Matemática 2

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Matemática II
Sequências Aritméticas e PA
Uma sequência muito útil é a sequência aritmética, que possui domínio infinito. Esta sequência é conhecida no âmbito do Ensino Médio, como uma Progressão Aritmética infinita, mas o objeto matemático denominado Progressão Aritmética finita não é uma sequência, uma vez que o domínio da função que define a progressão, é um conjunto finito {1,2,3,...,m} contido no conjunto N dos números naturais.
Progressão Aritmética finita: Surge aqui o conceito de Progressão Aritmética finita, que é uma coleção finita de números reais com as mesmas características que uma sequência aritmética. As Progressões Aritméticas são denotadas por PA e são caracterizadas pelo fato que, cada termo a partir do segundo, é obtido pela soma do anterior com um número fixo r, denominado razão da PA. Na sequência, apresentamos os elementos básicos de uma Progressão Aritmética da forma:
C = { a1, a2, a3, ..., an, ..., an-1, an }
1. n indica uma posição na sequência. n é o índice para a ordem do termo geral an no conjunto C, n também é o número de termos.
2. an é o n-ésimo termo da PA, que se lê a índice n.
3. a1 é o primeiro termo da PA, que se lê a índice 1.
4. a2 é o segundo termo da PA, que se lê a índice 2.
5. am é o último elemento da PA.
6. r é a razão da PA e é possível observar que
a2=a1+r, a3=a2+r, ..., an=an-1+r, ..., am=am-1+r
A razão de uma Progressão Aritmética, pode ser obtida, subtraindo o termo anterior (antecedente) do termo posterior (consequente), ou seja:
a2-a1 = a3-a2 = a4-a3 = ...  an-an-1 = r
Exemplos de Progressões Aritméticas (finitas)
1. A PA definida pelo conjunto C={2,5,8,11,14} possui razão r=3, pois:
2+3=5,  5+3=8,  8+3=11,  11+3=14
2. A PA definida pelo conjunto M={1,2,3,4,5} possui razão r=1, pois:
1+1=2,  2+1=3,  3+1=4,  4+1=5
3. A PA definida por M(3)={3,6,9,12,15,18} possui razão r=3, pois:
6-3 = 9-6 = 12-9 = 15-12 = 3
4. A PA definida por M(4)= {0,4,8,12,16 } possui razão r=4, pois:
4-0 = 8-4 = 12-8 = 16-12 = 4
Média aritmética: Dados n números reais x1, x2, x3, ..., xn, definimos a média aritmética entre estes números, denotada pela letra x com um traço sobre a mesma, como a divisão entre a soma desses números e o número de elementos:
Na Progressão Aritmética, cada termo é a média aritmética entre o antecedente e o consequente do termo tomado, daí a razão de tal denominação para este tipo de sequência.
Fórmula do termo Geral de uma PA
Consideremos a PA com razão r, definida por
P = { a1, a2, a3, ..., an-1, an }
Observamos que:
a1 = a1 = a1 + 0r
a2 = a1 + r = a1 + 1r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 3r
... ... ... ... 
an = an-1+r = a1+(n-1)r
e obtemos a fórmula do termo geral da PA:
an = a1 + (n-1) r
Com o material apresentado, podemos obter qualquer termo de uma Progressão Aritmética (PA), sem precisar escrevê-la completamente.
Exemplo: Seja a PA com razão r=5, dada pelo conjunto C={3,8,...,a30,...,a100}. O trigésimo e o centésimo termos desta PA podem ser obtidos, substituindo os dados da PA na fórmula do termo geral an=a1+(n-1)r. Assim:
a30=3+(30-1)5=148   e   a100=3+(100-1)5=498
Qual é o termo de ordem n=220 desta PA? (Dica: Ache pri-meiro 220, tente não usar a calculadora, só depois para conferir o resultado.)
Exemplo: Para inserir todos os múltiplos de 5, que estão entre 21 e 623, montaremos uma tabela.
	 21 
	25
	30
	...
	615
	620
	623
	 
	a1
	a2
	...
	an-1
	an
	 
Aqui, o primeiro múltiplo de 5 é a1=25, o último múltiplo de 5 é an=620 e a razão é r=5. Substituindo os dados na fórmula an=a1+(n-1)r, obteremos
620 = 25 + (n-1)5
de onde segue que n=120, assim o número de múltiplos de 5 entre 21 e 623, é igual a 120 e podemos observar que o conjunto de tais números é
C5 = { 25, 30, 35, ..., 615, 620 }
Progressões Aritméticas monótonas
Quanto à monotonia, uma PA pode ser:
1. Crescente se para todo n>1: r>0 e an<an+1.
2. Constante se para todo n>1: r=0 e an+1=an.
3. Decrescente se para todo n>1: r<0 e an+1<an.
Exemplo: A PA definida pelo conjunto C={2,4,6,8,10,12} é crescente, pois r=2 e além disso a1<a2<...<a5<a6.
Exemplo: A PA finita G={2, 2, 2, 2, 2} é constante.
Exemplo: A PA definida pelo conjunto Q={2,0,-2,-4,-6} é de-crescente com razão r=-2 e a1>a2>...>a4>a5. 
Exercício: Em uma PA com m termos, mostrar que a razão r pode ser escrita na forma r=(an-a1)/(n-1). (Dica: Ache o termo geral dela)
Extremos e Meios em uma PA
Em uma Progressão Aritmética (finita) dada pelo conjunto:
C = { a1, a2, a3, ..., an,...,am-1, am }
os termos a1 e am são denominados extremos enquanto os demais: a2, a3, ..., am-2, am-1 são os meios aritméticos.
	a1
	a2, a3, ..., am-2, am-1
	am
	meios aritméticos
Exemplo: Na PA definida por C={1,3,5,7,9,11}, os números 1 e 11 são os extremos e os números 3, 5, 7 e 9 são os meios aritméticos.
Termos equidistantes dos extremos: Em uma PA com n termos, dois termos são equidistantes dos extremos se a soma de seus índices é igual a n+1 e sob estas condições, são equidistantes dos extremos os pares de termos
a1 e an,  a2 e an-1,   a3 e an-2, ...
Se a PA possui um número de termos m que é par, temos n/2 pares de termos equidistantes dos extremos.
Exemplo: A PA definida por C={4,8,12,16,20,24}, possui um número par de termos e os extremos são a1=4 e a6=24, assim:
a2 + a5 =  8 + 20  = 28 = a1 + a6
a3 + a4 = 12 + 16  = 28 = a1 + a6
a4 + a3 = 16 + 12  = 28 = a1 + a6
a5 + a2 = 20 +  8  = 28 = a1 + a6
Se o número m de termos é impar, temos (n-1)/2 pares de termos equidistantes e ainda teremos um termo isolado (de ordem (n+1)/2) que é equidistante dos extremos.
Exemplo: Na PA de C={1,3,5,7,9} os números 1 e 9 são os extremos da PA e os números 3, 5 e 7 são os meios da PA. O par de termos equidistante dos extremos é formado por 3 e 7, e além disso o número 5 que ficou isolado também é equidistante dos extremos.
Exemplo: A PA definida por C={4,8,12,16,20}, possui um número ímpar de termos e os extremos são a1=4 e a5=20, logo
a2 + a4 =  8 + 16  = 24 = a1 + a5
a3 + a3 = 12 + 12  = 24 = a1 + a5
a4 + a2 = 16 +  8  = 24 = a1 + a5
Termo Central
Tendo uma PA n termos, é possível achar o termo do meio, termo central, de dois números tendo a seguinte equação:
Exemplo: Uma sequência de termos:(2, x, 8), determine o valor de x e a razão da mesma:
A razão pode ser medida pela diferença de dois termos sucessivos:
Interpolação aritmética
Interpolar k meios aritméticos entre os números a e b, significa obter uma PA com k+2 termos cujos extremos são a e b, sendo que a é o primeiro termo e b é o (último) termo de ordem k+2. Para realizar a interpolação, basta determinar a razão da PA.
Exemplo: Para interpolar 6 meios aritméticos entre a=-9 e b=19, é o mesmo que obter uma PA tal que a1=-9, an=19 e m=8. Como r=(an-a1)/(n-1), então r=(19-(-9))/7=4 e assim a PA ficará na forma do conjunto:
C = { -9, -5, -1, 3, 7, 11, 15, 19}
Soma dos n primeiros termos de uma PA (finita)
Em uma PA (finita), a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos desta PA. Assim:
a2+ an -1=a3+ an -2=a4+ an -3=...=an+am-n+1=...=a1+ an
Seja a soma Sn dos n primeiros termos da PA, dada por
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an
Como a soma de números reais é comutativa, escrevemos:
Sn = an + an-1 + an-2 + ... + a3 + a2 + a1
Somando membro a membro as duas últimas expressões acima, obtemos:
2Sn = (a1+an) + (a2+an-1) +...+ (an-1+a2) + (an+a1)
Como todas as n expressões em parênteses são somas de pares de termos equidistantes dos extremos, segue que a soma de cada termo, sempre será igual a (a1+an), então:
2Sn = (a1 + an) n
Assim, temos a fórmula para o cálculo da soma dos n primeiros termos da PA.
Sn = (a1 + an)n/2
Exemplo: Para obter a soma dos 30 primeiros termos da PA definida por C={2,5,8,...,89}. Aqui a1=2, r=3 e n=30. Aplicando a fórmula da soma, obtida acima, temos:
Sn = (a1+an)n/2 = (2+89)×30/2 = (91×30)/2 = 1365
Sequências geométricas e PG
Outra sequência muito importante é a sequência geométrica, que possui domínio infinito. Esta sequência é conhecida no âmbito do Ensino Médio, como uma Progressão Geométrica infinita, maso objeto matemático denominado Progressão Geométrica finita não é uma sequência, uma vez que o domínio da função é um conjunto finito {1,2,3,..., n} que é um subconjunto próprio de N.
As sequências geométricas são aplicadas a estudos para a obtenção do montante de um valor capitalizado periodicamente, assim como em estudos de Taxas de juros, Financiamentos e Prestações. Tais sequências também aparecem em estudos de decaimento radioativo (teste do Carbono 14 para a análise da idade de um fóssil ou objeto antigo).
No Ensino Superior tais sequências aparecem em estudos de Sequências e Séries de números e de funções, sendo que a série geométrica (um tipo de sequência obtida pelas somas de termos de uma sequência geométrica) é muito importante para a obtenção de outras séries numéricas e séries de funções.
Progressão Geométrica finita: Uma Progressão Geométrica finita, é uma coleção finita de números reais que possui as mesmas características que uma sequência geométrica, no entanto, possui um número finito de elementos. As Progressões Geométricas são denotadas por PG e são caracterizadas pelo fato que a divisão do termo seguinte pelo termo anterior é um quociente q fixado.
Se este conjunto possui m elementos, ele é denotado por
G = { a1, a2, a3, ..., an,...,am-1,am }
No caso de uma Progressão Geométrica finita, temos os seguintes termos técnicos.
1. n indica uma posição na sequência. n é o índice para a ordem do termo geral an no conjunto G, também pode ser o número de termos.
2. an é o n-ésimo termo da PG, que se lê a índice n.
3. a1 é o primeiro termo da PG, que se lê a índice 1.
4. a2 é o segundo termo da PG, que se lê a índice 2.
5. am é o último elemento da PG.
6. q é a razão da PG, que pode ser obtida pela divisão do termo posterior pelo termo anterior, ou seja na PG definida por G={a1,a2,a3,...,an-1,an}, temos que
a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 =...= an/an-1 = q
Média geométrica: Dados n números reais positivos x1, x2, x3, ..., xn, definimos a média geométrica entre estes números, denotada pela letra g, como a raiz n-ésima do produto entre estes números, isto é:
Na Progressão Geométrica, cada termo é a média geométrica entre o antecedente e o consequente do termo tomado, daí a razão de tal denominação para este tipo de sequência.
Fórmula do termo geral da PG
Observamos que:
a1 = a1 = a1 q0
a2 = a1 q = a1 q1
a3 = a2 q = a1 q2
a4 = a3 q = a1 q3
... ... ...
an = an-1 q = a1 qn-1
E temos a fórmula para o termo geral da PG, dada por:
an = a1 qn-1
Exemplos com progressões geométricas finitas
1. Seja a PG finita, definida por G={2,4,8,16,32}. Obtemos a razão q=2 da PG com a divisão do consequente pelo antecedente, pois:
32÷16 = 16÷8 = 8÷4 = 4÷2 = 2
2. Para a PG definida por G={8,2,1/2,1/8,1/32}, a divisão de cada termo posterior pelo anterior é q=1/4, pois:
1/32÷1/8 = 1/8÷1/2 = 1/2÷2 = 2÷8 = 1/4
3. Para a PG definida por T={3,9,27,81}, temos:
q = 9/3 = 27/3 = 81/3 = 3
4. Para a PG A={10,100,1000,10000}, temos:
q = 100/10 = 1000/100 = 10000/1000 = 10
5. Para obter o termo geral da sequências geométrica definida por E={4,16,64,...}, tomamos a1=4 e a2=16. Assim q=16/4=4. Substituindo estes dados na fórmula do termo geral da sequência geométrica, obtemos:
f(n) = a1.qn-1 = 41.4n-1=4(n-1)+1 = 4n
6. Para obter o termo geral da PG tal que a1=5 e q=5, basta usar a fórmula do termo geral da PG, para escrever:
an = a1.qn-1 = 5.5n-1 = 51.5n-1 = 5(n-1)+1 = 5n
Progressões Geométricas monótonas
Quanto ao aspecto de monotonia, uma PG pode ser:
1. Crescente se para todo n>1: q>1 e an<an+1.
2. Constante se para todo n>1: q=1 e an=an+1.
3. Decrescente se para todo n>1: 0<q<1 e an>an+1.
4. Alternada se para todo n>1: q<0.
Exemplo:
1.  A PG definida por U={5,25,125,625} é crescen-te, pois a1<a2<a3<a4.
2.  A PG definida por O={3,3,3,3} é constante, pois a1=a2=a3=a4=3.
3. A Progressão Geométrica definida por N={-2,-4,-8,-16} é decrescente, pois a1>a2>a3>a4.
Interpolação Geométrica
Interpolar k meios geométricos entre dois números dados a e b, significa obter uma PG com k+2 termos, cujos extremos são a e b, sendo que a é o primeiro termo da PG e b é o último termo da PG, que possui ordem k+2. Para realizar a interpolação geométrica, basta determinar a razão da PG.
Exemplo: Para interpolar três meios geométricos entre 3 e 48, basta tomar a1=3, an=48, k=3 e n=5 para obter a razão da PG. Como an=a1qn-1, então 48=3q4 e segue que q4=16, garantindo que a razão é q=2. Temos então a PG:
R = { 3, 6, 12, 24, 48 }
Fórmula da soma dos termos de uma PG finita
Seja a PG finita, Y={a1,a1q,a1q2,...,a1qn-1}. Indicamos a soma dos n termos dessa PG, por:
Sn = a1 + a1 q + a1 q2 + ... + a1 qn-1
Se q=1, temos:
Sn = a1 + a1 + a1 + ... + a1 =n a1
Se q é diferente de 1, temos
Sn = a1 + a1q + a1q2 + a1q3 + ... + a1qn-1
Multiplicando ambos os membros da igualdade acima pela razão q, obteremos
q Sn = a1q + a1q2 + a1q3 + a1q4 + ... + a1qn-1 + a1qn
Dispondo estas expressões de uma forma alinhada, obteremos:
Sn = a1 + a1q +...+ a1qn-1   
q Sn = a1q +...+ a1qn-1 + a1qn
Subtraindo membro a membro, a segunda expressão da primeira, obteremos
Sn - q Sn = a1 - a1 qn
que pode ser simplificada em
Sn(1-q) = a1 (1 - qn)
ou seja
Sn = a1(1-qn)/(1-q) = a1(qn-1)/(q-1)
Esta é a fórmula para a soma dos n termos de uma PG finita de razão q, sendo -1<q<1.
Exemplos
1. Para obter os termos da PG W={3,9,27,81}, devemos obter a razão desta PG e como esta é obtida pela divisão do termo posterior pelo termo anterior, temos que q=9/3=3. Como a1=3 e n=4, substituímos os dados na fórmula da soma dos termos de uma PG finita, obtemos:
S4=3 (34-1)/(3-1)=3(81-1)/2= 3×80/2=120
2. Para obter a soma dos 5 primeiros termos de uma PG cuja razão é q=1 e a1=2, podemos identificar a PG com o conjunto X={2,2,2,2,2}. Como a razão da PG é q=1, temos que a soma dos seus termos é obtida por S5=2×5=10.
Soma de uma série geométrica
Uma sequência geométrica (infinita) é semelhante a uma PG, mas nesse caso ela possui infinitos elementos. Consideremos agora esta sequência geométrica definida por f(n)=a1qn-1, cujos termos estão no conjunto infinito:
F = {a1, a1q, a1q2, a1q3,..., a1qn-1,...}
A soma dos termos desta sequência geométrica, é conhecida como a série geométrica de razão q, e não pode ser obtida da mesma forma que no caso das PGs (finitas), mas aquele processo será utilizado para auxiliar no presente cálculo.
Consideremos a soma dos termos desta sequência geométrica, como:
St = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...
Que também pode ser escrita da forma
St = a1 + a1 q + a1 q2 + a1 q3 + ... + a1qn-1 + ...
ou na forma simplificada
St = a1 (1 + q + q2 + q3 + ... + qn-1 + ... )
A expressão matemática dentro dos parênteses
S = 1 + q + q2 + q3 + ... + qn-1 + ...
é carente de significado, pois temos uma quantidade infinita de termos e dependendo do valor de q, esta expressão, perderá o sentido real.
Analisaremos a situação em cinco casos, mas o último [caso (e)] é o mais importante nas aplicações.
Caso (a): Se q>1, digamos q=2, temos que
S = 1 + 2 + 22 + 23 +...+ 2n-1 +... = infinito
e o resultado não é um número real.
Caso (b): Se q=1, temos que
S = 1 + 1 + + 1 +...+ 1 +... = infinito
e o resultado não é um número real.
Caso (c): Se q=-1, temos que
S=-1 + 1 -1 + 1 -1 +1 ... -1 +1 + ...
e dependendo do modo como reunirmos os pares de números consecutivos desta PG infinita, obteremos:
S = 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...+(-1+1) +... = 1
mas se tomarmos:
S = (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1) +...+ (1-1) +... = 0
ficará claro que q=-1, a soma dos termos desta série se tornará complicada.
Caso (d): Se q<-1, digamos q=-2, temos que
S = 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 - 64 +...+ 2n-1 - 2n + ...
que também é uma expressão carente de justificativa.
Caso (e): Se -1<q<1, teremos o caso mais importante para as aplicações. Neste caso as séries geométricas são conhecidas como séries convergentes. Quando uma série não é convergente, dizemos que ela é divergente.
Consideremos
S = 1 + q + q2 + q3 +...+ qn-1 +...
A soma dos n primeiros termos desta série geométrica, será indicada por:
Sn = 1 + q + q2 + q3 + ... + qn-1
e já mostramos antes queSn = 
mas se tomamos -1<q<1, a potência qn se aproxima do valor zero, à medida que o expoente n se torna muito grande e sem controle (os matemáticos dão o nome infinito ao pseudo-número com esta propriedade).
Concluímos, através de cálculos de limite ao infinito, então que para -1<q<1, vale a igualdade:
S = 1 + q + q2 + q3 + ... + qn-1 + ... = 1/(1-q)
De uma forma geral, se -1<q<1, a soma
St = a1 + a1 q + a1 q2 + a1 q3 + ... + a1qn-1 + ...
pode ser obtida por:
St = 
Exemplos: 
1. Para obter a soma dos termos da sequência geométrica definida por S={2,4,8,16,...}, devemos obter a razão, que neste caso é q=2. Assim, a soma dos termos desta PG infinita é dada por:
Sn=2 + 4 + 8 + 16 + ...
e esta série é divergente.
2. Para obter a soma dos termos da sequência geométrica definida por Y={5,5/2,5/4,5/8,5/16,...}, temos que a razão é q=1/2 e a1=5, recaindo no caso (e), assim, basta tomar
St = 5/(1-½) = 10
Dízima Periódica
Primeiramente, vamos relembrar que a fórmula para determinar a soma dos termos de uma PG infinita é dada por:
Vamos tomar alguns exemplos que foram utilizados no post sobre Fração Geratriz através de múltiplos, para efeito de comparação.  
Exemplo 1: Determinar a fração geratriz da dízima periódica 0,121212...
Podemos reescrever a dízima em forma de soma de frações:
Temos que o primeiro termo da PG infinita é:
E a razão desta PG é dada por:
Aplicaremos estes valores na fórmula da soma dos termos dada em (1):
Exemplo 2: Determinar a fração geratriz da dízima periódica 1,484848...
Vamos reescrever a dízima em forma de soma de frações:
Separamos a parte inteira e trabalharemos somente com a parte fracionária. Temos que o primeiro termo da PG infinita é:
E a razão desta PG é:
Aplicaremos estes valores na fórmula da soma dos termos dada em (1):
Agora, somamos o resultado encontrado em (5) com a par-te inteira:
Exemplo 3: Determinar a fração geratriz da dízima periódica 1,06818181...
Vamos reescrever a dízima em forma de soma de frações:
Notamos que neste exemplo, além da parte inteira, contém uma parte decimal não periódica.
Separamos a parte inteira e trabalharemos somente com a parte fracionária. Temos que o primeiro termo da PG infinita é:
E a razão desta PG é:
Agora, aplicamos estes valores na fórmula da soma dos termos da PG infinita:
Somamos o resultado encontrado em (7) com a parte inteira da dízima e com a parte não periódica:
Questão 1
Determine o 20º elemento e a soma dos termos da seguinte progressão aritmética: (2, 7, 12, 17,...). 
Questão 2
Determine quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1 000. 
Questão 3
Ao financiar uma casa no total de 20 anos, Carlos fechou o seguinte contrato com a financeira: para cada ano, o valor das 12 prestações deve ser igual e o valor da prestação mensal em um determinado ano é R$ 50,00 a mais que o valor pago, mensalmente, no ano anterior. Considerando que o valor da prestação no primeiro ano é de R$ 150,00, determine o valor da prestação no último ano. 
Questão 4
Um ciclista percorre 40 km na primeira hora; 34 km na segunda hora, e assim por diante, formando uma progressão aritmética. Quantos quilômetros percorrerá em 6 horas?
Questão 5
Em relação à progressão aritmética (10, 17, 24, …), determine:
a) o termo geral dessa PA;
b) o seu 15° termo;
c) a soma a10 + a 20.
Questão 6
Determine:
a) a soma dos 10 primeiros termos da PA (2, 5, …);
b) a soma dos 15 primeiros termos da PA (– 1, – 7, …);
c) a soma dos 20 primeiros termos da PA (0,5; 0,75, …).
Questão 7
(IBMEC – SP) Um número triangular é um inteiro da forma, sendo n um inteiro positivo. Considere a tabela:
	Posição
	1
	2
	3
	...
	X
	...
	Triangular
	1
	3
	6
	...
	3486
	...
A soma dos algarismos de X é:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
Questão 8
(Puc – RS) Tales, um aluno do Curso de Matemática, depois de terminar o semestre com êxito, resolveu viajar para a Europa. O portão de Brandeburgo, em Berlim, possui cinco entradas, cada uma com 11 metros de comprimento. Tales passou uma vez pela primeira porta, duas vezes pela segunda e assim sucessivamente, até passar cinco vezes pela quinta. Então ele percorreu ____ metros.
a) 55
b) 66
c) 165
d) 275
e) 330
Questão 9
A sequência seguinte é uma progressão geométrica, observe: (2, 6, 18, 54...). Determine o 8º termo dessa progressão.   
Questão 10
Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. Elas deverão ser empilhadas respeitando a seguinte ordem: uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na pilha. Por exemplo:
Determine a quantidade de tábuas empilhadas na 12ª pilha.
Questão 11
Um carro, cujo preço à vista é R$ 24 000,00, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante em 5 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de R$ 4 000,00 e a quarta parcela de R$ 1 000,00. Quanto esse cliente pagou de entrada na aquisição desse carro?
Questão 12
Sabendo que uma PG tem a1 = 4 e razão q = 2, determine a soma dos 10 primeiros termos dessa progressão. 
Questão 13
Encontre o termo geral da progressão aritmética (PA) abaixo:
A = (3, 7, ...)
Questão 14
A soma dos 20 termos de uma PA é 500. Se o primeiro termo dessa PA é 5, qual é a razão r dessa PA?
Questão 15
(UF – CE) A soma dos 15 primeiros termos de uma progressão aritmética é 150. O 8° termo dessa PA é:
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
e) 30
Questão 16
(Osec – SP) Um jardim tem uma torneira e dez roseiras dispostas em linha reta. A torneira dista50 m da primeira roseira e cada roseira dista 2 m da seguinte. Um jardineiro, para regar as roseiras, enche um balde na torneira e despeja seu conteúdo na primeira. Volta à torneira e repete a operação para cada roseira seguinte. Após regar a última roseira e voltar à torneira para deixar o balde, ele terá andado:
a) 1200 m.
b) 1180 m.
c) 1130 m.
d) 1110 m.
e) 1000 m. 
Questão 17
(Vunesp) Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. A espessura de cada tábua é 0,5 cm. Forma-se uma pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na pilha.
Determine, ao final de nove dessas operações:
a) quantas tábuas terá a pilha;
b) a altura, em metros, da pilha. 
Questão 18
Determine a soma dos 10 primeiros termos da PG (1, 3, 9, 27).
Respostas
Resposta Questão 1
Na progressão dada, temos que o 1º termo representado por a1 vale 2 e a razão equivale a 5.  Essa PA terá 20 termos representados pela letra n, então:
Determinando o 20º termo.
an = a1 + (n – 1) * r
a20 = 2 + (20 – 1) * 5
a20 = 2 + 19 * 5
a20 = 2 + 95
a20 = 97
Calculando a soma dos termos.
S=990
O 20º termo da PA é igual a 97 e a soma dos termos equivale a 990.
Resposta Questão 2
Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for igual a um número múltiplo de 9. Então a progressão deve começar a partir do 108, que é o primeiro número divisível por 9, e terminar no número 999. Dessa forma, temos que o primeiro termo é igual a 108, o último termo igual a 999 e a razão será 9.
an = a1 + (n – 1)·r
999 = 108 + (n – 1)·9
999 = 108 + 9n – 9
999 – 108 + 9 = 9n
9n = 900
n = 900/9
n = 100
Entre os números 100 e 1000 existem 100 múltiplos de 9.
Resposta Questão 3
an = a1 + (n – 1) * r
a20 = 150 + (20 – 1) * 50
a20 = 150 + 19 * 50
a20 = 150 + 950
a20 = 1100
O valor da prestação no último ano será de R$ 1 100,00.
 Resposta Questão 4
A PA em questão é decrescente, pois a razão é negativa. Observe: 34 – 40 = – 6
an = a1 + (n – 1) * r
a6 = 40 + (6 – 1) * (–6)
a6 = 40 + 5 * (–6)
a6 = 40 – 30
a6 = 10
O ciclista terá percorrido 150 km.
Resposta Questão 5
a) Para encontrar o termo geral da progressão aritmética, devemos, primeiramente, determinar a razão r:
r = a2 – a1
r = 17 – 10
r = 7
A razão é 7, e o primeiro termo da progressão (a1) é 10. Através da fórmula do termo geral da PA, temos:
an = a1 + (n – 1). r
an = 10 + (n – 1). 7
Portanto, o termo geral da progressão é dado por an = 10 + (n – 1). 7.
b) Como já encontramos a fórmula do termo geral,vamos utilizá-la para encontrar o 15° termo. Tendo em vista que n = 15, temos então:
an = 10 + (n – 1). 7
a15 = 10 + (15 – 1). 7
a15 = 10 + 14 . 7
a15 = 10 + 98
a15 = 108
O 15° termo da progressão é 108.
c) Vamos utilizar a fórmula do termo geral para identificar os elementos a10 e a 20 da PA:
an = 10 + (n – 1). 7
a10 = 10 + (10 – 1). 7
a10 = 10 + 9 . 7
a10 = 10 + 63
a10 = 73
an = 10 + (n – 1). 7
a20 = 10 + (20 – 1). 7
a20 = 10 + 19 . 7
a20 = 10 + 133
a20 = 143
A soma a10 + a 20 é dada por:
a10 + a 20 = 73 + 143 = 216
Resposta Questão 6
a) Para encontrar a soma dos 10 primeiros termos da PA (2, 5, …), precisamos identificar a razão e o termo a10. A razão pode ser encontrada pela subtração entre o primeiro termo e o segundo, ou seja, r = 5 – 2 = 3. Vamos utilizar a fórmula do termo geral para encontrar o 10° termo dessa sequência:
an = a1 + (n – 1). r
a10 = 2 + (10 – 1). 3
a10 = 2 + 9 . 3
a10 = 2 + 27
a10 = 29
Agora utilizaremos a fórmula da soma dos termos de uma PA finita. Sabendo que o primeiro termo da progressão é 2 e que n = 10, temos:
S10 = 155
A soma dos 10 primeiros termos da PA (2, 5, …) é 155.
b) Inicialmente, vamos identificar a razão e o termo a15. A razão é dada por:
r = – 7 – (– 1)
r = – 7 + 1
r = – 6
Através da fórmula do termo geral, vamos encontrar o 15° termo da PA:
an = a1 + (n – 1). r
a15 = – 1 + (15 – 1).(– 6)
a15 = – 1 + 14 . (– 6)
a15 = – 1 – 84
a15 = – 85
Agora utilizaremos a fórmula da soma dos termos de uma PA finita. Como n = 15, temos:
S15 = – 645
Portanto, a soma dos 15 primeiros termos da PA (– 1, – 7, …) é – 645.
c) Precisamos identificar a razão da PA:
r = 0,75 – 0,5
r = 0,25
Através do termo geral, encontramos o 20° termo dessa sequência:
an = a1 + (n – 1). r
a20 = 0,5 + (20 – 1). 0,25
a20 = 0,5 + 19 . 0,25
a20 = 0,5 + 4,75
a20 = 5,25
Pela fórmula da soma dos termos de uma PA finita, temos:
S20 = 57,5
A soma dos 20 primeiros termos da PA (0,5; 0,75; …) é 57,5.
Resposta Questão 7
A progressão aritmética em questão é formada pelos números triangulares da tabela em quea1 = 1, a2 = 3, a3 = 6 e ax = 3486. Resta-nos identificar o valor de X para que possamos encontrar a soma de seus algarismos. Observe que a fórmula que fornece os números triangulares assemelha-se à fórmula da soma dos termos de uma PA. Se substituirmos a variável n por X, teremos o número triangular 3486:
X·(X + 1) = 6972
X² + X – 6972 = 0
Utilizaremos a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor de X:
Δ = 1² – 4.1.(– 6972)
Δ = 1 + 27888
Δ = 27889
Nesse caso, a equação tem duas raízes reais, – 84 e 83, mas como X não pode ser negativo, pois as posições da tabela não estão decrescendo, podemos afirmar que X = 83. Sendo assim, a soma dos algarismos de X é dada por 8 + 3 = 11. Portanto, a alternativa correta é a letra b.
Resposta Questão 8
Quando Tales passou pela primeira entrada, ele percorreu 11 metros; ao passar pela segunda entrada duas vezes, ele percorreu (11·2) 22 metros e dessa maneira Tales prosseguiu até que passou cinco vezes pela quinta entrada (11 . 5), percorrendo 55 metros. Podemos formar uma PA com essas informações, sendo que a1 = 11 e a5 = 55. Através da fórmula da soma dos termos de uma PA finita, podemos identificar quantos metros Tales andou:
S5 = 165
Portanto, Tales andou um total de 165 metros e a alternativa correta é a letra c.
Resposta Questão 9
Razão da progressão: 6:2 = 3
an = a1 * q n–1
a8 = 2 * 3 8–1
a8 = 2 * 3 7
a8 = 2 * 2187
a8 = 4374
Resposta Questão 10
As tábuas são empilhadas de acordo com uma progressão geométrica de razão 2. Então:
an = a1 * q n–1
a12 = 1 * 2 12–1
a12 = 1 * 2 11
a12 = 1 * 2048
a12 = 2048
Na 12ª pilha teremos 2048 tábuas. 
Resposta Questão 11
an = a1 * q n–1
a2 = 4000
a4 = 1000
a2 = a1 * q
4000 = a1 * q
a1 = 4000 / q 
a4 = a1 * q3
1000 = 4000 / q * q3
1000 / 4000 = q3 / q
1 / 4 = q2
√1/4 = √q2
q = 1/2
a1 = 4000 / 1/2
a1 = 4000 * 2
a1 = 8000
1ª prestação: R$ 8 000,00
2ª prestação: R$ 4 000,00
3ª prestação: R$ 2 000,00
4ª prestação: R$ 1 000,00
5ª prestação: R$    500,00
Soma total das prestações: R$ 15 500,00
Entrada (valor do carro menos o total das prestações)
R$ 24 000,00 – R$ 15 500,00 = R$ 8 500,00
O valor da entrada foi de R$ 8 500,00
 
