Matematica2_Vol6_EO pdf (1)

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E.O. APRENDIZAGEM
1. (PUC-RS) Dada a matriz A = 1 1
1 1
 e a função f, de-
finida no conjunto das matrizes 2 x 2 por f(x) = x2 – 2x, 
então f(A) é: 
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
2. (UFG) Um modelo matemático usado para a amplia-
ção de uma imagem consiste em considerar uma trans-
formação linear dada pela multiplicação de uma matriz 
escala Es por uma matriz coluna A, composta pelas co-
ordenadas do ponto P, que forma a imagem que será 
ampliada. Considerando as matrizes A e Es dadas por 
A = x
y
 e Es = Ex 0
 0 Ey
em que Ex e Ey são fatores multiplicativos que indicam a 
mudança da escala, então a matriz Q que indica as no-
vas coordenadas do ponto P, obtidas pela multiplicação 
das matrizes Es e A, é: 
a) xEx
yEy
.
b) Ex + x
Ey + y
.
c) yEx
xEy
.
d) xEx 0
 0 yEy
.
e) Ex x
 y Ey
.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO.
Arquimedes, candidato a um dos cursos da Faculdade 
de Engenharia, visitou a PUC-RS para colher informa-
ções. Uma das constatações que fez foi a de que existe 
grande proximidade entre Engenharia e Matemática. 
3. (PUC-RS) Numa aula de Álgebra Matricial dos cursos 
de Engenharia, o professor pediu que os alunos resol-
vessem a seguinte questão:
Se A = 1 2
3 4
 então A2 é igual a:
a) 1 3
2 4
.
b) 1 4
9 16
.
c) 7 10
15 22
.
d) 5 11
11 25
.
e) 5 5
25 25
.
4. (UERN) Sejam as matrizes M = 2 3
–1 0
, 
N = 4 0
1 5 e P = M � N + N � M. O menor elemento da 
matriz P é: 
a) –7.
b) –1.
c) –5.
d) 2.
5. (UEL) Uma indústria utiliza borracha, couro e tecido 
para fazer três modelos de sapatos. A matriz Q fornece 
a quantidade de cada componente na fabricação dos 
modelos de sapatos, enquanto a matriz C fornece o cus-
to unitário, em reais, destes componentes.
A matriz V que fornece o custo final, em reais, dos três 
modelos de sapatos é dada por: 
a) V = ( 110 ____ 120 ____ 80 ) .
b) V = ( 90 ____ 100 ____ 60 ) .
c) V = ( 80 ____ 110 ____ 80 ) .
 MATRIZES E OPERAÇÕES
COMPETÊNCIA(s)
5
HABILIDADE(s)
24, 25 e 26
MT
AULAS 
45 E 46
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d) V = ( 120 ____ 110 
 ____ 100 ) .
e) V = ( 100 ____ 110 
 ____ 80 ) .
6. (UEG) Tatiana e Tiago comunicam-se entre si por meio 
de um código próprio dado pela resolução do produto 
entre as matrizes A e B, ambas de ordem 2 x 2 onde 
cada letra do alfabeto corresponde a um número, isto é, 
a = 1, b = 2, c = 3, ..., z = 26. Por exemplo, se a resolução 
de A · B for igual a 1 13
15 18
 logo a mensagem recebida 
é amor. Dessa forma, se a mensagem recebida por Ta-
tiana foi flor e a matriz B = 1 -1
2 1
, então a matriz A é: 
a) –8 7
–8 10
b) –6 6
–7 11
c) –8 5
–7 11
d) –6 –7
 6 11
7. (UECE) Considerando as matrizes M1= ( 0 1 1 1 ) , 
M2 = M1 . M1, M3 = M2 . M1 ..., Mn = Mn-1 · M1 o número 
situado na segunda linha e segunda coluna da matriz 
M10 é: 
a) 56.
b) 67.
c) 78.
d) 89.
8. (ESPM) A distribuição dos n moradores de um pe-
queno prédio de apartamentos é dada 
pela matriz 
4 x 5
1 3 y
6 y x+1
 onde cada elemento aij 
 
