5
0 1 0
1 0 2
n/5 ‘ V5
t t t
Ul U2 U3
310 Álgebra linear
De fato:
Ui . Ui = Uj . Uj = U3 . U3 = 1
«1 • Uj = Ui • U3 = “ 2 • U3 = 0
IV) A matriz P é a matriz diagonalizadora. 
De fato:
D = p - i AP = P‘ AP
2 r\ 1 1 n 0
V5-
0
v r
U -Z
D = 0 1 0 0 0 0
1
_V T
0
__ 2_
' y / 5 _ -2 0 4
~ 2
V 5
0
1
V5
0 0
5
n/T
D = 0 1 0 0 0 0
1
0
2 10
_v/T ■V5_ 0 0
' v T _
2
V T
0
' X
v / r
1
0
1
V5
X
V5
D =
0 0 0
0 0 0
0 0 5
10) Seja o operador linear simétrico T: F* • definido pela matriz
A =
4 12
.12 -3
Vetores próprios e valores próprios 311
Determinar a matriz ortogonal P que diagonaliza A.
Solução
I) A equação característica de A é:
det (A-XI) =
4 - X 12
12 - 3 - X
= 0
isto é:
( 4 - X ) ( - 3 - X ) - 1 4 4 = 0
ou:
- 1 2 - 4 X + 3 X + X̂ - 1 4 4 = 0 
X̂ - X - 156 = 0
II) As raízes dessa equação são:
Xi = - 1 2
X2 = 13
e, por conseguinte, Xi = -12 e X2 = 13 são os valores próprios do operador linear T.
II) O sistema homogêneo de equações lineares que permite a determinação dos vetores 
próprios associados é:
(A -X I) v = 0.
Considerando
V =
312 Álgebra linear
o sistema fica:
4 - \ 12 X 0
12 - 3 - X _y_ 0
(6.5.2c)
i) Substituindo X por -12 no sistema (6.5.2c), obtém-se os vetores próprios associados 
a Xi = - 12:
16 12 X 0
12 9 y 0
isto é:
Fazendo:
16x + 12y = 0
12x + 9y = 0
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias:
4y = -3 X
4 4Assim, os vetores Vi = ( x , x ) = x ( l , - - j ) são os vetores próprios associados a \ \ = -1 2 .
x = - 1 j _ ^ 2 . 
'IS 5
3 4
obtém-se o vetor próprio unitário Ui “ ('^» “y ) associado ao valor próprio Xi = - 12.
ii) Substituindo X por 13 no sistema (6.5.2c), obtém-se os vetores próprios associados a
Xo = 13:
-9 12 X 0
12 - 1 6 y 0
Vetores próprios e valores próprios 313
isto é:
-9x + 12y= 0 
12x - 16y = 0
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias:
y = 4 ^
3 3Assim, os vetores V2 = (x, -^x) = x ( l , são os vetores próprios associados a X2 = 13. Fa­
zendo:
■‘ " A T i : ' / s
V 16 V 16
L -
5
A 3obtém-se o vetor próprio unitário U2 = ( y associado ao valor próprio X2 = 13.
III) A matriz P, cujas colunas sao as componentes dos vetores próprios unitários Ui e U2 
associados aos valores próprios Xi e X2 , é ortogonal:
_3_
5
5
De fato:
Ui . Ui = U2 . U2 = 1 
Ui . U2 = 0
A matriz P é a matriz diagonalizadora. 
De fato:
D = P-*AP = P‘AP
3 ]4 Ãlgebra linear
P =
3 4 4 12 3 4
5 "5 5 5
4 3 12 -3 4 3
5 5 ■5 5
D =
ÍÉ
5
4S
5
5
39
5
D =
-12 0
0 13
6.6 PROBLEMAS PROPOSTOS
1) Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são vetores próprios das correspon­
dentes matrizes;
a) v = ( -2 ,l ) .
1 1 1
b) v = ( l , 1, 2), 0 2 1
0 2 3
1 -1 0
c) v = ( - 2 ,1 ,3), 2 3 2
1 2 1
Vetores próprios e valores próprios 315
2) Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformações lineares:
a) T: >■ IR^, T (x, y) = (x + 2y, -x + 4y)
b ) T:lR^ ---<• IR^ T (x ,y ) = (2x + 2 y ,x + 3y)
c ) T;lR^ ---> IR ,̂ T (x ,y ) = (5 x -y ,X + 3y)
d ) T:lR' — <• 1R^ T (x ,y ) = (y ,-x )
e) T:1R ̂ -----*-lR^, T(x, y, z) = (x + y + z, 2y + z, 2y + 3z)
0 T:1R ̂ -----»• IR^ T (x ,y ,z ) = ( x , - 2 x - y , 2x + y + 2 z )
g)T:lR^ ----- ̂ IR^ T (x ,y ,z ) = (x + y ,y ,z )
3) Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes:
a)
A =
b)
A =
d)
A =
1 3
e) 1 0 0
-1 5 A = 1 1 -2
0 1 -1
2 1
0
P
3 2 1
3 4 A = 1 4 1
1 2 3
1 -1 0
g) 3 3 -2
2 3 2
A = 0 -1 0
1 1 2
8. 6 -5
3 -1 -3 h) 0 0 2
0 2 -3 A = 0 -1 0
0 0 -1 2 0 0
316 À Igebra linear
4) Provar as seguintes proposições:
a) Se um operador linear T:V 
inversível.
'V admite X = 0 como valor próprio, então T não é
b) Uma matriz A e sua transposta possuem os mesmos valores próprios.
c) Os valores próprios de uma matriz triangular (ou diagonal) são os elementos da diagonal 
principal.
5) Os vetores V i = ( l , l ) e V 2 = ( 2 , - l ) são vetores próprios de um operador linear 
T:1R ̂ — ►IR̂ , associados a Xi = 5 e X2 = - l , respectivamente. Determinar a imagem 
do vetor v = (4, 1) por esse operador.
6) a) Determinar o operador linear T:1R ̂ ---- cujos valores próprios são Xi = 1 e
X2=3 associados aos vetores próprios Vi = (y ,-y ) e V2 = (0 ,y ), respectivamente.
b) Mesmo enunciado para Xj = 3, X2 = -2 e Vi = x ( l , 2), V2 = x ( - l , 0).
7) a) Quais são os valores próprios e os vetores próprios da matriz identidade?
b) Se X i = 4 e X2 = 2 são valores próprios de um operador linear T:IR^----- ►IR̂ ,
associados aos vetores próprios u = ( 2 , l ) e v = ( - l , 3 ) , respectivamente, determinar 
T ( 3 u - v )
c) Mostrar que se u e v são vetores próprios de uma transformação linear associados a 
X, então au - /3v é também vetor próprio associado ao mesmo X.
8) Seja T: R^ uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor
u = (2, 1) e triplica o comprimento do vetor v = ( l , 2 ) , sem alterar as direções nem 
inverter os sentidos.
a) Calcular T (0, 3).
b) Determinar T(x, y).
c) Qual a matriz do operador T na base { (2,1), ( 1 , 2 ) } ?
9) a) Determinar as matrizes das rotações em R^ que admitem valores e vetores próprios, 
b) Determinar os valores e os vetores próprios das rotações referidas em a).
Vetores próprios e valores próprios 317
10) Seja T:V -----um operador linear não-inversível. Os vetores não-nulos do núcleo de
T são vetores próprios? Em caso afirmativo, determinar o valor próprio associado e, 
em caso negativo, justificar.
11) Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diago- 
naliza A e calcular P"^AP.
a)
b)
A =
A =
c)
d)
A =
A =
2
3
9
4
5 
1
1
-1
0
4
1
1
6
-1
0
A =
g)
A =
h)
A =
2 3 -1
0 1 -4
0 0 3
1 -2 -2
0 1 0
0 2 3
3 0 -2
-5 1 5
2 0 -1
e)
A =
1
-2
0
0
3
- 4
0
-1
3
12) Seja T:1R ̂ -----►IR̂ o operador linear definido por
T (x, y) = (7x - 4y, -4x + y)
a) Determinar uma base do IR̂ em relação à qual a matriz do operador T é diagonal.
b) Dar a matriz de T nessa base.
318 Álgebra linear
13) Para cada uma das seguintes matrizes simétricas A, encontrar uma matriz ortogonal F, para 
aqualP^AP seja diagonal:
a)
b)
c)
A =
A =
A =
2 2 d) 1 1
2 2
A = 0 -1 0
1 0 1
3 -1
e) 7 -2 -2’
-1 3
A = -2 1 4
2 2 -2 4 1
2 5
14) Determinar uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e calcular P ̂AP.
a)
b)
A =
A =
c)
A =
5
3
0
0
2
3
-1
1
3
5
0
-1
0
-1
5
-1
d) 6 0 6
A = 0 - 2 0
6 0 1
e) 2 -2 -1
A = -2 2 1
-1 1 5
6.6.1 Respostas de Problemas Propostos
1) a) sim b) sim c) não
2) a ) X i = 3 , v i = ( y , y ) ; X2 = 2, V2 = (2y,y)
Vetores próprios e valores próprios 319
b) X, = 1, V, = y ( - 2 , 1); Xj =4 , = x ( l , 1)
c) X, =X2 = 4 , v = x ( l , 1)
d) NSo existem.
e ) X, =X2 = 1, v = (x ,y , -y ) ; Xj = 4, V 3 = x ( l , l , 2 )
f ) X, = 1 , V, = z ( 3 , - 3 , 1); X2 = - l , V2 = z ( 0 , - 3 , 1); X3 = 2 , V3 = z ( 0 , 0 , 1)
g) Xi = X2 = X3 = 1, V = (x, 0, z), X e z não simultaneamente nulos.
3) a )Xi = 2, v i = y ( 3 , 1); X2 = 4 , V2 = y ( l , l )
b ) X, = 1, V, = ( -y , y ) ; X2 = 5, V2 =( x , 3x)
c ) Xi = l , V i= ( x , 0 , -x); X2 = 2 , V2 = ( ~ 2 z , 2 z , z ) ; X3 = 3 , V3 = ( x , - 2 x , -x )
d ) X , = - l , v , = x ( l , l , l ) ; X2 = 2, V2 = x ( 1 , 1 , 0 ) ; X 3 = 3 , V 3 = x ( 1 , 0 , 0 )
e) Xi = 1, Vj = ( 2z, 2z, z); X2 e X3 imaginários
f ) Xi = 2, V, = ( x , y , - x - 2 y ) ; X2 = 6 , V2 = ( x , x , x )
3
g) X, =X2 =X3 = - l , V = ( x , y , 2 x + y y)
h ) X , = 2 , v i = x ( l , 0 , l ) ; X2 = - l , V2 = y (0 , 1,0); X3 = - 2 , V3 = x ( l , 0 , - 1)
5) (8 , 11)
6) a) T (x, y) = (x, 2x + 3y)
b) T(x ,y ) = ( -2 x + - |y , 3y)
7) a) X = 1, todos os vetores do espaço com exceção do vetor nulo. 
b) (26,6)
s 9 ? in
8) a) (2,10); b) T(x, y) = ( y x + y y , - - j x + — y); c)
2
0
320 Álgebra linear
9) a) 1 0 -1 0
(rotação de 0'̂ ) e
0 1 0 -1
(rotaçao de 180' )̂
b) X = 1 e X = -1, respectivamente; com exceção do vetor zero, todos os vetores do IR̂ 
são vetores próprios.
10) Todos os vetores do núcleo, com exceção do zero, são vetores próprios associados a X = 0.
a) 1 4 -2 0
P =
-1 3
, p - ‘ AP =
0 5
b) 1 1 10 0
P =
1 -4
, p - ‘ AP =
0 5
c) Não diagonalizável.
d) 2 1 0 3 0 0
P = 1 0 1 , p - ’̂ AP = 0 2 0
2 1 -2 0 0 1
e) Não diagonalizável.
0 -3 1 -7 1 0 0
P = 1 0 -2 , P * AP = 0 2 0
0 0 1 0 0 3
g) 0 1 -1 1 0 0
P = 1 0 0 , p - ‘ AP = 0 1 0
-1 0 1 0 0 3_
h) Não diagonalizável.
Vetores próprios e valores próprios 321
12) a) { ( -2 ,1 ) , ( 1 ,2 ) } 
b) 9 0
0 -1
13) a)
b)
P =
c)
P =
14) a)
P =
_ 1
V 2
1
V 2
1 1
7 2
1
s / 2
1 ~ 
" v /5
1 1
v ^ _
1
n/ ^
2
’ v/5
2 1
V 5 _
1
v/2
1
■ V 2
1
v/2
1
v 7
d)
P =
e)
P =
1
s/2
0
1
1
n/3
V3
n/3
P‘AP =
1
V2
0
1
V2
2
'V6
1
1
v/6
0
1
0
0
V 2
1
V2
b)
1
v/2
0 1
/̂2 2 0 0
P = 0 1 0 . P*AP = 0 -1 0
1
v/2
0 1 0 0 -2
322 Álgebra linear
c)
P =
1 1 1
v/2 2 0 0~
0
1 2 , P - ‘AP = 0 3 0
V3 ' V 6
0 0 6
1 1 1 —J
■ V2 V3 V6
d)
P =
0
3 2
n/T3 V Í3 -2 0 0~
1 0 0 , P - ‘AP = 0 10 0
0 0 -3
__ ^ 3 •— —
0 v/Í3 ’ v /l3
e) 1 1 1
’ V 6 V3 v/2 6 0 0
1 1 1 , P - ‘AP = 0 3 0
n/6 " V3 y/2
0 0 0
2 1 0
—*
V 6 V 3
CAPÍTULO
7.1 FORMA QUADRATICA NO PLANO
A matriz simétrica real:
A =
associa ao vetor Vg = (x, y) E IR^, referido à base canônica 
S = { e i , e 2 ) , e i = ( l , 0 ) e e 2 = ( 0 , 1), o polinômio 
ax ̂ + by ̂ + 2cxy
que é um polinômio homogêneo do 29 grau em x e y chamado forma quadrática no plano. 
Na forma matricial esse polinômio é representado por
v*AVs = [x y]
sendo a matriz simétrica A a matriz da forma quadrática.
323
324 Álgebra linear
Assim, a cada vetor Vg corresponde um número real: 
p = ax ̂ + by ̂ + 2cxy
Estamos designandotanto o par (x, y) quanto a matriz 
É fácil identifícar em que contexto cada um estará sendo usado.
-.simplesmente por Vg.
Exemplo
A matriz simétrica real:
A =
define no IR̂ a forma quadrática 
p = 4x^ - 3y^ + 24xy 
ou, na forma matricial
4 12
12 -3
4 12
12 -3
p= [x y]
Ao vetor Vg = (1,2), por exemplo, corresponde o número real 
P = 4(1)2 -3(2)'= + 24(1) (2) = 4 - 12 + 48 = 40
7.1.1 Redução da Forma Quadrática à Forma Canônica
A forma quadrática no plano v* Av̂ pode ser expressa por: 
X.x'^ +\2y'^
Formas quadráticas 325
onde Xi e X2 são os valores próprios da matriz A, e x' e y' as componentes do vetor v na 
base P = {ui,U2}, isto é, Vp=(x',y'), sendo Ui e U2 os vetores próprios unitários associados 
a Xj e X2 .
De fato:
Tendo em vista que a matriz P é a matriz-mudança de base de P para S, pois:
[I]^ = S - ‘ P = IP = P
e, portanto:
Vs=PVp
podemos escrever:
v*AVs=(PVp)‘ A(PVp)
ou:
VgAVg =Vp(P*AP)Vp
Como P diagonaliza A ortogonalmente (conforme 6.5 - propriedade III)
Xi 0
0 Xj
pt AP = D =
conclui-se que:
v^Av =v^Dv 
S S P P
ou:
a c X X, 0 /X
[xy] = [x'y]
c b
i_ — y 0 X2 /y
ou, ainda:
ax ̂ + by ̂ + 2cxy = Xi x'^ + X2 y'^
326 Álgebra linear
A forma Xix'^ + ̂ denominada forma canônica da forma quadrática no plano ou
também forma quadrática diagonalizada.
Exemplo
I) A forma quadrática:
4x^ - 3y^ + 24xy 
pode ser expressa por:
-12x'^ + 13y'^
De fato:
A forma quadrática 
4x^ - 3y^ + 24xy 
é definida pela matriz
A =
4 12
12 -3
Mas os valores próprios da matriz A, conforme o problema resolvido número 10, Capítulo 
6, são Xi = -12 e X2 = 13. Logo, a forma canônica da forma quadrática é:
-12x 2 + 13 /2
II) Por outro lado, os vetores próprios unitários associados a Xi e X2 sao, respectiva­
mente, Ui = ( y , - y ) e U2 = ( y , y ) .
Logo:
P =
5
5
5
5
Formas quadráticas 327
Como Vg = Pvp equivale a Vp = P ou:
V p = P V s
pois P - P pelo fato de P ser matriz ortogonal, podemos calcular Vp a partir de Vg. 
Supondo que = (x, y) = ( í , 2), vem:
1 1
5 “ 5
1 1
5 5
1
2
-1
isto é, Vp = (x ',y ') = ( - l ,2 ) .
Assim:
4x^ - 3y^ + 24xy = -12x'^ + 13y'^
4 ( 1 ) ' - 3 ( 2 ) ' + 2 4 ( 0 ( 2 ) = - l 2 ( - 1 ) ' + 1 3 ( 2 ) ' 
4 - 12 + 4 8 = - 1 2 + 52 
4 0 = 4 0
O que na verdade acabamos de fazer foi uma mudança de base ou uma mudança de referen­
cial. O vetor V, que na base canônica S é Vg =( 1 ,2 ) , na base P dos vetores próprios unitários 
é Vp = ( -1,2) . Como a base canônica individualiza o sistema cartesiano retangular xOy e a base 
P o sistema retangular x'O y\ podemos dizer que um ponto que tem coordenadas (1 ,2) em 
relação ao primeiro sistema tem coordenadas ( -1 ,2) em relação ao segundo sistema. A figura 
mostra esse exemplo.
Essa mudança de referencial corresponde a uma rotação de um ângulo d do sistema xOy 
até o sistema x'Oy'. [A matriz responsável por essa rotação é a matriz ortogonal P.
328 Àlgehra linear
Se tivermos o cuidado de dispor os vetores próprios unitários da matriz P de modo que 
det P = 1, ela sempre representará uma rotação (ver 5.5.1-IIIa) e a transformação de coordenadas
X x'
= p
y
ty
que irá ocorrer no estudo das cônicas, a seguir, será sempre uma rotação.
7.2 CÔNICAS
Chama-se cônica a todo conjunto de pontos M do plano cujas coordenadas x e y, em 
relação à base canônica, satisfazem à equação do 29 grau:
ax ̂ + by ̂ + 2cxy + dx + ey + f= 0
onde a, b e c não são todos nulos.
Formas quadráticas 329
Observação
As coordenadas x e y dos pontos M do plano são as componentes dos vetores v E IR̂ 
que satisfazem a equação de uma cônica (Figura 7.2)
Figura 7.2
7.2.1 Equação Reduzida de uma Cônica
Nosso propósito é o reconhecimento e a análise da equação de uma cônica. Dividiremos 
esse trabalho em duas etapas, sendo a primeira constituída de trés passos.
Seja a equação de uma cônica:
ax ̂ + by ̂ + 2cxy + dx + ey + f= 0 ( 1 )
Etapa: Eliminação do termo em xy
IÇ Passo: Escreve-se a equação na forma matricial:
+ f = 0
a c X X
[x y] + [de]
c b y _ _y_
( 2)
330 Álgebra linear
(Os colchetes serão dispensados nas matrizes 1 x 1: [f] e [0].)
ou:
v^AVo + Nvç + f = 0s s s
onde:
, A =
a c
c b
e N = [d e]
29 Passo: Calculam-se os valores próprios Xi e X2 e os vetores próprios unitários 
Ux = ( x i i , X i 2) e
U2 = (X21, X22) da matriz simétrica A.
S9 Passo: Substitui-se na equação (2) a forma quadrática
V Avg = [X y]
a c
pela forma canônica:
V D v p = [x' y']
e:
''s =
Formas quadráticas 331
por:
Pv =rvp
Xil X21 
X12 X22
tendo o cuidado para que det P = 1, a fím de que essa transformação sqa uma rotação. 
Assim, a equação (2) se transforma em:
X, 0 f
X Xii X21 r
X
[x' y ' ] + [d e]
0 Xj _y'_ X12 X22 y
+ f = 0
ou:
+X2y ' + p x ' + q y ' + f = 0 (3)
que é a equação da cônica dada em (1), porém referida ao sistema x'O y\ cujos eixos sao 
determinados pela base P = { U i, U2 } , conforme sugere a figura.
Observemos que enquanto a equaçao (1) apresenta o termo misto em xy, a equação (3) é 
desprovida dele. Portanto, na passagem da equação (1) para (3) ocorreu uma simplificação
332 Álgebra linear
2? Etapa: Translação de Eixos
Conhecida a equação da cônica 
Xix'^ + \ 2y^ + px' + qy' + f = 0, (4)
para se obter a equação reduzida efetua-se uma nova mudança de coordenadas, que consiste na 
translação do último referencial x'Oy' para o novo, o qual chamaremos XO'Y. A análise das 
duas possibilidades é feita a seguir.
I) Supondo Xi e X2 diferentes de zero, pode-se escrever:
\ , ( x ' ^ + ^ x ' ) + x , ( y '^ + ^ y ' ) + f = 0
ou:
Fazendo:
f _ ^ - Í = .F ' 4X, 4X2
e , por meio das fórmulas de translaçao:
■ " l í
vem:
X,X^+XjY' - F = 0
e, finalmente:
X,X ̂ +XjY^ = F (5)
Formas quadráticas 333
A equaç5o (5) é a equação reduzida de uma cônica de centro e, como se vé, o primeiro 
membro é a forma canônica da forma quadrática no plano.
fica:
ou:
II) Se um dos valores próprios for igual a zero, Xi = 0, por exemplo, a equação (4)
\ 2y ^ + p x + qy + f = 0
X2(y '^ +j J y') + px' + f=o
Fazendo, por meio de uma translação:
X = x ' + — -
P 4pXj
vem:
X2Y2 +pX = 0 (6)
A equação (6) e' a equação reduzida de uma cônica sem centro.
Observação
Se em lugar de Xi fosse X2 = 0, a equação reduzida da cônica sem centro seria: 
XiX' +qY = 0
334 Álgebra linear
7.2.2 Classíficaçao das Cônicas
I) A equação de uma cônica de centro é:
XiX ̂ +X2Y ̂ = F
• Se Xi e X2 forem de mesmo sinal, a cônica será do gênero elipse.
• Se Xi e X2 forem de sinais contrários, a cônica será do gênero hipérbole.
ou:
II) A equação de uma cônica sem centro é:
X2Y2 + pX = 0 
XiX" + qY = 0
Uma cônica representada por qualquer uma dessas equações é do gênero parábola.
7.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS
1) Determinar a equação reduzida e o gênero da cônica representada pela equação 
ly? + 2y^ + 2 x y + 7 \J l x + 5 \J Í y + 10 = 0 (1)
Solução
De acordo com 7.2.1, dividiremos esse trabalho em duas etapas, sendo a primeira consti­
tuída de três passos.
1? Etapa: Eliminação do termo em xy
IÇ Passo: Escrevemos a equação dada na forma matricial:
2 1 X X
[ x y ] + [ ? V 2 5 ^ 2 ]
1 2 y y _
+ 10 = 0 (2)
Formas quadráticas 335
2Q Passo: Calculemos os valores próprios e os vetores próprios unitários da matriz
” 2 r
A =
1
det(A - XI) = det
2 -X 1 
1 2 - X
isto é:
( 2 - X ) ( 2 - X ) - l = 0 
4 . 4 X + X 2 = o
X2 - 4X + 3 = 0 
Xi = 3 
X2 = 1
Resolvendo o sistema
2 -X 1 X 0
1 2 -X y_ 0
obteremos os vetores próprios de A. 
