Relatório PÊNDULO SIMPLES.

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EXPERIMENTO I — PÊNDULO SIMPLES. 
 
 
Manuela Leal Soares de Bairros - 202220160 (Turma 11-Engenharia de Produção) 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Na natureza frequentemente são observados variados fenômenos que exibem alguma 
periodicidade. Um desses fenômenos é o movimento harmônico simples (MHS), movimento 
periódico que acontece exclusivamente em sistemas conservativos e que pode ser observado 
através do pêndulo simples, um sistema que consiste em um corpo de massa m preso a um fio 
inextensível de comprimento L oscilando em torno de uma posição de equilíbrio. Quando esta 
massa é afastada da sua posição de equilíbrio, ela se move em um segmento de arco de 
circunferência de comprimento s e raio L, conforme mostra a figura abaixo (figura 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 Representação esquemática de um pêndulo simples 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA 
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
FÍSICA EXPERIMENTAL II – UFSM00028 
 
 
Posição de 
equilíbrio 
Fg 
 Como mostra a figura acima, o movimento oscilatório do pêndulo decorre das forças 
que atuam no sistema: o peso (Fg) e a tensão no fio T. Utilizando relações trigonométricas, 
decompondo a força peso teremos: 
cos (θ)= 
𝐹𝑔𝑦
𝐹𝑔
 => Fgy = Fg . cos(θ) 
sen (θ)= 
𝐹𝑔𝑥
𝐹𝑔
 => Fgx = Fg . sen(θ) 
 
 
 
Na direção do movimento, atuará a força restauradora, tangencial ao arco de 
deslocamento percorrido. Sendo o somatório das forças igual a componente horizontal do peso, 
ou seja, -m.g.sen θ. 
Utilizando a 2° Lei de Newton teremos: 
∑Ft = m.at 
-Fg.sen(θ) = m.at 
-m.g.sen(θ) = m.at (simplificando a massa, que se encontra nos dois lados) 
-g.sen(θ) = 
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
 
Sabendo que o comprimento do arco é s= θL, encontramos: 
-g.sen(θ) = 
𝑑2(θL)
𝑑𝑡2
 
-g.sen(θ) = L 
𝑑2(θ)
𝑑𝑡2
 (1) 
Para simplificarmos a equação (1), consideramos que quando o ângulo θ é pequeno, a 
trajetória é praticamente retilínea, paralela ao eixo horizontal x. Por isso, realizamos uma 
aproximação em que sen(θ)≈ θ. Com essa aproximação, a equação (1) é reescrita na forma: 
-g. θ= L 
𝑑2(θ)
𝑑𝑡2
 
𝑑2(θ)
𝑑𝑡2
 = 
−𝑔
𝐿
 . θ 
Definindo, w² =
𝑔
𝑙
 e usando o cálculo diferencial teremos 
𝑑2(θ)
𝑑𝑡2
 = -w².θ, cuja solução é: 
θ= θ0. cos (wt+δ). 
Sabendo que o período de oscilação corresponde ao intervalo de tempo para que a 
partícula realize uma oscilação completa, teremos que T= 
2π
𝑤
 = 2π√
𝐿
𝑔
. Ou seja, no pêndulo 
Figura 2 Decomposição Fg 
simples, e com a aproximação para pequenas amplitudes, o período T depende apenas do 
comprimento L do fio e do módulo da aceleração da gravidade g. 
Dito isso, com base nos conceitos básicos sobre oscilações e as equações encontradas, 
realizamos o nosso experimento com o objetivo de analisar o comportamento do movimento de 
um pêndulo simples, coletando dados para encontrar o período de oscilação, estimar o valor da 
aceleração da gravidade e construir de gráficos. 
 
2 DESENVOLVIMENTO 
 
2.1 – Materiais utilizados 
 
Para realização do experimento foram utilizados: 
 Esfera de massa m; 
 Fio inextensível; 
 Tripé Universal ( marca Cidepe); 
 Transferidor; 
 Trena; 
 Cronômetro digital do celular. 
 
2.2- Descrição do experimento 
 
Para realização do experimento, foram seguidos os seguintes passos: 
a) Definir o comprimento de L, fazendo a medição com uma trena; 
b) Ao deslocar o pêndulo de um ângulo pequeno, medir o período de oscilação. 
Para isso, cronometrar o intervalo de tempo correspondente a 10 oscilações, dividindo o tempo 
total por 10. Isso deve ser feito para minimizar erros sistemáticos decorrentes do fato que o período 
a ser medido é muito pequeno. Repetir o procedimento 5 vezes, calculando o tempo médio. 
c) Fixar mais 9 comprimentos de L, repetindo os passos acima. Inserir todos os 
dados coletados na tabela disponibilizada pela professora. 
d) Construção, através do software Excel, de um gráfico relacionando o período 
médio (segundos) em função do comprimento L (metros). 
e) Através do software Excel, construir um gráfico relacionando o período médio 
ao quadrado (segundos) em função do comprimento L (metros). Através da análise deste gráfico, 
determinar a razão
∆(𝑇2)
∆𝐿
 (coeficiente angular) para 5 combinações diferentes, calculando o valor 
de g a partir da equação: g = 4𝜋²
∆𝐿
∆(𝑇2)
 
 
 
3- DISCUSSÃO 
 
Através do experimento foram coletados os seguintes dados: 
 