repre-
senta a quantidade de moradores do apartamento j do 
andar i. 
Sabe-se que, no 1º andar, moram 3 pessoas a mais que 
no 2º e que os apartamentos de número 3 comportam 
12 pessoas ao todo. O valor de n é:
a) 30.
b) 31.
c) 32.
d) 33.
e) 34.
9. (PUC-RS) Num jogo, foram sorteados 6 números para 
compor uma matriz M = (mij) de ordem 2 u 3. Após o 
sorteio, notou-se que esses números obedeceram à re-
gra mij = 4i – j. Assim, a matriz M é igual a:
a) 
1 2 3
5 6 7
b) 
1 2 3
4 5 6
c) 
3 2 1
7 6 5
d) 
3 2
7 6
11 10
e) 
3 7
2 6
1 5
10. (FEI) Se as matrizes A = (aij) e B = (bij) estão assim 
definidas:
aij = 1 se i = j
aij = 0 se i ≠ j
bij = 1 se i + j = 4
bij = 0 se i + j ≠ 4
onde 1 ≤ 1, j ≤ 3, então a matriz A + B é:
a) 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
b) 
0 0 1
0 1 0
1 0 0
c) 
1 0 1
0 1 0
1 0 1
d) 
1 0 1
0 2 0
1 0 1
e) 
1 1 0
0 1 1
0 1 0
11. (UFG) Seja M = [aij] n u n uma matriz quadrada de or-
dem n, onde aij = i + j.
Nessas condições, a soma dos elementos da diagonal 
principal desta matriz é: 
a) n2.
b) 2n + 2n2.
c) 2n + n2.
d) n2 + n.
e) n + 2n2.
12. (IFPE) Rodrigo, Otavio e Ronaldo gostam muito de 
comida japonesa e saíram para comer temaki, também 
conhecido como sushi enrolado à mão, cujo o formato 
lembra o de um cone.
Foram, então, visitando vários restaurantes, tanto no 
sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir re-
sumem quantos temakis cada um consumiu e como a 
despesa foi dividida:
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S – 
3 2 0
1 1 2
0 3 2
 e D – 
2 3 0
0 2 1
1 0 2
 . S refere-se às 
quantidades de temakis de sábado e D às de domingo. 
Cada elemento aij nos dá o número de cones que a pes-
soa i pagou para a pessoa j, sendo Rodrigo o número 1, 
Otávio, o número 2 e Ronaldo, o número 3 (aij) represen-
ta o elemento da linha i e da coluna j de cada matriz).
Assim, por exemplo, no sábado, Rodrigo pagou 3 te-
makis que ele próprio consumiu (a11), 2 temakis con-
sumidos por Otávio (a12) e nenhum por Ronaldo (a13) 
que corresponde à primeira linha da matriz S. Quantos 
temakis Otávio ficou devendo para Rodrigo neste fim 
de semana? 
a) nenhum. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4. 
E.O. FIXAÇÃO
1. (Insper) Três amigos foram a uma papelaria para 
comprar material escolar. As quantidades adquiridas 
de cada produto e o total pago por cada um deles são 
mostrados na tabela.
Amigo
Quantidades compradas de Total pago 
(R$)cadernos canetas lápis
Júlia 5 5 3 96,00
Bruno 6 3 3 105,00
Felipe 4 5 2 79,00
Os preços unitários, em reais, de um caderno, de uma 
caneta e de um lápis, são, respectivamente, x, y e z. Des-
sa forma, das igualdades envolvendo matrizes forneci-
das a seguir, a única que relaciona corretamente esses 
preços unitários com os dados da tabela é: 
a) x y z � 
5 5 3
6 3 3
4 5 2
 = 96 105 79
b) 
x
y
z
 � 
5 5 3
6 3 3
4 5 2
 = 
96
105
79
c) 
5 5 3
6 3 3
4 5 2
 � x y z = 96 105 79 
d) 
5 5 3
6 3 3
4 5 2
 ��
x
y
z
 = 
96
105
79
e) 
x
y
z
 � 
96
105
79
 = 
5 5 3
6 3 3
4 5 2
2. (UFC) O valor 2A2 + 4B2 quando A = 2 0
 0 –2
 e 
B = 
0 –1
1 0 é igual a: 
a) 4 4
4 4
b) 4 0
0 4
c) 0 0
0 0
d) 0 4
4 0
e) 6 0
0 6
3. (UEL) Sobre as sentenças:
I. O produto de matrizes A3x2 . B2x1 é uma matriz 3 x 1.
II. O produto de matrizes A5x4 . B5x2 é uma matriz 4 x 2.
III. O produto de matrizes A2x3 . B3x2 é uma matriz qua-
drada 2 x 2.
É verdade que:
a) somente I é falsa. 
b) somente II é falsa. 
c) somente III é falsa. 
d) somente I e III são falsas. 
e) I, II e III são falsas. 
4. (UEL) Uma reserva florestal foi dividida em quadran-
tes de 1 m2 de área cada um. Com o objetivo de saber 
quantas samambaias havia na reserva, o número delas 
foi contado por quadrante da seguinte forma:
O elemento aij da matriz A corresponde ao elemento bij 
da matriz B, por exemplo, 8 quadrantes contêm 0 (zero) 
samambaia, 12 quadrantes contêm 1 samambaia. 
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a 
operação efetuada entre as matrizes A e B, que resulta 
no número total de samambaias existentes na reserva 
florestal. 
a) At x B. 
b) Bt x At. 
c) A x B. 
d) At + Bt. 
e) A + B. 
5. (UERN) Considere a seguinte operação entre matrizes:
 ( 6 4 2 3 ) · k = ( –6 1 ) 
A soma de todos os elementos da matriz K é: 
a) 1.
b) 3.
c) 4.
d) 7.
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6. (UFPR) Um criador de cães observou que as rações 
das marcas A, B, C e D contêm diferentes quantidades 
de três nutrientes, medidos em miligramas por quilo-
grama, como indicado na primeira matriz abaixo. O 
criador decidiu misturar os quatro tipos de ração para 
proporcionar um alimento adequado para seus cães. A 
segunda matriz abaixo dá os percentuais de cada tipo 
de ração nessa mistura.
A B C D percentuaisde mistura
nutriente 1
nutriente 2
nutriente 3
370
340
225
450
305
190
A
B
C
D
Quantos miligramas do nutriente 2 estão presentes em 
um quilograma da mistura de rações?
a) 389 mg.
b) 330 mg.
c) 280 mg.
d) 210 mg.
e) 190 mg. 
7. (UFSM) Sabendo-se que a matriz
A = 
 y 36 –7
 x2 0 5x
4–y –30 3
é igual à sua transposta, o valor de 2x + y é: 
a) –23.
b) –11.
c) –1.
d) 11.
e) 23.
8. (UEL) Uma matriz quadrada A se diz ANTISSIMÉTRICA 
se At = –A. Nessas condições, se a matriz A mostrada na 
figura adiante é uma matriz antissimétrica, então x + y + 
z é igual a:
A = 
 x y z
 2 0 –3
–1 3 0
a) 3. 
b) 1. 
c) 0. 
d) –1. 
e) –3. 
9. (UFSM) Na planilha de cálculos do setor de Engenha-
ria, responsável pelas obras de um shopping, foram en-
contradas as matrizes:
A = log 1 log 0,01
log 100 log 10
e
B = 
 cos S�__ 2 tg S�BB�4 
sen3 S�__ 2 cos S�__ 3 
É correto, então, afirmar que A é igual a: 
a) ( 1 ___ 2 ) B.
b) B.
c) –B.
d) 2Bt.
e) 2B.
10. (UEG) Dada a matriz A = e
2x2 0
 0 |y + x|
 e seja B uma 
matriz identidade de ordem 2 os valores de x e y não 
negativos, tal que as matrizes A e B sejam iguais, são 
respectivamente: 
a) 0 e 1.
b) 1 e 1.
c) 0 e 
dXX 2 ___ 2 .
d) 
dXX 2 ___ 2 e 1– 
dXX 2 ___ 2 .
11. (UFF) Toda matriz de ordem 2 × 2, que é igual a sua 
transposta, possui: 
a) pelo menos dois elementos iguais. 
b) os elementos da diagonal principal iguais a zero. 
c) determinante nulo. 
d) linhas proporcionais. 
e) todos os elementos iguais a zero. 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO. 
O levantamento sobre a dengue no Brasil tem como ob-
jetivo orientar as ações de controle, que possibilitam aos 
gestores locais de saúde antecipar as prevenções a fim 
de minimizar o caos gerado por uma epidemia. O Minis-
tério da Saúde registrou 87 mil notificações de casos de 
dengue entre janeiro e fevereiro de 2014, contra 427 mil 
no mesmo período em 2013. Apesar do resultado expres-
sivo de diminuição da doença, o Ministério da Saúde res-
salta a importância de serem mantidos o alerta e a con-
tinuidade das ações preventivas. Os principais criadouros 
em 2014 são apresentados na tabela a seguir.
Região Armazenamento 
da água %
Depósitos 
domiciliares 
%
Lixo 
%
Norte 20,2 27,4 52,4
Nordeste 75,3 18,2 6,5
Sudeste 15,7 55,7 28,6
Centro-Oeste 28,9 27,3 43,8
Sul 12,9 37,0 50,1
(Adaptado de: BVS Ministério da Saúde. 
Disponível em: <www.brasil.gov.br/saude/2014>. 
 Acesso em: 21 abr. 2015.)
12. (UEL) Seja A a matriz formada pelos elementos aij em 
que i são as regiões e j os tipos de criadouros apresen-
tados na tabela. Considerando que cada região tenha 
seus tipos de criadouros aumentados em 10% devido a 
um desequilíbrio ambiental, assinale a alternativa que 
apresenta, corretamente, a matriz B resultante. 
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a) B3x5 = k . A3x5, em que k = 10,0 
b) B3x5 = (1 + k) . A3x5, em que k = 0,1 
c) B5x3 = (1 + k) . A5x3, em que k = 0,1 
d) B5x3 = (10 + k) . A5x3, em que k = 0,1 
e) B5x3 = k . A5x3, em que k = 0,1 
13. (UEL) Conforme dados da Agência Nacional de Avia-
ção Civil (ANAC), no Brasil, existem 720 aeródromos 
públicos e 1814 aeródromos privados certificados. Os 
programas computacionais utilizados para gerenciar o 
tráfego aéreo representam a malha aérea por meio de 
matrizes. Considere a malha aérea entre quatro cidades 
com aeroportos por meio de uma matriz. Sejam as cida-
des A, B, C e D indexadas nas linhas e colunas da matriz 
4 x 4 dada a seguir. Coloca-se 1 na posição X e Y da 
matriz 4 x 4 se as cidades X e Y possuem conexão aérea 
direta, caso contrário coloca-se 0. A diagonal principal, 
que corresponde à posição X = Y, foi preenchida com 1.
Considerando que, no trajeto, o avião não pode pousar 
duas ou mais vezes em uma mesma cidade nem voltar 
para a cidade de origem, assinale a alternativa correta. 
a) Pode-se ir da cidade A até B passando por outras 
cidades. 
b) Pode-se ir da cidade D até B passando por outras 
cidades. 
c) Pode-se ir diretamente da cidade D até C. 
d) Existem dois diferentes caminhos entre as cidades 
A e B. 
e) Existem dois diferentes caminhos entre as cidades 
A e C. 
E.O. COMPLEMENTAR
1. (UPF) Dadas as matrizes quadradas A, B e C, de ordem 
n, e a matriz identidade In, de mesma ordem, considere 
as proposições a seguir, verificando se são verdadeiras 
(V) ou falsas (F). 
( ) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
( ) (A – B)2 = A2 – B2
( ) CI = C
A sequência correta de preenchimento dos parênteses, 
de cima para baixo, é: 
a) V – V – V.
b) V – F – V.
c) F – V – V.
d) F – F – V.
e) F – F – F.
2. (Unioeste) Sendo A uma matriz quadrada e n um in-
teiro maior ou igual a 1, define-se An como a multipli-
cação de A por A , n vezes. No caso de A ser a matriz 
( 0 ___ –1 –1 ___ 0 ) 
 