Resposta Questão 12
Resposta Questão 13
Apesar de a sequência apresentar apenas dois elementos, já podemos destacar dois termos importantes. Temos o primeiro elemento (a1 = 3) e ainda a razão, que é dada pela diferença de um termo pelo termo imediatamente anterior. Portanto, a razão r é dada por r = 7 – 3 = 4. Dessa forma, é possível determinar a fórmula de seu termo geral:
an = a1 + (n – 1).r
an = 3 + (n – 1).4
an = 3 + 4n – 4
an = 4n – 1
Então, o termo geral da PA (3, 7, …) é an = 4n – 1. 
Resposta Questão 14
As informações das quais dispomos são que n = 20, Sn = 500 e a1 = 5. Vamos utilizar a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética para encontrar o último termo dessa sequência:
500·2=(5+a20)·20
20a20=900
a20=45
Vamos agora utilizar a fórmula do termo geral para encontrar o valor da razão r:
an = a1 + (n – 1).r
45 = 5 + (20 – 1).r
45 – 5 = 19.r
r =  ≈ 2
Portanto, a razão dessa PA é de aproximadamente 2 cm.
Resposta Questão 15
Se a soma dos 15 primeiros termos é 150, na fórmula da soma de uma PA, teremos que Sn = 150 e n = 15. Logo:
a1 + a15 = 20
Nesse exercício, não temos determinada a razão da progressão aritmética. Portanto, utilizaremos uma ideia que pode facilmente ser demonstrada em uma progressão aritmética qualquer. Um elemento da sequência é igual à média aritmética do elemento que o antecede e do elemento que o sucede. Por exemplo, dada a progressão aritmética An = (a1, a2, …, an-1, an, an+1), temos que:
Sendo assim, podemos dizer que:
Além disso, em uma progressão aritmética, a soma dos termos equidistantes é igual. Para esse exercício, temos a sequência:
An = (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11, a12, a13, a14, a15)
a1 + a15 = a2 + a14 = a3 + a13 = … = a7 + a9
Retornando às equações anteriores, podemos então reescrever o termo A8, substituindo a soma “a7 + a9” por “a1 + a15”, que é equivalente, portanto:
A8 = 10 A alternativa correta é a letra a.
Resposta Questão 16
Para regar a primeira roseira, o jardineiro está próximo à torneira e precisa andar 50 m para chegar à roseira e outros 50 m para retornar à torneira, andando nesse primeiro momento100 metros.
Novamente, o jardineiro sairá de próximo da torneira e andará 50 m até a primeira roseira e mais dois metros até a segunda roseira para então retornar, andando assim outros 52 metros de volta, o que totaliza 104 metros de caminhada.
Para regar a terceira roseira, o jardineiro fará o mesmo percurso que acabara de fazer com o acréscimo de dois metros na ida e dois metros na volta, em decorrência da distância entre a segunda e a terceira roseira, totalizando 108 metros de percurso.
O trajeto percorrido pelo jardineiro pode ser considerado uma progressão aritmética de razão 4, observe:
A10 = (100, 104, 108, …, a10)
Vamos identificar o último termo dessa sequência, que corresponde ao trajeto do jardineiro ao regar a décima roseira. Utilizaremos a fórmula do termo geral para encontrar o a10.
an = a1 + (n – 1).r
a10 = a1 + (10 – 1).r
a10 = 100 + 9.r
a10 = 100 + 9.4
a10 = 100 + 36
a10 = 136
Se queremos saber o percurso total percorrido pelo jardineiro, podemos calcular a soma dos termos dessa progressão aritmética:
S10 = (a1 + a10).10
        2
S10 = (100 + 136).10
         2
S10 = 236.5
S10 = 1.180
Portanto, a alternativa que corresponde ao percurso total feito pelo jardineiro é a letra b.
Resposta Questão 17
a) Se nós organizarmos a quantidade de madeiras em cada pilha, teremos formada uma progressão geométrica (1, 2, 4,...). Vamos identificar a razão dessa PG:
q = a2
       a1
q = 2/1
q = 2
Agora que já identificamos que a razão da PG é 2, podemos utilizar a fórmula do termo geral para saber quantas tábuas haverá na nona pilha:
an = a1.qn – 1
a9 = a1.q8
a9 = 1 . 28
a9 = 256
A nona pilha será composta por 256 tábuas.
b) Se cada tábua possui 0,5 cm de espessura, basta multiplicar esse valor pelaquantidade de tábuas da nona pilha. Portanto, 0,5 . 256 = 128 cm ou 1,28 m.
Resposta Questão 18
Vamos identificar a razão q dessa PG:
q = a2
     a1
q = 3
     1
q = 3
Identificada a razão q = 3, vamos utilizar a fórmula da soma dos n primeiros termos:
Sn = a1(qn – 1)
         q – 1
S10 = 1(310 – 1)
         3 – 1
Sn = 59049 – 1
        3 – 1
Sn = 59048
       2
Sn = 29524
Introdução à Matrizes
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo.
A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:
	 
	 Química
	Inglês
	Literatura
	Espanhol
	A
	8
	7
	9
	8
	B
	6
	6
	7
	6
	C
	4
	8
	5
	9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.
Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes:
Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita:
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3.
   Veja mais alguns exemplos:
· é uma matriz do tipo 2 x 3
· é uma matriz do tipo 2 x 2
 
Notação Geral
Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.
   Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:
ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.
Na matriz , temos: →
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5], temos: a11 = -1, a12 = 0, a13 = 2 e a14 = 5.
   
Denominação especial
Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais.
· Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.
   
· Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo,, do tipo 3 x 1
   
· Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2.
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1.
    
Veja:
Observe a matriz a seguir:
a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1
a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 (3  + 1 = 3 + 1)
· Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0m x n.
Por exemplo,
   
· Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo:
	
	
	
	
· Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo:
	
	
Assim, para uma matriz identidade 
 
   
· Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:
Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m.
Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de At
· Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At. Por exemplo,
É simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempre       a ij = a ij.
   
· Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exemplo, 
Se então 
 
Igualdade de Matrizes
Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais:
A=B → aij=bij, para todo 1 < i < m e todo 1 < j < n
Se então se A=B então c=0 e b =3 
Operação entre matrizes
Adição
Dadas as matrizese, chama-mos de soma dessas matrizes a matriz , tal que Cij = aij + bij , para todo 1< i < m e todo 1< j < n:
A+B=C
Exemplos:
· 
   
· 
Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.
Propriedades
Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo (m x n), temos as seguintes propriedades para a adição:
a) comutativa: A + B = B + A
b) associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n
d) elemento oposto: A + (- A) = (-A) + A = 0
Subtração
Dadas as matrizese, chama-mos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B:
A-B=A+(-B)
Observe:
  
 
Multiplicação de um número real por uma Matriz
Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij:
B=x∙A
Observe o seguinte exemplo:
 
Propriedadas
Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades:
a) associativa: x∙(yA) = (xy) . A
b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x∙(A + B) = xA + xB
c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y)∙A = xA + yA
d) elemento neutro: xA = A, para x=1, ou seja, A=A
Multiplicação de Matrizes
O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos.
Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p  e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.
Vamos multiplicar a matriz  e para entender como se obtém cada Cij:
· 1ª linha e 1ª coluna
   
· 1ª linha e 2ª coluna
   
· 2ª linha e 1ª coluna
   
· 2ª linha e 2ª coluna
   
  Assim, .
   Observe que:
Portanto, A∙B≠B.A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.
   Vejamos outro exemplo com as matrizes e :
   
    Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:
     A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n):
· Se A3 x 2 e B 2 x 5, então (A∙B) 3 x 5
· Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto
· Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então (A∙B) 4 x 1
   
Propriedades
Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades:
a) associativa: (A∙B) ∙ C = A ∙ (B∙C)
b) distributiva em relação à adição: A ∙ (B + C) = A ∙ B + A ∙ C ou (A + B) ∙ C = A ∙ C + B∙C
c) elemento neutro: A ∙ In = In ∙ A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n
 Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale também a anulação do produto, ou seja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A ∙ B =0 m x n não implica, necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n.
   
Matriz Inversa
Dada uma matriz A quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de mesma ordem, tal que A ∙ A' = A' ∙ A = In, então A' é matriz inversa de A. representamos a matriz inversa por A-1.  
Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn).
   A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.
   Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:
· Resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
· Cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices;
Questão 1
Dadas as matrizes, determine a matriz D resultante da operação A + B – C.
 
Questão 2
Os elementos de uma matriz M quadrada de ordem 3 x 3 são dados por aij, onde:
i + j,se i ≠ j
0, se i = j
Determine M + M.
Questão 3
(PUC–SP–Adaptada) São dadas as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 4j e bij = – 4i – 3j. Considerando C = A + B, calcule a matriz C.
Questão 4
(PUCC–SP–Adaptada) Seja a matriz A = ( aij ) 2 x 2, em que aij = i + j, se i = j e i – j, se i ≠ j.  Determine a matriz respeitando essas condições e calcule A + A + A.
Questão 5
Determine a matriz C, resultado da soma das matrizes A e B.
Questão 6
Adicione as matrizes e determine os valores das incógnitas.
Questão 7
Determine a matriz resultante da subtração das seguintes matrizes:
Questão 8
Considerando as matrizes:
Determine:
a) A + B – C
b) A – B – C
Questão 9
Seja A = (aij)3x3, com aij = i + j, e B = (bij)3x3, com bij = j – i, determine a matriz C, tal que C = A.B.
Questão 10
Considerando as matrizes   e , verifique se é válida a propriedade comutativa na multiplicação de matrizes.
Questão 11
(UFU) Considere a matriz . Então A4 + 2A3 + 4A2 + 8A é igual a:
a) A6
b) A8
c) A10
d) A5
Questão 12
(PUC – RS) O elemento c22 da matriz C = AB, onde   e :
a) 0
b) 2
c) 6
d) 11
e) 22
Respostas
Resposta Questão 1
 Resposta Questão 2
Resposta Questão 3
Resposta Questão 4
Resposta Questão 5
Resposta Questão 6
x + x = 10
2x = 10
x = 5
y + 3 = – 1
y = – 1 – 3
y = – 4
3 + t = 4
t = 4 – 3
t = 1
2z + z = 18
3z = 18
z = 18/3
z = 6
Resposta Questão 7
→
Resposta Questão 8
Resposta Questão 9
Primeiramente, vamos determinar os elementos das matrizes A e B:
Agora que já conhecemos A e B, podemos realizar o produto entre essas matrizes para determinar a matriz C:
Portanto, multiplicando as matrizes A e B, obtemos a matriz
 .
Resposta Questão 10
Se queremos verificar a validade da propriedade comutativa na multiplicação das matrizes A eB, isso implica mostrar se é verdadeira a igualdade A.B = B.A. Vamos fazer primeiro o produto A.B:
Vamos agora fazer o produto B.A:
Após fazer as multiplicações das matrizes A e B, podemos constar que A.B ≠ B.A, portanto, a propriedade comutativa não se aplica à multiplicação de matrizes.
Resposta Questão 11
Para resolver essa questão, realizaremos primeiramente as multiplicações que caracterizam as potências de matriz, temos: 
A² = A . A =
A³ = A² . A =
A4 = A3 . A =
 
Vamos agora aplicar a multiplicação de matriz por um número e a soma de matrizes para solucionar a expressão A4 + 2A3 + 4A2 + 8A:
A4 + 2A3 + 4A2 + 8A
Observe novamente os resultados das potências da matriz A. Podemos sintetizar que:
A2 = 2. A = 2¹.A
A3 = 2.2.A = 2².A = 4.A
A4 = 2.2.2.A = 23.A = 8.A
An = 2n – 1.A
Mas o resultado da expressão corresponde à 32.A. Se 32 = 25, podemos então afirmar que o resultado da expressão A4 + 2A3 + 4A2 + 8A é A6, pois A6 = 25.A. Logo, a alternativa correta é a letra a.
Resposta Questão 12
Para determinar um elemento de C, não é necessário realizar toda a multiplicação entre as matrizes A e B. O elemento C22, por exemplo, é formado pela soma dos produtos dos elementos da 2ª linha da matriz A com os elementos da 2ª coluna da matriz B, isto é:
C22 = A21 . B12 + A22 . B22 + A23 . B32 + A24 . B42
C22 = 5 . 1 + 6 . 1 + 7 . 0 + 8 . 0
C22 = 5 + 6
C22 = 11
Portanto, a alternativa correta é a letra d.
Determinante
Determinante de 1ª ordem
Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o número real a11:
det M =Ia11I = a11
Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.
Por exemplo:
•M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5	
•M = [-3] det M = -3 ou I -3 I = -3 
Determinante de 2ª ordem
Dada a matriz de ordem 2, por definição o determinante associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por:
Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.
Sendo , temos:
   
Menor Complementar
Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij .
   Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir:
a) Dada a matriz  de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e a coluna 1:
Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é:
b) Sendo de ordem 3, temos:
Cofator
Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o número Aij tal que Aij = (-1)i+j . Mcij.
 Veja:
a) Dada os cofatores relativos aos elementos a11 e a12 da matriz M são:
b) Sendo  vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31:
	
	
	
	
Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn (m>2) po-de ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos res-pectivos cofatores. Assim, fi-xando j ϵ, tal que 1< j < m, temos:
em que  é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, m ϵ.
Regra de Sarrus
O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.
Acompanhe como aplicamos essa regra para D.
.
 
1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:
2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):
3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo):
Assim:
Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real.
 
Determinante com n>3
Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus.
 
Propriedades dos Determinantes
Os demais associados a matrizes quadradas de or-dem n apresentam as seguintes propriedades:
P1) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou colu-na) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.
Exemplo:
P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu deter-minante é nulo.
Exemplo:
P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.
Exemplo:
P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.
Exemplos:
Teorema de Jacobi
P5) O determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combi-nação linear dos elementos corres-pondentes de filas paralelas.
Exemplo:
Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:
P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
Exemplo:
	
	
P7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.
Exemplos:
P8) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.
Exemplo:
P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
Exemplos:
	
	
P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por .
Exemplos:
P11) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n:
. Como: A ∙ A-1=.
Exemplo:
P12) 
Exemplo:
Questão 1
Calcule o valor de x, a fim de que o determinante da matriz A seja nulo.
Questão 2
Considere a matriz:
Questão 3
Determine o valorde x para que o determinante da matriz A seja igual a 8.
Questão 4
O determinante da matriz A é igual a -2. Se B e C são as matrizes obtidas, respectivamente, pela substituição em A do menor e do maior valor de y encontrados, calcule a matriz transposta do produto de B por C. 
Questão 5
Seja a um número real e seja:
a) Para a=1, encontre todas as raízes da equação p(x)=0
b) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x)=0 tem uma única raiz real.
Questão 6
Resolva a equação:
Questão 7
Resolva a equação: 
Questão 8
(Vunesp) Dadas as matrizes e , o determinante da matriz A.B é:
a) – 1
b) 6
c) 10
d) 12
e) 14
Questão 9
(UFOP) Considere a matriz dada por Sij = .
Então, resolva a inequação det S > 3x².
Respostas
Resposta Questão 1
Aplicando a regra de Sarrus, temos que o determinante será da seguinte forma.
 Resposta Questão 2
Ao resolver esta desigualdade obteremos o seguinte conjunto solução:
S={x | }
Resposta Questão 3
Ou seja, temos dois valores para x que fazem com que o determinante da matriz A seja igual a 8.
S={x |x=-2 ou x=1}
Resposta Questão 4
Façamos as matrizes B e C.
Resposta Questão 5
a) Façamos o determinante com o valor de a = 1:
Temos o produto de duas parcelas igual a zero, então teremos duas situações:
3 - x = 0    ou    (1 - x) 2 + 4 = 0
Na primeira temos que x = 3; na segunda não é possível determinar uma solução.
Logo, temos apenas uma raiz possível quando a for igual a 1.
 b)
Novamente teremos duas situações: uma onde x=3 e a outra temos que determinar para quais valores de a teremos apenas a solução x = 3:
Para que só exista uma única raiz, essa equação do segundo grau não deve ter raiz, ou seja, seu discriminante deve ser menor que zero.
Resposta Questão 6
Para resolver essa equação, é necessário estar ciente de que o determinante da primeira matriz de ordem três é igual ao determinante da matriz de ordem um.
Pela regra de Sarrus, temos:
(1.4.0) + (0.1.3) + (2.2.2) – (3.4.2) – (2.1.1) – (0.2.0) = x
x = 8 – 24 – 2
x = – 18
Portanto, x = – 18.
Resposta Questão 7
Essa equação garante que o determinante da matriz de ordem dois é igual ao determinante da matriz de ordem um. Dessa forma:
x² – 2x = – 1
x² – 2x + 1 = 0
Vamos utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor de x:
Δ = (– 2)² – 4.1.1
Δ = 4 – 4
Δ = 0
x = – (– 2) ± √0
        2.1
x = 2 ± 0
      2
x = 2 = 1
 2
Nesse caso, a equação tem uma única raiz real, x = 1.
Resposta Questão 8
Multiplicando as matrizes A e B, temos:
A.B =  = 
Vamos agora calcular o determinante da matriz encontrada:
D = 8.8 – 5.10
D = 64 – 50
D = 14
Portanto, a alternativa correta é a letra e.
Resposta Questão 9
Aplicando a definição dada por Sij, temos a matriz S:
Vamos agora calcular o determinante de S pela regra de Sarrus:
det S = (2.4.6) + (0.0.2) + (0.1.1) – (2.4.0) – (1.0.2) – (6.1.0)
det S = 48
Resolvendo a inequação det S > 3x², temos:
det S > 3x²
3x² < 48
x² < 48/3
x < √16
– 4 < x < 4
Portanto, para a inequação det S > 3x², temos – 4 < x < 4.
Equação Linear
Equação linear é toda equação da forma:
a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b
Em que a1, a2, a3, ... , an são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas
x1, x2,x3, ... , xn, e b é um número real chamado termo independente ( quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).
Veja alguns exemplos de equações lineares:
· 3x - 2y + 4z = 7
· 2x + 4z = 3t - y + 4
· x+y-3z+t=0(homogênea)
As equações a seguir não são lineares:
· xy - 3z + t = 8
· -2y+z=7
· x2- 4y = 3t – 4
Sistema Linear
Um conjunto de equações lineares da forma:
é um sistema linear de m equações e n incógnitas.
A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r1, r2, r3,..., rn) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema.
Matriz associada a um sistema linear
A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes:
·  matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema.
Em relação ao sistema:
A matriz incompleta é:
· matriz completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema.
Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:
Sistemas Lineares
Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes das equações são nulos:
 Veja um exemplo:
 
A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais.
Classificação de um sistemas com relação ao números de soluções
Resolvendo o sistema, encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5). Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única).
No caso do sistema, verificamos que os pares ordenados (0,8), (1,7), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções).
Para, verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução).
 Resumindo, um sistema linear pode ser:
  a) possível e determinado (solução única);
  b) possível e indeterminado (infinitas soluções);
  c) impossível (não tem solução).
 
Sistema Normal
Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero.
Se m=n e det A 0, então o sistema é normal.
 
Regra de Cramer
Todo sistema normal tem uma única solução dada por:
Em que i ϵ { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi é o determinante  obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.
 
Discursão de um Sistemas Linear
Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser:
a) possível e determinado, se D=det A0; caso em que a solução é única.
Exemplo:
m=n=3
Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única.
 
b) possível e indeterminado, se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2. Se n3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais.
Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções.
Exemplo:
D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0
Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.
c) impossível, se D=0 e  Dxi0, 1 < i< n; caso em que o sistema não tem solução.
Exemplo:
                  
Como D=0 e Dx0, o sistema é impossível e não apresenta solução.
 
Sistemas Lineares
Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.
Por exemplo, dados os sistemas:
e 
verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S1 e S2 são equivalentes: S1 ~ S2.
 
Propriedades
a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.
Por exemplo:
e 
S1 ~S2
   
b) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K (K ϵIR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:
S1 ~S2
 
c) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k (K ϵ IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior.
Por exemplo:
 
Dado, substituindo a equação (II) pela soma do produto de (I) por -1 com (II), obtemos:
 
S1~S2, pois (x,y)=(2,1) é solução de ambos os sistemas.
Exemplo 2:  
1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:
· Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:
· Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -3 com a 3º equação:
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3º equação:
· Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por -1 com a 3º equação:
Dessa forma, o sistema está escalonando. Como não existe valor real de z tal que 0z=-2, o sistemaé impossível.
 
II) O número de equações é menor que o número de incógnitas (m < n)
Exemplo:
 
1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:
· Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:
· Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -1 com a 3º equação:
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita, a partir da 3º equação:
· Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 2º equação por -3 com a 3º equação:
O sistema está escalonado. Como m<n, o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções. A diferença entre o número de incógnitas (n) e o de equações (m) de um sistema nessas condições é chamada grau de indeter-minação (GI):
GI= n - m
Para resolver um sistema indeterminado, procedemos do seguinte modo:
· Consideramos o sistema em sua forma escalonada:
Calculamos o grau de indeterminação do sistema nessas condições:
GI = n-m = 4-3 = 1
Como o grau de indeterminação é 1, atribuímos a uma das incógnitas um valor α, supostamente conhecido, e resol-vemos o sistema em função desse valor. Sendo t=α, substituindo esse valor na 3º equação, obtemos:
12z – 6α= 30→12z= 30 + 6α → 
Conhecidos z e t, substituímos esses valores na 2º equação:
Conhecidos z, t e y, substituímos esses valores na 1º équa-ção:
Assim, a solução do sistema é dada por S=
, com α ϵ IR.
Para cada valor que seja atribuído a α, encontraremos uma quádrupla que é solução para o sistema. 
Questão 1
(VUNESP-04) Maria tem em sua bolsa R$15,60 em moedas de R$ 0,10 e de R$ 0,25. Dado que o número de moedas de 25 centavos é o dobro do número de moedas de 10 centavos, o total de moedas na bolsa é:
A) 68.
B) 75.
C) 78.
D) 81.
E) 84.
Questão 2
(UNIFESP-04) Numa determinada livraria, a soma dos preços de aquisição de dois lápis e um estojo é R$10,00. O preço do estojo é R$5,00 mais barato que o preço de três lápis. A soma dos preços de aquisição de um estojo e de um lápis é:
a) R$3,00.
b) R$6,00.
c) R$12,00.
d) R$4,00.
e) R$7,00.
Questão 3
Em uma praça há 18 crianças andando de bicicleta ou de skate. No total, há 50 rodas girando pela praça. Quantas crianças andam de bicicleta e quantas andam de skate?
Questão 4
A soma de dois números é 37. A diferença entre eles é 9. Quais são esses números?
Questão 5
Uma prova de múltipla escolha com 60 questões foi corrigida da seguinte forma: o aluno ganhava 5 pontos por questão que acertava e perdia 1 ponto por questão que errava ou deixava em branco. Se um aluno totalizou 210 pontos, qual o número de questões que ele acertou?
Questão 6
Em um escritório de advocacia trabalham apenas dois advogados e uma secretária. Como o Dr. André e o Dr. Carlos sempre advogam em causas diferentes, a secretaria Cláudia coloca 1 grampo em cada processo do Dr. André e 2 grampos em cada processo do Dr. Carlos, para diferenciá-los facilmente no arquivo. Sabendo-se que, ao  todo, são 78 processos nos quais foram usados 110 grampos. Calcule o número de processos do Dr. Carlos. 
Questão 7
Um pacote tem 48 balas: algumas de hortelã e as demais de laranja. Se a terça parte correspondente ao dobro do número de balas de hortelã excede a metade do de laranjas em 4 unidades, determine o número de balas de hortelã e laranja.
Questão 8
Na compra de duas canetas e um caderno, Joana gastou R$ 13,00. Carlos comprou quatro canetas e três cadernos e gastou R$ 32,00. Determine o valor de uma caneta e um caderno. 
Questão 9
Resolva o sistema a seguir utilizando números reais:
Questão 10
Resolva o sistema de equações utilizando números reais:
Questão 11
Resolva o sistema de equações a seguir utilizando números reais:
Questão 12
Um determinado triângulo retângulo possui uma hipotenusa que mede 13 cm e seus catetos possuem dimensões desconhecidas, digamos que essas medidas podem ser chamadas de x e y. Descubra a área da região determinada por esse triângulo sabendo que seu perímetro é de 30 cm e que .
Questão 13
João gosta muito de animais de estimação e de charadas. Certo dia um amigo perguntou-lhe quantos cachorros e quantos gatos ele tinha. Prontamente João respondeu com o seguinte enigma: “A soma do dobro do número de cachorros e do triplo do número de gatos é igual a 17. E a diferença entre o número de cachorros e de gatos é apenas 1”. Será que você consegue desvendar esse enigma e descobrir quantos cachorros e quantos gatos João possui?
Questão 14
Em sua rua, André observou que havia 20 veículos estacionados, dentre motos e carros. Ao abaixar-se, ele conseguiu visualizar 54 rodas. Qual é a quantidade de motos e de carros estacionados na rua de André?
Questão 15
(Fuvest) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa continha 2 frascos de detergentes a mais no aroma limão do que no aroma coco, o número de frascos entregues, no aroma limão, foi:
a) 110
b) 120
c) 130
d) 140
e) 150
Questão 16
(Vunesp) Em um campeonato de futsal, se um time vence, marca 3 pontos; se empata, marca 1 ponto e se perde não marca nenhum ponto. Admita que, nesse campeonato, o time A tenha participado de 16 jogos e perdido apenas dois jogos. Se o time A, nesses jogos, obteve 24 pontos, então a diferença entre o número de jogos que o time A venceu e o número de jogos que empatou, nessa ordem, é
a) 8.
b) 4.
c) 0.
d) – 4.
e) – 8.
Questão 17
Sabemos que os sistemas possuem uma representação matricial formada pelos coeficientes numéricos de cada incógnita. Por exemplo, o sistema de equações 
 , possui a seguinte representação matricial:
O sistema também pode ser representado pela matriz incompleta formada somente pelos coeficientes numéricos das incógnitas.
Essa representação de sistemas na forma de matrizes permite a utilização da Regra de Cramer no cálculo das incógnitas do sistema. 
Com base nas informações, calcule os valores de x, y e z do sistema de equações 
 
Utilizando a Regra de Cramer. 
 
Questão 18
Utilizando a Regra de Cramer, determine o valor da incógnita y no seguinte sistema de equações lineares: 
Questão 19
Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma velha balança com defeito, que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim, eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:
Carlos e o cão pesam juntos 87 kg;
Carlos e Andreia pesam 123 kg;
Andreia e Bidu pesam 66 kg.
Determine o peso de cada uma deles:
Questão 20
(Vunesp – SP)
Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram 200 pessoas, entre sócios e não sócios. No total, o valor arrecadado foi de R$ 1 400,00 e todas as pessoas pagaram ingresso. Sabendo que o preço do ingresso foi R$ 10,00 e que cada sócio pagou metade desse valor, determine o número de sócios e não sócios que compareceram ao show.
Respostas
Resposta Questão 1
Seja x o número de moedas de R$ 0,10 e y o número de moedas de R$ 0,25. Portanto, se multiplicarmos 0,10 por x e adicionarmos ao produto de 0,25 pory, teremos o total de R$ 15,60, como a equação aponta:
0,10.x + 0,25.y = 15,60 (*)
A segunda informação no texto nos garante que y = 2.x. Resolvendo pelo método da substituição, substituiremos o valor encontrado para y em (*). Sendo assim:
0,10.x + 0,25.(2.x) = 15,60
0.10.x + 0,5 x = 15,60
0,6. x = 15,6
x = 26
Retornando à equação y = 2.x, vamos substituir o valor encontrado para x:
y = 2.x
y = 2.26
y = 52
Portanto, Maria tem 26 moedas de R$ 0,10 e 52 moedas de R$ 0,25. No total, Maria tem 78 moedas. A alternativa correta é a letra c.
Resposta Questão 2
Seja l o preço de um lápis e e o preço de um estojo. Sabemos que se somarmos o preço de dois lápis com o de um estojo, teremos:
2.l + e = 10
Se o preço do estojo é R$5,00 mais barato que o preço de três lápis, podemos dizer que o valor de três lápis equivale ao preço de um estojo mais R$ 5,00, isto é:
3.l = e + 5
e = 3.l – 5
Utilizaremos novamente o método da substituição. Se e = 3.l – 5, substituiremosesse valor em 2.l + e = 10. Haverá, assim, a formação da seguinte equação:
2.l + 3.l – 5 = 10
5.l = 10 + 5
l = 15
     5
l = 3
Portanto, o preço do lápis é R$ 3,00. Mas se o preço do estojo é dado por e = 3.l – 5, temos:
e = 3.3 – 5
e = 9 – 5
e = 4
O preço do estojo é R$ 4,00. Dessa forma, a aquisição de um estojo e de um lápis custará R$ 7,00. A alternativa correta é a letra e.
Resposta Questão 3
Nós não conhecemos o número de bicicletas e de skates que circulam pela praça, mas nós sabemos que a soma das bicicletas e dos skates é a mesma do total de crianças. Portanto, se chamarmos por b as bicicletas e por s os skates, teremos:
s + b = 18
Se há 50 rodas girando pela praça, podemos dizer que a soma das rodas das bicicletas e dos skates é 50. Vale lembrar que cada skate tem 4 rodas e cada bicicleta tem 2 rodas. Teremos uma nova equação em função das rodas:
4.s + 2.b = 18
Podemos formar o seguinte sistema de equações:
​
Agora, multiplicamos a primeira equação por menos 2, somando-a com a segunda:
– 2b – 2s = – 36
+2b + 4s = 50
2s = 14
s = 7
Então, nesse parque, há 7 skates. Resta-nos encontrar a quantidade de bicicletas. Para isso, utilizaremos a equação s + b = 18, na qual substituiremos o valor de skates encontrado:
s + b = 18
7 + b = 18
b = 18 – 7
b = 11
Portanto, nessa praça há 7 crianças andando de skate e 11 crianças andando de bicicleta.
Resposta Questão 4
Vamos identificar os números que procuramos como x e y. Vamos supor ainda que x > y. Temos então que x + y = 37 e x – y = 9.
​
Utilizaremos o método da adição, somando as duas equações:
x + y = 37
x – y = 9
2x = 46
x = 23
Substituindo esse valor em alguma das equações, teremos:
x + y = 37
y = 37 – x
y = 37 – 23
y = 14
Portanto, os números procurados são 23 e 14.
Resposta Questão 5
Acertos: x
Erros: y
Para totalizar 210 pontos, o aluno acertou 45 questões. 
Resposta Questão 6
Dr. André : x
Dr. Carlos: y
O número de processos do Dr. Carlos é igual a 32.
Resposta Questão 7
Hortelã: x
Laranja: y
Temos 24 balas de hortelã e 24 de laranja. 
Resposta Questão 8
Caneta: x
Caderno: y
O valor de uma caneta é de R$ 3,5 e o de um caderno R$ 6,00.
Resposta Questão 9
Vamos resolver este sistema utilizando o método da adição. Para tanto, vamos multiplicar a primeira equação por -1.
    
