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VOLUME
3
TURBO 6.0
PRÉ-UNIVERSITÁRIO
MANUAL DO 
PROFESSOR
MATEMÁTICA
M LP PROVA PDF Formato papel capa papel miolo LOMBADA205 x 275 cartão 250 g offset 75g espiral
SFB_PRE 6.0_VOL3_LP_L2_MAT_2019.indd 1 3/11/19 9:26 AM
PRÉ-UNIVERSITÁRIO
3
VOLUME
TURBO 6.0
• MATEMÁTICA 
MANUAL DO 
PROFESSOR
M LP PROVA PDFSFB_PRE 6.0_VOL3_LP_MAT_L2_FRONTIS_2019.indd 1 3/11/19 9:27 AM
0800 17 2002 | www.moderna.com.br/SFB
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação: 
Bibliotecárias responsáveis: Raquel Hernandes Silva Almeida – CRB-3/950, 
Lucia Maria Braga – CRB-3/880, Talita Almeida Rodrigues Firmeza – CRB-3/889
SISTEMA FARIAS BRITO DE ENSINO
Direção-geral: Tales de Sá Cavalcante, Hilda Sá Cavalcante Prisco, 
Dayse de Sá Cavalcante Tavares
Direção administrativa: Patrícia Teixeira
Direção técnica: Fernanda Denardin
Direção de ensino: Marcelo Pena
Gerente editorial: Danielle Cabral
Iconografia: Amanda Pinto, Kelly Lopes
Projeto visual: Francisco Felipe, Franklin Biovanni, 
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Projeto gráfico, revisão e editoração: Gráfica FB
EDITORA MODERNA
Diretoria-geral de educação: José Henrique del Castillo Melo
Diretoria de negócios: Francisco Ribamar Monteiro
Diretoria de operações editoriais: Ricardo Seballos
Gerência de design e produção gráfica: Everson Laurindo de Paula
Coordenação de conteúdo: Jones Brandão
Coordenação de produção: Rafael Mazzari
Design da capa: Mariza de Souza Porto, Patricia Malízia
Foto: Image Wizard/Shutterstock
Impressão:
CDD 373
P397p Pena, Marcelo
Pré-universitário: anual, volume 3, Matemática: manual do 
professor / Marcelo Pena, organizador. – Fortaleza: FB Editora, 2019. 
3 v. (várias paginações) : il.; 29 cm. – (Pré-universitário: anual; v. 3)
Manual do professor.
Obra em 6 volumes
1. Educação (Ensino Médio). 2. Enem. 3. Linguagens, Códigos 
e suas Tecnologias. 4. Matemática e suas Tecnologias. 5. Ciências 
Humanas e suas Tecnologias. 6. Ciências da Natureza e suas 
Tecnologias. I. Título: Anual, volume 3: Matemática: manual 
do professor.
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SUMÁRIO
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
MATEMÁTICA I
AULA 11: RAZÕES E PROPORÇÕES ......................................................................................................................................................2
AULA 12: NÚMEROS PROPORCIONAIS ..................................................................................................................................................9
AULA 13: GRANDEZAS PROPORCIONAIS .............................................................................................................................................14
AULA 14: REVISÃO I – SISTEMAS DE NUMERAÇÃO, MÚLTIPLOS, DIVISORES E OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS ..........................................20
AULA 15: REVISÃO II – PORCENTAGEM, RAZÃO, PROPORÇÃO, ESCALAS E GRANDEZAS DIRETA OU INVERSAMENTE PROPORCIONAIS .........................22
MATEMÁTICA II
AULA 11: PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DE 1º E 2º GRAUS – PARTE I ...........................................................................................26
AULA 12: PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DE 1º E 2º GRAUS – PARTE II ..........................................................................................28
AULA 13: INEQUAÇÕES ...................................................................................................................................................................29
AULA 14: FUNÇÃO COMPOSTA .........................................................................................................................................................31
AULA 15: FUNÇÃO INVERSA ............................................................................................................................................................34
MATEMÁTICA III
AULA 11: APROFUNDANDO E REVISANDO – PROBABILIDADE ...................................................................................................................40
AULA 12: MÉDIAS ........................................................................................................................................................................45
AULAS 13 E 14: ESTATÍSTICA I ........................................................................................................................................................51
AULA 15: ESTATÍSTICA II ................................................................................................................................................................66
MATEMÁTICA IV
AULA 11: RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ............................................................................................................76
AULA 12: TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER ......................................................................................................................79
AULA 13: ÁREAS DOS QUADRILÁTEROS ..............................................................................................................................................84
AULA 14: ÁREAS DOS TRIÂNGULOS ...................................................................................................................................................88
AULA 15: ÁREAS DO CÍRCULO E SUAS PARTES .....................................................................................................................................93
MATEMÁTICA V
AULA 11: INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ........................................................................................................................................100
AULA 12: PLANO CARTESIANO, DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS E BISSETRIZES DOS QUADRANTES (PARES E ÍMPARES).......................................105
AULA 13: RAZÃO ENTRE SEGMENTOS COLINEARES, COORDENADAS DO PONTO DE DIVISÃO DE UM SEGMENTO, 
COORDENADAS DO PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO E COORDENADAS DO BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO ......................................................110
AULA 14: CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO, CÁLCULO DA ÁREA DE UM TRIÂNGULO E CÁLCULO DA ÁREA DE UM POLÍGONO .....................................114
AULA 15: ESTUDO ANALÍTICO DA RETA I (EQUAÇÕES DA RETA) .............................................................................................................117
MATEMÁTICA
E SUAS
TECNOLOGIAS
MATEMÁTICA I
ÁLGEBRAÁLGEBRA
Vo
lu
m
e3
MateMática i
álgebra
Objetivo(s):
• Demonstrar conhecimento da linguagem matemática utilizada nos conceitos básicos de razão, porcentagem e 
proporção.
• Repartir uma quantidade em partes direta e/ou inversamente proporcionais.
• Conhecer e saber aplicar as propriedades das proporções, regra de três (simples e composta) e regra de sociedade.
Conteúdo:
aula 11: razões e ProPorções
Introdução ................................................................................................................................................................................................................2
Conceito de razão .....................................................................................................................................................................................................2
Porcentagem (ou percentagem) ................................................................................................................................................................................2
Taxa de natalidade ....................................................................................................................................................................................................3
Taxa de juros .............................................................................................................................................................................................................3
Velocidade média (Vm) ..............................................................................................................................................................................................3Escalas numéricas (E) ................................................................................................................................................................................................3
Proporção .................................................................................................................................................................................................................4
Propriedades da proporção .......................................................................................................................................................................................4
Exercícios .................................................................................................................................................................................................................6
aula 12: NúMeros ProPorcioNais
Introdução ................................................................................................................................................................................................................9
Números inversamente proporcionais .....................................................................................................................................................................10
Sequências proporcionais a várias outras ...............................................................................................................................................................11
Exercícios ...............................................................................................................................................................................................................11
aula 13: graNdezas ProPorcioNais
Grandezas diretamente proporcionais ....................................................................................................................................................................14
Grandezas inversamente proporcionais ..................................................................................................................................................................14
Grandezas proporcionais a duas ou mais outras grandezas....................................................................................................................................15
Regra de sociedade .................................................................................................................................................................................................16
Regra de três simples e regra de três composta ......................................................................................................................................................16
O problema das torneiras ........................................................................................................................................................................................18
Exercícios ...............................................................................................................................................................................................................18
aula 14: revisão i – sisteMas de NuMeração, MúltiPlos, divisores e oPerações coM NúMeros racioNais
Exercícios ...............................................................................................................................................................................................................20
aula 15: revisão ii – PorceNtageM, razão, ProPorção, escalas e graNdezas direta ou iNversaMeNte ProPorcioNais
Exercícios ...............................................................................................................................................................................................................22
2
MateMática e suas tecNologias Matemática I
Anual – Volume 3
Aula 11: 
Razões e Proporções
Introdução
Na fi cção ou na realidade, as razões e proporções acompanham 
os seres. Afinal, tudo é uma questão de escala. Vejamos dois 
questionamentos, sendo o primeiro fi ctício, nos quais os conceitos 
de razão e proporção são fundamentais para a compreensão e 
elaboração das respectivas respostas.
1. O que aconteceria se alguém crescesse e se tornasse grande 
como um gigante? 
Certamente, cairia no chão com o fêmur quebrado ao dar 
o primeiro passo. Entendeu? Se não, observe: a altura aumenta em 
uma direção, a área em duas e o volume, em três. Se a altura de 
uma mulher fi casse 10 vezes maior, a secção transversal (área) do 
conjunto de ossos e músculos que a sustenta contra a gravidade 
fi caria 10 · 10 = 100 vezes maior, já o seu volume (e, portanto,
a sua massa) fi caria 10 · 10 · 10 = 1000 vezes maior. O resultado 
disso tudo é que os ossos destinados a mantê-la erguida não 
suportariam o seu peso, sendo estilhaçados. É por essa e outras que 
cada ser deve ter o tamanho certo, pois mudanças quantitativas 
podem fazer imensas diferenças qualitativas.
Uma questão de escala. In: O universo e a xícara de chá, K.C. Cole – Adaptado.
2. Qual é o automóvel mais econômico: o de Carlos, que 
consome 24 litros de gasolina para percorrer 240 km ou o 
de Fabíola, que percorre 180 km com 20 litros de gasolina? 
Quantos por cento mais econômico?
Dividindo-se o número de quilômetros percorridos pela 
respectiva quantidade de gasolina consumida, temos:
I. Para o automóvel de Carlos:
 
N de km
N de litros L
km
º
º
= =240
24
10 km/L (dez quilômetros por litro).
Isso signifi ca que, em média, o automóvel de Carlos percorre 
10 km para cada litro de combustível consumido.
II. Para o automóvel de Fabíola:
 
N de km
N de litros
km
L
º
º
= =180
20
9 km/L (nove quilômetros por litro).
Isso signifi ca que, em média, o automóvel de Fabíola percorre 
9 km para cada litro de combustível consumido.
O automóvel mais econômico é o que gasta menos 
combustível para percorrer uma mesma distância. Observando que 
m.m.c. (10, 9) = 90, consideremos a distância de 90 km. Como 
o automóvel de Carlos gasta, em média, 1 litro para percorrer
10 km, então, para percorrer 90 km ele gastaria apenas 90 : 10 = 9 
litros, enquanto o automóvel de Fabíola gastaria 90 : 9 = 10 litros. 
Assim, o automóvel do Carlos é o mais econômico, economizando 
10 – 9 = 1 litro de gasolina para cada 10 litros consumidos pelo 
carro de Fabíola. Matematicamente, temos:
Economia de Carlos
Consumo de Fab olaí
= = = =1
10
1
10
10
100
10
L
L
% (“1 para 
10” ou “10 para 100” ou “dez por cento”).
C-4 H-15, 16
H-17Aula
11
Isso nos diz que para cada 100 litros de gasolina consumidos 
pelo carro de Fabíola, o automóvel de Carlos gastaria 10 litros a 
menos para fazer o mesmo percurso.
Se o amigo leitor teve difi culdade para compreender alguma 
passagem nesses questionamentos, não se preocupe. Leia com 
atenção os tópicos a seguir e, depois, volte e reveja-as.
Conceito de razão
• A razão entre duas grandezas é o quociente entre elas. Assim, 
por exemplo, se em uma festa compareceram 20 homens e 30 
mulheres, dizemos que:
I. a razão entre o número de homens e o de mulheres na festa é: 
n de ensº hom 
nº de mulheres
= =20
30
2
3
 (lê-se: 2 para 3)
 Isso signifi ca que para cada 2 homens existem 3 mulheres.
II. A razão entre o número de mulheres e o total de pessoas na 
festa é:
 
n deº mulheres
nº total de pessoas
=
+
= =30
20 30
30
50
3
5
 (lê-se: 3 para 5)
 Isso nos diz que para cada 5 pessoas na festa, 3 são mulheres.
• As grandezas envolvidas em uma razão podem ser de espécies 
diferentes. Por exemplo, se na festa citada, as mulheres 
consumiram 120 salgadinhos, e os homens consumiram 100, 
dizemos que:
I. a razão entre o número de salgados consumidos pelos homens 
e o número de homens foi de:
 
n de
ens
º
hom
 salgados
nº de homens
 salgados
 
 salgados= =100
20
5 //homem
 (lê-se: 5 salgados por homem)
 Isto significa que, em média, cada homem consumiu 5 
salgados.
II. A razão entreo número de salgados consumidos e o número 
de pessoas foi de:
 
n deº ( )
( )
 salgados
nº de pessoas
 salgados
 pesso
= +
+
120 100
30 20 aas
 salgados/pessoa
=
= 4 4,
 (lê-se: 4,4 salgados por pessoa)
 Isto é, em média, cada pessoa consumiu 4,4 salgados.
 Em geral, dados dois números reais a e b, com b ≠ 0, usamos 
a
b
 ou a : b para indicar a razão entre a e b, respectivamente.
 Na razão (lê-se: a para b), o número a é chamado de antecedente 
e o número b, de consequente.
 entre e Razao
a
b
~ a b =
Porcentagem (ou percentagem)
É a fração por cento de qualquer coisa, isto é, é a quantidade 
correspondente a 100 coisas quaisquer.
P
p
% =
100
 (le-se: por cento)^ p
Exemplos:
a) Em um grupo de 100 estudantes, 13 falam inglês fl uentemente, 
isto é, 13% (lê-se: 13 por cento) do grupo fala inglês. Note:
 
fala
total
m
%
 ingles
 (le-se: 13 por cento)
^
^= =13
100
13
3
MateMática e suas tecNologiasMatemática I
Anual – Volume 3
 Quando escrevemos 
falam
total
 ingl sê = 13%, estamos dizendo que 
os que falam inglês equivalem a 13% do total, ou seja: falam 
inglês = 13% (total).
b) Em uma turma de 40 alunos, 32 alunos passaram por média, 
isto é, 80% da turma passou por média. Note:
passaram por me
,
dia
total
= = = =32
40
4
5
80
100
80%
x 20
x 20
: 8
: 8
c) João Victor comprou uma casa por R$ 50.000,00 e a vendeu 
por R$ 125.000,00, isto é, João Victor obteve um lucro de 
150%, em relação ao preço de compra (custo) ou de 60%, em 
relação ao preço de venda. Para encontrar esses percentuais, 
primeiro observe que: Lucro = 125000 – 50000 = 75000.
Depois, é só calcular:
 
lucro
custo
= = = =75 000
50 000
15
150
100
150
.
.
, %
 
lucro
venda
= = = =75 000
125 000
0 6
60
100
60
.
.
, %
Taxa de natalidade
Em demografi a, entende-se por taxa de natalidade o número 
de crianças que nascem anualmente por cada mil habitantes, em 
uma determinada área. Por exemplo, se em uma cidade, cuja média 
populacional no ano de 2001 era 50.000 habitantes, nasceram no 
referido ano, 1.400 crianças, dizemos que a taxa de natalidade 
dessa cidade em 2001 foi de 28 nascimentos/mil habitantes (lê-se: 
28 nascimentos por mil habitantes). Veja:
 
nascimentos
populacao~,
= =
1400
50000
28 nascimentos
 habitantes
 nascimentos
 habitantesmil
=
Em geral, a taxa de natalidade pode ser representada pela 
equação matemática.
Taxa de natalidade = 
n
p
1000⋅ ,
onde n é o número de crianças nascidas no ano e, p é a média 
populacional do período em questão.
Taxa de juros
Juro é a remuneração fi nanceira que o detentor do dinheiro 
cobra para conceder um empréstimo. Taxa de juros é a razão 
(porcentagem) de juros. Por exemplo, se um banco empresta
R$ 2.000,00 a certo cliente e, ao fi nal de um mês, o cliente paga 
um total de R$ 2.300,00 ao banco, dizemos que:
• O banco recebeu (2300 – 2000) reais = 300 reais de juros.
• O banco cobrou uma taxa de 15% ao mês. Veja:
 
juro
emprestimo
, , %= = = ⇒
300
2000
0 15 15 Taxa de juro = 15% ao mês. 
Dizer, então, que um banco empresta dinheiro à taxa de 15% 
ao mês signifi ca dizer que, passado um mês, o banco deverá receber 
15 reais de juros, para cada 100 reais que o cliente está devendo.
Velocidade média (Vm)
É a razão entre a distância percorrida (∆S) por um móvel e 
o tempo (∆t) gasto para percorrê-la.
V
tm
= ∆
∆
S
Suponha, por exemplo, que Romeu encontra-se a 280 m 
de Julieta, quando partem um ao encontro do outro. Romeu 
desenvolve uma velocidade média de 40 m/min e Julieta, 30 m/min. 
A que distância, do seu ponto de partida, Romeu abraçará Julieta? 
Isso é fácil de encontrar. Veja:
Considere R e J os respectivos pontos de partida, E o ponto de 
encontro, RE = x metros e y minutos o tempo que eles gastarão para 
se encontrar. Observando que a velocidade média = 
distancia
tempo
, temos:
R E J�������������������������
x metros
280 metros
(280 – x) metros
I. Para Romeu:
distância =
velocidade =
tempo =
x
40
y
m
m/min
min
⇒ 40 = ⇒ y = xy
x
40
II. Para Julieta:
distância =
velocidade =
tempo =
(280 – x)
30
y
m
m/min
min
⇒ 30 = ⇒ y = 280 – x
y
280 – x
30
 Daí, 
280
30 40
3 1120 4 7 1120 160
− = ⇒ = − ⇒ = ⇒ =x x x x x x
 Resposta: O encontro se dará a 160 metros do ponto de partida 
de Romeu e gastarão 
160
40
4= minutos.
Escalas numéricas (E)
É a razão entre um comprimento no desenho (d) e o seu 
correspondente comprimento no tamanho real (D), medidos em 
uma mesma unidade.
E
d
D
=
Suponha, por exemplo, uma fotografi a aérea na qual um 
trecho retilíneo de uma estrada que mede 12,5 km aparece medindo 
5 cm. Nessas condições, a fotografi a está na escala:
E
cm
km
cm
cm
= =5
12 5
5
1250000,
, o u s e j a , E = 1
250000
o u 
E = 1:250000.
Essa escala nos diz que 1 cm na fotografi a corresponde a 
250000 cm (2,5 km), na realidade.
Usando a escala, também podemos relacionar as áreas 
correspondentes. Suponha, por exemplo, na fotografi a do exemplo 
anterior, uma área queimada retangular, cuja área seja 9 cm2. 
Podemos encontrar a área real queimada. Veja:
Sendo E a escala, temos que E
b
B
= =base no desenho
base real
 ou 
E
altura real
h
H
= =altura no desenho . Daí:
E E
b
B
h
H
E
b h
B H
E⋅ = ⋅ → = ⋅
⋅
→ =2 2 Área do desenho
Área real
4
MateMática e suas tecNologias Matemática I
Anual – Volume 3
De modo geral, para duas fi guras semelhantes de escala E 
(razão de semelhança E), temos:
• 
Linha da figura 1
Linha da figura 2
= E (escala), em que as l inhas são 
correspondentes e estão em uma mesma unidade.
• 
Área da figura 1
Área da figura 2
= E2 (escala ao quadrado) em que as áreas 
são correspondentes e estão em uma mesma unidade.
No caso dos sólidos semelhantes, temos também:
• 
Volume do s lido 1
Volume do s lido 2
ó
ó
= E3 (escala ao cubo)
Assim, para calcular a área real queimada (x), representada na foto 
por uma área de 9 cm2, usaremos a escala E
cm
km
cm
cm
= =5
12 5
5
1250000,
,
ou seja, usaremos E = 1
250000
. Veja:
Área na foto
Área real
= → =
⋅




→ = ⋅ ⋅E cm
x
x c2
2
4
2
89 1
25 10
625 9 10 mm2
Assim, a área real será x = 5625 · 108 cm2.
Observando, agora, que 1 km = 103 m = 103 · 102 cm, temos 
que 1
1
105
cm km= .Daí, a área real será x = 5625 · 108 . 
1
105
2
km





 
= 56,25 km2.
Uma escala pode ser representada grafi camente. Nesse caso, 
usamos um segmento de reta graduado, em que cada graduação 
corresponde a 1 cm de comprimento no desenho.
A fi gura seguinte, por exemplo, está representando uma 
escala na qual 1 cm no mapa corresponde a 300 km = 300 · 103 m = 
300 · 103 · 102 cm.
600 km300 km0 km 900 km 1200 km
Essa escala (E) corresponde a:
E
cm
cm
E ou E=
⋅ ⋅
→ = =1
300 10 10
1
30000000
1 30000000
3 2
:
Observação:
Sendo a escala (E) um quociente, quanto maior o divisor 
(o denominador D, a distância real), menor é o seu valor. Dadas 
as respectivas escalas E1
1
250000
= e E2
1
30000000
= de dois 
desenhos (mapas), por exemplo, temos que a escala E
1
 é maior que 
a escala E
2
. No desenho cuja escala é E
1
, temos maiores detalhes.
Proporção
Proporção é uma igualdade entre duas razões. Quando 
dizemos que os números reais a, b, c e d, não nulos, formam, nessa 
ordem, uma proporção, signifi ca que se tem a seguinte igualdade:
a
b
c
d
= ou a : b = c : d
(Lê-se: a está para b, assim como c está para d)
Observe, na última igualdade acima, que os termos a e d 
fi caram nas extremidades (a e d são chamados de extremos da 
proporção); já os termos b e c fi caram no meio (b e c são os meios 
da proporção).
Propriedades da proporção
Se a
b
c
d
= , com a, b, c e d, reais não nulos, temos:
constante
a
b
c
d
k= = , em que k é chamada de constante de proporcionalidade.
Essa constante k é o número de vezes que cada antecedente 
é maior que seu respectivo consequente. Veja:
a
b
c
d
k
a k
c k
= = ⇒
= ⋅
= ⋅



b
d
Sendo assim, temos as seguintes propriedades:
I. a
b
c
d
= ⇒ ad = bc (propriedade fundamental)
 “Emuma proporção, o produto dos meios é igual ao produto 
dos extremos.”
 Veja:
 
a d = (kb) d
c (kd) 
d = bc
⋅ ⋅ =
⋅ = ⋅ =



⇒ ⋅
kbd
b b kbd
a
II. a
b
c
d
a
b
c
d
a c
b d
= ⇒ = = +
+
 
 Veja:
 
a c
b d
kb kd
b d
a c
b d
k b d
b d
a c
b d
k
a
b
c
d
+
+
= +
+
⇒ +
+
= +
+
⇒ +
+
= = =( )
III. 
a
b
c
d
a
a b
c
c d
= ⇒
+
=
+
 Veja:
 
a
a b
c
c d
bk
bk b
dk
dk d
bk
b k
dk
d k+
=
+
⇒
+
=
+
⇒
+( ) = +( )1 1 (verdade)
Exemplo 1:
Duas jarras idênticas contêm poupa de fruta e água nas 
proporções 3:7 na primeira e 3:5 na segunda. Julgando o suco 
da primeira “muito fraco” e o da segunda “muito forte”, Dona 
Benta resolveu juntar os conteúdos das duas jarras em uma 
vasilha maior, obtendo, a seu ver, um suco na proporção ideal 
de poupa de fruta e água. Considerando J o volume de uma 
jarra, podemos descobrir essa proporção ideal, utilizando as 
propriedades das proporções. Veja:
I. Na primeira jarra:
 
poupa
gua poupa gua
poupa J e gua
á á
á
= →
+( ) = + →
→ = ⋅ = ⋅
3
7
3
3 7
3
10
7
10
poupa
JJ
 Note: poupa + água = J (volume da jarra)
II. Na segunda jarra:
 
poupa
gua poupa gua
poupa J e gua J
á á
á
= →
+( ) = + →
→ = ⋅ = ⋅
3
5
3
3 5
3
8
5
8
poupa
5
MateMática e suas tecNologiasMatemática I
Anual – Volume 3
III. Juntando-se as duas jarras, obteremos:
 
poupa
gua
J J
J J
J J
J Já
=
⋅ + ⋅
⋅ + ⋅
=
+
+ = =
3
10
3
8
7
10
5
8
12 15
40
28 25
40
27
53
 27:53
Daí, a proporção ideal consiste em 27 partes de poupa de fruta 
para 53 partes de água. 
Exemplo 2:
Um bar vende suco e refresco de tangerina. Ambos são fabricados 
diluindo em água um concentrado dessa fruta. As proporções são de 
uma parte de concentrado para três de água, no caso do suco, e de 
uma parte de concentrado para seis de água, no caso do refresco. 
Faltando refresco e sobrando suco, o chefe de cozinha do bar poderá 
transformar o suco em refresco. Mas, para isso, ele deverá saber 
quantas partes de suco (x partes) ele deverá diluir em y partes de água. 
A relação entre x e y poderá ser obtida através das proporções. Veja:
I. Para o suco:
 
concentrado
gua
concentrado
guaá á
= →
+
=
+
→1
3
1
1 3concentrado
 Concetrado = 1
4
 do suco e água = 3
4
 do suco.
 Note: Concentrado + água = suco (todo)
II. Para o refresco, obtido a partir do suco:
 
concentrado
água
x
x y
x x y= →
⋅
⋅ +
= → ⋅ = ⋅ +1
6
1
4
3
4
1
6
6
4
3
4
. Daí, 
x
y
= 4
3
.
Assim, conhecendo a quantidade de copos de suco disponíveis, 
o chefe saberá quantos copos de água acrescentar para obter o 
refresco. Por exemplo, 8 copos de suco (x = 8), poderão ser diluídos 
em 6 copos de água (y = 6), pois 8
6
4
3
= .
Exercícios Resolvidos
01. (Unifor) Das pessoas presentes em uma festa, sabe-se que a 
razão entre o número de mulheres e o de homens, nessa ordem, 
é 7
13
. Nessas condições, o número de mulheres é igual a que 
porcentagem do total de pessoas presentes?
A) 35% B) 25%
C) 20% D) 13%
E) 7%
 Solução:
 Sendo M o número de mulheres e H o número de homens, temos:
 
M
H
M
M H
M
total
= ⇒
+
=
+
⇒ = =7
13
7
7 13
7
20
35
100
.
x 5
x 5
 Resposta: A
02. (Unicamp) O IPVA de um carro cujo valor de R$ 8.400,00 é de 3% 
do valor do carro e pode ser pago de uma das seguintes formas:
A) À vista, no dia 15/01/96, com um desconto de 5%. Qual o 
valor a ser pago nesse caso?
B) Em 3 parcelas iguais (sem desconto), sendo a primeira no 
dia 15/01/96, a segunda no dia 14/02/96 e a terceira no dia 
14/03/96. Qual o valor de cada parcela nesse caso?
C) Suponha que o contribuinte disponha da importância para 
o pagamento à vista (com desconto) e que nos períodos 
de 15/01/96 a 14/02/96 e 14/02/96 a 14/03/96 o dinheiro 
disponível possa ser aplicado a uma taxa de 4% em cada um 
desses períodos. Qual a forma de pagamento mais vantajosa 
para o contribuinte? Apresente os cálculos que justifi cam 
sua resposta.
 Solução:
 O valor normal do IPVA é 3% de 8.400 = 
3
100
 8.400⋅ =
 = 252 reais. Daí:
A) À vista, terá um desconto de 5% pagando, portanto, 
95% de 252 reais = 
95
100
 252 reais⋅ = 239,40 reais.
B) O valor de cada parcela será: 
252
3
84= reais
 
C) No pagamento à vista, o contribuinte tem um desconto de 
(252 – 239,40) reais = 12,6 reais, que aplicados geram:
• 12,60 + →4% 104% de 12,60 = 
104
100
 · 12,60 = 13,10 reais
• 13,10 + →4% 104% de 13,10 = 
104
100
 · 13,10 = 13,62 reais
 Já no pagamento parcelado, pagando cada prestação e 
aplicando o restante, temos:
• 2 × 84 + →4% = 
104
100
 · 168 = 174,72 reais
• 174,72 – 84 = 90,72
• 90,72 + →4% 
104
100
 · 90,72 = 94,35 reais
• 94,35 – 84 = 10,35
 Logo, o pagamento à vista é mais vantajoso, uma vez que 
o contribuinte fi cará com R$ 13,62, em 14/03/96, contra
R$ 10,35, caso optasse pela forma de pagamento parcelado.
03. (OCM – Adaptada) Três máquinas, P, Q e R, trabalhando 
juntas, fazem um trabalho em x horas. Trabalhando sozinha, 
P necessita de 6 horas adicionais para fazer o trabalho; Q, 
uma hora adicional e R, x horas adicionais. Com base nessas 
informações, o tempo, em minutos, que as três máquinas 
gastam, trabalhando juntas, para fazer o trabalho, é:
A) 18 B) 20
C) 30 D) 36
E) 40
 Solução:
 Supondo que o trabalho seja a produção de T peças, temos as 
seguintes velocidades das máquinas, em peças por hora:
 Máquina P: T
x + 6
 peças por hora
 Máquina Q: 
T
x +1
 peças por hora
 Máquina R: T
x x+
 peças por hora
 As três juntas: 
T
x
 peças por hora
 Assim, em uma hora, as três máquinas, juntas, produzirão:
 
T
x
T
x
T
x x
T
x x x x x+
+
+
+
+
= ⇒
+
+
+
+ =
6 1
1
6
1
1
1
2
1
6
MateMática e suas tecNologias Matemática I
Anual – Volume 3
 Assim, devemos ter:
 
1
6
1
1
1
2
1 2 1 2 6 6 1
2 6 1
2
x x x x
x x
x x x+
+
+
+ = →
+ + + + + +
+ +
=
( ) x(x ) (x )(x )
( )( )
(xx x
x x x
x x x x x
x x x
+ +
+ +
→
+ + + + + + +
+ +
6 1
2 6 1
2 2 2 12 6 6
2 6 1
2 2 2
)( )
( )( )
x x
( )( ))
(x )
( )( )
=
+ + +
+ +
→ + − =
→ =
− ±
2 6 6
2 6 1
3 7 6 0
7 11
6
2
2x x
x x x
x x
x
 Logo, x h= = = ⋅ =
4
6
2
3
2
3
60 40min min ou x = –3 h (não convém).
 Resposta: E
04. (Unicamp) Em uma fotografi a aérea, um trecho retilíneo de uma 
estrada que mede 12,5 km aparece medindo 5 cm e, na mesma 
fotografi a, uma área queimada aparece com 9 cm2. Calcule:
A) o comprimento que corresponde a 1 cm na mesma fotografi a.
B) a área da superfície queimada.
 Solução:
A escala utilizada na fotografi a foi:
E = 
5
12 5
1
2 5
1
250 000
cm
km
E
cm
km
E
cm
cm, , .
⇒ = ⇒ =
∴ =E 1
250 000.
 ou E = 1:250000. Daí:
A) 1 cm na fotografi a corresponde a 250000 cm = 2,5 km, na 
realidade.
B) 9 cm2 = 9 · (2,5 km)2 = 9 · (6,25 km2) = 56,25 km2
Resposta: A) 2,5 km; B) 56,25 km2.
05. (Unesp) Uma universidade tem 1 professor para cada 6 alunos 
e 3 funcionários para cada 10 professores. Determine o número 
de alunos por funcionário.
 Solução:
 Sendo P, A e F os números de professores, alunos e funcionários, 
respectivamente, da universidade, temos:
I. P
A
A
P
A P= ⇒ = ⇒ =1
6
6
1
6 II. 
F
P
F= ⇒ = ⋅3
10
3
10
 P
Daí, 
A
F
P
P
P
P
= = =6
3
10
60
3
20
Resposta: 20 alunos por funcionários.
06. (Unicamp) Na hora de fazer seu testamento, uma pessoa tomou 
a seguinte decisão: dividiria sua fortuna entre sua fi lha, que estava 
grávida, e a prole resultante dessa gravidez, dando a cada criança 
que fosse nascer o dobro daquilo que caberia à mãe, se fosse do 
sexo masculino, e o triplo daquilo que caberia à mãe, se fosse do 
sexo feminino. Nasceram trigêmeos, sendo dois meninos e uma 
menina. Como veio a ser repartida a herança legada?
 Solução:
 Sendo x a parte da herança toda que tem direito a mãe, as outras 
partes devem ser:
 Parte do fi lho A = 2x Parte do fi lho B = 2x
 Parte da fi lha = 3x Daí, devemos ter:
 x + 2x + 2x + 3x = 1 (a herança toda = 100% = 
100
100
1= ⇒) 
x = 
1
8
2
2
8
1
4
3
3
8
, x e x= = =
Resposta: Amãe recebeu 
1
8
 da herança; cada um dos fi lhos 
recebeu 
1
4
e a fi lha, 
3
8
.
07. Se x, y e z são números reais não nulos e 
x
y
y
z
z
x
= = , então a 
expressão 
xy xz yz
x y z
+ +
+ +( )2
 é equivalente a:
A) 1 B) 
2
3
C) 
1
3
 D) 
2
9
E) 
1
9
Solução:
 Usando a propriedade (II) das proporções (veja, na teoria, 
propriedades das proporções), temos:
x
y
y
z
z
x
x
y
y
z
z
x
x y z
y z x
x
y
y
z
z
x
x y z
= = ⇒ = = = + +
+ +
⇒
= = = ⇒ = =1
Daí: 
xy xz yz
x y z
x x x
x x x
x
x
x
x
+ +
+ +
= ⋅ + ⋅ + ⋅
+ +
= = =
( ) ( ) ( )2 2
2
2
2
2
3
3
3
9
1
3
x x x
Resposta: C
08. Quais são os valores positivos de a e b na proporção 
a b
7 6
= , 
sabendo-se que a2 – b2 = 52?
Solução:
I. 
a b
k
a b
k
a k
b k7 6 7 6
7
6
= = ⇒ = = ⇒
=
=



II. a2 – b2 = 52 ⇒ 49k2 – 36k2 = 52 ⇒ k = ±
52
13
 ⇒ k = 2, 
pois a e b são positivos.
Daí, a = 7 · 2 = 14 e b = 6 · 2 = 12
Resposta: a = 14; b = 12.
Exercícios de Fixação
01. (Enem – Libras) Atualmente, muitas pessoas procuram realizar 
uma dieta mais saudável. Um dos principais objetivos é a 
redução do consumo calórico.
 O gráfi co fornece o valor energético, em kcal em função do 
volume da porção, em mL, para cinco diferentes tipos de 
bebidas: A, B, C, D e E.
160
Va
lo
r 
en
er
gé
tic
o 
po
r 
po
rç
ão
 (k
ca
l) C E
D
A
B
140
120
100
80
60
40
20
0 50 100 150 200
Porção (mL)
250 300 350 400
7
MateMática e suas tecNologiasMatemática I
Anual – Volume 3
 Entre esses cinco tipos de bebidas, qual deles deve ser escolhido 
por uma pessoa que deseja reduzir o seu consumo calórico?
A) A
B) B
C) C
D) D
E) E
02. (Enem) Um motorista de um carro fl ex (bicombustível) calcula 
que, abastecido com 45 litros de gasolina ou com 60 litros de 
etanol, o carro percorre a mesma distância. Chamando de x 
o valor do litro de gasolina e de y o valor do litro de etanol, a 
situação em que abastecer com gasolina é economicamente 
mais vantajosa do que abastecer com etanol é expressa por
A) 
x
y
=
4
3
B) 
x
y
=
3
4
C) 
x
y
>
4
3
D) 
x
y
>
3
4
E) 
x
y
<
4
3
03. (Enem) No tanque de um certo carro de passeio cabem até 50 L 
de combustível, e o rendimento médio deste carro na estrada 
é de 15 km/L de combustível. Ao sair para uma viagem de 
600 km, o motorista observou que o marcador de combustível 
estava exatamente sobre uma das marcas da escala divisória 
do medidor, conforme fi gura a seguir.
1/2
1/1
 Como o motorista conhece o percurso, sabe que existem, até 
a chegada a seu destino, cinco postos de abastecimento de 
combustível, localizados a 150 km, 187 km, 450 km, 500 km 
e 570 km do ponto de partida.
 Qual a máxima distância, em quilômetro, que poderá percorrer 
até ser necessário reabastecer o veículo, de modo a não fi car 
sem combustível na estrada? 
A) 570
B) 500
C) 450
D) 187
E) 150
04. (Enem) No centro de uma praça, será construída uma estátua 
que ocupará um terreno quadrado com área de 9 metros 
quadrados. O executor da obra percebeu que a escala do 
desenho na planta baixa do projeto é de 1 : 25.
 Na planta baixa, a área da fi gura que representa esse terreno, 
em centímetro quadrado, é 
A) 144
B) 225
C) 3.600
D) 7.500
E) 32.400
05. Até a primeira quinzena do mês de março de 2017, o 
combustível comercializado nos postos de nosso país era 
uma mistura de 1 parte de etanol para 3 partes de gasolina. 
Considere esse combustível e um outro que apresenta a mistura 
de 4 partes de etanol para 9 partes de gasolina.
 Juntando-se volumes iguais dos dois combustíveis, a nova 
relação de etanol para gasolina, nesta ordem, será 
A) 
5
9
 B) 
5
12
C) 
29
75
 D) 
31
75
E) 
41
80
Exercícios Propostos
01. Segundo o Compromisso Empresarial para Reciclagem 
(Cempre), o volume de lixo urbano reciclado passou de 5 milhões 
de toneladas, em 2003, para 7,1 milhões de toneladas, em 
2008. Nesse mesmo período, o número de municípios com 
coleta seletiva passou de 653 para 1.004. Esperava-se, durante 
este período, um aumento de pelo menos 40% no volume de 
lixo urbano reciclado e de 60% no número de municípios com 
coleta seletiva.
Disponível em: <http://revistaepoca.globo.com>. Acesso em: 31 jul. 2012.
 Considerando os valores apresentados para o período de 2003 
a 2008, os aumentos esperados no volume de lixo urbano 
reciclado e no número de municípios com coleta seletiva 
A) não foram atingidos, pois o aumento no volume de lixo 
urbano reciclado foi de 30% e no número de municípios 
com coleta seletiva foi de 30%.
B) não foram atingidos, pois o aumento no volume de lixo 
urbano reciclado foi de 30% e no número de municípios 
com coleta seletiva foi de 35%.
C) foram atingidos apenas parcialmente, pois os aumentos no 
volume de lixo urbano reciclado e no número de municípios 
com coleta seletiva foram de 42%.
D) foram atingidos apenas parcialmente, pois o aumento no 
volume de lixo urbano reciclado foi de 42% e no número 
de municípios com coleta seletiva foi de 35%.
E) foram atingidos apenas parcialmente, pois o aumento no 
volume de lixo urbano reciclado foi de 42% e no número 
de municípios com coleta seletiva foi de 54%.
02. (Enem) O resultado de uma pesquisa eleitoral, sobre a 
preferência dos eleitores em relação a dois candidatos, foi 
representado por meio do Gráfi co 1.
70
60
El
ei
to
re
s 
(%
)
50
40
30
20
10
0
A B
Gráfico 1
Candidato
8
MateMática e suas tecNologias Matemática I
Anual – Volume 3
 Ao ser divulgado esse resultado em jornal, o gráfi co 1 foi 
cortado durante a diagramação, como mostra o gráfi co 2.
70
El
ei
to
re
s 
(%
)
60
50
40
30
20
A
Gráfico 2
Candidato
B
 Apesar de os valores apresentados estarem corretos, e a largura 
das colunas ser a mesma, muitos leitores criticaram o formato 
do gráfi co 2 impresso no jornal, alegando que houve prejuízo 
visual para o candidato B.
 A diferença entre as razões da altura da coluna B pela coluna 
A nos gráfi cos 1 e 2 é 
A) 0
B) 
1
2
C) 
1
5
D) 
2
15
E) 
8
35
03. (Enem) Em uma de suas viagens, um turista comprou uma 
lembrança de um dos monumentos que visitou. Na base do 
objeto, há informações dizendo que se trata de uma peça em 
escala 1:400 e que seu volume é de 25 cm3.
 O volume do monumento original, em metro cúbico, é de 
A) 100.
B) 400.
C) 1.600.
D) 6.250.
E) 10.000.
04. (FGV) A Volta da França (Tour de France) é a volta ciclística 
mais importante do mundo e tem o mesmo signifi cado, para 
os ciclistas, que a Copa do Mundo para os fãs de futebol. 
O Tour de France, com suas 21 etapas de planícies e montanhas, 
percorreu países além da França, como Espanha, Mônaco e Suíça.
 A 18ª etapa, que ocorreu em 23/07/2009, não teve praticamente 
nenhuma escalada de montanha. Por isso, considere o percurso 
do início ao fi m, exatamente como uma linha reta.
 A escala da representação plana é 1:400.000, isto é, 
1 centímetro na representação plana corresponde a 400.000 
centímetros na distância real.
Doussard
529 m
Início Fim
10 cm
Côte de Bluffy
734 m
 O ciclista que ganhou a etapa manteve uma velocidade média 
de 48 km/h. Se ele partiu às 10 horas da manhã, a que horas 
terminou a corrida?
A) 10h50min 
B) 10h30min
C) 9h40min 
D) 10h20min
E) 9h20min
05. (CPII) Uma loja virtual realiza uma promoção com o seguinte 
anúncio:
Li
ev
 S
av
yt
sk
yi
/1
23
RF
/E
as
yp
ix
COM
PRE
 1 C
AMI
SA
E LE
VE A
 2ª P
ELA
MET
ADE
DO 
PRE
ÇO
 Outra promoção que a loja poderia fazer, oferecendo o mesmo 
desconto percentual, é: 
A) Leve duas e pague uma. 
B) Leve três e pague uma. 
C) Leve três e pague duas. 
D) Leve quatro e pague três.
06. (UFMG) Um carro bicombustível percorre 8 km com um litro 
de álcool e 11 km com um litro do combustível constituído 
de 75% de gasolina e de 25% de álcool, composição 
adotada, atualmente, no Brasil. Recentemente, o Governo 
brasileiro acenou para uma possível redução, nessa mistura, 
da porcentagem de álcool, que passaria a ser de 20%. 
Suponha que o número de quilômetros que esse carro percorrecom um litro dessa mistura varia linearmente de acordo com a 
proporção de álcool utilizada. Então, é correto afi rmar que, se 
for utilizado um litro da nova mistura proposta pelo Governo, 
esse carro percorrerá um total de:
A) 11,20 km 
B) 11,35 km
C) 11,50 km 
D) 11,60 km
07. (Uerj) Um anel contém 15 gramas de ouro 16 quilates. Isso 
signifi ca que o anel contém 10 g de ouro puro e 5 g de uma 
liga metálica. Sabe-se que o ouro é considerado 18 quilates se 
há a proporção de 3 g de ouro puro para 1 g de liga metálica.
Para transformar esse anel de ouro 16 quilates em outro de 
18 quilates, é preciso acrescentar a seguinte quantidade, em 
gramas, de ouro puro: 
A) 6 B) 5 
C) 4 D) 3 
08. A massa inicial de uma melancia é 1 kg (1.000 g) e apenas 1 por 
cento de sua massa é sólida, os outros 99 por cento são água. 
A melancia é posta ao sol e desidrata-se. Passa a ter apenas 
98 por cento de água. Quanto pesa agora a melancia?
A) 989,90 g, aproximadamente. 
B) 990 g.
C) 660 g. 
D) 500 g.
E) Menos de 500 g.
9
MateMática e suas tecNologiasMatemática I
Anual – Volume 3
09. (Enem) Para uma temporada das corridas de Fórmula 1, 
a capacidade do tanque de combustível de cada carro passou 
a ser de 100 kg de gasolina. Uma equipe optou por utilizar 
uma gasolina com densidade de 750 gramas por litro, 
iniciando a corrida com o tanque cheio. Na primeira parada de 
reabastecimento, um carro dessa equipe apresentou um registro 
em seu computador de bordo acusando o consumo de quatro 
décimos da gasolina originalmente existente no tanque. Para 
minimizar o peso desse carro e garantir o término da corrida, a 
equipe de apoio reabasteceu o carro com a terça parte do que 
restou no tanque na chegada ao reabastecimento.
Disponível em: <www.superdanilof1page.com.br>. 
Acesso em: 6 jul. 2015. Adaptado.
 A quantidade de gasolina utilizada, em litro, no reabastecimento, 
foi 
A) 
20
0 075,
 B) 
20
0 75,
C) 
20
7 5,
 D) 20 × 0,075
E) 20 × 0,75
10. (Uerj – Adaptada) Analise a tabela e o gráfi co:
combustível Preço por litro (em reais)
Gasolina 2,70
Álcool 1,35
km
14
10
1 Litro
Gasolina
Álcool
 De acordo com esses dados, a razão entre o custo do consumo, 
por km, dos carros a álcool e a gasolina é igual a
A) 4
7
 B) 5
7
C) 
7
8
 D) 
7
10
Fique de Olho
• A média aritmética de um conjunto formado por n valores diminui 
três unidades quando o número 93 é retirado do conjunto.
 Se for adicionado o número 81 ao conjunto original, a média 
aumenta uma unidade em relação à média inicial.
a) Qual o valor de n?
b) Qual é o valor da soma dos elementos do conjunto inicial?
 Solução:
 Sendo {x
1
, x
2
, ..., x
n
} o conjunto inicial, temos:
I. ( ... ) ...x x x
n
x x x
n
n n1 2 1 293
1
3
+ + + −
−
= + + + −
II. ( ... ) ...x x x
n
x x x
n
n n1 2 1 281
1
1
+ + + +
+
=
+ + +
+
 Chamando a soma dos elementos do conjunto inicial de s, temos:
• s
n
s
n
s n n
−
−
= − ⇒ = − +93
1
3 3 962
• s
n
s
n
s n n
+
+
= + ⇒ = −81
1
1 80 2
 Daí, 80n – n2 = –3n2 + 96n ⇒ n = 8, por n ≠ 0
 Assim, S = 80 · 8 – 82 = 576.
Aula 12: 
Números Proporcionais
Introdução
Considere as seguintes sequências numéricas:
1ª sequência: (2, 6, 4, 10)
x 3
x 2
2ª sequência: (6, 18, 12, 30)
x 3
x 2
Nessas sequências, observe que elas crescem ou decrescem 
na mesma razão, isto é, se um dado elemento de uma delas triplica, 
por exemplo, o correspondente desse elemento na outra sequência 
também triplica. Em outras palavras, os elementos correspondentes 
nas duas sequências estão na mesma razão. Veja:
6
2
18
6
12
4
30
10
3= = = = , isto é, 
6 3 2
18 3 6
12 3 4
30 3 10
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅






Em geral, dizemos que os números da sucessão numérica 
(a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
n
) são diretamente proporcionais (ou simplesmente 
proporcionais) aos números da sucessão (b
1
, b
2
, b
3
, ..., b
n
) quando as 
razões entre seus respectivos correspondentes forem iguais, ou seja:
a
b
a
b
a
b
a
b
k
a k b
a k b
a k
n
n
n
1
1
2
2
3
3
1 1
2 2= = = = = ⇒
= ⋅
= ⋅
=
...
..............
⋅⋅






 bn
Esta razão constante k é chamada de fator de 
proporcionalidade e indica quantas vezes cada antecedente é maior 
que o respectivo consequente.
Exemplo 1:
• Se (a, b, 20) e (3, 
2
3
, 5) são proporcionais, determine o coefi ciente 
de proporcionalidade e os valores de a e b.
 Solução:
I. a b a b
Coeficientede
proporcionalidade
3 2
3
20
5 3
3
2
4= = ⇒ = =
Coefi ciente de
proporcionalidade
II. 
a
a
b
b
3
4 12
3
2
4
8
3
= ⇒ =
= ⇒ =






C-4 H-15, 16
H-17Aula
12
10
MateMática e suas tecNologias Matemática I
Anual – Volume 3
Exemplo 2:
• Os irmãos João Victor, Gabriela e Matheus têm 16 anos, 14 anos 
e 10 anos, respectivamente. Se o pai deles distribuir R$ 240,00 
entre eles, em partes diretamente proporcionais às idades, quanto 
receberá cada um?
 Solução:
 Sendo k a constante de proporcionalidade, a parte de cada um 
será k vezes a respectiva idade, ou seja, as partes serão 16k 
(João Victor), 14k (Gabriela) e 10k (Matheus).
 Daí:
 16k + 14k + 10k = 240 ⇒ k = 6 ⇒
= ⋅ =
= ⋅ =
= ⋅ =





16 16 6 96
14 14 6 84
10 10 6 60
k
k
k
 
 Resposta:
 João Victor, Gabriela e Matheus receberam, respectivamente,
R$ 96,00, R$ 84,00 e R$ 60,00.
 Observação:
 O mais velho recebe mais, pois as partes são diretamente 
proporcionais às idades. Quanto mais velho, mais recebe.
Números inversamente proporcionais
Considere as seguintes sequências numéricas:
• 1ª sequência: 
1
2
1
6
1
4
1
10
; ; ;




x
1
3
x
1
2
 formada pelos respectivos 
inversos de (2, 6, 4, 10). 
• 2ª sequência: (6, 18, 12, 30)
x 3
x 2
Nessas sequências, observe, elas crescem ou decrescem na 
razão inversa, isto é, se um dado elemento de uma delas triplica, 
por exemplo, o correspondente deste elemento na outra sequência 
reduz-se à sua terça parte.
Note que os inversos dos números da 1ª sequência são 
diretamente proporcionais aos números da 2ª sequência.
Inversos da 1ª sequência (2, 6, 4, 10)
x 3
x 2
Em geral, dizemos que os números da sequência 
(a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
n
) são inversamente proporcionais aos números da 
sequência (b
1
, b
2
, b
3
, ..., b
n
) quando os números de uma delas 
forem, respectivamente, diretamente proporcionais, aos inversos 
da outra, ou seja:
a
b
b
b
a
b
a
b
kn
n
1
1
2
2
3
3
1 1 1 1
= = = = =...
ou de outra forma:
ab a b a b a b kn1 1 2 2 3 3= = = = =... n
Aqui, a constante k também é chamada de fator ou 
coefi ciente de proporcionalidade e indica o produto entre os 
respectivos elementos das sequências inversamente proporcionais.
Em resumo, considerando as sequências (a
1
, a
2
, ..., a
n
) e 
(b
1
, b
2
, ..., b
n
), temos:
• Se elas são diretamente proporcionais, as razões entre os 
respectivos elementos são iguais:
 
a
b
a
b
a
b
kn
n
1
1
2
2
= = = =... , ou seja, 
a k
a k
a kn
1
2
= ⋅
= ⋅
= ⋅







 b
 b
 b
1
2
n
.................
• Se elas são inversamente proporcionais, os produtos entre os 
respectivos elementos são iguais:
a
1
b
1
 = a
2
b
2
 = ... = a
n
b
n
 = k, ou seja, 
a
b
a
b
a
bn n
1
1
2
2
1
1
1
= ⋅
= ⋅
= ⋅











 k
 k
 k
.................
Exemplo 1:
• Se (a, 8, b) e (3, c, 5) são inversamente proporcionais e têm 
coefi ciente de proporcionalidade igual a 120, calcule a, b e c.
 Solução:
 Os produtos dos respectivos elementos devem ser iguais ao 
coefi ciente de proporcionalidade. Daí:
a · 3 = 8 · c = b · 5 = 120 ⇒
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =





3 120 40
8 120 15
5 120 24
a a
c c
b b
 
Exemplo 2:
• Os funcionários de uma fábrica, Lucas, Raquel e Elias, no mês de 
maio, faltaram ao serviço 8 dias, 5 dias e 2 dias, respectivamente. 
Se o diretor fi nanceiro dessa fábrica dividir R$ 396,00 entre os 
citados funcionários, em partes inversamente proporcionais às 
faltas, quanto receberá cada um?
Solução:
 As partes procuradas devem ser diretamenteproporcionais aos 
inversos dos números de faltas 
1
8
, , 
1
5
 e 
1
2




 respectivamente. 
Sendo k a constante de proporcionalidade, as partes serão, 
então, 
1
8
 k⋅ (Lucas), 1
5
 k⋅ (Raquel) e 1
2
 k⋅ (Elias). Daí:
 
 
k k k
k k k
8 5 2
396 5 8 20 396+ + = ⇒ + + = ⇒⋅ 40
 
⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒
⋅ = ⋅ =
⋅ = ⋅ =k k396
33
480
1
8
1
8
60
1
5
1
5
96
12
 40
 k 480
 k 480
11
2
1
2
240 k 480⋅ = ⋅ =









 Resposta:
 Lucas, Raquel e Elias receberão R$ 60,00, R$ 96,00 e R$ 240,00, 
respectivamente.
11
MateMática e suas tecNologiasMatemática I
Anual – Volume 3
Observação:
Quem faltou mais recebe menos, pois as partes são 
inversamente proporcionais às faltas. Quanto mais falta, menos 
recebe.
Sequências proporcionais a 
várias outras
Se os números de uma sequência são proporcionais 
aos respectivos números de várias outras sequências, eles são 
proporcionais aos respectivos produtos desses vários outros 
números.
Exemplo 1:
• Usando a constante de proporcionalidade k, represente 
quantidades:
a) diretamente proporcionais a 2, 5 e 
3
8
.
 Solução:
 Se a 1ª quantidade é k vezes maior que o 1º número (2), 
a 2ª e a 3ª quantidades devem ser também k vezes 5 e k vezes 
3
8
, respectivamente. Daí:
 1ª quantidade = 2 · k
 2ª quantidade = 5 · k
 3ª quantidade = 
3
8
 · k
b) inversamente proporcionais a 1
3
1
6
, e 12.
 As quantidades devem ser diretamente proporcionais a 3, 6 e 
1
12
 (inversos dos números dados), respectivamente. Daí:
 1ª quantidade = 3 · k
 2ª quantidade = 6 · k
 3ª quantidade = 
1
12
 · k
c) diretamente proporcionais a 2, 3
5
 e 9 e inversamente 
proporcionais a 
3
2
6
1
8
, .e
 Solução:
 As quantidades devem ser diretamente proporcionais a 
2
3
5
9, , 




 e a 
2
3
, , 
1
6
 e 8




 os inversos de 
3
2
, . 6, 
1
8




 Assim, as quantidades serão proporcionais aos produtos
 2 · 2
3
3
5
1
6
; ⋅ e 9 · 8.
 Daí:
 1ª quantidade = 2
4
3
 
2
3
 k⋅ ⋅ = k
 2ª quantidade = 
3
5
 
1
6
 ⋅ ⋅ =k k
10
 3ª quantidade = 9 · 8 · k = 72k
Exemplo 2:
• Rafaela, Augusto e Moacir têm 14, 12 e 9 anos e tiraram notas 
iguais a 7, 9 e 6, respectivamente, na prova de Português. 
Se o pai deles repartir 92 reais entre eles em partes inversamente 
proporcionais às idades e diretamente proporcionais às notas, 
quanto irá receber cada um?
 Solução:
 Sendo k o coefi ciente de proporcionalidade, as partes devem ser:
 Rafaela = 
1
14
 7 ⋅ ⋅ =k k
2
 Augusto = 
1
12
 9 ⋅ ⋅ =k k3
4
 Moacir = 
1
9
 6 ⋅ ⋅ =k k2
3
 Daí, 
k
2
 12+ + = ⇒ + + = ⋅ ⇒3
4
2
3
92 6 9 8 92
k k
k k k
 
⇒ = ⋅ ⇒ =k k92
23
48
4
 12
 Assim, k
2
48
2
24
3
36
2
32= = = ⋅ = = ⋅ =; 3k
4
 48
4
 e 
2k
3
 48
3
 Resposta:
 Rafaela deve receber 24 reais; Augusto, 36 reais e Moacir, 
32 reais.
Exercícios de Fixação
01. (Unifor) Três amigos médicos, com especializações em 
cardiologia, oftalmologia e ortopedia, decidiram construir 
uma clínica, em sociedade. O cardiologista contribuiu com 
R$ 400.000,00, o oftalmologista contribuiu com R$ 300.000,00 
e o ortopedista contribuiu com 200.000,00. Ao fi nal de um ano 
de serviços, a clínica obteve um lucro de R$ 540.000,00 para 
ser dividido em partes proporcionais aos valores empenhados 
por cada sócio. 
 Com base nessas informações, o valor que o cardiologista deve 
receber do lucro é 
A) R$ 190.000,00. B) R$ 210.000,00. 
C) R$ 240.000,00. D) R$ 300.000,00. 
E) R$ 340.000,00.
02. (IFPE) Carla, Luisa e Raquel são as funcionárias que mais venderam 
no último ano na empresa em que trabalham. Ao fi nal do ano, a 
chefi a liberou um bônus de R$ 6.000,00 para ser divido entre 
as três de modo diretamente proporcional ao total de vendas 
de cada uma e inversamente proporcional à quantidade de 
faltas que cada uma teve, conforme a tabela abaixo.
Funcionária Carla Luisa Raquel
Vendas (em reais) 220.000 210.000 180.000
Faltas (em dias) 2 3 3
12
MateMática e suas tecNologias Matemática I
Anual – Volume 3
 Com base nas informações, 
A) Raquel receberá 250 reais a menos que Carla. 
B) Luisa receberá 500 reais a mais que Raquel. 
C) Carla receberá 1000 reais a mais que Luisa. 
D) Raquel receberá 1000 reais a menos que Luisa. 
E) Carla receberá mais que Luisa e Raquel juntas. 
03. (Enem) O estado de qualquer substância gasosa é determinada 
pela medida de três grandezas: o volume (V), a pressão (P) e 
a temperatura (T) dessa substância. Para os chamados gases 
“ideais”, o valor do quociente 
P V
T
⋅
 é sempre constante. 
Considere um reservatório que está cheio de um gás ideal. 
Sem vazar o gás, realiza-se uma compressão do reservatório, 
reduzindo seu volume à metade. Ao mesmo tempo, uma 
fonte de calor faz a temperatura do gás ser quadruplicada. 
Considere P
0
 e P
1
, respectivamente, os valores da pressão do 
gás no reservatório, antes e depois do procedimento descrito.
 A relação entre P
0
 e P
1
 é 
A) P
P
1
0
8
= B) P
P
1
0
2
=
C) P
1
 = P
0 
D) P
1
 = 2P
0
E) P
1
 = 8P
0
04. (Enem) A resistência mecânica
x
b
d
S de uma viga de madeira, em 
forma de um paralelepípedo 
re tângu lo , é d i re tamente 
proporcional à sua largura b e ao 
quadrado de sua altura d e 
inversamente proporcional ao 
quadrado da distância entre os suportes da viga, que coincide 
com o seu comprimento x, conforme ilustra a fi gura. A constante 
de proporcionalidade k é chamada de resistência da viga.
BUSHAW, D. et al. Aplicações da matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997.
A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira é
A) S
k b d
x
= · ·
2
2
 B) S
k b d
x
= · ·
2
C) S
k b d
x
= · ·
2
 D) S
k b d
x
= · ·
2
E) S
k b d
x
= · · 2
2
05. (Enem) José, Carlos e Paulo devem transportar em suas bicicletas 
certa quantidade de laranjas. Decidiram dividir o trajeto a ser 
percorrido em duas partes, sendo que, ao fi nal da primeira 
parte, eles redistribuíram a quantidade de laranjas que cada um 
carregava dependendo do cansaço de cada um. Na primeira 
parte do trajeto, José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na 
proporção 6:5:4, respectivamente. Na segunda parte do trajeto, 
José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 4:4:2, 
respectivamente.
Sabendo-se que um deles levou 50 laranjas a mais no segundo 
trajeto, qual a quantidade de laranjas que José, Carlos e Paulo, 
nessa ordem, transportaram na segunda parte do trajeto?
A) 600, 500, 350 
B) 300, 300, 150
C) 300, 250, 200 
D) 200, 200, 100
E) 100,100, 50
Exercícios Propostos
01. (Enem) Para se construir um contrapiso, é comum, na 
constituição do concreto, se utilizar cimento, areia e brita, na 
seguinte proporção: 1 parte de cimento, 4 partes de areia e 
2 partes de brita. Para construir o contrapiso de uma garagem, 
uma construtora encomendou um caminhão betoneira com 
14 m3 de concreto. 
 Qual é o volume de cimento, em m3, na carga de concreto 
trazido pela betoneira? 
A) 1,75
B) 2,00 
C) 2,33
D) 4,00 
E) 8,00
02. (Enem) Uma televisão pode ser posicionada de modo que se 
consiga enxergar os detalhes de uma imagem em alta defi nição. 
Considere que a distância ideal, com conforto visual, para se 
assistir à televisão de 32 polegadas é de 1,8 metro. Suponha que 
haja uma relação de proporcionalidade direta entre o tamanho 
da tela (medido em polegada) e a distância ideal. Considere 
que um espectador dispõe de uma televisão de 60 polegadas 
e que ele deseja se posicionar em frente a ela, com conforto 
visual.
 A distância da televisão, em metro, em que o espectador deve se 
posicionar para que tenha conforto visual é mais próxima de 
A) 0,33.
B) 0,96.
C) 1,57.
D) 3,37.
E) 3,60.
03. (PUC-Campinas-SP) Segundo a Lei de Boyle-Mariotte, 
sabe-se que “a uma temperatura constante, os volumes de uma 
mesma massa de gás estão na razão inversa das pressões que 
produzem”. Se, sob a pressão de 5 atmosferas, uma massa de 
gás ocupa um volume de 0,6 dm3, a expressão que permite 
calcular a pressão P,em atmosferas, em função do volume V, 
em dm3, ocupado por essa massa de gás, é: 
A) V
P
=
3
 B) V = 3P
C) V
P
=
5
6
 D) V
P
=
5
6
E) V
P
=
25
3
04. O diretor de recursos humanos de uma empresa, na véspera 
do Natal, dividiu R$ 570,00 entre seus três assessores, na razão 
direta dos seus anos de serviço e na razão inversa dos seus 
salários. O primeiro assessor tem 18 anos de serviço e ganha 
R$ 2.000,00; o segundo, 15 anos e R$ 1.800,00; o terceiro, 
12 anos e R$ 1.500,00. Quanto recebeu o assessor que tem 
menos anos de serviço?
A) R$ 150,00
B) R$ 160,00
C) R$ 170,00
D) R$ 180,00
E) R$ 190,00
13
MateMática e suas tecNologiasMatemática I
Anual – Volume 3
05. (Enem) Para a construção de isolamento acústico em uma 
parede cuja área mede 9 m2, sabe-se que, se a fonte sonora 
estiver a 3 m do plano da parede, o custo é de R$ 500,00. 
Nesse tipo de isolamento, a espessura do material que reveste 
a parede é inversamente proporcional ao quadrado da distância 
até a fonte sonora, e o custo é diretamente proporcional ao 
volume do material do revestimento.
Uma expressão que fornece o custo para revestir uma parede 
de área A (em metro quadrado), situada a D metros da fonte 
sonora, é 
A) 
500 81
2
⋅
⋅A D
 B) 
500
2
⋅ A
D
 
C) 
500 2⋅D
A
 D) 
500
81
2⋅ ⋅A D
 
E) 
500 3 2⋅ ⋅D
A
 
06. (FGV) As torneiras A, B e C, que operam com vazão constante, 
podem, cada uma, encher um reservatório vazio em 60 horas, 
48 horas e 80 horas, respectivamente. Para encher esse 
mesmo reservatório vazio, inicialmente abre-se a torneira A por 
quatro horas e, em seguida, fecha-se a torneira A e abre-se a 
torneira B por quatro horas. Por fi m, fecha-se a torneira B e 
abre-se a torneira C até que o reservatório se encha por completo.
De acordo com o processo descrito, o tempo necessário e 
sufi ciente para encher o reservatório por completo e sem 
transbordamento é de 
A) 84 horas. B) 76 horas. 
C) 72 horas. D) 64 horas. 
E) 60 horas.
07. (Enem) A mensagem digitada no celular, enquanto você dirige, 
tira a sua atenção e, por isso, deve ser evitada. Pesquisas 
mostram que um motorista que dirige um carro a uma 
velocidade constante percorre “às cegas” (isto é, sem ter visão 
da pista) uma distância proporcional ao tempo gasto a olhar 
para o celular durante a digitação da mensagem. Considere 
que isso de fato aconteça. Suponha que dois motoristas (X e Y) 
dirigem com a mesma velocidade constante e digitam a mesma 
mensagem em seus celulares. Suponha, ainda, que o tempo 
gasto pelo motorista X olhando para seu celular enquanto 
digita a mensagem corresponde a 25% do tempo gasto pelo 
motorista Y para executar a mesma tarefa.
Disponível em: <http://g1.globo.com>. Acesso em: 21 jul. 2012. Adaptado.
 A razão entre as distâncias percorridas às cegas por X e Y nessa 
ordem, é igual a 
A) 
5
4
 B) 
1
4
C) 
4
3
 D) 
4
1
E) 
3
4
08. A taxa de proporção é a relação entre largura e altura da 
exibição do vídeo, e você pode escolher entre 4:3 e 16:9. 
A taxa de proporção 4:3 é semelhante à exibição “tela inteira” 
de uma televisão comum, enquanto 16:9 está relacionada ao 
formato widescreen.
Um fi lme gravado no formato widescreen, para ser exibido em 
uma TV comum, necessita-se adaptar a tela com duas tarjas 
pretas de mesma largura, uma na parte superior da tela e a 
outra na parte inferior.
A razão entre a largura da tarja e a altura da tela da TV é igual a:
A) 7,5% B) 10,0%
C) 12,5% D) 15,0%
E) 17,5%
09. (Mackenzie-SP) Na fi gura a seguir, Q é um ponto do gráfi co da 
função y = f(x), com x e y inversamente proporcionais.
y
P Q
O x
Se (x, y) = 
5
3
480,




 é um ponto da curva, então a área do 
triângulo OPQ é:
A) 160 B) 320
C) 380 D) 400
E) 800
10. Os primos Patrícia, Alberto e Milena têm 8, 12 e 15 anos 
e já viajaram para os USA 2, 3 e 5 vezes, respectivamente. 
Os dólares economizados por eles nessas viagens foram guardados 
em um mesmo “porquinho”, que foi quebrado hoje e continha 
3810 dólares. Na impossibilidade de saber quanto cada um havia 
economizado e depositado no porquinho, os primos decidiram 
dividir o montante em partes, simultaneamente, proporcionais às 
suas idades e aos respectivos números de viagens. 
Quantos dólares Milena recebeu a mais que Patrícia?
A) 1770 B) 1660
C) 1550 D) 1440
E) 1330
Fique de Olho
O bit (0 ou 1), por ser um dado (fato não processado), 
não pode ser confundido com a menor unidade de medida 
da informação, pois representa apenas valores que, somente 
em conjunto (octeto ou byte), formarão a informação em si, 
que é o produto do processamento desse conjunto de dados. 
Cabe salientar que o bit é usado como unidade de medida sim, mas 
em transmissão de dados.
Embora os computadores tenham instruções (ou comandos) 
que possam testar e manipular bits, geralmente são idealizados 
para armazenar instruções em múltiplos de bits, chamados bytes. 
No princípio, byte tinha tamanho variável, mas atualmente tem oito 
bits. Existem também termos para referir-se a múltiplos de bits usando 
padrões prefi xados, como kilobit (kb), megabit (Mb) e gigabit (Gb). 
De notar que a notação para bit utiliza um b minúsculo, em oposição 
à notação para byte, que utiliza um B maiúsculo (kB, MB, GB).
Fisicamente, o valor de um bit é, de uma maneira geral, 
armazenado como uma carga elétrica acima ou abaixo de um nível 
padrão em um único capacitor dentro de um dispositivo de memória. 
Mas bits podem ser representados fi sicamente por vários meios. 
14
MateMática e suas tecNologias Matemática I
Anual – Volume 3
Os meios e as técnicas comumente usados são: pela eletricidade, 
como já citado, por via da luz (em fi bras ópticas ou em leitores 
e gravadores de discos ópticos, por exemplo), por via de ondas 
eletromagnéticas (rede wireless), ou também, por via de polarização 
magnética (discos rígidos).
Telecomunicações ou volume de tráfego em redes de 
computadores são, geralmente, descritos em termos de bits por 
segundo. Por exemplo, “um modem de 56 kbps é capaz de transferir 
dados a 56 kilobits em um único segundo” (o que equivale a 
6,8 kilobytes (kibibyte), 6,8 kB, com B maiúsculo para mostrar que 
estamos nos referindo a bytes e não a bits.
Wikipédia, A Enciclopédia Livre.
Aula 13: 
Grandezas Proporcionais
Grandezas diretamente proporcionais
Observe na tabela seguinte as quantidades (Q) de picolés 
comprados a R$ 3,00 reais cada um e os respectivos valores 
pagos:
Valor (V) 3 6 15 24 18 36
Quantidade (Q) 1 2 5 8 6 12
x 5
x 5
Note que as razões obtidas entre os respectivos elementos 
das sequências de valores (V) e de quantidades (Q) são iguais.
V
Q
V
Q
= = = = = ⇒ =
3
1
6
2
15
5
36
12
3...
Coefi ciente de
proporcionalidade
Em geral, dizemos que duas grandezas A e B são diretamente 
proporcionais quando uma aumenta e a outra também aumenta 
na mesma razão, isto é, quando as razões obtidas entre os valores 
assumidos por uma das grandezas e os respectivos valores assumidos 
pela outra forem iguais.
Em símbolos:
 
 a constante de proporci
A B
A
B
k
onde e
∝ ⇔ = ,
,
k oonalidade 
Exemplo 1:
• As grandezas X e Y são diretamente proporcionais. Quando X vale 
28, tem-se Y valendo 12. Assim, se Y vale 15, quanto vale X?
 Solução:
 Devemos ter X
Y
k= , onde k é constante. Daí:
I. 
X
Y
k k K= ⇒ = ⇒ =
28
12
7
3
II. X
Y
X
X= ⇒ = ⇒ =7
3 15
7
3
35
Resposta: 35
C-4 H-15,16
H-17Aula
13
Exemplo 2:
• Um trabalhador limpará dois terrenos circulares cujos respectivos 
raios medem 5 metros e 15 metros. Se para limpar o primeiro, 
esse trabalhador gastou 3 horas, considerando os dois terrenos 
com igual difi culdade de limpeza, ele poderá estimar quanto 
tempo levará para limpar o segundo terreno. Veja:
 As grandezas, quantidade de horas (T) e “área a limpar” (A), 
são diretamente proporcionais (note: “quanto maior a área, mais 
tempo se gasta para limpá-la”). Daí, T
A
k= onde k é a constante 
de proporcionalidade e A = π · (raio)2.
 Assim, devemos ter, considerando os dois terrenos:T
A
x
k=
⋅
=
⋅
=3
5 152 2π π
(constante), onde x é o tempo, em horas, 
para a limpeza do segundo terreno. Daí, x = ⋅ =3 15
5
27
2
2
.
Grandezas inversamente proporcionais
Matheus quer dividir todos os seus 60 bombons entre os 
amigos, em partes iguais. Observe na tabela seguinte os possíveis 
números de amigos (A) e as respectivas quantidades (B) de bombons 
recebidos por cada amigo:
Número de
amigos (A)
2 3 4 5 6 10 30
Bombons
recebidos (B)
30 20 15 12 10 6 2
x 2
x 
1
2
Note que os produtos obtidos entre os respectivos 
elementos das sequências “número de amigos“ (A) e “número 
de bombons recebidos“ (B) são iguais:
A · B = 2 · 30 = 3 · 20 = ... = 30 · 2 ⇒ A · B = 60 
Coefi ciente de 
proporcionalidade
Em geral, dizemos que duas grandezas A e B são 
inversamente proporcionais, quando uma aumenta e a outra 
diminui na razão inversa, isto é, quando os produtos obtidos 
multiplicando-se cada valor assumido por uma das grandezas pelo 
respectivo valor assumido pela outra forem iguais.
Em símbolos:
 B
 a constante de prop
A
B
A k
onde e
∝ ⇔ ⋅ =1 ,
,
k oorcionalidade. 
15
MateMática e suas tecNologiasMatemática I
Anual – Volume 3
Exemplo 3:
• Duas grandezas V e W são inversamente proporcionais. Quando 
V vale 18, tem-se W valendo 20. Assim, se W vale 24
7
, quanto 
vale V?
 
 Solução:
 Devemos ter V · W = k, onde k é constante. Daí:
I. V · W = k ⇒ 18 · 20 = k ⇒ k = 360
II. V · W = 360 ⇒ V · 24
7
 = 360 ⇒ V = 360
24
105
15
 7⋅ ⇒ =V
Resposta: 105
Exemplo 4:
• Se 20 operários, todos com a mesma capacidade de trabalho, 
realizam determinado serviço em 15 dias, podemos inferir 
em quantos dias 24 desses operários farão serviço idêntico. 
Para isso, note que as grandezas “nº de operários” (H) e 
“nº dias” (D) são inversamente proporcionais (note: “quanto 
mais homens trabalhando, menos dias eles gastam”). 
Daí, H · D = k, onde k é constante.
 Assim, para os dois serviços, deveremos ter: H · D = 20 · 15 = 24 · x = k
(constante), onde x é o número de dias para a realização do 
outro serviço. Logo, x = ⋅ =20 15
24
12 5, .
Grandezas proporcionais a duas ou mais 
outras grandezas
Se uma grandeza A é proporcional às grandezas B e C, então 
A é proporcional ao produto B · C, isto é:
 
 C
 e
,
 constante
A
B
k
onde
⋅
= ,
k
Essa propriedade se estende para mais de duas outras 
grandezas. Por exemplo:
a) A grandeza X é proporcional às grandezas Y, Z e W. Então:
X
Y Z W
constante
⋅ ⋅
=
b) A grandeza M é diretamente proporcional às grandezas A e B 
e inversamente proporcional à grandeza C. Então:
M C
A B
constante
⋅
⋅
=
c) A grandeza X é inversamente proporcional às grandezas P, Q, 
R e diretamente proporcional à grandeza S. Então:
X
S
 P Q R
constante
⋅ ⋅ ⋅ =
Exemplo 5:
• Três grandezas X, Y e Z são tais que X é diretamente proporcional 
a Y e inversamente proporcional a Z. Quando X vale 
2
3
, tem-se 
Y valendo 
3
5
 e Z valendo 9
5
. Assim, se Y vale 
7
8
 e Z vale 
1
4
, 
qual o valor de X?
 Solução:
 Devemos ter X
Y
k
 Z⋅ = , onde k é constante. Daí:
I. X
Y
k k k k
 Z 
9
5
3
5
 
5
3
⋅ = ⇒
⋅
= ⇒ ⋅ = ⇒ =
2
3 6
5
2
II. X
Y
x
x
 Z x 
1
4
7
8
7
4
⋅ = ⇒
⋅
= ⇒ = ⇒ =2 2
4
7
Resposta: 7
Exemplo 6:
• Rafaela, Augusto e Moacir têm 14, 12 e 9 anos e tiraram notas 
iguais a 7, 9 e 6, respectivamente, na prova de Português.
Se o pai deles repartir 92 reais entre eles em partes inversamente 
proporcionais às idades e diretamente proporcionais às notas, 
podemos determinar partes de cada um. Para isso, devemos ter:
 
(parte) (idade)
(nota)
⋅ = k, onde k é constante.
 Daí, sendo R, A e M as respectivas partes, devemos ter:
 
R A M
k
R
k
A
k
M
k
⋅ = ⋅ = ⋅ = →
=
=
=








14
7
12
9
9
6
2
3
4
2
3
 Somando as partes, obtemos:
 
k k k
k k k k
2
3
4
2
3
92 6 9 8 92 12 48+ + = → + + = ⋅ → =
 Portanto, k k e
k
2
48
2
24
3
4
3 48
4
36
2
3
2 48
3
32= = = ⋅ = = ⋅ =;
 Logo, Rafaela deve receber 24 reais; Augusto, 36 reais e Moacir, 
32 reais.
Exemplo 7:
• Para construir uma barragem de 22 metros de comprimento por 
0,9 metro de largura, 20 operários gastam 11 dias, trabalhando 
8 horas por dia. Em quanto tempo 8 operários, trabalhando 
6 horas por dia, construirão uma barragem de 18 metros de 
comprimento, 0,3 metro de largura e com o dobro da altura da 
primeira, se a capacidade de trabalho do 2º grupo é o dobro da 
do 1º grupo?
 Solução:
 Tomando a grandeza nº de dias (D) como referência (a grandeza 
que se quer saber o valor), são diretamente proporcionais a ela: 
comprimento (C), largura (L), altura (A) (note: quanto maior 
é o C, L ou A, maior o D). Já as grandezas nº de operário (P), 
horas por dia de trabalho (H) e capacidade (E) são inversamente 
proporcionais a D (note: quanto maior é o P, H ou E, 
menor é o D). Considerando a primeira barragem de altura 1, a 
segunda terá altura 2, e considerando a capacidade de trabalho 
do 1º grupo 1, a do 2º grupo será 2. Daí:
D
C
k
 P H E
 L A
 onde e
,
 constante.
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
= , k
16
MateMática e suas tecNologias Matemática I
Anual – Volume 3
I. 
11 20 8 1
 0,9 1
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
= ⇒ = ⇒ =
22
80
0 9
800
9
2
k k k
,
II. D P H E
 L A
 8 6 2
18 0,3 2
1
3
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
= ⇒ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
C
D800
9
8000
9
800
9
10
⇒
⇒ = ⋅ ⋅
⋅
⇒ =D D 3 0,3
 8
Resposta: 10 dias.
 Observação: Os valores de uma mesma grandeza devem estar 
em uma mesma unidade.
Regra de sociedade
Em uma sociedade, os lucros e os prejuízos devem ser 
distribuídos entre os sócios em partes diretamente proporcionais aos 
capitais empregados pelos respectivos sócios e ao tempo durante 
o qual esses capitais estiveram empregados na constituição da 
sociedade. É justo quem aplicou mais ganhar mais. É justo quem 
aplicou seu dinheiro por mais tempo ganhar mais.
A regra de sociedade é uma aplicação prática da divisão em 
partes proporcionais.
Lucro
capital( ) (tempo)
constante
⋅
=
Exemplo 8:
• Três sócios lucraram juntamente R$ 21.500,00 após certo investimento. 
Para tanto, o primeiro entrou com um capital de R$ 7.000,00, 
durante 1 ano; o segundo com R$ 8.500 durante 8 meses e o 
terceiro, com R$ 9.000,00 durante 7 meses. Para determinar a 
parte de cada sócio no lucro, devemos ter para as três partes:
 
Lucro
(capital) (tempo)⋅
= k, onde k é constante.
 Assim, sendo L
1
, L
2
 e L
3
 as respectivas partes no lucro, obtemos:
 
L L L1 2 3
7000 12 8500 8 9000 7( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⋅
=
⋅
=
⋅
12 meses = 1 ano
 Multiplicando as frações iguais por 100, a igualdade se mantém:
 
L L L
M
L M
L M
L M
1 2 3
1
2
3
840 680 630
840
680
630
= = = ⇒
=
=
=




, onde M é constante.
 
 Como L
1
 + L
2
 + L
3
 = 840M + 680M + 630M = 21500, M = 10. 
Isso nos dá:
 
L
L
L
1
2
3
840 10 8400
680 10 6800
630 10 6300
= ⋅ =
= ⋅ =
= ⋅ =




 Logo, o primeiro sócio lucrou R$ 8.400,00; o segundo lucrou 
R$ 6.800,00 e o terceiro R$ 6.300,00.
 Solução 2:
 As partes no lucro são diretamente proporcionais ao capital 
empregado e ao tempo, logo é proporcional ao produto deles:
 1ª parte = 7000 ⋅ 12 ⋅ k = 84000k
12 meses = 1 ano
 2ª parte = 8500 ⋅ 8 ⋅ k = 68000k
 3ª parte = 9000 ⋅ 7 ⋅ k = 63000k
 Daí: 84.000k k k
k
k
+ + =
=
=
68 000 63 000 21 500
2 150 215
1
10
. . .
.
 Logo: 
1 84 000
1
10
8 400
2 68 000
1
10
6 800
3 63
a
a
a
Parte
Parte
Parte
= ⋅ =
= ⋅ =
=
. .
. .
.. .000
1
10
6 300⋅ =








 Resposta: R$ 8.400,00; R$ 6.800,00 e R$ 6.300,00, respectivamente.
Regra de três simples e regra
de três composta
Existe uma regra prática que nos permite relacionar dois 
valores de uma grandeza A com dois valores, respectivamente, de 
outra ou outras grandezas proporcionais à grandeza A.
Essa regra pode ser resumida assim:
• 1º passo: Montamos uma tabela colocando em cada coluna, 
ordenadamente, os valores de cada grandeza.
• 2º passo: Escolhemos uma grandeza para servir de referência, 
de preferência aque se quer saber o valor.
• 3º passo: À grandeza de referência, associamos uma seta com 
sentido para baixo (é só uma convenção, poderia ser para cima).
• 4º passo: Comparamos esta grandeza de referência a cada uma 
das outras, isoladamente, identifi cando se há proporcionalidade 
direta (setas no mesmo sentido) ou inversa (setas invertidas).
• 5º passo: Montamos uma proporção igualando a razão da grandeza 
de referência à outra razão ou ao produto das outras razões, caso 
a outra grandeza ou as outras grandezas sejam todas diretamente 
proporcionais à grandeza de referência. Caso tenhamos grandeza 
inversamente proporcional à grandeza de referência, devemos 
inverter os elementos da respectiva coluna.
Se o problema envolve, apenas, duas grandezas 
proporcionais, temos uma regra de três simples. Caso o problema 
envolva mais de duas grandezas proporcionais, tratar-se-á de uma 
regra de três composta.
Exemplos 9:
• Para analisar a transpiração das plantas, os botânicos precisam 
conhecer a área das suas folhas. Essa área pode ser obtida 
pelo seguinte processo: coloca-se a folha da planta sobre 
uma cartolina e traça-se o seu contorno. Na mesma cartolina, 
desenha-se um quadrado com 10 cm de lado, como mostram 
as fi guras a seguir:
10 cm
10 cm
 Após serem recortadas, as duas fi guras são pesadas em uma 
balança de alta precisão, que indica uma massa de 1,44 g 
para o quadrado da cartolina. Desse modo, usando grandezas 
proporcionais, os botânicos podem determinar a área das folhas. 
17
MateMática e suas tecNologiasMatemática I
Anual – Volume 3
Supondo que o botânico obteve a massa da fi gura da folha 
igual a 3,24 g, ele poderia usar a seguinte regra de três:
Área (cm2)
100
x
Massa (g)
1,44
3,24
 Daí, 
100 1 44
3 24
1 44 324 225
x
x x= → = ⇒ =,
,
,
 Logo, a área da folha é 225 cm2.
Exemplo 1 anterior (outra solução):
• As grandezas X e Y são diretamente proporcionais. Quando X vale 
28, tem-se Y valendo 12. Assim, se Y vale 15, quanto vale X?
 Usando regra de três, temos:
Grandeza X
28
a
Grandeza Y
12
15
Daí, 
28 12
15
15
12
35
5
4
a
a a= ⇒ = ⋅ ⇒ = 28
 Resposta: 35
Exemplo 2 anterior (outra solução):
• Um trabalhador limpará dois terrenos circulares cujos respectivos 
raios medem 5 metros e 15 metros. Se para limpar o primeiro esse 
trabalhador gastou 3 horas, considerando os dois terrenos com 
igual difi culdade de limpeza, ele poderá estimar quanto tempo 
levará para limpar o segundo terreno usando regra de três. Veja:
Horas
3
x
Área
π · 52
π · 152
 Daí, 3 25
225
225 3
25
27
x
x x= ⋅
⋅
⇒ = ⋅ ⇒ =π
π
 Resposta: 27 horas.
Exemplo 3 anterior (outra solução):
• Duas grandezas, V e W, são inversamente proporcionais. Quando 
V vale 18, tem-se W valendo 20. Assim, se W vale 
24
7
, quanto 
vale V?
 Usando regra de três, temos:
Grandeza V
18
x
Grandeza W
20
24
7
 Daí, 18
24
7
20
18 24
7
1
20
18 7 5
6
105
6
5
x x
x x= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =
 Resposta: 105
Exemplo 4 anterior (outra solução):
• Vinte operários, todos com a mesma capacidade de trabalho, 
realizam determinado serviço em 15 dias. Usando regra de três, 
também podemos inferir em quantos dias 24 desses operários 
farão serviço idêntico. Veja:
Nº de operários
20
24
Dias
15
x
 (Note: quanto mais operários trabalhando, menos dias irão gastar.)
 Daí, 15 24
20
15 5
6
12 5
6
5
x
x x= ⇒ = ⋅ ⇒ = ,
 Logo, eles farão o serviço em 12,5 dias.
Exemplo 5 anterior (outra solução):
• Três grandezas X, Y e Z são tais que X é diretamente proporcional 
a Y e inversamente proporcional a Z. Quando X vale 
2
3
, tem-se 
Y valendo 
3
5
 e Z valendo 
9
5
. Assim, se Y vale 
7
8
 e Z vale 
1
4
, 
qual o valor de X?
 Usando regra de três, temos:
Grandeza X
2
3
a
Grandeza Y
3
5
7
8
Grandeza Z
9
5
1
4
(referência)
 Daí, 
2
3
3
5
7
8
1
4
9
5
2
3
3
5
8
7
1
4
5
9
2
3
6
9 7
7
2
1
a a a
a
= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =
⋅
⇒
⇒ =
 Resposta: 7
Exemplo 7 anterior (outra solução):
• Para construir uma barragem de 22 metros de comprimento por 
0,9 metro de largura, 20 operários gastam 11 dias, trabalhando 
8 horas por dia. Em quanto tempo 8 operários, trabalhando 
6 horas por dia, construirão uma barragem de 18 metros de 
comprimento, 0,3 metro de largura e com o dobro da altura da 
primeira, se a capacidade de trabalho do 2º grupo é o dobro da 
do 1º grupo? Veja:
Comp.
22
18
Larg.
0,9
0,3
Dias
11
x
Altura
1
2
Capac.
1
2
Operários
20
08
Horas p/ dia
8
6
(referência)
 Daí, 
11 22
18
0 9
0 3
8
20
6
8
1
2
2
1x
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,
,
 Resolvendo a proporção, obtemos x = 10. Logo, eles construirão 
em 10 dias.
18
MateMática e suas tecNologias Matemática I
Anual – Volume 3
O problema das torneiras
Uma torneira enche um tanque, sozinha, em 3 horas e 
uma outra, em 6 horas. Funcionando juntas e estando esse mesmo 
tanque vazio, em quanto tempo essas duas torneiras o encheriam?
Comentários:
Nos problemas em que as capacidades de realizar um mesmo 
trabalho são diferentes, devem-se determinar as frações do trabalho 
realizado por unidade de tempo. No caso, as duas torneiras têm 
capacidades diferentes. Devemos, então, determinar a fração do tanque 
todo (1) que cada torneira enche em uma hora. Isso é fácil de ver, pois 
quem gasta 3 horas para encher um tanque todo, em uma hora enche 
1
3
 do tanque; quem gasta 6 horas para encher um tanque todo, em 
uma hora enche 
1
6
 do tanque. Em geral, quem gasta x horas para 
realizar um trabalho, em uma hora faz 1
x
 desse trabalho.
Daí, sendo x horas o tempo que as duas torneiras (juntas) 
gastam para encher o tanque e considerando uma hora de trabalho 
dessas torneiras, temos:
1
3
1
6
1+ = ⇒
x
 2x + x = 6 ⇒ x = 2
Outro problema clássico, similar ao das torneiras, é o dos 
profi ssionais e dos aprendizes. Veja-o com a respectiva solução:
• Três profi ssionais fazem 12 peças em 5 horas, e 2 aprendizes 
fazem 6 peças em 10 horas. Em quanto tempo 1 profi ssional e 
4 aprendizes farão 20 peças?
 Como as capacidades de trabalho são diferentes, vamos descobrir 
quantas peças 1 profi ssional e 1 aprendiz fazem, isoladamente 
em 1 hora. Para isso, temos:
I. Para os profi ssionais:
Profi ssionais
3
1
Peças
12
x
Horas
5
1
(referência)
 Daí, 
12 3
1
5
1
12
15
4
5x
x x= ⋅ ⇒ = ⇒ = peça.
 (Isso nos mostra que, em uma hora, um profi ssional faz 
4
5
 de peça.)
II. Para os aprendizes:
Aprendizes
2
1
Peças
6
y
Horas
10
1
(referência)
 Daí, 
6 2
1
10
1
2
2 10
3
10y
y y= ⋅ ⇒ =
⋅
⇒ = peça.
 (Isso nos mostra que, em uma hora, um aprendiz faz 
3
10
 de peça.)
III. Um profi ssional e 4 aprendizes, juntos, em uma hora, farão 
1
4
5
4
3
10
2⋅ + ⋅ =



pe asç . Assim, sendo z horas o tempo 
procurado, usando regra de três, temos:
Peças
2
20
Horas
1
z
 
1 2
20
10
z
x= → =
 Logo, eles farão as 20 peças em 10 horas.
Exercícios de Fixação
01. Um fazendeiro tem provisões para alimentar 32 bois durante 25 
dias. No fi m de 4 dias, ele compra mais 10 bois. Quanto tempo 
durarão as provisões, se a ração de cada boi não é diminuída?
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
02. Um certo setor de uma empresa tem várias máquinas, todas 
com o mesmo custo operacional por hora. Se o custo de 
operação de 3 delas, em 2 dias, funcionando 6 horas por dia, 
é de R reais, então o custo de operação em reais de 2 delas, 
em 4 dias funcionando 5 horas por dia, é igual a
A) 
8
9
R
 B) 
10
9
R
C) R D) 2R
E) 5R
03. Para proporcionar uma festa de aniversário com 100 convidados, 
os organizadores previram um consumo de 6.000 salgados 
durante 3 horas de duração da festa. A cozinheira, por 
precaução, fez 2.000 salgados a mais, porém compareceram 
20 pessoas a mais do previsto. Usando a proporcionalidade e 
considerando que a previsão esteja correta, por quanto tempo 
durarão os salgados? 
A) 4 h 48 min
B) 4 h 20 min
C) 4 h
D) 3 h 48 min
E) 3 h 20 min
04. (Unichristus) Três amigos, Antônio, Bento e Cássio, formaram 
uma sociedade. Antônio permaneceu na sociedade durante 1 
ano;Bento permaneceu 7 meses mais que Antônio e Cássio, 
8 meses mais que Bento. Antônio entrou na sociedade com um 
capital de R$ 80.000,00; Bento, com um capital de R$ 20.000,00 
mais que Antônio e Cássio, com R$ 40.000,00 menos que 
Bento. Se o lucro fi nal foi de R$ 22.400,00, o lucro de Bento 
foi de 
A) R$ 9.500,00. B) R$ 8.100,00. 
C) R$ 7.200,00. D) R$ 6.500,00. 
E) R$ 4.800,00.
05. Uma fábrica de parafusos trabalha com dois tipos de máquinas, 
tipo A e tipo B. Empiricamente, o gerente da fábrica sabe 
que, na produção do parafuso Allen, oito máquinas do tipo A 
gastam 3 horas para produzir 160 parafusos; e 5 máquinas 
tipo B gastam 4 horas para produzir 180. De última hora, essa 
fábrica recebeu um pedido de 536 desses parafusos e não 
tem nenhum em estoque. Para atender ao pedido, o gerente 
disponibilizou 6 máquinas tipo A e 3 máquinas tipo B, que 
iniciaram os trabalhos simultaneamente.
Em quantas horas os parafusos do pedido estarão produzidos?
A) 6,0 
B) 6,5
C) 7,0 
D) 7,5
E) 8,0
19
MateMática e suas tecNologiasMatemática I
Anual – Volume 3
Exercícios Propostos
01. (Enem) Se compararmos a idade do planeta Terra, avaliada em 
quatro e meio bilhões de anos (4,5 109 anos), com a de uma 
pessoa de 45 anos, então, quando começaram a fl orescer os 
primeiros vegetais, a Terra já teria 42 anos. Ela só conviveu 
com o homem moderno nas últimas quatro horas e, há cerca 
de uma hora, viu-o começar a plantar e a colher. Há menos 
de um minuto percebeu o ruído de máquinas e de indústrias 
e, como denuncia uma ONG de defesa do meio ambiente, foi 
nesses últimos sessenta segundos que se produziu todo o lixo 
do planeta!
 O texto permite concluir que a agricultura começou a ser 
praticada há cerca de
A) 365 anos.
B) 460 anos.
C) 900 anos.
D) 10.000 anos.
E) 460.000 anos.
02. Um fazendeiro possui ração sufi ciente para alimentar suas 
16 vacas durante 62 dias. Após 14 dias, ele vendeu 4 vacas. 
Passando mais 15 dias, ele compra 9 vacas. Depois desta última 
compra, a reserva de ração foi para alimentar as vacas durante 
por mais
A) 40 dias.
B) 36 dias.
C) 32 dias.
D) 30 dias.
E) 28 dias.
03. No quadro abaixo, tem-se as idades e os tempos de serviço de dois 
técnicos judiciários do TRF de uma certa circunscrição judiciária.
idade Tempo de Serviço
João 36 anos 8 anos
Maria 30 anos 12 anos
Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um 
processo. Dividiram o total de laudas entre si, na razão direta 
de suas idades e inversa de seus tempos de serviço no Tribunal. 
Se João digitou 27 laudas, determine o total de laudas do 
processo.
A) 40 B) 41
C) 42 D) 43
E) 44
04. (EPCAr) Certa máquina, funcionando normalmente 5 horas por 
dia, gasta 3 dias para produzir 1.200 embalagens. Atualmente 
está com esse tempo de funcionamento diário reduzido em 
20%,trabalhando, assim, apenas T horas por dia.
Para atender uma encomenda de 1.840 embalagens, 
aproveitando ao máximo em todos os dias o seu tempo T de 
funcionamento, ela gastará no último dia 
A) 120 minutos 
B) 150 minutos 
C) 180 minutos 
D) 200 minutos
05. (Uerj – Adaptado) Distância de frenagem é aquela percorrida 
por um carro do instante em que seu freio é acionado até 
o momento em que ele para. Essa distância é diretamente 
proporcional ao quadrado da velocidade que o carro está 
desenvolvendo no instante em que o freio é acionado.
 O gráfi co abaixo indica a distância de frenagem d, em metros, 
percorrida por um carro, em função de sua velocidade v, em 
quilômetros por hora.
d (m)
v (km/h)
32
0 50
Admita que o freio desse carro seja acionado quando ele 
alcançar a velocidade de 100 km/h.
A sua distância de frenagem, em metros, é:
A) 120. 
B) 124.
C) 128. 
D) 132.
E) 136.
06. (Enem) Uma indústria tem um setor totalmente automatizado. 
São quatro máquinas iguais, que trabalham simultânea e 
ininterruptamente durante uma jornada de 6 horas. Após 
esse período, as máquinas são desligadas por 30 minutos 
para manutenção. Se alguma máquina precisar de mais 
manutenção, fi cará parada até a próxima manutenção. Certo 
dia, era necessário que as quatro máquinas produzissem um 
total de 9.000 itens. O trabalho começou a ser feito às 8 horas. 
Durante uma jornada de 6 horas, produziram 6.000 itens, mas 
na manutenção observou-se que uma máquina precisava fi car 
parada. Quando o serviço foi fi nalizado, as três máquinas que 
continuaram operando passaram por uma nova manutenção, 
chamada de manutenção de esgotamento.
 Em que horário começou a manutenção de esgotamento? 
A) 16h45min
B) 18h30min
C) 19h50min
D) 21h15min
E) 22h30min
07. (IFPE) O governo municipal de Palmares, Mata Sul do estado de 
Pernambuco, decidiu construir um conjunto residencial. Para 
isso, contratou uma empresa que executasse a obra projetada 
para ser concluída em 12 meses. A empresa responsável 
verifi cou que 40 operários seriam sufi cientes para concluir todo 
o trabalho em 12 meses (prazo estabelecido em projeto). Depois 
de seis meses sem atrasos na construção, o governo exigiu 
que a obra fosse concluída nos 4 meses seguintes, obrigando 
a empresa a contratar novos operários.
Se considerarmos que todos os operários têm a mesma 
efi ciência, quantos funcionários a mais a empresa precisa 
contratar para terminar a obra no novo prazo exigido? 
A) 60 
B) 50 
C) 40 
D) 30 
E) 20 
20
MateMática e suas tecNologias Matemática I
Anual – Volume 3
08. (Enem) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos 
arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para 
doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos 
aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 
3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. 
Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se 
ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias 
seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o 
ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de 
alimentos arrecadados ao fi nal do prazo estipulado seria de
A) 920 kg. B) 800 kg.
C) 720 kg. D) 600 kg.
E) 570 kg.
09. (UFPE) Uma obra será executada por 13 operários (de mesma 
capacidade de trabalho), trabalhando durante 11 dias com 
jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8 dias do 
início da obra, 3 operários adoeceram, e a obra deverá ser 
concluída pelos operários restantes no prazo estabelecido 
anteriormente. Qual deverá ser a jornada diária de trabalho 
dos operários restantes nos dias que faltam para a conclusão 
da obra no prazo previsto?
A) 7 h 42 min 
B) 7 h 44 min
C) 7 h 46 min 
D) 7 h 48 min
E) 7 h 50 min
10. (JM) A área de um estado pode ser obtida pelo seguinte processo: 
coloca-se sobre uma folha de cartolina o mapa da cidade e 
traça-se o seu contorno. Na mesma cartolina, desenha-se um 
quadrado de 10 cm de lado, conforme mostram as fi guras.
Ceará
10 cm
10 cm
Após serem recortadas, as duas fi guras são pesadas em uma 
balança de alta precisão, que indica uma massa de 1 g para o 
quadrado de cartolina e 3,7 g para o mapa do Ceará, cuja escala 
é 1:2000000. Desse modo, usando grandezas proporcionais, 
pode-se determinar a área do estado do Ceará.
Nessas condições, a área do estado do Ceará, em quilômetros 
quadrados, é aproximadamente,
A) 143000. 
B) 148000.
C) 153000. 
D) 160000.
E) 165000.
Fique de Olho
www.uol.com.br
Abra as janelas: “Vestibular”, “Provas e resoluções” ou “Simulados 
e testes”.
Aula 14: 
Revisão I – Sistemas de 
Numeração, Múltiplos, 
Divisores e Operações com 
Números Racionais
Exercícios de Fixação
01. Medir distâncias sempre foi uma necessidade da humanidade. 
Ao longo do tempo fez-se necessária a criação de unidades 
de medidas que pudessem representar tais distâncias, como 
o metro. Uma unidade de comprimento pouco conhecida 
é a Unidade Astronômica (UA), utilizada para descrever, por 
exemplo, distâncias entre corpos celestes. Por definição, 
1 UA equivale à distância entre a Terra e o Sol, que, em notação 
científi ca, é dada por 1,496 × 102 milhões de quilômetros.
 Na mesma forma de representação, 1 UA, em metro, equivalea 
A) 1,496 × 105 m B) 1,496 × 106 m 
C) 1,496 × 108 m D) 1,496 × 1010 m 
E) 1,496 × 1011 m 
02. Um país lançou em 02/05/2018 os satélites artifi ciais A, B e C com 
as tarefas de fi scalizar o desmatamento em áreas de preservação, 
as nascentes dos rios e a pesca predatória no Oceano Atlântico. 
No dia 03/05/2018, podia-se observá-los alinhados, cada um em 
uma órbita circular diferente, tendo a Terra como centro. Se os 
satélites A, B e C levam, respectivamente, 6, 10 e 9 dias para 
darem uma volta completa em torno da Terra, então o primeiro 
alinhamento, após o dia 03/05/2018, ocorreu em que data?
A) 30 de outubro de 2018.
B) 1º de setembro de 2018.
C) 7 de setembro de 2018.
D) 1º de agosto de 2018.
E) 7 de agosto de 2018.
03. O Supermercado “Preço Baixo” deseja fazer uma doação ao 
Orfanato “Me Adote” e dispõe, para esta ação, de 528 kg de 
açúcar, 240 kg de feijão e 2.016 kg de arroz. Serão montados 
kits iguais contendo, cada um, as mesmas quantidades inteiras 
de kg de açúcar, de feijão e de arroz. Quantos quilogramas de 
açúcar deve haver em cada um dos kits, se forem arrumados 
o número máximo de kits? 
A) 20 B) 11
C) 31 D) 42
E) 44
04. (UEL – Adaptado) Os povos indígenas têm uma forte relação 
com a natureza. Uma certa tribo indígena celebra o Ritual do 
Sol de 20 em 20 dias, o Ritual da Chuva de 66 em 66 dias e o 
Ritual da Terra de 30 em 30 dias.
Considerando que, coincidentemente, os três rituais ocorram 
hoje, quinta-feira, 31 de agosto de 2017, a próxima data em 
que os três rituais serão celebrados juntos novamente cairá 
num(a)
A) domingo.
B) segunda-feira.
C) quarta-feira.
D) sexta-feira.
E) sábado.
C-1 H-1
H-4
H-2Aula
14
21
MateMática e suas tecNologiasMatemática I
Anual – Volume 3
05. Leia o texto e siga as orientações:
– pense em um número inteiro positivo N, de três algarismos 
distintos e não nulos;
– com os algarismos de N, forme todos os possíveis números 
de dois algarismos distintos;
– obtenha a soma (S) de todos esses números de dois algarismos;
– obtenha a soma (R), dos três algarismos do número N;
– fi nalmente, divida S por R. 
 O quociente da divisão de S por R é igual a 
A) 21. B) 22.
C) 23. D) 24.
E) 25.
Exercícios Propostos
01. (UERJ) O seguinte trecho foi escrito cinquenta vezes: a ideia 
de envelhecer afl ige mulheres e homens. A milésima letra 
a ser escrita foi
A) m. B) u.
C) g. D) e.
02. (CFTMG) Segundo uma profecia Maia, acreditava-se que 2012 
seria o ano do “fi m do mundo”. Supondo-se que essa profecia 
tivesse sido anunciada em um domingo, e que, a partir daí, a 
Terra teria “apenas” mais 1.870.626 “dias de vida”, o dia da 
semana em que o “mundo acabaria” seria
A) segunda. B) terça.
C) quarta. D) quinta.
03. Antônio é um botânico que desenvolveu em seu laboratório três 
variedades de uma mesma planta, V
1
, V
2
 e V
3
. Esses exemplares 
se desenvolvem cada um a seu tempo, de acordo com a tabela 
a seguir.
Variedade
Tempo de 
germinação (em 
semanas, após o 
plantio)
Tempo de 
fl oração (em 
semanas, após a 
germinação)
Tempo para uma 
única colheita (em 
semanas, após a 
fl oração)
V
1
5 3 1
V
2
3 2 1
V
3
2 1 1
 Considere um experimento em que as três variedades serão 
plantadas inicialmente no mesmo dia e que, a cada dia de 
colheita, outra semente da mesma variedade será plantada.
 Com base nos dados da tabela, o número de semanas 
necessárias para que a colheita das três variedades ocorra 
simultaneamente, será
A) 36 B) 24
C) 18 D) 16
04. (EBMSP) Um grupo de pesquisadores, composto por 6 médicos 
e seus 19 orientandos, recebeu, ao fi nal de um projeto, como 
bonifi cação, uma quantia, em notas de R$ 100,00 a ser dividida 
entre eles de tal modo que metade fosse dividida, igualmente, 
entre os médicos e a outra metade fosse dividida, igualmente, 
entre os orientandos.
Com base nessas informações, pode-se afi rmar que a diferença 
entre os valores recebidos por um médico e um orientando foi, 
no mínimo, igual a 
A) R$ 1.300,00 B) R$ 1.500,00 
C) R$ 2.000,00 D) R$ 2.400,00 
E) R$ 3.000,00 
05. (UFRGS) Na última década do século XX, a perda de gelo de 
uma das maiores geleiras do Hemisfério Norte foi estimada em 
96 km3. Se 1 cm3 de gelo tem massa de 0,92 g, a massa de
96 km3 de gelo, em quilogramas, é 
A) 8,832 · 1012 
B) 8,832 · 1013 
C) 8,832 · 1014 
D) 8,832 · 1015 
E) 8,832 · 1016 
06. (Etec/2017) A quantidade mínima de água necessária para a 
vida de um ser humano varia de acordo com seu padrão de 
vida, o local em que mora, seus hábitos, entre outros fatores. 
No Brasil, considera-se o consumo de 150 a 200 litros de água 
por pessoa, por dia, o necessário para uma vida confortável em 
uma residência.
Para saber se você e os moradores de sua casa são consumidores 
moderados de água, basta encontrar o consumo médio por 
pessoa.
Se o resultado for, por dia,
– menor que 150 L por pessoa, signifi ca que vocês praticam 
a economia de água.
– entre 150 e 300 L é sinal de que vocês estão no limite do 
bom senso.
– maior de 300 L, signifi ca que vocês devem refl etir sobre a 
utilização da água na sua casa, ou mesmo averiguar se este 
elevado consumo está sendo causado por vazamentos.
Disponível em: <http://tinyurl.com/zzaso7z>
Acesso em: 10.09.16. Adaptado.
O consumo de água referente ao mês de setembro de uma 
residência com 5 moradores foi de 25 m3.
Sobre o consumo médio por morador por dia, é correto afi rmar 
que esses, moradores 
A) praticam a economia de água. 
B) estão no limite do bom senso. 
C) consomem menos do que os que praticam a economia de 
água. 
D) devem refl etir sobre a utilização da água na sua casa. 
E) devem averiguar a existência de possíveis vazamentos na 
residência. 
07. (FGVRJ) Prudêncio dirige seu carro a 60 km/h quando não 
está chovendo e a 40 km/h quando está chovendo. Certo dia, 
Prudêncio dirigiu seu carro pela manhã, quando não estava 
chovendo, e no fi nal da tarde, quando estava chovendo. 
No total ele percorreu 50 km em 65 minutos.
O tempo, em minutos, que Prudêncio dirigiu na chuva foi 
A) 40. 
B) 35. 
C) 30. 
D) 45. 
E) 25. 
08. (Col. Naval) Na divisão exata do número k por 50, uma pessoa, 
distraidamente, dividiu por 5, esquecendo o zero e, dessa forma, 
encontrou um valor 22,5 unidades maior que o esperado. Qual 
o valor do algarismo das dezenas do número k? 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
E) 5 
22
MateMática e suas tecNologias Matemática I
Anual – Volume 3
09. (Enem-PPL) Uma empresa pretende adquirir uma nova 
impressora com o objetivo de suprir um dos seus departamentos 
que tem uma demanda grande por cópias. Para isso, efetuou-se 
uma pesquisa de mercado que resultou em três modelos de 
impressora distintos, que se diferenciam apenas pelas seguintes 
características:
Características
Impressora 
A
Impressora 
B
Impressora 
C
Custo da máquina 
(sem cartucho)
R$ 500,00 R$ 1.100,00 R$ 2.000,00
Custo do cartucho R$ 80 R$ 140,00 R$ 250,00
Cópias por 
cartucho
1.000 2.000 5.000
Para facilitar a tomada de decisão, o departamento informou 
que sua demanda será de, exatamente, 50.000 cópias.
Assim, deve-se adquirir a impressora 
A) A ou B, em vez de C. 
B) B, em vez de A ou C. 
C) A, em vez de B ou C. 
D) C, em vez de A ou B. 
E) A ou C, em vez de B. 
10. (Acafe) Um feirante deseja distribuir 576 goiabas, 432 laranjas 
e 504 maçãs entre várias famílias de um bairro carente.
A exigência do feirante é que a distribuição seja feita de modo 
que cada família receba o mesmo e o menor número possível 
de frutas de uma mesma espécie.
A quantidade total de frutas recebida por cada família 
representa um número 
A) divisível por 9. 
B) múltiplo de 7. 
C) múltiplo de 12. 
D) entre 40 e 50. 
Fique de Olho
01. (Santa Casa) Se n é real e positivo, o valor de 
1
12n n+ −
 é, 
certamente:
A) um valor entre n e 2n.
B) maior que 2n.
C) um valor entre 
n
2
 e n.
D) um valor entre 0 e n.
E) um valor que diminui à medida que n cresce.
solução:
Fazendo k= 
1
12n n+ −
 e racionalizando o denominador, 
temos:
K
n n
n n
n n
K
n n
n n
K n
=
+ −

⋅
+ +


+ +


⇒ = + +
+ −
⇒
⇒ = +
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2 2
2 ++ n
Como n n2 21+ > , obtemos:
n n n n K n2 21 2+ + > + ⇒ >
Resposta: B
Aula 15: 
Revisão II – Porcentagem, 
Razão, Proporção, Escalas 
e Grandezas Direta ou 
Inversamente Proporcionais
Exercícios de Fixação
01. (Enem) A baixa procura por carne bovina e o aumento de oferta 
de animais para abate fi zeram com que o preço da arroba do 
boi apresentasse queda para o consumidor. No ano de 2012, 
o preço da arroba do boi caiu de R$ 100,00 para R$ 93,00. 
Disponível em: <www.diariodemarilia.com.br>. Acesso em: 14 ago. 2012.
 Com o mesmo valor destinado à aquisição de carne, em termos 
de perda ou ganho, o consumidor 
A) ganhou 6,5% em poder aquisitivo de carne. 
B) ganhou 7% em poder aquisitivo de carne. 
C) ganhou 7,5% em poder aquisitivo de carne. 
D) perdeu 7% em poder aquisitivo de carne. 
E) perdeu 7,5% em poder aquisitivo de carne. 
02. (Enem) Sabe-se que o valor cobrado na conta de energia elétrica 
correspondente ao uso de cada eletrodoméstico é diretamente 
proporcional à potência utilizada pelo aparelho, medida em 
watts (W), e também ao tempo que esse aparelho permanece 
ligado durante o mês. Certo consumidor possui um chuveiro 
elétrico com potência máxima de 3.600 W e um televisor 
com potência máxima de 100 W. Em certo mês, a família do 
consumidor utilizou esse chuveiro elétrico durante um tempo 
total de 5 horas e esse televisor durante um tempo total de 
60 horas, ambos em suas potências máximas.
 Qual a razão entre o valor cobrado pelo uso do chuveiro e o 
valor cobrado pelo uso do televisor? 
A) 1 : 1.200
B) 1 : 12
C) 3 : 1
D) 36 : 1
E) 432 : 1
03. (Enem) Em abril de 2009, o observatório espacial americano 
Swift captou um feixe de raios gama proveniente de uma 
explosão no espaço. Cientistas italianos e ingleses apresentaram 
conclusões de que as luzes captadas provêm do colapso de uma 
estrela ocorrido há 13 bilhões de anos, apenas 630 milhões de 
anos após o Big Bang, expansão súbita que originou o Universo. 
Batizada de GRB 090423, a estrela é o objeto celeste mais 
antigo já observado pelo homem. 
Revista Veja. 4 nov. 2009. Adaptado. 
 Suponha uma escala de 0 h a 24 h e considere que o Big Bang 
ocorreu exatamente à 0 h. Desse modo, a explosão da estrela 
GRB 090423 teria ocorrido à(s) 
A) 1,10 h.
B) 1,16 h. 
C) 1,22 h.
D) 1,84 h. 
E) 2,01 h.
C-3 H-11, 12
C-4 H-16, 17Aula
15
23
MateMática e suas tecNologiasMatemática I
Anual – Volume 3
04. (Unifor) Uma torneira T
1
 enche um tanque de volume V em 
6 horas. A torneira T
2
 enche o mesmo tanque em 8 horas, e a 
torneira esvazia esse mesmo tanque em 4 horas. Se o tanque 
está vazio e todas as torneiras foram abertas ao mesmo tempo, 
o percentual do volume do tanque em 6 horas é de: 
A) 25% 
B) 30% 
C) 45% 
D) 60% 
E) 65%
05. (Enem) Uma confecção possuía 36 funcionários, alcançando 
uma produtividade de 5.400 camisetas por dia, com uma 
jornada de trabalho diária dos funcionários de 6 horas. 
Entretanto, com o lançamento da nova coleção e de uma nova 
campanha de marketing, o número de encomendas cresceu de 
forma acentuada, aumentando a demanda diária para 21.600 
camisetas. Buscando atender essa nova demanda, a empresa 
aumentou o quadro de funcionários para 96. Ainda assim, a 
carga horária de trabalho necessita ser ajustada.
 Qual deve ser a nova jornada de trabalho diária dos funcionários 
para que a empresa consiga atender a demanda? 
A) 1 hora e 30 minutos. 
B) 2 horas e 15 minutos. 
C) 9 horas. 
D) 16 horas. 
E) 24 horas. 
Exercícios Propostos
01. (Unifor) O proprietário de um automóvel modelo fl ex observou 
que, na cidade, seu carro consome 34 litros de gasolina 
para percorrer 408 km. Quando ele abastece com álcool, 
o automóvel consome 37 litros deste combustível para percorrer 
296 km. Suponha que, num determinado posto de combustível, 
um litro de gasolina custe R$ 3,60. Qual deve ser o preço do 
litro do álcool para que o custo do quilômetro rodado por esse 
automóvel, usando somente gasolina ou somente álcool como 
combustível, seja o mesmo? 
A) R$ 2,00 
B) R$ 2,10 
C) R$ 2,20 
D) R$ 2,40 
E) R$ 2,50
02. O dono de uma papelaria comprou uma grande quantidade de 
canetas de dois tipos, A e B, ao preço de R$ 20,00 e R$ 15,00 
a dúzia, respectivamente, tendo pago na compra o valor de 
R$ 1.020,00. No total, ele saiu da loja com 777 canetas, mas 
sabe-se que, para cada três dúzias de um mesmo tipo de caneta 
que comprou, ele ganhou uma caneta extra, do mesmo tipo, 
de brinde. 
 Nas condições descritas, o total de dúzias de canetas do tipo B 
que ele comprou foi igual a 
A) 52
B) 48
C) 45
D) 41
E) 37
03. (Enem) Uma indústria utiliza um índice de desempenho para as 
suas máquinas que é diretamente proporcional à quantidade 
total de peças produzidas e inversamente proporcional ao 
quadrado da quantidade de peças defeituosas produzidas. 
Em um semestre, cinco máquinas produziam a mesma 
quantidade T de peças, sendo D delas defeituosas. No semestre 
seguinte, houve uma alteração na quantidade total de peças 
produzidas por cada máquina e também na quantidade de 
peças defeituosas, de acordo com o quadro.
Máquinas Total de peças Peças defeituosas
I 1,07 T 1,07 D
II 1,4 T 0,7 D
III 0,7 T 1,4 D
IV 1,07 T (1,07)2 D
V (1,07)2 T 1,07 D
 A máquina que manteve o mesmo índice de desempenho do 
semestre anterior foi a
A) I. B) II. 
C) III. D) IV. 
E) V. 
04. (Enem) Numa tarefa escolar, um aluno precisava fazer a planta 
baixa de sua casa em uma escala 1 : 40. Ele verifi cou que a 
base da casa era retangular, tendo 12 metros de comprimento 
e metros de largura. O aluno foi a uma papelaria e lá observou 
que havia cinco tipos de folhas de papel, todas com diferentes 
dimensões. O quadro contém os cinco tipos de folhas, com 
seus comprimentos e larguras fornecidos em centímetro.
Folha de papel Comprimento Largura
Tipo I 16 12
Tipo II 30 20
Tipo III 32 22
Tipo IV 24 24
Tipo V 48 32
 O aluno analisou os cinco tipos de folha e comprou a que 
possuía as dimensões mínimas necessárias para que ele fi zesse 
a planta de sua casa na escala desejada, deixando exatamente 
centímetros de margem em cada um dos quatro lados da folha.
 A folha escolhida pelo aluno foi a de tipo 
A) I. B) II. 
C) III. D) IV. 
E) V. 
05. (Enem 2ª aplicação) Uma empresa europeia construiu um 
avião solar, como na fi gura, objetivando dar uma volta ao 
mundo utilizando somente energia solar. O avião solar tem 
comprimento AB igual a 20 m e uma envergadura de asas CD 
igual a 60 m.
Ra
m
a/
W
ik
im
ed
ia
 F
ou
nd
at
io
n
24
MateMática e suas tecNologias Matemática I
Anual – Volume 3
Para uma feira de ciências, uma equipe de alunos fez uma 
maquete desse avião. A escala utilizada pelos alunos foi de 
3 : 400.
A envergadura CD na referida maquete, em centímetro,
é igual a 
A) 5.
B) 20. 
C) 45.
D) 55.
E) 80. 
06. (IFSul) Em uma indústria metalúrgica, 4 equipamentos operando 
8 horas por dia durante 5 dias, produzem 4 toneladas de 
certo produto. O número de dias necessários para produzir 
3 toneladas do mesmo produto por 5 equipamentos do mesmo 
tipo, operando 6 horas por dia é 
A) 3. B) 4.
C) 5. D) 6.
07. (IFPE) Em uma pista de atletismo circular com 2 raias, a raia A
possui raio igual a 80 metros, e a raia B possui raio igual a
100 metros, conforme fi gura a seguir.
B
A
Sabendo que o atleta da raia A fará o percurso de uma volta 
com a velocidade constante de 4 m/s, qual será a velocidade, 
em m/s, que o atleta da raia B deverá manter para que os dois 
completem uma volta no mesmo tempo?
(velocidade é a razão entre a distância percorrida e o tempo 
gasto) 
A) 5 B) 5,2 
C) 6 D) 6,8 
E) 8 
08. (Fac. Albert Einstein – Medicina) Dois pilotos treinam em uma 
pista de corrida. Um deles fi ca em uma faixa interna da pista e 
uma volta completa nessa faixa possui 2,4 km de comprimento; 
o outro fi ca em uma faixa mais externa cuja volta completa tem 
2,7 km. O pilotoque possui o carro mais rápido está na faixa interna 
e a cada volta que ele completa o outro piloto percorre 2 km.
Se os pilotos iniciaram o treino sobre a marca de largada 
da pista, a próxima vez em que eles se encontrarão sobre 
essa marca, o piloto com o carro mais lento terá percorrido,
em km, uma distância igual a 
A) 40,5 B) 54,0 
C) 64,8 D) 72,9 
09. (UPE) A margem de erro em uma pesquisa eleitoral é 
inversamente proporcional à raiz quadrada do tamanho da 
amostra. Se, em uma pesquisa com 8.100 eleitores, a margem 
de erro é de 4%, em uma pesquisa com 25.600 eleitores, 
ela será de 
A) 2,25% B) 2,50% 
C) 2,80% D) 3,00% 
E) 3,50% 
10. (IFSC) Ao começar a chover em uma pequena cidade do interior 
de Santa Catarina, um açude tinha, inicialmente, certo volume 
de água. Após 30 minutos de chuva, o volume de água do 
açude estava em 160 m3 e, passados mais 12 minutos, o volume 
foi para 208 m3.
Sabendo-se que o volume de água cresceu a uma taxa 
constante, determine qual era o volume de água do açude, 
em metros cúbicos, no instante em que começou a chover.
Assinale a alternativa correta. 
A) 120 B) 112 
C) 48 D) 40 
E) zero
Fique de Olho
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Anotações
1
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática i
Anual – Volume 3
Aulas ?? a ??: 
Razões e Proporções
• Objetivo(s):
 Representar intervalos reais na reta;
 Resolver situações-problema, envolvendo inequações do Primeiro Grau.
• Metodologia:
 1º passo:
 Mostre, na reta, as diferentes representações para (por exemplo) os A = {x ∈ N | −2 ≤ x < 3}, B = {x ∈ Z | −2 ≤ x < 3}, C = {x ∈ Q | −2 ≤ x < 3} e 
D = {x ∈ R | −2 ≤ x < 3}, nos quais apenas os conjuntos universos são diferentes. Enfatize que apenas o conjunto D é um intervalo 
real, fale dos estremos (fechado e aberto).
 2º passo:
 Escreva o conjunto D na notação de intervalo: D = [–2, 3[ ou D = [–2, 3). Dê exemplos de intervalos com “mais infinito” e com 
“menos infinitos”, representando-os na reta.
 3º passo:
 Comente o exercício de fixação 01. (veja resolução)
 4º passo:
 Exemplifique numericamente as propriedades das desigualdades, dando atenção especial à inversão do sentido da desigualdade 
(multiplicação da desigualdade por número negativo).
 5º passo:
 Comente os exercícios de fixação 02, 03, 04 e 05. (veja resoluções)
 6º passo:
 Sugira uma leitura criteriosa da teoria e dos exercícios resolvidos na aula, contidos na teoria dessa aula, na apostila.
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 O tipo de bebida escolhido deve ser aquele que apresenta menos kcal por mL. Calculando as respectivas razões, em kcal/mL, 
obtemos:
Bebida A: 
40
50
0 8= , /kcal mL
Bebida B: 
30
100
0 3= , /kcal mL
Bebida C: 
150
150
1 0= , /kcal mL
Bebida D: 
60
300
0 2= , /kcal mL
Bebida E: 
150
400
0 375= , /kcal mL
 Igualando-se o números de casas decimais (completando com zeros), nota-se que a menor razão é 0,2 kcal/L = 0,200 kcal/mL.
 Portanto, deve ser escolhido o tipo D.
 Resposta: D
02. Comentário:
 Chamando a mesma distância percorrida de D e calculando a razão 
Dist ncia km
Custo comcombust vel
â
í
( )
(Real)
, temos a quantidade média de 
quilômetros percorridos por real gasto na compra de combustível. Daí, temos:
Com gasolina: 
D
x
km real
45 ⋅
/
Com etanol: 
D
y
k
60 ⋅
m/real
C-4 H-15, 16
H-17Aula
11
2
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática i
Anual – Volume 3
Assim, para ser mais vantajoso abastecer com álcool, devemos ter:
D
y
D
x60 45⋅
>
⋅
 (Com 1 real de etanol, anda-se mais que com 1 real de gasolina)
 Como D é positivo, dividindo-se por D, obtemos:
1
60
1
45
60
45
4
3⋅
>
⋅
⇒ > ⇒ >
y x
x
y
x
y
, pois x e y são positivos. 
 Resposta: C
03. Comentário:
 O tanque todo 100
100
100
1
1
8
8
% = = =



 está dividido em 8 partes iguais, ou seja, 50 L correspondem a 
8
8
 do tanque. No momento 
da saída, o tanque continha 
6
8
50 37 5⋅ =L L, de combustível. Como o carro percorre 15 km por litro, ele consegue percorrer 
15 · 37,5 = 562,5 km com o combustível inicial. Logo, o veículo deverá ser reabastecido, no máximo, no posto que fica a 500 km 
do ponto de saída. 
 Resposta: B
04. Comentário:
 Sabemos que a escala E
Comprimento na representa o
Comprimento real
E
rea na repre
= =
çã Á
, 2
ssenta o
Área real
e E
Volume na representa o
Volume real
çã çã3 = . 
No caso, temos a escala E =
1
25
 e sendo S a área na planta (representação), temos:
1
25 9
1
625
9
1
625
9 100
2
2
2 2


 = ⇔ = ⋅ ⇔ = ⋅
S
m
S m S cm( )
Logo, S cm cm= =
90000
625
1442 2
 Resposta: A
05. Comentário:
 Sendo V o volume de cada mistura, temos:
I. Na 1ª mistura: 
gasolin V
V
a:
etanol:
3
1 3
1
1 3
+
⋅
+
⋅






II. Na 2ª mistura: 
gasolin V
V
a:
etanol:
9
4 9
4
4 9
+
⋅
+
⋅






Logo, após a junção, teremos:
etanol
gasolina
V V
V V
V
V
=
+
+
=
+( )
+( ) =
1
4
4
13
3
4
9
13
13 16
52
39 36
52
29
75
 Resposta: C
3
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática i
Anual – Volume 3
Aulas ?? a ??: 
Números Proporcionais
• Objetivo(s):
 Reconhecer sequências direta ou inversamente proporcionais;
 Dividir quantidades em partes diretas ou inversamente proporcionais a números dados.
• Metodologia:
 1º passo:
 Inicie mostrando um exemplo numérico de grandezas diretamente proporcionais. Destaque que a razão entre os respectivos valores 
numéricos é constante. Por exemplo, um bombom custa 3 reais, Q é a quantidade de bombons comprados e V o respectivo valor pago.
 Q: 1, 2, 6, 30, ... (dobrou, triplicou, quintuplicou,...)
 V: 3, 6, 18, 90, ... (dobrou, triplicou, quintuplicou,...)
 Note: 
V
Q
= = = = = =3
1
6
2
18
6
90
30
3... 
 
 Isso mostra que, sendo a razão constante, quando uma das grandezas aumenta, a outra grandeza também aumenta na mesma 
razão (se uma dobrar, a outra também dobra), isto é, razão constante implica em grandezas diretamente proporcionais.
 2º passo:
 Mostre um exemplo numérico de grandezas inversamente proporcionais. Destaque que o produto entre os respectivos valores 
numéricos é constante. Por exemplo, você comprou 60 bombons e quer repartir igualmente entre seus amigos, A é a quantidade 
de amigos e B, a respectiva quantidade de bombons que cada amigo irá receber.
 A: 1, 2, 6, 30, ... (dobrou, triplicou, quintuplicou,...)
 B: 60, 30, 10, 90, ... (metade, terça parte, quinta parte,...)
 Note: A · B = 1 · 60 = 2 · 30 = 6 · 10 = 30 · 2 = ... = 60 
 Isso mostra que, sendo o produto constante, quando uma das grandezas aumenta, a outra diminui na razão inversa 
(se uma dobrar, a outra cai para a metade), isto é, produto constante implica em grandezas inversamente proporcionais.
 3º passo:
 Dê um exemplo numérico mostrando que se uma grandeza é proporcional a duas ou mais outras grandezas, ela é proporcional 
ao produto delas. Por exemplo, a produção de uma máquina que trabalha 4 horas por dia durante 5 dias é de x peças. 
A produção dessa máquina trabalhando 8 horas por dia durante 15 dias deve ser y, em que x é a produção de 4 · 5 = 20 horas de 
trabalho e y, a produção de 8 · 15 = 120 horas de trabalho. Assim, devemos ter:
 
x y
k
4 5 8 15⋅
=
⋅
= , em que k é constante.
 4º passo:
 Comentar os exercícios de fixação 01, 02, 03 e 04. (veja resoluções)
 5º passo:
 Sugira uma leitura criteriosa da teoria e dos exercícios resolvidos da aula, contidos no livro-texto. Sobrando tempo, comente o 
exercício de fixação 05. (veja resolução)
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 Como a parte no lucro e o investimento são diretamente proporcionais (razão constante), sendo x, y, z as respectivas partes do 
cardiologista, oftalmologista e ortopedista, devemos ter:
Parte no lucro
Investimento
k=
I. 
x y z
k
x k
y k
z k400000 300000 200000
400000
300000
200000
= = = ⇒
=
=
=




C-4 H-15, 16
H-17Aula
12
4
Manual do Professor
MateMáticae suas tecnologias – MateMática i
Anual – Volume 3
II. 400000k + 300000k + 200000k = 540000
 40k + 30k + 20k = 54
 90k = 54
 
k
x
y
z
= ⇒
=
=
=




6
10
240000
180000
120000
Logo, o cardiologista receberá R$ 240 000,00.
 Resposta: C
02. Comentário:
 Considere as partes respectivamente iguais a K, L e R. Como as partes devem ser diretamente proporcionais às vendas (razão 
constante) e inversamente proporcionais às faltas (produto constante), devemos ter para cada uma delas:
( ) ( )
( )
parte faltas
venda
k
⋅
= , onde k é constante.
 Daí, obtemos:
I. 
C L R
k
C k
L k
R k
⋅
=
⋅
=
⋅
= ⇒
=
=
=
2
220000
3
210000
3
180000
110000
70000
60000



II. Soma = 240000k = 6000 ⇒ = ⇒
= ⋅ =
= ⋅ =
= ⋅ =

k
C
L
R
1
40
110000
1
40
2750
70000
1
40
1750
60000
1
40
1500






 Logo, Carla (C) receberá 1000 reais a mais que Luisa (L).
 Resposta: C
03. Comentário:
 Como a razão 
P V
T
⋅
 é constante, devemos ter:
P V
T
P V
T
0 0
0
1 1
1
⋅
=
⋅
, onde se sabe que:
I. V V V V1 0 0 1
1
2
2= ⋅ ⇒ =
II. T
1
 = 4 · T
0
 Substituindo, obtemos:
P V
T
P V
T
P V
T
P V
T
P P0 0
0
1 1
1
0 1
0
1 1
0
1 0
2
4
8
⋅
=
⋅
⇒
⋅
=
⋅
⋅
⇔ = ⋅
 Resposta: E
04. Comentário:
 As grandezas diretamente proporcionais apresentam a razão dos seus valores numéricos constante, as grandezas inversamente 
proporcionais apresentam o produto de seus respectivos valores numéricos constante. Sabemos também que, se uma grandeza é 
proporcional a duas ou mais outras grandezas, ela será proporcional ao produto dessas grandezas.
Daí, devemos ter:
s x
b d
k
⋅
⋅
=
2
2
, onde k é constante.
Assim:
S
k b d
x
=
⋅ ⋅ 2
2
Resposta: A
5
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática i
Anual – Volume 3
05. Comentário:
I. A divisão do total T de laranjas no primeiro trajeto foi na razão 6 : 5 : 4 (proporcionais a 6, 5, 4).
Daí: 
j c p
k
6 5 4
= = = , onde k é constante e j, c, p as respectivas quantidades.
Assim, 
j k
c k
p k
T k
=
=
=




→ =
6
5
4
15 , 
II. A divisão do total T = 15k laranjas no segundo trajeto foi na razão 4 : 4 : 2 (proporcionais a 4, 4, 2).
Assim,
Isso mostra que
j m
c m
p m
T m k m k
2
2
2
4
4
2
10 15
3
2
=
=
=




→ = = → = ·
jj m k
c m k
p m k
2
2
2
4 6
4 6
2 3
= =
= =
= =




III. Fazendo um comparativo do 1° com o 2° trajeto, teremos:
José Carlos Paulo
1º trajeto 6 k 5 k 4 k
2º trajeto 6 k 6 k 3 k
Note que Carlos foi o único a carregar mais laranjas.
Assim: 6k – 5k = 50 ∴ k = 50 
Daí no 2º trajeto, temos:
José transporta: 6 · 50 = 300
Carlos transporta: 6 · 50 = 300
Paulo transporta: 3 · 50 = 150
Resposta: B
Aulas ?? a ??: 
Grandezas Proporcionais
• Objetivo(s):
 Reconhecer grandezas direta e inversamente proporcionais;
 Resolver situações-problema por meio da regra de três simples ou composta.
• Metodologia:
 1º passo:
 Comente o exercício de fixação 01 usando a teoria da aula anterior e, depois, apresente outra solução prática por meio da “regra 
das setas”. (veja resolução)
 2º passo:
 Comente os exercícios de fixação 02, 03, 04 e 05 usando a regra práticas (veja resoluções)
 3º passo:
 Sugira uma leitura criteriosa da teoria e dos exercícios resolvidos da aula, contidos no livro-texto.
C-4 H-15,16
H-17Aula
13
6
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática i
Anual – Volume 3
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 Para 32 bois, as provisões que restam são suficientes para (25 – 4) = 21 dias. Usando regra de três, temos:
Nº de bois
32
32 + 10
(Inversa) (Referência)
25 – 4
x
Dias
 Daí,
21 42
32
21 32
42
16
x
x= → =
⋅
=
 Resposta: E
02. Comentário:
 Usando regra de três, temos:
Custo (reais)
(Referência)
R
x
(Direita)
Nº de máquinas
3
2
(Direita)
Nº de dias
2
4
Horas
(Direita)
6
5
 Daí,
R
x
x
R
= ⋅ ⋅ → =
3
2
2
4
6
5
10
9
 Resposta: B
03. Comentário:
 Considere a regra de três composta:
Convidados
100
120
(Inversa) (Direita)
6000
8000
Salgados
(Referência)
3
x
Horas
 Daí, obtemos:
3 120
100
6000
8000
3 12
10
6
8
3 3
10
3
1
10
3
3
1
3
3
x x x
h
x h
= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ ⋅ =
⇒ = + =( ) hh + 20 min
 Note: 
10
3
9
3
1
3
3
1
3
= + = +
 Resposta: E
04. Comentário:
 Os tempos de Antônio, Bento e Cássio são, respectivamente, 12 meses (1 ano), 12 + 7 = 19 meses e 19 + 8 = 27 meses. O investimento 
de Antônio foi de 80000 reais, o de Bento foi de 80000 + 20000 = 100000 reais e o de Cássio, 100000 – 40000 = 60000 reais. 
A parte de cada um no lucro deve ser diretamente proporcional ao tempo de permanência na sociedade e também diretamente 
proporcional ao investimento. Sendo A, B e C as respectivas partes no lucro de Antônio, Bento e Cássio, devemos ter:
Parte no lucro
Tempo Investimento
k
( ) ( )⋅
=
I. 
A B C
k
A k
B k
C12 80000 19 100000 27 60000
960000
1900000
1620⋅
=
⋅
=
⋅
= ⇒
=
=
= 0000k




7
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática i
Anual – Volume 3
II. A + B + C = 22400 ⇒ 4480000k = 22400 ⇒ k = =
22400
4480000
1
200
 Logo, B = ⋅ =1900000
1
200
9500 reais.
 Resposta: A
05. Comentário:
I. Vejamos quantos parafusos uma máquina do tipo A produzirá em uma hora.
 
8
1
Nº de máquinas (A)
(Referência)
160
x
Nº de parafusos
3
1
Nº de horas
 
160 8
1
3
1
20
3x
x= ⋅ → =
 Em média, uma máquina do tipo A produz 
20
3
 de parafusos em uma hora.
II. Vejamos quantos parafusos uma máquina tipo B produzirá em uma hora.
 
5
1
Nº de máquinas (B)
(Referência)
180
y
Nº de parafusos
4
1
Nº de horas
 
180 5
1
4
1
9
y
y= ⋅ → =
 Em média, uma máquina do tipo B produz 9 parafusos em uma hora.
III. Em uma hora, 6 máquinas do tipo A e 3 do tipo B, juntas, produzirão 6
20
3
3 9 67⋅ + ⋅



= parafusos Allen. Daí, temos:
 
67
536
Nº de peças
(Referência)
1
w
Nº de horas
 
1 67
536
8
w
w= → =
 Resposta: E
Aulas ?? a ??: 
Revisão I – Sistemas de Numeração, Múltiplos, Divisores e Operações com 
Números Racionais
• Objetivo(s):
– Revisar e aprofundar os conceitos de múltiplos e divisores e as operações com números racionais;
– Resolver situações-problema envolvendo múltiplos, divisores e/ou sistemas de numeração.
• Metodologia:
 Pedir antecipadamente para o aluno fazer a releitura das teorias das aulas 1 a 5 e, no dia da aula, resolver os exercícios de fixação, 
relembrando a teoria.
C-1 H-1
H-4
H-2Aula
14
8
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática i
Anual – Volume 3
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 Sendo 1 km = 103 m, temos:
1
 
UA = 1,469 × 102 milhões de quilômetros
1
 
UA = 1,469 × 102 × 106 km
1
 
UA = 1,469 × 108 × 103 m
1
 
UA = 1,469 × 1011 m
 Resposta: E
02. Comentário:
 O alinhamento dos três satélites ocorrerá em uma quantidade de dias múltiplos de 6 = 21 · 31 · 50, 10 = 21 · 51 · 30 e 9 = 32 · 20 · 50 
simultaneamente, ou seja, nos múltiplos do MMC(6, 10, 9) = 21 · 32 · 51 = 90 (produto das potências com maiores expoentes). 
Assim, de 90 em 90 dias os satélites estarão alinhados. Logo, a data procurada é 90 dias após o dia 03 de maio de 2018.
 03/05/2018 (dia zero) + 28 dias ⇒ 31/05/2018 (último de maio)
 Restam: 90 – 28 = 62 dias (30 dias de junho + 31 dias de julho + 1 dia de agosto)
 Portanto, a data procurada é 1º de agosto de 2018.
 Resposta: D
03. Comentário:
 O número x de kits deve dividir exatamente 528, 240 e 2016 e ser o maior possível, ou seja, x = MDC(528, 240, 2016) = 24 · 3 = 48. 
Veja:
 Decompondo os valores em fatores primos, temos:
528 240 2016
264 120 1008
132 60 504
66 30 252
33 15 126
11 5 4
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, , 22
2
2
2
2
3
 Logo, para o açúcar, temos: 
528
48
11
kg
kits
kg kit= /
 Resposta: B
04. Comentário:
 Considerando o dia 31 de agosto de 2017, quinta-feira, o dia zero, os três rituais ocorrerão em um mesmo dia quando se passar 
uma quantidade de dias que seja múltipla comum de 20, 66 e 30. Como MMC(20, 66, 30) = 660, isso ocorrerá de 660em 660 
dias. Portanto, a próxima data em que os três rituais ocorrerão em um mesmo dia será 660 dias após quinta-feira (31 de agosto de 
2017). Como de 7 em 7 dias temos o mesmo dia da semana e 660 = 94·7 + 2, o dia da semana procurado é aquele que está dois 
dias após a quinta-feira, ou seja, o dia procurado é sábado. Veja cálculos.
I. 
 
20
10
5
5
1
1
66
33
33
11
11
1
15
15
15
5
1
1
2
2
3
5
11
2 2 3 5 11 660MMC = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
II. 
 
660 7
30 94 660 94 7 2
2
⇒ = ⋅ +
( )
 Resposta: E
9
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática i
Anual – Volume 3
05. Comentário:
 O número pensado N = xyz pode ser escrito na forma polinomial N = 100x + 10y + z. Daí, temos:
I. S = (10x + y) + (10x + z) + (10y + x) + (10y + z) + (10z + x) + (10x + y) ⇒ S = 22(x + y + z)
II. R = x + y + z
 Logo, 
S
R
x y z
x y z
=
+ +
+ +
=
22
22
( )
 Resposta: B
Aulas ?? a ??: 
Revisão II – Porcentagem, Razão, Proporção, Escalas e Grandezas Direta ou 
Inversamente Proporcionais
• Objetivo(s):
– Revisar e aprofundar os conceitos de porcentagem, razão, proporção e grandezas direta e inversamente proporcionais;
– Resolver situações-problema envolvendo razão, proporção, porcentagem e/ou grandezas proporcionais.
• Metodologia:
 Resolver os exercícios de fixação, relembrando a teoria.
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 Supondo o mesmo valor de 100 reais para a aquisição de carne, temos:
 Poder de compra dos 100 reais antes: 1 arroba
 Poder de compra dos 100 reais após a queda: 
100
93
 arroba ≅ 1,075 arroba
 Logo:
( ) ( ) ,
, ,
valor final valor inicial
Valor inicial
−
≅
−
= =
1 075 1
1
0 075 7 5%% (positivo, ganhou)
 Resposta: C
02. Comentário:
 Considere V o valor cobrado na conta de energia elétrica, P a potência do aparelho e T o tempo que este permanece ligado durante 
o mês em questão. Como V é diretamente proporcional a P e a T, devemos ter:
V
P T
k
⋅
= , onde k é constante.
 Daí, para o chuveiro e para o televisor, obtemos:
V V
kCHU TV
3600 5 100 60⋅
=
⋅
=
 Logo, a razão pedida será:
V
V
V
V
CHU
TV
CHU
TV
=
⋅
⋅
⇒ = =
3600 5
100 60
3
1
3 1:
 Resposta: C
C-3 H-11, 12
C-4 H-16, 17Aula
15
10
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática i
Anual – Volume 3
03. Comentário:
 O Big Bang ocorreu a (13 bilhões + 630 milhões) de anos = 13.630 · 106 anos. Essa idade deve corresponder a 24 horas, na nova 
escala. Nesse caso, 630 milhões de anos correspondem a x horas, na nova escala, e queremos saber quanto vale x. Usando regra 
de três, temos:
13.630 · 106
630 · 106
Idade real (anos)
(Direita) (Referência)
24
x
Idade na nova escala (horas)
 Daí, 
24 13 630 10
630 10
24 63
1 363
1 512
1 363
110
6
6x
x hora=
⋅
⋅
⇒ =
⋅
= ≅
.
.
.
.
,
 Resposta: A
04. Comentário:
 Sendo V litros o volume do tanque, temos as seguintes vazões, em litros/hora, para a torneira:
T
1
 ⇒ 
V
6
 (enchendo)
T
2
 ⇒ 
V
8
 (enchendo)
T
3
 ⇒ 
V
4
 (esvaziando)
 Assim, as três torneiras trabalhando juntas têm vazão igual a:
V V V
6 8 4
+ −
 (Isso é o que as três torneiras juntas enchem em uma hora)
 Logo, em 6 horas, as três torneiras, trabalhando juntas, enchem 6
6 8 4
⋅ + −



V V V
, ou seja:
6
1
6
1
8
1
4
6
4 3 6
24
1
4
25V V V V+ −



=
+ −



= ⋅ = ⋅%
 Resposta: A
05. Comentário:
 Usando regra de três composta, temos:
Funcionários
36
96
(Inversa) (Direta)
5.400
21.600
Camisetas fabricadas 
(por dia)
(Referência)
6
x
Horas
6 96
36
5 400
21 600
6 16
6
54
216
6 8
3
1
4
6 2
3
9
x x x x
x h= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ =
.
.
 Resposta: C
11
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática i
Anual – Volume 3
Gabaritos
ExErcícios dE Fixação
Aula 11: Razões e Proporções
01 02 03 04 05
D C B A C
Aula 12: Números Proporcionais
01 02 03 04 05
C C E A B
Aula 13: Grandezas Proporcionais
01 02 03 04 05
E B E A E
Aula 14: Revisão I – Sistemas de Numeração, Múltiplos, 
Divisores e Operações com Números Racionais
01 02 03 04 05
E D B E B
Aula 15: Revisão II – Porcentagem, Razão, Proporção, Escalas 
e Grandezas Direta ou Inversamente Proporcionais
01 02 03 04 05
C C A A C
ExErcícios ProPostos
Aula 11: Razões e Proporções
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
E E C A D A B D B D
Aula 12: Números Proporcionais
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
B D A D B B B C D A
Aula 13: Grandezas Proporcionais
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
D E C C C B E A D B
Aula 14: Revisão I – Sistemas de Numeração, Múltiplos, 
Divisores e Operações com Números Racionais
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
A B A A B B D B E B
Aula 15: Revisão II – Porcentagem, Razão, Proporção, Escalas 
e Grandezas Direta ou Inversamente Proporcionais
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
D B E D C B A B A D
12
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática i
Anual – Volume 3
Anotações
MATEMÁTICA
E SUAS
TECNOLOGIAS
MATEMÁTICA II
FUNÇÕESFUNÇÕES
Vo
lu
m
e3
MateMática ii
Funções
Objetivo(s):
• Resolver equações de 1º e 2º graus.
• Resolver situações-problema envolvendo sistemas de equações do 1º grau com duas ou mais incógnitas, assim 
como equações do 2º grau.
• Resolver inequações.
• Definir função composta.
• Determinar a função inversa de outra.
Conteúdo:
aula 11: ProbleMas envolvendo equações de 1º e 2º Graus – Parte i
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 26
aula 12: ProbleMas envolvendo equações de 1º e 2º Graus – Parte ii
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 28
aula 13: inequações
Intervalos ................................................................................................................................................................................................................. 29
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 30
aula 14: Função coMPosta
Definição .................................................................................................................................................................................................................. 31
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 32
aula 15: Função inversa
Definição .................................................................................................................................................................................................................. 34
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 34
26
MateMática e suas tecnoloGias Matemática II
Anual – Volume 3
Aula 11: 
Problemas Envolvendo
Equações de 1º e 2º Graus –
Parte I
Exercícios de Fixação
01. Em um programa de TV, o participante começa com R$ 500,00. 
Para cada pergunta respondida corretamente recebe 
R$ 200,00; e para cada resposta errada perde R$ 150,00. 
Se um participante respondeu todas as 25 questões formuladas 
no programa e terminou com R$ 600,00 quantas questões 
ele acertou?
A) 14 B) 13
C) 12 D) 11
E) 10
02. (ESA) Um pelotão está formado de tal maneira que todas as 
n fi las têm n soldados. Trezentos soldados se juntam a esse 
pelotão e a nova formação tem o dobro de fi las, cada uma, 
porém, com 10 soldados a menos. Quantas fi las há na nova 
formação?
A) 20 B) 30
C) 40 D)60
E) 80
03. (Enem-PPL) Um terreno retangular de lados cujas medidas, em 
metro, são x e y será cercado para a construção de um parque 
de diversões. Um dos lados do terreno encontra-se às margens 
de um rio. Observe a fi gura.
 Para cercar todo o terreno, o proprietário gastará R$ 7.500,00. 
O material da cerca custa R$ 4,00 por metro para os lados do 
terreno paralelos ao rio, e R$ 2,00 por metro para os demais lados.
 Nessas condições, as dimensões do terreno e o custo total do 
material podem ser relacionados pela equação
A) 4(2x + y) = 7 500 B) 4(x + 2y) = 7 500
C) 2(x + y) = 7 500 D) 2(4x + y) = 7 500
E) 2(2x + y) = 7 500
04. (Uece-Adaptada) Carlos programou a leitura completa de um 
livro lendo a cada dia 10 páginas. Uma nova programação 
foi feita, agora lendo diariamente 12 páginas do livro, o 
que resultou em uma antecipação de oito dias no prazo 
anteriormente estabelecido para a leitura completa do livro. 
Podemos então afirmar corretamente que o número de 
páginas do livro pertence ao intervalo
A) [420, 448[ B) [448, 476[
C) [476, 504[ D) [504, 532[
E) [532, 560[
C-1 H-3
C-5 H-21Aula
11
05. (Uece) Um hotel possui exatamente 58 unidades de 
hospedagem assim distribuídas: m quartos duplos, p quartos 
triplos e q suítes para quatro pessoas. A capacidade máxima 
de lotação do hotel é 166 pessoas, sendo que destas, 40 lotam 
completamente todas as suítes. A diferença entre o número de 
quartos triplos e o número de quartos duplos é
A) 8. 
B) 10.
C) 12. 
D) 14.
Exercícios Propostos
01. Um casal tem fi lhos e fi lhas. Cada fi lho tem o número de irmãos 
igual ao número de irmãs. Cada fi lha tem o número de irmãos 
igual ao dobro do número de irmãs. O total de fi lhos e fi lhas 
do casal corresponde a
A) 10 
B) 9
C) 8 
D) 7
E) 6
02. Um funcionário de certa empresa recebeu 120 documentos 
para arquivar. Durante a execução da tarefa, fez uma pausa 
para um café e, nesse instante, percebeu que já havia arquivado 
1/(n – 1) do total de documentos (n ∈ N – {0, 1}). Observou 
também que, se tivesse arquivado 9 documentos a menos, 
a quantidade arquivada corresponderia a 1/(n + 2) do total. 
A partir do instante da pausa para o café, o número de 
documentos que ele ainda deverá arquivar é
A) 92 
B) 94
C) 96 
D) 98
E) 100
03. (Efomm) Alguns amigos combinaram de viajar e economizaram 
R$ 900,00. Quando estava próximo do dia da viagem, mais 
duas pessoas entraram no grupo e cada participante pagou a 
menos R$ 75,00. Quantas pessoas havia no início?
A) 4 
B) 5
C) 6 
D) 8
E) 10
04. Um nutricionista está preparando uma refeição com 2 alimentos 
A e B. Cada grama do alimento A contém 2 unidades de 
proteína, 3 unidades de carboidrato e 2 unidades de gordura. 
Cada grama do alimento B contém 4 unidades de proteína, 
4 unidades de carboidrato e 3 unidades de gordura. 
Essa refeição deverá fornecer exatamente 400 unidades de 
proteína e 500 unidades de carboidrato. A quantidade de 
gordura que essa refeição irá fornecer é
A) 300 unidades. 
B) 350 unidades.
C) 400 unidades. 
D) 450 unidades.
E) 500 unidades.
27
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática II
Anual – Volume 3
05. Uma pessoa deseja totalizar a quantia de R$ 600,00 utilizando 
cédulas de um, dez e vinte reais, num total de 49 cédulas, de 
modo que a diferença entre as quantidades de cédulas de dez e 
de um real seja igual a nove unidades. Nesse caso, a quantidade 
de cédulas de vinte reais de que a pessoa precisará será igual a
A) 10 
B) 19
C) 20 
D) 21
E) 29
06. Uma prova de múltipla escolha com 63 questões atribui 5 pontos 
a cada questão correta, e anula uma questão correta a cada 
5 questões erradas. Se Alésio fez 165 pontos nessa prova, a 
diferença entre o total de questões que ele acertou e errou foi 
igual a
A) 16. 
B) 15.
C) 14. 
D) 13.
E) 12.
07. César aplicou R$ 10.000,00 num fundo de investimentos que 
rende juros compostos a uma certa taxa de juro anual positiva i. 
Após um ano, ele saca desse fundo R$ 7.000,00 e deixa o 
restante aplicado por mais um ano, quando verifi ca que o saldo 
é R$ 6.000,00. O valor de (4i – 1)2 é:
A) 0,01 
B) 0,02
C) 0,03 
D) 0,04
E) 0,05
08. (ESA) O capital de R$ 360,00 foi dividido em duas partes, A e B.
A quantia A rendeu em 6 meses o mesmo que a quantia B 
rendeu em 3 meses, ambos aplicados à mesma taxa no regime 
de juros simples. Nessas condições, pode-se afi rmar que
A) A = B 
B) A = 2B
C) B = 2A 
D) A = 3B
E) B = 3A
09. Três amigos, Abel, Bruno e Carlos, juntos possuem um total 
de 555 fi gurinhas. Sabe-se que Abel possui o triplo de Bruno 
menos 25 fi gurinhas, e que Bruno possui o dobro de Carlos 
mais 10 fi gurinhas. Desses amigos, o que possui mais tem
A) 250 fi gurinhas. 
B) 365 fi gurinhas.
C) 275 fi gurinhas. 
D) 325 fi gurinhas.
E) 300 fi gurinhas.
10. O dono de uma loja de produtos seminovos adquiriu, 
parceladamente, dois eletrodomésticos. Após pagar 
2
5
 do 
valor dessa compra, quando ainda devia R$ 600,00, resolveu 
revendê-los. Com a venda de um dos eletrodomésticos, ele 
conseguiu um lucro de 20% sobre o custo, mas a venda do 
outro eletrodoméstico representou um prejuízo de 10% sobre o 
custo. Com o valor total apurado na revenda, ele pôde liquidar 
seu débito existente e ainda lhe sobrou a quantia de R$ 525,00. 
A razão entre o preço de custo do eletrodoméstico mais caro 
e o preço de custo do eletrodoméstico mais barato, nessa ordem, 
corresponde a
A) 2 
B) 2,5
C) 3 
D) 3,5
E) 4
Fique de Olho
QUESTÃO RESOLVIDA DA UECE/2006.1
• José trocou 
3
5
da coleção de selos que tinha por um selo raro.
Como 
3
5
 dos selos que ele passou a ter eram repetidos, 
ele resolveu oferecê-los a seu amigo Miguel. Se, depois disso, 
José fi cou com 30 selos, o número de selos que ele tinha 
inicialmente era:
A) 150 
B) 175
C) 185 
D) 195
RESOLUÇÃO
Seja x o número de selos que José possuía inicialmente.
Assim:
I. Após o 1º instante:
• José trocou 
3
5
 x selos por 1 selo.
• José fi cou com
2
5
 x + 1 selos.
II. Após o 2º instante:
• José cedeu 
3
5
 para Miguel.
• José ficou com
2
5
 dos selos que passara a ter, que 
correspondem a 30 selos.
Assim: 
2
5
2
5
1 30
2
5
1 30
5
2
2
5
1 75
⋅ +



= ⇒
⇒ + = ⋅ ⇒
⇒ + =
x
x
x
 
 
 
⇒ = ⇒ =
2
5
74 185x x 
Resposta correta: C
28
MateMática e suas tecnoloGias Matemática II
Anual – Volume 3
Aula 12: 
Problemas Envolvendo
Equações de 1º e 2º Graus –
Parte II
Exercícios de Fixação
01. (Unicamp-Adaptada) Pedro precisa comprar x borrachas, 
y lápis e z canetas. Após fazer um levantamento em 
duas papelarias, Pedro descobriu que a papelaria A cobra 
R$ 23,00 pelo conjunto de borrachas, lápis e canetas, enquanto 
a papelaria B cobra R$ 25,00 pelo mesmo material. Em seu 
levantamento, Pedro descobriu que a papelaria A cobra R$ 1,00 
pela borracha, R$ 2,00 pelo lápis e R$ 3,00 pela caneta e que 
a papelaria B cobra R$ 1,00 pela borracha, R$ 1,00 pelo lápis e 
R$ 4,00 pela caneta. Levando em conta que x ≥ 1, y ≥ 1 e z ≥ 1, 
e que essas três variáveis são inteiras, então a soma de todas as 
possíveis quantidades de lápis, borrachas e canetas que Pedro 
deseja comprar vale
A) 36 B) 37
C) 38 D) 39
E) 40
02. (ESA) Um pedreiro verifi cou que, para transportar 180 tijolos 
usando um carrinho de mão, levando sempre a mesma 
quantidade de tijolos, precisaria dar x viagens. Se ele levasse 
3 tijolos a menos em cada viagem, precisaria fazer mais duas 
viagens. A soma dos algarismos do número x é
A) 2 B) 10
C) 9 D) 1
E) 11
03. Para que uma escada seja “confortável“ aos usuários, deverá 
atender aos parâmetros a e c da equação 2a + c = 63, onde 
a e c representam, respectivamente, a altura e o comprimento, 
ambos em centímetros de cada degrau da escada. Assim, uma 
escada com 25 degraus e a altura total igual a 4 m deve ter o 
valor de c, em centímetros, igual a
A) 32 B) 31
C) 29 D) 27
E) 26
04. (Enem) Na aferição de um novo semáforo, os tempos 
são ajustados de modo que, em cada ciclo completo 
(verde - amarelo - vermelho), a luz amarela permaneça acesa 
por 5 segundos, e o tempo em que a luz verdepermaneça acesa 
seja igual a 
2
3
 do tempo em que a luz vermelha fi que acesa.
 A luz verde fi ca acesa, em cada ciclo, durante x segundos e 
cada ciclo dura y segundos. Qual é a expressão que representa 
a relação entre x e y?
A) 5x – 3y + 15 = 0 B) 5x – 2y + 10 = 0
C) 3x – 3y + 15 = 0 D) 3x – 2y + 15 = 0
E) 3x – 2y + 10 = 0
05. Em uma determinada loja, uma televisão custa R$ 750,00 à 
vista. Se for paga em 5 prestações mensais, o valor da televisão 
passará a custar R$ 900,00. Nessas condições, qual seria a taxa 
de juros simples mensal cobrada pela loja?
A) 8% B) 4%
C) 6% D) 7%
E) 5%
C-1 H-3
C-5 H-21Aula
12
Exercícios Propostos
01. (Enem-PPL) Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde 
de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a 
proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f 
de infectados é dado pela função f(t) = – 2t2 + 120t (em que t 
é expresso em dia e t = 0 é o dia anterior à primeira infecção) e 
que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia.
 A secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização 
deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse 
à marca de 1 600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou 
acontecer.
 A segunda dedetização começou no
A) 19º dia. B) 20º dia.
C) 29º dia. D) 30º dia.
E) 60º dia.
02. Cada fi lha de Luiz Antônio tem o número de irmãs igual à quarta 
parte do número de irmãos. Cada fi lho de Luiz Antônio tem o 
número de irmãos igual ao triplo do número de irmãs. O total 
de fi lhas de Luiz Antônio é
A) 5 B) 6
C) 4 D) 3
E) 7
03. (Enem) Um fazendeiro doa, como incentivo, uma área 
retangular de sua fazenda para seu fi lho, que está indicada na 
fi gura como 100% cultivada. De acordo com as leis, deve-se 
ter uma reserva legal de 20% de sua área total. Assim, o pai 
resolve doar mais uma parte para compor a reserva para o fi lho, 
conforme a fi gura.
Área de
reserva
legal (filho)
x
x
b
a Área 100%
cultivada
(filho)
Fazenda do
pai
 De acordo com a fi gura anterior, o novo terreno do fi lho 
cumpre a lei, após acrescentar uma faixa de largura x metros 
contornando o terreno cultivado, que se destinará à reserva 
legal (fi lho). O dobro da largura x da faixa é
A) 10 2%(a b)+ B) 10 2%(a b)⋅
C) a b+ − +(a b) D) ( ) (a b)a b ab+ + − +2
E) ( ) (a b)a b ab+ + + +2
04. (UVA) Na fl oresta, o lobo dorme quando a coruja está acordada 
e está acordado quando a coruja dorme. O lobo dorme tanto 
numa semana quanto a coruja dorme num dia. Quantas horas 
dorme cada um destes animais por dia?
A) O lobo dorme 3 horas por dia e a coruja dorme 21 horas 
por dia.
B) O lobo dorme 6 horas por dia e a coruja dorme 18 horas 
por dia.
C) O lobo dorme 5 horas por dia e a coruja dorme 19 horas 
por dia.
D) O lobo dorme 4 horas por dia e a coruja dorme 20 horas 
por dia.
29
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática II
Anual – Volume 3
05. (UFSCar) Com o reajuste de 10% no preço da mercadoria A, 
seu novo preço ultrapassará o da mercadoria B em R$ 9,99. 
Dando um desconto de 5% no preço da mercadoria B, o novo 
preço dessa mercadoria se igualará ao preço da mercadoria A 
antes do reajuste de 10%. Assim, o preço da mercadoria B, 
sem o desconto de 5%, em R$, é
A) R$ 222,00 B) R$ 233,00
C) R$ 299,00 D) R$ 333,00
E) R$ 466,00
06. O setor de manutenção de uma concessionária de veículos 
efetua um levantamento no estoque existente. Existem 150 
latas de óleo, algumas com 3 litros e outras com k litros, 
totalizando 555 litros de óleo no estoque. A concessionária 
mantém um estoque mínimo de 40 latas de cada uma das duas 
capacidades mencionadas, para atendimentos emergenciais. 
Nessas condições apresentadas, o valor de k é um número
A) par. B) primo.
C) divisível por 3. D) múltiplo de 5.
E) divisível por 7.
07. A soma dos quadrados das raízes da equação x2 + (p – 5)x – 
(p + 4) = 0 depende do número real p. O menor valor que essa 
soma pode assumir é
A) 11 B) 17
C) 31 D) 33
E) 37
08. Observe a tirinha a seguir.
N
íq
ue
l
 Se o rato da direita tivesse pensado em um número x, de um a 
dez, qual expressão seria resultante da situação proposta pelo 
rato da esquerda?
A) 
3 9
2
x +
 B) 3
13
2
x +
C) 
3 13
2
x +
 D) 
3 14
2
x +
E) 
3 18
2
x +
09. (Uece) Um comerciante deseja vender uma mercadoria que 
custou R$ 960,00, com um lucro líquido de 20% sobre o custo. 
Se esse comerciante paga 10% de imposto sobre o preço de 
venda, a mercadoria deve ser vendida por
A) R$ 1.410,00
B) R$ 1.340,00
C) R$ 1.300,00
D) R$ 1.280,00
10. (Unicamp) Quarenta pessoas em excursão pernoitam em 
um hotel. Somados, os homens despendem R$ 2.400,00. 
O grupo de mulheres gasta a mesma quantia, embora cada 
uma tenha pago R$ 64,00 a menos que cada homem. 
Denotando por x o número de homens do grupo, uma expressão 
que modela esse problema e permite encontrar tal valor é
A) 2.400x = (2.400 + 64x) (40 – x)
B) 2.400(40 – x) = (2.400 – 64x)x
C) 2.400x = (2.400 – 64x) (40 – x)
D) 2.400(40 – x) = (2.400 + 64x)x
Fique de Olho
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Aula 13: 
Inequações
Intervalos
Sendo a e b (a < b) números reais quaisquer, temos os 
seguintes subconjuntos dos reais, chamados de intervalo.
[a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}, intervalo fechado [a, ∞[ = {x ∈ R / x ≥ a}
]a, b[ = {x ∈ R / a < x < b}, intervalo aberto ]a, ∞[ = {x ∈ R / x > a}
[a, b[ = {x ∈ R / a ≤ x < b}, intervalo fechado só à esquerda ]– ∞, a] = {x ∈ R / x ≤ a}
]a, b] = {x ∈ R / a < x ≤ b}, intervalo fechado só à direita ]– ∞, a[ = {x ∈ R / x < a}
Para que se possa resolver uma inequação na variável x, seja 
ela do 1º grau, 2º grau ou um outro tipo de inequação qualquer, 
deve-se procurar isolar tal variável.
A seguir, tem-se exemplos de alguns tipos de inequações já 
resolvidas no universo .
1º 3x + 5 > 2 → 3x > – 3 →
÷3
 x > –1
2º 
x
x
+
<
6
2
2 → x + 6 < 4x → 6 < 3x →
÷3
 2 < x → x > 2
3º 
− +
−
≥
2 4
5
2
x
 →
⋅ (–5)
 – 2x + 4 ≤ – 10 →
– 2x ≤ – 4 – 10 → – 2x ≤ – 14 →
÷ (–2)
 x ≥ 7
ou
10 + 4 ≤ 2x → 14 ≤ 2x →
÷ 2
7 ≤ x → x ≥ 7
C-5 H-19
H-21
H-20Aula
13
30
MateMática e suas tecnoloGias Matemática II
Anual – Volume 3
4º 
x
x
2 2
3
+
≤ → 
x
x
2 2
3 0
+
− ≤ → 
x x
x
2 2 3
0
+ −
≤ → x x
x
2 3 2
0
− +
≤
f
g


ESTUDO DO SINAL (Quadro de sinais)
+ + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + + +
+ + +
0
f
g
0
1
1
2
2
+ + + + +
– – – – – – –
– – –
– – – – – – – – – – – –
f
g
+ + + + +
x
x
x
x ≤ 0 ou 1 < x < 2
Propriedades
I. f(x) muda de sinal na raiz de multiplicidade ímpar;
II. f(x) permanece com o mesmo sinal na raiz de multiplicidade par.
Exercícios de Fixação
01. Faça o estudo do sinal das funções seguintes. Considere U = .
A) f(x) = 8x – 24
B) h(x) = x2 – 8x + 16
C) t(x) = (x – 2)7 ⋅ (x + 3)8
02. A soma dos números inteiros que satisfazem a inequação 
( ) ( )
(x )
2 6 5
1
0
8 7
5
x x− ⋅ −
+
< corresponde a
A) 7 B) 6
C) 5 D) 4
E) 3
03. Seja f(x) = 
( ) ( )
( )
5 10 2 6
6 12
2 3
8
x x
x
− ⋅ − +
− +
, marque a opção que
 corresponde ao domínio de f.
A) D
f
 = {x ∈ R| x < 3 e x ≠ 2}
B) D
f
 = {x ∈ R| x < 2 ou x > 3}
C) D
f
 = {x ∈ R| 2 ≤ x ≤ 3}
D) D
f
 = {x ∈ R| 2 < x < 3}
E) D
f
 = {x ∈ R| x ≤ 3 e x ≠ 2}
04. (Enem) Uma indústria fabrica um único tipo de produto 
e sempre vende tudo o que produz. O custo total para 
fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma 
função, simbolizada por CT, enquanto o faturamento que 
a empresa obtém com a venda da quantidade q também é 
uma função, simbolizada por FT. O lucro total (LT) obtido pela 
venda da quantidade q de produtos é dado pela expressão 
LT(q) = FT(q) – CT(q).
 Considerando-se as funções FT(q) = 5q e CT(q) = 2q + 12 como 
faturamento e custo, qual a quantidade mínima de produtos 
que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo?
A) 0 B) 1
C) 3 D) 4
E) 5
05. O número de sócios de um clube poliesportivo é limitado a 100. 
Os sócios pagam R$ 125,00 por mês, mas esse valor cai para 
R$ 75,00 quando o sócio tem 60 anos ou mais de 60 anos.
 Em um certo mês,o total pago pelos sócios abaixo de 60 anos 
excedeu o total pago pelos sócios mais velhos em R$ 10.500,00. 
Nesse mês, o clube tinha menos de 100 sócios, mas tinha sócios 
com 60 anos ou mais e com menos de 60 anos.
 A quantidade de sócios com menos de 60 anos no mês em 
questão é
A) 84 B) 85
C) 86 D) 87
E) 88
Exercícios Propostos
01. Considerando o universo real, estude o sinal das funções a 
seguir.
A) f
1
(x) = 3x + 7
B) f
2
(x) = –x2 + 8x – 16
C) f
3
(x) = (x + 5)4 · (2x – 4)7
02. Resolvendo-se a inequação (a – 1) · x < a – 1, sendo a < 1, 
temos
A) {x ∈ R| x < 1}
B) {x ∈ R| a < x < 1}
C) {x ∈ R| x > 1}
D) {x ∈ R| x < a ou x > 1}
E) {x ∈ R}
03. A quantidade mensal vendida x de um produto relaciona-se com 
seu preço de venda p por meio da equação: p = 100 – 0,02x. 
A receita mensal será maior ou igual a 80 000, se e somente se
A) 3000 ≤ x ≤ 6000
B) x ≥ 2500
C) 2000 ≤ x ≤ 5000
D) x ≥ 3500
E) 1000 ≤ x ≤ 4000
04. Quatro unidades idênticas de um produto A com “peso” total 
de 1 kg custam 480 reais. Sete unidades idênticas do produto B, 
“pesando” ao todo 1 kg, custam 300 reais.
 Sabendo que 10 unidades do produto A e x unidades do 
produto B, juntas, “pesam”, no mínimo, 5 kg e não ultrapassam 
2.000 reais, então, o número x é
A) primo. B) divisível por 7.
C) divisível por 5. D) múltiplo de 6.
E) múltiplo de 4.
05. (Uece) A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro par 
que satisfaz a desigualdade x2 – 32x + 252 < 0. O número que 
representa a idade de Paulo pertence ao conjunto
A) {12, 13, 14}. B) {15, 16, 17}.
C) {18, 19, 20}. D) {21, 22, 23}.
06. (Enem) O sistema de notas de um colégio considera quatro 
avaliações bimestrais. A nota fi nal do aluno é a média 
aritmética ponderada dessas quatro notas bimestrais, de 
modo que as notas dos dois primeiros bimestres têm peso 1, 
e as dos dois últimos, peso 2. A condição de aprovação é 
que essa média seja maior ou igual a 5,0. 
31
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática II
Anual – Volume 3
 Um aluno, que obteve notas N
1
, N
2
 e N
3
 nos três primeiros 
bimestres do ano, deseja saber qual é a nota (N
4
) que 
deverá obter no quarto bimestre para ser aprovado. 
A desigualdade que fornece os possíveis valores de N
4
 é
A) N4
1 2 330 2
2
≥ − + +(N N N ) B) N4 1 2 3
30
2
≥ − + +(N N N )
C) N4
1 2 320
2
≥ − + +(N N N ) D) N4 1 2 3
3
≥ + +(N N N )
E) N
4
 ≥ 20 – (N
1
 + N
2
 + N
3
)
07. (EEAr) Resolvendo, em R, o sistema de inequações abaixo: 
2 3 0
8 3 5
x
x x
+ ≥
− < −{ , tem-se como solução o conjunto
A) S x ou x= ∈ℜ ≤ ≥{x }0
3
2
B) S x= ∈ℜ ≤ ≤{x }0
3
2
C) S x= ∈ℜ > −{x }
3
2
D) S x= ∈ℜ ≥ −{x }
3
2
08. Um professor trabalha em duas faculdades, A e B, sendo 
remunerado por aula. O valor da aula na faculdade B é 80% do 
valor da aula na faculdade A. Para o próximo ano, ele pretende 
dar um total de 30 aulas por semana e ter uma remuneração 
semanal em A maior que a remuneração semanal em B. 
Marque a opção que corresponde à quantidade mínima de 
aulas que o professor deverá dar por semana na faculdade A.
A) 13 B) 14
C) 15 D) 16
E) 17
09. (Enem-PPL) O gerente de um estacionamento, próximo a um 
grande aeroporto, sabe que um passageiro que utiliza seu carro 
nos traslados casa-aeroporto-casa gasta cerca de R$ 10,00, em 
combustível nesse trajeto. Ele sabe, também, que um passageiro 
que não utiliza seu carro nos traslados casa-aeroporto-casa 
gasta cerca de R$ 80,00 com transporte.
 Suponha que os passageiros que utilizam seus próprios veículos 
deixem seus carros nesse estacionamento por um período de 
dois dias.
 Para tornar atrativo a esses passageiros o uso do estacionamento, 
o valor, em real, cobrado por dia de estacionamento deve ser, 
no máximo, de
A) 35,00 B) 40,00
C) 45,00 D) 70,00
E) 90,00
10. Um estacionamento cobra R$ 6,00 pela primeira hora de uso,
R$ 3,00 por hora adicional e tem uma despesa diária de R$ 320,00. 
Considere um dia em que sejam cobradas, no total, 80 horas 
de estacionamento. O número mínimo de usuários necessário 
para que o estacionamento obtenha lucro nesse dia é
A) 25 B) 26
C) 27 D) 28
E) 29
Fique de Olho
Para ver novas questões de inequações, visite o site:
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Aula 14: 
Função Composta
Defi nição
Sejam as funções f: A → B e g: B → C.
Chamaremos de função composta de g com f a função 
g o f: A → C, tal que: (g o f)(x) = g[f(x)].
Na forma de diagrama, temos:
x
f(g(x))
f(x)
A
B
Cf g
f g
Condição de existência
1a: A função composta g o f(x) = g(f(x)) existirá somente quando 
 o contradomínio da função f é igual ao domínio da g, isto é, 
 CD(f) = D(g)
2a: Existindo a função composta g o f(x) = g(f(x)), o seu domínio é
 o domínio da função f e o seu contradomínio é o contradomínio
 da função g, isto é, D(g o f) = D (f) e CD(g o f) = CD(g).
Observação: em geral, a composição de funções não é comutativa, 
isto é, g o f ≠ f o g.
Exemplo:
Sejam:
f: A → B g: B → C
f(x) = 2x – 3 g(x) = 5x
Assim:
Em f: Em g:
Para x = 1, temos: Para x = –1, temos:
f(1) = 2 · 1 – 3 = – 1 g(– 1) = 5 · (– 1) = – 5
Para x = 2, temos: Para x = 1, temos:
f(2) = 2 · 2 – 3 = 1 g(1) = 5 · 1 = 5
Para x = 3, temos: Para x = 3, temos:
f(3) = 2 · 3 – 3 = 3 g(3) = 5 · 3 = 15 
Na forma de diagrama, temos:
1
2
3
_1
1
3
_5
5
15
A
B
C
f (1
)
f (2
)
f (3
)
g ( _
1)g (1)g (3)
h (1)
h (2)
h (3)
C-5 H-19
H-21
H-20Aula
14
32
MateMática e suas tecnoloGias Matemática II
Anual – Volume 3
Observe que existe uma função h que transforma direto os 
elementos de A em C. Assim:
h: A → C
h(x) = g(f(x)) = g(2x – 3) = 5 · (2x – 3) = 10x – 15
h(1) = 10 · 1 – 15 = – 5 
h(2) = 10 · 2 – 15 = 5
h(3) = 10 · 3 – 15 = 15
h(x) = 10x – 15 é denominada função composta de g com f, 
podendo ser representada por:
h(x) = (g o f)(x) ⇒ Lê-se “g bola f de x”.
ou
h(x) = g(f(x)) ⇒ Lê-se “g de f de x”.
Assim, temos que h representa a aplicação da função g em 
f, e a função f, por sua vez, aplica-se em x.
Exercícios de Fixação
01. Observe os diagramas a seguir, onde f: A → B e g: B → C
A B C
x x + 6 3x + 2
f g
 Pode-se afi rmar corretamente que
A) g(x) = 3x – 20 B) g(x) = 3x + 2
C) g(x) = 3x + 16 D) g(x) = 3x + 20
E) g(x) = 3x – 16
02. (ESA) Sejam as funções reais dadas por f(x) = 5x + 1 e g(x) = 
3x – 2. Se m = f(n), então, g(m) vale
A) 15n + 1 
B) 14n – 1
C) 3n – 2
D) 15n – 15
E) 14n – 2
03. (Unicamp) Considere as funções f e g, cujos gráfi cos estão 
representados na fi gura a seguir.
y = g(x)
y = f(x)
0 1–1–2 2 X
Y
0
1
1
2
O valor de f(g(1)) – g(f(1)) é igual a
A) 0
B) – 1
C) 2
D) 1
04. Sejam f e g funções reais de variáveis reais, tais que 
g
x
(x) x= −
1
 e (fog)(x) x= +2
2
1
x
, se x ≠ 0. O valor de f(4) 
corresponde a
A) 14
B) 16
C) 18
D) 20
05. Sejam A = {1, 2, 3} e f : A → A defi nida por f(1) = 3, f(2) = 1 e 
f(3) = 2. O conjunto-solução de f[f(x)] = 3 é
A) {1} B) {2}
C) {3} D) {1, 2, 3}
E) vazio
Exercícios Propostos
01. Seja f e g funções de R em R defi nidas por f(x) = x2 – 1 e
g(x) = 3x + 1, onde R é o conjunto dos números reais. Então 
f(g(x)) – g(f(x)) é
A) 12x2 + 6x – 2 B) 6x2 + 6x + 2
C) 9x2 + 3x + 2 D) 12x2 + 6x + 2
E) 6x2 + 6x – 2
02. Considere as funções f : R → R; f(x) = 3x + 5 e g : R → R; 
g(x) = ax + b. Então, o conjunto A dos pontos (a, b) ∈ R2, 
tais que f o g = g o f, é
A) A = {(a, b) ∈ R2 | 2b = 5 (a – 1)}
B) A = {(a, b) ∈ R2 | 2b = 5 (a + 1)}
C) A = {(a, b) ∈ R2 | a = 5 (b – 1)}
D) A = {(a, b) ∈ R2 | a = 5 (b + 1)}
E) A = {(a, b) ∈ R2 | 5a = 2 (b + 1)}
03. O gráfi co a seguir representa a função real f(x), defi nida no 
intervalo [– 1, 6].
– 1
– 2
1
1 4 6
2
y
x
4
 Considerando a função h(x) = f(x – 2), então, o valor da 
expressão dada por f(h(3)) + h(f(4)) corresponde a
A) – 2 B) – 1
C) 0 D) 5
E) 7
33
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática II
Anual – Volume 3
04. Seja f : N → Q uma função defi nida por 
f
x
x
se par
(x)
, se mpar
,
=
+



1
2
x
x
é í
é
 Se n é ímpar e f(f(f(n))) = 5, a soma dos algarismos de n é igual a 
A) 10 B) 9
C) 8 D) 7
E) 6
05.Uma pesquisa ecológica determinou que a população P de 
pererecas de uma determinada região, medida em centenas, 
depende da população M de insetos, em milhares, de acordo 
com a equação P M
M
( ) .= +65
8
 A população de insetos,
por sua vez, varia com a precipitação C de chuva, em 
centímetros, de acordo com a equação M(C) = 43C + 7,5.
 A população de pererecas em função da precipitação é dada 
por
A) P C
C
( )
,= + +65 43 7 5
8
B) P C
C
( )
,= +43 7 5
8
C) P C
C
( )
,
= +
+
65
8
43 7 5
D) P C
C
( )
,
= +
+



65
43 7 5
8
2
E) P
C
(C)
,
=
+



43 7 5
8
2
06. O consumo médio diário y de energia elétrica de uma 
pousada, em quilowatt-hora (kWh), em função do número x 
de apartamentos ocupados, é dado por y = 60 + 4x. 
O número médio diário x de apartamentos ocupados em 
função do preço p da diária por apartamentos, em real, é 
dado por x
p
= +22
600
, até o limite da capacidade máxima 
da pousada.
 Uma equação que expresse o consumo médio diário de 
energia elétrica, em quilowatt-hora, em função do preço 
da diária por apartamento é
A) y
p
= +148
2400
 B) y
p
= +128
1600
C) y
p
= +138
2000
 D) y
p
= +158
2200
E) y
p
= +118
1800
07. (ESA) Sejam f a função dada por f(x) = 2x + 4 e g a função 
dada por g(x) = 3x – 2. A função fog deve ser dada por
A) f(g(x)) = 6x
B) f(g(x)) = 6x + 4
C) f(g(x)) = 2x – 2
D) f(g(x)) = 3x + 4
E) f(g(x)) = 3x + 2
08. (Fuvest-Adaptada) Considere a função f
a
: [0,1] → [0,1] que 
depende de um parâmetro a ∈ ]1, 2], dada por
f
ax x
a x
a(x)
, se ,
( x), se .
=
≤ ≤
− ≤ ≤





0
1
2
1
1
2
1
 Sabe-se que existe um único ponto p
a
 ∈ 
1
2
1,




 tal que f
a
(p
a
) = p
a
. 
Na fi gura a seguir, estão esboçados o gráfi co de f
a
 e a reta de 
equação y = x.
0
1
1
p
a
p
a
y
x
y = x
a
2
1
2
 Uma expressão para o ponto p
a
 em uma função de a 
corresponde a
A) p
a
a
a = −1
B) p
a
a
a = −
2
1
C) p
a
a
a = +1
D) p
a
a
a = −2 1
E) p
a
a
a = +2 1
09. Um funcionário, ao ser contratado por uma empresa, fez o 
seguinte acordo com seu chefe: para v reais obtidos com a 
venda de um determinado produto, seu salário bruto será dado 
por s(v) = 130 + 7% v.
 Entretanto, 30% do salário bruto refere-se a impostos e 
desconto de plano de saúde. A opção que corresponde à função 
que representa o salário líquido L em função de v é
A) 82 + 5,1% v
B) 85 + 5,3 % v
C) 87 + 5,5% v
D) 91 + 4,9% v
E) 93 + 4,7% v
10. Seja A = {0, 1, 2, 3, 4} e f: A → A uma função dada por 
f(x) = x + 1, se x ≠ 4 e f(4) = 1. O número x de A, tal que 
(f o f o f o f) (x) = 2, é
A) 0 
B) 1
C) 2 
D) 3
E) 4
34
MateMática e suas tecnoloGias Matemática II
Anual – Volume 3
Fique de Olho
• Questão resolvida da UFC/2004.
Considere as funções h, g e f: R → R, onde R é o conjunto 
dos números reais, definidas por h(x) = 2x, g(x) = x2 e
f(x) = sen x + cos x. Calcule h g fo o
π
12



 , onde o símbolo o indica composição de funções.
Resoluções:
São empregadas algumas identidades trigonométricas e os valores 
das funções seno e cosseno do ângulo 
π
6
, além de manipulações 
numéricas simples.
Lembrando as fórmulas trigonométricas senα
α
=
−1 2
2
cos
 e 
cos
cos
α
α
=
+1 2
2
, válidas para ângulos agudos, temos:
f sen
π π π
12 12 12




= 



+ 



=cos =
− 



+
+ 



=
1
6
2
1
6
2
cos cos
π π
=
−
+
+
=
−
+
+
=
1
3
2
2
1
3
2
2
2 3
4
2 3
4
= − + +( )12 2 3 2 3
Logo, gof f( ) 


= 







=
− + +





=
π π
12 12
2 3 2 3
2
3
2
3
2
.
Portanto, hogo f h( )


= 



= 



=
π
12
3
2
2
3
2
3 .
Aula 15: 
Função Inversa
Defi nição
Denomina-se função inversa da função bijetora f: A → B a 
função f–1: B → A que se obtém trocando de posição os elementos 
de todos os pares ordenados da função f:
1
2
3
4
BA
5
6
f
f
_1
f = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}
f–1 = {(4, 1), (5, 2), (6, 3)} 
C-5 H-19
H-21
H-20Aula
15
Para se obter a inversa de uma função, devemos proceder 
da seguinte forma:
• troca-se x por y e y por x.
• coloca-se o novo y em função do 
novo x.
Se f admite função inversa, f 
diz-se invertível. Neste caso, a 
função inversa é única.
Note que o gráfi co de f–1 é 
obtido a partir do gráfi co de f por 
simetria em relação à reta y = x 
(função identidade).
Observações:
• As transformações “feitas” pela função f são “desfeitas” 
pela função g.
• O contradomínio de f é igual ao domínio de g.
• O domínio de f é igual ao contradomínio de g.
• A função g é dita função inversa de f e é simbolizada por f–1.
Exercícios de Fixação
01. Dado o gráfi co da função g bijetiva.
g y
0 x
 O gráfi co aproximado de g–1 corresponde a:
A) 
 
0
y
x
B) 
 
0
y
x
C) 
 
0
y
x
x
y
a
a
f(a)
f(a)
f(x)
f
_1(x)
y = x
35
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática II
Anual – Volume 3
D) 
 
0
y
x
E) 
 
0
y
x
02. (EEAr) Sejam as funções polinomiais defi nidas por f(x) = 2x + 1 
e g(x) = f(x). O valor de g(3) é
A) 3 
B) 2
C) 1 
D) 0
03. Uma locadora de veículos cobra, pelo aluguel de determinado 
modelo de carro, uma taxa fi xa de R$ 50,00 a diária mais 
R$ 0,46 por quilômetro rodado.
 Defi ne-se uma equação que expressa o valor diário a pagar, y, 
em real, em função do número x de quilômetros rodados por 
dia, pelo aluguel desse modelo (f(x)).
Assim, f–1 (x) corresponde a
A) f− =
−1 50
0 46
(x)
x
,
 
B) f− =
−1 500
4 6
(x)
x
,
C) f− =
+1 50
0 46
(x)
x
,
 
D) f− =
+1 500
0 46
(x)
x
,
E) f− =
−1 50
4 6
(x)
x
,
04. Sejam a função retilínea f :  → , cujo gráfi co é apresentado 
a seguir.
y
x
1
– 2
f
 Logo:
A) f–1(x) = – 2x + 2 
B) f–1(x) = 2x – 2
C) f(x) = 2x + 2 
D) f(x) = – 2x – 2
05. Considere a função bijetiva f: 
1
2
,+



∞ → 
3
4
,+



∞ , tal que 
f(x) = x2 – x + 1. A função f–1(x) corresponde a
A) f–1(x) =
1
2
3
4
− −x 
B) f–1(x) = − + −
1
2
3
4
x
C) f–1(x) =
1
2
3
4
+ −x 
D) f–1(x) = − + +
1
2
3
4
x
E) f–1(x) =
1
2
3
4
+ +x
Exercícios Propostos
01. Marque a opção correta.
A) Toda função real admite inversa. 
B) Toda função sobrejetiva e não injetiva admite inversa.
C) Toda função injetiva e não sobrejetiva admite inversa.
D) Toda função bijetiva admite inversa.
02. (ESA) Funções bijetoras possuem função inversa porque elas 
são invertíveis, mas devemos tomar cuidado com o domínio 
da nova função obtida. Identifi que a alternativa que apresenta 
a função inversa de f(x) = x + 3.
A) f(x)–1 = x – 3
B) f(x)–1 = x + 3
C) f(x)–1 = – x – 3
D) f(x)–1 = – x + 3
E) f(x)–1 = 3x
03. Considerando as funções f(x) = 3x – 2 e g(x) = – 2x + 1, o valor 
de k, com k ∈ , tal que f(g(k))–1 = 1, é
A) 3
B) 2
C) – 1
D) – 5
E) – 7
04. (Cefet) Dada uma função f bijetora e f–1, a sua inversa, então 
o valor de [f–1(f(2))]2 + [f(f–1(2))]3 é
A) 4
B) 9
C) 12
D) 15
E) 16
05. Seja f
ex
(x)
e e
e
x x
x
=
−
+
−
− defi nida em . Se g for a inversa de f, 
o valor de e
g
7
25



 será
A) 0
B) 1
C) e
D) 
4
3
36
MateMática e suas tecnoloGias Matemática II
Anual – Volume 3
06. Seja a função f : R – {–2} em R – {4} defi nida por f
x
x
(x) .=
−
+
4 3
2
 
O valor do domínio de f–1(x) com imagem 5 corresponde a
A) 
9
7
 B) 11
7
C) 13
7
 D) 15
7
E) 17
7
07. Para aplanar um terreno, o proprietário contratou uma empresa 
de terraplanagem. O preço f, em real, cobrado pela empresa 
por x metros cúbicos de terras retirados é dado pela função 
f
x
(x) a
bx
,= +
−100
 para x < 100, cujo gráfi co da inversa, f–1, 
é representado abaixo.
0
200
50
5.200
f–1
y
x
 Assim, os valores de a e b são, respectivamente,
A) 100 e 5000 B) 200 e 1000
C) 100 e 2000 D) 200 e 5000
E) 100 e 1000
08. Dada f: [– 1, ∞ [ → [– 1, + ∞ [ tal que f(2x + 1) = x2 + 2x, então:
A) f x– (x)1 1 2 1= − − +
B) f x– (x)1 1 1= − − +
C) f x– (x)1 1 2 1= − + +
D) f x– (x)1 1 1= − + +
09. Abaixo, encontram-se representados os gráfi cos das funções 
f: r → r e g: r → r. 
x
y
4
y = f(x) y = g(x)3
2
1
0 1 2 3
x
y
4
3
2
1
0 1 2 3
 Sabendo que f possui inversa f–1: r → r, pode-se afi rmar que 
f(g(f–1(2))) equivale a
A) 1 
B) 2
C) 3 
D) 4
E) 5
10. A figura abaixo representa o gráfico da função 
f : [– 4, 4] → [–2, 5].
y
5
3
3 4
x
–1
–4
–2
 Se g : [–2, 5] → (0, +∞) é uma função inversível com g(2) = 1, 
o número de soluções da equação [g(f(x))]2 + [g(f(x))] – 2 = 0 é
A) cinco. 
B) um.
C) dois. 
D) quatro.
E) três.
Fique de Olho
• Questão resolvida da UVA/2007.1
Se A é o conjunto dos números reais diferentes de 1, 
seja f : A → A dada por f(x) = x
x
+
−
1
1
. Para um inteiro positivo n, 
fn(x) é definida por f x
f x se n
f f x se n
n
n( )
( ),
( ( )),
= =
>


 −
1
11
. Então, f5(x) é 
igual a
A) x
x
+
−
1
1
 
B) 
x
x +1
C) x 
D) x4
Resolução:
Para x ∈ A, onde A = R – {1}, temos:
I. f x f f x
f x
f x
2 1
1
( )
( )
( )
= ( )( ) = +
−
⇒
 f x
x
x
x
x
x x
x
x x
x
2
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1 1
1
( ) =
+
−
+
+
−
−
=
+ + −
−
+ − −
−
⇒ f2(x) = x;
II. f x f f x
f x
f x
f x
x
x
3 2
2
2
31
1
1
1
( )
( )
( )
( )= ( )( ) = +
−
⇒ =
+
−
⇒
 f x f x f x
x
x
3 3 1
1
( ) ( ) ( )= ⇒ =
+
−
;
III. f4(x) = f(f3(x)) ⇒ f4(x) = f(f(x)) ⇒ 
 f4(x) = f2(x) = x ⇒ f4(x) = x.
37
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática II
Anual – Volume 3
Daí, se conclui que:
f x
x
n( )
,
,
=
−
 se for par;r
x + 1
x 1
 se for ímpar.
n
n
Logo, f x
x
x
5 1
1
( ) =
+
−
.
Resposta correta: A
Bibliografi a
ANTAR, Aref. Outros. Coleção Noções de Matemática. V. 1 e 2.
Coletânea de questões de diversos vestibulares de todo o Brasil.
DANTE, Luiz Roberto. Coleção Matemática Contexto & Aplicações. 
V. 1, 2 e 3. Ática.
DOLCE, Osvaldo; IEZZI, Gelson; DEGENSZAIN, David. Outros. Coleção 
Fundamentos da Matemática Elementar. V. 1, 2, 3 e 11. Atual.
MACHADO, Antônio dos Santos. Coleção Matemática Temas e 
Metas. V. 1 e 2. Atual.
MORGADO, César Augusto; LIMA, Elon Lages. Outros. Coleção 
A Matemática de Ensino Médio. V. 1.
Questões do Enem, Fuvest, Unicamp, Escolas Militares, entre outras.
Anotações
00
7.
44
5-
13
34
89
/1
8-
D
ig
ita
do
r:
 S
am
ue
l –
 R
ev
.: 
Ta
tie
lly
D
es
en
hi
st
a:
 A
rt
e 
FB
 –
 A
P3
A
nM
III
 –
 0
2/
01
/1
8
38
MateMática e suas tecnoloGias Matemática II
Anual – Volume 3
Anotações
1
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática ii
Anual – Volume 3
Aulas ?? a ??: 
Problemas Envolvendo Equações de 1º e 2º Graus – Parte I 
• Objetivo(s):
 Verificar se os alunos sedimentaram os fundamentos teóricos relacionados às funções de 1º e 2º graus.
• Metodologia:
 Resolver os exercícios de fixação. Sobrando algum tempo, abordar os exercícios propostos considerados mais interessantes.
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 Sejam C → nº de respostas corretas
 E → nº de respostas erradas
Então: 
C + E = 25 (I)
200 C – 150E = 100 (II) → Obs.: R$ 100,00 representa o saldo final positivo (terminou com R$ 600,00 e iniciou com R$ 500,00)
 
Multiplicando-se (I) por 3 e dividindo (II) por 50, tem-se:
3C + 3E = 75
7C = 77
4C – 3E = 2 +
C = 11
 Resposta: D
02. Comentário:
 Inicialmente, tem-se:






n 
filas
n soldados 
p/ fila
 Total: n2
 Após a inclusão dos 300 soldados:








2n 
filas
n – 10 soldados 
por fila
 Total: 2n (n – 10)
Assim: n2 + 300 = 2n (n – 10)
 n2 + 300 = 2n2 – 20n
 
 0 = n2 – 20n – 300
 
n = 30 → 2n = 60
n = – 10 (não convém)
 Resposta: D
C-1 H-3
C-5 H-21Aula
11
2
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática ii
Anual – Volume 3
03. Comentário:
 Perímetro do terreno = 2x + 2y
Custo = 4 ⋅ (2x) + 2 ⋅ (2y)
Logo:
8x + 4y = 7500
4(2x + y) = 7500
 Resposta: A
04. Comentário:
 Fazendo-se x = nº de páginas do livro e y = nº de dias, temos:
x y
x
=
= − ⋅{ 10 8 12 (I)(II)(y )
Comparando I e II, encontramos:
10y = (y – 8) ⋅ 12 → y = 48 e x = 480
Daí, x = 480 ∈ [476, 504]
 Resposta: C
05. Comentário:
 Do enunciado, temos:
m p q
m p q
q q
+ + =
+ + =
= → =




58
2 3 4 166
4 40 10
(I)
(II)
(III)
Substituindo (III) em (I) e (II), encontramos:
m p
m p
m p
m p
mx+ + =
+ + ⋅ ={ ⇒ + =  →+ = ⇒ − −
−10 58
2 3 4 10 166
48
2 3 126
2 22( ) pp
m p
somando p m
= −
+ =




= → =
96
2 3 126
30 18:
Logo: p – m = 30 – 18 = 12
 Resposta: C
Aulas ?? a ??: 
Problemas Envolvendo Equações de 1º e 2º Graus – Parte II
• Objetivo(s):
 Verificar se os alunos sedimentaram os fundamentos teóricos relacionados às funções de 1º e 2º graus.
• Metodologia:
 Resolver os exercícios de fixação. Sobrando algum tempo, abordar os exercícios propostos considerados mais interessantes.
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 Papelaria A
Papelaria B
x y z
x y z
→
→
+ + =
+ + ={1 2 3 231 1 4 25 (I)(II)
(comx,yy,z )*∈N
 Fazendo-se (II) – (I), obtém-se:
– y + z = 2 ⇒ y z= − 2 (III)
mas y ≥ 1 ⇒ z – 2 ≥ 1 ⇒ z ≥ 3
C-1 H-3
C-5 H-21Aula
12
3
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática ii
Anual – Volume 3
Substituindo-se (III) em (I), obtém-se:
1x + 2(z – 2) + 3z = 23 
1x + 2z – 4 + 3z = 23 ⇒ x z= −27 5
 Assim:
Z
mín
 = 3 → y = 1 → x = 12 ok!
Z = 4 → y = 2 → x = 7 ok!
Z = 5 → y = 3 → x = 2 ok!
Z = 6 → y = 4 → x = – 3 (não convém)
   
Somando as possíveis quantidades para x, y e z tem-se: 
3 + 1 + 12 + 4 + 2 + 7 + 5 + 3 + 2 = 39
 Resposta: D
02. Comentário:
 Sejam: x → nº de viagens
 n → nº de tijolos
 Assim:
 n ⋅ x = 180 (I) (n – 3) ⋅ (x + 2) = 180 (II)
 
nx + 2n – 3x – 6 = 180
180 + 2n – 3x – 6 = 180

(I)
 2n = 3x + 6 (III)
 Multiplicando-se (I) por 2, tem-se:
2 nx = 360 (IV)
 Substituindo-se (III) e (IV), tem-se:
(3x + 6) ⋅ x = 360 –→÷3 (x + 2) ⋅ x = 120 –→x > 0 x = 10, somando os algarismos: 1 + 0 = 1
 Resposta: D
03. Comentário:
a
c
4 m = 400 cm
 Como são 25 degraus, tem-se
25a = 400 → a = 16
mas 2a + c = 63 → 2 · 16 + c = 63 → C = 31
 Resposta: B
04. Comentário:
Luz Tempo, em segundos, em que permanece acesa
Verde
Amarela
Vermelha
x
5
z
Tempo total de duração do ciclo y
Temos que x + 5 + z = y (I)
Entretanto, x z ou z x= =
2
3
3
2
 (II)
4
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática ii
Anual – Volume 3
Substituindo-se (II) em (I), tem-se:
x (2)
x + 5 + 
3
2
 x = y
2x + 10 + 3x = 2y
5x – 2y + 10 = 0
 Resposta: B
05. Comentário:
 J = c ⋅ i ⋅ t e J = 900 – 750 = 150
Logo:
150 750 5 1 5 5
1 25
1
25
4
4
4
100
4
150= ⋅ ⋅  → = ⋅ ⋅
→ = → = ⋅⋅
→ = → =
÷i i
i i
i i %
 Resposta: B
Aulas ?? a ??: 
Inequações
• Objetivo(s):
 Apresentar os diversos tipos de problemas envolvendo inequações.
• Metodologia:
 Introduzir o assunto sobre inequações, mostrando como estudar o sinal de uma função, seja ela do 1º grau, 2º grau ou de um grau 
qualquer. Em seguida, apresentar a teoria necessária à resolução das inequações propriamente ditas, constantes nos exercícios de 
fixação.
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
A) f(x) = 8x – 24
 1ª) Raiz
 8x – 24 = 0
 8x = 24
 x = 3
 2ª) Estudo do sinal
 
 
x
+
3–
 Se x < 3 → f(x) < 0
 Se x = 3 → f(x) = 0
 Se x > 3 → f(x) > 0
C-5 H-19
H-21
H-20Aula
13
5
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática ii
Anual – Volume 3
B) h(x) = x2 – 8x + 16
 1ª) Raízes
 x2 – 8x + 16 = 0
 (x – 4)2 = 0
 
x
1
 = 4
x
2
 = 4
 Duas raízes reais iguais (∆ = 0)
 2º) Estudo do sinal
 x
++
4
 Se x = 4 → h(x) = 0
 Se x ≠ 4 → h(x) > 0
C) t(x) = (x – 2)7 ⋅ (x + 3)8 
 1º) Raízes
 (x – 2)7 ⋅ (x + 3)8 = 0
 Sete raízes iguais a 2
 Sete raízes iguais a – 3
 2º) Estudo do sinal
 
– 3
2
– 3
–
– – – –
– +
+ + + + + +
+ ++ + + + + + + + + +
2
(x – 2)7
(x – 2)7 · (x + 3)8
(x + 3)8
x
x
x
 Logo:Se x < – 3 ou – 3 < x < 2 → t(x) < 0
 Se x = – 3 ou x = 2 → t(x) = 0
 Se x > 2 → t(x) > 0
02. Comentário:
( ) ( )
(x )
2 6 5
1
0
8 7
5
x x− ⋅ −
+
<
+ + + + + + + + +
+ ++ +++ +
–+
+
–
–
–
– – – – – – – –
–
+
+
+
+
x
x
x
x
5
3
1
4 51 2 30–1
8(2x 6)−
7(x 5)−
5(x 1)+
8 7
5
(2x 6) (x 5)
(x 1)
− ⋅ −
+
–1
 Somando os valores inteiros que satisfazem a inequação, tem-se:
0 + 1 + 2 + 4 = 7
 Resposta: A
6
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática ii
Anual – Volume 3
03. Comentário:
+++++
++
++
+ ++
+ + +
–––
–––
x
x
x
x
++ +
+ + + + + +
+++ +
2
3
3
2
2
(5x − 10)2
(−2x + 6)3
8( 6 x 12)− +
2 3
8
(5x 10) ( 2x 6)
( 6x 12)
− − +
− +
·
 Logo, {x ∈ R | x ≤ 3 e x ≠ 2}
 Resposta: E
04. Comentário:
 Para não se ter prejuízo, considera-se LT(q) ≥ 0. Assim:
LT(q) = FT(q) – CT(q)
FT(q) – CT(q) ≥ 0
FT(q) ≥ CT(q)
5q ≥ 2q + 12
3q ≥ 12
q ≥ 4 → q
min
 = 4
 Resposta: D
05. Comentário:
 Sejam:
a → Quantidade de sócios com menos de 60 anos. 
b → Quantidade de sócios com 60 anos ou mais.
Assim:
a b
a b a b a
b
+ <
− =  → − = → = + → = +÷
100
125 75 10500 5 3 420 5 420 3
3
5
825
(I)
a b 44 (II)




Substituindo (II) em (I), tem-se:
3 84 100
8
5
16
80
8
10b b
b
b b+ + < → < → < → <
Como a ∈ , analisando-se (II)
Temos que b, necessariamente, deve ser igual a 5. Assim:
a a= + → =
⋅
+ =
36
5
84
3 5
5
84 87
 Resposta: D
Aulas ?? a ??: 
Função Composta
• Objetivo(s):
 Conceituar função composta.
• Metodologia:
 Sugere-se apresentar os fundamentos teóricos do assunto, aproveitando a resolução da primeira questão de fixação, partindo, em 
seguida, para a resolução das demais questões.
C-5 H-19
H-21
H-20Aula
14
7
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática ii
Anual – Volume 3
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
Dos diagramas, tem-se que:
f
g x g
ou
g
a
(x) x
(x ) (f(x)) x
(g f)(x) x
(x ) x
= +
+ = + → = +
= +
+ =
5
5 3 2 3 2
3 2
6 3
ο
 ++ → = − +
= + = − +
= − = −
= −
2 3 6 2
6 3 18 2
6 3 16
3 1
g
a x g
x a g
g x
(a) (a )
(a) a
(a) a
(x) 66
 Resposta: E
02. Comentário:
 g(m) = g(f(n)) = g(5n + 1) =
 = 3 (5n + 1) – 2
 = 15 n + 3 – 2
 = 15 n + 1
 Resposta: A
03. Comentário:
 g(1) = 0 → f(g(1)) = f(0) = 1
 f(1) = – 1 → g (f(1)) = g(–1) = 0
 Logo:
 f(g(1)) – g(f(1))
 = 1 – 0
 = 1 
 Resposta: D
04. Comentário:
 Pelo enunciado dado, temos:
g
x
(x) x= −
1
f x
x
(g(x)) = +2
2
1
 Fazendo x
x
t− =
1
, temos:
f x
x
x
x
−



= +
1 12
2
Elevando ao quadrado ambos os membros, temos:
x
x
t
x x
x x
t
x
x
t
−



=
⋅ ⋅ + =
+ = +
1
2
1 1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
–
8
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática ii
Anual – Volume 3
 Substituindo, temos:
 f(t) = t2 + 2
 Portanto:
 f(4) = 42 + 2 = 16 + 2 = 18
 Resposta: C
05. Comentário:
 Do enunciado, temos:
1
2
3
1
2
3
A A
f
 Logo, observando-se os diagramas, podemos concluir que:
f f x x(f(x)) ( )
1 2
3 1 2 = → = → =
Resposta: B
Aulas ?? a ??: 
Função Inversa
• Objetivo(s):
 Conceituar função inversa. Mostrar as correlações existentes entre os gráficos das funções f e f–1.
• Metodologia:
 Mostrar aos alunos como se determina a função inversa de uma dada função, não só por meio dos diagramas de Venn, mas também, 
pelo processo gráfico. Apresentar a teoria necessária para se obter a lei de formação da função inversa. Discutir em que situação 
se tem uma função inversível. Resolver os exercícios de fixação.
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
g e g–1 possuem seus gráficos simétricos em relação à função identidade y = x. Logo:
g
g–1
y
x
y = x
 Resposta: D
02. Comentário:
 1º Passo: trocar x por y
 y = 2x + 1 → x = 2y + 1
C-5 H-19
H-21
H-20Aula
15
9
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática ii
Anual – Volume 3
 2º Passo: isolar y
x y x y y
x
f
x
g
x
= + → − = → =
−
→ =
−
→ =
−−2 1 1 2
1
2
1
2
1
2
1(x) (x)
Assim: g g( ) ( )3
3 1
2
3 1=
−
→ =
 Resposta: C
03. Comentário:
 Obtendo f(x)
f(x) = y = 50 + 0,46 x
Obtendo f–1(x)
1º Passo: trocar x por y
x = 50 + 0,46 y
2º Passo: isolar y
x – 50 = 0,46 y
y
x
f
x
=
−
→ =
−−50
0 46
50
0 46
1
,
(x)
,
 Resposta: A
04. Comentário:
Verifica-se pelo gráfico que:
(0, 1) ∈ f logo (1, 0) ∈ f–1
(–2, 0) ∈ f logo (0, –2) ∈ f–1
Como a inversa de uma função retilínea também é retilínea, tem-se:
 
0 
1 0
0 –2
x y
1 0
= 2x – y – 2 = 0
y = 2x – 2
f–1 (x) = 2x – 2
0
2x
– y
– 2
0
0
→
ou 
 Resposta: B
05. Comentário:
 Se f:
1
2
3
4
; ;+∞



→ +∞



f(x) = x2 – x + 1
Então f–1(x) é tal que f–1: 
3
4
1
2
; ;+∞



→ +∞



No que a imagem está contida no 
contradomínio, logo será positiva! ➀
 1º passo: trocar x por y
x = y2 – y + 1
2º passo: isolar y
y2 – y = x – 1 → y2 – y + 
1
4
 = x – 1 + 
1
4
 → y −



1
2
2
 = x −
3
4
 ⇒ y x−



= −1
2
3
4
2
 ⇒ y −
1
2
 = x −
3
4
 ⇒ 
⇒ 

y – 
1
2
 = – x −
3
4
y – 
1
2
 = x −
3
4
Não convém 
devido a ➀
f–1(x) = y = 
1
2
 + x −
3
4
 Resposta: C
10
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática ii
Anual – Volume 3
Gabaritos
ExErcícios dE Fixação
Aula 11: Problemas Envolvendo Equações de 
1º e 2º Graus – Parte I
01 02 03 04 05
D D A C C
Aula 12: Problemas Envolvendo Equações de 
1º e 2º Graus – Parte II
01 02 03 04 05
D D B B B
Aula 13: Inequações
01 02 03 04 05
– A E D D
– Resolução e resposta no site.
Aula 14: Função Composta
01 02 03 04 05
E A D C B
Aula 15: Função Inversa
01 02 03 04 05
D C A B C
ExErcícios ProPostos
Aula 11: Problemas Envolvendo Equações de 
1º e 2º Graus – Parte I
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
D C A B C D D C B C
Aula 12: Problemas Envolvendo Equações de 
1º e 2º Graus – Parte II
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
B A D A A A B C D C
Aula 13: Inequações
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
– C E D B A C B A C
– Resolução e resposta no site.
Aula 14: Função Composta
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
B A B A A A A C D C
Aula 15: Função Inversa
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
D A D C D E D C D E
MATEMÁTICA
E SUAS
TECNOLOGIAS
MATEMÁTICA III
PROBABILIDADE, ESTATÍSTICAPROBABILIDADE, ESTATÍSTICA
Vo
lu
m
e3
MateMática iii
Probabilidade
Objetivo(s):
Esperamos que, ao final deste volume, você seja capaz de:
• calcular a probabilidade de eventos de espaços amostrais equiprováveis;
• calcular a probabilidade de ocorrência da interseção de dois eventos independentes;
• calcular a probabilidade de ocorrência da união de dois eventos mutuamente exclusivos ou não;
• usar as técnicas de contagem no cálculo de uma probabilidade;
• identificar e calcular uma probabilidade condicional.
Conteúdo:
aula 11: aProfundando e revisando – Probabilidade
Experimento aleatório e Espaço amostral ...........................................40
Evento de um experimento aleatório ..................................................40
Probabilidade de um evento ...............................................................40
Probabilidade da união de dois eventos .............................................40
Probabilidade do complementar de um evento...................................41
Probabilidade condicional ...................................................................41
Probabilidade da intersecção ..............................................................41
Probabilidade da interseção de dois eventos independentes ..............42
Exercícios ...........................................................................................42
aula 12: Médias
Média aritmética .................................................................................45
Média aritmética ponderada ...............................................................45
Média geométrica ...............................................................................46
Média harmônica ................................................................................46Média quadrática ................................................................................47
Relação entre as médias .....................................................................47
Exercícios ...........................................................................................48
aulas 13 e 14: estatística i
Introdução ..........................................................................................51
Definição e objetivos ...........................................................................51
Conceitos básicos................................................................................51
Gráficos estatísticos ............................................................................52
Gráfico em colunas .............................................................................54
Gráfico em barras ...............................................................................56
Gráfico em setores ..............................................................................57
Pictogramas ........................................................................................58
Exercícios ...........................................................................................58
aula 15: estatística ii
Dados brutos e ROL ............................................................................66
Frequência absoluta e frequência relativa ...........................................66
Tabela de frequências .........................................................................67
Distribuição de frequências para dados contínuos ..............................67
Ponto médio de uma classe ................................................................68
Tipos de frequência .............................................................................68
Tabela estatística ................................................................................68
Exercícios ...........................................................................................70
40
MateMática e suas tecnoloGias Matemática III
Anual – Volume 3
Aula 11: 
Aprofundando e
Revisando – Probabilidade
Nessa aula, resolveremos mais exercícios relativos à 
probabilidade, objetivando uma melhor fi xação e aprofundamento. 
Comecemos com o resumo teórico.
Experimento aleatório e 
Espaço amostral
Um experimento aleatório tem resultado imprevisível, 
mesmo realizado em condições semelhantes. No entanto, embora 
imprevisível, um experimento aleatório deve apresentar resultados 
com certa regularidade. O conjunto dos possíveis resultados de um 
experimento aleatório é chamado de espaço amostral.
Quando se joga um dado honesto e observa-se o número 
mostrado na face superior, tem-se um experimento aleatório cujo 
espaço amostral é o conjunto Ω = { , , , , , }1 2 3 4 5 6 . Nesse caso, 
o número de elementos do espaço amostral é n(Ω) = 6 e, sendo o 
dado honesto, todos os resultados têm a mesma chance de ocorrer, 
ou seja, o espaço amostral é equiprovável.
Evento de um experimento aleatório
Chama-se evento de um experimento aleatório qualquer 
subconjunto do espaço amostral desse experimento. No caso do 
número observado, quando se joga um dado honesto, o espaço 
amostral equiprovável apresenta os seguintes subconjuntos 
(eventos):
• obter um número menor que 2: A = {1};
• obter um número primo: B = {2, 3, 5};
• obter um número par: C = {2, 4, 6};
• obter um número maior que 6: D = ∅;
• obter um número maior que zero: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Observação:
Os eventos {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} são chamados de eventos 
elementares; o evento ∅ é chamado de evento impossível e
{1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω é chamado de evento certo.
Probabilidade de um evento
A probabilidade de um evento A ocorrer é um número real 
P(A), tal que P A
n A
n
( )
( )
( )
=
Ω
, em que n(A) é número de elementos do 
evento (número de casos favoráveis ao evento) e n(Ω) é o número 
de elementos do espaço amostral (número de casos possíveis).
Exemplo 1:
Para calcular a probabilidade de, ao jogarmos um dado honesto, 
ocorrer um número quadrado perfeito na face superior, temos:
Espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ n(Ω) = 6
Evento: A = {1, 4} ⇒ n(A) = 2
P A
n A
n
( )
( )
( )
= = =
Ω
2
6
1
3
C-7 H-28
H-29Aula
11
Exemplo 2: 
Quando se joga dois dados honestos e observa-se os números das 
faces superiores, temos, pelo princípio fundamental da contagem, 
6 · 6 = 36 resultados possíveis, mostrados a seguir, em que (x, y)
indicam os números obtidos no primeiro e no segundo dado, 
respectivamente:
Ω = {(1,1), (1, 2), (1,3),..., (6,5), (6,6)} ⇒ n(Ω) = 6 · 6 = 36
Assim, temos que:
• O evento B, “ocorrer x > y”, tem os seguintes casos favoráveis:
 B = {(2,1), (3, 1), (3,2), (4, 1), (4, 2), (4, 3),..., (6, 4), (6, 5)} ⇒
 ⇒ n(B) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.
 Daí, P(B) = 
n B
n
( )
( )Ω
= =
15
36
5
12
.
• O evento C, “ocorrer x = y”, tem os seguintes casos favoráveis:
 C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} ⇒ n(C) = 6
 Daí, P(C) = 
n C
n
( )
( )Ω
= =
6
36
1
6
.
Exemplo 3:
As duas faces de uma moeda honesta são cara (k) e coroa (C). 
Essa moeda é jogada 5 vezes e a face superior é observada. 
Nesse caso, para cada lançamento, há dois resultados possíveis. 
Assim, pelo princípio fundamental da contagem, ao jogar a moeda 
5 vezes, teremos 2·2·2·2·2= 25 = 32 sequências de resultados 
possíveis, ou seja, n(Ω) = 32. 
Assim, temos que:
• o evento A, “ocorrer pelo menos uma cara”, tem 31 resultados 
favoráveis, pois a única sequência que não é favorável é
(C, C, C, C, C), que apresenta apenas coroa. Daí, P(A) = 
31
32
.
• o evento B,”ocorrer exatamente 3 caras”, tem P5
3 2 5
3 2
10,
!
! !
=
⋅
= 
resultados favoráveis, pois qualquer permutação de (k, k, k, C, C) 
é favorável. Daí, P(B) = 
10
32
5
16
= .
Probabilidade da união de dois eventos
Sendo A e B dois eventos de um espaço amostral Ω, fi nito 
e não vazio, temos que:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
De fato, como os eventos são conjuntos, o número de 
elementos da união será:
A B
Ω
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
Dividindo os dois membros da igualdade por n(Ω), obtemos:
n A B
n
n A
n
n B
n
n A B
n
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
∪
= + −
∩( ) ( )
Ω Ω Ω Ω
 
Daí, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).
41
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática III
Anual – Volume 3
Observação:
Se A ∩ B = ∅, os eventos são ditos mutuamente exclusivos 
ou mutuamente excludentes.
A B
Ω
Nesse caso, P(A ∩ B) = 0 e, consequentemente, temos: 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Exemplo: 
Uma urna possui 10 bolas numeradas de 1 a 10. Qual é a probabilidade 
de que, ao retirarmos aleatoriamente uma bola, ela seja par ou maior 
do que 7?
Solução: 
São 10 resultados possíveis, o evento A = {2, 4, 6, 8, 10}, “ser par”, 
tem probabilidade P(A) = 
5
10
 e o evento B = {8, 9, 10}, “ser maior do 
que 7”, tem probabilidade P(B) = 
3
10
. Já A ∩ B = {8, 10}, “ser par e 
maior do 7”, tem probabilidade P A B( ) .∩ =
2
10
 Assim, temos que:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
P(A ∪ B) = 
5
10
3
10
2
10
+ − 
∴ P(A ∪ B) = 
6
10
3
5
= 
De fato, A ∪ B = {2, 4, 6, 8, 9, 10}, “ser par ou maior do que 7”, 
tem probabilidade P A B
n A B
n
( )
( )
( )
.∪ =
∪
= =
Ω
6
10
3
5
Probabilidade do complementar de
um evento
Sendo E e E dois eventos complementares, temos que
E ∩ E = ∅ e E ∪ E = Ω.
E
Ω
E
Daí, n(Ω) = n(E) + n(E).
Dividindo os dois lados da igualdade por N(Ω) obtemos:
1 = P(E) + P(E), ou seja, P(E) = 1 – P(E).
Observação:
Quando calculamos a probabilidade do complementar 
de um evento E, estamos calculando a probabilidade de não 
ocorrer o evento E.
Exemplo: Uma urna possui 100 bolas numeradas de 1 até 100. 
Qual a probabilidade de que, ao tirarmos uma bola aleatoriamente, 
o número escrito não termine em zero?
Solução:
Nesse caso, sendo E = {10, 20, 30, ... , 90, 100} o evento “terminar 
em zero”, sua probabilidade será P(E) = 
10
100
1
10
= . Daí, o evento 
complementar, “não terminar em zero”,terá probabilidade 
P E( ) .= − =1
1
10
9
10 
Probabilidade condicional
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral Ω, fi nito e 
não vazio. A probabilidade condicional do evento A em relação 
ao evento B, ou probabilidade de ocorrer o evento A na certeza de 
ter ocorrido o evento B, é dada por:
P A B
n A B
n B
ou P A B
P A B
P B
( / )
( )
( )
( | )
( )
( )
=
∩
=
∩
Exemplo:
Em uma urna existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retirando-se 
uma bola da urna, e sabendo-se que o número retirado é primo, 
qual é a probabilidade desse número ser igual a 5?
Solução:
Se não tivéssemos a informação de que o número retirado é primo, 
teríamos 10 resultados possíveis e a probabilidade de ocorrer o 
evento A = {5} seria P(A) = 
1
10
. No entanto, o espaço amostral foi 
reduzido para E = {2, 3, 5, 7}, “ocorreu número primo”, e, com 
isso, temos um resultado favorável dentre 4 possíveis, ou seja, a 
probabilidade passou a ser 
1
4
.
Note que: 
P A E
n A E
n E
ou P A E
P A E
P E
( \ )
( )
( )
( \ )
( )
( )
=
∩
= =
∩
= =
1
4
1
10
4
10
1
4
Probabilidade da intersecção
A probabilidade da intersecção de dois eventos A e B de um 
espaço amostral, fi nito e não vazio, é dada por:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
ou
P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B),
em que P(B | A) é a probabilidade de ocorrer o evento B na certeza 
de ter ocorrido A.
De fato, da probabilidade condicional, temos:
P B A
P A B
P A
P A B P A P B A( | )
( )
( )
( ) ( ) ( | )=
∩
⇔ ∩ = ⋅
Exemplo 1:
Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Sacam-se, 
sucessivamente e sem reposição, duas bolas dessa urna. Determine 
a probabilidade de ambas serem brancas.
Solução: 
Sendo B
1
 = {a primeira bola é branca} e B
2
 = {a segunda bola é 
branca}, temos que:
P(B
1
 ∩ B
2
) = P(B
1
) · P(B
2
 | B
1
) = 
4
10
3
9
2
15
⋅ = .
42
MateMática e suas tecnoloGias Matemática III
Anual – Volume 3
Exemplo 2: 
Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Sacam-se, 
sucessivamente e sem reposição, duas bolas dessa urna. Determine 
a probabilidade da primeira ser branca, sabendo que a segunda é 
branca.
Solução: 
Sendo B
1
 = {a primeira bola é branca} e B
2
 = {a segunda bola é 
branca}, queremos:
P B B
P B B
P B
( | )
( )
( )
1 2
1 2
2
=
∩
Note que o cálculo de P(B
2
) não é direto, pois não sabemos 
como está a urna no momento da segunda extração. Para essas 
situações com vários estágios, aconselha-se o uso da árvore de 
probabilidades. Veja:
4/10
P
2
B
2
P
2
B
2
B
1
P
1
6/10
5/9
4/9
6/9
3/9
Assim, temos:
Exemplo 1: P(B
1
 ∩ B
2
) = 
4
10
3
9
2
15
⋅ = ;
Exemplo 2: P B B
P B B
P B
( | )
( )
( )
1 2
1 2
2
4
10
3
9
4
10
3
9
6
10
4
9
2
15
2
5
1
3
=
∩
=
⋅
⋅ + ⋅
= = .
Probabilidade da interseção de dois 
eventos independentes
Dois eventos A e B são independentes quando a 
probabilidade de ocorrer o evento A não for afetada pela ocorrência 
do evento B, ou seja, a probabilidade de ocorrer o evento A for a 
mesma de ocorrer o evento A na certeza de ter ocorrido o evento B.
Nesse caso, temos P(A) = P(A | B). Com isso, obtemos:
P A P A B
P A B
P B
P A B P A P B( ) ( \ )
( )
( )
( ) ( ) ( )= =
∩
⇔ ∩ = ⋅
Observação:
Podemos generalizar para o caso de n eventos 
independentes:
P(A
1
 ∩ A
2
 ∩ ... ∩ A
n
) = P(A
1
) · P(A
2
) ... P(A
n
)
Exemplo 1:
Uma moeda é lançada 3 vezes. Observando-se as possíveis 
sequências de resultados obtidos, qual a probabilidade de sair cara 
no máximo 2 vezes?
Solução: 
A probabilidade de obter cara em uma jogada é 
1
2
 e o evento 
“obter cara em uma jogada” é independente de “obter ou não 
cara em qualquer outra jogada”. Daí, o evento E = {três caras} tem 
probabilidade P(E) = 
1
2
1
2
1
2
1
8
⋅ ⋅ = . Assim, a probabilidade de não 
obter três caras (obter no máximo duas caras) é P(E) = 1 – 
1
8
7
8
= .
Exemplo 2:
Um recipiente contém 4 balas de hortelã, 5 de morango e 3 de anis. 
Se duas balas forem sorteadas sucessivamente e sem reposição, 
a probabilidade de que sejam de mesmo sabor é:
A) 18
65
 B) 19
66
C) 20
67
 D) 21
68
E) 22
69
Solução: 
Queremos a probabilidade de obter:
h e h ou m e m ou a e a ⇒ P
P
= ⋅ + ⋅ + ⋅
=
4
12
3
11
5
12
4
11
3
12
2
11
19
66
Resposta: B
Exercícios de Fixação
01. Um morador de uma região metropolitana tem 50% de 
probabilidade de atrasar-se para o trabalho quando chove na 
região; caso não chova, sua probabilidade de atraso é de 25%. 
Para um determinado dia, o serviço de meteorologia estima 
em 30% a probabilidade da ocorrência de chuva nessa região.
Qual é a probabilidade de esse morador se atrasar para o serviço 
no dia para o qual foi dada a estimativa de chuva?
A) 0,075 B) 0,150
C) 0,325 D) 0,600
E) 0,800
02. Um adolescente vai a um parque de diversões tendo, 
prioritariamente, o desejo de ir a um brinquedo que se encontra 
na área IV, dentre as áreas I, II, III, IV e V existentes. O esquema 
ilustra o mapa do parque, com a localização da entrada, das 
cinco áreas com os brinquedos disponíveis e dos possíveis 
caminhos para se chegar a cada área. O adolescente não tem 
conhecimento do mapa do parque e decide ir caminhando da 
entrada até chegar à área IV.
Entrada
I V
IV
II
III
 Suponha que, relativamente a cada ramifi cação, as opções 
existentes de percurso pelos caminhos apresentem iguais 
probabilidades de escolha, que a caminhada foi feita 
escolhendo, ao acaso, os caminhos existentes e que, ao 
tomar um caminho que chegue a uma área distinta da IV, o 
adolescente necessariamente passa por ela ou retorna.
43
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática III
Anual – Volume 3
 Nessas condições, a probabilidade de ele chegar à área IV sem 
passar por outras áreas e sem retornar é igual a
A) 
1
96
 B) 
1
64
C) 5
24
 D) 
1
4
E) 
5
12
03. Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam 
senhas numeradas de 1 até 100. Uma das senhas é sorteada 
ao acaso.
 Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de 
1 a 20?
A) 1
100
 B) 
19
100
C) 
20
100
 D) 
21
100
E) 80
100
04. Para analisar o desempenho de um método diagnóstico, 
realizam-se estudos em populações contendo pacientes sadios 
e doentes. Quatro situações distintas podem acontecer nesse 
contexto de teste:
1. Paciente tem a doença e o resultado do teste é positivo.
2. Paciente tem a doença e o resultado do teste é negativo.
3. Paciente não tem a doença e o resultado do teste é positivo.
4. Paciente não tem a doença e o resultado do teste é negativo.
 Um índice de desempenho para avaliação de um teste diagnóstico 
é a sensibilidade, defi nida como a probabilidade de o resultado 
do teste ser positivo se o paciente estiver com a doença.
O quadro refere-se a um teste diagnóstico para a doença A, 
aplicado em uma amostra composta por duzentos indivíduos.
Resultado do
teste
Doença A
Presente Ausente
Positivo 95 15
Negativo 5 85
BENSENOR, I, M.; LOTUFO, P. A. Epidemologia:
abordagem prática. São Paulo; Sarvier, 2011 (adaptada)
Conforme o quadro do teste proposto, a sensibilidade dele é de
A) 47,5%
B) 85,0%
C) 86,3%
D) 94,4%
E) 95,0%
05. Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas 
cada. Uma denúncia à organização dizia que um dos atletas 
havia utilizado substância proibida. Os organizadores, então, 
decidiram fazer um exame antidoping. Foram propostos três 
modos diferentes para escolher os atletas que irão realizá-lo:
Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes;
Modo II: sortear, primeiro, uma das equipes e, desta, sortear 
três atletas;
Modo III: sortear, primeiro, três equipes e, então, sortear um 
atleta de cada uma dessas três equipes.
 Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de 
serem sorteados e que P(I), P(ll) e P(lll) sejam as probabilidades 
de o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos 
escolhidos para o exame, no caso do sorteio ser feito pelo 
modo I, II ou III.
 Comparando-se essas probabilidades, obtém-se
A) P(l) < P(lll) < P(ll)
B) P(II) < P(I) < P(III)
C)P(l) < P(ll) = P(lll)
D) P(l) = P(ll) < P(lll)
E) P(l) = P(ll) = P(lll)
Exercícios Propostos
01. Em uma reunião há 90 pessoas, 36 das quais usam óculos. Se 16 
moças usam óculos e 30 rapazes não usam, a probabilidade 
de escolher-se duas pessoas de sexos diferentes, sendo que 
apenas uma delas usa óculos, é:
A) 
16
267
B) 
32
267
C) 
64
267
D) 
108
267
E) 
128
267
02. Sob certas condições climáticas e de solo, a probabilidade de 
uma semente germinar é de 60%. Nessas condições, plantando 
três dessas sementes, a probabilidade que nasça uma planta é:
A) 84,4%
B) 86,8%
C) 93,6%
D) 98,8%
E) 100%
03. (Enem-PPL) Uma empresa aérea lança uma promoção de 
fi nal de semana para um voo comercial. Por esse motivo, 
o cliente não pode fazer reservas e as poltronas serão sorteadas 
aleatoriamente. A fi gura mostra a posição dos assentos no avião:
1
A
B
C
D
E
F
>
>
>
>
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1
6 17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
 Por ter pavor de sentar entre duas pessoas, um passageiro 
decide que só viajará se a chance de pegar uma dessas poltronas 
for inferior a 30%.
 Avaliando a fi gura, o passageiro desiste da viagem, porque 
a chance de ele ser sorteado com uma poltrona entre duas 
pessoas é mais aproximada de:
A) 31%
B) 33%
C) 35%
D) 68%
E) 69%
44
MateMática e suas tecnoloGias Matemática III
Anual – Volume 3
04. (Uerj) Os consumidores de uma loja podem concorrer a brindes 
ao fazerem compras acima de R$ 100,00. Para isso, recebem 
um cartão de raspar, no qual estão registradas 23 letras do 
alfabeto em cinco linhas. Ao consumidor é informado que cada 
linha dispõe as seguintes letras, em qualquer ordem:
• linha 1 – {A, B, C, D, E};
• linha 2 – {F, G, H, I, J};
• linha 3 – {L, M, N, O, P};
• linha 4 – {Q, R, S, T, U};
• linha 5 – {V, X, Z}.
Observe um exemplo desses cartões, com as letras ainda visíveis:
E A B D C
G F H I J
O N L M P
S Q R U T
X V Z
Para que um consumidor ganhasse um secador, teria de raspar o 
cartão exatamente nas letras dessa palavra, como indicado abaixo:
E A D C
O
S R
Considere um consumidor que receba um cartão para concorrer 
a um ventilador.
Se ele raspar as letras corretas em cada linha para formar a 
palavra VENTILADOR, a probabilidade de que ele seja premiado 
corresponde a: 
A) 
1
15000
B) 
1
18000
C) 
1
20000
D) 
1
25000
05. Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo 
restaurante. A sopa é feita, de forma aleatória, por um dos três 
cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por 
João; 40% das vezes, por José; e 20% das vezes, por Maria. 
João salga demais a sopa 10% das vezes; José o faz em 5% 
das vezes e Maria, 20% das vezes. Como de costume, num dia 
qualquer, Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la, verifi ca que 
está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha 
sido feita por José é igual a:
A) 0,15 B) 0,25
C) 0,30 D) 0,20
E) 0,40
06. (PUC-MG) Em certa pesquisa, um grupo de adultos e 
adolescentes foi solicitado a responder à seguinte pergunta: 
Você possui um telefone celular com linha ativa?
Dos adolescentes entrevistados, seis responderam sim e treze, 
não. Já dentre os adultos consultados, dezessete responderam 
sim e os demais, não. Apurados os resultados, constatou-se 
que, escolhendo-se ao acaso uma das pessoas entrevistadas 
nessa pesquisa, a probabilidade de a mesma ser um adulto que 
não possui celular com linha ativa era de 52%.
Com base nessas informações, é correto afi rmar que o total de 
pessoas entrevistadas nessa pesquisa é igual a: 
A) 72
B) 75
C) 78
D) 81
07. (FGV-SP) Num certo país, 10% das declarações de imposto de 
renda são suspeitas e submetidas a uma análise detalhada. 
Entre estas, verifi cou-se que 20% são fraudulentas. Entre as 
não suspeitas, 2% são fraudulentas.
I. Se uma declaração é escolhida ao acaso, qual a probabilidade 
de ela ser suspeita e fraudulenta?
II. Se uma declaração é fraudulenta, qual a probabilidade de 
ela ter sido suspeita?
A) 2%; 62% B) 2%; 52%
C) 2%; 42% D) 4%; 62%
E) 4%; 52%
08. (Vunesp) A efi cácia de um teste de laboratório, para checar 
certa doença nas pessoas que comprovadamente têm essa 
doença, é de 90%. Esse mesmo teste, porém, produz um falso 
positivo (acusa positivo em quem não tem comprovadamente 
a doença) da ordem de 1%. Em um grupo populacional em 
que a incidência dessa doença é de 0,5%, seleciona-se uma 
pessoa ao acaso para fazer o teste. Qual a probabilidade de 
que o resultado desse teste venha a ser positivo?
A) 14,45% B) 0,1445%
C) 1,8% D) 1,445%
E) 18%
09. Cada uma das dez questões de uma prova apresenta uma 
única afi rmação, que deve ser classifi cada como verdadeira 
(V) ou falsa (F). Um aluno, que nada sabe sobre a matéria, 
vai responder todas as questões ao acaso.
 A probabilidade de ele não tirar zero é:
A) 
1
1024
 B) 
1
256
C) 
3
512
 D) 
511
512
E) 
1023
1024
10. Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio 
ir para Genebra participar de um congresso: ou de navio ou 
de avião. A probabilidade de Genésio ir de navio é de 40% e 
de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade 
de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. 
Se ele for de avião, a probabilidade de chegar ao congresso com 
dois dias de atraso é de 1%. Sabe-se que Genésio chegou com 
dois dias de atraso para participar do congresso em Genebra. 
A probabilidade de ele ter ido de avião é:
A) 15% B) 20%
C) 25% D) 30%
E) 35%
45
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática III
Anual – Volume 3
Fique de Olho
Selecionam-se ao acaso dois pontos em uma circunferência. 
Qual é a probabilidade da corda determinada por esses dois pontos 
ter comprimento maior do que o lado do triângulo equilátero inscrito 
na circunferência?
Resolução:
Uma vez escolhido o ponto A, para a corda AB ser maior que o 
lado do triângulo equilátero, o ponto B tem que ser tal que o arco 
AB seja maior que 120°, conforme mostra a fi gura.
120°
120°
120°
A
B
Como o ponto B será escolhido ao acaso, a probabilidade dele estar 
sobre um arco é proporcional à sua medida. Daí, a probabilidade 
procurada será: P =
°
°
=
120
360
1
3
.
Aula 12: 
Médias
Média aritmética
Considerando os números reais a
1
, a
2
, a
3 
..., a
n
, a média 
aritmética dessa lista de n números é o valor a que pode substituir 
todos os seus n elementos e não alterar a sua soma. Assim, temos 
que:
a a a a a a a a n an
vezes
1 2 3+ + + + = + + + + = ⋅... ...
n
� ��� ���
 Daí,
a
a a a a
n
n= + + + +1 2 3 ...
Exemplos:
1. Ao fi nal do ano, o setor administrativo de um hospital verifi cou 
que nos meses de janeiro, abril, agosto e dezembro nasceram, 
em cada mês, naquele hospital, 15 crianças, e nos meses de 
fevereiro, março e setembro, 20, enquanto em maio, junho, 
julho, outubro e novembro foram registrados, mensalmente, 
30 nascimentos. Qual a média aritmética de nascimentos por 
mês, nesse hospital, no referido ano?
 SOLUÇÃO:
• Nº total de nascimentos = 15 + 15 + 15 + 15 + 20 + 20 + 
20 + 30 + 30 + 30 + 30 + 30 = 210 crianças;
C-7 H-27, 28
Aula
12
• Nº total de meses = 12 meses;
• M dia aritm tica
crian as
meses
crian as m sé é
ç
ç ê(a) , /= =
210
12
17 5 .
 Note que, considerando, em média, 17,5 nascimentos por 
mês, teríamos 17 5 17 5 17 5 12 17 5
12
, , ... , ,+ + + = ⋅
meses
� ����� ����� nascimentos, 
ou seja, os 210 nascimentos não se alterariam.
 Podemos, é claro, calcular mais facilmente essa média 
aritmética (a) assim:
 
a
crian as
meses
crian as m s= ⋅ + ⋅ + ⋅
+ +
= =4 15 3 20 5 30
4 3 5
210
12
17 5
ç
ç ê, / ,
 onde dizemos que:
• a é a média aritmética ponderada;
• 4, 3 e 5 são os respectivos pesos (número de vezes que 
aparecem) de 15, 20 e 30.
 Note que, na média aritmética ponderada, a soma dos pesos 
nos dá o denominador da média aritmética simples. No caso 
anterior, a soma dos pesos nos dá o número total de meses.
2. Em um grupo de 30 crianças, cuja média aritmética das massas 
é 20 kg, há duas, Francisco e Joana, de massas iguaisa 18 kg 
e 50 kg, respectivamente. Se Francisco e Joana forem retirados 
desse grupo, qual será a nova média aritmética?
 SOLUÇÃO:
• Sendo x
1
, x
2
, ..., x
30 
os respectivos pesos das 30 crianças do 
grupo, temos:
Média aritmética = 
x x x
x x x kg
1 2 30
1 2 30
30
20
600
+ + +
= ⇒
⇒ + + + =
...
...
 Nova m dia
restantes
Nova m dia
é
ç
é
= soma das massas das crian as28
28
==
+ + +( ) − −
= − = =
x x x
kg
1 2 30 18 50
28
600 68
28
532
28
19
...
Nova m diaé
 Resposta: 19 kg
Média aritmética ponderada
Em uma lista na qual os números reais a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
n
 
aparecem, respectivamente, P
1
, P
2
, P
3
, ..., P
n
 vezes, a soma de 
todos os (P
1
 + P
2
 + ... + P
n
) números é igual a P
1 
⋅ a1 + P2 ⋅ a2 + ... + 
P
n 
⋅ an. A média aritmética desses números (razão entre a soma e a 
quantidade) recebe o nome de média aritmética ponderada (P) 
e os números P
1
, P
2
, ..., P
n
 são chamados de pesos.
P
Pa P a P a
P P P
n n
n
=
+ + +
+ + +
1 1 2 2
1 2
...
...
Exemplo:
1. (Fuvest) Em uma classe com vinte alunos, as notas do 
exame fi nal podiam variar de 0 a 100, e a nota mínima para 
aprovação era 70. Realizado o exame, verifi cou-se que oito 
alunos foram reprovados. A média aritmética das notas desses 
oito alunos foi 65, enquanto a média dos aprovados foi 77. 
Após a divulgação dos resultados, o professor verifi cou que 
uma questão havia sido mal formulada e decidiu atribuir 
5 pontos a mais para todos os alunos. Com essa decisão, 
a média dos aprovados passou a ser 80 e a dos reprovados, 68,8.
46
MateMática e suas tecnoloGias Matemática III
Anual – Volume 3
A) Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes 
da atribuição dos cinco pontos extras.
B) Com a atribuição dos cinco pontos extras, quantos alunos, 
inicialmente reprovados, atingiram nota para aprovação?
SOLUÇÃO:
A) Temos:
 
m dia
Total de
pontos
dos
reprovados
Total de
pontos
do
é =
⋅ + ⋅8 65 12 77
�
ss
aprovados
N de alunos
Total de
pontos
da sala���
�
�
8 12
1444
20
7
+
= =
º
22 2, /pontos aluno
B) Sendo x o número de alunos, inicialmente reprovados, 
que atingiram nota para aprovação após a atribuição dos 
5 pontos para cada aluno, temos que o número total de 
pontos (S), no fi nal, pode ser calculado de duas maneiras:
 I. S = (Total de pontos inicial) + 20 ⋅ 5 ⇒
 S = 1444 + 100 ⇒ S = 1544
 II. S x
N de
reprovados
Total
de pontos
dos reprovados
= − ⋅
°
( ) ,8 68 8�
� ��� ����
�
� �� ��
+ + ⋅
°
( )12 80x
S
N de
aprovados
Total
de pontos
dos aprovados
== + + ⇒ = +11 2 960 550 4 11 2 1510 4, , , ,x S x
 
 
 
 
Daí,
11 2 1510 4 1544
33 6
11 2
336
112
3
, ,
,
,
x
x x
+ =
= = ⇒ =
Resposta: A) 72,2 B) 3
Observação:
Se um conjunto A, com n
a
 elementos, tem média 
aritmética x
a
 e um conjunto B, com n
b 
elementos, tem média 
aritmética x
b
, então, o conjunto formado por todos os elementos 
dos conjuntos A e B têm média aritmética igual a:
x
n x n x
n n
a a b b
a b
=
+
+
Generalizando por n conjuntos, temos:
x
n x n x n x
n n n
a a b b n n
a b n
=
+ + +
+ + +
...
...
Média geométrica
A média geométr ica dos n números pos i t ivos 
a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
n
 é o valor positivo g que pode substituir todos esses 
n números e não alterar seu produto. Assim, temos que:
a a a a g g g g gn
vezes
n
1 2 3⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =... ...
n
� �� ��
Daí, g a a a ann= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1 2 3 ...
Exemplos:
1. Um tanque, em forma de paralelepípedo retângulo, tem, 
internamente, 8 m de comprimento, 4 m de largura e 2 m de 
altura. Querendo construir um tanque de forma cúbica com 
a mesma capacidade do inicial, qual deve ser, internamente, 
a medida de sua aresta?
 SOLUÇÃO:
• Sendo g a medida procurada, temos:
 volume = 8 m ⋅ 4 m ⋅ 2 m = g ⋅ g ⋅ g
 Daí, g3 = 64 m3 ⇒ g = 4 m
 Em outras palavras, g é a média geométrica das dimensões 
do tanque inicial:
 g m m m= ⋅ ⋅8 4 2
3
2. Durante os anos de 2005 e 2006, certa caderneta de poupança 
rendeu juros de 20% e 12%, respectivamente. Qual foi a taxa 
média de aumento anual nesse período?
 SOLUÇÃO:
• O aumento nesse biênio foi de 34,4%. Veja:
 100 → 100 ⋅ 1,20 → 100 ⋅ 1,20 ⋅ 1,12 = 134,4
 Daí, o aumento é igual a 134,4 – 100 = 34,4, o que 
corresponde a 34,4% dos 100 iniciais.
 Queremos uma taxa i de aumento anual, tal que, se em cada 
ano a tivéssemos, o aumento fi nal seria o mesmo. Assim:
100 1 1 100 1 20 112
1 1 20 112
1 116
0 1
⋅ + ⋅ + = ⋅ ⋅
+ = ⋅
+ =
∴ ≅
( ) ( ) , ,
( ) , ,
,
,
i i
i
i
i 66 16= %
 Em outras palavras, a taxa anual média, aumentada de uma 
unidade, é a média geométrica das taxas anuais aumentadas 
de uma unidade.
 Resposta: 16%, aproximadamente.
Média harmônica
A média harmônica dos n números a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
n
 é o 
valor h, que pode substituir todos esses n números e não alterar a 
soma de seus inversos. Assim, temos que:
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
1 2 3
1 2
a a a a h h h h
a a
n
vezes
+ + + + = + + + +
+ +
... ...
n
� ���� ����
11 1
1 1 1
3
1 2
a a
n
h
h
n
a a a
n
n
+ + =
=
+ + +
...
...
Exemplo:
1. João pretende viajar de automóvel nas férias. Consta na 
programação da viagem que o percurso total foi dividido em 
três partes iguais e serão percorridos com velocidades v
1
, v
2
 e 
v
3
, respectivamente. Qual a velocidade média no percurso total 
pretendida por João?
 SOLUÇÃO:
• Sendo d a distância percorrida em cada um dos três trechos, 
e t
1
, t
2
 e t
3
 os respectivos tempos gastos, temos:
d d d
t
d
v
1
1
= t
d
v
2
2
= t
d
v
3
3
=
47
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática III
Anual – Volume 3
 Velocidade média = 
3 3
1 1 11 2 3
1 2 3
d
t t t
d
d
v v v
+ +
=
+ +



 
∴ =
+ +
velocidade m dia
v v v
é
3
1 1 1
1 2 3
 Em outras palavras, a velocidade média no percurso total 
será a média harmônica das velocidades desenvolvidas nos 
trechos de mesma distância.
Média quadrática
A média quadrática de n números é a raiz quadrada da 
média aritmética dos quadrados desses n números. Considerando, 
então, os n números a
1
, a
2
, ..., a
n
, a média quadrática deles será:
q
a a a
n
n=
+ + +12 22 2...
Aplicação: As sequências de números
S
1
 : 4,2; 5,2; 4,8
e
S
2
 : 4,6; 4,6; 4,6
são aproximações do número 5, cujos erros (diferença entre 
cada aproximação e 5, nessa ordem) são, respectivamente, 
(–0,8; 0,2; –0,2) e (–0,4; –0,4; –0,4). A média quadrática desses 
erros mede a qualidade da respectiva lista de aproximações.
No caso, temos:
q1
2 2 20 8 0 2 0 2
3
0 24=
− + − +
=
( , ) ( , ) ( , )
,
e
q2
2 2 20 4 0 4 0 4
3
0 16= − + − + − =( , ) ( , ) ( , ) ,
Assim, a sequência de aproximações S
2
 tem menor média 
quadrática dos erros, ou seja, S
2
 é uma lista de aproximações de 
5 melhor que S
1
.
Relação entre as médias
Dados os números reais positivos a e b, valem as relações:
a b
ab
ab
a b
+
≥ ≥
+2
2
Isto é, média aritmética ≥ média geométrica ≥ média 
harmônica.
Note que 
2
1 1
2
a b
ab
a b+
=
+
é a média harmônica de a e b.
Veja as demonstrações:
Se a e b são números reais positivos, então a b−( ) é 
real e, portanto:
I. a b a ab b a b ab−( ) ≥ ⇒ − + ≥ ⇒ + ≥2 0 2 0 2 
 Daí, a b ab
+
≥
2
.
Observação:
A igualdade entre as médias ocorre somente quando 
a = b.
II. Com base na desigualdade (I) anterior, temos:
1 1
2
1 1
2
1 2a b
a b
b a
ab ab
ab
a b
ab
+
≥ × ⇒ + ≥ ⇒
+
≤
Em geral, essas relações ocorrem para qualquer quantidade 
de números reais positivos.
Exemplos:
1. A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é igual 
a 3 cm. Qual deve ser a medida da hipotenusa para a área do 
triângulo ser mínima?
 SOLUÇÃO:
• Considerando a fi gura relativa ao problema, temos:
α
θ
θ
α
m n
3
 I. tg
m
n
m nα = = ⇒ ⋅ =3
3
9
II. Média aritmética ≥ média geométrica 
⇒
+
≥ ⇒
+
≥ ⇒
+ ≥
m n
mn
m n
m n
2 2
9
6
A área do triângulo, ( ) ,
m n+ ⋅3
2
será mínima quando a 
hipotenusa, (m + n), for mínima, isto é, (m + n)
mín.
 = 6.
Logo, o menor valor para a hipotenusaé 6 m, ocorrendo 
quando m = n = 3 m.
2. Um retângulo tem perímetro igual a 40 m. Qual a maior área 
possível para esse retângulo?
 SOLUÇÃO:
• Sendo a e b as dimensões do retângulo, temos:
I. 2a + 2b = 40 ⇒ a + b = 20;
II. Média aritmética ≥ média geométrica ⇒ 
a b
ab
+
≥ ⇒
2
20
2
100 100≥ ⇒ ≥ ⇒ = ≤ab ab rea abÁ ;
Logo, a área máxima será 100 m2, ocorrendo quando 
a = b = 10 m.
48
MateMática e suas tecnoloGias Matemática III
Anual – Volume 3
3. Se a e b são números reais positivos, tais que 2a + 3 b = 8, qual 
o maior valor possível para o produto ab? Quais os valores de 
a e b para que isso ocorra?
 SOLUÇÃO:
• Considerando os dois números positivos 2a e 3b, temos:
 
2 3
2
2 3
8
2
6
16
6
8
3
a b
a b ab ab ab
+ ≥ ( ) ⋅ ( ) ⇒ ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤
 Então, ( ) ,ab m xá =
8
3
ocorrendo quando 2 3
8
2
a b= = , isto é, 
 
2 4
3 4
2
4
3
a
b
a
b
=
={
=
=




~
 Resposta: ab =
8
3
, ocorrendo quando a = 2 e b =
4
3
.
4. Se x, y e z são números reais positivos, qual o menor valor que 
a expressão 
x
y
y
z
z
x
+ + pode assumir?
 SOLUÇÃO:
• Média aritmética ≥ média geométrica 
 x
y
y
z
z
x
+ +
3
≥ ⋅ ⋅ ⇒ + + ≥ ⇒ + +




≥x
y
y
z
z
x
x
y
y
z
z
x
x
y
y
z
z
x
m n
3 3 3
í .
 
 
 Resposta: 3
Observação: Em geral, dados n números positivos a
1
, a
2
, 
..., a
n
, sendo Q, A, G e H as médias quadrática, aritmética, 
geométrica e harmônica deles, respectivamente, temos que:
Q ≥ A ≥ G ≥ H,
ocorrendo a igualdade se, e somente se, a
1
 = a
2
 = ... = a
n
.
Exercícios de Fixação
01. Três alunos, X, Y e Z, estão matriculados em um curso de inglês. 
Para avaliar esses alunos, o professor optou por fazer cinco 
provas. Para que seja aprovado nesse curso, o aluno deverá ter 
a média aritmética das notas das cinco provas maior ou igual 
a 6. Na tabela, estão dispostas as notas que cada aluno tirou 
em cada prova.
Aluno
1ª
Prova
2ª
Prova
3ª
Prova
4ª
Prova
5ª
Prova
X 5 5 5 10 6
Y 4 9 3 9 5
Z 5 5 8 5 6
 Com base nos dados da tabela e nas informações dadas, 
fi cará(ão) reprovado(s)
A) apenas o aluno Y.
B) apenas o aluno Z.
C) apenas os alunos X e Y.
D) apenas os alunos X e Z.
E) os alunos X, Y e Z.
02. A avaliação de rendimento de alunos de um curso universitário 
baseia-se na média ponderada das notas obtidas nas disciplinas 
pelos respectivos números de créditos, como mostra o quadro 
a seguir.
Avaliação Média de notas (M)
Excelente 9 < M < 10 
Bom 7 < M < 9
Regular 5 < M < 7
Ruim 3 < M < 5
Péssimo M < 3
Quanto melhor a avaliação de um aluno em determinado 
período letivo, maior sua prioridade na escolha de disciplinas 
para o período seguinte.
Determinado aluno sabe que se obtiver avaliação 
“Bom“ ou “Excelente“ conseguirá matrícula nas disciplinas que 
deseja. Ele já realizou as provas de 4 das 5 disciplinas em que 
está matriculado, mas ainda não realizou a prova da disciplina I, 
conforme o quadro.
Disciplinas Notas
Números
de créditos
I 12
II 8,00 4
III 6,00 8
IV 5,00 8
V 7,50 10
 Para que atinja seu objetivo, a nota mínima que ele deve 
conseguir na disciplina I é
A) 7,00
B) 7,38
C) 7,50
D) 8,25
E) 9,00
03. Um concurso é composto por cinco etapas. Cada etapa vale 
100 pontos. A pontuação fi nal de cada candidato é a média de 
suas notas nas cinco etapas. A classifi cação obedece à ordem 
decrescente das pontuações fi nais. O critério de desempate 
baseia-se na maior pontuação na quinta etapa.
Candidato
Média nas quatro
primeiras etapas
Pontuação na
quinta etapa
A 90 60
B 85 85
C 80 95
D 60 90
E 60 100
A ordem de classifi cação fi nal desse concurso é
A) A – B – C – E – D
B) B – A – C – E – D
C) C – B – E – A – D
D) C – B – E – D – A
E) E – C – D – B – A
49
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática III
Anual – Volume 3
04. Embora pouco conhecida, a “média harmônica” é utilizada 
em várias situações do dia a dia. Por exemplo, para calcular 
a velocidade média em um percurso que é feito metade da 
distância com velocidade v
1
 e a outra metade com velocidade v
2
.
 Podemos defi nir a média harmônia entre dois valores não nulos 
x e y, como sendo o número H, tal que:
1 1 1 1
H H x y
+ = +
 Utilizando a defi nição acima, encontre uma expressão algébrica, 
destacando H em função de x e y.
A) H xy= B) H
x y= +
2
C) H
xy
x y
=
+
2
 D) H
x y= +
2 2
2
E) H
x y= +
4
05. Um professor de matemática aplica três provas em seu curso 
(P
1
, P
2
, P
3
), cada uma valendo de 0 a 10 pontos. A nota fi nal 
do aluno é a média aritmética ponderada das três provas, 
sendo que o peso da prova P
n
 é igual a n2. Para ser aprovado 
na matéria, o aluno tem que ter nota fi nal maior ou igual a 
5,4. De acordo com esse critério, um aluno será aprovado 
nessa disciplina, independentemente das notas tiradas nas 
duas primeiras provas, se tirar na P
3
, no mínimo, nota
A) 7,6 B) 7,9
C) 8,2 D) 8,4
E) 8,6
Exercícios Propostos
01. (Fuvest) Em uma classe com 14 alunos, 8 são mulheres e 6 são 
homens. A média das notas das mulheres no fi nal do semestre 
fi cou 1 ponto acima da média da classe. A soma das notas 
dos homens foi metade da soma das notas das mulheres. 
Então, a média das notas dos homens fi cou mais próxima de
A) 4,3
B) 4,5
C) 4,7
D) 4,9
E) 5,1
02. A distribuição das idades dos alunos de uma classe é dada pelo 
gráfi co a seguir.
2
16 17 18 19 20
Idade
(anos)
5
10
N
ú
m
er
o
 d
e 
al
u
n
o
s
20
23
 Qual das alternativas representa melhor a média de idades dos 
alunos?
A) 16 anos e 10 meses.
B) 17 anos e 1 mês.
C) 17 anos e 5 meses.
D) 18 anos e 6 meses.
E) 19 anos e 2 meses.
03. Dados a e b, números reais positivos distintos, defi nimos as 
médias aritmética, geométrica e heroniana de a e b como 
sendo, respectivamente, A
a b
G ab e H
a b ab
=
+
= =
+ +
2 3
, .
 A partir das defi nições anteriores, é correto afi rmar que
A) A < G < H
B) A < H < G
C) G < A < H
D) G < H < A
E) H < G < A
04. (Insper) Uma empresa tem 15 funcionários e a média dos 
salários deles é igual a R$ 4.000,00. A empresa é dividida em 
três departamentos, sendo que:
– A média dos salários dos 6 funcionários administrativos é 
igual a R$ 3.750,00;
– A média dos salários dos 4 funcionários de desenvolvimento 
de produto é igual a R$ 4.125,00.
 A média dos salários dos outros funcionários, do departamento 
comercial, é igual a
A) R$ 3.800,00
B) R$ 3.900,00
C) R$ 4.000,00
D) R$ 4.100,00
E) R$ 4.200,00
05. Os administradores de uma agência de automóveis observaram 
uma queda nas vendas em 2016. Nos x primeiros meses de 
2016 obtiveram uma média mensal de 60 vendas realizadas, 
enquanto a média mensal no ano de 2015 foi de 67 carros 
vendidos. Foram realizados vários ajustes e um esforço coletivo 
dos funcionários, de forma que, nos demais meses de 2016, 
a média mensal passou para 72 carros vendidos, acarretando a 
igualdade entre as médias mensais nos anos de 2015 e 2016.
 Nessas condições, qual é o valor de x?
A) 7 B) 6
C) 5 D) 4
E) 3
06. (Uece) A média aritmética simples das notas das provas de um 
estudante, até a penúltima prova, era 23. Ao fazer a última 
prova, a média fi cou em 22,25. Se a nota da última prova foi 
um número inteiro maior que 17, esta nota foi
A) 18 B) 19
C) 20 D) 21
07. João fez uma viagem dividindo o percurso total em duas etapas, 
de modo que as distâncias percorridas nessas etapas foram 
iguais. Se v
1 e v2 foram as velocidades médias desenvolvidas, 
respectivamente, nas etapas, mostre que a rapidez média no 
percurso total é a média harmônica de v1 e v2. Considerando 
v
1
 = 60 km/h e v
2 
= 80 km/h, qual a rapidez média no percurso 
total?
50
MateMática e suas tecnoloGias Matemática III
Anual – Volume 3
08. O professor de matemática decidiu bonifi car, com um ponto 
na prova, aqueles alunos que acertassem mais questões que a 
média de acertos dos alunos da turma, em um exercício aplicado 
em sala. O exercício com 10 questões foi aplicado entre os 
20 alunos da turma e o número de acertos foi o mostrado na 
tabela a seguir:
Número de acertos Númerode alunos
0 2
1 4
4 3
5 2
6 0
7 4
8 4
9 1
 Baseando-se na tabela, quantos alunos serão bonifi cados?
A) 14
B) 11
C) 9
D) 5
E) 1
09. (Enem) Uma aluna registrou as notas de matemática obtidas 
nos 3 primeiros bimestres do ano letivo e seus respectivos pesos 
no quadro a seguir.
Bimestre Nota Peso
1 2,5 1
2 5,8 2
3 7,4 3
 Ela ainda não sabe qual será sua nota de matemática no quarto 
bimestre, mas sabe que o peso dessa nota na média fi nal é 4. 
As notas variam de zero a dez, sendo permitida apenas uma 
casa na parte decimal (caso contrário, a nota será arredondada, 
usando como critério “se o algarismo da segunda casa decimal 
é maior ou igual a 5, então o algarismo na primeira casa decimal 
será acrescido de uma unidade”). A média fi nal mínima para 
aprovação na escola dessa aluna é 7. Se ela obtiver média fi nal 
inferior a 7, precisará realizar uma outra prova que substitua 
a menor das notas bimestrais, de modo a alcançar a média
7 (mantidos os mesmos pesos anteriores).
 Se essa aluna precisar realizar uma prova para substituir a nota 
que obteve no primeiro bimestre, e tal nota precisar ser igual 
a 4,8, é porque a nota que ela obteve no quarto bimestre foi
A) 2,3
B) 7,3
C) 7,9
D) 9,2
E) 10,0
10. (Enem/2009) Nos últimos anos, o aumento da população, 
aliado ao crescente consumo de água, tem gerado inúmeras 
preocupações, incluindo o uso desta na produção de alimentos. 
O gráfi co mostra a quantidade de litros de água necessária para 
a produção de 1 kg de alguns alimentos.
arroz carne
de
boi
legumes banana óleo
de
soja
carne
de
porco
milho trigo
alimentos (1 kg)
18000
17000
16000
15000
14000
13000
12000
11000
10000
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
lit
ro
s 
de
 á
gu
a
 Com base no gráfi co, para a produção de 100 kg de milho, 100 kg 
de trigo, 100 kg de arroz, 100 kg de carne de porco e 600 kg 
de carne de boi, a quantidade média necessária de água, por 
quilograma de alimento produzido, é aproximadamente igual a 
A) 415 litros por quilograma.
B) 11200 litros por quilograma.
C) 27000 litros por quilograma.
D) 2240000 litros por quilograma.
E) 2700000 litros por quilograma.
Fique de Olho
• (Santa Casa) Se n é real e positivo, o valor de 
1
12n n+ −
 é 
certamente
A) um valor entre n e 2n.
B) maior que 2n.
C) um valor entre 
n
2
e n.
D) um valor entre 0 e n.
E) um valor que diminui à medida que n cresce.
SOLUÇÃO:
Fazendo K
n n
=
+ −
1
12
e racionalizando o denominador, temos:
K
n n
n n
n n
K
n n
n n
K n
=
+ −


⋅
+ +


+ +


⇒ =
+ +
+ −
⇒
= + +
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2 2
2 nn
Como n n2 21+ > , obtemos:
n n n n K n2 21 2+ + > + ⇒ >
Resposta: B
51
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática III
Anual – Volume 3
Aulas 13 e 14: 
Estatística I
Introdução
A palavra “estatística” significa “análise de dados”. 
A estatística acompanha o surgimento do próprio homem, através 
das várias épocas, até os dias atuais. A palavra “censo” tem origem 
latina e signifi ca “conjunto dos dados estatísticos dos habitantes 
de uma cidade, estado ou nação”.
Por volta de 400 a.C., os romanos já faziam regularmente um 
levantamento da população e do grau de pobreza com o objetivo 
de estabelecer taxas e impostos. Até a Idade Média, colhiam-se 
informações geralmente com fi nalidades tributárias ou bélicas. 
Mas, aos poucos, foram surgindo os registros de fatos sociais, tais 
como número de nascimentos, batizados, casamentos, funerais, 
estimativas de riquezas individuais etc. Com esses registros, veio 
a necessidade de apresentá-los e evidenciá-los de forma prática e 
efi caz, dando origem às tabelas e gráfi cos.
Defi nição e objetivos
Estatística é o ramo da Matemática Aplicada que fornece 
métodos para a coleta, organização, descrição, análise e 
interpretação de dados, objetivando a integração de fenômenos 
sociais de qualquer natureza com o intuito de fornecer ao homem 
informações sufi cientes para o planejamento de ações futuras.
Conceitos básicos
População (universo estatístico) e amostra
Querendo saber por qual time torcem os moradores de um 
edifício, pode-se consultar um a um todos os seus moradores. 
No entanto, isto não é possível quando queremos pesquisar o time 
favorito entre os habitantes de uma cidade. Nesse caso, recorremos 
ao que se chama de amostra, ou seja, um grupo de habitantes 
da cidade que, consultados, permitem que se chegue ao resultado 
mais próximo possível da realidade.
No exemplo anterior, todos os habitantes da cidade 
constituem a população ou universo estatístico.
Chamando de U a população (universo estatístico) e de A 
uma amostra, temos A ⊂ U.
População (U)
Amostra A Amostra B
População ou universo estatístico é, pois, o conjunto 
de entes portadores de pelo menos uma característica comum. 
Amostra é um subconjunto fi nito de elementos extraídos de uma 
população.
C-6 H-25, 26
Aulas
13 e 14
Uma amostra, para ser boa, tem de ser representativa, 
ou seja, deve conter, em proporção, tudo o que a população possui 
qualitativa e quantitativamente. E tem de ser imparcial, isto é, todos 
os elementos da população devem ter igual oportunidade de fazer 
parte da amostra.
Para garantir a representatividade e a imparcialidade, 
é preciso obedecer a certas regrinhas.
Queremos Fazemos
Representatividade
• Análise da população para ver 
se seus elementos distribuem-se 
homogeneamente ou se formam 
grupos com características peculiares. 
Se for esse o caso, temos de respeitar 
as proporções com que esses grupos 
integram a população.
Imparcialidade
• Sorteio (mediante a utilização de 
uma máquina geradora de números 
aleatórios ou de uma tábua de 
números aleatórios) dos elementos 
que farão parte da amostra.
Tendo uma amostra representativa da população inicial, 
os elementos da amostra passam, a partir deste momento, a ser 
tratadas como dados (estaturas) e podem dar origem a diversas 
relações estatísticas, como média aritmética, mediana, moda, 
variância, desvio-padrão etc.
Indivíduo ou objeto
Cada elemento que compõe a amostra é um indivíduo ou 
objeto. Quando se faz uma pesquisa para saber o grau de aceitação 
de determinado governante, cada pessoa consultada é um indivíduo 
da pesquisa. Escolhendo-se algumas marcas de celular para testar a 
duração da carga da bateria, cada marca é um objeto da pesquisa.
Variável
É a característica estudada de uma população. Por exemplo: 
uma indústria automobilística que pretende lançar um novo 
modelo de carro faz uma pesquisa para sondar a preferência 
dos consumidores sobre tipo de combustível, número de portas, 
potência do motor, preço, cor, tamanho etc. Cada uma dessas 
características é uma variável da pesquisa.
Na variável “tipo de combustível”, a escolha pode ser, por 
exemplo, entre álcool e gasolina. Dizemos que esses são valores ou 
realizações da variável “tipo de combustível”.
As variáveis podem ser qualitativa (expressa por atributos ou 
palavras), quantitativa discreta (resultante da contagem – número 
inteiro) ou quantitativa contínua (proveniente de medida, podendo 
assumir qualquer valor, entre dois limites – número real).
Exemplo de variável qualitativa:
Em uma pesquisa que envolve pessoas, as variáveis 
consideradas podem ser sexo, cor de cabelo, esporte favorito e grau 
de instrução. Nesse caso, dizemos que as variáveis são qualitativas, 
pois apresentam como possíveis valores uma qualidade (ou atributo) 
dos indivíduos pesquisados.
Observação:
Dizemos que as variáveis qualitativas podem ser ordinais, 
quando existe uma ordem nos seus valores, ou nominais, quando 
isso não ocorre.
52
MateMática e suas tecnoloGias Matemática III
Anual – Volume 3
Exemplo:
“Grau de instrução” é uma variável qualitativa ordinal, já que 
seus valores podem ser ordenados (fundamental, médio, superior 
etc.) e “esporte favorito” é uma variável qualitativa nominal.
Exemplo de variável quantitativa:
Quando as variáveis de uma pesquisa são, por exemplo, 
altura, peso, idade em anos e números de irmãos, dizemos queelas são quantitativas, pois seus possíveis valores são números. 
No caso da variável “número de irmãos”, ela é quantitativa discreta, 
pois podemos contar (0, 1, 2 etc.). Já no caso da variável “altura”, 
ela é quantitativa contínua, uma vez que pode ser medida (1,55 m, 
1,80 m, 1,73 m etc.).
Sinopse dos tipos de variável de uma pesquisa.
Variável
 
�
�
�
qualitativa
nominal
ordinal
discreta
contínua
quantitativa
 
Observação:
A idade em anos exatos pode ser considerada variável 
quantitativa discreta (8, 10, 17 etc.).
Gráfi cos estatísticos
O gráfi co estatístico é uma forma direta e objetiva de 
apresentar os dados estatísticos relativos ao fenômeno estudado, 
caracterizando-se por sua simplicidade, clareza e veracidade. 
Os gráfi cos devem produzir no público uma impressão mais viva 
e rápida da característica estudada. Os principais tipos de gráfi cos 
estatísticos são:
Diagramas
Os diagramas, cuja construção tem por base o sistema de 
coordenadas cartesianas, estão subdivididos em diagramas:
• em linhas ou em curvas;
• em colunas;
• em barras;
• em setores.
Gráfi co em linha ou em curva
Este tipo de gráfi co se utiliza de uma linha poligonal para 
representar uma série estatística.
Exemplos nos exercícios a seguir.
Exercícios Resolvidos
01. (Enem/1999) Para convencer a população local da inefi ciência da 
Companhia Telefônica Vilatel na expansão da oferta de linhas, 
um político publicou no jornal local o gráfi co I, representado a 
seguir. A Companhia Vilatel respondeu publicando, dias depois, 
o gráfi co II, onde pretende justifi car um grande aumento na 
oferta de linhas. O fato é que, no período considerado, foram 
instaladas, efetivamente, 200 novas linhas telefônicas.
Jan. Abr. Ago. Dez.
2000
2050
2100
2150
2200
Nº total
de linhas telefônicas
Gráfico I
2200
Nº total
de linhas telefônicas
Gráfico II
2150
2100
2050
2000
Jan. Abr. Ago. Dez.
 Analisando os gráfi cos, pode-se concluir que
A) o gráfi co II representa um crescimento real maior do que o 
do gráfi co I.
B) o gráfi co I apresenta o crescimento real, sendo o II incorreto.
C) o gráfi co II apresenta o crescimento real, sendo o gráfi co I 
incorreto.
D) a aparente diferença de crescimento nos dois gráfi cos 
decorre da escolha das diferentes escalas.
E) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam escalas 
diferentes.
 SOLUÇÃO:
• As taxas de crescimento são idênticas nos dois gráfi cos, isto é, 
assume o mesmo valor em qualquer intervalo. A aparente 
diferença decorre do uso de escalas diferentes.
 Resposta: D
02. (Enem/2001) O consumo total de energia nas residências 
brasileiras envolve diversas fontes, como eletricidade, gás de 
cozinha, lenha etc. 
 O gráfi co mostra a evolução do consumo de energia elétrica 
residencial comparada com o consumo total de energia 
residencial, de 1970 a 1995.
0
10
20
30
40
50
1970
C
on
su
m
o 
de
 E
ne
rg
ia
 (*
te
p)
1975 1980 1985 1990 1995
energia total
energia elétrica
*tep = toneladas equivalentes de petróleo
53
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática III
Anual – Volume 3
 Verifi ca-se que a participação percentual da energia elétrica no 
total de energia gasta nas residências brasileiras cresceu entre 
1970 e 1995, passando, aproximadamente, de
A) 10% para 40%.
B) 10% para 60%.
C) 20% para 60%.
D) 25% para 35%.
E) 40% para 80%.
 SOLUÇÃO:
• Em 1970, o consumo de energia elétrica era cerca de 
2,5 ⋅ 106 tep, de um total aproximado de 25 ⋅ 106 tep, isto é, 
2 5 10
25 10
1
10
10
100
10
6
6
,
%
⋅
⋅
= = =tep
tep
. Já em 1995, o percentual 
era cerca de 
20 10
32 10
5
8
0 625
62 5
100
62 5
6
6
·
·
,
,
, %
tep
tep
= = = = . 
 Logo, aproximadamente, o consumo de energia elétrica 
passou de 10% para 60%.
 Resposta: B
03. (Enem/2001) O quadro apresenta a produção de algodão de 
uma cooperativa de agricultores entre 1995 e 1999.
Safra
1995 1996 1997 1998 1999
Produção 
(em mil 
toneladas)
30 40 50 60 80
Produtividade 
(em kg/
hectare)
1500 2500 2500 2500 4000
 O gráfi co que melhor representa a área plantada (AP) no período 
considerado é
A) AP
95 96 97 98 99
 B) AP
95 96 97 98 99
C) AP
95 96 97 98 99
 D) AP
95 96 97 98 99
E) AP
95 96 97 98 99 
 SOLUÇÃO:
• Produtividade (em kg/hectare) é a razão entre a 
produção (em kg) e a área plantada (em hectare), isto é, 
produtividade
produ o
rea plantada
= çã
á
. 
Assim, á
çã
rea plantada
produ o
produtividade
= .
 Observando que mil toneladas equivalem a 1000 × 1000 kg = 106 
kg, as áreas plantadas, em hectares, são, respectivamente,
 1995 → ⋅30 10
1500
6
 = 20000
 1996 →
⋅40 10
2500
6
= 16000
 1997 →
⋅50 10
2500
6
 = 20000
 1998 →
⋅60 10
2500
6
 = 24000
 1999 →
⋅80 10
4000
6
 = 20000
 Daí, a área plantada (AP) diminui de 1995 a 1996, aumenta 
de 1996 a 1998 e volta a diminuir de 1998 a 1999.
Resposta: A
04. (Enem/2002) A tabela mostra a evolução da frota de veículos 
leves, e o gráfi co, a emissão média do poluente monóxido de 
carbono (em g/km) por veículo da frota, na região metropolitana 
de São Paulo, no período de 1992 a 2000.
Ano
Frota a álcool 
(em milhares)
Frota a gasolina 
(em milhares)
1992 1250 2500
1993 1300 2750
1994 1350 3000
1995 1400 3350
1996 1350 3700
1997 1250 3950
1998 1200 4100
1999 1100 4400
2000 1050 4800
 
Gasolina
Álcool
30
25
20
15
10E
m
is
sã
o
 m
éd
ia
 d
e 
C
O
 (
g
/k
m
)
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
Ano 
 Comparando-se a emissão média de monóxido de carbono dos 
veículos a gasolina e a álcool, pode-se afi rmar que:
I. no transcorrer do período 1992-2000, a frota a álcool emitiu 
menos monóxido de carbono;
II. em meados de 1997, o veículo a gasolina passou a poluir 
menos que o veículo a álcool;
III. o veículo a álcool passou por um aprimoramento tecnológico.
 É correto o que se afi rma apenas em
A) I B) I e II
C) II D) III
E) II e III
54
MateMática e suas tecnoloGias Matemática III
Anual – Volume 3
SOLUÇÃO:
I. Correto. Pois a análise da tabela e do gráfi co nos fornece o 
produto [frota X emissão de CO] sempre maior para a frota 
a gasolina;
II. Correto. Pois o gráfi co em linha mostra que a emissão de 
CO, por veículo da frota, é decrescente para o veículo a 
gasolina, fi cando menor (abaixo) que a do veículo a álcool 
em meados de 2007;
III. Incorreto. Pois o gráfi co em linha mostra que a emissão 
de CO, por veículo da frota a álcool, é crescente a partir 
de 2005, indicando que, nesse quesito, não houve 
aprimoramento tecnológico.
 Resposta: B
05. (Enem/2003) O tempo que um ônibus gasta para ir do ponto 
inicial ao ponto final de uma linha varia, durante o dia, 
conforme as condições do trânsito, demorando mais nos 
horários de maior movimento. A empresa que opera esta linha 
forneceu, no gráfi co a seguir, o tempo médio de duração da 
viagem conforme o horário de saída do ponto inicial, no período 
da manhã.
6:00
0
10
20
30
40
50
Te
m
p
o
 d
o
 p
er
cu
rs
o
 (
m
in
u
to
s)
60
70
80
90
100
110
120
6:10
6:20
6:30
6:40
6:50
7:00
7:10
7:20
7:30
7:40
7:50
8:00
8:10
8:20
8:30
8:40
8:50
9:00
9:10
9:20
9:30
9:40
9:50
10:00
10:10
10:20
10:30
11:00
10:50
10:40
 De acordo com as informações do gráfi co, um passageiro que 
necessita chegar até as 10h30min ao ponto fi nal dessa linha, 
deve tomar o ônibus no ponto inicial, no máximo, até as
A) 9h20min
B) 9h30min
C) 9h00min
D) 8h30min
E) 8h50min
SOLUÇÃO:
• Como queremos o horário máximo de saída, devemos somar 
os tempos médios de viagem, respectivamente, aos possíveis 
horários de saída, começando com o máximo possível 
(10h20min) e, caso a soma ultrapasse 10h30min (horário de 
chegada), passa-se para o horário de saída imediatamente 
anterior e, assim, continuamente, até a soma obtida fi car 
menor ou igual a 10h30min. Fazendo isso, de 10h20min + 
75min até 9h00min + 95min = 10h35min, nenhum horário 
de saída satisfaz às condições citadas. Como 8h50min + 
100min = 10h30min, o horário máximo possível de saída 
é 8h50min.
 Resposta: E
Gráfico em colunas
É a representação de uma série estatística por meio de 
retângulos, dispostos verticalmente, cujas bases são iguais e cujas 
alturas são proporcionais às frequências dos respectivos dados.
Exemplos nos exercícios a seguir.
Exercícios Resolvidos
01. (Enem/2003) A eficiência do fogão de cozinha pode ser 
analisada em relação ao tipo de energia que ele utiliza. O gráfi co 
a seguir mostra a efi ciência de diferentes tipos de fogão. 
70
Eficiência do fogão (%)
60
50
40
30
20
10
0
Fogões
a lenha
Fogões
a carvão
Fogões a 
querosene
Fogões
a gás
Fogões
elétricos
 Pode-se verifi car que a efi ciência dos fogões aumenta
A) à medida que diminui o custo dos combustíveis.
B) à medida que passam a empregar combustíveis renováveis.
C) cerca de duas vezes, quando se substitui fogão a lenha por 
fogão a gás.
D) cerca de duas vezes, quando se substitui fogão a gás por 
fogão elétrico.
E) quando são utilizados combustíveis sólidos.
SOLUÇÃO:
• O de custo mais baixo é o fogão a lenha (único combustível 
citado que é sempre renovável e que é também sólido), mas 
tem menor efi ciência, e não maior, como sugerem os itens 
A, B e E. A efi ciência do fogão a gás é aproximadamente 
58% e a do a lenha, 29%. Portanto, a efi ciência do fogão 
a gás é cerca de duas vezes a efi ciência do fogão a lenha. 
Na verdade, o aumento não é de duas vezes, o aumento 
é de apenas uma vez. Houve, aqui, um equívoco da banca 
elaboradora ao divulgar o item D como verdadeiro.
 Gabarito ofi cial: D (contestado)
02. (Enem/2004) O excesso de veículos e os congestionamentos 
em grandes cidades são temas de frequentes reportagens. 
Os meios de transportes utilizados e a forma como são 
ocupados têm refl exos nesses congestionamentos, além de 
problemas ambientais e econômicos. No gráfi co a seguir, 
podem-se observar valores médios do consumo de energia 
por passageiro e por quilômetro rodado, em diferentes meios 
de transporte, para veículos em duas condições de ocupação 
(número de passageiros): ocupação típica e ocupação máxima.
Ocupação típica
Ocupação máxima
Automóveis Metrô Trem Ônibus
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
En
er
gi
a 
co
ns
um
id
a 
po
r
 p
as
sa
ge
iro
 p
or
 k
m
 
 
M
J/
km
55
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática III
Anual – Volume 3
 Esses dados indicam que políticas de transporte urbano devem 
também levar em conta que a maior efi ciência no uso de energia 
ocorre para os
A) ônibus, com ocupação típica.
B) automóveis, com poucos passageiros.
C) transportes coletivos, com ocupação máxima.
D) automóveis, com ocupação máxima.
E) trens, com poucos passageiros.
SOLUÇÃO:
• A maior efi ciência no uso de energia corresponde à menor 
energia consumida por passageiro por km. De acordo com 
o gráfi co, os menores valores dessa energia consumida por 
passageiro e por km correspondem a ônibus, metrô e trem 
(nesta ordem) com ocupação máxima.
 Resposta: C
03. (Enem/2004)
AS EMPRESAS QUEREM A METADE DAS PESSOAS 
TRABALHANDO O DOBRO PARA PRODUZIR O TRIPLO.
Revista Você S/A, 2004.
Preocupado em otimizar seus ganhos, um empresário 
encomendou um estudo sobre a produtividade de seus 
funcionários nos últimos quatro anos, entendida por ele, 
de forma simplifi cada, como a relação direta entre seu lucro 
anual (L) e o número de operários envolvidos na produção (n). 
Do estudo, resultou o gráfi co a seguir.
20
12
10
2000
20
...
25
30
35
40
45
L/n
x R$ 100,00
n
10
...
12
14
16
18
2020
2001
40
16
2002
45
2003
40
Legenda
Produtividade (L/n)
Número de
operários (n)
 Ao procurar, no gráfico, uma relação entre seu lucro, 
produtividade e número de operários, o empresário concluiu 
que a maior produtividade ocorreu em 2002, e o maior lucro
A) em 2000, indicando que, quanto maior o número de 
operários trabalhando, maior é o seu lucro.
B) em 2001, indicando que a redução do número de operários 
não signifi ca necessariamente o aumento dos lucros.
C) também em 2002, indicando que lucro e produtividade 
mantêm uma relação direta que independe do número de 
operários.
D) em 2003, devido à signifi cativa redução de despesas com 
salários e encargos trabalhistas de seus operários.
E) tanto em 2001, como em 2003, o que indica não haver 
relação signifi cativa entre lucro, produtividade e número de 
operários.
SOLUÇÃO:
• Como a produtividade (P) é a razão entre o lucro (L) e o 
número (n) de operários, P
L
n
= , temos que L = n ⋅ P. Daí, 
temos:
Em Produtividade
Nº de 
operários
Lucro
2000 20 R$ 100 20 R$ 40.000,00
2001 40 R$ 100 16 R$ 64.000,00
2002 45 R$ 100 12 R$ 54.000,00
2003 40 R$ 100 10 R$ 40.000,00
 Resposta: B
04. (Enem/2003) Prevenindo-se contra o período anual de seca, 
um agricultor pretende construir um reservatório fechado, 
que acumule toda a água proveniente da chuva que cair no 
telhado de sua casa, ao longo de um período anual chuvoso. 
As ilustrações a seguir apresentam as dimensões da casa, a 
quantidade média mensal de chuva na região, em milímetros, 
e a forma do reservatório a ser construído. Sabendo que 100 
milímetros de chuva equivalem ao acúmulo de 100 litros 
de água em uma superfície plana horizontal de um metro 
quadrado, a profundidade (p) do reservatório deverá medir:
10
 m
10
 m
4 m4 m
p m
4 m
2 m
reservatório———————
2 m x 4 m x p m
Ja
n
100
200
300
(mm)
Fe
v
M
ar
Ab
r
M
ai
Ju
n Ju
l
Ag
o
Se
t
Ou
t
No
v
De
z
A) 4 m B) 5 m
C) 6 m D) 7 m
E) 8 m
SOLUÇÃO:
I. Total de mm = 100 + 100 + 300 + 100 + 50 + 50 = 700. 
Isto nos diz que, em um metro quadrado de superfície plana, 
haverá um acúmulo total de 700 litros de água das chuvas.
II. Área da casa (terreno plano) = (8 m) ⋅ (10 m) = 80 m2. Isto 
nos diz que caíram no telhado da casa 80 × 700 litros d’água. 
III. Volume do reservatório = (4 ⋅ 2 ⋅ p) m3 = 8p m3.
 Como 1 m3 corresponde a 1000 litros, devemos ter:
 8p × 1000 = 80 × 700 → p = 7.
 Resposta: D
56
MateMática e suas tecnoloGias Matemática III
Anual – Volume 3
Gráfi co em barras
É a representação de uma série estatística por meio de 
retângulos, dispostos horizontalmente, cujas alturas são iguais e 
cujos comprimentos são proporcionais às frequências dos respectivos 
dados.
Exemplos: Gráfi co em barras horizontais.
 
3ª Série/Médio
2ª Série/Médio
1ª Série/Médio
8ª Série
7ª Série
6ª Série
5ª Série
4ª Série
3ª Série
2ª Série
1ª Série
0 1.000.000
NÚMERO DE ALUNOS POR SÉRIE
ESCOLAR (ANO 2000)
NÚMERO DE ALUNOS POR SÉRIE
ESCOLAR (ANO 2000)
2.000.000 3.000.000 4.000.000 5.000.000 6.000.000 7.000.000
Exercícios Resolvidos
01. (Enem/2003) Os dados a seguir referem-se à origem do petróleo 
consumido no Brasil em dois diferentes anos.
100
80
60
40
20
0
Produção
Interna
Importação
Origens do consumo em 1990
(em %)
158
150
100
37Catar
Irã
Iraque
Arábia
Saudita
Origens das importações em 1990
(milhares de barris)
100
80
60
40
20
0
Produção
interna
Importação
Origens do consumo em 2002
(em %)
114
77
60
33Iraque
Arábia
Saudita
Argélia
Nigéria
Origens das importações em 2002
(milhares de barris)
 Analisando os dados, pode-se perceber que o Brasil adotou 
determinadas estratégias energéticas, dentre as quais podemos 
citar
A) a diminuição das importações dos países muçulmanos e 
redução do consumo interno.
B) a redução da produção nacional e diminuição do consumo 
do petróleo produzido no Oriente Médio.
C) a redução da produção nacional e o aumento das compras 
de petróleo dos países árabes e africanos.
D) o aumento da produção nacional e redução do consumo de 
petróleo vindo dos países do Oriente Médio.
E) o aumento da dependência externa de petróleo vindo 
de países mais próximos do Brasil e redução do consumo 
interno.
 SOLUÇÃO:
• Ao mesmo tempo em que o Brasil aumentava sua produção 
interna pela incorporação de novas áreas produtoras na 
plataforma continental, procurava fugir da importação de 
petróleo do Oriente Médio, uma região de reconhecida 
instabilidade política, que pode ver interrompido, a qualquer 
momento, seu fornecimento.
 Resposta:D
02. (Enem/2006) A poluição ambiental tornou-se grave problema 
a ser enfrentado pelo mundo contemporâneo. No gráfi co 
a seguir, alguns países estão agrupados de acordo com as 
respectivas emissões médias anuais de CO
2
 per capita.
Brasil, Índia, Indonésia, países da 
América Central e Caribe
China, México, Chile, Argentina,
países da União Europeia e Venezuela
Japão, Canadá, Rússia, Ucrânia,
Polônia e África do Sul
EUA e Austrália
toneladas de CO
2
 per capita
0 5 10 15 20 25 30 35 40
57
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática III
Anual – Volume 3
 Considerando as características dos países citados, bem como 
as emissões médias anuais de CO
2
 per capita indicadas no 
gráfi co, assinale a opção correta. 
A) O índice de emissão de CO
2
 per capita dos países da União 
Europeia se equipara ao de alguns países emergentes. 
B) A China lança, em média, mais CO
2
 per capita na atmosfera 
que os EUA. 
C) A soma das emissões de CO
2
 per capita de Brasil, Índia e 
Indonésia é maior que o total lançado pelos EUA. 
D) A emissão de CO
2
 é tanto maior quanto menos desenvolvido 
é o país. 
E) A média de lançamento de CO
2
 em regiões e países 
desenvolvidos é superior a 15 toneladas por pessoa ao ano.
 SOLUÇÃO:
• O índice de emissão de CO
2
 de países da União Europeia gira 
em torno de 3 a 7 toneladas per capita, o que se equipara 
à emissão da China, do México, do Chile, da Argentina e 
da Venezuela, que são considerados países emergentes.
 Resposta: A
Gráfi co em setores
É representado por meio de um círculo, em que cada classe 
é dada por um setor circular cujo ângulo é proporcional ao tamanho 
da amostra, podendo ser calculado por meio de uma regra de três 
simples e direta, na qual 100% corresponde a 360º (círculo todo). 
Nesse gráfi co, a área de cada setor também é proporcional ao 
tamanho da amostra, podendo também ser calculada por meio de 
uma regra de três simples e direta, na qual 100% corresponde 
a π ⋅ R2 (área do círculo todo, de raio R).
Exemplos nos exercícios a seguir. 
Exercícios Resolvidos
• (Enem/2001) Texto e gráfi co para as questões 1 e 2.
 A distribuição média, por tipo de equipamento, do consumo 
de energia elétrica nas residências no Brasil é apresentada no 
gráfi co.
Máquinas
de lavar
5%TV
10%
Outros
5% Chuveiro
25%
Ferro
elétrico
5%
Geladeira
30%
Lâmpadas
incandescentes
20%
01. Em associação com os dados do gráfi co, considere as variáveis:
I. Potência do equipamento;
II. Horas de funcionamento;
III. Número de equipamentos.
 O valor das frações percentuais do consumo de energia 
depende de
A) I, apenas. B) II, apenas.
C) I e II, apenas. D) II e III, apenas.
E) I, II e III.
SOLUÇÃO:
• A energia consumida depende da potência de cada aparelho, 
do tempo e da quantidade de aparelhos em funcionamento.
 Resposta: E
02. Como medida de economia, em uma residência com 
4 moradores, o consumo médio de energia elétrica foi reduzido 
para 300 kWh. Se essa residência obedece à distribuição dada 
no gráfi co, e se nela há um único chuveiro de 5000 W, pode-se 
concluir que o banho diário de cada morador passou a ter uma 
duração média, em minutos, de
A) 2,5 
B) 5,0
C) 7,5 
D) 10,0
E) 12,0
SOLUÇÃO:
I. Consumo do chuveiro = 
25
100
 ⋅ 300 = 75 kWh.
II. Potência = 
Energia
Tempo
→ 5000 W = 75000Wh
Tempo
 → Tempo = 
15h por mês ou 
15
30
0 5
h
dias
h por dia= , . 
III. Como são quatro moradores, a duração média do banho 
diário será: 
0 5
4
30
4
7 5
, min
, min.
h = = 
 Resposta: C
03. Moradores de três cidades, aqui chamadas de X, Y e Z, foram 
indagados quanto aos tipos de poluição que mais afl igiam as 
suas áreas urbanas. Nos gráfi cos a seguir estão representadas 
as porcentagens de reclamações sobre cada tipo de poluição 
ambiental.
 
Lixo
Poluição do ar
X
Y
22%
40%
23%
2% 13%
36%
23%
22%
7%
12%
30%
24%
0%
12%
Z
Esgoto aberto
Dejetos tóxicos
Poluição sonora
58
MateMática e suas tecnoloGias Matemática III
Anual – Volume 3
 Considerando a queixa principal dos cidadãos de cada cidade, 
a primeira medida de combate à poluição em cada uma delas 
seria, respectivamente:
X Y Z
A)
manejamento de 
lixo
esgotamento 
sanitário
controle de 
emissão de gases
B)
controle de 
despejo industrial
manejamento de 
lixo
controle de 
emissão de gases
C)
manejamento de 
lixo
esgotamento 
sanitário
controle de 
despejo industrial
D)
controle de 
emissão de gases
controle de 
despejo industrial
esgotamento 
sanitário
E)
controle de 
despejo industrial
manejamento de 
lixo
esgotamento 
sanitário
SOLUÇÃO:
• A análise dos gráfi cos setoriais indica, para a cidade X, 34% de 
dejetos tóxicos como o principal problema. Na cidade Y, 40% 
dos problemas estão relacionados com o lixo e na cidade Z, 
36% dos problemas dizem respeito ao esgoto aberto.
 Resposta: E
Pictogramas
A representação gráfi ca por pictogramas utiliza fi guras 
relacionadas à ideia central dos dados que se deseja representar, 
com o objetivo de tornar o gráfi co mais sugestivo e atraente.
Exemplos:
169,5
Em
 U
S$
 B
ilh
õe
s
(2
00
2)
MERCADO DE ELITE: O desequilíbrio no faturamento mundial da indústria farmacêutica
100,8
45,8
30,5
20,1
10,6
7,4 7,3 5,4 5,3
América
do Norte
Europa Japão América Latina
e Caribe
Ásia Oriente
Médio
Europa
Oriental
Índia Austrália África
EDUCAÇÃO e RENDIMENTO
Veja como o rendimeno mensal domiciliar per capita influencia
a frequência à escola ou creche...
RE
N
D
IM
EN
TO
 M
EN
SA
L 
D
O
M
IC
IL
IA
R
PE
R 
C
A
PI
TA
 E
M
 S
A
LÁ
RI
O
 M
ÍN
IM
O
2
1
0
mais de 2
frequentam não frequentam
15 a 17
15 a 17
7 a 14
4,6%
0,6%
9,6%
69,1%
4 a 6
0 a 3
95,2%
99,4%
90,4%
30,9%
Exercícios de Fixação
01. Os congestionamentos de trânsito constituem um problema 
que afl ige, todos os dias, milhares de motoristas brasileiros. 
O gráfi co ilustra a situação, representando, ao longo de um 
intervalo defi nido de tempo, a variação da velocidade de um 
veículo durante um congestionamento.
Velocidade
Tempo (min)
0 2 4 6 8 10
 Quantos minutos o veículo permaneceu imóvel ao longo do 
intervalo de tempo total analisado?
A) 4 B) 3
C) 2 D) 1
E) 0
02. Em um dia de tempestade, a alteração na profundidade de 
um rio, em um determinado local, foi registrada durante um 
período de 4 horas. Os resultados estão indicados no gráfi co 
de linhas. Nele, a profundidade h, registrada às 13 horas, não 
foi anotada e, a partir de h, cada unidade sobre o eixo vertical 
representa um metro.
Registro de profundidade
0 13 14 15 16 17 Hora
Pr
of
un
di
da
de
 (m
)
 Foi informado que, entre 15 horas e 16 horas, a profundidade 
do rio diminui em 10%. Às 16 horas, qual é a profundidade 
do rio, em metro, no local onde foram feitos os registros?
A) 18 B) 20
C) 24 D) 36
E) 40
03. Dois reservatórios A e B são alimentados por bombas distintas 
por um período de 20 horas. A quantidade de água contida em 
cada reservatório, nesse período, pode ser visualizada na fi gura.
Quantidade de água armazenada
Volume (L)
tempo (h)
Re
se
rv
at
ór
io
 
Re
se
rv
at
ór
io
 B
90000
80000
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
00
180000
170000
160000
150000
140000
130000
120000
110000
100000
90000
80000
70000
60000
50000
40000
30000
10000
10000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Reservatório A
Reservatório B
 O número de horas em que os dois reservatórios contêm a 
mesma quantidade de água é
A) 1 B) 2
C) 4 D) 5
E) 6
59
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática III
Anual – Volume 3
04. Quanto tempo você fi ca conectado à Internet? Para responder 
a essa pergunta, foi criado um miniaplicativo de computador 
que roda na área de trabalho para gerar, automaticamente, 
um gráfi co de setores, mapeando o tempo que uma pessoa 
acessa cinco sites visitados. Em um computador, foi observado 
que houve um aumento signifi cativo do tempo de acesso da 
sexta-feira para o sábado, nos cinco sites mais acessados.
A seguir, temos os dados do miniaplicativo para esses dias.
Tempode acesso na sexta-feira (minuto)
Site X
12
Site Y
30
Site Z
10
Site W
38
Site U
40
Tempo de acesso no sábado (minuto)
Site X
21
Site Y
51
Site Z
11
Site W
57
Site U
56
 Analisando os gráfi cos do computador, a maior taxa de aumento 
no tempo de acesso, da sexta-feira para o sábado, foi no site.
A) X B) Y
C) Z D) W
E) U
05. O resultado de uma pesquisa eleitoral, sobre a preferência dos 
eleitores em relação a dois candidatos, foi representado por 
meio do Gráfi co I.
A
0
10
El
ei
to
re
s 
(%
)
20
30
40
50
60
70
B
Candidato
Gráfi co I
Ao ser divulgado esse resultado em jornal, o Gráfi co I foi 
cortado durante a diagramação, como mostra o Gráfi co II a seguir.
A
El
ei
to
re
s 
(%
)
20
30
40
50
60
70
B Candidato
Gráfi co II
Apesar de os valores apresentados estarem corretos e 
a largura das colunas ser a mesma, muitos leitores criticaram o 
formato do Gráfi co II impresso no jornal, alegando que houve 
prejuízo visual para o candidato B.
 A diferença entre as razões da altura da coluna B pela coluna 
A nos gráfi cos I e II é
A) 0
B) 1
2
C) 
1
5
D) 2
15
E) 
8
35
06. Uma empresa registrou seu desempenho, em determinado ano, 
por meio do gráfi co, com dados mensais do total de vendas e 
despesas.
Total vendas
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
Despesas
 O lucro mensal é obtido pela subtração ente o total de vendas 
e despesas, nessa ordem.
 Quais os três meses do ano em que foram registrados os maiores 
lucros?
A) Julho, setembro e dezembro.
B) Julho, setembro e novembro.
C) Abril, setembro e novembro.
D) Janeiro, setembro e dezembro.
E) Janeiro, abril e junho.
60
MateMática e suas tecnoloGias Matemática III
Anual – Volume 3
07. Alguns equipamentos eletrônicos podem “queimar“ durante 
o funcionamento, quando sua temperatura interna atinge um 
valor máximo T
M
. Para maior durabilidade dos seus produtos, a 
indústria de eletrônicos conecta sensores de temperatura a esses 
equipamentos, os quais acionam um sistema de resfriamento 
interno, ligando-o quando a temperatura do eletrônico ultrapassa 
um nível crítico T
C
, e desligando-o somente quando a temperatura 
cai para valores inferiores a T
m
. O gráfi co ilustra a oscilação da 
temperatura interna de um aparelho eletrônico durante as seis 
primeiras horas de funcionamento, mostrando que seu sistema 
de resfriamento interno foi acionado algumas vezes.
T
M
T
C
T
m
1 2 3 4 5 6
Tempo (h)
0
 Quantas foram as vezes que o sensor de temperatura acionou 
o sistema, ligando-o ou desligando-o?
A) 2 B) 3
C) 4 D) 5
E) 9
08. Uma empresa farmacêutica fez um estudo da efi cácia (em 
porcentagem) de um medicamento durante 12 h de tratamento 
em um paciente. O medicamento foi administrado em duas 
doses, com espaçamento de 6 h entre elas. Assim que foi 
administrada a primeira dose, a efi cácia do remédio cresceu 
linearmente durante 1 h, até atingir a máxima efi cácia (100%), 
e permaneceu em máxima efi cácia durante 2 h. Após essas 
2 h em que a efi cácia foi máxima, ela passou a diminuir 
linearmente, atingindo 20% de efi cácia ao completar as 6 h 
iniciais de análise. Nesse momento, foi administrada a segunda 
dose, que passou a aumentar linearmente, atingindo a máxima 
efi cácia após 0,5 h e permanecendo em 100% por 3,5 h.
Nas horas restantes da análise, a efi cácia decresceu linearmente, 
atingindo, ao fi nal do tratamento, 50% de efi cácia.
 Considerando as grandezas tempo (em hora), no eixo das 
abscissas, e efi cácia do medicamento (em porcentagem), no 
eixo das ordenadas, qual é o gráfi co que representa tal estudo?
A) 
1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120 Tempo (h)
Ef
ic
ác
ia
 (%
)
B) 
1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120 Tempo (h)
Ef
ic
ác
ia
 (%
)
C) 
1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120 Tempo (h)
Ef
ic
ác
ia
 (%
)
D) 
1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120 Tempo (h)
Ef
ic
ác
ia
 (%
)
E) 
1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120 Tempo (h)
Ef
ic
ác
ia
 (%
)
09. O quadro apresenta a ordem de colocação dos seis primeiros 
países em um dia de disputa nas Olimpíadas. A ordenação é 
feita de acordo com as quantidades de medalhas de ouro, prata 
e bronze, respectivamente.
País Ouro Prata Bronze Total
1º China 9 5 3 17
2º EUA 5 7 4 16
3º França 3 1 3 7
4º Argentina 3 2 2 7
5º Itália 2 6 2 10
6º Brasil 2 5 3 10
 Se as medalhas obtidas por Brasil e Argentina fossem reunidas 
para formar um único país hipotético, qual a posição ocupada 
por esse país?
A) 1ª
B) 2ª
C) 3ª
D) 4ª
E) 5ª
10. O cultivo de uma fl or rara só é viável se, do mês do plantio 
para o mês subsequente, o clima da região possuir as seguintes 
peculiaridades:
• a variação do nível de chuvas (pluviosidade), nesses meses, 
não for superior a 50 mm;
• a temperatura mínima, nesses meses, for superior a 15 ºC;
• ocorrer, nesse período, um leve aumento não superior a
5 ºC na temperatura máxima.
 Um fl oricultor, pretendendo investir no plantio dessa fl or em 
sua região, fez uma consulta a um meteorologista que lhe 
apresentou o gráfi co com as condições previstas para os 12 
meses seguintes nessa região.
61
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática III
Anual – Volume 3
2012
Pluviosidade
Pl
uv
io
si
da
de
 (m
m
)
Temperatura máxima Temperatura mínima
Te
m
pe
ra
tu
ra
 (°
C
)
250
200
150
100
50
0
M
ai
o
Ju
nh
o
Ju
lh
o
A
go
st
o
N
ov
em
br
o
Fe
ve
re
iro
M
ar
ço
A
br
il
M
ai
o
D
ez
em
br
o
Ja
ne
iro
Se
te
m
br
o
O
ut
ub
ro
2013
35
30
25
20
15
10
5
0
 Com base nas informações do gráfi co, o fl oricultor verifi cou que 
poderia plantar essa fl or rara. O mês escolhido para o plantio foi
A) janeiro.
B) fevereiro.
C) agosto.
D) novembro.
E) dezembro.
Exercícios Propostos
01. (Insper) A tabela a seguir mostra as quantidades de alunos que 
acertaram e que erraram as 5 questões de uma prova aplicada 
em duas turmas. Cada questão valia dois pontos.
Questão
Acertos 
Turma A
Erros 
Turma A
Acertos 
Turma B
Erros 
Turma B
1 32 8 42 18
2 28 12 48 12
3 36 4 48 12
4 16 24 24 36
5 20 20 30 30
 O gráfi co que melhor representa o percentual de acerto por 
questão de todos os alunos é:
A) 
100
80
40
20
60
1
0
(%)
2 3 4 5 (Questão)
B) 
100
80
40
20
60
1
0
(%)
2 3 4 5 (Questão)
C) 
100
80
40
20
60
1
0
(%)
2 3 4 5 (Questão)
D) 
100
80
40
20
60
1
0
(%)
2 3 4 5 (Questão)
E) 
100
80
40
20
60
1
0
(%)
2 3 4 5 (Questão)
02. (Enem) O polímero de PET (Politereftalato de Etileno) é um 
dos plásticos mais reciclados em todo o mundo devido à sua 
extensa gama de aplicações, entre elas, fi bras têxteis, tapetes, 
embalagens, fi lmes e cordas. Os gráfi cos mostram o destino 
do PET reciclado no Brasil, sendo que, no ano de 2010, o total 
de PET reciclado foi de 282 kton (quilotoneladas).
PET RECICLADO – 2010PET RECICLADO - 2010
Usos Finais Usos Finais Têxteis
Não tecidosResinas Insaturadas
 e Alquídicas
Emb. Alimentos
e não alimentos
Laminados
e chapas
Fitas de Arquear
Tubos
Outros Têxteis Cerdas/Cordas/
Mono�lamentos
Tecidos e Malhas
43%
18,9%
17,2%
7,9%
6,8%
3,8%
7,6% 37,8%
27%
30%
Disponível em: <www.abipet.org.br>. Acesso em: 12 jul. 2012. Adaptado.
 De acordo com os gráfi cos, a quantidade de embalagens PET, 
recicladas, destinadas à produção de tecidos e malhas, em kton, 
é mais aproximada de
A) 16,0 B) 22,9
C) 32,0 D) 84,6
E) 106,6
62
MateMática e suas tecnoloGias Matemática III
Anual – Volume 3
03. Em uma área de preservação ambiental, pesquisadores 
estudaram uma população de macacos-prego. A área em 
questão é de 84 ha (1 ha = 10000 m2). Considerando o 
tamanho inicial da população como 750 indivíduos (no início 
de 2006) e os dados de cinco anos que estão registrados na 
tabela a seguir, assinale a alternativa correta.
Determinantes 
populacionais
Ano
2006 2007 2008 2009 2010
Natalidade 200 250 320 450 510
Mortalidade70 93 57 108 122
Imigração 7 28 65 70 48
Emigração 10 15 32 83 139
 A densidade da população, no fi nal do ano de 2010, foi de, 
aproximadamente,
A) 23,44 macacos-prego/ha.
B) 21,32 macacos-prego/ha.
C) 20,56 macacos-prego/ha.
D) 18,65 macacos-prego/ha.
E) 17,98 macacos-prego/ha.
04. O gráfi co a seguir apresenta o desempenho de uma turma do nono 
ano, de certa escola, na primeira prova de Matemática de 2016.
Desempenho em Matemática
15%
25%
35%
Ruim Regular Bom Ótimo
25%
 Esse gráfi co foi construído a partir das notas (de 0,0 a 10,0) dos 
quarenta alunos da turma, baseado no padrão apresentado na 
tabela:
Nota Classifi cação
De 0,0 a 4,9 Ruim
De 5,0 a 6,9 Regular
De 7,0 a 8,4 Bom
De 8,5 a 10,0 Ótimo
 Sabe-se que:
– no dia da referida avaliação, nenhum aluno faltou;
– a média estipulada pela escola é 7,0; e
– alunos com nota abaixo de 5,0 devem fazer recuperação.
 Podemos afi rmar que
A) 20 alunos devem fazer recuperação.
B) 18 alunos tiraram nota abaixo da média.
C) 36 alunos não precisam fazer recuperação.
D) 24 alunos tiraram nota maior ou igual à media.
05. Uma agência de viagem entrevistou 50 idosos, perguntando-lhes 
quantas viagens eles tinham feito para o exterior. O gráfi co a 
seguir apresenta os resultados dessas entrevistas.
Duas vezes
12%
Três ou mais
vezes 8%
Uma vez
30%
Nenhuma vez
50%
 Baseando-se na informação do gráfi co, a mediana do número 
de vezes que esses idosos viajaram para o exterior é de
A) 0,5 
B) 0,8
C) 1,0
D) 1,5
E) 2,0
06. (Enem/2012) O gráfi co fornece os valores das ações da empresa 
XPN, no período das 10 às 17 horas, em um dia em que elas 
oscilaram acentuadamente em curtos intervalos de tempo.
10
100
150
200
280
330
380
460
11 12 13
Tempo (em horas)
Va
lo
r 
da
 A
çã
o 
(e
m
 r
ea
is
)
14 15 16 17
 Neste dia, cinco investidores compraram e venderam o mesmo 
volume de ações, porém em horários diferentes, de acordo com 
a seguinte tabela.
Investidor Hora da Compra Hora da Venda
1 10:00 15:00
2 10:00 17:00
3 13:00 15:00
4 15:00 16:00
5 16:00 17:00
 Com relação ao capital adquirido na compra e venda das ações, 
qual investidor fez o melhor negócio?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
63
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática III
Anual – Volume 3
07. (Enem) O gráfi co apresenta as taxas de desemprego durante 
o ano de 2011 e o primeiro semestre de 2012 na região 
metropolitana de São Paulo. A taxa de desemprego total é a 
soma das taxas de desemprego aberto e oculto.
7,6
Jan. Fev Mar. Abr Mai. Jun Jul. Ago. Set
Aberto/ 2012
Oculto/ 2012
Total/ 2011
Out. Nov. Dez
9,18,4 9,1 8,8
9,0
2,22,12,12,0
2,0
2,0
10,5 10,6
11,3 11,2 10,7 11,0
11,1 11,2
10,6
9,9
9,5 9,0Em
 %
 Suponha que a taxa de desemprego oculto do mês de dezembro 
de 2012 tenha sido a metade da mesma taxa em junho de 2012 
e que a taxa de desemprego total em dezembro de 2012 seja 
igual a essa taxa em dezembro de 2011.
Disponível em: <www.dieese.org.br>. Acesso em: 1 ago. 2012. Fragmento.
 Nesse caso, a taxa de desemprego aberto de dezembro de 2012 
teria sido, em termos percentuais, de
A) 1,1 B) 3,5
C) 4,5 D) 6,8
E) 7,9
08. (Enem/2013) A cidade de Guarulhos (SP) tem o 8° PIB municipal 
do Brasil, além do maior aeroporto da América do Sul. 
Em proporção, possui a economia que mais cresce em 
indústrias, conforme mostra o gráfi co.
Crescimento - Indústria
65%
60%
50%
55%
45%
40%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
Brasil São Paulo
(Estado)
São Paulo
(Capital)
Guarulhos
30,95%
14,76%
3,57%
60
,5
2%
IBGE, 2002-2008 (Adaptado).
 Analisando os dados percentuais do gráfi co, qual a diferença entre 
o maior e o menor centro em crescimento no polo das indústrias?
A) 75,28
B) 64,09
C) 56,95
D) 45,76
E) 30,07
09. (Enem) Uma das alternativas apontadas por especialistas para 
reduzir o trânsito nas cidades é o uso do transporte coletivo. 
Todavia, a baixa velocidade média desenvolvida pelos ônibus 
nas vias pode ser um desestímulo ao uso desse tipo de veículo. 
Pesquisas revelam que a velocidade média dos ônibus nas 
cidades depende da extensão do congestionamento das vias, 
que, por sua vez, depende do horário. O gráfi co a seguir mostra 
o comportamento da velocidade média de um ônibus que faz 
certo trajeto em função do total de vias congestionadas, em 
certo dia da semana. O outro gráfi co indica a extensão do 
congestionamento ao longo desse dia.
Congestionamento
250
200
150
100
50
0
Horário
km
 d
e 
le
nt
id
ão
7h 8h 9h 10h 11h 12h 13h 14h 15h 16h 17h 18h 19h
0
5
10
15
20
25
30
50 100 150 200 250
0
km de lentidão
ve
lo
ci
da
de
 m
éd
ia
 (k
m
/h
)
 Suponha que um ônibus dessa linha faça um percurso de 5 km 
entre dois pontos situados nessas vias congestionadas. A diferença, 
em minutos, entre o maior e o menor intervalo de tempo 
necessário para fazer esse percurso é de
A) 20 min B) 18 min 
C) 16 min D) 14 min
E) 12 min
10. (Enem-PPL) Em 2010, cerca de 3,24 milhões de passageiros 
foram transportados entre os Estados Unidos e o Brasil, 
de acordo com dados divulgados pela Agência Nacional de 
Aviação Civil (ANAC). O gráfi co mostra a distribuição relativa 
do número de passageiros transportados entre o Brasil e os 
cinco destinos mais procurados, dos quais apenas dois países 
são europeus: França e Portugal.
Chile 
8%
França
11%
Portugal 
16%
Argentina
30%
Estados
Unidos
35%
 De acordo com esses dados, o valor mais aproximado para a 
quantidade total de passageiros transportados, em 2010, entre 
o Brasil e os países europeus mostrados no gráfi co é
A) 874.800
B) 1.018.285
C) 1.481.142
D) 2.499.428
E) 3.240.000
64
MateMática e suas tecnoloGias Matemática III
Anual – Volume 3
11. (Unesp – Adaptada) Em ocasiões de concentração popular, 
frequentemente lemos ou escutamos informações 
desencontradas a respeito do número de participantes. 
Exemplo disso foram as informações divulgadas sobre a 
quantidade de manifestantes em um dos protestos na capital 
paulista, em junho passado. Enquanto a Polícia Militar apontava 
a participação de 30 mil pessoas, o Datafolha afi rmava que 
havia, ao menos, 65 mil.
Eu
ge
ni
o 
M
ar
on
gi
u/
12
3R
F/
Ea
sy
pi
x
 Tomando como base a foto, admita que:
I. a extensão da rua plana e linear tomada pela população seja 
de 500 metros;
II. o gráfi co forneça o número médio de pessoas por metro 
quadrado nas diferentes sessões transversais da rua;
0
1
2
3
4
5
calçada
esquerda
(1,5 m)
lado
esquerdo
da via de
tráfego
(2 m)
centro da
via de
tráfego
(3 m)
lado
direito da
via de
tráfego
(2 m)
calçada
direita
(1,5 m)
pe
ss
oa
s/
m
2
III. a distribuição de pessoas por m2 em cada sessão transversal 
da rua tenha sido uniforme em toda a extensão da 
manifestação.
 Nessas condições, o número estimado de pessoas na foto 
seria de 
A) 19.250
B) 5.500
C) 7.250
D) 38.500
E) 9.250
12. (Enem) Uma empresa de alimentos oferece três valores 
diferentes de remuneração a seus funcionários, de acordo com 
o grau de instrução necessário para cada cargo. No ano de 
2013, a empresa teve uma receita de 10 milhões de reais por 
mês e um gasto mensal com a folha salarial de R$ 400.000,00, 
distribuídos de acordo com o Gráfi co 1. No ano seguinte, 
a empresa ampliará o número de funcionários, mantendo o 
mesmo valor salarial para cada categoria. Os demais custos 
da empresa permanecerão constantes de 2013 para 2014. 
O número de funcionários em 2013 e 2014, por grau de 
instrução, está no Gráfi co 2.
75%
12,5% 12,5%
Ensino Fundamental
Ensino Médio
Ensino Superior
Gráfico 1
Gráfico 2
Distribuição da folha salarial
Número de funcionários por grau de instrução
2013
2014
190
180
170
160
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Ensino Fundamental Ensino Médio Ensino Superior
75%
12,5% 12,5%
Ensino Fundamental
Ensino Médio
Ensino Superior
Gráfico 1
Gráfico 2
Distribuição da folha salarial
Número de funcionários por grau de instrução
2013
2014
190
180
170
160
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Ensino Fundamental Ensino Médio EnsinoSuperior
 Qual deve ser o aumento na receita da empresa para que o 
lucro mensal em 2014 seja o mesmo de 2013?
A) R$ 114.285,00 B) R$ 130.000,00
C) R$ 160.000,00 D) R$ 210.000,00
E) R$ 213.333,00 
13. Observe com atenção o quadro a seguir.
Desemprego por idadeDesemprego por idade
Jovens são os mais afetados pela desaceleração do mercado de trabalho.
18%
16,2%16,4%
12,3%
18 a 24 anos
Maio/2014 Abril/2015 Maio/2015
25 a 49 anos 50 anos ou mais
16%
14%
12%
10%
8%
6%
4%
2%
0%
IBGE: desemprego sobe mais entre jovens de 18 a 24 anos, chegando a 16,4%.
 O aumento do desemprego em maio foi maior entre os jovens, 
segundo o IBGE (Instituto Brasileiro de Geografi a e Estatística).
Disponível em: <www.uol.com.br>.
Adaptado. Acesso em: 25 jun. 2015.
 No último censo realizado em 2010, o IBGE estimava a população 
de jovens entre 18 e 24 anos em torno de 24 milhões. Supondo 
que o número não tenha se alterado e tomando-o por base, 
pode-se dizer que o número de desempregados nessa faixa, 
18 a 24 anos, aumentou, no último ano em, aproximadamente,
A) 500 mil.
B) 1 milhão.
C) 1 milhão e meio.
D) 2 milhões.
65
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática III
Anual – Volume 3
14. (Enem/2014) Um cientista trabalha com as espécies l e II de 
bactérias em um ambiente de cultura. Inicialmente, existem 
350 bactérias da espécie l e 1250 bactérias da espécie II. 
O gráfi co representa as quantidades de bactérias de cada 
espécie, em função do dia, durante uma semana.
Bactérias das espécies I e II
Q
ua
nt
id
ad
e 
de
 b
ac
té
ria
s
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Dom Em dias
Bactérias I
Bactérias II
1250
1100
1450
1400 1350
1000
850
650
290
0
300300350
800
 Em que dia dessa semana a quantidade total de bactérias, nesse 
ambiente de cultura, foi máxima? 
A) Terça-feira. B) Quarta-feira.
C) Quinta-feira. D) Sexta-feira.
E) Domingo.
15. (Enem-PPL) Uma revista publicará os dados, apresentados no 
gráfi co, sobre como os tipos sanguíneos estão distribuídos 
entre a população brasileira. Contudo, o editor dessa revista 
solicitou que esse gráfi co seja publicado na forma de setores, 
em que cada grupo esteja representado por um setor circular.
40
35
TIPOS SANGUÍNEOS
Rh positivo
Rh negativo
Grupo A Grupo AB Grupo B Grupo O
30
36
%
 d
a 
po
pu
la
çã
o 
br
as
ile
ira
6
3 2
8
2
34
9
25
20
15
10
5
0
 O ângulo do maior desses setores medirá, em graus,
A) 108,0 B) 122,4
C) 129,6 D) 151,2
E) 154,8
16. (CPS) O gráfi co apresenta os valores médios dos preços de terras 
agrícolas da cidade de Andradina (SP), no período de 2004 a 
2014, de acordo com o Instituto de Economia Agrícola (IEA).
Valor Médio da terra agrícola em Andradina (SP) - período 2004-2014
 (em reais por hectare) 
22.500,00
20.500,00
re
ai
s 
po
r 
he
ct
ar
e
18.500,00
16.500,00
14.500,00
12.500,00
10.500,00
8.500,00
6.500,00
4.500,00
2004 2005 2006 2007 2008 2009
Ano
2010 2011 2012 2013 2014
Terra de cultura
de primeira
Terra de cultura
de segunda
Terra para
pastagem
Terra para
reflorestamento
Disponível em: <http://tinyurl.com/p46lwz7>. Acesso em: 23 ago. 2015.
 Com base no gráfi co, pode-se afi rmar corretamente que
A) em 2010, por hectare, a diferença entre o valor médio da 
terra de cultura de segunda e o valor da terra para pastagem 
foi maior que R$ 2.000,00.
B) em 2011, por 10 hectares de terra para pastagem, pagava-se, em 
média, cerca de R$ 120.500,00.
C) em 2013, por hectare, o valor médio da terra de cultura de 
segunda era maior que o valor médio da terra para pastagem.
D) em cada ano do período de 2004 a 2014, o valor médio 
da terra de cultura de primeira por hectare não ultrapassou 
R$ 20.000,00.
E) em cada ano do período de 2012 a 2014, os quatro 
tipos de terras tinham valor médio por hectare maior que 
R$ 10.000,00.
17. (Enem-PPL) Existem hoje, no Brasil, cerca de 2 milhões de 
pessoas que sofrem de epilepsia. Há diversos meios de 
tratamento para a doença, como indicado no gráfi co:
6%
Só encontram
remissão com a 
implantação de
eletrodos no
cérebro, de modo a 
normalizar os
impulsos elétricos 
entre os neurônios
A doença em números
2 milhões de brasileiros sofrem de epilepsia
Não conseguem se 
livrar das crises –
os tratamentos 
disponíveis apenas
minimizam os 
sintomas da
doença
Conseguem se
recuperar com o
uso de
medicamentos
Curam-se graças à
cirurgia para a
retirada da porção
doente do cérebro
15%
9%
70%
 Considere um estado do Brasil, onde 400.000 pessoas sofrem 
de epilepsia. Nesse caso, o número de pessoas que conseguem 
se recuperar com o uso de medicamentos, ou se curar a 
partir da cirurgia para retirada da porção doente do cérebro, 
é, aproximadamente,
A) 42000
B) 60000
C) 220000
D) 280000
E) 340000
18. (Enem) Nos últimos anos, a frota de veículos no Brasil tem 
crescido de forma acentuada. Observando o gráfi co, é possível 
verifi car a variação do número de veículos (carros, motocicletas 
e caminhões), no período de 2000 a 2010. Projeta-se que a taxa 
de crescimento relativo no período de 2000 a 2010 mantenha-se 
para a década seguinte.
Evolução do total da frota na década
30 milhões30 milhões
66 milhões
70
60
50
40
30
20
10
0
20
00
20
01
20
02
20
03
20
04
20
05
20
06
20
07
20
08
20
09
20
10
66
MateMática e suas tecnoloGias Matemática III
Anual – Volume 3
 Qual será o número de veículos no ano de 2020? 
A) 79,2 milhões.
B) 102,0 milhões.
C) 132,0 milhões.
D) 138,0 milhões.
E) 145,2 milhões.
19. (Enem-PPL) Uma dona de casa vai ao supermercado fazer a compra 
mensal. Ao concluir a compra, observa que ainda lhe restaram
R$ 88,00. Seus gastos foram distribuídos conforme mostra o 
gráfi co. As porcentagens apresentadas no gráfi co são referentes 
ao valor total, em reais, reservado para a compra mensal.
30,2%
35
30
25
20
15
10
5
0
Carnes e
embutidos
Produtos de
limpeza
Frutas e
verduras
Massas e 
enlatados
Tipo de produto
%
 g
as
ta
 e
m
 c
ad
a 
tip
o 
de
 p
ro
du
to
17,5%
12,4% 
22,3%
 Qual o valor total, em reais, reservado por essa dona de casa 
para a compra mensal?
A) 106,80
B) 170,40
C) 412,00
D) 500,00
E) 588,00
20. O gráfi co ilustra o número percentual de pessoas que, atendidas 
em um posto de saúde, em determinado período, apresentaram 
problemas cardíacos.
Mulheres Homens Total
32
42
37
Pe
ss
oa
s 
at
en
di
da
s 
(e
m
 %
)
 Com base nos dados do gráfi co e considerando-se M o número 
de mulheres e H o número de homens atendidos, nesse período, 
é correto afi rmar:
A) H = M – 10
B) H = M
C) H = M + 5
D) H = M + 10
E) H = 2M
Aula 15: 
Estatística II
Dados brutos e ROL
Os dados coletados de uma amostra, não organizados, 
são chamados de dados brutos. Esses dados brutos organizados em 
ordem crescente ou decrescente passam a ser chamados de ROL.
Exemplo: 
20 famílias são entrevistadas sobre o número de fi lhos que 
cada uma tem. Suponha os resultados obtidos:
DADOS BRUTOS ROL
0 0
1 0
3 0
4 1
2 1
3 1
1 2
2 2
5 2
0 2
3 2
3 2
1 3
0 3
2 3
4 3
2 3
2 4
3 4
2 5
Frequência absoluta e 
frequência relativa
O número de vezes que um valor é citado representa a 
frequência absoluta daquele valor. No exemplo anterior, a variável 
é “número de fi lhos” e a frequência absoluta de cada um de seus 
valores é: nenhum fi lho, 3; um fi lho, 3; dois fi lhos, 6; três fi lhos, 5; 
quatro fi lhos, 2; e cinco fi lhos, 1.
C-6 H-25, 26
Aula
15
67
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática III
Anual – Volume 3
A frequência relativa registra a frequência absoluta em 
relação ao total de citações. No exemplo anterior, temos um total 
de 20 citações e as seguintes frequências relativas:
• para nenhum fi lho: 
3
20
15
100
ou ou 15% ou 0,15;
• para um fi lho: 
3
20
15
100
ou ou 15% ou 0,15;
• para dois fi lhos: 
6
20
30
100
ou ou 30% ou 0,3;
• para três fi lhos: 
5
20
25
100
ou ou 25% ou 0,25;
• para quatro fi lhos: 
2
20
10
100
ou ou 10% ou 0,1;
• para cincofi lhos: 
1
20
5
100
ou ou 5% ou 0,05.
Tabela de frequências
A tabela que mostra a variável e suas realizações (valores), 
com as respectivas frequências absoluta (f
i
) e relativa (f
r
), é chamada 
de tabela de frequências. 
Assim, usando o mesmo exemplo, temos:
Nº de fi lhos (xi) fi fr
0 3 15%
1 3 15%
2 6 30%
3 5 25%
4 2 10%
5 1 5%
Total 20 100%
Distribuição de frequências 
para dados contínuos
A distribuição dos dados contínuos normalmente é feita 
usando a tabela de distribuição de frequências com classes. 
O que chamamos de classes são intervalos de variação da variável, 
intervalos estes representados por i = 1, 2, 3, ..., k, onde i indica o 
número da classe e k, o total de classes.
Exemplo:
Considere os seguintes dados relativos às alturas de uma 
amostra dos estudantes homens que cursam a 3ª série do ensino 
médio de certo colégio.
1,73 m 1,66 m 1,78 m 1,75 m 1,68 m
1,70 m 1,62 m 1,76 m 1,68 m 1,79 m
1,74 m 1,65 m 1,63 m 1,69 m 1,70 m
1,75 m 1,72 m 1,69 m 1,73 m 1,66 m
Para a variável “altura” aparecem muitos valores diferentes, 
o que torna inviável colocar na tabela uma linha para cada valor. 
Em casos como esse, agrupamos os valores em intervalos (ou 
classes), como veremos a seguir:
1º Calculamos a diferença entre a maior e a menor altura registrada, 
obtendo a amplitude total.
 (1,79 m – 1,62 m = 0,17 m)
2º Escolhemos o número de intervalos (geralmente superior a 
quatro), consideramos um número conveniente (um pouco 
acima da amplitude total) e determinamos a amplitude de cada 
intervalo (classe). No exemplo, para 6 intervalos, fazemos 0,18 m: 
6 = 0,03 m.
3º Elaboramos a tabela de frequências:
i
Altura 
(em classes)
Contagem fi
fr 
(decimal)
(%)
1 1,62 1,65 m 2 0,10 10
2 1,65 1,68 m 3 0,15 15
3 1,68 1,71 m 6 0,30 30
4 1,71 1,74 m 3 0,15 15
5 1,74 1,77 m 4 0,20 20
6 1,77 1,80 m 2 0,10 10
Total 20 1,00 100
Observações:
1. As classes (intervalos) foram obtidas, a partir de 1,62 m, 
fazendo a adição de 0,03:
 1,62 + 0,03 = 1,65; 1,65 + 0,03 = 1,68; e assim por diante.
2. O símbolo indica intervalo fechado à esquerda e 
aberto à direita. Assim, a altura 1,68 m não foi registrada em 
1,65 1,68 m, mas no intervalo 1,68 1,71 m.
A tabela de distribuição de frequências com intervalos de 
classe também pode ser usada para dados discretos, mas em uma 
amostra com mais de 30 elementos.
Exemplo:
“Um professor, ao aplicar um teste em uma turma, deseja 
fazer uma pesquisa completa sobre o desempenho dos seus 50 
alunos.”
A lista de dados brutos (pois não se encontram ordenados) 
é a seguinte:
5,5 7,5 7,0 4,5 3,0 2,0 0,5 0,0 9,5 5,0
2,5 3,5 4,0 4,0 1,5 1,0 6,0 2,5 8,0 3,5
5,0 5,5 5,5 4,0 4,5 6,5 2,5 1,0 4,5 5,0
3,0 1,5 1,5 7,5 5,0 5,5 4,0 4,5 5,5 5,5
0,0 0,5 2,5 3,5 0,5 9,5 5,0 3,5 4,0 2,0
68
MateMática e suas tecnoloGias Matemática III
Anual – Volume 3
Agrupando esses dados em 8 classes (ou intervalos), temos 
a seguinte tabela de distribuição de frequências.
i Classes (Notas) fi
1 0 2 10
2 2 4 12
3 4 6 20
4 6 8 5
5 8 10 3
Total 50
Ponto médio de uma classe
Chamamos de ponto médio de uma classe o ponto que 
divide esse intervalo de classe em duas partes iguais.
Saiba:
• O ponto médio é denotado por xi, onde i indica a i-nésima classe 
considerada.
• O ponto médio de uma classe é determinado pela semissoma 
do limite superior e limite inferior dessa classe, isto é, é a média 
aritmética dos limites de classe.
 
x
L
i ki =
+
∀ =
�
2
1 2 3, , ,...,
• O ponto médio de uma classe é o seu legítimo representativo. 
Ao ser determinado, faremos a suposição de que todos os 
elementos pertencentes a essa classe serão iguais ao seu ponto 
médio.
• Os pontos médios de uma distribuição estão em progressão 
aritmética, isto é, a diferença entre eles é constante.
 
 No exemplo anterior, temos:
 
x
x
x
x
x
1
2
3
4
5
0 2
2
1
2 4
2
3
4 1
2
5
6 8
2
7
8 10
2
9
= + =
= + =
= + =
= + =
= + =
Observe que a diferença entre os pontos médios consecutivos 
é constante e igual a 2, ou seja, eles estão em progressão aritmética 
de razão 2.
Amplitude de um intervalo de classe
É a medida do intervalo que defi ne a classe. É obtida 
pela diferença entre os limites superior e inferior dessa classe e 
indicada por:
h L li = −
Veja com atenção:
• A diferença entre os pontos médios é igual à amplitude de classe.
• O limite superior de uma classe é o ponto médio do intervalo 
dessa classe somado à metade da amplitude de classe.
L x
h
i
i= +
2
• O limite inferior de uma classe é o ponto médio do intervalo 
dessa classe diminuído da metade da amplitude da classe.
l x
h
i
i= −
2
Amplitude total da distribuição
É a diferença entre o limite superior da última classe (limite 
superior máximo) e o limite inferior da primeira classe (limite inferior 
mínimo).
A
T
 = L
máx.
 – l
mín.
Tipos de frequência
Frequência absoluta (fi)
Indica quantos elementos da amostra pertencem a cada 
classe.
Frequência relativa (fr)
É determinada quando dividimos a frequência absoluta de 
cada classe pela frequência total, isto é, pelo tamanho da amostra.
f
f
f
r
i
i
=
∑
Indica, em porcentagem, o número de elementos de cada 
classe.
Veja:
• Para o seu cálculo em porcentagem, basta multiplicar o seu valor 
por 100.
• A soma das frequências relativas será igual a 1 (um) ou bastante 
próximo de 1.
• Para se calcular a frequência relativa percentual, basta multiplicar 
a frequência relativa por 100.
Frequência absoluta acumulada crescente – fac
É a soma da frequência absoluta de uma classe com as 
frequências absolutas de todas as classes anteriores. É conhecida, 
também, como frequência “abaixo de”.
Indica o número inferior ao limite superior da classe.
Frequência relativa acumulada crescente – frac 
É a soma da frequência relativa de uma classe com as 
frequências relativas de todas as classes anteriores.
Indica a porcentagem inferior ao limite superior da classe.
Tabela estatística
Um dos objetivos da estatística é sintetizar os valores que 
uma ou mais variáveis podem assumir, para que tenhamos uma 
visão global da variação das mesmas.
69
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática III
Anual – Volume 3
Tabela é um quadro que apresenta, de forma resumida, um 
conjunto de observações e compõe-se de:
• título;
• cabeçalho da coluna;
• coluna indicadora;
• linhas;
• casa ou célula.
Exemplos:
Construção da
aeronave
Bandeirantes EMB-110
Brasil – 1986-91
Anos
1986
1987
1988
1989
1990
1991
46
30
37
54
73
67
Unidades
Linhas
Título
Coluna numéricaColuna 
indicadora
Corpo
Cabeçalho
Cabeçalho
 
Embraer
Corpo da tabela: É o conjunto de linhas e colunas que 
contém informações sobre a variável em estudo.
I. Cabeçalho da coluna: Parte superior da tabela que especifi ca 
o conteúdo das colunas.
II. Coluna indicadora: Parte da tabela que especifi ca o conteúdo 
das linhas.
III. Linhas: retas imaginárias que facilitam a leitura, no sentido 
horizontal, de dados que se inscrevem nos seus cruzamentos 
com as linhas.
IV. Casa ou Célula: espaço destinado a um só número.
Note:
Título da tabela: Conjunto de informações, as mais 
completas possíveis, respondendo às perguntas: “O quê?”, 
“quando?” e “onde?”, localizado no topo da tabela, além de 
conter a palavra tabela e sua respectiva numeração.
Exercícios Resolvidos
01. (Enem) O quadro a seguir mostra a taxa de crescimento natural 
da população brasileira no século XX.
Período
Taxa anual média de 
crescimento natural (%)
1920-1940 1,90
1940-1950 2,40
1950-1960 2,99
1960-1970 2,89
1970-1980 2,48
1980-1991 1,93
1991-2000 1,64
IBGE, Anuários Estatísticos do Brasil.
 Analisando os dados, podemos caracterizar o período entre
A) 1920 e 1960, como de crescimento do planejamento 
familiar. 
B) 1950 e 1970, como de nítida explosão demográfi ca. 
C) 1960 e 1980, como de crescimento da taxa de fertilidade. 
D) 1970 e 1990, como de decréscimo da densidade 
demográfi ca. 
E) 1980 e 2000, como de estabilização do crescimento 
demográfi co.
 SOLUÇÃO:
•O período de 1950 a 1970 apresentou as maiores taxas de 
crescimento populacional, o que o caracterizou como um 
período de explosão demográfi ca.
Resposta: B
02. (Enem/2001) A pesca não predatória pressupõe que cada 
peixe retirado de seu habitat já tenha procriado, pelo menos 
uma vez. Para algumas espécies, isso ocorre depois dos peixes 
apresentarem a máxima variação anual de seu peso.
 O controle de pesca no Pantanal é feito com base no peso de 
cada espécie.
 A tabela fornece o peso do pacu, uma dessas espécies, 
em cada ano.
Idade (anos) Peso (kg)
1 1,1
2 1,7
3 2,6
4 3,9
5 5,1
6 6,1
7 7
8 7,8
9 8,5
10 8,9
11 9,1
12 9,3
13 9,4
 Considerando esses dados, a pesca do pacu deve ser autorizada 
para espécimes com peso de, no mínimo,
A) 4 kg
B) 5 kg
C) 7 kg
D) 9 kg
E) 11 kg
SOLUÇÃO:
• Calculando as diferenças dos pesos de dois anos consecutivos, 
a variação máxima anual do peso se dá do terceiro para o 
quarto ano (3,9 – 2,6 = 1,3 kg). Portanto, a pesca do pacu 
deve ser autorizada para as espécimes com peso superior a 
3,9 kg, ou seja, no mínimo 4 kg.
Resposta: A
70
MateMática e suas tecnoloGias Matemática III
Anual – Volume 3
Exercícios de Fixação
01. Para determinar a ordem de largada em uma corrida de 
automóveis, dez pilotos participarão de um treino classifi catório 
no dia anterior à corrida. Pelo regimento, para cada piloto, faz-se 
a tomada de tempo em três voltas no circuito, e a primeira 
posição no grid de largada pertencerá àquele piloto que obtiver 
a menor média desses três tempos. Nove pilotos já terminaram 
as voltas classifi catórias no círcuito, e o piloto X ainda vai realizar 
sua última volta. Os dados e a média de cada piloto estão na 
tabela.
TEMPO (MIN) NAS VOLTAS CLASSIFICATÓRIAS
DE CADA PILOTO E SUAS MÉDIAS
Piloto 1ª volta 2ª volta 3ª volta Média
I 1,42 1,62 1,49 1,51
II 1,36 1,49 1,68 1,51
III 1,53 1,44 1,53 1,50
IV 1,53 1,50 1,50 1,51
V 1,50 1,47 1,53 1,50
VI 1,60 1,67 1,56 1,61
VII 1,41 1,63 1,46 1,50
VIII 1,48 1,50 1,49 1,49
IX 1,70 1,77 1,63 1,70
X 1,57 1,50 ***** *****
 Qual o tempo, em minuto, a ser batido pelo último piloto, na 
terceira volta, que lhe garanta a primeira posição no grid de 
largada?
A) 1,36
B) 1,40
C) 1,49
D) 1,50
E) 1,51
02. A tabela a seguir apresenta dados sobre a quantidade de lixo 
produzida por 25 apartamentos de um condomínio.
LIXO PRODUZIDO EM KG
kg Apartamentos
1 3 1
3 5 3
5 7 ?
7 9 7
9 11 9
 É correto afi rmar que a produção média de lixo por apartamento 
nesse condomínio é
A) entre 9 e 10 kg.
B) menor que 5 kg.
C) entre 8 e 9 kg.
D) entre 7 e 8 kg.
E) maior que 10 kg.
03. O gráfi co de barras a seguir mostra a distribuição das notas de 
uma turma de alunos em uma prova de matemática. A nota é 
sempre um número inteiro de 0 a 10.
nº de
alunos
notas
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 Assim, por exemplo, 2 alunos tiraram zero e 1 aluno tirou dez.
Se a nota mínima para aprovação é 5, qual é a porcentagem 
de alunos aprovados?
A) 32% B) 38%
C) 44% D) 64%
E) 72%
04. A distribuição de frequência a seguir refere-se à exportação de 
soja realizada por uma Cooperativa no mês de abril.
xi
Toneladas 
exportadas
fi
1 10 20 3
2 20 30 2
3 30 40 8
4 40 50 10
5 50 60 7
fi =∑ 30
Dados fi ctícios.
 Com base nos dados apresentados, a mediana da distribuição 
pertence à
A) 1ª classe B) 2ª classe
C) 3ª classe D) 4ª classe
E) 5ª classe
05. Cinco empresas de gêneros alimentícios encontram-se à venda. 
Um empresário, almejando ampliar os seus investimentos, deseja 
comprar uma dessas empresas. Para escolher qual delas irá 
comprar, analisa o lucro (em milhões de reais) de cada uma delas 
em função de seus tempos (em anos) de existência, decidindo 
comprar a empresa que apresente o maior lucro médio anual.
O quadro apresenta o lucro (em milhões de reais) acumulado 
ao longo do tempo (em anos) de existência de cada empresa.
Empresa
Lucro
(em milhões de reais)
Tempo
(em anos)
F 24 3,0
G 24 2,0
H 25 2,5
M 15 1,5
P 9 1,5
O empresário decidiu comprar a empresa
A) F B) G
C) H D) M
F) P
71
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática III
Anual – Volume 3
Exercícios Propostos
01. O gráfi co de barras a seguir indica, como informação principal, o 
número de pessoas atendidas em um pronto-socorro, por faixa 
etária, em um determinado dia. Outra informação apresentada 
no gráfico, por meio das linhas verticais, é a frequência 
acumulada. Em virtude de um rasgo na folha em que o gráfi co 
estava desenhado, as informações referentes à última barra, e 
apenas elas, foram perdidas, como se vê na fi gura.
Quantidade
de pessoas
8 mm 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
até 4 maior que
4 até 8
maior que
8 até 12
maior que
12 até 16
maior que
16 até 20
Anos de idade
 A média de idade do total de pessoas de 0 a 20 anos que 
frequentou o pronto-socorro nesse dia foi 12,4 anos. Nessas 
condições, na folha intacta do gráfi co original, o comprimento 
da linha vertical posicionada na última barra, que indica a 
frequência acumulada até 20 anos de idade, em centímetros, 
era igual a
A) 8,8
B) 9,6
C) 10,4
D) 11,2
E) 12,0
02. A tabela seguinte informa a quantidade de pessoas que 
compraram ingressos antecipados de um determinado show, 
cujos preços eram modifi cados semanalmente. 
Valor do ingresso (R$) Número de pessoas
50 75 300
75 100 640
100 125 500
125 150 1310
150 175 850
=∑ 3600
 O percentual de pessoas que adquiriram o ingresso por menos 
de R$ 125,00 foi
A) 40%
B) 45%
C) 50%
D) 55%
E) 60%
03. Um total de N famílias (N ≠ 0) foi questionado sobre quantos 
aparelhos eletrônicos possui na cozinha de sua residência. 
Todas as famílias responderam corretamente à pergunta. 
Os dados tabulados são:
Total de aparelhos 
eletrônicos na cozinha
Frequência (em %)
0 12,5
1 0
2 50
3 25
4 12,5
 De acordo com os dados, o menor valor possível de N é
A) 2 B) 5
C) 8 D) 16
E) 25
04. O contingente de pessoas ocupadas no Brasil foi estimado em 
21,3 milhões, em setembro de 2007, segundo o Instituto Brasileiro 
de Geografi a e Estatística – IBGE. A tabela a seguir apresenta a 
distribuição de pessoas ocupadas, segundo a faixa etária.
População ocupada Total (%)
10 a 14 anos 0,3
15 a 17 anos 1,7
18 a 24 anos 15,5
25 a 49 anos 63,4
50 anos ou mais 19,1
Total 100
 Em setembro de 2007, o número de pessoas ocupadas, no Brasil, 
com menos de 18 anos era de
A) 330 mil
B) 362 mil
C) 426 mil
D) 3664 mil
E) 3727 mil
05. Ouvindo-se 300 pessoas sobre o tema “Maioridade Penal, 
Contra ou a Favor?”, foram obtidas 123 respostas a favor, 
72 contra, 51 pessoas não quiseram opinar e o restante não 
tinha opinião formada sobre o assunto. Distribuindo-se esses 
dados em uma tabela, obtém-se:
Opinião
Frequência 
absoluta
Frequência 
relativa
Favorável 123 x
Contra 72 y
Omissos 51 0,17
Sem opinião 54 0,18
Total 300 1,00
 Na coluna “frequência relativa”, os valores de x e y são, 
respectivamente,
A) 0,38 e 0,27
B) 0,37 e 0,28
C) 0,35 e 0,30
D) 0,30 e 0,35
E) 0,41 e 0,24
72
MateMática e suas tecnoloGias Matemática III
Anual – Volume 3
06. Nas principais concentrações urbanas do país, trabalhadores de 
baixa renda percorrem grandes distâncias a pé. Outros pedalam 
muitos quilômetros para usar uma condução a menos, deixando 
a bicicleta em estacionamentos próprios.
 A tabela a seguir mostra os resultados de uma pesquisa sobre a 
faixa salarial dos funcionários de uma empresa que usam bicicleta 
para ir ao trabalho:
Faixa salarial em reais Número de funcionários
350 450 380
450 550 260
550 650 200
650 750 180
750 850 120
850 950 60
Total 1200
 O salário médio desses trabalhadores é
A) R$ 400,00 B) R$ 425,00
C) R$ 480,00 D) R$ 521,00
E) R$ 565,00
07. (Enem) Uma pesquisa realizada por estudantes da Faculdade 
de Estatística mostra, em horas por dia, como os jovens entre 
12 e 18 anos gastam seu tempo, tanto durante a semana (de 
segunda-feira a sexta-feira) como no fi m de semana (sábado e 
domingo). A seguinte tabela ilustra os resultados da pesquisa.
RotinaJuvenil
Durante a 
semana
No fi m de 
semana
Assistir à televisão 3 3
Atividades domésticas 1 1
Atividades escolares 5 1
Atividades de lazer 2 4
Descanso, higiene e 
alimentação
10 12
Outras atividades 3 3
 De acordo com essa pesquisa, quantas horas de seu tempo 
gasta um jovem entre 12 e 18 anos, na semana inteira (de 
segunda-feira a domingo), nas atividades escolares? 
A) 20 B) 21
C) 24 D) 25
E) 27
08. Na tabela seguinte, estão representados os resultados de 
um levantamento realizado com 180 turistas, em Canoa 
Quebrada-Ce, no mês de dezembro, sobre os gastos diários 
com hospedagem.
Gastos (reais) Nº de pessoas
100 150 30
150 200 x + 24
200 250 2x
250 300 x/2
 O valor numérico de x é
A) 20 B) 28
C) 30 D) 36
E) 42
09. Os dados a seguir referem-se ao tempo, em horas, que os 
pacientes hospitalizados dormiram durante a administração 
de certo anestésico:
Tempo (horas) Número de pacientes
0 4 8
4 8 15
8 12 24
12 16 20
16 20 13
 Os pacientes que dormiram, em média, 10 horas correspondem 
a que porcentagem dos pacientes que tomaram o anestésico?
A) 24%
B) 25%
C) 30%
D) 32%
E) 36%
10. (UFPB) Segundo dados do IBGE, as classes sociais das famílias 
brasileiras são estabelecidas de acordo com a faixa de renda 
mensal total da família, conforme a tabela a seguir.
Classe Faixa de Renda
A Acima de R$ 15.300,00
B De R$ 7.650,01 até R$ 15.300,00
C De R$ 3.060,01 até R$ 7.650,00
D De R$ 1.020,01 até R$ 3.060,00
E Até 1.020,00
 Após um levantamento feito com as famílias de um município, 
foram obtidos os resultados expressos no gráfi co a seguir.
Classe A Classe B Classe C Classe D Classe E
250
500
1.500
2.250
N
úm
er
o 
de
 f
am
íli
as
 Com base nas informações contidas no gráfi co e na tabela, 
conclui-se que o percentual das famílias que têm renda acima 
de R$ 3.060,00 é de
A) 45%
B) 60% 
C) 70%
D) 85%
E) 90%
73
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática III
Anual – Volume 3
Fique de Olho
 (Enem) Um concurso é composto por cinco etapas. Cada etapa 
vale 100 pontos. A pontuação fi nal de cada candidato é a média 
de suas notas nas cinco etapas. A classifi cação obedece à ordem 
decrescente das pontuações fi nais. O critério de desempate 
baseia-se na maior pontuação na quinta etapa.
Candidato
Média nas quatro 
primeiras etapas
Pontuação na 
quinta etapa
A 90 60
B 85 85
C 80 95
D 60 90
E 60 100
 A ordem de classifi cação fi nal desse concurso é
A) A – B – C – E – D B) B – A – C – E – D
C) C – B – E – A – D D) C – B – E – D – A
E) E – C – D – B – A
 SOLUÇÃO:
• Considere a tabela, em que x
4
, S
4
, x
5
, S
5
 e x
5
 denotam, 
respectivamente, a média nas 4 primeiras etapas, a soma 
dos pontos nas 4 primeiras etapas, a pontuação na quinta 
etapa, a soma dos pontos nas 5 etapas e a média nas 5 
etapas.
Candidato x4 S4 x5 S5 x5
A 90 360 60 420 84
B 85 340 85 425 85
C 80 320 95 415 83
D 60 240 90 330 66
E 60 240 100 340 68
 Portanto, a ordem de classifi cação fi nal desse concurso é: 
B, A, C, E, D.
 Resposta: B
Sessão Videoaula
Representação de Dados
Medidas Estatísticas - Parte I
Medidas Estatísticas - Parte II
Bibliografi a
COSTA, Sérgio Francisco. Introdução ilustrada à estatística. 3. ed. 
Harbra.
CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. 19. ed. (atual). São Paulo: 
Saraiva, 2009.
MARTINS, Gilberto de Andrade. Estatística geral e aplicada – 3. ed. 
São Paulo: Atlas, 2008.
Anotações
74
MateMática e suas tecnoloGias Matemática III
Anual – Volume 3
Anotações
1
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática iii
Anual – Volume 3
Aprofundando e Revisando – Probabilidade
• Objetivo(s):
 Discutir e amenizar as dificuldades oriundas dos conteúdos do volume 03.
• Metodologia:
 Iniciar a aula deixando os alunos à vontade para escolher os assuntos que sentiram mais dificuldade e o professor, conhecedor do 
material, deve escolher questões de fixação ou propostas para resolver em sala.
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 Diante do exposto, tem-se:
 
chove
atraso
atraso
30%
50%
25%
75%
50%
70%
não chove
não atraso
não atraso
 Assim sendo, a probabilidade solicitada é:
 Porb. = 30% · 50% + 70% · 25% = 0,325
 Resposta: C
02. Comentário:
 Nestas condições, temos o esquema a seguir:
 
Entrada
I V
IV
II
III
1
2
1
2
1
2
1
2
1
3
1
2
 Prob. (desejada) = 
1
2
1
2
1
3
1
2
1
2
1
2
5
24
· · · ·+ =
 Resposta: C
C-7 H-28
H-29Aula
11
2
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática iii
Anual – Volume 3
03. Comentário:
 É claro que:
 De 1 a 20 → 20 casos favoráveis
 De 1 a 100 → 100 casos possíveis
 Logo, a probabilidade desejada é dada por: Prob. =
20
100
 Resposta: C
04. Comentário:
 Nestas condições, temos:
 Sensibilidade = Prob (Positivo/doente) = P
 Daí, P =
+
=95
95 5
95%
 Resposta: E
05. Comentário:
 Do enunciado, tem-se:
 
•





Equipes
E
E
E
1
2
20
10
10
10
( atletas)
( atletas)
( atletas)
�
 •	A
D
 (Atleta dopado)
 • E
D
 (Equipe do atleta dopado)
 Assim,
Modo I → P PI =




=32
1
200
199
199
198
198
3
200
· · ·
Modo II → P PII = ⋅ ⋅




=1
20
1
10
9
9
8
8
3
200
3
2 · ·
Modo II → P PIII =








=32
1
20
19
19
18
18
1
10
3
200
· · · ·
Logo, P
I
 = P
II
 = P
III
.
 Resposta: E
Médias
• Objetivo(s):
 Apresentação dos conceitos de média aritmética, média geométrica, média harmônica e média aritmética ponderada.
• Metodologia:
 Resolver as questões de fixação que envolvam os conceitos apresentados, tentando contextualizar com situações-problema do 
cotidiano.
 Exercícios de Fixação: questões 01, 02, 04 e 05.
C-7 H-27, 28
Aula
12
3
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática iii
Anual – Volume 3
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 Pelo enunciado, temos que:
 Aprovação ↔ média > 6
 Calculando as médias:
 


M dia X
M dia Y
é
é
(aluno ) ,
(aluno ) ,
= + + + + =
= + + + + =
5 5 5 10 6
5
6 2
4 9 3 9 5
5
6 00
5 5 8 5 6
5
5 8M dia Zé (aluno ) ,= + + + + =
 Portanto, apenas o aluno Z ficará reprovado.
 Resposta: B
02. Comentário:
 Observe que, para atingir o objetivo, devemos ter:
 
7
12 4 8 8 6 10 7 5
42
4
≤ + + + ≤
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
· · · · ,n
10
294 12n + 195 20
99 12n 225
8,25 n 118,75
 Nota (mínima) = 8,25
 Resposta: D
03. Comentário:
 Nestas condições, temos:



A A A A
A
B B B B
B
C
i
i
i
i
1 2 3 4
1
4
1 2 3 4
1
4
4
90 360
4
85 340
+ + + = → =
+ + + = → =
=
=
∑
∑
11 2 3 4
1
4
1 2 3 4
1
4
1
4
80 320
4
60 240
+ + + = → =
+ + + = → =
=
=
∑
∑
C C C
C
D D D D
D
E
i
i
i
i


++ + + = → =
=
∑E E E Ei
i
2 3 4
1
4
4
60 240
Assim, segue que
M dia
M dia B
M dia C
M
é
é
é
(A)
( )
( )
= + =
= + =
= + =
360 60
5
84
340 85
5
85
320 95
5
83
éé
é
dia D
M dia E
( )
( )
= + =
= + =
240 90
5
66
240 100
5
68
Portanto, a ordem de classificação é dada por: ordem decrescente: BACED.
 Resposta: B
4
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática iii
Anual – Volume 3
04. Comentário:
 Temos que:
 
1 1 1 1
H H x y
+ = +
 Daí,
 
2
2
H
y x
xy
H xy
x y
= +
=
+
 Logo:
 
H
x y
x y
=
+
2
 Resposta: C
05. Comentário:
 Tomemos:
 Nota (P
1
) = a
 Nota (P
2
) = b
 Nota (P
3
) = c
 Para ser aprovado, devemos ter:
 
1 2 3
1 2 3
5 4
2 2 2
2 2 2
· · ·
,
a b c+ +
+ +
≥
 Para não depender de a e b, basta fazer:
 a = b = 0 → 9
14
c > 5,4 → c > 8,4
 Logo, o valor mínimo de C é:
 C
mín.
 = 8,4
 Resposta: D
Aulas ?? a ??: 
Estatistica I
• Objetivo(s):
 Analisar as principais maneiras de apresentar os dados estatísticos, tais como: ROL, dados tabulados e distribuições de frequências.
• Metodologia:
 Iniciar a aula apresentando conceitos de população, amostra e variável. Em seguida, mostrar a aplicação nas questões de fixação. 
Exercícios de Fixação: questões 01, 03, 04, 07, 09 e 10.
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 Sabemos que:
 Veículo imóvel ↔ Velocidadenula
 A partir do gráfico apresentado, constatamos que veículo ficou imóvel no intervalo de 6 a 8, que corresponde a 2 minutos.
 Resposta: C
C-18 H-18, 20
C-18 H-18, 20
C-18 H-18, 20
C-18 H-18, 20
Aula
13 e 14
5
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática iii
Anual – Volume 3
02. Comentário:
 De acordo com o enunciado, temos:
 
Profundidade
h + 6
h + 4
h
0 13 15 16 hora
 
(h )+ − +( ) = +( ) = +6 10
100
6
90
100
6 4h h h
 Daí,
 9 h + 54 = 10 h + 40 → h = 14
 Portanto, a profundidade do rio às 16 horas é igual a:
 Profundidade = h + 4 = 18 m
 Resposta: A
03. Comentário:
 Observamos primeiramente que as escalas para as quantidades de água armazenadas são diferentes.
 Refazendo o gráfico do reservatório B com a mesma escala do reservatório A, temos o seguinte gráfico, onde se percebe que os 
volumes são iguais de 8 até 9 horas. Portanto, durante 1 hora.
Quantidade de água armazenada
Volume (L)
Re
se
rv
at
ór
io
 A
Re
se
rv
at
ór
io
 B
90000
80000
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
00
180000
170000
160000
150000
140000
130000
120000
110000
100000
90000
80000
70000
60000
50000
40000
30000
10000
10000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Reservatório A
Tempo (h)
Reservatório B
 Resposta: A
04. Comentário:
 A seguir, calculamos as taxas de aumento (tempo de acesso):
 I. Site X: 
21 12
12
9
12
3
4
0 75 75
− = = = =, % (maior) II. Site Y: 
51 30
30
21
30
3
10
0 30 30
− = = = =, %
 III. Site Z: 
11 10
10
1
10
0 10 10
− = = =, % IV. Site W: 
57 38
38
19
38
1
2
0 50 50
− = = = =, %
 V. Site U: 56 40
40
16
40
2
5
0 40 40
− = = = =, %
 Resposta: A
6
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática iii
Anual – Volume 3
05. Comentário:
 De acordo com os gráficos, temos:
 Gráfico 1 → A = 70 e B = 30
 Gráfico 2 → A = 50 e B = 10
 Portanto, a diferença entre as razões é dada por:
 
3
7
1
5
15 7
35
8
35
− = − =
 Resposta: E
06. Comentário:
 Os meses em que houve lucro foram:
 Março, julho, setembro, outubro, novembro e dezembro.
 O lucro de cada mês será:
 MARÇO = 3 – 2 = 1
 JULHO = 6 – 4 = 2
 SETEMBRO = 7 – 3 = 4
 OUTUBRO = 5 – 4 = 1
 NOVEMBRO = 8 – 7 = 1
 DEZEMBRO = 5 – 2 = 3
 Portanto, os três meses em que foram registrados os maiores lucros foram: Julho, Setembro e Dezembro.
 Resposta: A
07. Comentário:
 De acordo com o gráfico apresentado, o sistema de resfriamento interno é ligado em 3 momentos e desligado em 2 momentos.
T
M
T
C
A
D
B
E
C
T
m
1 2 3 4 5 6
Tempo (h)
0
Em A, B, C ⇒ Sistema ligado.
Em D, E ⇒ Sistema desligado.
Logo, o sistema foi acionado 5 vezes, ligando ou desligando.
 Resposta: A
08. Comentário:
 Temos:
I. Sendo y a eficácia (em porcentagem) e x o tempo (em hora), para x = 0 (1ª aplicação) até x = 1 (100%), o crescimento é linear, isto é:
y x para x= ≤ ≤100
1
0 1, .
II. Para 1 < x < 3 (2 horas seguintes), a eficácia permanece em 100%, isto é:
 y = 100, para 1 < x < 3.
III. Para 3 < x < 6, há um decrescimento linear (o gráfico é um segmento de reta decrescente), onde y = 100, para x = 3 e y = 20, 
para x = 6.
IV. Para 6 < x < 6,5, há um crescimento linear, onde y = 20, para x = 6 e y = 100, para x = 6,5.
Pelo exposto, o gráfico que representa o estudo é o da alternativa C, incluindo os valores de y para 6,5 < x < 12.
 Resposta: C
7
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática iii
Anual – Volume 3
09. Comentário:
 Com a junção das medalhas (Brasil e Argentina), tem-se:
 
Ouro
ata
Bronze
Total medalhas
=
=
=




⇒ =
5
7
5
17Pr
 Logo, o desempenho do país hipotético será melhor do que EUA e inferior à China.
 Resposta: B
10. Comentário:
 De acordo com as condições estabelecidas, o item que satisfaz todas as condições é o A, pois:
 De janeiro para fevereiro, temos:
 Variação da pluviosidade: infeiror a 50 mm;
 Temperatura mínima: de janeiro e fevereiro superior a 15º;
 Temperaura máxima: houve um leve aumento não superior a 5 ºC.
 Resposta: A
Estátistica II
• Objetivo(s):
 Um estudo mais minucioso da distribuição de frequências, apresentando seus elementos (ponto médio, classes, amplitude e 
intervalos).
• Metodologia:
 Iniciar a aula apresentando como calcular a frequência absoluta e a frequência relativa de uma variável. Em seguida, construir, ler, 
analisar e interpretar os vários tipos de gráficos.
 Exercícios de Fixação: questões 01, 02 e 04.
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 Nestas condições, temos:
 
157 150
3
1 49
, ,
, ,
+ + <t em que t é o tempo a ser batido.
 Logo,
 3,07 + t < 4,47
 t < 1,40
 Resposta: B
02. Comentário:
 De posse dos dados apresentados, tem-se:
 Produção (média) = 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
25
· · · · ·+ + + +
 Produção (média) = 7,6 kg / apartamentos
 Resposta: D
C-6 H-25, 26
Aula
15
8
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática iii
Anual – Volume 3
03. Comentário:
 No problema em questão, tem-se:
 Aprovação (nota mínima) = 5
 Assim sendo,
 P% (Alunos aprovados) =
5 3 5 3 1 1
25
+ + + + +
 P% (aprovados) = 72%
 Resposta: E
04. Comentário:
 A partir dos pontos médios de cada intervalo de classe, temos:
 
Rol
elem elem elem
: ,..., , , , ,...,
. . .
15 15 25 25 35 35
3 2 8
� �� �� ��� � �� ��� � �� �� � �� ��
�
, ,..., , ,...,
. .
45 45 55 55
10 7
30
elem elem
elementos
����������� ����������
 Assim, a mediana é dada por:
M
t t
e =
+ = + =15 16
2
45 45
2
45 4( classe)ª
 Resposta: D
05. Comentário:
 Diante do exposto, tem-se:
 Lucro médio Anual = L
M
 Daí,
 F → L
M
 = 
24
3
 = 8 milhões/ano
 G → L
M
 = 24
2
 = 12 milhões/ano (maior)
 H → L
M
 = 
25
2 5,
 = 10 milhões/ano
 M → L
M
 = 
15
1 5,
 = 10 milhões/ano
 P → L
M
 = 
9
1 5,
 = 6 milhões/ano
 Resposta: B
9
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática iii
Anual – Volume 3
Gabaritos
Exercícios de fixação
Aula 11: Aprofundando e Revisando – Probabilidade
01 02 03 04 05
C C C E E
Aula 12: Medidas
01 02 03 04 05
B D B C D
Aulas 13 e 14: Estatística
01 02 03 04 05
C A A A E
06 07 08 09 10
A D C B A
Aula 15: Estatística II
01 02 03 04 05
B D E D B
Exercícios ProPostos
Aula 11: Aprofundando e Revisando – Probabilidade
01 02 03 04 05
B C A A D
06 07 08 09 10
B B D E A
Aula 12: Medidas
01 02 03 04 05
C C D E C
06 07 08 09 10
C * B C B
*07: V km =
480
7
m/h
Aulas 13 e 14: Estatística I
01 02 03 04 05
E C A D A
06 07 08 09 10
A E C B D
11 12 13 14 15
A B B A E
16 17 18 19 20
E E E D B
Aula 15: Estatística II
01 02 03 04 05
E A C C E
06 07 08 09 10
E E D C B
10
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática iii
Anual – Volume 3
Anotações
MATEMÁTICA
E SUAS
TECNOLOGIAS
MATEMÁTICA IV
GEOMETRIA PLANAGEOMETRIA PLANA
Vo
lu
m
e3
MateMática iV
GeoMetria Plana
Objetivo(s):
• Utilizar a semelhança de triângulos na construção dos conceitos de seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo em um 
triângulo retângulo.
• Aplicar a lei dos senos e a lei dos cossenos no cálculo de distâncias inacessíveis.
• Resolver situações-problema relacionadas com o cotidiano, envolvendo o cálculo de áreas e perímetros de superfícies planas.
Conteúdo:
aula 11: razões triGonoMétricas no triânGulo retânGulo
Introdução ...............................................................................................................................................................................................................76
Razões trigonométricas (valores notáveis) ...............................................................................................................................................................76
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................76
aula 12: triGonoMetria eM uM triânGulo QualQuer
Lei dos cossenos ......................................................................................................................................................................................................79Lei dos senos ............................................................................................................................................................................................................80
Área de um ∆ABC qualquer (fórmula trigonométrica) .............................................................................................................................................80
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................80
aula 13: áreas dos Quadriláteros
Introdução ...............................................................................................................................................................................................................84
Características do quadrado ABCD ..........................................................................................................................................................................84
Características do retângulo ABCD ..........................................................................................................................................................................84
Características do losango ABCD .............................................................................................................................................................................84
Características do paralelogramo ABCD ...................................................................................................................................................................84
Características do trapézio ABCD .............................................................................................................................................................................85
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................85
aula 14: áreas dos triânGulos
Área de um triângulo em função da base e da altura ..............................................................................................................................................88
Área de um triângulo retângulo ...............................................................................................................................................................................88
Área de um triângulo equilátero ..............................................................................................................................................................................88
Área de um triângulo em função dos três lados .......................................................................................................................................................89
Área de um triângulo em função de dois lados e o ângulo formado ........................................................................................................................89
Área de um triângulo em função dos lados e do circunraio .....................................................................................................................................89
Área de um triângulo em função dos lados e do inraio ............................................................................................................................................89
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................89
aula 15: áreas do círculo e suas Partes
Área de um círculo (disco)........................................................................................................................................................................................93
Área de uma coroa circular ......................................................................................................................................................................................93
Área de um setor circular .........................................................................................................................................................................................93
Área de um segmento circular .................................................................................................................................................................................93
Área de um polígono regular ...................................................................................................................................................................................93
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................93
76
MateMática e suas tecnoloGias Matemática IV
Anual – Volume 3
Aula 11: 
Razões Trigonométricas no 
Triângulo Retângulo
Introdução
Se q é um ângulo agudo de um triângulo retângulo, 
fi rmamos as defi nições a seguir:
⇓
Razões inversas
⇓
sen
medida do cateto oposto a
medida da hipotenusa
medida ca
θ θ
θ
=
=cos tteto adjacente a
medida da hipotenusa
tg
medida do cateto oposto
θ
θ = aa
medida do cateto adjacente a
θ
θ











cossec θ
θ
θ
=
=
medida da hipotenusa
medida do cateto oposto a
medid
sec
aa da hipotenusa
medida do cateto adjacente a
medida do catet
θ
θcotg =
oo adjacente a
medida do cateto oposto a
θ
θ











Pondo em prática as defi nições acima, momentaneamente 
dispomos de:
θ
sen
b
a
e
a
b
c
a
e
a
c
tg
b
c
e g
c
b
θ θ
θ θ
θ θ
= =
= =
= =










cossec
cos sec
cot
⇒
< < < <
> >
> >




0 1 0 1
1 1
0 0
sen e
e
tg e g
θ θ
θ θ
θ θ
cos
sec
cot
cossec
Razões trigonométricas 
(valores notáveis)
θ (graus) sen θ cos θ tg θ cossec θ sec θ cotg θ
30º
1
2
3
2
3
3
2
2 3
3
3
45º 2
2
2
2
1 2 2 1
60º 3
2
1
2
3
2 3
3
2
3
3
C-2 H-6, 8, 9
Aula
11
Exercícios de Fixação
01. Os alunos pré-egressos do campus Jaboatão dos Guararapes 
resolveram ir até a Lagoa Azul para celebrar a conclusão dos 
cursos. Raissa, uma das participantes do evento, fi cou curiosa 
pra descobrir a altura do paredão rochoso que envolve a lagoa. 
Então pegou em sua mochila um transferidor e estimou o 
ângulo no ponto A, na margem onde estava, e, após nadar, 
aproximadamente, 70 metros em linha reta em direção ao 
paredão, estimou o ângulo no ponto B, conforme mostra a 
fi gura a seguir: 
Paredão
Margem 90º27º17º
A B
De acordo com os dados coletados por Raissa, qual a altura do 
paredão rochoso da Lagoa Azul?
Dados: sen (17º) = 0,29; tan (17º) = 0,30; 
 cos (27º) = 0,89 e tan (27º) = 0,51.
A) 50 metros. B) 51 metros. 
C) 89 metros. D) 70 metros. 
E) 29 metros
02. O raio de uma roda gigante de centro C mede CA = CB = 10 m. 
Do centro C ao plano horizontal do chão, há uma distância 
de 11 m. Os pontos A e B, situados no mesmo plano 
vertical, ACB, pertencem à circunferência dessa roda e 
distam, respectivamente, 16 m e 3,95 m do plano do chão. 
Observe o esquema e a tabela:
A
C
B
plano horizontal
16
 m
3,
95
 m
q (graus) sen q
15º 0,259
30º 0,500
45º 0,707
60º 0,866
A medida, em graus, mais próxima do menor ângulo ACB 
corresponde a:
A) 45 B) 60
C) 75 D) 105
E) 120
77
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática IV
Anual – Volume 3
03. A famosa Torre de Pisa, localizada na Itália, assim como muitos 
outros prédios, por motivos adversos, sofrem inclinações 
durante ou após suas construções.
Um prédio, quando construído, dispunha-se verticalmente 
e tinha 60 metros de altura. Ele sofreu uma inclinação de 
um ângulo a, e a projeção ortogonal de suafachada lateral 
sobre o solo tem largura medindo 1,80 metro, conforme 
mostra a fi gura.
Prédio
1,80 m
α
O valor do ângulo de inclinação pode ser determinado 
fazendo-se o uso de uma tabela como a apresentada.
Ângulo a 
(Grau)
Seno
0,0 0,0
1,0 0,017
1,5 0,026
1,8 0,031
2,0 0,034
3,0 0,052
Uma estimativa para o ângulo de inclinação a, quando dado 
em grau, é tal que
A) 0 ≤ a < 1,0 B) 1,0 ≤ a < 1,5
C) 1,5 ≤ a < 1,8 D) 1,8 ≤ a < 2,0
E) 2,0 ≤ a < 3,0
04. As rampas são uma boa forma de assegurar a acessibilidade 
para cadeirantes e indivíduos com mobilidade reduzida. 
A acessibilidade a edificações, mobiliário, espaços e 
equipamentos urbanos é assegurada em lei.
A Associação Brasileira de Normas Ténicas (ABNT), de acordo 
com a Lei Brasileira de Inclusão da Pessoa com Defi ciência 
(13.146/2015), regula a construção e defi ne a inclinação 
das rampas, bem como os cálculos para a sua construção. 
As diretrizes de cálculo da ABNT, indicam um limite máximo 
de inclinação de 8,33% (proporção de 1 : 12). Isso signifi ca 
que uma rampa, para vencer um desnível de 1 m, deve ter, 
no mínimo, 12 m de comprimento e isso defi ne que o ângulo 
de inclinação da rampa, em relação ao plano horizontal, 
não pode ser maior que 7º.
De acordo com as informações anteriores para que uma 
rampa, com comprimento igual a 14 m e inclinação de 7º 
em relação ao plano, esteja dentro das normas da ABNT, 
ela deve servir para vencer um desnível com altura máxima de 
Use: sen 7º = 0,12; cos 7º = 0,99 e tg 7º = 0,12.
A) 1,2 m. B) 1,32 m.
C) 1,4 m. D) 1,56 m.
E) 1,68 m.
05. A figura mostra o ângulo de visão que um mesmo 
observador tem de uma estrutura de caixa d’água em dois 
pontos diferentes. Sabe-se que a altura dos olhos, em 
relação ao piso plano sobre o qual a estrutura está apoiada 
perpendicularmente, é exatamente a metade da altura da 
estrutura da caixa d’água, e que a distância entre os dois 
pontos de observação é de 2 metros. 
60º
1 2
90º
A partir dessas informações, é possível determinar que a altura 
da estrutura da caixa d’água, em metros, é igual a 
A) 3 3 2− . 
B) 
3 2
3
+
.
C) 2 3 2+ . 
D) 3 2+ .
E) 3 1+ .
Exercícios Propostos
01. Uma sala tem a forma de um paralelepípedo retângulo. 
Para levar fios a uma tomada T, um cano foi instalado 
tangente a duas paredes dessa sala. A primeira parte reta do 
cano, BA, faz um ângulo de 45º com o chão e a segunda parte, 
AT , congruente com a primeira, forma um ângulo de 45º 
com a parede inicial.
45º
parede
inicial
chão
A
B
T
45º
T
Desprezando a espessura do cano, calcule o ângulo BÂT, 
formado por suas duas partes.
A) 90º 
B) 105º
C) 120º 
D) 135º
E) 150º
78
MateMática e suas tecnoloGias Matemática IV
Anual – Volume 3
02. Uma parede está revestida com azulejos quadrados com dois 
tamanhos diferentes, como se vê na fi gura a seguir.
A medida do comprimento dos lados do maior azulejo é a e 
a medida dos comprimentos dos lados do menor azulejo é b. 
As linhas pontilhadas (horizontais e inclinadas) formam um 
ângulo com amplitude de 30º.
Considere: tg 75
3 3
3 3
º =
+
−
Nessas condições, a razão a:b é:
A) 2 3 B) 2 3+
C) 3 2+ D) 3 2
E) 2
03. Na ilustração a seguir, temos dois retângulos congruentes 
com base medindo 12 cm e altura 5 cm.
A
30º
Qual o inteiro mais próximo da distância, em cm, do ponto A 
até a horizontal?
Dado: use a aproximação 3 173≅ , .
A) 12 B) 11
C) 10 D) 9
E) 8
04. Dois estudantes, I e II, desejam medir a altura H de um prédio. 
Distanciados um do outro de x metros, os estudantes fazem 
visadas atingindo a ponta da antena de altura h situada no 
topo do prédio, segundo os ângulos a e β representados no 
esboço abaixo.
h
H
x
Estudante IIEstudante I
α β
Obtenha a altura H da torre, em função de a, β, h e x.
A) 
x
tg tg
h
α β
− B) x
tg tg
h
α β+
−
C) 
x tg
tg
h
β
α
− D) x tg
tg
h
α
β
−
E) 
x tg tg
tg tg
h
α β
α β+
−
05. Uma ponte levadiça, com 50 metros de comprimento, 
estende-se sobre um rio. Para dar passagem a algumas 
embarcações, pode-se abrir a ponte a partir de seu centro, 
criando um vão AB, conforme mostra a fi gura abaixo.
A
α α
B
50
AB
rio
 
Considerando que os pontos A e B têm alturas iguais, 
não importando a posição da ponte, se o tempo gasto para 
girar a ponte em 1º equivale a 30 segundos, qual será o tempo 
necessário para elevar os pontos A e B a uma altura de 12,5 m, 
com relação à posição destes quando a ponte está abaixada?
A) 5 min. B) 10 min.
C) 15 min. D) 20 min.
E) 25 min.
06. Uma torre vertical será fi xada ao solo conforme indica a fi gura.
Adotando tg 27º = 0,5, conclui-se que a medida do ângulo 
formado entre os dois cabos de menor comprimento, ambos 
do mesmo lado da torre, indicada na fi gura por x, é igual a:
6 m
6 m
12 m 12 m
x
6 m
6 m
A) 18º B) 21º
C) 23º D) 26º
E) 29º
07. Para determinar a distância de um barco até a praia, 
um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de 
um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um 
ponto fi xo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, 
ele seguiu até um ponto B, de modo que fosse possível ver o 
mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2a. 
A fi gura abaixo ilustra essa situação.
P
A B
Trajetória
do barco
2αα
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo a = 30° e, 
ao chegar ao ponto B, verifi cou que o barco havia percorrido 
a distância AB = 2000 m. Com base nesses dados e mantendo 
a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto 
fi xo P será:
A) 1000 m B) 1000 3m
C) 2000
3
3
m D) 2000 m
E) 2000 3m
79
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática IV
Anual – Volume 3
08. Um pêndulo de comprimento constante L faz um ângulo q com 
sua posição vertical de repouso.
h
θ
A equação que expressa a altura h como função do ângulo 
q é de:
A) h = L · (1 + cos q) B) h
L
=
+1 cosθ
C) h = L – cos q D) h
L
=
−1 cosθ
E) h = L · (1 – cos q)
09. Uma escada com x metros de comprimento forma um ângulo 
de 30º com a horizontal, quando encostada ao edifício de um 
dos lados da rua, e um ângulo de 45º se for encostada ao prédio 
do outro lado da rua, apoiada no mesmo ponto do chão.
Sabendo que a distância entre os prédios é igual a 5 3 5 2+( ) 
metros de largura, assinale a alternativa que contém o 
comprimento da escada, em metros.
A) 5 B) 5 2
C) 10 D) 10 3
E) 20
10. Em uma das primeiras tentativas de determinar a medida do raio 
da Terra, os matemáticos da Antiguidade observaram, do alto 
de uma torre ou montanha de altura conhecida, o ângulo sob 
o qual se avistava o horizonte, tangente à Terra, considerada 
esférica, conforme mostra a fi gura. Segundo esse raciocínio, 
o raio terrestre em função do ângulo α é dado por:
h
α
R
0
Terra
Linha do
Horizonte
A) R
hsen
tg
=
−
α
α1
 B) R
hsen
= +1 cosα
α
C) R
hsen=
−
α
α1 cos
 D) R
sen
hsen
= −1 α
α
E) R
hsen
sen
=
−
α
α1
Fique de Olho
Para todo número natural n, podemos escrever:
n
n radicais
= −
+
1
4
44 4
4 1
log log �
� �� ��
, usando apenas quatro 
quartos.
Geometria de Posição – Parte II
Geometria de Posição – Parte III
Sessão Videoaula
Geometria de Posição – Parte I
Geometria de Posição – Parte IV
Aula 12: 
Trigonometria em um 
Triângulo Qualquer
Lei dos cossenos
Em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma 
dos quadrados dos outros dois, menos o dobro do produto destes 
dois lados pelo cosseno do ângulo que eles formam.
H
C
h b
x c
a
θ α
A B
00
15
-M
V-
C
D
Pitágoras no ∆CHB → a2 = (c + x)2 + h2 → a2 = c2 + 2cx + x h2 2+
Pitágoras
��� ��
C-2 H-6, 8, 9
Aula
12
80
MateMática e suas tecnoloGias Matemática IV
Anual – Volume 3
Simplifi cando, encontramos:
I. a2 = b2 + c2 + 2cx (relação métrica)
Entretanto, temos que:
II. a + q = 180º → cos q = – cos a = – cos Â
III. cos q = 
x
b
 → x = b cos q → x = – b · cos  
Substituindo (III) em (I), encontramos:
a2 = b2 + c2 – 2bc cos Â
Lei dos senos
Em todo triângulo, os lados são proporcionais aos senos 
dos ângulos opostos.
Suponha a figura a seguir, onde o ∆ACB é obtusânguloem Ĉ:
O
R
B
H
C
A
Rb
α α α
a
2 a
2
∆OHB → sen a = 
a
R
a
R
sen A2
2
= = ˆ
Admitindo que tal propriedade estende-se a todos os ângulos 
do ∆ABC, concluímos:
a
sen A
b
sen B
c
sen C
R
ˆ ˆ ˆ
= = = 2
Área de um ∆ABC qualquer 
(fórmula trigonométrica)
H
C
h b
x c
a
θ α
A B
00
15
-M
V-
C
D
I. Se a + q = 180º → sen a = sen q
II. sen q = 
h
b
 → h = bsen q = bsen a = bsen Â
III. Área (∆ABC) = 
c h·
2
Substituindo (II) em (III), encontramos:
Área (∆ABC) = 
c bsen A· ˆ
2
Admitindo que tal resultado estende-se a todos os ângulos 
do ∆ABC, concluímos:
Área (∆ABC) = 
c bsen A a bsen C a csen B· ˆ · ˆ · ˆ
2 2 2
= =
Exercícios de Fixação
01. O compasso é um instrumento usado no desenho artístico 
e no desenho técnico. Um exemplo de compasso especial é 
o compasso articulável, que possui cabeça de fricção para 
ajuste preciso e suave do raio, um braço articulável e outro 
com barra prolongadora do braço, onde fi ca a ponta seca, 
conforme ilustra a fi gura abaixo.
cabeça de fricção
Barra prolongadora
braço articulável
O esquema abaixo mostra um compasso articulável ajustado 
de modo que o braço articulável AO é perpendicular a AB e OP.
barra prolongadora
B
CB = 8 cm CA = 8 cm
A
AO = 5 cm
O
120°
C
D
P
Para essa configuração, a medida, em cm, do raio da 
circunferência traçado com o compasso é
A) 5 3
B) 8 3
C) 9 3
D) 13 3
E) 15 3
81
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática IV
Anual – Volume 3
02. Considere os pontos S e P, que se deslocam em movimento 
retilíneo e com velocidade constante, sendo V
S
 = 1 m/s e 
V
P
 = 3,5 m/s. Eles partem no mesmo instante e se encontram 
no ponto A, conforme ilustrado abaixo.
A
105º
P
S
V
P
V
S
Observe na tabela os valores aproximados de seno, cosseno e 
tangente de alguns ângulos:
a 15º 16º 17º 18º 19º 20º
seno 0,26 0,28 0,29 0,31 0,32 0,34
cosseno 0,98 0,97 0,96 0,95 0,945 0,94
tangente 0,28 0,29 0,31 0,325 0,34 0,36
Se o ângulo ASPˆ mede 105º, a medida do ângulo agudo APSˆ , 
em graus, é:
A) 16 B) 17
C) 18 D) 19
E) 20
03. No projeto a seguir, ABCD é um quadrado de lado medindo 
1 m, e C é o ponto médio do segmento AE. Consequentemente, 
a distância entre os pontos D e E será igual a
E
CD
A B
A) 3 cm. B) 2 cm.
C) 5 cm. D) 6 cm.
E) 7 cm.
04. Partindo de um ponto A, um avião deslocava-se, em linha reta, 
com velocidade v km/h. Após duas horas, quando se encontrava 
no ponto B, o avião desviou a graus de sua rota original, 
conforme indica a fi gura, devido às condições climáticas. 
Mantendo uma trajetória reta, o avião voou mais uma hora 
com a mesma velocidade v km/h, até atingir o ponto C.
C
B
α
Dados
A
α =
α =
7
sen
4
3
cos
4
A distância entre os pontos A e C, em quilômetros, é igual a
A) 2v B) v 5
C) v 6 D) v 7
E) 2 2v
05. A maior parte dos refugiados sírios que solicita abrigo na 
Europa escolhe a Alemanha como destino. No entanto, muitos 
refugiados sírios têm vindo também para o Brasil.
Considere o triângulo ABC no qual o vértice A representa a 
cidade de Aleppo, na Síria; o vértice B representa a cidade de 
Berlim, na Alemanha, e o vértice C representa a cidade de 
Campinas, no Brasil.
B
A
C
Desenho fora de escala
Nesse triângulo, a distância entre A e B é de 3.700 km, a medida 
de ACBˆ é igual a 18º e a medida de ABCˆ é igual a 81º.
Com base nos dados apresentados, se um refugiado sírio viaja 
de Aleppo a Berlim e, em seguida, de Berlim a Campinas, 
terá percorrido no mínimo x quilômetros em todo o trajeto.
O valor de x é mais próximo de
Adote:
sen 18º = 0,31
cos 18º = 0,95
sen 81º = 0,98
cos 81º = 0,16
A) 11.330. B) 12.300.
C) 13.300. D) 14.300.
E) 15.300.
Exercícios Propostos
01. Um navegador devia viajar durante duas horas, no rumo 
nordeste, para chegar a certa ilha. Enganou-se, e navegou duas 
horas no rumo norte. Tomando, a partir daí, o rumo correto, 
em quanto tempo, aproximadamente, chegará à ilha?
A) 30 min B) 1 h
C) 1 h 30 min D) 2 h
E) 2 h 15 min
02. 
Robô da Nasa anda em Marte: em seu primeiro 
“test drive”, o Curiosity andou 4,5 m, girou por 120º e 
percorreu mais 2,5 m, em 16 mintuos.
O Estado de S. Paulo, 24/08/2012
A fi gura esquematiza a trajetória do robô, contida em um 
plano, onde todos os trechos por ele percorridos foram em 
movimento retilíneo.
82
MateMática e suas tecnoloGias Matemática IV
Anual – Volume 3
Suponha que esse robô retorne ao ponto de partida (P), 
mantendo a mesma velocidade média desenvolvida 
anteriormente.
120º
2,5 m
4,5 m
P
d
B
A
Adotando como valor da raiz quadrada de um número decimal 
o número inteiro mais próximo, é correto afi rmar que, para ir 
do ponto B ao ponto P, o robô irá demorar, aproximadamente,
A) 9 min 6 s. B) 12 min 6 s.
C) 10 min 40 s. D) 13 min 12 s.
E) 11 min 30 s.
03. Um navio, ao navegar em linha reta, passa sucessivamente 
pelos pontos A, B, C. O comandante, quando o navio 
está em A, observa o farol L e calcula o ângulo LÂC = 30º. 
Após navegar 4 milhas até B, verifi ca o ângulo LBCˆ = 75º. 
De acordo com a representação a seguir, a distância do farol 
ao ponto B é:
A B C
L
30º 75º
 
A) 8 11 milhas. B) 2 2 milhas.
C) 3 3 milhas. D) 6 5 milhas.
E) 7 3 milhas.
04. Uma pessoa encontra-se em um ponto A e deseja se dirigir 
ao ponto C, pelo caminho mais curto. Observe a figura 
representativa dessa situação, e verifi que que a quantidade 
de metros que essa pessoa vai andar, para fazer o percurso 
desejado, é:
B
20 m
30 m
C
A
120º
A) entre 20 e 30 B) entre 30 e 40
C) entre 40 e 50 D) entre 50 e 60
E) entre 60 e 70
05. Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, 
conforme mostra a fi gura a seguir.
C
E
D BA
x y
A rodovia AC tem 40 km, a rodovia AB tem 50 km, os 
ângulos x, entre AC e AB, e y, entre AB e BC, são tais que 
senx = 
3
4
 e seny = 
3
7
. Deseja-se construir uma nova rodovia 
ligando as cidades D e E que, dada a disposição destas cidades, 
será paralela à BC.
Sabendo que AD tem 30 km, determine quantos quilômetros 
terá a rodovia DE.
A) 46 km B) 45 km
C) 44 km D) 43 km
E) 42 km
06. Vários detalhes chamam a atenção de quem visita o Santuário 
de Nossa Senhora da Pompeia: o primeiro é seu incomum 
formato octogonal, o segundo é seu telhado sustentado por 
madeiras inteiriças encaixadas umas nas outras. Determinar 
o comprimento das diversas vigas e ripas que constituem 
o telhado do Santuário foi possivelmente um dos desafi os 
enfrentados por seus construtores.
Com base nessa situação, propõe-se a seguinte situação:
O comprimento dos lados de um octógono regular inscrito em 
uma circunferência de raio r é:
A) r ⋅ +2 2 B) 
r 3
2
C) 
r
2
 D) 
r 2
2
E) r ⋅ −2 2
07. Um grup o de quatro paraquedistas, desejando efetuar um 
salto perfeito, desenhou um croqui de como eles fi cariam 
no momento da queda livre, conforme figura a seguir. 
Como um dos saltadores era muito observador, ao ver o 
esquema, questionou-se de qual seria a distância entre os 
paraquedistas A e C.
B
D
A C
k k
k
k
kk
k
k
 
83
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática IV
Anual – Volume 3
Baseando-se na ilustração anterior, onde A, B, C e D são vértices 
de um octógono regular, a expressão que permite calcular 
a distância entre os pontos A e C, em função da medida k, 
em metros, indicada na fi gura, é dada por:
A) k ⋅ −2 2 2( ) B) k ⋅ +2 2 1( )
C) k ⋅ +2 5 2 2( ) D) k ⋅ +2 2 2( )
E) k ⋅ −2 3 2( )
08. Uma torre de telefonia celular foi instalada no ponto X, 
que é o ponto médio da diagonal que liga os vértices A e C 
do terreno ABCD, que tem a forma de um paralelogramo, 
conforme mostra a fi gura a seguir.
D
C
BA
X
60º
2 km
1 km
A distância entre o ponto X e o vértice C é, em km, igual a:
A) 
5 3
2
 B) 
3 3
2
C) 7 D) 
7
2
E) 
7
4
09. Se olharmos ao redor, perceberemos como o mundo evoluiu 
a partir do século XVIII e início do XIX, com a Revolução 
Industrial. O advento da máquina, em suas variadas formas, 
alargou os horizontes do homem, proporcionando novos 
recursos para o desenvolvimento urbano e industrial,desde as descobertas de fontes de energia até a expansão 
de mercados e de territórios dentro e fora da Europa. 
A máquina a vapor foi constantemente aperfeiçoada durante 
a Revolução Industrial, constituindo fator fundamental 
para o progresso da indústria e dos meios de transporte. 
Posteriormente, surgiram máquinas com motores de 
combustão interna que utilizam o mecanismo chamado 
“biela-manivela” – tal mecanismo transforma o movimento 
de rotação de uma polia em movimento de translação de 
um pistão (vaivém) ou vice-versa.
Observe as duas confi gurações distintas desse mecanismo 
representadas a seguir.
Q
1
Q
1
Q
2
P
1
P
1 P2
Polia
Polia
Pistão
Pistão
(I)
(II)
60º
60º
0
0
Sendo r o raio da polia, OQ
1
 = OQ
2
 = r e Q
1
P
1
 = Q
2
P
2
, 
conclui-se que, em (II), a distância entre P
1
 e P
2
 é:
A) 
r
2
 B) 2r
C) 
r 3
2
( )
 D) r 3
E) r
10. As cidades A, B e C estão situadas numa região plana e a 
distância entre A e B é 4 km, a distância entre A e C é 10 km 
e o ângulo BAC mede 60º. Pretende-se construir uma escola 
num ponto da região plana situado à mesma distância d km 
de A, B e C. Então, o valor de 3d2 é igual a:
A
B
C
60º
10
4
A) 74 km2 B) 75 km2
C) 76 km2 D) 77 km2
E) 78 km2
Fique de Olho
• Na fi gura, a circunferência de centro O é tangente à reta AB 
no ponto P. Se AC = 2, o raio da circunferência é:
A
P
B C
O
30º
A) 2 3
2 3+
 B) 3 2
3 2+
C) 2 3
6
+ D) 2 3 3 2
3 2 6
+
+
E) 
2 3
3 2+
soLUção:
Do enunciado, temos a fi gura em que r 
A
P
B
60º
30º
r r
2 − r
O
C
��
��
�
é a medida do raio:
No triângulo retângulo APO, temos:
sen
PO
AO
60º =
3
2 2
=
−
r
r
 ⇒ 2 3 3 2− = ⇒r r
⇒ 2 3 2 3 2 3 2 3r r r+ = ⇒ +( ) =·
Logo:
r =
+
2 3
2 3
84
MateMática e suas tecnoloGias Matemática IV
Anual – Volume 3
Poliedros Regulares
Sessão Videoaula
Poliedros
Aula 13: 
Áreas dos Quadriláteros
Introdução
Vimos anteriormente que medir uma superfície plana é 
compará-la com outra tomada como unidade padrão e verifi car 
quantas vezes essa unidade de medida cabe na superfície que se 
quer medir. Vale salientar que, independentemente de suas formas, 
duas fi guras planas são consideradas equivalentes, quando possuem 
a mesma medida para suas superfícies.
Características do quadrado ABCD
• É um paralelogramo equiângulo e equilátero, isto é, regular.
• As diagonais são congruentes.
• As diagonais cruzam-se no ponto médio.
• As diagonais de um quadrado determinam nele quatro triângulos 
de áreas iguais.
• É, simultaneamente, retângulo e losango.
• As diagonais são perpendiculares.
• As diagonais são bissetrizes.
A
B C
Da
a
xx
x
x
Diagonal AC BD a
ABCD S a
= = =
( ) = =




2
2Área
Características do retângulo ABCD
• É um paralelogramo equiângulo.
• As diagonais são congruentes.
• As diagonais cruzam-se no ponto médio.
• As diagonais de um retângulo determinam nele quatro triângulos 
de áreas iguais.
C-2 H-7, 8, 9
Aula
13
A
B C
Da
b
x x
xx
Diagonal AC BD a b
ABCD S a b
= = = +
( ) = = ⋅




2 2
Área
Características do losango ABCD
• É um paralelogramo equilátero.
• As diagonais cruzam-se no ponto médio.
• As diagonais de um losango determinam nele quatro triângulos 
de áreas iguais.
• As diagonais são perpendiculares.
• As diagonais são bissetrizes.
• Os ângulos opostos são congruentes.
A
B
D
d
2
 = 2y
d
1
 = 2x
C
a
aa
a
x x
y
y
Diagonal AC d a a a a B a B
Diagonal BD d
= = = + − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅
= =
1
2 2
2
2 2 2cos cos� �
== + − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅
( ) = = ⋅







a a a a a
ABCD S
d d
2 2
1 2
2 2 2
2
cos cos Â
Área
Características do paralelogramo ABCD
• Quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.
• Os lados opostos são congruentes.
• Os ângulos opostos são congruentes.
• As diagonais cruzam-se no ponto médio.
• As diagonais de um paralelogramo determinam nele quatro 
triângulos de áreas iguais.
D
A B
C
a
a
b
b h
x
x
y
y
Diagonal AC a b a b B
Diagonal BD a b a b
= = + − ⋅ ⋅ ⋅
= = + − ⋅ ⋅ ⋅
2 2
2 2
2
2
cos
cos
�
Â
Árrea ABCD S a h a b sen A a b sen B( ) = = ⋅ = ⋅ = ⋅






ˆ ˆ
85
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática IV
Anual – Volume 3
Características do trapézio ABCD
• Quadrilátero com pelo menos dois lados paralelos.
• Os ângulos adjacentes de bases diferentes são suplementares.
A B
CD
M N
P Q
x
x
y
y
h
b
1
B
1
Base m dia MN
B b
Mediana Euler PQ
B b
ABCD S
B b
é
Área
= = +
= = −
( ) = = +
1 1
1 1
1
2
2
11
2




⋅








 h
Exercícios de Fixação
01. Considere na imagem abaixo:
– os quadrados ACFG e ABHI, cujas áreas medem, 
respectivamente, S
1
 e S
2
;
– o triângulo retângulo ABC;
– o trapézio retângulo BCDE, construído sobre a hipotenusa 
BC, que contém o ponto X.
D
F C
E
X
B
H
A
I
G
Sabendo que CD = CX e BE = BX, a área do trapézio BCDE é 
igual a:
A) 
S S1 2
2
+
B) 
S S1 2
3
+
C) S S1 2
D) S S1
2
2
2( ) + ( )
E) 
S S1 2
2
02. A tela de proteção para janelas é um acessório últil para garantir 
segurança em uma residência. Telas ou redes são comumente 
instaladas em janelas de prédios onde moram crianças ou 
animais de estimação. Sabendo da importância de prezar pela 
segurança da família, Sr. João decide instalar, em cada janela 
de seu apartamento, uma tela retangular com área 18.000 cm2, 
cuja altura mede 
4
5
 do seu comprimento.
Quais são as dimensões, em centímetros, dessa tela?
A) 200 e 160 B) 120 e 96
C) 150 e 100 D) 100 e 80
E) 150 e 120
03. Considere uma malha quadriculada
cujas células são quadrados de lado 1. 
Segundo o teorema de Pick, a área de 
um polígono simples cujos vértices 
são nós dessa malha, é igual ao 
número de nós da malha que se 
encontram no interior do polígono 
mais metade do número de nós que 
se encontram sobre o perímetro do 
polígono, menos uma unidade.
De acordo com esse teorema, a área do polígono representado 
na fi gura ao lado é igual a:
A) 21 B) 18
C) 23 D) 19
E) 22
04. Um fabricante recomenda que, para cada m2 do ambiente a 
ser climatizado, são necessários 800 BTUh, desde que haja 
até duas pessoas no ambiente. A esse número devem ser 
acrescentados 600 BTUh para cada pessoa a mais, e também 
para cada aparelho eletrônico emissor de calor no ambiente. 
A seguir encontram-se as cinco opções de aparelhos desse 
fabricante e suas respectivas capacidades térmicas:
Tipo I: 10.500 BTUh
Tipo II: 11.000 BTUh
Tipo III: 11.500 BTUh
Tipo IV: 12.000 BTUh
Tipo V: 12.500 BTUh
O supervisor de um laboratório precisa comprar um aparelho 
para climatizar o ambiente. Nele fi carão duas pessoas mais 
uma centrífuga que emite calor. O laboratório tem forma de 
trapézio retângulo, com as medidas apresentadas na fi gura:
A D
CB
4 m
3,8 m
3 m
Para economizar energia, o supervisor deverá escolher 
o aparelho de menor capacidade térmica que atenda às 
necessidades do laboratório e às recomendações do fabricante.
A escolha do supervisor recairá sobre o aparelho do tipo
A) I. B) II.
C) III. D) IV.
E) V.
86
MateMática e suas tecnoloGias Matemática IV
Anual – Volume 3
05. A distribuição de salários pagos em uma empresa pode ser 
analisada destacando-se a parcela do total da massa salarial 
que é paga aos 10% que recebem os maiores salários. Isso 
pode ser representado na forma de um gráfi co formado por 
dois segmentos de reta, unidos em um ponto P, cuja abscissa 
tem valor igual a 90, como ilustrado na fi gura.
No eixo horizontal do gráfico tem-se o percentual de 
funcionários, ordenados de forma crescente pelos valores de 
seus salários, e no eixo vertical tem-se o percentual do total da 
massa salarial de todos os funcionários.
100
100
A P
B
Quantidade de
funcionários (%)
M
as
sa
 s
al
ar
ia
l
ac
um
ul
ad
a 
(%
)
90
50
500
O Índice de Gini, que mede o grau de concentração de renda de 
um determinado grupo, pode ser calculado pela razão 
A
A B+
,
em que A e B são as medidas das áreas indicadas no gráfi co.
A empresa tem como meta tornar seu Índice de Gini igual ao 
do país, que é 0,3.Para tanto, precisa ajustar os salários de 
modo a alterar o percentual que representa a parcela recebida 
pelos 10% dos funcionários de maior salário em relação ao 
total da massa salarial.
Disponível em: <www.ipea.gov.br>. Acesso em: 4 maio 2016. Adaptado.
Para atingir a meta desejada, o percentual deve ser
A) 40% B) 20%
C) 60% D) 30%
E) 70%
Exercícios Propostos
01. O retângulo ABCD, representado na fi gura, tem lados de 
comprimento AB = 3 e BC = 4. O ponto P pertence ao lado BC 
e BP = 1. Os pontos R, S e T pertencem aos lados AB, CD e AD, 
respectivamente. O segmento RS é paralelo a AD e intercepta 
DP no ponto Q. O segmento TQ é paralelo a AB. 
T
D S
Q
P
R BxA
C
Sendo x o comprimento de AR, o maior valor da soma das áreas 
do retângulo ARQT, do triângulo CQP e do triângulo DQS, para 
x variando no intervalo aberto ]0, 3[ é
A) 
61
8
 B) 
33
4
C) 
17
2
 D) 
35
4
E) 
73
8
02. A Geometria Fractal é uma linguagem criada pelo matemático 
polonês Benoit Mandelbrot, no começo da década de 50. 
Mandelbrot criou essa geometria após observar padrões 
surgidos em diversas áreas, tais como na estrutura do ruído 
das comunicações telefônicas, na fl utuação dos preços em 
operações do mercado fi nanceiro e no estudo empírico da 
geometria dos litorais. As figuras abaixo ilustram os três 
primeiros passos da construção de um fractal a partir de um 
quadrado de lado L, sendo que a fi gura II representa o padrão 
desse fractal.
figura I figura II figura III
O procedimento pode ser descrito da seguinte maneira:
• Passo 1: Considere o quadrado representado na fi gura I;
• Passo 2: Dividindo-se três lados desse quadrado em três 
partes iguais, constroem-se três outros quadrados, conforme 
ilustra a fi gura II;
• Passo 3: Repetindo-se o processo com os três quadrados 
obtidos no passo 2, obtêm-se nove outros quadrados, 
conforme ilustra a fi gura III.
O processo pode ser repetido um número qualquer de vezes. 
Considerando L = 5 cm, determine, em cm2, a área total da 
fi gura obtida no oitavo passo. Despreze a parte fracionária de 
seu resultado, caso exista.
A) 27 cm2 B) 29 cm2
C) 37 cm2 D) 40 cm2
E) 45 cm2
03. Um agricultor pretende dividir um terreno em duas partes que 
possuam a mesma área. A fi gura a seguir representa o terreno 
e a divisão deve ser feita ao longo da linha vertical tracejada.
45º
x
300 m
100 m
87
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática IV
Anual – Volume 3
Considerando-se o exposto, o valor de x, com precisão de uma 
casa decimal, é
Dado: 34 = 5,83
A) 190,5 m B) 191,5 m
C) 192,5 m D) 193,5 m
E) 194,5 m
04. Na fi gura ao lado, tem-se uma
C
M
AO
B
N
y
x
circunferência com centro no 
ponto C, raio igual a 2 cm e 
tangente aos eixos coordenados 
x e y, nos pontos A e B.
É correto afi rmar que a área da 
região destacada, em cm2, vale:
A) π – 2 
B) π + 2
C) π + 4 
D) π + 6
E) π + 8
05. Em uma região quadrada vão ser construídos dois canteiros e 
um passeio, como especifi cado na fi gura abaixo.
Canteiro
Canteiro
Passeio
4 m
4 m
4 m
4 m
Sabendo que a área do passeio mede 112 m2, quanto mede 
o lado do quadrado?
A) 20 2 m B) 14 2 m
C) 12 2 m D) 16 m
E) 12 m
06. Ao construirmos um retângulo tal que a razão entre a medida 
do lado maior e a medida do lado menor é igual 
1 5
2
+
 
estaremos obtendo um retângulo áureo, isto é, de ouro. 
Retângulos assim chamados desde a Grécia antiga por serem 
considerados harmoniosos e de grande beleza. Eles foram 
usados em famosas construções, tais como as fachadas do 
Parthenon, em Atenas, e da catedral de Notre Dame, em Paris.
Uma propriedade curiosa dos retângulos áureos é que, se deles 
recortarmos um quadrado, restará outro retângulo áureo. 
Na fi gura abaixo, I, II e III representam os quadrados a serem 
recortados sucessivamente, a partir do retângulo áureo ABCD, 
a fi m de obter-se o retângulo áureo MNPQ.
A D
M
N P
Q
I
II
III
B C
Com base nas informações dadas, se AB = 4 cm, a área do 
retângulo áureo MNPQ, em centímetros quadrados, é
A) 40 5 88− B) 16 5 32−
C) 16 5 20− D) 10 5 22−
E) 8 5 12−
07. As regras que normalizam as construções em um condomínio 
defi nem que a área construída não deve ser inferior a 40% da 
área do lote e nem superior a 60% desta. O proprietário de 
um lote retangular pretende construir um imóvel de formato 
trapezoidal, conforme indicado na fi gura.
x
20 m
12 m 18 m
ÁREA
CONSTRUÍDA
ÁREA
LIVRE
Para respeitar as normas acima defi nidas, assinale o intervalo 
que contém todos os possíveis valores de x
A) [6, 10] B) [8, 14]
C) [10, 18] D) [16, 24]
E) [12, 24]
08. Um senhor feudal construiu um fosso, circundado por 
muros, em volta de seu castelo, conforme a planta a seguir, 
com uma ponte para atravessá-lo. Em certo dia, ele deu uma 
volta completa no muro externo, atravessou a ponte e deu uma 
volta completa no muro interno. Esse trajeto foi completado 
em 5320 passos. No dia seguinte, ele deu duas voltas 
completas no muro externo, atravessou a ponte e deu uma 
volta completa no muro interno, completando esse novo 
trajeto em 8120 passos. Pode-se concluir que a largura L do 
fosso, em passos, é:
fosso
ponte
L
L
L
L
muro interno
muro externo
A) 36 B) 40
C) 44 D) 48
E) 50
09. Um fazendeiro queria construir um cercado em forma de um 
retângulo para criar gado. Como o dinheiro que ele tinha era 
sufi ciente para fazer apenas 200 metros de cerca, resolveu 
aproveitar uma parte reta da cerca do vizinho para economizar e 
construiu, com apenas 3 lances de cerca, um cercado retangular 
de área máxima. Qual a área deste cercado?
A) 5300 m2 
B) 5200 m2
C) 5100 m2 
D) 5000 m2
E) 4900 m2
88
MateMática e suas tecnoloGias Matemática IV
Anual – Volume 3
10. Os “Sulbasutras” são manuscritos que foram escritos pelos 
habitantes do noroeste da Índia por volta de 1500 a.C. 
Eles trazem instruções para a realização de cerimônias religiosas 
que requeriam a construção de altares em formatos combinados 
de triângulos, retângulos e trapézios. Uma dessas instruções 
é um método para construir um quadrado a partir de dois 
quadrados menores. Denotando-se por ABCD e PQRS os dois 
quadrados menores na fi gura a seguir, marca-se um ponto X 
no lado DC, de modo que DX = PQ; em seguida, liga-se A e X 
e constrói-se o novo quadrado AXFE.
E
F
BA
RQ
P S
G
CD X
Sabendo que PQ = 2 m e AD = 4 m, pode-se concluir que a 
área da região sombreada ABGFE, em m2, é igual a
A) 12 B) 11
C) 10 D) 9
E) 8
Fique de Olho
• Com azulejos quadrados brancos e pretos todos do mesmo 
tamanho, construímos os seguintes mosaicos.
 
A regra para se construir estes mosaicos é a seguinte: 
inicialmente formamos um quadrado com 1 azulejo branco 
cercado por azulejos pretos; e em seguida, outro quadrado, 
este com 4 azulejos brancos, também cercado por azulejos 
pretos; e, assim, sucessivamente. Com 80 azulejos pretos, 
quantos azulejos brancos serão necessários para se fazer uma 
sequência de mosaicos como esta?
A) 55 
B) 65
C) 75 
D) 85
E) 100
soLUção:
No primeiro mosaico, temos 3 + 3 + 1 + 1 = 8 azulejos pretos; 
no segundo, temos 4 + 4 + 2 + 2 = 12; no terceiro, temos 
5 + 5 + 3 + 3 = 16; não é difícil perceber (e verificar) 
que os próximos mosaicos têm 20 e 24 azulejos pretos. 
Como 8 + 12 + 16 + 20 + 24 = 80, é possível construir 
exatamente 5 mosaicos.
Assim, serão necessários:
12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 azulejos 
brancos.
Aula 14:
Áreas dos Triângulos
Área de um triângulo em 
função da base e da altura
A
B C
bc
a
h
a
Onde:
h
a
: medida da altura relativa ao vértice A.
h
b
: medida da altura relativa ao vértice B.
h
c
: medida da altura relativa ao vértice C.
a, b, c: medidas dos lados do ΔABC.
Área ABC S
a h b h c ha b c∆( ) = = ⋅ = ⋅ = ⋅
2 2 2
.
Área de um triângulo retângulo
A
B
Cb
c
a
Onde:
b: medida do cateto AC.
c: medida do cateto AB. 
a: medida da hipotenusa BC. 
Relação métrica: a2 = b2 + c2 (Pitágoras).
Área ABC S
b c cateto cateto∆( ) = = ⋅ = ⋅
2 2
.
Área de um triângulo equilátero
A
B C
a
a a
h
Onde:a: medida dos lados do ΔABC.
h: medida da altura do ΔABC → h a= ⋅ 3
2
.
Área ABC S
a∆( ) = = ⋅
2 3
4
.
C-2 H-7, 8, 9
Aula
14
89
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática IV
Anual – Volume 3
Área de um triângulo 
em função dos três lados
A B
C
b
c
a
Onde:
a, b, c: medidas dos lados do ΔABC.
p: semiperímetro.
Área ABC S p p a p b p c∆( ) = = ⋅ −( ) ⋅ −( ) ⋅ −( ) (Heron).
Área de um triângulo em função 
de dois lados e o ângulo formado
A
B
C
b c
α
a
Onde:
a, b, c: medidas dos lados do ΔABC.
a: medida do ângulo formado pelos lados b e c.
Á
Â
rea ABC S
b c sen b c sen∆( ) = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅α
2 2
.
Área de um triângulo em função dos 
lados e do circunraio
B
A
C
O
b
R
P
a
Onde:
O: centro do círculo.
P: ponto da circunferência.
OP = R (circunraio).
a, b, c: medidas dos lados do ΔABC.
Área ABC S
a b c
R
∆( ) = = ⋅ ⋅
4
.
Área de um triângulo em função dos 
lados e do inraio
A
B
C
O
b
c
r
P
a Onde:
O: centro do círculo.
P: ponto da circunferência.
OP = r (inraio).
a, b, c: medidas dos lados do ΔABC.
p: semiperímetro.
Área (ΔABC) = S = p · r.
Exercícios de Fixação
01. A fi gura mostra um quadrado ABCD de 8 cm de lado, com os 
pontos E, F e G pontos médios dos segmentos DC, AE e BE, 
respectivamente. O ponto R é ponto médio da diagonal BD 
e do segmento FG, e o ponto Q pertence à intersecção dos 
segmentos BD e AE.
B
CE
F G Fora de escalaR
Q
D
A
A área do triângulo FQR, assinalado na fi gura, é
A) 
4
3
 B) 
8
3
C) 
3
4
 D) 
3
8
E) 
5
8
02. A praça de uma cidade tem a forma C
D
E
A B
de um triângulo retângulo ABC e está 
sendo reformada. A região triangular 
foi dividida em duas partes, conforme 
a fi gura ao lado. A região formada pelo 
triângulo CDE será destinada aos 
jardins e a região formada pelo 
quadrilátero ABED será usada para 
passeios e eventos.
Sabendo-se que as dimensões são AB = 2 km, AC = 2 3 km 
e AD = 4 DE, a razão entre a área destinada aos passeios e 
eventos e a área dos jardins é igual a:
A) 4 B) 5
C) 8 D) 11
E) 12
03. Na fi gura abaixo, o triângulo AGH é isósceles de base AH e 
tem área igual a 
L2
2
. O quadrilátero ACEH é um retângulo.
2L
L
A B C
D
F
E
G
H
90
MateMática e suas tecnoloGias Matemática IV
Anual – Volume 3
Se D é o ponto médio de CE, então a área do quadrilátero 
BDFG, hachurado é igual a
A) 
L2
2
 B) 
2
4
2L
C) 
3
8
2L
 D) 
3 2
16
2L
E) 
L2
4
04. Na fi gura abaixo, está representado um triângulo retângulo 
em que os vértices A e B pertencem ao gráfi co da função f, 
defi nida por f(x) = 2–x – 2.
A
C B
y
x
y = f(x)
0 1
2
Como indica a fi gura, a abscissa do ponto B é 1, a ordenada 
do ponto A é 2 e os pontos A e C têm a mesma abscissa. 
A medida da área do triângulo ABC é
A) 
21
2
 B) 
3
2
C) 6 D) 12
E) 
21
4
05. No cubo abaixo, de aresta igual a 8 dm, o segmento EI mede 
a quarta parte do segmento AE.
H G
C
BA
E
D
F
I
A área do triângulo BCI é igual a
A) 24 dm2 B) 36 dm2
C) 40 dm2 D) 48 dm2
E) 80 dm2
Exercícios Propostos
01. Um terreno tem o formato do quadrilátero ABCD a seguir, 
em que E é o ponto de intersecção das diagonais do quadrilátero 
ABCD e q é a medida do ângulo agudo BÊC.
B
C
A
D
E
θ
Se EA = 1 km, EB = 4 km, EC = 3 km e ED = 2 km, então a 
área do quadrilátero ABCD mede:
A) 12 senq B) 8 senq
C) 6 senq D) 10 cosq
E) 8 cosq
02. Um terreno triangular ADC, adquirido por uma incorporadora, 
foi dividido em duas regiões pelo segmento BE, conforme 
mostra a fi gura, cujas dimensões indicadas estão em metros. 
Na região de maior área, será construída uma torre com 
apartamentos de 4 dormitórios e, na outra região, uma torre 
com apartamentos de 3 dormitórios.
X
E20 100 A
Y
B
C
90
D
Desse modo, a área da região destinada aos apartamentos de 
4 dormitórios será, em m2, igual a
A) 2800 B) 3100
C) 3200 D) 2900
E) 3000
03. Movendo as hastes de um compasso, ambas de comprimento 
� c m, é possível determinar diferentes triângulos, como os dois 
representados a seguir, fora de escala.
T
1
θ
2θ
� �
� �
T
2
91
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática IV
Anual – Volume 3
Se a área do triângulo T
1
 é o triplo da área do triângulo T
2
, 
então o valor de cos q é igual a:
A) 
1
6
 B) 
1
3
C) 
3
3
 D) 
1
2
E) 
6
6
04. A fi gura a seguir mostra um quadrado ABCD e os pontos 
médios de cada um dos lados. Traçando os segmentos que 
unem cada ponto médio aos dois vértices do lado oposto 
do quadrado, forma-se a “estrela” que está sombreada na 
fi gura a seguir.
D C
BA
A área da estrela representa que porcentagem da área do 
quadrado?
A) 72% 
B) 70%
C) 65% 
D) 60%
E) 58%
05. Na fi gura a seguir, A’C’ é paralelo a AC e B’C’ é paralelo a BC. 
Se a área do triângulo ABC é igual a 4 m2, a área do triângulo 
A’B’C’ é:
B
B’
C’
A’
A
C
1
1 2
3
x
y
A) 30 m2 
B) 25 m2
C) 20 m2 
D) 15 m2
E) 10 m2
06. Um agricultor tem um terreno no for mato de uma região 
quadrada de lado igual a 500 metros, dividido em quatro 
regiões l, ll, III e IV, onde cultiva quatro tipos diferentes de 
produtos, um em cada região, conforme a fi gura a seguir.
I
II
III
IV
D P C
Q
BA
Sabendo-se que P é o ponto médio de CD e Q é o ponto 
médio de BC, podemos concluir que a área reservada para 
a região l, em km2, é igual a
A) 
1
15
2km B) 
1
20
2km
C) 
1
30
2km D) 
1
40
2km
E) 
1
80
2km
07. Os gráficos se encontram presentes em nosso dia a dia, 
seja em jornais, revistas, artigos, manuais escolares, 
apresentações públicas etc. Uma grande vantagem da 
representação gráfi ca está na sua capacidade de facilitar a 
compreensão de fenômenos estudados.
Entre as representações gráfi cas a seguir, a que melhor descreve 
a área A de um triângulo equilátero em função da medida L 
de seu lado é
A) 
3
3
2
2 3
2
60º
1
1
2
2
A
A
A
A A
L
L
L
L L
 B) 
3
3
2
2 3
2
60º
1
1
2
2
A
A
A
A A
L
L
L
L L
C) 
3
3
2
2 3
2
60º
1
1
2
2
A
A
A
A A
L
L
L
L L
 D) 
3
3
2
2 3
2
60º
1
1
2
2
A
A
A
A A
L
L
L
L L
E) 
3
3
2
2 3
2
60º
1
1
2
2
A
A
A
A A
L
L
L
L L
92
MateMática e suas tecnoloGias Matemática IV
Anual – Volume 3
08. Uma praça, em forma de círculo de raio 12 m, tem sua área 
aumentada e ganha forma triangular. Três postes de luz, 
localizados nos pontos A, B e C, são os únicos pontos comuns 
ao contorno antigo e ao contorno novo, conforme mostra a 
representação a seguir. Nele, O é o centro do círculo e OP = 20 m.
P
BA
O
C
Então, a área da praça com sua nova forma, em m2, é igual a:
A) 764 m2 B) 765 m2
C) 766 m2 D) 767 m2
E) 768 m2
09. A figura representa uma chapa de alumínio de formato 
triangular de massa 1250 gramas. Deseja-se cortá-la por uma 
reta r paralela ao lado BC e, que intercepta o lado AB em 
D e o lado AC em E, de modo que o trapézio BCED tenha 
700 gramas de massa. A espessura e a densidade do material 
da chapa são uniformes. Com base nessas informações, 
a razão AD
AB
 é igual a:
Dado: 11 3 32≈ ,
CB
D
A
E r
A) 0,886 B) 0,812
C) 0,748 D) 0,664
E) 0,440
10. Na fi gura, o retângulo ABCD tem lados de comprimento 
AB = 4 cm e BC = 2 cm. Sejam M o ponto médio do lado 
BC e N o ponto médio do lado CD. Os segmentos AM e AC 
interceptam o segmento BN nos pontos E e F, respectivamente.
D N
F
E
M
BA
C
A área do triângulo AEF é igual a
A) 
24
25
 B) 
29
30
C) 
61
60
 D) 
16
15
E) 
23
20
Fique de Olho
• No desenho a seguir estão representados quatro triângulos 
retângulos e 1 retângulo, bem como suas medidas. 
Juntando todas essas fi guras, podemos construir um quadrado. 
O lado desse quadrado irá medir:
100
100
60
60
20
20
12
12
88
16
16
16
80
80
A) 88 cm 
B) 100 cm
C) 60 cm 
D) 96 cm
E) 80 cm
soLUção:
Veja que a soma das áreas de todas as fi guras expostas é 
6400 cm2. Logo, o quadrado tem lado medindo 6400 80= cm.
Volume e Semelhança de Pirâmides
Sessão Videoaula
Pirâmides
93
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática IV
Anual – Volume 3
Aula 15:
Áreas do Círculo e suas PartesÁrea de um círculo (disco)
O
R
P Onde:
O: centro do círculo.
P: ponto da circunferência.
OP = R (raio do círculo).
π: número irracional = 3,1415...
Comprimento da circunferência = C = 2πR
Área do círculo (disco) = S = πR2
Área de uma coroa circular
O
Q
P
Onde:
O: centro dos círculos concêntricos.
P: ponto da circunferência maior.
Q: ponto da circunferência menor.
OP = R (raio do círculo maior).
OQ = r (raio do círculo menor)
Área da coroa circular = S = πR2 – πr2 = π · (R2 – r2)
Área de um setor circular
Onde:
d
R
R
αO
Q
P
O: centro do círculo.
P, Q: pontos distintos da circunferência.
OP = OQ = R (raio do círculo = raio do setor).
a: medida do ângulo central.
d: medida linear do arco AB� .
Área do setor circular = S R= 



α π
360
2
º
, a em graus.
Área do setor circular = S R
R= 



= ⋅α
π
π α
2 2
2
2
, a em radianos.
Área do setor circular = S
d R= ⋅
2
.
Área de um segmento circular
Onde:
R R
QP
α
O
O: centro do círculo.
P, Q: pontos distintos da circunferência.
OP = OQ = R (raio do círculo).
a: medida do ângulo central.
Área (segmento circular) = S = Área (setor POQ) – Área (triângulo POQ).
Área (segmento circular) = S R
R R sen= 



⋅ − ⋅ ⋅α π α
360 2
2
º
, a em 
graus.
C-2 H-6, 8, 9
Aula
15
Área de um polígono regular
α
Ok
k k
k
k
k
P
Q
Ra
a
R
Onde:
O: centro do círculo.
OP = OQ = R (raio do círculo).
a: medida do ângulo central.
a: medida do apótema.
p: semiperímetro.
k: medida do lado do polígono regular de n lados.
Área (polígono regular):
S
k a k a k a n k a p a
p a= ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅
2 2 2 2
2
2
�
Área (polígono regular): S n
R R sen= ⋅ ⋅ ⋅



α
2
, onde α = 360º
n
.
Exercícios de Fixação
01. As tomografi as computadorizadas envolvem sobreposição 
de imagens e, em algumas situações, é necessário conhecer 
a área da região de intersecção das imagens sobrepostas. 
Na fi gura, um triângulo equilátero ABC se sobrepõe a um círculo 
de centro N e raio NB = NC = NM, com M e N sendo pontos 
médios, respectivamente, de AB e BC.
B
CA
M
N
Sendo a área do triângulo equilátero de lado � igual a 
�2 3
4
e a área do círculo de raio r igual a πr2, se o lado do triângulo 
ABC medir 4 cm, então, a área da intersecção entre o triângulo 
e o círculo, em cm2, será igual a
A) π + 3 3 B) 
π + 3 3
2
C) π + 3 D) 2 6 3
3
π +
E) π + 2 3
94
MateMática e suas tecnoloGias Matemática IV
Anual – Volume 3
02. Na fi gura, T
1
 e T
2
 representam duas torres de transmissão 
de sinal de conectividade de internet. Cada torre transmite 
sinal até o raio de 6 km. Os pontos P e Q estão localizados 
no limite do raio de transmissão das duas torres, e distam 
6 km um do outro.
P
Q
T
1
T
2
Sabendo-se que T
1
, T
2
, P e Q são pontos coplanares, a área desse 
plano atendida pelo sinal das duas torres, em km2, é igual a
A) 9π – 12 3 B) 12π – 18 3
C) 12π – 8 3 D) 18π – 12 3
E) 24π – 12 3
03. Marcos, apaixonado por matemática, resolveu pedir sua 
namorada em casamento de uma forma original. Comprou um 
Tangram (quebra-cabeça) no formato de coração, constituído 
por nove peças: cinco setores circulares de mesmo raio, 
um quadrado, um trapézio retângulo, um paralelogramo e um 
triângulo retângulo, como mostra a fi gura:
Três dos setores têm abertura de 90º, e os outros dois, de 45º.
Antes de presenteá-la, no entanto, retirou um dos setores 
circulares de abertura 90º, como mostra a fi gura.
Sabe-se que esse setor seria recolocado na hora do pedido.
Usando π = 3, podemos afi rmar que a razão entre a área do 
setor retirado e a área do quebra-cabeça completo é igual a
A) 
1
28
 B) 
3
28
C) 
3
7
 D) 
3
4
E) 
5
8
04. Considere um quadrado de lado 1. Foram construídos dois 
círculos de raio R com centros em dois vértices opostos do 
quadrado e tangentes entre si; dois outros círculos de raio r 
com centros nos outros dois vértices do quadrado e tangentes 
aos círculos de raio R, como ilustra a fi gura abaixo.
A área da região sombreada é
A) 
2
2
1+




π B) 2 1−( ) π
C) 1 2
1
2
+ −



π D) 1 2 1+ −( ) π
E) 1
2
2
1+ −




π
05. (UEL/2017) Com a fi nalidade de se calcular a quantidade de 
pessoas presentes em manifestações sociais em determinado 
trecho urbano, são utilizadas diferentes metodologias, sendo 
que uma delas consiste em quatro etapas:
1. estabelece a área A (em m2) da região delimitada pelo trecho 
da manifestação;
2. posicionam-se alguns fiscais que ficam responsáveis, 
cada um, por uma sub-região fi xa e exclusiva do trecho 
urbano, a fi m de coletar, de maneira simultânea e periódica, 
quantas pessoas se encontram em sua sub-região no 
momento de cada medição;
3. calcula-se a média M de todas as medições realizadas por 
todos os fi scais;
4. ao fi nal, declara-se que há A · M pessoas presentes na 
manifestação.
Suponha que uma manifestação ocorreu na região hachurada 
dada pelo setor de uma coroa circular de centro O (conforme 
fi gura) e que foi observada por 3 medições com 2 fi scais cada, 
cujas tabelas dos dados coletados encontram-se a seguir.
Medição 1 Medição 2 Medição 3
Fiscal 1 3 3 4
Fiscal 2 2 4 5
Re
pr
od
uç
ão
/U
EL
 2
01
7
95
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática IV
Anual – Volume 3
Considerando essa metodologia e a aproximação π =
22
7
,
assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a quantidade 
de pessoas que estiveram presentes na manifestação, 
naquele trecho.
A) 11 mil 
B) 22 mil
C) 27 mil 
D) 31 mil
E) 33 mil
Exercícios Propostos
01. O desenho a seguir mostra um semicírculo cujo diâmetro AB, 
de medida 2 cm, é uma corda de outro semicírculo de diâmetro 
4 cm e centro O.
BA
O
Com base nas informações, é correto afi rmar que a área da 
parte sombreada, em cm2, é igual a
A) 
π
12
2



cm 
B) 1
6
2−



π
cm
C) 2
6
2−



π
cm 
D) 3
6
2−



π
cm
E) 2
6
2−



π
cm
02. No plano, considere duas circunferências cuja medida do raio 
de cada uma delas é 10 m. Se o centro de uma delas está sobre 
a outra, a medida da área correspondente à interseção das 
regiões do plano, limitadas por cada uma dessas circunferências, 
é igual a
A) 
100
3
25 3 2
π
−



m
B) 
200
3
25 3 2
π
−



m
C) 100
3
50 3 2
π
−



m
D) 
200
3
50 3 2
π
−



m
E) 
100
3
25 3 2
π
+



m
03. Considere a região R, pintada de preto, exibida a seguir, 
construída no interior de um quadrado de lado medindo 4 cm.
1 cm
4 cm
Sabendo-se que os arcos de circunferência que aparecem nos 
cantos do quadrado têm seus centros nos vértices do quadrado 
e que cada raio mede 1 cm, pode-se afi rmar que a área da 
região R é igual a
A) (4 – π)cm2 B) (5 – π)cm2
C) (6 – π)cm2 D) (7 – π)cm2
E) (8 – π)cm2
04. Na figura ao lado, considere o y
a
a
O x
segmento a = 4 m. A área da 
superfície sombreada é igual a:
A) 2 m2
B) π m2
C) 4 m2
D) 2π m2
E) 8 m2
05. Para a encenação de uma peça teatral, os patrocinadores 
fi nanciaram a construção de uma arena circular com 10 m 
de raio. O palco ocupará a região representada pela parte 
hachurada na fi gura a seguir.
Palcoh
O
Se O indica o centro da arena e se h mede 5 m, então, a área 
do palco, em m2, vale:
A) 75 3 50
3
2+ π m B) 75 3 50
4
2+ π m
C) 50 2
2
2+ π m D) 
5 2 50
3
2+ π m
E) 75 3
3
2+ π m
96
MateMática e suas tecnoloGias Matemática IV
Anual – Volume 3
06. No logotipo a seguir são dadas três regiões circulares de raio 
1 dm, duas a duas tangentes, em que P
1
, P
2
 e P
3
 são os pontos 
de tangência.
P
3
P
2
P
1
A área do hexágono não convexo destacado, em dm2, é:
A) 1 3 2+( )dm 
B) 2 3 2+( )dm
C) 3 3 2+( )dm 
D) 1 2 3 2+( )dm
E) 3 2 3 2+( )dm
07. Michele construiu a circunferência a seguir com um compasso. 
Em seguida, posicionou o compasso sobre o ponto P e, com 
a mesma abertura que usou para traçar a circunferência, 
marcou o ponto Q. Reposicionou o compasso com a mesma 
abertura em Q e marcou um ponto R, distinto de P. Assim, 
sucessivamente, foimarcando pontos no sentido anti-horário, 
até completar uma volta.
Q
P
A área da região compreendida entre o menor dos arcos PQ� 
e o segmento PQ, cuja medida é 2 cm, é:
A) 
3
2
3 2π −



cm B) 
2
3
3 2π −



cm
C) 2
3
2
2π −




cm D) 3
3
2
2π −




cm
E) 6
3
2
2π −




cm
08. A fi gura abaixo representa o símbolo utilizado para materiais 
radioativos. Nesse símbolo, aparecem duas circunferências 
de centro A, estando a externa dividida em seis arcos iguais. 
Todos os segmentos que aparecem no desenho estão contidos 
em raios da circunferência externa e os três pequenos arcos 
possuem, também, centro A.
Na fi gura, os pontos A, B, C e D são colineares e AB = 2 cm, 
BC = 1 cm e CD = 6 cm.
AA BB CC DD
Considerando as regiões que estão no interior da circunferência 
externa, calcule a razão entre as áreas das regiões sombreada 
e não sombreada.
A) 
36
37
 
B) 
37
38
C) 
38
39
 
D) 
39
40
E) 
40
41
09. Um picadeiro, área central e circular de um circo reservada 
às apresentações dos artistas, foi construído de modo a fi car 
inscrito num hexágono regular que, por sua vez, fi ca inscrito 
numa circunferência externa, como mostra o esquema 
determinado pela fi gura abaixo.
Sabendo que o círculo externo serve de proteção para o 
público e o hexágono serve para que os artistas se posicionem 
para seus números e, ainda, que o raio do picadeiro é de 8 m, 
podemos garantir que a área destacada vale:
A) (2π – 9) m2 
B) 64 3 3 2π −( ) m
C) 
64
9
2 3 3 2⋅ −( )π m 
D) (13π – 4) m2 
E) (π – 1) m2 
97
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática IV
Anual – Volume 3
10. Dois holofotes iguais, situados em H1 e H2, respectivamente, 
iluminam regiões circulares, ambas de raio R. Essas regiões se 
sobrepõem e determinam uma região S de maior intensidade 
luminosa, conforme a fi gura.
H1 H2
R RS
Área do setor circular: A
R
SC =
α 2
2
, a em radianos.
A área da região S, em unidades de área, é igual a
A) 2
3
3
2
2 2πR R− B) 2 3 3
12
2π −( )R
C) πR R
2 2
12 8
− D) πR
2
2
E) πR
2
3
Fique de Olho
• Na fi gura temos que os triângulos ABC e A’B’C’ são equiláteros 
e a região destacada é um hexágono regular. A razão entre a 
área da região destacada e a área do triângulo ABC é igual a:
A
A’
B
O
B’
C
C’
A) 1 
B) 
2
3
C) 
4
5
 
D) 
2
2
E) 
3
2
soLUção:
Dividindo a fi gura em triângulos equiláteros congruentes, 
temos que a razão entre a área da região destacada e a área 
do triângulo ABC é 
6
9
2
3
= .
Bibliografi a
DANTE, Luiz Roberto. Matemática – Contexto e Aplicações. 
São Paulo: Ática, 2000.
FAIRES, J. Douglas. First Steps for Math Olympians – 
The Mathematical Association of America, 2006.
IEZZI, G. et al. Fundamentos da Matemática Elementar. São Paulo: 
Atual, 1993.
LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: 
Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1998.
_________. A Matemática do Ensino Médio. Coleção do professor 
de Matemática. Rio de Janeiro, 1998.
LITVINENKO, V.; MORDKOVICH, A. Solving Problems in Algebra and 
Trigonometry. Moscou: Mir, 1987.
MACHADO, Antônio dos Santos. Temas e Metas. São Paulo: 
Atual, 1986.
NETO, Aref Antar. Noções de Matemática . São Paulo: 
Moderna, 1 ed., 1979.
Questões de vestibulares diversos do país.
Anotações
006.658-13300219-Ap_Ap3Anual-MIV
DIG.: Nailton/REV.: Amélia
DESENHISTA: ARTEFB
98
MateMática e suas tecnoloGias Matemática IV
Anual – Volume 3
Anotações
1
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática iV
Anual – Volume 3
Aula 11: 
Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
• Objetivo(s):
 Definir e relacionar as principais razões trigonométricas a partir do triângulo retângulo, objetivando desenvolver habilidades que 
permitam, aos nossos alunos, utilizá-las na resolução de situação-problema que envolva conhecimentos geométricos.
• Metodologia:
 Nesta aula, podemos começar desenvolvendo o conceito de Razões trigonométricas no triângulo retângulo e, em seguida, enfatizar 
a vantagem desta ferramenta na resolução de problemas geométricos mais sofisticados.
Priorizar na discussão ideias relacionadas com:
• a definição de cada razão trigonométrica;
• a apresentação das razões trigonométricas inversas;
• a ligação entre as razões trigonométricas;
• a proximidade do Teorema de Pitágoras e as razões seno e cosseno;
• a justificativa de alguns valores trigonométricos notáveis;
• seno, cosseno e tangente de ângulos complementares.
 Em seguida, a resolução dos exercícios de fixação da referida aula, por parte do professor, se encarregará de firmar a teoria discutida.
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 Do enunciado, tem-se:
h
27º17º
A B C
D
x70
I. tg 70º = 
h
x
x
h
tg70
70
70+
→ + =
º
II. tg 27º = 
h
x
x
h
tg
→ =
27º
Segue que,
70
27 70
1
70
1
27
70+ = → −




=
h
tg
h
tg
h
tg tgº º º º
Substituindo os valores de tg 70º e tg 27º, encontramos
h h m·
100
30
100
51
70 51−




 = → ≅
Resposta: B
C-2 H-6, 8, 9
Aula
11
2
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática iV
Anual – Volume 3
02. Comentário:
 A partir da ilsutração dada, temos:
A
B
1610
α
θ
10
11
7,05
3,95
5
C
I. sen α α= = → =
5
10
1
2
30º
II. sen oθ θ= = → ≅
7 05
10
0 705 45
,
,
Logo, a medida mais próxima do menor arco ACB� é:
m ACB�( ) ≅ + =30 45 75º º º
Resposta: C
03. Comentário:
 A partir da ilustração dada, temos:
60
1,80
α
α
sen senα α= = → < <
1 80
60
0 03 0 026 0 031
,
, , ,
Logo, a ∈ ] 1,5; 1,8 [ C [1,5; 1,8 [
Resposta: C
3
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática iV
Anual – Volume 3
04. Comentário:
 Diante do exposto, tem-se:
14
h
7º
sen
h
h sen7
14
14 7º · º= → =
Logo:
h ≅ 14 · (0,12) = 1,68 m
Resposta: E
05. Comentário:
 A partir do esboço apresentado, tem-se:
45º
45º30º
30º 2
B
h
h
h
A
H = 2h
tg
h
h
30
2
3
3
º =
+
=
3 2 3 3
3 3 2 3
6 2 3 3 3
6 6 3 6
2 2 3 2
h h
h
h
h
h H
= +
−( ) =
= +( )
= +
= + =
· ·
Resposta: C
4
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática iV
Anual – Volume 3
Aula 12: 
Trigonometria em um Triângulo Qualquer
• Objetivo(s):
 Estender a trigonometria do triângulo retângulo, para um triângulo qualquer, objetivando desenvolver habilidades que permitam, 
aos nossos alunos, utilizá-las na resolução de situação-problema que envolva conhecimentos geométricos.
• Metodologia:
 Nesta aula, temos a oportunidade de dar seguimento ao manuseio das razões trigonométricas, discutindo problemas reais que 
exigem o conhecimento de relações entre medidas lineares e angulares num triângulo qualquer. Após a discussão, poderemos 
apresentar duas leis que irão mecanizar as resoluções de muitos problemas geométricos.
Priorizar na discussão ideias relacionadas com:
• a apresentação e validação da lei dos cossenos;
• a apresentação e validação da lei dos senos;
• a apresentação e validação da fórmula trigonométrica da área de um triângulo qualquer;
• seno e cosseno de ângulos suplementares.
 Posteriormente, a resolução dos exercícios de fixação da referida aula, por parte do professor, se encarregará de consolidar a teoria 
discutida.
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 A partir dessas informações, tem-se:
C
c
5 5
88
b c O
A
B
Raio
120º
30º
30º
60º
30º
B’P
I. Lei dos cossenos (∆ACB)
C2 = 82 + 82 – 2 · 8 · 8 · cos 120º
C2 = 82 + 82 + 82 → c = 8 3
II. tg
b
BBP
b
b30
5 5 3
3
5 3º ’= ( ) → = → =∆
Logo:
Raio b c cm= + = 13 3
Resposta: D
C-2 H-6, 8, 9
Aula
12
5
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática iV
Anual – Volume 3
02. Comentário:
 Diante do exposto, tem-se:
A1 m
α
105º
P
S
3,5 m
Pela Lei dos senos, encontramos:
3 5
105
1,
sen seno
=
α
Sabe-se que:
sen 105º = sen 75º = cos 15º = 0,98.
Daí,
sen oα α= = → =
0 98
3 5
0 28 16
,
,
,
Resposta: A
03. Comentário:
 Diante do exposto, tem-se:
E
C
d
135º
45º
1
1
1
1
D
A B
2
2
Lei dos cossenos (∆DCE)
d
dd
d cm
o2 2
2
2
2
1 2 2 1 2 135
1 2 2 2
2
2
5
5
= + ( ) −
= + − −




=
=
· · · cos
·
Resposta: C
6
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática iV
Anual – Volume 3
04. Comentário:
 Nestas condições, temos a figura a seguir.
v
2vB
d
C
α θ
A
I. a + q = 180 → cos q = – cos a = −
3
4
II. Lei dos cossenos
d2 = v2 + (2v)2 – 2 · v · 2 · v · cos q
d2 = v2 + 4v2 + 3v2 = 8v2
d = 2 2v km
Resposta: E
05. Comentário:
 Nestas condições, temos:
Lei dos senos
d
sen sen
d
sen
sen81
3700
18
3700 81
18º º
· º
º
= → = B
d
d
3700
81º
81º
18º
C(Brasil)
A(Síria)
(Alemanha)
Com as aproximações, obtemos:
d km=
( )
≅
3700 0 98
0 31
11697
· ,
,
Logo:
AB + AC = 3700 + 11697 = 15397 km
Resposta: E
Aula 13: 
Áreas dos Quadriláteros
• Objetivo(s):
 Conhecer as características dos principais quadriláteros convexos, bem como o cálculo das principais superfícies quadrangulares, 
objetivando desenvolver habilidades que permitam aos nossos alunos utilizá-las na resolução de situação-problema que envolva 
conhecimentos geométricos.
• Metodologia:
 Nesta aula, é primordial começarmos conversando sobre como medir superfícies, construindo, assim, o conceito de área. Após 
compreender área como o resultado da medição de uma superfície, poderemos apresentar as principais fórmulas usadas no cálculo 
da área de superfícies quadrangulares.
Priorizar na discussão ideias relacionadas com:
• as unidades de áreas e conversões;
• as principais características de alguns quadriláteros convexos;
• o entendimento das fórmulas utilizadas no cálculo da área dos principais quadriláteros convexos;
• a razão entre áreas de superfícies quadrangulares semelhantes.
• quadriláteros equivalentes, isto é, mesma área.
 Após a discussão teórica, a resolução dos exercícios de fixação da referida aula, por parte do professor, se encarregará de fundamentar 
a teoria discutida.
C-2 H-7, 8, 9
Aula
13
7
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática iV
Anual – Volume 3
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 Com base nos dados apresentados, tem-se:
D
F C E
X
d
c
b
d
a – d
a – d
B
S
2
S
1
H
A
I
G
Área (destacada) = 
d a d a a
S
+ −( )
= =
·
2 2
2
Daí,
S
b c S S
=
+
=
+2 2 1 2
2 2
Resposta: A
02. Comentário:
 Nestas condições, temos:
Tela
c
18000 cm2
4
c
5
Daí,
c c c·
4
5
18000 150




= → =
Assim, as dimensões da tela são:
comprimento = c = 150 m
Altura da tela = 
4
5
c = 120 m
Resposta: E
03. Comentário:
 De acordo com as informações do problema, temos:
#(Nós da malha no interior) = 14
#(Nós no perímetro do polígono) = 16
Área (Polígono) = 14
16
2
1 21+ − = ua.
Resposta: A
8
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática iV
Anual – Volume 3
04. Comentário:
 Diante do expostos tem-se:
4 m
3,8 m
3 m
Ambiente
• Área (Ambiente) = 
3 3 8 4
2
13 6 2
+( ) ⋅
=
,
, m
• Como são necessários 800 BTUh para cada m2, vem:
Ambiente → (13,6) × (800) = 10880 BTUh
• Portanto, com a centrífuga, devemos ter:
10880 + 600 = 11480 BTUh (Aparelho III)
Resposta: C
05. Comentário: 
 Nestas condições, temos:
% desejada
100
0
A
B
90 100
h
Devemos ter:
Índice de Gini → 
A
A B+
= 0 3,
Daí,
A = 0,3 A + 0,3 B → 0,7 A = 0,3 B
Encontramos:
7A = 3B → 7
100 100
2
·
−



B = 3B → B = 3500
Calculando B em função de h, concluímos:
B
h h
h= +
+( ) = → =90
2
100 10
2
3500 60
· ·
Logo, a % desejada é 40%.
Resposta: A
9
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática iV
Anual – Volume 3
Aula 14: 
Áreas dos Triângulos
• Objetivo(s):
 Incorporar à memória as principais fórmulas relacionadas com áreas de superfícies triangulares, objetivando desenvolver habilidades 
que permitam, aos nossos alunos, utilizá-las na resolução de situação-problema que envolva conhecimentos geométricos.
• Metodologia:
 Nesta aula, podemos iniciar apresentando problemas do mais simples ao mais elaborado, que exigem o conhecimento de cálculo 
de áreas de superfícies triangulares. Em seguida, algumas demonstrações rápidas, a partir de exemplificações, se encarregarão de 
validar estes resultados.
Priorizar na discussão ideias relacionadas com:
• o cálculo da área de um triângulo equilátero;
• o cálculo da área de um triângulo qualquer em função dos três lados;
• a fórmula trigonométrica da área de um triângulo qualquer;
• o cálculo da área de um triângulo inscrito;
• o cálculo da área de um triângulo circunscrito.
 Após a discussão teórica, a resolução dos exercícios de fixação da referida aula, por parte do professor, se encarregará de fundamentar 
a teoria discutida.
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 A partir das características apresentadas, tem-se:
A B8
4
Q’ Q
D
y
C
PG
4 4
4
4
E
W
x
RF 2
I. RG, GP, WF são bases médias, então:
WF
DE
GP
EC
RG
DE= = = = = =
2
2
2
2
2
2; ;
II. FR // DE → ∆FRQ ∼ ∆EDQ → y = 2x → x = 4
3
Logo:
Área(DFQR) = 
2
2
4
3
·
.a
x
x u= =
Resposta: A
C-2 H-7, 8, 9
Aula
14
10
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática iV
Anual – Volume 3
02. Comentário:
 A partir das características apresentadas, tem-se:
C
y
α
x
t
E
D
4x
θ
A 2 B
2 3
I. tg θ θ α= = → = → =2 3
2
3 60 30º º
II. sen
x
y
y x x
t
y
t
y
x
α
α
= = → = → =
= = → = = =
1
2
2
3
3
3
2
3
2
3 1cos
III. Razão 
Passeios
Jardins
x t
x t
[ ]
[ ] =
−
=
2 2 3
2 2
2
11
· ·
·
Resposta: D
03. Comentário:
 Do exposto, tem-se:
A B C
E
D
FH
H
G Lh
L
2
L
2
L
2
L
2
• AGH
L h L
h L GD L[ ] = = → = → =·
2 2
2
Logo:
Área (destacada) = 
L
L
L
L
L· ·2
2
2
2 2
2
+ =
Resposta: A
11
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática iV
Anual – Volume 3
04. Comentário:
 Diante do exposto, tem-se:
y
0
2A
C (a,b) B (1,b)
(a, 2)
x
1
• Para x = 1 → b = − = −−2 2 3
2
1
• Para y = 2 → 2 = 2–9 – 2 → a = – 2
Logo:
Área(∆ABC) = 
1 2
2
3
7
2
2
21
4
−( ) −( ) = =a b ua·
·
.
Resposta: E
05. Comentário: 
 Do enunciado, tem-se:
I. 4x = B → x = 2
II. Área(∆CBI) = 
8 5
2
40 2
· x
dm= 
Resposta: C
Aula 15: 
Áreas do Círculo e suas Partes
• Objetivo(s):
 Incorporar à memória as principais fórmulas relacionadas com áreas de superfícies circulares, objetivando desenvolver habilidades 
que permitam aos nossos alunos, utilizá-las na resolução de situação-problema que envolva conhecimentos geométricos.
• Metodologia:
 Nesta aula, podemos começar discutindo o reconhecimento das diversas superfícies relacionadas com o círculo, a partir de suas definições, 
bem como de superfícies poligonais convexas regulares. Em seguida, esmiuçaremos as fórmulas usadas no cálculo de suas áreas.
Priorizar na discussão ideias relacionadas com:
• o cálculo da área do círculo;
• o cálculo da área da coroa circular;
• o cálculo da área de um setor circular;
• o cálculo da área de um segmento circular;
• o cálculo da área de um polígono regular.
 Após a discussão teórica, a resolução dos exercícios de fixação da referida aula, por parte do professor, se encarregará de fundamentar 
a teoria discutida.
H
E
A
D
B
F
G
8
C
x
I
3x
4x
5x
C-2 H-6, 8, 9
Aula
15
12
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática iV
Anual – Volume 3
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 A partir da ilustração, tem-se:
B
M N
CA
60º
r
r
r
r
r=2
r=2
60º
60º
60º
60º
Área (sombrada) = 2
3
4
1
6
2
2·
r
r AS




+ =π
Daí, 
A cmS = + =
+



2 3
2
3
2 6 3
3
2π π
Resposta: D
02. Comentário:
 A partir da ilustração, tem-se:
P
60º
6 6
6
66
Q
T
1 T2
Área (destacada) = 2 · ([setor de 60º] – [PT, Q])
Área (desacada) = 2
1
6
6
6 3
4
12 18 32
2
· ·π π−




= −
Resposta: B
03. Comentário:
 A partir da ilustração, tem-se:
r
r
rr
r
r
2 r
2 r
13
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática iV
Anual – Volume 3
Razão(desejada) = 
π
π
r
r r
Rd
2
2 2
4
2+ ( )
=
Logo:
R
r
rd
= =
3
4
7
3
282
2
Resposta: B
04. Comentário:
 De acordo com o enunciado, temos:
R
R
R
R
r
r
r
r
I. R + r = 1, em que 2 2R = , então:
R e r= = − = −2
2
1
2
2
2 2
2
II. Logo, a área destacada é dada por:
A R r R r cmd = +( ) − − = + −




2 2 2 2
2 2
1
2
2
1
π π π
Resposta: E
05. Comentário:
 De acordo com o enunciado, temos:
• Área = A
Setor Setor
= 



− 



1
3
1003
2
1
3
997
2
2 2
π π
� ��� ��� � �� ��
Daí,
A m= 22000
7
2
• M =
+ + + + +
=
3 3 4 2 4 5
6
7
2
Logo:
Nº de pessoas = A M· ·= =22000
7
7
2
11000
Resposta: A
14
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática iV
Anual – Volume 3
Gabaritos
ExErcícios dE Fixação
Aula 11: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
01 02 03 04 05
B C C E C
Aula 12: Trigonometria em um Triângulo Qualquer
01 02 03 04 05
D A C E E
Aula 13: Áreas dos Quadriláteros
01 02 03 04 05
A E A C A
Aula 14: Áreas dos Triângulos
01 02 03 04 05
A D A E C
Aula 15: Área do Círculo e Suas Partes
01 02 03 04 05
D B B E A
ExErcícios ProPostos
Aula 11: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
C B C E C A B E C E
Aula 12: Trigonometria em um Triângulo Qualquer
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
C A B C E E D D D C
Aula 13: Áreas dos Quadriláteros
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
A C B B D A E B D D
Aula 14: Áreas dos Triângulos
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
A E A D B E E E D D
Aula 15: Área do Círculo e Suas Partes
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
D D E E A C B E C A
MATEMÁTICA
E SUAS
TECNOLOGIAS
MATEMÁTICA V
– TRIGONOMETRIA
– GEOMETRIA ANALÍTICA
– TRIGONOMETRIA
– GEOMETRIA ANALÍTICA
Vo
lu
m
e3
MateMática V
– trigonoMetria
– geoMetria analítica
Objetivo(s):
• Resolver inequações trigonométricas, utilizando recursos algébricos e as entidades trigonométricas.
• Identificar as coordenadas cartesianas de pontos localizados no Plano Cartesiano.
• Calcular as coordenadas do baricentro e ponto médio.
• Saber encontrar as coordenadas do ponto divisor de um segmento conhecendo-se a razão entre os segmentos 
determinados.
• Calcular a distância entre dois pontos.
• Calcular analiticamente a área de um triângulo ou polígono convexo qualquer.
• Saber encontrar a equação de uma reta qualquer e representá-la em seus diversos formatos.
Conteúdo:
aula 11: inequações trigonoMétricas
Inequações trigonométricas ...................................................................................................................................................................................100
Inequações fundamentais ......................................................................................................................................................................................100
Exercícios ..............................................................................................................................................................................................................102
aula 12: Plano cartesiano, Distância entre Dois Pontos e Bissetrizes Dos quaDrantes (Pares e íMPares) 
Sistema cartesiano ortogonal .................................................................................................................................................................................105
Bissetrizes dos quadrantes .....................................................................................................................................................................................106
Bissetriz dos quadrantes ímpares ...........................................................................................................................................................................106
Bissetriz dos quadrantes pares ...............................................................................................................................................................................106
Distância entre dois Pontos ....................................................................................................................................................................................106
Exercícios ..............................................................................................................................................................................................................107
aula 13: razão entre segMentos colineares, coorDenaDas Do Ponto De DiVisão De uM segMento, 
coorDenaDas Do Ponto MéDio De uM segMento e coorDenaDas Do Baricentro De uM triângulo
Razão entre segmentos colineares e coordenadas do ponto de divisão .................................................................................................................110
Coordenadas do ponto médio de um segmento ....................................................................................................................................................111
Coordenadas do baricentro de um triângulo ..........................................................................................................................................................111
Exercícios ..............................................................................................................................................................................................................111
aula 14: conDição De alinhaMento, cálculo Da área De uM triângulo e cálculo Da área De uM Polígono
Condição de Alinhamento e Cálculo de Áreas ........................................................................................................................................................114
Área de um triângulo .............................................................................................................................................................................................114
Área de um polígono convexo ...............................................................................................................................................................................114
Exercícios ..............................................................................................................................................................................................................115
aula 15: estuDo analítico Da reta i (equações Da reta)
Equação geral da reta ............................................................................................................................................................................................117
Equação reduzida da reta ......................................................................................................................................................................................117
Equação segmentária da reta ................................................................................................................................................................................118
Equações paramétricas da reta ..............................................................................................................................................................................118
Equação fundamental da reta ................................................................................................................................................................................118
Exercícios ..............................................................................................................................................................................................................118
100
MateMática e suas tecnologias Matemática V
Anual – Volume 3
Aula 11: 
Inequações Trigonométricas
Inequações trigonométricas
Inequações trigonométricas são desigualdades que envolvem 
funções trigonométricas.
Quase todas as inequações trigonométricas podem ser 
reduzidas a inequações de um dos seguintes seis tipos:
1 sen x ≥ m
2 sen x ≤ m
3 cos x ≥ m
4 cos x ≤ m
5 tg x ≥ m
6 tg x ≤m
Em que: m é um número real dado.
Inequações fundamentais
Inequação envolvendo seno
A) Seja a inequação sen x ≥ m , para x ∈ R.
m
x
v
P
1
2π
x
0
0
αβ
Então, a solução geral é dada por:
S = {x ∈ R; α + 2kπ ≤ x ≤ β + 2kπ, k ∈ z}
B) Seja a inequação sen x ≤ m , para x ∈ R.
y
x
m
r
0
αβ
0 x
2π
Então, a solução geral é dada por:
S = {x ∈ R; 0 + 2kπ ≤ x ≤ α + 2kπ ou β + 2kπ ≤ x ≤ 2π + 2kπ, k ∈ z}
C-5 H-19, 20
23
H-21, 22Aula
11
Exercícios Resolvidos
01. Resolva a inequação: 2 · sen x – 1 ≥ 0. 
Resolução:
2 · sen x – 1 ≥ 0 ⇒ senx ≥
1
2
 Por conseguinte:
y
x0 2π
5π
6
π
6
0
+ 2kπ + 2kπ
1
2
sen x ≥ ⇒
 Observando o ciclo trigonométrico anterior, podemos concluir 
que:
π
π
π
π
6
2
5
6
2+ ≤ ≤ +k x k
 Portanto, a solução geral da inequação proposta é:
S x k x k= ∈ + ≤ ≤ + ∈{ ; , }r z
π
π
π
π
6
2
5
6
2 k
02. Resolva, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π, a inequação 2 2 0senx − ≤ .
 Resolução:
2 2 0
2
2
sen x senx− ≤ ⇒ ≤
 Por conseguinte:
y
x0
3π
2π
4
π
4
0≤
2
sen x
2
⇒
 Observando o ciclo trigonométrico anterior, podemos concluir 
que convém os seguintes intervalos.
0
4
3
4
2≤ ≤ ≤ ≤x ou x
π π
π
 Já, a solução geral da inequação proposta seria:
S x k x k ou k x k= ∈ + ≤ ≤ + + ≤ ≤ + ∈{ ; , }r z0 2
4
2
3
4
2 2 2π
π
π
π
π π π k
101
MateMática e suas tecnologiasMatemática V
Anual – Volume 3
Inequações envolvendo cosseno
A) Seja a inequação cos x ≥ m , para x ∈ R.
y
P2
x
m
r
0
0
x
2π
α
β
Então, a solução geral é dada por:
S = {x ∈ R; 0 + 2kπ ≤ x ≤ α + 2kπ ou β + 2kπ ≤ x ≤ 2π + 2kπ, k ∈ Z}
B) Seja a inequação cos x ≤ m , para x ∈ R.
y
0
x
m
r
α
β
0 x
2π
Então, a solução geral é dada por:
S = {x ∈ R; α + 2kπ ≤ x ≤ β + 2kπ, k ∈ Z}
Exercícios Resolvidos
01. Resolva, no intervalo [0; 2π], a inequação: 2 3 0cos .x − ≥
 Resolução:
 2 3 0
3
2
cos cosx x− ≥ ⇒ ≥
Por conseguinte:
y
x0
0
2π
≥ ⇒
3
cos x
2
π
6
π11
6
 Observando o ciclo trigonométrico anterior, podemos concluir 
que convêm os seguintes intervalos:
0
6
11
6
2≤ ≤ ≤ ≤x ou x
π π
π
Já, a solução geral da inequação proposta seria:
S x x
ou
x
= ∈ + ≤ ≤ +
+ ≤ ≤ + ∈
{ ;
, }
r
Z
0 2
6
2
11
6
2 2 2
k k
k k
π
π
π
π
π π π k
02. Resolva, no intervalo [0; 2π], a inequação 2cos x – 1 ≤ 0.
 Resolução:
2 1 0
1
2
cos cosx x− ≤ ⇒ ≤
Por conseguinte:
y
x0
0
2π
π5
3
π
3
≤ ⇒
1
cos x
2
 Observando o ciclo trigonométrico anterior, podemos concluir 
que convém o intervalo:
π π
3
5
3
≤ ≤x
Já, a solução geral da inequação proposta seria:
S x k x k= ∈ + ≤ ≤ + ∈{ ; , }r Z
π
π
π
π
3
2
5
3
2 k
102
MateMática e suas tecnologias Matemática V
Anual – Volume 3
Inequações envolvendo tangente
A) Seja a inequação tg x ≥ m , para x ∈ R.
yπ
2
xA'
m
r
0
3π
2
α
β
x
2π
Então, a solução geral é dada por:
S x x
ou
x
= ∈ + ≤ < +
+ ≤ < + ∈
{ ;
, }
r
Z
α π
π
π
β π
π
π
2
2
2
2
3
2
2
k k
k k k
B) Seja a inequação tg x ≤ m , para x ∈ R.
y
x
m
r
0
α
β
π
2
3π
2
x
2π
Então, a solução geral é dada por:
S x x
ou
x ou x
= ∈ + ≤ ≤ +
+ < ≤ + + < ≤ + ∈
{ ;
,
r
Z
0 2 2
2
2 2
3
2
2 2 2
k k
k k k k
π α π
π
π β π
π
π π π k }}
Exercício Resolvido
01. Resolva, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π, a inequação tgx − ≤3 0.
 Resolução:
tgx tgx− ≤ ⇒ ≤3 0 3
 Por conseguinte: 
y
0 x
3
π
2
π
3
2π
π3
2
π4
3
≤ ⇒tgx 3
eixo dos
tangentes
 Observando o ciclo trigonométrico anterior, podemos concluir 
que convém os seguintes intervalos:
0
3 3
4
3
3
2
2≤ ≤ < ≤ < ≤x ou x ou ou x
π π π π
π
Já, a solução geral da inequação proposta seria:
S x ou x
ou
x
= ∈ + ≤ + + < ≤ +
+ < ≤ ∈
{ ;
, }
r
Z
0 2
3
2
3
2
4
3
2
3
2
2 2
k k k k
k k
π
π
π
π
π
π
π
π
π π k
Exercícios de Fixação
01. Em determinado trecho do oceano, durante um período de 
vinte e quatro horas, um grupo de surfi stas observou que 
a altura H das ondas, medida em metros, variou de acordo 
com a expressão H t sen
t
( ) ,= + ⋅



2
3
2 12
π na qual t ≥ 0 é o 
tempo, dado em horas.
 A altura das ondas, nesse trecho, não ultrapassou 2,75 m no 
horário da(s)
A) 0 h às 2 h e das 10 h às 24 h.
B) 1 h às 3 h e das 9 h às 23 h.
C) 2 h às 3 h e das 8 h às 20 h.
D) 3 h às 5 h e das 7 h às 20 h.
E) 4 h às 5 h e das 6 h às 20 h.
02. Quando resolvida no intervalo [0, 2π ], o número de quadrantes 
nos quais a inequação 2cos x < 3 apresenta soluções é
igual a:
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3
E) 4
103
MateMática e suas tecnologiasMatemática V
Anual – Volume 3
03. A função D t t( ) , cos= + ⋅ +( )


12 1 6
180
10
π
 fornece uma 
aproximação da duração do dia (diferença em horas entre o 
horário do pôr do sol e o horário do nascer do sol) em uma 
cidade do Sul do país, no dia t de 2010. A variável inteira t, que 
representa o dia, varia de 1 a 365, sendo t = 1 correspondente 
ao dia 1° de janeiro e t = 365 correspondente ao dia 31 de 
dezembro. O argumento da função cosseno é medido em 
radianos. Com base nessa função, verifi ca-se que uma certa 
quantidade n de dias, no ano de 2010 naquela cidade, possui 
duração menor ou igual a doze horas. Marque a opção que 
corresponde ao número n.
A) 175 B) 181 
C) 187 D) 193 
E) 199
04. O conjunto solução da inequação 2 sen2x – cos x – 1 ≥ 0,
no intervalo ]0, 2π] é
A) 
2
3
4
3
π π
,




 B) 
π π
3
5
6
,




C) 
π π
3
5
3
,




 D) 
π π π π
3
2
3
4
3
5
3
, ,




∪ 



E) 
π π π π
6
5
6
7
6
10
6
, ,




∪ 



05. Seja β = ⋅
−
1
2
10
3
10
3
10
7
log
log log
. O conjunto solução da desigualdade 
3
3
7
cos( )x ≥ 



β
 no intervalo [0, 2π[, é igual a
A) 0
6
11
6
2, ,
π π
π



∪ 



 B) 
π π
3
5
3
,




C) 0
4
7
4
2, ,
π π
π



∪ 



 D) 
π π
6
11
6
,




E) 0
3
5
3
2, ,
π π
π



∪ 



Exercícios Propostos
01. Ao longo de um ano, a taxa de câmbio de uma moeda x em 
relação a uma moeda y foi dada pela seguinte função:
f(t) , , cos
(t )
= + ⋅ ⋅
−



1 625 1 25
3
12
π
Sendo t o tempo, dado em meses desde o início do ano. 
Assim, t = 9, indica a taxa no início de outubro, que era de 
1,625 unidades da moeda x para um unidade da moeda y (esse 
valor da taxa indica que, no instante considerado, a moeda x 
era “menos valiosa” que a moeda y)
Houve um intervalo de tempo ao londo do ano considerado em 
que a moeda x deixou de ser “menos valiosa” que a moeda y. 
Esse intervalo teve duração de
A) 5 meses B) 4 meses
C) 3 meses D) 2 meses
E) 1 mês.
02. Considere a equação x2 – 2cos(θ)x +1=0, com 0 ≤ 0 ≤ π. O valor 
da soma dos possíveis valores de θ para os quais esta equação 
admite raízes reais é igual a:
A) 
π
2
 D) 2π
B) π E) 
π
4
C) 
3
2
π
03. O conjunto solução da inequação 1 12− + <cos ,x sen x
no intervalo [0, 2π[ é:
A) 0
3
2
3
2, ,
π π
π



∪ 



 
B) 0
6
5
6
, ,
π π
π



∪ 



C) 0
6
5
6
2, ,
π π
π



∪ 



 
D) −



7
6 6
π π
,
E) 
π π
6
5
6
,




04. (EPCar-AFA) Sendo x ∈[ ]0 2, π , a interpretação gráfica no 
ciclo trigonométrico para o conjunto solução da inequação 
− + − <8 10 3 04 2sen x sen x é dada por:
A)
2
3
π
7
4
π
5
3
π4
3
π
3
π
4
π
cos
sen B)
 2
3
π
3
4
π
5
4
π
4
3
π 5
3
π
7
4
π
4
π3
π
sen
cos
C)
 2
3
π
3
4
π
5
4
π
3
π
4
π
7
4
π
sen
cos
D) sen
cos
6
π5
6
π
7
6
π 11
6
π
05. A solução da inequação 0
2 2
1
1
2
<
+
+
<
sen x sen x
tgx
, para x ∈



0
2
,
π
 
é o conjunto
A) 0
4
,
π



 B) 0
4
,
π



C) 0
2
,
π



 D) 0
2
,
π



E) 
π π
4 2
,




104
MateMática e suas tecnologias Matemática V
Anual – Volume 3
06. Um supermercado, que fi ca aberto 24 horas por dia, faz 
a contagem do número de clientes na loja a cada 3 horas. 
Com base nos dados observados, estima-se que o número 
de clientes possa ser calculado pela função trigonométrica
f(x) = 900 – 800 sen
x ⋅



π
12
, em que f(x) é o número de clientes 
e x,a hora da obervação (x é um número inteiro tal que 0 ≤ x ≤ 24).
TE
A
/1
23
RF
/E
as
yp
ix
 Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre o 
número máximo e o número mínimo de clientes dentro do 
supermercado, em um dia completo, é igual a:
A) 600 
B) 800
C) 900 
D) 1500
E) 1600
07. Em R, o domínio da função f, defi nida por f(x) = 
sen x
senx
2
, é:
A) {x ∈ R | x ≠ kπ, k ∈ Z}
B) {x ∈ R | 2kπ < x < π + 2kπ, k ∈ Z}
C) x k x k∈ + ≤ ≤ + ∈




r Z| ,
π
π
π
π
2
2
3
2
2 k
D) x k x k ou k x k∈ < ≤ + + ≤ < + ∈




r Z| ,2
2
2
3
2
2 2 2π
π
π
π
π π π k
E) x k x k ou k x k∈ ≤ ≤ + + ≤ < + ∈




r Z| ,2
2
2
3
2
2 2 2π
π
π
π
π π π k
08. No intervalo 0 ≤ x ≤ 2π, a solução de tg x – 3 ≥ 0 corresponde a:
A) S x x= ∈ ≤ <




r |
π π
3 2
B) S x x= ∈ ≤ ≤




r |
π π
3
4
3
C) S x x ou x= ∈ ≤ < ≤ <




r |
π π π π
3 2
4
3
3
2
D) S x x ou x= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤




r | 0
3
4
3
π
π
π
E) S x ou x= ∈ ≤ ≤ ≤ <




r | 0
3
4
3
3
2
π
π π π
09. A inequação sen(x) cos(x) ≤ 0, no intervalo de 0 ≤ x ≤ 2π e x real, 
possui conjunto solução:
A) 
π
π
π
π
2
3
2
2≤ ≤ ≤ ≤x ou x
B) 0
2
3
2
≤ ≤ ≤ ≤x ou x
π
π
π
C) 
π π π π
4
3
4
5
4
7
4
≤ ≤ ≤ ≤x ou x
D) 
3
4
5
4
7
4
2
π π π
π≤ ≤ ≤ ≤x ou x
E) 0
3
2
3
≤ ≤ ≤ ≤x ou x
π π
π
10. No intervalo 0 < x < 2π, a inequação (senx + cosx)2 < 1 tem 
solução se:
A) 0 < x < 
π
2
 ou π < x < 
3
2
π
B) 
π
2
 < x < π ou 
3
2
π
 < x < 2π
C) 0 < x < 
π
2
 ou 
3
2
π
< x < 2π
D) 0 < x < 
π
2
E) π < x < 
3
2
π
Fique de Olho
• A soma de todas as soluções distintas da equação:
cos 3x + 2 cos 6x + cos 9x = 0, 
 que estão no intervalo 0
2
≤ ≤x π , é igual a:
A) 2π B) 
23
12
π
C) 
9
6
π D) 
7
6
π
E) 
13
12
π
Solução:
Temos que:
cos x x x
cos x x x
WERNER
9 3 2 6 0
2 6 3 2 6 0
2
+ + =
⋅ + =
cos cos
cos cos
cos
� ��� ���
66 3 1 0x x⋅ + =(cos )
A partir do anulamento do produto, encontramos:
cos , , .
cos
6 0 6
2 12 6 12 4
5
12
3 1 3
x x k x
k
x
ou
x x
= → = + ⋅ → = + ⋅ → =
= − → =
π π π π π π π
π ++ ⋅ → = + ⋅ → =k x K x2
3
2
3 3
π π π π .
Logo, a soma solicitada é igual a S = + + + =π π π π π
12 4
5
12 3
13
12
.
105
MateMática e suas tecnologiasMatemática V
Anual – Volume 3
Inequações Trigonométricas - Parte II
Sessão Videoaula
Inequações Trigonométricas - Parte I
Aula 12: 
Plano Cartesiano, Distância entre 
Dois Pontos e Bissetrizes dos 
Quadrantes (Pares e Ímpares) 
Sistema cartesiano ortogonal
Plano cartesiano
Sendo p(x, y) um ponto do plano cartesiano, ele poderá 
pertencer a um dos eixos coordenados ou a um dos quatro 
quadrantes. Veja:
x
y
4º Q
x > 0
y < 0
2º Q 
x < 0
y > 0
→
x < 0
y < 0
3º Q → →
1º Q
x > 0
y > 0
→
0
(+, –)
(+, +)(–, +)
(–, –)
Note: ox → Eixo das abscissas
oy → eixo das ordenadas
�
�
�
C-2 H-6, 7, 8, 9
H-21, 22
C-5 H-19, 20
H-23
Aula
12
Ponto no plano cartesiano
P
Coordenadas
do ponto
(xP, yp)
yp
y
0 xP x
Note: P ∈ eixo – x → P(x, 0) 
P ∈ eixo – y → P(0, y) 
�
�
�
Exemplo:
Localizar no plano cartesiano ortogonal os pontos:
A(3, 4) E(3, 0)
B(– 2, 3) F(0, 2)
C(– 3, – 4) G(– 4, 0)
D(4, – 2) H(0, – 3)
B
F
EG
C
H
D
x
A
y
Note que:
• E e G ∈ eixo x ⇔ E e G é da forma P(a, 0), onde a ∈ R.
• F e H ∈ eixo y ⇔ F e H é da forma P(0, a), onde a ∈ R.
106
MateMática e suas tecnologias Matemática V
Anual – Volume 3
Bissetrizes dos quadrantes
Traçando a bissetriz dos quadrantes ímpares (b
13
) e a dos 
quadrantes pares (b
24
), temos:
Bissetriz dos
quadrantes pares
(b
24
)
Bissetriz dos
quadrantes ímpares
(b
13
)
y (eixo das ordenadas)
x (eixo das abscissas)
Bissetriz dos quadrantes ímpares
x2
x1
y1
y2P
45º
45º
45º
45º
P(x, y) ∈ bissetriz
13
 ⇔ y = x
Logo, dizemos que y = x é a equação da bissetriz dos 
quadrantes ímpares.
Bissetriz dos quadrantes pares
x
2
x
1
45º
45º
45º
45º
y
1
y
2
P(x, y) ∈ bissetriz
24
 ⇔ y = –x
Logo, dizemos que y = – x é a equação da bissetriz dos 
quadrantes pares.
Exemplo:
Dados os pontos M(2x + 6, x + 4) e N(y – 12, 2y + 6), determine x 
e y para que, M pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares e N 
pertença à bissetriz dos quadrantes pares.
Solução:
M deve ter coordenadas iguais e N, coordenadas opostas, então, 
temos:
• 2x + 6 = x + 4 ⇒ x = – 2
• y – 12 = 2y + 6 ⇒ y = 2
Distância entre dois Pontos
y
b
y
b 
– y
a
y
a
x
a
x
b
x
b 
– x
a 
d
AB 
A
B
C
Dados os dois pontos distintos do plano cartesiano,
chama-se distância entre eles a medida do segmento de reta que 
tem os dois pontos por extremidade. Sendo A(x
A
, y
A
) e B(x
B
, y
B
), 
aplicando Pitágoras, temos:
Note que:
AB AC BC
AB x x y y
d x x y y
B A B A
AB B A B A
2 2 2
2 2 2
2 2
= +
= − + −
= − + −
( ) ( )
( ) ( )
ou
d x yAB = +( ) ( )∆ ∆2 2
Exemplo:
Sendo A(– 1, – 2) e B(7, – 8) dois vértices consecutivos de um 
quadrado, calcular o perímetro e a diagonal do quadrado.
Solução:
Observe que, sendo o lado do quadrado igual a � = d
AB
, temos que 
o perímetro é 2P = 4� e a diagonal é d = � 2, então:
� = d
AB
 = ( ) ( ) ( )7 1 8 2 8 62 2 2 2+ + − + = + −
� = d
AB
 = 10
Logo, 2P = 4 · � ⇒ 2P = 40
e
d d= ⇒ =� 2 10 2
107
MateMática e suas tecnologiasMatemática V
Anual – Volume 3
Exercícios de Fixação
01. O ponto (a, –b) pertence ao segundo quadrante. Os pontos
(–a, b) e (–a, -b) pertencem, respectivamente, aos quadrantes:
A) 3° e 1° 
B) 3° e 4° 
C) 4° e 1° 
D) 4° e 3° 
E) 1° e 3°
02. (Enem) Devido ao aumento do fluxo de passageiros,
uma empresa de transporte coletivo urbano está fazendo estudos 
para a implantação de um novo ponto de parada em uma 
determinada rota. A fi gura mostra o percurso, indicado pelas setas, 
realizado por um ônibus nessa rota e a localização de dois de seus 
atuais pontos de parada, representados por P e Q.
Rua C 
Rua A
y
x
20
320
550
P
Q
30
Ru
a 
B
 Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser instalado, 
nesse percurso, entre as paradas já existentes P e Q, de modo 
que as distâncias percorridas pelo ônibus entre os pontos P e 
T e entre os pontos T e Q sejam iguais.
 De acordo com os dados, as coordenadas do novo ponto de 
parada são:
A) (290; 20) B) (410; 0)
C) (410; 20) D) (440; 0)
E) (440; 20)
03. Em um game, três submarinos de guerra (A, B, C) estão parados 
aguardando os comandos do jogador para agir contra o adversário. 
No radar do adversário, esses três submarinos aparecem como pontos 
de um sistema cartesiano usual, no qual se vê que os submarinos 
A = (1, 3) e B = (1, –2) estão equidistantes do submarino C, que se 
encontra sobre a bissetriz dos quadrantes pares.
No radar inimigo, o submarino C está localizado no ponto
A) C = −



1
2
1
2
, 
B) C = −



1
2
1
2
,
C) C = 



1
2
1
2
, 
D) C = 



1
3
1
3
,
E) C = −



1
3
1
3
,
04. Em um mesmo dia, Cláudia partiu de Quixajuba para Pirajuba, 
enquanto Adilson partiu de Pirajuba para Quixajuba. O gráfi co 
mostra a distância de cada um deles ao respectivo ponto de 
partida durante todo o trajeto, em função do tempo. Quando 
a soma das distâncias percorridas por eles foi os 25 km que 
separa as duas cidades, eles se encontraram na estrada, é claro.
Cláudia
Adilson
km
25
20
25
10
5
0
8 9 10 11 12 13 h
A que horas Cláudia e Adilson se encontraram na estrada?
A) 8h45min B) 10h15min 
C) 10h30min D) 11h00min 
E) 11h45min
05. O diagrama Taiji, representa, na fi losofi a chinesa, a integração 
entre Yin e Yang. Essa fi gura é encontrada em vários períodos 
da história da Arte. 
da
ne
ts
/1
23
RF
/E
as
yp
ix
 A
B
Sabendo-se que A(13, 20) e B(1,4) são extremidades do diâmetro 
AB da circunferência externa do diagrama Taiji, tem-se que a 
área que corresponde ao círculo é igual a: (Considere π = 3)
A) 60 B) 120
C) 300 D) 500
E) 1200
Exercícios Propostos
01. Os pontos A(7, 3), B(–4, 3) e C(–4, –2):
A) Formam um triângulo escaleno.
B) Formam um triângulo isósceles.
C) Formam um triângulo equiângulo.