Metodologia do Ensino de Matemática

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APRESENTAÇÃO 
 
Caro(a) aluno(a), 
 
A Matemática é uma Ciência muito ampla e dinâmica. Por estar presente em 
nosso cotidiano, é necessária a existência de excelentes profissionais para uma 
eficiente divulgação desta abrangência. 
O profissional que opta por fazer um curso de Matemática é responsável pela 
reflexão sobre a situação do ensino dessa disciplina, já que há um aspecto 
característico do ensino de Matemática: o desgosto por essa área manifestado pela 
maioria dos alunos. 
Como mostrar que a Matemática é uma Ciência o em constante construção? 
E como mostrar que esta faz parte do processo de interação social com o mundo? 
Sabemos que esta tarefa não é fácil e, por isto estamos juntos nesta etapa. Neste 
módulo veremos muitos requisitos que nos auxiliarão a refletir sobre esta questão e 
procuraremos refletir sobre as dificuldades a serem enfrentadas como um a meta do 
assunto aqui tratado. 
Sou professora há 12 anos, passando pelo ensino fundamental até Pós 
Graduação, e tenho enfrentado muitos problemas na carreira docente, sempre na 
perspectiva de resolvê-los baseada na Ética do Profissionalismo. Neste intuito, este 
módulo vem nos auxiliar no desenvolvimento de atitudes de nossa carreira. 
Estamos diante da era da informação. Quanto mais sabermos e refletirmos, 
melhor será para nossa carreira. Vamos nessa? 
 
Profª. Ms. Kátia Cristina Cota Mantovani 
 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
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SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 3 
UNIDADE 1 - CONSIDERAÇÕES INICIAIS SOBRE O ENSINO D E MATEMÁTICA 5 
UNIDADE 2: ALGUNS PERÍODOS IMPORTANTES PARA A EVOLU ÇÃO DO 
ENSINO DA MATEMÁTICA .............................. ....................................................... 11 
UNIDADE 3: RECURSOS METODOLÓGICOS ................. ...................................... 19 
RECURSOS METODOLÓGICOS ....................................................................................... 19 
3.1) RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS .................................................................................. 19 
3.2) HISTÓRIA DA MATEMÁTICA ..................................................................................... 22 
3.2.1) HISTÓRIA DA GEOMETRIA ................................................................................... 22 
3.2.2) HISTÓRIA DA ÁLGEBRA ....................................................................................... 26 
3.3) JOGOS ................................................................................................................. 30 
3.4) TECNOLOGIAS NA ÁREA EDUCACIONAL ................................................................... 36 
3.4.1) ROBÓTICA EDUCACIONAL ................................................................................... 42 
3.4.2) NOVAS TECNOLOGIAS EDUCACIONAIS ................................................................. 47 
UNIDADE 4: OS CONTEÚDOS NOS ENSINOS FUNDAMENTAL E M ÉDIO.......... 54 
4.1 NO ENSINO FUNDAMENTAL ..................................................................................... 54 
4.1.1) NÚMEROS E OPERAÇÕES ................................................................................... 55 
4.1.2) ESPAÇO E FORMA .............................................................................................. 56 
4.1.3) GRANDEZAS E MEDIDAS ..................................................................................... 56 
4.2 COMPETÊNCIAS E HABILIDADES A SEREM DESENVOLVIDAS EM MATEMÁTICA NO ENSINO 
MÉDIO ........................................................................................................................ 57 
4.3) TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO .............................................................................. 58 
CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................. ........................................................ 65 
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 66 
 
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INTRODUÇÃO 
 
O conteúdo da Matemática é preocupante para todos. Pesquisas (Gracias, 
2000; Grinspun, 2001; entre outros) indicam a preocupação dos educadores em 
relação ao ensino e, fazer com que os professores pratiquem novas metodologias 
em suas aulas, fazendo com que os alunos não temam ao ensino de um 
determinado conteúdo, já que sabemos que algumas pessoas temem a Matemática 
desde o início de seus estudos no ensino fundamental, e desenvolvem um 
repelente por esta Ciência para a vida toda. 
Sabemos que a Matemática não deveria ser vista como uma disciplina 
temerosa, por ter muitas aplicações e se comportar um amplo campo de relações, 
regularidades e coerências que despertam a curiosidade e instigam a capacidade de 
generalizar, projetar, prever e abstrair, favorecendo a estruturação do pensamento e 
o desenvolvimento do raciocínio lógico. A Matemática faz parte da vida de todas as 
pessoas, notada nas mais simples experiências como contar, comparar e operar 
sobre quantidades. Nos cálculos relativos a salários, pagamentos e consumo, na 
organização de atividades como agricultura e pesca. A Matemática se apresenta 
como um conhecimento de muita aplicabilidade. . 
Diante dessas experiências vividas por todos, nós, educadores, temos que 
fazer a nossa parte para reverter este quadro. Mas, como? 
 A resposta não é simples. Mas é possível embasar nossas aulas em objetivos 
claros e fazer com que o aluno sinta que a disciplina é importante para a vida dele... 
De que forma, vamos fazer isto? Aprender com nossos alunos talvez seja um bom 
começo. E também, antes de entrar em sala de aula, entender os objetivos que 
estão nos levando até ali. 
 Veremos, então, como os Parâmetros Curriculares Nacionais entendem o 
ensino de Matemática e podem auxiliar os professores em suas aulas. 
Ao entender que uma das principais características da Matemática é a 
necessidade que a população apresentou desde a Antiguidade, é possível mostrar 
uma Matemática concreta, sem esquecer da importância da abstração. 
A abstração matemática revela-se no tratamento de relações quantitativas e 
de formas espaciais. 
 
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Enfim, são tantas as aplicações e funções que a Matemática exerce que não 
teriam páginas suficientes deste módulo para mostrar o que realmente esta ciência 
significa para a humanidade... 
Questões a serem refletidas: 
1) Qual o papel do professor quanto à cidadania? E a do aluno? 
2) Como desenvolver a criatividade dos alunos? 
3) O que fazer para que o aluno conheça diversas fontes de informação e saber 
criticá-las? 
 
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UNIDADE 1 - CONSIDERAÇÕES INICIAIS SOBRE O ENSINO 
DE MATEMÁTICA 
 
Meta: refletir sobre os objetivos gerais e específicos para a disciplina de Matemática. 
Objetivos: 
Ao final desta unidade o aluno deverá: 
- entender a finalidade do Ensino Fundamental; 
- entender os objetivos da Matemática no Ensino Fundamental, e estender tais 
objetivos para níveis posteriores; 
- refletir sobre as dificuldades que os professores têm em alcançar os objetivos 
propostos pelos PCNs. 
 
Considerações iniciais sobre o ensino de Matemática 
O ensino da Matemática no Brasil, que nos seus primórdios se restringia ao 
contar, passou por diversas mudanças, na tentativa de suprir uma demanda social, 
como no caso da massificação do ensino primário no processo de industrialização; e 
na busca de modernização junto aos avanços advindos das diversas áreas de 
conhecimento, como a psicologia e a filosofia, o que resultou em alterações no 
direcionamento das ações, passando do enciclopedismo ao tecnicismo, da 
matemática moderna a um misto de formalismo e tecnicismo. 
Deste modo, o Ministério da Educação e Cultura lançou em 1997 os 
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) e os Parâmetros Curriculares nacionais 
do Ensino Médio (PCNEm). Estes documentos auxiliam no ensino de diversas 
disciplinas no Ensino Fundamental, funcionando como um norteador em nossas 
disciplinas. 
Encontramos a disciplina de Matemática no volume 3 dos PCNs, em que 
inicia mostrando os objetivos gerais deste grau, com a finalidade que o aluno 
consiga no Ensino Fundamental: 
• Compreender a cidadania diante da participação social e política, assim como 
exercício dos direitos e deveres políticos, civil e social, adotando no dia-a-dia, 
atitudes de solidariedade, cooperação e repúdio às injustiças, respeitando o outro 
e exigindo para si o mesmo respeito; 
 
 
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Um comentário que aqui se faz necessário é sobre a importância de debates 
em sala de aula, que devem existir para estimular os alunos. A confecção de 
cartazes sobre o tema na própria sala de aula, que é uma atividade lúdica e com 
garantia de sucesso e, o assunto deve se estender a todas as disciplinas. 
Outros objetivos: 
• Posicionar-se de maneira crítica, responsável e construtiva nas diferentes 
situações sociais, utilizando o diálogo como forma de mediar conflitos e de tomar 
decisões coletivas; 
• Conhecer características fundamentais do Brasil nas dimensões sociais, 
materiais e culturais como meio para construir progressivamente a noção de 
identidade nacional e pessoal, além de um sentimento de pertinência ao País; 
• Conhecer e valorizar a pluralidade do patrimônio sociocultural brasileiro, bem 
como aspectos socioculturais de outros povos e nações, posicionando-se contra 
qualquer discriminação baseada em diferenças culturais, de classe social, de 
crenças, de sexo, de etnia ou outras características individuais e sociais; 
• Perceber-se integrante, dependente e agente transformador do ambiente, 
identificando seus elementos e as interações entre eles, contribuindo ativamente 
para a melhoria do meio ambiente; 
• Desenvolver o conhecimento ajustado de si, e o sentimento de confiança em 
suas capacidades afetiva, física, cognitiva, ética, estética, de inter-relação 
pessoal e de inserção social, para agir com perseverança na busca de 
conhecimento e no exercício da cidadania; 
• Conhecer e cuidar do próprio corpo, valorizando e adotando hábitos saudáveis 
como um dos aspectos básicos da qualidade de vida e agindo com 
responsabilidade em relação à sua saúde e à saúde coletiva; 
• Utilizar as diferentes linguagens — verbal, matemática, gráfica, plástica e 
corporal — como meio para produzir, expressar e comunicar suas ideias, 
interpretar e usufruir das produções culturais, em contextos públicos e privados, 
atendendo a diferentes intenções e situações de comunicação; 
• Saber utilizar diferentes fontes de informação e recursos tecnológicos para 
adquirir e construir conhecimentos; 
 
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• Questionar a realidade, formulando-se problemas e tratando de resolvê-los, 
utilizando para isso o pensamento lógico, a criatividade, a intuição, a capacidade 
de análise crítica, selecionando procedimentos e verificando sua adequação. 
 
 Mesmo diante dos objetivos a serem alcançados no Ensino Fundamental, e a 
vontade de fazer os alunos se entusiasmarem com a disciplina e, querendo vencer 
em cada desafio da sala de aula, ainda nos deparamos com situações difíceis de 
resolver. 
Existem alunos que dificultam nossa maneira de lecionar, devido à 
indisciplina, e sabemos que precisamos cumprir o conteúdo, e para piorar, estes só 
prestam atenção quando não é para fazer alguma tarefa relativa ao conteúdo. Ao 
oferecer jogos de Matemática em sala, jogam mecanicamente, mas no momento de 
formalizar o conteúdo não correspondem ao que pedimos. 
 Estamos diante de um quadro enfrentado pela autora, e por muitos 
professores de Matemática. E, para isso, é importante refletirmos sobre a ação de 
cada dia, e como podemos melhorar nossa didática no ensino de Matemática. 
 Um dos aspectos que os PCNs aborda é que “A Matemática precisa estar ao 
alcance de todos e a democratização do seu ensino deve ser meta prioritária do 
trabalho docente”. E, ao seguir este enfoque é que os professores se decepcionam 
por querer ensinar e não conseguir devido ao desinteresse dos alunos. 
O interesse destes alunos pode estar ligado a algum dos conteúdos da Matemática. 
Nem os professores de Matemática gostaram de todas as disciplinas de suas 
graduações como Álgebra Linear, Análise e Equações Diferenciais Aplicadas; 
portanto os alunos podem não diferir muito dessa situação. 
 A questão é fazê-los gostar de pelo menos algum dos conteúdos para que 
fique mais fácil para sua aprendizagem e, seguindo outro aspecto do PCNs: “A 
atividade matemática escolar não é olhar para coisas prontas e definitivas, mas a 
construção e a apropriação de um conhecimento pelo aluno, que se servirá dele 
para compreender e transformar sua realidade”. Tendo em vista a experiência de 
uma aluna que fazia Licenciatura em Matemática, e já era professora em uma sala 
de filhos de agricultores que gostavam somente de assuntos ligados ao plantio. Ela 
propôs aos alunos fazer um planejamento através de tabelas e, através disso 
 
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analisar o índice de vendas, prejuízos e ganhos no mês. Os alunos fizeram isso e 
ensinaram aos pais, com a finalidade de aplicarem em seus rendimentos. 
Há muitos conteúdos da Matemática que podem interessar aos alunos, a 
questão é conhecer o que interessa ao estudante. A impressão que temos que a 
resposta é NADA. Mas, espero que a nossa impressão esteja equivocada, pois eles 
não conhecem todos os conteúdos para saber que não gostam de Matemática. É a 
mesma coisaque posso perguntar ao leitor: “Gosta de badmint?” Se você ainda não 
conhece este jogo que é uma modalidade dos Jogos Panamericanos, você nem tem 
a ideia de como é. É só experimentando para saber... e Matemática também. 
Observe outro aspecto do PCNs: 
 
“No ensino da Matemática, destacam-se dois aspectos básicos: um consiste 
em relacionar observações do mundo real com representações (esquemas, 
tabelas, figuras); outro consiste em relacionar essas representações com 
princípios e conceitos matemáticos. Nesse processo, a comunicação tem 
grande importância e deve ser estimulada, levando-se o aluno a “falar” e a 
“escrever” sobre Matemática, a trabalhar com representações gráficas, 
desenhos, construções, a aprender como organizar e tratar dados”. 
 
O que este aspecto está abordando é a importância da Estatística no ensino 
de Matemática e as várias aplicações que ela desenvolve. 
Algumas experiências frustrantes na docência é escutarmos dos alunos a 
famosa frase “Quem inventou a Matemática?” ou “Eu vou matar quem inventou a 
Matemática” somos abordados por questões que mostram a indignação sobre o 
assunto, e percebe-se que eles não estão vendo significado naquele conteúdo, 
como se a Matemática tenha sido inventada e hoje só estamos vendo o que foi 
criado, sem que seja avisado que ainda continuam as pesquisas na área e novos 
conhecimentos continuam a ser desenvolvidos. 
E mais uma vez os PCNs podem nos nortear sobre esta situação: 
 
“O conhecimento matemático deve ser apresentado aos alunos como 
historicamente construído e em permanente evolução. O contexto histórico 
possibilita ver a Matemática em sua prática filosófica, científica e social e 
contribui para a compreensão do lugar que ela tem no mundo”. 
 
 
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Nessas situações, voltamos a refletir sobre nossas ações, e a recorrer a 
recursos didáticos para que, voltando ao objetivo principal deste capítulo, fazer o 
aluno a interessar-se por algum dos conteúdos, e tentamos os... 
 