Para Xi = 3, vem:
-1 1 X 0
1 -1 y 0
e daí:
V, = x ( l , 1)
336 Álgebra linear
Para X2 = U vem:
1 1 X 0
1 1 y 0
e daí:
V2 = x ( - l , 1)
Portanto, os correspondentes vetores próprios unitários são:
_ / J 1 X - / I J _ ^
^v/2’V 2^ ' V2
3Q Passo: Substituímos em (2) a forma quadrática
[X y]
pela forma canônica
3
2 1 X
1 2 y
[x' y']
0
e o vetor
por
1 1
n/2
1 1
V 2 V2
Formas quadráticas 337
onde já tivemos o cuidado de dispor os vetores próprios unitários de tal modoque:
det
1 1
v / 2 ' V 2
1 1
V 2
= +1
a fim de que essa transformação de coordenadas represente uma rotação. 
Logo, a equação (2) fica:
[x' y']
1 1 t
3 0 x '
+ [ l \ f l Ss/2 ]
V2 V 2
X
0 1 y' 1 1
y'
n/2 V2
+ 10 = 0
ou:
3x'2 + y ̂ + 1 2 x' -2y '+ 10 = 0 (3)
que é a equaçao da cônica (1), porém referida ao sistema x'Oy', cujos eixos sao suportes de 
Vi e V2 (ou Ui e U2), conforme a figura 7.3a.
338 Álgebra linear
2? Etapa: Translação de Eixos
Tomemos a equação (3) e façamos uma translação do sistema xOy'. Assim:
3x^ + y ̂+ 1 2 x ' - 2 y + 10 = 0
(3x^ + 12x') + (y'' -2y ') = -10
3(x'^ +4x') + (y 2 - 2 y ) = -10
3(x'" +4x' + 4) + (y 2 - 2 y ' + l ) = - 1 0 + 3 (4 )+ 1
3(x + 2)2 +(y'>l)'^ = 3
Utilizando as fórmulas de translação, façamos:
X = x' + 2 
Y = y' - 1
e, portanto, a equação (4) fica:
3X2 + y2 = 3 (equação reduzida)
ou:
(4)
que é a equação canônica da cônica dada em (1), porém referida ao sistema XO'Y, onde
0 '(-2 , 1).
Trata-se de uma elipse cujos semi-eixos medem 1 e >/3 , estando o eixo maior sobre o 
eixo dos Y, conforme mostra a figura 7.3b.
Observação
Tendo em vista que e i = ( l , 0 ) e Uj = (—^ ,—|i:), o ângulo d correspondente à rotação
 ̂ ̂ ̂ V2 V2e dado por:
C O S 0 = ------------- ---- = C i . U i = 1 ( — — ) + 0 — = - ^
l e . l l u . l ^/2 V 2 V 2 2
Formas quadráticas 339
Por outro lado, para confirmar, C2 =(0, 1) e U2 = ( — 7= logo-
\Í2 y/2
COS 6 = — ) + 1 (— ) = — = - ^ 
s/2 V2 2
_ «2 - U2 ----
e^M U2I
isto é;
6 = arc C OS = 45°
2) Determinar a equação reduzida e o gênero da cônica representada pela equaçao 
1 Ix^ - 24xy + 4y^ + 20x - 40y - 20 = 0 (5)
Solução
1? Etapa: Eliminação do termo em xy
IÇ Passo: A equação dada na forma matricial é:
S40 Álgebra linear
[x y] [ y ] + [20 - 40] y j - 20 = 0
11 -12 
-12 4
2Ç Passo: Os valores próprios e os vetores próprios unitários da matriz simétrica 
11 -12 
-12 4
(6)
A =
são:
X, = 20 , u, = ( y , - | )
 ̂ c . 3 4 ,X 2=-5 , U 2 = ( y , - )
(A verificação fica a cargo do leitor.)
3Q Passo: Com as devidas substituições, a equação (6) fica:
A J_20 0 “ / “X /X
+ [20 -4 0 ]
J J
0 -5 L y J 3 4 /
L y J
5 5
[x' y']
ou:
20x'^ - 5y'2 + 40x' - 20y' - 20 = 0 
ou, ainda:
4x'^ - y'^ + 8x' - 4y' - 4 = 0 
2? Etapa: Translação de Eixos
(4x'^ + 8x') - (y'^ + 4y') = 4
4 (x'^ + 2x') - (y'^ + 4y') = 4
4(x'^ + 2x' + 1) - (y'^ -h 4y' + 4) = 4 + 4 - 4
4 (x '+ 1)̂ - (y +2)2 =4
-20 = 0
Formas quadráticas 341
Fazendo:
X = x'+ 1 
Y = y' + 2
a equação acima fica: 
4X2 - = 4
ou:
1 4
que é a equação reduzida da cônica dada em (5), porém referida ao sistema XO'Y, sendo
Trata-se de uma hipérbole cujo eixo real, de medida 2, está sobre o eixo dos X, conforme se 
vé na figura 7.3c.
Figura 7.3c.
342 Álgebra linear
3) Determinar a equação reduzida e o gênero da cônica representada pela equação: 
+ 2xy + - 8x + 4 = 0 (7)
Solução
1? Etapa: Eliminação do termo em xy
IÇ Passo: A equação dada na forma matricial é:
1 1 X X
[ x y ] + [ - 8 0 ]
1 1 _y_ y
+ 4 = 0
2Ç Passo: Os valores próprios e os vetores próprios unitários da matriz simétrica: 
1 1
1 1
A =
são:
X.=0,
(VerificaçSo a cargt» do leitor.)
SQPasso: Com as devidas substituições, a equação (7) fica;
[x' y']
0 0 
0 2
+ [-8 0]
1 1
v/2 V 2
1 I
’V2 V 2
+ 4 = 0
Formas quadráticas 343
ou:
ou, ainda:
29Eta|Mi: Transbção de Eixos
(v '2 __ 1 v ' ) = _ l x ' - 2
^ V2
( y ' - V 2 ) = - 2 V 2 x ’
Fazendo;
X = x’
Y = y ' - V 2 
a equação acima fica: 
= 2 V 2 X
que é a equaçSò reduzida da cônica dada em (7), poiém referida ao sistema XO'Y, onde 
O'(0, v /2) .
344 Álgebra linear
Trata-se de uma parábola de parâmetro igual a >/2 > tendo para eixo o eixo dos X, 
conforme mostra a figura.
4) Determinar a equação reduzida e o gênero da cônica representada pela equação 
4x^ - 3y^ + 24xy - 1 5 6 = 0 
Solução
Como essa equação não apresenta os termos de primeiro grau em x e y, a resolução é 
constituída somente da 1̂ etapa.
IQ Passo: A equação na forma matricial é:
4 12] [ x
[ x y ] - 1 5 6 = 0 (8)
12 -3 y
2Ç Passo: Os valores próprios e os vetores próprios unitários da matriz simétrica
A =
4 12
12 -3
Formas quadráticas 345
S ão:
=- 1 2 , U i = ( y , - j )
Xj = 13, u, = ( y , y )
(Verificação a cargo do leitor.)
O cálculo dos vetores próprios e de seus correspondentes vetores unitários é dispensável 
neste problema de se encontrar a equação reduzida, a não ser se desejarmos construir o gráfico, 
pois são esses vetores que determinam o novo referencial x O y \
3Ç Passo: Com as devidas substituições, a equação (8) fica:
346 Álgebra linear
5) Determinar a equação reduzida e o gênero da cônica representada pela equação 
- 6x + 8y - 7 = 0
Solução
Como essa equação não apresenta o termo em xy, a resolução é constituída somente da 
2? etapa.
x ̂ - 6x = -8y + 7
x^ - 6x + 9 = -8y + 7 + 9 
( x - 3 ) 2 = - 8 y + 16
( x O ) ^ = - 8 ( y - 2 )
Fazendo
X = x - 3 
Y = y - 2
a equação anterior fica 
= -8Y
que representa uma parábola de vértice na origem do sistema XO'Y, com 0'(3 , 2), e voltada 
para baixo, conforme mostra a figura 7.3f.
Formas quadráticas 347
7.4 NOTAS COMPLEMENTARES
7.4.1 Cônicas Degeneradas
Vimos que a equação do segundo grau nas variáveis x e y 
ax ̂ + by ̂ + 2cxy + dx + ey + f= 0 
representa uma elipse ou uma hipérbole ou uma parábola.
(7.4.1)
No entanto, em casos particulares, essa equação pode também representar um par de retas, 
uma só reta, um ponto ou o conjunto vazio, que são as chamadas cônicas degeneradas.
A análise da equação (7.4.1) permite concluir os diversos casos:
a) Se Xi e X2 tiverem o mesmo sinal, a cônica será uma elipse, um ponto ou o conjunto
vazio.
Exemplos
1) A equação
(x + 2)'̂ + ( y - l ) 2 = 0 
ou:
+ ŷ + 4x - 2y + 5 = 0
representa o ponto (-2, 1) (circunferência de raio igual a zero).
2) A equação
Sx'' + 2y'̂ + 1 = 0
representa o conjunto vazio. Essa equação não define nenhuma figura geométrica (o 19 membro 
é sempre ^ 0).
b ) Se Xi e X2 tiverem sinais contrários, a cônica será uma hipérbole ou duas retas.
348 Álgebra linear
Exemplo
A equaçío 
9X2 .y 2 = 0
representa as retas y = -3x e y = 3x.
De fato, fatorando o primeiro membro, obtemos:
(3x + y ) ( 3 x - y ) = 0
e concluímos que:
3x + y = 0 ou 3x - y = 0
ou seja:
y = -3x ou y = 3x
c) Se Xi = 0 ou X2 =0 , a cônica será uma parábola, duas retas paralelas, uma reta 
ou o conjunto vazio.
Exemplos 
1) A equação 
4x2 ^ 9 ( X i = 4 e X2=0)
representa duas retas paralelas. 
De fato, podemos escrever
ou:
Formas quadráticas 349
isto é:
3 3
2 2
que são duas retas paralelas.
2) A equação
= 0 (Xi = 0 e X2 = 1)
representa uma reta, no caso, o eixo dos x, isto é, y = 0.
3) A equação 
3x^ = .5
representa o conjunto vazio.
(Xj — 3 e X2 ” 0)
As cônicas (elipse, hipérbole e parábola) e suas degenerações (um par de retas, uma só reta 
e um ponto) constituem as possíveis interseções de uma superfície cônica com um plano.
7.5 PROBLEMAS PROPOSTOS
1) Identificar as seguintes cônicas:
a) x" + y2 = 1
b) x ̂ - y2 = 1
c) x^ -y^ = 0
d) x ̂ - y = 1
e) x ̂ - y = 0 
0 x -y ^ = 0 
g) X + y = 1
h) x^ + y ̂ = 0
i) x^ + y2 + 1 = 0
j) x^ . 1 = 0 
x^
m ) f . f = 1
n) 4y^ - x ̂ = 8
o) 5y^ - 3x = 0
p) x̂ - 4 = -y^
q) y - 3x^ = 0
r) 3x^ - 4y^ = 1
s) 2x^ + 3y^ = 6
350 Álgebra linear
2) Mostrar que as seguintes equações representam duas retas no plano:
a) 4x^ « = 0
b) - 16y^ = 0
c) x ̂ + 2xy + y ̂ - 1 = 0
Nos problemas 3 a 15, determinar a equação reduzida referida ao sistema XOY 
e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.
3) 17x^ + 12xy + 8y^ - lOx + 20y + 5 = 0
4) 7x^ +y^ - 8 x y - 17V^x+ l l>/5y + 41 = 0
5) 4x^+ y^+ 4xy + 5 \/5x + 10\/5y + 5 = 0
6) x ̂ + y ̂ + xy + 5 \/2 x + 4 \/2 y + 1 = 0
7) 4x^ ̂6xy - 4y^ + 20x - 20y - 1 9 = 0
8) 16x^ -2 4 x y + 9y2 - 1 5 x - 2 0 y + 5 0 = 0
9) 3x^- 2xy + 3y ̂- 2x - lOy - 1 = 0
10) xy + 4 y /2 \ + 6 V2y + 30 = 0
11) x ̂ + 2 y/3xy + 3y ̂ - 4x = 0
12) x ̂ + ŷ + 2xy - 4 \ /2 x = 0
13) 16x^ +9y^ - 9 6 x + 72y+ 144 = 0
14) 4x^ - 5y ̂ + 8x + 30y - 2 1 = 0
15) x ̂ - 6x + 8y + 1 = 0
Nos problemas 16 a 24, efetuar uma rotação nos eixos coordenados a fim de eliminar 
o termo em xy. Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema x Oy' obtido 
após a rotação. Esboçar o gráfico.
Formas quaâraticas 351
16) 3x^ + 2xy + 3y^ - 4 = 0
17) 2x ̂ +y" + 2 v / 6 x y = 16
18) 2x ̂ + 4xy + 2y^ - 1 6 = 0
19) 7x ̂ - 8xy + y ̂ + 36 = 0
20) xy = 2
21) 5x ̂ + 4xy + 2y ̂ - 1 2 = 0
22) 7x ̂ + 13y" - 6 V 3 x y - 1 6 = 0
23) x̂ + y ̂ + 4xy - 3 = 0
24) 3x ̂ + 2xy + 3y2 - 4 = 0
As equações dos problemas 25 a 35 representam cônicas degeneradas. Identificá-las e 
esboçar o gráfico, quando possível.
25) x̂ - y 2 - 2 x - 2 y = 0
26) x ̂ +y2 - 2 x - 2 y + 4 = 0
27) x̂ + y ̂ - 6x + 4y + 13 = 0
28) 2x ̂ + 2 \ / 2 x y + y"= 12
29) x̂ + ŷ + 2xy - 8 = 0
30) x ̂ + y ̂ + 2xy = 0
31) x ̂ + y ̂ + 2xy + 5 = 0
32) x̂ + ŷ + 4xy = 0
3x ̂ + 2xy + 3y ̂ + 4 = 0
34) 3x ̂ + 2xy + 3y ̂ = 0
35) x^+y ^ + 2 x y + 4 = 0
352 Álgebra linear
7.5.1 Respostas de Problemas Propostos
1. a) Circunferência.
b) Hipérbole.
c) Duas retas: y = x e y = -x.
d) Parábola.
e) Parábola.
f) Parábola.
g) Reta.
h) O ponto (0,0) .
i) O conjunto vazio.
2) a) y = 2x e y = - 2x
1
. s/2c ) y = — e
3)̂ —T +-T“ = 1, elipse 4 1
5) Y^= 3X, parábola
7. Y * - X ^ = 1, hipérbole
8. X ̂= Y, parábola
9) X ̂ ^Y^ ,^ ^ = 1, elipse
10) X ̂ Y ̂ , . . , . ,hiperbole
j) Duas retas: x = l e x = - í .
l) Elipse.
m) Reta.
n) Hipérbole.
o) Parábola.
p) Circunferência.
q) Parábola.
r) Hipérbole.
s) Elipse.
- 2x
1
12) Y ̂= 4X, parábola
4^
V2
13) V2 y 2̂
— +— = 1, elipse
2
14) Y2 y2
= 1, hipérbole
15) = - 8Y, parábola
V'2
16) x' ̂ +— = 1, elipse
11) Y ̂ = - V3 X, parábola
17) 4x̂ ̂ - = 16, hipérbole
18) y' = 2 ou y' = -2 , duas retas
19) hipérbole
36 4 ^
2») h,pe,bok
21) x' ̂ y'^— + ^ = 1, elipse
z o
22) x' ̂ + 4ŷ ̂ - 4 = 0 , elipse
23) 3x'^ - y' ̂ = 3 , hipérbole
Formas quadráticas 353
24) x' ̂ = 1, elipse
25) Duas retas: y = ± ( x - l ) - l .
26) Nenhum ponto do plano.
27) O ponto (3, -2) .
28) Duas retas paralelas: x' = ± 2.
29) Par de retas paralelas: y' = ± 2.
30) A reta y' = 0.
31) Vazio.
32) Duas retas concorrentes:
y = \/3 x e y' = - VJx'
33) Vazio.
34) O ponto (0,0) .
35) Vazio.
7.6 FORMA QUADRATICA NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL
A matriz simétrica real
a d e 
A = d b f
e f c
associa ao vetor v^=(x, y , z ) ^ IR^, referido à base canônica S= { e i , e 2, e 3 } , ei = ( 1 , 0 , 0 ) , 
e2 = ( 0 , 1,0) , ea = (0,0, 1), o polinòmio
ax ̂ + by ̂ + cz ̂ + 2dxy + 2exz + 2fyz
que é um polinòmio homogêneo do 29 grau em x, y e z chamado forma quadrática do espaço 
tridimensional.
Na forma matricial esse polinòmio é representado por:
VgAvg = [ X y z ]
a d e 
d b f
e f c
sendo a matriz simétrica A a matriz da forma quadrática.
354 Álgebra linear
Assim, a cada Vg corresponde um número real 
p = ax ̂ + by^ + cz ̂ + 2dxy + 2exz + 2fyz
Exemplo
A matriz simétrica real
A =
3 - 1 1
- 1 5 - 1
1 - 1 3
define no IR̂ a forma quadrática
p = 3x̂ + 5y^ + 3z^ - 2 x y + 2 x z - 2 y z
Ao vetor Vg = (0, 1,2), por exemplo, corresponde o número real
p= 3(0)2 +5(1)2 +3(2)2 _2 (0 )(1 )+ 2 (0 ) (2 ) -2 ( l) (2 ) = 0 + 5 + 1 2 - 0 + 0 - 4 = 13
7.6.1 Redução da Forma Quadrática á Forma Canônica
A forma quadrática no espaço Vg Avg pode ser expressa por
Xix '2 + \2Y'^ +
onde Xi ,X2 e X3 são os valores próprios da matriz A, e x',y' e z as componentes do 
vetor V na base P = { U i, U2 , U3 } , isto é, Vp = (x \ y', z'), sendo Ui ,U2 e U3 os vetores 
próprios unitários associados a X i, X2 e X3 .
De fato:
Tendo em vista que a matriz P é a matriz-mudança de base de P para S, pois:
[I]g = S 'P = I P= P
Formas quadráticas 355
e, portanto:
V g = P V p
podemos escrever:
\^ÀVg =(Pvp)‘ A(PVp)
ou:
i Avs = v{,(P‘AP)Vs
Como P diagonaliza A ortogonalmente:
P*AP = D =
0 0
0 X2 0
0 0 X 3
conclui-se que:
V* AVg = v|,Dvp
ou:
a d e X X, 0 0 x'
[x y z] d b f y = [x y z ] 0 X2 0 y
e f c z 0 0 X3 z
ou, ainda:
ax ̂ + by^ + cz ̂ + 2dxy + 2exz + 2fyz = Xix'^ + \ 2y^ +
A forma XiX ̂ + X2y' ̂ + XsZ^ é denominada forma canônica da forma quadrática no 
espaço tridimensional.
356 Álgebra linear
Exemplo
I) A forma quadrática:
3x^ + 5y ̂ + 3z ̂ - 2xy + 2xz - 2yz 
pode ser expressa por 
2x '2 + 3 /2 + 6z 2 
De fato:
A forma quadrática:
3x2 + 5y2 + 3z2 - 2xy + 2xz - 2yz
é definida pela matriz
3 -1 1
A = -1 5 -1
1 -1 3
Mas, os valores próprios da matriz A, conforme o problema resolvido número 1, 
Capítulo 6 , são Xi = 2, X2 = 3 e X3 = 6 . Logo, a forma canônica da forma quadrática é
2x'2 + 3 /2 + 6z'2
II) Por outro lado, os vetores próprios unitários associados a Xi, X2 e X3 são, respecti-
vamente, Ui = ( - ^ , 0 , — ^ ) , e U3 = ( —^ , — ^
V 2 y/2 V 3 n/ 3 v/3 \/6 \/6 s/6
Logo:
P =
1 1 1
V 2 V 6
0
1 2
V I
1 1 1
“v T V 6
Formas quadráticas 357
Como Vg = Pvp equivale a Vp = P Wg, ou 
Vp=P*Vs
pois P̂ = P"̂ pelo fato de P ser matriz ortogonal, podemos calcular Vp a partir de Vg. 
Supondo que Vg = (x, y , z) = ( 0 , 1 , 2) , vem:
1 0 1
n/2 ‘ V 2
1 1 1
1 2 1
v/5 "V6 V 6
'v/2
3
0
isto é, Vp = (x', y', z') = ( - ^ , 0).
Assim:
3x ̂ + 5y ̂ + 3z ̂ - 2xy + 2xz - 2yz - 2xy + 2xz - 2yz- 2x'^ + 3y'^ + 6z'^
3(0)^ +5(1)^ + 3(2)^ - 2 ( 0 ) ( l ) + 2 ( 0 ) ( 2 ) - 2 ( l ) ( 2 ) = 2 + 3 ( - ^ )" + 6(0)^
v/2'
_3
v /5 '
0 + 5 + 1 2 - 0 + 0 - 4 = 2 ( y ) + 3 ( - | - ) + 0
13= 13
As considerações que fizemos no plano sobre mudança de referencial pela rotaçao são 
válidas também para o espaço.
358 Álgebra linear
7.7 QUADRIGAS
Chama-se quádrica ou superfície quádrica a todo conjunto de pontos M do espaço 
tridimensional cujas coordenadas x, y e z, em relação à base canônica, satisfazem a equação 
do 29 grau
ax ̂ + by^ + cz ̂ + 2dxy + 2exz + 2fyz + mx + ny + pz + q = 0
onde a, b, c , d,e e f nao sao todos nulos.
As coordenadas x, y e z dos pontos M do espaço são as componentes dos vetores 
V G IR^, que satisfazem à equação de uma quádrica (Figura 7.7).
Figura 7.7
7.7.1 Equação Reduzida de uma Quádrica
De forma análoga àquela adotada para as cônicas no plano, dividiremos o trabalho em 
duas etapas.
Séja a equaçao de uma quádrica:
ax ̂ + by^ + cz ̂ + 2dxy + 2exz + 2fyz + mx + ny + pz + q = 0 ( 1)
Formas quadráticas 359
Et2Lpa: Eliminação dos termos em xy,xz e yz 
IÇ Passo: Escreve-se a equação na forma matricial:
[x y z]
a d e X X
d b f y + [m n p] y
e f c z z
+ q = 0 (2)
ou:
AVg + Nvg + q = 0
onde:
X a d e
y , A = d b f
z e f c
e N = [m n p]
2Ç Passo: Calculam-se os valores próprios X i, X2 e X3 e os vetores próprios unitários 
Ui = ( x n , X12, X13), U2 = (X21, X22, X23) e U3 = (X31, X32, X33) da matriz simétrica A.
39 Passo: Substitui-se na equação (2) a forma quadrática
v‘g AVg = [x y z]
a d e X
d b f y
e f c z
pela forma canônica
v‘p Dvp = [x' y' z']
0 0 t
X
0 X2 0 /
y
0 0 X3 z
360 Álgebra linear
e:
por:
PVp =
Xii X21 X31
X12 X22 X32
X i3 X23 X33
/
X
/
y
/z
tendo o cuidado para que det P = 1, a fim de que essa transformação seja uma rotação. 
Assim, a equação (2) se transforma em:
r t f[x y z ]
0 0 f
X X ll X21 X31
!
X
0 X2 0 ty + [m n p] X12 X22 X32 y
0 0 X3 z X i3 X23 X33 z
+ q = 0
ou:
XiX ̂ ̂ + rx' + sy' +tz' + q = 0 (3 )
que é a equação da quádrica dada em ( 1), porém referida ao sistema \ y z , cujos eixos sao 
determinados pela base P = { U i, U2 , U3 } .