é correto afirmar que a soma A+ A2 + A3 + ...+ 
A39 + A40 é igual à matriz: 
a) ( 20 ____ –20 –20 ____ 20 ) 
b) ( 40 ____ –20 –20 ____ 40 ) 
c) ( 0 ____ –40 –40 ____ 0 ) 
d) ( 40 ____ –40 –40 ____ 40 ) 
e) ( 20 ___ 0 0 ___ 20 ) 
3. (ESPM) Sendo A = [ a __ c b __ d ] uma matriz quadrada de 
ordem 2, a soma de todos os elementos da matriz 
M = A � At é dada por: 
a) a2 + b2 + c2 + d2. 
b) (a + b + c + d) 2. 
c) (a + b) 2 + (c + d)2. 
d) (a + d) 2 + (b + c)2. 
e) (a + c) 2 + (b + d)2. 
4. (Mackenzie) Se a matriz
 1 x + y + z 3y – z + 2
 4 5 –5
y – 2z + 3 z 0
é simétrica, o valor de x é: 
a) 0.
b) 1.
c) 6.
d) 3.
e) –5.
5. (UFSM)
O diagrama dado representa a cadeia alimentar simpli-
ficada de um determinado ecossistema. As setas indi-
cam a espécie de que a outra espécie se alimenta.
Atribuindo valor 1 quando uma espécie se alimenta de 
outra e zero, quando ocorre o contrário, tem-se a se-
guinte tabela:
Urso Esquilo Inseto Planta
Urso 0 1 1 1
Esquilo 0 0 1 1
Inseto 0 0 0 1
Planta 0 0 0 0
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A matriz A = (aij)4u4, associada à tabela, possui a seguin-
te lei de formação: 
a) aij = 
b) aij = 
c) aij = 
d) aij = 
e) aij = 
6. (FGV) O total de matrizes distintas que possuem ape-
nas os números 1, 2, 3, 4, 5,...,15, 16 como elementos, 
sem repetição, é igual a: 
a) (4!)4.
b) 16.4!.
c) 5.16!.
d) (16!)5.
e) 1616.
7. (Udesc) Considere as matrizes da forma A = a b
c d
com a, b, c, d e {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Se os elementos destas 
matrizes não são múltiplos, então o número máximo de 
tais matrizes distintas que pode ser formado é: 
a) 96. 
b) 120. 
c) 48. 
d) 72. 
e) 360. 
E.O. DISSERTATIVO
1. (UDESC) Dadas as matrizes A = ( –1 ___ 1 5 __ 3 ) e B = ( 1 __ 3 0 __ 2 ) 
calcule as matrizes (C, D, E, F, e G) resultantes das se-
guintes operações:
a) C = A + Bt.
b) D = A2.
c) E = 2A - Bt.
d) F = 3A – 2B.
e) G = A � B.
Obs.: Bt é a matriz transposta da matriz B.
2. (UFMG) Milho, soja e feijão foram plantados nas regi-
ões P e Q, com ajuda dos fertilizantes X, Y e Z.
A matriz A (fig. 1) indica a área plantada de cada cultu-
ra, em hectares, por região.
A matriz B (fig. 2) indica a massa usada de cada fertili-
zante, em kg, por hectare, em cada cultura.
a) Calcule a matriz C = AB.
b) Explique o significado de c23, o elemento da segun-
da linha e terceira coluna da matriz C.
3. (UFV) Dada a matriz mostrada na figura adiante
A = 
 1 2 3
 0 1 2
–1 1 –1
 ,determine:
a) A2.
b) A � At.
c) 2A + 3At.
Determine:
a) o instante e o dia em que o paciente apresentou a 
maior temperatura;
b) a temperatura média do paciente no terceiro dia 
de observação. 
4. (UFRJ) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para to-
mar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no 
domingo.
As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um 
consumiu e como a despesa foi dividida:
S = 
4 1 4
0 2 0
3 1 5
 e D = 
5 5 3
0 3 0
2 1 3
S refere-se às despesas de sábado e D àsde domingo.
Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i pa-
gou para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o nú-
mero 2 e Cláudio o número 3 (aij representa o elemento 
da linha i, coluna j de cada matriz).
Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele pró-
prio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (primei-
ra linha da matriz S).
a) Quem bebeu mais chope no fim de semana?
b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio?
5. (FGV) Uma fábrica decide distribuir os excedentes 
de três produtos alimentícios A, B e C a dois países da 
América Central, P1 e P2 As quantidades, em toneladas, 
são descritas mediante a matriz Q:
Para o transporte aos países de destino, a fábrica rece-
beu orçamentos de duas empresas, em reais por tonela-
das, como indica a matriz P:
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a) Efetue o produto das duas matrizes, na ordem que 
for possível. Que elemento da matriz produto indica 
o custo de transportar o produto A, com a segunda 
empresa, aos dois países? 
b) Para transportar os três produtos aos dois países, 
qual empresa deveria ser escolhida, considerando 
que as duas apresentam exatamente as mesmas con-
dições técnicas? Por quê?
6. (UEMA) Uma matriz A (m u n) é uma tabela retangular 
formada por m u n números reais (aij), dispostos em m li-
nhas e n colunas. O produto de duas matrizes A = (aij)mun e 
B = (bij)nup é uma matriz C = (cij)mup, em que o elemento 
cij é obtido da multiplicação ordenada dos elementos 
da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j, da 
matriz B, e somando os elementos resultantes das mul-
tiplicações. A soma de matrizes é comutativa, ou seja, 
A + B = B + A.
Faça a multiplicação das matrizes A e B, e verifique se 
esse produto é comutativo, ou seja: A u B = B u A.
 e 
7. (UnB) Uma equipe de pesquisa de mercado conduziu, 
durante vários meses, um levantamento para determi-
nar a preferência dos consumidores em relação a duas 
marcas de detergentes, marca 1 e marca 2. Verificou-se, 
inicialmente, que, entre 200 pessoas pesquisadas, 120 
usavam a marca 1 e 80, a marca 2. Com base no levanta-
mento inicial, a equipe compilou a seguinte estatística:
a) 70% dos usuários da marca 1, em qualquer mês, 
continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e 30% mu-
daram para a marca 2;
b) 80% dos usuários da marca 2, em qualquer mês, 
continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e 20% mu-
daram para a marca 1.
Esses resultados podem ser expressos pela matriz 
P = (pij) = ( 0,7 0,3 0,2 0,8 ) em que pij, 1 ≤ i, j ≤ 2, representa 
a probabilidade do consumidor da marca j consumir a 
marca i após um mês, supondo-se que tais probabili-
dades sejam mantidas constantes de um mês para o 
outro. Dessa forma, obtém-se a fórmula de recorrência 
Xk+1 = PXk, k ≥ 0, em que Xk ( ak bk
 ) representa a distribuição, 
no mercado, ao final do mês k, dos usuários de cada 
detergente pesquisados; ak e bk representam os per-
centuais de usuários das marcas 1 e 2, respectivamente, 
no referido período.
Com base nessas informações, julgue os itens subse-
quentes.
a) A sequência b1 – b0, b2 – b1, b3 – b2 representa uma 
progressão geométrica decrescente de razão 0,5.
b) Se Xk = ( D� E ) é tal que Xk+1 = Xk, para algum k ≥ 0, 
então D = 0,4 e E = 0,6.
c) A probabilidade de um consumidor do detergente 
da marca 1 comprar o da marca 2 ao final do 2.º mês 
é superior a 50%.
8. (UFU) Em computação gráfica, é frequente a neces-
sidade de movimentar, alterar e manipular figuras em 
um sistema 2D (bidimensional). A realização destes 
movimentos é feita, em geral, utilizando-se transfor-
mações geométricas, as quais são representadas por 
matrizes T2x2. Assim — considerando um polígono P no 
plano cartesiano xOy de vértices (a1,b1), ..., (an,bn), o qual 
é representado pela matriz M2xn = ( a1 ... an b1 ... bn
 ), em que n é 
o número de vértices do polígono — a transformação 
de P por T2x2 é feita pela realização do produto matricial 
T2x2 · M2xn obtendo a matriz resultante ( c1 ... cn d1 ... dn
 ) cujas 
colunas determinam os vértices (c1,d1), ..., (cn,dn) do po-
lígono obtido.
Nesse contexto, para o que se segue, considere a trans-
formação T2x2 = ( 2cosT� −2senT��������� 2senT� ��2cosT�� ) �e P o triângulo cujos 
vértices são os pontos A(0, 0), B(4, 0) e C(2,2 √
__
 3 ).
Execute planos de resolução de maneira a encontrar:
a) os vértices do triângulo resultante Q obtido da trans-
formação do triângulo P por T2x2 quando T = 840°;
b) a área do triângulo resultante Q obtido na trans-
formação do item A.
9. (FGV) Um determinado produto deve ser distribuído 
a partir de 3 fábricas para 4 lojas consumidoras. Seja 
C = (cij)3x4 a matriz do custo unitário de transporte da fábri-
ca i para a loja j, com cij = (2i − 3j)2. Seja B = (bij)3x4 a matriz 
que representa a quantidade de produtos transportados 
da fábrica i para a loja j, em milhares de unidades, com 
bij = i + j
a) Determine as matrizes C = (cij)3x4 e Bt sendo que Bt 
é a transposta da matriz B (bij)3x4.
b) Sendo e E = [1 0 0]1x3 , determine as 
matrizes X = (xij)3x1 e Y = (yij)1x3 tais que 
X = B · D e Y = E · (C·Bt). Em seguida, determine o 
significado econômico de xij e de yij.
E.O. UERJ 
EXAME DE QUALIFICAÇÃO
1. (UERJ) Observe a matriz A, quadrada e de ordem três.
A = ( 0,3 
 