Tabela 1 – Dados experimentais coletados 
 
A partir dos dados acima foram obtidos os seguintes gráficos: 
Figura 3 – Gráfico do T médio versus L (comprimento) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: elaborado pelo autor 
L (m) T1(s) T2(s) T3(s) T4(s) T5(s) Tméd T²méd g(m/s²) 
0,58 1,47 1,46 1,44 1,47 1,44 1,45 2,12 10,81 
0,55 1,50 1,41 1,44 1,42 1,43 1,44 2,07 10,50 
0,44 1,19 1,24 1,20 1,31 1,12 1,21 1,47 11,81 
0,29 1,07 1,00 1,03 1,03 1,07 1,04 1,08 10,59 
0,28 1,03 1,00 1,01 1,02 1,02 1,01 1,03 10,74 
0,25 0,94 0,92 0,94 0,96 0,96 0,94 0,89 11,08 
0,16 0,75 0,76 0,72 0,74 0,78 0,75 0,56 11,18 
0,14 0,70 0,75 0,68 0,70 0,70 0,70 0,50 11,14 
0,09 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,30 11,83 
0,06 0,49 0,47 0,50 0,52 0,54 0,50 0,25 9,32 
 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
L(m)
Tméd (s) 
Figura 4 – Gráfico do T² médio versus L (comprimento) 
 
Fonte: elaborado pelo autor 
Através do coeficiente angular, do gráfico da figura 4, foi determinado a gravidade 
conforme a tabela abaixo: 
Tabela 2 – Dados calculados 
L(M) ΔT²méd ΔL g(m/s²) 
0,55 e 0,54 0,6 0,11 7,230373 
0,29 e 0,28 0,05 0,01 7,88768 
0,28 e 0,25 0,14 0,03 8,451085714 
0,25 e 0,16 0,33 0,09 10,75592727 
0,14 e 0,09 0,2 0,05 9,8596 
 
Comparando os diferentes valores para a aceleração da gravidade, teremos: 
Tabela 3 – Comparação de dados 
g teórico g através da primeira fórmula g pelo coef. angular 
9,81 m/s² 10,81 m/s² 7,230373 m/s² 
 10,50 m/s² 7,88768 m/s² 
 11,81 m/s² 8,451085714 m/s² 
 10,59 m/s² 10,75592727 m/s² 
 10,74 m/s² 9,8596 m/s² 
 11,08 m/s² 
 11,18 m/s² 
 11,14 m/s² 
 11,83 m/s² 
 9,32 m/s² 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0,06 0,09 0,14 0,16 0,25 0,28 0,29 0,44 0,55 0,58
L(m)
T²méd (s) 
Através do primeiro método para calcular obtivemos uma média de g =10,94 m/s², valor 
superior ao valor teórico, não tão próximo como esperávamos. Já através do método utilizando 
o coeficiente angular de 5 combinações de comprimento, obtivemos uma média de valor mais 
distante ainda e inferior ao teórico, de g = 8,45m/s². Desta forma, o experimento não foi tão 
certeiro para validar os conceitos teóricos, devido a erros cometidos que prejudicaram as 
análises. Esses erros podem estar atrelados à medição do comprimento, devido à dificuldade de 
medir com uma trena na posição que o pêndulo se encontrava, a cronometragem do tempo, pois 
a mesma depende do tempo de reação do indivíduo que está realizando, que tende a variar. 
Além da falta de um ambiente controlado, já que no laboratório não garantimos a inexistência 
do atrito com o ar, e ainda estávamos com o ar condicionado ligado, gerando correntes de ar 
que podem ter influenciado no tempo. 
Também podemos perceber que de acordo com os valores encontrados através do 
primeiro método, um dos valores que mais destoa dos demais, é o do menor comprimento L, 
uma vez que o período de oscilação é menor, dificultando a medição correta. 
Por meio da análise do gráfico relacionando o período com o comprimento do fio, 
podemos concluir visualmente que quanto maior for o comprimento L, maior será o período da 
oscilação, bem conforme a equação do período de um pêndulo descreve. Além disso, através 
da equação nota-se que T depende apenas do comprimento e da aceleração da gravidade, ou 
seja, a variação da massa do pêndulo nesses casos, não gera uma diferença significativa no 
período. Quanto ao ângulo θ, podemos verificar que realmente se o mesmo é pequeno, variandoentre 0 a 12° conforme fizemos no nosso experimento, a aproximação em que sen(θ)≈ θ é válida. 
Mesmo com certa diferença entre o valor teórico e os valores de g experimental, 
podemos dizer que o experimento de maneira geral possibilita a obtenção de um valor 
aproximado do valor teórico, desde que realizado com maior minimização de erros. Através 
dele podemos concluir que realmente o pêndulo simples descreve um MHS (para ângulos 
pequenos), seguindo as mesmas equações. Com ele pudemos visualizar um movimento 
oscilatório, em que o corpo em movimento sempre volta para sua posição de equilíbrio, 
mantendo certa periodicidade. 
 Ou seja, o experimento do pêndulo simples é muito interessante, pois o mesmo 
proporciona um ótimo entendimento sobre o Movimento Harmônico Simples, suas fórmulas e 
seu funcionamento. 
 
 
 
 
 
4 REFERÊNCIAS 
 LIVROS 
David Halliday, Robert Resnick e Jearl Walker, Fundamentos de Física – vol. 2 (Gravitação, 
Ondas e Termodinâmica), 9ª. Edição (2011) Editora LTC. 
SOFTWARES 
Microsoft Office Excel 2010