Observemos que enquanto a equação (1) apresenta os termos mistos em xy, xz e yz, a 
equação (3) é desprovida deles. Portanto, na passagem da equação (1) para (3), ocorreu uma 
simplificação.
2? Etapa: Translação de Eixos
Conhecida a equação da quádrica
Xix'^ + X2y' ̂ + X3Z ̂ +rx + sy' + tz' + q = 0 , (4 )
Formas quadráticas 361
para se obter a equação reduzida efetua-se uma nova mudança de coordenadas que consiste na 
translação do último referencial x y z para o novo, o qual chamaremos XYZ. A análise das 
possibilidades é feita a seguir.
1) Supondo X i, X2 c 3̂ diferentes de zero, pode-se escrever:
X,(x'^ +-j^x') + X2(y'^ + -^ y ') +Xsíz'^ + -^ z ') + q = 0
ou:
2X /
Fazendo:
2 \ ,
4 \ i
i '
t , t̂ X
X3^
Ŝ =04X2 4X3
*1'4X, ’ 4X ̂ '4X^
e, por meio de uma translação:
ry f , t
ã T
vem:
XiX' +X2Y'' +X3Z2 - Q =0 
e, finalmente:
XiX'' +X2Y" ̂ +XaZ^ = Q (5)
A equação (5) é a equação reduzida de uma quádrica de centro, e, como se vé, o primeiro 
membro é a forma canônica da forma quadrática no espaço tridimensional.
362 Álgebra linear
II) Se um dos valores próprios for igual a zero, Xi = 0 , por exemplo, a equação (4) fica: 
+ XaZ ̂ + rx' + sy' + tz' + q = 0
ou:
^2(y'^ + ^ y ' ) + ^3(z' ̂ + ^ z ' ) + rx' +q = 0
Xí(y' ̂+ f y' + i t l ) + X3(z' ̂ + ^ z ' + i r > ̂ ^X,^ 4X; Xj 4X| 4X2 4X3
= 0
_L s 2̂ ̂ ̂ ̂ t 2̂ ̂ ^ , q ^
M y * ã , > V - S S r - J í j ; > ■ “
Fazendo, por meio de uma translação:
J T - l fr 4rX2 4rXa
V7 f t ^
7 ' 4. ^
vem:
X2Ŷ +XaZ^ +rX = 0 (6)
A equação (6) é a equação reduzida de uma quádrica sem centro.
Observação
Se em lugar de Xi fosse X2 = 0 ou X3 = 0 , a equação reduzida de uma quádrica sem 
centro seria:
ou:
X,X^ + XjZ ̂ +sY = 0
XiX^ +X2Y" +tZ = 0
III) Se dois valores próprios forem iguais a zero, a equaçJo reduzida da quádrica sem centro 
será da forma Xi X ̂ + AY + B = 0.
Formas quadráticas 363
7.7.2 Classificação das Quádricas
I) A equação de uma quádrica de centro é 
XiX'' +X2Y" +X3Z'' =Q
Dependendo dos valores de X i, X2 , X3 e Q, a quádrica será do tipo elipsóide ou 
hiperbolóide.
II) A equação de uma quádrica sem centro é
+X3Z2 +rX = 0 
ou:
ou:
XiX" +X3Z2 +sY = 0 
XiX"" +X2Y2 + t Z = 0
A quádrica representada por uma dessas equações é do tipo parabolóide.
III) A quádrica representada por uma equação de forma Xi X ̂ + AY + B = 0 é do tipo 
cilindro.
7.8 PROBLEMAS RESOLVIDOS
1) Determinar a equação reduzida e o tipo da quádrica representada pela equação:
n
3y} + 5y ̂ + 3z ̂ - 2xy + 2xz - 2yz + \/3 y " ^
Solução
Eí2íP2l: Eliminação dos termos em xy,xz e yz
IÇ Passo: A equação dada na forma matricial, de acordo com 7.7.1, é
3 -1 1 X X
[x y z] -1 5 -1 y + [0 V I 0] y
1 -1 3 z z
7 Í - O )
364 Álgebra linear
29 Passo: Os valores próprios e os vetores próprios unitários da matriz simétrica
A =
3 -1 1
-1 5 -1
1 -1 3
sáo:
X, = 2 , u, = ( ^ , 0 , - ^ )
\/2
 ̂ 1 1 _ L ^
1 ̂ / I 2 1 -
39 Passo: Com as devidas substituições, a equação (7) fica:
[x y z ]
2 0 0
0 3 0
0 0 6
1 1 1
x' V2 V3 V6
ty + [0 V J 0] 0 1 2
V6
;
Z 1 1 1
n/3 v/6
o u :
2 x ' ^ + 3 y ' ^ + 6 z '^ + y ' - y / 2 z ■ j y = 0
2? Etapa: Translação de Eixos
- I 2 = 0
2 x '^ + 3 (y '^ + ^ ) + 6 ( z ' ^ - ^ z ' ) = : | j
2x'^+3(y'^ + ^ + ± ) + 6 ( z ' ^ - ^ z ' + ^ ) = ^ ^
2x' ̂ + 3 ( y ' +1^) + 6 ( z ' - ^ )
Formas quadráticas 365
Fazendo:
X = x
Y . / * i
^ ̂ 12
a equação acima fica:
2X^ + 3Y^ + = -7 -4
ou:
8 4 8
que é a equação reduzida da quádrica dada, porém referida ao sistema 0'XYZ, sendo 
OVo
Trata-se de um elipsóide.
2) Identificar e esboçar a quádrica representada pelas seguintes equações:
a) 36x^ + 16y ̂ - 9z ̂ - 144 = 0
b) x̂ + ẑ - 4y =0
Solução
a) 36x^ + 16y ̂ -9z^ =144 
Dividindo ambos os membros da equação por 144, vem:
4 ^ 9 16
que é a forma canônica de um hiperbolóide de uma folha ao longo do eixo dos z (Figura 7.8a).
366 Álgebra linear
O traço no plano xOy é a elipse 
= ̂= 0
Os traços nos planos xOz e yOz são as hipérboles 
ẑ , „ ẑ
7 - 1 5 = 1 , y = 0 . 7 - 1 5 - I . 2 - 0
respectivamente.
b) x ̂ + - 4y=
Figura 7.8a
ou:
que é a forma canônica de um parabolóide elíptico ao longo do eixo dos y (Figura 7.8b). 
O traço no plano xOz é a origem (0 , 0 , 0) .
Os traços nos planos xOy e yOz são as parábolas
x ^=4 y , z = 0 e z^=4y, x = 0
respectivamente.
Formas quadráticas 361
7.8.1 Problemas Propostos
Por uma conveniente translação de eixos, transformar cada uma das equações seguintes na 
forma reduzida e identificar a quádrica que ela representa.
1) + 4y^ + - 8x + 24y - 2z + 41 =0
2) 3>y} + 2y ̂ - 6z ̂ - 18x + 4y + 29 = 0
3) 3x^ + 4y2 + 24x - 8y + 24z + 100 = 0
4) 2x^ -y" -2z" + 8 x + 4 = 0
5) 5x ̂ + 5y ̂ + 5z ̂ - lOx + 20z -3 = 0
6) 9x^ -4y2 - 1 6 y - 3 6 z - 1 6 = 0
7) x ̂ + y ̂ - 2y =0
8) +4y^ -z^ - 2 x + 16y+ Í 7 = 0
Nos problemas 9 a 12 efetuar uma rotação e uma translação de eixos para referir a quádrica 
ao sistema OXYZ e identificá-la.
9) 3x^ + 5y^ + 3z ̂ - 2xy + 2xz - 2yz - 4x + 6y - 2z + 2 = 0
368 Álgebra linear
10) - 4 x z - 4 x + 2 y - 3 = 0
11) 2x^ + 2y^ + 5z ̂ -4 x y - 2xz + 2yz - lOx - 6y- 2z - 7 = 0
12) 7x^ + 6y^ + 5z^ - 4xy - 4yz -1 8 = 0
7.8.2 Respostas dos Problemas Propostos
»2 »2 »2
1) + 2 ^ ^» ^lipsóide.
•2 *2 *2
2) ^ 3 " ^ ̂’ hiperbolóide de uma folha.
3̂ x̂ ^ ̂ — + - ^ = -2z , parabolóide elíptico.
4) x'2 v'2 z'^ ̂ ----- ^ = 1, hiperbolóide de duas folhas.
5) 5x'^ + 5y'^ + 5z^ = 28, superfície esférica.
6)̂ ^ = z, parabolóide hiperbólico.
7) x̂ ̂ + ŷ ̂ = 1, superfície cilíndrica circular.
Q\ x'2 z'^
 ̂ = 0, superfície cônica.
9) 4X^ + 6Y^ + 12Z ̂ = 1, elipsóide. 
lÓ) 2X^ - - 2Z ̂ = 2, hiperbolóide de duas folhas.
11) 6X^ + 3Y ̂ - 8 y/2 Z = 0, parabolóide elíptico.
12) 2 Ç , n , ^ = i , elipsóide.
6 3 2
APENDICE
MATRIZES
DETERMINANTES
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
MATRIZES
A.1 DEFINIÇÃO DE MATRIZ
Chama-se matriz de ordem m por n a um quadro de m x n elementos (números, 
polinômios, funções etc.) dispostos em m linhas e n colunas:
A =
a i i a i 2 ^1 3 ^ i n
^21 ^2 2 ^2 3 ^ 2 n
^31 ^32 ^3 3 ^ 3 n
^ m i ^ m 2 ^ m 3 ^ m n
A.1.1 Representação dos Elementos da Matriz
Cada elemento da matriz A está afetado de dois índices: a^.
O primeiro índice indica a linha e o segundo a coluna a que o elemento pertence.
369
Marcos Raylan
370 Álgebra linear
A.1.2 Representação de uma Matriz
A matriz A pode ser representada abreviadamente por A = [Ay], i variando de 1 a m 
(i = 1,2, 3,4, m) e j variando de 1 a n (j = 1,2, 3,4, n).
Para entender porque a matriz A pode ser representada por [a^j, deve o leitor supor, 
inicialmente, que se fixe para i, por exemplo, o valor 1, e a seguir se faz j variar sucessiva­
mente de 1 a n, obtendo-se:
1̂1 1̂2 1̂3 ••• ^in
Ai^s, fíxa-se para i o valor 2, e faz-se j variar de 1 a n, obtendo-se:
2̂1 2̂2 2̂3 ••• 2̂n
Em continuação, fixa-se para i o valor 3 e faz-se j variar de 1 a n, obtendo-se:
3̂1 3̂2 3̂3 ••• 3̂n
e assim sucessivamente até i atingir o valor m; quando isso ocorre, faz-se j variar de 1 a n, 
obtendo-se:
^mi ^m2 ^m3 ^mn
Dessa forma, [a^], com i variando de I a m e j variando de 1 a n, representa abrevia­
damente a matriz A, ou melhor, representa qualquer matriz A de ordem m por n.
A partir de agora, e sempre que for necessário, uma matriz B será representada por 
[by], uma C por [Cy] e assim por diante.
A.1.3 Ordem da Matriz — Notação
Se a matriz A é de ordem m por m, costuma-se escrever simplesmente Assim,
se uma matriz A tiver 3 linhas e 4 colunas, escreve-se simplesmente A 3̂ e diz-se matriz de 
ordem 3 por 4.
A.1.4 Matriz Retangular
Uma matriz na qual m 9̂ n é denominada matriz retangular.
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 371
A. 1.5 Matriz-Coluna
A matriz de ordem n por 1 é uma matriz coluna:
ai
2̂
3̂
an
Observação
A matriz-coluna de ordem n x 1 pode representar as componentes ( a i , a2 , aa, a^)
de um vetor V do espaço vetorial E de dimensão n. Por esse motivo essa matriz é denominada 
vetor coluna.
A.1.6 Matriz-Linha
A matriz de ordem 1 por n é uma matriz-linha:
A = [a, ,a2,a3, . . . ,aj^]
Observação
A matriz-linha é denominada vetor4inha.
A.2 MATRIZ QUADRADA
Quando o númerode linhas é igual ao número de colunas, tem-se uma matriz quadrada.
Marcos Raylan
Marcos Raylan
Marcos Raylan
372 Álgebra linear
A =
^11 a i 2 a i3 .• a i n
a ^ i ^22 ^23 ^ 2 n
^31 ^32 ^33 ^ 3 n
^ n i a n 2 ^n3 •• ^ n n
A ordem da matriz quadrada é n por n, ou simplesmente n.
A.2.1 Diagonal Principal
Numa matriz quadrada A= [a^], os elementos a^, em que i=j , constituem a diagonal 
principal.
Assim, a diagonal formada pelos elementos
1̂1» 2̂2> 3̂3» •••»
é a diagonal principal.
A.2.2 Diagonal Secundária
Numa matriz quadrada A= [ a y ] , os elementos a.̂ , em que i+ j = n + l , constituem 
a diagonal secundária.
Assim, a diagonal formada pelos elementos
^in> ^2 n - 1 > ^3 n - 2 >
é a diagonal secundária.
^ni
A.2.3 Matriz Diagonal
diagonal.
A matriz quadrada A = [a^] que tem os elementos = 0 quando i ^ j é uma matriz
Marcos Raylan
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 373
1̂1 0 0 .. . 0
0 0 .. . 0
A = 0 0 3̂3 .. . 0
0 0 0 .. ®nn
A.2.4 Matriz Escalar
escalar.
A matriz diagonal que tem os elementos â iguais entre si para i =j é uma matriz
Exemplo
A =
5 0 0
0 5 0
0 0 5
A.2.5 Matriz Unidade
A matriz escalar de qualquer ordem que tem os elementos a.j = 1 para i = j é uma 
matriz unidade. Indica-se a matriz unidade por I^, ou simplesmente por I.
Exemplos
; i3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Marcos Raylan
374 À Igebra linear
A.3 MATRIZ ZERO
Uma matriz zero é a matriz cujos elementos a ̂ são todos nulos.
Exemplo
0 =
0 0 0
0 0 0
A.4 IGUALDADE DE MATRIZES
a.. = b... y y
Duas matrizes A=[a^] e B = [b.j], de ordem (m,n), são iguais se, e somente se,
Exemplo
2 4 2 4
3 1 = 3 1
0 2 0 2
A.5 ADIÇAO DE MATRIZES
A soma de duas matrizes A = [a^] e B = [by], de ordem (m, n), é uma matriz C = [cy] 
tal que:
c.; = a.. + b..U y U
Exemplos
I) 1̂1 ai2 Hi3
2̂1 2̂2 2̂3
bil bi2 bi3
b21 b22 b23
1̂1 bj] âi2 bi2 ai3 + bj3
2̂1 b2l 322 + b22 323 + b23
Marcos Raylan
Marcos Raylan
Marcos Raylan
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 375
II) 5 -2 3 -2 1 3 3 -1 6
2 1 -4 4 2 5 6 3 1
1 0 2
+
0 2 -2
—
1 2 0
3 -1 4 -3 0 5 0 9
A.5.1 Observação
A diferença A - B de duas matrizes de ordem (m, n) e uma matriz C tal que:
c.. = a.- - b-0 u u
A.5.2 Propriedades da Adição de Matrizes
I) A + (B + C ) = (A + B) + C
II) A + 0 = 0 + A= A
III) -A + A = A - A = 0
IV) A + B = B + A
A.6 PRODUTO DE UMA M ATRIZ POR UM ESCALAR
Se X e' um escalar, o produto de uma matriz A = [a ]̂ por esse escalar e' uma matriz 
B=[ by] tal que:
b y = X a y
Exemplo
5 X
4 *2 1 5 x 4 5 X (-2) 5 X 1 20 -10 5
3 *5 0 5 x 3 5 X (-5) 5 x 0 15 -25 0
Marcos Raylan
Marcos Raylan
316 Álgebra linear
A.6.1 Propriedades da Multiplicação de uma Matriz por um Escalar
I) (X^)A = X(mA)
II) (X + /i) A = XA + /í A
III) X(A + B) = XA+ XB
IV) 1A = A
A.7 PRODUTO DE UMA MATRIZ POR OUTRA
Sejam as matrizes e
A = [4 3 2 51 e B =
O produto AB é, por definição, uma matriz = [c n ] tal que:
C i i = 4 x 6 + 3 x 4 + 2 x 5 + 5 x 3 
Cii = 24+ 12+10 + 15 
Cn = 61.
Assim, Cii é a soma dos produtos, na ordem em que estão dispostos, dos elementos da
matriz-linha A pelos elementos da matriz-coluna B, isto e', Cn é igual à soma dos produtos
do 19 elemento de A pelo 19 elemento de B, do 29 elemento de A pelo 29 elemento de
B, do 39 elemento de A pelo 39 elemento de B e do 49 elemento de A pelo 49 elemento
de B. Diz-se que 61 é o produto da matriz A pela matriz B. O dispositivo da página seguinte, 
facilita, visualmente, entender a definição do produto da matriz A (1,4) pela matriz B (4j ) .
A condição para multiplicar a matriz A^ pela matriz B(4j ) , »de acordo com a 
definição, é que o número de colunas de A (no caso, 4) seja igual ao número de linhas de B 
(no caso, também 4). Por outro lado, a ordem da matriz produto C é dada pelo número de 
linhas de A (no caso, 1) e pelo número de colunas de B (no caso, também 1), isto é, C n.
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 377
[4 ... 3 ... 2 ... 5] .
4 X 6 = 24
3 x . 4 = 1 2 
2 X 5 = 10
(611
Se se escrever em seqüéncia a ordem da matriz A e a ordem da matriz B:
r
<l>4)
í-___
“1
____í
o 29 e o 39 números, sendo iguais, indicam que a multiplicação é possível e o 19 e o 49 números 
indicam a ordem da matriz produto C:
r 1
'(1,4)
1 _
®(4.1)
Suponhamos que se deseja multiplicar uma matriz por uma matriz B(4,2)
r
V ,4 ) ^
1
“(4,2)
_ _ r
Tendo em vista que o 29 e o 39 números são iguais (número de colunas de A igual ao 
número de linhas de B), a multiplicação é possível, e a ordem da matriz produto C será dada 
pelo 19 e 49 números (número de linhas de A e número de colunas de B):
^1,4)
L _
1
®(4,2) ^ ( 1,2)
____i
isto é, a matriz C terá 1 linha e 2 colunas.
378 Álgebra linear
Sejam as matrizes e 2) •
A = [4 5 ] é B =
1
2
7
4
Para efetuar o produto da matriz-linha de pela matriz 2) » considera-se
cada coluna de B como uma matriz-coluna e efetua-se o produto da matriz-linha de A pela 
primeira matriz-coluna de B, obtendo-se o 19 elemento de C ;a seguir, efetua-se o produto da 
matriz-linha de A , pela segunda matriz-coluna de B, obtendo-se o 29 elemento de C. O 
dispositivo a seguir facilita o entendimento do processo;
4 X 6 = 24 
3 X 4 = 1 2
4 X 1 = 4
2 X 5 = 10
5 X 3 = 15 
61
3 x 2 = 6
2 X 7 = 14
5 X 4 = 20 
44
[ 4. . . 3 . . 2 . . .5] [61. .44]
A matriz C (1̂2) = [61 44] é o produto das matrizes A^ e B^^2)- 
= r
^ ( 4 ,2 ) W l , 2 )
t________________ í
^(1,4) ^
Suponhamos, agora, que se deseja multiplicar uma matriz A(2,3) por i^nia matriz B 3̂ 4̂ :
* j ; ri^(2,3) (3.4)
t________________í
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 379
Tendo em vista que A é de ordem (2 ,3 ) e que B é de ordem (3 ,4 ), o produto existe 
e é uma matriz C,■'(2,4)*
r
^ (2 ,3 ) ^
1
®(3,4) ^ (2,4)
Sejam as matrizes:
A =
5 2 4 1
4 2 6
e B = 2 3 1 0
2 5 3 1 2 7 6
Para efetuar o produto das matrizes A e B, considera-se cada linha da matriz A como 
uma matriz-linha (daqui por diante chamada simplesmente de linha) e cada coluna da matriz B co­
mo uma matriz-coluna (daqui por diante chamada simplesmente de coluna). A seguir, multiplica-se 
a 1̂ linha de A sucessivamente pela 1?, pela 2?, pela 3? e pela 4^ colunas de B, obtendo-se a 
primeira linha Cn Ci4 da matriz C. Em continuação, multiplica-se a 2? linha de A
sucessivamente pela 1?, pela 2?, pela 3 ̂ e pela 4? colunas de B, obtendo-se a segunda linha 
C21 C22 C23 C24 da matriz produto C. O dispositivo a seguir facilita o entendimento do 
processo:
4 . . 2 . . 6
2 . . 5 • 3
C l l - . C 1 2 . . C i 3 . . C i 4
•C2 1 . . C22 • -C23 • -C24
O elemento Cn da matriz C se obtém multiplicando a 1? linha de A pela coluna 
de B, o elemento c^ se obtém multiplicando a 1? linha de A pela 2? coluna de B; o elemento 
Ci3 se obtém multiplicando a 1? linha de A pela 3? coluna de B; o elemento Ch se obtém
380 Álgebra linear
multiplicando a 1? linha de A pela 4^ coluna de B. Os elementos C21 C22 C23 C24 são obtidos 
multiplicando-se a 2 ̂ linha de A sucessivamente pela 1^, pela 2?, pela 3 ̂ e pela 4? colunas de B. 
Assim, cada elemento c ̂ da matriz C e' obtido multiplicando a linha i da matriz A pela 
coluna j da matriz B. No exemplo dado:
Cii = 1? linha de A x la coluna de B = 4 x 5 + 2 x 2 + 6 x l = 2 0 + 4 + 6 = 30 
C12 = linha de A x 2? coluna de B = 4 x 2 + 2 x 3 + 6 x 2 = 8 + 6 + 1 2 = 26 
Ci3 = la linha de A x 3a coluna de B = 4 x 4 + 2 x 1 + 6 x 7 = 1 6 + 2 + 4 2 = 60
" l a l inha d e A x 4 a c o lu na d e B = 4 x l + 2 x 0 + 6 x 6 = 4 + 0 + 3 6 = 4 0
C21 = 2? l i nha de A x l a c o l u n a d e B = 2 x 5 + 5 x 2 + 3 x l = 10 + 10 + 3 = 2 3
C22 = 2? l inha de A x 2? c o l u n a d e B = 2 x 2 + 5 x 3 + 3 x 2 = 4 + 1 5 + 6 = 25
C23 = 2^ l i nha de A x 3a c o l u n a d e B = 2 x 4 + 5 x l + 3 x 7 = 8 + 5 + 2 1 = 3 4
C24 = 2^ l i nh a de A x 4a c o l u n a de B = 2 x 1 + 5 x 0 + 3 x 6 = 2 + 0 + 18 = 20 
P o r t a n t o , o pr o d u t o das m a t r i z e s dadas A ( 2 3̂) e 6^3 4 ̂ é a m a t r i z
30 26 60 40
23 25 34 20
■'(2,4)
De acordo com 0 que foi visto ate' agora, pode-se dizer, por exemplo, que
, r 1
®(5,6) ^ (3,6)
De fato, o produto AB e' possível porque o número de colunas da la matriz é igual ao 
número de linhas da 2a matriz:
número de colunas de A = 5
número de linhas de B = 5
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 381
A ordem da matriz C é (3 ,6 ) porque:
número de linhas de A = 3
número de colunas de B = 6
Do mesmo modo pode-se dizer, por exemplo, que
^ (2 ,7 ) ^ ®(7,5) ^ (2 ^ )
" (̂5,4) ®(4,8) ^(5,8)
" (̂9,2) ®(2,11) " ^(9,11)
e assim por diante.