Utilizando Bháskara, podemos resolver a equação encontrada:
y2 + 2y = -1 => y2 + 2y +1 = 0, onde a = 1, b = 2 e c = 1
∆ = b2 - 4 + a + c
∆ = 22 - 4 + 1 + 1
∆ = 4 - 4
∆ = 0
y = - 1
Vamos agora substituir o valor de y na 2ª equação:
3x + 2y = 3
3x + 2 * (- 1) = 3
3x - 2 = 3
3x = 5
x =   5  
        3
Então a solução do sistema é o par ordenado (5/3, - 1).
Resposta Questão 10
Para resolver este sistema é indicado que utilizemos o método da substituição. Portanto, na primeira equação vamos isolar a variável y:
2x - y = 3 => y = 2x - 3
Vamos agora substituir a expressão encontrada para y na segunda equação:
5x +y2 = 1
5x + (2x - 3)2 = 1 →Utilizando o quadrado da soma temos: (2x - 3)2 = 4x2 - 12x +9
5x +4x2 -12x +9 = 1
4x2 -7x + 8 = 0 → Para utilizarmos Bháskara, façamos a = 4, b = - 7 e c = 8
∆ = b2 - 4 + a + c
∆ = 72 - 4 + 4 +8
∆ = 49 - 128
∆ = - 79
Dentro do conjunto dos Reais, não conseguimos encontrar solução para . Portanto, não existe par ordenado de números reais que seja solução desse sistema, ou seja, os gráficos das equações não se interceptam em nenhum ponto.
Resposta Questão 11
O método mais indicado para aplicarmos na resolução desse sistema é o método da substituição. Para tanto, vamos isolar a variável x na primeira equação:
x - y = 5 => 5 + y
Vamos agora substituir x na 2ª equação:
x2 + y2 = 13
(5 + y)2 + y2 = 13
25 + 10y + y2 + y2 = 13
2y2 +10y +12 = 0 → Para facilitar nossos cálculos, vamos dividir todos os números da equação por 2:
y2 + 5y +6 = 0 → Para utilizarmos Bháskara, façamos a = 1, b = 5 e c = 6
∆ = b2 - 4 * a * c
∆ = 52 - 4 * 1 * 6
∆ = 25 - 24
∆ = 1
Temos então:
Se y = -3, então:                                                   Se y = -2, então:
x = 5 + y                                                                   x = 5 + y
x = 5 + (-3)                                                                x = 5 + (-2)
x = 2                                                                       x = 3
Portanto, o sistema possui duas soluções reais: (2, -3) e (3, -2).
Resposta Questão 12
Antes de resolvermos essa questão é recomendado que você faça uma revisão sobre triângulo retângulo e sobre o cálculo de sua área.
Pelo Teorema de Pitágoras, temos que:
Hipotenusa2 = cateto2 = cateto2
132 = x2 = y2 => x2 = y2 = 169
Pela definição de perímetro, podemos afirmar que:
x + y +13 = 30
x + y = 17
Podemos então montar o sistema de equações:
Aplicando o método da substituição, podemos isolar a variável x na segunda equação:
x + y = 17
x = 17 - y
Vamos agora substituir na primeira equação a expressão encontrada para x:
x2 + y2 = 169
(17 - y)2 + y2 = 169
289 - 34y + y2 +y2 = 169
2y2 - 34y + 120 = 0 → Para facilitar nossos cálculos, vamos dividir todos os números da equação por 2:
y2 - 17y + 60 = 0 → Para utilizarmos Bháskara, façamos a = 1, b = -17 e c = 60
∆ = b2 - 4 * a * c
∆ = (-17)2 - 4 * 1 * 60
∆ = 289 - 240
∆ = 49
Temos então:
Se y = 5, então:                                                Se y = 12, então:x = 17 - y                                                              x = 17 - y
x = 17 - 5                                                              x = 17 - 12
x = 12                                                                   x = 5
Pelo enunciado do problema, temos que x<y, então o resultado (12,5) não é válido, logo o sistema possui como solução: (5,12). Portanto, a área do triângulo pode ser calculada por:
Resposta Questão 13
De início, vamos interpretar algebricamente o enigma de João. Para isso, identificaremos o número de gatos como g e o número de cachorros como c. Se “a soma do dobro do número de cachorros e do triplo do número de gatos é igual a 17”, chegamos a:
2 · c + 3 · g = 17
E se “a diferença entre o número de cachorros e de gatos é apenas 1”, podemos concluir que:
c – g = 1
Com as equações encontradas, podemos montar o seguinte sistema:
Para resolver esse sistema pelo método da adi-ção, multiplicaremos todos os termos da segunda equação por 3 e somaremos as equações:
5 · c + 0 · g = 20
5 · c = 20
c = 4
Substituindo c = 4 em c – g = 1, teremos:
c – g = 1
4 – g = 1
– g = 1 – 4
(– 1) · (– g) = (– 3) · (– 1)
g = 3
Podemos concluir que João possui três gatos e quatro cachorros.
Resposta Questão 14
Se identificarmos a quantidade de motos com a incógnita m e a quantidade de carros com a incógnita c, podemos afirmar que a equação m + c = 20 é válida.
Sabendo que cada moto possui 2 rodas e cada carro, 4, podemos montar ainda outra equação: 2 · m + 4 · c = 54. Organizando-as em um sistema de equações, teremos:
Para resolver esse sistema através do método da substituição, isolaremos m na primeira equação, substituindo-o na segunda:
m + c = 20
m = 20 – c
2 · m + 4 · c = 54
2 · (20 – c) + 4 · c = 54
40 – 2 · c + 4 · c = 54
– 2 · c + 4 · c = 54 – 40
2 · c = 14
c = 7
Substituindo c = 7 em m = 20 – c, teremos:
m = 20 – c
m = 20 – 7
m = 13
Portanto, há treze motos e sete carros estacionados na rua de André.
Resposta Questão 15
De acordo com o enunciado, as caixas contêm detergentes no aroma limão e no aroma coco. Representaremos suas quantidades com as variáveis L e C, respectivamente. Nós sabemos que, somando as quantidades dos dois aromas em uma caixa, teremos um total de 24 detergentes, isto é, L + C = 24. Sabemos ainda que cada caixa contém dois detergentes de limão a mais do que de coco, logo, L = C + 2. Reorganizando essa equação, teremos: L – C = 2.
Com as equações identificadas, podemos montar um sistema que resolveremos pelo método da adição:
2 · L + 0 · C = 26
2 · L = 26
L = 26
      2
L = 13
Cada caixa continha 13 frascos de detergente aroma limão. Mas como foram estregues 10 caixas com essa mesma quantidade (13 · 10 = 130), o supermercado adquiriu 130 frascos de detergente aroma limão. A resposta correta é a letrac.
Resposta Questão 16
De acordo com o enunciado, o time A participou de 16 jogos e perdeu em dois destes. Podemos afirmar, portanto, que, em 14 dos jogos, o time A pode ter vencido ou empatado. Representando pela letra v os jogos em que o time venceu e por e aqueles em que empatou, algebricamente temos v + e = 14 (o número de vitórias somado ao número de empates é igual a 14). Para determinar a pontuação de um time, multiplicamos as vitórias por 3 e os empates por 1 e somamos os resultados. No caso do time A, temos:
3 · v + 1 · e = 24
3 · v + e = 24
Podemos montar o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema pelo método da substituição. Para isso, isolaremos a incógnita ena primeira equação, ficando com: e = 14 – v. Substituindo esse valor de e na segunda equação, teremos:
3 · v + e = 24
3 · v + 14 – v = 24
3 · v – v = 24 – 14
2 · v = 10
v = 5
Substituindo o valor encontrado de v em e = 14 – v, teremos:
e = 14 – v
e = 14 – 5
e = 9
O time A teve nove empates e cinco vitórias, mas o exercício pediu a diferença entre o número de jogos em que A venceu e o número de jogos em que empatou. Essa diferença é 5 – 9 = – 4.A alternativa correta é a letra d.
Resposta Questão 17
No cálculo do determinante das matrizes indicadas utilizaremos o método de Sarrus.
x = Dx / D
x = –8/–8
x = 1
y = Dy/D
y = –16/–8
y = 2
z = Dz/D
z = 8/–8 = –1
Conjunto solução: x = 1, y = 2 e z = –1.
Resposta Questão 18
No cálculo do determinante das matrizes indicadas utilizaremos o método de Sarrus.
y = Dy / D
y = 62/31
y = 2
O valor da incógnita y no sistema de equações é 2.
 
Resposta Questão 19
Andreia: a
Bidu: b
Carlos: c
b = Db / D
b = 30 / 2
b = 15
b + c = 87
15 + c = 87
c = 87 – 15
c = 72
a + b = 66
a = 66 – 15
a = 51
Andreia pesa 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg.
 
Resposta Questão 20
x: sócios
y: não sócios
Por Cramer  
x = Dx / D
x = 600 / 5
x = 120
y = Dy / D
y = 400 / 5
y = 80
Por substituição:
Isolando x na 1ª equação:
x + y = 200
x = 200 – y
Substituindo x na 2ª equação:
5x + 10y = 1400
5 * (200 – y) + 10y = 1400
1000 – 5y + 10y = 1400
–5y + 10y = 1400 – 1000
5y = 400
y = 400/5
y = 80
Substituindo y na 1ª equação:
x + y = 200
x = 200 – y
x = 200 – 80
x = 120
No show estavam presentes 120 sócios e 80 não sócios.
Relembrando Trigonometria
Outra maneira de calcular a medida dos lados de um triângulo retângulo é através da medida de um ângulo e um lado, usando a Trigonometria. As principais relações trigonométricas são: Seno, Cosseno e Tangente. Há outras três: Cotangente, Secante e Cossecante.
Seno de um ângulo
É dado pela razão entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado pela ordem:
Cosseno de um ângulo
Cosseno: É a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa e é dado pela razão entre os lados que formam o próprio ângulo agudo, dado pela ordem:
Tangente de um ângulo
É dado pela razão entre o Seno e o Cosseno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem:
Cotangente de um ângulo
É dado pela razão entre o Cosseno e o Seno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem:
Secante de um ângulo
É dado pelo inverso do cosseno desse ângulo ou entre os lados que formam o próprio ângulo, dado na seguinte ordem:
Cossecante de um ângulo
É dado pelo inverso do seno desse ângulo ou entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado na seguinte ordem:
Ângulos notáveis
	Graus
	Radianos
	sen
	cos
	tg
	0
	0
	0
	1
	0
	30
	
	
	
	
	45
	
	
	
	1
	60
	
	
	
	
	90
	
	1
	0
	
Propriedades do triângulo retângulo
1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares.
2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos.
3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base.
Projeções de segmentos
Introduziremos algumas ideias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é a projeção oblíqua do prédio sobre o solo.
Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as projeções destes segmentos sobre a reta.
Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas por A'B', sendo que no último caso A'=B' é um ponto.
Projeções no triângulo retângulo
Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.
1. m = projeção de c sobre a hipotenusa.
2. n = projeção de b sobre a hipotenusa.
3. a = m+n.
4. h = média geométrica entre m e n. 
Relações Métricas no triângulo retângulo
Para extrair algumas propriedades, faremos a decom-posição do triângulo retângulo ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decomposto na soma dos ângulos CÂD=B e DÂB=C.
Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.
	Triângulo
	hipotenusa
	cateto maior
	cateto menor
	ABC
	a
	b
	c
	ADC
	b
	n
	h
	ADB
	c
	h
	m
Assim:
a/b = b/n = c/h
a/c = b/h = c/m
b/c = n/h = h/m
Logo:
a/c = c/m    equivale a    c² = a.m
a/b = b/n    equivale a    b² = a.n
a/c = b/h    equivale a    a.h = b.c
h/m = n/h    equivale a    h² = m.n
Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando c² com b², obtemos:
c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²
Que resulta no Teorema de Pitágoras:
a² = b² + c²
A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.
Funções trigonométricas básicas
As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x.
	Função
	Notação
	Definição
	seno
	sen(x)
	
	cosseno
	cos(x)
	
	tangente
	tan(x)
	
Tomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1 unidade, então o seno do ângulo sob análise é o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão entre seno e cosseno desse ângulo.O papel da trigonometria
A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).
Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.
A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos físicos, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros.
Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante relação:
cos²(x) + sen²(x) = 1
Ponto móvel sobre uma curva
Consideremos uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre esta curva, simplesmente dizemos P pertence à curva e que P é um ponto fixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel.
Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer esta circunferência em dois sentidos opostos. Por convenção, o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros de um relógio) é adotado como sentido positivo.
Arcos da circunferência
Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M, ele descreve um arco AM. O ponto A é a origem do arco e M é a extremidade do arco.
Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, oarco é denominado arco orientado e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A.
Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A e B sobre uma circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A e B as suas extremidades.
Medida de um arco
A medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro arco da mesma circunferência tomado como a unidade de arco. Se u for um arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco AB, é o número de vezes que o arco u cabe no arco AB.
Na figura em anexo, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u. Denotando a medida do arco AB por m(AB) e a medida do arco u por m(u), temos m(AB)=5 m(u).
A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer um dos sentidos. A medida algébrica de um arco AB desta circunferência, é o comprimento deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A para B for anti-horário, e negativo se o sentido for horário.
O número π (pi) (RELEMBRANDO)
Para toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é constante. Esta constante é denotada pela letra grega π, que é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para o número π é dada por:
π = 3,1415926535897932384626433832795...
Unidades de medida de arcos
A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadas pelos técnicos que são o grau e o grado. Este último não é muito comum.
1. Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência na qual estamos medindo o arco. Assim o arco tomado como unidade tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, que denotaremos por 1 rad.
2. Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.
3. Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.
Exemplo: Para determinar a medida em radianos de um arco de comprimento igual a 12 cm, em uma circunferência de raio medindo 8 cm, fazemos,
	m(AB)=
	
	=
	
Portanto m(AB)=1,5 radianos
Arcos de uma volta
Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, a medida do arco é igual a C=2πr, então:
	m(AB)=
	
	=
	
	=
	2π
Assim a medida em radianos de um arco de uma volta é 2π rad, isto é,
2π rad=360 graus
Podemos estabelecer os resultados seguintes
	
Desenho
	
	
	
	
	Grau
	90
	180
	270
	360
	Grado
	100
	200
	300
	400
	Radiano
	π/2
	π
	3π/2
	2π
0 graus = 0 grado = 0 radianos
Mudança de unidades
Consideremos um arco AB de medida R em radianos, esta medida corresponde a G graus. A relação entre estas medidas é obtida pela seguinte proporção,
2 π rad …………… 360 graus
R rad  ……………  G  graus
Assim, temos a igualdade R/2π=G/360, ou ainda,
Exemplos
Para determinar a medida em radianos de um arco de medida 60 graus, fazemos
	
Assim R=π/3 ou 60 graus=π/3 rad
Para determinar a medida em graus de um arco de medida 1 radiano, fazemos:
	
Asim 1 rad=180/π graus.
Segmentos de reta e semi-retas
Lembramos que um segmento de reta orientado AB é um segmento de reta que tem início em A e final em B.
Uma semi-reta orientada AB é a parte de uma reta que tem início em A, passa por B e se prolonga indefinidamente.
O conceito de ângulo
Ângulo é a reunião de dois segmentos de reta orientados (ou duas semi-retas orientadas) a partir de um ponto comum.
A interseção entre os dois segmentos (ou semi-retas) é denominada vértice do ângulo e os lados do ângulo são os dois segmentos (ou semi-retas).
Observação: Mostraremos nas notas históricas que não existe uma definição bem estabelecida de ângulo.
Podem ser usadas três letras, por exemplo ABC para representar um ângulo, sendo que a letra do meio B representa o vértice, a primeira letra A representa um ponto do primeiro segmento de reta (ou semi-reta) e a terceira letra C representa um ponto do segundo segmento de reta (ou semi-reta).
Usamos a notação < para um ângulo, como por exemplo: <ABC.
O mesmo ângulo poderia ser representado pelas letras CBA, e neste caso, deve ficar claro que foi escolhido como primeiro segmento (ou semi-reta) aquele que contém o ponto C, enquanto que o segundo segmento (ou semi-reta) foi escolhido como aquele que contém o ponto A, sendo o vértice do ângulo o mesmo da situação anterior.
Um ângulo pode ser orientado da seguinte forma. Centramos um compasso no vértice O do ângulo e com uma certa abertura positiva (raio) traçamos um arco de circunferência a partir de um ponto A localizado em um dos segmentos (ou semi-retas) até que este arco toque o outro segmento de reta (ou semi-reta) em um ponto B.
O AÔB está orientado positivamente se o arco foi construído no sentido anti-horário enquanto o ângulo BOA está orientado negativamente, isto é, o arco foi construído no sentido horário, aquele sentido seguido pelos ponteiros de um relógio.
Quando não houver dúvida ou necessidade de orientação, podemos indicar o ângulo simplesmente pela letra que representa o vértice, como por exemplo: Ô. Uma outra notação para ângulo é AÔB, sendo O o vértice do mesmo e as letras A e B localizadas nos lados do ângulo.
Notas históricas sobre ângulos
O conceito de ângulo aparece primeiramente em materiais gregos no estudo de relações envolvendo elementos de um círculo junto com o estudo de arcos e cordas. As propriedades das cordas, como medidas de ângulos centrais ou inscritas em círculos, eram conhecidas desde o tempo de Hipócrates e talvez Eudoxo tenha usado razões e medidas de ângulos na determinação das dimensões do planeta Terra e no cálculo de distâncias relativas entre o Sol e a Terra. Eratóstenes de Cirene (276 a.C.-194 a.C) já tratava de problemas relacionados com métodos sistemáticos de uso de ângulos e cordas.
Desde os tempos mais antigos, os povos vêm olhando para o céu na tentativa de encontrar respostas para a vida tanto na Terra assim como entender os corpos celestes que aparecem à nossa vista. Assim, a Astronomia talvez tenha sido a primeira ciência a incorporar o estudo de ângulos como uma aplicação da Matemática.
Na determinação de um calendário ou de uma hora do dia, havia a necessidade de realizar contagens e medidas de distâncias. Frequentemente, o Sol servia como referência e a determinação da hora dependia da inclinação do Sol e da relativa sombra projetada sobre um certo indicador (relógio de Sol).
Para obter a distância que a Lua estava acima do horizonte, dever-se-ia calcular uma distância que nunca poderia ser medida por um ser humano comum. Para resolver este problema, esticava-se o braço e se calculava quantos dedos comportava o espaço entre a Lua e o horizonte ou então, segurava-se um fio entre as mãos afastadas do corpo e se media a distância.
Os braços deveriam permanecer bem esticados para que a resposta fosse a mais fiel possível. A medida era diferente de uma medida comum e este modo foi o primeiro passo para medir um ângulo, objeto este que se tornou importantíssimo no contexto científico.
Na verdade, não se sabe quando o homem começou a medir ângulos, mas se sabe que estes eram medidos na Mesopotâmia e eram muito bem conhecidos quando Stonehenge foi construída, 2000 a.C.
Quanto ao conceito de ângulo, temos algumas definições:
Grécia antiga: "Um ângulo é uma deflexão ou quebra em uma linha reta".
Euclides: "Um ângulo plano é a inclinação recíproca de duas retas que num plano têm um extremo comum e não estão em prolongamento".
Em 1893, H.Schotten resumiu as definições de ângulo em três tipos:
1. A diferença de direção entre duas retas;
2. A medida de rotação necessária para trazer um lado de sua posição original para a posição do outro, permanecendo entrementes no outro lado do ângulo;
3. A porção do plano contida entre as duas retas que definem o ângulo.
Em 1634, P.Henrigone definiu ângulo como um conjunto de pontos, definição esta que tem sido usada com mais frequência. Neste trabalho,aparece pela primeira vez o símbolo "<" para representar ângulo.
Ângulos consecutivos e adjacentes
Ângulos consecutivos: Dois ângulos são consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo.
	
	
	
	AÔC e BÔC são consecutivos
OC é o lado comum
	AÔB e BÔC são consecutivos
OB é o lado comum
	AÔB e AÔC são consecutivos
OA é o lado comum
Ângulos adjacentes: Dois ângulos consecutivos são adja-centes se, não têm pontos internos comuns. Na figura em anexo, AÔB e BÔC são ângulos adjacentes.
Ângulos opostos pelo vértice
Consideremos duas retas concorrentes cuja interseção seja o ponto O. Estas retas determinam quatro ângulos. Os ângulos que não são adjacentes são opostos pelo vértice.
Na figura acima, AÔB e CÔD são ângulos opostos pelo vértice e também AÔD e BÔC são ângulos opostos pelo vértice.
Ângulos congruentes
A congruência entre ângulos é uma noção primitiva. Dizemos que dois ângulos são congruentes se, superpostos um sobre o outro, todos os seus elementos coincidem.
Na figura em anexo, temos que ABC e DEF são ângulos congruentes. Usamos a notação para denotar ângulos congruentes. Dois ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes.
Medida de um ângulo
A medida de um ângulo indicada por m(AÔB) é um número real positivo associado ao ângulo de tal forma que satisfaz as seguintes condições:
1. Ângulos congruentes possuem medidas iguais e reciprocamente ângulos que possuem medidas iguais são congruentes.
AÔBDÊF equivale a  m(AÔB)=m(DÊF)
2. Quando afirmamos que um ângulo é maior do que outro, sua medida é maior do que a medida deste outro. Assim: AÔB>DÊF, equivale a
m(AÔB) > m(DÊF)
3. A partir de dois ângulos dados, podemos obter um terceiro ângulo, cuja medida corresponde à soma das medidas dos ângulos dados.
Se m(AÔB) é a medida de AÔB e m(BÔC) é a medida de BÔC, então AÔCAÔB+BÔC. Além disso:
m(AÔC) = m(AÔB) + m(BÔC)
Unidades de medida de ângulos
A unidade de medida de ângulo no Sistema Internacional é o radiano e o processo para obter um radiano é o seguinte:
Tomamos um segmento de reta OA. Com um compasso centrado no ponto O e abertura OA, traçamos um arco de circunferência AB, sendo que B deve pertencer ao outro lado do ângulo AOB. Se o comprimento do arco for igual ao comprimento do segmento OA, diremos que este ângulo tem medida igual a 1 radiano (1 rad).
Uma forma prática de visualizar isto, é tomar uma reta horizontal passando pelo centro de uma circunferência (não importa a medida do raio). Indicamos o ponto A como uma das interseções da circunferência com a reta horizontal. Tomamos um barbante com a mesma medida que o raio OA da circunferência. Fixamos uma das extremidades do barbante sobre o ponto A e esticamos o barbante sobre a circunferência. O ponto B coincidirá com a outra extremidade do barbante. Traçamos então o segmento de reta OB, que representa o outro lado do ângulo AOB. A medida do ângulo AOB é 1 radiano.
Uma outra unidade é muito utilizada nos primeiros níveis educacionais é o grau. Ela é obtida pela divisão da circunferência em 360 partes iguais, obtendo-se assim um ângulo de um grau, sendo que a notação desta medida usa um pequeno o colocado como expoente do número, como 1º.
Exemplo: Em geral, associa-se um número a um ângulo estabelecendo a razão entre este ângulo e outro ângulo tomado como unidade.
Por exemplo, se um ângulo Û com 1 radiano de medida for considerado um ângulo unitário, então o ângulo Â=6 tem a medida 6 vezes maior, isto é, Â tem 6 unidades de medida.
Pergunta: Você conhece a razão pela qual o círculo é dividido em 360 partes? Leia as notas históricas que seguem.
Notas históricas sobre o grau e o radiano
Acerca de elementos geométricos relacionados com a Astronomia pouco se conhece. Sabe-se que Aristarco propôs um sistema que tinha o Sol como centro pelo menos 1500 antes de Copérnico, no entanto este material histórico se perdeu na noite do tempo. O que ficou, do ponto de vista histórico foi um tratado escrito por volta de 260 a.C. envolvendo tamanhos e distância do Sol e da Lua.
A divisão do círculo em 360 partes iguais aparece mais tarde e não existe qualquer razão científica. Talvez exista uma razão histórica que justifique a existência de tal número no contexto de estudos do povo babilônio, que viveu entre 4000 a.C. e 3000 a.C. Este povo realizava muitos estudos no trato de terrenos pantanosos e construções de cidades e tinha interesse pela Astronomia assim como pela sua relação com conceitos religiosos (eram politeistas) e para viabilizar tais procedimentos, criaram um sistema de numeração com base 60 (sistema hexagesimal).
Não se sabe ao certo quais as razões pelas quais, foi escolhido o número 360 para se dividir a circunferência, sabe-se apenas que o número 60 é um dos menores números menores do que 100 que possui uma grande quantidade de divisores distintos, a saber: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60, razão forte pela qual este número tenha sido adotado.
O primeiro astrônomo grego a dividir o círculo em 360 partes foi Hipsicles (180 a. C.), seguido pelos caldeus. Por volta de 150 a. C. encontramos uma generalização de Hiparco para este procedimento.
Dividir um círculo em 6 partes iguais era algo muito simples para os especialistas daquela época e é possível que se tenha usado o número 60 para representar 1/6 do total que passou a ser 360.
Outro fato que pode ter influenciado na escolha do número 360 é que o movimento de translação da Terra em volta do Sol se realizava em um período de aproximadamente 360 dias, o que era uma estimativa razoável para a época. Hiparco mediu a duração do ano com grande exatidão ao obter 365,2467 dias, sendo que atualmente esta medida corresponde a 365,2222 dias.
Nosso entendimento é que o sistema sexagesimal (base 60) tenha influenciado a escolha da divisão do círculo em 360 partes iguais, assim como a divisão de cada uma dessas partes em 60 partes menores e também na divisão de cada uma dessas subpartes em 60 partes menores. Uma garantia para isto é que os babilônios usavam frações com potências de 60 no denominador. As frações sexagesimais babilôni-cas, usadas em traduções árabes de Ptolomeu, eram tra-duzidas como:
"primeiras menores partes" = sexagésimos
"segundas menores partes" = sexagésimos de sexagésimos
Quando tais palavras foram traduzidas para o Latim, que foi a língua internacional dos intelectuais por muito tempo, passamos a ter:
"primeiras menores partes" = partes minutae primae
"segundas menores partes" = partes minutae secundae
É de onde apareceram as palavras minuto e segundo.
De um modo popular, usamos a unidade de medida de ângulo com graus, minutos e segundos. Na verdade a unidade de medida de ângulo do Sistema Internacional é o radiano, que foi uma unidade alternativa criada pelo matemático Thomas Muir e o físico James T. Thomson, de uma forma independente. Na verdade o termo radian apa-receu pela primeira vez num trabalho de Thomson em 1873.
Em 1884, muitos cientistas ainda não usavam este termo. Outros termos para o radiano eram: Pi-medida, circu-lar ou medida arcual, o que mostra a forma lenta como uma unidade é implementada ao longo do tempo.
Alguns ângulos especiais
Com relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como: reto, agudo, obtuso e raso.
	Ângulo
	Características
	Gráfico
	Agudo
	Ângulo cuja medida é maior do que 0 graus e menor do que 90 graus. Ao lado temos um ângulo de 45 graus.
	
	Reto
	Um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90º. Assim os seus lados estão localizados em retas perpendiculares.
	
	Obtuso
	É um ângulo cuja medida está entre 90 graus e 180 graus. Na figura ao lado temos o exemplo de um ângulo obtuso de 135 graus.
	
	Raso
	Ângulo que mede exatamente 180º, os seus lados são semi-retas opostas. Neste caso os seus lados estão localizados sobre uma mesma reta.
	
