Equações e Funções Trigonométricas

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82. **Questão:** Resolva a equação \( \sin(2x) = \frac{1}{2} \). 
 - **Resposta:** As soluções são \( x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6}n \) e \( x = 
\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{6}n \), onde \( n \) é um inteiro. 
 
83. **Questão:** Calcule \( \int x^2 e^x \, dx \). 
 - **Resposta:** A integral é \( (x^2 - 2x + 2)e^x + C \), onde \( C \) é a constante de 
integração. 
 
84. **Questão:** Determine a derivada de \( f(x) = \arcsin(x) \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \). 
 
85. **Questão:** Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\arctan(2x)}{x} \)? 
 - **Resposta:** O limite é \( 2 \). 
 
86. **Questão:** Resolva a equação \( \log_{5}(x) = 3 \). 
 - **Resposta:** A solução é \( x = 125 \). 
 
87. **Questão:** Calcule \( \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \). 
 - **Resposta:** A integral é \( -\sqrt{1 - x^2} + C \), onde \( C \) é a constante de 
integração. 
 
88. **Questão:** Determine a derivada de \( y = \arctan(x) \). 
 - **Resposta:** \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2} \). 
 
89. **Questão:** Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\arccos(1 - x) - \frac{\pi}{2}}{x} \). 
 - **Resposta:** O limite é \( 1 \). 
 
90. **Questão:** Resolva a equação \( \tan(x) = -1 \) no intervalo \( [0, 2\pi] \). 
 - **Resposta:** A solução é \( x = \frac{3\pi}{4} \). 
 
91. **Questão:** Calcule \( \int \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} \, dx \).