 
 0,47 
0,6 
 
0,47 
 
 
 0,6 
x 
 
0,6 
 
 x 
0,77
 ) 
Considere que cada elemento aij dessa matriz é o valor 
do logaritmo decimal de (i + j).
O valor de x é igual a:
a) 0,50.
b) 0,70.
c) 0,77.
d) 0,87.
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E.O. UERJ 
EXAME DISCURSIVO
1. (UERJ) Observe parte da tabela do quadro de meda-
lhas dos Jogos Pan-americanos do Rio de Janeiro em 
2007(tabela I).
Com base na tabela, é possível formar a matriz qua-
drada A cujos elementos aij representam o número de 
medalhas do tipo j que o país i ganhou, sendo i e j per-
tencentes ao conjunto {1, 2, 3}.
Para fazer outra classificação desses países, são atribuí-
dos às medalhas os seguintes valores:
 � ouro: 3 pontos;
 � prata: 2 pontos;
 � bronze: 1 ponto.
Esses valores compõem a matriz V = 
3
2
1
Tabela I – Quadro de medalhas 
Jogos Pan-americanos RJ 2007
País
Medalhas
TotalTipos
1. 
Ouro
2. 
Prata
3. 
Bronze
1. Estados Unidos 97 88 52 237
2. Cuba 59 35 41 135
3. Brasil 54 40 67 161
Determine a partir do cálculo do produto A.V, o número 
de pontos totais obtidos pelos três países separadamente. 
2. (UERJ) A temperatura corporal de um paciente foi 
medida, em graus Celsius, três vezes ao dia, durante cin-
co dias. Cada elemento aij da matriz abaixo corresponde 
à temperatura observada no instante i do dia j.
35,6 36,4 38,6 38,0 36,0
36,1 37,0 37,2 40,5 40,4
35,5 35,7 36,1 37,0 39,2
Determine:
a) O instante e o dia em que o paciente apresentou a 
maior temperatura.
b) A temperatura média do paciente no terceiro dia 
de observação.
3. (UERJ) Considere as matrizes A e B:
A = (axj) é quadrada de ordem n em que axj = 1, se x é 
par e axj = –1, se x é ímpar
B = (bxj) é de ordem n × p em que bxj = jx
a) Calcule a soma dos elementos da diagonal princi-
pal da matriz A.
b) O elemento da quarta linha e da segunda coluna 
da matriz produto AB é igual a 4094.
Calcule o número de linhas da matriz B. 
4. (UERJ) Considere a sequência de matrizes (A1, A2, 
A3,...), todas quadradas de ordem 4, respectivamente 
iguais a:
0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11
12 13 14 15
16 17 18 19
20 21 22 23
24 25 26 27
28 29 30 31
32 33 34 35
36 37 38 39
40 41 42 43
44 45 46 47 
...
Sabendo que o elemento a ij = 75432 é da matriz An, de-
termine os valores de n, i e j.
E.O. OBJETIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Unicamp) Em uma matriz, chamam-se elementos in-
ternos aqueles que não pertencem à primeira nem à úl-
tima linha ou coluna. O número de elementos internos 
em uma matriz com 5 linhas e 6 colunas é igual a: 
a) 12.b) 15. 
c) 16. 
d) 20. 
2. (Fuvest) Sejam D e E números reais com 
–S/2 < D < S/2 e 0 < E < S. Se o sistema de equações, 
dado em notação matricial,
3 6
6 8
 tg a
cos b
 = 0
–2 dXX 3 
 ,
for satisfeito, então D + E é igual a: 
a) – S�__ 3 .
b) – S�__ 6 .
c) 0.
d) S�__ 6 .
e) S�__ 3 .
3. (Unicamp) Sendo a um número real, considere a 
matriz ( 1 a 0 -1 ) . Então, A2017 é igual a 
a) ( 1 0 0 1 ) .
b) ( 1 a 0 -1 ) .
c) ( 1 1 1 1 ) .
d) ( 1 a2017 
 0 -1 ) .
E.O. DISSERTATIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Unesp) Considere as matrizes reais 2 x 2 do tipo 
A(x) = [ cos x sen x sen x cos x ] . 
a) Calcule o produto A(x) � A(x).
b) Determine todos os valores de x e [0, 2S] para os 
quais A(x) � A(x) = A(x). 
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2. (Fuvest) Diz-se que a matriz quadrada A tem posto 1 
se uma de suas linhas é não nula e as outras são múlti-
plas dessa linha. Determine os valores de a, b e c para 
os quais a matriz 3 × 3
A = 
 2 1 __ 2 3
 3a – b + 2c 1 6
 b + c – 3a 1 __ 2 c – 2a + b
tem posto 1.
GABARITO
E.O. Aprendizagem
1. B 2. A 3. C 4. A 5. E
6. B 7. D 8. C 9. C 10. D
11. D 12. E
E.O. Fixação
1. D 2. B 3. B 4. A 5. A
6. A 7. C 8. D 9. D 10. A
11. A 12. C 13. A
E.O. Complementar
1. D 2. A 3. E 4. C 5. C
6. C 7. D
E.O. Dissertativo
1. 
a) C = A + Bt = ( –1 ___ 1 5 __ 3 ) + ( 1 __ 0 3 __ 2 ) = ( 0 __ 1 8 __ 5 ) 
b) D = ( –1 ___ 1 5 __ 3 ) � ( –1 ___ 1 5 __ 3 ) = ( 6 __ 2 10 ___ 14 ) 
c) E = 2 ( –1 ___ 1 5 __ 3 ) + ( 1 __ 0 3 __ 2 ) = ( –1 ___ 2 13 ___ 8 ) 
d) F = 3 � ( –1 ___ 1 5 __ 3 ) – 2 � ( 1 __ 3 0 __ 2 ) = ( –5 ___ –3 15 ___ 5 ) 
e) G = ( –1 ___ 1 5 __ 3 ) � ( 1 __ 3 0 __ 2 ) = ( 14 ___ 10 10 ___ 6 ) 
2. 
a) 3a 50 20 20
40 10 30
 