A.7.1 Cálculo de um Elemento Qualquer de uma Matriz Produto
Sejam as matrizes
A = aii ai2 aj3
2̂1 2̂2 2̂3
e B
bii bi2 b,3
b2i b22 b23
b3i b32 b33
Tendo em vista que A é de ordem (2 ,3 ) e que B é de ordem (3 ,3 ), o produto é uma 
matriz C de ordem (2 ,3):
"(2,3)
t___
^ , 3 ) ^(2,3)
____í
Cll C12 C l3
C2I C22 C23
Por meio do dispositivo já conhecido e que facilita, visualmente, o entendimento do 
processo, vejamos como calcular, por exemplo, o elemento C23 da matriz C:
C23 = 2? linha de A x 3? coluna de B = a2ib i3 + a22b23 + S23b33
382 Álgebra linear
bii- • bi2 • bi3 
b21- • b22• • b23 
bai• • b32 • • b33
a i i . . ai2 . .ai3
«21 • • 322 • •323
. C i i . . Cj2 . . Ci3
•C21• • C22• • C23
Assinalando o 29 índice de “a” e o 19 índice de “b” , vé-se que, em cada parcela, eles 
são iguais:
^23 “ â 2 (I) t > 0 3 "*■^2 0 ^ 0 3 ■*"^2 0 t (3 )3
Essa expressão pode ser escrita do seguinte modo:
k = 3
C23 “ 2 ^2k^k3
k = 1
istoé, C23 é a somatória dos produtos a2kbk3, com k variando de l a 3 .
Um elemento qualquer c.j da matriz C será calculado do seguinte modo:
k = 3
Essa expressão é que, na verdade, define o produto C = AB.
Generalizando, se A(m,n) ̂ [̂ ij] ̂ ®(n,p) ̂ t^kj] ’ ® produto AB é uma matriz
C=[c.j] tal que:
k = n
c.. = ^ a , b, .u , . , 'k kj
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 383
O produto C = AB é uma matriz de ordem (m ,p), uma vez que na expressão que 
define o elemento c.., o índice i varia de 1 a m ,e o índice i varia de 1 a p:ij ’ ’ J ^
'^(m,n) ^ ,p )
L J
Assinale-se, ainda, que o índice k varia de 1 a n, pois que n é o número de colunas 
de A e também é o número de linhas de B, condição, aliás, indispensável para se efetuar o 
produto AB.
A.7.2 Comutatividade da Multiplicação de Duas Matrizes
Em geral, a existência do produto AB não implica a existência do produto BA.
Exemplo
1
" (̂3,5) ̂
t
® (5 .6) ^ ( 3,6 ) 
t
Entretanto, o produto
t
7 ^
^ ( 3,5)
t
não existe, porque . isto é, 0 número de colunas da
de linhas da 2^ matriz.
Mesmo quando as multiplicações A x B e B x A são possíveis, os dois produtos são, em 
geral, diferentes:
'^(4,3) ^
j
B (3,4) " ^ ( 4 ,4 )
____t
r
*(3,4)
t___
A (4,3) - D (3,3)
O produto AB =C é uma matriz de ordem (4,4), enquanto o produto BA = D é uma 
matriz de ordem (3,3).
384 Álgebra linear
Ainda que A e B fossem matrizes quadradas de ordem n, os produtos AB e BA seriam 
também matrizes quadradas de ordem n, e ainda assim, em geral, difeririam.
Sejam, por exemplo, as matrizes:
A =
AB =
BA =
1
3
2
4
e B =
5
6
7
8
1 2 5 7 17 23
3 4 6 8 39 53
5 7 1 2 26 38
6 8 3 4 30 44
Os produtos AB e BA são diferentes. Logo, a multiplicação de duas matrizes não é 
comutativa. Existem matrizes A e B, tais que AB = BA, porém essa não é a regra. A seguir 
o leitor terá oportunidade de ver dois desses casos especiais e que interessam muito no estudo 
das matrizes.
19 Caso: Sejam as matrizes quadradas:
A =
AI =
IA =
3 2
5 7
3 2
5 7
1 0
0 1
e I =
1 0
0 1
1 0 3 2
0 1 5 7
3 2 3 2
5 7 5 7
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 385
Como se vé:
AI = IA= A
É fácil generalizar dizendo que, dadas duas matrizes A e I, de mesma ordem n, a 
multiplicação dessas matrizes é comutativa e a matriz produto é igual à matriz A.
29 Caso: Sejam as matrizes quadradas:
11 3
7 2
AB =
11
7
BA =
e B =
2 -3
-7 11
2 -3
-7 1 1
2 -3 1 0
-7 11 0 1
11 3 1 0
7 2 0 1
Como se vé:
A B = B A = I
A matriz B que satisfaz à condição 
AB= BA= I
diz-se inversa de A e se representa por A” *
AA"' = A 'A = I
Assim, para saber se, dadas duas matrizes A e B, uma é inversa da outra, basta multiplicar 
uma pela outra e verificar se o produto é a matriz I.
Nesse caso, dir-se-á que B é inversa de A e se representa por A" ̂ (ou que A é inversa 
de B e se representa por B"̂ ).
386 Álgebra linear
Se uma matriz A admite inversa, esta é única.
A maneira de determinar a matriz inversa de uma matriz dada será vista no item A.36.
A.7.3 Propriedade da Multiplicação de Uma Matriz por Outra
I) Dadas as matrizes A, B, C de ordem (m ,n), (n ,p) e (p,r), respectivamente, tem-se: 
(AB)C = A(BC)
II) Dadas as matrizes A, B, C de ordem (m ,n), (m ,n) e (n ,p), respectivamente, tem-se: 
(A + B )C = AC + BC
III) Dadas as matrizes A, B, C de ordem (n ,p), (n ,p) e (m ,n), respectivamente, tem-se: 
C(A + B) = CA + CB
IV) Se A (m ,n), tem-se:
I A = AI„ = Am n
V) Dadas as matrizes A e B de ordem (m ,n) e (n ,p), respectivamente, tem-se, para 
todo número X:
(XA)B= A(XB) = X(AB)
VI) A multiplicação matricial não é, em geral, comutativa.
Exemplo
4 2 0
2 5 1
5 2
0 3
1 2
5 2 20 14
X 0 3 =
1 2 11 21
4 2 0
2 5 1
24 20 2
6 15 3
8 12 2
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 387
VII) Dadas duas matrizes A e B, se o produto delas for a matriz zero [0 ], não é necessário 
que A ou B sejam matrizes zero.
Exemplo
0 1 I 1 0 0
0 1 0 0 0 0
Entretanto, se AB = 0 qualquer que seja B, então A= 0. Do mesmo modo, se AB = 0 
qualquer que seja A, então B =0.
A.8 PROBLEMAS RESOLVIDOS
1) Dadas as matrizes
y + 4 2 12 2
A =
9 + 4
e B =
9 53
calcular y e x de modo que A seja igual a B, isto é:
y + 4 2 12 2
9 + 4 9 53
Pela definição de igualdade de matrizes, deve-se ter: 
y + 4 = 1 2 y = 8
+ 4 = 53 
x ̂ =53 - 4 
=49
X = ± \/4 9
x = ±7
388 Álgebra linear
Para que as matrizes A e B sejam iguais, é necessário que y = 8 e x = ±7. 
Dadas as matrizes
2 3 8 -3 7 1 7 -8 3
A = -5 9 -6 , B = -4 2 5 e C = 4 -3 2
7 4 -1 0 9 4 9 -5 1
2) Calcular A + B. 
Solução
2 3 8 -3 7 1 -1 10 9
A + B = -5 9 -6 + -4 2 5 = -9 11 -1
7 4 -1 0 9 4 7 13 3
3) Calcular C - A.
Solução
7 -8 3 2 3 8 5 -11 -5
C - A = 4 -3 2 - -5 9 -6 = 9 -12 8
9 -5 1 7 4 1 2 -9 0
4) Calcular 3A -2B + 4C.
Solução
Fazendo D = 3A - 2B + 4C, vem:
2 3 8 -3 7 1 7 -8 3
D = 3 X -5 9 -6 -2 X -4 2 5 + 4 X 4 -3 2
7 4 -1 0 9 4 9 -5 1
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 389
D =
28
-7
57
-9
19
10
38
0
9
6 9 24 6 -14 -2 28 -32 12
D = -15 27 -18 - 8 -4 -10 + 16 -12 8
21 12 -3 0 -18 -8 36 -20 4
0 23 26 28 -32 12
D = -23 31 -8 + 16 -12 8
21 30 5 36 -20 4
5) Calcular o produto das matrizes:
^2,4)
■8 4 -6 1
2 -5 7 3 "(4,2)
4
-2
-5
8
Solução
"^(2,4) ®(4,2) ^ (2 ,2 )
Para efetuar a multiplicação, vamos utilizar o dispositivo prático:
-8 . . . 4 - ‘ 
2 • • • • -5 • • •
-6-
7 •
• 4 
-2 
-5
• 8
•-2 
• *7
390 Álgebra linear
Portanto:
A X B = C =
5 -2
6 7
Observação
Daqui por diante, a multiplicação de duas matrizes e será feita sem a
utilização do dispositivo prático: cada elemento Cy da matriz p̂ será calculado de acordo 
com o disposto no item A.7.
6) Calcular o produto das matrizes
A =
2 3 4
3 5 - 4
4 7 - 2
e X =
Solução
' ^( 3 , 3 ) ^ ^ ( 3 , 1) ^ ( 3 , 1 )
2 3 4 X 2x + 3y + 4z
C = A X x = 3 5 -4 X y = , 3x + 5y - 4z
4 7 -2 z 4x + 7y - 2z
É interessante assinalar que a matriz C tem 3 linhas e uma só coluna:
• o elemento da H linha é : 2x + 3y + 4z;
o elemento da 2 ̂ linha é : 3x + 5y - 4z;
• o elemento da 3? linha é : 4x + 7y - 2z.
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 391
Observação
O fato de que a matriz C do problema anterior tem 3 linhas e uma só coluna permite 
escrever, sob a forma matricial, o seguintesistema de equações:
2x + 3y + 4z = -4 
3x + 5y - 4z = 25 
4x + 7y - 2z = 24
De fato, fazendo
A =
2 3 4 X -4
3 5 - 4 , X = y e B = 25
4 7 - 2 z 24
v e m :
AX = B
isto é :
2 3 4 X -4 2x + 3y + 4z -4
3 5 - 4 X y = 25 o u 3x + 5y - 4z = 25
4 7 - 2 z 24 4x + 7y - 2z 24
e, de acordo com a defínição de igualdade de matrizes:
2x + 3y + 4z = -4 
3x + 5y - 4 z = 2 5 
4x + 7y - 2z = 24
392 Álgebra linear
1) Dadas as matrizes
-1 -1 0 -2 3 -1
0 -1 -1 e B = 1 -3 1
1 -1 -3 -1 2 -1
verificar se B é inversa de A.
Solução
Para que a matriz B seja inversa da matriz A, é necessário que AB = I. Calculemos 
o produto AB:
-1 1 0 -2 3 -1 1 0 0
AB = 0 1 -1 X 1 -3 1 = 0 1 0
1 1 -3 -1 2 -1 0 0 1
Tendo em vista que A B = I, a matriz B, que se representa por A é inversa de A.
Observação
O produto BA também e igual a I, o que significa que A = B"̂ é inversa de B. Deixamos 
a cargo do estudante calcular o produto BA, a título de exercício.
8) Dadas as matrizes
A = e B =
4 n
m 9
calcular m e n para que B seja inversa de A.
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 393
Solução
Efetuando o produto AB, vem:
'9 5 ' 4 n 36 + 5m 9n + 45
AB = X =
1 4_ m 9 28 + 4m 7n + 36
Mas AB deve ser igual a 1, istoé:
36 + 5m 9n + 45 1 0
28 + 4m 7n + 36 0 1
Pela definição de igualdade de matrizes, deve-se ter:
36 + 5m = 1 m = -7
28 + 4m = 0 m = -7
9n + 45 = 0 n = -5
7n + 36 = 1 n = -5
Para que B seja inversa de A, deve-se ter m = -7 e n = -5. 
De fato:
= I
9 5 4 -5 1 0
AB =
7 4
X
-7 9 0 1
A.8.1 Problemas Propostos
Nos problemas de 1 a 3, calcular os valores de m e n para que as matrizes A e B sejam
Iguais.
1) 8 15n 8 75
A = e B =
12+ m 3 6 3
394 Álgebra linear
2) - 40 + 4 41 13
e B =
6 3 6 3
3) 7 8 7 8
A = e B =
4 4 lOx -2 5
Dadas as matrizes:
A =
2 3 8 5 -7 -9 0 9 8
,B = e C =
4 - 1 - 6 0 4 1 1 4 6
4) Calcular A + B.
5) Calcular B + C.
6) Calcular A + C.
7) Calcular A - B .
8) Calcular A - C .
9) Calcular B - C.
10) Calcular X = 4 A - 3 B + 5C.
11) Calcular X = 2 B - 3 A - 6 C .
12) Calcular X= 4 C + 2 A- 6 B.
Nos problemas 13 a 15, efetuar a multiplicação das matrizes A e X.
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 395
13)
A =
14)
A =
2 6
-5 4
1 2
-2 -5
e X =
e X =
Xi
X2
15)
3 9 -8 X3
-3 4 2 8 Xi
0 1 3 -6 X2
A = -2 4 5 -7 e X = X3
9 -9 -8 6 X4
Dadas as matrizes:
1 -2
3 1
7 -4
5 9
A = B =
D =
1
-3
4
5
7 3
-1 -1
1 9
3 2
1 3 - 5 - 7
6 2 - 8 3
-8
-3
0
-3
, C =
16) Calcular AB.
17) Calcular (AB)D.
18) Calcular A(BD).
2 4
-3 5
S96 Álgebra linear
19) Calcular BA.
20) Calcular (BA)C.
21) Calcular B(AC).
Nos problemas de 22 a 26, verificar se a matriz B é inversa da matriz A.
22)
-0,5 -1,5 1 -12 -4 14
A = -0,5 -2,5 0,5 e B = 2 0 -2
-0,5 -2 1 -2 -2 4
23) -2 -4 -6 -1,5 2 -1,5
A = -4 -6 -6 e B = 2 -2,5 1,5
-4 -4 -2 -1 1 -0,5
24)
-4 -2 0 -1 1 -0,5
A = 2 -6 -2 e B = 1,5 -2 1
10 -8 -4 -5,5 6,5 -3,5
25) 4 5 0 9 3 4
A = 2 3 0 e B = -7 2 5
-6 -1 -2 1 6 8
26) 0 4 -2 -1 0,5 0
A = 2 8 -4 e B = -0,5 -0,5 -0,5
-2 -14 6 -1,5 -1 -1
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 397
Nos problemas 27 e 28, calcular m e n para que a matriz B seja inversa da matriz A.
27)
A =
28)
A =
m -22
-2 n
2 5
3 8
e B =
e B =
5 22
2 9
8 m
n 2
A.8.2 Respostas ou Roteiros para os Problemas Propostos
1. n = 5 e m = -6
2. m = ±9 e n = ±3
3. X = 5
4 a 6. Roteiro: Esses problemas se resolvem de forma análoga à do problema 2 do item A.8.
7 a 9. Roteiro: Esses problemas se resolvem de forma análoga à do problema 3 do item A.8.
10 a 12. Roteiro: Esses problemas se resolvem de forma análoga à do problema 4 do item A.8.
13.
AX =
14.
AX =
2x + 6y 
-5x + 4y
Xi + 2x2 + 3X3 
-2xj - 5x2 7x3
3xi + 9x2 ” 8x3
—
15. - 3xi + 4x2 + 2X3 + 8x4
AX = X2 + 3X3 - 6x4
-2xi + 4X2 + 5X3 - 7X4
>9xi - 9x, - 8X3 + 6x4
S98 Álgebra linear
16. Roteiro: Esse problema se resolve de forma análoga à do problema 5 do item A.8.
17. Roteiro: 19) Calcular = 2) ̂ ®(2 4 )
(No caso, já foi calculado no problema 16).
29) Calcular 4 , = x
18. Roteiro: 19) Calcular G 2̂ 4) ~ ®(2 4) ^^(4 4)*
29) Calcular 2) ̂ ^ (2 , 4)*
19. Roteiro: Esse problema se resolve de maneira análoga à do problema 5 do item A.8.
20. Roteiro: 19) Calcular J 2̂ 2) ~ ®(2 4) ̂ ^(4 2)
(No caso já foi calculado no problema 19).
29) Calcular ^ 2 , 2) ̂ *̂ (2 , 2) ^ ^ (2 , 2)*
21. Roteiro: 19) Calcular 2) ~ ^(4 2) ^^(2 2)'
29) Calcular N 2̂_ 2) = 4) ><M(4,2)-
22 a 26. Roteiro: Efetuar o produto AB. Se:
a) AB=I , B é inversa de A;
b) AB I, B náo é inversa de A.
27. m = 9 e n = 5
28. m = -5 e n = -3
A.9 M ATRIZ TRANSPOSTA
TA matriz transposta da matriz A, de ordem m por n, é a matriz A , de ordem n 
por m, que se obtém da matriz A permutando as linhas pelas colunas de mesmo índice.
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 399
Exemplo
A =
^ 1 1 a i 2 a i 3
a i i a 2 i
; A ^ = a i 2 a 2 2
^ 2 1 ^ 2 2 ^ 2 3
a i 3 a 2 3
A.9.1 Propriedades da Matriz Transposta
I) (A + B)^ = a '̂ +
II) ( k k f =
III) (A'T)T= a
IV) (a b )^ = bW
Observação
As propriedades I, II e III são imediatas. A propriedade IV será verificada por meio do 
seguinte exemplo:
a) Sejam as matrizes
"( 3 , 2 )
1 3 1 2
0
2
2
4
® ®(2,2)
3 4
O produto A 2̂ 2) ̂ ®(2 2) ^^ste e é de ordem (3 ,2 ), istoé (AB) ( 3 , 2 ) -
1 3 1 2 10 14
10 6 14
AB = 0 2 X = 6 8 .. (a b )T =
2 4 3 4 14 20 14 8 20
400 Álgebra linear
b) Sejam as matrizes
1 0 2 1 3
^( 2, 3) ' < 2, 2, =
3 2 4 2 4
O produto B |2 2) ^^ (2 3) ^^ste e é de ordem (2,3) , istoé (B^A )̂ 2̂ 3)
1 3 1 0 2 10 6 14
X =
2 4 3 2 4 14 8 20
Comparando a) com b), verifica-se que (AB)^=B^A^.
A.10 MATRIZ SIMÉTRICA
Uma matriz quadrada S = [a^] é simétrica se =S.
Exemplo
s = s'^
1 5 9 
5 3 8 
9 8 7
A.10.1 Observações
a) Se A = [ay] é uma matriz simétrica, os elementos dispostos simetricamente em 
relação à diagonal principal são iguais, isto é, â = â ..
b) O produto de uma matriz quadrada A pela sua transposta A^ é uma matriz simétrica.
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 401
Exemplo
2 0 2 2 1 0
1 -1 2 A^ = 0 -1 3
0 3 0 2 2 0
S = AA^ =
2 0 2 2 1 0 8 6 0
1 -1 2 0 - 1 3 = 6 4 - 3
0 3 0 2 2 0 0 - 3 0
S = S^
A.11 MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA
Uma matriz quadrada A = [a..] é anti-simétrica se A^ = - A.
Exemplo
A matriz
0 3 4
A = -3 0 -6
-4 6 0
é anti-simétrica.
De fato:
0 -3 -4
0
-6
isto é:
a T = - a
402 Álgebra linear
A-11.1 Observação
Se A = [â .] é
relação à diagonal principal são opostos e os elementos da diagonal principal são nulos.
Se A = [a.j] é uma matriz anti-simétrica, os elementos dispostos simetricamente em
A.12 M ATRIZ ORTOGONAL
Uma matriz M cuja inversa coincide com a tramposta é denominada matriz ortogonal: 
M *
isto é :
M . M = l
Exemplos
A matriz
M =
2 2
V3 1
2 ‘ 2 _
é uma matriz ortogonal. 
De fato:
1 V3" 1 s í f
2 2 2 2
se M =
n/3 1
. =
V3 1
2 ' 2 _ 2 ~2 _
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 403
Observando que M =M ^, vem:
1 n/3 1
2 2 2 2
MM^=M^M =
' ã 1
X
V3 1
_ 2 2 _ _ 2 ■ 2 _
1 0 
0 1
Tendo em vista que:
MM^ = M^M = I
isto é:
M ^ = M *
a matriz M é ortogonal.
A.13 M ATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
A matriz quadrada A = [a^] , que tem os elementos a ̂ =0 para i > j , é uma matriz 
triangular superior.
Exemplo
A =
5 4 7 9
0 3 - 8 4
0 0 - 2 3
0 0 0 6
A.14 M ATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
A matriz quadrada A = [ay], que tem os elementos a^ = 0 para i < j , é uma matriz 
triangular inferior.
404 Álgebra linear
Exemplo
5 0 0 0
2 7 0 0
-3 4 3 0
6 -2 8 9
A.15 POTÊNCIA DE UMA M ATRIZ
Uma matriz quadrada A = [a.j] pode ser multiplicada n vezes por si mesma. A matriz 
que resulta dessas n operações, e que se representa por A” , é chamada potência n da 
matriz A.
Exemplos
Se A =
1 2
4 3
a) Â =
1 2 1 2 9 8
X =
4 3 4 3 16 17
b) Â
1 2 1 2 1 2 9 8 1 2 41 42
X X X
4 3 4 3 4 3 16 17 4 3 84 83
A .15.1 Matriz Periódica
Dada uma matrizquadrada A, diz-se que A é uma matriz periódica se A ̂ = A, 
sendo 2. Se n é o menor inteiro para o qual A” = A, diz-se que o período de A é n - 1.
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 405
A.15.1.1 Matriz Idempotente
Dada uma matriz periódica A, tal que =A, diz-se que A é uma matriz idem­
potente. O período da matriz idempotente é 2 - 1 = 1.
Exemplo
A =
2 -1 1
-3 4 -3
-5 5 - 4
2 -1 1 2 -1 1 2 -1 1
 = -3 4 -3 X -3 4 -3 = -3 4 -3
-5 5 -4 -5 5 -4 -5 5 -A
A matriz A é idempotente, uma vez que  = A.
Se  = A, então  = A"̂ =  = ... = A” = A
A .15.1.2 Matriz Nihilpotente
Dada uma matriz quadrada A, se existir um número p, inteiro e positivo, tal que 
A ̂ = 0, diz-se que A é uma matriz nihilpotente. Se p é o menor inteiro positivo tal que 
A ̂ = 0, diz-se que A é uma matriz nihilpotente de “índice” p.
Exemplos 
a) Se
A = -3
-4
-1 1
3 -3
4 -4
406 Álgebra linear
1 -1 1 1 -1 1 0 0 0
-3 3 -3 X -3 3 -3 = 0 0 0
-4 4 A -4 4 -4 0 0 0
=
A matriz A é nihilpotente de índice 2.
Se  = 0 , então  = A ̂ =  = ... = A" = 0. 
b) Se
A =
 =
1 1 3
5 2 6
-2 -1 -3
1 1 3
5 2 6
-2 -1 -3
1 1 3 0 0 0
X 5 2 6 = 3 3 9
-2 -1 -3 -1 -1 -3
0 0 0 1 1 3 0 0 0
3 3 9 X 5 2 6 = 0 0 0
-1 -1 -3 -2 -1 -3 0 0 0
 = A2 X a =
A matriz A é nihilpotente de índice 3.
Se  = 0, então  = A*̂ =  = ... = A"" = 0.