O ângulo reto (90º) é provavelmente o ângulo mais importante, pois o mesmo é encontrado em inúmeras aplicações práticas, como no encontro de uma parede com o chão, os pés de uma mesa em relação ao seu tampo, caixas de papelão,esquadrias de janelas, etc...
Um ângulo de 360 graus é o ângulo que completa o círculo. Após esta volta completa este ângulo coincide com o ângulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus (360 º).
Observação: É possível obter ângulos maiores do que 360º mas os lados destes ângulos coincidirão com os lados dos ângulos menores do que 360º na medida que ultrapassa 360º. Para obter tais ângulos basta subtrair 360º do ângulo até que este seja menor do que 360º.
Por exemplo um ângulo de 400º é equivalente a um ângulo de 40º pois: 400º-360º=40º.
O transferidor
Para obter a medida aproximada de um ângulo traçado em um papel, utilizamos um instrumento denominado transferidor, que contém um segmento de reta em sua base e um semicírculo na parte superior marcado com unidades de 0 a 180. Alguns transferidores possuem a escala de 0 a 180 marcada em ambos os sentidos do arco para a medida do ângulo sem muito esforço.
Para medir um ângulo, coloque o centro do transferidor (ponto 0) no vértice do ângulo, alinhe o segmento de reta OA (ou OE) com um dos lados do ângulo e o outro lado do ângulo determinará a medida do ângulo, como mostra a figura.
O ângulo AÔC mede 70 graus. Na figura acima, podemos ler diretamente as medidas dos seguintes ângulos:
	m(AÔB)=27º
	m(AÔC)=70º
	m(AÔD)=120º
	m(AÔE)=180º
	m(EÔB)=153º
	m(EÔC)=110º
	m(EÔD)=60º
	m(EÔA)=180º
Observação: Os ângulos AÔB e EÔB são suplementares. O mesmo acontece com os pares de ângulos: AÔC e EÔC, AÔD e EÔD.
Exemplos:
1. O ângulo BÔC pode ser medido mudando a posição do transferidor ou subtraindo dois ângulos conhecidos.
m(BÔC) = m(AÔC) - m(AÔB) = 70º - 26º = 44º
2. O ângulo DÔB pode ser medido mudando a posição do transferidor ou subtraindo dois ângulos conhecidos.
m(DÔB) = m(EÔB) - m(EÔD) = 154º - 60º = 94º
Subdivisões do grau
Em problemas reais, os ângulos nem sempre possuem medidas associadas a números inteiros, assim precisamos usar outras unidades menores como minutos e segundos. A notação para 1 minuto é 1' e a notação para 1 segundo é 1".
	Unidade de ângulo
	Número de subdivisões
	Notação
	1 ângulo reto
	90 graus
	90º
	1 grau
	60 minutos
	60'
	1 minuto
	60 segundos
	60"
Assim
1 grau = 1 ângulo reto dividido por 90.
1 minuto = 1 grau dividido por 60.
1 segundo = 1 minuto dividido por 60.
Exemplo: Expressar a medida do ângulo 35º 48' 36" como fração decimal do grau.
35º48'36" = 35º + 48' + 36" =
 = 35º + (48/60)º + (36/3600)º
 = 35º + 0,80º + 0,01º
 = 35,81º
Alguns exercícios resolvidos
1. Nos relógios desenhados, qual é a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de cada relógio?
   
Solução: No relógio lilás, o menor dos ângulos formados pelos ponteiros é de aproximadamente 120º enquanto que no relógio verde o menor dos ângulos formados pelos ponteiros é de aproximadamente 150º.
2. Na figura abaixo as retas AC e BD se interceptam no ponto O. Pergunta-se:
a. Quais são ângulos agudos?
b. Quais são ângulos obtusos?
c. Quais são os nomes de quatro pares de ângulos suplementares?
d. Quais ângulos são opostos pelo vértice?
e. Identifique dois ângulos que são adjacentes ao ângulo DÔA.
Solução:
a. Ângulos agudos são BÔA e CÔD.
b. Ângulos obtusos são BÔC e DÔA.
c. Quatro pares de ângulos suplementares são DÔC e CÔB, CÔB e BÔA, BÔA e DÔA, BÔA e CÔD.
d. Ângulos opostos pelo vértice: DÔC e AÔB, AÔD e BÔC.
e. Dois ângulos adjacentes ao ângulo DÔA são: BÔA e DÔC.
2. Mostre que ângulos são opostos pelo vértice são congruentes.
Solução: Se m(AÔB)=x, m(CÔD)=y e m(CÔB)=z, como os pares de ângulos AÔB, BÔC e BÔC, CÔD são suplementares, temos que x+z=180º e y+z=180º, portanto x=y, o que implica que os ângulos AÔB e CÔD são congruentes.
3. A soma de dois ângulos adjacentes é 120 graus. Calcule a medida de cada ângulo, sabendo que a medida de um deles é o triplo da medida do outro menos 40 graus.
Solução: Sejam x e y as medidas dos ângulos. Assim, temos duas equações: x+y=120º e x=3y-40º. Resolvendo este sistema, obtemos x=40º e y= 80º.
4. Dois ângulos são suplementares, a medida de um deles é 24 graus menor do que o dobro da medida do outro. Calcule a medida de cada ângulo.
Solução: Sejam x e y as medidas dos ângulos. Desse modo: x+y=180º e x=2y-24º. Assim: x=112º e y=68º.
5. Um entre dois ângulos complementares tem medida 18º menor do que o dobro da medida do outro. Calcule as medidas de cada ângulo.
Solução: Medidas dos ângulos: 36º e 54º.
6. Dois ângulos complementares têm medidas respectivamente iguais a 3x-10 e 2x+10. Determinar a medida de cada ângulo.
Solução: Os ângulos medem 44º e 46º.
7. Em quantos graus, a medida do suplementar de um ângulo agudo excede a medida do complementar deste ângulo?
Solução: Se x é a medida do ângulo, então a medida do suplementar de x é igual a (180-x)º e a medida do complementar de x é igual a (90-x)º, portanto, a medida do suplementar de x que excede a medida do complementar de x é igual 90º.
8. Se (3x-15) graus é a medida de um ângulo agudo, que restrições devemos ter para o número x?
Solução: O ângulo agudo mede 3x-15. Temos que um ângulo agudo deve medir mais do que zero graus e menos do que 90 graus, assim, 0<(3x-15)<90, logo 5<x<35.
9. A soma das medidas de dois ângulos complementares é 86º maior do que a diferença de suas medidas. Calcule a medida de cada ângulo.
Solução: As medidas dos ângulos: 43º e 47º.
Interior e exterior de um ângulo
Interior de um ângulo: O interior do ângulo AÔB é a interseção de dois semi-planos. O semi-plano α1 com origem na reta OA e que contém o ponto B e o semi-plano α2 com origem em OB e que contém o ponto A.
Dessa forma, podemos obter o interior do ângulo AÔB, como a interseção desse semi-planos, isto é:
Interior de AÔB = 
Se um ângulo for menor do que um ângulo raso, o interior deste ângulo é uma região convexa, o que significa que quaisquer dois pontos contidos no interior do ângulo são extremidades de um segmento de reta inteiramente contido nesta região.
Os pontos do interior de um ângulo são pontos internos ao ângulo e a reunião de um ângulo com seu interior é um setor angular, também conhecido como ângulo convexo. Alguns autores definem desta forma um ângulo.
Exterior de um ângulo: O exterior do ângulo AÔB é o conjunto de todos os pontos que não pertencem nem ao ângulo AÔB nem ao interior de AÔB.
O exterior de AÔB é a reunião de dois semi-planos, o semi-plano β1 com origem na reta OA e que não contém o ponto B e o semi-plano β2com origem em OB e que não contém o ponto A. Assim, basta tomar a reunião desses dois semi-planos:
Exterior de AÔB = 
Se um ângulo for menor do que um ângulo raso, o exterior deste ângulo é uma região côncava, isto quer dizer que não é uma região convexa. Os pontos do exterior de um ângulo são pontos externos ao ângulo e a reunião do ângulo com seu exterior, também é conhecida como ângulo côncavo.
Ângulos complementares, suplementares e replementares
Dois ângulos são denominados:
Complementares: se a soma de suas medidas é igual a 90º e neste caso, um ângulo é o complemento do outro.
Suplementares: se a soma de suas medidas é igual a 180º e neste caso, um ângulo é o suplemento do outro.
Replementares: se a soma de suas medidas é igual a 360º e neste caso, um ângulo é o replemento do outro.
	Complemento de x
	Suplemento de x
	Replemento de x
	
	
	
	90º - x
	180º - x
	360º - x
Questão 1
Sabemos que a medida de 180° equivale a π radianos. Determine qual valor em radianos corresponde a 1° e também qual valor em graus é correspondente ao valor de 1 radiano.
Questão 2
Calcule as transformações de medidas de ângulos pedidas:
a) 120° em radianos;
b) 2π em graus;
     7
c) 234° em radianos;
d) 3π em graus.
     5
Questão 3
(Fuvest – SP) Quantos graus mede aproximadamente um ângulo de 0,105 radianos?
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
Questão 4
(Unifor – CE) Reduzindo-se ao primeiro quadrante um arco de medida 7344°, obtém-se um arco, cuja medida, em radianos, é:
a) π
    3
b) π
    2
c) 2π
     3
d) 4π
     5
e) 9π
    10
Questão 5
Determine os valores de x e y nas figuras a seguir:
Questão 6
Calculeo valor de x na figura.
Questão 7
(FAM–SP) Dadas às retas r e s, paralelas entre si, e t, concorrente com r e s, calcule o valor de x:
 a) 51º
b) 35º
c) 90º
d) 50º
e) 45º
Questão 8
(Uniube–MG) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas, cortadas por uma transversal t. Se a medida do ângulo α é o triplo da medida do ângulo β, então a diferença α – β vale:
a) 90º
b) 85º
c) 80º
d) 75º
e) 60º
Questão 9
Analisando os ângulos da figura a seguir determine o valor da medida de x. 
 
a) 5º
b) 10º
c) 15º
d) 20º
e) 25º
Questão 10
Reduza ao 1° quadrante o ângulo de 150°.
Questão 11
Reduza ao 1° quadrante o ângulo de 310°.
Questão 12
Reduza ao 1° quadrante o ângulo de 4π/3.
Questão 13
(UFRGS) Considere as afirmações a seguir:
I. tan 92° = –tan 88°
II. tan 178° = tan 88°
III. tan 268° = tan 88°
IV. tan 272° = –tan 88°
Quais estão corretas?
a) I, III
b) III, IV
c) I, II, IV
d) I, III, IV
e) II, III, IV
Questão 14
Na imagem a seguir, as retas u, r e s são paralelas e cortadas por uma reta t transversal. Determine o valor dos ângulos x e y.
Retas u, r e s paralelas e interceptadas por uma reta t transversal
Questão 15
Sabendo que as retas r e s são paralelas e interceptadas por uma reta transversal t, determine o valor de x:
Reta r e s paralelas e interceptadas por uma reta transversal
Questão 16
(FCC) Na figura abaixo tem-se r//s; t e u são transversais. O valor de x + y é:
Reta r e s paralelas e interceptadas por retas t e u transversais
a) 100°
b) 120°
c) 130°
d) 140°
e) 150°
Questão 17
(UFES) Uma transversal intercepta duas paralelas formando ângulos alternos internos expressos em graus por (5x + 8) e (7x – 12). A soma das medidas desses ângulos é:
a) 40°
b) 58°
c) 80°
d) 116°
e) 150°
Respostas
Resposta Questão 1
Primeiramente, vamos utilizar regra de três simples para fazer a transformação de 1° em radianos:
180° ––––– π rad
1° ––––– x   
180.x = 1 . π
x = π/180
Podemos ainda estabelecer um valor aproximado se considerarmos que π ≈3,1415...:
x = 3,1415/180
x ≈ 0,01745 rad
Novamente utilizando regra de três, vamos verificar qual é a medida em graus que corresponde ao valor de 1 rad:
180° ––––– π rad
    x ––––– 1 rad
π.x = 180
x = 180/π
x = 180/3,1415
x ≈ 57,29°
Resposta Questão 2
a) Para converter 120° em radianos, vamos utilizar regra de três simples:
180° ––––– π rad
120° ––––– x       
180.x = 120 . π
x = 120/180 π
Simplificando a fração obtida por 60, teremos:
x = 2/3π rad
b) Para transformar a medida de radianos para graus, basta substituir o π por180°:
x = 2/7π
x = 2.180/7
x = 360/3
x = 51,43°
c) Novamente utilizaremos regra de três para fazer a transformação para radianos:
180° ––––– π rad
234° ––––– x       
180.x = 234·π
x = 234/180π
Simplificando o numerador e o denominador da fração por 18, teremos:
x = 13/10π rad 
d) Como fizemos no item b, basta substituir o π por 180°:
x = 3/5π
x = 3.180/5
x = 540/5
x = 108°
Resposta Questão 3
Sabemos que π rad equivale a 180°:
180° ––––– π rad
          x ––––– 0,105 rad
π.x = 180·0,105
Podemos utilizar que π ≈ 3,1415...:
3,1415 . x = 18,9
x = 6,02°
Portanto, um ângulo que mede 0,105 radianos equivale a, aproximadamente, 6,02°. A alternativa correta é a letra c.
Resposta Questão 4
Primeiramente, precisamos verificar qual é o ângulo correspondente a 7344° no primeiro quadrante. Para isso, nós calculamos o quociente entre 7344° e360°, obtendo 20 como resultado e um resto de 144°. Vamos agora utilizar regra de três para verificar a medida em radianos que corresponde ao ângulo de 144°:
180° ––––– π rad
144° ––––– x       
180.x = 144 . π
x = 144/180π
Simplificando a fração obtida por 36, encontramos:
x = 4/5π
Portanto, a alternativa correta é a letra d.
Resposta Questão 5
Os ângulos 15x – 45 e 12x – 15 são opostos pelo vértice, portanto são iguais.
15x – 45 = 12x – 15
15x – 12x = 45 – 15
3x = 30
x = 10º
Os ângulos 15x – 45º e y são suplementares, isto é, a soma entre eles resulta em 180º.
15x – 45 + y = 180
15 * 10 – 45 + y = 180
150 – 45 + y = 180
105 + y = 180
y = 180 – 105
y = 75º
Resposta Questão 6
Os ângulos da figura são complementares, isto é, a soma entre eles é igual a 90º.
x + 40 + 3x + x – 10 = 90
5x + 30 = 90
5x = 90 – 30
5x = 60
x = 12
Resposta Questão 7
Os ângulos são suplementares, isto é, a soma entre eles é igual a 180º.
2x + 30 + x = 180
3x = 180 – 30
3x = 150
x = 150/3
x = 50º
Resposta correta alternativa d.
Resposta Questão 8
β: x
α: 3x
α + β = 180º
x + 3x = 180
4x = 180
x = 180 / 4
x = 45º
β: 45º
α: 135º
α – β  → 135º – 45º → 90º
Resposta correta alternativa a.
Resposta Questão 9
A soma das medidas totalizam um ângulo de volta completa, correspondente a 360º.
6x + 40º + 85º + 4x + 13x + 5º = 360º
6x + 4x + 13x = 360 – 40 – 85 – 5
23x = 360 – 130
23x = 230
x = 230 / 23
x = 10º
Resposta correta alternativa b
Resposta Questão 10
Seja x o correspondente, no primeiro quadrante, do ângulo de 150°, que está no 2° quadrante. Para reduzi-lo ao primeiro quadrante do ciclo trigonométrico, faremos:
180° – x = 150°
– x = 150° – 180°
– x = – 30°
x = 30°
Portanto, o ângulo de 30° é correspondente a 150°.
Resposta Questão 11
Chamemos de x o ângulo do primeiro quadrante que é correspondente a310°, um ângulo situado no 4° quadrante.
360° – x = 310°
– x = 310° – 360°
– x = – 50°
x = 50°
O ângulo de 50° é o correspondente de 310° no primeiro quadrante.
Resposta Questão 12
Vamos chamar de x o ângulo do primeiro quadrante que é correspondente a4π/3, um ângulo do 3° quadrante.
π + x = 4π
            3
x = 4π – π
3
x = 4π – 3π
      3
x = π
     3
Logo, o ângulo de π/3 é o correspondente de 4π/3 no primeiro quadrante.
Resposta Questão 13
De acordo com a figura a seguir, podemos constatar qual é o sinal da tangente de um ângulo a depender do quadrante em que ele se encontra. Ângulos situados no 1° e no 3° quadrante possuem tangente positiva, enquanto a tangente dos ângulos do 2° e do 4° quadrantes é negativa.
Variação do sinal da tangente
Vamos agora analisar cada uma das afirmações:
I. tan 92° = –tan 88°
Reduzindo o ângulo de 92° ao primeiro quadrante, temos:
180° – 92° = 88°
Os ângulos de 92° e 88° são correspondentes e possuem tangente de mesmo módulo. De acordo com a figura, podemos constatar que o sinal das duas tangentes é diferente. Logo, a afirmação I é verdadeira.
II. tan 178° = tan 88°
Reduzindo o ângulo de 178° ao primeiro quadrante, temos:
180° – 178° = 2°
Os ângulos de 178° e 88° não são correspondentes, logo suas tangentes são diferentes. Assim sendo, a afirmação II é falsa.
III. tan 268° = tan 88°
Reduzindo o ângulo de 268° ao primeiro quadrante, temos:
268° – 180° = 88°
Os ângulos de 268° e 88° são correspondentes e possuem tangente de mesmo módulo. Através da figura, vemos que é igual o sinal de suas tangentes. Logo, a afirmação III é verdadeira.
IV. tan 272° = –tan 88°
Reduzindo o ângulo de 272° ao primeiro quadrante, temos:
360° – 272° = 88°
Os ângulos de 272° e 88° são correspondentes e suas tangentes possuem o mesmo módulo. Através da figura, vemos que é diferente o sinal de suas tangentes. Logo, a afirmação III é verdadeira.
São verdadeiras as afirmações I, III e IV. A alternativa correta é a letra d
Resposta Questão 14
Analisando a figura a seguir, podemos ver destacados os ângulos que são colaterais externos ao ângulo de 50° e que, consequentemente, também medem 50°:
Análise dos ângulos da questão 1
Facilmente observamos que os ângulos x e 50° são opostos pelo vértice, logo, x = 50°. Podemos constatar também que y e 50° são suplementares, ou seja:
50° + y = 180°
y = 180° – 50°
y = 130°
Portanto, os ângulos procurados são y = 130° e x = 50°.
Resposta Questão 15
Os ângulos apresentados na figura podem ser classificados como alternos externos e possuem, portanto, a mesma medida. Sendo assim, podemos fazer:
2x – 60° = + 30°
        
2x – = 30° + 60°
= 90°         
= 90°
3x = 90° . 2
3x = 180°
x = 
x = 60°
Portanto, x vale 60°.
Resposta Questão 16
Para analisar as duas retas paralelas r e s cortadas pelas duas retas transversais t e u, faremos as marcações coloridas de ângulosque podem ser identificados na figura:
Análise dos ângulos da questão 3
Observe que o ângulo de 20° e o ângulo y, destacados em vermelho, podem ser classificados como alternos externos, pois estão em lados “alternados” à reta u e são “externos” às retas r e s, portanto, podemos afirmar que esses ângulos possuem a mesma medida, isto é, y = 20°.
Podemos ainda afirmar que o ângulo x', destacado em verde, é correspondente ao ângulo x, sendo então de mesma medida (x = x'). Temos ainda também que os ângulos x' e 70° são suplementares, logo:
x' + 70° = 180°
x' = 180° – 70°
x' = 110°
x = 110°
A soma x + y resulta em 130°, e a alternativa correta é a letra c.
Resposta Questão 17
Se os ângulos (5x + 8) e (7x – 12) são alternos internos, podemos afirmar que suas medidas são iguais. Sendo assim:
7x – 12 = 5x + 8
7x – 5x = 8 + 12
2x = 20
x = 
x = 10
As medidas dos ângulos são:
5x + 8 = 5.10 + 8 = 50 + 8 = 58
7x – 12 = 7.10 – 12 = 70 – 12 = 58
A soma desses ângulos é 58 + 58 = 116, portanto, a alternativa correta é a letra d.
Ângulos internos e externos de um polígono
Em um polígono, quanto maior o número de lados, maior a medida dos ângulos internos.
Considerando as diagonais traçadas por apenas um dos vértices de um polígono, é possível perceber que elas formam triângulos. Conforme aumentamos os lados de um polígono, a quantidade de triângulos aumenta, veja:
Em um quadrilátero conseguimos formar 2 triângulos.
Considerando que em cada triângulo a soma dos ângulos internos iguais é 180°, então a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero será 2 * 180º = 360º.
Em um polígono de cinco lados (pentágono) formamos 3 triângulos.
Dessa forma, temos que a soma dos ângulos internos de um pentágono é 180º * 3 = 540º
Em um polígono de seis lados (hexágono) formamos 4 triângulos.
Portanto, a soma dos ângulos internos é dada por 4 * 180º = 720º.
Percebemos que a diferença do número de triângulos formados e o número de lados dos polígonos é sempre 2, então concluímos que:
n = 3 ; Si = (3 – 2) * 180º = 1 * 180° = 180°
n = 4 ; Si = (4 – 2) * 180° = 2 * 180° = 360°
n = 5 ; Si = (5 – 2) * 180° = 3 * 180° = 540°
n = 6 ; Si = (6 – 2) * 180° = 4 * 180° = 720°
n = n ; Si = (n – 2) * 180°
Portanto, a soma dos ângulos internos de qualquer polígono será calculada através da expressão:
Si = (n – 2) ∙ 180°
Caso queira calcular o valor de cada ângulo interno, basta dividir a soma dos ângulos internos pelo número de lados do polígono. Mas vale lembrar que esta fórmula abaixo só deve ser utilizada em polígonos regulares, pois estes possuem os ângulos internos iguais.
ai = Si / n 
Soma dos ângulos externos de um polígono regular
A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo, independentemente da quantidade de lados, é igual a 360°.
Obs.: A soma de um ângulo interno com o seu respectivo externo é igual a 180º, isto é, eles são suplementares.
Números de Diagonais de um polígono
Denominamos polígono uma figura formada por segmentos de reta que delimitam uma região. Os polígonos precisam ser figuras fechadas. Observe:
Os polígonos possuem os seguintes elementos: vértices, lados, ângulos internos, ângulos externos e diagonais. Dos elementos citados vamos estudar o significado de diagonais e como calcular o número de diagonais de um polígono qualquer. 
Denominamos por diagonal o segmento de reta que une um vértice ao outro. O número de diagonais de um polígono é proporcional ao número de lados.
Note que na figura A temos quatro vértices, então traçamos quatro diagonais, cada uma partindo de um vértice. Mas observe que a diagonal PR é a mesma RP, e a diagonal SQ é a mesma QS, então sempre dividiremos o número de diagonais por 2. Para cálculos envolvendo o número de diagonais, utilizamos a seguinte fórmula:
A fórmula n indica o número de lados e n – 3 determina o número de diagonais que partem de um único vértice e a divisão por dois elimina a duplicidade de diagonais ocorridas em um polígono. 
Exemplo 
Determine o número de diagonais de um polígono com: 
a) 8 lados (octógono)
O octógono possui 20 diagonais. 
b) 12 lados (dodecágono)
O dodecágono possui 54 diagonais. 
c) 20 lados (icoságono)
O número de diagonais de um icoságono é igual a 170. 
d) 3 lados (triângulo)
O triângulo é o único polígono que não possui diagonais.
Questão 1
Calcule a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer e de um retângulo qualquer.
Questão 2
Calcule o valor de cada ângulo do quadrilátero seguinte:
Questão 3
(UNIFESP - 2003) Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura a seguir
Nessas condições, o ângulo θ mede:
a) 108°.
b) 72°.
c) 54°.
d) 36°.
e) 18°.
Questão 4
(FAAP-97) A medida mais próxima de cada ângulo externo do heptágono regular da moeda de R$ 0,25 é:
a) 60°
b) 45°
c) 36°
d) 83°
e) 51°
Respostas
Resposta Questão 1
Independentemente do polígono a que o exercício ou situação se refira, a soma dos seus ângulos internos tem valor fixo e é dada pela fórmula S = (n – 2)·180, em que n é o número de lados do polígono. Logo,
Soma dos ângulos internos do triângulo:
S = (3 – 2)·180
S = 1·180
S = 180°
Qualquer que seja o triângulo, a soma de seus ângulos internos sempre será igual a 180°. Isso pode ser usado quando conhecemos as medidas de dois dos ângulos internos de um triângulo e é necessário calcular o valor da última.
Soma dos ângulos internos de um retângulo:
S = (4 – 2)·180
S = 2·180
S = 360°
Não só retângulos, mas qualquer que seja o quadrilátero, a soma de seus ângulos internos será 360°.
Resposta Questão 2
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é dada por:
S = (n – 2)·180
Sabendo que o número de lados da figura é 4, basta substituir n por 4:
S = (4 – 2)·180
S = 2·180
S = 360°
Agora some os ângulos internos dessa figura e iguale o resultado a 360°:
2x + 4x + 2x + 4x = 360
12x = 360
x = 360/12
x = 30
Agora basta substituir x em cada ângulo para descobrir os seus valores.
4x = 4·30 = 120° e
2x = 2·30 = 60°
Os ângulos são 120° e 60°.
Resposta Questão 3
Na ponta da estrela onde está destacado o ângulo θ, temos o encontro de três ângulos internos de pentágonos regulares. Para descobrir a medida de cada um desses ângulos, basta calcular a soma dos ângulos internos do pentágono e dividir por 5.
A fórmula para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono é:
S = (n – 2)·180
*n é o número de lados do polígono. No caso desse exercício:
S = (5 – 2)·180
S = 3·180
S = 540
Dividindo a soma dos ângulos internos por 5, pois um pentágono possui cinco ângulos internos, encontraremos 108° como medida de cada ângulo interno.
Observe na imagem anterior que a soma de três ângulos internos do pentágono com o ângulo θ tem como resultado 360°.
108 + 108 + 108 + θ = 360
324 + θ = 360
θ = 360 – 324
θ = 36°
Letra D.
Resposta Questão 4
Heptágonos são figuras geométricas que possuem sete lados, sete vértices e sete ângulos. Como esse heptágono é regular, então todos os seus ângulos e lados possuem a mesma medida.
A soma dos ângulos internos do heptágono é:
S = (n – 2)·180
S = (7 – 2)·180
S = 5·180
S = 900°
Cada ângulo interno do heptágono regular mede a soma dos ângulos internos dividida por 7.
900/7 = 128,57            
Agora, resta apenas descobrir o valor de um ângulo externo. Os ângulos externos de um polígono são suplementares aos ângulos internos respectivos. Portanto, a soma entre um ângulo interno e seu ângulo externo tem como resultado 180°. Dessa forma, os ângulos externos da moeda de 25 centavos medem:
128,57 + x = 180
x = 180 – 128,57
x = 51,43°
Círculo Trigonométrico
Considere uma circunferência de raio unitário com centro na origem de um sistema cartesiano ortogonal e o ponto A=(1,0). O ponto A será tomado como a origem dos arcos orientados nesta circunferência e o sentido positivo considerado será o anti-horário. A região contendo esta circunferência e todos os seus pontos interiores, é denominada círculo trigonométrico
Nos livros de língua inglesa, a palavra círculo se refere à curva envolvente da região circular enquantocircun-ferência de círculo é a medida desta curva. No Brasil, a circunferência é a curva que envolve a região circular.
Os eixos OX e OY decompõem o círculo trigonométrico em quatro quadrantes que são enumerados como segue:
	2o. quadrante
abscissa: negativa
ordenada: positiva
90º<ângulo<180º
	
	1o. quadrante
abscissa: positiva
ordenada: positiva
0º<ângulo<90º
	3o. quadrante
abscissa: negativa
ordenada: negativa
180º<ângulo<270º
	