10 20 15
15 20 20
30 20 30 
=
 
1400 1800 1750
1450 1600 1700
 
b) c23 = 1700 significa que serão necessários 1700 
kg do fertilizante Z para as culturas de milho, soja e 
feijão na região Q. 
3. Observe as matrizes a seguir:
a) A2 = [ –2 ___ –2 ___ 0 
 7 __ 3 
 ___ –2 
 4 __ 0 __ 0 ] 
b) A · At = [ 14 ___ 8 ___ –2 
8 _ 5 
 ___ –1 
 –2 ___ –1 ___ 3 ] 
c) 2A + 3At = [ 5 __ 6 __ 7 
 4 __ 5 
 __ 8 
 3 __ 7 
 _ __ –5 ] 
4. 
a) Cláudio.
b) 2 chopes
5. 
a) 100000.
b) CE2
 < CE1.
6. 
B u A = 
0 1 0
1 0 2
0 1 2
 e A u B = 
2 0 4
1 0 3
0 1 0
7. 
a) Correto. Temos que a0 = 120 ____ 200 = 0,6 e b0 = 80 ____ 200 = 0,4. 
Então, como X0 = ( 0,6 0,4 ) vem
X1 = ( 0,7 0, 0,3 0,8 ) · ( 0, 0,4 ) = ( 0,5 0,5 ) 
X2 = ( 0,7 0,2 0,3 0,8 ) · ( 0,5 0,5 ) = ( 0,45 0,55 ) e
X3 = ( 0,7 0,2 0,3 0,8 ) · ( 0,45 0,55 ) = ( 0,425 0,575 ) .
e Segue que b1 = 0,5, b2 = 0,55 e b3 = 0,575. 
Portanto, a sequência 
(b1 – b0, b2 – b1, b3 – b2) = 
= (0,1; 0, 0,5; 0, 0,025) é uma progressão geométrica 
de razão 0,05 _____ 0,1 = 0,5.
b) Correto. Sabendo que a + b = 1, vem 
XK+1 = XK � ( 0,7 0,2 0,3 0,8 ) ( a 
b
 ) = ( a 
b
 ) 
� ( 0,7a + 0,2b 
 0,3a + 0,8b
 ) = ( a 
b
 ) 
��b = 1,5a.
Desse modo, a + 1,5 a ��a + 1,4 a e, portanto, b = 0,6.
c) Incorreto. A probabilidade de um consumidor do 
detergente da marca 1 comprar o da marca 2 ao final 
do 2º mês, corresponde ao elemento p21 da matriz P2 
Então, como
P2 = ( 0,7 0,2 0,3 0,8 ) � ( 0,7 0,2 0,3 0,8 ) = ( 0,55 0,30 0,45 0,70 ) ,
segue que p21 = 0,45 < 0,50 = 50%.
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8. 
a) Os vértices do triângulo Q são A' (0, 0), B' (–4, 4 √
__
 3 ) e 
C' (-8, 0).
b) 16 √
__
 3 u.a.
9. 
a) 
b) y11 indica o custo total com transporte, da fábrica 
1, para as quatro lojas; e y1k, com 2 ≤ k ≤ 3, indica 
o custo total que a fábrica 1 teria para transportar a 
produção das fábricas 2 e 3 para as quatro lojas.
E.O. UERJ
Exame de Qualificação
1. B
E.O. UERJ
Exame Discursivo
1. Estados Unidos: 519
Cuba: 288
Brasil: 309.
2. 
a) Na segunda medição do 4º dia.
b) 37,3° C. 
3. 
a) 0, se n é par
–1, se n é ímpar.
b) n = 11.
4. 75432 = 4714 . 16 + 8
Logo, n = 4714 + 1 = 4715 e i = 3 e j = 1. 
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. A 2. B 3. B
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) ( 1 sen2x sen2x 1 ) .
b) x = 0 ou x = 2π.
2. a = 1, b = 3 e c = 2 .
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E.O. APRENDIZAGEM
1. (Ufrrj) Dada uma matriz A = [ 1 ___ –1 2 __ 0 ] , denotamos por 
A-1 a matriz inversa de A. Então A + A-1 é igual a: 
a) [ 2 __ 1 3 __ 0 ] . b) [ 1 __ 2 –1 ___ 0 ] .
c) [ 1 __ 
– 1 __ 2 
 1 __ 
 1 __ 2 
 ] . d) [ 0 __ 
 1 __ 2 
 –1 ___ 
 1 __ 2 
 ] .
e) [ 2 ___ –2 4 __ 0 ] .
2. (FGV-RJ) Seja X a matriz que satisfaz a equação 
matricial X � A = B, em que:
A = [ 2 __ 5 1 __ 3 ] e B = [8 5]
Ao multiplicar os elementos da matriz X, obteremos o 
número: 
a) –1.
b) –2.
c) 1.
d) 2.
e) 0.
3. (FGV) Sendo A = [ 1 __ 0 1 __ 1 ] e B = [ 170 ____ 10 ] , a matriz X = [ x __ y ] na 
equação A16 . X = B será: 
a) [ 5 __ 5 ] .
b) [ 0 ___ 10 ] .
c) [ 10 ___ 5 ] .
d) [ 10 ___ 10 ] .
e) [ 5 ___ 10 ] .
4. (Fatec) A matriz inversa da matriz em destaque, 
mostrada adiante é ( 1 __ 0 0 __ 1 ) :
a) ( 1 __ 1 0 __ 0 ) 
b) ( 1 __ 0 0 __ 1 ) 
c) ( 0 __ 0 1 __ 1 ) 
d) ( 0 __ 1 1 __ 0 ) 
e) (1/2 __ 0 0 __ 2 ) 
e) 
5. (ITA) Se M = [ 1 ___ 2 -1 __ 0 ] e N = [ 2 ___ -1 1 __ 3 ] , então MNT – M–1N 
é igual a: 
a) [ 3 __ 2 
 
 5 __ 2 
 
– 5 __ 2 
 
– 3 __ 2 
 ] 
b) [ 3 __ 2 
 
 7 __ 2 
 
– 1 __ 2 
 
– 5 __ 2 
 ] 
c) [ 3 __ 2 
 
 13 ___ 2 
 
– 11 ___ 2 
 
 – 5 __ 2 
 ] 
d) [ 3 __ 2 – 5 __ 2 
 
– 13 ___ 2 – 3 __ 2 
 ] 
e) [ 3 __ 2 
 
 13 ___ 2 
– 11 ___ 2 
 
– 3 __ 2 
 ] 
6. (Fac. Albert Einstein - Medicina) Uma matriz quadrada 
se diz ortogonal se sua inversa é igual à sua transposta. 
Dada a matriz A = ( x–3 
 √
__
 5 
 – √
__
 5 x–3 ) , em que X e C* a soma dos 
valores de x que a tornam uma matriz ortogonal é igual a: 
a) 6 + 4i. 
b) 6 – 4i. 
c) 6. 
d) 4. 
7.(UFSJ) A matriz inversa de é:
a) 
b) 
c) 
d) 
 MATRIZ INVERSA E EQUAÇÕES MATRICIAIS
COMPETÊNCIA(s)
6
HABILIDADE(s)
24, 25 e 26
MT
AULAS 
47 E 48
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E.O. FIXAÇÃO
1. (FGV) Sabendo que a inversa de uma matriz 
A é A–1 = [ 3 ___ –5 –1 ___ 2 ] , e que a matriz X é solução da equação 
matricial X � A = B em que B = [8 3] podemos afirmar 
que a soma dos elementos da matriz X é: 
a) 7.
b) 8.
c) 9.
d) 10.
e) 11.
2. (Insper) Considere as matrizes 
A = [ 3 __ 0 0 __ 1 ] B = [ 0 __ 8 3 __ 0 ] X = [ x __ y ] e Y = [ x2 
 __ 
y2 ] .
Se x e y são as soluções não nulas da equação 
A � Y + B � X = [ 0 __ 0 ] , então x � y é igual a: 
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
e) 10.
3. (Espcex-Aman) O elemento da segunda linha e tercei-
ra colunada matriz inversa da matriz ( 1 __ 2 __ 0 
 0 __ 1 __ 1 
 1 __ 0 
 __ 1 ) é: 
a) 2 __ 3 .
b) 3 __2 .
c) 0.
d) –2.
e) – 1 __ 3 .
4. (FGV) Dada a matriz B = [ 3 -4 ] e sabendo que a 
matriz A1 = [ 2 -1 5 3 ] é a matriz inversa da matriz A, po-
demos concluir que a matriz X, que satisfaz a equação 
matricial AX = B, tem como soma de seus elementos o 
número: 
a) 14.
b) 13.
c) 15.
d) 12.
e) 16.
5. (FGV) A matriz A é inversa da matriz B.
A = [ x 1 5 3 ] B = [ 3 - 1 y 2 ] 
Nessas condições, podemos afirmar que a soma x+y 
vale:
a) − 1.
b) − 2.
c) − 3.
d) − 4.
e) − 5.
6. (Udesc) Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes quadradas 
de ordem 3 de tal forma que:
 � aij = i + j
 � bij = j e os elementos de cada coluna, de cima para 
baixo, formam uma progressão geométrica de razão 2.
Analise as proposições abaixo:
( ) A = AT
( ) Os elementos de cada uma das linhas da matriz B 
estão em progressão aritmética.
( ) Os elementos de cada uma das linhas e de cada uma 
das colunas da matriz AB estão em progressão aritmética.
( ) Existe a matriz inversa da matriz C = A − B.
O número de proposição(ões) verdadeira(s) é:
a) 0.
b) 3.
c) 1.
d) 2.
e) 4.
7. (UFPR) Identifique as afirmativas a seguir como ver-
dadeiras (V) ou falsas (F).
( ) Sabe-se que uma matriz A é inversível se existir uma 
matriz B tal que AB = BA = In, onde In é a matriz unidade 
de ordem n. A inversa da matriz [ 3 7 5 11 ] [ - 11 ___ 2 7 __ 2 
 