A.16 PROBLEMAS RESOLVIDOS
1) Determinar a matriz A^ transposta da matriz
2 3 -5 8
3 -7 1 9
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 407
Solução
kT ^
2 3
3 -7
-5 1
8 9
Dadas as matrizes:
A =
4 -5
3 -7 , B =
-2 4
”4 -3"
e D =
1 2
-4 6 -3
-3 5 8
C =
2) Calcular (AB)^
1 -5 0
0 0 2
1 1 0
Solução
a) Cálculo de A 3̂ 2) ^(2, 3)^ ^(3, 3)-
4 -5 -4 6 -3 -1 -1 -52
E = 3 -7 X = 9 -17 -65
-2 4 -3 5 8 -4 8 38
b) Determinação de (AB)^ = E^:
(AB)^ = =
-1 9 -4
-1 -17 8
-52 -65 38
408 Álgebra linear
3) Calcular B^C.
Solução
Ta) Determinação de B :
jT _
-4 -3
6 5
-3 8
b) Cálculo de B X C( 3 , 2) ^ ^ ( 2 , 2 ) M 3 , 2 )-
B^C = F =
-A
6
-3
5 X
4 -3
_
-19
29
6
-8
-3 8 1 2 -4 25
4) Calcular (AB)^D.
Solução
a) Cálculo de (AB)^:
(No caso presente, (AB)^ = já foi calculado no problema 2.)
(AB)'''=E^ =
-1 9 -4
-1 -17 8
-52 -65 38
b) Cálculo de (AB)^D — pT w
^(3 ,3 ) *^(3,3) “ ^(3, 3)-
-1 9 -4 1 -5 0 -5 1 18
(AB)^D = G = -1 -17 8 X 0 0 2 = 7 13 -34
-52 --65 38 1 1 0 -14 298 -130
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 409
5) Dada a matriz:
A =
2 5 9
4 7 1
3 6 2
classificar a matriz A + = S.
Solução
Ta) Determinação da matriz A .
a T =
2 4 3 
5 7 6 
9 1 8
b) Cálculo da matriz A + = S.
S = A + a”̂
2 5 9 2 4 3 4 9 12
4 7 1 + 5 7 6 = 9 14 7
3 6 8 9 1 8 12 7 16
Tc) Determinação de S .
ST =
4 9 12
9 14 7
12 7 16
T T TTendo em vista que A + A = S = S \ A + A é uma matriz simétrica.
410 Álgebra linear
6) Dada a matriz
A =
6 1 4
- 3 8 -5
2 - 6 7
Tclassificar a matriz A - A = P
Solução
a) Determinação de A ̂
a T =
6 - 3 2
1 8 -6 
4 - 5 7
b) Cálculo de A - = P.
P= A - A *
6 1 4 6 -3 2 0 4 2
- 3 8 -5 - 1 8 - 6 - 4 0 1
2 - 6 7 4 - 5 7 - 2 -1 0
Xc) Determinação de P :
pT =
0 - 4 - 2
4 0 -1
2 1 0
Tendo em vista que A -A ^ = P=- P^ , A - A^ é uma matriz anti-simétrica.
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 411
7) Dada a matriz
2 3
5 -7
A =
classificar a matriz AA^ = S. 
Solução
Ta) Determinação de A :
2 5
A^ =
3 -7
b) Cálculo de AA^ = S:
2 3 2 5 13 -11
S = AA^ = X =
5 -7 3 -7 -11 24
c) Determinação de S*
13 -11
-11 24
Tendo em vista que A . A^ = S = S^, AA^ é uma matriz simétrica.
8) Dada a matriz:
M =
COS B -sen d 0
sen 0 COS 0 0
0 0 1
calcular MM^ e classificar a matriz M.
412 Álgebra linear
Solução
a) Determinação de :
M^ =
COS 6 se n d 0
- s e n 6 COS d 0
0 0 1
b) Cálculo de MM ̂ = Q:
Q= MM^ =
COS 6 -sen 6 0 COS d sen 6 0
sen d COS d 0 X -sen 6 COS d 0
0 0 1 0 0 1
Q = MM^ =
coŝ d + sen^0 + 0 COS 6 sen 0 - sen 0 cos 0 + 0 0 1 0 0
sen 6 COS 0 - COS 0 sen 0 + 0 sen̂ d + coŝ d + 0 0 = 0 1 0
0 0 1 0 0 1
Se Q = MMT =I, m ' ̂ = m " ‘ e, por conseguinte, a matriz M é ortogonal.
9) Dada a matriz 
10 -25
^ -10
A =
calcular e classificar a matriz A.
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 413
10 -25 10 -25 0 0
X =
4 -10 4 -10 0 0
Solução
=
4 -10
Tendo em vista que é igual à matriz zero, A é nihilpotente de índice 2.
10) Dada a matriz
-2 1 -1
2 - 3 2
4 - 4 3
A =
calcular  e classificar a matriz A.
Solução
2 -1 1 2 -1 1 2 -1 1
 = -2 3 -2 X -2 3 -2 = -2 3 -2
-4 4 -3 -4 4 -3 -4 4 -3
Tendo em vista que  = A, a matriz A é idempotente (período igual a 1). 
Dadas as matrizes triangulares superiores (A e B) e inferiores (C e D).
1 2 1 2 -1 2
A = 0 3 -2 , B = 0 1 -3
0 0 -4 0 0 1
3 0 0 -1 0 0
C - -2 2 0
1 1 -3
e D -- 4 0
414 Álgebra linear
11) Calcular AB e classificar a matriz AB = E. 
Solução
1 2 1 2 -1 2 2 1 -3
E = AB = 0 3 -2 X 0 1 -3 = 0 3 -11
0 0 -4 0 0 1 0 0 -4
A matriz AB = E é uma matriz triangular superior.
12) Calcular CD e classificar CD = F.
Solução
A matriz CD = F é uma matriz triangular inferior.
A.Í6.T Problemas Propostos
1) Determinar a matriz A^ transposta da matriz
2 4 3 -5
A = 1 -7 0 -2
8 -9 6 -4
Dadas as matrizes:
A =
5 0 6
-8 0 3
-2 2 7
1 -1 -5
B =
1 - 3 - 2 4
7 8 5 9
0 6 3 -8
, C =
3 0 0 -1 0 0 -3 0 0
F = CD = -2 2 0 X -3 4 0 = -4 8 0
1 1 -3 2 1 1 -10 1 -3
2 3 0
1 1 -8
3 5 4
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 415
e D =
5 0 3 2
-8 1 -2 4
-3 2 1 -5
0 1 0 2
2) Calcular (AB)^.
3) Calcular (AB)D^.
4) Calcular A(BD^).
5) Calcular B^C.
6) 2(A'^b '^ )+ 3C' .̂ 
Dadas as matrizes:
2 -7 1 0 - 9 3 4 3 5
3 4 2 ,B = 4 8 1 c C = -1 2 -7
5 - 9 6 7 3 1 8 1 -9
7) Classificar A + A ^.
8) Classificar B +B ^.
9) Classificar A .A ^ .
10) Classificar A -A ^ . 
1 1) Classificar B - B .̂
12) Classificar C -C'^.
416 Álgebra linear
Dadas as matrizes:
1 l s / 2 1 2 v/6
0 1 3 3 5 5 sen^ -cos^
A =
1 0
, B --
2^/2 1
, c =
2 ^ /ê 1
, D =
COS d -sen 6
3 ' 3 5 5
V 3 n/ 3 V 3
3 3 3
c. ' ã .C
6 9 12 16
E = , F = . G =
3 O O
- 4 - 6 - 9 - 1 2
0 sji V 2 ^ —*
2 2
H =
- 1
-1
-3 ^
—
- 1 2 6
5 10 6 10
J = , L = , M = 3 -2 -9
-2 -4 -3 -5 -2 0 3
13) Calcular AA^ e classificar a matriz A.
14) Calcular e classificar a matriz B.
15) Calcular CC^ e classificar a matriz C.
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 417
16) Calcular DD^ e classificar a matriz D.
17) Calcular EE^ e classificar a matriz E.
18) Calcular e classificar a matriz F.
19) Calcular e classificar a matriz G.
20) Calcular e classificar a matriz H.
21) Calcular e classificar a matriz J.
22) Calcular e classificar a matriz L.
23) Calcular e classificar a matriz M.
Dadas as matrizes triangulares superiores (A e B) e inferiores (C e D):
1 2 8 2 -3 1 1 0 0
A = 0 1 , B = 0 2 -1 , c = -1 3 0
0 0 4 0 0 3 -2 -1 2
4 0 0
1 -1 0
-1 -3 -2
D =
24) Calcular AB e classificar a matriz AB =E.
25) Calcular CD e classificar a matriz CD = F.
26) Dadas as matrizes diagonais:
A =
2 0 0 4 0 0
0 7 0 e B = 0 5 0
0 0 3 0 0 6
calcular AB e classificar esse produto.
418 Álgebra linear
A .1 6^ Respostas ou Roteiros para os Problemas Propostos
1 )
a T =
2 I 8
4 -7 -9
3 0 6
-5 -2 -4
2) Roteiro: 19) Calcular A B=E.
29) Calcular e '̂ = (AB)'^.
ou;
19) Determinar A *. 
29) Determinar
39 ) Calcular = (AB)^ (IV Propriedade da matriz transposta, item A.9.1.)
Observação
Esse roteiro é conveniente quando já se conhecem as transpostas de A e de B.
3) Roteiro: 19) Calcular AB = E (já calculado no problema 2).
29) Determinar D^.
39) Calcular E . D^ = F.
4) Roteiro: 19) Determinar D^ (já determinado no problema 3).
29) Calcular BD^=G.
39) Calcular AG = H.
5) Roteiro: 19 ) Determinar B ̂ (já determinado no problema 2).
29) Calcular B^('=J.
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 419
6) Roteiro: 19) Determinar (jádeterminado no problema 2).
29) Determinar (já determinado no problema 2).
39) Calcular = K.
49) Calcular 2K.
59) Determinar C^.
69) Calcular 3C' ̂ = L.
79) Somar 2K + L.
7) A + A^ é simétrica.
8) B + B^ é simétrica.
9) A . A^ é simétrica.
10) A -A ^ é anti-simétrica.
11) B - B^ é anti-simétrica.
12) C -C ^ é anti-simétrica.
13) A éortogonal.
14) B éortogonal.
15) C éortogonal.
16) D éortogonal.
17) E éortogonal.
18) F é nihilpotente de índice p = 2.
19) G é nihilpotente de índice p = 2.
20) H é nihilpotente de índice p = 3.
21) J é idempotente (período igual a 1).
420 Álgebra linear
22) L é idempotente (período igual a 1).
23) M é periódica de período igual a 2.
24) AB = E é uma matriz triangular superior.
25) CD = F é uma matriz triangular inferior.
26)
AB =
0 0 
3 5 0
0 1 8
e' uma matriz diagonal.
DETERMINANTES
A.17 CLASSE DE UMA PERMUTAÇÃO
Consideremos uma permutação
a c b
dos trés elementos a, b, c e tomemos para permutação principal a permutação:
a b c
na qual os elementos estão na ordem alfabética.
Diz-se que dois elementos de uma permutação formam uma inversão se estão em ordem 
inversa à da permutação principal.
Assim, na permutação dada acb, os elementos c e b formam uma inversão.
Uma permutação é de classe par ou de classe ímpar, conforme apresente um número par 
ou ímpar de inversões.
A permutação acb é de classe ímpar.
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 421
A.18 TERMO PRINCIPAL
Dada a matriz quadrada A, de ordem n, ao produto dos elementos da diagonal principal 
dá-se o nome de termo principal:
an . a22 • 833......... n̂n
A.19 TERMO SECUNDÁRIO
Dada a matriz quadrada A, de ordem n, ao produto dos elementos da diagonal secundária 
dá-se o nome de termo secundário:
• ^n-i 2 . an-2 3 ........ai n
A.20 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ
Chama-se determinante de uma matriz quadrada à soma algébrica dos produtos que se 
obtém efetuando todas as permutações dos segundos índices do termo principal, fixados os 
primeiros índices, e fazendo-se preceder os produtos do sinal + ou —, conforme a permutação 
dos segundos índices seja de classe par ou de classe ímpar.
A utilização da definição e o cálculo de determinantes serão feitos logo após serem 
dadas algumas informações necessárias para a melhor compreensão do assunto.
A.21 ORDEM DE UM DETERMINANTE
Chama-se ordem de um determinante a ordem da matriz a que o mesmo corresponde. 
Assim, se a matriz é de ordem 3, por exemplo, o determinante será de ordem 3.
A.22 REPRESENTAÇÃO DE UM DETERMINANTE
A representação do determinante de uma matriz A, que será designado por det A, faz-se 
de maneira análoga à da matriz, colocada entre dois traços verticais.
422 Álgebra linear
det A =
aii ai2 1̂3 ••• ^in
2̂1 2̂2 2̂3 2̂TÍ
^ni n̂2 n̂3 •••
A.22.1 Linhas e Colunas de um Determinante
Apesar de o determinante de uma matriz quadrada A = [a^] , de ordem n, ser um 
número real, costuma-se, por comodidade, uma vez que aquele número é calculado a partir dos 
elementos das linhas e das colunas da matriz, falar nas linhas e nas colunas do determinante.
A.23 PRELIMINARES PARA O CALCULO DOS DETERMINANTES 
DE 29 E DE 39 ORDEM
Para a correta aplicação da definição de determinante de uma matriz, consideremos as 
tabelas constantes dos itens A.23.1 e A.23.2.
8.23.1 Tabela Referente às Permutações dos Números 1 e 2
O total de permutações dos número 1 e 2 é:
?2 = 2! = 1 x 2 = 2
Permutação
Permutação
Número de Classe da Sinal que precede
principal inversões permutação o produto
12 12 0 par +
12 21 1 ímpar -
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 423
A.23.2 Tabela Referente ás Permutações dos Números 1 ,2 e 3
O total de permutações dos números 1 ,2 e 3 e':
P3 =3 ! = 1 x 2 x 3 = 6
Permutação
principal
Permutação
Número de 
inversões
Classe da 
permutação
Sinal que precede 
0 produto
1 2 3 1 2 3 0 par +
1 2 3 1 3 2 1 ímpar -
1 2 3 3 1 2 2 par +
1 2 3 2 1 3 1 ímpar -
1 2 3 2 3 1 2 par +
1 2 3 3 2 1 3 ímpar -
A.24 CALCULO DO DETERMINANTE DE 29 ORDEM
Dada a matriz
A =
aii ai2
2̂1 2̂2
para calcular o determinante dessa matriz
det A =
aii ai2
2̂1 322
d ev e -se , d e a c o r d o c o m a d e f i n i ç ã o , p r o c e d e r d a s e g u in te m a n e i r a :
424 Álgebra linear
19) Escrever os elementos que compõem o termo principal, um após o outro, somente com 
os primeiros índices (deixando lugar para colocar depois os segundos índices), tantas vezes quantas 
forem as permutações dos números 1 e 2 (no caso, duas vezes):
32 ai 32
29) Colocar nas duas expressões anteriores, como segundos índices, as permutações 12 e 
21, uma permutação em cada expressão e não necessariamente nessa ordem:
aii 322 aj2 a2i
39) Fazer preceder cada um dos dois produtos assim formados dois sinais + ou con­
forme a permutação dos segundos índices for de classe par ou de classe ímpar. No caso, se pode 
ver, na Tabela do item A.23.1, que o sinal que precede o 19 produto é +, porque a permutação 
1 2 é de classe par,e que o sinal que precede o 29 produto é - , porque a permutação 2 1 é 
de classe ímpar.
+ aii 322 -ai2 321
49) Efetuar a soma algébrica dos produtos assim obtidos, com o que se terá:
det A “ an 322 ~ 1̂2 2̂1
isto é:
det A =
an 3i2 
321 322
- aii 322 — ai2 321
Por comodidade costuma-se dizer que o determinante de 2? ordem é igual ao termo 
principal menos o termo secundário.
Exemplos
1) Calcular o determinante da matriz
A =
7 5
2 4
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 425
Solução
det A =
7 5
2 4
= 7 X 4 - 2 X 5 = 28 - 10 = 18
Daqui por diante, se dirá simplesmente:
Calcular:
det A =
7 5
2 4
2) Calcular:
det A =
-3 -8
-5 -2
Solução
det A = (-3) X (-2) - (-8) x (-5) = 6 - 40 = - 34
3) Calcular:
det I =
1 0
0 1
Solução
det I =1 x l - 0 x 0 = l - 0 = l
426 Álgebra linear
4) Calcular:
det A =
6 3
0 5
Solução
det A = 6 X 5 - 3 x 0 = 3 0 - 0 = 30
A.25 CALCULO DO DETERMINANTE DE 3? ORDEM
Dada a matriz
1̂1 a i 2 a i3
2̂1 2̂2 ^23
^31 a 32 ^33
para calcular o determinante dessa matriz
au ai2 ai3
det A = a2i a22 a23
a3i a32 a33
deve-se, de acordo com a definição, proceder do seguinte modo:
19) Escrever os elementos que compõem o termo principal, um após o outro, somente com 
os primeiros índices (deixando lugar para colocar depois os segundos índices), tantas vezes quantas 
forem as permutações dos números 1 ,2 e 3 (no caso, seis vezes):
a2 a3 ai a2 a3 ai a2 a3
a2 a3 ai a2 a3 ai a2 a3
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 427
29) Colocar, nas seis expressões anteriores, como segundos índices, as permutações 123, 
132, 312, 213, 231 e 321, uma permutação em cada expressão e não necessariamente nessa 
ordem:
aii a22 3̂3 1̂1 2̂3 3̂2 1̂3 2̂1 3̂2
ai2 2̂1 3̂3 ai2 a23 3̂1 ai3 a22 3̂1
39) Fazer preceder cada um dos produtos assim formados dos sinais + ou - , conforme 
a permutação dos segundos índices for de classe par ou de classe ímpar. No caso, como se pode ver 
na Tabela do item A.23.2:
a) o sinal que precede o 19 produto é +, porque a permutação 123 é de classe par;
b) o sinal que precede o 29 produto é - , porque a permutação 132 é de classe ímpar;
c) o sinal que precede o 39 produto é +, porque a permutação 312 é de classe par;
d) o sinal que precede o 49 produto é —, porque a permutação 213 é de classe ímpar;
e) o sinal que precede o 59 produto é +, porque a permutação 231 é de classe par;
f) o sinal que precede o 69 produto é —, porque a permutação 321 é de classe ímpar:
+aii a22 2̂3 “ 1̂1 2̂3 3̂2 +ai3 a2i a32
“̂ 12 2̂1 3̂3 ■*■̂12 2̂3 3̂1 -a 13 a22 H3i
49) Efetuar a soma algébrica dos produtos assim obtidos, com o que se terá:
det A - aiia22a33 -aiia23a32 + ai3a2ia32 -ai2a2ia33 + ai2a23a3i -ai3a22a3i
Essa fórmula pode ser transformada na seguinte:
de t A - a i i ( a 22a 33 - a23a32) - a i 2 ( a 2i 333 - 323331) + 313(321332 ~ 322331)
428 Álgebra linear
É muito fácil essa fórmula partindo da matriz
A =
aii ai2 ai3
2̂1 a22 2̂2
3̂1 3̂23̂3
e efetuando as seguintes operações:
• multiplicar o elemento an (da 1? linha) pelo determinante menor da submatriz de 
A, que se obtém eliminando a 1? linha e a 1? coluna:
© • . . . . a i 2 * • a i 3
a 2 2 a 2 3
^ 2 1 a a 2 2 ^ 2 3
^ 3 3
; a n
a 3 2 a 3 3
à 3 1 ^ 3 2
- an(a22a33 -^ 23̂ 32)
• multiplicar o elemento ai2 (da 1? linha) pelo determinante menor da submatriz de 
A, que se obtém eliminando a 1? linha e a 2? coluna:
a n - a i 3
a 2 i a 2 3
a 2 i ^ 2 2 a 2 3 ; a i 2
a 3 i ^ 3 2 a 3 3
a 3 i a 3 3
- ai2(a2ia33 -a23a3i)
• multiplicar o elemento ai3 (da 1? linha) pelo determinante menor da submatriz de 
A, que se obtém eliminando a 1̂ linha e a 3? coluna:
an* •ai2- ■•© a2i a22
a2i a22 á23 ; ai3
a3i a32asi as2 a 33
“ ^13(^21̂ 32 “ 2̂2̂ 31 )
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 429
• fazer os trés produtos obtidos anteriormente serem precedidos altemadamente pelos
sinais + e —, iniciando pelo sinal + :
det A =
1̂1 1̂2 1̂3
2̂1 2̂2 2̂3
3̂1 3̂2 3̂3
- a i i ( a 2 2 ^33 “ ^23 ^ 3 2 ) “ ^ 1 2 (^ 2 1 ^33 “ ^ 2 3 ^ 3 1 ) ^ 1 3 (^ 2 1 ^32 - a 2 2 ^ 3 i )
OU, simplificadamente:
det A =
an ai2 ai3 
a2i a22 a23 
a3i a32 333
a 2 2 a 2 3 a 2 i a 2 3 a 2 i a 2 2
= a i i - a i 2 + a i 3
a 3 2 a 3 3 a 3 i a 3 3 a 3 i a 3 2
(A.25)
Essa maneira de escrever a fórmula para calcular o determinante de uma matriz de 3a ordem 
é comumente denominada desenvolvimento do determinante pela IÇ linha.
Exemplos 
1) Calcular:
det A =
A solução se obtém pela fórmula (A.25):
1 4 3 4 3 1
det A = 2 X - 5 X + 7 X
8 2 6 2 6 8
detA = 2 ( l x 2 - 4 x 8 ) - 5 ( 3 x 2 - 4 x 6 ) + 7 ( 3 x 8- 1 x 6) 
det A = 2 (2 - 32) - 5 (6 - 24) + 7 (24 - 6)
430 Álgebra linear
det A = 2 ( - 3 0 ) - 5 ( - 1 8 ) + 7 X 18 
det A = -60 + 90 + 126 
det A = 156.
2) Calcular:
det A =
3 1 -2
-5 4 -6
0 2 7
A solução se obtém pela fórmula (A.25):
det A = 3 X
4 -6 -5 -6 -5 4
- 1 X + (-2) X
2 7 0 7 0 2
det A = 3 [4 X 7 - ( - 6 ) x 2] - 1 [-5 x 7 - ( - 6 ) x 0] - 2 ( - 5 x 2 - 4 x 0)
det A = 3 (28 + 12) - 1 (-35 + 0) - 2 (-10 - 0)
det A = 3 X 40 - 1 x (-35) - 2 x (-10)
det A = 120 + 35 + 20
det A= 175.
A.25.1 Observação
Assim como se pode calcular um determinante desenvolvendo-o pela 1? linha, pode-se 
também calculá-lo desenvolvendo-o por qualquer linha ou por qualquer coluna, devendo-se ter 
absoluto cuidado com a alternância dos sinais + e — que precedem os produtos formados. 
Assim, no caso do determinante de 3^ ordem, a alternância dos sinais + e - dos produtos 
por linha e por coluna é a seguinte:
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 431
+ - +
- + -
+ - +
(A.25.1)
3) Calcular:
det A =
5 7
1 4
8 2
desenvolvendo-o pela 2? coluna.
A solução do problema se obtém com a fórmula análoga à obtida em A.25 com as seguintes 
diferenças:
a) A coluna a ser eliminada para formar o determinante menor será sempre a 2?, e a linha 
a ser eliminada será aquela em que se situa o elemento da matriz que vai multiplicar o referido 
determinante menor.
b) Os sinais que precedem os produtos são os dados no Quadro A.25.1:
3 4 2 7 2 7
det A = -5 X + 1 X - 8 X
6 2 6 2 3 4
det A = -5 (3 X 2 - 4 X 6) + 1 (2 X 2 - 7 X 6) - 8 (2 X 4 - 7 X 3)
det A = - 5 ( 6 - 2 4 ) + 1 ( 4 - 4 2 ) - 8 ( 8 -2 1 )
det A = -5(-18)+ 1 (-38) - 8 (-13)
det A = 90 - 38 + 104
det A = 156
Esse resultado foi o mesmo obtido no Exemplo 1.