“Recursos didáticos como jogos, livros, vídeos, calculadoras, computadores 
e outros materiais têm um papel importante no processo de ensino e 
aprendizagem. Contudo, eles precisam estar integrados a situações que 
levem ao exercício da análise e da reflexão, em última instância, a base da 
atividade matemática”. (BRASIL, 1998) 
 
Existem muitas atividades lúdicas e os jogos despertam muito interesse nos 
alunos, dedicaremos uma parte da unidade para mostrar alguns tipos de jogos em 
diversos níveis. 
 
OBJETIVOS GERAIS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais há alguns objetivos gerais que 
orientam o ensino fundamental. Aqui veremos que alguns destes objetivos 
continuam no ensino médio e superior, como: 
• Identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e 
transformar o mundo à sua volta e perceber o caráter de jogo intelectual, 
característico da Matemática, como aspecto que estimula o interesse, a 
curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade 
para resolver problemas; 
• Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos, do 
ponto de vista do conhecimento, e estabelecer o maior número possível de 
relações entre eles, utilizando para isso o conhecimento matemático 
(aritmético, geométrico, métrico, algébrico, estatístico, combinatório, 
probabilístico); selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para 
interpretá-las e avaliá-las criticamente; 
• Resolver “situações-problema”, sabendo validar estratégias e resultados, 
desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como dedução, indução, 
intuição, analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos 
matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis; 
• Comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar 
resultados com precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso 
 
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da linguagem oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes 
representações matemáticas; 
• Estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos e entre 
esses temas e conhecimentos de outras áreas curriculares; 
• Sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos 
matemáticos, desenvolvendo a auto-estima e a perseverança na busca de 
soluções. 
 
Atividade de Aprofundamento 
 
1) Em um dos objetivos gerais dos PCNs encontramos: 
 
“Desenvolver o conhecimento ajustado de si mesmo e o sentimento de 
confiança em suas capacidades afetiva, física, cognitiva, ética, estética, de 
inter-relação pessoal e de inserção social, para agir com perseverança na 
busca de conhecimento e no exercício da cidadania”; 
 
Desenvolva um roteiro de aula de uma semana para que algum conteúdo de 
Matemática atenda a este objetivo. Discuta as prováveis dificuldades a serem 
enfrentadas, e como enfrentá-las. 
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UNIDADE 2: ALGUNS PERÍODOS IMPORTANTES PARA A 
EVOLUÇÃO DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
 
Meta: Conhecer alguns períodos importantes do ensino de Matemática, 
fazendo uma ligação das dificuldades anteriores com as atuais. 
Objetivo: 
• Conhecer o movimento da Matemática Moderna; 
• Entender as preocupações com o ensino de Matemática em outras épocas; 
• Refletir sobre a evolução do ensino de Matemática; 
• Reflexão sobre a implantação dos temas transversais na prática docente. 
 
Alguns períodos importantes na evolução do ensino d e Matemática 
Entender o que acontece no ensino de Matemática atualmente é 
importantíssimo para os profissionais da área para o entendimento da real situação 
atual do ensino. 
De acordo com Schubring, 1999, (apud Lorenzato & Fiorentini, 2001): 
 
“a Matemática foi a primeira das disciplinas escolares a deflagrar um 
movimento internacional de reformulação curricular no final do século XIX o 
desenvolvimento da formação de professores secundários atribuído à 
iniciativa das universidades européias”. 
 
No início do século XX, ocorreu movimento supracitado na Alemanha sob a 
liderança do matemático Felix Klein. Outro fator importante foi o envolvimento de 
psicólogos americanos e europeus ao realizarem pesquisas sobre o modo como as 
crianças aprendiam a Matemática. Mas, as pesquisas voltadas para o ensino de 
Matemática deram um salto significativo a partir do “Movimento da Matemática 
Moderna”, ocorrido em meados da década de 60. Este movimento surgiu de um lado 
motivado pela Guerra Fria, entre Rússia e Estados Unidos e, de outro, como 
resposta à constatação após a 2º Guerra Mundial, de uma considerável defasagem 
entreo progresso científico-tecnológico e o currículo escolar, então vigente. 
Em 1958, a Sociedade norte-americana de Matemática, por exemplo, optou 
por direcionar suas pesquisas ao desenvolvimento de um novo currículo escolar 
para a disciplina. Surgiram então vários grupos de pesquisa envolvendo 
 
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matemáticos, educadores e psicólogos, como o School Mathematics Study Group, 
que se notabilizou pela publicação de livros didáticos e pela disseminação do ideário 
modernista para além das fronteiras norte-americanas, atingindo também o Brasil 
(Lorenzato & Fiorentini, 2001). 
A Matemática Moderna nasceu como um movimento educacional inscrito 
numa política de modernização econômica, e foi posta na linha de frente por se 
considerar que, juntamente com a área de Ciências Naturais, constituía-se uma via 
de acesso privilegiada para o pensamento científico e tecnológico. 
Dessa forma, o conteúdo a ser ensinado era aquele concebido como lógico, 
compreendido a partir das estruturas, e conferia um papel fundamental à linguagem 
matemática. Os formuladores dos currículos dessa época insistiam na necessidade 
de uma reforma pedagógica, incluindo a pesquisa de materiais novos e métodos de 
ensino renovados, fato que desencadeou a preocupação com a Didática da 
Matemática, intensificando a pesquisa nessa área. 
Ao olhar sob este aspecto, é importante refletir que apesar das reformas 
iniciadas desde a década de 60 ainda temos um ensino marcado pela técnica de 
mostrar como se faz o problema, os alunos, então, memorizam a forma, e repetem o 
procedimento nas futuras tarefas. Atualmente, ainda encontramos aulas baseadas 
na memorização de fórmulas e repetição de formas de fazer o problema. E como 
modificar isso? 
No Brasil, a Matemática Moderna foi veiculada principalmente pelos livros 
didáticos que teve, e ainda tem grande influência na prática docente. O movimento 
Matemática Moderna teve seu refluxo a partir da constatação da inadequação de 
alguns de seus princípios e das distorções ocorridas na sua implantação. O 
movimento continuou durante algumas décadas e a partir de 1980, o documento 
apresentado pelo National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), dos Estados 
Unidos, apresentou recomendações para o ensino de Matemática “Agenda para 
Ação”, o qual enfocava a resolução de problemas como metodologia do ensino da 
Matemática nos anos 80. Também a compreensão da relevância de aspectos 
sociais, antropológicos, linguísticos, na aprendizagem da Matemática, imprimiu 
novos rumos às discussões curriculares. Essas ideias influenciaram as reformas que 
 
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ocorreram mundialmente, a partir de então foram desenvolvidos os seguintes focos 
no ensino de Matemática: 
• Direcionamento do ensino fundamental para a aquisição de competências 
básicas necessárias ao cidadão e não apenas voltadas para a preparação de 
estudos posteriores; 
• Importância do desempenho de um papel ativo do aluno na construção do seu 
conhecimento; 
• Ênfase na resolução de problemas, na exploração da Matemática a partir dos 
problemas vividos no cotidiano e encontrados nas várias disciplinas; 
• Importância de se trabalhar com um amplo espectro de conteúdos, incluindo-
se, já no ensino fundamental, elementos de estatística, probabilidade e 
combinatória, para atender à demanda social que indica a necessidade de 
abordar tais assuntos; 
• Necessidade de levar os alunos a compreenderem a importância do uso da 
tecnologia e a acompanharem sua permanente renovação. 
 
 Porém, mesmo com ideias para fortalecer a prática docente, ainda temos 
muitos problemas em sala de aula. Tais problemas podem ocorrer devido à 
formação dos professores, no tocante ao direcionamento de suas aulas baseadas 
somente em livros didáticos e não acreditem que os conteúdos são veículo para o 
desenvolvimento de ideias fundamentais (como as de proporcionalidade, 
equivalência, etc.) e devam ser selecionados levando em conta sua potencialidade 
quer para instrumentação para a vida, quer para o desenvolvimento do raciocínio. 
Nos PCNs, encontramos o seguinte alerta: 
 
“Quanto à organização dos conteúdos, é possível observar uma forma 
excessivamente hierarquizada de fazê-lo. É uma organização, dominada 
pela ideia de pré-requisito, cujo único critério é a definição da estrutura 
lógica da Matemática, que desconsidera em parte as possibilidades de 
aprendizagem dos alunos. Nessa visão, a aprendizagem ocorre como se os 
conteúdos se articulassem como elos de uma corrente, encarada cada um 
como pré-requisito para o que vai sucedê-lo”. 
 
Sabemos, no entanto, que temos uma lista de conteúdos a cumprir, e que o 
tempo é curto, além de existir uma apostila obrigatória. Por tudo isso, a mudança de 
 
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ordem de conteúdos se torna complicado E, também lembrando que, o tempo é 
restrito e que irá atrasar a apostila. Mas, temos a autonomia de poder despertar o 
interesse dos alunos sobre outros temas que permeiam a apostila. E, se a situação é 
esta, podemos trabalhar entre o despertar do interesse dos alunos em outros 
assuntos, independente do conteúdo imposto pela apostila. 
Então, que tal dar uma “escapadinha” da ementa com uma finalidade séria de 
despertar outros interesses nos alunos? 
O “conhecimento prévio” deveria ser uma das maiores preocupações 
docentes, porém, na maioria das vezes, subestimam-se os conceitos desenvolvidos 
no decorrer da atividade prática do aluno, de suas interações sociais imediatas, e 
parte-se para o tratamento escolar, de forma esquemática, privando os alunos da 
riqueza de conteúdo proveniente da experiência pessoal. E trazer o cotidiano do 
aluno em sala não é tarefa fácil, deve-se pesquisar para entender o mundo em que 
ele está vivendo. 
Notamos, então, que existem problemas antigos e também novos, a serem 
enfrentados em sala de aula são antigos e novos, tarefa que requer 
operacionalização efetiva das intenções anunciadas nas diretrizes curriculares dos 
anos 80 e início dos 90, e a inclusão de novos elementos à pauta de discussões. 
Não é apenas o currículo que aflige a nossa prática, nem apenas a nossa 
formação. As preocupações atuais atingem um patamar inesgotável de questões 
sobre ensino, por exemplo, a pluralidade de etnias existente no Brasil, que dá 
origem a diferentes modos de vida, valores, crenças e conhecimentos, e que se 
apresenta à nossa carreira como um desafio interessante. 
O papel que a Matemática desempenha na formação básica do cidadão 
brasileiro deveria ser um dos principais focos em nossa aula. Falar em formação 
básica para a cidadania significa falar da inserção das pessoas no mundo do 
trabalho, das relações sociais e da cultura, no âmbito da sociedade brasileira. 
Uma maneira interessante de fazê-los pensar sobre a cidadania, é a atividade 
de recortar as figuras que envolvem uma realidade ruim e uma realidade boa em 
revistase jornais. Neste instante conheceremos o que é ruim para o aluno, e assim, 
podemos trabalhar os direitos e deveres dos alunos, mostrando novas perspectiva a 
 
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ele no intuito de melhorar sua vida, falando do trabalho que se pode exercer para 
modificar sua realidade. 
Novas competências demandam novos conhecimentos: o mundo do trabalho 
requer pessoas preparadas para utilizar diferentes tecnologias e linguagens (que 
vão além da comunicação oral e escrita), instalando novos ritmos de produção, de 
assimilação rápida de informações, resolvendo e propondo problemas em equipe. 
Para tanto, o ensino de Matemática prestará sua contribuição à medida que 
forem exploradas metodologias que priorizem a criação de estratégias, a 
comprovação, a justificativa, a argumentação, o espírito crítico, e favoreçam a 
criatividade, o trabalho coletivo, a iniciativa pessoal e a autonomia advinda do 
desenvolvimento da confiança na própria capacidade de conhecer e enfrentar 
desafios. 
É importante destacar que a Matemática deverá ser vista pelo aluno como um 
conhecimento que pode favorecer o desenvolvimento de seu raciocínio, de sua 
capacidade expressiva, de sua sensibilidade estética e de sua imaginação. 
Diante das reformulações vistas no ensino de Matemática, chegamos à época 
atual. Época de difícil (mas não impossível) alcance dos objetivos do ensino desta 
disciplina. Época também que podemos fazer nossas aulas baseadas em projetos 
que envolvam temas atuais, como sugere os PCNs. 
Os projetos proporcionam contextos que geram a necessidade e a 
possibilidade de organizar os conteúdos, de forma a lhes conferir significado. É 
importante identificar que tipos de projetos exploram problemas cuja abordagem 
pressupõe a intervenção da Matemática. 
Os temas a serem tratados são: 
• Ética – trabalhar a atitude dos alunos em determinados temas como política, 
preconceito, vida solidária, etc.. 
• Orientação Sexual - mostrar num mesmo patamar os papéis desempenhados 
por homens e mulheres na construção da sociedade contemporânea, onde 
ainda encontra barreiras ancoradas em expectativas Ao ensino de Matemática 
cabe fornecer os mesmos instrumentos de aprendizagem e de 
desenvolvimento de aptidões a todos, valorizando a igualdade de 
oportunidades sociais para homens e mulheres. 
 
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• Meio Ambiente - é possível trabalhar interdisciplinarmente o quanto a 
quantificação de aspectos envolvidos em problemas ambientais favorece uma 
visão mais clara sobre eles, auxiliando em decisões, como a utilização de 
recursos naturais, desperdício (médias, áreas, volumes, proporcionalidade, 
etc.) e procedimentos matemáticos (formulação de hipóteses, realização de 
cálculos, coleta, organização e interpretação de dados estatísticos, prática da 
argumentação, etc.). 
• Saúde - os dados estatísticos, permitem o estabelecimento de comparações e 
previsões, que contribuem para o auto-conhecimento. Possibilitam, também o 
auto-cuidado e ajudam a compreender aspectos sociais relacionados a 
problemas de saúde. 
• Pluralidade Cultural - a construção e a utilização do conhecimento matemático 
não são feitas apenas por matemáticos, cientistas ou engenheiros, mas, de 
formas diferenciadas, por todos os grupos socioculturais, que desenvolvem e 
utilizam habilidades para contar, localizar, medir, desenhar, representar, jogar 
e explicar, em função de suas necessidades e interesses. É aqui que a 
Etnomatemática pode auxiliar a entender a construção do conhecimento 
matemático por todos os grupos. 
O Programa Etnomatemática contrapõe-se às orientações que 
desconsideram qualquer relacionamento mais íntimo da Matemática com aspectos 
socioculturais e políticos — o que a mantém intocável por fatores outros, a não ser 
sua própria dinâmica interna. Do ponto de vista educacional, procura-se entender os 
processos de pensamento, os modos de explicar, de entender e de atuar na 
realidade, dentro do contexto cultural do próprio indivíduo. A Etnomatemática 
procura partir da realidade e chegar à ação pedagógica de maneira natural, 
mediante um enfoque cognitivo com forte fundamentação cultural. 
 Assim, se o intuito do pesquisador é conhecer a Matemática indígena, ele 
conhece e propõe a troca de conhecimento com a Matemática ocidental, e se há 
este interesse, então as duas culturas ficam em contato com os conhecimentos 
novos. Há um respeito ao que o grupo quer aprender. 
 Segundo Monteiro (in Ribeiro, 2004) a Etnomatemática é uma “proposta 
educacional e filosófica comprometida com grupos menos favorecidos...”. Mas, há 
 
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uma preocupação com todos os grupos, como por exemplo, o conhecimento 
matemático que os médicos cardiovasculares trazem consigo durante uma cirurgia 
(Shockey, 2002) 
Notamos, então, que é possível enriquecer as aulas, despertando o interesse 
de como é a Matemática de diversas e diferentes etnias, como por exemplo, a 
Matemática indígena. 
A Etnomatemática é uma nova forma de enxergar a Matemática, podendo 
tornar-se uma metodologia alternativa se, o professor junto aos alunos pesquisarem 
o conhecimento matemático de diferentes grupos. 
E, percebemos então, a evolução do ensino de Matemática em alguns 
períodos citados. É lógico que o assunto não esgota neste momento, há outros 
períodos tão importantes quanto estes a serem discutidos. Mas, os citados já nos 
levam a refletir como o ensino de Matemática é atualmente e como fazer para 
melhorá-lo. Talvez o novo foco etnomatemático seja uma boa opção e/ou a adoção 
de outros recursos metodológicos como mostra a unidade seguinte. 
 