 5 __ 2 - 3 __ 2 
 ] . 
( ) Um restaurante típico da região do litoral oferece as 
seguintes entradas: casquinha de siri, panqueca de siri, 
ostras, saladas, caranguejo. Os pratos principais são: 
peixe com gengibre, indaiá, caldeirada, filé de lingua-
do. As sobremesas disponíveis são bolinho de polvilho, 
bolo de pinhão, mbojape (bolo de milho), canjica, arroz 
doce, milho. Com toda essa variedade, um cliente pode 
escolher de noventa formas diferentes uma entrada, 
um prato principal e uma sobremesa.
( ) Se numa pesca típica no estuário de Guaratuba um 
pescador pesca seis garoupas, dois robalos e dez beta-
ras, e se um peixe destes for escolhido ao acaso, a pro-
babilidade de ele não ser betara é igual à probabilidade 
de ele ser robalo ou garoupa.
( ) É verdadeira a igualdade sen ( π __ 8 ) = √
_______ 
 2 + √
__
 2 ________ 2 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência corre-
ta, de cima para baixo.
a) V – F – V – F.
b) V – F – F – F.
c) V – F – V – V.
d) F – V – F – F.
e) F – V – V – V.
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E.O. COMPLEMENTAR
1. (FGV) A matriz [ a __ b 
 __ c ] é a solução da equação matricial 
AX = M em que: A = [ 1 __ 0 
 __ 0 
 2 __ 1 __ 0 
 5 __ 4 
 __ 3 ] e M = [ 28 ___ 15 
 ___ 9 ] .
Então a2 + b2 + c2 vale: 
a) 67.
b) 68.
c) 69.
d) 70.
e) 71.
2. (Espcex-Aman) Considere as matrizes
A = [ 3 __ 1 5 __ x ] e B = [ x __ y 
y + 4 
 _____ 3 ] .
Se x e y são valores para os quais B é a transposta da 
Inversa da matriz A, então o valor de x + y é: 
a) –1.
b) –2.
c) –3.
d) –4.
e) –5.
3. (ITA) Considere as matrizes A = [ 1 __ 0 0 ___ –1 –1 ___ 2 ] , I = [ 1 __ 0 0 __ 1 ] , 
X = [ x __ y ] , B = [ 1 __ 2 ] .
Se x e y são soluções do sistema (AAt - 3I) X = B, então 
x + y é igual a: 
a) 2.
b) 1.
c) 0.
d) –1.
e) –2.
E.O. DISSERTATIVO
1. (UFTM) Considere as matrizes
A = (aij)2x2, tal que aij = i2 + j2, e
B = (bij)2x2, tal que b ij = (i + j)2
.
Determine:
a) pela lei de formação, a matriz C resultante da soma 
das matrizes A e B.
b) a matriz M de ordem 2 que é solução da equação 
matricial A . M + B = 0, em que 0 representa a matriz 
nula de ordem 2. 
2. (UFPE) Seja [ a __ c b __ d ] a inversa da matriz [ 3 ___ 11 1 __ 4 ] . Indique 
|a| + |b| + |c| + |d|. 
3. (UFC) A matriz quadrada A de ordem 3 é tal que 
A2 = [ 2 __ 1 
 __ 1 
 1 __ 2 
 __ 1 
 1 __ 1 
 __ 2 ] . 
a) Calcule A2 – 3 · I, em que I é a matriz identidade 
de ordem 3.
b) Sabendo-se que A cumpre a propriedade 
A3 – 3 · A = 2 · I, determine a matriz inversa de A. 
4. (Udesc) Sejam A = (aij) e B = (b ij) matrizes qua-
dradas de ordem 2 cujas entradas são definidas 
por aij = i2 – i � j e bij = 
3j – i, se i d j
i3 – j2, se i > j
Explicitando seus cálculos, determine a matriz X que sa-
tisfaz a equação matricial (A + B)T + mX = n (A . B), onde 
m e n são, respectivamente, a maior e a menor raiz real 
do polinômio p(t) = t4 + t3 – 6t2. 
E.O. OBJETIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Fuvest) Considere a matriz A = [ a a – 1 2a + 1 a + 1 ] em que 
a é um número real. Sabendo que A admite inversa A–1 
cuja primeira coluna é [ 2a – 1 –1 ] , a soma dos elementos da 
diagonal principal de A–1 é igual a: 
a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
e) 9.
2. (Unesp) Considere a equação matricial A + BX = X + 2C, 
cuja incógnita é a matriz X e todas as matrizes são qua-
dradas de ordem n. A condição necessária e suficiente 
para que esta equação tenha solução única é que: 
a) B – I z 0, onde I é a matriz identidade de ordem n 
e O é a matriz nula de ordem n. 
b) B seja invertível. 
c) B z 0, onde O é a matriz nula de ordem n. 
d) B – I seja invertível, onde I é a matriz identidade 
de ordem n. 
e) A e C sejam invertíveis. 
3. (Unicamp) Considere a matriz A = [ a __ b 0 __ 1 ] onde a e b 
são números reais. Se A2 = A e A é invertível, então: 
a) a = 1 e b = 1.
b) a = 1 e b = 0.
c) a = 0 e b = 0.
d) a = 0 e b = 1.
E.O. DISSERTATIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Unicamp) Uma matriz real quadrada P é dita ortogo-
nal se Pt = P-1, ou seja, se sua transposta é igual a sua 
inversa.
a)Considere a matriz P = . 
Determine os valores de a e b para que P seja ortogonal.
Dica: você pode usar o fato de que P-1P = I, em que I 
é a matriz identidade.
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b) Uma certa matriz A pode ser escrita na forma 
A = QR, sendo Q = e 
R = . 
Sabendo que Q é ortogonal, determine a solução do 
sistema Ax = b, para o vetor b = [ 6 
 
 
 –2 
0
 ] , sem obter expli-
citamente a matriz A.
Dica: lembre-se de que x = A-1b. 
GABARITO
E.O. Aprendizagem
1. C 2. B 3. D 4. B 5. C
6. C 7. B
E.O. Fixação
1. A 2. C 3. A 4. B 5. C
6. B 7. A
E.O. Complementar
1. A 2. C 3. D
E.O. Dissertativo
1. 
a) ( 6 ___ 14 14 ___ 24 ) 
b) B = ( 4 __ 9 9 ___ 16 ) ; M = ( – 13 ___ 9 
 ____ 
– 2 __ 9 
 
– 8 __ 9 
 ____ 
– 13 ___ 9 
 ) 
2. |a| + |b| + |c| + |d| = |4| + |–1| + |–11| + |3| = 19.
3. 
a) A2 –3 � I = [ 2 __ 1 
 __ 1 
 1 __ 2 __ 1 
 1 __ 1 __ 2 ] –3 � [ 1 __ 0 __ 0 
 0 __ 1 __ 0 
 0 __ 0 
 __ 1 ] = [ –1 ___ 1 ___ 1 
 1 ___ –1 ___ 1 
 1 __ 1 
 ___ –1 ] 
b) A–1 = 
4. X = ( 19 ___ 2 
 ___ –8 
 3 __ 2 
 ____ –17 ) 
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. A 2. D 3. B
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) a = 2 __ 3 e b = – 1 __ 3 .
b) x = [ 1 
 
 
 1 
–4
 ] .
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E.O. APRENDIZAGEM
1. (PUC-PR) Considere as seguintes desigualdades:
I. u 2 ___ –1 2 __ 4 u > u 3 __ 1 4 __ 5 u 
II. u 3 __ 5 –6 ___ –2 u < u 4 ___ –1 7 __ 5 u 
III. u 8 ___ –2 1 ___ –6 u > u 9 ___ –1 2 ___ –7 u 
É correto afirmar que: 
a) são verdadeiras apenas as desigualdades I e II.
b) são verdadeiras apenas as desigualdades II e III.
c) são verdadeiras apenas as desigualdades I e III.
d) as três desigualdades são verdadeiras.
e) as três desigualdades são falsas.
2. (UFTM) É dada a matriz A = ( a ___ –b b __ a ) , onde a e b são 
números reais. Se ( 0 __ 3 1 __5 ) � ( a __ b ) = ( 2 ___ 22 ) , então o determinan-
te de A é igual a: 
a) 3b + 4a.
b) 2b2 + a2.
c) b2 + 5.
d) 5a + 2.
e) 5a.
3. (UFC) Uma matriz é dita singular quando seu determi-
nante é nulo. Então os valores de c que tornam singular 
a matriz [ 1 __ 1 __ 1 
 1 __ 9 
 __ c 
 1 __ c 
 __ 3 ] são: 
a) 1 e 3.
b) 0 e 9.
c) –2 e 4.
d) –3 e 5.
e) –9 e –3.
4. (Mackenzie) Dadas as matrizes A = (aij)3x3 tal que 
aij = 10, se i = j
aij = 0, se i z j
 
e B = (bij)3x3 tal que bij = 3, se i = j
bij = 0, se i z j
, o 
valor de det(AB) é: 
a) 27 × 103. 
b) 9 × 103. 
c) 27 × 102. 
d) 32 × 102. 
e) 27 × 104. 
5. (Fatec) Se A-1 é a matriz inversa de A = [ 1 ___ –1 0 __ 2 ] e 
M = A + A-1, então o determinante da matriz M é: 
a) 5. 
b) 4. 
c) 3. 
d) 2. 
e) 1. 
6. (Epcar (Afa)) Seja a matriz [ 0 2 1/2 0 ] . Sabe-se que 
An = A · A · A ... · A (n vezes). 
Então, o determinante da matriz S = A + A2 + A3 + ... + A11 
é igual a: 
a) 1. 
b) –31. 
c) –875. 
d) –11. 
7. (UECE) Sobre a equação detM = –1, na qual M é a 
matriz [ 1 
 
 
 2 
x
 
2 
 
 x 
1
 
x 
 
 
 1 
x
 ] e detM é o determinante da matriz M, 
pode-se afirmar corretamente que a equação: 
a) não possui raízes reais. 
b) possui três raízes reais e distintas. 
c) possui três raízes reais, das quais duas são iguais e 
uma é diferente. 
d) possui três raízes reais e iguais. 
8. (ESPM) Dadas as matrizes A = e B = a 
diferença entre os valores de x, tais que det(A · B) = 3x, 
pode ser igual a:
a) 3.
b) –2.
c) 5.
d) –4.
e) 1.
9. (FGV) A é uma matriz quadrada de ordem 2 e det(A) = 7. 
Nessas condições, det(3A) e det(A–1) valem, respecti-
vamente:
a) 7 e –7. 
b) 21 e 1/7. 
c) 21 e –7. 
d) 63 e –7. 
e) 63 e 1/7. 
 DETERMINANTES
COMPETÊNCIA(s)
6
HABILIDADE(s)
24, 25 e 26
MT
AULAS 
49 E 50
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10. (PUC-MG) M é uma matriz quadrada de ordem 3, e 
seu determinante é det(M) = 2. O valor da expressão 
det(M) + det(2M) + det(3M) é:
a) 12. 
b) 15. 
c) 36. 
d) 54. 
e) 72. 
11. (Udesc) Considerando que A é uma matriz quadra-
da de ordem 3 e inversível, se det(3A) = det(A2), então 
det(A) é igual a: 
a) 9. 
b) 0. 
c) 3. 
d) 6. 
e) 27. 
12. (IFAL) Se A = e B = , o determinante 
da matriz (AB)-1 é:
a) – 1 ___ 10 .
b) 21 ___ 10 .
c) 13 ___ 10 .
d) – 13 ___ 10 .
e) nda. 
13. Se a matriz [ 3 4 x x+1 ] for multiplicada pelo valor do 
seu determinante, este ficará multiplicado por 49. Um 
dos possíveis valores de x é: 
a) 5. 
b) –3. 
c) 1. 
d) –4. 
e) 2. 
14. Considerando-se log2 = 0,3, o valor do determinan-
te abaixo é igual a:
 [ 1 
 
 
 log4 
(log2)2
 
1
 
 
 log16 
(log4)2
 
1 
 log400 
(log20)2
 ] 
a) 0,36. 
b) 0. 
c) 3. 
d) 0,74. 
e) 0,42. 
E.O. FIXAÇÃO
1. (UEL) Sejam as matrizes A = (aij)3x2, tal que aij = 2i – 3j 
e B = (bjy)2x3, tal que bjy = y – j . O determinante da matriz 
A . B é igual a: 
a) –12.
b) –6.
c) 0.
d) 6.
e) 12.
2. (Mackenzie) Dadas as matrizes A = ( 3 __ 1 4 __ 2 ) e B = ( 8 __ 1 7 __ 1 ) . 
Se M � A – 2B = 0, det M–1 vale:
a) 2.
b) 1 __ 2 .
c) 4.
d) 1 __ 4 .
e) 1.
3. (UEL) Se o determinante da matriz A = [ x __ 1 ___ 2x 
 2 ___ –1 
 ___ –1 
 1 __ 1 
 __ 3 ] é 
nulo, então: 
a) x = –3.
b) x = – 7 __ 4 .
c) x = –1.
d) x = 0.
e) x = 7 __ 4 .
4. (Feevale) Sendo u x __ 1 
y
 __ 1 u = 6, o valor de u 3x + 1 ______ 3y + 1 8 __ 8 u é: 
a) 6. 
b) 8. 
c) 24. 
d) 128. 
e) 144. 
5. (UERN) Considere a seguinte matriz A = (aij)3x3:
 
 ( 2 
 
 
 1 
3
 
1 
 
 
 -2 
log24
 
log28 
 
 
 4 
1
 ) 
 
Pela regra de Sarrus, o determinante dessa matriz é: 
a) 8. 
b) 9. 
c) 15. 
d) 24. 
6. (Ifsul) Sejam as matrizes A2x2, onde aixj = 
2j, se i ≤ j 
 
ji, se i > j
 , 
B = I2 e I é a matriz identidade. Sabendo que At é a matriz 
transposta de A, qual é o determinante de (At + B)? 
a) 11.
b) –11.
c) 9.
d) –9
7. (UFC) Sejam A e B matrizes 3 × 3 tais que detA = 3 e 
detB = 4. Então det(A × 2B) é igual a:
a) 32. b) 48. c) 64. d) 80. e) 96.
8. (IFCE) Considere a matriz A = .
Sabendo-se que sen u = –cos u, em que 0 ≤ u ≤ 2p, o 
determinante da matriz inversa de A, indicado por Det 
A-1, vale:
a) –1. b) 0. c) 1. d) 2. e) –5. 
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9. (Mackenzie) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 
com determinante maior que zero e A-1 a sua inversa. Se 
16 · det A-1 = det (2A), então o determinante de A vale: 
a) 4. 
b) 6. 
c) 8. 
d) 2. 
e) 16. 
10. (Mackenzie) Na igualdade: 
log 3 [det ( 2 . A-1)] = log 27 [det (2A)-1], A é uma matriz 
quadrada de quinta ordem com determinante não nulo. 
Então det A vale: 
a) 25.
b) 210.
c) 35.
d) 310.
e) 65.
11. (Fatec) Se x é um número real positivo tal que 
A = [ 1 x –1 0 ] . B = [ –x 1 1 –1 ] e det(A ∙ B) =2, então x–x é igual a: 
a) –4. 
b) 1/4. 
c) 1. 
d) 2. 
e) 4. 
12. Sendo I a matriz identidade de ordem 2, A = [ 1 1 –1 1 ] 
e B = [ √
__
 3 /2 1/2 1/2 
– √
__
 3 /2
 ] , considere as afirmativas a seguir:
1. A + At = 2 . I
2. det (A . B) = – √
__
 3 
3. B2007 = B
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. 
b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. 
c) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 
E.O. COMPLEMENTAR
1. (UERN) Sejam as matrizes 
A = [ 3 __ x 
 ___ –1 
 1 __ 4 
 __ 6 
 2 __ 1 
 __ y ] e B = [ 6 __ 1 
 __ x 
 
