Física 1-487-489

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Gravitação 485
O efeito estilingue
Quando uma nave espacial é enviada a um planeta mui-
to distante, em vez de ir diretamente ao planeta ela con-
torna algumas vezes planetas intermediários. Por exemplo, 
a nave exploratória Galileu, lançada em outubro de 1989, 
com destino a Júpiter, descreveu a trajetória indicada na 
fi gura 33, contornando uma vez o planeta Vênus e duas 
vezes a Terra, antes de se dirigir a Júpiter. A cada vez que a 
sonda contornou um planeta ela ganhou energia e, assim, 
economizou combustível. 
PrOCUre nO Cd
Veja, no CD, mais detalhes 
de como ocorre o efeito 
estilingue.
Figura 33.
exercícios de Aplicação
53. Um satélite de massa m gira em 
torno de um planeta esférico e 
homogêneo de massa M, com 
órbita circular de raio d. 
a) Qual é a energia potencial 
do satélite?
b) Mostre que a energia cinética do satélite é dada 
por E
C
 = 
1
2
 
GMm
d
.
c) Mostre que a energia mecânica do satélite é 
E = – 
1
2
 
GMm
d
.
54. Um satélite artificial de massa m = 500 kg gira 
em torno da Terra, com órbita circular de raio 
8 · 106 m. São dados: massa da Terra = 6 · 1024 kg; 
raio da Terra = 6,4 · 106 m e G = 6,7 · 10–11 (SI).
Calcule:
a) a energia potencial do satélite;
b) a energia cinética do satélite;
c) a energia mecânica do satélite.
55. Um projétil é lançado verticalmente a partir de 
um ponto da superfície da Terra, com velocidade 
inicial de módulo v
0
 = 6,5 · 103 m/s. Qual é 
a altura máxima h atingida pelo projétil? São 
dados: raio da Terra = 6,4 · 106 m; massa da 
Terra = 6,0 · 1024 kg.
 