432 Álgebra linear
A.26 DESENVOLVIMENTO DE UM DETERMINANTE POR UMA LINHA 
OU POR UMA COLUNA
Se se repetir o raciocínio e o roteiro do cálculo de um determinante de 3 ̂ ordem para um 
determinante de 4? ordem, por exemplo, se chegará à mesma conclusão: o determinante poderá 
ser calculado desenvolvendo-o por qualquer linha ou por qualquer coluna, devendo-se ter 
absoluto cuidado com a alternância dos sinais + e - que precedem os produtos formados, alter­
nância essa que, para o determinante de 4? ordem, é a seguinte:
- + - +
- -f- - +
Exemplo
Calcular:
3 2 1 4
0 1 9 8
det A = 5 6 7 2
3 1 4 6
desenvolvendo-o pelai? linha. 
Roteiro para a solução:
1 9 8 0 9 8 0 1 8
det A = 3 X 6 7 2 -2 X 5 7 • 2 + 1 X 5 6 2
1 4 6 3 4 6 3 1 6
-4 X
0
5
3
1 9
6 7
1 4
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 433
Calculando cada um dos 4 determinantes de 3? ordem e efetuando as demais operações 
indicadas, se obterá o valor do det A. Igualmente, se pode calcular um determinante de ordem 
n = 5, 6, 7, 8, 10, 20, 50 etc., desenvolvendo-o por uma linha ou por uma coluna, pelo mesmo 
processo que se calcula um determinante de 4? ordem. Entretanto esse processo, por envolver 
um número excessivamente elevado de operações, torna-se quase impraticável. Por isso, no item 
A.28 será visto um processo que, apesar de conter ainda um número elevado de operações, esse 
número é sensivelmente menor do que o do desenvolvimento do determinante por uma linha ou 
por uma coluna e e', geralmente, usado com o auxílio de um computador.
A.27 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
Dentre as diversas propriedades dos determinantes serão relacionadas, a seguir, aquelas que 
de uma forma ou outra dizem mais de perto com o cálculo dos determinantes de qualquer ordem 
ou com as propriedades dos vetores. Essas propriedades não serão demonstradas, mas tão-somente 
verificadas por meio de exemplos:
I) O determinante de uma matriz A não se altera quando se trocam as linhas pelas colunas:
ai bi Cl ai a2 a3
a2 C2 = bi b2 b3
3̂ b3 C3 Cl C2 C3
Exemplo
2 5
7 3
= 2 x 3 - 5 x 7 = 6 - 3 5 = -29
2 7
5 3
= 2 x 3 - 7 x 5 = 6 - 3 5 = - 2 9
434 Álgebra linear
II) Se a matriz A possui uma linha (ou coluna) constituída de elementos todos nulos, o 
determinante é nulo:
bi 0
det A = 2̂ bj 0
3̂ bs 0
= 0
Exemplo
0 0 0 4 1 5 1 5 4
det A = 5 4 1 = 0 X - 0 X + 0 X
3 2 7 2 7 3 7 3 2
= 0 - 0 + 0 =0
Esse determinante foi desenvolvido pela 1? linha, observadas as alternâncias dos sinais que 
precedem os produtos.
III) Se a matriz A tem duas linhas (ou duas colunas) iguais, o determinante é nulo:
det A =
ai ai Cl
2̂ 2í 2 C2
3̂ a3 C3
= 0
Exemplo
det A =
5 5 2
3 3 1
4 4 6
3 1 3 1 3 3
= 5 X - 5 X + 2 X
4 6 4 6 4 4
Esse determinante foi desenvolvido pela 1.̂ linha, observadas as alternâncias dos sinais que 
precedem os produtos.
det A = 5 ( 3 x 6 - 1 x 4 ) - 5 ( 3 x 6 - 1 x 4 ) + 2 ( 3 x 4 - 3 x 4 ) 
det A = 5 ( 1 8 - 4 ) - 5 ( 1 8 - 4 ) + 2(12 - 12)
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 435
det A = 5 X 1 4 - 5 X 14 + 2 xO 
det A = 70 - 70 + O 
det A = 0
IV) Se na matriz A duas linhas (ou colunas) tém seus elementos correspondentes propor­
cionais, o determinante é nulo (numa matriz A, dois elementos são correspondentes quando, 
situados em linhas diferentes, estão na mesma coluna, ou quando, situados em colunas diferentes, 
estão na mesma linha):
det A =
ai kai
2í2 ka2
= 0
Exemplo
2 6
3 9
= 2 X 9 - 6 X 3= 1 8 - 18 = 0
Nesse determinante os elementos correspondentes das 2 colunas são proporcionais:
A = - 9 . = 3
2 3
V) Se na matriz A cada elemento de uma linha (ou coluna) é uma soma de duas parcelas, 
o determinante de A pode ser expresso sob a forma de uma soma dos determinantes de duas 
matrizes, a saber:
ai bi + Cl a, bi ai Cl
= +
^2 b2 + C2 t>2 ^2 C2
436 Álgebra linear
Exemplo
2 3 + 5 2 3 2 5
= +
7 4 + 6 7 4 7 6
De fato:
2 3 + 5 2 8
7 4 + 6 7 10
= 2 X 10 - 8 X 7 = 20 - 56 = -36
mas:
e:
logo:
2 3 
7 4
2 5 
7 6
2 3 
7 4
= 2 X 4 - 3 x 7 = 8 - 2 1 = -1 3
= 2 X 6 - 5 X 7 = 1 2 - 3 5 = -23
2 5
7 6
= - 1 3 - 2 3 = -36
VI) O determinante de uma matriz diagonal A (superior ou inferior) é igual ao termo 
principal, isto é, é igual ao produto dos elementos da diagonal principal:
det A =
an ai2 ai3
0 2̂2 2̂3
0 0 3̂3
- aiia22^33
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 437
Exemplos
1) Calcular:
det A =
1 3 5
0 1 3
0 0 2
E>esenvolvendo o determinante pela coluna e observando a alternância dos sinais queprecedem os produtos, vem:
1 3 3 5 3 5
det A = 1 X - 0 X + 0 X
0 2 0 2 1 3
d e t A = l x ( l x 2 - 3 x 0 ) - 0 x ( 3 x 2 - 5 x 0 ) + 0 x ( 3 x 3 - 5 x 1) 
det A = 1 X (1 X 2 - 0) - 0 X (6 - 0) + 0 X (9 - 5) 
d e t A = l X 1 x 2 ' 0 + 0 = l x l x 2
2) Calcular:
det A =
6 5 4 7
0 1 3 5
0 0 1 3
0 0 0 2
Desenvolvendo o determinante pela linha e observando a alternância dos sinais que 
precedem os produtos, vem:
1 3 5 0 3 5 0 1 5 0 1 3
det A = 6 X 0 1 3 -5 X 0 1 3 + 4 X 0 0 3 - 7 X 0 0 1
0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 0
438 Álgebra linear
O 19 determinante, como foi visto no Exemplo 1, é igual a 1 x 1 x 2, e os outros 3 deter­
minantes, por terem uma coluna constituída de elementos todos nulos, são nulos (II propriedade). 
Lx)go:
detA = 6 x l x l x 2
VII) Trocando-se entre si duas linhas (ou colunas) da matriz A, o determinante muda de 
sinal, isto é, fica multiplicado por -1:
b, Cl 3i bi Cl
32 bí C2 = - 33 bs C3
33 bs C3 32 bs C2
Exemplo
Calcular:
det A =
1. 3 5
0 0 2
0 4 12
a) Desenvolvendo o determinante pela 2? linha e observando a alternância dos sinais que 
precedem os produtos, vem:
3 5 1 5 1 3
d e t A = - 0 X + 0 X - 2 X
4 12 0 12 0 4
det A = -0 X (3 X 12 - 5 X 4) + 0 X (1 x 12 - 5 x 0) - 2 x (1 x 4 - 3 x 0)
det A = - O x (3 6 -2 0 ) + 0 x ( 1 2 - 0 ) - 2 ( 2 -0 )
det A = -0 X 16 + 0 X 1 2 - 2 X 4
de t A = - 0 + 0 - 8
de t A = - 8
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 439
Trocando, na matriz A, a 2? linha pela 3a, vem:
det Al =
1 3 5
0 4 12
0 0 2
b) Desenvolvendo o determinante pela 3a linha e observando a alternância dos sinais que 
precedem os produtos, vem:
3 5 1 5 1 3
det Al = + 0 X - 0 X + 2 X
4 12 0 12 0 4
det Al = 0 X (3 X 1 2 - 5 X 4 ) - 0 X (1 x 12 - 5 x 0) + 2 x (1 x 4 - 3 x 0)
det Al = 0 X (36 - 2 0 ) - 0 X (12 - 0 ) + 2(4 -0)
d e t A i = 0 x 1 6 - O x 12 + 2 x 4
det Al = 0 - 0 + 8
det Al = 8
Como se vé, o det A, ao serem trocadas entre si duas linhas da matriz A, ficou multiplicado 
por -1 , isto é, seu valor foi alterado. Para que se mantenha o valor do det A, no caso de haver 
necessidade de trocar entre si duas linhas (ou colunas), se procederá do seguinte modo:
1 3 5 1 3 5
det A = 0 0 = -l X 0 4 12
0 4 12 0 0 2
Na realidade, tendo em vista que o det A foi multiplicado por -1, ele, para manter seu 
valor, deveria ser dividido por -1 (ou multiplicado pelo inverso -1, no caso - y ) - Como, porém, o 
resultado seria o mesmo, se optou pela solução mais simples.
440 Álgebra linear
Quando se desejar trocar a 24 linha pela 34 de uma matriz A para facilitar o cálculo de seu 
determinante, se escreverá assim:
det A =
det A = - l X
3 
0
4
1
0
0
5
2
12
3
4 
0
L23
5
12
2
Essa operação será utilizada no cálculo de um determinante de qualquer ordem, quando, 
como aconteceu no presente caso, num determinado estágio do processo do cálculo, não puder 
haver o número zero na diagonal principal: a troca da 24 linha pela 34 tirou o zero da diagonal 
principal e colocou em seu lugar o número 4.
VIII) Quando se multiplicam por um número real, diferente de zero, todos os elementos 
de uma linha (ou de uma coluna) da matriz A, o determinante fíca multiplicado por esse 
número:
a i b i Cl a i b i Cl
k a 2 k b 2 kC2 = k X a2 b a C2
a a b a Ca a a b s Ca
Exemplo
Seja:
1 3 5
det Aj = 0 4 12
0 0 2
Este determinante foi calculado, como Exemplo, na propriedade VII, e o valor encontrado 
foi det Al = 8.
Suponha o leitor que se deseja multiplicar a 24 linha por 1/4 (o que é o mesmo que dividir 
os elementos da linha por 4):
det A2 =
1 3 5 
0 1 3 
0 0 2
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 441
Desenvolvendo o determinante pela 3? linha e observando a alternância dos sinais que pre­
cedem os produtos, vem:
3 5 1 5 1 3
det A2 = + 0 X - 0 X + 2 X
1 3 0 3 0 1
det A2 = 0 X (3 X 3 * 5 X l ) - 0 X (1 X 3 - 5 x 0) + 2(1 x 1 - 3 x 0) 
det A2 = 0 X ( 9 - 5 ) - 0 X ( 3 - 0 ) + 2 x ( l - O ) 
d e t A 2 = 0 x 4 - 0 x 3 + 2 x 1 
det A2 = 0 - 0 + 2 
det A2 = 2
Como se vê, o det Ai ficou multiplicado por ao se multiplicar os elementos da 2? 
linha por uma vez que:
det A2 = 2 = 8 x-L ̂ 4
isto é, o valor de det Ai ficou alterado. Para que se mantenha o valor do det A i , no caso de 
haver necessidade de multiplicar a 2P linha por se procederá do seguinte modo:
1 3 5 1 3 5
det Al = 0 4 12 = 4 X 0 1 3
0 0 2 0 0 2
Repetindo o que já foi dito, multiplicar os elementos de uma linha por o mesmo que
dividir os elementos da linha por 4 (ou, o mesmo que dividir o determinante por 4). Daí por 
que, para compensar, isto e', para que o determinante mantenha seu valor, é necessário multi­
plicá-lo pelo inverso de — ou seja, por 4.
442 Álgebra linear
Quando se desejar multiplicar a 2? linha de uma matriz A por — para facilitar o cálculo de 
seu determinante, se escreverá assim:
1 3 5
det Al = 0 4 12 ->
0 0 2
1 3 5
det Al = 4 X 0 1 3
0 0 2
Essa operação será utilizada no cálculo de um determinante de qualquer ordem, quando, 
como aconteceu no presente caso, num determinado estágio do processo do cálculo, se desejar 
obter o número 1 como um dos elementos da diagonal principal: a multiplicação do número 4,
que estava na 2? linha como elemento da diagonal principal, por colocou o número 1 em
seu lugar.
Admitamos que se queira obter o número 1 em lugar do número 2 no det A2 :
det A2 =
1 3 5 
0 1 3 
0 0 2
Nesse caso, basta multiplicar a 3? linha por — e fazer a respectiva compensação multi­
plicando det A2 pelo inverso de — , isto e', por 2:
1 3 5
det A2 = 0 1 3
0 0 2
1 3
det A2 = 2 X 0 1
0 0
U í y )
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 443
Recapitulando todas as operações feitas até agora com o det A da propriedade VIII, tem-se:
1 3 5
det A = 0 0 2
0 4 12
1 3 5
det A = ■-1 X 0 4 12
0 0 2
1 3 :
det A = ■-1 X 4 X 0 1
0 0 ;
L , ( 2 - )
detA = - l x 4 x 2 x
1 3 5 
0 1 3 
0 0 1
Tendo em vista que, pela propriedade VI, o determinante de uma matriz triangular é 
igual ao termo principal e como, nesse caso, o termo principal TP é igual a 1 (TP= 1 x 1 x 1 ) , 
vem:
det A = - 1 X 4 X 2 X 1 = -8
Esse valor -8 já havia sido encontrado para o determinante dado:
1 3 5
0 0 2
0 4 12
ao ser desenvolvido pela 2? linha (exemplo da propriedade VII, alínea a).
444 Álgebra linear
IX) Um determinante nSo se altera quando se somam aos elementos de uma linha 
(coluna) da matriz A os elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente multi­
plicados por um número real diferente de zero:
a i b , Cl a i b i Cl
a 2 b j C2 = 2l2 + k a i b 2 + k b i C2 + k c i
aa b j C 3 a a b a Ca
Exemplo
Calcular:
det A =
1 2 4
4 10 12
5 7 9
a) Desenvolvendo o determinante pela 1? linha e observando a alternância dos sinais que 
precedem os produtos, vem:
10 12 4 12 4 10
det A = +1 X - 2 X + 4 X
7 9 5 9 5 7
det A = 1 X (10 X 9 - 1 2 X 7 ) - 2 x (4 x 9 - 12 x 5) + 4 x (4 x 7 - 10 x 5)
det A = 1 X (90 - 84) - 2 X (36 - 60) + 4 X (28 - 50)
det A = 1 X 6 . 2 X (-24) + 4 x (-22)
det A = 6 + 48 - 88
det A = -34
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 445
Pretende-se, agora, substituir a 2? linha do det A pela soma de seus elementos com os 
elementos correspondentes da 1? linha previamente multiplicados por -4:
2? linha:
la linha: 1 2 4
Multiplicador: -4
Nova 2a linha:
4 10 12
-4 -8 -16
0 2 - 4
det Al =
1 2 4
0 2 - 4
5 7 9
b) Desenvolvendo o determinante pela la linha e observando a alternância dos sinais que 
precedem os produtos, vem:
2 -4 0 -4 0 2
det Al = + 1 X -2 X + 4 X
7 9 5 9 5 7
det Al = 1 X [2 X 9 - (-4) x 7] -2 x [0 x 9 - (-4) x 5 ] + 4 x ( 0 x 7 - 2 x 5 ) 
det Al = 1 X (18 + 28) - 2 X (0 + 20) + 4 X (0 - 10) 
det Al =1 X 46 - 40 - 40 
det Al = -34
Portanto, det Ai = det A, com o que a propriedade fica verificada.
446 Álgebra linear
Quando se desejar somar os elementos da 2? linha com os correspondentes elementosda 
1? linha, previamente multiplicados por -4, se escreverá assim:
det A =
2 4
10 12 L 2 - L 2 + L j (*4)
det A =
1
0
5
4
-4
9
O sinal = da expressão L2 = L2 + Lj (-4) não tem o significado convencional; é em­
pregado, entretanto, para indicar que a expressão L2 = L2 + Li (-4), utilizada em lugar de L2 , 
não altera o “valor” do det A.
Essa operação será utilizada no cálculo de um determinante de qualquer ordem, quando, 
como aconteceu agora, num determinado estágio do processo do cálculo, se desejar o número 
“zero” para formar uma matriz triangular. Para facilitar a obtenção do zero é que se utiliza a 
propriedade VIII, isto é, se faz a operação adequada para substituir o número que está na diagonal 
principal pelo número 1; e é isso o que veremos no próximo item.
A.28 CÁLCULO DE UM DETERMINANTE DE QUALQUER ORDEM
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n (para n > 2, isto é, 
n = 5, 6,10, 20, 50 ,100 etc.), será utilizado o processo de triangulação.
Assim, dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se procederão com as linhas (ou colunas) 
de seu determinante as operações adequadas para transformar a matriz A numa matriz triangular 
superior (ou inferior), ao mesmo tempo que se efetuarão com o det A as necessárias compen­
sações, quando for o caso, para manter inalterado seu valor, tudo de acordo com as propriedades 
dos determinantes já vistas e verificadas.
Antes de dar um exemplo, uma explicação se faz necessária ao leitor: o ideal seria calcular 
um determinante de ordem elevada, mas, no caso, o cálculo se tornaria demorado e repetitivo, 
porque, como já tivemos oportunidade de verificar, o processo para se obter o número zero é 
sempre o mesmo, assim como o processo para se obter o número 1, na diagonal principal, também 
é sempre o mesmo. Dessa forma, o exemplo a ser dado será o de um determinante de 3? ordem.
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 447
Aliás, com isso haverá uma dupla vantagem: primeiro, se poderá calcular o determinante desen­
volvendo-o por uma linha (ou coluna) qualquer; segundo, se poderá verificar se, calculando o 
determinante por triangulação, ele conserva seu valor.
Não é demais insistir em que o processo de triangulação não é específico para o cálculo de 
um determinante de ordem 3 (embora o exemplo a seguir seja de um determinante dessa ordem), 
mas é para um determinante de qualquer ordem. Por outro lado, é preciso declarar que o cálculo 
de determinantes de ordem muito grande só foi possível a partir do uso dos computadores que, 
em geral, com algumas variações, utilizam o processo de triangulação. Dada a explicação ao leitor, 
convém ainda dizer que, por comodidade, facilidade nos cálculos e por ser bastante prático, para 
executar o processo de triangulação, se procura colocar, por meio das operações adequadas 
(e das respectivas compensações quando for o caso), como elementos da diagonal principal, exceto 
o último, o número 1.
Obtido o número 1 na R linha e 1? coluna, isto é, an = 1, substituem-se, por meio das opera­
ções competentes, todos os demais elementos da 1? coluna por zeros; da mesma forma, depois de 
obter a22 = 1, substituem-se os demais elementos da 2 ̂ coluna, situados abaixo (acima) de a22 
por zeros, e assim por diante. Quanto a cada um dos elementos da diagonal principal da matriz A, 
trés hipóteses podem ocorrer:
1?) O elemento é igual a zero. Nesse caso deve-se proceder à operação de troca de linhas 
e multiplicar o det A por -1, como compensação, isto é, para que det A conserve seu valor;
2?) O elemento é igual a k. Nesse caso, deve-se multiplicar todos os elementos da linha 
por com o que se obtém o número 1 como elemento da diagonal principal dessa linha. Por 
outro lado, para compensar, isto é, para que det A mantenha seu valor, deve-se multiplicá-lo 
pelo inverso de isto é, por k.
3?) O elemento é igual a 1. Nesse caso, nada a fazer no que diz respeito à diagonal 
principal.
Exemplo
Calcular:
det A =
1 7 
3 2 
3 4
448 Álgebra linear
Solução
a) Desenvolvendo o determinante pela 1? linha e observando a alternância dos sinais que 
precedem os produtos, vem:
2 1 7 3 2 1 2 1 3
det A = 1 3 2 = + 2 X - 1 X + 7 X
5 3 4 3 4 5 4 5 3
detA = 2 x ( 3 x 4 - 2 x 3 ) - l x ( l x 4 - 2 x 5 ) + 7 x ( l x 3 - 3 x 5 )
det A = 2 X (12 * 6) - 1 (4 - 10) + 7 (3 - 15)
det A = 2 x 6 - l x ( -6 ) + 7(-12)
det A = 12 + 6 - 8 4
det A = -66
b) O mesmo determinante será calculado, agora, pelo processo de triangulação, segundo 
as instruções prestadas anteriormente.
det A =
2 1 7 
1 3 2 
5 3 4
L ,( y )
det A = 2 X
1 2 2
L2 - L2 + L i( - l )
det A = 2 X
1 - i - ^ 2 2
0 a . l
2 2
5 3 4 L3 = L3 + L,(-5)
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 449
det A = 2 X
det A = 2 X— X
1 7
2 2
5 _ 3
2 ’ 2
1 27
2 “ 2
1 1 7
2 2
0 1 _6
10
0 1 27
2 ' 2 L 3 — L 3 + L 2 ( - - ^ )
det A = 2 X 5 x
1
1
2
0 1
0 0
2
10
132
10
132 132
O termo principal é: TP = 1 x 1 x ( - “jq") = “"iõ” ’
logo:
 ̂ * A T 5 . 132, 10 . 1 3 2 , 132d « A . 2 x y x ( . - j 5 - ) . ^ x ( - — 66
Como se vé, pelo processo de triangulação se obteve para o det A o mesmo valor que se 
obteve quando se desenvolveu esse determinante pela 1? linha.
A.29 PROBLEMAS RESOLVIDOS
1) Calcular:
2 4 6
det A = 5 9 8
7 2 1
450 Álgebra linear
Solução
Desenvolvendo o determinante pela 1? linha e observando a alternância dos sinais que 
precedem os produtos, vem:
9 8 5 8 5 9
det A = 2 X - 4 X + 6 X
2 1 7 1 7 2
det A = 2(9 X 1 - 8 x 2 ) - 4 ( 5 X 1 - 8 x 7 ) + 6 ( 5 x 2 - 9 x 7 )
det A = 2(9 - 16) - 4 ( 5 - 5 6 ) + 6(10 - 6 3 )
det A = 2 ( - 7 ) - 4 (-51) + 6(-53)
det A = -14 + 2 0 4 - 3 1 8
det A = -128
2) Calcular o determinante do problema anterior pelo processo de triangulação.
Solução
det A =
det A = 2 X
det A = 2 X
4 6
9 8
2 1
1 2 3
5 9 8
7 2 1
1 2 3
0 -1 -7
7 2 1
■ L. ( y )
•Lj =L2 +L,(-5)
L3 - L3 + Li (-7)
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 451
det A = 2 X
1 2 3
0 -1 -7
0 -12 -20
1 2 3
det A = 2 X (-1) X 0 1 7
0 -12 -20
Ls =Lj +Lj(12)
det A = 2 X (-1) X
1 2 3
0 1 7
0 0 64
mas o determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é igual ao termo principal: 
T = 1 X 1 X 64 = 64
logo;
det A = 2 X (-1) X 64 
det A = -128
Observado
O cálculo de um determinante pelo processo de triangulação poderia ser feito com menos 
trabalho e mais rapidamente se, uma vez obtido o número 1 de uma coluna, as operações para 
obter os zeros dessa coluna não fossem indicadas uma de cada vez, e sim todas de uma só vez.