	4o. quadrante
abscissa: positiva
ordenada: negativa
270º<ângulo<360º
Os quadrantes são usados para localizar pontos e a caracterização de ângulos trigonométricos. Por convenção, os pontos situados sobre os eixos não pertencem a qualquer um dos quadrantes.
Arcos com mais de uma volta
Em Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar arcos cujas medidas sejam maiores do que 360º. Por exemplo, se um ponto móvel parte de um ponto A sobre uma circunferência no sentido anti-horário e para em um ponto M, ele descreve um arco AM. A medida deste arco (em graus) poderá ser menor ou igual a 360º ou ser maior do que 360º. Se esta medida for menor ou igual a 360º, dizemos que este arco está em sua primeira determinação.
Acontece que o ponto móvel poderá percorrer a circunferência uma ou mais vezes em um determinado sentido, antes de parar no ponto M, determinando arcos maiores do que 360º ou arcos com mais de uma volta. Existe uma infinidade de arcos mas com medidas diferentes, cuja origem é o ponto A e cuja extremidade é o ponto M.
Seja o arco AM cuja primeira determinação tenha medida igual a m. Um ponto móvel que parte de A e pare em M, pode ter várias medidas algébricas, dependendo do percurso.
Se o sentido for o anti-horário, o ponto M da circunferência trigonométrica será extremidade de uma infinidade de arcos positivos de medidas
m, m+2π, m+4π, m+6π, ...
Se o sentido for o horário, o ponto M será extremidade de uma infinidade de arcos negativos de medidas algébricas
m-2π, m-4π, m-6π, ...
e temos assim uma coleção infinita de arcos com extremidade no ponto M.
Generalizando este conceito, se m é a medida da primeira determinação positiva do arco AM, podemos representar as medidas destes arcos por:
µ(AM) = m + 2kπ
onde k é um número inteiro, isto é, k pertence ao conjunto Z={...,-2,-3,-1,0,1,2,3,...}.
Família de arcos: Uma família de arcos {AM} é o conjunto de todos os arcos com ponto inicial em A e extremidade em M.
Exemplo: Se um arco de circunferência tem origem em A e extremidade em M, com a primeira determinação positiva medindo 2π/3, então os arcos desta família {AM}, medem:
	Determinações positivas (sentido anti-horário)
	k=0
	µ(AM)=2π/3
	k=1
	µ(AM)=2π/3+2pπ=8π/3
	k=2
	µ(AM)=2π/3+4π=14π/3
	k=3
	µ(AM)=2π/3+6π=20π/3
	...
	...
	k=n
	µ(AM)=2π/3+2nπ=(2+6n)π /3
	Determinações negativas (sentido horário)
	k=-1
	µ(AM)=2π/3-2π=-4π/3
	k=-2
	µ(AM)=2π/3-4π=-6π/3
	k=-3
	µ(AM)=2π/3-6π=-16π/3
	k=-4
	µ(AM)=2π/3-8π=-22π/3
	...
	...
	k=-n
	µ(AM)=2π/3-2nπ=(2-6n)π/3
Arcos côngruos e Ângulos
Arcos côngruos: Dois arcos são côngruos se a diferença de suas medidas é um múltiplo de 2π.
Exemplo: Arcos de uma mesma família são côngruos.
Ângulos: As noções de orientação e medida algébrica de arcos podem ser estendidas para ângulos, uma vez que a cada arco AM da circunferência trigonométrica corresponde a um ângulo central determinado pelas semi-retas OA e OM.
Como no caso dos arcos, podemos considerar dois ângulos orientados um positivo (sentido anti-horário) com medida algébrica a correspondente ao arco AM e outro negativo (sentido horário) com medida b=a-2π correspondente ao arco AM.
Existem também ângulos com mais de uma volta e as mesmas noções apresentadas para arcos se aplicam para ângulos.
Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OX
Sejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica, com A=(1,0) e os pontos M e M' simétricos em relação ao eixo horizontal OX. Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM' é dada por: µ(AM')=2π-m.
Os arcos da família {AM}, aqueles que têm origem em A e extremidades em M, têm medidas iguais a 2kπ+m, onde k é um número inteiro e os arcos da família {AM'} têm medidas iguais a 2kπ-m, onde k é um número inteiro.
Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OY
Sejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M' simétricos em relação ao eixo vertical OY. Se a medida do arco AM for igual a m, então a medida do arco AM' será dada pela expressão µ(AM')=π-m.
Os arcos da família {AM'}, isto é, aqueles com origem em A e extremidade em M', medem 2kπ+π-m=(2k+1)π -m onde k é um número inteiro.
Arcos com a mesma origem e extremidades simétricas em relação à origem
Sejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M' simétricos em relação a origem (0,0).
Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM' é dada por: µ(AM')=π +m. Arcos genéricos com origem em A e extremidade em M' medem:
µ(AM') = 2kπ + π + m = (2k+1)π + m
Seno e cosseno
Dada uma circunferência trigonométrica contendo o ponto A=(1,0) e um número real x, existe sempre um arco orientado AM sobre esta circunferência, cuja medida algébrica corresponde a x radianos.
Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em (0,0) e raio unitário. Seja M=(x',y') um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arco AM que corresponde ao ângulo central a. A projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OX determina um ponto C=(x',0) e a projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OY determina outro ponto B=(0,y').
A medida do segmento OB coincide com a ordenada y' do ponto M e é definida como o seno do arco AM que corresponde ao ângulo a, denotado por sen(AM) ou sen(a).
Como temos várias determinações para o mesmo ângulo, escreveremos
sen(AM)=sen(a)=sen(a+2kπ)=y'
Para simplificar os enunciados e definições seguintes, escreveremos sen(x) para denotar o seno do arco de medida x radianos.
Cosseno: O cosseno do arco AM correspondente ao ângulo a, denotado por cos(AM) ou cos(a), é a medida do segmento 0C, que coincide com a abscissa x' do ponto M.
Como antes, existem várias determinações para este ângulo, razão pela qual, escrevemos
cos(AM) = cos(a) = cos(a+2kπ) = x'
Tangente
Seja a reta t tangente à circunferência trigonométrica no ponto A=(1,0). Tal reta é perpendicular ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente t no ponto T=(1,t'). A ordenada deste ponto T, é definida como a tangente do arco AM correspondente ao ângulo a.
Assim a tangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações:
tan(AM) = tan(a) = tan(a+kπ) = µ(AT) = t'
Podemos escrever M=(cos(a),sen(a)) e T=(1,tan(a)), para cada ângulo a do primeiro quadrante. O seno, o cosseno e a tangente de ângulos do primeiro quadrante são todos positivos.
Um caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo horizontal OX. Neste caso:
cos(0)=1,    sen(0)=0    e    tan(0)=0
Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros quadrantes
Ângulos no segundo quadrante
Se na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto M no segundo quadrante, então o ângulo a entre o eixo OX e o segmento OM pertence ao intervalo π/2<a<π. Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cosseno está relacionado com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada deste ponto. Como o ponto M=(x,y) possui abscissa negativa e ordenada positiva, o sinal do seno do ângulo a no segundo quadrante é positivo, o cosseno do ângulo a é negativo e a tangente do ângulo a é negativa.
Outro caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo vertical OY e neste caso:
cos(π/2)=0    e    sen(π/2)=1
A tangente não está definida, pois a reta OM não intercepta a reta t, pois elas são paralelas.
Ângulos no terceiro quadrante
O ponto M=(x,y) está localizado no terceiro quadrante, o que significa que o ângulo pertence ao intervalo: π<a<3π/2. Este ponto M=(x,y) é simétrico ao ponto M'=(-x,-y) do primeiro quadrante, em relaçãoà origem do sistema, indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada são negativos. O seno e o cosseno de um ângulo no terceiro quadrante são negativos e a tangente é positiva.
Em particular, se a=π radianos, temos que
cos(π)=-1,    sen(π)=0    e    tan(π)=0
Ângulos no quarto quadrante
O ponto M está no quarto quadrante, 3π/2<a< 2π. O seno de ângulos no quarto quadrante é negativo, o cosseno é positivo e a tangente é negativa.
Quando o ângulo mede 3π/2, a tangente não está definida pois a reta OP não intercepta a reta t, estas são paralelas. Quando a=3π/2, temos:
cos(3π/2)=0,   sin(3π/2)=-1
Simetria em relação ao eixo OX
Em uma circunferência trigonométrica, se M é um ponto no primeiro quadrante e M' o simétrico de M em relação ao eixo OX, estes pontos M e M' possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos.
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM', obtemos:
sen(a) = -sen(b)
cos(a) = cos(b)
tan(a) = -tan(b)
Simetria em relação ao eixo OY
Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico a M em relação ao eixo OY, estes pontos M e M' possuem a mesma ordenada e as abscissas são simétricas.
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM'. Desse modo:
sen(a) = sen(b)
cos(a) = -cos(b)
tan(a) = -tan(b)
Simetria em relação à origem
Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico de M em relação a origem, estes pontos M e M' possuem ordenadas e abscissas simétricas.
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM'. Desse modo:
sen(a) = -sen(b)
cos(a) = -cos(b)
tan(a) = tan(b)
Senos e cossenos de alguns ângulos notáveis
Uma maneira de obter o valor do seno e cosseno de alguns ângulos que aparecem com muita frequência em exercícios e aplicações, sem necessidade de memorização, é através de simples observação no círculo trigonométrico.
Primeira relação fundamental
Uma identidade fundamental na trigonometria, que realiza um papel muito importante em todas as áreas da Matemática e também das aplicações é:
sin²(a) + cos²(a) = 1
que é verdadeira para todo ângulo a.
Necessitaremos do conceito de distância entre dois pontos no plano cartesiano, que nada mais é do que a relação de Pitágoras. Sejam dois pontos, A=(x',y') e B=(x",y").
Definimos a distância entre A e B, denotando-a por d(A,B), como:
Se M é um ponto da circunferência trigonométrica, cujas coordenadas são indicadas por (cos(a), sen(a)) e a distância deste ponto até a origem (0,0) é igual a 1. Utilizando a fórmula da distância, aplicada a estes pontos, d(M,0)=[(cos(a)-0)²+(sen(a)-0)²]1/2, de onde segue que 1=cos²(a)+sin²(a).
Segunda relação fundamental
Outra relação fundamental na trigonometria, muitas vezes tomada como a definição da função tangente, é dada por:
Deve ficar claro, que este quociente somente fará sentido quando o denominador não se anular.
Se a=0, a=π ou a=2π, temos que sen(a)=0, implicando que tan(a)=0, mas se a=π/2 ou a=3π/2, segue que cos(a)=0 e a divisão acima não tem sentido, assim a relação tan(a)=sen(a)/cos(a) não é verdadeira para estes últimos valores de a.
Para a≠0, a≠π, a≠2π, a≠π/2 e a≠3π/2, considere novamente a circunferência trigonométrica na figura seguinte.
Os triângulos OMN e OTA são semelhantes, logo:
Como AT=|tan(a)|, MN=|sen(a)|, OA=1 e ON=|cos(a)|, para todo ângulo a, 0<a<2π com a≠π/2 e a≠3π/2 temos
Forma polar dos números complexos
Um número complexo não nulo z=x+yi, pode ser representado pela sua forma polar:
z = r [cos(c) + i sen(c)]
Onde r=|z|=R[x²+y²], i²=-1 e c é o argumento (ângulo formado entre o segmento Oz e o eixo OX) do número complexo z.
A multiplicação de dois números complexos na forma polar:
A = |A| [cos(a)+isen(a)]
B = |B| [cos(b)+isen(b)]
é dada pela Fórmula de De Moivre:
AB = |A||B| [cos(a+b)+isen(a+b)]
Isto é, para multiplicar dois números complexos em suas formas trigonométricas, devemos multiplicar os seus módulos e somar os seus argumentos.
Se os números complexos A e B são unitários então |A|=1 e |B|=1, e nesse caso
A = cos(a) + i sen(a)
B = cos(b) + i sen(b)
Multiplicando A e B, obtemos
AB = cos(a+b) + i sen(a+b)
Existe uma importantíssima relação matemática, atribuída a Euler (lê-se "óiler"), garantindo que para todo número complexo z e também para todo número real z:
eiz = cos(z) + i sen(z)
Tal relação, normalmente é demonstrada em um curso de Cálculo Diferencial, e, ela permite uma outra forma para representar números complexos unitários A e B, como:
A = eia = cos(a) + i sen(a)
B = eib = cos(b) + i sen(b)
Onde a é o argumento de A e b é o argumento de B. Assim,
ei(a+b) = cos(a+b)+isen(a+b)
Por outro lado
ei(a+b) = eia . eib = [cos(a)+isen(a)] [cos(b)+isen(b)]
E desse modo
ei(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
            + i [cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)]
Para que dois números complexos sejam iguais, suas partes reais e imaginárias devem ser iguais, logo
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
sen(a+b) = cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)
Para a diferença de arcos, substituímos b por -b nas fórmulas da soma
cos(a+(-b)) = cos(a)cos(-b) - sen(a)sen(-b)
sen(a+(-b)) = cos(a)sen(-b) + cos(-b)sen(a)
para obter
cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)
sen(a-b) = cos(b)sen(a) - cos(a)sen(b)
Seno, cosseno e tangente da soma e da diferença
Na circunferência trigonométrica, sejam os ângulos a e b com 0≤a≤2π e 0≤b≤2π, a>b, então;
sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos:
Dividindo todos os quatro termos da fração por cos(a)cos(b), segue a fórmula:
Como
sen(a-b) = sen(a)cos(b) - cos(a)sen(b)
cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)
Podemos dividir a expressão de cima pela de baixo, para obter:
Questão 1
Questão 2
Questão 3
Questão 4
Questão 5
Questão 6
Questão 7
Questão 8
Questão 9
Questão 10
Questão 11
Questão 12
Questão 13
Utilizando as transformações trigonométricas, mostre que sen 3a = 3 * sen a – 4 * sen3 a.  
Questão 14
Calcule sen 2a sabendo que sen a – cos a = 2/5.
Questão 15
Demonstre a relação verdade da identidade trigonométrica
 
Questão 16
Qual o valor de (tg10º + cotg10º) * sen 20º ?
Questão 17
Qual o valor simplificado da expressão y = cos 80º + cos 40º – cos 20º ?
Questão 18
Lembrando que cos 75º = cos (45º + 30º), determine o valor de cos 2 985º.
Respostas
Resposta Questão 1
Resposta Questão 2
Resposta Questão 3
Resposta Questão 4
Resposta Questão 5
Resposta Questão 6
Resposta Questão 7
Resposta Questão 8
Temos que o valor de p, dada a expressão simplificada, é igual a 1.
Resposta Questão 9
Temos que o valor de z equivale a 27/125.
Resposta Questão 10
P = (sen x) * (cos x) * (tg x) * (cotg x) * (sec x) * (cossec x)
O valor do desenvolvimento da expressão dada por P é igual a 1.
Resposta Questão 11
Resposta referente ao item d. 
Resposta Questão 12
O valor que obtemos simplificando a expressão dada por y corresponde a 1.
Resposta Questão 13
sen 3a = sen (2a + a) = sen 2a * cos a + sen a + cos 2a =
2 * sen a * cos a * cos a + sen a * (cos²a – sen² a) =
2 * sen a * cos² a + sen a * cos² a – sen³ a =
3 * sen a * cos² a – sen³ a =
3 * sen a * (1 – sen² a) – sen³ a =
3 * sen a – 3 * sen³ a – sen a =
3 * sen a – 4 * sen³ a
 Resposta Questão 14
Através dos cálculos verificamos que o sen 2a é igual a 21/25.
Resposta Questão 15
Resposta Questão 16
O valor de (tg10º + cotg10º) * sen 20º  é igual a 2.
 
Resposta Questão 17
O valor da expressão y = cos 80º + cos 40º – cos 20º corresponde a 0.
Resposta Questão 18
Cotangente
Seja a reta s tangente à circunferência trigonométrica no ponto B=(0,1). Esta reta é perpendicular ao eixo OY. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente s no ponto S=(s',1). A abscissa s' deste ponto,é definida como a cotangente do arco AM correspondente ao ângulo a.
Assim a cotangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações
Cot(AM) = cot(a) = cot(a+2kπ) = µ(BS) = s'
Os triângulos OBS e ONM são semelhantes, logo:
Como a circunferência é unitária |OB|=1
Que é equivalente a
A cotangente de ângulos do primeiro quadrante é positiva.
Quando a=0, a cotangente não existe, pois as retas s e OM são paralelas.
Ângulos no segundo quadrante
Se o ponto M está no segundo quadrante, de modo que o ângulo pertence ao intervalo π/2<a<π, então a cotangente de a é negativa. Quando a=π/2, tem-se que cot(π/2)=0.
Ângulos no terceiro quadrante
Se o ponto M está no terceiro quadrante, o ângulo está no intervalo π<a<3π/2 e nesse caso, a cotangente é positiva. Quando a=π, a cotangente não existe, as retas que passam por OM e BS são paralelas.
Ângulos no quarto quadrante
Se o ponto M está no quarto quadrante, o ângulo a pertence ao intervalo 3π/2<a<2π, assim a cotangente de a é negativa. Se a=3π/2, cot(3π/2)=0.
Secante e cossecante
Seja a reta r tangente à circunferência trigonométrica no ponto M=(x',y'). Esta reta é perpendicular à reta que contém o segmento OM. A interseção da reta r com o eixo OX determina o ponto V=(v,0). A abscissa do ponto V, é definida como a secante do arco AM correspondente ao ângulo a.
Assim a secante do ângulo a é dada pelas suas várias determinações:
Sec(AM) = sec(a) = sec(a+2kπ) = µ(OV) = v
A interseção da reta r com o eixo OY é o ponto U=(0,u). A ordenada do ponto U, é definida como a cossecante do arco AM correspondente ao ângulo a. Então a cossecante do ângulo a é dada pelas suas várias determinações
csc(AM) = csc(a) = csc(a+2kπ) = µ(OU) = u
Os triângulos OMV e Ox'M são semelhantes, deste modo,
1ue pode ser escrito como
Se cos(a) é diferente de zero.
Os triângulos OMU e Ox'M são semelhantes, logo:
1ue pode ser escrito como
desde que sen(a) seja diferente de zero.
Algumas propriedades da secante e da cossecante
Observando as representações geométricas da secante e da cossecante, podemos constatar as seguintes propriedades.
1. Como os pontos U e V sempre estão no exterior da circunferência trigonométrica, as suas distâncias até o centro da circunferência é sempre maior ou igual à medida do raio unitário. Daí segue que:
sec(a)<-1    ou    sec(a)>1
csc(a)<-1    ou    csc(a)>1
2. O sinal da secante varia nos quadrantes como o sinal do cosseno, positivo no 1o. e no 4o. quadrantes e negativo no 2o. e no 3o. quadrantes.
3. O sinal da cossecante varia nos quadrantes como o sinal do seno, positivo no 1o. e no 2o. quadrantes e negativo no 3o. e no 4o. quadrantes.
4. Não existe a secante de ângulos da forma a=π/2+kπ, onde k é um número inteiro, pois nesses ângulos o cosseno é zero.
5. Não existe a cossecante de ângulos da forma a=kπ, onde k é um número inteiro, pois são ângulos cujo seno é zero.
Parte superior do formulário
Fórmulas de arco duplo, arco triplo e arco metade
Conhecendo-se as relações trigonométricas de um arco de medida a, podemos obter estas relações trigonométrica para arcos de medidas 2a, 3a e a/2, que são consequências imediatas das fórmulas de soma de arcos.
1. Fórmulas de arco duplo
Como
sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
Dividindo a primeira expressão pela segunda e dividindo todos os 4 termos da fração por cos(a)cos(b), segue a fórmula:
Tomando b=a, obtemos algumas fórmulas do arco duplo:
sen(2a)=sen(a)cos(a)+cos(a)sen(a)=2sen(a)cos(a)
cos(2a)=cos(a)cos(a)-sen(a)sen(a)=cos²(a)-sin²(a)
De onde segue que
Substituindo sin²(a)=1-cos²(a) nas relações acima, obtemos uma relação entre o cosseno do arco duplo com o cosseno do arco:
cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)
 = cos²(a) - (1-cos²(a)
 = 2 cos²(a) - 1
Substituindo cos²(a)=1-sin²(a) nas relações acima, obtemos uma relação entre o seno do arco duplo com o seno do arco:
cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)
 = 1 - sin²(a) - sin²(a))
 = 1 - 2sin²(a)
2. Fórmulas de arco triplo
Se b=2a em sen(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b), então
sen(3a)= sen(a+2a)
 = sen(a)cos(2a) + cos(a)sen(2a)
 = sen(a)[1-2sin²(a)]+[2sen(a)cos(a)]cos(a)
 = sen(a)[1-2sin²(a)]+2sen(a)cos²(a))
 = sen(a)[1-2sin²(a)]+2sen(a)[1-sin²(a)]
 = sen(a)-2sin³(a))+2sen(a)-2sin²(a))
 = 3 sen(a) - 4 sin³(a)
Se b=2a em cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b), então
cos(3a)= cos(a+2a)
 = cos(a)cos(2a) - sen(a)sen(2a)
 = cos(a)[2cos²(a)-1]-sen(a)[2sen(a)cos(a)]
 = cos(a)[2cos²(a)-1]-2sen²(a)cos(a)
 = cos(a)[2cos²(a)-1-2(1-cos²(a))]
 = cos(a)[2cos²(a)-3+2cos²(a)]
 = cos(a)[4cos²(a)-3]
 = 4 cos³(a) - 3 cos(a)
As fórmulas do arco triplo são
sen(3a) = 3sen(a)-4sin³(a)
cos(3a) = 4cos³(3a)-3cos(a)
3. Fórmulas de arco metade
Partindo das fórmulas do arco duplo
cos(2a) = 2cos²(a) - 1
cos(2a) = 1 - 2sin²(a)
e substituindo 2a=c, obtemos:
cos(c) = 2cos²(c/2) - 1
cos(c) = 1 - 2sin²(c/2)
Assim
Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos a tangente da metade do arco, dada por:
Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, obtemos uma fórmula que expressa a tangente da metade do arco em função do cosseno do arco.
Funções circulares
As funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular e são importantes devido à sua periodicidade pois elas podem representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc.
Funções reais
Devemos ter um bom conhecimento das definições e propriedades que caracterizam a teoria de funções reais, iniciaremos então com a definição de funções.
Função: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função f de A em B, é uma correspondência que associa a cada elemento de A um único elemento de B.
O conjunto A é denominado o domínio de f, o conjunto B é denominado contradomínio de f. O elemento y de B que corresponde ao elemento x de A de acordo com a lei f, é denominado imagem de x por f e é indicado por y=f(x).
O conjunto de todos elementos de B que são imagem de algum elemento de A é denominado conjunto Imagem de f.
Uma função f é denominada função real de variável real, se o domínio e contradomínio de f são subconjuntos do conjunto dos números reais.
Função periódica: Uma função real f, com domínio em A subconjunto da reta real, é dita periódica se, existe um número real positivo T, tal que para todo x em A, vale
f(x+T) = f(x)
Podem existir muitos números reais T com esta propriedade, mas o menor número positivo T, que satisfaz a esta condição recebe o nome de período fundamental.
Exemplo: A função real definida por f(x)=x-[x], onde [x] é a parte inteira do número real x que é menor ou igual a x. Esta função é periódica de período fundamental T=1.
Função limitada: Uma função f de domínio A contido em R é limitada, se existe um número real positivo L, tal que para todo x em A, valem as desigualdades:
-L < f(x) < L
Esta última expressão pode ser escrita como |f(x)|<L.
Exemplo: A função real f(x)=2x/(1+x²) é limitada pois
-1 < x/(1+x²) < 1
Funções crescentes e decrescentes
Seja f uma função definida em um intervalo I, x e y dois valores quaisquer pertencentes a I, com x<y. Afirmamos que f é crescente, se f(x)<f(y) e que f é decrescente, se f(x)>f(y).
Exemplo: A função real f(x)=2x+1 é crescente e a função real f(x)=e-x é decrescente.
Funções pares e ímpares
1. Função par: Uma função f é uma função par, se para todo x do domínio de f:
f(-x) = f(x)
Funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical OY.
Exemplo: A função real definida por f(x)=x² é par.
2. Função ímpar: Uma função f é uma função ímpar, se para todo x do domínio de f:
f(-x) = -f(x)
Funções ímpares são simétricas em relação à origem (0,0) do sistema de eixos cartesiano.
Exemplo: A função real definida por f(x)=x³ é ímpar.
Função Seno
Dado um ângulo de medida x, a função seno é a relação que associa a cada x em R, o seno do ângulo x, denotado pelo número real sen(x). A função édenotada por f(x)=sen(x) ou y=sen(x).
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2π].
	x
	0
	
	
	
	π
	
	
	
	2π
	y
	0
	
	1
	
	0
	
	-1
	
	0
Gráfico: Na figura, o segmento Oy' que mede sen(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY.
Propriedades da função seno
1. Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo assim Dom(sen)=R.
2. Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo I={y em R: -1<y<1}
3. Periodicidade: A função é periódica de período 2π. Para todo x em R e para todo k em Z:
sen(x) = sen(x+2π) = sen(x+4π) =...= sen(x+2kπ)
Justificativa: Pela fórmula do seno da soma de dois arcos, temos:
sen(x+2kπ) = sen(x)cos(2kπ) + cos(x)sen(2kπ)
para k em Z, cos(2kπ)=1 e sen(2kπ)=0
sen(x+2kπ) = sen(x)(1)+cos(x)(0) = sen(x)
A função seno é periódica de período fundamental T=2π.
Completamos o gráfico da função seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo de medida 2π.
4. Sinal:
	Intervalo
	[0,]
	[,π]
	[π,]
	[,2π]
	Função seno
	positiva
	positiva
	negativa
	negativa
5. Monotonicidade:
	Intervalo
	[0,]
	[,π]
	[π,]
	[,2π]
	Função seno
	crescente
	decrescente
	decrescente
	crescente
6. Limitação: O gráfico de y=sen(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:
-1 < sen(x) < 1
7. Simetria: A função seno é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:
sen(-x) = -sen(x)
Função cosseno
Dado um ângulo de medida x, a função cosseno é a relação que associa a cada x em R o número real cos(x). Esta função é denotada por f(x)=cos(x) ou y=cos(x).
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2π].
	x
	0
	
	
	
	π
	
	
	
	2π
	y
	1
	
	0
	
	-1
	
	0
	
	1
Gráfico: O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal OX.
Propriedades da função cosseno
1. Domínio: A função cosseno está definida para todos os valores reais, assim Dom(cos)=R.
2. Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo I={y em R: -1 < y < 1}
3. Periodicidade: A função é periódica de período 2π. Para todo x em R e para todo k em Z:
cos(x)=cos(x+2π)=cos(x+4π)=...=cos(x+2kπ)
Justificativa: Pela fórmula do cosseno da soma de dois arcos, temos
cos(x+2kπ)=cos(x) cos(2k π)-sen(x) sen(2k π)
Para todo k em Z: cos(2kπ)=1 e sen(2kπ)=0, então
cos(x+2kπ)=cos(x) (1)-sen(x) (0)=cos(x)
A função cosseno é periódica de período fundamental T=2π.
4. Sinal:
	Intervalo
	[0,]
	[,π]
	[π,]
	[,2π]
	Função cosseno
	positiva
	negativa
	negativa
	positiva
5. Monotonicidade:
	Intervalo
	[0,]
	[,π]
	[π,]
	[,2π]
	Função cosseno
	decrescente
	decrescente
	crescente
	crescente
6. Limitação: O gráfico de y=cos(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:
-1 < cos(x) < 1
7. Simetria: A função cosseno é par, pois para todo x real, tem-se que:
cos(-x) = cos(x)
Função tangente
Como a tangente não existe para arcos da forma (k+1)π/2 onde k está em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função tangente como a relação que associa a este x real, a tangente de x, denotada por tan(x).
Segue uma tabela com valores de f no intervalo:
[0,2π].
	x
	0
	
	
	
	π
	
	
	
	2π
	y
	0
	1
	
	-1
	0
	1
	
	-1
	0
Gráfico: O segmento AT, mede tan(x).
Pelo gráfico, notamos que quando a medida do arco AM está próximo de π/2 (ou de -π/2), a função tangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM tem coeficiente angular cada vez maior vai se tornando cada vez mais vertical e a interseção com a reta t vai ficando mais distante do eixo OX.
Propriedades
1. Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma π/2+kπ, onde k em Z, temos
Dom(tan)={x em R: x diferente de π/2+kπ}
2. Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
3. Periodicidade A função é periódica e seu período é π
Para todo x em R, sendo x diferente de π/2+kπ, onde k pertence a Z
tan(x)=tan(x+π)=tan(x+2π)=...=tan(x+kπ)
Justificativa: Pela fórmula da tangente da soma de dois arcos, temos
A função tangente é periódica de período fundamental T=π.
Podemos completar o gráfico da função tangente, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
4. Sinal:
	Intervalo
	[0,]
	[,π]
	[π,]
	[,2π]
	Função tangente
	positiva
	negativa
	positiva
	negativa
5. Monotonicidade: A tangente é uma função crescente, exceto nos pontos x=kπ/2, k inteiro, onde a função não está definida.
6. Limitação: A função tangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1)π/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real onde a tangente está definida, tem-se que:
tan(x)=-tan(-x)
Função cotangente
Como a cotangente não existe para arcos da forma (k+1)π onde k é um inteiro, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função cotangente como a relação que associa a cada x real, a cotangente de x, denotada por:
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2π].
	x
	0
	
	
	
	π
	
	
	
	2π
	y
	
	1
	0
	-1
	
	1
	0
	-1
	
Gráfico: O segmento Os' mede cot(x).
Observando no gráfico o que ocorre quando a medida do arco AM está próxima de π (ou -π), podemos verificar que o gráfico da função cotangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM vai ficando cada vez mais horizontal e a sua interseção com a reta s vai se tornando muito longe.
Propriedades
1. Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma π+kπ, onde k em Z, temos
Dom(cot)={x em R: x é diferente de (k+1)π}
2. Imagem: O conjunto imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
3. Periodicidade A função é periódica e seu período é π
Para todo x em R, sendo x diferente de π+kπ, onde k em Z
cot(x)=cot(x+π)=cot(x+2π)=...=cot(x+kπ)
A função cotangente é periódica de período fundamental 2π.
4. Sinal:
	Intervalo
	[0, π/2]
	[π /2, π]
	[π,3 π /2]
	[3π/2,2 π]
	Função tangente
	positiva
	negativa
	positiva
	negativa
5. Monotonicidade: A cotangente é uma função sempre decrescente, exceto nos pontos x=kπ, k inteiro, onde a função não está definida.
6. Limitação: A função cotangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de kπ/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:
cot(x)=-cot(-x)
Função secante
Como a secante não existe para arcos da forma (2k+1)π/2 onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função secante como a relação que associa a este x real, a secante de x, denotada por sec(x).
Segue uma tabela com valores de f no intervalo: 
[0,2π].
	x
	0
	
	
	
	π
	
	
	
	2π
	y
	1
	
	
	
	-1
	
	
	
	1
Gráfico: O segmento OV mede sec(x).
Quando x assume valores próximos de π/2 ou de 3π/2, cos(x) se aproxima de zero e a fração 1/cos(x) em valor absoluto, tende ao infinito.
Propriedades
1. Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma π/2+kπ, onde k em Z, temos
Dom(sec)={x em R: x é diferente de (2k+1)π/2}
2. Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da secante, temos que sec(x) < -1 ou sec(x) > 1, assim o conjunto imagem da secante é dado pelos conjuntos:
Im(sec)={y emR: y < -1    ou    y > 1}
3. Periodicidade A função é periódica e seu período é 2π
Para todo x em R, sendo x diferente de π+kπ, onde k em Z
sec(x)=sec(x+2π)=sec(x+4π)=...=sec(x+2kπ)
por este motivo, a função secante é periódica e seu período é 2π, podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
4. Sinal:
	Intervalo
	[0, π/2]
	[π /2, π]
	[π,3π/2]
	[3 π /2,2π]
	Função secante
	positiva
	negativa
	negativa
	positiva
5. Monotonicidade:
	Intervalo
	[0,π/2]
	[π/2,π]
	[π,3π/2]
	[3π/2,2π]
	Função secante
	crescente
	crescente
	decrescente
	decrescente
6. Limitação: A função secante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1)π/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: Afunção secante é par, pois para todo x onde a secante está definida, tem-se que:
sec(x)=sec(-x)
Função cossecante
Como a cossecante não existe para arcos da forma kπ onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definir a função cossecante como a relação que associa a este x real, a cossecante de x, denotada por csc(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2π].
	x
	0
	
	
	
	π
	
	
	
	2π
	y
	
	
	1
	
	
	
	-1
	
	
Gráfico: O segmento OU mede csc(x).
Quando x assume valores próximos de 0, π ou de 2π, sen(x) se aproxima de zero e a fração 1/sen(x) em valor absoluto, tende ao infinito.
Propriedades
1. Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma kπ, onde k em Z, temos
Dom(csc)={x em R: x diferente de kπ}
2. Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da cossecante, temos que csc(x)<-1 ou csc(x)>1, assim o conjunto imagem da cossecante é dado pelos conjuntos:
Im(csc)={y em R: y < -1    ou    y > 1}
3. Periodicidade: A função é periódica e seu período é 2π
Para todo x em R, sendo x diferente de kπ, onde k em Z
csc(x)=csc(x+π)=csc(x+2π)=...=csc(x+kπ)
Por este motivo, a função cossecante é periódica e seu período é 2π, podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
4. Sinal:
	Intervalo
	[0,π/2]
	[π/2,π]
	[π,3π/2]
	[3π/2,2π]
	Função Cossecante
	positiva
	positiva
	negativa
	negativa
5. Monotonicidade:
	Intervalo
	[0,π/2]
	[π/2,π]
	[π,3π/2]
	[3π/2,2π]
	Função cossecante
	decrescente
	crescente
	crescente
	decrescente
6. Limitação: A função cossecante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de kπ, a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A função secante é ímpar, pois para todo x onde a cossecante está definida, tem-se que:
csc(x)=-csc(-x)
Cosseno hiperbólico e Seno hiperbólico
As funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, são definidas, respectivamente, por:
A função cosh é positiva, enquanto que senh é positiva para parâmetros positivos reais, negativos para parâmetros negativos reais e se anula em t=0.
Com estas duas funções cosh (cor vermelha) e senh (cor azul), também podemos definir outras funções da Mate-mática.
Aplicação: Ao observar um fio usado para transporte de energia elétrica, preso em dois postes, notamos que o peso do mesmo faz com que ele fique meio arredondado, dando a impressão que o gráfico formado pela curva representa uma parábola, mas na verdade, tal curva é o gráfico da função cosseno hiperbólico, conhecida como a catenária (do Latim catena=cadeia) pois foi através de uma corrente metálica formada por elos (cadeias) que se observou primeiramente tal curva.
Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante hiperbólicos
As funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicos, são respectivamente definidas por:
tgh(t) = senh(t)/cosh(t)
coth(t) = cosh(t)/senh(t)
sech(t) = 1/cosh(t)
csch(t) = 1/senh(t)
quando os denominadores são diferentes de zero.
Relação fundamental da trigonometria hiperbólica
Ao tomar a diferença dos quadrados das funções cosh e senh, obtemos:
cosh²(t)-senh²(t)=[½(et+et)]²-[½(et+et)]²
efetuando as operações temos que
cosh²(t) - senh²(t) = 1
que é uma relação notável na Trigonometria hiperbólica.
Porque trigonometria hiperbólica?
A construção da trigonometria circular, é realizada sobre uma circunferência de raio unitário, dada por x²+y²=1. Tomando x=cos(t) e y=sen(t), observamos a relação fundamental da trigonometria circular:
cos²(t) + sen²(t) = 1
Onde t é o ângulo (tomado em radianos).
Na construção da trigonometria hiperbólica, usamos uma curva denominada hipérbole, representada por x²-y²=1. Tomando x=cosh(t) e y=senh(t), observamos a relação fundamental da trigonometria hiperbólica:
cosh²(t) - senh²(t) = 1
Onde t é um parâmetro real que pode ser interpretado geometricamente.
Trigonometria circular versus Trigonometria hiperbólica
Praticamente todas as propriedades da trigonometria circular podem ser transladadas para a trigonometria hiperbólica, com o cuidado de observar muitas vezes a troca do sinal de "+" pelo sinal de "-".
	Trigonometria circular
	Trigonometria hiperbólica
	x² + y² = 1
	x² - y² = 1
	cos²(t) + sen²(t) = 1
	cosh²(t) - senh²(t) = 1
	tg(t) = sen(t)/cos(t)
	tgh(t) = senh(t)/cosh(t)
	cot(t) = cos(t)/sen(t)
	coth(t) = cosh(t)/senh(t)
	sec(t) = 1/cos(t)
	sech(t) = 1/cosh(t)
	csc(t) = 1/sen(t)
	csch(t) = 1/senh(t)
	sen(2t)=2sen(t)cos(t)
	senh(2t)=2senh(t)cosh(t)
	cos(2t)=cos²(t)-sen²(t)
	cosh(2t)=cosh²(t)+senh²(t)
	tg(2t)=2tg(t)/(1-tg²(t))
	tgh(2t)=2tgh(t)/(1+tgh²(t))
Funções inversas da trigonometria hiperbólica
É possível definir a função inversa de cosh, que será identificada por arccosh (cosh-1), assim como de todas as outras funções trigonométricas hiperbólicas. O procedimento é semelhante em todos os seis casos.
Se cosh(u)=t, obteremos o valor de u em função de t, denotando-o por qualquer uma das duas formas abaixo:
u = arccosh(t) = cosh-1(t)
Pela definição dada na parte inicial desta página, segue que:
t = cosh(u) = ½(eu + e-u)
Logo
2t = eu + 1/eu
Tomando eu=x, obteremos 2t=x+1/x, ou seja, x²-2tx+1=0. Resolvendo esta equação do segundo grau em x e usando a notação R[z] para a raiz quadrada de z>0, obteremos:
eu = x = t + R[t²-1]
Aplicando o logaritmo natural a ambos os membros dessa igualdade, obtemos:
u = log(t+R[t²-1])
Assim, a função inversa de cosh é a função definida por:
arccosh(t) = cosh-1(t) = log(t + R[t²-1])
Relembrando relações dos triângulos
Os elementos fundamentais de um triângulo são os seus lados, os seus ângulos e a sua área, resolver um triângulo, significa conhecer as medidas destes elementos. Conhecendo-se três entre estes elementos podemos usar as relações métricas ou as relações trigonométricas dependendo do caso, para calcular os outros elementos. Estas relações estão expostas na sequência.
Lei dos Senos
Seja um triângulo qualquer, como o que aparece na figura ao lado, com lados a, b e c, que são os lados opostos aos ângulos A, B e C, respectivamente. O quociente entre a medida de cada lado e o seno do ângulo oposto a este lado é uma constante igual a 2R, em que R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é:
Demonstração: Para simplificar as notações iremos denotar o ângulo correspondente a cada vértice pelo nome do vértice, por exemplo para o triângulo de vértices ABC os ângulos serão A, B e C respectivamente, assim quando escrevermos sen(A) estaremos nos referindo ao seno do ângulo correspondente ao vértice A.
Seja ABC um triângulo qualquer, inscrito numa circunferên-cia de raio R. Tomando como base do triângulo o lado BC, construímos um novo triângulo BCA', de tal modo que o segmento BA' seja um diâmetro da circunferência. Este novo triângulo é retângulo em C.
Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo.
1. Triângulo acutângulo: Os ângulos correspon-dentes aos vértices A e A' são congruentes, pois são ângulos inscritos à circunferência que correspondem a um mesmo arco BC. Então:
isto é
Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, encontraremos os outros quocientes
2. Triângulo obtusângulo: Se A e A' são os ângulos que correspondem aos vértices A e A', a relação entre eles é dada por A'=π-A, pois são ângulos inscritos à circunferência correspondentes a arcos replementares BAC e BA'C. 
Então:
isto é,
Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, encontraremos os outros quocientes
3. Triângulo retângulo: Como o triângulo ABC é um triângulo retângulo, é imediato que
Como, neste caso a=2R, temos,
Lei dos Cossenos
Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a diferença entre a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados e o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado por estes lados.
a² = b² + c² - 2bc cos(A)
b² = a² + c² - 2ac cos(B)
c² = a² + b² - 2ab cos(C)
Demonstração: Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo.1. Triângulo retângulo: Se o triângulo ABC é retângulo, com ângulo reto no vértice A. A relação
a² = b² + c² - 2bc cos(A)
recai no teorema de Pitágoras.
a² = b² + c²
uma vez que cos(A)=cos(π/2)=0.
2. Triângulo acutângulo: Seja o triângulo ABC um triângulo acutângulo com ângulo agudo correspondente ao vértice A, como mostra a figura.
Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo CHB, temos:
a² = h²+(c-x)² = h²+(c²-2cx+x²)=
=(h²+x²)+c²-2cx (Eq.1)
No triângulo AHC, temos que b²=h²+x² e também cos(A)=x/b, ou seja, x = b cos(A)
Substituindo estes resultados na equação (Eq. 1), obtemos:
a²=b² + c² - 2bc cosA
3. Triângulo obtusângulo: Seja o triângulo obtusângulo ABC com o ângulo obtuso correspondente ao vértice A, como mostra a figura.
Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos que:
a² = h²+(c+x)² = h²+(c²+2cx+x²) = 
=(h²+x²)+c²+2cx  (Eq.2)
No triângulo AHC, temos que b²=h²+x² e também:
cos(D)=x/b=cos(π-A)=-cos(A), então, x = -b cos(A)
Substituindo estes resultados na equação (Eq.2), obtemos:
a² = b² + c² - 2bc cos(A)
As expressões da lei dos cossenos podem ser escritas na forma:
Existe uma fórmula que permite calcular a área de um triângulo conhecendo-se as medidas de seus lados. Se a, b e c são as medidas dos lados do triângulo, p a metade do perímetro do triângulo, isto é: 2p=a+b+c, então,
S = 
Elementos de um círculo ou circunferência
Dada uma região circular, podemos ter: raio, diâmetro, corda, centro, arcos. Veja a figura: 
Segmento de reta AB: corda (segmento que parte de um ponto ao outro da circunferência) 
Segmento de reta DF: diâmetro (corda que passa pelo centro do círculo) 
Segmento de reta OF e OD: raio (segmento de reta que liga o centro a um ponto da circunferência) 
Ângulos
Duas semi-retas que não estejam contidas na mesma reta, e que tenham a mesma origem, dividem o plano em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa.
Cada uma dessas regiões, junto com as semi-retas, forma um ângulo. Assim, as duas semi-retas determinam dois ângulos:
Todo ângulo possui dois lados e um vértice. Os lados são as semi-retas que determinam. O vértice é a origem comum dessas semi-retas.
O ângulo convexo, de vértice O e lados , é indicado por: AÔB, BÔA ou Ô.
Ângulo central de um círculo 
É o ângulo que tem o seu vértice localizado no centro da região circular. Observe na figura que AÔB é um ângulo central, sendo o arco AB correspondente ao ângulo. 
Ângulo inscrito
O ângulo é inscrito quando o seu vértice está localizado em qualquer ponto da circunferência e seus lados sejam considerados cordas da circunferência.
Relação entre ângulo central e ângulo inscrito 
Ao analisarmos uma circunferência e constatarmos que o ângulo central e o ângulo inscrito possuem o mesmo arco, podemos dizer que o valor do ângulo central é o dobro do valor do ângulo inscrito. 
Exemplo 
1 – Qual o valor do ângulo central indicado por x na figura: 
x = 2*42º 
x = 84º 
Ângulo central 
Ângulo central é todo o ângulo que possui o vértice no centro da circunferência. 
Na figura abaixo, AB é o arco que corresponde ao ângulo central AÔB. 
Se considerarmos a unidade de arco unitário, o arco será definido por um ângulo central unitário, dessa forma teremos a medida do ângulo AÔB igual à medida do arco AB. 
Ângulo inscrito 
Ângulo inscrito em uma circunferência é todo o ângulo que tem o vértice na circunferência, onde seus lados são secantes à ela. A medida do ângulo inscrito é sempre a metade da medida do arco que ele estabelece na circunferência. 
Ângulo de segmento 
Ângulo de segmento é todo ângulo em que o vértice pertence à circunferência, sendo um dos lados secante e o outro tangente. A medida do ângulo de segmento é a metade do arco por ele estabelecido. 
Na figura abaixo, α é considerado um ângulo de segmento, que estabelece na circunferência o arco AB.
Ângulo excêntrico interior 
Ângulo excêntrico interior é aquele ângulo que possui como vértice um ponto longe do centro da região interior da circunferência. 
Na figura, o ângulo é excêntrico interior e estabelece na circunferência o arco AB. As retas  e interceptam a circunferência nos pontos C e D, estabelecendo o arco CD. A medida do ângulo APB é a metade da soma dos arcos AB e CD. 
Logo:
Ângulo excêntrico exterior 
Ângulo excêntrico exterior é aquele ângulo que possui como vértice um ponto da região exterior da circun-ferência, e lados secantes ou tangentes à circunferência. 
Na figura, o ângulo é excêntrico exterior e determina na circunferência os arcos AB e CD. A medida do ângulo APB é a metade da diferença entre os arcos AB e CD. 
Logo: 
Exemplo: Determine o valor de α sabendo que o arco AB mede 60o.
 
Exemplo: Determine o valor de α na figura abaixo.
  
Exemplo: Determine o valor de α na figura abaixo.
Exemplo 1
Determine o valor de x no triângulo a seguir.
sen120º = sen(180º – 120º) = sen60º = √3/2 ou 0,865
sen45º = √2/2 ou 0,705
Exemplo 2
No triângulo a seguir temos dois ângulos, um medindo 45º, outro medindo 105º, e um dos lados medindo 90 metros. Com base nesses valores determine a medida de x.
Para determinarmos a medida de x no triângulo devemos utilizar a lei dos senos, mas para isso precisamos descobrir o valor do terceiro ângulo do triângulo. Para tal cálculo utilizamos a seguinte definição: a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Portanto:
α + 105º + 45º = 180º
α + 150º = 180º
α = 180º – 150º
α = 30º
Aplicando a lei dos senos
Exemplo 3
Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x no triângulo a seguir:
a² = b² + c² – 2 * b * c * cos?
7² = x² + 3² – 2 * 3 * x * cos60º
49 = x² + 9 – 6 * x * 0,5
49 = x² + 9 – 3x
x² –3x – 40 = 0
Aplicando o método resolutivo da equação do 2º grau, temos:
x’ = 8 e x” = – 5, por se tratar de medidas descartamos x” = –5 e utilizamos x’ = 8. Então o valor de x no triângulo é 8 cm.
Exemplo 4
Em um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 6 cm, AC = 5 cm e BC = 7 cm. Determine a medida do ângulo A.
Vamos construir o triângulo com as medidas fornecidas no exercício.
Aplicando a lei dos cossenos
a = 7, b = 6 e c = 5
7² = 6² + 5² – 2 * 6 * 5 * cos A
49 = 36 + 25 – 60 * cos A
49 – 36 – 25 = –60 * cos A
–12 = –60 * cos A
12 = 60 * cos A
12/60 = cos A
cos A = 0,2
O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,2 mede 78º.
Exemplo 3
Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da figura a seguir, utilizando a lei dos cossenos.
cos 120º = –cos(180º – 120º) = – cos 60º = – 0,5
x² = 5² + 10² – 2 * 5 * 10 * ( – cos 60º)
x² = 25 + 100 – 100 * (–0,5)
x² = 125 + 50
x² = 175
√x² = √175
x = √5² * 7
x = 5√7
Introdução à Análise Combinatória
Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.
Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p<m.
Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.
Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia!
Permutações
Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.
Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos.
Fórmula: Ps(m) = m!.
Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.
Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.
Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então
Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)
Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição.
Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.
Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,
AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,
ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}
Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo.
Fórmula: Pc(m)=(m-1)!
Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6
Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?
Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos, apresentados no conjunto:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,
BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,
CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}
Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:
ABCD=BCDA=CDAB=DABC
ABDC=BDCA=DCAB=CABD
ACBD=CBDA=BDAC=DACB
ACDB=CDBA=DBAC=BACD
ADBC=DBCA=BCAD=CADB
ADCB=DCBA=CBAD=BADC
Existem somente 6 grupos distintos, dados por:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}
Arranjos
São agrupamentos formados com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição.
Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!
Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.
Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}
Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos.
Fórmula: Ar(m,p) = mp.
Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 42=16.
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16 grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
Arranjo condicional: Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condição que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos.
Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)
Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72.
Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letras escolhidas no subconjunto {A,B,C}?
Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e a taxa que este subconjunto será formado é p1=2. Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão no conjunto:
PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB}
Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto:
PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}
Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjunto PABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG.
Combinações
Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí apenas pela espécie.
Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]
Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}
Combinação com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes.
Fórmula: Cr(m,p)=C(m+p-1,p)
Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos:
Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são:
Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}
Regras gerais sobre a Análise Combinatória
Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.
Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro.
Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.
Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam em ambas, sendo que a primeira rcontem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, s3, ..., sn. De quantas maneiras podemos traçar segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta?
É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter também n segmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis.
Número de Arranjos simples
Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos (p<m) deste conjunto? Cada uma dessas escolhas será chamada um arranjo de m elementos tomados p a p. Construiremos uma sequência com os m elementos de C.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor do elemento para a cor vermelha.
Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Após a segundaretirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.
Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:
	Retirada
	Número de possibilidades
	1
	m
	2
	m-1
	3
	m-2
	...
	...
	p
	m-p+1
	No.de arranjos
	m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por:
A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:
{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,
IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}
A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?
Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que há 5∙5=25 possibilidades.
O conjunto solução é:
{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,
IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}
Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final?
XYZ-1234
Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.
Número de Permutações simples
Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de permutações com m elementos distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de permutações de m elementos:
	Retirada
	Número de possibilidades
	1
	m
	2
	m-1
	...
	...
	p
	m-p+1
	...
	...
	m-2
	3
	m-1
	2
	m
	1
	No.de permutações
	m(m-1)(m-2)...(m-p+1)...4.3.2.1
Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será dada por:
P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1
Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever:
A(m,m) = P(m)
Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se simplificar a permutação de m elementos e escrever simplesmente:
P(m) = m!
Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é um número natural.
Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 e para isto podemos escrever:
0!=1
Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.
O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da função P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:
(m+1)! = (m+1).m!,    0! = 1
Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante? O número de arranjos é P(3)=6 e o conjunto solução é:
P={ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}
Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos é P(4)=24 e o conjunto solução é:
P={AMOR, AMRO, AROM, ARMO, AORM, AOMR, MARO, MAOR, MROA, MRAO, MORA, MOAR, OAMR, OARM, ORMA, ORAM, OMAR, OMRA, RAMO, RAOM, RMOA, RMAO, ROAM, ROMA}
Número de Combinações simples
Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.
Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.
Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.
Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:
C(m,p) = A(m,p) / p!
Como
A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)
então:
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!
que pode ser reescrito
C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-1)p]
Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por
(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1
que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:
m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!
e o denominador ficará:
p! (m-p)!
Assim, a expressão simplificada para a combinação de m elementos tomados p a p, será uma das seguintes:
Número de arranjos com repetição
Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escolhidos neste conjunto em uma ordem determinada. Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo com repetição de m elementos tomados p a p. Acontece que existem m possibilidades para a colocação de cada elemento, logo, o número total de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dado por mp. Indicamos isto por:
Arep(m,p) = mp
Número de combinações com repetição
Considere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um após o outro e ordene estes elementos na mesma ordem que os elementos dados. O resultado é chamado uma combinação com repetição de m elementos tomados p a p. Denotamos o número destas combinações por Crep(m,p). Aqui a taxa p poderá ser maior do que o número m de elementos.
Seja o conjunto A=(a,b,c,d,e) e p=6. As coleções (a,a,b,d,d,d), (b,b,b,c,d,e) e (c,c,c,c,c,c) são exemplos de combinações com repetição de 5 elementos es-colhidos 6 a 6.
Podemos representar tais combinações por meio de símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido (e colocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø serve para separar os objetos em função das suas diferenças
(a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø
(b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø#
(c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØ
Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6# e 4Ø. Para cada combinação existe uma correspondência biunívoca com um símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolo pondo exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios são preenchidos com barras. Isto pode ser feito de C(10,6) modos. Assim:
Crep(5,6) = C(5+6-1,6)
Generalizando isto, podemos mostrar que:
Crep(m,p) = C(m+p-1,p)
Propriedades das combinações
O segundo número, indicado logo acima por p é conhecido como a taxa que define a quantidade de elementos de cada escolha.
Taxas complementares
C(m,p)=C(m,m-p)
Exemplo: C(12,10) = C(12,2)=66.
Resumo
O estudo da análise combinatória é dividido em:
· Princípio fundamental da contagem
· Fatorial
· Permutação Simples
· Permutação com elementos repetidos.
· Arranjos Simples
· Combinação Simples
PFC
Para entendermos o princípio fundamental da contagemvamos analisar a seguinte situação: João possui 4 camisas, 3 calças, 2 pares de meia e 2 pares de sapatos. De quantas maneiras diferentes ele pode se vestir?
 
Observe os esquemas a seguir:
Cada esquema representa todas as possíveis combinações envolvendo os objetos do vestuário de João. Uma maneira mais simplificada e eficaz de resolver tal situação consiste em determinar a multiplicação entre a quantidade de elementos de cada conjunto. Observe: 
4∙3∙2∙2 = 48 combinações. 
De acordo com o princípio fundamental da contagem, se um evento é composto por duas ou mais etapas sucessivas e independentes, o número de combinações será determinado pelo produto entre as possibilidades de cada conjunto. 
Observe outro exemplo: 
Numa lanchonete há 8 tipos de sanduíche, 5 tipos de sucos e 6 tipos de sorvetes. Quantas são as possíveis combinações de um lanche nessa lanchonete? 
Utilizando o princípio fundamental da contagem temos: 
8∙5∙6 = 240 maneiras de realizar um lanche. 
Fatorial 
O fatorial é uma ferramenta matemática utilizada na análise combinatória, na determinação do produto dos antecessores de um número maior que 1. 
Por exemplo:
 
1! = 1 
2! = 2 * 1 = 2 
3! = 3 * 2 *1 = 6 
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 
6! = 6 * 5 *4 * 3 * 2 * 1 = 720 
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5 040 
8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40 320 
9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362 880 
10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3 628 800 
E assim sucessivamente.
 
Um exemplo de utilização de fatorial está presente no cálculo de anagramas de uma palavra. Lembrando que anagrama é a quantidade de novas palavras formadas com ou sem sentido, utilizando as letras de outra palavra. Por exemplo, vamos determinar os anagramas da palavra AMOR. 
A palavra AMOR é formada por quatro letras, portanto:
4! = 4∙3∙2∙1 = 24 palavras 
Determinando os anagramas da palavra MATEMÁTICA. 
10! =10∙9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 = 3 628 800 palavras formadas.
Permutação Simples
Este texto apresentará uma explicação diferenciada para o conceito de permutação. Assim como você já deve ter lido nos outros artigos de análise combinatória, permutação é uma das formas de se combinar os elementos de um determinado grupo, combinação esta que se assemelha à expressão do Arranjo Simples. 
Nesse artigo mostraremos para você, estudante, que não é preciso sair decorando diversas fórmulas, pois muitas delas são idênticas, apenas com uma interpretação diferente. 
Vejamos a expressão para o arranjo simples e analisemos suas informações.
Note que n é a quantidade de elementos que você tem para combinar e k é a quantidade de posições que estes elementos podem ocupar, ou seja, tudo indica que a quantidade k seja menor do que a quantidade de elementos que serão trocados. 
O que aconteceria se tivéssemos posições para todos os elementos (n)? Em outras palavras, o que aconteceria se k fosse igual a n? Ao respondermos esta pergunta utilizando a expressão do arranjo, iremos obter uma expressão que corresponderá à permutação simples. Pois ela consiste em você organizar n elementos distintos, entre n posições distintas. 
Vejamos então esta expressão:
Por sua vez, como permutamos n elementos, todos eles em n posições distintas, podemos afirmar que esta expressão obtida remete à expressão da permutação simples. 
Sendo assim, a expressão da permutação é dada da seguinte forma:
Veja que não é necessário sair decorando diversas fórmulas na matemática, pois muitas destas são apenas um caso específico de uma expressão mais abrangente. Caso um dia você se esqueça de como é que se calcula uma permutação simples, basta lembrar que só é preciso pegar a expressão do arranjo e permutar os elementos em todas as posições.
Permutação Envolvendo Elementos Repetidos
Entendemos por permutações uma sequência ordenada, construída por elementos disponíveis. O número de permutações de n elementos é dado pelo fatorial de n, isto é, basta calcularmos o fatorial do número de elementos do conjunto fornecido. Para o melhor entendimento vamos considerar os anagramas da palavra LUA. Lembrando que anagrama de uma palavra corresponde à permutação das letras de uma palavra, formando ou não outra palavra. Observe: 
No caso da palavra LUA, não existe repetição de letras, então podemos determinar os anagramas através da seguinte expressão matemática: Pn = n! 
P3 = 3! = 3*2*1 = 6
A palavra LUA possui 6 anagramas. 
Determinar os anagramas da palavra MORANGO. Os anagramas serão formados a partir de uma sequência de 7 letras, das quais duas são iguais a O. Dessa forma temos: 
 Os anagramas serão formados a partir da sequência de 8 letras, das quais duas são iguais a R e duas iguais a O. Temos que: 
Anagramas da palavra MATEMÁTICA.  Nesse caso temos 10 letras, onde ocorrem as seguintes repetições: duas letras M, três letras A e duas letras T. Então:
Arranjo Simples
Os agrupamentos formados nos exercícios de análise combinatória podem ser considerados Arranjos simples. Será assim classificado se levarmos em consideração a ordem de seus elementos, ou seja, se os agrupamentos forem diferentes entre si pela ordem de seus elementos. 
Por exemplo, vamos considerar dois agrupamentos dos números divisíveis por 3, de 5 algarismos formados com os elementos (algarismos) do conjunto A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. 
Os números 12345 e 54321 são divisíveis por 3 e possuem 5 algarismos do conjunto A. E os algarismos utilizados na construção desses números são iguais, mas estão dispostos em ordens diferentes, tornando-os diferentes entre si. Portanto, esse exercício de análise combinatória é um exemplo de arranjo simples. Quando os agrupamentos de um exercício de análise combinatória forem caracterizados como Arranjos simples, para calcular a quantidade de agrupamentos formados não é preciso esquematizar todos eles, basta utilizar a seguinte fórmula: 
n é a quantidade de elementos do conjunto. 
p é um número natural menor ou igual a n, que representa a união dos elementos na formação dos agrupamentos. 
Assim, podemos definir arranjo simples como sendo: 
Dado um conjunto qualquer com n elementos e um valor para natural p. Será formado um arranjo simples de p elementos distintos de um conjunto qualquer sequência formada por p elementos do conjunto. 
Exemplo: 
Considere o conjunto I = {a,b,c,d}: 
• Quantos são os arranjos simples dos elementos de I, tomados dois a dois? 
Como o exercício já informou que se trata de um arranjo simples, devemos retirar os dados e aplicá-los na fórmula. 
n = 4 
p = 2 
Combinação Simples
Combinação simples é um tipo de agrupamento no estudo sobre análise combinatória. Os agrupamentos formados com os elementos de um conjunto serão considerados combinações simples se os elementos dos agrupamentos diferenciarem apenas pela sua natureza.
Se considerarmos o conjunto B ={A,B,C,D} formados por 4 pontos não colineares (que não pertence a mesma reta), qual a quantidade de triângulos que podemos formar?
Esse é um problema de análise combinatória, pois iremos formar agrupamentos. Nesse caso o agrupamento é formar triângulos utilizando 4 pontos não colineares. Se destacarmos dois agrupamentos formados teremos: ABC e BCA, esses são triângulos formados com os mesmos pontos, mas em ordens diferentes que torna os triângulos iguais. Portanto, os agrupamentos formados nesse exercício são combinações.
As combinações simples podem ser consideradas um tipo particular de arranjo simples, pois os agrupamentos formados nos arranjos são diferenciados pela ordem e pela natureza dos seus elementos. A combinação simples são esses arranjos diferenciados apenas pela natureza de seus elementos. Considerando o exemplo acima veja todas as possibilidades de triângulos formados com os quatro pontos não colineares:
ABC, BAC, CAB, DAB
ABD, BAD, CAD, DAC
ACB, BCA, CBA, DBA
ACD, BCD, CBD, DBC
ADB, BDA, CDA, DCA
ADC, BDC, CDB, DCB
Percebemos que há vários agrupamentos que se diferem pela ordem de seus elementos, esses representam o mesmo triângulo, por isso que consideramos esse exercíciocomo sendo uma combinação simples, assim a quantidade de combinações simples que os 4 pontos não colineares (A,B,C,D), tomados 3 a 3 irão formar será 4, pois os seus agrupamentos se diferem pela natureza de seus elementos e não pela ordem.
Para encontrar essa quantidade de agrupamentos formados em uma combinação simples utilizamos a seguinte fórmula:
e irão formar os agrupamentos.
Substituindo os dados acima na fórmula teremos:
Questão 1
Os resultados do último sorteio da Mega-Sena foram os números 04, 10, 26, 37, 47 e 57. De quantas maneiras distintas pode ter ocorrido essa sequência de resultados?
Questão 2
Na palavra NORTE, quantos anagramas podem ser formados? Quantos começam com vogal?
Questão 3
(U.F.Pelotas-RS) Tomando como base a palavra UFPEL, resolva as questões a seguir.
Quantos anagramas podem ser formados de modo que as vogais estejam sempre juntas?
Quantos anagramas podem ser formados com as letras UF juntas?
Quantos anagramas podem ser formados com as letras PEL juntas e nessa ordem?
Questão 4
(Vunesp-SP) Considere todos os números formados por seis algarismos distintos obtidos permutando-se, de todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
Determine quantos números é possível formar (no total) e quantos números se iniciam com o algarismo 1.
Escrevendo-se esses números em ordem crescente, determine qual posição ocupa o número 512346 e que número ocupa a 242ª posição.
Questão 5
Determine o número de anagramas que podem ser formados com as letras do nome ALEMANHA. 
Questão 6 
Utilizando o nome COPACABANA, calcule o número de anagramas formados desconsiderando aqueles em que ocorrem repetições consecutivas de letras.  
Questão 7
Ao preencher um cartão da loteria esportiva, André optou pelas seguintes marcações: 4 coluna um, 6 coluna do meio e 3 coluna dois. De quantas maneiras distintas André poderá marcar os cartões? 
Questão 8
Em um torneio de futsal um time obteve 8 vitórias, 5 empates e 2 derrotas, nas 15 partidas disputadas. De quantas maneiras distintas esses resultados podem ter ocorrido?
Questão 9
Em uma prova composta de 20 questões envolvendo V ou F, de quantas maneiras distintas teremos doze respostas V e oito respostas F? 
Questão 10
Em uma empresa, quinze funcionários se candidataram para as vagas de diretor e vice-diretor financeiro. Eles serão escolhidos através do voto individual dos membros do conselho da empresa. Vamos determinar de quantas maneiras distintas essa escolha pode ser feita.
Trata-se de um agrupamento de 15 pessoas tomadas 2 a 2.
Questão 11
Um número de telefone é formado por 8 algarismos. Determine quantos números de telefone podemos formar com algarismos diferentes, que comecem com 2 e terminem com 8.
 
O número 2 deve ser fixado na 1ª posição e o 8 na última. Restaram, por tanto, 6 posições e 8 algarismos, pois eles precisam ser diferentes. Considerando que a ordem dos algarismos diferencie dois números de telefone, vamos arranjar 8 algarismos 6 a 6.
 
Questão 12
Em uma urna de sorteio de prêmios existem dez bolas enumeradas de 0 a 9. Determine o número de possibilidades existentes num sorteio cujo prêmio é formado por uma sequência de 6 algarismos.
Questão 13
Uma família é composta por seis pessoas (pai, mãe e quatro filhos) que nasceram em meses diferentes do ano. Calcule as sequências dos possíveis meses de nascimento dos membros dessa família.
Sabemos que 1 ano é composto de 12 meses, então devemos determinar o número de sequência através do arranjo de 12, tomados 6 a 6.
Questão 14
Em uma sala de aula existem 12 alunas, onde uma delas chama-se Carla, e 8 alunos, onde um deles atende pelo nome de Luiz. Deseja-se formar comissões de 5 alunas e 4 alunos. Determine o número de comissões, onde simultaneamente participam Carla e Luiz.
Questão 15
Um time de futebol é composto de 11 jogadores, sendo 1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meio campistas e 2 atacantes. Considerando-se que o técnico dispõe de 3 goleiros, 8 zagueiros, 10 meio campistas e 6 atacantes, determine o número de maneiras possíveis que esse time pode ser formado.
Questão 16
Um pesquisador científico precisa escolher três cobaias, num grupo de oito cobaias. Determine o número de maneiras que ele pode realizar a escolha.
Questão 17
No jogo de basquetebol, cada time entra em quadra com cinco jogadores. Considerando-se que um time para disputar um campeonato necessita de pelo menos 12 jogadores, e que desses, 2 são titulares absolutos, determine o número de equipes que o técnico poderá formar com o restante dos jogadores, sendo que eles atuam em qualquer posição.
Respostas
Resposta Questão 1
Os números sorteados da mega sena formam uma sequência de seis números. Para calcular as formas distintas que esse resultado pode ter sido sorteado, basta calcular: P6=6!=6*5*4*3*2*1 = 720.
Resposta Questão 2
Na palavra NORTE, temos 5 letras e a quantidade de anagramas distintos é dada por P5=5!= 5*4*3*2*1 =120. Para sabermos quantos começam com vogal, sabemos que, fixado que a primeira letra é uma vogal, restam apenas quatro posições a serem permutadas. Então temos 4!= 4*3*2*1 = 24. Como temos duas vogais, basta multiplicar 2*24=48. Assim, dos 120 anagramas que podem ser formados, apenas 48 começam com vogais.
Resposta Questão 3
Na palavra UFPEL, temos 5 letras e a quantidade de anagramas distintos é dada por P5 = 5! = 5*4*3*2*1 = 120
Para sabermos quantos anagramas podem ser formados de modo que as vogais estejam sempre juntas, vamos considerar um bloco de vogais, por exemplo, UE.  Então, basta realizar a permutação como se tivéssemos apenas quatro itens a serem permutados. Então temos P4 = 4*3*2*1 = 24 . Como temos também outro bloco de vogais, EU, o cálculo será análogo ao anterior, portanto basta dobrarmos o último resultado. Assim, dos 120 anagramas que podem ser formados, apenas 48 apresentam as vogais juntas. Para calcular quantos anagramas tem as letras UF juntas, o raciocínio é o mesmo do item a, e o resultado também é o mesmo. Só que agora estamos considerando os blocos UF e FU.
 
Para saber quantos anagramas podem ser formados com as letras PEL juntas, basta considerar que essas letras formam um único bloco, e, assim, teremos apenas a permutação de 3 elementos, U, F e PEL. Como foi fixado que as letras PEL devem aparecer nessa ordem, basta calcular P3 = 3*2*1 = 6, e não se deve analisar outros grupos. 
Resposta Questão 4
No total, as possíveis permutações de seis algarismos são dadas porP6=6!=6*5*4*3*2*1 = 720. Fixando aquelas que iniciam com o algarismo 1, basta permutar os outros algarismos. Portanto, temos P5=5!= 5*4*3*2*1 =120 números que começam com o algarismo 1.
Escrevendo esses números em ordem crescente, temos a seguinte situação: o primeiro conjunto de números são aqueles que começam com 1, e, conforme calculado no item anterior, formam 120 elementos. O segundo conjunto a ser ordenado são aqueles números que começam com o algarismo 2, e seguindo o mesmo raciocínio, também contém 120 elementos. Segue que temos 6 conjuntos numéricos começando com cada algarismo (1, 2, 3, 4, 5 e 6), cada um com 120 elementos. Queremos saber qual posição ocupa o número 512346. De imediato, sabemos que sua posição deve estar entre 481ª e 600ª, que são as posições ocupadas pelos números que começam com o algarismo 5. Agora, note que 512346 é o menor número desse conjunto. Portanto, sua posição é justamente a posição 481ª. Para saber qual número ocupa a 242ª posição, já sabemos que é um número que começa com o algarismo 3, isso porque até o 120 são os que começam com 1, do 121 até 240 são os que começam com o número 2 e da posição 241 até a posição 360 são aqueles que começam com o algarismo 3. Como queremos o número na posição 242ª, queremos o segundo menor número desse conjunto que inicia com o número 3. Temos que o menor é o número 312456. Para encontrar o segundo menor, basta permutar os dois últimos algarismos; assim, temos que o número que ocupa a posição 242ª é o 312465.
Resposta Questão 5
No nome ALEMANHA, a letra A se repete trêsvezes, dessa maneira, temos que calcular os anagramas de forma a desconsiderar aqueles em que a letra A se apresenta consecutivamente. 
São possíveis 6720 anagramas. 
Resposta Questão 6
Na palavra COPACABANA, temos quatro letras A e duas letras C. O número de anagramas formados será dado pela expressão:
Poderão ser formados 75.600 anagramas.
Resposta Questão 7
Os cartões poderão ser marcados de 60.060 maneiras diferentes. 
Resposta Questão 8
Os resultados podem ser dispostos de 135.135 maneiras distintas. 
Resposta Questão 9
Podemos ter 125.970 maneiras distintas de respostas envolvendo doze questões V e oito F. 
Resposta Questão 10
Os cargos poderão ser ocupados de 210 maneiras distintas.
Resposta Questão 11
Podemos formar 20.160 números de telefones com os algarismos distintos e que comecem com 2 e terminem com 8.
Resposta Questão 12
O sorteio terá 151.200 possibilidades de sequência de 6 algarismos.
Resposta Questão 13
Resposta Questão 14
Comissão de alunas será dada por: C11,4
Comissão de alunos será composta por: C7,3
O número de comissões, respeitando a condição imposta, será de 11 550.
Resposta Questão 15
 
Goleiros: C3,1
Zagueiros: C8,4
Meio campistas: C10,4
Atacantes: C6,2
C3,1 * C8,4 * C10,4 * C6,2 = 3 * 70 * 210 * 15 = 661 500 maneiras de o time ser formado
Resposta Questão 16
C8,3 
O pesquisador pode realizar a escolha de 56 maneiras.
Resposta Questão 17
Dos 12 jogadores, 2 são titulares absolutos, então teremos 10 jogadores disputando 3 vagas. Portanto, temos a seguinte combinação: C10, 3.
O treinador poderá formar 120 equipes.
Probabilidade
A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.
Experimento Aleatório
É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.
Espaço Amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S.
Exemplo:
Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos:
    S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}
1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}.
2. Idem, o evento em que:
a)      A ou B ocorrem;
b)      B e C ocorrem;
c)      Somente B ocorre.
a. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos
Resolução:
a. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par:  A={K2, K4, K6};
Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}
Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}.
a. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}
(b) B e C = B Ç C = {R3,R5}
(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C;
B  Ç  Ac  Ç  Cc   =   {K3,K5,R2}
a. A e C são mutuamente exclusivos, porque A Ç C = Æ
 
Conceito de Probabilidade
Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:
Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.
Num espaço amostral equiprovável S (finito), a proba-bilidade de ocorrência de um evento A é sempre:
Propriedades Importantes
1. Se A e A’ são eventos complementares, então:
P(A) + P(A') = 1
2. A proba1bilidade de um evento é sempre um número entre Æ (pro1babilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).
0<P(S)<1
 
Probabilidade Condicional
Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada.
Fórmula de Probabilidade Condicional
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1).
Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1;
P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2;
P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 e E2...En-1.
Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolução:
Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos:
A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30
B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29
Assim:
P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87
 
Eventos independentes
Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.
Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:
    P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2). P(E3)... P(En)
Exemplo: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolução: Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.
Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.
 
Probabilidade de Ocorrer união de Eventos
Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos:
P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2)
De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2).
Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos:
P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)
 
Exemplo: Se dois dados, azul e  branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco?
Considerando os eventos:
A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6
B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6
Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:
n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36
 
Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei?
Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos:
A: sair 8 e P(A) = 4/52
B: sair um rei e P(B) = 4/52
Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.
Exemplo 1:
Uma pesquisa realizada entre 1000 consumidores, registrou que 650 deles trabalham com cartões de crédito da bandeira MasterCard, que 550 trabalham com cartões de crédito da bandeira VISA e que 200 trabalham com cartões de crédito de ambas as bandeiras. Qual a probabilidade de ao escolhermos deste grupo uma pessoa que utiliza a bandeira VISA, ser também um dosconsumidores que utilizam cartões de crédito da bandeira MasterCard?
Observe a figura abaixo e a compare com as informações do enunciado. Fazer isto poderá lhe ajudar na resolução de outros problemas:
De onde tiramos que:
A probabilidade procurada é dada pela fórmula:
Como supracitado a probabilidade da intersecção é a razão do seu número de elementos, para o número de elementos do espaço amostral, então a fórmula acima pode ser reduzida a:
O número de pessoas que utilizam as duas bandeiras, ou seja, a quantidade de elementos da intersecção é igual a 200, já o número de consumidores que utilizam ao menos a bandeira VISA é 550, portanto:
Portanto:
A probabilidade de escolhida uma pessoa que utiliza a bandeira VISA, ser também um usuário da bandeira MASTERCARD é 4/11.
Acima tratamos da probabilidade da ocorrência de um evento A tendo ocorrido um evento B. Se tivéssemos a probabilidade da ocorrência de um evento B tendo ocorrido um evento A, a fórmula para o cálculo desta probabilidade seria:
O que implica em:
Exemplo 2:
Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas.  
Calcule as probabilidades de:
a) em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma bola branca (B).
Solução:
p(V Ç B) = p(V) . p(B/V)
p(V) = 5/7 (5 bolas vermelhas de um total de 7).
Supondo que saiu bola vermelha na primeira retirada, ficaram 6 bolas na urna. Logo:
p(B/V) = 2/6 = 1/3
Da lei das probabilidades compostas, vem finalmente que:
P(V Ç B) = 5/7 . 1/3 = 5/21 = 0,2380 = 23,8%
b) em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola branca.
Solução:
Com a reposição da primeira bola retirada, os eventos ficam independentes. Neste caso, a probabilidade buscada poderá ser calculada como:
P(V Ç B) = p(V) . p(B) = 5/7 . 2/7 = 10/49 = 0,2041 = 20,41%
Observe atentamente a diferença entre as soluções dos itens (a) e (b) acima, para um entendimento perfeito daquilo que procuramos transmitir.
Exemplo 3:
Em uma pesquisa realizada com 10.000 consumidores sobre a preferência da marca de sabão em pó, verificou-se que: 6500 utilizam a marca X; 5500 utilizam a marca Y; 2000 utilizam as duas marcas. Foi sorteada uma pessoa desse grupo e verificou-se que ela utiliza a marca X. Qual a probabilidade dessa pessoa ser também usuária da marca Y?
Solução: Vamos identificar cada um dos eventos.
A: Usuário da marca Y.
B: Usuário da marca X.
Queremos determinar P(A|B) e sabemos que o número de elementos do espaço amostral é n(S) = 10000.
Temos, também, que:
n(A∩B) = 2000
Segue que:
Mas
Da teoria de conjunto, temos que:
n(B) = 6500 – n(A∩B) = 6500 – 2000 = 4500
Assim, teremos:
Logo,
Questão 1
No lançamento de dois dados perfeitos, qual a probabilidade de que a soma dos resultados obtidos seja igual a 6?
Questão 2
Considerando todos os divisores positivos do numeral 60, determine a probabilidade de escolhermos ao acaso, um número primo. 
Questão 3
Em uma urna existem bolas enumeradas de 1 a 15. Qualquer uma delas possui a mesma chance de ser retirada. Determine a probabilidade de se retirar uma bola com número nas seguintes condições:
a) par
b) primo
c) par ou primo
d) par e primo
Questão 4
Um teste de múltipla escolha é composto de 12 questões, com 5 alternativas de resposta, sendo que somente uma, é correta.  Calcule a probabilidade de uma pessoa, marcando aleatoriamente as 12 questões, acertar metade das respostas. 
Questão 5
Uma moeda é lançada 10 vezes. Determine a probabilidade de sair “coroa” 7 vezes. 
Questão 6
Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. A e B têm as mesmas chances de vencer e, cada um, tem duas vezes mais chances de vencer do que C. Pede-se calcular a probabilidades de A ou C vencer.
Questão 7
Um cartão é retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 50. Determine a probabilidade do cartão retirado ser de um número primo.
Questão 8
Alguns amigos estão em uma lanchonete. Sobre a mesa há duas travessas. Em uma delas há 3 pastéis e 5 coxinhas. Na outra há 2 coxinhas e 4 pastéis. Se ao acaso alguém escolher uma destas travessas e também ao acaso pegar um dos salgados, qual a probabilidade de se ter pegado um pastel?
Questão 9
O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção de dois quadrados. Em cada quadrado há a indicação de um número, representado por uma certa quantidade de bolinhas, que variam de nenhuma a seis. O número total de combinações possíveis é de 28 peças. Se pegarmos uma peça qualquer, qual a probabilidade dela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face?
Questão 10
Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500 alunos fazem o curso de inglês, 300 fazem o curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos. Selecionando-se um estudante do curso de inglês, qual a probabilidade dele também estar cursando o curso de espanhol?
Respostas
Resposta Questão 1
Para que a soma seja 6, precisamos das seguintes faces: {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}. E considerando que o espaço amostral do lançamento de dois dados e representado pela multiplicação 6 * 6 = 36, temos a seguinte probabilidade:
A probabilidade é de 5/36, aproximadamente 13,88% de chance. 
Resposta Questão 2
Divisores de 60: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60). Temos um espaço amostral de 12 elementos, dos quais 3 são primos. Portanto, a probabilidade de escolhermos ao acaso, um número primo dentro dos divisores do número 60, será dada por:
A probabilidade é de 25% de chance. 
Resposta Questão 3
Espaço amostral: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15)
a) No espaço amostral de 15 números, temos 7 números pares.
P = 7/15 = 0,466 = 46,6%
b) Temos 6 números primos dentre o espaço amostral de 15 números.
P = 6/15 = 0,4 = 40%
c)
Número par = 7 possibilidades entre 15
Número primo = 6 possibilidades entre 15
Par ∩ primo = 1
P(par) + P(primo) – P (par ∩ primo)
d) Dentro do intervalo dado, temos um único número que satisfaz a condição de ser par e primo ao mesmo tempo, que é o número 2. Portanto, temos a seguinte probabilidade:
Resposta Questão 4
As chances de acerto são 1 em 5, que corresponde a 0,2 ou 20%.
As chances de erro são 4 em 5, que corresponde a 08 ou 80%.
Nesse caso, vamos utilizar a fórmula do método binomial:
Vamos considerar acertos (p) e erros (q), então:
Ele possui 1,55% de chance de acertar metade das questões. 
Resposta Questão 5
Chance de sair cara = ½
Chance de não sair cara (sair coroa) = 1/2
Resposta da Questão 6
Sejam p(A), p(B) e p(C), as probabilidades individuais de A, B, C, vencerem. Pelos dados do enunciado, temos:
p(A) = p(B) = 2.p(C).
Seja p(A) = k. Então, p(B) = k e p(C) = k/2. Temos: p(A) + p(B) + p(C) = 1.
Isto é explicado pelo fato de que a probabilidade de .A vencer ou B vencer ou C vencer é igual a (evento certo).
Assim, substituindo, vem:
k + k + k/2 = 1 \ k = 2/5.  Portanto, p(A) = k = 2/5, p(B) = 2/5 e p(C) = 2/10 = 1/5.
A probabilidade de A ou C vencer será a soma dessas probabilidades, ou seja 2/5 + 1/5 = 3/5.
Resposta da Questão 7
Os números primos de 1 a 50 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47, portanto, 15 números primos.
Temos, portanto, 15 chances de escolher um número primo num total de 50 possibilidades. Portanto, a probabilidade pedida será igual a p = 15/50 = 3/10.
Resposta da Questão 8
A probabilidade de escolhermos 1 dentre 2 travessas é igual 1/2.
A probabilidade de escolhermos um pastel na primeira travessa é 3 em 8, ou seja, é 3/8 e como a probabilidade de escolhermos a primeira travessa é 1/2, temos:
P(A)=1/2·3/8→P(A)=3/16
A probabilidade de escolhermos um pastel na segunda travessa é 4 em 6, isto é 4/6 e como a probabilidade de escolhermos a segunda travessa é igual a 1/2, temos:
P(B)=1/2·4/6→P(B)=1/3
Então a probabilidade de escolhermos um pastel é igual a:
Resposta da Questão 9
Chamemos de A o evento da ocorrência de um 3:
A = { (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3) }
Chamemos de B o evento da ocorrênciade um 4:
B = { (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) }
Veja que o elemento (4, 3) integra os dois eventos, logo.
Calculando as probabilidades de A, B e da intersecção, temos:
Finalmente para o cálculo da probabilidade desejada vamos utilizar a fórmula da probabilidade da união de dois eventos:
Repare que 13 é o número total de peças que possuem 3 ou 4, desconsiderando-se a ocorrência que se repete (o (4 ,3) da intersecção dos dois eventos).
A probabilidade de ela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face é 13/28.
Resposta da Questão 10
Chamemos de A o evento que representa o curso de espanhol e B o evento que representa o curso de inglês.
Podemos calcular a probabilidade de ocorrer A tendo ocorrido B através da fórmula:
Segundo o enunciado  e  , em-tão:
Note que no caso da probabilidade condicional, ao invés de calcularmos a probabilidade em função do número de elementos do espaço amostral, a calculamos em função do número de elementos do evento que já ocorreu.
A probabilidade do aluno também estar cursando o curso de espanhol é 2/5.
Número Binomial
O número de combinações de m elementos tomados p a p, indicado antes por C(m,p) é chamado Coeficiente Binomial ou número binomial, denotado na literatura científica como:
Exemplo: C(8,2)=28.
Extensão: Existe uma importante extensão do conceito de número binomial ao conjunto dos números reais e podemos calcular o número binomial de qualquer número real r que seja diferente de um número inteiro negativo, tomado a uma taxa inteira p, somente que, neste caso, não podemos mais utilizar a notação de combinação C(m,p) pois esta somente tem sentido quando m e p são números inteiros não negativos. Como Pi=3,1415926535..., então:
A função envolvida com este contexto é a função gama. Tais cálculos são úteis em Probabilidade e Estatística.
Teorema Binomial
Se m é um número natural, para simplificar um pouco as notações, escreveremos mp no lugar de C(m,p). Então:
(a+b)m = am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mmbm
Alguns casos particulares com m=2, 3, 4 e 5, são:
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a+b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
(a+b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + b4
(a+b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + b5
Relação do triângulo de Pascal
O triângulo de Pascal (alguns países, nomeadamente em França, é conhecido como Triângulo de Tartaglia) é umtriângulo numérico infinito formado por números binomiais , onde n representa o número da linha e k representa o número da coluna, iniciando a contagem a partir do zero.[1] O triângulo foi descoberto pelo matemático chinês Yang Hui, e 500 anos depois várias de suas propriedades foram estudadas pelo francês Blaise Pascal.
Todos esses triângulos são formados por coeficientes binomiais (números binomiais), a sua organização é feita da seguinte forma: 
• Todos os coeficientes de mesmo numerador são colocados na mesma linha.
• Todos os coeficientes de mesmo denominador são colocados na mesma coluna. 
O triângulo também pode ser representado:
	
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	0
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	
	2
	1
	3
	6
	10
	15
	
	
	3
	1
	4
	10
	20
	
	
	
	4
	1
	5
	15
	
	
	
	
	5
	1
	6
	
	
	
	
	
	6
	1
	
	
	
	
	
	
C(m,p)=C(m-1,p)+C(m-1,p-1)
Exemplo: C(12,10)=C(11,10)+C(11,9)=605
A demonstração segue pelo Princípio da Indução Mate-mática. Iremos considerar a Proposição P(m) de ordem m, dada por:
P(m): (a+b)m=am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mmbm
P(1) é verdadeira pois (a+b)1 = a + b
Vamos considerar verdadeira a proposição P(k), com k>1:
P(k): (a+b)k=ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbk
para provar a propriedade P(k+1).
Para que a proposição P(k+1) seja verdadeira, deveremos chegar à conclusão que:
(a+b)k+1=ak+1+(k+1)1akb+(k+1)2ak-1b2+...+(k+1)(k+1)bk+1
	(a+b)k+1=
	(a+b).(a+b)k
	=
	(a+b).[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbk]
	=
	a.[ak+k1ak-1b+k2ak-2 b2+k3ak-3b3+...+kkbk]
+b.[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kk bk]
	=
	ak+1+k1akb+k2ak-1b2+k3ak-2b3+...+kkabk
+akb+k1ak-1b2+k2ak-2 b3+k3ak-3b4+...+kkbk+1
	=
	ak+1+[k1+1]akb+[k2+k1]ak-1b2+[k3+k2]ak-2b3
+[k4+k3] ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a2bk-1+[kk+kk-1]abk+kkbk+1
	=
	ak+1+[k1+k0] akb+[k2+k1]ak-1b2+[k3+k2]ak-2b3
+[k4+k3]ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a2bk-1+[kk+kk-1]abk+kkbk+1
Pelas propriedades das combinações, temos:
k1+k0=C(k,1)+C(k,0)=C(k+1,1)=(k+1)1
k2+k1=C(k,2)+C(k,1)=C(k+1,2)=(k+1)2
k3+k2=C(k,3)+C(k,2)=C(k+1,3)=(k+1)3
k4+k3=C(k,4)+C(k,3)=C(k+1,4)=(k+1)4
... ... ... ...
kk-1+kk-2=C(k,k-1)+C(k,k-2)=C(k+1,k-1)=(k+1)k-1
kk+kk-1=C(k,k)+C(k,k-1)=C(k+1,k)=(k+1)k
E assim podemos escrever:
(a+b)k+1 = ak+1+(k+1)1akb + (k+1)2ak-1b2 + (k+1)3ak-2b3
+(k+1)4ak-3b4 +...+ (k+1)k-1a2bk-1 + (k+1)kabk + kkbk+1
que é o resultado desejado.
Conceitos Primitivos de Geometria Espacial e Analítica
São conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria espacial os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação:
· Pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto 
· Retas: letras minúsculas do nosso alfabeto
· Planos: letras minúsculas do alfabeto grego
Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos.
Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:
	
	                           
 
Axiomas
Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria.
Temos como axioma fundamental: existem infinitos pontos, retas e planos.
 
Postulados sobre Pontos e Retas
P1) A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.
P2) Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas.
 
P3) Por dois pontos distintos passa uma única reta.
P4) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semi-retas.
Postulados sobre Plano e Retas
P5) Por três pontos não-colineares passa um único plano.
P6) O plano é infinito, isto é, ilimitado.
P7) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.
P8) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões chamadas semi-planos.
P9) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas semi-espaços.
 
Posição Relativas entre Retas
No espaço, duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas:
	
	Concorrentes 
r ∩ s= {P} 
r α
s α
	
	Paralelas 
r ∩ s= { }
r α
s α
	
	Reversas 
r ∩ s= {P} 
Não existe plano que contenha r e s simulta-neamente
	
	
 
	
 Temos que considerar dois casos particulares:
· Retas perpendiculares: rs
·  Retas ortogonais: r s
rt e r s → t//s t α e s α
Postulado de Euclides ou das retas paralelas
P10) Dados uma reta r e um ponto P  r, existe uma única reta s, traçada por P, tal que r // s:
   
Determinação de um Plano
Lembrando que, pelo postulado 5, um único plano passa por três pontos não-colineares, um plano também pode ser determinado por:
· Uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta:
· Duas retas distintas concorrentes:
· Duas retas paralelas distintas:
Posições relativas de Reta e Plano
Vamos considerar as seguintes situações:
a) reta contida no plano
Se uma reta r tem dois pontos distintos num plano α, então r está contida nesse plano: 
b) reta concorrente ou incidente ao plano
Dizemos que a reta r "fura" o plano α ou que r e α são con-correntes em P quando r ∩ α={P}.
Observação: A reta r é reversa a todas as retas do plano que não passam pelo ponto P.
c) reta paralela ao plano
Se uma reta r e um plano α não têm ponto em comum, então a reta r é paralela a uma reta t contida no plano α; portanto, r // α
r//t e tα → r//α
Em α existem infinitas retas paralelas, reversas ou ortogonais a r.
P11) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua intersecção é dada por uma única reta que passa por esse ponto.
Perpendicularismo entre Reta e Plano
Uma reta r é perpendicular a um plano α se, e somente se, r é perpendicular a todas as retas de α que passam pelo ponto de intersecção de r e α.
Note que:
· se uma reta r é perpendicular a um plano α, então ela é perpendicular ou ortogonal a toda reta de α:
r u e r v 
· Para que uma reta r seja perpendicular a um plano α, basta ser perpendicular a duas retasconcorrentes, contidas em α: 
Observe, na figura abaixo, por que não basta que r seja perpendicular a uma única reta t de α para que seja perpendicular ao plano: 
 
Posições Relativas de dois Planos
Consideramos as seguintes situações:
a) planos coincidentes ou iguais
b) planos concorrentes ou secantes
Dois planos, α e β, são concorrentes quando sua intersecção é uma única reta: 
α∩ β=r
c) planos paralelo
Dois planos, α e β, são paralelos quando sua intersecção é vazia: 
Perpendicularismo entre reta e plano
Dois planos, α e β, são perpendiculares se, e somente se, existe uma reta de um deles que é perpendicular ao outro: 
	
	
Observação: Existem infinitos planos perpendiculares a um plano dado; esses planos podem ser paralelos entre si ou secantes.
Projeção Ortogonal
A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano α é a intersecção do plano com a reta perpendicular a ele, conduzida pelo ponto P:
A projeção ortogonal de uma figura geométrica F (qualquer conjunto de pontos) sobre um plano α é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos de F sobre α:
Distâncias
	A distância entre um pon-to e um plano é a medida do segmento cujos extre-mos são o ponto e sua projeção ortogonal sobre o plano:
	
	A distância entre uma reta e um plano paralelo é a distância entre um ponto qualquer da reta e o plano:
	
	A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer de um deles e o outro plano:
	
	A distância entre duas retas reversas r e s, é a distância entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira reta:
	
Ângulos
	O ângulo entre du-as retas reversas é o ângulo agudo que uma delas for-ma com uma reta paralela à outra:
	
	O ângulo entre uma reta e um pla-no é o ângulo que a reta forma com sua projeção orto-gonal sobre o plano:
	
Observações:
1) Se θ=90º, então r é perpendicular a α
2) Se θ=0º, então r é paralela a α ou r está contida em α
 
Diedros, Triedros e Poliedros
Diedros
Dois semi planos não-coplanares, com origem numa mesma reta, determinam uma figura geométrica chamada ângulo diédrico, ou simplesmente diedro:
Triedos
Três semi-retas não-coplanares, com origem num mesmo ponto, determinam três ângulos que formam uma figura geométrica chamada ângulo triédrico, ou simplesmente triedro:
Ângulo Poliédrico
Sejam n > 3 semi-retas de mesma origem tais que nunca fiquem três num mesmo semiplano. Essas semi-retas determinam n ângulos em que o plano de cada um deixa as outras semi-retas em um mesmo semi-espaço. A figura formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico.
Poliedros
Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:
	
	
	
	
Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro.
   
Poliedros côncavos e convexos
Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos.
Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côn-cavo.
   
Classificação
Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo:
· Tetraedro: quatro faces
· Pentaedro: cinco faces
· Hexaedro: seis faces
· Heptaedro: sete faces
· Octaedro: oito faces
· Icosaedro: vinte faces
Poliedros Regulares
Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas.
Existem cinco poliedros regulares:
	Poliedro
	Planificação
	Elementos
	
Tetraedro
	
	4 faces trian-gulares
4 vértices
6 arestas
	
Hexaedro
	
	6 faces qua-drangulares
8 vértices
12 arestas
	
Octaedro
	
	8 faces trian-gulares
6 vértices
12 arestas
	
Dodecaedro
	
	12 faces pen-tagonais
20 vértices
30 arestas
	
Icosaedro
	
	20 faces tri-angulares
12 vértices
30 arestas
Relação de Euler
Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:
V - A + F = 2
Em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces.
Observe os exemplos:
	
V=8   A=12    F=6
8 - 12 + 6 = 2
	
V = 12  A = 18   F = 8
12 - 18 + 8 = 2
 
Poliedros Platônicos
Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:
a) for convexo;
b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;
c) toda face tiver o mesmo número de arestas;
d) for válida a relação de Euler.
       Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico.
 
Prismas
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, α e β, um polígono convexo R contido em α e uma reta r que intercepta α e β, mas não R:
Para cada ponto P da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à reta r (P’ϵ β):
    Assim, temos:
      Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos congruentes paralelos a r.
Elementos do Prisma
Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:
· Bases: as regiões poligonais R e S
· Altura: a distância h entre os planos α e β
· Arestas das bases: os lados 
 (dos polígonos)
· Arestas laterais: os segmentos 
 
· Faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A
Classificação
      Um prisma pode ser:
· Reto: quando as arestas laterais são perpendi-culares aos planos das bases;
· Oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.
Prisma regular triangular
Prisma regular hexagonal
Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes.
Secção
Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do prisma.
Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases (figura 1). Todas as secções transversais são congruentes (figura 2).
	
	
 
Áreas
Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície: as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas:
a) área de uma face (AF):área de um dos paralelogramos que constituem as faces;
b) área lateral (AL):soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.
 No prisma regular, temos:
AL = n ∙ AF (n = número de lados do polígono da base)
c) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases;
d) área total (AT): soma da área lateral com a área das bases
AT = AL + 2AB
Exemplo:
Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos:
	
	
	
	
AF=a·h
AL=6·a·h
AB=(área de hexágono regular)
Paralelepípedo
Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo. Assim, podemos ter:
a) paralelepípedo oblíquo
b) paralelepípedo reto
Se o paralelepípedo reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo, ortoedro ou paralelepípedo retângulo.
Paralelepípedo Retângulo
Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:
Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.
 
Diagonais da base do paralelepípedo
Considere a figura a seguir:
	
	db = diagonal da base
dp = diagonal do paralelepípedo
     
 Na base ABFE, temos:
	
No triângulo AFD, temos: 
Área lateral
Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:
AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =AL = 2(ac + bc)
Área total
Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:
	
	AT= 2( ab + ac + bc)
 
Volume
Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta 1:
      Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por:
V =abc
      Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo retângulo é o produto da área da base AB pela medida da altura h:
 
Cubo
Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes (a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados.
Diagonais da base e do cubo
      Considere a figura a seguir:
	
	dc=diagonal do cubo
db = diagonal da base
     Na base ABCD, temos: 
No triângulo ACE, temos: 
	
Área Lateral
A área lateral AL é dada pela área dos quadrados de lado a:
	
	AL=4a2
Área total
A área total AT é dada pela área dos seis quadrados de lado a:
	
	AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por:
V= a∙a∙a = a3
Generalização do volume do prisma
 Para obter o volume de um prisma, vamos usar o princípio de Cavalieri (matemático italiano, 1598 - 1697), que generaliza o conceito de volume para sólidos diversos.
Dados dois sólidos com mesma altura e um plano α, se todo plano β, paralelo a α, intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:
	
	α//β e A1=A2→V1=V2
Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh.
Assim, o volume de todo prisma e de todo paralelepípedo é o produto da área da base pela medida da altura:
Vprisma = ABh
Cilindro
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, α e β, um círculo R contido em α e uma reta r que intercepta α e β, mas não R:
Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento, paralelo à reta r (C’ϵβ):
 Assim, temos:
Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos congruentes e paralelos a r.
   Elementos do Cilindro
Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:
· bases: os círculos de centro O e O' e raios r
· altura: a distância h entre os planos α e β
· geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases (por exemplo, ) e paralelo à reta r
Classificação do Cilindro
      Um cilindro pode ser:
· circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases;
· circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases.
 Veja:
O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação completa de um retângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do retângulo ABCD pelo lado gera o cilindro a seguir:
A reta contém os centros das bases e é o eixo do cilindro.
 
Secção
Secção transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases. Todas as secções transversais são congruentes.
Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo.
Áreas
Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL)
Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:
Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um retângulo de dimensões 2πr e h:
AL=2πr∙h
 
b) área da base (AB):área do círculo de raio r
AB=πr²
c) área total (AT): soma da área lateral com as áreas das bases
AT=AL+2AB=2πr∙h+ πr²
Volume
Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de Cavalieri.
Dados dois sólidos com mesma altura e um plano α, se todo plano β, paralelo ao plano α, intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:
 
Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh.
Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto da área da base pela medida de sua altura:
Vcilindro = ABh
No caso do cilindro circular reto, a área da base é a área do círculo de raio r , portanto seu volume é:
V= πr²∙h
Cilindro Equilátero
Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado (altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro equilátero.
Cone Circular
Dado um círculo C, contido num plano α, e um ponto V (vértice) fora de α, chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos .
     
Elementos do cone circular
Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:
· Altura: distância h do vértice V ao plano 
· Geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência
· Raio da base: raio R do círculo
· Eixo de rotação: reta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone
Cone Reto
Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.
 Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:
g2 = h2 + R2
Secção meridiana
A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana.
Se o triângulo AVB for equilátero, o cone também será equilátero: 
g=2R e h=R
Áreas
Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio g e com-primento l=2πr:
Assim, temos de considerar as seguintes áreas:
a) área lateral (AL): área do setor circular
b) área da base (AB):área do círculo do raio R
AB=πr²
c) área total (AT):soma da área lateral com a área da base
AT=AL+AB=πRg+ πR²→AT=πr(g+r)
Volume
Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumes de sólidos de revolução. Observe a figura:
	
	d = distância do centro de gravidade (CG) da sua superfície ao eixo e
S=área da superfície
Sabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin, que, quando uma superfície gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que:
V=2πdS (Nível Superior)
Vamos, então, determinar o volume do cone de revolução gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno do cateto h:
O CG do triângulo está a uma distância d= do eixo de rotação. Logo:
ou
Pirâmides
Dados um polígono convexo R, contido em um plano α, e um ponto V (vértice) fora de α, chamamos de pirâmide o conjunto de todos os segmentos.
Elementos da pirâmide
Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos:
· Base: o polígono convexo R
· Arestas da base: os lados do polígono
· Arestas laterais: os segmentos  
· Faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA
· Altura: distância h do ponto V ao plano
 
Classificação
Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.
Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc.
Veja:
	
	
Observações:
1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos equiláteros, ele é denominado regular (todas as faces e todas as arestas são congruentes).
	
	
2ª) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resulta num octaedro. Quando as faces das pirâmides são triângulos equiláteros, o octaedro é regular.
	
	
Secção paralela à uma base da Pirâmide
Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal de modo que:
· As arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão;
· A secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes;
· As áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice.
Relações entre os elementos de uma Pirâmide Regular
Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral l e aresta da base a: 
 e h²=l²-a²
Assim, temos:
·  A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um círculo de raio OB = R.
· A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles. 
 é o apótema da pirâmide (altura de uma face late-ral)
· Os triângulos VOB e VOM são retângulos.
Áreas
Numa pirâmide, temos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL): reunião das áreas das faces laterais
b) área da base (AB): área do polígono convexo (base dapirâmide)
c) área total (AT): união da área lateral com a área da base
AT = AL +AB
Para uma pirâmide regular, temos:
Em que:
 
 
Volume
O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentes possuem volumes iguais:
Troncos
Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide ou de um cone, paralelamente às suas bases, o plano dividirá cada um desses sólidos em dois outros: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um novo cone e um tronco de cone.
Vamos estudar os troncos.
Tronco da pirâmide
Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos:
· As bases são polígonos regulares paralelos e seme-lhantes;
· As faces laterais são trapézios isósceles congru-entes.
Áreas
Temos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL): soma das áreas dos trapézios isósceles congruentes que formam as faces laterais
b) área total (AT): soma da área lateral com a soma das áreas da base menor (Ab) e maior (AB) 
AT =AL+AB+Ab
	
	
Volume
O volume de um tronco de pirâmide regular é dado por:
 
Sendo V o volume da pirâmide e V' o volume da pirâmide obtido pela secção é válida a relação:
Tronco do cone
Sendo o tronco do cone circular regular a seguir, temos:
· as bases maior e menor são paralelas;
· a altura do tronco é dada pela distância entre os planos que contém as bases.
Áreas
Temos:
a) área lateral
b) área total
Volume
Sendo V o volume do cone e V' o volume do cone obtido pela secção tem-se válidas as relações:
Esfera
Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.
Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.
 
Volume
O volume da esfera de raio R é dado por:
 
Superfícies Esféricas
A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R.
Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.
        A área da superfície esférica é dada por:
As=4πr²
Zona Esférica
É a parte da esfera gerada do seguinte modo:
  
A área da zona esférica é dada por:
S=2πRh
Calota Esférica
É a parte da esfera gerada do seguinte modo:
 A área da calota esférica é dada por:
S=2πRh
Fuso Esférico
Fuso horário na ter-=ra funciona sobre seguimentos regulares com limi-tes longitudinais, em geometria funciona assim.
O fuso esférico é uma parte da super-fície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência de um ângulo a (0) em torno de seu eixo:
A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples:
Cunha Esférica
Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo a (0):
O volume da cunha pode ser obtido por uma regra de três simples:
Geometria Analítica: Retas (Introdução)
Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um único número real e vice-versa.
Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita (eixo), e determinando um ponto O dessa reta (origem) e um segmento u, unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:
Medida Algébrica de um seguimento
Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais xA e xB, temos:
A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem desse segmento.
Plano Cartesiano
A geometria analítica teve como principal idealiza-dor o filósofo francês René Descartes (1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa.
Quando os eixos desses sistemas são perpendi-culares na origem, essa correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal (ou plano cartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria (ponto, reta, circunferência) e da Álgebra (relações, equações etc.), podendo-se representar graficamente relações algébricas e expressar algebricamente representações gráficas.
Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes:
Exemplos:
A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (xA > 0 e yA > 0)
B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( xB < 0 e yB < 0)
Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estão em nenhum quadrante.
Distância entre dois Pontos
Dados os pontos A (xA, yA) e B (xB, yB) e sendo dAB a distância entre eles, temos:
	
	
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem:
Como exemplo, vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):
Razão de Secção
Dados os pontos A (xA, yA), B (xB, yB), C (xC, yC) de uma mesma reta (A≠B≠C), o ponto C divide numa deter-minada razão, denominada razão de secção e indicada por:
em que ϵR-{-1}, pois se , então A = B.
Observe a representação a seguir:
Como o ∆ACC≈∆CBB, podemos escrever:
Vejamos alguns exemplos:
Considerando os pontos A (2, 3), B (5, 6) e P (3, 4), a razão em que o ponto P divide é:
	
Se calculássemos rp usando as ordenadas dos pontos, obteríamos o mesmo resultado:
Para os pontos A (2, 3), B (5, 6) e P (1, 2), temos:
	
Assim, para um ponto P qualquer em relação a um segmento orientado contido em um eixo, temos:
Se P é interior a, então rp > 0  
Se P é exterior a, então rp < 0
Se P = A, então rp =0 
Se P = B, então não existe rp (PB = 0)
Se P é o ponto médio de, então rp =1 0 
Ponto Médio
Dados os pontos A (xA, yA), B (xB, yB) e P,  que divide  ao meio, temos:
Assim:
Logo, as coordenadas do ponto médio são dadas por:
Baricentro de um Triângulo
Observe o triângulo da figura a seguir, em que M, N e P são os pontos médios dos lados, respectivamente. 
Portanto, são as medianas desse triângulo:
Chamamos de baricentro (G) o ponto de intersecção das medianas de um triângulo.
Esse ponto divide a mediana relativa a um lado em duas partes: a que vai do vértice até o baricentro tem o dobro da mediana da que vai do baricentro até o ponto médio do lado. 
Veja:
 
Cálculo das coordenadas do Baricentro
Sendo A (XA, YA), B (XB, YB) e C (XC, YC) vértices de um triângulo, se N é ponto médio de, temos:
	
	
Mas:
Analogamente, determinamos. Assim:
Condição de Alinhamento de Três Pontos
Se três pontos, A (xA, yA), B (xB, yB) e C (xC, yC), estão alinha-dos, então:
Para demonstrar esse teorema podemos considerar três casos:
a) três pontos alinhados horizontalmente
Neste caso, as ordenadas são iguais:
yA = yB = yC
E o determinante é nulo, pois a 2ª e a 3ª coluna são proporcionais.
b) três pontos alinhados verticalmente
Neste caso, as abscissas são iguais:
xA = xB = xC
 e o determinante é nulo, pois a 1ª e a 3ª coluna são proporcionais.
c) três pontos numa reta não-paralela aos eixos
Pela figura, verificamos que os triângulos ABD e BCE são semelhantes. Então:
Desenvolvendo, vem:
Como:
Então.
Observação: A recíproca da afirmação demonstrada é válida, ou seja, se, então os pontos A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC, yC) estão alinhados.
Equação de uma Reta
Equação geral
Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento de três pontos.
Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos e distintos de r e P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P alinhados, podemos escre-ver:
Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB - xByA=c, como a e b não são simultaneamente nulos (A≠B), temos:
ax + by + c = 0 (equação geral da reta r)
Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P gene-rico da reta. Assim, dado o ponto P(m, n):
· Se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta;
· Se am + bn + c 0, P não é ponto da reta.
                                        Acompanhe os exemplos:
· Vamos considerar a equação geral da reta r quepassa por A (1, 3) e B (2, 4).
        Considerando um ponto P (x, y) da reta, temos:
· Vamos verificar se os pontos P (-3, -1) e Q (1, 2) pertencem à reta r do exemplo anterior.
Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0, temos:
-3 - (-1) + 2 = 0 →-3 + 1 + 2 = 0
Como a igualdade é verdadeira, então P ϵ r.
Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos:
1 - 2 + 2 ≠ 0
   Como a igualdade não é verdadeira, então Q r.
 
Equação Segmentária
Considere a reta r não paralela a nenhum dos eixos e que intercepta os eixos nos pontos P (p, 0) e Q (0, q), com p≠0 e q≠0:
A equação geral de r é dada por:
Dividindo essa equação por pq  (pq≠0), temos:
Como exemplo, vamos determinar a equação segmentária da reta que passa por P(3, 0) e Q(0, 2), conforme o gráfico:
	
	
Equação Paramétrica
São equações equivalentes à equação geral da reta, da forma x= f(t) e y= g(t), que relacionam as coordenadas x e y dos pontos da reta com um parâmetro t.
Assim, por exemplo,, são equações paramétricas de uma reta r.
Para obter a equação geral dessa reta a partir das paramétricas, basta eliminar o parâmetro t das duas equações:
x = t + 2 →t = x -2
Substituindo esse valor em y = - t + 1, temos:
y = -(x - 2) + 1 = -x + 3 → x + y - 3 = 0  ( equação geral de r)
 
Equação Reduzida
Considere uma reta r não-paralela ao eixo Oy:
Isolando y na equação geral ax + by + c = 0, temos:
Fazendo  vem:
y = mx + q
Chamada equação reduzida da reta, em que fornece a inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
Quando a reta for paralela ao eixo Oy, não existe a equação na forma reduzida.
Coeficiente Angular da reta
Chamamos de coeficiente angular da reta r o número real m tal que:
M=tgθ (θ≠90º)
O ângulo θ é orientado no sentido anti-horário e obtido a partir do semi-eixo positivo Ox até a reta r. Desse modo, temos sempre 0 < θ < π.
            Assim:
· Para 0 < θ < 90º, m > 0. (a tangente é positiva no 1º quadrante)
· Para 0 < θ < 90º, m < 0 (a tangente é negativa no 2º quadrante)
          
 
 Exemplos:
 
Determinação do Coeficiente Angular
Vamos considerar três casos:
a) o ângulo θ é conhecido
 
b) as coordenadas de dois pontos distintos da reta são conhecidas: A(xA, yA) e B(xB, yB) 
Como θ1=θ (ângulos correspondentes) temos que .
Mas, m = tgθ. Então:
Assim, o coeficiente angular da reta que passa, por exemplo, por A(2, -3) e B(-2, 5) é:
c) a equação geral da reta é conhecida
Se uma reta passa por dois pontos distintos A (XA, YA) e B (XB, YB), temos:
Aplicando o Teorema de Laplace na 1ª linha, vem:
(YA - YB)x + (XB - XA)y + XAYA - XBYB = 0
Da equação geral da reta, temos:
Substituindo esses valores e:
 
Temos:
Equação de uma reta r, conhecidos o coeficiente angular e um ponto de r
Seja r uma reta de coeficiente angular m. Sendo P (X0, Y0), P ϵ r, e Q (x,y) um ponto qualquer de r(Q≠P), podemos escrever:
Como exemplo, vamos determinar a equação geral da reta r que passa por P (1, 2), sendo m=3. Assim, temos X0=1e Y0=2. Logo:
y-y0=m(x-x0)=y-2 = 3(x - 1) = y-2 = 3x - 3 = 3x - y - 1 = 0 que é a equação geral de r.
Representação Gráfica da Reta
Para representar graficamente as retas de equação ax + by + c = 0 (b≠0), isolamos a variável y e atribuímos valores a x, obtendo pares ordenados que são pontos da reta.
Assim, é mais conveniente usar a equação na forma reduzida, já que ela apresenta o y isolado.
 
Coordenadas do ponto de intersecção de retas
A intersecção das retas r e s, quando existir, é o ponto P (x, y), comum a elas, que é a solução do sistema formado pelas equações das duas retas.
Vamos determinar o ponto de intersecção, por exemplo, das retas r: 2x +y - 4 =0 e s: x -y +1=0. Montando o sistema e resolvendo-o, temos:
Substituindo esse valor em x -y = -1, temos:
1 - y = -1
y = 2
Logo, P (1, 2) é o ponto de intersecção das retas r e s.
Graficamente, temos:
Posição Relativas entre Retas
Paralelismo
Duas retas, r e s, distintas e não-verticais, são paralelas se, e somente se, tiverem coeficientes angulares iguais.
 
Concorrência
Dadas as retas r: a1x +b1y + c1 = 0 e s: a2x + b2y + c2 = 0, elas serão concorrentes se tiverem coeficientes angulares diferentes:
Como exemplo, vamos ver se as retas r: 3x - 2y + 1 = 0  e  s: 6x + 4y + 3 = 0 são concorrentes:  
Perpendicularismo
Se r e s são duas retas não-verticais, então r é perpendicular a s se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1. Lê-se. Acompanhe o desenho:
Ângulos entre duas Retas
Sendo r e s duas retas não-verticais e não-perpendiculares entre si, pelo teorema do ângulo externo (β=α+θ), temos:
Dependendo da posição das duas retas no plano, o ângulo θ pode ser agudo ou obtuso. Logo:
Essa relação nos fornece o ângulo agudo θ entre r e s, pois tgθ>0. O ângulo obtuso θ será o suplemento de θ.
 
Distância entre o ponto e reta
Dados um ponto P (x1, y1) e uma reta r:ax + by + c = 0, a distância entre eles (dpr)é dada por: 
Vamos calcular a distância, por exemplo, do ponto P(-1,2) à reta r: x - 2y + 1 = 0.
Temos P(-1, 2) = P(x1, y1), a = 1, b= - 2  e  c=1. Assim:
Bissetrizes
Dadas as retas concorrentes r: a1x + b1y + c1 = 0 e  s: a2x + b2y + c2 = 0, o que se interceptam em um ponto Q, se P(x, y) é um ponto qualquer de uma das bissetrizes, P≠Q, então P equidista de r e s:
 
        Considerando o sinal positivo, obtemos uma bissetriz; considerando o sinal negativo, obtemos a outra.
       Vejamos um exemplo:
        Se r: 3x + 2y - 7 = 0 e s: 2x - 3y + 1 = 0, então suas bissetrizes são:
Geometria Analítica: Cônicas
Em geometria, cônicas são as curvas geradas ou encontra-das, na intersecção de um plano que atravessa um cone.
Numa superfície afunilada, existem três tipos de cortes que podem ser obtidos por esse processo e que resultam na:
1. Elipse, que é a cónica definida na interseção de um plano que atravessa a superfície de um cone;
2. Parábola, que é a cónica também definida na intersecção de um plano que penetra a superfície de um cone;
3. Hipérbole, que é a cónica definida na interseção de um plano penetra num cone em paralelo ao seu eixo.
A circunferência é, na realidade, uma elipse perfeita, cuja excentricidade é nula.  No caso da elipse já sabemos que:
excentricidade = e = c/a
Como é válido na elipse que a2 = b2 + c2, vem que:
Ora, como c < a, vem imediatamente que e < 1. Também, como a e c são distâncias e portanto, positivas, vem que e > 0. Em resumo, no caso da elipse, a excentricidade é um número situado entre 0 e 1 ou seja:
0 < e < 1.
Observa-se que a elipse é tanto mais achatada quanto mais próximo da unidade estiver a sua excentricidade.
Raciocinando opostamente, se o valor de c se aproxima de zero, os valores de a e de b tendem a igualar-se e a elipse, no caso extremo de c = 0, (o que implica e = 0) transforma-se numa circunferência. A circunferência é então, uma elipse de excentricidade nula.
No caso da hipérbole, já sabemos que c2 = a2 + b2 e, portanto,
Neste caso, c > a, o que significa que a excentricidade de uma hipérbole é um número real maior do que a unidade, ou seja e > 1.
Observe na fórmula acima que se as medidas a e b forem iguais, ou seja a = b, teremos uma hipérbole equilátera, cuja excentricidade será igual a e =, resultado obtido fazendo a = b na fórmula acima.
Resumindo, observe que sendo e a excentricidade de uma cônica:
	Cônica
	e
	Circunferência
	0
	Elipse
	0 < e < 1
	Hipérbole
	e > 1
Elipse
Considerando, num plano α, dois pontos distintos, F1 e F2, e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano  α tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 < 2a, temos:
	
	
A figura obtida é uma elipse.
Observações:
1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória.
A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam esse comportamento.
2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Solcomo um dos focos.
3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base.
 
Elementos
Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:
· Focos: os pontos F1 e F2 
· Centro: o ponto O, que é o ponto médio de 
· Semi-eixo maior: a
· Semi-eixo menor: b
· Semidistância focal: c
· Vértices: os pontos A1, A2, B1, B2
· Eixo maior: 
· Eixo menor:
· Distância focal: 
Relação fundamental
    Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2, retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental:
a2 =b2 + c2
Excentricidade
Chamamos de excentricidade o número real e tal que:
Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, consequentemente, 0 < e < 1.
Observação: Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência.
Equações
Vamos considerar os seguintes casos:
a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal
Sendo c a semi distância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):
Aplicando a definição de elipse Df1p+ Df2p=2a, obtemos a equação da elipse:
b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical
Nessas condições, a equação da elipse é: 
Hipérbole
Considerando, num plano α, dois pontos distin-tos, F1 e F2, e sendo 2a um número real menor que a distância entre F1 e F2, chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano α tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:
	
	
 
A figura obtida é uma hipérbole.
Observação: Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice.
Elementos
Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:
· Focos: os pontos F1 e F2
· Vértices: os pontos A1 e A2
· Centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto médio de 
· Semi-eixo real: a
· Semi-eixo imaginário: b
· Semidistância focal: c
· Distância focal: 
· Eixo real: (contém os focos)
· Eixo imaginário:
· (b >0 e tal que a²+b²=c²- relação fundamental)
 
Excentricidade
Chamamos de excentricidade o número real e tal que:
Como c > a, temos e > 1.
 
Equações Cônicas
Vamos considerar os seguintes casos:
a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox
F1 (-c, 0) e F2 ( c, 0) 
Aplicando a definição de hipérbole:
Obtemos a equação da hipérbole:
b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy
Nessas condições, a equação da hipérbole é:
 
Hipérbole equilátera
Uma hipérbole é chamada equilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário são iguais: 
a=b
Assíntotas da hipérbole
Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b.
Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é; quando é vertical, o coeficiente é.
Equação
Vamos considerar os seguintes casos:
a) eixo real horizontal e C (0, 0)
As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular; logo, suas equações são da forma:
b) eixo vertical e C (0, 0)
As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular; logo, suas equações são da forma:
Parábola
Dados uma reta d e um ponto F (F, de um plano α, chamamos de parábola o conjunto de pontos do plano α equidistantes de F e d.
Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano α e d uma reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos: 
	
	
Observações:
1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:
2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas.
3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco.
4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é parabólica.
Elementos
Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:
· Foco: o ponto F
· Diretriz: a reta d
· Vértice: o ponto V
· Parâmetro: p
Então, temos que:
· O vértice V e o foco F ficam numa mesma reta, o eixo de simetria e.
Assim, sempre temos.
· DF =p
· V é o ponto médio de  
Equações
Vamos considerar os seguintes casos:
a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal
Como a reta d tem equação   e na parábola temos:
· ;
· P (x, y);
· dPF = dPd ( definição);
Obtemos, então, a equação da parábola:
y2 = 2px
b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal
Nessas condições, a equação da parábola é:
y2 = 2px
c) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical
x2=2py
d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical
x2= -2py
1) Determine a área das seguintes figuras (em cm):
a) 
b) 
c) 
d) 
e)  
2) Temos um triângulo equilátero de lado 6cm. Qual é o perímetro e qual é a área deste triângulo?
 
3) Um trapézio tem a base menor igual a 2, a base maior igual a 3 e a altura igual a 10. Qual a área deste trapézio?
4) Sabendo que a área de um quadrado é 36cm², qual é seu perímetro?
 
5) Calcule a área e o perímetro (em metros) dos retângulos descritos:
a) a = 25 e b = 12
b) a = 14 e b = 10
Respostas
Resposta Questão 1
Resposta a:
Retângulo amarelo:
2*3 = 6
Retângulo verde:
2*6 = 12
Retângulo azul:
10*3 = 30
A soma de todos eles:
6 + 12 + 30 = 48cm²
Resposta b:
Área do triângulo:
(3*3)/2 = 4,5
Retângulo laranja:
4* (3+3) = 24
Retângulo rosa:
2*5 = 10
A soma de todas figuras:
4,5 + 24 + 10 = 38,5cm²
Resposta c:
Área do trapézio:
(15 + 10) * 6/2
25*6/2 =
150/2 = 75
Área do retângulo:
8*2 = 16
75 + 16 = 91cm²
 
Resposta d:
(20*15)/2 =
300 / 2 = 150cm²
Resposta e:
Figura azul:
4 cm
Se observarmos bem, vemos que a parte de baixo da figura roxa se encaixa na parte branca de cima da figura. Logo, temos um retângulo
4*2 = 8
4 + 8 = 12cm²
Resposta Questão 2
Perímetro:
6*3 = 18cm
Área:
Resposta Questão 3
Resposta Questão 4
Vamos descobrir o lado do quadrado:
x*x = 36
x = 
x = 6
Então seu perímetro é 6*4 = 24cm.
Resposta Questão 5
Resposta a:
Área:
25*12 = 300m²
Perímetro:
25+25+12+12 = 74m
 
Resposta b:
Área:
14*10 = 140m²
Perímetro:
14+14+10+10 = 48m
1) Um prisma triangular tem todas as arestas congruentes e 48m² de área lateral. Seu volume vale:
2) Calcular em litros o volume de uma caixa d’água em forma de prisma reto, de aresta lateral 6m, sabendo-se que sua base é um losango cujas diagonais medem 7m e 10m.
3) Qual é a distância entre os centros de duas faces adjacentes de um cubo de aresta 4?
4) Diminuindo-se de 1 unidade de comprimento a aresta de um cubo, o seu volume diminui 61 unidades de volume. A área total desse cubo, em unidades de área é igual a:
5) Se um cubo tem suas arestas aumentadas em 20% cada uma, então seu volume fica aumentado em:
Respostas
Questão 1
Quando duas retas são paralelas, o que se pode concluir a respeito de suas projeções ortogonais sobre um plano qualquer?
a) São retas transversais.
b) São retas paralelas.
c) São retas coincidentes.
d) São retas em planos distintos.
e) São retas perpendiculares.
Questão 2
Qual é a distância aproximada, em metros, entre o armazém A e a padaria B, sabendo que as suas coordenadas no mapa são dadas pelas coordenadas do ponto A (2,4) e do ponto B (3, -8)?
a) 40,4 m
b) 50,4 m
c) 12,3 m
d) 11,4 m
e) 12,4 m
Questão 3
A distância de um ponto P a um plano α é 8 cm e sua projeção ortogonal P' sobre α é o centro de um círculo contido nesse plano. Qual é a área do círculo e a do triângulo, respectivamente, sabendo que a distância de P a qualquer ponto da circunferência é 10 cm?
a) 36π cm2 e A = 24 cm2
b) 36 cm e A = 24 cm
c) 36 cm2 e A = 24 cm2
d) 24π cm2 e A = 24 cm2
e) 36π cm2 e A = 36 cm2
Questão 4
(Fatec – SP) Assinale a alternativa verdadeira.
a) Três retas que, duas a duas, não têm ponto em comum são paralelas.b) Dadas duas retas paralelas distintas, por uma delas passa um, e somente um, plano paralelo à outra reta.
c) por um ponto de uma reta pode-se traçar uma, e somente uma, perpendicular à reta considerada.
d) Por um ponto não pertencente a um plano pode-se traçar mais de uma reta paralela ao plano considerado.
e) Três pontos determinam um único plano.
Questão 5
Demonstre que o triângulo de vértices A(8 , 2), B(3 , 7) e C(2 , 1) é isósceles. Em seguida, calcule seu perímetro.
Questão 6
Quais são os possíveis valores de c para que os pontos (c , 3), (2 , c) e (14, -3) sejam colineares?
Questão 7
. Determine o valor de x para que o ponto M(2 , 3) seja o ponto médio do segmento de extremos A(x , 5) e B(3 , x).
Questão 8
Se (m+2n , m – 4) e (2 – m , 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é igual a:
a) – 2      
b) 0        
c) √2        
d) 1        
e) ½ 
Questão 9
(FEI-SP)
Num sistema de coordenadas cartesianas são dados os pontos A(0 , 0) e P(3 , h). Assinale a alternativa cuja expres-são representa a distância do ponto P ao ponto A em função de h.
a) d=√(9+h2 )       
b) d=h+3      
c) d=3h    
d) d= √(9+6h+h2 )   
e) d=9+h
Questão 10
Calcule a área do triângulo abaixo, em cm3, utilizando a Geometria Analítica.
Questão 11
Calcule a área do triângulo de vértices A (2,4), B (3,8) e C (– 2, 5).
Questão 12
Dados os pontos A (1,1) e B (10,10), qual deve ser a coordenada y do ponto C (10, y) para que a área do triângulo que tem A, B e C como vértices seja igual a 45,5?
Questão 13
Calcule a coordenada x do ponto A = (x,1) e do ponto B (x,2) sabendo que as coordenadas do ponto C são (4,2), que eles não são colineares e que a área do triângulo formado por eles é igual a 3.
Respostas
Resposta Questão 1
A projeção ortogonal de duas retas paralelas sobre um plano será outras duas retas paralelas no plano, ou dois pontos, no caso particular em que essas retas contêm ponto do plano e são ortogonais a ele. Portanto, essas projeções ortogonais são retas paralelas.
Gabarito: Letra B.
Resposta Questão 2
A distância entre dois pontos é dada pela seguinte fórmula:
dAB = √[(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2]
Substituindo as coordenadas dos pontos na fórmula, teremos:
dAB = √[(3 – 2)2 + ( – 8 – 4)2]
dAB = √[(1)2 + ( – 12)2]
dAB = √[1 + 144]
dAB = √145
dAB ≈ 12,04 m
Gabarito: Letra E.
Resposta Questão 3
Primeiramente desenhe um esquema do enunciado acima e coloque as distâncias em seus respectivos lugares.
Note que o segmento de reta PP' é ortogonal (forma um ângulo de 90°) ao plano. Isso acontece porque P' é a projeção ortogonal de P. Dessa maneira, descobrindo a distância de P' até a borda da circunferência, descobrimos também a base do triângulo retângulo formado, que, ao mesmo tempo, é raio do círculo. Para isso, utilizaremos o Teorema de Pitágoras.
102 = 82 + x2
100 = 64 + x2
100 – 64 = x2
36 = x2
x = 6
Para calcular a área desse triângulo, cuja altura é 8 cm e a base é 6 cm, basta utilizar a fórmula:
A = b·h
      2
A = 6·8
      2
A = 48
      2
A = 24 cm2
Já a área do círculo é dada pela fórmula:
A = πr2
A = π62
A = 36π cm2
Gabarito: Letra A.
Resposta Questão 4
a) Falsa!
Três retas que não possuem ponto em comum podem ser paralelas ou reversas. Para saber se são paralelas ou reversas, deve ser feita a projeção de uma das retas sobre o plano da segunda e observar se essa projeção é paralela ou transversal. Se for transversal, então as retas em cada plano serão reversas.
b) Falsa!
Dadas duas retas paralelas distintas, existem infinitos planos que passam por uma delas e que são paralelos à outra reta.
c) Falsa!
Lembre-se de que estamos considerando a geometria espacial. A partir dela, construa o plano A, perpendicular à reta dada, passando pelo ponto B em questão. São infinitas as retas nesse plano perpendicular à reta dada que contêm o ponto B. Logo, são infinitas as retas perpendiculares a essa reta passando por um de seus pontos.
d) Verdadeira!
Imagine que o plano dado chama-se A e o ponto fora dele chama-se P. Por P passa outro plano paralelo a A. Como são infinitas as retas que contêm P e pertencem ao plano que contém P, então são infinitas as retas paralelas ao plano A.
e) Falsa!
Apenas três pontos colineares determinam um único plano.
Gabarito: Letra D.
Resposta Questão 5
Para demonstrar que o triângulo ABC é isósceles se faz necessário mostrar que ele possui dois lados com a mesma medida. Assim, vamos calcular a distância entres seus vértices, que será a medida de cada lado.
Agora, vamos calcular o seu perímetro. Lembrando que perímetro é a soma das medidas dos lados e é representado por 2P, temos:
Resposta Questão 6
Resposta Questão 7
Resposta Questão 8
Resposta Questão 9
Resposta Questão 10
A área de triângulos pode ser calculada pela fórmula b·h. Contudo, como o exercício propõe que seja utilizada a geometria analítica, a solução será feita da seguinte maneira:
A fórmula para o cálculo da área do triângulo pela geometria analítica é:
A = |D|
      2
D é o determinante da matriz 3x3 formada a partir das coordenadas dos pontos A, B e C, isto é:
D = |xa   ya   1|
      |xb   yb   1|
      |xc    yc   1|
Portanto,
D = |0   0   1|
      |4   0   1|
      |2   3   1|
D = 12
Logo,
A = |D|
       2
A = |12|
       2
A = 12
      2
A = 6 cm3
Resposta Questão 11
A fórmula para o cálculo da área do triângulo é:
A = |D|
      2
D é o determinante da matriz 3x3 formada a partir das coordenadas dos pontos A, B e C, isto é:
D = |xa   ya   1|
      |xb   yb   1|
      |xc    yc   1|
Substituindo os valores dos respectivos pontos, teremos:
D = 17
Portanto, a área do triângulo é:
A = |D|
      2
A = |17|
      2
A = 17
      2
A = 8,5 cm2
Resposta Questão 12
Observe que o determinante da matriz formada pelas coordenadas de A, B e C depende do valor de y:
D = –90 + 9y
Utilizando a fórmula da área, teremos:
A = |D|
       2
A = |–90 + 9y|
       2
45,5 = |–90 + 9y|
           2
90 = |–90 + 9y|
Se –90 + 9y > 0
90 = –90 + 9y
90 + 90 = 9y
180 = 9y
y = 180
     9
y = 20
Resposta Questão 13
Três pontos não colineares formam um triângulo. Portanto, é possível utilizar a fórmula para o cálculo de área de um triângulo pela Geometria Analítica para descobrir o valor da coordenada x.
D = |xa   ya   1|
      |xb   yb   1|
     |xc    yc   1|
D = – 4 + x
Substituindo na fórmula, teremos:
A = |D|
       2
3 = |– 4 + x|
       2
6 = |– 4 + x|
Sempre que – 4 + x > 0, temos:
6 = – 4 + x
x = 6 + 4
x = 10
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Fórmulas de Geometria Plana e Espacial