y
 __ 4 
 ___ –1 
 2 __ 3 
 __ 1 ] , 
cujos determinantes são, respectivamente, iguais a 63 e 
49. Sendo y = x + 3, então a soma dos valores de x e y é: 
a) 7.
b) 8.
c) 10.
d) 12.
2. (Udesc) Se AT e A-1 representam, respectivamente, a 
transposta e a inversa da matriz A = [ 2 __ 4 3 __ 8 ] , então o 
determinante da matriz B = AT – 2A-1 é igual a: 
a) –111 _____ 2 .
b) –83 ___ 2 .
c) –166.
d) 97 ___ 2 .
e) 62.
3. (FGV) O sistema linear nas incógnitas x, y e z:
pode ser escrito na forma matricial AX = B, em que:
X = [ x __ y 
 __ z ] e B = [ 10 ___ 5 ___ 7 ] .
Nessas condições, o determinante da matriz A é igual a: 
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2.
e) 1.
4. (FGV) As matrizes A = (aij)4x4 e B = (bij)4x4 são tais que 
2aij = 3bij. Se o determinante da matriz A é igual a 3/4, 
então o determinante da matriz B é igual a: 
a) 0.
b) 4 ____ 27 .
c) 9 ___ 8 .
d) 2.
e) 243 ____ 64 .
5. (ITA) Seja M uma matriz quadrada de ordem 3, inver-
sível, que satisfaz a igualdade
det(2M2) – det( 3 dXX 2 M3) = 2 __ 9 det(3M).
Então, um valor possível para o determinante da inver-
sa de M é:
a) 1 __ 3 .
b) 1 __ 2 .
c) 2 __ 3 .
d) 4 __ 5 .
e) 5 __ 4 .
6. (UFSM) Seja A uma matriz 2 × 2 com determinante 
não nulo. Se det A2 = det (A + A), então det A é:
a) –4. 
b) 1. 
c) 4. 
d) 8. 
e) 16. 
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7. (UEL) Considere as seguintes matrizes
A = [ 1 3 2 4 ] B = [ 0 –1 1 2 ] C = [ 2 1 2 3 ] 
Assinale a alternativa correta: 
a) A ∙ B = C.
b) A ∙ B-1 = C.
c) det (k ∙ A) = k det(A) para todo k � R.
d) det (A + B) = det(A) + 2 det(B).
e) det (A + B + C) = 10.
E.O. DISSERTATIVO
1. (UFSCar) Sejam as matrizes
A = [ 3 ______ log0,1 2 __ 5 ] e B = [ log0,01 _______ 
4
 0 ___ 
–3
 ].
Calcule:
a) odeterminante da matriz (B - A).
b) a matriz inversa da matriz (B - A). 
2. (UFSC) Considere as matrizes A = [ 1 
 
 
 –1 
1
 
0 
 
 
 –1 
1
 ] e B = [ 0 3 1 4 2 5 ] 
e n = det(AB).
Calcule 7n. 
3. (UFPR) Considere a função f definida pela expressão
f(x) = det [ cos(2x) 
 _______ cosx 
 _______ 1 
 senx _____ ½ 
 _____ 0 
 0 __ 0 
 __ 2 ] 
a) Calcule f(0) e f = ( p __ 4 ) .
b) Para quais valores de x se tem f(x) = 0? 
4. (UFPR) Considere o polinômio p(x) = [ 3 __ 
3
 
 __ x 
 
x 
__ x 
 __ 3 
 –x ___ –4 ___ –3 ] .
Calcule as raízes de p(x). Justifique sua resposta, dei-
xando claro se utilizou propriedades de determinantes 
ou algum método para obter as raízes do polinômio. 
5. (UEPG) Sobre a matriz A = , 
assinale o que for correto. 
01) A2 = 
02) det A = 1
04) A + At = 
08) det(2A) = – 1 __ 2 
16) det A2 = 0
6. (UFAL)A matriz A-1 é a inversa da matriz A = .
Se o determinante de A–1 é igual a – 1 __ 2 , calcule o deter-
minante da matriz A + A–1.
7. (UFSCar) Sejam as matrizes
A = e B = 
Calcule:
a) o determinante da matriz (B – A).
b) a matriz inversa da matriz (B – A). 
8. (UEM) Considerando as matrizes de números reais, 
quadradas e de ordem 3, A = (aij) e B = (bij), definidas, 
respectivamente, por: 
aij = e bij = 
e que At indica a transposta da matriz A, assinale o que 
for correto. 
01) A matriz B é invertível. 
02) AB ≠ BA.
04) Existe um valor inteiro positivo n para o qual Bn é 
a matriz quadrada nula de ordem 3. 
08) A matriz A – At = (cij) satisfaz cij = – cji para todo 
i e para todo j. 
16) A matriz A . At = (dij) satisfaz dij = dji para todo i 
e para todo j.
E.O. UERJ 
EXAME DISCURSIVO
1. (UERJ) Considere a matriz A3X3 abaixo:
A = [ 1 __ 2 
 
 
 a21 
a31
 
a12 
 
 
 1 
1
 
a13 
 
 
 1 
1
 ] 
Cada elemento desta matriz é expresso pela seguinte 
relação:
ai,j = 2 x (senT i) x (cosT j) �i,j e {1,2,3}
Nessa relação, os arcos T 1, T2 e T 3 são positivos e meno-
res que p __ 3 radianos.
Calcule o valor numérico do determinante da matriz A.
2. (UERJ) Considere uma matriz a com 3 linhas e 1 co-
luna, na qual foram escritos os valores 1,2 e 13, nesta 
ordem, de cima para baixo.
Considere, também, uma matriz B com 1 linha e 3 co-
lunas, na qual foram escritos os valores 1,2 e 13, nesta 
ordem, da esquerda para a direita.
Calcule o determinante da matriz obtida pelo produto 
de A u B.
E.O. OBJETIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Unicamp) Considere a matriz M = ( 1 
 
 
 b 
1
 
a 
 
 
 1 
b
 
1 
 
 
 a 
1
 ) onde a e 
b são números reais distintos. Podemos afirmar que:
a) a matriz M não é invertível.
b) o determinante de M é positivo.
c) o determinante de M é igual a a2 – b2
d) a matriz M é igual à sua transposta.
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2. (Unesp) Seja A uma matriz. Se A3 = , o 
determinante A é:
a) 8.
b) 2 dXX 2 .
c) 2.
d) 3 dXX 2 .
e) 1.
3. (Unicamp) Considere a matriz quadrada de ordem 3, 
A = [ cos x 0 - sen x 
 
 
 0 1 0 
sen x 0 cos x
 ] , onde x é um número real.
Podemos afirmar que:
a) A não é invertível para nenhum valor de x.
b) A é invertível para um único valor de x.
c) A é invertível para exatamente dois valores de x.
d) A é invertível para todos os valores de x.
4. (Unifesp) Se |A| denota o determinante da matriz A, e 
se A = [ |A| 1 
 
 2 |A|
 ] , Então,
a) A = [ 0 1 2 0 ] 
b) A = [ 2 1 2 2 ] , se |A| < 0
c) A = [ -1 2 1 -1 ] se |A| > 0
d) A = [ 2 1 2 2 ] ou A = [ -1 1 2 -1 ] 
e) A = [ -2 1 2 -2 ] ou A = [ 1 1 2 1 ] 
GABARITO 
E.O. Aprendizagem
1. B 2. E 3. D 4. A 5. A
6. D 7. C 8. C 9. E 10. E
11. E 12. E 13. D 14. E
E.O. Fixação
1. C 2. B 3. E 4. E 5. C
6. A 7. E 8. C 9. D 10. B
11. B 12. D
E.O. Complementar
1. A 2. B 3. B 4. B 5. A
6. C 7. D
E.O. Dissertativo
1. 
a) 50.
b) (B – A)–1 = [ – 4 ___ 25 
 ____ 
– 1 ___ 10 
 
 1 ___ 25 
 ____ 
– 1 ___ 10 
 ] 
2. 01.
3. 
a) f(0) = cos(2.0) – sen(2.0) = 1,
b) f ( π __ 4 ) = cos ( 2π ___ 4 ) – sen ( 2π ___ 4 ) 
f ( π __ 4 ) = cos ( π __ 2 ) – sen ( π __ 2 ) 
f ( π __ 4 ) = 0 – 1 = –1
4. p(x) = u 3 __ 3 
 __ x 
 x __ x 
 __ 3 
 –x ___ –4 
 ___ –3 u .
 p (x) = u 3 __ 3 
 __ x 
 x __ x 
 __ 3 
 –x ___ –4 
 ___ u –3 
 3 __ 3 
 __ x 
 x __ x 
 __ 3 =
p(x) = x3 – 4x2 – 9x + 36
x = ± 3 ou x = 4
Portanto: (fatorando o polinômio)
p(x) = x3 – 4x2 – 9x + 36 
� p(x) = x2(x – 4) – 9(x – 4) 
� p(x) = (x2 – 9) (x – 4)
��
x2 – 9 = 0 � x = 63
x – 4 = 0 � x = + 4
.
5. 01 + 02 = 03.
6. det (A + A–1) = –9.
7. 
a) 50.
b)
– 4 ___ 25 1 ___ 25 
– 1 ___ 10 – 1 ___ 10 
8. 02 + 04 + 08 + 16 = 30.
E.O. UERJ
Exame Discursivo
1. det A = 0.
2. Portanto, observando que a matriz AuB apresenta filas propor-
cionais, podemos concluir que det (AuB) = 0.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. B 2. C 3. D 4. D
Aplicando a 
Regra de Sarrus