Atividade de Aprofundamento 
1) Quais as principais preocupações que permearam o ensino de Matemática 
durante os períodos citados? 
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________ 
 
2) Observem a história que envolve duas alunas e a professora, simbolizemos 
os nomes como sendo Lili e Lulu e a professora como Lalá. 
_ Lalá, quero te contar que amassei o carro do ex-namorado de Lulu, bem-feito 
para ele, ninguém mandou que ele fique saindo com a Fifi.- falou Lili 
A professora não gostando daquela situação, argumentou: 
 
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_ Não pode, Lili, vocês não podem se rebaixar a esse nível. Devemos ter um 
comportamento acima dessa situação. Imagineo que o garoto poderia fazer com 
você, se ele descesse do carro? 
_ Amassei mesmo, bem-feito... 
 
Como a professora poderia trabalhar esse assunto utilizando os temas 
transversais e envolvendo a sua disciplina, a Matemática? 
_________________________________________________________________
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_________________________________________________________________
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UNIDADE 3: RECURSOS METODOLÓGICOS 
 
Meta: Conhecer caminhos para “fazer Matemática” na escola. 
Objetivos: Investigas algumas alternativas metodológicas. Como: 
• Resolução de problemas; 
• História da Matemática; 
• Tecnologias na área Educacional; 
• Jogos. 
 
Recursos Metodológicos 
Nesta unidade, estudaremos alguns recursos metodológicos encontrados na 
literatura da área. Também podemos encontrar sugestões de recursos para o “fazer 
Matemática em sala de aula” nos Parâmetros Curriculares Nacionais. 
Estudaremos, então, alguns recursos como: Resolução de Problemas, 
História da Matemática, Tecnologias Educacionais e Jogos, sem colocar em questão 
se um jogo é uma tecnologia educacional, ou mesmo se alguns jogos são problemas 
que despertam no aluno o interesse em sua resolução Como tudo é relativo, não nos 
ateremos a esse mérito: se o jogo é uma tecnologia, pois a questão é mais 
complexa: conseguiremos melhorar o ensino de Matemática. De qual forma?? Os 
jogos despertam interesses nos alunos? Até que ponto este interesse faz com que 
os alunos aprendam algebricamente o conteúdo? 
Questões como essas, fazem-nos estudar tais recursos para que nas 
aplicações em sala de aula, possamos alcançar nossas metas. 
 
3.1) Resolução de problemas 
 Tradicionalmente, os problemas não têm desempenhado seu verdadeiro 
papel no ensino, pois, na melhor das hipóteses, são utilizados apenas como forma 
de aplicação de conhecimentos, adquiridos anteriormente pelos alunos. 
 A prática mais frequente consiste em ensinar um conceito, procedimento ou 
técnica e depois apresentar um problema para avaliar se os alunos são capazes de 
empregar o que lhes foi ensinado, o que mais parece uma receita de bolo. Será que 
não podemos levar o aluno até a quadra de esportes da escola para visualizarem as 
 
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formas geométricas? Ou fazer uma roda no pátio da escola e discutir os problemas 
financeiros que afetam o país? São habilidades que a matemática pode desenvolver 
também, apesar de saber que em algum momento teremos que ensinar a Fórmula 
de Bhaskara na resolução de equação do segundo grau. 
 O saber matemático não se apresenta ao aluno como um sistema de 
conceitos, que lhe permite resolver um conjunto de problemas, mas como um 
interminável discurso simbólico, abstrato e incompreensível. 
Ao colocar em foco a resolução de problemas, o que se defende é uma 
proposta que poderia ser resumida nos seguintes princípios: 
• Situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para 
resolvê-las; 
• Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que 
lhe é posta e, a estruturar a situação que lhe é apresentada; 
• Aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver um certo 
tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para 
resolver outros problemas, o que exige transferências; 
• O aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói um 
campo de conceitos que tomam sentido num campo de problemas; 
• A resolução de problemas é uma orientação para a aprendizagem, pois 
proporciona o contexto em que se pode apreender conceitos, procedimentos e 
atitudes matemáticas. 
 
Diante dos itens indicados nos PCNs, há uma importante reflexão: será fácil aplicar a 
resolução de problemas em nossas aulas, sem confundir com aqueles problemas 
que vem no final do capítulo e que os alunos têm repugnação? 
 Não é tão fácil, mas é possível se tivermos um entendimento sobre tal 
metodologia. O problema é: 
 
“Um problema matemático é uma situação que demanda a realização de 
uma sequência de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a 
solução não está disponível de início, no entanto é possível construí-la” 
(BRASIL, 1997, p. 44). 
 
 
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O aluno tem que se sentir desafiado e, como tudo é relativo, pode ser que o que é 
desafiante para um, não é para outro, de acordo com o nível intelectual de 
conhecimento. 
Resolver um problema pressupõe que o aluno: 
• Elabore um ou vários procedimentos de resolução; 
• Compare seus resultados com os de outros alunos; 
• Valide seus procedimentos. 
 Certa vez, houve uma gincana em um colégio e, os alunos tinham que 
descobrir o motivo da formação da seguinte sequência: 
 
1,2,3,4,11,13,15,19,80,90,91,104,800 
 
Percebemos as crianças tentando resolver esta sequência e descobrir como 
foi formada. Aproveitamos então, para ensinar Progressão Aritmética e Geométrica 
para os alunos do ensino fundamental. Mas, de nada adiantava resolver o enigma, 
até que alguns alunos observaram como se escreve os numerais: 
Um 
Dois 
Três 
Quatro 
Onze 
Treze 
Quinze 
Dezenove 
Oitenta 
Noventa 
Noventa e um 
Cento e quatro 
Oitocentos 
 
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 A primeira letra de cada palavra está em negrito para o leitor visualizar que o 
número um começa com uma Vogal e as três palavras seguintes começam com 
consoante e, a próxima com vogal, então a sequência é: 
V C C C V C C C V C C C V 
Os alunos se entusiasmaram por montarem suas próprias sequências e seus 
amigos descobrirem. 
Percebemos, então, o quanto é necessário desenvolver habilidades que 
permitam pôr em prova os resultados, testar seus efeitos, comparar diferentes 
caminhos, para obter a solução. 
 
3.2) História da Matemática 
A História da Matemática, mediante um processo de transposição didática e, 
juntamente com outros recursos didáticos e metodológicos, pode oferecer uma 
importante contribuição ao processo de ensino e aprendizagem de Matemática. 
 Em muitas situações, o recurso à História da Matemática pode esclarecer 
ideias matemáticas que estão sendo construídas pelo aluno, especialmente para dar 
respostas a alguns questionamentos e, desse modo, contribuir para a constituição 
de um olhar mais crítico sobre os objetos de conhecimento. 
Sabemos quais atividades os alunos gostamde desenvolver, podemos, 
então, fazê-los procurar o site mais bonito e o mais feio sobre História da 
Matemática, e, daí falarem sobre o assunto do site. Uma experiência como esta fez 
com que os alunos dessem risada de suas explorações na web. 
Seminários também são utilizados para falar sobre História da Matemática, 
confecção de cartazes na sala de aula é outra ideia que a autora sempre defende 
para entusiasmar o aluno a estudar Matemática enquanto desenvolve seu senso 
artístico. 
Abaixo veremos as Histórias de alguns ramos da Matemática: 
 
3.2.1) História da Geometria 
As origens da Geometria (do grego medir a terra) parecem coincidir com as 
necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir 
casas, observar e prever os movimentos dos astros, são algumas das muitas 
 
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atividades humanas que sempre dependeram de operações geométricas. 
Documentos sobre as antigas civilizações egípcia e babilônica comprovam bons 
conhecimentos do assunto, geralmente ligados à astrologia. Na Grécia, encontramos 
grandes matemáticos: Arquimedes, Apolônio, Euclides, e algumas obras importantes 
como o resumo feito por Proclo, que comenta os "Elementos" de Euclides, obra que 
data do século V a.C., e refere-se a Tales de Mileto como o introdutor da Geometria 
na Grécia, por importação do Egito. 
Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o triângulo-retângulo, 
que inaugurou um novo conceito de demonstração matemática. Mas, enquanto a 
escola pitagórica do século VI a.C. constituía uma espécie de “seita filosófica”, que 
envolvia sob mistério seus conhecimentos, os "Elementos" de Euclides representam 
a introdução de um método consistente que contribui há mais de vinte séculos para 
o progresso das ciências. Trata-se do sistema axiomático, que parte dos conceitos e 
proposições admitidos sem demonstração (postulados ou axiomas) para construir de 
maneira lógica todo o restante. Assim, três conceitos fundamentais - o ponto, a reta 
e o círculo - e cinco postulados a eles servem de base para toda Geometria 
chamada “euclidiana”, útil até hoje, apesar da existência de geometrias não-
euclidianas baseadas em postulados diferentes (e contraditórios) dos de Euclides. 
As primeiras unidades de medida referiam-se, direta ou indiretamente, ao 
corpo humano: palmo, pé, passo, braça entre outros. Mas, sabemos que tais 
medidas são relativas, então por volta de 3500 a.C. - quando na Mesopotâmia e no 
Egito começaram a ser construídos os primeiros templos - seus projetistas tiveram 
de encontrar unidades mais uniformes e precisas. Adotaram a longitude das partes 
do corpo de um único homem (geralmente o rei) e com essas medidas construíram 
réguas de madeira e metal, ou cordas com nós, que foram as primeiras medidas 
oficiais de comprimento. 
 Tanto entre os sumérios, como entre os egípcios, os campos primitivos tinham 
forma retangular. Também os edifícios possuíam plantas regulares, o que obrigava 
os arquitetos a construírem muitos ângulos retos (de 90º). Embora com bagagem 
intelectual reduzida, aqueles homens já resolviam o problema como um desenhista 
de hoje. Por meio de duas estacas cravadas na terra assinalavam um segmento de 
reta. Em seguida prendiam e esticavam cordas que funcionavam como compassos: 
 
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dois arcos de circunferência se cortam e determinam dois pontos que, unidos, 
secionam perpendicularmente a outra reta, formando os ângulos retos. 
O problema mais comum para um construtor é traçar, por um ponto dado, 
uma reta perpendicular à outra. O processo anterior não resolve este problema, em 
que o vértice do ângulo reto já está pré-determinado. Os antigos geômetras, o 
solucionavam por meio de três cordas, colocadas de modo a formar os lados de um 
triângulo-retângulo. Essas cordas tinham comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5 
unidades, respectivamente. O teorema de Pitágoras explica em todo triângulo-
retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa 
(lado oposto ao ângulo reto). Qualquer trio de números, inteiros ou não, que 
respeitem tal relação definem triângulos-retângulos, que já na antiguidade foram 
padronizados na forma de esquadros. 
A respeito de medida de superfícies, encontramos na História a 
responsabilidade dos sacerdotes, encarregados de arrecadar os impostos sobre a 
terra e calcular a extensão dos campos por meio de um simples golpe de vista. 
Provavelmente através da observação de trabalhadores pavimentando com 
mosaicos quadrados uma superfície retangular, algum sacerdote deve ter notado 
que, para conhecer o total de mosaicos, bastava contar os de uma fileira e repetir 
esse número tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim, nasceu a fórmula da 
área do retângulo: multiplicar a base pela altura. 
E na descoberta da área do triângulo, os antigos fiscais seguiram um 
raciocínio extremamente geométrico. Era preciso tomar um quadrado ou um 
retângulo e dividí-lo em quadradinhos iguais. Suponhamos que o quadrado tenha 9 
"casas" e o retângulo 12, esses números exprimem então a área dessas figuras. 
Cortando o quadrado em duas partes iguais, segundo a linha diagonal, aparecem 
dois triângulos iguais, cuja área, naturalmente, é a metade da área do quadrado. 
Quando se deparavam com uma superfície irregular da terra (nem quadrada, 
nem triangular), os primeiros cartógrafos e agrimensores apelavam para o artifício 
conhecido como triangulação: começando num ângulo qualquer. Traçavam linhas a 
todos os demais ângulos visíveis do campo e, assim, este ficava completamente 
dividido em porções triangulares, cujas áreas somadas davam a área total. Este 
 
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método - em uso até hoje - produzia pequenos erros, quando o terreno não era 
plano ou possuía bordos curvos. 
Sabemos que, desde então, muitos terrenos passaram a seguir o contorno de 
um morro, ou o curso de um rio e algumas construções requerem uma parede curva. 
Assim, um novo problema se apresenta: como determinar o comprimento de uma 
circunferência e a área de um círculo. 
Circunferência é a linha periférica do círculo, sendo este uma superfície. 
Porém, os antigos geômetras observavam que, para demarcar círculos, grandes ou 
pequenos, era necessário usar uma corda, longa ou curta, e girá-la em torno de um 
ponto fixo, que era a estaca cravada no solo como centro da figura. O comprimento 
dessa corda - conhecido hoje como raio - tinha algo a ver com o comprimento da 
circunferência. Retirando a corda da estaca e colocando-a sobre a circunferência, 
para ver “quantas vezes” cabia nela, puderam comprovar que cabia um pouco mais 
de seis vezes e um quarto. Qualquer que fosse o tamanho da corda, o resultado era 
o mesmo. Assim, tiraram algumas conclusões: 
a) o comprimento de uma circunferência é sempre “cerca” de 6,28 vezes maior que o 
de seu raio; 
b) para conhecer o comprimento de umacircunferência, basta averiguar o 
comprimento do raio e multiplicá-lo por 6,28. 
 
