AULA 02

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ESTRUTURAS 
HIPERESTÁTICAS
Prof. João Paulo Mendonça
Treliça Simples
A treliça é uma estrutura de
elementos relativamente
delgados ligados entre si pelas
extremidades. Os elementos
comumente utilizados em
construções são de madeira
ou barra de metal e em geral
são unidos uns aos outros por
meio de uma placa de reforço
na qual eles são parafusados
ou soldados.
Treliça Simples
Treliça Simples
Treliças planas são aquelas que se distribuem em
um único plano e geralmente são utilizadas na
sustentação de telhados e pontes.
Treliça Simples
Treliças planas são aquelas que se distribuem em um único
plano e geralmente são utilizadas na sustentação de telhados
e pontes.
Treliça Simples
Treliças planas são aquelas que se distribuem em um único
plano e geralmente são utilizadas na sustentação de telhados
e pontes.
Treliças Isostáticas
Seja a estrutura da Fig. IV-1 submetida a
carregamento apenas nos nós A, B, C. A
estrutura constituída pelas barras 1, 2 e 3.
Suas extremidades são rotuladas e elas
não terão momento fletor e esforço
cortante, existindo apenas esforços
normais.
Treliças Isostáticas
As grandezas a determinar
para sua resolução são as
reações de apoio Ha, Va e Vb
e os esforços normais
atuantes nas barras 1, 2 e 3,
que podem ser obtidos pela
análise sucessiva do equilíbrio
dos nós C, B e A.
Treliças Isostáticas
Desprezando-se as pequenas
deformações elásticas que
terão as barras 1, 2 e 3,
devidas aos esforços normais
nelas atuantes, podemos
dizer que o sistema estrutural
da Fig. IV-1 constitui uma
cadeia rígida (indeformável).
Treliças Isostáticas
As grandezas a determinar para sua
resolução são os esforços normais nas
suas quatro barras componentes e as três
reações de apoio, num número total de
sete. O número de equações de equilíbrio
(correspondendo ao equilíbrio de cada
um dos nós) sendo igual ao dobro do
número de nós, é igual a oito, no caso, e,
portanto, superior ao número de
incógnitas, o que caracteriza a
hipostaticidade da estrutura.
Treliças Isostáticas
Podemos afirmar que
todo sistema reticulado
deformável é instável
(hipostático). Como
corolário, podemos
afirmar que todo
sistema reticulado
indeformável é estável
(podendo ser isostático
ou hiperestático).
Treliças Isostáticas
Chamaremos treliça ideal
ao sistema reticulado
cujas barras tem todas as
extremidades rotuladas e
cujas cargas estão
aplicadas somente em
seus nós.
Treliças Isostáticas
As treliças surgiram como um
sistema estrutural mais
econômico que as vigas para
vencer vãos maiores ou
suportar cargas mais pesadas.
Treliças Isostáticas
Conforme verificamos, a
partir do exemplo da Fig. IV-1,
uma treliça biapoiada,
constituída por três barras
formando um triângulo, é
isostática.
Treliças Isostáticas
Se, a partir desta configuração básica, formamos novas treliças,
acrescentando à existente duas a duas novas barras,
concorrentes cada duas delas num novo nó, a nova treliça será
também isostática.
Treliças Isostáticas
Dizemos que estas treliças são
internamente isostáticas, por terem a lei
de formação que acabamos de definir e
que são, também, externamente
isostáticas, por terem apoios no número
estritamente necessário para impedir
todos os movimentos no plano, sendo o
conjunto, pois, isostático.
Treliças Isostáticas
Outro tipo de treliça isostática é a treliça
triarticulada, para a qual temos seis
incógnitas (quatro reações de apoio e
esforços normais em duas barras) e seis
equações de equilíbrio (equilíbrio dos nós
A. B, C). Partindo desta nova configuração
básica, podemos também formar treliças
isostáticas.
Treliças
Isostáticas
As treliças, por terem esforços
normais de tração e de compressão,
são geralmente de madeira ou aço.
Treliças
Isostáticas
As treliças, por terem esforços
normais de tração e de compressão,
são geralmente de madeira ou aço.
CLASSIFICAÇÃO 
DAS TRELIÇAS
Quanto à estaticidade
Quanto à estaticidade, uma treliça (assim
como qualquer outra estrutura) pode ser
hipostática, isostática ou hiperestática.
CLASSIFICAÇÃO DAS TRELIÇAS
As incógnitas do problema são em número de (r + b), sendo r o número de
reações de apoio a determinar e b o número de barras (e, portanto, o número
de esforços a determinar) e as equações de equilíbrio em número igual a 2n,
sendo n o número total de nós, incluindo os nós de apoio da estrutura ( pois
cada nós nos dá duas equações universais da estática, correspondentes ao
equilíbrio de um ponto material).
CLASSIFICAÇÃO DAS TRELIÇAS
Três casos podem ocorrer:
1) r+ b < 2n
o número de incógnitas é inferior ao de equações; poderemos
afirmar, então, que a treliça é hipostática.
CLASSIFICAÇÃO DAS TRELIÇAS
2) r +b = 2n
O que sugere tratar-se de uma treliça isostática. Esta simples igualdade
não nos permite, entretanto, afirmar que a treliça seja isostática, pois
podemos ter a associação, internamente, de trechos hiperestáticos com
trechos hipostáticos, conduzindo a uma isostaticidade interna aparente,
bem como pode ocorrer a associação de hiperestaticidade interna com
hipostaticidade externa (ou vice-versa), conduzindo também a uma
isostaticidade aparente para o conjunto. O diagnóstico final só poderá ser
dado após análise dos apoios externos e da lei de formação interna da
treliça em questão.
CLASSIFICAÇÃO DAS TRELIÇAS
3) r +b > 2n
O que sugere tratar-se de uma treliça hiperestática (maior número
de incógnitas que de equações). Não podemos, entretanto, afirmar
que a treliça seja hiperestática, pois a associação de um trecho
hiperestático com outro hipostático (sendo o grau hiperestático de
um trecho superior ao grau hipostático do outro) pode conduzir a
uma hiperestaticidade aparente para o conjunto.
CLASSIFICAÇÃO DAS TRELIÇAS
Em resumo, podemos afirmar que:
a) (r + b < 2n) é condição necessária e suficiente pra que uma treliça
seja hipostática.
b) (r + b = 2n) e (r + b > 2n) são condições apenas necessárias (mas
não suficientes) pra que uma treliça seja isostática ou hiperestática,
respectivamente. A palavra final será dada após o exame específico
de cada caso.
EXERCÍCIO
Classifique a treliça quanto à estaticidade.
EXERCÍCIO
Classifique a treliça quanto à 
estaticidade.
EXERCÍCIO
Classifique a treliça quanto à 
estaticidade.
EXERCÍCIO
Classifique a treliça quanto à 
estaticidade.
EXERCÍCIO
Classifique a treliça quanto à 
estaticidade.
EXERCÍCIO
Classifique a treliça quanto à 
estaticidade.
EXERCÍCIO
Classifique a treliça quanto à 
estaticidade.
EXERCÍCIO
Classifique a treliça quanto à 
estaticidade.
EXERCÍCIO
Classifique a treliça quanto à 
estaticidade.
EXERCÍCIO
Classifique a treliça quanto à 
estaticidade.