Decaimento do Muon Relatório

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ROBSON ANTONIO VIANA ROSA QUEIROZ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Decaimento do Múon 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Londrina 
2018 
 
 
1. Introdução 
 Por muito tempo acreditou-se sob a suposição de que o tempo era absoluto, 
isto é, que um evento que acontece em um determinado momento no tempo de 
referência de uma pessoa deveria acontecer no mesmo momento para outra 
pessoa, não importando onde eles são ou o que estão fazendo. 
 Por volta do século XX Hendrik Lorentz e Albert Einstein observaram que a 
velocidade da luz parecia ser independente de seu referencial, ou seja, a luz sempre 
se move com a mesma velocidade, mesmo que a velocidade de sua fonte mude 
(segundo postulado de Einstein). Como conseqüência desse postulado, a ideia de 
simultaneidade e até o próprio tempo entraram em questão. Em particular, as 
pessoas começaram a considerar a idéia da Dilatação Temporal: o tempo que 
ocorre entre dois eventos depende da velocidade do observador em relação aos 
eventos. Na teoria da relatividade, a dilatação do tempo é entendida como a 
passagem maior do tempo para um observador em movimento quando comparada à 
passagem do tempo para um observador em repouso, ambos em relação a um 
evento comum, mostrando que o tempo não é algo absoluto, mas sim relativo, pois 
depende da velocidade relativa entre dois observadores. Sua expressão matemática 
é dada por: 
 ∆𝑡 = 𝛾∆𝑡 ′ (1) 
 Onde Δt’ é o tempo próprio, Δt é o tempo dilatado e 𝛾 é o fator de Lorentz 
que é uma constante que pode depender da velociadade do observador e da 
velocidade da luz (c). Onde 𝛾 é dado por: 
 𝛾 =
1
√1 −
𝑣2
𝑐2
 (2) 
 Um fenômeno associado à dilatação dos tempos é o da contração das 
distâncias. O comprimento de um objeto no referencial em que o objeto está em 
repouso é conhcecido como comprimento próprio e representado por L’. Ja no 
referencial no qual o objeto está se movendo, o comprimento (L) na direção do 
movimento é sempre menor que o comprimento próprio. A sua definição matemática 
é dada por: 
 𝐿 =
𝐿′
𝛾
 (3) 
 
1.2. Múon 
 Um exemplo interresante da dilatação dos tempos e da contração das 
distâncias esta relacionado aos múons que se formam na atmosfera a partir dos 
raios cósmicos. Os múons decaem de acordo com a lei estatística da radioatividade: 
 𝑁(𝑡) = 𝑁0𝑒
−(𝑡/𝜏) (4) 
Em que N0 é o número de múons no instante t = 0, N(t) é o número de múons no 
instante t e 𝜏 é o tempo médio de vida (um intervalo de tempo próprio). 
 Muons são partículas subatômicas indescritíveis que são criadas quando os 
raios cósmicos atingem as moléculas de ar na alta atmosfera. Muons são altamente 
instáveis e, quando produzidos no laboratório na Terra, decaem com uma meia vida 
de 2,2 x 10-6 s. 
1.3. Experimento de Rossi-Hall 
No experimento original, o fluxo de múons foi medido a cerca de 2000 m de 
altitude perto do topo do Monte Washington, em New Hampshire, e também na base 
da montanha. Muons estão constantemente decaindo enquanto viajam para a Terra 
com a meia-vida mencionada acima. Portanto, se sabemos quantos múons estão 
sendo detectados no topo da montanha, a meia-vida do múon facilita bastante a 
previsão de quantos múons devem atingir a base da montanha a menos de 2000 m. 
 Rossi e Hall descobriram que o fluxo de múons na base da montanha era 
muito mais alto do que o esperado, sugerindo que esses múons estavam vivendo 
mais tempo. Quando a relação de dilatação do tempo foi aplicada, o resultado 
poderia ser explicado se os múons estivessem viajando a 0,995c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Objetivos 
 Por meio de uma simulação determinar o tempo dilatado de vida do múon 
(𝛥𝑡′). 
 
3. Metodologia 
 Utilizando-se da teoria da relatividade restrita das equações da dilatação do 
tempo e contração do espaço, equações (1) e (3), respectivamente e sabendo que o 
múon viaja a uma velociade de 0,995c e seu tempo de decaimento (Δt’) é de 2,2 µs, 
temos que; 
∆𝑡 = 𝛾∆𝑡′ = 22,5 µ𝑠 
 
 No nosso referencial o múon tem um tempo de decaimento de 2,2 µs e isso 
mostra que ele percorreria aproximadamente 656m apenas, mas utilizando-se da 
teoria da relatividade restrita e vendo que o tempo do múon é dilatado para 22,5 µs, 
ele consegue percorrer aproximadamente 6000m antes de decair. 
 
4. Procedimento experimental 
 Utilizou-se do site <http://kcvs.ca/concrete/visualizations/special-relativity>, 
“Muon Decay”, para simular a detecção de múons que chegavam a superfície da 
Terra. 
 Prática 1 
 Primeiramente foi feita a simulação em uma montanha de altitude de 
2000m, e a cada 100m de altura foi-se coletado os dados de quantos múons eram 
detectados. Ao final montou-se uma Tabela 1 com os dados da distância viajada, o 
fluxo de múons e seus respectivos tempos para cada altura. Em seguida montou-se 
um gráfico (Figura 1) de Múons x Tempo. Em seguida fez-se uma analise no gráfico 
para determinar o tempo dilatado de decaimento do múon. 
 Prática 2 
 Nesta prática repetiu-se todo o procedimento da prática 1, só que agora 
feito na atmosfera com uma altitude de 60 km e a cada 2 km coletou-se os dados de 
quantos múons eram detectados. Ao final montou-se uma Tabela 2 com os dados da 
distância viajada, o fluxo de múons e seus respectivos tempos para cada altura. Em 
seguida montou-se um grafico (Figura 2) de Múons x Tempo. Em seguida fez se 
uma analise do gráfico para determinar o tempo dilatado de decaimento do múon. 
 
5. Resultados e Discussões 
 Prática 1 
 Tabela 1 – Tabela referente à detecção do múon em uma montanha com 
sua distância viajada, o número de múons detectado, o tempo referente a cada 
altura e a linearização com o logaritmo natural do numero de múons (Ln(N)). 
 
 
 Em seguida montou-se um gráfico de Ln(N) x Tempo 
Distância Viajada (m) Múons Tempo (s) Ln (Número de Múons)
0 1001,24 0 6,908994511
98 987,56 3,28638E-07 6,895237254
196 978,4 6,57277E-07 6,885918584
301 966,9 1,00939E-06 6,874095077
392 955,26 1,31455E-06 6,861983555
497 941,16 1,66667E-06 6,847113157
595 936,04 1,99531E-06 6,841658211
700 920,57 2,34742E-06 6,824993043
798 912,18 2,67606E-06 6,815837339
896,67 900,28 3,00694E-06 6,802705826
994,67 891,16 3,33558E-06 6,792523985
1092,33 880,35 3,66308E-06 6,780319556
1204,33 868,74 4,03867E-06 6,767043886
1294,67 863,47 4,34162E-06 6,760959155
1405,33 850,94 4,71271E-06 6,746341621
1503 840,23 5,04024E-06 6,733675664
1601 831,2 5,36888E-06 6,72287044
1796,67 813,66 6,02505E-06 6,701542588
1901 802,94 6,37492E-06 6,688279991
2000 796,36 6,70691E-06 6,680051345
 
Figura 1 - Gráfico linearizado do logaritmo natural do número de múons por 
tempo. 
 Linearizando a equação (4), temos; 
 ln 𝑁 = ln 𝑁0 −
𝑡
𝜏
 (5) 
 Comparando a equação linearizada, equação (5), com a equação da reta da 
Figura 1, temos que; 
ln(𝑁) = 𝑌 
 
ln(𝑁0) −
𝑡
𝜏
= 𝐴 + 𝐵 ∗ 𝑋 
 Logo, 
𝐵 = −
1
𝜏
 
 Portanto, 
𝜏 = −
1
𝐵
= −
1
−34236,47
 
 
𝜏 = 25,2 𝜇𝑠 ± 0,2 µ𝑠 
 Pelo gráfico da montanha determinamos o tempo dilatado do múon no seu 
referencial vemos que esse valor é aproximadamente 11,6 vezes maior que o tempo 
observado de decaimento do múon. Que por sua vez é um valor muito aproximado 
do valor obtido na metodologia pela equação (1). 
 
 Prática 2 
 Tabela 2 – Tabela referente à detecção do múon na atmosfera com sua 
distânciaviajada, o número de múons detectado e o tempo referente a cada altura. 
 
 
 A partir da Tabela 2, montou-se um gráfico de Múon x Tempo 
Distância Viajada (m) Múons Tempo do muon (s)
0 1002,62 3,34207E-06
2100 785,11 2,61703E-06
3900 638,88 2,1296E-06
6000 499,4 1,66467E-06
7800 404,4 0,000001348
10040 311,57 1,03857E-06
11990 252,82 8,42733E-07
14080 194,72 6,49067E-07
16010 156,42 5,214E-07
17960 125,19 4,173E-07
19890 100,7 3,35667E-07
21540 83,43 2,781E-07
23940 64,43 2,14767E-07
26010 48,85 1,62833E-07
28110 37,86 1,262E-07
30060 32,35 1,07833E-07
32010 26,1 0,000000087
33950 20,68 6,89333E-08
35900 14,38 4,79333E-08
37990 10,87 3,62333E-08
40080 11,12 3,70667E-08
41870 8,67 2,89E-08
43960 5,45 1,81667E-08
45910 5,87 1,95667E-08
48000 4,07 1,35667E-08
49940 3,86 1,28667E-08
52040 0,39 1,3E-09
53990 0,55 1,83333E-09
55940 2,9 9,66667E-09
58040 2,41 8,03333E-09
60000 2,17 7,23333E-09
 
 
Figura 2 - Gráfico de número de múons por tempo na atmosfera com altura 
máxima de 60 km. 
 Comparando a equação obtida no gráfico com a equação (4), temos que; 
𝑁 = 𝑌 
𝑁0𝑒
−(𝑡/𝜏) = 𝑌0 + 𝐴1 ∗ 𝑒
−(𝑥−𝑥0)/𝑡1 
 Logo, 
𝜏 = 𝑡1 = 20 ∗ 10−6 ± 0,059 ∗ 10−6 
Portanto, obtivemos pelo gráfico (Figura 2) que o tempo dilatado do Múon é 
de 20 µs, sendo assim um valor muito próximo do esperado obtido na metodologia 
pela equação (1). Mostrando que o múon chega à superfície da Terra antes de 
decair, sendo o seu tempo obtido pelo gráfico 9,1 vezes maior que o tempo de 
decaimento que nos observamos. 
 
 
6. Conclusões 
De acordo com os resultados obtidos na prática 1 de que o tempo médio 
dilatado de vida do múon é de 25 µs. E o resultado obtido na prática 2 sobre o tempo 
médio dilatado de vida do múon é de 20 µs. Sendo eles valores coerentes com o 
tempo dilatado obtido pela equação (1) de 22,5 µs, reafirmando a validade da teoria 
da relatividade restrita. 
Portanto com base nos cálculos apresentados, o fato de o múon ser 
detectado antes de decair é explicado pela dilatação temporal e contração das 
distancias da teoria da relatividade restrita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Referências 
 
TIPLER, Paul A.; LEWELLYN, Ralph. Relatividade I. in: Física Moderna Editora 
GEN. 6ª edição. Rio de Janeiro 2017. (p. 1 – 26). 
 
CAMPOS, Anderson.; CHIAPERINI, Artur.; CONSALTER, Daniel. “Medida da vida 
média do múon”. Disponível em: <http://sbfisica.org.br/rbef/pdf/324502.pdf>. 
Acesso em Abril de 2019. 
 
KCVS, “Decaimento do Múon e o experimento de Rossi-Hall”. Disponível em: 
<http://www.kcvs.ca/site/projects/physics_files/specialRelativity/muonDecay/resource
s/background.html>. Acesso em Abril de 2019.