A história da Geometria explica a área do círculo em aproximadamente 2000 
anos a.C., um escriba egípcio chamado Ahmes refletia diante do desenho de um 
círculo, no qual havia traçado o respectivo raio. Seu propósito era encontrar a área 
da figura. Conta a tradição que Ahmes solucionou o problema facilmente: antes, 
pensou em determinar a área de um quadrado e calcular quantas vezes essa área 
caberia na área do círculo. Que quadrado escolher? Um qualquer? Parecia razoável 
tomar o que tivesse como lado o próprio raio da figura. Assim fez, e comprovou que 
o quadrado estava contido no círculo mais de 3 vezes e menos de 4, ou 
aproximadamente, três vezes e um sétimo (atualmente dizemos 3,14 vezes). 
Concluiu então que, para saber a área de um círculo, basta calcular a área de 
um quadrado construído sobre o raio e multiplicar a respectiva área por 3,14. 
 
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Figura 1 
 
 
 
 
O número 3,14 é básico na Geometria e na Matemática. Os gregos tornaram-
no um pouco menos inexato: 3,1416. Hoje, o símbolo π ("pi") representa esse 
número irracional, já determinado com uma aproximação de várias dezenas de 
casas decimais. Seu nome possui cerca de duzentos anos, e foi tirado da primeira 
sílaba da palavra peripheria, significando circunferência. 
Por volta de 500 a.C., eram fundadas na Grécia as primeiras universidades. 
Tales e seu discípulo Pitágoras reuniram todo o conhecimento do Egito, da Etúrria, 
da Babilônia, e mesmo da Índia, para desenvolvê-los e aplicá-los à Matemática, 
navegação e religião. A curiosidade crescia e os livros sobre Geometria eram muito 
procurados. Um compasso logo substituiu a corda e a estaca para traçar círculos, e 
o novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos geômetras. O conhecimento do 
Universo aumentava com rapidez e a escola pitagórica chegou a afirmar que a Terra 
era esférica, e não plana. Surgiam novas construções geométricas, e suas áreas e 
perímetros eram agora fáceis de calcular. 
Uma dessas figuras foi denominada polígono, do grego polygon, que significa 
"muitos ângulos". 
Atualmente até rotas de navios e aviões são traçadas por intermédio de 
avançados métodos de Geometria, incorporados ao equipamento de radar e outros 
aparelhos. Percebemos, portanto, que desde os tempos da antiga Grécia, a 
Geometria sempre foi uma ciência aplicada. Dos problemas que os gregos 
conseguiram solucionar, dois merecem referência: o cálculo da distância de um 
objeto a um observador e o cálculo da altura de uma construção. 
 
3.2.2) História da Álgebra 
A palavra Álgebra é uma variante latina da palavra de origem árabe al-jabr (às 
vezes transliterada al-jebr), usada no título de um livro, Hisab al-jabr w'al-muqabalah, 
 
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escrito em Bagdá por volta do ano 825, pelo matemático árabe Mohammed ibn-
Musa al Khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, de Khowarizm). Este trabalho de 
Álgebra é com frequência citado, abreviadamente, como Al-jabr. 
 Uma tradução literal do título completo do livro é a "ciência da restauração (ou 
reunião) e redução", mas matematicamente seria melhor "ciência da transposição e 
cancelamento"-ou, conforme Boher, "a transposição de termos subtraídos para o 
outro membro da equação" e "o cancelamento de termos semelhantes (iguais) em 
membros opostos da equação". Assim, dada a equação: 
x
2
 + 5x + 4 = 4 - 2x + 5 * 3 
x
2
+ 7x + 4 = 4 + 5 *3 
x
2
+ 7x = 5*3 
 Pode ser que a melhor tradução fosse simplesmente "a ciência das 
equações". Ainda que originalmente a palavra "álgebra" refira-se a equações, ela 
possui um significado muito mais amplo. Uma definição satisfatória requer um 
enfoque em duas fases, uma vez que a divisão é tanto cronológica como conceitual: 
(1) Álgebra antiga (elementar) é o estudo das equações e métodos de resolvê-las. 
(2) Álgebra moderna (abstrata) é o estudo das estruturas matemáticas tais como 
grupos, anéis e corpos - para mencionar apenas algumas. 
A fase antiga (elementar), que abrange, aproximadamente, o período de 1700 
a.C. a 1700 d.C., caracterizou-se pela invenção gradual do simbolismo e pela 
resolução de equações (em geral coeficientes numéricos) por vários métodos, 
apresentando progressos pouco importantes até a resolução "geral" das equações 
cúbicas e quárticas e o inspirado tratamento das equações polinomiais, em geral 
feito por François Viète, também conhecido por Vieta (1540-1603). 
 O desenvolvimento da notação algébrica evoluiu ao longo de três estágios: o 
retórico (ou verbal), o sincopado (no qual eram usadas abreviações de palavras) e o 
simbólico. No último estágio, a notação passou por várias modificações e mudanças, 
até tornar-se razoavelmente estável ao tempo de Isaac Newton. É importante 
perceber que, mesmo hoje, não há total uniformidade no uso de símbolos. Como a 
álgebra provavelmente se originou na Babilônia, parece apropriado ilustrar o estilo 
retórico com um exemplo daquela região. 
 
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 A álgebra surgiu no Egito quase ao mesmo tempo que na Babilônia; mas 
faltavam à álgebra egípcia os métodos sofisticados da álgebra babilônica, bem como 
a variedade de equações resolvidas, a julgar pelo Papiro Moscou e o Papiro Rhind - 
documentos egípcios que datam de cerca de 1850 a.C. e 1650 a.C., 
respectivamente, mas refletem métodos matemáticos de um período anterior. Para 
equações lineares, os egípcios usavam um método de resolução que consistia em 
uma estimativa inicial seguida de uma correção final - um método ao qual os 
europeus posteriormente deram o nome de "regra da falsa posição". 
O sistema de numeração egípcio, relativamente primitivo em comparação com 
o dos babilônios, ajuda a explicar a falta de sofisticação da álgebra egípcia. Os 
matemáticos europeus do século XVI tiveram de estender a noção indo-arábica de 
número, antes de poderem avançar significativamente além dos resultados 
babilônios de resolução de equações. 
A álgebra grega conforme foi formulada pelos pitagóricos e por Euclides, era 
geométrica. Por exemplo, o que nós escrevemos como: 
(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 
era concebido pelos gregos em termos do diagrama apresentado na Figura 1 e era 
curiosamente enunciado por Euclides em Elementos, livro II, proposição 4: 
Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha 
toda é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo 
que as partes contém: (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 
É bem provável que, para os gregos da época de Euclides, o símbolo a 2 
representava realmente um quadrado e não há dúvidas de que os pitagóricos 
conheciam bem a álgebra babilônica e, de fato, seguiam os métodos-padrão 
babilônios de resolução de equações. Euclides deixou registrado esses resultados 
pitagóricos. Para ilustrá-lo, observe o teorema correspondente ao problema babilônioconsiderado acima. 
 
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29
Figura 2 
 
Do livro VI. dos Elementos, temos a proposição 28 (uma versão simplificada): 
Dada uma linha reta AB [isto é, x+y=k], construir ao longo dessa linha um 
retângulo com uma dada área [xy = P], admitindo que o retângulo "fique aquém" em 
AB por uma quantidade "preenchida" por outro retângulo [o quadrado BF na Figura 
2], semelhante a um dado retângulo [que aqui nós admitimos ser qualquer 
quadrado]. 
Figura 3 
 
Segundo se sabe, os gregos tinham uma certa dificuldade conceitual com 
frações e números irracionais. Mesmo sendo, os matemáticos gregos capazes de 
contornar as frações, tratando-as como razões de inteiros, eles tinham dificuldades 
insuperáveis com números como a raiz quadrada de 2, por exemplo. Lembramos o 
"escândalo lógico" dos pitagóricos quando descobriram que a diagonal de um 
quadrado unitário é incomensurável com o lado (ou seja, diagonal/lado é diferente 
da razão de dois inteiros). 
Desse modo, o estrito rigor matemático os forçou a usar um conjunto de 
segmentos de reta como domínio conveniente de elementos. Pois, ainda que raiz 
quadrada de 2 não possa ser expressa em termos de inteiros, ou suas razões, pode-
se representá-la como um segmento de reta que é, precisamente, a diagonal do 
quadrado unitário. 
 
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30
 É importante mencionar Apolônio (225 a.C.), que aplicou métodos 
geométricos ao estudo das secções cônicas. De fato, seu grande tratado “Secções 
cônicas” contém geometria analítica das cônicas. 
A Matemática grega teve uma parada notável em sua produção, devido a um 
dos motivos como a ocupação romana que tinha começado, e não encorajava a 
erudição matemática, ainda que estimulasse alguns outros ramos da cultura grega. 
Devido ao estilo pesado da álgebra geométrica, esta não poderia sobreviver 
somente na tradição escrita; necessitava de um meio de comunicação vivo oral. Era 
possível seguir o fluxo de ideias desde que um instrutor apontasse para diagramas e 
explicasse; mas as escolas de instrução direta não sobreviveram. 
 Na Europa, a renascença e o rápido florescimento da álgebra foram devidos 
aos seguintes fatores: 
- facilidade de manipular trabalhos numéricos através do sistema de 
numeração indo-arábico, muito superior aos sistemas (tais como o romano) que 
requeriam o uso do ábaco; 
-invenção da imprensa com tipos móveis, que acelerou a padronização do 
simbolismo mediante a melhoria das comunicações, baseada em ampla distribuição; 
-ressurgimento da economia, sustentando a atividade intelectual; e a 
retomada do comércio e viagens, facilitando o intercâmbio de ideias tanto quanto de 
bens. 
Cidades fortes no âmbito comercial surgiram primeiro na Itália, e foi lá que o 
renascimento algébrico na Europa efetivamente teve início. 
 
3.3) Jogos 
Uma metodologia sempre favorável ao ensino de qualquer disciplina é a 
inserção de jogos em aula, porém sempre com um objetivo real e inserido ao 
conteúdo adequado resulta em uma competição saudável e despertadora de 
interesses. 
Nos PCNs, encontramos a definição: “o jogo é uma atividade natural no 
desenvolvimento dos processos psicológicos básicos; supõe um “fazer sem 
obrigação externa e imposta”, embora demande exigências, normas e controle” 
 
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Provavelmente, a situação mais produtiva do meio acadêmico é a que 
envolve o jogo, quer na aprendizagem de noções, quer como meios de favorecer os 
processos que intervêm no ato de aprender e não se ignora o aspecto afetivo que, 
por sua vez, se encontra implícito no próprio ato de jogar. Uma vez que o elemento 
mais importante é o envolvimento do indivíduo que brinca. 
Pode-se dizer, com base nas características que definem os jogos de regra, 
que o aspecto afetivo manifesta-se na liberdade da sua prática. Prática esta, inserida 
num sistema que a define por meio de regras, o que é, no entanto, aceito 
espontaneamente. Impõem-se um desafio, uma tarefa, uma dúvida, entretanto é o 
próprio sujeito quem propõe a si mesmo resolvê-los (Silva & Kodoma, 2004). 
Para Miranda (2001): 
 
“Prazer e alegria não se dissociam jamais. O “brincar” é incontestavelmente 
uma fonte inesgotável desses dois elementos. O jogo, o brinquedo e a 
brincadeira sempre estiveram presentes na vida do homem, dos mais 
remotos tempos até os dias de hoje, nas mais variadas manifestações 
(bélicas, filosóficas, educacionais). O jogo pressupõe uma regra, o 
brinquedo é o objeto manipulável e a brincadeira, nada mais é que o ato de 
brincar com o brinquedo ou mesmo com o jogo. Jogar também é brincar 
com o jogo. O jogo pode existir por meio do brinquedo, se os brincantes lhe 
impuserem regras. Percebe-se, pois, que jogo, brinquedo e brincadeira têm 
conceitos distintos, todavia estão imbricados; e o lúdico abarca todos eles” . 
 
Percebemos a participação ativa do sujeito sobre o seu saber é valorizado por no 
mínimo dois motivos: 
• Fato de oferecer uma oportunidade para os estudantes estabelecerem uma 
relação positiva com a aquisição de conhecimento, pois o conhecer passa a ser 
percebido como real possibilidade. 
• Valorizar a participação do sujeito na construção do seu próprio saber é a 
possibilidade de desenvolver seu raciocínio. Os jogos são instrumentos para 
exercitar e estimular um agir-pensar com lógica e critério, condições para 
jogar bem e ter um bom desempenho escolar. 
 
Um exemplo a ser mostrado é o jogo “STOP”, em que toda criança trabalha 
com conceitos de: NOME, CIDADE, COMIDA, COR, entre outros, podendo variar 
entre várias opções, mas aqui podemos utilizar o “STOP” ao nosso favor, com o 
chamado “STOP MATEMÁTICO”. 
 
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De acordo com a série é possível utilizar mais conteúdos. 
As regras são: 
• Trabalhar em duplas, previamente escolhidas pelo professor; 
• As duplas têm que mostrar dois números que de acordo com cada 
operação resulta no número escolhido pelo professor ou por uma dupla; 
• A pontuação é a mesma do “STOP TRADICIONAL”, Dez pontos para 
quem coloca os números inéditos, Cinco pontos para empate e nenhum 
ponto para quem não fez. 
• O professor ou outra dupla escolhe um número e as duplas fazem as 
operações. 
Exemplo: 
O “STOP” a seguir foi aplicado em uma 8ª série: 
O número: 25 
 
Tabela 1: Exemplo do “STOP MATEMÁTICO” 
Adição Subtração Multiplicação Divisão Potenciação Radiciação 
2+23 28-3 5*5 125/5 5^ 2 225 
 
 
 Para crianças menores, os jogos podem ser ações que elas repetem 
sistematicamente, mas que possuem um sentido funcional (jogos de exercício), isto 
é, são fontes designificados e, portanto, possibilitam compreensão, geram 
satisfação, formam hábitos que se estruturam num sistema. Esta repetição funcional 
também deve estar presente na atividade escolar, pois é importante no sentido de 
ajudar a criança a perceber regularidades. 
Os jogos são também, instrumentos de entretenimento para os adultos, 
mesmo em bancos de universidades, vemos alunos jogando “truco”. Percebemos, 
então, que apesar de toda a formalidade do ensino superior existe um passatempo, 
obtido através de um jogo. E por que não aplicar na metodologia de uma aula no 
ensino superior? 
 
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O ensino de Probabilidade pode ser iniciado através do baralho. E, através 
disto, entender qual a probabilidade de sair um rei dentre as cartas de um único jogo 
de baralho. 
Algumas pesquisas estão sendo realizadas com intuito de obter mais jogos 
que visem a melhoria do ensino de Matemática (Silva & Kodoma, 2004; Fanti &Silva, 
2004).e aqui destacaremos alguns jogos interessantes: 
 
TRAVERSE 
O jogo Traverse, cujos direitos autorais pertencem a Glacier Games Company 
(EUA,1991) é comercializado no Brasil, pela UNICEF. Como podemos notar 
Traverse parece com a palavra atravessar, que, de acordo com o Dicionário Aurélio 
(1986, p.197), atravessar significa: “(...) passar para o outro lado, transpor”. Essa 
ação corresponde ao movimento das peças no tabuleiro. 
Questões como: “Para onde vou?”, “Para onde devo olhar?”, “Qual a direção 
dos carros?”, “Preciso andar rápido?” são fundamentais para garantir o sucesso do 
objetivo. Uma análise detalhada e coordenada também deve ser feita para jogar o 
Traverse. Nesse jogo, as ações futuras devem ser avaliadas a cada momento, uma 
vez que a relação entre as peças modifica-se, depois que ocorre uma jogada. Assim 
sendo, realizar uma travessia exige muita atenção para coordenar as partes que 
compõem o todo (Silva & Kodoma, 2004). 
 
Descrição: 
O jogo é constituído de um tabuleiro quadriculado de 10x10 cm e de 8 peças 
de cada cor (azuis,amarelas, vermelhas e verdes), sendo: 2 triângulos, 2 losangos, 2 
círculos e 2 quadrados. Jogam de dois a quatro parceiros. 
Objetivo: 
Mover todas as peças de sua fileira inicial para o lado oposto do tabuleiro (fileira de 
destino). 
Regras: 
1) Cada jogador escolhe uma cor e coloca suas peças de um lado do tabuleiro 
(fileira inicial), na ordem que considerar conveniente, sem incluir os cantos. 
 
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2) As peças devem ser movidas de acordo com seu formato (losangos e triângulos 
devem apontar sempre para frente, o que facilita visualizar seus movimentos): 
• quadrados: movem-se vertical e horizontalmente; 
• losangos: têm movimentos diagonais para frente e para trás; 
• triângulos: movem-se nas diagonais somente para frente e na vertical para 
trás; 
• círculos: podem fazer movimentos em todas as direções. 
3) As peças podem ser movidas em um espaço de cada vez, em direção a um 
espaço vazio; ou com passes curtos ou longos (vide regras 4 e 5). 
4) Passes curtos: O jogador pode “pular” por cima de qualquer peça, desde que 
esta seja vizinha à sua, e a próxima casa, na direção da jogada, possa ser ocupada. 
As peças “puladas ” não são capturadas nem voltam ao início do tabuleiro, servindo 
apenas como “trampolim ” para o salto (exceção feita ao círculo – vide regra 7). 
5) Passes longos: O passe pode ter longa distância, passando por cima de uma 
peça que não esteja adjacente à sua, desde que haja simetria entre os espaços 
vazios, antes e depois da peça pulada. Mais uma casa que a peça do jogador 
ocupará ao final do passe. 
6) Séries de pulos: O jogador poderá fazer uma série de pulos consecutivos, 
contanto que cada passe esteja de acordo com as regras do jogo. 
7) O círculo : se o jogador passar por cima do círculo de um adversário, deverá 
colocá-lo na fileira inicial, para que recomece sua travessia. Quando o jogador usar 
seu próprio círculo como trampolim, o círculo deve permanecer onde estava (antes 
da jogada). 
8) Ao chegar à fileira de destino, as peças não podem mais voltar ao tabuleiro nem 
serem movidas na própria fileira de chegada. 
9) O jogo termina quando um jogador conseguir chegar com suas oito peças no lado 
oposto do tabuleiro. 
 A questão do “jogar” Traverse, não deve simplesmente ficar entre os 
jogadores, mas o professor deve ser questionador das ações dos jogadores. 
 
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Para os autores, uma estratégia para a introdução do jogo é: quatro jogadores 
que conhecem as regras jogarão em local que permita o acompanhamento da 
partida por todos. Quem o apresenta, coloca-se diante do grupo de modo que todos 
possam ver o tabuleiro. A colocação das peças e o desenrolar da partida. É 
conveniente anunciar a proposta, no sentido de localizar o que é para ser 
observado: material, ações realizadas e o objetivo do jogo. Deve-se sugerir aos 
observadores que tenham lápis e papel em mãos para registrar tudo o que forem 
percebendo. Joga-se uma partida até o final, e depois, então, podem ser feitos 
alguns questionamentos, como por exemplo: 
1. Como é o material que você observou? Descreva-o e desenhe-o. 
2. Qual é o objetivo do jogo? 
3. Faça uma lista das palavras importantes para jogar o “Traverse”. 
4. Fale sobre a importância de cada uma das peças e seus movimentos. 
 
DOMINÓ DAS QUATRO CORES 
De acordo com Guzmán (1991), (apud Silva & Kodoma, 2004) o problema 
que levou à criação do Jogo de Quatro Cores data de 1852, quando Francis Guthrie, 
recém formado pela Universidade de Londres, percebeu que a maioria dos mapas 
encontrados em Atlas eram pintados com quatro cores, respeitando-se o critério de 
não utilizar a mesma cor em territórios adjacentes. Escreveu, então, para o irmão 
Frederick, ainda aluno da mesma universidade, pedindo uma demonstração matemática 
deste teorema: quatro cores bastam para colorir qualquer mapa sem que as regiões 
vizinhas tenham a mesma cor. Frederick encaminhou o problema para o matemático 
Augustus de Morgan, seu professor, que tentou, em vão, demonstrar o teorema. Por 
mais de um século, matemáticos e outros estudiosos buscaram, sem sucesso, soluções 
para o desafio proposto por Guthrie. Algumas teorias tiveram aceitação por muitos anos, 
mas foram superadas por outras mais abrangentes, não sendo nenhuma delas 
suficiente para resolver o problema. A solução, em princípio satisfatória, foi dada por 
Keneth Apple e Wolfgan Haken, professores da Universidade de Illinois, em 1976, 
depois de seis anos de intensas pesquisas utilizando computador. Mas, como essa 
solução ainda é questionada, as investigações continuam. 
Descrição: Seis peças retangulares com lados medindo 3 cm e 9 cm, sendo duas 
amarelas, duas azuis e duas verdes; seis peças retangulares de lados 3 cm e 6 cm, 
 
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sendo duas azuis, duas vermelhas e duas verdes; e, seis peças quadradas com lados 
medindo 3 cm, sendo três azuis, duas vermelhas e uma amarela. 
Objetivo: Construir um quadrado usando todas as peças. 
Regra: Peças de mesma cor não se tocam, nem mesmo pelo vértice. 
Observação: A proposta pode ser desenvolvida de modo cooperativo, onde os 
jogadores buscam, juntos, a solução do problema, discutindo, analisando as 
possibilidades e trocando ideias, ou também, na forma competitiva entre dois 
jogadores, ou dois grupos de jogadores. 
 
 Os mesmos autores propõem algumas atividades com o jogo: 
Atividade 1. Cada jogador, ou dupla, à sua vez, escolhe uma peça do monte e 
a coloca sobre uma base quadrada de 18 cm de lado (em qualquer posição – não 
precisa ser adjacente à última colocada). Perde o jogo quem, em sua vez, não 
conseguir colocar uma peça dentro do quadrado, de acordo com a regra. 
Atividade 2. Para iniciar, os jogadores (ou equipes) escolhem nove peças 
cada um(a). À sua vez, só poderá colocar uma dentre as peças já selecionadas. O 
jogo prossegue até que os jogadores (ou duplas) não possam mais colocar peças 
para formar o quadrado. Na impossibilidade de continuar o jogo, ganha quem ficar 
com o menor número de peças. 
Atividade 3. Faça todos os quadrados possíveis usando 3 peças. Anote as 
soluções obtidas, e verifique se uma delas pode ser obtida da outra por simetria. 
Atividade 4. 
a) Escolha uma peça como unidade e determine a área do quadrado obtido na 
atividade 3. 
b) Escolha outra peça (com forma diferente da primeira) e refaça o item (a) 
c) Comparando os resultados obtidos, o que podemos concluir? 
 Outros jogos são propostos em sala de aula, podemos sempre tentar propor 
alguns jogos na sala para entusiasmar nossos alunos e atingirmos nossas metas. 
 
3.4) Tecnologias na Área Educacional 
Etimologicamente, tecnologia provém de técnica (do latim techné), que quer 
dizer arte ou habilidade. Assim, podemos falar que é uma atividade voltada para a 
prática. 
 
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Vargas (apud Grinspun, 1999) propõe um significado para a tecnologia: “(...) 
aplicação das teorias, métodos e processos científicos às técnicas” 
 Segundo Grispun (1999): 
 
“O principal objetivo da tecnologia é aumentar a eficiência da atividade 
humana em todas as esferas, incluindo a produção. Poderíamos dizer que a 
tecnologia envolve um conjunto organizado e sistematizado de diferentes 
conhecimentos científicos, empíricos e até intuitivos voltados para um 
processo de aplicação na produção e na comercialização de bens e 
serviços”.(pág.49) 
 
Ao se tratar de sala de aula, percebemos a necessidade da inserção de novas 
tecnologias no meio educacional. Não podemos deixar de considerar que o 
mimeógrafo já foi uma grande tecnologia inovadora da época, porém, hoje já 
ultrapassada. 
 Não esqueçamos também da importância do desenvolvimento passo-a-passo 
de uma fórmula na lousa, talvez (ainda) nada substitua esta metodologia em que o 
aluno verifica seu conhecimento algébrico transformando-se em outra fórmula 
generalizada. Mas, podemos inserir, se tivermos acesso, as tecnologias da 
informação. 
 Sabemos, também, que ainda existem professores que não se sentem e 
condições de incorporar as Tecnologias da Informação em suas práticas, tendem a 
encarar com desconfiança e resistência a introdução das novas Tecnologias da 
Informação e comunicação. 
 Penteado (2000) defende que “para explorar o potencial educacional das 
Tecnologias Informáticas (TI) é preciso haver mudanças na organização da escola e, 
particularmente, no trabalho do professor”. 
 A autora citada acima estuda a eficiência da Informática na escola e suas 
consequências, nestas pesquisas concluiu que “É necessário ajustar e/ou eliminar 
práticas e regras já existentes e concentrar esforços na criação de situações novas”. 
Quando se refere às tais situações novas diz às normas institucionais, o currículo, a 
relação com os alunos, com os pais e professores. 
 A mesma autora verifica ainda que devam ocorrer mudanças também quanto 
ao professor: 
 
 
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“...As mudanças envolvem desde questões operacionais – a organização do 
espaço físico e a integração do velho com o novo–até questões 
epistemológicas, como z produção de novos significados para o conteúdo a 
ser ensinado”. São mudanças que afetam a zona de conforto da prática do 
professor e criam uma zona de risco caracterizada por baixo índice de 
certeza e controle da situação de ensino”.(pág. 23) 
 
Não podemos mais negar que o computador faz parte da vida do nosso aluno 
fora da sala de aula e, é necessário percebermos as mudanças na sociedade devido 
a todo tipo de tecnologia. 
Encontramos nos PCNs, a seguinte orientação: “As técnicas, em suas 
diferentes formas e usos, constituem um dos principais agentes de transformação da 
sociedade, pelas implicações que exercem no cotidiano das pessoas” 
Já existem muitas escolas utilizando calculadora em suas aulas, já que este 
instrumento faz parte da realidade da população; 
Então, é preciso repensar sobre a utilização da calculadora em sala de aula, 
sempre levando em conta que é preciso fazer contas sem calculadora, depois 
conferi-las na calculadora, pois nos concursos não podemos utilizá-la. A calculadora, 
no entanto, ela pode ser usada como um instrumento motivador na realização de 
tarefas exploratórias e de investigação. 
Borba e Penteado (2001) têm estudado esta tendência de incorporação 
tecnológica no ensino de Matemática e discutem que existem posições favoráveis e 
contrárias a essa inserção. As posições favoráveis exageram na importância da 
tecnologia, afirmando que o computador é a solução para os problemas 
educacionais, e as posições contrárias à informática questionam se essas 
tecnologias não dificultariam a aprendizagem dos alunos, na condição de meros 
repetidores de tarefas. Afirmam ainda, que os alunos não desenvolveriam o 
raciocínio matemático, por ser o mesmo realizado pelo computador. 
Os autores afirmam que o computador, segundo Pierre Levy, é uma evolução 
das mídias, que passaram pelas fases de oralidade, pelo “papel-e-lápis” até 
chegarem à informática. Apontam, também, que existem dois caminhos que podem 
ser utilizados pelos professores na incorporação das tecnologias na aula de 
Matemática, o caminho em que tudo é programável e o outro em que pode surgir 
novas situações que não estão sob o controle do professor, mas juntos podem 
investigar e achar a solução. 
 
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Apesar de muitos professores preferirem a aula programada, de modo a 
correr dentro do previsto, sabe-se que podem ocorrer situações inesperadas, atémesmo na mais perfeita programação. 
O computador pode ser usado como elemento de apoio para o ensino (banco 
de dados, elementos visuais), mas também como fonte de aprendizagem, e como 
ferramenta para o desenvolvimento de habilidades. O trabalho com o computador 
pode ensinar ao aluno a aprender com seus erros e a aprender junto com seus 
colegas, trocando suas produções e comparando-as. 
Alguns softwares incorporados à sala de aula, como: Cabri-Geométre, Logo e 
Gerador de Gráficos podem auxiliar muito o ensino. 
Logo é uma linguagem de programação que foi desenvolvida no 
Massachusetts Institute of Technology (MIT), Boston, Estados Unidos, por um grupo 
de pesquisadores liderados pelo professor Seymour Papert. Como linguagem de 
programação, serve para nos comunicarmos com o computador. E foi desenvolvido 
por volta de 1968. Conta-se que a ideia surgiu durante um jantar em que estavam 
Seymour Papert, Wallace Feurzeig (diretor do grupo de Tecnologia Educacional da 
Bolt, Beranek e Newman – BBN), Cynthia Solomon (pesquisadora pertencente à 
BBN) e Daniel Bobrow (na época, estudante de pós-graduação do MIT). Nesse 
jantar alguém propôs a criação de uma linguagem de programação que fosse 
bastante poderosa e capaz de substituir o Basic. Dessa ideia nasceu Logo, uma 
linguagem com capacidade de processar listas e de permitir a criação de novos 
procedimentos. 
Entretanto, nessa época o Logo não dispunha de capacidade gráfica, já que 
os computadores daquele período não possuíam essa facilidade. Por meio da sua 
utilização, e de inúmeras pesquisas, Papert conseguiu dar àquele Logo uma nova 
roupagem e uma estrutura filosófica, sendo por isso considerado, até hoje, o pai do 
Logo. 
A proposta do Logo é ensinar pessoas de todas as idades como programar, 
além de ser um software que pode ser utilizado na parte de geometria e na parte da 
robótica. 
 