452 Álgebra linear
Assim:
det A =
det A = 2 X
4 6
9 8
2 1
1 2 3
5 9 8
7 2 1
L . ( y )
U=U+Ui-5)
Lj =Lj +L,(-7)
det A = 2 X
1 2 3
0 -1 -7
0 -12 -20
L2(-1)
det A = 2 X (-1) X 64 
det A = -128
1 2 3
det A = 2 x ( - l ) X 0 1 7
0 -12 -20
1 2 3
det A = 2 X (-1) X 0 1 7
0 0 64
La =La +L2Í12)
A conveniência de se indicar de uma só vez as operações para se obter os zeros de cada 
coluna se tornará bem clara no cálculo de um determinante de ordem maior que 3, como se verá 
no problema seguinte.
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 453
3) Calcular pelo processo de triangulação:
det A =
-2 -3 -1 -2
-1 0 1 -2
-3 -1 -4 1
-2 2 -3 -1
Solução
-2 -3 -1 -2 ------ ^ L ,( -y )
-1 0 1 -2
det A =
-3 -1 -4 4
-2 2 -3 -1
1 3 1- 12 2
det A = (-2) X -1 0 1 -2 ------► L, = U + Li
-3 -1 1 — - u = u + L,(3)
-2 2 -3 -1 + L,(2)
det A = (-2) X
1
0 ^ -1
5 -2
L .( | - )
454 Álgebra linear
det A = (-2) x y x
1 3 1 1
2 2
2
0 1 1 " T
0 7
2
5
~2 4 ------ ̂ L3= L 3+ L 2( -y )
0 5 -2 1 ------ ̂ L 4 = L 4 = L j (-5)
2
0 3
2
1
2 1
0 1 1 2
' 3
0 0 - 6 19
3
0 0 - 7 13
3
1 3 1
2 2
0 1 1
( - 6 ) X
0 0 1
0 0 - 7
L. < - i >
2_
■3
l i -
18
1 1
3 L 4 = L , + L j ( 7 )
det A = (-2) (-6) X
1 ^
0
0
3 1 12 2
1 1 2
' 3
0 1 19 
" 8
0 0 55
” 10
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 455
mas o determinante de uma matriztriangular é igual ao termo principal
X 1 1 1 ̂ 5 5 . 55T = l x l x l x ( - - - ) = - —
logo;
det A = 18 X ( - ^ ) = -55
4) Resolva a equaçío:
x - 2
2
3
X + 3 
1
2
X - 1 
3 
1
= 6 0
Solução
Desenvolvendo o determinante do 19 membro da equação pela 1? linha e observando a 
alternância dos sinais que precedem os produtos, vem:
1 3 2 3 2 1
( x - 2 ) x - ( x + 3 ) X + ( x - 1 ) X
2 1 3 1 3 2
= 6 0
( x - 2 ) ( l - 6 ) - ( x + 3 ) ( 2 - 9 ) + ( x - l ) ( 4 - 3 ) = 6 0 
(x - 2 )(-5 ) - (x + 3 )(-7 ) + (x - 1)(1) = 60 
- 5 x + 1 0 - ( - 7 x - 2 1 ) + x - l = 6 0 
-5x + 10 + 7x + 21 + X - 1 = 60 
3x + 30 = 60 
3x = 60 - 30
456 Álgebra linear
3x = 30 
30
x= 10
5) Resolver a equação:
X 3 2
5 x 1 
1 3 1
= 12
Solução
Desenvolvendo o determinante do 19 membro da equação pela 1? linha e observando a 
alternância dos sinais que precedem os produtos, vem:
X 1 5 1 5 X
X X - 3 X + 2 X
3 1 1 1 1 3
x ( x - 3 ) - 3 ( 5 - l ) + 2 ( 1 5 - x ) = 1 2 
x2 - 3 x - 3 X 4 + 3 0 - 2 x = 12 
x ^ - 3 x - 1 2 + 3 0 - 2 x = 1 2 
x ̂ - 5 x - 1 2 + 3 0 - 1 2 = 0 
x ̂ - 5x + 6 = 0
_ 5 ± V(-5)^ - 4 X 1 X 6 
* 2 x 1
5 ± V25 - 24 
 2-------
= 12
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 457
ou:
_ 5 ± x / r
^ 2
5 ± 1
X = — -—
5 + 1 6 ^
’■=— - t - 3
5 - 1 4 ,
6) Resolver a equação:
3 2 X
1 -2 X
2 -1 X
= 8
Solução
Desenvolvendo o determinante do 19 membro da equação pela 3? coluna e observando a 
alternância dos sinais que precedem os produtos, vem:
1 -2 3 2 3 2
X X - X X + X X
2 -1 2 -1 1 -2
= 8
x ( - l + 4) - x ( - 3 - 4 ) + x (-6 - 2) = 8
x ( 3 ) - x ( - 7 ) + x ( -8 )= 8
3x + 7x - 8x = 8
2x = 8 
8
^ = 2
X = 4
458 Álgebra linear
7) Resolver a equação:
2 x - 2 1 
1 X + 3 4
3 X + 1 5
= 56
Solução
Desenvolvendo o determinante do 19 membro da equação pela 2? coluna e observando a 
alternância dos sinais que precedem os produtos, vem:
= 56
1 4 2 1 2 1
(x - 2) X + (x + 3) X - (x + 1) X
3 5 3 5 1 4
- ( x - 2)(5 - 12) + (x + 3)(10 - 3) - (x + 1)(8 - 1) = 56 
- ( x - 2 ) (-7) + (x + 3) (7) - (x + 1)(7) = 56 
- ( -7 x + 14) + 7x + 21 - (7x + 7) = 56 
7 x - 1 4 + 7x + 21 - 7 x - 7 = 56 
7x = 56
56 _ a
x = - - 8
8) Calcular, desenvolvendo pela l^ linha:
det A =
-2 -3 -1 -2
-1 0 1 -2
-3 -1 -4 1
-2 2 -3 -1
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 459
Solução
0 1 -2 -1 1 -2
det A = + (-2) X -1 -4 1 - ( - 3 ) x -3 -4 1 +
2 -3 -1 -2 -3 -1
-1 0 -2 -1 0 1
+ ( - l ) x -3 -1 1 -(-2) X -3 -1 -4
-2 2 -1 -2 2 -3
0 1 -2 -1 1 -2 -1 0 2
det A = -2 X -4 1 + 3 X -3 A 1 - 1 X -3 -1 1
2 -3 -2 -3 -1 -2 2 -1
+ 2 X
-1 0 1
-3 -1 -A
-2 2 -3
(a)
mas:
0 1 -2 -4 1 -1 1
det B = -1 -4 1 = + 0 x - 1 X
2 -3 A -3 -1 2 -1
+ (-2)x
-1 -4
detB = 0 x ( 4 + 3 ) - 1(1 - 2 ) - 2 ( 3 + 8 ) = 0 x 7 - 1 ( - 1 ) - 2 ( 1 1 ) 
det B = 0 + 1 - 2 2 = -21
det C =
-1 1 -2
-3 -4 1
-2 -3 -1
= + ( - l ) x
- 4 1 -3 1 -3 ^
- 1 X + ( - 2 ) x
-3 -1 -2 -1 -2 -3
460 Álgebra linear
det C = -1 (4 + 3) - 1 (3 + 2) - 2(9 - 8) = -1 (7) - 1 (5) - 2 (1) 
detC = - 7 - 5 - 2 = -14
det D =
-1
-3
-2
0 -2
-1 1
2 -1
-1 1 -3 1 -3 -1
= + ( - l ) x - 0 X + ( - 2 ) x
2 -1 -2 -1 -2 2
det D = -1 (1 - 2) - 0 (3 + 2) - 2 (-6 - 2) = -1 (-1) - 0 (5) - 2 (-^) 
det 0 = 1 -0 + 16= 17
-1 0 1
det E = -3 -1 -4
-2 2 -3
-1 -4 -3 -4 -3 -1
= ( - l ) x - 0 X + 1 X
2 -3 -2 -3 -2 2
det E = -1 (3 + 8) - 0 ( 9 - 8) + 1 (-6 - 2)
det E = -1 (11) - 0 (1) + 1 (-8) = -11 - 0 - 8 = -19
Substituindo det B, det C, det D e det E em (a), vem: 
det A = -2 (-21) + 3 (-14) - 1 (17) + 2 (-19) = 4 2 - 4 2 - 1 7 - 3 8 
det A = -55
Observação
O cálculo desse determinante já foi feito no problema 3 pelo processo de triangulação e, 
como era de esperar, o resultado foi o mesmo. Os principais motivos pelos quais o mesmo 
determinante foi calculado novamente, por outro processo, sáo os seguintes:
a) mostrar que um determinante de ordem n > 3 pode ser calculado desenvolvendo-o por 
uma linha (coluna) e como fazê-lo;
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 461
b) chamar a atenção para o número de determinantes de ordem n = 2 que se deve calcular 
quando se faz o cálculo de um determinante de ordem n > 3 pelo processo de desenvolvé-lo 
por uma linha (coluna). Assim:
• o cálculo de um determinante de ordem 3 implica calcular 3 determinantes de ordem 2;
• o cálculo de um determinante de ordem 4 implica calcular 4 x 3 = 1 2 determinantes 
de ordem 2;
• o cálculo de um determinante de ordem 5 implica calcular 5 x 4 x 3 = 60 determinantes 
de ordem 2 ;
• o cálculo de um determinante de ordem 6 implica calcular 6 x 5 x 4 x 3 = 36 determi­
nantes de ordem 2 etc.
c) Alertar para o fato de que quando n > 4 , é muito natural que enganos sejam cometidos 
e que, portanto, o cálculo feito não corresponda ao valor do determinante. Por essa razão (e 
mesmo que o processo de triangulação seja menos trabalhoso), atualmente se calcula um determi­
nante por computador, por meio de um PROGRAMA adequado previamente elaborado.
A.29.1 Problemas Propostos
Dadas as matrizes:
A =
3 4 1 4 - 1 3 2 6 8
-5 -2 -9 , B = 3 0 1 e C = 3 9 12
7 8 6 7 2 - 4 -1 - 2 - 3
calcular, pelo processo de triangulação ou pelo desenvolvimento de uma linha (ou coluna):
1) det A
2) det B
3) det C
4) det (A + B)
462 Álgebra linear
5) d e t ( A - B )
6) det (2A - 3B + 4C)
7) det (BC)
8) det (AC'*')
9) det (CB) A
10) det C (BA)
11) Verificar se det (A + B) = det A + det B
12) Verificar se det (BC) = det B x det C 
Dada a matriz:
A =
-2 3 1 -1
0 1 2 3
1 -1 1 -2
4 -3 5 1
13) Calcular det A pelo processo de triangulação
14) Calcular det A desenvolvendo-o pela 2? linha 
Nos problemas 15 a 22, resolver as equações:
15) 4 6 X
5 2 - X
7 4 2x
= -128
16) 3 5 7
2x X 3x
4 6 7
= 39
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 463
17) 5 1 3
3x 0 1
7x 2 1
= 100
18) x + 3 x + 1 x + 4
4 5 3
9 10 7
= -1
19)
20)
21)
12 - X 1
18 ^2x 3
15 -2 x 0
1 0 X -
1 1 X -
2 1 X -
2 X 2
1 1 X
1 1 6
= 10
= 0
= -3
22) 2
4
2x
6 2
X 2
8 4
= 0
464 Álgebra linear
A.29.2 Respostas ou Roteiros para os Problemas Propostos
1 a 3. Roteiro: Esses problemas se resolvem de forma análoga à dos problemas 1 ou 2 do item A.29.
4) Roteiro: 19) Calcular A + B = E
29) Calcular det E
5) Roteiro: 19) Calcular A - B = F
29) Calcular det F
6) Roteiro: 19) Fazer G = 2A - 3B + 4C
29) Calcular G 
39) Calcular det G
7) Roteiro: 19) Calcular BC = H
29) Calcular det H
8) Roteiro: 19) Determinar C^
29) Calcular AC”̂ =J 
39) Calcular det J
9) Roteiro: 19) Calcular CB = L
29) Calcular LA = M 
39) Calcular detM
10) Roteiro: 19) Calcular BA = N
29) Calcular CN = P 
39) Calcular det P
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 465
11) Roteiro: 19) Calcular det A 
29) Calcular det B 
39) Calcular A + B 
49) Calcular det (A + B)
59) Calcular det A + det B
69) Comparar det (A + B) com det A + det B
12) Roteiro: 19) Calcular det B
29) Calcular det C
39) Calcular BC
49) Calcular det (BC)
59) Calcular det B x det C
69) Comparar det (BC) com det B x det C
13 e 14. Roteiro: Esses problemas se resolvem de forma análoga à dos problemas 3 e 8, respectiva­
mente, do item A.29.
15) x = 2
16) X = 3
17) x = 5
18) x = l
19) x = 7
466 Álgebra linear
20) X = -1
21) X = 5 e X = 3
22) X = 4
INVERSÃO DE MATRIZES
A.30 MATRIZ INVERSA
Em A.7.2 (29 caso) viu-se que, dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se existir 
uma matriz quadrada B, de mesma ordem, que satisfaça à condição:
AB = BA = I
B é inversa de A e se representa por A~ ^:
AA-^ = A- 'A = I
A.31 MATRIZ SINGULAR
Uma matriz quadrada A = [a^] cujo determinante é nulo é uma múrrnz
Exemplo
A matriz
A =
é singular porque
det A =
4 7
5 8
6 9
= 0
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 467
De fato, desenvolvendo o determinante pela 1? linha e observandoa alternância dos sinais 
que precedem os produtos, vem:
det A =
1 4 7
2 5 8
3 6 9
5 8 2 8 2 5
= + 1 X - 4 X + 7 X
6 9 3 9 3 6
d e t A = l x ( 5 x 9 - 8 x 6 ) - 4 x ( 2 x 9 - 8 x 3 ) + 7 x ( 2 x 6 - 5 x 3 )
det A = 1 x ( 4 5 - 4 8 ) - 4 x ( 1 8 - 2 4 ) + 7 x ( 1 2 - 1 5 )
det A = 1 X ( - 3 ) - 4 x (-6) + 7 x (-3)
det A = -3 + 2 4 - 2 1
det A = 0
A matriz singular não tem inversa.
A.32 M ATRIZ NAO-SINGULAR
Uma matriz quadrada A = [a.j ] cujo determinante é diferente de zero é uma matriz
não-singular ou regular.
Exemplo
A matriz
A =
2 3 1
5 2 2
3 1 3
é uma matriz não-singular, porque o det A é diferente de zero.
468 Álgebra linear
De fato, desenvolvendo o determinante pela 1? linha e observando a alternância dos sinais 
que precedem os produtos, vem:
2 3 1
2 2 5 2 5 2
det A = 5 2 2 = + 2 X - 3 X + 1 X
3 1 3 1 3 3 3 3 1
detA = 2 x ( 2 x 3 - 2 x l ) - 3 x ( 5 x 3 - 2 x 3 ) + l x ( 5 x l - 2 x 3 )
det A = 2 X (6 - 2) - 3 X (15 - 6) + 1 X (5 - 6)
detA = 2 x 4 - 3 x 9 + l x (-1)
det A = . 8 - 2 7 » 1
det A = - 20
A matriz nâo-singular sempre tem inversa.
A.33 PROPRIEDADES DA MATRIZ INVERSA
I) Se a matriz A admite inversa (det A 0), esta é única.
II) Se a matriz A é nâo-singular, sua inversa A" ̂ tambe'me'. A matriz inversa de A" ̂ é A.
III) A matriz unidade I é não-singular (det 1 =1) e é a sua própria inversa: 1 = 1” .̂
IV) Se a matriz A é nâo-singular, sua transposta PJ tambe'm é. A matriz inversa de A^ é
V) Se as matrizes A e B são não-singulares e de mesma ordem, o produto AB é uma matriz 
não-singular. A matriz inversa de AB é a matriz B" ̂A" V
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 469
Exemplo
a) Verificar se a matriz C é inversa de A.
A = e C =
2 -5
-3 8
AC =
2 -5
-3 8
A matriz C é inversa de A, isto é:
A’ ̂ =
2 -5
-3 8
b) Verificar se a matriz F é inversa de B.
B = e F
4 -7
-5 9
BF =
4 -7
-5 9
A matriz F é inversa de B, isto é:
4
-5
-7
9
470 Álgebra linear
c) Efetuar o produto das matrizes A e B.
AB =
8 5
3 2
9 7
5 4
d) Efetuar o produto das matrizes B" ̂ e A ^
97 76
37 29
-1
4 -7 2 -5 29 -76
B - ‘ A ‘ = X =
-5 9 -3 8 -37. 97
e) Se o produto das matrizes AB e B ̂A * for igual a I, então B ^ A ̂ é a inversa de AB:
97 76 29 -76 1 0
(AB) x ( B - ‘A - ‘ ) = X =
37 29 -37 97 0 1
Portanto, a inversa de AB é B ̂A ^.
A.34 OPERAÇOES ELEMENTARES
Denominam-se operações elementares de uma matriz as seguintes:
I) Permutação de duas linhas (ou de duas colunas).
II) Multiplicação de todos os elementos de uma linha (ou coluna) por um número real 
diferente de zero.
III) Substituição dos elementos de uma linha (coluna) pela soma deles com os elementos 
correspondentes de outra linha (coluna) previamente multiplicados por um número real diferente 
de zero.
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 471
A.35 EQUIVALÊNCIA DE MATRIZES
Dadas as matrizes A e B, de mesma ordem, diz-se que a matriz B é equivalente à matriz A, e 
se representa por B ~ A, se for possível transformar A em B por meio de uma sucessão finita de 
operações elementares.
Com relação às operações elementares para transformar uma matriz em outra equivalente 
a ela, convém ter presente o seguinte:
a) Quando se desejar permutar, por exemplo, a 2 ̂ linha pela 3 ̂ de uma matriz A, se 
escreverá assim:
A =
1 3 5
0 0 2
0 4 12
-̂ 23
Al =
1 3 5
0 4 12
0 0 2
b) Quando se desejar multiplicar todos os elementos da 2? linha, por exemplo, da matriz 
A l, por se escreverá assim:
1 3 5
A, = 0 4 12
0 0 2
1 3 5
A2 - 0 1 3
0 0 2
l . ( t )
412 Álgebra linear
c) Quando se desejar substituir os elementos da la linha, por exemplo, da matriz A2, pela 
soma deles com os elementos correspondentes da 2? linha previamente multiplicados por -3, se 
escreverá assim:
A2 =
A .=
1 3 5
0 1 3
0 0 2
_
1 0 -4
0 1 3
0 0 2
Li =L i +L2(-3)
O sinal = da expressão Li = Li + L2( -3) não tem o significado convencional: é empre­
gado, entretanto, para indicar que a expressão Li =L i + L2( -3), utilizada em lugar de Li, 
transforma a matriz A2 na matriz equivalente A3.
d) Recapitulando as operações elementares que foram efetuadas com a matriz A até obter 
a matriz equivalente A3, verifica-se que:
I) A operação L23 foi realizada para tirar um zero da diagonal principal e poder colocar, 
em seu lugar, após adequada operação, o número 1.
II) A operação L2(-^) foi efetuada para, em lugar do número 4 na diagonal principal, se 
obter o número 1.
III) A operação Li = L 2( -3) foi efetuada para, em lugar do número 3, situado acima do 
número 1 da diagonal principal, se obter um zero.
Como se vé, com as operações elementares se obtém os mesmos resultados já obtidos com 
as propriedades VII, VIII e IX dos determinantes: é que aquelas propriedades eram, na realidade, 
operações elementares. No caso, entretanto, dos determinantes, a VII e a VIII propriedades, 
quando aplicadas, alteram seu valor, daí a necessidade de efetuar compensações, isto é, realizar 
operações que anulem tais alterações e mantenham o valor do determinante. Não é o caso, porém, 
das matrizes: as operações elementares tém por objetivo transformar, por intermédio delas, uma 
matriz A em uma matriz B, equivalente a ela.
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 473
A.35.1 Transformação de uma Matriz na Matriz Unidade
Qualquer matriz quadrada A, de ordem n, não-singular, pode ser transformada na matriz 
equivalente I, de mesma ordem, por meio de uma sucessão finita de operações elementares, 
isto é, I A.
Para transformar uma matriz quadrada A, não-singular, na matriz I, se procederão com as 
linhas (ou colunas) operações elementares adequadas que:
a) transformem a matriz A numa matriz triangular superior (inferior), ao mesmo tempo 
em que são substituídos cada um dos elementos da diagonal principal pelo número 1;
b) substituam todos os elementos situados acima (abaixo) da diagonal principal por zeros, 
isto é, processem a diagonalização da matriz A.
Do mesmo modo que se procedeu com o cálculo do determinante de qualquer ordem, será 
dado aqui um exemplo de uma matriz quadrada, de ordem 3, para ser transformada na matriz I, 
de mesma ordem, e isso será feito tão-somente por comodidade, para não ser repetitivo, por ser 
prático, uma vez que o processo é o mesmo para uma matriz de ordem n (para n > 2, isto é, 
n = 5 ,6 , 10, 20, 50, 100 etc.).
Antes do exemplo, porém, uma informação ao leitor: ao mesmo tempo em que se trans­
forma a matriz A na matriz equivalente I, pode-se calcular o det A; por essa razão, será colocado 
um asterisco ao lado de cada operação que altera o valor do determinante e, ao final, feitas as 
operações para compensar as alterações, isto é, para manter o valor do determinante, será feito 
seu cálculo.
Exemplo
Transformar a matriz A na matriz equivalente I:
A =
1
2
5
L .( y ) *
Al = 4
2
u = L 2 + L i ( - 4 )
474 Álgebra linear
1 1
2
3
2
Aj = 0 0 -4
2 5 3 — ̂ L3 = L 3 + L ,( -2)
1 1
2
3
2
Aj = 0 0 -4
0 4 0
Tendo em vista que há um zero na diagonal principal ( 2? linha), há necessidade de permutar 
a 2? linha pela 3?; com essa providência, em lugar do zero se obterá o número 4 na diagonal 
principal (2? linha); por outro lado, de acordo com a propriedade VII dos determinantes, o 
determinante ficará multiplicado por - 1:
1 1
2
3
2
Aa = 0 0 -4 L33*
0 4 0
1 1
2
3
2
A ,= 0 4 0 ^ L 3 ( |) *
0 0 -4 .
1 1
2
3
2
As = 0 1 0
0 0 -4 — * L3(-T>*
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 475
A . = 0 
0
A j —
1
2
3
2
1 0
0 1
0
3
2
1 0
0 1
L, =L, +L3 ( - | )
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A. =1 =
Como se viu, a matriz A, por meio de uma sucessão finita (8 ) de operações elementares, foi 
transformada na matriz equivalente I.
Tendo em vista que o det Ag = I é igual a l e que as operações realizadas com as matrizes 
A, Ag, A4 e As alteraram o det A, as operações a seguir anularão as alterações e permitirão 
calcular o det A:
det A = 2 X (-1) X 4 X (-4) X 1
det A = 32O leitor poderá conferir o resultado obtido para o det A, desenvolvendo-o pela 19 linha e 
observando a alternância dos sinais que precedem os produtos:
det A =
2 1 3 
4 2 2 
2 5 3
= + 2 X
2 2 
5 3
-1 X
4 2
2 3
+ 3 X
4 2
2 5
detA = 2 x ( 2 x 3 - 2 x 5 ) - l x ( 4 x 3 - 2 x 2 ) + 3 x ( 4 x 5 - 2 x 2 ) 
det A = 2 x( 6- 10) - l x(l2-4) + 3 x(20-4)
476 Ãlgebra linear
det A = 2 X (-4) - 1 x (8 ) + 3 x 16 
det A = -8 - 8 + 48 
det A = 32
A.36 INVERSÃO DE UMA M ATRIZ POR MEIO 
DE OPERAÇÕES ELEMENTARES
A mesma sucessão finita de operações elementares que transforma a matriz A na matriz 
unidade I transforma a matriz I na matriz A~ ̂ , inversa de A.