Resolu•‹o:
Sendo M a massa da Terra e m a massa do projétil, 
a energia mecânica inicial do projétil é:
E
i
 = E
Ci
 + E
Pi
 = 
mv2
0
2
 – 
GMm
R
No ponto mais alto a velocidade do projétil será 
nula; portanto, nesse ponto só haverá energia 
potencial:
E
f
 = E
Cf
 + E
Pf
 = 0 – 
GMm
d
 = 
–GMm
d
Como a energia mecânica é constante, devemos 
ter E
i
 = E
f
:
mv2
0
2
 – 
GMm
R
 = 
GMm
d
 ⇒ 
GM
d
 = 
GM
R
 – 
v2
0
2
 ⇒
⇒ 
1
d
 = 
1
R
 – 
v2
0
2GM
 ⇒ 
1
d
 = 
2GM – Rv2
0
2GMR
 ⇒
⇒ d = 
2GMR
2GM – Rv2
0
 =
= 
2(6,7 · 10–11)(6,0 · 1024)(6,4 · 106)
2(6,7 · 10–11)(6,0 · 1024) – (6,4 · 106)(6,5 · 103)2
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ST
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A
ç
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: 
C
O
N
C
EI
TO
G
r
A
f
Capítulo 24486
Terra = 6 · 1024 kg; raio da Terra = 6,4 · 106 m e 
G = 6,7 · 10–11 (SI).
57. Calcule a velocidade de escape do planeta Terra 
sabendo que sua massa é 5,98 · 1024 kg, seu raio 
médio é 6,38 · 106 m e G = 6,67 · 10–11 N · m2/kg2.
58. A velocidade de escape da Terra é 11,2 km/s. 
Calcule o valor aproximado da velocidade de esca-
pe do planeta Urano, sabendo que sua massa é 15 
vezes maior que a massa da Terra e o seu raio é 
4 vezes maior que o raio da Terra.
d ≅ 9,6 · 106 m
h = d – R ≅ (9,6 · 106 m) – (6,4 · 106 m)
h ≅ 3,2 · 106 m = 3 200 km
56. Um projétil é lançado vertical-
mente para cima a partir de 
um ponto próximo à superfície 
da Terra, com velocidade inicial 
v
0
 = 7 · 103 m/s. Calcule a 
altura máxima atingida pelo 
projétil. São dados: massa da 
exercícios de reforço
59. (UF-GO) Um satélite de massa 450 kg orbita em 
torno da Terra, numa trajetória circular de raio r 
conforme a figura.conforme a figura.
a) Determine a altura, h, da órbita do satélite 
sabendo-se que, nessa órbita, g' = 
4
9
 g, sendo 
g a gravidade na superfície da Terra.
b) Determine a energia cinética do satélite nessa 
órbita.
c) Determine a energia mecânica total do satéli-
te, adotando-se referencial no infinito.
60. Sabendo que a velocidade de escape de um corpo 
lançado de um dos polos da Terra (desprezando a 
resistência do ar) é 11,2 km/s e que a aceleração 
da gravidade ao nível do mar, no mesmo local, vale 
aproximadamente 9,83 m/s2, determine: (Dados: 
G = 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2; M = 6,0 · 1024 kg 
e R = 6,4 · 103 km.)
a) a velocidade de escape no planeta Marte, cuja 
massa e raio valem, respectivamente, 0,11 M 
e 0,55 R, onde M e R são, respectivamente, a 
massa e o raio da Terra;
b) a aceleração da gravidade nos polos do plane-
ta Marte. 
61. (UE-PA) Os planetas do Sistema Solar, em seu 
movimento ao redor do Sol, obedecem às leis de 
Kepler. Eles percorrem órbitas elípticas nas quais 
o Sol está em um dos focos. O ponto da órbita 
mais distante do Sol é chamado de afélio (A) e o 
ponto mais próximo é chamado de periélio (P). 
Essas características estão ilustradas na figura 
abaixo.
Analise as afirmativas abaixo sobre o movimento 
dos planetas ao redor do Sol.
I. Se existisse um planeta com o raio médio 
de sua órbita igual a duas vezes a distância 
média da Terra ao Sol, o período de revolução 
desse planeta seria de dois anos.
II. No afélio, a energia potencial do sistema é 
máxima, e parte dela se converte em energia 
cinética até o periélio.
III. A quantidade de movimento de um planeta é 
maior no periélio do que no afélio.
IV. O trabalho realizado sobre um planeta pela 
força gravitacional, durante uma órbita com-
pleta, é nulo.
Estão corretas somente as afirmativas:
a) I, II e IV 
b) I e III 
c) I e IV
d) II e III
e) II, III e IV
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C
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Gravitação 487
7. Marés
Um fato que qualquer pessoa que viva à beira-mar pode perceber facilmente é que 
as águas do mar têm um movimento periódico de “sobe e desce”: são as marés. Na fi-
gura 34a temos a foto da maré baixa em uma praia e na 34b temos a foto da maré alta. 
Na média, a diferença de nível entre as marés é da ordem de 1 metro. mas há locais da 
Terra em que essa diferença chega a 15 metros, como na praia de moreré, Bahia. O que 
ocasiona essa movimentação das águas?
Figura 34. Praia de Moreré, Bahia. (a) Maré baixa e (b) maré alta.
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G
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C
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C
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 B
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A
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A
PrOCUre nO Cd
No CD apresentamos, 
com detalhes, a 
explicação sobre 
o movimento das 
marés.
Figura 36.
Figura 35.
(a) (b)Antes de Newton publicar sua obra, alguns cientistas 
já suspeitavam que as marés seriam causadas pela atra-
ção da Lua. Eles argumentavam que, se a Terra estivesse 
isolada da ação de outros corpos, o nível da água do mar 
seria o mesmo ao redor de todo o globo terrestre (fig. 
35a). Porém, como a Terra não está isolada, a atração da 
Lua provoca o deslocamento das águas do mar (fig. 35b), 
produzindo uma maré alta em A e uma maré baixa em B.
A ideia parece boa, mas há um problema: por essa 
teoria teríamos apenas uma maré alta e uma maré baixa 
por dia! E quem mora no litoral sabe que há duas marés 
altas e duas baixas diariamente, isto é, a cada instante 
há uma maré alta no lado da Terra virado para a Lua (fig. 
36) e outra maré alta no lado oposto. Como explicar isso? 
Um dos sucessos da Lei da Gravitação de Newton foi ex-
plicar esse fato.
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exercícios de Aprofundamento
62. (Unifesp-SP) A massa da Terra é aproximadamente 
oitenta vezes a massa da Lua e a distância entre 
os centros de massa desses astros é aproximada-
mente sessenta vezes o raio da Terra. A respeito 
do sistema Terra-Lua, pode-se afirmar que:
a) a Lua gira em torno da Terra com órbita elíp-
tica e em um dos focos dessa órbita está o 
centro de massa da Terra.
b) a Lua gira em torno da Terra com órbita cir-
cular e o centro de massa da Terra está no 
centro dessa órbita.
c) a Terra e a Lua giram em torno de um ponto 
comum, o centro de massa do sistema Terra-
Lua, localizado no interior da Terra.
d) a Terra e a Lua giram em torno de um ponto 
comum, o centro de massa do sistema Terra-
Lua, localizado no meio da distância entre os 
centros de massa da Terra e da Lua.
e) a Terra e a Lua giram em torno de um ponto 
comum, o centro de massa do sistema Terra-
Lua, localizado no interior da Lua.
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Gravitação 487