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Apresenta características especialmente elaboradas para programar uma 
metodologia de ensino baseada no computador (metodologia Logo) e para explorar 
aspectos do processo de aprendizagem. 
O Logo tem, assim, duas raízes: uma computacional e outra filosófica. Do 
ponto de vista computacional, as características do Logo que contribuem para que 
ele seja uma linguagem de programação de fácil assimilação são: exploração de 
atividades espaciais, fácil terminologia e a capacidade de se criar novos termos ou 
procedimentos. As atividades permitem o contato quase que imediato do aprendiz 
com o computador. Essas atividades espaciais facilitam muito a compreensão da 
filosofia pedagógica do Logo por parte dos especialistas em computação. Por outro 
lado, elas fazem com que os aspectos computacionais, da linguagem de 
programação Logo, sejam acessíveis aos especialistas em educação. 
Com as atividades espaciais, a proposta é utilizar esses conceitos nas 
atividades de comandar uma tartaruga mecânica a se mover no espaço ou 
atividades de desenhar na tela do computador (atividades gráficas). Isso se deve ao 
fato de essas atividades envolverem conceitos espaciais adquiridos nos primórdios 
da nossa infância, quando começamos a engatinhar. 
Entretanto, esses conceitos permanecem no nível intuitivo. Por exemplo, a 
criança aprende, sem grande dificuldade, a ir da sua casa até a padaria. Essa 
atividade é desenvolvida sem ela se dar conta de que está usando conceitos como 
distância, ângulo reto, para virar esquinas. A proposta da atividade gráfica do Logo é 
utilizar esses conceitos nas atividades de comandar a tartaruga. No processo de 
comandar a tartaruga, para ir de um ponto a outro, esses conceitos devem ser 
explicitados. Isso fornece as condições para o desenvolvimento de conceitos 
espaciais, numéricos, geométricos, uma vez que a criança pode exercitá-los, 
depurá-los e utilizá-los em diferentes situações. 
Os domínios de aplicação do Logo estão em permanente desenvolvimento, 
com o objetivo de atrair um maior número de usuários e motivar os alunos a usar o 
computador para elaborar as mais diferentes atividades. Entretanto, o objetivo não 
deve ser concentrado no produto que o aluno desenvolve, mas na filosofia de uso do 
computador e como ele está facilitando a assimilação de conceitos que permeiam as 
 
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41
diversas atividades. Portanto, através do processo de ensino-aprendizagem revela-
se o cerne do Logo. 
Abaixo, mostramos a tela do MSW Logo, ao fazer um quadrado com os 
respectivos comandos para fazer um quadrado: 
 
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Figura 4 
A tartaruga do Logo nesta versão é o triângulo que está de cabeça para baixo. 
 
3.4.1) Robótica Educacional 
 Robótica educacional, ou robótica pedagógica, são termos utilizados para 
caracterizar ambientes de aprendizagem que reúnem materiais de sucata, ou kits de 
montagem, compostos por peças diversas, motores e sensores controláveis por 
computador e softwares que permitam programar de alguma forma o funcionamento 
dos modelos montados. Em ambientes de robótica educacional, os alunos 
constroem sistemas compostos por modelos e programas que os controlam, para 
que eles funcionem de uma determinada forma. 
Os objetivos da Robótica Educacional são: 
• Desenvolver o raciocínio e a lógica, na medida em que podemos trabalhar 
estruturas mais sofisticadas do raciocínio e a lógica na construção de 
algoritmos e programas para controle dos mecanismos criados; 
• Favorecer a interdisciplinaridade, pois ao serem estabelecidas relações com o 
concreto, promovem-se desafios que envolvem conceitos relacionados às 
diversas áreas do conhecimento como matemática, física, eletricidade, 
eletrônica, mecânica, engenharia e arquitetura, entre outras, durante a 
construção de maquetes; 
 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
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• Instaurar o planejamento, uma vez que este é um requisito básico para um 
melhor desempenho na elaboração das atividades, envolvendo também, uma 
clara organização das ideias dentro dos objetivos a serem atingidos em cada 
projeto; 
• Fomentar a pesquisa, onde pretendemos motivar o estudo e a análise de 
máquinas e mecanismos existentes visando reproduzir, em alguns trabalhos, 
o seu funcionamento; 
• Estimular a criatividade, tanto no momento de concepção como durante o 
processo de construção de maquetes. Neste momento, é relevante enfatizar a 
importância do reaproveitamento de materiais. 
 Segundo Papert (1991): 
 
“A linguagem Logo tem mais de 25 anos. Durante esse tempo passou por 
diversas fases: foi concebida nos anos 60, gestada nos anos 70, caminhou 
vacilantemente pelos anos 80, atingiu a maioridade nosanos 90 e terá sua 
real maturidade atingida na virada do século”. 
 
Nesse período, tanto a linguagem como a própria metodologia de seu uso, 
passaram por modificações e adaptações, acompanhando, assim, o 
desenvolvimento pedagógico e computacional por que vimos passando nos últimos 
anos. 
Quando foi desenvolvida ela foi considerada bastante arrojada, colocando à 
disposição dos alunos recursos gráficos pouco comuns, e usados quase que 
exclusivamente no meio computacional. 
Atualmente, com a disseminação dos recursos visuais e gráficos, presentes 
em praticamente todos os softwares, o grafismo deixou de ser a inovação do LOGO. 
Entretanto, a metodologia de uso desta linguagem e a proposta pedagógica, que a 
partir dela é possível implementar - a estética do Logo, ainda são consideradas 
bastante revolucionárias e inovadoras, a ponto de serem consideradas um grande 
desafio, mesmo para aquelas escolas pedagogicamente mais avançadas. 
A estética do Logo consiste em aprender, através do processo de “ensinar” o 
computador. “Ensinar” o computador exige que o aluno utilize conteúdos e 
estratégias no processo de programar a resolução de um problema ou projeto. 
 
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A análise da tarefa de programar o computador tem permitido identificar 
diversos passos que o usuário realiza, e que são de extrema importância na 
aquisição de novos conhecimentos. Mostraremos os passos a seguir: 
1º. ) A interação com o computador, através da programação, requer a descrição de 
uma ideia, em termos de uma linguagem formal e precisa. Essa descrição permite 
ao aluno representar e explicar o nível de compreensão que possui sobre os 
diferentes aspectos envolvidos na resolução de um problema. 
2º.) O computador executa, fielmente, a descrição fornecida. O “feedback”, fiel e 
imediato, é desprovido de qualquer afetividade que possa haver entre o aluno e a 
máquina. O resultado obtido é fruto somente do que a ela foi solicitado. 
3º.) Este resultado obtido permite ao aluno refletir sobre o que foi solicitado ao 
computador. 
 
E se o resultado não corresponde ao que era esperado, o aluno deve depurar 
a ideia original através de conteúdo ou de estratégia. 
O programa do computador nada mais é do que a descrição das ideias do 
aluno em termos de uma linguagem precisa e formal. A Robótica Educacional está 
sendo aplicada em vários cursos superiores como Automação e Controle de 
Sistemas, que constitui uma área que, cada vez mais vai aumentando seu campo de 
estudo e aplicação. Efetivamente, hoje em dia, é impensável uma indústria de 
manufatura que não esteja total, ou parcialmente, automatizada, mesmo que o nível 
de automação consista apenas no controle do ponto eletrônico dos funcionários. 
É possível observar uma aplicação da automação industrial em empresas que 
fabricam produtos totalmente diversos, desde montadoras de carros e outros tipos 
de indústrias metalúrgicas até fábricas de brinquedos, de papel, de bebidas, de 
embalagens, produtoras de alimentos, e inclusive empresas de serviços como 
bancos, por exemplo. Tal foi o crescimento nas últimas décadas da automação nas 
indústrias, e das pesquisas nessa área, que hoje não é exagerado afirmar, por 
exemplo, que a Engenharia Eletrônica se divide em três grandes áreas: em 
Eletrônica Analógica (que inclui processamento de sinais) Tecnologia das 
Telecomunicações, Eletrônica de Potência, etc., em Eletrônica Digital, que inclui 
 
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microeletrônica, microprocessadores, computadores, etc., e em Controle de 
sistemas, que inclui, Automação e Robótica. 
Mas o que é novidade no Brasil, e que já tem alguns anos em outros países 
do mundo, é a implementação de programas de ensino da Robótica no nível técnico, 
e também no ensino fundamental. 
Outras escolas utilizam softwares mais simples, como a própria calculadora 
do disponível nos Acessórios do Sistema Operacional (Windows/ Linux) e o Excel no 
Office. 
Em uma escola de Mococa-SP, a professora de Informática ensinou a uma 
sala de alunos com idades entre 10 e 17 anos utilizar algumas teclas da calculadora 
científica, como mostramos a seguir: 
 
Figura 5 
 
A professora utilizou a tecla para ensinar potenciação: 
2 ^3 =8 e não é igual a 6. 
 E, ao refletir sobre isso, ela percebeu que os alunos perguntavam sobre 
outras teclas, como: 
 
Figura 6: teclas da calculadora 
 
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Assim, ela iniciou a Trigonometria, através da história e, para os alunos 
maiores formalizou a Trigonometria, mostrando as relações entre seno, cosseno e 
tangente. Utilizou então a calculadora para falar para estes sobre o “temido” 
logaritmo, que passou a não ser tão temido assim. 
Podemos também, ensinar Números Inteiros através da calculadora, como 
ensinar que –(-2)=2? 
Vamos utilizar a calculadora com a tecla 
: 
Figura 7: tecla da Calculadora 
 
E ao apertar a tecla 2, aparecerá no visor -2. 
Encontramos vários softwares disponíveis na rede, em versão demo. É 
possível, então, estudarmos para aplicá-los em sala de aula. Um deles, o gerador de 
gráficos (chamado “Vrum Vrum”) pode ser utilizado para mostrar a utilização de 
gráficos na locomoção do “bichinho” do software, a noção de espaço, tempo e 
velocidade, mostrando as relações com a Física lecionada a partir da 8ª. série. 
 
Figura 8: Tela do software Vrum...vrum.. 
 
 
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 O aluno vê o movimento e traça o gráfico, verificando a correção na tecla 
SOLUÇÃO. Neste exemplo, o aluno cometeu um erro ao traçar o gráfico, fazendo o 
tempo voltar. E aparece o seguinte lembrete: 
 
Figura 9: Aviso do software 
 
 
O software torna-se engraçado, pois o “bichinho” chamado Bugão, anda 
lentamente para que o aluno visualize de onde ele partiu e até onde chegou. E, 
quando o aluno acha que o Bugão, ao mudar o sentido também podemos mudar o 
sentido de nossa reta (e voltar no tempo), aparece o lembrete de erro incrível. 
 É uma boa tecnologia para aplicarmos em nossas aulas e fazer as devidas 
relações com a Física. 
Tais softwares citados aqui são incluídos no arsenal das tecnologias 
educacionais, mas não podemos deixar de citar algumas novidades que estão 
surgindo nesta área. 
 
3.4.2) Novas Tecnologias Educacionais 
Não podemos terminar essa unidade sem mencionarmos a Educação Virtual 
Interativa (EVI) e seus recursos. Abaixo, se encontram as principais classes de 
ferramentas e recursos tecnológicos para Educação Virtual Interativa (EVI). 
O conceito de EVI engloba qualquer aplicação de tecnologias interativas 
(como computaçãográfica, multimídia, realidade virtual e Internet) na educação, 
independente de ser presencial ou à distância. 
Tori (2003) estudou sobre essas novas tecnologias e as dividiu nos seguintes 
itens: 
• LMS (Learning Management System)- os LMS são sistemas, em geral baseados na 
WEB, que se destinam ao gerenciamento eletrônico de cursos a distância. São 
 
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variados os recursos oferecidos, que podem ir de uma simples apresentação de 
páginas de conteúdos a completos sistemas de gestão, incluindo serviços de 
secretaria e e-commerce. 
A forma de comercialização mais utilizada é a de licença anual cujo custo pode ser 
em função do porte da instituição ou do número de alunos que efetivamente 
utilizarem o sistema. . 
Os principais recursos comumente encontrados em LMS são: 
 Gerenciamento do curso , Gerenciamento de Conteúdo , Disco Virtual , 
Correio Eletrônico ( e-mail), Mensagem Instantânea , Sala de bate-papo (chat 
room), Fórum de Discussão , Quadro de avisos , Lousa Virtual : recurso de 
comunicação síncrono no qual os usuários compartilham uma tela que pode receber 
desenhos, textos e outras mídias; o instrutor pode liberar a lousa virtual apenas para 
visualização, ou permitir o compartilhamento para a escrita, com um ou mais 
participantes; Compartilhamento de recursos ; Avaliação : recursos para 
gerenciamento da aplicação e correção de avaliações (testes de múltipla escolha ou 
dissertativas), com possibilidade de sorteio de questões e de alternativas; 
programação de horário para publicação, controle de tempos de realização, correção 
automática; cálculo e publicação de médias, geração de estatísticas; e, até mesmo, 
feedback automático personalizado ao aluno, em função de seu desempenho; Área 
de Apresentação do aluno: oferece ao aluno, ou grupo de alunos, recursos 
similares aos disponíveis ao professor para publicação de conteúdo multimídia; 
• Lousa Eletrônica: 
 Alguns aspectos de nossa carreira docente, como “poeira por todo lado”, 
professor espirrando e guerra de giz, começam a se tornar histórias do século 
passado, em alguns colégios do mundo e, também, no Brasil, pois estão 
substituindo o quadro-negro pela lousa eletrônica: uma tela de computador, sensível 
ao toque. Com este novo recurso tecnológico, é possível escrever, assistir a 
animações e filmes, fazer desenhos, cortar e colar textos. Outro recurso disponível 
com esse equipamento é o acesso à internet. 
 Além de tornar as aulas mais dinâmicas, a lousa interativa prende a atenção 
do aluno. A ferramenta pode auxiliar diversas disciplinas, devido ao acesso a 
informações em tempo real, via internet. 
 
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 É possível, também, mover objetos sem perder definição, e isso facilita o 
raciocínio do aluno, que pode acessar a aula de casa, no seu computador. 
 A lousa eletrônica substitui, em sala de aula, o tradicional quadro negro, 
possibilitando a digitalização dos traçados, hoje realizados manualmente pelo 
professor por meio de uma caneta eletrônica, bem como a interação com o 
computador, em substituição ao mouse, além da realização de anotações manuais 
sobre as imagens nela projetadas. Os dois objetos providos de alta tecnologia mais 
comumente empregados são: lousa digital (lousa branca construída sobre uma 
superfície sensível, sobre a qual se pode, ou não, ser projetada a tela do 
computador, que captura o movimento de uma caneta eletrônica); dispositivo de 
ultra-som (fixado sobre uma lousa branca comum transforma-a em uma lousa 
digital). 
 Objetos projetados na tela podem ser movidos na lousa digital sem perder 
definição, o que é importante para os alunos acompanharem um raciocínio lógico, 
por exemplo. Pode-se escrever com o dedo e salvar a palavra ou texto num arquivo 
específico, enquanto outro conteúdo é salvo separadamente. 
• Caderno eletrônico 
 O "caderno eletrônico" possibilita que o aluno faça anotações digitalmente, 
acesse os materiais disponibilizados pelos professores e por colegas, acesse a 
intranet da instituição e a Internet, bem como todos os demais recursos de 
comunicação disponíveis a ele. Virtualmente, o caderno eletrônico se constitui de 
uma conta de acesso ao LMS da instituição, enquanto que, fisicamente, pode ser um 
computador desktop embutido na carteira do aluno, um notebook, conectado a um 
ponto de rede disponível na sala de aula ou por conexão wireless, ou até mesmo um 
dispositivo de mão (PDA). A disponibilização de um data tablet, ou de um notebook, 
que possibilite a escrita na própria tela, torna o caderno eletrônico ainda mais 
completo, por viabilizar a digitalização de manuscritos. 
• Biblioteca Virtual 
 Uma Biblioteca Virtual simples pode ser constituída por uma base de dados 
acessada remotamente, contendo o cadastro do acervo físico da instituição, que 
possibilite a busca e a reserva de títulos. 
• Media Streaming 
 
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eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
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 A distribuição pela Internet de áudio, vídeo e outras mídias contínuas 
(dependentes do tempo), por meio do envio, a partir de um servidor, e de um fluxo 
constante de dados que, depois de exibidos, são descartados pelo cliente, é 
viabilizada pela tecnologia de streaming. 
• Laboratório Virtual 
 Tori (2003), que também pesquisou sobre a realidade virtual envolve a 
aplicação de tecnologias avançadas de interface que possibilitam a imersão, 
navegação e interação do usuário em um ambiente tridimensional sintético gerado 
pelo computador (Kubo; Tori & Kirner, 2002). Com essa tecnologia é possível a 
criação de laboratórios virtuais com riquezas de detalhes, por meio dos quais 
podemos realizar experiências com alto grau de realismo. Em atividades presenciais 
podem ser utilizados equipamentos de realidade virtual imersiva, que exigem 
equipamentos caros, como capacetes, luvas ou salas de projeção do tipo CAVE. 
Para atividades remotas, utilizam-se os recursos de realidade virtual não imersiva, 
que dispensam equipamentos especiais e podem ser executados até mesmo em 
browsers de navegação. Estes laboratórios não se desgastam, dispensam espaço 
físico e podem ser utilizados para familiarização e demonstração, antes que o aluno 
acesse o laboratório real, otimizando assim o uso deste último. 
• Jogos Educativos – como já falamos, os jogos também são tecnologias 
inovadoras na educação. 
• Ferramentas de Autoria 
 Ferramentas de autoria são programas destinados à produção de material 
multimídia. Podem ser destinadas à simples produção de mídia (editores de imagem, 
de vídeo ou de áudio, por exemplo) ou para a criação de cursos completos. Alguns 
LMS fornecem suas próprias ferramentas de autoria, mas a grande maioria faz 
apenas a importação de materiais produzidos por programas especializados. 
 Objetos de Aprendizagem 
 Segundo a norma IEEE 1484 (IEEE, 2002), apud Tori (2003) "um objeto de 
aprendizagem é definido como qualquer entidade, digital ou não, que possaser 
usada para aprendizagem, educação ou treinamento". 
 O conceito de objeto de aprendizagem vem recebendo diversas 
denominações, tais como "learning object", "instructional object", "educational 
 
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object", "knowledge object", "intelligent object", e "data object" (GIBBONS, 2002). 
Tem como objetivo a decomposição de sistemas educacionais em módulos 
relativamente pequenos e potencialmente reutilizáveis. Esse objetivo pode ser 
buscado por meio de diferentes níveis de padronização, desde o formato de 
armazenamento de cada objeto até o protocolo de comunicação entre objetos. 
Devido à grande diversidade de formatos de conteúdos multimídia, já disponíveis no 
mercado, os esforços de padronização têm se concentrado nos chamados “meta 
dados”, que se constituem de dados cadastrais sobre os objetos de aprendizagem, 
utilizados para referência, e busca, de material pedagógico. 
 São os conteúdos potencialmente reutilizáveis, em formato digital que vêm 
justificando o grande interesse pela tecnologia de objetos de aprendizagem, uma 
vez que o custo de desenvolvimento de conteúdo virtual interativo é bastante 
expressivo e, todos os esforços, no sentido de se padronizar formatos de 
armazenamento, e de referência, visando-se a reutilização de materiais, são bem-
vindos. 
 Todas essas tecnologias podem ser utilizadas tanto na Educação Presencial, 
quanto na Educação à Distância, como, em cursos que utilizam estas duas 
modalidades, a chamada Educação Moderna (Tori, 2003). 
 E assim, percebemos que existem muitas tecnologias para aperfeiçoar 
nossas aulas de Matemática. Apesar desta unidade se encerrar aqui, as tecnologias 
educacionais são inúmeras e, precisamos sempre estar buscando melhorias em 
nossa formação. 
 
Atividade de Aprofundamento III 
1) Observe a reflexão de Ubiratan D´Ambrósio: 
“Acredito que um dos maiores erros que se pratica em educação. Em particular em 
Educação Matemática, é desvincular a Matemática das outras atividades humanas”. 
Esta situação pode ser melhorada com alguns dos recursos metodológicos citados? 
Quais? 
Se a resposta for positiva, explique como. 
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direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
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2) Como podemos dar uma aula no Ensino Superior, por exemplo, Cálculo 
Numérico, utilizando as metodologias citadas? Mostre um roteiro de um tema. 
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3) Com podemos ensinar “Produtos Notáveis” utilizando a seguinte figura? Qual(is) 
das metodologias podemos utilizar? 
 
Figura 10 
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4) Sabemos que no “fazer Matemática” é possível seguir caminhos diferentes. 
Assim, como o pesquisador em Etnomatemática, Pedro Paulo Scandiuzzi (2002) diz: 
“Os que fazem Modelagem Matemática, ao validar a Matemática da escola formal, 
cria horizontes discriminatórios, não permitindo a educação inclusiva.” Este autor 
afirma ainda que a construção da História da Matemática se dá por duas correntes: 
A Modelagem e a Etnomatemática. E, afirma: 
 
“A Etnomatemática procura neste espaço educacional ampliar o campo da 
História da Matemática identificando produções Matemáticas dos povos 
marginalizados ou não reconhecidos pelas sociedades nacionais onde 
estão inseridos, além de abarcar produções específicas dos grupos sociais, 
como os que fazem Modelagem, Estatística, Cálculo ou a própria História da 
Matemática” (pág. 55). 
 
 Através deste trecho, percebemos algumas desvantagens da Modelagem 
Matemática, segundo o autor. Quais são elas? 
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UNIDADE 4: OS CONTEÚDOS NOS ENSINOS 
FUNDAMENTAL E MÉDIO 
 
Meta: Refletir as aplicações das metodologias de ensino nos conteúdos a serem 
ministrados tanto a nível fundamental quanto médio. 
Objetivos: 
- Conhecer os blocos dos conteúdos no ensino fundamental: 
* Números e Operações; 
* Espaço e Forma; 
* Grandezas e Medidas 
* Tratamento das informações. 
- Conhecer as competências e habilidades no ensino médio. 
- Fazer uma relação com os conteúdos do ensino superior 
 
Observação: Sabemos que, a partir deste curso, muitos dos alunos lecionarão 
no ensino superior. E, esta unidade vem resgatar os conteúdos desde o ensino 
fundamental, para que saibamos as defasagens de ensino do nosso aluno que 
ingressa no ensino superior. 
 
Os Conteúdos de Matemática 
4.1 No Ensino Fundamental 
Apresentaremos aqui uma seleção de conteúdos que devemos contemplar no 
Ensino Fundamental, ou resgatar ao lecionarmos no ensino superior, pois não é de 
se estranhar se, durante sua carreira, um aluno de algum curso superior não souber 
resolver uma equação de 2º. Grau, ou mesmo de 1º. grau. 
O Ensino Fundamental deve contemplar: 
- o estudo dos números e das operações (no campo da Aritmética e da 
Álgebra), 
- o estudo do espaço e das formas (no campo da Geometria) e 
- o estudo dasgrandezas e das medidas (que permite interligações entre os 
campos da Aritmética, da Álgebra e da Geometria). 
Sem esquecer a importância do olhar que permita ao cidadão “tratar” as 
informações que recebe cotidianamente, aprendendo a lidar com dados estatísticos, 
 
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recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
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tabelas e gráficos, a raciocinar utilizando ideias relativas à probabilidade, e à 
combinatória, e aos desafios matemáticos que podem despertar em nossos alunos 
um interesse maior: 
É o que notamos nos Parâmetros Curriculares: 
 
“Embora nestes Parâmetros a Lógica não se constitua como bloco de 
conteúdo a ser abordado de forma sistemática no ensino fundamental, 
alguns de seus princípios podem ser tratados de forma integrada aos 
demais conteúdos, desde as séries iniciais. Tais elementos, construídos por 
meio de exemplos relativos a situações-problema, ao serem explicitados, 
podem ajudar a compreender melhor as próprias situações”. 
 
Muitos de nós ainda temos dificuldades em desafios de matemática, e pode 
ser que por estes desafios que os alunos se interessem E é por isso que podemos 
incorporar estes desafios à nossa formação (primeiramente), e a partir daí em sala 
de aula desde o ensino fundamental. 
Os blocos de conteúdos que deveremos cumprir no Ensino Fundamental são: 
 
4.1.1) Números E Operações 
• O aluno perceberá a existência de diversas categorias numéricas criadas em 
função de diferentes problemas que a humanidade teve que enfrentar, passando 
pelos números naturais, números inteiros positivos e negativos, números racionais 
(com representações fracionárias e decimais) e números irracionais. À medida que 
se deparar com situações-problema — envolvendo as operações como adição, 
subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação —, ele irá ampliando seu 
conceito de número. 
 Quem nunca se perguntou sobre os números negativos? Por que “menos 
vezes menos é igual a mais” ? 
Ou por que – (-1) é +1? Ao pesquisar na Álgebra Booleana entendemos que 
este menos na frente do parênteses tem significado de ~ (negação), o que nega a 
próxima afirmativa. E ao negar o -1, teremos +1. 
E na divisão...por que -4: -2 = +2? 
Neste caso, é mais simples Imagine que tenho uma dívida total de R$ 4,00, e 
que cada dívida é de R$2,00. Quantas dívidas terei? 
Assim, a resposta é uma contagem, e estas só assumem resultados positivos. 
 
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eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
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Números negativos geram muitas dúvidas entre os alunos e devem ser 
tratadas com um significado, como por exemplo, temperaturas abaixo de zero. 
 
4.1.2) Espaço e Forma 
Há alguns anos atrás, a GEOMETRIA era um campo de estudo nas 
universidades, pois os professores seguiam os livros didáticos deixavam a 
Geometria, que se encontrava no final do livro, para ensinar no final do ano letivo. 
Este assunto era debatido pelos principais congressos do país e, atualmente, 
os livros didáticos têm apresentado muitos assuntos sobre este tema dentro de 
outros capítulos... 
Nos PCNs, encontramos que: 
 
“A Geometria é um campo fértil para se trabalhar com situações-problema e 
é um tema pelo qual os alunos costumam se interessar naturalmente. O 
trabalho com noções geométricas contribui para a aprendizagem de 
números e medidas, pois estimula a criança a observar, perceber 
semelhanças e diferenças, identificar regularidades e vice-versa”.(pág.55) 
 
E como foi citado, uma experiência sempre positiva em algumas escolas, é a 
aprendizagem da Geometria através do Logo. 
O aluno aprende e aplica os comandos e inova com sua criatividade, fazendo 
outros desenhos e podendo aprender programação ao iniciar o ensino médio. 
 
4.1.3) Grandezas e Medidas 
Este bloco caracteriza-se por sua forte relevância social, com evidente caráter 
prático e utilitário. Na vida em sociedade, as grandezas e as medidas estão 
presentes em quase todas as atividades realizadas. Desse modo, desempenham 
papel importante no currículo, pois mostram claramente ao aluno a utilidade do 
conhecimento matemático no cotidiano. 
As atividades em que as noções de grandezas e medidas são exploradas 
proporcionam melhor compreensão de conceitos relativos ao espaço e às formas. 
São contextos muito ricos para o trabalho com os significados dos números e das 
operações, da ideia de proporcionalidade e escala, e de um campo fértil para uma 
abordagem histórica. 
 
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eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
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Muitas das tecnologias educacionais são vinculadas a softwares que 
demonstram resultados excelentes. Mas, sabemos que nem sempre o professor terá 
este recurso em suas atividades docentes. Desse modo é importante mostrar que 
existem tecnologias educacionais que não sejam eletrônicas, como por exemplo, 
medir a escola com uma régua ou uma fita métrica. 
Experiências como dar na mão do aluno um termômetro e fazê-los medir a 
temperatura de alguma coisa da escola pode incentivá-los ao espírito científico. 
Nossa preocupação é na Matemática em todos os níveis, por isso neste 
momento abordaremos as competências e habilidades a serem desenvolvidas no 
ensino de Matemática do ensino médio. 
 
4.2 Competências e habilidades a serem desenvolvida s em Matemática no 
Ensino Médio 
 
Representação e comunicação 
• Ler e interpretar textos de Matemática. 
• Ler, interpretar e utilizar representações matemáticas (tabelas, gráficos, 
expressões etc). 
• Transcrever mensagens matemáticas, da linguagem corrente para linguagem 
simbólica (equações, gráficos, diagramas, fórmulas, tabelas etc.) e vice-versa. 
• Exprimir-se com correção e clareza, tanto na língua materna, como na linguagem 
matemática, usando a terminologia correta. 
• Produzir textos matemáticos adequados. 
• Utilizar adequadamente os recursos tecnológicos como instrumentos de produção 
e de comunicação. 
• Utilizar corretamente os instrumentos de medição e de desenho. 
• Identificar o problema (compreender enunciados, formular questões etc). 
• Procurar, selecionar e interpretar informações relativas ao problema. 
• Formular hipóteses e prever resultados. 
• Selecionar estratégias de resolução de problemas. 
• Interpretar e criticar resultados numa situação concreta. 
• Distinguir e utilizar raciocínios dedutivos e indutivos. 
 
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• Fazer e validar conjecturas, experimentando, recorrendo a modelos, esboços, fatos 
conhecidos, relações e propriedades. 
• Discutir ideias e produzir argumentos convincentes e contextualização sócio-
cultural 
• Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e intervenção 
no real. 
• Aplicar conhecimentos e métodos matemáticos em situaçõesreais, em especial em 
outras áreas do conhecimento. 
• Relacionar etapas da história da Matemática com a evolução da humanidade. 
• Utilizar adequadamente calculadoras e computador, reconhecendo suas limitações 
e potencialidades. 
 E, por último (mas talvez em primeiro lugar em importância) temos o 
tratamento da informação, que é tão importante para o ensino fundamental, quanto o 
médio e, especificamente na área escolhida do ensino superior. 
 
4.3) Tratamento da Informação 
O entendimento de dados estatísticos atualmente é cada vez mais necessário 
à compreensão do ambiente em que estão inseridos. Segundo Barreto (1999), o 
interesse pelos métodos estatísticos estende-se às mais variadas áreas da ciência, 
em que se devam obter conclusões, ou tomar decisões, fundamentadas em 
evidência experimental. 
Muitos autores (Panaíno, 1997; Carvalho, 2001) reforçam a importância da 
Estatística para reflexão e criticidade em relação à informação estatística. 
Concordando, ainda, com Panaíno (1997, pág. 20), a Estatística é vista como: 
 
“a habilidade que capacita os seres humanos a pensar em tomar decisões 
com bases em dados obtidos não somente no passado, mas também no 
presente, enquanto os outros animais agem por instinto”. 
 
 Deste modo, percebe-se que a característica de tomar decisões leva o 
indivíduo a se tornar apto para trabalhar em muitos lugares, e esta habilidade é uma 
evidência do raciocínio estatístico. Segundo Holmes (1980), os conhecimentos 
dessa área são utilizados em muitas profissões, e é indispensável nos fenômenos 
complexos e no estudo de variáveis relevantes do objeto definido. 
 
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 A importância da coerência do raciocínio estatístico é demonstrada também 
nos Parâmetros Curriculares Nacionais, os quais visam a Matemática da vida 
presente na escola e recomendam a presença do pensamento estatístico. 
 Alguns autores (Garfield, 1995 e 2002; Lovett & Greenhouse, 2000) estudam 
o raciocínio estatístico, acreditando que este auxilia no desenvolvimento pessoal, 
fomentando um raciocínio crítico, baseado na valoração da evidência objetiva e 
fazendo controlar os próprios juízos, além de interpretar os demais e transformar os 
dados para resolver problemas de decisão e efetuar predições. 
 A vida acadêmica exige que estas habilidades (tomar decisões ao analisar os 
dados) sejam intrínsecas a docentes e discentes. Assim, a procura constante pela 
metodologia de coleta de dados, e análise destes, para futuras pesquisas. permite o 
avanço da Ciência e da tecnologia. 
 O desenvolvimento da disciplina Estatística, em diversos cursos, requer 
profissionais capacitados na adequação específica do curso. Não se pode lecionar 
com as mesmas características nos cursos de Educação Física, Comunicação 
Social e Matemática, por exemplo. Cada um dos cursos requer uma habilidade 
específica, e a Estatística auxiliará no entendimento de dados. Mas também é 
importante o entendimento do assunto. Por isso, a formação do profissional, que 
lecionará Estatística nos diversos cursos, é extremamente importante. 
 Segundo Wodewotsky e Jacobini (2003), no ensino superior a Estatística é 
ministrada em praticamente todos os cursos, com ênfase na estatística descritiva e 
em questões relacionadas com a inferência estatística. Vale ressaltar aqui que o 
ensino de Estastística é hoje obrigatório em quase todos os cursos de graduação 
das Universidades espalhadas pelo país, com pouquíssimas exceções, como é o 
caso dos cursos de Graduação em Direito, Filosofia, História e Letras. 
 Geralmente, os alunos têm muita dificuldade na disciplina de Estatística no 
ensino superior e, por isso, deve-se repensar a sua forma de ensino, que já foi uma 
importante ferramenta e, se tornou uma área científica. 
A demanda social é que leva a destacar este tema como um bloco de 
conteúdo, embora pudesse ser incorporado aos anteriores dos Parâmetros 
Curriculares Nacionais. A finalidade do destaque é evidenciar sua importância, em 
função de seu uso atual na sociedade. 
 
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Neste bloco, estão contidos estudos de noções de estatística, de 
probabilidade e de combinatória. 
Com o objetivo de fazer com que o aluno venha a construir procedimentos 
para coletar, organizar, comunicar e interpretar dados, utilizando tabelas, gráficos e 
representações que aparecem frequentemente em seu dia-a-dia, destacamos o 
ensino de Estatística desde o ensino fundamental. 
A análise combinatória faz com que o aluno trabalhe com situações-problema 
que envolvam combinações, arranjos, permutações e, especialmente, o princípio 
multiplicativo da contagem. 
Já a probabilidade tem como finalidade que o aluno compreenda que grande 
parte dos acontecimentos do cotidiano são de natureza aleatória, e que é possível 
identificar prováveis resultados desses acontecimentos. 
Sempre há a preocupação de desenvolver o raciocínio estatatístico-
probabilístico em nossos alunos. A reflexão sobre este assunto, ao pensar naquela 
sala de quase cinquenta alunos, cuja maioria não quer aprender nada, pode nos 
desanimar e pensar que não vale a pena tentar novas metodologias para chegarmos 
à nossa finalidade docente. Sobre este assunto, alguns autores nos incentivam com 
algumas ideias que permeiam o assunto. 
Dante (1989) afirma que: “uma sala de aula de Matemática onde os alunos, 
incentivados e orientados pelo professor, trabalhem de modo ativo na aventura de 
buscar a solução de um problema que os desafia é mais dinâmica e motivadora”. Na 
aprendizagem (do educando) ocorre sempre a liberação da imaginação, do fazer 
engenhoso, a partir das construções de hipóteses. E esse processo criador do aluno 
deveria constituir-se em desafios à ação do professor em sala de aula. Desafios 
desequilibrantes que exigem meditações sobre a nossa prática. 
Confirmando esta ideia, Anderson (1987) acredita que: 
 
“do estudo das atividades desempenhadas pelos estatísticos emergem duas 
conclusões. Primeiro: a Estatística...justifica-se em última instância porque é 
útil para resolver problemas que estão fora dela. Segundo: nossa disciplina 
é ampla; ela dá e recebe estímulos de muitas áreas diferentes.(...)O 
estatístico tem que (i) combinar as ideias de sua formação estatística e 
matemática com as geradas por um problema concreto, (ii) avaliar enfoques 
alternativos, (iii) possuir a habilidade técnica para realizar suas análises e 
(iv) saber interpretar seus resultados, fazendo-os públicos mediante uma 
comunicação efetiva.”. 
 
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Ainda nessa linha de engajar o aluno em problemas práticos, podemos citar 
Gnanadesikan et al (1997) que afirmam que, para que os estudantes possam 
adquirir um entendimento conceitual de Estatística Básica, o ensino desta disciplina 
deve deixar de ser através de aulas expositivas, passando para o engajamento dos 
alunos em atividades diferenciadas de ensino. Sua preocupação se concentrana 
questão: Como fazer para que os alunos visualizem os conceitos importantes? 
Através de atividades especiais, o autor concluiu que houve uma revigoração da 
atitude do professor em sala de aula, onde foram discutidas grandes ideias, e onde 
foram desenvolvidos e entendidos conceitos chave. Além disso, através de materiais 
concretos, os alunos reagiram muito positivamente. O autor ainda afirma que, as 
atividades, quando cuidadosamente selecionadas, podem focar a atenção dos 
alunos em questões importantes, antes não valorizadas. Segundo o mesmo autor, 
“muitos alunos encontram motivações a partir desse formato de aula agradável, 
tornando-se mais atento em classe, claro que a situação ideal envolve aulas teóricas 
e sessões de laboratório...”. 
Ensinar Estatística é uma das atividades mais interessantes em muitos 
depoimentos informais de diversos docentes, devido a essa participação dos alunos 
nas aulas. 
Ao lecionar de 5ª. a 8ª. séries do Ensino Fundamental, podemos pesquisar 
junto com os alunos a matéria predileta, as atividades físicas que praticam, o filme 
predileto, entre outros... 
No Ensino Médio, além de pesquisar os temas já citados, podemos falar 
sobre relacionamentos amorosos (o que os alunos estão vivendo), roupas que estão 
na moda, e deixar que os alunos pesquisem o tema que preferem, sempre com a 
orientação do professor. 
No ensino superior, é possível direcionar o tema para o curso lecionado. 
Gonçalves et al (1999) desenvolveram uma pesquisa e aplicaram em sala de 
aula para verificar a participação dos alunos ao aprender Estatística fazendo 
pesquisas de acordo com um determinado tema. 
A proposta para o aprendizado da Estatística no Ensino Fundamental teve 
como base as atividades descritas abaixo: 
 
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1) Interpretação de Dados Estatísticos: As atividades foram iniciadas com a 
apresentação de transparências com recortes de revistas e jornais contendo tabelas 
e gráficos muito coloridos e chamativos, abordando temas de interesse da faixa 
etária (10-12 anos) com objetivo de apresentar aos alunos o que são tabelas e 
gráficos, diferenciando uns dos outros. 
2) Atividade Extra-Classe: Os alunos pesquisaram em revistas e jornais dados 
estatísticos na forma de tabelas e/ou gráficos e a recortaram e colaram em papel 
almaço, colocando na forma escrita a interpretação dos mesmos. Esta atividade foi 
entregue ao professor na aula seguinte. 
3) Coleta de dados entre os alunos: Esta atividade foi bastante motivadora para os 
alunos, pois devem ser coletados dados entre eles mesmos, tais como: idade, sexo, 
número de irmãos, número do calçado, etc. Após isso feito, o professor, com a 
participação da turma construiu as tabelas, chamando a atenção para algumas 
normas estatísticas que deviam ser levadas em conta. Os alunos copiaram no 
caderno todas as tabelas. 
4) Representação Gráfica: O professor construiu, no quadro, o gráfico em coluna, da 
tabela das idades dos alunos da turma, elaborado na atividade anterior. São 
devidamente salientadas algumas normas que deverão ser seguidas, tais como a 
proporcionalidade do gráfico, a construção de escalas, etc. Os alunos construiram no 
papel quadriculado os mesmos gráficos. E entregaram para o professor. 
5) Planejamento da pesquisa: Neste momento os alunos foram motivados a 
planejarem sua própria pesquisa. É solicitado que se reúnam em equipes de até 
quatro alunos cada uma, para combinarem sobre um tema a ser abordado, com 
questões sobre idade e sexo dos entrevistados, para que possam perceber alguma 
característica de sua amostra e para que possam trabalhar com algum dado 
quantitativo (idade). Cada elemento da equipe entrevistou cinco pessoas, 
6) Coleta dos dados. Após a coleta de dados, o prazo para a tabulação dos dados 
foi de 2 semanas. 
7) Tabulação dos dados obtidos: Após a coleta dos dados, os alunos levaram o 
trabalho para a sala de aula e, em equipes, fizeram a tabulação dos mesmos. 
Construíram as tabelas em papel almaço e gráficos em papel quadriculado e 
colaram no almaço, elaborando o relatório da pesquisa, que continha: tema da 
 
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pesquisa, equipe pesquisadora, tabelas, gráficos, interpretação dos resultados, 
conclusão e avaliação da metodologia. 
8) Apresentação dos resultados: As equipes apresentaram para os colegas os 
resultados de seus trabalhos, na forma oral. 
Gonçalves et al (1999) observaram que todas as equipes atingiram 
plenamente os objetivos no que diz respeito à elaboração do protocolo de pesquisa. 
Na avaliação global, percebe-se que, de uma forma geral, a metodologia foi positiva. 
Destacam que não foi levado em conta a Conclusão na avaliação das atividades 
desenvolvidas pelos alunos, conforme se propunha inicialmente, pois entendeu-se 
que os alunos, do referido nível, não possuíam condições para tal abstração, sendo 
que a atividade de interpretação das tabelas e gráficos foi desenvolvida com êxito, 
indicando que os alunos possuem grande capacidade de interpretação. Este fato foi 
observado, também, em gráficos de abordagem da economia brasileira, que são, em 
geral, de interesse da população adulta. 
Como outra qualquer atividade em sala de aula, apareceram algumas 
dificuldades mostradas pelos pesquisadores, no que diz respeito à colocação de 
títulos nos eixos dos gráficos, na proporção dos gráficos, falta de “total” nas tabelas, 
a interpretação de “maioria” com o significado de “mais frequente”, elaboração de 
interpretação e conclusão. 
Os pesquisadores acreditam que: 
 
“muitas vezes se desconhece o potencial de nosso alunado e, neste tipo de 
atividade, com a liberdade que ele recebe, ele deixa aflorar o pesquisador, o 
ser crítico que existe dentro dele. Por outro lado, pode-se observar o outro 
lado deste quadro, pois a próxima atividade a ser realizada com os alunos 
deveria ser em um laboratório de informática, para que eles pudessem 
construir tudo o que fizeram, a parte de texto, as tabelas e os gráficos, para 
o computador, se preparando melhor para o futuro. Neste caso, tem-se dois 
problemas nas escolas públicas: primeiro, não possuem equipamentos 
suficientes e, segundo, caso possuíssem, seus professores não estariam 
suficientemente capacitados para este tipo de trabalho. Assim, observando 
esta necessidade de treinamento, surgiu a outra etapa prevista nesta 
pesquisa, que é de capacitar os professores, tanto no que diz respeito à 
metodologia de ensino de Estatística, quanto ao uso da informática para o 
ensino da mesma”. 
 
Um exemplo como este pode nos estimular para aplicarmos, em outros 
conteúdos, a mesma tecnologia. 
 
 
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Atividade de Aprofundamento IV 
1) Nas competências e habilidades a serem desenvolvidas no ensino médio, 
como: 
(1) Ler e interpretar textos de Matemática; (2) Ler, interpretar e utilizar 
representações matemáticas (tabelas, gráficos, expressões etc) e (3) Transcrevermensagens matemáticas da linguagem corrente para linguagem simbólica 
(equações, gráficos, diagramas, fórmulas, tabelas etc.) e vice-versa. 
 Podemos afirmar que tais recomendações servem apenas para o ensino médio? 
Por quê? 
___________________________________________________________________
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______________________________________________________________ 
 
2) Na citação de Anderson (1987): 
 
“do estudo das atividades desempenhadas pelos estatísticos emergem duas 
conclusões. Primeiro: a Estatística (...) justifica-se em última instância 
porque é útil para resolver problemas que estão fora dela. Segundo: nossa 
disciplina é ampla; ela dá e recebe estímulos de muitas áreas 
diferentes.(...)O estatístico tem que (i) combinar as ideias de sua formação 
estatística e matemática com as geradas por um problema concreto, (ii) 
avaliar enfoques alternativos, (iii) possuir a habilidade técnica para realizar 
suas análises e (iv) saber interpretar seus resultados, fazendo-os públicos 
mediante uma comunicação efetiva.”. 
 
Como podemos fazer de nossas aulas um ambiente de investigação, conforme a 
citação de Anderson (1987), sobre as aplicações da Estatística? 
___________________________________________________________________
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______________________________________________________________ 
 
 
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CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
 Nossos alunos são verdadeiras obras-primas, que são lapidadas a cada dia 
com o decorrer das aulas e da vida. Somos parte desse processo e nossa meta é 
fazê-los brilhar. 
 Nosso dia-a-dia não é fácil e, para enfrentarmos isso precisamos conversar 
sobre os acontecimentos da sala de aula e, refletir sobre eles, além de buscar 
caminhos que nos façam ter sucesso em nossa caminhada docente. 
 Esta apostila é um caminho para que, juntos, possamos refletir alguns 
eventuais caminhos para o aprimoramento de nossas aulas. E buscarmos a partir de 
então, o aperfeiçoamento de nossa formação. 
Esperamos que seja com grande entusiasmo de iniciar um novo caminho 
metodológico, que ao acabar nossa apostila e verificar que as mesmas dificuldades 
que muitos professores passam, são as mesmas que as da autora e talvez as 
mesmas que as suas, então, diante dos temas estudados, sigamos em frente, 
refletindo sempre sobre nossas aulas, e sendo verdadeiros pesquisadores de 
nossas ações. 
 
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