Para determinar, pois, a matriz inversa de A:
a) coloca-se ao lado da matriz A a matriz I, separada por um traço vertical;
b) transforma-se, por meio de operações elementares, a matriz A na matriz I, aplicando-se, 
simultaneamente, à matriz I, colocada ao lado da matriz A, as mesmas operações elementares.
Exemplos
1) Determinar a matriz inversa da matriz
A =
1 3
2 2
5 3
Solução
2 1 3 1 0 0
4 2 2 0 1 0
2 5 3 0 0 1
L ,( y ) *
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 477
1
1
2
3
2
1
2
0 0
4 2 2 0 1 0
2 5 3 0 0 1
1
1
2
3
2
1
2
0 0
0 0 - 2 1 0
2 5 3 0 0 1
1
1
2
3
2
1
2
0 0
0 0 - 4 - 2 1 0
0 4 0 - 1 0 1
1
1
2
3
2
1
2
0 0
0 4 0 - 1 0 1
0 0 - 4 * 2 1 0
1
1
2
3
2
1
2
0 0
0 1 0
1
“ 4 0
1
4
0 0 - 2 1 0
1
1
2
3
2
1
2
0 0
0 1 0
1
“ 4 0
1
4
0 0 1
1
2
1
" 4 0
L 2 - L 2 + L i ( - 4 )
L 3 = L 3 + L ,(-2 )
-2 3
L aC -j)*
Li =L, +L3( - y )
478 Álgebra linear
1 0 3
2
5
8
0 1
■ 8
0 1 0 1
' 4
1 1
4
0 0 1
1
2
1
"4 0
1 0 0
1
"8
3
8
1
“ 8
0 1 0 1
‘ 4 0 1
4
0 0 1 1
2
1
' 4 0
Li - Li + Laí- 2 )
Uma vez que a matriz A foi transformada na matriz I, a matriz:
1_
"8
I
‘4
4
0 ^
^ 0
é a matriz B = A \ inversa de A.
Pode-se fazer a verificação efetuando o produto AB, cujo resultado deve ser I; antes, porém, 
para facilitar os cálculos, os elementos da matriz B serão todos colocados com o mesmo denomi­
nador, exceto os zeros:
1
’8
8
0
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 479
0 dispositivo a seguir, como já se sabe, facilita o processo da multiplicação de A por B:
]_
8'
3
’8
2
'8
'8
- i r - ■ O- • ~
- - i - ■ 0
9 • . • 1. . 8 . . n • • • n 1 n 08 ' u u u
A . .. . 9 . .. . 9 Ò- 8
■ '9 0 1 0
2 • ‘ • • 3 Ó- • ó- • 8 0 0 1‘ 8
\J
Tendo em vista que a matriz B foi obtida de uma matriz I por meio das mesmas operações 
elementares que transformaram a matriz A numa matriz unidade, B é inversa de A, isto é:
B = A ‘
O det A, considerando as alterações assinaladas com asterisco e feitas as devidas 
compensações, é:
det A = 2 X (-1 ) X 4 X (-4) x 1 = 32
Esse determinante já foi calculado no exemplo do item A.35.1.
2) Determinar a inversa da matriz
A =
2 1 7 
1 3 2 
5 3 4
480 Álgebra linear
Procedendo de acordo com as instruções, vem:
2 1 7 1 0 0
1 3 2 0 1 0
5 3 4 0 0 1
1 1
2
7
2
1
2 0 0
1 3 2 0 1 0 L2 — L2 + L i( - l)
5 3 4 0 0 1
1 1
2
7
2
1
2
0 0
n 5 3 1 1 0u 2 " 2 “ 2
5 3 4 0 0 1 — ^ L 3 = L 3 + L ,(-5 )
1 1
2
7
2
1
2 0 0
0
5
2
3
'2
1
2 1 0
n 1 27 5 0 1u 2 ” 2 "2
1 1
2
7
2
1
2 0 0
c\ 1 6 2 2U "lO "10 5 U
0 1
2
27 
“ 2
5
“ 2 0 1 u = U + L 2 (-y
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 481
1
1
2
0 1
0 0
1
1
2
0 1
0 0
1 0
0 1
0 0
_
1 0
0 1
0 0
_
1 0
0 1
0 0
1_
2
_6_
10
132
10
1_
2
10
10
10
10
T «
_2
10^ -7- 0
1_
10 “ 10 ^
_2
10 0
24
132
10
10
24
132
2
132
10
_2_
5
2
132
10
132
0
0
10
132
132^
Li - Li + L2(—
L, = L , + L 3 ( - | | )
12 34 38
132 “ 132 132
2 2 010 5
24 2 10
132 132 " 132
12 34 38
132 " 132 132
12 54 6
132 132 132
24 2 10
132 132 132
■ L2 - L2 + L3 ( — 1 
10^
482 Álgebra linear
Uma vez que a matriz A foi transformada na matriz I, a matriz
12 
” 132
34 
' 132
38
132
6
■ 66
17
”66
19
66
12
"132
54
132
6
"132 = 6
‘ 66
27
66
3
” 66
24
132
2
132
10
'132
12 
. 66
1
66
5
"66
é a matriz B = A ‘ , inversa de A.
Pode-se fazer a verificação efetuando o produto AB, ciqo resultado deve ser I; o dispositivo 
a seguir, como já se sabe, facilita o processo da multiplicação de A por B:
2- • 1 • • -7 
1- • • 3- ■ -2 
5 . • .3 - •-4
66
_6_
66
12
66
66
• • 6 6 • • •
. . Q . . . .
. . 0 . . .
17 19
66 ' ” 66
27 3
66' ■ ”66
i 5
66 ' ’ ”66
0 . . . . 0
66 • ■ 066 ■
. 0 . . • • 66
66
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Tendo em vista que a matriz B foi obtida de uma matriz I por meio das mesmas operações 
elementares que transformaram a matriz A na matriz unidade, B é inversa de A, isto é:
B = A-
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 483
O det A, considerando as alterações assinaladas com asteriscos e feitas as devidas 
compensações, é:
 ̂ ̂ ̂ ̂ 5 , 132. , 132
detA = 2 ^
Esse determinante já foi calculado no exemplo do item A.28.
A.37 PROBLEMAS RESOLVIDOS
Nos problemas de 1 a 3, transformar na matriz unidade as matrizes dadas.
1)
A =
12 7
5 3
Solução
12 7
5 3
■ Ã
5 3 L 2 = L 2 + L , ( - 5 )
■
0 ü Lj(12)
484 Álgebra linear
2)
■
0 1
1 =
B =
Li Lx + L2(- j2 )
1 0
0 1
-2 3 -1
1 -3 1
-1 2 -1
Solução
-2 3 -1
1 -3 1
-1 2 -1
1 3
“ 2
1
2
1 -3 1
-1 2 -1
L,(-y)
L j = L j + L , ( - 1) 
L3=L3 + L ,(-1 )
3 1
’2 2
3 1
’ 2 2
1 1
2 "2
1 — 
0 
0
L 3 ( - f )
Matrizes, Determinantes. Sistema de equações lineares 485
_ _
1 3
“ 2
1
2 — > L, =L, + L j(f)
0 1 1
'3
0 1
2
1
"2 — * L3 ~ L3 + LjÍ--^)
1 0 0
0 1 1
" 3
0 0 1
■ 3 L3(-3)
1 0 0
0 1 1
3 L3 =Lj +L3 (y)
0 0 1
1 0 0
I = 0 1 0
0 0 1
3) -2 -1
3 1
C = -4 -1
3 1
1 1
2 0
3 1 -2
-4 -1 2
3 1 -1
0
-2
2
-1
2
-2
3
-2
L i ( - y )
-1
-2
3
-2
L 2 = L 2 + L i (-3) 
L 3 = L 3 + L , ( 4 ) 
L4 ~ L4 Li (—3)
486 Álgebra linear
1 0 -1
2
0
1
’ 2
- 2 1 — > U i -2)
0 1 2
0
1
- 1 1
“ 2
1
1
2
0 -1 — > L . = L , + L j ( - ^ )
0 1 4 - 2
0 1 2 -1 ----- ̂ L 3 = L 3 + L j ( - 1 )
0
1
" 2
- 1 1 ^ L 4 = L 4 + L j ( ^ )
1 0 - 2 0
0 1 4 - 2
0 0 - 2 1 ̂ L34
0 0 1 0
1 0 - 2 0 — > L , = L , + L , ( 2)
0 1 4 - 2 ► L2 = L2 + L 3( - 4)
0 0 1 0
0 0 - 2 1 ► L4 - L4 + L3(2)
1 0 0 0
0 1 0 - 2 ̂ L2 — L2 + L 4(2)
0 0 1 0
0 0 0 1
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 487
I =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Nos problemas de 4 a 7, calcular, por operações elementares, a matriz inversa de cada 
uma das matrizes dadas.
4)
A =
12 7
5 3
Solução
12 7 1 Q
5 3 0 1
1 7 1
12 12 U
5 3 0 1
1 7 1 012 12
0 1 5 112 "12
1 0 3
L .(f)
L2 —
L2(12)
-5 12
488 Álgebra linear
logo:
A-* =
3 -7
-5 12
5) B =
-2 3 -1
1 -3 1
-1 2 -1
Solução
-2 3 -1 1 0 0
1 -3 1 0 1 0
-1 2 -1 0 0 1
3 1 0
-1
1 0' 2 2 "2
1 -3 1 0 1 0
2 -1 0 0 1
L.(-y)
L2 ~ L2 + Li ( - l )
L3 = L3 + Li
1 3
"2
1
2
1
"2 0 0
0 3
" 2
1
2
1
2 1 1
0 1
2
1
’ 2
1
“2 0 1
L . ( - f )
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 489
’2
1 ^
0 1
2
1
~2
1
~2 0 1
1 0 0 -1 -1 0
0 1 1
■3
1
■3
2 
" 3 0
0 0 1
3
1
3
1
3 1
1 0 0 -1 -1 0
0 1 1
“3
1
"3
2
■3 0
0 0 1 1 -1 -3
L, = L , + L , ( y ) :
L3 - L3 + L2(—y )
L3(-3)
Lj Lj + L3( 2 )
1 0 0 -1 0
0 1 0 0 -1 -1
0 0 1 1 -1 -3
logo:
B -‘ =
-1 -1 0
0 -1 -1
1 -1 -3
490 Álgebra linear
6)
C =
-2 -1 
3 1
-4 -1
3 1
0
-2
2
-1
2
-2
3
-2
Solução
-2 -1 0 2 1 0 0 0
3 1 -2 -2 0 1 0 0
-4 2 3 0 0 1 0
3 1 -1 - 2 0 0 0 1
L . ( - f )
1 0 -1 0 0 0
3
2
1 -2 -2
~2
0 1 0 0 ̂ L 2 — L»2 L j ( “ 3)
-4 -1 2 3 0 0 1 0 ► L3 = L3 + Li (4)
3 1 -1 -2 0 0 0 1 ̂ L4 ~ L4 + Lf| (—3)
-
1 4 - 0 - 1 - 4 - 0 0 0
2 2
0 - ^ - 2 1 4 - 1 0 02 2
0 1 2 - 1 - 2 0 1 0
0 -1 1 4 - 0 0 12 2
L2Í-2)
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 491
1 1
2 0 -1 1
“2 0 0 0 -----> L,
0 1 4 -2 -3 -2 0 0
0 1 2 -1 -2 0 1 0 ----- ̂ La
0 1
"2 -1 1 3
2 0 0 1 ----- ̂ L4
L 3 - L 3 + L j Í - I )
4 + L 2 ( “2 )
1 0 -2 0 1 1 0 0
0 1 4 -2 -3 -2 0 0
0 0 -2 1 1 2 1 0 ̂ L 34
0 0 1 0 0 -1 0 11 0 -2 0 1 1 0 0 ---- +L3(2)
0 1 4 -2 -3 -2 0 0 ̂ L 2 ~ L 2 ^3
0 0 1 0 0 -1 0 1
0 0 -2 1 1 2 1 0 ► L 4 — L 4 + L3(2)
1 0 0 0 1 -1 0 2
0 1 0 -2 - 3 2 0 - 4 ► L 2 = L 2 + L 4 ( 2 )
0 0 1 0 0 -1 0 1
0 0 0 1 1 0 1 2
1 0 0 0 1 -1 0 2
0 1 0 0 -1 2 2 0
0 0 1 0 0 -1 0 1
0 0 0 1 1 0 1 2
492 Álgebra linear
logo:
1 -1 0 2
-1 2 2 0
0 -1 0 1
1 0 1 2
Observação
A operaçío L34 não era indispensável; ela foi feita para se obter, de imediato, o número 1 
como elemento da diagonal principal da 3? linha e da 4? linha. Entretanto, o resultado seria o 
mesmo se o procedimento fosse o que vinha sendo feito. De fato:
1 0 -2 0 1 1 0 0
0 1 4 -2 -3 -2 0 0
0 0 -2 1 1 2 1 0 — W -J-)
0 0 1 0 0 - 1 0 1
1 0 -2 0 1 1 0 0 ^ L, =L,+L3(2)
0 1 4 -2 -3 - 2 0 0 ̂ L2 = L2 + L3 (*4)
0 0 1
1
"2
1
‘ 2 - 1
1
“ 2 0
0 0 1 0 0 - 1 0 1 ► L4 = L4 + L3 (-1 )
1 0 0 - 1 0 - 1 - 1 0
0 1 0 0 - 1 2 2 0
0 0 1
1
"2
1
"2 -1 1
‘ 2 0
0 0 0 1
2
1
2 0 1
2 1 — > L4(2)
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 493
1 0 0 -1 0 -1 -1 0
0 1 0 0 -1 2 2 0
0 0 1 1
’ 2
1
"2 -1 1
” 2 0
0 0 0 1 1 0 1 2
1 0 0 0 1 -1 0 2
0 1 0 0 -1 2 2 0
0 0 1 0 0 -1 0 1
0 0 0 1 1 0 1 2
Lj — Lj L4
L 3 = L 3 + L 4 ( y )
logo:
c - ' =
1 - 1 0 2
- 1 2 2 0
0 - 1 0 1
1 0 1 2
7)
D =
2
-4
2
3
- 2
-5
1
-2
1
Solução
2 3 1 1 0 0
-4 -2 -2 0 1 0
2 -5 1 0 0 1
L.(y)
494 Álgebra linear
1 3
2
1
2
1
2 0 0
-4 -2 -2 0 1 0
2 -5 1 0 0 1
Lj - L2 + Li (4)
L»4 ~ Lf4 + Lj (—2)
1 3
2
1
2
1
2 0 0
0 4 0 2 1 0
0 - 8 0 -1 0 1
L í( Í >
1 3
2
1
2
1
2 0
0 1 0 1
2
1
4
0 -8 0 1̂ 0
L , = L , + L j ( - y )
L3 — L3 + L2(8)
1 0 1
2
1
"4
3
8 0
0 1 0 1
2 1 0
0 0 0 3 2 1
Tendo em vista que a matriz D não pode ser transformada na matriz I, ela não tem inversa, 
isto é, D é matriz singular e seu determinante é igual a zero. De fato, desenvolvendo o determi­
nante de D pela 1? linha e observando a alternância dos sinais que precedem os produtos, vem:
det D =
2 3 1
-4 -2 -2
2 -5 1
-2 -2 -4 -2 - 4 -2
= + 2 X - 3 X + 1 X
-5 1 2 1 2 -5
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 495
det D = 2 (-2 - 10) ̂3 (-4 + 4) + 1 (20 + 4)
det D = 2 X (-12) - 3 x 0 + 1 x 24
det D = -24 + 0 + 24 = 0.
Nos problemas de 8 a 10, supondo as matrizes A, B e C quadradas, de mesma ordem e 
inversíveis, resolver as equações matriciais nas quais X e' a variável.
8) A B X = C
Solução
mas:
a) Pré-multiplicando ambos os membros da equação por A“\ vem: 
A - ‘ A B X = A-*C
A - ‘ A = I
logo:
IBX = A- 'C
e:
IB = B
portanto:
BX = A“‘ C
b) Pré-multiplicando ambos os membros por B"^, vem: 
B ‘ BX = B-* A- 'C 
B-*B = I
496 Álgebra linear
IX = B - ' A ‘ C 
IX = X
X = B - * A ' C
9) CAX"̂ = C
Solução
mas:
a) Pré-multiplicando ambos os membros da equaçío por C ^, vem: 
C -‘ CAX^ = C ‘ C
c - ‘ c = i
logo;
ia x T = i
IA = A
portanto:
mas:
AX^ = I
b) Pré-multiplicando ambos os membros por vem: 
A - ‘ AX' ̂= A- ' I
A - ' A = I
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 497
e:
A M = A-
logo:
ix T = a - ‘
IX^ = x ’’
x T = a -* 
x = ( a -*)T
10) AX^C = AXBC 
Solução
a) Pré-multiplicando ambos os membros da equação por A"^, vem: 
A-^AX^C = A -^ X B C
mas:
A ‘ * A = I
logo:
IX"̂ C = IXBC
mas:
IX" = X"
e:
IX = X
portanto:
X2C=XBC
498 Álgebra linear
ou;
XXC = XBC
b) Pré-multiplicando ambos os membros da equação por X" ‘ , vem:
X -‘ XXC = X ‘ XBC
x-‘ x= i
IXCí=IBC
IX = X 
IB = B 
XC = BC
c) Pós-multiplicando ambos os membros da equação por C" *, vem:
X C C ‘ = B C C ‘
cc - ‘ =I
XI = BI 
XI = X 
BI = B
X = B.
A.37.1 Problemas Propostos
Nos problemas de 1 a 3, transformar na matriz unidade as matrizes dadas.
1)
A =
3 5
1 2
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 499
2)
B =
-3 4 -5
0 - 1 2 
3 - 5 4
3)
C =
1 0 0 0
-2 1 0 0
1 -2 1 0
0 1 -2 1
Nos problemas de 4 a 20, calcular a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas.
4) 3 5 5) -3 4 -5
A = B = 0 1 2
1 2 3 -5 4
6)
C =
1 0 0 0 7)
2 1 0 0 D =
3 2 1 0
4 3 2 1
1
2
-3
0
. 2
0
-2
-2
2
8) - 4 0 -10 9) -3 - 6 -1 2
E = -2 - 4 -4 F = 0 3 -3
2 -2 6 - 6 - 9 -24
10) -1 10 -7 11) 2 2 2
G = - I - 4 3 H = 3 4 7
1 - 2 1 1 2 5
12) -1 - 2 - 3 13) -3 -1 -3
J = - 2 - 4 -5 L = 2 - 4 -1
- 3 -5 - 6 -1 -2 -2
500 Álgebra linear
14) - 1 0 0 15) 1 -2 - 4
M = -1 -1 0 N = - 2 - 1 2
- 1 - 1 - 1 3 0 - 5
16) 0 2 - 1 17) -1 - 1 - 1
P = 1 4 - 2 Q = - 3 - 3 - 4
- 1 - 7 3 - 3 - 4 - 3
18) 2 0 0 19) 0 0 5
R = 0 3 0 S = 0 6 0
0 0 7 9 0 0
20) -1 2 0 - 8
0 -1 2 1
0 0 -1 1
0 0 0 -1
21) Calcular o valor de K para que a matriz
A =
2 3
6 k
não tenha inversa.
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 501
Nos problemas de 22 a 26, supondo as matrizes A, B, C e D quadradas, de mesma ordem e 
inversíveis, resolver as equações matriciais nas quais X é a variável.
22) ADX = ABC
23) DX' ̂= DC
24) ABCX^D* = ABCXD
25) D - 'X D = AC
26) CX + 2B = 3B
A.37.2 Respostas ou Roteiros para os Problemas Propostos
1 a 3. Roteiro:Esses problemas se resolvem de forma análoga à dos problemas 1 ,2 e 3, respecti­
vamente, do item A.37.
4)
A-'^
2 - 5
• 1 3
5)
6)
B -' =
C-* =
14 
“ 3
9
'3 -
13
3
-2 -1 - 2
1 1 1
1 0 0 0
-2 1 0 0
1 -2 1 0
0 1 -2 1
502 Álgebra linear
7) 1 0 1
~2 "T
D ' = 1
4
_1
~2
_ 1 
~ 4
3
"4
0 1
■4
8) - 4 5
2
-5
E -‘ = 1
2
1
"2
1
2
3
2
-1 2
9) 11 4 "7'
3 3
— z
F-* = 2
“ 3 0
1
3
2 1 1
"3 "3 3
10) 1 -1 1
■ J " y
G-> = -1 3
"2
5
“2
3
2
-2 7
"2
11) H nío tem inversa.
12)
J-* =
-1 3 -2
3 -3 1
-2 1 0
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 503
13) 6 4 -1]
L-‘ = 5 3 -9
-8 -5 U
14) -1 0 0
M ‘ = 1 -1 0
0 1 -1
15) 5 -1 0 - 8
N - ‘ = -4 7 6
3 -6 -5
16) -2 1 0
p-i = -1 -1 -1
-3 -2 -2
17) «7 1 1
Q-> = 3 0 -1
3 -1 0
18) J_ 0 0
2
R-‘ = 0
1
3
0
0 0
1
7
504 Álgebra linear
0 0 1
9
0
1
6 0
1
5 0 0
-1 -2 - 4 2
0 -1 -2 -3
0 0 -1 -1
0 0 0 -1
19)
20)
21) Roteiro: Resolver a equação
2 3
6 k
= 0
pois a matriz cujo determinante é nulo não tem inversa.
22) X = D - ‘ BC
23) X = C’ ’
24) X = D-*
25) X = D A C D ‘
26) X = C -‘ B
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 505
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES#
A.38 EQUAÇAO l in e a r
Equação linear é uma equação da forma:
aiXi +a2X2 +aaX3 + ••• + = b
na qual X i, X2 , X3, x^ são as variáveis; a i , a2 , a3, â ̂ são os respectivos coeficientes das
variáveis, e b é o termo independente.
A.38.1 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR
Os valores das variáveis que transformam uma equação linear em identidade, isto é, que 
satisfazem à equação, constituem sua solução. Esses valores são denominados raizes da equação 
linear.
A.39 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
A um conjunto de equações lineares se dá o nome de sistema de equações lineares:
^11 Xl + a 12 X2 + 1̂3 X3 + .. + în Xn = b,
^21 Xl + a22 X2 + 2̂3 X3 + ..,. + ^2n Xn = bi
3̂1 Xi + 3̂2 X2 + 3̂3 X3 + .. + 3̂11 Xn = ba
^m i^i 1̂112X2 + ••• ^mn^n ~ ^ i \
A.40 SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Os valores das variáveis que transformam simultaneamente as equações de um sistema 
linear em identidade, isto é, que satisfazem a todas as equações do sistema, constituem sua 
solução. Esses valores são denominados raizes do sistema de equações lineares.
506 Álgebra linear
A.41 SISTEMA COMPATÍVEL
Diz-se que um sistema de equações lineares é compatível quando admite solução, isto é, 
quando tem raízes.
A.41.1 Sistema Determinado
Um sistema compatível é determinado quando admite uma única solução.
Exemplo 
0 sistema
'2x + 3y = 18 
. 3x + 4y = 25
é compatível e determinado, pois tem como raízes unicamente 
x=^3 
y.= 4
A.41.2 Sistema Indeterminado
Um sistema compatível é indeterminado quando admite mais de uma solução (na verdade, 
admite infinitas soluções).
Exemplo 
0 sistema
4x + 2y = 100 
8x + 4y = 200
Matrizes. Determinantes. Sistema de equações lineares 507
é compatível e indeterminado, pois admite infinitas soluções: